Mécanique des sols resistance

F

F 

τ  σ 

Exercice 1: Le bloc a une dimension de 1 m × 1 m × 1 m. La force minimale exigée pour déplacer le bloc est de 20 kN. Calculez la résistance (capacité) de l'interface entre le bloc bloc et le lanche lancherr.

τ  = μσ 

τ 

Sans colle F 

µ τ 

1 σ 

δ

σ 

=

τ 

Avec colle

µ F 

1 τ  σ  c

σ 

τ  = μσ 

τ 

Sans colle F 

µ τ 

1 σ 

δ

σ 

=

τ 

Avec colle

µ F 

1 τ  σ  c

σ 

C'est quoi, l'angle δ?

T 

N

δ

T 

W  sin δ 

 A

 A

σ  =

 A

=

cos  A

W 

 

τ  σ 

δ

angle de frottement

=

sin δ  cos

= tan δ  = μ  coefficient de ro emen

n g ssemen

e erra n

de glissement

 – État de contrainte en un seul point sur des plans à l'orientation

quelconque

État de contrainte en un oint v

σh σv

σ =? σv = ? τ = ?

=

φ' = 30° γ = 20 kN/m3

État de contrainte en un point σv

h = 10 m

φ' = 30° γ = 20 kN/m3

σh

σ1 σ3

σ3 σ1

État de contrainte en un point σ1

α

σ3

σ3

σ3

α

α

σ1

σ1

Convention

τ

Méthode Analytique α

σ3

α α

 Asinα   Acosα 

qu

σα

τα  A

1

re ans a rec on or zon a e:

σ 3 ( A sin α ) − (τ α  A) cos α  − (σ α  A) sin α  = 0 Équilibre dans la direction verticale:

σ 1 ( A cos α ) + (τ α  A) sin α  − (σ α  A) cos α  = 0

1   Composante normale σ 3 ( A sin α ) − (τ α  A ) cos α  − (σ α  A ) sin α  = 0 α 

−

α 

=

− α  − α  = σ 1 cos α  + τ α  sin α  − σ α  cos α  = 0 3

(σ 3 sin α  − τ α  cos α  − σ α  sin α )× sin α  = 0 × sin α  (σ 1 cos α  + τ α  sin α  − σ α  cos α )× cos α  = 0 × cos α  σ  sin 2 α  − τ  sin α  cos α  − σ  sin 2 α  σ 1 cos 2 α  + τ α  sin α  cos α  − σ α  cos 2 α 

=0 =0

σ  sin α  − τ  sin α  cos α  − σ  sin α  2

2

σ 1 cos α  + τ α  sin α  cos α  − σ α  cos α  2

σ α 

2

=0 =0

= σ 3 sin 2 α  + σ 1 cos 2 α  cos α  = 2

cos 2 α  − sin 2 α  = cos 2α  2

2

2

=

1 + cos 1 − cos 2

σ α 

= σ 3

σ α 

=

1 − cos 2α 

σ 1 + σ 3

2

+

σ 1

σ 1 − σ 3

1 + cos 2α  2

cos 2α 

2   Composante Tangentielle − α  − α  = σ 1 cos α  + τ α  sin α  − σ α  cos α  = 0 3

σ  sin α  − τ  cos α  − σ  sin α 

× cos α  = 0 × cos α  (σ 1 cos α  + τ α  sin α  − σ α  cos α )× sin α  = 0 × sin α  σ  sin α  cos α  − τ  cos 2 α  − σ  sin α  cos α 

