MECÁNICA DE FLUIDOS UNSCH

Dada la función de línea equipotencial φ = ax2 + bxy – cy2, donde a,b y c son valores constantes. a) b) c) d)

Comprobar que el flujo es irrotacional Hallar la función de la línea de corriente. Hallar la aceleración Hallar el gradiente de presiones.

Según Gauchy Riman

 = 0 a) Para que el flujo sea irrotacional se debe cumplir ω  = Pero se sabe que: ω  =

1 2

∇.V   ∂φ ∂φ ∂φ   i+ j+ k ∂y ∂z   ∂ x

V = −∇.φ  = − 

 

∂φ  = 2ax + by ∂ x ∂φ  = bx − 2ay ∂ y ∂φ  =0 ∂ z •V = −( 2ax + by) i− (bx − 2 ay) j •µ  = −(2 ax + by) •υ  = −(bx − 2ay) •ω  = 0  i j k     ∂ ∂ ∂ φ φ φ   •∇V  =   ∂ x ∂y ∂z    υ ω   µ  ∂ω ∂υ   ∂µ ∂ω   ∂υ ∂µ    → ∇.V =  − i −  z − x  j −  x − y  k  y z ∂ ∂ ∂  ∂ ∂    ∂ → ∇.V = 0i + 0 j + (− b+ b) k = 0

 

1

→ ω  = ∇.V  = 0

2 ∴ El flujo es irrotacional.

MECANICA DE FLUIDOS I

1

b) S egún la s ec uaciones de

∂φ ∂ψ  = ∂ x ∂y ∂φ ∂ψ  •υ  = =− ∂ y ∂x •µ =

 Entonces :

∂φ  = 2ax + by ∂ x ∂ψ  = 2ax + by integrando ∂ y 1

→ ψ =2axy+ by 2 + f  (x)......................(*) 2 Deriv Derivand ando o respec respecto to a x

→

∂ψ  = 2ay + f  ′(x)........................... ...(α ) ∂ y

 pero :

∂ψ ∂φ  = = bx − 2ay ∂ x ∂y ∂ψ  ⇒ = 2ay − bx...............................( β ) ∂ x −

( β ) en (α ) 2 ay− bx = 2 ay +  f  ′(x)  f ′(x) = − bx integrando respecto a x se tiene  f (x) = −

1

2 (γ ) en  (*)

bx2 ......................................( γ )

ψ  == 2axy +

1 2

by 2 −

1 2

bx 2

c) Calculando C alculando la aceleración

∂v ∂v ∂v ∂v + µ + υ + ω  ∂t ∂x ∂y ∂z a = 0 − (2 ax + by)( −2 a) − (bx − 2 ay)(−2 a) + 0 a=

a = 4a 2 x + 2aby + 2 abx − 4 a 2 y

MECANICA DE FLUIDOS I

2

En la figura N° 1, se muestra dos reservorios conectados por una tubería lisa de 20 cm. de diámetro y 120m. de longitud, por donde discurre un líquido a razón de 5kg/seg., la viscosidad dinámica del líquido es 1.59x10-4  kg/(m-seg). Hallar la densidad del líquido y el caudal con que discurre. Cota = 40.00m.

Cota = 20.00m.

Figura N° 1

 L = 120 m

m

 D = 0.2 m

= 5 kg / seg t   ρ  = ?

u = 1.59*10 −4 kg / ( m − seg )

Q=?

MECANICA DE FLUIDOS I

3

Figura Nº 2

Sabemos por  propiedad :

⇒

m

=  ρ * A * V  T  Reemplazamos los datos : 5 =  ρ * A * V  V  = V  =

V  =

5  ρ * A

5 π   ρ * *0.2 2 4 500  ρ * π 

 :

V  =

MECANICA DE FLUIDOS I

u

 ρ 

4

e =

V *D v 500

*0.2  ρ * π  e = 1.59*10 −4

 ρ  e =

2.00194*105

e =

2*10 5



1  f

= −2*log(

2.51 e *

f 

)

 f  = 1.5657*10 −2

 hf  = 0.0826*

 f

* Q2 * L  D5

1.5637 *10 −2 * Q 2 *120 20 = 0.0826 * 0.25 entonces el caudal tenemos : Q = 0.2032 ⇒   

Q=

 ρ  =  ρ  =

1 Q

*

Vol t 

;  ρ  =

m Vol

m t 

1

*5 0.2032 tenemos  la densidad:  

⇒  ρ  = 24.6063kg / m3

Demostrar matemáticamente que las líneas equipotenciales son perpendiculares a las líneas de corriente.

