Análisis y diseño de vigas para flexión
Las vigas que soportan el sistema de grúas viajeras múltiples mostrado en la figura están sometidas a cargas transversales que provocan la flexión de las vigas. Los esfuerzos normales resultantes de tales cargas se estudiarán en este capítulo.
308
5.1 INTRODUCCiÓN
Análisis y diseño de vigas para flexión
Este capítulo y la mayor parte del siguiente se dedicarán al análisisy dise~
de vigas, es decir, de elementos estructurales que soportan cargas aplicad! en varios puntos a lo largo del elemento. Las vigas son comúnmente elemen tos prismáticos largos y rectos. como se observa en la fotografía de lapá~" na anterior. Las vigas de acero y de aluminio juegan un papel importantet3If to en la ingeniería estructural como en la mecánica. Las vigas de madera ~ emplean. sobre todo, en la construcción residencial (figura 5.1). En lamay~ parte de los casos, las cargas son perpendiculares al eje de la viga. Tales gas transversales sólo causan flexión y corte en la viga. Cuando lascarg~ no se encuentran en ángulo recto con la viga. también producen cargasaxia. les en ella. eGr,1
p¡
Figura 5.1 B
fe D
La carga transversal de una viga puede consistir en cargas concentradil p¡. P2 expresadas en newtons, libras o sus múltiplos. kilonewtons y kips (figura 5.2a). en una carga distribuida w. expresada en N/m. kN/m,Ib/fto kips/ft (figura 5.2b). o una combinación de ambas. Cuando la cargawpor unidad de longitud tiene un valor constante a lo largo de parte de la viga(c() mo entre A y B en la figura 5.2b). se dice que la carga está uniformementt distribuida en dicha parte de la viga. Las vigas se clasifican de acuerdo con la manera en la que se encuen tran apoyadas. Varios tipos de vigas utilizadas con frecuencia se presentanen la figura 5.3. La distancia L mostrada en distintas partes de la figura sede. nomina el claro. Note que las reacciones en los soportes de las vigas enlas partes a. b y c de la figura involucranun total de sólo tres incógnitasy,por
a) Cargas concentradas
b) Carga distribuida Figura
Vigas estáticamente determinadas
5.2
t
~
. "C""
L
a) Viga simplemente
.1 apoyada
L d) Viga continua
Figura 5.3
.
b) Viga con un tramo en voladizo
~
Vigas estáticamente indeterminadas
~
L
~
e) Viga empotrada en un extremo y simplemente apoyada en el otro extremo
L
~
e) Viga en voladizo
=-r
~."
L
L f) Viga empotrada
~
5.1 Introducción
lotanto,pueden determinarse empleando métodos estáticos. Tales vigas se conocen como
estáticamente determinadas y se estudiarán en este capítulo y
enelsiguiente. Por otra parte, las reacciones en los apoyos de las vigas en ¡aspartes d, e yf de la figura 5.3 involucran más de tres incógnitas y no pue-
den determinarseúnicamente por métodos estáticos. Las propiedades de las vigasconrespecto a su resistencia a las deformaciones debe tomarse en cuenla.Talesvigas se denominan estáticamente indeterminadas leaplazaráhasta el capítulo 9, donde se estudiarán las vigas.
H B A
y su explicación
a)
deformaciones en
Enocasionesdos o más vigas se conectan por bisagras para formar una única. Dos ejemplos de vigas con bisagra en un punto H
estructuracontinua
lemuestranen la figura 5.4. Se observará que las reacciones en los apoyos mvolucran cuatro incógnitas y no pueden determinarse del diagrama de cuer¡xJlibre del sistemade rando
dos vigas. Pueden obtenerse, sin embargo, conside-
b) Figura 5.4
el diagrama de cuerpo libre de cada viga por separado; se encuentran
involucradas seis incógnitas (incluyendo dos componentes de fuerza en la bi¡agra), Yse encuentran disponibles seis ecuaciones. Semostró en la sección 4.1 que, si se efectúa un corte en un punto C de unavigaen voladizo que soporta una carga concentrada P en su extremo (figura4.6), se encuentra que las fuerzas internas en el corte consisten de una fuerzacortanteP'
igual y opuesta a la carga P y en un momento flector M
cuyo momentoes igual al momento de P alrededor de C. Una situación análoga prevalecepara otros tipos de apoyos y cargas. Considere, por ejemplo,
simplemente apoyada AB que porte dos cargas concentradas y una uniformementedistribuida (figura 5.5a). Para determinar las fuerzas internasenun corte a través del punto C, primero se dibuja el diagrama de cuerunaviga
carga
polibredetoda la viga para obtener las reacciones en los apoyos (figura 5.5b). un corte a través de C, se dibuja el diagrama de cuerpo libre de AC Haciendo (figura5.5c), del
que se obtiene la fuerza cortante V y el par flector M.
