MECANICA DE FLUIDOS 2 - UGARTE.pdf

L

FRANCISCO UGARTE PALACIN U N IV E R S ID A D N A CIO N AL DE IN G EN IER ÍA

MECANICA D

E

FLUIDOS 11

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES L I M A - P E R Ú

M e c á n ic a d e F lu id o s

II

FRANCISCO UGARTE PALACIN

©

Francisco ligarte Palacio Diseño de Portada: Francisco Ligarte Composición de interiores: Francisco ligarte Responsable de edición: Francisco Ugarte

©

Editorial San Marcos E.I.R.L., editor. RUC 20260100808 Jr. Dávalos Lissón 135 - Lima. Telefax: 331-1522 E-mail: [email protected]

Primera edición: 2008 Primera reimpresión: Agosto 2010 Tiraje: 700 ejemplares Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Reg. n.° 2010-10168 ISBN 978-9972-38-393-9 Registro de Proyecto Editorial N° 31501001000663 Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra sin previa autorización escrita del autor y el editor. Impreso en Perú / Printed in Perú Pedidos:

Av. Inca Garcilaso de la Vega 974, Lima. Telef.: 331-1535 / 331-0968 / 332-3664 E-mail: [email protected] Composición, diagramación e impresión: Editorial San Marcos de Anibal Jesús Paredes Galván Av. Las Lomas # 1600 - S.J.L. RUC 10090984344

1

Como c.ile.¿ de. ca­ s i todaA ¿ai ncunas de. 1nge ru.e’i l a . En eX pAimeA cap í ta to Ae de.AcuiA.otta la te.on.la d e l AnátcAiA Vimen 6¿(mal y

lUlcviidad, ACAaltando l a ap licación de.i1 TEOREMA VE BUCKINGHAM.

d& m t A w é s de. e.bte. cap itu lo que t i le c to n encontAaAá ¿sentido d e l ponqué, ¿e ’¿levasea cabo laA p-uie.baA en modele 6 anteA de conAtiu^Ae una máquina , una $

''

pAe¿a, &tc. En e l Atgundo ca p itu lo t e Analiza el e¿tucUo d el Fia jo \/íacü 6o, citando texa d e f i n i d o neA báA¿caj> de. laA matemátlcaA. Aa i también ¿e ha d e ta ­ l la d a l a de.duc.cion de. taA ECUACIONES VE NAI/1ER-5T0KES

pana luego a p lic a r ía

a dLivéJLéüA cciaoa. En e l teA.cex c a p itu lo he. de.AcutAolia d o e l ESTUDIO VEL FLUJO INTER NO con bsteveA teoAlaA, ex.pllcadoneA, tabtaó y

cuavoa

pana e l disejio de tu -

beA,ía¿> y empleo de. acceAodoA. En e l cuanlo c a p ítu lo ü iato AobAe e l teófila

que i n i c i a En e l

ESTUV10 VE LA CAPA LIMITE,

l a nueva ionma d e l a n á lis is de. lo a FiJJJOS REALES. qcunto c a p itu lo Ke.atl.zo e l estudio de. lo A

BLES, que bnlnda leo Ala y pAoblemaó acética de la

FLUJOS COMPRES!

VINAMIGA VI GASES.

Agnadezco a lo a pAoie.ACAeA del Area de TuAbcmcíquauiA de t'a tad

de INGENIERIA MECANICA de l a UNI

ñanza de. la ti

poA Au de.Aempeno y eAmnc cu i'a

Facul enót-

MECANICA VE FLUÍVOS. A¿l también deAeo ex.pAc¿an mi agnadednuen

m¿6 comparieAi’ó d e l

CC PABLO BONER de la F.Z.M. de. ia UNI, y a todo6

l o 6 pAOieAoaqj> y ,itumno¿ de laA di^e.AenteA unlvaAAidadeA del. p a l 6 wue me han hecJio llegan, óua ¿ugeAenciaó y a lie n t o paAa contAnuaA escribiendo eAte tip o de obAaA, a n iv e l unlveAAilaAlo y pAofae^ólonal. Lima, 23 de SetlembAe de 1991

FAanc.'lco Manuel Uganle Palacln

L.

Í N D I C E

CAPITULO 1

ANALISIS D IM ENSIONAL Y SIMILARIDAD

Introducción

..

Teorema de BUCKINGHAM

.

Método a seguir para aplicar el Teorema de Buckingham TABLA 1 :

" Dimensiones de las cantidades de Mecánica

..

1 3

..

4

6

de Fluidos "

Significado físico de algunos de los parámetros adimensionales más importantes en Mecánica de Fluidos TABLA 2 :

9

" Grupos adimensionales en Mecánica de Fluidos "

.. '

Semejanza y estudios enmodelos

14

Tipos de semejanza GRUPO DE PROBLEMAS

CAPITULO 2

13 14

M° 1

..22

ESTUDIO DEL FLUJO VISCOSO

Introducción

30

Viscosidad

31

Flujo

..

Campo de Velocidades

,

33

Lineas de Corriente

..

Representación de un vector

33

(en diferentes coordenadas)

..

Operador V

33 33 34

EL Gradiente

..34'

La Divergencia

34

El Rotacional

..

35

El Laplaciano

36

Identidades Vectorialesimportantes

36

Derivada Sustancial o Total

..

Aceleración de una

partícula de

Fuerzas que actúan

scbre una partícula fluida en uncampo

fluido enun campo develocidades

cidades Ecuación de la Cantidad

36, 37

de velo 38

deMovimiento (NAVIER - STOKES)

40

Flujo Laminar y Flujo íurbulento

..

r¿

••

43

..

44

..

54

Intrortucción

••

73

Pérdidas Primarias

••

74

Evaluación del Factro ,de Fricción (f)

..

75

Diagrama del

..76

Flujos Desarrollados Aplicación de las ecuaciones de NAVIER-STOKES

al Fiujo laminar

completamente desarrollado entre dos placas planas paralelas y en ductos ¿e#dS^c íc ;¡ circular GRUPO DE,#ÓBLEMAS N° 2

CAPITUIJ 3;

ESTUDIO DEL F L Ü # INTERNO

M000Y N° 1

Diagrama (e/p) - (D)

77

Pérdidas Secundarias *

..

79

..

79

Longitud Equivalente

..

84 84

Evaluación de la constante de pérdida ÍK)

(DIAGRAMAS)

Diámetro Equivalente

..

Sistema de Tuberías

..84

GRUPO DE PROBLEMAS N° 3

..86

CAPITULO

„

ESTUDIO DE LA CAPA LIMITE

4.1

Introducción

..

122

4.2

Capa Limite

..

123

4.2.1

Contorno de la Capa Límite

..

124

4.2.2

Espesor

de Capa Limite

..

124

4.2.3

Espesor

de Capa Limiteaproximado

..

124

4.2.4

Subcapa

Laminar

..

124

..

4.3

Espesor de Capa Limitepordesplazamiento

4.4

Espesor,de la Capa Limite por deformación de la energía cinética

4.5

Espesor de la Capa Limite por deformación de la cantidad de

4.6

Ecuación de Cantidad deMovimiento

movimiento Velocidad de Corte

L

125 128

.. deVPN KARMAN

..

130

..

132

I

4.7

Solución exacta de BLASIUS

135

'1 .8

Valor Medio temporal

136

4.9

Longitud de Mezcla de PRANDTL

137

4.10

Distribución de Velociadades para números de REYNOLDS 140

elevados

142

4.11

Ley de la Pared

4.12

Estudio de la Capa Limite Turbulenta

'

145

4.13

Fenómeno de Separación de la Capa Limite

148

4.14

Determinación del Gradiente de Presión

149

4.15

Fuerzas

150

4.16

sobre cuerpos sumergidos

4.15.1

Fuerza de Arrastre

151

4.15.2

Fuerza de Sustentación

152

4.15.3

Flujo perpendicular a una placa plana

153

4.15.4

Flujo sobre una placa plana

154

4.15.5

Flujo alrededor de una esfera y de un cilindro

154

Perfi 1 Aerodinámico

154

4.16.1. Características del perfil aerodinámico

155

4.16.2

157

Diagrama polar (LILIENTHAL)

158

GRUPO DE PROBLEMAS N° 4

CAPITULO 5

FLUJOS COMPRESIBLES

Estudio del Flujo Compresible

..

Definiciones importantes en el estudio del Flujo Compresible

183 185

Expresión para hallar el flujo de masa a través de un ducto de sección variable Flujo isoentrópico en ductos de sección variable Tobera convergente - divergente

..

194

..

195

..

200

o tobera amplia

o Tobera de LAVAL Posiciones relativas de un objeto dentro de un ambiente gaseoso

..

201

Estudio del Flujo Adiabático con fricción (FLUJO FANN0)

..

203

Estudio del Flujo Diabático (FLUJO RAYLEIGH)

..

206

Ondas de Choque

..

211

Choques en una Tobera convergente - divergente

..- 214

Análisis dimensión;: I y sirai];?iiclad

CAPÍTULO I ANALISIS DIMENSIONAL Y ,

SIMILARIDAD

| I

INTRODUCCION El análisis dimensional a estudiar es un método que permite redu-

j

cir el número y complejidad de las variables que intervienen en la descripción de un fenómeno físico dado, con ayuda de una serie ue técnicas. Como el objetivo del análisis dimensional es reducir variables y agruparlas en forma adirnensional, nos presenta las siguientes ventajas: 1”) Un enorme ahorro de tiempo y dinero. 2°) Nos ayuda a pensar y planificar un experimento o teoría. Suqirre fórmulas adirnens ional es de las ecuaciones, ante;-, de gastar tiempo y dinero nara encontrar las soluciones con ordenador. Indica las variables que doDen descartarse; algunas veces se puede rechazar variabl'es, o -¡rupos de variables, mediante el análisis dimensional, haciendo algunos ensavos que mué..tren a>;rj son poco importantes. También nos dá gran información sobre las relaciones fí­ sicas que estamos intentando estudiar. 3°) Proporciona las leyes de escala

jue pueden convertir los datos

obtenidos sobre un pequeño modelo de información para el di:,eño do un prot.otioo grande. Por ejemplo, antes de construir una nave espacial la debemos de pro bar en base a un pequeño modelo y no en base a un prototipo, con el tamaño de

z

Análisis dim ensional y similaridad

la nave a construir, pues seria muy costoso hacer esto último. Cabe mencionar que no siempre el modelo tendrá que ser de menor tamaño que el prototipo, y a ­ que puede suceder lo contrario. Establece que todo fenómeno

es posible de ser experimentado medi­

ante una relación análi tica, la misma que deoe cumplirse en cualquier sistema de unidades. MOTAS

: -

El análisis dimensional se sustenta en el "PRINCIPIO DE LA H

NEIDAD DIMENSIONAL", que establece : "Cualquier ecuación deducida analTtica­ mente y que represente un fenómeno físico, debe satisfacerse en cualquier sis_ terna de unidades''. -

La desventaja del análisis dimensional radica en que se requ

el conocimiento previo del fenómeno a estudiarse, para seleccionar adecuada­ mente las variables que han de conformar el o los grupos adimensionales.

Análisis dimeKsicmal y s imilaridad

TEOREMA DE BUCKINGHAM Dado un problema fínico en el cual el parámetro denendiente es una función

de los ( n - 1 ) parámetros independientes, podemos expresar la rela­

ción entre

las variables

de la siguiente manera funcional :

9 1 ~ f(clp » q^ > q¿|» .................... donde :

»

~ ^

= parámetro dependiente q2 ’ ^3 * ^4 * ...... Matemáticamente

, qn = son los ( n - 1 ) parámetros i ndepend.

podemos expresar la relación funcional de manera e

quivalente como : 9 ^ql ’ q2 ’ q 3 ’q4 ............... .

qn )= 0

donde g es una función conocida diferente de f. El TEOREMA DE BUCKINGHAM establece : dada una -'elación de la forma g(qi

, q2 , q3 ,q4 , .................... q j

-0

entre n parámetros, éstos se pueden agrupar en ( n - m ) parámetros adimensio nales independientes, generalmente representados

con el si ¡obolo

tt

;

dicha re­

lación tiene la forma funcional :

G( tt1 , tt2 , tt3 ,7Ta ................................................................ l 'n ) = 0 o b ie n :

= G1 ( tt7 , tt3 ,ir 4 , ...........................................

,7 ^ ) = 0

Usualmente (pero no necesariamente siempre), el número m es igual al número mínimo de dimensiones independientes necesarias para especificar las dimensiones de todos 'los parámetros H

, ....... . , qp .

teorema no predice la forma funcional de G o

entre los parámetros tt adimensionales independientes deberá

. Esta relación determinarse ex­

perimentalmente. Un parámetro tt no es independiente si se puede formar mediante el

Análisis dim ensional

4

y similaridad

producto o el cociente de otros parámetros en el problema. Por ejemplo, si : ~ 1/2 ■ 3 TT -----, o bien 712 V

r ' 5 7T „ resulta evidente que ni tt

ni tt^ son

713 ^4

independientes de los demás parámetros adimensionales

• , t;2 , tt

, tt, .

El análi sis dimensional de un problema se lleva a cabo en las sigm entes tres etapas : - Se establece una lista apropiada de parámetros» - Los parámetros ir adimensionales se obtienen utilizando el teorema de BUCKINGHAM. - La relación funcional entre los parámetros tt se determina mediante experimentos.

METODO A S E G U I R PARA APLICAR EL fBORHMA DE BUCKINGHAM - Clasificación de parámetros : Para llevar a cabo ésta clasificación o selección de parámetros que afecten, directamente al fenómeno bajo estudio» es necesario tener cierta expe* riencia en dicho aspecto. En el caso de personas inexpertas se le recomienda seleccionar la mayor cantidad posible de parámetros, para que tenga la menor probabi1idad de errar. Cualquier parámetro que se sospecha que influye en el fenómeno a es tudiar, debe ser seleccionado. Si el parámetro, después de los experimentos, resulta ajeno al fenómeno en estudio i el análisis dimensional establecerá un parámetro u adimensional que se debe eliminar completamente.

