mecanismo_4_barras

Universidad de Colima. Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica. Ingeniería Mecánica Eléctrica.

Análisis y diseño de mecanismos.

Alumno: Luis Alejandro Carrillo Suárez.

5° H.

Profesor: Dr. Sergio Llamas Zamorano.

Análisis cinemático del mecanismo de cuatro barras.

Coquimatlán, Colima. Viernes, 11 de noviembre de 2011.

Análisis cinemático del mecanismo de cuatro barras

Índice. 1. Introducción. 2. Desarrollo. 2.1 Análisis de posición. 2.2 Análisis de velocidad. 2.3 Análisis de aceleración. 3. Caso de estudio. 3.1 Análisis primario. 3.2 Análisis velocidad. 3.3 Análisis de aceleración 4. Conclusiones 5. Bibliografía. 6. Anexos 6.1 Aceleración para el punto P 6.2 Disco de datos

Análisis y diseño de mecanismos

1 2 2 8 10 12 12 15 18 24 25 26 26 29

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Análisis cinemático del mecanismo de cuatro barras

1. Introducción. Un mecanismo se define como una combinación de cuerpos resistentes conectados por medio de articulaciones móviles para formar una cadena cinemática cerrada con un eslabón fijo y cuyo propósito es transformar el movimiento. Ésta transformación de movimiento se lleva a cabo mediante distintas configuraciones de cuerpos rígidos, mejor conocidos como eslabones, y articulaciones móviles, también nombradas pares cinemáticos. Por ejemplo un mecanismo biela-manivela-corredera cuyo propósito es transformar el movimiento rotacional de un motor en movimiento lineal. Otro caso es el del mecanismo de cuatro barras, el cual es utilizado, principalmente, para transformar un movimiento rotatorio en otro oscilatorio.

La imagen que se muestra a la izquierda, es un mecanismo de cuatro barras sencillo como el que se explicó en el ejemplo anterior, cuyo propósito es transformar el movimiento circular de la manivela “s” en movimiento oscilatorio del seguidor “p”.

Figura 1. Mecanismo de cuatro barras básico.

Ahora analizaremos un mecanismo de cuatro barras cuyo acoplador, eslabón “l”, es un cuerpo rígido con forma de triángulo escaleno y sobre ese cuerpo rígido existe un punto P del cual queremos conocer su posición, velocidad y aceleración para cualquier posición de la manivela.

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Análisis cinemático del mecanismo de cuatro barras

2. Desarrollo. En esta sección se harán los siguientes análisis en el mecanismo de cuatro barras de la figura 2:   

Análisis de posición: Encontraremos los ángulos de inclinación del acoplador y seguidor, así como las coordenadas del punto P. Análisis de velocidad: Obtendremos las velocidades angulares del acoplador y seguidor, así como celeridades lineales del punto P. Análisis de aceleración: Por último, se encontrarán las expresiones para obtener las aceleraciones angulares tanto del acoplador como del seguidor, así como la aceleración lineal del punto P.

2.1 Análisis de posición. Para vida de hacer el desarrollo se esta sección, nos guiaremos en la siguiente imagen de un mecanismo de cuatro barras.

Figura 2. Mecanismo de cuatro barras en análisis.

Lo primero que se hace en el análisis algebraico de cualquier mecanismo, es escribir la ecuación de cierre del circuito.

⃗⃗⃗ Análisis y diseño de mecanismos

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗ Página 4

Análisis cinemático del mecanismo de cuatro barras Ahora escribimos la ecuación anterior en forma polar.

(a) Aplicamos la fórmula de Euler en (a) y separamos las partes reales e imaginarias en dos ecuaciones.

(b) (c) A continuación reacomodamos (b) y (c) aislando los términos que involucren θ3.

Luego elevamos al cuadrado ambas expresiones y las sumamos.

(

)

(

)

(

)

(

) (d)

Hacemos uso de las siguientes identidades trigonométricas.

