Mécanique des Millieux Continus Exercices et corrigés

´ ANNALES CORRIGEES ´ ET COMPLEMENTS du cours de M´ ecaniqu ecan ique e des Milieux Mili eux Continus Continus

Professeur Olivier THUAL INPT/ENSEEIHT 15 d´ ecembre ece mbre 2006 200 6

2

Sommaire Ce fascicule f ascicule contient des docum d ocuments ents compl´ com pl´ementaires ementaires au polycopi´ pol ycopi´e princip p rincipal al ` ´ du cours intitul´e “INTRODUCTION “INTRODUC TION A LA MECANIQUE DES MILIEUX ´ CONTINUS DEFORMABLES” dans le cadre de la premi`ere ere ann´ee ee de formation du cycle d’ing´enieur enieur du D´epartement epartem ent “Hydrauliqu “Hydr auliquee et M´ecanique ecanique des Fluides” Fluides” de l’ENSEEIHT. l’ENSEEIHT. Il contient conti ent les ´el´ el´ements ement s suivants sui vants :

• Organisat Organ isation ion g´ en´ en´ erale erale du cours cour s “m´ ecanique ecan ique des milieux milie ux conti-

d u cours, cour s, d´ eroulement eroulement pratique du cours, programme nus” : syllabus du d´etaill´ etai ll´e cours/ cou rs/TD TD et fiche d’´evaluatio evalua tion n de l’enseig l’en seignem nement. ent. Introduction Introduction a` la l a M´ecanique ecaniqu e des Milieux Continus D´efor ef orma mabl bles es - O. Thual Thu al - C´epad ep adu` u`es es 1997 19 97..

• Errata du livre :

• Annales corrig´ees ees des partiels : portant sur les chapitre 1 `a 5. • Annales corrig´ees ees des examens : portant sur les chapitre 1 `a 8. • Pr´esenta ese ntatio tion n synth´ synt h´ etiqu et ique e du cours cou rs : copie des planches du diaporama de pr´esentation esentation du cours.

• Copie des transparents du cours. L’´eventuelle eventue lle mise `a jour (voir les dates) de ces documents est disponible `a l’adresse l’adresse : http://www.enseeiht.fr/hmf/ens http://www.enseeih t.fr/hmf/enseignants/ eignants/thual thual

3

4

´ ERALE ´ ORGANISATION GEN DU COURS DE ´ MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS O. Thual, 15 septembre 2006 L’objet de cette note est de donner un certain nombre d’informations pratiques tiques concernant concernant l’organisat l’organisation ion du cours de “M´ ecanique ecanique des Milieux Milieux Continus” en premi`ere ere ann´ee ee de la formation forma tion d’ing´enieur enieur du D´epartement epartem ent “Hydraulique - M´ ecanique ecanique des Fluides” de l’ENSEEIHT.

0.1

SYLLABUS

´ MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS Sem Semestre A

Cours urs : 11 11 x 1h45 h45 h

TD : 11 x 1h45 h45 h

Cr´edits : 4

ecanique, milieux continus, continus, ´equations equations de bilan, lois de comMot Mo ts-C s- Cl´ es : m´ecanique, portement, por tement, ´equations equatio ns de Navier-Stokes. Navier-St okes. Introductio tion n `a la M´ ecanique ecaniqu e des Milieux Continus D´eeBibliographie : [1] Introduc formables forma bles - O. Thual - C´epadu` epadu`es es 1997. [2] http://www-hmf.enseeiht.fr ecanique des milieux contiObjectif  : Assimiler les concepts de base de la m´ecanique nus en amont des cours d’´elasticit´ elasticit´e et de m´ecanique ecaniqu e des fluides. fluides . Comprendre Compr endre la d´erivat er ivatio ion n exhau exh austi stive ve des d es ´equat equ atio ions ns de Lam Lam´´e (´elasti ela sticit´ cit´e) e) et de Navier Navi er-S -Sto tokes kes (m´ecaniqu ecan iquee des d es fluid fl uides). es). ebute par la pr´esentation esentation de quelques quelque s exp´eriences eriences Programme : Le cours d´ebute de base. L’´ etude etude des grandes d´eformations eformations permet de pr´esenter esenter le tenseur des dilatations dilatations et d’introduire d’introduire les notions de repr´ repr´esentatio esentations ns lagrangienne lagrangienne et eul´ erienne. erienne. L’´ etude etude de la cin´ ematique ematique des milieux continus continus comprend la pr´esenta ese ntati tion on du tenseu ten seurr des d es tau t aux x de d e d´efor ef orma mati tion on et d´ebou eb ouche che sur su r les l es th´eor` eor `emes em es de transport. Les notions de vecteur vecteur flux et de tenseur des contrain contraintes tes sont pr´esent´ nt´ees `a partir de l’hypoth` ese ese de milieu continu. continu. Tous les outils sont alors en place pour appliquer aux milieux continus les principales lois de conservation conservation de la m´ ecanique ecanique : masse, quantit´ e de mouvement et ´energie. energi e. La pr´esentation esentation des lois de comportement comp ortement de l’´elasticit´ elastici t´e lin´eaire eaire et des fluides newtoniens newton iens permet per met de conclure conclu re en ´ecrivant ecrivant les ´equations equatio ns de Lam´e et de Navier-Stokes. Navier-Sto kes. O. THUAL, C. BOSC, M. DUVAL

0.2.

0.2

´ DEROULEMENT PRATIQUE 

5

´ DEROULEMENT PRATIQUE

• Informati Informations ons en ligne ligne :

comme pour les autres comme autres enseigne enseignemen ments, ts, les informations en ligne sur ce cours sont accessibles `a la rubrique rubr ique “Pr´eesentat sentation ion des enseig enseignem nemen ents ts et Cours Cours en ligne” ligne” de l’INTR l’INTRANET ANET du D´ epartement, epartement, sous forme lisible en INTERNET : http://www-hmf.enseeiht.fr/

On y trouve, trouve, par exemple, exemple, le texte du livre corrig´ e des errata connus, connus, tous les partiels part iels et examens exame ns des ann´ ees ees pr´ ec´ ec´ edentes edent es, un film en anglais illustrant le cours, le pr´esent esent do cument, etc. : la pr´esence esen ce des ´el` el`eves eves est souhai sou hait´ t´ee ee aux horair hor aires es l´egaux ega ux d´ efinis efinis par le D´ epartement epartement et qui sont sont 8h00 - 9h45, 10h15 - 12h00, 14h00 - 15h45, 16h15 - 18h00.

• Horaires

• Cours magistral : le cours oral proprement dit durer entre 1h45 sans pause.

: l’´evaluation evaluation est effectu´ee ee `a l’aide d’un partiel `a miparcours parcours et d’un examen `a la fin du cours. Ces contrˆ contrˆoles oles ´ecrits ecri ts sont indiind ividuels et sans san s documents. do cuments. Cependant, Cepen dant, les l es ´etudiants etudia nts ont la l a possibil p ossibilit´ it´e de se munir d’un d’u n aide-m´emoire emoire d’une page pa ge manuscripte manuscr ipte A4 recto-verso r ecto-verso pour pou r le partiel partiel et de deux pages pour l’examen. l’examen. Ces aide-m´ emoires emoires auront auront ´et´ et´e pr´epar´ epa r´es es indi in divid viduel uellem lement ent par pa r les ´etudi etu diant antss lors lo rs de leurs leu rs r´evisi evi sion ons. s.

• Evaluations

• Coefficients : le coefficient du partiel est ´egal egal au coefficient co efficient du contrˆole. ole. Le coeffici co efficient ent total tota l du cours cou rs est d´ecid´ ecid´e par le D´eparte epa rtement. ment.

e nseigna gnants nts des de s Travaux Travaux Diri D irig´ g´es es ont o nt la possi p ossibil bilit´ it´e • Travaux Travau x Diri Di rig´ g´ es es : les ensei de donner des sujets de contrˆole ole `a faire `a la maison et de les noter. Les notes not es inf´erieur eri eures es `a 10 pourront ˆetre etre alors incluses dans dan s la moy moyenne enne avec avec un coefficient pouvan p ouvantt ´egaler egaler ceux du partiel et du contrˆole. ole.

ecrit principal pour ce cours est l’ouvrage • Livre du cours : le supp ort ´ecrit

“Introdu “Introducti ction on a` la M´ ecanique ecanique des Milieux Milieux Continus Continus D´ eformables” eformables” (O. Thual, Thua l, C´epadu` epad u`es es 199 1997) 7) qui est distri dis tribu´ bu´e aux ´etudia etu diants nts en d´ebut ebu t de scolarit´ e pour une p´eriode eriode de trois ans. Cet ouvrage contient contient un certain nombre d’exercices d’exer cices que les ´etudiants etudia nts sont encourag´ encour ag´es es `a travailler.

• Film sur CD-ROM : plusieurs CD-ROMs sont disponibles pour un

prˆet et de courte dur´ee, ee, afin de pouvoir visionner, sur un ordinateur (format .mpg) un film d’environ une heure illustrant l’exercie 3.8 du cours. Voir aussi les pages du cours en ligne.

• Fiches d’´evalution etu diant antss sont s ont invit´ inv it´es es evalution du cours et des TDs : les ´etudi

a` remplir une fiche d’´evaluation evaluation du cours et une fiche d’´ evaluation evaluation des TDs, et `a les remettre le jour de l’examen final.

´ ´ COURS/TD PROGRA RAMM MME E DETAILL E 0.3. PROG

7

´ FICHE D’EVALUATION DU COURS DE ´ MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS Afin d’´etablir etablir un bilan du d u cours et d’envisager d’envis ager des modificat mo difications ions de l’enseignem l’en seignement, ent, merci de bien vouloir remplir ce questionnaire.

NOM (facultatif : ) : Tr` e s Bi en en

B ie ie n

Moye n

Pa ss ss ab abl e

Ma uv uvai s

Commentaires

D´efinit efin itio ion n des objectifs du cours Documentation ´ecrite ecri te du cours cou rs Intervention de l’enseignant Contrˆ ole ole des connaissances Atteinte des objectifs du cours

Commentaires Commentai res suppl´ementaires ementaires :

´ ´ AU COURS FICHE D’EVALUATION DES TD ASSOCI ES NOM DE L’ENSEIGNANT DE TD : Afin d’´etablir etablir un bilan des d es TD et d’envisager des modificati mo difications ons de l’enseignement, l’ens eignement, merci de bien vouloir remplir ce questionnaire.

NOM (facultatif : ) : Tr` e s Bi en en

B ie ie n

Choix des sujets d’exercices Documentation ´ecrit ecr itee du d u TD Intervention de l’enseignant Participation des ´el`eves ve s Articulation avec le cours

Commentaires Commentai res suppl´ementaires ementaires :

Moye n

Pa ss ss ab abl e

Ma uv uvai s

Commentaires

8

ERRATA DU LIVRE Erreurs portant sur le fond l’exp ression “produit “produit contract´ e” e” par “pro “ produit  duit  dou1. p. viii : remplacer l’expression e” e” dans tout le livre blement contract´ A : A′

Produit doublement contract´e de deux tenseurs tenseur s

ero de l’axe l’a xe x3 est sur la plaque du bas et non  2. p. 11, Figure 1.7 : le z´ero sur la plaque du haut. 3. p. 26, titre de 2.2.1 :

C(a, δa, δa′ ) au lieu de C(a,δa,δa′ )

4. p. 33 ´ equation equa tion (2.27) (2.2 7) : A au lieu de A. 5. p. 40 : une rotation ... au lieu de un rotation rotation 6. p. 49, ligne eri ennee B (E ) (x, t) d’un champ ... au lieu de ligne fin-2 fin-2 : eul´erienn B (L) 7. p. 58, paragraphe 2, ligne 2 : du voisinage de x ... au lieu de x(t) 8. p. 59, ´ K  [x(t), t] au lieu de K (x, t) (2 occurences) equation equa tion (3.44) (3.4 4) : K [ 9. p. 59 ´ equation equa tion (3.46) (3.4 6) : D [x(t), t] au lieu de D(x, t) 10. p. 59 ´ K  [x(t), t], t K [ K  [x(t), t] et D [x(t), t], au lieu de equation equa tion (3.45) (3.4 5) : K [ t K (x, t) K (x, t) et D(x, t) (respectivement) 11. p. 63, entre (3.55) et (3.56) : K [ K  [x(t), t] au lieu de K [ K  [x, t] 12. p. 76, Exercice 3.1 : β (t) = β 0 sin(2ωt sin(2ωt)) au lieu de β (t) = β 0 sin ωt 13. p. 79, Exercice 3.6, ligne 1 : U 3 = 0 au lieu de U 3 = 0 14. p. 79, Exercice 3.6, question 3 : A21 = 4λ au lieu de A21 = 15. p. 79, Probl` eme eme 3.7 : la convention  U  = changer l’´equation equat ion (3.102) (3.102 ) en  U 1 (x, t) =

∂ψ( ∂ψ (x, t) ∂x 2

et U 2 (x, t) =

9

−4λ

−e(3) ∧ grad ψ conduit a a` 

∂ψ (x, t) , − ∂ψ( ∂x 1

(3.102)

10

M´ ecanique ecanique des Milieux Continus, O. Thual, December 17, 2006 

au lieu de U 1 (x, t) =

∂ψ (x, t) − ∂ψ( ∂x 2

et U 2 (x, t) =

∂ψ( ∂ψ (x, t) , ∂x 1

(3.102)

16. p. 80, Probl` erifiant ψ [x(s), t] = ψ0 au  Probl` eme eme 3.7, question 3 : ... v´erifiant lieu de ψ [x(s)] = ψ0 (t) 17. p. 80, question 12 : supprimer la question 12 qui a d´ ej` ej` a ´et´e pos´ee 18. p. 81, Probl` Calculer er les les deux premiers eme eme 3.8, question 4 : Calcul premiers eve lopp ppem ement ent limi li mit´ t´e au lieu de Calcule Cal culerr le l e d´evelopp evelop p ement termes du d´evelo limit´e (i)

19. p. 82, Probl` efin s par a1 = (n eme eme 3.8, question 11 : d´efins (i) /n) δl au lieu de a1 = ( n i /n)

| −|

/n) δl − |i|/n)

20. p. 87, : ce r´esultat esu ltat ... au lieu de cet r´esul es ultat tat 21. p. 89, Figure 4.2 : Log h sur l’axe des abscisses au lieu de Log (

V  Dh)

22. p. 128, ´ dans le dernier dernier ter terme me de equation equation (5.30) : il manque x j dans l’´ l’´equa eq uati tion  on  ∂  ∂σ kl [εijk x j σkl (x)] = εijk δ jl σkl (x) + εijk x j (x) , ∂x l ∂x l

(5.30)

23. p. 145 et 146, section 6.2.2 : f  au lieu de ρ f  ou f cont au lieu de ρ f cont dans les ´equations equatio ns suivantes

    D ∧ ∧     M D ∧        M D ∧ ∧   ∧ −  ∧   d σ [ (t)] = dt

 

D(t)

x

extvol

cont [

d dt

D(t)

(t)] =

∂  (t)

3

f d x+

[ (t)] =

x

D(t)

D(t)

x

T ( T (x, n) dS  =

D

ρ x U d3 x

∂  (t)

f cont d3 x .

x

f d3 x ,

D(t)

x

x T ( T (x, n) dS  =

D

(6.24) (6.25)

f cont d3 x

D(t)

(6.26)

x f d3 x (6.28)

∧

24. p. 161 et 162, equation (6.81) : terme cW  en trop d dt

  −   D(t)

3

cd x+

 

∂  (t)

D

Σ(t Σ(t)

∩D(t)

Qc n dS 

·

[[Qc ]] n dS  =

·

 

D(t)

f c d3 x .

(6.82)

12

M´ ecanique ecanique des Milieux Continus, O. Thual, December 17, 2006 

39. p. 222, Corrig´ 13..5 10−6 . On en d´eduit edu it e 1.2, question 3 : ∆ = ... = 13 − 6 ... sans unit´e au lieu de ∆ = ... = 13 13..5 10 Pa. On en d´eduit eduit ... 40. p. 223, Corrig´ 13..5 10−6 . On en d´eduit eduit e 1.2, question 7 : Q= ... = 13 − 6 ... sans unit´e au lieu de = 13 13..5 10 Pa. On en d´eduit eduit ...

√ √

41. p. 223, Corrig´ Corrig´ e 2.2, question 3 : sin γ 12 12 = C 12 12 / C 11 11 C 22 22 au lieu  de γ 12 12 = C 11 11 C 22 22

√ √

petit, c’est c’est une 42. p. 224, Corrig´ Corrig´ e 2.3, question 4 : “lorsque k est petit, exp´ ex p´erie er ience nce ... .. .” es sont des Pa/s 43. p. 224, Corrig´ e 3.2, question 4 : les unit´es 44. p. 226, 2 26, Corrig´ Corr ig´ e 3.7, 3. 7, question ques tion 1 : div U  = ∂ 2 ψ/∂x1 ∂x 2 ∂ 2 ψ/∂x1 ∂x 2 = 0 au lieu de div U  = ∂ 2 ψ/∂x1 ∂x 2 + ∂ 2 ψ/∂x1 ∂x 2 = 0 avec la nouvelle convention pour la fonction de courant .

−

−

45. p. 226, Corrig´ e 3.7, question 2 : Seule la trois ro isi` i`eme em e composante au  lieu de Seule la deuxi`eme eme composante comp osante 46. p. 226, Corrig´ Corrig´ e 3.7, question 3 : avec la nouvelle convention pour  ∂ψ ∂ψ ∂ψ ∂ψ d ψ[x(s), t] = ... = φ(s) la fonction de courant  ds ∂x 2 ∂x 1 + ∂x 1 ∂x 2 = 0

au lieu de

d ds ψ [x(s), t]

= ... = φ(s)

47. p. 228, question 9 : s’´ecrit ecr it (s (2 + k 2 )s + 1]

−

∂ψ ∂ψ ∂x 2 ∂x 1

−

+

∂ψ ∂ψ ∂x 1 ∂x 2





= 0.

1)[s2 − (2 + k 2 )s + 1] au lieu  s[s2 − − 1)[s

(i)

(i) /n) δl au lieu  a1 = (|n − i|/n) /n) δl − |i|/n) 49. p. 235, question 1 : remplacer  ge (3) par  g(cos α e(3) − sin αe(1)). 50. p. 235, question 6 : remplacer  p(x, z ) = f ( f (x)−ρ0 gz cos α par  p(x, z ) = f ( f (x) − ρ0 g(z − h)cos α. 51. p. 235, question 8 : remplacer  U ′′ (z ) = par  U ′′ (z ) = −g sinν α .

48. p. 228, question 11 : a1 = (n

52. p. 235, question 11 : contrainte au lieu de force 53. p. 235, question 11 : (cos α e(3)

− sin αe(1)) au lieu de

e(3) .

54. p. 236, ´ rempla cer l’´equati equ ation on par  equation equat ion (9.1) (9.1 ) : remplacer σ =  patm

−



1 0 0 0 1 0 0 0 1

 −

ρ0 g(h

− z)

 −

55. p. 236, 236, ques questi tion on 17 : remplacer  = 2 2 3 ρ0 S  g h sin α/(3 α/(3ν  ν n )

−

cos α 0 sin α

−

0 cos α 0

−

−ρ0Sgh Sg h3 sin2 α/(3 α/(3ν  ν n



sin α 0 cos α (9.1) ) par  =

13

M´ ecanique ecanique des Milieux Continus, O. Thual, December 17, 2006 

Erreurs portant sur la forme 1. p. 13, paragraphe 2, ligne 1 : ... ´elastique elastiqu e (chapitre 7), on ... 2. p. 20, ligne 3 : ... une masse de 4,5 tonnes ... 3. p. 26, paragraphe 4 : En notation indic´ peu t alors a lors ´ecrire ecrire ... ee on peut 4. p. 27, ´ equation equa tion (2.9) (2.9 ) : = au lieu de = = 5. p. 27, ´ equation equa tion (2.11) (2.1 1) : F ni ni (a) F nj nj (a) au lieu de F ni ni (a) , F nj nj (a) 6. p. 27, ´ equation equa tion (2.11) (2.1 1) : 7. p. 40, paragraphe 2, ligne 6 : une rotation au lieu de un rotation. rotation. 8. p. 81, Probl` eme eme 3.8, ligne 4 : e(1) , e(2) , e(3) .

{

}

9. p. 87, paragraphe 3, ligne 4 : Ce r´esu es ultat lt at au lieu de Cet r´esulta esu ltat. t. 10. p. 119, Tableau 5.1 : remplacer  0 par  0 pour les grandeurs vectorielles nulles 11. p. 142, titre de 6.1.4 : Loi de conservation de la masse au lieu de Lois de conservation de la masse 12. p. 179, ligne 1 : que l’on a fait au lieu de que l’on l’ a fait. 13. p. 183, ´ equation equation (7.54) : au lieu de λ = ... µ = ...

λ = ... et et . (7.54)

µ = ...

(7.54)

14

M´ ecanique ecanique des Milieux Continus, O. Thual, December 17, 2006 

PARTIELS Les partiels portent sur les chapitres 1 `a 5 du livre “Introduction `a la M´ecani eca niqu quee ´ des Milieux Mili eux Continus Cont inus D´eformab efor mables” les”,, O. Thual, Thua l, C´epadu` epad u`eses- Editions Editions 1997.

PARTIEL 2006

` E 9.1 PROBLEME EM 9.1

La gomm gomme e et le chat hat

On consi con sid` d`ere, er e, dans da ns ce prob pr obl` l`eme, em e, une un e lon l ongu gueur eur de r´ef´ ef´erenc er encee l que l’on prendra ´ega galle a` 2 cm pour les trac´ es es graphiques. On d´efinit efinit le domaine Ω 0 par :

∈

Ω0 = a

3

IR tel que 0

≤ a 2 ≤ l , |a 1 | ≤ l

et

  − − l2

a21

≤ a3

 ≤ l

.

Grand Gra ndes es d´ d´ eform ef ormati ations ons On consid`ere ere un mouvement x = X (a, t) d´efini efi ni par pa r x1 = k(t) a1 ,

x2 = a 2 ,

et

x3 = a3 + β (t) a21 ,

(9.2)

avec k (t) = 1 + α[1 cos(2 ω t)] et β  = β 0 sin(ω sin(ω t) avec α 0 et β 0 0. Pour les trac´es es graphiques, graph iques, on consid´erera erera les valeurs num´eriques eriques α = 1/2, − − 1 1 β 0 = 1 cm et ω = π/4 π/4 s .

−

≥

≥

1) Tracer l’intersection entre le domaine Ω 0 et le plan a2 = 0. 2) Tracer sur un u n mˆeme eme graphe g raphe les fonction fo nctionss k (t) et β (t) en fonction du temps. 3) Calculer le tenseur des dilations C (a, t) pour tout point a. 4) Calculer le volume du domaine Ω 0 et de son image Ω(t Ω(t). 5) On consid`ere ere les points po ints E i , i = 1,..., 6 dont les coordonn´ees ees respectives (0, 0, l), E 3 : (l, 0, 0), E 4 : a = (a1 , a2 , a3 ) sont E 1 : ( l, 0, 0), E 2 : (0, (l, 0, l), E 5 : (0, (0, 0, l) et E 6 : ( l, 0, l). Tracer ces six points dans Ω 0 . 6) Tracer les images H i , i = 1,..., 6 des ces six points de coordonn´ees ees x = X (a, t) au temps t∗ = 2 s.

− −

−

15

16

PARTIEL 2006, MMC, O. Thual, December 17, 2006 

7) Calculer la jacobienne F ( F (a, t∗ ) pour le point E 6 au temps t = t∗ .

