Mécanique Des Roches 1

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Chapitre I : Introduction à la mécanique des roches et les principes de la géomécanique 1. La mécanique : couvre la connaissance des forces et leurs effets, déformations, ruptures et déplacements des corps 2.

La géologie : se considère en même temps une science naturelle et historique, Naturelle → description des matériaux qui constituent la croute terrestre, y compris les fluides (les eaux sous terraines, le gaz naturel, le pétrole et l’air) Historique → étude de la genèse et les transformations de ces matériaux (sédimentologie, tectonique, sismologie, …)

3. La géomécanique : étudie la déformation ou le déplacement de géomatériau, sol, roche ou fluide souterrain sous l'action de la gravité, à laquelle peuvent se superposer des contraintes induites. Elle manipule des modèles très schématiques, issus des conditions aux limites simplistes, qu'impose l'intégration des équations de champs très complexes. Elle mesure très ponctuellement divers paramètres, sur échantillon ou in situ et prétend les extrapoler à l'ensemble du site. Elle réduit l'action de la contrainte qui produit un déplacement, une déformation instantanée pouvant aller jusqu'à la rupture. 4. La pétrologie : est la science des roches, qui s'attache à décrire, définir et classer les roches, puis à établir les lois régissant les modes de mise en place, leur origine et leur évolution. Elle étudie des matériaux se présentant sous les trois aspects de la matière : solide, liquide et gazeux (mécanismes à l’origine de la formation de la transmormation des roches). 5. La pétrographie : est la description des roches, définir et mesurer leurs paramètres caractéristiques (structurales) comme la résistivité électrique, la composition chimique et minéralogique, la perméabilité, la résistance mécanique, etc. 6. La mécanique des roches : traite les effets des forces (déformation, rupture et déplacement) appliquées aux roches pour résoudre les problèmes de l'ingénierie à toutes échelles de longueur et de temps, variant du micromètre (cristaux) au rayon terrestre (blocs de granite) selon le domaine d'application. En génie civile sont à l'échelle du mètre et du siècle, en plus petit (à l'échelle de longueur), le forage, le concassage, l'altération, en plus grand, le stockage, la stabilité des montagnes. A l'échelle du temps, l'exploitation minière est le jour ou la semaine, tandis que à l'explosif, la milliseconde et en sens inverse pour le stockage des déchets radioactifs c'est les 1000 siècles. Elle concerne tantôt les milieux continus tant solides que fluides, tantôt les discontinuités et les milieux associants solides et fluides.

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Dans le domaine pétrolier elle s'applique sur les essais mécaniques en laboratoire et sur place (en forage), par l'intermédiaire de la similitude et sur la base de la modélisation numérique. Elle se base sur la mécanique rationnelle pour comprendre les équilibres et les mouvements des roches, la mécanique des milieux continus afin d'étudier les déformations effectuées sur le milieu continu et la mécanique de rupture, en cas de fissures (concentration des contraintes). 7. L'ingénierie du pétrole : s'intéresse par l'efficacité des outils de forage, la stabilité des puits, les affaissements de la surface et les réservoirs profonds à hautes pression et température. 8. Les roches 8.1. Définition : assemblage plus au moins compact de grains cristallins / des agrégats compacts ou meubles qui constituent l'écorce terrestre et son composés de minéraux homogènes ou différents. 8.2. Identification : Les roches s'identifient par leurs :  Structure : qui embrasse les particularités de leurs architectures, assurés par les dimensions, la forme, la nature d'association des minéraux constituants et le degré de cristallinité de leurs matières.  Texture : (ou l'arrangement, ou l'orientation) est la répartition mutuelle de leurs éléments constitutifs dans l'espace occupé par ces dernières. Donc pour mieux comprendre le comportement mécanique des roches on appui sur :  L'anatomie : les changements ou déformations des roches.  La morphologie : l'analyse des formes de la surface, qui renseigne sur ce qu'on va trouver à l'intérieur  La physiologie : rend compte de ce qui se passe à l'intérieur, naturellement ou sur intervention humaine. 8.3.

Classification des roches : ils existent trois types sont

 Roches ignées ou magmatiques (éruptives) Formées par le refroidissement et la solidification du magma, aux niveaux de surface (roches volcaniques ou effusives : laves) portent peu de cristaux. Aux profondeurs (roches plutoniques) portent plus de cristaux. Elles sont généralement enrichies des silicates (minéraux) tels que le quartz; feldspaths alcalins et plagioclases, amphiboles, micas, etc. les plus répondues sont les granites.