- Método para determinar los parámetros Io ) Indicar todos los parámetros de los que se sospechan influir en el fenómeno. Si no se indican todos los parámetros mencionados, al final S’ólo se logrará obtener relaciones que no refléjen una imagen completa del fenómeno

5

Análisis dim ensional y símilariaad

í

2o ) Determinar un conjunto fundamental de dimensiones, llamado con-

| junto de dimensiones primarias. Por ejemplo : masa (M)» longitud (L) y tiempo ¡ (T); fuerza (F), longitud (L) y tiempo (T)$ etc. I ' 1 3o ) Expresar a todos los parámetros citados en el primer paso, en función de las dimensiones primarias, 4o ) De todos los parámetros indicados en el primer paso, se selec­ cionará una cantidad de parámetros repetitivos* Dicha cantidad de repetitivos estará dado por el valor

parámetros

del rango de la matriz de dimensiones 8

( ver ejemplo ), Al seleccionar los parámetros repetitivos se tendrá cuidado en que estos no tengan las mismas dimensiones netas; por ejemplo, no deberá incluirse ■" 3 en los parámetros repetitivos a una longitud { L ) y a un volumen ( L ). Los parámetros adimensionales que resulten del procedimiento de BUCKINGHAM son independientes pero no son los únicos. Porque, si se selecciona un conjunto diferente de parámetros repetitivos, se obtendrán diferentes pará­ metros adimensionales. Los parámetros que se prefieren en la realidad, es la practica quién lo determina, NOTA

Sí el rango de la matriz de dimensiones es la unidad, entonces sólo se

| obtiene un parámetro adimensional ir* En dicho caso, el teorema de indica que el parámetro ir ánico debe

de

BUCKINGHAM

ser una constante»

5o) Crear ecuaciones dimensionales entre los parámetros repetitivos seleccionados en el cuarto paso, con cada uno de los demás parámetros, tratando de formar parámetros adimensionales, 6o ) Comprobar que cada parámetro obtenido resulte adimensional. Tal comprobación se acostumbra realizarlo utilizando o ero conjunto fundamental de dimensiones.

HEMd^

A continuación se presenta la TABLA N°], cuyo contenido se recomien

da anal izarlo y aprenderlo para proceder a resolver problemas í

6 _____ ______ ________

Análisis dim ensional y similaridad T

DIMENSIONES

A

B

L

N" 1

DE MECANICA

DE LAS CANTIDADES

CANTIDAD

A

SIMBOLO

¡DE

M L T

F L i L

Longitud

L

L

Area

A

L

Volumen

¥

Velocidad

V

Velocidad del sonido

c

Flujo volumétrico Flujo más ico Pregón, Esfuerzo Velocidad de deformación Angulo Velocidad angular Viscocidad

FLUIDOS

2

L2

3

L1

L L T-l

.

L T 1

£

L r 1 T-i L3 M 'I'1 -V 2 M L -1 T

0 ÜJ

no existe -1 /T

V . Q m P , Cf

Viscocidad cinemática

w V

Tensión superficial

,T

M L

i

r 1

M T 1

F

M

Momento, Par

M

M

L2

Potencia

P

M

1L

iL 7

,.T

T J

P

M L“ 3

Temperatura

0

■e-7 _' 1 L" T -0-

CP ’Cv

K

Coeficiente de expansión T iempo

T

Peso especifico

T

Aceleración de gravedad

g

r 1

F L~!T F L-2 r 1 no existe T" 1 i„2

r V 1 -1 ■e**

m l

F F

L

f l

L r 2

r 1

r V

f

-97 _ ■;> _ L“ T -9F T'V 0-1

T -2T-2 M L'

r 1 L'1

_7 T ~

Densidad

Conductividad térmica

l3

F L-2T

Fuerza

Calor específico

L r 1

T F L‘3 l

r ¿

7

Análisis dim ensional y simllarldacl

1. EJEMPLO

Se estima que el desempeño de un anillo de aceite lubricante depen de de las siguientes variables: f1 ujo volumétrico 0, diámetro interno del ani_ lio D, velocidad de rotación N (RPM), viscocidad absoluta del aceite

densj_

dad del aceite p v tensión superficial a, Determine Ud, un conjunto conveniente de coordenadas para organi­ zar los datos* SOLUCION | r)

Q , D , N , y , p ,

a

2o ) M , L , T

[ N ]= T ' 1

[ P 1= M L

[ p J = M L” 1 T "1

[o] = M T

3°)[ Q ]« L 3 r 1 [ D ]=

L

-3

4o ) La "MATRIZ DE DIMENSIONES" es la siguiente : Q

D

M

0

L

3

T

-1

t a

N

)j

p

0

0

1

1

1

1

0

1

-3

0

0

-1

1

0

~2

Recordar que el rango de una matriz esta dado por el orden de su determinante no nulo de mayor orden. 0 3

0

0

1

0

0

-1

0

0

1

3

1

-1

-1

0

-1

= 0 [(l)(-l)-(0 )(0 )]-

- 1 ¿ Q ; entonces :

0 f(3)(-I)

-

( - 1 ) ( 0) ] + 0 [ ( 3 ) ( 0 ) - ( - l ) ( l ) > 0

RANGO = 3

Como el rango de la matriz de dimensiones es 3, se seleccionará 3

Análisis dim ensional y nimilaridarf

B

parámetros repetitivos. Estos serán ; p, D, N 5°) TTa= px Dy N2 CT = M° L° T° = 1 C M L~3)x ( L )y ( r 1) ^ M r 2) = M : x + 1 = 0

x = -*1

L : ~3x + y = 0

y = •>■3

T : -z - 2 = 0

z = -2

M° L° T° El parámetro adirnensional será :

0

'■_ ' 1

p D 3 N2

it2= px Dy N* \¿j= M° '0 T° = 1 -3\x ( M L-J)x { L )y ( T"1)2 ( M L_1r l) = M° L° T° = 1 M : x + 1 = 0

x ="-1

L : -3x + y - 1= 0

y = -2

T : -z - 1 = 0

z=

u 3= px Dy N z Q = M° L° T° =

El parámetro adirnensional será tt2=

y__ p D2 N

1

{ M L"3 )x ( L )y ( T_1)z ( L3 T_1 ) = M° L° T° M : x = 0

'

L : -3x + y H T : -z

-

x = 0

3 = 0

El parámetro adirnensional será :

y = -3

1 = 0

2 . - 1

^ *

6°) Para la verificación, vease la TABLA N°1 -1 F L" 1

1

p D3 N2

(F L"4T2) (L)3 (T"3”)2

p

(F L_/*T2) (L)2 ( T 1)2

F I-2! 1I2=

N Q

DJ N RPTA

= 1

L3 T-1 = 1 (L)3 (T_1)

El conjunto { zar los datos.

^

coordenadas es el conveniente para organi

A nálisis dim ensional y similaridad

9

SIGNIFICADO FISICO DE ALGUNOS DE LOS PARAMETROS ADIMENSIONALES MAS IMPORTANTES EN LA MECANICA DE FLUIDOS A continuación se citará algunos parámetros adimensionales que se se presentan con gran frecuencia en el análisis dimensional :

1. NUMERO DE REYIIOLD

(Re)

Se le define como el cociente entre las fuerzas de inercia y las fu erzas viscosas p Re *

2 2 V L p V L — ----- a ----- ™ — Vi (u V / L) L

(Presión dinámica) x (área)

F* Inercia!

(Esfuerzo viscoso) x (área)

F. Viscosas

L = Longitud característica, descriptiva del campo de flujo. Un valor crítico de éste parámetro

permite distinguir entre el re-

gimen laminar y el regftner. turbulento en un escurrímiento dado; a través de un tubo, en la capa límite o en un

flujo

por

ejemplo ,

al rededor de un cuerpo

sj j

mergido. El valor de este nOmero de Reynold crítico depende de 1a situación que se tenga.

*

En un flujo compresible, el numero de Mach suele ser más significa­ tivo que el nümero de Reynold, Al nümero de Reynold se le considera, como el más impórtate para des^ cribir al flujo incompresible.

Indicaciones para el cálculo de Re a)

r

b

■> Re = — y V

2

P V2 b

Análisis dim ensional y similaridad

10

b) Para flujos en ductos :

p

v

D = Diámetro hidráulico H Forma de calcular el diámetro hidráulico ( D„ ) :

H

En general : Tt D

4 S

4 a b D

V

= ---------

H °H =

tr

2( a + b

D

Pm = Perímetro mojado

2. NUMERO DE EULER

(Eu)

Se le define como el cociente entre las fuerzas de presión y la fu­ erza de inercia. Ap p V

Ap 2

JL 2/

p V / L

Fuerza de presión Fuerza de inercia

Ap = Presión local menos la corriente libre p y V son la densidad y velocidad del flujo de la corriente libre.

Análisis dim ensional y similaridad

11

En los ensayos de tipo práctico se utiliza normalmente el coefici2

ente de presión p/(pV / 2 ) , igual al doble del nOmero de Euler. El número de Euler se aplica en todos aquellos casos en donde la fuerza de presión sea importante (diseño de antenas, chimeneas, cascos de bu­ ques, automóviles, alabes). 3. NUMERO DE FROUDE

(Fr)

Se le define como

el cociente entre la fuerza de inercia y, la fue_r

za de la gravedad. 2 V Fr * — — L g

o p \T/L Fuerza de inercia ----- — = „ -----_ _ — ---- „ p g Fuerza de gravedad

En una superficie libre, tál como en los casos de los ríos* la forma de ésta superficie, al formarse ondas, se verá afectada directamente por la fuerza de la gravedad, y, por tanto, en éste tipo de problemas el número de Froude será significativo. Generalmente el número de Froude se emplea en el estudio de fluidos de canales abiertos o,en todo caso en donde las fuerzas gravitacionales sean importates. el

También el

Fr resulta de gran utilidad en

cálculo de sal tos hidráulicos y en eldiseño deestructurashidráulicas

de barcos.

4. NUMERO DE WEBER

(Sfe)

Es la relación entre las fuerzas de inercia y la fuerza debida a la tensión super— ficial. 9 2 p V“ L p V /L We = --- — — — =* — — or or/L

Fuerza de inercia « — --- — — t — Fuerza de tensión superficial

cr = Tensión superficial del

flujo

L = Longitud característica

del flujo

•

y

12

Análisis dim ensional y ainriilaridad

El número de Weber juega un papel importante

sólo

si es de orden

unidad o menor. Si el número de Weber es grande, sus efectos son despreciables *Se le emplea en los fenómenqs de pulverización y atomización de par tículas ( diseño de toberas, spray, inyectores, eyectores ).

5 . m n ero de m m

(n) .*■

Se le define como la relación de la raíz cuadrada de la fuerza de i nercia entré la raíz cuadrada de la fuerza que tiene su origen en la compresibil idad del fluido. Fuerza de inercia

c

V

p c /L

'V

F Fuerza de compresibilidad

c = Velocidad de sonido V = Velocidad relativa El número de Mach es el

importante de los parámetros adimensio-

nales, para el estudio de los fluidos compresibles ( p ^ cte ). Por ejemplo, a los flujos compresibles se les clasifican :

t

Flujo subsónico

si

M < 1

(V< c

)

Flujo sónico

si

M = 1

- ( Vv= c

)

Flujo supersónico

si

M > 1

(V> c

Flujo transÓnico

si

Flujo hipersdnico

si

( V^c M > 1

(V»

) c )

Si el número de Mach se eleva al cuadrado y se multiplica por pf\/¿ y se divide entre pA/2, el numerador será la fuerza dinámica y e) denominador constituirá la fuerza dinámica del sónido. Se puede interpretar como una medi da de la relación entre la energfa cinética y la energía interna deT flujo.

13

TABLA M *l G H U P O S A D I M B K S I O N A L B S P.M M R C A N f C A D E FLUIDOS PARAMETRO

RELACION CUALITATIVA

DEFINICION

DE Número de Reynolds

Re .

Inercia

p VL

V

Número de Mach

Ha * ~ ' 'C

Número de Froude.

Fr ■

Velocidad flujo Velocidad sonido Inercia Gravedad

19 We . - ^

Número de Euler (número de cavitación)

W

Número de Cauchy

Cu »

Inercia Tensión superficial

o

- AP..P.PV . py2 v2 , PV2

Coeficiente de presiones

Número de Prandtl

Número de Eckert

C

* A P/f V2/2g

pr , J*&L k £c

-

Relación de calores específicos

Y

Número de Strouhal

st «

Rugosidad relativa

Número de Grashof

Presión Inercia

Disipación

Convección de

Conducción

calor

Entalpia a

Energía interna

— — V

Velocidad media

Tw

Pruebas aerodi­ námicas

Presión de velocidad

Entalpia

Oscilación

Rugosidad Longitud del cuerpo

Gr - ■ 8 A T q L V

Flujo con super­ ficie libre

Inercia

Energía cinética

JÉ L

Flujo con super­ ficie libro

Presión estítica

V2

.

Flujo compresible

Módulo Volumétrico

Cp To

v2 Relación de temperaturas

S ier-spre

Viscocidad

V2

Número de Weber

IMPORTANCIA

EFECTOS

Flotabilidad

Disipación

Flujo compresi­ ble flujo oscilato­ rio Turbulento, pa­ red rugosa

Viscosidad

Convección na­ tural

Temperatura de la pared .*

Transporte de

Temperatura de la corriente

calor

14

Análisis dim ensional y similaridad

SEMEJANZA Y ESTUDIOS Eli MODELOS Debido a que a todos los fenómenos físicos no se les puede explicar \ a través de una expresión matemática, se hace necesario realizar experimentos \

para poder predecir y conocer alguna propiedad en particular; es por ésta ra- I

zón en que nace la denominada "TEORIA DE MODELOS'1, la cuál permitió trasladar i

el comportamiento del MODELO al denominado PROTOTIPO, a través de un factor de j

¡

semejanza llamado "ESCALA" ( puede ser escala de longitudes, de velocidades, de aceleraciones, de tiempos, de fuerzas, etc), MODELO

Es una reproducción a escala adecuada del denominadoprototipo.

No

;

siempre el modelo es más pequeño que el prototipo. PROTOTIPO

Es aquel objeto construido para ser sometido a condiciones rea­ les de trabajo. •

■ '

TIPO DE SEMEJANZA

Semejanza geométrica

•

■ ' '

'

'

'

! V

m

Un modelo y prototipo son geométricameríte semejantes

si, y sólo si, todas las dimensiones espaciales en las trescoordenadas tie­ nen la misma relación de escala lineal'.

En la semejanza geométrica todos los ángulos se consevan. Todas las ¡ direcciones de flujo se conservan. La orientación del modelo y el prototipo,

>

con respecto a los objetos de los alrededores debe ser auténticamente idéntica,! Todas las condiciones mencionadas indican que, sólo habrá semejatiza\ geométrica si el modelo fuera una fotografía del prototipo (tomada de cualqui­ er posición, en forma reducida ó ampliada ). En las figuras que se muestran a continuación, habrá semejanza geo métrica entre el modelo y el prototipo si:

Análisis dim ensional y similaridad

P R O T O T IP O

Semejanza cinemática

15

HODELO

Para que exista semejanza cinemática, necesariamente

debe existir semejanza geométrica. Además, que todas las relaciones entre ti empos homólogos tengan un valor comün, relación de escala de tiempos. Esto se puede expresar : "Los movimientos de dos sistemas son cinemáticamente semejan^ tes si partículas homólogas alcanzan puntos homólogos en instantes homólogos".

