Mecanica Racional - Piñeyro J

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL

Facultad Regional Delta Grupo de Investigación en “Vibraciones Mecánicas” San Martín 1171 (2804) Campana, Argentina

CURSO DE:

“MECANICA-RACIONAL”

AUTORES

PIÑEYRO JUAN J.

Para tercer año de la carrera de Ing. Mecánica Version 1.0 – 31-Enero de 2014

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Contenido de la Materia Capítulo 1. Introducción a la Mecánica de la masa puntual. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Introducción Leyes de Newton Magnitudes fundamentales de la Mecánica Cinemática de la masa puntual. Definiciones básicas. Movimiento relativo a un sistema de referencia en traslación. Movimiento relativo a lo largo de una recta. Ejemplos. Movimiento curvilíneo plano: Coordenadas rectangulares, polares en el plano y coordenadas intrínsecas (componentes tangenciales y normales). Ejemplos. Interpretación de las aceleraciones normal y centrípeta. 8. Movimiento curvilíneo en el espacio: coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas. 9. Transformaciones de coordenadas. 10. Cinética de la masa puntual. 11. Estrategia de solución en la dinámica de partículas. 12. Diferentes tipos de fuerzas consideradas en mecánica. 13. Segunda ley de Newton en diferentes sistemas de coordenadas: rectangulares, polares en el plano, cilíndricas, esféricas e intrínsecas. Ejemplos.

Capítulo 2. Introducción a los Teoremas de Conservación. 1. Principios de Trabajo y Energía. Ejemplos de trabajo de diferentes tipos de fuerzas. 2. Teorema del Trabajo y la Energía (fuerzas vivas). Potencia y Rendimiento. 3. Sistemas conservativos y no conservativos. Teorema de conservación de la Energía Mecánica. Ejemplos. 4. Impulso y Cantidad de Movimiento. Teorema de Conservación. Movimiento impulsivo. Ejemplos. 5. Impulso Angular. Su relación con el momento de una fuerza externa. Teorema de conservación del impulso angular. Ejemplos. 6. Choque entre dos partículas. Impacto central directo. Impacto central oblicuo. 7. Velocidad de variación de un vector. 8. Determinación de velocidades y aceleraciones absolutas. Ejemplos.

Capítulo 3. Introducción a la Cinemática de los Cuerpos Rígidos. 1. 2. 3. 4.

Introducción. Definiciones básicas. Condiciones de Rigidez. Coordenadas independientes de un Cuerpo rígido. Angulos de Euler. Rotaciones. Teorema de Euler. Rotaciones infinitesimales: análisis cualitativo y cuantitativo. Conos del cuerpo y del espacio. Aceleración angular. 5. Clasificación de los movimientos: movimientos planos y espaciales. Ejemplos. 6. Propiedades de la velocidad angular. Unicidad. Teorema de adición de las velocidades angulares. Relación entre las derivadas de un vector con respecto a un sistema en movimiento de rotación.

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7. Movimiento general de un Cuerpo Rígido. Teorema de Chasles. Ejes de referencia en traslación y rotación respecto a un sistema inercial. 8. Movimiento de Traslación de un Cuerpo Rígido. 9. Movimiento alrededor de un Eje Fijo. 10. Movimiento Polar de un Cuerpo Rígido. 11. Movimiento General de un Cuerpo Rígido. 12. Movimiento Plano General de un Cuerpo Rígido. 13. Centro Instantáneo de Rotación. Centro Instantáneo entre dos Cuerpos Rígidos. Teorema de Kennedy. Ejemplos. 14. Rodadura. Cojinete de empuje cónico. Rodamiento sobre una línea recta fija, y sobre una línea curva fija.

Capítulo 4. Introducción a la Dinámica de los Cuerpos Rígidos. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Introducción. Generalización de la Segunda Ley de Newton. Cantidad de Movimiento lineal. Cantidad de Movimiento angular. Trabajo y Energía. Ejemplos. Efectos Inerciales en un Cuerpo Rígido. Ecuaciones Cinéticas del Movimiento. Caso 1: Movimiento General en el espacio. Caso 2: Rotación alrededor de un Punto Fijo. Caso 3: Generalización Caso 1. Caso 4: Movimiento plano General. Rotación de cuerpos desbalanceados. Reacciones dinámicas en apoyos. Caso 5: Movimiento Plano. Movimientos vinculados y no vinculados. Caso 6: Movimiento de Traslación. Caso 7: Movimiento alrededor de un eje. Caso 8: Movimiento de Rodadura. 8. Resumen. 9. Ejemplos de movimientos de cuerpos rígidos con movimiento plano y espacial. 10. Métodos de Trabajo y Energía. Trabajo de pares y fuerzas sobre un cuerpo rígido. Fuerzas que no producen trabajo. Teorema del Trabajo y la Energía. Potencia. Energía Cinética de un Cuerpo Rígido. 11. Impacto excéntrico con un solo cuerpo rígido. Capítulo 5. Introducción a la Teoría de las Oscilaciones. 1. 2. 3. 4.

Introducción. Movimientos Periódicos. Magnitudes típicas que caracterizan a una vibración. Movimiento oscilatorio armónico. Grados de libertad. Rigidez elástica. Amortiguamiento. 5. Oscilaciones de una masa suspendida de un resorte. Vibraciones libres. Vibraciones libres amortiguadas (diferentes casos). Vibraciones forzadas. 6. Función de respuesta en frecuencia. 7. Casos particulares: Excitación de la base, Transmisibilidad de Esfuerzos, Desbalanceo rotante, Sensores de medición, Método de balance de momentos.

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CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LA MECANICA DE LA MASA PUNTUAL 1. Introducción La Mecánica se puede definir como una ciencia que describe y predice las condiciones de reposo o movimiento de cuerpos bajo la acción de fuerzas. Suele dividirse en tres partes: Mecánica de los Cuerpos rígidos, Mecánica de los Cuerpos Deformables y la Mecánica de Fluidos. La primera de ellas, que será objeto del presente curso, se subdivide a su vez en dos partes: Estática y Dinámica, de las cuales una trata con cuerpos en reposo, y la otra de los cuerpos en movimiento. Concretamente, el objetivo de nuestra materia estará orientada al análisis de la dinámica del cuerpo rígido, considerando a este como indeformable, algo que realmente no pueden cumplirse en las estructuras, máquinas y equipos reales, ya que todas sufren algún tipo de deformación toda vez que están sujetas a cargas. El desarrollo de la Dinámica comienza con las experiencias de Galileo Galilei (15641642) de caída de los cuerpos, pero fue Isaac Newton (1642-1727) quien realizó la primera formulación de los principios fundamentales de la Dinámica y formula la primer teoría sobre la gravitación universal. El trabajo de Newton acerca de las partículas materiales fue extendido por Leonard Euler (1707-1793) a los cuerpos rígidos. Euler fue el primero en utilizar la expresión momento de inercia, y D’Alembert (1717-1783) introduce el concepto de fuerza de inercia. Los trabajos de Mecánica, basados principalmente en observaciones astronómicas y consideraciones geométricas, fueron formalizados por Lagrange (1736-1813) quien deduce las hoy conocidas ecuaciones de Lagrange de la formulación de la Mecánica. Otro avance importante se debe a Coriolis (1792-1843) quien mostró como la introducción de términos adicionales permiten utilizar la formulación de Newton cuando el sistema de referencia está en rotación. Todas las magnitudes físicas que se encuentran en la dinámica pueden expresarse dimensionalmente en función de tres magnitudes fundamentales: M, L, T [Masa, Longitud y Tiempo]. Las dimensiones de las demás magnitudes físicas se deducen de su definición o de leyes físicas, según se indican en la siguientes tablas, donde a su vez se muestran algunos de los factores de conversión más utilizados.

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En los problemas de dinámica, la resolución de problemas consta de tres fases: 1. Definición e identificación del problema 2. Desarrollo y simplificación del modelo 3. Solución matemática e interpretación de los resultados. La identificación de todas las fuerzas exteriores que se ejercen sobre un cuerpo se logra mediante la adecuada preparación de un diagrama de sólido libre, que muestre el cuerpo problema aislado de los demás cuerpos y con todas las fuerzas exteriores aplicadas. Para obtener la solución de la mayoría de los problemas, deberá representarse mediante un modelo matemático la situación física real. Siempre que se utilice un modelo matemático habrá que asegurar que el mismo proporciona una representación adecuada del proceso físico que representa.

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2.

Magnitudes Fundamentales de la Mecánica

Las magnitudes fundamentales de la Mecánica son el espacio, el tiempo, la masa y la fuerza. Tres de estas magnitudes – espacio, tiempo y masa – son absolutas. Esto significa que son independientes entre si y no pueden expresarse en función de otras magnitudes ni en forma más simple. La fuerza no es independiente de las otras tres magnitudes sino que está relacionada con la masa del cuerpo y con la manera de variar con el tiempo la velocidad de la partícula. Espacio: es la región geométrica a la que nos referimos comúnmente llamándola “universo”. Esta región se extiende sin límites en todas direcciones. Tiempo: es el intervalo entre dos sucesos. La medida de dicho intervalo se realiza comparándolo con sucesos reproducibles tales como el tiempo que tarda la tierra en dar una vuelta alrededor de su eje. Materia: es toda sustancia que ocupa un lugar en el espacio. Cuerpo: es materia limitada por una superficie cerrada. Inercia: es la propiedad de la materia a cambiar su estado de movimiento

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Masa: es una medida cuantitativa de la resistencia de un cuerpo a cambiar su movimiento. Fuerza: es la acción de un cuerpo sobre otro, y siempre aparecen en parejas. El efecto exterior de una fuerza sobre un cuerpo implica el desarrollo de fuerzas resistivas o el movimiento acelerado de un cuerpo. Las magnitudes físicas que se utilizan se dividen en fundamentales y derivadas. Las primeras no se pueden definir en función de otras, y su número está ligado al mínimo necesario que permitan dar una descripción completa de las demás magnitudes que competen al tema tratado. Las segundas son aquellas cuya definición se basa en otras magnitudes físicas. Las Tablas 1 y 2 muestran estos conceptos para las magnitudes más importantes. El estudio de la Dinámica consta de dos partes: la Cinemática que estudia como se mueven los cuerpos y la Cinética que estudia la relación entre el movimiento y las fuerzas que lo originan. La primera describe como varían la velocidad y la aceleración de un cuerpo con el tiempo y con sus cambios de posición. La buena comprensión de la cinemática es en si mismo un campo de estudio y a la vez un requisito indispensable para el estudio de la Cinética, tanto en la dinámica de las partículas como del cuerpo rígido.

3.

Cinemática de la masa puntual. Definiciones básicas

La Cinemática es entonces la rama de la Dinámica que describe el movimiento de los cuerpos sin hacer referencia a las fuerzas que los originan. A menudo se la describe como la “geometría del movimiento”. Algunas aplicaciones de la Cinemática en ingeniería incluyen el diseño de levas, engranajes, barras de unión, etc., los que desde el punto de vista de la ingeniería son elementos de máquinas para controlar y producir movimientos deseados.

Figura 1.

Figura 2

El concepto de movimiento tiene un significado relativo: se refiere a la modificación de la posición relativa de los cuerpos entre sí. Por ello, es necesario definir un cuerpo de referencia, respecto del cual se determinan los movimientos de los demás cuerpos. Se lo idealiza en la forma de un sistema de coordenadas: una terna de ejes cartesianos ortogonales rígidos, respecto de los cuales se refieren las coordenadas de los puntos de

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un cuerpo cualquiera. Supongamos que un punto se mueve a lo largo de un camino como se indica en la Figura 1. En un cierto instante se hallará en la posición P =(x,y,z):

 rPO  xiˆ  yjˆ  zkˆ

(1).

En función de otro sistema de ejes coordenados fijos y paralelos a los anteriores, pero que tengan su origen en

Oˆ

(Figura 2) será:

 ˆˆ  yj ˆˆ  zk ˆ ˆ, rPOˆ  xi

    rPO  rOO ˆ  rPO ˆ

(2).

La diferencia de posición del punto en dos instantes recibe el nombre de desplazamiento del punto. Si este se halla en P en t, y en Q en t+Δt (Figura 3) entones:

   r  rQO  rPO

(3).

Para ubicar la posición de un cuerpo en el espacio debemos dar la posición para cada uno de sus puntos, lo cual es obviamente complicado. Supongamos un cuerpo muy pequeño, los vectores de posición de cada uno de los puntos del cuerpo serán prácticamente de la misma dirección, del mismo sentido y módulo., y las componentes del mismo diferirán en muy poco. Si el error con que podemos medir la posición de un punto en el espacio es del orden de las dimensiones del cuerpo, no tendrá sentido distinguir un punto del cuerpo del otro: este tipo de cuerpos se llama cuerpo puntual o punto material. Este es un concepto relativo, por ejemplo, la Tierra puede ser considerada como un punto material en su movimiento orbital como planeta. El movimiento de un punto está   determinado si se conocen en función del tiempo: r  r (t ) (4). (conocida como la ecuación de la trayectoria)

  r (t )  x(t )iˆ  y(t )jˆ  z(t )kˆ .

Consideremos ahora dos posiciones de la masa puntual representadas por los vectores de posición r y r’ en dos instantes t y t+Δt. El vector Δr que une a P con P’ representa el cambio en el vector de posición durante el intervalo Δt. Δr representa el cambio de dirección y de magnitud de r. Se define la velocidad promedio de la partícula en el intervalo considerado como el cociente entre Δr y Δt., que tendrá como resultado un vector en la dirección de Δr. La velocidad instantánea de la partícula en el instante t se define como:

   r dr v  lim  t 0 t dt

(5).

vector que resulta tangente a la trayectoria tal como se observa de las Figura 3. La magnitud de dicho vector se conoce como rapidez de la partícula.

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Figura 3

Figura 4

Considere ahora la velocidad de la partícula en los dos instantes t y t+Δt, donde las velocidades son v y v+Δv. Ambas se representa en la Figura 4 tangentes a la trayectoria en los respectivos puntos. Como antes es posible definir la aceleración media como el cociente incremental entre Δv y Δt, lo que se representará como un vector en la dirección de Δv. La aceleración instantánea de la partícula se la define como el límite de ese cociente incremental:

    v dv d 2r a  lim   2 t 0 t dt dt

(6).

se observa que la aceleración es tangente a la curva descripta por la punta Q del vector velocidad cuando este último se dibuja desde un origen O’ (Figura 5). En general, la aceleración no es tangente a la trayectoria de la partícula (Figura 6). De acuerdo a la fórmula (6), la aceleración instantánea es la derivada segunda del vector de posición. Esto nos indica que podríamos seguir derivando sucesivamente al vector r, por lo que la cuestión es ¿porqué no lo hacemos? En dinámica las derivadas de la aceleración no juegan ningún papel físico, ya que es la aceleración la que viene dada por las fuerzas (causa física de todo movimiento). Pero hay otra razón: la aceleración es una magnitud que puede cambiar bruscamente, no hay restricciones de continuidad para

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ella tal como lo hay para el vector de posición y el de velocidad. En otras palabras, la experiencia muestra que el límite del cociente incremental

Figura 5

 a t puede no existir.

Figura 6

Resumiendo, un punto material no puede pasar de una posición a otra sin pasar por las intermedias, ni tampoco pasar de una velocidad a otra sin pasar por los valores intermedios, pero si puede pasar bruscamente de una aceleración a otra sin que lo haga en forma continua. Por ejemplo, un móvil puede partir del reposo con aceleración diferente de cero sin haber sufrido aceleraciones intermedias. Existe una aplicación práctica sin embargo donde resulta de utilidad la derivada del vector aceleración que recibe el nombre de jerk (en inglés) y que suele aplicarse en problemas de la dinámica de impacto de vehículos y en la cinemática de mecanismos que contienen levas y seguidores. Más adelante volveremos con este tema. Consideremos ahora un móvil puntual que en un intervalo Δt se desplaza de un punto P a otro P’. El radio vector barre en ese lapso un ángulo Δφ. Se define la velocidad angular instantánea como (ver Figura 7)

 t 0 t

  lim

(7).

Nuevamente, la existencia de este límite está conectada con la continuidad del movimiento. Observemos que al hablar de velocidad angular es imprescindible especificar respecto a que punto se lo considera. Un hecho importante es que la velocidad angular es más natural para el hombre que la velocidad lineal: el ojo registra únicamente movimientos o desplazamientos angulares (por la proyección del mundo tridimensional sobre la retina bidimensional). Al observar el movimiento de un tren, de un avión o de un satélite sólo registramos velocidades angulares (respecto de nuestros ojos), es nuestra mente la que a través de la experiencia, transforma la percepción de movimiento angular en velocidad lineal, siempre que conozcamos el tamaño del objeto y la distancia a la que se encuentra.

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Figura 7

Figura 8a-b.

Entre la velocidad angular y la velocidad lineal existe la relación (Figura 8a):



d AP dr  sen v  sen    dt rdt rdt r

(8),

en la cual observamos que en la noción de velocidad angular debería estar incluida mas información que meramente el incremento del ángulo en un tiempo dt. Efectivamente, en el desplazamiento del radio vector quedan definidos el plano OPP’ y un sentido de giro, lo que significa que estamos en presencia de un vector cuya dirección está dada por la normal al plano barrido por el radio vector (Figura 8b), y cuyo sentido estará relacionado con el sentido de giro del radio vector en ese plano. De esta manera se introduce el concepto de vector velocidad angular, de módulo

 |  | d dt , y dirección normal al

plano definido por r y v. El sentido está dado, por convención, por la regla del tirabuzón. Teniendo en cuenta (8), y la definición de producto vectorial entre dos vectores, se tiene:

   r v  2 r

4.

(9).

Movimiento Relativo a un Sistema de Referencia en Traslación

Hay una diversidad de problemas en la física y la ingeniería en la que es necesario utilizar varios sistemas de coordenadas en forma simultánea. Si uno de los sistemas de referencia está unido a la tierra, se denominará sistema fijo o inercial, y a los otros sistemas de referencia en movimiento. Naturalmente, debemos tener presente que la selección de un sistema de referencia es arbitraria, cualquiera puede considerarse como fijo. Considere dos partículas A y B que se mueven en el espacio (Figura 9); los vectores rA y rB definen sus posiciones en cualquier instante dado con respecto a un sistema de referencia fijo Oxyz. Considere ahora un sistema de referencia de ejes x’y’z’ centrado en

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A y paralelo a los ejes xyz. Mientras que el origen de estos se mueve, su orientación permanece invariable, el sistema de referencia Ax’y’z’ está en traslación respecto a Oxyz. El vector rBA que une A con B define la posición relativa de B respecto de A.

Figura 9

De la figura se deduce que

   rB  rA  rBA;

     vB  rB  vA  vBA;

    aB  aA  aBA ,

(10)

de donde naturalmente las dos últimas expresiones se obtuvieron de derivar la primera de estas fórmulas respecto al tiempo. vBA y aBA representan las velocidades y aceleraciones relativas de la partícula B respecto de la A. El movimiento de B con respecto al sistema de referencia fijo Oxyz se denomina movimiento absoluto de B. Las ecuaciones obtenidas muestran que el movimiento absoluto de B puede obtenerse combinando el movimiento de A y el movimiento relativo de B respecto de A.

5.

Movimiento relativo a lo largo de una recta

Cuando dos o más puntos se mueven con movimiento rectilíneo, para describir su movimiento podemos escribir ecuaciones separadas. Los puntos pueden moverse a lo largo de una misma recta o recta separadas. Si los n puntos están descritos por sus distintas n coordenadas, pero sólo m de estas se pueden variar libremente, diremos que el sistema tiene m g.d.l. Si m = n, cada punto podrá moverse independientemente de las demás y se dice que están en movimiento relativo independiente. Si m< n, el movimiento de uno o varios puntos estará determinado por el movimiento de las demás, y se dice que están en movimiento relativo dependiente. En ingeniería se presenta a menudo la necesidad de una descripción relativa del movimiento. Por ejemplo, en las aplicaciones a estructuras, la posición relativa de dos puntos y no su posición absoluta, es la que describe cuan severa es la deformación sufrida por la misma. En los choques, es la velocidad relativa la que determina la gravedad del mismo. Sean dos puntos A y B que se mueven en forma independiente a lo largo de una recta tal como se ve de la Figura 10. Las posiciones xA y xB se miden relativas al origen fijo O y se denominan posiciones absolutas de los puntos. La posición de B respecto a A

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se representa por xBA, y se denomina la posición relativa de B respecto a A. Como antes, se observa que:

xB  xA  xBA,  vB  vA  vBA,

Figura 10

 aB  aA  aBA

Figura 11

Es decir, la velocidad de B medida en relación al punto A es la diferencia de las velocidades absolutas de A y B, y análogamente respecto a la aceleración relativa. En muchos casos prácticos, dos puntos no pueden moverse independientemente, sino que el movimiento de uno depende, en cierto modo, del movimiento del otro Una dependencia o ligadura corriente consiste en que los puntos estén unidos por una cuerda de longitud fija (Figura 11). En tal caso, la ecuación que representa la relación de las posiciones se reemplaza por una ecuación de ligadura. Aún cuando ambos puntos estén animados de movimiento rectilíneo, no tienen porque moverse a lo largo de una misma recta. Ambos puntos deberán medirse respecto a un mismo punto fijo, si bien conviene a menudo, utilizar un origen diferente para cada punto. Sin embargo, incluso en el caso en que se muevan a lo largo de una misma recta y se midan respecto a un mismo origen fijo, a menudo conviene establecer, por separado, el sentido positivo correspondiente a cada punto. En estos casos se escribirá una ecuación de ligadura con las coordenadas de los puntos y para obtener la relación entre las velocidades y aceleraciones absolutas habrá que derivar dicha ecuación de ligadura. Para la situación de la Figura 11 se tiene, teniendo en cuenta que L es la longitud total de la cuerda, y C es una constante correspondiente a la longitud de la cuerda que está en contacto con las poleas:

L  4x A  2x B  C ,  0  4vA  2vB ,  vB  2vA,  aB  2aA Veamos otro ejemplo:

Si el cuerpo de la figura se mueve hacia la izquierda con celeridad vA, determinar la celeridad del cuerpo B.

L  x A  2x B  C , derivando 0  vA  2vB 1 vB   vA 2

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¿Cómo se analiza el caso de la figura.?

L  x  2y  0  vA  2vB

r2 2

 r1  b

0  aA  2aB

Este es un sistema de 2 gdl. Aquí la posición del cilindro inferior depende de yA e yB. Las longitudes de los cables unidos a los cilindros A y B son:

LA  yA  2yD  Cte LB  yB  yC  (yC  yD )  Cte 0  yA  2yD  0  yA  2y¨D 0  yB  2yC  yD  0  yB  2yC  yD de donde se puede despejar en las 2 incógnitas

yD , e yD

6.

Movimiento Curvilíneo Plano

Este será obviamente un caso particular de las definiciones presentadas en 3D. Si hacemos que el plano coincida con los ejes x-y, vemos que el vector de posición y las definiciones de la velocidad y la aceleración adoptan la forma de la Figura 12, pero las definiciones matemáticas serán las mismas.

Figura 12

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Consideremos el movimiento de una partícula sobre una curva plana. En el instante t la misma se encuentra en la posición A, con vector de posición r, medido respecto de un origen fijo O. En el instante t+Δt la partícula se encontrará en A’ con vector de posición r+Δr, podemos definir entonces como antes la velocidad media y la velocidad instantánea como límite de esta:

      r dr v dv , v  lim  , y a  lim  t 0 t t 0 t dt dt

con

dirección tangente a la trayectoria. En las fórmulas anteriores hemos definido como antes la aceleración instantánea como un proceso de límite de la aceleración media. La aceleración incluye el efecto de la variación del módulo de la velocidad y del cambio de dirección de esta. Lo que se observa de la figura es que la componente de la aceleración normal a la trayectoria y que como se deduce de la figura, está dirigido a hacia el centro de curvatura de la misma. Coordenadas Rectangulares: La Figura 13 muestra la trayectoria de una partícula en el plano x-y, donde además se indica el vector de posición, la velocidad y la aceleración de la misma. Descomponemos los vectores en las coordenadas cartesianas x-y utilizando los vectores unitarios (i,j) y se obtiene:

Figura 13

 r  xiˆ  yjˆ   ˆ  yj ˆ v  r  xi    ˆ  yj ˆ a  v  r  xi

(10)

Al derivar con respecto al tiempo hay que tener en cuenta que las derivadas temporales de los vectores unitarios son nulas ya que los módulos, direcciones y sentido de los mismos permanece constante. De la figura resulta evidente que:

v  v  (vx , vy ), v 2  vx2  vy2,  v  vx2  vy2 , tg   y vx  a  (ax , ay ), a 2  ax2  ay2,  a  ax2  ay2 [C1 - Mecánica Racional - UTN-Reg. Delta]

(11)

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Si se mide el ángulo θ en sentido antihorario a partir del eje x y hacia v, podemos ver que, para la configuración mostrada es

dy dx  tg   vy vx

Movimiento de Proyectiles: una aplicación importante de la teoría de la cinemática plana es el estudio del movimiento y alcance de los proyectiles (balística). En un primer planteamiento despreciamos la resistencia del aire y la curvatura de rotación de la Tierra, y admitimos que la altura máxima de la trayectoria es suficientemente pequeña como para que la aceleración de la gravedad pueda suponerse constante. Con estas hipótesis, para estudiar la trayectoria lo mejor es emplear coordenadas rectangulares. Para los ejes representados en la Figura 14:

Figura 14

Se trata de un caso de aceleración constante:

ax  0, ay  g

En estas expresiones el subíndice cero se refiere a las condiciones iniciales, que suele tomarse como las correspondiente al punto de disparo, donde

x 0  y0  0 .

Vemos que los movimientos x e y son independientes para las condiciones de movimiento simplificadas que se consideran. Al eliminar el tiempo t entre las ecuaciones de los desplazamientos resulta una trayectoria parabólica. Coordenadas Normales y Tangenciales: Cuando se conoce la trayectoria del movimiento de una partícula, es útil separar el vector aceleración en dos componentes ortogonales: el cambio de magnitud del vector velocidad y el cambio de dirección del mismo. Los problemas de esta naturaleza se originan en el diseño de carreteras, vías de ferrocarriles, alas de aviones o de levas, cuando se especifica la trayectoria del movimiento de una partícula. La velocidad máxima segura de un automóvil para tomar una curva en una carretera, se determina al emplear métodos analíticos de este tipo. Vamos en primer lugar a considerar el movimiento en un plano. Utilizaremos los conceptos anteriores utilizando un sistema coordenado tal que una coordenada es tangente a la trayectoria del movimiento, y la otra normal a la misma. Puesto que el vector velocidad es tangente a la trayectoria del movimiento, la componente tangencial de

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la aceleración a esa trayectoria sólo cambia la magnitud del vector velocidad. Una componente de la aceleración perpendicular al vector velocidad sólo cambia la dirección de este. Esta descomposición requiere el análisis de nuevos conceptos. Utilizaremos un sistema coordenado montado sobre la partícula y definido por dos vectores base unitarios, uno tangente a la trayectoria y uno normal a la misma dirigido hacia el centro de curvatura. Este sistema coordenado no sólo se traslada a lo largo de la trayectoria de movimiento, sino que también gira para mantener las orientaciones tangencial y normal. Estas coordenadas locales permiten describir de manera muy natural los movimientos curvilíneos y frecuentemente son las más directas y prácticas. En la Figura 17a se supone que los ejes t y n se desplazan con el punto material a lo largo de la trayectoria de A a B. El sentido positivo de n se toma siempre hacia el centro de curvatura, lo que tal como se aprecia de dicha figura, puede cambiar de sentido dependiendo de la forma de la trayectoria. La Figura 17b muestra los vectores unitarios ortogonales a lo largo de dichas direcciones.

Figura 17a.

Figura 17b.

La velocidad del punto tiene la dirección de eˆt y módulo la longitud del camino por unidad de tiempo. Para ver este hecho analicemos la Figura 18, donde se observa la posición del punto en dos instantes. Si δt es pequeño el módulo del desplazamiento será prácticamente igual a la longitud δs recorrida a lo largo de la curva y la dirección del desplazamiento tiende a la del vector unitario tangente eˆt . La velocidad y la aceleración de dicho punto será entonces:

  r (t ) s(t )  ˆt  veˆt v (t )  lim  lim eˆt  se t 0 t t 0 t

(12)

Y la aceleración será la derivada de (12):

 d(veˆt ) deˆ  dv dv ˆt  s t , donde s  v, y s  a   se dt dt dt dt

(13)

Figura 18

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Como la dirección del vector unitario

eˆt no

es constante, habrá que considerar su

variación en el tiempo, y para ello utilizaremos las Figura 19a donde se observa la posición del punto s en el instante t y la posición del mismo en s+Δs en t+Δt, y trazamos el círculo centrado en la intersección de las normales en eˆn (s ) y eˆn (s  s ) .En la Figura 19b se puede ver la relación entre los vectores unitarios tangente y normal en s y s+Δs,

deˆt eˆ (s  s )  eˆt (s ) , pero en el límite  lim t s 0 ds s | eˆt (s  s)  eˆt (s) |  a la longitud del arco de

de donde se deduce lo siguiente:

s  0 , la distancia radio unidad 1   , y el ángulo   90º . cuando

Figura 19a

Figura 19b.

de donde:

deˆ  s s eˆt  t  lim eˆn , pero s    eˆt  s lim eˆn  eˆn s 0 s s 0 s dt  de modo que al reemplazar en (13) se tiene finalmente la expresión de la aceleración en coordenadas intrínsecas, expresada como suma de dos términos:

 s2 ˆt  eˆn a (t )  se 

(14)

El primer término en la ecuación (14) es la aceleración tangencial, que es una medida del cambio en magnitud o rapidez, del vector velocidad. El segundo término es la aceleración normal, que es el cambio en dirección del vector velocidad. La velocidad puede tener una magnitud constante, pero debido al cambio de dirección, aún tendrá una componente de aceleración

v2  .

Esta aceleración normal se observa fácilmente cuando se conduce

por una curva a una velocidad constante, o cuando se conduce sobre la cima o el fondo de una colina. Cuando un automóvil circula por una curva, la fricción entre los neumáticos y la superficie del camino proporciona la fuerza necesaria para que el automóvil se adhiera a la curva y no se deslice a un lado. Cuando un vehículo va por una colina, su

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peso propio proporciona la fuerza necesaria para la aceleración requerida. Si el radio de curvatura de la colina es demasiado pequeño o la velocidad del vehículo es demasiado grande, el peso del automóvil será insuficiente para proporcionar esta aceleración y el automóvil se elevará en el aire. Movimiento Circular: Este es un ejemplo de aplicación de lo que hemos visto de componentes normal y tangencial de la aceleración. En un movimiento circular el radio de curvatura es constante y sólo se necesita el ángulo θ(t) para especificar la posición de la partícula (Figura20). Teniendo en cuenta que ds  rd, donde es el radio del círculo y por tanto el radio de

 r

   , y que s  r   s  r   r  , donde    es la  2 aceleración angular, se tiene: a  r eˆt  r  eˆn . curvatura de la trayectoria circular,

Si α es función del tiempo entonces

(t )   (t )dt  C ,

(15)

Figura 20

En cambio si la aceleración angular está especificada en términos del ángulo θ, entonces:

  f ()   

d  d  d d     dt d  dt d

 d    ()d  C .

En

cambio, si la aceleración angular es función de la velocidad angular, entonces:

  f (), 

 d  

d  C ()

.

(16)

Coordenadas Polares en el Plano: Vamos a considerar una tercer descripción de un movimiento curvilíneo plano, mediante el uso de un sistema de coordenadas polares, en donde la partícula queda localizada por la distancia radial r desde un punto fijo O y por la medición angular de esa línea radial respecto de una recta fija. Las coordenadas polares son particularmente útiles cuando el movimiento está vinculado a moverse a través de una forma de control radial y posición angular. La Figura 21 muestra las coordenadas polares radiales y transversales ( r, θ ). El ángulo se mide respecto al eje x-positivo, en sentido antihorario. eˆr , eˆθ son los versores unitarios en la dirección de dichas coordenadas. Como se observa, no son de orientación fija, por lo que la derivada respecto al tiempo de los mismos es distinta de cero.

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Figura 21

Figura 22

 El vector de posición r (dependiente del tiempo) de una partícula se expresa como: r (t )  reˆr , dado que depende de θ (t ) el vector de posición está oculto en el vector unitario eˆr , el cual depende de θ (que a su vez, puede depender del tiempo). Como las direcciones de los vectores unitarios eˆr y eˆθ no son necesariamente fijas, habrá que considerar sus variaciones al derivar al vector de posición. Teniendo en cuenta que (Figura 22):

eˆr  cos θ iˆ  senθ jˆ las derivadas son entonces: eˆθ  senθ iˆ  cos θ jˆ deˆr  senθ iˆ  cos θ jˆ  eˆθ dθ podemos ahora calcular la velocidad como: deˆθ   cos θ iˆ  senθ jˆ  eˆr dθ  dreˆr deˆ  ˆr  r r  re  ˆr  rθeˆθ vP (t )   re (17) dt dt  dv  ˆr  re  ˆr  (rθ  rθ)eˆθ  rθeˆθ aP (t )  P  areˆr  aθeˆθ  re dt ˆr  r(θeˆθ )  (rθ  rθ)eˆθ  rθ(θeˆr )  re  (r  rθ2 )eˆ  (rθ  2rθ)eˆ (18) r

θ

El sistema de coordenadas polares suele ser más conveniente cuando la posición del punto se mide respecto a un punto fijo (como en el caso del seguimiento de un avión por un radar) o cuando el punto esté fijo en un brazo giratorio o moviéndose a lo largo de él. Sólo se llega a una adecuada interpretación de los términos del vector aceleración cuando se ve con claridad la configuración geométrica y las variaciones físicas. En la Figura 23a se muestran los vectores velocidad y sus componentes polares en la posición A y A’ después de un movimiento infinitesimal. Cada una de estas magnitudes sufre una variación en módulo, dirección y sentido como se ve en la Figura 23b: variación del módulo de

vr ,

es sencillamente el incremento de longitud de esta componente, o sea

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dvr  dr  dr dt  r , Variación de la dirección de vr , según puede verse esta    r es la componente de aceleración , variación del variación es v d   rd r

módulo de

v ,

corresponde a la variación en longitud de esta componente, o sea

d(r )  d(r ) dt  r   r , y por último la variación de la dirección de v , que vale

vd   r d  , con lo que el término de aceleración correspondiente será r2 .

En

la Figura 24 se muestran la aceleración y sus componentes. En el caso particular de un punto animado de movimiento circular r = constante, las ecuaciones para la velocidad y la aceleración del punto son:

 vP (t )  rθeˆθ  aP (t )  rθ2eˆr  rθeˆθ

(19)

Figura 23a

Figura 23b

Figura 24

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7.

Movimiento Curvilíneo en el Espacio

Para describir el movimiento a lo largo de una curva en el espacio 3D se necesitan tres coordenadas.

Figura 25

Los sistemas más comúnmente utilizados son el de coordenadas rectangulares, cilíndricas, esféricas, que se muestran en la Figura 25. Coordenadas Rectangulares: Son las mismas que las correspondientes al caso plano pero donde se agrega una coordenada a lo largo del eje z:

  r (t )  x (t )iˆ  y(t )j  z (t )kˆ    v (t )  r (t )  x(t )iˆ  y(t )j  z(t )kˆ    a (t )  v (t )  x(t )iˆ  y(t )j  z(t )kˆ

(20)

Figura 26

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Coordenadas cilíndricas El sistema de coordenadas cilíndricas parte del sistema bidimensional de coordenadas polares al que le agregamos la coordenada z según la dirección del versor kˆ , el cual es constante en módulo y dirección y sentido. Esto implica que los vectores velocidad y aceleración serán los mismos que en coordenadas polares donde agregamos la componente en la dirección z que es independiente de las otras dos.

Figura 27

 r (t )  ρ(t )eˆr  z (t )kˆ   v (t )  r (t )  ρ(t )eˆr  rθeˆθ  z(t )kˆ (21)   2    ˆ   )eˆθ  zk a (t )  v (t )  (ρ  ρθ )eˆr  (ρθ  2ρθ 

donde ρ es la proyección del vector r sobre el plano xy. Coordenadas esféricas. El sistema de coordenadas esféricas describe la posición de un punto mediante una distancia radial y dos ángulos tal como se indica en la Figura 31. La coordenada θ se mide en un plano de la misma forma que las coordenadas cilíndricas, en cambio el ángulo  es el ángulo que forma el vector de posición con la normal al plano θ . Los tres versores eˆR ,eˆθ ,eˆφ son perpendiculares entre si y están dirigidos en el sentido de incrementar las coordenadas respectivas. Está claro que la dirección de estos tres versores dependen de las coordenadas ( ), los cuales a su vez dependen del tiempo. El vector de posición rˆ se encuentra en la dirección radial, por lo tanto está definido por:

 r (t )  R(t )eˆR

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Figura 28

Las componentes del vector velocidad son:

vR  R , v  Rθ cos φ θ

(22)

vφ  Rφ y las componentes del vector aceleración en coordenadas esféricas:

 a  aReˆR  aθeˆθ  aφeˆφ

aR  R  Rφ 2  Rθ2 cos2 φ cos φ d 2    senφ (R θ )  2Rθφ (23) R dt 1 d 2 aφ  (R φ )  Rθ2senφ cos φ R dt aθ 

8.

Cinética de la Masa Puntual

El estudio del movimiento de partículas se basa en axiomas y leyes de la naturaleza obtenidas por la experiencia, las cuales fueron formuladas primero por Isaac Newton (1642-1727). Las leyes de Newton se publicaron por primera vez en su tratado, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, en 1687. Aunque Newton tenía cuarenta y tantos años cuando se publicó su tratado, con anterioridad había formulado la mayor parte de los axiomas y, a los 23 años de edad, ya había desarrollado el cálculo y el teorema del binomio.

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Las dos primeras leyes de Newton tienen que ver con el movimiento de una sola partícula, en tanto que las segundas dos leyes tienen que ver con la interacción entre dos partículas. Euler (1707-1783) fue capaz de demostrar que era posible formular las leyes en una teoría que fuera válida para todo el campo de la mecánica. Las leyes de Newton suponen que uno puede definir un marco de referencia que está fijo en el espacio, denominado marco de referencia inercial o marco de referencia newtoniano. Sólo en este marco de referencia será válida la segunda ley de Newton. En la mayor parte de los casos, un marco de referencia fijo en una estrella servirá como un marco de referencia inercial. Sin embargo, cualquier marco de referencia no rotatorio que se mueve a una velocidad constante con respecto a un marco inercial, también se puede considerar un marco inercial. Aunque la Tierra gira, los errores que se cometen cuando se supone que es un marco de referencia newtoniano, en la mayor parte de los problemas en ingeniería, son pequeños. Las tres primeras leyes de Newton se pueden enunciar como sigue: 1. Cada cuerpo o partícula continúa en estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme ( velocidad constante ), a menos que se le obligue a cambiar tal estado por fuerzas impuestas sobre él, es decir; a menos que las fuerzas externas no estén en equilibrio. 2. El cambio de la cantidad de movimiento de un cuerpo o de una partícula es proporcional a la fuerza externa neta que actúa sobre el cuerpo o la partícula en la dirección de la fuerza externa neta. En un marco de referencia inercial, la razón de cambio con respecto al tiempo de la cantidad de movimiento lineal de un cuerpo o partícula es igual al desequilibrio vectorial de las fuerzas. La cantidad de movimiento lineal se define como el producto vectorial de la "masa inercial por la velocidad del cuerpo o de la partícula. 3. Principio de acción y reacción. Las fuerzas de acción y reacción entre cuerpos en contacto son de igual magnitud y dirección pero sentido opuesto. La ley final es la ley de atracción gravitacional universal: 4. Cualesquiera dos partículas se atraen entre sí con una fuerza cuya magnitud es proporcional al producto de sus masas gravitacionales e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas. El concepto de masa surge en dos de las leyes. En la segunda ley de Newton, se considera que la masa inercial es una medida de la resistencia de una partícula ala aceleración. En la cuarta ley de Newton, la masa gravitacional se define como la propiedad de la partícula que manifiesta su atracción gravitacional. Además, Newton supuso que estos dos conceptos de masa eran equivalentes.

9. Estrategia de Solución para Dinámica de Partículas El análisis de la dinámica de una partícula se debe enfocar de una manera muy sistemática a fin de que se obtenga la mayor comprensión del movimiento de la partícula. Cuando el objeto que se estudia se modela como una partícula, se supone que todas las fuerzas que actúan sobre el objeto son concurrentes y se considera que la masa está ubicada en el punto donde todas las fuerzas se juntan. Cuando un automóvil se modela como una partícula, no se considera que las fuerzas están actuando en los neumáticos delanteros o traseros, sino que se modela como si todas las fuerzas estuvieran actuando en el centro de masa del automóvil. Se desprecia la orientación del objeto en el espacio y

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se supone que la posición del objeto se puede especificar por sólo un vector de posición. En los capítulos siguientes, a los objetos se les asignará tamaño y forma y luego se determinará la posición del centro de masa y la orientación del objeto. Una partícula sólo tiene tres grados de libertad, que representan las tres traslaciones posibles. Hemos visto hasta ahora la cinemática de una partícula y se resolvieron las ecuaciones diferenciales de movimiento. Estas ecuaciones expresan la aceleración de la partícula en términos de la velocidad, la posición y del tiempo y pueden ser o no lineales. La mayor parte de las ecuaciones no lineales se resuelven mediante integración numérica, aunque siempre es preferible buscar soluciones analíticas cuando sea posible. Ahora se utilizarán las leyes de Newton para estudiar cómo las fuerzas causan estos cambios en el movimiento. La dinámica es un tema que requiere un enfoque conceptual y analítico. Cada problema se debe examinar cuidadosamente antes de que se intente deducir la ecuación diferencial de movimiento. Los siguientes pasos servirán de guía en la resolución de estos problemas: 1. Trate de formarse una apreciación conceptual del problema. ¿Qué se moverá? ¿En qué dirección? ¿Está restringido el movimiento de alguna manera tal que el objeto se mueve sólo en una recta o en un plano? Muchas de estas preguntas se pueden responder mediante el sentido común. Si un automóvil se estaciona en una colina y no se aplica el freno de mano, ¿lo buscará en la cima o en el fondo de la colina? Antes de suponer este ejemplo como ridículo, considere que muchos estudiantes no se preocupan por una respuesta negativa, que podría indicar que el automóvil se deslizó colina arriba. Lo que usted trata de desarrollar es la habilidad para "ver" las matemáticas o conceptualizar los resultados. Una de las dificultades al resolver problemas de dinámica es que los objetos se pueden mover de manera diferente de lo que se pensó en un principio. 2. Modele el problema haciendo un diagrama de cuerpo libre para cada partícula implicada. Este procedimiento es una de las habilidades más importantes obtenidas en el estudio de la estática. Recuerde que sin un modelo o diagrama de cuerpo libre correcto, el problema no se puede resolver de manera apropiada. 3. Establezca un sistema coordenado para describir el movimiento del objeto. La elección del sistema coordenado depende de usted. No hay una elección incorrecta, pero algunas opciones simplificarán en gran medida las ecuaciones de movimiento. Por ejemplo, si la partícula se mueve a lo largo de una trayectoria circular, son mejores las coordenadas normal y tangencial o polares que las coordenadas rectangulares para describir el movimiento. 4. Utilizando el diagrama de cuerpo libre, exprese los vectores fuerza en notación vectorial en el sistema coordenado apropiado. Escriba la ecuación de movimiento para cada grado de libertad, es decir, para cada dirección coordenada. Para dinámica de partículas, se puede escribir un máximo de tres ecuaciones de movimiento para cada partícula. 5. Evalúe el problema especificando lo que se conoce y lo que se desconoce. Cuente el número de incógnitas y el número de ecuaciones. ¿Están equilibradas? Es decir, ¿son iguales el número de ecuaciones al número de incógnitas? Si hay más ecuaciones que incógnitas, hay un error en el diagrama de cuerpo libre. Si hay más incógnitas que ecuaciones, hay restricciones sobre el movimiento que se pueden expresar matemáticamente. Por ejemplo, si una partícula se restringe a moverse a l o largo de un plano, entonces la aceleración perpendicular a ese plano es cero. Si hay fricción actuando entre la partícula y la superficie en que se desliza, entonces la magnitud de la fuerza de fricción está relacionada a la fuerza normal por el coeficiente de fricción dinámica.

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6. Escriba las ecuaciones de restricción adicionales o las ecuaciones que relacionan las fuerzas entre sí. Si el objeto se desliza, la fuerza de fricción es igual al coeficiente de fricción dinámica por la fuerza normal. En este punto, debe existir un equilibrio entre el número de ecuaciones e incógnitas. Si no existe un equilibrio, no hay motivo para tratar de resolver las ecuaciones, ya que usted cometió un error o ha ignorado una restricción o algún factor. Con frecuencia, puede ser que el problema no se ha leído cuidadosamente o que se ha ignorado una pieza importante de información. Usted quizá olvidó una dimensión en su modelo o se equivocó al suponer que una superficie es lisa; es decir, que no hay fricción. 7. Forme las ecuaciones diferenciales de movimiento eliminando las fuerzas desconocidas del sistema de ecuaciones. Las ecuaciones diferenciales resultantes deben estar en una forma en la que la aceleración sea una función de las fuerzas conocidas, la velocidad y la posición de la partícula y el tiempo. 8. Resuelva las ecuaciones diferenciales de movimiento y responda cualquier pregunta acerca de los movimientos resultantes. Si las ecuaciones diferenciales son no lineales, se requerirá la integración numérica. 9. Repase los resultados para estar seguro que tienen sentido conceptual. En muchos casos, trazar las trayectorias del movimiento es de gran utilidad. Estas gráficas pueden ser de una dirección coordenada en función del tiempo, una componente de la velocidad en función del tiempo o una coordenada en función de otra coordenada. En algunos casos, es útil una gráfica de la velocidad en función de la posición para interpretar los resultados.

10. La Segunda Ley de Newton en diferentes Coordenadas En forma vectorial, la segunda ley de Newton se escribe de la siguiente forma:

  F  ext  ma

(24)

En cinemática hemos estudiado fórmulas de aplicación para el estudio de movimientos curvilíneos en el plano o en el espacio a través del uso de diferentes sistemas de coordenadas. En las aplicaciones de la ley de Newton interesan las componentes de la aceleración de acuerdo a (8). Los movimientos se denominan planos en aquellos casos en que es posible seleccionar un sistema de coordenadas donde una componente de la aceleración es nula. En este caso se necesitan solo dos coordenadas para el estudio de la dinámica del mismo. En coordenadas rectangulares en el plano:

 r  xiˆ  yjˆ   ˆ  yj ˆ v  xi  a   xiˆ   yjˆ

 Fx  max  mx  Fy  ma y  my  Fz  0

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(25)

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En coordenadas polares en el plano:

 r  reˆr  ˆr  reˆ v  re  a  ( r  r 2 )eˆr  (r  2r)eˆ

 Fr  m(r  r2 )  F  m(r  2r)

(26)

En coordenadas intrínsecas: donde las componentes de la aceleración tienen componentes tangenciales y normales a la curva en un punto:

 Ft  ms

 ˆt , v  se  s2 a   seˆt  eˆn



s2

 Fn  m 

(27)

En coordenadas cartesianas espaciales: una descripción espacial del movimiento serán necesarios tres coordenadas, que para el caso de un movimiento expresado en el sistema cartesiano ortogonal:

 r  xiˆ  yjˆ  zkˆ   ˆ  yj ˆ  zk ˆ v  xi  a   xiˆ   yjˆ   zkˆ

 Fx  max  mx  Fy  ma y  my  Fz  ma z  mz

(28)

En coordenadas cilíndricas: se tienen las siguientes fórmulas correspondientes a la segunda ley:

 r (t )  ρ(t )eˆr  z (t )kˆ   v (t )  r (t )  ρ(t )eˆr  rθeˆθ  z(t )kˆ   ˆ a (t )  v (t )  (ρ  ρθ2 )eˆr  (ρθ  2ρθ)eˆθ  zk

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 Fr  m(ρ  ρθ2 )  Fθ  m(ρθ  2ρθ ) (29)  Fz  mz

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En coordenadas esféricas:

 F R  maR  m(R  Rφ 2  Rθ2 cos2 φ )  cos φ d  2    senφ  F  ma  m ( R θ )  2 R θφ  θ  θ  R dt 

(30)

1 d  2  2senφ cos φ   F  ma  m ( R φ )  R θ  φ  φ  R dt  Existen más sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonales que se pueden emplear para describir la cinemática de una partícula. Las expresiones para la velocidad y la aceleración se pueden derivar directamente a partir de estas coordenadas, o bien se pueden obtener a partir de matrices de transformación rotacional. Se seleccionan sistemas coordenados especiales si son compatibles con las restricciones del movimiento de la partícula. Aquí emplearemos coordenadas rectangulares, cilíndricas o esféricas, dependiendo de las restricciones del movimiento o a fin de representar la trayectoria del movimiento de la partícula de la manera más conceptual. Es obvio que cuando el vector de posición se da o se mide como una función del tiempo en cualquiera de estos sistemas coordenados, un problema de dinámica inversa se resuelve fácilmente derivando si se conocen las condiciones iniciales. Sin embargo, si se conocen o se miden las aceleraciones, la solución de un problema de dinámica directa es muy difícil, ya que comprenderá ecuaciones diferenciales no lineales acopladas. En general, no existen soluciones analíticas cerradas de estas ecuaciones y sólo se utilizan técnicas de integración numérica para manejar este tipo de problemas. La mayor parte de los estudios de mecánica celeste se formulan en coordenadas esféricas. Podemos examinar el movimiento de la Tierra en este sistema coordenado. En 1543, Nicolás Copérnico presentó la teoría de que la Tierra no era el centro del universo y que el Sol y las estrellas no giran alrededor de ella. Esto contradijo las enseñanzas de Aristóteles y Ptolomeo de que la Tierra era el eje inmóvil, por lo que entraba en conflicto con las enseñanzas de la Iglesia Católica que creía que estaban apoyadas en las escrituras.

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Ejemplo: Se dispara horizontalmente un proyectil de prueba con una velocidad v0 al interior de un líquido viscoso. La fuerza retardadora es proporcional al cuadrado de la 2

velocidad, por lo que la aceleración es a  kv con k una constante. Deducir la expresión D de la distancia recorrida en el seno del líquido y el tiempo t transcurrido hasta que la velocidad se reduce a v0/2. Despreciar todo movimiento vertical.

a  kv 2, adx  vdv   kv 2dx  vdv , integrando entre 0 y x (donde para v



x=0 es v=v0)

v0

x D 

x

1  dx  x  Lnv  2 k kv 0 vdv

1 0.693 Ln 2  , k k

(A)

v

v



v 1 Ln 0 , y cuando v=v0/2, k v

v0

v dx , pero kx  Ln 0  v  v0ekx dt v

de

modo que utilizando la definición de la velocidad

dx dx dt   v v0ekx

1 kx t e kv0

x

 0

1 kv0

ekD  2  t=

t



 dt  0

x

dx

 v ekx 0

de donde al integrar se tiene

0

ekx  1 , y para x  D , usando lo deducido en (A),  

1 kv0

Ejemplo: En el instante t = 0 se lanza un proyectil en el seno de un fluido experimental. La velocidad inicial es v0 y θ es el ángulo con la horizontal. La resistencia sobre el    proyectil se traduce en una aceleración a  kv , donde k es una constante y v es la velocidad del proyectil. Determinar en función del tiempo las c omponentes de la velocidad y del desplazamiento incluyendo en el análisis los efectos de la aceleración gravitatoria.

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Las condiciones iniciales del problema son

x (0)  y(0)  0, y vx ,0  v0 cos , vy,0  v0sen .

Este

problema

es

nuevamente un caso de movimiento plano en dos coordenadas. Utilizaremos el sistema x-y:

  a  kv  gjˆ  ax iˆ  ay jˆ  ax  kvy , y ay  kvy  g

Integrando las componentes x-y de la aceleración desde 0 a t, se obtienen las componentes x-y del vector velocidad:

ax 

dvx dt

v

 kvx 



dvx

vx ,0

vx

dx vx (t )  (v0 cos )e kt ,  dt v cos  x (t )  0 (1  e kt ) k

t

  kdt  kt  vx  v 0 cos   e kt 0 x

t

 dx   (v cos )e 0

kt

dt, 

0

Trabajando de la misma forma con la componente y se obtiene:

ay 

dvy dt

vy

 kvy  g, 

 vy ,0

t

dvy g  kvy

  dt  integrando 0

 g g dy vy (t )  v0sen    e kt  , pero vy   integrando   k k dt   t 1 g g y(t )   vydt  (v0sen   ) 1  e kt  t k k k





0

Cuando

t    vx  0, vy 

Ejemplo:

g . k

La posición radial de una partícula de fluido P en una bomba centrífuga con

álabes radiales se aproxima por la relación

r  r0 cosh(t ) .

Determinar una expresión

de la magnitud de la aceleración total de la partícula justo antes de abandonar la bomba en términos de r0, R y ω.

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r  r0 cosh(t ), r  r0senh(t ), r  r0 2 cosh(t ) a  r  r 2  r  2 cosh(t )  (r cosh(t )) 2  0 r

0

a  r   2r  2r0senh(t )

0

cosh2 t  senh 2t  1, senh(t )  cosh2 t  1  Cuando r = R, resulta: a  a  2

2

r2 r02

1

R2  r02

Ejemplo: El movimiento del rodillo A en la ranura circular fija, está gobernado por el brazo OA, cuya parte superior desliza libremente en la inferior para acomodarse a la variación de la distancia de A a O al variar θ. Si el brazo tiene una velocidad angular constante   K durante un intervalo de su movimiento, determinar la aceleración del punto A en función del ángulo θ.

ar  r  r 2, a  r   2r, cos(  2)   cos 2, r  OA  b 2  b 2  2b 2 cos(  2) r  2b 2(1  cos 2)  2b 2(1  cos2   sen 2)  4b 2 cos2   2b cos  dr d  dr   K ,   0, r   dt d  d 2 d r r   2 2 ,etc. y reemplazando se obtiene finalmente a  4K 2b. d

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Ejemplo: El órgano rotatorio de una cámara mezcladora ejecuta un movimiento axial periódico

z  z 0sen(2nt )

mientras gira con velocidad angular constante ω. Hallar la

expresión del módulo máximo de la aceleración del punto A del borde de radio r. La frecuencia de oscilación vertical n es constante.

ar  r  r 2  0  r  2 a  r   2r  0  0  0 

az 

d2 dz

2

z 0sen2nt   4n 22z 0sen(2nt )

a  (r 2 )2  (4n 22z 0sen 2nt )2 a max  r 2 4  16n 4 4z 02

Ejemplo: La boquilla giratoria rocía una gran superficie circular horizontal y gira a la velocidad angular constante

  K .

El agua se mueve por el tubo a la velocidad

constante l  c relativa al tubo. Escribir las expresiones de los módulos de la velocidad y de la aceleración de la partícula de agua P cuando pasa por una posición dada l del tubo giratorio.

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   c  sen  vr  lsen v  r   (l  sen  )K  K  l  sen  v  l cos   c  cos  z

v  (csen  )2  (Klsen  )2  (c cos  )2 a  r  r 2  0  lsen (K )2  K 2l  sen  r

a  r   2r  0  2csen (K )  2Kc  sen  az  vz  0 a  (K 2lsen  )2  (2Kcsen  )2  K  sen   K 2l 2  4c 2 Ejemplo: La estructura de la base de la escalera del coche de bomberos gira alrededor de un eje vertical que pasa por O con   10rad / s . Al mismo tiempo, la escalera OB se eleva a velocidad constante   7rad / s , y el tramo AB avanza desde el tramo OA a velocidad constante de 0.5 m/s. Cuando ϕ = 30º, OA = 9 m, AB = 6 m, hallar los módulos de la velocidad y la aceleración de la escalera.

Usamos coordenadas esféricas:

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vR  R  0.5 m/s  v  R cos   15(10 )cos 30º  2.27 m/s 180  v  R  15(7 )  1.833 m/s 180 v  vr2  v2  v2  2.96 m/s  2 aR  R  R 2  R2 cos2   0  15(7 ) cos2 30º  0.567 m/s2 180 cos   2   sen  a  R   2RR    2R   R   cos 30º      = 0  2  15  0.5  10  2  15  10 7 sen 30º  15  180  180 180 =  0.1687 m/s2

1  2  R   2RR    R2sen cos    R  1    2 = 0  2  15  0.5  7  15  (10 ) sen 30º cos 30º 15  180  180

a 

 0.320 m/s2

a  aR2  a2  a2  0.672 m/s2

Ejemplo: El motor del tambor rota en sentido horario con velocidad constante, haciendo que el cable descienda con velocidad constante v. Como parte del diseño de este sistema, determinar la tensión T en el cable en término de la coordenada y del cilindro de masa m. Despreciar el diámetro y la masa de las poleas.

   F  ma 2T

y b2  y 2

 mg  ma,  T 

m(a  g ) b 2  y 2 y despejando se obtiene T  2y

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m(a  g ) b 2  y 2 , a  y 2y

donde a  f (v, y )

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Sea L la longitud del cable ABC,

L  2 b2  y 2

b 2  y 2 (y 2  yy) (yy )2  , L2 2 0  2 2 2 2 2 2 2 2 b y b y (b  y ) b  y 2  2 2  y2 v 2(b 2  y 2 )  2 2  v (b  y )  b  y   yy    4y 2 4y 2 b2  y 2

v  L  2

yy

Simplificando se obtiene

y  

 m 2 b 2v 2  2   a; y por tanto T  b  y g  3   2y 4y 3 4y 

b 2v 2

Ejemplo: La cadena parte del reposo con la longitud b de la misma colgando y con el peso suficiente como para iniciar el movimiento. El coeficiente de fricción estático y cinético posee el mismo valor µ. Determinar la velocidad v de la cadena cuando el último eslabón ha abandonado el borde. Despreciar la fricción en la esquina.

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Sea  la masa por unidad de longitud de la cadena, y b la longitud de cadena con la que comienza el movimiento.

