Mecanismo de 4 barras como generador de funciones

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CELAYA Diseño de un mecanismo de cuatro barras como generador de funciones Ibarra y sus amigos Daniel Cruz Téllez Alan Emmanuel Ibarra Martínez Cristian Giovanni Ireta Roque Luis Fernando Briseño Cruz 14 de Diciembre de 2015

Abstract This work shows the process followed to obtain the dimensions of the links in a Four-Bar linkage used as a function generator. The described function by the Four-Bar linkage is the interval

16x62

and with the parameters

∆φ = 60◦

and

f (x) = log x

in

∆ψ = 60◦ .

Resumen Este trabajo muestra el proceso seguido para encontrar las dimensiones de los eslabones de un mecanismo de cuatro barras para ser utilizado como un generador de funciones. La función descrita por el mecanismo es y

◦

∆ψ = 60

f (x) = log x

en un intervalo

16x62

y con parámetros

∆φ = 60◦

.

1 Introducción

se puede diseñar un mecanismo de cuatro barras articuladas para generar una función que es ex-

Cuando se emplea un mecanismo de cuatro bar-

acta en un numero nito de puntos denominados

ras articuladas como generador de funciones el

puntos de precisión.

problema de síntesis consiste en encontrar las

2 Resumen: Introducción a la síntesis de mecanismos

dimensiones del mecanismo requerido para producir una relación funcional especica entre el ángulo de entrada

φ

y el ángulo de salida

ψ.

El

método utilizado en este trabajo fue desarrollado por Freudenstein

1

1 , mediante este método

Inicialmente el estudio de mecanismos implica el análisis de problemas bien dimensionados en los que se pretende analizar el movimiento generado

F. Freudenstein, "Approximate Synthesis of Four-Bar

como consecuencia de otro movimiento de en-

Linkages",Trans.

ASME, Journal of Engineering for Industry, 77(6), p.853.

trada dado al mecanismo, sin embargo también

1

2 que consiste en dibujar un

es posible determinar las dimensiones del mecan-

lada por Chebyshev

ismo a partir de un movimiento que se quiere

semicírculo dentro del cual se inscribe un polí-

que realice, a esto se le conoce como síntesis de

gono regular con el doble de lados que el número

mecanismos que, desde un punto de vista muy

de puntos de precisión a emplear, el inicio del

general, es como analizar el problema en sentido

semicírculo representa el inicio del intervalo den-

opuesto.

En la síntesis de mecanismos el prob-

tro del cual se trabajara. Al unir los vértices del

lema se divide en 3 partes: (a) el tipo de mecan-

polígono con el eje de las abscisas sobre el que

ismo a emplear, llamada parte de tipo, (b) el

se trabaja se encuentra el lugar en que se posi-

número de eslabones y conexiones que debe lle-

cionaran los puntos de precisión. La representa-

var el mecanismo, conocido como parte de nu-

cion graca de este metodo se puede observar el

mero de eslabones o parte numérica y (c) las

la gura 1 .

proporciones del mecanismo llamado síntesis de dimensiones. Dado que no existe mucha teoría referente al primer punto del problema, el diseñador se basa en su intuición y experiencia para de esta forma determinar el tipo de mecanismo a utilizar, por esto es que el diseñador debe estar familiarizado con los mecanismos y conocer su comportamiento. En ocasiones es posible diseñar un mecanismo que realice el movimiento deseado, sin embargo hay veces en las que solo es posible aproximar la función generada.

A la

diferencia entre la función generada y la que se

Figura 1: Diagrama para obtener puntos de pre-

pretendía obtener se le conoce como error estruc-

cisión

tural. A este error se le suma el error obtenido inevitablemente a la hora de la construcción física En general, los puntos de Chebyshev se pueden

del diseño al cual se le llama error mecánico.

calcular a partir de la siguiente ecuación:

Inicialmente los métodos de síntesis de mecanismos consistían predominantemente en métodos



grácos, probablemente debido a que era inicial-

aj =

mente un método meramente empírico, el cual ha evolucionado a métodos más racionales en la

π(j − 1/2) a − h cos n

 j = 1, 2, ..., n

Donde:

actualidad. Como se mencionó anteriormente, es

n =número

muy difícil crear un mecanismo que represente

de puntos de exactitud por determi-

nar

exactamente una función especíca, por lo que

aj =puntos de Chebyshev a =punto central de intervalo h =mitad del ancho del intervalo

se hace uso de los denominados puntos de precisión, que son aquellos puntos en que la función creada coincide exactamente con la función esperada. El error estructural mencionado ante-

Resenauer

riormente se puede denir de la siguiente manera:

plementar un

valor

3

desarrolló

un

método

mecanismos

de

cuatro

instantáneo

preciso

de

para

im-

barras

con

velocidad

y

aceleración angular.

