Mecánica de Fluidos CAP. 2 - 3ra Edición - Merle C. Potter & David C. Wiggert

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Estatica de fluidos Esquema 2.1 2.2 2.3 2.4

Introducci6n Presion en un punlo Variaci6n de presion Fluidos en reposo 2.4.1 Presiones en lfquidos en reposo 2.4.2 Presiones en la atmosfera 2.4.3 Man6metros 2.4.4 Fuerzas sabre areas planas 2.4.5 Fuerzas sabre superficies curvas 2.4.6 Flotacion 2.4.7 Estabilidad 2.5 Recipientes linealmente acelerados 2.6 Recipientes rotatorios 2.7 Resumen

Objetivos del capitulo Los objetivos de este capitulo son: • Establecer Ia variacion de presion en un fiuido en reposo. • Aprcndcr c6mo utilizar manometros para medir la presion. • Calcular fucrzas en superficies planas y curvas, incluidas las de flotacion. • Determinar Ia eslabilidad de objetos sumergidos y flotantes. A. Calcular Ia presion y fuerza en recipientes acelerados y rotatorios. .a. Presentar multiples ejemplos y problemas que demuestren como calcular presiones y fuerzas en fluidos en reposo.

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Capitulo 2 I Estatica de fluidos

2.1 INTRODUCCION Estatica de fluidos: £studio de los fluidos en los que no hay movimiento relarivo entre sus part£culas.

CONCEPTO CLAVE

El unico esfuerzo que existe donde no hay movimiento es Ia presion.

La estatica de Ouidos cs el estudio de fluidos en los que no hay movirniento rela-

tive entre sus partfculas. Si no hay movimiento relative, no ex:isten esfuerzos cortantes, puesto que se requieren gradientes de velocidades. ta les como duldy, para que se presenten los esfuerzos cortantes. El unico esfuerzo que ex:iste es un esfuerzo normal, Ia presion, por lo que esta es de primordial importancia en Ia estatica de fluidos. Se investigaran tres situaciones, ilustradas en Ia figura 2.1, que implican la estatica de fluidos. Incluyen fluidos en reposo, tales como agua que empuja contra una presa; fluidos contenidos en dispositivos que experimentan aceleracion lineal; y fluidos contenidos en cilindros rotatorios. En cada una de estas tres situaciones, el fluido esta en equilibria estatico con respecto a un marco de referencia fijo en ellfmite que circunda al fiuido. Ademas de los ejemplos mostrados para fiuidos en reposo, se consideran instrumentos llamados manometros, y se investigan las fuerzas de flotacion . Por ultimo, tambien se presenta Ia estabilidad de cuerpos flotantes tales como buques.

2.2 PRESI6N EN UN PUNTO Definimos Ia presion como una fuerza de compresion normal infinitesimal dividida entre el area tambien infinitesimal sobre Ia cual actua. Esto define la presion en un punta. Se podrfa preguntar si la presion en un punta dado varia conforme la normal al area cambia de direccion. Para demostrar que este no es el caso, incluso para fluidos en rnovirniento sin movimiento cortante, considere el elemento en forma de cufta de profundidad unitaria (en Ia direccion z) mostrado en Ia figura 2.2. Suponga que Ia presion p actua en la hipotenusa y que una presion diferente Ia hace en cada una de las demas areas, como se muestra. Como las fuerzas en las dos caras extremas actuan en la direccion z, no se las incluyo en el elemento. A continuacion, se aplica la segunda ley de Newton al elemento, en las direcciones x y y: tlxtly PxAY - ptls sen () = p - - - ax 2 tlxtly tlxtly Py tl.x - pg-- - p tls cos()= p -- ay 2 2

(2.2.1)

donde se utilizo 6.¥ = Ax tly/2 (se podrfa incluir tlz en cada termino para incluir Ia profundidad). Las presiones mostradas se deben al fluido circundante y son las presiones promedio que actuan en las areas. Sustituyendo tls sen () = fly

a)

b)

As cos()= Ax

(2.2.2)

c)

FIGURA 2.1 Ejemplos incluidos en est~tica de fluidos: a) lfquidos en reposo; b) aceleraci6n lineal: c) rotaci6n angular.

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flGURA 2.2

Sec. 2.3

I Variaci6n de presiOn 37

PresiOn en un punto de un f!uido.

observamos que la ecuaci6n 2.21 toma la forma

pax Ll.x Px-p=~

p(a,

Py- p

+ g) Ll.y

(2.2.3)

2

~

Observe que en ellimite a medida que el elemento se reduce a un pun to, Ll.x--. 0 ~y ____,. 0. Por lo tanto los !ados dcrcchos de las ccuacioncs anteriores se vuelven cero, incluso en el caso de tluidos en movimiento, lo que da el resultado de que, en un punto,

y

(2.2.4)

Px : :;:;- Py = P

Puesto que (} es arbitrario, csta rclaci6n prcvalccc para todos los angulus en un

pun to. Se podrfa haber analizado un elemento en el plano xz y concluido que Px = Pz = p. A sf pucs sc deduce que la presiOn en un t1uido es constante en un pun to; es decir, la presiOn es una funci6n. ActUa igual en todas las direcciones en un pun to dado tanto en un fluido est£\tico como en uno en movimiento sin esfuerzo cortante.