8) Dessiner deux petits vecteurs δa = δa e(1) et δa′ = δa e(3) autour de E 6 en choisissant δa quelconque. Dessiner leurs images respectives δx et δx ′ autour du point H 6 . 9) D´eduire edu ire des question ques tionss pr´ec´ ec´edentes edent es un trac´ tra c´e approxi app roximat matif if de la fronti` fro nti`ere ere ∂ Ω(t Ω(t∗) du domaine Ω(t Ω(t∗ ) dans le plan (x (x1 , x3 ).

Images de cercles 10) Interpr´ I nterpr´eter eter les composantes comp osantes de C (0, (0, t) pour tous temps. 11) On consid` con sid`ere ere b le cercle de centre a = 0 et de rayon l/4 l/4 dans le plan (x1 , x3). Dessiner le cercle b dans le domaine Ω 0 ainsi que son image au temps t = t∗ = 2 s dans le domaine Ω(t Ω( t∗ ), mˆeme em e sch´ s ch´emat em atiq ique ueme ment nt.. 12) Donner l’´ equation equation de cette image `a l’aide des coordonn´ coor donn´ees ees (x1 , x3 ). 13) On consid`ere ere les points poi nts G et D dont les coord co ordonn´ onn´ees ees a respectives sont G : ( l/2 l/2, 0, l/2) l/2) et D : (l/2 l/2, 0, l/2). l/2). Dessiner Dessiner ces points dans le domaine domaine Ω0 ainsi que leurs images respectives L and R au temps t = t∗ dans le domaine Ω(t Ω(t∗ ). 14) Calculer la jacobienne F ( F (a, t∗ ) autour autour du point point D.

C

C

−

15) Dessiner deux petits vecteurs δa = δa e(1) et δa′ = δa e(3) autour de D en choisissant δa quelconque. Dessiner leurs images respectives δx et δx ′ autour de l’image de D au temps t = t∗ . 16) Calculer, pour le temps t = t∗ , l’angle de glissement des directions Ox 1 et Ox3 prises autour du point D `a t = 0 s. Compare Comparerr avec avec la questi question on pr´ec´edente nt e. 17) D´eduire eduir e des questions question s pr´ec´ ec´edentes edentes le trac´e approximatif appr oximatif de l’image au temps t = t∗ des petits cercles de centres respectifs G ou D et de rayon l/10. l/10. 18) Dessiner approximativement les images successives de Ω 0 de t = 0 s `a t = 4 s. ` quoi est ´egal 19) A egal Ω(t Ω(t) pour t = 4 s ?

Cin´ Ci n´ emat em atiq ique ue 20) Calculer le champ de vitesse vite sse eul´erien erien U ( U (x, t) asso a ssoci´ ci´e au a u mouvem m ouvement ent X (a, t) ci-dessus. 21) Donner l’expression B (L) (a, t) de la repr´ r epr´esentation esentation lagrangienn lagra ngiennee du champ B dont la repr´esentation esentation eul´erienne erienn e est B (x, t) = γ x23 pour x3 0 et B (x, t) = 0 p our our x3 0, o` u γ  est un constante constante.. 22) Donner l’expression de dB dt (x, t). 23) Calculer les tenseurs des taux de d´eformation eformation D(x, t). 24) Tracer la trajectoire issue du point D a` t = 0 s jusqu’`a t = 4 s. d 25) Calculer le taux de dilation relatif  δV 1(t) dt [δ (t)] d’un petit volume δ (t) pris autour de cette trajectoire.

≥

≤

V 

V 

17

PARTIEL 2006, MMC, O. Thual, December 17, 2006 

26) Donner l’expressi l’expression on du vecteur vecteur rotation ω (x, t). 27) Tracer les lignes de champs du champ de vitesse pour t = t∗ = 2 s. 28) On note ρ(x, t) la masse volumique d’un milieu continu contenu dans le ´ domaine Ω(t Ω(t). Ecrire l’´ equation equation de conservation conservation de la masse `a l’aide des fonctions k(t), β (t). 29) En d´ eduire, eduire, en supposant que ρ(x, 0) = ρ0 est un champ homog` ene ene `a t = 0, son expression pour tout temps. 30) Comparer Compar er ce r´esultat esultat avec avec l’expression du jacobien J (a, t). 3 31) On note (t) = Ω(t Ω(t) B (x, t) d x. Calculer (0).

  

B

Corrig Corrig´ ´ e

B

Corrig´ Cor rig´e page pag e 17 

La gomme gomme et le ch chat at 

 H 6











1 

3





 E 5

 E 6

        

5

 E 4

      

 L

R





 D

D

G

 E 1



 E 3



C b

 X  (C b )





 E 2  

4











2 







a)

 





















b)

Figure 9.1: a) Ω0 avant d´eforma efo rmation tion pour  po ur  t = 0, b) Ω(t Ω(t∗ ) au temps  t∗ = 2 s.

Grand Gra ndes es d´ d´ eform ef ormati ations ons ere ere ∂ Ω0 dans le plan x2 = 0 est repr´esent´ esent´ee ee sur la 1)La trace de la fronti` figure 9.1a). 2)La fonction k (t) oscille entre k (0) = 1 et k(2) = 2 avec une p´eriode eriode de 4 s. La fonction fon ction β (t) oscille entre β (6) (6) = 1 et β (2) ( 2) = 1 sur une 2 2 p´eriod eri odee de 8 s. 3)On a C 11 4 βa 1 , C 22 11 = k + 4βa 22 = C 33 33 = 1, C 13 13 = C 31 31 = 2βa 1 et C ij etant etant un u n cylindre dont la section droite ij = 0 sinon. 4)Le domaine Ω0 ´ est la r´ eunion eunion d’un rectangle et d’un demi-disque, on calcule ais´ ement ement que 3 son volume est (Ω (Ω0 ) = (2 + π/2) π/2)ll . Comm Commee J (a, t) = k(t), on a [Ω(t [Ω(t)] = 3 3 (Ω0 ) 5)Les coord co ordonn´ onn´ees ees x = (x1 , x2 , x3 ) Ω(t Ω(t) dx = Ω0 J (a, t) da = k(t) (Ω des points images des points E i sont H 1 : ( 4, 0, 4), H 2 : (0, (0, 0, 2), H 3 : (4, (4, 0, 4), H 4 : (4, (4, 0, 6), H 5 : (0, (0, 0, 2) et H 6 : ( 4, 0, 6) exprim´ees ees en cm. 6)Ces points poi nts sont repr´esent´ esent´es es sur la figure figur e 9.1b). 7)Les composantes de F ( F (a, t∗ ) pour a = ( l, 0, l) sont F 11 4, F 22 11 = 2, F 31 31 = 22 = F 33 33 = 1 et F ij ij = 0

−

  

   V 

−

V 

− −

−

V  −

19

PARTIEL 2005, MMC, O. Thual, December 17, 2006 

r´esultat esultat peut se trouver directement en remarquant que ρ(L) (a, t) = ρ0 J (a, t) avec J (a, t) = k (t). 31)On a (0) = 0l da2 −l l da1 0l γa 23 da3 = 23 γl 5 .

     

B

PARTIEL 2005 ` PROBLEME 9.3 9.3

Chat dans dans un ´ ecoulemen ecoulementt parabolique parabolique

On consid con sid``ere, er e, dans da ns ce prob pr obl` l`eme, eme , une un e lon l ongu gueu eurr de r´ef´ ef´eren er ence ce d que l’on prendra ´ega galle a` 1 cm pour pou r les l es trac´es es graphiques. graph iques. La valeur num´erique erique d’une deuxi`eme eme ´ longue lon gueur, ur, not´ee ee l, n’est n’ est pas pa s pr´ecis´ eci s´ee ee ici. ici . Etant donn´ees ees trois longueurs longu eurs X , Y  et L, on d´efinit efinit le domaine domai ne Ω0 (X,Z,L) X,Z,L) par :

∈

Ω0 (X,Z,L) X,Z,L) = a

IR3

tel que 0

≤ a2 ≤ l , |a1 − X | ≤ L (a1 − X )2 3 (a1 − X )2 ≤ a3 − Z  ≤ 4 L + 4 L L

et



1) Sur un mˆ eme eme graphique, graphique, tracer tracer la projection dans le plan (a1 , a3 ) des domaines Ω0 (0, (0, 0, 4d), Ω0 ( 2d, 2d,d/2), d,d/2), Ω0 (2d, (2d, 2d,d/2) d,d/2) et Ω0 (0, (0, d/2 d/2, d).

−

Champ de vitesse On consid` con sid`ere ere un mouvement mou vement d´efini efin i par sa repr´ rep r´esentati esent ation on eul´erienn eri ennee U (x, t) 2 dont les composantes sont U 1 = 0, U 2 = 0 et U 3 = β  16 d x21 o` u β  est 1 − − 1 1 une constante positive qui prendra la valeur β  = 16 cm s dans pour les trac´ tra c´es es graphi gra phique ques. s.



−



2) Calcu Ca lculer ler l’acc´ l’ acc´el´ el´erati er ation on dU  dt (x, t). 3) Calculer D(x, t) pour les points x tels que x1 = 2d. 4) Calculer le vecteur rotation ω (x, t) pour pou r ces mˆemes emes points. po ints. 5) Tracer le profil de vitesse U 3 en fonction de x1 . 6) Calculer la trajectoire x(t) issue du point a = (a1 , a2 , a3 ). 7) Tracer les lignes de champs du champ de vitesse U ( U (x, t). 8) Donner l’expression du mouvement X (a, t). 9) En d´eduire eduir e l’expressi l’ex pression on du mouvement inverse A(x, t). 10) Donner l’express l’ expresssion sion de la repr´ rep r´esentation esentation lagrangienne lagran gienne U (L) (a, t) du champ de vitesse.

D´ eform´ or m´ ee du chat chat 11) Montrer que la projection dans le plan (x ( x1 , x3 ) de l’image Ωt (X,Z,L) X,Z,L) au temps t de config con figur urat atio ion n de d e r´ef´ ef´eren er ence ce Ω0 (X,Z,L) X,Z,L) est une surface comprise en deux courbes que l’on explicitera. On pourra noter γ  = β t. 12) Sur le mˆ eme eme graphique, tracer pr´ecisement ecisement la projection, pro jection, dans le plan (x1 , x3 ), du doma do main inee d´efor ef orm´ m´e Ωt (0, (0, 0, 4d) pour t = 4 s.

20

PARTIEL 2005, MMC, O. Thual, December 17, 2006 

13) Tracer pr´ecisement ecisement la projection pro jection,, dans dan s le plan (x ( x1 , x3 ), du doma do main inee d´efor ef orm´ m´e Ωt (0, (0, d/2 d/2, d) pour t = 4 s. 14) Toujours Toujour s sur su r le mˆeme eme graphique, graph ique, tracer sch´ ematiquement ematiqu ement et sans s ans calculs la projection dans le plan (x (x1 , x3 ) des de s doma do main ines es d´efor ef orm´ m´es es Ωt (2d, (2d, 2d,d/2) d,d/2) et Ωt ( 2d, 2d,d/2) d,d/2) pour t = 4 s. 15) Donner l’expression B (L) (a, t) de la repr´ r epr´esentation esentation lagrangienn lagra ngiennee du champ B dont la repr´ rep r´esentatio esent ation n eul´erienn eri ennee est B (x, t) = α x21 o` u α est un constante. 16) On note (t) = Ωt (0, (0, 0, 4d) et (t) = D(t) B (x, t) d3 x. Calculer (0).

−

D

B

d 17) Calculer dt (t). 18) 18 ) En E n d´edui ed uire re (t) pour tout temps t.

B B

  

B

Grand Gra nde e d´ eform ef ormat ation ion On consid` con sid`ere ere la grande gra nde d´eforma efo rmation tion X (a) d´efinie efinie par ses composante comp osante X 1 = a1 , 2 2 X 2 = a2 et X 3 = a3 + γ (16 γ (16 d a1 ) avec d = 1 cm et γ  = 14 cm−1 .

−

19) Quel lien existe-t-il entre cette grande grand e d´eformation eform ation X (a) et le mouvement X (a, t) des de s quest qu estion ionss pr´ec´ ec´edent ed entes. es.

 



20) Calcul le gradient de la d´eformation eformation F ( F (a) pour a = 2 d e(1) + e(3) . 21) En d´eduire eduir e le trac´e des images respectives resp ectives des p etits vecteurs δa = δa e(1) et δa′ = δa e(3) pris autour du point a = 2d e(1) + e(3) .



22) 22 ) En E n d´edui ed uire re un trac´ tr ac´e sch´emati em atiqu quee de Ωt (2d, (2d, 2d,d/2) d,d/2) pour t = 4 s. 23) Calculer le volume du domaine Ω0 (0, (0, 0, 4d). 24) En d´ eduire eduire le volume du domaine Ωt (0, (0, 0, 4d) pour t = 4 s. 25) Calculer le tenseur des dilatations C (a) pour a = 2d



e(1)

+ e(3)



.

26) En d´ eduire eduire l’angle de glissement des d es directions e(1) et e(3) . Compa Compare rerr avec le r´esultat esul tat d’une d’u ne des questio que stions ns pr´ec´ ec´edentes. edent es. 27) En E n d´eduire eduire la dilatati d ilatation on relative r elative des p etits vecteurs vecteu rs orient´e dans da ns la direc(3) tion e . 28) Calculer le tenseur des dilatations C (0) (0) obtenus pour a = 0. 29) Compar C omparer er avec le trac´e de Ωt (0, (0, d/2 d/2, d). Corrig´ Cor rig´e page pag e 20 

Corrig´ e

Chat dans dans un ´ ecoulement ecoulement parabolique

( a1 , a3 ), le domaine Ω 0 (0, (0, 0, L) est compris au1)En projection dans le plan (a dessus d’un morceau de parabole reliant les points ( L, L), (0, (0, 0) et (L, (L, L), et au-dessous d’un morceau de parabole reliant les points ( L, L), (0, (0, 3L/4) L/4) et (L, L), ce qui ressemble `a un croissant cr oissant inscrit dans un carr´e de cˆot´e 2L. Le domaine Ω0 (X,Y,L) X,Y,L) s’obtient `a partir de Ω0 (0, (0, 0, L) par une translation de vecteur (X, (X, 0, L). Le trac´e des quatre ensembles indiqu´es es ressemble `a une tˆete et e de chat (voir figure) fi gure) inscrit inscri t dans dan s un parral´ parr al´epip` epip`ede ede rectangle rectang le dont d ont la projection pro jection dans le plan (a (a1 , a3 ) est un carr´e de cˆot´e 8d.

−

−

21

PARTIEL 2005, MMC, O. Thual, December 17, 2006 

Champ de vitesse ∂U  dU  2)Comme ∂U  ∂t = 0, U 1 = U 2 = 0 et ∂x 3 = 0, on a dt = 0. 3)Les composantes K ij ij du gradient des vitesses K  sont toutes nulles sauf  K 31 31 = 2 β x1 . On en d´eduit eduit que les composantes comp osantes Dij sont toutes nulles sauf  D13 = D31 = β x1 , qui valent valent D13 = D31 = 2 β d au point poi nt indiqu´e. e. 4)Les composantes du tenseur des rotations Ω sont toutes nulles sauf Ω 13 = Ω31 = β x1 . En util util-(2) isant la relation Ω31 + ω2 = 0, on en d´eduit eduit ω = β x1 e qui vaut ω = 2 β d au point po int indiqu´ ind iqu´e. e. 5)Le profil de vitesse U 3 (x1 ) est celui d’une parabole qui s’annule pour x1 = 4 d et est maximum pour x1 = 0. 6)L’´equatio equ ation n de d e la tratra 2 2 (3)   jectoire est x(t) = a + β (16d (16d a1 ) t e . Ces trajectoires formes des droites (3) para pa rall` ll`eles ele s a` e . 7)Comme le champ de vitesse est stationnaire, lignes de champ et trajectoires sont confondues. 8)On a X (a, t) = a+β (16d (16d2 a21 ) t e(3) . edu it A(x, t) = x β (16d (16d2 x21 ) t e(3) . 10)On a U (L) (a, t) = 9)On en d´eduit β (16 β  (16d d2 a21 ).

−

−

| |

−

−

−

−

−

−

−

D´ eform´ or m´ ee du chat chat X,Z,L) dans le plan (x ( x1 , x3 ) est comprise au-dessus 11)La projection de Ω t (X,Z,L) 2 2 de la parabole para bole d’´equation equatio n x3 = Z + Z + γ (16d (16d x1 )+ (x1 X )2 /L, /L, qui s’´ecrit ecr it aussi aus si 2 x3 Z + Z  + 16γd 16γd 2 + XL = L1 γ  x21 2LX x1 et en-dessous de la parabole

−

 − −

X2 4L

−

−

−

  −

d’´equatio equ ation n aussi aus si x3 + + = 41L γ  x21 2LX x1 . 12)La projection de Ωt (0, (0, 0, 4d) est la surface au-dessus de la parabole x3 16 16γd γd 2 = 1 1 γ  x21 et au-dessous de la parabole x3 16 16γd γd 2 3d = 16d γ  x21 . En 4d 16d Z + Z  + 16γd 16γd 2

 −

3L 4

−

−

−

 −−

utilisant utilisa nt les valeurs num´eriques erique s de β , t et d qui conduisent `a γ  = 14 cm−1 et d = 1 cm, ces ´equations equations s’´ ecrivent ecrivent respectivement x3 = 4cm et x3 x1 2 7cm = 3cm 4cm . La surfac surfacee est au-des au-dessu suss de la droit droitee x3 = 4cm et en-des en-dessou souss de la parabole parabole conca concave ve passan passantt par ( 4, 4), 4), (0, (0, 7) et (4, (4, 4) (en cm). 13)L’applicati L’application on num´ num´erique erique montre que la projection de l’image l’image de x1 2 Ωt (0, (0, d/2 d/2, d) est au-dessus de la parabole x3 4.5 cm = 0. 0.75cm 1cm et endessous de la droite x3 = 5.25cm. 14)Le trac´ trac´e de la forme des “yeux “yeux du

−

 

−

−

 

−

temps, t= 0

temps, t= 4

7

7

6

6

5

5

4

4

        3

      a

        3

      a

3

3

2

2

1

1

0 −4

−3

−2

−1

0

a

1

1

2

3

4

0 −4

−3

−2

−1

0

a

1

2

3

4

1

Figure 9.2: Domaines Domain es : a) avant d´eformation eforma tion pour  pou r tt = 0, b) au temps  t = 4 s.

29

PARTIEL 2003, MMC, O. Thual, December 17, 2006 

On d´efini efi nitt er (θ) = cos θ e(1) +sin θ e(2) et eθ (θ) = sin θ e(1) + cos θ e(2) . On note alors U ( U (x, t) = U r (r,θ,t) r,θ,t) er (θ ) + U θ (r,θ,t) r,θ,t) eθ (θ) le champ de vitesse.

−

14) Indiquer l’expressi l’expression on des fonctions fonctions U r et U θ pour le mouvement que l’on ´etu et udie. ie . 15) Calculer l’acc´el´ el´eration eratio n tangentielle tangentiel le Γr (r,θ,t) r,θ,t) et l’acc´ l’ac c´el´ el´eratio era tion n normale nor male Γθ (r,θ,t) r,θ,t) pour ce mouvement. 16) Tracer les trajectoir tra jectoires es associ´ asso ci´ees ees `a ce mouvement ainsi que les champs de vitesse U  et d’ac d’ acc´ c´el´ el´erat er atio ion n Γ.

Tourbillon ponctuel On consid` con sid`ere ere un nouveau nou veau mouvement mou vement d´efini efin i par la repr´ rep r´esentati esent ation on eul´erienn eri ennee de son champ de vitesse

U 1 =

−B (x1, x2) x2 ,

 

U 2 = B (x1 , x2 ) x1

et

U 3 = 0

−1

avec B (x1 , x2 ) = 2γ π x21 + x22 o` u γ  est une constante constante positi p ositive. ve. Ce mouve2 2 ment n’est n ’est donc d´efini efini que pour pou r x1 + x2 > 0.





17) Calculer le tenseur des taux de rotation Ω(x, Ω( x, t) et le vecteur rotation ω(x, t). En d´ eduire eduire la valeur valeur de rot U . U . 18) Calculer le tenseur des dilatations D(x, t). 19) On consid` co nsid`ere ere un milieu m ilieu continu anim´e de d e ce mouvement et dont d ont la masse volumique ρ0 est homog` hom og`ene ene `a t = 0. Calcul Calculer er sa masse masse volumi volumique que pour tout temps t > 0. 20) Exprim Exp rimer er l’acc´ l’a cc´el´ el´eration era tion Γ en coord co ordonn´ onn´ees ees cart´ car t´esienne esie nnes. s. 21) Donner l’expression des composantes U r (r,θ,t) r,θ,t) et U θ (r,θ,t) r,θ,t) du champ de vitesse U ( U (x, t) = U r er (θ ) + U θ eθ (θ ) en coordonn´ coor donn´ees ees polaires. po laires. 22) Exprimer Expri mer l’acc´el´ el´eration eration Γ en coordonn´ coor donn´ees ees polaires. pola ires. En d´eduire eduir e une relation entre Γr et U θ . 23) Donner l’expression de la repr´esentation esentation lagrangienne r = X r (R, Θ, t) et θ = X θ (R, Θ, t) de ce mouvemen mouvementt en coordonn´ coordonn´ees ees p olaires olaires et dans le plan (e (e(1) , e(2) ). En d´eduire eduire l’expression du X (a, t) de ce mouvement en coor co ordo donn´ nn´ees ees cart´ car t´esien esi enne nes. s. 24) Tracer les trajectoir tra jectoires es associ´ asso ci´ees ees `a ce mouvement ainsi que les champs de vitesse U  et d’ac d’ acc´ c´el´ el´erat er atio ion n Γ. 25) On consi co nsid` d`ere ere le point p oint x∗ = r∗ e(2) . Calculer les valeurs propres du tenseur D en ce point et tracer ses vecteurs propres dans le plan ( x1 , x2 ). 26) En E n d´eduire, eduir e, dans ce plan, le trac´e sch´ ematique ematiqu e de l’image par le mouvement d’un petit cercle de centre x∗ au bout d’un laps de temps court.

34

PARTIEL 1998, MMC, O. Thual, December 17, 2006 

4) Calculer ses directions propres. Corrig´ Cor rig´e page pag e 34

Corrig´ e

Tenseur des contraintes contraintes

a-dire en Pascal. 2)On 1)La force de contact T  et en Newton par m2 , c’est-`a-dire trouve que σ11 = σ22 = σ33 = σ0 , σ12 = σ21 = 0, σ13 = σ31 = γ σ0 et σ23 = σ32 = 0. 3)L’ensemble des valeurs propres est σ0 , ( 1 + γ )σ0 , ( 1 γ )σ0 es correspondant est e(2) , e(+) , e(−) 4)L’ensemble des vecteurs propres norm´es avec e(+) = √12 (e(1) + e(3) ) et e(−) = √12 (e(1) e(3) ).

−

{−

−

−

{

− −

} }

PARTIEL 1999 Le partiel ´etait etait constitu´e des questions quest ions 1 a` 13, 21 `a 26 et 30 a` 37 de l’examen  1999 

PARTIEL 1998 NB : le probl` probl`eme eme est volontairement volontairement trop long. Il est recomm recommand´ and´ e de suivre l’ordre l’o rdre des de s quest qu estions ions,, le l e barˆeme eme privil´ pri vil´egiant egi ant les premi`eres eres que questi stions. ons. Il recommand´e d’ˆetre etre tr`es es concis (mais pr´ecis) ecis) dans la r´eponse eponse aux questions. quest ions. On  pourra tracer les courbes directement directem ent sur les figures figu res donn´ d onn´es es dans l’´enonc´ eno nc´e. e.

