Mecanique Et Rdm - Exercices Tome 1

Royaume du Maroc Office de la Formation Professionnelle et de la Promotion du Travail - OFPPT Europeaid / 1130017 / D / SV / MA

Mission d'Assistance Technique au secteur "Bâtiment-Travaux Publics"

OP 2 – PERFECTIONNEMENT DE FORMATEURS MECANIQUE ET RDM EXERCICES TOME 1

Société Française d'Exportation des Ressources Éducatives

OP 2 – Perfectionnement de formateurs

Mécanique & RDM Exercices Tome 1

SOMMAIRE

1.

R.D.M

3

1.1. ETUDE D'UNE FACADE

3

1.2. ETUDE D’UN CONTREVENTEMENT

11

1.3. FERME METALLIQUE d’une usine d’équipements automobiles

17

1.4. ETUDE D'UN BALCON PREFA

22

1.5. ABRI pour velo et auto

32

1.6. COUVERTURE

39

1.7. Levage d’un pieu

47

1.8. NVM

53

1.9. PLANCHER DE MAGASIN

55

1.10. PLANCHER INDUSTRIEL

63

1.11. POSTE D’AIGUILLAGE

71

- Déterminer la section globale de l’ensemble des tirants sachant que l’acier utilisé est du FeE 240 est qu’on minore la contrainte admissible dans un rapport de 2/3. 73 - Etablir le schéma mécanique d’une des poutres porteuses du plancher-terrasse (au droit de P5).

73

- En déduire la valeur des moments maxi sur appui et en travée si :

73

- Faire le schéma mécanique complet de CD :

73

- En déduire le moment d’encastrement en C sous sollicitations de service.

73

On donne :

73

1.12. Viaduc routier

81

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1. R.D.M

1.1.

ETUDE D'UNE FACADE

L'immeuble schématisé ci-dessous est clos au rez de chaussée comme indiqué au détail A Eléments porteurs : portiques ABCD espacés de 4 m, en acier (σe = 240 MPa), articulés en A, appuyés simplement en C dans un logement ménagé dans les poutres en béton du plancher du premier étage. En B la poutre BD est fixée rigidement sur AC. Fermeture : - vitre fixée sur BC - vitre suspendue en D et guidée en E dans un profil en U. - couverture sur BD Charges : - Vent : v = 5 kN/m (pondéré) - Vitre suspendue : poids = 7,5 kN (pondéré d'un coefficient de 4/3) - Charge permanente g = poids propre de la toiture : 0.75 kN/m² (non pondérée). - Charge d'exploitation q = charge de service : 1 kN/m² (non pondérée). - Pondération pour g et q et égal à 4/3 g + 3/2 q. - Le poids de tous les autres éléments est négligé.

TRAVAIL DEMANDE

C

4.00

Vitrage

B

Vitre suspendue

D

5.00

3.00

A

E

Détail A SFERE - OFPPT

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action du vent : v

Couverture

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I/ ETUDE STATIQUE (sous charges pondérées) 1/ Etablir le schéma mécanique de la galerie en justifiant le type de liaison choisi en A B C D E. 2/ Déterminer les actions de contact qui s'exercent en A B C D E . II/ ETUDE DE BD 3/ Tracer les diagrammes de N(x), V(x) et de M(x) le long de la poutre BD, sous charges pondérées. 4/ Donner l’équation de la flèche en fonction de p, F, l, E, I pour le cas ci-dessous

F p B

D

l

4/ En déduire l’expression de la flèche maxi de BD 5/ Déterminer le HEA nécessaire et suffisant pour que sa flèche n'excède pas 5 mm en prenant l = 3 m, p = 7 kN/ml et F = 7.5 kN. III/ ETUDE DE LA POUTRE AC. En admettant le schéma mécanique de AC donné ci-dessous F C(x) ( 15 kN)

F B(y) ( 12.5 kN) F B (x) ( 37.5 kN)

F A (x) ( 37.5 kN) FA (y) ( 17.5 kN)

M (B) ( 67.5 kN.m) 5.00

p ( 5 kN/m) 4.00

6/ Tracer les diagrammes de N(x), V(x) et de M(x) le long de la poutre AC. 7/ Choisir le profilé HEA nécessaire pour satisfaire la condition de résistance en flexion simple (néglige N(x)). 8/ Tracer le diagramme des contraintes normales sur la section la plus sollicitée, sans négliger cette fois N(x), et en admettant que la poutre AC est un HEA 240. 9/ Déterminer la contrainte de cisaillement longitudinale maxi. 10/ Faire le croquis de la liaison de BD avec AC.