2.3 VARIACION DE PRESION Una ecuaci6n general se deriva para predecir la variaciOn de presiOn de fluidos en reposo o fluidos que sufren una aceleraci6n mientras que la posiciOn relativa entre

sus elementos permanece igual (esto elimina el esfuerzo cortante ). Para determinar la variaci6n de presiOn en tales liquidos, considere el elemento infinitesimal ilustrado en Ia figura 2.3 donde cl eje z esta en Ia direcci6n vertical. La variaci6n

de presion de un punto a otro se determinara aplicando Ia segunda ley de Newton; esto es, Ia sum a de las fucrzas que actUan. en el elemento de fluido es igual a la masa par Ia aceleraci6n del elemento. Si sc presume que exlste una presiOn pen el centro de este elemento, las presiones en cada una de las caras se expresan utilizando la regia de la cadena del c3lculo con p(x, y, z):

dp

ap

~ ~dx

ax

iJp

. ap

ay

az

+ ~dy + -.-dz

(2.3.1)

CONCEPTO CLAVE

Lo

presiOn en un fluido actUa de manera igua/ en todas las direcciones en un

punto.

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38 Capftulo 2 J Estatica de Ruidos

~------------------------y F'uel"l..as que actdan tn uti eleo.c.nto infinitesimal qoo I.'S(j tn rtposo en de rc:Jerc.nc;ia xyz, El 1:1\liJtO de: rcferc1K:i.1 puedc: ~~Cr wmeddo a ac:cJcnu:i6o o

f1 CURA %.3 cl ~mn;o

rotaci6n. Si se recorre una distancia (dx/2) del centro a una cara. se ve que Ia pres~n es

d.• ) ~p dJt p( X+ T·Y·~ = p(x, y.z} +ax T

(2.3.2)

Las presioncs en todas las caras .sc expresan de e$ta manera, como se muestra en Ia figura 2.3. l..'l segunda ley de Newton se escribe en forma vedoriaJ para uo sis· tcmu de masa con.stante como

!f•m~a

Est.a da por resultado Las lres ecuaciones,.supOniendo que do Ia ma.sa como p dx dy dz..

(2.3.3)

z es .,·ertical y utiJizan-

ap

-ax dx dy dt = paAdx dy dt.

ap

- iJy d.r dy dz = paY dx dy dz

ap

- "5; dx dy dz •

(U-4)

p(o{ + g) dx tty dt

donupone constante, al integra.r Ia ccuaci6n 2.4.2 se obtiene 6p = - y4z

o p+

')It

= oonstante o

!!. + ; -= ronstante y

(2.4.3)

de modo que Ia prcsi«)n sc incrementa ron Ia prorundidad. Observe que~ cs positiva hac:ia arriba. A menudo se bace referenda a Ia cantidad (ply + z) ro1no

u,.o

cargo hidmsJ6tica. Si e l pun to de intcrts ruera una distancia h por debajo de una

Suptrllde libte:

&ollpt'd"tdc libre (una s uperficie que separa un gas de un lfquido)t 001no se muestrn en la rigum 2.4.1a ecuaci6n 2.4.3 seria

SIIJWrfick (114(! $('# )I'm WI &as

,,

yll

(2.H )

d)

= 26.57 kPa

Utili7.ando Ia ecuacion. 2.4.8 se obtiene

IR"I

p = !Olt·-xz

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Sec. 2.4 I Fluidos en reposo

_ (Tu To- a;:)~:!nR

Jl- P.um

" = 10 I( 28n

-

O()(}6J O00())9.SJI000Mx2117 · :> X

288

= 26.3 k Pa

La prcsil'in cxistente a 10 000 m scgun Ia tabla B.3 es de 26.50 kPa. Por lo tanto los porcentajes de error son

"'to error = (26.57-_ 26.3) X IOO = l .030to, 26 3

%error= (

26 57 26 50 · · ) X 100 = 0.26% 26.50

Como cl error cs tan pequeflo. con frecuencia se supone que Ia atm6sfcra cs isotcrmica. Nota: Para cvaluar gz/RT usc R = 287 J/kg· K, no 0.287 kJ/kg· K. Para advertir que gz/R no tiene dimensioncs. usc N = kg-m/s2 de modo que

2.4.3 Manometros Los man6metros son instrumentos que utilizan columnas de liquido para medir prcsiones. Trcs instrumentos como esos. mostrados en Ia figura 2.7, se analizan para ilustrar su uso. La parte a) muestra un man6metro de tubo en U, utilizado para medir presiones relativamente pequefias. En este caso Ia presi6n en el tubo se detcrmina definiendo un punto l en su centro y un pun to 2 en Ia superficie de Ia columna derecha. Luego. si se utiliza Ia ecuaci6n 2.4.3

don de el nivel de referencia con respecto al cuaJ se miden z 1 y z2 se localiza en cualquicr posici6n deseada, como por ejemplo a travcs del pun to 1. Como p2 = 0 {si sc clige Ia presi6n manometrica; si se desea Ia presi6n absoluta. se elegirfa P2 = Pmm) Y Z2- Zt = h, Pt

= -yh

(2.4.12)

La Figura 2.7b muestra un man6metro utilizado para medir presiones relativamente grandes puesto que se pueden elegir valores muy grandcs para -y2 por ejemplo, se podrfa elegir -y2 como Ia presi6n de mercurio de modo que -y2 = 13.6 'Yagua· La presi6n sc dctermina introduciendo los puntas indicados. Esto es necesario porque Ia ecuaci6n 2.4.3 es valida en todo fluido; 'Y debe ser constante. El valor de 'Y cambia abruptamente en el pun to 2. La presi6n en el pun to 2 y en el punto 2' es Ia misma puesto que los puntas estan a Ia misma elevaci6n en el mismo fluido. Por lo tanto

Pz = P2' Pt

+

'Yth = P:.

