Mecanica de los fluidos e Hidraulica. Shaum Macgrawhil.pdf

TEORIAy 75 problemas resueltos

Prólogo Este libro ha sido concebido con el principal propósito de complementar los textos ordinarios (de mecánica de los fluidos e hidráulica. Se basa en la convicción del autor de que el esclarecimiento y comprensión de los principios fundamentales de cualquier rama de la mecánica se obtienen mejor mediante numerosos ejercicios ilustrativos. La anterior edición de este libro ha sido acogida muy favorablemente. En esta segunda edición, muchos de los capítulos han sido revisados y adicionados con objeto de poner al día determinados temas de acuerdo con los más recientes conceptos, métodos y terminología. Se ha dedicado especial atención al análisis dimensional recogiendo los nuevos materiales en el Capítulo 5. La revisión más extensa se ha llevado a cabo en los capítulos que tratan los fundamentos del flujo de fluidos, flujo de fluidos en tuberías y flujo en canales abiertos. La materia se divide en capítulos que abarcan áreas bien definidas de teoría y estudio. Cada capítulo se inicia con el establecimiento de las definiciones pertinentes, principios y teoremas, junto con el material ilustrativo y descriptivo al que sigue una serie de problemas resueltos y problemas propuestos. Los problemas resueltos ilustran y amplían la teoría, presentan métodos de análisis, proporcionan ejemplos prácticos e iluminan con aguda perspectiva aquellos aspectos de detalle que capacitan al estudiante para aplicar los principios fundamentales con corrección y seguridad. El análisis del cuerpo libre, los diagramas vectoriales, los principios de trabajo y energía de la cantidad de movimiento y las leyes de Newton se utilizan a lo largo de todo el libro. No se ha regateado esfuerzo para presentar problemas originales desarrollados por el autor en los largos años dedicados a la enseñanza de .esta materia. Entre los problemas resueltos se incluyen numerosas demostraciones de teoremas y deducciones de fórmulas. El elevado número de problemas propuestos asegura un repaso completo del material de cada capítulo. Los alumnos de las Escuelas de Ingeniería reconocerán la utilidad de este libro al estudiar la mecánica de los fluidos y, adicionalmente, aprovecharán la ventaja de su posterior empleo como libro de referencia en su práctica profesional. Encontrarán soluciones muy detalladas de numerosos problemas prácticos y, cuando lo necesiten, podrán recurrir siempre al resumen de la teoría. Asimismo, el libro puede servir al ingeniero profesional que ha de recordar esta materia cuando es miembro de un tribunal examinador o por cualesquiera otras razones. Deseo expresar mi agradecimiento a mi colega Robert C. Stiefel, que ha comprobado cuidadosamente la solución de muchos de los nuevos problemas. También he de expresar mi gratitud a la redacción de la Schaum Publishing Company y, muy particularmente, a Henry Hayden y Nicola Miracapillo, por sus inestimables sugerencias e inapreciable cooperación. RANALD V. GILES

Tabla de materias Páginas

Capítulo

1

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

1

La mecánica de los fluidos y la hidráulica. Definición de fluido. Sistema técnico de unidades. Peso específico. Densidad de un cuerpo. Densidad relativa de un cuerpo. Viscosidad de un fluido. Presión de vapor. Tensión superficial. Capilaridad. Presión de un fluido. La presión. Diferencia de presiones. Variaciones de la presión en un fluido compresible. Altura o carga de presión h. Módulo volumétrico de elasticidad (E). Compresión de los gases. Para condiciones isotérmicas. Para condiciones adiabáticas o isoentrópicas. Perturbaciones en la presión.

Capítulo

2

FUERZAS HIDROSTÁTICAS SOBRE LAS SUPERFICIES. . . . . . . .

22

Introducción. Fuerza ejercida por un líquido sobre un área plana. Tensión circunferencial o tangencial. Tensión longitudinal en cilindros de pared delgada.

Capítulo 3

EMPUJE Y FLOTACIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Principio de Arquímedes. Estabilidad de cuerpos sumergidos y flotantes.

Capítulo

4

TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE MASAS LIQUIDAS. . . . . . . . . . .

42

Introducción. Movimiento horizontal. Movimiento vertical. Rotación de masas fluidas. Recipientes abiertos. Rotación de masas fluidas. Recipientes cerrados.

Capítulo

5

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRÁULICA . . . . . . .

50

Introducción. Análisis dimensional. Modelos hidráulicos. Semejanza geométrica. Semejanza cinemática. Semejanza dinámica. La relación entre las fuerzas de inercia. Relación de las fuerzas de inercia a las de presión. Relación de las fuerzas de inercia a las viscosas. Relación de las fuerzas de inercia a las gravitatorias. Relación de las fuerzas de inercia a las elásticas. Relación de las fuerzas de inercia a la de tensión superficial. Relación de tiempos.

Capítulo 6

FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

Introducción. Flujo de fluidos. Flujo permanente. Flujo uniforme. Líneas de corriente. Tubos de corriente. Ecuación de continuidad. Red de corriente. Ecuación de la energía. Altura de velocidad. Aplicación del teorema de Bernoul-li. Línea de energías o de alturas totales. Línea de alturas piezométricas. Potencia.

TABLA DE MATERIAS

Páginas

Capítulo

7

FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERÍAS.

96

Introducción. Flujo laminar. Velocidad crítica. Número de Reynolds. Flujo turbulento. Tensión cortante en la pared de una tubería. Distribución de velocidades. Pérdida de carga en flujo laminar. Fórmula de Darcy-Weisbach. Coeficiente de fricción. Otras pérdidas de carga.

Capítulo 8

SISTEMAS DE TUBERÍAS EQUIVALENTES, COMPUESTAS, EN PARALELO Y RAMIFICADAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Sistemas de tubejías. Sistemas de tuberías equivalentes. Sistemas de tuberías compuestas o en serie, en paralelo y ramificadas. Métodos de resolución. Fórmula de Hazen-Williams.

Capítulo

9

MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

133

Introducción. Tubo de Pitot. Coeficiente de descarga. Coeficiente de velocidad. Coeficiente de contracción. Pérdida de carga. Vertederos de aforo. Fórmula teórica de un vertedero. Fórmula de Francis. Fórmula de Banzin. Fórmula de Fteley y Stearns. Fórmula del vertedero triangular. La fórmula del vertedero trapezoidal. Para presas empleadas como vertederos. E! tiempo de vaciado de depósitos. El tiempo para establecer el flujo.

\

Capítulo 10

FLUJO EN CANALES ABIERTOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

160

Canal abierto. Flujo uniforme y permanente. Flujo no uniforme. Flujo laminar. La fórmula de Chezy. El coeficiente C. El caudal Q. La pérdida de carga. Distribución vertical de la velocidad. Energía específica. Profundidad crítica. Caudal unitario máximo. En canales no rectangulares y para un flujo critico. Flujo no uniforme. Los vertederos de aforo de pared gruesa. Resalto hidráulico.

Capítulo

//

FUERZAS DESARROLLADAS POR LOS FLUIDOS EN MOVIMIENTO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

192

Introducción. El principio de impulso-caníidad de movimiento. El coeficiente de corrección de la cantidad de movimiento. Resistencia. Sustentación. Resistencia total. Coeficientes de resistencia. Coeficientes de sustentación. Número de Mach. Teoría de la capa límite. Placas planas. Golpe de ariete. Velocidades supersónicas.

Capítulo 12

MAQUINARIA HIDRÁULICA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

225

Maquinaria hidráulica. En el caso de rodetes. Ruedas hidráulicas, bombas y soplantes. Velocidad específica. Rendimiento. Cavitación. Propulsión por hélices. Los coeficientes de la hélice.

TABLA DE MATERIAS

APÉNDICES Tabla 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

Páginas

Propiedades aproximadas de algunos gases.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Densidad relativa y viscosidad cinemática de algunos líquidos. . . . . . . Coeficiente de fricción / para agua solamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pérdidas de carga en accesorios.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valores de K*. Contracciones y ensanchamientos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . Algunos valores del coeficiente Cl de Hazen-Williams. . . . . . . . . . . . . . Coeficientes de desagüe para orificios circulares de arista viva.. . . . . . Algunos factores de expansión Y para flujo.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algunos valores medios de n empleados en las fórmulas de Kutter y de nning y de m en la fórmula de Bazin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valores de C de la fórmula de Kutter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valores del factor de descarga K para canales trapezoidales. . . . . . . . . Valores del factor de descarga K' para canales trapezoidales. . . . . . . . Áreas, de círculos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .256 Pesos y dimensiones de tuberías de fundición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

246 247 248 249 250 250 251 252 Ma 252 253 254 255 256

DIAGRAMAS Diagramas A-l. Diagrama de Moody para coeficientes de fricción f. . . . . . . . . . A-2. Diagrama de Moody modificado para coeficientes de fricción / (solución directa para el flujo Q). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B. C. Nomograma de caudales, fórmula de Hazen-Williams (C\ = 100). 1 Coeficiente para orificios medidores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D. Coeficientes para boquillas de aforo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E. Coeficientes para venturímetros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F. Coeficiente de resistencia en función de RE. . . . . . . . . . . . . . . . . . G. Coeficientes de resistencia para placas planas y lisas.. . . . . . . . . H. Coeficientes de resistencia a velocidades supersónicas. . . . . . . . .

ÍNDICE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

257 258 259 260 261 262 263 264 265

267

Capitulo 1 Propi'edades de los fluidos LA MECANICA DE LOS FLUIDOS Y LA HIDRAULICA

La rama de la mecanica aplicada qlle estudia el comportamiento de los fluidos ya sea en reposo o en movimiento constituye la mecanica de los fluid os y la hidraulica. En el desarrollo de los principios de la mecanica de los fluidos algunas de las propiedades de los fluidos juegan un papel preponderante, mientras que otras 0 influyen muy poco 0 nada. En la estatica de los fluidos, el peso especifico es la propied ad importante, mientras que en el flujo de fluid os la densidad y la viscosidad son las que predominan. Cuando tiene lugar una compresibilidad apreciable es necesario considerar los principios de la termodinamica. AI intervenir presiones manometricas negativas la tension de vapor pasa a ser importante y la tension superficial afecta a la estatica 0 cinematic a de los fluid os cuando las secciones de paso son pequeiias.

DEFINICION DE FLUIDO

S

Los fluid os son sustancias capaces de «fluir» y que se adaptan a la forma de los recipientes que los contienen. Cuando estan en equilibrio, los fluidos no pueden soportar fuerzas tangenciales 0 cortantes. Todos los fluid os son compresibles en cierto grado y ofrecen poca resistencia a los cambios de forma. Los fluidos pueden dividirse en Iiquidos y gases. Las diferencias esenciales entre liquid os y gases son (a) los Iiquidos son pnicticamente incompresibles y los gases son compresibles, por 10 que en much as ocasiones hay que tratarlos como tales y (b) los Iiquidos ocupan un volumen definido y tienen superficies Iibres mientras que un:.l masa dada de gas se expansiona hasta ocupar todas las partes del recipiente que 10 contenga.

SISTEMA TECNICO DE UNIDADES

Las magnitudes fundamentales seleccionadas son la longitud, fuerza y tiempo. Las tres unidades fundamentales correspondientes son el metro para la longitud, el kilogramo fuerza (0 kilogramo peso) ye1 segundo. Las otras unidades pueden deducirse a partir de estas. Asi, la unidad de volumen es el m 3 , la unidad de la aceleracion el m/seg 2 , la de trabajo el kgm y la unidad de presion el kg/m 2 • Algunos datos pueden venir dados en otras unidades y deben convertirse al sistema metro-kilogramo fuerza-segundo antes de aplicarlos a la solucion de los problemas. La unidad de masa en este sistema, la UTM (unidad tecnica de masa), se establece a partir de las unidades de fuerza y de aceleracion. Para un cuerpo que cae en el vacio la aceleracion a que esta sometido es la de la gravedad (g = 9;81 m/seg 2 al nivel del mar) y la (mica fuerza que actua es su peso. A partir del segundo principio de Newton, fuerza en kg = masa en UTM x aceleracion en m/seg 2 De aqui o

peso en kg = masa en UTM x g(9,81 m/seg 2 ) __ peso W en kg masa Men UTM g(9,81 m/seg 2 )

(1)

I

PROPIEDADES DE LOS FCUIDOS

2

[CAP. 1

PESO ESPECIFICO EI peso especifico w de una sustancia es el peso de la unidad de volumen de dicha sustancia. En los liquidos, w puede considerarse constante para las variaciones ordinarias de presion. EI peso especifico del agua para las temperaturas mas comunes es de 1000 kg/m 3. Vease el Apendice, Tablas I(C) ' y 2, para val ores adicionales. Los pesos especificos de los gases pueden calcularse mediante la ecuacion de estado de los gases 0

(2)

R .(leyes de Charles y Boyle)

o

donde pes la presion absoluta en kg/m 2 , Vs el volumen especifico 0 volumen ocupado por la unidad de peso en m 3 /kg, T la temperatura absoluta en grados Kelvin (OK = °C + 273) y R la constante del gas en mtK. Como w = l/v s ' la ecuacion anterior puede escribirse P

(8)

RT DENSIDAD DE UN CUERPO p (ro) = masa por unidad de volumen = wig.

En el sistema tecnico de unidades, la densidad del agua es 1000/9,80665 = 101,972 (~ 102) UTM/m 3 o kg seg 2 /m4. En el sistema cgs la densidad del agua es 1 g/cm 3 a 4° C. Vease Apendice, Tabla I(C).

DENSIDAD RELATIVA DE UN CUERPO

S

La densidad relativa de un cuerpo es un numero adimensional que viene dado por la relacion del peso del cuerpo al peso de un volumen igual de una sustancia que se toma como referencia. Los solidos y liquidos se refieren al agua a 4° C, mientras que los gases se refieren al aire libre de CO 2 e hidrogeno a 0° C· y Atm de presion, como condiciones normales. Por ejemplo, . . . densldad relatIva de una sustancla =

peso de la sustancia 'd' I I d peso e 19ua vo umen e agua

(4)

peso especifico de la sustancia peso especifico del agua Asi, si la densidad relativa de un aceite es 0,750 su peso especifico sera 0,750(1000 kg/m3) = 750 kg/m 3. La densidad relativa del agua es 1,00 y la del mercurio 13,57. La densidad relativa de una sustancia viene dada por el mismo numero en cualquier sistema de unidades. Vease Apendice, Tabla 2.

VISCO SID AD DE UN FLUIDO La viscosidad de un fluido es aquella propiedad que determina la cantidad de resistencia opuesta a las fuerzas cortantes. La viscosidad se debe primordialmente a las interacciones entre las moleculas del fluido. Con referencia a la Fig. 1-1, se consideran dos placas planas y paralelas de grandes dimensiones, separadas una pequeiia distancia y, y con el espacio entre elIas lIeno de un fluido. Se supone que la placa superior se mueve a una velocidad con stante U al actuar sobre elia

Fig. 1-1

I

3

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

tAP. 1]

\una fuerza F, tam bien constante. EI fluido en contacto conla placa movil se adhiere a ella moviendo~e a la misma velocidad V, mientras que el fluido en contacto con la placa fija permaneceni en reposo . .:5i la separacion y y la velocidad V no son muy grandes, la variacion de las velocidades (gradiente) vendni ldada por una linea recta. La experiencia ha demostrado que la fuerza F varia con el area de la placa, kon la velocidad Ue inversamente con. la separacion y. Como por triangulos semejantes, U/y = dV/dy, itenemos ~

F

AU ex:

Y

dV

Ady

o

F A

ex:

T

dV dy

;donde , = F/A = tension 0 esfuerzo cortante. Al introducir la constante de proporcionalidad /1 (mi), Hamada viscosidad absoluta 0 din·arnica, dV

T

o

1).-

dy

dV/dy

(.5)

. kg seg kg/m2 kg seg Las umdades de /1 son --2-' ya que ( / )/ = --2-· Los fluidos que siguen la relacion (5) se m m seg m m . Uaman fluidos newtonianos (vease Problema 9). Otro coeficiente de viscosidad, lIamado viscosidad cinernatica, viene definido por

S

.) viscosidad absoluta /1 viscosidad cinematica v (m = ----:;---~;--:--­ densidad v

/L

(6)

P

m2 (kg seg/m2)(m/seg 2) Las unidades de v son - , ya que seg kg/m 3

I

m2 seg

Las viscosidades en los manuales vienen dadas normalmente en poises y stokes (unidades del sistema cgs) y en ocasiones en grad os 0 segundos Saybolt, a partir de medidas en viscosimetros. Algunas conversiones de un sistema a otro de unidades se dan en los Problemas 6-8. En las Tablas 1 y 2 del Apendice se dan algunos valores de viscosidades. En los liquidos la viscosidad disminuye al aumentar la temperatura, pero no se ve,afectada apreciablemente por las variaciones de presion. La viscosidad absoluta de los gases aumenta al aumentar \a temperatura, pero casi no varia con la presion. Como el peso especifico de los gases varia con la presion (a temperatura con stante ), la viscosidad cinematica es inversamente proporcional a la presion. Sin emtiargo, de la ecuacion anterior, /1g = wv. PRESION DE VAPOR

Cuando tiene lugar el fenomeno de laevaporacion dentro de un espacio cerrado, la presion parcial a que dan lugar las moleculas de vapor se llama presion de vapor. Las presiones de vapor dependen de la temperatura, aumentando con ella. En la Tabla l(C) se dan val ores para el agua. TENSION SUPERFICIAL

Una molecula en el interior de un liquido esta sometida a la accion de fuerzas atractivas en todas las direcciones, siendo la resultante nula. Pero si la molecula esta en la superficie del liquido, sufre la ~ccion de un conjunto de fuerzas de cohesion, cuya resultante es perpendicular a la superficie. De aqui ~ue sea necesario consumir cierto trabajo para mover las moleculas hacia la superficie venciendo la jesistencia de estas fuerzas, por 10 que las moleculas superficiales tienen mas energia que las interiores. La tension superficial de un liquido es el trabajo que debe realizarse para llevar moleculas en nuSlero suficiente desdeel interior del liquido hasta la superficie para crear una nueva unidad de super-

4

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

[CAP. I

ficie (kgm/m2). Este trabajo es numericamente igual a la fuerza tangencial de contraccion que actuara sobre una linea hipotetica de longitud unidad situada en la superficie (kg/m). En la mayoria de los problemas presentados en las mecanicas de fluid os elementales la tension superficial no es de particular importancia. En la Tabla 1(C) se dan valores de la tension superficial (J (sigma) para el agua en contacto con el aire. CAPILARIDAD

La elevacion 0 descenso de un Iiquido en un tubo capilar (0 en situaciones fisicas anal.ogas, tales como en medios porosos) vienen producidos porIa tension superficial, dependiendo de las magnitudes relativas de la cohesion delliquido y de la adhesion del Iiquido a las paredes del tubo. Los liquid os ascienden en tubos que mojan (adhesion> cohesion) y descienden en tubos a los que no mojan (cohesion > adhesion). La capilaridad tiene importancia en tubos de diametros aproximadamente menores de 10 mm. . PRESION DE UN FLUIDO

La presion de un fluido se transmite con igual intensidad en todas las direcciones y actua normalmente a cualquler superficie plana. En el mismo plano horizontal, el valor de la presion en un Iiquido es igual en cualquier punto. Las medidas de presion se realizan con los manometros, que pueden ser de diversas formas. De no advertir 10 contrario, a traves de todo el libro las presiones seran las presiones relativas 0 manometricas. La presion manometrica representa el valor de la presion con relacion a la presion atmosferica. I

LA PRESION vien~ expresada por una fuerza dividida por una superficie. En general,

I

2 dP (kg) p (kg/m ) = dA (m 2 )

S

Cuando la fuerza P actua uniformemente distribuida sobre una superficie, tenemos 2 P (kg) p (kg/m ) = A (m2)

y

DIFERENCIA DE PRESIONES

La diferencia de presiones entre dos puntos a distintos niveles en un Iiquido viene dada pl>. en kg/m2

(7)

donde w = peso especifico de Iiquido (kg/m3) y h2 - hi = diferencia en elevacion (m). Si el punto 1 esta en la superficie libre del Iiquido y h es positiva hacia abajo, la ecuacion anterior se transforma en p = wh

[en kg/m2 (man)]

(8)

Para obtener la presion en kg/cm 2, [en kg/cm 2(man)]

(9)

Estas ecuaciones son aplicables en tanto que w se mantenga constante (0 varia tan Iigeramente con h, que no introduzca un error significativo en el resultado).

CAP. 1J

5

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

VARIA ClONES DE LA PRESION EN UN FLUIDO COMPRESIBLE Las variaciones de presion en un fluido compresible son, por 10 general, muy pequeiias ya que los pesos especificos son pequeiios, como tam bien 10 son las diferencias en elevacion consideradas en la mayoria de los calculos en la hidraulica. Cuando se han de tener en cuenta para pequeiias diferencias en elevacion dh, la ley de variacion de la presion puede escribirse en la forma dp

= -w dh

(10)

EI signo negativo indica que la presion disminuye al aumentar la altitud, con h positiva hacia arriba. En los Problemas 29-31 ,se dan aplicaciones de esta formula. ALTURA 0 CARGA DE PRESION h La altura de presion h representa la altura de una columna de fluido homogeneo que de la presion dada. Asi

'.

p (kg/m2)

h (m de flUIdo)

(11)

= w (kg/m3)

MODULO VOLUMETRICO DE ELASTICIDAD (E) EI modulo volumetrico de elasticidad expresa la compresibilidad de un fluido. Es la relacion de la variacion de presion· a la variacion de volumen por unidad de volumen. (12)

S

I COMPRESION DE LOS GASES La compresion de los gases puede tener lugar de acuerdo con diversas leyes de termodinamica. Para la misma masa de gas sujeta ados estados diferentes, WR

=R

y

(13)

donde p = presion absoluta en kg/m 2, v = volumen en m 3, W = peso en kg, w = peso especifico en kg/m 3, R = constante del gas en mtK, T = temperatura absoluta en grados Kelvin (OC + 273).

PARA CONDICIONES ISOTERMICAS (temperatura constante) la expresion anterior (13) se transforma en

y Tambien

constante

Modulo volumetrico E = P (en kg/m2)

(14)

(15 )

PARA CONDICIONES ADIABATICAS 0 ISOENTROPICAS (sin intercambio de calor) las ex:presiones anteriores se convierten' en

y

constante

(16)

6

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

[CAP. ·1

(17)

Tambien

Modulo volumetrico E = kp (en kg/m2)

y

(18)

donde k es la relacion de cal ores especificos a presion constante y a volumen constante. Se Ie llama tambien exponente adiabatico. . La Tabla l(A) del Apendice da algunos valores tipicos de R y k. Para muchos gases, el producto de R por e1 p~so molecular es aproximadamente 848.

PERTURBACIONES EN LA PRESION Cualquier perturbacion en la presion de un fluido se propaga en forma de ondas. Estas ondas de presion se mueven a una ve10cidad igual a la de propagacion del sonido a traves del fluido. La velocidad de propagacion 0 celeridad, en m/seg, viene dada por

=

c

(19)

VE/p

donde E viene medido en kg/m2. Para los gases, la velocidad de sonido es (20)

Problemas resueltos

S 1.

I

Calcular el peso especifico w, el volumen especifico Vs Yla densidad p del metano a 38° C y 8,50 kg/cm 2 de presion absoluta. Solucion:

De la Tabla I(A) del Apendice, R

=

53. 8,5

p

Peso especifico

X

104

= RT = 53(273 + 38) = 5,16 kg/m

W

.

1

3

1 = 0,194 m 3 /kg 5,16

Volumen especIfico v. = - = W .

W

5,16

Densldad p = - = = 0,527 UTM/m 3 g 9,81

2.

Si 6 m 3 de un aceite pesan 5080 kg, calcular su peso especifico w, densidad p y densidad re1ativa. Solucion:

Peso especifico Densidad p

W

= -

g

=

W

5080 kg 6m

= --3- =

848 kg/m 3

848 kg/m 3 3 2 = 86;5 UTM/m 9,81 m/seg

' = -Wac = -0848 = 0,848 DenSI'd a d reIatlva Wag

1 00

CAP. 1]

3.

7

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

A 32° C Y 2,10 kg/cm2, el volumen especifico te del gas R y su densidad p.

Vs

de cierto gas es 0,71 m 3/kg. Determinar la constan-

Solucion:

=~,

Como w D ens)'d a d p

4.

R=

RT

wI/us = -

= -

g

g

L

= pUs =

u'T

T

= Vs

~~?_J(O,~ 273 + 32

I = ------I g 0,71 x 9,81

=

=

688 ' .

0,1436 UTM/m 3

Determinar la variacion de volumen de 1 m3 de agua a 27° C al aumentar la presion en 21 kg/cm 2. (b) A partir de los siguientes datos experimentales determinar el modulo de elasticidad volumetrico del agua: a 35 kg/cm 2 el volumen era de 30 dm 3 y a 250 kg/cm 2 de 29,70 dm 3. (a)

Solucion:

(a) De la Tabla I(C) del Apendice, E a 2r C es de 22,90 x 103 kg/cmz. Mediante la formula (12), I x 21 X 104 ---;;22,9 x 10 7

u dp' du = - - - = E (b)

'

La definicion asociada con la formula (12) indica que las variaciones correspondien/es en la presion y volumen son las que deben considerarse en la formula. De aqui, un aumento en la presion se corresponde con una . disminucion de volumen. (250 - 35) x 104 21 50 x 10 7 kg/mz (29,70 - 30) x 1()3/3O; 10 3 = ,

dp'

E=

S

-915 x 10- 4 m 3

=

du/u

S. Un cilindro contiene 356 dm 3 de aire a 49° C Y una presion absoluta de 2,80 kg/cm.l. Se comprime el aire hasta 70 dm 3, (a) Suponiendo condiciones isotermicas, l,cwiles la presion en el nuevo volumen y cmil el modulo de elasticidad volumetrico? (b) AI suponer condiciones adiabaticas, l,cmil es la presion final, la temperatura final y el modulo de elasticidad volumetrico? Solucion: Para condiciones isotermicas,

(a)

De aqui,

2,80

El modulo volumetrico E (b)

X

104

0,356

X

=

p;

x 104 x 0,070

y

P2

=

14,20 kg/cm 2 (ab)

=

1,40. De aqui,

= p' = 14,20 kg/cmz.

Para condiciones adiabaticas, Pil'~

= pzr~

Y la Tabla I(A) del Apendice da k y p~

=

27,22 kg/cm z (ab).

La temperatura final se obtiene a partir de la ecuacion (17): Tz = Tl

(PI )(k-I)lk

pz

~_

' 273 + 49

EI modulo volumetrico E

=

kp'

=

(27,22 )°.40/1.40 2,80 '

=

1,40 x 27,22

=

T

=

z

616" K

=

343 C 0

38,10 kg/cm 2 •

6. De las International Critical Tables, la viscosidad del agua: a 20 C es 0,01008 poises. Calcular (a) la viscosidad absoluta en kg seg/m2. (b) Si la densidad relativa a 20° C es 0,998, calcular el valor de la 0

viscosidad cinematica en m 2 /seg. Solucion:

EI poise esta medido en dinas seg/cmz. Como I kg I

kg seg --Z-

m

=

9,81

X

10 5 dinas y I m

5

=

9,81 x 10 dinas seg 4 Z 10 cm

=

. 98,1 pOises

=

100.cm, obtenemos

I

8

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS (a)

JI en kg seg/m2 = 0,01008/98,1 = 10,28 x 10- 5

(b)

v en m /seg

2

7.

=

JI

JI

Jig

p= wig = -;

=7

10,28 x 10- 5 x 9,81 0,998 'x 1000

=

1,01

[CAP. 1

x 10- 5

Hallar la viscosidad cinematica de un liquido cuya viscosidad absoluta es de 15,14 poises y su densidad relat.,tva 0,964 dando el resultado en m 2 /seg. Soluci6n: Procediendo como en el Problema 6, 15,14 x 9,81 v=----98,1 x 964

8.

1,57

X

10- 3 m2/seg.

Convertir una viscosidad de 510 segundos Saybolt a 15,5° C en viscosidad cinematica v en m 2 /seg. Soluci6n: Cuando para la determinacion se ha utilizado un viscosimetro universal SayboJt, para la conversion se utiliza uno de los dos grupos de formulas siguientes: (a)

para t ~ 100, para t> 100,

JI en poises JI en poises

(b)

para t ~ 100, para t> 100,

v en stokes v en stokes

= = = =

(0,00226t - 1,95/t) x densidad relativa (0,00220t - 1,35/t) x densidad re1ativa (0,00226t - 1,95/t) (0,00220t - 1,35/t)

donde t mide los segundos Saybolt. Para convertir stokes (cm2/seg) en m 2/seg solo es necesario dividir por 104 • 1,35

Mediante el segundo grupo (b) de formulas, ya que t > 100, v = (0,00220 x 510 - - ) x 10- 4 =

9.

S

Estudiar las caracteristicas de velocidad de deformacion bajo esfuerzo cortante, que se represen tan para diversos tipos de fluidos en la Figura 1-2. Solu~i6n:

(a)

(b)

Los fluidos newtonianos se comportan de acuerdo con la ley, = JI(dV/dy), 0 bien que la tension cortante es proporcional al gradiente de velocidades o velocidad de de formaci on tangencial. Por tanto, para estos fluid os, la gnifica de la tension cortante en funcion del gradiente de ve10cidades es una linea recta que pasa por e1 origen. La pendiente de esta recta determina la viscosidad. En un fluido «ideal» la resistencia a la deformacion cortante 0 tangencial es nula, de aqui que su gnifica coincida con el eje de abscisas. Aunque los fluid os ideales no existen, en ciertos anal isis esta justificada y es util la hipotesis de fluido ideal.

t

510 1,1194 x 10- 4 m2/seg.

I

SOLIDO RIGIDO IDEAL SOLIDO REAL

~

~

.;:

, ij dV/dy

·5

! ~~~~====::::::::~~~FL~U~I£DO£1I£D~EA~L FLUIDO NEWTONIANO

Gradiente de velocidades dV dy

~

Fig. 1-2

(e)

Para un solido rigido «ideal» no hay deformacion bajo ningun estado de carga, y la grafica coincide con el eje y de ordenadas. Los solid os reales sufren siempre alguna deformacion y, dentro del limite de proporcionalidad (ley de Hooke), la grafica es una linea recta casi vertical.

(d)

Los fluidos no newtonianos se deforman de manera que la tension cortante no es proporcional a la velocidad de deformacion tangencial, excepto quiza a tensiones cortantes muy pequeiias. La deformacion de estos fluidos pudiera clasificarse como plastica.

(e)

Los materiales plasticos' «ideales» pueden soportar cierta cantidad de esfuerzo cortante sin deformarse, y , a partir de un cierto valor de aquel se deforman con una velocidad proporcional a la tension cortante.

CAP. 1]

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

9

10. Con refereneia a la Fig. 1-3, el fluido tiene una viseosidad absoluta de 4,88 x 10 - 3 kg seg/m2 y una densidad relativa de 0,913. Calcular el gradiente de veloeidades y el modulo de la tension eortante en el eontorno y en los puntos situados a 25 mm, 50 mm y 75 mm del eontorno, suponiendo (a) una distribueion de veloeidades lineal y (b) una distribueion de veloeidades paraboliea. La parabola en el dibujo tiene su vertiee en A. EI origen esta en B.

1,125

Soludon: (a) Para la hipotesis de distribucion lineal, la relacion entre la velocidad y la distancia y es V = 15y. De aqui dV = 15 dy, y el gradiente de velocidades es dV/dy = 15. Para y = 0, V = 0, dV/dy = 15 seg- I y

m/seg--:i

Fig. )·3

t = J.i.(dV/dy) = 4,88 x 10- 3 x 15 = 7,32 x 10- 2 kg/m2 Amilogamente, para los otros valores de y, tambien se obtiene t (b)

=

7,32

X

10- 2 kg/m2.

