Mecanica de Fluidos Ejercicios.pdf

HIDROSTATICA

Problema 1: La compuerta circular de 4 m de diámetro como se muestra en la figura, está situada en la pared inclinada de un gran depósito que contiene agua (γ=9.80kN/m3). La compuerta está montada sobre un eje a lo largo de su diámetro horizontal. Para una profundidad de agua de 10 m arriba del eje, determinar: a) la magnitud y la ubicación de la fuerza resultante que ejerce el agua sobre la compuerta. b) El momento que se debe aplicar al eje para abrir la compuerta. Solución: 𝐹𝐹𝑅𝑅 = 𝛾𝛾ℎ𝑐𝑐 𝐴𝐴

Donde: 𝛾𝛾 = 9.8 𝐾𝐾𝐾𝐾�𝑚𝑚3 ; ℎ𝑐𝑐 = 10 𝑚𝑚; 𝐴𝐴 = 𝜋𝜋𝑟𝑟 2 ; 𝑟𝑟 = 2𝑚𝑚 •

Reemplazando en la fórmula de 𝐹𝐹𝑅𝑅 :

𝐹𝐹𝑅𝑅 = �9.8 𝐾𝐾𝐾𝐾�𝑚𝑚3 � (10𝑚𝑚)(𝜋𝜋22 𝑚𝑚2 ) •

Averiguando 𝑌𝑌𝑅𝑅 : ?

𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥 = •

𝜋𝜋𝑟𝑟 4 4

; 𝑌𝑌𝑐𝑐 =

𝐹𝐹𝑅𝑅 = 1230𝐾𝐾𝐾𝐾

𝑌𝑌𝑅𝑅 =

10𝑚𝑚

sin 60°

𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑌𝑌𝑐𝑐 𝑌𝑌𝑐𝑐 𝐴𝐴

𝐼𝐼

Reemplazando en la fórmula de 𝑌𝑌𝑅𝑅 = 𝑌𝑌𝑥𝑥𝑥𝑥𝐴𝐴 + 𝑌𝑌𝑐𝑐

𝑌𝑌𝑅𝑅 =

𝜋𝜋24 4

10 ×𝜋𝜋22 sin 60°

𝑐𝑐

+

10

sin 60°

= 0.0866𝑚𝑚 + 11.55𝑚𝑚

𝑀𝑀 = 𝐹𝐹 × 𝑑𝑑

𝑀𝑀 = 1230𝐾𝐾𝐾𝐾 × 0.0866𝑚𝑚

𝑀𝑀 = 105.78 𝐾𝐾𝐾𝐾 × 𝑚𝑚 Rpta.

𝛴𝛴𝑀𝑀𝑀𝑀 = 0

𝑀𝑀 − 𝐹𝐹𝑅𝑅 × 𝑑𝑑 = 0

𝑌𝑌𝑅𝑅 = 11.6𝑚𝑚 Rpta.

𝑀𝑀 = 𝐹𝐹𝑅𝑅 × 𝑑𝑑

Problema 2: Un gran depósito para peces contiene agua de mar (γ=64.0lb/pie3) a una profundidad de 10 pies, como se muestra en la figura. Para reparar un desperfecto en una esquina del depósito, una sección triangular se reemplaza por otra sección nueva como se ilustra. Determinar la magnitud y ubicación de la fuerza del agua de mar sobre sobre esta área triangular. Solución: 𝛾𝛾 = 64𝑙𝑙𝑙𝑙�𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 3; ℎ𝑐𝑐 = 9 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝; 1

𝐴𝐴∆ = 𝑏𝑏 × ℎ 2

1 2

Reemplazando en: 𝐹𝐹𝑅𝑅 = 𝛾𝛾. ℎ𝑐𝑐. 𝐴𝐴 𝐹𝐹𝑅𝑅 = �64 𝑙𝑙𝑙𝑙�𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 3 � (9 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝) � 𝑌𝑌𝑐𝑐 = 9 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝

𝑌𝑌𝑅𝑅 = 𝑌𝑌𝑅𝑅 =

𝑐𝑐

𝜋𝜋𝑟𝑟 4 4

𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑌𝑌𝑐𝑐 𝑌𝑌𝑐𝑐 𝐴𝐴

81 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 4 36 9 (9)� �𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 2 2

𝑋𝑋𝑐𝑐 =

𝑏𝑏×𝑎𝑎 2 72

𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥 =

�

𝐹𝐹𝑅𝑅 = 2590 𝑙𝑙𝑙𝑙.

𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑌𝑌𝑐𝑐 𝐴𝐴

(𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑 )

36

81

=

36

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 4

+ 𝑋𝑋𝑐𝑐 ; 𝑑𝑑 = 0

Reemplazando en: 𝑋𝑋𝑅𝑅 = 81 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 4 72 9 (9𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝)� 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 2 � 2

Por lo tanto:

(3)(3)3

2×81𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 2

𝑏𝑏 + 𝑑𝑑 3 + 0 = =1 3 3

𝑋𝑋𝑅𝑅 =

2

+ 9 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 36×9 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝×9𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 2 9 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 =

En la fórmula: 𝑋𝑋𝑅𝑅 = 𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 =

9 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 2

2

𝐼𝐼

En la fórmula: 𝑌𝑌𝑅𝑅 = 𝑌𝑌𝑥𝑥𝑥𝑥𝐴𝐴 + 𝑌𝑌𝑐𝑐 𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥 =

9

𝐴𝐴∆ = 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 2

𝐴𝐴∆ = (3 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝)(3 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝)

𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 =

𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑌𝑌𝑐𝑐 𝐴𝐴

+ 𝑋𝑋𝑐𝑐

2×81𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 4

𝑏𝑏2 ×𝑎𝑎 2 72

=

1

18

(3𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝)2 ×(3𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝)2 72

+ 1 = 72×81𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 2 + 1 = 1.278 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝

𝑋𝑋𝑅𝑅 ; 𝑌𝑌𝑅𝑅 = (9.06; 1.278) Rpta.

+ 9 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 9.06 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝

=

81 72

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 4

Problema 3: El área de un plano vertical que tiene la forma mostrada en la figura, se encuentra sumergida en aceite (γ=8.75kN/m3). Determine la magnitud de la fuerza resultante del aceite sobre el lado de la zona observada. Solución: 𝜸𝜸 = 𝟖𝟖. 𝟕𝟕𝟕𝟕 𝑲𝑲𝑲𝑲� 𝟑𝟑 𝒎𝒎 Partimos el área: •

Área 1(A1): ∆𝟏𝟏 =

•

𝑭𝑭𝑹𝑹 = 𝜸𝜸𝒉𝒉𝒄𝒄 𝑨𝑨

𝒃𝒃 × 𝒂𝒂 𝟒𝟒 × 𝟒𝟒 = = 𝟖𝟖𝒎𝒎𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟐𝟐

Área 2(A2):

𝑭𝑭𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹 = 𝑭𝑭𝑹𝑹𝑹𝑹 + 𝑭𝑭𝑹𝑹𝑹𝑹

Hallando 𝐹𝐹𝑅𝑅1 :

4 𝐹𝐹𝑅𝑅1 = 𝛾𝛾 × ℎ𝑐𝑐1 × ∆1 = 8.75 𝐾𝐾𝐾𝐾�𝑚𝑚3 × 𝑚𝑚 × 8𝑚𝑚2 = 93.3𝐾𝐾𝐾𝐾 3 Hallando 𝐹𝐹𝑅𝑅2 :

𝐹𝐹𝑅𝑅2 = 𝛾𝛾 × ℎ𝑐𝑐2 × ∆2 ; ℎ𝑐𝑐2 = 2𝑚𝑚

𝐹𝐹𝑅𝑅2 = 𝛾𝛾 × ℎ𝑐𝑐2 × ∆2 = 8.75 𝐾𝐾𝐾𝐾�𝑚𝑚3 × 2𝑚𝑚 × 16𝑚𝑚2 = 280𝐾𝐾𝐾𝐾 Reemplazando en la fórmula:

𝐹𝐹𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝐹𝐹𝑅𝑅1 + 𝐹𝐹𝑅𝑅2

𝐹𝐹𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝐹𝐹𝑅𝑅1 + 𝐹𝐹𝑅𝑅2 = (93.3 + 280)𝐾𝐾𝐾𝐾 = 373.3𝐾𝐾𝐾𝐾

Rpta.