(

(e)

)

(f) Sustituimos (d) y (e) en (d) con su respectivos ángulos.

(

) (g)

Para vida de facilitar los procedimientos siguientes, obtendremos las componentes en x y y de la diagonal s de la figura 2.

(h) También podemos obtener el valor de gama para en los pasos siguientes facilitar el proceso algebraico, primero obtenemos el valor de s en función de r3, r4 y γ. Análisis y diseño de mecanismos

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Análisis cinemático del mecanismo de cuatro barras

Ahora, en la ecuación anterior sustituimos el valor de s pero en función de r1, r2 y θ2, y despejamos γ.

(i) Ahora podemos expresar (g) en términos de (h) e (i). Primero dividimos (g) entre 2r4, reducimos en lo posible y reacomodamos de manera conveniente utilizando la identidad trigonométrica (f).

(

)

Reacomodamos aún más y hacemos coincidir el primer término con cos γ.

( (

)

)

Reducimos el primer término convenientemente y sustituimos las expresiones en (h) e (i).

(j) Al manejar tanto seno como coseno de un mismo ángulo en (j), resulta conveniente sustituir esos valores por identidades trigonométricas de la mitad del ángulo.

( ) ( ) ( ) ( ) (k) Ahora sustituimos estas identidades con sus respectivos ángulos en (j) y reacomodamos.

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Página 6

Análisis cinemático del mecanismo de cuatro barras (

)

( )

( )

(

)

(l) Encontramos la solución del sistema de segundo orden, sustituimos los valores se sx y sy, y despejamos para θ4.

(1) Para encontrar el θ3 tenemos que hacer un proceso totalmente análogo al anterior, por lo tanto no tiene caso desarrollarlo aquí, solamente se expresará el resultado.

(2) Para encontrar la posición del punto P nos guiaremos de la figura siguiente.

Figura 3. Mismo mecanismo de 4 barras de la figura 2, pero ahora con el vector de posición del punto P, respecto al origen A.

Análisis y diseño de mecanismos

Página 7

Análisis cinemático del mecanismo de cuatro barras De la figura 3 podemos deducir la distancia al punto P, el ángulo del vector y por consiguiente el vector de posición. √

)

( (

) )

̂

(

⃗⃗⃗

(

(3)

(4)

̂)

(5)

2.2 Análisis de velocidad Como se dijo al inicio de la sección, el propósito de esta subsección es encontrar las velocidades angulares de los eslabones 3 y 4, o acoplador y seguidos, es lo mismo. Después de esto, tenemos que encontrar las velocidades lineales del punto P, tanto en la coordenada x como y. Primero, de la ecuación de cierre de circuito (a), obtenemos su derivada respecto del tiempo, sabiendo que r1, r2, r3 y r4 son constantes en el tiempo, y aplicamos la fórmula de Euler. También hay que tener en cuenta que la primera derivada del desplazamiento angular θ con respecto del tiempo se le conoce como velocidad angular.

(

)

(

(

)

) (

)

Ahora separamos las partes real e imaginaria de la expresión anterior y formamos el siguiente sistema de ecuaciones.

(m) (n) Aplicamos el método de Cramer al sistema anterior y haciendo uso de esta identidad trigonométrica sen (β-δ) = senβcosδ + cosβsenδ obtenemos los siguientes resultados ω3 y ω4.

( (

) )

( (

) )

(6)

(7) Análisis y diseño de mecanismos

Página 8

Análisis cinemático del mecanismo de cuatro barras Los valores de θ3 y θ4 son obtenidos de (1) y (2), respectivamente, θ2 es nuestra variable independiente y ω2 es constante, ya que la manivela es movida por un motor de velocidad constante en la mayoría de los casos. Ahora podemos encontrar la velocidad del punto P valiéndonos de las siguientes expresiones.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ (ñ)

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ (o)

Figura 4. Diagrama del mecanismo de 4 barra para análisis de la velocidad en el punto P.