La ecuacion de la parabola debe satisfacer la condicion de que la velocidad sea cero en el contorno B. La ecuacion de la parabola es V = 1,125 - 200(0,075 - y)2. Luego dV/dy = 400(0,075 - y) y la tabulacion de los resultados conduce a 10 siguiente:

y

10 3

X

°

S

25 50 75

V

°

0,625 1,000 1,125

dV/dy

t 4,88 x 10- 3(dV/dy)

30 20 10

0,1464 kg/m2 0,0976 kg/m2 0,0488 kg/m2

°

°

Se observara que en los puntos en que el gradiente de velocidades es nulo (cosa que ocurre en el eje de las tuberias en conduccion forzada, como se vera mas adelante) la tension cortante es cero. Las unidades del gradiente de velocidades son seg- I y el producto J.i.(dV/dy) = (kg seg/m2)(seg- l ) = kg/m2, dimensiones correctas de la tension cortante t.

11. Un eilindro de 12 em de radio gira eoneeqtrieamente en el interior de un eilindro fijo de 12,6 em de radio. Ambos cilindros tienen una longitud de 30 em. Determinar la viseosidad delliquido que lIena el espaeio entre los eilindros, si se neeesita un par de 9,0 em kg para mantener una veloeidad angular de 60 revolueiones por minuto. Solucion: (a)

EI par se transmite al cilindro exterior a traves de la capa de fluido. Como el espaciado entre los cilindros es pequeno, los calculos pueden realizarse sin integracion. Velocidad tangencial del cilindro interior = rw = (0,12 m)(2n rad/seg) = 0,755 m/seg. En el pequeno espacio entre los cilindros puede suponerse lineal el gradiente de velocidades y utilizar el radio medio. Asi, dV/dy = 0,755/(0,120 - 0,126) = 125,8 (m/seg)/m 0 seg- I Par aplicado

=

par resistente

0,09 = t(area)(brazo) = t(2n x 0,123 x 0,30)(0,123) De aqui, J.i. = t/(dV/dy) = 3,15/125,7 = 0,02500 kg seg/m 2

y

r = 3,15 kg/m2.

I

[CAP. 1

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

10 (b)

En un metodo matematico mas exacto se utiliza el calculo como sigue: Como antes, 0,09 = r(2rrr x 0,30)r, de donde r = 0,0476/r2.

dV r 0,0476 . . Ahora bien, - = - = ~-2-' donde las vanables son la velocldad V y el radio r. La velocidad es dy J1 W cero en el radio mayor e igual a 0,755 m/seg en el radio menor. Ordenando la expresi6n anterior y sustituyendo -dr por dy (el signo menos indica que r disminuye cuando y aumenta), se obtiene

j

V;n'

Vex

Por tanto,

12.

0,0476jO,120 -dr dV= - -J1 1,126 r2

y

V;n

0,0476 1 1 (0755 - 0) = ~~(-- - - - ) , J1 0,120 0,126'

_

de donde

Vex

_ 0,0476 [~JO'120

-

J1

r 0,126

J1 = 0,02500 kg seg/m2.

Demostrar que la presion en un punto es la misma en todas las direcciones.

4&"

Solucion: Considerese un pequeno prisma triangular de liquido en reposo, bajo la acci6n del fluido que 10 rodea. Los valores medios de la presion sobre las tres superficies son PI' Pz Y P3' En la direccion z, las fuerzas son iguales y opuestas y se anulan entre elias. Sumando las fuerzas en las direcciones x e y se obtiene

LX = 0,

LY = 0,

o

-

P3 sen 0 = 0

P2(dy dz) - P3(ds dz) sen

o

S

P2

e=

0

PI - P 3 cos 0 - dW = 0

PI (dx dz) - P3(ds dz) cos

e-

Como dy = ds sen 0 y dx =

d~

cos

e,

=

0

las ecuaciones se reducen a las siguientes:

P2 dy dz - P3 dy dz = 0 y

I

Fig. 1-4

w(! dx dy dz)

PI dx dz - P3 dx dz - w(! dx dy dz)

=

0

o

o

P2

(1)

P3

=

(2)

PI - P3 - w(! dy) = 0

Cuando el prisma tiende a contraerse subre un pun to, dy tiende a cero en el limite, y la presion media se ' vuelve uniforme en la superficie que tiende a cero y queda definida la presion en un punto. Por tanto, al poner dy = 0 en la ecuacion (2) se obtiene PI = P3 Y de aqui PI = Pz = P3' '

13.

Deducir la expresion (P2 -

pd =

W(h2 - hd·

x

Solucion: Considerese una porcion de llquido AB (Fig. 1-5) como un cuerpo libre de seccion recta transversal dA que se mantiene en equilibrio bajo la accion de su propio peso y la accion de las otras particulas de liquido sobre el cuerpo AB. En A la fuerza que actua es PI dA (Ia presion en kg/m 2 por el area en m2); en B es P2 dA. El peso del cuerpo libre AB es W = wv = wL dA. Las otras fuerzas que actuan sobre el cuerpo Iibre AB son normales a sus lad os, de las que se muestran solo unas pocas en la figura. Al establecer LX = 0, dichas fuerzas normales no es necesario considerarlas en la ecuacion. Por consiguiente, P2 dA - PI dA - w L dA sen Como L sen

e=

Fig. 1-5

e=

h2 - hi' la ecuacion anterior se reduce a (P2 - ptl

0 =

w(h 2 - hd.

:AP. 1]

11

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

14. Determinar la presion en kg/em 2 sobre una superfieie sumergida a 6 m de profundidad en una masa de agua. Solucion: Utilizando el valor medio de 1000 kg/m 3 para w, p'

wh

=-

104

=

1000 x 6 104

= 060 kg/cm 2 (man) '

15. Determinar la presion en kg/em 2 a una profundidad de 9 m en un aeeite de densidad relativa de 0,750. Solucion: p

16.

, = wh = (0,750 x 1000)9 = 0675 kg/cm2 (man) 104

104

'

Encontrar la presion absoluta en kg/em 2 en el Problema 14 si la leetura barometriea es de 75,6 em de mereurio (densidad relativa 13,57). Solucion: Presion absoluta = presion atmosferica =

17.

S 18.

+

(13,57 x 1000)(0,756) 104

presion debida a los 6 m de agua

+

1000 x 6 2 104 = 1,628 kg/cm (ab)

~A

que prof~.mdidad de un aeeite, de den sid ad relativa 0,750, se produeini una presion de 2,80 kg/cm 2 ? ~A eual si el liquido es agua?

Solucion: hac

=

p Wac

=

2,80 X 104 0,750 x 1000 = 37,30 m,

p

hag

= Wag =

2,80 X .10 4 1000

I

= 28,00 m

Convertir una altura de presion de 5 m de agua en altura de aeeite, de densidad relativa 0,750. Convertir una altura de presion de 60 em de mereurio en altura de aeeite, de densidad relativa 0,750. (a) (b)

Solucion: (a)

h

ac

=

hag 5 = - - = 633 m den. reI. aceite 0,750 '

(b)

19. Preparar un grafieo de forma que puedan eompararse faeilmente las presiones manometrieas (man) y absolutas (ab) con las limitaeiones que se haran notar. Solucion: Sea A un punto, Fig. 1-6, a una presion absoluta de 3,85 kg/cm 2. La presion manometrica dependeni de la presion atmosferica reinante. Si tal presion es la atrnosferica normal al nivel del mar (1,033 kg/cm2), la' presion manometrica en A sera 3,850 - 1,033 = 2,817 kg/cml. La lectura barometrica mas corriente equivale a una presion de 1,014 kg/cm 2, con 10 que la presion manometrica obtenida seria 3,850 - 1,014 = 2,836 kg/cm 2 (man).

13,57 x 0,60 = 10,85 m 0,750

h = hag ac den. reI. aceite

A (PRESIONES EN kg

cm2~ 2.!S3o man

T1 I

2.817 man

3.85 ab ,

P. almos. normal

r

=

1.1)33

-

·1

- 0.544 man

-

.., \.. P. atmas. reinante ~

- 0.563 mdn

--.L.-fB

1.033 ab

I

0.47 ab

t

t C ao absolulO ivacio IOlal)

/ c

.J Fig. 1-6

1.014 cero abs 1.0)3 man -1.014 man

-

0

12

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

[CAP.

Sea B un punto a una presion absoluta de 0,47 kgJcm 2. Este valor viene representado graficamente por df bajo de la presion atmosferica normal 1,033 kg/cm 2 y la presion manometrica para B sera 0,470 - 1,033 = - 0,563 kg/cm 2 (man). Si la presion atmosferica reinante es de 1,014 kgJcm 2 , la presion manometrica para est valor sera 0,470 - 1,014 = -0,544 kgJcm 2 (man). Sea C un pun to a una presion absoluta igual a cero. Esta condicion es equivalente a una presion manome trica «normal» negativa de -1,033 kg/cm 2 ya una presion manometrica, representativa del valor mas corripn te, de -1,014 kgJcm 2. Las conc\usiones que se pueden sacar son importantes. Las presiones manom6tricas negativas no pueder exceder de un limite teorico de la presion manometrica reinante 0 del valor normal de -1,033 kgJcm 2. Las pre· siones absolutas no pueden· tomar val ores negativos.

20. Con referencia a la Fig. 1-7, las areas del piston A y del cilindro B son, respectivamente, de 40 y 4000 cm 2 y B pesa 4000 kg. Los depositos y las conducciones de conexion estan llenos de aceite de densidad relativa 0,750. l,Cual es la fuerza P necesaria para mantener el equilibrio si se desprecia el peso de A? Solucion: Se determina primero la presion que aetua sobre A.Lomo XL y X R estan al mismo nivel en la misrna masa de Iiquido, se tiene

Fig. 1-7

presion en XL en kgJcm 2 o

S

.. b' presIOn aJo A

+

=

presion en X R en kgJcm 2

. . d eb'd I 5 m d e acelte . = peso de B presIOn I a a os =-.- - area de B

, PA

Sustituyendo, P~

750 x 5

+~

+

I

wh 4000 kg 104 = 4000 cm2

kg/cm]

=

1,0 kgJcm 2

y

P~ = 0,625 kg/cm 2

Euerza P = presion uniforme x area = 0,625 kgJcm 2 x 40 cm 2 = 25,0 kg.

21.

Determinar la presion manometrica en A en kg/cm 2 debida a la columna de mercurio (den. reI. 13,57) en el manometro en U mostrado en la Figura 1-8. Solucion: Bye estan al mismo nivel y en el mismo Iiquido, el mercurio; por tanto, podemos igualar las presiones en Bye en kg/m2 (man).

D

_3,80m

c

3,OOm

Presion en B = presion en C PA + wh (para el agua) = PD + wh (para el mercurio) PA + 1000(3,60 - 3,00) = 0 + (13,57 x 1000)(3,80 - 3,00) AI despejar,PA = 10.256 kg/m2 y p~ = 10.256/104 = 1,0256 kgJcm 2 (man). Otro procedimiento de resolucion consiste en emplear las alturas de presion en metros de agua, 10 que conduce por 10 general a menos operaciones aritmeticas, como se ve a continuacion: Altura de presion en B PA/W + 0,60 m de agua

= =

altura de presion en C 0,80 x 13,57 m de agua

AI despejar PA/W = 10,256 m de agua y p~ = (1000

X

B

Fig. 1-8

10,256)/104 = 1,0256 kgJcm 2 (man), como antes.

:AP 1]

t2.

13

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

Aceite de densidad relativa 0,750 esta ftuyendo a traves de la hoquilla mostrada en la Fig. 1-9 y " desequilihra la columna de mercurio del manometro en U. Determinar el valor de h si la presion . . en A ~s de 1,40. kgjcm 2. SoIucion:

Presion en B = presion en C 0,

, al utilizar como unidad kg/cm2, PA

140

,

+

+

wh. 104 (acelte)

(0,750 x 1000)(0,825 i0 4

= Po

+ h)

+

wh 104 (mercurio)

= (13,57

x 1000)h

y

104

h = 1,14 m

Otro metodo: AI utilizar ahora como unidad la altura de presion en m de agua, Altura de presion en B = altura de presion en C 1 40 X 104 , 1000 - (0,825 - h)O,750

=

13,57h

y

h = 1,14 m, como antes

I

S Aire

3,38 m

0,825 m ;---0::0II-- D

h

t

1,ISm

B

c Liquido B

Fig. 1-10

Fig. 1-9

13. Para una presion manometrica en A de - 0, 11 kg/cm2, encontrar la den sid ad relativa (Dr) del liquido manometrico B de la Figura 1-10. Soluci6n: 0,

en kg/m2, -0,11

Ahora bien, PG = PD = apreciable. Ademas PE = PF Por tanto,

o

X

104

+

Presion en C PA - wh (1,60 x 1000)0,45

- 380 kgjm 2, ya que el = 0 en kg/m2 (man).

=

presion en D

= PD = PD =

-380 kg/m2

peso de los 0,68 m de aire pueden despreciarse sin error

presion en G = presion en E - presion de (3,38 - 3,00) m del Iiquido manometrico PG = PE - (Dr x 1000)(3,38 - 3,00) -380 = 0 - (Dr x 1000)0,38 y Dr = 1,00

24.

[CAP. I

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

14

Para una lectura manometrica en A de -0,18 kg/cmz, determinar (a) la elevaci6n en las ramas abiertas de los piez6metros E, F Y G y (b) la lec-

El. 20 rn_

tura del man6metro en U de mercurio de la Figura 1-11.

E F

A

Aire

Solucion: (a) Como el peso especifico del aire (aproximadamente 1,28 kg/m3) es muy pequeno comparado con el de los liquid os, la presion en la elevacion de 15 m puede considerarse igual a -0,18 kg/cm 2 sin introducir error apreciable en los calculos. Para la columna E: Supuesta la elevacion de L, como la mostrada, se tiene en kg/m 2 (man)

PK = PL

+ wh

=

0

+ (0,700 x 1000)h

=

0

PH

Por tanto, o bien

-0,18

X

4

10

~

y h = 2,57 m.

=

c

D hi

T

De aqui, la elevacion de L sera 15,00 - 2,57 12.43 m.

El. 4 rn

Fig. 1-11

Para la columna F:

S

Presion en El. 12 m

=

presion en El. 15 m

=

-01 8 ,

+

+

I

presion del liquido de Dr 0,700

(0,700 x 1000)(15 - 12) 00 k -- = " 3 g/cm 2 104 4

· . ' en P ' , en M sera 0,03X 10 a la presIOn M. or tanto, la altura d e presIOn - = 0, 30 m d e que d ebe ser 19ual 1000 agua, y la columna F ascendera 0,30 m por encima de M 0 bien la elevacion en N es igual a 12,30 m.

Para la columna G: Presion en El. 8 m o bien,

Po

=

presion en El. 12 m

=

0,03

+

1000 x 4 104

=

+ presion de 4 m de agua

0,43 kg/cm

2

4

. , en R sera, - 0,43 x 10 = 2, 69 m d eI . I a Ia presIOn . , en R . Por tanto, Ia a Itura d e presIOn que d ebe ser 19ua 1,600 x 1000 liquido y la columna G ascendera 2,69 m sobre R 0 hasta una elevacion de 10,69 m en Q.

(b)

Para el manometro de tubo en U, al utilizar como unidades metros de agua, altura de presion en D

=

altura de presion en C.

13,57h l = altura de presion en El. de 12 m 13,57hl = 0,30

de donde hi

=

0,61 m.

+

8,00

+

altura de presion de 8 m de agua

AP. 1]

25.

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

15

Un manometro diferencial esta unido ados secciones rectas A y B de una tuberia horizontal por la que circula agua. La lectura en el manometro de mercurio es de 0,60 m, siendo el nivel mas cercano a A el mas bajo. Calcular la diferencia de presiones entre A y Ben kg/cm2. Vease la Figura 1-12. Solucion: Nota: Un croquis 0 dibujo ayuda a escIarecer el anaIisis de todos los problemas y a reducir las equivocaciones. Aun un simple diagrama de una linea puede servir.

Altura de pre,sion en C 0,

al utilizar como unidad el m de 'agua,

=

altura de presion en D

PA/W - Z = [PB/W - (z

+

0,60)]

+

13,57(0,60)

PA/W - PB/ W = diferencia en alturas de presion = 0,60(13,57 - 1) = 7,54 m de agua p~ - P~ = (7,54 X 1000)/104 = 0,754 kg/cm 2 .

De aqui, y

Si (p~ - p~) fuera negativa, la interpretacion correcta del signo seria que la presion en B era 0,754 kg/cm 2 mayor que la presion en A. Los manometros diferenciales deben ser purgados del aire de todos los tubos antes de tomar lecturas.

4,50 m 3,60m

i-

E C

3,OOm

O,60m

D

T II:

I

S

B

Fig. 1-12

Fig. 1-13

26. Se quiere medir la perdida de carga a traves del dispositivo X mediante un manometro diferencial cuyo liquido manometrico tiene una densidad relativa de 0,750. El liquido que circula tiene una densidad relativa de 1,50. Hallar la caida en altura de presion entre A y B a part,r de la lectura manometrica en el aceite, mostrada en la Figura 1-13. Solucion:

Presion en C en kg/m 2 PB - (1,50 x 1000)0,60 - (0,750 x 1000)0,90 De aqui, PA

-

PB

=

= =

presion en D en kg/m2 PA - (1,50 x 1000)3,30

.. ., 3375 3375 kg/m 2 y la dlferencla en alturas de presIOn = - - W

=

3375 1,50 x 1000

=

2,25 m de Iiquido.

Otro mHodo:

AI utilizar corn0 IInidad el m de Iiquido (Dr = 1,50),

altura de presion en C = altura de presion en D PB 0,750 x 0,90 PA --- - 0,60 - = - - 3,30 W 1,50 W

De aqui, PA/W -- PB!W = difercncia en alturas de presion = 2,25 m de Iiquido, como antes.

16

[CAP. 1

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

27. Los recipientes A y D contienen agua a las presiones respectivas de 2,80 y 1,40 kg/cm 2 • "eual es la lectura en el manometro diferencial de mercurio, mostrado en la Figura 1-14? Solucion: Altura de presion en C 4

2,80 X 10 1000

+

x

=

+h=

altura de presion en D 4

1,40 X 10 1000

_

Y

+

1357h ,

(en m de agua)

Ordenando, (104 /1000)(2,80 - 1,40) + x + y = (13,57 - l)h. AI sustituir x + y = 2,00 m y despejar se obtiene h = 1,27 m. EI lector habra observado que empleando como unidades el kgjm 2 0 el kgjcm 2 se hacen mas operaciones aritmeticas, pero como la probabilidad de cometer errores de concepto es menor se recomienda el uso de tales unidades en lugar de las alturas de presion.

Agua

L fC

E

h

Tx

T L

S

5,00 m

90m

1

1 _ 3,00 m

h

C

Fig. I-Hi

Fig.I-U

28.

La altura de presion al nivel A-A es de 0,09 m de agua y los pesos especificos del gas y del aire son, respectivamente, 0,560 y 1,260 kg/m3. Determinar la lectura en el manometro de agua . de t.uho en U, que mide la presion del gas al nivel D, segun se muestra en la Figura 1-15. Soludon: Se supone que tanto eI peso especifico del aire como el del gas permanecen constantes en los 90 m de diferencia en elevacion. Como los pesos especificos del gas y del aire sqn del mismo orden de magnitud, debe tenerse en cuenta el cambio en la presion atmosferica, con la altitud. Se utilizaran presiones absolutas. (absoluta) Pc = (absoluta) PD (kg/m2) (atmosferica) PE + 1000h = (absoluta) PA. - 0,560 x 90

(A)

Se caIcula ahora la presion absoluta en A en funcion de la presion atmosferica en E, obteniendo primero la presion atmosferica en F y luego PA.(absoluta) PA. = [(atmos.) PE

+

1,260(h

+ 90

- 0,09)J

+ 0,09 x

1000 (kg/m2)

Sustituyendo este valor en (A), eliminando PE y despreciando los terminos muy pequefios, se obtiene 1000h = 90(1,260 - 0,560)

+

0,09(1000)

y

h = 0,153 m de agua

I

~P.

29.

17

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

1]

"Cmil es la presion en el oceano a una profundidad de 1500 m, suponiendo (a) que el agua salada es incompresible y (b) el agua del mar es compresible y tiene un peso especifico en la superficie de 1025 kg/m 3 ? E = 21:000 kg/cm 2 (constante). SoluciOn: (a)

Presion P = wh = 1025 x 1500 = 15,375 x 10 5 kg/m 2 (man).

(b)

Como la masa no varia al comprimirla ni su peso, dW dW= d(wv)

=

+ vdw

wdv

De las ecuaciones (10) y (12), dp

=

=

0; de aqui

=

o

0

=

-w dh y dv/v

(A)

-dv/v = - dw/w -dp/E. Sustituyendo en (A),

(B)

dp/E = dw/w

+ c. En la superficie, I log., w + Po - E log., Wo

Integrando, p = E log., w P= E

-wdh

p = Po, w = Wo; de aqui, C = Po - E log., Wo Y

o

dw

Poniendo dp = -w dh en (B), - E - = -w

0

II = E/w

(C)

(p - Po) = E log. (w/w o)

Edw dh = - - 2 ' Integrando,

w

+ C1

(D)

En la superficie, II = 0, w = Wo; entonces, C 1 = -E/wo, II = (E/w - E/wo) y, por tanto,

w

=

woE

=

w,,11

+E

4

(1025)(21.000 x 10 ) (1025)( -1500) + (21.000 x 104 )

recordando que h es positiva hacia arriba y dando E en kg/m p = (21.000

X

=

10326 kg/m 3 ,

2

104 ) log., (1032,6/1025) = 15,476 x 105 kg/m 2 (man)

30.Calcular la presion barometrica en kgfcm 2 a una altitud de 1200 m si la presion al nivel del mar es de 1,033 kg/cm2. Suponganse condiciones isotermicas a 21 0 C. Solucion: 0

EI peso especifico del aire a 21 C es w =

29,3(2~ + 21)'

p dp = -wdh = -29,3(294)dh

S

Integrando (A), log., p = -0,000116h

=

-0,000116h

+ log.,

dp

P=

0

-0,000116dh

(A)

+ C, donde C es la constante de integracion.

Para caIcular C: cuando h = 0, p = 1,033 log., p

Por tanto, de la ecuacion (10),

(1,033

X

104 kg/m 2 (ab). De aqui, C ,= log., (1,033 X 104 ) y 104 ) 0 0,000116h = log. (1,033 x 104 /p) X

(B)

Pasando (B) a logaritmos decimales 2,3026 log 0,033 x 104 /p) = 0,0001/6(1200),

log (1,033 x. 104 /p) = 0,06045,

1,033 x 104 /p = antilog 0,06045 = 1,14935

4

de la cual p

=

1,033 x 10 0 3 2 1,14935 = 9, x 10 kg/m

=

2

0,90 kg/cm .

31 Deducir la expresion general que da la relacion entre la presion y la elevacion, cuando las condiciones son isotermicas, mediante dp = - w dh. Soluci6n: 'Para con d'IClones . . ,. 1a ecuaClOn . ,p r lsotermlcas, - = -Po- se translorma en -P = -Po wT woTo w WO

Por tanto. dh

= - dp. = _ po W

h - ho

=-

1Vo

x dp

~(log. p - log. po) ~

Integrando,

P

(h dh

Jho

= + ~(log. po ~

0

= _~ Wo

P w = Wo-' P.

(P dp

Jvo

p

Y

log, p) = ~ log, po ~ p

En realidad. la temperatura de la atmosfera disminuye con la altitud. De aqui. que una soluci6n exacta requiera el conocimiento de la~ variaciones de la temperatura con la altitud para utilizar la ley de los gases p/wT = constante.

I

32.

[CAP. 1

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

18

Desarrollar una expresion que relacione la presion manometrica p que reina en el interior de una gota de Jiquido y la tension superficial C1.

1y}-x

Solucion:

La tension superficial que actua sobre la superficie de una gota de liquido da lugar a que la presion en el interior de la gota sea superior a la presion exterior. La Fig. 1-16 muestra las fuerzas que producen el equilibrio en la direccion X de media gota de diametro d. Las fuerzas a dL se deben a la tension superficial que actua sobre el perimetro y las fuerzas dPx son las componentes en la direccion X de las fuerzas p dA (vease Capitulo 2). Por tanto, de ~X =

1 d

z

dP udL -dP z ---udL'

Z

Fig. 1-16

0,

suma de fuerzas hacia la derecha

=

as dL =

tension superficial x perimetro

=

suma de fuerzas hacia la izquierda

S dPx presion x proyeccion del area

a(nd) = p(nd 2/4)

o p

33.

= 4a/d en kg/m2 (man). Las unidades de la tension superficial son kgjm. Se observa que cuanto menor es la gota, mayor es la presion.

Una pequeiia gota de agua a 27° C esta en contacto con el aire y tiene un diametro de 0,50 mm. Si la presion en e\ interior de la gota es 5,80 x 10- 3 kg/cm 2 mayor que la atmosferica, l.cual es el valor de la tension superficial? Solucion:

S

a

34.

= ipd = i

I

(58) kgjm 2 x (0,5 x 10- 3 ) m = 0,029 kgjm

Ca\cuiar la altura aproximada a la que ascendera un liquido que moja el vidrio en un tubo capilar en contacto con la atmosfera. Solucion:

La elevacion en un tubo de diametro pequeno puede calcularse aproximadamente considerando como cuerpo libre la masa de Jiquido ABCD que se muestra en la Figura 1-17. Como ~ Y debe ser igual acero, se obtiene componentes verticales de las fuerzas debidas a la tension superficial - peso del volumen ABCD hacia abajo + fuerza de la presion sobre AB hacia arriba - fuerza de la presion sobre CD hacia abajo = O.

+

o

(a

SdL) sen a -

w(nd 2 /4 x h)

Se ve que las presiones en los niveles AB y CD son iguales ambas a la atmosferica. Por tanto, los dos ultimos terminos del primer miembro se anulan entre si y, como a J dL = a(nd), se obtiene 4a sen a h = en metros wd

Para un mojado total, como ocurre con el agua en contacto con vidrio muy limpio, el angulo a es practicamente 90°. No puede garantizarse una mayor aproximacion. En los trabajos experimentales, para evitar errores de consideracion debidos a la capilaridad deben utilizarse tubos de diametro de aproximadamente 10 mm 0 mayores.

+ p(area

AB) - p(area CD) = 0 udL

35.

CaIcular la altura a la que ascendent en un tubo capilar, de 3,00 mm de diametro, agua a 21 0 C. Solucion: De la Tabla l(e), (1 = 0,00740 kg/m. Suponiendo un angulo II = -

4(1

wd

=

C(

= 90°, supuesto el tubo limpio,

4 x 0,00740 kg/m = 0,0099 m = 9,90 mm. 1000 kg/m 3 x 3 x 10 3 m i

Problemas propuestos

S 36.

19

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

:AP. 1]

I

Si la densidad de un liquido es de 85 UTM/m 3, determinar su peso especifico y su densidad relativa. Sol. 834 kg/m3, 0,834

37. Comprobar los valores de la densidad y del peso especifico del aire a 30° C dados en la Tabla 1(B). 38. Comprobar los valores de los pesos especificos del anhidrido carbonico y del nitrogeno dados en la Tabla

I(A).

39.

iA que presion tendra el aire un peso especifico de 1,910 kg/m 3 si la temperatura es de 50° C? Sol. 1,80 kg/cm 2 (ab)

40.

Dos metros cubicos de aire, inicialmente a la presion atmosferica, se comprimen hasta ocupar 0,500 m 3. Para una com presion isotermica, icual es la presion final? Sol. 4,132 kg/cm 2 (ab)

41. En el problema precedente, i cual sera la presion final si no hay perdidas de calor durante la compresion? Sol. 7,20 kg/cm 2 (ab) 42.

Determinar la viscosidad absoluta del mercurio en kg seg/m2 si en poises es igual a 0,0158. Sol. 1,61 x 10- 4 kg seg/m 2

43.

Si la viscosidad absoluta de un aceite es de 510 poises, icua! es la visco sid ad en el sistema kg-m-seg? Sol. 5,210 kg seg/m2

4 x)

Al utilizar los valores obtenidos en el Problema 1 anterior, (wh"gA)x,,,

o

(w

~-

J

p(dx dy)x

sen o)(y .. ,A)x,,,

c:-

(w

f

:0:-

sen 8)

J

wh(dx dy)x

xy(dx dy)

ya que h = y sen O. La integral representa el producto de inercia del area plana respecto de los ejes X e Y sele, cionados, representado por Ix,. Por tanto, .-

Er,)eg y,.,A

+ x .

'9

Si uno u olro de los ejes centroidales fuera un eje de simetria del area plana, Ixy seria nulo y la posicion later: del centro de presil'm estaria sobre el eje Y que pasa a traves del centro de gravedad (no se muestra en la figura Observese que eI producto de inercia respecto de un sistema de ejes que pasan por el centro de graved ad, (lxy)e puede ser positivo 0 negativo, de forma que la posicion lateral del centro de presion puede caer a uno u olr lado del eje centroidal y.

I

CAP. 2]

FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE LAS SUPERFICIES

25

.3. Determinar la fuerza resultante P debida a la accion del agua sobre la superficie plana rectangular AB de medidas 1 m x 2 m que se muestra en la Figura 2-2. Solucion:

+

P = wh,gA = (1000 kglm 3 ) x (1,20

1,00) m x (1 x 2) m 2 = 4400 kg

Esta fuerza actua sobre el centro de presion, que esta a una distancia Yep del eje 0 l,g Yep = Y,gA

1

Y es igual a

3

+ Yeg =

1(2 )/12 2,20(1 x 2)

+ 2,20 =

2,352 m de 0

1

4. . Determinar la fuerza resultante debida a la aCClOn del agua sobre el area rectangular CD de

1,20 m x 1,80 m mostrada en la Fig. 2-2. C es un vertice del triangulo. Solucion:

PCD

=

1000(1

+j

x 0,707 x 1,8)(1 x 1,2 x 1,8) = 1200 kg

Esta fuerza actua a una distancia Yep del cjc O 2 , estando mcdida esta distancia sobre el plano al que pertenece el area CD. 1,2(1,8 3 )/36 1,85 . Yep = 1 - - - - - - + - - = 0,07 + 2,61 = 2,68 m del cJe O 2 (1,85/0,707)b- x 1,2 x 1,8) 0,707

E

~

S

"'~f-----

Fig. 2-2

6 m -----4-1

Fig. 2-3

5. EI agua alcanza el nivel E en la tuberia unida al deposito ABCD que se muestra en la Fig. 2-3. Despreciando el peso del deposito y de la tuberia de e1evacion, (a) determinar y situar la fuerza resultante que actua sobre el area AB de 2,40 m de anchura, (b) la fuerza total sobre el fondo del deposito y (c) comparar el peso total del agua con la resultante obtenida en (b) y explicar la diferencia. Solucion: (a)

La profundidad del centro de graved ad del area AB, rcspecto de la superficie Iibre del agua en E, es de 4,50 m. Por tanto,

P = whA = 1000(3,60

+

0,90)(1,80 x 2,40) = 19.440 kg, que actua a la distancia.

3

2,4(1,8 )/12 Yep = - - - 4,5(1,8 x 2,4) (b)

4,5 = 4,56 m de 0

La presion en el fondo BC es uniforme; por consiguiente, la fuerza

P (e)

+

=

pA

=

(wll)A

=

1000(5,40)(6 x 2,40) = 77.760 kg

EI peso total del agua es W = 1000(6 x 1,8 x 2,4

+ 3,6

x 0,10) = 26.280 kg.

I

26

LeAP. 2

FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE LAS SUPERFICIES

EI cueq30 libre constituido por la parte inferior del deposito (cortado por un plano horizontal justamente encima del nivel BC) pondra de manifiesto llna fuerza. dirigida hacia abajo. sobre el area Be de 77.760 kg, fuerza vertical de traccion sobre las paredes del deposito y fuerla de reaccion sobre el plano soporte. La reaccion ha de ser igual al peso total del agua. es decir. 26.280 kg. La traccion en las paredes del deposito es producida por la fuerza vertical, dirigida hacia arriba. que actua sobre la parte superior AD del deposito, que es igual ?tAD

= (wh)A = J()OO(3,(i)(14,4 - 0.1)

=

51.480 kg hacia arriba

Se ha aclarado asi una aparente paradoja, pues para el cuerpo libre considerado, la Sllma de las fuerzas verticales es igual a cero. es decir, 77. 760 - 26.280 - 51.480 = 0 con 10 que se satisface la condicion de equilibrio.