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1.2.

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ETUDE D’UN CONTREVENTEMENT

I/ BUT Un contreventement est un système qui permet d’assurer la stabilité des bâtiments sous l’effet d’efforts horizontaux (ex : vent). L’étude portera ici sur le cas d’un hangar métallique. I/ PRESENTATION On suppose que le vent (v = 0.65 kN/m²) souffle sur le bardage du pignon et que les liaisons A, B, C, D sont des articulations parfaites.

C

1

4

P

D O A 16

1.1.1.a.

Schéma mécani

B

22 C

10

11 33

4

D

A 8 8

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3/ QUESTIONS 1/ Déterminer l'action V du vent agissant en B sachant que chaque point (O, A, B, P) reprent 1/4 de la surface. 2/ Montrer que l'appui D, peut être considéré comme un appui simple. 3/ En déduire les composantes des actions mécaniques en A et D. 4/ En isolant le noeud B, puis le noeud A, déterminez les efforts dans les barres 1, 2, 3. 5/ Déterminer par la méthode de Ritter.la force et la nature (tracton ou compression) dans la barre 3. L'élément 3 étant Constitué d' un fer plat d'épaisseur e. 6/ Déterminer les dimensions de cette barre travaillant en traction, compte tenu des trous d'assemblage, avec : Assemblage par boulons de φ 16 (trous de 18 mm dans le plat) N = 50 kN σ = 240 MPa Rapport de 1/10 entre l'épaisseur et la largeur du fer plat. L'épaisseur sera arrondie au demi-millimètre prés 7/ Donner le nombre de boulons nécessaires pour l'assemblage. 8/ Donner le raccourcissement du poteau 4, avec : N = 40 KN E = 2,1.105 MPa S IPE 200 = 28.5 cm2

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1.3.

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FERME METALLIQUE D’UNE USINE D’EQUIPEMENTS AUTOMOBILES

OSSATURE * Poteaux HEA implantés suivant une trame de 20.40 x 20.00m. * Les barres des fermes sont en cornières assemblées dos à dos . Assemblage par boulons en acier FeE 240 * Les portiques sont articulés en pieds et les poteaux sont encastrés sur les fermes

HABILLAGE * Façades du type rideau : parement extérieur en tôle d’aluminium laqué, parement intérieur en tôle d’acier galvanisée nervurée, isolation par 65 mm de laine de minérale. * Couverture en terre cuite armée cellulaire avec isolation polystyrène, étanchéité multicouche. Eclairage naturel par lanterneaux.

ACTIONS MECANIQUES ( sur la ferme) * Poids de la couverture agissant par l’intermédiaire de pannes sur les nœuds d’assemblage des barres constituant la ferme : 4 kN/m² * Charge de service : 0.5 kN/m² * Le poids propre de la ferme ne sera pas pris en considération.

HYPOTHESES L’assemblage des cornières par goussets et boulons permet d’assimiler chaque nœud d’assemblage à une articulation.

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ETUDE 1/ Proposer un schéma mécanique de la ferme pour l’étude sous les charges données ( On ne pondérera pas les charges) 2/ Déterminer l’effort dans la barre D-E ( barre la plus sollicitée) 3/ Les mêmes cornières sont utilisées pour toute la ferme, quel type de cornière à ailes égales convient ? 4/ Vérifier la cornière choisi précédemment compte tenu des trous d’assemblage. 5/ Déterminer le nombre de boulons nécessaires pour l'assemblage de la barre D-E si : - jeu de 2 mm (φ trou = φ boulon + 2mm) - boulons sur une seule file

File de boulons

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1.4.

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ETUDE D'UN BALCON PREFA

PRESENTATION Tous les appartements d’un immeuble construit à l’aide d’éléments préfabriqués, possèdent un balcon en façade. Celui-ci est également réalisé à partir d’éléments préfabriqués Le balcon 1 repose sur deux poutres 2 et 2’ qui sont simplement appuyées sur deux consoles 3 et 3’ encastrées dans les panneaux de façade (figure 1).