ε = f (x) − g(x)

Si se representa el mecanismo de cuatro barras mediante vectores con longitudes En donde

f (x)

es la función deseada y

g(x)

es la

a, b, c,

y

d,

se les da un espaciamiento uniforme se obtiene

2 R.S Hartenberg y J. Denavit, Kinematic Synthesis of Linkages, McGraw Hill, Nueva York 3

un error desigual a lo largo de la función, para

hesis of Four-Bar Linkage, Aust.

uniformizarlo se hace uso de la teoría desarrol-

4 págs. 305-308, 1954.

función producida. Si a los puntos de precisión

N. Rosenauer, Complex Variable Method for Synt-

2

J. Appl. Sci.,vol 5, No.

considerando que el mecanismo de cuatro barras

que exista entre ellos, y estos se obtienen me-

forma un polígono cerrado se puede representar

diante el método de Chebyshev. Empleando el

a + b + c + d = 0.

método de Freudenstein el primer paso es deter-

mediante la suma vectorial

Φ y Ψ usando

Si es necesario es posible representar los vectores

minar la relación entre los ángulos

mediante números complejos, empleando la serie

el número de relaciones de lados. La suma de la

de Maclaurin de que el vector

r

ex

y de

senα

y

cosβ

componente

se obtiene

x

de las longitudes

igual a la longitud

que se puede representar de la

d,

a, b, c

debe ser

de donde se obtiene que:

siguiente manera:

R1 cos Φ − R2 cos Ψ + R3 = cos (Φ − Ψ)

r = reiα

En que las

Análogamente se realiza el proceso con los vec-

R

son las relaciones independientes

de los lados y desarrollando las ecuaciones obte-

tores del mecanismo y los ángulos que los descri-

nemos que:

ben, derivando las ecuaciones obtenidas se consiguen las expresiones que describen la velocidad y aceleración de cada vector.

R1 =

ω3 ω6 − ω4 ω5 ω2 ω3 − ω1 ω4

R2 =

ω1 ω6 − ω2 ω5 ω2 ω3 − ω1 ω4

Haciendo la suma vectorial de las expresiones mencionadas, resolviendo el sistema de ecuaciones y simplicando se obtiene la parte real e imaginaria de los vectores reales necesarios para

R3 = cos (Φi − Ψi ) + R2 cos Ψi − R1 cos Φi

construir el mecanismo. Si se hacen las siguientes consideraciones:

i = 1, 2, 3 a1 = ω4 ω3 (ω4 − ω3 )

a2 = ω4 α3 − ω3 α4

b1 = ω2 ω4 (ω2 − ω4 )

b2 = ω2 α4 − ω4 α2

c1 = ω2 ω3 (ω2 − ω3 )

c2 = ω2 α3 − ω3 α2

Las longitudes de los eslabones se pueden deter-

d1 = c1 − a1 − b1

minar mediante las ecuaciones:

d2 = c2 − a2 − b2

R1 =

d c

R1 =

d a

Entonces los vectores son :

a = a1 + a2 i R3 =

b = b1 + b2 i c = c1 + c2 i

a2 − b2 + c2 + d2 2ac

3 Desarrollo de programa

d = d1 + d2 i En donde mediante el teorema de Pitágoras se

El programa computacional generado para el

puede obtener nalmente la longitud de los vec-

propósito de este trabajo fue desarrollado utili-

tores buscados.

zando el procesador geométrico GeoGebra. Las

Si lo que se desea es construir un mecanismo que

características del applet

genere una función especíca

y = f (x)

en un in-

de obtener las longitudes de los eslabones

tervalo indicado mientras el eslabón de entrada

a, b, c

del mecanismo de cuatro barras, que muestra una

φn y el eslabón ψn existen 7 va-

representación geométrica del mecanismo en su

riables a considerar a la hora de diseñar el meca-

ca de su trayectoria, la vista nal de la ventana

nismo.

de usuario se puede apreciar en la gura 2.

se mueve entre los limites acoplador entre los limites

φ1 ψ1

4 son que este es capaz

y y

posición inicial, asi como una simulación dinámi-

La función creada diere de la ideal entre los pun-

4

tos de precisión seleccionados según la distancia

3

Aplicación desarrollada en GeoGebra

La parte de la interfaz gráca se realizo ligando variables del entorno CAS con puntos, ángulos y segmentos de recta en el entorno gráco. Debido a que los entornos CAS y gráco están ligados en GeoGebra, en cuanto el usuario cambia algún parámetro de entrada la representación gráca del mecanismo generador de funciones cambia instantáneamente, incluso si se encuentra en modo de simulación dinámica. Utilizando la simulación dinámica se puede también determinar cuando se presentaran posiciones limite o puntos muer-

Figura 2: Ventana de usuario

tos en el mecanismo.