` PROBLEME 9.13

´ Ecoulement de Poiseuille

On con c onsi sid` d`ere er e un ´ecoul eco uleme ement nt de d e Poiseu Poi seuill illee d´efini efi ni par p ar la l a repr´ re pr´esenta ese ntati tion on eul´ e ul´erien er ienne ne 2 2 (1) U ( U (x, t) = β  (l x3 ) e du champ de vitesse dans le rep` ere ere orthonorm´e e(1) , e(2) , e(3) . On choisit pour pou r ce mouvement la configuration configu ration de r´ef´ ef´erence erence Ω0 = Ω(0) occupant le cube a l a` l’instant t = 0.

−



 ≤

´ Etude locale du mouvement On consid`ere ere la trajectoir tra jectoiree x(t) d´efinie efin ie par pa r x(t∗ ) = x∗ . On consid`ere ere ensuite ′ ′ (3) la trajectoire x (t) d´efini efi niee par pa r x (t∗ ) = x∗ + δl e avec δl > 0. On note dx( dx(t) ′ le vecteur (de taille finie pour le moment) d´ efini efini par dx( dx(t) = x (t) x(t). On note δx( δx(t) sa norme et θ (t) l’angle qu’il fait avec l’axe Ox1 . Dans un premier temps, on choisit x∗ = l e(3).

−

−

1) Dessiner la trajectoire x(t) et le vecteur dx( dx(t) a` des instants successifs t t∗ . 2) Pour δl fix´e, e, calcu cal culer ler δx( δx(t) et θ (t) pour tout temps et indiquer le sens de variation de ces fonctions du temps. 3) Calculer le d´eveloppement evelopp ement limit´e `a l’ordre 1 en t de δx( δx(t) et θ (t) au voisinage de t = t∗ pour δl fix´e.

≥

35

PARTIEL 1998, MMC, O. Thual, December 17, 2006 

4) Calcul Ca lculer er le d´evelopp evelo ppement ement limit´ lim it´e `a l’ordre 1 en δl de δx( δx(t)/δl et γ (t) = π/2 π/2 θ (t) au voisinage de δl = 0 pour t t∗ fix´e. 5) Calculer le tenseur des taux de d´ eformation eformation D(x∗ , t∗ ). Relier Relier les valeurs valeurs des composantes D33 et D13 aux r´esultats esultat s de la l a question q uestion 3. 6) Calculer le tenseur des taux de rotation Ω( x∗ , t∗ ) et le vecteur rotation ω(x∗ , t∗ ). Inter Int erpr´ pr´eter et er le r´esulat esu lat.. 7) D´eterminer etermi ner la base de diagonali dia gonalisation sation de D(x∗ , t∗ ) et interpr´ inter pr´eter eter ses composantes dans cette base. 8) On suppose suppose `a pr´ p r´esent es ent que qu e x∗ = 0. Reprendre Repren dre les sept sep t questions qu estions pr´ec´ ec´ edentes edentes pour ce nouveau choix de x∗ . 9) Comparer les r´esultats esultats obtenus pour x∗ = 0 et x∗ = le(3) .

−

≥

−

Tenseur des dilatations On s’int´ s’i nt´eresse ere sse `a la grande grand e d´eformation eform ation entre la configuration configu ration de r´ef´ ef´erence erence Ω0 = Ω(0) Ω( 0) et la configur confi gurati ation on d´eform´ efor m´ee ee Ω(t Ω(t) au temps t. 10) Exprimer le tenseur des dilatations C (a, t) de cette d´eformation eformation et interpr´eter eter ses composantes comp osantes C 33 33 et C 13 13 . 11) Commenter le cas particulier a = 0.

Grande d´ eformation eformation de cercles de tailles finies On s’int´ s’i nt´eress er essee `a l’image du cercle Cer(O Cer( O , ρ) d’´equat equ atio ions ns a21 + a23 = ρ2 et a2 = 0 dans dan s la l a configur confi guratio ation n de r´ef´ ef´erence ere nce Ω0 par la d´eformation eformation due au mouvement mouvement et reliant le temps t = 0 au temps t. On note note Boo( Boo(ρ, t) la courbe image de ce cercle dans le configuration configu ration d´eform´ eform´ee ee Ω(t Ω(t). 12) Montrer que l’image l’imag e du cercle ob´eit eit aux ´equations equatio ns



x1

−

x23 d(t) + 2 r (t)



2

+ x23 = ρ2

et

x2 = 0

(9.6)

o` u d(t) et r (t) sont des fonctions de t que l’on explicitera. 13) Tracer la courbe r (t) et indiquer le temps tρ tel que r (tρ ) = ρ. On choisit une valeur de r et on note tr = 1/(2 β r) de telle sorte que r (tr ) = r . ` l’instant tr , on consid` A ere ere le point M  de coordonn´ coor donn´ees ees [d(tr ), 0, 0] dans le rep`ere Ox1 x2 x3 . On consid` con sid`ere ere alo alors rs le rep`ere ere orthon ort honorm´ orm´e Mxyz d´efini efi ni par pa r le changement de coordonn´ coor donn´ees ees x = x1 d(tr ), y = x2 et z = x3 . Soit Soit N , N , A et D les points dont les coordonn´ees ees dans le nouveau rep` ere ere Mxyz sont respectivement [ r, 0, 0], (ρ, (ρ, 0, 0) et ( ρ, 0, 0).

−

−

−

Cas ρ < r a ` l’instant tr Dans un premier temps, on suppose que ρ < r . On cherche une construction graphique de la courbe Boo(ρ Boo(ρ, tr ).

36

PARTIEL 1998, MMC, O. Thual, December 17, 2006 

14) Dessiner sur une un e mˆeme eme graphe gr aphe le cercle ce rcle Cer( C er(N  N ,, r) de centre N  et de rayon r puis le cercle Cer(M  Cer( M ,, ρ) de centre M  et de rayon ρ. 15) Calculer l’´equation equatio n de la courbe, courb e, not´ee ee Par(M  Par(M ,, r), image au temps tr du segment segm ent d´efini efin i par a1 = 0, a2 = 0 a3 4 r dans da ns le rep` re p`ere er e Oa1 a2 a3 . 16) Montrer que le rayon de courbure de Par(M  Par( M ,, r) au point M  est es t ´egal eg al `a r . 17) Dessiner sur le mˆeme eme graphe graph e que pr´ec´ ec´edemment edemment la courb e Par(M  Par( M ,, r ) en tra¸cant cant les tangente tan gentess aux deux deu x extr´emit´ emi t´es. es. 18) Montrer que l’intersection du plan z = ρ et de la courbe Par(M  Par( M ,, r) est un point B appartenant aussi `a la courbe Boo(ρ Boo(ρ, tr ). 19) Calculer F ( F (a, tr ) pour a = ρ e(3) .

| |≤

20) En d´ eduire eduire que la tangente `a Boo(ρ Boo(ρ, tr ) en B est dans la direction e(1) . 21) Montrer que les points A et D appartiennent `a Boo(ρ Boo(ρ, tr ) et tracer la tangente `a cette courbe en chacun de ces points. 22) Toujours Toujours sur su r le mˆ eme eme graphe, graph e, donner l’allure de la courbe cour be Boo( Bo o(ρ ρ, tr ).

Cas ρ > r a ` l’instant tr On suppose maintenant que ρ > r . On cherche cherche une construction construction graphique de la courbe Boo(ρ Boo(ρ, tr ). 23) Tracer sur un graphe les points M , M , N , N , A, B et D, les cercles Cer(N  Cer( N ,, r ) et Cer(M  Cer(M ,, ρ) ainsi que la courbe Par(M  Par( M ,, r ). 24) Tracer Tracer sur le mˆ eme eme graphe la courbe Par(N  Par(N ,, r) image au temps tr du segment de la configuration configu ration de r´ef´ ef´erence erence Ω0 d´efini efi ni par pa r a1 = r , a2 = 0 a3 4 r. 25) Repr´esenter esenter sur le graphe l’intersection l’intersection Q de la droite N z et du cercle Cer(M  Cer(M ,, ρ). Repr´esenter esenter ensuite en suite l’intersection l’intersect ion C  de la droite Qx et de la courbe Par(N  Par(N ,, r). Montrer que le point C  appartient a` la courbe Boo(ρ Boo(ρ, (3) tr ). On not notee q la coordonn´ coor donn´ee ee sur e des points Q et C  dans dan s le rep`ere ere Oxyz. Oxyz. 26) Calculer Calculer le tenseur tenseur F ( F (a, tr ) pour a = qe (3) dans la configur configurati ation on de r´ef´erence. 27) En d´eduire eduire que l’image l’imag e d’un vecteur infinit´ infini t´esimal esimal da tangent en a = qe(3) au cercle Cer(O Cer(O , ρ) est proportionnel `a e(3). 28) En d´ eduire eduire la tangente de Boo(ρ Boo(ρ, tr ) au point C . 29) Donner l’allure de la courbe Boo(ρ Boo( ρ, tr ).

| |≤

−

Famille de courbes Boo( ρ, t) On suppose que l’on fixe le temps t et que l’on fait varier le rayon ρ du cercle centr´e en e n 0 dans dan s la configu con figurat ration ion de r´ef´ ef´erence eren ce et dont d ont l’image l’im age `a l’instant t par le mouvement est la courbe Boo(ρ Boo( ρ, t) . 30) D´ecrire ecrire le lieu des points C  lorsque ρ varie pour les valeurs de ρ telles que C  existe.

37

PARTIEL 1998, MMC, O. Thual, December 17, 2006 

 z

4r 

ρ

r 

 M   x

 z

4r 

ρ

r 

 M 

 x

 z

 z

r 

4r 

 M   x

Figure 9.3: Figures `a com compl´ pl´eter ete r selon sel on l’´enonc´ eno nc´e du Parti Par tiel el 1998 19 98

38

PARTIEL 1998, MMC, O. Thual, December 17, 2006 

31) Utiliser les constructions graphiques pr´ec´ ec´ edentes edentes pour tracer au moins trois courbes Boo(ρ Boo(ρ, t) pour un gamme de ρ repr´esentative esentative de la toute la famille ρ variable t fix´e. 32) Montrer que pour t fix´e et ρ tendant vers z´ ero ero l’image d’un cercle est un cercle. Corrig´ Cor rig´e page pag e 38 

Corrig´e

´ Ecoulement de Poiseuille

´ Etude locale du mouvement trajecto toire ire x(t) est un point (adh´ (adh´erence erence `a une 1) Pour x∗ = le(3), la trajec paroi). paroi). Le vecte vecteur ur dx( dx(t) fait un angle θ (t∗ ) = π/2 π/2 qui d´ecro ecr oˆıt vers 0 avec le temps. Son extr´ extr´emit´ emit´e reste sur une trajectoire rectiligne rectiligne.. 2) δx( δx(t) = 2 2 2 δl 1 + β  (2l (2l δl) δl ) (t t∗ ) et θ (t) = π/2 π/2 arctg[β  arctg[β  2l δl (t t∗ )]. La fonction δx( croissante, te, sa pente pente en t = t∗ est nulle et tend vers l’infini δx (t) est croissan lorsque t tend vers l’infini. θ (t) est d´ecroissante ecroiss ante de π/2 π/2 `a 0. 3) δx( δx (t) = 2 2 δl + O [(t [(t t∗ ) ]. On a θ(t) = π/2 π/2 β (2l (2l δl)( δl )(tt t∗ )+ O [(t [(t t∗ ) ]. 4) δx( δx(t)/δl = 2 2 2 1 + (2βl (2βl)) (t t∗ ) + O (δl ). On a γ (t) = arctg[2βl arctg[2βl((t t∗ )] + O(δl 2 ). 5) Seuls D13 (x∗ , t∗ ) = D31 (x∗ , t∗ ) = βl sont sont non nuls. Au voisinage voisinage des points immobiles a3 = l et de t = t∗ , les les longu longueu eurs rs des des petit petitss vecte ecteurs urs (in(infinit´esimaux) esimaux) restent inchang´ ees ees dans le mouvement. mouvement. L’angle de glissement (1) (3) du couple (e (e , e ) croˆ croˆıt avec avec une pente 2βl au voisinage de t = t∗ . En 1 dδx utilisant δx dt t = D33 (x∗ , t∗ ) on voit que la nullit´ nullit´e de D33 traduit la nullit´ lit´e de la pente de la fonction fonction δx( δx(t) au voisinage de t = t∗ . Ce r´esultat esultat est aussi visible dans le d´eveloppement eveloppement limit´ e en t de δx( δx (t). En util utilis isan antt d dt γ (t∗ ) = 2D13 (x∗ , t∗ ) on voit que la valeur de D13 (x∗ , t∗ ) se retrouve dans le d´evelop evel opp p ement eme nt limit´ lim it´e en t de γ (t). 6) Seuls Ω13(x∗ , t∗ ) = Ω31(x∗ , t∗ ) = βl sont nuls. On a donc ω(x∗ , t∗ ) = βle βl e(2). Au voisinage des trajectoires a3 = 0 le taux de rotation rotati on ´egal egal `a βl en valeur absolue a bsolue et dans da ns le sens trigonom´ tr igonom´etrique etriqu e inverse du plan Ox1 x3 . 7) La base de diagonalisation de D(x∗ , t∗ ) est engendr´ee ee par les vecteurs √12 (e(1) + e(3)), √12 (e(1) e(3) ) et e(2). Le ta taux

−

   

−

−

−

−

−

−

−

| − | −

−

− −

−

|

∗

−

− √12 (e(1) ± e(3) ) est ±βl. βl .

de dilatation dans la direction 8) Pour x∗ = 0 la trajectoire x(t) est rectilig rectiligne. ne. Le vecte vecteur ur dx( dx(t) fait un angle θ (t∗ ) = π/2 π/2 qui croˆıt ıt vers π avec avec le temps. Son extremit´ extremit´e reste sur une tra jectoire jectoire rec2 2 2 tiligne. δx( δx(t) = δl 1 + β  (t t∗ ) δl et θ (t) = π/2 π/2 + arctg[β  arctg[β (t t∗ )δl]. δl ]. La fonction δx( δx (t) est croissante, sa pente en t = t∗ est nulle et tend vers l’infini lorsque t tend tend vers vers l’infini. l’infini. La fonction fonction θ (t) est croissante de π/2 π/2 `a 2 π . Le d´eveloppement evelopp ement limit´e en temps est δx( δx(t) = δl + O [(t [(t t∗ ) ]. On a 2 θ (t) = π/2 π/2 + β (t t∗ )δl + O [(t [(t t∗ ) ]. Le d´eveloppement evelopp ement limit´e en δl est 2 δx( δx (t)/δl = 1 + O(δl ). On a γ (t) = β (t t∗ )δl + O(δl 2 ). On a D(x∗ , t∗ ) = 0. Au voisinag voisinagee des tra jectoires jectoires a3 = 0, et les longue longueurs urs des petits petits vecteurs vecteurs (infinit´ (infin it´esimaux) esimaux ) restent r estent inchang´ees ees dans le mouvement et les angles a ngles de glisseg lissements ments des couples couples de vecteurs vecteurs orthogonaux sont nuls. Ceci est conforme avec avec le fait que l’ordre l’ord re 1 du d´eveloppement evelopp ement limit´e en δl de δx( δx(t) et θ (t) est sont

 

−

−

−

−

−

− −

39

PARTIEL 1998, MMC, O. Thual, December 17, 2006 

respectivement 1 et 0. On a Ω(x Ω( x∗ , t∗ ) = 0 et ω (x∗ , t∗) = 0. Au voisinage des trajectoires a3 = 0 le taux de rotation est nul. Toutes les bases diagonalisent la matrice nulle D. 9) Le point x∗ = 0 correspond `a un extremum du profil de vitesse alors que le point x∗ = le(3) est repr´ r epr´esentatif esentatif d’un point poi nt quelconque. quel conque. Au voisinage voisinage d’un extremum extremum de vitesse vitesse il n’y a pas de d´ eformation eformation ( D = 0) ni rotation (Ω = 0) `a l’ordre 1.

−

Tenseur des dilatations 4β 2 a23 t sont non 10) Seuls C 11 11 = C 22 22 = 1, C 13 13 = C 31 31 = 2βa 3 t et C 33 33 = 1 + 4β  nuls. 11) On a C (0, (0, t) = I . Les longueurs longueurs et les angles des petits voisinages voisinages des trajectoires trajectoires a3 = 0 sont conserv´ conser v´es es dans le mouvement.

−

Grande d´ eformation eformation de cercles de tailles finies s’´ecri ec ritt a1 = x1 d(t) + x23 /[2r [2r (t)], a2 = x2 12) Le mouvement inverse A(x, t) s’´ 2 et a3 = x3 avec d(t) = βl t et r (t) = 1/[2βt [2βt]. ]. Il suffit de remplace a = A(x, t) dans l’´equation equatio n du cercle. 13) La courbe r (t) est une hyperbole qui d´ecroit ecroit vers z´ero. ero. Au temps tρ = 1/(2βρ (2βρ)) la fonction r (t) croise ρ.

−

Cas ρ < r a ` l’instant tr  z 4r 

 B r 

ρ

 M 

 N   D

 A

 x

−4r 

16r 

Figure 9.4: Courbe Boo(ρ Boo(ρ, tr ) pour ρ < r . 4r est x1 = d(tr ) 14) Voir figure 9.4. 15) L’image de a1 = 0 avec a3 x23 /(2r (2r ) = (l2 x23 )/2r avec x3 4r. C’es C’estt une parabo parabole le.. 16) Le cercle osculateur des Par(M  Par(M ,, r) est le cercle Cer(N  Cer( N ,, r ). 17) Voir figure 9.4. 18) Le point B est l’image du plus “haut” (en x3) point de Cer(O Cer(O , ρ). 19) Seuls F 11 11 =

−

| |≤

| |≤

−

40

PARTIEL 1998, MMC, O. Thual, December 17, 2006 

 z 4r 

δ x

δa  B

ρ

Q

C 

 N 

 D

r 

r 

q

 M 

 A  x

−4r 

16r 

Figure 9.5: Courbe Boo(ρ Boo(ρ, tr ) pour ρ > r .

 z

r   N 

 M   x

Figure 9.6: Courbe Boo(ρ, Boo(ρ, t) pour plusieurs valeurs de ρ

41

PARTIEL 1997, MMC, O. Thual, December 17, 2006 

(1) F 22 22 = F 33 33 = 1 et F 13 13 = ρ/r sont non nuls. 20) Un petit vecteur da = δae tangent en a = ρe(3) au cercle Cer(O Cer(O, ρ) se transforme en dx = F ( F (a, tr ) da = (1) δae tangent `a Boo(ρ Boo(ρ, tr ). 21) Dans un plan “horizontal” x3 = constante, constante, les distances d istances “horizontales” sont inchang´ees ees par le mouvement. mouvement. Les points p oints A et D sont donc situ´ es es sur l’image Boo(ρ Boo( ρ, tr ) de Cer(O Cer(O, ρ) au temps tr . Les (3) tangentes en ces c es points p oints sont parall` p arall`eles eles e car F (0 F (0,, t) laisse invariante cette direction. 22) Voir figure 9.4.

−

Cas ρ > r a ` l’instant tr .5. Dans Dans un plan plan 23) Voir figure 9.5. 24) Voir figure 9.5. 25) Voir figure 9.5. “horizontal” x3 = constante, constante, les distances “horizontales” sont inchang´ ees ees par le mouvement. mouvement. Ceci entraˆ entraˆıne que C  appartient a` la courbe Boo(ρ Boo(ρ, tr ). e t F 13 q/r sont non nuls. 27) Le 26) Seuls F 11 11 = F 22 22 = F 33 33 = 1 et 13 = vecteur tangent au cercle est proportionnel au vecteur (d, ( d, 0, q ). Son produit produit (3) (3) par F ( F (qe , tr ) est proportionnel e . 28) La tangente de Boo(ρ Boo( ρ,tr ) en C  est donc “verticale”. 29) Voir Figure 9.5.

−

Famille de courbes Boo( ρ, t) Par(N ,, r ). 31) Voir figure 9.6. 32) 30) Le lieu des points C  est la parabole Par(N  ´ Etant Eta nt donn´ don n´e que C (0, (0, t) = I , l’image d’un cercle infinit´esimal esimal est un cercle.

PARTIEL 1997 Le partiel partiel 1997 ´etait etait consitu´ consitu´e du probl` probl`eme eme “Mouvement de d´ eformation  eformation  affine”.

` PROBLEME 9.14 9.14

Mouvemen Mouvementt de d´ d´ eformation eformation affine affine

On consid`ere ere un mouvement X (a, t) d´efini efi ni par pa r les le s ´equat equ ation ionss x1 = a1 + α t a2 ,

x 2 = a2 + α t a 1 ,

x3 = a3 .

(9.7)

On suppose que la configuration de r´ef´ ef´ erence erence Ω0 = Ω(0) est un volume de particules pris `a l’instant t = 0 qui occupe un cube de cˆot´e 2 l et de centre 0 d´efini efi ni par pa r l ai l pour i = 1,..., 3. On choisira α > 0.

−≤ ≤

1) Calculer pour tout instant t le volume (t) du domaine Ω(t Ω(t) constituant la confi co nfigu gura ratio tion n d´efor ef orm´ m´ee. ee. 2) Tracer la courbe (t) en fonction fonction du temps. temps. En d´eduire eduire le temps t∗ a` partir duquel le mouvement mouvement cesse d’ˆ etre etre physique.

V 

V 

On supposera d´ esormais esormais que le mouvement mouvement n’est d´efini efini que sur l’intervalle l’intervalle temporel [0, [0, t∗ ].

42

PARTIEL 1997, MMC, O. Thual, December 17, 2006 

Point de vue lagrangien ` t fix´e, A e, on consi con sid` d`ere er e la d´efor ef orma mati tion on entre entr e la l a con c onfig figur urat atio ion n de r´ef´ ef´erenc er encee Ω0 et la config con figur urat atio ion n d´ d ´efor ef orm´ m´ee ee Ω(t Ω(t). 3) Calculer la dilatation dilatation relative relative autour d’un p oint oint a quelconque de Ω 0 dans la direction 1 engendr´ee ee par le vecteur unitaire e(1) . 4) Calculer l’angle de glissement γ 12 12 entre les directions 1 et 2 autour d’un point a quelconque. 5) Calculer la valeur de cet angle de glissement γ 12 12 pour t = t∗ . Commenter ce r´esulta esu ltat. t.

Point de vue eul´ erien erie n 6) Calcul Cal culer er la repr´ rep r´esentati esent ation on eul´erienn eri ennee U (E ) (x, t) du champ de vitesse de ce mouvement. 7) Calculer le tenseur des taux de d´eformation eformation D ainsi que le tenseur des taux de rotation Ω. 8) Calculer le taux d’allongemen d’allongementt relatif relatif autour d’un point quelconque quelconque x de Ω(t Ω(t) dans la direction 1. 9) Calculer le taux de glissement entre les directions 1 et 2 autour d’un point quelconque x de Ω(t Ω(t).

Changeme Chan gement nt de rep` ere ere 10) Calculer les dilatations relatives autour d’un point a quelconque de Ω 0 dans les directions engendr´ees ees par les vecteurs e(1) + e(2) et e(1) e(2) . 11) Calculer l’angle de glissement entre ces deux directions. 12) Donner les valeurs propres et les directions propres du tenseur des dilatations C (a, t) pour tout point a et tout temps t. ´ ire l’´equatio 13) Ecrire Ecr equa tion n x′ = X ′ (a′ , t) des trajectoires dans une base propre de ce tenseur tens eur,, et d´ecrire ecr ire la configu con figurat ration ion de r´ef´ ef´erence eren ce Ω0 dans cette nouvelle base.