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 Roches sédimentaires Se forment par des phénomènes exogènes, par :  le cumul des dépôts des débris organiques (organogènes), les bitumes et le charbon.  le dépôt des éléments détritiques résultant de la corrosion des roches magmatiques par l'intermédiaire d'une source : - mécanique (vents, précipitations, écoulements des fluides, …) chimique (réaction chimique entre fluide et roche) Les roches sédimentaires donnent naissance aux différents grés, argiles, glaises, marnes et conglomérats. Elles contiennent souvent des impuretés en grandes quantités servant de ciment pour donner forme à des schistes argileux, des calcaires gréseux, des calcaires silicifiés, des sables schisteux, …etc. un autre groupes est formé par des formations où l’eau s’est évaporée, pour donner naissance aux sels, anhydrites, gypses et potasses Etant donné leur importance, il est bon de résumer les gites des minéraux sédimentaires, tels que :  Détritiques → or (dans les alluvions), diamant, oxyde de titane (Alluvion : Dépôt de sédiments charriés par les eaux d'une rivière, d'un fleuve.. )  Chimiques → par altération (dégradation de quelque chose) sur place (bauxite, oxyde de fer) Par transport et précipitation (roches salines : gypse, sel gemme, chlorure de potassium) ; fer oolithique  Biologique → charbon, hydrocarbures  Biochimique → phosphates  Roches métamorphiques L'exercice des fortes températures et grandes pressions sur les 02 types précédents des roches forme les roches métamorphiques, les plus connues sont les schistes et les gneiss.

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Chapitre II : Contraintes et contraintes principales dans le massif rocheux 1. Contraintes et contraintes principales 1.1. Continuité du milieu Un milieu continu est un milieu dont le comportement macroscopique peut être schématisé en supposant la matière répartie sur tout le domaine qu'il occupe. Au voisinage d'un point géométrique de coordonnées ( xi , i=1, 2, 3), à l'instant (t) il dm existe une distribution de masse volumique  ( xi , t ), i  1,2,3 dv La fonction  est supposée continue, toutes les autres propriétés physiques de la matière seront également continues.  Isotropie Les propriétés mécaniques des matériaux ne changent pas avec la direction autour du point.  Homogénéité Les propriétés mécaniques du matériau ne changent pas avec le point dans le corps  Phénomènes de discontinuité La continuité des transformations doit être absolue, elle n'est pas vérifiée dans les cas suivants :  Formation de troue : cavitation dans les liquides et les fissures dans les solides  Glissement relatif des parties du milieu : sillage dans les liquides et le glissement dans les solides  Choc de veines fluides 1.2.

Tenseur de contrainte

1.2.1. Vecteur tenseur des contraintes

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Soit D un domaine du milieu, de frontière A. les forces extérieures à D sont :  - Forces volumiques fdv , dans tout le volume, dont :  f est une densité de force dv est un volume élémentaire  - Forces superficielles (de contact) ou de tension t dA , sur la surface A, frontière de D, dont :   t est une densité de force ; ndA est un aire élémentaire Tension > 0 → dirigée vers l'extérieur de D Tension < 0 → pression Le vecteur contrainte :   df  T n   dA    T  Tn n  Tt

Dont : Tn la contrainte normale (algébrique)  Tt la contrainte tangentielle (cisaillement) Le tenseur des contraintes est une application linéaire de l'espace vectoriel à 3 dimensions E3 dans lui-même   T   .n

→

T1   11 12 13  n1  T       n   2   21 22 23   2  T3   31 32 33  n3 

Les composantes diagonales  11,  22 ,  33 sont les contraintes normales (normal stress) Les composantes non diagonales  12 ,  13 , 21,.... etc, sont les contraintes tangentielles (shear stress) La contrainte est homogène à une force par unité de surface, donc à une pression 1.2.2. Contraintes principales Les contraintes principales s'obtiennent par résolution de l'équation caractéristique   11 12 13  1 0 0     det T  I   0  det   21  22  23   0 1 0   0 ;  : scalaire             0 0 1 32 33     31 5

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12 13 11   det  12  22    23   13  23  33 