F  N  g(L  b),

F  0

 T0  g(L  b)  0, y T0  gb

resolviendo las dos últimas ecuaciones se puede obtener el valor de b que establece el

L 1  T  g(L  x )  (L  x )a, y gx -T=xa

equilibrio, es decir un valor algo mayor determina el movimiento:

 F  ma,

eliminando T se obtiene: a  x   vdv  xdx



v

L

0

b L

b

g x (1  )  L    L

g

 vdv   L x (1  )  L  dx

 1 2 g  x 2 L v   (1  )  Lx  , sustituyendo a b  2 L2 1 b  y realizando las simplificaciones necesarias se obtiene

v

gL 1 

Ejemplo: La bomba centrífuga de palas radiales lisas gira alrededor de su eje vertical con celeridad constante ω. Calcular la fuerza N ejercida por una de las palas sobre una partícula de masa m al moverse esta hacia afuera a lo largo de la pala. La partícula se introduce en r = r0 sin velocidad radial. Supóngase que la partícula sólo toca el costado de la pala.

 Frmar ,

0  m(r  r2 ),

cuya solución es es:

la cual nos da una ecuación diferencial homogénea

r  r0 cosh(t ), r  r0senh(t ) ,

 F  ma,

la componente transversal

N  m(0  2r)  2mr02senh(t ),

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pero

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cosh2 t  senh 2t  1  senh 2t  cosh2 t  1,  r 2 senh(t )     1 , N  2mr02  r0 

de

donde,

 r 2    1  2m 2 r 2  r02  r0 

Ejemplo: El tubo hueco rota en torno al eje horizontal que pasa por O con velocidad angular constante ω0. En r = 0 y cuando θ = 0 se introduce una partícula de masa m con una velocidad relativa nula, la cual se desliza hacia afuera por el interior del tubo. Hallar r en función de θ.

 Fr  mar  m(r  r 2 )  mgsen r  02r  gsen(0t ), condiciones iniciales obtiene la solución:

r  rh  rp  C 1e

esta es una ecuación diferencial de 2º orden inhomogénea con

r(0)  0, r(0)  0 , 0t

 C 2e

0t



g 202

de donde utilizando métodos conocidos se

sen(0t )

donde rh

y rp

son las

soluciones general de la homogénea y una solución particular. Esta última se asume de la forma rp

 Dsen(0t ) , que al reemplazarla en la ecuación diferencial permite

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obtener el valor de la constante

D 

al asumir un solución del tipo rh

rh  C1e

0t

202

, y la solución de la homogénea se obtiene

 Cest , que al sustituirla en la correspondiente

ecuación homogénea se obtiene que s1 homogénea será

g

 C 2e

 0, s2  0 , y la solución general de la 0t

, luego de sumar ambas soluciones, se

aplican a r(t) las condiciones iniciales y se obtienen las constantes

C1 y C 2 -

Luego

de realizar estos cálculos la solución definitiva es:

r

g  senh   sen   . 2  20

Ejemplo: Un collarín de masa m recibe una velocidad inicial de módulo v0 sobre la guía circular horizontal hecha de varilla delgada.

Si

c

es el coeficiente de rozamiento

cinético, hallar la distancia que recorre el collarín antes de detenerse.

v2  Fy  0,  Ny  mg,  Fn  man ,  Nn  m r

F  cN yot  

 Ft  mat ,



 mv 2 2 m c 2 2   (mg )2   r g  v4   r  r

cm 2 2 dv r g  v 4  mv , integrando con la velocidad desde su r ds

valor inicial a cero, con lo que la variable espacial se integra de 0 a s (espacio recorrido):



c r

s

0

 ds   0

v0

0

vdv 4

2 2

v r g





v02

0.5dx 2

2 2

donde

x r g

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x  v 2, dx  2vdv  2 4 2 2 0 v  v  r g  c    1 r 0   s  Ln x  x 2  r 2g 2  ,  s  Ln  0   r 2 2c rg   v02   Ejemplo: El yugo escocés es un mecanismo que transforma el movimiento circular de una manivela en un movimiento reciprocante de un eje. Cuando la manivela OP gira respecto al centro O un ángulo θ, el bloque deslizante oscila en el yugo, y se obtiene un movimiento reciprocante del yugo y del eje unido a él. Así, el yugo escocés convierte el movimiento rotatorio en movimiento reciprocante, y viceversa. Éste se usa en varias aplicaciones de la ingeniería.

Para el caso en que la velocidad angular    de la manivela es constante, determine el desplazamiento x del yugo en función del tiempo t. La figura (A) muestra que la coordenada x de la línea central del yugo está determinada por x  A cos  . Por consiguiente, por diferenciación, x  Asen  Asen (a) Si ω es constante (es decir, si la manivela gira a velocidad angular constante), una segunda 2

diferenciación da x  A cos  (b). Las ecuaciones (a) y (b) expresan la velocidad y la aceleración del yugo en términos de la velocidad angular ω y del ángulo θ de la manivela. La ecuación(a) muestra que x  0 para θ = y θ = π; es decir, el yugo no tiene velocidad en los extremos de su carrera. Sin embargo, la aceleración no es cero cuando la velocidad es cero. Por el contrario, la ecuación (b) muestra que el yugo experimenta una aceleración máxima cuando él está en los extremos de su carrera (cuando θ = 0 o θ = π).

    cte , obtenemos, por integración,   t   , donde  es una constante de integración. En consecuencia, la ecuación x  A cos  da x  A cos(t  ) (c) Haciendo

La ecuación (c) expresa el desplazamiento x del yugo en función del tiempo. Un mecanismo que es cinemáticamente equivalente al yugo escocés es el yugo reciprocante, mostrado en la figura de abajo. Como la leva circular excéntrica gira alrededor del punto fijo O, el yugo oscila. La coordenada x de la línea central vertical del

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x  A cos  . Por consiguiente, por x  Asen  a2 cos  . Si   0 (es decir, si la

yugo está determinada por la ecuación

diferenciación, x  Asen y leva gira a velocidad angular constante), esos resultados son los mismos que los de las ecuaciones(a) y (b). Por tanto, el movimiento es el mismo que el de un yugo escocés.

Ejemplo: Mecanismo de retorno rápido. La figura (a) ilustra un mecanismo de retorno rápido que se usa en algunas herramientas máquinas de manera que no se gaste tiempo durante la carrera de retorno de un cortador. Para fines de análisis es conveniente dibujar un diagrama esquemático como el mostrado en la figura (b). Los puntos O y P son apoyos fijos. La manivela PQ gira con velocidad angular constante

  

y el bloque deslizante Q oscila sobre el brazo OS.

 del brazo a. Obtenga fórmulas para la velocidad angular  y la aceleración angular  oscilante OS, en términos de ω y θ. b. Usando las fórmulas obtenidas en la parte a, analice el movimiento del brazo oscilante OS; esto es, determine los valores máximos del desplazamiento angular, velocidad angular, y aceleración anguIar del brazo.

Para analizar el movimiento del brazo oscilante OS, debemos expresar funciones de θ. Como

  t tg 

siempre que

, ,  como

    d  dt = cte, donde t es el tiempo. La integración da

(0)  0 .

De la segunda figura:

RQ asen , RQ  asen, RO  b  a cos ,  tg  (a) RO b  a cos 

Derivando esta ecuación respecto al tiempo y simplificando se obtiene:

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a (a  b cos )  sec2    , y eliminando sec2  de (a) y usando la identidad 2 (b  a cos )

sec2   1  tg 2 resultado buscado.

se obtiene el resultado

a (a  b cos ) ,    2 a  b 2  2ab cos 

que es un

Derivando nuevamente esta expresión se obtiene la aceleración 2

angular

ab(a  b 2 )2sen   .  2 (a  b 2  2ab cos )2

El valor máximo de la velocidad angular se

determina

haciendo

a a   0,  0  cos1 , y el máximo de  es max  tg 1 b b2  a 2 En la figura se muestra un mecanismo de rápido retorno unido a una carga deslizante. En las posiciones extremas A y E del brazo oscilante, la manivela PQ es perpendicular al brazo. El ángulo  es recorrido por la manivela cuando la carga se mueve de la posición A' a la posición B' (esto es, durante la carrera de avance o hacia adelante), y el ángulo

20

recorrido durante la carrera de retorno, de B' a A '. Como la manivela gira el ángulo

es

20

durante la carrera de retorno del brazo oscilante, la fracción de una revolución que se usa para la carrera de retorno es

20 2 . Por ejemplo, si a b  3 2 , la ecuación

(d) da θ = 30°. De acuerdo con esto, la carrera de retorno

20

ocupa 1/6 de una

revolución (60º), y la carrera hacia adelante ocupa %/6 de una revolución (300º). En consecuencia, la carrera hacia adelante requiere cinco veces tanto tiempo como la carrera de retorno.

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CAPÍTULO 2 INTRODUCCIÓN A LOS TEOREMAS DE CONSERVACIÓN 1. Principios de Trabajo y Energía Examinaremos ahora los conceptos fundamentales de trabajo y energía. En general, trabajo es el producto de una fuerza y una distancia, y energía es la capacidad de un cuerpo o sistema de efectuar trabajo. El concepto de energía juega un papel importante en muchas áreas de la física. Existen muchas formas de energía, incluida la mecánica, la química y la nuclear. Todas las formas de energía obedecen una ley fundamental de la naturaleza, la ley de la conservación de la energía. Esta ley establece que la energía total en cualquier sistema aislado es una constante, sin importar qué reacciones tengan lugar en el sistema. Los principios de trabajo y energía son también importantes en la ingeniería porque pueden usarse para diseñar y analizar dispositivos que efectúan trabajo. Todos los sistemas que efectúan trabajo usan energía. Por ejemplo, cuando una máquina como un tractor efectúa trabajo, éste usa energía en la forma de combustible. La cantidad de combustible usado depende del trabajo que el tractor efectúa. Otro ejemplo, una bomba para subir agua a un tanque elevado de almacenamiento usa energía en proporción a la cantidad de agua bombeada ya la altura a la que sube el agua. Hay dos clases generales de problemas en los que interesa conocer los efectos acumulativos de las fuerzas no equilibradas actuantes sobre un punto material. Respectivamente, en estos casos interviene la integración de las fuerzas respecto al desplazamiento del punto y la integración de las fuerzas respecto al tiempo que dura su aplicación. Los resultados de esas integraciones pueden incorporarse directamente a las ecuaciones que rigen el movimiento, con lo que resulta innecesario despejar directamente la aceleración. La integración respecto al desplazamiento conduce a ecuaciones que relacionan trabajo y energía, mientras que respecto al tiempo conducen a ecuaciones que relacionan impulso y cantidad de movimiento. En este capítulo analizaremos el significado y uso de los conceptos fundamentales de energía. Estos incluyen el trabajo y la energía cinética, ambas cantidades escalares. También analizaremos los principios que relacionan esas dos cantidades. El concepto de energía comenzó a tomar forma en el siglo XVII. Christian Huygens (1629-1695) estableció que, si un sistema sin fricción desciende bajo la acción de la gravedad; su centro de masa adquiere suficiente velocidad para permitirle ascender a la altura desde la cual descendió. Partiendo de esta afirmación, Wilhelm Leibniz (1646,1716) concluyó que el trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre un sistema es proporcional al incremento de una cierta

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cantidad escalar, que el llamó vis viva (fuerza viva). Esta cantidad se identifica ahora com o dos veces la energía cinética del sistema. Ninguna ley física es necesaria para desarrollar los principios de trabajo y energía. Más bien esos principios son derivados directamente de las leyes de Newton. Sin embargo, las cantidades escalares de trabajo y energía poseen ciertas ventajas sobre la ecuación vectorial F = ma en el estudio del movimiento de partículas y en el estudio del movimiento de cuerpos rígidos. Específicamente para ciertos problemas dinámicos, el análisis del trabajo y la energía producen simples ecuaciones algebraicas en vez de ecuaciones diferenciales. Consideremos ahora el trabajo realizado sobre una partícula de masa m que se mueve describiendo una trayectoria curva bajo la acción de la fuerza externa F, que representa la resultante ΣF de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. La posición de m se determina por su vector de posición r, y su desplazamiento a lo largo de su trayectoria durante el tiempo dt está representado por su vector de posición. El trabajo de F durante un desplazamiento finito de la partícula desde el punto 1 al punto 2 será:

  dW  Ftds  F cos ds  F  dr ,  W12 

2



  F  dr

(1)

1

Figura 1

La ecuación (1) expresa la siguiente conclusión: El trabajo hecho por una fuerza que actúa sobre una partícula cuando esta viaja sobre una trayectoria desde una posición 1 hacia una posición 2, es igual a la integral de línea sobre dicha trayectoria de la componente tangente a la misma. En términos de los vectores unitarios i, j, k, ya que podemos escribir:

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  F  Fx iˆ  Fy jˆ  Fz kˆ, dr  dxiˆ  dyjˆ  dzkˆ,  dW12  Fxdx  Fydy  Fzdz es:

W12 

 Fxdx  Fydy  Fzdz

(3)

de donde, de acuerdo a (1)

donde C indica la trayectoria seguida por

C

la partícula.

x  x(t ),

Si la curva C se expresa en forma paramétrica, por ecuaciones del tipo y  y(t ), z  z(t ) , es

  , dy  ydt  , dz  zdt  ˆ  yj  ˆ  zk  , v  xi  ˆ reemplazando en (3): dx  xdt

W12 



t2

  (Fxx  Fyy  Fz z )dt   F  vdt

C

(4). En esta situación la integral se

t1

reduce a una integral ordinaria (Figura 2). Para el caso de una fuerza constante, el trabajo es positivo si tiene una componente en la dirección del movimiento, negativo si tiene una componente en sentido opuesto y nulo si la fuerza es perpendicular al movimiento: si F es constante, entonces de (1)  r2

    W12  F   dr  F  r (5),  r

  1 r  r1  r2 (ver Figura 3)

Figura 2

Figura 3

Si la partícula P pertenece a un sistema mecánico, la cantidad W definida por la ecuación (1) o Ia ecuación (3) es el trabajo que la fuerza F efectúa sobre el sistema. Esta definición se aplica sólo si la fuerza F actúa sobre la misma partícula durante el curso del movimiento. Si el punto de aplicación de la fuerza F cambia de una partícula a otra conforme el movimiento procede, el trabajo que la fuerza efectúa sobre el sistema se define como la suma de las cantidades de trabajo que ésta efectúa sobre todas las partículas sobre las que actúa. Consideraremos tales situaciones en el estudio de la dinámica de cuerpo rígido. Si varias fuerzas actúan sobre un sistema móvil, el trabajo que esas fuerzas

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efectúan sobre el sistema es definido como la suma de sus cantidades individuales de trabajo. Trabajo de una fuerza constante en movimiento rectilíneo. Cuando una partícula que se mueve en una línea recta se somete a una fuerza F de magnitud constante y dirección constante (Figura 4), la ecuación (3) permite escribir W12

 (F cos )x

donde  = ángulo que forma la fuerza con la dirección de movimiento, y desplazamiento de A1 a A2.

Figura 4

x

=

Figura 5

Trabajo realizado por la fuerza de la gravedad. El trabajo del peso W de un cuerpo, esto es, de la fuerza que la gravedad ejerce sobre ese cuerpo, se obtiene al sustituir las componentes de W en (4). Al elegir el eje “y” hacia arriba (Figura 5), se tiene

Fx  Fz  0, Fy  W ,  y2

W12   Wdy  W (y2  y1)  W y (6) y1

donde y es el desplazamiento vertical de A 1 a A2. En consecuencia, el trabajo del peso W es igual al producto de W y el desplazamiento vertical del centro de gravedad del cuerpo. El trabajo es positivo cuando y  0 , o sea cuando se mueve hacia abajo.

Trabajo realizado por la fuerza que ejerce un resorte. Considere un cuerpo A unido a un punto fijo B por medio de un resorte; se supone que este último no está deformado cuando el cuerpo se encuentra en A 0 (Figura 6). La evidencia experimental muestra que la magnitud de la fuerza F ejercida por el resorte sobre un cuerpo A es proporcional a la deformación x del resorte medida a partir de la posición A 0. Se tiene

F  kx

(7)

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donde k es la constante del resorte, expresada en N/m o kN/m en el sistema SI. El trabajo de la fuerza F ejercido por el resorte durante un desplazamiento finito del cuerpo de A1 (x = x1 ) a A2 (x = x2) se obtiene al escribir x2

dW  Fdx  kxdx ,  W12   kxdx  x1

12 k (x12  x 22 ) 2

(8)

Debe tenerse cuidado de expresar k y x en unidades consistentes. Adviértase que el trabajo de la fuerza F ejercida por el resorte sobre el cuerpo es positivo cuando x2 < x1, esto es, cuando el resorte está regresando a la posición no deformada. Puesto que la ecuación (7) es la de una línea recta de pendiente k que pasa por el origen, el trabajo W 12 de F durante el desplazamiento de A 1 a A2 puede obtenerse al evaluar el área del trapezoide que se muestra en la Figura 7. Esto se hace al calcular F 1 y F2 y multiplicar la base x del trapezoide por medio de su altura media (1/2)(F1 + F2). Puesto que el trabajo de la fuerza F ejercido por el resorte es positivo para un valor negativo de x , se escribe

1 W12   (F1  F2 )x . 2

Figura 6

Figura 7

Trabajo realizado por una fuerza gravitacional. Dos partículas de masa M y m a una distancia r una de la otra se atraen entre sí con fuerzas iguales y opuestas F y -F, dirigidas a lo largo de la ,línea que une a las partículas y de magnitud

F G

Mm r

2

(9)

Suponga que la partícula M ocupa una posición fija O mientras la partícula m se mueve a lo largo de la trayectoria indicada en la Figura 8. El trabajo de la fuerza F ejercida sobre la partícula m durante un desplazamiento infinitesimal de la partícula de A a A' puede obtenerse al multiplicar la magnitud F de la fuerza por la componente radial dr del desplazamiento. Puesto que F está dirigida hacia O, el trabajo es negativo y se escribe

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dW  Fdr  G

Mm r2

dr

El trabajo realizado por la fuerza gravitacional F durante un desplazamiento finito de A 1(r = r1) a A2(r = r2) es por tanto r2

W12   r1

GMm r

2

dr 

GMm GMm  r2 r1

(10)

donde M es la masa de la Tierra. Es posible utilizar esta fórmula para determinar el trabajo de la fuerza ejercida por la Tierra sobre un cuerpo de masa m a una distancia r del centro de la misma, cuando r es más grande que el radio R terrestre. Dado que el peso P de un cuerpo es la fuerza de atracción gravitatoria de la Tierra, será:

P  GMm R2  GMm  PR2 .

Varias fuerzas que se encuentran con

frecuencia en problemas de cinética no realizan trabajo. Se trata de fuerzas aplicadas en puntos fijos (ds = 0) o actuando en una dirección perpendicular al desplazamiento. Entre las fuerzas que no realizan trabajo se encuentran las siguientes: la reacción en un pasador sin fricción cuando el cuerpo que se soporta gira alrededor del pasador, la reacción en una superficie sin fricción cuando el cuerpo en contacto se mueve a lo largo de la superficie, la reacción en un rodillo que se desplaza a lo largo de su pista, y el peso de un cuerpo cuando el centro de gravedad se mueve en forma horizontal.

Figura 8

2. Teorema del Trabajo y Energía (de las Fuerzas Vivas) Newton formuló sus teorías de la dinámica en base a sus leyes, particularmente la segunda que relaciona las fuerzas que actúan sobre la partícula con la aceleración. En el siglo XVIII, el matemático francés J.L. Lagrange (1736-1813) formula su estudio sobre Mecánica Analítica en base a los conceptos de Trabajo y Energía. Hemos definido ya la noción de trabajo de una partícula sometida a la acción de un conjunto de fuerzas externas. Definimos ahora una cantidad escalar que posee unidades de trabajo (Joule=Newton x

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metro), que se denomina Energía Cinética de la partícula, y es la energía que lleva la misma en virtud de su movimiento:

1 T  mv 2 2

(11)



donde v es el módulo del vector velocidad v de la partícula. Veamos que relación tiene con el trabajo realizado por fuerzas externas, para ello debemos tener en cuenta que

          v2 2 v  v  v  d(v )  v  dv  dv  v  2v  dv  d( )  v  dv 2   De la definición de trabajo elemental dW  F  dr , y de la segunda ley de Newton     dr      dv  dW  ma  dr  m  dr  mdv   mv  dv , y F  ma , se tiene: dt dt   reemplazando por la relación anterior a v  dv resulta luego de integrar: 2

v2

W 



v1

  mv  dv 

v2



v1

 1 2  1 2 v2 d  mv   mv , y usando la definición (11) obtenemos la  2  2 v 1

expresión matemática del teorema de la energía.

W12  T  T2 T1

(12)

“El incremento de la energía cinética es igual al trabajo de la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre la partícula”. La ecuación (12) es de carácter universal, válida cualquiera que sea el sistema considerado, conservativo o no. En el caso de fuerzas disipativas el trabajo es siempre negativo lo que da lugar a una disminución de la energía cinética, la que se transforma en calor. Vemos ahora de la ecuación 12 que el teorema de las fuerzas vivas presenta la importante ventaja de evitar el cálculo de la aceleración y lleva directamente a las variaciones de velocidad como funciones de las fuerzas que trabajan. Es más, en el teorema de las fuerzas vivas sólo intervienen aquellas fuerzas que trabajan y dan lugar a variaciones de módulo en las velocidades. Consideremos dos o más partículas unidas por conexiones exentas de rozamiento y que no pueden deformarse elásticamente. Las fuerzas de las conexiones aparecen por parejas de igual módulo y dirección y sentidos opuestos, y los puntos de aplicación de tales fuerzas tendrán necesariamente componentes de desplazamiento iguales en la dirección de las fuerzas. Por tanto, el trabajo total efectuado por dichas fuerzas internas será nulo para todo movimiento del sistema de las dos o más partículas conectadas. Así pues, la ecuación 12 será aplicable al sistema total, siendo W 12 el trabajo total efectuado sobre el sistema por las fuerzas exteriores a él y siendo T la variación T 2- T 1 de la energía cinética total del sistema. La energía cinética total es la suma de las energías cinéticas de todos los elementos del sistema. Podemos observar ahora que una nueva ventaja del

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teorema de las fuerzas vivas consiste en que permite el análisis de un sistema de puntos materiales, unidos de la manera descrita, sin necesidad de desmembrar el sistema. La aplicación del teorema de las fuerzas vivas reclama el aislamiento del punto material o del sistema en cuestión. En el caso de un punto material solo, deberá trazarse un diagrama para sólido libre donde se representen todas las fuerzas externamente aplicadas. En el caso de sistemas de puntos materiales unidos rígidamente sin miembros elásticos, puede trazarse un diagrama de fuerzas activas donde sólo se incluyan las fuerzas que trabajen. Potencia. La capacidad de una máquina se mide por la cantidad de trabajo que realiza o de energía que entrega por unidad de tiempo. El trabajo total o energía producida no constituye una medida de tal capacidad puesto que un motor, por pequeño que sea, puede entregar una gran cantidad de energía si se le da tiempo suficiente. Por otra parte, se requieren máquinas grandes y muy potentes para conseguir grandes cantidades de energía en períodos de tiempo cortos. De esta forma, la capacidad de las máquinas se clasifica de acuerdo con su potencia, que por definición es la cantidad de trabajo efectuada por unidad de tiempo. De acuerdo con ello, la potencia P desarrollada por una fuerza F que realiza un trabajo W

 dr dW F es P  (13). dt dt   Como dr dt  v es la velocidad del punto de aplicación de la fuerza, tenemos:   P  F  v (14)

La potencia es una magnitud escalar y su unidad SI es N .m / s= J / s, que recibe el nombre de watt (W) y es un joule por segundo. Rendimiento. El cociente entre el trabajo realizado por una máquina y el trabajo realizado sobre esa máquina durante un mismo intervalo de tiempo recibe el nombre de rendimiento mecánico

em de

la máquina. En esta definición se supone que la máquina funciona

regularmente de forma que en su interior no se acumula ni se consume energía. El rendimiento es siempre inferior a la unidad, puesto que en todo mecanismo que funciona siempre hay pérdida de energía, que en el caso de los sistemas mecánicos se deberán a fuerzas de rozamiento. Además de pérdidas de energía por rozamiento puede haber pérdidas debido a energía eléctrica y térmicas, en cuyo intervendrán los rendimientos eléctricos ( ee ) y térmicos (et ), en cuyo caso será

e  emeeet .

3. Sistemas Conservativos y No Conservativos

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El objetivo de esta sección es estar en condiciones de distinguir entre sistemas conservativos y no conservativos. El concepto clave es que el trabajo de las fuerzas conservativas es recuperable. El trabajo efectuado sobre un sistema para moverlo de una configuración a otra puede depender de la trayectoria en que el sistema se mueve, como en aquellos donde la fricción está presente. En estos casos el sistema se dice que es no conservativo (un ejemplo se observa en la Figura 9, donde el trabajo realizado al transportar un cuerpo desde el punto 1 al punto 2 sobre una superficie rugosa por la trayectoria recta A es menor que el realizado al trasladarlo al mismo punto por la trayectoria B curva). En contraste, un sistema conservativo es uno en el que el trabajo efectuado sobre el sistema para moverlo de una configuración a otra no depende de la trayectoria. Por ejemplo, si levantamos un cuerpo en un campo gravitatorio, la fórmula (6) nos dice que el trabajo es independiente del camino seguido al subir de un punto A 1 a otro A2, y sólo depende de la altura que separa a los puntos en cuestión. La misma situación se tiene en los otros dos casos vistos, el correspondiente a las fuerzas elásticas y la fuerza de atracción gravitatorias (ecuaciones (8) y (10) respectivamente), de donde se concluye que las fuerzas gravitatorias y elásticas son conservativas. Todo el trabajo que es efectuado sobre un sistema conservativo es recuperable, ya que si se mueve de un punto inicial alrededor de una trayectoria cerrada , ningún trabajo neto se efectúa sobre el sistema, en otras palabras, cuando se lleva una configuración inicial de un sistema a otra a través del camino A se realiza un trabajo W 12, y al regresar a la configuración inicial por la trayectoria B se realiza el mismo trabajo pero con signo cambiado (Figura 10) .

Figura 9

Figura 10

Fuerza conservativa: La definición más corriente dice que una fuerza es conservativa si el trabajo hecho por la fuerza sobre un sistema que se mueve entre dos configuraciones es independiente de trayectoria que el sistema toma. Por lo tanto el trabajo total efectuado sobre una trayectoria cerrada es cero, usando (1):

  F   dr  0

(15)

C

donde C es una trayectoria cerrada en el espacio de configuraciones, que para una partícula es la trayectoria de la misma. Ahora bien, el único campo vectorial que tiene esta propiedad es aquél en que

  F  dr  dV , es una diferencial exacta, esto es

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V V V  dx  dy  dz , de donde si dr  dxiˆ  dyjˆ  dzkˆ resulta que x y z   V V V    , que no son otra cosa que las componentes del posee componentes , , F  x y z 

dV 

gradiente de una función escalar V (x, y, z ) denominada función potencial del sistema o simplemente la Energía Potencial del mismo. Por razones de facilitar la forma de escribir las ecuaciones las fuerzas conservativas suelen expresarse en términos de esta función potencial como:

 F  V (x, y, z )

(16)

con lo cual, si se traslada un sistema mecánico sobre el que actúan solamente fuerzas conservativas de una posición A 1 donde el valor de la energía potencial es

V1  V (x1, y1, z1)

a otro punto A2 donde esta función vale V2

 V (x 2, y2, z 2 )

utilizando

la ecuación (1) resulta: A2

W12 



A1

A

V

2 2    F  dr   V  dr   dV  V1 V2

A1

(17)

V1

Toda vez que se trabaja con funciones potenciales, de acuerdo con (17), interesan siempre diferencias de esta función, por lo que resulta de utilidad en cada caso definir un sistema conservativo como la configuración cero, por lo que definimos la Energía Potencial del sistema como el trabajo efectuado para transportar el sistema de una configuración cero a cualquier otra configuración 1. Si combinamos el resultado general que ya obtuvimos del teorema de las fuerzas vivas (ecuación (12)) con (17) se obtiene V1 V2

 T2 T1 ,

lo cual se puede expresar de la siguiente manera:

V  T  T  V  0  (T V )  0 ó T V  Cte esta constante del movimiento se denomina la Energía Mecánica del sistema,

T V  E

(18)

La expresión (18) es un caso particular del resultado más general (12) y es uno de los teoremas más importante en física, pero de un valor relativamente menor para las aplicaciones ingenieriles en Mecánica Aplicada al análisis de mecanismos, donde es más razonable pensar en la existencia de fuerzas no conservativas. La ecuación (18) es la forma matemática del Teorema de Conservación de la Energía Mecánica, y expresa el hecho de que esta cantidad se mantiene constante durante la trayectoria siempre que sobre el sistema actúen fuerzas conservativas, esto es fuerzas que se deriven de una función potencial. Dado que esta función tiene unidades de energía (Joule) se denomina la Energía Potencial del sistema, por lo que otra forma de enunciar este teorema es expresar que en un sistema conservativo la suma de las energías potencial y cinética es una constante del movimiento.

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Los casos particulares que hemos analizado respecto al campo gravitatorio, fuerzas elásticas y atracción gravitacional, ecuaciones (6), (8) y (10), permiten definir de acuerdo a (17) las correspondientes funciones potenciales:

Vg  mgh, 1 Ve  kx 2, 2 Mm mgR2 Vg  G  r r

(19)

Teniendo en cuenta estos conceptos podemos modificar ligeramente la expresión (12) del teorema de las fuerzas vivas, descomponiendo el trabajo de las fuerzas externas en el trabajo de fuerzas conservativas y no conservativas, y usando (17): c W12  W12nc W12  W12nc V1 V2 , y teniendo en cuenta 12 resulta:

W12nc V1 V2  T ,  W12nc  T  V , donde V  V2 V1  Vg  Ve , 

W12nc  T  Vg  Ve

(20)

que es otra manera de expresar la relación entre trabajo y energía, que suele ser más adecuada en algunos casos que la ecuación (12), ya que el trabajo de las fuerzas de la gravedad y el de las de resorte se considera atendiendo a las posiciones extremas del centro de gravedad y de la longitud del resorte elástico. En esencia, la expresión (20) dice que el trabajo de las fuerzas no conservativas es igual a la variación de la energía mecánica del sistema:

W12nc  E, donde E  T Vg Ve .

Ejemplo: Fricción por Deslizamiento. Si fuerzas de fricción actúan sobre la superficie de un cuerpo, el calor que es generado por fricción debe tomarse en cuenta en las aplicaciones de la primera ley de la termodinámica. Esta situación es ilustrada por una persona que tira de un bloque rígido sobre un piso horizontal. El bloque está sometido a una fuerza horizontal constante P (ejercido por la persona) y a una fuerza de fricción constante F. Si el bloque es desplazado una distancia x, el trabajo que las fuerzas externas efectúan sobre el bloque es U = Px -Fx. Como el bloque es rígido, el trabajo U; hecho por la fuerza interna es cero  U  (P  F )x  T , por otra parte, la primera ley de la

U  Q  T  I , donde Q es el calor que fluye al bloque y I es el incremento en energía interna del bloque. Las ecuaciones anteriores dan Q  I . termodinámica da

Ordinariamente, Q no es cero, ya que algo del calor que es generado por la fricción pasa al bloque, con un incremento resultante en energía interna del bloque. Por ejemplo, considere un bloque rígido deslizándose con velocidad v sobre un piso rígido horizontal. La fuerza de fricción F que el piso ejerce sobre el bloque actúa en la dirección opuesta al movimiento del bloque respecto al piso. Por tanto, la fuerza F efectúa

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trabajo negativo sobre el bloque. Si la fricción es la única fuerza horizontal que actúa sobre el bloque, la energía cinética del bloque decrece al deslizarse éste. Al mismo tiempo, el bloque ejerce una fuerza de reacción igual y opuesta R = F sobre el piso, en la dirección del movimiento del bloque. Como el piso no se mueve su velocidad es cero y por tanto no efectúa trabajo. En consecuencia, el trabajo hecho sobre el piso no es el negativo del trabajo hecho sobre el bloque. Aunque hay una disminución en la energía cinética del bloque, no hay un correspondiente aumento en la energía cinética del piso. En otras palabras, la energía mecánica no se conserva, más bien, la energía mecánica se pierde. La pregunta " ¿A dónde se fue la energía?" se responde por la primera ley de la termodinámica El bloque y el piso se calientan y parte del calor es disipado en el aire y parte es transferido al bloque y piso en la forma de energía interna. Ejemplo: Como otro ejemplo adicional consideremos dos bloques deslizándose uno respecto al otro. Dos bloques A y B de masa m descansan sobre un piso horizontal. Están conectados por una cuerda inextensible que sé enrolla alrededor de una polea. El coeficiente de fricción cinética para todas las superficies es

k .

Una fuerza horizontal

constante F aplicada al bloque B lo hace deslizar hacia la derecha. Obtenga una fórmula, en términos de

F , x, k para la rapidez de los bloques en el instante

en que el bloque B se ha movido una distancia x: Suponga que la magnitud de x es tal que el bloque A no resbala sobre el bloque B, e ignore la masa y fricción de la polea y cuerda.

Primero, observamos que cuando el bloque B se mueve una distancia x a la derecha, el bloque A se mueve una distancia x a la izquierda. Por consiguiente, el bloque B se mueve una distancia 2x respecto al bloque A, y viceversa. Luego, consideramos diagramas de cuerpo libre de los bloques A y B, como estos se deslizan una distancia 2x entre sí, el trabajo hecho sobre el bloque A al moverse una distancia x será:

WA  T  x  k N A(2x ) ,

pero

N A  mg ,

y el teorema de las fuerzas vivas

1 WA  T  T  x  2kmgx  mv 2 , y de manera similar para el bloque B: 2 WB  F  x T  x  k N A(2x )  k N Bx , y como N A  mg, N B  2mg,  1 Fx Tx  2k mgx  2k mgx  mv 2, de donde de las ecuaciones 2 F  x  6k mgx anteriores dan F  x  6k mgx  mv 2,  v  m [C1 - Mecánica Racional - UTN-Reg. Delta]

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Ejemplo: El bloque W de la figura está en libertad de deslizar con rozamiento a lo largo de la barra vertical. Además el bloque está sometido a la acción de un resorte de cte k y longitud L cuando no está alargado. La fuerza normal N es perpendicular en todo instante al desplazamiento. Sea µ el coeficiente de rozamiento cinético bloque varilla. Si se dá al peso una velocidad v0 hacia abajo cuando el resorte está en la posición horizontal, hallar su velocidad en términos de θ.

  V2  T2  V1  T1   Fn drn

  1 2 1W 2 1W 2 kS Wd  v  0 v0   Fn drn 2  2 g 2 g   Fn drn   kS cos dx

De la geometría de la figura cos  

L , x 2  L2  (L  S )2 donde x es la L S

distancia vertical de W medida hacia debajo de su posición inicial. La integral puede escribirse: S

SdS

kL 

1

2LS  S 2  2    1  1    kL  2LS  S 2 2  L log  S  L  2LS  S 2   L     0









1

      

2 

Entonces

1W 2 1W 2 1 2 v  v  kS Wd 2 g 2 g 0 2  1  1   2 2  kL  2LS  S  L log  S  L  2LS  S 2   L    









1

      

2 

La velocidad final en términos del alargamiento S del resorte es:

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v

v02

1 gkS 2 2g   (W  kL)(2LS  S 2 ) 2 W W 2 1  1 2kL g  log  (S  L  (2LS  S 2 ) 2  L  W  

Ejemplo: Una masa m se deja caer desde el reposo a una distancia vertical h sobre un resorte de constante k. Determinar la máxima deflexión L max del resorte, la velocidad máxima de m y la potencia máxima desarrollada si h = 0. En el punto de deflexión máxima del resorte el trabajo efectuado sobre m es:



  F  dr  mg(h  Lmax ) 

Lmax



kxdx  T2 T1

0

T2  T1  0, ya que el sistema parte del reposo y llega en su deformación máxima al reposo.

1 2mg 2mgh mg(h  L)  kL2  0  L2  L 0 2 k k 1  2  2 mg  mg  2mgh  Lmax       k k   k    L



mg , Lmax  L  L2  2hL k



1

2

Para obtener la velocidad máxima se resuelve la siguiente ecuación:

1 dT mg(h  x )  kx 2  T ,  hacemos  0 lo que nos permite obtener la 2 dx posición del valor máximo de la velocidad. Resolviendo se obtiene

 mg mg 2    x  L  vmax  2gh    k k   kx 2    P  Fv  (mg  kx )2gx    m  de donde Pmax

mg 2  2

1

2

1

2

dP mg  1   , 0  x  1  dx k  2 

m k

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4. Impulso y Cantidad de Movimiento Hasta aquí hemos centrado nuestra atención en las ecuaciones de Newton por un lado y en las relaciones de trabajo y energía deducidas al integrar respecto al desplazamiento del punto material la ecuación de movimiento F = ma. Como consecuencia encontramos que las variaciones de velocidad pueden expresarse directamente en función del trabajo o en función de la variación de energía total. En los apartados siguientes, vamos a dirigir la atención a la integración de la ecuación del movimiento respecto al tiempo y no respecto al desplazamiento y ello nos llevará a las ecuaciones del impulso y la cantidad de movimiento. Veremos que estas ecuaciones facilitan notablemente la resolución de numerosos problemas en que las fuerzas aplicadas actúan durante intervalos de tiempos cortísimos (como en los problemas de choques) o bien durante intervalos de tiempo especificados. Consideremos de nuevo el movimiento curvilíneo general en el espacio de un punto material de masa m (Figura 11), cuyo vector de posición es r con relación a un origen fijo O. La velocidad de esa partícula es

  v  r

(que se representa en trazo discontinuo). La resultante

y es tangente a su trayectoria

 F  de todas las fuerzas

actuantes sobre m tiene la misma dirección y sentido que su aceleración. La ecuación fundamental del movimiento para esta partícula podemos escribirla en la forma:

   d(mv )   F  ma  mv  dt

(21)

Definimos ahora la cantidad

  p  mv

(22)

que es el producto de la masa por la velocidad y se denomina la Cantidad de Movimiento de la masa puntual o partícula. Utilizando esta definición en (21) se obtiene una forma más generalizada de la ley de Newton:

 dp  F  dt

(23)

Según la ecuación (23) la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un punto material es igual a la variación por unidad de tiempo de la cantidad de movimiento. La unidad SI de cantidad de movimiento será [kg.m/s] o, lo que es lo mismo, [N.s]. Como la (23) es una ecuación vectorial, debemos tener presente que, además de ser iguales los módulos de

  F  y p , la dirección y sentido de .la fuerza resultante deben coincidir

con la dirección y sentido de la derivada temporal de la cantidad de movimiento, que tiene la misma dirección y sentido que la derivada temporal de la velocidad.

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Figura 11

La ecuación (23) es una de las relaciones más útiles e importantes de la Dinámica y conserva su validez en tanto no varíe con el tiempo la masa m de la partícula. Las tres componentes escalares de la ecuación (23) podemos escribirlas en la forma:

 Fx  px , 

Fy  py ,



Fz  pz ,

(24)

las cuales pueden aplicarse independientemente unas de otras. Hasta aquí, no hemos hecho otra cosa que escribir de otra manera la segunda ley de Newton e introducir en ella la cantidad de movimiento. No obstante, ahora podemos



describir el efecto de la fuerza resultante

F

sobre el movimiento del punto material a

través de un intervalo de tiempo finito sin más que integrar la ecuación (23) respecto al tiempo t. AI multiplicarla ecuación por dt resulta

  F   dt  dp e integrando ésta

entre los instantes t1 y t2 obtenemos: t2



    F   dt  p  p2  p1

t1

(25)



El producto de la fuerza por el tiempo se llama Impulso de la Fuerza J , y la ecuación (25) dice que el impulso total de la fuerza que se ejerce sobre m es igual a la correspondiente variación de la cantidad de movimiento. Esta relación se conoce como Teorema de la cantidad de Movimiento. Otra forma de escribirla es: t

2  p1  

  F  dt  p  2

(26)

t1

que simplemente establece que la cantidad de movimiento inicial de un punto material más el impulso que recibe es igual a la cantidad de movimiento final:

   p1  J  p2,

 J 

t2



 F   dt

(27)

t1

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las que en forma escalar se puede descomponer de la siguiente forma en coordenadas cartesianas: t2

  Fxdt  J x  p2,x  p1,x t1 t2

  Fydt  J y  p2,y  p1,y

(28)

t1 t2

  Fzdt  J z  p2,z  p1,z t1

Estas tres ecuaciones escalares son completamente independientes. En ocasiones, alguna de las fuerzas que actúan sobre un punto material varía con el tiempo de algún modo que se determina experimentalmente u otros procedimientos aproximados. En estos casos, debe recurrirse a la integración gráfica o numérica.

Figura12

Por ejemplo, si una fuerza F que actúa sobre una partícula en una dirección dada varía con el tiempo t tal como se muestra en la Figura 12, el impulso

J 

t

t2

Fdt

de esa

1

fuerza entre los instantes t 1y t2 será el área comprendida bajo la curva. Al calcular el impulso es necesario incluir el efecto de todas las fuerzas que se ejercen sobre m salvo aquellas cuyo módulo sea despreciable. Debemos tener en cuenta siempre que el único procedimiento fiable para describir los efectos de todas las fuerzas es aislar la partícula en cuestión dibujando su diagrama para sólido libre. Conservación de la cantidad de movimiento. Si la fuerza resultante que actúa sobre un punto material es nula durante un intervalo de tiempo, vemos que la ecuación (23) impone que su cantidad de movimiento p permanezca constante. Se dice, en tal caso, que la cantidad de movimiento del punto material se conserva. Puede ocurrir que la cantidad de movimiento se conserve según una de las direcciones coordenadas, como la x, pero no siempre en las direcciones y o z. Un examen atento del diagrama para sólido libre de la partícula revelará si su cantidad de movimiento total es nula en alguna dirección. Si es así, la correspondiente cantidad de movimiento no varía (se conserva) en esa dirección.

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Consideremos ahora el movimiento de dos puntos materiales a y b que interactúan durante un intervalo de tiempo. Si, durante ese intervalo, las únicas fuerzas no equilibradas que se ejercen sobre esas partículas son las fuerzas recíprocas F y -F, resulta que la cantidad de movimiento de la partícula a es la opuesta a la cantidad de movimiento de la partícula b. Por consiguiente, según la ecuación (23), la variación

 pa

de la cantidad de

 movimiento de a es la variación pb de b cambiada de signo. Es decir, tenemos que     pa  pb ; o sea, (pa  pb )  0 . Así pues, durante el intervalo, la cantidad de    movimiento total p  pa  pb del sistema permanece constante y podemos escribir:     (29) p  0  p1  p2

Esta ecuación (28) expresa el principio de conservación de la cantidad de movimiento: “Si la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre la partícula es cero, entonces p es una constante del movimiento”. Movimiento Impulsivo: Una fuerza que actúa sobre una partícula durante un breve intervalo que es lo suficientemente grande para producir un cambio definido en el momento se conoce como fuerza impulsiva y el movimiento resultante se denomina movimiento impulsivo. Por ejemplo, cuando se golpea una pelota de béisbol, el contacto entre el bate y la pelota se realiza durante un intervalo Δt muy corto. Sin embargo, el valor promedio de la fuerza F ejercida por el bate sobre la pelota es muy grande, y el impulso resultante F Δt es lo suficientemente grande para cambiar el sentido de movimiento de la pelota (Figura 14).

Figura 14

Cuando actúan fuerzas impulsivas sobre una partícula, la ecuación (26) se convierte en

   mv1   F  t  mv2

(30)

Es posible ignorar cualquier fuerza que no sea una fuerza impulsiva, puesto que el impulso correspondiente F t es muy pequeño. Las fuerzas no impulsivas incluyen el peso del cuerpo, la fuerza ejercida por un resorte o cualquier otra fuerza que se sabe que es pequeña comparada con una fuerza impulsiva. Las reacciones desconocidas quizá sean o no impulsivas; sus impulsos deben consecuentemente incluirse en la ecuación (29) siempre que no se haya demostrado que se pueden ignorar. El impulso del peso de la pelota de beisbol considerada antes, por ejemplo, puede ignorarse. Si se analiza el movimiento del bate, también es factible ignorar el impulso del peso del bate. Los impulsos de las reacciones de las manos del jugador sobre el bate, sin embargo, deberán incluirse; estos impulsos no serán despreciables si la pelota se golpea de manera incorrecta. Adviértase que el método del impulso y la cantidad de movimiento es en particular efectivo en el análisis del movimiento impulsivo de una partícula, ya que implica sólo las velocidades inicial y final de la partícula y los impulsos de las fuerzas ejercidas sobre la

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misma. Por otro lado, la aplicación directa de la segunda ley de Newton requeriría la determinación de las fuerzas como funciones del tiempo y la integración de las ecuaciones de movimiento sobre el intervalo Δt. En el caso del movimiento impulsivo de varias partículas, es posible usar la ecuación



   mv1   F  t   mv2 donde el segundo término implica sólo fuerzas

impulsivas externas. Si todas las fuerzas externas que actúan sobre las diversas partículas son no impulsivas, se anula el segundo término en la ecuación anterior que se reduce a



  mv1   mv2 que

expresa que el momento total de las partículas se conserva.

Esta situación ocurre, por ejemplo, cuando dos partículas que se mueven libremente chocan entre sí. Sin embargo, se debe advertir que mientras se conserva la cantidad de movimiento total de las partículas, su energía total no se conserva en general. Ejemplo: El cohete de la figura viaja en línea recta hacia arriba cuando repentinamente empieza a girar en sentido antihorario a 0.25 rev/s, y es destruido 2 s después. Su masa es m = 90 Mg, su empuje es T = 1.0 MN y su velocidad hacia arriba cuando empieza a girar es de 10 m/s. Si se ignoran las fuerzas aerodinámicas ¿cuál era su velocidad al ser destruido?

Como conocemos la velocidad angular, podemos determinar la dirección de empuje en función del tiempo y calcular el impulso. La velocidad angular del cohete es π/2 rad/s. Con t = 0 como el tiempo en que empieza a girar, el ángulo entre su eje y la vertical es (π/2)t. La fuerza total sobre el cohete es

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   F   (Tsen 2 t )iˆ  (T cos 2t  mg )jˆ 2 2     ˆ  ˆ  dt Fdt  (  Tsen t ) i ^  ( T cos t  mg ) j    2 2   0

0

 2 2  2   (T cos t )iˆ  (T sen t  mgt )jˆ    2  2  0 4   Tiˆ  2mgjˆ    3    Fdt  mv2  mv1  90 * 10 (v2  10 jˆ)  v  14.15iˆ  9.62 jˆ 2

5. Impulso Angular Además de las ecuaciones que relacionan el impulso con la cantidad de movimiento, existen un sistema paralelo de ecuaciones que relacionan el impulso angular con el momento de una fuerza. El impulso angular se define de la siguiente manera: en la Figura 15 se representa un punto material P de masa m que se mueve a lo largo de una









curva en el espacio. r es su vector de posición, r  v su velocidad, y p  mv . El momento respecto al origen O del vector cantidad de movimiento es por definición el

 impulso angular HO de P respecto a O y viene dado por el siguiente producto vectorial:    HO  r  mv (31)   De donde este vector es perpendicular al plano A definido por r y v y su sentido esta definido por la regla de la mano derecha. Sus componentes son:

iˆ    HO  r  mv  m x vx

jˆ kˆ y z vy vz



(32)

H x  m(vz y  vyz ), H y  m(vx z  vz x ), H z  m(vyx  vx y )

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Figura 15

Para imaginar mejor que es el impulso angular, en la Figura 15 derecha se representan en dos dimensiones coincidentes con el plano A los vectores de posición e impulso lineal. El módulo del momento de mv respecto a O es sencillamente la cantidad de movimiento multiplicada por el brazo de momento rsen . Las unidades en el sistema SI son

kg  m 2 / s  N  m / s .

Momento de una fuerza respecto a O: Si

 F  representa la resultante de todas las

fuerzas externas que actúan sobre P, el momento de la misma respecto a O será:

  MO  r   F

(33)

y teniendo en cuenta la segunda ley de Newton se obtiene el siguiente resultado:

     MO  r   F r  mv , y derivando la expresión (31),

       HO  r  mv  r  mv  r  mv ,

de donde al comparar las dos últimas

expresiones se obtiene el siguiente resultado:

  dHO MO  dt

(34)

Esta expresión establece que: el momento respecto a un punto fijo O de todas las fuerzas externas que actúan sobre m es igual a la tasa de cambio del impulso angular de la partícula respecto a O. Teniendo en cuenta (31) se tienen las siguientes relaciones:

MO,x  H O,x , MO,y  H O,y , MO,z  H O,z ,

(35)

La ecuación (33) proporciona la relación instantánea existente entre el momento y la variación del momento cinético por unidad de tiempo. Para obtener el efecto del momento

 MO sobre el momento cinético de la partícula en un intervalo de tiempo finito,

podemos integrar la ecuación (34) desde el instante t 1 hasta el instante t2. Multiplicando la ecuación por dt se tiene

  MOdt  dHO que puede integrarse, dando:

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t2



    MOdt  HO  HO  HO 2

t1

donde

(36)

1

      HO  r2  mv2, HO  r1  mv1 2

1

Al producto del momento por el tiempo se le denomina impulso angular y la ecuación (35) dice que el impulso angular total aplicado a m respecto al punto fijo O es igual a la correspondiente variación de momento cinético respecto al punto fijo O. Esta relación (35) suele conocerse como teorema del momento cinético. La ecuación (35) podríamos haberla escrito también: t

2    HO   MOdt HO 2

(36)

1

t1

que simplemente establece que el momento cinético inicial del punto material más el impulso angular que recibe es igual a su momento cinético final. Las unidades que miden el impulso angular y el momento cinético son evidentemente las mismas, es decir, [m. N .s] ó [kg.m2/s] en el Sistema Internacional. Como en el caso del impulso y la cantidad de movimiento, la ecuación que relaciona el impulso angular con el momento cinético es una ecuación vectorial, en la que durante el intervalo de integración pueden tener lugar variaciones tanto de módulo como de dirección.

En estas condiciones, será necesario expresar:

  MO y HO según sus

componentes y luego combinar las componentes integradas. Así, la componente x de la ecuación (36) será: t2

 MOxdt  m[(vzy  vyz )2 (vzy  vyz )1 ] t1

donde los subíndices 1 y 2 se refieren a los valores de las cantidades correspondientes a los instantes t1 y t2. Para las componentes “y” y “z” de la integral del momento cinético se tienen expresiones análogas. Las relaciones anteriores relativas al impulso angular y al momento cinético se han desarrollado con toda generalidad para tres dimensiones. Por otra parte, muchos casos pueden estudiarse como problemas de movimiento plano, en los que se toman momentos respecto a un solo eje normal al plano del movimiento. En tales casos, el momento cinético podrá variar de módulo y de sentido, pero su dirección permanecerá inalterada. Así, para un punto material de masa m que describe una trayectoria curva contenida en el plano x-y (Figura 16), los momentos cinéticos respecto a O en los puntos

1

y

2

poseen

los

módulos

  HO  r1  mv1  mv1d1

y

1

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  HO  r2  mv2  mv2d2 ,

respectivamente.

La ecuación (35) aplicada al

2

movimiento entre los puntos 1 y 2 durante el intervalo de tiempo de t 1 a t2 se convierte en la ecuación escalar t2

 MOdt  HO t1

2

 HO  mv2d2  mv1d1 1

Figura 16

Las ecuaciones que relacionan fuerzas y momentos con los impulsos lineal y angular no aportan ninguna información básica nueva, pues no son más que otras maneras de expresar la segunda ley de Newton. Sin embargo, veremos que las ecuaciones del movimiento expresadas en función de la velocidad de variación de la cantidad de movimiento y del momento cinético son aplicables al movimiento de cuerpos rígidos y no rígidos y constituyen un método muy general y eficaz para resolver multitud de problemas. Conservación del momento cinético. Los principios de conservación juegan un papel fundamental en la física. Son importantes no sólo porque constituyen enunciados generales acerca de la naturaleza, sino porque también ofrecen soluciones rápidas a problemas específicos permitiendo al mismo tiempo soluciones parciales a la comprensión de problemas y fenómenos muy complicados. Nos proponemos aquí estudiar la conservación del impulso angular de una partícula. Si el momento resultante respecto a un punto fijo O de todas las fuerzas actuantes sobre un punto material es nulo durante un intervalo de tiempo, vemos que la ecuación (36) impone que su momento cinético

 HO respecto a ese punto permanezca constante. Se

dice, en tal caso, que el momento cinético del punto material se conserva. Puede ocurrir que el momento cinético se conserve respecto a un eje, pero no respecto a otro. Un examen atento del diagrama para sólido libre de la partícula revelará si es nulo el momento respecto a un punto fijo de la fuerza resultante que se ejerce sobre la partícula, en cuyo caso el momento cinético respecto a ese punto no varía (se conserva). Consideremos ahora el movimiento de dos puntos materiales A y B que interactúan durante un intervalo de tiempo. Si, durante ese intervalo, las únicas fuerzas no equilibradas que se ejercen sobre esas partículas son las fuerzas F y -F de acción

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recíproca, resulta que los momentos de esas dos fuerzas iguales y opuestas respecto a cualquier punto fijo O que no esté en sus rectas de acción son iguales y opuestos. Si aplicamos la ecuación (36) a la partícula A y luego a la partícula B, obtenemos que

H A  H B  0

(donde los momentos cinéticos se toman respecto al punto O). Así

pues, durante el intervalo, el momento cinético total del sistema permanece constante y podemos escribir

HO  HO 1

Esta ecuación expresa el principio de conservación del

2

momento cinético.

Ejemplo:

Una partícula se lanza con una velocidad inicial

 v 0 tangente

al borde

horizontal de un cuenco semiesférico liso y en un punto A situado a una distancia r0 del eje de simetría vertical. La partícula al pasar por el punto B, a una distancia h por debajo  de A y a una distancia r del eje de simetría vertical, lleva una velocidad v . Hallar el ángulo θ que forman su velocidad con la tangente horizontal a la superficie del cuenco en dicho punto. Las fuerzas que actúan sobre la partícula son su peso y la reacción normal ejercida por la superficie lisa del cuenco. Ninguna de esdtas fuerzas produce momento respecto a O-O, por lo que se conserva el impulso angular.

HO,1  HO,2 , mv0r0  mvr cos  , y también se conserva la energía: T1  V1  T2  V2 ,

1 2

2

mv 0  mgh 

1 2

2

mv  0 ,

2

v

v 0  2gh eliminando v y sustituyendo r2 2

2

por r0  h se obtiene

1

  cos1 1

2gh v02

1

h2 r02

Ejemplo: las dos esferas de masas iguales m pueden deslizarse a lo largo de la barra horizontal giratoria. Si inicialmente están trabadas a una distancia r del eje de giro, estando el conjunto girando a una velocidad angular angular



0 ,

hallar la nueva velocidad

después de soltar las esferas y que estas se hayan finalmente situado en los

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extremos de la barra a una distancia radial 2r. Hallar asimismo que fracción n de la energía cinética inicial se pierde. Despreciar la pequeña masa de la barra y el eje.

H  0, 2mr 0(r )  2m(2r )(2r )  0,   0 4 1 1   3   T  2  m(r 0 )2   2  m(2r 0 )2   mr 202    2 4    4   2 3 2 2 mr 0 T 3 4 n   T 4 mr 202 Ejemplo: La batea de ferrocarril se mueve a celeridad constante

v0

y transporta un torno

que produce una tracción constante P en el cable unido a la pequeña vagoneta. Esta tiene una masa m y rueda libremente sobre una superficie horizontal, partiendo del reposo relativo al vagón en el instante en que x=0 y x0=b. Aplicar el teorema de las fuerzas vivas a la vagoneta, primero para un observador que se mueva con el sistema de referencia de la batea y después, para un observador situado en tierra.

Para un observador en la batea el trabajo y la energía cinética son:

1 1 Wrel  Px, Trel  m(x 2  0), Wrel  Trel Px  mx 2 2 2 Para el observador en tierra se tiene:

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1 W  P (X  b), T  m(X 2  v 02 ), W  T 2 1 P (X  b)  m(X 2  v02 ) 2 Para ver la compatibilidad entre estas expresiones en uno y otro sistema deben hacerse las siguientes sustituciones en las fórmulas absolutas:

X  x 0  x, X  v0  x, X  x ,

lo que luego de un algebra simple da:

W Wrel  T Trel  mv0x

Ejemplo: Un disco de masa m unido a una cuerda se desliza sobre una mesa horizontal lisa bajo la acción de una fuerza transversal constante F. La cuerda se jala a través de un agujero en O en la mesa a velocidad constante v0. En t = 0, r = 0 y la velocidad transversal del disco es cero. ¿Cuál es la velocidad del disco en función del tiempo?

Expresando r en función del tiempo, podemos determinar el momento de las fuerzas respecto a O que actúan sobre el disco en función del tiempo. El momento angular del disco depende de su velocidad, por lo que podemos aplicar el .principio del impulso y del momento angular para obtener información sobre su velocidad en función del tiempo. La posición radial en función del tiempo es

r  r0  v0t .

En términos de

coordenadas polares, el momento respecto a O de las fuerzas sobre el disco es

  r   F  reˆr (Teˆr  Feˆ )  F (r0  v0t )eˆz donde T es la tensión de la cuerda.

E impulso angular en el instante t es:

   HO  r  mv  reˆr  m(vreˆr  veˆ )  mv (r0  v0t )eˆz

Sustituyendo estas expresiones en el principio del impulso y el momento angular, obtenemos

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t2



    (r   F )dt  HO,2  HO,1

t1 t

 F (r0  v0t )eˆzdt  mv (r0  v0t )eˆz  0 0

valuando la integral obtenemos la componente transversal de la velocidad en función del tiempo:

r t  (1 2)v t 2  0 0  v   F, (r0  v0t )m

r t  (1 2)v t 2  0  0  v  v0eˆr   Feˆ (r0  v0t )m

6. Choque entre Dos Partículas Cuando dos o más partículas colisionan de tal forma que las fuerzas internas producidas durante esa colisión son grandes comparadas con las fuerzas internas, la colisión se denomina impacto. Los impactos pueden ocurrir debido a eventos planeados tales como el pegarle a una pelota de golf o el enganchar vagones de ferrocarril o bien los impactos pueden ocurrir accidentalmente, como en los accidentes automovilísticos. En la Figura 17 se muestra un impacto entre dos objetos, modelados como partículas.