−

´ Etude d’un nouveau mouvement Sauf mention contraire, on s’int´ s’int´eresse eresse d´esormais esormais au nouveau mouvement mouvement ′ ′ X  (a , t) d´efini efi ni par pa r les ´equat equ atio ions ns x′1 = a′1 + α t a′1 ,

x′2 = a′2

− α t a′2 ,

x′3 = a′3 .

(9.8)

On note f (1), f (2) et f (3) les vecteurs vecteu rs de base b ase associ´ asso ci´es es aux coord co ordonn´ onn´ees ees x′1 , x′2 et x′3 . On suppose supp ose que q ue la configuration configu ration de r´ef´ ef´erence erence Ω′0 = Ω′ (0) est un volume de particules pris `a l’instant t = 0 qui qu i occup oc cup e un para pa rall´ ll´el´ el´epip` ep ip`ede ed e d´efini efi ni par pa r ′ ′ l 2 ai l 2 pour i = 1, 2 et l a3 l.

−√ ≤ ≤ √

−≤ ≤ 14) Calculer pour tout instant t le volume V ′ (t) du domaine Ω ′ (t) constituant la confi co nfigu gura ratio tion n d´efor ef orm´ m´ee. ee.

43

PARTIEL 1997, MMC, O. Thual, December 17, 2006 

15) En d´ eduire eduire le temps t∗ a` partir partir duquel duquel le mouveme mouvement nt cesse cesse d’ˆ d’ˆetre etre physique. On supposera d´ esormais esormais que le mouvement mouvement n’est d´efini efini que sur l’intervalle l’intervalle temporel [0, [0, t∗ ].

´ asti Elas El tici cit´ t´ e lin´ li n´ eair ea ire e On suppose que le domaine Ω′ (t) est e st occup oc cup´´e par p ar un milie mi lieu u ´elasti ela stiqu quee hom h omog` og`ene en e et isotrope de module de Young E et E  et de coefficient de Poisson ν . On s’int´ s’ int´eress er essee aux moments initiaux p endant lesquels la d´eformation eformation est suffisamment petite pour que la loi de Hooke reste reste valide. alide. On suppose suppose que chacun chacunee des faces faces du ′ domaine Ω (t) est contrainte par une force surfacique uniforme et normale que l’on note F i pour la face de normale `a f (i) pour i = 1,...3. ,...3. On suppos supposee que le mouvemen mouvementt est suffisammen suffisammentt lent lent pour que l’on puisse n´egliger egliger les forces d’iner d’i nertie tie du mat´ m at´eriau. eri au.



(i)

−

16) Calculer les allongements relatifs ∆ i (a) = Λ a; δa f  1, pour i = 1,.., 3, o` u Λ (a; da) da) d´ esigne esigne la dilatation relative autour du point a dans la direction du vecteur da. da. 17) Exprimer ces allongements relatifs en fonction des forces surfaciques F 1 , F 2 et F 3 en utilisant la loi de Hooke. 18) En d´ eduire eduire la valeur valeur de d e ces forces en fonction du temps.

Trajectoires et lignes de champs On cherche maintenant `a d´ ecrire ecrire les trajectoires trajectoires et les lignes lignes de champs champs du ′ ′ nouveau mouvement X  (a , t). 19) Dessiner le domaine Ω ′ (t) `a trois instants diff´erents. erents. 20) Donner l’´ equation equation des trajectoires sous la forme x′2 = f ( f (x′1 ) et en tracer au moins cinq. 21) Calculer l’´ equation equation des lignes de courant cour ant du champ de vitesse `a l’instant t = 0. En tracer au moins cinq. 22) Calculer l’´ equation equation des lignes de courant du champ de vitesse `a tous les instants et tracer leur allure. 23) Dessiner le lieu des points x qui ont ´et´ et´e balay´ bal ay´es es au moi moins ns une fois foi s par au moins une trajectoire du mouvement.

Connection avec le premier mouvement On consid`ere ere toujours toujo urs le mouvement d´efini efini par les ´equations equatio ns x′ = X ′ (a′ , t) mais on suppose supp ose maintenant m aintenant que la configuratio configu ration n de r´ef´ ef´erence erence Ω0 = Ω(t Ω(t) est ′ ′ ′ ′ ′ le cube de cˆot´e 2l d´efini efi ni par pa r a1 + a2 l 2, a1 a2 l 2 et a3 l.

|

|≤ √ | − |≤ √

| |≤

24) Dessiner Dess iner au moins m oins trois positions pos itions de la configuration configu ration d´eform´ eform´ee ee Ω( Ω (t) ainsi qu’au moins cinq trajectoires.

44

PARTIEL 1997, MMC, O. Thual, December 17, 2006 

25) Dessiner l’allure du lieu des points x′ balay´ es es au moins une fois par les trajectoires trajectoires de ce mouvemen mouvement. t. 26) Calculer Ca lculer explicitement explicit ement l’´equation equatio n des fronti`eres eres de ce lieu de p oints. 27) Indiquer et tracer les forces que l’on doit appliquer au domaine Ω( t) du premier mouvement mouvement X (a, t) pendant pendant le temps temps o` u le mat´eriau eri au qu’i q u’ill contient cont ient garde un comportement homog` ene ene et isotrope. Corrig´ Cor rig´e page pag e 44

Corrig´e

Mouvement de d´ eformation eformati on affine

( 0) = (1 α2 t2 ) (0) ( 0) = 8l 8l3 (1 1) (t) = J (a, t) (0) parabole de sommet (0, (0, 8l3 ). t∗ = 1/α. /α.

V 

V 

−

V 

− α2 t2).

2)

V (t) est une

Point de vue lagrangien 2 2 3) Les composantes du tenseur des dilatations sont C 11 11 = C 22 22 = 1 + α t , C 12 αt, C 33 tenseur est ind´ependant ependant 12 = C 21 21 = 2αt, 33 = 1 et C ij ij = 0 sinon. Ce tenseur (1) de a. La dilata dilatati tion on relati relativ ve dans dans la dire direct ctio ion n 1 est est Λ a; δae = C 11 11

√





√

= 1 + α2 t2 . 4) L’angle de glissement γ 12 epend epend pas de a et v´erifi er ifiee 12 (t) ne d´ 2 2 sin γ 12 t/(1+α α t ). On a donc γ 12 t/(1+ 12 = C 12 12 / C 11 11 C 22 22 = 2 α t/(1+ 12 = arcsin[2 α t/(1+ 2 2 α t )]. 5) On a γ 12 π/2. Les directions 1 et 2 se d´eforment eforment jusqu’`a 12 (t∗ ) = π/2. ˆetre etre confondues confon dues pour po ur t = t∗ .

√

Point de vue eul´ erien erie n (E )

(E )

6) U 1 = α(x2 αt x1 )/(1 α2 t2 ), U 2 = α(x1 αt x2 )/(1 α2 t2 ) et (E ) U 3 = 0. 7) Les composantes composantes du tenseur tenseur des taux de d´ eformation eformation sont sont D11 = D22 = α2 t/(1 t/(1 α2 t2 ), D12 = D21 = α/(1 α/(1 α2 t2 ) et Dij = 0 sinon. Ce tenseur est ind´ependant ependant de x. Les composan composantes tes du tenseur tenseur des taux de rotation rotation sont nulles nulles : Ωij = 0. 8) Le taux d’allongement dans la direction 1 est D11 . 9) Le taux de glissement glissement entre entre les directions 1 et 2 ne d´epend epend pas d 2 2 de x et est ´egal egal `a dt γ 12 α/(1 α t ). 12 (t) = 2 D12 = 2α/(1

−

−

−

−

−

−

−

−

Changeme Chan gement nt de rep` ere ere 10) Les dilatations relatives dans les directions bissectrices de e(1) et e(2) sont Λ a; δa (e(1) + e(2) ) = 1 + αt et Λ a; δa (e(1) e(2) ) = 1 αt. αt. 11) L’angle









de glissement γ  a; δa (e(1) + e(2) ), δa (e(1)

−



− e(2))



−

entre ces directions est nul

pour tout temps. 12) Les directions directi ons engendr´ engend r´ees ees par e(1) + e(2) et e(1) e(2) sont les directions propres de C (a, t) respect re spectivement ivement associ´ asso ci´ees ees aux a ux valeurs propres prop res (1 + αt) αt)2 et (1 αt) αt)2 . La direction dir ection engendr´ engend r´ee ee par e(3) est asso ass o ci´ee ee `a la valeur propre 1. 13) Les ´equations equations des d es tra jectoires dans dan s une base propre pr opre quelconque de C  sont celles cell es du mouvement mou vement ´etudi´ etu di´e ci-desso ci-d essous. us.

−

−

45

PARTIEL 1997, MMC, O. Thual, December 17, 2006 

´ Etude d’un nouveau mouvement 16l3 (1 α2 t2 ). La configr configraa14) ′ (t) = J (a, t) ′ (0) = (1 α2 t2 ) ′ (0) = 16l tion de r´ef´ ef´erence erence de ce nouveau mouvement `a un volume double que pour le mouv mo uvem ement ent pr´ pr ´ec´ ec´edent ed ent.. 15) t∗ = 1/α. /α. On retrouve r etrouve le mˆeme eme temps limite que pour pou r le mouvement ´etudi´ etudi´e avant avant le changement de base.

V 

V 

−

V 

−

´ asti Elas El tici cit´ t´ e lin´ li n´ eair ea ire e αt, ∆2 = αt et ∆3 = 0. 17) En 16) Les allongements relatifs sont ∆ 1 = αt, invoquant invoquant le principe de superposition superposition on peut ´ecrire ecrire ∆ 1 = (F 1 ν F 2 ν F 3 )/E  ∆2 = ( ν F 1 + F 2 ν F 3 )/E  et ∆3 = ( ν F 1 ν F 2 + F 3 )/E . 18) En comparant les deux expressions pr´ec´ ec´ edentes edentes des allongements relatifs on obtient F 1 = αt E/(1 E/(1 + ν ) F 2 = αt E/(1 E/(1 + ν ) et F 3 = 0.

−

−

−

−

−

−

−

−

Trajectoires et lignes de champs section carr´ carr´ee ee du domaine s’allonge dans la direction direction 1, s’applatit s’applatit 19) La section (1) dans la direction directi on 2 et s’´ecrase ecrase sur l’axe engendr´ engend r´e par p ar f  a` t = t∗ . 20) Dans les plans normaux `a x3 = a3 , les trajectoires tr ajectoires suivent suivent les courbes d’´ equation equation ′ x2 = a2 (2 x1 /a1 ) o` u a = (a1 , a2 , a3 ) Ω . 21) Les composantes de la (E ) vitesse eul´ erienne erienne du mouvement mouvement dans la base ( f (1), f (2) , f (3) ) sont U 1 ′ = (E ) (E ) ` t = 0 les lignes α x′ /(1 + αt), αt), U  ′ = α x′ /(1 αt) αt) et U  ′ = 0. A

−

1

∈

−

2

2

−

3

′ = α x′ et U (E ) ′ = −α x′ sont des de courant du champ d´ efini efini par 1 2 2 (E ) ′ (E ) ′ ′ ′ ′ ′ ′ courbes x2 = f ( f (x1 ) telles que df ( f (x1 )/dx1 = U 2 /U 1 = −f ( f (x1 )/x′1 . On en d´edui ed uitt que qu e x′ = f ( f (x′ ) = C/x ′ o` u C  est une constante constante arbitraire. Les lignes 2

1

(E ) U 1

1

de champs `a t = 0 sont donc des hyperboles. 22) Aux instants ult´erieurs, erieur s, le ′ ′ ′ (1+αt (1+ αt) . mˆeme eme raiso r aisonne nnement ment cond c onduit uit `a des courbes x2 = f ( f (x1 ) = C (1/x (1/x1 ) αt))/(1−αt) eunion du carr´e initial de cˆot´e 2l 2 23) Dans un plan x3 = a3 , ce lieu est la r´eunion et de deux triangles rectangles isoc`eles eles dont les hypoth´enuses enuses sont les cˆot´es (2) normaux `a f  du carr ca rr´´e. e.

√

Connection avec le premier mouvement eg r´es es insc in scri ritt 24) Dans un plan x3 = a3 Le domaine Ω(0) est un carr´e `a 45 d´egr´ ′ dans le domaine Ω (0). Les domaines Ω(t Ω( t) sont alors des losanges inscrits dans ′ les rectangle Ω (t) dont do nt la d´efor ef orma mati tion on a ´et´ et´e dessi des sin´ n´ee ee ci-de ci- dessu ssus. s. 25) L’allure est esquiss´ esqu iss´ee ee en tra¸ tra ¸cant cant plusieur p lusieurss droites dro ites joignant j oignant le carr´ car r´e `a 45 d´egr´ eg r´es es Ω(0) Ω( 0) en (2) l’axe f  et ´egales egales aux au x trajectoires tr ajectoires des p oints dont elles sont issues. 26) Cette famille fam ille de droi d roites tes s’´ s ’´ecrit ecr it x′2 = f ( f (a, x′1 ) = (l 2 a′1 )(2 x′1 /a′1 ). Il s’agit en effet de droites x′2 = a′2 (2 x′1 /a′1 ) avec a′1 + a′2 = l 2. L’´equation equatio n de l’envelopp l ’enveloppee ′ ′ de cette famille de courbes est obtenue en ´ecrivant ecrivant ∂f ( ∂f (a1 , x1 )/∂a ′1 = 0. On

√− − √

−

  | |

√ en d´eduit edu it que qu e |x′2 | = 2 l 2 1 −



√ x′1 /(2l (2l 2)

2

est l’´equatio equa tion n de la fronti` fro nti`ere ere

reche re cherch rch´´ee. ee. 27) Les forces F 1 = αt E/(1 E/(1 + ν ) F 2 = αt E/(1 E/(1 + ν ) et (1) (2) ′ F 3 = 0 appliqu´ appli qu´ees ees au domaine domain e Ω (t) dans les directions f  , f  et f (3) sont

−

46

PARTIEL 1997, MMC, O. Thual, December 17, 2006 

√

´equival equ ivalent entes es `a deux cisaillements F  = αt E  2/(1 + ν ) appliqu´es es au domaine domain e (1) (2) Ω(t Ω(t) dans les directions e et e .

EXAMENS Les Les exam examen enss porten portentt sur sur les les chapit hapitre ress 1 `a 8 du livr livree “Int “Introd roduc ucti tion on `a la ´ M´ecani eca niqu quee des d es Mil M ilieu ieux x Cont C ontinu inuss D´efor ef orma mabl bles” es”,, O. Thual, Thu al, C´epadu` epa du`eses- Editions 1997.

EXAMEN 2006 ` PROBLEME 9.15

´ Ecoulements de Poiseuille - Couette

On consid`ere ere un ´ecoulement ecouleme nt fluide compris compr is entre deux plans d’´equations equatio ns z = l et z = l dans da ns le rep` re p`ere er e orth or thon onor orm´ m´e ex , ey , ez . On suppose que la loi de comportemen comportementt rh´ eologique eologique du milieu milieu est celle d’un fluide newtonien incompressible de masse volumique homog`ene ene ρ0 et de viscosi co sit´ t´e cin cin´´emat em atiq ique ue ν n . On note U ( U (x, t) le champ de vitesse et p(x, t) le champ de pression. On note g = g ez le champ de gravit´ grav it´e. e. On suppose que la plaque du bas, en z = l, est immobile, et que la plaque du haut, en z = l, est anim´ ee ee d’une vitesse uniforme U 0 ex .

−

{

−

}

−

´ 1) Ecrire les conditions aux limites pour la vitesse en z = ´ 2) Ecrire Ecrir e les ´equations equatio ns du mouvement.

±l.

D´ etermina ete rmination tion des profils profi ls On cherche des solutions stationnaires telles que U ( U (x, t) = U ( U (z ) ex . On suppose que p(0, (0, 0, 0) = P 0 et p(L, 0, 0) = P L , les pressions en x = 0 et x = L ex sont des constantes connues. On suppose que P L P 0 .

≤

´ 3) Ecrire Ecrir e les ´equations equatio ns du mouvement m ouvement que doivent d oivent v´erifier erifier ces solutio s olutions ns particu ti culi` li`eres er es.. 4) Montrer d’abord que la pression est de la forme p = C z + G(x) o` u C  est une constante que l’on pr´ecisera. ecisera . ′ 5) Montrer que G (x) = B et que p est de la forme p = A B x + C z o` u d es constantes con stantes que l’on pr´ecisera. ecisera. A et B sont des 6) Montrer que U ( U (z ) est solution soluti on d’une ´equation equatio n diff´erentielle erentielle ordinaire ordin aire avec deux conditions conditions aux limites que l’on pr´ecisera. ecisera. On pourra noter β  = (P 0 P L )/(2 ρ0 ν n L).

−

−

−

47

48

EXAMEN 2006, MMC, O. Thual, December 17, 2006 

7) Calculer U ( U (z ) dans le cas o`u U 0 = 0 (´ecoulement ecoulem ent de Poiseuille). Poiseuill e). 8) Calculer U ( U (z ) dans le cas o`u U 0 = 0 et P L = P 0 (´ecoulem ecou lement ent de Coue C ouette) tte).. 9) Calculer U ( U (z ) dans da ns le cas g´en´ en´eral er al U 0 = 0 et P L = P 0. Comparer avec les profils profil s des deux questions questio ns pr´ec´ ec´edentes edentes et commenter. commenter .







Corrig´ Cor rig´e page pag e 49 

` PROBLEME 9.16

´ Etude de l’´ ecoulement ecoulement de Poiseuille Poiseuill e

On consid` ere ere un ´ecoulement ecoulement de Poiseuille d´ efini efini par sa repr´esentation esentation 2 2 (1) eul´ eu l´erie er ienn nnee U ( U (x, t) = β  (l x3 ) e du champ de vitesse dans le rep` ere ere or(1) (2) (3) thon th onor orm´ m´e e , e , e . On choisit choisit pour ce mouvemen mouvementt la configuration configuration de r´ef´ ef ´eren er ence ce Ω0 = Ω(0) occupant le cube a l a` l’instant t = 0.

−



 ≤

´ Etude locale du mouvement On consid` ere ere la trajectoire tra jectoire x(t) d´efinie efin ie par x(t∗ ) = x∗ . Dans Dans un prem premie ierr ′ (3) temps, on choisit x∗ = l e et on consid` ere ere la trajectoire traj ectoire x (t) d´efini efi niee par pa r ′ x (t∗ ) = x∗ + δl e(3) avec 0 < δl < l. l . On note note δx( δx (t) le vecteur d´ efini efini par ′ δx( δx (t) = x (t) x(t). On note note δx( δx (t) sa norme et θ (t) l’angle qu’il fait avec l’axe Ox1 .

−

−

1) Dessiner la trajectoire x(t) et le vecteur δx( δx (t) a` des instants successifs t t∗ . 2) Pour δl fix´e, e, calcu cal culer ler δx( δx(t) et θ (t) pour tout temps et indiquer le sens de variation de ces fonctions du temps. 3) Calculer le d´eveloppement evelopp ement limit´e `a l’ordre 1 en t de δx( δx(t) et θ (t) au voisinage de t = t∗ pour δl fix´e. 4) Calcul Ca lculer er le d´evelopp evelo ppement ement limit´ lim it´e `a l’ordre 1 en δl de δx( δx(t)/δl et γ (t) = π/2 π/2 θ (t) au voisinage de δl = 0 pour t t∗ fix´e. 5) Calculer le tenseur des taux de d´ eformation eformation D(x∗ , t∗ ). Relier Relier les valeurs valeurs des composantes D33 et D13 aux r´esultats esultat s de la l a question q uestion 3. 6) Calculer le tenseur des taux de rotation Ω( x∗ , t∗ ) et le vecteur rotation ω(x∗ , t∗ ). Inter Int erpr´ pr´eter et er le r´esulat esu lat.. 7) D´eterminer etermi ner la base de diagonali dia gonalisation sation de D(x∗ , t∗ ) et interpr´ inter pr´eter eter ses composantes dans cette base. 8) On suppo suppose se `a pr´esent esent que x∗ = 0. Repr Repren endr dree les les sept sept quest questio ions ns pr´ec´ ec´edentes edent es p our ce nouveau nou veau choix de x∗ . 9) Comparer les r´esultats esultats obtenus pour x∗ = 0 et x∗ = le(3) .

≥

−

≥

−

Corrig´ Cor rig´e page pag e 49 

` PROBLEME 9.17

Calculs ´ energ´ energ´ etiques etiques de Couette

On consid` ere ere le champ de pression P ( P (z ) = P 0 ρ0 gz et le champ de vitesse U ( U (z ) = a z + b d’un fluide incompressible de masse volumique ρ0 et de viscos vis cosit´ it´e

−

49

EXAMEN 2006, MMC, O. Thual, December 17, 2006  cin´ ci n´emat em atiq ique ue ν n .

1) On suppose que U ( U ( l) = 0 et U ( U (l) = U 0 . En d´eduir edu iree a et b. 2) Calculer la puissance des efforts int´ erieurs erieurs int es es dans le doint ( ) excerc´ 3 maine = x = (x,y,z) x,y,z ) IR tq 0 x L, 0 y D et z l 3) Calculer la puissance extcont erieurs erieurs `a . extcont ( ) des efforts de contact ext´ 4) Comparer les puissances int int ( ) et extcont extcont ( ). Commenter.

−



D

P 

P  D ≤ ≤ ≤ ≤

∈

D P  D

P 

D

| |≤



D

Corrig´ Cor rig´e page pag e 50 

Corrig´e

´ Ecoulements de Poiseuille - Couette

condit ions aux limites s’´ecrivent ecrivent U ( U (x,y, l) = 0 et U ( U (x,y,l) x,y,l) = U 0 ex 1)Les conditions pour tout couple (x, (x, y). 2)Les ´equatio equa tions ns du mouvement mou vement s’´ecrivent ecri vent div U  = 0 dU  1 et dt = ρ0 grad p + ν n ∆U . U .

−

−

D´ etermina ete rmination tion des profils profi ls ∂p U (z ) v´erifi er ifiee 0 = ρ10 ∂x + ν n U ′′ (z ). 3)On a trivialement div U  = 0. Le profil U ( ∂p Les autres aut res ´equatio equa tions ns s’´ecrivent ecr ivent 0 = ρ10 ∂y et 0 = ρ10 ∂p g . 4)En int´ int´egra eg rant nt ∂z les deux derni`ere ere ´equations equatio ns on obtient p = ρ0 g z + G(x). On a donc donc C  = 1 ′ ρ0 g. 5)En reportant r eportant dans la premi`ere, ere, on obtient 0 = ρ0 G (x) + ν n U ′′ (z ). On en d´eduit eduit que G′ (x) est une constante que l’on note B . On a do donc  p = A B x ρ0 g z . Les valeurs de P  en x = 0 et x = L sur le plan central P L entr entraˆ aˆınen ın entt A = P 0 et B = P 0 −LP L . 6)On en d´eduit edu it que P 0ρ− = ν n U ′′ (z ) et 0L donc U ′′ (z ) = β/2 β/ 2 avec les conditions aux limites U ( U ( l) = 0 et U ( U (l) = U 0 . 2 2 U (z ) = β (l z ). 8)Dans le cas 7)Dans le cas U 0 = 0, la solution est U ( P L = P 0 , on a β  = 0 et donc U ( U (z ) = U 0 (z + l)/(2 l). 9)Dans Da ns le cas ca s g´en´ en´eral er al,, 2 2 on a U ( U (z ) = β (l z ) + U 0 (z + l)/(2 l). C’est C’est la somme somme des deux profils profils pr´ec´ ec´edent ed ent.. Cela Cel a r´ r ´esult esu ltee du d u fait f ait que qu e l’´ l ’´equat equ ation ion du secon sec ond d d´ d ´egr´ egr ´e et les condi con diti tion onss aux limites constituent constit uent un probl` prob l`eme eme lin´eaire. eaire.