Lm

vp

tm

lm t p

Lp

Lp

tm

TP

Lm Si : — Si- = a = ESCALA LINEAL LP

V = a (f1

P

Tm - 2 - = g = ESCALA DE TIEMPOS 1P

V V

y

— V

P

= Y = ESCALA DE VELOCIDADES ó CINEMATICA

16

Análisis dim ensional y similaridad

Análisis dim ensional y similaridad

17

Las equivalencias de las escalas de tiempos puede exigir considera, clones dinámicas adicionales, tales como la igualdad de los nOmeros de Reynold y de Mach. Un flujo de fluido incompresible, sin fricción y sin superficie li-j gP

bre, es cinemáticamente con escalas de longitud y tiempos independientes, y no! son necesarios parámetros adicionales. Los flujos sin fricción y con superficie libre, son cinemáticamente^ semejantes si sus números de Froude son iguales. Si ios efectos de viscosidad, tensión superficial o de la compres i4 bilí dad son importantes, 1 a semejanza cinemática está condicionada a que haya ¡ semejanza dinámica,

Semejanza dinámica ^

'■ ' 1 Para que exista semejanza dinámica, es necesario que ex-|

ista semejanza geométrica ( en caso contrario no se debe proseguir ). La seme-S janza dinámica existe simultáneamente con la semejanza cinemática, si ¿odas

I

las fuerzas aplicadas en el modelo y el prototipo, en puntos correspondientes,i

77777777777777777777777 Las figuras muestran una semejanza dinámica en el flujo por debajo de una compuerta. El modelo y prototipo tienen poligonos de fuerzas semejantes en puntos homólogos, si los números de Reynold y Froude son Í9U3Ies en ambos ca^ sos.

guardan la misma proporción.

Si se desea lograr la semejanza dinámica completa, deberán conside- OBSERVACIONES ; rarse todas las fuerzas que sean importantes en determinada situación. De este! modo, deben tenerse presentes los efectos de las fuerzas viscosas, de las fuer

a) La similitud dinámica implica que se verifica la similitud geonré trica y la cinemática,

zas de presión, de las fuerzas de tensión superficial, etc. b) La semejanza IDEAL, es aquella en la cual todos los números adi­ También a la semejanza dinámica se le denomina “simi 1 itud de fuerza! mensionales, apiicados al modelo y al prototipo, se verifican. c) Si un objeto está sumergido en el mismo fluido ( como modelo y mp aP

como prototipo )f y la escala es igual a la unidad, entonces se c¡imple que to­ dos los grupos adimensionales se verifican. d) No siempre el modelo está inmerso en el fluido en el cual se en­

Sean

cuentra el prototipo. e) ,Cuando se apiica la semejanza a las diferentes TURBOMAQUINAS o en general a máquinas que trabajan con fluidos, se asume la eficiencia total í = - ESCALA DE FUERZAS M-

( mecanica, volumétrica.e hidráulica ). p

n

I

= n

m

n

v

ri . n

Análisis dim ensional y similaridad

18

Análisis dim ensional y similaridad

0

2. EJEMPLO

Se cree que la potencia alimentada a una bomba de flujo axial depen de del gasto volumétrico, de la carga, de la velocidad y del diámetro de la

19

0

3

2

-1

«2

-4^0;

entonces : RANGO

bomba, así como de la densidad del fluido, es decir, Como el rango de la ¡natriz de dimensiones es 3, se seleccionará tres P - f(Q, H, N, D, donde

p)

parámetros repetitivos. Estos serán : p, D, N

Q = gasto volumétrico 5°)

H = carga (r>j energía por unidad de masa ) N = velocidad angular i

TTj= Px &

Nz P = f f

( M L~3 )x ( L Y

L° 1° = 1

( T -1)2 ( M L2 T~3 ) = hf

L°

1°

D = diámetro p = densidad

_

o Se requiere una bomba de flujo axial para proveer 25 pies /s de agua;

M : x + 1 = 0

x ■= -1

L : -3x + y = 0

y --- -5

T : -z - 3 = 0

z = -3

El parámetro adimensional será P

V

con una carga de 150 pies Ibf/slug, El diámetro del rotor es 1 pie y se debe o¡

p D5 N3

perar a 500 rpm. El prototipo se debe modelar er, un pequeño aparato de pruebasj que tiene 3 caballos de potencia disponible operando a 1000 rpm. Calcule la

{

carga, el gasto volumétrico y el diámetro del modelo para que el funcionamien-j to resulte semejante entre el prototipo y el modelo.

tt2*

px

D7

Nz

Q; a mP L°

m r 3)x ( l f

T° *

1

( r 1)2 ( l 3 r 1) =

l° t °

’ i M : x = 0

x = 0

SOLUCION

L : y +,3 = 0

y - ~3

Cálculo de los parámetros adimensionales ( TEORCMA DE BUCKINGHAM ) :

T : -z - 1 = 0

z = -1

El parámetro adimensional será :

V

Q — *— D N

1°) p, Q, H, N, D » P tt3=

2o) M. L, T 3o) [ P ] = [ M L2 T'-3 ] [ Q ] = [ L3 T'1 3

[H]=[L2 r 2 ]

[ D > [ L ]

[ N ] = [ T-1 J

[ p ] =[H

4o ) La -MATRIZ DE DIMENSIONES" es la siguiente :

px D5' N z H = M° L° T° = 1

( m l-3)x ( l L-3 ]

y

{ T-1)2 ( L2 T'2) = if L° 1°

M : x = 0

x * 0

L .y + 2 = 0

y - ~2

1 : -c - 2 = 0

z = -2

El parámetro adimensional será ; H D2 N2

0 2 -2

F L T 6°) Verificando :

-1 = 1

( F

L“V )

( L )5 ( r 1 )3

Análisis dim ensional y similaridad

20

L3 T" 1 « 1

v

r r ? T F T L2 T"2

v

T T T T F 1? ’

Para que exista similitud entre el prototipo y el modelo s satisfacer

/lP "

P

P

Pp DP NP

Pm °M " J

--- §— 3=--- f - y

111M

1T2P= ,r2M

D3 N P

P

D3 N M

Hp n 3P= 113M

D

Observese que : Jh q ] s

P

M

Hm N

P

ü¿ N M

M

L5 T 3

Reemplazando en ( I )

hp pp

°P NP

DATOS :

Q = 25 pie H = 150 P i e - M

slu g D = 1 o le

= 4 .6 6 E Í £ - l b f Ib

PM °M NM

A nálisis dimeasiou.a.1 y mmiimrí.dmd

21

Np= 500 rpm

p„= p h n = 52,4 lb /P ie3

p = 3 hp = 1650 M

seg 1000 rpm

e debe d Asumiendo : pm= pR Q= 62.4 1b/pie~

. ( i )

Despejando y reemplazando datos en ( IV ) :

Dm

en ( II ) : en (III ) : .

slug

( i i ) »

.

“m

( ni

SEMEJANZA CUANDO SE CONOCE LA ECUACION DIFERENCIAL En aquellos casos en que sé conozca la ecuación diferencial, que va ha describir el fenómeno en estudio, pueden deducirse los parámetros adimensio^ nales y las leyes de semejanza de su invarianza resultantes, aunque la ecuaci­ ón diferencial no esté resuelta. Para establecer la semejanza partiendo de las ecuaciones diferencial les que describen el flujo, es un procedimiento bastante riguroso. Si se comienza de las ecuaciones apropiadas y se efectúa cada paso de manera correcta,se

. ( rv ) puede asegurar que todas las variables pertinentes han quedado incluidas.

A continuación se presenta un grupo de problemas con sus soluciones indicadas ó sólo con sus respuestas, con el afán de que el 1ector conozca más acerca del presente capitulo. Por ello, es que se le recomienda resol verlos.

zz

Análisis dim ensional y similar idad

GRUPO DE PROBLEMAS NQ1 01. PR0B.~ En el transcurso del desarrollo de la MECANICA DE FLUIDOS, las va riables que frecuentemente participan son 8 : la diferencia de presiones ( A la longitud característica ( L ), la velocidad ( V ), la densidad ( p ), la viscosidad absoluta ( y ), la aceleración de la gravedad ( g ), la velocidad del sonido ( c ), y la tensión superficial ( a ), Determinar los números adi mensionales que caracterizan a los flujos.

SOLUCION Matriz de dimensiones:

Ap

.L

V

r-

p

y

g

c

cr

0

0

1

i

0

0

1

L

-i

1

1

-3

-i

i

1

0

T

-2

0

-1

0

-i

-2

-1

-2

M

RANGO = 3, entonces : p, V, L parámetros repetitivos Los números adimensionales son ;

>

Ap "i* ~ 7 T

= Eu

P Va

c -1 = ---- = M 4 V

Tr2=

T

Re

l

g

—-

Fr~

p V L

tr

= We '

p V

L

02. PROB,- Al sumergir un pequeño tubo en un recipiente que contiene un 1 íqui do, se forma un menisco en la superficie libre d e M d o a la tensión superfici­ al. Los experimentos realizados señalan que la magnitud de este efecto capilar ( A h ) es una función del diámetro del tubo ( D ), del peso específico del lí­ quido ( If ), y de la tensión superfici­ al ( (T ). Determinar el número de pará-

Ah

■^TUBO

t

Análisis dim ensional y siroilaridad

23

nietros repetitivos y hallar los parámetros adimencionales correspondientes. S O LUCION Matriz ele dimensiones : M

Ah

D

Y

a

0

0

1

1

L

1

i

-2

0

T

0

0

-2

-2

Cálculo del rango de la matriz de dimensiones

1

1

-2

0

0

-2

0

0

0 .'• 0 0

0

1

0

1

1

«2

0

0

*“ 2

-2

!1 O

1 o 1!

0

0

0 -2

Podemos observar que de todas las matrices de ordén 3x3

1

= 0

formadas, sus determi^

nantes son nulos, razón por la cual el rango no va a ser 3 ( bastaba con que uno de ellos tenga un determinante no nulo para que el rango sea 3 ). Probemos con las matrices de ordén 2x2 ; 0

0

1

1

= 0 1

1

0

1

0

0

1

«2 - «2 1 ro

«2

0

= - 1 * 0 1

0

0

0

0

0

1

0

-2

* 0

i

0

Existe dos matrices de ordén 2x2 con determinantes no nulos, entonces el rango es 2. (bastaba con una de las matrices). Se seleccionará dos parámetros repetitivos : D, y Los parámetros adimensionales son : Ah

a

24

Análisis dim ensional y similaridad

03. PROB.- Se cree que la potencia ( P ) necesaria para mover un ventilador de pende de la densidad del fluido ( p )» del gasto volumétrico ( Q ), del diáme­ tro del impulsor ( D ), y de la velocidad angular ( w ). Utilizando el análi­ sis dimensional, determine la dependencia de la potencia con las otras varia­ bles. Selecciónese la densidad, diámetro del impulsor y la velocidad angular como grupo de variables independietes. SOLUCION Matriz de dimensiones

P

p

Q

D

OJ

1

1

0

0

0

t

2

«3

3

1

0

T

-3

0

-1

0

-1

J

M

RANGO = 3 ,

entonces : p, D, to son los parámetros repetitivos.

Los parámetros adimensionales serán :

Q . n5 3 p D oí Hacemos : ir1= f(tt2 )

P = p D5 u 3

■1r2= _3 D 03

fí-*— D - ü)

04. PROB.- En los sistemas de inyección y aspersión de combustible, el chorro de liquido inyectado se rompe formando pequeñas gotas de combustible. El diá­ metro de las gotas resultantes (. d ), se supone que depende de la densidad del 1 íquido ( p ), la viscosidad ( p )» la tensión superficial ( cr ), la velocidad del chorro ( V ), y el diámetro del chorro ( D ). Determine la dependencia del diámetro de las gotas de combustible en función de las otras variables;

SOLUCION Matriz de dimensiones

ZS

Análisis dim ensional y similaridad

RANGO = 3 ,

d

P

P

0

V

D

Q

1

1

1

0

0

L

1

.~3

-1

0

T

0*

0

-1

entonces : p, V, D

1

1

•1

0

son los parámetros repetitivos.

Los parámetros adimensionales son : d V "

y

a

tt2=

D

Hacemos : 7^ = f (tt2 »

Tr3r * p V

p V D

d - D f(« p V D

D

p v2 D

05 PROB.- £i coeficiente de arrastre para un flujo alrededor de un tubo cilín drico es 1 y para un ducto cuadrado es 2. Calcular la relación de momentos f]actores en la base de dos chimeneas, una de sección recta circular y otra de sección recta cuadrada; diseñados para igual flujo y velocidad de descarga, sí ambas están sometidas a igual velocidad del viento y tienen la misma al tura. NOTA

F =—

C p V2 A

F = fuerza de arrastre p = densidad del fluido V .= velocidad del flujo A = área proyectada

SOLUCION Recordamos que el momento está dado por : M = F L/2

“1 \L

77777777777777

Zi>

Análisis dim ensional y similaridad

Í

vp

Co - 1 M0 = F0 h 1 —2

o

Por lo tanto :

V

n

M o =Fo V2

\p" ñ h o ro o o - —

«

- i C a p D Vq Aa ^

2 Observese que : p

o

C cd

h D

Cp h a

2

= p

V = V o o

0

Q—. = Q sn ^o y?D

Cómo : Qn = Qq

Reemplazando

Aa

o

C. »

1 2 D

2

Jí?

1 J?

Análisis dim ensional y similaridad

06,

27

La fuerza de resistencia al movimiento de un barco ( F ), es funci­

ón de su longitud ( L ), velocidad ( V ), gravedad ( g ), densidad ( p ) y vis COsidad ( \i ). Escriba dicha relación en forma adimensional. Respuesta :

F = p L 2 V2 f( L i , — tí— ) V p V L

OJ'. PR0B.~ Un modelo de ala tipo placa plana tiene un ancho de 1.5 m

y una

longitud (cuerda) de 0.3 m. El modelo se prueba totalmente sumergido en agua, a una velocidad de 6 m/s, con un ángulo de ataque 0o , la temperatura del agua

es 20°C (v= 1.007 x 10’”7 m2/s ,

p = 1000 Kg/m3 ), y se midió una fuerza de

4.5 N. Calcular las dimensiones del prototipo, que se moverá en aire a 1 bar y 15°C ( v = 1.6 x K f 6 m /s )» con una velocidad de 36 m/s y un ángulo de a-

taque de 0o . ¿ Cuál es la fuerza de arrastre del prototipo ?

SOLUCION aM= 0.3 ¡n í = 1,5 m M

v = 1.007 x 10-7 M

m2 /s

PM- 1009 Kg/n?

