Mecánica de Materiales 5a Unidad Flexión y Carga Axial

INSTITUTO TECNOLOGICO DE OAXACA

INGENIERÍA CIVIL ASIGNATURA: MECÁNICA DE MATERIALES UNIDAD: 5 TEMA: FLEXION Y CARGA AXIAL ALUMNO: SIXTO MORALES ARMANDO CATEDRATICO: GUILLERMO QUERO RAMIREZ HORA: 15:00/16:00 PM

Unidad 5. Flexión y Carga Axial. Contenido Introducción……………………………………………………………………… 3 Unidad 5. Flexión y Carga Axial………………………………………………… 4 5.1 Carga excéntrica y núcleo central…………………………………………… 4 5.2 Ecuación de esfuerzos por carga normal axial y flexión uniaxial…………… 8 5.3 Ecuación de esfuerzos por carga normal axial y flexión biaxial……………. 11

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Unidad 5. Flexión y Carga Axial. INTRODUCCION

En el presente trabajo se estudiara como en las uniones de miembros en estructuras de acero se pueden generar excentricidades en la transmisión de cargas que pueden producir momentos flexionantes. Los momentos flexionantes también pueden ser producidos por cargas transversales o por momentos aplicados en los extremos o en el claro del miembro. Independientemente del origen de los momentos, si sus valores son significativos, estos no pueden ser despreciados y deberán considerarse actuando en combinación con los otros efectos de carga presentes en el miembro. En este Capítulo se tratan los miembros estructurales sujetos a combinación de esfuerzos de compresión axial y flexión (o flexocompresión). Dichos miembros son conocidos como vigas-columnas y se encuentran frecuentemente en marcos, armaduras y en puntales de muros exteriores.

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Unidad 5. Flexión y Carga Axial. 5.1 Carga Excéntrica y núcleo central. Cargas excéntricas. Cuando a un miembro se le aplica una carga axial, la carga debe coincidir con el eje de este para que sea válida la ecuación σ = P/A. En algunos casos la carga se aplica paralela al eje centroidal del miembro, pero a cierta distancia de él. Este tipo de carga se describe como excéntrica, siendo la excentricidad e la distancia entre la carga y eje centroidal.

Para resolver este tipo de problema, la carga excéntrica se descompone en una fuerza que pasa por el centroide de la sección y un par, como se muestra en la figura 5.1 (d) y (e). Los esfuerzos P en cualquier punto pueden calcularse usando la ecuación σ = ± A ± 𝑀𝑐⁄𝐼 con el momento 𝑀 = 𝑃𝑒.

Ilustración 5-1 (a) Carga concéntrica, (b) Carga Excéntrica.

En el siguiente ejemplo se ilustra el procedimiento para resolverlo. Ejemplo 1. Determinar lo esfuerzos en las fibras extremas del bloque cargado excéntricamente, indicado en la figura 5.2.

Ilustración 5-2

Solución. La carga excéntrica se descompone en una fuerza que pasa por el eje centroidal. Y u par, como se indica en la figura (c) y (d). Determinamos el esfuerzo en los bordes ab y cd P

aplicando la ecuación σ = ± A ± P

σ𝑎𝑏 = − A +

Mc I

90000

𝑀𝑐 𝐼

.

= (80∗10−3 )(300∗10−3 ) +

+0.75 MPa (tensión)

(90000)(60∗10−3 )(150∗10−3 ) 1 (80∗10−3 )(300∗10−3 )3 12

= = −3.75 + 4.5 =

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Unidad 5. Flexión y Carga Axial.

σ𝑐𝑑 = −

P Mc − = −3.75 − 4.5 = −8.25 MPa (compresión) A I

La ecuación de Euler se obtiene a partir de la hipótesis de que la carga (“P”) siempre se aplica en el centroide de la sección transversal de la columna, y que ésta es perfectamente recta (antes de aplicar dicha carga). Esta situación es ajena a la realidad, pues las columnas fabricadas no son perfectamente rectas, ni suele conocerse con exactitud el punto de aplicación de la carga. Por tanto, las columnas no se pandean repentinamente sino que comienzan a flexionarse, si bien de modo ligero, inmediatamente después de la aplicación de la carga.