=0 (σ 1 sin α  cos α  + τ α  sin 2 α  − σ α  sin α  cos α ) = 0

σ  sin α  cos α  − τ  cos 2 α  − σ  sin α  cos α 

=0 (σ 1 sin α  cos α  + τ α  sin 2 α  − σ α  sin α  cos α ) = 0

τ α 

= − σ 1 − σ 3

sin α  cos α 

sin 2α  = 2 sin α  cos α 

τ α 

=−

σ 1 − σ 3 2

sin 2α 

État de contrainte en un point

α

σ3

σα

α α

τα

 Asinα 

 A 1

 Acosα 

σ α  τ 

=

σ 1 + σ 3

=−

σ 1 − σ 3

+

σ 1 − σ 3

sin 2α 

cos 2α 

sur différents plans d'orientation. σv

h = 10 m

σh σv

α

φ' = 30° γ =

Méthode Graphique σ α 

τ α 

σ 1 − σ 3 2

σ 1 + σ 3 2

=−

σ 1 − σ 3

+

2

=−

σ α  −

τ α 

σ 1 + σ 3

=

2

sin 2α  σ 1 − σ 3

=

σ 1 − σ 3

2

⎝ 

τ α 2

−

1

3

2

⎟ =⎜  ⎠ ⎝ 

σ 1 − σ 3

=⎜ ⎝ 

2

cos 2α 

sin 2α 

2

⎜ σ α 

cos 2α 

1

− 2

2

⎟  ⎠

sin 2 2α 

2 3

⎟  ⎠

cos 2 2α 

2

σ α 

⎝ 

τ α 2

⎛  ⎝ 

−

=⎜ ⎝ 

α  −

1

 ⎠

2 1

−

3

2

σ 1 + σ 3  ⎞ 2

=

3

 ⎠

⎟  ⎠

2

1

⎝ 

− 2

2 3

 ⎠

cos 2α 

sin 2 2α 

2 2 α 

=

⎛ σ 1 − σ 3 ⎝ 

2

⎞ ⎠

2

2

⎛ σ  − σ 1 + σ 3  ⎞ + τ  2 = ⎛ σ 1 − σ 3  ⎞ ⎜ α  ⎟ ⎜ ⎟ α  2

2

2

2

2

État de contrainte en un point σ α 

τ α 

=

σ 

+ σ 

+

2

=−

σ 

σ 1 − σ 3 2

− σ  2

cos α  α

σ3

sin 2α 

α α

 Asinα 

α  −

2

σ 1 + σ 3 2

 ⎠

2 α 

σ 1 − σ 3 ⎛  = ⎝  2 ⎠

2

τα  A

σ1

⎛  ⎝ 

σα

État de contrainte en un point ‐τ

σα

σ3 α

τα

α 

,

α 

σ1

?

? σ 1 − σ 3

σ 3

2

2 σ 1

Démarche

Exercice 3: 10 m et 20 m, respectivement. ° rapport à l'horizontale.

h = 10 m

α = 30°

' = 30° γ = 20 kN/m3

• Critère de rupture  – Critère de Mohr-Coulomb

Capacité (Dis (D is on onib ibililit ité) é)

Demande (Appliquée)

Exercice 4: , Capacité tan (kPa)

(°) 0 5 10 15 20 5 30 35 40 45 50 55 60 65 70 80 85 90

   

               

11 115.5 11 115.0 113.7 111.6 108.7 105.2 101.0 96 96.5 . 86 86.6 81 81.6 76 76.7 72 72.2 68 68.0 64 64.5 . 59 59.5 58.2 57 7

.

Demande C – D (kPa)   (kPa) 0.0 8.7 17.1 25.0 32.1 38.3 43.3 47.0 . 50.0 49.2 47.0 43.3 38.3 32.1 . 17.1 8.7 00

115.5 106.3 96.6 86.6 76.6 66.9 57.7 49.5 . 36.6 32.3 29.7 28.9 29.7 32.3 . 42.4 49.5 57 7

h = 10 m

α

φ' = 30° γ = 20 kN/m3

Plan de rupture du critère de Coulomb

σα

σ3

= =

σ 

∂ f  =0 ∂α 

α 

−

− σ  2

α

τα

α 

s n α  − c +

⎩

σ 

+ σ 

⎝ 

2

+

σ 

cos 2α  + sin 2α  tan φ  = 0

α  = 45 ° +

2

− σ  2

σ1

cos α  tan

⎠

⎭

Critère de Coulomb • La surface de rupture ou les plans de glissement font toujours un

angle de 45°‐φ/2 avec la contrainte principale maximale et un angle e + avec a contra nte pr nc pa e m n ma e

σ1 45°‐ /2 45°+φ/2

σ3

σ3

lans de ru ture usuellement observés pendant un essai triaxial

r re e ou om dans le plan de contraintes principales

2 c cos φ 

=

σ 1

= 2 c tan (45 ° + φ  / 2 ) + σ 3 tan 2 (45 ° + φ  / 2 )

σ 1

= UCS  + σ 3 tan ψ 

−s n

+ σ 

1 + sin φ 

σ 

−s n

•   Essais de laboratoire  –  ssa s e c sa ement

rect

Exercice 5: Des essais de cisaillement direct donnent les résultats montrés sur la gure. 1. Tracer la surface de rupture de Mohr‐Coulomb. . ue s son es param re u cr re e o r‐  ou om 3. Quel est le FS (facteur de sécurité) pour un état de contrainte (τ = 10 kPa, σ = 5 kPa)? 4. Si un tel matériaux est subit à un essai de compression triaxiale, à quelle valeur la contrainte ' 5. Si la contrainte axiale est de 100 kPa, quel est la valeur minimale dans la direction horizontale pour éviter la rupture? . '

τ

24 kPa 19 kPa 12 kPa

Exercice 6: Des essais de cisaillement direct donnent les résultats montrés sur la figure. 1. Tracer la surface de rupture de Mohr‐Coulomb. 2. Quels sont les paramètre du critère de Mohr‐Coulomb? . , 4. Si un tel matériaux est subit à un essai de compression triaxiale, à quelle valeur la contrainte axiale qu'il y aurait la rupture si la contrainte de confinement est de 10 kPa? . , horizontale pour éviter la rupture? 6. Quel angle le plan de rupture fera avec l'horizontale quand tel matériaux est subi un essais de com ression triaxiale?

