Mecanismes Exercices

Sciences Industrielles TD 1 - Enoncé

Cinématique chaînes fermées

MELANGEUR 1.

Description Le mécanisme dont le schéma cinématique est donné ci-dessous représente un mélangeur. Un moto-réducteur non représenté entraîne en rotation uniforme autour de l’axe (A, y 0 ) !

l’arbre d’entrée 1. Le déplacement de l’axe de transmission 3, ainsi produit, permet la rotation alternative de l’arbre récepteur 4 autour de l’axe (C, z 0 ) . !

2.

Dessin technique en coupe du mélangeur

B

2

1

3

4

A C

La pièce 2 est une sphère.

Page 1

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3.

Cinématique chaînes fermées

Repères associés aux solides  B0 = R0 =( A; x0; y0; z 0)  lié au bâti 0 !

!

!

 B1 = R1 =( A; x1; y1; z 1)  lié à l’arbre d’entrée 1 !

!

!

 B2 = R2 =( B; x2; y2; z 2)  lié à l’axe de transmission 3 !

!

!

 B3 = R3 =( B; x3; y3; z 3)  lié à la sphère 2 !

!

!

 B4 = R4 =(C ; x4; y4; z 4)  lié à l’arbre de sortie 4 !

4.

!

!

Paramétrage

L a gé omé trie :  AB=l  z 1 CB=λ  z 3  AC =h y0 L a position angul air e des repè res les uns par rapport aux autr es. !

!

!

z4

x1 x 0

y0

z3

y0=y1

5.

z0

x0

y4

z1

Θ01

y4

Θ34 x3=x4

θ40

y3

z4=z0

x4

Torseurs cinématiques associés aux liaisons Li/j

{V

(Si / S j )}A

 p ij  = q ij  r   ij

u ij 



v ij  w ij  

A

 Ω(Si / S j ) = p ij x + q ij y + r ij z  avec  V(A, S / S ) = u x + v y + w z i  j ij ij ij  !

!

!

!

!

!

6.

!

!

TRAVAIL DEMANDE

Question 1 : Tr acer le graphe du mé cani sme en i ndi quant les li aisons Question 2 : Tracer le sché ma ci né matique du mé langeur en perspecti ve isomé tr ique et placer sur ce sché ma l es diffé rents r epères R0, R1,R2, R3 et R4. Question 3 :

Dé term iner l e tor seur é qui valent àl’ associati on des liaisons L perspecti ve isomé tr ique le sché ma ci né mati que mi nimal.

Question 4 :

Ecr ire la fer meture gé omé tr ique du mé can isme. Quel est le par amètr e d' entré e et quels sont les par amètr es de sor ti e ?

Question 5 :

Calcul er tan θ 40 , λ et cos θ 34  en fonction de tous les paramètr es utiles et notamment l, h et θ 01 .

Questi on 6 :

Ecrire la f ermetur e ciné matique du mé cani sme au point C dans l a base B 0 = (x 0 ; y 0 ; z 0 ) . !

Questi on 7 : Questi on 8 : Page 2

!

12  et

L 23 , et tr acer en

!

Quell e est la mobilitédu mé canisme ? Dé termi ner la relation entr é e-sorti e soit par amètr es uti les.

r 40  en fonction de q 10  et de tous les

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Ciné matique chaînes fermé es

Questi on 1 : Tr acer le graphe du mé cani sme en indi quant les liaisons

L 01

Nom de la l iai son Pivot d’axe (A, y 0 )

L 21

Rotule de centre B

L 32 L 40

Pivot glissant d’axe ( B, z 2 ) Pivot d’axe ( C, z 4 )

L 34

Pivot d’axe ( C, x 4 )

Liaison

!

!

!

!

Qu estion 2 : Tracer le sché ma ciné matique du mé langeur en perspecti ve isomé tr ique et pl acer sur ce sché ma l es di ffé rents repè res R0, R1,R2, R3 et R4. z1 z0 z2

x4

z04

θ04

S2

B

y01

S3 θ01 C

S1

x0

S4 A

S0

S0

Questi on 3 : Dé termi ner l e tor seur é quivalent àl’ associati on des liaisons L 12 et L 23 La liaison équivalente à l'association en série des deux liaisons L 21 et L 32 est une liaison linéaire annulaire d’axe (B, z 2 ) . !

Sché ma ci né matique mi nimal :

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Ciné matique chaînes fermé es z1 z0

z04

z2 BA  

S3 C

θ01

S1 S4 A

S0

S0

Questi on 4 : Ecrire la f ermeture gé omé tr ique du mé canisme. Quel est le par amètr e d' entré e et quels sont les paramètr es de sor ti e ?

 AB + BC + CA = 0    lz1 − λz 3 − hy 0 = 0 !

(1)

!

!

!

!

Projection de (1) sur B 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) , on obtient : !

!

!

l sin θ 01 − λ sin θ 34 sin θ 40 = 0  − −λ θ  h sin 34 cos θ 40 = 0  l cos θ − λ cos θ = 0 01 34  Question 5 : Calcul er tan θ 40 , λ et cos θ 34  en f onction de tous les paramè tr es uti les et notamment l, h et θ 01 . tgθ 40

=−

λ= cos θ 34 =

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l h

sin θ 01

l2 + h 2 l l

2

+h

2

cos θ 01

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Ciné matique chaînes fermé es

Questi on 6 : Ecr ire la fermeture ciné mati que du mé cani sme au point C dans la base B0 = (x 0 ; y 0 ; z 0 ) . !

!

!

0 {V (S1 / S0 )}= q10 0 

0

 0 {V 0  C, B 0

 p 43 {V (S 4 / S3 )}=  0 0 

{V

(S1 / S 0 )}C

+ {V

 p 31  (S3 / S1 )}= q 31  r   31

0

 0 {V 0  C, B 4

(S3 / S1 )}C

+ {V

  0  w 31   B, B3 0

0  (S 4 / S 0 )}=  0 r   40

(S 4 / S 3 )}C

− {V

0

 0  C, B 4 0

(S 4 / S 0 )}C

= {0}

 Ω(S1 / S 0 ) + Ω(S3 / S1 ) + Ω(S 4 / S 3 ) − Ω(S 4 / S 0 ) = 0   V(C, S / S ) + V(C, S / S ) + V(C, S / S ) − V(C, S / S ) = 0 1 0 3 1 4 3 4 0  !

!

!

!

!

!

!

!

(3)

!

!

(4)

Le calcul de V(C, S3 / S1 ) = V(B, S 3 / S1 ) + CB ∧ Ω(S 3 / S1 )  donne : !

!

!

α 31 − λβ 31 V(C, S3 / S1 ) = w 31z 3 + 0 ∧ β 31 = λα 31 λ γ 31 w 31 R  0

!

!

3

Projections de (3) et (4) sur B 4 = ( x 4 , y 4 , z 4 ) !

!

!

(1)

−q10 sinθ 40+

( 2)

q10 cosθ 40 + q31cosθ 34 + r 31sinθ 34

( 3)

 p31

+ p43=0 =0

−q31sinθ 34 +r 31cosθ 34− r 40 =0 −λ q31

( 4)

=0

(5)

w31sinθ 34 +λ  p31cosθ 34

=0

( 6)

w31 cosθ 34 −λ  p31sinθ 34

=0

Questi on 7 : Quell e est la mobilitédu mé canisme ?

Les inconnues cinématiques sont :  p 31 , q 31 , r 31 , w 31 , r 40 , q 10 et p 43  soit  N c = 7 . Le rang cinématique r c = 6 . La mobilité du mécanisme vaut donc : m = N c

− r c = 1

Questi on 8 : Dé termi ner l a relation entr é e-sortie soit r 40  en f onction de q 10  et de tous les par amètr es uti les.

Page 3

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Ciné matique chaînes fermé es

q 31

= =

r 31

= − q 10

w 31  p 43

= =

r 40

=

 p 31

Page 4

0 0 cos θ 40 sin θ 34 0

q 10 sin θ 40 cos θ 40 − q 10 tgθ 34

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