Mecánica de Fluidos

 

MECÁNICA DE FLUIDOS

Contenido A. CONC CONCEPTOS EPTOS BÁSIC BÁSICOS........... OS......................... ............................. ............................. ............................. .............................. ............................. ..................... .......33 CONCEPTOS CONCEPTO S BÁSIC BÁSICOS........ OS....................... ............................. ............................. .............................. ............................. ............................. ..............................3 ...............3 1. DE DESCR SCRIPC IPCION ION DE UN FLU FLUIDO IDO.... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .............. ................. ................. ..........3 .3 2.

COND CONDICIÓN ICIÓN DE NO-D NO-DESLIZ ESLIZAMIEN AMIENTO.......... TO........................ ............................. .............................. ............................. ..................4 ....4

3.

CLA CLASIF SIFICA ICACIÓ CIÓN N DE LOS FLUJ FLUJOS OS DE FLU FLUIDO IDOS.... S......... .......... .......... ......... ......... .......... ............ ................ ................4 .......4

3.1.. 3.1

FLU FLUJO JO INT INTERN ERNO.. O....... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... ......4 .4

3.2.. 3.2

FLU FLUJO JO EX EXTER TERNO. NO..... ........ ......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........... .............. ................. .................4 ........4

3.3.. 3.3

FLU FLUJO JO INC INCOMP OMPRES RESIBL IBLE... E....... ......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......4 ..4

3.4.. 3.4

FLU FLUJO JO COM COMPRE PRESIB SIBLE. LE...... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ............4 .......4

3.5.. 3.5

FLU FLUJO JO LA LAMIN MINAR. AR..... ........ ......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ............. .................. ..................5 .........5

3.6.. 3.6

FLU FLUJO JO TU TURBU RBULEN LENTO. TO..... ........ ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... ..........5 .....5

3.7.. 3.7

FLU FLUJO JO EST ESTACI ACIONA ONARIO RIO..... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... ........... ...........5 .....5

3.8.. 3.8

FLU FLUJO JO NO EST ESTACI ACIONA ONARIO RIO..... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... ............. ................. ...........5 ..5

4.

SIS SISTEM TEMA A Y VOL VOLUME UMEN N DE CON CONTRO TROL... L........ .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... ............ ................ ................. .............5 .....5 1.

SISTE SISTEMA MA DE CONT CONTROL...... ROL.................... ............................. ............................. ............................. .............................. ................................. ..................55

2.

VOLU LUME MEN N DE CON ONT TRO ROL L............. ............................ .............................. ............................. ............................. ..................................... ......................55

B. PROP PROPIEDA IEDADES DES DE LOS FLUI FLUIDOS....... DOS..................... ............................. .............................. .............................................. ..................................6 ...6 1.

DENS DENSIDAD IDAD.............. ............................. .............................. ............................. ............................. .............................. .................................................. ................................... 6

2.

PESO ESPE ESPECÍFICO CÍFICO............. ............................ ............................. ............................. .............................. ............................. ............................. ......................... ..........66

3.

GRAV GRAVEDAD EDAD ESPE ESPECIFICA CIFICA.............. ............................. ............................. ............................. .............................. ................................... ......................... .....77

4.

VISCO VISCOSIDAD SIDAD.............. ............................ ............................. ............................. ............................. .............................. ............................. ............................. ................... ....77 C. PRES PRESIÓN..... IÓN.................... ............................. ............................. .............................. ............................. ............................. ............................. .....................................7 .......................7 1.

PRE PRESIÓ SIÓN N ABS ABSOLU OLUTA TA Y PRE PRESIÓ SIÓN N MAN MANOMÉ OMÉTRI TRICA.. CA....... .......... .......... ......... ......... .......... .............. .................. .............8 ....8

2.

PRESIÓN EN EN UN UN PU PUNTO.............. ............................ ............................. .............................. ............................. .......................................... ............................88

3.

MEDID MEDIDORES.. ORES................. ............................. ............................. .............................. ............................. ............................. .................................. .............................. ...........99 3.1.. 3.1

EL BAR BAROME OMETRO TRO.... ......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .............. ..................9 .........9

3.2.. 3.2

EJE EJERCI RCICIO CIO RES RESUE UELTO LTO..... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... ............. ............9 ....9

3.3.. 3.3

EL BAR BARÓME ÓMETRO TRO.... ......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... ............ ............... ..............10 ......10

3.4.. 3.4

EJE EJERCI RCICIO CIOS S PRO PROPUE PUESTO STOS... S........ .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ............. ................ ...........11 ...11

D. ESTÁT ESTÁTICA ICA DE FLUI FLUIDOS...... DOS..................... ............................. ............................. .............................. .................................................. ................................... 12 1.

