Mecánica de Materiales, 6ta Edición - R. C. Hibbeler

Sexta edición

PEARSON

Prentice HaU

R. C. Hibbeler

MECÁNICA DE MATERIALES S E X T A

E D I C I Ó N

R. C. Hibbeler TRADUCCIÓN José de la Cera Alonso Profesor Titular, U niversidad A utónom a M etropolitana

Virgilio González y Pozo F acultad de Q uím ica, U niversidad N acional A utónom a de M éxico REVISIÓN TÉCNICA Alex Elias Zuñiga Ingenierio Industrial Mecánico Instituto Tecnológico de Pachuca Maestría en Ingeniería Mecánica Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Monterrey Doctorado de Ingeniería Mecánica University o f Nebraska, Lincoln, EUA Miembro del Sistema Nacional de Investigadores - SNI Director de lngene ría Mecánica Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Monterrey

PEARSON ® México • Argentina • Brasil • Colombia • Costa Rica • Chile • Ecuador España • Guatemala • Panamá • Perú • Puerto Rico • Uruguay »Venezuela

/ Datos de catalogación bibliográfica

R. C . Hibbeler Mecánica de materiales

PEARSON EDUCACIÓN, México, 2006 ISBN: 970-26-0654-3 Form ato: 20 X 25.5 cm

Páginas: 896

A uthorized translation from the English language edition entitled, Mechanics o f Materials, by R. C, H ibbeler, publi­ shed by Pearson E ducation, Inc., publishing as P R E N T IC E H A L L , INC., Copyright © 2004. All rights reserved. ISBN 0-13-191345 X Traducción autorizada de la edición en idiom a inglés, titulada M echanics o f Materials, por R. C. H ibbeler, publica­ da por Pearson E ducation, Inc., publicada com o P R E N T IC E H A L L , INC., C opyright © 2004. Todos los derechos reservados. E sta edición en español es la única autorizada. Edición en español: Editor: Supervisor de desarrollo: Supervisor de producción:

Pablo Miguel Guerrero Rosas e-mail: [email protected] Esthela González Guerrero Enrique Trejo Hernández

SEXTA EDICIÓN, 2006 D.R. © 2006 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco 500, 5o. piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Juárez, Edo. de México Email: [email protected] Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031. Prentice-Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN 970-26-0654-3 Impreso en México/Printed in México. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 08 07 06

PEARSON ®

AL ESTUDIANTE Con el deseo de que esta obra estim ulará el interés en la ingeniería m ecánica y servirá com o una guía aceptable para su com presión.

P R E F A C I O

El propósito principal de este libro es p ro porcionar al lector una p resen ­ tación clara y minuciosa de la teoría y aplicaciones de la ingeniería m ecá­ nica; p ara esto se basa en la explicación del com portam iento físico de los m ateriales som etidos a carga a fin de realizar un m odelo de este com por­ tam iento que sea a su vez, el m odelo de la teoría. Se hace énfasis en la im­ portancia de satisfacer los requisitos del equilibrio, de la com patibilidad de la deform ación y del com portam iento del m aterial.

Características del texto Las siguientes son las características más im portantes del texto. •

Las secciones “Procedim iento de análisis”, “Puntos im portantes” y “R epaso del capítulo” proporcionan una guía para la resolución de problem as y un resum en de los conceptos.

•

Se utilizan num erosas fotografías a lo largo del libro para explicar cóm o se aplican los principios de la m ecánica de m a­ teriales a situaciones del m undo real. En algunas secciones, se m ues­ tran cóm o los m ateriales se deform an o fallan bajo carga para así proporcionar un entendim iento conceptual de los térm inos y con­ ceptos.

•

Los problem as propuestos son de aplicación fácil, m e­ dia y difícil. A lgunos de ellos requieren de una solución, con ayuda de la com putadora. Se ha puesto un cuidado especial en la p resen ­ tación y en sus soluciones, éstas han sido revisadas en su totalidad para garantizar su claridad y exactitud num érica.

•

Ilustraciones. E n varias partes del libro se han agregado figuras y fotografías que proporcionan una clara referencia a la naturaleza tridim ensional de la ingeniería. H em os tratad o de ilustrar concep­ tos complicados o abstractos para instruir y poder motivar a los lecto­ res a través de lo visual.

Resúmenes.

Fotografías.

Problemas.

Contenido El libro está dividido en 14 capítulos. El capítulo 1 com ienza con un rep a­ so de los conceptos im portantes de la estática, seguido por definiciones form ales de los esfuerzos norm ales y cortantes, así como p o r un análisis del esfuerzo normal en m iem bros cargados axialm ente y del esfuerzo cor­ tante prom edio causado po r el cortante directo. E n el capítulo 2 se definen la deform ación unitaria norm al y cortante, y en el capítulo 3 se presenta una descripción de algunas de las p ro p ied a­ des m ecánicas de los m ateriales. Los capítulos 4 ,5 y 6 contienen, respec­ tivam ente, explicaciones de la carga axial, la torsión y la flexión. E n cada uno de esos capítulos se considera el com portam iento tanto lineal-elásti-

v iii

•

P r e f a c io

co com o plástico. También se incluyen tem as relacionados con concentra­ ciones de esfuerzo y esfuerzo residual. El cortante transversal se descri­ be en el capítulo 7, ju n to con una descripción de los tubos con pared del­ gada, flujo de cortante y del centro de cortante. El capítulo 8 m uestra un repaso parcial del m aterial presentado en los capítulos anteriores, y se des­ cribe el estado de esfuerzos causados por cargas combinadas. E n el capí­ tulo 9 se presentan los conceptos de transform ación de estados de esfuer­ zo multiaxial. En form a parecida, el capítulo 10 describe los m étodos de transform ación de deform ación unitaria, que incluyen la aplicación de va­ rias teorías de la falla. El capítulo 11 es un resum en y repaso más del m a­ terial anterior, describiendo aplicaciones al diseño de vigas y ejes. En el capítulo 12 se cubren varios métodos para calcular deflexiones de vigas y ejes. También se incluye una descripción del cálculo de las reacciones en esos miembros, cuando son estáticam ente indeterm inados. E l capítulo 13 presenta una descripción del pandeo en columnas y, por último, en el ca­ pítulo 14 se reseñan el problem a del im pacto y la aplicación de varios m é­ todos de energía para calcular deflexiones. Las secciones del libro que contienen m aterial más avanzado se identi­ fican con un asterisco (*). Si el tiem po lo perm ite, se pueden incluir algu­ nos de esos tem as en el curso. A dem ás, este m aterial es una referencia adecuada de los principios básicos,, cuando se usen en otros cursos, y se puede usar como base p ara asignar proyectos especiales.

Método alternativo . A lgunos profesores prefieren tratar prim ero las transform aciones de esfuerzos y deform aciones unitarias, antes de estu­ diar las aplicaciones específicas de la carga axial, la torsión, la flexión, y la fuerza cortante. U na m anera posible para hacerlo así es tratar prim ero el esfuerzo y sus transform aciones que se ven en los capítulos 1 y 9, seguido por la deform ación unitaria y sus transform aciones que se ven en el capí­ tulo 2 y en la prim era p a rte del capítulo 10. El análisis y problem as de ejemplo en estos capítulos se han form ulado para hacer esto posible. A de­ más, los conjuntos de problem as se han subdividido de m anera que este m aterial pueda ser cubierto sin un conocim iento previo de los capítulos intermedios. Los capítulos 3 al 8 pueden ser entonces estudiados sin p ér­ dida de continuidad.

Características especiales Organización y enfoque. El contenido de cada capítulo está orga­ nizado en secciones bien definidas que contienen una explicación de temas específicos, problem as de ejem plo ilustrativos y un conjunto de proble­ mas de tarea. Los tem as de cada sección están agrupados en subgrupos definidos por títulos. El propósito de esto es presentar un m étodo es­ tructurado para introducir cada nueva definición o concepto y hacer el libro conveniente para referencias y repasos posteriores. Contenido de los capítulos. Cada capítulo comienza con una ilustra­ ción que m uestra una aplicación del m aterial del capítulo. Se proporcio­ nan luego los “O bjetivos del capítulo” que proporcionan una vista gene­ ral del tem a que será tratado.

P r efa cio

Procedim ientos de análisis. Se presenta al final de varias secciones del libro con el objetivo de dar al lector una revisión o resum en del m a­ terial, así com o un m étodo lógico y o rdenado a seguir en el m om ento de aplicar la teoría. Los ejem plos se resuelven con el m étodo antes descrito a fin de clarificar su aplicación num érica. Sin em bargo, se entiende que una vez que se tiene dom inio de los principios relevantes y que se ha ob­ tenido el juicio y la confianza suficientes, el estudiante podrá desarrollar sus propios procedim ientos p ara resolver problem as. Fotografías. Se utilizan num erosas fotografías a lo largo de todo el li­ bro p ara explicar cóm o se aplican los principios de la mecánica a situacio­ nes del m undo real. Puntos im portantes. A q u í se proporciona un repaso o resum en de los conceptos fundam entales de una sección y se recalcan los tem as m e­ dulares que deban tom arse en cuenta al aplicar la teoría en la solución de problem as. Entendim iento conceptual. Por m edio de fotografías situadas a lo largo de todo el libro, se aplica la teoría de una m anera simplificada a fin de ilustrar algunas de las características conceptuales más im p o rtan tes que aclaran el significado físico de m uchos de los térm inos usados en las ecuaciones. Estas aplicaciones simplificadas increm entan el interés en el tem a y preparan m ejor al lector para en ten d er los ejem plos y a resolver los problem as. Problemas de tarea. M últiples problem as de este libro m uestran si­ tuaciones reales encontradas en la práctica de la ingeniería. Se espera que este realism o estim ule el interés p o r la ingeniería m ecánica y p roporcio­ ne la habilidad de reducir cualquiera de tales problem as desde su descrip­ ción física hasta el m odelo o representación sim bólica sobre los cuales se aplican los principios de la m ecánica. A lo largo del texto existe aproxi­ m adam ente igual núm ero de problem as que utilizan tanto las unidades SI com o las FPS. A dem ás, en cada conjunto de problem as se ha in ten ta­ do presentar éstos de acuerdo con el grado de dificultad en form a crecien­ te. Las respuestas a todos los problem as, excepto cada cuatro, se encuen­ tran listados al final del libro. P ara advertir al lector de un problem a cuya solución no aparezca en la lista m encionada, se ha colocado un asterisco (*) antes del núm ero del problem a. Las respuestas están dadas con tres cifras significativas, aún cuando los datos de las propiedades del m aterial se conozcan con una m enor exactitud. Todos los problem as y sus solucio­ nes se han revisado tres veces. U n sím bolo “c u ad ra d o ” (■) se usa para identificar problem as que requieren de un análisis num érico o una apli­ cación de com putadora. Repaso del capítulo. Los puntos clave del capítulo resum en en las nuevas secciones de repaso, a m enudo en listas con viñetas. Apéndices. C ontienen tem as de repaso y listas de datos tabulados. El apéndice A proporcio n a inform ación sobre centroides y m om entos de inercia de áreas. Los apéndices B y C contienen datos tabulados de p e r­ files estructurales y la deflexión y la pendiente de varios tipos de vigas y

•

ix

x

• P refacio

flechas. El apéndice D, llam ado “R epaso para el exam en de fundam entos de ingeniería”, contiene problem as típicos ju n to con sus soluciones p ar­ ciales com únm ente usados en exám enes de ingenieros profesionales. Estos problem as tam bién pueden usarse como práctica y repaso en la p repara­ ción de exám enes de clase.

Revisión de la exactitud. E sta nueva edición ha sido som etida a un riguroso escrutinio para garantizar la precisión del texto y de las páginas a las que se hace referencia. A dem ás de la revisión del autor de todas las figuras y m aterial de texto, Scott H endricks del Instituto Politécnico de Virginia y Kurt Norlin de los Servicios Técnicos Laurel, exam inaron to ­ das las páginas de prueba así como todo el m anual de soluciones. Suplem entos •

El autor preparó este m a­ nual cuya exactitud, tal como el texto del libro, fue verificada en tres ocasiones. Manual de soluciones para el profesor.

Course compass es una solución en línea ideal para ayudarle a dirigir su clase y a p rep arar conferencias, cuestio­ narios y exámenes. Con el uso de course compass, los profesores tienen un rápido acceso a los suplem entos electrónicos que le perm i­ ten incluir ilustraciones com pletas e im ágenes para sus presentacio­ nes en PowerPoint. Course compass hace accesibles las soluciones electrónicas (por seguridad en archivos individuales), y ayuda a ex­ hibir sólo las soluciones que usted elige en el sitio Web. Por favor no difunda estas respuestas en niguna dirección electrónica no pro­ tegida.

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Reconocimientos A lo largo de los años este texto ha incorporado muchas de las sugeren­ cias y com entarios de mis colegas en la profesión docente. Su estím ulo y buenos deseos de proporcionar una crítica constructiva son muy aprecia­ dos y espero que acepten este reconocim iento anónimo. Mi agradecimien­ to se extiende tam bién a los revisores de las varias ediciones previas. B. Aalami, San Francisco State University R. Alvarez, Hofstra University C. A m m erm an, Colorado School o f Mines S. Biggers, Clemson University R. Case, Florida Atlantic University R. Cook, University o fW isconsin— M adison J. Easley, University o fK a n sa s A. G ilat, Ohio State University I. Elishakoff, Florida Atlantic University H. Huntley, University o f M ichigan— Dearborn

J. Kayser, Lafayette College J. Ligon, Michigan Technological University A. Marcus, University o f R hode Island G. May, University o f N ew M exico D. Oglesby, University o f M issouri— Rolla D. Q uesnel, University o f Rochester S. Schiff, Clemson University C. Tsai, Florida Atlantic University P. Kwon, Michigan State University C. Lissenden, Penn State University D. Liu, Michigan State University T. W. Wu, The University o f Kentucky J. H ashem i, Texas Tech University A. Pelegri, Rutgers— The State University o f N ew Jersey W. Liddel, A uburn University at M ontgom ery Q uisiera dar las gracias particularm ente a Scott H endricks del Instituto Politécnico de Virginia quien revisó m inuciosam ente el texto y el m anual de soluciones de este libro. Tam bién hago extensiva mi gratitud a todos mis alum nos que han usado la edición previa y han hechos com entarios para m ejorar su contenido. Por últim o quisiera agradecer la ayuda de mi esposa, Cornelie (Conny) durante todo el tiem po que m e ha tom ado p rep arar el m anuscrito para su publicación. A preciaría mucho si usted en cualquier m om ento tiene com entarios o sugerencias respecto al contenido de esta edición. Russell Charles Hibbeler hibbeler@ bellsouth.net

C O N T E N I D O

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

1

3

Esfuerzo 3

Propiedades mecánicas de los materiales 85

Introducción 3 Equilibrio de un cuerpo deform able 4 Esfuerzo 22 Esfuerzo normal promedio en una barra cargada axialmente 24 Esfuerzo cortante prom edio 32 Esfuerzo perm isible 49

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

Pruebas de tensión y com presión 85 El diagram a de esfuerzo-deform ación unitaria 87 C om portam iento esfuerzo-deform ación unitaria de m ateriales dúctiles y frágiles 91 Ley de H ooke 94 E nergía de deform ación 96 R elación de Poisson 107 El diagram a de esfuerzo-deform ación unitaria en cortante 109

*3.8 F alla d e m a te r ia le s p o r flu jo p lá s tic o y p o r fa tig a 112

4

2

Carga axial 121

Deformación unitaria 69 2.1 2.2

D eform ación 69 D eform ación unitaria

4.1 4.2 70

Principio de Saint-V enant 121 D eform ación elástica de un m iem bro cargado axialm ente 124

x iv

•

C o n t e n id o

Principio de superposición 138 M iem bro estáticam ente indeterm inado cargado axialm ente 139 4.5 M étodo de las fuerzas p ara el análisis de m iem bros cargados axialm ente 145 4.6 Esfuerzo térm ico 154 4.7 C oncentraciones de esfuerzos 162 *4.8 D eform ación axial inelástica 168 *4.9 Esfuerzo residual 173

4.3 4.4

6.4 6.5 *6.6 *6.7 *6.8 6.9 *6.10 *6.11

La fórm ula de la flexión 295 Flexión asim étrica 313 Vigas com puestas 324 Vigas de concreto reforzado 331 Vigas curvas 333 C oncentraciones de esfuerzos 343 Flexión inelástica 352 Esfuerzo residual 361

5 Torsión 185 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 *5.6 *5.7 5.8 *5.9 *5.10

D eform aciones p o r torsión de una flecha circular 185 La fórm ula de la torsión 188 Transm isión de potencia 197 Á ngulo de torsión 206 M iem bros estáticam ente indeterm inados cargados con pares de torsión 221 Flechas sólidas no circulares 228 Tubos de pared delgada con secciones transversales cerradas 231 C oncentración de esfuerzos 242 Torsión inelástica 245 Esfuerzo residual 252

7 Esfuerzo cortante transversal 373 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5

Esfuerzo cortante en m iem bros rectos 373 La fórm ula del esfuerzo cortante 375 Esfuerzos cortantes en vigas 378 Flujo cortante en m iem bros com puestos 392 Flujo cortante en m iem bros de pared delgada 401 *7.6 C entro de co rtan te 406

6 Flexión 263 6.1 6.2

6.3

D iagram as de fuerza cortante y m om ento flexionante 263 M étodo gráfico para construir diagram as de fuerza cortante y m om ento flexionante 272 D eform ación p o r flexión de un m iem bro recto 291

8 Cargas combinadas 423 8.1 8.2

R ecipientes de presión de pared delgada 423 Estado de esfuerzo causado por cargas combinadas 429

C o n ten ido

9

9.3 9.4 9.5 9.6 9.7

Transform ación del esfuerzo plano 453 Ecuaciones generales de la transformación de esfuerzo plano 458 Esfuerzos principales y esfuerzo cortante máxim o en el plano 462 El círculo de M ohr (esfuerzo plano) 476 Esfuerzos en ejes, debidos a carga axial y a torsión 485 Variaciones de esfuerzos a través de una viga prismática 486 Esfuerzo cortante máxim o absoluto 492

xv

i i

Transformación de esfuerzo 453 9.1 9.2

•

Diseño de vigas y ejes 557 11.1 11.2 *11.3 *11.4

Base para el diseño de vigas 557 D iseño de vigas prism áticas 559 Vigas totalm ente esforzadas 573 D iseño de ejes 577

12 Deflexión de vigas y ejes 587

10 Transformación de deformación unitaria 505 10.1 D eform ación unitaria plana 505 10.2 Ecuaciones generales de transform ación de deform ación unitaria plana 507 *10.3 Círculo de M ohr (deform ación unitaria plana) 514 *10.4 D eform ación unitaria cortante m áxim a absoluta 522 10.5 R osetas de deform ación 525 10.6 Relaciones de propiedades de los m ateriales 530 *10.7 Teorías de la falla 542

12.1 La curva elástica 587 12.2 P endiente y desplazam iento por integración 591 *12.3 Funciones de discontinuidad 609 *12.4 P endiente y desplazam iento p o r el m étodo del m om ento de área 620 12.5 M étodo de superposición 634 12.6 Vigas y ejes estáticamente indeterm inados 641 12.7 Vigas y ejes estáticam ente indeterm inados (m étodo de integración) 642 *12-8 Vigas y ejes estáticam ente indeterm inados (m étodo del m om ento de área) 647 12.9 Vigas y ejes estáticam ente indeterm inados (m étodo de la superposición) 653

xvi

•

C o n t en id o

Apéndices

13 Pandeo de columnas 669 13.1 13.2 13.3 *13.4 *13.5 *13.6

Carga crítica 669 Columna ideal con soportes articulados 672 Columnas con diversos tipos de apoyos 678 La fórmula de la secante 689 Pandeo inelástico 697 Diseño de columnas para carga concéntrica 704 *13.7 Diseño de columnas por carga excéntrica 716

A. A .l A.2 A.3 A.4

Propiedades geométricas de un área 798 Centroide de un área 798 Momento de inercia de un área 801 Producto de inercia de un área 805 Momentos de inercia de un área respecto a ejes inclinados 807 A.5 El círculo de Mohr para momentos de inercia 809 B. Propiedades geométricas de los perfiles estructurales 815 C.

P en d ien tes y deflexiones en vigas

D.

Repaso para el examen de fundamentos de ingeniería 825

Respuestas 845 índice 863

14 Métodos de energía 727 14.1 Trabajo externo y energía de deformación 727 14.2 Energía de deformación elástica para varias clases de carga 732 14.3 Conservación de la energía 746 14.4 Carga de impacto 752 *14.5 Principio del trabajo virtual 762 *14.6 Método de las fuerzas virtuales aplicado a armaduras 766 *14.7 Método de las fuerzas virtuales aplicado a vigas 774 *14.8 Teorema de Castigliano 784 *14.9 Teorema de Castigliano aplicado a armaduras 786 *14.10 El teorema de Castigliano aplicado a vigas 790

823

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C A P I T U L O

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OBJETIVOS DEL CAPÍTULO

E n este capítulo repasarem os algunos principios im portantes de la estática y m os­ trarem os cóm o se usan para determ inar las cargas internas resultantes en un cuer­ po. D espués, presentarem os los conceptos de esfuerzo norm al y esfuerzo cortan­ te y se estudiarán las aplicaciones específicas del análisis y diseño de los m iem bros som etidos a una carga axial o a un cortante directo. — -

1.1

>

Introducción

La mecánica de m ateriales es una ram a de la m ecánica que estudia las relaciones entre las cargas externas aplicadas a un cuerpo deform able y la intensidad de las fuerza internas que actúan d en tro del cuerpo. E sta dis­ ciplina de estudio implica tam bién calcular las deformaciones del cuerpo y proveer un estudio de la estabilidad del mism o cuando está som etido a fuerzas externas. En el diseño de cualquier estructura o m áquina, es necesario prim ero , usar los principios de la estática para determ in ar las fuerzas que actúan sobre y dentro de los diversos m iem bros. El tam año de los miembros, sus deflexiones y su estabilidad dependen no sólo de las cargas internas, sino tam bién del tipo de m aterial de que están hechos. En consecuencia, una determ inación precisa y una com presión básica del com portam iento del material será de im portancia vital para d esarrollar las ecuaciones nece­ sarias usadas en la m ecánica de m ateriales. D ebe ser claro que m uchas fórm ulas y reglas de diseño, tal com o se definen en los códigos de inge­ niería y usadas en la práctica, se basan en los fundam entos de la m ecáni­ ca de m ateriales, y por esta razón es tan im portante entender los princi­ pios de esta disciplina.

3

4 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo

Desarrollo histórico. El origen de la m ecánica de m ateriales data de principios del siglo x v i i , cuando G alileo llevó a cabo experim entos para estudiar los efectos de las cargas en barras y vigas hechas de diversos m a­ teriales. Sin em bargo, para alcanzar un entendim iento apropiado de tales efectos fue necesario establecer descripciones experim entales precisas de las propiedades mecánicas de un m aterial. Los m étodos para hacer esto fueron considerablem ente m ejorados a principios del siglo xvm . E n aquel tiem po el estudio tanto experim ental com o teórico de esta m ateria fue em prendido, principalm ente en Francia, p or personalidades com o SaintV enant, Poisson, Lam é y Navier. D ebido a que sus investigaciones se ba­ saron en aplicaciones de la m ecánica a los cuerpos m ateriales, llam aron a este estudio “resistencia de m ateriales”. Sin embargo, hoy en día llamamos a lo mism o “m ecánica de los cuerpos deform ables” o sim plem ente, “m e­ cánica de m ateriales”. E n el curso de los años, y después de que muchos de los problem as fun­ dam entales de la m ecánica de m ateriales han sido resueltos, fue necesa­ rio usar m atem áticas avanzadas y técnicas de com putación para resolver problem as más complejos. Como resultado, esta disciplina se extendió a otras áreas de la m ecánica m oderna com o la teoría de la elasticidad y la teoría de la plasticidad. La investigación en estos cam pos continúa, no só­ lo p ara satisfacer las dem andas de solución a problem as de ingeniería de vanguardia, sino tam bién para justificar más el uso y las limitaciones en que se basa la teoría fundam ental de la m ecánica de materiales.

1.2

Equilibrio de un cuerpo deformable D eb id o a que la estática juega un papel esencial tan to en el desarrollo com o en la aplicación de la m ecánica de m ateriales, es muy im portante te n e r un buen conocim iento de sus principios fundam entales. Por esta ra­ zón repasarem os algunos de esos principios que serán usados a lo largo del texto.

Idealización de una fuerza

U n cuerpo p u ed e estar som etido a diversos tipos de cargas externas; sin em bargo, cualquiera de éstas puede clasificarse co­ mo fuerza de superficie o com o fuerza de cuerpo. Vea la figura 1-1. C a rg a s e x t e r n a s .

Fuerza de superficie

Idealización de una carga lincalmcnte distribuida Fig. 1-1

Fuerza de cuerpo

Fuerzas de superficie. Com o su nom bre lo indica, las fu erzas de super­ fic ie son causadas por el contacto directo de un cuerpo con la superficie de otro. E n todos los casos, esas fuerzas están distribuidas sobre el área de contacto entre los cuerpos. En particular si esta área es pequeña en com ­ paración con el área total del cuerpo, entonces la fuerza superficial puede idealizarse com o una sola fu erza concentrada, que es aplicada a un p u n to sobre el cuerpo. Por ejemplo, esto podría hacerse para representar el efecto del suelo sobre las ruedas de una bicicleta al estudiar la carga so­ b re ésta. Si la carga superficial es aplicada a lo largo de un área estrecha, la carga puede idealizarse com o una carga linealm ente distribu ida, w(s). A q u í la carga se mide com o si tuviese una intensidad de fuerza/longitud a lo largo del área y se representa gráficam ente por una serie de flechas a lo largo de la línea s. L a fu erza resultante FR de m>(s) es equivalente a l área bajo la curva de carga distribuida, y esta resultante actúa a través d el centroide C o centro geom étrico de esta área. La carga a lo largo de la longitud de una viga es un ejem plo típico en el que es aplicada a m enu­ do esta idealización.

S e c c ió n

1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable

• 5

F u e rz a de cuerpo. U na fu erza de cuerpo se desarrolla cuando un cuer­ po ejerce una fuerza sobre o tro cuerpo sin contacto físico directo entre los cuerpos. Ejem plos de esto incluyen los efectos causados p o r la gravi­ tación de la Tierra o por su cam po electrom agnético. A unque las fuerzas de cuerpo afectan cada una de las partículas que form an el cuerpo, esas fuerzas se representan norm alm ente po r una sola fuerza concentrada ac­ tuando sobre el cuerpo. E n el caso de la gravitación, esta fuerza se llama el peso del cuerpo y actúa a través del centro de gravedad del mismo.

Reacciones en los soportes. Las fuerzas de superficie que se desarro­ llan en los soportes o puntos de contacto en tre cuerpos se llam an reaccio­ nes. E n problem as bidim ensionales, es decir, en cuerpos som etidos a sis­ tem as de fuerzas coplanares, los soportes m ás com únm ente encontrados se m uestran en la tabla 1-1. O bserve cuidadosam ente el sím bolo usado para rep resen tar cada so p o rte y el tipo de reacciones que ejerce en su m iem bro asociado. E n general, siem pre pu ed e d eterm in arse el tipo de reacción de soporte im aginando que el m iem bro unido a él se traslada o gira en una dirección particular. S i el soporte im pide la traslación en una dirección dada, entonces una fu erza debe desarrollarse sobre el m iem ­ bro en esa dirección. Igualm ente, si se im pide una rotación, debe ejer­ cerse un m om ento sobre el m iem bro. Por ejemplo, un soporte de rodillo sólo puede im pedir la traslación en la dirección del contacto, perpendicu­ lar o norm al a la superficie. Por consiguiente, el rodillo ejerce una fuerza norm al F sobre el m iem bro en el pu n to de contacto. Como el m iem bro puede girar librem ente respecto al rodillo, no puede desarrollarse un m o­ m ento sobre el miembro.