MECANICA DE FLUIDOS I

5

∂ψ  = 0 ∂ψ ∂ψ  ∂ψ  = ∂ x + ∂y = 0 ∂ x ∂y  Los  componentes de la velocidad se puede expresar

mediante una función escalar ψ (x, y,z) ∇.V = 0

∂ψ  ∂ y ∂ψ  Vy = − ∂ x ⇒  Relación para definir una línea de corriente. Vx =

∂ψ  = −Vy∂ x + Vx∂ y = 0 ⇒  Aplicando continuidad al flujo entre dos líneas de corriente.

Figura Nº 3

MECANICA DE FLUIDOS I

6

∂q = Vx∂y − Vy∂x ∂ψ ∂ψ  ∂q = ∂y − ∂x ∂ y ∂x int egrando

∫ ∂q = ∫

∂ψ ∂ψ  ∂y − ∫ ∂x ∂ y ∂x

⇒  caudal entre dos líneas de corriente: q = ψ 2 − ψ 1 ⇒  pendiente de una línea de corriente en una línea cualquiera: Vy  ∂ y  = .......................(1)  ∂ x   ϕ :cte Vx ⇒  Pendiente de las líneas equipotenciales (φ =cte) ∂φ =0 ⇒ ∇.∂φ =0 ∂φ ∂φ  ∂φ = ∂ x + ∂y = 0 ∂ x ∂y Vx∂ x + Vy∂y = 0 Vx  ∂ y  ...................(2) = −  ∂ x  Vy  φ :cte

∴

Vy  Vx  . −  = −1 Vx  Vy 

MECANICA DE FLUIDOS I

⇔ φ ⊥ ϕ  ⇒ son perpendiculares a líneas de corriente.

7

Demostrar las siguientes propiedades: a) ∇ x ( ∇φ ) = 0

c) ∇ x( ∇ xA) = ∇( ∇.A) - ∇2 A

b) ∇.( ∇ xA) = 0

a) ∇ x ( ∇φ ) = 0

Sea φ

 dφ dφ d φ   = φ ( x , y, z )  una función escalar se sabe que ∇φ  =  ; ;  entonces:  dx dy dz  i

j

k 

 d d d   dφ dφ dφ   d d ∇ × ∇φ  =  ; ;  ×  ; ;  =  dx dy dz   dx dy dz  dx dy

 d dφ d dφ = −  dy dz dz dy = 0.i + 0. j + 0. k  ∴∇ × ∇φ  = 0

d   dz

dφ

dφ d φ 

dx

dy dz

  d dφ d dφ   d dφ d dφ     + − + − i j     k     dz dx dx dz   dx dz dy dx 

b) ∇.( ∇ xA) = 0

Sea  A = ( A1 ; A2 ; A3 )  una función vectorial se sabe que:

i

j

k 

d d d  d d ∇ ×  A =  ; ;  × ( A1 ; A2 ; A3 ) = dx dy  dx dy dz 

d

 A1

 

dz

A2

A3

 dA dA   dA dA   dA dA  =  3 − 2  i +  1 − 3  j +  2 − 1  k   dy dz   dz dx   dx dy  entonces:

 d d d   dA dA   dA dA   dA dA   ∇.(∇ ×  A) =  ; ;  .  3 − 2  ;  1 − 3  ;  2 − 1   dz   dz dx   dx dy    dx dy dz   dy = =

d  dA3

dA  d  dA dA  d  dA dA  − 2 +  1 − 3 +  2 − 1  dx  dy dz  dy  dz dx  dz  dx dy  d dA3 dx dy