FM = 4 .5 N VM= 6 m/s Vp= 36 m/s Vp= 1,6 x 10* m z /$ Observando los parámetros que intervienen en el problema,nos damos cuenta que podemos formar los números adimensionales Re y Eu mediante el análj[ sis dimensional. Además, Ud. podrá notar que el flujo que participa en éste problema puede ser descrito por Re y Eu ( revise

la

parte teórica ).

:1

Análisis dimensional j similaridai!

ZB

Api icando Reynold ; Re =

X =— VM

Entonces :

VP

= 0.377625

LP

£p= 3,972 m

ap* 0.794

Aplicando Euler : a PM

.

&Pp

PM VM

Fm

A ~

AM PM VM

a

V

V

PP VP

Fp

.

»2

:

’

’

PM VM

Ft>= FM ^

P

pp v;

APm

. \

AP

%

PP VP

(^l)2. 0.939 N ;

M

PM A«

VM

'2- ^ X AP

R T „ K1 p = .— _£. = 0.82656 Kg/m , R = 0.287- J ü - , T = J5°C = 288°K , P = 100 KPa Pp V Kg *K 1

08. PROB»- se requiere simular el flujo.de aire ( p =1,3 Kg/m3 , p -1.8 x lü~5 N-s/m2 ) en un duelo, mediante un flujo de, agua { p =990 Kg/m3, y =1.34x 10~J N-s'/m2 ); a escala 1/4* Si el gas tiene una velocidad media de 26 rn/s : deter­ minar la velocidad en el modelo, SOLUCION Aplicando Reynold :

V

M

= V

■ Pp ’

*

x —

Dp

x — -£■ x -— —

»

PM

p,

= 10.167 m/s

M

09. PRQB»-. Unos estudiantes de la U,N,I, al estar viajando sobre aguas profun­ das, después de varios dfas de estudio*concluyerón que la velocidad ( V ) de una onda gravitacional en la superficie libre es una función de la longitud de onda.( X }, de la aceleración déla gravedad ( g ), de la profundidad ( h ) y

Análisis dimensional j si milaridad

29

de la densidad del agua ( p ), Determinar la dependencia funciona] de l a velo­ cidad ( V ) con respecto a las otras variables,

Respuesta

: V = VgTh

f(x/h)

10. PROB.- Las variables independientes

en una turbomáquina son la velocidad

angular ( a> )» el diámetro del impulsor ( D )? la densidad y la viscosidad ab­ soluta del fluido. Las variables dependientes son el gasto volumétrico ( Q ), la carga eqival ente a energía por unidad de masa ( H ), y la potencia alimen­ tada ( P ). Utilizando u, y D como parámetros repetitivos efectúese un análi­ sis dimensional. (a)

Determine los parámetros adimensionales que caracterizan este problema,

(b)

¿ Bajo que condiciones resultarán semejantes los flujos en dos maquinas diferentes?

(c)

Determine la velocidad de operación de la máquina 2 para el mismo flujo que la máquina 1, si D / D ^ y si los efectos vis­ cosos no son importantes. ¿ Cuál será la razón de cargas (al tu ra piezométricas) bajo estas condiciones ?

Respuestas : W 2 = (ül/8 *

H2 = Hi/16

Estudio del flujo viscoso

30

CAPITULO 2

ESTUDIO DEL FLUJO VISCOSO

INTRODUCCION Dentro de la subdivisión de flujos viscosos, podemos considerar dos clases, principales : flujos llamados incompresibles, en los cuales 'la V a r i a c i ­ ón de la densidad es pequeña y relativamente poco importante; y loc- flujos co­ nocidos como compresibles, en donde las variaciones de Ja densidad .1 ucean un papel muy importante, como en el caso de los gases a velocidades muv En el presente capítulo se estudiará a los flujos vI scosos iricomprp sibles, dejando para después el estudio detallado de los flu.jos compres ic ies t que se verá en proxirnos capítulos.

Para empezar el estudio del flujo viscoso incompresible, só hará c ) ta de los conceptos y definiciones básicas de las matemáticas y de lo va e s t u ­ diado en el libro "MECANICA DE FLUIDOS". El 1ibro Mecanica de Fluidos tt tiene como objetivo, al desarrol lar e 1 estudio del flujo viscoso, dar lo necesario para que el lector pueda resolver 'problemas referidos al presente capitulo. Si el lector desea mayor información;

31

Estudio del flujo viscoso

se ie recomienda leer textos que tratéln con mayor detalle el ESTUDIO

DE

LOS

FLUJOS i por ejemplo el libro ''ADVANCED MECHANÍCS OF FLUIDS" por D. W.Appel, P. G. Hubbard, L. Landweber, E. M, Laursen, J . S. McNown, H. Rouse, T. T, Siao, A.

Toch, y C. S, Y ih ; como también otras obras, Pero desde y á , los estudiantes de ingeniería deben recordar que bastará tener muy en claro la deducción y conclución de los análisis que se real izarán en éste capítulo, para poder apiicar las fórmulas que se vana deducir,

VISCOSIDAD - Es una medida de la resistencia del fluido al corte cuando esta en movimiento. - Es una propiedad dinámica de desequilibrio. - Es la resistencia al desplazamiento relativo entre elementos flui­ dos adyacentes. - Es una propiedad de los fluidos que causa fricción, es decir, es la propiedad de lo

fluidos que ocasiona los esfuerzos cortantes en un flujo , asi

también, constituye uno de los medios para que se desarrollen las pérdidas e irreversabilidades

Si no existiese viscosidad, no se tendría resistencia al flij

jo. - Se llama flujo newtoniano a áquel flujo cuyo esfuerzo cortante, al que esta somet-^

/ /

nn©Ho v aluar mediante la > iguíente relación:

/ / 7* *7

u - velocidad del fluido en la dirección x.

j f r m r j n 'i i m r h r r TTTrr m t

= esfuerzo cortante

y = viscosidad absoluta

32

Estudio del flujo viscoso

- Para los esfuerzos

Estudio del flujo viscoso

el caso general» la deformación de un fluido en el espacio

F L U J O Se denomina de esa manera, en forma genérica* al movimiento de un flu

cortantes deben ser evaluados en cada plano (xy, yz» xz), según ido,sea cual fuera su origen.

las ecuaciones de Stokes : / 3VX txy=

W

3VY X + -------- ) = f.

3x

’ 3y

'

CAMPO DE VELOCIDAD!®

‘ YX

El campo de velocidades V- V(x, y, z, t), define la distribución de velocidades como función de las coordenadas del espacio XYZ para un instante t

tyz ~

( 3Vy

:— dz

+ 9Vz

+ ~3y )= TZY

cualquiera. El campo de velocidades.puede ser expresado;en coordenadas cilindricas

XZ

dz

ax

y en coordenadas-esféricas.'Ello de­

zx

penderá de la situación en que ros err contremós.

- También la ley de viscosidad de Stokes relaciona Tos esfuerzos normales con el campo de velocidades * LINEAS DK CORRIENTE •

>

o

_

3V Se denomina de esta forma a la envolvente de los vectores velocidad

° x x = _P " — l) V,V + 2v¡ ~

3

3x

de las patfculas fluidas en el flujo»

3V íT

V *

77

0

~P “ ~ ~ P V *V + 3

?

= -p

ZZ

„

3y

REPRESENTACION DE UH VECTOR

3V

V = V i + V j + V k = (V . V , V ) x y z x y 2

V,V + 2pi — -

3

az Ud* también puede representar a cualquier

en donde p es la presjón termodinámica, Ademad :

= ^-(o 3

xx

+ a

yy

+ a

zz

* Esfuerzo promedio

vector en coordenadas cilindricas ó esféricas :

) = -p

r ICxi'j,z)

r~ y ....

x =

r eos

6-

y =

r sen

% # 3 arcotan(y/x)

r =V x

+ y

z =

z

1

=

7

o

34

3V ■Coordenadas esférica s S

y = r sen# sen#

r ayx ■ *

z = r cosí?

3V

v , y - - £ _ ■1,1"r1j'„-|

x * r sen# cos-fr

+ y

0

+ z

M

Estudio d el Atrio--«tecbgfr-

Estudio d el Alijo. viscoso

3x

,» < x ,V >

3V

(coordenadas rectangulares)

+ - J L + — 2-

3y

3z

x/xTTT'

0 * arcotang V «

) • ( i v + r ae

ar

•0* = arcotang (y/x)

y

OPERADOR V- , .

i % ( \i \

1 av

avL

r ae

az

y = JL Í J > r y r ) + ± — 2. +

V

r

ar

+ í v

)

az

^

(coordenadas cilindricas)

í Es un operador vectorial definido por ¡ La divergencia de V, es decir V*V , representa el gasto volumétrico 7 . t ¿-+

ax

ji- + k2-

ay

( Coordenadas rectangulares )

az

neto de fluido que pasa por un volumen de control infinitesimal, en la unidad de volumen. Para un flujo incompresible, V.V = G, es decir, el flujo neto del fluido desde un volumen de control diferencial debe anularse.

7=

1r ¿ - + 1e

r

T 3r

30

+ í2 — 3z

( Coord. ci 1 fndricas EL

ROTACIONAL Es el producto vectorial entre el operador V y un campo vectorial V.

EL GRADIENTE Se llama así a la operación entre el operador V y una función (o car­ po) escalar derivable E V x V = rot V =

7E = i — + j — + k — 3x El significado función escalar E

3y

3z

de VE es :nrapidez de cambio espacial máximo de la

p^ro que el gradiente de E, es de

LA DIVERGENCIA Se llama así al producto escalar entre 1 y una funqión (o campo) vec tor'ial V.

j

jt.

L.

JL

ax ay

ax

vx

en magnitud,dirección y sentido?

Nótese que E es un campo escalar cir VE, es un campo vectorial,

i

En

n

k

vy

av

av

av

av

av

av

ay

az

■ az

ax

ax.

av

= 1(__5--- 3L)+ j(_ _ * --- í)+ k ( _ X _ _ 5 )

vz

(coordenadas rectangulares)

coordenadas cilin dricas 7i

1 av

• í 1

V X V “ 1 ( r r

ae

z

av

av06

•**“““™" / - 'a \ az az

i

ar

v

2

r ar

ae

También se demuestra que : V x V = 2uT , doVide w es el vector de rota ción de una partícula fluida. Por lo tanto, el rotacional de un campo de veloci dades se relaciona con la rotación de un campo de flujo. -

Estudio del flujo viscoso

36

EL L A P L A C 1 A N O Es el

V

2

operador 1 elevado

V-

= V , V s -2—

+

3x

7 2= —

r

s2

al cuadrado :

32

.+ — y

3y

(coordenadas rectangulares)

3z

— (r ¿-) + i » 3r 3r r2 96

+ -¿W 3z

(coordenadas cilindricas)

IDENTIDADES VECTORIALES IMPORTANTES Io ) Para toda función continua y derivable ; Ademas en toda función continua y derivable,

V x V 53 0 el brden en su derivación nc

es importante*, es decir : 2

?

3x 3y

3y 3x

3 —_ 3_é ■.mwmnmimmm

^ ^

2o ) (V.V)V = - V(V.V-) 4 x ( ! x .2 •

üULcJLíL 3x 3z 3z 3x

^

3y 3z

3z 3y

V)

DERIVADA SUSTANCIAL o TOTAL La derivada sustancial ó total de una función F, se define :

K * 1L C - - — 1 1 2y ECUACION DE

Por lo tanto : V

= X

— 2y

JUUL 2y

v

=—

k [(^)

x

2y 1 h

[DISTRIBUCION . DE hVELOCIDADES

Cálculo de la distribución de esfuerzos cortantes dy t

1 ECUACION DE

= y --- - = y(

dy

- JÜL)

2u

------ S T = h K(

2w

- —

h

) VDISTRIBUCION DE

2

JESFUERZOS

CORTANTES

Cálculo del caudal_J Q ) ECUACION Q « | Vx . b. dy = b í — ( y 2- h y ) dy 2(1 Cálculo de la velocidad media ( V

Q = -

h3 12 v¡

DEL CAUDAL

Estudio del flujo viscoso

47

¿ Donde ocurre la velocidad máxima ? dVx K para responder derivamos :— ^ = Q = > — *-( 2y « h ) = 0 dy 2 p

y = h/2;esto

quiere decir que, la velocidad máxima se dá en la 1 inea central del flujo,

pjjgjlo de la velocidad máxima ( Vmáx ) = -i< _ ( ü i _ üi)

IT'ax

2 y

4

2

v s

^

máx

8y

3 Ahora, Ud. puede comprobar que : \f^x = —

Cálculo de la caída de presión : v' h2 V = - JLÍL m 12 y

12 V p . K --------- g--- h2 dx

12 V \i dp --------- E--- dx h2

12 Vm n integrando :

Ap = h2

-►Todo lo calculado lo podemos expresar en función de la linea central; trans­ formando coordenadas :

'U

T h

Pasamos

xy

a

xy1 : y - y w+ —h

Estudio del flujo viscoso

48

A. 2 Placa superior moviéndose con velocidad

VQ y placa inferior estacionarla

Bajo las mismas condiciones, las ecuaciones que describen éste ca: son las ecuaciones (I) y (II) del caso

A.1 ; es decir : 3V

y* mzzzzzzzzzznt^^

x _

K

ay

y

x

2 y

i >x

•d!

K y2

+ Cx y + C2

■di:

-H

T Condiciones de contorno :

si

y = 0

V

si

y = h ---- >

Vx = Ve

= 0

Reemplazando y resolviendo (I) y (II) ECUACION DE V

= J jl- y + i L k Tí ^ ) . h 2y L h

■DISTRIBUCION VELOCIDADES

Ahora, siguiendo un procedimiento analogo al caso ^ 'iterior A .1 , se vá a encc trar los parámetros determinados en dicho caso :

x = p-^_+ h K ( X _ ¿ ) h h 2

Q =

V

V0 h b

b

12 y

K h3

= - L = J L . - _ _ L _ K h2 A 2 12 p

DISTRIBUCION DE ESFUERZOS CORTANTES

ECUACION DEL CAUDAL

VELOCIDAD MEDIA

Estudio del flujo viscoso

ü

ia velocidad máxima ocurre en : y = J l 1 2 (1/jj)K

Ap = ü u

( Vo

j L

J.CAIDA DE p r e s i ó n

A.3 Ambas placas moviéndose con velocidad VQ en sentidos opuestos ^ —

£ -----------

T

Condiciones de contorno

A.4 Ambas placas moviéndose con velocidad V0

si

y = 0

V

= -V»

si

y = h

Vx = +V„

X

en sentidos iguales

si

y = 0

Vx =

si

y = h■

V

X

+v„

= +Vo

H**V.