   0  3  I 2  I   I  0 ………….(1) 1 2 3   

L'équation (1) aura 3 racines : 1  1 ,  2  2 ,  3  3 , dites les contraintes principales. On peut aussi déterminer les directions correspondantes de chacune 1 ,  2 ,  3 . Remarque : La connaissance des contraintes principales, leurs positions et directions, est importante pour le calcul des structures en résistance des matériaux. Exp : possibilités de rupture, une pression hydrostatique s'exerçant sur un fluide idéal au repos 1.2.3. Etats particuliers de contraintes  Tension ou compression hydrostatique  0 0  T   0  0   0 0  

si  > 0 → tension  < 0 → compression Les 3 contraintes principales sont égales. Toutes les directions sont principales. S'exerce une contrainte purement normale Exp : L'état des fluides à l'équilibre  Contraintes de révolution (triaxiale) 0  1 0  T   0  2 0   0 0  2 

2 contraintes principales coïncident 2 directions principales, x1 pour 1 et toutes autres directions x2 , x3  pour 2 (direction fixe) Exp : L'état de contrainte dans le sol en profondeur (  1 <  2 < 0)

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 Traction ou compression uniaxiale  T   0  0

0 0 0 0 0 0

si  > 0 → tension  < 0 → compression Lorsque  2  0 du cas précédent (pas de contrainte latérale) Exp : l'état le plus facile des contraintes, peut se réaliser expérimentalement Exercer une force longitudinale sur un barreau Essais de traction pour l'acier et la compression pour une roche  Cisaillement pur 0  0  T   0 0 0 0 0

Contraintes purement déviatrices Les directions principales sont x3  3  0 , les bissectrices des axes x1 , x2 (contraintes principales   et   )  Plan de contraintes  11  12 T   12  22  0 0

0  11  12 0   0 ou T   12  22 0   0 0  33  0

Les directions principales sont : x3 et les 2 directions perpendiculaires du plan x1 , x2  Lorsque n varie dans le plan x1 , x2 le vecteur de contrainte se limite dans le plan

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2. Les contraintes dans les massifs rocheux 2.1.

Le massif rocheux : assemblage de blocs ou de feuillets, séparés plus ou moins complètement par des joints

2.2.

Les contraintes qui influent sur le massif rocheux

 Les contraintes naturelles Existent dans le massif rocheux, avant toutes perturbations artificielles, en résultant de diverses manifestations dans son historique (primitives). Par conséquent, elles pourraient être le résultat de l’application de plusieurs états antérieurs de contraintes.  La contrainte gravitationnelle (overburden stress) : Est due aux poids du massif rocheux  Les contraintes tectoniques : Sont dues aux déplacements relatifs des plaques lithosphériques  Les contraintes thermiques : Sont dues aux changements de températures  Les contraintes physico-chimiques : Changements du massif rocheux dues aux effets physiques et/ ou chimiques (cristallisation)  Les contraintes induites : La perturbation des contraintes naturelles par l’ingénierie  Les contraintes résiduelles : Restent dans le massif rocheux, comme-ci le corps est préservé de toutes tractions externes (contrainte rémanente)  Les contraintes régionales : Relatives à un large domaine géologique  Les contraintes locales : Relatives à un petit domaine géologique (échelle d’ingénierie)  Les contraintes près du domaine (near field stress) Existantes dans le voisinage, perturbé par l’hétérogénéité généralement causé par l’ingénierie  Les contraintes loin du domaine (far field stress) Existantes dans la région au-delà du champ proche (voisinage), où aucune perturbation significative en raison de l’hétérogénéité  Les contraintes Palaeo Existantes dans le massif rocheux qui peuvent être déduites mais ne se déterminent pas par les techniques de mesures

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2.3. Les contraintes principales dans un massif rocheux La définition des contraintes dans le massif rocheux (milieu tridimensionnel indéfini) est difficile et inaccessible à l'expérimentateur. Considérons  I , II , III  les contraintes principales, qui sont rangées par valeurs décroissantes (les compressions étant toujours comptées positives en mécanique des roches), selon  I contrainte majeure,  II contrainte intermédiaire et  III contraintes mineure. Si on considère la direction verticale comme principale  I   v , les deux autres contraintes redeviennent,  II   H la composante horizontale maximale et  III   h la composante horizontale minimale. L'orientation de ces contraintes dépend du : - Contexte tectonique générale - La proximité éventuelle de surfaces libres (surface du sol ou cavité souterraine) - Les éléments structuraux importants tels que les failles, les plis, les hétérogénéités, … 2.3.1. Contrainte verticale : Généralement les géo-mécaniciens désignent une contrainte verticale, dite contrainte géostatique, par analogie à la contrainte hydrostatique (suivant l'hypothèse de pression isotrope de Heim): v  gH ; si  varie   v  g  H dH …………………………………. (2) H 0