−

d dA2 dx dz

+

d dA1 dy dz

−

d dA3 dy dx

+

d dA2 dz dx

−

d dA1 dz dy

∴∇.(∇ ×  A) = 0

MECANICA DE FLUIDOS I

8

c) ∇ x( ∇ xA) = ∇( ∇.A) - ∇2 A

Sea  A = ( A1 ; A2 ; A3 )  una función vectorial se sabe que:

i

j

k 

d d d  d d ∇ ×  A =  ; ;  × ( A1 ; A2 ; A3 ) = dx dy  dx dy dz   A1

A2

 dA dA   dA dA   dA dA  =  3 − 2  i +  1 − 3  j +  2 − 1  k  dz  dy dz   dz dx   dx dy  d

A3

entonces:

 d d d   dA dA ∇ × (∇ ×  A) =  ; ;  ×  3 − 2  dx dy dz   dy dz

∇ × (∇ ×  A) =

  dA1 dA3   dA2 dA1   − ;  −  ;    dz dx   dx dy  

i

j

k 

d

d

d 

dx

dy

dz

 dA3 dA2   dA1 dA3   dA2 dA1  − − −        dy dz   dz dx   dx dy   d  dA dA  d  dA dA    d  dA dA  d  dA dA    d  dA dA  d  dA dA   =   1 − 3  −  2 − 1   i +   3 − 2  −  2 − 1   j +   1 − 3  −  3 − 2   k   dz  dz dx  dy  dx dy    dz  dy dz  dx  dx dy    dx  dz dx  dy  dy dz    d dA1 d dA3 d dA2 d dA1   d dA3 d dA2 d dA2 d dA1   d dA1 d   dA3 d dA3 d dA2  = − − + − − + − − + i +   j+   k  dz dz dz dx dy dx dy dy dz dy dz dz dx dx dx dy dx dz dx dx dy dy dy dz       d dA1 dz dz

i−

d dA3 dz dx

i−

d dA2 dy dx

i+

d dA1 dy dy

i+

d dA3 dz dy

j−

d dA2 dz dz

j−

d dA2 dx dx

j+

d dA1 dx dy

j+

d dA1 dx dz

k−

d dA3 dx dx

k−

d dA3 dy dy

k+

2  Agrupandotenemos ∇ × (∇ × A) = ∇(∇.A) − ∇ A

Dada la función de línea equipotencial φ = ax2 + bxy – cy2, donde a,b y c son valores constantes. a) Comprobar que el flujo es irrotacional e) Hallar la aceleración

b) Hallar la función de la línea de corriente. d) Hallar el gradiente de presiones.

a. 

Para que sea irrotacional se debe cumplir

MECANICA DE FLUIDOS I

∇v = 0

9

d dA2 dy dz

k

 

φ ( x, y ) = ax 2 + bxy − cy 2   dφ d φ    ∇φ  = v =  ;  = ( 2ax + by; bx − 2cy ) = v  dx dy   v = ( 2ax + by; bx − 2cy ) 



∇v = 0 → ∇ v = ( 2a; −2c ) 

∴∇v = ( 2a; −2c ) ≠ 0  No es irrotacional b.

v x =

dψ

v x =

d ψ 

dy dy

; vy =

v y =

dx

dx

→ dψ = ( 2ax + by ) dy → ∫ dψ  = ∫ ( 2ax + by ) dy

ψ  = 2axy + b dψ 

d ψ 

→

 y 2

2

d dx

+ k1 ( x)

(2axy + b

2ay +

dk1 ( x )

dk1 ( x ) dx dk1 ( x ) dx

dx

ψ  = 2axy + b

2

2

+ k1 ( x)) = ( bx − 2cy )

= bx − 2cy

= bx − 2cy − 2ay = bx − 2(c + a ) y

k1 ( x) = b  y

y2

 x 2

x

2

− 2(c + a) yx

2

+ b − 2(c + a) y x 2 2  y 2 x2 ∴ψ  = b + b − 2cxy 2 2 c.