ECUA ECUACIÓN CIÓN GENE GENERAL RAL DE LA ESTÁ ESTÁTICA TICA DE FLUID FLUIDOS.......... OS......................... .............................. .....................12 ......12 1

 

2.

FUE FUERZA RZAS S SOB SOBRE RE SUPE SUPERFI RFICIE CIES S PLANA PLANAS S BAJO UN FLUI FLUIDO. DO..... ......... .......... .......... .............. ................1 .......133

3.

CARGA PIEZO PIEZOMÉTRI MÉTRICA........ CA...................... ............................. ............................. ............................. .............................. ................................ .................15 15

4.

PRE PRESIÓ SIÓN N SOB SOBRE RE LA SUP SUPERF ERFICI ICIE E DE UN FLU FLUIDO IDO..... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... ............ ...............1 ........166

E. ECUA ECUACION CION DE BERN BERNOULLI.. OULLI................. ............................. ............................. ............................. ............................. ................................. ..................16 16 1.

PRE PRESIO SIONES NES ESTÁT ESTÁTICA ICA,, DIN DINÁMI ÁMICA CA E HID HIDROS ROSTÁT TÁTICA. ICA..... ......... .......... .......... ......... .......... ............... ...............18 ......18

2. 3.

CAUD CAUDAL...... AL.................... ............................. ............................. ............................. .............................. ............................. ............................. ................................ ................. 18 EJER EJERCICIO CICIO RESUE RESUELTO..... LTO................... ............................. ............................. ............................. .............................. ............................. ....................... .........19 19

4.

EJER EJERCICIO CICIOS S PROPU PROPUESTO ESTOS............. S........................... ............................. ............................. ............................. ......................................20 .......................20

2

 

A. CONCEP CONCEPTOS TOS BÁSICOS BÁSICOS La mecánica de fluidos es la parte de la física que estudia los fenómenos en donde se ve fluidos participar. Un ejemplo sería el movimiento de estos, sea un movimiento natural (como un arroyo fluir) o artificial (el bombeo de agua hacia cierta altura). Tiene gran importancia ya que estudia el comportamiento del agua y del aire, los dos fluidos fluid os más abundan abundantes tes en la naturaleza naturaleza necesar necesarios ios para vivir. Pero la mecánica de fluido fluidoss no solo estudia estos fluidos, ya que existen otros muchos de notable importancia, como os aceites minerales o el gas natural. Aunque el nacimiento de la moderna Mecánica de Fluidos es muy reciente (acaba de cumplir cien años) el hombre siempre ha sido consciente de la importancia del agua para la vida humana como, por otra parte, no podía ser de otro modo. Ya Tales de Mileto decía hace más de 2500 años que todo es agua y que todo comienza con el agua. La necesidad de aprender a manejarla (no sólo es necesaria para sobrevivir, también lo es para aumentar, con el riego, la fertilidad de la tierra y así multiplicar su rendimiento) ha contribuido a que la Mecánica de Fluidos aplicada al agua, es decir, la hidráulica, sea una de las áreas de la ingeniería en la que desde el primer momento el hombre evidenció su extraordinaria creatividad. En resumen, si un fluido (líquido o gas) es un medio continuo fácilmente deformable, la Mecánica de Fluidos es la parte de la Física que estudia su comportamiento, tanto en reposo como en movimiento.

CONCEPTOS BÁSICOS 1. DE DESC SCRI RIPC PCIO ION N DE DE UN UN FLU FLUID IDO O Un fluido es un medio continuo (entendiendo por tal la materia sin discontinuidades y, por  tanto,, con propiedades físicas unifor tanto uniformes) mes) fácilmente deformable. deformable. Al respecto no conviene conviene olvidar que la materia tiene una estructura molecular con muchos espacios vacíos y que,  por tanto, estrictamente hablando es discontinua. Pero volviendo a la definición de fluido como medio continuo fácilmente deformable, habr habráá que que conc concre reta tarr lo qu quee po porr el ello lo se en enti tien ende de.. La re resp spue uest staa es si simp mple le.. Como Como 3

