Mécanique Analytique

 

Mécanique analytique

Mécanique de Newton (pendule 1/2) T s e →  1 =  T dy 1/0  − →

Ω 1/0   =  θ˙  z 

T c  c  /   = 1

→ −

0

 

G 1

(1)

  l 

y 1 V   G  ∈1/0   = 2 θ˙  1

→ −

y 1   m V   G  ∈1/0   =  m 2l  θ˙    ˙z  σ  G  1/0   =  I θ 

T ci 1/0   =

1

 

(2)

 

(3)

1

G 1

→ −

y 1   m Γ  G  ∈1/0   =  m 2l  θ¨  ¨z  δ   G  G  1/0   =  I θ 

T dy 1/0   =

1

1

G 1

→ −

y 1 m Γ  G  ∈1/0   =  m 2l  θ¨  1

T dy 1/0   =

−−→ y 1 z   + OG  I θ¨  ¨  1 ∧ m l  θ

       2

=m

0

l 2 ¨  θz  4

(4)

 

Mécanique de Newton (pendule 2/2)    + sin  sin θ  x 1   =  cos θ  x 0  + y 0    + cos  cos θ  y 1   = − sin θ  x 0  + y 0

T s e →1 

=

 

y 0 x 0  +  Y 0→1    X 0→1    +   0

            mg  x  0   0

G 1

0

0→1

0→1

  x 0  +  Y 

  X    0

 

  mg  x  0

−−→

  y 0

+

  OG 1 ∧ mg  x  0

  l 

0

  l 

x 1 ∧  x 0 =−mg  2   sin θ  z  =mg  2  

0

T dy 1/0   =



 + cos  cos θ  x 0  + y 0 ) y 1   =  m 2l  θ¨ (− sin θ    m 2l  θ¨ 



2

 

m l 4   + I   ¨ θ  z 

0

l 

X 0→1 = −m

2

θ¨ sin θ  +  g  l 

0→1

¨

=  m 2 θ  l cos θ l   ¨ m 4   + I  θ − mg 2   sin θ   =  0

 

2

Y 





Principe de d’Alembert

F   =   d p 

dt 

F  : forces appliquées à une particule,   p  : quantité de mouvement p   =  m v 

F   = v  : vitesse de la particule

  d p  d v    =  m   =  m γ  dt  dt 

(5)

 

Thèorème des forces vives Travail fourni par une force   F  lorsqu’elle déplace son point d’application de la position 0 à 1   r 1

ˆ 

T 01 01   =

F   · d r 

r 0

  t 1

  r 1

T 01 01   =

ˆ 

  d r  F   ·   dt   = dt 

ˆ 

F   · d r   =

t 0

r 0

  t 1

ˆ 

F   · v   dt 

t 0

P   =  F   · v  P   : puissance F   · v   =

  d p    · v  dt 

Energie cinétique

T 0011   =

  t 1

ˆ 

t 0

F   · v   dt   =

  t 1

ˆ 

t 0

d p    · v   dt   =  m dt 

  t 1

ˆ 

t 0

 1   1 = m (v 1 · v 1 − v 0 · v 0 ) = m v 21 − v 20 2 2



T 01 01   =  T 1 − T 0 T i i   =

 1 mv i 2 2



d v    · v   dt  dt 

 

Energie potentielle Coordonnées cartésiennes F   =   F i i e i i   

r   =   x i i e i i    r 1

  r 1

ˆ 

T 01 01   =

F   · d r   =

ˆ 

F i i dx  j e i i   · e  j  j 

r 0

r 0   r 1

  r 1

F  dx  δ 

=

r 0

F   dépend d’un potentiel

F  dx 

 j  ij   =

i 

ˆ 

i 

ˆ 

r 0

i 

F   = −∇W   (r )

F i i   = −W ,i   = −

∂ W  W  ∂ xx i i  

F   · d r   =  F i i dx i i   = −W ,i dx i i   = −dW    r 

ˆ  T    =

1

01 01

r 0

  W 1

ˆ  F  dx    = i i 

i i 

(−dW ) = − (W 1 − W 0 )

W 0

Exemple gravitation Système terre particule Kme m   e ρ   ρ2 =  x i i x i i  F   = − ρ

F x  x    = −

 

(x  + y  + z  ) 2

 

2

2

3 2

x 

Kme m

3 F    = − 2 2 2 y  2  z   y  x  ( + + )

e ρ   =   1 x i i e i i 

y 

ρ

F z z   = −

Kme m F   = −   x i i e i i  ρ2 W   =

Kme m

 

Kme m 2

2

2

(x  + y  + z  )

1

=

2

 

(x  + y  + z  )

