Mecânica dos Fluidos(Fórmulas)

RESUMO DAS FÓRMULAS – MECÂNICA DOS FLUIDOS CAPÍTULO 2 2.4 Viscosi Viscosidade dade 2.4.1 Fluido Newtoniano τyx = µ

du

(2.10)

dy

2.4.2 Fluido Não-Newtoniano n

τyx

 du   = κ       dy  

(2.11)

CAPÍTULO 3 Estática dos Fluidos −gradp + ρ g  =0

−

∂ p + ρ g x  = 0 ∂ x 

− ∂ p +  ρ g y  = 0 ∂y  −

(3.3)

(3.4)

∂ p + ρ g z  = 0 ∂z 

dp = −ρg ≡ −γ  dz

3.5.1 Força Hidrostática sobre uma Superfície Plana Submersa

(3.6)

FR = ∫ A (3.10)

r  '×F R 

−pd A

= ∫ r  ×d F  = −∫ r  × pd  A

(3.11)

3.5.2 3.5.2 Força Força Hidro Hidrostát stática ica sobre sobre uma uma Super Superfíc fície ie Curva Curva Submer Submersa sa Fz

= − ∫ Az ρghdA z = − ∫ ∀ ρgd∀ = −ρg∀

3.6 Empu Empuxo xo e Esta Estabi bili lidad dadee F z  = ∫ dF z  = ∫ ∀  ρ gd ∀ = ρ g ∀ (3.15)

3.7 Fluidos em Movimento de Corpo rígido

−

∂ p +  ρ g  x  =  ρ a x  ∂ x 

−

∂ p +  ρ g y  =  ρ ay  ∂ x 

−

∂ p + ρ g z  =  ρ az  ∂ x 

(3.17)

∇ = êr 

∂ ∂ ∂ + ê θ 1 + kˆ r  ∂θ ∂r  ∂z

gradp

= ∇p = êr 

∂p 1 ∂p ˆ ∂p + êθ +k ∂r  ∂z r  ∂θ

(3.19)

CAPÍTULO 4 4.1 Leis Básicas para um Sistema 4.1.1 A Conservação da Massa dM =0 dt sistema M sistema

= ∫ massa(sistema) dm = ∫ ∀( sistema) ρd∀

(4.1a)

(4.1b)

4.1.2 A Segunda Lei de Newton 

F

=

dP dt sistema

(4.2a)

Psistema = ∫ massa (sistema ) Vdm = ∫ ∀( sistema ) Vρd∀

(4.2b)

4.1.3 O Princípio do Momento da Quantidade de Movimento 

T

=

dH dt sistema

(4.3a)

T = r  × Fs + ∫ massa (sistema ) r  × gdm + Teixo

(4.3c)

4.1.4 A Primeira Lei da Termodinâmica  −W  = Q

dE dt sistema

E sistema

= ∫ massa(sistema) edm = ∫ ∀( sistema) eρd∀

e =u+

V2 + gz 2

(4.4a)

(4.4b)

(4.4c)

4.1.5 A Segunda Lei da Termodinâmica dS ≥

δQ T

dS dt sistema

S sistema

≥

1  Q T

(4.5a)

= ∫ massa( sistema) sdm = ∫ ∀(sistema) sρd∀

(4.5b)

4.2 A Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para Volume de Controle 4.2.2 A Interpretação Física dN dt

4.3

= sistema

∂ ∫  ηρd∀ + ∫ SC ηρV ⋅ dA ∂t VC

(4.11)

A Conservação da Massa 0

= ∂ ∫ VC ρd∀ + ∫ SC ρV ⋅ dA ∂t (4.13)

4.4

A Equação da Quantidade de Movimento para um Volume de Controle Inercial F

= Fs + FB =

∂ ∫  Vρd∀ + ∫ SC VρV ⋅ dA ∂t VC

(4.18)

4.5

Equação da Quantidade de Movimento para um Volume de Controle sob Aceleração Retilínea F

= Fs + FB = (4.27)

∂ ∫  ∂t VC

Vxyz ρd∀ + ∫ SC Vxyz ρVxyz ⋅ dA





F s

+ F B − ∫ VC  arf  ρ d ∀ = 

∂ ∫  V   ρ d ∀ + ∫ SC  V  xyz  ρ V  xyz  ⋅ d  A ∂t  VC   xyz  







(4.34)

4.6

Equação da Quantidade de Movimento para um Volume de Controle sob Aceleração Arbitrária

Fs + FB − ∫ VC [a rf  + 2ω × Vxyz + ω × ( ω × r ) + ω × r ]ρd∀ = 













∂ ∫  V ρd∀ + ∫  V ρV ⋅ dA SC xyz xyz ∂t VC xyz (4.45)