Muchos elementos de máquinas son conec­ tados por pasadores para permitir la rota­ ción libre en sus conexiones. Esos soportes ejercen una fuerza sobre un miembro, pero no un momento.

T A B L A 1-1 Tipo de conexión

Reacción

Tipo de conexión

Reacción

Ecuaciones de equilibrio. E l equilibrio de un m iem bro requiere un balance de fuerzas para im pedir que el cuerpo se traslade o tenga m ovi­ m iento acelerado a lo largo de una trayectoria recta o curva, y un balance de m om entos para im pedir que el cuerpo gire. Estas condiciones pueden expresarse m atem áticam ente con las dos ecuaciones vectoriales:

2F = 0 2M 0 = 0

A quí, X F representa la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el cuer­ po y 2 M q es la sum a de los m om entos de todas las fuerzas respecto a cualquier punto O sobre o fuera del cuerpo. Si se fija un sistem a coorde­ nado x , y , z con el origen en el punto O, los vectores fuerza y m om ento pueden resolverse en com ponentes a lo largo de los ejes coordenados y las dos ecuaciones an terio res p u ed en escribirse en form a escalar com o seis ecuaciones, que son:

2Fv = 0 2M , = 0

2Fy = 0 2My = 0

= 0 ■LMZ = 0

( 1-2 )

A m enudo, en la práctica de la ingeniería la carga sobre un cuerpo p u e­ de representarse com o un sistem a de fuerzas coplanares. Si es éste el ca­ so y las fuerzas se encuentran en el plano x -y, entonces las condiciones para el equilibrio del cuerpo pueden especificarse por medio de sólo tres ecuaciones escalares de equilibrio; éstas son:

2 F V= 0 2Fy = 0

(1-3)

= 0

E n este caso, si el p u n to O es el origen de coordenadas, entonces los m o­ m entos estarán siem pre dirigidos a lo largo del eje z, que es perpendicu­ lar al plano que contiene las fuerzas. La correcta aplicación de las ecuaciones de equilibrio requiere la espe­ cificación com pleta de todas las fuerzas conocidas y desconocidas que ac­ túan sobre el cuerpo. L a m ejor manera de tom ar en cuenta esas fu erzas es dibujando el diagram a de cuerpo libre del cuerpo. Es obvio que si el diagram a de cuerpo libre está dibujado correctam ente, los efectos de to ­ das las fuerzas y m om entos aplicados serán tom ados en cuenta cuando se escriban las ecuaciones de equilibrio.

S e c c ió n

1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable

(a) Fig. 1-2

Cargas internas resultantes. U na de las aplicaciones más im portan­ tes de la estática en el análisis de problem as de la mecánica de m ateria­ les es poder determ inar la fuerza y m om ento resultantes que actúan d en ­ tro de un cuerpo y q u e son necesarias p ara m a n ten er unido al c u e rp o ’ cu an d o éste está so m etid o a cargas ex tern as. P or ejem plo, co n sid ere el cuerpo m ostrado en la figura 1-2a, que es m antenido en equilibrio por las cuatro fuerzas externas.* Para o b ten er las cargas internas que actúan sobre una región específica d en tro del cuerpo es necesario usar el m éto ­ do de las secciones. E sto requiere hacer una sección im aginaria o “co rte” a través de la región donde van a determ inarse las cargas internas. Las dos partes del cuerpo son separadas y se dibuja un diagram a de cuerpo libre de una de las partes, figura l-2£>. Puede verse aquí que existe realm ente una distribución de la fuerza interna que actúa sobre el área “expuesta” de la sección. Esas fuerzas rep resen tan los efectos del m aterial de la p a r­ te superior del cuerpo actuando sobre el m aterial adyacente de la parte inferior. A unque la distribución exacta de la carga interna puede ser des­ conocida, podem os usar las ecuaciones de equilibrio para relacionar las fuerzas externas sobre el cuerpo con la fuerza y m om ento resultantes de la distribución , F R y M r q , en cualquier p u n to específico O sobre el área seccionada, figura l-2c. Al hacerlo así, note que actúa a través del p u n ­ to O , aunque su valor calculado no d ep en d e de la localización de este punto. Por otra parte, M Ro, sí depende de esta localización, ya que los b ra­ zos de mom ento deben extenderse de O a la línea de acción de cada fuerza externa sobre el diagram a de cuerpo libre. Se m ostrará en partes p o ste­ riores del texto que el punto O suele escogerse en el centroide del área seccionada, y así lo considerarem os aquí a m enos que se indique o tra cosa. A dem ás, si un m iem bro es largo y delgado, com o en el caso de una barra o una viga, la sección p o r considerarse se tom a generalm ente perpendicu­ lar al eje longitudinal del miembro. A esta sección se le llama sección trans­ versal.

*E1 peso del cuerpo no se muestra, ya que se supone que es muy pequeño y, por tanto, despreciable en comparación con las otras cargas.

• 7

Momento de torsión Fuerza normal

Fuerza cortante Momento flexionante

(C)

(d) Fig. 1-2 (cont.)

Tres dim ensiones. V erem os después en este texto cóm o relacionar las cargas resultantes. y M /^ , con la distribución de fuerza sobre el área sec­ cionada y desarrollarem os ecuaciones que puedan usarse para el análisis y diseño del cuerpo. Sin em bargo, para hacer esto deben considerarse las com ponentes de F^ y M r0>actuando norm al o perpendicularm ente al área seccionada y dentro del plano del área, figura 1-2d. C uatro tipos diferen­ tes de cargas resultantes pueden entonces definirse com o sigue: F uerza norm al, N. E sta fuerza actúa perpendicularm ente al área. Ésta se desarrolla siem pre que las fuerzas externas tienden a em pujar o a jalar sobre los dos segm entos del cuerpo. Fuerza cortante, V. La fuerza cortante reside en el plano del área y se desarrolla cuando las cargas externas tienden a ocasionar que los dos seg­ m entos del cuerpo resbalen uno sobre el otro. M om ento to rsionante o torca, T. E ste efecto se desarrolla cuando las cargas externas tienden a torcer un segm ento del cuerpo con respecto al otro. M om ento flexionante, M. El m om ento flexionante es causado por las cargas externas que tienden a flexionar el cuerpo respecto a un eje que se encuentra d en tro del plano del área. E n este texto, advierta que la representación de un m om ento o una to r­ ca se m uestra en tres dim ensiones com o un vector con una flecha curva asociada. Por la regla de la m ano derecha, el pulgar da el sentido de la fle­ cha del vector y los dedos recogidos indican la tendencia de rotación (to r­ sión o flexión). U sando un sistem a coordenado x,y , z , cada una de las car­ gas anteriores puede ser determ inada directam ente de las seis ecuaciones de equilibrio aplicadas a cualquier segm ento del cuerpo.

S e c c ió n

1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable

• 9

Fuerza cortante V M 0 Momento flexionante

N Fuerza normal

Fig. 1-3

Cargas coplanares. Si el cuerpo está sometido a un sistema de fuerzas coplanares. figura l-3a. entonces sólo existen en la sección com ponen­ tes de fuerza normal, de fuerza cortante y de momento flexionante. figu­ ra 1-3b. Si usamos los ejes coordenados x.y, z, con origen en el punto O como se muestra en el segmento izquierdo, entonces una solución direc­ ta para N se puede obtener aplicando 2 Fx = 0, y V se puede obtener di­ rectamente de 2 Fv = 0. Finalmente, el m omento flexionante M 0 se pue­ de determ inar directamente sumando momentos respecto al punto O (el eje z), 2 M0 = 0, para eliminar los momentos causados por las incógnitas N y V.

PUNTOS IMPORTANTES La mecánica de materiales es un estudio de la relación entre las cargas externas sobre un cuerpo y la intensidad de las cargas in­ ternas dentro del cuerpo. Las fuerzas externas pueden ser aplicadas a un cuerpo como car­ gas distribuidas o cargas de superficie concentradas, o bien como fuerzas de cuerpo que actúan sobre todo el volumen del cuerpo. Las cargas linealmente distribuidas producen una fuerza resultan­ te que tiene una magnitud igual al área bajo el diagrama de car­ ga y una posición que pasa por el centroide de esa área. Un soporte produce una fuerza en una dirección particular sobre su miembro correspondiente si ésta impide traslación del miembro en esa dirección y él produce un momento de par sobre el miem­ bro si él impide una rotación. Las ecuaciones de equilibrio 2 F = 0 y 2 M = 0 deben ser satis­ fechas para prevenir que un cuerpo se traslade con movimiento acelerado o que gire. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio, es im portante dibujar pri­ mero el diagrama de cuerpo libre del cuerpo para poder lomar en cuenta todos los términos en las ecuaciones. El método de las secciones se usa para determ inar las cargas internas resultantes que actúan sobre la superficie del cuerpo sec­ cionado. En general, esas resultantes consisten en una fuerza normal, una fuerza cortante, un mom ento torsionante y un mo­ mento flexionante.

Para diseñar los miembros de este mar­ co de edificio, es necesario primero en­ contrar las cargas internas en varios pun­ tos a lo largo de su longitud.

PROCEDIMIENTOS DE ANÁLISIS El método de las secciones se usa para determ inar las cargas internas resultantes en un punto localizado sobre la sección de un cuerpo. Pa­ ra obtener esas resultantes, la aplicación del método de las secciones requiere considerar los siguientes pasos. Reacciones en los soportes. • Decida primero qué segmento del cuerpo va a ser considerado. Si el segmento tiene un soporte o conexión a otro cuerpo, enton­ ces antes de que el cuerpo sea seccionado, es necesario determ i­ nar las reacciones que actúan sobre el segmento escogido del cuerpo. Dibuje el diagrama de cuerpo libre de todo el cuerpo y luego aplique las ecuaciones necesarias de equilibrio para obte­ ner esas reacciones. Diagram a de cuerpo libre. • Mantenga todas las cargas distribuidas externas, los momentos de flexión, los momentos de torsión y las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en sus posiciones exactas, luego haga un corte imagina­ rio por el cuerpo en el p u n to ’donde van a determinarse las car­ gas internas resultantes. • Si el cuerpo representa un miembro de una estructura o disposi­ tivo mecánico, la sección es a m enudo tomada perpendicularmen­ te al eje longitudinal del miembro. • Dibuje un diagrama de cuerpo libre de uno de los segmentos “cor­ tados” e indique las resultantes desconocidas N, V, M y T en la sección. Esas resultantes son usualmente colocadas en el punto que representa el centro geométrico o centroide del área seccio­ nada. • Si el miembro está sometido a un sistema coplanar de fuerzas, só­ lo N, V y M actúan en el centroide. • Establezca los ejes coordenados x, y, z con origen en el centroi­ de y muestre las componentes resultantes que actúan a lo largo de los ejes. Ecuaciones de equilibrio. • Los momentos deben sumarse en la sección, respecto a cada uno de los ejes coordenados donde actúan las resultantes. Al hacerlo así se eliminan las fuerzas desconocidas N y V y es posible en­ tonces determ inar directamente M (y T). • Si la solución de las ecuaciones de equilibrio da un valor negati­ vo para una resultante, el sentido direccional supuesto de la re­ sultante es opuesto al mostrado en el diagrama de cuerpo libre.

Los siguientes ejemplos ilustran num éricam ente este procedim iento y también proporcionan un repaso de algunos de los principios im portan­ tes de la estática.

S e cció n 1 .2

E J E M P L O

Equilibrio de un cuerpo deformable

'| g | -----------------------------------------------

Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal en C de la viga m ostrada en la figura 1-4a.

B

(a) Fig. 1-4

Solución

Reacciones en el soporte. Este problema puede ser resuelto de la m a­ nera más directa considerando el segmento CB de la viga, ya que en­ tonces las reacciones en A no tienen que ser calculadas. Diagrama de cuerpo libre. Si hacemos un corte imaginario perpen­ dicular al eje longitudinal de la viga, obtenem os el diagrama de cuer­ po libre del segmento CB m ostrado en la figura 1-4b. Es importante m antener la carga distribuida exactam ente donde está sobre el seg­ mento hasta después que el corte se ha hecho. Sólo entonces debe es­ ta carga reemplazarse por una sola fuerza resultante. Note que la in­ tensidad de la carga distribuida en C se determ ina por triángulos semejantes, esto es, de la figura 1-4a, w/6 m = (270 N /m )/9 m, w 180 N/m. La magnitud de la carga distribuida es igual al área bajo la curva de carga (triángulo) y actúa a través del centroide de esta área. Así, F = t(180 N /m )(6 m) = 540 N, que actúa a 1/3 (6 m) = 2 m de C, como se muestra en la figura 1-46. Ecuaciones de equilibrio. tenemos 2 Fx = 0;

-N c = 0

135 N

Resp.

90 N/m [ i

Vc - 540 N = 0 Vc = 540 N

l + I M c = 0;

(b)

Aplicando las ecuaciones de equilibrio ob-

Nc = 0 + t 2 F V= 0;

540 N

- • = - 180 N/m

Mr

1215 N !

Resp.

- M c - 540 N(2 m) = 0 Mc = -1080 N -m

540 N

3645

Resp.

El signo negativo indica que Mc actúa en dirección opuesta a la mos­ trada en el diagrama de cuerpo libre. Trate de resolver este problema usando el segmento AC, obteniendo prim ero las reacciones en el so­ porte A , que son dadas en la figura l-4c.

t|

N-ra'yl

-1.5 m 0.5 m

• 11

12 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo

E J E M P L O

------------------------------------------------------------------------------------------Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal en C de la flecha de la máquina m ostrada en la figura l-5a. La flecha está soportada por chumaceras en A y B, que ejercen sólo fuerzas verticales sobre la flecha.

(800 N /m )(0.150 m) = I2 0 N

225 N

- 200 mm 100 50 mm

50 mm

(a) Fig. 1-5

Solución

Resolveremos este problema usando el segmento AC de la flecha.

40 N ,

Reacciones en el soporte. En la figura 1-5b se muestra un diagrama de cuerpo libre de toda la flecha. Como el segmento A C va a ser con­ siderado, sólo la reacción en A tiene que ser considerada. ¿Por qué? i + l M B = 0 ;- A V(OAOO m) + 120 N(0.125 m) - 225 N (0.100 m) = 0 >1,, = -18.75 N El signo negativo para A v indica que ésta actúa en sentido opuesto al mostrado sobre el diagrama de cuerpo libre. Diagrama de cuerpo libre. Si realizamos un corte imaginario perpen­ dicular al eje de la flecha por C, obtenemos el diagrama de cuerpo li­ bre del segmento A C mostrado en la figura l-5c. Ecuaciones de equilibrio. ^

2 F , = 0;

+ t 2 Fy = 0; 1 + 1 Mc = 0;

Nc - 0

Resp.

-18.75 N - 40 N - Vc = 0 Vc = -5 8 .8 N Resp. Mc + 40 N(0.025 m) + 18.75 N(0.250 m) = 0 Mc = -5 .6 9 N • m

R esp.

¿Qué indican los signosnegativos de Vc y Mc? Como ejercicio, calcu­ le la reacción enB ytrate de obtener los mismosresultados usando el segmento CBD de la flecha.

S eccióm1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable

E J E M P L O

-----------------------------------------------

El montacargas en la figura 1-6a consiste en la viga A B y en las poleas unidas a ella, en el cable y en el motor. Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal en C si el motor es­ tá levantando la carga W de 500 Ib con velocidad constante. Desprecie el peso de las poleas y viga.

0.5 pie

*

5001b

—► N

r. .

M ,-

- 4.5 pies -

I

5 001b

Fig. 1-6

(b)

Solución

La manera más directa de resolver este problema es seccionar el cable y la viga en C y luego considerar todo el segmento izquierdo. Diagrama de cuerpo libre.

Vea la figura 1-66.

Ecuaciones de equilibrio. i

S F t = 0:

+ f S F,. = 0;

500 Ib + Nc = 0 -5 0 0 Ib - Vc = 0

Nc = -5 0 0 Ib Vc = -5 0 0 Ib

Resp. Resp.

1+ I M C = 0; 500 Ib (4.5 pies) - 500 Ib (0.5 pies) + M c = 0 Me = -2000 Ib • pie

Resp.

Como ejercicio, trate de obtener esos mismos resultados consideran­ do el segmento de viga A C , es decir, retire la polea en A de la viga y muestre las componentes de la fuerza de 500 Ib de la polea actuando sobre el segmento de viga AC.

• 13

14 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo

E J E M P L O

□ Determ ine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal en G de la viga de madera mostrada en la figura 1-7«. Supon­ ga que las juntas en A , 5 , C, D y E están conectadas por pasadores.

Solución

Reacciones en los soportes. Consideraremos el segmento A G para el análisis. Un diagrama de cuerpo libre de toda la estructura se muestra en la figura 1-7¿>. Verifique las reacciones calculadas en E y C. En par­ ticular, note que BC es un miembro de dos fuerzas ya que sólo dos fuer­ zas actúan en él. Por esta razón la reacción en C debe ser horizontal tal como se muestra. Como BA y BD son también miembros de dos fuerzas, el diagrama de cuerpo libre de la junta B es como se muestra en la figura 1.7c. De nuevo, verifique las magnitudes de las fuerzas calculadas FBA y FBD. 15001b

7750 Ib

••' (] ii- - H Í |—2 pies —*j' r W VC (d)

Diagrama de cuerpo libre. Usando el resultado para F«/i- la sección izquierda AG de la viga se muestra en la figura \-ld . Ecuaciones de equilibrio. segmento AG , tenemos 2 Fx = 0; + t 2 Fy = 0;

Aplicando las ecuaciones de equilibrio al

7750 l b ( |) + Nc = 0

Nc = - 6 2 0 0 Ib

- 1 5 0 0 Ib + 7750 l b ( |) - VG = 0

VG = 3150 Ib

Fig. 1-7

i + 2 Mc = 0;

Resp.

Resp.

Mc ~ (7750 lb)(§) (2 pies) + 1500 lb(2 pies) = 0 M g = 6300 Ib • pie

Resp.

Como ejercicio, calcule esos mismos resultados usando el segmen­ to GE.

S e c c ió n

1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable

E J E M P L O Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal en B del tubo m ostrado en la figura 1-8«. El tubo tiene una masa de 2 kg/m y está sometido a una fuerza vertical de 50 N y a un par de momento de 70 N • m en su extremo A . El tubo está em potra­ do en la pared en C. Solución

El problema se puede resolver considerando el segmento A B . que no implica las reacciones del soporte en C. Diagrama de cuerpo libre. Los ejes x, y, z. se fijan en B y el diagra­ ma de cuerpo libre del segmento A B se m uestra en la figura l-8¿. Las componentes de fuerza y mom ento resultantes en la sección se supo­ ne que actúan en las direcciones coordenadas positivas y que pasan por el centroide del área transversal en B. El peso de cada segmento de tu­ bo se calcula como sigue:

70 N-m

(a)

WBD = (2 k g /m )(0.5 m)(9.81 N /kg) = 9.81 N WAD = (2 k g /m )(1.25 m)(9.81 N /kg) = 24.525 N Estas fuerzas actúan por el centro de gravedad de cadg segmento. Ecuaciones de equilibrio. equilibrio, obtenemos*

Aplicando las seis ecuaciones escalares de

^ F.x ~ Oí 2 Fy = 0;

(^b).v = 0 ( FB)y = 0

1 Fz = 0;

(Fb ) z - 9.81 N - 24.525 N - 50 N = 0 (Fb ) z = 84.3 N

Resp. Resp.

fFü);

Resp.

2 (M b), = 0; (M b ) x + 70 N • m - 50 N (0.5 m) - 24.525 N (0.5 m) - 9.81 N (0.25 m) = 0 ( M b ) x = —30.3 N -m

Resp.

l ( M B)y = 0: (M B)y + 24.525 N (0.625 m) + 50 N (1.25 m) = 0 (M B)y = -77.8 N -m Z (M

b )z

-

(M

b)z

= 0

Resp. R e s P-

¿Qué indican los signos negativos de (MB)Xy ( M ^ y Note que la fuer­ za norm al N B = (FB) V = 0, m ientras que la fuerza cortante es VB = V (0 )2 + (84.3)2 = 84.3 N. Adem ás, el m om ento torsionante es Tb = (M b) v = 77.8 N • m y el m om ento flexionante es M¡¡ =

V(30.3)2+(0) 1/2 = 30.3 N ■m. *La m agnitud de cada m o m en to resp ec to a un eje es igual a la m agnitud de cada fuer­ za p o r la distancia p erp en d icu lar del eje a la línea de acción de la fuerza. L a dirección de cad a m om ento es d eterm in ad a u san d o la regla de la m ano derecha, con m om entos positivos (pulgar) dirigidos a lo largo de los ejes co o rd en ad o s positivos.

70 N-m

(b) Fig. 1-8

• 15

16 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo

PROBLEMAS 1-1. Determ ine la fuerza normal interna resultante que actúa sobre la sección transversal por el punto A en cada columna. En (a), el segmento BC pesa 180 lb/pie y el seg­ m ento CD pesa 250 lb/pie. En (b), la columna tiene una masa de 200 kg/m.

1-3. D eterm ine el par interno resultante que actúa sobre las secciones transversales por los puntos B y C.

5 klb

10 pies

*1-4. Determine la fuerza normal y cortante internas re­ sultantes en el miembro en (a) la sección a-a y (b) la sec­ ción b-b, cada una de las cuales pasa por el punto A . La carga de 500 Ib está aplicada a lo largo del eje centroidal del miembro.

4 pies

4 pies

(a)

(b) P r n b . 1-1

1-2. Determine el par interno resultante que actúa sobre las secciones transversales por los puntos C y D. Los co­ jinetes de soporte en A y B perm iten el libre giro de la flecha. 1-5. D eterm ine las cargas internas resultantes que ac­ túan sobre la sección transversal a través del punto D del miembro A B . 50 mm

Prob. 1-2

50 mm

P r o b le m a s

1-6. La viga A B está articulada por un pasador en A y soportada por un cable BC. D eterm ine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal en el punto D.

•

17

1-9. Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal por el punto C. La unidad en­ friadora tiene un peso total de 52 klb y su centro de gra­ vedad en G.

1-7. Resuelva el problema 1-6 para las cargas internas re­ sultantes que actúan en el punto E. F

Probs. 1-6/7 Prob. 1-9

y

*1-8. La viga A B está em potrada en la pared y tiene un peso uniforme de 80 Ib/pic. Si el gancho soporta una car­ ga de 1500 Ib. determine las cargas internas resultantes que actúan sobre las secciones transversales por los puntos C y D.

1-10. D eterm ine las cargas internas resultantes que ac­ túan sobre las secciones transversales por los puntos D y E de la estructura.

Prob. 1-8

Probs. 1-10/11

1-11. D eterm ine las cargas internas resultantes que ac­ túan sobre las secciones transversales por los puntos F y G de la estructura.

18 .

CAPÍTULO 1 Esfuerzo

*1-12. Determ ine las cargas internas resultantes que ac­ túan sobre (a) la sección a-a y (b) la sección b-b. Cada sec­ ción pasa por el centroide en C.

1-15. La carga de 800 Ib está siendo izada a velocidad constante usando el motor M que tiene un peso de 90 Ib. D eterm ine las cargas internas resultantes que actúan so­ bre la sección transversal por el punto B en la viga. La viga tiene un peso de 40 Ib /pie y está empotrada en la pa­ red en A . *1-16. Determ ine las cargas internas resultantes que ac­ túan sobre la sección transversal por los puntos C y D e n el problem a 1-15.

M

11.5pies . ÍM z — L □ f t . i c-7 B-^ p T? *— 4p ies—-—4pies— -—3pies— —3pies— •— 4pies—0.25 p i e '

1-13. Determ ine las cargas internas resultantes que ac­ túan sobre la sección transversal por'el punto C en la vi­ ga. La carga D tiene una masa de 300 kg y está siendo iza­ da por el m otor M con velocidad constante.

Probs. 1-15/16

1-14. D eterm ine las cargas internas resultantes que ac­ túan sobre la sección transversal por el punto E de la viga en el problem a 1-13. 1-17. D eterm ine las cargas internas resultantes que ac­ túan sobre la sección transversal en el punto B.

60 Ib/pie

Probs. 1-13/14

Prob. 1-17

P r o b le m a s

1-18. La viga soporta la carga distribuida mostrada. D e­ termine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal por el punto C. Suponga que las reac­ ciones en los soportes A y B son verticales. 1-19. Determine las cargas internas resultantes que ac­ túan sobre la sección transversal por el punto D en el pro­ blema 1-18.

19

1-21. La perforadora de vástago metálico está sometida a una fuerza de 120 N en su mango. Determ ine la magni­ tud de la fuerza reactiva en el pasador A y en el eslabón corto BC. D eterm ine también las cargas internas resultan­ tes que actúan sobre la sección transversal que pasa por D en el mango. 1-22. Resuelva el problema 1-21 para las cargas internas resultantes sobre la sección transversal que pasa por E y en una sección transversal del eslabón corto BC.

1.5 kN/m

*1-20. La charola de servicio T usada en un avión está soportada en cada lado por un brazo. La charola está co­ nectada por un pasador al brazo en A , y en B tiene un pa­ sador liso. (El pasador puede moverse dentro de la ranu­ ra en los brazos para poder plegar la charola contra el asiento del pasajero al frente cuando aquella no está en uso.) D eterm ine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal por el punto C del brazo cuan­ do el brazo de la charola soporta las cargas mostradas.

Probs. 1-21/22

1-23. El tubo tiene una masa de 12 kg/m. Considerando que está em potrado en la pared en A . determ ine las car­ gas internas resultantes que actúan sobre la sección trans­ versal en B. Desprecie el peso de la palanca CD.

12 N

15 ram

Prob. 1-20

Prob. 1-23

20 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo

*1-24. La viga principal A B soporta la carga sobre el ala del avión. Las cargas consisten en la reacción de la rueda de 35 000 Ib en C, el peso de 1200 Ib de combustible en el tanque del ala, con centro de gravedad en D y el peso de 400 Ib del ala con centro de gravedad en E. Si está em po­ trada al fuselaje en A , determ ine las cargas internas resul­ tantes sobre la viga en este punto. Suponga que el ala no transmite ninguna de las cargas al fuselaje, excepto a tra­ vés de la viga. z

1-26. La flecha está soportada en sus extremos por dos cojinetes A y B y está sometida a las fuerzas aplicadas a las poleas fijas a la flecha. D eterm ine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal en el punto C. Las fuerzas de 300 N actúan en la dirección —z y las fuerzas de 500 N actúan en la dirección +x. Los cojine­ tes en A y B ejercen sólo componentes .v y z de fuerza so­ bre la flecha.

z

35 000 ib

Prob. 1-24

1-25. D eterm ine las cargas internas resultantes que ac­ túan sobre la sección transversal por el punto B del letre­ ro. El poste está em potrado en el suelo y una presión uni­ forme de 7 Ib/pie2 actúa perpendicularm ente sobre la cara del letrero.

1-27. U na manivela de prensa tiene las dimensiones mos­ tradas. D eterm ine las cargas internas resultantes que ac­ túan sobre la sección transversal en A si se aplica una fuer­ za vertical de 50 Ib a la manivela como se muestra. Suponga que la manivela está em potrada a la flecha en B.

z

' ’50 Ib

Prob. 1-25

Prob. 1-27

P r o b le m a s

*1-28.

Determ ine las cargas internas resultantes que ac­ túan sobre la sección transversal por los puntos F y G de la estructura. El contacto en E es liso.

•

21

1-31. La barra curva A D de radio r tiene un peso w por unidad de longitud. Si ésta se encuentra en un plano ver­ tical, determine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal por el punto B. Sugerencia: la distancia del centroide C del segmento A B al punto O es O C = [2rsen(0/2)]/0.