4 Ejecución del programa

El programa tiene como parámetros de entrada

Xs , Xf , φ, ψ , ∆φ, ∆ψ

y

d, los cuales se ingresan El usuario ingresa los siguiente parámetros:

en casillas. A su vez la ventana de usuario también incluye un deslizador para poder ajustar

φ

en el modo de simulación y diversos botones para iniciar o detener la simulación y para mostrar

• Xs ,

limite inferior del intervalo de

• Xf ,

limite superior del intervalo de

x x

la posición inicial del mecanismo. El proceso de programación de esta applet consistió en parametrizar las ecuaciones desarrolladas en el metodo de Freudenstein en el entorno CAS incluido en GeoGebra. Se muestra una vista del entorno

• φ,

angulo inicial eslabón

a

• ψ,

angulo inicial eslabón

c

• ∆φ,

aumento angular del angulo

φ

• ∆ψ ,

aumento angular del angulo

ψ

CAS en la gura 3.

• d,

longitud eslabon

d

(jo)

En esta corrida se asignan los siguientes valores:

• Xs = 1 • Xf = 2 • φ = 90◦ • ψ = 60◦ • ∆φ = 60◦ • ∆ψ = 60◦ • d = 15in En la gura 4 se muestra la ventana de usuario, en el lado superior izquierdo se pueden observar los resultados de las longitudes de los eslabones

a, b, c.

En la parte inferior de la gura 4 se pue-

den muestran los angulos correspondiente a los Figura 3: Entorno CAS del applet

puntos de precisión. En la gura 5 se muestra el resultado de la vista graca.

4

5 Conclusiones 5.1

Daniel Cruz Téllez

En suma, se concluye que a pesar de parecer simples los problemas con los que trata la síntesis de mecanismos, los métodos para resolverlos no lo son tanto. Muestra de esto es el diseño de este generador de funciones, que nos demuestra como se puede realizar mecánicamente procesos y operaciones que sin la ayuda de calculadoras electronicas o tablas seria muy difícil, como el computo de una función logarítmica o trigonométrica. Cabe mencionar que a pesar de haber realizado la simulación de manera computadoriza, las medidas angulares de

ψ

en la simulación tienen

un error de aproximadamente

+0,18◦ , a pesar de

haberse utilizado para las comprobaciones hasta 10 cifras signicativas. La causa de este error es desconocida.

5.2

Alan Emmanuel Ibarra Martínez

Se pudo observar que la síntesis de mecanismo empezó empleando técnicas casi empíricas, parFigura 4: Ventana de usuario

tiendo de métodos principalmente grácos, hasta el desarrollo de métodos como el de Freudenstein o de Resenauer. Estos métodos fueron posibles

Para los parametros seleccionados anterior-

en parte gracias al trasfondo matemático, como

mente los resultados fueron:

•

Lado

a = 5,08009in

•

Lado

b = 12,85402in

•

Lado

c = 4,43475in

el desarrollado por Chebyshev. En este trabajo, utilizamos el metodo de Freudenstein, que es un método analítico y a pesar de ser un poco mas sosticado que los métodos grácos, solo es posible determinar un numero nito de puntos de precision, que mientras mas son, mas complicado el calculo se vuelve y el conjunto de soluciones se va haciendo mas pequeño, haciendo mas difícil conseguir una solución para un mecanismo especico.

5.3

Cristian Giovanni Ireta Roque

Con este proyecto se notó una de las aplicaciones que tiene el estudio de mecanismos. La síntesis de mecanismos nos ayuda a crear mecanismos que puedan desenvolverse de una forma especíca a partir de ciertos parametros que son fáciles de determinar y obtener así una forma de traFigura 5: Resultado en vista gráca

zar un movimiento de manera sencilla y llegando incluso a controlar velocidad y/o aceleración de-

5

pendiendo del método elegido para la síntesis del mecanismo.

5.4

Luis Fernando Briseño Cruz

El desarrollo de este proyecto nos mostró la complejidad y admirable ingenio que conlleva él diseño de un generador de funciones. Es también destacable el avance que signicó la concepción de tales mecanismos en un tiempo en el que la electrónica aun no tenía la capacidad de hacerlo y era sólo por medios mecánicos que se podía pensar en máquinas de cálculo. Con el nuevo conocimiento adquirido se hace posible crear sistemas que actúen de cierta forma, de manera tal que satisfagan las necesidades que conlleve la creación de algún proyecto de mayor envergadura en el futuro.

6 Bibliograa Mabie,

H.,

Reinholtz,

C.

y dinamica de maquinaria

(1998) (2a.

Mecanismos

ed.), México

D.F.:Limusa, Noriega Editores.

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