Mecanica Racional Moderna

2

ESPACIOS VECTORIALES Los espacios vectoriales son muy útiles en Ingeniería y Ciencias Aplicadas debido a los siguientes factores: -

Los vectores son invariantes, es decir, no dependen de los sistemas coordenados. Sin embargo, las componentes de un vector cambian bajo un cambio de base.

-

Las componentes de vectores iguales son iguales en todo sistema coordenado.

-

Un vector que se anula en algún sistema coordenado se anula en todo sistema coordenado.

-

Los operadores div y rot de un vector son invariantes. También lo son, el producto escalar y vectorial de tales vectores.

-

La forma de una ecuación vectorial no cambia bajo una transformación de coordenadas cartesianas (esto hace factible la representación geométrica de los vectores).

-

El vector incluye el concepto dual de magnitud y dirección (representación por flechas). Esto se hace especialmente conveniente al tratar con desplazamientos, velocidades, aceleraciones y fuerzas.

Aunque la representación geométrica de los vectores es útil, la representación algebraica ofrece muchas ventajas. El álgebra de los vectores geométricos es solamente una interpretación del álgebra abstracta más general, el álgebra de los espacios vectoriales generales. Esta álgebra trata con las relaciones entre y las operaciones sobre dos clases de objetos matemáticos que están definidos, que se denominan vectores y escalares.

MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos

2.1

ESPACIOS VECTORIALES Definición Un conjunto V de elementos que llamamos vectores es un espacio vectorial o espacio lineal, si:

a)

Existe una operación binaria interna en V, llamada suma o adición de vectores: +:VxV→V

(2.1-1)

tal que se cumplen los cuatro axiomas siguientes: a-1)

u + v = v + u, ∀u, v ∈V

(2.1-2)

denominada propiedad conmutativa de la adición de vectores. a-2)

(u + v ) + w = u + (v + w ) , ∀u, v, w ∈ V

(2.1-3)

denominada propiedad asociativa de la adición de vectores. a-3)

Existe un elemento en V, denominado el vector nulo o vector cero, que denotamos 0, tal que: u + 0 = u , ∀u ∈V

(2.1-4)

a-4) ∀u ∈ V existe un elemento -u ∈V, denominado el elemento aditivo inverso, tal que: u + (-u) = 0

(2.1-5)

Es fácil demostrar que el vector nulo y el aditivo inverso de cualquier vector son únicos. b) Existe una operación, llamada multiplicación por escalares: :

xV→V

(2.1-6)

es el conjunto de los números reales y tal que se cumplen los donde cuatro axiomas siguientes: b-1) b-2)

(α+β )u = αu+β u, ∀α,β ∈

b-3)

α(u+v) = αu+αv, ∀α∈

b-4) 2

α(β u) = (αβ )u , ∀α, β ∈

1u = u,

∀u∈V

, ∀u∈V

(2.1-7)

, ∀u∈V

(2.1-8)

, ∀u,v∈V

(2.1-9) (2.1-10)

MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

la propiedad b-1) indica que los escalares se pueden asociar, la propiedad b-2) y b-3) son propiedades distributivas, y la propiedad b-4) normaliza la multiplicación por escalares

OBSERVACIONES Casi directamente de la definición de espacio vectorial se desprenden algunos hechos o propiedades interesantes: 1) El vector nulo 0 es único. Para demostrar esta propiedad, sea w ∈V, de tal manera que u + w = u , " u ∈V, entonces: (u+w )+(-u) = u+(-u) u+[w +(-u)] = 0

; por axioma a-2 y a-4.

u+[(-u)+w ] = 0

; por axioma a-1.

[u+(-u)]+w

=0

; por axioma a-2.

0+w

=0

; por axioma a-4.

w

=0

; por axiomas a-1 y a-3.

luego el vector nulo es único. 2) El elemento aditivo inverso es único. Para verlo, consideremos w ∈ V tal que u + w = 0, ∀ u ∈ V. Entonces: (u + w) + (-u) = 0 + (-u) u + [w + (-u)] = -u

; por axiomas a-2 y a-3.

[u + (-u)] + w = -u

; por axiomas a-1 y a-2.

w

= -u

; por axioma a-3.

luego, el aditivo inverso es único. 3) α0=0, ∀α∈ ; 0u=0, ∀u∈V. Si αu=0, entonces α=0 ó u=0 En primer lugar, sea α ∈ α0

, entonces:

= α (0 + 0)

; por axioma a-3.

=α0+α0

; por axioma b-3.

luego: 3

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α 0 + [-(α 0)] = [α 0 + α 0] + [-(α 0)] 0

= α 0 + {α 0 + [-(α 0)]} ; por axiomas a-4 y a-2.

0

=α0+0

; por axioma a-4 .

0

=α0

; por axioma a-3.

En segundo lugar, sea ahora u ∈V, entonces: 0 u = (0 + 0) u =0u+0u

; por axioma b-2.

luego: 0 u + [- ( 0 u )] = [0 u + 0 u ] + [- ( 0 u )] 0

= 0 u + {0 u + [- (0 u)]} ; por axiomas a-4 y a-2.

0

=0u+0

; por axioma a-4.

0

=0u

; por axioma a-3.

4) ∀ u ∈ V, (-1) u = -u Para verlo, consideremos u ∈ V , entonces: 0

=0u = ( 1-1 )u = 1 u + ( -1 )u = u + ( -1 )u

luego: ( -1 ) u = -u , el aditivo inverso. 5) Las propiedades asociativa y conmutativa de la adición vectorial implican que la suma de varios vectores es independiente de como se combinen estos vectores y de como se asocien. Por ejemplo, ∀u, v, w, x∈V: (u + v)+(w + x)

= [ (u + v) + w ] + x = [ u + (v + w) ] + x

de tal manera que la suma puede escribirse sin lugar a confusión en la forma: u+v+w+x 4

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EJEMPLOS DE ESPACIOS VECTORIALES 1)

, la recta numérica, con las operaciones habituales de adición y multiplicación.

2) Sea N el conjunto de los números naturales. Entonces n ={v=(x1, x2, . . . , xn)|x i ∈ ,∀i∈[1,n]⊂N}, con la adición y multiplicación por escalares definidas por: (x1, x2,…, xn )+(y1,y2,…,yn ) = (x1+y1, x2+y2,…, xn+yn ) α( x1, x2,…, xn ) = (α x1 , α x2 ,…, α xn ) 3) El conjunto de las funciones reales continuas definidas sobre un intervalo [a,b]⊂ ,que denotamos por Coa ,b . Es decir, Coa ,b ={f|f es continua en [a,b]}. Las operaciones son: (f+g)(x)=f(x)+g(x) (αf)(x)=αf(x) ∀f,g∈ Coa ,b ,x∈[a,b],α∈

.

Este es uno de los espacios de funciones más importante en Análisis Matemático. , el espacio de las matrices reales de orden mxn, con m, n ∈ N. = { A : A es una matriz real de orden mxn}. Las operaciones son:

mxn

4)

mxn

A+B=C,a i j +b i j =c i j , B=αA,b i j =αa i j , ∀A,B,C∈

m x n ,(i,j )∈[ 1,m]x[1,n],α∈

.

5) El espacio de las sucesiones reales ∞

l2 = {v = (x1, x2, .. , xn, ...):

∑x

2 n

< ∞}, con las operaciones:

n =1

i)

(x1 , x2 ,...,xn ,...)+(y1 , y2 ,...,yn ,...) = (x1 + y1 , x2 +y2 ,...,x + yn ,...)

ii)

α (x1 , x2 , ..., xn , ...) = ( α x1 , α x2 , ... , α xn , ...) ∀(x1 ,x2 ,...,xn ,..),(y1 ,y2 ,...,ym ,..)∈l 2 , α∈ 5

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La verificación que todas las propiedades para la adición y multiplicación por escalares se cumplen es bastante simple en todos los casos, excepto quizás en el ejemplo 5. Veremos este caso como ejercicio. En realidad, la única dificultad consiste en demostrar que la suma de dos sucesiones en l2 es también una sucesión en l2. En efecto, si (x1,x2, .., xn, ...) e (y1 , y2 , ... ,yn) están en l2 , entonces ∞

∑

|xn|2 < ∞,

n=1

∞

∑

|yn|2 < ∞

n=1

Para la sucesión suma : ∞

∑

∞

∑

|xn + yn|2 ≤

n =1

n=1 ∞

=

∞

∑

2

|xn| + 2

n=1

Pero:

2

xn + yn

∑

∞

|xn| |yn| +

n=1

∑

|yn|2

n=1

(|x n |-|y n |) 2 >0, luego: | x n | 2 -2|x n ||y n |+|y n | 2 >0 ∴|x n | 2 +|y n | 2 >2|x n ||y n | ∞

así:

∑

|xn + yn|2 ≤

n=1

∑ n=1

6)

∑ n=1

∞

=2

∞

∞

|xn|2 + 2

∑

∞

|xn|2 + (

∑

∞

|xn|2 +

n=1

∑

∞

|yn|2 ) +

n=1

∑

|yn|2

n=1

|yn|2 < ∞

n=1

El espacio de las sucesiones reales convergentes c={v=(x1,x2,...): lim x n = x }, con las operaciones: n →∞

i)

(x1 , x2 ,.....)+(y1 , y2 ,.....) = (x1 + y1 , x2 +y2 ,.....)

ii)

α (x1 , x2 , ..., xn , ...) = ( α x1 , α x2 , .....) ∀(x1 ,x2 ,.....), (y1 ,y2 ,.....)∈c, ∀α∈

7)

El espacio de las sucesiones reales convergentes a cero c0={v=(x1,x2, ...): lim x n = 0 }, con las operaciones del ejemplo 6. n →∞

6

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8)

El conjunto de todas las sucesiones numéricas acotadas m={v=(x1,x2, ...): xi< x, ∀ i=1,∞, para algún x∈ }, con las operaciones del ejemplo 6. ∞ El conjunto ={v=(x1,x2, ...)}, de todas las sucesiones, con las operaciones del ejemplo 6.

9)

2.2

SUBESPACIOS VECTORIALES Un subconjunto U de un espacio vectorial V, tal que U≠Φ , es un subespacio vectorial si: a)

∀ u , v ∈U ⇒ u + v ∈U

b)

∀α∈ , u ∈U⇒α u ∈U

(2.2-1)

Algunos autores substituyen las condiciones a) y b) por la condición equivalente: ∀ u , v ∈U;α,β ∈

⇒ α u+ β v ∈U

(2.2-2)

Por cierto, todo espacio vectorial V tiene al menos dos subespacios, denominados subespacios triviales que son el subespacio nulo U = { 0 } y el espacio U = V. Obsérvese que 0 es un elemento común a todo subespacio de V (¿Por qué?). Cuando U no es trivial se dice que es un subespacio propio de V.