En la figura 4 observamos que el cuerpo rígido BCP gira a una misma velocidad angular ω3 en cualquier punto, por lo tanto, podemos encontrar la velocidad del punto P respecto a B con (ñ) y luego sustituirla en (o) para encontrar la velocidad absoluta en el punto P.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

Sustituimos los valores de ω3 y r5.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

(

̂)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Análisis y diseño de mecanismos

[

( (

)̂ )̂

( (

) ̂] )̂

(p) Página 9

Análisis cinemático del mecanismo de cuatro barras

Ahora encontramos la velocidad absoluta del punto B.

⃗⃗⃗⃗

(

̂)

[

( )̂

( ) ̂]

( )̂

⃗⃗⃗⃗

( )̂ (q)

Finalmente sustituimos (p) y (q) en la expresión (o) y reacomodamos para las componentes en i y j. Estos valores serán las velocidades del punto P en x y y respectivamente.

⃗⃗⃗⃗

[

( )

(

)] ̂

[

( )

(

)] ̂ (8)

No hay que confundir el ángulo α (alfa sin subíndice) entre los segmentos PB y BC con aceleración angular αn (alfa con algún número como subíndice).

2.3 Análisis de aceleración El análisis para encontrar la aceleración del punto P comienza con encontrar las aceleraciones angulares del acoplador y seguidor, de una manera similar al procedimiento en la subsección 2.2 utilizado para encontrar las velocidades angulares de los eslabones mencionados. Posteriormente, se hace un análisis del mecanismo utilizando álgebra vectorial para encontrar la aceleración total del punto B así dicha aceleración del punto P respecto del B. En esta sección solamente se mostrarán las ecuaciones que sirven para encontrar los parámetros buscados en este apartado, aceleraciones angulares del acoplador y seguidor, y aceleración total del punto P; sin embargo en el anexo al final del documento, se agregará el procedimiento utilizado para llegar a estas soluciones.

(

)

(

) (

(

)

) (9)

(

)

(

) (

(

)

) (10)

( )

( )

(

)

(

) (11)

Análisis y diseño de mecanismos

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Análisis cinemático del mecanismo de cuatro barras ( )

( )

(

)

(

) (12)

De esta manera se concluye el análisis cinemático del mecanismo de cuatro barras de la figura 2.

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Análisis cinemático del mecanismo de cuatro barras

3. Caso de estudio. Todo el desarrollo de ecuaciones anterior, fue hecho para hacer un análisis del siguiente mecanismo de cuatro barras. Donde las dimensiones expresadas son:

       

r1 = 300 mm r2 = 150 mm r3 = 375 mm r4 = 450 mm r5 = 225 mm α = 50° ω2 = 15 rad/s Anti-horario. α2 = 0 rad/s2

Figura 5. Mecanismo en estudio. Los análisis siguientes fueron evaluados con un código programa en Matlab R2010 versión 7.10.

3.1 Análisis de posición Los resultados arrojados en el análisis son los que se presentan a continuación.

θ2

θ3

θ4

γ

rP

rPx (mm)

rPy

128.682 108.783 96.631 93.593 96.187 101.768 108.787 116.315 123.764 130.751 137.036 142.480 147.000 150.516 152.856

18.195 20.946 27.425 35.248 43.144 50.430 56.633 61.376 64.358 65.376 64.358 61.376 56.633 50.430 43.144

97.477 203.974 292.860 343.493 367.749 374.975 370.644 358.296 340.551 319.456 296.547 272.809 248.656 223.906 197.691

-62.078 -25.824 5.120 4.181 -24.732 -70.284 -122.370 -172.907 -215.712 -246.424 -262.437 -262.826 -248.283 -221.072 -184.994

