Mécanique Des Roches 2

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4. La dualité Contraintes-Déformations : la loi de comportement Il y a dualité entre les contraintes et les déformations, précisément entre la schématisation des efforts intérieurs et la description cinématique. 4.1.

Définition : la loi de comportement est l'expression mathématique de la dualité entre les contraintes et les déformations. Les lois de comportement élémentaires sont l'élasticité et la plasticité.

4.2. La loi de Hooke généralisée Un schéma élastique classique est linéaire, isotrope, homogène et isotherme (la température n'intervient pas)  ij  Cijkl xi ekl ; i,j,k,l = 1,2,3 est la loi de Hooke généralisée Dont : C est une fonction de vecteur position, elle représente des coefficients

 Linéarité : Les variations des composantes du tenseur de contraintes entre l'état initial et actuel, sont des fonctions linéaires des composantes du tenseur de déformations infinitésimales, à partir de l'état initial. Le tenseur d'élasticité est du 4 ème ordre. ij  0 ij  Cijkl ekl i, j, k , l  1,2,3 la loi de Hooke généralisée Cijkl ne dépend que des propriétés du milieu  11   C1111 C1122      22   C2211 C2222   C C3322  33    3311   23   C2311 C2322   C C1322  13   1311   C  12   1211 C1222

C1133

C1123

C1113

C2233

C2223

C2213

C3333

C3323

C3313

C2333

C2323

C2313

C1333

C1323

C1313

C1233

C1223

C1213 52

C1112  e11    C2212  e22  C3312  e33    C2312  e23  C1312  e13    C1212  e12 

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Remarque : [σ] est symétrique → 06 composantes indépendantes au lieu de 09, on peut donc le présenter sous forme d’un vecteur de 06 composantes  Isotropie Le tenseur d'élasticité ne dépend que des propriétés du milieu, les propriétés mécaniques sont identiques dans toutes les directions. Cijkl  ij  kl  ik  jl  il  jk   ij   0 ij  e ij  2eij  ,  : coefficients d'élasticité de Lamé

Exps : C1111  1111  1111  1111     2 C1122  11 22  12 12  12 12    C1212  12 12  11 22  12 12    C1213  12 13  11 23  1312   0  Homogénéité Le milieu peut être décomposé en sous domaines homogènes sur lesquels  ,  sont les mêmes en tout points. ij  ij  2ij (Équation fondamentale de constitution)  L’élasticité : Le retour à la configuration de référence (initiale), dont le milieu revient à cette configuration dés que les contraintes auxquelles il a été soumis sont annulées A 3 dimensions, la relation entre le tenseur des contraintes et celui des déformations :   1    0 0 0 E  E E   1   0 0 0    11   e11  E E   22  e   1    22   0 0 0     33 e33    E     1 e23  0 0   23  e   G   13   13   1 e12   0   12    G 1   G  Dont : 52

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E est le module de Young Υ est le coefficient de Poisson G est le module de Cisaillement E

3  2 le module de Young en fonction des coefficients de Lamé 

Le module de Young (E) [bar] : ou le module d’élasticité longitudinale, il représente la rigidité ou l’aptitude du milieu à résister à la déformation 

 le coefficient de Poisson en fonction des coefficients de Lamé 2   

le coefficient de Poisson (υ) : représente la compressibilité du milieu, la dilatation sera nulle à   0.5 , qui caractérise le milieu solide élastique et incompressible. Il existe un coefficient de proportionnalité entre les contraintes de cisaillement (  23 ,  13 ,  12 ) est les déformations angulaires ( e23 , e13 , e12 ) appelée distorsion ou glissement, c’est le coefficient d’élasticité transversale ou le module de cisaillement G 

E . Depuis ce dernier on détermine un autre coefficient de 21   

proportionnalité entre la contrainte isotrope appliquée σ et la déformation élastique volumique d’un échantillon K 

E . 31  2 

 La plasticité : C'est le non retour à la configuration initiale → déformation résiduelle. La loi de Hooke n'est pas valable dans ce domaine.

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 Anisotropie (Contraire d'isotropie) la propriété mécanique est dépendante de la direction. Quelque chose d'anisotrope pourra présenter différentes caractéristiques selon son orientation.  Orthotrope La dépendance des propriétés mécaniques suivant deux composantes principales perpendiculaires. C'est un cas particulier d'anisotropie.

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5. Le comportement mécanique des roches Les propriétés mécaniques des roches sont :  La résistance à des efforts mécaniques (traction, compression, etc), en définissant les seuils de rupture  Les déformabilités sous l'effet des efforts mécaniques (modules instantanés ou différés) 5.1. Les difficultés représentées par les échantillons des roches Les échantillons des roches étudiés au laboratoire représentent quelques difficultés telles que :  Absence des certaines fractures -présentes sur site- dans les échantillons prélevés, vu leurs dimensions très grandes (cas des discontinuités majeures : fractures régionales, failles, …) par rapport aux dimensions des carottes (échelle centimétrique à décimétrique), dont elles échappent de l'analyse.  Hétérogénéités de certains massifs rocheux, c.-à-d. formés d'éléments de propriétés mécaniques différentes  Variabilités des propriétés mécaniques au sein du massif rocheux, qui nécessite la représentativité correcte d'échantillonnage  Effet d'échelle qui manifeste par le fait que les propriétés mécaniques mesurées sont en fonction des dimensions de l'éprouvette. 5.2. Les essais de base Les essais de base à étudier sont : - la traction indirecte : essai brésilien - compression uni-axiale (mono-axiale ou simple) - compression triaxiale (isotrope et déviatorique) 5.3.

