Mecanismo de Groves-Clarke

Tema 4: El mecanismo de Groves y Clarke

A continuaci´ on el mecanismo impone unas transferencias T i (que pueden ser negativas) sobre los individuos (independientes de las cantidades si c). Obs´ervese que la cantidad T i se paga en cualquier caso, mientras que la cantidad sic s´olo se paga si se construye el puente. Por tanto, la utilidad del agente i = 1, . . . , n es de la forma, ui =



vi − T i −T i

si se construye, si no se construye,

donde vi = ri − si c ∈ R es la valoraci´ on del individuo i del puente, que puede ser negativa. La idea del mecanismo es la siguiente: 1. Dadas las valoraciones p or el bien p´ ublico que los individuos revelan al gobierno, este toma una decisi´ on eficiente: Si ni=1 v¯i ≥ 0 (Es decir n n si ¯i < 0, no se i=1 ri ≥ c(G)) se construye el puente y si i=1 v construye.

 



2. Un individuo s´ olo paga (el impuesto) si es pivote, esto es, si su valoraci´ on revelada cambia la decisi´ on del gobierno. Concretamente,

T i

⎧⎪ 0  ⎨− ¯ =  ⎪⎩ 0 ¯

v  j  =i  j

v  j  =i  j

si si si si

 ¯ ≥0  ¯ ≥0 ¯ 0 ¯ 0

, i vi , i vi i vi < , i vi < ,

   

≥0 v¯ < 0  j  =i  j v¯ ≥ 0  j  =i  j v¯ < 0.  j  =i  j v¯  j  =i  j

N´ otese que i s´olo paga cuando cambia la decisi´ on de SI a NO o de NO a SI. Con estos impuestos: (a) Revelar la verdad es una estrategia dominante. (b) Como todos revelan la verdad se garantiza la eficiencia. (c) Sin embargo, el presupuesto del gobierno puede no estar equilibrado. Vamos a probar (a). Decir la verdad es una estrategia dominante si y s´olo si: R R R ui (vi , v− vi , v− ¯i , ∀v− i ) ≥ ui (¯ i ), ∀v i,

2

R donde v− i es un vector de valoraciones omitiendo las del individuo i.

Dados los impuestos a pagar en cada caso, la utilidad para el individuo i ser´a:

ui

⎧⎪  ⎨ + ¯  = ⎪⎩ −0 ¯ vi vi

v  j  =i  j

v  j  =i  j

Distingamos dos casos: Caso 1.



¯ v  j  =i  j

si si si si

 ¯ ≥0  ¯ ≥0 ¯ 0 ¯ 0

vi , , i vi i vi < , i vi < , i

   

≥0 ¯ 0 =⇒ ui = vi +  j =i v¯ j < 0 (se construye y paga)

 



As´ı que R R R ui (vi , v− vi , v− ¯i , ∀v− i ) ≥ ui (¯ i ), ∀v i.



• Subcaso 1.2. vi +  j =i v¯ j > 0. En este caso, diciendo la verdad se construye el puente.



- Si dice la verdad, ui = vi +  j =i v¯ j (s´ı se construye, s´ı paga). - Si miente, pueden pasar dos cosas: Si v¯i +  j =i v¯ j > 0 =⇒ ui = ui = vi +  j =i v¯ j , (s´ı se construye y s´ı paga). Si v¯i +  j =i v¯ j < 0 =⇒ ui = 0 (no se construye y no paga). De nuevo,

 



R R R ¯i , ∀v− ui (vi , v− vi , v− i ) ≥ ui (¯ i ), ∀v i.

Caso 2.



¯ v  j  =i  j

≥ 0. Sin i s´ı se construye el puente.



• Subcaso 2.1. vi +  j =i v¯ j > 0. En este caso, diciendo la verdad se construye el puente. 3

- Si i dice la verdad, v¯i = vi , ui = vi , (se construye y no paga nada). - Si miente, pueden pasar dos cosas: Si v¯i +  j =i v¯ j > 0 =⇒ ui = vi , (se construye y no paga nada). Si v¯i +  j =i v¯ j < 0 =⇒ ui = −  j =i v¯ j < 0 (no se construye y tiene que pagar). As´ı que

 



R R R ui (vi , v− vi , v− ¯i , ∀v− i ) ≥ ui (¯ i ), ∀v i.



• Subcaso 2.2. vi +  j =i v¯ j < 0. En este caso, diciendo la verdad no se construye el puente. - Si dice la verdad, ui = −  j =i v¯ j (no se construye, s´ı paga). - Si miente, pueden pasar dos cosas: Si v¯i +  j =i v¯ j < 0 =⇒ ui = −  j =i v¯ j , (no se construye y s´ı paga). Si v¯i +  j =i v¯ j > 0 =⇒ ui = vi (se construye y no paga). De nuevo,



 



R R R ui (vi , v− vi , v− ¯i , ∀v− i ) ≥ ui (¯ i ), ∀v i.

Irma, Javier y Paco, tres compa˜ neros de piso, tienen que decidir si comprar un televisor o no. Los tres deciden de antemano que si el televisor se compra se dividir´ a el coste entre todos a partes iguales. Irma y Javier est´ an dispuestos a pagar hasta 100 euros cada uno por adquirir el televisor. Paco est´ a dispuesto a pagar 350 euros. Si el televisor cuesta 525 euros y se vota por mayor´ıa para decidir si comprar el televisor o no, ¿Comprar´ an el televisor? Si deciden utilizar el impuesto de Clarke para decidir si comprar el televisor o no, ¿comprar´ an el televisor? ¿Cu´al ser´ a el impuesto de Clarke para cada individuo? ¿Revelar´ an la verdad? Justifica tu respuesta. La tabla siguiente nos ayuda a contestar a las preguntas anteriores sistem´ aticamente. Ejemplo.

Individuo Irma Javier Paco

Coste (ci ) 175 175 175 525

Utilidad (ui ) 100 100 350 550 4

U.Neta (vi = ui − ci ) -75 -75 175 25

Impuesto de Clarke 0 0 150

S´olo uno de los individuos, Paco, obtiene una utilidad positiva neta de la compra del televisor, as´ı que en votaci´ on por mayor´ıa Irma y Javier se opondr´ıan a la compra del televisor, dos contra uno, el televisor no se compra. Sin embargo es Pareto eficiente comprar el televisor, ya que la utilidad neta total es positiva (25), es decir, la suma de las valoraciones totales (550) es mayor al coste total (525). Con el impuesto de Clarke el televisor se compra, ya que la suma de las valoraciones del televisor es mayor al coste total. Veamos que impuesto paga cada uno y si revelar´an la verdad: 1. Empecemos por Irma, la suma de las valoraciones netas excluyendo la suya es de 100 ( vJavier + vPaco = 100 > 0). Con su valoraci´ on neta vJavier + vPaco + vIrma = 25 > 0, as´ı que el televisor se compra. Este individuo no es pivote, as´ı que no paga impuesto de Clarke. Adem´ as Irma no tiene incentivos para mentir. Para que el televisor no se comprara, deber´ıa decir que su valoraci´ on neta es ≤ −100. Entonces se convertir´ıa en pivote y deber´ıa pagar un impuesto de Clarke de 100. Mentir le ahorra 75 euros pero le cuesta 100, as´ı que no miente. 2. El mismo razonamiento nos sirve para Javier. 3. Paco s´ı es un individuo pivote: vJavier + vIrma = −150 < 0 y vJavier + vPaco + vIrma = 25 > 0. Por tanto el televisor si se compra pero debe pagar un impuesto de Clarke de 150 euros. Como su utilidad neta es de 175 euros y el impuesto es de 150, al final a Javier el televisor le reporta 25 euros. Este individuo no tiene incentivos para mentir. Revelar una valoraci´on mayor no cambiar´ıa nada. Revelar una valoraci´ on menor disminuye la probabilidad de que se compre el televisor y no cambia el impuesto que debe pagar. El mecanismo de Groves-Clarke. Caso Continuo. Ahora tenemos que decidir el nivel de G. El mecanismo s´ olo funciona para funciones de utilidad Cuasi-Lineales. La utilidad de cada individuo i ∈ {1, 2, . . . , n } es U i (X i , G) = X i + vi (G).

El individuo i ∈ {1, 2, . . . , n } informa al gobierno de que sus preferencias ˆ , de bien p´ sobre el bien p´ ublico son v¯i (G). El gobierno elige el nivel G ublico, de forma que maximiza v¯i (G) − c(G)

 i

5

La condici´ on de primer orden es

¯(

vi G) = c (G)

i

que, como vemos, es equivalente a la condici´ on de Samuelson para las preferencias reveladas por los agentes. El gobierno impone los siguientes pagos a cada individuo: ˆ) − T i = c(G

 ¯ ( ˆ)

v j G .

 j  =i

Es decir, el impuesto que paga es el coste total de producir el bien p´ublico menos la utilidad agregada del bien p´ ublico que reciben los dem´as (seg´ un sus preferencias reveladas). T i no depende directamente de v¯i (G), s´ olo indiˆ. rectamente a trav´es de la elecci´o n de G Gr´aficamente, X 

n i=1



v¯i (G)



c (G)

v¯ (G)  j  =i  j

b .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. c .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

a .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . G0

G1

El pago del agente i es la p´ erdida neta que causa a los dem´ as agentes en su participaci´ on en el proceso de decisi´ on: es decir, la diferencia entre el coste de proveer G1 − G0 unidades adicionales de bien p´ ublico (el a´rea 6

G

G0 abG1 de la figura) y el beneficio que declaran los restantes individuos de este aumento en la provisi´ on del bien p´ ublico (el a´rea G0 acG1 de la figura). El resto es T i igual al a´rea abc de la figura.

Veamos que revelar sus verdaderas preferencias es un equilibrio de Nash. Supongamos en primer lugar que todos los agentes revelan sus verdaderas preferencias v¯i = vi , para todo i = 1 , 2, . . . , n. El gobierno maximiza



vi (G) − c(G)

i

ˆ a la soluci´ Llamemos G on de este problema. En particular, n



n

 ˆ ˆ ( )− ( )≥

vi G

i=1

c G

vi (G) − c(G)

i=1

para todo nivel G de producci´o n del bien p´ ublico. Observemos que cada agente i ∈ {1, 2, . . . , n } obtiene una utilidad

⎛  ( ˆ) − ⎝ ( ˆ) −

vi G

c G

 j  =i

⎞  ( ˆ )⎠ = n

v j G

ˆ ) − c(G ˆ) vi (G

i=1

Fijemos ahora un agente i ∈ {1, 2, . . . , n } y supongamos que todos los dem´as agentes declaran su verdadera funci´on de utilidad v¯ j = v j , para todo  j  = i, mientras que el agente i declara la funci´ o n de utilidad v¯i (G). El gobierno decide el nivel ´optimo de bien p´ ublico maximizando



v j (G) + v¯ j (G) − c(G)

 j  =i

¯ a la soluci´ Llamemos G on de este problema. El individuo tiene que pagar ¯i = c(G ¯) − T 



¯ ). v j (G

 j  =i

y la utilidad obtenida por el agente i es

⎛  ( ¯) − ⎝ ( ¯) −

vi G

c G

 j  =i

⎞  ( ¯ )⎠ = n

v j G

n

¯ ) − c(G ¯) ≤ v j (G

 j =1



ˆ ) − c(G ˆ) vi (G

i=1

Vemos que el individuo i maximiza su utilidad cuando declara su verdadera funci´on de utilidad. Adem´as como el gobierno maximiza



vi (G) − c(G)

i

7

se producir´ a una cantidad eficiente del bien p´ ublico. Sin embargo, el mecanismo tiene el problema de que puede no cubrir ˆ es un puente que cuesta 1000. Imaginemos que gastos. Supongamos que G ˆ ) = 0, v2 (G ˆ) = la valoraciones de los 5 individuos de la sociedad son v1 (G ˆ ) = 100, v4 (G ˆ ) = 200, v5 (G ˆ ) = 300. En este caso T 1 = −100, T 2 = 500, v3 (G 400, T 3 = 0, T 4 = 100 T 5 = 200. T 1 < 0, lo que significa que el individuo 1 recibe un subsidio. Tambi´en, i T i = 600, que no es suficiente para pagar por el puente.



8