Problema 4: Una puerta rectangular de 3 m de ancho y 8 m de altura está situado al extremo de un pasaje rectangular que está conectado a por un gran tanque abierto lleno de agua como se muestra en la figura, y está articulada en su parte inferior y se mantiene cerrada por una fuerza horizontal FH situada en el centro de la compuerta. El valor máximo para FH es 3500 kN. Determinar la profundidad máxima del agua h por encima del centro de la compuerta, para que esta no se abra. Solución: •

Haciendo el diagrama de cuerpo libre:

•

Vista frontal de la compuerta:

La fuerza FR siempre estará por debajo del C.G.

ΣM=0 (Por que la compuerta no se abre) 𝑀𝑀 = 𝐹𝐹 × 𝑑𝑑

𝐹𝐹𝑅𝑅 × 𝑑𝑑1 = 𝐹𝐹𝐻𝐻 × 𝑑𝑑2

𝐹𝐹𝑅𝑅 × 𝐿𝐿 = 𝐹𝐹𝐻𝐻 × 4…….(I)

Calculando FR:

𝐿𝐿 = ℎ + 4 − 𝑌𝑌𝑅𝑅 …...(1)

𝐹𝐹𝑅𝑅 = 𝛾𝛾𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 × ℎ𝑐𝑐 × 𝐴𝐴

𝐹𝐹𝑅𝑅 = �9.8 𝐾𝐾𝐾𝐾�𝑚𝑚3 � × ℎ × 3 × 8𝑚𝑚2

•

𝐹𝐹𝑅𝑅 = 9.80 × 24𝐾𝐾𝐾𝐾 × ℎ

𝑌𝑌𝑅𝑅 =

𝑌𝑌𝑐𝑐 = ℎ •

Calculando 𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥 :

𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥 = •

𝑏𝑏 × 𝑎𝑎3

1

12 𝐼𝐼

(3)(8)3 𝑚𝑚2 = 128

𝑐𝑐

128 5.33 �+ℎ = +ℎ ℎ×3×8 ℎ

Reemplazando en (1):

𝐿𝐿 = ℎ + 4 − � •

𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥 =

Reemplazando en 𝑌𝑌𝑅𝑅 = 𝑌𝑌 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑌𝑌𝑐𝑐 ×𝐴𝐴

𝑌𝑌𝑅𝑅 = � •

1

12

Reemplazando en (I):

ℎ × �4 −

𝐿𝐿 = ℎ + 4 − 𝑌𝑌𝑅𝑅

5.33 5.33 + ℎ� = 4 − ℎ ℎ

𝐹𝐹𝑅𝑅 × 𝐿𝐿 = 𝐹𝐹𝐻𝐻 × 4

�9.80 𝐾𝐾𝐾𝐾�𝑚𝑚3 � × (24𝑚𝑚2 ) × ℎ × �4 −

5.33 � = 3500𝐾𝐾𝐾𝐾 × 4𝑚𝑚 ℎ

5.33 3500𝐾𝐾𝐾𝐾 × (4𝑚𝑚) �= ℎ 9.80 𝐾𝐾𝐾𝐾�𝑚𝑚2 (24𝑚𝑚2 )

4ℎ − 5.33 =

3500𝐾𝐾𝐾𝐾 × 4𝑚𝑚 9.80 𝐾𝐾𝐾𝐾�𝑚𝑚3 ( 24𝑚𝑚2 )

ℎ = 16.21m Rpta. •

𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑌𝑌𝑐𝑐 𝑌𝑌𝑐𝑐 × 𝐴𝐴

Si se cambia la bisagra al lado superior

𝐿𝐿1 = 𝑌𝑌𝑅𝑅 − (ℎ − 4) = �

5.33 5.33 + ℎ� − (ℎ − 4) = +4 ℎ ℎ

�9.80 𝐾𝐾𝐾𝐾�𝑚𝑚3 � × (24𝑚𝑚2 ) × ℎ × 5.33 + 4ℎ =

5.33 + 4 = 3500𝐾𝐾𝐾𝐾 × 4𝑚𝑚 ℎ

3500𝐾𝐾𝐾𝐾 × 4𝑚𝑚 �9.80 𝐾𝐾𝐾𝐾�𝑚𝑚3 � × (24𝑚𝑚2 )

ℎ = 13.5 𝑚𝑚 Rpta. Problema 5:

Una compuerta de sección transversal como se muestra en la figura, cierra una apertura de 5 pies de ancho y 4 pies de alto en un depósito de agua. La compuerta pesa 500 lb y su centro de gravedad está a 1 pie a la izquierda de AC y a 2 pies arriba de BC. Determinar la reacción horizontal que se desarrolla sobre la compuerta en C.

Solución: Diagrama de cuerpo libre:

• Calculando 𝐹𝐹1 : 𝐹𝐹1 = 𝛾𝛾𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 ℎ𝑐𝑐 𝐴𝐴 Donde: 𝛾𝛾 = 62.4 𝑙𝑙𝑙𝑙�𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 3 ; ℎ𝑐𝑐 = 8𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 + 2𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 10𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝; A=5pies× 5𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 25𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 2 𝑙𝑙𝑙𝑙 × 10𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 × 25𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 2 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 3 𝐹𝐹1 = 15600𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐹𝐹1 = 62.4

𝑌𝑌𝑅𝑅 =

𝑌𝑌𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑌𝑌𝑐𝑐 𝑌𝑌𝑐𝑐 𝐴𝐴

Donde: 𝑌𝑌𝑐𝑐 =?

∴ 𝑌𝑌𝑥𝑥𝑥𝑥 =

1

12

𝑌𝑌𝑐𝑐 = 2.5 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 + 10 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑌𝑌𝑐𝑐 = 12.5𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝

(𝑏𝑏)(𝑎𝑎)3

𝑌𝑌𝑥𝑥𝑥𝑥 =

Reemplazando:

1

12

(5𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝)(5𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝)3

1 (5𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝)(5𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝)3 12 𝑌𝑌𝑅𝑅 + 12𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 12.5𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝(5𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 × 5𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝) 𝑌𝑌𝑅𝑅 = 0.17𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 + 12.5𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑌𝑌𝑅𝑅 = 12.67𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 •

Calculando 𝐹𝐹2 :

𝑃𝑃2 = 𝛾𝛾𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 × ℎ = 62.4 𝐹𝐹2 = �62.4

𝑙𝑙𝑙𝑙 × 12𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 3

𝐹𝐹2 = 𝑃𝑃2 𝐴𝐴2

𝑙𝑙𝑙𝑙 � (12𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝)(3𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 × 5𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝) 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 3

𝐹𝐹2 = 11230𝑙𝑙𝑙𝑙

•

Por equilibrio:

𝛴𝛴𝑀𝑀0 = 0

𝑀𝑀𝐴𝐴 = 𝐹𝐹1 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝐹𝐹1 (12.67𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝) + 𝑊𝑊 (1𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝) − 𝐹𝐹2 (1.5𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝) − 𝐹𝐹𝑐𝑐 (4𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝) = 0 𝐹𝐹𝑐𝑐 (4𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝) = 𝐹𝐹1 (12.67𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝) + 𝑊𝑊 (1𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝) − 𝐹𝐹2 (1.5𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝)

𝐹𝐹𝑐𝑐 (4𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝) = 15600𝑙𝑙𝑙𝑙 × (12.67𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝) + 500𝑙𝑙𝑙𝑙(1𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝) − 11230𝑙𝑙𝑙𝑙(1.5𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝) 𝐹𝐹𝑐𝑐 = 6330𝑙𝑙𝑙𝑙 Rpta.