Dont :  v : la contrainte verticale (géostatique) g : la gravité  : la masse volumique (fluides inclus) de la roche H : l'épaisseur de la couverture Donc cette contrainte dépend de la masse volumique des roches situées entre la surface du sol et le point considéré, suivant la profondeur et la nature des sédiments on en réalité :  v  (0.21à0.25bar / m)  H m En approximation :  v  (0.23bar / m)  H m

Il est notamment fréquent d'admettre que la direction verticale est principale, cette supposition est vérifiée en absence d'effets dus au relief si le matériau est homogène ou stratifié (disposé par des couches superposées) horizontalement, dans ces conditions l'équation (2) est vérifiée. En présence de relief (montagne), cette contrainte peut être plus petite que ce poids, donc il faut définir la profondeur au-delà de laquelle la direction verticale redevient principale. 9

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2.3.2. Contraintes horizontales Au début ils ont cru quelles peuvent être déduites de la composante verticale par l'effet de coefficient de Poisson  , ce qui n'a de sens que pour une variation de charge sans déformation latérale en régime élastique, dont : 1   h   v ………………………………………………………………..(3)  Généralement, la direction de la contrainte horizontale maximale  H devient plus homogène à partir de 300/400 m de profondeur (effet de la tectonique régionale), en absence de reliefs importants et d'effets de structures (selon la carte mondiale des contraintes, proposée par Zoback, qui définit les grandes provinces tectoniques avec l'orientation des directions principales associées). Au voisinage de la surface (< 300 m) d'autres effets que l'effet de la tectonique régionale influe sur cette direction. Les deux contraintes horizontales peuvent être égales, si le réservoir est tectoniquement au repos (isotropie des contraintes dans le plan horizontale) Souvent on trouve que les deux contraintes horizontales sont inférieures à la contrainte verticale, mais dans des cas particuliers on trouve l’inverse, dont les contraintes horizontales sont plus fortes que la verticale (sous effet d’hétérogénéités des terrains, déformations tectoniques, érosion …,) La contrainte horizontale la plus faible  h peut être déterminée lors d’un test le leak-off, ainsi que son orientation est importante pour ajuster les pressions d'injection lors de la stimulation du puits par la fracturation hydraulique. 2.4. Composantes des contraintes principales dans le massif rocheux Les contraintes principales dans le massif rocheux se partagent entre la pression (interstitielle) du fluide contenue dans les pores et la contrainte effective de la roche  v   v  Pi  H   H  Pi  h   h  Pi

2.4.1. Pression interstitielle (pression du fluide de la couche ou pression de pore) Pression exercées par les fluides à l’intérieure des pores d’une roche, elle est de l’ordre de grandeur et souvent inférieure à la pression hydrostatique à une certaine profondeur. Elle joue un rôle de première importance dans la considération des propriétés mécaniques des roches, en donnant lieu aux effets mécaniques et physico-chimiques. Effets mécaniques de la pression interstitielle Pi sur les caractéristiques de la mécanique des roches Prenons un pore de forme géométrique simple, dont ses parois sont mises sous l’effet de 2 contraintes normales de compression F1(verticale correspond au poids de la couche sédimentaire) et F2 (est latérale) 11

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L’état de contraintes résultantes sera : F1-Pi → vertical F2- Pi → latéral Le déviateur défini par la différence de F1et F2, égale à : F1- F2 → roche sèche (Pi = 0) (F1 – Pi) – (F2 – Pi) = F1 – F2 → roche imprégnée → La présence d’une pression interstitielle dans la roche ne modifie pas la valeur de déviateur des contraintes qui lui est appliquée

2.4.2. Contrainte effective Principe de la contrainte effective (du a Terzaghi, c'est le principe de base de la Mécanique des Sols Moderne) Au point O, la contrainte totale est :   H w  H A  H  sat Avec :  w et sat : Poids volumique ou spécifique [ N m3 ] Cette contrainte totale peut être décomposée en deux composantes essentielles : - La première composante est supportée par l'eau interstitielle circulant á l'intérieur de l'espace poreux, c'est la pression interstitielle. Elle est identique quelque soit la direction prise - Le reste est supporté par la phase solide (les grains solides), c'est la contrainte effective. - La contrainte effective correspond aux efforts transmis par les grains du squelette minéral du sol, au niveau de leurs points de contact. - Le squelette solide est assimilé à un ressort. La variation de volume du sol ainsi que sa résistance au cisaillement sont en fonction de la charge supportée par les grains solides et indépendamment de la pression hydrostatique.