Elpar flector M crea esfuerzos normales en la sección transversal, mienIrasquela fuerza cortante V produce esfuerzos cortantes en dicha sección. Enlamayoríade los casos el criterio dominante en el diseño por resistencia deunaviga es el valor máximo del esfuerzo normal en la viga. La determinaciónde los
esfuerzos normales en una viga será el tema de este capítulo,
mientras que los esfuerzos cortantes se analizarán en el capítulo 6. Debido a que la distribución de los esfuerzos normales en una sección dada dependesólo del valor del momento flector M en dicha sección y de la geometría de la sección, t las fórmulas de flexión elástica deducidas en la sección4.4pueden utilizarse para determinar el esfuerzo máximo, así como el esfuerzoen
cualquier punto dado, en la sección. Se escribe:!:
IMJc
=
(Tm
donde1es
My
1
(Tx
=-
(5.1,5.2)
1
L
el momento de inercia de la sección transversal con respecto a un
ejecentroidal perpendicular
¡Se supone que la distribución It afectadapor las deformaciones enla sección 6.5.
al plano del par, y es la distancia desde la super-
de los esfuerzos
normales en una sección transversal
tRecuerde que en la sección 4.2 se vio que M puede ser positivo o negativo. laconcavidad de la viga en el punto sideradoaquí de una carga otra pane, CT m es
dada no se
causadas por los esfuerzos cortantes. Esta hipótesis será verificada
transversal.
considerado el signo
es hacia de M puede
arriba
o hacia
variar
abajo.
a lo largo
dependiendo Así,
en el caso
de la viga.
Como,
una cantidad positiva, el valor absoluto de M se utiliza en la ecuación (5.1).
de si conpor
e)
Figura 5.5
309
I 31 O
Análisis y diseño de vigas para flexión
ficie neutra y c es el valor máximo de dicha distancia (figura 4.13). Tambi~ se recuerda, de la sección 4.4, que introduciendo el módulo de sección elás<
tico S = l/c de la viga, el valor máximo (J'm del esfuerzo normal en la sec ción puede expresarse como (J' m
=- IMI S
(5.11
El hecho de que (J'm sea inversamente proporcional a S subraya la importancia de seleccionar
vigas con un módulo de sección grande. Los módulos como el factor de resistencia. Los momentos MDYML son los momentos flectores debidos, respectivamente, a las cargas muertas y vivas, mientras que M u es igual al producto de la resistencia última del material (TuYel módulo de sección S de la viga: M u = Suu.
334
400lb/ft
PROBLEMA MODELO 5.7
4.5 kips
mmTTTlB ,~~
Una viga de madera con un tramo en voladizo de 12 ft de longitud con un claro de 8 ft AB se diseñará para soportar las cargas distribuidas y concentradas que se muestran en la figura. Sabiendo que se utilizará madera de ancho nominal de 4 in. (ancho real de 3.5 in.) con un esfuerzo permisible de 1.75 ksi, determine el espesor mínimo requerido h de la viga.
~
>-8ft
SOLUCiÓN 4.5 kips
Reacciones.
Considerando la viga en su totalidad como cuerpo libre, se es-
cribe
+~~MA = O:B(8 ft) - (3.2 kips)(4 ft) - (4.5 kips)(12 ft) = O B = 8.35 kips B = 8.35 kips
B
~~Fx = O:
"
4.50 +t~Fy
I
t
Ax = O
= O: Ay +
8.35 kips - 3.2 kips - 4.5 kips
kips
Ay
=
-0.65 kip
=O
A
= 0.65 kip,J..
(+18)
e
-3.85 kips
Diagrama de cortante. El cortantejusto a la derecha de A es VA= Av = -0.65 kip. Ya que el cambio en cortante entre A y B es igual a menos el área bajo la curva de carga entre estos dos puntos, se obtiene VB escribiendo VB - VA
=
-(400 lb/ft)(8 ft)
VB
=
VA
- 3.20 kips
=
=
-3200 lb = -3.20 kips -0.65 kip - 3.20 kips = -3.85 kips.
La reacción en B produce un súbito incremento de 8.35 kips en V, lo que resulta en un valor del cortante igual a 4.5 kips a la derecha de B. Como no se aplica carga entre B y e, el cortante permanece constante entre estos dos puntos. Determinación de IMlmáx' Primero se observa que el momento flector es igual a cero en ambos extremos de la viga: MA = Me = O.Entre A y B el momento flector disminuye una cantidad igual al área bajo la curva de cortante, y entre B y e aumenta una cantidad correspondiente. Por tanto, el valor absoluto máximo del momento flector es IMlmáx = 18.00 kips ft.
.
Módulo de sección mínimo permisible. Sustituyendo el valor dado de (J'penn y el valor de IMlmáxen la ecuación (5.9), se tiene
IMI máx Smín
(18 kips
= -(J'penn =
. ft)(12 in./ft) 1.75 kSI.
= 123.43in.3
Espesor mínimo requerido de la viga. Recordando la fórmula desarrollada en la parte 4 del procedimiento de diseño descrito en la sección 5.4 y sustituyendo los valores de b y de Smín'se tiene
~(3.5in.W
~ 123.43 in.3
El espesor mínimo requerido en la viga es
h ~ 14.546 in.
h=14.55in......
335
PROBLEMA MODELO 5.8
50kN
Selec, ki ps 'e siblf)
Una viga de acero simplemente apoyada de 5 m de largo, AD, debe soportar las cargas distribuida y concentrada que se muestran en la figura. Si el esfuerzo normal permisible para el grado de acero utilizado es de 160 MPa, seleccione el perfil de patín ancho que deberá utilizarse.
-
SOLUCiÓN Reacciones.
Considerando toda la viga como un cuerpo libre, se escribe
+~LMA = O:D(5 m) - (60 kN)(1.5 m) - (50 kN)(4 m) = O D = 58.0 kN D = 58.0 kN t + LF = O. Ax = O ~ x .