+

(2.4.13) 'Y2H

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Capitulo 2 I Estatica de fluidos

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0 rl

CD

H

CD

It

r-

r a)

r2

-®

b)

rl

CD

0

____.

0

c)

FIGURA 2.7 Man6metros: a) Man6metro de tubo en U (presiones pequeiias); b) Man6metro de tubo en U (presiones grandes); c) microman6metro (cambios de presi6n muy pequeiios).

Con p 3

= 0 (se utiliza presion manometrica) se obtiene (2.4.14)

La figura 2.6c muestra un microman6metro utilizado para medir cambios de presion muy pequeiios. Si se introducen cinco puntas como se indica, se escribe (2.4.15) Observando que

z2

-

z3 + h P1

= H + z5 - z4 y haciendo p 5 = 0 se llega a

= 'Yt(Z2=

Zt) + 'Y2(h - H) + 'Y3H Yt(Zz - Zt) + rzh + (y3 - r z)H

(2.4.16)

Observe que en todas las ccuaciones anteriores para los tres maoomelros, todas las interfaces se identificaron con un punto. Esto siempre es necesario cuando se analiza un manometro. El microman6metro es capaz de medir pequefios cambios de presion porque un pequefio cambio de presi6n de p 1 produce una deflexion H relativamente grande. El cambio de H producido por un cambio de p 1 puedc ser determioado con la ecuaci6n 2.4.16. Sup6ngase que p 1 se incrementa en ~p 1 y, en consecuencia, z2 disminuye en ~z; en tal caso h y H tambien cambian. Utilizando el hecho de que una disminucion de z2 va acompafiado par un incremento de z5 se llega a un incremento de h de 2~z y. asimismo. supon iendo que se conservan los volumenes, se puede demostrar que H experimenta incrementos de 2~zD 2/d 2 . Por consiguiente un cambio de presi6n j.p 1 puede ser evaluado a partir de los cambios de deflexi6n como sigue:

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Sec. 2.4 I Fluidos en repose 45

(2.4.17) La raz6n de cambia de H con p 1 es

t:l.H

26.zD2/d2

1-p,

t:lp,

(2.4.18)

Con Ia ecuaci6n 2.4.17 se obtiene (2.4.19) En el cjemplo 2.4 sc da un ejemplo de este tipo de man6metro.

Ejemplo 2.3 Por olcoductos fluyen agua y petr6leo. Se conecta un man6metro de doble tubo en U entre los oleoductos, como se muestra en Ia figura E2.3. Calcule Ia diferencia de presi6n entre el oleoducto que conduce agua y el que conduce petr61eo. Solucion

Primero se identifican los puntos pertinentes como se muestra en Ia figura. Se inicia en el pun to CD y se sum a Ia presi6n cuando Ia elevaci6n disminuye y se rcsta cuando Ia elevaci6n se incrementa hasta que se llega al pun to®: P1

+ "Y(z, -

Z2) · ySt(Z3 - Z2)- ySairc(Z4 - Z3)

+ ySz(Z4 - Zs) = P5

A ire

.-----==.=L.J I

lin

Agua

6in

I '

0 Petr6leo

I

lOin

s, = 1.6 FIGURAE2.3 donde y = 62.4lb/ft\ S1 = 1.6, S2 = 0.9 y Sa;rc = 0. Por lo tanto. p1

-

Ps = 62.4( - 10 + 1.6 12 = 11.44 lb/ff

X

11 + 0 12

X

6 - 0.9 12

X

6) lz

o 0.0794 psi

Observe que si sc omite el peso del aire, Ia presi6n en el punto 3 es igual a Ia presi6n en el pun to 4.

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Capitulo 2 I Estatica de fluidos

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Ejemplo 2.4 En una condici6n dada los niveles del lfquido en Ia figura 2.7c son .:: 1 = 0.95 m, z2 = 0.70 m. ;::3 = 0.52 m. Z.t = 0.65 my ;: 5 = 0.72 m. Ademas, y 1 = 9810 Nlm'. y 2 = 11500 N/m3 y y_, = 14 000 N!m 3 . Los diametros son D = 0.2 my d = 0.01 m. a) Calcule la presi6n p 1 c::nla tube ria, b) calcule el cambia de Jl si p 1 experimenta un incremento de 100 Pay c) calcule cl cambio de h del man6mctro de Ia figura 2.7a si h = 0.5 m de agua y t:.p = lOOPa. Soluci6n

a) Recurriendo a Ia figura 2.7c, sc tiene h

= 0.72- 0.70 = 0.02 m

H = 0.65- 0.52 = 0.13 m Sustituyendo los valores dados en Ia ecuaci6n (2.4.16) se obtiene

+ 'Y2h + (Y3 - Y2)H 9810(0.70- 0.95) + 11500(0.02) + (14000- 11500)(0.13)

Pt = Y1(:2 - zt) =

= -1898 Pa b) Si Ia presion p 1 se incrementa en 100 Pa a p 1 = - 1798 Pa, el cambio de H es, de acuerdo con Ia ccuaci6n 2.4.19. ~II= ~PI

-yl

'I ~ + 2yz + 2('Y3- Yz)D-,d-

2(2Q1)

~H = lOO -9810 + 2(11500) + 2(14000- 11500) X 20~

=

0·0397 m

De este modo H sc incrementa en 3.97 em a consecuencia del incremento de presi6n de 100 Pa. c) Para el man6metro de Ia figura 2.7a.la presi6n p 1 esta dada por p = yh. Suponga que inicialmente h = 0.50 m. Asf pues Ia presi6n inicial es p 1 = 9810 X 0.50 = 4905 Pa

Ahora si p 1 sc incrementa en 100 Pa, se puede determinar h: PI = yh PI 5005 h = - = - - = 0.510 m y 9810

:. ~~~ = 0.510- 0.5 = 0.01 m

De este modo un incremento de 100 Pa incrementa hen l em en el man6metro mostrado en Ia parte a), 25% del cambio en el microman6metro.