 

contraposición a sólido (desde la óptica de la Mecánica de Fluidos, el otro estado posible de la materia) un fluido es una materia continua que no puede soportar ningún esfuerzo cort cortan ante te por peq peque ueño ño qu quee se sea. a. Cuan Cuanti tifi fica carr esta esta relac relació iónn ca causa usa (t (ten ensi sión) ón) ₋ ef efect ectoo (deformación), no es inmediato. 2. CON CONDICI DICIÓN ÓN DE NONO-DES DESLIZ LIZAMI AMIENT ENTO O Considérese Consid érese el flujo de un fluido en un tubo estacionario estacionario o sobre una superficie superficie sólida que es no porosa (es decir, impermeable al fluido). Todas las observaciones experimentales indican que un fluido en movimiento llega a detenerse por completo en la superficie y adquiere una velocidad cero con relación a ella. Esto es, un fluido en contacto directo con un sólido “se pega” a la superficie debido a los efectos viscosos y no hay deslizamiento. A esta característica se le conoce como la condición de no-deslizamiento. La condición de no-deslizamiento es responsable del desarrollo del perfil de velocidad. La región del fluido adyacente adyacente a la pared, en la cual los efectos efectos viscosos (y, por consiguiente, consiguiente, los gradientes gradientes de veloci velocidades) dades) son significativos significativos se llama capa límite. La propiedad del fluido responsable de la condición de no-deslizamiento y del desarrollo de la capa límite es la viscosidad. CLASIFI SIFICAC CACIÓN IÓN DE DE LOS LOS FLUJOS FLUJOS DE DE FLUIDO FLUIDOS S 3. CLA 3.1.

FLUJO INTERNO

Es el flujo en un tubo o ducto, ya que queda limitado por completo por superficies solidas 3.2. FLUJO EXTERNO Es el flujo no limitado sobre una superficie, como una placa, un alambre o un tubo. 3.3.

FLUJO INCOMPRESIBLE

El flujo es incompresible cuando el valor de la densidad permanece constante a lo largo de todo el flujo, por lo tanto, el volumen de todas las porciones permanece inalterado sobre el curso de su movimiento. 3.4.

FLUJO CO COMPRESIBLE

La densidad del flujo compresible varía durante todo el flujo, haciendo que su volumen cambie en el curso del movimiento. 4

 

3.5.

FLUJO LAMINAR  

El comportamiento de este flujo es de movimiento intensamente ordenado de un fluido, caracterizado por capas no-alteradas. 3.6.

FLUJO TURBULENTO

El comportamiento de este flujo es de movimiento intensamente desordenado de un fluido, que es común se presente a velocidades altas y se caracteriza por fluctuaciones en la velocidad. 3.7.

FLUJO ESTACIONARIO

También llamado uniforme, implica que no hay cambio en un punto con el tiempo. 3.8.

FLUJO NO ESTACIONARIO

Implica que existe cambio con el lugar sobre una región especifica 4. SIS SISTE TEMA MA Y VOL VOLUM UMEN EN DE DE CONT CONTRO ROL L 1. SI SIST STEM EMA A DE DE CON CONTR TROL OL Un sistema se define como una cantidad de materia o una región en el espacio elegidas para su estudio. La masa o región que se encuentra afuera del sistema se conoce como los alrededores. La superficie real o imaginaria que separa el sistema de sus alrededores se llama frontera. Se puede considerar que los sistemas son cerrados o abiertos, dependiendo de si se elige una masa o un volumen en el espacio fijos para el estudio. Un sistema  cerrado (también conoci con ocido do como masa de control) consta de una cantidad fija de masa y ninguna masa  puede cruzar su frontera. Pero la energía, en forma de calor o trabajo, puede cruzar la frontera y el volumen de un sistema cerrado no tiene que ser fijo. Como un caso especial, cuando no se permite que la energía cruce la frontera, ese sistema se conoce como sistema

aislado. VOLU LUME MEN N DE DE CON CONTR TROL OL 2. VO Un sistema abierto, o volumen de control, como es frecuente llamarlo, es una región se sele lecc ccio ionad nadaa de mo modo do ad adec ecuad uadoo en el es espa paci cio. o. Su Suel elee en ence cerra rrarr un ap apara arato to qu quee es está tá 5

 

relacionado con flujo de masa, como un compresor, una turbina o una tobera. El flujo por  estos aparatos se estudia apropiadamente cuando se selecciona la región que se encuentra dentro de ellos como el volumen de control. Tanto masa como energía pueden cruzar la frontera de un volumen de control.