+tLFy = O:Ay+ 58.0kN - 60kN - 50kN Ay
v
52.0 kN
A
=
=O
t
52.0 kN
Diagrama de cortante. El cortantejusto a la derecha de A es VA= Ay = +52.0 kN. Como el cambio en el cortante entre A y B es igual a menos el área bajo la curva de carga entre estos dos puntos, se tiene
52kN
A
=
-B
I
le I
-8kN
D
VD= 52.0kN - 60kN = -8kN x El esfuerzo cortante permanece constante entre B y e, donde cae a-58
kN, YCOD-
serva este valor entre e y D. Se localiza la sección E de la viga donde V = Oescribiendo VE - VA =
-wx
O - 52.0 kN = -(20 kN/m) x
-58 kN
Despejando x se encuentra que x
= 2.60
m.
Determinación de IMlmá.. El momento flector es máximo en E, donde V = O. Ya que M es cero en el apoyo A, su máximo valor en E es igual al área bajo la curva de corte entre A y E. Se tiene, por tanto, que IMlmáx= ME = 67.6 kN m.
.
Módulo de sección mínimo permisible. Sustituyendo en la ecuación (5.9)el valor dado de u pennYel valor de IMlmáx que se encontró, se escribe
Smín
IMlmáx _
= ~ penn -
67.6 kN . m = 422.5 X 160MPa
10-6 m3
= 422.5
X 103 mm3
Selección del perfil de patín ancho. Del apéndice C se elige una lista de perfiles que tienen un módulo de sección mayor que SmínY que también son el perfil más ligero en un grupo con un espesor dado. Perfil W410 W360 W310 W250 W200
X X X x x
S,mm3 38.8 32.9 38.7 44.8 46.1
637 474 549 535 448
Se selecciona el perfil más ligero disponible, esto es
336
W360
X 32.9
1
M(x)=-P< M
VI
-
(l
01
x
a
-
O/
x
w (x) = Wo< x - a >0
e)
V
M a
O
x
a
O
~x el)
w(x)=k! V (x) = - ~< x - a >2 w
V O
al
x
O
M a
x
O
~x e)
w (x) = k < x - a >"
V (x) -L < x - a >" + 1 . = - ,,+]
M (x)
=-
k
(" + 1)(" + 2)
< x - a>" + 2
- -Figura 5.19 Cargas básicas y sus correspondientes cortes y momentos flectores expresados en términos de funciones de singularidad.
Después de que una carga dada de una viga se ha dividido en las cargas
básicas de la figura 5.19, las funciones V(x) y M(x) que representan el cor-
346
tante y el momento fIector en cualquier punto de la viga pueden obtenerse sumando las funciones correspondientes asociadas con cada una de las cargas y reacciones básicas. Ya que todas las cargas distribuidas mostradas en la figura 5.19 son abiertas a la derecha, una carga distribuida que no se extiende hasta el extremo derecho de la viga o que es discontinua deberá reemplazarse como se muestra en la figura 5.20 por una combinación equivalen-
5.5 Uso de funciones de singularidad
tedecargas con extremo abierto (véase también el ejemplo 5.05 y el problemamodelo5.9). Comose verá en la sección 9.6, el uso de funciones de singularidad simplificamuchomás la determinaciónde las deflexiones de la viga que el enfoque utilizadoen esta sección. Tal método fue sugerido primero por el matemáticoalemán A. Clebsch (1833-1872). Sin embargo, es el matemático e ingenierobritánico W. H. Macaulay (1853-1936) quien recibe comúnmente elcréditode introducir las funciones de singularidad en la forma utilizada aquí,por lo
347
x
que los corchetes ( ) generalmente reciben el nombre de cor-
chetesde Macaulay.
t
x t w. H. Macaulay, "Note on the Deflection of Beams," en Messenger 129.130,1919.
of Mathemat;cs,
vol. 48, pp.
w(x)
= Wo<
x - a >0 - Wo< x - b >0
Figura 5.20
EJEMPLO 5.05 Para la viga y carga mostradas (figura 5.21a) y usando funciones desingularidad, exprese el corte y el momento flector como funcionesde la distancia x desde el apoyo en A. A
Primero se determina la reacción en A dibujando el diagramade cuerpo libre de la viga (figura 5.21b) y escribiendo a)
O.6m
:!tIl\ = O: -Ay(3.6 m) + (1.2 kN)(3 m) +(1.8 kN)(2.4 m) + 1.44 kN Ay
= 2.60
.m = O
kN
A continuación, se reemplaza la carga distribuida por dos cargasequivalentes abiertas a la derecha (figura 5.21c) y se expresa lacarga distribuida w(x) como la suma de las funciones escalón correspondientes:
La función V(x) se obtiene integrando w(x), invirtiendo los signos + y -; al resultado se le suman las constantes Ay y -P(x - 0.6)° que representan las contribuciones respectivas al cortantede la reacción en A y de la carga concentrada. (No se requiereninguna otra constante de integración.) Puesto que el par concentradono afecta directamente al cortante, deberá ignorarse eneste cálculo. Se escribe
x c)
Ay
= 2.6 kN
Figura 5.21
B
-wo = -1.5 kN/m
348
De manera similar se obtiene la función M(x) integrando V(x)y sumandoal resultado la constante -Mo(x - 2.6)° que represen. ta la contribución del par concentrado en el momento flector. Se tiene
Análisis y diseño de vigas para flexión
IV
M(x)
, 0.6 m 'p = 1.2 kN
= -!Wo(x
-
Mo = 1.44 kN . m
0.6)2 +
!Wo(x -
+ Ayx
1.8)2
- p(x - 0.6)1 - Mo(x -
2.6)0
IVO= ].5 kN/m
B
x
B
Sustituyendo los valores numéricos de las reacciones y caro gas en las expresiones obtenidas para V(x) y M(x) y teniendola precaución de no calcular ningún producto o expandir ningún cua. drado que involucre un juego de corchetes, se obtienen las siguientes expresiones para el cortante y para el momento flecto! en cualquier punto de la viga:
V(x)
Ay = 2.6 kN
Figura 5.21e (repetida)
= -1.5(x
-
0.6)'+ 1.5(x - 1.8)' +2.6 - 1.2(x- 0.6)°
M(x) = -0.75 (x - 0.6)2+ 0.75(x
-
1.8)2
+2.6x - 1.2(x- 0.6)' - 1.44(x-
EJEMPLO
2.6)0
5.06
V(1.8) = -1.5(1.2)' + 1.5(0)1+ 2.6 - 1.2(1.2)°
Para la viga y la carga del ejemplo 5.05, determine los valores numéricos del cortante y del momento flector en el punto central D.