2.4.4 Fuerzas sobre areas planas

En el disefto de dispositivos y objetos sumergidos, tales como presas, obstrucciones de flujo, superficies en barcos y tanques de almacenamiento, es necesario calcular las magnitudes y ubicaciones de las fuerzas que actuan tanto en superficies planas como curvas. En esta secci6n se consideran s61o superficies planas, tal como la superficie plana de forma general mostrada en Ia figura 2.8. Observese que se da una vista laterallo mismo que una vista que mucstra Ia forma del plano. La fuerza total dellfquido sabre la superfkie plana se encuentra integrando Ia presi6n en toda el area, es decir,

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Sec. 2.4 I Fluidos en reposo 4 7

(2.4.20)

donde en general se utiliza Ia presion manometrica. La presion atmosferica se elimina puesto que actua en ambos lados del area. Las coordenadas x y y estan en el plano de Ia superticie plana. como se muestra. Suponiendo que p = 0 en lz = 0. se sabe que p

= y/z = 'YY sen a

(2.4.21)

donde h se mide verticalmente bacia abajo desde Ia superficie libre basta el area elemental dA y y se mide desde el punta 0 en Ia supcrficie libre. Entonces la fuerza se expresa como

F

=

Lyh dA

= y sen a

L

(2.4.22)

y dA

La distancia a un centroide se define como

y = ..!..f ydA A

(2.4.23)

A

La expresi6n para Ia fuerza es, por lo tanto

F= yyA sen a = yhA = pcf!

(2.4.24)

dondc h es Ia distancia vertical de Ia superficie libre al centroide del area y Pc es Ia presion en el centroide. De este modo se ve que la magnitud de Ia fuerza sabre una superficie plana es Ia presion en el centroide multiplicada por el area. La fuer.t:a, en general, no actua en el centroide. Supcrficic bbrc p

=0

.

\ 0

Area de plano inclinado (v1~1a dc,dc arriba)

FIGURA 2.8 Fuerza en un area de plano inclinado.

CONCEPTO CLAVE La fuerzs en uns superficie plana es Is presion en el centroide multip/icsds pore/ares.

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Capitulo 2 I Estatica de fluidos

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Para hallar Ia ubicaci6n de Ia fuerza resultante F, se observa que la suma de los mornentos de todas las fuerzas de presi6n infinitesimales que actuan en el area A deben ser iguales al momento de Ia fuerza resultante. Sea F Ia fuerza que actua en el punto (xp, yp), el centro de presion (c.p.). E l valor de yP se obtiene igualando los momentos con respecto al eje x:

Centro de presion:

EL punto donde acttta La resultanre de las fuerzas.

ypF= LypdA

= ysen a:

i/

dA

=

ylx sen a:

(2.4.25)

donde el segundo momento del area con respecto al eje x es fx

=

L/dA

(2.4.26)

E l segun_9o momento de un area esta relacionado con el segundo momento de un area I con respecto al eje centroidal por medio del teorema de transferencia del cje paralelo, (2.4.27) sustituyanse las ecuaciones 2.4.24 y 2.4.27 en Ia ecuaci6n 2.4.25 para obtener

Yp

=

y(l + Ay 2)sen a: yyA sen a

- T

= y + Aji (2.4.28)

CONCEPTO CLAVE

La

fuerza en una compuerta rectangular con e/ borde superior a/ ras de Ia superficie del /fquido, a dos tercios hacia abajo.

donde ji se mide paralela al plano a lo largo de eje y. En el apendice se presentan centroides y momentos de varias areas. Por medio de Ia expresi6n anterior, se demuestra que la fuerza en una compuerta rectangular con el borde superior al ras con Ia superficie de liquido como se muestra en Ia figura 2.9, actUa a dos tercios de Ia parte inferior. Esto tambien es obvio si se considera Ia distribuci6n de presi6n triangular que actua en la compuerta. Observe que Ia ecuaci6n 2.4.28 demuestra que YP siempre es mayor que ji; es decir, Ia fuerza resultante del lfquido en una superficie plana siempre actua por debajo del centroide del area, excepto en un area horizontal en la cual ji = oo; luego el centro de presi6n y el centroide coinciden. Asirnismo, para Iocalizar la coordenada xp del c.p., se escribe xPF =

L

xp dA

= 'Y sen a:

L

xy dA

= ylxy sen a:

(2.4.29)

FIGURA 2.9 Fuerza en un area plana con el borde superior en una superficie libre.

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Sec. 2.4 I Fluidos en reposo 49

donde el producto de inercia del area A es lxy

=

L

(2.4.30)

xy dA

Si se utiliza el teorema de transferencia para el producto de inercia, (2.4.31) La ecuaci6n 2.4.29 llega a ser

lxy

x p =x+Ay (2.4.32) Ahora se tienen dos expresiones para las coordenadas que localizan el centro de presion. Por ultimo, es de hacerse ootar que la fuera F eo Ia figura 2.8 es el resultado de una prisma de presion que actua en el area. En el area rectangular mostrada en Ia figura 2.10, Ia presi6n se incrementa, como se muestra mediante Ia distribuci6o de presion eo Ia figura 2.10b. Si se forma Ia integral f p dA, se obtiene el volumen del prisma de presi6n, el cual es igual a Ia fuerza F que acrua en el area, mostrada en Ia figura 2.10c. La fuerza actua a traves del centroide del volumen. Para el area rectangular mostrada en Ia figura 2.10a, el volumen se podria dividir en dos volumenes: uno rectangular con centroide eo su centro, y otro triangular con ccntroide a un tercio de Ia distancia a Ia base apropiada. La ubicaci6n de Ia fuerza se encueotra entooces localizando el centroidc del volumen compuesto. F

a)

b)

c)

FIGURA 2.10 Prisma de presi6n: a) area rectangular; b) distribuci6n de presi6n en e l area; c) prisma de presi6n.