B. PROPIE PROPIEDADES DADES DE LOS LOS FLUIDOS FLUIDOS 1. DENSIDAD Se define como la masa por unidad de volumen. Sus unidades en el sistema internacional son [kg/m3]. Para un fluido homogéneo, la densidad no varía de un punto a otro y puede definirse simplemente mediante  ρ =

V  m

Por el contrario, para un fluido no homogéneo, la densidad ρ varía de un punto a otro. Por  tanto, tenemos que definir la densidad en un punto como la masa por unidad de volumen en un elemento diferencial de volumen† en torno a ese punto:  ρ = ρ ( x  x , y , z , t )=

dm dV 

2. PE PESO SO ESP ESPE ECÍ CÍFI FICO CO El peso específico se define como el peso por unidad de volumen. En el SI sus unidades son [N/m3]. Para un fluido estacionario: γ =

mg   = ρg V 

Para un fluido no estacionario: γ = γ ( x , y , z , t )= g

 dm = ρg dV 

Donde g es la aceleración de la gravedad 6

 

GRAV AVED EDAD AD ESPE ESPECI CIFI FICA CA 3. GR La gravedad específica es una comparación de la densidad de una sustancia con la densidad del agua:  ρ de dell fluido fluido Gs=  ρ del agua

4. VISC SCO OSID IDA AD Como se ha dicho en la introducción, la viscosidad refleja la resistencia al movimiento del fluido y tiene un papel análogo al del rozamiento en el movimiento de los sólidos. La viscosidad está siempre presente en mayor o menor medida tanto en fluidos compresibles como incompresibles, pero no siempre es necesario tenerla en cuenta. En el caso de los fluidos perfectos o no viscosos su efecto es muy pequeño y no se tiene en cuenta, mientras que en el caso de los fluidos reales o viscosos su efecto es importante y no es posible despreciarlo. En el caso del agua a veces se habla del flujo del agua seca para el flujo no viscoso del agua y del flujo del agua mojada para el flujo viscoso.

C.PRESIÓN La presión se define como una fuerza normal ejercida ejercida por un fluido fluido por unidad de área. Se habla de presión solo cuando se trata de un gas o un líquido. La unidad para la presión es el  N/m2, el cual se llama pascal (Pa). La unidad de presión pascal es demasiado pequeña para las presiones que se encuentran en la práctica; por lo tanto, son de uso común sus múltiplos kilopascal (1 kPa =103 Pa) y el megapascal (1 MPa =106 Pa). Otras unidades de presión de uso general en la práctica, en especial especi al en Europa, son el bar, la atmósfe atmósfera ra estándar y el kilogramo-f kilogramo-fuerza uerza por centímetro centímetro cuadrado

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1. PRE PRESIÓ SIÓN N ABSOLU ABSOLUTA TA Y PRESI PRESIÓN ÓN MANOM MANOMÉTR ÉTRICA ICA La presión real que se encuentra en una posición dada se llama PRESIÓN ABSOLUTA, y se mide en relación con el vacío absoluto (es decir, presión cero absoluta). La mayoría de los instrumentos para medir la presión se calibran para que den una lectura de cero en la atmósfera, de modo que indican la diferencia entre la presión absoluta y la  presión atmosférica local. Esta diferencia se llama PRESIÓN MANOMÉTRICA MANOMÉTRICA.. Las  presiones por abajo de la atmosférica se conocen como presiones de vacío y se miden con instrumentos de vacío que indican la diferencia entre la presión atmosférica y la absoluta. Las presiones absolutas, manométrica y de vacío son todas cantidades positivas y están interrelacionadas por:  Pman = P|¿|− P

atm

¿

 Pvac = P atm− P|¿|¿

2. PR PRES ESIÓ IÓN N EN EN UN UN PUN PUNTO TO La presión en cualquier punto en un fluido es la misma en todas direcciones; es decir, tiene magnitud, pero no una dirección específica y, en consecuencia, es una cantidad escalar. La presión ejercida en un fluido estático depende solamente de la profundidad del fluido, la densidad del fluido y la aceleración de la gravedad. La presión La presión en  en un fluido estático, aparece por el el peso  peso del  del fluido, y es dada por la expresión ρ = m/V = densidad densidad de  de fluido en donde g = aceleración de la gravedad h = profundidad del fluido

Pfl. estático = ρgh 

Lo más destacable de esta expresión es lo que incluye. La presión del líquido a una  profundidad determinada no depende de la masa total o el volumen total del líquido. Debido a la facilidad de visualizar una altura de columna de un líquido conocido, se ha convertido en práctica común el establecer todo tipo de presiones en unidades de altura de

8

 

columna, como mmHg, cmH2O, etc. Las presiones medidas por los manómetros se dan a menudo, en términos de altura de columna de un líquido. 3. MEDIDORES 3.1.