Figura 17 Superficie de . impacto Línea de impacto

Figura 18

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La línea de impacto es la normal común a las superficies en el punto de impacto. Si la línea de impacto pasa por el centro de masa de cada partícula, el impacto se denomina impacto central. Cuando un objeto se modela como una partícula, el objeto ocupa un punto en el espacio y todos los impactos son centrales. Si a los objetos se les da tamaño y forma, la normal común a las superficies en el punto de impacto quizá no pase por el centro de masa de los objetos y el impacto se dice que es un impacto excéntrico. Se considerarán impactos excéntricos cuando se analice la dinámica de cuerpos rígidos. Si las velocidades de las dos partículas antes del impacto están a lo largo de la línea de impacto, esto se denomina impacto central directo. Si la velocidad de una o de las dos partículas no está a lo largo de la línea de impacto, se presenta el impacto central oblicuo. Si se desprecian los efectos de las fuerzas externas durante el impacto, la cantidad de movimiento del sistema se conserva y

    mAvA  mBvB  mAv 'A  mBv 'B

(37)

donde las velocidades no primas son las velocidades antes del impacto y las velocidades primas son las velocidades después del mismo. Si las partículas se adhieren y permanecen juntas después del impacto, éste es un impacto perfectamente plástico y las velocidades posteriores al impacto de las dos partículas son iguales. Esta velocidad posterior al impacto se puede determinar por completo en este caso a partir de la ecuación (37) sin ninguna consideración del proceso del impacto. Si el impacto es tal que no se pierde energía cinética durante el evento, se dice que es un impacto perfectamente elástico. Utilizando la definición de la energía cinética, la conservación de energía cinética durante el impacto se puede escribir como

1 1 1 1 2 2 mAvA2  mBvB2  mAv 'A  mBv 'B 2 2 2 2

(38)

multiplicando la ecuación (38) por dos y reacomodando los términos se obtiene 2 mA(v 'A  vA2 )  mB (v 'B2  vB2 )

factorizando los dos lados de la ecuación se obtiene:

mA(v 'A vA)(v 'A  vA)  mB (v 'B  vB )(v 'B  vB ) de la conservación de la cantidad de movimiento obtenemos

mA(v 'A vA)  mB (v 'B  vB ) Por lo tanto, la conservación de la energía es

(v 'A  vA)  (v 'B  vB )

(39)

Esta relación produce una segunda ecuación para determinar las velocidades finales. Por tanto, en los dos casos extremos, es decir, impacto plástico o elástico, se pueden obtener las velocidades finales después del impacto. [C1 - Mecánica Racional - UTN-Reg. Delta]

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7. Impacto Central Directo Si las partículas viajan a lo largo de la línea de impacto con velocidades

vA y vB , se presentará un impacto central directo y los objetos chocan como se muestran en la Figura 19. En el punto de deformación máxima de las partículas impactantes, las velocidades de las dos partículas serán iguales. Esta velocidad se denota por u en la Figura 19. Durante el impacto, actúa sobre las partículas la fuerza de contacto R, como se muestra en la figura.

Figura 19

Si el impacto inicia al tiempo t1 la deformación máxima ocurre al tiempo tu y el final del impacto es a tiempo t2 . La ecuación de la cantidad de movimiento del impulso para la partícula A es tu

 R(t )dt  mAu  mAvA t1 t2

(40)

 R(t )dt  mAv 'A mAu tu

ecuaciones similares se pueden escribir para la partícula B, y se obtiene: tu

 R(t )dt  mBu  mBvB t1 t2

(41)

 R(t )dt  mBv 'B  mBu tu

[C1 - Mecánica Racional - UTN-Reg. Delta]

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En general, durante un impacto, la energía cinética se disipa debido a la deformación permanente de las partículas, a la generación de calor o sonido o a la fricción interna. Como resultado, el impulso durante el período de tiempo tu a t2 es menor que el impulso durante el período de contacto inicial. El primer período se llama período de deformación y el segundo se denomina período de restitución. La razón del impulso durante el período de deformación se denomina coeficiente de restitución y está dado por

e

t

t2

R(t )dt

u

t

tu

(42)

R(t )dt

1

Si la segunda ecuación (40) se divide por la primer ecuación (40) y la primer ecuación (41) se divide por la primer ecuación (41), se obtienen las relaciones siguientes:

(u  vA)e  v 'A u, (u  vB )e  v 'B  u restando la segunda ecuación a la primera se obtiene

e

v 'B  v 'A vB  vA

(43)

El coeficiente de restitución es la razón de la velocidad relativa de separación a la velocidad relativa de aproximación. Si las partículas chocan, la velocidad inicial de A debe ser mayor que la velocidad de B y después de la colisión, si se separan, la velocidad de B debe ser mayor que la velocidad de A. Si el coeficiente de restitución es cero, la velocidad relativa de separación es igual a cero y el impacto es perfectamente plástico. Si el coeficiente de restitución es igual a uno, la velocidad de separación es igual a la velocidad de aproximación y se conserva la energía cinética del sistema. Esta situación es el caso de impacto perfectamente elástico. Si se conoce o se supone el valor del coeficiente de restitución, la velocidad final de las dos partículas se puede determinar a partir de la ecuación (37), de la conservación de la cantidad de movimiento y de la ecuación (43) para cualquiera de las velocidades iniciales. Sustituyendo la ecuación (43) se obtiene:

1 mA  m B 1 v 'B  mA  m B v 'A 

(m  em )v  m (1  e)v   A B A B B  (m  em )v  m (1  e)v   B A B A A 

[C1 - Mecánica Racional - UTN-Reg. Delta]

(44)

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La energía inicial en el sistema es E 

1 (mAvA2  mBvB2 ) 2

(45) Utilizando la ecuación (44), podemos escribir la energía final en el sistema como

E'

 1 

1

 2  mA  mB 

  (46) m (m  e 2m )v 2  2m m (1  e 2 )v v  m (m  e 2m )v 2  B A A B A B B B A B    A A   

Para un coeficiente de restitución igual a 1, la ecuación (46) será: (47)

E'E

Para un coeficiente de restitución igual a cero, la energía final es:

E'

1 1 (mAvA  mBvB )2  (mA  mB )v '2 2(mA  mB ) 2

(48)

donde v’ es la velocidad de las dos masas después de la colisión plástica. Relacionando la energía final y, por tanto, la energía perdida durante le impacto con el coeficiente de restitución se muestra que, aunque este coeficiente es claramente un valor empírico, el darlo es equivalente a dar la energía perdida en la colisión. En muchos programas de reconstrucción de accidentes de tráfico comercial, la energía perdida se estima al medir el choque y emplear una constante de resorte para estimar la energía requerida para el choque entre los vehículos implicados. Este método está sujeto a un error de hasta el mismo grado que el que se usa en una estimación del coeficiente de restitución.

8. Impacto Central Oblícuo Ahora, considere el caso en el cual las velocidades anteriores al impacto de dos partículas no están dirigidas a lo largo de la línea de impacto, como se muestra en la Figura 20. Se ha establecido un sistema de ejes en el punto de impacto estableciendo las direcciones normal y tangencial. Si se desprecia la fricción en la dirección tangencial, no actúan fuerzas en esa dirección y la componente de la cantidad de movimiento de cada partícula en la dirección tangencial se conserva. Por tanto, la componente de la velocidad en esa dirección antes y después del impacto es la misma:

v 't  vt

(49)

Si se establece un sistema coordenado rectangular tal que el eje x esté a lo largo de la línea de impacto, las componente de la velocidad en las dos direcciones (y, z ) no se afectan por el impacto. Por tanto, la ecuación (49) es aplicable en las dos direcciones. En la dirección normal, las ecuaciones del impacto central directo son aplicables y se conserva la cantidad de movimiento lineal.

mA(vA)n  mB (vB )n  mA(v 'A)n  mB (v 'B )n [C1 - Mecánica Racional - UTN-Reg. Delta]

(50) Página 73

Las componentes normales de las velocidades antes y después del impacto satisfacen la relación.

e

(v 'B )n  (v 'A )n

(51)

(vA )n  (vB )n

Figura 20

Los impactos centrales oblicuos se analizan separando las velocidades en componentes y aplicando las ecuaciones (50) y (51) para obtener las componentes normales y la ecuación (49) para obtener las componentes tangenciales. Ejemplo: La bola de acero choca con la pesada placa de acero con celeridad v 0 = 24 m/s y un ángulo de 60º con la horizontal. Si el coeficiente de restitución es e = 0.8, calcular la celeridad v y la dirección θ con que la bola rebota.

Durante el impacto no hay fuerzas a lo largo del eje x, por lo que se conserva la velocidad a lo largo de el mismo: v cos   24 cos(60º)  12m / seg . En la dirección y se tiene: [C1 - Mecánica Racional - UTN-Reg. Delta]

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vsen  16.3  0.8, tg    1.386    54.2º 24 cos(30º) 12 12 v  20.5m / s cos(54.2º)

e

Ejemplo: Se modifica el problema anterior de modo que la placa con la que choca la bola tiene ahora una masa igual a la de esta, y está apoyada como se muestra. Calcular las velocidades finales de ambas masas inmediatamente después del choque si la placa está inmóvil y las demás condiciones son las mismas que en el ejemplo anterior. Se conserva el impulso a lo largo de la dirección “t”: mv0,t  mvt  v0,t  vt Y reemplazando valores se tiene vt  24 cos(60º)  12 m/seg . Obviamente un razonamiento en esta dirección con la placa se tendrá que la velocidad de la misma en esta dirección es vplaca,t  0 . Analicemos en la dirección “n”.

mv1,n  mv2,n  mv '1,n  mv '2,n  24sen(60º)  v '1,n  mv '2,n e

v '2,n  v '1,n v1,n  v2,n

 0.8 

v '2,n  v '1,n 24sen(60º)  0

Resolviendo las ecuaciones se obtiene, teniendo en cuenta que los subíndices 1 y 2 corresponden a la bola y placa v '1,n  2.08 m/seg v '2,n  18.71 m/seg .

v '1 

v '1,2 t  v '1,2 n

 12.2 m/seg   tg

v '  1,n   v '   9.83º  1,t 

1  

Ejemplo: La esfera de 2 kg se proyecta horizontalmente con una velocidad de 10 m/s contra el carro de 10 kg apoyo en el resorte de 1600 N/m de rigidez. [C1 - Mecánica Racional - UTN-Reg. Delta]

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Inicialmente el carro está en reposo y el resorte sin comprimir. Si e = 0.6, calcular la velocidad de rebote v’, el ángulo de rebote θ’ y el máximo desplazamiento δ del carro tras el impacto.

px  0  2(10)  0  2v ' cos   10v0 (para el sistema) pt  0  2(10sen 30º)  2v ' sen(  30º) para la esfera v sen 60º v ' cos(  30º) 0.6  0  5.196  0.866v0  0.866v ' cos   0.5v ' sen  10 cos 30º 0 Sustituyendo el último resultado en la primer ecuación para eliminar a v 0, se obtiene 5.196=0.866*(2 + 0.2*v’*cosθ) + 0.866*v’*cosθ + 0.5*v’*senθ 1.039*v’*cosθ + 0.5*v’*senθ = 3.464, y utilizando la segunda ecuación, se transforma en 0.866*v’*senθ - 0.5*v’*cosθ = 5, se obtiene de resolver estas 2 ecuaciones v’ = 6.04 m/seg, y θ = 85.9º. De la primer ecuación v 0 = 2.087 m/seg. Del teorema de conservación de la energía se tiene que δ = 165 mm.

9. Velocidad de Variación de un Vector 

Consideremos un vector arbitrario Q que intervenga en un problema mecánico, tal como el vector de posición, velocidad, impulso, etc. Usualmente dichos vectores varían a través del tiempo, dicha variación dependerá del movimiento del sistema de referencia utilizado. Ya hemos analizado el caso de movimientos relativos con ejes de referencia en movimiento de traslación relativa entre si. Usualmente describimos los movimientos en los problemas típicos de mecánica desde el punto de vista de dos observadores, uno inercial, que se encuentra en un sistema de referencia en reposo, donde valen las leyes de Newton, y otro sistema que se encuentra en movimiento relativo. En esta sección trataremos el caso de un sistema de referencia con movimiento relativo de rotación respecto al sistema inercial fijo. En esta situación se tiene dos descripciones diferentes de un mismo objeto vectorial, uno desde el sistema en movimiento y otro desde el sistema inercial. El problema que nos interesa es determinar que relación existe entre las variaciones temporales de la misma cantidad vectorial en ambos sistemas. Suponemos que el sistema en rotación gira con





velocidad angular  y aceleración angular  Las variaciones en un tiempo dt de las



componentes de un vector genérico Q será diferente según sea el observador, básicamente debido al efecto de rotación del sistema no inercial, podemos por tanto

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





escribir que: dQinercial  dQcuerpo  dQrot . Observemos ahora la situación según se ilustra en la Figura 21. Consideremos el sistema de referencia inercial y el móvil centrado en O. Designamos como OXYZ al sistema fijo y como Oxyz al no inercial. Sea entonces

 Q(t ) una magnitud vectorial dependiente del tiempo, esto es, un vector cuyo módulo y dirección cambian a través del tiempo. Dado que si bien ambos observadores analizan el mismo vector, la descripción de ambos será diferente, por lo que la derivada del mismo respecto al tiempo que ambos observan será diferente. Nuestro problema está en encontrar que relación existe entre ambas descripciones (desde el sistema fijo y móvil) si se sabe como se mueve el sistema no inercial respecto al sistema fijo en el espacio. La razón fundamental se encuentra en lo siguiente: cuando se escribe una magnitud vectorial, la descripción matemática es una descomposición del vector en una terna de versores unitarios. Podríamos utilizar en

ˆ ) , en cuyo caso: el caso del sistema inercial los versores (Iˆ, Jˆ, K

 (52) Q(t )  QX (t )Iˆ  QY (t )Jˆ  QZ (t )Kˆ  donde (QX ,QY ,QZ ) son las proyecciones de Q sobre cada uno de los ejes espaciales fijos. Si derivamos esta expresión respecto al tiempo, debemos

ˆ ) es cero ya que los considerar que las derivadas de los versores unitarios (Iˆ, Jˆ, K mismos no cambian de posición a través del tiempo, en este caso será:  dQ dt

Inercial

 dQ  dt

 Q X Iˆ  QY Jˆ  QZ Kˆ

(53)

F

donde el subíndice “F” indica derivada respecto a un observador en el sistema inercial.

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Figura 21

Sin embargo podríamos utilizar en la descomposición otro tipo de coordenadas, tales como las cilíndricas, esféricas, intrínsecas, etc, en cuyo caso los versores unitarios correspondientes si bien no cambian de módulo si cambian de posición por lo que su derivada será diferente de cero. Sin especificar ningún tipo de sistema de coordenadas, analizaremos una situación general tal como se indica en la Figura 21. En la misma se indica un sistema de referencia ortogonal móvil con una terna de versores unitarios (iˆ, jˆ, kˆ) , respecto a la cual podemos escribir:

 Q(t )  Qx (t )iˆ  Qy (t )jˆ  Qz (t )kˆ

(54)

que es la descripción del mismo vector realizada por un observador en el sistema no inercial. Ahora bien, es evidente que si derivamos esta expresión respecto al tiempo deberíamos realizar dos consideraciones. En primer lugar, si la derivada la efectúa el observador en el sistema móvil, para él los versores (iˆ, jˆ, kˆ) no varían en el tiempo ya que este se mueve con los mismos. Por lo tanto su descripción sería:

 dQ dt

NoInercial

 dQ  dt

 Q x iˆ  Qy jˆ  Q z kˆ

(55)

M

En segundo lugar, podríamos efectuar la derivación de (41) desde el punto de vista de un observador inercial en el sistema (X ,Y , Z ) . Para este, los versores

(iˆ, jˆ, kˆ) van cambiando de dirección a medida que el sistema (x, y, z ) rota con  velocidad angular  . Nos proponemos a partir de estos conceptos determinar la relación que existe entre las cantidades (53) y (55), ya que en mecánica, las leyes de Newton son válidas para sistemas espaciales fijos, pero como veremos a través de diversos ejemplos, muchas descripciones de los movimientos es más sencillo de realizar en sistemas de referencia móviles. El planteo del problema es entonces el siguiente: suponemos que la descripción



de la magnitud vectorial Q(t ) se expresa según la relación (54) en un sistema móvil, y deseamos determinar la derivada temporal de esta cantidad según un observador en el sistema fijo, para el cual los versores poseen una derivada distinta de cero:

 dQ dt

d (Q (t )iˆ  Qy (t )jˆ  Qz (t )kˆ)  dt x dQx ˆ diˆ dQy ˆ djˆ dQ dkˆ i  Qx  j  Qy  z kˆ  Qz dt dt dt dt dt dt

 F

(56)

Debemos determinar ahora la expresión para las derivadas de los versores unitarios.



Para ello supongamos que el vector Q  iˆ , con lo cual se trata de un vector de

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módulo constante con una única componente que vale Qx  1 , Ahora bien, este versor se encuentra rígidamente unido al sistema móvil y por lo tanto posee la



velocidad angular  de este. Dado que (ver Figura 21) el mismo parte del origen, se puede considerar como el vector de posición de una partícula ubicada en el extremo del mismo, que describirá una trayectoria sobre una superficie esférica de radio 1. La velocidad de esa partícula imaginaria será tangente a la trayectoria, y su velocidad es

ˆ la derivada temporal del vector de posición, la que en este caso será di

dt

. Como

vimos en cinemática de la partícula, dicha velocidad es el producto vectorial del vector velocidad angular de rotación y el vector de posición, por lo tanto:

diˆ  ˆ   i dt

(57)

y expresiones similares para las derivadas de los otros versores:

djˆ  ˆ dkˆ  ˆ   j ,   k, dt dt

(58)

reemplazando (57) y (58) en (56) y reordenando los términos se tiene:

 dQ dt

   dQx ˆ dQy ˆ dQz ˆ i j k  Qx  iˆ  Qy  jˆ  Qz  kˆ dt dt dt F  dQ dQ dQ = x iˆ  y jˆ  z kˆ   (Qx iˆ  Qy jˆ  Qz kˆ) dt dt dt 

(59)

donde de acuerdo a (55) los tres primeros términos de (59) representan la derivada



temporal del vector Q respecto al sistema móvil, y de (54) vemos que el término entre



paréntesis resulta ser el vector Q expresado en componentes de dicho sistema, de forma que la relación buscada será:

 dQ dt

F

 dQ  dt

   Q

(60)

M

La conclusión es que la razón de cambio de una cantidad vectorial con respecto a un sistema inercial está descompuesta en dos partes: la primera representa la razón de cambio del vector respecto a un observador en el sistema móvil, y la segunda parte se induce por la rotación del sistema de referencia.

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Figura 22

El significado físico de la ecuación (60) se ilustra en un esquema bidimensional en la Figura 22, donde se muestra un vector V en el instante t tal como se observaría desde un sistema inercial OXY y otro no inercial Oxy. Durante un dt, el vector se mueve a la posición V’, y el observador en Oxy mide las dos componentes (a) dV debido a un cambio en magnitud y (b) Vd debido a su rotación en una cantidad d relativa a Oxy. Para el observador en el sistema



móvil, la derivada (dV dt ) que el mide está compuesta de las componentes xy

(dV dt ) y Vd  dt  V  . La parte restante de la derivada temporal total   tiene la magnitud Vd  dt , lo que expresada en forma de vector es V . De     modo que el diagrama muestra que VXY  Vxy  V .

10. Determinación de velocidades y aceleraciones absolutas La utilización de ejes de referencia giratorios facilita en gran manera la solución de problemas de cinemática en los que se genere movimiento en un sistema en rotación o bien se observe desde tal sistema. El objetivo es aplicar la ecuación (60) para determinar la relación entre las velocidades y aceleraciones absolutas medidas por ambos observadores, uno en el sistema inercial y el otro en el sistema móvil.





Nuevamente sea    la velocidad angular de rotación del sistema móvil. En este caso para generalizar aún más el problema supondremos que además el origen de este sistema se traslada en el espacio, Entonces, con OXYZ designamos al sistema de referencia espacial fijo, y Bxyz al sistema móvil en rotación relativa respecto al fijo, y además suponemos que el origen B se traslada siguiendo una determinada    trayectoria con velocidad y aceleración vB , y aB , rB es su vector de posición [C1 - Mecánica Racional - UTN-Reg. Delta]

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(Figura 23). El sistema BX’Y’Z’ es un sistema paralelo en todo instante al sistema OXYZ, de modo tal que los sistemas similares a los descriptos en la Figura 21 son BX’Y’Z’ y Bxyz. Sea A una partícula cuyas magnitudes cinemáticas deseamos determinar en ambos sistemas (fijo y móvil), y determinar las relaciones existentes entre ambos observadores. De la figura se observa que:

Figura 23

 drAB      rA  rB  rAB , vA  vB  dt

F

 dvAB   , aA  aB  dt

(61) F

Para determinar las derivadas totales indicadas, establecemos un segundo sistema de coordenadas BX’Y’Z’ paralelo al sistema inercial, con lo cual se está en







condiciones de aplicar la fórmula (60) a rAB , obteniendo (Q  rAB ) :

 drAB dt

 F

 drAB dt

     rAB

(62)

M

Teniendo en cuenta que el primer término del segundo miembro de (62) representa la velocidad medida por un observador en el sistema móvil, se la identificará como la

 drAB   velocidad relativa vBxyz  vrel  dt

, de modo que reemplazando (62) en la M

segunda de las fórmulas (61) se tiene:

     vA  vB  vrel    rAB

(63)

donde: [C1 - Mecánica Racional - UTN-Reg. Delta]

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 vA es la velocidad absoluta del punto A respecto al sistema inercial OXYZ  vB es la velocidad absoluta del origen de coordenadas móviles  vrel es la velocidad relativa del punto A respecto a un observador en el sistema móvil Bxyz   es la velocidad angular del sistema móvil  rAB es el vector de posición de A respecto de B (posición relativa)

Al analizar la ecuación (63), vemos que la suma del primer y tercer término en el segundo miembro representa el efecto del movimiento del sistema x-y-z observado desde el sistema X-Y-Z. Para ilustrar el significado de cada término de la fórmula (63) analicemos el ejemplo de la Figura 24 donde se representa el movimiento del punto A como si tuviera lugar a lo largo de una ranura curva practicada en una placa que representa el sistema móvil Bxy. La velocidad de A medida respecto a la placa sería tangente a la trayectoria fija en el plano x-y, y su módulo será s , donde s se mide a lo largo de la trayectoria. Esta velocidad relativa puede mirarse también como



la velocidad vAP de A respecto a un punto P fijo a la placa y coincidente con A en el    instante considerado. El término   r tiene módulo r y una dirección normal a r y representa la velocidad del punto P respecto a B, tal como se vería desde unos ejes fijos BX’Y’ paralelos a OXY. Esto nos permite escribir las siguientes relaciones comparativas de (63):

     vA  vB    r  vrel     vA  vB  vPB  vAP    vP    vA  vP  vAP   vA  vB +

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(64)

  vPB vAP

  vAB

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Figura 24

Figura 25



en la segunda ecuación vPB debe medirse respecto al sistema BX’Y’ de lo contrario







sería nulo. El término vAP es el mismo que vrel , vP es la velocidad absoluta de P y representa el efecto del movimiento a la vez de traslación y de rotación del sistema de coordenadas. La cuarta ecuación es relación de velocidades entre observadores en el sistema OXY y BX’Y’. Para determinar la expresión de la aceleración absoluta de un punto A respecto al sistema inercial, derivamos la ecuación (63) respecto a un observador en dicho sistema, para lo cual en cada término del miembro de la derecha de (63) debe

   derivarse según la ecuación (60) donde    y Q debe reemplazarse según el vector considerado:

      aA  aB    rAB    rAB F

F

  vrel

(65)

F

calculemos ahora cada una de las derivadas indicadas en (65) utilizando (60):

    d d   d      dt F dt M dt M   drAB dr       AB    rAB  vrel    rAB dt dt  F  M dvrel dv       rel    vrel  arel    vrel dt dt F

(66)

M

      como la F M    arel como la aceleración angular de rotación del sistema no inercial, y vrel  En las anteriores fórmulas (66) hemos identificado 

M

aceleración relativa de la partícula A respecto a un observador situado en el sistema móvil B. Reemplazando las ecuaciones (66) en (65) se obtiene:

          aA  aB    rAB      rAB  2  vrel  arel

(67)

La ecuación anterior es la expresión vectorial general de la aceleración absoluta de



un punto A en función de su aceleración relativa arel medida relativa a un sistema de   coordenadas móvil que gire con velocidad angular  y aceleración angular  . Estas fórmulas se pueden utilizar para analizar el movimiento de mecanismos que contienen partes que se deslizan una respecto a otras. Posibilitan, por ejemplo, relacionar movimientos absolutos y relativos de pasadores y collares deslizantes.

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La Figura 25 muestra nuevamente el mismo ejemplo de la Figura 24 donde se indican en este caso las diferentes componentes de la aceleración de la fórmula (67). El primer término de dicha fórmula es la aceleración absoluta del origen de coordenadas











móvil, mientras que los dos siguientes términos   rAB y     rAB

corresponden respectivamente a las componentes t y n de la aceleración de un

 aPB de un punto P en su movimiento circular respecto a B y coincidente en ese instante con A en ese instante. Los módulos de ambos son r tangente al círculo y

 2r normal al mismo (de P a B) para la segunda componente mencionada. La  aceleración arel de A respecto al observador móvil se puede expresar en dicho sistema utilizando cualquiera de los sistemas de coordenadas visto. Por regla general suelen ser más utilizadas las componentes tangencial y normal, que son las   representadas en la Figura 25. El término 2  vrel se denomina la aceleración de Coriolis (en honor al ing. militar francés G.G. Coriolis (1792-1843) quien fue el primero en llamar la atención sobre este término), y representa la diferencia entre la aceleración de A respecto a P medida en el sistema no giratorio y la medida en el  sistema giratorio. Su dirección es siempre normal a vrel Recapitulando, los diferentes términos de (67) se pueden identificar según el siguiente cuadro.  aA es la aceleración absdoluta del punto A  aB es la aceleración absoluta del origen de coordenadas móvil Bxyz   vrel , a rel velocidad y aceleración relativa de la partícula respecto al observador en el sistema móvil B   ,  aceleración y velocidad angular del sistema móvil respecto al fijo  rAB vector de posición relativo de la partícula A     rAB efecto de la aceleración absoluta debido al diro del marco Bxyz        rAB efecto de la velocidad angular debido al giro del marco Bxyz       a B    rAB      rAB efecto debido al movimiento del marco Bxyz observado desde OXYZ   2  vrel

efecto combinado de A en movimiento relativo a x-y-z y rotación del marco Bxyz

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El punto soporte B de un péndulo simple, de masa m y longitud l , tiene una aceleración “a” como se indica en la figura. Si el péndulo parte del reposo relativo con respecto al sistema móvil con θ = 0º, determinar la expresión de la tensión T de la cuerda en función de θ.

Ejemplo:

El origen de coordenadas móvil se toma en B, con el eje x a lo largo del hilo del péndulo. El  origen de coordenadas móvil tiene una aceleración a hacia la izquierda. Todos los vectores, como se indica en la figura se proyectan sobre el sistema de coordenadas móvil. La tensión T buscada está dirigida a lo largo del eje x. Aplicamos la ecuación de Newton, que es válida para un sistema inercial, por lo tanto como la descripción se realiza desde un sistema móvil debemos usar la ecuación (60).

           F   maA  m(aB   rAB     rAB  2 vrel  arel )



pero rAB

     liˆ  vrel  arel  0 ,   kˆ,    kˆ ,

 F  (T  mgsen )iˆ  mg cos  j   aB  a cos iˆ  asen  jˆ,        r   2l (kˆ kˆ iˆ)¨  2liˆ     r   ljˆ

y reemplazando en la primer expresión se obtiene:

(T  mgsen)iˆ  mg cos  j  m(a cos iˆ  asen jˆ  ljˆ  2liˆ) igualando componente a componente se tienen el siguiente par de ecuaciones:

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mg cos   masen   m  l,   l  g cos   asen  d d d d  l  l l  l ,  l d   (g cos   asen )d  dt d  dt d  2 2  (g cos   asen)d   l 2 ,  2 gsen  a cos   a    l 0

T  mgsen   ma cos   m  2l y finalmente:

  a T  3mgsen  3ma cos   2ma  mg 3sen  (3 cos   2)   g   Ejemplo: El brazo OB y la varilla de longitud l unida rígidamente a él, giran con velocidad angular constante ω alrededor del eje vertical que pasa por el cojinete fijo en O. Se suelta, partiendo del reposo (respecto a la varilla) en la posición

x 0 un pequeño

cursar de masa m,

que desliza on rozamiento despreciable a lo largo de la varilla. Determinar la distancia x en función del tiempo t transcurrido desde que se suelta el cursor. Determinar, también. !a expresión de la componente horizontal N de la fuerza ejercida por la varilla sobre el cursor en de x.

El sistema no inercial está indicado en la figura con su origen en el punto B. El sistema inercial tiene su origen en O.

           F   maA  m(aB    rAB      rAB  2  vrel  arel )        ˆ,   kˆ,   0, vrel  xi ˆ, r  xiˆ,     r  x  2iˆ arel  xi      aB     OO '     bjˆ   2b(kˆ kˆ jˆ)   2bjˆ,   ˆ 2  vrel  2xj

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ˆ  xi ˆ)  Njˆ  m(b 2 jˆ   2xiˆ  2xj x   2x  0 c.i. x (0)  x 0, x(0)  0 N  m(b 2  2x ) La solución de la ecuación diferencial con las c.i. dadas es:

x (t )  Asenh(t )  B cosh(t ) x(t )  A cosh(t )  B senh(t )  al usar las c.i. x (t )  x 0 cosh(t ), x(t )  x 0senh(t ) senh(t )  cosh2(t )  1 

De donde finalmente obtenemos

x2 x 02

1

  N  m 2 b  2 x 2  x 02   

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CAPÍTULO 3 INTRODUCCIÓN A LA CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS 6. Introducción Hasta ahora hemos considerado situaciones en que el movimiento del centro de masa de un cuerpo se podía determinar con la segunda ley de Newton. Sin embargo, suele ser necesario determinar el movimiento rotacional de un cuerpo, aun cuando el único objetivo sea determinar el movimiento de su centro de masa. Además, el movimiento rotacional en sí puede ser de interés o incluso ser fundamental en el caso que se considere, como ocurre en los movimientos de engranes, generadores, turbinas y giróscopos. Esto nos lleva a definir la noción de cuerpo rígido de extrema utilidad en Mecánica Teórica y Aplicada: Definición: Un cuerpo rígido es un sistema de puntos materiales sometidos a ligaduras holónomas consistentes en que las distancias entre todos los pares de puntos se mantienen constantes durante todo el movimiento. La Mecánica Teórica considera los cuerpos indeformables, ya se encuentren en estado de movimiento o de reposo. Esta propiedad no es, en el fondo, más que una abstracción, ya que no corresponde en la realidad a material alguno. Sin embargo, es de gran utilidad por la comodidad y simplificación que introduce. Las conclusiones que se obtienen en gran número de casos son buenas aproximaciones de lo que realmente ocurre. Avanzando en el estudio de la Mecánica Aplicada se observa experimentalmente que las fuerzas que actúan sobre determinado cuerpo, que poseerá unas características físicas y geométricas propias, no pueden ser arbitrariamente grandes, pues el cuerpo se deforma y rompe. Esta idea sugiere revisar el concepto de sólido para adentrarnos en los conceptos del sólido elástico, que no forma parte de nuestro curso. En este capítulo vamos a tratar con la Cinemática de los cuerpos rígidos, es decir, la naturaleza y características de su movimiento. La descripción del movimiento de los cuerpos rígidos es útil por dos importantes razones. Primero, frecuentemente es necesario generar, transmitir o gobernar ciertos movimientos empleando levas, engranajes y transmisiones de diversos tipos. En estos casos la descripción del movimiento es necesaria para determinar la geometría del diseño del mecanismo y lo que es más, a consecuencia del movimiento generado suelen aparecer fuerzas que deben tenerse en cuenta en el proyecto. Segundo, a menudo es necesario determinar el movimiento de un

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cuerpo rígido que resulta de aplicar fuerzas a este. La validez de la hipótesis de cuerpo rígido está sustentada para todas aquellas situaciones reales donde el movimiento asociado a los cambios de forma son pequeños frente a los movimientos globales del cuerpo. El objetivo entonces de los siguientes temas del capítulo será desarrollar las relaciones entre velocidades, aceleraciones, velocidad angular y aceleración angular cuando un cuerpo rígido  se mueve dentro de un marco de referencia.

7. Condición de Rigidez

El gráfico de la izquierda muestra conceptualmente la definición dada de cuerpo rígido, lo que analíticamente podemos expresar de la siguiente forma:

   rij  ri  rj , 

 rij  cte

(1)

La ec. (1) se denomina la Condición de Rigidez. Figura 1.



Consecuencia: Condición de rigidez para las velocidades. Si vi de las partículas “i” y “j”, entonces:

 y v j son las velocidades

 2 dr dr  dr dr      ij ij rij2  rij  rij  cte   0  2rij   0  rij   i  j   0 dt dt dt   dt         rij  (vi  v j )  0  rij  vi  rij  v j expresión que indica que la proyección de las velocidades sobre la recta que une los puntos “i” con “j” son iguales. Este hecho es físicamente evidente pues de lo contrario las partículas se alejarían, lo que contradice la condición de rigidez.

8. Coordenadas Independientes de un Cuerpo rígido Antes de estudiar el movimiento de un cuerpo rígido debemos establecer cuántas coordenadas independientes se necesitan para especificar su configuración. Un cuerpo rígido (c.r.) con N partículas puede tener como máximo 3N grados de libertad (gdl). Para fijar un punto del c.r. no es necesario especificar sus distancias a todos los demás puntos del cuerpo; sólo se necesita especificar las distancias a otros 3 puntos cualesquiera que no estén alineados. Así pues, una vez determinadas las posiciones de tres partículas, las ligaduras fijan las restantes. Por tanto, el número de gdl no puede ser mayor que 9. Ahora bien, los tres puntos de referencia no son independientes; tienen impuestas de hecho 3 ecuaciones de ligadura rígida (ver Figura 1):

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r12  c12, r23  c23, r13  c13

que reduce a 6 el número de gdl. Entonces, un c.r.

en el espacio necesita 6 coordenadas generalizadas independientes para especificar su configuración, sin importar cuántas partículas pueda contener, incluso en el límite del continuo. Desde luego, además de la ligadura de rigidez el cuerpo puede estar sometido a otras ligaduras. Por ejemplo, puede estar obligado a moverse sobre una superficie, o tener un punto fijo. En tal caso, las ligaduras adicionales reducirán aún más el número de gdl y por tanto el número de coordenadas independientes. El problema que debemos responder ahora es ¿cómo se asignarán dichas coordenadas?. Notemos que la configuración de un cuerpo rígido queda especificada situando un sistema de ejes coordenados cartesianos fijo en el cuerpo rígido respecto a los ejes coordenados del espacio exterior al c.r. Está claro que para especificar las

coordenadas del origen de este sistema de ejes del cuerpo son necesarias 3 coordenadas, las 3 restantes deberán especificar la orientación de los ejes con acento respecto al sistema de ejes paralelos a los ejes exteriores, y de igual origen que el de ejes con acento. Hay varias maneras de especificar la orientación, el método más útil consiste en dar los cosenos directores de los ejes con acento respecto a los ejes sin acento. Figura 2.

Para explorar un poco más estas ideas consideremos dos conjuntos de vectores

  ˆ unitarios: ni , ni , y sea V un vector como se indica en la Figura 3.

Figura 3.

Expresaremos el vector V en ambos sistemas de coordenadas:

       V   (V  ni )ni   (V  nˆi )nˆi i

(2)

i

     definimos la matriz [S] de elementos Sij : ni   (ni  nˆj )nˆj   Sij nˆj j

j

 ˆ ˆ en términos del otro n (3) donde Sij  ni  n , en forma similar podemos desarrollar a i j ˆ ˆ    conjunto de versores unitarios: ni   (ni  n j )n j   S jin j (4) , donde j

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j

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    S ji  nˆi  n j =n j  nˆi (4a) . matriz

[S] es simétrica.

Se observa fácilmente que

Sij  S ji

lo que dice que la

Reemplazando (3) y (4) en (2) se tiene:

         V   (V  nˆi )nˆi  Vˆinˆi  Vˆi  S jin j   VˆiS ji ni  Vj n j   i i i j j  i j donde V  VˆS (5) , y de la misma forma j

i

i ji

         V   (V  ni )ni  Vini  Vi  Sij nˆj   ViSij nˆj  Vˆj nˆj   i i i j j  i j donde Vˆ  V S (5a) y reemplazando (5) en (5a): j

 i

i ij

Vˆj  ViS ij  VˆkS ikS ij  VˆkS kiS ij  Vˆk  S kiS ij  i

i

k

 SkiSij  kj  S  S

T

i T

k

I S S

1

k

i

(6)

i

Resta ver cuales son los elementos de la matriz de transformación S.

Para ello

ˆ (i = 2,3) rotan consideramos la transformación indicada en la Figura 4, donde los n i  alrededor de n1 . Por inspección se obtiene:

     n1  nˆ1, nˆ2  cn2  sn 3,    nˆ3  sn2  cn 3 s  sen(), c  cos() donde α es el ángulo de giro de los ejes.

Figura 4.

y utilizando (3) se obtiene:

1 0 0    S   [Sij ]  0 c s    0 s c 

(7)

Observando la Figura 4 se obtienen las matrices de rotación alrededor de cada uno de los otros dos ejes coordenados. Si denominamos  y  a los ángulos de giro alrededor

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de

  n2 y n3 respectivamente,

utilizando el mismo esquema anterior se obtienen las

matrices de transformación respectivos:

c   S   [Sij ]   0  s

0 s    1 0  (8a) ,  0 c 

y

c   S   [Sij ]  s    0

s  c 0

0   0  (8b)  1 

Por otro lado, consideremos de que manera se transforman las coordenadas de un  vector r cuando el sistema de referencia sufre dos rotaciones sucesivas, las que pueden estar definidas por la ec. (7) u (8a-8b). Si B representa a dicha matriz en la primer   transformación, entonces r '  B  r , y si A es la matriz de cambio en la segunda     transformación, r ''  A  r '  r ''  C  r , donde C  A  B (9) . Angulos de Euler. Es posible llevar a cabo la rotación de un sistema de coordenadas de diferentes maneras, uno de dichos esquemas está representado por los ángulos de Euler, que implican también tres rotaciones sucesivas realizadas en un orden concreto. El orden que vamos a emplear se inicia haciendo girar el sistema de ejes inicial xyz un ángulo  alrededor del eje z en sentido antihorario y denominando  a los ejes resultantes. En la segunda etapa, se hacen girar los ejes intermedios



alrededor de

antihorario un ángulo θ para dar lugar a otro sistema intermedio

 ' ' ' .



en sentido

El eje

'

es la

 '  ' , y se denomina línea de nodos. Por último, los ejes sentido antihorario un ángulo  alrededor del eje  ' para

intersección de los planos xy y

 ' ' '

se hacen girar en obtener el sistema x’y’z’ buscado. En la siguiente Figura 5 se pueden ver las etapas mencionadas. Así pues, los ángulos de Euler , ,  especifican totalmente la orientación del sistema x’y’z’ respecto a xyz, y pueden por tanto ser las tres coordenadas generalizadas necesarias. La matriz de transformación

S  SSS  se puede obtener

considerando las matrices anteriores de rotación alrededor de cada eje coordenado dado  por las expresiones (7) – (8a) – (8b). Si r es un vector de coordenadas (x,y,z) en el   sistema xyz, sus coordenadas en el sistema x’y’z’ estarán dados por r '  S  r . La matriz S se obtiene de la siguiente forma:

1 0 c     s 0   S  s c 0 , S   0 c    0 1  0 0 s  c c c s s cs  ccs        S  sc  csc s s  ccc  ss sc  en donde c

c 0    s  s  , S   s  c   0 c   0 s s   cs  (11)  c 

0  0  1

(10)

 cos(), s  sen() etc.

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Página 92

Figura 5

9. Rotaciones De los seis gdl de un c.r. tres corresponden a una traslación del centro de masa (c.d.m.) del cuerpo, desde la posición inicial R0 a una final R1. Este movimiento esencialmente esta regido por las leyes de la dinámica del punto, mientras que los otros tres gdl se refieren al movimiento relativo alrededor del cdm. Intuitivamente este movimiento tiene que ser una rotación alrededor de un punto del cuerpo, pues este es el único movimiento que no altera las distancias entre dos puntos del mismo. Las rotaciones juegan por lo tanto un papel fundamental en la dinámica del c.r. Teorema de Euler. El movimiento más general de un cuerpo rígido con un punto A fijo es una rotación instantánea alrededor de dicho punto. Demostración: En primer lugar debemos recordar que la proyección de las velocidades de dos puntos de un c.r. a lo largo de la línea que une a ambos es la misma, esto es:

  proyijv j  proyijvi , y por otro lado utilizando este hecho, la velocidad de un punto tal

como el “i” de la Figura 1 se puede determinar si se conocen las velocidades de tres puntos no alineados tales como el “1”, “2” y “3”, ya que al proyectar cada una de esas velocidades sobre la recta que une a cada uno de ellos con “i” se tiene:

      proy1iv1  proy1ivi , proy2iv2  proy2ivi , proy3iv3  proy3ivi ,

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(12)

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donde el segundo miembro de estas tres igualdades representan la descomposición de

 vi en tres direcciones independientes.

Consideremos ahora el punto A del c.r. que tiene velocidad cero por hipótesis.

Sea B un punto del c.r. tal que

 vB  0  proyABvB  0  vB  AB

Sea

π el plano que contiene a AB y tal que sea

perpendicular a

v B . Sea C un punto del c.r. tal

que:

 vC  0  proyAC vC  0  vC  AC

Sea

π ' el plano que contiene a AC y tal que

sea perpendicular a

v

C

. Sea    ' . Elijamos D

de modo tal que pertenezca al c.r. Entonces

 proyADvD  0   proyBDvD  0, proyCDvD  0

Figura 6

Lo que implica que la velocidad del punto D es cero de acuerdo a (12).

Dado que

  vA  vD  0 , y siendo D un punto arbitrario en la línea de intersección de los planos, se concluye que todos los puntos a lo largo de dicho eje tienen velocidad nula y por la construcción realizada todos giran alrededor de ese eje instantáneo.

Rotaciones Infinitesimales. Daremos a continuación un argumento analítico para  demostrar que en las rotaciones infinitesimales  es un vector. Para ello consideremos rotaciones infinitesimales que se efectúan sucesivamente alrededor de cada uno de los ejes coordenados de magnitudes de los ejes luego del giro

d x , d y , d z .

Oxyz es la posición original, Oxy’z’ es la posición

dx , Ox’y’’z’’ la posición de los mismos luego de un giro en dy , y

por último Ox’’y’’z’’ la posición final luego del tercer giro.



Sea r fijo en el sistema móvil, por lo que la variación de sus coordenadas se debe al giro del sistema móvil. De esta manera el vector sufre las siguientes      transformaciones: r  rx  ry  rz  r ' luego de las tres rotaciones sucesivas. Utilizando las matrices de transformación (7), y teniendo en cuenta que

sen(d x )  d x , sen(d y )  d y , sen(d z )  d z se tiene: cos(d x )  1, cos(d y )  1, cos(d z )  1

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1 0  1 0          rx  0 1 d x   r , ry   0    1  0 d x d y  1 d  0  z       rz  r '  d z 1 0  ry   0 1  0

0 d y    1 0   rx ,  0 1 

lo que implica luego de multiplicar las matrices que:

 1   r '  d z   d y

d xd y  d z 1 d x

 1 d y  d xd y     d zd y  d x   r  d z    1  d y 

d z 1 d x

d y    d x   r  1 

donde en el segundo miembro se han despreciado infinitésimos de segundo    orden. Dado que r '  r  dr , y que la matriz de transformación se puede descomponer como la suma de la matriz identidad y la matriz de transformación de las rotaciones infinitesimales compuestas, la que toma la forma indicada en la siguiente ecuación:

1 0 0  0 d z d y      0 1 0  d  0 d   z x      , de donde se obtiene que: 0 0 1  d  0     y d x  0 d z d y x  yd z  zd y           dr  d z 0 d x y   zd x  xd z   dr  d   r      0  z  xd y  yd x   d y d x   dr d    r , en donde se lo cual implica al dividir por dt ambos miembros que dt dt   d ha definido:   , de donde nuevamente vemos que a un giro infinitesimal se dt le puede asociar un vector cuyas componentes son los giros infinitesimales alrededor de cada eje, y dividiendo dichas componentes por dt se obtienen las componentes del vector velocidad angular. Claramente, las fórmulas anteriores  indican que  es un vector y que para el caso de un cuerpo rígido con un punto    fijo la velocidad de cualquier punto del mismo estará dada por: v = w × r (13). En la Figura 7 se han representado las rotaciones infinitesimales

  dθ1 y dθ2 de un c.r. en

torno a un punto fijo A. En primer lugar se lleva el punto P hasta Q1 y luego hasta S,

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efectuando las rotaciones

dθ1 y dθ2 .

Si se aplicara primero la rotación

dθ2

pasaría P a Q2

y luego a S’. Aunque estos movimientos tienen lugar sobre una superficie esférica de radio R, en el caso de las rotaciones infinitesimales la curvatura de la superficie tiene un efecto despreciable, los lados de la figura de desplazamiento son en esencia paralelos y S = S’, así pues el desplazamiento total del punto P vendrá dado por

             dr  dr1  dr2  dr2  dr1  dθ1  r  dθ2  r  dθ2  r  dθ1  r             (dθ1  dθ2 )  r  (dθ1  dθ2 )  r  dθ  r , dθ  dθ1  dθ2  en donde dθ es una única rotación en torno al eje que se indica y no depende del orden

en que se realizan las rotaciones, el cual es precisamente el enunciado de la aditividad de las rotaciones.

Figura 7.

Eje Instantáneo de Rotación. Interpretación gráfica. Para ayudar a fijar el concepto de eje instantáneo de rotación, citaremos un ejemplo concreto. La Figura 8 representa un rotor cilíndrico macizo de plástico transparente que contiene varias partículas negras en su interior.

El rotor gira a la velocidad constante gira a la velocidad angular

2

1

alrededor del eje de su árbol y éste, a su vez,

alrededor del eje vertical fijo, teniendo las rotaciones los

sentidos que se indican. Si se fotografiara el rotor en cierto instante de su movimiento, la imagen resultante presentaría una recta de puntos negros muy nítidos, lo que indicaría que su velocidad era nula en ese instante. Esa recta de puntos sin velocidad establece la posición instantánea del eje de rotación O-n. Todo punto de esta recta, como A, tendrá dos componentes de velocidad:

v1

producida por

1 y v2

producida por

2 , que serán

de módulos iguales y sentidos opuestos. Los demás puntos, tales como P, aparecerán borrosos y sus movimientos se manifestarán en forma de trazos borrosos que describen pequeños arcos circulares situados en planos normales al eje O-n. Así pues, todas las partículas del cuerpo, excepto las situadas en la recta O-n, se hallan girando instantáneamente siguiendo arcos de circunferencia alrededor del eje instantáneo de

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rotación. Si se tomara una sucesión de fotografías, se vería que el eje de rotación vendría definido por una nueva serie de puntos nítidos y que dicho eje variaría de posición tanto en el espacio como con relación al cuerpo. En el caso de una rotación genérica de un cuerpo rígido alrededor de un punto fijo, pues, se ve que el eje de rotación no es, en general, una recta fija en el cuerpo.

Figura 8

Cono del cuerpo y cono del espacio. En el cilindro de plástico de la Figura 8, el eje instantáneo de rotación O-A-n engendra en torno al eje del cilindro un cono circular recto llamado cono del cuerpo. Mientras ambas rotaciones prosiguen y el cilindro gira alrededor del eje vertical, el eje instantáneo de rotación genera también en torno al eje vertical un cono circular recto llamado cono del espacio. En la Figura 9 se representan los conos correspondientes a este ejemplo particular y en ella puede verse que el cono del cuerpo rueda sobre el cono del espacio y que la velocidad angular  del cuerpo yace en la recta tangente de ambos conos.

Figura 9

Figura 0

En un caso más general en el que las rotaciones no fueran constantes, los conos del cuerpo y del espacio ya no serían conos circulares rectos, pero el cono del cuerpo seguiría rodando sobre el cono del espacio. Aceleración angular. La aceleración angular α de un cuerpo rìgido en movimiento tridimensional es la derivada respecto al tiempo de su velocidad angular

     Contrastando

con el caso de rotación en un plano, en que el escalar  mide sólo la variación del módulo de la velocidad angular, en el movimiento tridimensional el vector a refleja el cambio de dirección de ω además de la variación de su módulo. Así,

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en la Figura 10, donde la punta del vector velocidad angular  sigue la curva del espacio p y varía a la vez de módulo y dirección, la aceleración angular  es un vector tangente a dicha curva en la dirección de variación de  .

Figura 11

Cuando el módulo de  permanece constante, la aceleración angular a se hace normal a  . En este caso, si  representa la velocidad a la que gira el vector ω sobre sí mismo (precesión) cuando éste forma el cono del espacio, la aceleración angular puede escribirse

      

(14)

  

Esta relación se ve fácilmente en la Figura 11, en la cual los vectores , ,  , que aparecen en la figura inferior, guardan entre sí la misma relación que los vectores    v , r ,  de la figura superior al relacionar la velocidad de un punto A de un cuerpo rígido con su vector de posición respecto a O y la velocidad angular del cuerpo.

10.

Clasificación de los Movimientos

Para simplificar el estudio cinemático de los movimientos de los c.r., estos se agrupan en un subconjunto de cinco diferentes tipos de movimientos, los que de todos modos serán casos particulares de las fórmulas generales desarrolladas en los apartados 4. y 6. A continuación haremos una breve descripción de cada uno de ellos. El tipo más sencillo de movimiento corresponde al de traslación pura, el cual ocurre si cada recta entre cualquiera de dos puntos en el cuerpo mantiene la misma dirección durante el movimiento, tal como se indica en la Figura 12. En la misma se observa que la trayectoria del punto A al A’ es la misma que la del punto B al B’. Las mismas pueden ser de traslación rectilínea o curvilínea. En esta situación el cuerpo se comporta como una partícula, ya que su dirección no cambia durante el movimiento y por tanto se requieren solo tres coordenadas de un punto cualquiera para localizar el cuerpo en el espacio.

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Figura 12

Figura 13

Figura 14b

Figura 14a

Figura 14c

El segundo movimiento que analizaremos será el de rotación pura alrededor de un eje fijo en el espacio, el cual puede pasar por el cuerpo o bien estar fuera de él. Los puntos del c.r. se mueven en planos paralelos a lo largo de trayectorias que forman círculos centrados en el eje de rotación durante este movimiento. La Figura 13 muestra formas características del mismo. El cuerpo se puede localizar en el espacio al especificar la ubicación de un punto en el mismo a lo largo de su trayectoria de movimiento circular, por lo que las rotaciones alrededor de un eje fijo conforman un sistema mecánico de un gdl. Movimiento con respecto a un punto fijo (Movimiento Polar). Si el movimiento del cuerpo rígido es tal que un punto en el cuerpo o el cuerpo extendido permanece fijo en el espacio, se dice que el cuerpo se mueve con respecto a este punto fijo. Como ese punto en el cuerpo permanece fijo en el espacio y no tiene traslación, sólo se necesita especificar la dirección en tres dimensiones del cuerpo y se dice que el cuerpo tiene tres grados de libertad. El trompo que gira, que se muestra en la Figura 14a, tiene su punta, o

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base, fija en el espacio mientras se mueve y es un ejemplo de este tipo de movimiento. Obsérvese que los puntos en el cuerpo permanecen a una distancia constante del punto fijo y se mueven sobre las superficies de las esferas con radios iguales a estas distancias constantes. Un vector de posición relativa desde este punto fijo hasta otro punto en el cuerpo cambiaría de dirección durante el movimiento, como se puede observar para el vector de la base al punto A en la Figura 14a. Movimiento general de un cuerpo rígido. El movimiento más general que puede ejecutar un cuerpo rígido no corresponde a ninguna de las descripciones anteriores. Para esta clase de movimiento, el cuerpo puede trasladarse libremente en cualquier dirección y adoptar cualquier dirección. En la Figura 14b se muestra un ejemplo de ese movimiento. Obsérvese que cualquier vector de posición relativa entre dos puntos cualesquiera del cuerpo permanecería con magnitud constante y sólo puede cambiar de dirección. El vector que se muestra atrás de las alas del aeroplano en la Figura 14b parece más corto en la segunda posición, pero esta apariencia sólo se debe a la dirección de la nave. Al ir de la primera posición a la segunda, el avión se traslada en tres direcciones y cabecea (se inclina hacia abajo), gira (rotación alrededor del eje largo del avión) y hace una guiñada (rotación alrededor de un eje perpendicular al plano horizontal del avión). Se dice que el cuerpo rígido tiene seis grados de libertad. Movimiento Plano General. Si el movimiento del cuerpo es tal que los recorridos del movimiento, o las trayectorias, de cada punto del c.r. están en planos paralelos, el movimiento se denomina plano general. Este movimiento tiene sólo tres gdl, ya que la posición y la dirección del cuerpo se pueden describir por su traslación en estos planos paralelos y su rotación con respecto a un eje que es perpendicular a estos planos. Estos se denominan planos de movimiento (ej. Figura 14d), el cuerpo se modelará en dos dimensiones y con un único plano de movimiento.

Figura 14d

La decisión con respecto a si el cuerpo se tratará como una partícula o como un cuerpo rígido depende de la información deseada. Por ejemplo, imagine el tiro corto "chip" de un golfista profesional, como se muestra en la Figura 14c. La trayectoria de la pelota se puede determinar modelándola como una partícula, pero si se desea comprender el efecto del "giro hacia atrás", la pelota se debe tratar como un cuerpo rígido. El efecto de giro hacia atrás es muy importante ya que la velocidad del aire que pasa por arriba aumenta y la que pasa por abajo disminuye. Del principio de Bernoulli (mecánica de fluidos), cuando la velocidad aumenta la presión disminuye. La diferencia de presiones da como resultado una fuerza de sustentación sobre la pelota, aumentando su altura y la distancia. La aerodinámica de la pelota de golf se ha estudiado ampliamente desde la emplumada, que era una bolsa de cuero rellena con plumas de ganso, hasta la pelota moderna de golf. En 1930, se aceptó la pelota actual de golf con una costura de caucho enrollada alrededor de un núcleo de caucho y recubierta con barniz y hoyuelos. La superficie con hoyuelos disminuye la resistencia aerodinámica

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sobre la pelota cambiando el flujo laminar sobre la esfera a flujo turbulento. En la siguiente sección 6. se analizará en profundidad el concepto de velocidad y aceleración angular así como algunas de sus propiedades más relevantes. En la sección 7 se estudia el caso más general de movimiento libre en el espacio y se demuestra el teorema principal relativo a este tipo de movimiento: el teorema de Chasles. Se dan las fórmulas cinemáticas generales que relacionan velocidades y aceleraciones lineales y angulares en sistemas de referencia en traslación y rotación relativa entre sí, para luego pasar a estudiar cada uno de los movimientos anteriormente indicados por separado. Se deja, por su especial importancia en el diseño de mecanismos, el estudio de los movimientos planos para la última parte del desarrollo.

11. Propiedades de la Velocidad Angular En el capítulo 2 habíamos demostrado la relación existente entre las derivadas de una cantidad vectorial desde dos marcos de referencia con movimiento relativo de



rotación entre sí. Básicamente el problema planteado fue el siguiente: si Q es una cantidad vectorial arbitraria variable en el tiempo, la velocidad de cambio del mismo dependerá del movimiento del sistema de referencia utilizado. Usualmente describimos los movimientos en los problemas típicos de mecánica desde el punto de vista de dos observadores, uno inercial, que se encuentra en un sistema de referencia en reposo, donde valen las leyes de Newton, y otro sistema que se encuentra en movimiento relativo, con lo que se tiene dos descripciones diferentes de un mismo objeto vectorial, uno desde el sistema en movimiento y otro desde el sistema inercial. El problema que nos interesa es determinar que relación existe entre las variaciones temporales de la misma cantidad vectorial en ambos sistemas.



Suponemos que el sistema en rotación gira con velocidad angular  y aceleración



angular  Las variaciones en un tiempo dt de las componentes de un vector



genérico Q será diferente según sea el observador, básicamente debido al efecto de rotación del sistema no inercial, podemos por tanto escribir que:

   dQinercial  dQcuerpo  dQrot . Observemos ahora la situación según se ilustra en la

Figura 15. Consideremos el sistema de referencia inercial y el móvil centrado en O. Designamos como OXYZ al sistema fijo y como Oxyz al no inercial. Dado que si bien ambos observadores observan el mismo vector, la descripción de ambos será diferente, por lo que la descripción de la derivada de este vector respecto al tiempo que ambos observan será diferente. Descomponemos nuestra cantidad vectorial en

ˆ): el sistema inercial con los versores (Iˆ, Jˆ, K

 Q(t )  QX (t )Iˆ  QY (t )Jˆ  QZ (t )Kˆ  donde (QX ,QY ,QZ ) son las proyecciones de Q sobre cada uno de los ejes espaciales fijos. Si derivamos esta expresión respecto al tiempo, debemos

ˆ ) es cero, ya que los considerar que las derivadas de los versores unitarios (Iˆ, Jˆ, K mismos no cambian de posición a través del tiempo, en este caso será: [C1 - Mecánica Racional - UTN-Reg. Delta]

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 dQ dt

Inercial

 dQ  dt

 Q X Iˆ  QY Jˆ  QZ Kˆ F

Figura 15

Utilizando un sistema de referencia ortogonal móvil con una terna de versores unitarios (iˆ, jˆ, kˆ) , respecto a la cual podemos escribir:

 Q(t )  Qx (t )iˆ  Qy (t )jˆ  Qz (t )kˆ

que es la descripción del mismo vector realizada por un observador en el sistema no inercial. Ahora bien, es evidente que si derivamos esta expresión respecto al tiempo deberíamos realizar dos consideraciones. En primer lugar, si la derivada la efectúa el observador en el sistema móvil, para él los versores (iˆ, jˆ, kˆ) no varían en el tiempo ya que este se mueve con los mismos. Por lo tanto su descripción sería:

 dQ dt

NoInercial

 dQ  dt

 Q x iˆ  Qy jˆ  Q z kˆ M

En segundo lugar, podríamos efectuar la derivación de

 Q(t )

desde el punto de vista de un

(iˆ, jˆ, kˆ) van  cambiando de dirección a medida que el sistema (x, y, z ) rota con velocidad angular  . observador inercial en el sistema

(X,Y , Z ) .