τ

15.6 kPa 10.4 kPa 3.5 kPa

•   Essais de laboratoire  –  ssa s en compress on tr ax a e

Essais de compression triaxiale conventionnelle (CTC)

Conditions de drainage

Phase 1: Consolidation

Phase 2: Cisaillement

Symbole

Non consolidé (Un‐consolidation)

Non drainé (Un‐drained)

UU

Consolidé

Non drainé (Un‐drained)

CU

Essais en compression triaxiale en condition non consolidée et non drainée (UU)

φ u = 0

cu ou su

σc1

σc2

σa1

σa2

Pas besoin de mesurer la pression interstitie e

σ

e essa perme o en r a r s s ance une arg e en con on non consolidée et non –drainée (dans la pratique on dit tout simple résistance au cisaillement non drainée), cu ou su. L'angle de frottement .

Essais en compression triaxiale en condition consolidée et drainée (CD) φ'

'

σc1

σc2

σa1

σa2

e essa perme o en r a r s s ance un so en con et drainée. Les deux paramètres sont: , ' angle de frottement effectif, φ'

σ

on conso

e

Essais en compression triaxiale en condition consolidée et non drainée (CU) φ' φ Besoin de mesurer la pression interstitielle

σ'c1 σc1 σ'c2 σ'a1 σa1 σc2

σ'a2

σa2

σ

Avec la mesure de pression interstitielle, cet essai permet d'obtenir les paramètres de résistance au cisaillement d'un sol équivalents d'en , ' '.

Exercice 7: Vous avez réalisé deux séries d'essais de compression triaxiale. Les résultats sont

1. Tracer la surface de rupture de Mohr‐Coulomb. . 3. Quels sont les paramètre de résistance à long terme? 4. Quel angle le plan de rupture fera avec l'horizontale avec tel matériaux? = ' ‐ v= rupture? Quel est le FS? 6. Si un état de contrainte totale est σ'v = 200 kPa et σ'h = 100 kPa, est‐ce qu'il y aurait la ru ture? Quel est le FS? 7. Quel est le FS (facteur de sécurité) pour un état de contrainte (τ = 10 kPa, σ' = 5 kPa)?

Essais UU

Essais CU

Pression de Contrainte axiale confinement appliquée à la (kPa) rupture (kPa) 20

40

Pression de

Contrainte axiale

Pression

(kPa)

rupture (kPa)

(kPa)

35 65 100

80 100 180

15 54 56

Exercice 8: Vous avez réalisé deux séries d'essais de compression triaxiale. Les résultats sont

1. Tracer la surface de rupture de Mohr‐Coulomb. . 3. Quels sont les paramètre de résistance à long terme? 4. Quel angle le plan de rupture fera avec l'horizontale avec tel matériaux? = ' ‐ v= rupture? Quel est le FS? 6. Si un état de contrainte totale est σ'v = 200 kPa et σ'h = 100 kPa, est‐ce qu'il y aurait la ru ture? Quel est le FS? 7. Quel est le FS (facteur de sécurité) pour un état de contrainte (τ = 10 kPa, σ' = 5 kPa)?

Essais UU

Essais CD

Pression de Contrainte axiale confinement appliquée à la (kPa) rupture (kPa) 20

40

Pression de confinement (kPa)

Contrainte axiale appliquée à la rupture (kPa)

35

80

100

180

Exercice 9: Vous faites une construction sur un sol argileux submergé en surface sur une fondation de 5 m par 8 m. La charge totale est de 2000 kN. Supposons que vous avez fait des essais de laboratoire. Les résultats sont montrés à l'exercice 8. En négligeant le poids de la fondation, calculez 1. le FS (facteur de sécurité) à court terme au point A et au point B; 2. le FS (facteur de sécurité) à long terme au point A et au point B?

2000 kN

5m

4m

A

B

Tassement Définitions Le tassement d'une structure est le résultat de la déformation du sol de fondation. L'origine de cette déformation peut être un ou  –  La déformation sous une charge totale croissante est appelée

" " " ".  –  Le changement de volume associé à la diminution du volume ' ' ' statique, est appelé "compactage".  –  Les chan ements de volume ro ressifs associés à une réduction de la teneur en eau du sol est appelé "consolidation".  –  La déformation sous contrainte effective constante est appelée "fluage".