Un area plana de 80 x 80 em actua como Ia ventana de un sumcrgible en los Grandcs Lagos. Si forma un angulo de 45° con Ia horizontal, (,que fuerza aplicada normal a la ventana en el borde inferior se requiere para comenzar a abrirla, si csta engoznada en el borde superior cuando este sc encucntra a 10 m por debajo de Ia superficie'! Se supone que Ia presi6n en cl interior del sumergiblc es Ia atmosferica.

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Capitulo 2

I Estatica de fluidos

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FIGURA E2.5 Solucion

En primer Iugar, un dibujo de Ia ventana como el de Ia figura E2.5 serfa de mucha ayuda. La fuerza del agua que actua en Ia ventana es

F= ·y/iA

= 9810(10 + 0.4 X sen 45°)(0.8 X 0.8) = 64560 N La distancia y es

- = __E_ = 10 + 0.4 X y

sen 45° = 14.542 m sen 45°

sen 45°

de modo que

= 14.542 + (0.8 X 0.8) X 14.542 = 14.546 m

Con los momentos en torno al gozne se obtiene Ia fuerza requerida P para abrir Ia ventana: 0.8P = (y,,-

:. p

y + 0.4)F

= 14.546 -

~~542 + 0.4 64560

= 32610 N

Por otra parte, se podrfa haber dibujado el prisma de presion, compuesto de un volumen rectangular y uno triangular. Los momentos en tomo al gozne superior dan Ia fuerza deseada.

Ejemplo 2.6 Localice la fuerza resultante F del agua en Ia compucrta triangular y Ia fuerza P necesaria para mantenerla en Ia posicion mostrada en Ia figura E2.6a. Solucion

Primcro se dibuja el diagrama de cuerpo libre de Ia compuerta. incluidas todas las fuerzas que actuan en ella (Fig. E2.6c). Se omiti6 el peso de Ia compucrta. El centroide de Ia cornpuerta se muestra en Ia figura E2.6b. La coordenadas y de Ia ubicaci6n de Ia resultante F se halla mediante Ia ecuaci6n 2.4.28 como sigue:

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2m

2.071

...l . Ill

Sec. 2.4 I Fluidos en reposo

3m

:...--.

b)

2m

3m

,

,

,

,

...

C)

FIGURA E2.6

y=2+5=7 -

I

Y =v+--= " . Ay

= 7 + 2 X 3?j36 = 7.071 3X7

m

Para dctcrminar x,. se podrfa utilizar Ia ecuaci6n ::!.4.32. En Iugar de eso, se reconocc que Ia fuer1a resultante debe actuar sobre una lfnca que conecta el vcrtice y el punto medio del !ado opuesto ya que cada fuena infinitesimal actua sobre esta lfnea (el memento de Ia rcsultante debe ser igual a! momcnto de sus componentes). Por Io tanto utilizando triangulos semejantes se tiene Xp

1

= 2.071

3

.. xP = 0.690 m

Las coordenadas x,. y Yp locatizan el sitio donde actua Ia fuerza producida por el agua en Ia compucrta. Si se toman los momentos en torno a! gozne, supuesto Iibre de fricci6n, se encuentra Ia P ncccsaria para mantener Ia compuerta en Ia posici6n mostrada: ~ Mgozne

.. 3

X

=0

P = (3 - 2.07l)F = 0.929 X yhA = 0.929

x 9810 x (7 sen 53") x 3

donde h es Ia distancia vertical del centroide a Ia superficie lihrc. Por lo tanto

51

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Capitulo 2 I Estatica de fluidos

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2.4.5 Fuerzas sobre superficies curvas

CONCEPTO CLAVE La fuerza resultante F11 + Fv debe actuar a traves del centro del arco circular.

Nose utiliza un metoda de integraci6n directo para hallar Ia fuerza creada porIa presi6n hidrostatica sabre una superficie curva, en su Iugar, se identifica un djagrama de cuerpo libre que contiene Ia superficie curva y los liquidos directamente sabre o debajo de ella. Un diagrama de cuerpo libre como ese contiene s6lo superficies planas sabre las cuales actuan fuerzas de fluido desconocidas; estas fuerzas desconocida_s son determinadas como en Ia secci6n preccdente. Como cjemplo, se determinara la fuerza de Ia compuerta curva en el cerrojo mostrado en Ia figura 2.1la. E l diagrama de cuerpo libre, el cual incluye Ia compuerta y alga del agua retenida directamente por ella, se muestra en Ia figura 2.1lb; las fuerzas Fx y Fy son las componentes horizontal y vertical, respectivamente, de Ia fuerza que actua en el gozne; F 1 y F2 se deben al agua circundante y son las fuerzas resultantes de Ia distribuci6n de presi6n mostrada; Ia fuerza de cuerpo Fw se debe al peso del agua mostrada. Sumando los momentos en torno a un eje que pasa por el gozne, se determina Ia fuerza P que actua en el cerrojo. Si Ia superficie curva es un cuarto de c(rculo, el problema se sirnplifica mucho. Esto se ve considerando un diagrama de cuerpo libre de compuerta unicamente (vease la Fig. 2.llc). La fuerza horizontal F11 que actua en Ia compuerta es igual a F 1 de Ia figura 2.1lb, y Ia componente Fv es igual a Ia fuerza combinada F2 + Fw de la figura 2.llb. Ahara bien, F11 y Fv se deben a las fuerzas de presi6n diferencial que actuan en el area circular; cada fuerza de presi6n diferencial actua a traves del centro del arco circular. Por lo tanto Ia fuer.la resultante F 11 + Fv (Esta es una suma de vectores) debe actuar a traves del centro. Par consiguiente, las componentes F1-1 y Fv se localizan en el centro del cuarto de circulo, lo que simplifica el problema. El ejemplo 2.7 lo ilustrara. ' Si Ia presi6n en Ia superficie libre es p 0 , simplemente se agrega una altura de liquido necesaria para generar p 0 en ellugar donde se localiza Ia superfjcie libre, y lucgo se resuelve el problema resultante, con una superficie libre ficticia localizada a Ia distancia apropiada sabre Ia superficie libre original. 0, se sum a Ia fuerza de presi6n poA a Ia fuerza F2 de la figura 2.llb.