4.7.2 Equação para Volume de Controle Rotativo r  × FS + ∫ VC r  × gρd∀ + Teixo − ∫ VC r  × 2ω × Vxyz + ω × ( ω × r ) + ω × r  ρd∀

=

∂ ∫  r  × Vxyz ρd∀ + ∫ SC r  × Vxyz ρVxyz ⋅ dA (4.53) ∂t VC 



4.8.2 Equação do Volume de Controle Q − WS 



− Wcisalhamen 

to

− Woutros = 

    ∂ V2 ∫ VC eρd∀ + ∫ SC u + pυ + + gz    ρV ⋅ dA ∂t 2     



(4.57)

4.9 A Segunda Lei da Termodinâmica ∂ ∫  ∂t  VC 





s ρ  d ∀+∫ SC  s ρ  V  ⋅ d  A

≥ ∫ SC 

  .   Q     dA T   A          1

(4.59)

CAPÍTULO 5 Introdução à Análise Diferencial dos Movimentos dos Fluidos 5.1 A CONSERVAÇÃO DA MASSA

5.1.1 Sistema de Coordenadas Retangulares ∂ρu ∂ρυ ∂ρw ∂ρ + + + =0 ∂x ∂γ  ∂z ∂t

(5.1a)

∇ ⋅ ρV + ∂ρ = 0 ∂t 

(5.1b)

5.1.2 Sistema de Coordenadas Cilíndricas 1 ∂( r ρVr  ) 1 ∂( ρVθ ) ∂( ρVz ) ∂ρ + + + =0 r  ∂r  r  ∂θ ∂z ∂t (5.2)

5.3.1 Aceleração de uma Partícula Fluida num Campo de Velocidade DV Dt

≡ a p =u 

∂V ∂ ∂ ∂ +υ V +w V + V ∂x ∂y ∂z ∂t

(5.9) a xp

= Du = u ∂u + υ ∂u + w ∂u + ∂u ∂x ∂y ∂z ∂t Dt

a yp

=

Dυ Dt

=u

∂υ ∂υ ∂υ ∂υ +υ +w + ∂x ∂y ∂z ∂t

(5.11b)

a zp

=

Dw Dt

=u

∂w ∂w ∂w ∂w +υ +w + ∂x ∂y ∂z ∂t

(5.11c)

∂Vr  Vθ ∂Vr  Vθ2 ∂V ∂V ar p = Vr  + − + Vz r  + r  r  ∂θ r  ∂r  ∂z ∂t

(5.11a)

(5.12a)

a θp = Vr 

∂Vθ Vθ ∂Vθ Vr Vθ ∂V ∂V + + + Vz θ + θ r  ∂θ ∂r  ∂z ∂z ∂t

(5.12b)

a zp = Vr 

∂Vz Vθ ∂Vz ∂V ∂V + + Vz z + z ∂r  ∂z ∂t r  ∂θ

(5.12c)

5.3.2 Rotação dos Fluidos ω = ˆi ωx +  jˆ ωy + kˆωz

 ∂υ   ˆ ∂u ∂w   ˆ   ∂υ ∂u   1   ∂w    ω = ˆi ωx +  jˆ ωy + kˆωz = ˆi  −   + − + −  j k       2    ∂y ∂z      ∂z ∂x    ∂x ∂y   

(5.13)

5.3.3 Deformação dos Fluidos dγ  ∂υ ∂u dα dβ + =− = + ∂x ∂y dt dt dt

(5.19)

5.4 Equação da Quantidade de Movimento 

dF

= dm

DV Dt

 ∂V ∂V ∂V ∂V  = dm u +υ +w + ∂y ∂z ∂t   ∂x

 

∂σ

∂τ

∂τ  

 

∂τ xy

∂σyy

∂τzy      dxdydz  

yx + zx   dFx = dFB x + dFS x =  ρg x + xx +  dxdydz ∂ ∂ ∂ x y z    

+ + dFy = dFB y + dFS y = ρg y + ∂x ∂y ∂z    

∂τ

 

∂τ ∂σ yz + zz   dFz = dFB z + dFSz =  ρg z + xz +  dxdydz ∂ ∂ ∂ x y z    

(5.22)

(5.23a)

(5.23b)

(5.23c)

5.4.2 Equação Diferencial da Quantidade de Movimento ρg x +

∂σxx ∂τyx ∂τzx  ∂u ∂u ∂u ∂u   + + = ρ + u + υ + w   ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z     ∂t  

(5.24a)

ρg y +

∂τxy ∂σyy ∂τzy  ∂υ ∂υ ∂υ ∂υ   + + = ρ + u + υ + w   ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z     ∂t  