Consideremos entonces una columna sometida a una carga ejercida con una pequeña excentricidad “e” respecto al centroide de la sección transversal, como se muestra. Podemos plantear una expresión para determinar el momento flector en cualquier sección transversal: 𝑀 = −𝑃𝑐𝑟𝑖 ∗ (𝑒 + 𝑦)

Ilustración 5-3

Al plantear la ecuación de la elástica de la viga, queda: d 2 y M ( x)  Pcri  (e  y )   dx2 EI EI

La solución general de esta ecuación es:  P   P  y  C1  sin  x   C2  cos  x   e  EI   EI 

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Unidad 5. Flexión y Carga Axial. Al plantear los límites de frontera, se obtiene que cuando 𝑥 = 0 → 𝑦 = 𝑒, de modo que 𝐶2 = 𝑒. Luego, cuando 𝑥 = 𝐿 → 𝑦 = 𝑒, de modo que:  P L C1  e  tan    EI 2 

Finalmente, la ecuación queda de la forma:   P L  P   P   y  e   tan    sin  x   cos  x   1   E  I 2   EI   E  I  

La deflexión máxima en la viga ocurre cuando x=0.5L. Si introducimos este valor en la ecuación, obtenemos:  P L ymax  e  sec    EI 2 

En esta ecuación puede observarse que y=0 cuando e=0. Sin embargo, si la excentricidad “e” es muy pequeña, y el término dentro de la función trigonométrica la hiciese tender a infinito, “y” tendría un valor no nulo.

Entonces, como sec(x) → ∞ cuando x → p/2, podemos plantear: Pcri L    EI 2 2

Finalmente, se puede determinar el valor de la carga crítica:

Pcri 

2 EI L2

Núcleo central. El núcleo central de una sección es el lugar geométrico de los puntos en los cuales, al aplicar una fuerza normal a la sección, todas las tensiones normales son del mismo signo que la fuerza aplicada. El núcleo central de es un concepto de resistencia de materiales importante en el dimensionado de piezas alargadas sometidas a flexión mecánica y compresión.

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Unidad 5. Flexión y Carga Axial.

Sección Rectangular

Ilustración 5-4

Si se aplica en el punto A un axil de compresión, las tensiones normales serán:

Sustituyendo y haciendo  (x)  0 , se tiene: 𝑒𝑦 = ℎ/6 ; análogamente: 𝑒𝑧 = 𝑏/6

Por tanto, el núcleo central queda:

Ilustración 5-5

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Unidad 5. Flexión y Carga Axial.

Sección circular

Ilustración 5-6

Sección triángulo equilátero

Ilustración 5-7

5.2 Ecuación de esfuerzos por carga normal axial y flexión uniaxial. Carga axial.

Cuando un elemento recto de sección constante, se somete a un par de fuerzas axiales, F, aplicadas en el centroide de la sección transversal, se producen esfuerzos normales en todo el elemento. Bajo algunas condiciones adicionales (dadas más adelante), se dice que este elemento está sometido a carga axial, soportando un esfuerzo uniforme dado por: 𝑠=±

𝐹 𝐴

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Unidad 5. Flexión y Carga Axial. Donde A es el área de la sección transversal. El signo es positivo si el esfuerzo es de tracción, es decir, cuando la carga es de tracción (figura 5.8.a). Se toma el signo negativo para esfuerzos de compresión, producidos al aplicar una carga de compresión como la de la figura 5.8.b.

Ilustración 5-8 Elementos sometidos carga axial

Al hacer un corte en una sección cualquiera del elemento de la figura 5.8, se obtiene una distribución uniforme de esfuerzos en dicha sección, tal como se muestra en la figura 5.9.a, para tracción, y 5.9.b, para compresión. El estado de esfuerzo en cualquier punto de la sección es uniaxial (sólo hay esfuerzo en una dirección).