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La contrainte effective est, d’après la loi de Terzaghi, est la contrainte totale (σ) à laquelle on soustrait la contrainte neutre (u), soit la pression de l’eau remplissant les interstices du sol : σ’ = σ – u ………………………………………………….. (3) Alors: Contrainte totale (σ) = contrainte effective (σ') + contrainte neutre (u)      u  H w  H A  H  sat  H A w    H A  H  sat   w 

NB : la contrainte neutre est la pression interstitielle  Contrainte tangentielle Le principe de la contrainte effective ne s'applique que pour les contraintes normales en ce sens que l'eau ne supporte pas de contrainte de cisaillement.     Interprétation physique de la contrainte effective (Lambe et Whitman, 1979) Remarque : Pratiquement nous raisonnerons surtout avec les contraintes effectives 3. Mesure des contraintes in-situ Les principales méthodes de mesure in-situ sont :  Relâchement des contraintes  Rétablissement des contraintes après relâchement (vérin plat)  Fracturation hydraulique  Réouvertures des fissures préexistantes

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Dans le forage pétrolier profond, l'observation des ovalisations des forages et des ruptures en paroi constitue la méthode la moins couteuse pour estimer la direction et la valeur des contraintes. 3.1. Procédé de fracturation hydraulique Dans un milieu isotrope poreux et perméable, la contrainte principale mineure s'exerce sur la surface de moindre résistance. Exp : L'injection sous forte pression d'un fluide dans un puits, peut provoquer la rupture du terrain encaissant suivant la surface la plus faible. Cas de stimulation des puits en production Etapes : 1- Isoler une portion de découvert (puits non tubé) entre 2 obturateurs annulaires gonflables, ou entre un obturateur et le fond. 2- Injecter un volume limité d'un fluide à débit constant puis mesurer la pression d'injection (phase de montée en pression "build up") 3- Le passage de cette pression par le maximum → début de propagation de fracture 4- Arrêter l'injection, fermer le puits, continuer l'enregistrement de pression en fonction du temps 5- Purger le puits de ce fluide à débit constant et enregistrer la chute de pression (phase "fall off") 6- Répéter 2 et 5 Remarque : il est préférable de réaliser cette méthode en forage vertical, si la contrainte verticale est supposée principale et majeure Interprétation :  Jusqu'au maximum de pression et au-delà : la pression enregistrée dépend de la contrainte du paroi et la mécanique de propagation  En suite : cette pression est de plus en plus régie par la contrainte minimale dans le massif (le champ loin du puits)  Lors de la fermeture : la pression instantanée de fermeture équilibre cette contrainte minimale en place. Pf  h (dans un puits vertical) Avec : Pf est la pression instantanée de fermeture (ISIP : Instantaneous Shut-In Pressure) ; n'est pas facile à déterminer car elle rejoint rapidement la pression du pore.  En roche imperméable Pfrac  fond  3 h   H  Pi Avec : Pi est la pression de pore 13

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 En roche perméable Pfrac  fond  3h   H  b1  2  1    Pi  /2  b1  2  1    Avec : b est le coefficient de Biot Cette analyse n'est valable que pour des roches idéales (c-à-d non fissurée et pénétration du fluide dans la fracture est parfaite). En effet l'erreur absolue est de l'ordre de 0.5 MPa. Conclusion : - La fracturation hydraulique est susceptible de fournir une estimation, généralement par excès, de l’une des contraintes principales s’exerçant sur le réservoir. 3.2.