6.

La compuerta AB de la Fig. 2-4(a) tiene 1,20 m de anchura y esta articulada en A. La lectura manometrica en G es -0,15 kg/cm 2 y el aceite que ocupa el deposito de la derecha tiene una densidad relativa de 0,750. i,Que fuerza horizontal debe aplicarse en B para que la compuerta AB se mantenga en equilibrio?

lA' 1,50 m

A

t

T

0.99 m

t

,Aceite

1.20 m 110-

6480

A ' 1460

1,80 m

B

--L

C

S

t ~

F

I

Fig.2-4(/))

Fig.2-4(a)

Soluci6n: Deben ca1cularse el valor de las fuerzas debidas a la accion de los liquidos y su posicion. Para ellado derecho, Pac = whegA = (0,750

X

1000)(0,9)(1,8

X

1,2)

=

1460 kg hacia la izquierda

3

y actua en

1,2(1,8 )/12 0,9(1,2 x 1,8)

F

= --------

..q, donde cad a t>.q viene dado por v(t>.An). De la Fig. 6-4(b), A'B' = t>.An = t>.y cos rx. De donde q = L r(t>.y cos rx) = L l·xt>.y por unidad de anchura.

13.

(a)

Explicar brevemente el procedimiento para dibujar la red de corriente en el caso de un flujo bidimensional permanente de un fluido ideal entre los contornos dados en la Figura 6-5.

(b)

Si la velocidad uniforme en la seccion 2 es igual a 9,0 m/seg y los valores de ~n2 son iguales a 3 cm, determinar el caudal q y la velocidad uniforme en la seccion 1, donde los Anl son iguales a 9 cm.

79

FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS

CAP. 6]

Solucion: (a)

EI procedimiento para dibujar la red de corriente en estc casu puede aplicarse a casos mas complejos. Para un fluido ideal se procede como sigue: I.

En una seccion entre con torn os paralelos se divide el flujo en un cierto numero de bandas de igual anchura /);n (supuesto que se ha tornado del flujo una capa, de espesor unidad, perpendicular al dibujo). Cada banda representa un tubo de corriente limitado por liFig. 6-5 neas de corriente 0 bien por lineas de corriente y uno de los contornos. Asi, el flujo total queda dividido en flujos parciales iguales'por cada una de las band as y /);q ~ t:{/);n) ~ constante, donde /);n se mide normal mente a la velocidad local. Como /);q ~ ['1/);/11 ~ 02/);n Z' se deduce V 1/V2 ~ /);n Z//);/l1 ~ /);SZ//);SI' Cuanto menores son los valores de /);n y /);S mas exactas son las relaciones anteriores. Se escogen el numero suficiente de lineas de corriente para que la exactitud sea aceptable, sin entrar en innecesarios refinamientos y detalles en el dibujo. 2. Para determinar las direcciones de las lineas de corriente se dibujan las lineas norm ales a aquellas 0 lineas equipotenciales. Estas lineas estan espaciadas de forma que /);S = /);/1. Las lineas equipotenciales son ortogonales a las lineas de corriente en cada punto de interseccion y a los contornos ya que estos son lineas de corriente. De esta forma el diagrama obtenido se asemeja a un grupo de cuadrados (aproximadamente) a traves de toda la red de corriente. 3. En las zonas proximas y alli donde los contornos cambian de forma no se pueden mantener los cuadrados, variando la configuracion de la red de corriente, y para obtenerla de la manera mas correcta sera necesario comprobarla dibujando las diagonales a traves de todos los «cuadrados» (curvilineos). Las dos familias de diagonales formaran tambien una red aproximadamente cuadrada. 4. Muchas veces los mismos contornos son lineas de corriente verdaderas. Si no sucede asi, la red de corriente no representa la configuracion real del flujo. Por ejemplo, cuando el flujo se «separa» del contorno, en esta region no puede utilizarse el contorno como una linea de corriente. En general, cuando las lineas de corriente son divergentes se dan las condiciones para que se pueda producir el fenomeno de la separacion. La solucion matematica de los flujos irrotacionales esta basada en la definicion de lajunci6n de corriente, cuya definicion incluye el principio de continuidad y las propiedades de una linea de corriente. EI caudal i/J entre dos lineas de corriente cualesquiera es constante (ya que el flujo no puede atravesar las lineas de corriente), y si i/J puede expresarse en funcion de x e y pueden dibujarse las lineas de corriente. Analogamente, las lineas equipotenciales pueden definirse por ¢(x, y) = constante. A partir de estas expresiones es factible deducir que

S

y

U

=

oi/J/oy

y

v=

-ci/J/ox

para las lineas de corrien te

U

=

-o¢lox

y

v

-c¢/cy

para las lineas equipotenciales

=

Estas ecuaciones han de satisfacer a la ecuacion de Laplace, es decir, cJ'y,

cJ'y,_

ax' + ay'

y la ecuacion de continuidad

0

a'¢

0

~

ax

a'¢.

0

",JX2+ ay'

+ av ay

0

En general, se determinan y dibujan las funciones equipotenciales. A continuacion se trazan las lineas de corriente, ortogonales a las anteriores, obteniendo la red de corriente. Este tipo de soluciones exactas pueden verse en textos de Mecanica de Fluidos Superiores, en Hidrodina micas 0 en los de Teoria de Funciones de Variable Compleja. (b)

Caudal/unidad de an chura = q

=

I: /);q = qa

+ qb + qc + qd + qe =

Para 1 unidad de anchura, An, = 1(/);nz) y q = 5(9,0)(1

X

0,03) = 1,35 m 3 /seg por unidad de anchura.

Por tanto, para fuz 1 = 0,09 m, 5 vl(0,09 x 1) = 1,35, de donde VI

puede determinarse tam bien a partir de: vdv z

5(v z)(A n,)·

VI

= 3,0 m/seg.

~ /);n z/fuz 1 , vd9,0 ~

0,03/0,09,

VI

=

3,0 m/seg.

I

80 14.

[CAP.

FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS

Dibujar las /ineas de corriente y equipotenciales para las condiciones de contorno dadas en Fig. 6-6. (Las areas que estan sin terminar de dibujar se dejan para que las utilice el lector.) Solucion:

Fig. 6-6

1.

En las zonas donae el fiujo tiene lugar entre contornos paralelos se divide la anchura total en 4 partes iguall o tubos de corriente (en AA y en BB). Hay que tratar de dibujar la trayectoria de una particula a 10 largo ( una de estas !iDeas de corriente, dibujando, por ejemplo, la linea 1-1 (vease el problema precedente). Se pn cede en igual forma con el resto de las !iDeas de corriente.

2.

Las !iDeas equipotenciales han de ser ortogonales, tanto a las !iDeas de corriente como a los contornos, e todos los puntos. Se han de esquematizar de manera que formen aproximadamente cuadrados. Partiend de la seccion central. se dibujan estas !iDeas ortogonales en cada direccion. Antes de obtener una red de C( rnente de manera satisfactoria sera necesario utilizar con frecuencia la goma de borrar.

3.

Se dibujan las diagonales (a trazos en la figural para comprobar la bond ad de la red de corriente. Estas du gonales deben formar tambien una red cuadrada.

4.

En la figura la zona C se ha dividido en 8 tubos de corriente. Se observa que los cuadrilateros curvilineo mas pequenos se aproximan en su forma a cuadrados mas que los de mayor tamano. Cuanto mayor sea ( numero de tubos de corriente, la red de corriente sera mas «cuadrada».

S

I 15.

En la Fig. 6-7 se representa una linea de corriente correspondiente a un flujo bidimensional y las !ineas equipotenciales, ortogonales a las primeras, y representadas por los segmentos numerados del 1 al 10. La separaci6n entre las !ineas equipotenciales se da en la segund~ columna de la tabla que figura mas adelante. Si la velocidad media entre 1 y 2 es 0,500 m/seg, calcular (a) las velocidades medias entre cada dos !ineas equipotenciales y (b) el tiempo que tardara una particula fluida en recorrer el espacio entre 1 y 10 a 10 largo de la linea de corriente.

1

Fig. 6-7

Solucion: (a)

Utilizando las relaciones entre la velocidad y f1n del Problema 13,

Ademas Por tanto, V 2 - 3 ~ Vl-2(~Sl-2/~S2-3) = 0,500(0,500/0,400) = 0,625 m/seg. Analogamente, V 3 - 4 = 0,500(0,500;0,300) = 0,833 m/seg, etc. Los val ores as! obtenidos para las velocidades medias se dan en \; siguiente tabla.

CAP. 6]

81

FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS

v=

0,500(0.500!~S)

I =

~S(m)

~Sl-2/~S

m/seg

seg

1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8 8-9 9-10

0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0,0700 0,0450 0,0300 0,0208

1,000 1,250 1,667 2,500 5.000 7,143 11,11 16,67 24,00

0,500 0,625 0,833 1,250 2,500 3,571 5,56 8,33 12.00

1.000 0,640 0.360 0,160 0,040 0,020 0,008 0,004 0,002

L (b)

16.

(~S)/V

PosiciOn

=

2,234 seg

El tiempo que tarda una particula en recorrer de 1 a 2 es igual a la distancia entre 1 y 2 dividida por la velocidad media entre 1 y 2 0 bien 11 - 2 = (0,500/0,500) = 1,000 seg. AmiIogamente, 12 -3 = (0,400/0,625) = 0,640 seg. El tiempo total que tarda en recorrer la distancia entre 1 y 10 es igual a la suma de los terminos de la ultima columna, es decir, 2,234 seg.

Deducir la expresion del coeficiente rx de correccion de la energia cinetica para un ftujo permanente e incompresible. Solucioo: La energia cinetica de una particula es .1:.2

t dM v2 ,

y la energia total de un flujo fluido sera

1 ((elM) v = -2 ( '!£(dQ)v' = JA J,t g 2

ow

2g

fA

(v dA)v 2

Para caIcular esta expresion debe extenderse la integral a toda el area A. La energia finetica caIculada mediante la velocidad media en una seccion transversal es t(wQ/g)V';' = t(wA/g)V;v' Aplicando a est a expresion un coeficiente de correccion ex e igualando el resultado a la energia cinetica verdadera, se obtiene =

a (wA)(V:v)

S

2g

w 2 f(VdA)V 2 g

A

o

a

=

1 -A

S A

v ( --)" cIA Vav

17. Un Iiquido esta ftuyendo a traves de una tuberia circular. Para una distribucion de velocidades dada por la ecuaci6n v netica rx.

=

vmax(r~ - r2 )/r~, calcular el coeficiente de correcci6n de la energia ci-

rF5?r

dA-

~ (b)

(a)

Fig. 6-8

Solucioo: Es necesario caIcular la veIocidad media para aplicar la formula obtenida en el Problema 16. A partir de la ecuacion de continuidad,

v.. ,

=

.!l A

=

f v dA ;rr~

Este valor podria haberse obtenido tambien al considerar que la ecuacion dada representa una parabola y que el volumen del paraboloide generado por dicha distribucion es igual a la mitad del volumen del cilindro circunscrito. Por tanto, ~(r.r!)Vmax _ volumen/seg V max area de la base 1Tr~ 2

I

82

[CAP. 6

FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUmOS

Utilizando el valor de la vclocidad media en la ecuaci6n que da

a

~ A

=

S(-~)3dA A

-

_I.. S'O(1'max(r~ 1

2

Vav

;;ro

IX,

r2)/r~)3 2- d ..

:2 V max

0

r

2,00

r

(Vease Flujo laminar en el Capitulo 7.)

18.

A traves de una tuberia de 15 cm de diametro esta f1.uyendo aceite de densidad relativa 0,750 a una presion de 1,05 kg/cm 2 • Si la energia total respecto de un plano de referencia situado 2,40 m por debajo del eje de la tube ria es de 17,6 kgm/kg, determinar el caudal de aceite en m 3 /seg. Solucion: Energia por kg de aceite

17 6 ,

=

energia de presi6n

1,05 X 104 0,750 x 1000

= -.----

de donde V I5 = 4,85 m/seg. Por tanto, Q = A 15 V I5

19.

+

=

energia cinetica (altura de velocidad)

energia

+ potencial

V~5

+ . - + 240 2g

,

!n(0,15f x 4,85 = 86 x 10- 3 m 3 jseg.

Una turbina produce 600 CV cuando el caudal de agua a traves de la misma es de 0,60 m 3 /seg. Suponiendo un rendimiento del 87 %, (,que altura actua sobre la turbina? Solucion: Potencia de salida (CV) = potencia consumida (CV) x rendimiento 600 = (1000 x 0,60 x Hr/75)(0,87)

Y

=

(WQHT/75) x rendimiento

HT = 86,3 m.

I

S 20.

Deducir las ecuaClOnes del movimiento para un flujo permanente y un fluido cualquiera. Solucion: Se considera como cuerpo Iibre la masa elemental de Huido dM mostrada en la Fig. 6-9(a) y (b). EI movimiento tiene lugar en el plano del papel y se escoge el eje x paralelo a la direcci6n del movimiento. No se han representado las fuerzas que actuan sobre el cuerpo Iibre dM en direcci6n normal al movimiento. Las fuerzas que actuan en la direcci6n x se deben a (I) las presiones que actuan sobre las caras de los ext rem os, ,(2) la componente del peso y (3) las fuerzas cortantes (dFs en kilogramos) ejercidas por las particulas Huidas adyacentes.

Fig. 6-9(a)

Fig. 6-9(b)

De la ecuaci6n del movimiento l:.Fx = Max, se obtiene [.~ p dA -

(p

+ dp)rlA

-

H'

dA dl

sen

OI -

10

elF,,]

dA dl(~~) g

dt

(1)

Dividiendo (1) par w dA y sustituyendo dl/dt par la velocidad V,

E.._'E.._dP-dlseno - dFsJ [w w W wdA I

=

VdV g

(2)

83

FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS

CAP. 6] dF

EI termino __s_ representa la resistencia que se opone al movimiento en la longitud dl. Las fuerzas corwdA

tantes dFs pueden sustituirse por el producto de la tension cortante r por el area sobre la que actua (perimetro x longitud), es decir, dFs = r dP dl. dFs r dP dl r dl Asi, - - = - - - = - , donde R se conoce con el nombre de radio hidraulico y se define como el cow dA ~'dA ~'R ciente del area de la seccion recta POf el perimetro mojado 0" en este caso, dA/dP. La suma del trabajo realizado por todas las fuerzas cortantes mide la perdida de energia debida al flujo, y, medida en kgm/kg, sera r dl perdida de carga dhL = = wR

Para futuras referencias,

dp

=

VdV

-W + -g - +

= m

dhL)

noR ( dI

T

Volviendo sobre la expresion (2), como dl sen Ox

kg/m2 x m kg/m 3 x m2/m

(3)

dz, adopta finalmente la forma

+

dz

o

dilL

(4)

Esta expresion se conoce con el nombre de ecuacion de Euler cuando se aplica a un fluido ideal (perdida de carga = 0), Al integrar la ecuacion anterior, para fluidos de densidad constante, se obtiene la llamada ecuacion de Bernoulli, La ecuacion diferencial (4), para flujos permanentes, es una de las ecuaciones fundamentales del flujo de fluidos. CASO I.

Flujo de fluidos incompresibles

Para fluid os incompresibles la integracion es como sigue:

j

'''2 Pl

J'V2 V-dV- + J"2 dz + 52 dhL

-dp + W

o

I

g

VI

(A)

zl

Los metodos de calculo del ultimo termino se discutinin en los capitulos siguientes. EI termino de la perdida de carga total se representa por Hv Al integrar y sustituir limites,

( ~ - l!..!.)

S

W

W

+ (V; _ Vi) + 2g

(Z2 - Zl)

2g

( P2 W

+

HL

+ V; + 2g

I

0

Z2)

que es la forma mas conocida del teorema de Bernoulli, aplicable al flujo de fluidos incompresibles (sin adicion de energia exterior), CASO 2.

Flujo de fluidos compresibles.

Para fluidos compresibles el termino

"2 d .Jl. no puede integrarse hasta no conocer la ex presion de w en

5

PI

W

funcion de la variable p. La relacion entre w y p depende de las condiciones termodimimicas implicadas, (a)

Para condiciones isotermicas (temperatura constante) la ecuacion general de los gases puede expresarse en la forma pdWI = p/w = 'constante o w = (wdPJ)p donde WdPI es una constante y p viene en kg/m 2, siendo presion absoluta, Sustituyendo en la ecuacion (A),

j ' '2 PI

dp (wllpl)p

-.,----'-.-c--

+

j'''2 - - + j'~2 dz + J'2 dhL vI

V dV g

Integrando y sustituyendo limites,.E'.. In E:... en la forma mas conocida, WI PI

'I

o

I

+ (V: _ Vi) + 2g

o0

bien puesta

2g (B)

84

[CAP. 6

FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS

Al combinar esta ecuaci6n con la de continuidad y Iii ley de los gases perfectos, para condiciones isotcrmicas, se llega a una expresi6n en la que solo es desconocida una velocidad. Asi, para un f1ujo permanente, wlA I VI

= w,A, V,

~

Y

~

RT

W"

WI

VI

de donde

U',A, V,

A'(E!.) V,

(w,/p,)pIAI

Al PI

Sustituyendo en la ecuaci6n de Bernoulli en su forma (B), pI. [ w,

In

PI

+ (A,), (~)' V; + z~ ~ Al

PI

P' + V; + 2g

!2 In [ WI

HL

J

2g

Z']

(C)

Para condiciones 1i(diabdlicas (sin perdida ni ganancia de calor) la ley general de los gases perfectos se re'-"-. d uce a

(b)

pl/k

pl/~

_,_ - -

o

WI

= constante,

W

yasi

donde k es el exponente adiabatico. Hallando el valor de dp/w e integrando se obtiene

P,Ilk

-;;-

5 P

dP

'

I

(_k_)

pl/k

P,

k -1

x 1!!.. [(P'),k -Il/k WI

-

PI

1J

y la ecuaci6n de Bernoulli toma la forma

'(_k_)P.!.. + V; +

L

k -1 WI

2g

ZIJ -

[c-

k )(E!.)(E.')!k-l)!k k -1 w, PI

HL

+ V; +

(D)

2g

Combinando esta ecuaclOn con la de continuidad y con la ley de los gases perfectos, para condiciones adiabaticas, se llega a una expresi6n en que solo figura una velocidad como inc6gnita. 11k

_

P .-'-

y

))._l,lk

1i: 1

1V1

VI =

= constante,

1),)'1.

A 'l.

~'2

1VIA 1

y la ecuaci6n de BernoullI adopt a la forma

~ + (E!)"k (A2)' n+ [( ~) k - 1 WI PI AI 2g

S 21.

ZIJ -

+ V; + [( -!--)(P-,)(E:)'k-IJ/k k - 1 WI PI 2g

lie

PA

CW

+ V5~ + ZA) + 2g

(pa +

0 _ 0

W

vto 2g.

(E)

I

En la Fig. 6-10 estan circulando 0,370 m 3 /seg de agua de A a E, existiendo en A una altura de presion de 6,6 m. Suponiendo que no existen perdidas de energia entre AyE, determinar la altura de presion en E, Dibujar la linea de alturas totales. Solucion: Se apIica la ecuaci6n de Bernoulli entre - A Y B, tomando como plano de referencia el horizontal que pasa por A. Energia en A + energia aiiadida - energia perdida = energia en B

z,]

Linea de alturas totales Vi v-;!;-r--71-L-----_----:r==-==~ 2; == 0,09 m -=14m 2R., ~I--:

-;

_ - as

de a\tur

L'o 0lDe'tocas pie1.

e

'"'Ii •• = 7,5 m

D~~~--~-P~I-an-o-d~e~r~e-~-re-n-ci-a-------L-D

+ za)

Fig. 6-10

donde V,lO = Q/A30 = 0,370/(!n:OY) = 5,24 m;'seg y V60 = (! )2(5,24) = 1,31 m/seg. Sustituyendo, (6,6

+

(5,24)2 2;:

+

0) _ 0 = (PB

w

+

(1,31)2 2g

+ 4,5)

Y PB = 3,41 m de agua

w

Puede representarse la energia total en una secci6n cualquiera como altura sobre un plano horizontal de referencia. Utilizando en este caso el plano que pasa por D-D, Altura total en A = PA/W Altura total en B = PB/W

+ VS o/2g + + Vto/2g +

ZA ZB

= 6.6 + 1,4 + 3,0 = 11,0 m = 3,41 + 0,09 + 7,5 = 11,0 m

Se observaque tiene lugar la transformaci6n de una forma de energia en otra durante el f1ujo. En el caso presente, parte de la energia de presi6n y de la energia cinetica en A se transforma en energia potencial en B.

22.

85

FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLumos

CAP. 6]

En el venturimetro mostrado en la Fig. 6-11 la lectura del manometro diferencial de mercurio es 35,8 cm. Determinar el caudal de agua a traves del venturimetro si se desprecian las perdidas entre A y B. Solucion: Aplicando la ecuacion de Bernoulli entre - A Y B, tomando como plano de referencia el horizontal que pasa por A, (£.,-1 +

V2 -..2.()

2g

W

+ 0) - 0

(PA _ PB)

y

Ii,'

=

W

=

t

V2 (PB + --'-~ + 0,75) W 2g

V;

V2

(~_ -.29 2g 2g

75,0 em

+ 0,75)

-+

(1)

z

--t-

Por la ecuacion de continuidad A30 V 30 = A 15 V 15 , de donde V 30 = (~)2VI5 = ;jyI5 , y vio = n,vi5' Por la lectura manometrica, altura de presion en L PA/W +

Z

+ 0,358

=

altura de presion en R (m de agua)

"=

Pa/w + 0,75 +

35,8 em

L

+ (0,358)(13,6)

Z

de la cual (P A/W - PB/W) = 5,26 m de agua. Sustituyendo en (l), se obtiene V I5 = 9,7 m/seg y Q = !n(0,15)2 x 9,7 = 0,172 m 3 /seg.

23.

--L

R

Fig. 6-11

Una tuberia, que transporta aceite de densidad relativa 0,877, pasa de 15 cm de diametro, en la secci6n E, a 45 cm en la seccion R, La seccion E esta 3,6 m por debajo de R y las presiones son respectivamente 0,930 kg/cm 2 y 0,615 kg/cm 2 . Si el caudal es de 146 l/seg, determinar la perdida de carga en la direccion del ftujo. SoIucion: Velocidad media en una seccion = Q/A. Por tanto,

S

V I5 =

0,146 I

4n(0,15)

y

2 = 8,26 m/seg

V 45 =

0,146 I

\2 =

4 n (0,45,

0,92 m!seg

Utilizando, como plano de referencia, el horizontal que pasa por la seccion mas baja E, la energia en cada seccion sera: P Vr 5 0,930 x 104 (8,26)2 0 (- + ~ + z) = + -- + en E, 13,75 kgm/kg W 2g 0,877 x 1000 2g en R,

V2

(f'.. + ~ + W

2g

z) =

0615 '

X

104

0,877 x 1000

(092)2

+ - ' - + 3,60 2g

=

10,65 kgm/kg

El fiujo tiene lugar de EaR, ya que la energia de E es mayor que la de R. La perdida de carga se determina haciendo el balance de energia entre E y R, tomando como plano de referencia el horizontal que pasa por E: 13,75 - perdida de carga = 10,65 0 bien perdida de carga = 3,10 m, de EaR.

24.

Considerar que a traves del venturimetro del Problema 22 fluye aire a 27° C y que la presion manometrica en A es igual a 2,65 kg/cm 2 . La lectura del man6metro es de 35,8 cm de agua. Suponiendo que el peso especifico del aire no varia entre A y B Y que la perdida de energia es despreciable, determinar el caudal en peso, kg/seg, de aire que esta circulando. Solucion: Aplicando la ecuacion de la energia entre A y B, tomando como plano de referencia el que pasa por A, como PA PB 15 vi5 en el Problema 22, se obtiene (- - - ) = -- ~ + 0,75. (J) W w 16 2g

Para obtener la altura de presion del fiuido que circula es necesario calcular el peso especifico del aire.

P W

= RT =

(2,65 + 1,030)104 3 29,3(27 + 273) = 4,20 r-g/m

I

[CAP.

FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS

86

En cl manometro diferenciaL o bien Y

fiA

(fiA -

fiL =

+ 4,20(:: +

0)58)

(en kg/m2, manometrical

fiR

+ 4.20(0,75 +

PB

=

z)

+

1000(0,358)

PRJ = 359,6 kg,'m2 Sustituycndo en (1), se obtiene VI5 = 42,2 m/seg

Y

W = uQ = 4,20[ln(O,15)2 x 42,2] = 3,12 kg/seg de aire

25.

Un conducto por el que circula aire reduce su seccion recta de 7,0 x 10- 2 m 2 a 2,0 x 10- 2 m; Suponiendo que no existen perdidas, (,cwil es la variacion de presion que tiene lugar si estan fit yendo 0,70 kg/seg de aire? (Utilizar w = 3,200 kg/m 3 para la presion y temperatura impJicadas Soluci6n:

0,70 kg/seg

= 0218 m Q = -------3,2 kg/m 3 '

3

Q 0,218 Q 0,218 Vt = - = - - = 312 m!seg V2 = - = --- = 10 9 m/seg. Al 0,07 ' -' A2 0,02 '

Iseg "

Al aplicar la ecuacion de Bernoulli entre las secciones I y 2 se obtiene (PI

3 12)2

( + _' _ +

w

2g

0) _ 0 =

(fi2

w

(109)2

+ - '- + 2g

0)

o bien

PI

P2

w

w

(- -

-) =

. 5,60 m de alre

Y PI' - P2' = (5,60 X 3,200)/104 = 1,8 x 10- 3 kg/cm2, como variacion de presion. Esta pequeiia variaciol en la presion justifica la hipotesis de densidad constante del Huido.

26.

Una tuberia de 15 cm de diametro y 180 m de longitud transporta agua desde A, a una elevacior de 24,0 m, hasta B, a una elevacion de 36,0 m. La tension debida a la friccion entre elliquido y la: paredes de la tuberia es igual a 3,05 kg/m2. Determinar la variacion de presion en la tuberia y I~ perdida de carga. Soluci6n: Las fuerzas que actuan sobre la masa de agua son las mismas que aparecen en la Figura (b) del Problema 20.

(a)

Mediante P t = PtAt5, P2 = Pl A t5 se obtiene, aplicando 'LF" = 0,

S

P I A t5 - Pl A I5

-

I

W sen Ox - r(nd)L = 0

Ahora bien, W = w(volumen) = 1000[!n(0,15)2 x 180]

Y sen

ax

(36,0 - 24,0)/180. Por tanto,

=

pt[!n(O,IW] - Pz[!n(O,IW] - 1000[!n(0,IW x 180] x 12/180 - 3,05(n x 0,15 x 180) = 0 de donde PI - P2 = 26.640 kg/ml = 2,664 kg/cm 2 • (b)

Mediante la ecuacion de la energia, tomando como plano de referencia el horizontal que pasa por A, energia en A - perdida de carga = energia en B PA (+ -V~ +

w

~

, . PB 0) - perdlda de carga = ( -

w

+ -V~ + ~

12)

o perdida de carga = (PAiR' - PR/W) - 12 = 26.640/1000 - 12 = 14,64 m. Otro metodo:

' I diP bl 2 'd'd d rL 3,05(180) M ed Jante a (3) e fO ema 0, per 1 a e carga = wR = 1000(0,15/4) = 14,64 m.

27.

EI agua, a 32° C, contenida en un pozo debe ser extraida a una velocidad de 2,0 m/seg a traves de la tuberia de succion de una bomba. Calcular la altura teorica maxima a que puede colocarse lal bomba bajo las siguientes condiciones: presion atmosferica = 1,00 kg/cm 2 (ab), presion de vapor = i 0,05 kg/cm 2 (ab) [vease Tabla 1(C)] y perdida de carga en la tuberia de succion = 3 veces la al-, tura de velocidad. I I

CAP. 6]

87

FlJNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS

Solucion: EI peso especifico del agua a 32 C es, scgun la Tabla 1(C), 995 kg,'m 3 La presion minima a la entrada de la bomba no puedc exceder a la presi6n del vapor del liquido. Se aplica ahora la ecuacion de la energia entre la superficie Iibre del agua fuera de la tuberia de succion y la seccion de entrada en la bomba, utilizando alturas de presion absolutas. Energia en la superficie del agua 1,00 x 10'; ( --- - - - - + 0 995

~

+-

pcrdida de carga

0)

~

3(2,0)2 -

-

=

energia en la entrada de la bomba

0,05 x 10"

=

( .... -- - -

2g

995

.

+

(2,0)2

-.~

2g

+

z)

de donde z = 8,74 m sobre la superficie libre del agua. En estas condiciones es probable que tengan lugar scrios deterioros de bid os a la cavitacion. Vease Capitulo 12.

28.

En el sistema mostrado en la Fig. 6-12 la bomba BC debe producir un caudal de 160 Ijseg de aceite, Dr = 0,762, hacia el recipiente D. Suponiendo que la perdida de energia entre A y B es de 2,50 kgm/kg y entre C y D es de 6,50 kgm/kg, (a) (,que potencia en CV debe suministrar la bomba a la corriente? (b) Dibujar la linea de alturas totales.

EI. 15 m

Solucion: La velocidad de las particulas en A y D es tan pequena que pueden despreciarse las alturas de velocidad. La ecuaci6n de la energia entre A y D, con plano de referencia el que pasa por BC (tam bien pod ria tomarse el que pasa por A),

(a)

S

}J" .L..

v,;

-2 ( _., 1{" g (0 Y

Hbomba

+

desprec.

+

.j-

Fig. 6-12

I

z.,) + Hbomba

12)

+

Hbomha

~

V'0 (Pl.) -r 2-g + u)

~ H ;>er d = (2,50

+

6.50)

=

(0

+

ZiJ)

desprec.

+

57)

= 54,0 m (0 kgm:kg).

Potencia (CV) =

WQHbomba/75

= (0,762

x 1(00)(0,16)(54 ):75 = 88 CV suministrada al sistema.

Observese que la bomba ha de suministrar una carga suficiente para subir el liquido 45,0 m y vencer las cargas debidas a las perdidas en las tuberias. Por tanto, comunica al sistema una carga de 54,0 m. (b)

29.

La linea de alturas totales en A tiene una elevacion de 15,0 m sobre el plano de referencia de cota cero. De A a B la perdida de energia es de 2,5 m y la linea de alturas totales caeni esta misma altura, 10 que da en B una elevacion de 12,5 m. La bomba comunica una energia por unidad de peso de 54,0 m y la elevacion en C sera de 66,5 m. Finalmente, la perdida de energia entre C y D es de 6,5 m y la elevacion en D = 66,5 ~ 6,5 = 60,0 m. Estos resultados se reflejan en la Figura 6-12.

A traves de la turbina de la Fig. 6-13 circulan 0,22 m 3 /seg de agua y las presiones en A y B son iguales, respectivamente, a 1,50 kg!cm 2 y -0,35 kg/cm 2 . Determinar la potencia en CV comunicada por la corriente de agua a la bomba. Solucion: Mediante la ecuacion de la energia entre A y B (plano de referencia por B), con V 30

= 0,22IA30 = 3,12 Y V 60 = 3,12'4 = 0,78 m seg,

Fig. 6-13

88

FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS

1,5

X

104

(~1~

+

3,12 2

2i- + 1,00) -

4

-0,35 10 0,78 (----woo+ X

HT

=

[CA

2

.~

+

0)

Y

HT ~ 20,0

Potencia (CV) = WQHT/75 = 1000(0,22)(20,0)/75 = 59,0 CV comunicados a la turbina.