Problema 6: El conducto de drenaje de 6 pies de diámetro que se muestra en la figura esta semilleno de agua en reposo. Determinar la magnitud y línea de acción de la fuerza resultante que el agua ejerce sobre 1 pie de longitud de la sección curva BC de la pared del conducto. Solución: Diagrama de cuerpo libre:

Σ𝐹𝐹𝑥𝑥 =0

𝐹𝐹𝐻𝐻 = 𝐹𝐹2

𝐹𝐹2 = 𝛾𝛾𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 × ℎ𝑐𝑐 × 𝐴𝐴𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝐹𝐹2 = �62.4

𝐹𝐹2 = 280𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑙𝑙𝑙𝑙 � (1.5𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝)(3𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 3 ) 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 3

Σ𝐹𝐹𝑦𝑦 =0

𝐹𝐹𝑣𝑣 = 𝐹𝐹1 + 𝑊𝑊

Por lo tanto:

𝑊𝑊 = 𝛾𝛾 × 𝐴𝐴

𝐹𝐹𝑅𝑅 = �(𝐹𝐹𝐻𝐻 )2 + (𝐹𝐹𝑉𝑉 )2

∀= 𝐴𝐴 × 1𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑊𝑊 = �62.4

𝑊𝑊 = 441𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑙𝑙𝑙𝑙 𝜋𝜋32 � × � � × 1𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 3 4

𝐹𝐹𝑅𝑅 = �(280𝑙𝑙𝑙𝑙)2 + (441𝑙𝑙𝑙𝑙)2 𝐹𝐹𝑅𝑅 = 523𝑙𝑙𝑙𝑙 Rpta.

Problema 7: Una compuerta curva de 4 metros de longitud está situada en el lado de un depósito que contiene agua como se muestra en la figura. Determinar la magnitud de las componentes del agua sobre la compuerta.

Solución: •

Diagrama de cuerpo libre

𝐹𝐹𝐻𝐻 = 𝐹𝐹2

Σ𝐹𝐹𝑦𝑦 =0

𝐹𝐹𝑅𝑅 = �(𝐹𝐹𝐻𝐻 )2 + (𝐹𝐹𝑉𝑉 )2

𝐹𝐹2 = 𝐹𝐹𝑣𝑣 − 𝑊𝑊

𝐹𝐹𝑣𝑣 = 𝐹𝐹1 + 𝑊𝑊 •

Por equilibrio:

Σ𝐹𝐹𝑥𝑥 =0

𝐹𝐹𝐻𝐻 = 𝐹𝐹2

𝐹𝐹2 = 𝛾𝛾𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 × ℎ𝑐𝑐 × 𝐴𝐴𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝

𝐾𝐾𝐾𝐾 𝐹𝐹2 = �9.80 3 � (7.5𝑚𝑚 )(12𝑚𝑚 2 ) 𝑚𝑚

𝐹𝐹2 = 882𝐾𝐾𝐾𝐾

𝐹𝐹𝑣𝑣 = 𝐹𝐹2 + 𝑊𝑊 𝐹𝐹1 = 𝑃𝑃1 𝐴𝐴1 = 𝛾𝛾 × ℎ (𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ) 𝐹𝐹1 =

9.80𝐾𝐾𝐾𝐾 × 6𝑚𝑚 × 12𝑚𝑚 𝑚𝑚 3

𝐹𝐹1 = 705.6𝐾𝐾𝐾𝐾

•

Calculando W:

𝑊𝑊 = 𝑃𝑃𝑊𝑊 × 𝐴𝐴𝑊𝑊 = �

𝑊𝑊 = 278.90𝐾𝐾𝐾𝐾

9.80𝐾𝐾𝐾𝐾 𝜋𝜋32 2 �� 𝑚𝑚 � (4𝑚𝑚 ) 4 𝑚𝑚3

𝐹𝐹𝑣𝑣 = 705.6𝐾𝐾𝐾𝐾 + 278.90𝐾𝐾𝐾𝐾 = 983.6𝐾𝐾𝐾𝐾 𝐹𝐹𝑣𝑣 = 983.6𝐾𝐾𝐾𝐾 Rpta.

PRINCIPIO DE ARQUIMEDES Problema 1: Una boya esférica de diámetro 1.5 metros y peso de 8.5 kN está anclado al fondo del mar con un cable como se muestra en la figura. Aunque la boya normalmente flota sobre la superficie, algunas veces crece la profundidad del agua, de modo que la boya está completamente inmersa como se ilustra. Para esta condición, ¿Cuál es la tensión del cable? Solución: Diámetro de la boya: 1.5 m W = 8.5m; 𝛾𝛾𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎.𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 10.1 𝐾𝐾𝐾𝐾⁄𝑚𝑚3

Donde: ∀𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 =

𝜋𝜋𝑃𝑃 3 6

;

Calculando 𝐹𝐹𝐵𝐵 :

𝐹𝐹𝐵𝐵 = 101

𝐾𝐾𝐾𝐾 𝜋𝜋(1.3)3 𝑚𝑚2 × 𝑚𝑚2 6

𝐹𝐹𝐵𝐵 = 17.84𝐾𝐾𝐾𝐾 → 𝑇𝑇 = 𝐹𝐹𝐵𝐵 − 𝑊𝑊

𝑇𝑇 = 17.84𝐾𝐾𝐾𝐾 − 8.5𝐾𝐾𝐾𝐾 = 9.3𝐾𝐾𝐾𝐾

𝑇𝑇 = 9.3𝐾𝐾𝐾𝐾 Rpta.

Σ=𝑀𝑀0 = 0

𝑇𝑇 = 𝐹𝐹𝐵𝐵 − 𝑊𝑊 𝐹𝐹𝐵𝐵 = 𝛾𝛾𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎.𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 × ∀

Diagrama de cuerpo libre:

Problema 2: Una bóveda de concreto con dimensiones externas de 2.0x1.0x1.5 metros y espesor de pared de 10 cm está enterrada con la superficie superior al ras del suelo. ¿Tenderá la bóveda a salirse del suelo si este se satura por completo de agua? Usar DR(concreto)= 2.4 Solución: Dimensiones de la bóveda 2 × 1 × 1.5

𝐷𝐷𝑅𝑅 =

𝜌𝜌𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 , 𝜌𝜌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 × 4°𝐶𝐶

𝐷𝐷𝑅𝑅_𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 =

𝜌𝜌𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝐷𝐷𝑅𝑅_𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 × 𝜌𝜌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 × 4°𝐶𝐶

Calculando 𝐹𝐹𝐵𝐵 : 𝐹𝐹𝐵𝐵 = 𝛾𝛾 × ∀ 𝐹𝐹𝐵𝐵 = 1000

𝐾𝐾𝐾𝐾.𝑚𝑚 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2

𝜌𝜌𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜌𝜌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 × 4°𝐶𝐶