(5.24b)

ρg z +

∂τ xz ∂τ yz ∂σzz + + ∂x ∂y ∂z

(5.24c)

 ∂w ∂w ∂w w ∂w     ρ +u +υ + ∂x ∂y ∂z     ∂t  

5.4.3 Fluidos Newtonianos : a Equação de Navier-Stokes

ρ

ρ

ρ

Du Dt

Dυ Dt

Dw Dt

= ρg x −

 ∂   ∂u ∂υ   ∂   ∂w ∂u   ∂p ∂    ∂u 2 + µ 2 − ∇ ⋅ V   −     + µ +    + µ ∂x ∂x    ∂x 3   ∂y   ∂y ∂x     ∂z   ∂x ∂z  

(5.26a)

= ρg y −

  ∂   ∂υ ∂w   ∂p ∂    ∂u ∂υ   ∂    ∂υ 2    2 V + µ +   + µ − ∇ ⋅      + ∂z µ ∂z − ∂y     ∂y ∂x   ∂y ∂x     ∂y    ∂y 3       

(5.26b)

= ρg z −

 ∂    ∂w 2 ∂p ∂   ∂w ∂u   ∂    ∂υ ∂w       + µ +   + µ − + µ − ∇ ⋅ 2 V    (5.26c)   ∂z ∂x    ∂x ∂z   ∂y   ∂z ∂y       ∂z    ∂z 3







 ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u    ∂u ∂ u u u   p ∂ ∂ ∂ ρ + u + υ + w    = ρg x − ∂x + µ ∂x 2 + ∂y 2 + ∂z 2     ∂ ∂ ∂ ∂ t x y z        

(5.27a)

 ∂υ ∂p   ∂υ ∂υ ∂υ   ∂ 2 υ ∂ 2 υ ∂ 2 υ    ρ + u + υ + w   = ρ − + µ + 2 + 2   g y   2  ∂x ∂y ∂z   ∂y ∂y ∂z     ∂t  ∂x  

(5.27b)

 ∂ 2 w ∂ 2 w ∂ 2 w    ∂w ∂w ∂w ∂w   ∂p  2 + 2 + 2     g ρ +u +υ +w = ρ − + µ z  ∂x ∂x ∂y ∂z   ∂z ∂y ∂z     ∂t      

(5.27c)

CAPÍTULO 6 6.1 Equação da Quantidade de Movimento para escoamento sem atrito : As Equações de Euler

ρg x −

 ∂ ∂p ∂ ∂ ∂   = ρ u + u u + υ u + w u   ∂x ∂x ∂y ∂z    ∂t  

(6.1a)

ρg y −

 ∂υ ∂p ∂υ ∂υ ∂υ    = ρ + u +υ +w ∂y ∂x ∂y ∂z    ∂t  

(6.1b)

ρg z −

 ∂w ∂p ∂w ∂w ∂w     = ρ +u +υ +w ∂z ∂x ∂y ∂z     ∂t  

(6.1c)

DV

ρg − ∇p = ρ 

− g∇z −

g r  −

1

ρ

(6.2)

Dt

∇p =

DV Dt

=

∂V + (V ⋅ ∇)V ∂t 



(6.3)

∂V ∂V V ∂V ∂V V 2 1 ∂p = a r  = r  + Vr  r  + θ r  + Vz r  − θ r  ∂θ r  ρ ∂r  ∂t ∂r  ∂z

(6.4a)

gθ −

∂V ∂V ∂V V ∂V VV 1 ∂p = a θ = θ + Vr  θ + θ θ + Vz θ + r  θ ρr  ∂θ ∂t ∂r  ∂z r  ∂θ r 

(6.4b)

gz −

V ∂V ∂V ∂V ∂V 1 ∂p = a z = z + Vr  z + θ z + Vz z ρ ∂z ∂t ∂r  ∂z r  ∂θ

(6.4c)

6.2 As Equações de Euler em Coordenadas de Linhas de Corrente − 1 ∂p − g ∂z = ∂V + V ∂V ρ ∂s ∂s ∂t ∂s

(6.5a)

∂z V 2 = ∂n R

(6.6a)

1 ∂p ρ ∂n

+g

6.3.1 Dedução com o Emprego de Coordenadas de Linha de Corrente

p

ρ

+

V2 + gz = cons tan te 2

(6.9)

6.3.3 Pressões Estática, de Estagnação e Dinâmica V 02

V2 + = + ρ 2 ρ 2

p0

p0 = p +

p

; onde :

V 02 2

=0

1 2 ρV 2

(6.12)

CAPÍTULO 7 7.2 O Teorema dos PI de BUCKINGHAM g( q1, q 2 , , q n )