30.

En la turbina del Problema 29, si la potencia extraida de la corriente es de 68,0 CV y las pre: nes manometricas en A y B son 1,45 kg/cm 2 y -0,34 kg/cm2, respectivamente, (,cmi\ es el cau de agua que esta fluyendo? Solucion: Aplicando la ecuaci6n de la energia entre A y B (plano de referencia el que pasa por B),

(

1,45 x 10 1000

4

+

V~o

2i + 1,0) -

HT

=

(

-0,34 X 10 1000

4

+

V~o 2g

°

+ )

y

(a)

(b)

(e)

68,0 CV =

wQH

1000 x !n(0,30)2 V30 x HT 75

-------;:;sT =

Mediante las ecuaciones (a) y (e) (sustituyendo la altura de velocidad), 72,2jV30 18,9 V 30

+ 0,048

HT

0

=

18,9

72,2

=--

V30

+

(15/16)(Vjo/2g)

0

bi.

vjo = 72,2

Resolviendo esta ecuaci6n por tanteos: 66,2 75,6 70,0

Tanteo 1.0 V 30 = 3,5 m/seg, Tanteo 2.0 V30 = 4,0 m/seg, Tanteo 3.° V30 = 3,7 m/seg,

S

El caudal Q =

31.

A30V30

=

!n(0,3f x 3,7

=

+ + +

2,10 3,07 2,43

i= i=

72,2 (debe aumentarse V) 72,2 (soluci6n entre ambas) 72,2 (soluci6n)

=

I

3

0,262 m /seg.

Un aceite, de densidad relativa 0,761, est a fluyendo desde el deposito A al E, segun se muestra en la Fig. 6-14. Las distintas perdidas de carga puede suponerse vienen dadas como sigue:

~~

de CaD = 0,40

~~5

, v~o 2g

de D a E = 9 0

vi 5

de A a B = 0,60 de B a C = 90

30 em D

1

, 2g

Determinar (a) el caudal Q en m 3 /seg, (b) la presion en C en kg/cm 2 y (c) la potencia en C, en CV, tomando como plano de referencia eI que pasa por E.

Fig. 6-14

Solucion: (a)

Aplicando la ecuaci6n de la energia entre AyE, plano de referencia el que pasa por E, en A (0

+

despr.

de A a B

+

V~O

40,0) - [(0,60 -

2g

de B a C

+

vjo

9,0 - ) 2g

de CaD

+

vfs

(0,40 -

2g

de D a E

+

vfs

9,0 --)] = (0 2g

en E

+

despr.

+

0)

o bien 12,0 = 9,6(V~o/2g)

+

9,4(VI7/2g). Ademas, V~o

VIs/2g = 1,2 m, VIS = 4,85 m/seg (b)

89

FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS

CAP. 6]

y

= (!j4Vrs = it;v;s. Sustituyendo y despejando,

Q = !n(O,IW x 4,85 = 0,086 m 3 /seg

Aplicando la ecuaci6n de la energia entre A y C, plano de referencia el que pasa por A,

V~o Pc 9,0) = (2g w

V~o + _. +

V2 1 V2 ~ = - ~ = 2g 16 2g 2g Por tanto, Pc/w = - 1,395 m de aceite (man) y Pc = (0,761 x 1000)( - 1,395 )/10 4 =

(0

+

despr.

+

0) - (0,60

+

0,60)

Y

1 16'

- (1 2) = 0075 ,

m

2

- 0,1 06 kg/cm (man).

Los mismos resultados podrian haberse obtenido tam bien aplicando la ecuaci6n de Bernoulli entre C y E. Las dos ecuaciones obtenidas por los dos caminos no constituirian, naturalmente, un sistema de ecuaciones independientes. (e)

32.

Potencia en C = wQHc. = (0,761 ~ 1000)(0,086)(-1,395 75 75 cia el que pasa por E.

+

0,075

+

12,6) = 985 CV plano de referen' ,

La carga extraida por la turbina CR de la Fig. 6-15 es de 60 my la presion en T es de 5,10 kgjcm 2 • Para unas perdidas entre W y R de 2,0( Vio/2g) Y de 3,0(Vjo/2g) entre C y T, determinar (a) el cau·· dal de agua que circula y (b) la altura de presion en R. Dibujar la linea de alturas totales. EL 135.9 m

EI 7S m .-~-~

S

I EI. 45 m

C

R

Fig. 6-15 Solucion: , , Como la elevacion de la Imea de alturas totales en T es igual a (75

+

5,10 X 104 1000

V~o

+ -) 2g

muy por encima

de la elevaci6n en W, el agua circulani hacia el recipiente W. (a)

Aplicando la ecuaci6n de la energia entre T y W, tomando como plano de referencia el de cota cera, en T 104 V2 +~ 1000 2g

5 10

(,

X

+

deTaC deRa W HT V2 V2 75) - [3,0~ + 2,O~J - 60 = (0 2g 2g

en W

+

despr.

+

45)

Sustituyendo vio = it;V~o y operando, V~o/2g = 9,88 m, de donde V 30 = 13,9 m/seg. Por tanto,

Q = !n(O,W x 13,9 = 0,98 m 3/seg (b)

Aplicando la ecuaci6n de la energia entre R y W, con plano de referencia el que pasa por R, (PR/W + it; x 9,88 + 0) - 2(it; x 9,88) = (0 + despr. + 15) y PR/W = 15,62 m. EI lector puede comprobar esta altura de presi6n aplicando la ecuaci6n de Bernoulli entre T y R. Para dibujar la linea de alturas totales se ca1cula la altura total en las secciones indicadas. Altura total en T = 51,0 + 9,9 + 75,0 = 135,9 m en C = 135,9 - 3 x 9,9 = 106,2 m en R = 106,2 - 60,0 46,2 m en W = 46,2 - 2 x it; x 9,9 = 45,0 m

90

FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS

[CAP

En los siguientes capitulos se demostrara que la linea de alturas totales es una linea recta en el caso flujo permanente en una tuberia de diametro constante. La linea de alturas piezometricas sera paralel< la linea de alturas totales y situada por debajo de ella a una distancia igual a V 2 /2ji, altura de velocidad ( la figura dibujada a trazos).

33.

(a) LCmil es la presion en la ojiva de un torpedo que se mueve en agua salada a 30 m/seg y a Ul

profundidad de 9,0 m? (b) Si la presion en un punto lateral C del torpedo, ya la misma profundid. que la ojiva, es de 0,70 kg/cm 2 (man), Lcual es la velocidad relativa en ese punto? Soluci6n: En este caso se obtiene una mayor c1aridad, en la aplicacion de la ecuacion de Bernoulli, al considerar torpedo en reposo y sumergido en una corriente de agua a la misma velocidad relativa que en el caso re: La velocidad en la punta anterior del torpedo sera ahora cero. Suponiendo que no hay perdida de car en un tubo de corriente que vaya desde un punto A, delante del torpedo y a suficiente distancia para q' el flujo no este perturbado, y un punto B, situado en la punta de la ojiva del torpedo, la ecuacion de Be noulli toma la forma

(a)

PA (+ -V~ + 2g

W

ZA) -

0

=

PB

(W

+ -V~ + 2g

ZB)

0

bien

(9,0

(30)2 2g

+

~--- 1~

0)

=

PB

(-

W

+

0

+

0)

Por tanto, PB/W = 55 m de agua de mar, y P~ = lch/10 4 = 1025(55)/lO4 = 5,65 kg/cm 2 (man). Esta presion se llama presion de estancamiento (tam bien presion de parada 0 de remanso) y puee expresarse en la forma Ps = Po + !p Vb, en kg/m2. P1.ra un estudio mas detallado, vease Capitulos 9 y 1 (b)

Se puede aplicar la ecuacion de Bernoulli entre los puntos Aye

V~ 2g

PA

Pc

vi:

W

2g

(-+-+zA)-O=(·-+-+zcl W

o bien

0

(30? (9,0 + -2-g

bien entre B y C. Escogiendo A y (

+

0,70 x lO4 0) = (-'1025~-

vi:

+ 2' + g

de la cual Vc = 30,7 m/seg.

S 34.

0)

I

Una esfera esta colocada en una corriente de aire, donde reina la presion atmosferica, y que se mueVt a una velocidad de 30,0 m/seg. Suponiendo que no hay variacion en la densidad del aire y que esta es igual a 0,125 UTM/m 3 , (a) calcular la presion de estancamiento y (b) calcular la presion sobre un punto de la superficie de la esfera, punto E, a 75° del punto de estancamiento, si la velocidad en dicho punto es de 66,0 m/seg. Soluci6n: (a) Aplicando la formula dada en el problema anterior se obtiene

Ps = Po (b)

+ tpVb =

1,033(W)

+

t(0,125)(30,W ~ 10.330

+

56,25 = lO.386 kg/m2

Peso especifico del aire = pg = 0,125(9,8) = 1,225 kg/m 3 Aplicando la ecuacion de Bernoulli entre el punto de estancamiento y el B, se obtiene

Ps vf + (+ --

w

2g

PB 0) - 0 = ( W

+ -V~ + 2g

0)

o bien

lO.386

(-- + 1,225

0

+

PB (66,0)2 0) = ( - + - - W 2g

+

0)

de donde PB/W = 8238 m de aire, y p~ = wh/104 = 1,225(8238)/10 4 = 1,0lO kg/cm 2.

35.

Un gran deposito cerrado esta llenD de amoniaco a una presion manometrica de 0,37 kgjcm 2 y a una temperatura de 18° C. El amoniaco descarga en la atmosfera a traves de un pequeno orificio practicado en uno de los lados del deposito. Despreciando las perdidas por friccion, calcular la velocidad con que el amoniaco abandona el deposito (a) suponiendo su densidad constante y (b) suponiendo que el f1ujo tiene lugar en condiciones adiabciticas.

91

FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS

CAP. 6]

Solucion: (a) Aplicando la ecuacion de Bernoulli entre el deposito y la atmosfera,

(

0,37

X

104

WI

+ 0 + 0)

=

(0

V2

PI

+ 2g + 0) donde

= -

WI

RT

(0,37 + 1,030)104 49,6(273 + 18)

= -----~--- =

0 97 kg/m 3 ,

Sustituyendo y despejando, V = 273 m/seg. Para un peso especifico W constante puede utilizarse indistintamente la presion manometrica soluta. Sin embargo, cuando W no es constante debe emplearse la carga de presion absoluta. (b)

Para

= 0 Y ZI

VI

=

Z2,

[1 - (~)(k-l)/kJ

4

[

4

1- (

==

PI

Para el amoniaco, de la Tabla 1 del Apendice, k 1,40 x 10 1,32 x 0,32 0,97

la ab-

la ecuacion (D), para procesos adiabaticos, del Problema 20 puede escribirse k )~ (_ k-1 WI

-

0

1,03 X 10 o 242J ) . 1,40 x 104

=

vi 2g

1,32 y

vi = 4 172, = -2g

de donde

V2

=

285 m/seg

Al utilizar la hipotesis de densidad constante, el error en la velocidad es del 4,2 %, aproximadamente. El peso especifico del amoniaco en el chorro se calcula mediante la expresion 1,40

0,97

132

-=(--). 1,03 W2

o

y

W2 =

0,774 kg/m 3

A pesar de esta variacion de un 20,3 % en la densidad, el error en la velocidad fue solo de un 4,2 %.

36.

S

Comparar las velocidades en los casos (a) y (h) del Problema 35 para una presion en el deposito de 1,08 kg/cm 2 (man).

I

Solucion: (a)

WI

PI

RT =

=

2,11 x 104 49,6 x 291

=

3

1,460 kg/m y, a partir del problema anterior, 1,08

X

104

-----

1,46 (b)

V2

y

2g

V = 380 m/seg

Mediante la ex presion dada en el problema anterior para procesos adiab"

","

'

1 6.0 m

124

SISTEMAS DE TUBERIAS EQUIVALENTES, COMPUESTAS, EN PARALELO Y RAMIFICADAS

[CAP.

Solucion: Para DB el caudal Q = 28 Ijseg (C 1 = 80) y para C 1 = 100, Q = (100/80)28 = 35,0 Ijseg, Y S30 = 1,5

m/lOOO m. Perdida total de carga de DaB = 1,50(300/1000) + 1,00 = 1,45 m, 10 que da una elevacion de la line; de alturas piezometricas en B de 4,55 m (tomando elevacion en E = 0). Para BE, S30 = (4,55 - 0,0)/1500 = 3,03 m/l000 m y Q = 52 I/seg (C 1 = 100), para C 1 = 120, Q = 62,4 I/seg. Para AB, eI caudal Q = 62,4 - 28,0 = 34,4 I/seg y S25 = 3,50 m/1000 m (por el Diagrama B). Por tanto, de S = h/L, L = hiS = (0,85/3,50)1000 = 243 m.

16.

Se han de bombear 55 l/seg de agua a traves de 1200 m de una tuberia nueva de fundicion hast: un recipiente, cuya superficie libre esta 36 m sobre el nivel del agua que se bombea. EI coste anua del bombeo de 55 l/seg es de 16,40$ por m de carga contra la que se bombea, y el coste anual de la tuberia es el 10 % de su precio inicial. Suponiendo que el precio de la tuberia de fundicion er el lugar de emplazamiento es de 140,00$ por tonelada, para el tipo B (50 m de cargal de tuberia que tiene los siguientes pesos por metro de longitud: de 15 em, 49,5 kg; de 20 em, 71,0 kg; de 25 em, 95,0 kg; de 30 em, 122,0 kg y de 40 em, 186,0 kg. Determinar el diametro de tubeiia rna! economico para est a instalacion. Solucion: Se hacen con detalle los calculos para la tuberia de 30 cm y los resultados para todas las tuberias se resu· men en la tabla que se da mas abajo. La perdida de carga en la tuberia de 30 cm, por el Diagrama B, teniendo en cuenta que para C 1 = 100, Q = (100/130)55 = 42,3 I/seg, sera 2,10 m/1000 m. De aqui, altura total contra la que se bombea = 36 + 1200(2,10/10000) = 38,5 m.

Coste de bombeo = 38,5 x 16,40$ = 631$ por ano Coste de la tuberia a pie de obra = 140$ x 1200 x 122/1000 = 20.500$ Coste anual de la tuberia = 10 % x 20.500r$, = 2050$ Tabulando estos resultados para su comparacion con los costes de las tuberias de los otros diametros considerados, se obtiene la siguiente tabla:

S

cm

S m/l000 m

Perd. Carga en m

15 20 25 30 40

65.0 16.2 5,3 2.1 0.6

7R.0 19.5 6.4 2.5 0.7

D

Altura total de bombco = 36 + HL 114.0 55.5 42.4 38.5 36.7

m m m m m

Coste anual para 55 I!seg Bombco + Coste tuberia ~c Total IR70 $ 910 694 631 602

830 S 1190 1600 2050 3130

2700 $ 2100 2294 2681 3732

EI diametro mas econ6mico es el de 20 cm.

17.

Cuando las superficies libres de los depositos que se muestran en la Fig. 8-9(a) se mantienen a una elevacion constante, ~que caudales tienen lugar?

---

EI. 64.0 m

r--..;--

sl I

i ~1.

Fig.8-9(a)

30.0m

-32

0

Fig. 8-9(0)

+ 14()

I

"-P.8]

125

SISTEMAS DE TUBERIAS EQUIVALENTES, COMPUESTAS, EN PARALELO Y RAMIFICADAS

SoIuci6n: Como la elevacion de la linea de alturas piczometricas en C no puede determinarse, por ser desconocidos todos los caudales, el problema se resolvera por tantcos. En el primero es conveniente elegir como altura piezometric a en C, 57 m. Con esto, el caudal que sale 0 cntra en el recipiente B sera nulo, 10 que reduce el numero de calculos. Para una altura piezometrica en C = 57,0 m, S60 S30

= (64 - 57)/2400 = 2,91 m/IOOO m y Q = 290 I/seg hacia C = (57 - 30)/1200 = 22,5 m/1000 m y Q = 150 J/seg desde C

De los valores de estos caudales se infiere que la altura piezometrica en C debe ser mayor, de forma que se reduzca el caudal desde A, aumente el que va a D y circule cierto caudal hacia B. Con el fin de «horquillar» la verdadera altura piezometrica de C, se supone ahora igual a 60 m. As\, para una elevacion en C = 60,0 m, S60 S40 S30

= (64 - 60)/2400 = 1,67 m/IOOO m y Q = 222 l/seg hacia C = (60 - 57)/1200 = 2,50 m/1000 m y Q = 98 I/seg desde C = (60 - 30)/1200 = 25,0 m/1000 m y Q = 156 I/seg desde C

EI caudal que sale de C es de 254 I/seg, mientras que el caudal que llega aCes de 222 I/seg. Mediante la Fig. 8-9(b) puede obtenerse una tercera aproximacion mucho mas cercana a la verdadera, uniendo mediante una recta los puntos R y S. La recta asi dibujada corta al eje vertical, trazado por (Qhacia - Qdesde) = 0, en Qhacia = 235 I/seg (a preciado por el dibujo a escala). Como, ademas, los valores representados no varian en r~a­ lidad linealmente, puede utilizarse para el caudal que va hacia C un valor ligeramente mayor, por ejemplo, 245 I/seg. Para Q = 245 I/se~ (hacia C), S60 = 2,00 m/1000 m y (HdA-C = 2,00 x 2400/1000 = 4,8 m y la altura piezometrica en C = (64,0 - 4,8) = 59,2 m. De aqui, S40 S30

S

= 2,20/1200 = 1,83 m/1000 m, Q = 80 I/seg desde C = 29,2/1200 = 24,30 m/1000 m, Q = 155 I/seg desde C Q total desde C = 235 I/seg

I

Estos dos caudales son 10 suficiente parecidos para no requerir calculos posteriores. (para una altura piezometrica en C de 59,5 m, da para los caudales que entran y salen de C valores iguales aproximadamente a 238 I/seg.)

Desarrollar la expresi6n empleada en el estudio de los caudales en redes de tuberias,

A

B

~------~~=-------~'

Soluci6n:

Qn

EI metodo de calculo, desarrollado por el profesor Hardy Cross, consiste en suponer unos caudales en todas las ramas de la red y a continuacion hacer un balance de las perdidas de carga calculadas. En el lazo 0 circuito unico, mostrado en la Fig. 8-10, para que los caudales en cada ram a del lazo sean los correct os se habra de verificar

o

(HdABC - (HdADC

=

Fig,8-IO

(1)

0

c

LJ

Para aplicar esta expresion, la perdida de carga en funcion del caudal ha de ponerse en la forma HL = kQ". En el caso de utilizar la formula de Hazen-Williams, la ex presion anterior toma la forma HL = kQI.85. Como se suponen unos caudales Qo, el caudal verdadero Q en una tuberia cualquiera de la red puede expresarse Q = Qo + ~, donde ~ es la correccion que ha de aplicarse a Qo' Entonces, mediante el desarrollo del binomio, kQI.85 = k(Qo + ~)1.85 = k(Q~·85 + 1,85 Q~.85-1 ~ + .... ) Se desprecian los terminos a partir del segundo por ser pequeno

~

comparado con Qo'

Para el lazo 0 circuito mostrado en la figura, al sustituir en la ecuacion (1) se obtiene k(Q~,85 + 1,85 Q~.85 ~) _ k(Q~,85 + I ,85 Q~.85 ~) = 0 k(Q~·85

Despejando

~,

_

Q~,85)

+

1,85k(Q~·85

k(Q~.85

~=

_

_

Q~,85)~

Q~.85)

I ,85k(Q~·B5 _

Q~,B5)

= 0

126

SISTEMAS DE TUBERIAS EQUIVALENTES, COMPUESTAS, EN PARALELO Y RAMIFICADAS

[CAP. 8

En general, para un circuito mas complicado, se tiene ~

Pero

kQ~·85

L

kQ~·85

= _. __ .-------_.1,85 L kQ~·85

(3)

= HL Y kQ~·85 = HJQo' Por tanto, ~=

(4)

para cada law de la red

1,85 L (HdQol

Al utilizar la formula (4) debe ponerse cuidado en el signa del numerador. La expresion (1) pone de manifiesto que los caudales que coinciden con el giro de las agujas de un reloj producen perdidas de carga en el mismo sentido, y que los caudales no coincidentes con el giro de las agujas de un reloj producen caidas de carga tam bien en sentido contrario. Es decir, el signa menos se asigna a todas las magnitudes hidniulicas cuyo sentido sea contrario al de las agujas de un reloj, 0, 10 que es 10 mismo, al caudal Q y a las perdidas de carga H L . Para evitar errores en los calculos debe observarse siempre este convenio de signos. Por otra parte, el denominador de (4) tiene siempre signa positivo. En los dos problemas siguientes se ilustra el procedimiento de aplicacion de la ecuacion (4)

19.

S

EI sistema de tuberias en paralelo, mostrado en la Fig. 8-11, es el mismo que aparece como parte del sistema del Problema 11. Determinar, para Q = 456 l/seg (caudal total), los caudales en lahios ramas del circuito utilizando el metodo de Hardy Cross. Soluci6n: Se supone que los caudales Q30 y Q40 son iguales, respectiva mente, alSO l/seg y 30/i I/seg. Los calculos se realizan en la tabla que sigue (observese que se ha puesto - 306 l/seg), procediendo asi: se calculan los val ores de S mediante el Diagrama B, o por cualquier otro procedimiento, luego HL = S x L y a continuacion se determinan HJQo' Se notara que cuanto mayor sea LHL mas alejados de los correctos estaran los caudales Q. (Los val ores de Q se han elegido deliberadamente distintos de los correctos para que den lugar a valores grandes de L HL Y asi ilustrar el procedimiento.)

em

L m

30 40

1500 900

D

Qo supuesto I'seg

S m/l000 m

L = 456

Entonces. los valores de Ql serim (150,0 - 27,8) de nuevo el proceso de calculo

s 11,0 -19.0

=

Z 900

In

-

40 l"m D

Fig. R-II

0,170 0,046

-27,8 -27,8

122,2 -33\8

L=+Il.l

0,216

456,0

122,2 Ijseg y (- 306,0 - 27,8)

lldQl

0,135 0.051

-0.6

0.186

Q

C,,, 120

25,5 -14,4

16,5 --17.1 =

w

Ql

I L

120

~

HL

I

Q

=

HJQo

I

i

c,

HI-> m

17,0 -16.0

150 -306

1500 m - 30 em D

=

~

Q2

+ 3.2 + 3.2

125.4 330.6

-

333,8 l/seg. Repitiendo,

456.0

No es necesario hacer una nueva aproximacion ya que en el Diagrama B no puede conseguirse una mayor precision de 3,0 i/seg aproximadamente. Teoricamente, LHL debe ria ser igual acero, pero esta condicion se obtiene muy raramente. Se observara que en el Problema 11 el caudal que fluye por la tuberia de 30 em era el 26,4 % de 456 l/seg, es decir, 120,4 I/seg, 10 que constituye una comprobacion satisfactoria.

I

CAP. 8]

20.

127

SISTEMAS DE TUBERIAS EQUIVALENTES, COMPUESTAS, EN PARALELO Y RAMIFICADAS

EI agua fiuye a traves del sistema de tuberias mostrado en la Fig. 8-12, en el que se conocen ciertos caudales, como se indica en la figura. En el punto A, la elevaci6n es de 60,0 m y la altura de presion de 45,0 m. La elevacion en I es de 30,0 m. Determinar (a) los caudales a traves de la red de tuberias y (b) la altura de presion en I. (Utilizar C1 = 100). Solucion: EI metodo de caJculo puede resumirse como sigue: (1) Se suponen una serie de caudales iniciales, procediendo circuito por circuito --en este caso los laws 0 circuitos son el I, II, III y IV-. Hay que poner cuidado en que los caudales que lIegan a cada nudo sean igual en valor a la suma de los caudales salienles del mismo (principio de continuidad). (2) Para cad a law se calcula la perdida de carga en cada una de las tuberias del circuito (analiticamente, por el Diagrama B 0 bien mediante una regia de calculo hidraulica). (3) Se suman las perdidas de carga en cad a circuito en el sentido de las agujas de un reloj, teniendo en cuenta la colocaci6n correcta de los signos (si la suma de las perdidas de carga fuera nula, los caudales Ql supuestos serian los correctos). (4) Se suman los valores de HJQ1' calculando a continuaci6n el termino ~ de correcci6n de los caudales en cada laza. (5) Se corrige el caudal en cada una de las tuberias en ~, con 10 que se aumenta 0 disminuye en esa cantidad cada caudal Q supuesto. Para los casos en que una tuberia pertenece ados circuitos, debe aplicarse como correcci6n al caudal supuesto en esta tuberia la diferencia entre los dos ~ (vease la aplicaci6n siguiente). (6) Se continua de forma analoga hasta que los valores de los ~ sean despreciables.

(a)

S

Tramo D.cm

AB BE EF FA

50 40 40 60

I

S QI.I/seg (supuesto) . m/IOOO m

L, m

900 1200 900 1200

2,20 0,50 -1,90 -1,92

160 40 -80 -240

'il'°OI

-

,"';(' A ~

B

900 m - 5{) ern

.z"" ~

I

~~

I

-

900 m

C

50 em

-4011,eg

120 I/;eg

1601(,og

'"

E

~

o

co

.ur. I

II

E

~~

E

~ 80 1 ,e g_

F

60

E

900 m - 40 em

I!seg~

""" 900 m - 30 em

.-?

'"

~ I

IV

E 0

E~

I

E

~

;;; H

801/seg

40l/seg.-

I

900 m - 30 (m

900 m - 40 em

80 Ifseg

I

Fig. 8-12

HL

HI.. m

1.980 0,600 --1,710 - 2,304

Q~ 0.0124 0.0150 0,0214 0,0096

Q2

~

173,3 48,0 -90,9 -226,7

+ 13,3 + 13,3 - (5,3) = +8,0 + 13,3 - (24,2) = - 10,9 + 13,3

~.

i

BC CD DE EB FE EH HG GF ED DI IH

HE

50 40 30 40

40 30 40 40

30 30 30 30

120 80 -60 -40

900 1200 900 1200

900 1200 900 1200

900 1200 900 1200

I

1,30 1,90 -4,30 -0,50

1,90 2,00 -1,80 -6,50

80 40 -80 -160

4,30 2,00 -2,00 -2,00

60 40 -40 -40

I

L = -1,434

0.0584

1,170 2,160 -3,870 -0,600

0,0098 0,0270 0,0645 0,0150

L= -1,140

0,1163

1,710 2,400 -1,620 -9,800

0,0214 0,0600 0,0203 0,0613

~~ -7,310

0,1630

"-

3,870 2,400 -1,800 -2,400

0,0645 0,0600 0,0450 0,0600

L= + 2,070

0.2295

+5,3 +5,3 +5,3 - (-4,9) = + 10,2 +5,3 - (13,3) = -8,0

+24,2 - (13,3) = + 10,9 +24,2 - (-4,9) = +29.1 +24.2 +24,2

-4,9 - (5,3) = -10,2 -4,9 -4,9 -4,9 - (24,2) = -29,1

I

125,3 85,3 -49,8 -48,0

90,9 69,1 -55,8 -135,8

49,8 35,1 -44.9 -69,1

128

SISTEMAS DE TUBER lAS EQUIVALENTES, COMPUESTAS, EN PARALELO Y RAMIFICADAS

[CAP. 8

Los pasos de los calculos resumidos se han desarrollado en forma tabular, utilizando el Diagrama B para obtener las perdidas de cargas en met~os por mil metros (S). Los valores de HL se obtienen por multiplicacion de S por la longitud de la tuberia que se considere. Tambien se han tabulado los valores del cociente de H L par el Q correspondiente. Los terminos t1 se calculan [expresion (4), Problema 18J como sigue:

t1I = t1 n =

-(-1,434) 1,85(0,0584 ) -(-1,140) 1,85(0,1163)

+ 13,3

t1

+5,3

t1

-( -7,310) - - - - - +24,2 1,85(0,1630) -

III -

-( +2,070)

IV

= 1,85(0,2295) = -49 ,

Para la tuberia EF y el law I, el termino t1 neto es (t1 I - t1 m), es decir, [ + 13,3 - (+24,2)J = -10,9. Se observa que el t1 para el circuito I se combina con el t1 del circuito III ya que la tuberia EF pertenece a los dos lazos. En forma analoga, la tuberia EF como perteneciente allazo III, el termino t1 neto es (t1 m - t1d, es decir, [ + 24,2 - (+ 13,3)J = + 10,9. Observese que los valores t1 netos tienen el mismo valor absoluto, pero signo opuesto. Esto se comprende facilmente ya que el flujo en la tuberia EF es contrario al de las agujas de un rei oj en el circuito I, mientras que en el law III es del sentido de las agujas de un t:eloj. Los valores de los Q2 para la segunda aproximacion se calculan asi: "

QAB = (160,0 + 13,3) = 173,3 l/seg mientras que

QEf = (-80,0 - 10,9) = -90,9 I/seg

y

QFA = (-240,0 + 13,3) = -226,7 l/seg

EI metodo consiste en continuar las aproximaciones hasta que los terminos t1 sean 10 suficientemente pequenos, de acuerdo con la precision que se busque, recordando siempre que los valores de C 1 tienen una precision Iimitada. En referencia con la columna de la derecha de la ultima de las tablas, se hace notar que dan los val ores finales de Q en las diversas tuberias. Como las sumas de las perdidas de carga son pequefias para todos los circuitos pueden considerarse los val ores de los caudales que figuran en la columna de la derecha de la ultima tabla como los val ores correctos, dentro de la precision esperada. El lector puede practicar, calculando los nuevas valores de t1, a continuacion los Q5' etc. (b)

S

La altura piezometrica en A es (60,0 + 45,0) = 105,0 m. La perdida de carga de A a I puede calcularse par cualquiera de las rutas que unen A can I, sumando las perdidas de la forma usual, es decir, en la direccion Tramo

Q2

AB BE EF FA

173,3 48,0 -90,9 -226,7

125,3 85,3 -49.8 -48.0

t1

2,430 0,840 -2.070 -2,040

0,0140 0,0175 0,0228 0,0090

+7,2 +7,2 - (-1,2) = +8,4 + 7,2 - (-6,4) = + 13,6 +7,2

L = -0,840

0,0633

1,260 2,520 -2,700 -0,840

0,0101 0,0295 0,0542 0,0175

L= +0,240

0.1113

2,070 6.600 -0,819 - 5,760

0,0228 0,0955 0,0147 0.0424

HL

2,70 0,70 -2,30 -1.70 --

BC CD DE EB

HdQ

S

1,40 2,10 -3,00 -0,70

-1,2

-1,2 -1,2 - 8,9 = -10,1 -1,2 -7,2 = -8,4

--

FE EH HG GF

90.9 69,1 -55,8 -135,8

:UO 5,50 -0.91 -4.80 ~--

ED DI IH

HE

49,8 35,1 -44,9 -69,1

3.00 1,61 -2,50 -5,50

-6,4 - 7,2 = -13,6 -6,4 - 8,9 = -15,3 -6,4 -6,4

-----~---

L = + 2.091

0,1754

2,700 1.932 -2,250 - 6,600

0,0542 0.0550 0,0501 0.0955

~---------~

L = -4.218

0.2548

+8.9 - (-1,2) = +10,1 +8,9 +8,9 +8.9 - (-6,4) = +15,3

I

2AP.8]

SISTEMAS DE TUBERIAS EQUIVALENTES, COMPUESTAS, EN PARALELO Y RAMIFICADAS

129

del flujo. Utilizando el camino ABEHI. se obtiene (HL)A_I = (2,520 + 1,116 + 4,200 + 1,440) = 9,276 m. Como comprobaci6n, al utilizar la ruta ABEDI, HL = (2,520 + 1,116 + 3,780 + 3,000) = 10,416 m. Utilizando el valor 9,8 m, la altura piezometrica en I sera = (105,0 - 9,8) = 95,2 m. De aqui, la altura de presi6n en 1= (95,2 - 30,0) = 65,2 m. Tramo

Q3

S

HL

HdQ

AB BE EF FA

180,5 56,4 -77,3 -219,5

2,80 0,93 -1,76 -1,60

2,520 1,116 -1,584 -1,920

0,0140 0,0198 0,0205 0,0087

L = +0,132

0,0630

BC CD DE EB

124,1 84,1 -59,9 -56,4

1,41 2,10 -4,20 -0,93

77,3 53,8 -62,2 -142,2

1,76 3,50 -1,20 -510 '

,

Q4 179,4 50,4 -83,2 -220,6

-1,1

-1,1 - 4,9 = -6,0 -1,1 - 4,8 = -5,9 -1,1

1,269 0,0102 2,520 0,0300 -3,780 0,0631 -1,116 0,0198 L= -1,107

FE EH HG GF

~

+4,9 +4,9 +4,9 - (-2,5) = + 7,4 +4,9 - (- 1,1) = +6,0

129,0 89,0 -52,5 -50,4

0,1231 +4,8 - (-1,1) +4,8 - (-2,5) +4,8 +4,8

1,584 0,Q205 4,200 0,0781 -1,080 0,0174 -6,120 0,0430

= =

+5,9 +7,3

83,2 61,1 -57,4 -137,4

L = -1,416 0,1590

ED DI IH HE

59,9 44,0 -35,1 -53,8

4,20 2,50 -1,60 -3,50

3,780 3,000 -1,440 -4,200

0,0631 0,0682 0,0410 0,0781

-2,5 - 4,9 = -7,4 -2,5 -2.5 -2,5 - 4,8 = -7,3

52.5 41,5 -37,6 -61,1

L = +1,140 0,2504

I

S

Problemas propuestos 21 Mediante el Diagrama B, caJcular el caudal esperado en una tuberia de 40 cm si la linea de alturas piezometri-

cas cae 1,10 m en I kil6metro. (Utilizar C 1

=

100.)