HTPF (le Test Hydraulique sur Fracture Préexistantes) (Hydro-fracturing Test on Preexisting Fractures) proposée par Cornet et Valette en 1984 En cas où le milieu est peu perméable et fissuré, les fissures préexistantes (repérées par diagraphie) sont aussi des plans de faiblesse susceptibles d'orienter l'amorce d'une fracture hydraulique. On met les fractures isolées entre 2 obturateurs annulaires gonflables, on injecte le fluide jusqu'à l'ouverture de la fracture, on assimile la pression d'ouverture. L'ensemble des mesures obtenues est traité par une méthode de problèmes inverses pour caractériser soit le tenseur de contrainte moyen s'exerçant dans le volume testé, soit le champ de contrainte et ses variations dans l'axe du forage. On disposera d'un système linéaire surdéterminé pour calculer les valeurs cherchées par modélisation numériques. 3.3. Procédé des ruptures à la paroi du puits (en forage) L'observation (par le BHTV : BoreHole TeleViewer ou le microrésistivimètre de paroi) des ruptures -dans la roche- durant le forage, est la méthode la moins couteuse pour évaluer la direction de la contrainte principale majeure au sein de la formation encaissante, en obtenant l'ordre de sa grandeur. Le forage annule la contrainte qui s'exerçait sur la future paroi, ou la diminue en cas d'utilisation de la boue. Dans le cas d'un forage à boue dans une roche poreuse, la contrainte P exerçait par la boue est purement normale donc principale, dont : P  Pboue  Pi ………………………………………………………………(4) Avec : Pboue est la pression de la boue Pi est la pression interstitielle (de pore) Cette diminution peut causer l'endommagement de la paroi, en impliquant de graves conséquences telles que la production du sable ou de fragment, coincement de l'outil, perte de boue …etc.

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3.3.1. Exp 

Caractéristiques mécaniques des roches aux conditions du front de taille La résistance des roches augmente avec la pression exercée sur elles La résistance des roches dépend de la pression environnante

Le sable de Miocène (en Golf Coast), carotté à 10 cm/h, la carotte s’écrasait sous les doigts sous la pression atmosphérique (au sol)  Il existe des particularités concernant les formations géologiques, telle que les formations siliceuses ou quartzitiques, qui sont très peu influencées par les pressions environnantes quelque soit leurs profondeurs - La forabilité des roches est inversement proportionnelle à sa profondeur

3.3.2. Contraintes effectives à la paroi du puits Soit autour d'un futur forage vertical, une contrainte principale verticale  v et  H ,  h les contraintes horizontales à l'infini, différentes de  v et plus petites. Le forage définis des contraintes effectives radiales  r et tangentielles   agissant dans le plan horizontal qui ont pour valeur : r   

H h  2

a2 1  2  r

H h  2

  H h   2 

a2    h 1  2   H 2  r 

 3a 4 a2 1  4  4 4 r r   3a 4 1  4 r 

 a2  cos 2  P 2 ..............................................(5, a) r 

 a2  cos 2µ  P 2 .......................................................(5, b) r 

La composante verticale prend la valeur z  v 

 H  h 2

cos 2..............................................................................................................(5, c)

dont : a est le rayon du puits r : distance d’un point quelconque du milieux poreux à l’axe du puits φ : angle que fait le rayon vecteur du point avec la direction de la plus grande contrainte principale horizontale sur les parois du puits, où r = a - La contrainte normale  r exercée par la boue P  , l’équation (4) - La contrainte ortho-radiale (   perpendiculaire à la précédente et à l'axe du puits) - La contrainte verticale  z . Ces deux contraintes n’étant pas égale, il en résulte une contrainte de cisaillement, son maximum sera égale à : 

  r 2

On remarque que la rupture de la roche à la paroi du puits, se fait par traction, compression, cisaillement et écaillage 15

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3.4. Mesure des carottes - Mesures de recouvrance et de recompression des carottes Les carottes se déforment souvent en parties différées, après la surpression des contraintes et l'annulation de la pression interstitielles. Dès l'extraction de ces dernières du carottier, on mesure ces déformations différées, en essayant d'en déduire –au moins l'orientation- des contraintes en place, avant environ 72 heures, où les déformations différées perdent leurs effets sur les carottes Interprétation : Le carottage produit des microfissures, leurs densités varie avec l’amplitude de la contrainte normale à la direction du plan considéré (ce résultat devient flagrant lorsque la roche est anisotrope et/ ou fissurée) NB : Cette technique est devenue peu employée avec le développement des techniques d’observation des parois - Etude de discage des carottes « selle de cheval » Les carottes connaissent une rupture spontanée sous forme d’un empilement de disques, lorsque les roches sont soumises à des fortes contraintes. Contraintes in-situ plus fortes → disques plus minces Les selles de cheval → informations sur l’orientation des directions principales 3.5. Variations de contraintes au cours de l'exploitation du gisement Dans un réservoir tectoniquement au repos, on observe que la contrainte effective horizontale  h ' dépend de la contrainte effective verticale  v ' , en sorte que :  h '  0.25à0.33 v '