EJEMPLOS DE SUBESPACIOS VECTORIALES 1) Sea V un espacio vectorial (e.v.) y sea v ∈ V, fijo, v ≠ 0 . El conjunto U = {λv :λ∈ } es un subespacio (unidimensional) de V. Por cierto, U es subespacio propio si la dimensión de V es mayor que 1. La verificación de que U es subespacio es rápida. En primer lugar U≠Φ, luego si u , w ∈U,α,β ∈ , entonces: α u +β w =α(λ 1 v )+β (λ 2 v ) =(αλ 1 +β λ 2 ) v ∈U

7

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2) El espacio Coa ,b es un subespacio (de dimensión infinita), del espacio de todas las funciones reales (es decir funciones reales continuas y discontinuas). 3) U={ v ∈ U ={ v ∈

n

:x 1 =0} es un subespacio propio de n :x 1 = x 2 +1} no lo es (¿Por qué?).

n

, sin embargo,

4) Sea U = {u ∈Coa ,b : u es un polinomio de grado n} es un subespacio propio de Coa,b y de dimensión finita. 5) l2 es un subespacio propio de c0. 6) c0 es un subespacio propio de c. 7) c es un subespacio propio de m. 8) m es un subespacio propio de

2.3

∞

.

INDEPENDENCIA LINEAL, DIMENSIÓN Y BASES Sea V un e.v.. Decimos que un conjunto finito de n≥1 vectores {v1, v2, ..., vn }es linealmente dependiente, l.d., si existe un conjunto de n escalares { λ1, λ2 , ... ,λn}, no todos nulos tal que: λ 1 v 1 +λ 2 v 2 +...+λ n v n = 0

(2.3-1)

Esto significa que al menos uno de los vectores vi puede expresarse como combinación lineal de los otros; por ejemplo: si λ1 ≠ 0, entonces:

v1= –

1 (λ 2 v 2 +λ 3 v 3 +...+λ n v n ) λ1

(2.3-2)

Cuando un conjunto de n ≥ 1 vectores no es l.d. decimos que es linealmente independiente, l.i. . En otras palabras, un conjunto de n ≥ 1 vectores es l.i. si (2.3-1) implica λi = 0, ∀ i = 1,2, ... , n. Decimos que un conjunto l.i. en un espacio vectorial es maximal si no es subconjunto propio de todo otro conjunto l.i. Decimos que V es un e.v. de dimensión finita si contiene al menos un conjunto l.i. maximal (finito). Cuando no sea éste el caso, decimos que V es de dimensión infinita. Por

8

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ejemplo,

es de dimensión 1 o unidimensional y Coa ,b es de dimensión

infinita. Directamente de la definición, se obtiene las consecuencias siguientes: a) Si el conjunto {v1, v2, v3 , ... , vn} es l.d., entonces todo otro conjunto que lo contenga también lo es, b) Todo conjunto que contenga al vector nulo es l.d., c) Todo subconjunto de un conjunto l.i. es también l.i. . Para un espacio vectorial de dimensión finita V, se puede encontrar infinitos conjuntos l.i. y maximales, pero no es difícil demostrar que cada uno de ellos contiene exactamente el mismo número de vectores. Luego, el número n de vectores en un conjunto l.i. maximal es una propiedad intrínseca de todo espacio vectorial de dimensión finita. A este número natural n lo llamamos dimensión del espacio vectorial V, y escribimos: n=dimV

(2.3-3)

Además, llamamos base para un espacio vectorial V a todo conjunto l.i. maximal. Sea ahora {e 1 , e 2 ,..., e n }una base para un espacio vectorial V, con dimV=n. Entonces el conjunto { e 1 , e 2 ,..., e n , v }, donde v ∈V, es l.d. (si no fuese así, el conjunto de los ei no sería una base). Luego, existen n+1 escalares α1 , α2 , ... , αn , λ , con λ≠0, tal que: α 1 e 1 +α 2 e 2 +...+α n e n +λ v = 0 y, por lo tanto:

v = v 1 e 1 +v 2 e 2 +...+v n e n , v i =-

αi λ

n

v = ∑ viei

(2.3-4)

i =1

v =v i e i es decir, todo vector v ∈ V puede expresarse como una combinación lineal de los vectores base ei , siendo esta combinación lineal única (¿Por qué?). Vemos que en el lado izquierdo de (2.3-4), el vector v está escrito usando notación simbólica (intrínseca o directa), mientras en el lado derecho lo 9

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está usando notación indicial, y donde se usó la convención de sumatoria de Einstein (cada vez que se repite un subíndice en una expresión en notación indicial, se subentiende sumatoria, para todo i = 1,2, ... , n). A los escalares v i , i=1,2,...,n, los llamamos componentes (contravariantes) de v ∈V, con respecto a la base {ei}. Si U es subespacio de un espacio de dimensión finita V, son válidas las siguientes proposiciones, cuya demostración dejamos como ejercicio: a)

dimU≤dimV

b)

dimU=dimV⇔U=V

Una función φ: V → W, siendo V y W espacios vectoriales, es un isomorfismo si φ es lineal y φ (u) ≠ φ (v) , si u ≠ v. Si existe al menos un isomorfismo desde V a W, decimos que V y W son isomorfos. Todos los espacios vectoriales de dimensión finita, con igual dimensión, son isomorfos. Así todo espacio vectorial V, con dimV=n, es n isomorfo a .

EJEMPLOS 1) Sea V =

3

,

i)

Si dimV = 0 entonces U = { 0 }.

ii)

Si dimU = 1 entonces U es una línea que pasa por el origen.

iii)

Si dimU = 2 entonces U es un plano que pasa por el origen.

iv)

Si dimU = 3 entonces U = V.

2) Sea V =

3

y tomemos el conjunto de cuatro vectores:

S={ v 1 , v 2 , v 3 , v 4 }:

v 1 =(3,0,-3) v 2 =(-1,1,2) v 3 = (4,2,-2) v 4 =(2,1,1) 10

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S es l. d. pues 2 v 1 +2 v 2 - v 3 = 0 . Sin embargo, el conjunto B={ u 1 , u 2 , u 3 }, dado por:

u 1 =(1,0,0) u 2 =(0,1,0) u 3 =(0,0,1) es l.i. y maximal; luego es una base (canónica) para

2.4

3

.

ESPACIOS VECTORIALES CON PRODUCTO INTERIOR. Un producto interior sobre un espacio vectorial V es una función f :VxV→ , que satisface las siguientes leyes, reglas o axiomas: c-1)

f( u , v )=f( v , u ),∀ u , v ∈V

( 2.4-1)

o propiedad conmutativa, c-2)

λf( u , v )=f(λ u , v ),∀ u , v ∈V;λ∈

(2.4-2)

c-3)

f( u + v , w )=f( u , w )+f( v , w ),∀ u , v , w ∈V

(2.4-3)

es decir, el producto interior es lineal en su primer argumento. La propiedad conmutativa además asegura que es también lineal en su segundo argumento. c-4)

f( u , u )≥0,∀ u ∈V; f( u , u )=0 ⇔ u = 0 ,

(2.4-4)

Esta propiedad establece el concepto de positivo definido. Como consecuencia el producto interior es positivo definido. Es usual llamar al producto interior producto escalar o producto punto, siendo esta última denominación motivada por la nomenclatura más común en Ingeniería (donde se usan vectores geométricos), por la linealidad de que goza el producto interior, y por su conveniencia para operaciones con bases, como veremos más adelante: f( u , v )= u • v

(2.4-5)

Obviamente, llamamos Espacio Vectorial con Producto Interior a un espacio vectorial V premunido de producto interior. La motivación para introducir un producto interior es la necesidad de trabajar con el concepto de módulo de un vector. 11

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ESPACIOS VECTORIALES NORMADOS* Sea V un espacio vectorial. Una norma sobre V es una función || ||:V→ , v a || v ||, con las siguientes propiedades: i)

|| v ||≥0,∀ v ∈V

ii)

|| v ||=0⇔ v = 0

iii)

||α v ||=|α| || v ||,∀α∈ ,∀ v ∈V

iv)

|| u + v ||≤|| u ||+|| v ||,∀ u , v ∈V

(2.4-6)

Si se elimina la condición ii), la función || || es una semi norma sobre V. Un espacio vectorial sobre el cual se ha definido una norma se denomina Espacio Vectorial Normado o simplemente Espacio Normado. La norma no es única; un mismo espacio vectorial puede poseer varias normas. La magnitud, módulo o norma inducida de un vector es una función, denotada por | | : V→ + ∪{0}, v a |v|, que asigna a todo vector v ∈ V, v ≠ 0 , un número real positivo mediante la regla: | v |= v • v

(2.4-7)

por cierto: | 0 |=0

(2.4-8)

Llamamos vector unitario a un vector de módulo unitario, es decir, e es unitario si |e| = 1. (2.4-7) indica que un producto interior siempre puede ser usado para definir una norma sobre V en una forma muy natural. La norma así definida se dice que es inducida por el producto interior. Lo contrario no es cierto: no toda norma es inducida o proviene de un producto interior. Sin embargo, existe una equivalencia entre la norma inducida por el producto interior y cualquier norma para el caso de un espacio de dimensión finita V. Al respecto tenemos la siguiente:

Proposición. En correspondencia a cualquier norma || || en un espacio de dimensión finita V, existen m, M ∈ + , tal que: m| v |≤|| v ||≤M| v |,∀ v ∈V 12

(2.4-9)

MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

donde | | es la norma inducida por el producto interior. Se dice que || || y | | son equivalentes.

Demostración. Sea B ={ e 1 , e 2 ,... , e n } una base para V, dimV=n , entonces: M = n max{||e1||,||e2||,...,||en||} Como B es una base ∀ v ∈V, tenemos: v =v i e i . Por lo tanto: || v || = ||v i e i || ≤ |v i | || e i || ≤

M n ∑ |v i | n i =1 n

pero: |v i |≤| v |,∀i=1,... ,n. Entonces:

∑ vi

≤ n| v |, luego:

i =1

||u|| ≤ M|v| La desigualdad anterior implica que: || u - v|| ≤ M| u - v |, ∀ u , v ∈ V luego || || es una función continua. Así, ella tiene un mínimo en el conjunto (compacto) { v : |v| = 1 }, el cual llamaremos m, esto es: m|v| = 1= mín{ ||v|| }, además, por el primer axioma de norma se tiene que m > 0. El caso v = 0 no interesa pues la desigualdad propuesta se cumple trivialmente. Sea, entonces, v ≠ 0 , α =

1 , entonces: |αv| = |α| |v| = α|v| = 1 v

por lo tanto: || α v || ≥ m. Pero, por el tercer axioma de norma: ||αv|| = |α| ||v|| =

1 ||v|| ≥ m v

luego: || v || ≥ m| v | lo que termina la demostración.