B, FLUJO LAMINAR COMPLETAMENTE DESARROLLADO EN DOCTOS DE SECCION CIRCULAR Condiciones : (T) El flujo es estacionario e incompre sible ( y no varia y

p = cte )

( D No existe componentes de la veloci­ dad en las direcciones r y

0.

Estudio del flujo viscoso

Estudio dbel flujo viscoso

50

i ©

La velocidad sólo es función de

r

más no de

z, porque el flujo es compl|

51

av Haciendo un cambio de variable ♦

^

p

+ r ^ ~ y

tamente desarrollado.

(4) Las fuerzas volumétricas se desprecian.

| Efectuando ;

r dm + m dr

J<

r dr

u

d (r , m) = — r.dr

Por consideración (T) las ecuaciones de Navier-Stokes sintetizada* e~ : 0, flujo desarrollado

\ Integrando : !

Vp + p V 2V

r ,m ~

Luego :

8 z

K 2

r ----------- —

1índricas :

pí“ L r 7ar (

2

1

,

a vz

r 2 39

(III)

^

0

r

dr

K 2 = — r + C. ln(r) + C9 z 4u M

r = O

:

V

= O + C, ln(0) + C

. por

an

K_ dV^ = — r dr + ™ 2v

-

+ C

IV

Por condiciones de contorno :

7“

, azz

-S i

-UU J i-l_(rüi)J . o 3Z “[7 3r 8r

.................................

?

azv " z

r --- )+ ~ 2--- T " + —

ar

+ C^

2]i

! Cómo el f1ujo tiene simetria, expresemos la última ecuación en coordenadas cii integrando : V

3z

2

2y

3r

av z \ ,

r

~-Vp + yV2\?= 0

"0 , por ©

-U> +

K

, av

y( —

3z

■* av x

si

C J O =±> V

si

C.= O = = > V

1

T

1

RELACION

| +1 _ I = k ar r 8r

2

z z

= O + C, x 00 + C = 00 1 z = O + O x 00 + C,= C, ¿

L

ABSURDO ACEPTABLE

PARA HALLAR •\

LA VARIACION

V

O

DE PRESION -Si

r = Ro

\

V

» O = Velocidad de las partículas fluidas adyacentes a

Cálculo de la distribución de velocidades puntaales

la pared del tubo

De la última ecuación escrita : y

Br

r

3r

J _ A ) 3r ar

+ir 3r

reemplazando en ( IV ) :

o = JL 4y .Finalmente :

r2

+ o + c, = > 1

=

C 1

-

-i4y

R*

Estudio del flujo viscoso

52

ECUACION DE

JL

v z

¿ Donde

( r2 — Ro )

¡ 1 - (— V

4 u

4y

ocurre lavelocidad máxima

Pararesponder

derivamos

¡

1

} DISTRIBUCION

[ - ‘í ’ 2]

DE VELOCIDADES

?

¡

i

1

dV I — — =0 zzz^> r = 0 ; esto quiere decir que, la vele! dr ' 1 cidad máxima sedá en la línea? central del flujo.

Cálculo de la velocidad máxima ( V ^ x ) Si

r = 0 = >

V , = — -ü-!¿ mSx 4 p

k

R0 r i

/ ^ ^2i]..,2p

,

r dr

4y

Q = - ~

8v

Cálculo de la velocidad media ( Vm )

vm - X «- J L _ z = * vm =m m A ttR o Ahora, Ud. puede comprobar que :

q

o

y

Ro

53

Estudio d el flujo viscoso

CSleulo de la distribución de esfuerzos cortantes S .

dp Cálculo de la caída de presión ( Ap )

V m

= — -Ü-BÍ = > 8w

K = - % V Ro

=

= = » 3z

dp = -

V

dz

Ro

OBSERVACIONES : - Debido a que el perfil de velocidades no cambia a través del tiempo , ni con respecto a las coordenadas, se deduce que en un flujo completamente desarrollé! do la aceleración total es cero. - En un flujo completamente desarrollado, el gradiente de presión

K = 8p/3x

es constante. Por lo tanto : ^

* ÍP? ~ Pi)/L

3x '

z

1

- Sélo en el caso en que un flujo se encuentre dentro de un tubo :

Al valor de tico.

Si

Re < 2300

el flujo es laminar

Si

Re > 2300

el flujo es turbulento

Re = 2300 , se le conoce con el nombre de número de Reynold cri­

GRUPO DE PROBLEMAS N° 2

1. PROB.- A través lam inar

á^ua

de las dos placas planas paralelas fluye en régimen

a 40°C

caída de presión

( f>= 992.2 k Cj = - 4

cañedo

x

Ambas placas moviéndose en sentidos opuestos si

=*

Q=0.0004 7 rr^s

>

caudal Q. :

= *

c1 = 7 . i h F

2^

17772

=> Q _ ('O.OQ1)(O.Q8) „

34.5 xlO3 ) (O.OOIÜO.08)

2

--- > Q - 0.00039 irrfié

12*0.é56xldy

Cálculo del Re : V= J L = 4.835 m/s

Re= 992.2» 4.635 > 0.0020 _ H Wfe

bh

2.

(USUlfl*-

PROB.- Un fluido viscoso circula con régimen laminar por una rendija ío

rnada por dos paredes plana? separadas una distancia " 2 a " . Ver figura. a) Determinar la ecuación de distribución de velocidad y esfuerzo cortante. b) Para a = 4 r n m ,

b = 60nim, L=50cm,

kPa , Calcular

el Caudal

c) Determ inar el en el calculo del u tiliz a

el

kd td'ulico. SOLUCION

|[=0.018 kg/m .s

porcentaje de error caudal cuando se

concepta de dta'metro

a

5e trata del Caso A.1 Ambas placas sin m o v im ie n to ^

-

b) Datos:

b = 0.0ém

T - hKf- f- H

L -0 .5 tti

h-2a=0.008m

A p^-W O O ^jM /rn2

>L= 0.018 Vg/m.s At> = - ^ Vm M i = _ J2 (fl/b -h ) H. i h5

— >. Q =. _ aP ' ^

3

3 2 L

h2

(_ 1900k # JbJ ) (0.0foim) (0.008™?

„

,,

Q r _ __________ Ü E : __________________a = 0.54 m V s

12 ( 0.018 J « L ) (0.5 un) Tn.S

C) Si nes

u tiliz a m o s

el

d iá m e tro hidráulico , debemos emplear las relacio­

encontradas para

el Caso B

rro.lado m duelos d t « c ció ,

Flujo

circular:

laminar completamente ^

^ '

Dh = 4 b K 2(b + b)

^ R?

^

desa^

;í

, 4,O.Ofc»O.OQ8 _ 0.0141tn==> RH= _dJ l =0.00353 w 2(0.04+0.008) 4 Rn : radio hidráulico

reemplazando: -1900 y. \Ol - 8 .0 .0 1 8 \/m (0.5) 0.003532

E rro r = I 0-051-0.541 . m = 0.54

= = > V^n = 328.83 W s 2 Q= J L D h Vm =0.051 4

nv’/s

L

3.

PROB.- ¿ A que

distancia

t*

del centro de

tubo de radio

un

se tiene una velocidad igual a U velocidad promedio, para

un

f lu jc

lam inar ?

SO LUCIO N

V* = V,m K 4n

( r 2. R.z ) -

XR„2 8H

> r 2- R02 , _ ¿

= > r = y | ? R.

r = 0.70? R.

4. flujo

PROB«- Determínese

-Rpta.

el esfuerzo cortante máximo em la pared para un

laminar a través de un tubo de d iim elro D, si las propiedades dei

fluido son

)jl

y

p

SOLUCION

Sabemos c^ue :

= _ M L

— s. I -

T u _ L „ ¡<

Vm

R2

4 H. Vm r ~ r T "

El esfucv zo m áxim o

se produce

cuando

r _R L

==>

AP

—

L

Datos:

\

4

£

---- T T p Rf

L

&P _ _ 8 H f Vm D _U_ Rf A jP-2R. ar t if iá o

( verifique e l

D

u r 6 0 CP = 60 * ]Q~3 h ’

~

_

p - 830 Ko/m 3

tn. seg

(830 K3/ms) , (0.0015m)3

R.= 0.0015-m

Re---100

Datos:

f- PROB.-

D - 1/4 pu

A través de un tubo de 3/8 de pukj de diámetro escurre gHcJ

riñ a a 80°F

(

Af> = - 20pie x 55 Ibf = _ 1100 Ib f/W ' píe3

SOLUCION

¡ Sabemos qae: =

5 I k f M 2 __ pie

8 - ,¿ i 3x12

Vjf) - 1.953 pie/seg

8.

PROBCalcúlese

ciando todas

pie4-

z 1/48 pie

L = 16 pie

1 0 '2 Ib x seg/pie2 ) con una caída de presión de 5 psl/piej

Determinar . el caudal.

A P - . Ü L V m

H = ÜJ Poise = 0.1 (2.09 x 10 Ibf* se 3 )

< T = 5 5 I b f / p ie 5

A f-.IB

Vm L

-.V,

pie

!

pi,i

Q= 11. o2 Vm = 0.0015 pieVseq 4

el caudal en e! sistema mosteado en la fig u ra , despre­

- . . o o M 8 [ n

==»

= * Luecjo :

ü

tn/s.

SOLUCION

Datos:

L = 2 0 th

Q = 30°

& = 10 kU ¡v? -AH-

&p= -

D= Brotn = 0-008mVxn^ 3 m /s j-t =. 0.08 ^ / ^ . s

yTn,i_

= > - i 0 * 103

H=_

H ^ 240m

8^0.08 r 3 „ 2 0 (£,o.oos )2

63

Estindio del flujo viscoso

11 . prob.-

Dos flu id o s

i flu y e n

iw nisib le s

1

en re'gim en lam inar

¡es situados a una d ista n cia

y 2, cuyas viscosidades son

y

e n tre dos placas paralelas horizonta

2 a . Sí el ancho de las placas es

el grosor de ambas capas de líquido es

b

a , d e m o s tra r que el caudal

del flu id o A es ; Q

^

Ü

l

-

7Ma+ H b

(-Ap)

« w , 1-

L; lo n g itu d de las placas

Por ecuación (II) del presente capítulo : -p a ra

A .

=

+ ^^

+ c¿

....................... {o V A= 0

y -.a = * VA r_VB

, T A- T fc

.

64

Estudio del flujo viscoso

3o)

y-2a r ^ > Vg-0

CoTidLcLon 1° en ( I ) :

0 = 0 4-0 -v-

= > C2.=0

Condición 3o en (j3 ):

OzJS— ( 2 a )2 4. C3 ( 2 a) 4.C 4. 2^ b

C4 =-2aC3 - 2 k a2 *

Por condicion 2° :

^ -V B

para

d 2 + Cj a

adem ás, T a = T b

Ma

De (J )

fea

t-C,

a2 + c 5 a + Ci¡j ........

p a ra

== $

y -a

_ka

+ C, - - C 3 - 3 Kb ... 2

a

M

\ + H

b

/

Q A - J VA- b. d y = J (JL_ y ¿ 4- Ct y j b . dy

Xa3 A í V i * 2 ]-- t) k a J 3K a

jJ

K

■U)

Hb

/ 3Ma 2Ha I

eH dy

C3 = 4 - c ' .Hb

*? t t 3 = í i1»

De (to) en C¿) '

Qa

TA - | i ft dVA d \j

»H»

2H a

C álculo de QA ;

•(0 )

2Kb

K a

en ( 0 ) :

y= a

=

2Ha

•U )

h

U

Como : k ^ fe - fí _ A l 3 L ~ L

1

j*a '^ -H-a + H b / 12^ a

jL q ■r

a3b A

r

7Ha+Hb ^ a + h b

7 H a + He _

H a + H b,

( - A ¡ d)

65

Estudio d el flujo viscoso

il

X rob-

Establezca Ud. una relación para evaluar la d is trib u c ió n de velod

dades en un flujo laminar

entre dos cilindros concép tríeos. Ver figura.

SOLUCION

U tiliz a d o la ecuación ( E )

del presente capítulo •

V z ; = ~ r z + Q Ltí r - K , 4H

(BT)

¿

Por coTidiciones de coTitortio: - Si r = 3 —►Vz = 0 .. ■ > 0 - _Ü_ aZf C, h a +C 2 .. 4h

.(1 )

r = b — +VZ=0 = $ 0=JL_¡,2j.C Lnb+C ¿ . ..

. 12)

-S í

4ji

De 11)- (2) :

C< = Ü . (a 2 - b ¿) 4>i

De (3) e n d ) :

(3)

LiKb/a)

C, = - J L a 2 -

De (B) V (4) e n ( E l ) : V. =

= -L n (a/b )

*

(a2-b 2 3 h a ......................... (4 ) LnCb/aJ

J 1)

L n ( r /a ) '

Lníb/a)

^ ií[

COTTtO K - j j - f ? - AIa

Ltí b -L n a = LnCb/a)

DISTRIBUCION DE VELOCIDADES V--

^

a2_ r 2+ Ca2- b¿) L-nCá/rt LnCb/a)

Estudio del flujo viscoso

Estudio del flujo viscoso

66

13. PROS»- P a ra

el caso a b a liza d o

^ 'n Ia f ’ 3lira i u.T>a placa se mueve con respecto a la o t r a , como

en el problem a a n t e r io r ^ d e te r m in e u^l 15. PR0£ :'

se in d ic a . }i= 0 .8 0 Poise ; j>= 1.7 s lu ^ s /p ie 5. D e te rm ín e s e

relación p a ra evaluar el flujo volumétrico.

cio'n de V e lo c id a d e s , e l caudal SOLUCION

Q = f v ? d A = \ V-,. 2 T f r d r - - I Í . . A l I 2 ) 8fi L 14. prob.-

Eti

una tu b e r ía

|a placa s u p e r io r .

la d is t r ib u -

\¡ el esfu e rzo c o rts n te e je rc id o sobre

( anch o - ' 2 pul^)

a - b4_(a2-b2)2

ÜW bl

h o riz o n ta l ^.ue posee dos tubos coaxiales flu \je

u n flu id o viscoso, Incom pre sible del

67

y en re a m e n la m in a r por el in te r io r

a n illo . D e m o s tra r = 1 2 p 5 Í

Vz = Ü 4 jil

Donde:

R¡

l - Longitud de la tu b e ría

R=

SOLUCION

El problem a pertenece al caso A.2 de placas p la n a s :

Radio del tu b o e x te r io r

tR = Radio del tu b o in te r n o íj , P2 = P re sió n en los e x tre m o s del tu b o h ■A

|4. = V iscosidad

Vz -Velocidad en la dirección axial

b , f Qh -

M

2 0 Ib f . ^ 4 p ula2- + 1.7 s lu a , 32.2 f t e 10pie = 3 4 2 7 p>uli£

| - p 4. 'j> g h = 12 x 1 4 4 + 0 = 1 72 8

Ibf/pte 2

SOLUCION

Resuelva Ua. este problem a

siguiendo

el p ro c e d im ie n to de solución del blem a 2 .

p ro ­

1 7 2 8 - 3 4 1 7 . i ? n . m lbf/bie5 joJ 2

l - - -

•

.