Haciendo que x
= 1.8 m en
= -1.5(1.2) + 1.5(0) + 2.6 - 1.2(1) = -1.8 + O + 2.6 - 1.2
las expresiones encontradas pa-
ra V(x) y para M(x) en el ejemplo 5.05, se obtiene
V(1.8)
=
V(1.8) = -0.4 kN -1.5(1.2)1 + 1.5(0)1 + 2.6 - 1.2(1.2)0 y
M(1.8)
= -0.75(1.2)2 + 0.75(0)2 + 2.6(1.8)- 1.2(1.2)'- 1.44(-0.8)°
Recordando que siempre que una cantidad entre corchetes es positiva o cero, los corchetes deben reemplazarse por paréntesis ordinarios y, siempre que la cantidad sea negativa, el corchete mismo es igual a cero, se escribe
M(1.8) = -0.75(1.2? + 0.75(0? + 2.6(1.8) - 1.2(1.2)' - 1.44(0) = -1.08 + O + 4.68 - 1.44 - O M(1.8) = +2.16 kN' m
Aplicación a la programación de computadoras. Las funciones desingularidad se han adaptadobien a su uso en computadoras.Primero se advierte que la función escalón (x - a)O, que se representará por el símbolo ESe, puede definirse por una instrucción tipo IFffHEN/ELSE como igual a l para X 2: A Y O para otros casos. Cualquier otra función de singularidad (x - a)n, donde n 2: 1, puede expresarse, entonces, como el producto de la expresión algebraica (x - aY y la función escalón (x - a)o. Cuando se encuentran involucradas k diferentes funciones de singularidad, tales como (x - a¡)n, donde i = 1,2, oo.,k, entonces deben definirse las correspondientesfunciones ESC(I), donde 1 = 1,2, .oo,K en un lazo que contenga una instrucción IFffHEN/ELSE única.
PROBLEMA MODELO 5.9 Para la viga y la carga que se muestran en la figura, determine a) las ecuaciones que definen el cortante y el momento flector en cualquier punto, b) el cortante y el momento flector en los puntos e, D y E.
fr ,lLf U4
L/4
L/4
L/4
SOLUCiÓN
2wo 2wo
~ Wo ---~ B= A . ~ I U2 IC I pe"~ P
nte =+
L
2wo
.
B
A
C
__4wo endiente L
2wo
Reacciones. La carga total es woL; debido a la simetría, cada reacción es igual a la mitad de ese valor, esto es, woL. Carga distribuida. La carga distribuida dada se reemplazada por dos cargas abiertas equivalentes como se indica. Empleando una función de singularidad para expresar la segunda carga, se escribe 2wo
1
4wo
1
- - L (x - 'iL)
w(x) = kJx + k2x ( - 'iL) = -xL
(1)
a. Ecuaciones para el cortante y el momento flector. Se obtiene V(x) integrando (1), cambiando los signos y sumando una constante igual aRA: 1 2 Wo .2 + -2wo x - -L + -1 w L V(x ) = --x. L L ( 2 ) 4 o
(2) ....
Se obtiene M(x) integrando la ecuación (2); ya que no hay par concentrado, no se necesita constante de integración:
=
M (x )
--
Wo Xu3 3L
+
2wo -
(x
3L
1
3
- -L.) 2
1 + -w Lx
4
(3) ....
o
b. Cortante y momento flector en C, D y E En el punto C: Haciendo x = tLen las ecuaciones (2) y (3), Yrecordando que cuando una cantidad entre corchetes es positiva o cero, los corchetes pueden reemplazarse por paréntesis, se tiene
w 2w V = _~ (lL )2 + ~/0 e L2 L\ M
e
L )2 + lw 4 o
Ve
=O
....
Wo 2wo L(lL ) = __ (lL )3 + _10 )3 + lw 3L 2 3L \ 4 o 2
En el punto D:
Haciendo
x
= tL en
las ecuaciones (2) y (3), Y recordando
que un corchete que contenga una cantidad negativa es igual a cero, se escribe .11
1 i2woL2
1 1 2 2Wo 2 I -w L = --Wo (-L ) + - L ( --L ) + 40 D L4 4
V
I 1
M
- - - - -1- - - --
D
1 I I I I I .1
A
D
C
1 3 1 J 1 3 + -2Wo --L + -w L(-L = -- Wo (-L ) 3L 4 ) 3L ( 4 ) 4 o 4
En el punto E: E
B
x
Wo JL __ L ( ) = __(JL) 3L
V = E
E
4
2wo
2
+ _/1L L \4
3
+ _/1L
4
Wo
M
Haciendo x
2wo
3L \4
= ~Len las ecuaciones
3
VD
= -woL 16
II MD = -woL 192
....