13

MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos

*

PROPIEDADES DE UN ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO INTERIOR Las siguientes propiedades de un espacio V con producto interior son de interés:

Proposiciones a)

Desigualdad de Cauchy–Schwarz–Buniakovski (C-S-B),

u•v ≤ |u b)

•

v | ≤ | u | | v |, ∀ u , v ∈ V

(2.4-10)

Desigualdad triangular, |u + v| ≤ |u| + |v|, ∀ u, v ∈ V

(2.4-11)

u − v ≤ |u + v| ≤ |u| + |v| , ∀ u, v ∈ V

c)

(2.4-12)

Demostración a) Desigualdad de C-S-B. i) Si v = 0 , todos los términos en (2.4.10) son nulos y la desigualdad se cumple en forma trivial. Por lo tanto, basta considerar el caso v≠0; ii) Sea v ≠ 0 , α ∈

, entonces:

0 ≤ (u + αv) • (u + αv ) = u • u + 2αu • v + α2 v • v Sea f(α) = u • u + 2αu • v + α2 v • v Esta función de clase C∞ es convexa y coerciva, luego posee un mínimo en α = αo . Para encontrar αo se aplica el criterio:

df =2 u • v+ 2 α v • v =0 ; dα α o es decir:

14

 d 2f    = 2 v •v>0  dα 2  αo   α o =-

u•v v•v

MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

luego: 0 ≤ | u +α o v| 2 = | u | 2 –

u•v v

2

2

(2.4-10a)

o bien: 0 ≤ | u | 2 | v| 2 – | u • v | 2 luego: | u • v| 2 ≤| u | 2 | v | 2 obviamente: u • v ≤ | u • v| De las dos últimas desigualdades resulta la desigualdad de C-S-B:

u • v ≤ | u • v| ≤ | u | | v | De la expresión (2.4-10a) vemos que la igualdad en la desigualdad de C-SB se produce cuando | u +α o v| 2 = 0 , es decir, u +α o v=0. Por lo tanto, como v ≠ 0 resulta | u • v |=| u||v | si y solo si u es un múltiplo escalar de v. Si u • v >0, u es un múltiplo escalar no negativo de v (e inversamente). b) Desigualdad triangular. Se tiene | u + v | 2 =( u + v ) • ( u+v )

=u • u+ 2 u • v + v • v =| u | 2 +2 u • v +| v | 2 usando la desigualdad de C-S-B: | u + v | 2 ≤ | u | 2 +2| u || v |+| v | 2 = (| u |+| v |) 2 luego: | u + v | ≤ | u |+| v |. c)

En primer lugar demostraremos que: || u|-|v|| ≤ | u - v | ≤ | u |+| v | En efecto:

u = v + (u − v )    v = u + (v − u ) 

15

MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos

⇒

u ≤ v + u − v   v ≤ u + v−u 

⇒

u − v ≤ u − v   u − v ≤ −u − v 

es decir: u − v ≤ u − v

como además |u-v| = |u+(-v)| ≤ |u|+|-v| = |u|+|v|, tenemos: ||u|-|v|| ≤ |u-v| ≤ |u|+|v|. Por otra parte: ||u|-|v|| ≤ |u+v| ≤ |u|+|v| es consecuencia de la primera, considerando v = -v .

EJEMPLOS DE ESPACIOS VECTORIALES CON PRODUCTO INTERIOR 1) La multiplicación ordinaria en interior, luego es un e.v.p.i. .

satisface los axiomas de producto

n

, definamos el siguiente producto interior (llamado canónico o 2) En n Euclideano), ∀ (x1 , x2 , ... , xn), (y1 , y2 , ... , yn) ∈ . (x1, , x2 , ... , xn) • (y1, , y2 , ... , yn) = xi yi Es fácil verificar que este producto interior satisface los axiomas n es un e.v.p.i. . correspondientes. Así n

es la siguiente: La forma más general de definir un producto interior en se toma una matriz real de orden n, simétrica y positiva definida A = [aij]. n ; El producto interior queda definido por : f(u,v)=a i j u i v j ,∀u,v∈ u=(u 1 ,u 2 ,...,u n ), v=(v 1 ,v 2 ,...,v n ). El producto interior canónico se obtiene si consideramos A = I, la matriz identidad de orden n. 3) Sea V= Coa ,b . Entonces si f, g∈V, ∫ ab f(x)g(x)dx es un producto interior. 4) En l2, sean u=(x1 , x2 ,.....) y v=(y1 , y2 ,.....). Entonces la operación siguiente define un producto interior en l2: 16

MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

f(u,v)=u • v=x i y i

ANGULO ENTRE VECTORES. La desigualdad de C-S-B nos permite definir el ángulo entre vectores, de la siguiente manera: cos θ

= u•v u v = u u

•

v = e •e u v v

(2.4-13)

y θ es el ángulo entre los vectores u y v. Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si u • v = 0. Así, el vector nulo es perpendicular a cualquier vector.

2.5

ESPACIOS DE PUNTOS EUCLIDEANOS VECTORES ESPACIALES O GEOMÉTRICOS Un espacio de puntos Euclideano E es un conjunto de elementos X, Y, ... , llamados puntos, tal que cada par de elementos X,Y ∈ E definen un → segmento de línea dirigido XY , el cual tiene una longitud dada por el largo del segmento y una dirección dada por la orientación desde X hacia Y, ver figura 2.5.1.

Figura 2.5.1 Segmento de línea dirigido desde el punto X al punto Y.

17

MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos

En realidad, existe un número infinito de segmentos de líneas dirigidos → equivalentes al segmento XY , los que tienen la misma longitud y la misma dirección. Llamamos vector espacial o vector geométrico al conjunto de todos los segmentos de línea dirigidos con la misma longitud y dirección, y → → lo designamos por {XY }, con su longitud denotada por |{XY }|, o → simplemente |XY |. A continuación definiremos las operaciones de adición y multiplicación por escalares que transformarán al conjunto de los vectores geométricos en un espacio vectorial en el sentido abstracto.

ADICION DE VECTORES GEOMETRICOS. La adición de segmentos de línea dirigidos queda definida por: →

→

→

→

→

XY + RS = XY + YZ = XZ →

(2.5-1)

→

Donde RS ∈{YZ }. Esto es, para sumar dos segmentos de línea dirigidos debe usarse el segmento de línea dirigido equivalente al segundo segmento de línea original y emplear la ley del paralelógramo. Geométricamente, la adición de segmentos de líneas dirigidos se representa en la figura 2.5.2. Obviamente, la suma definida en (2.5-1) también puede ser escrita como: →

→

→

→

→

→

→

XY + RS = RS + XY = RS + ST = RT →

→

(2.5-2)

donde XY ∈ {ST }. Geométricamente, esta operación se muestra en la figura 2.5.3.

18

MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

Figura 2.5.2. Adición de segmentos de línea dirigidos.

Figura 2.5.3

Otra forma equivalente de sumar segmentos de línea dirigidos.

Como existen infinitas formas para efectuar la suma de segmentos de línea dirigidos, la adición de vectores geométricos queda simbolizada por: →

→

→

{ XY }+{ YZ }={ XZ }

(2.5-3)

19

MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos →

Evidentemente el vector geométrico nulo es {XX }para cualquier punto X →

→

y el aditivo inverso de {XY } es {YX }. Es materia fácil verificar que la adición de vectores geométricos así definida satisface los cuatro axiomas para la adición de espacios vectoriales abstractos.

MULTIPLICACIÓN DE VECTORES GEOMÉTRICOS POR ESCALARES →

Sea α ∈ un escalar y {XY } un vector geométrico. El vector espacial α → → } si α > { XY } es un vector espacial que tiene la misma dirección de { XY → 0 y la dirección contraria si α < 0 y su longitud es |α| veces la de {XY }. Nuevamente, es materia fácil ver que se verifican las propiedades para la multiplicación por escalares en un espacio vectorial abstracto. Se puede concluir que el conjunto de los vectores espaciales con estas operaciones tiene la estructura algebraica de espacio vectorial y los vectores espaciales definidos sobre un espacio de puntos Euclideano constituyen un espacio vectorial.

PRODUCTO INTERIOR DE VECTORES GEOMÉTRICOS. Dotamos de producto interior al espacio vectorial de los vectores geométricos, a través de la definición del producto escalar entre dos → → vectores geométricos {XY } y {RS } de la siguiente manera: →

→

→

→

{ XY } • { RS }=| XY || RS |cosθ →

(2.5-4)

→

donde θ es el ángulo entre {XY } y {RS }. Este producto escalar satisface las propiedades para producto interior en espacios vectoriales abstractos (ver (2.4-13) para ver la coherencia de esta afirmación). Por lo tanto, el conjunto de los vectores geométricos es un espacio vectorial con producto interior en el sentido abstracto. A tal tipo de espacio 20

MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

lo llamamos Espacio Vectorial Euclideano o simplemente Espacio Euclideano. Como cada par de puntos X,Y ∈ E definen un vector en el sentido → abstracto {XY }= v ∈ V, la asociación entre puntos X,Y y el vector v puede expresarse en términos de la operación diferencia de puntos: -

: E x E → V, (X,Y) a v = Y – X

tal que: Y=X+ v

(2.5-5) (2.5-6)

De igual manera: Y-Z=(Y-X)+(X-Z)

(2.5-7)

u = v + w =w + v Geométricamente, la operación diferencia de puntos se muestra en la figura 2.5.4.

Figura 2.5.4. Operación diferencia de puntos. La regla (2.5-6) indica que la suma de un punto con un vector es otro punto. Esto induce a denominar al espacio vectorial V espacio de 21

MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos

traslaciones subyacente al espacio de puntos E, es decir, los vectores pueden usarse para trasladarse entre puntos de E. El vector nulo 0 ∈ V se obtiene de:

0 =X-X,∀X∈ E

(2.5-8)

La distancia entre los puntos X,Y ∈ E queda definida por la función d : ExE → + ∪{0},(X,Y) a d(X,Y), dada por: d(X,Y)=|Y-X|= (Y − X) • (Y − X)

= (Y − X)2

(2.5-9)

ESPACIOS MÉTRICOS* Sea F un conjunto, F ≠ Φ, cuyos elementos designaremos por p, q, ... , y que llamaremos puntos. Una distancia es una función d: F x F → + ∪ {0}, tal que: i)

d(p,q)≥0

,∀p,q∈F; d(p,q)=0⇔p=q;

ii)

d(p,q)=d(q,p)

,∀p,q∈F;

iii)

d(p,q)≤d(p,r)+d(r,q)

,∀p,q,r,∈F

Si existe tal función d decimos que F es un espacio métrico. La función distancia introducida en (2.5-9), satisface las axiomas para la función distancia en espacios métricos abstractos, por lo tanto E es un espacio métrico. * En este texto trabajaremos con un espacio de puntos Euclideano tridimensional E3, de tal manera que su espacio de traslaciones V es de dimensión 3. Luego, cualquier base para V consiste de tres vectores linealmente independientes.