Cette relation ne présente pas un caractère général, dont on observe parfois que :  h '   v ' (exp : réservoir Hassi Messaoud) D'après les études effectués depuis les années 1970, il apparaît que chaque site à ces caractéristiques propres à lui traduite dans la valeur K, dont : h  K (K dépend de la loi de comportement de la roche ainsi que d'autres facteurs v moins clairement identifiables) Les gisements exploités deviennent des zones perturbées, car le remplacement des matières fossiles produites par des réinjections d'eau perturbe les contraintes au voisinage, en créant d'éventuelles ruptures stables, instables ou déférées. L'abaissement de pression interstitielle dans le gisement pétrolier diminue les contraintes horizontales.

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Chapitre III : Les déformations On appelle déformation un changement de distance entre deux points matériels d'un milieu. Elle s'accompagne donc d'un déplacement ainsi que d'un changement de forme 1. Gradient de déformation et de déplacement

   Le vecteur déplacement de à r est défini par : R    (1) u  x  X …………………………………………………………………..   Le vecteur de déplacement u peut être exprimé en fonction de X (représentation Lagrangienne) :  u  U i X j , t ei  ui x j , t ei …………………………………………………. (2) Exps :  le cisaillement simple

Les plans //  X 2  0 glissent avec une amplitude f t  proportionnelle à X 2 dans la direction 1  x1 t   X 1  f t X 2   x 2 t   X 2  x t   0  3

ou

 X 1  x1 t   f t x 2   x 2 t   X 2  x t   0  3

Le vecteur de déplacement U 1 X j , t   x1  X 1  f t X 2 u1 x j , t   x1  X 1  f t x2   ou u 2 x j , t   0 U 2 X j , t   0   U 3 X j , t   0 u3 x j , t   0  la dilatation uniforme   x1 t   g t X 1  x2 t   g t X 2 avec g t  une fonction de proportionnalité   x3 t   g t X 3 17

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Le vecteur de déplacement U1 X j , t   x1  X 1  g t X 1  X 1  X 1  g t   1   U i X j , t   X i g t   1 U 2 X j , t   X 2  g t   1  U 3 X j , t   X 3  g t   1 Ou  u1 x j , t     u 2 x j , t     u3 x j , t   

x1  X 1  x1   1    1  

1   x2 g t   1   x2 g t  

 1 1   x1 x1  1  g t  g t   

 1   xi  ui x j , t   1    g t  

 le gradient de déformation Soit N  X  l'ensemble des points constituants le voisinage d'un point X appartenant à un milieu continu et Y un autre point proche de X appartenant à N  X  . Le mouvement des points matériels dans N  X  peut être décrit par un développement de série de Taylor. xi Y j  X j   ... yi  xi  X j xi X i dx j ……………………………………… (3) dX j ou encore dX i   dxi  X j x j Les composantes

xi définissent le tenseur des gradients de déformation au point X. X j

Il est noté : F   Fij , sa connaissance permet donc de représenter le mouvement dans le voisinage X. 18

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F   Fij



xi X i 1 1  F   Fij  X j x j

(tenseur inverse)

Exps :  le cisaillement simple  x1   X 1  F    x2  X 1  x3  X  1

x1 X 2 x 2 X 2 x3 X 2

x1   X 3   1 x 2     0 X 3   x3   0 X 3 

f t  0   1 0 0 0 

F 

1

et

 1  f t  0     0 1 0 0 0 0  

 la dilatation uniforme 0   g t  0 1 0 0     F    0 g t  0   g t  0 1 0   g t ij  0 0 0 1 0 g t    

et

F 1



1  ij g t 

 La relation entre le déplacement et le gradient de déformation Divisons les équations (1) et (2) sur X , on aura : ui U i xi X i xi      ij  Fij  ij X j X j X j X j X j Donc : xi U i X i u Fij   ij    ij  i ………………………….. (4) ou Fij1  X j X j x j x j 2. Tenseur de déformation et déplacement   d X Soient dL etdl respectivement les longueurs des éléments et dx .  dL2  dX .dX  dX m dX m De l'équation (3), on aura : X m X m X m X m dL2  dxi dx j  dL2  dxi dx j xi x j xi x j De la même manière on a :   dl 2  dx.dx  dxm dxm x x x x dl 2  m dX i m dX j  dl 2  m m dX i dX j X i X j X i X j  Le tenseur de déformation de Green Gij 