801b

Prob. 1-31

1-29. El vástago del perno está sometido a una tensión de 80 Ib. Determ ine las cargas internas resultantes que ac­ túan sobre la sección transversal en el punto C.

*1-32.

La barra curva A D de radio /■tiene un peso w por unidad de longitud. Si ésta se encuentra en un plano hori­ zontal, determ ine las cargas internas resultantes que ac­ túan sobre la sección transversal por el punto B. Sugeren­ cia: la distancia del centroide C del segmento A B al punto O es CO = 0.9745/'.

Prob. 1-29

1-30. Determ ine las cargas internas resultantes que ac­ túan sobre la sección transversal en los puntos B y C del miembro curvo.

1-33. Se m uestra en la figura un elem ento diferencial tomado de una barra curva. Demuestre que clN/dO = V, dV /d d = - N , d M /d d = - T y d T /d O = M.

M +iiM

T+dT

22 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo

1.3

Esfuerzo

Fig. 1-9

'

En la sección 1.2 mostramos que la fuerza y el m omento que actúan en un punto específico sobre el área seccionada de un cuerpo, figura 1-9, representan los efectos resultantes de la d istrib u ció n de fu e r z a verdadera que actúa sobre el área seccionada, figura 1-96. La obten­ ción de esta d istrib u ció n de carga interna es de importancia prim or­ dial en la mecánica de materiales. Para resolver este problem a es ne­ cesario establecer el concepto de esfuerzo. Consideremos el área seccionada como subdividida en pequeñas áreas, tal como el área sombreada de AA m ostrada en la figura 1-10«. Al reducir AA a un tamaño cada vez más pequeño, debemos hacer dos hipótesis respecto a las propiedades del material. C onsiderare­ mos que el material es continuo, esto es, que consiste en una distri­ bución uniforme de materia que no contiene huecos, en vez de estar compuesto de un número finito de moléculas o átomos distintos. A de­ más, el material debe ser cohesivo, es decir, que todas sus partes es­ tán unidas entre sí, en vez de tener fracturas, grietas o separaciones. Una fuerza típica finita pero muy pequeña AF. actuando sobre su área asociada AA , se m uestra en la figura 1-lOa. Esta fuerza como todas las otras, tendrá una dirección únicá, pero para el análisis que sigue la reemplazaremos por sus tres co m p o n e n tes, AFV, AFVy AF-, que se to­ man tangente y normal al área, respectivamente. Cuando el área AA tiende a cero, igualmente tienden a cero la fuerza AF y sus compo­ nentes: sin embargo, el cociente de la fuerza y el área tenderán en ge­ neral a un límite finito. Este cociente se llama e sfu erzo y describe la in ten sid a d d e la fu e r z a interna sobre un p la n o específico (área) que pasa por un punto.

S e c c ió n 1 .3

Esfuerzo normal. La intensidad de fuerza, o fuerza por área unitaria, actuando normalmente a AA se define como el esfuerzo normal, a (sigma). Como dFj es normal al área, entonces, túan gura terza itenmors neleñas -10a. lacer rareiistriestar Adees esiones, i área todas sue la se to­ ja AA >mpoen geib e la i ) que

)

I7 = 2.5 kN V = 2.5 kN

r

Í|

5 kN

J

i

fuerza de la barra sobre el puntal

5 kN

5 kN (c)

3.12 MPa (e)

(d)

Fig. 1-25

S e c c ió n

1.5 Esfuerzo cortante promedio

E J E M P L O do de la pauerzo s plaabccl.

El miembro inclinado en la figura 1-26« está sometido a una fuerza de compresión de 600 Ib. Determ ine el esfuerzo de compresión promedio a lo largo de las áreas lisas de contacto definidas por A B y BC, y el es­ fuerzo cortante prom edio a lo largo del plano horizontal definido por EDB. ,600 Ib

i libre ionde iagraiconie ca-

/¡a

Resp. Fig. 1-26 360 ib

Solución

Resp. i sec25d y a elebre la uerzo ítos y

Cargas internas. El diagrama de cuerpo libre del miembro inclinado se muestra en la figura l-26¿>. Las fuerzas de compresión que actúan sobre las áreas de contacto son 2 Fx = 0;

Fab - 600 lb(f) = 0

FAB = 360 Ib

+ T2 Fy = 0;

Fbc - 600 lb(f) = 0 FBC = 480 Ib / También, del diagrama de cuerpo libre del segmento superior del miem­ bro del fondo, figura l-26c. la fuerza cortante que actúa sobre el plano horizontal seccionado E D B es ± X F x = 0;

V = 360 Ib

240

Esfuerzo promedio. Los esfuerzos de compresión promedio a lo lar­ go de los planos horizontal y vertical del miembro inclinado son aAB (rBC -

360 Ib = 240 lb/pulg (1 pulg)(1.5 pulg)

Resp.

480 Ib = 160 lb/pulg2 (2 pulg)(1.5 pulg)

Resp.

Estas distribuciones de esfuerzo se muestran en la figura 1-26d. El esfuerzo cortante promedio que actúa sobre el plano horizontal definido por ED B es 360 Ib V - = (3 pulg)(1.5 pulg) = 80 lb/P ul§'

ResP-

Este esfuerzo se muestra distribuido sobre el área seccionada en la figu­ ra l-26e.'

(d)

3601b

• 39

40

CAPÍTULO 1 Esfuerzo

PROBLEMAS 1-34. La colum na está som etida a una fuerza axial de 8 kN en su parte superior. Si el área de su sección trans­ versal tiene las dimensiones mostradas en la figura, deter­ mine el esfuerzo normal prom edio que actúa en la sección a-a. Muestre esta distribución del esfuerzo actuando sobre la sección transversal de la columna.

Prob. 1-34

1-35. El grillete de anclaje soporta la fuerza del cable de 600 Ib. Si el pasador tiene un diámetro de 0.25 pulg, deter­ mine el esfuerzo cortante promedio en el pasador.

Prob. 1-35

*1-36. Al correr, el pie de un hombre de 150 Ib está mo­ m entáneam ente sometido a una fuerza que es 5 veces su peso. Determ ine el esfuerzo normal prom edio desarrolla­ do en la tibia T de su pierna en la sección media a-a. La sección transversal puede suponerse circular con diám e­ tro exterior de 1.75 pulg y un diám etro interior de 1 pulg. Suponga que el peroné F no soporta carga.

Prob. 1-36

1-37. Ei pequeño bloque tiene un espesor de 0.5 pulg. Si la distribución de esfuerzo en el soporte desarrollado por la carga varía como se muestra, determ ine la fuerza F apli­ cada al bloque y la distancia d a la que está aplicada.

Prob. 1-37

■ Pr o blem a s

mossu ollat. La ime-

1-38. El pequeño bloque tiene un espesor de 5 mm. Si la distribución de esfuerzo en el soporte desarrollado por la carga varía como se muestra, determine la fuerza F apli­ cada al bloque y la distancia d a la que está aplicada.

41

*1-40. La rueda de soporte se mantiene en su lugar bajo la pata de un andamio por medio de un pasador de 4 mm de diámetro como se muestra en la figura. Si la rueda es­ tá som etida a una fuerza norm al de 3 kN, determ ine el esfuerzo cortante prom edio generado en el pasador. D es­ precie la fricción entre la pata del andamio y el tubo sobre la rueda.

5U lg-

60 MPa 40 MPa

Prob. 1-38

1-39. La palanca está unida a la flecha em potrada por medio de un pasador cónico que tiene un diám etro medio de 6 mm. Si se aplica un par a la palanca, determ ine el es­ fuerzo cortante prom edio en el pasador, entre el pasador y la palanca. ilg. Si por la apli-

1-41. U na mujer con peso de 175 Ib está de pie sobre un piso vinflico con zapatos de tacón puntiagudo. Si el tacón tiene las dim ensiones mostradas, determ ine el esfuerzo normal promedio que ella ejerce sobre el piso y com páre­ lo con el esfuerzo normal promedio generado cuando un hombre del mismo peso lleva zapatos de tacones planos. Suponga que la carga se aplica lentam ente de manera que puedan ignorarse los efectos dinámicos. Suponga también que todo el peso es soportado sólo por el tacón de un za­ pato.

1.2 pulg-

0.3 pulg

-Ht—o.i pulg 0.5 pulg

Prob. 1-39

Prob. 1-41

42 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo

1-42. La lámpara con un peso de 50 Ib está soportada por tres barras de acero conectadas por un anillo en A . D eter­ mine cuál barra está sometida al mayor esfuerzo normal promedio y calcule su valor. Considere d = 30°. El diám e­ tro de cada barra se da en la figura. 1-43.

1-46. Los dos miembros de acero están unidos entre sí por medio de una soldadura a tope a 60°. Determ ine los esfuerzos normal y cortante promedio resistidos en el pla­ no de la soldadura.

Resuelva el problema 1-42 para 0 = 45°.

*1-44. La lámpara con un peso de 50 Ib está soportada por tres barras de acero conectadas por un anillo en A . D eter­ mine el ángulo de orientación 9 de A C tal que el esfuerzo normal producido en la barra A C sea el doble del esfuer­ zo normal promedio en la barra A D . ¿Cuál es la magnitud del esfuerzo en cada barra? El diám etro de cada barra se da en la figura.

A , 25 mm

■c

8kN -

Z -------sí

8kN

60° 30 mm

Prob. 1-46

1-47. La flecha compuesta consiste en un tubo A B y en una barra sólida BC. El tubo tiene un diám etro interior de 20 mm y un diámetro exterior de 28 mm. La barra tiene un diám etro de 12 mm. D eterm ine el esfuerzo norm al p ro­ medio en los puntos D y E y represente el esfuerzo sobre un elem ento de volumen localizado en cada uno de esos puntos.

Probs. 1-42/43/44 ___

El pedestal tiene una sección transversal triangu­ lar como se muestra. Si está sometido a una fuerza com­ presiva de 500 Ib, especifique las coordenadas x y y del pun­ to P(x, y ) en que debe aplicarse la carga sobre la sección transversal para que el esfuerzo norm al sea uniform e. Calcule el esfuerzo y esboce su distribución sobre una sec­ ción transversal en una sección alejada del punto de apli­ cación de la carga. 1-45.

5001b

Prob. 1-45

A

B _ 6kN

. j. D

r t ~

, «■ M=a - ^ 8 k N

6kN

E

Prob. 1-47

*1-48. La pieza de madera está som etida a una fuerza de tensión de 85 Ib. Determ ine los esfuerzos normal y cor­ tante prom edio desarrollados en las fibras de la madera orientadas a lo largo de la sección a-a a 15° con respecto el eje de la pieza.

Prob. 1-48

1

P ro b lem a s

e si los )la-

1-49. El bloque de plástico está som etido a una fuerza axial de compresión de 600 N. Suponiendo que las tapas arriba y en el fondo distribuyen la carga uniform emente a través del bloque, determ ine los esfuerzos normal y cor­ tante promedio que actúan a lo largo de la sección a-a.

•

43

*1-52. La junta está sometida a la fuerza axial de miem­ bro de 5 kN. D eterm ine el esfuerzo normal promedio que actúa en las secciones A B y BC. Suponga que el miembro es liso y que tiene 50 mm de espesor.

600 N

5kN

y en >r de e un proabre esos

Prob. 1-52

1-53. La junta está sometida a la fuerza axial de miem­ bro de 6 klb. D eterm ine el esfuerzo normal prom edio que actúa sobre las secciones A B y BC. Suponga que el miem­ bro es liso y que tiene 1.5 pulg de espesor.

Prob. 1-49

1-50. El espécimen falló en una prueba de tensión a un ángulo de 52° cuando la carga axial era de 19.80 klb. Si el diámetro del espécimen es de 0.5 pulg, determ ine los es­ fuerzos normal y cortante prom edio que actúan sobre el plano inclinado de falla. Además, ¿cuál fue el esfuerzo nor­ mal prom edio que actuaba sobre la sección transversal cuando ocurrió la falla?

le r z a

cor­ dera jecto

Prob. 1-53 Prob. 1-50

.a

1-51. Un espécimen a tensión con área A en su sección transversal está sometido a una fuerza axial P. Determine el esfuerzo cortante máximo promedio en el espécimen e indique la orientación 0 de la sección en que éste ocurre.

1-54. Los dos miembros usados en la construcción del fu­ selaje de un avión están unidos entre sí usando una solda­ dura de boca de pescado a 30°. D eterm ine los esfuerzos normal y cortante promedio sobre el plano de cada solda­ dura. Suponga que cada plano inclinado soporta una fuer­ za horizontal de 400 libras.

85 Ib

pulg P ■*-

rr*'

/

Prob. 1-51

8001b-

' 1 pulg 1 pulg

30° 8001b

T 30'

Prob. 1-54

44 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo

1-55. El conductor de un auto deportivo aplica los fre­ nos traseros, lo que ocasiona que los neumáticos se desli­ cen. Si la fuerza normal en cada neumático trasero es de 400 Ib y el coeficiente de fricción cinética entre los neum á­ ticos y el pavimento es de ¡xk = 0.5, determ ine el esfuerzo cortante prom edio desarrollado por la fuerza de fricción sobre los neumáticos. Suponga que el caucho de los neu­ máticos es flexible y que cada neumático tiene una presión de 32 lb/pulg2.

1-58. Las barras de la arm adura tienen cada una un área transversal de 1.25 pulg2. D eterm ine el esfuerzo normal prom edio en cada barra debido a la carga P = 8 klb. Indi­ que si el esfuerzo es de tensión o de compresión. 1-59. Las barras de la arm adura tienen cada una un área transversal de 1.25 pulg2. Si el esfuerzo normal pro­ medio máximo en cualquier barra no debe ser mayor de 20 klb/pulg2,determ ine la magnitud máxima / ’ de las car­ gas que pueden aplicarse a la armadura.

400 Ib

Prob. 1-55 Probs. 1-58/59

*1-56. Las barras A B y B C tienen diámetros de 4 mm y 6 mm, respectivamente. Si la carga de 8 kN se aplica al ani­ llo en fi, determ ine el esfuerzo normal promedio en cada barra si 0 = 60°. 1-57. Las barras A B y B C tienen diám etros de 4 mm y 6 mm, respectivamente. Si la carga vertical de 8 kN se apli­ ca al anillo en B. determine el ángulo 9 de la barra BC de m anera que el esfuerzo normal promedio en ambas barras sea el mismo. ¿Q ué valor tiene este esfuerzo?

*1-60. La arm adura está form ada p o r tres m iem bros conectados por pasadores; las áreas transversales de los miembros se muestran en la figura. D eterm ine el esfuer­ zo norm al prom edio generado en cada barra cuando la arm adura está sometida a la carga mostrada. Indique si el esfuerzo es de tensión o de compresión.

5001b

Probs. 1-56/57

Prob. 1-60

P ro blem a s

1-61. La viga uniforme está soportada por dos barras A B y CD cuyas áreas transversales son de 12 mm2 y 8 mm2, respectivamente. Si d = 1 m, determine el esfuerzo normal prom edio en cada barra. 1-62. La viga uniforme está soportada por dos barras A B y CD cuyas áreas de sección transversal son de 12 mm2 y 8 mm2, respectivamente. Determine la posición d de la car­ ga de 6 kN para que el esfuerzo normal prom edio en am­ bas barras sea el mismo.

• 45

1-65. El bastidor de dos miembros está sometido a la car­ ga distribuida mostrada. D eterm ine la intensidad w de la carga uniform e máxima que puede aplicarse al bastidor sin que los esfuerzos normal y cortante promedios en la sección b-b excedan los valores a = 15 MPa y r = 16 MPa, respectivamente. El miembro CB tiene una sección trans­ versal cuadrada de 35 mm de lado.

Probs. 1-61/62

1-63. La lámpara usada para iluminar el enganche de va­ gones de ferrocarril está soportada por el pasador de i pulg de diám etro en A . Si la lámpara pesa 4 Ib y el brazo tiene un peso de 0.5 Ib/pie, determine el esfuerzo cortante pro­ medio en el pasador necesario para soportar la lámpara. Sugerencia: la fuerza cortante en el pasador es causada por el par requerido para el equilibrio en A .

*1-64. El bastidor de dos miembros está som etido a la carga distribuida que se muestra en la siguiente figura. D e­ term ine los esfuerzos normal y cortante prom edio que ac­ túan en las secciones a-a y b-b. El miembro CB tiene una sección transversal cuadrada de 35 mm de lado. Conside­ re w = 8 kN/m.

Probs. 1-64/65

■1-66. Considere el problema general de una barra hecha de m segmentos, cada uno con área transversal constante A m y longitud L m. Si se tienen« cargas sobre la barra como se muestra, escriba un programa de com putadora que pue­ da usarse para determinar el esfuerzo normal promedio en cualquier posición específica x. Muestre una aplicación del program a usando los valores = 4 pies, d-y - 2 pies, P\ - 400 Ib, A] = 3 pulg2, L,2 = 2 pies, d2 = 6 pies, P2 = —300 Ib, ^42 = 1 pulg2-

Prob. 1-66

46 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo

1-67. La viga está soportada por un pasador en A y un eslabón corto BC. Si P = 15 kN, determine el esfuerzo cor­ tante promedio desarrollado por los pasadores en A , B y C. Todos los pasadores están en cortante doble, como se m uestra y cada uno tiene un diám etro de 18 mm. *1-68. La viga está soportada por un pasador en A y un eslabón corto BC. D eterm ine la magnitud máxima P de las cargas que la viga soportará si el esfuerzo cortante pro­ m edio en cada pasador no debe ser m ayor de 80 MPa. Todos los pasadores están en cortante doble y cada uno tiene un diámetro de 18 mm.

1-70. La grúa pescante está sostenida por un pasador en A y soporta un elevador de cadena que puede viajar a lo largo del patín inferior de la viga, 1 pie s x s 12 pies. Si el elevador puede soportar una carga máxima de 1500 Ib, de­ term ine el esfuerzo normal máximo promedio en el tiran­ te B C de diámetro | pulg y el esfuerzo cortante máximo promedio en el pasador de diámetro de | pulg en B.

M

Probs. 1-67/68

1-69. Cuando la mano sostiene una piedra de 5 Ib, el hú­ mero H, que se supone liso, ejerce las fuerzas normales Fc y Fa sobre el radio C y el cúbito A , respectivamente, co­ mo se muestra. Si la m enor área de sección transversal del ligamento en B es de 0.30 pulg2, determ ine el máximo es­ fuerzo de tensión promedio a que estará sometido.

Prob. 1-70

1-71. D eterm ine el esfuerzo normal prom edio desarro­ llado en los eslabones A B y CD de las tenazas que sopor­ tan el tronco con masa de 3 Mg. El área de la sección trans­ versal de cada eslabón es de 400 mm2.

1

Prob. 1-69

Prob. 1-71

P ro blem a s

*1-72. Determine el esfuerzo cortante promedio desarro­ llado en los pasadores A y B de las tenazas que soportan el tronco con masa de 3 Mg. Cada pasador tiene un diá­ metro de 25 mm y está sujeto a un cortante doble.

•

47

1-74. El pedestal en forma de tronco cónico está hecho de concreto con peso específico de 150 lb/pie3. D eterm i­ ne el esfuerzo normal promedio que actúa a media altura del pedestal, esto es, a z = 4 pies. Sugerencia: el volumen de un cono de radio r y altura h es V = i irr2h.

z

Prob. 1-74

1-73. El pedestal en forma de tronco cónico está hecho de concreto con peso específico de 150 lb/pie3. D eterm i­ ne el esfuerzo normal promedio que actúa en la base del pedestal. Sugerencia: el volumen de un cono de radio r y altura h es V = ¿ 77t2/¡.

z

Prob. 1-73

1-75. La columna está hecha de concreto con densidad de 2.30 Mg/m3. E n su parte superior B está sometida a una fuerza de compresión axial de 15 kN. Determ ine el esfuer­ zo normal promedio en la columna en función de la dis­ tancia z medida desde su base. Nota: el resultado será útil solamente para determ inar el esfuerzo normal promedio en una sección alejada de los extremos de la columna, de­ bido a la deformación localizada en los extremos.

48 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo

*1-76. La pila está hecha de material con peso específi­ co y. Si tiene una sección transversal cuadrada, determine su ancho w en función de z, de manera que el esfuerzo nor­ mal promedio en la pila permanezca constante. La pila so­ porta una carga constante P en su parte superior, donde su ancho es w\.

1-78. El radio del pedestal está definido p or r = (0.5e”ao8’'2) m, donde y está dada en metros. Si el material tiene una densidad de 2.5 M g/m3, determ ine el esfuerzo normal promedio en el soporte.

r = 0.5e“° 08'"

Prob. 1-78 Prob. 1-76

1-77. El pedestal soporta una carga P en su centro. Si el m aterial tiene una densidad de masa p, determ ine la di­ mensión radial r en función de z, de manera que el esfuer­ zo norm al prom edio perm anezca constante. La sección transversal es circular.

1-79. Determine la velocidad angular máxima constante u>del volante de manera que el esfuerzo normal prom e­ dio en su pestaña no sea mayor que er = 15 MPa. Supon­ ga que la pestaña es un anillo delgado con espesor de 3 mm, ancho de 20 mm y masa de 30 kg/m. La rotación tiene lugar en un plano horizontal. Desprecie el efecto de los rayos en el análisis. Sugerencia: considere un diagrama de cuerpo libre de una porción semicircular del anillo. El centro de masa de un segmento semicircular está en r = 2 r/ir des­ de el diámetro.

Prob. 1-79

S e c c ió n

1.6

1.6 Esfuerzo permisible

• 49

Esfuerzo permisible

U n ingeniero a cargo del diseño de un miembro estructural o elemento mecánico debe restringir el esfuerzo en el material a un nivel que sea se­ guro. Además, una estructura o máquina corrientem ente en uso puede en ocasiones tener que ser analizada para ver qué carga adicional pueden so­ portar sus miembros o partes. Así que nuevamente es necesario efectuar los cálculos usando un esfuerzo permisible o seguro. Para garantizar la seguridad es necesario escoger un esfuerzo permisi­ ble que limite la carga aplicada a un valor que sea menor al que el miem­ bro pueda soportar plenamente. Hay varias razones para esto. Por ejem­ plo, la carga para la cual el miembro se diseña puede ser diferente de la carga real aplicada sobre él. Las medidas previstas para una estructura o máquina pueden no ser exactas debido a errores en la fabricación o en el montaje de las partes componentes. Pueden ocurrir vibraciones descono­ cidas, impacto o cargas accidentales que no se hayan tom ado en cuenta durante el diseño. La corrosión atmosférica, el decaimiento o las condi­ ciones ambientales tienden a que los materiales se deterioren durante el servicio. Finalmente, algunos materiales, como la m adera, el concreto o los compuestos reforzados con fibras, pueden m ostrar alta variabilidad en sus propiedades mecánicas. Una manera de especificar la carga permisible para el diseño o análisis de un miembro es usar un número llamado factor de seguridad. El factor de seguridad (FS) es la razón de la carga de falla, Ffa|la, dividida entre la car­ ga permisible, /’’pernv La Ffa),a se determ ina por medio de ensayos experi­ mentales del material y el factor de seguridad se selecciona con base en la experiencia, de manera que las incertidumbres mencionadas antes sean tomadas en cuenta cuando el miembro se use en condiciones similares de carga y simetría. Expresado matemáticamente, FS =

falla

(1-8)

perm

Si la carga aplicada al miembro está linealmente relacionada al esfuer­ zo desarrollado dentro del miembro, como en el caso de usar a = P /A y Tpr°m = V /A , entonces podemos expresar el factor de seguridad como larazón del esfuerzo de falla articu:ión, su

(1-11)

itonces

(1-12)

ida una a un esrzos dis cuales

El área la fueracción onside-

(c)

Área de la sección transversal de un conector sometido a cor­ tante. A menudo los pernos o pasadores se usan para conectar placas, tablones o varios miembros entre sí. Por ejemplo, considere la junta tras­ lapada mostrada en la figura 1-28«. Si el perno está suelto o la fuerza de agarre del perno es desconocida, es seguro suponer que cualquier fuerza de fricción entre las placas es despreciable. El diagrama de cuerpo libre de una sección que pasa entre las placas y a través del perno se muestra en la figura 1-286. El perno está sometido a una fuerza cortante interna re­ sultante de V = P en esta sección transversal. Suponiendo que el esfuer­ zo cortante que causa esta fuerza está distribuido uniformemente sobre la sección transversal, el área A de la sección transversal del perno se deter­ mina como se muestra en la figura l-28c. Área requerida para resistir aplastamiento. Un esfuerzo normal producido por la compresión de una superficie contra otra se denomina esfuerzo de aplastamiento. Si este esfuerzo es demasiado grande, puede aplastar o deform ar localmente una o ambas superficies. Por tanto, para impedir una falla es necesario determ inar el área apropiada de apoyo pa­ ra el material, usando un esfuerzo de aplastamiento permisible. Por ejem­ plo, el área A de la placa B de base de la columna mostrada en la figura 1-29 se determina a partir del esfuerzo permisible de aplastamiento del concreto, usando la ecuación A = P/(,o-b)petm. Esto supone, desde luego, que el esfuerzo permisible de aplastamiento para el concreto es menor que el del material de la placa de base y además que el esfuerzo está unifor­ memente distribuido entre la placa y el concreto, como se muestra en la figura.

penn

Fig. 1-29

51

52 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo

Área requerida para resistir el cortante causado por carga axial. Ocasionalmente las barras u otros miembros son soportados en forma tal que puede desarrollarse un esfuerzo cortante en el miembro aun cuando éste esté sometido a carga axial. Un ejemplo de esta situación sería una barra de acero cuyo extremo esté em potrado en concreto y se encuentre cargado como se m uestra en la figura l-30a. Un diagrama de cuerpo libre de la barra, figura 1-306, muestra que un esfuerzo cortante actúa sobre el área de contacto de la barra con el concreto. Esta área es ( 7 7 d)l, donde d es el diám etro de la barra y / es la longitud del em potramiento. Si bien la distribución real del esfuerzo cortante a lo largo de la barra sería difícil de determinar, si suponemos que es uniforme, podemos usar/4 = V /T perm pa­ ra calcular /, siempre que conozcamos d y rperm, figura 1-306.

PUNTOS IMPORTANTES

Esfuerzo cortante uniforme

• El diseño de un miembro por resistencia se basa en la selección de un esfuerzo admisible que permita soportar con seguridad su carga propuesta. Hay muchos factores desconocidos que pueden influir en el esfuerzo real en un miembro y entonces, dependien­ do de los usos propuestos para el miembro, se aplica un factor de seguridad para obtener la carga admisible que el miembro pue­ de soportar. • Los cuatro casos ilustrados en esta sección representan sólo unas pocas de las muchas aplicaciones de las fórmulas para los esfuer­ zos normal y cortante promedio usadas en el diseño y análisis en ingeniería. Sin embargo, siempre que esas ecuaciones son aplica­ das, debe ser claro que la distribución del esfuerzo se supone uni­ formemente distribuida o “promediada" sobre la sección.

PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS Al resolver problemas usando las ecuaciones del esfuerzo normal pro­ medio y del esfuerzo cortante promedio, debe prim ero considerarse cuidadosamente sobre qué sección está actuando el esfuerzo crítico. Una vez identificada esta sección, el miembro debe entonces diseñar­ se con suficiente área en la sección para resistir el esfuerzo que actúe sobre ella. P ara determ inar esta área, se requieren los siguientes pasos. Carga interna. • Seccione el miembro por el área y dibuje un diagrama de cuer­ po libre de un segmento del miembro. La fuerza interna resultan­ te en la sección se determina entonces usando las ecuaciones de equilibrio. Área requerida. • Si se conoce o puede determinarse el esfuerzo permisible, el área requerida para soportar la carga en la sección se calcula enton­ ces C O n A P A-^pcrm O /I V / tpemr

S e c c ió n

E J E M P L O

1.7 Diseño de conexiones simples • 53

1.13

Los dos miembros están unidos por pasadores en B como se muestra en la figura 1-31 a. Se muestran también en la figura dos vistas superio­ res de las conexiones por pasador en A y B. Si los pasadores tienen un esfuerzo cortante permisible rperm = 12.5 klb/pulg2 y el esfuerzo per­ misible de tensión de la barra CB es (o-,)perm = 16.2 klb/pulg2, deter­ mine el diámetro más pequeño, con una aproximación a pulg, de los pasadores A y B y el diám etro de la barra CB, necesarios para sopor­ tar la carga.