22

MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

2.6

BASES OBLICUAS Y BASES CARTESIANAS: REPRESENTACIÓN SIMBÓLICA, INDICIAL Y MATRICIAL DE VECTORES Sea V el espacio vectorial Euclideano de traslaciones subyacente al espacio de puntos Euclideano tridimensional E3. Sabemos que una base para V es un conjunto de tres vectores base que denotaremos por:  e1  B = e 2  ≡ {ei} e 3 

(2.6-1)

de tal manera que todo vector v ∈ V puede ser representado por la combinación lineal única: v= v i e i

(2.6-2)

donde los escalares vi, i = 1,2,3, reciben el nombre de componentes contravariantes de v con respecto a la base B. Al escribir a un vector de V en la forma v estamos usando la notación intrínseca, simbólica o directa y al escribir vi ei usamos notación indicial, la que requiere el uso de una base. Alternativamente, podemos usar las reglas del álgebra de matrices para denotar cualquier vector; podemos escribir:  e1  v =[v v v ] e 2  =[v] TB e 3 

(2.6-3)

 v1    v= [ e 1 e 2 e 3 ]  v 2  = BT[v] v 3   

(2.6-4)

1

2

3

ó

23

MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos

donde:

 v1    [v]=  v 2  v 3   

(2.6-5)

es la matriz de componentes (contravariantes) de v con respecto a la base B. El producto interior, escalar o producto punto entre los vectores base lo simbolizamos por:

e i • e j =g i j ,

i,j =1,2,3

(2.6-6)

Los gij se denominan coeficientes métricos. La matriz métrica queda definida por el arreglo [gij]. Debido a la conmutatividad del producto escalar de vectores, se cumple g ij=g ji, ∀i, j, propiedad de simetría de gij. Decimos que la base B es ortogonal si: ≠ 0 , si = j  gij =   0 , si ≠ j 

(2.6-7)

Decimos que la base B es ortonormal o cartesiana si: 1 , si i = j gij = δij =  , 0 , si i ≠ j

1 0 0  g ij = 0 1 0 0 0 1

[ ]

(2.6-8)

donde δij se denomina delta de Kronecker. Una base cartesiana consiste solo de vectores unitarios ortogonales entre sí. Una base B que no es ortogonal se dice que es oblicua. Sea B = {ei} una base para V. Decimos que la base B' = {ei} es la base dual o base recíproca de B si y solo si:

e i • e j = δ ij = δ ij

(2.6-9)

o, equivalentemente:

e i • e j = δ ij = δ ij 24

(2.6-10)

MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

Por supuesto, definimos:

e i • e j =g i j , [g i j ]

(matriz métrica dual)

(2.6-11)

Como B' es una base para V, todo vector v puede representarse por la combinación lineal única:

v =v i e i

(2.6-12)

donde los escalares vi se denominan componentes covariantes de v con respecto a la base B'.

Proposición Los coeficientes métricos y componentes de un vector v cumplen: i)

v i = v • e i ,v j = v • e j

ii)

e i =g i j e j

, B=[g i j ] B '

iii)

e i =g i j e j

, B'=[g i j ] B

iv)

g i j g j k = δ ik =δ i k , [g i j ][g i j ]=[I]

v)

v i =g i j v j

(bajar un superíndice) [v]=[g i j ][v']

vi)

v i =g i j v j

(subir un subíndice) [v']=[g i j ] [v]

(2.6-13)

todas fórmulas útiles al trabajar con componentes. Se dice que gij sube índices y gij baja índices.

Demostración. i)

v • e i = v j e j • e i = v j δ ij = v i ⇒ v = ( v • e i ) e i v • e i = v j e j • e i = v j δ ij = v i ⇒ v = ( v • e j ) e j

ii)

e i =( e i • e j ) e j =g i j e j

iii)

iv)

e i =( e i • e j ) e j

(usando i) (definición) (usando i)

=g i j e j

(definición)

δ ik = e i • e k

(definición)

=ei•gkjej

(usando ii)

25

MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos

=ei•ejgkj

(linealidad producto escalar)

ij

=g g j k v)

(def. y simetría coef. métricos)

vi=v•ei

(usando i2)

=v j e j • e i =g i j v vi)

i

v =v•e

(expansión de v en B)

j

(def.)

i

=v j e j • e i =g i j v j De (2.6-13)ii se observa que si la base B es ortonormal, la base dual B' es idéntica a B, y de (2.6-13)v se observa que las componentes contravariantes son iguales a las covariantes. De allí que para el caso de bases cartesianas es innecesario distinguir entre la base B y su dual B', y entre las componentes covariantes y contravariantes de un vector v. Esto nos permite escribir para el caso en que B es una base cartesiana, ortonormal o unitaria:

v =( v • e i ) e i =v i e i

(2.6-14)

A no ser que se establezca explícitamente lo contrario, cada vez que consideremos una base, ésta será cartesiana, de manera que cualquier vector puede ser representado en notación indicial cartesiana por:

v =v i e i

(2.6-15)

o en notación matricial:

v = v1v 2 v 3

 e1   v1  e  = [e e e ] v  1 2 3  2  2 e 3   v 3 

(2.6-16)

=[v] T B = B T [v] Veremos a continuación la conveniencia de usar la nomenclatura de producto punto para el producto interior en V. Al usar bases cartesianas, tenemos para el producto interior entre dos vectores u, v ∈ V:

u•v = uiei•vjej = uivjei•ej 26

(linealidad del p.i.)

MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

= uivjδij

(la base es cartesiana)

= uivi

(δ i j =0 si i≠j )

(2.6-17)

= u 1 v 1 +u 2 v 2 +u 3 v 3 En algunos textos se dice que el producto punto efectúa una contracción de las direcciones ei , ej . Por otra parte, debido a (2.4-13), el ángulo entre los vectores u y v está dado por:

cos θ =

u1 v1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 u v

(2.6-18)

Obviamente, si v = ei en (2.6-17), obtenemos:

u • e i =u j e j • e i =u j δ j i

(2.6-19)

=u i =| u || e i |cosθ =| u |cosθ es decir, la componente ui del vector u ∈ V es la proyección (perpendicular) de u sobre ei. El uso de notación indicial cartesiana es una herramienta poderosa en la demostración de identidades en que participan vectores.

2.7

TEOREMA DE REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES LINEALES* Sea V un espacio vectorial de dimensión finita y sea f : V→ . Entonces f es lineal si y solo si existe a∈V tal que f(v)= a • v, ∀v∈V. El vector a es único.

Demostración. Consideraremos una base cartesiana para V, con dimV = n. Esta base se denotará por {ei}. 1) Existencia. 27

MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos

i) (⇒) Sea f : V → , lineal. Sabemos que ∀v∈V, tenemos: v = vi ei. Sea ai = f(ei), ∀i =1,2, ... , n. Entonces, ya que f es lineal: f( v )=f(v i e i )=v i f( e i )=a i v i = a • v ; a= a i e i ii) (⇐) sea f(v) = a • v entonces: a) f( u + v )= a • ( u + v )= a • u + a • v= f( u )+f( v) b) f(α v )= a • (α v )=α a • v= αf( v ) luego f es lineal. 2) Unicidad. Supongamos que existen a1 y a2, tal que f( v )= a 1 • v ,f( v )= a 2 • v ,∀ v ∈V, con a1 ≠ a2. entonces 0=f( v )-f( v ) = a 1 • v - a 2 • v = ( a 1 - a 2 ) • v ,∀ v ∈V luego a1 -a2 = 0, lo que implica que a1 = a2 , un absurdo. ∴ a es único. *

2.8

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES PARA E3 Llamamos origen del Espacio de puntos Euclideano tridimensional E3 a un punto simbolizado por O, donde se aplican los vectores base {ei} de V. Luego, una base cartesiana de E3 es el conjunto {O, {ei} }. Sin embargo, esta nomenclatura raramente se usa y el usar una base subentiende la elección del origen. Por ello la base se indica simplemente con {ei}, o por la nomenclatura BT = [e1 e2 e3]. Luego, es posible ubicar un punto cualquiera X ∈ E3 mediante su vector de posición r, representado por la diferencia de puntos:

r =X-O=x i e i

(2.8-1)

Por ejemplo, el vector de posición del origen es 0. Las tres componentes del vector de posición xi, i =1,2,3 son las coordenadas (rectangulares) del punto X∈E3. Formalmente, las coordenadas del punto 28

MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

X ∈ E3 son los tres campos escalares xi(X), definidos por las funciones xi : E3 → , i = 1,2,3. Decimos que cada una de estas funciones forma un eje de coordenadas; cada dos de ellas un plano coordenado; y las tres un sistema de coordenadas para E3. Existe un isomorfismo evidente entre los puntos X ∈ E3 , los vectores r = X-O ∈ V y el triple (x1 , x2 , x3 ) ∈ 3 , que representa las coordenadas de X con respecto a una base cartesiana dada. Esto permite representar a los vectores libres de V mediante vectores de posición ligados al origen de E3 o mediante tres números reales.

Figura 2.8.1. Sistema de coordenadas para el espacio E3.

29

MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos

Figura 2.8.2. Base cartesiana derecha en el punto 0∈ E3 . Eligiendo un orden para el conjunto { e 1 , e 2 , e 3 } se determina una orientación en E3 , V y 3 convirtiendo a éstos en espacios orientados. De las dos orientaciones posibles para espacios tridimensionales, llamamos a una positiva o derecha y a la otra negativa o izquierda. A no ser que se diga otra cosa, todas las orientaciones serán derechas, tal como se muestra en la figura 2.8.2. Una base derecha sigue la regla de la mano derecha.

2.9

PRODUCTO VECTORIAL. El producto vectorial es una operación definida por x : V x V → V, ( u , v ) a w = u x v , que satisface los axiomas siguientes: a)

u x v = – v x u,∀u,v∈V

(2.9-1)

o propiedad anticonmutativa. b)

(α u +β v ) x w = α u x w +β v x w , ∀ u , v , w ∈V, ∀α, β∈ o propiedad distributiva.

30

(2.9-2)

MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

c)

u•(uxv) = 0,∀u,v∈V

(2.9-3)

que establece que el vector producto es perpendicular al primer vector. La propiedad anticonmutativa a) implica que el vector producto es también perpendicular al segundo vector. d)

( u x v ) • ( u x v ) = ( u • u )( v • v )-( u • v ) 2

(2.9-4)

que establece el módulo del producto vectorial.