Para este, los versores

Teniendo en cuenta las relaciones:

diˆ  ˆ djˆ  ˆ dkˆ  ˆ   i ,   j ,   k, dt dt dt

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se llega finalmente a la expresión:

Página 102

 dQ dt

F

 dQ  dt

   Q M



(15)



Para el caso presente asumamos que    , la velocidad angular del cuerpo rígido, en cuyo caso la ec. (15) (de vital importancia en este capítulo) nos permitirá calcular fácilmente la derivada de un vector en un marco si está éste expresado en términos de vectores base fijos en otro marco; el único precio que tenemos que pagar es añadir el







producto vectorial  Q . Así, la primera propiedad de  es que nos permite relacionar (por medio de la ec. 16) las derivadas de cualquier vector en dos marcos diferentes.

 dQ dt

F

 dQ  dt

    Q

(16)

M

Unicidad. Queda por contestar la pregunta de si hay más de un vector velocidad angular que satisfaga la ec. (16). La demostración se realiza postulando dos vectores

  1 y 2

satisfacen ambos la ec. (16) y luego mostramos que son necesariamente

iguales. Tenemos así que:

    QInercial  QNoInercial  1 Q,    restando m.a.m. se tiene:  QInercial  QNoInercial  2 Q,     (2  1) Q  0 , lo que implica al ser el vector Q arbitrario que la expresión

entre paréntesis debe ser cero y por tanto ambas cantidades son iguales. demuestra la unicidad del vector velocidad angular de un c.r.

Esto

Teorema de Adición. La ec. (16) resulta de utilidad para establecer el teorema de adición de velocidades angulares, una de las ecuaciones más importantes de la cinemática del c.r. Consideremos un cuerpo B que se mueve en un sistema de referencia

Rˆ ,

el cual a su vez se mueve respecto a otro sistema de referencia

Usando (16), la velocidad de un vector

 dV dt

R

 dV  dt

ˆ   RR V ,

 V

(fijo en B), en el sistema

R

R.

será:



(17)

y teniendo en cuenta queV está fijo en

ˆ R

B, las derivadas respecto a cada uno de los dos sistemas será:

   dV B  dV   R V , y  RBˆ V , que reemplazaremos en (17): dt dt ˆ R R  B   Rˆ   B   ˆ  R Q  R Q  Rˆ Q  (RB  RR  RBˆ )Q  0 de donde

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 ˆ   ˆ  RB  RR  RBˆ  0  RB  RR  RBˆ

(18). Esta ecuación es una expresión del

teorema de adición para velocidades angulares.

Figura 16

Si llamamos a

ˆR R  R0, R 1

y tenemos en cuenta que el cuerpo B puede ser

considerado en si mismo un marco de referencia, al cual identificaremos

B  R2 ,

podemos reescribir a (18) como:

R R R R2  R1  R2 0

0

(19)

1

La ecuación (19) se puede generalizar para incluir un mayor número de sistemas de referencia. Supongamos que el sistema de referencia

Rn se mueve en un sistema R0

y

supongamos que hay (n-1) sistemas intermedios tal como se observa de la Figura 17. Utilizando repetidamente a la fórmula (19) se tiene que:

R R R R Rn  R1  R2  ...  Rn 0

0

1

(20)

n 1

Figura 17

Las siguientes Figuras 18 muestra algunas situaciones prácticas donde un c.r. rota simultáneamente alrededor de más de un eje de giro. El primer caso representa un aparato para simular condiciones espaciales. Se observa que se permiten giros alrededor de ejes ortogonales. El segundo caso es un esquema de movimiento de una antena que, tal como se observa, tiene permitido los giros en tres ejes, uno azimutal alrededor del eje “y”, uno de elevación según el eje “z1”, y el tercero de rotación de polarización respecto al eje “x2”. El tercer ejemplo representa un método usual para estabilizar antenas marinas por medio de masas pendulares junto con un efecto giroscópico de volantes giratorios. El barco puede cabecear alrededor del eje “x”, balancear alrededor del eje “y”, y derrapar según “z”. El marco I justamente arriba de

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una junta universal debe formar una plataforma estable sobre la que la antena pueda fácilmente posicionarse en azimut (ángulo A) y en elevación (ángulo E). El último ejemplo presentado en la Figura 18 es la clásica junta universal, mecanismo que sirve para transmitir potencia entre dos ejes no colineales montados en cojinetes fijos Los árboles cuyas líneas ejes se cortan en el punto A, están rígidamente unidos a sendas horquillas; el elemento de unión entre ellas es una cruceta, donde como se observa, una barra de la misma gira en cojinetes fijos de una horquilla mientras que la otra lo hace en la segunda horquilla.

Figura 18.

12. Movimiento General de un Cuerpo Rígido La aplicación de los principios de movimiento relativo es el mejor procedimiento para estudiar la cinemática del cuerpo rígido en movimiento tridimensional. Emplearemos sistemas de referencia en traslación y de rotación para analizarlos.

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Teorema de Chasles: Si “O” es un punto cualquiera de un c.r. libre, las velocidades de sus puntos son las mismas que si estuvieran compuestas de una  traslación instantánea vO más una rotación instantánea alrededor de un eje que



pasa por “O”, y ω es la misma independiente del punto seleccionado. D) Sean “Q” y “P” dos puntos del sistema, y colocando xO’yz // XOYZ, entonces    vP  vO   OP, si “Q” es otro punto arbitrario del c.r. se tendrá de igual













forma que vQ  vO   OQ, y restando m.a.m. es vP  vQ   QP, lo





que implica que vP se puede descomponer en una traslación vQ y una rotación de  la misma velocidad angular  alrededor de un eje que pasa por “Q”. Caso Ejes de Referencia en Traslación. En la Figura 19 se representa un cuerpo  rígido animado de una velocidad angular  , donde se toma el punto B como origen del sistema de referencia en traslación (sistema x-y-z), OXYZ es el sistema inercial. De la geometría indicada en la figura se tiene:

         rA  rB  rA/B  vA  vB  vA/B  aA  aB  aA/B ,

(21)

lo cual no es más que una aplicación del teorema de Chasles. Al aplicar estas relaciones al movimiento de un cuerpo rígido se observa que la distancia AB se mantiene constante. Así para la posición de un observador en x-y-z, A parece girar alrededor del punto B y mantenerse en una superficie esférica de centro B. En consecuencia, el movimiento general puede considerarse como una traslación del cuerpo con el movimiento de B más una rotación del cuerpo en torno a B, según indica el mencionado teorema de Chasles. Los términos del movimiento relativo de rotación se obtienen de las expresiones (13), por lo que considerando estas junto a las (21) se tiene:

    vA  vB    rA/B ,        aA  aB    rA/B      rA/B

(22)

La elección del punto de referencia B es en teoría arbitraria. En la práctica se toma, por comodidad, en algún punto del cuerpo cuyo movimiento se conozca total o parcialmente. Si se toma A como punto de referencia las ecuaciones (22) toman la siguiente forma:

donde

 rA/B

    vB  vA    rB /A, (23)        aB  aA    rB /A      rB /A     rB/A , en cambio  y  son los mismos vectores en uno y otro caso

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Figura 19

Si los puntos A y B de la Figura 19 representan los extremos de alguna varilla rígida de mando de algún mecanismo espacial, cuyas conexiones son a modo de rótulas, se hace necesario imponer ciertas condiciones cinemáticas. Evidentemente, ninguna rotación de la varilla en torno a su propio eje afecta a la acción de la propia varilla.

 n cuyo vector es perpendicular a la varilla, describirá la   Es necesario por tanto que n y rA/B sean perpendiculares, lo que

Entonces, la velocidad angular acción de la misma.

  n  rA/B  0 (24).   n  rA/B  0 (25).

se cumple si angular:

Lo mismo vale para la componente de la aceleración

Caso Ejes de Referencia en Rotación: Una formulación más general del movimiento de un c.r. en el espacio exige el empleo de ejes de referencia que giren al mismo tiempo en que se trasladan, con lo que la descripción del movimiento se realiza según se indica en la Figura 20, que muestra los ejes móviles ligados al punto B, como antes, pero que giran con una velocidad angular absoluta  angular  del c.r. Utilizando las ecuaciones (16) con (21) se tiene:



 drAB dt

F

  , la cual puede ser diferente de la velocidad

   Q r o v

y teniendo en cuenta las fórmulas

  drAB dvAB        rA  rB  rAB , vA  vB  , aA  aB  dt dt F F  dr    AB    rAB que lleva (como se demostró en el capítulo 3) a: dt M      vA  vB  vrel    rAB (26) donde

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 vA es la velocidad absoluta del punto A respecto al sistema inercial OXYZ  vB es la velocidad absoluta del origen de coordenadas móviles  vrel es la velocidad relativa del punto A respecto a un observador en el sistema móvil Bxyz   es la velocidad angular del sistema móvil  rAB es el vector de posición de A respecto de B (posición relativa)

Para determinar la expresión de la aceleración absoluta de un punto A respecto al sistema inercial, derivamos la ecuación (26) respecto a un observador en dicho sistema, para lo cual en cada término del miembro de la derecha de (26) debe







derivarse según la ecuación (16) donde    y Q debe reemplazarse según el vector considerado:

      aA  aB    rAB    rAB F

F

  vrel

F

(27)

Calculemos ahora cada una de las derivadas indicadas en (27) utilizando (16), obteniendo

Figura 20

    d d   d      dt F dt M dt M   drAB dr       AB    rAB  vrel    rAB dt dt F   M dvrel dv       rel    vrel  arel    vrel dt dt F

M

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          aA  aB    rAB      rAB  2  vrel  arel (28)



 aA es la aceleración absdoluta del punto A  aB es la aceleración absoluta del origen de coordenadas móvil Bxyz   vrel , a rel velocidad y aceleración relativa de la partícula respecto al observador en el sistema móvil B   ,  aceleración y velocidad angular del sistema móvil respecto al fijo  rAB vector de posición relativo de la partícula A     rAB efecto de la aceleración absoluta debido al diro del marco Bxyz        rAB efecto de la velocidad angular debido al giro del marco Bxyz       a B    rAB      rAB efecto debido al movimiento del marco Bxyz observado desde OXYZ   2  vrel

efecto combinado de A en movimiento relativo a x-y-z y rotación del marco Bxyz

13. Movimiento de Traslación de un Cuerpo Rígido Se dice que el movimiento de un cuerpo rígido es de traslación pura si cada recta entre cualesquiera dos puntos en el cuerpo mantiene la misma dirección durante el movimiento. En la Figura 21 se muestra un cuerpo rígido que se mueve en traslación pura. La trayectoria del movimiento del punto A al punto A' será la misma que la trayectoria del movimiento del punto B al punto B'. Estos recorridos se denominan trayectorias de los puntos A y B, respectivamente. Si estas trayectorias son líneas rectas, se dice que el movimiento es de traslación rectilínea. Si las trayectorias son líneas curvas en el espacio, el movimiento se conoce como traslación curvilínea. Obsérvese que el cuerpo rígido se comporta esencialmente como una partícula, ya que su dirección no cambia durante el movimiento, por tanto, sólo se requieren las tres coordenadas de un punto en el cuerpo rígido para localizar al cuerpo en el espacio. Los vectores de posición y sus derivadas primera y segunda respecto al tiempo serán:

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Figura 21

       rA  rB  rA/B ,  vA  vB  aA  aB (29)

 donde rA/B se mantiene constante y por lo tanto no tiene derivada con respecto al tiempo. Así pues todos los puntos del cuerpo tendrán la misma velocidad y la misma aceleración. La siguiente Figura 22 ejemplifica las características de un c.r. con movimiento de traslación pura:

Figura 22

14. Movimiento en Torno a un Eje Fijo Consideremos ahora la rotación del c.r. de la Figura 23 en torno al eje n-n fijo en el  espacio, a la velocidad angular  . Esta es un vector paralelo al eje de rotación y sentido definido por la regla de la mano derecha. La velocidad angular no cambia de dirección, por lo que la aceleración angular representa el cambio en magnitud de la misma. Por comodidad tomamos un origen del sistema de referencia sobre un punto O del eje. Todo punto, tal como el A, que no se halle sobre el eje recorre un arco de circunferencia en un plano normal al eje, y su velocidad viene dada por la ecuación  (22) con vB  0 ya que el cuerpo no realiza un movimiento de traslación (O=B):

   vA    r

(30)

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





cuyo significado puede aclararse sustituyendo a r por b  h y observando que

    h es igual a cero. La aceleración estará dada por la segunda de las ecuaciones  (22) con aB  0 :       aA    r      r (31)  Las componentes tangencial y normal de a tienen los conocidos valores : at  b  , y an  b2 , donde    -

Figura 23

Dada las características de este movimiento, donde cada punto está describiendo circunferencias alrededor del eje de rotación, es posible representarlo en forma más simple como se indica en la Figura 24, como un movimiento plano.

Figura 24

Dicha representación es equivalente a decir que el punto A describe una circunferencia de radio r alrededor de un eje fijo que pasa por O y es perpendicular al plano de movimiento representado. Si   , y      la velocidad y aceleraciones angulares se expresan por:

v  r , an  r 2  v 2 / r  v , at  r  (32) [C1 - Mecánica Racional - UTN-Reg. Delta]

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15. Movimiento Polar de un Cuerpo Rígido Este tipo de movimiento ocurre cuando un punto del mismo permanece fijo en el espacio. Como este punto esta fijo y no tiene traslación, la cinemática del movimiento está gobernada por el teorema de Euler. Utilizando la Figura 25 para representar la rotación del cuerpo en torno a un punto fijo O, siendo n-n el eje instantáneo de rotación,   vemos que la velocidad v y la aceleración a de un punto cualquiera del cuerpo vienen dadas por las expresiones:

     v   r , a  v       a   r     r

(33)

Figura 25

Este tipo de movimiento se conoce también como movimiento polar de un c.r.

16. Movimiento General de un Cuerpo Rígido En este caso el movimiento no posee ningún tipo de vínculo espacial y por tanto posee seis gdl. Y su cinemática está expresada en el teorema de Chasles, con los que la velocidad y aceleración de cualquier punto A del c.r. está dada por las expresiones (22) que repetiremos aquí para mayor claridad (ver Figura 19):

    vA  vB    rA/B ,        aA  aB    rA/B      rA/B

(34).

La velocidad angular de un c.r. en movimiento 3D general se puede determinar considerando tres puntos no alineados A, B, C asumiendo que se conocen las velocidades relativas entre ellas. Se pueden escribir dos ecuaciones vectoriales para relacionar la velocidad angular con la posición relativa y con los vectores velocidad

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         rB/A  vB/A,   rC /A  vC /A  (  rB/A )(  rC /A )  vB/A  vC /A,          y teniendo en cuenta que: A (B C )  B(C  A) C (A  B) la ecuación anterior se puede escribir de la siguiente forma:

             rB /A   rC /A   rC /A   rB /A      vB /A  vC /A                 (35)     rB /A   rC /A   vB /A  vC /A   vB /A  rC /A   vB /A  vC /A        v v    B /A C /A vB /A  rC /A  Podemos determinar si  está sobre el plano formado por los vectores de posición relativa examinando el producto vectorial entre sus velocidades relativas.

17. Movimiento Plano General de un Cuerpo Rígido El movimiento plano se trata como un tipo de movimiento en el plano XY (o en un plano paralelo a el). Sea P un punto cuyas coordenadas son (x P , yP , z P ) , decir que P tiene un movimiento plano significa que permanece en el plano z = ZP durante todo su movimiento. Extendiendo esta definición, decimos que un c.r. tiene un movimiento plano siempre que todos sus puntos permanezcan en los mismos planos en que se encontraba al inicio del movimiento. En esta situación es conveniente definir lo que denominamos el plano de referencia. En un movimiento plano, si conocemos la localización de todos los puntos en el plano de referencia , entonces automáticamente conocemos la localización de todos los demás puntos de un cuerpo. La razón es la siguiente (Figura 26): para cada punto B del c.r que no se encuentra en el plano de referencia, existe siempre un compañero (tal como el A) que tiene las mismas coordenadas (x,y) que tiene las mismas coordenadas (x,y) al principio del movimiento. Se infiere entonces que las coordenadas de estos dos puntos concuerdan siempre durante todo el movimiento del c.r. El caso mostrado en la figura es de una polea cónica que gira alrededor de su eje de simetría, en un cuerpo como este, de diámetro variable de sus secciones transversales, no hay necesidad de tener una sección transversal constante para estar en movimiento plano. El plano de referencia es entonces un concepto muy importante que permite estudiar el movimiento de un cuerpo entero considerando sólo aquellos puntos del mismo que se encuentran en este plano. De acuerdo al teorema de Chasles, el movimiento plano se puede considerar como la suma de un movimiento de traslación y una rotación curvilínea, por lo que resultan válidas la aplicación de las fórmulas (22) ó (23) según sea el punto de referencia seleccionado.

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Figura 26

Esto implica que las fórmulas para la velocidad y aceleración entre dos puntos de un c.r. con movimiento plano serán entonces:

       vA  vB  vA/B  vB    rA/B , ω = ωkˆ       aA  aB  aA/B  aB  aA/B  aA/B    n t    aB    rA/B      rA/B

(36)

En donde la aceleración relativa se descomponen en sus componentes 2 tangencial y normal, de módulos rA/B , y   rA/B respectivamente. La ecuación de velocidades puede analizarse en base a la Figura 27. En ella se representa una sección del movimiento plano de un c.r. y dos puntos A y b del mismo. Se asume que dicho cuerpo se mueve de forma tal que la recta que une ambos puntos pasa de AB a A’B’ en un tiempo Δt. Este movimiento se puede imaginar que se realiza en dos fases, en la primera de ellas el cuerpo sufre un  desplazamiento rB que lo trasladaría paralelamente a si mismo hasta la posición A’’B’, y en la segunda, el cuerpo rotaría un ángulo  en torno a B’.

Figura 27.

Este segundo movimiento, observado desde ejes de referencia no giratorios x’y’ fijos en el punto B’, se vería como una rotación simple alrededor de B’, que daría  lugar al desplazamiento rA/B de A respecto de B. Para el observador no [C1 - Mecánica Racional - UTN-Reg. Delta]

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giratorio vinculado a B, el cuerpo parecería sufrir una rotación alrededor de un eje fijo que pasase por B, ejecutando A un movimiento circular, tal como se indica en la figura. El significado de la ecuación (36) queda claro imaginando por separado las componentes de traslación y rotación de la misma, tal como se ilustra en la Figura 28, la que representa un cuerpo rígido con movimiento plano. Tomando B como referencia, la velocidad de A es la suma vectorial de la parte de traslación de B   más la de rotación relativa vA/B , la que es perpendicular a rA/B .

Figura 28

Para resolver la ecuación de la velocidad relativa se puede recurrir al álgebra escalar o vectorial, o puede hacerse gráficamente. En cualquier caso debe realizarse un esquema del polígono de vectores que representa la ecuación vectorial, para poner de manifiesto las relaciones físicas que intervienen en el problema. A partir de este esquema pueden escribirse ecuaciones escalares proyectando los vectores sobre direcciones convenientemente elegidas, o bien escribir la ecuación vectorial en términos de los versores (iˆ, jˆ) , e igualando componentes. La Figura 29 ilustra en forma similar el significado de la ecuación vectorial de las aceleraciones. Nuevamente se presenta un c.r. con movimiento plano y dos   puntos A y B del mismo con aceleraciones absolutas aA y aB . A diferencia de las velocidades, las aceleraciones no son vectores tangentes a la trayectoria de cada punto.

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Figura 29

En la figura la aceleración de A se encuentra descompuesta en dos partes: la aceleración de B y la aceleración de A respecto a B. Como en el caso de las velocidades, la solución de la ecuación de la aceleración se puede realizar por tres métodos diferentes: empleando geometría y el álgebra escalar, por álgebra vectorial o por construcción gráfica. Los párrafos anteriores están referidos al movimiento plano de cuerpos rígidos, donde todas las velocidades relativas y todas las aceleraciones relativas se medían respecto a ejes de referencia no giratorios. Sin embargo, la solución a muchos problemas de Cinemática en los que el movimiento se genera dentro de un sistema que es por sí mismo rotatorio, o bien se observa desde uno de éstos, dicha solución se facilita notablemente si se emplean ejes de referencia en rotación. Como ejemplo de este tipo de movimientos puede citarse la trayectoria descrita por una partícula de fluido a lo largo de uno de los álabes curvos de una bomba centrífuga, en el que la trayectoria relativa a los álabes del impulsor se convierte en un dato de diseño de gran importancia. Comenzaremos la descripción del movimiento con ejes giratorios considerando el movimiento plano ejecutado por dos puntos A y B en el plano fijo x- y (Figura 29a). Suponemos que A y B son independientes, y observaremos el movimiento de A utilizando un sistema de referencia en rotación xBy con origen en B, y que gira a velocidad angular

 kˆ   ,

dirigida perpendicularmente al plano de movimiento.

vector de posición absoluto de A es:

   rA  rB  rA/B .

El

El cálculo de velocidades y

aceleraciones requiere realizar derivadas respecto a un observador fijo (fórmula 16). Las fórmulas que se obtienen son las (26) y (28):

     vA  vB  vrel    rAB           aA  aB    rAB      rAB  2  vrel  arel Para ilustrar el significado de los dos últimos términos de la expresión de la velocidad utilizamos la Figura 29a, donde se representa el movimiento del punto A como si tuviera lugar lo largo de una ranura curva practicada en una placa que representa el sistema giratorio x-y. La velocidad relativa de A medida respecto a la placa sería tangente a la trayectoria fija en el plano x-y y su módulo sería s, medido s a lo largo de la trayectoria.

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Figura 29a

Figura 29b

Esta velocidad relativa puede contemplarse también como la velocidad

 vA/P

de A

respecto a un punto P fijo a la placa y que coincide con A en el instante considerado: El









   (V )xy   V ,

término   r tiene un módulo r y una dirección normal a r y representa la velocidad del punto P respecto a B, tal como se vería desde unos ejes no giratorios fijos a B. La Figura 29b ilustra el significado físico de la ecuación

 dV dt



XY

que es la expresión que nos permite calcular las

derivadas en sistemas giratorios. En la misma se representa el vector V en el instante t tal como se observa, a la vez, de los ejes fijos X-Y y desde los ejes giratorios x-y. Durante el tiempo dt el vector pasa a ocupar la posición V’ y el observador de x-y mide las componentes de dV, debida a la variación del módulo, y Vd , debida a la rotación

dV   , que el d respecto a x-y. O sea, para el observador en rotación, la derivada   dt xy mide, y tiene las componentes dV dt ,Vd  dt  V  . La parte de la derivada temporal que el observador en rotación no mide vale

   V .

V d  dt y en forma vectorial es

      r , y     r que corresponde  respectivamente a las aceleraciones tangenciales y normales de la aceleración a P /B del La figura 29c

representa los términos

punto coincidente P en su movimiento circular respecto a B. Este movimiento podría observarse desde unos ejes no giratorios que se muevan con B. También se observa la aceleración de Coriolis, así como puede distinguirse claramente el significado de la aceleración relativa.

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Figura 29c

18. Centro Instantáneo de Rotación Se puede utilizar un enfoque conceptual interesante cuando un cuerpo se mueve en movimiento plano. Durante ese movimiento, el cuerpo estará trasladándose y girando y cualquier punto tendrá una velocidad absoluta. En cambio, si el cuerpo estuviera girando con respecto a un eje fijo en el espacio perpendicular al plano de movimiento, el punto de intersección de ese eje de rotación con el plano de movimiento tendría velocidad cero. Este punto podría estar ubicado sobre el mismo cuerpo o fuera de el, y lo identificaremos como C. Para un c.r. la velocidad del punto A se puede relacionar con la velocidad de C mediante la ecuación:     vA  vC    rA/C (37) Si el punto C está en la intersección del eje de rotación con el plano de



movimiento su velocidad debe ser nula:  vC

= 0 (38), con lo cual la velocidad

    de A será: vA    rA/C , (38a) y será un vector perpendicular a rA/C . Estas

observaciones conducen a la cuestión de si en cualquier instante de tiempo, el cuerpo se puede considerar girando con respecto a un eje de rotación instantáneo. Si este punto existe se lo denomina centro instantáneo de rotación. La característica principal del mismo es que su velocidad instantánea será cero, pero su aceleración es distinta de cero, de forma tal que su velocidad es diferente de cero un instante más tarde. Supongamos se conozca la velocidad del punto A y la velocidad angular del         cuerpo, entonces: vC  0  vA    rC /A,    rC /A  vA , donde rC /A es el vector de posición relativo del punto A respecto al C. Es el vector a determinar. Para ello se procede de la siguiente forma: multiplicamos vectorialmente la última [C1 - Mecánica Racional - UTN-Reg. Delta]

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ecuación por la velocidad angular y utilizamos el triple producto vectorial teniendo   en cuenta que  y rC /A son perpendiculares:

                     rC /A    vA      rC /A  (  rC /A )  rC /A(  )  rC /A(  )

resulta finalmente que:

    vA  rC /A    (39) 

La forma gráfica de obtener el centro instantáneo de rotación se puede ver en la Figura 30. Supongamos que conocemos las direcciones de las velocidades de dos puntos A y B del c.r., y que estas no son paralelas. Si existe un punto alrededor del cual A está animado de un movimiento circular en el instante considerado, dicho punto de acuerdo con (38a) o (39) deberá estar situado en la  normal a vA , que pasa por A. Un razonamiento similar es válido para el punto B, y la intersección C entre ambas perpendiculares será el centro de rotación instantáneo (c.i.d.r.) buscado. Si además se conoce el módulo de la velocidad de uno de los puntos, vA por ejemplo, entonces se puede determinar la velocidad angular del c.r. por medio de  

vA , que por supuesto es la velocidad angular rA

de todas las rectas del cuerpo. Por tanto la velocidad de B es vB  rB  (rB rA )vA . Una vez situado el c.i.d.r. la dirección y velocidad instantánea de todos los puntos del cuerpo se encuentra de inmediato puesto que debe ser normal a la recta que une el punto en cuestión con C,. La figura muestra la relación entre la posición del c.i.d.r. en el caso de que las velocidades sean paralelas.

Figura 30.

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Notación de los Centros Instantáneos. En la sección anterior, los centros instantáneos de velocidad se determinaron para cada uno de los eslabones móviles con relación al eslabón fijo. La Figura 31 muestra el sistema de notación de estos puntos, en donde el centro instantáneo del eslabón 3 con relación al eslabón fijo 1 se designa como 31 para indicar el movimiento de "3 con respecto a 1". El centro instantáneo del eslabón 2 con relación al eslabón 1 se designa como 21 ó 12, y el del eslabón 4 con relación al eslabón 1 se designa como 41 ó 14. También es interesante el centro instantáneo de un eslabón con relación a otro cuando ambos se mueven con respecto al eslabón fijo. En la Figura 31 se muestra uno de estos centros en A en donde tanto A2 como A3 tienen una

 vA debido a la unión mediante perno de manera que las   vA y vA son iguales a cero. Es obvio que el punto A es el centro

velocidad absoluta común velocidades relativas

2

3

instantáneo 32 alrededor del cual gira el eslabón 3 con respecto al eslabón 2 a una velocidad angular

32 .

El punto A es también el centro instantáneo 23. De manera

similar el punto B es el centro instantáneo 43 ó 34. también se muestra en la figura.

El centro instantáneo 42 ó 24

Figura 31

Teorema de Kennedy El teorema de Kennedy establece que para tres cuerpos independientes en movimiento plano general, los tres centros instantáneos se encuentran en una línea recta común. En la Figura 32, se muestra tres eslabones independientes (1, 2, 3) en movimiento relativo entre sí. Hay tres centros instantáneos (12, 13 y 23) cuyas posiciones se deben determinar.

Figura 32

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Si el eslabón 1 se considera como un eslabón fijo, o eslabón dato, las velocidades de las partículas A2 y B2 en el eslabón 2 y las velocidades de D3 y E3 en el eslabón 3 se pueden considerar como velocidades absolutas con respecto al eslabón 1. El centro instantáneo 12 se puede localizar desde la intersección de las normales a las líneas, de dirección de velocidad dibujadas desde A2 y B2. De manera similar, el centro 13 se localiza de las normales dibujadas desde las partículas D3 y E3. Los centros instantáneos 12 y 13 son relativos al eslabón 1. Todavía se puede determinar el centro instantáneo 23. En una línea trazada que pase por los centros 12 y 13, existe una

 vC que tiene la misma dirección 2   que la velocidad absoluta vC de una partícula C3 en el eslabón 3. Debido a que vC es 3 2  proporcional a la distancia de C2 desde 12, la magnitud de vC se determina a partir de 2  la construcción gráfica mostrada y vC se determina de una manera similar. A partir de partícula C2 en el eslabón 2 a una velocidad absoluta

3

la intersección de las líneas de construcción en k se determina una localización común de C2 y C3 tal que las velocidades absolutas

  vC y vC son idénticas. Esta posición es el 2

3

centro instantáneo 23, ya que las velocidades absolutas de las partículas coincidentes

  vC C y vC C son iguales a cero. Debe ser 2 3 3 2   obvio que 23 está en una línea recta con 12 y 13 para que las direcciones de vC y vC son comunes y las velocidades relativas

2

3

sean comunes. El teorema de Kennedy es sumamente útil para determinarlas posiciones de los centros instantáneos en mecanismos que tienen un gran número de eslabones, muchos de los cuales están en movimiento plano general. En un mecanismo formado por n eslabones, hay n-1 centros instantáneos relativos a cualquier eslabón dado. Para n número de eslabones, hay un total de n( n -1 ) centros instantáneos. Sin embargo, debido a que por cada posición de centros instantáneos hay dos centros, el número total N de ubicaciones está dado por

N  n(n  1) 2 .

19. Rodadura Este tipo de movimiento es un caso de importancia especial en el estudio de la cinemática de los c.r., y es particularmente importante en la cinemática de máquinas. El rodamiento ocurre entre dos superficies que están en contacto, moviéndose uno respecto al otro. Sean B1 y B2 2 c.r. en movimiento, decimos que existe rodamiento si durante su movimiento: 1) una sucesión continua de puntos sobre B1 entra en contacto biunívoco con una sucesión de puntos de B2 , y 2) en todo instante durante el intervalo de movimiento, los puntos en contacto tienen el mismo vector velocidad. Analíticamente podemos definir a este tipo de movimiento mediante el siguiente razonamiento: Sea S una superficie y B un cuerpo que rueda sobre S, de tal [C1 - Mecánica Racional - UTN-Reg. Delta]

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forma que se contactan siempre en un punto. Sea C dicho punto de contacto entre S y B. La situación de rodamiento ocurre cuando S

 vC  0

(40)

esto es, cuando la velocidad del punto de contacto respecto a la superficie de contacto es cero. El rodamiento esta gobernado por la magnitud y dirección de la velocidad angular de B en S. Si nˆ es un vector unitario normal a S en el punto C, entonces la situación de rodadura pura se expresa de la siguiente forma:

 B  nˆ  0 (41)  S B Si el cuerpo B pivotea en S, entonces  / /n ˆ  S B  nˆ . Si P es un punto S

arbitrario de B, y considerando que la velocidad del punto C de contacto es cero, se tiene:    vP  S  B  rP (42)



donde rP es el vector de posición del punto P respecto a C. Rodamiento sobre una línea recta fija Si la rueda B1 mostrada en la Figura 33 está rodando sobre el terreno (marco de referencia

B2 ), entonces las sucesiones continuas (sombreadas) de puntos de

B1 y B2 están en contacto, un par de puntos a la vez. Puesto que los puntos de B2 están todos en reposo, cada punto P 1 en el borde de B1entra instantáneamente en reposo al ponerse en contacto con un punto P 2 de B2 En este caso las velocidades de P1 y P 2 son iguales a cero, aunque en general no necesitan anularse para que haya rodamiento, sino que se debe cumplir la   condición vP  vP . 1

2

Figura 33

   vC  vcir  kˆ rcir /C ,   ,  xC iˆ  0  kˆ(rjˆ)  riˆ  xC  r que es la relación entre la velocidad del centro de la rueda y la velocidad angular del cuerpo. La relación entre desplazamiento de C y la rotación de B1 es [C1 - Mecánica Racional - UTN-Reg. Delta]

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xC    C 1, donde la constante de integración es cero si elegimos xC  0 si   0. Consideremos por último las aceleraciones:   aC  vC  xC iˆ  r iˆ  r iˆ. Calculemos ahora la aceleración del c.i.d.r. de la rueda:

    acir  aC  kˆ rC /cir  2rC /cir  r iˆ  kˆrjˆ   2rjˆ  r  2 jˆ . De este

modo el punto de contacto de una rueda con rodamiento sobre un plano fijo tiene 2 una aceleración hacia su centro de magnitud r . Vemos que el punto de contacto (que es c.i.d.r.) tiene velocidad cero pero aceleración diferente de cero, por lo que su velocidad deja de ser cero tan pronto como se mueve, y un nuevo c.i.d.r. toma su lugar en el rodamiento. Rodamiento de una rueda sobre una curva plana fija En este caso se considera una situación donde la superficie sobre la que se efectúa el rodamiento ( B2) es curva. Sean eˆn y eˆt los vectores unitarios normal y tangente para el punto central de la rueda (Figura 34). Utilizando la misma metodología que en el caso anterior se tiene:

   vC  vcir  kˆ rcir /C  0  kˆ reˆn  r eˆt  s aC  r eˆt  r eˆt  r eˆt  r  eˆn ,    cte  radio del círculo, s  vC  r   (r )2 aC  r eˆt  eˆ  n La aceleración del c.i.d.r. se obtiene mediante:

    (r )2 acir  aC  kˆ rC /cir  2rC /cir  r eˆt  eˆn  r eˆt  r 2eˆn (43) 

La aceleración del punto Q superior de la rueda se obtiene de:

   (r )2 2    ˆ aQ  aC  k  rC /Q   rC /Q  r eˆt  eˆn  r eˆt  r 2eˆn   r  2r eˆt  r 2 1  eˆn   

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Figura 34

Notemos que es posible para la componente normal de aQ estar dirigida hacia o alejándose de C, dependiendo de que r   o r  . (Figura 35).

Figura 35

Relación entre velocidades: caso de rodadura. Supongamos dos cilindros en contacto como se ve en la Figura 36a. Por haber rodadura pura entre ellos

ω PO13   (44)  vP (2)  vP (3)  ω2PO12  ω3PO13  2  ω3 PO12 Las aceleraciones tangenciales son las mismas tal como se ve de la Figura 36b y t t satisfacen: aP (2)  aP (3)  3PO13  2PO12 , y en cuanto a las componentes normales de la aceleración se tiene: 2 3r3 r 2 2 r3 3r3  2r2  2  ; aP (2)  2r2  3 2  aP (3) 3 r2 r2 r2

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(45)

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Figura 36a

Figura 36b

Ejemplo: El eje O hace girar el brazo OA en sentido horario a 90 rpm. Usando el método del c.i.d.r. determinar la velocidad angular de la rueda dentada B, a) si el anillo dentado d está fijo y b) si gira en sentido antihorario alrededor de O con celeridad de 80 rpm.

a  ω OA  ω a  ω  2ω 2 a vC  ωAa  ωB  ωB  2ωA  4ω 2 ω

En el primer caso: D = c.i.d.r. de A

A

BA

BA

A

BA

BA

En donde C es el punto de engrane entre A y B. Para el segundo caso, sea D el punto de contacto entre el piñón A y la corona externa. La velocidad del punto D está dada por la velocidad angular de la corona (80 rpm) multiplicada por (3/2)a. Está dirigida hacia arriba, mientras que la velocidad del centro A es hacia abajo, por lo que el c.i.d.r. de piñón – corona estrá en unpunto intermedio entre el punto A y el punto D (punto de engrane piñón-corona). Sean a1, a2 las distancias a dicho centro desde D y A respectivamente,

3 vA  ωAa2, vD  ωAa1, a2  a1  a, a2  a  a1, vD  ωD a 2 vA a2 a  a1 ωBAa a a a    1    1  a1  3 vD a1 a1 a1 a1 2 ωBA ωD a 1 2 3 ωD Con a 1 se obtiene a 2 y luego ωA  vA a2 . Como en el caso anterior, se igualan las velocidades del punto de contacto C entre las ruedas dentadas A y B y se obtiene:

ωB

a  a  ωA   a2   se obtiene ωB .  2 2 

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Ejemplo. El brazo OA de 0.8 m de un mecanismo de telemando gira alrededor del eje horizontal x de la horquilla y el conjunto completo gira alrededor del eje z a la celeridad constante de 60 rpm. Simultáneamente el brazo se eleva a razón de β = 4 rad/s. Para la posición β = 30º hallar (a) la velocidad angular de OA, (b) la aceleración angular de OA, (c) la velocidad y aceleración del punto A. Si además del movimiento descrito, el árbol vertical y el punto O poseyera un movimiento lineal, en la dirección z por ejemplo, ¿influiría ese movimiento en la velocidad angular o en la aceleración angular de OA?

Como el brazo OA gira alrededor de los ejes x-y tendrá componentes ωx  β = 4 rad/s y ωz  2π N / 60  6.283 rad/s

    ω  ωx  ωz  4iˆ  6.283kˆ rad/s y la aceleración angular es        α  ω  ω x  ω z  ω x  ωz  ωx  25.13 rad/s2  Teniendo en cuenta que r  0.693 jˆ  0.4kˆ se puede determinar la velocidad y aceleración del punto A con las fórmulas: [C1 - Mecánica Racional - UTN-Reg. Delta]

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         vA  ω  r y aA  α  r  ω  ω  r

El movimiento angular de OA depende únicamente de las variaciones en N y β , por lo que ningún movimiento lineal de O puede afectar a la velocidad y aceleración angular.

Ejemplo: Al manipular la barra, la garra del mecanismo robótico lleva una velocidad angular ωp = 2 rad/s en torno al eje OG con  = 60º. La totalidad del conjunto rota en torno al eje Z a la velocidad constante  = 0.8 rad/seg. A) hallar la velocidad y aceleración angular de la barra en función de los ejes x-y-z, y//Y, b) determinar la aceleración angular de la misma si  aumenta a razón de 3 rad/s 2.

     p    2kˆ  0.8 cos 30º kˆ  0.8sen 30º iˆ  0.4iˆ  2.69kˆ rad/s       p  0.8(0.5iˆ  0.866kˆ)  2kˆ  1.6(0.5 jˆ  0)  0.8 jˆ

      d      (p  )   p   dt    3rad / s 2,   0.8rad / seg,    1.5iˆ  0.8 jˆ  2.6kˆ

Ejemplo: El volante rueda sin deslizamiento siguiendo una circunferencia de radio R, y da una vuelta completa alrededor del eje vertical “y” con celeridad constante en un tiempo . Determinar la expresión vectorial de la aceleración angular del volante y representar los conos del cuerpo y del espacio, y de la aceleración a del punto A del volante para la posición indicada. 

v  2R  2R ˆ vC  , z   C kˆ   k  r r v v    v   C ,   y  z  C jˆ  C kˆ R R r  v v v     cte,       C jˆ C jˆ  C kˆ R R r 2 2   v 2R  1 ˆ    C iˆ    i    rR rR 2  2  R    iˆ    r

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1 v v 2R    1  , y    C , z   C ,    y  z  vC  jˆ  kˆ  R  R R r  1    1  2R ˆ ˆ r ˆ vA    rA  vC  jˆ  kˆ  (riˆ  Rkˆ)  (i  j  k )  R r   R vC 

2

 1  1   2  R       1 aA    rA    vA,   vC  jˆ  kˆ  vC (0  [jˆ kˆ]    iˆ  R r  r    r 2

2

 2  R  2  R 2    ˆ ˆ ˆ   rA    i  (ri  Rk )    jˆ    r    r 2 1  2R  2  2  1   1 r r 1 1    vA  vC  jˆ  kˆ  (iˆ  jˆ  kˆ)    R [  2 ]iˆ  jˆ  kˆ  R r   R r R      r R de donde al combinar los resultados se obtiene 2   2   R r    aA    R    iˆ  kˆ     r R   

Ejemplo: El helicóptero está picando a la velocidad constante de q rad/s. Si las palas del rotor giran a la velocidad constante de p rad/s, escribir la expresión de la aceleración angular del rotor.

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         p  q    p  q  pkˆ  pqjˆ   kˆ  q  kˆ  qiˆ kˆ´ q(jˆ)  qjˆ Ejemplo: El cigüeñal CB gira alrededor del eje horizontal con una velocidad angular 1  6 rad / seg que es constante durante un intervalo corto de su movimiento en el que está comprendida la posición representada. La biela AB tiene rótulas en sus extremos y enlaza la manivela DA con CB. Determinar para el instante representado la velocidad angular 2 de la manivela DA y la velocidad angular n del eje de la biela AB. Determine también la aceleración angular de la manivela AD y de la biela AB.

    vA  vB  n  rA/B , donde n es la velocidad angular de la biela AB tomada perpendicularmente a AB. Las velocidades de A y B son:

  vA  502 jˆ, vB  100(6)iˆ  Además rA/B  50iˆ  100 jˆ  100kˆ mm, y aplicando en la relación de velocidades resulta:

desarrollando el determinante e igualando los coeficientes de (i, j, k) se tiene:

Despejando se obtiene 2  6 rad/seg. [C1 - Mecánica Racional - UTN-Reg. Delta]

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Tal como están escritas, las tres ecuaciones incluyen el hecho de que n



es perpendicular a vA/B , pero no es posible resolverlas hasta no incluir la condición de que n sea

    rA/B    rA/B  0

50n  100n  100n  0 , lo que x

y

z

permite obtener

 2 n  (2iˆ  4 jˆ  5kˆ)rad / s. 3

       aA  aB  α n  rA/B  ωn  ωn  rA/B En función de sus componentes tangencial y normal, las aceleraciones de A y B son:

 aA  50 ω22 iˆ  50 ω 2 jˆ  1800 iˆ  50 ω 2 jˆ mm/s2, a  3600 kˆ mm/s2 B

Si la biela tuviese una componente de velocidad angular según AB, en tal caso podría tener lugar una variación tanto de módulo como de dirección de esta componente, lo que podría contribuir a la aceleración angular real de la biela como cuerpo rígido. No obstante, como las rotaciones en torno a su propio eje AB carecen de influencia sobre el movimiento del cigüeñal en C y de la manivela en D, nos ocupamos solo de ω n .

   ωn  ωn  rA/B  20(50iˆ  100 jˆ  100kˆ)   ω  rA/B  (100ω n  100ω n )iˆ  (100ω n  100ω n )jˆ  (100ω n  100ω n )kˆ y

z

z

x

x

y

Por lo que al sustituir los resultados parciales e igualar componentes se obtienen las siguientes ecuaciones:

[C1 - Mecánica Racional - UTN-Reg. Delta]

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

2

de donde se obtiene ω 2  36 rad/s . El vector ω n es perpendicular a rA/B







pero no a vA/B  ω n  rA/B  0  2ω n  4ω n  4ω n  0 , que combinada x

y

z

con las relaciones anteriores da:

ω n  8 rad/s2, ω n  16 rad/s2, ω n  12 rad/s2, x y z  La componente de ω n no perpendicular a vA/B provoca la variación en la dirección de esta.

Ejemplo: La carcasa del motor y su soporte giran en torno al eje Z a la celeridad constante   3 rad/s. Respecto a la carcasa, el eje del motor y su disco solidario tienen una velocidad de giro p = 8 rad/s. Si  vale 30º en todo instante, determinar la velocidad y la aceleración del punto A, así como la aceleración angular del disco.

Los ejes de referncia rotatorios x-y-z son solidarios de la carcasa del motor y la base del mismo tiene instantáneamente la orientación que se muestra respecto a



ˆ  3Kˆ rad/s. los ejes fijos X-Y-Z. De la figura vemos que   K         vA  vB   rA/B  vrel , vB   rB  1.05Iˆ  1.05iˆ m/s    rA/B  3Kˆ  (0.3 jˆ  0.12kˆ)  0.599iˆ m/s    vrel  p  rA/B  8 jˆ (0.3 jˆ  0.12kˆ)  0.96iˆ m/s  vA  0.689iˆ m/s

La aceleración de A la da la ecuación:

          aA  aB   rA/B   rA/B  2 vrel  arel , en donde

[C1 - Mecánica Racional - UTN-Reg. Delta]

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    aB   rB  3Kˆ  3Kˆ  0.35Jˆ  2.73 jˆ  1.58kˆ m/s2       0,  rA/B  3Kˆ  3Kˆ  (0.3 jˆ  0.12kˆ)  1.557 jˆ  0.899kˆ m/s2   2 vrel  4.99 jˆ  2.88kˆ m/s2    arel  p  p  rA/B  8 jˆ 8 jˆ (0.3 jˆ  0.12kˆ)  7.68kˆ m/s2  2 de donde finalmente aA  0.703 jˆ  8.086kˆ m/s . Como la precesión es    2 uniforme, la aceleración angular será:      20.8iˆ rad/s Ejemplo: La estación espacial gira alrededor de su eje z, cuya dirección permanece constante en el espacio, a la velocidad p = 0.1 rad/seg. Simultáneamente, los paneles solares se están desplegando con una velocidad angular programada (ver gráfico) para producir la variación B del modo que se muestra. Hallar la aceleración angular del panel A un instante antes y otro después de llegar a la posición ϐ = 180º.

         p  , p  pkˆ,   iˆ, p  0, iˆ  p(kˆ i )¨ pjˆ   d   d (iˆ) d  ˆ  ˆ d  ˆ  ˆ    p    i  i   i   pj dt dt dt d d   tg()  1 / 9 , y en el caso (b) dicha cantidad es cero. En el caso (a) d

Ejemplo: El disco delgado de masa m y radio r gira en torno a su eje z con una velocidad angular constante p y la horquilla en la que está montado rota alrededor del eje X que pasa por O con una velocidad angular constante ω 1. A la vez, todo el conjunto gira en torno al eje Y fijo, que pasa por O con una velocidad angular constante ω2. Hallar la velocidad y la aceleración del punto A del borde del disco [C1 - Mecánica Racional - UTN-Reg. Delta]

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cuando pasa por la posición indicada, en la cual el plano x-y del disco coincide con el plano X-Y. Los ejes son solidarios a la horquilla. La velocidad angular de los ejes x-y-z es:

         1iˆ  2 jˆ, v  vA  vB   rA/B  vrel , vB  b2(k )  b2kˆ     rA/B  (1iˆ  2Jˆ) rjˆ  r11kˆ, vrel  rpiˆ   v  rpiˆ  (r 1  b2 )kˆ            a  aA  aB   rA/B   rA/B  2 vrel  arel     aB  b22iˆ,   1iˆ  2Jˆ  12kˆ       rA/B  (1iˆ  2Jˆ)  (r 1kˆ)  r 1(1 jˆ  2iˆ), 2 vrel  2rp2kˆ   arel  rp 2 jˆ,  rA/B  12kˆ rjˆ  r 12iˆ

Sustituyendo y combinando los resultados se obtiene:

 a  2 (b2  2r 1 )iˆ  r (12  p 2 )jˆ  2rp2kˆ

Ejemplo: la rueda de radio r puede girar alrededor del eje acodado CO, el cual gira a su vez en torno al eje vertical de velocidad constante p rad/seg. Si la rueda rota sin deslizamiento a lo largo de la circunferencia horizontal de radio R, determinar las expresiones de la velocidad angular y aceleración angular de la rueda. El eje x permanece siempre horizontal.

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 Rp ˆ Rp ˆ   pJˆ  k  (p cos )jˆ  (psen  )k r r teniendo en cuenta que hay una situación de rodadura, se tiene la siguiente igualdad:

Rp r   Rp,    , donde  es la velocidad angular de la rueda de radio r r alrededor de su eje, y de aquí la razón de la fórmula de la velocidad angular

    R    p  jˆ cos   kˆsen   . La velocidad angular de los ejes es   pJˆ :  r    Rp  d[ ] d[ ]       [ ] , con Ω constante en    kˆ, usando   dt XYZ  dt xyz r

XYZ,

   Rp  Rp  d         0   [ kˆ]   kˆ  dt XYZ r r     Rp 2 Rp ˆ ˆ ˆ   [(p cos )j  (psen )k ] k,     cos   iˆ   r r

Ejemplo: El rotor del giroscopio de la figura se mueve con velocidad constante de 100 rpm, relativa a los ejes x-y-z y en el sentido indicado. Si el ángulo  que forma el anillo de la suspensión cardan con el plano horizontal X-Y se hace crecer uniformemente a razón de 4 rad/s y si el conjunto se fuerza a tener precesión en torno a la vertical al ritmo constante de N = 20 rpm, calcular el módulo de la aceleración angular del rotor cuando  = 30º.

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n    10.5 rad/s en la dirección k,   4 rad/s en iˆ, 30 20      2.09 rad/s en Kˆ,    ,    30 2      kˆ,   iˆ,    cos  jˆ  sen kˆ

    iˆ   cos  jˆ  ( sen    )kˆ    kˆ    iˆ   cos  jˆ   sen kˆ          (  kˆ)   kˆ  (iˆ   cos  jˆ   sen kˆ) kˆ  (iˆ kˆ)     cos ( jˆ kˆ)     jˆ     cos iˆ    d    sen  jˆ     cos kˆ    sen  jˆ     cos kˆ    dt  xyz      d   d    sen  jˆ     cos kˆ     jˆ     cos iˆ          dt  XYZ dt  xyz   cos iˆ  (      sen  )jˆ     cos kˆ         sen  )2   22 cos2   4.29 rad/s2    2 2 cos2   (

Ejemplo: El motor hace girar al disco a la celeridad constante p = 30 rad/s. Además, el motor oscila alrededor del eje horizontal BO (eje y) a la celeridad constante

  10 rad / s . A la vez, todo el conjunto rota alrededor del eje vertical C-C a la

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velocidad constante q = 8 rad/ s. Hallar, para el instante en que   30º , la aceleración angular a del disco y la aceleración del punto A del borde inferior del disco. Los ejes xy-z son solidarios de la carcasa del mqtor y el plano O-xo-Y es horizontal.

O-x0-y es un plano horizontal. q = 8 r/s, p = 30 r/s,   10 rad / s .

       jˆ, p  piˆ, q  qsen iˆ  q cos  jkˆ,   qsen iˆ   jˆ  q cos  jkˆ               pi ,     (  pi )   pi  pkˆ  pq cos  jˆ  d    q cos iˆ  q sen kˆ  dt  xyz    q cos iˆ  pq cos  jˆ  (p  q sen )kˆ  rA/O  15iˆ  10kˆ           aA  aO   rA/O   rA/O  2 vrel  arel    CO  ljˆ, aO  q q CO  q 2ljˆ  9.6 jˆ m/s2      d   d        q  cos iˆ  q sen kˆ   dt  XYZ dt  xyz    rA/O  q (10 cos   15sen )jˆ    rA/O  10iˆ  (15q cos   10qsen )jˆ  15kˆ    vrel  piˆ (rkˆ)  prjˆ, 2 vrel  2pqr (sen kˆ  cos iˆ)  arel  p 2riˆ     rA/O  iˆ(152  q 2 cos (15 cos   10sen ))   jˆ(10 cos   15sen )q   kˆ(q 2sen (15 cos   10sen )  102 ) y reemplazando los valores numéricos se obtiene finalmente el resultado solicitado: [C1 - Mecánica Racional - UTN-Reg. Delta]

Página 136

 aA  66.5iˆ  7.74 jˆ  129.8kˆ m/s2    20(2 3iˆ  6 3 jˆ  13kˆ) rad/s2

Ejemplo: La punta del trompo de la Figura permanece en el punto fijo O sobre el suelo. El ángulo θ entre el eje vertical L y el eje del trompo (eje z) es constante. El eje x del sistema coordenado permanece paralelo al suelo y gira respecto a L con velocidad angular constante . Respecto al sistema coordenado en rotación el trompo gira alrededor del eje z con velocidad angular constante  . Determinar la velocidad angular y la aceleración angular del trompo. Determinar la velocidad del punto G, c.d.m. del trompo. Conocemos la velocidad angular del trompo respecto al sistema coordenado en rotación y tenemos suficiente información para determinar la velocidad angular del sistema coordenado. El sistema coordenado gira respecto al eje vertical L con velocidad angular  Por tanto, el vector de velocidad angular del sistema coordenado es paralelo L, y la regla de la mano derecha indica que señala hacia arriba. Resolviendo en sus componentes y-z obtenemos la velocidad angular del sistema coordenado.

    sen jˆ   cos kˆ, rel  kˆ

la velocidad angular del trompo es:

       rel   sen jˆ  ( cos   )kˆ

Descomposición del vector velocidad angular del sistema coordenado en componentes

i j k        rel  0  sen  cos  0 0    seniˆ  

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Página 137

    vG  vO    rG /O ,

 rG /O  hkˆ 

i

j

k

0

0

h

 vG  0  sen   cos   h  seniˆ

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Página 138

CAPÍTULO 4 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS 20.

Introducción

En los capítulos precedentes se trató de los fundamentos de la dinámica del movimiento de un punto material. El paso siguiente en el desarrollo de la Dinámica va a ser extender esos principios del movimiento de un solo punto material a la descripción del movimiento de un sistema general de puntos materiales. Esta ampliación dota de unidad a los apartados restantes, ya que nos permitirá tratar del movimiento de cuerpos rígidos y también del movimiento de sistemas no rígidos. Recordemos que un cuerpo rígido es un sistema de puntos cuyas distancias mutuas permanecen esencialmente invariables. Los movimientos globales que se dan en máquinas, vehículos terrestres y aéreos, cohetes y naves especiales y otras muchas estructuras móviles, constituyen ejemplos de problemas de cuerpos rígidos. En cambio, un cuerpo no rígido puede ser un sólido del que interese estudiar la dependencia del tiempo de las variaciones de forma debidas a deformaciones, elásticas o no. O bien, podemos definir como cuerpo no rígido a una masa dada compuesta por partículas líquidas o gaseosas animadas de una velocidad de circulación dependiente del tiempo. Como ejemplos tendríamos el aire y el combustible que circulan por la turbina de un motor de avión, los gases quemados que salen por la tobera del motor de un cohete o el agua que atraviesa una bomba rotatoria. Aunque la ampliación de las ecuaciones del movimiento de una partícula única a un sistema general de partículas se lleva a cabo sin dificultades excesivas, no es posible confiar en que pueda comprenderse toda la generalidad e importancia de esos principios ampliados sin una experiencia considerable en la resolución de problemas.

21.

Generalización de la Segunda Ley de Newton

Extenderemos ahora la segunda ley de Newton y los teoremas de las fuerzas vivas y de la cantidad de movimiento de un punto material para que cubran un sistema genérico de n puntos materiales limitados por una superficie cerrada en el espacio (Figura 1). Dicha superficie límite podría ser, por ejemplo, la superficie exterior de un cuerpo rígido dado, la superficie limitadora de una porción arbitraria del cuerpo, la superficie exterior de un cohete que contenga cuerpos tanto rígidos como deformables o un volumen particular de partículas de un fluido. En cada caso, el sistema considerado es la masa interior a la envoltura y dicha masa debe definirse o aislarse claramente.

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Página 139

mi aislado del sistema del que    forma parte, con las fuerzas F1, F2,..., Fn que sobre él ejercen agentes exteriores al    contorno del sistema, y las fuerzas fi1, fi 2, fi 3,... , que sobre él ejercen agentes En la Figura 1 se representa un punto material de masa

interiores al contorno. Las fuerzas exteriores se deben al contacto con cuerpos externos al sistema o bien son fuerzas gravitatorias, eléctricas o magnéticas.

Figura 1

Las fuerzas interiores son de reacción con otros puntos materiales interiores al contorno



la define su vector de posición ri medido desde un sistema inercial de ejes de referencia fijos. del sistema. La posición de

mi

Figura 2

El centro de masa G del sistema de puntos materiales aislado lo determina su vector de



posición rG que, según la definición de centro de masa está dado por

  mrG   miri

[C1 - Mecánica Racional - UTN-Reg. Delta]

(1)

Página 140

donde la masa total del sistema es suma

n

k 1

m   mi .

El signo sumatorio representa una

que se extiende a la totalidad de los

n

puntos materiales. La segunda

mi da:        F1  F2  F3  ...  fi1  fi 2  fi 3  ...  miri      Fj   fij  miri (2)

ley de Newton aplicada a

donde

 ri

j

j

mi . Para cada punto del sistema puede escribirse una   Llamaremos Fi   Fj a la resultante de las fuerzas externas

es la aceleración de

ecuación análoga.

j

que actúan sobre la partícula i  esima . Si estas ecuaciones, escritas para todos los puntos del sistema, se suman todas miembro, a miembro, resulta:

   F  f  i  ij   miri i

i

j

(3)

i

Naturalmente, al realizar este paso se pierde la información sobre el comportamiento individual de las partículas, pero permite obtener ecuaciones dinámicas generales sobre el comportamiento global del sistema. El primer término de la ecuación anterior representa la resultante de todas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema:

   F   Fi   Fi i

  fij  fji , lo que implica

Para cada fuerza interna existe una fuerza igual y opuesta: que la doble suma en la ecuación (3) es igual a cero:

 f  ij  0 i

(4a)

j

Tomando momentos de la ecuación (2) respecto al origen O del sistemas de coordenadas, y llamando correspondiente a

 ri

al vector de posición de

Pi

(Figura 3) y

 rj

al

Pj :

n       ri  Fi   ri  fij  ri  miai

(4b)

j 1

Repitiendo este procedimiento para cada partícula del sistema volemos a obtener necuaciones del tipo (4b), donde

 i  1,..., n . Los vectores miai se denominan las

fuerzas efectivas de las partículas. En consecuencia, las ecuaciones que se obtienen





expresan el hecho de que las fuerzas externas Fi y las fuerzas internas fij que actúan

[C1 - Mecánica Racional - UTN-Reg. Delta]

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sobre las diversas partículas forman un sistema equivalente al sistema de las fuerzas efectivas (Figura 3).