Agua Centro p

\

0

Cerrojo

p

.--...- -

.

~ - -- -- - -·-·- -;-,

Gozne

Superficie

curva a)

b)

c)

FIGURA 2.11 Fuerzas que actuan en una superficie curva: a) superficie curva; b) diagrama de cuerpo libre del agua y compuerta; c) diagrama de cuerpo Libre de Ia compuerta t1nicamente.

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Sec. 2.4 I Fluidos en reposo 53

Calcule Ia fucr7.a P ncccsaria para detencr Ia compuerta de 4 m de ancho en Ia posicion mostrada en Ia figura E.2.7a. Omita el peso de Ia compuerta. p

p

O.Sm-t

o ~------L-~,----_, '

2m

r' I a)

b)

•

= f--d-~~·~·1

I

c)

4r 31r

.r.,=-

-

d)

c)

FIGURA E2.7 Solucion

El primer paso cs dibujar un diagrama de cuerpo librc deJa compuerta. Una opci6n es elegir Ia compuerla y el agua directamenle debajo de Ia compuerta como se muestra en Ia figura E2.7b. Para calcular P,hay que determinar F~> F2 . Fw, d~o d 2 y dw; luego los momcntos en tomo al gozne pcrmitiran calcular Ia fuer7.a P. Las componentes de la fuerza estan dadas por F1 = -yhtAt

= 9810 X

1 X 8 "" 78480 N

Fz = -yh2Az = 9810 X 2 X 8 = 156960N

Fw = -y.Vagua = 9810 X

~4- 7T ~

22

) =

33700 N

La distancia dw cs Ia dislancia at centroide del volumen. Sc detcrmina considerando el area como Ia difcrencia de un cuadrado y un cuarto de cfrculo como se muestra en Ia figura E2.7c. Los momentos de area dan dw(At - Az) = XtAt- XzAz x 1At- x2A 2 dw = - - - - At -Az

=

1 X 4 - (4 X L/37T) X 7T - = 1.553 m 4- 7T (continUil)

54

Capitulo 2 I Estatica de fluidos

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La distancia d 2 = 1 m. Como F1 se debe a una distribuci6n de presi6n triangular (vease la Fig. 2.9). d 1 se calcula como sigue l

dt = 3(2) = 0.667 m Si se suman los momentos en torno al gozne libre de (ricci6n se obtiene

+ ci2Fz- dwFn

2.5P = d 1Ft

p

= 0.667 X 78.5 + I ~~t·O-

l.553 X 33.7

8

= 62.

kN

En Iugar del procedimiclllo un tanto tedioso anterior, se podrfa observar que todas las fuerzas infinitesimalcs que forman Ia fuerza resultante (Fn + F~) que actuan en el arco circular pasan por el centro 0, como se senala en Ia figura 2.llc. En vista de que cada fuerza infinitesimal pasa por el centro, Ia fuerza resultante tambien debe hacerlo. Por lo tanto se podrfa haber Jocalizado Ia fuer.ta resultante (F11 + Fv) en el punto 0. Si Fv y Fn hubieran estado localizadas en 0, F._ pasarfa por el gozne, y no producirfa momento en torno al gozne. Entonces, como F11 = F 1 y si se sum an los momcntos en torno al gozne se tiene

2.5P = 2FH Por consiguiente, P= 2 X

7

~:~8 = 62.8 kN

Esto obviamente fue mucho mas simple. jTodo lo que hubo que hacer fue calcular F 11 y luego sumar los momentos!

Ejemplo 2.8 Calculc Ia fuena P neccsaria para mantener la compuerta en Ia posici6n mostrada en Ia figura E2.8a si P actua a 3 m del cje y. La compuerta parab61ica es de 150 em de ancho. p

p

b)

a)

FIGURA E2.8 Soluci6n Un diagrama de cucrpo libre de la compuerta y el agua directamente sobre ella se muestra en Ia figura E2.8b. Se ve que las fuerzas son

F1 = yhA = 9810 X 1 X (2 X 1.5) = 29 430 N Fw = y.V

l

l

= 9810

(l

23

l.Sx dy = 14715)., ·2· dy = 14715 6 = 1%20 N

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Sec. 2.4 I Fluidos en reposo 55

La distancia d 1 es i(2) = 0.667 m puesto que el borde superior coincide con Ia superticie libre. La distancia ilw a traves del centroide se calcula utilizando una franja horizontal:

f

if/

x(x/2) dy dy 1 zs;s dw = -"- - , - - - = ........::'::..,.', - - "' - _._.._ = 0.6 m

f

X

dy

If l

dy

4

2~/3

Se sum an los momentos en torno a! gozne y se calcula P como siguc:

= 0.667 X 29430

2.4.6

+ 0.6

X

19620 :. P = 10470 N

Flotaci6n

La ley de Ia Ootaci6n conocida como principia de Arquimedes se remo nta a unos 2200 aiios, a los tiempos del gran fil6sofo gricgo Arquimedes. La leyenda cuenta que Iliero. rey de Siracusa, sospechaba que su nueva corona de oro podrfa haber sido conslruida de materiales diferentes al oro puro, asf que le pidi6 a Arqu(medes que Ia sometiera a una prueba. Arquimedes probablemenle hizo una bola de oro puro que pesaba lo mismo que la corona. Descubri6 que Ia bola pesaba mas en agua que lo que Ia corona pesaba en agua, lo que para Arquimedes fue la prueba de que Ia corona no era de oro puro. El material falso posefa un volumen mas grande que pesaba lo mismo que el oro, par lo que desplazaba mas agua. El principia de Arqufmedes es: Un objeto recibe una fuerza de flotaci6n igual al peso dcllfquido desplazado. Para comprobar Ia ley de Ia flotaci6n, considere el cuerpo sumergido mostrado en Ia figura 2.12a. En Ia parte b) se muestra un diagrama de cuerpo libre cilindrico que incluye el cuerpo sumergido que pesa W y ellfquido que pcsa Fw; el area de secci6n transversal A es el area de secci6n transversal maxjma del cuerpo. En el diagrama seve que Ia fuerza vertical resultante que actua en el cuerpo libre producida par el agua (no incluye W) es igual a

CONCEPTO CLAVE El principia de Arqufmedes establece que Ia fuerza de flotaci6n hacia arriba en un objeto es igual at peso del lfquido desalojado.

(2.4.33)

Esta fuerza resultante es par definicion la fuerza de flotaci6n F 8 . Se expresa como (2.4.34)

T

a)

b)

c)

FIGURA 2.12 Fuerzas en un cuerpo sumergido: a) cuerpo sumergido: b) di agrama de cuerpo librc; c) cuerpo libre que muestra F8 .

56

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donde V w es el volumen de Iiquido incluido en el diagrama de cuerpo libre. Si el volumen del cuerpo surnergido es (2.4.35) La ecuaci6n 2.4.34 permite ver que

FB

= -yVliqwdo desphll'..ado

(2.4.36)

con lo cual se comprueba Ia ley de flotaci6n. La fuerza necesaria para mantener sumergido a un cuerpo en su Iugar (vease Ia Fig. 2.12c) es igual a

T= W-Fn CONCEPTO CLAVE

La fuerza de flotaci6n actua a traves del centroide del liquido desalojado.

(2.4.37)

donde W es el peso del cuerpo sumergido. En un cuerpo flotante, como el de la figura 2.13, Ia fuerza de flotaci6n es F8

Obviamente, T

= "Y.VIfquido d esplnado

(2.4.38)

= 0, de modo que Ia ecuaci6o 2.4.36 da

(2.4.39)

Hidrometro: lnstrumento utilizado para medir Ia gravedad especifica.

donde W es el peso del objeto flotante. El am'ilisis anterior indica que Ia fuerza flotante F8 act:Ua a traves del centroide del volumen de Lfquido desplazado. El peso del objcto Dotantc actua a traves de su centro de gravedad, de modo que estc debe quedar en Ia misma lfnea vertical que el centroide del volumen de lfquido. Un bidrometro, un instrumento utilizado para medir Ia gravedad especffica de Iiquidos, opera basado en el principia de flotaci6n. En Ia figura 2.14 se muestra un bosquejo. La parte superior, el vastago, tiene un diametro constante. Cuando se coloca en agua pura Ia lectura de Ia gravedad especffica es 1.0. El equilibria de fuerzas es (2.4.40)

FIGURA 2.13 Fuerzas en un cuerpo flotante.

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Sec. 2.4 I Fluidos en reposo 57

sustancia

pesada

a)

b)

FIGURA 2.14 Hidr6metro: a) en agua; b) en un liquido desconocido.

donde W es el peso del hidr6metro y ¥ es el volumen sumergido por debajo de Ia linea S = 1.0. En un lfqwdo desconocido de peso cspecffico -y_.., un equilibrio de fuea..as serfa W = 'YxC¥ - Allh)

(2.4.41)

donde A es cl area de secci6n transversal del vastago. AI igualar cstas expresiones se obtiene

(2.4.42)

donde s. . = 'Yxi'Yagua· Para un hidr6metro dado, V y A son Cijos de modo que Ia cantidad Llh depende s61o de Ia gravedad especlfica s .... Por lo tanto el vastago puede scr calibrado para leers... directamente. Sc utili7..an hidr6melros para medir Ia cantidad de anticongelante en e l radiador de un autom6vil, o Ia carga en una batcrfa puesto que Ia densidad del fluido cambia a medida que se consume o produce H 2 S04.

Ejemplo 2.9 Se desea saber el peso especifico y Ia gravedad especifica de un cuerpo de composici6n desconocida. Su peso en aire es de 200 lb y en agua de 150 lb. Solucion

El volurnen se calcula mediante un equilibrio de fuenas cuando se sumerge como sigue (vcasc Ia Fig. 2.12c): T=

w-

FR

150 = 200 - 62.4¥ :. ¥ .,.,. 0.801 ft1

Luego el peso especifico es 'Y

= -w = ¥

200

--

0.801

= 250 lb/ft3

y Ia gravcdad espedfica 'Y 'Yar.ua

250 62.4

S=--=-=4.00

58

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2.4.7 Estabilidad

CONCEPTO CLAVE Un objeto flotante tiene estabilidad vertical.