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Les différents éléments ( balcons, poutres, consoles ) sont définis en grandeur et position sur les figures 2 et 3.

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QUESTIONS 1/ Etude des actions sur 2 et 2’ a) Déterminer les coordonnées du centre de gravité d’une section droite du balcon (élément 1). On définira avec précision le repère choisi pour effectuer les calculs. b) Déterminer les actions exercées par l’élément 1 sur les poutres 2 et 2’ en considérant uniquement le poids propre de 1 m de balcon.

Hypothèse : nous admettrons une répartition uniforme des pressions du balcon 1 sur les poutres 2 et 2’.

1 38

70

2

2’

A

B

c) le balcon peut revoir une charge d’exploitation de 3.5 kN/m². Déterminer le taux de charge q (N/ml) du schéma mécanique ci-dessous en ne considérant qu’un métre de bacon. En déduire l’action exercée par l’élément 1 sur un mètre de poutre 2 et 2’ en considérant uniquement la charge d’exploitation.

38

12

70

1

q kN/m 2

2’

A

B

d) Déduire des deux questions précédentes les actions résultantes exercées par l’élément 1 sur les poutres 2 et 2’. 2/ Etude de la poutre 2 Nous adopterons pour cette étude le schéma mécanique suivant : 2.50 9.62 kN/m 2.12 kN/m 35

3

5.00

3

15

a) Déterminer les actions exercées par les consoles 3 et 3’ sur la poutre 2. b) Tracer les diagrammes de l’effort tranchant et du moment fléchissant le long de la poutre 2. (vous préciserez les valeurs particulières).

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3/ Etude de la poutre 3 La poutre 3 est une poutre encastrée dans le panneau de façade. Elle supporte les poutres 2 et 2’. Le schéma de calcul est le suivant : 38

22

70

F (13.96 kN)

F (20.22 kN)

q (2 kN/m)

a) Tracer les diagrammes de l’effort tranchant et du moment fléchissant le long de la poutre 3 (vous préciserez les valeurs particulières).

4/ Etude de la dalle du bacon 1. L’étude se fera sur un tronçon de 1ml de balcon. Compte tenu des efforts pouvant s’exercer sur le garde corps et sur la dalle on donne le schéma mécanique suivant du balcon. NOTA .P.V du B.A. = 25 kN/m3 P = poids du garde corps

F (1 kN)

38

1

12

70

6

q1 (6.5kN/m)

P q2 (3 kN/m)

O

A

2’

2

B

P

a) Etablir le schéma mécanique de l’élément OP ( pour simplifier on admettra que le garde corps est droit et d’épaisseur 12 cm ) b) Tracer les diagrammes de l’effort tranchant et du moment fléchissant le long de la dalle O.P. (vous préciserez les valeurs particulières).

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1.5.

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ABRI POUR VELO ET AUTO

L'étude proposée est un abri pour vélo et auto situé dans un lycée. Sa structure est constituée de portiques métalliques (tous les 2 m) :σe = 240 MPa Les charges sur la structure sont :

- Charge permanente = poids propre de la toiture : 0.5 kN/m² (horizontal) - Charge d'exploitation = charge de service : 1 kN/m² (horizontal). SFERE - OFPPT

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Pour simplifier on prendra le même coefficient de pondération pour g et q et égal à 1.5. Les pannes sont en tube carré de 45 x 45 x 2.7(ép)