Observación En muchos textos el producto vectorial se denota usando el símbolo "^", pero nosotros conservaremos la cruz clásica, pues el símbolo "^" lo reservaremos para el producto antisimétrico o exterior de dos vectores. Llamamos triple producto escalar de los vectores u, v, w ∈ V y que denotamos por [u, v, w] a: [ u , v , w ]= u • ( v x w ),∀ u , v , w ∈V

(2.9-5)

Los axiomas (2.9-1) a (2.9-4) permiten obtener las siguientes propiedades para operaciones en que intervienen productos vectoriales:

Proposición 1)

u x v = 0 ⇔ u , v son l.d.,

2)

[ u , v , w ]=[ v , w , u ]=[ w , u , v ]

(2.9-6)

= – [ u, w , v ] = – [ v , u, w ] = – [ w , v , u]

(2.9-7)

∀u, v, w ∈ V. que dice que en el triple producto escalar, los tres vectores producto se pueden permutar cíclicamente. Esto es, cualquier permutación par conduce al mismo resultado. Cualquier permutación impar cambia el signo del resultado. 3)

[α u +β v , w , x ]=α[ u , w , x ]+β [ v , w , x ] ∀ u, v, w, x ∈ V, ∀ α, β∈

(2.9-8)

.

4)

[ u , v , w ]=0⇔ u , v, w son l.d. (vectores coplanares).

5)

Sea B una base para V, entonces:

(2.9-9)

e2xe3=e1, e3xe1=e2 , e1xe2=e3 31

MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos

e3xe2= –e1, e1xe3= –e2, e2xe1= –e3 e i x e i = 0 ,∀i=1,2,3(sin suma) | u x v |=| u || v |senθ

6)

(de 2.9-4)

(2.9-10)

donde θ es el ángulo entre los vectores u y v, tomado como el menor posible (es decir, 0 ≤ θ ≤ π).

Demostración Solo demostramos las proposiciones 1) y 6) dejando el resto como ejercicio. 1) uxv = 0 ⇔ u,v son l.d. (⇒)

uxv=0 Por el axioma (2.9-4), 0=| u | 2 | v | 2 – ( u • v ) 2 ∴( u • v ) 2 =| u | 2 | v | 2 2

y : (cosθ) =

(u • v ) 2 2

u v

2

= 1 entonces θ=0,π y u,v son l.d.

(colineales). (⇐)

u , v l.d.⇒ u =α v , α∈ , es decir: | u x v | 2 =| u | 2 | v | 2 -( u • v ) 2 =α 2 | v | 4 -α 2 | v | 4 =0 ∴uxv=0

6)

| u x v | 2 =| u | 2 | v | 2 -| u | 2 | v | 2 cos 2 θ =| u | 2 | v | 2 (1-cos2 θ) =| u | 2 | v | 2 sen2 θ ∴|u x v| = |u| |v| sen θ ; 0≤ θ ≤ π.

Observe que θ no puede ser mayor que π, ya que senθ < 0 para ángulos obtusos.

32

MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

Una forma elegante y compacta de expresar el producto vectorial es a través de la introducción del símbolo permutador o alternador ∈ijk, definido por:

Definición  0,  ∈ijk =  1, − 1, 

si al menos dos índices se repiten si ijk es una permutación par de 123

(2.9-11)

si ijk es una permutación impar de 123

Luego, todas las fórmulas que expresan el producto vectorial entre vectores base pueden sintetizarse a:

e i x e j =∈ i j k e k

(2.9-12)

Así, en notación indicial cartesiana, el producto vectorial entre dos vectores u, v, queda dado por:

u x v =u i e i x v j e j =u i v j e i x e j

(linealidad)

(2.9-13)

=u i v j ∈ i j k e k También, tenemos: [ e i , e j , e k ]= e i x e j • e k =∈ i j l e l • e k =∈ i j l δ l k

(2.9-14)

=∈ i j k Recordemos que el determinante de una matriz A = [aij] está definido por las expresiones equivalentes: a im

a in

a ip

a mi

a ni

a pi

∈ijk∈mnp det A = a jm a km

a jn a kn

a jp = a mj a kp a mk

a nj a nk

a pj a pk

(2.9-15)

Apliquemos esta definición a la matriz:

 δ im  A=  δ jm δ km 

δ in δ jn δ kn

δ ip   δ jp  δ kp 

(2.9-16)

33

MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos

que representa a una matriz cuyo determinante será 1, -1, ó 0. Por ejemplo, la forma (2.9-16) representará a las matrices:

1 0 0 0 1 0  ,   0 0 1

0 1 0  1 0 1 ,   0 0 0

1 0 0 1 0 1 , . . .   1 1 0

(det A= 1)

(det A=0)

(det A= -1)

(2.9-17)

Así, aplicando (2.9-15), obtenemos:

δim

δ in

δ ip

∈ i j k ∈ mn p = δ jm

δ jn δ kn

δ jp δ kp

δkm

(2.9-18)

= δ i m ( δ j n δ k p - δ j p δ k n )- δ i n ( δ j m δ k p - δ j p δ k m ) + δ ip ( δ j mδ k n-δ j nδ k m)

(2.9-19)

Esta fórmula es importante pues conduce a la siguiente identidad fundamental entre el símbolo alternador y el delta de Kronecker:

∈ijk∈mnk= δim(δjnδkk - δjkδkn)-δin(δjmδkk - δjkδkm)+δik(δjmδkn - δjnδkm) = 3δimδjn - δimδjkδkn - 3δinδjm + δinδjkδkm + δikδjmδkn - δikδjnδkm = 3δimδjn - δimδjn - 3δinδjm + δinδjm + δjmδin - δjnδim = δimδjn - δinδjm

es decir:

∈ijk ∈mnk = δ im δ jn − δ in δ jm

(2.9-20) luego, en cualquier expresión donde aparezca la multiplicación de dos símbolos alternadores (posiblemente provenientes del producto vectorial entre vectores base), y donde al menos un subíndice aparezca en ambos alternadores, se puede aplicar (2.9-20) para eliminar el subíndice repetido. 34

MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

Así, por ejemplo: a)

∈ijk∈ljk=δilδjj-δijδjl =3δil-δil

(2.9-21)

=2δil b)

∈ijk∈ijk=δiiδjj-δijδji =3x3-δii

(2.9-22)

=9-3 =6 La identidad (2.9-20) es muy útil para la demostración de identidades en que aparecen varios productos vectoriales entre vectores, tal como veremos un poco más adelante. De acuerdo a (2.9-10) vemos que |uxv| representa el área del paralelógramo cuyas aristas coinciden con los vectores u y v como se muestra en la figura 2.9.1. Es interesante observar de (2.9-13) que:

u x v =(u 2 v 3 -u 3 v 2 ) e 1 +(u 3 v 1 -u 1 v 3 ) e 2 +(u 1 v 2 -u 2 v 1 ) e 3 = (u 2 v 3 -u 3 v 2 ) e 1 -(u 1 v 3 -u 3 v 1 ) e 2 +(u 1 v 2 -u 2 v 1 ) e 3

e1 e2 = u1 u2 v1 v2

(2.9-23)

e3 u3 v3

Por otra parte, el producto mixto queda dado por: u • v x w =u i e i • v j e k x w k e k =u i v j w k ∈ i j k =u 1 (v 2 w 3 -v 3 w 2 )+u 2 (v 3 w 1 -v 1 w 3 )+u 3 (v 1 w 2 -v 2 w 1 ) [u,v,w ]=u 1 (v 2 w 3 -v 3 w 2 )-u 2 (v 1 w 3 -v 3 w 1 )+u 3 (v 1 w 2 -v 2 w 1 )

35

MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos

Figura 2.9.1. Interpretación geométrica del producto vectorial.

Figura 2.9.2. Interpretación geométrica del producto mixto.

u1 u 2 u 3 u1 v1 w 1 = v1 v 2 v 3 = u 2 v 2 w 2 w1 w 2 w 3 u3 v3 w 3 36

(2.9-24)

MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

ya que el valor de un determinante no cambia si se intercambian líneas por columnas y vice-versa. El módulo del producto mixto entre tres vectores nos da el volumen del paralelepípedo cuyas aristas coinciden con los vectores producto, tal como se muestra en la figura 2.9.2.

Proposición El producto vectorial satisface las siguientes identidades: 1)

u x (v x w )=(u • w )v-(u • v)w , ∀ u,v,w ∈ V

(2.9-25)

2)

(u x v) x w =(w • u)v-(w • v)u, ∀ u,v,w ∈ V

(2.9-26)

3)

(a x b) x (c x d)=(c • d x a)b-(b • c x d)a

(2.9-27)

=(d • a x b)c-(a • b x c)d ∀ a,b,c,d ∈ V.

Las dos primeras ecuaciones demuestran el hecho de que el producto vectorial no es una operación asociativa. Así, en el caso del triple producto vectorial es indispensable el uso de paréntesis, cosa que no era necesaria en el caso del producto mixto. El producto que aparece en el miembro izquierdo de (2.9-27) se denomina cuádruple producto vectorial y es importante en la determinación de la relación entre una base B y su base recíproca B'.

Demostración. Solo demostraremos la primera identidad, pues las otras se efectúan de manera muy similar, y las dejamos de ejercicio. u x (v x w ) =u i e i x (v j e j x w k e k ) =u i v j w k ∈ j k l e i x e l =u i v j w k ∈ j k l ∈ i l m e m =u i v j w k ∈ j k l ∈ m i l e m =u i v j w k δ j m δ k i e m -u i v j w k δ j i δ k m e m =u i v j w i e j -u i v i w k e k =(u i w i )(v j e j )-(u i v i )(w k e k ) 37

MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos

=(u • w )v-(u • v)w Las relaciones entre los vectores de una base B y su base recíproca B',con  e1   e1    B = e 2  y B' = e 2  se encuentran dadas en la siguiente: e 3  e 3   

Proposición Sea B una base y B' su base recíproca, entonces: ei =

e j xe k e1 • e 2 xe 3

i≠ j≠ k

(2.9-28)

donde ij k es una permutación par de 123.

Demostración. Basta considerar los dos miembros del lado derecho de (2.9-27), tomando:

a = e 1 , b = e 2, c = e 3 , d = v donde v ∈ V es un vector cualquiera. Tenemos: ( e 3 • v x e 1 ) e 2 -( e 2 • e 3 x v ) e 1 =( v • e 1 x e 2 ) e 3 -( e 1 • e 2 x e 3 ) v Luego: ( e 1 • e 2 x e 3 ) v =( v • e 2 x e 3 ) e 1 +( v • e 3 x e 1 ) e 2 +( v • e 1 x e 2 ) e 3 donde usamos (2.9-7) Así, el vector v expresado en términos de la base B queda dado por:    e 2 xe 3  e 3 xe1  e xe   e 2 +  v • 1 2 e 3  e1 +  v • v =   v •    [e1,e 2 ,e 3 ]    [e1 , e 2 , e 3 ]    [e1 , e 2 , e 3 ]  es decir:

38

MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

e1 =

e 2 xe 3 [e1 , e 2 , e 3 ]

e2 =

e 3 xe1 [e1 , e 2 , e 3 ]

e3 =

e1 xe 2 [e1 , e 2 , e 3 ]

que escritas en forma compacta proporcionan la fórmula (2.9-28).