/r

68

Estudio del flujo viscoso

69

Estudio del flujo viscoso Reemplazado:

y

3

_

^

C~ m m )

* ~ ~ 0.02

[ (o j) ~ ia b )

2*Q .aP oi5e

1 lb f.s /p ie ^

Zar como s i se t r a t a r a de u ti flu jo e n tr e dós placas p a ra le la s (c a s o A.1)

47S Poise

ktisideídc io n e s : , ■ . I - f lu jo p e rm a n e n te e uK om prestbte

y 1 j OISTRSB. VELOCID.

Vx = 5(>9 V/ _

- f l u j o la m in a r c o m p le ta m e n te d e s a r r o l l a d o ^ - 3,000)

C a'lcu lo del caud al: 0.02

Ba)o ;

.0.02

tales

co-ndkio*-.

Q r

Kb

12.A

G U ^ Vx . b d \ | = b [2 8 5 . 5 y 2~ 11ít88y3] j = 1. [0 .0 1 8 2 9 6 ] = 0.018296 Cowo C a lc u lo del e s fu e rz o c o r ta n te

en

f e , | ; ) b ,i

12 J4.L

ancho = b r WD * Q-

\j = a o 2 :

D h3 _

( 1 - 2 0 ) ^ ^ ,Q .0 2 5 m x ( 5 x10b) m

j t 'L T r u

M , .- U [ 5 W - * 1 9 3 2 ^ 1 = M i [ 5 ^ 3S ^ 479

*

-

1 2 *0 .0 1 8 K < j/m .S *0 .o l5 -m

0.0 2 ] = u 1.952

Q = 57.5íí2 x .l0 ^ m ^

M

Y e t i f >p e im o s s i el f lu jo es la n u -n a r: I fe. prob.- Eti la

fija r a

se m a e s tra

bos e stá n sin m o v im ie n to .

u n sistem a c ilin d r o - p is tó n ,a m ­

E l siste m a h id rá u lic o opera a una p re s ió n

m a n ó rn é tric a de 20 MPa y 5 5 8C. El flu id o hidráulico es a ceite (j> ::9 2 0 k g /m 3 j u 0.016 k c j/m .s ). D e te r ­ |¡> _20M P a m ínese el caudal ^ u e se fu ^a por la knlrt»»**’**»

T í“ -

'

J

r^

’' la ho lg a ra , s i ia presión m anóm e'

t r ic a ja

en el e x tre m o de m ás b a ­

p re s ió n del em bolo es 1MPa.

71

L=0.0IS1H¡

V-m = - ^ _ rO .W G fc m /s ■ TÍDH R g - f-V m -h

- 0.03*7 4UU -¿12300

^ E l f lu j o es la m in a r R p ta : Q = 57.572 x l o V

0= 0.02 5 m

i

• h=5xlÓ j|

17. prob.-

La chumacera de un cigüeñal de automóvil se lu b ric a me­ diante aceite a 215“ F. ( = 2x10'^ Ib fs /p ie 2). La chumacera t ie ­

ne 3pukj de diám etro, con una h o ^u ra de 0.00125pulg ■y c^ira a 3G00 rp tn . Tiene un ancho de 12.5pul

Flujo Turbulento

Tubería de acero . comercial, toda de con dos codos de 9(|

61 m-

2,300

V

20.3 de diámetro CERO

Re = L £ = 157,825 >

Cálculo del factor de fricción ( f ) Con

D o 20.3 cm * 8 pulg, vamos al diagrama de rugosidad de Moody : e/D = 0.0002

( K2 - 0.9 Con

e/D « 0,0002, vamos al diagrama de Moody : f = 0.0147

Cálculo de las pérdidas primarias (. h )

2

h = f _L 11 = p

D

2g

40.353 m

(1 )

i

I

Estudio del flujo interno

Cálculo de las pérdidas secundarias ( h$ ) h

^ K 2^ - + 2 K — S

2g

7.029 m

2 2g

Cálculo de las pérdidas totales ( h ) h n h

p

f h

Cálculo de la altura de

s

« 47.562 m

la bomba ( =

)

>

75

7 5 _ P , J ü i 0 0 ---- 53 m

H .

y

1000 x ° - 283

Cálculo de la presión en A PA c y x 45.75 ^---- es incorrecto, debido a que no| exis te el equilibrio apropiado en la proximidad de la salida del depositj Consideremos un flujo sin rozamiento para aplicar la ecuación de Bernoul 1 i :

0 , man + 45.75

+ 2g

í |

Reemplazando en la ecuación (1) :

\ Y

p

= 41,853.082 Kaf/i

A

.

pB » 53 x 1,000 * 41,853,082 - 1,000 x ( 21 + 47.562 )

PB = 26,291.182 Kgf/m p„ = 2.623 Kgf/cm2 D

1

91

Estudio del flujo interno

■3 ptfOB.- Haciendo uso de un sistema de tuberías, se transporta agua desde un gran depósito, para descargargarlo en forma de chorro libre?, ¿ Cuál ¿era el caudal en la salida ¿g

B ,

si se utiliza un tubería de acero comercial

0.203 m de diámetro con los accesorios indicados ?

Datos :

L = 143 m D = 0.203 m Z = 21 m p_ -- p = 0 » manométricamente B ratrn

Z = 30.5 m A

Aplicando la ecuación de la energía entre los puntos A + l Y

2g

2 a - Ze

A

Pb + _JL vb + l = _JL /\

B

y

+ h

y ¿g 2 Va V‘ V2 V2 f —--- - + K, -2-+ 2 K „ -£• + - ! D 2g 2g ‘ 2g 2g

Reemplazando datos ;

9.5 g = f

V2 V2 — x 704.433 + 2.85 --

(i)

92

Estudio del flujo interno

Cómo sólo tenemos una ecuación pero con dos incógnitas, debemos realizar ite­ raciones trabajando conjuntamente con los dos diagramas de Moody, de la siguió ente forma : - con

d =? 28.3 cnr s¡* 8 pulg —

- se asume un valor de

► a diag. de rozamiento : e/D = 0.00022

f , por ejemplo

f - 0.014 , y se reemplaza en

la ecuación (1 ) : V, * 3.823 m/s - Ahora, se halla el nOmero de Reynold : = 6*86 x 105

Re * 0.0113 x 1 0 ^ - Con los valores

e/D = 0.00022

y

Re = 6.B6 x 105encontramos en el

diagrama de Moody : f = 0.0155 - Cómo el valor d e NX f" asumido es diferente al * f " hallado, se asume otro valor para* f" y se procede de igual forma : f

asumido

VB

en ec.(1 )

Re

f

hallado

0.014

3.823

6.86 x 10 5

0.0155

0.0155

3.67*1

6.61 x 10 5

0.015

0.153

3.698

6.64 x 105

0.0153

Por lo tanto ; la respuesta es : Cálculo del caudal

V. ~ 3.6^8 m/s J3

93

Estudio del flujo interno

j^ p ro b .-S e requiere N -sA n2)

sim ular el f lu jo

de aire (^> -1 3 kg/m 3, j ^ U x I O ' 5

en un d u d o , m e d ia n te un f l u j o

H - 1 .3 4 M -S /m 2) a escala

de agua (j> =

1 / 4 . Si el gas tie n e

K ^ /m 3 ,

utvs velocidad media

¡je 26 m /s • (a) D e te r m in a r la velocidad en el m odelo, (b ) ¿ Cuál sera' de pre sió n en el d u c to , s i en el m o d e lo es de 0 .2 2 bar

la p é r d id a por m e tr o

de

lo n g itu d ?

SOLUCION

D a to s : f p = 1..3 y m 3 ,

j4 p = 1.8 x 10* 5 N- s/m 2 ,

j>M = .^1x 105N 7f l ? * 9 - *

_ 8 R-i zzz> Le^. > Leg zz=} K¿ > Kj

C om o

z

S. PROB.-t Um co m bustib le

\

de viscosidad

ra z ó n de

de

0 .5 pies *

t ó m r t r 0 . En su L t C ™

fic a

en

1 ,2

80 bie3/ m in ^3

en

de

tre s ^ ú ltim a s tu b e r ía s son 1 2 5 , 3 2 5 y 700 ptós,

v

a tm ó s fe r a , d e te r m in a r el caudal de co m b u stib le

en

cada

una de

O jO : *

¿t-m

las tu b e ría s .

« *

^

(0 )

_ p _ f / U A Va v 3 v p 3/ 2 ^

x

, . , ,

¿p rs d * una ls 3 * * * * *

"* * ■ "« *

' as ^ u^ >r^as m xiTnaci0n in ic ia l *• ^

caTn ia ‘ = *3

1/2 —

De

\/ W

De ip) y

:

1/2

tí* ) •

X

-------------.----------- ll--------- -— .— — ----------------- =*■

V

(y)

,

d i á m e t r o . Si las

lo n g itu d e s de las descarqan a la

a r

p

una tu b e r ía horiaonU

f in a . U tu b e r ía se , «

pulgada

* n

y densidad espec({j

0 .667 cp

a

líneas de

v»

¿3,

ca 0.76 , f lu v e tre s

99

Estudio del flttj o jg tS lfL

Estudio del flujo interno

___________ _______________________ —............................................... -.......^ssfr—»Reemplazando en í«) *•

£.=O.OOl8p¡es

1/2

r€ > 8 0 JPjL - H

fcO seg “

4

• J ___

1 + 4 (§

t

)

0 /2

V,

H4-

SOLUCION

C onsiderado

f lu j o

P o r c o n tin u id a d t

p e rm a n e n te

e in c o m p re s ib le

Q 0 = Q A + Q z + Q 3 ................. ^

V, = 2 2 .0 3 p ie s /s f^hota te n e m o s

V , = 1^.32. pies/s

^u e v e r if ic a r

si

pies/s

100

Estudio del flujo interno

C á lc u lo

de

R e -fV D /}i

0 .6 b 7 x fc .? 2 *10 ~4

:

O . U * í 2 A Ib / p ie 3 diacy H 00 ü\j

D

f

6/D

Re

L

1.rl4 x 105

0 .0 0 1 8

0 .0 2 4 0

1"

125 '

3 .2 3 x 105

o .o o o q

0 .0 2 0 5

2"

325'

4 . 2 0 * 105

O.OOOfe

0 .0 1 8 5

3"

700'

Ud. observará q u e : ^ f c u la r

dichos

{a c to re s

^ A s u m ie n d o

f f 3 j por ta i raion debemos de Teca]

de fricc'ioTi.

- f ^ - 0 .024

De (p) \¡ C^T) :

,

f z = 0 .0 2 0 5

\)

-0 .0 1 8 5

1/2 V_

V, l2

A . J l_

D,

_

De (/i) \¡ ( 0 ) •

1/2 v ,-_

vI _

L l _S l I l 3 d, fa

Reemplazando en (y pie p u if

tu b e r ía s :

D j= 3" L \ = 1.5"

rnax

=$ Re = 8. H3 x iO5

Aplicando la ecuación de la energía a cada rama. Se seleccionara' los sub­

r>

f = 0.012

índices

^

k |> = 5 5 . 5 \ W / p u l f > Z i f ^ x

i Ok l

i

para la salida de la tobera *¡

j

para

la tu be ría :

106

(0

hp= f JL Vi , f U

r

Considerando *.

( 1)

VA

D 2

V/

D T

V-L

fe) ZA ^ Ei ^

K = faimosferlca

(4) Se despreciaran las pérdidas ocasionadas por \a división de! flujo en e.| punto ® Por lo tanto, la ecuación se reduce a :

i P

Considerando al

- Z

le. Yl . D

2

D

manómeIr ita

2

flu jo

permanente e incompresible •.

A

vf

Reemplazando:

P

2

V; = g g V P El caudal para cada ram a j

i/z

(*M -ir+¥) s e rá :

Qj = k) Vj = Aj .pOk. i - l_

1-------

Cálcalo del númeTO de Reynold Í?P

Vj Dj

4 Qj

y

Suponiendo

TÍ y Dj

tom o

R e ,A . M 1Y

p rim e ra

1

il Trun

= (¿2 - Q 3 = Q a A = 5 0 0 gal/nun

ap ro xim a ció n'.

1.2 X 10

pie2

3 pulg

Tnln fcOs

p ie 3 7 .4 8 g a !

12 p ii'a p ie

Re - 4.73 x 105 Del

diagrama

de

M oody:

f = 0.0133

para tubo liso.

R eem plazan do: Q ’n - Aj

1/2

/

P Qj! r 0.112

(J.)'1 + ÜOB3 ( ? « ¥ «

Aj / H

V P Q i, = 0.217

J2

Ai

¡JE.

Vf

Qj3 = 0.1U Aj /£ f£

Vf

Por

la ecuación

de continuidad:

+30)

Cálcalo de los caudales: Q jt _ 0.192 = o .328 Qa 0.58b

= >

QJ1 = 4 CI2 Qa^/mlti

fija

-— >

Q j 2 = 5 5 7 gal/tTiL-n

-

0 .2 1 7 = 0 . 'i'71

Qa

0 .5 8 5

Qj3

-

0 .5 8 b

Ahora recálcularetnos Reynold

^

para

Q .j^ = 4 5 2 Cjal/miTi

CXlTé. - 0.501

Qa

el

para

'

obtener m ejores

factor de rodam iento

en

u d a rama :

x 4 ;7 3 x i0 5 = 49Z x 4.73

R e ,* QJ1 500 gal/miTi

del

f

aproximaciones para ei número d

diagrama

de

= 4.65 x 105

500 Mood\¡

■.

= 0.0133

Re2 = 5 5 7 „ 4 . 7 3 , io 5 = 5 .2 7 x 10" ------ v f 2 r 0.0130 500

Re3 = 412 „ 4 .7 3 , 10* ^ 4.28 x 105

------- s

f3 = O.OBfc

500

S u stitu y e n d o valores

en la ecuación:

,1/2

109 por

la ecuación ■-%' continuidad *. C’J1 ^ & ] 2 +ulg

1

x jííL , 7.48 gal

+ 0.0133 (200 pies XJ ____ x 1 £ Í h ! í+

v 1.5 /

V

5pulg

pie

m

60s

x i w í

Í )

pie2 '

30V Ibí.s2 „ píe2 ' j slug. pie

|>a - . U 2 Ib f/p u l^

Análogam ente:

= °H.4 Ibí/pulg2- , para PA = % .5 Ib í/p u l^ , para

la rama 1 la rama 3

144 puhj2-

De

los

tres

valores

obtenidos

t>aia

fc»

, se

roncluve :

,

&

C alculo

de

Aplicando

ja

presión

la ecuación

en

la e n t r a d a

d e la energía

, ,

5=11 Ikf/pulg-

de

cada

(S)

entre

y

lobera

aspeiso r a :

la e n í r a d a

a

la

t o b e r a , spccicm

"n’ ', r e s u l t a :

JL+ ^¿+ 3 ?A - A + ¿ f 2Hn + hp ; ?