= 1𝑁𝑁

𝐾𝐾𝐾𝐾 × 2 × 1 × 1.5𝑚𝑚3 𝑚𝑚3

𝐹𝐹𝐵𝐵 = 29400

𝐾𝐾𝐾𝐾. 𝑚𝑚 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2

𝐹𝐹𝐵𝐵 = 29400𝑁𝑁

𝑉𝑉2 = 2𝑚𝑚 × 1𝑚𝑚 × 1.5𝑚𝑚 = 1.872𝑚𝑚3

𝑊𝑊 = 𝛾𝛾∀

𝑊𝑊 = 𝜌𝜌𝜌𝜌∀

𝑊𝑊 = �1000 𝑊𝑊 = �1000

𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑚𝑚 � (2.4) �9.81 � [𝑉𝑉1 − 𝑉𝑉2 ] 3 𝑚𝑚 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑚𝑚 ( ) � 2.4 �9.81 � × 1.128 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝑚𝑚3

𝑊𝑊 = 26556𝑁𝑁

𝐹𝐹𝐵𝐵 = 𝐹𝐹𝐵𝐵 − 𝑊𝑊

𝐹𝐹𝐵𝐵 = 29400𝑁𝑁 − 26556𝑁𝑁 𝐹𝐹𝐵𝐵 = 2844𝑁𝑁 Rpta.

CONSERVACION DE LA MASA LA ECUACION DE CONTINUIDAD PROBLEMA 1: Por una boquilla cónica simple fluye agua de mar de manera estable en el extremo de una manguera contra incendios, como se muestra en la figura. Si la velocidad de salida en la boquilla debe ser por lo menos de 20 m/s, determinar la mínima capacidad de bombeo necesaria en m3/s. Solución: •

Ecuación de Continuidad: 𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕

� 𝜌𝜌𝜌𝜌∀ + � 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 = 0

∀.𝑐𝑐

𝑠𝑠.𝑐𝑐

De la ecuación de continuidad (porque es estable):

(0) cero 𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕

� 𝜌𝜌𝜌𝜌∀ + � 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 = 0

∀.𝑐𝑐

° 1 + 𝑚𝑚 °2=0 −𝑚𝑚

∫𝑠𝑠.𝑐𝑐 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 = 0

𝑠𝑠.𝑐𝑐

° ° = 𝑚𝑚 𝑚𝑚 1 2

Donde: 𝑄𝑄 = 𝑉𝑉 × 𝐴𝐴 ; 𝑚𝑚 = 𝜌𝜌 × 𝑄𝑄 = 𝜌𝜌 × 𝑉𝑉 × 𝐴𝐴 ; 𝑄𝑄1 = 𝑄𝑄2 ; 𝜌𝜌1 = 𝜌𝜌2

° 1 = 𝑚𝑚 °2 𝑚𝑚

𝜌𝜌1 × 𝑄𝑄1 = 𝜌𝜌2 × 𝑄𝑄2

𝑉𝑉1 × 𝐴𝐴1 = 𝑉𝑉2 × 𝐴𝐴2 ∴ 𝑉𝑉1 = 𝑄𝑄1 = 𝑄𝑄2

𝑉𝑉2 × 𝐴𝐴2 𝐴𝐴1 2

𝜋𝜋𝐷𝐷 𝑄𝑄2 = 𝑉𝑉2 × 𝐴𝐴2 = 20 𝑚𝑚⁄𝑠𝑠 � � 𝑚𝑚2 4 3

𝑄𝑄2 = 0.0251 𝑚𝑚 �𝑠𝑠 3

𝑄𝑄1 = 0.0251 𝑚𝑚 �𝑠𝑠 Rpta.

𝜌𝜌1 × 𝑉𝑉1 × 𝐴𝐴1 = 𝜌𝜌2 × 𝑉𝑉2 × 𝐴𝐴2

°

Problema 2: Entre dos secciones de una larga porción recta de una tubería de 4 pulgadas de diámetro interior fluye aire de manera estable como se ilustra en la figura. Se dan la temperatura y la presión distribuidas uniformemente en cada sección. Si la velocidad media del aire (distribución de velocidad no uniforme) en la sección (2) es de 1000 pies/s, calcular la velocidad media del aire en la sección (1). Solución: 𝑃𝑃𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝛾𝛾 × ℎ

𝜌𝜌 =

𝛾𝛾𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑅𝑅𝑅𝑅

𝑃𝑃𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑃𝑃𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 + 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴

𝑃𝑃2 = 18.4 •

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 �𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝2

De la ecuación de continuidad:

𝜕𝜕 � 𝜌𝜌𝜌𝜌∀ + � 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 = 0 𝜕𝜕𝜕𝜕

•

∀.𝑐𝑐

𝑠𝑠.𝑐𝑐

De la ecuación de continuidad (porque es estable):

(0) Cero 𝜕𝜕 � 𝜌𝜌𝜌𝜌∀ + � 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 = 0 𝜕𝜕𝜕𝜕 ∀.𝑐𝑐

∫𝑠𝑠.𝑐𝑐 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 = 0 ° 𝑚𝑚° 2 = 𝑚𝑚 1 𝜌𝜌2 𝜌𝜌1

=?

∴ 𝜌𝜌1 = •

𝑠𝑠.𝑐𝑐

𝜌𝜌 =

° ° −𝑚𝑚 1 + 𝑚𝑚2 = 0

𝜌𝜌1 𝑉𝑉1 𝐴𝐴1 = 𝜌𝜌2 𝑉𝑉2 𝐴𝐴2

𝑃𝑃

𝑅𝑅𝑅𝑅

𝑃𝑃1 𝑃𝑃2 ; 𝜌𝜌2 = 𝑅𝑅𝑇𝑇1 𝑅𝑅𝑇𝑇2

Reemplazando en

𝜌𝜌2 𝜌𝜌1

=?

𝑃𝑃2 𝜌𝜌2 𝑅𝑅𝑇𝑇2 𝑃𝑃2 𝑇𝑇1 𝑃𝑃2 𝑇𝑇1 = = ; 𝑉𝑉1 = × 𝑉𝑉2 𝑃𝑃1 𝜌𝜌1 𝑃𝑃1 𝑇𝑇2 𝑃𝑃1 𝑇𝑇2 𝑅𝑅𝑇𝑇1

° ° 𝑚𝑚 1 = 𝑚𝑚2 ; 𝐴𝐴1 = 𝐴𝐴2 𝜌𝜌

𝑉𝑉1 = 𝜌𝜌2 𝑉𝑉2 1

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 �𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝2 (540°𝑅𝑅) 18.4 × 540 𝑉𝑉1 = × �1000 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃�𝑠𝑠� = × 1000 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃�𝑠𝑠 = 219 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃�𝑠𝑠 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 100 × 543 100 �𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝2 (453°𝑅𝑅) 18.4

𝑉𝑉1 = 219 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃�𝑠𝑠 Rpta. Problema 3:

Aire húmedo (una mezcla de aire seco y vapor de agua) entra en un deshumidificador a razón de 22 slugs/h. Agua líquida sale del deshumidificador a razón de 5 slugs/h. Determinar el flujo másico del aire seco y del vapor de agua que salen del deshumidificador. En la figura se muestra un dibujo simplificado del proceso. Solución: •

De la ecuación de continuidad:

𝜕𝜕 � 𝜌𝜌𝜌𝜌∀ + � 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 = 0 𝜕𝜕𝜕𝜕

•

∀.𝑐𝑐

𝑠𝑠.𝑐𝑐

De la ecuación de continuidad (porque es estable):

(0) Cero 𝜕𝜕 � 𝜌𝜌𝜌𝜌∀ + � 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 = 0 𝜕𝜕𝜕𝜕 ∀.𝑐𝑐

𝑠𝑠.𝑐𝑐

� 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 = 0

𝑠𝑠.𝑐𝑐

° 2 + 𝑚𝑚 °3=0 −𝑚𝑚° 1 + 𝑚𝑚

°1 ° 2 + 𝑚𝑚 ° 3 = 𝑚𝑚 𝑚𝑚

° 2 = 𝑚𝑚 ° 1 − 𝑚𝑚 ° 3 = 22 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠� + 0.5 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠� 𝑚𝑚 ℎ ℎ

𝑚𝑚° 2 = 21.5

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠� ℎ Rpta.