(a) Fig. 1-31

Solución La barra CB es un miembro de dos fuerzas; el diagrama de cuerpo li­ bre del miembro A B , junto con las reacciones calculadas en A y B. se muestran en la figura 1-31 b. Como ejercicio, verifique los cálculos y no­ te que la fuerza resultante en A debe usarse para el diseño del pasador A, ya que ésta es la fuerza cortante que el pasador resiste.

333 klb

Continúa

54 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo

Pasador en A

Pasador en B (c)

D iám etro de los pasadores. De la figura 1-31« y los diagramas de cuerpo libre de la porción seccionada de cada pasador en contacto con el miembro A B , figura l-31c, vemos que el pasador A está sometido a cortante doble, mientras que el pasador B está sometido a cortante sim­ ple. Entonces,

i2.5 kib/puig2 * 01139

mtib/pui^ '

02661

' Á í)

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‘

°'583plllg

Aunque estos valores representan los diámetros más pequeños permi­ sibles para los pasadores, deberá escogerse un tam año de pasador co­ mercial. Escogeremos un tamaño mayor con una aproximación a ^ pulg como se requiere. d A = ~ pulg = 0.4375 pulg

Resp.

d B = | pulg = 0.625 pulg

Resp.

Diám etro de la barra. El diámetro requerido para la barra en su sec­ ción media es entonces: ,

_ BC

P

_

(o-í)perm

3.333klb _ nnfíKQ . 2 _ í á £ 16.2 klb/pulg2 ' ?U & H 4

dBC = 0.512 pulg Escogeremos d[¡c = ^ pulg = 0.5625 pulg

Resp.

S e cció n

1.7 Diseño de conexiones simples • 55

E J E M P L O El brazo de control está sometido a la carga mostrada en la figura 1-32a. Determine el diámetro requerido, con una aproximación de ¿ pulg, para el pasador de acero en C si el esfuerzo cortante permisible para el ace­ ro es 7perm = 8 lb/pulg2. A dvierta en la figura que el pasador está so­ metido a cortante doble.

(b)

Solución

Fuerza cortante interna. Un diagrama de cuerpo libre del brazo se muestra en la figura \-32b. Por equilibrio tenemos, 1+ 2 Mc = 0; Fab(8 pulg) - 3 klb(3 pulg) - 5 klp(f)(5 pulg) = 0 F ab = 3 klb ^ I F t = 0;

- 3 klb - C , + 5 klb(f) = 0

+ t 2 Fy = 0;

C , = 1 klb

Cy - 3 klb - 5 k1b(|) = 0

6.082 klb

Cy = 6 klb 3.041 klb

El pasador en C resiste la fuerza resultante en C. Por lo tanto,

3.041 klb Pasador en C

Fc = V ( l k l b ) 2 + (6 klb)2 = 6.082 klb

(c)

Como el pasador está sometido a cortante doble, una fuerza cortante de 3.041 klb actúa sobre su área transversal entre el brazo y cada ho­ ja de soporte para el pasador, figura l-32c. Área requerida. A =

Tenemos V 'perm

3.041 klb = 0.3802 pulg2 8 klb/pulg= 0.3802 pulg2 d = 0.696 pulg

Usaremos un pasador con diám etro de d = ~ pulg = 0.750 pulg

Resp.

Fig. 1-32

La barra colgante está soportada en su extremo por un disco circular em potrado a ella, como se m uestra en la figura 1-33«. Si la barra pasa por un agujero con diámetro de 40 mm, determ ine el diámetro míni­ mo requerido de la barra y el espesor mínimo del disco necesario pa­ ra soportar la carga de 20 kN. El esfuerzo normal permisible para la barra es crperm = 60 MPa y el esfuerzo cortante permisible para el dis­ co es rperm = 35 MPa. — ] 40 mm I—

Fig. 1-33

Solución Diám etro de la barra. Por inspección, la fuerza axial en la barra es de 20 kN. El área transversal requerida para la barra es entonces P 20(103) N 2 = 0.3333(10 J) n r A = ------- = — -— 7 7 — . °"pcrm 60(10 ) N /irr De m anera que A = n f ^ p í = 0.3333(10“2) m2 4 d = 0.0206 m = 20.6 mm

Resp.

Espesor del disco. Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre de la sección del núcleo del disco, figura 1-336, el material en el área seccionada debe resistir esfuerzos cortantes para impedir el movimien­ to del disco a través del agujero. Si se supone que este esfuerzo cortan­ te está uniformemente distribuido sobre el área seccionada, entonces, como V = 20 kN, tenemos: V 20(10 ) N , . , A = ------ = ------- -----------7 = 0.571 10-3 m2 35(10 ) N /m v ' Como el área seccionada A = 2 tt(0.02 m)(/), el espesor requerido del disco es: 0.5714(10-3) m2 f = —„ ” — r— = 4.55(10-3) m = 4.55 mm 2 tt( 0 .0 2 m )

v

’

Resp.

S e c c ió n 1 .7

E J E M P L O

Diseño de conexiones simples • 57

1.16

Una carga axial sobre la flecha mostrada en la figura 1-34« es resistida por el collarín en C que está unido a la flecha y localizado a la derecha del cojinete en B. Determ ine el máximo valor de P para las dos fuer­ zas axiales en E y F, de manera que el esfuerzo en el collarín no exce­ da un esfuerzo de aplastamiento permisible en C de (ab )perm = 75 MPa y que el esfuerzo normal prom edio en la flecha no exceda un esfuerzo de tensión permisible de (cr,)perm = 55 MPa.

Carga

axial

Fig-1-34

3P 2P Posición

(c)

Solución Para resolver el problema determ inarem os P para cada condición po­ sible de falla. Luego escogeremos el valor más pequeño. ¿Por qué? Esfuerzo normal. Usando el método de las secciones, vemos que la carga axial dentro de'la región FE de la flecha es 2P. mientras que la car­ ga axial máxima, 3P, ocurre dentro de la región EC, figura l-34£>. La variación de la carga interna se ve claramente en el diagrama de fuer­ za normal, figura l-34c. Como el área transversal de toda la flecha es constante, la región EC estará sometida al esfuerzo normal promedio máximo. Aplicando la ecuación 1-11, tenemos: P

A

3P

55(106) N /m 2 = \ / / 7t-(0.03 m )2

P = 51.8 kN Esfuerzo de aplastamiento. Como se muestra en el diagrama de cuer­ po libre en la figura 1-34d, el collarín en C debe resistir la carga de 3P, que actúa sobre un área de apoyo de A h = [7r(0.04m)2 - 7r(0.03m)2] = 2.199(10-3) m2. Entonces, P A = ------- ; ^perm

^P 75(106) N /m 2 = -------------=---- r ' 2.199(10“3) m2 P = 55.0 kN

En comparación, la carga máxima que puede aplicarse a la flecha es P = 51.8 kN, ya que cualquier carga mayor que ésta ocasionará que el esfuerzo normal permisible en la flecha se exceda.

3P (d )

58 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo

E J E M P L O La barra rígida A B mostrada en la figura l-35a está soportada por una barra de acero AC que tiene un diámetro de 20 mm y por bloque de alu­ minio que tiene un área transversal de 1800 mm2. Los pasadores de diám etro de 18 mm en A y C están sometidos a cortante simple. Si el esfuerzo de falla para el acero y el aluminio son (a-ac)faUa = 680 MPa y (°ai)faiia = 70 MPa, respectivamente, y el esfuerzo cortante de falla pa­ ra cada pasador es r{alia = 900 MPa, determ ine la carga máxima P que puede aplicarse a la barra. Aplique un factor de seguridad FS de 2. Solución Usando las ecuaciones 1-9 y 1-10, los esfuerzos permisibles son , s (tf'ac)falla 680 MPa (o’ac)falla = = ------ ----- = 340 MPa FS 2 , , (^aOfalla 70 MPa ( ^al)falla = - 0 - = — ^---- = 35 MPa FS 2 Tfalla 900 MPa Aenxtr, Tfalla = -==- = ----------- = 450 MPa FS 2 El diagrama de cuerpo libre para la barra se m uestra en la figura 1-356. Se tienen tres incógnitas. Aplicaremos aquí las ecuaciones de equilibrio para expresar FÁC y FB en términos de la carga P aplicada. Tenemos ii+ 2 M

b

= 0;

P(1.25 m) -

FAC{2 m) = 0

(1)

l + '2 M A

= 0;

Fb(2 m) -

P(0.75 m) = 0

(2)

Determinarem os ahora cada valor de P que genera el esfuerzo per­ misible en la barra, bloque y pasadores, respectivamente. Barra AC.

Se requiere

Fac = K c W A ac) = 340(106) N /m 2[7r(0.01 m )2] = 106.8 kN Usando la ecuación 1, Bloque B.

(106.8 kN) 2 m ) P = ----- — --- ----- - = 171 kN 1.25 m En este caso,

F ¡¡ = (o-3\)permA B = 35(106) N/m2[1800mm2(10_6)m 2/m m 2] = 63.0kN Usando la ecuación 2, Pasador A o C. V

(63.0 kN)(2 m) P = ----- — ---------- = 168 kN 0.75 m Aquí

= Fac = TpermA = 450(106) N /m 2[7r(0.009 m )2] = 114.5 kN

De la ecuación 1,

114.5 kN (2m ) P = ----- — H ------L = 183 kN 1.25 m Por comparación, cuando P alcanza su valor más pequeño (168 kN), se genera el esfuerzo normal permisible en el bloque de aluminio. Por consiguiente, P = 168 kN Resp.

P ro blem a s

•

59

PROBLEMAS *1-80. El miembro B está sometido a una fuerza de com­ presión de 800 Ib. Si A y B están hechos de madera y tie­ nen § pulg de espesor, determ ine con una aproximación de j pulg la dimensión h más pequeña del soporte para que el esfuerzo cortante prom edio no sea m ayor que Tpe™ = 300 lb/pulg2.

1-82. La ju n ta está conectada p or m edio de dos p er­ nos. Determine el diámetro requerido de los pernos si el es­ fuerzo co rtan te perm isible en los pernos es Tperm = 110 MPa. Suponga que cada perno soporta una porción igual de la carga.

Prob. 1-80 Prob. 1-82

1-81. El poste de roble de 60 X 60 mm está soportado por el bloque de pino. Si los esfuerzos permisibles por aplas­ tamiento en esos materiales son o-roMo = 43 MPa y crpino = 25 MPa. determ ine la carga máxima P que puede ser so­ portada. Si se usa una placa rígida de apoyo entre los dos materiales, determine su área requerida de manera que la carga máxima P pueda ser soportada. ¿Q ué valor tiene esta carga?

Prob. 1-81

1-83. La palanca está unida a la flecha A por medio de una chaveta de ancho d y longitud de 25 mm. Si la flecha está em potrada y se aplica una fuerza vertical de 200 N perpendicular al mango, determine la dimensión d si el es­ fuerzo cortante permisible en la chaveta es ^ „ n = 35 MPa.

Prob. 1-83

60 .

CAPÍTULO 1 Esfuerzo

*1-84. El tamaño a del filete se determ ina calculando el esfuerzo cortante promedio a lo largo del plano sombreado que tenga la m enor sección transversal. D eterm ine el tam año a más pequeño de los dos cordones si la fuerza aplicada a la placa es P = 20 klb. El esfuerzo cortante perm isible para el m aterial de la soldadura es Tp). Si el esfuerzo normal prom edio máximo para la arandela es t7mix = 60 klb/pulg2 y el esfuerzo cortante promedio má­ ximo es rmáx = 21 klb/pulg2, determine la fuerza F que de­ be aplicarse al manguito para que ocurra la falla. La aran­ dela tiene pulg de espesor.

°'75 pulg Prob. 1-84

(a) 1-85. El tamaño del cordón de soldadura es a = 0.25 pulg. Si se supone que la junta falla por cortante en ambos lados del bloque a lo largo del plano sombreado, el cual tiene la sección transversal más pequeña, determ ine la fuerza má­ xima P que puede aplicarse a la placa. El esfuerzo cortan­ te permisible para el m aterial de la soldadura es rperm = 14 klb/pulg2.

(b) Prob. 1-87

*1-88. Los dos alambres de acero A B y A C se usan para soportar la carga. Si ambos alambres tienen un esfuerzo de tensión permisible de y se encuentran graficadas en la figura 4-6c. Desplazamiento. De la cubierta interior posterior de este libro, to­ mamos el valor E ac = 29(103) klb/pulg2. Usando la convención de sig­ nos, esto es, fuerzas internas de tensión son positivas y fuerzas inter­ nas de compresión son negativas, el desplazamiento vertical de A respecto al soporte fijo D es:

--

3.5

^

PL

[+15 klb] (2 pies) (12 pulg/pie)

5-4 “ ¿ A É ~ 4.5

+

(1 pulg2)[29(103) klb/pulg2] [+7 klb]( 1.5 pies)(12 pulg/pie) (2

x (pie)

+ (c)

Fig. 4-6

pulg2)[29(103) klb/pulg2]

[ - 9 klb](l pie)(12 pulg/pie) (2 pulg2)[29(103) klb/pulg2]

= +0.0127 pulg Resp. Como el resultado es positivo, la barra se alarga y el desplazamiento de A es hacia arriba. Aplicando la ecuación 4-2 entre los puntos B y C, obtenemos:

&B/C ~

PbcL bc A Bc B

[+7 klb](1.5 pies)(12 pulg/pie) ( 2

pulg2) [29(103) klb/pulg2]

= +0.00217 pulg

A quí B se aleja de C, ya que el segmento se alarga.

Resp.

S ecció n

E J E M P L O

4.2 Deformación elástica de un miembro cargado axialmente

---------------------------

El conjunto mostrado en la figura 4-7« consiste en un tubo A B de aluminio con área transversal de 400 mm2. U na barra de acero con diámetro de 1 0 mm está unida a un collarín rígido y pasa a través del tubo. Si se aplica una carga de tensión de 80 kN a la barra, determine el desplazamiento del extremo C de la barra. Considere Eac = 200 GPa y £ a| = 70 GPa.

Fig. 4-7

Solución Fuerza interna. El diagrama de cuerpo libre del tubo y de la barra, figura 4-76, muestra que la barra está sometida a una tensión de 80 kN y el tubo a una compresión de 80 kN. Desplazamiento. Determinaremos primero el desplazamiento del extremo C con respecto al extremo B .Trabajando en unidades de newtons y metros, tenemos PL [+80(103) N](0.6 m) 8C/ r = -— = --------------- ;-----------z—---- — +0.003056 m —* C/B AE 7t(0.005 m) [200(10 ) N /m ] El signo positivo indica que el extremo C se mueve hacia la derecha con respecto al extremo B, ya que la barra se alarga. El desplazamiento del extremo B con respecto al extremo fijo A es: P L _ __________________________________ [—80(103) N ](0.4m ) g _ ___ B

AE

[400 mm 2 (10-6) m2/m m 2][70(109) N /m 2] = -0.001143 m = 0.001143 m -*

El signo menos indica aquí que el tubo se acorta, por lo que B se m ue­ ve hacia la derecha respecto a A . Puesto que ambos desplazamientos son hacia la derecha, el despla­ zamiento resultante de C respecto a A es entonces: ( J*)

s c = 8 b + 8c/ b = 0.001143 m + 0.003056 m - 0.00420 m = 4.20 mm —*

Resp.

•

129

130

•

CAPÍTULO 4 Carga axial

E J E M P L O Una viga rígida A B descansa sobre los dos postes cortos mostrados en la figura 4-8a. AC está hecho de acero y tiene un diám etro de 20 mm; BD está hecho de aluminio y tiene un diám etro de 40 mm. D eterm ine el desplazamiento del punto £ situado en A B cuando se aplica a una carga vertical de 90 kN sobre este punto. Considere £ ac = 200 GPa y £ a, = 70 GPa.

90 kN

200

mm I

- 400 mm

300 mm

Solución

Fuerza interna. Las fuerzas de compresión que actúan en la parte superior de cada poste se determinan a partir del equilibrio del miem­ bro A B , figura 4-8£>. Esas fuerzas son iguales a las fuerzas internas en cada poste, figura 4-8c.

(a)

Desplazamiento. poste es:

El desplazamiento de la parte superior de cada

Poste AC: 90 kN 200 mm i

400 mm -

60 kN

SA =

Pac L ac = A

ac

E

ac

[-6 0 (1 0 3) N](0.300 m) 7

r( 0 . 0 1 0 m ) 2 [200(109) N /m 2]

= -286(10

)m

30 kN (b)

Poste BD: Sn —

=

60 kN

30 kN

[—30(103) N](0.300 m) PbdL bd = —1 0 2 ( 1 0 A bdEa ~ 77(0.020 m )2[70(109) N /m 2] 0 .1 0 2

mm j.

En la figura 4-8d se muestra un diagrama de los desplazamientos de los puntos A, B y F situados en el eje de la viga. Por proporciones en el triángulo sombreado, el desplazamiento del punto £ es entonces: 8,7 = 0.102 mm + (0.184 n m ) ( ^ . mm | _ q.225 mm ], \ 600 mm /

P ,\c = 60 kN

Peo = 30 kN (c)

)m

0 .10 2

mm 0.102 mm

'. 184mm 0.286 mm F i g .4-8

Resp.

S ección 4.2

Deformación elástica de un miembro cargado axialmente

E3

E J E M P L O

Un miembro está hecho de un material que tiene un peso específico y y un módulo de elasticidad E. El miembro tiene la forma de un co­ no con las dimensiones mostradas en la figura 4-9a. Determ ine el des­ plazamiento de su extremo inferior bajo el efecto de su propio peso. Solución

Fuerza interna. La fuerza axial interna varía a lo largo del miem­ bro que depende del peso W (y) de un segmento del miembro situa­ do debajo de cualquier sección, figura 4-9b. Por tanto, para calcular el desplazamiento, debemos usar la ecuación 4-1. En la sección loca­ lizada a una distancia y del fondo, el radio x del cono como función de y se determ ina por proporción: esto es, x r0 ~y~~L'

r0 X = Ly

El volumen de un cono con base de radio x y altura y es:

7T 2

77Tg 3

V = —yx~ = — r y-’ 3 3L

Como W = yV. la fuerza interna en la sección es: „2

+T 2Fv= 0:

(a)

Desplazamiento. El área de la sección transversal es también una función de la posición y. figura 4-9b. Tenemos: 2 AAt( y ) = 7rx2 = -7no jy y

Aplicando la ecuación 4-1 entre los límites _y = 0 y y = L s e obtiene: I LP(y) dy _ f ¿ [(y 7 rrg/ 3 L2) / ] d y

A(y) E

J0

\{Trrl/Ll ) y 2] E (b) Fig. 4-9

y¡¿ 6

E

Resp.

Como verificación parcial de este resultado, note cómo las unidades de los términos, al cancelarse, dan la deflexión en unidades de longi­ tud como era de esperarse.

•

131

132

•

CAPÍTULO 4 Carga axial

PROBLEMAS 4-1. El conjunto consta de una barra de acero CB y una barra de aluminio BA, teniendo cada una un diámetro de 12 mm. Si la barra se somete a las cargas axiales en A y en el copie B, determine el desplazamiento del copie B y del extrem o A. La longitud de cada segm ento sin estirar se muestra en la figura. Desprecie el tam año de las conexio­ nes en B y C, y supouga que son rígidas. ZTac = 200 GPa, Eal = 70 GPa.

-► 18 kN 6 kN

— 80 pulg — •---------150 pulg ----------- -— 100 p u lg — • 5 klb

8 klb A

2 klb 7 2 klb

5 klb B

6 klb D

Frob. 4-4

4-5. U na barra de acero A-36 está sometida a las cargas que se muestran en la figura. Si el área de la sección trans­ versal de la barra es de 60 mm2, determ ine el desplaza­ miento de B y de A . Desprecie el tam año de los copies en B ,C y D .

2m•

3m

Prob. 4-1

4-2. La flecha compuesta, que consiste en secciones de aluminio, cobre y acero, está sometida a las cargas m ostra­ das en la figura. Determine el desplazamiento del extremo A con respecto al extremo D y el esfuerzo normal en cada sección. En la figura se muestran el área de la sección trans­ versal y el módulo de elasticidad para cada sección. Des­ precie el tam año de los collarines en B y en C. 4-3. D eterm ine el desplazamiento de B con respecto a C de la flecha compuesta del problem a 4-2.

Aluminio

Cobre

Acero

£ a| = 10(103) klb/pulg2 Ecu = 18(103 ) klb/pulg2 A ab = 0.09 pulg2

A bc = 0.12 pulg2 3.50 klb

= 29( 103 ) klb/pulg2 A Ci) = 0.06 pulg2

Prob. 4-5

1.75 klb 1.50 klb

2.00 klb

1.75 klb 18 pulg-

■12 pulg-

16 pulg-

4-6. La barra de aluminio 2014-T6 tiene un diám etro de 30 mm y soporta la carga mostrada. Determ ine el despla­ zamiento de A con respecto a E. Desprecie el tamaño de los copies.

Probs. 4-2/3

*4-4. Una flecha de cobre está sometida a las cargas axia­ les que se m uestran en la figura. D eterm ine el despla­ zamiento del extremo A con respecto al extremo D si los diámetros de cada segmento son dAB = 0.75 pulg, d BC = 1 pulg, y dCD = 0.5 pulg. Tome £ cu = 18O03) klb/pulg2.

Prob. 4-6

P ro blem a s

4-7. La barra de acero tiene las dimensiones originales mostradas en la figura. D eterm ine el cambio en su longi­ tud y las nuevas dimensiones de su sección transversal en la sección a-a al estar sometida a una carga axial de 50 kN. £ ac = 2C0 GPa, vac = 0.29.

•

133

4-9. El copie está som etido a una fuerza de 5 klb. D e­ term ine la distancia d' entre C y E tom ando en cuenta la compresión del resorte y la deformación de los segmentos verticales de los pernos. Cuando no se tiene una carga apli­ cada, el resorte no está estirado y d = 10 pulg. El material es acero A-36 y cada perno tiene un diámetro de 0.25 pulg. Las placas en A , B y C son rígidas y el resorte tiene una ri­ gidez k = 12 klb/pulg.

A 5 klb

------ jLÜ

8 pulg

ΠP ro b . 4-7 6 pulg

£

*4-8. La estructura m ostrada consiste en dos barras rí­ gidas originalm ente horizontales. Están soportadas por pasadores y barras de acero A-36 de 0.25 pulg de diám e­ tro. Si se aplica la carga vertical de 5 klb a la barra inferior A B , determine el desplazamiento en C, B y E.

!

5 klb

P ro b . 4-9

4-10. La barra tiene un área A en su sección transversal de 3 pulg2y un módulo de elasticidad E = 35(103) klb/pulg2. D eterm ine el desplazamiento de su extrem o A cuando es­ tá sometida a la carga distribuida mostrada.

134

•

CAPÍTULO 4 Carga axial

La arm adura está hecha de tres barras de acero A-36, cada una con área transversal de 400 mm2. D eterm i­ ne el desplazamiento horizontal del rodillo en C cuando P = 8 kN. 4-11.

*4-12. La arm adura está hecha de tres barras de acero A-36, cada una con área transversal de 400 mm2. D eterm i­ ne la magnitud requerida de P para desplazar el rodillo 0.2 mm hacia la derecha.

4-15. El conjunto consta de tres barras de titan io y una barra rígida AC. El área de la sección transversal de cada barra se da en la figura. Si se aplica una carga vertical de P = 20 kN al anillo F, determ ine el desplazamiento ver­ tical del punto F. £,¡ = 350 GPa.

A o c = 45 m m -

2m

A ba = 60 m m 2

2

m

E |—0.5 m-

- 0.75 m 1.5 m

A r r = 75 m m 2

!

P = 20 kN

P ro b . 4-15

P ro b s. 4-11/12

La armadura consiste de tres miembros, cada uno de acero A-36 y área transversal de 0.75 pulg2. Determ ine la carga máxima P que puede aplicarse de modo que el ro­ dillo en B no se desplace más de 0.03 pulg. 4-13.

4-14. Resuelva el problema 4-13 considerando que la car­ ga P actúa verticalmente hacia abajo en C.

Probs. 4-13/14

*4-16. El sistema de eslabones está form ado p or tres miembros ds acero A-36 conectados por pasadores: ca­ da m iem bro tiene un área transversal de 0.730 pulg2. Si se aplica una fuerza vertical de P = 50 klb al extremo B del miembro A B, determine el desplazamiento vertical del punto B. 4-17. El sistema de eslabones está form ado por tres miembros de acero inoxidable 304 conectados por pasado­ res; cada miembro tiene un área transversal de 0.75 pulg2. D eterm ine la magnitud de la fuerza P necesaria para des­ plazar el punto B 0.10 pulg hacia abajo.

|*-3 pies -¡- -3 pies—j

P r o b le m a s

■4-18. Considere el problem a general de una barra que consta de m segmentos, cada uno con área transversal A m y longitud L m. Si se tienen n cargas sobre la barra como se muestra, escriba un programa de computadora que pue­ da usarse para determ inar el desplazamiento de la barra en cualquier posición x especificada. A plique el progra­ ma para los valores L x = 4 pies, d¡ = 2 pies, P\ = 400 Ib, Ay = 3 pulg2, ¿ 2 = 2 pies, d2 = 6 pies,P2 = —300lb,yl2 = 1 pulg2.

•

135

*4-20. La cabina C de un observatorio tiene un peso de 250 klb, y por medio de un sistema de engranes viaja ha­ cia arriba a una velocidad constante a lo largo de la colum­ na de acero A-36, la cual tiene una altura de 200 pies. La columna tiene un diám etro exterior de 3 pies y está hecha de placas de acero que tienen un espesor de 0.25 pulg. Des­ precie el peso de la columna, y determ ine el esfuerzo nor­ mal promedio de la columna en su base B, en función de la posición y de la cabina. También determ ine el desplaza­ miento relativo del extremo A con respecto al extrem o B en función de y.

“n

“2 M ---- ► *

l* i -X

—|

**l L\

L>2

r» ~ P2 *

s--- ►

Arn

P„ m

*

Prob. 4-18 P ro b . 4-20

4-19. La barra rígida está soportada por la barra CB co­ nectada ésta en sus extremos por pasadores; la barra CB tiene un área transversal de 14 m n r y está hecha de alu­ minio 6061-T6. Determ ine la deflexión vertical de la barra en D cuando se aplica la carga distribuida.

4-21. Una barra tiene una longitud L y el área de su sec­ ción transversal es A . D eterm ine su alargamiento debido tanto a la fuerza P como a su propio peso. El material tie­ ne un peso específico y (peso/volumen) y un módulo de elasticidad E.

136

•

CAPÍTULO 4 Carga axial

El barreno de acero A-36 de un pozo petrolero pe­ netra 12 000 pies en el terreno. Suponiendo que el tubo usado para perforar el pozo está suspendido librem ente de la torre en A, determ ine el esfuerzo normal promedio máximo en cada segmento de tubo y el alargamiento de su extrem o D con respecto al extrem o fijo en A . La flecha consta de tres tamaños diferentes de tubo,>4B, B C y CD, cada uno con su longitud, peso por unidad de longitud y área transversal indicados en la figura. Sugerencia: use los resultados del problema 4-21.

4-22.

La barra tiene un ligero ahusamiento y longitud L. Está suspendida del techo y soporta una carga P en su extremo. Demuestre que el desplazamiento de su extre­ mo debido a esta carga es 5 = PL/(TrEr2rl). Desprecie el peso del material. El módulo de elasticidad es E. *4-24.