Sol.

62 I/seg

22 Si la tuberia del Problema 21 fuera de fundici6n nueva, l,cual seria el caudal?

Sol.

80,6 I/seg

23 En el ensayo de una tuberia de fundici6n de 50 cm, el caudal en flujo permanente fue de 175 I/seg y la linea de alSol. 116 turas piezometricas cay6 1,20 m en un tramo de tuberia de 600 m. l,Cual es el valor de C 1 ? 24 l,Que diametro debe de tener una tuberia nueva de fundici6n para transportar, en regimen permanente, 5501/seg de agua a traves de una longitud de 1800 m con una perdida de carga de 9 m? Sol. 62 em 25 Se quieren transportar 520 I/seg a traves de una tube ria de fundici6n vieja (C1 = 100) con una pendiente de la linea de alturas piezometrieas de 1,0 m/1000 m. Te6ricamente, l,que numero de tuberias de 40 em seran necesaSol. 8,97, 5,07, 3,06, I rias?, l,y de 50 cm?, i,y de 60 cm?, l,y de 90 cm? 26 Comprobar las relaciones del Problema 25 cuando se transportan 520 I/seg para una pendiente cualquiera de la linea de alturas piezometricas. 27 l,Que perdida de carga producira en una tube ria nueva de fundici6n de 40 cm un caudal que, en una tuberia de

fundici6n de 50 cm, tambien nueva, da lugar a una eaida de la linea de alturas piezometrieas de 1,0 m/1000 m? Sol. 2,90 m/lOOO m

130

SISTEMAS DE TUBERIAS EQUIVALENTES, COMPUESTAS, EN PARALELO Y RAMIFICADAS

[CAP.

28.

La tuberia eompuesta (sistema de tuberias en serie) ABCD esta eonstituida por 6000 m de tuberia de 40 er 3000 m de 30 em y 1500 m de 20 em (C I = 100). (a) Caleular el caudal euando la perdida de earga entre A y es de 60 m. (b) i, Que diametro ha de tener una tuberia de 1500 m de longitud, eoloeada en paralelo con la exi tente de 20 em y con nudos en C y D, para que la nueva seeeion CoD sea equivalente a la seeeion ABC (utiliz; C 1 = 100). (c) Si entre los puntos C y D se pone en paralelo con la tuberia de 20 em CD otra de 30 em 2400 m de longitud, i,eual sera la perdida de earga total entre A y D para Q = 80 l/seg? Sol. 58 l/seg, 16,5 em, 42,8 m

29.

Un sistema de tuberias en serie ABCD esta formado por una tuberia de 50 em y 3000 m de longitud, una ( 40 em y 2400 m y otra de 30 em y L m (C I = 120). (.Que longitud L hara que el sistema ABCD sea equivalente una tuberia de 37,5 em de diametro, 4900 m de longitud y C I = 100? Si la longitud de la tuberia de 30 em ql va de CaD fuera de 900 m, i. que caudal eireulara para una perdida de earga entre A y D de 40 m? Sol. 1320 m, 180 l/seg

30.

Hallar la longitud de una tuberia de 20 em equivalente al sistema de tuberias en serie eonstituido por una tuben de 25 em y 900 m de longitud, una de 20 em y 450 m y otra de 15 em y 150 m de longitud (para todas las tl berias C I = 120). Sol. 1320 m

31.

Los depositos A y D estan eoneetados por el siguiente sistema de tuberias en serie: la tube~ (A-B) de 50 el y 2400 m de longitud, la (B-C) de 40 em y 1800 m y la (C-D) de diametro deseonoeido y 600 m de longitud. 1 difereneia de elevaeion entre las superficies libres de los depositos es de 25 m. (a) Determinar el diametro de I tuberia CD para que el caudal que eireula entre A y D sea de 180 l/seg si C I = 120 para todas las tuberia (b) (,Que caudal eireulara entre A y D si la tuberia CD es de 35 em de diametro y si, ademas, eoneetada entl B y D existe otra tuberia en paralelo con BCD de 2700 m de longitud y 30 em de diametro? Srd. 32 em, 258 l/seg Un sistema de tuberias (C I = 120) esta eonstituido por una tube ria de 75 em y 3000 m (AB), otra de 60 em 2400 m (BC) y de CaD dos tuberias en paralelo de 40 em y 1800 m de longitud eada una. (a) Para u caudal entre A y D de 360 l/seg, i,eual es la perdida de earga? (b) Si se eierra la Jlave en una de las tuberia de 40 em, (,que variaeion se produeira en la perdida de earga para el mismo caudal anterior? Sol. 21,2 m, variaeion = 31,1 m En la Fig. 8-13, para una altura de presion en D igual a 30 m (a) ealcular la potencia comunicada a la turbin DE. (b) Si se instala la tuberia dibujada a trazos en la figura (60 em y 900 m de longitud), (.que potencia podr; comunicarse a la turbina si el caudal es de 540 l/seg? (C I = 120). Sol. 144 CV, 207 CV

32.

33.

S

I

c;~ ~J80

1200 m - 25 em D C, '" 120 B

c, '" 130 C

Fig. 8-13

25cm D

EI.O

Fig. 8-14

34.

En la Fig. 8-14, cuando las alturas de presion en A y B son de 3,0 m y 90,0 m, respectivamente, la bomb. AB esta eomunicando al sistema una potencia de 100 CV. (.Que elevacion puede mantenerse en el deposito D'

35.

En el sistema de tuberias mostrado en la Fig. 8-15 es neeesario transportar 600 Jjseg hasta D, con una presiol

Sol.

46,8 m

en este punto de 2,80 kg/cm 2 . Determinar la presion en A en kg/cm 2 .

Sol.

3,40 kg/cm 2

A EI. en 30.0 m

A ~

El cn D

-~

23,0 m

A

;%00",

Cl

(Of)"'

""

120 lpar.l

todd~

la!> luberia!»

EI. en B -' 27.0 m

Fig.8-15

36.

Fig. 8-16

(a) En la Fig. 8-16, la presion en D es de 2,10 kg/cm 2 , cuando el caudal suministrado desde el deposito A is de 250 l/seg. Las valvulas By C estan eerradas. Determinar la elevacion de la superficie libre del deposito A. (b) E caudal y la presion dados en (a) no se cambian, pero la valvula C esta totalmente abierta y la B solo parcialmen

CAP. 8]

131

SISTEMAS DE TUBERIAS EQUIVALENTES, COMPUESTAS, EN PARALELO Y RAMIFICADAS

te abierta. Si la nueva elevacion del deposito A es de 64 rn, i,cual es la perdida de carga a traves de la valvula B? Sol. El. 68 m, 5,8 m 37.

Determinar el caudal que circula a traves de cada una fie las tuberias del sistema mostrado en la Figura 8-17. Sol. 190 ljseg, 140 ]/seg, 50 l;seg

EI. 30.0 m

A B

EI. 30,0 m

_~~---=c_

F

E Bomba

Fig.8-18

Fig.8·17

38.

La bomba XY, a una elevacion de 6,0 m, hace circular 120 l/seg a traves de una tuberia nueva de fundicion YW de 40 cm y 1800 m de longitud. La presion de descarga en Yes de 2,70 kg/cm 2 . En el extremo W de latpberia de 40 cm estan conectadas dos tuberias, una de 30 cm y 750 m de longitud (C 1 = 100), que termina en el deposito A, a una elevacion de 30,0 m, y otra de 25 cm y 600 m (C 1 = 130), que termina en el deposito B. Determinar la elevacion de B y el caudal que llega 0 sale de cada uno de los depositos. Sol. El. 7,1 m, 35 l/seg, 155 ljseg

39.

En la Fig. 8-18, cuando QED = Qvc = 280 ljseg, determinar la presion manometrica en E, en kg/cm 2 , y la elevacion del deposito B. Sol. 5,26 kg/cm 2 , 53,9 m

40.

En el sistema mostrado en la Fig. 8-19, a traves de la tuberia de 90 cm, circulan 900 I/seg. Determinar la potencia en CV de la bomba XA (rendimiento igual al 78,5 %) que da lugar a los caudales y elevaciones mostrados en la figura si la altura de presion en X es nula. (Dibujar las Iineas de alturas piezometricas.) Sol. 272 CV

"" .. (1' B

-=-= --..... , Ie, . . . . . f

-

....,

00;;;'" 's;;--"-...,

I

II

ell]

II

EI. 33,3 m

......

b

i.c-- - I - --.,JlOO

m-

__60 em

=

EI. 37.0 m

D

-

I I I I I I

!

_ EI. 30,0 m

1

C l = 120 (lodas las tubcria~)

S

E

Bomba

Fig. 8-19

I

Fig, 8-20

41.

i, Que

caudal debe suministrar la bomba de la Fig. 8-20 cuando el caudal a traves de la tuberia de 90 cm es de 1200 l/seg y cual es la altura de presion en A? Sol. 984 ljseg, 56,6 m

42.

La altura de presion en A, seccion de descarga de la bomba AB, es 36,0 m debido a la accion de dicha bomba, de una pOlencia de 140 CV (vease Fig. 8-21). La perdida de carga en la valvula Z es de 3,0 m. Determinar todos los caudales y la elevacion del deposito T. Dibujar las Iineas de alturas piezometricas. Sol. QAW = QSB = 360 ljseg, QSR = 64 ljseg, QTS = 424 ljseg, El. en T 27,0 m

'--1

EI. 30,0 m

W

"', "0 ~

120

(todas las tuberias)

c'" ~ OJ

., -..,/

!./

I : A

B

Fig. 8-21 43.

/'

-2400m-60cmD Z

\EI. 9.8 m / / i ' , \/./

[I. 1.0,!l1_

A '--.A--Z

I

EI134m

I\ I

EI. .16.0 m

T El.?

I\ 1\

,]000 c,

EI. 39,0 m

I I

1200 m S 60 emD

"

R EI.

11.4

D"fJ..

m

7,0 m

600 m -' 30 em D

Fig. 8-22

EI caudal total que sale de A, vease Fig, 8-22, es de 380 ljseg y el caudal que Jlega a B es de 295 l/seg. Determinar (a) la elevacion de B y (b) la longitud de la tuberia de 60 cm. Sol. 26,5 m, 7700 m

132 44.

SISTEMAS DE TUBERIAS EQUIVALENTES, COMPUESTAS, EN PARALELO Y RAMIFICADAS

[CA

~ Cuales

Sol.

son los caudales que llegan 0 parten de cada uno de los depositos de la Figura 8-23? QAE = 140 ljseg, Q8E = 3 Jjseg, QEC = 79 ljseg, QED = 64 ljseg

Bomba

Fig. 8-23

Fig. 8-24

45.

Si la altura de presion en F es de 45,0 m, determinar los caudales que circulan a traves del sistema mostr en la Figura 8-24. Sol. QFD = 98 ljseg, QAD = 104 ijseg, Q8D = 48 ljseg, Q-Qc = 250 ljseg

46.

Si en el sistema de tuberias del Problema 9, Q = 200 ljseg, ~que caudal circula por cada rama y cual es la I dida de carga? Utilizar el metodo de Hardy Cross. Sol. 28,0 m, Q30 = 82 ljseg, Q20 = 53 ljseg, Q25 = 65 ljseg

47.

Resolver el Problema 35 mediante el metodo de Hardy Cross.

48.

Se estan estudiando tres sistemas de tuberias A, By C. ~ Cual es eJ sistema de mayor capacidad? Utilizar C 1 para todas las tuberias del dibujo. Sol. B L

(A)

M

1200 m - 25 em D

N

~~00-:--m---4-0-e-m-D-""1-:-900~m--"'!4o~e-m-D-:tI-1c) ~L

(8) ~1-900-m---45-e-m-+I~--m---3-5-e-m-D""'-

-

_______

~~

1800 m - 30 em D

Fig. 8-25

49.

S

En el problema precedente, ~que diametro debe tener una tuberia de 900 m de longitud para que puesta en I ralelo entre My N, en el sistema A (de manera que se forme un lazo 0 circuito de MaN), haga que el sistci A modificado tenga eJ 50 % mas de capacidad que el sistema C? Sol. 38 cm

I

Capitulo 9 Medidas en f1ujo de f1uidos INTRODUCCION

Para medidas en el flujo de fluid os se emplean en la pnictica de ingenieria numerosos dispositivos. Las medidas de velocidad se realizan con tubos de Pitot, medidores de corriente y anemometros rotativos y de hila caliente. En estudios de model os se utilizan con frecuencia metodos fotognificos. Las medidas se llevan a cabo mediante orificios, tubos, toberas 0 boquillas, venturimetros y canales. Venturi, medidores de codo, vertederos de aforo, numerosas modificaciones de los precedentes y variOs medidores patentados. A fin de aplicar correctamente estos aparatos, es imperativo emplear la ecuacion de Bernoulli y conocer las caracteristicas y coeficientes de cada aparato. En ausencia de val ores seguros de estos coeficientes, un aparato debe calibrarse para las condiciones de operacion en que va a emplearse. Las formulas desarrolladas para fluidos incompresibles pueden aplicarse a fluidos compresibles en donde la presion diferencial es pequeiia en comparacion con la presion total. En muchos casos pnicticus se dan tales presiones diferenciales pequeiias. Sin embargo, cuando se debe considerar la compresibidad, se desarrollanin y se empleanin formulas especiales (veanse Problemas 5-8 y 23-28). TUBO DE PITOT

El tubo de Pitot mide la velocidad en un punto en virtud del hecho de que el tubo mide la presion de estancamiento, la cual super a a la presion estatica local en w(V 2 /2g) kg/m 2 • En una corriente de fluido abierta, como la presion manometrica local es cero, la altura a la cual elliquido asciende en el tubo coincide con la altura de velocidad. Los Problemas 1 y 5 desarrollan expresiones para el flujo de fluidos incompresibles y compresibles, respectivamente. COEFICIENTE DE DESCARGA

EI coeficiente de descarga (c) es la relacion entre el caudal real que pasa a traves del aparato y el caudal ideal. Este coeficiente se expresa asi

S

c = caudal real Q en m 3 /seg _ Q 3 caudal ideal Q en m /seg - AJ2gH

(1)

Mas practicamente, cuando el coeficiente de descarga c se ha detcrminado experimentalmente,

Q = cAJ2gH donde

(2)

A = area de la seCClOn recta del dispositivo en m 2 H = carga total que produce el flujo en m del fluido.

EI coeficiente de descarga puede escribirse tam bien en funcion del coeficiente de velocidad y del coeficiente de contraccion, 0 sea, (3 )

133

I

13~

[CAP. 9

MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS

El coeficiente de descarga no es constante. Para un dispositivo dado, varia con el numero de Reynolds. En el Apendice se dan los datos siguientes: (1)

La Tabla 7 contiene los coeficientes de descarga para orificios circulares en el caso de agua a 15° C evacmindola en la atmosfera. Para fluidos dentro de amplios margenes del numero de Reynolds, estos datos son utilizables con poca garantia.

(2)

El Diagrama C indica la variacion de c' con el numero de Reynolds para tres relaciones diametro de orificio-diametro de tuberia. Para numeros de Reynolds aproximadamente inferiores a 10.000, estos datos no ofrecen garantia.

(3)

El Diagrama D muestra la variacion de c con el numero de Reynolds para tres relaciones diametro de boquilla-diametro de tuberia (boquillas de aforo).

(4)

El Diagrama E indica la variacion de c con el numero de Reynolds para cinco dimensiones de venturimetros cuya relacion de diametros es de 0,500.

COEFICIENTE DF VELOCIDAD El coeficiente de velocidad (cvl es la relacion entre la velocidad media real en la seccion recta de la corriente (chorro) y la velocidad media ideal que se tendria sin rozamiento. Asi, pues, c = v

velocidad media real en m/seg velocidad media ideal en m/seg

V

= --J2gH

(4)

S

I

COEFICIENTE DE CONTRACCION El coeficiente de contraccion (cel es la relacion entre el area de la seccion recta contraida de una corriente (chorro) y el area del orificio a traves del cual fluye eI fluido. Entonces,

Cc

area del chorro

ACh

= area del orificio

Ao

(5 )

PERDIDA DE CARGA La perdida de carga en orificios, tubos, toberas

0

boquillas y venturimetros se expresa as!:

Perdida de carga en m del fluido =

(~ C v

- 1)

V2~hg

(6)

Cuando esta expresion se aplica a un venturimetro, Vch = velocidad en Ia garganta y cv = c.

VERTEDEROS DE AFORO Los vertederos de aforo miden el caudal de liquidos en canales abiertos, corrientemente agua. Un cierto numero de formulas empiricas se emplean en la literatura tecnica, todas ellas con sus limitaciones. A continuacion se citan solamente algunas de ellas. La mayoria de los vertederos son rectangulares: el vertedero sin contraccion lateral de la lamina y generalmente empleado para grandes caudales, y el vertedero con contraccion lateraH1e la lamina para caudales pequeiios. Otros vertederos son triangulares, trapezoidales, parabolicos y de flujo proporcional. Para obtener resultados precisos un vertedero debe calibrarse en el lugar de utilizacion bajo las condiciones en que va a ser empleado.

MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS

CAP. 9]

135

FORMULA TEORICA DE UN VERTEDERO La formula teorica de un vertedero para vertederos rectangulares, desarrollada en e1 Problema 29, es 2 [ (H + _)3/2 V2 V2 ] = -cbffg _ (_)3/2

Q

2g

3

(7)

2g

doride Q = caudal en m 3 /seg c = coeficiente (a determinar experimentalmente) b = anchura de la cresta del vertedero en m H = carga sobre el vertedero en m (altura de la superficie del nivel del liquido por encima de la cresta V = velocidad media de aproximacion en m/seg FORMULA DE FRANCIS La formula de Francis, basada en experiencias sobre vertederos rectangulares de 1,067 m (3,5 ft) a 5,182 m (17 ft) de anchura bajo cargas de 0,183 m (0,6 ft) a 0,488 m (1,6 ft), es: nH 1,84 (b - ) [ (H 10

Q

V? V' ] + ---=)3/2 _ (---=)3/2

2g

2g

(8)

donde la notacion es la misma que anteriormente y n

=

°

para un vertedero sin contraccion

n = 1 para un vertedero con contraccion en un extremo n = 2 para un vertedero con contraccion total. FORMULA DE BAZIN La formula de Bazin (anchuras de 0,5 m a 2 m bajo cargas de 0,05 m a 0,6 m) es:

S

Q

(1,794+

0,~33)[1 +0,55(H~Z)2l

bH3;Z

(9)

donde Z = altura de la cresta del vertedero sobre la solera del canal. El termino entre corchetes se hace despreciable 'Para bajas velocidades de aproximacion. FORMULA DE FTELEY Y STEARNS La formula de Fteley y Stearns [anchura de 1,524 m (5 ft) a 5,791 m (19 ft)] bajo cargas de 0,021 m (0,07 ft) a 0,497 fit (1,63 ft) para vertederos sin contraccion es:

1,83b(H

Q

+

a:;)

3/2

+ 0,00065b

(10)

donde a. = factor dcpendiente de la altura de cresta Z (se requiere una tabla de valores). FORMULA DEL VERTEDERO TRIANGULAR (desarrollada en el Problema 30) Esta formula es:

0,

Q

= -8

15

() 2

c tg -y12g H5/2

Q = mH5/2

para un vertedero ·dado,

(11) (12)

LA FORMULA DEL VERTEDERO TRAPEZOIDAL (de Cipolletti) es:

Q

=

1,861 bH3/2

En este vertedero la pendiente de los lados (extremidades) es de 1 horizontal a 4 vertical.

(13)

I

136

MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS

[CAP.

PARA PRESAS EMPLEADAS COMO VERTEDEROS la expresion aproximada del caudal es

Q = mbH3/2

(14

donde m = factor experimental, tornado generalmente de estudios sobre model os. En el Capitulo 10, Problema 52, se discute el caso de flujo no uniforme en vertederos de pared gruesa

EL TIEMPO DE VACIADO DE DEPOSITOS por medio de un orificio es (vease Problema 38) t

t

2AT - - - (hi' cAo~

r

112

h'~)

(seccion recta constante, sin flujo entrante)

(15

-

-ATdh

Jh 1 Qsal - Qeo

(flujo de entrada < flujo de salida, seccion recta constante) (16

Para un deposito cuya seccion recta no es constante, vease el Problema 41.

EL TIEMPO DE VACIADO DE DEPOSITOS por medio de vertederos se calcula empleando la fOrmula (vease Problema 43): (17)

t

EL TIEMPO PARA ESTABLECER EL FLUJO en una tuberia es (vease Problema 45): (18)

S Problemas resueltos 1.

Un tubo de Pitot, teniendo un coeficiente de 0,98, se emplea para medir la velocidad del agua. en el centro de una tuberia. La altura de presion de estancamiento es 5,58 m y la altura de presion estatica en la tuberia es de 4,65 m. loCual es la velocidad?

5,58 m 4,65 m

Solucion: Si el tubo se adapta y posiciona correctamente, un punto de velocidad cero (punto de estancamiento) se desarrolla en B enfrente del extremo abierto del tubo (vease Fig. 9-1). Aplicando el teorema de Bernoulli desde A en el Iiquido en reposo hasta B se tiene -+- V~ + 0) ( p~ w 2g

Fig. 9-1

sin perdidas (supuesto) =

( ]JFI 10

+ 0 + 0)

(1)

~ 2g (PH _ PA) 10 10

(2)

Entonces, para un ftuido ideal «desprovisto» de friccion, v~ 2g

P~ 10

-

P·I 10

o

I

CAP. 9]

MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS

137

Para el tubo real debe introducirse un coeficiente c que depende de la forma del tubo. La velocidad real para el problema anterior seria VA = cj2g(PH/w - PA/W) = 0,98j2g(5,58 - 4,65) = 4,18 m/seg La ecuacion anterior se aplica a todos los ftuidos incompresibles. EI valor de c puede tomarse como la mitad en la mayoria de los problemas de ingenieria. Resolviendo (I) para la presion de estancamiento en B se tiene donde p = wig

2.

(3)

A traves de un conducto fluye aire, y el tuba de Pitot estatico que mide la velocidad esta conectado a un manometro diferencial conteniendo agua. Si la desviacion del manometro es 10 cm, calcular la velocidad del aire, suponiendo que el peso especifico del aire es contante e igual a 1,22 kg/m 3 y que el coeficiente del tuba es 0,98. Solucion: Para el manometro diferencial, (PH - PA)/W = (10/100)(1000/1,22) = 82 m aire.

Entonces, V = 0,98jI9,6(82) = 39.3 m/seg

(Veanse los Problemas 26-28 y Capitulo 11 para consideraciones sobre velocidad del sonido.)

3. Por una tube ria fluye tetracloruro de carbona (Dr = 1,60). El manometro diferencial conectado al tuba de Pitot estatico indica una desviacion de 7,5 cm de mercurio. Suponiendo c = 1,00, hallar la velocidad. Solucion: PB - PA

4.

=

(7,5/100)(13,6 - 1,6)1000

=

900 kg/m 2

V = jI9,6[900/(1,6 x 1000)] = 3,31 m/seg

Fluye agua a una velocidad de 1,4 m/seg. Un manometro diferencial que contiene un liquido cuya densidad relativa es 1,25 se conecta a un tubo de Pitot estatico. "eual es la diferencia de nivel del fluido en el manometro? Solucion:

S 5.

1,4 = 1,00jI9,6(/',.p/w)

V = cj2g(/',.p/w),

y

/',.p/W

=

0,1 m agua

I

Aplicando el principio de los manometros diferenciales, 0,1 = (1,25 - 1)h y h = 0,4 m de diferencia.

Desarrollar la expresion para medir el flujo de un gas con un tubo de Pitot. Solucion: EI ftujo de A a B en la figura del Problema 1 anterior puede considerarse adiabatico y con perdidas despreciables. Aplicando la ecuacion de Bernoulli D del Problema 20 del Capitulo 6, desde A hasta B, obtenemos

[Ck ~ 1) ~~ + ~; + oJ v!

o

2g

- perdidas despreciables =

k )C ck -1

PA lOA

)

=

[Ck ~ l)C~,:)(~:)(k-l

[CJJ!c)(k-'l!k - 1J

11k

+

0

+

oJ (1)

P,l

EI termino PB es la presion de estancamiento. Esta expresion (1) corrientemente se transforma introduciendo J la relacion entre la velocidad en A y la velocidad del sonido c del ftuido no perturbado. Del Capitulo 1, la velocidad del sonido c = precedente,

v! 2

[C~~)( ( k~) - 1 ]JA

k - Il/k -

JEiP =

1J

jkp/p = jkpg/w. Combinando con la ecuacion (1)

0,

(2)

Desarrollando en serie, (3)

138

[CAP

MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS

A fin de comparar esta expresion con la formula (3) del Problema 1, se multiplica por PA y se sustituye kpA por PA, obteniendose =

pn

PA

+ -2I p A

v,[ A

I

k-2 + -4IC V -c")2 - - VA), - + .... ] 24 Cc

Las expresiones anteriores se aplican a todos los ftuidos compresibles para relaciones de Vic menores q la unidad. Para relaciones mayores que la unidad, se producen ondas de choque y otros fenomenos, no tenien suficiente precision la hipotesis adiabatica y, por consiguiente, la aplicacion de estas expresiones. La relacion f se denomina numero de Mach. EI termino entre corchetes en (4) es mayor que la unidad y los dos primeros terminos dan suficiente apro macion. EI efecto de la compresibilidad es incrementar la presion del punto de estancamiento respecto a la un ftuido incompresible [vease expresion (3) del Problema 1]. En los Problemas 26-28 y en el Capitulo 11 se discutira el caso de velocidades del sonido.

6.

Mediante un tubo de Pitot se mide un flujo de aire en condiciones atmosfericas (w = 1,221 kg/I a 15° C) a una velocidad de 90 m/seg. Calcular el error en la presion de estancamiento al SUpOI1 incompresible el aire. Soluci6n:

Aplicando la formula (3) del Problema 1 anterior,

PH == PA

+ !pV2

=

1,033(10.000)

+

to,221/9,8)(9W = 10.836 kg/m 2 absolutos

Aplicando la formula (4) del Problema 5 anterior y haciendo c = jkgRT = jl,4(9,8)(29,3)(288) = 340 mise

PB

=

=

1,033(10.000) + i(l,Z21/9,8)(9W[1 + i(90/34W ... J 10.330 + 506[1 + 0,0175J = 10.842 kg/m2 absolutos

EI error en la presion de estancamiento es menor que el 0,1 1,75 %.

7.

S

% y el error en (PB - PAl es aproximadamen '

La diferencia entre la presion de estancamiento y la presion estlitica medida por el tubo de Pit( estlitico es 2000 kg/m2. La presion estatica es 1 kg/cm 2 absoluto y la temperatura de la corriente de air es 15° C. l,Culil es la velocidad del aire, (a) suponiendo que el aire es compresible y (b) suponiend que es incompresible? Solucioo: (a) PA = 1(10.000) = 10.000 kg/m2 absolutos y c = jkgRT = J1,4(9,8)(28,3)(288) = 340 m/seg.

PB PA

De la ecuacion (2) del Prob. 5,

10.000 + 2000 10.000 (b)

W=

1(10.000) 3 = 1186 kg/m 29,3(288\ '

y

[1

[

1

+

k-1 V Jk/(k-I) (--)(~f 2 c 14 - 1

+(,

2

)(

V

J

1.4/0,4

A)2

340

'

VA = 178 m/seg

V = j2g(PB/W - PA/W) = j2g(2000/1,186) = 182 m/seg.

8. A traves de un conducto circula aire a 240 m/seg. En condiciones normales de presion, la presio manometrica de estancamiento es de - 1,71 m de columna de agua. La temperatura de estanca miento es de 63° C. l,Culil es la presion estatica en el conducto? Solucioo: Con dos incognitas en la ecuacion (2) del Problema 5, vamos a suponer una velocidad Vic (numero de Mach igual a 0,72. Entonces, (-1,71 + 10,33)1000 = PA[1 + t(1,4 - 1)(0,72f]l,4/o,4

y PA = 8,62(1000)/1,4 = 6155 kg/m2 absolutos.

I

CAP. 9]

139

MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS

A fin de comprobar la suposicion anterior, aplicamos la relacion adiabatica T

PA

63 _

- (

A

8,62 x 1000 0,4/1,4 6155 ) ,

TA = 305 0 Kelvin

c = jkgRT = jl,4(9,8)(29,3)(305) = 350 m/seg.

Por otra parte Entonces, Vic

+

273

TB = (PB )(k-I)/k,

TA

=

240/350 = 0,686

y

PA = [1

+

8,62 x 1000 2 0,2(0,686)2]1,4/0,4 = 6285 kg/m absolutos.

No se precisa nueva aproximacion.

9.

Un orificio normal de 10 cm de diametro evacua agua bajo una altura de carga de 6 m. loCual es el caudal en m 3 /seg? Solucion: Aplicando la ecuacion de Bernoulli entre A y B en la figura adjunta, tomando B como plano de referencia,

+

(0

0

+

6) -

(~ c~

1(;h = t;h

2g

2g

+ PB + w

0)

Pero la altura de presion en B es cero (segun se vio en el Cap. 4, Prob. 6). Entonces,

Por otra parte, Q

= ACh Vch

que, aplicando las definiciones de los coeficientes, da Fig. 9-2

De la Tabla 7, c = 0,594 para D = 10 cm y h = 6 m. Por consiguiente, Q = 0,594[in(0,1)2]~ =

S

0,051 m 3 /seg.

I

10. La veloeidad real en la seccion contraida de un chorro de un liquido eireulando por un orifieio de 5 em de diametro es 8,4 m/seg bajo una carga de 4,5 m. (a) loCUli! es el valor del eoeficiente de velocidad? (b) Si el desagiie medido es 0,0114 m3 /seg, determinar los eoeficientes de contraccion y descarga. Solucion: (a)

Velocidad real = cv j2gH,

(b)

Q real = cAj2gH,

Como c =

Cv

x

Ceo

8,4 = cv jl9,6 x 4,5,

Cv

=

0,895.

0,0114 = c[in(0,OW]jI9,6 x 4,5, Cc

c

=

0,627.

= 0,627/0,895 = 0,690.