Problema 4: Por la base de un rociador giratorio entra agua a razón fija de 1000 ml/s como se muestra en la figura. Si el área de salida de cada una de las dos boquillas es de 30 mm2, determinar la velocidad media del agua que sale de cada boquilla. Solución: •

De la ecuación de continuidad:

𝜕𝜕 � 𝜌𝜌𝜌𝜌∀ + � 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 = 0 𝜕𝜕𝜕𝜕

•

∀.𝑐𝑐

𝑠𝑠.𝑐𝑐

De la ecuación de continuidad (porque es estable):

(0) Cero 𝜕𝜕 � 𝜌𝜌𝜌𝜌∀ + � 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 = 0 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑠𝑠.𝑐𝑐

� 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 = 0

𝑠𝑠.𝑐𝑐

° 2 + 𝑚𝑚 °3=0 −𝑚𝑚° 1 + 𝑚𝑚 𝑚𝑚1 = 2𝜌𝜌2 𝑉𝑉2 𝐴𝐴2

•

Despejando:

𝑉𝑉2 = 𝑉𝑉2 =

𝜌𝜌1 𝑄𝑄1 ; 2𝜌𝜌2 𝐴𝐴2 𝑄𝑄1 2𝐴𝐴2

°1 ° 2 + 𝑚𝑚 ° 3 = 𝑚𝑚 𝑚𝑚

𝜌𝜌1 𝑄𝑄1 = 2𝜌𝜌2 𝑉𝑉2 𝐴𝐴2

𝜌𝜌1 = 𝜌𝜌2 𝑉𝑉2 =

1000 𝑚𝑚𝑚𝑚�𝑠𝑠 2 × 30𝑚𝑚𝑚𝑚2 3

1𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 1000 𝑠𝑠 6 𝑚𝑚𝑚𝑚 10 𝑉𝑉2 = = 16.6 𝑚𝑚⁄𝑠𝑠 2 1𝑚𝑚 2 2 × 30𝑚𝑚𝑚𝑚 106 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 𝑉𝑉2 = 16.6 𝑚𝑚⁄𝑠𝑠 Rpta.

°

∀.𝑐𝑐

° 1 = 2𝑚𝑚2 𝑚𝑚

1𝑚𝑚 3 = 1000 𝑙𝑙𝑙𝑙 1𝑙𝑙𝑙𝑙 = 1000 𝑚𝑚𝑚𝑚

1𝑚𝑚 = 1000 𝑚𝑚𝑚𝑚 1𝑚𝑚 2 = 106 mm

Problema 5: Una bañera se llena con agua del grifo. El flujo del grifo es estable, 9 gal/min. El volumen de la bañera es aproximado por un espacio rectangular como se ilustra en la figura. Calcular la razón de cambio con respecto al tiempo de la profundidad del agua en la bañera, ∂h/∂t, en pulg/min en cualquier instante. Solución:

•

De la fórmula: 𝜕𝜕ℎ 𝑉𝑉𝑠𝑠 + 𝐴𝐴𝑠𝑠 = 𝐴𝐴 𝜕𝜕𝜕𝜕

(-) Porque h va decreciendo. (+) Porque h va creciendo. ∴

𝜕𝜕ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕

=

𝑉𝑉𝑠𝑠 +𝐴𝐴𝑠𝑠 𝐴𝐴

𝑉𝑉𝑠𝑠 + 𝐴𝐴𝑠𝑠 = 𝑄𝑄𝑠𝑠 = 9 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 ;

𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔� 𝜕𝜕ℎ 𝑄𝑄𝑠𝑠 9 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = = 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝐴𝐴 10𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 2

∴

𝜕𝜕ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕

=

𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 3.7854𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝐴𝐴 = (2𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 × 5𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝) = 10𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 2

9𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚� 1𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 �

1𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 = 3.7854 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 1𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 12 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝

1𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 2 = 144𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝2

1728

144𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝2 28.32 � 10𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 2� 1𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝2

pulg3 Rpta

CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL Problema 1: Por un codo horizontal de 180° de un tubo fluye agua, como se muestra en la figura. El área de la sección transversal del flujo es constante a un valor de 0.1 pies2 a través del codo. La velocidad del flujo en todas partes del codo es axial y de 50 pies/s. Las presiones absolutas a la entrada y a la salida del codo son 30 lb/pulg2(abs) y 24 lb/pulg2(abs), respectivamente. Calcular las componentes horizontales (x e y) de la fuerza de sujeción necesaria para mantener en su sitio al codo. Solución 𝜕𝜕 � 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌∀ + � 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 = � 𝐹𝐹∀.𝑐𝑐 𝜕𝜕𝜕𝜕 ∀.𝑐𝑐

𝑃𝑃2 = 24 𝑙𝑙𝑙𝑙�𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝2 ;

𝑠𝑠,𝑐𝑐

𝑃𝑃𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 14.7 𝑙𝑙𝑙𝑙� 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝2

𝑃𝑃𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑃𝑃𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 + 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 •

•

Aplicando la ecuación de continuidad

;

𝜌𝜌 =

𝑃𝑃𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑅𝑅𝑅𝑅

𝜕𝜕 � 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌∀ + � 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 = 𝛴𝛴𝐹𝐹∀.𝑐𝑐 𝜕𝜕𝜕𝜕 ∀.𝑐𝑐

𝑠𝑠.𝑐𝑐

El problema nos dice que el sistema es estable: (0) Cero 𝜕𝜕 � 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌∀ + � 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 = 𝛴𝛴𝐹𝐹∀.𝑐𝑐 𝜕𝜕𝜕𝜕 ∀.𝑐𝑐

•

𝑠𝑠.𝑐𝑐

� 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 = 𝛴𝛴𝐹𝐹∀.𝑐𝑐

𝑠𝑠.𝑐𝑐

En X:

� 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 = 𝐹𝐹∀.𝑐𝑐

∴

𝑠𝑠.𝑐𝑐

𝐹𝐹𝐴𝐴𝐴𝐴 = 0

• ∴ 𝑉𝑉𝑥𝑥 = 0

En Y:

� 𝑉𝑉1 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 = 𝐹𝐹𝐴𝐴𝐴𝐴

𝑠𝑠.𝑐𝑐

•

Tomando en cuenta la ecuación de continuidad: (+𝑉𝑉1 )(−𝑚𝑚1 ) + (−𝑉𝑉2 )(+𝑚𝑚2 ) = 𝐹𝐹𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑃𝑃1 𝐴𝐴1 + 𝑃𝑃2 𝐴𝐴2 −𝑉𝑉1 𝑚𝑚1 − 𝑉𝑉2 𝑚𝑚2 = 𝐹𝐹𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑃𝑃1 𝐴𝐴1 + 𝑃𝑃2 𝐴𝐴2

