dos mecanica mecanica dosdos fluidos fluidos23/06/00 23/06/0016:54 16:54Page Page I I
Fluido
MECÂNICA MECÂNICA Fluidos dos DOS FLUIDOS MECÂNICA DOS FLUIDOS 4.ª Edição
4.ª Edição
Luis Adriano Oliveira António Gameiro Lopes
Luis Adriano Oliveira Luis Adriano Oliveira António Gameiro Lopes
António Gameiro Lopes
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Actualizada e Aumentada
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Mecânica dos Fluidos
⎞⎤ ∂p ∂ ⎡ ⎛ ∂v 2 ⎛ ∂v ⎞ + V .grad v ⎟ = f c y − + ⎢ μ ⎜ 2 − divV ⎟ ⎥ + ∂y ∂y ⎣ ⎝ ∂y 3 ⎝ ∂t ⎠ ⎠⎦
ρ⎜
∂ ⎡ ⎛ ∂v ∂w ⎞ ⎤ ∂ ⎡ ⎛ ∂u ∂v ⎞ ⎤ + ⎢μ ⎜ + + ⎟⎥ ⎟⎥ + ⎢ μ ⎜ ∂z ⎣ ⎝ ∂z ∂y ⎠ ⎦ ∂x ⎣ ⎝ ∂y ∂x ⎠ ⎦ ∂p ∂ ⎡ ⎛ ∂w 2 ⎛ ∂w ⎞ ⎞⎤ + V .grad w ⎟ = f cz − + ⎢μ ⎜ 2 − divV ⎟ ⎥ + ∂z ∂z ⎣ ⎝ ∂z 3 ⎝ ∂t ⎠ ⎠⎦
(4.40.(b))
ρ⎜
∂ ⎡ ⎛ ∂u ∂w ⎞ ⎤ ∂ ⎡ ⎛ ∂v ∂w ⎞ ⎤ + ⎢μ ⎜ + + ⎢μ ⎜ + ⎟⎥ ∂x ⎣ ⎝ ∂z ∂x ⎟⎠ ⎥⎦ ∂y ⎣ ⎝ ∂z ∂y ⎠ ⎦
(4.40.(c))
As igualdades (4.40) representam as conhecidas equações de Navier-Stokes, aqui referidas a um sistema de coordenadas cartesianas. Usando notação vectorial (válida, portanto, para qualquer sistema de coordenadas), as expressões (4.40.(a/c)) podem ser condensadas numa única (cf., para a simbologia usada, anexo A1 ):
ρ
⎡ ∂V ⎤ DV =ρ⎢ + V .grad V ⎥ = f c − grad p + divτ ij Dt ⎣ ∂t ⎦
(
)
(4.40.(d))
em que as componentes do tensor τ ij são dadas por (4.36), tendo em atenção (4.38). Se, como aqui, apenas for considerada a contribuição do campo gravítico para as forças de corpo, então f c = f grav = ρ g . Caso, além disso, as propriedades ρ e μ possam ser consideradas constantes, então (4.40.(d)) assume a forma já avançada em (2.14), que aqui se recorda:
⎡ ∂V
⎤ + V . grad V ⎥ = − grad p + ρ g + μ ∇ 2V ⎣ ∂t ⎦
ρa =ρ⎢
(
)
(4.40.(e))
A versão correspondente a (4.40.(e)), referida a um sistema de coordenadas cilíndricas, poderá ser consultada no anexo A1 . Em resumo, as equações de Navier-Stokes traduzem, para a unidade de volume de um fluido em escoamento, um balanço entre o produto da sua massa pela correspondente aceleração (ou seja, da sua taxa de variação da quantidade de movimento), por um lado, e o conjunto das forças (de corpo, de pressão e de atrito viscoso) a que a mesma se encontra sujeita, por outro. Trata-se, pois, da representação, sob forma diferencial, da lei de conservação da quantidade de movimento. A formulação equivalente da conservação de energia será objecto da próxima secção.
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Mecânica dos Fluidos
V
laser
V
4
t
1
7 2
3
5
6
FIGURA 5.7 – Anemometria laser de efeito Döppler.
