MECANICA DEL MEDIO CONTINUO NOTAS PRELIMINARES PARA EL PRIMER CURSO_OCR.pdf

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MECANICA DEL MEDIO CONTINUO Notas preliminares para el primer curso •

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Ram6n Cervantes Beltrán* Viator Porras Silva

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*Profesores Investigadore-s, Facultad de Ingeniería, UNAM. ''

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;\¡,c;('ANICA DEL MEDIO CONTINUO l'Iotas Pr=~liminG.i:'es pare~ un P:rin1er Curso.

R. Cervante::- B., y V. Porras S. l. 1.1 1.2 l. 2.1

1.3 L4 1.5 1.6 l. 6.1 1.7 l. 7.1 l. 7. 2 1.8 l. 8.1 1.8. 2 1.9

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·'' 1 ¡)¡o I.ll 1.12. 1.13

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2. 2.1 2.2 2. 3 2. 3.1 2.4

2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 .2.10 2;11 2.• 12

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~;

FUNDAMENTOS MATEl\IIATICOS. Introducción. Vectores. Notación simbólica. Dependencia lineal. Coordenadas cartesianas y vectores base. No.tación tensorial cartesiana. Producto escalar de dos vectores. Producto escalar en términos de las componentes vectoriales. Pro.ducto vectorial de dos vectores. · · Producto vectorial en términos de las componentes vectoriales. Representación vectorial de superficies planas. Otros productos entre vectores. Triple prod'ucto escalar. Triple producto vectorial. Transformación de coordenadas debido a movimiento de cuerpo rígido de.la referenda cartesiana. Funciones vectoriales y derivadas. Definiciones y teoremas integrales. Leyes de transformación de los tensores cartesianos. Problemas. · · · DEFORMACION.

3.

MÓVIMIENTO.

3 .l

IntroduCción.

3.2 3.3

Rapide:z de variación respecte al tiempo de vectores. Derivadas materiales de diferenciales. Derivadas materiales de integrales. Tensores rapidez de deformación. Axiomas fundamentales de la Mecánica del Medio Cont:...'luo. Tensores Objetivos.

3.4 3.. 5 3.6 3.7 3.8

4. 4.1 4.2

4.3 4.4 4. 4.1

4.4.2 4.4.3 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11

5.

ESFUERZO. Introducción; Fuerzas resultantes. Hipótesis de esfuerzo. Tensor esfuerzo. Carácter tensorial del tensor ttsfuerzo. Esfuerzo en la frontera del cuerpo. Notaciones usuales ·para el tensor esfuerzo. Ecuaciones de equilibrio de Cauchy. Cuadrática de esfuerzos de Cauchy.' Esfuerzos y direccidnes principales. Valores extreniales de los esfuerzos cortantes. Círculos de Mohr. Descomposición del tensor esfuerzo. Problema.s. TERMODINAMICA.

Introducción. Principio de la conservación. de la energía. Energía potencial. Energía de deformación. Entropía. c:~a~u~c~h~y'-'·!.Y:_:ld;_e_6lic~., un v"ecto·r queda representado por aig11n símbolo que puede ser alguna ·letra de algun alfabeto., que

i)

Magnit1.1d: .. que es su. long_it-ud o téill\año

ii)

Dirécci6n ,o l{nea de. acci6n: que es la.l.fnea sobre la cual.

E;!S

lo mas usual, con una raya horizontal bajo d!cho $1mbolo •.. ·

Así.el vector mostrado en la _figura 1.2.1 est:a representado por

sE;! loca.liza iii)· .sentid(): que indica hacia qu~_ extremo de la lfnea est~ diri-

a.

Esta riotaci6n no es. linica .y se. utilizan ·otra-s come;;· las . ind.l-. .. . ~

_cadas a _continuaci6h

gido •.

-+

·a,

a,

a,

etc., pero la que. actualmente

se ha estado utilizando en los artículos relacionados con ia·. m~ ·La representaci6n

geom~trica

se indica en la f·!g 1.2.1

c~nica es ·la. que en estas notas se ha selecciomido.

La magn!tud del vector

L /

~

quedar~ representada por- 1~1-c

/

Definici6n 1.2.2.

·Un vector que tenga magnitud igua.l a cero y

direcci6n arbitraria se denomina vector cero o vector nUlo. Se ind;ica por

o·. .?.SI''.

Definic.i6n 1.2.j.

Dos vectol;'es

a

y

!?_

'""11!!'

son iguales si y. solo

sí sus magnitudes son iguales, sus lineas de acc16n son paraleFig 1-.2 .1

Representaci6n

geom~triéa

~·

del·vector

en donde se_especifica al vector que va del

punto-~

las y sus sent.idos son iguales.

al punto.