Por la ecuación de continuidad:

−𝑚𝑚1 (𝑉𝑉1 + 𝑉𝑉2 ) = 𝐹𝐹𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑃𝑃1 𝐴𝐴1 + 𝑃𝑃2 𝐴𝐴2 ;

Despejando 𝐹𝐹𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐹𝐹𝐴𝐴𝐴𝐴 = − (𝑃𝑃1 + 𝑃𝑃2 ) − 𝑚𝑚(𝑉𝑉1 + 𝑉𝑉2 ) Como dato: 𝜌𝜌𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 1.94 𝑚𝑚1 = �1.94 𝑚𝑚1 = 9.70

•

;

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 3

𝑚𝑚 = 𝑚𝑚1 = 𝑚𝑚2 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴2 = 𝐴𝐴3

𝑚𝑚 = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌

𝑚𝑚1 = 𝜌𝜌1 𝑉𝑉1 𝐴𝐴1

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠� 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝� 2 �𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 3 � �50 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠� (0.1𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 ) = 9.70 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠� 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

Calculando 𝐹𝐹𝐴𝐴𝐴𝐴 =?

∴ 𝑃𝑃1(𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴) = 30 𝑙𝑙𝑙𝑙�𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝2

;

𝑃𝑃2(𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴) = 24 𝑙𝑙𝑙𝑙� ; 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝2

𝑃𝑃2(𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀) = (24 − 14.7)0 𝑙𝑙𝑙𝑙�𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝2

𝑃𝑃1(𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀) = (30 − 14.7) 𝑙𝑙𝑙𝑙� ; 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝2

Reemplazando en: 𝐹𝐹𝐴𝐴𝐴𝐴 = −𝑚𝑚(𝑉𝑉1 + 𝑉𝑉2 ) − (𝑃𝑃1 + 𝑃𝑃2 )𝐴𝐴

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠� 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝� 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝� 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠� �50 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 + 50 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠� − �(30 − 14.7) 𝑙𝑙𝑙𝑙�𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝2 + (24 − 14.7) 𝑙𝑙𝑙𝑙�𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝2 � × 0.1𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 2

𝐹𝐹𝐴𝐴𝐴𝐴 = − �9.70 𝐹𝐹𝐴𝐴𝐴𝐴 = − �9.70 𝐹𝐹𝐴𝐴𝐴𝐴 = − 9.70

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠� 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝� 2 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠� �100 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠� − �15.3 �𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝2 + 9.3 �𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝2 � × 0.1𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠� 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 × 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 − 354𝑙𝑙𝑙𝑙 ;

𝐹𝐹𝐴𝐴𝐴𝐴 = −970𝑙𝑙𝑙𝑙 − 354𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐹𝐹𝐴𝐴𝐴𝐴 = −1324𝑙𝑙𝑙𝑙 Rpta.

1𝑙𝑙𝑙𝑙 =

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 × 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑠𝑠 2

1Pie = 12Pulg

Problema 2: Entre dos secciones de una larga porción recta de una tubería de 4 pulgadas de diámetro interior fluye aire de manera estable como se ilustra en la figura. Se dan la temperatura y la presión distribuidas uniformemente en cada sección transversal. Si la velocidad media del aire en la sección (2) es de 1000 pies/s, y la velocidad media del aire en la sección (1) es de 219 pies/s. Suponiendo distribuciones de velocidad uniformes en las secciones (1) y (2) determinar la fuerza de fricción ejercida por la pared de la tubería sobre el flujo de aire que circula entre las secciones (1) y (2). Solución:

•

•

En la ecuación de continuidad 𝜕𝜕 � 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌∀ + � 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 = 𝛴𝛴𝐹𝐹∀.𝑐𝑐 𝜕𝜕𝜕𝜕 ∀.𝑐𝑐

𝑠𝑠.𝑐𝑐

El sistema es estable, por lo tanto:

(0) Cero 𝜕𝜕 � 𝜌𝜌𝑉𝑉𝑑𝑑∀ + � 𝑉𝑉𝜌𝜌𝑉𝑉𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛴𝛴𝐹𝐹∀.𝑐𝑐 𝜕𝜕𝜕𝜕 ∀.𝑐𝑐

𝑠𝑠.𝑐𝑐

� 𝑉𝑉𝜌𝜌𝑉𝑉𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛴𝛴𝐹𝐹∀.𝑐𝑐

𝑠𝑠.𝑐𝑐

(+𝑉𝑉1 )(−𝑚𝑚1 ) + (+𝑉𝑉2 )(+𝑚𝑚2 ) = −𝑅𝑅𝑋𝑋 + 𝑃𝑃1 𝐴𝐴1 − +𝑃𝑃2 𝐴𝐴2

𝑉𝑉2 𝑚𝑚2 − 𝑉𝑉1 𝑚𝑚1 = −𝑅𝑅𝑋𝑋 + 𝑃𝑃1 𝐴𝐴1 − 𝑃𝑃2 𝐴𝐴2 •

Despejando 𝑅𝑅𝑋𝑋 :

; 𝑚𝑚 = 𝑚𝑚1 + 𝑚𝑚2

𝑚𝑚(𝑉𝑉2 − 𝑉𝑉1 ) = −𝑅𝑅𝑋𝑋 + 𝑃𝑃1 𝐴𝐴1 − 𝑃𝑃2 𝐴𝐴2

∴ 𝑚𝑚(𝑉𝑉2 − 𝑉𝑉1 ) = −𝑅𝑅𝑋𝑋 + 𝐴𝐴(𝑃𝑃1 − 𝑃𝑃2 ) 𝐴𝐴 =

𝐴𝐴1 = 𝐴𝐴2 = 𝐴𝐴

𝑃𝑃 𝜋𝜋𝐷𝐷2 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝. 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ; 𝜌𝜌 = ; 𝑅𝑅 = 1716 �𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠. °𝑅𝑅 ; 𝑚𝑚 = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 4 𝑅𝑅𝑇𝑇 °

𝑚𝑚2 = 𝜌𝜌2 𝑉𝑉2 𝐴𝐴2 = �

Reemplazando:

𝑃𝑃2 𝜋𝜋𝐷𝐷22 � (𝑉𝑉) � � 𝑅𝑅𝑇𝑇1 4

18.4𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 144𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝2 � � 𝜋𝜋(4)2 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝2 1𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 2 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝� 𝑚𝑚2 = × 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝2 �1000 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠� 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝. 𝑙𝑙𝑙𝑙 4 1716 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠. °𝑅𝑅 𝑚𝑚2 = 0.297

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠� 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

Calculando 𝑅𝑅𝑋𝑋 :

𝑅𝑅𝑋𝑋 = 𝐴𝐴(𝑃𝑃1 − 𝑃𝑃2 ) − 𝑚𝑚(𝑉𝑉2 − 𝑉𝑉1 )

𝜋𝜋42 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝2 � �100 �𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝2 − 18.4 �𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝2 � 𝑅𝑅𝑋𝑋 = � 4 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠� 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝� 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝� − �0.297 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠� �1000 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 − 119 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠� 𝑅𝑅𝑋𝑋 = 1025𝑙𝑙𝑙𝑙 − 232𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑅𝑅𝑋𝑋 = 739𝑙𝑙𝑙𝑙 Rpta.