2
....
(2) y (3), se tiene
)2 + 4lw oL ) )3 + 4lw oL (JL 4
349
50 lb/ft
PROBLEMA MODELO 5.10 La barra rígida DEF se encuentra soldada en el punto D a una viga de acero AR. Para la carga mostrada en la figura, determine a) las ecuaciones que definen el corte y el momento flector en cualquier punto de la viga, b) la localización y magnitud del máximo momento flector.
3 ft 160 lb
SOLUCiÓN
P
.
]7 F
~
100[b
= 160 lb
I
ft
D
Reacciones. Se consideran la viga y la barra como un cuerpo libre y se observa que la carga total es de 960 lb. Debido a la simetría, cada reacción es igual a 480 lb. Diagrama modificado de carga. Se reemplaza la carga de 160 lb aplicada en F por un sistema equivalente de fuerza y momento en D. Así se obtiene un diagrama de carga que consiste en un par concentrado, tres cargas concentradas (incluyendo las dos reacciones) y una carga uniformemente distribuida
.
'.. ....D
F E MD~~:y .
.
E
w(x) ..
Wo
(1)
a. Ecuaciones para cortante y momento flector. Se obtiene V(x) integrando la ecuación (1), cambiando el signo y sumando las constantes que representan las contribuciones respectivas de RA y P al cortante. Como P afecta a V(x) sólo para valores de x mayores de 11 ft, se utiliza una función escalón para expresar su contribución. V(x)
W
= 501b/ft
= 50 Ib/ft
=
-50x + 480 - 160(x - 11)°
(2)
Se obtiene M(x) integrando la ecuación (2) y utilizando una función escalón para representar la contribución del par concentrado MD:
M(x) = -25x2 + 480x - l60(x - 11)1- 480(x - 11)° RA
L
= 480 lb
P
= 160 lb'
11 ft
...
../-
IRB
5 ft
--1
(3)
...
b. Máximo momento flector. Como M es máximo o mínimo cuando V = O, se hace V = O en la ecuación (2) y se despeja x de dicha ecuación para encontrar el máximo momento flector. Considerando primero valores de x menores de 11 ft y notando que para tales valores el corchete es igual a cero, se tiene
- 50x + 480 = O
x = 9.60 ft
Considerando ahora valores de x mayores de 11 ft, para los que el corchete es igual al, se tiene que
- 50x + 480 - 160 = O
x
= 6.40
ft
Ya que este valor no es mayor de 11 ft, debe rechazarse. Así, el valor de x correspondiente al momento flector máximo es M
+2 304 lb . ft
xm
+2 255 lb . ft
= 9.60
ft ...
+ 1775lb. ft Sustituyendoeste valor de x en la ecuación (3), se obtiene Mmáx= -25(9.60? + 480(9.60) - 160(-1.40)1 - 480(-1.40)° A
1-
Xm
= 9.60ft
B x y, recordando que los corchetes con cantidades negativas son iguales a cero, !
D
Mmáx= -25(9.6W + 480(9.60)
M máx
= 2 304 lb
. ft
...
Se ha graficado el diagrama de momento flector. Note la discontinuidad en el punto D debida al par concentrado aplicado en ese punto. Los valores de M justo a la izquierda y justo a la derecha de D se obtuvieron haciendo x = 11 en la ecuación (3) y reemplazando la función escalón (x - 11) ° por O y por 1, respectivamente.
350
PROBLEMAS
5.98 a 5.100 a) Utilice funciones de singularidad para escribir las ecuacionesquedefinen el cortante y el momento fIector para la viga y las cargas que se en las figuras. b) Con la ecuación obtenida para M, determine el momento muestran flector enel punto E y verifiquela respuesta trazando el diagrama de cuerpo libre de laporciónde la viga situada a la derecha de E. P
.
B
A
e
E
D
FiguraP5.98
Figura P5.100
Figura P5.99
5.101 a 5.103 a) Utilice funciones de singularidad para escribir las ecuacionesque definen el cortante y el momento fIector para la viga y las cargas que se muestran en las figuras. b) Con la ecuación obtenida para M, determine el momento flector en el punto C y verifique la respuesta trazando el diagrama de cuerpo libre de lavigacompleta.
e
A
f.-
a
+
B
A
~
a
Figura P5.101
a
+
~
a
Figura P5.102
e
B
A a
+
a
Figura P5.103
5.104 a) Utilice funciones de singularidad para escribir las ecuaciones que definen elcortantey el momento fIector para la viga ABC bajo la carga mostrada en la figura. b) Utilice la ecuación obtenida para M y calcule el momento fIector situado justoa laderechadel
punto B. P PI
A IL- ' l' ~a~a--' Figura P5.104
IP
A
-.' lB
e
1- L/3~L/3-.:LL/3--1 Figura P5.105
5.105 a) Utilice funciones de singularidad para escribir las ecuaciones que definen elcortantey el momento fIectorpara la viga ABC bajo las cargas que se muestranenla figura.b) Utilice la ecuación obtenida para M y calcule el momento fIectorsituadojusto a la derecha del punto D. 351
11"
352
5.106 a 5.109 a) Utilice funciones de singularidad para escribir las ecua. ciones que definen el cortante y el momento flector para la viga y las cargasque se muestran en las figuras. b) Determine el máximo valor del momento flectore1l la viga.