Resuelva el problem a 4-24 incluyendo el peso del material y considerando que su peso específico es y (pe­ so/volumen).

4-25.

A A,uj= 2.50 pulg2 wAB- 3.2 lb/pie

5000 pies B

ABC- 1.75 pulg2 wBC= 2.8 lb/pie

5000 pies

A c d = 1.25 pulg2 2000 pies wCD= 2.0 lb/pie D ' - ± \

P ro b . 4-22

El tubo está enterrado en el suelo de manera que cuando se jala hacia arriba, la fuerza de fricción a lo largo de su longitud varía linealmente desde cero en B hasta / máx (fuerza/longitud) en C. D eterm ine la fuerza inicial P re­ querida para extraer el tubo y el alargam iento asociado del tubo un instante antes de que comience a deslizar. El tubo tiene una longitud L, un área A en su sección trans­ versal y el material de que está hecho tiene un módulo de elasticidad E.

4-23.

P ro b s. 4-24/25

D eterm ine el alargam iento de la flecha ahusada de acero A-36 cuando está sometida a una fuerza axial de 18 klb. Sugerencia: use el resultado del problem a 4-24.

4-26.

- r,= 0.5 pulg

r2 = I pulg

r, = 0.5 pulg

----- ——------ ™------------- =—'— ¡JE ------ yJ 18 klb

|

~

™

hf^nd--------------- 20 pu1§--------------t t h ? Prob. 4-26

,

t 18 klb

P r o b le m a s

4-27. Determine el desplazamiento relativo de un extremo de la placa prismática truncada con respecto al otro extremo cuando está sometida a una carga axial P.

•

137

El material del hueso tiene un diagrama esfuerzodeformación unitaria que puede definirse por la relación cr= E[e/{ 1+kEe)]. donde k y E son constantes. Determine la compresión dentro de la longitud L del hueso, donde se supone que el área A de la sección transversal del hueso es constante.

4-29.

1 ó

r

p

P ro b . 4-29 P ro b . 4-27

4-30. El pedestal tiene una forma cuyo radio está definido

por la función r = 2/(2 + yx/1) pies, donde y está en pies Si el módulo de elasticidad para el material es £ = 14(103) klb/pulg2, determine el desplazamiento de su parte supe­ rior cuando soporta la carga de 500 libras.

*4-28. Determine el alargamiento de la barra de aluminio cuando está sometida a una fuerza axial de 30 kN. Ea\ = 70 GPa. Sugerencia: use el resultado del problema 4-27.

4 pies

50 mm -4 -----------------L

A/B

=

ac

AE

_

kF,

Fb L cb _

p.

AE

Suponiendo que A E es constante, podemos resolver simultáneamente las dos ecuaciones anteriores y obtener los valores:

Ambos valores son positivos, por lo que las reacciones se muestran con sus sentidos correctos en el diagrama de cuerpo libre.

F,

1

I

i

0

Esta ecuación puede expresarse en términos de las cargas aplicadas usando una relación carga-desplazamiento, que depende del comporta­ miento del material. Por ejemplo, si se tiene un com portamiento lineal elástico, puede usarse 8 = P L / A E . Como la fuerza interna en el segmen­ to A C es +F a y en el segmento CB la fuerza interna es —F¡¡, la ecua­ ción de compatibilidad puede escribirse como:

Fa ^

(a)

J (b) Fig. 4-11

•

139

140

•

CAPÍTULO 4 Carga axial

PUNTOS IMPORTANTES • El principio de superposición se usa a veces para simplificar los problemas de esfuerzo y desplazamiento que tienen cargas com­ plicadas. Esto se hace subdividiendo la carga en componentes y luego sumando algebraicamente los resultados. • La superposición requiere que la carga esté linealmente relacio­ nada con el esfuerzo o el desplazamiento, y que la carga no cam­ bie en forma significativa la geom etría original del miembro. • Un miembro es estáticamente indeterminado si las ecuaciones de equilibrio no son suficientes para determ inar las reacciones en el miembro. • Las condiciones de compatibilidad especifican las restricciones de desplazamiento que ocurren en los soportes u otros puntos sobre un miembro.

PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS Las fuerzas desconocidas en problemas estáticamente indeterm ina­ dos se determ inan satisfaciendo los requisitos de equilibrio, compa­ tibilidad y fuerza-desplazamiento del miembro. Equilibrio. • Dibuje un diagrama de cuerpo libre del miembro para identifi­ car todas las fuerzas que actúan sobre él. • El problema puede ser clasificado como estáticamente indeter­ minado si el núm ero de reacciones desconocidas sobre el diagra­ ma de cuerpo libre es mayor que el número de ecuaciones de equilibrio disponibles. • Escriba las ecuaciones de equilibrio para el miembro. La mayoría de las columnas de concreto son reforzadas con barras de acero; como esos dos materiales trabajan juntos soportando la carga aplicada, la columna resulta ser está­ ticamente indeterminada.

Compatibilidad. • Para escribir las ecuaciones de compatibilidad dibuje un diagra­ ma de desplazamientos para investigar la manera en que el miem­ bro se alargará o contraerá al ser sometido a las cargas externas. • Exprese las condiciones de compatibilidad en términos de los des­ plazamientos causados por las fuerzas. • Use una relación carga-desplazamiento, tal como d = PL/AE, pa­ ra relacionar los desplazamientos desconocidos con las reaccio­ nes desconocidas. • Resuelva las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad para las fuerzas reactivas desconocidas. Si cualquiera de las magnitudes tiene un valor numérico negativo, ello indica que esta fuerza ac­ túa en sentido opuesto al indicado en el diagrama de cuerpo libre.

S e c c ió n 4 .4

Miembro estáticamente indeterminado cargado axialmente

K3

E J E M P L O

La barra de acero m ostrada en la figura 4-12a tiene un diámetro de 5 mm. Está em potrada en la pared en A y antes de cargarla se tiene una holgura de 1 mm entre la pared en B' y la barra. Determine las reacciones en A y en B' cuando la barra se somete a una fuerza axial de P = 20 kN, como se muestra. Desprecie el tamaño del collarín en C. Considere £ ac = 200 GPa.

• P = 20 kN

- 800 mm

400 mm

(a)

Solución

Equilibrio.

Como se m uestra en el diagrama de cuerpo libre, figura 4-126, supondremos que la fuerza P es suficientemente grande para que el extremo B de la barra entre en contacto con la pared en B '. El problema es estáticamente indeterm inado ya que hay dos incóg­ nitas y sólo una ecuación de equilibrio. El equilibrio de la barra requiere: A

P = 20 kN

(b)

2 Fx = 0;

~F a ~ Fb + 20(103) N = 0

(1)

Compatibilidad. La carga ocasiona que el punto B se mueva a B ', sin ningún desplazamiento adicional. Por tanto, la condición de com­ patibilidad para la barra es: &bja — 0 . 0 0 1 m Este desplazamiento puede expresarse en términos de las reaccio­ nes desconocidas usando la relación carga-desplazamiento, ecuación 4-2, aplicada a los segmentos A C y CB, figura 4-12c. Trabajando en unidades de newtons y metros, tenemos: 5 b/ a = 0.001 m =

0 .0 0 1

m =

E a L ac AE

F rL cr

— — AE

£¿(0.4 m) tt(0.0025

m) [200(10 ) N /m 2] £B(0.8 m) 77(0.0025 m) [200(10 ) N /m 2

£„(0.4 m) - £fi(0.8 m) = 3927.0 N • m

(2)

Resolviendo las ecuaciones 1 y 2 se obtiene: £ 4

= 16.6 kN

Fb = 3.39 kN

Resp.

Debido a que FB resultó positiva, el extremo B sí entra en contacto con la pared en B' como se supuso originalmente. Por otra parte, si FB fue­ se una cantidad negativa, el problema sería estáticamente determ ina­ do, con Fb = 0 y £ 4 = 20 kN.

1 mm

(C )

Fig. 4-12

•

141

142

•

CAPÍTULO 4 Carga axial

E J E M P L O El poste de aluminio mostrado en la figura 4-13a está reforzado con un núcleo de bronce. Si el conjunto soporta una carga axial de compresión de P = 9 klb, aplicada a la tapa rígida, determ ine el esfuerzo normal prom edio en el alum inio y en el bronce. C onsidere E a¡ = 10(103) klb/pulg 2 y Ebr = 15(103) klb/pulg2.

La

tad mic Las

Solución Equilibrio. El diagrama de cuerpo libre del poste se muestra en la figura 4-13¿>. Aquí la fuerza axial resultante en la base está representa­ da por las componentes desconocidas tomadas por el aluminio, Fai, y el bronce, Fbr. El problema es estáticamente indeterminado. ¿Por qué? El equilibrio por fuerzas verticales requiere que:

(a)

+T P =9 klb

= 0;

- 9 klb + Fa\ + F bhrr = 0

So*

Eqt tra> ya i equ

O)

Compatibilidad. La tapa rígida en el poste origina que los desplaza­ mientos en el poste de aluminio y en el núcleo de bronce sean iguales, esto es, 5 al =

4r

Coi cad dóf mié sem tos i

Usando las relaciones carga-desplazamiento, Fa,L

FhxL br ^ b r

¿al = Fbr1 (b) 77

-[(2 pulg ) 2 -

P-A = Fbr

7 T( 1

al ‘ br ( 1

^br

pulg)2]

~ 1 0 ( 1 0 3) klb/pulg 2

pulg ) 2

_15(103) klb/pulg 2 _

Resolviendo simultáneamente las ecuaciones 1 y 2, obtenemos

ffbr= 0.955 klb/pulg2

Fal = 6 klb

cra| = 0.637 klb/pulg3

Usa

Fbl = 3 klb

Como los resultados son positivos, los esfuerzos serán de compresión. El esfuerzo normal promedio en el aluminio y en el bronce son en­ tonces, 6

ir[{2 pulg ) 2 2

t t ( 1 pulg)

( 1

pulg)-

0.637 klb/pulg 2

Resp.

Res4

3 klb °"b r

klb

= 0.955 klb/pulg 2

Resp.

Las distribuciones de los esfuerzos se muestran en la figura 4-13c.

S ecció n 4 .4

E J E M P L O

Miembro estáticamente indeterminado cargado axialmente

•

El

Las tres barras de acero A-36 mostradas en la figura 4-14a están conec­ tadas por pasadores a un miembro rígido. Si la carga aplicada sobre el miembro es de 15 kN, determ ine la fuerza desarrollada en cada barra. Las barras A B y E F tienen cada una un área transversal de 25 mm 2 y la barra CD tiene un área transversal de 15 mm2. Solución

Equilibrio. El diagrama de cuerpo libre del miembro rígido se mues­ tra en la figura 4-14/;. Este problema es estáticamente indeterminado ya que se tienen tres incógnitas y sólo dos ecuaciones disponibles de equilibrio. Estas ecuaciones son: +f

= 0;

i,+SM c = 0;

Fa + Fc + Fe - 15 k N = 0

(1)

~F a (0A m) + 15 kN(0.2 m) + FE{0.4 m) = 0

(2)

Compatibilidad. Debido a los desplazamientos en los extremos de cada barra, la línea A C E m ostrada en la figura 4-14c tom ará la posi­ ción definida por los puntos A'C 'E '. Desde esta posición, los desplaza­ mientos de los puntos A , C y E pueden relacionarse por triángulos semejantes. La ecuación de compatibilidad para esos desplazamien­ tos es entonces:

(a)

E

0.2 m

0 .8

m

1

ZL 0.4 m

0.2 m

0.4 m (b)

sc ~ 2 S¿ + Usando la relación carga-desplazamiento, ecuación 4-2, tenemos:

FCL (15m m 2) £ ac

1 2

fal

(25 mm2) £ ac +

1 2

5C

A‘

Fe L (25 mm2) £ ac_

(c)

Fc = 0.3 Fa + 0.3 Fe

(3) Fig. 4-14

Resolviendo simultáneamente las ecuaciones 1-3 se obtiene: Fa = 9.52 kN

Resp.

Fc = 3.46 kN

Resp.

Fe = 2.02 kN

Resp.

143

144

•

CAPÍTULO 4 Propiedades mecánicas de los materiales

El perno mostrado en la figura 4-15« está hecho de una aleación de aluminio 2014-T6 y está apretado de modo que comprime a un tubo cilindrico hecho de una aleación de magnesio Am 1004-T61. El tubo tiene un radio exterior de i pulg y el radio interior del tubo y el ra­ dio del perno son de i de pulg. Las arandelas en los extremos del tubo son rígidas y tienen un espesor despreciable. Inicialmente la tuerca está ligeramente apretada a mano; luego, por medio de una llave, la tuerca se aprieta media vuelta. Si el perno tiene 20 hilos por pulgada, determ ine el esfuerzo en el perno.

Solución Equilibrio. Se considera el diagrama de cuerpo libre de una sección del perno y del tubo, figura 4-15¿>, para relacionar la fuerza en el per­ no Fb con la fuerza en el tubo, F,. Por equilibrio, se requiere,

(1)

Fb - F, = 0

El problema es estáticamente indeterminado ya que se tienen dos in­ cógnitas en esta ecuación. C om patibilidad. Al apretar la tuerca media vuelta sobre el per­ no, el tubo se acortará pies

i_L;

p-*-

‘ 3 pies

*4-68. La barra rígida soporta la carga distribuida uni­ forme de 6 klb/pie. D eterm ine la fuerza en cada cable si cada uno tiene un área transversal de 0.05 pulg2 y E = 31(103) klb/pulg2.

- 60 pies — P ro b . 4-64

4-65. El resorte sin estirar tiene una longitud de 250 mm y una rigidez k - 400 kN/m. Si se comprime y se coloca sobre la porción A C de 200 mm de la barra de aluminio A B y se libera, determ ine la fuerza que la barra ejerce sobre la pared en A . A ntes de aplicarse la carga, hay un hueco de 0.1 mm entre la barra y la pared en B. La ba­ rra está fija a la pared en A . Desprecie el espesor de la placa rígida en C. Ea\ = 70 GPa.

20 mm

Prob. 4-65

P ro b s. 4-66/67

4-69. La barra rígida está originalmente en posición ho­ rizontal soportado por dos cables cada uno con área transversal de 0.05 pulg2 y E = 31 (103) klb/pulg2. D eter­ mine la rotación pequeña de la barra cuando se aplica la carga uniforme.

154

4.6

•

CAPÍTULO 4 Carga axial

Esfuerzo térmico Un cambio de tem peratura puede ocasionar que un material cambie sus dimensiones. Si la tem peratura aumenta, generalmente un material se dilata, mientras que si la tem peratura disminuye, el material se contrae. Ordinariam ente esta dilatación o contracción está linealmente relaciona­ da con el incremento o disminución de tem peratura que se presenta. Si éste es el caso y el material es homogéneo e isotrópico, se ha encontra­ do experim entalm ente que la deformación de un miembro de longitud L puede calcularse usando la fórmula:

8t = a A T L

(4-4)

donde.

La mayoría de los puentes se diseñan con juntas de expansión para permitir el mo­ vimiento térmico de la superficie de ro­ damiento y evitar así esfuerzos por cam­ bio de temperatura.

a = propiedad del material llamada coeficiente lineal de dilatación térmica. Las unidades miden deformación unitaria por grado de tem peratura. Ellas son 1/°F (Fahreñheit) en el sistema inglés y 1/°C (Celsius) o 1/°K (Kelvin) en el sistema SI. Los valores comu­ nes se dan en la cubierta interior posterior del libro A T = cambio algebraico en la tem peratura del miembro L = longitud original del miembro 8r = cambio algebraico en la longitud del miembro Si el cambio de tem peratura varía sobre toda la longitud del miembro, esto es, A 7 = A7" (x), o si a varía a lo largo de la longitud, entonces la ecua­ ción 4-4 es aplicable para cada segmento de longitud dx. En este caso, el cambio en la longitud del miembro es: rL 8t — a A T dx

(4-5)

El cambio en longitud de un miembro estáticamente determinado pue­ de calcularse fácilmente con las ecuaciones 4-4 o 4-5, ya que el miembro tiene libertad de dilatarse o contraerse cuando experim enta un cambio de tem peratura. Sin embargo, en un miembro estáticamente indetermina­ do esos desplazamientos térmicos pueden estar restringidos por los so­ portes, lo que produce esfuerzos térmicos que deben ser considerados en el diseño. El cálculo de esos esfuerzos térmicos puede efectuarse usando los m é­ todos delineados en las secciones previas. Los siguientes ejemplos ilustran algunas aplicaciones.

S ección 4.6

E J E M P L O

Esfuerzo térmico

4.10

La barra de acero A-36 m ostrada en la figura 4-18 cabe justamente entre los dos soportes fijos cuando 7 \ = 60 °F. Si la tem peratura se eleva a T2 = 120 °F, determ ine el esfuerzo térmico normal promedio desarrollado en la barra.

0.5 pu!g

H ■

X 0 -5 PulS

Solución Equilibrio. El diagrama de cuerpo libre de la barra se muestra en la figura 4-18b. Como no hay fuerza externa, la fuerza en A es igual pero opuesta a la fuerza que actúa en B\ esto es, + f 2 F , = 0;

Fa = Fb = F

El problema es estáticamente indeterm inado ya que esta fuerza no puede ser determ inada por equilibrio. Compatibilidad. Como 8B/A - 0, el desplazamiento térmico ST que ocurre en A , figura 4-18c, es contrarrestado por la fuerza F que se re­ quiere para em pujar la barra una cantidad 8/? de regreso a su posición original; es decir, la condición de compatibilidad en A es: (+ !')

8 a/ b =

0

= Sr - SF

Aplicando las relaciones térm icas y de carga-desplazam iento, te­ nemos: 0 = aATL -

AL

Así, con los datos de la cubierta interior posterior,

F

(b)

F = aATAE = [6.60(10~6)/°F](120 °F - 60 °F)(0.5 pulg)2[29(103) klb/pulg2] = 2.87 klb

8t

r jÉ h

De la magnitud de F debería ser aparente qué cambios en tem pera­ tura pueden ocasionar grandes fuerzas reactivas en miembros estáti­ camente indeterminados. Como F representa también la fuerza axial interna dentro de la barra, el esfuerzo normal de compresión (térmico) prom edio es entonces: F 2.87 klb = — = ------------- 5 - = 11.5 klb/pulg 2 /I (0.5 pulg) 5

(C)

Fig. 4-18

SF

•

155

156

•

CAPÍTULO 4 Propiedades mecánicas de los materiales

E J E M P L O

---------------------------------------------------Un tubo de aluminio 2014-T6 con área transversal de 600 mm 2 se usa como camisa para un perno de acero A-36 con área transversal de 400 mm2, figura 4-19a. Cuando la tem peratura es de T y = 15 °C, la tuerca mantiene el conjunto en una condición ligeramente apretada tal que la fuerza axial en el perno es despreciable. Si la tem peratura se incrementa a T2 = 80 °C, determine el esfuerzo normal promedio en el perno y en la camisa.

Solución Equilibrio. En la figura 4-196 se muestra un diagrama de cuerpo li­ bre de un segmento seccionado del conjunto. Se generan las fuerzas Fb y F¡ debido a que el perno y la camisa tienen diferentes coeficientes de dilatación térmica y se dilatan diferentes cantidades cuando la tempe­ ratura se incrementa. El problema es estáticamente indeterminado, ya que esas fuerzas no pueden determinarse sólo por equilibrio. Sin em­ bargo, se requiere que: + | 2 F y = 0;

Fs = F b

(1)

Compatibilidad. El incremento de tem peratura ocasiona que la ca­ misa y el perno se dilaten (Ss) r y (Sh)T, figura 4-19c. Sin embargo, las fuerzas redundantes Fb y F¡ alargan el perno y acortan la camisa. En consecuencia, el extremo del conjunto alcanza una posición final que no es la misma que la posición inicial. Por consiguiente, la condición de compatibilidad es (+¿)

8

= (s b ) r

+

[ 8 b )¡•

=

(8s)r

~

(S s ) f

Posición inicial «ür

V

8

posicición final

t~~N (5,) f «0

Aplicando las ecuaciones 4-2 y 4-4 y usando las propiedades mecáni­ cas dadas en la tabla en la cubierta interior posterior, tenemos: [12(10-6)/°C](80 °C - 15 °C)(0.150 m) F6(0.150 m) (400 mm 2 )(10 - 6 m 2 /m m 2 )[200(109) N /m 2 = [23(10 )/°C](80 °C - 15°C )(0.150m ) F,(0.150 m) 600 mm 2 (10

6

m 2 /m m 2 )[73.1(109) N /m 2]

Usando la ecuación 1 y despejando, se obtiene: Fs = Fh = 20.26 kN El esfuerzo normal promedio en el perno y en la camisa es entonces: 20.26 kN CTb

400 mm 2 (10 - 6 m 2 /m m 2) _

20.26 kN

C7s ~ 600 mm 2 ( 1 0

-6

m 2 /m m 2)

= 50.6 MPa

Resp.

= 33.8 MPa

Resp.

Como en este análisis se supuso un com portamiento elástico lineal de los materiales, los esfuerzos calculados deben revisarse para cons­ tatar que ellos no exceden los límites proporcionales del material.

158

•

CAPÍTULO 4 Propiedades mecánicas de los materiales

4.12

E J E M P L O

I

h 300 m m -4—300 m m H 150 kN/m

■

I 60 m m » L —40 mm

‘ 250 mm

1 40 mm -1

■---------i— i Acero

Aluminio

Acero

(a)

La barra rígida mostrada en la figura 4-20a está fija a la parte supe­ rior de los tres postes hechos de acero y aluminio. Cada poste tiene una longitud de 250 mm cuando no hay carga aplicada a la barra y la tem peratura es Tj = 20 °C. Determine la fuerza soportada por cada poste si la barra está sometida a una carga uniformemente distribui­ da de 150 kN/m y la tem peratura se eleva a T2 = 80 °C.

Solución Equilibrio. El diagrama de cuerpo libre de la barra se muestra en la figura 4-206. El equilibrio debido a los momentos con respecto al cen­ tro de la barra, requiere que las fuerzas en los postes de acero sean igua­ les. Sumando fuerzas en el diagrama de cuerpo libre, tenemos + | 2 F V = 0:

90 kN

2 Fac+ Fal - 90(103) N = 0

(1)

Compatibilidad. Debido a la simetría de la carga, de la geometría y del material, la parte superior de cada poste se desplaza la misma cantidad. Por tanto,

(2) ^ac ¿>al La posición final de la parte superior de cada poste es igual a su des­ plazam iento causado por el increm ento de tem peratura, más a su desplazamiento causado por la fuerza de compresión interna axial, fi­ gura 4-20c. Así, entonces, para un poste de acero y uno de aluminio, te­ nemos: (+ 1 )

!

F«,

(b)

( +1) (4c) 7-= ~ ( 8 a c ) r + (S ac) f I I

¡í

Posición inicial r -

§íc “^al

(& c V

í al)r = “ (Sal ) t + (S a|)f

Aplicando la ecuación 2, obtenemos ~ ( 5 ac ) t +

( S ac ) f =

- (4 l)r +

(Sal ) f

Usando las ecuaciones 4-2 y 4-4 y las propiedades del material dadas en la cubierta interior posterior, obtenemos (C)

-[12(10

)/°C](80 °C + 20 °C)(0.250 m) +

Fig. 4-20

= -[23(10

)/°C](80 °C - 20 °C)(0.250 m)

Fac (0.250 m) tt(0.020 m ) 2 [200(109) N /m 2) Fa[(0.250 m) tt(0.03 m ) 2 [73.1(109) N /m 2]

Fac= 1.216Fal - 165.9(10J)

(3)

Por consistencia, todos los datos numéricos se han expresado en tér­ minos de newtons, metros y grados Celsius. Al resolver simultánea­ m ente las ecuaciones 1 y 3, resulta Fac = -1 6 .4 kN

F.a = -1 2 3 kN

Resp.

El valor negativo para Fac indica que esta fuerza actúa en sentido opuesto al mostrado en la figura 4-206. En otras palabras, los postes de acero están en tensión y el poste de aluminio está en compresión.

P r o b le m a s

•

159

PROBLEMAS ;upetiene i y la cada ibui-

en la cenigua-

Tres barras hechas cada una de material diferen­ te están conectadas entre sí y situadas entre dos muros cuando la temperatura es 7’) = 12 °C. Determine la fuer­ za ejercida sobre los soportes (rígidos) cuando la tempe­ ratura es T2 = 18 °C. Las propiedades del material y el área de la sección transversal de cada barra están dadas en la figura. 4-70.

Una rejilla térmica consiste en dos placas de alu­ minio 6061-T6 con ancho de 15 mm y empotradas en sus extremos. Si la abertura entre ellas es de 1.5 mm cuando la temperatura es de 7"! = 25 °C, determine la tempera­ tura requerida para cerrar justamente la abertura. ¿Cuál es la fuerza axial en cada placa si la temperatura sube a Ti = 100 °C? Suponga que no ocurrirá flexión ni pandeo.

4-74. Acero

Cobre

Bronce

£ ac = 200 GPa crac = 12(10-*)/°C

£ br = 100 GPa £ cu = 120 GPa « br = 21(1 0 « )/°C a cu = 17(10-«)/oC j4cu = 5 1 5 m m 2

A ,c = 200 m m 2

( 1)

¿ b r= 4 5 0 m m 2

~ f~ ~ Í

tría na

- 300 m m -

Una rejilla térmica consiste en una placa AB de aluminio 6061-T6 y en una placa CD de magnesio Am 1004-T61, cada una con ancho de 15 mm y empotrada en su extremo. Si la abertura entre ellas es de 1.5 mm cuando la temperatura es de T] = 25 °C, determine la tempera­ tura requerida para cerrar justamente la abertura. ¿Cuál es la fuerza axial en cada placa si la temperatura sube a T2 = 100 °C? Suponga que no ocurrirá flexión ni pandeo.

4-75.

200 mm 100 mm P ro b . 4-70

(2) . desa su al, fio, te-

Una losa de concreto de alta resistencia de un ac­ ceso a un garaje tiene una longitud de 2 0 pies cuando su temperatura es de 20 °F. Si hay una abertura de 0.125 pulg entre uno de sus lados y la guarnición, determine la tem­ peratura requerida para cerrar la abertura. ¿Cuál es el esfuerzo de compresión en el concreto cuando la tempe­ ratura sube a l l O °F? 4-73.

La cinta de acero de un topógrafo va a usarse pa­ ra medir la longitud de una línea. La cinta tiene una sec­ ción transversal rectangular de 0.05 pulg por 0.2 pulg y una longitud de 100 pies cuando T\ = 60 °F y la tensión en la cinta es de 20 Ib. Determine la longitud verdadera de la línea si la lectura en la cinta es de 463.25 pies al usarla con una tensión de 35 Ib a Ti = 90 °C. El terreno en que se coloca es plano. a ac = 9.60(10_6)/°F, £ ac = 29(103) klb/pulg2. 4-71.

10 mm B C 1

10 mm ^

1

D

;

- 400 mm

600 mm

p-+

5 mm

idas P ro b s. 4-74/75

0.05 pulg P ro b . 4-71

i2]

W ] (3) i téríneaResp. ntido ostes sión.

La barra AB de bronce rojo C83400 y la barra BC de aluminio 2014-T6 están unidas en el collarín B y empotradas en sus extremos. Si no hay carga en las ba­ rras cuando T\ = 50 °F, determine el esfuerzo normal pro­ medio en cada una de ellas cuando T2 = 120 °F. ¿Cuánto se desplazará el collarín? El área transversal de cada miembro es de 1.75 pulg2. *4-76.

La barra compuesta tiene los diámetros y mate­ riales indicados. Está sostenida entre los soportes fijos cuando la temperatura es Tx = 70 °F. Determine el es­ fuerzo normal promedio en cada material cuando la tem­ peratura es de T i= 110 °F. *4-72.