MECANICA DE FLUIDOS I

10

a x =

∂u ∂u ∂u +u +v ∂t ∂x ∂y

v = ( 2ax + by; bx − 2cy ) 

u = 2ax + by v = bx − 2cy

∂ ∂ ∂ (2ax + by ) + (2ax + by ) (2ax + by ) + (bx − 2cy ) (2ax + by ) ∂t ∂x ∂y a x = (2ax + by )2a + (bx − 2cy )b a x =

2 2 a x = 4a x + 2aby + b x − 2bcy

a x = (4a 2 + b2 ) x + 2b( a − c) y

a y =

∂v ∂v ∂v +u +v ∂t ∂x ∂y



v = ( 2ax + by; bx − 2cy ) u = 2ax + by v = bx − 2cy

∂ ∂ ∂ (bx − 2cy ) + (2ax + by ) (bx − 2cy ) + (bx − 2cy ) (bx − 2cy ) ∂t ∂x ∂y a y = (2ax + by )b + (bx − 2cy )2c a y =

a y = 2abx + b 2 y + 2cbx − 4c 2 y 2 2 a y = 2(a + c)bx + (b − 4c ) y

a x = (4a 2 + b 2 ) x + 2b( a − c) y; a y = 2( a + c)bx + (b2 − 4c2 ) y

∴ a =  (4a 2 + b2 ) x + 2b( a − c) y  i +  2( a + c)bx + (b2 − 4c2 ) y  j 

En la figura N° 3 se tiene dos reservorios (A y B) y las tuberías (1 y 2) de hierro fundido con una rugosidad absoluta de 0.25 mm. por donde se trasporta agua desde A hasta B y luego descargar en C, el tubo (1) de 0.2m. de diámetro tiene una longitud de 400m. y el tubo (2) tiene una longitud de 500m. considerando pérdidas por fricción y locales hallar el caudal que discurre por el sistema y el diámetro del tubo (2).

•ε  = 0.00025m •l1 = 400m •l2 = 500m • D1 = 0.2m

MECANICA DE FLUIDOS I

11



 Analizamos el tramo AB.  Rugosidad relativa: ε /D1 = 0.00125 

l1

Para considerar perdidas locales en la tubería A, l a relación entre su longitud y diámetro debe ser menor o igual a 1500. 400

= 2000 ≥ 1500, en este caso la pérdida local se aproxima a cero, h L ≈ 0. 0.2  De la ecuación de la energía

 D1

=

h f = EB + hL h f  = 20 − 5 = 15 m 

De la ecuccion de Darcy

aIntersecamos las curvas igualando y1 y y2 : 0.005 X −5.1 = 5.495 X 0.098  D25.198 = 0.0009  D2 = 0.26 m

El diámetro hallado D2 es 0.26m ≤ 0.33m, entonces el procedimeinto fue correcto al despreciar los pérdidas locales.  Asumiendo valore del caudal, hallamos el número de Reynolds y con la relación ε /D , encontramos el valor de F en el diagrama de Moody con todos los datos hallamos los valores de hf. Los datos obtenidos se encuentran en la siguiente tabla:

MECANICA DE FLUIDOS I

12

Q(m3 /s)

Rex105

f x10

−4

fQ 2

0,075

4,77

0,0205

1,15

0,08

5,09

0,0205

1,28

0,085

5,4 1

0,0205

1,5

0,09 5,72 0,0205 1,6 El caudal reqerido se halla en el grafico fQ2 vs Q

De la formula obtenida hallamos el caudal Q para: − fQ 2 = 1.4528 *10 4 0.517 Y = 0.069 X 

Q = 0.069 (1.4528 )

0.517

Q = 0.08365 m3 / s

 Ahora analizamos el tramo B-C. Como en el tramo AB debemos saber la relación L/D2  para considerar o no las perdidas locales,  pero no conocemos el diámetro D2 . Observamos la relación para una perdida local despreciable: Para tuberías largas:  L 500 h  f  ≈ 0 si: ≥ 1500 → D ≤ =0.333m  D 1500 El diámetro de la tubería 2 debería ser menor o igual a 0.333m. Realizaremos los cálculos despreciando la perdida local, en caso de que el diámetro resulte mayor a 0.33m, realizaremos nuevos cálculos considerando las pérdidas locales. De la ecuación de la energía:  E B = EC + hL V  B 2

2g

2

+  Z B =

V C 

2g

+ Z C + h f  ,

 Z C = 0, V B = 0. h f  = 5 −

V C 2

.................... (α ) 2g La velocidad la podemos hallar del caudal: Q=VC AC = VC V C  = V C  =