EL BAROMETRO

Es de uso uso comú comúnn pa para ra me medi dirr di dife feren renci cias as en la pr presi esión, ón, pe pequ queña eñass y mode moderad radas. as. Un manómetro manóm etro consta principa principalment lmentee de un tubo en U de vidrio vidrio o plást plástico ico que contiene uno o más fluidos como mercurio, agua, alcohol o aceite. Para mantener el tamaño del manómetro dentro de límites manejables se usan fluidos pesados, como el mercurio, si se prevén grandes diferencias en la presión.

El manómetro de la figura se usa para medir la presión en el tanque. Puesto que los efectos gravitacionales de los gases son despreciables, la presión en cualquier parte del tanque y en la posición 1 tiene el mismo valor. Además, debido a que la presión en un fluido no varía en la dirección horizontal dentro del mismo, la presión en el punto 2 es la misma que la que se tien tienee en el pun punto to 1,  P 2 = P 1. 1. La column columnaa dif difere erenci ncial al de fluido fluido de alt altura ura h está en equilibrio estático y abierta a la atmósfera. Entonces de manera directa, se determina que la  presión en el punto 2 es:  P2= Patm + ρgh

donde r es la densidad del fluido en el tubo. 3.2.

EJERCICIO RESUELTO

El agua en un tanque se presuriza con aire y se mide la presión con un manómetro de fluidos múltiples, como se muestra en la figura. El tanque está en una montaña a una altitud de 1 400 m, donde la presión atmosférica es de 85.6 kPa. Determine la presión del aire en el 9

 

tanque si h1=0.1 m, h2=0.2 m, y h3=0.35 m. Tome las densidades del agua, el aceite y el mercurio como 1 000 kg/m3, 850 kg/m3, y 13 600 kg/m3, respectivamente.

 P1 + ρ agua g h1 + ρaceite g h2 + ρmercurio g h3= Patm  P1= ¿ P

 P

(

1= ¿ 85,6 kPa + 9,81

m 2

s

){(

13600

kg m

3

atm− agua

)(

 ρ

g h1− ρaceite g h2+ ρmercurio  g h3 ¿

(

0,35 m) − 1000

 kg m

3

)(

(

0,1 m) − 850

kg m

3

)( ) }( 0,2 m

  1 N  1 kg

s

)( )   1 kPa

 m 2

1000

 N  m

¿

2

 P1=¿ 130 kPa ¿

3.3.

EL BARÓMETRO

La presión atmosférica se mide con un instrumento llamado barómetro; por tanto, con frecuencia se hace referencia de la presión atmosférica como presión barométrica. El ital italia iano no Ev Evan angel gelis ista ta Torri Torrice cell llii (1 (1608 608-16 -1647 47)) fue el prime primero ro en pr proba obarr de maner maneraa concluyente que se puede medir la presión atmosférica cuando se invierte un tubo lleno de mercurio en un recipiente lleno con este mismo líquido que está abierto a la atmósfera, como se muestra en la figura.

10

 

La presión en el punto B es igual a la atmosférica y se puede tomar la presión en C como cero, ya que sólo existe vapor de mercurio arriba del punto C, y la presión es muy baja en relación relaci ón con Patm por lo que se puede despreciar despreciar para tener una aproximació aproximaciónn excelente. Si se escribe un balance de fuerzas en la dirección vertical se obtiene:  Patm= ρgh

Una unidad de presión que se usa con frecuencia es la atmósfera estándar, la cual se define como la presión producida por una columna de mercurio de 760 mm de altura a 0°C ¿) bajo la aceleración gravitacional estándar (g=9.807 m/s 2). Si se usara agua en lugar de mercurio  para medir la presión atmosférica estándar, se necesitaría una columna co lumna de agua de alrededor  de 10.3 m. 3.4. 

EJERCICIOS PROPUESTOS

Se presuriza el agua que está en un tanque mediante aire y se mide la presión con un manómetro de fluidos múltiples, como se muestra en la figura. Determine la presión manométrica del aire en el tanque si h1 = 0.2 m, h2 = 0.3 m, y h3 = 0.46 m. Tome las densidades del agua, el aceite y el mercurio como 1 000 kg/m 3, 850 kg/m3, y 13 600 kg/m3, respectivamente.