75.153 202.333 292.815 343.468 366.916 368.330 349.861 313.814 263.520 203.291 138.083 73.125 13.617 -35.514 -69.705

(°) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280

110.487 87.837 69.205 58.346 53.043 51.339 52.154 54.938 59.406 65.376 72.678 81.103 90.367 100.086 109.712

Análisis y diseño de mecanismos

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Análisis cinemático del mecanismo de cuatro barras

θ2

θ3

θ4

γ

rP

rPx (mm)

rPy

153.593 151.662 144.539 128.682

35.248 27.425 20.946 18.195

168.114 131.611 86.693 97.477

-145.362 -108.956 -82.641 -62.078

-84.453 -73.824 -26.194 75.153

(°) 300 320 340 360

118.346 124.237 123.593 110.487

Tabla 1. Resultados del análisis de posición.

Estos datos tabulados se expresan en las siguientes gráficas.

Gráfica 1. Aquí se muestra la variación del ángulo θ3 con respecto de θ2.

Gráfica 2. Observamos la variación del ángulo θ4 con respecto de θ2.

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Análisis cinemático del mecanismo de cuatro barras

Gráfica 3. Observamos la variación del ángulo transmisión γ con respecto de θ2.

Gráfica 4. Observamos la trayectoria del punto P.

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Análisis cinemático del mecanismo de cuatro barras 3.2 Análisis de velocidad A continuación se muestran los cálculos hechos por el algoritmo creado en Matlab.

θ2 (°)

ω3

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 220 240 260 280 300 320 340 360

-15.000 -16.780 -10.879 -5.752 -2.446 -0.240 1.397 2.746 3.934 5.000 6.674 7.174 7.338 6.994 5.752 2.633 -4.474 -15.000

ω4

VPx

VPy (mm/s)

VP

-15.000 -12.953 -5.297 0.250 3.315 4.870 5.545 5.675 5.452 5.000 3.745 3.027 2.228 1.233 -0.250 -2.949 -8.301 -15.000

1127.302 1764.743 690.364 -720.051 -1679.674 -2162.831 -2255.851 -2043.215 -1604.440 -1016.457 314.758 918.888 1392.449 1670.173 1687.105 1386.777 881.890 1127.302

5431.166 4912.849 2917.984 1532.379 514.911 -380.083 -1191.179 -1882.861 -2408.418 -2732.121 -2710.795 -2368.192 -1821.790 -1085.313 -142.607 1134.122 3114.748 5431.166

5546.924 5220.192 2998.538 1693.121 1756.826 2195.973 2551.033 2778.469 2893.908 2915.076 2729.007 2540.214 2292.997 1991.829 1693.121 1791.475 3237.188 5546.924

(rad/s)

Tabla 2. Resultados del análisis de velocidad.

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Análisis cinemático del mecanismo de cuatro barras Los valores de la gráfica anterior se observan gráficamente a continuación.

Gráfica 5. Velocidad del eslabón 3 para cada posición de la manivela.

Gráfica 6. Velocidad angular del eslabón 4.

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Gráfica 7. Esta gráfica muestra la velocidad del punto P en dirección X.

Gráfica 8. Velocidad del punto P en dirección Y.

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Gráfica 9. Velocidad absoluta del punto P.

3.3 Análisis de aceleración. A continuación se muestran los cálculos hechos por el algoritmo creado en Matlab.

θ2 (°)

α3

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 180 200 240

-360.288 177.728 262.464 176.599 113.498 79.825 62.815 53.981 48.392 43.085 43.085 36.354 15.095

α4

APx

APy (m/s2)

AP

-168.135 297.184 302.202 177.597 93.328 44.727 15.564 -3.063 -15.255 -22.917 -22.917 -27.292 -32.156

41.044 -11.597 -64.407 -52.247 -30.435 -11.747 3.151 14.556 22.602 27.402 27.402 29.099 29.099