2

f

hp -- í JL

2

D

Por la ecuación de conUmuidad v Va -Q a //A j,

^

+f j± V>_ 2

D

2

/ Vj = Q j/A j , pox lo W.»

Reemplazando valores para la rama (D : p

91 M _

{juI^

+ i

x

2

W

5ÍM. A500 ü L

pie1 v

x r,_rO.OSSf200ptó5x 1 l

L

'

Bpulg

x 4.

min

_ x

P H L

7.48^1

x mil

x 144 J > u l £ f

605

pieu '

xC B k t 3 0 )4 .fl(Í3 3 f(ÍL \4lM ¿ L _ * -E il" ¡pie

p^= 52.3 Ibf/pul^2 Análogamente '.

1

Tí G }>uig

= í>6-3 Ibf/pulg2= 43.3 Ib f/p u lg 2

'

J V 1500^ ' 3 /

i slucyp$

1 4 4 pui g

13.PPOB -- Un flujo de je tu b e ría s

indicada

CP RAMA *J*1 L, = 61 O ttj

56G iitros/s

e s ta

circulando a través de

en la Cüjura adyacente*

^=30.5 c m

la red

Para una p re sa n m anóm e-

tr ic a

de ?.03 kgf/cm 2 en el mido A ,

d

presión . puede esperarse en el m

do B ? D esp reciar

la

p e rd id as

s e c u n d a r ia s .

Seg

H 8=15.25Tn| .B RAMA >l-2

Tubería de fundición

l¿-457m

total m e n t e

5olü Cion Asumiendo : =>

- 0 .3 Q r - 0. 3 x 566

=>

Q!, = 169.8 litro s /s e g

{j' = 0.0191 (de diagrama de Mootty)

Kp I. = f; A í l . j —í

D1

V,’ z

Q ’i = 2.35 ■‘TT Df

Re, -

U

hp = 0.01^1 r1

m S

= 6.5*10

610 0.305

5

V

hp = 10.57m

i / D- 0.OOO8 ( de diagrama ole

•Moody de rugosidad pa-ra Evaluando

pata

D=30.3cm=12")

la rama t>4 2 ■ —

asumiendo

Í 2 = 0.018 ^2

. 2.33¿ 2» S .8 1

= >

V¡ -

3 .3 9 rn /s

= >

Q'z = I L - D j , V¿ = 0 .5 5 6 mVse^ = 55fclitro s /s e o 4

El

caudal

total bajo las condiciones supuestas e s:

Q y-

Ca Ic u io

Q.\ + Q'^ = 1£>9.£>

de

los caudales

Q. -- _ S L a r = M

Q'r

=. 7 2 5 .8

reales

:

* 5tó = 152 k i m

?25.&

5e3

Q 2 = _ ? 1 . Q t = ^ 5 £ _ , 5 6 6 = M3 3 .fe litros Q't ?25.8 seS

Cálculo

de

las

1 P1

= 2. 6 MTfl/seo

d2

= M.q, 10 5

V £/D= 0.OOO8

Vi

23

Re? = v¿ ° z y

= uacf5

£/[> = 0.00055

(para DcH5.ícm=l8'

Hierro fundido

= 0.019 4 (D e diag. de M.)

> {^ r 0.0178 (d e

h P = 6.H8 m Como C á lc a lo

h(> ~ hp^ de

3

ttd^

% = f2 - i i

23

Re, ; Vi

V? -

perdidas reales

hp : f , k í 1

litro s/setj

no son

fg * Emplea-ndo

^necesarias c ita s itetaciones la

ram a

TiM

2 q +■ hp

A&

diag. de Moodvj

14. PROB L1=

En

la figura c^ue se muestra: TRAMO

3000pies

l 2 = 2000 pies

Dn = 1 pie

D ^ - 8 =0.bfc7 pies

£/| = 0.001 pie

í2~

Li = hooo pies

o.ooo 1 pie

-

, D3 =16" = 1.333pies

£ 3 = 0.0008 pie p = 2 5 lúa pie5

ZA=1000 pies

pauto

B

Volumétrico si

el

cauda1

a

través to ta l

^ue

de

Se

pata

asum irá :

tra m o n2 1 ^

Q-! =. i

.

4

Qt

.

■>, pie / seo

4

°

- J _ , 12 - 3

cada

circula

SOLUCION

Evaluando

HB=80 pies

secj

Determ inar el caudal slon en el

£ = 80 psl

V =0.00003

t u b e n 'a es

de

^

la

pre-

1 2 pie 3/ s e c j.

Evaluando paTa tramo

6 ,/o, = 0.001

= > f^v - 0.022

( de diag. de Moodvj)

Sabe

v3¿ 23

^

Di

E v a lu a n d o Se

h¡> =■ tip^ - h'p3

Se sabe ^ue

= * 14.95= f , l 3

hp = f* J ±.= 14 . % pie ' 1

para 14.95=0.020 4000

h'p = h'p

1.333

= > 14. S5~ f ' J-¿

V¿

?2 ~ í| = > {^, =0.020

=> 14.95 = 0.020

2000 0.667

= * r¿3=

y

= U 8 *io s

£3 /D 3 = 0.0006 2» 32.2

VÍ, = 4.01 pies/setj = * Ra, = M? p2 = 8.92 ,104

= * f j = 0.020 Como el valor de £3 "no vana : V 3 = 4-01 píes/seg

V

£2 / D z =0.00 0 15 =>

%Z 2 ,3 2 .2

V jr 4.01 pi.es/scg

23 asumiendo

3

G[^ = IL D3 V 3 - 5.60 pifó/seg

= 0.019 (d e diacj. de Moodv)

RecalcuU-ndo

V’2 :

^ El caudal total ,2.

14.95 - 0.019 . 2000 Vz 0.6¿7~ 2 .3 2 .2

=> Ql2 = I L

V*2 = 4.11 ples/sej

bajo las

co'ndi clones supuestas ofT = q\ +■ alz + q'3 Q!t = 10.04 pies3/seg

Vi = 1 .4 4 pies3/s«j jífrkft

: Q't t Q t

es:

115

de

lo5 caudales reales

Q |S j L « Q t = - ¿ - * 1 2

= >

a2 ^ i L . aT = - M I xM

==>

Qz- 1-72 pie«Vs«8

= *

a 3 =6.70 ple^Vscg

W'

Q’t

10.04

Q.T

3.58 plesVsej

10.04

Q , e J Í í -.íIt

=. -5=6 ° . .12

a‘T

Comprobando

io.o4

los valores

de h¡> ■>

y hp^: f , = 0.021

V¿ = 4

= 4 . c13 pies/wg

R e ^ -I.O S

10J

- 2 o. 4

V

Tí Df

pies

f2 = 0.0tt

hp2 .:

f 3 =0.011

hp3 -= 20.4 pies

21.6 píes

Tí D*

- 4 - 4.80 pies/seq Tf Pt

Re3 = 2.13 x JO5

0.018 \j

entre

hubiera

0.018 5

seleccionado

habría resultado

Cálculo

de la

presión en el punto B

a

¡t

a

»

Kp

po _ 183.62 . 62.4 = = > B 144 —

51

se

hp "í

3

correctos

porgue'.

hp ’ X, hp ~z r3

Cfe) ""considerando tramo ns 1

1 . + Ea + = *8 4 Z R + _ í _ _ 4. hp H + A + 23 T 23 M

=>JL=: J L + z« -

;

2 0 .4 píes.

Finalm ente, los valores obtenidos se pueden considerar .

0.019

,

bp = hP< + h p 2 4-Hp3 = 2 0 ,8 ^ 46

- J Q j d Ü 4.100 - 80 - 20.8 ==> ¿2 . 4

B, * 7 < U 6 pst B

3

. *Sl = 183.82 pies ¿f

15. PROB-- Considerando am bas

en

poseen

s e c c ió n

dimensiones

dos tuberías del mismo

tra n sv e rsa l



-

z°

= . / f

0.2 C

2 5 8 . 6 - ?5

vi

L3

= >

V 3 = 2.4?4 Tq

0.020x300

’S

Q 3 = J L ü] V3 = 0.078 m3/se ^

C á lc u lo dfi

^ " 0.3 - 0.115 "t~ 0 .0 7 8 = = >

Qi =

= 0.193 tti^

% ademas:

V| = 4 Q-i - 2.T3 ™/seg

Tf cf.

V2 = 4 Qz - (>.51 m/seo ..ti ti.

Ecuación de !a energía

JL »

+

+

Ea

-j-

•=0

4- J Í 4. 23

VA = VE* = O = >

--

Jüi.

H0‘ 4-

+ f,

(manometr ícaTtiei\le)

D1 23

A

\¡ £* :

+ f, _ k J ^

29

H b = M .4 1 5 th

D* 23

+ f, Jd. J l D1 23

=0 (m anoW tricáTrente")

Ho = ( e £ . - 2a ) + f , _ k J ¿ D* 23

JiL

’ C,

¿TD' = 75 m

+ f 1_ k . J ¿ _ 28

+ Hb = l l + _ í¿ 4- ZE' +- f 2 á 29 fg» -

23

»3

Hb = ( 2 0, - Z a ) + f J k

Ecuación de la energía entre

*

0* :

« 2 8

l>3

A

\¡

A

Hb = JdL +

29

V a - Vtf = 0

= >

e n tre

z?t \ - GOtíi l

2g

= *

H b = 238 .% m

Calculo de La

la potencia de la bomba

bomba se

evalúa enbase

a

la

altura maVoma re q u e rid a

Ug

= í > Hg= 238.S8 Tn ==>

_ 1000 » Q . V t t x 236. %

Potencia = > Qi Hb ?é T¡

%

* 0 .8 4

Potencia = 722.5 HP

Comentario : - Para e v ita r c^ue el deposito debe -Las a ltu ra - La

colocar

una

a ltu r a s

K1

?5m

presión

y

va'lvula

\¡ í>Om

e n tre

situ a d o a

?5m de a ltu ra

re b a ls e , se

re g u la d o ra de caudal en el tra m o na 3

en comparación con , ra zón por la cual se les desprecian.

D’ ^ D

Ana lobamente sucede entre

son pe^uafías

las

se desprecia

porgue h 1 es pequeña •

E' ^

£.

1

CAPITULO 4

ESTUDIO DE LA CAPA LIMITE 4*1 INTRODUCCION En el capítulo 2 se desarrolló las ecuaciones que describen el movimier* de un

fluido,

es decir,

las

ecuaciones

de Navier-Stokes

(1827).

Uc.

señor lector, habrá comprobado las dificultades matemáticas para resol vetales

ecuaciones

y aplicarlas

a diversos

problemas

de

la mecánica &

fluidos; salvo algunos casos sencillos, como los vistos en dicho segunr capítulo.

Por lo expuesto, se hace dificultoso continuar con el estudi:

de los flujos viscosos.

En base a las ecuaciones citadas.

Para continuar con el estudio de la "mecánica de fluido", se detallar! las

teorías

desarrolladas

por

el

ingeniero

Ludwing

Prandtl,

introdujo por primera vez el concepto de "CAPA LIMITE" (1904).

quie'

Prandf

demostró que numerosos flujos viscosos se pueden estudiar dividiéndolo: en dos regiones, una cercana a las fronteras sólidas, y la otra cubriera el resto del flujo.

El nuevo concepto de capa límite permitió enlaza'

la teoría y la práctica.

A su vez, éste nuevo concepto de capa 1fmití

nos ayudará a solucionar problemas de flujo viscoso que resultan cas1 imposibles resolverlos a través de las ecuaciones de Navier-Stokes par; un campo de flujo completo.

El concepto de capa 1 ímite inicia el comienz:

de la era moderna de la mecánica de fluidos.

4í2

c apa

límite

La capa 1 ímite es aquella zona adyacente a un contorno sólido, en donde

los capa

efectos

viscosos

1 imite,

el

resultan

efecto

importantes.

vi scosos

es

Fuera

despreciable

de y

esta el

región

fluido

de

puede

considerarse como no viscoso.

En forma análoga a lo que sucede en un i flujo a través de un conducto, el flujo en una capa 1 imite puede ser laminar o turbulento; ello se determinará en base al valor que adquiera

el número de Reynold. Fig. 4.1

Sin

embargo,

no

existe

un

valor

único

correspondiente a la transición del capa 1 imite.

para

el

número

de

Reynolds

flujo laminar a turbulento en

una

Algunos de los factores que afectan dicha transición son:

el grandiente de presión, la rugosidad de la superficie, la transferencia de

calor,

las

fuerzas

volumétricas,

y

las

perturbaciones

exi stentes

en la corriente libre. Al examinar la fig. 4.1, consideraremos de un modo cualitativo el flujo sobre una placa plana.

Obsérvese, como muestra

la figura, que la zona

laminar comienza en el borde de ataque y crece de espesor.

Se alcanza

la región de transición cuando el flujo cambia de laminar a turbulento, con engrosamiento súbito consiguiente de la capa límite. vamos a estudiar el caso en que se produce del

flujo

turbulento

la

cual

predominan

el

concepto

de

existe

una

los

efectos

subcapa

laminar.

zona No

la transición.

adyacente

laminares,

En este capítulo

que

se debe

En la parte

a la placa nos

tener

plana, en

conduce idea

a definir

de que éstas

distintas regiones del diagrama son zonas de flujos diferentes claramente diferenciadas.

En

realidad»

regiones donde predominan los otros.

se produce

una variación

suave desde

unos efectos a las regiones donde predominan

Sólo por cuestión de didáctica y de análisis sencillo,

estudia el

las

comportamiento de las distintas

se

regiones si están separadas

por contornos definidos. 4.2.1 Es el

CONTORNO DE LA CAPA LIMITE 1ugar geométrico de todos

los puntos a partir de los cuales

el

efecto viscoso se considera despreciable. 4.2*2

ESPESOR DE CAPA LIPSITE (¿)

Es aquella altura ó distancia respecto de un contorno solidos a partir del

cual

libre como

las

partículas adquieren

(V0 ó V^), aquella

También

distancia

la denominada velocidad de corriente

se define el espesor de la capa

a

pe'ti r

de la

cual

el

flujo

1 imite

responde

a

".. „ .. .

A1 Yxy

,I /

jí

n

% a - h /

mT77m7rmr7777777777r7777m//////m F1g.

Fiq.