Centro de flotacion: Centroide de un cuerpo flotante.

CONCEPTO CLAVE Si GM es positiva el cuerpo es estab/e.

La noci6n de estabilidad se dcmuestra considerando Ia estabilidad vertical de un objeto flotante. Si el objeto se eleva una pequena distancia, Ia fuerza de flotaci6n disminuye y el peso del objeto Jo regrcsa a su posici6n original. A Ia inversa, si un objeto flotante desciende un poco, Ia fuerza de flotaci6n se incrementa y Ia fuerza de flotaci6n mas grande regresa al objeto a su posici6n original. De este modo un objeto Ootante tiene estabilidad vertical puesto que un pequeiio alejamiento del equilibria produce una fuerza restauradora. Considerese ahara la estabi lidad rotatoria de un cuerpo sumergido, rnostrado en Ia figura 2.15. En Ia parte a) el centro de gravedad, G. del cucrpo esta arriba del centroide C (tambien conocido como centro de flotacion) del volumen desplazado y una pequeiia rotaci6n angular genera un momenta que continuara incrementando Ia rotaci6n; por lo tanto el cuerpo se vuelve inestable y se volcara. Si el centro de gravedad esta debajo del centroide, como en Ia parte c), una pequefia rotaci6n angular crea un momenta rcstaurador y el cuerpo esta estable. La parte b) muestra Ia estabilidad neutral de un cuerpo en el que el centro de gravedad y el centroide coinciden, una situaci6n que se presenta siempre que la densidad se mantiene constante en todo el cuerpo sumergido. A continuaci6n considere Ia estabilidad rotatoria de un cuerpo Ootante. Si el centro de gravedad esta debajo del centroide, el cuerpo siempre esta estable, como en el caso del cuerpo sumergido de Ia figura 2.15c. El cuerpo puede estar estable, no obstante, incluso si el centro de gravedad esta arriba del centroide, como se ilustra en Ia figura 2.16a. Cuando el cuerpo gira el centroide del volumen del liquido desplazado se mueve a Ia nueva ubicaci6n C', mostrada en Ia parte b). Si el centroide C' se mueve suficientemente Jejos, se desarrolla un momenta restaurador y el cuerpo esta estable, como se muestra. Esto queda determinado por Ia altura metacentrica GM definida como distancia de Gal punta de intersecci6n de Ia fuerza Ootante antes de la rotaci6n con Ia fuerza de flotaci6n despues de Ia rotaci6n. Si GM es positiva, como se muestra, el cuerpo esta estable; si GM es negativa (M queda debajo de G) el cuerpo esta inestable. Para determinar una rclaci6n cuantitativa para Ia distancia GM remitase a Ia figura 2.17, Ia cual muestra Ia secci6n transversal uniforme. Hay que derivar una expresi6n para x, Ia coordenada x del centroide del volumen desplazado. Puede ser derivada considerando que el volumen es el volurnen original mas Ia cuiia agregada con area de secci6n transversal DOE menos Ia cuiia restada con area

w

w

w FB Rotaci6n(

w

Fn a)

b)

c)

FIGURA 2.15 Estabilidad de un cuerpo sumergido: a) inestable; b) neutro; c) estable.

Sec. 2.4 I Fluidos en reposo 59

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b)

a)

FIGURA 2.16 Estabilidad de un cuerpo flotante: a) posici6n de equilibria; b) posici6n girada.

de sccci6n transversal AOB; para localizar el centroide de un volumen compuesto, se loman momentos como sigue: (2.4.43)

donde V 0 es el volumen original bajo el agua, V 1 es el area DOE porIa longitud, V 2 es el area AOB porIa longitud; se supone que Ia secci6n transversal cs uniforme de manera que Ia longitud l es constante para el cuerpo. La cantidad :X0 , Ia coordenada x de pun to C, es cero. Los dos terminos restantes se representan mejor como integrates de modo que

:x-v =

J x d:v - J x dV v1

(2.4.44)

v2

Por lo tanto dV = x tan a dA e n el volumen 1 y dV = - x tan a dA en el volumcn 2, donde dA = I dx, l es Ia longitud constante del cuerpo. La ccuaci6n de arriba se convicrtc en: xV

= tan a = tan a

rx

JA 1

2

dA + tan a

rx

JA2

2

dA

L~dA

=tan a 10

(2.4.45)

donde 10 es el segundo momenta (momenta de inercia) del area a! nivel de Ia lfnea de Ootaci6n en torno a un eje que pasa por el origen 0. El area al nivel de Ia y Longitud del cuerpo = I Area al nivel de Ia linea de flotaci6n = A Lrnea de flotaci6n

8

D

FIGURA 2.17 Secci6n transversal uniforme de un cuerpo notante.

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lfnea de flotaci6n seria Ia longitud A E por Ia longitud I del cuerpo si I fuera de longitud constante. Con :X =CM tan a , sc escribe CM ¥

o, con CG + GM

= fo

(2.4.46)

= CM, se tiene (2.4.47)

Para una orientaci6n del cuerpo dada, si GM es positiva, el cuerpo esta estable. Aun cuando esta relaci6n (2.4.47) se deriv6 para un cuerpo flotante de secci6n transversal uniforrne, sirvc para cuerpos flotantes en general. Sera aplicada a un cilindro flotante en el siguiente ejcmplo.

Ejemplo 2.10 Un cilindro de 0.25 pulg de diamctro y 0.25 m de largo esta becbo de un material con peso especifico de 8000 N/m3 .