11

 



Un medidor de vacío está conectado a un tanque y da una lectura de 30 kPa en un lugar donde la lectura barométrica es de 755 mm Hg. Determine la presión absoluta 3 en el tanque. Tome  ρ Hg=13 59 590 0 kg / m .

D. ESTÁT ESTÁTICA ICA DE FLUIDOS FLUIDOS La estática de fluidos estudia el comportamiento de los mismos en reposo. Como quiera que el movimiento, por definición, no existe, los esfuerzos cortantes jamás pueden estar   presentes en fluidos en reposo, toda vez que de haberlos crearían un gradiente de velocidades (recordar la definición de fluido en la lección precedente) que destruirían el reposo del fluido. ECUACI ACIÓN ÓN GENER GENERAL AL DE LA LA ESTÁTIC ESTÁTICA A DE FLUID FLUIDOS OS 1. ECU Para obte Para obtener ner di dich chaa ecua ecuaci ción ón se co consi nside dera ra un el elem emen ento to de volum volumen en δV = dxdy dz  y estableciéndose un balance integral de fuerzas:

∑ F =∑  F s +∑  F v = 0 Las fuerzas que actúan sobre el elemento de volumen considerado se clasifican en fuerzas de volumen y de superficie. Las fuerzas de superficie, Fs, por estar abordando un problema de est estáti ática ca únicam únicament entee están están cons constit tituid uidas as por las fuerza fuerzass de pres presión ión.. Las fuerzas de volumen, Fv, están condicionadas por el campo de fuerzas (por unidad de volumen) resultante sobre el elemento de volumen. 12

 

FUERZA RZAS S SOBRE SOBRE SUPERFI SUPERFICIE CIES S PLANAS PLANAS BAJO BAJO UN FLUIDO FLUIDO 2. FUE Se pretende evaluar la fuerza sobre la superficie plana de la siguiente figura:

La fuerza resultante vendrá dada por el sumatorio de un conjunto de fuerzas elementales (todas ellas actuando perpendicularmente a la superficie estudiada). Por este motivo y teniendo en cuenta que se trata de una superficie plana se ha obviado el carácter vectorial de la fuerza.

Teniendo en cuenta la relación entre z y el eje y se tiene:

13

 

Esto es, la magnitud de la fuerza vertical sobre una superficie plana se puede calcular multiplicando la presión en el centro de gravedad de dicha superficie por el valor de su área. Para responder a la  pregunta de cuál es el punto de aplicación de dicha fuerza resultante, FT, se tendría que igualar los moment mom entos os que pro produc ducen en las fue fuerza rzass ele elemen mental tales es sob sobre re un pun punto to (po (porr eje ejempl mplo, o, el or orige igenn de coordenadas donde y = 0) con el momento que produce dicha fuerza resultante aplicada a una distancia y del origen de coordenadas.

Despejando:

Análogamente tomando momentos con respecto al eje Y, resulta:

Siendo I xx e I xy el momento inercia con respecto al eje X, así como el producto de inercia respecto a los ejes X e Y.  Recordando el teorema de Steiner:

14

 

De este modo se llega a las siguientes expresiones que permiten calcular, simplemente conociendo las características geométricas de la superficie plana, el punto de aplicación de las fuerzas:

Siendo: 

yG la coordenada y del centro geométrico de la superficie plana



xG la coordenada x del centro geométrico de la superficie plana



Ix’x’x’x’ momento de inercia sobre un eje paralelo al eje x y que pasa por el centro geométrico de la superficie plana.



Ix’y’ producto de inercia sobre unos ejes paralelos a los ejes x e y que pasan por el centro geométrico de la superficie plana.

3. CA CARG RGA A PIEZO PIEZOMÉ MÉTR TRIC ICA A Si a una tubería por donde circula un fluido le agregamos una serie de derivaciones verticales, el agua que circula llenará estas tuberías verticales hasta una altura determinada en cada caso, en función de la presión existente en cada uno de los puntos de la conducción  principal. Uniendo el nivel de agua en cada una de estas derivaciones, obtenemos la llamada línea piezométrica. De esta forma, de la ecuación de Bernoulli extraemos que la altura piezométrica, H, es la suma de presión y cota: 15

 

Donde, Hi: Altura piezométrica [mca] Pi: Presión en la tubería (N/m2 γ: Preso específico (γ = ρ·g) (N/m