=0

G( π 1, π 2 , , π n−m )

=0

7.4 Grupos Adimensionais de Importância na Mecânica dos Fluidos

Re

Re

=

ρVD VD = µ v

= ρVL = VL v µ

Eu =

Fr 

We

∆p 1 ρV 2 2

M

=

=

=

ρV 2L σ

V c

V gL

7.5.2 Lei das Escalas com Parâmetros Múltiplos Dependentes Q1 D13

ω1

H1 2

ω1

D12

ω2

3

D15

(7.3)

D 32

H2

=

℘1 ρ 1ω1

Q2

=

2

ω2

=

(7.4)

D 22

℘2 3

ρ2ω2

D 52

(7.5)

CAPÍTULO 8 Escoamento Viscoso, Incompressível, Interno ∇=

L D

1 ∫  udA A Área

≅ 0,06

ρVD μ

(8.1)

8.2 Escoamento Laminar Inteiramente Desenvolvido entre Placas Paralelas Infinitas

8.2.1 Ambas as Placas Estacionárias 2 ∂p   y    y     u=      −    2μ  ∂x   a    a   

a

2

(8.5)

Vazão em Volume Q ∂p   = ∫ a0 1     ( y 2 − ay )dy l 2μ  ∂x  

Q l

=−

1 12 μ

 ∂p  a 3     ∂x  

(8.6b)

Vazão em Volume como Função da queda de Pressão Q l 

=−

1 − ∆ p  3 a 12  µ    L 

=−

a3 ∆ p 12 µ L

(8.6c)

8.2.2 Placa Superior Movendo-se com Velocidade Constante, U

u=

Uy a

2 ∂p   y    y     +      −    2µ  ∂x   a    a   

a2

Vazão em Volume Q l 

Uy  1  ∂ p    2  = ∫ 0a  +    y  − ay    dy     a 2 µ   ∂ x    

8.3 Escoamento Laminar Inteiramente Desenvolvido Dentro de um Tubo

(8.8)

∂p     r   2    u=   1 −     4µ  ∂x     R    R2

(8.12)

Vazão em Volume como Função da Queda de Pressão πR 4  − ∆p  π∆pR 4 π∆pD 4 = = Q =− 8µ  L  8µL 128 µL

(8.13c)

8.4 Distribuição de Tensão de Cisalhamento no Escoamento Inteiramente Desenvolvido em Tubos τ = µ d u − ρu' υ'

(8.17)

τ du = ν − u' υ' ρ dy

(8.18)

dy

8.5 Perfis de Velocidade Turbulenta no Escoamento Inteiramente Desenvolvidos em Tubos u

yu *

u+

=

u u*

= 2,5 ln

u U

u*

=

 ν yu*

1/ n

y   =       R  

 ν

= y+

(8.19)

+ 5,0

(8.20)

1/ n

r    =   1 − −   R    

8.6 Considerações de Energia no Escoamento em Tubos

(8.22)

8.6.1 Coeficiente de Energia Cinética ρ ∫  α=

3

V dA

A

mV 2 

(8.25b)

8.6.2 Perda de Carga 2  p1      + α 1 V1 + gz 1  −  p 2 + α 2 ρ    ρ 2      

V22 2

  + gz 2    = h lT  

(8.28)

Escoamento Turbulento

hl

= f 

L V2 D 2

f la min ar 

=

(8.32)

64 Re

(8.33)

1 f 0,5

eD   = −2,0 log  + 2,51      3,7 Re f 0,5  

  e D 5,74   f 0 = 0,25log + 0,9   3 , 7 Re     

(8.37a)

−2

CAPÍTULO 9 Escoamento Viscoso, Incompressível, Externo

(8.37

9.2 Espessura da Camada - Limite δ *

  u      u    = ∫ 0∞ 1 −  dy  ≈ ∫ 0δ 1 −  dy    U      U   

(9.1)

9.3 Camada – Limite Laminar em Placas : A Solução Exata

τw = 0,332 U ρµU

C f 

=

τw 1 ρU 2 2

=

x

= 0,332 ρU

2

Re x

(9.14)

0,664 (9.15)

Re x

9.5.2 Escoamento Turbulento 1

1 u  y   7 =    = η 7 U  δ  

C f  =

τw 1 2 ρU 2

=

(9.24)

0,0594 1

Re x 5

9.5.3 Escoamento de Fluidos ao redor de Corpos Submersos dFcisalhamen

dFpressão

to

= τw dA

= −ρdA

(9.27)

9.7 Arrasto

CD ≡

FD 1 2 ρV A 2

(9.30)

9.8 Sustentação

CL ≡

FL 1 2 ρV A P 2

(9.38)