MECANICA DE FLUIDOS I

4Q

π D2 2

=

0.1065  D2

2

π  D 2 4

V C = 

4Q 2 π  D2

4 ( 0.08365 )

π D2 2

..................... ( β )

13

De la ecuación de Darcy: h  f  = 0.0826 h f  = 0.3079

 fLQ 2  D2 2  f 

 D2 2

= 0.0826

 f  ( 500 )( 0.08865 )

2

D2 2

............... ( c )

Teniendo las ecuaciones a,b, y c, podemos resolver el sistema asumiendo valores para  el diámetro D, hallamos la relación ε /D 2 ,el número de Reynolds, con estos dos últimos valores encontraos el valor d e f en el Ábaco de Moody, y finalmente hallamos h  f 1, como función de f y D 2 en la ecuación ( c ) y h  f  2 como función de la velocidad en la ecuación ( a )  plasmamos todos los datos hallados en la siguiente tabla:

ε /d

D(m)

x105 Re

f

V(m/s) 2,6625

0,2

0,00125

5,497

0,02

0,25

0,001

4,398

0,3

0,00083

0,4

0,00063

hf(1)

hf(2)

19,24

4,6387

0,0205 1,7 04

6,463

4,852

3,665

0,0196 1,1833

2,483

4,9286

2,749

0,0188 0,6656

0,565

4,9774

0,26 0,00096 4,229 0,0191 1,5754 4,95 4,8735 De la tabla, graficamos h f 1 y h f  2 vs el diámetro, al intersecar las rectas encontramos el valor de diámetro que se busca:

 Al intersectar las curvas

MECANICA DE FLUIDOS I

14

0.005 X  D2

5.198

−5.1

= 5.495 X 0.098

= 0.0009

 D2 = 0.26 m

El diámetro D2  es .26m ≤ 0.33m , entonces el procedimiento fue correcto al despreciar las  pérdidas de carga locales. En el sistema de la figura siguiente, se muestran tres reservorios y una bomba que tiene una potencia de 160H.P., La presión en el punto A es 42.00m de agua, si la válvula “X”  produce una perdida de 2.00m.. Calcular los caudales en cada tubería y la cota del Reservorio “R”, todas las tuberías son de fierro fundido nuevas (Coeficiente de Hazen y Willi ams (C = 120).

La cota piezometrica: A=3.5+42=45.5 Y la cota del reservorio P, entonces el flujo va de A a P Sabemos que: Q=0.000426CD

2.63

Q = 0.000426.CD S  =

 h f       L 

2.63

S

0.54

0.54

 

h f   L

 2347.42Q   2.63  CD 

h f  = L 

Donde: MECANICA DE FLUIDOS I

15

Q = lts / s, L = Km, D = pu lg, C =

pie / seg

Haciendo cálculos:

45.5 − 30.5 = 5m / km 3 2.63 Q1 = 0.000426 *120 * ( 24 ) * S 0.54 Q1 = 520lts / s S1 =

La bomba tiene una potencia:  pot=

γ Qhb 76n

76n * pot  

hb =

b

γ Q

hb = E A − E B

42 −  E  B =

76*1*160 1000*0.520

 E  B = 18.8 Tambien :

Q1 = Q2 = 520lts / s

calculemos h  f  2 1.85

h f  2 h f  2

 2347.42*520  = 1.22   2.63  120*20  = 14.8

Cota piezometrica en B=3.5+18.8=22.3 Cota piezometrica en M=22.3+14.8=37.1 Sabemos que: 37.1 − 11.6 S2 = = 9.5m / km 2.68

•Q3 = 0.000426 *120 * (12 )

2.63

( 9.5 )

0.54

→ Q3 = 119lts / s → Q4 = Q2 + Q3 = 520 + 118.8 → Q4 = 639lts / s 1.85

h f  4 h f  4

 2347.42*639   = 2.45   120 * (18 ) 2.63    = 73m

Cota del reservorio R=cotaM+PcValvula+h f  4

cot aR = 37.1 + 2.00 + 73 ∴ cot aR = 112.1m

MECANICA DE FLUIDOS I

16

Una turbina Pelton de 0.9m de diámetro tangente al eje del chorro (diámetro Pelton) posee unas cucharas que deflectan al chorro de agua un ángulo de 160°. El chorro es de 7.6cm. de diámetro. Despreciando la fricción, hallar la potencia desarrollada por la rueda y la eficiencia hidráulica cuando ω  = 300r.p.m. y la presión antes de la tobera es de 7.05kgf/cm 2. Considerar que no hay pérdidas en la tobera.