A figura 5.7 esquematiza a cadeia de medição. Assim, o feixe emitido pela unidade laser (1) é separado em dois feixes de igual intensidade, numa unidade óptica que se designa por divisor de feixe (2). Ao atravessarem a unidade óptica de focagem (3), os dois feixes paralelos, resultantes de (2), são levados a convergir no volume de medida (4). A informação proveniente do volume de medida envolve ondas de frequência distinta: a que incide sobre a partícula (não perturbada) e a que é por ela difundida (esta sim, afectada pelo efeito Döppler, decorrente da sua velocidade). Ambas são captadas pelo sistema óptico (5) e aí feitas convergir para o fotodetector (6), que compara e detecta a diferença das duas frequências acima referidas, num processo que se designa por heterodinagem. Essa diferença é directamente proporcional ao módulo da velocidade, V, que pode, assim, ser medido, registado e estatisticamente analisado numa unidade de processamento de sinal, como em (7). Enquanto leitura complementar, sugere-se Durst et al. (1981), uma das referências mais consagradas sobre o tema. De referir, por fim, que a visualização da trajectória de partículas traçadoras, acompanhada por digitalização da imagem e subsequente processamento, pode revelar-se um processo de notória versatilidade na obtenção da distribuição do campo de velocidade, em toda uma vastíssima gama de escoamentos.
5.8 – Notas conclusivas O fenómeno da turbulência é um estado de permanente instabilidade, em que o fluido apresenta um comportamento irregular de natureza aparentemente aleatória. Não o é, no entanto, em rigor, já que lhe está associado todo um conjunto de estruturas organizadas. Tais estruturas – que designamos por turbilhões – envolvem uma gama muito vasta de escalas de comprimento e de frequência. A obtenção de soluções teóricas através da resolução de problemas tridimensionais e dependentes do tempo exige o recurso a capacidades computacionais que, na grande maioria dos casos, excedem as actualmente disponíveis. Em alternativa, é usual o recurso à via estatística, com a formulação de médias para um conjunto de quantidades relevantes na caracterização do campo turbulento. Poderá entender-se, assim, como "escoamento médio" aquele onde os fenómenos de pequena escala não são directamente representados, mas cuja influência sobre os fenómenos de maiores escalas é tomada em consideração. A decomposição de Reynolds recorre ao conceito de média temporal, a que se sobrepõe uma flutuação para obter o campo instantâneo. Neste sentido, as componentes médias da velocidade satisfazem as equações do movimento para regime laminar, desde que às tensões laminares sejam acrescentadas "tensões" adicionais, conhecidas por tensões de Reynolds. Em relação à difusão viscosa, estas últimas representam um mecanismo
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Mecânica dos Fluidos
1 ρ p V p 2 Ap = 2 1 = 2.814 × 10 −3 × × 1.02 × 10 3 × 12.5 2 × 5000 = 1.1214 × 10 6 N 2
D p = CDp
Portanto, a potência para a qual o sistema propulsor deve ser dimensionado é:
Pp = D p V p = 1.1214 × 106 × 12.5 = 14.017 × 106 W
7.6.5 – Breve referência aos túneis aerodinâmicos e de água O comportamento aerodinâmico de veículos automóveis, aviões, edifícios ou estruturas (em que, como se referiu acima, o número de Reynolds constitui o principal parâmetro independente) é frequentemente analisado através de testes laboratoriais efectuados sobre um modelo em túnel aerodinâmico de baixa velocidade, ou seja, com níveis de velocidade tais que permitem desprezar qualquer efeito de compressibilidade (até 100 m/s, aproximadamente). (1)
(2)
(3)
(4)
V1 V2 A1 p1
(6)
A2 , p2,
(a)
V3
(5) A3 p3
(b) FIGURA 7.3 – Túnel aerodinâmico. (a): circuito aberto; (b): circuito fechado.
De acordo com a esquematização da figura 7.3, um túnel aerodinâmico pode ser encarado como um tubo de Venturi de dimensões apreciáveis, em cuja secção mais estreita (a câmara de ensaio (3)) é colocado o modelo a ensaiar (6). O escoamento de ar é assegurado por um ventilador (5), ligado a um motor eléctrico. Basicamente, os túneis aerodinâmicos podem funcionar em circuito aberto (figura 7.3.(a)) ou em circuito
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Mecânica dos Fluidos
9.15 – Teoria elementar dos perfis alares A teoria dos perfis alares tem por principal objectivo a determinação da circulação desenvolvida pelo escoamento em torno de um perfil aerodinâmico (e, por consequência, da força de sustentação assim gerada), enquanto função da sua forma, das condições de aproximação e também do ângulo de ataque. Toda a teoria envolve a utilização de uma nomenclatura específica, em que noções como perfil e ângulo de ataque, entre outras, deverão ser, agora, clarificadas.