TRAVAIL DEMANDE I/ ETUDE DU POTEAU BD 1/ Tracer l'allure des diagrammes de N(x), V(x), M(x) du poteau BD, en précisant les valeurs particulières sous charges pondérées. 2/ Tracer le diagramme de Navier sous charges pondérées de la section située à 1,50 m de D ( Indiquer les valeurs et le type (Comp. ou Tract.) des contraintes extrêmes). II/ ETUDE DE LA POUTRE AB. 1/ Montrer que F7 est bien égale à 3 kN 2/ Etablir le schéma mécanique de la poutre AB, et en déduire les actions mécaniques de contacts en B 3/ Tracer les diagrammes de N(x), V(x) et de M(x) le long de AB, sous charges pondérées 4/ Déterminer sous charges pondérées la hauteur nécessaire h1 minimale de la poutre ABC (Vous négligerez le plus petit terme de l'équation obtenue). Attention h1 >> 1. 5/ Vérifier la section pour h1 = 20 cm en traçant le diagramme de Navier sur la section la plus sollicitée. 6/ Vérifier également ce profilé à l'effort tranchant ( τ = 65% σe) sous charges pondérées. III/ ETUDE DE BC 1/ Déterminer les actions en B amenées par la poutre BC (sous charges pondérées) IV/ RESULTATS 1/ Tracer les diagrammes de N(x), V(x) et de M(x) sur l'ensemble de la structure.

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1.6.

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COUVERTURE

ETUDE DE LA STRUCTURE DE LA COUVERTURE Il s'agit d’une toiture terrasse ( voir figure 4 ), d’un bâtiment défini fig 1 et 2. L'ètanchèitè repose sur des panneaux de particules (épaisseur 5 cm ) en appui sur des solivettes ( nommées gittage sur le plan) de 5 cm x 24 cm, entraxe 36 cm. Elles transmettent leur charge à des poutres en acier distantes l’une de l’autre de 2,25 m. Ces poutres en acier FeE 240 sont en liaison avec les éléments porteurs (voir fig. 3) .

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1/ ETUDE DE LA POUTRE I SUR DEUX APPUIS.

p1 = 300 daN/m p2 = 170 daN/m

Sous l'effet des charges verticales données ci-dessus (cas le plus défavorable pour la stabilité ). 1) Déterminer les actions en B et C 2) Tracer les diagrammes d'effort tranchant et de moment fléchissant, avec RC = 8,7 daN et RB = 2416,8 daN 3) Choisir le profilè I.P.E nécessaire et suffisant.

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2/ ETUDE DE LA POUTRE I SUR 3 APPUIS La flèche à l'extrémité de la poutre sur deux appuis (cas étudié précédemment ) étant supérieure à la flèche admissible. On est amené à créer un troisième appui au niveau de la baie de la façade Est. Il sera constitué d'une poutre en B.A en appui sur les trumeaux encadrant la baie. le cas de charge ci-dessous sur la poutre hyperstatique donne les valeurs maximales aux appuis A et C

RA = 1990 daN RB = 2960 daN RC = 2575 daN

Par contre le cas de charges ci dessous provoque les valeurs maximales pour V(x) et M(x).

p1 = 700 daN/m p2 =170daN/m RA = 956 daN RB = 3404 daN RC = 1628 daN

1) Tracer les diagrammes de V(x) et M(x) pour ce dernier cas de charge. 2) Choisir le profilé I.P.E nécessaire et suffisant pour satisfaire la condition de résistance. 3) Si la valeur maximale du moment fléchissant est de 1417 daN.m, vérifier que la contrainte normale reste inférieur à 240 Mpa pour les I.P.E 240 choisis finalement. Tracer les diagrammes des contraintes normales sur la section la plus sollicitée 4) Pour un effort tranchant maximal de 1908.5 daN, vérifier que la contrainte de cisaillement reste inférieure à 120 Mpa.

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1.7.

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LEVAGE D’UN PIEU

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1.8.

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NVM

Exercice 1 : Etude de la panne faîtière d’une charpente traditionnelle (extrait BAC STI GC)

Schéma mécanique proposé :

1.1 largeur de couverture et de neige reprise par la panne faîtière . a) calculez la largeur de couverture(a) reprise par la panne faîtière. b) Calculez la largeur de neige (b) reprise par la panne faîtière , sachant que la surcharge climatique de neige est donnée par m² horizontal. 1.2 détermination du taux de charge (p) appliqué à la panne faîtière a) calculez le taux pondéré, de charge uniformément réparti p en N/m à l’aide des indications données ci-dessous : Charges permanentes G : -tuiles plates : 750 N/m² de couverture -liteaux + chevrons :165 N/m² de couverture -poids propre de la panne :110N/m

Charge climatique de neige Sn : 450N/m² horizontal Pondération des charges : p = 1.1G + 1.5 Sn 1.3 Calcul des réactions d’appuis en A et B Prendre p = 2897 N/m 1.4 Calcul des sollicitations le long de la panne faîtière a) Ecrire les équations des sollicitations le long de la panne. b) Tracez les diagrammes des sollicitations. c) Précisez les valeurs nécessaires au dimensionnement de la panne.