− − − − − − − − −

−

−

−

−

−

−

Corrig´e

´ Etude de l’´ ecoulement ecoulement de Poiseuille Poiseuill e

´ Etude locale du mouvement trajecto toire ire x(t) est un point (adh´ (adh´erence erence `a une 1) Pour x∗ = le(3), la trajec paroi). paroi). Le vecte vecteur ur δx( δx(t) fait un angle θ (t∗ ) = π/2 π/2 qui d´ecro ecr oˆıt vers 0 avec le temps. Son extr´ extr´emit´ emit´e reste sur une trajectoire rectiligne rectiligne.. 2) δx( δx(t) = 2 2 2 δl 1 + β  (2l (2l δl) δl ) (t t∗ ) et θ (t) = π/2 π/2 arctg[β  arctg[β  2l δl (t t∗ )]. La fonction δx( δx (t) est croissan croissante, te, sa pente pente en t = t∗ est nulle et tend vers l’infini lorsque t tend vers l’infini. θ (t) est d´ecroissante ecroiss ante de π/2 π/2 `a 0. 3) δx( δx (t) = 2 2 δl + O [(t [(t t∗ ) ]. On a θ(t) = π/2 π/2 β (2l (2l δl)( δl )(tt t∗ )+ O [(t [(t t∗ ) ]. 4) δx( δx(t)/δl = 2 1 + (2βl (2βl))2 (t t∗ )2 + O (δl ). On a γ (t) = arctg[2βl arctg[2βl((t t∗ )] + O(δl 2 ). 5) Seuls D13 (x∗ , t∗ ) = D31 (x∗ , t∗ ) = βl sont sont non nuls. Au voisinage voisinage des points immobiles a3 = l et de t = t∗ , les les longu longueu eurs rs des des petit petitss vecte ecteurs urs (in(infinit´esimaux) esimaux) restent inchang´ ees ees dans le mouvement. mouvement. L’angle de glissement

−

   

−

−

−

−

−

−

−

−

| − | −

−

− −

EXAMEN 2005, MMC, O. Thual, December 17, 2006 

51

relati rel ation on entre les puissan pui ssances ces du th´eor` eor`eme eme de l’´energi ene rgiee cin´etique etiq ue en remarq rem arquant uant que l’acc´ l’ac c´el´ el´eratio era tion n de cet ´ecoulim ecou liment ent est nulle. nulle .

EXAMEN 2005

` PROBLEME 9.21

Cylindre Cylindre thermo´ thermo´ elastique elastique

On note (0, (0, ex , ey , ez ) le rep`ere ere orthonorm´e canonique et (x,y,z) x,y,z) les coordonn´ don n´ees ees d’un d’u n point po int x. On consid`ere ere une un e pastille d’oxyde d’uranium dont la forme Ω est le cylindre d’axe Oz, Oz , de longueur 2 l et dont la section est un cercle de rayon b. On choisit choisit l’origin l’originee des axes au centre centre du cylind cylindre re (voir (voir figure). On note S − et S + les disques de rayon b et de cotes respectives z = l et S 1 la face ∂ Ω (S − S + ).

−

±

∪

S+

e z S

1

0

S

-

l  e y b e x -l 

´ Equilibre thermique Les faces S − et S + de la pastille sont en contact avec un mat´ eriau eriau conducteur de chaleur et le dispositif disp ositif est plac´e dans un r´eacteur eacteur nucl´eaire, eaire, ce qui provoque l’´ echauffement echauffement de la pastille avec un taux de production pr oduction volumique de chaleur r (x). On suppose que l’´ equilibre equilibre est atteint et que le champ de temp´ erature erature A 2 dans dan s la pastill pas tillee s’´ecrit ecri t T ( T (x) = T 0 + τ 0 2 z o` u T 0 , τ 0 et A sont des constantes. On note k le coeffici co efficient ent de diffusi diff usivit´ vit´e thermi the rmique que de la pi`ece ece suppo sup pos´ s´ee ee ob´eir eir `a la loi de Fourier.

−

1) Calculer le flux de chaleur qui sort de la face S + . 2) Comparer ce flux avec celui qui sort de la face S − . 3) Calculer le flux de chaleur qui sort de la face S 1 . ´ 4) Ecrire Ecrir e l’´equation equatio n de bilan b ilan de l’´ l ’´energie energie interne dans la pastille. pastille . 5) En d´ eduire eduire le taux de production p roduction volumique de chaleur r (x). 6) Calculer la puissance fournie `a la l a past p astille ille par la r´eaction eact ion nucl´eaire. eair e. 7) Comparer avec le flux de chaleur sortant `a travers ∂ Ω. Ω.

58

EXAMEN 2004, MMC, O. Thual, December 17, 2006  Corrig´ Cor rig´e page pag e 58 

EXERCICE 9.28

Solide ´ elastique sur un plan inclin´ elastique e

On consid` ere ere un milieu continu occupant le domaine d omaine



(1)

Ω = x = x1 e

+ x2 e2 + x3 e

(3)

tel que

0

≤ x3

 ≤ h

(9.10)

qui d´ecrit ecrit une couche infinie infini e d’´epaisseur epaisse ur h constant constante. e. On suppose que l’axe Ox1 fait un angle α avec avec l’horizontale et que la gravit´ e s’exprime donc g = (1) (3) g ez avec ez = sin α e + cos α e .

−

−

 x 3 e z

e3 e1

h g

α

 x 1

On suppose que le poids du milieu continu, de masse volumique ρ, induit une d´eformat efor mation ion infinit´ infi nit´esimale esim ale de la forme for me : ξ (x1 , x2 , x3 ) = ζ (x3 ) e(1) + χ(x3 ) e(3)

(9.11)

o` u ζ (x3 ) et χ(x3 ) sont des fonctions que l’on cherche `a d´eterminer. etermin er. On note Ω0 , la configuration configu ration de r´ef´ ef´erence erence dont est es t issue issu e Ω. Il n’y a pas pa s de mouvement. m ouvement. On suppose suppose que le com comporte portemen mentt rh´ rh´eologi eologique que du milieu milieu est celui celui d’un d’un mat´eriau eri au ´elastiqu elas tiquee lin´eaire eair e isotrop isot ropee et on note not e λ et µ ses coeffici co efficients ents de Lam´ L am´e. e. Le solide soli de adh`ere ere `a la paroi pour x3 = 0. Il est en contact avec l’air sur la face x3 = h et l’on suppose que la pression atmosph´ erique erique pa est constante. 1) Donner l’expressi l’expression on du tenseur tenseur des contrain contraintes tes σ (x). 2) En E n d´eduire eduir e l’expression l’expre ssion de l’´equilibre equilib re des forces. forces . ´ 3) Ecrire les conditions aux limites en x3 = 0 et x3 = h. 4) En E n d´eduire edu ire les profils pro fils de d´eplaceme epla cement nt ζ (x3 ) et ξ (x3 ). 5) Calculer la force surfacique T  exerc´ ee ee par le plan inclin´ e sur le solide ´elas el asti tiqu que. e. 6) Commenter Co mmenter ce dernier derni er r´esultat. esultat . Corrig´ Cor rig´e page pag e 59 

Corrig´e

Tourbillons ourbill ons en rep` ere ere tournant

Calcul tensoriel axisym´ etrique etrique 2D emonstration emonstration de cette relation est effectu´ ee ee dans le “Partiel 2004”. 1)La d´

61

EXAMEN 2003, MMC, O. Thual, December 17, 2006 

7) On suppose que le solide est `a l’´equilib equi libre re dans dan s cet ´etat etat d´eform´ efo rm´e. e. En d´eduire edu ire les forces for ces ext´erieur eri eures es de volume volum e f ( f (a). 8) Calculer C alculer et dessiner dessine r les forces de contacts surfaciq su rfaciques ues exerc´ees ees sur chacune chacu ne des faces (courbes et plates) de la fronti` ere ere de Ω par son ext´ erieur. erieur. 9) Calculer les couples (circulation ou moment par rapport `a l’axe) l’ax e) exerc´ exer c´es es par ces forces de contact contact pour chacune chacune des faces, ainsi que le couple total.

´ Ecoulements incompressibles ` a surface libre On cons co nsid` id`ere er e un ´ecoul eco uleme ement nt `a surface libre occupant le volume



Ω = x tels que

r

≤ Rm

et 0

≤ x3 ≤ h(r)

avec

r=

   x21 + x22

o` u Rm est le rayon de la cuve et h(r ) le profil de la surface libre que l’on cherche `a d´etermin eter miner. er. Le champ de gravit´ grav it´e g e(3) est parall` par all`ele ele `a l’axe de la cuve. cuve. On suppose que la cuve est remplie d’un fluide incompressible incompressible de masse volumiqu volum iquee homog` hom og`ene ene ρ0 , et anim´e du mouvement U ( U (r,θ,x3 ) = V ( V (r ) eθ (θ ) o` u (r,θ,x3 ) sont les coordonn´ees ees cylindriques et V ( V (r) un profil de vitesse. Dans un premier temps, on suppose que le fluide est visqueux et que le mouvement vem ent v´erifi er ifiee V ( V (r ) = ω r .

−

´ 10) Ecrire les ´equations equations de Navier-Stokes Navier-Stokes incompressibles en coordonn´ees ees cart´ car t´esienne esie nness en rempla rem pla¸¸cant cant le champ de vitesse par son expression. 11) Indiquer l’expression du tenseur des contraintes σ (x, t) en fonction du champ champ de pression pression p p our ou r l’ins l’i nsta tant nt ind´ in d´eterm ete rmin´ in´e. e. 12) On suppose que la pression atmosph´erique erique pa est constante. constante. Indiquer Indiquer la condition aux limites que l’on doit imposer sur la surface libre d’´equation equation x3 = h(r ) en supposant la continuit´ continuit´ e des forces de contact. 13) Montrer Montrer que le champ champ de pression pression s’´ ecrit ecrit sous la forme p = pc (x3 , t) + 2 2 β ( β (x1 + x2 ) o` u β  est un constante que l’on explicitera. 14) Pr´eciser eciser le profil de pression pc (x3 , t) en appliquant la condition aux limites en x = h0 e(3) en supposant que h(0) = h0 est connu. 15) En d´eduire eduire la forme de cette surface surfa ce libre. l ibre. En faire un trac´ t rac´e sch´ ematique. ematiqu e. 16) On suppose ω = .5 Hz, Rm = 1 m. Calculer Calculer la diff´ diff´erence erence de hauteur maximale entre les points de la surface libre pour g = 9.81 m/s2 . On suppose maintenan maintenantt que le fluide est parfait avec avec V ( V (r ) = les points x r0 o` u r0 < R m est une constante.

 ≤

γ  2π r ,

en excluant

´ 17) Ecrire Ecrir e les ´equations equation s d’Euler d ’Euler incompressib incomp ressibles les en coordonn´ coor donn´ees ees cylindr c ylindriques iques en rempla¸cant cant les champs de vitesse et d’acc´ el´ el´ eration eration par leurs expres∂  1 ∂  sions. sions. On rappelle rappelle que grad = er ∂r + eθ r ∂θ + e(3) ∂x∂ 3 . 18) Indiquer l’expression l’expression du tenseur tenseur des contrain contraintes tes σ (x, t) dans le fluide. 19) On suppose que la pression atmosph´erique erique pa est constante. constante. Indiquer Indiquer la condition aux limites que l’on doit imposer sur la surface libre d’´equation equation x3 = h(r ).

62

EXAMEN 2003, MMC, O. Thual, December 17, 2006 

20) Donner l’expression de la pression en appliquant cette condition aux limites aux points de la surface libre v´ erifiant erifiant r = Rm en supposant que h(Rm ) = hm est connu. 21) En d´eduire eduire la forme de cette surface surfa ce libre. l ibre. En faire un trac´ t rac´e sch´ ematique. ematiqu e. 22) On suppose r0 = 1 cm cm,, hm = 10 cm et Rm = 1 m. Calculer la valeur de γ  telle que h(r0 ) = 0.

´ Ecoulements compressible ` a toit rigide On consid`ere ere un ´ecoulement ecouleme nt occupant occu pant le volume



Ω = x tels que

r

≤ Rm

et 0

≤ x3 ≤ hm

avec

r=

   x21 + x22

o` u Rm et hm sont respectivement le rayon et la hauteur de la cuve `a toit rigide. rigide. Le champ champ de gravit´ gravit´ e est g e(3) . On suppose que la cuve cuve ferm´ee ee est enti`erement erement remplie r emplie d’un fluide parfait compressible et que l’ensemble est anim´ e du mouvement mouvement de rotation solide U ( U (r,θ,x3 ) = ω r eθ (θ) o` u (r,θ,x3 ) sont les coordonn´ co ordonn´ees ees cylindriques. On supp ose que le fluide est un u n gaz parfait de masse molaire M . M . On suppos sup posee que la temp´erature eratu re T  = T 0 est homo ho mog` g`ene en e et et on cherche le champ de masse volumique solution sous une forme ρ = ρe(r, x3 ) qui ne d´epend epen d que de r et de x3 .

−

23) Montrer que l’hypoth` l’hypo th`ese ese ρ = ρe (r, x3 ) et le champ de vitesse vi tesse propos´ prop os´e sont compatibles avec avec l’´ equation equation de conservation conservation de la masse. 24) Ecrire Ecrire les ´equations equations de conservation de la quantit´ e de mouvement mouvement en coordonn´ coor donn´ees ees cylindr cy lindriques iques en rempla¸ r empla¸cant cant le champ de vitesse par sa valeur. 25) En E n ´elimina elim inant nt p, d´eduire edu ire des ´equatio equa tions ns d’´etat etat et des ´equatio equ ations ns d’Euler d’E uler comω2 r2

pressibles que la masse volumique est de la forme ρe (r, x3 ) = ρc (x3 ) e 2 α o` u α est une constante que l’on pr´ecisera. ecisera. 26) On suppose que ρ(0, (0, t) = ρe (0, (0, 0) = ρ0 est connu. Donner Donner l’expressi l’expression on du profil de masse volumique ρc (x3 ) au centre de la cuve. 27) En d´ eduire eduire l’expression du champ de pression p(x, t). 28) Faire un trac´e sch´ ematique ematiqu e des isobares isobar es dans un plan horizontal. horizo ntal.

Corrig´ Corrig´ e

Rotation Rotation dans dans les fluide fluidess et les solide solidess

Rotation dans un solide compris entre deux cylindres de hauteur l de 1)On a Ω Ω0 . C’est le volume compris mˆeme eme axe et de rayons R1 et R2 . 2)On a ξ1 (a) = α a2 et ξ2 (a) = α a1 . On en 0 α 0 d´edui ed uitt que qu e H (a) = α 0 0 . On en d´eduit edu it ǫ(a) = 0 (partie (parti e sym´etrique etrique 0 0 0 de H ). ). 3)La loi de Hooke entraˆ entraˆıne σ = λ tr (ǫ) I + I  + 2 µ ǫ = 0. 4)On a toujours Ω Ω0 . 5)En ´ecri ec rivant vant ξ1 = B (a1 , a2 ) a2 , ξ2 = B (a1 , a2 ) a1 et ξ3 = 0 avec 2 β  2 B (a1 , a2 ) = 2 π a1 + a22 , on peut exprimer H , qui est sym´etriqu etr iquee et s’´ecrit ecri t

∼



∼

 



−

−

−

65

EXAMEN 2002, MMC, O. Thual, December 17, 2006  2) On d´efinit efinit l’entropie l’entropi e s = (ρ, e) du fluide par les relations

 S S  ∂  ∂e

S 

(ρ, e) = ρ

1 (ρ, e)

et

T 

 S S  ∂  ∂ρ

(ρ, e) = e

− ρ2P T (ρ,(ρ,e)e) .

(9.12)

Quelle relation relatio n thermo dynamique dynam ique traduisent tradu isent ces ´egalit´ egalit´es es ? 3) D´ eduire eduir e de la relation relatio n de Gibbs une relation relatio n entre les d´eriv´ eriv´ees ees particuparti cudρ de ds laires dt , dt et dt . ´ 4) Ecrire Ecrir e la loi de conservation con servation de la l a masse mas se et l’´equation equatio n de bilan bi lan de l’´energie energi e interne pour ce fluide parfait compressible. dρ de ´ 5) Eliminer ` partir parti r des trois ´equations equatio ns pr´ec´ ec´edentes edentes pour pou r obtenir obteni r dt et dt a ds l’expression de dt . 6) Commenter Co mmenter le r´esultat esultat obtenu. Corrig´ Cor rig´e page pag e 67 

` PROBLEME 9.33 9.33

Diffusi Diffusion on de de la la cha chaleu leurr et mouve mouvemen mentt

R On consid` ere ere un gaz parfait et on note n ote p = ρ M  T  et e = C v T  ses lois loi s d’´etat. etat . On suppose que sa masse volumique ρ(x, 0) = ρ0 est homog`ene ene en espace `a t = 0 et qu’il est anim´ e d’un mouvement mouvement fluide.

Mouvement 2D On consid` con sid`ere ere le mouvement mou vement d´efini efin i par la repr´ rep r´esentatio esent ation n eul´erienn eri ennee de sa vitesse vit esse U ( U (x, t) telle que : U 1 = α x1

U 2 = β x2

et

U 3 = 0

(9.13)

o` u α et β  sont des constan constantes. tes. On note χ = α + β  et on suppose que χ et β > 0.

≥0

1) Exprimer le vecteur rotation ω(x, t) et le l e tenseur ten seur des d´eformations eform ations D(x, t). 3 2 2 2) On consid`ere ere le domaine domai ne (0) = a IR : a1 + a2 l2 et 0 a3 h et on note (t) son ´evolution evolution au cours cou rs du temps sous s ous l’action l’a ction du mouvement mou vement U ( U (x, t). Exprimer le volume V ( V (t) du domaine (t) en fonction du temps. 3) Tracer V ( V (t) en fonction du temps dans le cas α = β  puis dans le cas χ = 0. 4) Tracer les lignes de champs du champ de vitesse U ( U (x, t) dans un plan x3 = a3 dans le cas α = β  puis dans le cas χ = 0. 5) Donner l’expression l’expr ession de la d´eformation eforma tion X (a, t) en supposant que X (a, 0) = a. 6) Tracer les trajectoires dans un plan x3 = a3 dans le cas α = β  puis dans le cas χ = 0. 7) On consid` ere ere un champ B (x, t) tel tel que dB dt (x, t) = 0 e t B (x, 0) = γ  2 2 (L) (a, t) de ce champ. 2 x1 + x2 . Calculer l’expression lagrangienne B 8) En E n d´eduire edu ire son expressi expr ession on eul´erienn eri ennee B (x, t).

D

 

D

{ ∈

≤

D

≤ ≤ }

66

EXAMEN 2002, MMC, O. Thual, December 17, 2006 

9) Calculer ∂B erifi er ifier er que qu e dB ∂t et U  grad B et v´ dt = 0. 10) D´ecrire ecrire le domaine domain e (t) et le dessiner `a diff´erents erents instants dans le cas α = β  puis dans le cas χ = 0. 11) On consid`ere ere le domaine domain e

·

D

Db(0) = {a ∈ IR3 : (a ( a1 − b1 )2 + (a (a2 − b2 )2 ≤ l2 et 0 ≤ (a3 − b3 ) ≤ h} o` u b = (b1 , b2 , b3 ) est un vecteur vecteur donn´e. e. et on note Db (t) son ´evolutio evolu tion n au cours du temps. D´ ecrire ecrire le domaine Db (t) a` l’instant t et le dessiner a` diff´ erents erents instants dans le cas α = β  en distinguant les cas b < l, Pro c´eder eder de mˆeme eme pour po ur le cas χ = 0. b = l et b > l . Proc´ Fluide parfait incompressible On suppose que le gaz est anim´ anim´e d’un mouvemen mouvementt de fluide parfait incomincompressible pressi ble d´ecrit ecrit par le l e champ de vitesse vit esse U  ´etud et udi´ i´e pr´ pr ´ec´ ec´edem ed emme ment nt.. On su s uppos pp osee que la densit´e des forces ext´erieures erieur es de volume f ( f (x, t) est nulle. 12) Quelle relation relatio n doivent v´erifier erifier α et β  ? 13) En supposant la pression p(0, (0, t) = p0 constante en x = 0 et pour tout temps t, calculer le champ de pression p(x, t). 14) Calculer Calcu ler la r´esultante esultante cont erieures erieures au cont [ (t)] des forces de contact ext´ domaine (t) d´efini efin i plus p lus haut. hau t. 15) 15) Est Estim imer er sans sans calc calcul ul la dire direct ctio ion n et le sens sens de cont b (t) pour b = cont (b1 , 0, 0) avec b1 > 0.

D

F  D

F 

D 

Fluide parfait compressible On suppose suppose que le gaz est anim´ anim´e d’un mouvemen mouvementt de fluide fluide parfait parfait com com-pressible d´ ecrit ecrit par le champ de d e vitesse U  ´etudi´e pr´ec´edemment ave avec α = β . On chauffe ce fluide avec avec un apport volumique d’´energie energie interne r (x, t) et on suppose que les forces ext´ erieures erieures de volume f ( f (x, t) sont non nulles. 16) Donner l’expression de la masse volumique de ce gaz. 17) Calculer l’expression du champ r (x, t) permettant de garder un champ de temp´ tem p´eratu er ature re T ( T (x, t) = T 0 constant en temps et en espace. Interpr´ eter eter le signe de r et son sens de variation avec t. 18) Calculer l’expression que doit avoir le champ f ( f (x, t) pour que le champ de vitesse U  soit solution soluti on des d es ´equations equatio ns d’Euler. d’Eu ler.

Diffusion sans mouvement On note k le coefficient coefficient de conductivit conductivit´´e thermique thermique du gaz et κ = ρ0kC v le coefficient coeffi cient de diffusivi d iffusivit´ t´e thermi t hermique. que. On consid`ere ere le cas c as α = β  = 0 o` u le gaz est au repos (U  ( U  = 0). On suppose f  = 0 et r = 0. ´ ire l’´equatio 19) Ecrire Ecr equa tion n d’´evolution evolu tion de la temp´eratur era turee T ( T (x, t) de ce gaz.

67

EXAMEN 2002, MMC, O. Thual, December 17, 2006 

−  −  x2 +x2

1 2 20) On suppose que T ( T (x, t0 ) = A0 exp est l’expression du champ 2 σ02 de temp´erature eratu re `a t = t0 > 0. Montrer Montrer que le champ champ de temp´ temp´erature erature x21 +x22 ∗ p eut eu t s’´ecrir ecr iree T ( T (x, t) = A(t) exp λ(t) 2 pour t IR+ et donner les ´equations equatio ns diff´erentielles erentielles ordinaires ordin aires que doivent alors v´ erifier erifier les fonctions foncti ons A(t) et λ(t). 21) On suppose que σ0 = 2 κ t0 . Calculer alors les fonctions A(t) et λ(t). 22) Montrer que le champ de temp´ te mp´erature eratu re s’´ecrit ecrit alors sous la forme f orme T ( T (x, t) = 2 2 x1 +x2 A(t) exp . Tracer σ (t) et A(t) en fonction du temps. 2 σ2 (t)

∈

√

− 

23) On consid` ere ere le domaine infini Ω0 = a IR3 : 0 a3 l . Tracer racer l’´energie ener gie interne inter ne int int(Ω0 ) en fonction du temps et commenter la courbe.