11. A traves de un orifieio normal de 2,5 cm de diametro circula aeeite bajo una earga de 5,4 m a razon de 0,00315 m/seg. El chorro ehoca contra una pared situada a 1,5 m de distaneia horizontal y a 0,12 m verticalmente por debajo del centro de la seccion eontraida del chorro. Calcular los coeficientes. Solucion: (a)

(b)

Q = cAj2gH,

0,00315 = c[in(0,02W]j2g(5,4),

c = 0,625.

De las ecuaciones cinematicas, x = Vt e y = tgt 2 , en donde x e y representan las coordenadas medidas del chorro. Eliminando t se obtiene x 2 = (2V 2 /g)y. Sustituyendo, (1,5)2 = (2V2/9,8)(0,12) y V real = 9,6 m/seg en el chorro. Entonces, 9,6 =

Cv

= j2g(5,4) y

Cv

= 0,934. Finalmente,

Cc

= c/cv = 0,670.

MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS

140

[CAP.

12. El deposito del Problema 9 esta cerrado y e1 aire que ocupa el espacio por encima del agua estl bajo presion, aumentando el caudal hasta 0,075 m 3 /seg. RaHar la presion del aire en kg/cm 2 . Solucion:

Q

cA oj2gH

=

0,075 = c[*n(0,1) 2 Jj2g(6

o

+ p/w)

La Tabla 7 indica que c apenas cambia dentro del margen de carga considerado. Tomando c = 0,593 ~ calculando, se tiene p/w = 7,05 m de agua (el c supuesto se comprueba para la carga total H). Entonces, p' = wh/100 2 = 1000(7,05)/10.000 = 0,705 kg/cm 2

13. A traves de un orificio de 7,5 m de diametro, cuyos coeficientes de velocidad y contraccion son 0,950 y 0,650, respectivamente, circula aceite de 0,720 de densidad relativa. "Que debe leerse en e1 manometro A de la Fig. 9-3 para que la potencia en el chorro C sea 8,00 CV? Solucion:

La velocidad del chorro puede calcularse a partir del valor de la potencia del chorro: wQHeh w(ccAo Veh)(O + V;J2g + 0) caballos de vapor del chorro = ~ = 75

8,00 =

Despejando, V;h

=

5700 y Veh

=

(0,720 x 1000)(0,650)[*n(0,075)2J V~V2g 75 Fig. 9-3

17,8 m/seg.

Aplicando la ecuacion de Bernoulli entre Bye, tomando C como referencia, PA

(;- + despr. +

S

(17,W

1

2,7) - [(0,9W - IJ ~ = (0

+

(17,8)2

~

+ 0)

I

y PA/W = 15,25 m de aceite. Entonces, PA = wh/IO.OOO = (0,720 x 1000)15,25/10.000 = 1,1 kg/cm 2.

Nota: EI lector no debe confundir la altura de carga total H, que origina el fiujo, con el valor de Heh en la expresion que nos da la potencia del chorro. Ambos valores nO son iguales.

14.

Para e1 caso de la boquilla de 10 cm de diametro indicada en la Fig. 9-4, (a) "Cual es e1 caudal de agua a 24° C bajo una altura de carga de 9 m? (b) l,CuaI es la altura de presion en la seccion B? (c) "Cual es la maxima carga que puede emplearse si el tubo est a completamente Heno? (Utilizar Cv = 0,82.) Solucion: Para una boquilla normal, la corriente se contrae en B aproximadamente un 0,62 del area del tubo. La perdida de carga entre A y B se ha valorado en 0,042 veces la altura' de velocidad en B. (a)

Aplicando la ecuacion de Bernoulli entre A y C, tomando C como referencia, I J V;h V;h (0 + despr. + 9) - [ - - - 1 -- = (0 + + 0) (0,82)2 2g 2g

Fig. 9-4

Y Veh = 10,88 m/seg. Luego Q = AehVch = [1,00 x *n(0,1)2J(10,88) = 0,0855 m 3 /seg. (b)

Ahora, la ecuacion de Bernoulli entre A y B, tomando B como referencia, nos da (0

+ despr. + 9) -

vi

PB 0,042- = ( 2g w

+ -V~ + 2g

0)

(A)

CAP. 9]

Porotraparte.Q=ABVB=AcVc . ., Sustltuyendo en la ecuaClOn (A), (c)

141

MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS 0

9

=

CeAVB=AVC PB -

, w

+

1,042

0

(17,6)2 2g

~~

VB = Vch/cc = 10,88/0,62 = 17,6 m/seg. PB Y w

=

-7,5 m de agua.

Como la carga que produce el ftujo a traves de la boquilla se incrementa, la altura de presion en B ira decreciendo. Para un ftujo estacionario (y con el tubo completamente lleno), la altura de presion en B no debe ser menor que la de la presion de vapor para liquid os a la temperatura considerada. De la Tabla 1 en el Apendice, para el agua a 24° C este valor es de 0,030 kg/cm 2 absolutos 0 0,3 m absolutos aproximadamente al nivel del mar (-10,0 mi. V2 V~ h = PB + 1 042 ~ = -10,0 -t- 1,042De (A) se tiene (B) w ' 2g 2g

ceA VB = AVe = Acvfiih

Por otra parte,

VB

De donde

M::i:.

Cv

-y2gh

=

0

Ce

V~ CV 2 0,82 2 = ( - ) h = ( - ) h = 1,75II 2g Ce 0,62

-

Sustituyendo en (B), II = -10,0 + 1,042(1,75II) y II = 12,15 m de agua (24 0 C). Toda carga superior a 12 m hani que la corriente salga sin tocar las paredes del tubo, El tubo funciona entonces como un orificio. En condiciones de presion de vapor resultarian fenomenos de cavitacion (vease Capitulo 12).

15.

S

A traves de una tuberia de 10 cm circula agua a razon de 0,027 m 3 /seg y de ahi a traves de una boquilla conectada al final de la tuberia. La boquilla tiene 5 cm de diametro interior y los coeficientes de velocidad y contraccion para la boquilla son 0,950 y 0,930, respectivamente. l.Que altura de presion debe mantenerse en la base mayor de la boquilla si la presion que rodea al chorro es la atmosferica? Solucion: Aplicando la ecuacion de Bernoulli entre la base mayor de la boquilla y el chorro, V2 1 V2 V2 P (+ ~ + 0) - [ - - - - IJ ~ = (0 + ~ + 0) w 2g (0,95W 2g 2g y las velocidades se calculan de Q = AV: V10 =

0,027 -I- - 2

4 n (0,1

)

=

0,027 = A1oV Io = AchVch =

3,44 m/seg

(C~5)Vch'

I

Asi, pues,

0,027 Vch = 0,930[!n(0,05)2J = 14,8 m/seg

y

Sustituyendo y operando. p/w = 12,4 - 0,6 = 11,8 m de agua. Aplicando la formula Vch = cvj2gH y siendo H = (P/w 14,8 de donde jp/w

16.

+

0,6

=

3,51 y p/w

=

=

0,950j2g[P/w

+

+ Vio/2g),

se tiene

(3,44)2/2g]

11,8 m de agua, como antes.

Una boquilla de 10 cm de diametro en la base mayor por 5 cm de diametro en el extremo de salida apunta hacia abajo y la altura de presion en la base mayor de la boquilla es 7,8 m de agua. La base mayor de la boquilla dista 0,9 m de la seccion de salida y el coeficiente de velocidad es 0,962. Determinar la potencia en el chorro de agua. Solucion: Para una boquilla, salvo si se da Cc ' este coeficienle se lorna como la unidad. Por consiguiente, Vch = V 5 • Antes de calcular la polencia deben hallarse V y Q. Usando la ecuacion de Bernoulli entre la base mayor y la sec cion de salida de la boquilla, tomando como referencia esta ultima, tenemos (7,8 Y Al 0 V10 = A 5 V5

0

+

vio

2i + 0,9) -

1

vt

[(0,962)2 - 1] 2g = (0

vt

+ 2g +

0)

vio = (5/10)4 Vt, Operando, V5 = 12,95 m/seg,

Potencia en el c h orro

=

WQHch 1000[!n(0,05)2(12,95)J[0 ~~ = 75 75

+ (12,95)2/2g +

OJ

=

291 CV '

MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS

142

17.

[CAP. 9

Por un venturimetro de 30 cm x 15 cm circula agua a razon de 0,0395 m 3 /seg y el manometro diferencial indica una desviacion de 1,0 m, como muestra la Fig. 9-5. La densidad relativa delliquido del manometro es 1,25. Determinar el coeficiente del venturimetro.

Fig. 9-5

Solucion:

EI coeficiente de un venturimetro es el mismo que el de descarga (cc = 1,00 y, por consiguiente, c = cv )' EI coeficiente de flujo K no debe confundirse con el coeficiente c del medidor. Al final de este problema se hace una ac1aracion. Aplicando la ecuacion de Bernoulli entre A y B, caso ideal, se tiene

S

PA (+ -V~o + 0) U)

2g

'" perdldas

Sin

=

PE

(W

+ -vis + 0)

I

2g

La velocidad real (y, por tanto, el valor real del caudal Q) se obtendni multiplicando el valor ideal por el coeficiente c del medidor. Asi, pues, (1)

Para obtener la altura de presion diferencial indicada anteriormente, se empleanin los principios del manometro diferencial. Pc = Pc (PA/W - z) = PB!W - (z

+ 1,0) + 1,25(1,0)

(p A/W - PB/~') = 0,25 m

o

Sustituyendo en (1), 0,0395 = !rr(0,15)2cj2g(0,25)/0-1/16) y c = 0,980, Nota: La ecuacion (J) suele escribirse as!: Q = KA 2fig(t~.p/W) donde K es el llamado coeficiente de fluJO. Esta claro que

K

c

o

c

Para obtener, si se desea, c se utilizan tablas 0 abacos en los que puede leerse el coeficiente K. Los factores de conversion para obtener los val ores de K para ciertas relaciones de diametros de instrumentos se indican en el Apendice en varios diagramas.

CAP. 9]

18.

143

MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS

Circula agua hacia arriba a traves de un venturimetro vertical de 30 cm x 15 cm cuyo coeficiente es 0,980. La desviacion del manometro diferencial es 1,16 m de liquido de densidad relativa 1,25, como se muestra en la figura adjunta. Determinar el caudal en m 3 /seg. Solucion: Aplicando la ecuacion de Bernoulli como en el Problema 17 y teniendo en cuenta que en este caso ZA = Y ZB = 0,45 m, se tiene

°

Q

=

CA l5

Tm

+

Aplicando los principios del manometro diferencial para obtener IIp/w, Pc/w = Pv/IL' (en m de agua) PA/W + (n + 1,16) = PB/w + m + 1,25(1,16)

[(PA/W - PB/W) - (m - n)J [(PA/W - PB/W) -- 0,45J

= =

1,16(1,25 - 1,00) 2,29 m de agua

1.16 m

1U.. Fig. 9-6

Sustituyendo en la ecuacion que da el caudal, se tiene Q = 0,980(!n)(0, 15)2 j2g(0,29)!(1 - 1/16) = 0,0426 m 3 /seg.

19.

Agua a 37° C circula a razon de 0,0142 m 3 /seg a traves de un orificio de 10 cm de diametro instalado en un tubo de 20 cm. l.Cual es la diferencia de altura de presion entre la seccion aguas arriba y la seccion contraida (seccion de «vena contracta»)? Solucion: En el Diagrarria C del Apendice se observa que c' varia con el numero de Reynolds. Hay que advertir que el numero de Reynolds debe caJcularse para la seccion recta del orificio y no para la seccion contraida del chorro ni tampoco para la seccion de la tuberia. Este valor es

I

VoDo (4Q/nD~)Do 4Q 4(0,0142) R£ = - - = - - - - = - - = = 263.000 v v vnDo n(6,87 x 10- 7 )(0,1)

S

EI Diagrama C para p = 0,500 da c' = 0,605. Aplicando eJ teorema de Bernoulli entre la seccion de la tube ria y la seccion del chorro se obtiene la siguiente ecuacion general para fiuidos incompresibles: Vl 1 V2 P V2 P + ....tl. (-'+ 0) - [ - - IJ....:Ii = (~ + ....:Ii + 0) 2g c~ 2g W 2g W

y

Q.= A 20 V20

=

(CcAlO)Vch

Sustituyendo V10 por Vch Y operando,

V;h 2g Luego

=

2( P10/W - PcJw) ) 2 1 1 - c (A lO /A 20 )

Cv

o

2g(P10/W - PcJw) 1 - c2(DlO/D10)4 2g(P20/W - PCh/W) 1 - c1(DlO/D20)4

Para un orificio con velocidad de aproximacion y un chorro contraido, es mas conveniente escribir la ecuacion de la forma (1) o

(2)

donde K es el Ilamado coeficiente de fiujo. EI coeficiente del medidor c' puede determinarse experimentalmente para una relacion de diametro de orificio a diametro de tuberia dada, 0 bien puede preferirse el coeficiente de fiujo K.

[CAP. 9

MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS

144

Sustituyendo en la anterior expresion (I), se obtiene

o 605 x In(O 1)2 ,- ..- 0,0142 = --'___4_ _ : __ yl2?,(t'1p!w) JI - (1/2)4

20.

y

t'1p/w

(Pzo!W - Pch/W) = 0,428 m de agua.

=

Para el orificio y tuberia del Problema 19, i,que diferencia de presion en kg/cm 2 causaria el mismo caudal de trementina a 20° C? (Vease Apendice para densidad relativa y v.) Solucion:

4Q nvDo

RE = - - =

4(0,0142) n(0,00000173 )(0,1)

0,0142 =

Entonces,

t'1J!... = w

21.

104,500. Del Diagrama C, para f3 = 0,500, c' = 0,607.

--'-R '

0607 x In(O l)z

(pzo _ PCh) = 0,426 m de trementina w w

1 - (1/2)4

--

wh t'1p' = 10.000 =

y

de donde

j2i(t'1p/w),

(0,862 x 1000)(0,426) 2 10.000 = 0,0367 kg/cm

Determinar el caudal de agua a 21 C a traves de un orificio de 15 cm instalado en una tuberia de 25 cm si la altura de presion diferencial entre la seccion aguas arriba y la seccion contraida es 1,10 m de agua. 0

Solucion:

Este tipo de problema ha sido tratado en el capitulo dedicado al flujo de fluidos en tuberias. El valor de c' no puede hallarse puesto que el numero de Reynolds no puede calcularse. Refiriendose al Diagrama C, para f3 = 0,600, se supondri un valor de c' igual a 0,610. Empleando este valor, Q =

S

0,610 x !n(O,IW

J 19,6(1,10) = 0,0536

I

3

m /seg

)1 - (0,60)4 4(0,0536)

Entonces,

RE = (0,000000985)(0,15)

=

462.009 (valor de tanteo)

Del Diagrama C, para f3 = 0,600, se deduce c' = 0,609. Recalculando el caudal para c' = 0,609 nos da Q = 0,0532 m 3 /seg (el numero de Reynolds apenas queda afectado). Nota especial: EI profesor R. C. Binder, de la Universidad de Purdue, sugiere en las paginas 132-3 de su obra Fluid Mechanics (segunda edicion) que este tipo de problema necesita no ser una proposicion de tanteo. Prop one que se dibujen !ineas especiales sobre el diagrama coeficiente-numero de Reynolds. En el caso de orificio en tuberia, la ecuacion (1) del Problema'19 puede escribirse. asi

c'j2g~

Q

Jl -

AIO RE

Pero

0,

VIOD Io

= ---

v

c'j2g(t'1p/w)

=

vJl -

en general,

ya que Q = AV

(D IO /D zo )4 X

D IO

RE 0

(1/2)4

RE

Do~!;;)

C'

vj1 - (Do/Dp)'i

C'

Dloj2g~

vJl -

(1/2)4

En el Diagrama C se han trazado dos !ineas rectas llamadas !ineas T. una para RE/C'