  Kme m ρ

Pesenteur F   = −mg e x 

mg   = −∇W   (x ) W   (x ) =  mgx   + cte 

Kme m

2

2

2

3 2

z 

 

Equation de l’énergie nnc 

nc 

F   =

   F c i i  +

F nc i i 

F c i i  = −∇W i 

i =1

i =1

nnc 

nc 

F   = −

i 

∇W 

+



F nc  j 

 j =1

i =1

  r 1

ˆ 

T 01 01   =

F i i dx i i 

r 0

nc 

=

  −

nnc 



  r 1

  ˆ 

i 

i 

i =1

nc 

F i    j  dx i i 

W 1 − W 0 +

r 0

 j =1

T 01 01   =  T 1 − T 0 nc  1

T 

−

nnc  i 

−

0

T    =

 i i =1

−

  r 1

i 

W 0 +  j  j =1

W 1

  ˆ 

r 0

nc  j 

F i    dx i 

Energie mécanique

nc 

E   =  T   + W   

avec   W   =

 i =1

nnc 

E 1 − E 0   =

  r 1

 ˆ 

 j =1

r 0

nc 

F i    j  dx i i 

W i 

 

Energie cinétique d’un solide L’énergie cinétique d’un solide   S  de masse   m, de centre d’inertie   G , en mouvement par rapport à   R o  est :  1 c  o  E  S /R    = 2

→ −

ˆ 

→ −

V 

  M ∈S /R o 

. V   M ∈S /R o dm

 

(6)

M ∈Ω

On démontre que l’énergie cinétique s’exprime également par :  1   E c S /R o   = T ci S /R o   ⊗ T c  cS    /R o  2 T c  cS    /R o    =



(7)

 − →

Ω B s /B o 

→ −

V   A∈S s /B o 

(8)

A

T ci S /R o   =



→ −

  m V   G ∈S /R o 

→ − −→ − →   o  mAG   ∧ V   A∈S /R    + J A ( Ω S /R o )

(9)

A

Pendule (masse pontuelle) T c  c  /   = 1

0



 − →

Ω 1/0   =  θ˙  z  → − V   A∈1/0   =  l  θ˙  y 1

(10)

A

→ −

T ci 1/0   =



    m V   G ≡A∈1/0   =  ml  θ˙  y 1

0

A

  1 ci    1 2 ˙2   1 2 ˙2 E  1/0   = T  1/0 ⊗ T c  y 1 ·   y 1   = ml  θ ml  θ   c  /   = 2 2 2 c 

1

W T  =

0

→ − →     ⊥ − T   · V   A∈1/0   =  0   car    T  V   A∈1/0

ˆ    

− →

W g  (x A ) = −mgx A   x A   = OA ·   x   =  l  cos  cos θ

  1 2 ˙2 E   = 2 ml  θ − mgl  cos  cos θ   =   cte  ∂ E E     =  0   ⇒ l θ¨ +  g  sin  sin θ   =  0 ∂ tt   T   =?

(11)

 

Pendule (barre)



T c  c  /   = 1

0

 − →

Ω 1/0   =  θ˙  z  → − y 1 V   G  ∈1/0   =   2l  θ˙ 

(12)

1

G 1

→ −

ci 

T 

1 0

y 1   m V   G  ∈1/0   =  m 2l  θ˙ 

 =

(13)

1

/



G 1

T c  c  / 1

0

 =

I  θ˙  z 



 → −

Ω 1/0   =  θ˙  z  → − V   0∈1/0   =   0

(14)

0

→ −

        y 1 m V   G  ∈1/0   =  m 2l  θ˙  −−→  l  y 1 I  θ˙  z   + OG 1 ∧ m θ˙  1

T ci 1/0   =

(15)

2

=m

0

l 2 θ˙  z  4

Pendule (barre)

c 

E 

1/0

 =

 1

ci 

T 

T c  c  /   =

1/0 ⊗

1

 1 l 2 ˙2 2   ˙ z  ·   z   = y 1 ·   y 1  +  I θ   m θ  

 1

0

2

2

2

4



1

1

 1 E   = 2



1



l 2

2

  l  m   + I   θ˙2 − mg   cos θ   =  cte 

4

∂ E E     =  0   ⇒ ∂ tt  



l 2

2



  l  θ +  mg   sin θ   =  0 m   + I   ¨

4

m   + I   θ˙2

 

−−→   l      =  cos θ   = ) = OG  · x  − mgx    x  W g  (x G  1 G  G  G  G  G 

F xx    =?,   F yy    =?