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Exercice 2 : Etude d’un balcon en béton armé (BAC STI GC 2002) L’action de la verrière et de l’acrotère sur le balcon est représentée par la charge ponctuelle F, appliquée en A. Le balcon est étudié sur une bande de 1m de long.

1.justifiez le schéma mécanique adopté.

2. calculez l’action de liaison en B, prendre Pu=13KN/m3 et Fu=1.5KN. 3. Ecrivez les équations des sollicitations de l’effort tranchant V(x) et du moment fléchissant M(x) le long du balcon. 4. tracez les diagrammes V(x) et M(x) et précisez les valeurs maxi.

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1.9.

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PLANCHER DE MAGASIN

PRESENTATION L'ossature d'un plancher de magasin est constituée de solives en bois supportées par 2 poutres en B.A préfabriquée. Ces dernières reposent sur 2 murs en béton à leurs extrémités. L'escalier d'accès est constitué de marches en console solidaires du mur en béton.

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DONNEES - Poids volumique du B.A. = 25 kN/m3 - Poids volumique du bois des solives = 8 kN/m3. - La fissuration pour les éléments en B.A. est jugée peu préjudiciable. - Acier pour B.A. en Fe E 500 en barre de 12 m de longueur maxi. - fc28 du béton = 25 MPa

I/ ETUDE D'UNE SOLIVE EN BOIS 1/ Justifier le schéma mécanique d'une solive courante donné ci-dessous,sachant que les charges (sans le poids propre de la solive) et surcharges du plancher sont évaluées à 4,6 kN/m². p =2.5 kN/m

B

A 4.50

E 1.50

2/ Construire les diagrammes de V(x) et M(x) le long de la solive. Préciser les valeurs particulières. 3/ Le moment maximal étant de 5 kN.m, établir le diagramme des contraintes normales sur la section la plus sollicitée. 4/ Calculer la contrainte maximale de cisaillement longitudinale dans la solive, si Vmax = 6.5 kN.

II/ ETUDE D'UNE MARCHE D'ESCALIER 1ère solution : Marche en tôle pliée soudée sur un limon solidaire du mur On néglige le poids propre de la marche et on suppose qu'elle supporte une charge statique de 5,5 kN à 0.20 m de son extrémité ( cette charge est élevée car on tient compte de l'effet dynamique dû à une personne qui monte ou descend l'escalier avec ardeur).

1/ Faire le schéma mécanique permettant l'étude de la marche et de calculer les actions du limon sur la marche en D. 2/ Donner l'allure des graphes de V(x) et de M(x) le long de la marche. Préciser les valeurs particulières.

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3/ La section droite en D est donnée par la fig 1. Déterminer la position de l'axe neutre puis le moment quadratique I/Gz et le moment statique μ/Gz. 4/ En déduire la contrainte de cisaillement longitudinale maximale pour la section D 5/ Calculer les contraintes normales maximales dans cette section et tracer le diagramme des contraintes. On prendra M(x) en D égal à 6,6 kN.m.

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1.10.

Mécanique & RDM Exercices Tome 1

PLANCHER INDUSTRIEL

1/ PRESENTATION La structure métallique défini ci-dessous supporte un réservoir d'engrais liquide qui s'appuie en 4 points (a, b, c, d), ainsi qu'un plancher collaborant servant de zone de travail (zone A E F D) L'ensemble s'appuyant sur 4 poteaux situés en A B C D

PLAN DE POUTRAISON

COMPOSITION DU PLANCHER 4 solives I.P.E 200 supportant le plancher collaborant ( pp:224 N/ml) Poutre EF supportant les solives et le réservoir en a (I.P.E R 600 ; pp :1440 N/ml) Poutre AD et BC IPE 6OO Poutre AB et CD : Les charge que doivent supporter ces 2 poutres étant très importantes, aucun profilé du commerce ne convient . On a donc été amené à réaliser un profilé ( par soudure ) dont le schéma est le suivant :