304 pernos de acero inoxidable. \

2014-T6 Aluminio

^ C 86100 Bronce ‘ 12 pulg

!

D

_ B

------- 4 pies-------- - ■

C

4 pulg

6 p ie s-------------- -— 3 p ies— -

Prob. 4-72

- 2 pies

- 3 pies -

Prob. 4-76

160

•

CAPÍTULO 4 Carga axial

El cilindro de 50 mm de diámetro está hecho de magnesio Am 1004-T61 y se coloca en la prensa cuando la tem peratura es T, = 2 0 °C. Si los pernos de acero ino­ xidable 304 de la prensa tienen cada uno un diám etro de 10 mm y apenas aprietan al cilindro con fuerza despre­ ciable contra los cabezales rígidos, determ ine la fuerza en el cilindro cuando la tem peratura se eleva a T2 = 130 °C. 4-77.

El cilindro de diámetro de 50 mm de diám etro es­ tá hecho de magnesio Am 1004-T61 y se coloca en la pren­ sa cuando la tem peratura es T\ = 15 °C. Si los pernos de acero inoxidable 304 de ¡a prensa tienen cada uno un diá­ m etro de 10 mm y apenas aprietan al cilindro con fuerza despreciable contra los cabezales rígidos, determine la tem peratura a la que el esfuerzo normal promedio en el aluminio o en el acero resulta ser de 12 MPa. 4-78.

P rob. 4-79

La barra central CD del conjunto se calienta de T\ = 30 °C a T2 = 180 °C por medio de una resistencia eléctrica. A la tem peratura inferior T h el espacio entre C y la barra rígida es de 0.7 mm. D eterm ine la fuerza en las barras A B y EF causada por el incremento de tem pera­ tura. Las barras A B y EF son de acero y cada una tiene un área transversal de 125 mm2. CD es de aluminio y tie­ ne un área transversal de 375 mm2. £ ac = 200 GPa, Ea\ = 70 GPa y a al = 2 3 ( 1 0 “6)/°C. *4-80.

La barra central CD del conjunto se calienta de Tx = 30 °C a T2 = 180 °C por medio de una resistencia eléctrica. También, las dos barras extremas A B y EF se calientan de T x = 30° a T2 = 50 °C. A la tem peratura in­ ferior T\ , el espacio entre C y la barra rígida es de 0.7 mm. Determine la fuerza en las barras A B y EF causada por el incremento de temperatura. Las barras A B y EF son de acero y cada una tiene un área transversal de 125 mm2. CD es de aluminio y tiene un área transversal de 375 mm2. Eac = 200 GPa, £ al = 70 GPa, a ac = 12(10"6)/°C y a a, = 23(10 ~6 )/°C.

4-81.

100 mm

P robs. 4-77/78

0.7 mm

El conjunto consiste en un cilindro de aluminio 2014-T6 con diám etro exterior de 200 mm y diámetro in­ terior de 150 mm junto con un cilindro concéntrico sóli­ do interior de magnesio Am 1004-T61 con diám etro de 125 mm. Si la fuerza de agarre en los pernos A B y CD es de 4 kN cuando la tem peratura es T x = 16 °C, determ i­ ne la fuerza en los pernos cuando la tem peratura sube a T2 = 48 °C. Suponga que los pernos y los cabezales son rígidos. 4-79.

300 mm

Probs. 4-80/81

P ro b le m as

Las tres barras están hechas de acero A-36 y for­ man una armadura conectada por pasadores. Si ésta se construye cuando T\ = 50 °F, determine la fuerza en ca­ da barra cuando T2 = 110 °F. Cada barra tiene un área transversal de 2 pulg2.

4-82.

Las tres barras están hechas de acero A-36 y for­ man una armadura conectada por pasadores. Si ésta se construye cuando T\ = 50 °F, determine el desplazamien­ to vertical del nodo A cuando T2 = 150 °F. Cada barra tiene área transversal de 2 pulg2. 4-83.

•

161

La barra tiene un área transversal A, longitud L, módulo de elasticidad E y coeficiente de dilatación tér­ mica a. La temperatura de la barra cambia uniformemen­ te desde una temperatura TA en A hasta una temperatu­ ra TB en B. de modo que en cualquier punto x a lo largo de la barra, T = TA + x(TB —TA)/L. Determine la fuer­ za que la barra ejerce sobre las paredes rígidas. Inicial­ mente no se tiene ninguna fuerza axial en la barra. 4-85.

—

1

4

A

B TA

Tb P ro b . 4-85

P robs. 4-82/83

La barra metálica tiene un espesor t y un ancho w y está sometida a un gradiente de temperatura de T\ a T2 (7] < T2). Esto causa que el módulo de elasticidad del material varíe linealmente de £[ en la parte superior a un valor menor E2 en el fondo de la barra. En consecuencia, en cualquier posición vertical y, E = [{E2 — E x)/w] y + E\. Determine la posición d donde debe aplicarse la fuer­ za axial P para que la barra se alargue uniformemente en toda su sección transversal. 4-86.

La barra está hecha de acero A-36 y tiene un diá­ metro de 0.25 pulg. Si los resortes se comprimen 0.5 pulg cuando la temperatura de la barra es T = 40 °F, determi­ ne la fuerza en la barra cuando su temperatura es T = 160 °F. *4-84.

k = 1000 lb/pulg

k = 1000 lb/pulg

4 pies

Prob. 4-84

162

4.7

•

CAPITULO 4 Carga axial

Concentraciones de esfuerzos En la sección 4.1 se señaló que cuando una fuerza axial se aplica a un miembro, se genera una compleja distribución de esfuerzos dentro de una región localizada alrededor del punto de aplicación de la carga. Ta­ les distribuciones típicas del esfuerzo se m uestran en la figura 4-1. No sólo bajo cargas concentradas aparecen complejas distribuciones del es­ fuerzo, sino también en secciones donde el área de la sección transver­ sal cambia. Por ejemplo, considere la barra en la figura 4-21 a, que está sometida a una carga axial P. Puede verse aquí que las líneas horizon­ tales y verticales de la retícula asumen un patrón irregular alrededor del agujero centrado en la barra. El esfuerzo normal máximo en la barra ocu­ rre en la sección a-a, que coincide con la sección de área transversal más pequeña. Si el material se comporta de m anera elástica lineal, la distribu­ ción del esfuerzo que actúa en esta sección puede determ inarse a partir de un análisis basado en la teoría de la elasticidad o bien experim ental­ mente, midiendo la deformación unitaria normal en la sección a-a y luego calculando el esfuerzo usando la ley de Hooke, u = Ee. Independiente­ m ente del método usado, la forma general de la distribución del esfuerzo será como la m ostrada en la figura 4-216. D e m anera similar, si la barra tiene una reducción de su sección transversal con filetes en la zona de transición, figura 4-22a, entonces de nuevo, el esfuerzo normal máximo en la barra ocurrirá en la sección transversal más pequeña, sección a-a, y la distribución del esfuerzo será como la mostrada en la figura 4-22b.

a Sin distorsión

Distorsionada (a)

Distribución promedio del esfuerzo (c)

Fig. 4-21

S ección 4.7

Concentraciones de esfuerzos

•

163

En los dos casos anteriores, el equilibrio por fuerzas requiere que la magnitud de la fuerza resultante desarrollada por la distribución del es­ fuerzo sea igual a P. En otras palabras, P = \ a dA

(4-6)

Como se estableció en la sección 1.4. esta integral representa gráficamen­ te el volumen bajo cada uno de los diagramas de distribución del esfuer­ zo mostrados en las figuras 4-216 y 4-226. Además, el equilibrio debido a los momentos, requiere que cada distribución del esfuerzo sea simétrica sobre la sección transversal, de manera que P pase por el centroide de ca­ da volumen. Sin embargo, en la práctica, la distribución real del esfuerzo no tiene que determinarse; sólo el esfuerzo máximo en esas secciones debe ser co­ nocido para poder diseñar el miembro cuando se aplique la carga P y se genere este esfuerzo. En los casos en que cambia la sección transversal, como en los casos vistos antes, valores específicos del esfuerzo normal má­ ximo en la sección crítica pueden determinarse por medio de métodos ex­ perimentales o por medio de técnicas matemáticas avanzadas usando la teoría de la elasticidad. Los resultados de esas investigaciones se repor­ tan por lo regular en forma gráfica usando un fa cto r K de concentración de esfuerzos. Definimos K como la razón del esfuerzo máximo al esfuer­ zo promedio que actúa en la sección transversal más pequeña; esto es,

Las concentraciones de esfuerzos se pre­ sentan a menudo en las esquinas agudas de maquinaria pesada. Los ingenieros pueden mitigar estos efectos usando placas atiesadoras soldadas a las esquinas.

(4-7)

Si se conoce K y si el esfuerzo normal promedio se ha calculado a partir de ad­ ío el erzo ansite a cauis de mete i ma­ us firque xión

Esfuerzo torsional máximo absoluto. En cualquier sección trans­ versal dada de la flecha, el esfuerzo cortante máximo se presenta en la su­ perficie exterior. Sin embargo, si la flecha está sometida a una serie de pa­ res externos o el radio (m om ento polar de inercia) varía, el esfuerzo torsional máximo en la flecha podría entonces ser diferente de una sec­ ción a la siguiente. Si se va a determ inar el esfuerzo torsional máximo ab­ soluto, resulta im portante encontrar la posición en que la razón Tc/J es máxima. Para esto puede ser de ayuda m ostrar la variación del par inter­ no T en cada sección a lo largo del eje de la flecha por medio de un dia­ grama de m omento torsionante. Específicamente, este diagrama es una grafica del par interno T versus su posición x a lo largo de la longitud de la flecha. De acuerdo con una convención de signos, T será positivo si de acuerdo con la regla de la mano derecha, el pulgar está dirigido hacia afue­ ra de la flecha cuando los dedos se curvan en la dirección del giro causa­ do por el par, figura 5-5. Una vez que se ha determ inado el par interno en toda la flecha, puede identificarse entonces la razón máxima Tc/J.

5-8)

(a)

El esfuerzo cortante varía linealmente a lo largo de toda línea radial de la sección transversal, (b)

Fig. 5-9

a

192 • CAPITULO 5 Torsión

PUNTOS IMPORTANTES • Cuando una flecha con sección transversal circular está sometida a un par de torsión, la sección transversal permanece plana mien­ tras que las líneas radiales giran. Esto ocasiona una deformación unitaria cortante dentro del material que varía linealmente a lo largo de cualquier línea radial, de cero en el eje de la flecha a un máximo en su borde exterior.

E J

La d largt min<

• Para un material homogéneo elástico lineal, debido a la ley de Hooke, el esfuerzo cortante a lo largo de cualquier línea radial de la flecha también varía linealmente, de cero en su eje a un má­ ximo en su borde exterior. Este esfuerzo cortante máximo no de­ be exceder el límite proporcional. • Debido a la propiedad complementaria del cortante, la distribu­ ción lineal del esfuerzo cortante dentro del plano de la sección transversal está también distribuido a lo largo de un plano axial adyacente de la flecha. • La fórmula de la torsión se basa en el requisito de que el par re­ sultante sobre la sección transversal es igual al par producido por la distribución lineal del esfuerzo cortante respecto al eje longi­ tudinal de la flecha. Es necesario que la flecha o tubo tenga una sección transversal circular y que esté hecho de material hom o­ géneo con comportamiento elástico lineal.

Solm El m

Aplk tenei

PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS La fórmula de la torsión puede aplicarse usando el siguiente procedimiento.

S o Ilh

Carga interna. • Seccione la flecha perpendicularm ente a su eje en el punto en que el esfuerzo cortante debe determ inar­ se y use el diagrama de cuerpo libre necesario y las ecuaciones de equilibrio para obtener el par interno en la sección.

El mi sión i dal i mejaa

Propiedades de la sección. • Calcule el momento polar de inercia de la sección transversal. Para una sección sólida de radio c , J — 7tc4 / 2 y para un tubo de radio exterior c„ y radio interior c¡, J = ir(cl - cf)/2. Esfuerzo cortante. • Especifique la distancia radial p medida desde el centro de la sección transversal al punto en que se va a calcular el esfuerzo cortante. Aplique luego la formula de la torsión t = Tp/J, o si el esfuerzo cortante máximo se va a determinar usando Tm áx = Tc/J. Al sustituir los datos numéricos, asegúrese de usar un conjunto consistente de unidades. • El esfuerzo cortante actúa sobre la sección transversal en un sentido siempre perpendicular a p. La fuer­ za que genera debe contribuir a formar el par de torsión respecto al eje de la flecha que tiene el mismo sentido que el par resultante interno T que actúa sobre la sección. Una vez establecido este sentido, pue­ de aislarse un elemento de volumen del material, localizado donde se determina r, y pueden entonces mostrarse sobre las tres caras restantes del elemento el sentido en que actúa r.

Este renci re s j

Para

S ección 5.2

E J E M P L O

--------------------

La distribución del esfuerzo en una flecha sólida ha sido graficaaa a lo largo de tres líneas radiales como se muestra en la figura 5-10«. D eter­ mine el momento de torsión interno resultante en la sección.

Fig. 5-10

Solución 1 El momento polar de inercia de la sección transversal es: / = | ( 2 pulg ) 4 = 25.13 pulg 4 Aplicando la fórmula de la torsión con rmáx = tenemos: Te r máx = — ; /

8

klb/pulg2, figura 5-10«,

7X2 pulg) klb/pulg - = —— — ' (25.13 pulg4) T = 101 klb • pulg 8

Resp.

Solución II El mismo resultado puede obtenerse encontrando el mom ento de tor­ sión producido por la distribución del esfuerzo respecto al eje centroidal de la flecha. Primero debemos expresar r = /(p ). Por triángulos se­ mejantes, tenemos: r _ p

8

klb/pulg 2 2 pulg

r = 4p Este esfuerzo actúa en todas las porciones del elem ento anular dife­ rencial que tiene un área dA = Irrp clp. Como la fuerza generada por Tes dF = tcíA , el momento de torsión es: d T - p dF - p ( r d A ) = p (4 p )2 ? rp dp =

8

-«p3 dp

Para el área entera en que actúa r, se requiere: T =

2 8

í\ Trp3 dp = Sot —p‘

2

= 101 klb • pulg o

Resp.

La fórmula de la torsión

• 193

19 4

•

CAPÍTULO 5

Torsión

E J E M P L O La flecha sólida de radio c está sometida al momento de torsión T, fi­ gura 5-1 la. Determ ine la fracción de T que resiste el material conteni­ do dentro de la región exterior de la flecha, que tiene un radio interior de c / 2 y radio exterior c. Solución El esfuerzo en la flecha varía linealmente, de modo que r = (p/c)rmáx, ecuación 5-3. Por tanto, el momento de torsión d T ' sobre el área anu­ lar localizada en la región de sombreado ligero, figura 5-1 Ib, es: d T = p ( r d A ) = p (p /c )rmáx(27rp dp) Para toda el área de sombreado ligero, el momento de torsión es: (a)

r

=

27rrm!íx L

dp

f „ c/2

2

'n"rmáx 1 4 c 4P

C

c/2

Es decir, 15-7T ^máx^ ~ ~yi

(1)

Este mom ento de torsión T ' puede expresarse en términos del mo­ mento de torsión aplicado T usando prim ero la fórmula de la torsión para determ inar el esfuerzo máximo en la flecha. Tenemos: Fig. 5-11

^*máx

Te

Te ( tt/ 2 ) c 4

2T Tmáx

7TC

Sustituyendo este valor en la ecuación 1 obtenemos:

r ' =

ir

Resp.

Aproximadamente el 94% del momento torsionante es resistido aquí por la región de sombreado más claro y el restante 6 % de T (o -¡^) es resistido por el “núcleo” interior de la flecha, p = 0 a p = c/2. En con­ secuencia, el material localizado en la región exterior de la flecha es al­ tam ente efectivo para resistir el momento de torsión, lo que justifica el uso de flechas tubulares como un medio eficiente para transmitir mo­ mentos con el consiguiente ahorro de material.

S ección 5.2

E J E M P L O

La fórmula d e la torsión

• 195

5.3

La flecha mostrada en la figura 5-12« está soportada por dos cojinetes y está sometida a tres pares de torsión. Determ ine el esfuerzo cortan­ te desarrollado en los puntos A y B. localizados en la sección a-a de la flecha, figura 5-126. 42.5 klb pulg 42.5 klb-pulg

Fig. 5-12

Solución Par de torsión interno. Las reacciones en los cojinetes de la flecha son cero, siempre que se desprecie el peso de ésta. Además, los pares apli­ cados satisfacen el equilibrio por momento respecto al eje de la flecha. El par de torsión interno en la sección a-a lo determinamos con ayu­ da del diagrama de cuerpo libre del segmento izquierdo, figura 5-126. Tenemos, SM.V= 0; 42.5 klb- pulg - 30 klb • pulg - 7

= 0

T - 12.5 klb • pulg

Propiedades de la sección. El m om ento polar de inercia de la cha es: j = y (0.75 pulg ) 4 = 0.497 pulg 4 Esfuerzo cortante. t

k lb /p u lg -

Como el punto A está en p = c - 0.75 pulg,

Te (12.5 klb-pulg)(0.75 pulg) 1 0 rtllL , = — = -------------------------A---------- = 18.9 klb/pulgA J (0.497 pulg4) F 6 a

3.77 k lb /p u lg

Igualmente, para el punto B , en p = 0.15 pulg, tenemos: Tp J

(12.5 klb • pulg)(0.l5 pulg) (0.497 pulg 4

= 3.77 klb/pulg 2

0.75 pulg

Resp.

Las direcciones de esos esfuerzos sobre cada elemento e n A y B . figu­ ra 5-l2c,se determinan con base en la dirección del par resultante inter­ no T mostrado en la figura 5-126. Observe cuidadosamente cómo actúa el esfuerzo cortante sobre los planos de cada uno de esos elementos.

(C)

196 • CAPÍTULO 5 Torsión

E J E M P L O

El

5.3 El tubo mostrado en la figura 5-13« tiene un diámetro interior de 80 mm y un diám etro exterior de 100 mm. Si su extremo se aprieta contra el soporte en A usando una llave de torsión en B, determ ine el esfuerzo cortante desarrollado en el material en las paredes interna y externa a lo largo de la porción central del tubo cuando se aplican las fuerzas de 80 N a la llave.

smd 1

Solución Par de torsión interno. Se tom a una sección en una posición C inter­ media a lo largo del eje del tubo, figura 5-136. La única incógnita en la sección es el par de torsión interno T. El equilibrio por fuerza y mo­ mento respecto a los ejes x y z se satisface. Se requiere: 2 M y = 0;

80 N(0.3 m) + 80 N(0.2 m) - T = 0 T = 40 N • m

Propiedades de la sección. El momento polar de inercia de la sec­ ción transversal del tubo es: J = y [(0.05 m ) 4 - (0.04 m)4] = 5.80(10"6) m 4 Esfuerzo cortante. Para cualquier punto sobre la superficie exterior del tubo, p = ca = 0.05 m, tenemos t0

0

—

Tc„

40 N -m (0 .0 5 m ) = ------------ ^ ---- j 1 = 0.345 MPa J 5.80(10"6) m4

Resp.

Para cualquier punto sobre la superficie interior, p = c¡ = 0.04 m, por lo que: Tc¡

40 N • m(0.04 m) 5.80(10-6) m‘

(C )

Fig. 5-11

= 0.276 MPa

Resp.

Para m ostrar cómo esos esfuerzos actúan en puntos representativos D y E de la sección transversal, veremos prim ero la sección transver­ sal desde el frente del segmento CA del tubo, figura 5-13«. Sobre esta sección, figura 5-13c, el par de torsión interno resultante es igual pero opuesto al mostrado en la figura 5-136. Los esfuerzos cortantes en D y E contribuyen a generar este par y actúan por tanto sobre las caras sombreadas de los elementos en las direcciones mostradas. En conse­ cuencia advierta cómo las componentes del esfuerzo cortante actúan sobre las otras tres caras. Además, como la cara superior de D y la ca­ ra inferior de E están sobre regiones libres de esfuerzo, es decir, sobre las paredes exterior e interior del tubo, no puede existir ningún esfuer­ zo cortante sobre esas caras o sobre las otras caras correspondientes del elemento.

P -taí l i 70

S ección 5.3 Transmisión de potencia

5.3

• 197

Transmisión de potencia

Las flechas y los tubos que tienen secciones transversales circulares se usan a menudo para transm itir la potencia desarrollada por una máqui­ na. Cuando se usan para este fin, quedan sometidos a pares de torsión que dependen de la potencia generada por la máquina y de la velocidad an­ gular de la flecha. La potencia se define como el trabajo efectuado por unidad de tiempo. El trabajo transm itido por una flecha en rotación es igual al par de torsión aplicado por el ángulo de rotación. Por tanto,si du­ rante un instante de tiempo dt un par de torsión aplicado T ocasiona que la flecha gire un ángulo dd, entonces la potencia instantánea es:

dt Puesto que la velocidad angular esw = d6/dt, podemos también expresar la potencia como: ' P = T ío

(5-10)

En el sistema SI, la potencia se expresa en watts cuando el par de tor­ sión se mide en newton-metro (N • m) y w se expresa en radianes por se­ gundo (rad/s) (1 W = 1 N* m /s). En el sistema pie-libra-segundo o siste­ ma FPS, las unidades básicas de la potencia son pie-libra por segundo (pie • lb/s); sin embargo, en la práctica se usa más a menudo el caballo de potencia (hp), en donde: 1 hp = 550 pies • libra/s Para Ja maquinaria, a m enudo se reporta la frecuencia,f de rotación de la flecha. Ésta es una medida del número de revoluciones o ciclos de la flecha por segundo y se expresa en hertz (1 Hz = 1 ciclo/s). Puesto que 1 ciclo = 27r rad, entonces a> = 2rrf y la ecuación anterior para la poten­ cia resulta P = 2tr fT

(5-11)

Diseño de una flecha. Cuando la potencia transmitida por una flecha y su frecuencia se conocen, el par de torsión desarrollado en la flecha pue­ de determinarse con la ecuación 5-11, esto es, T = P /ltrf. Conociendo T y el esfuerzo cortante permisible para el material, rperm, podemos deter­ m inar el tam año de la sección transversal de la flecha usando la fórmula de la torsión, siempre que el com portamiento del material sea elástico-li­ neal. Específicamente, el parám etro geométrico o de diseño J¡c es:

L _ C

T Tperm

( 5 -1 2 )

Para una flecha sólida,J = ( it/2) c4, y entonces, al sustituir, puede deter­ minarse un valor único para el radio c de la flecha. Si la flecha es tubular, de modo que / = ( tt/2)(Co ~ c f),e 1 diseño permite una amplia variedad de posibilidades para la solución: puede hacerse una selección arbitraria, ya sea para c0 o para c¡, y el otro radio se determ ina con la ecuación 5-12.

La flecha impulsora de esta máquina corta­ dora debe ser diseñada para satisfacer los re­ quisitos de potencia de su motor.

198 • CAPÍTULO 5 Torsión

E J E M P L O

5.5 La flecha sólida A B de acero mostrada en la figura 5-14 va a usarse pa­ ra transm itir 5 hp del m otor M al que está unida. Si la flecha gira a u) = 175 rpm y el acero tiene un esfuerzo perm isible de Tperm = 14.5 klb/pulg2, determine el diámetro requerido para la flecha al ~ pulg más cercano.

Fig. 5-14

Solución El par de torsión sobre la flecha se determ ina con la ecuación 5-10, es decir. P = Tco. Si expresamos P en pies-libras por segundo y w en ra­ dianes/segundo, tenemos / 550 pies • Ib/s \ j = 2750 pies • lb/s P « 5 h p ^ ----- lh p

w

175 rev / 2ir rad V 1 min \ ~ Vi 1— min rev A 60 s J

,„

.

= 1833 rad/s

Así, P = 7w;

2750 pies • lb/s = 7(18.33 rad/s) T = 150.1 pies • Ib

Si aplicamos la ecuación 5-12, obtenemos:

2T C =

\

7 _ 7t c^ = T C 2 c Tnerm 1/í3 /2(150.1 pies • lb)(12 pulg/pie)V / 3 7r(14 500 lb/pulg2) c = 0.429 pulg

Como 2c = 0.858 pulg, seleccionamos una flecha con diámetro de 7 d = -g pulg = 0.875 pulg

Resp.

Pro blem a s

•

199

E J E M P L O U na flecha tubular con diámetro interior de 30 mm y un diámetro ex­ terior de 42 mm. va a usarse para transm itir 90 kW de potencia. D eter­ mine la frecuencia de rotación de la flecha para que el esfuerzo cortan­ te no pase de 50 MPa.

Solución El momento de torsión máximo que puede aplicarse a la flecha se de­ termina con la fórmula de la torsión. = — ^máx — j

50(10 ) N /m =

r(0.021 m)

vtt/2)[(0.021 m ) 4 - (0.015 m )4] T = 538 N • m

Aplicando la ecuación 5-11, la frecuencia de rotación es: P = 2ttf T 90(103) N • m /s = 2tt/(538 N • m) / = 26.6 Hz

Resp.

PROBLEMAS Un tubo está sometido a un par de torsión de 600 M-m. Determine la porción de este par que es resistida por la sección sombreada. Resuelva el problema de dos ma­ neras: (a) usando la fórmula de la torsión: (b) determinan­ do la resultante de la distribución del esfuerzo cortante. 5-1.

P ro b s. 5-2/3

600 P ro b . 5-1

Una flecha sólida de radio r está sometida a un par de torsión T. Determine el radio r' del núcleo de la flecha que resista una mitad del par aplicado (772). Resuelva el problema de dos modos: (a) usando la fórmula de la tor­ sión: (b) determinando la resultante de la distribución del esfuerzo cortante.

*5-4. El tubo de cobre tiene un diámetro exterior de 40 mm y un diámetro interior de 37 mm. Si está firmemen­ te afianzado a la pared en A y se le aplican tres pares de torsión como se muestra en la figura, determine el esfuer­ zo cortante máximo desarrollado en el tubo.

5-2.

Una flecha sólida de radio r está sometida a un par de torsión T. Determine el radio r’ del núcleo de la flecha que resista una cuarta parte del par de torsión aplicado (774). Resuelva el problema de dos modos: (a) usando la fórmula de la torsión: (b) determinando la resultante de la distribución del esfuerzo cortante. 5-3.

SO.N-m

Prob. 5-4

200 • CAPÍTULO 5 Torsión

5-5. Un tubo de cobre tiene un diám etro ex terio r de 2.50 pulgy un diámetro interior de 2.30 pulg. Si está firme­ m ente afianzado a la pared en C y se le aplican tres pares de torsión como se muestra en la figura, determ ine el es­ fuerzo cortante desarrollado en los puntos A y B. Estos puntos están situados sobre los elementos de volumen lo­ calizados en A y en B.

5-9. U n conjunto consiste en dos secciones de tubo de acero galvanizado conectadas entre sí por medio de un co­ pie reductor situado en B. El tubo más pequeño tiene un diám etro exterior de 0.75 pulg y un diám etro interior de 0.68 pulg, mientras que el tubo más grande tiene un diá­ m etro exterior de 1 pulg y un diám etro interior de 0.86 pulg. Si el tubo está fijo a la pared en C, determ ine el es­ fuerzo cortante máximo desarrollado en cada sección del tubo cuando el par mostrado se aplica a las em puñaduras de la llave.

600 lb-pies P ro b . S-S

5-6. Una flecha sólida de 1.25 pulg de diám etro se usa para transmitir los pares de torsión aplicados a los engra­ nes como se m uestra en la figura. Si está soportada por cojinetes lisos en A y B, los cuales no resisten ningún par, determine el esfuerzo cortante desarrollado en los puntos C y D de la flecha. Indique el esfuerzo cortante sobre los elementos de volumen localizados en estos puntos. 5-7. La flecha tiene un diám etro exterior de 1.25 pulg y un diámetro interior de 1 pulg. Si se somete a los pares apli­ cados como se m uestra, determ ine el esfuerzo cortante máximo absoluto desarrollado en la flecha. Los cojinetes lisos en A y B no resisten pares.