Figura 3

Teniendo en cuenta que las fuerzas internas aparecen de a pares (tal como se ve en la



Figura 2 y Figura 3, donde fij representa la fuerza ejercida por la partícula Pi sobre la partícula Pj y viceversa. Teniendo en cuenta que que la suma vectorial de ambas es cero de acuerdo al principio de acción y reacción, tomemos la suma de sus momentos respecto a O:

          ri  fij  rj  fji  ri  (fij  fji )  (rj  ri )  fji  0

(4c)

de modo que al agregar todos los momentos de todas las fuerzas internas se obtiene: n

n

  ( r  i  fji )  0

(4d)

i 1 j 1

Que expresa el hecho de que la resultante y el momento resultante de las fuerzas internas del sistema son cero.



Derivando dos veces respecto al tiempo la ecuación de definición de rG , se tiene

  mr   miri

(5)

i

Sustituyendo (4) y (5) en (3) se tiene:

  F   mrG



  F   maG

(6)



es la aceleración rG del centro de masa del sistema. La ecuación (6) es la segunda ley de Newton generalizada para el movimiento de un sistema de puntos materiales y lleva el nombre de ecuación del movimiento de m . La ecuación dice que la resultante de las fuerzas exteriores que se ejercen sobre un sistema cualquiera de puntos materiales es igual al producto de la masa total del sistema por la aceleración del centro de masa. Esta ley expresa el llamado principio del movimiento donde

aG

del centro de masa. Obsérvese que

 aG es

[C1 - Mecánica Racional - UTN-Reg. Delta]

la aceleración del punto geométrico qué

Página 142

representa en cada instante la posición del centro de masa de los n puntos materiales dados. En el caso de un cuerpo deformable esta aceleración no tiene por qué representar la aceleración de ningún punto material particular. Obsérvese también que la ecuación (6) es válida en cada instante y constituye, por tanto, una relación instantánea. La ecuación (6) puede expresarse en forma de componentes mediante las coordenadas x  y  z o empleando el sistema de coordenadas que mejor convenga al sistema en cuestión. Entonces:

 Fx

 max ,

 Fy

 may ,

 Fz

 maz ,

(7)

Aún cuando la ecuación (6), como ecuación vectorial que es, exige que la aceleración

 aG

tenga la misma dirección que la resultante de las fuerzas externas, no se deduce

inmediatamente que

 F  pase necesariamente por G, en general no lo hace por lo

que debemos realizar otras consideraciones utilizando el momento de esta fuerza. Al proceder de manera similar con las ecuaciones (4b) y tomando en cuenta el resultado (4d), se tiene: n

  ( r  i  Fi )  i 1

n





 (ri  miai )

(8)

i 1



Las ecuaciones (6) y (8) expresan el hecho de el sistema de fuerzas externas Fi y el



sistema de fuerzas efectivas miai tienen la misma resultante y el mismo momento resultante, o sea conforman un sistema de fuerzas equipolentes (Figura 4).

Figura 4

22.

Cantidad de Movimiento Lineal

La cantidad de movimiento de una masa puntual mi se calcula por medio de   pi  mivi , por lo que al ser un vector, podemos definir la cantidad de movimiento total del sistema de n partículas como la suma vectorial de las cantidades de movimiento

[C1 - Mecánica Racional - UTN-Reg. Delta]

Página 143

individual de cada una de ellas

 p



 mivi , y si tenemos en cuenta la ecuación (1), i

la derivamos y comparamos con la expresión anterior se llega a:

  p  mvG

(9)

Así pues la cantidad de movimiento de todo el sistema material de masa constante es el producto de la masa por la velocidad del centro de masa. La derivada temporal de

 p

  mvG  maG ,

es

que de acuerdo a la ecuación (6) es

igual a la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre las partículas, por lo que se obtiene:

  F   p

(10)

Esta ecuación indica que la resultante de las fuerzas externas de todo el sistema material es igual a la variación por unidad de tiempo de la cantidad de movimiento del sistema, y constituye otra forma de la segunda ley de Newton generalizada. Si para un cierto intervalo de tiempo, la resultante

 F   0 , esto es la resultante de

las fuerzas exteriores que actúa sobre un sistema material, conservativa o no, es nula, la ecuación (9) exige que

 p  0 , con lo cual durante dicho intervalo de tiempo será:

  p1  p2

(11)

lo que expresa el principio de conservación de la cantidad de movimiento: en ausencia de fuerzas externas la cantidad de movimiento de un sistema es constante. El principio de impulso lineal se obtiene como en el caso de una partícula integrando la expresión (10): t2



   F  (t )dt  p2  p1

(12)

t1

23.

Cantidad de Movimiento Angular

Vamos a determinar el impulso angular de un sistema de puntos materiales respecto a un punto fijo O, respecto al centro de masa G y respecto a un punto cualquiera P que puede





estar animado de una aceleración aP  rP (Figura 5):

[C1 - Mecánica Racional - UTN-Reg. Delta]

Página 144

Figura 5 Respecto a O: Por definición el impulso angular respecto al punto O, fijo en el sistema inercial de referencia, del sistema de masas puntuales que nos ocupa es la suma vectorial de los momentos respecto a O de las cantidades de movimiento de todos los puntos materiales que integran el sistema y se expresa

 HO 

n





 (ri  mivi )

(13)

i 1

la derivada temporal de la expresión anterior es:

 HO 

n

n

     ri  mivi   ri  miai i 1

(14)

i 1

y teniendo en cuenta que la primer sumatoria es cero, y comparando el término restante n

con (8) resulta:

  r  i  Fi  i 1

n





 ri  miai ,

o sea, la suma vectorial de los

i 1

momentos respecto a O de todas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema es igual a la variación temporal del impulso angular del sistema de partículas respecto a dicho punto:

   MO  HO

(15)

Respecto a G: El impulso angular del sistema de partículas respecto a G es la suma de los momentos respecto a G de las cantidades de movimiento de todos los puntos materiales del sistema, y es:

 HG 



n





 (i  miri )

(16)

i 1

siendo ri la velocidad absoluta de la partícula i-esima, la cual se puede escribir como la suma de la velocidad del centro de masa G más la velocidad relativa de dicha partícula respecto a un observador en G:

   r  vG  i ,

con lo que la (16) se escribe de la

siguiente forma:

[C1 - Mecánica Racional - UTN-Reg. Delta]

Página 145

 HG 

n

     [i  mi (r  vG  i )]  i 1

n

n

i 1

i 1

     (i  mivG )  (i  mi i )

 n     y teniendo que el primer sumando puede escribirse en la forma   mi i   vG , y   i 1  considerando la definición dada por la ecuación (1) que permite determinar el vector de posición del centro de masa de un sistema de partículas, y recordando que estamos colocando nuestro sistema de coordenadas sobre G, resulta que el término entre paréntesis es cero, por lo que:

 HG 

n





 (i  mi i )

(17)

i 1

La expresión (16) recibe el nombre de impulso angular absoluto porque en ella se emplea la velocidad absoluta, en cambio la (17) recibe el nombre de impulso angular relativo dado que su cálculo emplea la velocidad relativa respecto a un observador en G. Sin embargo, puede observarse que ambas cantidades son iguales. Derivando (16) respecto al tiempo resulta:

 HG  

n

i 1 n

n

i 1

n

       (i  mivG )   i  mi i   (i  miri ) i 1



n

      [i  mi (vG i )]   (i  miri )

i 1 n

n

i 1

    d ( mi i )  vG  (i  miri ) dt i 1 i 1

y teniendo en cuenta la definición del vector de posición centro de masa dada en (1), vemos que coincide con el sumando del primer término, pero como nuestro sistema de coordenadas tiene origen en G, este término debe ser cero. Teniendo en cuenta la ecuación (2), podemos reemplazar al segundo término de la ecuación anterior por: n n n n           HG   (i   (Fj  fij ))  i  Fi    i  fij Fi   Fj y llamando i 1

j

i 1

i 1 i 1

j

recordando (4d), se llega al observar que el primer sumando de la derecha representa el momento de las fuerzas externas respecto a G:

 HG 

 M  G

(18)

Las ecuaciones (15) y (18) se encuentran entre las relaciones más potentes y eficaces que rigen la dinámica y son válidas para cualquier sistema de masas definido, rígido o deformable. Respecto a P: El impulso angular respecto a un punto arbitrario P (cuya aceleración

 puede ser rP ) será (ver notación Figura 5):

[C1 - Mecánica Racional - UTN-Reg. Delta]

Página 146

 HP 

n

n

n

n

i 1 n

i 1

i 1

          (i'  miri )  ((  i )  miri )  (  miri )   (i  miri ) i 1

n

        mivi   i  miri i 1

i 1





el primer sumando de acuerdo a (1) es   mvG , mientras que el segundo, de acuerdo a la ecuación (16) es el impulso angular respecto a G:

    H P  HG    mvG

(19)

Esta ecuación establece que el impulso angular absoluto respecto a un punto cualquiera P es igual al impulso angular respecto al centro de masa más el momento respecto a P de  la cantidad de movimiento mv .

Figura 6 Teniendo en cuenta que un sistema de fuerzas puede representarse mediante una fuerza resultante aplicada a un punto cualquiera, como el G, y el correspondiente par de fuerzas

 F  de las fuerzas  externas actuantes sobre el sistema, acompañada del par de momento  MG . asociado, en la Figura 6 se representa aplicada en G la resultante

Relacionando ahora el momento resultante respecto a P de las fuerzas exteriores con el momento resultante de las mismas respecto a G, podemos escribir:





 i'  Fi i

















 (i  )  Fi  i  Fi     F i

i

(ver Figura 5 para la nomenclatura utilizada), vemos que el miembro de la izquierda es el momento resultante de las fuerzas externas respecto a P, el primer término del segundo miembro es el momento resultante de las mismas respecto a G:

 M  P

   M    F  G  , de modo que si consideramos la ecuación (18) el  primer término del lado derecho de esta última ecuación es HG , y recordando (6)   F   maG resulta que:

    M  H  P G    maG [C1 - Mecánica Racional - UTN-Reg. Delta]

(20)

Página 147

Las expresiones (15) y (18) permiten deducir un teorema de conservación del impulso angular. Efectivamente, si el momento de las fuerzas externas respecto a un punto fijo O, o respecto al centro de masa G es cero, entonces se conserva el correspondiente valor del impulso angular.

  H  H  O  O 1

2

o bien

  H  H  G  G 1

(21)

2

24. Trabajo y Energía En el capítulo 1 desarrollamos el teorema de las fuerzas vivas para el caso de un punto material. Fijémonos ahora en el sistema general de la Figura 1 en donde la relación entre trabajo y energía para el punto material genérico de masa mi es: W12   Ti , i

donde el término en la izquierda es el trabajo efectuado sobre mi por todas las fuerzas

    Fi  F1  F2  F3  ... aplicadas desde agentes exteriores al sistema, y por todas las     fuerzas fi  f1  f2  f3  ... interiores al sistema. La energía cinética de mi es:

Ti 

1 mivi2 . 2

Para todo el sistema, la suma de las ecuaciones correspondientes al teorema de las fuerzas vivas aplicado a cada uno de los puntos es W12 i  Ti la cual se



 i

puede expresar en la forma:

W12  T



T1  W12  T2

(22)

En el caso de un cuerpo rígido o un sistema de cuerpos rígidos unidos por conexiones ideales sin rozamiento no se efectúa trabajo resultante por parte de las fuerzas o momentos de interacción internos en las conexiones, y vemos que el trabajo de toda





pareja de fuerzas interiores fi y -fi actuantes en la conexión del sistema es nulo por tener los puntos de aplicación iguales componentes del desplazamiento en la dirección de las fuerzas (Figura 7). En tal caso W12 resulta ser el trabajo efectuado sobre el sistema por las fuerzas exteriores únicamente.

[C1 - Mecánica Racional - UTN-Reg. Delta]

Página 148

Figura 7 En el caso de un sistema mecánico deformable que tenga miembros elásticos capaces de almacenar energía, parte del trabajo efectuado por las fuerzas exteriores se invierte en alterar la energía potencial elástica interna Ve . Además si del término del trabajo se excluye el trabajo de las fuerzas gravitatorias y este trabajo se incluye como variaciones ' de la energía potencial gravitatoria Vg podemos igualar el trabajo total W12 realizado

sobre el sistema durante un intervalo del movimiento, a la variación E de la energía mecánica del sistema:

W12'  T  Vg  Ve

(23)

Examinemos ahora con mayor detalle la expresión de la energía cinética del sistema de partículas:

T 

1

 2 mivi2 .

La velocidad de cualquier partícula del sistema se

i

puede

escribir

           vi  vG  i  vi2  vi  vi  (vG  i )  (vG  i )  vG2  2vG  i  i2

como:

de donde la expresión anterior de la energía cinética se puede descomponer

T 

1

1



 

 2 mivG2   2 mi i2    mi i   vG , i

i

donde

teniendo

en

cuenta

la

i

definición (1) del vector de posición del centro de masa vemos que el tercer sumando es nulo debido a que nos da la posición de dicho punto respecto a un sistema de referencia situado en él. El primer término es

1 2 mv , donde m es la masa total del sistema de 2 G

partículas, con lo cual se obtiene:

1 1 T  mvG2   mi i2 2 i 2

(24)

Esta ecuación expresa el hecho de que la energía cinética total de un sistema de masas es igual a la energía de traslación del centro de masa del sistema en conjunto más la energía debida al movimiento de todos los puntos respecto al centro de masa. Un sistema material se dice que es conservativo si no pierde energía en virtud de fuerzas de rozamiento interno que realizan un trabajo negativo o en virtud de miembros no

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elásticos que disipan energía. Si durante un intervalo del movimiento no hay fuerzas externas que realicen trabajo sobre un sistema conservativo resulta ser E  0 , lo que implica:

T  Vg  Ve  0

(25)

25. Efectos Inerciales en un Cuerpo Rígido El teorema de Chasles dice que el movimiento general de un cuerpo rígido se puede representar como una superposición de un traslación que un punto arbitrario de un c.r. y una rotación pura alrededor de ese punto. Las herramientas cinemáticas desarrolladas en el capítulo 4 nos dan la capacidad para describir estos movimientos en términos de unos pocos parámetros. A continuación, utilizando las relaciones generales deducidas para un sistema de partículas, particularmente las ecuaciones (6-15-18) que representan las ecuaciones generales de movimiento de un sistema de partículas, vamos a caracterizar las relaciones entre las fuerzas que actúan en un c.r. y los parámetros cinemáticos. El hecho de que se puedan utilizar dichas ecuaciones en la formulación general del movimiento de un c.r., se basa en el hecho de que el mismo se puede considerar formado por un conjunto muy grande de partículas con la condición vinculante de que la distancia entre cada par de partículas es constante, lo que nos llevó a considerar que el número de g.d.l. de un c.r. es igual a 6. La resultante de un conjunto de fuerzas que actúan sobre un c.r., intuitivamente se puede considerar como la tendencia neta de un sistema de fuerzas que empuja a un cuerpo, de modo que es de esperar que esté relacionado al efecto traslacional del cuerpo. Similarmente, es razonable esperar que el momento resultante de un conjunto de fuerzas represente la influencia rotacional. La ecuación de la fuerza para un sistema material cualquiera, rígido o no ec (6), es la generalización de la segunda ley de Newton para el movimiento de un punto material y no precisa de ninguna explicación más. En cambio, la ecuación del momento no es tan sencilla. Al aplicar la ecuación (15) el problema es la elección del punto O. Para ello hay tres posibilidades: 1) seleccionar O=G, centro de masa del c.r., el cual resulta el punto óptimo cuando el cuerpo posee un movimiento general o de traslación, 2) seleccionar un  punto O tal que aO  0 . En el caso de que un cuerpo tenga un punto fijo, este será estacionario y cumple el requisito propuesto, 3) seleccionar un punto O como aquél que  tiene una aceleración dirigida hacia afuera o hacia el c.d.m. en cuyo caso aO //rOG . La formulación de la ecuación de fuerzas (6) requiere que se identifique la posición del c.d.m., de modo que focalizando la formulación con este punto nos llevará a una formulación general. Sin embargo, hay una razón muy importante por la cual es conveniente la segunda selección (de las tres mencionadas) para el caso de rotación pura, y es que en este caso en el punto de giro existen fuerzas de reacción que en la aplicación de la ecuación de momentos deben evitarse. C onsideremos ahora un cuerpo rígido que ejecuta un movimiento cualquiera en el espacio (Figura 8).

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Figura 8 Los ejes x-y-z son solidarios al cuerpo y su origen se encuentra en el centro de masa  G. La velocidad angular  del cuerpo es la velocidad angular del sistema x-y-z observada desde el sistema de ejes de referencia fijos X-Y-Z. El momento cinético



absoluto HG del cuerpo respecto a su centro de masa G es la suma de los momentos respecto a G de las cantidades de movimiento y fue expresado en la ec (18) como

 HG 





 i  mivi ,



donde vi es la velocidad absoluta del elemento de masa mi .

i









Pero en el caso del cuerpo rígido vi  vG    i donde el segundo sumando es la velocidad relativa de mi respecto a G. Así pues, podemos escribir, reemplazando en la



expresión de HG :

       HG    mi i   vG    i  mi (  i )    i i y teniendo en cuenta que nuestro sistema de referencia está ubicado en G, el primer  mi i  0 , de donde tomando límite cuando sumando resulta igual a cero:

 i

mi  0, y i   se tiene:

 HG 





 

    (   d 

(26)

Antes de desarrollar el integrando de la ecuación (26), consideremos también el caso de un cuerpo rígido que gira en tomo a un punto fijo O (Figura 8b). Los ejes x-y-z son  solidarios al cuerpo y éste y aquéllos tienen una velocidad angular  . El momento



cinético respecto a O es (ec. (13)) HO 





 (ri  mivi ) donde, para el cuerpo rígido,

     vi    ri . Así pues, en el paso al límite sustituyendo mi por dm y ri por dr , el

momento cinético es:

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 HO 



 r  (  r d   

(27)



Se observa ahora que en los casos de las Figuras 8a y 8b, los vectores de posición i



y ri ; vienen dados por la misma expresión xiˆ  yjˆ  zkˆ . Así pues, las ecuaciones (26)



y (27) son formalmente iguales y se empleará el símbolo H para uno y otro caso. El desarrollo del integrando de las dos expresiones del momento cinético se realizará  teniendo en cuenta el hecho de que las componentes de  son invariantes respecto a las integrales extendidas al cuerpo y que por tanto resultan ser multiplicadores constantes de las integrales. El desarrollo del producto vectorial aplicando a tres vectores, una vez reducidos términos semejantes, da:

 dH  iˆ  (y 2  z 2 )x  xy y  xz z  dm    jˆ   yx x  (z 2  x 2 )y  zy z  dm   2 2   ˆ k   zx x  zy y  (x  y )z  dm   Ahora, sean:

(28) )

Las cantidades

I xx , I yy , I zz son los llamados momentos de inercia del cuerpo

respecto a los ejes respectivos y las cantidades

I xy , I xz , I yz son los productos de

inercia respecto a los pares de planos de coordenadas. Estas cantidades definen la manera cómo se distribuye la masa de un cuerpo respecto a los ejes elegidos. Los sub índices dobles de los momentos de inercia hacen que se conserve una simetría de notación que tiene un significado especial en la formulación tensorial. Se observa que

 I xy  I yx , I xz  I zx , I yz  I zy . La expresión de H queda, al sustituir por las

ecuaciones (28),

 H  (I xx x  I xy y  I xz z )iˆ  I   I   I  )jˆ yx

x

yy y

yz z

(29)

 I zx x  I zy y  I zz z )kˆ 

las componentes de H resultan ser:

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(30)

La ecuación (29) es la expresión general del momento cinético respecto al centro de masa G o respecto a un punto fijo O de un cuerpo rígido que gira con velocidad angular  instantánea  . Llamamos la atención acerca del hecho de que en los dos casos representados, los ejes de referencia x  y  z son solidarios al cuerpo rígido. Esto hace que las integrales (28) de los momentos y de los productos de inercia sean invariantes con el tiempo. Si los ejes x  y  z girasen respecto a un cuerpo irregular, dichas integrales de inercia serían funciones del tiempo, lo que introduciría una complicación nada deseable en las relaciones del momento cinético. Se presenta una excepción importante en el caso de un cuerpo rígido en rotación alrededor de un eje de simetría, pues entonces las integrales de inercia no se ven afectadas por la posición angular del cuerpo respecto a su eje de rotación. Así pues, suele ser conveniente permitir que un cuerpo de simetría axil gire respecto al sistema de referencia alrededor de uno de los ejes de coordenadas. Además de las componentes de la cantidad de movimiento



debidas a la velocidad angular  de los ejes de referencia, habrá que introducir una nueva componente del momento cinético dirigida a lo largo del eje de rotación relativa al eje. En las ecuaciones (30) la matriz de los momentos y productos de inercia

I  xx  I  yz  I zx

I xy I yy I zy

I xz   I yz   I  zz

se conoce como matriz de inercia o tensor de inercia. A medida que varía la orientación de los ejes varían también los valores de los momentos y productos de inercia. Hemos visto que para un origen dado existe una orientación única de los ejes x  y  z para la cual los productos de inercia son nulos y los momentos de inercia I x , I yy , I zz adquieren valores estacionarios. Con esta orientación, la matriz de inercia toma la forma

I  x  0   0

0 Iy 0

0   0   I z 

y se dice que está diagonalizada. Los ejes x  y  z para los que los productos del inercia son nulos se llaman ejes principales de inercia e I x , I y , I z son los llamados momentos principales de inercia. Para cada origen de coordenadas los momentos principales de inercia representan los valores máximo y mínimo y un valor intermedio de

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los momentos de inercia. Cuando los ejes coordenados coinciden con los ejes principales de inercia, la expresión (29) del momento cinético respecto al centro de masa o a un punto fijo se convierte en:

 H  I x x iˆ  I y y jˆ  I zkˆ

(31)

Para todo cuerpo tridimensional es siempre posible situar los ejes principales de inercia. Por tanto, su momento cinético podrá expresarse mediante (31), aunque por razones geométricas puede que ello no sea siempre fácil. Excepto cuando el cuerpo gire





alrededor de uno de los ejes principales o cuando I x  I y  I z los vectores H y  tendrán direcciones distintas. El estado cinético de un cuerpo rígido puede representarse por la cantidad   de movimiento total p  mvG en el centro de masa y el momento cinético total

  HG respecto al centro de masa, como se indica en la Figura 9. En ésta, HG se

ha colocado en el centro de masa por comodidad, si bien es un vector libre. Los vectores citados ofrecen propiedades análogas alas de una fuerza y un par; así, el



momento cinético respecto a cualquier punto A no fijo al cuerpo es igual a HG (vector libre) más el momento respecto a A de la cantidad de movimiento. Por consiguiente, podemos escribir

     H A  HG  r  p  HG  r  mvG

(32)

Esta ecuación (32) constituye un teorema de transferencia de momentos cinéticos.

Figura 9 Las ecuaciones (15) o (18) que expresan la relación entre el momento de las fuerzas externas respecto a un punto fijo “O” o respecto a “G”, son válidas tanto para un sistema de puntos materiales como para un c.r., ya que como se definió en cinemática, un c.r. se modela desde el punto de vista cinético como un conjunto muy grande de partículas con la condición adicional de rigidez. Por tanto también será válido la forma integral de dichas ecuaciones:

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t2  (HO )1  

t2     MOdt  (HO )2, (HG )1  

t1

t1

  M dt  ( H  G G )2 (33)

Si se toman momentos respecto a un punto fijo “O”, o bien respecto a “G” habrá que utilizar la expresión (29) para el cálculo del impulso angular, con los momentos de inercia calculados según sea el sistema de referencia seleccionado. Las ecuaciones (33) son especialmente útiles cuando se conoce el momento resultante del sistema de fuerzas exteriores respecto a un eje concreto. Por ejemplo, si las fuerzas exteriores que se ejercen sobre el cuerpo tienen momento nulo respecto a un eje determinado, el impulso angular respecto a dicho eje será constante. En el caso de fuerzas impulsivas, sólo habrá que considerar sus momentos. Cuando el c.r. gira alrededor de un punto fijo “O” que no es el centro de masa, en el análisis habrá que considerar el impulso de la reacción si se toma el c.d.m. “G” como referencia. En tal caso será conveniente tomar como punto de referencia el punto “O” a fin de eliminar dicha incógnita. Naturalmente, un resultado análogo es válido para la cantidad de movimiento lineal del cuerpo rígido: t

2  m(vG )1  

  Fdt   m(vG )2

(34)

t1

Ambas ecuaciones (33) y (34) se pueden interpretar gráficamente como se indica en la







Figura 10 por un sistema fuerza par constituído por p  mvG , y HG :

Figura 10

26. Ecuaciones Cinéticas del Movimiento Caso 1. Movimiento General en el Espacio  En la sección anterior nos hemos enfocado en describir y comprender la variabilidad de H , y es nuestra intención aplicar dichos conceptos para relacionar el movimiento de un sistema de fuerzas que actúa en un c.r. con su movimiento. La formulación está basada en los principios de impulso lineal y angular de Newton y Euler, que gobiernan el movimiento de un solo cuerpo, mientras que las aplicaciones prácticas implican el movimiento de varios cuerpos rígidos, por lo que en la aplicación a los mismos será necesario escribir ecuaciones de movimiento para cada uno de ellos. En esta situación,

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deberá prestarse especial atención, a las fuerzas que se ejercen entre los diferentes cuerpos, por lo que una buena práctica en estos casos será dibujar cuidadosamente los diagramas de cuerpo libre para cada situación. Ya habíamos establecimos las ecuaciones generales de la cantidad de movimiento y del momento cinético para un sistema de masa constante. Tales ecuaciones son:

  F  p    M  H

(35) (36)

Las ecuaciones (36) para un sistema cualquiera de masa constante se expresarán



ahora mediante la ecuación única

M

  H , donde se toman los términos respecto a

un punto fijo cualquiera “O” o respecto al centro de masa “G”. En la deducción del



principio del momento se tomaba la derivada de H respecto a un sistema de coordenadas absoluto. Cuando se expresa en función de componentes medidas respecto a un sistema de coordenadas móvil x  y  z que tiene una velocidad angular

  , la ecuación que expresa la relación entre las derivadas de un vector en un sistema

absoluto y otro móvil:

 dV dt

XYZ

 dV  dt

    V

(37)

xyz

Aplicamos esta ecuación a (36) y obtenemos

  dH  M  dt

XYZ

 dH  dt

       H  (H x iˆ  H y jˆ  H z kˆ)    H xyz



Los términos entre paréntesis representan la parte de H debida a la variación



del valor de las componentes de H , y el producto vectorial representa la parte



debida a los cambios de dirección de las componentes de H . Desarrollando el producto vectorial y agrupando términos se tiene:

 M   (H x  H yz  H z y )iˆ  (H y  H z x  H x z )jˆ  (H z  H x y  H z x )kˆ

(38)

La ecuación (38) es la forma más general de la ecuación del momento respecto a un punto fijo “O”, o respecto al centro de masa “G”. Las  son las componentes de la



velocidad angular de rotación de los ejes de referencia y las componentes H , en el caso de un cuerpo rígido, son las definidas en las ecuaciones (30), donde las  son las

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componentes de la velocidad angular del cuerpo. Aplicamos ahora la ecuación (38) a un cuerpo rígido en el que los ejes de coordenadas son solidarios al cuerpo. En estas condiciones, cuando se expresan en las coordenadas x  y  z , los momentos y





productos de inercia son invariantes con el tiempo y    . Así pues, para ejes solidarios al cuerpo, las tres componentes escalares de la ecuación (38) se convierten en:

 Mx  H x  H yz  H z y  My  H y  H z x  H x z  Mz  H z  H x y  H z x

(39)

Las ecuaciones (39) son las ecuaciones generales del momento para el movimiento de un cuerpo rígido con ejes de referencia solidarios y son válidas respecto a ejes que pasen por un punto fijo “O” o por el centro de masa “G”. Habíamos visto que, en general, para un origen cualquiera fijo a un cuerpo rígido, existen tres ejes principales de inercia. Si los ejes de referencia coinciden con dichos ejes, con origen en el centro de masa “G” o en un punto “O” fijo al cuerpo y fijo en el espacio, los productos de inercia se anulan, en dicha situación, si I x , I y , I z son los momentos principales de inercia, entonces utilizando las componentes de x-y-z de la ecuación vectorial (31), las ecuaciones (39) toman la siguiente forma:

 Mx  I x  x  (I y  I z )y z  My  I y  y  (I z  I x )z x  M z  I z  z  (I x  I y )x y

(40)

Estas relaciones se conocen con el nombre de ecuaciones de Euler, y se cuentan entre las más útiles de la Dinámica.

Caso 2. Rotación alrededor de un punto fijo Las ecuaciones que rigen el movimiento de un cuerpo rígido con este tipo de vínculo vuelven a ser el par de ecuaciones Newton-Euler, la primera de ellas se refiere a la descripción del movimiento del centro de masa G:

  F   maG

(41)

mientras que la segunda de las ecuaciones se obtiene de considerar la relación existente entre el momento de las fuerzas externas y cuplas actuantes respecto a “O” y la derivada del impulso angular del cuerpo rígido respecto a dicho punto:

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  dHO  MO  dt 

(42)



Usando la ecuación (37) con V  H , y teniendo en cuenta la ecuación (29) ó (30) y siguiendo el procedimiento anterior se obtienen nuevamente las ecuaciones (39), y si se utilizan un sistema de referencia fijo al cuerpo que coincida con los ejes principales de inercia, se tienen nuevamente las ecuaciones (40). La única diferencia que es necesario recalcar es que en esta situación, los momentos de las fuerzas externas, así como los momentos de inercia deben calcularse respecto a ejes situados en “O”, para lo cual será necesario en primer lugar calcular dichos momentos respecto a G y luego utilizar Steiner. En ambas dos situaciones, el caso general presentado en primer lugar y el rotación alrededor de un punto fijo, si se desea calcular la aceleración angular del cuerpo rígido se debe considerar el uso de la ecuación (37):

  d  dt

XYZ

 d  dt

    

(43)

xyz

La forma matricial de las ecuaciones (39), utilizadas en ambos casos es la siguiente:

        M x   I xx I xy I xz  x            M   I I  I    y   yz yy yz  y        I   M  I I      zx  z  zy zz  z   0   z y   I xx I xy       0  I yy  z x   I yz     x 0   I zx I zy  y

I xz  x       I yz    y   I zz     z 

(44)

En muchas aplicaciones se hará necesario calcular los momentos de inercia respecto a un sistema de ejes x-y-z, y luego trasladar estos resultados respecto a otro eje que pase por el origen de coordenadas. En estas situaciones debemos recalcar que la fórmula de transformación está dada por:

Ia  l 2I xx  m 2I yy  n 2I zz  2mnI yz  2nlI zx  2lmI xy (45) donde los momentos y productos de inercia se calculan respecto a los ejes de referencia utilizados, y l, m, n son los cosenos directores del eje respecto al cual deseamos calcular los momentos de inercia.

Caso 3. Generalización Caso Movimiento General. El caso que vamos a analizar a continuación generaliza el presentado en primer lugar y está esquematizado en la Figura 11. Se considera un cuerpo rígido de forma arbitraria, con un sistema de coordenadas XYZ fijo en el espacio, y un sistema solidario al cuerpo xyz con origen en el punto “A”. El desplazamiento de un elemento de masa dm respecto  al punto “A” viene dado por el vector  y respecto al origen “O” del sistema fijo XYZ viene

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

expresado por el vector R . El desplazamiento del origen “A” respecto al origen de  coordenadas fijo “O” del sistema XYZ lo da el vector r . Las resultantes de las fuerzas





externas e internas que se ejercen sobre el elemento dm son F y f respectivamente.









El momento respecto al punto “A” de ambas fuerzas es: dMA    (F  f ) , mientras que la aplicación de la segunda ley de Newton a dicho elemento de masa es

    F  f  admdm  Rdm , de donde si combinamos ambas ecuaciones se obtiene:       dMA    (F  f )  (  adm )dm

Figura 11



La aceleración adm de un cuerpo rígido se puede expresar (tal como se vio en cinemática)

por

medio

de

la

fórmula

de

velocidades

relativas:

         adm  aA  adm /A  aA           y sustituyendo esta expresión en la  fórmula que expresa dM A se obtiene:           M A   (  aA )dm   [  (   )]dm      [  (   )]dm  m

m

m

Desarrollemos ahora los diferentes términos que intervienen en la ecuación anterior:

i     aA   x aAx  (yaAz

j  y

k  z

aAy

aAz  zaAy )iˆ  (zaAx  xaAz )jˆ  (xaAy  yaAx )kˆ

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iˆ jˆ kˆ        x  y  z x y z  (z  y  y  z )iˆ  (x  z  z  x )jˆ  (y  x  y  x )kˆ      (  )  (y 2 x  xy y  xz  z  z 2 x )iˆ  (z 2  yz   xy   x 2 )jˆ y

z

x

y

 (x  z  xz  x  zy  y  y  z )kˆ 2

2

      (zy  yz )iˆ  (xz  zx )jˆ  (yx  yx )kˆ          (yx y  x y2  x z2  z x z )iˆ  (z    y 2  y 2  x   )jˆ z



y

z (x x z  z x2

x  z y2

      [     ]

x

y

 y y z )kˆ

=(xy z x  yz y2  y 2z y  z 2z y  yz z2  xz y x )iˆ  (zy    xz 2  z 2   x 2   xz 2  yx   )jˆ y



x

z (xz z y  yx x2

z

2

x

z

x

2

 x x y  y x y 

x yx y2

y

z

 yz z x )kˆ

de donde si tenemos en cuenta que las componentes del vector de momentos son MA,x , MA,y , MA,z , al reemplazar todas las expresiones anteriores en la expresión

 MA 

 m

         (  aA )dm   [  (   )]dm      [  (   )]dm  m

m

Se obtiene el siguiente conjunto de ecuaciones, donde para obtenerlas se han hecho uso de las definiciones de los momentos de inercia y de los productos cruzados así como de las definiciones de las componentes del vector de posición del centro de masa respecto al origen fijo “O”. Este conjunto de ecuaciones debe complementarse para solucionar cualquier problema de dinámica con las ecuaciones de Newton que expresan el movimiento del c.d.m. como un punto que se traslada en el espacio, y que por tanto expresa la componente de traslación del cuerpo.

 MAx

 aAz ym  aAy zm  I Ax  x  (I Ay  I Az )y z  I Axy (x z   y )  I Azy (y2  z2 )  I Azx (x y   z )

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 MAy

 aAx zm  aAz xm  I Ay  y  (I Az  I Ax )x z  I Azy (x y   z )  I Azx (z2  x2 )  I Ayx (z y   x )

 MAz

(46)

 aAy xm  aAx ym  I Az  z  (I Ax  I Ay )x y  I Azx (y z   z )  I Axy (x2  y2 )  I Ayz (z x   y )

En el caso de que el punto “A” coincida con “G” se obtienen las ecuaciones (39), y si además se utilizan los ejes principales de inercia, se transforman en las ecuaciones (40). Asimismo si el punto “A” coincide con el punto fijo “O” estas ecuaciones son equivalentes a las expresiones (42) y (44). Para analizar los movimientos tridimensionales de cuerpos rígidos es conveniente utilizar la siguiente guía en tres pasos: 1. Escoja un sistema coordenado. Si un cuerpo gira respecto a un punto fijo 0, las ecuaciones del movimiento angular se simplifican si se expresan en un sistema coordenado con origen en O. La alternativa es usar un sistema coordenado con origen en el centro de masa. En ambos casos, escoja una orientación para los ejes del sistema que simplifiquen la determinación de los momentos y productos de inercia. 2. Dibuje el diagrama de cuerpo libre. Aisle el cuerpo e identifique las fuerzas y pares externos que actúan sobre él. 3. Aplique las ecuaciones de movimiento. Use la segunda ley de Newton y las ecuaciones de movimiento angular para relacionar las fuerzas y pares que actúan sobre el cuerpo con la aceleración de su centro de masa y su aceleración angular. 4. Listar todas las cantidades a determinar en la solución. 5. Determinar la velocidad y aceleración angular del cuerpo utilizando los procedimientos Standard vistos en cinemática. 6. Calculo de los momentos de inercia respecto a xyz. 7. Calcular los momentos respecto al punto “O” o “G” ejercidas por todas las fuerzas que aparecen en el diagrama del cuerpo libre.

Caso 4. Movimiento Plano General Cuando todos los puntos de un cuerpo rígido describen trayectorias contenidas en planos paralelos a un plano fijo, se dice que el cuerpo describe un movimiento plano general, tal como se describió en cinemática y se ilustra en forma general en la Figura 12. Al plano paralelo que contiene el centro de masa “G” del cuerpo lo llamamos “plano del  movimiento”, y tal como se ve en la figura, los vectores velocidad angular  y la  aceleración angular  serán paralelos entre sí y perpendiculares al plano del movimiento.

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Si tomamos el sistema “xyz” solidario al cuerpo, con origen en “G” de manera que el movimiento sea paralelo

Figura 12 al plano xy sera:

x  y  0 y z  0 en cuyo caso las expresiones del impulso

angular (30) toman la forma:

H x  I xz z , Hy  I yz z , H z  I zz z , y las relaciones de momentos, ecuaciones (39), se reducen a:

 M x  I xz  z  I yz z2  My  I yz  z  I xz z2  M z  I zz  z

(47)

Las ecuaciones (47) son válidas para un origen de coordenadas situado en el centro de masa, según se indica en la Figura 12, o para un origen cualquiera situado en un eje de rotación fijo. Las tres ecuaciones independientes del movimiento que también son aplicables al movimiento plano general son, evidentemente,

 Fx  maG,x  Fy  maG,y  Fz  maG,z

(48)

Las ecuaciones (48) encuentran una utilización especial para describir el efecto del desequilibrio dinámico de árboles y cuerpos en rodadura. Este sistema de ecuaciones

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relaciona los momentos de las fuerzas exteriores que se ejercen sobre el cuerpo rígido con las velocidades angulares y las propiedades inerciales del cuerpo. Los momentos de las fuerzas y los momentos y productos de inercia se toman respecto al sistema de ejes coordenados ligados al cuerpo y que pasan por “G” o por un punto fijo “O”. Las ecuaciones muestran claramente como depende el momento respecto a un eje dado de la  velocidad angular  . Como veremos estas ecuaciones se simplifican aún más si el cuerpo es simétrico. La aplicación de las ecuaciones anteriores se da para aquellos casos en que el movimiento es plano pero el cuerpo no presenta un simetría axial, tal como es el caso de la Figura 13, donde se observa un disco macizo montado sobre un árbol que forma con el eje del disco un ángulo  . En un sistema de coordenadas xyz coincidente con el centro de masa “G” del disco se pueden aplicar las ecuaciones (47) y (48).

Figura 13

Figura 14

En la Figura 14 podemos ver otro ejemplo de cuerpo no simétrico respecto al plano de movimiento. En este caso, una placa triangular de grosor uniforme es solidaria a un árbol circular que gira.

Rotación de Cuerpos Desbalanceados:

Cuando un c.r. montado sobre cojinetes por medio de un par motor respecto al eje de los cojinetes, se dice que está balanceado o equilibrado dinámicamente si las reacciones externas ejercidas por los cojinetes sobre el cuerpo son lo único que se requiere para soportar el peso del cuerpo. Las reacciones en los cojinetes, cuando se tiene desbalanceo, producen vibraciones y desgaste en las piezas rotatorias, y para evitar esto es por lo que se equilibran o balancean las ruedas de los automóviles. Hay dos causas que desequilibran a un cuerpo en rotación. La primera es que el centro de masa se localiza (una distancia "d") fuera del eje de rotación. Al girar el cuerpo,  habrá entonces fuerzas en los cojinetes iguales a maG . Estas fuerzas cambian constantemente en dirección (respecto al marco inicial) si es que no en magnitud también. Mover el centro de masa hacia el eje de rotación por agregando o quitando masa se denomina balance y/o estático. Se llama así porque sólo entonces, con un eje horizontal de rotación, permanecerá el cuerpo en equilibrio al girarlo a cualquier posición y soltarlo. P P , I yz La segunda causa de des balance es la presencia de productos de inercia, I xz no nulos, en donde z es el eje de rotación y P es un punto sobre ese eje. También podemos en este caso añadir o quitar material para forzar a que sea cero el valor de los productos. Cuando se hace esto, además de asegurar que G se encontrará sobre el eje,

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se dice que el cuerpo está dinámicamente balanceado (y por supuesto estáticamente también). A continuación desarrollaremos las ecuaciones pertinentes para lograr esto. El cuerpo B en la Figura 14_a está montado sobre cojinetes de bolas en D y E. Se tiene que T es un par externamente aplicado respecto al eje de rotación z . Digamos que T es el par impulsor menos cualesquiera momentos resistentes debidos a la fricción en los cojinetes o al aire. Notemos que los ejes (x , y ) están fijos también en B, y que

(xG , yG , a ) son las coordenadas de G en este sistema. En un cuerpo desbalanceado que gira alrededor de un eje horizontal, las reacciones en los cojinetes requeridas para soportar el peso del cuerpo (cuando no está rotando) pueden simplemente sumarse a las reacciones dinámicas que se generarían si no hubiese gravedad. Por ello, en aras de la sencillez omitiremos los efectos de la gravitación en el análisis. Consideremos el diagrama de cuerpo libre en la Figura 14_b en donde las componentes de reacción en los cojinetes se referirán a los ejes fijos en el cuerpo (x, y, z).



La ecuación (48)



 F  maG

da las ecuaciones de componentes:

Dx  Ex  m( 2xG  yG ) Dy  Ey  m( 2yG  xG ) Dz  0 y usando (47) se puede escribir:



 MD

D D 2 ˆ D D 2 ˆ  (I xz   I yz  )i  (I yz   I xz  )j  I zzD kˆ

de donde se obtienen las siguientes 3 ecuaciones escalares D D 2 (a  b)Ey  I xz   I yz  D D 2 (a  b)Ex  I yz   I xz 

T  I zzD  de donde se pueden obtener las reacciones dinámicas en los cojinetes D y E si se conocen la velocidad y aceleración angular.

Figura14_b_c

Caso 5. Movimiento plano [C1 - Mecánica Racional - UTN-Reg. Delta]

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Aplicaremos ahora las ecuaciones de movimiento de la sección anterior a una situación particular: esto es, cuando el cuerpo rígido posee un movimiento plano y además tiene simetría axial (eje z). Las ecuaciones (48) que expresan el movimiento de traslación del centro de masa siguen siendo válidas, y teniendo en cuenta que en esta situación no hay desplazamiento según el eje z será: :

 Fx  maG,x  Fy  maG,y  Fz  0

(49)

mientras que la ecuación de momentos que relaciona la acción de momentos de fuerza con el impulso angular (ecuación (47)) toma la forma:

 Mx  0  My  0  M z  I zz  z

(50)

 I zz 

Los resultados materializados por las ecuaciones (49) y (50), son las ecuaciones fundamentales del movimiento plano de un c.r. con simetría axial, y se muestran gráficamente en la Figura 15. El diagrama de sólido libre revela que fuerzas y momentos  han de figurar en los primeros miembros de estas ecuaciones. El término ma se expresará en cualquiera de los sistemas coordenados estudiados: (x, y) - (r, ) - (t, n) una vez que se haya elegido el sistema de referencia inercial conveniente.

Figura 15 Una variante de la ecuación de momentos: Cuando analizamos en el caso de un sistema de partículas el teorema del momento cinético dedujimos la ecuación (19) referente al momento resultante respecto a un punto P cualquiera:

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    H P  HG    mvG

(19)





donde  es el vector que une P con el centro de masa G y aG es la aceleración del centro de masa. Tal como hemos visto anteriormente en este mismo apartado para



un cuerpo rígido en movimiento plano (la componente “z”de la ecuación (50)) HG se





convierte en I  . Además, el producto vectorial   maG no es sino el momento, de



módulo maGd , de maG respecto a P. Por tanto, para el cuerpo bidimensional ilustrado en la Figura 16 con sus diagramas para sólido libre y cinético la ecuación de momentos se escribe:

 MP

 IG   maGd

(51)

Evidentemente, los términos son los tres positivos en sentido antihorario para el ejemplo representado y el punto P se ha elegido de modo que no intervengan las









fuerzas F1 y F3 . Si hubiéramos deseado que no intervinieran F2 y F3 tomando como



centro de momentos su punto de intersección, P estaría así al otro lado del vector maG y el momento de éste respecto a P tendría sentido horario y en (52) aparecería con un signo negativo.

Figura 16 Movimiento vinculado y no vinculado: La mayoría de las aplicaciones de ingeniería tienen que ver con cuerpos rígidos que se mueven bajo restricciones determinadas. Por ejemplo, las manivelas deben girar alrededor de un eje fijo, las ruedas deben rodar sin patinar, y las bielas describir ciertos movimientos prescritos. En  tales casos, existen relaciones definidas entre las componentes de la aceleración aG del



centro de masa G del cuerpo considerado y su aceleración angular  ; se dice que el movimiento correspondiente es un movimiento restringido. La solución de un problema que implica un movimiento plano restringido requiere un análisis cinemático preliminar del problema. Considere, por ejemplo, una varilla ligera AB de longitud l y masa m cuyos extremos están conectados a bloques de masa

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despreciable que se deslizan a lo largo de correderas horizontales y verticales sin



fricción. Se tira de la varilla mediante una fuerza P aplicada en A (Figura 17). Se sabe del estudio cinemático de los movimientos planos que la aceleración a del centro de masa G de la varilla puede determinarse en cualquier instante dado a partir de la posición de la varilla, su velocidad angular y su aceleración angular en ese instante. Suponga, por ejemplo, que se conocen los valores de , ,  en un instante dado, y que



se desea determinar el valor correspondiente de la fuerza P , así como las reacciones en A y E. Primero se debe determinar las componentes aG ,x , aG ,y de la aceleración del centro de masa G mediante el método de la sección de cinemática plana. Después se aplica el principio de d'Alembert (Figura 18), utilizando las expresiones que se

 



obtuvieron para aG ,x , aG ,y . Las fuerzas desconocidas P, N A, N B se determinan después al escribir y resolver las ecuaciones apropiadas.



Supóngase ahora que se Conoce la fuerza aplicada P , el ángulo  y la velocidad angular  de la varilla en un instante dado, y que se desea encontrar la aceleración angular a de la varilla y las componentes aG ,x , aG ,y de la aceleración de su centro de masa en ese instante, así como las reacciones en A y B. El estudio cinemático preliminar del problema tendrá como objetivo expresar las componentes aG ,x , aG ,y de la aceleración de G en términos de la aceleración angular a de la varilla. Esto se hará expresando primero la aceleración de un punto de referencia adecuado tal como A en términos de la aceleración angular  . Las componentes aG ,x , aG ,y de la aceleración de G pueden determinarse entonces en términos de

y

las expresiones obtenidas

incorporarse en la Figura 18. Se obtienen tres ecuaciones en términos de , N A, N B y se resuelven para tres incógnitas.

Figura 17

Figura 18

En general, los problemas de Dinámica en los que intervienen vínculos materiales que limitan el movimiento requieren un estudio cinemático previo de la relación entre la aceleración lineal y la aceleración angular, antes de que puedan resolverse las ecuaciones de las fuerzas y del momento resultante. Es por esta causa que resulta vital para este capítulo haber comprendido perfectamente los fundamentos y procedimientos desarrollados en el capítulo correspondiente de cinemática.

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Veamos un ejemplo. Analizar el movimiento inicial de la escalera uniforme con peso W, longitud l , que comienza a deslizarse sobre la pared por estar sobrecargada. Seleccionamos un sistema de referencia tal que el incremento del ángulo θ sea positivo en sentido antihorario. El movimiento es plano, y en la figura se representa el diagrama de cuerpo libre donde se indican todas las fuerzas actuantes. Las ecuaciones de movimiento del problema son:

W a g G W (I) N B  fA  W  aG g l l 1 Wl 2 (N A  fB ) cos   (N B  fA ) sen    2 2 12 g N A  fB 

Las incógnitas del problema son: las dos fuerzas normales y las 2 de fricción y la aceleración angular α, así como las dos componentes de la aceleración del centro de masa de la escalera. Sin embargo, dada que las 2 fuerzas de fricción están relacionadas con las fuerzas normales a la pared (condición de vínculo) a través del coeficiente de fricción dinámica, hace que en definitiva se tengan las siguientes 5 incógnitas:

N A, N B , aG,x , aG,y ,  . Como sólo hay 3 ecuaciones, debe haber otras dos restricciones sobre el movimiento. Asumiendo que la escalera mantiene su contacto con la pared, las aceleraciones de los puntos A y B serán:

  aA  aA jˆ, aB  aBiˆ

Estas restricciones no están en una forma que se pueden interpretar como restricciones sobre la aceleración del c.d.m. o bien sobre la aceleración angular, por lo que es necesario el análisis cinemático del problema a fin de obtener las restricciones adecuadas. Los puntos A y B son de la escalera, por lo tanto para el punto A la restricción es:

       aG  aA    rG /A      rG /A   l rG /A  (sen iˆ  cos  jˆ),   kˆ,  2  l l l aG  aA jˆ  kˆ  (sen iˆ  cos  jˆ)   cos iˆ  (aA   sen )jˆ 2 2 2

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donde se ha tenido en cuenta que se está analizando las condiciones dinámicas en el comienzo del deslizamiento de la escalera, es decir   0 . De la ecuación anterior se obtiene que:

l aG ,x   cos  2 Se plantea una relación similar con el punto B (considerando ahora que la velocidad angular es cero):

          aG  aB    rG /B      rG /B  aB    rG /B   l rG /B  (sen iˆ  cos  jˆ),   kˆ,  2  l l l aG  aB jˆ  kˆ  (sen iˆ  cos  jˆ)  (aB   cos )iˆ   sen  jˆ 2 2 2

de donde se obtiene la siguiente restricción:

l aG ,y   sen  2 En este punto vemos que ya tenemos planteadas las cinco ecuaciones en cinco incógnitas parael instante en que comienza el deslizamiento. Si incorporamos las otras dos ecuaciones que relacionan las fuerzas de fricción con las normales y los coeficientes de fricción dinámicos: fA  k N A, fB  k N B . La solución final puede plantearse en forma matricial:

En la mayor parte de los problemas dinámicos, las aceleraciones cambiarán durante el movimiento, y la solución comprenderá ecuaciones diferenciales lineales o no lineales acopladas. En este ejemplo, las tres primeras ecuaciones siguen siendo válidas (que F  maG , MG  IG  ). Sin embargo, es claro que la resultan de aplicar





aceleración angular depende del ángulo θ y que las ecuaciones diferenciales son no lineales. Las fuerzas normales y por tanto las de fricción también dependerán del ángulo θ. El planteamiento de las restricciones adicionales se obtiene en este caso incluyendo la velocidad angular en las relaciones cinemáticas de las aceleraciones:

           aG  aAoB    rG /AoB      rG /AoB  aAoB    rG /AoB  2rG /AoB obt

eniendo por igualación de componentes las restricciones sobre la aceleración del c.d.m.

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l l aG ,x   cos    2 sen  2 2 (II) l 2 l aG ,y   sen    cos  2 2 Utilizando las relaciones fA  k N A, fB  k N B en las dos primeras ecuaciones (I) se obtiene:

[(1  k2 )aG ,x  2kaG ,y  2k g ]cos  (III) 1  [(1  k2 )aG ,y  2kaG ,x  (1  k2 )g ]sen   (1  k2 )l 6 Sustituimos (II) en (III) se obtiene la aceleración angular:

  l  (1  k2 )gsen  2k g cos   2k  2  2  (2  k2 )l  y teniendo en cuenta que   d  dt ,   d  dt nos permitirán escribir las 

3

ecuaciones diferenciales no lineales que nos permitirán obtener las magnitudes cinemáticas buscadas y luego las fuerzas. Sistemas de cuerpos interconectados: En aquellos casos en que haya que tratar con dos o más cuerpos rígidos conectados cuyos movimientos estén relacionados cinemáticamente, es conveniente estudiar los cuerpos como sistema completo. En la Figura 19 se ilustran dos cuerpos rígidos articulados en A y sometidos a las fuerzas exteriores que se indican.

Figura 19 Las fuerzas que actúan en la conexión A son interiores al sistema y no se representan. La resultante de todas las fuerzas exteriores debe ser igual a la suma   vectorial de las dos resultantes m1aG,1 y m2aG,2 y la suma de los momentos respecto a un punto cualquiera como P o de todas las fuerzas exteriores debe ser igual al momento de las resultantes I 11  I 22  m1aG,1d1  m2aG,2d2 . Así pues, podemos escribir:

  F    maG  MP   IG    maGd

(52)

donde los sumatorios de los segundos miembros constan de tantos sumandos como número de cuerpos separados tenga el sistema.

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Caso 6. Movimiento de traslación La característica principal del movimiento de traslación, tanto en movimientos planos como espaciales es que todo segmento rectilíneo del cuerpo rígido se mantiene paralelo a si mismo en todo instante, lo que implica que la velocidad angular del cuerpo rígido es nula, y lo mismo ocurre por consiguiente con la aceleración angular, y esta trayectoria puede ser recta o curva. Por consiguiente Si el movimiento es plano se tiene de las ecuaciones (49) y (50) que:

  F   maG   Fx  max ,  Fy  may  MG  IG   0

(53)

En cambio si el movimiento es espacial entonces se tendrán las componentes:

  F    maG   MG  0

 Fx

 maG ,x ,  Fy  maG ,y ,  Fz  maG ,z

(54)

Para una traslación rectilínea como la indicada en la Figura 20a, si el eje x se toma en la dirección de la aceleración, las dos ecuaciones escalares de las fuerzas quedan Fx  maG,x , Fy  maG,y  0 . Para una traslación curvilínea, como es el caso





de la Figura 20b, empleando coordenadas n-t, las dos ecuaciones es calares de las fuerzas quedan Fn  maG,n , Ft  maG,t , y en ambos casos MG  0







Figura 20a

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Figura 20b Una variante que es posible aplicar en el caso de una traslación de un c.r. con movimiento plano, es para el caso de traslación rectilínea que: MP  maGd y MA  0 . Para una traslación curvilínea el diagrama de





cinético nos permite escribir:

 MB

 MA  maG,ndA en sentido horario, y

 maG,tdB en sentido antihorario. O sea, disponemos de libertad completa

para elegir el centro de momentos que convenga.

Caso 7. Movimiento de Rotación alrededor de un eje En el estudio de la cinemática de los cuerpos rígidos con movimiento plano se describió la rotación de un cuerpo rígido en torno a un eje fijo O. Vimos allí que en este movimiento todos los puntos del cuerpo describen circunferencias alrededor del eje de rotación y que todos los segmentos rectilíneos del cuerpo situados en el plano del movimiento tienen la misma velocidad angular  y la misma aceleración angular  . En el caso del movimiento circular la aceleración del centro de masa se expresa con muchísima más facilidad en componentes n y t , por lo que tenemos

aG,n  rG 2, aG,t  rG  tal como se muestra en la Figura 21a para la rotación del cuerpo rígido alrededor de un eje fijo que pasa por O. En la Figura 21b se representa el diagrama para sólido libre y el



diagrama cinético equivalente de la parte c de la figura muestra la resultante maG descompuesta en sus componentes n y t y el par de fuerzas resultante I  . ecuaciones generales (49) y (50) del movimiento plano axialmente simétrico son:

Las

  F   maG  MG  IG 

O sea, las componentes escalares de la ecuación de las fuerzas pasan a ser ahora

 Fn

 mrG 2,

 Ft

 mrG  (55)

Al aplicar la ecuación de momentos respecto a G, es fundamental tener en cuenta el momento de la fuerza que el cuerpo tiene aplicada en O, por lo que esta fuerza no puede omitirse del diagrama para sólido libre.

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En la rotación de un cuerpo en torno aun eje fijo es generalmente útil aplicar una ecuación de momentos directamente respecto al eje de rotación. Esta ecuación se

 MO  IG   maGrG , aG  rG   MO  IG   mrG2  (IG  mrG2 )   MO  IO (56)

puede obtener de (51):

Del diagrama cinético de la Figura 21c podemos obtener muy fácilmente esta ecuación (56) calculando el momento resultante respecto a O.

Figura 21 Para el caso muy corriente de rotación de un cuerpo rígido en torno a un eje fijo que  pase por su centro de masa G, es evidente que aG  0 y, por consiguiente,

 F   0 . Así pues, el sistema equivalente a las fuerzas aplicadas es el par IG  .

Figura 22

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La fuerza resultante maG ,t y el par resultante IG  podemos combinarlos trasladando

maG ,t a una posición paralela que pase por el punto Q (Figura 22) localizado por mrG q  IG   mrG rG . Aplicando el teorema de Steiner, y siendo IO  kO2 m , resulta:

kO2 q  rG El punto Q recibe el nombre de centro de percusión y presenta la singular propiedad de que la resultante de todas las fuerzas aplicadas al cuerpo deben pasar por él. Se deduce, por lo tanto, que la suma de los momentos de todas las fuerzas respecto al centro de percusión es siempre nula, o sea,

 MQ  0

Notemos que la ubicación del centro de percusión depende del movimiento del cuerpo así como de su tamaño, forma y distribución de masa. Teniendo en cuenta la relación (19) y que vG  rG :

mrG q  IG   mrGrG ecuación esta que expresa la relación existente entre el impulso angular del centro de percusión respecto a O y el impulso angular del c.r. respecto a O. Dado que IG  mkG2 resulta:

mrG q  mkG2   mrG rG  qrG  kG2  rG2  rG (q  rG )  kG2 es decir, la distancia entre el centro de percusión y el c.d.m. es igual al cociente entre el radio de giro y la distancia del centro de masa al eje de rotación. Veamos un ejemplo típico:

Caso 8.

Movimiento de rodadura

Otro caso de movimiento plano es el movimiento de un disco o rueda que gira sobre una superficie plana. Si el disco está restringido a rodar sin deslizarse, la aceleración   aG de su centro de masa G y su aceleración angular  no son independientes. Suponiendo que el disco esté equilibrado, de manera que su centro de masa y su centro geométrico coincidan, se escribe primero que la distancia xG recorrida por G durante una rotación del disco es xG  r  donde r es el radio del disco.

aG  r  .