Análisis y diseño de vigas para flexión
8 kips
3 kipslft
1 500 N/m
3 ki ps/ft
A
B
LX-2.4m-1J 0.8 m
Figura P5.106
0.8 m
Figura P5.107
20 kips 20 kips
20 kips
B' e'
Ar ~6ft
2 ft
I
'D I
2ft
I
2ft
Figura P5.108
Figura P5.109
5.110 Y 5.111 a) Utilice funciones de singularidad para escribir las ecua. ciones que definen el cortante y el momento flector para la viga y las cargas que se muestran en las figuras. b) Determine el esfuerzo normal máximo debido a la flexión.
24 kN 50kN
125 kN
e
B
50k:'ll
D
A
I
E
LLlo.5m!J 0.3 m 0.4 m
24 kN
24 kN
24kN
e
B S150x 18.0
Al ---=.'
"
Figura P5.110
:.
E
'~F
m = 3m--LJ
[email protected]
0.2 m
D
X
W250 x 28.4
0.75 m
Figura P5.111
5.112 Y 5.113 a) Utilice funciones de singularidad para encontrar la magni. tud y ubicación del momento flector máximo para la viga y la carga que se muestran en las figuras. b) Determine el esfuerzo normal máximo debido a la flexión.
60 kN 40 kN/m
40 kN/m 18k:'ll . m
27 kN . m
B ,
(A,
",
,
e)
,
1
S310
x 52
W530 x 66
L1.2mL2.4m-J Figura P5.112
I 60 kN
Figura P5.113
5.114 Y 5.115 Una viga se diseña para ser soportada y cargada como se indica en la figura. a) Utilice funciones de singularidad para encontrar la magnitud y ubicación del máximo momento flector en la viga. b) Si el esfuerzo permisible para elacero que se utilizará es de 24 ksi, encuentre el más económicoperfil de patín anchoquedebe seleccionarse.
Problemas
353
22.5 kips 9 kips
18 kips
3 kips/ft
e A~""""
...~
l;[, "J,.J,.J
FiguraP5.114
5.116 Y 5.117
A~___
t,.L
12ft
Figura P5.115
Una viga de madera se diseña para ser soportada y cargada
comose muestra en la figura. a) Utilice funciones de singularidad para determinar lamagnitudy ubicación del momento flector máximo en la viga. b) Si el material disponible consiste en vigas con esfuerzo permisible de 12 MPa y sección transversalrectangularde 30 mm de ancho y altura h que varía de 80 a 160 mm en incrementos de 10 mm, determine la más económica sección transversal que puede utilizarse. 500 N/m
480 N/m 30mm
30mm
-11-
-11-
~.!1 ~tl
1] Figura P5.117
5.118 a 5.121 Utilice una computadora y funciones escalón para calcular el cortante y el momento flector para la viga y las cargas que se muestran en las figuras.Empleelos incrementos especificados para t:..L,empezando en el punto A y terminando en el apoyo de la derecha. f),.L = 0.25 m
12 kN
f),.L= 0.4 m
120 kN
36 kN/m
16 kN/m B
A~ A~
Lt-4m
C 2m
1.2 m
Figura P5.118 3.6 kips/ft
. ."
\.
U--3 1m
JD m--=1
Figura P5.119
f),.L = 0.5 ft
f),.L = 0.5 ft
1.8 kips/ft
4 kips
B
e
D
A
L4.5 Figura P5.120
ft--U-3
Figura P5.121
1.5ft
ft
354
Análisis y diseño de vigas para flexión
5.122 Y 5.123 Para la viga y la carga que se muestran en las figuras, y usan-I do una computadora y funciones escalón, a) tabule el cortante, el momento fIector. el esfuerzo normal máximo en secciones de la viga desde x = O hasta x = L.utili zando los incrementos /1L indicados, b) empleando incrementos más pequeños si necesario, determine, con una exactitud del 2%, el esfuerzo normal máximo en lavi ga. Ubique el origen del eje x en el extremo A de la viga. 5kN
x
A
_ ~2m-L-:
M_
~.
1.5m
\\'200
t
1.5 m
x 22.5
50mm ---11-
e A~
c=-~ __o
~D
L=5m
~ 1300 L=6m
f1L = 0.25 m
f1L =
3kN Figura P5.122
mm
0.5 m
Figura P5.123 5.124 Y 5.125 Para la viga y la carga que se muestran en las figuras, y utili. zando una computadora y funciones escalón, a) tabule el cortante, el momento flec. tor y el esfuerzo normal máximo en secciones de la viga desde x = O hasta x =L usando los incrementos /1L indicados, b) empleando incrementos más pequeños sies necesario, determine, con una exactitud del 2%, el esfuerzo normal máximo en lavi. ga. Ubique el origen del eje x en el extremo A de la viga. 2 in. ---11-
A
_
1-1.5 ftL
4.8 kipslft 3.2 kipslft
D
~ 112 in. L = 5 ft
e 2 ft
1.5ft
x
\\'12
x 30
L = 15ft
f1L = 0.25 ft
f1L = 1.25 ft
300 lb Figura P5.124
*5.6VIGAS NO PRISMÁTICAS
Hasta ahora el presente análisis se ha restringido a vigas prismáticas, es decir, a vigas con sección transversal uniforme. Como se vio en la sección 5.4. las vigas prismáticas se diseñan de tal manera que los esfuerzos normalesen sus secciones críticas sean iguales al valor permisible del esfuerzo nonual para el material que se utiliza; por tanto, en otras secciones, los esfuerzos normales serán más pequeños, posiblemente mucho más pequeños, que sus valores permisibles. Esto significa que una viga prismática, casi siempre está sobrediseñada, y que es posible lograr un considerable ahorro de material utilizando vigas no prismáticas,es decir, vigas con sección transversalvariable. La viga fundida en voladizo utilizada en la máquina de ensayo para suelos representada en la figura 5.22 es una viga de este tipo.