Essai de traction indirecte (brésilien)

La résistance à la traction est calculée par :  t 

2P DL

Dont :  t : résistance à la traction ; P : effort à la rupture appliqué sur l’éprouvette D : diamètre de l'éprouvette ; L : longueur de l'éprouvette Cet essai est destiné aux matériaux fragiles tels que les roches, le béton et le verre. La rupture doit impérativement se produire à partir du centre, sous forme d'une fracture unique verticale. Il présente des difficultés pour les roches fortement anisotropes et pour les roches ductiles (sel, argile). Inconvénient → collage des tètes d'éprouvette sur le dispositif intermédiaire de la machine d'essai. 52

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Il existe un essai de traction directe, dont la résistance de la roche à la traction, en moyenne est voisine à Rc/10 Cette grandeur est très influencée par la fissuration des roches 5.4. Essai de compression uni-axiale Il s'effectue sur éprouvettes cylindrique, d'élancement L/D (hauteur/diamètre). Inconvénient → frettage : existence des contraintes non homogènes dues au frottement engendré par l'opposition de déformabilité entre la roche et le plateau de la presse, en forme de cône. Il augmente artificiellement la résistance de la roche à la compression. On peut diminuer ce phénomène en jouant sur l'élancement. - L / D  1 → les 2 cônes s'interprètent → la résistance est surévaluée - L / D  2 → les cônes sont séparés → distribution des contraintes au centre de l'éprouvette n'est plus perturbée - L / D  3 → les cônes sont bien éloignés → risque de compression excentrée de l'éprouvette, si les faces ne sont rigoureusement parallèles

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 C est la résistance à la compression, c'est la contrainte maximale supporté par l'échantillon, elle est très utile et parfois suffisante pour identifier les performances mécaniques de la roches. La résistance en compression :  C 

F R 2

Dont : F est l’effort maximal appliqué sur la roche par la presse R est le rayon de l’éprouvette Elle est comprise entre 1 et 200 MPa.  C  5MPa → roches qualifiées (très tendres)  C  200MPa → roches très résistantes  Le rapport entre la résistance à la compression uni-axiale et la résistance à la traction donne un indice de fragilité, qui est une caractéristique importante de comportement de la roche. Il varie entre 3 (roche peu fragile) et 30 (roches très fragile) 5.5. Essai de compression triaxiale Il est identique à la compression uni-axiale, le dispositif expérimental limite l'élancement à 2. il s'agit d'un essai triaxiale de révolution où  2  3  PC (pression de confinement) Remarque : Sur la base des 3 résistances (traction, uni-axiale et triaxiale) on peut déterminer le critère de rupture. 5.6. Essais de compressibilité (compression isotrope) Cet essai nous indique l'isotropie de la roche ainsi que l'existence des microfissurations naturelles.

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5.6.1. Si la roche est sans microfissure, homogène, élastique et isotrope, la déformation  est la réponse à l'effort hydrostatique (sphérique), elle sera : - identique dans toutes les directions de l'espace - linéaire en fonction de la contrainte  1   2   3  PC  P 1 2   C E E le module de Young ou le module d'élasticité longitudinale  le coefficient de Poisson Remarque : Durant cet essai on peut constater l'isotropie, dont 1   2  3 , courbe (a). L'isotropie transverse, dont 1   2  3 , la courbe (b) L'orthotrope, dont 1   2  3 (→ S1 , S 2 , S3 sont orthogonales), la courbe (c) 5.6.2. Si la roche est munie de microfissure naturelle, la charge normale diminue l'ouverture de fissure schématisée sous forme d'un ellipsoïde (2c de longueur et 2a d'ouverture, a c  10 3 ) jusqu'à ce que les lèvres de la fissure se touchent.

Si les microfissures sont de ce type, réparties aléatoirement. La déformation sous l'effet de cet essai est unique  1   2   3  . La fermeture progressive des microfissures (en commençant par les fissures des a/c plus petits) présente sur le graphe une concavité vers le bas. A une pression Pf , dite pression de fermeture qui correspond à la fermeture de toutes les microfissures, la courbe reprendre une droite se qui traduit le comportement élastique de la roche.