{ ∈

E 

≤

≤ }

Corrig´ Cor rig´e page pag e 68 

EXERCICE EXE RCICE 9.34 9. 34

Mat´ eriau eria u elastiq e ´las tique ue encastr´ enc astr´e

On consid` con sid`ere ere un mat´eriau eri au ´elastiqu elas tiquee dont la configu con figurat ration ion de r´ef´ ef´erence ere nce est le parall´el´epip`ede 0 a1 l1 , 0 a2 l2 et 0 a3 l3 . On note ρ0 la masse mas se volumi vol umique que du mat´ m at´eriau eri au dans dan s la configu con figurat ration ion de r´ef´ ef´erence ere nce et on se place dans le cadre de l’´elasticit´ elastici t´e lin´eaire eaire homog`ene ene et isotrope. isotro pe. On note λ et µ les coeffici co efficients ents de Lam´e du mat´eriau. eri au. On suppose supp ose que ce mat´eriau eriau est compl`etement etement encastr´e dans un mat´eriau eriau ind´eformable, eform able, ce qui signifie signifi e qu’il qu ’il occupe occu pe toujours toujo urs le mˆeme eme espace. On s’int´eeresse `a l’´etat et at d’´equili equ ilibr bree de ce ma mat´ t´eria er iau u en pr´esenc ese ncee de forc fo rces es de gravi gr avit´ t´e f ( f (a) = (3) ρ0 g e .

≤ ≤

≤ ≤

≤ ≤

−

´ 1) Ecrire les ´equations equations de Lam´ e-Clapeyron e-Clapeyron en projection sur les axes et pr´eciser eciser les conditions condit ions aux limites. limites . 2) Montrer que l’on peut supposer ξ1 = ξ2 = 0 et que ξ3 ne d´epend ep end que de a3 . 3) En d´eduire eduir e le champ de vecteur d´eplacement eplacem ent ξ (a) `a l’´equil equ ilib ibre re.. 4) Tracer le d´eplacement eplacement vertical ξ3 (a3 ). 5) Exprimer le tenseur des contraintes σ (a) en chaque point du mat´eriau. eriau . 6) Calculer Calculer la r´esultante esultante des forces de contact exerc´ ees ees par le mat´ eriau eriau ind´eformable eform able sur le mat´eriau eriau encastr´e sur chacune des faces horizontales. horizo ntales. 7) Calculer Calculer la r´esultante esultante des forces de contact exerc´ ees ees par le mat´ eriau eriau ind´eformable eform able sur le mat´eriau eriau encastr´e sur chacune des faces verticales. Corrig´ Cor rig´e page pag e 69 

Corrig´ Corrig´ e

Relation Relation de Gibbs

inverser la loi d’´etat etat de l’´ energie energie e = (ρ, T ). T ). 2)Il s’agit de la 1)Il faut inverser relation relation de Gibbs que l’on peut ´ecrire ecrire sous la forme de = T ds  p d ρ1 ou

E 

T ds = de

− ρp

2

dρ. dρ. 3)On en d´edui ed uitt

de la masse est

dρ dt

=

U . −ρ div U .

de dt

= T 

p dρ ds dt + ρ2 dt .

−



4)La loi de conservation

L’´equation equatio n de bilan de l’´energie energi e interne est

69

EXAMEN 2002, MMC, O. Thual, December 17, 2006 

forme de l’ensemble sont sym´ etriques etriques par rapport `a l’origine (x (x1 , x2 ) = (0, (0, 0), ′ (t) on peut ´ecrire ecrire sans calcul que cont cont [ (t)] = 0. 15)Comme l’ensemble est sym´ etrique etrique par rapport `a l’axe Ox1 et que p d´ecroˆ ecroˆıt ıt avec la distan dis tance ce `a ′ l’origine, on voit que cont di rig´ g´e cont [ (t)] est dans la direction de l’axe Ox 1 et diri vers les x1 croissants.

F  D

D

F  D

Fluide parfait compressible equatio n de bilan de 16)Comme div U  = χ, on a ρ = ρ0 exp( χ t). 17)L’´equation de R l’´ l’´ener en ergi giee s’´ s’´ecr ec rit ρ dt = r + k ∆T   p div U . U . En utilisant ut ilisant la loi lo i d’´etat etat p = ρ M  T , T , R − χ t on voit que e = C v T  est constant si et seulement si r (x, t) = ρ0 M  T 0 χ e = − χ t  p0 χ e . Le terme terme de chauffa chauffage ge volumi volumique que n´ ecessa ecessaire ire pour mai maint nteni enirr la temp´eratur era turee constante cons tante est positi po sitiff (c’est (c’e st une d´etente) etent e) et d´ecroˆ ecroˆıt ıt avec le temps temp s (la densit´e diminue avec un taux de d´etente etente constant). constant) . 18)Les ´equatio equa tions ns de ∂p 2 conservation conser vation de la quantit´e de mouvement s’´ecrivent ecrivent ρα x1 = ∂x 1 + f 1 , ∂p ∂p R ρα2 x2 = ∂x + f 2 et 0 = ∂x + f 3. Comme ρ = ρ0 e−χ t et p = ρ0 e−χ t M  T 0 , 2 3 on doit avoir f 1 = ρα2 x1 , f 2 = ρα2 x2 et f 3 = 0.

−

−

−

−

−

Diffusion sans mouvement equatio n de bilan de l’´energie energi e interne conduit condu it `a 19)L’´equation ∂T  ∂t

=



dA dt

− A dλdt

x21 +x22

etc. etc. avec avec E  = exp

2

−



∂T  ∂x 1 x21 +x22 2

E ,

λ(t)



= A( λ x1 ) E ,

−

∂T  ∂t

∂ 2 T  ∂x 21

= κ ∆T . T . 20)On a

= A( λ + λ2 x21 ) E ,

−

. En reportant reportant dans les ´equations, equations, on voit voit

que l’on doit avoir dA 2κλA et dλ 2κλ2 . 21)On en d´eduit eduit que dt = dt = 1 1 dA t0 ) + λ0 = 2κ(t t0 ) + 2κ t0 = 2κ t. D’ou ` dt = 1t A λ(t) = 2κ(t

−

−

− √ and A = A0 tt . 22)On a donc σ (t) = 2 κ t : l’´ ecart-type ecart-type du champ de √ temp´eratur era turee varie en t (r´ esultat esultat classique de la diffusion). L’amplitude A 3 d´ecroˆ ecroˆıt ıt comm commee l’inverse l’i nverse du temps. tem ps. 23)On a E int int (Ω0 ) = Ω ρ0 C v T d x = 0

   

−

−

r2 2σ 2

  

0

ρ0 C v A 02π 0r e r dr dθ = 2πρ 0 C v A(t) σ 2 (t) = 2πρ 0 κ C v A0 t0 σ02 . Cett Cettee fonction foncti on ne d´epend epen d pas p as du temps (l’´energie energie interne est conserv´ conser v´ e dans ce cas).

Corr Co rrig ig´ ´ e

−

Mat´ Mat´ eria er iau u´ elas el asti tiqu que e encas encastr tr´ ´ e

equ ations ns de Lam´e-Clap e-Cl apeyro eyron n s’´ecrivent ecri vent 0 = f 1 + (λ + µ) ∂a∂ 1 div ξ + 1)Les ´equatio µ ∆ξ1 , 0 = f 2 + (λ + µ) ∂a∂ 2 div ξ + µ ∆ξ2 et 0 = f 3 + (λ + µ) ∂a∂ 3 div ξ + µ ∆ξ3 . Les conditions conditi ons aux limites s’´ecrivent ecrivent ξ (a) = 0 sur chacune des faces. 2)On cherche cherch e des de s soluti sol utions ons v´erifiant eri fiant ξ1 (a) = ξ2 (a) = 0 , en accord avec les conditions aux limite limites. s. On cherc herche he des des solu soluti tions ons sous la forme forme ξ3 (a) = ξ3 (a3 ). On ′′ doit donc r´esoudre esoudr e (λ + 2 µ)ξ3 (a3 ) = ρ0 g qui admet admet un soluti solution. on. Comme Comme la solution solution d’une ´equation equation lin´ lin´eaire eaire est unique, unique, c’est donc la bonne. 3)En appliquant les conditions aux limites ξ3(0) = ξ3 (l3 ) = 0, on obtient ξ3 (a3 ) = 1 ρ0 g l3 ). 4)Le d´epla ep lacem cement ent ξ3 (a3 ) est une parabole qui s’annule en 2 λ+2µ +2µ a3 (a3 epl acement ent est n´egatif. egat if. 5)La loi de Hooke entraˆ entraˆıne a3 = 0 et a3 = l. Le d´eplacem λ σ33 = ρ0 g (a3 l3 /2), σ11 = σ22 = λ+2µ +2µ σ33 et σij = 0 sinon. 6)La force

−

−

70

EXAMEN 2001, MMC, O. Thual, December 17, 2006 

exerc´ee ee par le support supp ort du bas sur le mat´eriau eriau est ´egale egale `a la moiti´e du poids poi ds P  = ρ0 g l1 l2 l3 et est orient´ orient´ ee ee vers vers le haut. L’autre moiti´ e du poids est compens´ comp ens´ee ee par p ar la paroi du haut. ha ut. 7)Les forces for ces exerc´ exer c´ees ees par les parois par ois lat´erales era les sont nulles.

EXAMEN 2001 Seules Seu les les que questi stions ons suivan sui vantes tes doiven doi ventt ˆetre etre r´edig´ edi g´ees ees : 6), 8), 11), de 12) `a 20) incluses, 25, 26), 29) et de 31)` a 40) incluses. incluses. La  r´eponse eponse aux autres aut res que questi stions, ons, d´ej` ej` a trait´ees ees lors du partiel, peuvent permettre de poursuivre poursu ivre le probl`eme. eme.

` E 9.35 PROBLEME EM 9.35

Onde Ondess de comp compre ress ssio ion n

Premier mouvement



On consid`ere ere un premier premie r mouvement X  X (a, t) d´efini efin i par pa r x1 = a1

− l sin[k sin[k (a1 − c t)] ,

x 2 = a2

et

(9.14)

x3 = a3

o` u l > 0, k > 0 et c > 0 sont des constantes. On suppose que η = k l < 1. 1) Quelles sont les dimensions de l, k, c et η ?



(L)

2) Calculer Calcul er la l a repr´ r epr´esentation esentation lagrangienn lagra ngiennee U  U  (a, t) de ce mouvement. 3) Calculer le Jacobien J  J (a, t) de ce mouvement. 4) En E n d´eduire edu ire que la configu con figurat ration ion de r´ef´ ef´erence eren ce Ω0 ne correspond `a aucune des configurations Ω(t Ω(t) atteintes lors de ce mouvement. 5) On suppose que la repr´esentation esentation lagrangienne ρ(L) (a, t) de la masse volumi lu miqu quee s’´ s ’´ecrit ecr it



ρ(L) (a, t) =



1

−

ρ0 η cos[k cos[k (a1



− c t)] .

(9.15)

Montrer que la masse est bien conserv´ ee ee au cours cour s du temps. 6) Quelle Qu elle est la masse volumique dans la configuration de r´ef´ ef´ erence erence Ω 0 ? 7) On note Gη la fonction foncti on d´efinie efinie sur IR par Gη (θ ) = θ η sin θ . Tracer racer (sch´ (sch´ematiquement) ematiquement) cette fonction et montrer qu’elle est inversible. inversible. 8) On note H  H η la fonction inverse de Gη , c’est-`a-dire a-dire telle que ϕ = Gη (θ ) θ = H  H η (ϕ). Indiquer le domaine de d´efinition efinition de H  H η et tracer tra cer (sch´ematiemat iquement) cette fonction. 9) On consid` consid` ere ere le champ champ scalaire scalaire B dont la repr´esentation esentation eul´erienne erienn e ( E  ) est B (x, t) = k (x1 c t). Exprimer sa repr´ r epr´ esentation lagrangienne esentation ( L ) B (a, t), pour le mouvement X  X , a` l’aide de la fonction Gη . 10) On consid` ere ere le champ scalaire C  dont la repr´esentation esentation lagrangienne est C (L) (a, t) = k (a1 c t). En utilis utilisan antt les r´ esulta esultats ts des questi questions ons ( E  ) pr´ec´ ec´edentes, edent es, exprim exp rimer er sa repr´ rep r´esentatio esent ation n eul´erienn eri ennee C  (x, t), pour pour le mouvement X  X , a` l’aide de la fonction H  H η .

  





−

−



−











⇐⇒

71

EXAMEN 2001, MMC, O. Thual, December 17, 2006 



(E )

11) 11 ) En d´edui ed uire re la repr´ re pr´esenta ese ntatio tion n eul´erien er ienne ne U  U  (x, t) de la vitesse ainsi que ( E  ) la repr´ re pr´esenta ese ntatio tion n eul´ eu l´erien er ienne ne ρ (x, t) de la masse volumique `a l’aide de la fonction fonction H  H η .





Ondes Ond es ´ elastiqu elas tiques es longit l ongitudin udinales ales On consid`ere ere un solide ´elastique elastiqu e homog`ene ene et isotrope isotro pe caract´eris´ eris´e par ses coeffici co efficients ents de Lam´e λ et µ. On se place pla ce dans dan s le l e cadre cadr e de l’´elastici elas ticit´ t´e lin´eaire. eair e. En l’absence de contraintes, contraintes, ce solide occupe une configuration de r´ef´ ef´ erence erence Ω0 et sa masse volumique est ρ0. On supp ose ensuite que le solide est anim´ e d’un mouvement de vibration vibra tion mod´elis´ elis´e par le premier premi er mouvement X  X (a, t) = (1) a l sin[k sin[k (a1 c t)] e . On n´egligera egliger a les forces de gravit´e. e.

−

−





12) Calculer le d´eplacement eplaceme nt ξ (a, t) asso as soci´ ci´e `a ce mouvement. 13) Calcul le tenseur des petites d´eformations eformations ǫ(a, t). 14) Montr Montrer er que ce mouvemen mouvementt est solution solution des ´equations equations de Lam Lam´´e si et 2 seulement si c est reli´ re li´e `a λ, µ et ρ0 par une relation r elation que l’on l’ on pr´ecisera. ecisera. 15) Que repr´ rep r´esente esent e physique phys iquement ment la quantit´ qua ntit´e c ?



On suppose maintenant que η 1 est tr`es es petit. p etit. On cherche cherche alors `a pousser les d´eveloppement eveloppe ment asymptotiques asympto tiques des diff´ d iff´erents erents champs jusqu’au jusqu ’au premier premie r ou au deuxi`eme eme ordre ordr e en η suivant les cas.

≪

16) Que traduit tradu it l’hypoth` l’hypo th`ese ese η 1? 17) On note ρ(L) (a, t) la repr´esentation esentation lagrangienne de la masse volumique du solide au cours de la vibration. vibration. Montrer Montrer que l’on p eut ´ecrire ecrire :



≪

ρ(L) (a, t) = ρ0 + η ρ0 cos[k os[ k (a1



− c t)] + O(η2 ) .



(9.16)



18) Montrer Montr er que l’on l ’on peut peu t ´ecrire ecrire Gη (θ) = θ + O (η ) et H  H η (ϕ) = ϕ + O(η ). 19) En d´eduire eduir e les d´eveloppements evelopp ements asymptotiques asympt otiques suivants : (E )

U  U 1 (x, t) = η c cos[k cos[k(x1 c t)] + O (η2 ) ρ(E ) (x, t) = ρ0 + η ρ0 cos[k cos[k(x1 c t)] + O (η2 ) .



−

−

(9.17)

20) Comparer Compar er les le s repr´ r epr´esentations esentation s lagran l agrangiennes giennes et eul´eriennes erienn es des d es champs champ s de masse volumique et de vitesse `a l’ordre dominant en η . Expl Expliq ique uerr ce r´esultat esu ltat dans dan s le cadre cadr e des hypoth` hyp oth`eses eses de base bas e de l’´elastici elas ticit´ t´e lin´eaire. eair e.

Second mouvement On consid`ere ere un second mouvement d´efini efini par la repr´esentation esentation eul´erienne erienn e (E ) U  U  (x, t) de son champ de vitesse qui s’´ ecrit ecrit

 

 

(E )

U  U 1

= v cos[k cos[k(x1

− c t)] ,



(E )

U  U2 

=0

et



(E )

U  U 3

=0

(9.18)

o` u v > 0, k > 0 et c > 0 sont des constante constantes. s. On suppose que η = v/c < 1. Dans un premier temps, η n’est pas petit.

72

EXAMEN 2001, MMC, O. Thual, December 17, 2006 

21) Quelles sont les dimensions de v , k, c et η ? 22) Calculer le tenseur tenseu r des taux t aux de d´eformations eforma tions D(x, t) et le vecteur rotation ω(x, t). 23) Quel est le taux de dilatation des volumes au point x et `a l’instant t ? 24) Montrer que la repr´esentation esentation eul´erienne erienn e ρ(E ) de la masse masse volum volumiqu iquee d´efini efi niee par pa r ρ0 ρ(E ) (x, t) = (9.19) 1 η cos[k cos[k(x1 c t)]

 

 

 

−

−

est solution de l’´ equation equation de conservation conservation de la masse. 25) On note H  H η la fonction foncti on d´efinie efinie sur IR par



    H  H η (ϕ) =

ϕ

0

1

−

1 dα . η cos α

(9.20)

Tracer (sch´ematiquement) ematiqu ement) cette fonction f onction et montrer qu’elle est inversible. inversibl e. 1+η 1+η ϕ 2 Le calcul calcu l de l’int´egrale, egrale, qui conduit co nduit `a H  H η (ϕ) = arctg 1−η tg 2 + 2





  

√1−η

Int 2ϕπ , o`u Int Int est la partie partie enti enti``ere, ere, n’est n’est pas indispens indispensabl ablee pour r´epon ep ondr dree `a cette cett e question qu estion (on pourra pou rra tracer d’abord d’ab ord sa s a d´eriv´ eriv´ee ee ou montrer mo ntrer η η que 1+η H (ϕ) ϕ 1−η sin ϕ). 1+η sin ϕ

≤

 

− ≤





26) On note Gη la fonction inverse de H  H η , c’est-`a-dire a-dire telle que θ = H  H η (ϕ) ϕ = Gη (θ ). Indiquer le domaine de d´efinition efinition de Gη et tracer tra cer (sch´ematiemat iquement) cette fonction. 27) On O n consid` con sid`ere ere la trajectoir tra jectoiree x(t) qui qu i v´erifi er ifiee H  H η [k x1 (0)] = k a1 , x2 (0) = a2 et x3 (0) = a3 et on construit la fonction ϕ(t) = k [x1 (t) c t] `a partir de sa premi` p remi`ere ere coordonn´ coor donn´ee. ee. Montrer que l’on l ’on peut peu t exprimer expr imer simplement simplem ent dϕ dt en fonction de ϕ. 28) En E n d´eduire eduire que ϕ(t) s’exprime en fonction de a1 et de t a` l’aide de la fonction Gη . 29) En d´eduire eduire une formulation lagrangienne X  X (a, t) du mouvement d´efinie efinie par une configur confi gurati ation on de r´ef´ ef´erence ere nce Ω0 qui ne corresp co rresp ond pas forc´ement ement `a la configurations Ω(0) atteintes par le mouvement pour t = 0.





 

(E )

celle de la vitesse U  U 



U  U 

⇐⇒

−





(L)

30) Comparer l’expression de la vitesse U  U  (E )



(L)

(x, t) et U  U 

(a, t) du premier mouvement avec

(x, t) du second second mouvemen mouvement. t. Les expressi expressions ons de

(a, t) sont-elles s ont-elles pour pou r autant au tant ´egales egales ?

On suppose maintenant que η

pe tit.. ≪ 1 est tr`eses petit

31) Montrer que l’on peut alors ´ecrire ecrire : ρ(E ) (x, t) = ρ0 + η ρ0 cos[k cos[k(x1

 

− c t)] + O(η2) .



(9.21)



32) Montrer Montr er que l’on l ’on peut ´ecrire ecrire H  H η (ϕ) = ϕ + O (η ) et Gη (θ ) = θ + O(η ). 33) En d´eduire eduir e les d´eveloppements evelopp ements asymptotiques asympt otiques suivants : (L)

U  U1  (a, t) = η c cos[k cos[k (a1 c t)] + O(η 2 ) ρ(L) (a, t) = ρ0 + η ρ0 cos[k cos[k(a1 c t)] + O(η 2 ) .

  

−

−

(9.22)

73

EXAMEN 2001, MMC, O. Thual, December 17, 2006 



(L)

34) Comparer maintenant les expressions de U  U 



(E )



(E )

(a, t), U  U 



(L)

(x, t), U  U 

(a, t)

et U  U  (x, t) a` l’ordre dominant en η . Que peut-on dire des deux mouvements et de leur repr´esentations esentation s lagrangienne lagran gienne et eul´erienne erienn e ?

Ondes sonores On consid` consid` ere ere un fluide parfait, compressibl compressible, e, non conducteur conducteur de la chaleur, chaleur, dans un milieu milieu infini en l’absence l’absence de forces ou de chauffage ext´ erieur. erieur. On suppose que ses lois d’´ etat etat sont sont celles celles d’un gaz parfait e = C v T  et p = ρ r T  o` u C v et r sont des constantes. On suppose sup pose connue la repr´esentation esentation eul´erienne erienn e des champs de vitesse U , U , de masse volumique ρ, de pression p et de temp´ tem p´erat er atur uree T  a` l’ordre dominant d’un petit param`etre etre η 1:

≪

U ( U (x, t) ρ(x, t)  p(  p(x, t) T ( T (x, t)

= = = =

η c cos[k cos[k(x1 c t)] e(1) + O (η2 ) ρ0 + η ρ0 cos[k cos[k (x1 c t)] + O(η 2 ) p0 + η ρ0 c2 cos[k cos[k (x1 c t)] + O(η 2 ) T 0 + η (r/C v ) T 0 cos[k cos[k(x1 c t)] + O (η2 )

−

−

−

(9.23)

−

o` u e(1) est un vecteur unitaire de la base canonique et o`u k , p0 et ρ0 sont des constant con stantes es donn´ don n´ees, ees, T 0 = rpρ00 s’en d´eduit edu it et c est une vitesse que l’on veut d´eterminer eterminer pour que ces champs soient solutions des ´equations equations d’Euler. On n´egliger egli geraa les forces for ces de gravit´ grav it´e. e. 35) Montrer que la loi de conservation conservation de la masse est v´ erifi´ erifi´ ee ee `a l’ordre dominant en η (ordre un). 36) Montre Montrerr que la loi de conser conserv vation ation de la quant quantit it´´e de mouve mouvemen mentt est v´erifi´ee a` l’ordre dominant en η (ordre un). 37) Montrer Montr er que l’´equatio equa tion n de bilan bil an de l’´energie ener gie interne inter ne est v´erifi´ eri fi´ee ee `a l’ordre dominant en η (ordre un). 38) En exprimant exprim ant l’´equation equatio n d’´etat etat du gaz parfait parf ait a` l’ordre l’ordre un en η, montrer C p que c = γ r T 0 avec γ  = C v et C  p = C v + r . 39) Commenter le nom de “vitesse du son” attribu´ attrib u´ e `a la vitesse c.