Como los esfuerzos normales máximos (Tm generalmente condicionanel diseño de una viga, el diseño de una viga no prismática será óptimo si el módulo de sección S = l/c de cada sección transversal satisface la ecuación (5.3) de la sección 5.1. Despejando S de dicha ecuación, se escribe
s=M
(5.18)
(Tperm
Una viga diseñada de esta manera se conoce como viga de resistencia constante.
355
5.6 Vigas no prismáticas
Figura 5.22
Paraun componente fundido o forjado estructural o de una máquina, es posible variar la sección transversal del componente a lo largo de su longitudy eliminar la mayor parte del material innecesario (véase ejemplo 5.07). una viga de madera o una viga de acero laminado, sin embargo, no es Para posible variar la sección transversal de la viga. Pero puede lograrse considerable ahorro de material pegando tablas de madera de longitudes apropiadas auna viga de madera (véase problema modelo 5.11) y usando postizos en de una viga de acero laminado donde el momento flector es granporciones de(véase problema modelo 5.12).
EJEMPLO 5.07 Una placade aluminio fundido de espesor uniforme b deberá sopoDar una carga uniformementedistribuida w
como se muestra
enlafigura 5.23. a) Determine la forma de la placa que dará el máseconómico.b) Considerando que el esfuerzo normal diseño permisible para el aluminio utilizado es de 72 MPa y que b = 40 mm.
L = 800 mm y w = 135 kN/m, determine el ancho máxi-
moho de la placa.
Figura 5.23
Momento flector. \ervandoque VA
=
Midiendo la distancia x desde A y obMA = O, se usan las ecuaciones (5.6) y (5.8)
delasección5.3 y se escribe y, tras sustituir IMI = V(x)
=
- fWdx o
! wr,
2 3wr h=-
= -wx
o
h=
bUperm M(x)
=
fV(x) o
dx
=
- fWXdx o
= -!wr
a) Forma de la placa. Recuerde, de la sección 5.4, que ImóduloS de una sección transversal rectangular de ancho b y turah es S = bh2. Llevando este valor a la ecuación (5.18) y spejando h2,se tiene
k
h2
= 61MI
bu perm
(5.19)
~
I/2
( ) bu perm
(5.20)
x
Ya que la relación entre h y x es lineal, el extremo inferior de la placa es una línea recta. Así, la placa que rinde el diseño más económico tiene forma triangular.
b) Ancho máximo ha- Haciendo x = L en la ecuación
(5.20)y sustituyendo datos, se obtiene h
_[
o-
3(135 kN/m)
(0.040 m)(72 MPa) ]
1/2
.
(800 mm) = 300 mm
PROBLEMA MODELO 5.11 4.8 kips
Una viga de 12 ft de largo hecha de un madero con un esfuerzo normal permisible de 2.40 ksi y un esfuerzo cortante permisible de 0.40 ksi deberá soportar dos cargas de 4.8 kips ubicadas en la tercera parte de longitud desde sus extremos. Como se explica en el capítulo 6, una viga con sección transversal rectangular uniforme, de 4 in. de ancho y 4.5 in. de espesor, satisfaría el requerimiento del esfuerzo cortante permisible. Ya que tal viga no satisfaría el requerimiento del esfuerzo normal permisible, se reforzará encolando tablas de la misma madera, de 4 in. de ancho y 1.2 in. de espesor, arriba y debajo de la viga de manera simétrica. Determine a) el número requerido de tablas, b) la longitud de las tablas de cada par que dará el diseño más económico.
4.8 kips
SOLUCiÓN 4.8 kips
Momento flector. Se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la viga y se encuentran las siguientes expresiones para el momento flector:
4.8 kips
e
D
De A a B (O:::;x :::;48 in.): M De B a e (48 in. :::;x :::;96 in.):
= (4.80kips)x
M = (4.80 kips) x - (4.80 kips )(x - 48 in.)
t 4.8 kips
A
4.8 kips
Iv
a. Número de pares de tablas.
x~ 4.8 kips
. in.
Primero se obtiene el espesor total requerido
!
2 h=-
61MI
(1)
bUpenn
4.8kips 4.8 kips
r- 48in. 'B'
kips
de la viga reforzada entre B y C. Se recuerda, de la sección 5.4, que S = bh2 para una viga con sección transversal rectangular con ancho b y espesor h. Sustituyendo este valor en la ecuación (5.17) y despejando h2, se tiene
FJ)M A
= 230.4
Sustituyendo el valor obtenido para M de B a e y los valores dados de b y de (Jperm' se escribe
) M
h2
=
.