Observaciones i) Si B es cartesiana: [e1 ,e2 ,e3]= 1 y e i x e j = ek cuando ijk es permutación par de 123. Por lo tanto, de (2.9-28): e i =e i ; i=1,2,3 y B' = B , como ya habíamos visto. ii) Evidentemente, la relación dual a (2.9-28) es: ei =

e j x ek e1 , e 2 , e 3

[

]

i ≠ j≠ k

, ijk permutación par de 123.

Ejemplo  i   Sea B =  j  . Demuestre que B es una base (oblicua) para el i + j + k  espacio de traslaciones V de E3. Encuentre la base dual B' y expanda el vector v = 4i + 2j + 3k en términos de B y B'. Determine las matrices de coeficientes métricos [gij] y [gij] y verifique todas las relaciones (2.6-13).

Solución i) Verificación que B es una base oblicua. e 1 =i, e 2 =j, e 3 =i+j+k Sea αe 1 +β e 2 +γe 3 =0, entonces: 39

MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos

αi+β j+γ(i+j+k)=0 i  como  j  es una base, k 

α + γ = 0  β + γ = 0 ⇒ α = β = γ = 0 γ = 0 

y la base B es realmente una base. Como e1 • e3 = 1 ≠ 0, la base es oblicua. ii) Determinación de la base dual B'. [e 1 ,e 2 ,e 3 ]=e 1 • e 2 x e 3 =i • j x (i+j+k) =i • (-k+i) =1 ∴

e 1 = e 2 x e 3 = j x (i+j+k) = i-k e 2 = e 3 x e 1 = (i+j+k) x i = j-k e3 = e1xe2 = ixj = k i - k  B' =  j - k   k   v1 = v • e1 = (4i + 2 j + 3k ) • i = 4  =2 v 2 = v • e 2 = v = v • e = =9 3  3

∴

 v 1 = v • e1 = 1  2 2  v = v • e = −1 v 3 = v • e 3 = 3 

v = 4i+2j+3k = e 1 -e 2 +3e 3 = 4e 1 +2e 2 +9e 3

iii) Determinación de las matrices de coeficientes métricos. 1 0 1 g i j = e i • e j ⇒ [g i j ] = 0 1 1 1 1 3

40

MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

gij

=

ei•ej

⇒

 2 1 − 1 [g ] =  1 2 − 1 − 1 − 1 1  ij

luego: [gij][gij]

1 0 0 = 0 1 0 0 0 1

ij

= [g ][gij]

Las demás verificaciones se dejan de ejercicio al lector.

2.10

TRANSFORMACIÓN DE LAS COMPONENTES DE UN VECTOR BAJO UN CAMBIO DE BASE (CARTESIANA) En esta sección estamos interesados en determinar cómo se transforman las componentes de un vector si efectuamos un cambio de base.  e1*   e1    SeanB= e 2  yB*= e *2  dos bases (cartesianas). e *  e 3   3 Luego, podemos expresar cada vector unitario de la base B* en términos de los vectores unitarios de la base B: e *i =(e *i • e j )e j =Q i j e j Cada producto escalar e *i

•

,i=1,2,3

(2.10-1)

ej = Qij ; i=1,2,3; j =1,2,3, representa el

coseno del ángulo entre los vectores e *i y ej. Debido a que los vectores bases son unitarios, a Qij lo denominamos coseno director o coseno directriz. Así las ecuaciones pueden escribirse en notación matricial:  e1*   Q11  *  e 2  = Q 21 e *   Q  3   31

Q12 Q 22 Q 32

Q13  Q 23  Q 33 

 e1  e   2 e 3 

(2.10-2)

41

MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos

B*=[Q]B La matriz [Q] se denomina matriz de cosenos directrices (directores) ó matriz de transformación. Obviamente las relaciones duales a (2.10-1) y (2.10-2) están dadas por: e i =(e i • e *j )e *j =Q j i e *j

(2.10-3)

B=[Q] T B * Cualquier vector v puede escribirse ahora: v=v i e i =v *j e *j

(2.10-4)

Proposición a)

La matriz [Q] es ortogonal.

b)

det[Q]=1

c)

v*i =Qijvj ,

[v*]=[Q][v]

vi=Qji v*j

[v]=[Q]T[v*]

,

Demostración B * =[Q] B

a)

=[Q][Q] T B *

⇒ [Q][Q] T =[I] y

: B =[Q]TB* =[Q] T [Q] B

⇒ [Q] T [Q]=[I] luego [Q] es ortogonal y [Q] - 1 =[Q] T . b)

(

)

det [Q][Q]T =det[I]=1 det[Q]det[Q] T =1 (det[Q]) 2 =1 luego: det[Q]=±1

42

(2.10-5)

MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

Como ambas bases son derechas (a no ser que se diga otra cosa), debemos tener: det[Q]=1 c)

v *i = v • e *i =v j e j • e *i =v j e *i • e j =v j Q i j =Q i j v j [v * ]=[Q][v]

ó vi=v•ei =v *i e *i • e i =v j * Q j i =Q j i v j *

[v]=[Q] T [v * ]

ó

Ejemplo   1 1 Sean BT = [i j k] , B*T =  (i − j) (i + j) k  = e1* e*2 e*3 2   2 a) Calcule [Q] y exprese v = 2i + 3j - k en términos de B*, b) Verifique la ortogonalidad de [Q]

Solución

a)

    [Q] =      

1 2 1 2 0

−

1 2 1 2 0

 0   1 1 0 , det [Q] = + = 1  2 2  1   43

MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos

(Ambas bases son derechas)     [v*] =      

es decir:

b)

1

−

2 1

2

0

    [Q][Q] T =      

2 1

2

v=-

 0   0   1  

1

0

 1  −  2 2    3 =    5 2  ,  − 1     −1   

1 * 5 * e1 + e 2 − e*3 2 2 1 2 1 2 0

−

1 2 1 2 0

 0   0   1  

 1   2  1 −  2   0  

1 2 1 2 0

 0  1 0 0  0 = 0 1 0  0 0 1  1  

de la misma forma:  1   2  1 [Q]T [Q] = −  2   0  

44

1 2 1 2 0

 0   0   1  

         

1 2 1 2 0

−

1 2 1 2 0

 0   1 0 0  0 = 0 1 0   0 0 1 1  

MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

2.11

REFERENCIAS

1.

Anton, H., "Elementary Linear Algebra", John Wiley and Sons, 5th. Ed. (1987).

2.

Aris, R., "Vectors, Tensors, and the Basic Equations of Fluid Mechanics", Englewood Cliffs, Prentice Hall (1962).

3.

Bartle, R.G., "The Elements of Real Analysis", Wiley International Edition. (1975).

4.

Chadwick, P., "Continuum Mechanics", John Wiley & Sons (1976).

5.

Halmos, P.R., "Finite-dimensional Vector Spaces",2d.Ed.Van Nostrand (1958).

6.

Hoffman K. and Kunze R., "Linear Algebra", Prentice Hall, Englewood Cliffs (1961).

7.

Leigh, D.C., "Nonlinear Continuum Mechanics", Mc Graw Hill (1968).

8.

Merrit, F.S., "Métodos matemáticos modernos en Ingeniería", Editorial Labor S.A. (1976).

9. Slattery, J.C., "Momentum, Energy and Mass Transfer in Continua", Mc Graw Hill (1972). 10. Grossman, S.I., “Algebra Lineal con Aplicaciones”. Mc Graw Hill (1992)

45

MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos

2.12

PROBLEMAS.

1) Sea V = 2 = {v = (x, y) : x, y ∈ ). Definimos la adición y multiplicación por escalares en la forma siguiente: + : V x V→V;(x,y)+(x 1 ,y 1 )=(x+x 1 ,y+y 1 ) :

x V→V;α(x,y)=(αx,y)

∀(x,y),(x1,y1)∈V, ∀α∈ Determine si V es un espacio vectorial con estas operaciones. Fundamente su respuesta. 2) Sea V un e.v., y sean las operaciones: ⊕ : V x V→V ; u ⊕ v= u - v (adición); ⊗:

x V→V ; α⊗u = -αu (multiplicación por escalares)

donde las operaciones del segundo miembro son las usuales. ¿Qué axiomas para espacios vectoriales se cumplen para V con las operaciones ⊕ y ⊗? 3) Sea V = Pn el conjunto de todas las funciones f : forma:

→

, definidas en la

f(x)=a o +a 1 x+a 2 x 2 +… +a n x n ,∀x∈ donde αo, α1, α2, ..., αn son números reales arbitrarios pero fijos (no dependen de x). Una función de este tipo se denomina polinomio (de grado . Establezca formalmente la adición de polinomios y la n) sobre multiplicación de polinomios por escalares para que Pn sea un espacio vectorial. Demuestre que Pn es un subespacio vectorial de Ro . 4) Sea V= n , n ≥ 3. Cada v ∈ n podemos denotarlo por v≡(x1,x2,…,xn). ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores en n son subespacios?:

46

a)

U={ v: x 1 ≥0}

b)

U={ v : x 1 +3x 2 =x 3 }

c)

U={ v : x 1 =x 2 }

d)

U={ v : x 1 x 2 =0}

e)

U={ v : x 1 ∈Q}, Q es el conjunto de los números racionales.

MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

5) Sea V = R el conjunto de todas las funciones f : → operaciones usuales de adición y multiplicación por escalares.