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Zone A E F D : Plancher collaborant reposant sur les solives et sur une partie des poutres AB et DC

Réservoir : Poids propre = 100 kN Charge d'exploitation = 700 kN

2/ QUESTIONS a/ Déterminer la charge total/ml à prendre en compte pour le calcul d'une solive b/ Donner le moment fléchissant maxi sur la solive. c/ Vérifier que l' I.P.E 200 convient (σ = 240 MPa) d/ Etablir le schéma mécanique de la poutre EF en précisant les valeurs et les positions de toutes les charges qu'elle doit supporter (y compris pp) e/ Donner l'extremum de M(x) sur la poutre EF f/ Déterminer l'I.P.E qui convient pour la poutre BC (σ = 240 MPa) On donne le schéma mécanique de la poutre AB

f/ Déterminer les équations de V(x) et M(x) le long de AB g/ Tracer les graphes correspondants en précisant les valeurs particulières. h/ Tracer le diagramme de Navier sur la section la plus sollicitée i/ Calculer la contrainte maxi de cisaillement longitudinale.

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1.11.

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POSTE D’AIGUILLAGE

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PRESENTATION DE L’ETUDE La station de contrôle et d’aiguillage ( de 15 m de long) représentée à la figure 1, est constituée ( en ce qui concerne les éléments porteurs ) de 2 portiques ABCD espacés de 9.00 m et supportant chacun : -

Sur CD, les poutres porteuses du plancher-terrasse (au droit de P4 et P5) Une poutre DEG, articulée en B sur le portique et maintenue par un tirant DE en acier. Cette poutre supportant les poutres du plancher inférieur (au droit de P1, P2, P3 ).

REMARQUE : Pour l’étude des éléments métalliques, les charges ne sont pas pondérées mais la contrainte limite des aciers est minorée (cf. questions), alors que l’étude B.A sera réalisée suivant le règlement en vigueur (BAEL 91).

DONNEES (CHARGES) ⇒ Ce qui donne ( charges non pondérées)

Terrasse : Neige : 0.4 kN/m² Poids propre : 2 kN/m² Revêtement : 0.5 kN/m²

: P4 = P5 = 55 kN

Plancher inférieur : Poids propre : 2 kN/m² : Charge d’exploitation : 2.5 kN/m²

et : P1 = 50 kN P2 = 80 kN P3 = 40 kN

QUESTIONS 1 : Etude de l’équilibre du portique - Déterminer les actions mécaniques de liaison en A

2 : Etude de la poutre BEG - Etablir le schéma mécanique complet de la poutre BEG. -Tracer les graphes de N(x), V(x) et de M(x) le long de cette poutre - Prendre pour cette question : - 60.7 kN

FB

48.7 kN

60.7 kN

FE

121.4 kN

- Choisir le profilé HEA nécessaire pour satisfaire la condition de résistance, si σ = 180 Mpa

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- Etablir le diagramme des contraintes normales sur la section la plus sollicitée si la poutre est constituée d’un HEA 200. - Calculer sa contrainte de cisaillement longitudinal maxi.

3 : Etude du tirant DE - Déterminer la section globale de l’ensemble des tirants sachant que l’acier utilisé est du FeE 240 est qu’on minore la contrainte admissible dans un rapport de 2/3.

4 : Etude des poutres du plancher-terrasse - Etablir le schéma mécanique d’une des poutres porteuses du plancher-terrasse (au droit de P5).

- En déduire la valeur des moments maxi sur appui et en travée si : pser = 7.30 kN/ml

5 : Etude de la poutre CD en B.A Dans un but de simplification (justifié ici), on admettra que la poutre CD a une section constante de 50 x 1.00 ht et qu’elle est soumise à de la flexion simple (néglige FD(x)) L’acier utilisé est du FeE 500 (pour tout), et le béton a un fc 28 = 25 Mpa La fissuration est jugée préjudiciable. - Faire le schéma mécanique complet de CD : - En déduire le moment d’encastrement en C sous sollicitations de service. On donne : G = 46.875 kN

P4 = P5

Q = 7.5 kN

G =54 kN

FD

Q = 67.5 kN

-Tracer les graphes de N(x), V(x) et de M(x) le long de cette poutre

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1.12.

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VIADUC ROUTIER

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