6(230.4 kips in.) (4 in.)(2.40 ksi)
=
144 in?
h
= 12.00 in.
Como la viga original tiene un espesor de 4.50 in., las tablas deben dar un espesor adicional de 7.50 in. Recordando que cada par de tablas es de 2.50 in. de espesor: Número requerido de pares de tablas = 3 ...
b. Longitud de las tablas. Se encontró que el momento flector es de M = (4.80 kips)x en la porción AB de la viga. Sustituyendoesta expresión y losvalores dados de b y de u pennen la ecuación (1) y despejando x se tiene x= (4 in.)(2.40 ksi) h2 6 (4.80 kips)
h2 X = 3 in.
(2)
La ecuación (2) define la máxima distancia x desde el extremo A en la que un espesor dado h de la sección transversal es aceptable. Haciendo h distancia
XI desde A en la que la viga prismática
original
= 4.50
in., se halla la
es segura: XI
=
6.75 in.
Desde ese punto, la viga original deberá reforzarse por el primer par de tablas. Haciendo h = 4.50 in. + 2.50 in. = 7.00 in. da la distancia X2 = 16.33 in. desde donde se deberá utilizar el segundo par de tablas, y haciendo h = 9.50 in. da la distancia X3 = 30.08 in. a partir de la que deberá utilizarse el tercer par de tablas.La longitud /¡ de las tablas del par i, donde i = 1, 2, 3 se obtiene restando 2x¡ de la longitud de 144 in. de la viga. Se encuentra /)
=
130.5 in., /2 = II I.3 in., /3 = 83.8 in. ...
Las esquinas de las distintas tablas caen dentro de la parábola definida por la ecuación (2).
356
500 kN
D
e t
PROBLEMA MODELO 5.12
16
E
mm
f-
LI b1 IB-ry
AL
[:'+",:J(~
Dos placas de acero, cada una de 16 mm de espesor, se sueldan, como se indica en la figura, a una viga W690 X 125 para reforzarla. Si O"penn= 160 MPa tanto para la viga como para las placas, determine el valor requerido de a) la longitud de las placas, b) el ancho de las placas.
SOLUCiÓN Momento flector. Primero se encuentran las reacciones. Del diagrama de cuerpo libre de una porción de viga con longitud x ::; 4 m, se obtiene M entre A y c: (1) M = (250 kN)x
500 kN
a. Longitud requerida de las placas. Primero se obtiene la máxima longitud permisible Xmde la porción AD de la viga sin reforzar. Del apéndice e se encuentra que el módulo de sección de una viga W690 X 125 es S = 3510 X 106 mm3, o S = 3.51 X 10-3 m3. Sustituyendo S y O"penn en la ecuación (5.17) y despejando M, se escribe
e
A
250 kN
M = SO"penn= (3.51 X 10-3 m3)(160 X 103 kN/m2)
= 561.6
kN
.m
Sustituyendo M en la ecuación (1), se tiene que 561.6 kN
. m = (250 kN)xm
Xm
= 2.246
m
La longitud requerida 1 de las placas se obtiene restando 2xm de la longitud de la viga: 1 = 3.51 m .... 1 = 8 m - 2(2.246 m) = 3.508 m
250kN
b. Ancho requerido de las placas. El momento flector máximo ocurre a la mitad C de la viga. Haciendo
x
=
4 m en la ecuación
(1), se obtiene
el momen-
to flector en dicha sección: M
¡
= (250
kN)( 4 m)
=
1 000 kN
.m
Para utilizar la ecuación (5.1) de la sección 5.1, se determina ahora el momento de inercia de la sección transversal de la viga reforzada con respecto a un eje centroidal y la distancia e desde dicho eje a las superficies exteriores de las placas. Del apéndice e se encuentra que el momento de inercia de una viga W690 X 125 es lb = 1 190 X 106 mm4 y que su altura es d = 678 mm. Por otra parte, denotando por t el espesor de una placa, por b su ancho y por y la distancia de su centroide al eje neutro, se expresa el momento de inercia Ip de las dos placas con respecto al eje neutro:
I
rr e ld 2
Ip
= 2(12bf + Ay2) =
(~ f)b
+ 2 bt(1d + 1t)2
Sustituyendo t = 16 mm y d = 678 mm, se obtiene Ip = (3.854 X 106 mm3)b. El momento de inercia l de la viga y de las placas es 1= lb + Ip = 1 190 X 106 mm4 + (3.854 X 106 mm3)b
(2)
1
r
y la distancia desde el eje neutro a la superficie es e = d + t = 355 mm. Despejando l de la ecuación 5.1 y sustituyendo los valores de M, O"penny e, se escribe:
IM lc
1= -
=
O"penn
( 1000 kN
. m)(355 mm)
160 MPa
= 2.219 X 1O-3m4
= 2219
X 106mm4
Reemplazando l por este valor en la ecuación (2) y despejando b, se tiene 2219 X 106 mm4 = 1 190 X 106mm4 + (3.854 X 106 mm3)b b = 267 mm .... 357
PROBLEMAS
5.126 Y 5.127 La viga AR, que consiste en una placa de hierro colado dees. pesor uniforme b y longitud L, debe soportar la carga mostrada en la figura. a)Si la viga debe ser de resistencia constante, exprese h en términos de x, L y ho.b) Determine la máxima carga permisible si L = 36 in., ho = 12 in., b = 1.25in.y