B

Lo anterior queda ·expresado m~

diante. la ecuaci6n vectorial siguiente

y en donde se pueden identificar los conceptos que interviEine'n en

a

la definici6n de un vector, que son:.

IABI

= distancia ·entré los puntos

i)

Magnitud

ii)

Direcci6n; está dada por .la linea. ··contenidos·

i!i)

los puntos

A y

L

A

y

B

,

. que es. donde es tan

s.

{1.2.1)

b

_La repteseritaci6n la figura

geom~tr:i,ca

de. la ec l. 2.1 se lliuestra en

s~guiente

Sent!do; se :j.ndica por la flecha y muestra que el .vector est~ definido del .punto

A

al punto

B. ··.;'

.

~ .__ .....

1-6

La !luma de dos vectore.s

~

!?

y

es otro yector

_;, . y se

indica de la forma siguiente

a+ b ·

,(1.2. 2)

La suma vectorial es conmutativa y asociativa. ci6.n se demuestra mediant.e la definición de Fig l.-2.2 Representaci6n geométrica de dos vectores t·gu.ales. :r,,:~finici6n

del vector

·suma ·de dos vectores.

1.'2.4. ~

mas el ·vector

!?

se hace uso de la regla del

A.

letra

cuyo extremo final

~

ti

O

quedar~

Tomando como origen del vector

tengase el extremo del vector

resulta ser la suma de lo:s vectores

O ~

dos vectores.

!!

p~

a +

!?.

+-á

b

ley conmutativa

~

y

- (l. 2.3)

ley asociativa

indicado por la

el punto

A,

(1.2.4)

obEl

y extremo final e.n

B

Definición 1.2.5. Sea

m

Multiplicación de un vector-por.un n1hnero.real.

u.n namero real.

Entonces

m !!_

es un vect.ór con las si-

guientes caracter1sticas y

.b.

En la fig 1.2.3 i)

Magnitud:

ii)

Linea de acci6n: igual a la del vector

iii)

Sent.ido: igual a la del vector

se muestra graficamente la regla del paralelogramo _para la suma de los vectores

·vectorial .entre

se coloca el o-

indicado por el punto· B.

vecto·r formado con· extremo inicial en

asever~

Para efectuar la suma

ral

O si y. solo s_i cumple q\¡e

!

=~

o

!!

=~

/

_-les. Sean !.--y

.e·. los vectore-s _cuyas exJ?tesiones en tGrminoa de

sus co-mponentes rectangulares quedar4n : o bien

O lo qu'e !fignificar1a que los vectores son .perpend:!_

·'

v~ctoria­

1-26

1-25

a B

( 4,15 ,7)

b

entonces (l. 6 .lO)

La longitud 1~1 de un vector

a.a =, 1~11~1 cos

oo

1~1

~

est& dada por

2

Fig.,l.6.2. (l. 6 .ll)

La _solución se d.escr.i.be a continuación i)

El :ingulo que forman dos vectores

~

!?_, . de acuecrdo con

y

Figura del ejemplo 1.6,],.

Los vectores de posición· de los· puntos

A

y

B

quedar:in

expresados,como

la ec 1.6.1 resulta .ser O A

cos (a;.b)

(1.6.12)

1~11.!?.1"

Ejemplo 1.6.1.

sean los puntos

nas - A(S, 2;-3) ·y B'(4,l5, 2·0). i)

y_ B

A

de coordenadas cartesia

Calcule los siguientes conceptos:

vectores de posición .de Tos puntos

ii) El vector que. va del punto

A

A

y

a'l ,Punto

Las expresiones anteriores se .basan .en la ec l .• 4 .1 _i)

B.

El vector que une los puntos del vector

B.

b

iii) El tamaño de los vectores anteriores iv) Los angulas interiores del triángulo :formado ·por el origen

v)

La distancia normal del .punto

o

a 'la línea

'-

AB.

b

Íü vector

~·

A

y

B

es decir'

se 'obtendr& al restar

. 1-28

1-27

__iii.:)

El tamaño de los vectores

a·

~

, y.

~

se obt.endr4 de a -

e}:: A o

B

=

= cos-1 (0.27cl

c;:uerdo con l;as_ecs. 1.6.10 y.1.6.ll.de la forma sigufente .b) El ·!ngu).o con vérÚce en el punt,:, a.a =· 1~1 2 = (51 (5)4-(21 (2)+J-3)(-:-3l

(4) ·-(4)+•(15) (15)+(7) ól

c.c = 1~12

25+4t9

=

16+225+49

_los ·vectores · ~b

38

(-1) (-1)+(13) {13)+ (lO) (lO). - 1+169+100

210

iv)_

-'e

cos(-b,-c)

~·~ = (4) (-1)+(15) (13)+(7) (10) = -4+195+70

.261

1~1 = {280 = 17.05

= 1270

es el que form