Al derivar:

Recordando que el sistema de fuerzas efectivas en el movimiento plano se



reduce al vector maG y a un par de magnitud IG  , tal como se observa de la siguiente figura.

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Figura 23 Cuando un disco rueda sin deslizarse, no hay movimiento relativo entre el punto del disco en contacto con el suelo y el suelo mismo. En consecuencia, respecto a lo que



concierne al cálculo de la fuerza de fricción F , un disco que rueda puede compararse con un bloque en reposo sobre una superficie. La magnitud F de la fuerza de fricción puede tener cualquier valor, siempre y cuando el mismo no exceda el valor máximo

Fm  s N , donde s es el coeficiente de fricción estática y N es la magnitud de la fuerza normal. En el caso de un disco que rueda, la magnitud F de la fuerza de fricción debe, por lo tanto, determinarse de manera independiente de N al resolver el diagrama del cuerpo libre. Cuando el deslizamiento es inminente, la fuerza de fricción alcanza su valor máximo Fm  s N , y puede obtenerse de N. Cuando el disco gira y se desliza al mismo tiempo, existe un movimiento relativo entre el punto del disco que está en contacto con el suelo y el suelo mismo, y la fuerza de fricción tiene la magnitud Fm  k N , donde k es el coeficiente de fricción cinética. En este caso, el movimiento del centro de masa G del disco y la rotación del disco en torno a G  son independientes, y aG no es igual a r . Estos tres casos se pueden resumir como sigue: Rodamiento sin deslizamiento:

F  s N , aG  r  F  s N , aG  r  F  k N , aG y  independientes.

Cuando no se sabe si el disco se desliza o no, primero debe suponerse que rueda sin deslizarse. Si se encuentra que F es más pequeña o igual que s N , se demuestra que la suposición es correcta. Si se determina que F es mayor que s N , la suposición es incorrecta y el problema debe iniciarse de nuevo, suponiendo rodamiento y deslizamiento. Cuando un disco está desequilibrado, o sea cuando su centro de masa G no coincide con su centro geométrico O, no vale la relación anterior entre aG y  . Sin embargo, se cumple una relación similar entre la magnitud de aO de la aceleración del centro geométrico y la aceleración angular  de un disco desequilibrado que rueda sin

deslizarse. Se tiene: aO  r  . Para determinar aG en términos de la aceleración

angular  y la velocidad angular  del disco, es posible utilizar la fórmula       aG  aO  aG /O  aO  (aG /O )t  (aG /O )n .

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Figura 24

27. RESUMEN El objetivo de este capítulo es estudiar la cinética de los cuerpos rígidos, esto es, las relaciones existentes entre las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido, la forma y la masa del mismo, con el movimiento que se produce. El estudio de este capítulo comienza con el análisis cinético de los sistemas de masas puntuales que permitieron describir las relaciones existentes entre fuerzas y momentos con el movimiento del conjunto. Fundamentalmente interesan las fórmulas (6) y (15) ó (18). Dado que el modelo de cuerpo rígido que consideramos supone que el mismo está formado por un conjunto muy grandes de partículas de masa mi , i  1,2,..., n , con la condición de rigidez y de tal forma que a cada una de ellas se pueden aplicar las leyes del movimiento de una masa puntual, es que los resultados obtenidos mediante el modelo de un sistema de masas puntuales son aplicables en esta situación. Es así que se obtuvieron para el caso 1 del apartado 7 las relaciones generales del movimiento de un cuerpo rígido expresados por las ecuaciones

 M x  H x  H yz  H z y  My  H y  H z x  H x z  M z  H z  H x y  H z x  Fx  maG,x  Fy  maG,y  Fz  maG,z Las tres primeras se transforman de una manera sencilla en el caso de utilizar ejes principales de inercia:

 M x  I x  x  (I y  I z )y z  My  I y  y  (I z  I x )z x  M z  I z  z  (I x  I y )x y  Fx  maG,x  Fy  maG,y  Fz  maG,z [C1 - Mecánica Racional - UTN-Reg. Delta]

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Un caso particular muy importante de estas ecuaciones, y de utilidad en la determinación de las reacciones dinámicas en apoyos en rotores o conjuntos rotantes no equilibrados se obtiene del análisis del caso 3, ecuaciones (41) y (44):

 M x  I xz  z  I yz z2  My  I yz  z  I xz z2  M z  I zz  z  Fx  maG,x  Fy  maG,y  Fz  maG,z En todas estas situaciones en problemas espaciales en 3D, es conveniente recordar la relación existente entre los momentos de inercia y los productos de inercia en un sistema de ejes ortogonales de referencia con el momento de inercia respecto a un eje arbitrario que pasa por el origen de coordenadas y tiene cosenos directores (l, m, n ) :

Ia  l 2I xx  m 2I yy  n 2I zz  2mnI yz  2nlI zx  2lmI xy El siguiente de importancia son las ecuaciones de movimiento que rigen la dinámica de los cuerpos rígidos con movimiento plano simétricos, que reducen el conjunto de ecuaciones a las siguientes (donde z puede representar el punto G o bien cualquier otro punto de referencia estático):

 M z  I zz  z  Fx  maG,x  Fy  maG,y

 I zz 

Un caso particular de este movimiento (tanto en el plano como en 3D), es cuando se tiene un movimiento de traslación pura , en ese caso se cumple:

 Mz  0  Fx  maG,x  Fy  maG,y  Fz  maG,z Por último, el caso finalmente estudiado corresponde a otro caso especial del movimiento plano con simetría axial, y ocurre en la rotación alrededor de un eje fijo

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(centroidal o no centroidal). Las ecuaciones de la dinámica en este tipo de movimiento es:

 MG,O  IG,O   Fn  mrG 2,  Ft

 mrG 

Uno de los aspectos básicos para obtener estas leyes del movimiento de un cuerpo



rígido ha sido el estudio de la variabilidad del impulso angular H , el que fue analizado en primer lugar desde el punto de vista de su comportamiento en un sistema de partículas, y lego la aplicamos a un c.r. La formulación que así obtuvimos está entonces basada en los principios de impulso lineal y angular de Newton y Euler, que serán las que gobiernan el movimiento de un cuerpo. Sin embargo, las aplicaciones prácticas implican el movimiento de varios cuerpos rígidos interconectados, por lo que en el estudio dinámico de los mismos será necesario escribir ecuaciones de movimiento para cada uno de los cuerpos individuales. En esta situación deberá prestarse especial atención a las fuerzas que se ejercen entre los diferentes cuerpos, por lo que una buena práctica en estas situaciones será la de dibujar cuidadosamente los diagramas de cuerpo libre para cada situación. Desde un punto de vista filosófico, cada una de las dos ecuaciones universales del movimiento de un cuerpo rígido expresa el equilibrio dinámico, en el cual, ya sea la fuerza, el momento o los efectos inerciales, son los que se pueden considerar los agentes causativos del movimiento, y la clave para entender esto se encuentra simplemente en reconocer que un efecto acompaña al otro, tal como se ilustra en la figura siguiente, donde los efectos inerciales se muestran como un sistema fuerza-cupla actuando en el centro de masa G.

La segunda de las ecuaciones de movimiento nos dice que una rotación espacial



requiere que H cambie, y aún si lo hace a una rapidez constante, como consecuencia del cambio de dirección de dicho vector la ecuación de momentos requiere que el sistema de fuerzas aplique un momento que balancee esta rapidez de cambio del impulso angular. Este efecto se denomina momento giroscópico.

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Ejemplo: La fuerza P se aplica a una placa que descansa sobre una superficie lisa. Encuentre la máxima fuerza P para que el tubo no resbale en la placa.



En el tubo de la figura   kˆ ,

Notemos que IG 

m 2 (r  ri2 )  mr 2 si ro  ri . 2 o

Observando la placa notamos que solo la ecuación en x del movimiento es de alguna ayuda:

 Fy

 myG  0 da N 2  N  Mg  (m  M )g como se esperaba, y

como no se indican dimensiones no se pueden tomar momentos. Por lo tanto Fx  P  f  MxG  mxC  mr al igualar la primer ecuación con la última.



Eliminando f de la primer y tercer ecuación se obtiene P  mxC  MxG . Teniendo en cuenta que xG , xC se miden necesariamente con relación a un sistema inercial, supuesto en este caso fijo al suelo. De este modo es xC  xG lo que está relacionado con α. Para que no haya rodamiento debe ser xC  r   xG  xC  xG  r  , y dado que mxC  mr

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resulta 2xC  xG  P  (m  2M )xC  P 

m  2M f . Ya que f  1N , si m

no hay resbalamiento se tiene

m P  1mg  P  (m  2M )g 1 m  2M Ejemplo: Inadvertidamente la puerta del automóvil ha quedado ligeramente abierta cuando se aplican los frenos para dar al vehículo una aceleración constante hacia atrás a . Deducir expresiones de ω cuando θ = 90º y las componentes de la reacción en la bisagra para cualquier valor de θ. La masa de la puerta es m , su c.d.m. está a una distancia rG del eje de la bisagra O y el radio de giro respecto a O es kO .

Como la velocidad angular ω aumenta con θ, es preciso determinar como varía α con θ para que podamos integrar dicha ecuación a fin de obtener la velocidad angular. La aceleración angular α la podemos obtener de la ecuación de momentos respecto a O. Para ello dibujamos el diagrama de cuerpo libre para una posición arbitraria de θ. En dicho plano las únicas fuerzas son las componentes de la reacción en la bisagra que aquí se representa en las direcciones x-y. En el diagrama cinético, además del par resultante  IG  , la fuerza resultante maG la representamos en términos de sus componentes empleando una ecuación de aceleraciones relativa a O. Esta ecuación se convierte en la ecuación de ligadura cinemática:

     a  aG  aO  (aG /O )n  (aG /O )t 

Los módulos de las componentes de maG son:

    maO  maG , m(aG /O )n  mr 2 , m(aG /O )t  mr 

Para un ángulo dado θ, las tres incógnitas son ,Ox ,Oy . Las dos últimas incógnitas se pueden eliminar si tomamos momento respecto a O:

 MO 

 IG    mad  0  m(kO2  r 2 )  marsen

a r kO2

sen 

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Integramos α hasta una posición genérica y obtenemos 

d   d  







d  

0

y para θ = π/2



0

1 kO

a r kO2

send   2 

2ar kO2

(1  cos )

2aG r

Para hallar las reacciones Ox ,Oy para cualquier valor de θ, las ecuaciones de fuerza dan:

 Fx

 maGx  Ox  maG  mr 2 cos   mr sen    2ar 2 ar 2 2    m a  (1  cos )cos   sen   kO2 kO2   2   r  ma  1  (1  2 cos   3 cos2 )  2 kO  

 Fy

 maGy  Oy  mr 2sen  mr  cos   mr 

aG r

kO2 maG r 2 kO2

sen cos   mr

2aG r kO2

(1  cos )sen

(3 cos   2)sen

Ejemplo: La barra semicircular uniforme de masa m y radio r gira libremente alrededor de un eje que pasa por A. Si la barra parte del reposo en la posición representada, donde AB es horizontal, hallar la aceleración angular  de la barra y la expresión de la fuerza ejercida sobre la barra por el pasador en A.

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1 2r I A  (2mr 2  2mr 2 )  2mr 2, b  2 

g

 M A  I A; mgr  2mr 2    2r  Fn  maG,n  0  An  mgsen ,  Ft  maG,t  mg cos   At  mr 

r b r  An  mg , At  mg     r 2r  r  b2 r2 r 2  r mg    mg A  mg   1  1  4 2 2 2 2  r 2r 2 r 4r   A  0.593mg Ejemplo: Hallar la fuerza horizontal máxima P que puede aplicarse al carro de masa M sin que la rueda deslice al comenzar a rodar sobre el carro. La rueda tiene masa m, un radio de rodadura r y un radio de giro kG . Los coeficientes de rozamiento estático y cinético entre rueda y el carro son respectivamente e , c .

La condición de no deslizamiento se obtiene al igualar la aceleración del punto P con la del carro.

(aP )n  aG  r   aC

 Fy  0  N  mg  Fx  maG  emg  maG  MG  IG  emgr  mkG2 

La solución de estas 4 ecuaciones da

aG  eg, aC  eg[1 

r2 kG2

],  

egr kG2

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 r2   Fx  MaC  P  emg  M eg  1  k 2  G 2    r   P  eg  m  M  1    kG2   

   

Ejemplo: El disco circular de radio t y masa m abandona el reposo en la posición más alta, y rueda sin deslizar a lo largo de la guía circular de radio R. Determinar la fuerza normal N entre el disco y la guía en función de θ.

 Fn

 mg cos   N  m  2 (1) r  (R  r ) (2)

 Ft  mgsen   F  mr  MC  mgrsen   IC  1 2 3 mr   mr 2  mr 2 2 2 2 gsen   3 r 



De las ecuaciones (1) anteriores se obtiene: N  mg cos   m2r (3) , falta determinar la velocidad angular. Teniendo en cuenta de (2) la relación entre la velocidad angular y el ángulo θ, y la conocida relación:

d r r 2 gsen  2gsen  r  (R  r )      dt R r R r 3 r 3(R  r ) d  d  d  d  d     , igualando ambas ecuaciones se obtiene y como   dt d  d  dt d 



 0

d  

 0

2g 2 2g sen d    (1  cos ) 3(R  r ) 2 3(R  r )

4g   (1  cos ) 3(R  r ) 2

De la ecuación (2)

 2 4g (R  r )2 4g(R  r ) 2 R  r      (1  cos )  (1  cos )   2  r  3(R  r ) r 3r 2 2

y reemplazando este valor en la ecuación (3) se obtiene el resultado solicitado.

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Ejemplo: Cada elemento del cigüeñal de la figura es una varilla homogénea que pesa w kg/m. Si el cigüeñal gira a   cte calcular las reacciones dinámicas en A y B. Cada tramo de varilla es de igual longitud a Tomamos momento respecto a B

      iˆ, B  Bx iˆ  By jˆ, rB  4aiˆ,   0   rB  B  4aBykˆ  4aBz jˆ

y

G

A

B

ω

x

z

 M x  I xz  z  I yz z2  I yz z2  My  I yz  z  I xz z2  I xz z2 0  M z  I zz  z i 7

I xz 

 I xz (i), donde hemos enumerado cada tramo de barra de longitud a

de

i 1

izquierda a derecha (A a B).

I xz (1)  I xz (7)  I xz (4)  0, 5 5 I xz (5)  I xz (5)  mx 5z 5  0  m a(a )  ma 2 2 2 a a2 I xz (2)  I xz (2)  mx 2z 2  0  ma( )  m 2 2 3 3 I xz (3)  I xz (3)  mx 3z 3  0  m a(a )   ma 2 2 2 a 3 I xz (6)  I xz (6)  mx 6z 6  0  m 3a( )  ma 2 2 2 2 I xz  2ma , I yz  0   M x  0

 My

 2ma 22  4aBz

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 Bz  

ma 2 , 2

el cálculo en el cojinete A se realiza de la misma forma. Ejemplo: Dos varillas BE y CF de a = 600 mm que tienen 4 kg de masa cada una, están fijas al eje AD el cual rota con velocidad constante de 20 rad/s. Si las dos varillas y el eje están en el mismo plano, determinar las reacciones dinámicas en A y D. Para analizar el problema vamos a utilizar las mismas ecuaciones que en el ejemplo anterior, teniendo en cuenta que la aceleración angular es nula. Tomaremos momento respecto al punto A para determinar la reacción en D. La reacción en A se determina por el mismo método tomando momentos respecto a D y usando las mismas ecuaciones. Otra forma de resolver este problema sería utilizar una ecuación de momentos y las tres ecuaciones de Newton, obteniendo de esta forma un conjunto de ecuaciones que se resuelven en forma simultánea.



En este caso, de acuerdo a los ejes seleccionados es:   x iˆ , l  AD

 Mz  My  Mx

 I xz  z  I yx x2  I yx x2  I yx  x  I xz x2  I xz x2  I xx  x 0

I xz  0 ya que las varillas están en un plano vertical (z  0) , lo que implica:   M  I 2, r  D  liˆ  (D jˆ  D kˆ)  D lkˆ  D ljˆ , pero



z

yx

D

y

z

y

z

también

debemos considerar que el momento de las varillas no se tendrá en cuenta pues nuestro problema es calcular reacciones dinámicas y considerar que el resto de las fuerzas están estáticamente equilibradas, por lo que I yx 2  Dyl , o sea que para determinar Dy es

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necesario calcular el momento cruzado de inercia I yx respecto a los ejes (x,y,z) indicados en la figura. Dado que I xz  0 resulta Dz  0 . Para ello calcularemos el producto de inercia respecto a los ejes paralelos a x-y, o sea OLL’ y luego aplicamos Steiner:

I xy  IOLL '  mdxdy , l BE dx  , dy  sen 60º, BE  600 mm l  3 * 300  900 mm 2 2 Para determinar IOLL '  I x ' y ' vamos a considerar el sistema OME que para la varilla es un sistema de ejes principales de inercia, y el sistema OLL’ está girado en 60º:

I x ' y '  I x cos xx ' cos y ' x  I y cos yx ' cos y ' y  I z cos zx ' cos y ' z donde (x ', y ')  (OL ',OL) ,

xx '  OE ,OL '  60º, xy '  OE ,OL  30º, y ' y  OM ,OL  60º yx '  OM ,OL '  150º, zy '  90º, x ' z  90º

1 ma 2  I z , y dado que cos(90º)=0, se obtiene finalmente: 12 1 I x ' y '  IOL,OL '  I y cos yx ' cos yy '  I y cos(150º)cos(60º)  ma 2 cos2(60º) 12 1 l BE I xy  IOLL '  mdxdy  ma 2 cos2 (60º)  m sen(60º) 12 2 2

I x  0, I y 

1 Dy  I xy  2 l Ejemplo: Dos barras A y B de 100 mm cada y 300 gr de masa, se sueldan al eje CD que está soportado mediante cojintes en C y D. Si se aplica al eje un momento M = 6Nm, determinar las componentes de las reacciones dinámicas en esos puntos en el instante en que el eje ha alcanzado una velocidad angular de 1200 rpm. Ignore el momento de inercia del eje.

Consideramos el sistema de referencia de la figura con origen en O, que no son ejes





principales de inercia.   x i  x  , y  z  0

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 H  (I xx x  I xy y  I xz z )iˆ  I   I   I  )jˆ yx

x

yy y

yz z

 I zx x  I zy y  I zz z )kˆ

 H x  I xx , Hy  I xy , H z  I z   HO  (I xx iˆ  I xy jˆ  I xz kˆ)     M  ( H )    HO  I xx iˆ  (I xy   I xz 2 )jˆ  (I xz   I xy 2 )kˆ  O O Oxyz Las fuerzas externas son los pesos de los ejes y barras, el par M, las reacciones dinámicas en C y D. Puesto que los pesos y las reacciones estáticas están equilibrados, las fuerzas externas se reducen al par m y a las reacciones dinámicas en C y D



 MO

 Liˆ  (Dy jˆ  Dz kˆ)  Miˆ  Miˆ  Dz Ljˆ  DyLkˆ , coeficientes del vector unitario en iˆ se tiene:

e

igualando

los

1  3M M  I xx   2  mc 2      , y al igualar los coeficientes de los otros dos  3  2mc 2  ejes de referencia en las 2 expresiones de  MO se tiene Dy  (I xz   I xy 2 ) L,

Dz  (I xy   I xz 2 ) L,

y utilizando el teorema

de los ejes paralelos:

 1  1  1  m  L   c   mLc   2  4  2   1  1  1 I xz   mxz  m  L   c   mLc  4  2  8 3 1 3 1  Dy   (M c)  mc  2, Dz  (M c)  mc  2 16 4 8 8 I xy 

 mxy

y reemplazando valores numéricos se tiene:

El cálculo de la reacción dinámica en el otro extremo se obtiene de manera totalmente similar.

Ejemplo: Dos esferas de 120 mm de diámetro están sujetas a un árbol y giran en la forma indicada en la figura. La masa de cada una es m = 7.5 kg. Las barras que unen las esferas al árbol tienen 30 mm de diámetro, 220 mm de longitud y 1.2 kg de masa. El árbol tiene 40 mm de diámetro y una masa de 8.5 kg. Determinar las reacciones en los cojinetes y el par T aplicado al árbol cuando gira a 600 rpm antihorario, aumentado su

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celeridad de rotación a razón de 60 rpm por segundo. Supóngase que el cojinete en A resiste todo el movimiento del árbol en sentido de la dirección z. En la figura se puede ver el diagrama de cuerpo libre del sistema. Como el origen de xyz  coincide con G, y siendo aG  0, IG,yz  0 se tendrá:

 MG,x  IG,xz  z  I yz z2  IG,xz   MG,y  IG,yz  z  I xz z2  I xz z2  MG,z  IG,zz   Fx  maG,x  0  Fy  maG,y  0  Fz  maG,z  0

Utilizando la numeración de la figura obtendremos los momentos de inercia de cada componente: esfera (1), barra (2) y árbol (3):

2 2 m1R2  m1d12  (7.5)(0.06)2 (7.5)(0.3)2  0.6858 kg.m2 5 5 IG ,zx (1)  0  m1x1y1  0  (7.5)(0.15)(0.3)  0.3375 kg.m2 IG ,zz (1) 

1 1 m2 (3R22  L22 )  m2d22  (1.20)(0.015)2  1.2(0.130)2  0.02519 kg.m2 12 4 IG ,zx (2)  0  m2x 2y2  0  1.20(0.150)(0.130)  0.0234 kg.m2 IG ,zz (2) 

1 1 m3R32  (8.50)(0.020)2  0.0017 kg.m2 2 2 IG ,zx (3)  0 IG ,zz (3) 

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Para el sistema completo, considerando las dos esferas y las 2 varillas de unión:

IG ,z  2IG ,zz (1)  2IG ,zz (2)  IG ,zz (3)  1.4237 kg.m2 IG ,zx  2IG ,zx (1)  2IG ,zx (2)  IG ,zx (3)  0.7218 kg.m2 2(600) 2(60)   62.83 rad/seg    6.283 rad/seg2 60 60

 Fz

 Az  2m1g  2m2g  m3g  0 

Az  2(7.50)(9.81)  2(1.20)(9.81)  8.50(9.81)  254.1 N

 MG,z

 T  IG ,zz  6.283(1.4237)  8.95 N.m

 Fx  Ax  Bx  0,  Fy  Ay  By  0,  MG,x  Ay (0.390)  By (0.390)  IG,zx  Ay  By  11.628  MG,y  Bx (0.390)  Ax (0.390)  2IG,zx  Bx  Ax  7306 Resolviendo estas cuatro ecuaciones se obtiene:

Ax  3650 N Bx  3650 N Ay  5.81 N By  5.81 N Ejemplo: Un cilindro macizo de acero (  77.1 kN/m3 ) está montado en un árbol según se indica en la figura. Determinar, utilizando las ecuaciones de Euler las componentes de las reacciones en los cojinetes y el par T aplicado cuando el conjunto se halla en la posición indicada (eje x vertical), y el árbol esta girando a 500 rpm aumentando su celeridad a 50 rpm/seg. Supóngase que el cojinete en B resiste todo movimiento del árbol en ese sentido y que la masa de este es despreciable..

Se toma como origen de coordenadas del sistema (x,y,z) el c.d.m. G, y un sistema de ejes principales (x’,y’,z’) con origen en el mismo punto (tengamos en cuenta que esto lo podemos hacer ya que se desprecia la masa del árbol). Por simetría vemos que IG,xz  0 , y que x  y  0 . Las ecuaciones de Euler respecto a los ejes principales son (teniendo en cuenta las componentes de la velocidad angular respecto a x’,y’,z’):

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 M x '  IG,x ' x '  (IG,y '  IG,z ' )y 'z '  IG,x 'x '  My '  IG,y ' y '  (IG,z '  IG,x ' )z 'x '  (IG,z '  IG,x ' )z 'x '  M z '  IG,z ' z '  (IG,x '  IG,y ' )x 'y '  IG,z 'z '  Fx  maG,x  0  Fy  maG,y  0  Fz  maG,z  0 W  V  R2L  77.1(0.225)2(0.0625)  766 N 1 1 1  766  1  766  IG ,x '  IG ,y '  mR2  mL2   (0.2125)2   (0.0625)2  0.9074 kg.m2 4 12 4  9.81  12  9.81  1  766  IG ,z '   (0.2125)2  1.7869 kg.m2 2  9.81  2(500) 2(50)  52.36 rad/seg, z   5.236 rad/seg2 60 60 Las componentes de z , z respecto a los ejes principales son: z 

x '  z cos x ' z  52.36 cos110º  17.91 rad/s y '  z cos y ' z  52.36 cos 90º  0 z '  z cos z ' z  52.36 cos 20º  49.20 rad/s x '  z cos x ' z  5.236 cos110º  1.791 rad/s2 y '  z cos y ' z  5.236 cos 90º  0 rad/s2 z '  z cos z ' z  5.236 cos 20º  4.920 rad/s2 Calculemos ahora los momentos según las direcciones principales utilizando las ecuaciones de Euler anteriores y los datos calculados:

 MG,x '  1.6252 Nm  MG,y '  775 Nm  MG,z '  8.79 Nm Los momentos respecto a los ejes (x,y,z) serán:

 MG,x

  MG ,x ' cos x ,x '   MG ,z ' cos x ,z '  1.6252 cos 20º 8.79 cos 70º  1.479 Nm

 MG,y  MG,z

  MG ,y '  775 Nm   MG ,z ' cos z ,x '   MG ,z ' cos z ,z '  1.6252 cos110º 8.79 cos 20º  8.816 Nm Utilizando estos resultados junto a las tres ecuaciones de Newton se obtienen un conjunto de 6 ecuaciones en las 6 incógnitas

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 Fx  Ax  Bx W  0  Fy  Ay  By  0  Fz  Bz  0  MG,x  Ay (0.375)  By (0.375)  1.479  MG,y  Bx (0.375)  Ay (0.375)  775  MG,z  T  8.816 Nm Cuya solución da:

Ax  651 N, Bx  1617 N, Bz  0, Ay  1972 N, By  1972 N, T  8.82 Nm Ejemplo: Los dos discos de masa m1 cada uno están conectados por la barra curva doblada en forma de dos arcos de un cuarto de círculo. La masa de la barra es m2 , o sea que la masa del conjunto es m  2m1  m2 . Si los discos ruedan sin deslizamiento por un plano horizontal de tal modo que sus centros poseen una velocidad constante v , hallar el valor de la fuerza de rozamiento que actúa en cada disco en el instante representado, en que el plano de la barra curva está horizontal.

Se trata de un movimiento plano general, ya que los planos de movimiento de todas las partes del sistema son paralelos. El diagrama de sólido libre presenta las fuerzas normales y de rozamiento en A y B y el peso total mg que actúa en el centro de masa G, donde situamos el sistema de coordenadas solidario al cuerpo. Vamos a aplicar las ecuaciones

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 M x  I xz  z  I yz z2  My  I yz  z  I xz z2  M z  I zz  z  Fx  maG,x  Fy  maG,y  Fz  maG,z



y teniendo en cuenta que la velocidad del centro de masa es nula, resulta que aG  0 ,



además   0, I yz  0 , lo que implica que:

 Mx  I yz z2  0,  My  I xz z2,  Mz  Fx  0,  Fy  0,  Fz  0  2

0

 2

I xz 

 xzdm   (rsen )(r  r cos )rd    (rsen)(r  r cos )rd 

 I xz

m r2  2 

0

0

2  m r 2  v 2   2   F  F  m2v M  F r  F r     y A B A B    r 2 r 

 Fx  0  FA  FB  0  FA  FB  FA  FB   Mx

 0  N Ar  N Br  0  N A  N B 

mg 2

m2v 2 2r

Ejemplo: Un disco de masa despreciable rueda sin deslizar sobre un plano inclinado. Dos partículas, cada una de masa m, están unidas en la periferia del disco. Ambas están situadas a una distancia b del plano del disco, una a cada lado. Si el sistema está restringido de tal manera que el disco tiene movimiento plano, determinar los momentos que actúan sobre el disco. Cuando t  0    0

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Es un tipo de movimiento plano general, por lo que emplearemos las ecuaciones (47) y  : (48), donde se ha identificado a ¨z     z  

 M x  I xz  z  I yz z2  I xz   I yz z2  My  I yz  z  I xz z2  I yz   I xz z2  M z  I zz  z  I zz   Fx  mxG  Fy  myG  Fz  0 Considerando los ejes móviles (x-y-z) como se indican en la figura, los momentos de inercia de las dos masas (la del disco se considera despreciable) serán:

I xx  2ma 2, I yy  2mb 2, I zz  2ma 2 , y las coordenadas de las masas son (1)  (0, a, b); (2)  (0, a, b) , lo que implica que I xy  I xz  0 , y por lo tanto de las ecuaciones de momento anteriores es:

Mx  2mab 2, My  2mab, Mz  2ma 2 . Con respecto al eje “z”, la única fuerza con momento es Ff  Ff  a  2ma 2 . Además de la ecuación de Newton respecto a la componente “x” da: Ff  2mgsen  2mxG Dado que el conjunto rueda sin deslizamiento se cumple la relación: ecuación anterior da:

xG  a , de donde reemplazando en la

Ff  2mgsen  2maG  Ff  2maG  2mgsen  , y sustituyendo a esta fuerza en

la ecuación de momentos se tiene finalmente una ecuación diferencial para el movimiento angular del sistema:

gsen  2ma 2  2magsen   2ma 2  4ma 2  2magsen   0    2a Considerando las condiciones iniciales especificadas, se tiene:

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gsen    t , de donde se obtiene reemplazando en las expresiones del momento el 2a resultado solicitado. Ejemplo: Un disco de masa m y radio de giro a está rígidamente unido a la varilla DE de masa despreciable. La varilla DE está suspendido en D de un eje vertical AB y el disco queda apoyado sobre el eje en C. Observando que cuando se hace rotar el eje AB, permanece en contacto el mismo punto del disco con el eje en C, determinar la velocidad angular  para que la reacción en C sea cero.

a  tg 30º   DE  a  tg 30º,    cos 30º jˆ  sen 30º iˆ DE   W  Wy jˆ Wx iˆ  W cos 30º jˆ Wsen 30º iˆ, rG  DEjˆ      M  H    H    H D,xyz (I)  D D,xyz D,xyz

 H D  H D,x iˆ  H D,y jˆ  H D,z kˆ  I D,x x iˆ  I D,y y jˆ  I D,z z kˆ ya que (x,y,z) son ejes principales de inercia y por tanto los productos de inercia son nulos. Teniendo en



cuenta que la velocidad angular posee componentes en x-y, y llamando RC a la fuerza de reacción de AB sobre el disco en el punto C, resulta:

   H D  I D,x x iˆ  I D,y y jˆ,    H D  (I D,y  I D,x )x y kˆ  RC  RC ,x iˆ  RC ,y jˆ, DC  DEjˆ  aiˆ    Momento(RC )  DC  RC  (DE cos 30º asen 30º )RC kˆ D

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  W rG W  DEjˆ  (W cos 30º jˆ Wsen 30º iˆ)  DE  kˆ 2    W  MD   DE 2  (DE cos 30º asen 30º )RC kˆ   reemplazando en (I) se obtiene:

W  (DE cos 30º asen 30º )RC  (I D,y  I D,x )x y 2 imponemos la condición de RC  0 que equivale a decir contacto sin fuerza de reacción: DE

W  (I D,y  I D,x ) 2 cos 30º sen 30º 2 1 1 a2 13 I D,y  ma 2, I D,x  IG ,x  mDE 2  ma 2  m  ma 2 2 4 4 tg 2 30º cos 30º W 11 a   2sen 30º(I D,y  I D,x )   2sen 30º  ma 2 sen 30º 2 4 mga 4 1 8 g  2   2 2sen 30º 11 ma 11 a 8g  11a DE

28. Métodos de Trabajo y Energía . El método del trabajo y la energía combina los principios de la Cinemática con la segunda ley de Newton para relacionar directamente la posición y la celeridad de un cuerpo. Por tanto, este método no constituye un principio nuevo sino que es una manera particular de resolver las ecuaciones diferenciales que surgen al aplicar la segunda ley de Newton. A pesar de todo, el método trabajo-energía facilita en gran manera la solución de cierta clase de problemas. En el método del trabajo y la energía, la segunda ley de Newton se integra, en un sentido general, respecto a la posición. Para que dicho método sea útil, las fuerzas que se ejercen sobre el cuerpo deben ser función de la posición solamente. En el caso de fuerzas conservativas, las integrales resultantes se pueden expresar en forma explícita en un sentido general. El resultado es una simple ecuación algebraica que relaciona las celeridades del cuerpo en dos posiciones diferentes durante su movimiento. En el caso de un sistema de puntos materiales genérico, el método trabajo-energía no ha resultado ser especialmente útil. Ello se debe a que (1) los movimientos de los distintos puntos no están relacionados entre sí y se han de especificar independientemente y (2) que hay que considerar el trabajo efectuado tanto por las fuerzas exteriores como por el de las interiores; por lo que el método trabajo-energía resulta muy útil cuando el sistema de puntos materiales forme un cuerpo rígido.

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Las principales ventajas del método trabajo-energía (no es necesario conocer la aceleración e integrarla para determinar la variación de velocidad del cuerpo; las fuerzas que no trabajan no tienen efecto alguno sobre las ecuaciones trabajo-energía y no hay por qué incluirlas) son también las principales limitaciones del método (el método del trabajo y la energía no puede determinar aceleraciones ni fuerzas que no trabajen sobre el cuerpo). Como junto con el método del trabajo y la energía se utiliza a menudo la segunda ley de Newton, deberá dibujarse un diagrama de sólido libre completo. Es decir, deberán representarse todas las fuerzas y no solamente las que trabajen durante un movimiento particular del cuerpo. También puede ser útil dibujar diagramas de sólido libre separados correspondientes a las posiciones inicial y final del cuerpo.

Trabajo de Fuerzas y Pares sobre un Cuerpo Rígido Sobre los cuerpos rígidos pueden ejercerse tanto fuerzas como pares o momentos puros. Además, el cuerpo puede estar animado tanto de movimiento de rotación como de movimiento de traslación. El trabajo efectuado por una fuerza sólo depende del movimiento de su punto de aplicación. No depende de si este movimiento se debe a una traslación o una rotación del cuerpo rígido. Sin embargo, veremos que un momento no efectúa trabajo debido a la traslación del cuerpo sobre el cual se ejerce. Los momentos sólo efectúan trabajo sobre un cuerpo cuando éste está en rotación.

Trabajo de fuerzas El trabajo efectuado por una fuerza P durante el movimiento del punto 1 al punto 2 se definió en la forma: 2

W12 



  P dr

(57)

1

El cálculo del trabajo utilizando la ecuación (57) no depende de que la fuerza esté aplicada a una partícula, a un cuerpo rígido en traslación, a un cuerpo rígido en rotación o a un cuerpo rígido animado de traslación y rotación simultáneamente. En el caso de fuerzas conservativas, la energía potencial V se define y determina de igual manera que se hizo para un punto material. El trabajo efectuado por fuerzas conservativas se puede calcular por integración directa utilizando ecuación (57) o utilizando funciones energía potencial.

Trabajo de las fuerzas interiores El trabajo efectuado por las fuerzas interiores en un cuerpo rígido no tiene porque considerarse. Las fuerzas de interacción entre dos puntos de un cuerpo rígido son siempre, dos a dos, de igual recta soporte y módulo pero de sentidos opuestos. Sin embargo, como el cuerpo es rígido, los dos puntos siempre sufrirán el mismo desplazamiento en la dirección de las fuerzas. Por tanto, el trabajo que una fuerza ejerce sobre uno de los puntos se destruye con el que efectúa otra fuerza sobre el otro punto y el trabajo total efectuado por la pareja de fuerzas interiores será nulo. Es decir, el

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trabajo que sobre un cuerpo rígido efectúa un sistema de fuerzas exteriores es igual a la suma algebraica de los trabajos efectuados por las distintas fuerzas. Tampoco hay que considerar el trabajo que sobre una pareja de cuerpos rígidos efectúan pasadores de conexión lisos o hilos flexibles inextensibles. También ahora aparecen, dos a dos, fuerzas de igual módulo y sentidos opuestos y puntos a los que están aplicadas sufren desplazamientos iguales en la dirección de las fuerzas. Por tanto, será nulo el trabajo total que efectúan sobre cuerpos los miembros de conexión. Por ejemplo, si es despreciable la masa del hilo representado en la Figura 25, las tensiones en los dos extremos del hilo serán iguales. Ahora bien, como el hilo es inextensible, el desplazamiento según el hilo en B y el desplazamiento en el hilo en C también deben ser iguales. Una de las fuerzas tendrá la dirección y sentido del desplazamiento y efectuará un trabajo positivo; la otra tendrá sentido opuesto al del desplazamiento y efectuará un trabajo negativo. Por tanto, el trabajo total que efectuarán estas dos fuerzas sobre la pareja de cuerpos, mediante el hilo, deberá ser nulo.

Figura 25

Trabajo de pares y momentos El trabajo que efectúa un par se obtiene calculando por separado el trabajo que efectúa cada fuerza y sumándolos. Por ejemplo, consideremos un par C que se ejerza sobre un cuerpo rígido tal como se indica en la Figura 26a. Durante un tiempo muy corto

 dt , el cuerpo se traslada y gira. Si dr  dseˆ¨t el es el desplazamiento del punto A,  tomemos un segundo punto B tal que el segmento AB sea perpendicular a dr . El

movimiento que lleva el punto A a la posición A' llevará B a B’. Este movimiento se puede ˆ y a descomponer en dos: primero una traslación que lleve el segmento AB a AB ˆ  B ' B a B' (Figura 26b). continuación una rotación d  alrededor de A ' que lleve B

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Figura 26a. Representemos ahora el par por las dos fuerzas de módulo P  C b de dirección perpendicular a la recta AB (Figura 26c). Durante la parte traslatoria del movimiento, una fuerza efectúa el trabajo positivo Pdst y la otra el trabajo negativo Pds t ; por tanto, la suma de los trabajos que las dos fuerzas efectúan sobre un cuerpo durante la parte traslatoria del movimiento es nula.

Figura 26b

Figura 26c

Durante la parte rotatoria del movimiento, A ' es un punto fijo y la fuerza aplicada a A ' no trabaja. El trabajo efectuado por la fuerza en B será Pdsr  Pbd  , donde d  se expresa en radianes y C  Pb es el módulo del momento del par aplicado. El trabajo es positivo si el par tiene el mismo sentido que d  y negativo si el par tiene el sentido opuesto. Por tanto, el trabajo total efectuado por el par durante esta rotación elemental es:

  dW  C  d 

(58)

El trabajo que el par efectúa sobre el cuerpo cuando éste gira un ángulo   2  1 se obtiene integrando la ecuación (58): 2

W12 

  C  d 

(59)

1

Si el par es constante, podremos sacar C fuera de la integral y la ecuación (59)

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



queda en la forma W12  C 

Fuerzas que no trabajan Una de las principales ventajas del método del trabajo y la energía es que en la ecuación no figuran las fuerzas que no trabajan. Algunas de las más evidentes fuerzas de este tipo son: 1. Fuerzas aplicadas a puntos que no se mueven. Por ejemplo, cuando una rueda gira en tomo a un eje fijo, exento de rozamiento, las fuerzas que este eje ejerce sobre la rueda no trabajan. 2. Fuerzas perpendiculares al movimiento. Por ejemplo, la fuerza normal que se ejerce sobre un cuerpo que se deslice o ruede sobre una superficie no trabaja. 3. No tan evidente es el hecho de que la fuerza de rozamiento que se ejerce sobre un cuerpo que rueda sin deslizamiento tampoco trabaja. La razón de que no trabaje la fuerza de rozamiento es que el punto de contacto es un centro instantáneo de rotación y por tanto se halla instantáneamente en reposo. Como el punto de aplicación de la fuerza no

 

 

se mueve (en el instante considerado) dW  F drIC  F vIC dt  0 la fuerza de rozamiento no trabaja.

(60), y por tanto,

Teorema del Trabajo y Energía EI principio del trabajo y la energía para un cuerpo rígido se obtiene sumando las ecuaciones que expresan el teorema de las fuerzas vivas correspondientes a los distintos puntos que constituyen el cuerpo rígido. Ello nos da

W12  T2  T1 donde T1 y T2 son las energías cinéticas totales de todos los puntos que constituyen el cuerpo; W12 es el trabajo total efectuado por todas las fuerzas y pares exteriores que se ejercen sobre dichos puntos, y es necesario considerar el trabajo de las fuerzas interiores. Trasponiendo términos, tenemos el principio del trabajo y la energía para un cuerpo rígido en la forma

T1  W12  T2

(61)

que es igual a la ecuación correspondiente a un punto material. La diferencia que hay entre estas ecuaciones es que los términos de la energía cinética de la ecuación (61) incluyen la energía cinética de rotación del cuerpo rígido además de la energía cinética de traslación y que el término del trabajo incluye el efectuado por los momentos exteriores, además del efectuado por las fuerzas exteriores, que se ejercen sobre el cuerpo rígido. Igual que sucedía en el caso de un punto material, el término del trabajo puede descomponerse en una parte correspondiente al trabajo W1c2 efectuado por las fuerzas conservativas (cuyo potencial se conozca) y otra parte W1nc correspondiente a las 2 demás fuerzas (las no conservativas que no derivan de un potencial y las conservativas cuyo potencial se desconozca). El trabajo efectuado por las fuerzas conservativas se

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puede expresar mediante las funciones potencial, con lo que la ecuación (61) queda en la forma

T1  V1  W1nc 2  T2  V2

(62)

Cuando dos o más cuerpos rígidos estén unidos mediante hilos inextensibles o pasadores exentos de rozamiento, podremos escribir la ecuación (61) ó (62) correspondiente a cada cuerpo. Al sumar las ecuaciones resultantes, los trabajos de las fuerzas de conexión se anularán dos a dos. Por tanto, las ecuaciones (61) ó (62) expresan también el principio trabajo-energía para un sistema de cuerpos rígidos interconectados. En un tal sistema, T es la energía cinética total del sistema y

W12  V1  W1nc 2 V2 incluye el trabajo que las fuerzas y momentos exteriores efectúan sobre el sistema. Tanto en el caso de un solo cuerpo rígido como en el de un sistema de cuerpos rígidos interconectados, se deberá dibujar un diagrama de sólido libre que nos asegure el haber identificado y considerado todas las fuerzas y momentos. Aun cuando pueda parecer innecesario incluir en él las fuerzas y momentos que no trabajan, a menudo el principio trabajo-energía se utiliza junto con la segunda ley de Newton. Por tanto, en el diagrama de sólido libre deberán figurar todas las fuerzas y momentos exteriores y no solamente las fuerzas y momentos que trabajen sobre el cuerpo o cuerpos.

Potencia La potencia, que es el trabajo efectuado por unidad de tiempo, lo hemos definido para el caso de un punto material. En el caso de un cuerpo rígido en movimiento el trabajo efectuado debe incluir tanto el realizado por pares como el efectuado por fuerzas. Si



sobre un cuerpo rígido se ejercen simultáneamente una fuerza P y un par de momento

 C , el trabajo que se efectúa sobre el cuerpo es

    dW  P  dr  C  d 

(63)







en donde dr es el desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza P y d  es la rotación del cuerpo. Dividiendo la ecuación (63) por dt tendremos la potencia total entregada al cuerpo rígido en un instante:

    Potencia  P  v  C   

(64)





donde v es la velocidad del punto de aplicación de la fuerza P y  es la velocidad angular del cuerpo.

Energía Cinética de un Cuerpo Rígido En el análisis realizado al estudiar la dinámica de un sistema de partículas, habíamos deducido una expresión para la energía cinética del mismo, ecuación (24):

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n

1 1 T  mvG2   mi i2 . Es nuestro objetivo, partiendo de esta expresión, desarrollar 2 i 1 2 la misma aplicada a un cuerpo rígido. En la expresión anterior vG es la velocidad del centro de masa, y el primer término de la ecuación anterior está relacionado a la energía cinética de traslación del conjunto, mientras que i es el vector de posición de cada partícula respecto al centro de masa. El segundo término se la identifica como la energía cinética asociada al movimiento respecto al centro de masa. El primer término de la ecuación anterior se puede escribir en la forma:

1 2 1   1  mvG  mrG  rG  vG  p 2 2 2

(65)



donde p es la cantidad de movimiento del cuerpo. En el caso de los cuerpos rígidos el término relativo pasa a ser la energía cinética

 debida a la rotación del centro de masa. Como  i es la velocidad respecto al centro de masa del punto material genérico, para los cuerpos rígidos podemos escribir:

    i    i , donde  Con esta sustitución, el término relativo de la expresión de la

energía cinética queda: n

n

    1 1  2 mi  i2  2 mi (  i )  (  i ) i 1 i 1 Teniendo en cuenta que en los productos mixtos pueden intercambiarse de acuerdo a: (P Q)  R  P  (Q  R) , e identificando P   , i  Q ,   i  R , se tiene:



        (  i )  (  i )     i  (  i ) 

Como  aparece multiplicando a todos los términos de la sumatoria, podemos sacarla factor común y resulta: n

n  1 1 1    2   m        m (    )    HG (66) 2 i i 2  i i i 2 i 1 i 1

Así pues, la expresión general de la energía cinética de un cuerpo rígido cuyo centro de   masa está animado de una velocidad vG y una velocidad angular  es:

1  1   T  vG  p    HG 2 2

(67)



Desarrollando esta expresión sustituyendo en ella el valor de HG , resulta:

1 1 T  mvG2  (IG ,xx x2  IG ,yy y2  IG ,zz z2 2 2  (I xy x y  I xz x z  I yz y z ))

(68)

Si los ejes x-y-z son los ejes principales de inercia, la energía cinética es simplemente:

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1 1 T  mvG2  (IG,x x2  IG,y y2  IG,z z2 2 2

(69)

En el caso de un movimiento plano donde x  y  0, y z  

1 1 T  mvG2  IG ,z 2 2 2

(70)

Si el cuerpo rígido gira alrededor de un punto fijo, la expresión (67) se reduce a:

1  (71) T    HO 2  donde HO es el momento cinético respecto a O. Para el caso de un cuerpo rígido con movimiento plano que gira alrededor de un eje fijo en un punto O se tiene:

T 

1 IO  2 2

(72)

Ejemplo: El sistema de engranajes mostrado en la figura consiste en un engranaje impulsor grande y dos engranajes pequeños idénticos impulsados, B y C. La masa del primero es de 1 kg, y la masa de cada uno de los otros dos es de 0.4 kg. Los radios de los engranes son rA para el impulsor y r para los pequeños. Los radios de giro son

kA  36 mm, k  19 mm respectivamente, para el engrane mayor y los dos pequeños. Cuando el sistema de engrane está en reposo, se aplica un momento externo MA  0.5t Nm al engranaje impulsor. Determinar la velocidad angular de los engranajes para t = 3 seg. Se ignora la fricción en los cojinetes. Para resolver el problema se utiliza la forma escalar del impulso angular ya que movimiento de los engranajes es plano. Por tanto, necesitamos determinar las velocidades angulares de los engranajes y su impulso angular. Si A es la velocidad del engranaje impulsor y  es la correspondiente a los engranajes impulsores, se tiene: rAA  r  . Si consideramos el sistema de engranajes como un todo, tenemos que determinar el efecto de las reacciones en los soportes. Es más fácil examinar los engranajes en forma individual mediante un diagrama de cuerpo libre.

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Si F es la magnitud de la fuerza ejercida sobre A por cada uno de los engranajes más pequeños, W A el peso del engrane A, W B el de cada uno de los pequeños, se tiene tomando el impulso angular respecto al centro O: 3

Impulso Angular 

 (M A  2FrA )dt  H A,2  H A,1  H A,2  I A,O A 0 3



 (0.5t 2FrA )dt  I A,O A 0

Para determinar la integral de F, consideremos el diagrama de cuerpo libre del engranaje pequeño, y teniendo en cuenta que el mismo parte del reposo, tomamos impulso angular respecto al punto B (o C): 3

r  0   Frdt  I B    A I B A   r  0 3   rA 2   2  0.5tdt   I A  2  r  I B A, I A  mAkA2 , I B  mBkAB 0   de donde se obtiene A  917.9 rad/s,    1835.8 rad/s . Ejemplo: El bloque rectangular uniforme, cuyas dimensiones se indica", se desliza hacia la izquierda por la superficie horizontal con una velocidad v cuando choca con el pequeño escalón. Supóngase un rebote despreciable en éste y calcúlese el valor mínimo de v que permita al bloque girar alrededor del borde del escalón y alcanzar exactamente la posición vertical A sin velocidad. Calcular el porcentaje de pérdida de energía para b = c.

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Supondremos que el borde del escalón O hace las veces de un pasador en la arista del bloque, con lo que éste gira alrededor de O. Además, supondremos despreciable la altura del escalón frente a las dimensiones del bloque. Durante el choque, la única fuerza que ejerce un momento respecto a O es el peso mg, pero el impulso angular debido al peso es extraordinariamente pequeño por ser despreciable el tiempo de choque. Así pues, puede decirse que se conserva el momento cinético respecto a 0. El momento cinético inicial del bloque respecto a 0, inmediatamente antes del choque, es el momento de su cantidad de movimiento y es HO  mv(b 2) . La velocidad del centro de masa G inmediatamente después del choque es v , y la velocidad angular es   v r . El momento cinético respecto a O inmediatamente después del choque, cuando el bloque inicia su rotación alrededor de 0, es

   2  2     1   c    b      m (b 2  c 2 ) 2 2 HO  IO    m ( b  c )  m        12 3 2  2            La conservación del impulso angular da:

HO  0 

m 2 b 3vb (b  c 2 )  mv    2 3 2 2(b  c 2 )

Esta velocidad será suficiente para llevar el bloque a la posición A si la energía cinética de rotación es igual al incremento de energía potencial. Entonces:

  2  c 2 b  1   b  2  T  Vg  0  IO   mg          0 2 2  2    2    2 2    m 2 3vb   mg ( (b 2  c 2 )  b)  0  v  2 g  1  c ( (b 2  c 2 )  b) (b  c 2 )   2(b 2  c 2 )  6 2 3  b 2    E 3  1  62.5% si b  c 2  E c 4  1  2   b 

29.

Impacto Excéntrico

Impacto Excéntrico con un solo Cuerpo Rígido Cuando dos o más partículas colisionan de tal forma que las fuerzas internas producidas durante esa colisión son grandes comparadas con las fuerzas externas, la colisión se denomina impacto. La línea de impacto es normal a la superficie de contacto en el punto de impacto. En el caso de partículas, si la línea de impacto pasa por el c.d.m. de cada partícula, el mismo se denomina central, de lo contrario si la normal común a las superficies en el punto de impacto, como ocurre si uno de los cuerpos es rígido, se dice que se trata de un impacto excéntrico. En el caso de partículas los

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impactos pueden ser centrales u oblicuos. Despreciando los efectos de las fuerzas externas durante el impacto, se conserva la cantidad de movimiento lineal del sistema:

    mAvA  mBvB  mAvA'  mBvB'

donde se han indicado en forma acentuada las velocidades de las partículas luego del impacto. Si las partículas quedan unidas luego del impacto este será totalmente plástico y las velocidades de las partículas luego del choque serán iguales en ambas. Si el hoque es tal que se conserva la energía cinética de las partículas antes y después del mismo, se trata de un choque perfectamente elástico. En general, durante un impacto, la energía cinética se disipa debido a la deformación permanente de las partículas, a la generación de calor o sonido o a la fricción interna, y como consecuencia el impulso de las fuerzas de restitución son menores que el impulso de las mismas en el período de deformación. La razón entre ambos se denomina coeficiente de restitución:

e

t

t2

R(t )dt 

u

t

tu

R(t )dt

vB'  vA' vA  vB

1

Consideraremos el caso cuando un solo cuerpo rígido se somete a un impacto de tal manera que la fuerza impulsora del impacto no pasa por el centro de masa del cuerpo. A esto se le denomina impacto excéntrico. En consecuencia, considere el impacto de una partícula con masa mA con un cuerpo rígido con masa mB , como se muestra en la



Figura 27. Sean vA la velocidad inicial de la



partícula y vB la velocidad inicial del centro de masa del cuerpo rígido. La velocidad del punto de contacto Q en el cuerpo rígido es,

    vQB  vB  B  rQ /cmB

(73)





donde B es la velocidad angular inicial del cuerpo rígido y rQ /cmB es el vector de posición relativa del centro de masa del cuerpo rígido al punto de contacto, Q. La velocidad de la partícula en el punto de contacto es su velocidad inicial. Un vector normal nˆ se toma perpendicular a la superficie del cuerpo rígido en el punto de contacto. Descompondremos la velocidad inicial de la partícula y la velocidad del punto Q en el cuerpo rígido en componentes en las direcciones normal y tangencial del punto de contacto. Las componentes de las velocidades en la dirección tangencial no se afectarán por el impacto y relacionaremos la velocidad de aproximación relativa en la dirección normal con la velocidad de separación relativa en la dirección normal mediante

' '   vQB ,n  vA,n  e  (vA,n  vQB,n )

el coeficiente de restitución “e”:

(74).

Consideremos ahora las ecuaciones de impulso – cantidad de movimiento para la partícula y el cuerpo rígido: t2

 t1

  (Fnˆ)dt  mA(vA'  vA ),

t2





 (Fnˆ)dt  mA(vB'  vB ),

(75)

t1

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Figura 27 La ecuación de impulso y cantidad de movimiento angular para el cuerpo rígido B es: t2

 rQ /cmB   (Fnˆ)dt  I B,cm (B'  B )kˆ

(76)

t1

Si multiplicamos escalarmente las ecuaciones (75) por el vector normal nˆ se tiene: t2

 (F )dt 

t2

mA(vA' ,n

 vA,n ),

t1

 (F )dt  mA(vB' ,n  vB,n ), t1

(77) y de la ecuación (76) multiplicando nuevamente escalarmente por kˆ t2

 XB  Fdt  I B,cm (B'  B ), XB  kˆ  (rQ /cmB  nˆ)

(78)

t1

Si entre las ecuaciones (77) y (78) eliminamos la fuerza impulsora obtenemos las ecuaciones de la conservación de la cantidad de movimiento para el sistema:

mBvB' ,n  mAvA' ,n  mBvB,n  mAvA,n  0 XB [mB (vB' ,n  vB,n )]  IcmB (B'  B )

(79)

Al sustituir (73) en (74) se obtiene una expresión de la componente normal de la velocidad del punto Q en el cuerpo rígido en términos de la velocidad del centro de masa  y de la velocidad angular del cuerpo: vQB,n  vB,n  nˆ  (Bkˆ  rQ,cmB )





El triple producto escalar satisface: XB  kˆ  (rQ /cmB  nˆ)  nˆ  (kˆ  rQ,cmB ) por lo que podemos escribir:

vQB,n  vB,n  XB B de modo que la ecuación (74) se puede

reescribir de la siguiente forma:

vB' ,n  XB B'  vA' ,n  e  (vA,n  vB,n  XB )

(80)

Si se conoce la velocidad inicial de la partícula y también se conocen las velocidades lineal y angular iniciales del cuerpo rígido, las ecuaciones (81) forman un sistema de tres

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ecuaciones para las tres componentes normales desconocidas de las velocidades luego del impacto:

mBvB' ,n  mAvA' ,n  mBvB,n  mAvA,n  0 XB [mB (vB' ,n  vB,n )]  I cmB (B'  B )

(81)

vB' ,n  XB B'  vA' ,n  e  (vA,n  vB,n  XB ) Si el cuerpo rígido tiene un punto fijo en el espacio las ecuaciones se simplifican al expresar la conservación de la cantidad de movimiento angular respecto a dicho punto. Como la velocidad de ese punto es cero, la velocidad del punto de impacto en la  vQB,n  XB 0B , XB 0  kˆ  (rQ /0  nˆ) , de modo que la dirección normal será: ecuación (80) y la conservación de la cantidad de movimiento angular (se conserva respecto al punto O):

XB 0B'  vA' ,n  e  (vA,n  XB 0B ) I B 0B'  XB 0mAvA' ,n  I B 0B  XB 0mAvA,n

(82)

donde I B 0 es el momento de inercia de la masa con respecto al punto fijoO. Las ecuaciones (80) forman un sistema de dos ecuaciones para la componente normal posterior al impacto de la velocidad de la partícula y de la velocidad angular del cuerpo rígido luego del impacto.

Ejemplo: Encontrar el impulso reactivo en B cuando se deja caer libremente la barra desde la posición mostrada. Utilizando el teorema de conservación de la energía considerando que en el estado inicial la velocidad es cero (sólo hay Vg) y sólo Trotación al final:

mg

l 1 1 l2  l ml 2 2   ml 2  m  12  mg    1  2 2  12 4  2 6 1

3g l

Tomando como referencia al punto G:

     l 3 vG 1  1 jˆ   gl jˆ, mvG 1  J LA  J LB  mvG 2 2 4 donde en esta ecuación se ha planteado el principio de impulso lineal entre dos estados (1) y (2) que son el instante previo al choque y el instante inmediatamente posterior al rebote, 1 la velocidad angular en la situación (1) y calculada por la aplicación del

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teorema de la energía, de modo que considerando la componente vertical de la ecuación anterior se tiene:

mvG1,y  J LA,y  J LB,y  mvG 2,y

(1)

Aplicando el principio de impulso angular:   l l l l  MGdt  IG,2  IG,1   FB s  2 dt   FA 2 dt  s  2   FBdt  2  FAdt e identificando las integrales de las fuerzas de reacción en la ecuación anterior con los impulsos lineales de las mismas en su punto de aplicación se llega a:

 l l 1 1 J LB,y  s    J LA,y  ml 22  ml 21  2 2 12 12

(2)

y usando la definición del coeficiente de restitución (teniendo en cuenta que el segundo cuerpo es el punto fijo al suelo, donde impacta la barra y que por tanto tiene velocidad cero):

vB,2  0.9vB,1  2s  0.91s  2  0.91

(3)

Mediante el uso de las tres ecuaciones anteriores podemos determinar las reacciones impulsivas en A y B, obteniendo:

J LB,y 

1 (1  e) 2 ml 1, 3 s

1 l  J LA,y  (1  e)ml 1     2 3s 

Ejemplo: Péndulo Físico. Un péndulo físico es un cuerpo rígido que oscila respecto a una articulación en O sin fricción, sólo bajo la acción de la gravedad. La distancia entre la articulación y el centro de masa del cuerpo se denota por r . El momento de inercia

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del cuerpo respecto al eje de la articulación O es mkO2 , donde kO es el radio de giro. El peso mg es la única fuerza externa que ejerce un momento respecto a la articulación. Determinar la frecuencia de oscilación.