9.15.1 – Nomenclatura Remeter-nos-emos, numa óptica introdutória como a presente, à nomenclatura estritamente indispensável à sequência do texto. Informação complementar poderá ser encontrada em textos de natureza mais especializada, como os de Anderson (1989, 1991). São, aqui, consideradas essenciais as definições a seguir apresentadas. L
(a) Ap
α
V
D b c
linha de corda esqueleto
d h c
(b) FIGURA 9.27 – Nomenclatura essencial à teoria dos perfis alares. (a) superfície sustentadora; (b) perfil.
– Superfície sustentadora: Corpo com forma aproximadamente plana ou ligeiramente encurvada, destinado a originar, no seu movimento em relação ao fluido envolvente, uma força de sustentação tão grande quanto possível e uma força de resistência que se procura minimizar. As asas de um avião, as velas de um barco ou as pás de uma turbomáquina axial são exemplos de superfícies sustentadoras. A figura 9.27.(a) representa uma ilustração desse conceito; – Envergadura: A maior dimensão segundo a perpendicular à direcção do movimento. Esta grandeza, denotada por b na figura 9.27.(a), é considerada infinita na análise bidimensional, o que equivale a ignorar os efeitos de extremidade. Desse domínio, supostamente infinito, é prática usual realizar o estudo 2-D sobre uma “fatia” de espessura unitária, sendo os resultados daí decorrentes válidos “por unidade de envergadura”; – Perfil: Secção recta da superfície sustentadora (figura 9.27.(b)). Pode ser constante ou variável ao longo da envergadura. É considerada constante na análise bidimensional;
Exemplos de Aplicação Prática
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13.7.2.4 – Turbina
Ao sair da câmara de combustão, o fluido é parcialmente expandido (fenómeno que consiste em reduzir a sua pressão) ao passar pela turbina (do tipo turbina de gás), cujas pás são construídas em material resistente a altas temperaturas e pressões – nomeadamente uma liga de níquel, crómio, e ferro, chamada inconel, ou então uma liga de níquel e cobalto, ou ainda, mais recentemente, material cerâmico monocristalino. A energia – de pressão e cinética – assim comunicada pelo fluido às pás da turbina, serve para lhes conferir movimento de rotação, movimento esse que é directamente comunicado ao compressor, já que ambos – compressor e turbina – têm em comum o mesmo veio (cf. e.g. figura 13.7.5).
FIGURA 13.7.8 – Vista em corte de um motor turboreactor General Electric J85-GE-17A. Fonte: Wikipedia, © Acharya, S.
No corte de motor da figura 13.7.8, são claramente visíveis a turbina (sobre a direita), o compressor (à esquerda) e o veio que liga as duas turbomáquinas. Embora a fatia mais significativa (cerca de dois terços) da energia de rotação da turbina seja usada para mover o compressor, uma parte do remanescente é consumida no accionamento de equipamentos acessórios, tais como bombas hidráulicas, de combustível ou de óleo.
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13.7.2.5 – Bocal de saída
FIGURA 13.7.9 – Bocais de saída de um aparelho F-15E Eagle. Fonte: Wikipedia, © Jenkins, S. M.
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Mecânica dos Fluidos
Na expressão (13.8.10), o termo fonte Sφ foi explicitado como uma combinação linear envolvendo φ , ou seja, fez-se:
Sφ = S1 + S2 φ
(13.8.11)
com S1 e S 2 constantes158. Δxo
Δxe ΔxeΔxe+
T t
wt Δzt
O
uo
P
ue
o
E
e
Δzb b
z
x
wb
B
Δx FIGURA 13.8.2 – Volume de controlo centrado na variável φ.