160°

•  E0 yE1 , Z0 − Z 1 ≅ 0 →

P0

+

γ

V 02

2g

P1

+  Z 0 = 2

γ 

+

V 12

2g

+ Z 1

2

V 0

V 1

=

2g

2g

→ V0 = V 1

•  E0 yE2 , Z0 − Z 2 ≅ 0 →

P0

γ

+

V 02

2g

P2

+  Z 0 = 2

V0

2g

γ 

+

V 22

2g

+ Z 2

2

=

V 2

2g

→ V0 = V 2

Q0 = Q1 + Q2

∑F 

Y 

=0

0 = 0 − ( ρ Q2V2 sen20 − ρ Q1V1 sen20 ) Q2 = Q1 → Q0 = 2Q1

MECANICA DE FLUIDOS I

17

• P1

γ

+

V12

2g

+  Z1 = V 12

2g V1 =

P2

γ 

V22  

+

2g

+ Z 2

=  Z 2

2 gZ 2

→ F X = ρ Q0(V0−VD ) − ρ Q1 (V0 − VD ) cos20 • Pot =

W t

=

F * d  t 

= FV  

Pot = F X (V0 − VD  )

Q0 = 2Q1

→  A0 * V0 = 2 * A1 * V 1 →  A0 * V0 = 2 * A1 * V 0  A1 =

 A0

2

→ ω = 300rpm,ω  =

10π rad  s

∴ P = 7.05 N / m2

MECANICA DE FLUIDOS I

18

En el sistema de la figura N° 03, se muestran tres reservorios y una bomba que tiene una potencia de 140H.P., La presión en el punto A es 35m de agua, Calcular los caudales en cada tubería, la dirección del flujo y la cota de la superficie libre del agua en reservorio “R”, todas las tuberías son de fierro fundido nuevas ( ε = 2.5x10-4m.) Cota = ??. cota =40m. R.

D   =   0  .3   L  =   m  2    ,0  0   0  m 

M 

D   =   0  .3   L  =   m  3    ,0  0   0  m 

cota = 5m. A

B

  D D  =  0 .3 m

L  = 

• • • •

cota =10m.

 =

.  m  0  3

  L =

 m  0 0   5 ,  1

1,0 0  0m    

 potencia de 140H.P., La presión en el punto A es 35m de agua. ( ε = 2.5x10-4m.) Hierro fundida nuevas( Ch=130) según tabla

MECANICA DE FLUIDOS I

19

Hallamos la cota en M: Por Hazen y Williams:

−6

Q = 426 × 10 ChD

2.63

 hf     L   

0.54

Donde la pérdida de carga hf, según a la friccion es: hf  = cotaM − (PresionA+ cotaA)

→ hf  = 40 − (35 + 5) → hf  = 0 Remplazando en H y W

→ Q1 = 0 Tenemos la potencia:

•P =

γ Q( E A − E S  ) 76n

→  E A − E S  =

→  E A − E S  =

76 Pn

γ Q 76 × 130 × n

γ  × 0

La energía de salida es  E A = 35m  y la energía de salida está en una ecuación absurda! !!  Matemáticamente quiere decir q la energía utilizada es infinita, la cual es realmente imposible, rompe con las leyes de la Termodinámica .

 Nota importante. Los caudales al estar implicados en la ecuación anterior, serán no resolvibles o indeterminados.

Hallamos la cota en L Por Hazen y Williams: Q2 = Q1 = 0

−6

Q = 426 × 10 ChD

2.63

 hf       L 

0.54

→ hf 2 = 0

MECANICA DE FLUIDOS I

20

Lo cual la cota piezometrica en L seria cotaL = 5 + E B Como Energía de entrada en una indeterminación. Entonces la cota en L también.