=

700.000 Y otra para

RE/c' = 800.000. En el caso del Problema 21 RE _

-

c'

~~~JI9,6~,l0) _ _

._.. ____ - 760.000 0,000000985J1 - (0,6W

Con la exactitud que puede leerse, la linea 760.000 corta a la curva f3 = 0,600 en c' = 0,609. EI flujo Q se calcula, pues, rapidamente.

22.

145

MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS

CAP. 9]

Una boquilla euya seeeion de salida tiene 10 em de diametro se instala en una tuberia de 25 em. A traves de la boquilla fluye fuel-oil medio a 27° C y a razon de 0,094 m 3 /seg. Se supone que la ealibraeion de la boquilla esta representada por la cur va f3 = 0,4 del Diagrama D. Calcular la presion diferencial leida si el Iiquido del manometro tiene una den sid ad relativa de 13,6. Soluci6n: La ecuacion de Bernoulli, entre la seccion de la tuberia y la seccion del chorro, conduce a la misma ecuacion que se obtuvo en el Problema 17 para el venturimetro, puesto que la boqlJilla se disena para un coeficiente de contraccion igual a la unidad. Q -.. A 10 V 10 -- A 10 L" \

/2g(fJ~[W

- PB/W) 1 _ (10/25)4

(1)

EI Diagrama D indica que c varia con el numero de Reynolds. V 10

Q

= .- = A 10

La curva da, para f3

0,094 -1- - 2

4n:(0, I)

= 0,40,

c

= 0,993.

0,094 y (PA/W - PB/W)

=

= 11,25 m!seg

=

11,95 x 0,1 6 3,39 x 10~

RE = .

y

=

353.000

Entonces,

in(0,1)2 x 0,993

2g(PA/W - pJw) 1 - (10/25)4

7,25 m de fuel-oil.

Empleando la Dr del fuel-oil = 0,851, tomada del Apendice y por aplicacion de los principios del manometro diferencial, tenemos 7,25

=

h(13,6/0,851 - I)

y

h = 0,483 m (lectura en el manometro)

Si se da la lectura del manometro diferencial, el procedimiento empleado en el precedente problema seria utilizar, por ejemplo, un valor supuesto de c con el que se calcularia Q y con el numero de Reynolds obtenido se lee ria sobre la curva apropiada del Diagrama D un nuevo c. Si c difiere del valor supuesto, el calculo se repite hasta encontrar el coeficiente adecuado.

23.

Deducir una expresion para el caudal de un fluido eompresible a traves de un eaudalimetro de tobera y un venturimetro. Soluci6n: Puesto que el cambio de velocidad se produce en un corto periodo de tiempo, se sustraera poco calor, por 10 que se supondran unas condiciones adiabaticas. EI teorema de Bernoulli para un flujo compresible se ha expuesto en el Capitulo 6, ecuacion (D) del Problema 20, y se expresa asi: lc ) Pi vi ] -HL [( ---+-+ZI lc - 1 WI 2g

S

P_' (P2)(' [( ...5.._) if - 1 w, PI

I>lk

+ ::v1 + 2g

z'J

I

Para un medidor de tobera y un venturimetro horizontal. z 1 = Zz Y la perdida de carga sera considerada mediante el coeficiente de descarga. Tambien, puesto que Cc = 1,00,

Luego VI aguas arriba = W/wIA 1 , V z aguas abajo

o

(ideal)

=

W/lfzA z . Sustituyendo y operando,

W

Es mas practico eliminar Wz bajo el radical. Puesto que U'Z/WI (ideal)

W

2glc (PI Iw,) l-=-i

X

[1

=

-

(PZ/PI)I/k,

(p,I PI )'k~lJ/'J

(1)

146

[C

MEDlDAS EN FLUJO DE FLUlDOS

El valor real de W en kg!seg se obtiene multiplicando la expresion anterior por el coeficiente c. A efectos de comparacion, la ecuacion (1) del Problema 17 y la ecuacion (1) del Problema 22 (para ft incompresibles) pueden escribirsc de la forma

=

W

wQ

= ~_c

1 - (A2!A,)'

w

o

Y2g(::..p/~)

= wKA,Y2g(::..p!w)

La ecuacion anterior puede expresarse de una forma mas general de manera que sea aplicable a ft compresibles e incompresibles. Se introduce un factor de expansion (adiabatico) Y y se especifica el valor, a la entrada. La relacion fundamental es entonces

Para ftuidos incompresibles, Y = 1. Para fluidos compresibles, igualando las expresiones (1) y (2) Y ( jando Y, se tiene 1 - (A,!A I)' 1 - (A,!A,)'(p'/p,)2!k

y

X

[k/(k - 1)1 [1 - (p,/p,)'k-ll/k1(p,lpJ27k 1 - p'/p,

Este factor de expansion Yes una funcion de tres relaciones adimensionalcs. La Tabla 8 da algunos v. tipicos para medidores de tobera y venturimetros. Nota: Para orificios y medidores de orificio los valores de Y' se determinaran experimentalmente valores difieren del anterior valor de Y porque el coeficiente de contraccion no es la unidad ni es una consl Conociendo Y', las soluciones son identicas a las que resultan para boquillas y venturimetros. Como fu bibliolognificas se remite al lector a los experimentos realizados por H. B. Reynolds y J. A. Perry.

24.

S

Circula aire a la temperatura de 27° C a traves de una tube ria de 10 cm de diametro y de tobera de 5 cm. La presion diferencial es de 0,160 m de aceite (Dr = 0,910). La presion man, trica aguas arriba de la tobera es de 2,0 kg/cm 2. (,Cmintos kilogramos por segundo circulan una lectura barometric a de 1,03 kg/cm2, (a) suponiendo que la densidad del aire es constal (b) suponiendo un as condiciones adiabaticas?

I

Solucion: (a)

=

W I

(2,0 + 1,03)10.000 29,3(273 + 27)

=

345 kg/m ,

3

Aplicando los principios del manometro diferencial y expresando la altura de presion en metro aire, se tiene I'lp

-

wac

= 0,160(- - 1) = 0,160(

WI

Suponiendo c tenemos

Wair

=

0,910 X 1000 - 1) = 42,0 m de aire 3,45

0,980 y empleando la ecuacion (lrdel Problema 22 despues de multiplicar pc

W = wlQ = 3,45 x in(5/10W(0,980)

j? ~

g(42,0)

1 - (5/10)

4

=

0,196 kg/seg

Para comprobar el valor de c se calcula el numero de Reynolds y se utiliza la curva apropiada Diagrama D. [En este caso, WI = W2 Y V = 1,57 X 10- 3 a la presion normal, dato tornado de la Tabla W (;;-d;!4)w,

Entonces,

RE

= VA = ~ = v

nd2 vw 2

4(0,196) = 271.500 n(5/100)(1,57 x 1,03/3,03)10- 5 (3,45)

Del Diagrama D se deduce c = 0,986. Recalculando, W = 0,197 kg/seg. No es necesaria mayor precision en el calculo puesto que tanto e\ numero de Reynolds como el de c, leido en el Diagrama D, practicamente no varian.

CAP. 9] (b)

MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS

147

En primer lugar se calcula la presion y los pesos especificos. PI = (2,00

+

1,03)10.000 = 30.300 kg/m 2, P2 = (30.300 - 42,0 x 3,45) = 30.152 kg/cm 2

30.152 30.300

P2

W2 k

.

- = - - = 0,995 Y (-) = 0,995 (vease Cap. 1). Luego

PI

W2

= 3,44 kg/m 3

W2

La Tabla 8 da algunos val ores del coeficiente de expansion Y definido en el Problema 23. En este caso se debe interpolar entre las relaciones de presiones 0,95 y 1,00 a fin de obtener Y para P2/Pl = 0,995. Para k = 1,40 Y d 2 /d 1 = 0,50, obtenemos Y = 0,997. Suponiendo c = 0,980, del exam en del Diagrama D y observando que K = 1,032c. la ecuacion (2) del Problema 23 da W

=

w 1 KA 2 yj2g(.1P/w 1 )

= (3.45)(1,032 x 0,980) x in(O,05)2 x 0,997)19,6(42,0) = 0,195 kg/seg Para comprobar c,

RE

4W

4(0,195)

nd2 vw 2

n(0,05)(I,57 x 1,03/3,03)10- 5 (3,44)

= -.-- =

= 271.000

y c = 0,986 (Diagrama D, curva fJ = 0,50). Recalculando, W = 0,196 kg/seg. No es preciso afinar mas. Se observa que apenas se introduce error en la parte (a) al suponer constante la densidad del aire.

25.

Se utiliza un venturimetro de 20 cm x 10 cm para medir el caudal de dioxido de carbono a 20° C. La diferencia de lecturas en la columna de agua del manometro diferencial es de 179,5 cm y el barometro indica 76,0 cm de mercurio. Para una presion de entrada de 1,26 kg/cm 2 absolutos, calcular el caudal en kg/seg. Solucion: La presion absoluta a la entrada es PI = 1,26

X

104 kg/m 2 y el peso especifico

UJ 1

del dioxido de carbona es

4

S

U'l

=

1,26 x 10 2 = 2 24 kg/m 19.2(273 + 20) , ,

I

La presion diferencial = (179,5/100)( 1000 - 2,24) = 1790 kg/m2 y, por consiguiente, la presion en la garganta = P2 = 12.600 - 1790 = 10.810 kg/m2 absolutos. . . P2 10.810 W2 Para obtener el peso especifico Wz uttllzamos ...- = -.-- = 0 860 Y - = (0,860)llk (vease Cap. 1). PI 12.600' WI Asi, pues, W2 = 2,24(0,860)1 / 1.3 = 2,00 kg/m3. W

=

WI

KA z Y )2g(.1p/~(~)

en kg/seg

Usando k = 1,30, d 2 /d 1 = 0,50 Y P2/Pl = 0,860, Y (Tabla 8) = 0,910 por interpolacion. Suponiendo c = 0,985, del Diagrama E, y teniendo en cuenta que K = 1,032c, tenemos

W

=

(2,24)(1,032 x 0,985) x in(lO/IOW x 0,910.j2g(1790/224)

=

2,0) Kg/seg

Para comprobar el valor supuesto de c, se determina el numero de Reynolds y se emplea la curva adecuada en el Diagrama E. Del Problema 24, 4(2,05) 4W RE = - - - = nd2 vu'2 n(lO/100)(0,846 x 1,033/1,260 x 10 5)(2,00)

1,89

X

106

Del Diagrama E, c = 0,984. Recalculando, W = 2,046 kg/seg.

26.

Establecer la relacion que limita la velocidad de un fiuido compresible en pasos convergentes (veloci dad del sonido). Solucion: Despreciando la velocidad de aproximacion en la ecuacion de Bernoulli (D) del Problema 20, Capitulo 6, para un Huido ideal obtenemos v~

2g

_ k (P.:..) k -1 WI

[1 - (1!3.)(k'!)!k] PI

(1)

148

[C

MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS

Ademas, si se sustituye (P211L'2)I/k por (Pdwd l / k antes de la integracion que conduce a la ecuacion (, altura de velocidad seria ~ V' 2g

J

= k- (p') [ ('E2)(k-ll/< k -1 w, P,

1

Si el fluido alcanza la velocidad del sonido C 2 en la Seccion 2, entonces V2 = se Capitulo 1). Sustituyendo en la ecuacion (2), _ k (p') k -1 W2

[(Pl)(k-lJlk P2

C2

y

vi

=

d=

kp2glw2

1J

y simplificando Esta relacion PzIPl se denomina re/acion de /a presion critica y depende del fluido que fluye. Para va de PzIPl iguales 0 menores que la relacion de la presion critica, un gas circulara a la velocidad del sonidc presion en un chorro Iibre circulando a la velocidad del sonido sera igua/o mayor que la presion que 10 f(

27.

Sale dioxido de carbono a traves de un orificio de un deposito en el que la presion manome1 es de 7,733 kg/cm 2 y la temperatura 20° C. i,Cu:i1 es la velocidad en el chorro (presion barom ca normal)? Solucion: De la Tabla I(A), R

=

19,2 Y k

=

1,30.

PI WI

P

(~)

S

PI

= RTI =

(7,733 + 1,033)10.000 19,2(273 + 20)

1,56 kg/m 3

2 )1.30/0.30 = 0,542 critica = (_2_ )(k/k-l) = (__ k + 1 2,30

Relacion (

atmosfera ) presion deposito

1,033

0 118

= -- =

8,766

'

Puesto que esta ultima relacion es men or que la relacion de presion critica, la presion de escape del ga 0,542 x Pl' Por consiguiente, P2 = 0,542 x 8,733 = 4,74 kg/cm 2 absolutos.

V2 = c 2 =

jWx

9,8 x 19,2 x T2 = J245T2

donde T21Tl = (P21Pl 1k -1)/k = (0,542)°·30/1.30 = 0,868, T2 = 254 24,9 m/seg.

28.

0

K. Entonces, V2 = ,j 245 x 25·

Circula nitrogeno a traves de un conducto en el que existen cambios de seccion. En una secc recta particular la velocidad es de 360 m/seg, la presion 0,84 kg/cm 2 absolutos y la temperatl 32° C. Suponiendo que no hay perdidas por rozamiento y que se dan condiciones adiabatic (a) hallar la velocidad en una seccion donde la presion es 1,26 kg/cm 2 y (b) determinar el nUffiI de Mach en esa seccion. Solucion: Para el nitrogeno, R = 30,25 Y k = 1,40 [de la Tabla I(A) del Apendice]. (a)

La ecuacion (D) del Problema 20, Capitulo 6, para condiciones adiabaticas puede escribirse de la fon

V~

2g

_

vi

2g

= ~(&)/[1 _ (P!')(k-ll/kJ k - 1 w,

P,

en donde no se ha considerado la perdida de carga Y ZI

=

Z2'

I

CAP. 9]

149

MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS

El peso especifico del nitrogeno en la seccion 1 es 0,84 x 104

PI

WI

Entonces, (b)

(3~~)Z

-

=

~::~ (0,8~,; 1 10

Vz 227 Numero de Mach = - = , Cz JkgRTz T z = 342

Luego

29.

~;

= RT, = 30,25(273 + 32) = 0,91 kg/m

0

4 )[ 1 -

3 (0

usar PI/U' I = RT , )

(~:~: )°.40 11 .4°]

d on de -Tz -_ (pz TI PI

)(k-I)/k

de donde V z o

227 m/seg.

T 126 _z = (_'_)Z17 = 1 123. 305 0,84 '

227

K y numero de Mach =

=

= 0,605.

Jl,4 x 9,8 x 30,25 x 342

Desarrollar la formula teorica que da el caudal para un vertedero rectangular.

A

-~---.T ---,

h.

f fy

hI

h.

-r--=---

j'

L t

y

S

I

Fig. 9-7

Solucion:

Consideremos la abertura rectangular de la Fig. 9-7, que se extiende a toda la anchura W del canal (b = W). Con la superficie del liquido en la posicion dibujada a trazos, la aplicacion del teo rem a de Bernoulli entre A y una banda elemental de dy de altura en el chorro conduce, para condiciones ideales, a (0 + V~/2g + y) - sin perdidas = (0 + V;J2g + 0) donde VA representa la velocidad media de las particulas que se aproximan a la abertura. Asi, la y

Vch

ideal

=

J2g(y

+ V~/2g)

(idealldQ = dA V ch

=

(b dY)Vch

bV2U (y

+ V~/2g)I/' dy

(ideal)Q

Un vertedero existe cuando hi = 0. Sustituyendo h2 por H e introduciendo un coeficiente de descarga c para obtener el caudal real se tiene Q

cbffg

f

11

(y

*cbffg [(H mb[(H

+ V~/2g)I/' dy

o

+ V;'/2g\3i2

+ V;.l2g)3/2

-

-

(V;'/2g)3/']

(V~/2g)3/2]

(1)

Notas: (1) En un vertedero rectangular con contracciones laterales de la lamina, est as originan una reduccion del caudal. La longitud b se corrige para tener en cuenta esta condici6n y la formula se transforma en Q = m(b - /oH)[(H

+ V~/2g)32

-

(V~/2g)3/2]

(2)

150

MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS

[CAP.

(2) En vertederos gran des y en la mayor parte de los vertederos con contraccion lateral de la lamina, altura de velocidad es despreciable y entonces

Q = m(h - ioH)H 3 / 2 Q

o

para vertederos con contraccion

mhH / 2 3

=

(.

para vertederos sin contraccion

(3) EI coeficiente de descarga c no es con stante. Comprende numerosos factores no incluidos en la der vacion, tales como la tension superficial, viscosidad, distribucion no uniforme de la velocidad, flujos secund. rios y otros.

30.

Deducir la formula teorica del caudal a traves de un vertedero triangular. Vease la figura adjunta. Solucion: Del Problema 29 anterior, Vch = J2g(y

+ despreciable

V2/2g)

(ideal) dQ = dAVch = x dyfiiY

y

Por semejanza de triangulos,

x

H - y

h

H

-

Luego (real) Q

=

y

h

=

o

2H tg2"

Fig. 9-8

(h/H)c.j2i J~ (H - y)y1/2 dy.

Integrando y sustituyendo

(1

Un vertedero en V corriente es el que tiene una abertura de 90°. En este caso, la expresion (1) se transform; en Q = 2,36cH5/2, en donde, para alturas de carga superiores a 0,3 m, un valor medio de c es 0,60 aproxima damente.

S

I 31.

Durante un ensayo sobre un vertedero sin contracciones de 2,4 m de ancho y 0,9 m de altura, h altura de carga se mantuvo constante e igual a 0,300 m. En 36 seg se recogieron 27.000 litros de agua Hallar el factor m del vertedero en las ecuaciones (1) y (4) del Problema 29. Solucion: (a) Caudal en m 3/seg. Q (h)

= 27.000/(1000

Velocidad de aproximacion. V

=

x 36)

= 0,75

m 3/seg.

Q/A = 0,75/(2,4 x 1,2) = 0,260 m/seg. Luego V2/2g = (0,26)2 /2g = 0,00345 m

0,75 = m x 2,4[(0,300

o

+ 0,00345)3/2

- (0,00345)3/2J

y m = 1,87. Aplicando (4),

Q = 0,75 = mhH3/2 = m x 2,4 x (0,300)3/2

y m = 1,90 (aproximadamente 1,6 % mayor al despreciar el termino de la velocidad de aproximacion)

32.

Determinar el caudal a traves de un vertedero sin contracciones de 3,0 m de largo y 1,2 m de alto bajo una altura de carga de 0,900 m. EI valor de m es 1,90. Solucion: Puesto que el termino de la altura de velocidad no puede calcularse, un caudal aproximado es Q = mhH3/2 = 1,90(3)(0,900)3/2 = 4,867 m 3/seg

MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS

CAP. 9]

Para este caudal, V = 4,867/(3 x 2,1) = 0,772 m!seg y V 2!2g blema 29, Q = 1,90(3)[(0,900 + 0,030)3/2 - (0.030)3/2]

= =

151

0,030 m. Aplicando la ecuaci6n (1) del Pro5.082 m 3!seg

Este segundo calculo muestra un incremento de 0,215 m'!seg, 0 sea, aproximadamente un 4,4 % sobre el primer caIculo. Generalmente no estan justificados calculos mas fin OS, es decir. mas alia de la exactitud de la propia formula. Sin embargo, y a titulo ilustrativo, la vclocidad de aproximacion revisada seria

V = 5,082/(3 x 2, I) = 0,807 m/seg y V2/2g = 0,033 m Q = 1,90(3)[(0,900 + O,03Wl2 - (0,033)312] = 5.102 m·l/seg

y

33.

Un vertedero sin contracciones de 7,5 m de largo desagua 10 m3/seg a un canal. EI factor del vertedero es m = 1,88. (,Que altura Z (precision de I cm) debe tener el vertedero si la profundidad del agua detnis del vertedero no excede de 1,8 m? Soludon: Velocidad de aproximacion V = Q/ A = 10/(7,5 x 1,8)·~ 0,74 m/seg. Entonces,

10 = 1,88 x 7.5[(11

(0.74)2 )3/2 _ (0.74)2 )3/2]

2g

Altura del vertedero Z

34.

+

=

2g

11= 0,77 m.

Y

1,80 - 0,77 = 1,03 m.

Se va a instalar en un canal de 2,4 m de ancho un vertedero con contracciones de 1,2 m de altura. EI caudal maximo a traves del vertedero es de 1,62 m 3/seg cuando la profundidad total detras del vertedero es 2,1 m. i.eual sera la anchura del vertedero a instalar si m = 1,87? Soludon: Velocidad de aproximacion V = Q/A = 1,62/(2,4 x 2,1) = 0,321 m/seg. Como en cste caso la altura de velocidad es despreciable, se tiene 1,62

S 35.

=

1,87(b -

10

h = 1,20 m.

x 0,90)(0,90)3/2,

EI agua evacuada a traves de un orificio de 15 cm de diametro (c = 0,600), bajo una altura de carga de 3,0 m, pasa a un canal rectangular y por un vertedero con contracciones. El canal tiene 1,8 m de ancho y, para el vertedero, Z = 1,50 m y h = 0,30 m. Determinar la profundidad de agua en el canal si m = 1,84. Soludon: La descarga a traves del orificio es

Para

~I

Q = cAj2ih = 0.600 x ±rr(O.I 5)2J2g(3.0) = 0.081 m 3 /seg vertedero.

o

Q=

m(b - 1~1I)(1I)3/2

0.081 = 1,84(0.30 - 0,2011)11 3/2

Por tanteos sucesivos. 11= 0,33 m:

36.

(se desprecia la altura de velocidiJd)

y la

Y

profundidad = Z

1,511 3/2 - 11 5 / 2 = 0,220

+ II =

1,50

+

0,33 =

un

m.

EI caudal de agua a traves de un vertedero triangular de 45'" es de 0,020 m 3 /seg. Determinar la altura de carga sobre el vertedero para c = 0,580. Soludon:

II

= 0.263 m

I

152

37.

MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS

[CAP

~Cual

debera ser la longitud de un vertedero trapezoidal (Cipolletti) de manera que la altura carga sea 0,47 m para un caudal de 3,45 m 3 /seg?

~

Solucion: b = 5,75 m

38.

Establecer la formula para determinar el tiempo de descenso del nivel de un Iiquido en un deposito de seccion recta con stante mediante un orificio. Vease la figura adjunta. Solucion: Puesto que la altura de carga varia con el tiempo, sabemos que aVlat of 0, es decir, el flujo no es estacionario. Esto significa que la ecuacion de energia debe corregirse introduciendo un termino de aceleracion, que com plica mucho la solucion. En tanto que la altura de carga no varie demasiado nlpidamente, no se introducinl un apreciable error al suponer el flujo estacionar:o y, por consiguiente, despreciar el terminG de carga de aceleracion. En el Problema 39 se da una comprobacion aproximada sobre el error introducido. Fig. 9-9

CASO A. Si no existe flujo de entrada, el caudal instantaneo sera

m 3 /seg

== cAoyZgh

Q

En un intervalo de tiempo dt, el pequeno volumen dV evacuado sera Q dt. En el mismo intervalo de tiemp! la altura de carga disminuira dh myel volumen evacuado sera el area del deposito AT por dh. Igualando estc val ores,

donde el signo negativo indica que II disminuye al aumentar t. Despejando t, se obtiene

(2

S

J,

I

dt

"

=

o

t,

t2 -

(1

Al aplicar esta expresion puede emplcarse un valor medio del coeficiente de descarga c sin que ella produz ca un error significativo en cl resultado. Como I1 z cs proximo de cero, sc formara un vortice y el orificio dejan de dar un flujo completo. Sin embargo, haciendo h z = 0 no se originara en la mayo ria de los casos un error im portante. La ecuacion (1) puede escribirsc tambien, al multiplicar y dividir por (h + h~/Z), de la forma

rz

t2 -

AT(hl - h,)

tl

Teniendo en cuenta que el volumen evacuado en el ticmpo (lz -

ttl

(2

es AT(h l

-

h 2 ), esta ecuaeion se sim

pH~ca a

volumen evacuado

volumcn evacuado en m 3 caudal medio Q en m 3 /seg

(3

El Problema 14 ilustrara un caso en que la seccion recta del deposito no es constante aunque pueda expre sarse como una funcion de h. Otros casos, tales como recipientes vaciandose, se salen del objeto de este libn (veanse los textos de Water Supply Engineering). Caso B. Con un flujo de entrada constante menor que el flujo a traves del orificio,

y

t = t2 - ti =

i

hz

-ATdh

hI Qsal - Q,n

Si Q. es superior a Qs' la altura de carga aumentaria como es logico.

CAP. 9]

39.

MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS

153

Un deposito de 1,2 m de diametro eontiene aeeite de 0,75 de densidad relativa. Cerea del fondo del deposito se instala un eorto tubo de 7,5 em de diametro (c = 0,85). i,Cuanto tiempo tardara en bajar el nivel del aeeite de 1,8 mal,2 m por eneima del tubo? Solucion:

A fin de evaluar el efecto aproximado al suponer el flujo estacionario, el cambio de velocidad con el tiempo t es v-av dV 2g(l,8) - v 2g(1 ,2) 4,425(1,340 - 1,095) 0,0325 m/seg 2 &=M 33,3 33,3

J

----

Esto representa aproximadamente 1~.~ de g, 0 sea, una despreciable adicion a la aceleracion g. Una tal precision no esta justificada en estos ejemplos de flujo estacionario, particularmente cuando los coeficientes de los orificios no se conocen con tanta exactitud.

40.

La altura de earga inieial sobre un orifieio era 2,7 m y euando el flujo se detuvo la altura de earga medida era 1,2 m. i,8ajo que altura de carga H constante evaeuaria el mismo orificio el mismo volumen de agua en el mismo intervalo de tiempo? Se supone con stante el coeficiente c. Solucion: Volumen bajo carga decreciente = volumen bajo carga constante

Sustituyendo y operando.

t(.)2,7

+ ",,1)2) =

Jii

y

H = 1.88 m.

S 41.

I Un deposito tiene la forma de un conn truncado con 2,4 m de diametro en la base superior y 1,2 m de diametro en la base inferior. El fondo contiene un orificio euyo eoeficiente medio de descarga es 0,60. i,Cm!1 debera ser el diametro del orifieio para vaciar el deposito en 6 minutos si la altura de carga inicial es de 3,0 m? Vease la figura adjunta. Solucion: Del Problema 38, Qdt cAo-../2ih

dt

-7Tx'dh

y, por semejanza de triangulos, x/1,2= (3 + hl/6. Entonces, (0,60 x tr.d!v'2u)dt =

-rr

~1'20mDA

(3 ;5 h )2 h-'/'dh o

d'fdt = o

Puesto que

d~

=

J dl

=

-47T f 257T X 0,60V2u

(3 +h)2h- '/ 'dh

360 segundos,

+4 360 X 25 x 0,60v'2i;

L-~- ...J

I

3

f3 (9h- ' /2+

3m

6h ' /'

+ h 3/')dh

0

[ntegrando y operando, obtenemos d 2 = 0,00975 y d = 0,09R7 m. Emplear d = 10 cm.

t Fig. 9-10

154

MEDlDAS EN FLUJO DE FLUIDOS

[CAP. '

42. Dos depositos cuadrados tiencn una pared comun en la que esta dispuesto un orificio que tienc 230 cm 2 de area y un coeficiente igual a 0,80. EI deposito A tiene 2,4 m de lado y el nivel inicia de agua esta a 3 m por encima del orificio. El tanque B tiene 1,2 m de lado y el nivel inicial de ague esta a 0,9 m por encima del orificio. ~Cuanto tiempo tardara el agua en a\canzar el mismo nive en los dos depositos? SoIuciOn: En un instante dado la diferencia de nivel de las superficies puede tomarse como altura de carga h. En tonces, Q = 0,80 x 0,023jigh

y la variacion de volumen dv

=

Q dt

= 0,0814jh dt.

En este intervalo de tiempo dt la variaci6n de la altura de carga es dh. Considerese que e\ nivel en el depo sito A desciende dy; entonces el correspondiente ascenso de nivel en el deposito B sera 1a relaci6n de las area por dy, 0 sea, (5,76/1,44)dy. La variacion de la altura de carga es, pues, .

dh La variacion de volumen es 0,

=

dy

+

(5,76/1,44)dy = 5dy

[= 1,2 x 1,2 x (5,76/1,44 )eZyJ

dv = 2,4 x 2,4 x dy

dv = (5,76/5)dh = 1,152dh

en funcion de dh, Igualando los valores de dv.

r = -1,1520dh, 0,0814yhdt

dt = --1'152~O h- I / 2 dh, 0,0814 2,1

t = 41,0 seg.

EI problema puede resolverse tambil!n aplicando el caudal medio expresado en la ecuaci6n (3) del Pro· blema 38.

EI deposito A baja y metros mientras e\ B sube (5,76/1,44)r metros con la variaci6n total de nivel de 2.1 m; entonces, y + 4y = 2,1 e y = 0,42 m. Asi. pues, variacion en volumen = 2,4 x 2,4 x 0,42 = 2,42 m 3 y

S

t

43.

2,42 = 41 0 seg 0,059'

Desarrollar la expresion que da el tiempo de descenso del nivel de un Jiquido en un deposito, tanque 0 canal mediante un vertedero sin contracciones. SoluciOn: Q dt

= -AT dH

Luego

44.

variacion en volumen Q medio

= --------- = --

t

=

f

t. t.

(como antes) dt

0

(mLH 3 12 )dt

-A J'''' H--'I'dH = __ T

mL

= -A,. dH.

o

H.

Un canal rectangular de 15 m de largo y 3 m de ancho alimenta un vertedero sin contraccione! bajo una altura de carga de 0,300 m_ Si la alimentacion del canal se corta, ~cuanto ticmpo tardari en descender la altura de carga sobre el vertedero a 10 cm? Emplear m = 1,83. SoIuciOn: Del Problema 43,

2(15 x 3)

1

1= - - - [ - - -

1,83 x 3 jO,I00

45.

1

--=]

= 21,9 seg.

jO,300

Determinar el tiempo necesario para establecer el flujo en una tuberia de longitud L bajo una al· tura de carga H constante descargando en la atmosfera, suponiendo una tuberia inelastica, U11 fluido incompresible y un factor de fricci6n f constante.

I

155

MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS

CAP. 9]

Solucion: La veloeidad final Vf puede dcterminarse a partir de la eeuaeion de Bernoulli

I, vi

vi

II - 1- - k2(/2 g 9

(0 + -2 v; + 0)

=

9

En esta eeuacion. las perdidas menores sc represent an por cI termino k V}!2g. Y la energia en el chorro al final de la tuberia es energia cinetica representada por V}!2g. Esta ecuacion puede escribirse de la forma

r~-I1

-

I I."

Vi]

=-

0

(1)

d 2g

donde LE es la longitud eqllivaJente de Ja tuberia para el sistema (vease Problema 6, Capitulo 8). De la eeuacion del movimiento de Newton. en un instante dado

w(AII,.)

=

~(AI.) dV

=

M dV dt

9

dt

donde H. es la altura de carga efectiva en esc instante yVes una funcion del tiempo y no de la longitud. Reagrupando la ecuacion.

=

dt

wAL ) dV ( -AH gw •

=

(It

o

L dV

(2)

gH.

En la ecuacion (J), para todos los valores intermedios de V eI termino entre corchetes no es cero, sino la altura de carga efectiva utilizable para causar la aceleracion del Iiquido. Por consiguiente. la ex presion (2) puede escribirse de la forftIa

f

•

Puesto que de (1),

f L" 2(1d

g

('

.J

L

H g =

Integrando,

I.dV

(l L"

•

g.

vi _

d 2g

(SA)

II.F. V2) d 2g

L dV g(H - HV2/V;)

o

S

-

d 2g

(' ,cit -

H

Vf'

f'

I.dV

(II _ II,,, V2)

f"f

•

0

(SB)

vi

V2f

v· dV

LVL In (Yf+ v) 2gH Vt - V

Se observani que cuando V se aproxima a Vf' (Vf - V) tiende a eero y, por tanto, matematicamente, t tiende a infinito. Empleando el simbolo cp para la relacion V/Vf • la eeuacion (3E) puede reagruparse de la forma clV

gH (1-')

dt

(5)

L

dV

dt = V, (c/¢/c/t) , obtenemos

HaciendoV

== gHdt VtL Integrando, y cuando

.... In ~

t == O. C = O.

(1 + YN

> Y,

(~!) +

Prof. en el sent. de la corriente Simbolo

Aumenta

M,

----Suave 0< S < S,

ys

> Y > Y,

Y.v

> Y, > y

Y

Subcritico

-----

Disminuye

M.

Subcritico

Aumenta

M3

Supercritico

Disminuye

H.

Subcritico

+

Aumenta

H3

Supercritico

+

Aumenta

C,

Subcritico

Constante

C.

Uniforme. critico

+

> Y,

S=O YN = 00 y,

>y

y > y, = YN

y, = Y = YN

>Y

+

Aumenta

C3

Supercritico

> 1/, > y.'

+

Aumenta

S,

Suhcritico

Disminuye

s.

Supercritico

Aumentar

S3

Supercritico

Disminuye

A.

Subcritico

Aumenta

A3

Supercritico

11,

S

>ronunciada S> S, > 0

1/

=

YN

11c

> y:>

y,

> y.~ > 11

Y

> Y,

Y,

>Y

YN

+

Adversa

S (vease Problema 5), se tiene Ns

=

5/4

I d = 0,062-

D.

d

(8460 x 0,46 )(0,062-) D)

Se precisa suponer un valor de Ns en (2). Empleando Ns 10

=

NjP H 5/4

=

N./20,5 (67)5/4

0

d

241,28--

=

D)

=

(2)

10, tenemos

N = 423 rpm

La velocidad de una rueda de impulsion debe sincronizarse con la velocidad del generador. Para un generador de 50 ciclos con 8 pares de polos, la velocidad N = 6000/(2 x 8) = 375 rpm; y con 7 pares, N = 6000;(2 x 7) = 429 rpm. Empleando, por ejemplo, el generador de 7 pares de polos, el calculo da Ns =

429~5 (67)5 /4

= 10,133

Dc la ecuacion (2) anterior, D) = 241,28d/Ns = 241,28(3,12)/10,133 = 74,29 cm. Para el gcnerador de 7 pares de pol os, N = 429 rpm.

10.

Las turbinas de reacci6n en la instalaci6n de la presa del Hoover tienen una capacidad estimada de 116.600 CV a 180 rpm bajo una carga de 148 m. EI diametro de cada turbina es 3,35 myel caudal es 66,5 m' !seg. Calcular el factor de velocidad, la velocidad unitaria, el caudal unitario, la potencia unitaria y la velocidad espeCifica. Solucion:

Aplicando las ccuacioncs (4) a (11) del principio de este Capitulo. obtenemos los valores siguientes:

235

MAQUINARIA HIDRAULICA

CAP. 12]

1> =

DlN

--~

=

(3,35 x 100)180

Nu =

DlN

r~

(3,35 x 100)180

=

r:-:-;::

y148

.,;H Q

Qu = - - =

0 586 '

=

8460vI4s

8460fi

66,5

= 4957 rpm 3

= 0,0000487 m jseg

~-~--

(335)2vI4s

Drfi P

116.600

P = -= - - - - = 0000577 CV u H 3/2 (33W(148)3/2 '

Dr

Ns = NuPu = 119,1

11.

Una rueda de impulsion gira a 400 rpm bajo una carga efectiva de 60 m y desarrolla 90 CV al freno. Para valores de y d prototipo, Luego D'N p 6 p= 20,593 CY y

Una bomba de 15 cm de diametro suministra 5200 I/Illin contra Ulla aliura de carga de 22,5 III cuando gira a 1750 rpm. En la Fig. 12-5 se representan las curvas altup de carga-caudal y rendlmientocaudal. Para una bomba de 20 em geometricamente semcjante girando a 1450 rpm y suministrando 7200 I/min, determinar (a) la altura de carga probable desarrollada porIa bomba de 20 em, (b) Suponiendo una curva de rendimiento semejante para la bomba de 20 cm, (,que potencia sera requerida para tener el caudal de 7200 I/min?

I

S

liE iiiPtB:; m11.rt!tt:ltl,tri: o c~ ~~: f-H-'" ::+1 +h

>-+

+-+

t

~ooo

0-

~;;:

;·1;:::1;;; ;i::rHHtji+Jl :1: H :1:1 tiH~l;t [1;111: I;'! t-~ ~t:t!; ~ ~ .~+Lt-t ";j+:-t:ttt~

•••••

+

....

4000

I

..

H

6000

0

8000

gpm

Fig. 12-5 Solucion: (a) Las bombas hom610gas tendran identicas caracteristicas a caudales correspondicntes. Se eligen varios caudales para la bomba de 15 cm y se leen las correspondicntes alturas de earga, Se ealeulan los valores de H y Q de manera que pueda representarse una eurva para la bomba de 20 em, Uno de tales ea1culos se detalla a eontinuaei6n y se estableee una tabla de valores para ea1culos semejantes,

CAP. 12]

MAQUINARIA HIDRAULICA

239

Empleando el caudal dado dc 5200 I/min y los 22,5 de carga, obtenemos de la relaeion de veloeidad,

H2O

=

(D2o/Dld(Nzo/NJ,)2HI5 ~ (20/15)2(1450!1750)2H I5

=

-~-- C~ eonstante, obtenemos D'N (D20/D1S)'(N20/N1S)Q1S = (20/15)'(1450/1750)QI5

1,964Q15

U21H l5

=

U21(22,5)

=

27,5 m

De la rclaeion de caudal,

Q20

=

=

1.964(5200) = 10.213 l/min

=

Sc han obtenido los siguiente'i val ores adieionales que han servido para representar la eurva a trazos de la Figura 12-5. Bomba de 15 em a 1750 rpm

Q en l/min 0 2000 3200 4000 5200 6400

Hen m 31,0 29,5 28,0 26,0 22,5 17,0

Bomba de 20 em a 1450 rpm

Q en l/min Hen m

Rendimiento 4 54 (~/~ 64 o/~ 68 I~ 70 ~.0

0 3928 6285 7856 10213 12570

67 ':"

De la cur va altura de earga-eaudal, para Q (h)

7200 IImin la altura de earga es 32,5 m.

=

wQH = 75e

~QO!JI:720?~(6~_: = 0,46 y D/d = 10. Calcular el rendimiento y la velocidad de giro. Sol. 77,7 ~~, 515 rpm

30.

Un modelo de turbina, construido a escala 1 : 5, se ha proyectado para desarrollar 4,25 CV al freno a una velocidad de 400 rpm bajo una carga de 1,80 m. Suponiendo rendimientos equivalentes y bajo una carga de 9 m, i,cuales seran la velocidad y la potencia de la turbina a escala normaj'l Sol. 178,9 rpm, 1188 CV

31.

Determinar el diametro de la rueda de impulsion y su velocidad de giro a partir de los datos siguientes: 4> = 0,46, e = 82 %, Cv = 0,98, D/d = 12, carga = 400 m y potencia cedida = 4800 CV. Sol. 152,4 cm, 510,4 rpm

32.

Una turbina de reaccion girando a velocidad optima produce 34 CV al freno a 620 rpm bajo una carga de 30 m. Si el rendimiento es del 70,0 ~~ y la relacion de velocidad 4> = 0,75, determinar (a) el diametro de la rueda, (b) el caudal en m 3 /seg, (e) la velocidad caracteristica Ns y (d) la potencia al freno y el caudal para una carga de 60 m. Sol. 56,1 cm, 0,121 m 3 /seg, 51,49 rpm, 96,2 CV y 0,171 CV

33.

En condiciones de maximo rendimiento una turbina de 125 cm de diametro desarrolla 300 CV bajo una carga de 4,5 m y a 95 rpm. (,A que velocidad giraria una turbina homologa de 62,5 cm de diametro si trabaja bajo una carga de 7,5 m? i,Que potencia desarrollaria? Sol. 245,3 rpm, 101,4 CV

244

MAQUINARIA HIDRAULICA

[CAP. 12

34.

Una turbina de impulsion de 150 cm de diametro desarrolla 625 CV al freno cuando trabaja a 360 rpm bajo una carga de 120 m. (a) (,8ajo que carga trabajaria una turbina semejante a la misma velocidad a fin de desarrollar 2500 CV al freno? (b) Para la carga calculada, (,que diametro deberia emplearse? Sol. 208,8 m. 197.9 cm

35.

La relacion de velocidad ¢ de una turbina es 0,70 Y la velocidad especifica es 90. Determinar el diametro de la turbina para que la potencia sea 2500 CV con una carga de 100 m. Sol. 104 cm

36.

De un en sa yo sobre una turbina se sacan los siguientes datos: polencia al freno = 22,5 CV. carga = 4,80 m, N = 140 rpm, diametro de la turbina 90 cm y Q = 0,380 m 3/seg. Calcular la potencia de entrada, el rendimiento, la relacion de velocidad y la veiocidad especifica. Sol. 24,32 CV, 92.5 o,{" 0,70, 96,25

37.

Una bomba centrifuga gira a 600 rpm. Se dan los siguientes datos: r 1 = 5 cm, r2 = 20 cm, Al (radial) = 7511. cm 2 , A2 (radial) = 18011. cm 2, fil = 135°, fi2 = 120°, ftujo radial a la entrada de los aJabes. Despreciando el rozamiento, calcular las velocidades relativas a la entrada y a la salida y la pOlencia transmitida al agua. Sol. 4,443 m/seg, 1,451 m/seg, 14,4 CV

38.

i,Cual sera el diametro de una bomba centrifuga que gira a 750 rpm y bombea 0,250 m 3!seg contra una carga de Sol. 32 cm 9 m? Emplear eN = 80.

39.

Una bomba centrifuga suministra 0,070 m 3/seg contra una altura de carga de 7,50 m a 1450 rpm y requiere lIna potencia de 9,0 CV. Si se reduce la velocidad a 1200 rpm. calcular el caudal. altura y potencia, suponiendo el mismo rendimiento. Sol. 0,058 m 3/seg, 5,14 m, 5,1 CV

40.

Una helice de 200 cm de diametro gira a 1200 rpm en una corriente de aire que se mueve a 40 m/seg. Las pruebas realizadas indican un empuje de 325 kg y una potencia absorbida de 220 CV. Calcular, para una den sid ad del aire Sol. 0,406, 0,516 de 0,125 UTM/m 3, los coeficientes de empuje y potencia.

41.

Una helice de 1,50 m de diametro se mueve en agua a 9 m/seg y desarrolla un empuje de 1600 kg. (,Cual es el aumento en la velocidad de la estela? Sol. 0,937 m/seg

42.

Una helice de 20 cm desarrolla un empuje de 7,20 kg a 140 rpm y una velocidad del agua de 3,6 m/seg. Para una helice semejante de un barco que se mueve a 7,2 m/seg, (,que dimension debeni tener la helice para que desarrolle Sol. 500 cm, 11,2 rpm un empuje de 18.000 kg? i,A que velocidad debera girar la helice?

43.

En una chimenea de ventilacion un ventilador produce una velocidad de aire de 25 m 'seg cuando gira a 1200 rpm. (a) i,Que velocidad producira si el venlilador gira a 1750 rpm? (b) Si un motor de 3,25 CY arraslra al ventilador a 1200 rpm, (,que potencia debera tener el motor para lIevar al ventilador a 1750 rpm? Sol. 36,458 m/seg, 10,08 CV

S 44.

Para suministrar 2500 m3/min de aire a un tunel de ventilacion, (,que potencia debera tener el motor de un ventilador si las perdidas en el tune! son 14,4 cm de agua y si el rendimiento del ventilador es del 68 /~? Emplear !Caire = 1,200 kg/m] Sol. 117,65 CV

45.

Una helice de 3 m de diametro se mueve a traves del aire,!C = 1,222 kg/m3, a 90 m/seg. Si se suministran 1200 CV Sol. 941,5 kg, 94,15 o,~ a la helice, i,que empuje desarrollara y cual sera e! rendimiento de la helice?

I

APENDICES Tablas y diagramas

S

I

246

APENDICE

TABLA 1

PROPIEDADES APROXIMADAS DE ALGUNOS GASES

(A)

Gas

Peso especifico u; a 20' C, I Atm. kg/m 3

Constante R del gas mrK

Exponente adiabatico k

Viscosidad cinematica v a 20° C, I Atm. m 2jseg

Aire Amoniaco Anhidrido carbonico Metano Nitrogeno Oxigeno Anhidrido sulfuroso

1,2047 0,7177 1.8359 0.6664 1,1631 1,3297 2,7154

29,3 49,2 19.2 53,0 30,3 26,6 13,0

1,40 1,32 1,30 1,32 1,40 1,40 1,26

1,488 x 10- 5 1,535 0,846 1,795 1,590 1,590 0,521

-

I

S (B)

AI.GUNAS PROPIEDADES DEL AIRE A LA PRESION ATMOSFERICA

Temperatura °C

Densidad p UTM/m 3

Peso especifico u; kgjm 3

Viscosidad cinematica v , m 2jseg

Viscosidad dinamica J.I kg seg/m2

-20 -10 0 10 20 30 40 50

0,1424 0.1370 0,1319 0,1273 0,1229 0,1188 0,11 50 0.1115

1,3955 1,3426 1,2926 1,2475 1,2047 1,1642 1,1270 1,0927

1,188 x 10- 5 1,233 1,320 1,415 1,488 1,600 1,688 1,769 x 10- 5

16,917 X 10- 7 16,892 17,411 18,013 18,288 19,008 19,412 19,724 X 10- 7

(C)

PROPIEDADES MECANICAS DEL AGUA A LA PRESION ATMOSFERICA

Temp. °C

Densidad UTM/m 3

Peso especifico kg/m 3

Viscosidad dinamica kg seg/m2

Tension superficial kg/m

Presion de vapor kg/cm 2 (ab)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 50

101,96 101,97 101,95 101,88 101,79 101,67 101.53 101,37 101,18 100,76

999,87 999,99 999,73 999,12 998,23 997,07 995,68 994,11 992.25 988,07

18,27 x 10 5 15,50 13,34 11.63 10,25 9,12 8,17 7,37 6,69 5,60 x 10- s

0,00771 0,00764 0,00756 0,00751 0,00738 0,00735 0,00/28 0,00718 0,00711 0,00693

0,0056 0,0088 0,0120 0,0176 0,0239 0,0327 0,0439 0,0401 0,0780 0,1249

MOdulo de elasticidad volumetrico kg/cm 2 20200 20900 21500 22000 22400 22800 23100 23200 23300 23400

247

APENDICE

TABLA 2 DENSIDAD RELA TIV A Y VISCOSIDAD CINEMATICA DE ALGUNOS LIQUIDOS (Viseosidad einematiea

=

valor de la tabla ,x 10 -0)

Disolvente comercial

Agua**

TetracIoruro de carbono

Aceite lubricante medio

Temp. °C

Densid. relal.

Visco einem. m 2/seg

Densid. relal.

Vise. cinem. m 2 jseg

Dcnsid. relat.

Visco cincm. m 2 /seg

Densid. relal.

Viseos. einerr.. m 2/seg

5 10 15 20 25 30 35 40 50 65

1',000 1,000 U,999 0,998 0,997 0,995 0,993 0,991 0,990 0,980

1,520 1,308 1,142 1,007 0,897 0,804 0,727 0,661 0,556 0,442

0,728 0,725 0,721 0,718 0,714 0,710 0,706 0,703

1,476 1,376 1,301 1,189 1,101 1,049 0,984 0,932

1,620 1,608 1,595 1,584 1.572 1,558 1,544 1.522

0,763 0,696 0,655 0,612 0,572 0,531 0,504 0,482

0,905 0,900 0,896 0,893 0,890 0,886 0,883 0,875 0,866 .0.865

471 260 186 '

I

122 . 92 71 54,9 39,4 25,7 15,4

I

S

Aceite a prueba de polvo*

Fuel-oil medio·

Gasolina*

Fuel-oil pesado*

·C

Densid. relal. I

Vise. einem. m 2/seg

Densid. relal.

Vise. einem. m 2 jseg

Densid. rei at.

Visco eincm. m2/seg

Densid. relat.

Visco einem. m 2/seg

5 10 15 20 25 30 35 40

0,917 0,913 0,9\0 0,906 0,903 0,900 0,897 0,893

72,9 52,4 39,0 29,7 23,1 18,5 15,2 12,9

0,865 0,861 0,857 0,855 0,852 0,849 0,846 0,842

6,01 5.16 4,47 3,94 3,44 3,11 2,77 2,39

0,918 0,915 0,912 0,909 0,906 0,904 0,901 0,898

400 290 201 156 118 89 67,9 52,8

0,737 0,733 0,729 0,725 0,721 0,717 0,713 0,709

0,749 0,710 0,683 0,648 0,625 0,595 0,570 0,545 ,

Temp.

o

Algunos otros Jiquidos

* **

Liquido y temperatura

Densid. rclat.

Visco einem. m 2iscg

Turpenti-na a 20" C Aeeite de Iinaza a 30° C Alcohol etilieo a 20' C Beneeno a 20" C Glieerina a 20" C Aeeite de castor a 20° C Aeeite ligero de maq. a 16,5 C

0,862 0,925 0,789 0.879 1,262 0,960 0,907

1,73 35,9 1,54 0,745 662 1030 137

Kessler y Lenz, Universidad de Wisconsin, Madison. ASCE Manual 25.

APENDICE

248

TABLA 3 COEFICIENTES DE FRICCION

f

PARA AGUA SOLAMENTE

(Intervalo de temperatura aproximado de 10" C a 21° C) Para tuberia, viejas - intervalo aproximado de E: 0,12 em a 0,60 em Para tu berias usadas - intervalo aproximado de E: 0,06 em a 0,09 em Para tuberias nuevas - intervalo aproximado de E: 0,015 em a 0,03 em (f = valor tabulado x 10- 4) Diametro y tipo de tuberia

0.3

0.6

0.9

1,2

1.5

1,8

2,4

3,0

4.5

6,0

9,0

Comereial vicja Comereial usada 10 em Tubcria nueva Muy lisa

4:3.5 3.55 300 240

415 320 2()5 205

410 310 250 InO

405 300 240 180

400 2DO 230 170

3U.5 285 225 1()5

3U5 280 220 155

390 270 210 150

385 260 200 140

375 250 190 130

370 250 185 120

Comcreial vieja Comereiai usada em Tuberia nueva Muy lisa

425 :3:35 275 220

410 :310 250 IDO

405 :300 240 175

400 285 225 165

3D5 280 220 160

395

275 210 150

.'lUO 265 205 145

38.5 260 200 140

380 250 190 130

375 240 180 120

365 235 175 115

Comereial vieja Comereial usada em Tuberia nueva Muy lisa

420 .'320 2(i5 205

405 300 240 180

400 285 225 In5

:3!J5 280 220 155

3DO 270 210 150

385 2(;5 205 140

380 260 200 135

375 250 190 130

370 240 185 120

365 235 175 115

360 225 170 110

Comereial vieja Comereial usada em Tuberia nueva Muy lisa

415 315 260 200

-105 2% 170

400 280 220 160

3U5 270 210 150

390 265 205 145

385 2(iO 200 135

380 255 1DO 130

375 245 185 125

370 240 180 115

365 230 170 110

360 225 165 105

Comereial vieja Comereial usada em Tubcria nueva Muy lisa

415 310 250 IUO

400 285 225 165

3!J5 275 210 150

395 265 205 140

390 260 200 140

385 255 195 135

380 250 190 125

375 240 180 120

365 235 175 115

360 225 165 110

355 220 160 105

Comereial vieja Comereial usada em Tuberia nueva Muy lisa

405 300 240 180

395 280 220 155

390 2(;5 205 140

385 2fiO 200 135

380 255 In5 1:l0

375 250 190 125

370 240 180 120

365 235 175 115

360 225 170 110

350 215 160 105

350 210 155 100

Comereial vieja Comereial usada em Tuberia nueva Muy lisa

400 2!JO 230 170

3n5 275 210 150

390 265 200 135

:385 255 1!J5 1:l0

380 250 125

:l75 245 180 120

370 235 17.5 115

365 230 170 110

360 220 165 105

350 215 160 100

350 205 150 95

Comereial vieja Comereial usada em Tuberia nueva Muy lisa

400 285 225 1G5

395 265 200 140

385 255 1D5 135

:j80 250 190 125

:375 245 185 120

370 240 180 120

365 230 175 115

360 225 170 110

355 220 165 105

350 210 155 100

345 200 150 95

Comereial vieja Comereial usada em Tuberia nueva Muy lisa

400 2)-;0 220 160

38G 255 195 l.'lfi

:380 2S0 190 1:30

.'375 24fi 185 120

:no 240 180 115

365 2:1O 175 11fi

:160 225 170 110

355 220 Hi5 110

350 210 160 105

350 205 155 100

345 200 150 95

Comereial vieja Comereial usada em Tuberia nueva Muy lisa

395 275 215 1fiO

:385

~no

I D5 1:3:;

375 245 185 12fi

240 180 120

;)li5 2:35 17.5 115

31i() 2:lO 170 110

35fi 225 ](i5 110

355 220 1IiO 105

350 210 155 100

345 200 150 ()5

340 195 145 90

Cornercial vieja Comercial usada em Tuberia nueva Muy lisa

395 265 205 140

3~5

.'no

:3G5

250 l!)O 125

240 180 120

2:lO 175 115

3(iO 225 170 110

35.5 220 165

;)50 21.5 ](;0 10.5

.'>50 210 155 100

:li5 200 150 9.5

340 195 145 90

335 190 140 90

15

20

25

S

VELOCIDAD (m/seg) 1----

30

40

50

60

75

90

120

2:~0

255

1DO

110

I

249

APENDICE

TABLA 4 PERDIDAS DE CARGA EN ACCESORIOS (Subindice I = aguas arriba y subindice 2 = aguas abajo)

Accesorio

Perdida de carga media

1. De deposito a tuberia - conexion a ras de la pared (perdida a la entrada)

050 V; , 2g

- tube ria entrante

100 V; , 2g

-conexion abocinada

005 V; , 2g

t--

100 Y]. , 2g

2. De tuberia a deposito (perdida a la salida)

(V,-V..r. 2g

3. Ensanchamiento brusco

S

4. Ensanchamiento gradual (vease Tabla 5)

K(V'- V,)' 2g

5. Venturimetros, boquillas y orificios

(_1,_ 1) V;

2g

c;

-

f---

YI

6. Contraccion brusca (vcase Tabla 5)

K

7. Codos, accesorios, valvulas *

V' K2g

'2g

Algunos val ores corrientes de K son: 45', codo ......................... 90", codo ......................... Tes .............................. V{dvulas de compuerta (abierta) ..... Valvulas de control (abierta) ........

0,35 a 0,45 0,50 a 0,75 1,50 a 2,00 aprox. 0,25 aprox.3,O

• Veanse manuales de hidnlulica para mas detalles.

I

250

APENDICE

TABLA 5 V ALORES DE K* Contracciones y ensanchamientos

Contraccion brusca

Ensanchamiento gradual para un anguJo total del cono

,-----:---

----

d,/d,

K,

4°

10"

15°

20 e

30°

50°

60°

1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,5 3,0 4,0 5,0

0,08 0,17 0,26 0,34 0,37 0,41 0,43 0,45 0,46

0,02 0,03 0,03 0,04 0,04 0,04 0.04 0,04 0,04

0,04 0,06 0,07 0,07 0,07 0,08 0.08 0,08 0,08

0,09 0,12 0,14 0,15 0,16 0,16 0,16 0,16 0,16

0,16 0,23 0,26 0,28 0,29 0.30 0,31 0,31 0,31

0,25 0,36 0,42 0,44 0,46 0,48 0,48 0,49 0,50

0,35 0,50 0,57 0,61 0,63 0,65 0,66 0,67 0,67

0,37 0,53 0,61 0,65 0,68 0,70 0,71 0,72 0,72

~-