A integração da equação anterior, no VC envolvendo o ponto P representado na figura 13.8.2, conduz a159:
(ρ φ
)
− ρ P0φP0 Δ xΔ z
Δt
⎛ φ − φP + ⎜ ρ eue φe − Γ e E Δ xe ⎝
⎛ φT − φP ⎜ ρt wt φt − Γ t Δ zt ⎝
⎞ ⎛ φP − φB ⎟ − ⎜ ρb wb φb − Γ b Δ zb ⎠ ⎝
P P
⎞ ⎛ φP − φO ⎟ − ⎜ ρ o uo φo − Γ o Δ xo ⎠ ⎝ ⎞ ⎟ = S1P + S 2P φP Δ xΔ z ⎠
(
⎞ ⎟+ ⎠ (13.8.12)
)
ou
(ρ φ
)
− ρ P0φP0 Δ xΔ z
+ ⎡⎣ Fe φe − De (φE − φP ) ⎤⎦ − ⎡⎣ Fo φo − Do (φP − φO ) ⎤⎦ + (13.8.13) Δt ⎡⎣ Ft φt − Dt (φT − φP ) ⎤⎦ − ⎡⎣ Fb φb − Db (φP − φB ) ⎤⎦ = ( S1 + S 2 φP ) Δ xΔ z P P
P
P
sendo F e D os coeficientes advectivos e difusivos, respectivamente: Fe = ρ e ue ; Fo = ρ o uo ; Ft = ρ t wt ; Fb = ρ b wb
(13.8.14)
158 A necessidade de se proceder à linearização do termo fonte decorre de os métodos iterativos de resolução das equações discretizadas serem essencialmente vocacionados para tratar equações lineares. Informação adicional sobre este aspecto pode ser consultada em Patankar (1980). 159 Recorde-se, de novo, que se considera aqui profundidade unitária, ou seja, Δ y ≡ 1 .
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Mecânica dos Fluidos
aplicar deve, no entanto, ser cuidadosamente ajustada, uma vez que influencia marcadamente a força de sustentação.
FIGURA 13.10.5 – Sucção através de uma plataforma porosa colocada sob o veículo.
13.10.1.4 – O método da simetria
Do ponto de vista de um referencial solidário com o veículo, o solo é geometricamente coincidente com uma linha de corrente. Tirando partido deste facto, o método da simetria consiste na colocação de um segundo modelo, idêntico ao primeiro, em posição invertida relativamente a este, na zona de escoamento não perturbado (portanto, fora da camada limite), como mostra a figura 13.10.6. Este método garante a semelhança (entre modelo e protótipo) da linha de corrente na posição (agora fictícia) do solo. Contudo, não garante a semelhança em termos da velocidade do escoamento ao longo dessa mesma linha de corrente: no protótipo, a velocidade é constante e igual à do escoamento de aproximação (por imposição da aderência parietal no solo); no modelo, o seu valor varia, sendo dependente da geometria da parte inferior do veículo.
FIGURA 13.10.6 – Ensaio de modelo em túnel de vento. Fixação independente das rodas.
Este método é utilizado para o estudo de perfis alares, mas é pouco adoptado no caso de veículos, sobretudo por a área da secção transversal do túnel dever ser suficientemente grande para acomodar os dois modelos, mantendo a blocagem (ver secção 13.10.2) num valor aceitável. Acrescem, ainda, os custos inerentes ao modelo extra (construção e eventuais alterações posteriores de geometria, decorrentes da optimização).
Exemplos de Aplicação Prática
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descreverá mais adiante, este vórtices condicionam, em grande medida, as características de arrasto e de sustentação do veículo. Pilar C
Pilar A
FIGURA 13.11.3 – Sistema de vórtices típico num veículo de utilização quotidiana.
13.11.3 – Forças aplicadas num veículo automóvel O resultado do escoamento de ar em torno de um veículo automóvel não se traduz unicamente na força de arrasto, mas sim num conjunto de forças e de momentos, referenciados a cada um dos eixos coordenados. Com base na figura 13.11.4, identificam-se: – D: força de arrasto, que actua segundo a direcção do movimento do veículo (Drag, na designação inglesa); – L: força de sustentação, que actua segundo a direcção perpendicular ao plano do solo (Lift, na designação inglesa); – Y: força lateral, que actua no plano do solo, perpendicularmente à direcção do movimento do veículo (side force, na designação inglesa); – M: momento de inclinação, definido com base no eixo perpendicular à direcção do movimento, no plano do solo (Pitch, na designação inglesa). Este momento estabelece a repartição do apoio aerodinâmico (força perpendicular ao plano do solo) entre o eixo dianteiro e o eixo traseiro;
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– N: momento de direcção, definido com base no eixo perpendicular ao plano do solo (Yaw, na designação inglesa); – R: momento de rolamento, definido com base no eixo paralelo à direcção de movimento do veículo (Roll, na designação inglesa). Na ausência de vento lateral, actuam, sobre o veículo, somente a força de arrasto, D, a força de sustentação, L, e o momento de inclinação, M. Na presença de vento lateral (ou seja, para valores não nulos do ângulo β (cf. figura 13.11.4)), verifica-se uma assimetria do escoamento, surgindo, adicionalmente, a força lateral, Y, bem como os momentos de direcção, N, e de rolamento, R.