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5.6.3. Cas des roches très poreuses : la réaction des matériaux poreux se comportent particulièrement avec cet essai, car ils présentent : - Une linéarisation élastique dés l'origine. - A partir d'une certaine pression nommée "pression d'effondrement des pores" Pcol , dont la variation de volume sera plus importante que dans la partie précédente, où la microstructure commence à évoluer et les joints de grains s'effondrent, pour réduire la porosité. Remarque : Cette pression joue un grand rôle dans la compaction des réservoirs pétroliers. Sa valeur dépend de la nature des joins de grains et de la porosité de la roche. Porosité ↑ Pcol ↓ - Au-delà d'une pression Pt le gradient de volume s'inverse et l'effondrement de la microstructure poreuse tend à se stabiliser. Remarque : durant les essais précédents, on calcule les coefficients de Poisson  , le module de Young E, le module de compressibilité K et le coefficient d'élasticité G, selon les critères isotropiques des roches (donc selon l'orientation des contraintes) 5.7. Paramètres de déformabilité La mesure des déformations lors d’une compression uni-axiale permet de déterminer les paramètres élastiques de déformabilité de la roche: module d’Young (pente de la courbe de déformation longitudinale) et coefficient de Poisson (rapport de la déformation transversale à la déformation longitudinale). Le module d’Young est typiquement compris entre 8 et 80 GPa. Le coefficient de Poisson se situe entre 0,1 et 0,4. 5.7.1. Abrasivité L’abrasivité caractérise la capacité d’une roche à provoquer l’usure de l’outil de forage ; cette propriété est importante pour les travaux d’exploitation les formations rocheuses traversées en souterrain. Elle dépend à la fois de la teneur en minéraux durs (quartz notamment) et de la résistance de l’assemblage des grains (cohésion de la roche). Pour estimer l’abrasivité d’un matériau, on peut utiliser l’abrasimètre LCPC, constitué d’un pot métallique que l’on remplit de granulats 4/6,3 mm, tournant à grande vitesse une palette métallique. La perte de poids subie par la palette après 5 min de rotation, exprimée en mg d’acier, est divisée par la masse en kg de granulats traités : on obtient ainsi l’indice ABR de la roche. On estime en général que des valeurs supérieures à 1 500 peuvent conduire à de fortes usures d’outils. 00

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5.7.2. Forabilité La forabilité d’une roche exprime la facilité avec laquelle un outil de forage pénètre dans la roche. Elle dépend d’un certain nombre de paramètres, en particulier de la résistance, dureté et texture de la matrice rocheuse et de son abrasivité, ainsi de la densité des discontinuités in-situ. Certains essais, généralement utilisés dans les pays anglo-saxon pour quantifier la forabilité. 5.8. Classification des comportements Le comportement mécanique se classifie selon la réversibilité de la relation contraintedéformation, dont on devait réaliser un cycle de chargement–déchargement, pour l'effectuer.  Le comportement élastique → réversibilité (élasticité linéaire et non linéaire)  Le comportement élasto-plastique (phase plastique) → apparition des irréversibilités à la fin de linéarité des déformations suivant un des axes (exp : linéarité de déformation axiale) L'élasto-plasticité est parfaite : → La limite élastique ne dépend pas de l'historique des contraintes et des déformations → La courbe contrainte-déformation axiale présente un plateau - si cette pente > 0 → comportement de durcissement ou d'écrouissage positif - si cette pente < 0 → comportement de radoucissement ou d'écrouissage négatif  Le comportement différé → Lorsque il y a dépendance du comportement avec le temps on l'appelle aussi le comportement visqueux (un comportement viscoélastique ou viscoélasto-plastique) dans ce cas on ne parle pas que des contraintes et déformations mais on doit intervenir leurs dérivées par rapport au temps.

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5.9. Effet d'échelle Le passage de l'échelle laboratoire vers l'échelle réel pose les problèmes à : - Effet de volume : la décroissance de résistance avec les dimensions de l'éprouvette - Effet de surface : l'augmentation de résistance avec le volume de l'éprouvette - Effet de surface à tendance à dominer pour des petites dimensions d'échantillons : la croissance puis décroissance de la résistance - Transition fragile – ductile : changement ou disparition des résultats Exp : o Un calcaire dur C 50MPa est élastique fragile en compression simple, il devient élastoplastique en un essai triaxial sous une pression de confinement de 30 Mpa, puis ductile sous pression de confinement de 500 Mpa o Un massive rocheux formé de roche fragile a un comportement élasto-fragile à l'échelle de décamètre, et relativement ductile à l'échelle kilométrique 6. La rupture Le mode de rupture dépend de l'état et l'histoire des contraintes et de la température, il existe deux modes de rupture :  Mode ductile : la roche se rompe progressivement par écoulement, en présentant de grandes déformations avant la rupture, exp : les craies  Mode fragile : la rupture se manifeste brutalement, sous forme de microfissures qui se propagent sur des distances plus au moins longues, exp : roches de faible porosité comme les grés. L'application des contraintes : le type d'essai (traction, compression) et de chargement (le chargement monotone uni-axial, sous confinement ou cyclique) influent aussi sur le mode de rupture.  Traction simple : la roche se rompe suivant un plan de rupture unique (et non par réduction en poudre)  Dissymétrie traction-compression en mécanique de roche (diffère de matériaux métallique)

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