59.500 -83.710 -73.754 -48.802 -40.312 -36.781 -32.633 -26.464 -18.445 -9.237 -9.237 0.471 0.471

72.283 84.509 97.918 71.494 50.511 38.611 32.785 30.203 29.173 28.917 28.917 29.103 29.103

2

(rad/s )

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θ2 (°) 260 280 300 320 340 360

α3

α4

APx

2

-37.269 -50.117 -82.211 -160.925 -302.209 -168.135

AP

2

(rad/s ) -2.171 -29.947 -83.208 -200.663 -421.665 -360.288

APy (m/s )

27.815 23.628 16.605 6.799 -5.801 -19.768

10.105 19.225 27.619 35.741 46.060 66.458

29.594 30.461 32.226 36.382 46.424 69.336

Tabla 3. Resultados del análisis de aceleración.

Gráfica 10. Aceleración angular del eslabón 3.

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Gráfica 11. Aceleración angular del eslabón 4.

Gráfica 12. Aceleración del punto P en dirección X.

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Gráfica 13. Aceleración del punto P en dirección Y.

Gráfica 14. Aceleración total del punto P.

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Análisis cinemático del mecanismo de cuatro barras Además de que se realizó el programa en Matlab para encontrar las variables mostradas anteriormente, también se hizo una simulación en el programa Working Model. El mecanismo que se introdujo es el que se muestra a continuación.

Gráfica 15. Mecanismo realizado en la simulación y trayectoria del punto que se analiza.

En base a al mecanismo mostrado, cuyas dimensiones son las especificadas en el caso de estudio.

Gráfica16. Velocidades del punto P en sus componentes X (azul), Y (anaranjado) y total (verde).

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Gráfica 17. Aceleración del punto P (verde) total, así como en componentes X (azul) y Y (anaranjado).

Gráfica 18. Velocidad angular del acoplador (azul) y del seguidor (anaranjado).

Gráfica 19. Aceleraciones angulares del acoplador (azul) y del seguidor (anaranjado).

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Conclusiones. Haciendo comparaciones entre las gráficas realizadas en Matlbad y las generadas por Working model, todas son muy similares; en algunos casos, parecen cambiar de tamaño, pero esto es debido a que los ejes coordenados no siguen la misma escala. Lo anterior lo podemos observar mirando la gráfica 4 y la 15, en donde ambas representaciones de la trayectoria del punto P, en donde la gráfica 4 pareciera que está “inflada” respecto a la de la gráfica 15. Hablando de las velocidades observamos en la gráfica 18, nos dice a simple vista que el acoplador se mueve en el mismo sentido que el seguidor. En las velocidades del punto P de la gráfica 16, se muestran los valores en los que la velocidad en X o en Y es cero, haciendo que converjan la velocidad total con la otra velocidad que no es nula. En el diagrama de aceleraciones se muestran valores en donde convergen la aceleración con alguna otra, cuando la contraria es nula, lo mismo que en las gráficas de velocidad. Ahora, analizando las gráficas de velocidad y aceleración del punto P, 16 y 17 respectivamente, observamos que cuando la velocidad lineal del punto P es positiva, la aceleración lineal es negativa, y viceversa, para alguna de las dos componentes cartesianas. Y bien, de esta manera de concluye el trabajo presente, agregando información adicional en los anexos al final del documento donde se encuentra el código fuente que generó las gráficas en Matlab y las gráficas generadas como imágenes, así como la simulación en Working Model.

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Análisis cinemático del mecanismo de cuatro barras

Bibliografía. 1. SHIGLEY, Joseph E. y Josephuicker, John Jr. Teoría de máquinas y mecanismos. México, McGraw-Hill, 2001, 613p. 2. NORTON, Robert L. Design of machinery: an introduction to the synthesis and analysis of mechanisms and machines. Second edition. USA, WCB/McGraw-Hill, 1999, 806p.