P rob. 5-9

*5-8. La flecha tiene un diám etro exterior de 1.25 pulg y un diámetro interior de 1 pulg. Si se somete a los pares apli­ cados como se muestra, trace la distribución del esfuerzo cortante que actúa a lo largo de una línea radial en la re­ gión EA de la flecha. Los cojinetes lisos en A y B no resis­ ten pares.

5-10. El eslabón funciona como parte del control de ele­ vación de un pequeño avión. Si el tubo de aluminio unido al eslabón tiene un diám etro interno de 25 mm y un espe­ sor de 5 mm, determ ine el esfuerzo cortante máximo en el tubo cuando se aplica la fuerza de 600 N a los cables. E s­ boce la distribución del esfuerzo cortante sobre toda la sec­ ción.

Probs. 5-6/7/8

Prob. 5-10

Pro blem a s

5-11. La flecha consiste en tres tubos concéntricos, cada uno hecho del mismo material y con los radios interno y externo m ostrados. Si se aplica un par de torsión T = 800 N • m al disco rígido fijo en su extremo, determ ine el esfuerzo cortante máximo en la flecha.

T= 800 N-m

•

201

5-14. La flecha sólida tiene un diám etro de 0.75 pulg. Si está sometida a los pares mostrados, determ ine el esfuer­ zo cortante máximo generado en las regiones B C y D E de la flecha. Los cojinetes en A y F permiten la rotación libre de la flecha. 5-15. La flecha sólida tiene un diám etro de 0.75 pulg. Si está sometida a los pares mostrados, determ ine el esfuer­ zo cortante máximo generado en las regiones CD y E F de la flecha. Los cojinetes en A y F perm iten la rotación libre de la flecha.

r¡ = 32 mm r0 = 38 mm

Prob. 5-11

*5-12. La flecha sólida está em potrada en C y está some­ tida a los pares de torsión m ostrados. D eterm ine el es­ fuerzo cortante en los puntos A y B e indique el esfuerzo cortante sobre elementos de volumen localizados en esos puntos.

Probs. 5-14/15

*5-16. La flecha de acero tiene un diám etro de 1 pulg y se atornilla a la pared por medio de una llave. Determ ine el par de fuerzas F más grande que puede aplicarse a la flecha sin que el acero fluya. ty = 8 klb/pulg2. 5-17. La flecha de acero tiene un diám etro de 1 pulg y se atornilla a la pared por medio de una llave. D eterm ine el esfuerzo cortante máximo en la flecha cuando las fuerzas del par tienen una magnitud F = 30 Ib. Prob. 5-12

5-13. Un tubo de acero con diám etro exterior de 2.5 pulg se usa para transmitir 350 hp de potencia al girar a 27 rpm. Determine el diámetro interior d del tubo al j pulg más cer­ cano si el esfuerzo cortante perm isible es rperm = 10 klb/pulg2.

TF P rohs. 5-16/17

202 • CAPÍTULO 5 Torsión

5-18. U na flecha de acero está sometida a las cargas de torsión que se muestran en la figura. D eterm ine el esfuer­ zo cortante desarrollado en los puntos A y B y trace el es­ fuerzo cortante sobre elementos de volumen situados en estos puntos. La flecha tiene un radio exterior de 60 mm en la sección donde A y B están localizados. 5-19. U na flecha de acero está sometida a las cargas de torsión que se muestran en la figura. D eterm ine el esfuer­ zo cortante máximo absoluto en la flecha y trace la distri­ bución del esfuerzo cortante a lo largo de una línea radial donde tal esfuerzo es máximo.

Prob. 5-22 5-23. Las flechas de acero están conectadas entre sí por medio de un filete soldado como se muestra. Determ ine el esfuerzo cortante promedio en la soldadura a lo largo de la sección a-a si el par de torsión aplicado a las flechas es T = 60 N • m. Nota: la sección crítica donde la soldadu­ ra falla es a lo largo de la sección a-a.

5 kN m

P ro b s. 5-18/19

*■5-20. Las flechas de acero de 20 mm de diámetro que se muestran en la figura están conectadas entre sí por me­ dio de un copie de bronce. Si el esfuerzo de fluencia del ace­ ro es (rY)ac = 100 MPa y el del bronce es ( T y ) br = 250 MPa, determine el diámetro exterior d requerido del copie para que el acero y el bronce empiecen a fluir al mismo tiempo cuando el conjunto está sometido a un par de torsión T. Su­ ponga que el copie tiene un diámetro interior de 20 mm. 5-21. Las flechas de acero de 20 mm de diám etro que se muestran en la figura están conectadas entre sí por medio de un copie de bronce. Si el esfuerzo de fluencia del acero es (Ty)ac = 100 MPa, determ ine el par de torsión T nece­ sario para que e¡ acero fluya. Si d = 40 mm, determ ine el esfuerzo cortante máximo en el bronce. El copie tiene un diám etro interior de 20 mm.

P ro b . 5-23

*5-24. La barra tiene un diám etro de 0.5 pulg y un peso de 5 lb/pie. Determine el esfuerzo máximo de torsión en la barra en una sección situada en A debido al peso de la barra. 5-25. Resuelva el problem a 5-24 para el esfuerzo de tor­ sión máximo en B.

mm

P robs. 5-20/21

5-22. El copie se usa para conectar las dos flechas entre sí. Suponiendo que el esfuerzo cortante en los pernos es uniforme, determine el núm ero de pernos necesarios pa­ ra que el esfuerzo cortante máximo en la flecha sea igual al esfuerzo cortante en los pernos. Cada perno tiene un diám etro d.

P ro b s. 5-24/25

Pro blem a s

■ 5-26. Considere el problem a general de una flecha cir­ cular hecha de m segmentos cada uno de radio c,„. Si se tienen« pares de torsión sobre la flecha como se muestra, escriba un programa de com putadora que sirva para de­ terminar el esfuerzo cortante máximo en cualquier posi­ ción x especificada a lo largo de la flecha. Aplíquelo para los siguientes valores: L\ = 2 pies, = 2 pulg, L 2 = 4 pies, c2 = 1 pulg, T\ = 800 Ib • pie. d\ = 0,T2= -6 0 0 Ib • pie, d2 = 5 pies.

•

203

La flecha tiene un diám etro de 80 mm y debido a la fricción en su superficie dentro del agujero, queda so­ metido a un par de torsión variable dado por la función / = [25.re-v2)]N • m/m, donde .v está en metros. Determine el par de torsión mínimo TQnecesario para vencer la fric­ ción y que la flecha pueda girar. También determ ine el es­ fuerzo máximo absoluto en la flecha. ■ 5-29.

(25.x- e x") N-m/m Prob. 5-26

La flecha está som etida a un par de torsión dis­ tribuido a lo largo de su longitud con m agnitud t = (10x2)N -m /m , donde .v está en metros. Si el esfuerzo má­ ximo en la flecha debe perm anecer constante con valor de 80 MPa, determ ine la variación requerida para el radio c de la flecha para 0 £ x ^ 3 m. 5-27.

x

Prob. 5-29

La flecha sólida tiene un ahusamiento lineal que va de rA en un extremo a rB en el otro. Obtenga una ecuación que dé el esfuerzo cortante máximo en la flecha en una po­ sición x a lo largo del eje de la flecha. 5-30.

Prob. 5-27

Un resorte cilindrico consiste en un anillo de hule unido a un anillo rígido y a una flecha. Si el anillo rígido se mantiene fijo y se aplica un par de torsión T a la flecha, determine el esfuerzo cortante máximo en el hule. *5-28.

5-28

Prob. 5-30

204 • CAPÍTULO 5 Torsión

5-31. Cuando se perfora un pozo a una velocidad angu­ lar constante, el extrem o del tubo perforador encuentra una resistencia TA a la torsión. También el suelo a lo largo de los costados del tubo crea un par de fricción distribuido a lo largo de su longitud, que varía uniform emente desde cero en la superficie B hasta tA en A . Determ ine el par mí­ nimo T b que debe ser proporcionado por la unidad de impulsión para vencer los pares resistentes, y calcule el es­ fuerzo cortante máximo en el tubo. El tubo tiene un radio exterior ra y un radio interior r¡.

La flecha motriz de un tractor va a ser diseñada co­ mo un tubo de pared delgada. El m otor entrega 200 hp cuando la flecha está girando a 1200 rpm. Determ ine el es­ fuerzo mínimo para la pared de la flecha si el diám etro exterior de ésta es de 3 pulg. El material tiene un esfuer­ zo cortante permisible Tpcrm = 7 klb/pulg2.

5-34.

Un motor suministra 500 hp a la flecha de acero A B , que es tubular y tiene un diámetro exterior de 2 pulg. D eterm ine su diámetro interno más grande al ¿ pulg más cercano, cuando gira a 200 rad/s si el esfuerzo cortante per­ misible del material es 7perm = 25 klb/pulg2. 5-35.

P ro b s. 5-34/35

La flecha motriz de un tractor está hecha de un tubo de acero que tiene un esfuerzo cortante permisible Tperm = 6 klb/pulg2. Si el diám etro exterior es de 3 pulg y el m otor suministra 175 hp a la flecha al girar a 1250 rpm, determ ine el espesor mínimo requerido para la pared de la flecha. *5-36.

*5-32. La flecha impulsora A B de un automóvil está he­ cha con un acero que tiene un esfuerzo cortante permisi­ ble de Tperm = 8 klb/pulg2. Si el diám etro exterior es de 2.5 pulg y el motor desarrolla 200 hp cuando la flecha gi­ ra a 1 140 rpm. determ ine el espesor mínimo requerido pa­ ra la pared de la flecha. La flecha impulsora A B de un automóvil va a ser diseñada como un tubo de pared delgada. El m otor desa­ rrolla 150 hp cuando la flecha gira a 1500 rpm. D eterm ine el espesor mínimo de la pared de la flecha si su diámetro exterior es de 2.5 pulg. El material tiene un esfuerzo cor­ tante permisible de rperm = 7 klb/pulg2. 5-33.

) B - '" ' 1

Un m otor entrega 500 hp a la flecha de acero A B , que es tubular y tiene un diám etro exterior de 2 pulg y un diám etro interior de 1.84 pulg. D eterm ine la velocidad angular más pequeña a la que puede girar la flecha si el esfuerzo cortante perm isible del m aterial es Tpe)rn = 25 klb/pulg2. 5-37.

La flecha de 0.75 pulg de diám etro para el motor eléctrico desarrolla 0.5 hp y gira a 1740 rpm. D eterm ine el par de torsión generado y calcule el esfuerzo cortante má­ ximo en la flecha. La flecha está soportada por cojinetes de bolas en A y B. 5-38.

Xl AV zuna t=

Probs. 5-32/33

Probs. 5-36/37/38

P ro blem a s

•

205

5-39. La flecha sólida A C tiene un diám etro de 25 mm y está soportada por dos cojinetes lisos en D y E. Está aco­ plada a un m otor en C que suministra 3 kW de potencia a la flecha cuando gira a 50 rpm. Si los engranes A y B to­ man 1 kW y 2 kW, respectivamente, determ ine el esfuerzo cortante máximo desarrollado en la flecha en las regiones A B y BC. La flecha puede girar libremente en sus cojine­ tes de apoyo D y E.

5-42. El m otor entrega 500 hp a la flecha A B de acero que es tubular y tiene un diámetro exterior de 2 pulg y un diámetro interior de 1.84 pulg. Determ ine la velocidad an­ gular más pequeña a la que puede girar si el esfuerzo cor­ tante permisible del material es = 25 klb/pulg2.

*5-40. La flecha sólida de acero D F tiene un diámetro de 25 mm y está soportada por dos cojinetes lisos en D y en E. Está acoplada a un m otor en C que entrega 12 kW de potencia a la flecha cuando gira a 50 rpm. Si los engranes A, B y C toman 3 kW, 4 k\V y 5 kW, respectivamente, de­ termine el esfuerzo cortante máximo desarrollado en la flecha en las regiones CF y BC. La flecha puede girar li­ bremente en sus cojinetes de apoyo D y E.

5-43. El motor entrega en A 50 hp cuando gira a una ve­ locidad angular constante de 1350 rpm. Por medio del sis­ tema de banda y polea esta carga es entregada a la flecha BC. de acero del ventilador. D eterm ine al i pulg más cer­ cano e" diámetro mínimo que puede tener esta flecha si el esfuerzo co rtan te perm isible p ara el acero es r perm = 12 klb/pulg2.

5-41. Determ ine el esfuerzo cortante máximo absoluto generado en la flecha en el problem a 5-40.

Probs. 5-40/41

Prob. 5-43

206 • CAPÍTULO 5 Torsión

5.4

Ángulo de torsión

Los pozos petroleros son comúnmente per­ forados a profundidades mayores de mil me­ tros. Como resultado, el ángulo total de tor­ sión de un conjunto de tubos de perforación puede ser considerable y debe ser calculado.

Ocasionalmente el diseño de una flecha depende de la restricción en la cantidad de rotación que pueda ocurrir cuando la flecha está sometida a un par de torsión. Además, poder calcular el ángulo de torsión de una fle­ cha es im portante cuando se analizan las reacciones en flechas estática­ m ente indeterminadas. En esta sección desarrollaremos una fórmula para determ inar el ángu­ lo de torsión, 4>(phi), del extremo de una flecha con respecto a su otro extremo. Supondremos que la flecha tiene una sección transversal circu­ lar que puede variar gradualm ente a lo largo de su longitud, figura 5-15« y que el material es homogéneo y se comporta de un modo elástico-lineal cuando se aplica el par de torsión. Como en el caso de una barra cargada axialmente, despreciaremos las deformaciones locales que ocurren en los puntos de aplicación de los pares y en donde la sección transversal cam­ bia abruptam ente. Según el principio de Saint-Venant, estos efectos ocu­ rren en pequeñas regiones a lo largo de la flecha y generalm ente tienen sólo un ligero efecto en los resultados finales. Para usar el método de las secciones, un disco diferencial de espesor dx, localizado en la posición x, se aísla de la flecha, figura 5-15¿>. El par de tor­ sión resultante interno está representado por. T(x), puesto que la acción externa puede causar que varíe a lo largo del eje de la flecha. Debido a T(x) el disco se torcerá, de modo que la rotación relativa de una de sus caras con respecto a la otra cara es d(j>, figura 5-156. Además como se ex­ plicó en la sección 5.1, un elem ento de material situado en un radio p ar­ bitrario dentro del disco sufrirá una deformación unitaria cortante y. Los valores de -y y d é se relacionan por la ecuación 5-1, es decir, d = y —

(5-13)

Ya < puei la d este tOIM

Inte; tora

Aqu : T(x¡

J(xi G

Par i lo ca que i ton» gura menl cual.

Lass carga

(a)

(b)

Fig. 5-15

S ección 5.4 Ángulo de torsión

• 207

Ya que es aplicable la ley de Hooke, y = t/G , y que el esfuerzo cortante puede expresarse en términos del par de torsión aplicado usando la formu­ la de la torsión r = T(x)p/J(x), entonces y = T(x)p/J(x)G. Sustituyendo este resultado en la ecuación 5-13. el ángulo de torsión para el disco es en­ tonces:

Integrando sobre toda la longitud L de la flecha, obtenem os el ángulo de torsión para toda la flecha, esto es.

(5-14) Aquí. (j) = ángulo de torsión de un extremo de la flecha con respecto al otro, medido en radianes T(x) = par de torsión interno en una posición arbitraria hallado a par­ tir del método de las secciones y de la ecuación del equilibrio de momentos aplicada con respecto al eje de la flecha J(x) = momento polar de inercia de la flecha expresado en función de la posición x G = módulo de rigidez del material Par de torsión y área de la sección transversal constantes. Por lo común, en la práctica de la ingeniería el material es homogéneo por lo que G es constante. Además, el área transversal de la flecha y el par de torsión aplicado son constantes a lo largo de la longitud de la flecha, fi­ gura 5-16. Si éste es el caso, el par de torsión interno T(x) = T, el mo­ mento polar de inercia J(x) = J, y la ecuación 5-14 puede ser integrada, lo cual da: (5-15) Las similitudes entre las dos ecuaciones anteriores y aquellas para una barra cargada axialmente (ó = ¡P (x)dx/A (x)E y 8 = P L /A E ) son notorias.

Al calcular el esfuerzo y el ángulo de tor­ sión de esta perforadora de suelo, es nece­ sario considerar la carga variable que actúa a lo largo de su longitud.

Registrador de la deformación por torsión Cabezal giratorio Controles

Selector ^ del intervalo de carga

Motor

del motor Probeta

Cabezal fijo

-

---------- — . .- - i

móvil montada sobre rieles

Fig. 5-17

Podemos usar la ecuación 5-15 para determ inar el m ódulo de elastici­ dad por cortante G del material. Para hacerlo se sitúa una probeta de en­ sayo de longitud y diámetro conocidos en una máquina para ensayos de torsión como la que se muestra en la figura 5-17. El par de torsión T y el ángulo de torsión (f>se miden entonces entre una longitud calibrada L. Usando la ecuación 5-15, G = TL¡J y 5-21c se muestran dia­ gramas de cuerpo libre de cada flecha. Sumando momentos a lo largo del eje * de la flecha se obtiene la reacción tangencial entre los engra­ nes de F = 45 N-m/0.15 m = 300 N. Sumando momentos respecto al eje x de la flecha DC, esta fuerza genera entonces un par de torsión de {T d )x = 300 N (0.075 m) = 22.5 N-m sobre la flecha DC. ( r 0 )v = 22.5 N-m

D>0.075 m

Ángulo de torsión. Para resolver el problem a calculamos prim ero el _ giro del engrane C debido al par de 22.5 N-m en la flecha DC, figura 5-216. Este ángulo de torsión es:

F = 300 N

(+22.5 N • m)(1.5 m)

T L DC JG

(b)

(ir/2 )(0.010 m )4[80( 109) N /m 2

= +0.0269 rad

Como los engranes en los extremos de las flechas están conectados, la rotación 4>c del engrane C ocasiona que el engrane B gire B, figura 5-21c, donde

T = 45 N-m

B = 0.0134 rad 0.150 m

Determ inarem os ahora el ángulo de torsión del extremo A con res­ pecto al extrem o B de la flecha A B generado por el par de 45 N -m , figura 5-21c. Tenemos: a / b ~

Tab L ab JG

(+45 N • m )(2 m) (w/2)(0.010 m) [80(10 ) N /m 2]

+0.0716 rad

La rotación del extremo A se determina entonces sumando B y ya que ambos ángulos tienen el mismo sentido, figura 5-21c. Tenemos: 4>a = 4>b + a/ b = 0.0134 rad + 0.0716 rad = +0.0850 rad

Resp.

S ecció n 5 .4

Á n g u lo d e t o r s ió n

•

E J E M P L O El poste sólido de hierro colado de 2 pulg de diám etro mostrado en la figura 5-22a está enterrado en el suelo. Si se le aplica un par de torsión por medio de una llave rígida a su parte superior, determ ine el esfuer­ zo cortante máximo en el poste y el ángulo de torsión en su parte su­ perior. Suponga que el par está a punto de hacer girar el poste y que el suelo ejerce una resistencia torsionante uniforme de t Ib •pulg/pulg a lo largo de su longitud enterrada de 24 pulg. G = 5.5(103) klb/pulg2.

25

Solución Par de torsión interno. El par de torsión interno en el segmento A B del poste es constante. Del diagrama de cuerpo libre, figura 5-22b, te­ nemos: Tab = 25 lb( 12 pulg) = 300 Ib • pulg

S M Z = 0;

La magnitud del par de torsión distribuido uniformemente a lo largo del segmento BC enterrado puede determ inarse a partir del equilibrio de todo el poste, figura 5-22c. En este caso, 2

M; =

251b(12pulg) - í(24pulg) =

0

0

t = 12.5 Ib • pulg/pulg Por tanto, del diagrama de cuerpo libre de una sección de poste situa­ da en la posición x dentro de la región BC. figura 5-22d, tenemos: XA/, =

0

;

25

Ib

Tbc - 12.5* = 0 Tbc = 12.5*

Esfuerzo cortante máximo. El esfuerzo cortante más grande ocurre en la región A B . puesto que el par es máximo ahí y J es constante pa­ ra el poste. Aplicando la fórmula de la torsión, tenemos: TABc_ = (300 Ib • pulg) (1 pulg) ^"máx

( t t /2)(1 pie ) 4

= 191 lb/pulg 2

Resp. 25 Ib

25 Ib

Á ngulo de torsión. El ángulo de torsión en la parte superior puede determinarse respecto a la parte inferior del poste, ya que este extre­ mo está fijo y a punto de girar. Ambos segmentos A B y BC, giran, y en este caso tenemos: 36 pulg

Tab L ab *‘ m ~ W

f L,iC TRr dx JG + J„

(300 Ib pulg) = =

2 4

JG 1 0

800 Ib-pulg 2 + JG

1 2

O

pule12.5;c dx JG -5 Í(24)

/ 2 1

i = 12.5 !b-pulg/pulg

Ib-pulg 2

JG

14 400 Ib pulg 2 ( tt/ 2)(1 pulg)45500(103) lb/pulg:

= 0.00167 rad

(d)

24 pulg

213

214 • CAPÍTULO 5 Torsión

E J E M P L O La flecha ahusada m ostrada en la figura 5-23« está hecha de un m ate­ rial cuyo módulo cortante es G. Determ ine el ángulo de torsión de su extremo B cuando está sometido a un par.

Solución M om ento de torsión interno. Por inspección o por el diagrama de cuerpo libre de una sección localizada en la posición arbitraria x. figu­ ra 5-23¿>, el m omento de torsión es T. Ángulo de torsión. El momento polar de inercia varía aquí a lo lar­ go del eje de la flecha, por lo que tenemos que expresarlo en términos de la coordenada .v. El radio c de la flecha en x puede determ inarse en términos de x por proporción de la pendiente de la línea A B en la fi­ gura 5-23c. Tenemos: c2 - q

c2 ~ c

C1 ~

C = C2 - X

Ci - Cl L

c2 - X

/(* )« f

C1

Aplicando la ecuación 5-14, tenemos:

f

2T 7tG Jo

Tdx C2 - C\

c2 - x

dx c2 — x

Efectuando la integración usando una tabla de integrales, se obtiene:

4> =

L

2T

1

ttG j

f c2 - ci \

2T í (b)

u

L

c2 — X

c2 -

3

/L

V i _ 1_

ttG \ 3 ( c 2 - cx) A c í

c\

Reordenando términos resulta: 4) =

2TL ( c2 + cjc2 + Ci ,,3 .3

3 irG

Resp.

CjC2

Para verificar parcialmente este resultado, note que cuando C] = c2 = c, entonces

TL [( 7 r / 2 )c4]G Fig. 5-23

que es la ecuación 5-15.

__ T L JG

P ro blem a s

•

215

PROBLEMAS *5-44. Las hélices de un barco están conectadas a una flecha sólida de acero A-36 de 60 m de largo que tiene un diám etro exterior de 340 mm y un diám etro interior de 260 mm. Si la potencia generada es de 4.5 MW cuando la flecha gira a 20 rad/s. determ ine el esfuerzo torsionante máximo en la flecha y su ángulo de torsión. 5-45. U na flecha está som etida a un par de torsión T. Compare la efectividad de usar el tubo mostrado en la fi­ gura contra la de una sección sólida de radio c. Para esto, calcule el porcentaje de aum ento en el esfuerzo de torsión y en el ángulo de torsión por unidad de longitud del tubo respecto a la sección sólida.

*5-48. La flecha de acero A-36 está hecha con los tubos A B y CD más una sección sólida BC. Está soportada so­ bre cojinetes lisos que le permiten girar libremente. Si los engranes, fijos a sus extremos, están sometidos a pares de torsión de 85 N • m, determ ine el ángulo de torsión del ex­ tremo B de la sección sólida respecto al extrem o C. Los tubos tienen un diám etro externo de 30 mm y un diáme­ tro interno de 20 mm. La sección sólida tiene un diám etro de 40 mm.

P robs. 5-44/45 P ro b . 5-47/48

5-46. La flecha sólida de radio c está sometida a un par de torsión T. D em uestre que la deformación cortante má­ xima generada en la flecha es ymáx = Tc/JG. ¿Cuál es la deformación cortante en un elemento localizado en el pun­ to A , a c f2 del centro de la flecha? Esboce la distorsión cortante en este elemento.

5-49. Los extremos estriados y los engranes unidos a la flecha de acero A-36 están sometidos a los pares de to r­ sión mostrados. Determine el ángulo de torsión del extre­ mo B con respecto al extremo A . La flecha tiene un diá­ m etro de 40 mm.

300 N-m

500 N m

P ro b . 5-46

5-47. La flecha de acero A-36 está hecha con los tubos A B y CD más una sección sólida BC. Está soportada so­ bre cojinetes lisos que le permiten girar libremente. Si los engranes, fijos a sus extremos, están sometidos a pares de torsión de 85 N- m. determ ine el ángulo de torsión del en­ grane A con respecto al engrane D. Los lubos tienen un diám etro exterior de 30 mm y un diám etro interior de 20 mm. La sección sólida tiene un diám etro de 40 mm.

Prob. 5-49

216

• CAPÍTULO 5 Torsión

5-50. Los extremos estriados y los engranes unidos a la flecha de acero A-36 están sometidos a los pares de tor­ sión mostrados. Determ ine el ángulo de torsión del engra­ ne C con respecto al engrane D. La flecha tiene un diáme­ tro de 40 mm.

300 N-m

El perno de acero A-36 de 8 mm de diámetro es­ tá em potrado en el bloque en A . D eterm ine las fuerzas F del par que debe aplicarse a la llave para que el esfuerzo co rtan te máximo en el pern o sea de 18 MPa. Tam bién calcule el desplazamiento correspondiente de cada fuerza F necesario para generar este esfuerzo. Suponga que la lla­ ve es rígida. *5-52.

500 N-m

P ro b . 5-52 P ro b . 5-50

La flecha y volante giratorios, al ser llevados repen­ tinam ente al reposo en D, comienzan a oscilar en sentido horario y antihorario de manera que un punto A sobre el borde exterior del volante se desplaza a través de un arco de 6 mm. Determine el esfuerzo cortante máximo desarro­ llado en la flecha tubular de acero A-36 debido a esta os­ cilación. La flecha tiene un diám etro interior de 24 mm y un diámetro exterior de 32 mm. Los cojinetes e n B y C per­ miten que la flecha gire libremente, mientras que el sopor­ te en D mantiene fija la flecha.

La turbina desarrolla 150 kW de potencia que se transm ite a los engranes en forma tal que C recibe 70% y D 30% . Si la rotación de la flecha de acero A-36 de 100 mm de diámetro es u>= 800 rpm, determ ine el esfuer­ zo cortante máximo absoluto en la flecha y el ángulo de torsión del extremo E de la flecha respecto al extrem o B. El cojinete en E perm ite que la flecha gire libremente res­ pecto a su eje.

Prob. 5-51

Prob. 5-53

5-51.

5-53.

P ro blem a s

5-54. La turbina desarrolla 150 kW de potencia que se transmite a los engranes de manera que tanto C como D reciben la misma cantidad. Si la rotación de Ja flecha de acero A-36 de 100 mm de diám etro es co = 500 rpm, deter­ mine el esfuerzo cortante máximo absoluto en la flecha y la rotación del extrem o B de ésta respecto al extremo E. El cojinete en E permite que la flecha gire libremente al­ rededor de su eje.