Resolução dos Exercícios Propostos
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Resolução dos exercícios referentes ao capítulo 2 Exercício Proposto Dados: d óleo = 0.8
2.1 h1 = 5 cm
h2 = 5 cm
h3 = 12 cm
h4 = 1cm
Resolução:
Apesar de estarem ao mesmo nível e ligados pelo mesmo fluido na tubeira horizontal, os pontos A e B não se encontram à mesma pressão em virtude de o fluido aí existente estar em movimento. Não se trata, portanto, de uma situação hidrostática. Verifica-se, consequentemente, uma perda de carga ao longo do escoamento, traduzida numa queda de pressão. Diferente é a situação no tubo manométrico, onde os fluidos estão em repouso, sendo aí lícita a aplicação da lei fundamental da hidrostática. Assim, tomando o percurso de A até B através do tubo, pode-se escrever:
pB = p A − ρ água g h1 − ρ óleo g h2 − ρ Hg g ( h4 + h3 − h1 − h2 ) + ρ óleo g h3 + ρ água g h4 pB − p A = g ⎡⎣ − ρ água h1 − ρ óleo h2 − ρ Hg ( h4 + h3 − h1 − h2 ) + ρ óleo h3 + ρ água h4 ⎤⎦ Substituindo valores, obtém-se: pB − p A = 9.81 × ⎡⎣ −10 3 × 0.05 − 800 × 0.05 − 13560 × 0.03 + 800 × 0.12 + 10 3 × 0.01⎤⎦ pB − p A = −3833.75 Pa
Exercício Proposto
2.2
Dados: ρ óleo = 750 kg / m3
h1 = 0.4 m
h2 = 3 m
Resolução:
a) Aplicando a equação fundamental da hidrostática entre os pontos A e B ao longo do tubo manométrico, e introduzindo a dimensão auxiliar h (ver figura ao lado), obtém-se: h
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pB = p A − ρ água g ( zC − z A ) − ρ óleo g ( zD − zC ) + ρ água g ( z D − z B )
C A
pB − p A = g ⎡⎣ − ρ água h − ρ óleo h1 + ρ água ( h1 + h + h2 ) ⎤⎦ pB − p A = g ⎡⎣ − ρ óleo h1 + ρ água ( h1 + h2 ) ⎤⎦ Substituindo valores:
pB − p A = 9.81 × ⎡⎣ −750 × 0.4 + 10 3 ( 0.4 + 3 ) ⎤⎦ = 30411Pa
(1)
b) Designe-se por Δ patr a contribuição (em módulo) do atrito do escoamento nas paredes da tubeira para a variação de pressão entre os pontos A e B. Então:
DESCRIÇÃO DE SOFTWARE
Anexo S
S4.1 – Programa EasyCFD: Cálculo numérico de escoamentos A presente obra disponibiliza uma versão simplificada do programa de cálculo EasyCFD, limitada a escoamentos isotérmicos, de um só fluido, em geometrias constituídas por fronteiras rectilíneas horizontais e verticais (sem contemplar, portanto, fronteiras inclinadas ou curvilíneas). A formulação teórica subjacente a esta versão encontra-se descrita na secção 13.8.6. São três as etapas a cumprir sequencialmente no tratamento de um problema: – Definição do Problema – Cálculo – Pós-Processamento Descrevem-se, seguidamente, cada uma destas fases de trabalho.
S4.1.1 – Definição do Problema A figura S4.1 apresenta a interface gráfica para a Definição do Problema. Diversas zonas da interface (Espaços) encontram-se identificadas, para mais fácil referência.
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FIGURA S4.1 – Interface gráfica para a fase de Definição do Problema.
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