2

l 2

4



 

Degrés de liberté Cas du pendule  cos θ x A   =  l  cos − →

( cos θ  OA =  l   x 1   =  l   (cos x   + sin θ  y ) y A   =  l  sin  sin θ − →

OA =   x A  x   + y A  y  x A2  +  y A2   =   l 2 2 variables + 1 contrainte  

1 variable + 0 contrainte

  x A ,   y A 2

2

2

  contrainte   x A  +  y A   =  l 



 θ

Degrés de liberté q 1   =   q 1 (q 1 , 0, 0; t ) q 2   =  q 2 (q 1 , q 2 , q 3 ; t ) q 3   =  q 3 (q 1 , q 2 , q 3 ; t )

q 1   ≡ θ q 2   ≡ x A q 3   ≡ y A

Coodonnées généralisées :   q 1 ,    q 2 ,    q 3 Nombre de degrés de liberté :      1 g   =  

Degrés de liberté (suite)

−−→

r M ii    = OM i i   =   r M i i   (q 1 , · · ·   , q g  g ; t )



  d  −−→ OM i i  v M ii    = dt 

0

  d r M i i  = dt 

∂ rr  M i i  ∂ rr  M i i  dq g    ∂ r  r M ii   dq 1 g   +   +· · ·+ v M ii    = ∂ tt   ∂ q q g      dt  ∂ q q 1  dt  g ∂ v  v M i i    ∂ rr  M i i  = ˙ j  ∂ q  ∂ q q  j   g 

d r M ii    =   j  j =1



∂ rr  M i i    ∂ rr  M i i    dt  dq  j   + ∂ q q  j   ∂ tt  

q 1   =  θ (t ) →  =  l   x  1   =  x A  y  x  +  +  y A  OA r A   =   −

=   l   (cos ( cos q 1   +  sin q 1  x  + sin y ) y 1   =  l   ˙q  ˙ 1 (− sin q 1   +  cos q 1  x  + cos y ) v A   =  l   v A   =

  ∂ rr  A   ∂ r  r A ˙ 1  + q  ∂ q  q1  ∂ t  t 

∂ r  r A =  l   (( − sin q 1  x  + cos  +  cos q 1  y ) ∂ q  q1  ∂ r  r A   =  0 ∂ t  t 

on retrouve le résultat

 

La fonction de Lagrange   Energie cinétique   T   (q  ˙ 1 , · · ·   ,  q  ˙ g  g ; t )   Energie popentielle   W   (q  , · · ·   , q  ) 1 g  g  



 Fonction de Lagrange généralisée ˙ 1 , · · ·   ,  q  ˙ g  L (q 1 , · · ·   , q g  g ,  q  g ) =   T   (q  ˙ 1 , · · ·   ,  q  ˙ g  g ) − W   (q 1 , · · ·   , q g  g )



 Equation de Lagrange généralisée

 

d   ∂ L ˙ i i  dt  ∂ q  

  ∂ L =  0 − ∂ q q i i  

  Moments conjugués généralisés   ∂ L   ∂ T  T  = p i i   = ˙ i i  ˙ i i  ∂ q  ∂ q 



 1 2 2 ˙1 ml  q  2 W g  (x A ) = −mgl  cos  cos q 1 T   =

1 2 l   ˙q  ˙  +  g  cos  cos q 1 2 1

L (q 1 ,  ˙q  q 1 ) =  ml 



∂ L ˙1 =  ml 2 q  ∂ q  ˙1



∂ L =  mlg  sin  sin q 1 ∂ q  q 1

l q  q ¨ 1  +  g  sin  sin q 1   =  0 l θ¨ +  g  sin  =  0  sin θ  = 0 p 1  =

  ∂ L =  ml 2 θ˙ ∂ q  ˙1

  Autre ∂ L = − ∂ W  W  ∂ q q i i   ∂ q q i i  

Forces généralisées



  Force concervative appliquée en M i i  F c ii  



=

i 

  −∇W 

(r M i i  )

 Les forces généralisées sont définies par N 

F  j   =

 i =1

x 1    ∂ rr  M    ∂ l l   x   · = −mg   ∂ q  q 1 ∂ q  q 1 x   · l   y 1    =  mgl  sin =   −mg    sin θ

F 1   =   F g  ·

W   = −mgl  cos  cos q 1

  ∂ rr  M i i  F  · ∂ q q  j   c i i 

F  j   = −

∂ W  W  ∂ q q i i  

F 1   = −

∂ W  W  =  mgl  sin  sin q 1 ∂ q  qii   

 

Fonction de Hamilton Moment conjugué généralisé   ∂ L p i i   = ˙ i i  ∂ q 

H    =   p 1 ˙q 1 − L (q 1 ,  ˙q  q1  )

Equation de Lagrange généralisée d 

 ∂ L

dt 

 

=⇒

∂ q  ˙ i i 

−

  ∂ L ∂ q q i i   =  0

=   ml 2 q  ˙ 1 ˙q 1 1 2 l   ˙q  ˙  +  g  cos −ml   cos q 1 2 1 1 2 =   ml  l   ˙q  ˙   − g  cos  cos q 1 2 1



p  ˙ 1  = −

∂ H  H  = −mlg  sin  sin q 1 ∂ q  q1 

˙ 1  = q 

Hamiltonien d’un système

  ∂ H  H   1 = p 1 ∂ p  p1  ml 2

˙ 1  =  p 1 ml 2 q 

g 

H   =

˙ 1 , · · ·   ,  q  ˙ g  p l l  ˙q l l −L (q 1 , · · ·   , q g  g ,  q  g )

l =1

¨1   = p  ˙1 q ml 2 q  ml 2 q  q ¨1    = −mlg  sin  sin q 1 l q  q ¨ 1  +  g  sin  sin q 1   =  0

˙ i i   = q 

  ∂ H  H  , ∂ p p i i  

  p  ˙ i i   = −

∂ H  H  , ∂ q q i i  

 

∂ H  ∂ L H   =− ∂ tt   ∂ tt  

Les liaisons



  Liaisons holomones f  i  ( q 1 , · · ·   , q 3N ; t ) =  0



  Liaisons semi-holomones ˙ 1 , · · ·   ,  q  ˙ 3N ; t ) =  0 f  i  ( q 



 Cas de liaisons non-holomones : liaison unilatérale f  i  ( q 1 , · · ·   , q 3N ; t )  0







=   1 2 p 12   − mlg  cos  cos q 1 2ml 

  ∂ L p  ˙ i i   = ∂ q q i i  





  Liaison scléronome   t , rhéonome    t   Liaison dissipative : frottement, viscosité



 

Pendule simple q 1   =  θ,  θ ,   q 2   =  l  − − →

x 1 r M   = OM   =   q 2 

˙ 2  v M   =  q 2 ˙q 1  x 1 y 1  + q  ˙ 22 E   =   1 mv M   · v M   =   1 m q 22 ˙q 12  + q  2

2



dW  dx  W   = −mgx   + cte  mg   = −

 (1 1 − cos q 1 ) W   =   mgq 2 ( L  =



W   =  0   po pour

 

 1 m q 22 ˙q 12  + q  ˙ 22 2

 q1    =  0

 (1 − cos q 1 ) − mgq 2 (1



Pendule simple  − − →

le fil implique que OM   =  L  x 1  = 0  0 f  1 (q 1 , q 2 ) =   q 2 − L  = df  1   =

de la forme

  ∂ ff    1   ∂ ff  1   dq 2   =  0 dq 1  + ∂ q q 2  ∂ q q 1 



df  1   =

A1l dq 1  +  B 1t dt   =  0

l =1,2

A11   =

  ∂ ff  1   =  0 , ∂ q q 1 

 

A12   =

d 

 ∂ L

dt 

 

∂ q  ˙ l l 

−

  ∂ ff  1   =  1 ∂ q q 2 

  ∂ L ∂ q q l l   =

  B 1t   =

nf  

 i =1

λi Ail 

  ∂ f   f  1   =  0 ∂ tt  

 

Pendule simple

     

d  dt 

d  dt 

  ∂ L ˙1 ∂ q 

  ∂ L ∂ q  ˙2

−

−

  ∂ L =  λ 1   A11 ∂ q q 1 

   =0

  ∂ L =  λ 2   A21 ∂ q q 2  =1

L  =   1 m q 22 ˙q 12  + q  ˙ 22 − mgq 2 (1  (1 − cos q 1 )

2

∂ L =  mq 22 ˙q 1 ∂ q  ˙1

∂ L = −mgq 2 sin q 1 ∂ q q 1 

d  mq 22 ˙q 1 + mgq 2 sin q 1   =  0 dt 

 

  

∂ L =  m q  ˙2 ˙2 ∂ q  ∂ L =  mq 2 ˙q 12   − mg  (1  ( 1 − cos q 1 ) ∂ q q 2 

d    ( ˙  ( 1 − cos q 1 ) =  λ 2 mq  q 12 +mg  (1 2 )−mq 2 ˙ ¨1   + mgq 2 sin q 1   =  0 dt  mq 2 ˙q 2 ˙q 1 + mq  q q  2 2

q 2 − L  =  = 0  0

 sin θ   =  0 Lθ¨ +  g  sin

λ2   = −mq 2 ˙q 12  + mg  (1  ( 1 − cos q 1 )