ECUACION DE ENERGIA PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA

Problema 1:

Una bomba suministra agua de manera estable a razón de 300 gal/min como se muestra en la figura. Corriente arriba de la bomba [sección(1)] donde el diámetro del tubo es 3.5 pulg, la presión es de 18 lb/pulg2. Corriente debajo de la bomba [sección(2)] donde el diámetro del tubo es 1 pulg, la presión es de 60 lb/pulg. El cambio de elevación del agua a través de la bomba es cero. El aumento de energía interna del agua, u2-u1, asociado con el aumento en temperatura a través de la bomba es 3000 pie.lb/slugs. Si se considera que el proceso de bombeo es adiabático, determinar la potencia (hp) requerida por la bomba. Solución 𝑃𝑃1 𝑃𝑃2 𝑉𝑉22 − 𝑉𝑉12 𝑚𝑚 �𝑢𝑢2 − 𝑢𝑢1 + � � − � � + + 𝑔𝑔(𝑍𝑍2 − 𝑍𝑍1 )� = 𝑄𝑄𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒.𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 + 𝑊𝑊𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒.𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛.𝑒𝑒𝑒𝑒.𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝜌𝜌 𝜌𝜌 2 𝑃𝑃1 𝑃𝑃2 𝑉𝑉22 − 𝑉𝑉12 𝑚𝑚 �𝑢𝑢2 − 𝑢𝑢1 + � � − � � + + 𝑔𝑔(𝑍𝑍2 − 𝑍𝑍1 )� = 𝑄𝑄𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒.𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 + 𝑊𝑊𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒.𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛.𝑒𝑒𝑒𝑒.𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝜌𝜌 𝜌𝜌 2 𝑃𝑃1 𝑃𝑃2 𝑉𝑉22 − 𝑉𝑉12 � = 𝑊𝑊𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒.𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛.𝑒𝑒𝑒𝑒.𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑚𝑚 �𝑢𝑢2 − 𝑢𝑢1 + � � − � � + 𝜌𝜌 𝜌𝜌 2

𝑚𝑚 = 𝜌𝜌𝜌𝜌

;

𝜌𝜌 = 1.94

Calculando 𝑚𝑚 =? 𝑚𝑚 = �1.94 𝑚𝑚 = �1.94

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 3

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔� �𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 3 � �300 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚�

1𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 3 = 7.48𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔

1𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 3 1𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔� 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠� � � �𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 3 � �300 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 7.48𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔� �60𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠� = 1.30

Calculando 𝑉𝑉1 =?

𝑄𝑄1 𝑉𝑉1 = 𝐴𝐴1

;

𝜋𝜋𝐷𝐷2 𝐴𝐴 = 4

1𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 3 300𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑄𝑄1 1𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 7.48𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝� = 𝜋𝜋 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 × × = 10 𝑉𝑉1 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2 1𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝐴𝐴1 60𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (3.5𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝)2 4 144𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝2 𝑉𝑉1 = 10

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝� 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

Calculando 𝑉𝑉2 =?

1𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 3 300𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑄𝑄2 1𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 7.48𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝� 𝑉𝑉2 = = 𝜋𝜋 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 × × = 12.3 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2 1𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝐴𝐴2 60𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (1𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝)2 4 144𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝2 1𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 2 = 144𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝2

1𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 3 = 7.48𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 1ℎ𝑝𝑝 = 550

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝. 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

𝑊𝑊𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒.𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛.𝑒𝑒𝑒𝑒.𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒

𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑙𝑙𝑙𝑙 60 18 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝. 𝑙𝑙𝑙𝑙 144𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝2 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝2 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝2 = �1.30 � �300 + ×� �− 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 1.94 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 1𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 2 1.94 3 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 3 2 2 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝� 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝� �132 144𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠� − �10 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠� 1𝑙𝑙𝑙𝑙. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 ×� � + × � �� 1𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 3 2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠. 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝

�

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑙𝑙𝑙𝑙. 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑙𝑙𝑙𝑙. 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 �� �� �; 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

𝑊𝑊 = 32.2𝐻𝐻𝐻𝐻 Rpta.

�

𝑙𝑙𝑙𝑙. 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 ℎ𝑝𝑝 �= 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 550

Problema 2: A una turbina entra vapor con velocidad de 30 m/s y entalpia, h1, de 3348 kJ/kg. El vapor sale de la turbina como mezcla de vapor y líquido con velocidad de 60 m/s y entalpía de 2550 kJ/kg. Si el flujo a través de la turbina es adiabático y los cambios de elevación son insignificantes, determinar el trabajo de salida por unidad de masa del flujo de vapor que circula por la turbina. Solución: 𝑊𝑊 =? 𝑚𝑚

De la ecuación de la energía: 𝑚𝑚 �ℎ2 − ℎ1 +

𝑉𝑉22 − 𝑉𝑉12 𝑔𝑔(𝑍𝑍2 − 𝑍𝑍1 )� = 𝑄𝑄𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤.𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 + 𝑊𝑊𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒.𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛.𝑒𝑒𝑒𝑒.𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 2

𝑉𝑉22 − 𝑉𝑉12 𝑚𝑚 �ℎ2 − ℎ1 + 𝑔𝑔(𝑍𝑍2 − 𝑍𝑍1 )� = 𝑄𝑄𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤.𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 + 𝑊𝑊𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒.𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛.𝑒𝑒𝑒𝑒.𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 2 ℎ = 𝑢𝑢 +

Por lo tanto:

𝑃𝑃 𝜌𝜌

𝑉𝑉22 − 𝑉𝑉12 � = 𝑊𝑊𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒.𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛.𝑒𝑒𝑒𝑒.𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑚𝑚 �ℎ2 − ℎ1 + 2 𝑊𝑊𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒.𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛.𝑒𝑒𝑒𝑒.𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑉𝑉22 − 𝑉𝑉12 � = �ℎ2 − ℎ1 + 𝑚𝑚 2

Por definición:

Por lo tanto:

𝑊𝑊𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒.𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛.𝑒𝑒𝑒𝑒.𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = 𝑊𝑊𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠.𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛.𝑒𝑒𝑒𝑒.𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒

�−𝑊𝑊𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠.𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛.𝑒𝑒𝑒𝑒.𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = �ℎ2 − ℎ1 + 𝑊𝑊𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠.𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛.𝑒𝑒𝑒𝑒.𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = �ℎ1 − ℎ2 +

𝑉𝑉22 − 𝑉𝑉12 �� × 1 2

𝑉𝑉12 − 𝑉𝑉22 � 2

𝑊𝑊𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠.𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛.𝑒𝑒𝑒𝑒.𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒

𝐾𝐾𝐾𝐾 𝐾𝐾𝐾𝐾 (30 𝑚𝑚⁄𝑠𝑠)2 − (60 𝑚𝑚⁄𝑠𝑠)2 − 2550 + 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝐾𝐾𝐾𝐾 2 2 1𝐽𝐽 𝑁𝑁. 𝑠𝑠 1𝐾𝐾𝐾𝐾 ×� �� �� �� 𝑁𝑁. 𝑚𝑚 𝐾𝐾𝐾𝐾. 𝑚𝑚 1000𝐽𝐽 = �3348

𝑊𝑊𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠.𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛.𝑒𝑒𝑒𝑒.𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = 3348

𝑊𝑊𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠.𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛.𝑒𝑒𝑒𝑒.𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = 797

𝐾𝐾𝐾𝐾 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝐾𝐾𝐾𝐾 − 2550 − 1.35 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝐾𝐾𝐾𝐾

𝐾𝐾𝐾𝐾

𝐾𝐾𝐾𝐾

Rpta.