•

217

5-57. El m otor produce un par de torsión T = 20 N • m sobre el engrane A . Si el engrane C se bloquea repentina­ mente de taJ manera que no pueda girar, aunque B sí pue­ de girar libremente, determ ine el ángulo de torsión de F con respecto a £ y el de F con respecto a D de la flecha de acero L2 que tiene un diám etro interior de 30 mm y un diámetro exterior de 50 mm. También, calcule el esfuerzo cortante máximo absoluto en la flecha. La flecha está so­ portada sobre cojinetes en G y H.

P ro b . 5-57

P ro b . 5-54

5-55. La flecha hueca de acero A-36 tiene 2 m de longi­ tud y un diám etro exterior de 40 mm. Cuando está giran­ do a 80 rad/s, transm ite 32 kW de potencia del m otor E al generador G. D eterm ine el espesor mínimo de la flecha si el esfuerzo cortante permisible es rperm = 140 MPa y la fle­ cha está restringida a no torcerse más de 0.05 radianes. *5-56. La flecha sólida de acero A-36 tiene 3 m de longi­ tud y un diám etro de 50 mm. Se requiere que transm ita 35 kW de potencia del m otor E al generador G. D eterm i­ ne la velocidad angular mínima que la flecha puede tener si está restringida a no torcerse más de I o.

5-58. El m otor de un helicóptero suministra 600 hp a la flecha del ro to r A B cuando las aspas están girando a 1200 rpm. D eterm ine al i pulg más cercano el diám etro de la flecha A B si el esfuerzo cortante permisible es Tpcrm = 8 klb/pulg2 y las vibraciones limitan el ángulo de torsión de la flecha a 0.05 radianes. La flecha tiene 2 pies de lon­ gitud y está hecha de acero L2. 5-59. El m otor de un helicóptero está entregando 600 hp a la f echa del rotor A B cuando las aspas giran a 1200 rpm. Determine al | pulg más cercano el diámetro de la flecha A B si el esfuerzo cortante permisible es rp(.rm = 10.5 k lb / pulg2 y las vibraciones limitan el ángulo de torsión de la flecha a 0.05 radianes. La flecha tiene 2 pies de longitud y está he­ cha de acero L2.

E

Probs. 5-55/56

Prob. 5-58/59

218

• CAPÍTULO 5 Torsión

*■5-60. Considere el problem a general de una flecha circular hecha de m segmentos, cada uno de radio c,„ y módulo cortante G,„. Si actúan n pares de torsión sobre la flecha como se muestra, escriba un programa de compu­ tadora que sirva para determ inar el ángulo de torsión en su extremo A . Aplique el programa con los siguientes da­ tos: L \ = 0.5 m, Cj = 0.02 m, Gj = 30 GPa. L 2 = 1.5 m, C2 = 0.05 m, Gi = 15 GPa, T\ - -4 5 0 N • m, = 0.25 m, T2 = 600 N • m, d2 = 0.8 m.

5-62. La flecha de acero L2 de 6 pulg de diám etro en la turbina está soportada sobre cojinetes en A y B. Si C se m antiene fijo y las paletas de la turbina generan un par de torsión en la flecha que crece lincalmente de cero en C a 2000 Ib • pie en D, determ ine el ángulo de torsión del ex­ tremo D de la flecha respecto al extremo C.También, calcu­ le el esfuerzo cortante máximo absoluto en la flecha. Des­ precie el tamaño de las paletas.

P ro b . 5-62 P ro b . 5-60

5-61. La pieza de acero A-36 consta de un tubo con ra ­ dio exterior de 1 pulg y un espesor de pared de 0.125 pulg. Por medio de una placa rígida en B se conecta a la flecha sólida A B de 1 pulg de diámetro. Determ ine la rotación del extremo C del tubo si se aplica un par de torsión de 200 Ib • pulg al tubo en este extremo. El extremo A de la flecha está em potrada.

Prob. 5-61

5-63. Cuando se perfora un pozo, se supone que el extre­ mo profundo del tubo perforador encuentra una resisten­ cia a la torsión TA. Además, la fricción del suelo a lo largo de los lados del tubo crea una distribución lineal del par de torsión por unidad de longitud que varía desde cero en la superficie B hasta í0 en A . Determ ine el par de torsión ne­ cesario Tfí que debe aplicar la unidad impulsora para ha­ cer girar el tubo. También, ¿cuál es el ángulo de torsión re­ lativo de un extremo del tubo con respecto al otro extremo en el instante en que el tubo va a comenzar a girar? El tu­ bo tiene un radio exterior r0 y un radio interior r¡. El mó­ dulo de cortante es G.

Prob. 5-63

Pro blem a s

*5-64. Con el poste de acero A-36 se “taladra” a veloci­ dad angular constante el suelo usando la instalación rota­ toria. Si el poste tiene un diám etro interior de 200 mm y un diámetro exterior de 225 mm. determ ine el ángulo re­ lativo de torsión del extremo A del poste con respecto al extremo B. cuando el poste alcanza la profundidad indi­ cada. Debido a la fricción del suelo, suponga que el par que actúa a lo largo del poste varía linealmente como se mues­ tra y que un par de torsión concentrado de 80 kN- m actúa en la punta del poste.

•

219

El dispositivo mostrado se usa para mezclar suelos con el fin de proporcionar estabilización in situ. Si el mez­ clador está conectado a una flecha tubular de acero A-36 que tiene un diám etro interior de 3 pulg y un diám etro ex­ terior de 4.5 pulg, determine el ángulo de torsión de la flecha en la sección A con respecto a la sección C, considerando que cada hoja mezcladora está sometida a los pares de tor­ sión mostrados. 5-66.

15 kN-m /m 80 k N m P ro b . 5-64

El dispositivo mostrado se usa para mezclar suelos con el fin de proporcionar estabilización in situ. Si el mezcla­ dor está conectado a una flecha tubular de acero A-36 que tiene un diámetro interior de 3 pulg y un diámetro exterior de 4.5 pulg. determine el ángulo de torsión de la flecha en la sección A con respecto a la sección B. así como el esfuerzo cortante máximo absoluto en la flecha, si cada hoja mezcla­ dora está sometida a los pares de torsión mostrados. 5-65.

Prob. 5-66

La flecha tiene un radio c y está sometida a un par de torsión por unidad de longitud de Iq. distribuido unifor­ memente sobre toda la longitud L de la flecha. D eterm i­ ne el ángulo de torsión 4>en el extremo fí, considerando que el extremo alejado A está empotrado. El módulo cor­ tante es G.

5-67.

220 • CAPÍTULO 5 Torsión

*5-68. El perno de acero A-36 se aprieta dentro de un agujero de manera que el par de torsión reactivo sobre el v ástag o /lB puede expresarse por la ecuación t = ( k x 2) N • m/m, donde x está en metros. Si se aplica un par de tor­ sión T = 50 N • m a la cabeza del perno, determ ine la cons­ tante k y la magnitud del giro en los 50 mm de longitud del vástago. Suponga que el vástago tiene un radio constante de 4 mm.

5-71. El contorno de la superficie de la flecha está defi­ nido por la ecuación y = eax, donde a es una constante. Si la flecha está sometida a un par de torsión T en sus extre­ mos, determine el ángulo de torsión del extremo A con res­ pecto al extremo B. El módulo de cortante es G.

5-69. Resuelva el problema 5-68 considerando que el par distribuido es t = (k x 2,i) N • m/m.

P r o b .5-71

= 50 N-m

P ro b s. 5-68/69

*5-72. Un resorte cilindrico consiste en un anillo de hu­ le unido a un anillo rígido y a una flecha. Si el anillo rígi­ do se m antiene fijo y se aplica un par de torsión T a la fle­ cha rígida, determ ine el ángulo de torsión de ésta. El módulo cortante del hule es G. Sugerencia: como se mues­ tra en la figura, la deformación del elem ento con radio r puede determinarse con r d6 = dr y. Use esta expresión junto con r = T/{2irr2h ), del problem a 5-28, para obtener el resultado.

5-70. La flecha de radio c está sometida a un par distri­ buido r, medido como par/longitud de flecha. D eterm ine el ángulo de torsión en el extrem o A . El módulo de cor­ tante es G.

ydr = rdO

Prob. 5-70

Prob. 5-72

S ección 5.5

5.5

Miembros estáticamente indeterminados cargados con pares de torsión

Miembros estáticam ente indeterm inados cargados con pares de torsión

U na flecha sometida a torsión puede clasificarse como estáticamente in­ determinada si la ecuación de equilibrio por momentos, aplicada con res­ pecto al eje de la flecha, no es suficiente para determ inar los pares de tor­ sión desconocidos que actúan sobre la flecha. En la figura 5-24o se muestra un ejemplo de esta situación. Según se aprecia en el diagrama de cuerpo libre, figura 5-246, los pares de torsión reactivos en los soportes A y B son desconocidos. Requerimos que: I A Í , = 0;

T - Ta - Tb = 0

Puesto que aquí sólo se tiene una ecuación de equilibrio y existen dos in­ cógnitas, este problema es estáticamente indeterminado. Con objeto de ob­ tener una solución usaremos el método de análisis visto en la sección 4.4. La condición necesaria de compatibilidad, o condición cinemática, re­ quiere que el ángulo de torsión de un extremo de la flecha con respecto al otro extremo sea igual a cero, ya que los soportes en los extremos son fijos. Por tanto, a / b = 0

Para escribir esta ecuación en términos de los pares de torsión descono­ cidos, supondremos que el material se comporta de modo elástico-lineal, de modo que la relación carga-desplazamiento quede expresada por = TL/JG . Considerando que el par interno en el segmento AC e s + T Ay que en el segmento CB el par interno es —TB, figura 5-24c, la ecuación de com­ patibilidad anterior puede escribirse como:

TaL ac _ TBLBc _ _ JG Aquí se supone que JG es constante.

JG

• 221

Resolviendo las dos ecuaciones anteriores para las reacciones, y consi­ derando que L = L ac + L Bc, obtenemos

Advierta que cada par reactivo crece o decrece linealmente con la ubica­ ción de L ac o L bc al par de torsión aplicado.

PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS Los pares de torsión desconocidos en flechas estáticamente indeter­ minadas se calculan satisfaciendo el equilibrio, la compatibilidad y los requisitos de par-desplazamiento de la flecha. Equilibrio. • Dibuje un diagrama de cuerpo libre de la flecha para identificar todos los pares que actúan sobre ella y luego escriba las ecuacio­ nes de equilibrio por momento respecto al eje de la flecha. Compatibilidad. • Para escribir la ecuación de compatibilidad, investigue la mane­ ra en que la flecha se torcerá al ser sometida a las cargas exter­ nas, considerando cómo los soportes restringen a la flecha cuan­ do ella se tuerce. • Exprese la condición de compatibilidad en términos de los des­ plazamientos rotatorios causados por los pares de torsión reacti­ vos, y luego use una relación par de torsión-desplazamiento, tal como = TL/JG, para relacionar los pares desconocidos con los desplazamientos desconocidos. • Despeje de las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad los pa­ res de torsión reactivos desconocidos. Si cualquiera de las mag­ nitudes tiene un valor numérico negativo, ello indica que este par actúa en sentido opuesto al indicado sobre el diagrama de cuer­ po libre.

S ección 5.5

E J E M P L O

Miembros estáticamente indeterminados cargados con pares de torsión

--

La flecha sólida m ostrada en la figura 5-25a tiene un diám etro de 20 mm. Determine las reacciones en los em potramientos A y B cuan­ do está sometida a los dos pares de torsión mostrados.

(b)

Solución Equilibrio. Por inspección del diagrama de cuerpo libre, figura 5-25b, se ve que el problem a es estáticamente indeterm inado ya que hay só­ lo una ecuación disponible de equilibrio, y se tienen dos in c ó g n ita s,^ y T b. Se requiere SM.V = 0;

- T b + 800 N • m - 500 N • m - TA = 0

(1)

Compatibilidad. Como los extremos de la flecha están empotrados, el ángulo de torsión de un extremo de la flecha con respecto al otro de­ be ser cero. Por consiguiente, la ecuación de compatibilidad puede es­ cribirse como Óa/b =

0

Esta condición puede expresarse en términos de los pares de torsión desconocidos usando la relación carga-desplazamiento, - TL/JG . Tenemos aquí regiones de la flecha donde el par interno es constante, BC, CD y DA. En los diagramas de cuerpo libre mostrados en la figu­ ra 5-25c se indican esos pares internos actuando sobre segmentos de la flecha. De acuerdo con la convención de signos establecida en la sec­ ción 5.4, tenemos - T b(0.2 m) + (T a + 500 N • m)(1.5 m) + TA(0 3 m) _ JG

JG

JG

1.8TA - 0.2T b = -7 5 0

(2)

Fig. 5-25

Resolviendo las ecuaciones 1 y 2, obtenemos Ta = -3 4 5 N • m

TB = 645 N • m

(c)

Resp.

El signo negativo indica que TA actúa con sentido opuesto al mostra­ do en la figura 5-25b.

• 223

224

CAPÍTULO 5 Torsión

E J E M P L O

5.12 La flecha m ostrada en la figura 5-26a está hecha de un tubo de acero unido a un núcleo de latón. Si se aplica un par de torsión T = 250 Ib • pie en su extremo, indique la distribución del esfuerzo cortante a lo largo de una línea radial de su sección transversal. Considere Gac = 11.4(103) klb/pulg2, G!a[ = 5.20(103) klb/pulg2.

X

250 Ib-pie

Fig. 5-24

Solución Equilibrio. En la figura 5-26b se muestra un diagrama de cuerpo li­ bre de la flecha. La reacción en el empotramiento se ha representado por la magnitud desconocida de par resistido por el acero, Tac, y por el latón, Tía,. Trabajando en unidades de libras y pulgadas, por equilibrio se requiere: - T ac - 7jat + 250 Ib • pie(12 pulg/pies) = 0

(1)

Compatibilidad. Se requiere que el ángulo de torsión del extremo A sea el mismo tanto para el acero como para el latón. Así,

— G|at), por lo que toma más esfuerzo cortante en esta superficie de contacto. Si bien el esfuerzo cortante es aquí discontinuo, la deforma­ ción cortante no lo es; es decir, la deformación unitaria cortante es la misma en el latón y en el acero. Esto puede evidenciarse usando la ley de Hooke, y = t/ G . En la superficie de contacto entre acero y latón, fi­ gura 5-26d, la deformación cortante unitaria es: 451 lb/pulg2 988 lb/pulg2 y = — = -------- 7----------- r = ---------- 2----------- T = 0.0867(10 ) rad G 5.2(106) lb/pulg2 11.4(106) lb/pulg2 v

989 lb /p u lg :

1977 lb '/pr u lgp 2

A /\O/T'I/IA— 3' rad 0.0867(1 (TJ)

f máx

Distribución del esfuerzo cortante (c)

Distribución de la deformación unitaria cortante

(d)

• 225

226 • CAPÍTULO 5 Torsión

PROBLEMAS 5-73. La flecha de acero tiene un diám etro de 40 mm y está em p o trad a en sus extrem os A y B. D eterm ine el esfuerzo cortante máximo en las regiones A C y CB de la flecha cuando se aplica el par mostrado. Gac = 10.8(103) klb/pulg2.

El m otor A genera un par de torsión en el engrane B de 450 Ib-pie que se aplica a lo largo del eje de la flecha CD de acero de 2 pulg de diámetro. Este par de torsión de­ be transm itirse a los engranes piñones en E y F. Si estos engranes están temporalmente fijos, determine el esfuerzo cortante máximo en los segmentos CB y BD de la flecha. ¿Cuál es el ángulo de torsión de cada uno de esos segmen­ tos? Los cojinetes en C y D sólo ejercen fuerzas reactivas sobre la flecha y no resisten ningún par de torsión. G ac = 12(103) klb/pulg2. 5-77.

P ro b . 5-73

5-74. Una barra está hecha de dos segmentos: A B de ace­ ro y BC de latón. Está em potrada en sus extremos y some­ tida a un par de torsión T = 680 N • m. Si la porción de ace­ ro tiene un diám etro de 30 mm, determ ine el diám etro requerido en la porción de latón de manera que las reac­ ciones en los em potram ientos sean las mismas. G ac = 75 GPa, Giat = 39 GPa.

D eterm ine el esfuerzo cortante máximo absoluto en la flecha del problema 5-74.

5-75.

C

P ro b . 5-77

La flecha compuesta consiste en un segmento me­ dio que incluye la flecha sólida de 1 pulg de diám etro y un tubo que está soldado a las bridas rígidas A y B. D espre­ cie el espesor de las bridas y determ ine el ángulo de tor­ sión del extremo C de la flecha respecto al extremo D. La flecha está sometida a un par de torsión de 800 Ib-pie. El material es acero A-36.

5-78.

P robs. 5-74/75

*5-76. La flecha de acero está hecha de dos segmentos: A C tiene un diám etro de 0.5 pulg y CB un diám etro de 1 pulg. Si está empotrada en sus extremos A y B y sometida a un par de torsión de 500 Ib-pie, determ ine el esfuerzo cortante máximo en la flecha. Gac = 1U.8(103) klb/pulg2.

Prob. 5-78

Pro blem a s

La flecha está hecha de una sección sólida AB de acero y una porción tubular de acero con un núcleo de la­ tón. Si está empotrada en A y se aplica en C un par de tor­ sión T = 50 Ib-pie. determine el ángulo de torsión que se presenta en C y calcule el esfuerzo cortante y la deforma­ ción cortante máximos en el latón y en el acero. Conside­ re Gac = 11.5( 103) klb/pulg2 y Glal = 5.6(103) klb/pulg2. 5-79.

•

227

Las dos flechas. A B y EF, están empotradas en sus extremos y conectadas a engranes conectados a su vez al engrane común en C que está conectado a la flecha CD. Si se aplica un par de torsión T = 80 N • m al extremo D. determine el par de torsión en A y F. Cada flecha tiene un diámetro de 20 mm y están hechas de acero A-36. 5-82.

Probs. 5-81/82

La flecha de acero A-36 está hecha de dos seg­ mentos: AC tiene un diámetro de 0.5 pulg y CB tiene un diámetro de 1 pulg. Si la flecha está empotrada en sus ex­ tremos A y B y está sometida a un par de torsión unifor­ memente distribuido de 60 Ib • pulg/pulg a lo largo del segmento CB. determine el esfuerzo cortante máximo ab­ soluto en la flecha.

5-83. Prob. 5-79

Las dos flechas de 3 pies de longitud están he­ chas de aluminio 2014-T6. Cada una tiene un diámetro de 1.5 pulg y están conectadas entre sí por medio de engra­ nes fijos a sus extremos. Sus otros extremos están empo­ trados en A y B. También están soportadas por cojinetes en C y D. que permiten la libre rotación de las flechas res­ pecto a sus ejes. Si se aplica un par de torsión de 600 Ib-pie al engrane superior como se muestra, determine el esfuer­ zo cortante máximo en cada flecha. *5-80.

0.5 pulg

A

*5-84. La flecha ahusada está doblemente empotrada en A y B. Si se aplica un par de torsión T en su punto medio, determine las reacciones en los empotramientos.

Prob. 5-80

Las dos flechas. AB y EF. están empotradas en sus extremos y conectadas a engranes conectados a su vez al engrane común en C que está conectado a la flecha CD. Si se aplica un par de torsión T = 80 N • m al extremo D, determine el ángulo de torsión en este extremo. Cada fle­ cha tiene un diámetro de 2 0 mm y están hechas de acero A-36.

5-81.

Proh. 5-84

228

• CAPÍTULO 5 Torsión

Una porción de la flecha de acero A-36 está some­ tida a un par de torsión linealmente distribuido. Si la fle­ cha tiene las dimensiones mostradas, determine las reac­ ciones en los empotramientos A y C. El segmento AB tiene un diámetro de 1.5 pulg y el segmento BC un diámetro de 0.75 pulg. 5-85.

La flecha de radio c está sometida a un par de tor­ sión distribuido t, medido como par/longitud de flecha. Determine las reacciones en los empotramientos A y B. 5-87.

Determine la rotación en la junta B y el esfuerzo cortante máximo absoluto en la flecha del problema 5-85. 5-86.

300 lb-pulg/pulg

Probs.

*5.6 - - - V.»7?¡V; - .

Prob. 5-87

Flechas sólidas no circulares -■

Note la deformación que ocurre en el ele­ mento cuadrado cuando esta barra de hule está sometida a un par de torsión.

En la sección 5.1 se demostró que cuando un par de torsión se aplica a una flecha que tenga una sección transversal circular, es decir, que sea si­ métrica con respecto a su eje, las deformaciones unitarias cortantes va­ rían linealmente desde cero en el centro hasta un m omento máximo en su periferia. Además, debido a la uniformidad de la deformación cortan­ te en todos los puntos sobre el mismo radio, la sección transversal no se deforma, sino que permanece plana después de que la flecha se ha torci­ do. Sin embargo, las flechas que no tienen una sección transversal circu­ lar no son simétricas con respecto a su eje, y a causa de que el esfuerzo cortante en su sección transversal está distribuido de m anera compleja, sus secciones transversales pueden alabearse cuando la flecha se tuerce. En la figura 5-27 puede observarse cómo se deforman las líneas de retícula de una flecha que tiene una sección transversal cuadrada cuando la fle­ cha está sometida a torsión. Como consecuencia de esta deformación, el análisis de la torsión en flechas no circulares resulta considerablemente complicado y no se examinará en este texto.

Deformada

Fig. 5-27

No deformación

Me posib secck de có la fie« del es tari as seccid obser un esi bién n to de i perari cortan embar que ac a su ve tes t y Los i ría de 1 guiares fuerzo i que esi puntos Tambié da flecl ción tra que tea metida guio de versal n

S ección

5.6 Flechas sólidas no circulares • 229

Tm;íx

Distribución del esfuerzo cortante a lo largo de dos líneas radiales

(a)

Alabeo del área de la sección transversal

(b)

(c)

Fig. 5-28

Mediante un análisis matemático basado en la teoría de la elasticidad es posible determ inar la distribución del esfuerzo cortante en una flecha de sección transversal cuadrada. En la figura 5-28« se m uestran ejemplos de cómo varía este esfuerzo cortante a lo largo de dos líneas radiales de la flecha. Según se dijo anteriorm ente, a causa de que estas distribuciones del esfuerzo cortante varían de manera compleja, las deformaciones uni­ tarias cortantes que generan tendrán como consecuencia un alabeo de la sección transversal conforme se muestra en la figura 5-28b. En particular, observe que los puntos de las esquinas de la flecha estarán sometidos a un esfuerzo cortante nulo y, por tanto, a una deformación cortante tam­ bién nula. La razón para esto puede mostrarse al considerar un elemen­ to de material situado en uno de estos puntos, figura 5-28c. Se podría es­ perar que la carga sombreada de este elemento esté sometida a un esfuerzo cortante con objeto de ayudar a resistir el par de torsión aplicado T . Sin embargo, esto no sucede aquí, puesto que los esfuerzos cortantes r y r', que actúan sobre la superficie exterior de la flecha, deben ser cero, lo cual a su vez implica que las componentes de esfuerzo cortante correspondien­ tes r y / en la cara som breada deben ser también iguales a cero. Los resultados del análisis anterior, junto con otros resultados de la teo­ ría de la elasticidad para flechas que tengan secciones transversales trian­ gulares y elípticas, se muestran en la tabla 5-1. En todos los casos, el es­ fuerzo cortante máximo se presenta en un punto de la sección transversal que esté menos distante del eje central de la flecha. En la tabla 5-1 estos puntos están indicados con puntos negros en las secciones transversales. También se dan en la tabla las fórmulas para el ángulo de torsión de ca­ da flecha. Extendiendo estos resultados a una flecha que tenga una sec­ ción transversal arbitraria, puede dem ostrarse asimismo que una flecha que tenga una sección transversal circular es más eficiente, ya que está so­ metida tanto a un esfuerzo cortante máximo más pequeño como a un án­ gulo de torsión más pequeño que una flecha que tenga una sección trans­ versal no circular y está sometida al mismo par de torsión.

T A B L A 5-1 Forma de la sección transversal

Tmáx

de la tabla 5-1, se requiere: 207 ' perm

( 1 0 3) lb/pulg 2 =

8

„3 ’

.60°

207 (1.5 pulg ) 3

7 = 1350 Ib • pulg

También, 1.5 pulg

467L perm

Fig. 5-29

0 .0 2

a4G,al ‘

rad =

467(4 pies)(12 pulg/pie) (1.5 pulg)4 [3.7(106) lb/pulg 2

7 = 170 Ib • pulg

Resp.

Por comparación, se ve que el par de torsión más grande es limitado por el ángulo de torsión permisible. Sección transversal circular. Si se va a usar la misma cantidad de alu­ minio para una flecha de igual longitud con sección transversal circu­ lar, debemos calcular primero el radio de ésta. Tenemos: 7TC~ — ~ ( 1.5

•^ círculo — ^ triá n g u lo »

pulg) (1.5 Sen 60 )

c = 0.557 pulg Por los requisitos de esfuerzo y ángulo de torsión se requiere: 7(0.557 pulg) V rm = y ;

8

( 1 0 3) lb/pulg 2 =

( tt/ 2)(0.557 pulg4)

7 = 2170 Ib • pulg perm

TL JG,,i

0 .0 2

rad =

7 (4 pies)(12 pulg/pie) ( tt/ 2)(0.557 pulg4) [3.7(106) lb/pulg2]

7 = 233 Ib • pulg Nuevamente, el ángulo de torsión limita al par aplicable. C om parando este resultado (233 Ib • pulg) con el dado antes (170 Ib • pulg), se ve que una flecha con sección transversal circular pue­ de soportar 37% más par de torsión que una con sección transversal triangular.

S ecció n

*5.7

5.7 Tubos de pared delgada con secciones transversales cerradas • 231

Tubos de pared delgada con secciones transversales cerradas

A menudo se emplean tubos de paredes delgadas de forma no circular para construir estructuras de peso ligero tales como las usadas en los ae­ roplanos. En algunas aplicaciones pueden estar sometidas a una carga de torsión. En esta sección analizaremos los efectos de aplicar un par de tor­ sión a un tubo de pared delgada que tenga una sección transversal cerra­ da, es decir, un tubo que no tenga aberturas a lo largo de su longitud. En la figura 5-30« se muestra un tubo de tal tipo, que tiene una sección trans­ versal constante pero de forma arbitraria. Para el análisis supondremos que las paredes tienen un espesor variable t. Puesto que las paredes sor del­ gadas, podemos obtener una solución aproximada para el esfuerzo cortan­ te suponiendo que este esfuerzo está distribuido uniformemente a través del espesor del tubo. En otras palabras podremos determ inar el esfuerzo cortante promedio en el tubo en cualquier punto dado. Sin embargo, an­ tes de hacerlo, veremos primero algunos conceptos preliminares con res­ pecto a la acción del esfuerzo cortante sobre la sección transversal. Flujo cortante. En las figuras 5-30« y 5-306 se m uestra un elemento pequeño del tubo, que tiene una longitud finita s y un ancho diferencial dx. En un extremo, el elemento tiene un espesor tA, y en el otro extremo el espesor es tB. Debido al par de torsión aplicado T, en la cara frontal del elemento se desarrolla un esfuerzo cortante. Específicamente, en el extre­ mo A el esfuerzo cortante es t a , y en el otro extremo B es t b . Estos es­ fuerzos pueden relacionarse observando que esfuerzos cortantes equiva­ lentes t a y t b deben tam bién actuar sobre los lados longitudinales del elemento, que se m uestran sombreados en la figura 5-306. Puesto que es­ tos lados tienen espesores tA y tB constantes, las fuerzas que actúan sobre ellos son dFA = TA (tA dx) y dFB = t b ( t B dx). El equilibrio de las fuerzas requiere que éstas sean de igual magnitud pero de sentido opuesto, de mo­ do que: ib) JA l A ~ r B t B

Este im portante resultado establece que el producto del esfuerzo cortan­ te longitudinal prom edio m ultiplicado p o r el espesor del tubo es el mis­ mo en todo punto del área transversal del tubo. Este producto se llama flu jo de cortante,* q, y en términos generales puede expresarse como: