Mecanismo de Cuatro Barras. Análisis matemático por números complejos de posición, velocidad y aceleración angulares.

Mecanismo de cuatro barras Análisis matemático por números complejos Análisis de posición, velocidad y aceleración angular

Análisis matemático por números complejos

Cadenas cinematicas y mecanismos Los eslabones están interconectados en pares en puntos de contacto llamados juntas. Esa

INTRODUCCIÓN

parte de la superficie de los

El mecanismo de cuatro barras es la cadena cinemática cerrada más simple de eslabones unidos con un simple grado de libertad (después de unido un eslabón). Mecanismos más complejos pueden ser reinventados y mejorados por medio del uso de un mecanismo de cuatro barras que maneje algún o algunos otros. Debido a esta propiedad, y debido a la amplia variedad de movimientos los cuales pueden ser generados directamente por mecanismos de cuatro barras, ellos son a menudo encontrados en el corazón de máquinas y subsistemas tales como prensas, máquinas transportadoras, mecanismos de retornos rápidos, computadoras análogas y generadores de funciones.

eslabones la cual hace contacto

El estudio del mecanismo de cuatro barras está bien justificado no sólo debido a sus diferentes aplicaciones directas, sino también debido a que la mayoría de los problemas básicos encontrados en diversos mecanismos generales llegan a ser más simples y más entendibles en la aplicación del mecanismo de cuatro barras.

tiples, en general, ocurren en

con otro eslabón es llamada un elemento par. La combinación de dos de estos elementos constituye un par cinemático. Nótese la diferencia entre un par y una junta. Una junta conectando dos eslabones constituye un par simple. Pares do-

Mecanismo de cuatro barras

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bles, pares triples o pares múl-

juntas donde tres, cuatro o más eslabones están conectados.

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Análisis de posición

Mecanismo de cuatro barras

Figura 1. Mecanismo de cuatro barras Para el mecanismo de cuatro barras mostrado en la figura 1, sea a, b, c y d las literales que denoten las longitudes de los eslabones 1, 2, 3 y 4, respectivamente. El eslabón fijo a es considerado el eslabón 1. Los ángulos denotan la posición angular de los eslabones 2, 3 y 4, respectivamente, y son considerados positivos cuando se miden en el sentido contrario de las manecillas del reloj, como se muestra. La longitud de la diagonal desde A a D es denotada por s y el ángulo que ésta hace con la línea OD es indicado como . El eslabón 2 es considerado como el eslabón de entrada o manivela y su posición angular se asume que es conocida. Los ángulos Entonces

pueden ser encontrados como prosigue. Considere el triángulo OAD. √

(

)

Para el triángulo ABD,

(

)

(

Por observación de la configuración particular del mecanismo, los valores de

2 (

)

) y

son notables.

Análisis de velocidad Representemos los eslabones con vectores de posición ̅ ̅ ̅

̅

̅

̅

̅ . Entonces

̅

Expresando estos vectores en forma exponencial

̅ ̅ ̅ ̅ Por lo tanto

𝜔

𝑑𝜃 𝑑𝑡

𝜔

𝑑𝜃 𝑑𝑡

𝜔

𝑑𝜃 𝑑𝑡

Entonces (1) Las partes real e imaginaria de esta ecuación son

Este sistema de ecuaciones puede ser resuelto para

Mecanismo de cuatro barras

Si diferenciamos esta ecuación con respecto al tiempo y sea

como sigue:

Donde

Así, las velocidades angulares de los eslabones 3 y 4 pueden ser obtenidas conociendo la velocidad angular del eslabón 2.

3

Análisis de aceleración Ahora consideraremos las aceleraciones. Diferenciando la ecuación (1) con respecto al tiempo y sea 𝑑𝜔 𝑑𝑡

𝛼

𝛼

𝑑𝜔 𝑑𝑡

𝛼

𝑑𝜔 𝑑𝑡

Obtenemos (

)

(

)

(

)

Mecanismo de cuatro barras

Expandiendo esta ecuación en términos de sus partes real e imaginaria, obtenemos dos ecuaciones que pueden ser resueltas para . Haciendo esto y sustituyendo las ecuaciones de velocidad angular en el resultado obtenemos

4

Estas ecuaciones dan las aceleraciones angulares de los eslabones 3 y 4, respectivamente.

Bibliografía Martin, G. H. (1969). Kinematics and Dynamics of Machines (International Student Edition ed.). (S. U. Karl H. Vesper, Ed.) Tokyo, kogakusha, ltd.: McGraw-Hill.