Como: Q2 = Q3 + Q4

(*)

 hf 2  cotaL− 10   L  = 1500   Por H y W: −6 2.63  hf   Q 4 = 426 × 10 ChD  2    L2 

0.54

Reemplazando en (*) −6

Q 3 = 426 × 10 ChD

2.63

 hf 2      L3 

0.54

Cota R = Cota L + h f 3

Hallamos el gasto hidráulico:

MECANICA DE FLUIDOS I

21

1.84

 2347.42Q3  hf3 = L3  2.63   Ch × D3 

1.84

0.54   −6 2.63  hf 2   2347.42 * (426 ×10 ChD   )  L    3  → hf 3 = 2000*   2.63 Ch × D3      

 hf   ⇒ h f 3 = 1.99*  2    L3 

0.54

Con esto hallamos la cota en R:

 hf   → Cota R = Cota  L + 1.99 *  2    L3 

0.54

Un chorro de agua de 50 mm de diámetro, choca contra una placa cuadrada, la cual forma 30° con la dirección del chorro. La velocidad del agua en el chorro es de 18 m/s y choca contra la placa en su centro de gravedad. Despreciando el rozamiento, y el peso de la placa, se pide: Fuerza P que hay que aplicar en el extremo para mantener la pl aca en equilibrio.

MECANICA DE FLUIDOS I

22

L a ecuación de la energía en la sección O y la sección 1:  Z 0 +

P0

γ

+

V 0 2

2g

= Z1 +

P1

γ 

2

+

V 1

2g

+ hpEF 

Pero: P0 = P1  Z1 − Z 0 = 0

Luego: V0 = V 1 De la misma manera, V2 = V 0 La ecuación de la cantidad de movimiento en la dirección nn, suponiendo que sobre el líquido actúa F en el sentido positivo. γ  − Q0V0 sin θ  + F  = 0 g

F=

γ  g

Q0V 0 sin θ 

Lugo sobre la placa actua esta fuerza en el sentido negativo de nn, y su valor en la dirección de chorro resulta: γ γ  F x = F sin θ = Q0V0 sin 2 θ = A0V02 sin   2 θ  g

F  x =

1000 (9.81)

g

(π  × 0.052 )(18) 2 sin 2 (30) = 64.85

La bomba BC transporta agua hasta el deposito F y en la fig. 7-10 se muestra la línea de alturas piezométricas. Determinar (a) la potencia suministrada al agua por la bomba BC. (b) la potencia extraída por la turbina DE y (c) la cota de la superficie libre mantenida en el depósito F.

MECANICA DE FLUIDOS I

23

 A) Calculo del coeficiente de fricción según la ecuación de Colebrook.

 ε  2.51   D  = −0.86ln +  3.7  R λ   λ  

1

Luego como las pérdidas son conocidas por diferencia de alturas Piezometrica en el tramo DE,  podemos usar la siguiente expresión que se correlaciona con la ecuación anterior.  R λ  =

2g

 D 3 hp

== 2(9.81)

(110 − 105)

(0.6)3 −6 2

= 1.87926 ×10 5

(1× 10 ) 600 Remplazamos y determinamos el valor del coeficiente de fricción.  (0.046 )  1 2.51 60   = −0.86ln + 5  3.7 1.87926 ×10  λ  v

2

L





λ  = 0.01 De la ecuación de Darcy Weisbach, despejamos el caudal  L 8Q 2

→  Q = hp = λ  5  D gπ 2

gπ 2 D5

8λ  L

hp =

(9.81)π 2 80.6)5 8(0.01)

600

3 5 = 0.88 m

s

La potencia de la bomba:  H B = (110 − 29) = 81m (1000)(0.88)(81) = 950.4 cv  ….RPTA 100 75( ) 100  B) La potencia de la turbina:  HT  = (105 − 99) = 6 m P B =

PT  =

MECANICA DE FLUIDOS I

(1000)(0.88)(6) = 70.4 cv 100 75( ) 100

24

C) La cota del depósito F: Se aplica Bernoulli entre el punto E y el depósito F.  Z E +

P E

γ

+

 Z F = Z E +

MECANICA DE FLUIDOS I

VE 2

2g P E 

γ 

= ZF +

PF

γ 

+

VF 2  

2g

+ hpEF 

+ hpEF =   99 + 5 = 104 m

25