Composantes du tassement  Compressibilité du sol:

Diminution du volume ‐ Compressibilité de l’aire qui remplit le vide: Quasi instantané ‐ Evacuation de l’eau: Consolidation primaire (le volume diminue) ‐   Compression du squelette solide: Consolidation secondaire (phénomène du fluage)

Tassement final:

St

St

   Différentes composantes

= S p + S s = S i + S c + S s

= S s = Tassement sec ondaire S i = Tassement immédiat  p

c

=

assement

e conso

at on

Composantes du tassement Pour les sols argileux, le tassement total, st:

S t  = S i

+ S c + S s

où si = tassement immédiate (déformation élastique des fondations structurales); sc = tassement de consolidation (variation de teneur en eau); . s = Pour les sables, le tassement total, s :

S t 

= S i + S s

où le tassement immédiate, si, comprend le tassement élastique, se, et le tassement de consolidation (appelé plutôt "compression"), sc:

S i

= S e + S c

Si

Tassement immédiat - indépendant du temps - Déterminé à partir du calcul d’élasticité

Sc

Tassement de consolidation (peut prolonger pendant des mois ou des années) - se roduit dans les sols à rain fin (faible coefficient de perméabilité)

Ss

Tassement de consolidation - fonction du temps - se pro u t contra nte e ect ve constante sans variation de pression interstitielle -

1‐ Tassement d’un sol Grenu (sable, gravier) Coefficient

de perméabilité est élevé

Saturé ou non Le tassement est immédiat au moment d’application de la charge 

Il n’est dû qu’à la Compression du squelette solide

Les

tassements sont les mêmes que le sol soit sec, humide ou saturé

Les

déformations sont dues à deux choses ‐ l’indice des vides ‐ Déformation des grains eux même sous l’action des forces de contact.

‐ Variations de l’indice des vides •

‐Compression d’un échantillon sable sans déformation latérale

Au début déformation importante (Mouvement des grains) •   orsque es contra ntes augmente Compression élastique des grains •

•   Cycle ABCA : Montre comportement incompressible

Très

forte contrainte il a écrasement des rains

Il se traduit par un coude sur la courbe (rarement rencontré dans la pratique) •

Lae

tassement dans un sol grenu est dû

aux réenchevêtrement des grains: ‐ Sol densité faible (sol lâche): Compressible ‐ Sol densité élevée (sol serré): très peu compressible ’ saturé.

’

2‐ Tassements des sols fins ‐ Consolidation ‐Faible coefficient de permiabilité ‐Sous l’action d’une charge l’eau libre ne peut s’évacuer

,

,

t

où si = tassement immédiate (déformation élastique des fondations structurales par exemple); sp = tassement de consolidation (variation de teneur en eau): Tassement ss = tassement secondaire (fluage).

- Analogie Mécanique

On obtient ar différentiation

Ce qui donne

Cette étape correspond au transfert de la contrainte de l’eau vers le squelette solide

-Plus la erméabilité est faible Plus l’ouverture du robinet est petite

Loi de comportement : Expérimentale

Essai Œdométrique

Loi de comportement : consolidation unidimensionnelle

ε z en

onct on

e σz

Δ H : Tassement

L’essai Oeudométrique fournit deux type de courbes:

Courbe

de consolidation

Tassement de l’échantillon en fonction du temps pour une contrainte constante

Essai répété pour plusieurs contraintes sur le même échantillon

Courbe

de compressibilité

Tassement de l’échantillon en fonction de la contrainte appliquée.

Courbe de consolidation Deux

phases:

-Consolidation rimaire au

phénomène

de

ui corres ond la

dissipation

interstitielle. - Consolidation

secondaire

pour 

laquelle le squelette solide continue à

interstitielle est nulle. Ils sont faibles en générale

Courbe de consolidation

Zone

de

consolidation primaire

’

correspond

à

’

ranc e

:

Caractérise la consolidation secondaire qui est le

du sol

Le

point A:

Fin du tassement primaire

Courbe de compressibilité ’ vides en fonction de la contrainte effective Ou en fonction de

' v

Branche

  Zone

AB:

de

σ 'v

recompression

correspond à faible tassement

σ p' . contrainte de transition est

σ p'

σ p' Contrainte effective verticale maximale exercé

sur

le

sol

dans

son

passé

géologique Branche

CD:

Zone

de

compression

vierge. Correspond à une linéarité de la courbe

Relation entre tassement et indice des vides

Caractéristiques de la compressibilité

Les sols sont donc des matériaux à mémoire

Indice de compression

La pente de la courbe dans sa partie après

σ 'p

Indice de gonflement

La pente du cycle de déchargement et de rechargement

-Non constant -

'

’

l’intervalle des contraintes

Δσ '

Classification des sols selon la compressibilité

- Sol normalement consolidé

- Sol surconsolidé

- Sol sous-consolidé