*

~~~

---~-

Valorcs tornados de King, Handhook of Hvdraulics. McGraw-II ill Book Company.

I

S TABLA 6 ALGUNOS V ALORES DEL COEFICIENTE C 1 DE HAZEN-WILLIAMS

Tuberias rectas y muy Iisas .......................................... .

140

Tuberias de fundici6n lisas y nuevas ...................... , ....... .

130

Tu berias de fundicion usadas y de acero roblonado nuevas. . . . . . . . . . . . .

110

Tuberias de alcantarillado vitrificadas ................................ .

110

Tuberias de fundici6n con algunos anos de servicio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

100

Tuherias de fundicion en mal as condiciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

251

APENDICE

TABLA 7

COEFICIENTES DE DESAGUE PARA ORIFICIOS CIRCULARES DE ARIST AVIV A Para agua a 15° C vertiendo en aire a la misma temperatura

Altura de carga en metros

S

0,24 0,42 0,60 UO 1.80 2,40 3,00 3,60 4,20 4,80 6,00 7,50 9,00 12,00 15,00 IS,OO

0.(,25

1,250

1,875

2,500

5,00

,---------

0,647 0,635 l1.629 0,621 0,617 0,614 0,613 0,612 0,611 0,610 0,609 0,608 0,607 0,606 0,605 (J,605

0,627 0,619 0,615 0,609 0,607 0,605 0,604 0,603 J,603 0,602 (),602 0,601 0,600 0,600 Oj99 0,599

0,616 0,610 0,607 0,603 0,601 0,600 O,60() 0,599 0,598 0,598 0,59)1 0,597 0,597 Oj96 0,596 0,596

0,609 0,605 0,603 0,600 0,599 0,598 0,597 0,597 0,596 0,596 0,596 0,596 0,595 0,595 0,595 0,594

0,603 0,601 0,600 0,598 0,597 0,596 0,596 0,595 0,595 0,595 0,595 0,594 Oj94 0,594 0,594 0,593

0,601 0,600 0,599 0,597 0,596 0,595 0,595 0,595 0,594 0,594 0,594 0,594 0,594 C,593 0,593 0,593

Diametro del orificio en em -~

~~~---~~~

---~~-- ~~---~--r------- ~~-----

10,00

Fuente: F. W. Medaugh y G. D. Johnson, Civil EngL, julio 1940, pag. 424.

I

252

APENDICE

TABLA 8 ALGUNOS FACTO RES DE EXPANSION Y PARA FLUJO COMPRESIBLE A TRAVES DE TOBERAS Y VENTURIMETROS Relacion de diametros (dl/dl) p'; PI

k 0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,95

1,40 1,30 1,20

0,973 0,970 0,968

0,972 0,970 0,967

0,971 0,968 0,966

0,968 0,965 0,963

0,962 0,959 0,956

0,90

1,40 1,30 1,20

0,944 0,940 0,935

0,943 0,939 0,933

0,941 0,936 0,931

0,935 0,931 0,925

0,925 0,918 0,912

0,85

1,40 1,30 1,20

0,915 0,910 0,902

0,914 0,907 0,900

0,910 0,904 0,896

0,902 0,896 0,887

0,887 0,880 0,870

0,80

lAO 1,30 1,20

0,886 0,876 0,866

0,884 0,873 0,864

0,880 0,869 0,859

0,868 0,857 0,848

0,850 0,839 0,829

0,75

1,40 1,30 1,20

0,856 0,844 0,820

0,853 0,841 0,818

0,846 0,836 0,812

0,836 0,823 0,798

0,814 0,802 0,776

0,70

1,40 1,30 1,20

0,824 0,812 0,794

0,820 0,808 0,791

0,815 0,802 0,784

0,800 0,788 0,770

0,778 0,763 0,745

f---

S

I

Para Pllpl = 1,00, Y = 1,00.

TABLA 9 ALGUNOS VALORES MEDIOS DE n EMPLEADOS EN LAS FORMULAS DE KUTTER Y MANNING Y DE m EN LA FORMULA DE BAZIN Tipo de canal abierto

n

m

Cemento muy pulido, madera muy bien acepillada Madera acepillada, acequias de duelas de madera nuevas, fundicion Tuberia de alcantarillado bien vitrificada, buena mamposteria, tuberia de hormigon, ordinario, madera sin acepillar, acequias de balasto liso Tuberia de alcantarillado de arcilla ordinaria y tube ria de fundicion ordinaria, cemento con pulido ordinario Canales de tierra, rectos y bien conservados Canales de tierra dragados en condiciones ordinarias Canales labrados en roca Rios en buenas condiciones

0,010

0,11

0,012

0,20

0,013

0,29

0,015 0,023 0,027 0,040 0,030

0,40 1,54 2,36 3,50 3,00

253

APENDICE

TABLA 10 VALORES DE C DE LA FORMULA DE KUTTER

Pendiente S

0,00005

0,0001

0,0002

S 0,0004

0,001

0,01

Radio hidniulico R en metros 11

0,06 0,09 0,12 0,18 0,24 0,30 0,45 0,60 0,75 0,90 1.20 1,80 2,40 3,00 4,50 85 70 55 47 40 31 26

91 75 59 51 44 34 28

95 78 62 54 46 36 30

98 82 65 57 49 39 32

103 87 70 62 52 43 36

110 93 76 67 58 47 41

114 97 80 71 61 51 43

118 100 83 74 64 53 46

121 104 88 78 69 57 50

87

95 79 63 55 47 37 30

98 82 65 57 49 39 33

103 86 69 61 52 43 35

108 91 74 65 56 46 40

112 94

57 49 41 33 26

92 76 60 52 45 35 29

114 96 79 71 61 51 44

117 99 83 75 65 54 47

89

93

73

77

61 54 45 36 29

98 82 65 57 49 39 33

102 85 68 61 52 42 35

107 89 73 65 55 46 38

109 92 76 67 58 47 41

112 94

58 50 42 33 27

96 79 63 55 47 38 31

77

114 97 80

69 60 50 43

62 52 45

84 69 54 46 39 30 24

91 74 59 51 43 33 28

94 78 62 54 46 36 30

96 80 63 56 47 38 31

98 82 65 57 49 39 33

102 84 68 61 52 41 35

106 89

108 91 74 66 57 47 40

110 112 93 95 76 78 68 71 59 61 49 51 41 44

83 67 52 45 38 29 23

86 70 54 47 39 30 25

91 75 59 51 43 34 28

95 78 62 54 46 36 30

97 80 64 56 48 38 31

98 82 66 58 49 39 33

102 85 68 61 51 41 35

105 88

108 91 73 66 57 46 40

109

III

92

94 78 70 60 50 43

83 67 52 45 38 29 24

86 71 55 47 40 31 25

91 75 59 51 43 34 28

95 78 62 55 46 36 30

97 80

98 82 66 5S 49 39 33

102 S5 68 60 51 41 35

105 88 71 63 54 44 37

107 90

108

73

75 67 58 47 40

0,010 0,012 0,015 0,017 0,020 0,025 0,030

48 38 29 24 19 14 12

54 43 32 28 23 17 14

60 49 36 31 25 19 15

68 54 42 36 29 23 18

73 59 46 40 33 25 20

0,010 0,012 0,015 0,017 0,020 0,025 0,030

54 42 31 26 21 15 13

60 47 35 30 25 19 15

65 52 40 34 28 21 17

72

77

58 45 39 31 24 19

62 49 41 35 26 22

81 66 51 44 37 28 23

0,010 0,012 0,015 0,017 0,020 0,025 0,030

58 46 34 29 23 17 14

63 51 38 33 26 19 15

69 55 42 36 29 22 18

76 61 46 40 33 25 20

80 65 50 43 36 28 22

83 68 53 46 38 30 24

0,010 0,012 0,015 0,017 0,020 0,025 0,030

61 48 35 30 24 18 14

67 52 40 34 28 20 17

71 57 43 38 30 23 18

77

62 48 41 34 26 21

82 66 51 44 37 28 23

0,010 0,012 0,015 0,017 0,020 0,025 0,030

62 49 36 30 25 18 15

68 54 41 35 28 21 17

73 58 44 38 31 24 19

79 63 49 42 34 26 21

0,010 0,012 0,015 0,017 0,020 0,025 0,030

63 49 37 31 25 19 15

69 55 42 35 29

73 59 45 38 31 24 19

79 64 49 43 35 27 22

22

17

77

62 49 43 35 27

22

72

64

57 48 38 32

72

64 55 45 38

72

63 54 45 38

77

69 59 49 41

65 56 46 39

75 67 58 48 41 92

72

110 94 77

70 60 50 43

I

APENDICE

254

TABLA 11* VALORES DEL FACTOR DE DESCARGA K EN Q PARA CANALES TRAPEZOIDALES (\' =

profundidad de la corriente, b

=

= (K/n)yB/3S 1/ 2

anchura de la solera del canal)

Pcndientes de los lados de la seccion del canal (horizontal a vertical)

S

]lIb

Vertical

OJJ1 0,02 0,03 0.04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 (),12 n.13 0.14 0,15 0.16 0.17 O.lS (l.19 (J,20 n.:?2 n.24 0.26

9R,7 48,7 32,0 23,8 18,8 15,5 13,12 11,31 9.96 8,88 7,96 7,22 6.60 6,06 5,60 5,20 4,84 4,53 4,25 4,00 3.57 3.21 2,91 2,66 2.44 2,25 2.08 1,94

~).28

0,30 OJ2 0,34 0,36 0,38 OAO 0,42 0,44 0.46 O,4S O.S(J 0.55 0,60 0,70 O,SO 0,90

LOO I,20 1.40 1,60 1,80 2,00 2.25

U.;o 1.69 1.59 1.49 1.41 I. 33 1.26 1.11 0, lJS3 0.794 0.661 O.SS9 OASI 0.369 0.293 0.240 0,201 0,171 0.143

1: 1

J :1

1:1

99.1 49,1 32,4 24,1 19,1 15,8 13,46 11,64 10,30 9,22 8.30 7.56 6,92 6,39 5,92 5,52 5.16 4,85 4,56 4.31 , 3,88 3,51 3,21 2,95 2,73 2,54 2.36 2,21 2,08 1,97 1,86 1,76 1.67 1.59 1,52 1,36 I,23 1,03 (J.8S2 0,774 0,686 0,563 0.476 OAI5 0,367 0,330 0.295

99,3 49,4 32,7 24,4 19,4 16,1 13,73 11,98 10,57 9.49 8,59 7,84 7,21 6,67 6,20 5,79 5,44 5,12 4,84 4,58 4,15 3,78 3.47' 3,21 2,99 2,79 2,62 2.47 2.34 2,21 2,11 2,01 1.92 1,83 1,76 1,59 1,46 I,26 1,10 0,989 0.895 0,767 0,672 ,0.604 0,552 0,511 0.471

99,6 49,6 33,0 24,6 19,7 16,4 14,0 12,18 10,83 9,69 8,82 S,08 7,44 6,90 6,44 6,03 5.67 5,36 5,07 4,82 4,38

• Valorcs tornados de King. de Handhook

~,OI

3,71 3,45 3,22 3,02 2,85 2,70 2,56 2,44 2.33 2,23 2,14 2,06 1,98 1.82 1,68 1,47 1,31 1,20 1,10 0,962 0,868 0,794 0,740 0,700 0,655

1:1

q:1

2:1

2t: 1

3:1

4:1

99,8 49,8 33,2 24,8 19,9 16,6 14,2 12,38 11,04 9,96 9,03 8,28 7,65 7,11 6,65 6,24 5,88 5,57 5,28 5,03 4,59 4,22 3,92 3,65 3,43 3,23 3,06 2,90 2,77 2,64 2,54 2,44 2.34 2,26 2,19 2,02 1,88 1,67 1,51 _ 1,39 1,30 1,16 1,06 0,983 0,929 0,882 0,834

100,1 50,1 33,5 25,2 20,2 16,9 14,5 12,72 11,37 10,30 9,35 8,61 8,01 7,47 7,00 6,60 6,25 5,93 5,65 5,39 4,95 4,59 4,29 4,02 3,80 3,60 3,43 3,28 3,14 3,01 2,91 2,81 2,72 2,63 2,56 2.39 2,25 2,04 1,88 1,76 1,66 1,52 1,42

100,4 50,4 33,8 25,4 20,5 17,2 14,8 13,06 11,71 10,57 9,69 8,95 8,34 7,81 7,34 6,92 6,58 6,26 5,98 5,72 5,29 4,93 4,62 4,36 4,14 3,94 3,77 3,62 3,48 3,36 3,25 3,15 3,06 2,98 2,90 2,74 2,60 2,39 2,23 2,11 2,01 1,86 1,76 1,69 1,63 [,58 [,53

100,6 50,7 34,1 25,7 20,8 17,5 15,1 13,33 11,98 10,90 10,03 9,29 8,61 8,08 7,67 7,23 6,88 6,57 6,29 6,04 5,61 5,24 4,95 4,68 4,46 4,27 4,10 3,94 3,81 3,69 3,58 3,48 3,39 3,31 3,24 3,07 2,93 2,72 2,56 2,44 2,34 2,20 2,10 2,02 [,96 [,9[ 1,86

100,9 50,9 34,3 26,0 21,0 17,7 15,3 13,59 12,25 11,17 10,30 9,56 8,95 8,41 7,94 7,54 7,19 6,87 6,60 6,35 5,92 5,56 5,26 5,00 4,78 4,59 4,41 4,27 4,13 4,01 3,90 3,81 3,7[ 3,63 3,56 3,40 3,26 3,05 2,89 2,77 2,67 2,53 2,42 2,35 2,29 2,24 2,19

101,3 51,3 34,7 26,4 21,5 18,2 15,9 14,13 12,79 11,71 10,83 10,09 9,49 9,02 8,55 8,14 7,81 7,47 7,20 6,93 6,53 6,18 5,88 5,63 5,41 5,22 5,05 4,90 4,77 4,65 4,54 4,44 4,35 4,27 4,20 4,04 3,90 3,69 3,54 3,42 3,32 3,[8 3,08 2,99 2,93 2,89 2,84

US 1,29 1,24 [,19

ol Hydraulics, 4.' ed., McGraw-Hili Co.

I

255

APFNDICF

TABLA 12* VALORES DEL FACTOR DE DESCARGA K' EN Q PARA CANALES TRAPEZOIDALES (1'

S

=

profundidad de la corricnte, h

=

=

(K' n)h~lSl!2

anchura de la solcra del canal)

Pendientes de los lados de la seccion del canal (horizontal a vertical)

y/b

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40 0,42 0,44 0,46 0,48 0,50 0.55 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,20 1,40 1.60 1,80 2,00 2,25

Vertical

0,00046 0,00143 0,00279 0,00444 0,00637 0,00855 0,01090 0,01346 0,0162 0,0191 0,0221 0,0253 0,0286 0,0320 0,0355 0,0392 0,0429 0,0468 0,0507 0.0546 0,0629 0,0714 0,0801 0,0888 0,0983 0,1077 0,1171 0,1272 0.137 0,147 0,157 0,167 0,178 0,188 0,199 0,225 0,252 0.308 0,365 0,423 0,4XO 0.600 0,720 0.841 0,962

l,mn 1.238

I

t: 1

~ :1

;t : 1

1: 1

1 ~\ : 1

2:1

2J :1

3 :1

0,00046 0,00145 0,00282 0,00451 0,00649 0,00875 0,01117 0,0139 0,0168 0,0198 0,0231 0,0264 0,()300 0,()338 0,0376 0,0417 0,0458 0,0501 0,0544 0,0590 0,0683 0,0781 0,0882 0,098Y 0,1097 0,1211 0,133 0.145 0,157 0,170 0,184 0,197 0,211 0,225 0,239 0,276 0.315 0,398 0,488 0,585 0.688 0,915 1,171 1,454 1,763 2,100 2.564

0,00046 0,00145 0,00285 0,00457 0,00659 0,00888 0,01144 0,0142 0,0172 0,D205 0,0238 0,0275 0,0312 O,OJ53 0,0394 0,0437 0,0482 0,0529 0,0577 0,0627 0,0734 0,0841 0,0956 0,108 0,120 0,134 0.147 0,162 0,177 0,192 0,208 0,225 0,242 0,259 0,277 0,324 0.375 0,485 0,610 0,747 0,X95 1,245 1.649 2,113 2,645 3,244 4,098

0,00046 0,00146 0,00287 0,00461 0,00667 0,00902 0,01164 0,0145 0,0176 0,0209 0,0245 0,0283 0,0323 0,0365 0,0409 0,0455 0,0503 0,0553 0,0605 0,0659 0,0774 0,0895 0.1 023 0,116 0,130 0,145 0,160 0,177 0.194 0.212 0,230 0)50 0,270 0,291 0,312 0.369 0,431 0,56S 0,725 0,902 1,104 1.5fi8 2.127 2,786 3,553 4,428 5.693

0,00046 0,00147 0,00288 0,00465 0,00674 0,00915 0,01178 0,0147 O,OlilO 0,0214 0,0251 0,0290 0,0332 0,0376 0,0422 0,0471 0,0522 0,0575 0,0630 0,0687 0,0808 0,0942 0,1077 0.122 0,138 0,155 0,172 0,190 0,210 0,229 0,251 0,273 0,295 0,319 0,344 0,410 0,41)3 0.fi45 0,834 1,050 1,299 1,S7X 2,591 3,445 4,441 5,599 7,26S

0,00046 0,00148 0,00291 0,00471 0,00686 0,00929 0,01211 0,0151 0,0185 0,0221 0,0260 0,0303 0,0347 0,0395 0,0445 0,0498 0,0554 0,0612 0.0764 0,07 3f1 0,0875 0,1023 0.1178 0,135 0.153 0.172 0,193 0,215 0,238 0,262 0,287 0,314 0.343 0.372 0,402 0,486 0,577 0.7>37 1,036 1,332 1.062 2,470 3,479 4,704 6.157 7,873 10,363

0,00046 0,00149 0,00293 0,00476 0,00695 0,00949 0,01231 0,0155 0,0190 0,02n 0,0269 0,0314 0,0361 0,0412 0,0466 0,0523 0,0583 0,0646 0,0713 0,0783 0.0935 0.1097 0.1272 0,146 0,167 0,189 0,213 0,238 0,264 0,292 0.322 0,353 0,386 0,421 0,457 0,556 0,666 0,922 1.231 1,58g 2.012 3.035 4.320 5,90S 7.80fi 10.027 13,324

0,00046 0,00149 0,00295 0,00482 0,00705 0,00962 0,01258 0,0159 0,0194 0,0234 0,0278 0,0324 0,0374 0,0428 0,0485 0,0546 0,0610 0,0678 0,0750 0,0826 0,0989 0,1164 0,1359 0,157 0,180 0,205 0,231 0.259 0,289 0.320 0,354 0.390 0,428 0,468 0,509 0,623 0.752 1.050 1,413 1.844 2.342 3.580 5.141 7.079 9.421 12,180 16.218

0,00047 0,00150 OJ)029f1 0,00489 0,00713 0,00976 0,01277 0,0162 0,0199 0,0241 0,0285 0,0334 0,0387 0,0443 0,0504 0,0569 0,0637 0,0710 0,0787 0,0868 0,1043 0.1238 0,1447 0.16R 0.193 0,220 0,256 o,no 0,313 0,349 0,386 0,426 0,468 0,513 0.561 0.690 0,g34 1.17R 1.595 2.093 2,672 4.112 5.949 8.210 10.969 14.266 19,112

• Valore, tomados de King. de Handhook of Hrdrau/i(\. 4.' ed. McGraw·Hill Co

4: 1

0,00047 f),OOI51 OJJ0302 0,00495 0,00])1 0,01009 0,01326 0,0168 0,0209 0,0253 0,0301 0,0355 0,04'13 0,0475 0.0542 0,0614 0,0690 0,0773 0,0859 0.0952 0.1151 0.1373 0,1622 0.189 0,218 0,250 0,285 0.322 0.361 0,404 0,450 0,498 0,549 0,604 0.662 O,S21 1.003 1,427 1.952 2.577 3JlfI 5,162 7.537 10,498 14.065 n-U71 24,697

256

APENDICE

TABLA 13 AREAS DE CIRCULOS Diametro interior (em)

Area (em 2 )

Diametro interior (em 2 )

Area (em 2 )

2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 15,0 20,0

3,14 4,91 7,07 9,62 12,57 15,90 19,64 23,76 28,27 38.48 50,27 63,62 78,54 176,7 314,2

25 30 35 40 45 50 75 100 125 150 175 200 225 250 300

490,9 706,9 962,1 1.257 1.590 1.964 4.418 7.854 12.272 17.672 24.053 31.416 39.761 49.087 70.686

TABLA 14

I

S PESOS Y DIMENSIONES DE TUBERIAS DE FUNDICION Tuberia tipo A (earga 30 m)

Diam. Nom. de tuberia

(in) 4 6 8 10 12 14 16 18 20 24 30 36 42 48 54 60 72 84

Espesor de pared (em (em) aprox.)

10 15 20 25 30 35 40 45 50 60 75 90

105 120 135 150 180 210

1,07 1,12 1,17 1,27 1,37 1,45 1,52 1,63 1,70 1,93 2,24 2,51 2,79 3,20 3,43 3,53 4,11 4,37

Diam. interior (em)

10,06 15,29 20,65 25,65 30,78 35,97 4L15 46,28 51,46 61,67 76,15 91,39 106,68 121,87 137,06 152,45 183,13 213,61

Peso (kg/m)

29,8 45,8 63,9 85,0 107,9 133,4 161,2 192,3 223,3 304,0 434,2 583,1 762,9 992,4 1. I 90,8 1.364,5 1.908,3 2.435,2

Tuberia tipo C (earga 90 m)

Tuberia tipo 8 (earga 60 m) Espesor de pared (em)

1,14 L22

UO

1,45 1,57 1,68 1,78 1,91 2,03 2,26 2,62 2,92 3,25 3,61 3,94 4,24 4,95 5,64

Diam. interior

Peso (kg/m)

(em) 10.41 15,60 20AO 25,30 30,38 35,51 40,64 45,72 50,80 61,01 76,05 91,44 106,53 121,82 137,16 152,55 1R3, 13 213,61

32,3 49,6 70,7 95,0 122,2 152,6 186,1 223,3 260,5 347,3 496,1 676,1 880,8 1.116,4 1.389,2 1.643,3 2302,7 3.131,9

Espesor de pared (em)

Diam. interior

1,22 1,30 1,42 1,57 1,73 1,88 2,03 2,21 2,34 2,64 3,05 3,45 3,91 4,34 4,83 5,08 6,07

10,26 15,44 20,78 25,81 30,84 35,99 41,15 46,18 51,36 61,57 76,20 91,39 106,73 121,87 137,16 152,91 183,13

Peso (kg/m)

(em) 34,7 53,3 77,6 105,4 136,5 173,7 214,0 260,5 310,1 415,6 595,4 812,4 1.066,8 1.352,0 1.699,9 1.997,6 2.834,2

., ."". , ·,.",,' , .,

~:r .080

j:

.".~

_ _ Turbulencia completa

.080

----~---------------- .050 = ./d

.070

--------~-------------------------.WO

:::----.:::~------------ .030

----~-----------.OZ5

DIAGRAMA A-1 COEFICIENTES DE FRICCION f

.070

I(PARA CUALQUIER

.060

I

.050

- - - - - - . : : : : : . . . . , . - - - - - - - - - - - - - .020 = ./d

.040

Z

;::::, »S -.

8 ~

J:ol Q

~ z f:l

10'

3

4

---.....

Transici6n

.008 .006 <

.030 I

.004

~<

< = tamaiio de las imperfeceiones super· ficiales en em. d = diametro interior real en em. /.030

.0031.025

.025

- - .002=dd

5 6 7 8 10'

.0015 .0010 .0008 .0006

2

VaJores de E eo em

Laton

.0004

I Cobr. HormigOn

I

Fundici6n desnuda Fundici6n asfaltada Fundici6n revestida de cemento Fund. revestimiento hltuminoso Fundicion centrifugada Hierro galvanizado

'.020

1.015

.0002 .0001 .00006 .OOOl

.000041.010 00002............... .009 .008 3

NUMERO DE REYNOLDS

4

.007 5 6 7 8 10'

Vd

" Nota:

Por razones tipognificas, se ha conservado en estos diagramas la notacion decimal de la edicion en ingles.

IV

Vl

-...J

S

8

2

Tipo de tuberi. 0 d. reyestimieato (aueyo)

u

s:J:ol

1_

.025

.010

S

Cunas para rugosidades relativas