Del diagrama de cuerpo libre se observa que el mismo vale mgrsen , por lo que la ecuación de movimiento es:

gr MO  mgrsen   mkO2     sen   0 kO2 d d gr     d   sen d    dt d kO2  2 gr  cos   C , c.i.   0 si   0 2 kO2 d 1   2gr (cos   cos 0 ) dt kO

Para ángulos de oscilación pequeños cos , cos 0 se pueden aproximar por 1 

2 , de 2

modo que la ecuación anterior en esta aproximación se puede integrar para obtener:

 gr    0sen  t  . Esta ecuación muestra que, en estas condiciones, la oscilación es k  O  2kO un movimiento armónico simple, con un período dado por: T  . gr Reacción de la articulación: En el diagrama de cuerpo libre del péndulo se muestran las componentes centrípeta y tangencial de la aceleración del centro de masa, que valen:

r 2, r  . Por consiguiente, las ecuaciones del movimiento del mismo son:

 Fn  Pn  mg cos   mr 2  Ft  Pt  mgsen  mr  gr  0 , se pueden y reemplazando a  por su valor expresado en la ecuación   kO2

obtener las reacciones en la articulación:

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 2r 2  Pn  mg  (cos   cos 0 )  cos   2  kO  2   r  Pt  mg  1  sen   kO2  Péndulo simple: Habíamos visto que una masa puntual suspendida de una cuerda sin peso o de una barra de longitud l , se llama péndulo simple, y su período esta dado por

l , lo que contrasta con la definición dada de péndulo compuesto, y cuyo g 2kO período es T  . Se dice que un péndulo simple es equivalente a un péndulo gr T  2

físico dado si ambos tienen el mismo período, por lo que igualando ambas expresiones anteriores se obtiene la longitud equivalente que debería tener el péndulo simple de masa m para obtener el mismo período que el físico:

l 

kO2 r

(83)

Centro de Percusión: Si el punto O es la articulación de un péndulo físico, podemos seleccionar un punto O* a la distancia l del punto O, sobre la línea por el centro de masa, y determinada por la ecuación (83). El punto O* se llama centro de percusión del péndulo. Dado que el momento de inercia del cuerpo respecto a la articulación es

IO  mkO2  IG  mr 2  kO2 

l 

IG  r 2 , y utilizando la ecuación (83): m

IG k2 r  r  G l  r mr r

(84)

Si cambiamos el eje de la articulación a un eje paralelo, l, r cambian de acuerdo a la ecuación (84), pero IG y m no cambian.

En particular traslademos el eje de la

articulación a O*, entonces (l, r )  (l *, r *) , con lo que de (84):

l  r  r 2  kG2 , l * r *  (r *)2  kG2 l * r * l  r  (r *)2  (r )2  (r * r )(r * r ) y dado que r * r  l  l * r * l  r  (r * r )l  (r *)l  r  l  l * r *  r * l  l *  l Lo que significa que, si la articulación es desplazada al punto O*, la articulación original se vuelve el centro de percusión, y por tanto el período del péndulo no se altera. Supongamos ahora que aplicamos una fuerza tangencial F en O*, lo que se observa es que no hay una reacción tangencial resultante de la articulación (o sea P=0).

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Observemos la figura (d) anterior, con F aplicada en O*, y el péndulo inicialmente en reposo:

 Fx  F  P  maG ,  Fy  Q W  MO  F  l  IO   mkO2 , aG  r   P 

 0,

m 2 (kO  l  r ) l

En consecuencia P  0 , o sea, la articulación no ejerce reacción tangencial cuando una fuerza tangencial se aplica al péndulo en el centro de percusión.

12. Movimiento Giroscópico Entre todos los problemas de la Dinámica, uno de los más interesantes es el del movimiento giroscópico. Este movimiento se genera siempre que el eje alrededor del cual un cuerpo está en rotación gira a su vez alrededor de otro eje. Aunque en la descripción completa de este movimiento intervienen desarrollos de complejidad considerable, los casos habituales y útiles de movimiento giroscópico se dan cuando el eje de un rotor que gira a velocidad constante da vueltas a velocidad constante alrededor de otro eje (movimiento de precesión). Las aplicaciones técnicas del movimiento giroscópico son de gran importancia. Montado en una suspensión cardánica, el giroscopio queda libre de momentos exteriores y su eje mantiene una dirección fija en el espacio independientemente de las estructura a la que está unido. Así es como se utiliza el giroscopio en los sistemas de guiado inercial y en otros mecanismos de control direccional. Añadiendo una masa pendular al aro interno de la suspensión cardánica se consigue que la rotación terrestre haga que el giroscopio tenga precesión de forma que el eje de rotación apunte siempre al norte; este efecto es el fundamento de la brújula giroscópica. El giroscopio ha encontrado también importantes aplicaciones como dispositivo estabilizador. Así, mediante la precesión controlada de un giroscopio de gran tamaño montado en un buque se consigue producir un momento giroscópico capaz de contrarrestar el balanceo del buque en el mar. Además, el efecto giroscópico es una consideración de suma importancia para el proyecto de cojinetes de rotores sometidos a precesión forzada. El efecto giroscópico vamos a describirlo utilizando primeramente un enfoque físico sencillo basado en los cálculos vectoriales aplicados a la dinámica del plano. Este procedimiento nos facilitará una apreciación física directa del efecto giroscópico. Descripción simplificada. En la Figura 28 se representa un rotor simétrico que gira alrededor del eje z con una gran velocidad angular p , que llamaremos velocidad de rotación. Si al eje del rotor le aplicásemos dos fuerzas F formando un par de momento M , cuyo vector representativo estuviese dirigido según el eje x, encontraríamos que el eje del rotor giraría en el plano (x, z ) alrededor del eje y en el sentido indicado con una

 , conocida como velocidad de precesión. velocidad angular relativamente pequeña   

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Figura 28 De esta forma dejamos identificados al eje de rotación (p), al eje del par (M ) y al eje de precesión (  ), donde los sentidos de los vectores de rotación quedan especificados mediante la habitual regla de la mano derecha. El eje del rotor no gira alrededor del eje x en el sentido marcado por M como sería el caso si el rotor no estuviese girando alrededor de su eje. Para que se comprenda mejor este fenómeno podemos establecer una analogía directa entre los vectores de rotación y los vectores, ya conocidos, que sirven para describir el movimiento curvilíneo de un punto material.

Figura 29 En la Figura 29a se representa una partícula de masa m que se mueve en el plano x-z  con una celeridad constante v  v . La aplicación de una fuerza F perpendicular a su









cantidad de movimiento G  mv produce en ésta una variación dG  d(mv ) . Vemos





que dG , y por tanto dv , es un vector que tiene la dirección de la fuerza normal F según









la segunda ley de Newton F  G , la cual puede escribirse como Fdt  dG . En la Figura 29b vemos que, en el límite, tg  d   Fdt mv , o sea, F  mv . En



notación vectorial, siendo    jˆ la fuerza queda:

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   F  m  v que es la expresión vectorial equivalente a la ya conocida relación escalar Fn  man para la fuerza normal actuante en la partícula. Teniendo presentes esas relaciones, retornemos a nuestro problema de rotación. Recordemos ahora que para todo sistema material dado, rígido o no, puede obtenerse





una ecuación análoga M  H referida al centro de masa del sistema o aun punto fijo O. Apliquemos ahora esta relación al rotor simétrico considerado que se representa en la  Figura 29c. Para una velocidad de rotación p elevada y una velocidad de precesión O





lenta alrededor del eje y , el momento cinético está representado por el vector H  Ip , donde I  I zz es el momento de inercia del rotor respecto al eje de rotación. Inicialmente despreciamos la pequeña componente del momento cinético respecto al eje y que acompaña al lento movimiento de precesión. La aplicación del par de momento M





perpendicular a H produce una variación dH  d(Ip) en el momento cinético. Aquí





vemos que dH , y por tanto dp , es el vector que tiene la dirección del momento M









puesto que M  H , que también puede escribirse Mdt  dH .

Figura 29 De la misma forma que la variación de la cantidad de movimiento de la partícula tiene la dirección de la fuerza aplicada, la variación del momento cinético del giroscopio tiene la dirección del momento del par de fuerzas aplicado. Vemos, pues, que existe analogía

 



 



entre los vectores M , H , dH y los vectores F,G, dG . Con estas observaciones, ya no debe extrañar que el vector de rotación sufra una variación en la dirección de M , provocando así la precesión del eje del rotor alrededor del eje y . En la Figura 29d vemos que durante el tiempo dt el momento cinético Ip ha barrido el ángulo d ; por lo que en el límite, en que tg(d )  d  , tendremos

d 

Mdt I p



M I

d p dt

d por el módulo  de la velocidad de precesión queda dt M  I p (91a)    Podemos observar que los vectores M , , p son mutuamente perpendiculares y que

Sustituyendo

pueden quedar relacionados entre sí por el producto vectorial

   M  I  p

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(91b)

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





que presenta una analogía completa con la relación anterior F  m  v relativa al movimiento curvilíneo de una partícula desarrollado entre las Figuras 29a y b. Las ecuaciones (91a) y (91b) son válidas para momentos respecto al centro de masa o respecto aun punto fijo del eje de rotación. Puede recordarse cuál es la relación espacial correcta entre estos tres vectores a partir







del hecho de que dH , y por tanto dp , tiene la dirección de M , que establece el sentido



correcto de la precesión O. Así el vector de rotación p tiende siempre a girar hacia el



vector M . En la Figura 30 se indican tres orientaciones relativas de los tres vectores compatibles con su orden correcto. En todo problema este orden debe establecerse correctamente, pues de lo contrario es probable llegar a conclusiones opuestas a la





correcta. Resaltemos que la ecuación (91a), al igual que F  ma y M  I  , es una



ecuación de movimiento, por lo que el momento M representa el momento de todas las fuerzas que actúan sobre el rotor y que deben quedar de manifiesto en un correcto diagrama para sólido libre del rotor. Señalemos asimismo que, cuando se obliga aun rotor a ejecutar un movimiento de precesión, como es el caso de la turbina de un barco cuando



éste vira, ese movimiento engendra un momento giroscópico M que cumple la ecuación (91b) tanto en módulo como en sentido.

Figura 30 En el precedente análisis del movimiento giroscópico se ha hecho la hipótesis de que la velocidad de rotación es alta y la de precesión baja. Y aunque en la ecuación (91a)





podemos ver que, para valores dados de I y M , la precesión  debe ser pequeña si p es grande, examinemos ahora la influencia de  en la relación entre los momentos cinéticos. Volveremos a limitar nuestra atención a la precesión uniforme, caso en el que el módulo  permanece constante. En la Figura 31 se representa nuevamente el rotor considerado. Dado que éste posee un momento de inercia respecto al eje y que está animado de una velocidad angular de precesión alrededor del mismo, existirá una componente de momento cinético según dicho eje. Así pues, tenemos las dos componentes H z  I  p y Hy  I 0 , donde I 0 representa I yy e I representa otra vez I zz .

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Figura 31



Según se indica en la figura, el momento cinético total es H . Como antes, la variación de

   H sigue siendo dH  Mdt y el ángulo de precesión durante el tiempo dt es d   Mdt Hz  Mdt (I  p) . Así pues, la ecuación (91a) conserva su validez y, en

el caso de la precesión uniforme, constituye una descripción exacta del movimiento en tanto que el eje de rotación sea perpendicular al eje alrededor del cual tiene lugar la precesión.

10. Análisis del Movimiento del Cuerpo Rígido con Simetría Axial. Las ecuaciones universales de movimiento de un cuerpo rígido alrededor de un punto fijo “O” eran:

  F   maG,   dHO dHO   MO  dt dt XOYZ     HO  HG  rG  mvG

     HO

(92)

xOyz

Habíamos además deducido que respecto a un sistema no inercial fijo al cuerpo, y que



se mueva con la velocidad angular del mismo   x iˆ  y jˆ  z kˆ, se tiene

 HO  H x iˆ  H y jˆ  H z kˆ

H x  I xx x  I xy y  I xz z H y  I yx x  I yy y  I yz z

(93)

H z  I zx x  I zy y  I zz z Sabemos que para cualquier punto “O” en un c.r. existen siempre tres ejes principales, por lo tanto, si los ejes xOyz de la Figura 35 son dichos ejes, los productos de inercia son nulos, obteniendo las llamadas ecuaciones de Euler:

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 M x  I x  x  (I y  I z )yz  My  I y y  (I z  I x )z x  M z  I z  z  (I x  I y )x y

(94)

Figura 35 Estas ecuaciones se utilizan frecuentemente para describir el movimiento de un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje de simetría con un punto “O” fijo en dicho eje: un trompo, el movimiento de la Tierra, el de una cápsula espacial o el movimiento de un giróscopo son ejemplos de cuerpos cuyos movimientos pueden describirse mediante las ecuaciones de rotación en torno a dicho punto. Si bien las ecuaciones anteriores son complicadas y su solución lleva al empleo de integrales elípticas, en muchos problemas de interés práctico el análisis se simplifica cuando el cuerpo presenta simetría en torno al eje de revolución, que es el caso que vamos a analizar. En estos casos conviene elegir el eje “z” fijo al cuerpo en la dirección de dicho eje de simetría, y los ejes “x-y” perpendiculares a él, tal como se indica en los distintos casos ilustrados en la Figura 36. De este modo el cuerpo rígido gira alrededor de su eje de simetría, por lo que su

 velocidad angular respecto a este sistema de referencia será: z  kˆ

Elegido este sistema de referencia es evidente que los momentos de inercia no



cambian con el tiempo. Si  es la velocidad angular del sistema xOyz respecto al sistema inercial XOYZ , cuyas componentes respecto al sistema móvil son x , y , z se obtiene que la velocidad angular total del cuerpo rígido será:

      kˆ  x iˆ  y jˆ  (z   )kˆ

(95)

que la descompondremos según los ejes no inerciales en las ecuaciones (93) y (94), teniendo en cuenta que los productos de inercia son cero y los momentos de inercia son los momentos principales de inercia del cuerpo rígido:

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H x  I x x  I x x H y  I y y  I y y

(96)

H z  I z z  I z (z   )

reemplazando (96) en (94) y teniendo en cuenta las componentes de la ecuación (95) se obtienen las siguientes ecuaciones de movimiento de un cuerpo simétrico respecto al eje de giro “z” (por lo que (I x  I y )  0 ):

Figura 36

 Mx  I x  x  (I y  I z )yz  I z y  My  I y y  (I z  I x )z x  I z x   Mz  I z  z  I z 

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(97)

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Estas ecuaciones generales podrían aplicarse a cualquiera de los tres problemas planteados en la Figura 36, donde el primer caso representa la descripción de la rotación alrededor del c.d.m. del cuerpo con simetría axil y libre de fuerzas, tal como sería el caso de una cápsula espacial o el movimiento de la Tierra. El segundo caso representa el típico movimiento de un trompo, mientras que el tercer caso representa el movimiento de un cuerpo simétrico alrededor de su c.d.m. “G” como ocurre en el caso de un giroscopio. Analizaremos este último caso, para lo que será necesario que especifiquemos de manera más precisa las componentes de la velocidad angular de movimiento del cuerpo rígido, y para este fin utilizaremos los ángulos de Euler que ya habíamos visto en cinemática, y que se ilustran en la siguiente Figura 37:

Figura 37 Los ángulos  y  especifican la orientación del sistema xOyz respecto al sistema de referencia XOYZ .  es el ángulo de precesión y  es el ángulo de nutación. El ángulo  especifica el giro del cuerpo rígido respecto al sistema xOyz se llama ángulo de giro . Estos tres ángulos especifican la orientación del cuerpo rígido respecto al sistema coordenado de referencia y se llaman ángulos de Euler. Podemos obtener cualquier orientación del cuerpo respecto al sistema coordenado de referencia mediante una elección apropiada de estos ángulos: Escogemos  y  para obtener la dirección deseada del eje de simetría, y luego escogemos  para obtener la posición deseada del cuerpo respecto a su eje de simetría. Para analizar el movimiento de un cuerpo en términos de los ángulos de Euler, debemos expresar las ecuaciones del movimiento angular en función de ellos. La Figura 38(a) muestra la rotación  desde la orientación de referencia del sistema xOyz hasta su orientación intermedia x'Oy'z' . La velocidad angular del sistema coordenado debido a la  apuntando razón de cambio de  se representa con el vector de velocidad angular  en la dirección z'. La Figura 38(b) muestra la segunda rotación  . La velocidad angular

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debido a la razón de cambio de  se representa con el vector  apuntando en la  en componentes en las direcciones dirección x. También descomponemos el vector  y - z . Las componentes de la velocidad angular del sistema xOyz respecto al sistema de referencia son inercial son:

x      sen y

(98)

z   cos 

Figura 38 de donde las tres componentes de la velocidad angular (95) resultan ser con la utilización de los ángulos de Euler:

x    x y   sen  y z   cos     z  

(99)

Derivando estas ecuaciones respecto al tiempo, se tiene:

d x   dt d y   cos   y   sen    dt d z  sen   z      cos    dt  x 

(100)

La Figura 39 muestra un ejemplo de caracterización del sistema no inercial respecto al sistema fijo XOYZ, para el caso de un cuerpo simétrico alrededor del eje “z”. Los ejes x 'Oy ' z ' son solidarios al cuerpo ( z '  z ) y giran con él. El plano B es perpendicular al eje Oz, y contiene al plano x  y . El eje Ox de nuestro sistema de referencia móvil está determinado por A  B , y está especificado por el ángulo  respecto a OX. Oz

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coincide con el eje del rotor, mientras que Oy  B y es perpendicular a Ox . x 'Oy ' z ' rota junto al rotor, por lo que el desplazamiento angular del mismo está especificado por   (Ox ',Ox ) .  es la velocidad de nutación y  la de precesión del rotor.  es la velocidad de rotación del mismo.

Figura 39 Aplicaremos estos conceptos al análisis del movimiento de un giróscopo. Un sistema giroscópico es aquel que consiste de un rotor que puede girar libremente alrededor de su eje geométrico. Cuando está montado en el cardan, el giróscopo puede tomar cualquier orientación, pero su c.d.m. está siempre fijo en el espacio (Figura 40a). Para definir la posición del mismo en un instante dado, se elige un sistema de referencia fijo XOYZ, con el origen O localizado en el centro de masa del giroscopio y el eje Z dirigido a lo largo de la línea definida por los cojinetes A y A’ del balancín externo. Considérese una posición de referencia del giroscopio en la cual los dos balancines y un diámetro dado DD’ del rotor se ubican en el plano fijo YZ. El giroscopio puede llevarse de su posición de referencia a cualquier posición arbitraria por medio de los siguientes pasos: 1. Una rotación de ángulo  del balancín exterior alrededor del eje AA’ 2. Una rotación  del balancín interior alrededor de BB’ 3. Una rotación  del rotor alrededor de CC’.

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Figura 40 Estos ángulos (, , ) son los ángulos de Euler y caracterizan por completo la posición del giroscopio en cualquier instante. Sus derivadas, tal como ya lo expresamos, son las velocidades de precesión, nutación y rotación del giroscopio en el instante considerado. Para determinar las ecuaciones de movimiento utilizaremos un sistema de referencia no inercial fijo al cuerpo xOyz ubicado en el balancín interno, con el eje " y " a lo largo de BB’ y el eje " z " a lo largo de CC’ (ver Figura 41).

Figura 41 De esta manera, las velocidades angulares del sistema de referencia móvil y del giróscopo son:

   iˆ   sen jˆ   cos kˆ    iˆ   sen jˆ  ( cos    )kˆ

(101)

de (98):

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x   y   sen     cos 

    x   sen     cos   y    cos     sen 

z

(102)

z

que las reemplazaremos en las ecuaciones (96), teniendo en cuenta que I x  I y  I 0 :

 Mx  I x  x  (I y  I z )yz  I z y  My  I y y  (I z  I x )z x  I z x   Mz  I z  z  I z  se obtienen:

 Mx  My

 I 0(   2sen  cos )  I sen (   cos )

I0 d  (sen 2)  I ( cos    ) sen  dt d  M z  I dt (   cos ) Dada la falta de linealidad de estas ecuaciones diferenciales, 

(103)

no será posible en general expresar los ángulos de Euler (, , ) en función del tiempo, y será necesario recurrir a métodos numéricos de solución. Sin embargo, existen ciertas situaciones de interés práctico que si tienen solución rápida. Tal es el caso de la precesión estable del giróscopo. El objetivo en esta situación será determinar que tipo de fuerzas será necesario aplicar al giróscopo para mantener este movimiento, o sea ángulo   cte , la velocidad de precesión  y de rotación  también constantes:

  cte      0   0   cte     0   cte  

(104)

Por lo que se obtienen, con estas condiciones los siguientes resultados:

    sen jˆ   cos kˆ    pl (y, z )

sea que el giróscopo gira alrededor del

cardan exterior.

     sen jˆ  (   cos )kˆ , y HG  I 0sen jˆ  I (   cos )kˆ , donde I 0

es el momento de inercia principales según los ejes (x, y)  I x  I y  I 0 , e I  I z . Vemos que dado las condiciones (105), el impulso angular respecto a “G” es constante, o





sea HG  pl (y, z ) . Naturalmente, HG no es constante respecto al sistema OXYZ, ya

  dHG  MG  dt

   dHG     HG , de modo que utilizando las que: dt xOyz OXYZ   expresiones anteriores para  y HG se obtiene el siguiente conjunto de ecuaciones: [C1 - Mecánica Racional - UTN-Reg. Delta]

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 Mx  My  Mz

  sen (I z  I  cos ) 0 0

(105),

   cos  es la componente correspondiente del vector velocidad donde z   angular.

Como el c.d.m. del giróscopo está fijo, 

 F   0 por lo que las fuerzas

que se deben aplicar al giróscopo para mantener su precesión estable se reducen a un par de momento M  Mx .



Figura 42 Observemos que el par que es necesario aplicar para mantener ese movimiento de precesión estable es siempre perpendicular al eje de precesión (Z) y al eje de rotación (z). Veamos que ecuación satisface la velocidad de precesión para un par aplicado M en Ox . Reemplazando en (104) a z y despejando  nos queda:

M  I  sen (   cos )  I 0 2sen  cos   I  M  2    0 (I  I 0 )cos  (I  I 0 )sen  cos 

(106)

cuyas raíces son:

 

  I   1  1  4M (I 0  I )cos    2(I 0  I )cos   I 2 2sen 

(107)

Las raíces existen sii:

2   M (I 0  I )cot g() I [C1 - Mecánica Racional - UTN-Reg. Delta]

(108)

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Esta última relación especifica el valor de la velocidad de rotación mínima para el cual es posible que exista precesión para un dado valor de  y un cierto momento M . Si desarrollamos en serie la ecuación (107) y nos quedamos con los dos primeros términos:

 

   I  1   1  2M (I 0  I )cos   ...        2 2 2(I 0  I )cos     I  sen    

expresión que es válida para valores pequeños del segundo término, lo cual ocurre para valores de  muy grandes (para un dado M ). En este caso las dos posibles velocidades de precesión son:

 1 

M I   (109) 2  (110) I  sen (I 0  I ) cos 

 1 se denomina precesión rápida y es muy difícil de conseguir a causa de la gran  se denomina precesión lenta, y es la que cantidad de energía que se necesita.  2

normalmente se observa, y corresponde al nivel energético más bajo. Es más, a medida  disminuye. Estas conclusiones son válidas en la aproximación que  aumenta,  2 utilizada, o sea para valores grandes de  . En el caso que la precesión y la rotación de spin formen un ángulo   90º resulta   (111), que es la relación más comúnmente empleada en Mx  M  I 



  ,   p esta relación coincide con la movimientos giroscópicos. Identificando 

 ,  en este caso forman un triedro ortogonal para la ya deducida ecuación (91a). M ,  rotación en torno a G. Vectorialmente la ecuación anterior se puede escribir de la siguiente forma:

Miˆ  (I  jˆ)  ( kˆ)

(112).

Figura 43 Esto significa que para un rotor con velocidad de rotación  sometido a un par M aplicado respecto a un eje que pase por G y sea perpendicular al eje de rotación, la ecuación (111) da la velocidad de precesión resultante  alrededor de los ejes de rotación y momento. Inversamente, para un rotor cuyo eje de rotación tenga un movimiento de precesión de velocidad  , la ecuación (111) determina el momento

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giroscópico resultante que se ejerce sobre el rotor respecto a un eje que pase por G debido a las fuerzas reactivas que se ejercen sobre el rotor, aplicadas, por ejemplo, por los cojinetes que soportan el árbol del rotor. En el caso de la figura anterior, intuitivamente podríamos esperar que el rotor caiga por gravedad, sin embargo esto no ocurre siempre que el producto I z se selecciona correctamente para contrabalancear el momento WrG del peso del rotor.

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CAPÍTULO 5 INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LAS OSCILACIONES. 1. Introducción Una vibración es el movimiento periódico de una estructura hacia atrás y adelante de una posición nominal de equilibrio o de reposo de la misma, y básicamente son el resultado de un intercambio entre energía potencial y cinética durante el movimiento de la estructura. La vibración es algo que evidenciamos diariamente en muchas circunstancias, y en muchos casos tiene un efecto importante en la naturaleza de los diseños en ingeniería puesto que a veces pueden llegar a ser un factor limitante en la performance del mismo. Esta consideración es particularmente cierta en el funcionamiento del parque de máquinas rotantes, en donde, con muy pocas excepciones podemos afirmar que cualquier problema mecánico causa vibraciones en la máquina (en estas, las causas más frecuentes suelen ser desbalanceo de partes rotantes, desalineación de ejes, engranajes dañados, problemas en correas, rodamientos, partes flojas, falta de rigidez, etc.). Muchos fenómenos naturales, así como diseños realizados por el hombre, involucran movimientos periódicos de alguna clase. La rotación de la luna, el movimiento de los planetas, el movimiento de las alas de un insecto, nuestro propio cuerpo incluye órganos que realizan movimientos oscilatorios en un rango de frecuencias relativamente amplios, como por ejemplo el lento movimiento de pulmones y corazón, hasta las altas frecuencias de vibración que se generan en los tímpanos. Las vibraciones también se pueden asociar a eventos catastróficos como ocurre en los terremotos, pero también puede ser puestas al servicio de propósitos útiles en herramientas tales como zarandas y las mezcladoras, y también en algunas aplicaciones en medicina. Las vibraciones producidas por algunos fenómenos naturales y diseños realizados por el hombre generan un tipo particular de polución que puede escucharse como un ruido (si la frecuencia se encuentra en el rango 20 Hz a 20 kHz), o bien sentirse como una vibración, que pueden llegar a ocasionar molestias muy severas. Es debido a esto que se ha puesto cada vez mayor interés en mejorar el diseño de las máquinas y estructuras a fin de reducir el ruido de las mismas. Cuando las molestias se transmiten al cuerpo humano a través de una superficie sólida las molestias dependen de la frecuencia de vibración, de los valores pico de la aceleración y del tiempo de exposición. Las vibraciones mecánicas no son un campo de estudio puramente teórico: la tendencia actual de la tecnología, la introducción de la computadora en el análisis científico, ha establecido el análisis dinámico de estructuras y componentes de máquinas como una cuestión cada vez más importante. El analista estructural debe verificar que la estructura que diseña pueda soportar la carga dinámica en todo momento, y que la amplitud de la vibración no afecta la capacidad de la máquina para realizar su tarea, para lo cual es necesario adquirir un conocimiento detallado del comportamiento dinámico de la misma. Dos parámetros importantes son las frecuencias naturales y modos de vibración, así como también el tipo de movimiento que se esperaría bajo la acción de cargas dinámicas, así como las tensiones resultantes. La fatiga

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del material, que no necesariamente ocurre sólo por vibraciones, es un fenómeno que también debe tenerse en cuenta. El progreso ha hecho que las máquinas y estructuras sean cada vez más livianas y sofisticadas, factores que han contribuido a una demanda cada vez más compleja en el análisis dinámico de componentes. Problemas que en el pasado se resolvían fácilmente con un simple sobredimensionamiento de partes relevantes, deben ahora estudiarse más detalladamente, con lo cual nuevamente se ve la importancia que adquiere el diseño desde el punto de vista dinámico. Es una cuestión relevante en la etapa de diseño estar capacitado para dar una predicción cuantitativa del comportamiento dinámico de una estructura, para lo cual es necesario utilizar modelos matemáticos cada vez más refinados, aún cuando en su complejidad se pierda la naturaleza física del problema. Para asegurar una interpretación correcta del trabajo analítico es necesario obtener un cuadro sintético de los resultados obtenidos, como por ejemplo una descripción clara de las frecuencias naturales y de los modos normales de vibración, ya que son cantidades verificables experimentalmente mediante los clásicos ensayos de análisis modal. Lo que debe reconocerse es que, si bien la disponibilidad de mayor capacidad de computación ha permitido atacar problemas cada vez más complejos, los conceptos básicos y teorías de la dinámica estructural en que se basan los diferentes programas de computación no han cambiado, sus raíces son fuertes y profundas y en realidad sostienen todas las nuevas aplicaciones que van surgiendo. Además, el uso creciente de mayores y mejores técnicas de monitoreo, conjuntamente con el avance logrado en el instrumental utilizado, ha permitido al ingeniero basar la elección de sus modelos y parámetros de diseño en la gran cantidad de datos experimentales obtenidos de máquinas y estructuras similares a la que estudia. Es así que, en general, podemos decir que un modelo es aceptable solo si lleva a predicciones cercanas al comportamiento real del sistema físico. El objetivo del presente capítulo es establecer el lenguaje universal que utilizan todos los modelos y métodos de análisis de vibraciones, partiendo del sistema discreto más simple de un grado de libertad. Se establece su relación con los métodos experimentales del análisis modal, la cual es finalmente una de las herramientas que dispone el diseñador para verificar sus conclusiones.

2.

Movimientos periódicos

El estudio de las vibraciones está relacionado al movimiento oscilatorio de cuerpos y de las fuerzas asociadas a ellos. Todos los cuerpos poseen masa y elasticidad y son por lo tanto capaces de vibrar, por lo que el diseño de los mismos requiere que en general se hagan consideraciones sobre su comportamiento oscilatorio. Estos movimientos pueden ser lineales o no lineales, en los primeros vale el principio de superposición y los métodos de solución de ecuaciones están bien desarrollados, en cambio las técnicas para el análisis de los sistemas no lineales son menos conocidas y difíciles de aplicar. Un movimiento oscilatorio que se repite en forma regular se denomina movimiento periódico y se caracteriza por el período de repetición T , y el recíproco f  1 T se denomina la frecuencia de repetición. La Figura 1 muestra el más simple de los movimientos oscilatorios periódicos, donde se indican además las principales características. Una señal de estas características representa el movimiento oscilatorio de un sistema masa – resorte y se describe por la ecuación:

x (t )  Xmsen(  t ),

  2 f

donde  es la frecuencia la frecuencia angular, t es el tiempo y X m es la amplitud de la señal.

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Físicamente, en una vibración esta magnitud representa el máximo desplazamiento de la masa respecto a su posición de equilibrio. La velocidad de la vibración mide la rapidez con que se mueve la masa durante sus oscilaciones.

Figura 1. Señal senoidal y sus características más importantes.

Definición 1.1.

Se denomina fenómeno periódico a aquel en el cual la variación de

una determinada magnitud se repite de manera idéntica al transcurrir un cierto intervalo de tiempo, el cual se denomina período.

Observamos en el ejemplo de la masa oscilante suspendida de un resorte en la Figura 2, que la velocidad alcanza su valor máximo en la posición central, y es cero cuando invierte su movimiento en sus extremos. La relación entre los valores máximos entre las clásicas variables dinámicas que definen una vibración es:

Vm    Xm ,

Am   Vm  2  Xm .

Figura 2. Puntos de máxima y mínima velocidad de la curva.

Es bastante común que una vibración sea el resultado del movimiento simultáneo de diversas frecuencias, dando lugar a una forma compleja de vibración tal como se ve en la Figura 3 (como ocurre en el caso de la vibración de las cuerdas de un violín, donde el sonido resultante se compone de la frecuencia fundamental y armónicas, o en numerosas señales de máquinas rotantes debido por ejemplo a no linealidades en desbalanceos grandes donde el eje del rotor se acerca al cojinete, partes sueltas de una máquina, o bien en aquellas señales generadas como consecuencia de fallas en un rodamiento como se ve en la Figura 4, etc.), la misma se puede

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representar por una serie de senos y cosenos armónicamente relacionados a la frecuencia fundamental de repetición.

Figura 3. Forma de onda periódica genérica.T es el período de repetición.

Figura 4. Señal generada por falla en la pista externa de un rodamiento de un motor.

Definición 1.2. verifica

Una función

f : R  R, se denomina periódica con período T si se

la relación f (t T )  f (t ), t donde T es una constante positiva. El número de

repeticiones que se producen en la unidad de tiempo se denomina frecuencia.

Si una determinada magnitud tiene una variación que es descripta por una cierta función x y dicha variación es periódica, entonces debe verificar la relación x(t T )  x(t ), t y se puede representar por su serie de Fourier:  1 x (t )  a 0   an  cos(n 0t )  bn  sin(n 0t ), 2 n 1

2 an  T

T

 T

2

x (t )  cos(n 0t )  dt,

2 bn  T

2

T

 T

0 

2 T

2

0

x (t )  sin(n 0t )  dt 2

Cuando se miden vibraciones mecánicas o cualquier otra señal de algún sistema dinámico, es difícil encontrar señales armónicas puras. Esto se debe al hecho de que nunca existe solo una

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única fuente de excitación en ese sistema y la respuesta que se mide es entonces, una composición de respuestas individuales. Por lo tanto, las señales son complejas, ricas en componentes y contaminadas en general por ruido aleatorio que las hacen difíciles de analizar (como es el caso del movimiento de representado en la Figura 4). Para realizar un buen análisis es necesario descomponer estas señales complejas en señales simples a fin de estar entonces en condiciones de identificar las excitaciones correspondientes. En tales circunstancias la representación más conveniente de descomposición de las mismas es mediante el uso de la transformada de Fourier, que permite una representación de la señal en el dominio de las frecuencias a través den descomposición similar al de las series de Fourier utilizando un algoritmo eficiente denominado FFT. Experimentalmente esto se logra mediante los analizadores digitales de espectro que son instrumentos de laboratorio o portátiles, y presentan los datos tanto en el dominio temporal como en el de las frecuencias. En la mayoría de los casos una señal que es confusa en un dominio se puede interpretar mejor en el otro dominio. El concepto básico es entonces descomponer una forma de onda compleja en señales armónicas simples que en definitiva son el resultado de excitaciones individuales igualmente armónicas. Este hecho justifica la importancia de analizar en detalle las vibraciones de un sistema sencillo de un grado de libertad excitado por fuerzas armónicas, cualquier otra situación (en un sistema lineal) es el resultado de una superposición de este tipo de movimientos simples.

3. Magnitudes típicas que caracterizan una vibración La Figura 5 una señal típica obtenida en una medición con un acelerómetro colocado sobre la estructura de soporte de un rodamiento. En ella se indican los valores típicos que suelen utilizarse en el análisis de las vibraciones. Los más simples son el valor pico y el valor promedio. El primero de ellos está asociado a la tensión máxima a la que está sometido el cuerpo que vibra, mientras que el valor promedio indica un valor estacionario (similar a un valor de corriente contínua en un circuito eléctrico), y su valor está dado por:

1 x  lim T  T

Figura 5.

T

 x(t)  dt 0

Señal real de un rodamiento. Relación entre RMS, Pico, Pico a Pico.

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Un tercer parámetro, asociado a la energía de una vibración, es la raíz cuadrada del valor cuadrático medio, definido por:

1   lim T  T 2

T

 x (t )  dt 2

0

Para el caso particular de una señal senoidal estas cantidades se muestran en la Figura 6.

Figura 6. Relaciones entre los valores pico y RMS para una señal senoidal. Debido a que los valores pico de velocidad y aceleración son el producto de la frecuencia angular de vibración y la amplitud de desplazamiento, estas tres cantidades pueden diferir en uno o más ordenes de magnitud, por lo que se hace necesario utilizar escalas logarítmicas. Una unidad muy utilizada es el decibel (dB) definida como: 2

 x  dB  10  log10  1   x 2 

Esta magnitud es de suma importancia en el análisis de Fourier de una señal. La siguiente Figura 7 muestra un ejemplo típico de la escala logarítmica mencionada

Figura 7. Comparación entre el Desplazamiento, la Velocidad y la Aceleración

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4. Movimiento oscilatorio armónico. Grados de libertad. Hemos definido una vibración como el movimiento de un objeto relativo a un marco de referencia en su posición nominal (en general la de equilibrio). El fenómeno físico de las vibraciones implica un intercambio de energía potencial y cinética del cuerpo en movimiento, lo que implica que un sistema vibrante debe tener una componente que almacena energía potencial y desprende energía cinética en la forma de movimiento de una masa. El modelo básico es el de un oscilador simple que consiste de un conjunto masa – resorte (sistema discreto de un grado de libertad (gdl)). El número de gdl para un sistema mecánico es igual al número de coordenadas independientes requeridas para localizar y orientar cada masa en cualquier instante de tiempo. Si aplicamos esta definición a una masa puntual, se requieren 3 gdl: (x,y,z) traslaciones del centro de gravedad de la masa puntual. Si esta definición se aplica a un cuerpo rígido, se requieren 6 gdl, ya que a los tres anteriores debemos agregarles x y z. En los modelos discretos, el movimiento de traslación de un cuerpo se describe como el movimiento de la trayectoria del centro de masa del cuerpo, independientemente de cómo esta se encuentra distribuida. Sin embargo, la propiedad de inercia que está sujeta a movimientos de rotación es una función que depende de la distribución de la misma, particularmente a través de su momento de inercia. Los elementos de rigidez son los que almacenan y liberan la energía potencial, y en los sistemas discretos lineales se los representa por resortes que obedecen la ley de Hooke: k  x , donde k [N/m] es la constante elástica del resorte en sistemas en traslación y x el desplazamiento respecto de la posición de equilibrio, y kt   en resortes de torsión, donde  es el desplazamiento angular y kt la constante elástica equivalente por torsión (en N∙m/rad). En general las vibraciones mecánicas pueden incluirse en alguna de las siguientes categorías: 1.

Vibraciones de extensión (compresión o tracción)

2.

Vibraciones de torsión

3.

Vibraciones por flexión

4.

Combinación de los casos anteriores

Evidentemente, los sistemas vibrantes deben reproducir con la máxima exactitud el elemento real de vibración, lo que significa que han de reflejar todas las propiedades físicas que caracterizan a un sólido en vibración. Las siguiente Figura 8 muestra típicos modelos de sistemas vibrantes que modelan situaciones prácticas con menor o mayor detalle según el grado de complejidad que deseemos.

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Figuras 8a-b-c-d. Diferentes modelos de sistemas vibrantes. El sistema más sencillo es el formado por un resorte ideal de rigidez K y masa indeformable (rigidez infinita) m. El movimiento se supone vertical. Si se considera la amortiguación, el modelo más sencillo es el indicado a la derecha de la anterior, donde c representa la constante de amortiguación. La segunda Figura representa el sistema más sencillo de torsión, y está formado por un disco de momento de inercia polar I unido al apoyo fijo por una barra de rigidez a la torsión indicada por Kt , siendo ct el amortiguamiento de la vibración a la torsión. Naturalmente, los sistemas vibrantes pueden alcanzar una gran complejidad según el sistema físico que se modele. La Figura anterior idealiza el comportamiento de un automóvil, y la de abajo el de un esqueleto humano. Este último modelo se utiliza para estudiar la respuesta de este sistema físico cuando está sometido a excitaciones verticales, el cual consta de varios elementos de inercia, resortes y amortiguamientos. El cuerpo humano es muy sensible a las vibraciones, si bien puede sentir desplazamientos con amplitudes de centésimas de milímetros, algunas partes del oído poseen la aptitud de sentir desplazamientos más pequeños. En las frecuencias bajas de 1 a 10 Hz, se dice que la percepción del movimiento es proporcional a la aceleración, y en las frecuencias medias de 10 a 100 Hz, la percepción es proporcional a la velocidad. Además es necesario considerar el nivel de estimulación. La respuesta de las diferentes partes del cuerpo humano depende asimismo de la frecuencia de la excitación. El sistema torax-abdomen, por ejemplo, es muy sensible a las vibraciones que se encuentran entre 3 y 6 Hz, el sistema cabeza-cuello-hombro a las vibraciones entre 20 y 30 Hz, y el globo ocular a excitaciones entre 60 a 90 Hz.

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Figura 8d. El cuerpo humano y un modelo vibratorio. Otro modelo de sistemas de muchos grados de libertad esta representado en la Figura 8e. El sistema físico consiste en partes distintas de la torre, bancada de torno y la herramienta que se utiliza para cortar la pieza de trabajo. La bancada se modela como una viga elástica de longitud Lb, masa por unidad de longitud m b y momento de inercia del área I b con respecto al eje de flexión y módulo de elasticidad de Young E b. La torre se modela como un cuerpo rígido con un gdl de rotación y otro de traslación. Los elementos de resorte se introducen entre la torre y la bancada, y un elemento de amortiguamiento se introduce para modelar el amortiguamiento de la torre. La pieza de trabajo se modela también como un elemento de inercia distribuida con una longitud Lw y masa por unidad de longitud m w, momento de inercia de área I w con respecto al eje de flexión y módulo de elasticidad E w.

Figura 8e. Sistema para tornear una pieza y modelo vibratorio. La diferencia de estos últimos sistemas respecto a los primeros está definida por el diferente número de grados de libertad utilizados en su representación, el cual se define como el número de coordenadas independientes necesarias para definir la configuración del sistema en todo momento. Las siguiente Figura 9a-b-c muestran sistemas discretos con un número finito de grados de libertad. Los sistemas continuos poseen un número infinito de grados de libertad.

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Figura

9a-b-c. Sistemas vibrantes con diferentes grados de libertad.

4.1 Rigidez elástica Sabemos que al aplicarle a un resorte una fuerza F se produce un alargamiento , y mientras el material se mantenga dentro de su límite elástico, la relación entre ambas cantidades es constante:

k 

F , el resorte se dice lineal, y k se denomina la constante de rigidez del resorte. 

En la siguiente Figura se observan la combinación de resortes en serie y en paralelo y la constante equivalente en cada caso. En el primer caso la fuerza es la misma en ambos resortes, mientras que en el segundo caso la deformación es igual a ambos, y de allí se pueden deducir las relaciones indicadas en las Figuras.

En general, la elasticidad de un resorte se asocia mejor relacionándola en forma directa a las propiedades materiales y geométricas del resorte. La Figura siguiente considera el caso de una barra esbelta de material elástico, de módulo E, longitud L y área transversal A. En la Figura 10a se indica la constante equivalente del resorte: k 

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EA l

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Figura 10a-b. Elasticidad asociada a una barra elástica y a un eje de torsión.

En la Figura 10b se muestra la constante equivalente de resorte para el caso de un eje sometido a un efecto de torsión. En este caso la barra posee un momento de inercia de área Jp y módulo de rigidez por corte G. Si d es el diámetro del eje, J p  N/m 2. La elasticidad torsional está dada por k 

GJ p l

d 4 , donde G tiene unidades de 32

, ignorando la masa del eje. Esta fórmula

surge de considerar que al aplicar a una barra de longitud l un par de torsión T, girará un ángulo , dada por la relación:  

T l T  kt  . G  Jp 

En el caso de que se tengan varios resortes de torsión en serie, como se muestra en la Figura 10c, la rigidez equivalente se obtendrá como en el caso de los resortes: 1 

 1 T T 1   , 2  ,    1  2  T    Kt 1 Kt 2  Kt 1 Kt 2

Figura 10c-d. Resorte equivalente de torsión y flexión de una viga con carga central.

El siguiente caso mostrado en la Figura 10d considera una viga con una carga central concentrada de valor P. Se sabe que en esas condiciones (dependiendo del tipo de apoyo) se produce una deflexión dada por: 

P  L3 P 48EI , que permite obtener el coeficiente de rigidez a la flexión: k f   48EI  L3

Las siguientes Figuras muestran las constantes elásticas equivalentes para diferentes situaciones de carga concentrada en vigas simples:

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

yx 

kf 

kf 

PL3 P 3EI  kf   3EI  L3

P b  x 2 (L  x 2  b 2 ) 6E  I  L 3E  I  L a 2b 2

192  E  I L3

kf 

768  EI 7  L3

Este caso representa la deflexión de un resorte que se deforma a lo largo del eje de la bobina. La elasticidad depende de G, del diámetro de la barra, del alambre y número de vueltas.

k 

G  d4 64  n  R 3

Figura 10. Continuación.

4.2

Amortiguamiento

Todos los sistemas vibrantes están sujetos a un cierto grado de amortiguamiento, ya que la energía se disipa por fricción y otras resistencias. Se supone que los elementos de amortiguación no tienen inercia ni medios de almacenar energía potencial. El movimiento impartido a estos elementos se convierte así en calor o sonido por lo que resultan ser no

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conservativos ya que el sistema mecánico no puede recuperar esta energía. Hay cuatro tipos comunes de mecanismos de amortiguación que se utilizan para modelar los sistemas vibrantes: 1.

amortiguamiento viscoso,

2.

amortiguamiento de Coulomb o fricción seca,

3.

amortiguamiento por fluido.

4.

amortiguamiento material o de histéresis.

El amortiguamiento por un fluido viscoso es el que se establece al pasar un fluido por un orificio, en flujo laminar. En él la resistencia F es proporcional a la velocidad. La siguiente Figura muestra un amortiguador del tipo utilizado normalmente para suspensión en los vehículos. Este tipo de diseño produce una fuerza de amortiguación en respuesta a la velocidad x forzando al fluido a través de un orificio. Esta fuerza es intrínsicamente una ley cuadrática de la velocidad, pero puede aproximarse linealmente mediante el uso de una válvula especial, que se abre en forma progresiva a medida que crece el flujo. La fuerza y la velocidad están relacionadas por:

F  c  x , la constante c con las dimensiones de fuerza/velocidad.

La siguiente Figura muestra en forma esquemática la forma constructiva de un amortiguador. Consiste en un pistón perforado con agujeros a fin de facilitar el movimiento del pistón en el aceite. El flujo laminar del aceite en el pistón a través de los orificios es quien origina la fuerza de amortiguamiento.

La mayoría de las estructuras tienen diferentes mecanismos de amortiguamiento intrínsecos para disipar energía vibracional que a menudo hace que no se reconozca la necesidad de incorporar algún tipo externo de amortiguador. Sin embargo, la necesidad de construir estructuras más eficientes y económicas para diferentes propósitos ha marcado una tendencia a eliminar las fuentes intrínsecas de amortiguación que habían ayudado a sobrevivir a dichas estructuras en el pasado. Es así que cada vez con más frecuencia debemos realizar mayores esfuerzos para reintroducir el amortiguamiento eliminado. El amortiguamiento por fricción surge por el movimiento relativo de dos superficies en contacto, y en general se modela como una fuerza constante proporcional a la carga normal a las dos superficies y dirigidas en sentido opuesto a la velocidad en todo instante. El movimiento de un sistema que incorpora fricción debe analizarse teniendo en cuenta ete comportamiento lineal por trozo, ya que es necesario ir resolviendo las ecuaciones de movimiento para cada etapa a medida que la estructura vibrante va cambiando de sentido. Este tipo de amortiguación puede o

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no colocarse en forma intencionada. La fuerza producida por fricción sigue la conocida fórmula: F  N

Suponiendo que todos los posibles mecanismos externos de amortiguación fueron quitados en una estructura, existen dentro del volumen de un elemento material un número muy grande de mecanismos donde se disipa la energía vibracional a medida que dicho elemento se deforma cíclicamente. Todos esos mecanismos están asociados con reconstrucciones internas de la micro y macro estructura, desde la estructura cristalina a efectos a escala molecular, donde se incluyen efectos magnéticos, térmicos y reconstrucción atómica (dislocaciones, defectos concentrados de la estructura cristalina, efectos fonoelectrónicos, relajación de tensiones en bordes de granos, procesos de fase en soluciones sólidas, bloques en materiales policristalinos, etc.). Independientemente del mecanismo físico preciso involucrado, todos los materiales reales disipan energía, poca o mucha, durante deformaciones cíclicas. Las mediciones experimentales del comportamiento de muestras de materiales pueden comprenderse cualitativamente y a veces cuantitativamente en términos de la energía disipada por unidad de volumen D para varios niveles de deformación. El amortiguamiento viscoelástico se observa fuertemente en muchos polímeros y materiales vidriosos. Este mecanismo de amortiguación interna tiene muchas posibilidades de aplicaciones industriales. Los polímeros se construyen de cadenas moleculares tales como las orgánicas. Los átomos de carbono se unen fuertemente entre si y pueden ramificarse de forma de lograr cadenas largas que pueden estar fuertemente o débilmente ligadas, de acuerdo a la composición y procesamiento del polímero. El amortiguamiento surge de la relajación y la recuperación de la red de polímeros después que se ha deformado, y poseen una fuerte dependencia con la frecuencia y la temperatura debido a la relación directa entre la temperatura del material y el movimiento molecular. Un material viscoelástico suele denominarse un material con memoria, lo que implica que su comportamiento depende no sólo de la carga aplicada sino también de la historia de la misma.

A los fines prácticos, y teniendo en cuenta que es posible definir para los materiales con amortiguamiento por histéresis un coeficiente de amortiguación viscoso equivalente, resulta conveniente desde un punto de vista práctico considerar el caso donde la fuerza de amortiguación se la expresa como una función de la velocidad. Cuando el amortiguamiento es pequeño tiene muy poca influencia sobre la frecuencia natural del sistema, por lo que los cálculos se hacen sobre la base de una vibración libre no amortiguada. Pero por otro lado, el amortiguamiento es de gran importancia para limitar las amplitudes de vibración en resonancia así como para interpretar los resultados experimentales derivados del análisis modal. En nuestra presentación, cuando sea necesario considerar el amortiguamiento, lo supondremos de

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naturaleza viscosa , donde se representa al amortiguador como un cilindro con una cabeza de pistón, la fuerza de amortiguación generada es proporcional a la velocidad de la masa que vibra: Fa  c  x, donde x es la velocidad de la masa y c es la constante de amortiguación [N seg/m]. Construir modelos de sistemas reales con los elementos mencionados es un arte, y fundamentalmente es la experiencia la que sirve de guía. Cuando se recurre sólo a elementos discretos para modelar un sistema físico, el conjunto de ecuaciones asociadas se denomina “sistema discreto”, lo que implica el uso de un número finito de coordenadas generalizadas independientes (de desplazamiento o rotación) para describir la posición del sistema.

5. Oscilaciones de una masa suspendida de un resorte Consideremos el movimiento de una masa m sujeto a un extremo de un resorte que resiste estiramientos y compresiones y cuyo otro extremo está fijo, tal como se muestra en la Figura 11. Se supone además que el resorte verifica la ley de Hooke, que no posee peso y está caracterizado por una constante de rigidez k [N/m]. Se asume que el sistema posee amortiguación de naturaleza viscosa como se describió anteriormente, y que sobre el mismo actúa una fuerza externa. Se trata de un sistema mecánico de un solo grado de libertad, dado que su movimiento puede ser descrito mediante una única coordenada generalizada x . Determinaremos ahora la ecuación rectora del movimiento para el clásico sistema masa –



resorte – amortiguador representado en la Figura 10, excitado externamente por una fuerza F (t ) en la dirección de movimiento.

Figura

11. Modelo básico de un sistema de un grado de libertad.

Para deducirla podemos utilizar los principios de la cantidad de movimiento (que comprende los métodos de equilibrio de fuerzas y balance de momentos). 1 2

(1)

m

dx  c  x  k  x  F (t ), dt 2

junto a las condiciones iniciales al problema:

x(0)  x 0,

y

x(0)  v0

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(2)

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donde x 0 es la posición que el sistema tiene en el instante t  0, y v 0 la velocidad correspondiente a ese instante. Las vibraciones se clasifican a su vez en libres y forzadas, las primeras tienen lugar cuando un sistema oscila bajo la acción de fuerzas inherentes al mismo solamente. En estas condiciones el sistema vibra en una o más de sus frecuencias naturales, que son propiedades del sistema dinámico y dependen solo de la distribución de masa y elasticidad. El segundo grupo tiene lugar cuando las oscilaciones se producen como una respuesta a una excitación externa, la que en definitiva entrega energía al sistema y lo hace vibrar a la frecuencia de dicha fuerza, la cual, si coincide con una frecuencia natural del sistema se dice que el mismo se encuentra en una condición de resonancia, lo cual explica porqué es de suma importancia la determinación de las frecuencias naturales. Analizaremos a continuación cada una de las dos situaciones.

5.1 Vibraciones libres Esta situación se tiene haciendo c  0 en la ecuación (1) y asumiendo que sobre el mismo no actúa ninguna fuerza externa. El modelo simplemente consiste entonces en imponer las condiciones iniciales al sistema (desplazamiento y/o velocidad) y analizar el movimiento resultante. Se obtiene así para este caso la siguiente ecuación diferencial lineal homogénea de orden dos:

d 2x k   x  0, 2 m dt

(3)

con las condiciones iniciales (2), donde además se ha dividido ambos miembros por m. Uno de los objetivos del análisis de vibraciones es predecir la respuesta o movimiento del sistema, por lo que será necesario resolver la ecuación (3). Esta es una ecuación diferencial muy conocida que se trata en todos los libros de texto de cálculo, y se puede expresar como: x(t )  A  sen(  t  )

(4)

en donde A es la amplitud de la función periódica y  [rad/seg] la frecuencia angular,  es el denominado ángulo de fase, y es el que determina el valor inicial de la función seno, t se mide en segundos. Derivando dos veces la expresión (4) se obtiene la expresión de la aceleración: x(t )  2A  sen(  t  )

(5)

sustituyendo las ecuaciones ( 4) y ( 5) en ( 3) se tiene la siguiente relación: m2A  sen(  t  )  kA  sen(  t  )

de donde se observa que la relación es cierta sólo si 2  k m , en cuyo caso (4) es solución de (3). A este valor se lo denomina la frecuencia natural del sistema n . La amplitud y fase de la solución buscada se obtienen de las condiciones iniciales. Reemplazando (2) en (3) y en su derivada primera para t  0 se tiene el siguiente par de ecuaciones: x 0  A  sen(),

y

v0  A  sen()

cuya solución da:

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A

n2x 02  v02 n

  x    tg 1  n 0   v0 

,

(6)

De (6) se observa que las oscilaciones que efectúa el sistema corresponden a las de un movimiento armónico cuya frecuencia circular natural esta dada por:

n 

k m

(7)

De (7) es claro que un aumento de la rigidez del resorte produce un aumento de la frecuencia circular, mientras que un aumento de la masa produce una disminución de dicha frecuencia. De acuerdo con (6) la fase inicial depende de las condiciones iniciales (2). Las oscilaciones de la masa tienen lugar en forma periódica. De (3) se deduce que un aumento o disminución en 2 del argumento de la función seno produce una repetición del valor x (t ). En el instante inicial t  0 es x (0)  A sen , y este mismo valor vuelve a tomar x (t ) para t  T , que es el período de las oscilaciones del sistema. La fase aumenta en el valor 2 al pasar de t  0 a t  T , y esto k T  2, de donde resulta m

implica que el período verifica la relación

T  2

m k

(8)

De acuerdo con f  1 T la frecuencia circular natural del sistema está dada por

fn 

k 2 m 1

(9)

El movimiento de la masa es tal que oscila alrededor de su posición de equilibrio con amplitud A, frecuencia circular n y fase inicial , tal como se ilustra en la Figura 1 y Figura 2.

5.2

Vibraciones libres amortiguadas.

El modelo matemático usado precedentemente no supone existencia de fuerzas de rozamiento, pero como ya lo hemos expresado, en la práctica estas existen y hacen que el sistema no efectúe un movimiento armónico, dado que la amplitud va disminuyendo al transcurrir el tiempo. Si en (1) se asume que c  0 se tiene un modelo que describe con buena exactitud a ciertos problemas reales, la ecuación diferencial resultante es:

d 2x (t ) dx(t )  2p  n2x(t )  0, 2 dt dt en donde hemos introducido la siguiente notación: n 

(10) k c , p . con las condiciones m 2m

iniciales (2). La ecuación característica de (10) está dada por: r 2  2pr  n2  0 cuyas raíces son r1,2  p  p2  n2 .

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De acuerdo con el valor que tome la cantidad subradical p 2  n2 surgen distintas situaciones. Así dado que es p 2  n2 

c 2  4km

cuando el parámetro c toma el valor

4m 2

4km

resulta

p2  n2  0. Esto determina una situación muy especial que sirve de punto de referencia. El valor

de c correspondiente se denomina coeficiente de amortiguamiento crítico y se denota por ccr . En consecuencia los distintos casos que pueden presentarse se corresponden con las siguientes relaciones: c  ccr , c  ccr y c  ccr , y esto conduce de manera natural al análisis de los siguientes tres casos distintivos:

5.3 Si

Movimiento sobreamortiguado se

supone

que

se

verifica

p2  n2  0, p  n . Llamando q  p 2  n2

c  ccr  4km ,

resulta

r1,2  p  p2  n2

con

la solución general de la forma homogénea de la

ecuación (10) es:

x (t )  C1e(pq )t  C 2e(pq )t .

(11)

Dado que es q 2  p2  n2 , resulta q 2  p2 y como p y q toman valores positivos es p  q  0, p  q  0 y las funciones e(pq )t , e(p q )t resultan monótonas decrecientes cuando t  .

Esto permite concluir que la función (11) decrece en forma monótona y que el sistema mecánico no realiza oscilaciones, dado que es lim x (t )  0. t 

x (t )

(a )

(b )

t

Figura 12a: Movimientos sobreamortiguados y críticamente amortiguados. Curva (a ) : x 0  0, v0  0. [C1 - Mecánica Racional - UTN-Reg. Delta]

Curva (b) : x 0  0, v0  0. Página 243

Este movimiento se denomina sobreamortiguado dado que la condición c  ccr  4km implica que el coeficiente de amortiguamiento es tan grande que impide al sistema realizar oscilaciones. En la Figura 12 se muestra el caso de un movimiento sobreamortiguado cuando se consideran distintas condiciones iniciales.