Ilustración 5-9

Cuando las cargas son puntuales, como en las figuras 5.9 y 5.10, el esfuerzo calculado como S = ± F/A es sólo el esfuerzo promedio, ya que el esfuerzo no se distribuye uniformemente. La figura 5.10 muestra las distribuciones de esfuerzo en una sección alejada del punto de aplicación de una carga puntual, y en una cercana a dicho punto.

Ilustración 5-10

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Unidad 5. Flexión y Carga Axial. Deformación por carga axial

La figura 5.11 muestra una pieza sometida a tracción. Debido a la acción de las fuerzas, ésta se ha alargado una cantidad δ, denominada deformación total. Cuando la carga es de compresión, la pieza se acorta en vez de alargarse. Nótese también de la figura 5.11 que la pieza sufre una deformación transversal; el elemento se adelgaza bajo carga de tracción y se ensancha bajo carga de compresión.

Ilustración 5-11

Cuando un elemento a compresión es relativamente esbelto, es decir, su longitud es mucho mayor que las dimensiones de la sección transversal, éste tiende a flexionarse o pandearse; en ciertos puntos del elemento el esfuerzo superará la relación F/A. Estos elementos se denominan columnas.

Algunas veces es conveniente trabajar con la deformación por unidad de longitud o deformación unitaria, ε, la cual es una variable adimensional y está dada por: 𝜀 = 𝛿/𝐿 donde 𝛿 es la deformación total (en unidades de longitud) y L es la longitud de la pieza. Como S = ±F/A y S = Eε (dentro del límite de proporcionalidad).

Donde F es la fuerza axial, A es el área de la sección transversal y E es el módulo de elasticidad del material. El signo ‘+’ se toma para una carga de tracción, y el signo ‘–’ para compresión, indicando que la pieza se acorta.

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Unidad 5. Flexión y Carga Axial. 5.3 Ecuación de esfuerzos por carga normal axial y flexión biaxial. Flexión biaxial.

La flexión biaxial se presenta cuando un elemento es sometido a cargas que actúan sobre direcciones que son oblicuas a los ejes de simetría de su sección transversal. Un ejemplo lo constituye la viga en voladizo de la siguiente figura sometida a la acción de una carga P, cuya dirección es oblicua a los ejes de simetría. Sobre esta, se presentan además de los momentos flectores, fuerzas cortantes. Para analizar los esfuerzos causados por flexión se descompone la fuerza P en cada uno de los ejes de simetría de la sección transversal para realizar un análisis de flexión por separado para cada dirección y luego superponerlos para determinar los esfuerzos y deflexiones totales. Formula: 𝜎𝑥 (𝑢, 𝑣) = ±

𝑀𝑢 𝑀𝑣 𝑣+ 𝑢 𝐼𝑢 𝐼𝑣

Para determinar la distribución de las Tensiones Normales en la sección, se realiza de la misma manera que para la Flexión Biaxial, con la salvedad que se le adiciona la componente del Esfuerzo Axial (P), el que debe estar ubicado en el Centroide de la Sección.

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Unidad 5. Flexión y Carga Axial. CONCLUSION El comportamiento estructural de las vigas-columnas depende principalmente de la configuración y dimensiones de la sección transversal, de la ubicación de la carga excéntrica aplicada, de la longitud de columna y de las condiciones de apoyo lateral.

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Unidad 5. Flexión y Carga Axial. BIBLIOGRAFIA

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Mecánica de Materiales, Robert W. Fitzgerald, Edit. Alfaomega.

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http://www.retineo.es/archivos/Resistencia%20de%20materiales.pdf

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http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lic/carrillo_c_mm/capitulo3.pdf

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http://www.utp.edu.co/~lvanegas/disI/Cap2.pdf