√



 

(E )

40) En rappelant rapp elant l’´egalit´ egalit´e des premier premie r (X  X ) et second mouvement ( U  U  ) `a l’ordre dominant en η, d´ecrire ecrire les trajectoires x(t) associ´ asso ci´ees ees aux ondes sonores. Corrig´ Cor rig´e page pag e 73 

Corrig´ Corrig´ e

Ondes Ondes de de compressio compression n

Premier mouvement u nit´es es sont so nt m pour pou r la longueur longueu r l, m −1 pour le nombre nombre d’onde k et m s −1 1)Les unit´ pour la vitesse c. La constante η est un nombre sans dimension. 2)En d´eriva er ivant nt (L) par rapport au temps, on obtient U  U 1 = k l c cos[k os[ k (a1 c t)] avec k l c = η c, (L) (L) Jac obien en s’´ecrit ecr it J  os[ k (a1 c t)] > U  U 2 = 0 et U  U3  = 0. 3)Le Jacobi J (a, t) = 1 k l cos[k 0 avec avec k l = η. 4)Si Ω0 co¨ co¨ıncidait avec avec la configuration Ω(t Ω(t∗ ) au temps









− −

−

74

EXAMEN 2001, MMC, O. Thual, December 17, 2006 



t∗ on aurait aurait J  J (a, t∗) = 1 pour tout a. L’expre L’expressi ssion on du Jacobien Jacobien montre montre ( L ) que c’est impossible car η > 0. 5)On voit que ρ (a, t) J ( J (a, t) = ρ0 est ind´ependant epen dant du d u temps. temp s. La masse m asse est es t donc do nc conserv´ con serv´ee ee au cours du mouvement. mo uvement. configu ration r´ef´ ef´erence erence Ω0 est ρ0 . Ell Elle est est 6)La densit´e de masse dans la configuration ′ uniforme. 7)La d´eriv´ eri v´ee ee de la fonctio fon ction n Gη est Gη (θ ) = 1 η cos θ . Cet Cette d´eriv´ eriv´ ee ee est strictement positive dans la mesure o`u η < 1. La fonc foncti tion on est est donc strictemen strictementt croissante croissante.. Son graphe est compris entre les droites θ η et θ + η . Comm Commee son image image est est IR, elle est inversibl inversible. e. 8)Le domaine de d´efiniti efin ition on de H  H η est IR. Le trac´ tr ac´e de cette cet te fonction fonct ion s’obtient s’obtie nt par pa r sym´ sy m´etrie etrie par rapport rapp ort au trac´e de son inverse en changeant les axes θ et ϕ. 9)En rempla¸cant cant ( E  ) x1 = a1 l sin[k sin[k (a1 c t)] dans l’expression de B (x, t) = k(x1 c t) on ( L ) obtient B (a, t) = k(a1 c t) k l sin[k sin[k (a1 c t)] = Gη [k(a1 c t)] avec η = k l. 10)En inversan inversantt cette expression, expression, on voit voit que la repr´ repr´esentatio esentation n eul´ eu l´erien er ienne ne de C (L) (a, t) = k(a1 c t) est C (E ) (x, t) = H  H η [k (x1 c t)]. 11)On (E ) (E ) (E ) a donc U  U 1 (x, t) = η c cos H  H η [k(x1 c t)] , U  U2  (x, t) = 0 et U  U3  (x, t) = 0.





 

−





−

−



− −

−



−

Ondes Ond es ´ elastiqu elas tiques es longit l ongitudin udinales ales

−

−

 −    −     − −

On d´edui ed uitt de mˆeme em e que qu e ρ(E ) (x, t) = ρ0 / 1

   −  

−

η cos H  H η [k(x1

c t)]

.

eplacem ent est ξ (a, t) = l sin[k sin[k(a1 c t)] e(1). 13)Le tenseu tenseurr 12)Le d´eplacement ǫ(a, t) v´erifi er ifiee ǫ11 = η cos[k cos[k (a1 c t)], ǫij = 0 sinon. 14)En reportant reportant 2 l’expressi l’expression on de ξ dans l’´equation equatio n de Lam´e, e, on obtient ρ0 c = λ + 2 µ.



− −



−

λ+2 µ qu antit´ it´e c = est la vitesse des ondes de vibration longitu15)La quant ρ0 dinale du solide. 16)Cette hypoth`ese ese s’inscrit s’inscr it dans le cadre de l’´elasticit´ elastici t´e lin´ li n´eaire eai re.. L’hyp L’h ypot oth` h`ese ese η 1 entra entr aˆıne l’hyp oth`ese ese des p etites etit es d´eforma efo rmation tionss (ǫ − 1 petit devant devant 1) et des petits d´eplacements eplacements en choisissant choisissant k comm co mmee ´echelle eche lle de longueur longue ur caract´eristique. eristiq ue. 17)La loi de conservation de la masse entraˆ entraˆıne ( L ) ρ (a, t) = ρ0 / 1 η cos[k cos[k (a1 c t)] . Le d´eveloppement eveloppement asymptotique de ( L ) ρ (a, t) en d´ecoule ecoule trivialement. trivia lement. 18)La d´efinitio efin ition n de Gη entra entr aˆıne que cette cett e fonctio fon ction n est e st ´egale ega le `a l’ide l’i denti ntit´ t´e `a l’ordre l’or dre z´ero ero en η. Il en est donc de mˆeme eme pour p our (E ) son inverse H  H η . 19)L’expression U  U1  (x, t) = η c cos H  H η [k(x1 c t)] et la

≪



{ −



−

 

}



 

−



relation H  H η (ϕ) = ϕ + O(η ) permettent d’obtenir le d´eveloppement eveloppement asymptotique de ce champ. Le mˆ eme eme raisonnement raisonnement s’applique s’applique pour le champ ρ(E ) . esentation s eul´eriennes erienn es et lagrangienne lagran gienne des champs de masse vo20)Les repr´esentations lumique et de vitesse sont ´egales egales `a l’ordre un en η . L’hyp L’h ypoth oth``ese ese η = k l 1 − 1 signifie signifi e que le d´eplacement eplaceme nt l est petit devant devant l’´ echelle echelle de variation k des champs de vitesse et de densit´ e. e. Cette hypoth`ese ese de petits d´eplacements eplacements (cham (ch amps ps p eu d´eform´ efo rm´es) es) entraˆ ent raˆıne ın e l’´egali eg alit´ t´e des de s repr´ re pr´esenta ese ntatio tions ns eul´ eu l´erien er iennes nes et lagrangienne lagrangienne a` l’ordre dominant.



≪

Second mouvement es sont m−1 pour le nombre d’onde k , m s−1 pour les vitesses 21)Les unit´es const stan ante te η est un nombre sans dimension. 22)Seule la comv et c. La con posante D11 = k v sin[k sin[k (x1 c t)] du tenseur tenseur des taux de d´ eformations eformations



−

−

76

EXAMEN 2000, MMC, O. Thual, December 17, 2006 

Ondes sonores loi de cons conser erv vatio ation n de la ma mass ssee ∂ρ U ) = 0 s’´ s’´ecri e critt ici ici 35)La loi ∂t + div (ρ U ) ∂ρ ∂  ∂  ∂  2 ∂t + ∂x 1 (ρ U 1 ) = ∂t (η ρ0 cos ϕ) + ∂x 1 (ρ0 η c cos ϕ) + O (η ) avec ϕ = k(x1 c t). ∂ϕ Comme ∂ϕ l’´equation equation de conserv conservation ation de la masse est satissatis∂t + c ∂x 1 = 0, l’´

−

 

 

∂  ∂  ∂t U 1 + U 1 ∂x 1 U 1 = ∂  ∂  equation equatio n de la quantit´e de mouvement ρ ∂t U  + U  grad U  = ∂x 1 p de l’´ ∂  grad p n´ecessite ecessite une v´erification erifica tion non triviale. trivial e. Elle s’´ecrit ecrit η ρ0 c ∂t cos ϕ = ∂ϕ ∂ϕ ∂  2 2 η ρ0 c ∂x1 cos ϕ + O (η ). Comme ∂t + c ∂x1 = 0, l’´equation equatio n de conservation conser vation

faite `a l’ordre η . 36)Seule la premi`ere ere composante comp osante ρ

− − −

·

de la conservation de mouvement est satisfaite `a l’ordre η . 37)L’´equat equ ation ion de ∂  bilan de l’´energie energie interne ρ ∂t e + U  grad e =  p div U , U , avec e = C v T , T ,





·

−

∂ϕ ∂  s’´ecri ecritt ici ic i η ρ0 r T 0 ∂t cos ϕ = η p0 c ∂x∂ 1 cos ϕ + O(η 2 ). Comme ∂ϕ ∂t + c ∂x 1 = 0 et ρ0 r T 0 = p0 , l’´equation equatio n de bilan b ilan de l’´energie energie interne est satisfaite satisfa ite `a l’ordre 2 η . 38)L’´equa eq uati tion on d’´etat et at p = ρ r T  s’´ecri cr it p0 + η ρ0 c cos ϕ = ρ0 r T 0 + 2 η r(ρ0 T 0 + ρ0 T 0 r/C v )cos ϕ + O(η ). L’ord L’ordre re domina dominant nt est est sati satisf sfai aitt par par 2 d´efiniti efin ition on de T 0. L’ordre un en η conduit `a ρ0 c = ρ0 T 0 r (1 + r/C v ) c’est-`aa-p v +r dire c2 = r T 0 C C  = C  C v r T 0 = γ r T 0 . On obtient donc bien c = γ r T 0 avec v

−

√

C p γ  = C  et C  p = C v + r . 39)La vitesse c est la vitesse de propagation d’une v onde progressive longitudinale qui correspond `a des oscillations des champs dont le champ de pression. On peut montrer que l’entropie s = s0 reste conP  (ρ0 , s0 ) stante au cours de ces oscillations et que l’on a en fait c2 = ∂ ∂ρP  s o` u p = (ρ, s) est la loi d’´ etat etat des gaz parfaits. parfaits. 40)Les premier et second mouvemen mouvements ts sont sont identique identiquess `a l’ordre dominant en η . Les Les traject trajectoi oire ress asassoci´ees ees aux ondes sonores sont donc d´ecrites ecrites par le “premier mouvement” mouvement” lorsque η 1. Elles sont situ´ ees ees sur des segments de droites et s’´ ecrivent ecrivent (1) x(t) = a l sin[k sin[k (a1 c t)] e o` u a est la position moyenne de la particule.



P 

≪ −

−

EXAMEN 2000 Seules les questions questions 11 ` (incluses), la question  question 18 et  21 ` a 15 (incluses), 18 et 21 a 42 (incluses) sont `a r´ediger. edige r. Il n’est pas demand´e de r´ ediger edige r les questions quest ions 1 a` 10 et 19 `a  a  20 d´eja` trait´ees ees lors du partiel.

` PROBLEME 9.36

Mouvement Mouvement d’une demi-sph` ere ere

On consid`ere ere un mouvement dont la repr´esentation esentation eul´erienne erienn e U ( U (x, t) du champ de vitesse est d´ efinie efinie par les relations U 1 = α x1 ,

U 2 = α x2

et

U 3 =

− β x3 .

(9.24)

On suppose que α > 0, β > 0 et on note χ = 2α β . On consid` ere ere que le milieu continu est compris dans le domaine Ω(t Ω( t) qui, `a t = 0, est ´egal egal `a la 3 demi-sp dem i-sph` h`ere ere Ω(0) Ω(0 ) = a IR tel que a3 0 et a l .

{ ∈

≥

−  ≤ }

77

EXAMEN 2000, MMC, O. Thual, December 17, 2006 

Cin´ Ci n´ emat em atiq ique ue 1) Calculer le vecteur rotation ω (x, t) et le tenseur ten seur des taux ta ux de d e d´eformations eforma tions D(x, t) de ce mouvement. 2) On consid` ere ere les petits vecteurs transport´es es par le mouvement mouvement δx( δx(t) et δx′ (t) tels que δx(0) δx(0) = δb e(1) + e(3) et δx ′ (0) = δb e(1) e(3) . Montrer que leur ´evolution evolution ne d´ epend epend pas de la trajectoire dans le voisinage de laquelle ils sont choisis. d d 3) Calc C alcul uler er les d´eriv´ er iv´ees ees dt δx (0) et dt δx′ (0) des normes de ces petits vecteurs au temps t = 0. 4) On note θ (t) l’angle (δx, ( δx, δx′ ) de ces deux deux petits vect vecteur eurs. s. Calcul Calculer er la d d´eriv´ee dt θ (0) de cet angle `a t = 0. 5) On note (t) le volume du domaine Ω(t Ω( t). Calculer div U  p our ou r en d´edui ed uire re d [1/ [1/ (t)] dt (t). 6) Donner l’expression de (0) (0) en fonction de l. En d´eduire edu ire (t) pour tout temps. 7) On suppose suppose que la masse masse est conser conserv´ v´ ee ee et qu’` qu’`a t = 0 la densit´e ρ0 est uniforme. Montrer Montrer que l’´ equation equation de conserv conservation ation de la masse en r´epr´ ep r´esent es entat atio ion n eul´ eu l´erie er ienn nnee entraˆ ent raˆıne ın e que qu e la dens de nsit´ it´e ρ(x, t) reste uniforme en espace. En d´eduire eduir e l’expres l ’expression sion de ce champ de densit´e ρ en fonction du temps. 8) On d´efinit efinit le champ scalaire B a` l’aide de sa repr´esentation esentation eul´erienne erienn e β  2 α 2 dB 2 B (x, t) = 2 (x1 + x2 ) + 2 x3 . Calculer dt (x, t).





 

V  V  V 



−



 

V 

V 

9) Calcu C alculer ler la repr´ rep r´esentati esent ation on eul´erienn eri ennee dU  l’ acc´ c´el´ el´erat er atio ion. n. dt (x, t) de l’ac 10) Montrer si x appartient au plan x3 = 0 alors le champ de vitesse U (x, t) aussi. Dessiner quelques vecteurs vitesse dans ce plan. 11) Dessiner l’allure des lignes de champs de U  dans le plan x3 = 0. 12) Dessiner l’allure des lignes de champs de U  dans le plan x2 = 0 pour le cas particulier α = β . Indiquer alors la nature de ces courbes.

Grand Gra nde e d´ eform ef ormat ation ion 13) 13 ) D´eter et ermi miner ner la d´efor ef orma mati tion on X (a, t) asso a ssoci´ ci´ee ee au mouvem m ouvement ent U ( U (x, t) en supposant que X (a, 0) = a. 14) Dessiner l’allure des trajectoires dans le plan a3 = 0 puis dans le plan a2 = 0. 15) 15) Dans Dans le plan plan a2 = 0 et sur sur le mˆeme e me graphe graphe que pour la ques questi tion on pr´ec´ ec´edente, edent e, tracer tra cer les posi p osition tionss success suc cessives ives des d es petit p etitss vecteurs vecteu rs tran t ransp sport´ ort´es es ′ par le mouvement δx( δx(t) et δx (t) d´efinis efinis plus haut. 16) D´eterminer etermi ner l’expression l’expre ssion de la norme norm e δx( δx(t) . V´erifier erifier que l’expressi l’e xpression on de la d´eriv´ eriv´ee ee de cette fonction foncti on pour pou r t = 0 est conforme conforme aux r´ esultats esultats des questions pr´ec´ ec´ edentes. edentes. Donner l’allure de cette fonction du temps dans le cas particulier α = β . 17) D´eterminer etermi ner l’expression l’expr ession de l’angle θ(t) que font δx( δx(t) et δx′ (t) et donner





78

EXAMEN 2000, MMC, O. Thual, December 17, 2006 

l’allure de cette fonction du temps. V´ erifier erifier que l’expression de la pente de cette fonction pour t = 0 est conforme conforme aux r´ esultats esultats des questions questions pr´ec´edente nt es. 18) D´ ecrire ecrire le domaine domain e Ω(t Ω(t) et indiquer sa forme. 19) Calculer le tenseurs des dilatations C (a, t). 20) 20 ) En E n d´edui ed uire re δx( δx (t) / δx(0) δx(0) et δx′ (t) / δx′ (0) . Comparer avec les expres pr essi sion onss tro t rouv uv´´ees ees pr´ pr´ec´ ec´edem ed emme ment. nt.





 





Fluide incompressible On suppose maintenan maintenantt que l’´ l’´ecoulemen ecoulementt est celui d’un fluide incompressincompressible ibl e de densit´ den sit´e ρ0 et de viscosit´e dynamique dynam ique µn . On suppose suppose que les les forces forces ext´erieur eri eures es de volume volum e f ( f (x, t) sont nulles. 21) Montrer que ces hypoth`eses eses impliquent la relation χ = 2α β  = 0. ´ 22) Ecrire Ecrir e l’´equation equatio n de conservation de la quantit´e de mouvement m ouvement puis calculer la pression p(x, t) dans le domaine Ω(t Ω( t) en supposant que la pression  p(0  p(0,, t) = p0 en x = 0 reste constante. 23) Calculer Calcu ler la l a repr´ rep r´esentation esentation lagrangienn lagra ngiennee p(L) (a, t) de la pression. 24) Calculer la r´esultante esultante des forces ext´ erieures erieures de contact exerc´ ees ees par la paroi sur le fluide sur l’intersection Σ(t Σ( t) de la fronti` fro nti`ere ere ∂ Ω(t Ω(t) et du plan x3 = 0 dans le cas o`u le fluide est parfait. 25) Calculer le tenseur des contraintes σ (x, t) dans le cas o`u le fluide est visqueux. 26) En d´eduire eduir e la r´esultante esultante des forces ext´erieures erieur es de contact exerc´ee ee sur la surface Σ(t Σ(t) dans ce cas.

−

Fluide compressible On suppose maintenan maintenantt que α = 0. On suppose que l’´ecoulement ecoulement est celui d’un fluide flui de compres comp ressibl siblee de densit´ den sit´e homog` hom og`ene ene ρ0 a` l’instant t = 0. On noste µn sa viscosit´ visc osit´e dynami dyn amique que et on suppo sup pose se v´erfi´ erfi´ee ee l’hyp oth`ese ese de Stokes Sto kes λn = 23 µn . On suppose que les lois d’´ etat etat de ce fluide sont p = ρ(R/M )T  et e = C v T , T , o` u R est la constante des gaz parfaits, M  la masse molaire du fluide et C v sa capacit´e calorifique calori fique (constante) (consta nte) a` volume constant. On cherche `a d´etermin eter miner er les forces for ces ext´erieur eri eures es de volume volum e f ( f (x, t) et le chauffage volumique r (x, t) que l’on doit imposer pour obtenir le mouvement U ( U (x) d´ecr ec rit plus haut ainsi qu’une temp´ erature erature T ( T (x, t) = T 0 uniforme en espace et constante en temps.

−

27) Calculer la densit´e ρ(x, t). 28) En d´eduire eduir e la pression pressio n p(x, t) en utilisant le fait que T ( T (x, t) = T 0 . 29) En d´eduire eduire l’expression de la puissance volumique des efforts int´erieurs erieurs πint = σ : D en fonction de β , µn et T 0 . 30) 30 ) En E n d´edui ed uire re r (x, t) et f ( f (x, t). 31) Calculer la puissance thermique the [Ω(t)] pour tout temps. the [Ω(t

−

P 

79

EXAMEN 2000, MMC, O. Thual, December 17, 2006 

32) En d´eduire edu ire la quantit´ qua ntit´e de chaleur chale ur Q(t∗ ) fournie au fluide entre le temps t = 0 et le temps t = t∗ . 33) Calculer la puissance des forces ext´ erieures erieures ext [Ω(t)] pour tous temps. ext [Ω(t 34) En d´eduire edu ire le travail t ravail W ( W (t∗ ) fourni four ni par les forces fo rces ext´erieures erieur es entre le temps temp s t = 0 et le temps t = t∗ . 35) Comparer Q(t∗ ) et W ( W (t∗ ) avec le travail des d es efforts effo rts int´ erieurs erieur s fournis fo urnis entre le temps t = 0 et le temps t = t∗ .

P 

Solide Sol ide ´ elasti ela stique que On consid`ere ere un solide ´elastique elastiqu e homog`ene ene et isotrope isotro pe de densit´e ρ0 dont le comportement comp ortement rh´eologique eologiqu e est caract´eris´ eris´e par les coefficients coeffi cients de Lam´e λ et µ. En l’absence de contraintes, contraintes, ce solide ´elastique elastique occupe la demi-sph` ere ere 3 Ω0 = a IR tel que a3 0 et a l . On soume soumett alor alorss ce solid solidee `a des contraintes qui induisent indui sent la d´eformation eform ation X (a) suivante :

{ ∈

≥

X 1 = a1 eα τ  ,

 ≤ }

X 2 = a2 eα τ  et

X 3 = a3 e−β τ 

(9.25)

en supposant supp osant que le solide ainsi d´eform´ eform´e est `a l’´equilibre equilib re (pas de mouvement). 36) On suppose que α τ  1 et β τ  1. Montrer que q ue cette hyp oth`ese ese permet p ermet de se placer dans dan s le cadre des d es petites d´eformations. eformations. On suppose supp ose alors que l’on peut confondre les repr´esentations esentations eul´ erienne erienne et lagrangienne des champs d´ecrivant ecrivant le comporteme comp ortement nt du d u solide. sol ide. 37) Calculer le tenseur des contraintes σ (a) dans le solide. 38) Calculer le champ f ( f (a) des forces ext´erieures erieures de volume volume que l’on a appliqu´ees ees sur le solide. 39) Calculer la r´esultante esultante IF disque des forces de contact ext´ erieures erieures au solide exerc´ees ees sur la face situ´ee ee dans le plan a3 = 0. 40) Calculer la r´esultante esultante IF demi−sph des forces f orces de d e contact exerc´ee ee sur s ur l’autre l’ autre partie de la l a fronti` f ronti`ere ere du solide. s olide.

≪

≪

On suppose ensuite que le solide est anim´ e du mouvement X (a, t) d´efini efi ni par pa r X 1 = a1 eα t ,

X 2 = a2 eα t

On s’int´ s’int´eresse eresse aux temps courts tels que αt

et

X 3 = a3 e−β t .

(9.26)

≪ 1.

41) Calculer la densit´e f ( f (a, t) des forces ext´ erieures erieures volumiques responsables r esponsables de ce mouvement. 42) Dessiner les lignes de champs f ( f (a, t) pour le cas particulier β  = α.

−

Corrig´ Cor rig´e page pag e 79 

Corrig´e

Mouvement d’une demi-sph` ere ere

Cin´ Ci n´ emat em atiq ique ue Seulees D11 = D22 = α et D33 = β  1)ω = 0 et on a donc D = K . Seul d sont non nulles. 2)Comme dt δx = K δx et K  est ind´ependant epen dant de l’espace, l’espac e,

−

83

EXAMEN 1999, MMC, O. Thual, December 17, 2006 

` PROBLEME 9.37 9.37

Tourbillon ourbillon dans dans une une boˆ boˆıte

Mouvement dans les coins On consid`ere ere un mouvement dont la repr´esentation esentation eul´erienne erienn e U ( U (x, t) du champ de d e vitesse vitess e est d´efinie efinie par les l es relations rel ations U 1 = βx 1 , U 2 = 0 et U 3 = βx 3 . On suppose que β  est une constante constante positi p ositive. ve.