5.4 Movimiento críticamente amortiguado. Cuando se verifica c  ccr  4km , es n2  p2  0 de donde resulta que existencia de raíz doble implica que la solución general de (10) está dada por

x (t )  ept C 1  C 2t . Dado que es ept  0, t y C1  C 2t  0

r1,2  p. La

(12)

se anula en un solo punto esto es para t  t1 

C 2 C1

,

resulta que la masa pasa, a lo sumo una vez, por la posición de equilibrio estático y esto ocurre en el instante t  t1 . Por otra parte es lim x (t )  lim e pt C1  C 2t   0.

t 

t 

Los valores de C1 y C 2 se determinan de las condiciones iniciales y ello determina si en rigor la ecuación C1  C 2t  0

5.5

Movimiento subamortiguado.

Si se verifica que c  ccr  4km . resulta r1,2  p  i n2  p2 con n2  p2  0, n  p. y llamando q  n2  p 2 resulta r1  p  iq, r2  p  iq, y en consecuencia la solución general de (10) está

dada por x (t )  C1e(piq )t  C 2e(piq )t .

(13)

aplicando relaciones trigonométricas sencillas la solución buscada se puede expresar de la siguiente forma:

x(t )  Aept sen(q  t  ).

(14)

donde A y  se determinan de acuerdo a las condiciones iniciales (2). De esta expresión se deduce que el movimiento del sistema queda descrito por una función que es el producto de una exponencial decreciente y de una función circular de argumento qt  . Se trata entonces de un movimiento oscilatorio armónico amortiguado cuya “frecuencia circular” está dada por a  q  n2  p2  n . El “período” de oscilación está dado por Ta 

2 . a

x (t ) Aept

[C1 - Mecánica Racional - UTN-Reg. Delta]

Página 244 t

Figura 12b: Movimiento subamortiguado. Este movimiento se denomina subamortiguado dado que la condición c  ccr  4km implica que el coeficiente de amortiguamiento tiene un valor tal que le permite al sistema realizar oscilaciones. La envolvente de la senoidal amortiguada está definida por las funciones Aept y Aept y tienen puntos en común para a t    k

 , k  1, 2,  En la Figura 12b se 2

muestra el caso de un movimiento subamortiguado. Una forma sencilla de estimar el factor de amortiguamiento  es a través del decremento logarítmico el cual se define como:  x    ln  n   x n 1 

donde xn y xn 1 corresponden a las máximas amplitudes entre el inicio y fin de un período cualquiera, tal como se indica en la Figura siguiente.

Sustituyendo la forma analítica de la respuesta subamortiguada se tiene:

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 Ae t sin(d t  )    ln  , y dado que dT  2  Ae (t T ) sin(d (t  T )  )  se tiene que 2   ln(e T )  T    resolviendo para   1  2   4 2   2 que permite determinar la razón de amortiguamiento en función del decremento logarítmico.

5.6

Vibraciones forzadas.

En esta sección estudiaremos la solución de la ecuación diferencial (1) que representa las vibraciones de un sistema de un grado de libertad, considerando una excitación armónica F0  cos(  t ) , donde  es la frecuencia angular de excitación y F0 la amplitud en [Newton] de la misma. La ecuación diferencial queda en este caso de la forma:

d 2x dx  2n  n2x  f0 cos(nt ), 2 dt dt

(15)

junto a las condiciones iniciales (2). Para obtener esta ecuación se utiliza el hecho de que 2 n  k m, f0  F0 / m , y  es la razón de amortiguación. Se define como el cociente entre el coeficiente de amortiguamiento c y el correspondiente valor en condición de amortiguamiento crítico:   c , es adimensional y toma valores positivos, con valores en el intervalo [0,1] para ccrt

condición de subamortiguamiento. Utilizando esta definición y del hecho de que ccrt  4km el término c

m

de la ecuación (1) se

puede escribir así:   ccrt c   4km k    2  2n m m m m

que justifica el segundo término de (15). La solución general de la ecuación diferencial (15) es la suma de la solución general de la homogénea correspondiente y de una solución particular de la misma. La primera está dada por la expresión (14) mientras que para obtener una solución particular x p (t ) podemos asumir una forma similar a la de la función fuerza con diferente amplitud y fase (esta última es esperable debido al efecto del amortiguamiento), y utilizar el método de los coeficientes indeterminados: x p (t )  A cos(t  )  As cos(t )  Bssen(t ) ,

donde A  As2  Bs2 y tg() 

Bs As

.

(16) (17)

Al derivar y reemplazar en la ecuación diferencial resulta:

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(2As  2n Bs  n2As  f0 )cos(t )  (2Bs  2n As  n2Bs )sen(t )  0

al igualar coeficientes se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: (n2  2 )As  (2n )Bs  f0,

(2n )As  (n2  2 )Bs  0

La solución de este sistema está dada por As 

(n2   2 )f0 2 n

2 2

2

(   )  (2n )

,

Bs 

2n  f0 2 n

(   2 )2  (2n )2

y en consecuencia sustituyendo estas expresiones en (16) y (17) se tiene finalmente la expresión de la solución particular:

x p (t ) 

f0 (n2  2 )2  (2n )2

cos(t  tg 1

2n  ) n2  2

(18)

Por otra parte la solución general de la ecuación homogénea está dada por x (t )  C1e 1  C 2e 2  x p t , rt

rt

(19)

donde los dos primeros sumandos corresponden a la solución de la ecuación diferencial homogénea correspondiente a (18). Los distintos casos que pueden presentarse ya fueron analizados y se demostró que las funciones correspondientes son monótonas decrecientes cuando t  . Esto permite inferir que cuando t crece, solo predominan los términos que contienen a . Estos términos producen la denominada respuesta de estado estable. Los dos primeros términos de la solución general (19) se denominan la respuesta transitoria. Es común ignorar en toda solución esta última componente, pero para ello debe ser necesario tener una estimación de la razón de amortiguación  . Si el sistema tiene un valor alto de amortiguación el término exp nt  causa un rápido decaimiento de la respuesta transiente (del orden de los pocos segundos), pero por otro lado, si el sistema está sólo ligeramente amortiguado la parte transiente de la solución no debería ignorarse, lo cual dependerá del tipo de problema analizado. Si sólo consideramos la respuesta en estado estacionario, la solución (19) se puede escribir de la siguiente forma: x(t )  X  cos(  t  ) donde:

X

f0 (n2   2 )  (2n )2

,

y

  tg 1

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2n  n2   2

(20)

Página 247

Figura 13: Variación de la amplitud

X F0 k

y la fase en función de

w . wn

Lo que en realidad es de interés desde el punto de vista del análisis es el comportamiento de los valores máximos de la amplitud de vibración y la fase correspondiente en función de la frecuencia de excitación externa. Este comportamiento se observa en la Figura 13 para distintos valores de la razón de amortiguación. Las curvas se han normalizado: sobre el eje horizontal en término de r   , y la amplitud n

sobre el eje vertical en la forma X

(F0 / k )

Es de notar que a medida que   n (r  1) , la magnitud se aproxima a un valor máximo para curvas con poca amortiguación , y también se observa que se produce un corrimiento de fase de ≈ 90º. Estas características definen la denominada condición de resonancia, y tienen fundamental importancia tanto en problemas de diseño como en las mediciones. La amplitud en estado estacionario es dependiente de la razón de amortiguación, de la Figura se observa que a medida que este valor aumenta, disminuye la amplitud en las cercanías de la resonancia. A pesar de la simpleza del modelo utilizado, suele utilizarse en muchas ocasiones para analizar resultados observables de la experiencia, como por ejemplo en el caso de desbalanceo de rotores. En estas situaciones, pequeñas irregularidades en la distribución de la masa rotante pueden dar lugar a vibraciones sustanciales denominada desbalanceo rotante. Esta situación suele modelarse con una masa m 0 ubicada a una distancia e del centro de rotación, en cuyo caso la fuerza actuante es la centrípeta, cuya componente horizontal es F(t )  em02sen(t ) . De acuerdo al modelo analizado de un grado de libertad, la respuesta debería ser del mismo tipo. La Figura 13a muestra un caso real de desbalanceo, se observa que la respuesta del sistema en esta situación es totalmente oscilatoria armónica. La Figura 13b muestra la forma completa de la solución de la ecuación (15) considerando la componente transiente debido a la solución general de la parte homogénea.

Figura 13a. Señal temporal correspondiente al desbalanceo de un rotor.

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Figura 13b. Señal temporal correspondiente a la solución completa de la ecuación ( 15), considerando el transiente debido a la solución general de la parte homogénea.

6. Casos particulares. Excitación de la Base A menudo las partes de una máquina se excitan armónicamente a través de los montajes elásticos que pueden modelarse por resortes y amortiguadores (como es el caso de la suspensión de un automóvil, montaje de motores sobre goma o caucho que separa el motor de la estructura de soporte, etc). Estos sistema se pueden modelar como se indica en la Figura 14.

Figura 14. Problema de excitación de la base. El movimiento de la masa m se supone gobernado por el movimiento de la base. Un balance de fuerzas da la siguiente expresión: mx  c  (x  y)  k  (x  y)  0

(21)

asumiendo una excitación del tipo senoidal:

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y(t )  Y  sin(t )

(22)

insertando ( 22) en ( 21) se tiene: mx  c  x  k  x  cY   cos(t )  kY  sin(t )

(23)

ecuación que puede pensarse como un sistema masa – resorte – amortiguador con dos entradas armónicas. La ecuación anterior se puede modificar ligeramente utilizando las definiciones de frecuencia natural n2  k / m y la razón de amortiguación, donde reemplazamos

c / m  2n , se llega a: x  2n x  n2x  2n Y  cos(t )  2Y  sin(t )

(24)

De esta forma puede aplicarse la solución dada en (20) con f0  2n Y en un caso f0  n2Y en el otro. La solución en cada caso es (ver (20)): x (1) p 

x (2) p 

2n Y (n2   2 )2  (2n )2 n2Y (n2   2 )2  (2n )2

1  tg 1(

2n  n2   2

cos(t  1 )

sin(t  1 )

)

2 Utilizando el principio de superposición lineal x (t )  x (1) p (t )  x p (t ) , y usando las expresiones

anteriores conjuntamente con relaciones trigonométricas sencillas: A cos(t  )  B cos(t  )  C cos(t    )  B   C  A2  B 2 , y   tg 1      A    se llega ala siguiente solución particular de la ecuación de movimiento que representa el estado estacionario del movimiento dela base:  1/2 n2  (2)2   cos(t     ) x p (t )  Y  1 2 2 2 2 2 (    )  (2   )  n n 

(25)  n     2  tg 1      2      y utilizando la notación r   / n , podemos escribir para la amplitud del movimiento la siguiente expresión a partir de ( 25):  1/2 1  (2r )2   (26) X Y  2 2 2 (1  r )  (2  r )   Dividiendo esta expresión por la amplitud del movimiento de la base Y se tiene:

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 1/2 1  (2r )2 X    2 2 2 Y  (1  r )  (2r ) 

(27)

que expresa el cociente de la amplitud máxima de respuesta respecto al correspondiente máximo de excitación de la base. Este cociente se denomina transmisibilidad de desplazamiento y se utiliza para describir cuanto movimiento de la base se transmite a la masa en función de la razón de frecuencias r   / n . Este cociente se grafica en la Figura 15. Se observa que cuando r = 1 nos encontramos en la situación de resonancia, donde hay una mayor transmisión del movimiento de la base ala masa. De la Figura 15 se observa que para r  2 la razón de transmisibilidad es mayor que 1, lo que indica que para estos valores de parámetros del sistema y de excitación (frecuencia natural y de movimiento de la base), el movimiento de la masa es amplificado respecto al de la base. La amplitud del movimiento depende de la razón de amortiguamiento , siendo más pequeños para valores grandes de este coeficiente. Para r  2 la razón de transmisibilidad es menor que 1 y el movimiento de la masa es más pequeño en amplitud que el de la base para todo  (pero crece para  creciente).

Figura 15. Transmisibilidad del desplazamiento en función de la razón de frecuencias. Se observa como la deflexión adimensional X/Y varía en función de la frecuencia de excitación. Como ejemplo de aplicación, consideremos el modelo sencillo de suspensión de un automóvil, de masa m (soportada por una rueda), que marcha sobre un camino ondulado (de variación senoidal como se indica en la Figura siguiente) con velocidad v. Si L es la longitud de onda del camino, Y0 su amplitud, la ecuación del movimiento de la base será: 2vt 2v y  Y0sen( )  Y0sen(et ), e  L L

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la respuesta permanente del sistema será: xp 

1  (2r )2 (1  r 2 )2  (2r )2

y(t )e j , r 

e n

,   tg 1

2r 3 (1  r 2 )2  (2r )2

Transmisibilidad de esfuerzos Otra cantidad de interés respecto al problema de movimiento de la base es la fuerza transmitida a la masa por el amortiguador y el resorte acoplados a ella como resultado del desplazamiento armónico de la base. La fuerza transmitida es por tanto suma de dos términos: (28) F(t )  k  (x  y)  c  (x  y) Esta fuerza debe balancear a la fuerza inercial de la masa m: (29) F (t )  mx(t ) En estado estacionario, la solución x(t) está dada por (25), si la derivamos dos veces y la reemplazamos en (29) se llega a: 2 2  1/2   (2  ) n  cos(t     ) F (t )  m nY  1 2 2 2 2 2  (n   )  (2n )  y en términos de r esta expresión la rescribimos de la siguiente forma: F (t )  FT cos(t  1  2 ) donde la magnitud de la fuerza transmitida está dada por: 2

(30)

(31)

 1/2 1  (2r )2   (32) FT  kYr  2 2 2 (1  r )  (2  r )   La ecuación anterior (32) nos permite definir la transmisibilidad de fuerzas formada por el cociente: 2

 1/2 1  (2r )2   r  2 2 2 kY (1  r )  (2  r )   FT

2

(33)

Esta razón de transmisibilidad expresa en forma adimensional cuanto movimiento de la base de amplitud Y se transmite en fuerza aplicada a la masa m. De las expresiones (30) y (25) se observa que la fuerza y desplazamiento están en fase. La Figura 16 muestra la variación de esta transmisibilidad en función del cociente de frecuencias para diferentes valores de amortiguamiento. Las fórmulas de transmisibilidad de fuerzas y desplazamiento son muy útiles en el diseño de sistemas a fin de suministrar protección adecuada contra vibraciones anómalas.

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Figura 16. Fuerza transmitida a la masa en función de la razón de frecuencias. Se observa como varía la transmisibilidad de la base a la masa para distintas razones de amortiguación.

Desbalanceo rotante Una fuente común de vibraciones en máquinas rotantes es el problema de desbalanceo de masas, donde pequeñas irregularidades en la distribución de la misma dan lugar a vibraciones sustanciales. La Figura 17 muestra un esquema de un modelo sencillo de 1 gdl para analizar este problema. La frecuencia de rotación de la máquina es , m 0 es la masa de desbalanceo rotante ubicada a una distancia e del centro de rotación. Asumiendo que la máquina rota a velocidad constante la componente x del movimiento de la misma está dada por: xr  e sin(t ) y la fuerza de reacción Fr generada por el desbalanceo rotante m 0 está dado por: Fr  m0x  em0

d2 dt

2

sin(t )  em02 sin(t )

(34)

la cual actúa sobre la masa m de la máquina. La fuerza en dirección horizontal se cancela por las guías sin fricción y por tanto no las consideraremos. Dividiendo la masa de la máquina en dos partes y sumando fuerzas en la dirección x se tiene: (m  m0 )x  m0

d2 dt 2

(x  e sin(t ))  kx  cx

(35)

ó 2

mx  cx  kx  m0e sin(t )

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La cantidad (x  e sin(t )) es el desplazamiento de la masa m 0 a partir de su posición de equilibrio estático. La ecuación (35) es similar a la (15) con F0  m0e2 , con excepción de un corrimiento de fase de la fuerza.

Figura 17. Modelo de una máquina desbalanceada. El procedimiento de solución es totalmente similar proponiendo una solución de la forma: x p (t )  X sin(t  )

(36)

Considerando la variable (r   / n ) se llega a las expresiones de amplitud y fase del movimiento de la masa m debido al desbalanceo rotante m 0 : X 

r2

m0e m

(1  r 2 )2  (2r )2

y

(37)

 2r    tg 1    1  r 2 

La variación de la magnitud de la fuerza X con r se muestra en la Figura 18 para diferentes valores de la razón de amortiguamiento. En el gráfico se ha representado la magnitud adimensional mX / m0e versus r . Del mismo se observa que la máxima deflexión es menor a 1 para cualquier   1 , lo que indica que cualquier incremento en la amplificación de la amplitud debido a un desbalanceo se puede eliminar aumentando el amortiguamiento en el sistema, lo que sin embargo no es muy práctico. De la Figura se observa que para valores grandes de r la cantidad adimensional se aproxima a 1, lo que indica que para r  1 el efecto del desbalanceo es limitado. En esta situacón se observa también que independientemente del valor de  todas las curvas tienden a la unidad, por lo que en esas situaciones el valor del amortiguamiento no es importante.

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Figura 18. Amplitud de desplazamiento de la cantidad adimensional en función de la velocidad de rotación.

Métodos de balance de momentos En el caso de sistemas de 1 g.d.l. que están sujetos a movimientos de rotación, como el representado en la Figura 19, la ecuación diferencial rectora del movimiento debe determinarse a partir de un balance de momentos. El modelo asume un eje de rigidez torsional kt conectado a un disco de momento de inercia de masas JG, con respecto al eje de rotación, el cual está dirigido en la dirección del versor kˆ . Sobre el disco actúa un momento externo M(t), el que a su vez está sumergido en una caja con aceite. La variable de interés en este caso es el ángulo de rotación θ.

Figura 19. Disco sometido a un movimiento de rotación, y el diagrama de cuerpo libre. La ecuación de movimiento básica en este caso es la ecuación de momentos de Euler para movimiento plano:

 M  JG  ,

(38)

donde  M representa la suma de todos los momentos que actúan sobre el disco. En base al diagrama de cuerpo libre de la Figura, resulta la siguiente ecuación diferencial:

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M (t )  kt   ct   IG   0    Momento externo

   Momento restaurador debido al eje y debido al aceite

   Momento de inercia

(39)

La cual puede escribirse en forma similar a la ec. (1):

IG   ct   kt   M (t )

(40)

Es decir, el primer término del miembro izquierdo está determinado por el elemento de inercia I G, el segundo es el efecto del amortiguamiento y depende del coeficiente c t, mientras que el tercero depende del eje. Para el caso de un eje de longitud l está dado por k 

GJ p l

, donde G es el

módulo de corte y Jp es el momento de inercia polar del eje (para el caso de un eje circular vale d 4 32 , donde d es el diámetro del mismo). En esencia, todos los sistemas lineales se rigen por una ecuación diferencial lineal ordinaria de segundo orden con un término de inercia, un término de rigidez, un término de amortiguamiento y uno independiente relacionado con las fuerzas o momentos externos que actúan sobre el sistema. Por ejemplo, la vibración torsional del disco en ausencia de amortiguación y momentos externos k está gobernada por la ecuación IG   kt   0    t   0 , cuya solución es un movimiento IG oscilatorio de frecuencia natural n 

G  JP l  IG

(41)

7. Sistemas con dos grados de libertad Hasta el momento se han estudiado sistema con 1 g.d.l. viéndose que: 

Si un sistema no amortiguado es sacado de su posición de equilibrio y dejado en libertad, comienza a oscilar armónicamente con una frecuencia característica del sistema llamada frecuencia natural.



El fenómeno de resonancia se presenta al excitar el sistema con una fuerza armónica de frecuencia igual a la frecuencia natural.

Los sistemas con 2 g.d.l. presentan importantes diferencias respecto a los sistemas con 1 g.d.l., de hecho, su comportamiento es cualitativamente muy similar al de un sistema con N g.d.l. Sin embargo, si bien los conceptos matemáticos y físicos que aparecen en los sistemas con 2 g.d.l. son idénticos a los de sistemas con n g.d.l., tienen la ventaja de que sus ecuaciones algebraicas son todavía relativamente manejables y los ejemplos accesibles. Permiten por ello una formulación analítica y no dependiente del álgebra matricial.

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Se verá como si un sistema con 2 g.d.l. sin amortiguamiento es desplazado de su posición de equilibrio y dejado en libertad, no siempre realiza un movimiento armónico y ni tan siquiera periódico, sino sólo para determinadas formas (tantas como g.d.l.) de perturbar el equilibrio. Sólo para 2 tipos (2 g.d.l.) de perturbaciones el movimiento subsiguiente es armónico y, en general, con distinta frecuencia para cada tipo de perturbación. Consideremos el sistema de dos g.d.l. de la Figura 20. Las ecuaciones de movimiento se pueden determinar a partir de la aplicación las ecuaciones de Newton (la Figura 34b representa el diagrama de cuerpo libre del sistema):

Figura 20. Modelo unidimensional de un sistema de 2 gdl. m1x1  k1x1  c1x1  k2 (x 2  x1 )  c2 (x2  x1 )  F1(t )  0 m2x2  k3x 2  c3x2  k2 (x 2  x1 )  c2 (x2  x1 )  F2 (t )  0

Las que se pueden escribir en forma matricial de la siguiente forma:     [M ]  x  [C ]  x  [K ]  x  F (t )

donde m  k  k2 c  c2  F (t )  0  k2  c2   , [K ]   1 , [C ]   1 , F (t )   1  [M ]   1    k2  k3  c2  c3   0 m2   k2  c2  F2 (t ) 

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Las matrices [M], [C] y [K] llamadas respectivamente matriz de inercia, de amortiguamiento y de rigidez son simétricas, y la de inercia es además diagonal, una característica de los sistemas discretos unidimensionales. La solución del problema de vibraciones libres permitirá obtener los parámetros modales, o sea las frecuencias naturales de vibración y los modos normales correspondientes. Suponiendo que no hay fuerzas externas aplicadas al sistema, y que la disipación de energía es nula, y llamando: k11  k1  k2, k22  k2  k3 , se tiene el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas que representan las vibraciones libres del sistema de 2 gdl:  m1 0    x1   k11 k2   0      0 m   x    k   2 k22   0  2  2 

La solución de este sistema de ecuaciones se puede abordar por distintos procedimientos. Estando interesados en la posibilidad de que el sistema realice un movimiento armónico sincrónico se supondrán soluciones de la forma: x1(t )  X1eit , y x2 (t )  X2eit , que si la sustituímos en las ecuaciones anteriores se obtiene el siguiente par de ecuaciones algebraicas:

lo que constituye un sistema de ecuaciones en X1 y en X2 . Para que dicho sistema tenga solución distinta de la idénticamente nula, se tendrá que cumplir que el determinante del sistema sea nulo. Desarrollando el determinante y ordenando, se obtiene una ecuación bicuadrática cuyas raíces son:

Si 12 y 22 son las dos soluciones de la ecuación, solo podrá tener lugar movimiento armónico en estas dos frecuencias 1 y 2 que serán las frecuencias naturales del sistema. De esta manera podemos obtener:

Sustituyendo en cualquiera de estas dos expresiones los valores de 12 y 22 se determina la relación existente entre las amplitudes de movimiento de las dos masas. Los movimientos sincrónicos que cumplen esta relación de amplitudes son armónicos, y reciben el nombre de modo natural de vibración. Hay dos modos naturales, (X11, X21 ), y (X12, X22 ), uno para cada una de las dos frecuencias naturales. Al desplazar el sistema de su posición de equilibrio según un modo natural y soltarlo, comenzará a oscilar libre y armónicamente a la frecuencia de ese modo.

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Estudiaremos a continuación el caso de excitación armónica forzada sin amortiguamiento con condiciones iniciales nulas. Las ecuaciones de movimiento toman la forma:  m1 0   x1   k11 k2   x1   f1     wt           e  0 m    x    k k x f             2 2 2 22 2 2

y suponiendo soluciones de la forma x1(t )  X1  eit , x2 (t )  X2  eit , derivando las mismas dos veces y reemplazando en el par de ecuaciones anteriores se llega a:

y resolviendo este par de ecuaciones, por ejemplo con la regla de Cramer llegamos a determinar los valores de la amplitud del movimiento de cada masa, que pueden expresarse en la forma:

X1  X2 

f1  (k22  m2  2 )  k2 f2 m1m2 ( 2  12 )  ( 2  22 ) f2  (k11  m1 2 )  k2 f1 m1m2 ( 2  12 )  ( 2  22 )

Donde claramente se observa que cualquiera de las dos se hace infinita si la frecuencia de excitación coincide con alguna de las frecuencias de resonancia. Se observa entonces que un sistema de dos grados de libertad posee dos frecuencias de resonancia. En la siguiente Figura 23 se observa la respuesta en frecuencia de las dos masas en términos de ω, donde se puede apreciar claramente la presencia de la resonancia a medida que ω se aproxim a a cada una de las frecuencias propias del sistema (8 y 12 Hz para el caso de la Figura).

Figura 23.

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Resonancia doble.

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APENDICE A1 MOMENTOS DE INERCIA. 5. Introducción La ecuación del movimiento rotatorio respecto a un eje normal al plano del movimiento de un cuerpo rígido en movimiento plano contiene una integral que depende de la distribución de la masa respecto al eje de momentos. Esta integral aparece siempre que un cuerpo rígido adquiere aceleración angular alrededor de su eje de rotación. Consideremos un cuerpo de masa m (Figura 1) en rotación alrededor de un eje O-O con aceleración angular  . Los puntos del cuerpo se mueven todos en planos paralelos normales al eje de rotación O-O. Cualquiera de esos planos puede tomarse como plano del movimiento, aun cuando suela designarse como tal al que contiene al centro de masa. Un elemento de masa dm tiene una componente de aceleración tangente a su trayectoria circular igual a r , y en virtud de la segunda ley de Newton del movimiento, la fuerza tangencial resultante que se ejerce sobre ese elemento es r dm . El

r 2dm y la suma de los momentos de 2 esas fuerzas extendida a todos los elementos es  r dm . En un cuerpo rígido,  es momento de esa fuerza respecto al eje O-O es

la misma para todas las rectas radiales del cuerpo, por lo que podrá sacarse fuera de la integral. La integral que así queda se denomina momento de inercia I de la masa m respecto al eje O-O y es:

I   r 2dm

(1)

Figura 1

Esta integral representa una importante propiedad del cuerpo e interviene en el análisis de fuerzas de todo cuerpo que posea aceleración de rotación en torno a un eje dado. Al igual que la masa m de un cuerpo es una medida de la resistencia a la aceleración de traslación, el momento de inercia I es una medida de la resistencia del cuerpo a ser acelerado en su rotación. La integral del momento de inercia también puede expresarse en la forma:

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I   ri2mi donde

ri

(2)

es la distancia radial del eje de inercia al punto representativo de masa

mi

y

donde el sumatorio se extiende a todos los puntos materiales del cuerpo. Si la densidad  fuese constante en todo el cuerpo, el momento de inercia sería:

I    r 2dV

(3)

donde dV es el elemento de volumen. En este caso, la integral define por sí sola una propiedad puramente geométrica del cuerpo. Cuando la densidad no sea constante sino que se exprese como función de las coordenadas, deberá dejarse dentro de la integral y tenerse en cuenta su efecto en el proceso de integración. En general, en la integración deberán utilizarse las coordenadas que mejor se adapten al contorno del cuerpo. Es particularmente importante elegir adecuadamente el elemento de volumen dV. Deberá tomarse un elemento del orden más bajo posible y utilizarse la expresión correcta del momento de inercia del elemento respecto al eje en cuestión. Por ejemplo, al buscar el momento de inercia de un cono recto de revolución respecto a su eje, podrá utilizarse un elemento en forma de rebanada circular (Figura 2a). El momento de inercia diferencial de este elemento es la expresión correcta del momento de inercia respecto a su eje de un cilindro de revolución de altura infinitesimal. También podría haberse elegido un elemento en forma de capa cilíndrica de espesor infinitesimal, como el representado en la Figura 2b. Como toda la masa del elemento se halla a la misma distancia r del eje de inercia, el momento de inercia infinitesimal de ese elemento sería simplemente r2 dm, donde dm es la masa infinitesimal de la capa elemental. De su definición, las dimensiones del momento de inercia másico son (masa) (longitud)2 y se expresan en kg.m 2 en el Sistema Internacional.

Figura 2

Radio de giro. El radio de giro k de una masa m respecto a un eje para el cual el momento de inercia es I se determina mediante la relación

I  m  k2  k 

I m

(4)

Así pues, k es una medida de la distribución de la masa de un cuerpo dado alrededor del eje en cuestión y su definición es análoga a la del radio de giro de los segundos momentos de superficie. Si pudiera concentrarse toda la masa m a una distancia k del eje, el momento de inercia correcto sería k 2m . El momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje particular suele indicarse especificando la masa del cuerpo y el radio de giro del cuerpo respecto al eje. Con la ecuación (4) se calcula entonces el momento de inercia.

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Podemos determinar los momentos de inercia de un cuerpo respecto a los ejes coordenados considerando un elemento de masa como se indica en la Figura 3. De la definición de momento de inercia:

dI xx  rx2dm  (y 2  z 2 )dm

Ix 

 rx2dm   (y 2  z 2 )dm

Iy 



ry2dm

Iz 



rz2dm 

m



 (x 2  z 2 )dm m

 (y 2  x 2 )dm m

Figura 3.

6.

Teorema de Steiner

Consideremos el cuerpo representado en la Figura 4, que tiene un sistema de ejes coordenados xyz con su origen en el centro de masa G del cuerpo y otro sistema de ejes coordenados x’y’z’ paralelos a los anteriores cuyo origen sea el punto O’. De la figura se observa que:

x'  x x y'  y y z'  z z

Figura 4 La distancia dx que separa los ejes x’ y x es: dx  y 2  z 2 , el momento de inercia del cuerpo respecto a un eje x’ paralelo al eje x que pasa por el centro de masa es por definición

Ix ' 

 m





m

rx2'dm 

 m

2 2    y  y    z  z   dm  

(y 2  z 2 )dm  y 2  dm  2y  ydm  z 2  dm  2z  zdm m

m

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m

m

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 (y 2  z 2 )dm  I xG ,  ydm   zdm  0 m

m

m

I x '  I xG  (y 2  z 2 )m  I xG  m  dx2 I y '  I yG  (x 2  z 2 )m  I yG  m  dy2

(5)

I z '  I zG  (y 2  x 2 )m  I zG  m  dz2 La ecuación (5) expresa el teorema de Steiner para los momentos de inercia. El subíndice G indica que el eje x pasa por el centro de masa G del cuerpo. Así pues, si se conoce el momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje que pasa por el c.d.m., podrá hallarse el momento de inercia del cuerpo respecto a un eje paralelo cualquiera sin necesidad de integrar utilizando las relaciones (5). Entre los radios de giro relativos a los dos ejes existe una relación análoga. Si representamos por kx ',kx los radios de giro relativos a los dos ejes paralelos, podemos escribir la ecuación anterior de la forma:

kx '  kxG  dx2, ky '  kyG  dy2, kz '  kzG  dz2,

(6)

Las ecuaciones (5) y (6) sólo son válidas para pasar de ejes xyz que pasan por el c.d.m. del cuerpo a otros ejes paralelos ó al revés. No son válidos para dos ejes arbitrarios. 7.

Determinación de Momentos de Inercia por Integración

Cuando para determinar el momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje se utilicen métodos de integración, la masa del cuerpo se podrá dividir de diversas maneras. Según sea la manera de elegir el elemento, será necesaria un integración simple, doble o triple. La geometría del cuerpo suele determinar si se utilizan coordenadas polares o cartesianas. En uno y otro caso, los elementos de masa deberán tomarse de manera que:  



Todas las partes se hallen a la misma distancia del eje respecto al cual hay que determinar el momento de inercia Si no se cumple la condición anterior, el elemento deberá tomarse de manera que se conozca su momento de inercia respecto al eje al cual hay que buscar el momento de inercia del cuerpo. Este momento de inercia se podrá hallar entonces sumando los momentos de inercia de los elementos. Si se conoce la situación del c.d.m. del elemento y el momento de inercia del mismo respecto a un eje que pase por el c.d.m. y sea paralelo al eje dado, se podrá determinar el momento de inercia de dicho elemento utilizando el teorema de Steiner. Después se podrá hallar el momento de inercia del cuerpo sumando todos los momentos parciales.

En algunos casos el cuerpo se puede considerar como un sistema de puntos materiales, en esta situación, el momento de inercia respecto a una recta de interés será la suma (donde mi , ri son las masas y distancias de los puntos) :

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I 

 mr 2  m1r12  ...  mnrn2

(7)

Consideremos la situación de las placas delgadas como el de la Figura 5, con densidad uniforme  , espesor uniforme t y una superficie de área A . Los momentos de inercia respecto a los ejes x, y, z son:

I xm 

 y 2dm   y 2dV m

I ym 

V

 y 2tdA  tI xA A

 x 2dm   x 2dV m

I zm 



V



 x 2tdA  tI yA

(8)

A

 (x 2  y 2 )dm  tI yA  tI xA  t(I yA  I xA ) m

Figura 5 donde los subíndices m y A indican momentos de inercia y segundos momentos de superficie.

Ejemplo: Determinar el momento de inercia de un cilindro de revolución homogéneo respecto a su eje. El momento de inercia del cilindro se puede determinar a partir de la definición, considerando una capa cilíndrica elemental tal como se ilustra en la figura:

dI z  r 2dm  r 2dV  r 22rhdr  2hr 3dr  R

Iz 

 dI z m



 0

R

 h r 4  3   1 hR 4 2hr dr    2  2  0

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Otra manera de calcular este momento de inercia se basa en la figura de la derecha, donde se considera un disco elemental cuyo momento de inercia es:

dI zm  t(dI yA

 R 4 R 4  1 1   R 4dz  I z  hR 4 Teniend  dI xA )      4 4  2 2

o en cuenta que la masa del cilindro es m  V  R2h resulta:

1 I z  mR2 2 Ejemplo: Determinar el momento de inercia del paralelepípedo rectángulo homogéneo representado en la figura, respecto al:  Eje y que pasa por su c.d.m.  Eje y’ dirigido según una arista.  Eje x que pasa por el centroide de una cara

Considerando la placa rectangular mostrada en la segunda figura, el momento de inercia de este tipo de elemento es (considerándola como una placa delgada):

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dIym  (z 2  x 2)dV  t(IzA  IxA) , y utilizando los momentos de inercia de área de un disco delgado dado en las tablas (considerando t  dy ): L

bhL 2 Iy   dIy    bh (b2  h 2 )ydy  (b  h 2 ) , teniendo en cuenta que la masa del 12 12 m 0

paralelepípedo es m  V  bhL se obtiene:

Iy 

1 m(b 2  h 2 ) 12

Para determinar el momento de inercia respecto al eje y’ dirigido según la arista se utiliza Steiner:

I y '  I yG

 b 2 h 2  1 1 2 2  m(x  z )m  m(b  h )  m     m(b 2  h 2 )  4 12 4  3 2

2

Por último, el momento de inercia respecto a un eje x que pasa por el c.d.m. de la placa rectangular elemental mostrada en la figura b viene dado por la ecuación (8): dI xm  tI xA, sustituyendo el momento de segundo orden de una superficie rectangular de acuerdo a valores de tabla:

bh 3 bh 2 dy  dI x  dI xG  mdx2  (h  12y 2 )dy  12 12 L bh 2 bhL 2 I x   dI x   (h  12y 2 )dy  (h  4L2 ), m  bhL,  12 12 m 0 1 I x  m(h 2  4L2 ) 12

dI xG  

Ejemplo:

Momento de Inercia de una Esfera.

El momento de inercia de un sólido homogéneo de revolución con respecto a su eje de simetría se puede determinar rebanando el sólido en discos infinitesimales perpendiculares al eje de simetría e integrando los momentos de inercia de los discos. Este método se ilustra aquí usando una esfera como ejemplo. La figura representa un cuerpo esférico sólido homogéneo de radio r. Para calcular el momento de inercia del cuerpo respecto a un eje diametral; (digamos el eje x), rebanamos un disco, con radio y y espesor dx de la esfera.

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Entonces, de acuerdo a tabla

dI 

 4 y dx , y teniendo en cuenta que 2

y  r cos , x  rsen  dx  r cos d se tiene:

 dI  r 5 cos5 d ,  I  2

2



 2

 5 8 5 4 r cos5 d   r , m  r 3 2 15 3

2 I  mr 2 5 Ejemplo: Como un tercer ejemplo consideremos el caso de una barra esbelta uniforme como se muestra en la figura, y cuyas dimensiones transversales son insignificantes comparadas con su longitud. El problema es determinar el momento de inercia respecto al eje a-a por el c.d.m.

El momento de inercia dI respecto al eje a-a de un elemento dx localizado a una distancia x del c.d.m. es dI  x 2Adx, donde  es la densidad del material y A el área de la sección transversal de la barra. Integrando se obtiene el resultado deseado: L /2

Ia 



L /2

x 2Adx  1 AL3 , y dado que m  AL resulta: 12

Ia 

8.

1 L mL2,  ka  12 2 3

Momentos de Inercia de Cuerpos Compuestos

En la práctica de ingeniería, es frecuente que el cuerpo en cuestión pueda descomponerse en varias formas sencillas, tales como cilindros, esferas, placas y varillas, cuyos momentos de inercia han sido calculados y tabulados. El momento de inercia del cuerpo Compuesto, respecto a un eje cualquiera, es igual a la suma de los momentos de inercia respecto a dicho eje de las distintas partes del cuerpo. Por ejemplo:

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Cuando una de las partes componentes sea un hueco, su momento de inercia deberá restarse del momento de inercia de la parte total para obtener el momento de inercia del cuerpo compuesto. En el ejemplo que sigue se ilustran métodos para determinar momentos de inercia de cuerpos compuestos utilizando valores conocidos para sus partes componentes. La siguiente figura muestra que en todo cuerpo compuesto las partes toman a menudo formas básicas, como prismas, cilindros, esferas, etc.

Figura 6

Este cuerpo consiste en un prisma rectangular, un prisma triangular, y un prisma rectangular con un agujero cilíndrico. Para determinar los momentos podemos considerarlo compuesto en 4 partes, tres prismas y un cilindro, se usa Steiner cuando sea necesario, y al determinar el momento de inercia del cilindro se asume que su masa es negativa.

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Figura A-7

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Ejemplo: La figura muestra una vista en planta de una leva plana homogénea de espesor constante L. Calcule el momento de inercia de la leva respecto a un eje perpendicular al plano de la misma y que pase por el punto O. Es conveniente dividir la leva en dos partes (partes A y B, separadas por la línea vertical punteada) y tratarla como un cuerpo compuesto. El momento de inercia de la leva es la suma de los momentos de inercia de sus partes. Como la parte A es un cuadrante de un disco con radio 2r y centro en O, de acuerdo a tablas es:

1  IOA   L (2r )4  2Lr 4 , donde el supraíndice A indica la parte A de la leva, y el 4  2  subíndice O se refiere al eje respecto al cual se toma el momento de inercia. Como la parte B es la mitad de un disco con radio r, su momento de inercia respecto a un eje que



pase por P es: I PB  Lr 4 . Para determinar el momento de inercia de la parte B 4 respecto al punto O usamos Steiner, para lo cual es necesario determinar en realidad el momento de inercia respecto a G: IGB  I PB  mBa 2 , donde mB es la masa de la parte B.

IOB

De

 IGB

mB 

manera

 mBb2

 IGB

similar,

 mB

(b2

la

aplicación

 a 2 )  IGB

 mB

de

r2 ,

Steiner permite obtener y teniendo en cuenta que

3  Lr 4 . El momento de inercia total de la leva respecto a Lr 2 resulta IOB  4 2

O será:

IO  IOA  IOB  donde se ha utilizado m 

11 11 Lr 4  mr 2 4 6

3 Lr 2 . 4

Ejemplo: Una placa delgada de acero que mide 4 mm de espesor se corta y se dobla para formar la parte de la máquina que se muestra. Si la densidad del acero es de 7850 kg/m3, determine los momentos de inercia de la parte de la máquina con respecto a los ejes coordenados.

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9.

Teoría General de los Momentos de Inercia de Masa

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El movimiento de un cuerpo rígido en el espacio está determinado por los principios del momento lineal y del momento angular. Para deterninar el momento angular de un cuerpo respecto a una línea arbitraria en el espacio, debemos ampliar la teoría de los momentos de inercia. El momento de inercia de un c.r. respecto a una línea a-a está definido por la ecuación : (9) Ia  R2dm



donde R es la distancia del elemento de masa desde la línea a-a. Para movimientos planos de c.r. dicha línea es en general el eje z, perpendicular al plano xy, sin embargo, para el movimiento 3D de un c.r., los momentos de inercia del cuerpo relativos a los tres ejes coordenados xyz son requeridos para describir el movimiento. El significado físico de los momentos de inercia no cambia. Estos miden la distribución de masa del cuerpo con relación a los ejes respectivos. Por ejemplo, si dos cuerpos tienen la misma cantidad de masa, el cuerpo cuya masa esté distribuída más lejos de la línea a-a tiene mayor momento de inercia Ia .

Figura 7

Consideremos una línea a-a que pase por el origen de coordenadas O del sistema de referencia xyz (Figura 7). Sea nˆ  liˆ  mjˆ  nkˆ , donde l, m, n son los cosenos



directores de un vector unitario dirigido a lo largo de a-a. Sea r  xiˆ  yjˆ  zkˆ el vector de posición desde el origen O al elemento de masa dm, que tiene coordenadas (x,y,z) en  el cuerpo. De la figura se observa que la distancia OP es r  nˆ . Por lo tanto:  R2  r 2  (r  nˆ)2 (10) donde R es la distancia de dm a la línea a-a.

 r  nˆ  lx  my  nz , r 2  x 2  y 2  z 2,  R2  x 2  y 2  z 2  (lx  my  nz )2 R2  (1  l 2 )x 2  (1  m 2 )y 2  (1  n 2 )z 2  2mnyz  2nlzx  2lmxy

y dado que l 2  m2  n2  1 , la ecuación anterior se reescribe como:

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R2  (m 2  n 2 )x 2  (l 2  n 2 )y 2  (m 2  l 2 )z 2  2mnyz  2nlzx  2lmxy R2  (y 2  z 2 )l 2  (z 2  x 2 )m 2  (x 2  y 2 )n 2  2mnyz  2nlzx  2lmxy Sustituyendo esta última ecuación en (9) se obtiene la siguiente fórmula para el momento de inercia de masa respecto a la línea a-a:

Ia  l 2  (y 2  z 2 )dm  m 2  (x 2  z 2 )dm  n 2  (y 2  x 2 )dm  2mn  yzdm  2nl  zxdm  2lm  xydm

(11)

Las integrales que aparecen en la ecuación (11) se pueden representar utilizando la siguiente notación:

 (y 2  z 2 )dm, I yy   (x 2  z 2 )dm, I zz   yzdm, I zx   zxdm, I xy   xydm,

I xx  I yz



 (y 2  x 2 )dm, (12)

Utilizando (12) en (11) se tiene una forma más compacta de escribir el momento de inercia del cuerpo respecto al eje a-a:

Ia  l 2I xx  m 2I yy  n 2I zz  2mnI yz  2nlI zx  2lmI xy (13) Las integrales I xx , Iyy , I zz son los momentos de inercia del cuerpo respecto a los ejes x,y,z respectivamente. Las integrales Iyz  I zy , I xz  I zx , Iyx  I xy , se llaman productos de inercia del cuerpo respecto a los ejes coordenados x,y,z. Los momentos de inercia son siempre positivos, mientras que los productos de inercia pueden ser cero o tener signo, dependiendo de los ejes seleccionados. Un caso importante es el de un cuerpo con un plano de simetría. Por ejemplo, considere el plano de simetría yz del cuerpo de la Figura 8, el eje x es perpendicular a ese plano. Entonces, un elemento dm en el punto (x,y,z) es equilibrado por un elemento dm en el punto (-x,y,z). Esto es, el producto xzdm en (x,y,z) se cancela por el producto (x )zdm en (-x,y,z) y por lo tanto la integración I zx   zxdm  0 . De manera similar, se puede mostrar que si un cuerpo tiene dos planos de simetría que sean mutuamente perpendiculares, digamos yz y xy de un sistema de coordenadas x,y,z, entonces todos los productos de inercia son cero. En este caso, el conjunto de ejes x,y,z se denominan ejes principales del cuerpo.

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Figura 8

La ecuación (13) determina el momento de inercia de un c.r. respecto a cualquier línea a-a por el origen de xyz, siempre que sean conocidas los seis momentos de inercia y productos de inercia. Según esto, el momento de inercia respecto a cualquier línea b-b (que no pasa por el origen) y paralela con a-a se determina a través de Steiner según se muestra a continuación. Sean d1 y d2 las respectivas distancias de las líneas a-a y b-b a la línea c-c que pasa por el c.d.m. G. Entonces:

Ia  IG  md12, Ib  IG  md22  Ib  Ia  m(d22  d12 )

(14)

Podemos desarrollar un teorema de Steiner para productos de inercia. Para ello consideremos el cuerpo representado en la Figura 9, que tiene un sistema de coordenadas xyz con origen en el centro de masa G del cuerpo, y un sistema x’y’z’ con origen en el punto O’.

Figura 9

x'  x x y'  y y z'  z z

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Ix 'y ' 

 x ' y ' dm   (x  x )(y  y)dm m





m

x  ydm   xydm   xydm   xydm

m

m

m

m

I x ' y '  x  y  dm  x  ydm  y  xdm   xydm m

m

m

m

 xydm  I xy m

 ydm   xdm  0 m

m

I x ' y '  I xyG  mx  y I y ' z '  I yzG  my  z I z ' x '  I zxG  mz  x

(15)

Ejemplo: Momento de inercia de un prisma triangular. Determinar el momento de inercia Ia de un prisma homogéneo delgado como se ilustra en la figura, respecto a la línea a-a que es paralela a la hipotenusa del prisma y pasa por el origen O. El espesor del prisma es perpendicular al plano xy. Como el espesor del prisma es pequeño comparado con su altura h y base b, podemos aproximarlo como un área plana de densidad de masa por unidad  . Los cosenos directores de la línea a-a relativos a los ejes coordenados xyz son:

l 

b

, m

h

, n  0 , y por lo tanto, usando (13) se tiene: b2  h 2 b2  h 2   Ia   2 1 2 (b2I xx  h 2Iyy  2bhI xy ) b  h 

Como el prisma es delgado, ignoramos el efecto de z. Entonces,

1 dm  dxdy,  m  bh 2

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0  h (1x /b )   h (1x /b )   1 1  2 2 2 I xx      y dy dx  mh , I yy    x   dy dx  mb 2     6 6   0  b  0 b 0  h (1x /b )   1 I xy    x   ydy dx   mhb   24  0  b  1  mb 2h 2   I a   2  b 2  h 2  0

Ejemplo:

Determinar el momento de inercia I xy del cuarto de cilindro homogéneo

representado en la figura. Todas las partes del elemento de masa dm , representado en la parte (a) de la figura, se hallan a iguales distancias de los planos xz e yz; por lo tanto, el producto de inercia dI xy  xydm , e integrando:

1



1

Como la masa del cuerpo es m  V    R2h   I xy  mR2  4 2 

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Ejemplo: Determinar los productos de inercia I xy , I xz , I yz de la placa horadada de acero (   7870 kg/m ) representada en la figura. El orificio está situado en el centro de la placa.

Los productos de inercia para los planos de simetría que pasen por los centros de masa de la placa y del orificio son nulos. Como los planos xy, yz, zx representados en la figura son paralelos a dichos planos de simetría, para determinar los productos de inercia pedidos podemos utilizar el teorema de Steiner. Las masas de placa, orificio y placa horada son:

mP  V  bht  7870(0.280)(0.250)(0.060)  33.05 kg mH  V  R2t  7870()(0.050)2 (0.060)  3.71 kg mW  mP  mH  33.05  3.7129.34 kg de donde los momentos de inercia se determinan por las fórmulas:

I xy  I xyG  mx  y  0  (0.125)(0.140)(29.34)  0.513 kg  m2 I yz  I yzG  my  z  0  (0.140)(0.030)(29.34)  0.1232 kg  m2 I zx  I zxG  mx  z  0  (0.030)(0.125)(29.34)  0.1100 kg  m2

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10.

Elipsoide de Inercia. Ejes Principales de Inercia.

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El teorema de los ejes paralelos es una herramienta poderosa para analizar las propiedades de inercia de un cuerpo. Sin embargo, su alcance está limitado a transformaciones entre ejes paralelos. Es a menudo necesario hallar momentos y productos de inercia para líneas que son oblícuas a los ejes de referencia. Esto conduce a la definición de los ejes principales de inercia y al concepto geométrico conocido como elipsoide de inercia. Supongamos que el momento de inercia se determine respecto a un gran número de rectas a-a = OL que pasan por el punto fijo O, y que en cada una de esas rectas calculemos Ia , luego sobre las mismas graficamos un punto Q a una distancia

OQ  1 IOL 1 Ia desde O. El lugar geométrico de los puntos Q obtenido de esa manera forma una superficie (Figura 10). Para encontrar la ecuación de dicha superficie, consideremos la recta OQ y designemos por (l, m, n) sus cosenos directores. Si (x, y, z ) son las coordenadas del extremo del punto Q, entonces las mismas están dadas por el    producto escalar rOQ  iˆ  x, rOQ  jˆ  y, rOQ  kˆ  z, Sustituyamos ahora en la ecuación (13) a Ia por OL  1 IOL  IOL  Ia  1 (OL)2 , obteniendo:

1 2

 l 2I xx  m 2I yy  n 2I zz  2mnI yz  2nlI zx  2lmI xy 

(OL) 1  (OL)2l 2I xx  (OL)2 m 2I yy  (OL)2 n 2I zz

 2(OL)2 mnI yz  2(OL)2 nlI zx  2(OL)2lmI xy  I xx x 2  I yyy 2  I zz z 2  2I yz yz  2I zx xz  2I xy xy  1

(16)

donde se ha multiplicado ambos miembros por (OL)2 y se ha tenido en cuenta que

   rOQ  iˆ  x  (OL)  l, rOQ  jˆ  (OL)  m, rOQ  kˆ  (OL)  n .

La

fórmula

(16)

corresponde a la ecuación de una superficie cuádrica. Puesto que el momento de inercia IOL es diferente de cero para cada eje OL, ningún punto Q puede estar a una distancia infinita de O. De este modo la superficie obtenida es una elipsoide, que define el momento de inercia del cuerpo con respecto a cualquier eje que pasa por O, y se la conoce como elipsoide de inercia del cuerpo en el punto O. Hay que observar que si se rotan los ejes de la Figura 10, cambian los coeficientes de la ecuación que define el elipsoide, ya que son iguales a los momentos y productos de inercia del cuerpo con respecto a los ejes coordenados rotados. Sin embargo, la elipsoide misma permanece sin cambio, pues su forma sólo depende de la distribución de masa en el cuerpo dado. Ahora bien, un elipsoide tiene tres planos de simetría mutuamente perpendiculares, siendo las líneas de intersección de esos planos los ejes principales del elipsoide. Supongamos que se elijen como ejes de referencia los ejes principales del mismo indicados como (x ', y ', z ') en la Figura 11. Los correspondientes momentos de inercia respecto a dichos ejes se denominan momentos principales de inercia y se denotan como (I1, I 2, I 3 ) respectivamente.

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Figura 10

Figura 11

Los radios más largos y más cortos del elipsoide de inercia coinciden con dos de los ejes principales de inercia, y en consecuencia entre los ejes que se intersecan en el punto O los ejes de mínimo y máximo momento de inercia son siempre perpendiculares entre si. De geometría sabemos que la ecuación de un elipsoide respecto a estos ejes viene dada por: Si definimos como I1x '2  I 2y '2  I 3z '2  1 .

x '  x1, y '  x 2, z '  x 3 , la ecuación anterior se escribe en la forma :

I 1x12  I 2x 22  I 3x 32  1

(17)

que no contiene producto de coordenadas. Al comparar las ecuaciones (16) y (17) se puede observar que los productos de inercia del cuerpo con respecto a los ejes (x ', y ', z ')  (x1, x2, x 3 ) deben ser cero. Los ejes (x’,y’,z’) se conocen como los ejes principales de inercia del cuerpo en O, y los coeficientes (I1, I 2, I 3 ) se denominan los momentos principales de inercia del cuerpo en O. Hay que observar que, dado un cuerpo de forma arbitraria y un punto O, siempre es posible encontrar ejes que son los ejes principales de inercia del cuerpo en O, esto es, ejes con respecto a los cuales los productos de inercia son cero. De hecho, cualquiera sea la forma del cuerpo, los momentos y productos de inercia del mismo con respecto a los ejes (x,y,z) que pasan por O definirán una elipsoide, y este tendrá ejes principales que serán los ejes principales de inercia del cuerpo en O. Si el sistema de coordenadas seleccionado para el cálculo de Ia  IOL la expresión que se obtiene en la ecuación (13) será:

Ia  I 1l 2  I 2m 2  I 3n 2

(18)

Hay muchas situaciones en que es posible visualizar a los ejes principales de inercia. Considere por ejemplo al cono homogéneo de base elíptica que se muestra en la Figura 12. Este cono posee dos planos perpendiculares de simetría OAA’ y OBB’ mutuamente perpendiculares. De la definición de productos de inercia se puede observar que si los planos x’y’ e y’z’ se eligen para que coincidan con los dos planos de simetría, todos los productos de inercia son cero. Los ejes (x’,y’,z’) elegidos de este modo son, en consecuencia, los ejes principales de inercia del cono en O.

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Figura 12

En consecuencia, si el cuerpo en consideración posee un plano de simetría que es también un plano coordenado que contiene al punto O, entonces dos de los productos de inercia desaparecen. Uno de los ejes principales de inercia pasa entonces por el punto O y es perpendicular al plano de simetría. Por ejemplo, como (aproximadamente) un avión tiene un plano longitudinal de simetría, uno de los ejes principales de inercia por el c.d.m. es perpendicular a ese plano de simetría, y los otros dos se encuentran sobre el mismo. Ejemplo:

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11.

Determinación de Ejes y Momentos Principales

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Página 284

El método de análisis que se describe a continuación, debe utilizarse cuando el cuerpo bajo consideración no tenga ninguna propiedad de simetría evidente. Considérese el elipsoide de inercia del cuerpo en un punto O del cuerpo (Figura 13), sea  r el radio vector de un punto P sobre la superficie del elipsoide y sea nˆ el vector unitario a lo largo de la normal a esa superficie en P. Se observa que en los únicos puntos  donde r y nˆ son colineales son los puntos P1, P2 , P3 donde los ejes principales intersecan la porción visible de la superficie del elipsoide y los puntos correspondientes sobre el otro lado de la misma. Recordando que la dirección de la normal a una superficie de ecuación f (x, y, z )  0 en el punto P(x, y, z ) se define mediante el gradiente f de la función f para obtener los puntos donde los ejes principales intersecan la superficie del elipsoide, se debe, por lo  tanto, escribir que r y f son colineales:

 f  2Kr

(19)



donde K es una constante, r  xiˆ  yjˆ  zkˆ, f 

f ˆ f ˆ f ˆ i  j k , y teniendo en x y z

cuenta que

f (x, y, z )  I xx x 2  I yyy 2  I zz z 2  2I yz yz  2I zx xz  2I xyxy  1 al sustituir en la ecuación (19) e igualar los coeficientes de los vectores unitarios, se puede escribir:

I x x  I xyy  I xz z  Kx I xy x  I yy  I yz z  Ky

(20)

I zx x  I yz y  I z z  Kz

Figura 13

Al dividir cada término por la distancia r de O a P, se obtienen ecuaciones similares que incluyen los cosenos directores (l, m, n) :

I xl  I xym  I xz n  Kl I xyl  I ym  I yz n  Km

(21) 

I zxl  I yz m  I z n  Kn [C1 - Mecánica Racional - UTN-Reg. Delta]

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(I x  K )l  I xym  I xz n  0 I xyl  (I y  K )m  I yz n  0 (22) I zxl  I yz m  (I z  K )n  0 Para que este sistema de ecuaciones homogéneas tenga solución distinta de la trivial, el determinante de los coeficientes debe ser igual a cero, lo que implica: 2 2 2 K 3  (I x  I y  I z )K 2  (I x I y  I y I z  I z I x  I xy  I yz  I zx )K 2 2 2  (I x I y I z  I x I yz  I y I zx  I z I xy  2I xy I yz I zx )  0

(23)

Esta es una ecuación cúbica que produce tres raíces reales y positivas: K1, K2, K3 . Para obtener los cosenos directores del eje principal correspondiente a la raíz K 1, se sustituye K1 por K en (22). Puesto que las ecuaciones son L.D., sólo dos de ellas pueden utilizarse para determinar (l, m, n) . Sin embargo puede utilizarse una ecuación adicional recordando que l 2  m2  n2  1 . Este procedimiento se repite con las otras dos raíces. Las raíces K1, K2, K3 son los momentos principales de inercia. (Se deja como ejercicio probar este enunciado). Ejemplo: La figura representa un cilindro homogéneo de longitud L y radio r. Determinar el momento de inercia respecto a la línea oblicua b-b que interseca al eje de simetría x.

1 2 m mr , I y  (L2  3r 2 ), 2 12 l  cos , m  sen , n  0 Ix  Ia 

1 2 m 1 1 mr cos2   (L2  3r 2 )sen 2  mr 2 (1  cos2 )  mL2sen 2 2 12 4 12

Utilizando el teorema de los ejes paralelos

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Ib  I a  md 2 

1 2 1 mr (1  cos2 )  mL2sen 2  md 2 4 12 1 2 I a  Ib  mr 2 para   0  d  0

Momentos y Productos de Inercia de un Cuerpo Compuesto Ejemplo: El prisma en forma de C mostrado en la figura se usa como una guía en la base de una antena de televisión rotatoria. Determine los momentos y productos de inercia con respecto a los ejes xyz. El prisma tiene una densidad de masa constante  = 7846 kg/m3.

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Sumando las ecuaciones (i) – (n) y (q) – (v)

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