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Anexos. Análisis de aceleración del punto P. Primero debemos encontrar las aceleraciones angulares de los eslabones 3 y 4 o acoplador y seguidor. Derivamos 2 veces la ecuación de cierre del circuito (a) respecto del tiempo 1ra derivada.

(1) Para vida de hacer más sencilla las operaciones siguientes dividimos toda la ecuación (1) entre y aplicamos la fórmula de Euler. [

(

) [

( )

(

)]

[

(

)

(

)]

[

(

(

)

)] (

)]…(2)

Observemos que en la parte real de la ecuación no se involucra a α 3, por lo tanto si tomamos solamente la parte real de (2). ( ( Despejamos

) ) …(3)

(

)

)

(

(

)

de (2). (

) (

(

)

)

…(4)

Para encontrar hacemos algo similar a lo anteriormente mostrado, sólo que para este caso, dividiremos (1) entre y aplicaremos la fórmula de Euler. [ ( [ ( …(5)

) )

( (

)] )]

[ [

) )

( (

( (

)] )]

Separamos la parte real de (5). ( …(6) Despejamos

)

(

(

)

)

(

)

de la ecuación (6) (

)

(

) (

(

)

)

Con estas expresiones encontramos la aceleración del punto P. Análisis y diseño de mecanismos

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Análisis cinemático del mecanismo de cuatro barras ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗

… (8) (⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) …(9)

⃗⃗⃗⃗ …(10)

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ …(11)

Primero encontramos la aceleración tangencial y normal en el punto B. * Aceleración tangencial de B. ⃗⃗⃗⃗

(

̂)

(

̂) ̂

̂

̂

*Aceleración normal de B. ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

̂)

(

(⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ̂)

[(

⃗⃗⃗ )

(

̂)] ̂

⃗⃗⃗⃗ ̂

̂

Sumamos las dos aceleraciones normal y tangencial de B para obtener la total ⃗⃗⃗⃗⃗

[

] ̂

[

] ̂ … (12)

Ahora encontraremos la velocidad relativa del punto P respecto de B. *Encontramos la velocidad tangencial del punto P respecto del B. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

(

̂)

(

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

( (

) ̂

) )̂

( (

) ̂

) ̂

*Encontramos la velocidad normal del punto P respecto del B. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

(

̂)

[(

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

̂)

⃗⃗⃗⃗⃗

(⃗⃗⃗⃗⃗

( (

( ) ̂

⃗⃗⃗ ) ) ̂

) ̂ )]

( (

) ̂

Sumamos las componentes tangenciales y normales para obtener una aceleración total.

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Análisis cinemático del mecanismo de cuatro barras ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

[

( )

(

)] ̂

(

[

)

(

)] ̂

De (10) podemos obtener una expresión para la aceleración total del punto P: ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ … (14)

Así, sustituimos (12) y (13) en (14) y obtendremos la expresión deseada. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

( ]

(

(

) )

(

) …(15) )] …(16)

Las fórmulas dadas en (15) y (16) contienen sin subíndice y con subíndice. Alfa con subíndice 2 ó 3 es la aceleración angular referente al eslabón del número de su subíndice. Mientras que alfa sin subíndice representa la magnitud del ángulo entre los segmentos ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ del acoplador del eslabón 3.

Análisis y diseño de mecanismos

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Análisis cinemático del mecanismo de cuatro barras Disco de datos. Se anexa al documento un disco compacto con lo que se utilizó para vida de desarrollar este documento. Dichos elemento se listan a continuación: 

Matlab o Gráficas o mecanismo_4_barras.m o mecanismo_4_barras.xlsx



Working_Model o o o o o o

aceleraciones_angulares.jpg aceleraciones_P.jpg imagen_simulación.jpg mecanismo_4_barras.m velocidades_angulares.jpg velocidades_P.jpg

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mecanismo-4-barras.docx

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mecanismo_4_barras.xlsx

Análisis y diseño de mecanismos

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