Mecanica de Fluidos Ejercicios Resueltos

Mec´ anica de Fluidos - 2009 Ejercicios resueltos 1. El campo de velocidades de un fluido est´a dado por: ~v = (a, b sin(ωt), 0) donde a y b son constantes. Calcule y grafique: a) La l´ınea de corriente que pasa por el origen, a t = 0, t =

π 2ω ,

t=

π ω

yt=

3π 2ω .

b) La trayectoria de la part´ıcula, que -a tiempo t = 0- estaba en el origen de coordenadas. c) La l´ınea de humo de todas las part´ıculas que pasaron por el origen de coordenadas, a t = 0, π 3π t = 2ω , t = ωπ y t = 2ω . Respuesta: a) L´ıneas de corriente: El campo de velocidades es uniforme (independiente de la posici´on), en otras palabras todos los vectores velocidad son paralelos, las l´ıneas tangentes a un campo uniforme ser´an entonces rectas π paralelas entre s´ı. A t = 0, ~v = (a, 0, 0) y la l´ınea que pasa por el origen ser´a el eje x. A t = 2ω , b π 3π ~v (a, b, 0), la l´ınea que pasa por el origen es: y = a x. A t = ω es nuevamente el eje x, y a t = 2ω ser´a la recta y = − ab x. b) Podemos calcular la funci´ on de historia cinem´atica integrando la ecuaci´on diferencial: ~ x, t) ∂ Φ(~ ~ t) = ~v (Φ, ∂t Particularizando para nuestro campo vectorial (uniforme, dependiente de t): ~ x, t) ∂ Φ(~ = (a, b sin(ωt), 0) ∂t En componentes: ∂Φx ∂t ∂Φy ∂t ∂Φz ∂t

= a = b sin(ωt) = 0

~ x, 0) = ~x, se obtiene: Integrando, teniendo en cuenta la condici´on inicial: Φ(~ Φx = x + at b Φy = y + [1 − cos(ωt)] ω Φz = z Para la part´ıcula que nos interesa: (x, y, z) = (0, 0, 0), su trayectoria se obtiene con la f´ormula: b ~ p~(t) = Φ((0, 0, 0), t) = ((at, [1 − cos(ωt)], 0) ω

c) L´ıneas de humo. Como primer paso debemos identificar las part´ıculas que, en alg´ un momento pasaron por el origen: evaluando la funci´ on de historia cinem´atica en un instante que llamaremos τ , el resultado es el punto (0, 0, 0): ~ p, τ ) = (0, 0, 0) Φ(~ Reeplazando la expresi´ on obtenida arriba: px + aτ py +

= 0

b [1 − cos(ωτ )] = 0 ω pz = 0

despejando: px = −aτ b py = − [1 − cos(ωτ )] ω pz = 0 Para obtener la l´ınea de humo debemos obtener la posici´on de estas part´ıculas en el momento de ~ p, t). Reemplazando: inter´es, t: ~h = Φ(~ hx hy pz

= −aτ + at

= a(t − τ ) b = − ωb [1 − cos(ωτ )] + ωb [1 − cos(ωt)] = [cos(ωτ ) − cos(ωt)] ω =0 =0

Las l´ıneas de humo requeridas se obtienen reemplazando t por los instantes definidos: t = 0:

t=

t=

t=

π 2ω :

π ω:

3π 2ω :

~h(τ ) = (−aτ, b [cos(ωτ ) − 1], 0) ω ~h(τ ) = (a( π − τ ), b cos(ωτ ), 0) 2ω ω ~h(τ ) = (a( π − τ ), b [cos(ωτ ) + 1], 0) ω ω ~h(τ ) = (a( 3π − τ ), b cos(ωτ ), 0) 2ω ω

t=pi/w t=3pi/2w

t=pi/2w

(0, 0)

t=0 −2pi/w