, con las

¿Cuáles de los siguientes conjuntos de funciones son subespacios de

R:

a)

U={f:f(x2)=[f(x)]2,∀x∈ }

b)

U={f: f(0)=f(1)}

c)

U={f:f(3)=1+f(-5)}

d)

U={f: f(-1)=0}

e)

U={f: f∈

f)

U={f: f∈ 1R tal que f'+2f=0,∀x∈ } (funciones continuamente diferenciables o de clase C1).

o R

}(funciones continuas)

6) Sea n ∈ N, n ≥ 2. Sea V el espacio vectorial de todas las matrices cuadradas de orden n. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de matrices A en el espacio V son subespacios?: a)

U = {A : A es inversible}

b)

U = {A : A es no inversible}

c)

U = {A : AB = BA, para alguna B ∈ V}

d)

U = {A : A2 = A}

7) Sea V = P3 , el espacio vectorial de los polinomios de grado 3. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de polinomios son subespacios de P3?: a)

U={f∈P3:a0=0}

b)

U={f∈P 3 : a 0 +a 1 +a 2 +a 3 =0}

c)

U={f∈P 3 : a 0 ,a 1 ,a 2 ,a 3 ∈ Z },

Z es el conjunto de los números enteros. d)

U={f∈P3:a2=a3=0}

8) Considere un sistema algebraico lineal de m ecuaciones en n incógnitas: A x = b

47

MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos

a 11 a 12 a a 22 A =  21 M M  a m 1 a m 2

⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅

a 1n   x1   b1     b  a2n  x ,x= 2, b= 2   M   M  M       a mn  x n  b m 

A es una matriz de orden (m x n), x de (nx1) y b de (m x 1). Demuestre que el conjunto de soluciones del sistema homogéneo A x = 0, U= {x∈ n: A x = 0} es un subespacio de n, que denominamos espacio de soluciones de A x = 0. 9) Sea V un espacio vectorial y U1 ,U2 dos subespacios de V. a) Demuestre que U3 = U1 ∩U2 es también subespacio; b) Sean U1 y U2 tales que U1 ∪ U2 es también subespacio. Demuestre que uno de los subespacios está contenido en el otro; c) Mostrando un contraejemplo, demuestre que la unión de dos subespacios no es en general un subespacio. 10) Demuestre, usando un contraejemplo, que si U es un subespacio de un espacio vectorial de dimensión infinita V, entonces no es cierto que dimU = dimV ⇔ U= V, implicación válida si V es de dimensión finita, como se vio en la sección 2.3. 11) Sea S = {v1, v2 , …, vr} un conjunto de r vectores en un espacio vectorial V. a) Demuestre que el conjunto U de todas las combinaciones lineales de vectores en S, U = {v ∈ V; v = α1 v1 +…+ αr vr ; αi ∈ } es un subespacio de V. b) Demuestre que U es el subespacio más pequeño que contiene a S, pues cualquier otro subespacio de V que contenga a S debe también contener a U. Simbolizamos a U ≡ < S> y decimos que S genera al subespacio U, o que U es generado por S. c) Sean v1 , v2 dos vectores no colineales en 3. Esquematice < S >, con S = {v1 , v2}. ¿Qué sucede si v1 y v2 son colineales, es decir v2 = αv1, para algún α ∈ ?.

48

MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS 3 12) Sea U cualquier plano que pasa por el origen en , es decir, U={ u ∈ 3 , u =(x,y,z):αx+β y+γz=0;α,β ,γ∈ }. Demuestre que U es un subespacio de 3. Demuestre el resultado equivalente para cualquier línea en 3 que pasa por el origen.

13) Sean u, v,w ∈V, con V espacio vectorial. Demuestre que el conjunto {u-v, v-w, w-u} es l.d.. 14) Sea V =

2 R

(ver capítulo 4).

a) Demuestre que con las operaciones usuales de adición de funciones y multiplicación de funciones por escalares, el conjunto V de todas las funciones de clase 2 en , constituye un espacio vectorial, el cual es un subespacio de R. b) Demuestre que las funciones f, g, h ∈ W(f, g, h), definido por: f W (f,g,h) = f'

g g'

2 R⋅

son l.i. si el Wronskiano

h h'

f'' g'' h'' no es la función nula. c) Demuestre que los conjuntos {1, x, ex} y {ex , xex , x2 ex} son l.i.. 15) Sea V un espacio vectorial generado por un conjunto finito de vectores {v1 , v2 …, vm }, m ∈ N, a) Demuestre que todo conjunto l.i. de vectores en V es finito y contiene a lo más m elementos, b) Demuestre que dos bases cualesquiera de V tienen el mismo número (finito) de vectores. 16) Demuestre que el conjunto de polinomios S = {1,x,x 2 , ... , x n } forman una base para Pn, es decir, S genera a Pn. 17) Determine una base para el espacio de soluciones del sistema: 2x 1 +2x 2 -x 3 +x 5 =0 -x 1 -x 2 +2x 3 -3x 4 +x 5 =0 x 1 +x 2 -2x 3 -x 5 =0 49

MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos

x 3 +x 4 +x 5 =0

Indicación: Demuestre que existen infinitas soluciones, las cuales pueden escribirse en forma paramétrica por:  x 1 = −s − t   x 2 = s ∀s,t∈ x 3 = − t x = 0  4  x 5 = t 18) Determine bases para los siguientes subespacios de

3

:

a) El plano de ecuación 3x-2y+5z=0 b) El plano de ecuación x-y=0 c) La línea de ecuación paramétrica x=2t,y=-t,z=4t. d) El conjunto de todos los vectores de la forma (x,y,z), con y=x+z. 19) Sea V=P n , con p,q ∈ Pn. Definamos: = ∫ ab p( x )q( x )dx a,b,∈

fijos, a define un producto interior para Pn. 20) Sea V= 3 y u =(u 1 ,u 2 ,u 3 ), v =(v 1 ,v 2 ,v 3 )∈ 3 . Determine cuáles de las siguientes funciones f : V x V→ R definen un producto interior en 3: a)

f(u,v)=u1v1+u3v3

b)

f(u,v)=u12v12+u22v22+u32v32

c)

f(u,v)=2u1v1+u2v2+4u3v3

d)

f(u,v)=u1v1-u2v2+u3v3

21) Sea V un e.v.p.i. Demuestre que:

50

a)

|u - v |= 2 ,si u y v son vectores unitarios ortogonales.

b)

| u + v | 2 +| u - v | 2 =2| u | 2 +2| v | 2 ,∀ u , v ∈V

MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

c)

u•v=

1 1 |u+v|2- |u-v|2,∀u,v∈V 4 4

22) Sea {v1, v2, v3, ... , vr} un conjunto de vectores ortogonales de a pares en un espacio vectorial con producto interior V, es decir: v i • v j =0 si i ≠ j

Demuestre el Teorema de Pitágoras generalizado: | v 1 + v 2 + … + v r | 2 =| v 1 | 2 +| v 2 | 2 + ⋅ ⋅ ⋅ +| v r | 2 23) Usando vectores geométricos en el plano, demuestre que un triángulo inscrito en un círculo, con uno de sus catetos igual al diámetro del círculo, debe necesariamente ser un triángulo rectángulo. 24) Sea V un e.v.p.i.. Demuestre que si w ∈V es ortogonal a cada uno de los vectores en S = {v1, v2, …, vr}, entonces es ortogonal a todo v ∈ < S >. 25) Use las desigualdades de C-S-B y del triángulo para demostrar que: a) b)

(αcosθ+β senθ)2 ≤ α2 + β 2, ∀α,β ,θ∈

[∫ f (x ) g(x )dx ] ≤ [∫ f (x )dx ] [∫ g (x )dx ] [∫ [f (x ) + g(x )] dx ] ≤ [∫ f (x )dx ] + [∫ g (x )dx ] 2

1 o

2

1 o

1 2 o

1/ 2

1 o

1 2 o

2

1/ 2

1 o

2

1/ 2

∀f, g∈ º[0,1]

26) Sea V un e.v.p.i. y S = {e1, e2, ⋅ ⋅ ⋅ , er} un conjunto ortonormal de vectores en V. Si W = < S >, demuestre que todo v ∈ V puede descomponerse en la forma: v=w1+w2

donde w1 ∈ W y w2 es ortogonal a W, esto es: r

w1=

∑ (v

•

ei )ei

i =1

r

w2=v-

∑ (v

•

ei )ei

i =1

Demuestre que w1 es la mejor aproximación a v ∈ V, en el sentido que: 51

MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos

| v - w 1 | ⊆ (S⊥)⊥ , es decir, (S⊥)⊥ contiene al subespacio generado por S. Si V es de dimensión finita demuestre que ⊥ ⊥ (S ) = < S >. c)

Sea V = º[-1,1], con el producto interior definido por: < f, g> = ∫ −11 f (t) g(t) dt , ∀ f, g ∈ Co−1,1

52

MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

demuestre que el conjunto U de las funciones impares en [-1,1] es un subespacio de V. Encuentre U⊥ , el complemento ortogonal de U. 31) Sea V un e.v.p.i. de dimensión finita, dimV = n. Sea {v1, v2, … , vn} una base para V. a) Sean: e 1=

v1 v1

w2=v2-(v2• e1)e1,e2=

w2 w2

w3=v3-(v3• e1)e1 -(v3• e2)e2,e3=

w3 w3

• • •

en=

wn wn

Demuestre que el conjunto {e1,e2, … , en} es una base cartesiana para V. Este procedimiento, que genera una base cartesiana a partir de una base cualquiera para un e.v.p.i. de dimensión finita, se denomina Proceso de Ortonormalización de Gram-Schmidt, y asegura que todo e.v.p.i. de dimensión finita tiene al menos una base ortonormal. b) Sea V = 2 , i = (1,0) , j= (0,1). Demuestre que {2i-j , i+j} es una base para 2. Encuentre la base cartesiana asociada por el Proceso de GramSchmidt. 32) Sea V un e.v.p.i. Sean a,b,c1 ,c2 ∈ V y α1 , α2 , β 1 , β 2 ∈ Determine los vectores u, v ∈ V que satisfacen el sistema:

, todos fijos.

α 1 u +β 1 ( v • b ) a = c 1 α 2 ( u • b ) a +β 2 v = c 2

53

MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos

33) Sea V un e.v.p.i. Sean a, b ∈ V y α∈ , todos fijos y α ≠ 0. Demuestre que el vector (único) v ∈ V que cumple la ecuación: αv+vxa=b está dado por: v =

α 2 b − α (b x a ) + ( a • b ) a α (α 2 + a ) 2

34) Sea S ⊂ . Si S es acotado superiormente, decimos que una cota superior de S es un supremo ( o menor cota superior) de S si es menor que cualquier otra cota superior de S. Es decir, x∈ es un supremo del subconjunto propio S de si: i)

y≤x, ∀y∈S;

ii)

Si z∈ R, tal que y≤z, ∀y∈S ⇒ x≤z. Considere V= por:

n

n

, con las funciones || ||1 y || ||∞ :

→

, definidas

||u||1=|x1|+|x2|+…+|xn| ||u||∞=sup{|x1|,|x2|, …,|xn|} ∀u=(x1,x2 ,…,xn)∈

n

a) Demuestre que las funciones || • ||1 y || • ||∞ son normas para

n

.

b) Demuestre que: |u • v |≤|| u || 1 || v || 1 |u • v |≤|| u || ∞ || v || ∞ , ∀ u , v ∈

n

c) Si u, v ∈ Rn , entonces ¿Es verdad que || u + v ||=|| u ||+|| v ||⇔ u =α v ó v= α u ,α∈

,

para cualquiera de las dos normas definidas antes?. 35) Considere el espacio de puntos Euclideano E3, con espacio de traslaciones V. Sea BT = [e1 e2 e3] una base cartesiana de E3. Considere sobre V el producto interior canónico. Sean u = e 1 - e 2 +2 e 3 , v =3 e 1 - e 2 + e 3 54

MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

a) Encuentre u+v, u-v, |u+v|, |u-v|, |u|, |v|, u•v; b) Verifique las desigualdades de C-S-B y del triángulo para estos casos particulares. 36) Sea E un espacio de puntos tridimensional, con V su espacio de traslaciones con producto interior. a) Demuestre que: i) | u + v | 2 +| u - v | 2 =2| u | 2 +2| v | 2 ,∀u,v∈V ii) | u + v| | u - v |≤| u | 2 +| v | 2 ,∀ u , v ∈V iii) |u + v| | u - v |=| u | 2 +| v | 2 ⇔ u • v =0 b) Sea E = E2 = 2. Interprete geométricamente los resultados de la parte a). (Indicación: Considere los paralelógramos cuyas aristas coinciden con los vectores u, v y cuyas diagonales coinciden con los vectores u + v y u - v ). 37) Sea E = E 3 = E.