Problema 3 En una caída de agua de 500 pies el flujo es estable desde un gran cuerpo de agua a otro. Determinar el cambio de temperatura asociado con este flujo. Suponer que el flujo es adiabático. El cambio de temperatura está relacionado con el cambio de energía interna del agua, u2-u1, mediante la expresión. 𝑇𝑇2 − 𝑇𝑇1 =

Donde:

1𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵

𝑢𝑢2 − 𝑢𝑢1 𝐶𝐶

𝐶𝐶 = (𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙.°𝑅𝑅) = calor especifico del agua Solución: 𝑃𝑃1 𝑃𝑃¨2 𝑉𝑉22 − 𝑉𝑉12 𝑚𝑚 = �𝑢𝑢2 − 𝑢𝑢1 + � � − � � + + 𝑔𝑔(𝑧𝑧2 − 𝑧𝑧1 )� = 𝑄𝑄𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒.𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝜌𝜌 𝜌𝜌 2 𝑢𝑢2 − 𝑢𝑢1 = (𝑇𝑇2 − 𝑇𝑇1 )𝐶𝐶

Pero:

1 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 778 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝⁄𝑙𝑙𝑙𝑙 1 𝑙𝑙𝑙𝑙 = 32.2

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙.𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝

Desarrollando:

𝑠𝑠 2

𝜌𝜌 = 𝜌𝜌2 = 𝜌𝜌1 (porque es un flujo incompresible) 𝑃𝑃

𝑃𝑃

� 2 � = � 1 � (Solo actúa presión atmosférica) 𝜌𝜌 𝜌𝜌

𝑃𝑃1 𝑃𝑃¨2 𝑉𝑉22 − 𝑉𝑉12 𝑢𝑢2 − 𝑢𝑢1 + � � − � � + + 𝑔𝑔(𝑧𝑧2 − 𝑧𝑧1 ) = 0 𝜌𝜌 𝜌𝜌 2 𝑉𝑉2 − 𝑉𝑉1 = 0 (Como depósito)

𝑢𝑢 −�𝑢𝑢�1 + 𝑔𝑔(𝑧𝑧2 − 𝑧𝑧1 ) = 0 �2��

(𝑇𝑇2 − 𝑇𝑇1 )𝑐𝑐 + 𝑔𝑔(0 − 500𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝) = 0

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑔𝑔(0 − 500𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝) �500 × 39.2 𝑠𝑠 2 � − �500 × 32 𝑠𝑠 2 � 𝑇𝑇2 − 𝑇𝑇1 = = 𝑙𝑙𝑙𝑙. 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑐𝑐 1𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 778𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝. 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑠𝑠 2 � � 1𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 � � 1𝑙𝑙𝑙𝑙 (𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙. °𝑅𝑅) 𝑇𝑇2 − 𝑇𝑇1 = 20.7°𝑅𝑅

𝑇𝑇2 − 𝑇𝑇1 = 0.64. °𝑅𝑅 Problema 1 Un flujo de agua suministra a la hélice de una turbina una potencia de 1.2 Kw. En 2 minutos de funcionamiento se ha estimado un flujo de calor hacia el medio de 15kJ. Calcular la variación de energía interna en el flujo. Solución: 1 𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊 = 1 𝜌𝜌 = 1000

𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽 𝑠𝑠

𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑚𝑚3

1 𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽 = 1 𝑁𝑁. 𝑚𝑚

𝑔𝑔 = 9.806

𝑚𝑚 𝑠𝑠 2

Aplicando la ecuación de la energía: 𝑃𝑃1 𝑃𝑃¨2 𝑉𝑉22 − 𝑉𝑉12 + 𝑔𝑔(𝑧𝑧2 − 𝑧𝑧1 )� = 𝑄𝑄𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒.𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 + 𝑊𝑊𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒.𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛,𝑒𝑒𝑒𝑒,𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑚𝑚 = �𝑢𝑢2 − 𝑢𝑢1 + � � − � � + 𝜌𝜌 𝜌𝜌 2 𝑉𝑉22 − 𝑉𝑉12 𝑚𝑚 = �𝑢𝑢2 − 𝑢𝑢1 + + 𝑔𝑔(𝑧𝑧2 − 𝑧𝑧1 )� = −𝑄𝑄𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒.𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝑊𝑊𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒.𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛,𝑒𝑒𝑛𝑛,𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 2 Por ecuación de continuidad: 𝑚𝑚𝑠𝑠 = 𝑚𝑚𝑒𝑒

𝜌𝜌𝑠𝑠 𝑄𝑄𝑠𝑠 = 𝜌𝜌𝑒𝑒 𝑄𝑄𝑒𝑒

𝑄𝑄𝑠𝑠 = 𝑄𝑄𝑒𝑒

𝐴𝐴𝑠𝑠 𝑉𝑉𝑠𝑠 = 𝐴𝐴𝑒𝑒 𝑉𝑉𝑒𝑒

𝐴𝐴𝑒𝑒 𝑉𝑉𝑒𝑒 (0.2𝑚𝑚2 )(15 𝑚𝑚⁄𝑠𝑠) 𝑉𝑉𝑠𝑠 = = 𝐴𝐴𝑠𝑠 0.10𝑚𝑚2 𝑉𝑉𝑠𝑠 = 30 𝑚𝑚⁄𝑠𝑠

𝑄𝑄 = 15

𝐾𝐾𝐾𝐾 1500𝐽𝐽 𝐽𝐽 = = 12.5 2𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 120𝑠𝑠 𝑠𝑠

𝑊𝑊 = 12𝐾𝐾𝐾𝐾 = 1200𝑊𝑊 = 1200 𝑄𝑄𝑠𝑠 = 𝐴𝐴𝑠𝑠 𝑉𝑉𝑠𝑠 = 0.10𝑚𝑚 2 × 30

𝑄𝑄𝑠𝑠 = 3

𝑚𝑚 3 𝑠𝑠

𝑚𝑚 𝑠𝑠

𝐽𝐽 𝑠𝑠

Calculando m: 𝑚𝑚 = 𝜌𝜌𝜌𝜌 = �1000 𝑚𝑚 = 3000 −1325

𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑠𝑠

𝑚𝑚3 𝐾𝐾𝐾𝐾 � �3 � 𝑚𝑚3 𝑠𝑠

𝑉𝑉𝑠𝑠2 − 𝑉𝑉𝑒𝑒2 𝑚𝑚 𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽 = 𝑚𝑚 �𝑢𝑢𝑠𝑠 − 𝑢𝑢𝑒𝑒 + + �9.806 2 � (0 − 2𝑚𝑚)� 2 𝑠𝑠 𝑠𝑠

𝑚𝑚 2 𝑚𝑚 2 �30 𝑠𝑠 � − �15 𝑠𝑠 � 𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑚𝑚2 −1325 = 3000 �𝑢𝑢𝑠𝑠 − 𝑢𝑢𝑒𝑒 + + (9.806)(2𝑚𝑚) 2 � 2 𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑠𝑠

900 − 225 𝑚𝑚2 𝑚𝑚2 ( )( ) = 3000 �𝑢𝑢𝑠𝑠 − 𝑢𝑢𝑒𝑒 + � � 2 + 9.806 2𝑚𝑚 2 � 𝑠𝑠 𝑠𝑠 2 = 3000 �𝑢𝑢𝑠𝑠 − 𝑢𝑢𝑒𝑒 + �

900−225 𝐾𝐾𝐾𝐾.𝑚𝑚.𝑚𝑚 2

𝑢𝑢𝑠𝑠 − 𝑢𝑢𝑒𝑒 = −318.33 𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽

𝑢𝑢𝑒𝑒 > 𝑢𝑢𝑠𝑠

�

𝑠𝑠 2

+ (9.806)(2𝑚𝑚) Joule

𝑚𝑚 2 𝑠𝑠 2