G  Gij



xm xm T  F  F …………………………………………………… (5) X i X j 19

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 Le tenseur de déformation de Cauchy g ij  g   g ij  X m X m  F 1 T F 1 ……………………………………………….. (6) xi x j On peut écrire donc : dl 2  Gij dX i dX j dL2  g dx dx ij i j 

  

Le tenseur de Green nous permet la détermination de la longueur déformée dans la configuration finale en fonction des composantes dans la configuration initiale, tandis que l'inverse est réalisé par le tenseur de Cauchy Mais généralement on s'intéresse à D  dl 2  dL2  qui traduit le changement de configuration suite à une déformation. D  dl 2  dL2  Gij dX i dX j  dX m dX m D  dl 2  dL2  Gij dX i dX j  ij dX i dX j

D  dl 2  dL2  Gij  ij dX i dX j Donc : 2 ij  Gij  ij est le tenseur de Lagrange ……………………………….. (7)

De la même manière, on aura : D  dl 2  dL2  dxm dxm  g ij dxi dx j D  dl 2  dL2  ij dxi dx j  g ij dxi dx j

D  dl 2  dL2  ij  g ij dxi dx j Donc : 2 ij  ij  g ij est le tenseur d'Euler ………………………………………..(8)

 Relation tenseur déformation-déplacement De l'équation (5) et l'équation (7) on a : 2ij  Gij   ij 

xm xm   ij X i X j

On aussi l'équation (4) : xi U i Fij   ij  X j X j On peut écrire alors : 2 ij   ij 

 xm xm x  x  ij    mi  m   mj  m X i X j X i  X j 

   ij  

 1  U i U j U m U m      ………………………………………………. (9) 2  X  X  X  X  j i i j   21

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De la même manière, on obtient : 1  ui u j u m u m      …………………………………………………(10) 2 xi x j    x j xi

 ij  

3. Hypothèse des petits déplacements et des petites déformations Si on néglige les termes d'ordres 2 qui introduisent la linéarité, on obtient les tenseurs de déformations infinitésimales :  ij 

1  U i U j      2  X j X i  

1  u i u j     2  x j xi  

et  ij  

On peut aisément vérifier la symétrie de ces deux tenseurs, cette simplification n'aura un sens que si les déplacements sont très petits. Les conséquences ce cette hypothèse :   - remplacement des dérivées partielles / X i par celles / xi :  X i xi - eij peut être utilisé à la place de  ij et  ij , dit tenseur de. Petits déplacements → petites transformations → petites déformations De l'équation (4) on peut mettre :     1 3  1 3  1 2 1 2               3 1 3 1 2 1 2 1   11   0  1 1 1 2 2 2 2  1  2  3   2    1   2  32   32    12   12  32   32   1   2 2 2 2 H   gradU  1  2  3    2 0  2 2 2 2   13  32  33   3   3  1 3 2 1 3 2 1   3  2   3    1   3  2   3 3   3 0      2  2 2 2          SYMETRIQUE ANTI  SYMETRIQUE       1 3  1 2        3 1 2 1   11  2 2  2  1  32   32   1   2 2 eij   2 2 2   3  1 3 2 3  1   3  2   3 3    2  2     SYMETRIQUE  

e  eij

est nommé aussi le tenseur des déformations linéaires. Lorsqu'il s'annule → mouvement rigide

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Université KASDI MERBAH Ouargla Faculté des Sciences et Technologie et Sciences de la Matière Département d’Hydrocarbures et Chimie Module : La mécanique des roches (cours) Niveau : 1ère année mastère – Forage Enseignante : HADJADJ SOUAD     12   12  13   13   0  2 2   2 1  32   32   1   2  ij   0 2 2   3  1 3 2  1   3  2   3 0    2  2      ANTI  SYMETRIQUE  

  ij

est nommé aussi le tenseur de rotation infinitésimales.

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