3

y sean X=(1,0,1), Y=(1,1,1) y Z=(2,0,1) tres puntos de

a) Encuentre los siguientes vectores geométricos: →

→

→

u={ XY }, v={ YZ }, w={ XZ }

b) Encuentre los vectores espaciales: u + v , w - v , w - u c) Encuentre los puntos: X+ u ,X+ v ,X+ w ; d) Calcule las distancias entre puntos: d (X,Y ),d(X,Z )yd (Y,Z ); e) Verifique las desigualdades de C-S-B y del triángulo usando los vectores u y v; 38) Determine el ángulo entre la diagonal de un cubo y una de sus aristas. 39) Sea E =

3

. Sean X=(2,1,-1) e Y=(1,2,1). Encuentre un vector →

→

geométrico perpendicular a los vectores { OX } y { OY }. 40) Encuentre la ecuación del plano perpendicular al vector v =4 i +2 j + k ∈V, V el espacio de traslaciones de E3, y que pasa por el punto P(1,2,3). 41) Sean B y B’ una base y su base recíproca, respectivamente. Demuestre que:

55

MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos

a) Una base tiene una única base recíproca b) La base original es recíproca a su base recíproca c) El volumen [a,b,c] del paralelepípedo formado por los vectores base de la base original es el inverso del volumen [a’,b’,c’] del paralelepípedo formado por los vectores base de la base recíproca. 42) Sea V el espacio Euclideano tridimensional, y BT = [i j k] la base canónica para V. Considere:     B1 =     

 (i − j) 2   i+j  1  (i + j)  y B 2 =  i − j  2  i + j + k  k   

1

a) Demuestre que B1 es una base cartesiana para V (derecha), mientras B2 es una base oblicua, b) Determine la base dual de B2 y expanda v = i+2j+k en términos de B2 y de su base dual B '2

c) Encuentre la matriz de transformación asociada con las bases B y B1 y verifique su ortogonalidad, d) Usando el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt construya una base cartesiana a partir de B2. 43) Considere E3. Sean X = (1,1,-1), Y = (2,-1, 1) y Z = (-1,1,1). a) Encuentre los vectores de posición de los tres puntos dados; b) Calcule la distancia entre los puntos X e Y, X y Z, e Y y Z; c) Calcule los ángulos del triángulo cuyos vértices están dados por X, Y, Z, y las aristas del mismo triángulo. 44) Los vectores de posición r de los puntos ubicados sobre una recta que pasa por el punto de vector de posición ro y orientada paralelamente al vector unitario e están dados por la ecuación r = ro + αe , ∀ α ∈ . Demuestre que la ecuación de la recta perpendicular a la recta anterior y que pasa por un punto r1 no perteneciente a la primera recta, es dada por 56

MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

r = r 1 +α[ e x ( r 1 - r o )] x e ,∀α∈

.

45) Demuestre que la distancia (menor) desde un punto X a la recta que une los puntos Y y Z está dada por: h=

(X − O) x (Y − O) + (Y − O) x (Z − O) + (Z − O) x (X − O) Y−Z

46) Verifique que r = r o +α s -β t, ∀α,β∈ fijos, representa un plano.

y donde ro , s, t ∈V son vectores

47) Determine las matrices de transformación que representan una rotación de bases en un ángulo θ con respecto al eje x1, al eje x2 y al eje x3, en sentido positivo (antihorario). 48) Sea V un e.v.p.i., a ∈ V, fijo , a ≠ 0 y α ∈ solución de la ecuación vectorial:

, fijo. Demuestre que la

v • a =α está dada por:

v=

α a

2

a +b x a

siendo b un vector arbitrario. Es decir, la ecuación vectorial tiene infinitas soluciones. 49) Sea V un e.v.p.i. y sean a, b ∈ V, fijos, a ≠ 0 . Demuestre que la solución de la ecuación vectorial:

vxa=b está dada por:

v=

1

a

2

a + b + αa ,α ∈

arbitrario.

Es decir, la ecuación vectorial tiene infinitas soluciones. 50) Sea V un e.v.p.i.. Sean a , b , c , d ∈V, todos fijos y a , b , d ≠ 0 . Demuestre que la solución de la ecuación vectorial:

v x d -( b • v ) a = c está dada por: 57

MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos

v=

 1  (c • d ) (a x b − d)+b x c  b • d  (a • d ) 

¿Qué sucede si b • d = 0 ó a • d = 0? 51) Sea V un e.v.p.i., y sean a , b , c , d ∈V, a , b , c ≠ 0 y α∈ , fijo, α ≠ 0. Demuestre que la solución de la ecuación vectorial. αv + v x a + (b • v) c = d , con

v •a = 0

está dada por:

v=

  (d • a) ( α c − c xa )  α d − d x a − (c • a) α +a   1

2

2

con c • a ≠ 0 . ¿Qué sucede si a y c son ortogonales? . 52) Considere la rotación un ángulo θ por la regla de la mano derecha de un vector x a un vector y, siendo e un vector unitario en la dirección del eje de rotación. a)

Demuestre que: y-x =-(1-cosθ)[ x -( x • e ) e ]+senθ( e x x )

b)

Demuestre que para ángulos de rotación pequeños:

y - x = θ x x , donde θ = θ e c) De acuerdo a la parte b), ¿Cuál es el resultado de dos rotaciones sucesivas pequeñas?, ¿Qué implica esto acerca de la posibilidad de especificar rotaciones pequeñas usando un vector? d) ¿Cuán pequeño debe ser θ para que la fórmula de la parte b) tenga por lo menos 10% de exactitud?. 53) Explique por qué la definición geométrica usual para el módulo del producto vectorial entre dos vectores u y v (2.9-10) da como resultado un vector (| u x v |=| u || v |senθ). Explique por qué la definición no dará un vector si la magnitud |u x v| se substituye por |u| |v| cosθ ó |u| |v| sen 2θ. Refuerze su discusión con cálculos detallados. 54) Demuestre que el volumen de un tetraedro (no necesariamente regular) cuyas aristas coterminales coinciden con los vetores u, v, w es igual a

58

MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

1 u × v • w . Demuestre que las áreas vectoriales de las cuatro caras están 6 dadas por:

S1 =

1 1 ( v × w ) , ..... , S 4 = (u − v) × (w − v ) 2 2

Demuestre, finalmente, que S1 + S2 + S3 + S4 = 0. 55) Demuestre que

u× v•n

es el área del paralelogramo cuyos lados

coterminales coinciden con los vectores u y v y está proyectado sobre un plano perpendicular a n. 56) Dados los vectores fijos a, b y c, encuentre el vector v que satisface: v × b = c × b,

v•a = 0

tal que a • b ≠ 0 . ¿Es la solución encontrada única?

57) Un espacio vectorial n-dimensional V es generado por el conjunto de vectores base {k1, k2, ..., kn} (ver problema 11). En el espacio de puntos Euclideano correspondiente En se define el sistema de coordenadas {y1, y2, ..., yn}, de tal manera que el vector r que une el origen con el punto de coordenadas (y1, y2, ..., yn) queda expresado por r = yiki. Dado un nuevo sistema de coordenadas {x1, x2, ..., xn}, tal que existe una única transformación invertible: xi = xi (y1, y2, ..., yn) ,

i=1, n

demuestre que los n vectores: ei =

∂v ∂x i

constituyen también una base para V. 58) Encuentre la solución general de las siguientes ecuaciones vectoriales, donde x (x e y) es(son) el(los) vector(es) incógnita(s): a) αx • x + b • x + γ = 0 , b) x • x + y • y = 0 c) αx + βy = d ,

x•y = γ

59

MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos

d) αx + βy = d ,

x×y =c

donde α, β, γ son escalares (reales) fijos y b, c, d son vectores fijos. 59) Usando vectores, demuestre que: a • u a • v a • w  [a, b, c][u, v, w ] = det b • u b • v b • w   c • u c • v c • w  60) Sea V el espacio Euclideano tridimensional, y BT = [i j k] la base canónica para V. Considere:

1   2 ( 3 i + j)   i+j    1   (−i + 3 j) y B 2 =  i − j  B1 = 2  i + j + k    -k     a) Demuestre que B1 es una base cartesiana para V (señale si es derecha o izquierda), mientras B2 es una base oblicua, b) Determine la base dual de B1 y de B2 y expanda v = i+j+2 k en términos de B2 y de su base dual 61) Sea V el espacio Euclideano tridimensional e [i j k]T la base canónica para V. Considere:  i − j B =  j − k   i + k  a) Demuestre que B es una base oblicua para V, b) Determine la base dual de B y expanda el vector v = 3i+2j+k en términos de B y de su base dual c) Determine las matrices métricas [gij] y [gij] 62) Sea V el espacio Euclideano tridimensional. Considere:

60

MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

e1*   e1      B =  e 2  y B * = e*2  e *   e 3   3 dos bases (cartesianas), donde la base B* se obtuvo a partir de la base B, mediante un giro de ésta de 30º, en sentido antihorario y con respecto al eje x 3. a) Calcule la matriz de transformación [Q] y verifique por cálculo directo su ortogonalidad, b) Exprese v = 3e1+5e2+6e3 en términos de B* 63) Sea V el espacio Euclideano tridimensional, y BT = [i j k] la base canónica para V. Considere:   1 ( i + j)   2   i − j  1  B1 =  (−i + j + 2k ) y B 2 =  j + k   6   i + k   1  (i − j + k )    3  a) Demuestre que B1 es una base cartesiana para V (señale si es derecha o izquierda), mientras B2 es una base oblicua, b) Determine la base dual de B2 y expanda v = i+2j+k en términos de B2 y de su base dual c) Encuentre la matriz de transformación asociadas con las bases B y B1 y verifique su ortogonalidad d) Usando el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt construya una base cartesiana a partir de B2. 64) Sea V el espacio Euclideano tridimensional y BT = [i j k] la base canónica para V. Sean: u = 4i - 2j + 3k,

v = 2i + 7j + k

y w = 5i - 2j + 7k, 61

MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos

tres vectores. Calcule los valores de las siguientes operaciones: a) u • v, u • w y v • w, b) u × v, u × w, v × w, v × u, w × u y w × v, c) (u × v) × w y u × (v× w) d) [u , v , w ], [u , w , v ], [w , v , u ], [w , u , v ] y [v , w , u ] e) el volumen del paralelepípedo formado por u, v y w f) el área de los paralelogramos generados por u y v, v y w, u y w g) (u × v) × (u× w)

62