−

1) Calcu C alculer ler la repr´ rep r´esentati esent ation on eul´erienn eri ennee dU  cha mp d’acc´ d’ acc´el´ el´erat er atio ion. n. dt (x, t) du champ 2) Montrer Montrer que l’´ ecoulemen ecoulementt est isochore isochore (volumes (volumes constant constantss au cours du temps). 3) Calculer Calcul er le l e tenseur ten seur des d´eformations eform ations D(x, t) asso ass o ci´e `a ce mouvement. 4) Calculer le vecteur rotation ω (x, t) asso as soci´ ci´e `a ce mouvement. d ∂  5) V´erifier erifier la relation relatio n dt U  = ∂t U  + 12 grad U 2 + rot U  U  sur l’exemple de ce mouvement. 6) Calculer la repr´esentation esentation lagrangienne de ce mouvement mouvement sous la forme de la famille des d´eformations eformations x = X (a, t) en choissan choissantt la conve conventio ntion n a = X (a, 0). 7) On suppose qu’`a t = 0 les particules sont contenues dans le domaine Ω0 = a IR3 ; a1 0 et a3 0 . D´ ecrire ecrire le domaine Ω(t Ω(t) occup´ oc cup´e par ces particules `a l’instant t. 8) Dessiner les trajectoires dans l’intersection du domaine Ω( t) avec le plan x2 = 0. 9) D´ eterminer eterminer et dessiner les lignes de d e champs du champ de vitesse U (x, t) dans le plan x2 = 0. 10) Donner l’express l’ expression ion de la repr´esentation esentation lagrangienne lagran gienne U (L) (a, t) du champ de vitesse. 11) En d´eduire edu ire la repr´ r epr´esentati esent ation on lagr l agrang angienn iennee Γ(L) (a, t) du champ cha mp d’ac d’ acc´ c´el´ el´eraer ation. Comparer Compar er avec la repr´esentation esentation eul´erienne erienn e Γ(x, t) de l’ac l’ acc´ c´el´ el´erat er atio ion n calcul´ cal cul´ee ee aux au x quest qu estio ions ns pr´ec´ ec´edent ed entes. es. 12) Si ρ0 est la densit´e de d e ce fluide `a l’instant t = 0, calculer la densit´e ρ(x, t) aux instants ins tants ult´erieur eri eurs. s. 13) Dessiner De ssiner les lignes de champs du champ d’acc´el´ el´eration eratio n Γ(x, Γ( x, t).

∧

{ ∈

≥

≥ }

On supp s uppose ose que ce mouvement m ouvement est es t celui celu i d’un d ’un fluide flu ide newtonien ne wtonien caract´eris´ eris´e par la viscosit´e dynamique dynami que µn . On supp ose que les forces ext´ erieures erieures de d e volume f ( f (x, t) sont nulles. 14) Ecrire Ecrir e l’´equation equatio n de conservation con servation de la quantit´e de d e mouvement mou vement en utilisant utilisa nt l’expression connue du champ de vitesse et en introduisant le champ de pression p(x, t) pour l’instant inconnu. 15) On suppose que la pression p(0, (0, t) = p0 est connue. c onnue. En d´eduire eduir e le champ de pression p(x, t). 16) Dessiner les isobares (iso-pression) dans le plan x2 = 0. Indique Indiquerr par la lettre A le maximum du champ de pression. 17) Donner l’expression du tenseur des contraintes dans tout le fluide.

84

EXAMEN 1999, MMC, O. Thual, December 17, 2006 

18) Calculer les forces de contact exerc´ees ees par le fluide sur les fronti` eres eres du domaine Ω0 . 19) Effectuer Effectue r l’application l’app lication num´erique erique pour pou r les valeurs β  = 1 s −1 , p0 = 105 Pa, µn = 10−3 kg m−1 s−1 et ρ0 = 103 kg m−3 . Commenter le rapport entre les forces visqueuses et les forces de pression. 20) Dessiner une trajectoire disjointe de la fronti` f ronti` ere ere du d u domaine Ω0 . Tracer quelques vecteurs acc´ el´ el´ eration eration le long de cette trajectoire. traj ectoire. Indiquer le sens de variation ariation de la pression pression en suivant suivant cette trajectoire. Comparer-le Comparer-le avec le signe sign e l’acc´ l’a cc´el´ el´eration era tion tangenti tan gentielle elle..

Mouvement au centre On consid`ere ere un mouvement dont la repr´esentation esentation eul´erienne erienn e U ( U (x, t) du champ de d e vitesse vitess e est d´efinie efinie par les l es relations rel ations U 1 = βx 3 , U 2 = 0 et U 3 = βx 1 . On suppose que β  est une constante constante positi p ositive. ve.

−

21) Calculer Calc uler le champ cham p d’acc´ d ’acc´el´ el´eratio era tion n Γ(x, Γ(x, t). 22) Calculer Calc uler le tenseur te nseur des d´eformations eform ations D(x, t). 23) Calculer le vecteur rotation ω (x, t). d ∂  24) V´erifier erifier la relation relatio n dt U  = ∂t U  + 12 grad U 2 + rot U  U  sur l’exemple de ce mouvement. 25) Si ρ0 est la densit´e de d e ce fluide `a l’instant t = 0, calculer la densit´e ρ(x, t) aux instants ins tants ult´erieur eri eurs. s. 26) Dessiner les trajectoires du mouvement et les lignes de champ du champ de vitesse dans le plan x2 = 0. le long de cette trajectoire.

∧

On supp s uppose ose que ce mouvement mo uvement est celui d’un fluide newtonien newton ien caract´ ca ract´erist´ erist´e par la viscosit´e dynamique dynami que µn . On supp ose que les forces ext´ erieures erieures de d e volume f ( f (x, t) sont nulles. 27) Calculer le champ de pression p(x, t) en sachant que p(0, (0, t) = p0 . 28) Dessiner les isobares (iso-pression) dans le plan x2 = 0. Indique Indiquerr par la lettre D le minimum du champ de pression. 29) Dessin Dessiner er une trajectoire ne passant pas par le point 0. Tracer quelques quelques vecteurs acc´el´ el´eration eration le long lon g de cette tra t rajectoir jectoire. e. Indiquer Indiqu er comment comme nt varie la pression en suivant suivant cette trajectoire. Comparer-le Comparer-le avec avec la valeur l’acc´el´ el´erat er atio ion n tang ta ngent entiel ielle. le.

Mouvement dans toute la boˆ boˆıte On consid`ere ere un mouvement dont la repr´esentation esentation eul´erienne erienn e U ( U (x, t) du champ de vitesse est d´ efinie efinie par les relations U 1 =

− β k cos(kx cos(kx 1 ) sin(kx sin(kx 3 )

U 2 = 0 β  U 3 = sin(kx sin(kx 1 ) cos(kx cos(kx3 ) k

(9.27)

87

EXAMEN 1999, MMC, O. Thual, December 17, 2006  A2

A3

D

A1

A4

Figure 9.8: Trajectoires (—) et isobares (- - -) d (x1 , x3 ). 27)On a ρ0 dt U  = grad p + µn ∆U  (Navier-Stokes incompressible). ∂p On remarque ensuite que ∆U  ∆ U  = 0. D’o` u les l es trois tro is ´equatio equa tions ns ρ0 β 2 x1 = ∂x , 1 ∂p ∂p 0 = ∂x , ρ0 β 2 x3 = ∂x . D’o` D’o` u p(x, t) = p0 + 12 ρ0 β 2 (x21 + x33 ). 28)Les 2 3 isobares sont des cercles de centre O. 29)Les particules parti cules d´ecrivent ecrivent des cercles avec avec une acc´ el´ el´ eration eration tangentielle nulle. La pression est constante le long d’une trajectoire. trajectoire.

−

−

−

−

−

−

Mouvement dans toute la boˆ boˆıte ∂U 3 1 β sin(kx kx 1 )sin(kx )sin(kx 3 ) β sin( β sin(kx kx1 )sin(kx )sin(kx 3 ) = 0, 30)Comme div U  = ∂U  ∂x 1 + ∂x 3 = β sin( 2 on a ρ(x, t) = ρ0 . 31)La fonction ψ (x) = (β/k )cos(kx )cos(kx 1 )cos(kx )cos(kx3 ) v´erifi er ifiee ∂ψ ∂ψ bien U 1 = ∂x 3 et U 3 = ∂x 1 . 32)La fonction f ( f (t) = ψ[x(t)] lorsque x(t) ∂ψ ∂ψ d ′ est une trajectoire ( dt x = U ) est telle que f  (t) = ∂x U 1 + ∂ ∂ψ 21 U 2 + ∂x 3 U 3 = 1

−

−

∂ψ ∂x 1

−

−    ∂ψ ∂x 3

∂ψ ∂ψ + ∂x f , c’est-`a-dire a-dire ψ est constant le long d’une ∂x 1 = 0. Donc f , 3 trajectoire. 33)Comme ψ(x) = 0 sur toute la fronti` ere ere ∂ Ω0 , cette cett e fronti` fro nti`ere ere est constitu´ constit u´ee ee de tra t rajectoir jectoires. es. On en d´eduit eduit que Ω(t Ω( t) = Ω0 pour tous temps. β/k )cos(kx kx 3 ). Pour our x3 = l 34)Pour x1 = l on a U 1 = 0 et U 3 = (β/k)cos( on a U 1 = (β/k)cos( β/k )cos(kx kx 1 ) et U 3 = 0. Ceci d´etermine etermine les tra jectoires jectoires aux fronti` eres eres en y incluant les quatre coins A1 , A2 , A3 et A4 du carr´e dans le plan (x (x1 , x3 ) pour lesquels la vitesse est nulle (il y a donc huit trajectoires au total : 4 points et 4 segments de droites). 35)Au voisinage de 0 on a ψ(x) = (β/k 2 ) + (β/2)( tr a jectoires jectoir es v´erifient erifient ψ(x) = cste et β/ 2)(x x21 + x23 ) + O ( x 3 ). Les tra sont sont alors des cercles pour x petit. 36)Au voisinage de B ( l, 0, l) on pose p ose

∓

−

±

±





±

− −

88

EXAMEN 1998, MMC, O. Thual, December 17, 2006 

x1 = l +y1 et x3 = l + y3 ce qui q ui perm p ermet et d’´ d ’´ecrire ecri re ψ (x) = (β/k 2 )cos( π/2+ π/2+ 3 ky 1)cos( π/2 π/2 + ky 2 ) = βy 1 y2 + O( y ). Les tra jectoires jectoir es v´erifient erifient ψ (x) = cste et sont alors des hyperboles pour y petit. 37)Par sym´etrie, etrie, les tra jecto  jectoire iress autour autour des trois autres autres coins sont sont des hyperboles hyperboles.. En connec connectan tantt les cercles du centre centre de la boˆ boˆıte aux hyperboles hyperboles des quatre coins, coins, les tra jectoires d´ecrivent ecrivent un tourbillon. tourb illon. 38)Comme le fluide est parfait et incompressd ible, on a ρ0 dt U  = grad p (Euler incompressibl incompressible). e). D’o` u les trois ´equations equatio ns ∂p ∂p ∂p ∂U 1 ∂U 3 ∂U 3 1 ρ0 U 1 ∂U  ∂x 1 + U 3 ∂x 3 = ∂x 1 , 0 = ∂x 2 et ρ0 U 1 ∂x 1 + U 3 ∂x 3 = ∂x 3 . Le

−

−

−

−

 

− −



−



−



− − ∂p ∂p calcul conduit `a − 12 ρ0 β sin(2 β sin(2kx kx1 ) = − ∂x et − 12 ρ0β sin(2 β sin(2kx kx3 ) = − ∂x . D’o` u 1 [cos(2kx cos(2kx 3 ) − 2] − 2. 39)Les quatre droites  p(  p(x, t) = p0 − 4 (ρ0 β/k) β/k ) [cos(2 kx1 ) + cos(2kx x1 ± x3 = ±l sont des isobares isobar es qui forment un carr´ car r´ee ee inscrit ins crit `a 45◦ dans da ns la b oˆıte. ıt e. 1

3

La d´epression epressi on (D) du centre de la boˆıte ıte est entour´ee ee d’isobares d’isob ares allant des cercles de son voisinage `a ce carr´e inscrit. Les anticyclones (A) des d es quatre coins sont entour´es es d’isobares allant des cercles de leurs voisinages aux segments de ce carr´ car r´e inscri ins crit. t. 40)Les deux premiers mouvements sont les approximations du dernier autour du coin A1 (et donc des quatre qu atre coins par sym´ etrie) etrie) et du centre D.

EXAMEN 1998 L’examen L’exa men 1998 ´etait etait constitu´e du probl`eme eme “Cylindre “Cyli ndre fluide dans un solide”. solide ”.

` E 9.3 PROBLEME EM 9.38 8

Cyli Cylind ndre re flu fluid ide e dans dans un solid solide e

On note e(1) , e(2) , e(3) le rep`ere ere orthon ort honorm´ orm´e canoni can onique que de IR3 . On consid` cons id`ere ere un milieu continu continu ´elastique elastique dont l’´ etat etat naturel (en l’absence de toute contraintes) est contenu dans le domaine Ω 0 = a IR3 ; a1 l1 , a2 l2 , a3 l3 . On sup suppos posee que que l1 l2 l3 et on utilisera les valeurs l1 = 10 cm, l2 = 20 cm et l3 = 30 cm pour les applications applications num´ num´eriques. eriques. On note S i la ( i ) face de normale e pour i = 1, 2, 3. La densit´ e du milieu dans son ´etat etat naturel est ρ0 = 103 kg/m3 . On suppose que le comportemen comportementt ´elastique elastique de ce milieu milieu ob´ eit eit `a la loi de Hooke avec E  = 0.28 109 Pa pour le module de Young et ν  = 0.4 pour le coefficient de Poisson. On se place donc dans le cadre ca dre de l’´elasticit´ elastici t´e lin´eaire eaire et on on suppose supp ose que l’hypoth` l’hypo th`ese ese des petites peti tes d´eformations eforma tions et des petits peti ts d´eplacements eplacements est v´ erifi´ erifi´ee. ee. On pourra ainsi confondre les repr´esentations esentations lagrangiennes et eul´ eriennes eriennes des champs ainsi que le domaine Ω 0 et son so n d´efor ef orm´ m´e Ω. On rappelle rapp elle que les coefficients coeffi cients de Lam´e v´erifient erifient E  = µ(3λ (3λ + 2µ 2µ)/(λ + µ) et ν  = λ/ λ/[2( [2(λ λ + µ)]. On a aussi λ = ν E/ E/[(1 [(1 + ν )(1 )(1 2ν )] )] et µ = E/ E/[2(1 [2(1 + ν )]. )].

{

}

}

≤ ≤

{ ∈

| |≤ | |≤ | |≤

−

Encastre Enca strement ment sur les arˆ etes ete s On applique `a ce milie mi lieu u des d es effo e ffort rtss ext´ ex t´erieu er ieurs rs cara ca ract´ ct´eris´ er is´es es par pa r une u ne den d ensit´ sit´e voluvol umique de forces forces f ( d ’une part par t et une densit´e surfacique su rfacique de forces de contact f (x) d’une F cont (x) sur la fronti`ere ere ∂ Ω d’autre part. On ne s’int´ s’int´eresse eresse ici qu’aux ´etats etats

89

EXAMEN 1998, MMC, O. Thual, December 17, 2006 

d’´equilibre, equilib re, ce qui qu i implique impli que que qu e le champ de vitesse vit esse est nul. La r´eponse epon se du milieu ´elastiqu elas tiquee `a ces c es contrainte contr aintess est caract´ car act´eris´ eris´ee ee par un champ de d´eplaceme epla cement nt ξ (a) =

−γ  (a21 − l12 )e(3) + γ  (a22 − l22)e(3)

(9.28)

o` u γ  est un constante telle que le η = 2 γ l1 est un nombre tr`es es petit pet it devant 1 (η 0) pour S 2 et “vers le bas” pour S 1 . 4) Le d´eplacement eplacement est nul le l e long de deux paraboles reliant les coins de la face S 3 d’un d’u n mˆeme eme petit pe tit cˆot´ ot´e et p ositi os itif f 

−

−

−

−

−

−

93

EXAMEN 1997, MMC, O. Thual, December 17, 2006 

est vertical. vertical. Le mouvemen mouvementt du fluide ne r´ esulte esulte que de la rotation rotation uniforme de chacun des cylindres : ω1 pour pou r le cylindre cylindr e int´erieur erieur et ω2 pour le cylindre ∂  ext´erieur. erieur . Le mouvement est suppos´ supp os´e permane p ermanent nt ( ∂t = 0) et de r´evolution evolution ∂  ( ∂θ = 0). De plus, plus, on suppo suppose se que que U z (r, z ) = 0. On peut peut montr montrer er (T.D (T.D.. de M´ ecanique ecanique des Fluides) que l’´ ecoulement ecoulement a pour solution : U r = U z = 0 2 2 2 A B et U θ = 2 r + r et p(r, z ) = p0 ρ g z + ρ A 8r + AB ln r 2Br2 avec



R2 ω2 R2 2R2 2 1

A = 2 − grav gr avit it´´e est es t not´ no t´ee ee g .

−

R2 ω1 R2 1R2 2 1

−



−

et B = (ω1



2 1 2 2

2 2 2 1

− ω2) RR −RR .



−

La cons consta tan nte de

1) Expliciter Ex pliciter les ´equations equatio ns du mouvement m ouvement en coordonn´ coor donn´ees ees cylindr cy lindriques iques ainsi que les conditions aux limites correspondant `a cet ´ecoulem ecou lement. ent. 2) V´erifier erifier que la solution soluti on correspon corres pond d bien au probl`eme eme pos´ po s´ e en d´etaillant etaillant les calculs. 3) D´ ecrire ecrire l’ensemble des traj tr ajectoires ectoires x(t) = X (a, t) et calcu cal culer ler l’acc´ l’a cc´el´ el´erat er atio ion n Γ(a, Γ(a, t) en coordonn´ coor donn´ees ees cylindriques. cylindr iques. 4) Calculer Calculer les tenseurs tenseurs des taux de d´ eformation eformation et de rotation rotation D et Ω en tout point (r,θ,z (r,θ,z). ). Que se passe-t-il si ω1 = ω2 ? Expliquer. 5) Interpr´ Interp r´eter eter les composantes comp osantes de D (pour ω1 = ω2 ). Faire un dessin explicatif.



´ Etude des contraintes On consid`ere ere le sous-domaine sous-d omaine constitu´ e d’une portion de fluide comprise entre entre deux plans horizontaux horizontaux distants distants d’une longueur vertical verticalee L.

D

6) Montrer que la pression p(r, z ) est une fonction croissante de r pour z fix´e. 7) Calculer le tenseur des contraintes visqueuses τ  d´efini efi ni par pa r σ =  p I  + τ . τ . 8) Calculer la r´ esultante esultante et le moment M 1 ( ) en 0 des forces ext´ erieures erieures exerc´ees ees sur le domaine d omaine fluide par le cylin cy lindre dre int´erieur eri eur.. Mˆeme eme question ques tion pour le cylindre ext´erieur. erieur. Que se passe-t-il si ω1 = ω2 ? 9) Calculer la puissance 1 ( ) des efforts ext´erieurs erieur s exerc´es es sur par le cylindr cyli ndree int´erieur eri eur.. Mˆeme eme question ques tion pour po ur le cyli c ylindr ndree ext´ ex t´erieur. erie ur. 10) Calculer les forces de contact T ( T (x, n) exerc´ees ees sur une section z = constante orient´ee ee vers le haut puis vers le bas. En d´ eduire eduire que la puissance des forces for ces ext´erieur eri eures es exerc´ exer c´ees ees sur est ext ext ( ) = 1 ( ) + 2 ( ). Commenter le signe de cette puissance. Que se passe-t-il si ω1 = ω2 ?

−

D

D

P  D

D

D

P  D

P  D P  D

´ Etude thermodynamique On suppose que les parois des cylindres sont adiabatiques (pas de flux de ` partir chaleur) et que la temp´erature eratur e est ind´ependante epen dante de z . A parti r des r´esultats esultat s dE int des question ques tionss pr´ec´ ec´edentes, ede ntes, indiqu ind iquer er le l e signe si gne de dtint o` u int energie ener gie interne inter ne int est l’´ du cylindre par unit´ e de longueur.

E 

11) 11) On suppos supposee que que e = C  p T . T .

Que peut-on peut-on dire dire de l’´ l’´evolu evolutio tion n de la

96

EXAMEN 1997, MMC, O. Thual, December 17, 2006 

erieur. On v´ erifie erifie que la conservation conservation du −4πµn Be(3) pour le cylindre ext´erieur. moment mom ent cin´etique etiq ue M 1 (D) + M 2 (D) = 0 est v´erifi´ erifi´ ee. ee. Dans Dans le cas de la rotation rotation solide ω2 = ω1 on a la relation M 1 (D ) = M 2 (D) = 0 . 9) Les puissances sont P 1 (D) = L 02π τ ( τ (R1 )ω1 er R1 eθ R1 dθ = 4πLµ n Bω 1 pour le cylindr cyli ndree int´ i nt´erieur eri eur et P 2 (D ) = L 02π τ ( τ (R2 )ω2 er R2 eθ R2 dθ = 4πLµ n Bω 2 pour le cylindre ext´ erieur. erieur. On v´ erifie erifie que P 1 (D) = M 1 (D) · ω1 ez et P 2 (D ) = M 2 (D) · ω2 ez . 10) Dans les cas n = e(3) (haut) et n = −e(3) (bas) on a T ( T (x, n) = − p(  p(r )n. Comme U  · e(3) = 0 la puissance L R ≤r≤R T ( T (x, n) · U dS 

   

 

1

2

est nulle. Comme la puissance puissance des forces de gravit´ gravit´ e est elle aussi nulle, on a (ω2 −ω1 )2 2 2 ext ext ( ) = 1 ( ) + 2 ( ) = 4πLµ n R2 −R2 R1 R2 > 0. On a ext ext ( ) = 0 2 1 dans le cas ω2 = ω1 .

P  D

P  D P  D

P  D

´ Etude thermodynamique d d premierr principe principe dt ecri ecritt 11) Le premie int int ( ) + dt ( ) = ext ext ( ) + int int( ) s’´ d d ici dt int donc dt int erature erature moy moyenne enne int( ) = ext ext ( ). On a do int > 0. La temp´ 2 2 T m , d´efinie efin ie par ρ0 C  p T m = int [2πL((R2 R1 ) est donc croissan croissante. te. Cet int ( )/[2πL ´echauffem echau ffement ent est dˆu `a la dissipation dissip ation visqueuse visqueu se qui q ui transforme trans forme l’´energie energi e m´ecaecanique en chaleur. Dans le cas de la rotation solide il n’y a pas d’´echauffement. echauffement. (3) notant M 1 ( ) = M 2 ( ) = M e on a M  = 12) Ici ω1 > ω2 . En no 2 2 M  R2 −R1 4lπµ n (ω1 ω2 )R12 R22 /(R22 R12 ) = 150 150 Nm Nm.. Donc Donc ω2 = ω1 4lπµ 2 2 = n R R

E  D

P  D

−

E  D E  D

−

KD E  −

D

−

P  D

D

P  D

−

1

2

16 16..82 s−1 ce qui qui donne donne w2 = 1010 1010 tours tours/m /mn. n. 13) Les puissan puissances ces sont sont M ω2 = 2.5 kW. On a donc 1 ( ) = M ω1 = 7.5 kW et 2( ) = rende ment est ´egale egale `a la puissance ext ext ( ) = 1 ( ) + 2 ( ) = 5 kW 14) Le rendement erieur erieur divis´ ee ee par la puissance 2 ( ) fournie par le fluide au cylindre ext´ int´erieur erieur au fluide, c’est-`a-dire a-dire par le moteur. On 1 ( ) fournie par cylindre int´ obtient donc un rendement r endement de un tiers. Les deux de ux tiers tier s de l’´energie energi e m´ecanique ecaniqu e fournie par le moteur sont sont dissip´ dissip´ es es sous forme de chaleur. chaleur. Le rendement rendement de ce coupleu co upleurr m´ecanique ecaniqu e est e st faible. f aible.

P  D P  D P  D P  D −P  D P  D

P  D

−