4.7

4.8

un desarrollo en serie de Taylor en un entorno del punto y. Debido a que í será bién pequeña, se tomaran dos

términos

de

y (2 ) resultan:

la

serie

solamente.

Por lo tanto las expresiones

(1)

La media

temporal , en la posición y, del

VELOCIDAD en la dirección del

MODULO DE LA FLUCTUACION DE

flujo puede considerarse igual

al módulo

medio de las diferencias de velocidad anteriores. Así :

Vi

= }

+

■=* ■V¿ =

aVv

) J ...................... (5)

Las fluctuaciones de velocidad en dirección transversal tienen un módulo semejante. Es decir:

v;

VÍ

•

vy

=

' '- - ... , J&VÍ.zcn* de — ^ k Z s B i B S L S S i S

KV.'!

^

i

w

a

«

a

*

i

«

i

s

“PERFIL LOGARITMICO ( PRANDTt) Pe r f i l r e a l Considerando l a ¿ubcapa laminan de e s p e s o r La

constan te

c o n s id e r a n d o

de que

in teg ra ció n en

la

"C"

p o sició n

de

YQ de

:

la

ecu ación

la

subcapa

(8), lam in ar

se

c a lc u la r á

se

tien e

una

velocid ad n u la. Sf = *

Y = Yo

Vx = o

Reemplazando en la .ecuación ( 8 ) :

o =

V*

w*

— a

C = --

ln Yo + C

1n y -

ln y»

a

y*

—

] D istrib u ción !n y 0

a y0 _______________J V e l o c i d a d e s

a

y V*

V

r.

ln [ . _ ! _ ]

a

y0

y*

= n

a

[ln(j ú ü ) .

v

V x _ V*

. v V* * , Distribución 2.5 [ í n ( J Ü L ) - ln£ ] De Velocidades

V

El valor de En la zona

In p

v

~ In

V*

)„

totalmente rugosa, la experiencia

indica que el término

Inp

tiene la siguiente expresión:'

In p =

r

Finalmente, y

tubería

para

In

3.4

V

la zona de transición entre el

rugosa

se ha desarrollado

los datos obtenidos por Nikuradse.

flujo en tubería

una curva aproximada

lisa

a partir de

Esta se indica en la figura siguiente:

e yt0/> ))

4.11 LEY DE LA PARED Establece

una ecuación

donde

asume

se

esfuerzo

una

cortante

para

aparente

pared* av Sabemos que :

T * H

la

variación

.■■..^y

es

región

de

lineal

de

igual

al

la la

subcapa. laminar, velocidad;

esfuerzo

y

cortante

er

que

e

en

1

La constante

de

integración

Cj

debe

Vx

=

ser cero

para

dar una

velocdiad

c e r o en el contorno, es decir:

5i

y

=

=

V x

0

----*

=->

0

i

y

V

C|

.

E

V*

V

,

0

=

Ley de la Pared

EJEMPLO Un flujo de combustible de densidad 68.3 UTM/m 3 pasa a través de una tubería de fundición de 15.2 cm. de velocidades resistencia tubería.

para

inducida

un

caudal

por el

(5.98 pul). ¿Cuál es la distribución

volumétrico

flujo

sobre

la

de

0.17

m /s? Calcular

unidad de

longitud

Asumir que la viscosidad cinemática del combustible es l> =

0.37 x 10' 6 m 2/s

Solución Datos :

f =

68.3 UTM/m3

Cálculo del número de Reynold

D = 0.152m,,

Q = 0.17 m 3/s

de

la la

Cálculo del factor de fricción (f) Con

D = 15.2 cm = 5.98 pul, vamos a Diagrama de rugosidad de Moody:

Para tubería de Hierro fundido Con

£/D

€/D = 0.0016

vamos a diagrama de Moody: f

=

0.044

Cálculo de la tensión cortante aparente ( T0 )

T

L 4

í ¿ 2

, 1 4

,2 ,

í (J U L 2 tf Dz

32.97 kgf/m2

Cálculo de la distribución de velocidades (Vx) :

^

y* .

=

2.5 ( 1n X-¡?- - ln^ )

y

'

’

- Como el

número de Reynolds encontrado (3.85

asumiremos

que nos =>

ln/

=

V*

ln

es bien elevado,

p

=\/-y*

f

= ln

D

=

rugosa

In- 3.4

£ = 0.0016

= *

x 10 ),

encontramos en una zona totalmente

/

V

= 0.0002432 m.

. 68.3 UTM/m?

=

0.69478 m/s

( M M 1 3 L x _ 0 ^ 9 4 7 8 ) . 3.4

=

2 .7 2 4

0.37 * 10"6 =»

=

ln

V Vx Reemplazando:. -■^ ^

ln

(MMZ§.

y )

=

in (1.8/78 x 106 y)

0.37xl0"6 = 2.5 [ln (1.878 x 10

fi .y) - 2.724 ]

Vx

1.73695 [ln(1.878 x 106 y) - 2.724)

=

Cálculo de la velocidad máxima (Vx)|n^x : Se produce en el centro del tubo, en r,áx =

y = D/2

=

0.076 m

15.883 m /s

Cálculo de la resistencia inducida o arrastre: Arrastre

T0 )(Tí D)

=(

= 15.743 kg f/m

4.12 ESTUDIO DE LA CAPA LÍMITE TURBULENTA El estudio de la capa límite turbulenta se basa en hechos experimentales de manera que, otros autores y profesores parten de ciertos resultados experimentales para determinar ecuaciones que gobiernen el comportamiento del fluido en esta zona turbulenta de la capa 1 imite.

A continuación,

se mostrará una manera de realizar el presente estudio, cuyos resultados difieren en valores bastante pequeños con respecto a los dados por otros autores. Se asume : Io)

Que

el

fluido

atraviesa

un ducto

cuyo diámetro

es el

espesor de la capa límite (D = 2é ) 2o)

La tubería tiene un comportamiento hidráulicamente 1 iso: f

=

iiiü Re

3°)

(Ec

de Blasius)

1/4

Se cumplirá la "Ley de la raíz séptima de PrandtlH :

doble

del

146 4o )

Para hallar la velocidad media se emplea la siguiente expresión: "med

2 n

-

0.B17

(2 n + l) (n + 1 )

Recordando la ecuación de Von Karman : X f

=

J

Ir'I*

lo f'

'o

A - = v2 - i - r l f

°

X

.

X 72

3k

Vo

-

l 8

y~ ) m¿

i 9 y r r -I0

i

f y2 - i i dx

vf dy]

L. v ií72 V° 3x

(1 )

Realicemos el siguiente balance : Fuerzas que originan el movimiento ~ Fzas. que se oponen al mov. A p x Aj

= tc x

T0 =

-AEJLg-

4 L

=*

Ap 2 -3 - = X 0 x tr o l 4

147

pero:

A p

-

_ _ —r -■Z~rr -

x i V i D 2

0.316

To

'•P o•“Vmed

Re 1 / 4

(

f

med

V „ ^ x 2cF 1/4 med )

P (0.817

0.316

v

f V,ned

f

0.316

■

8

=

Vp)

8

1/4

(2)

Igualando las ecuaciones

~

72

f i

v°

(1) =

=

3x

También se demuestra que :

CD= =

0.072

CRe

0.074

*

(2) :

° - ° 233

(según

R¡ 1 / 5 X

.-1/5 R

f r

v°

Vo(f.) 1 / 4

STRETER - WYLIE)

......

COEFICIENTE DE ARRASTRE ANALITICO

....... ........

COEFICIENTE DE ARRASTRE UUth EXPERIMENTAL

4.13 FENOMENO DE SEPARACION DE LA CAPA LIMÍTE

El desprendimiento

de la capa

de

del

fluido de

la

sólida,

cuando el

fluido se

movimiento

superficie

1 imite es debido a capa

límite

en

una exesiva cantidad las cercanias

de ia

mueveaguas abajo en presenta

de un gradiante de presión adverso (d^/dx > 0 ).

Se dice que el gradiante de presión es adverso si la presión se incrementa en

la dirección

del

flujo,

es decir, si do/dx > 0.

Cuando dp/dx < 0,

en otras palabras, cuando la presión disminuye en el sentido del flujo, se dice que el gradiante de presión es favorable. Se deduce que un gradiante de presión adverso, dp/dx >0, es una condicicr necesaria

para

necesariamente

que

ocurra

ocurrirá

la

la

separación de

separación

cuando

la capa

límite.

dp/dx > 0 ; es

Pero, no decir,

1c

más que podemos concluir es que la separación de la capa límite no pued£ presentarse a menos que

dp/dx > 0 .

El lüqar geométrico que ocupan los vórtices que se generan por el flujo secundario,

como

consecuencia

de

la

separación, se

denomina

ESTELA,

Si el v ancho de esta región es grande, la fuerza de arrastre de presión

tarnbién es grande; en consecuencia se debe intentar reducir dicho espacio, Todos

los

deseños

de

maquinas

que

trabajan

ron

fluidos

(bombas,

yenti 1adores, turbinas, inyectores, compresores, etc) tienden a controlar el fenómeno de separación. 4>14

DETERMINACION

DEL GRADIENTE DE PRESION

para calcular la razón de crecimiento y predecir el

comportamiento de

una capa límite, es necesario determinar una expresión para el gradiente de presión (dp/dx). Debido

a que llegar a determinar una expresión general para el gradiente

de presión, en forma detallada, esta fuera del alcance del texto; sólo indicaremos para el caso de un DIFUSOR DE PAREDES PLANAS

=

dx

m2

dA

f A3

dx

Para el caso de un difusor bidimensiorial de paredes planas, de profundidad "b" uniforme, el área de la sección transversal es: ,

150

dp

mL

_

2b

tan

j> A3

dx

También se define el coeficiente de recuperación de presión p 2 - pj i

2

»

1 - ( _V2 2 ) V,

Jp> V‘

(C^)

A1 2 1 - (-) A,

V a lid o para un f l u j o i d e a l .

4.15 FUERZAS SOBRE CU ERPOS SUMERGIDOS Todo c uerp o F,

d e b id o

p a r c ia l a

la

o totalm en te

acción

del

su m ergido e x p e r im e n ta

flu id o .

La

fuerza

una f u e r z a

resu ltan te

neta,

resu ltan te,

p,

se

puede

descomponer

en

las direcciones

a la dirección del movimiento.

La

paralela y

componente

de FUERZA DE ARRASTRE (F^). y la componente

perpendicular

paralela recibe el nombre perpendicul ar se denomina

FUERZA DE SUSTENTACION (F$). Tanto la fuerza de arrastre como la de sustentación» poseen componentes de presión (de forma) y de fricción (viscosas). En

la

realidad*

determinar

la

son

muy

fuerza

pocos

de

los

arrastrey

casos de

resultados experimentales.

Para la

al empleo

determinados

de coeficientes

el cálculo de tales fuerzas.

para

lo s

sustentación

cuales sin

se

pueden

recurrir

a

mayoría de casos, se debe de recurrir experimentalmente

para efectuar

Lo mencionado se debe a que en los casos

reales siempre se presentan gradi ntes de presiones adversas. 4.15.1 FUERZA DE ARRASTRE ( ? A ) Es aquel la fuerza

paralela

a

la dirección

del

movimiento del

cuerpo,

su módulo se puede evaluar por la sgte. relación:

F»

■

J CA f

,2 »

: Coeficiente de arrastre f

:

densidad del fluido

V

:

velocidad relativa entre elcuerpo y

A

:

área proyectada en la direccióndel movimiento del cuerpo

£1

coeficiente

de

arrastre

resulta

una

el

función

fluido

únicamente

del

número

de Reynolds: CA Si

fuera

necesario

tomar en

-

f (Re)

cuenta

los

efectos

de

compresibi1idad

o

de una superficie libre, el coeficiente de arrástre se evaluará en base

al número de Reynolds, Froude y Mach: CA

-

f( Re, Fr, M)

La fuerza de arrastre en su forma general se puede expresar: Fa

=

j T eos 0 dA +

J

p sen 0 dA

4.15.2 FUERZA DE SUSTENTACION (F ) ■s

Es aquella fuerza perpendicular a la dirección del movimiento del fluido. Sólo existe fuerza de sustentación cuando existe la circulación. Se denomina CIRCULACION a la cantidad de energía necesaria para desplazar hacia el

borde de fuga el punto de desprendimiento de la capa límite.

También,

se

le define

como

aquella

integral

de

línea

(componente

de

la velocidad tangencial) alrededor de un contorno real o imaginario. La fuerza de sustentación,

F$ , puede ser (+) hacia arriba

) hacia abajo ( i ); ello depende:

( t ); o

(-

a) De la posición del objeto respecto del movimiento del flujo. ¿e ataque (+)

o

(-).

i,) De la circulación. es

(+),

y

si

Angulo

Si la circulación es (-) la fuerza de sustentación

la circulación

es

(+)

la

fuerza

de sustentación es

;v. (-). 4.15.3 FLUJO PERPENDICULAR A UNA PLACA P L A N A £n este caso

la fuerza de arrastre

sólo se debe a la presión, porque

el esfuerzo cortante en la pared para un flujo perpendicular a una placa plana no contribuye a la fuerza de arrastre. Fa

En esta

= JA

pdA

situación,

el

placa; presentándose,

flujo así,

se separa* a partir de las aristas de

la

un f 1 ujo inverso en la estela detrás de la

placa, caracterizada por un bajo nivel de energía,

la presión que actúa

en la parte posterior de la placa es casi constante» no se puede determinar analíticamente; experimentales. Para el caso de una PLACA CUADRADA:

pero su magnitud

habrá que recurrir a resultados

154

4.15.4 FLUJO SOBRE UNA PLACA PLANA Para el presente caso el gradiente de presión es cero, y la fuerza de arrastre sólo se debe al esfuerzo cortante o de rozamiento, Fa A

=

JT.dA A

4 .1 5 .5 FLUJO ALREDEDOR DE UNA ESFERA Y DE UN CILINDRO

En estos casos la fuerza de arrastre se debe a las fuerzas de presión y de rozamiento. Para

númerosde Reynolds muy bajos (para una esfera)

si

Re 4.1

= = >

Fa C A

\

4.16

= Ii ■■

=3Tí M. V

: 0

Re

PERFIL AERODINAMICO

Es aquella geometría que se le da a un objeto, sumergido en un fluido, con la finalidad de la

fuerza

de presión

de

incrementar la fuerza de sustentación

arrastre.

adversa

El

objeto

que se presenta

principal detrás del

es

y disminuir

reducir el

gradiente

punto de máximo espesor

del cuerpo.

Lo anterior permite retrasar la separación (desprendimiento)

de

límite y reducir,

la

capa

presión.

por

lo tanto,

el

arrastre

debido a la

4.16.1 CARACTERÍSTICAS DEL PERFIL AERODINAMICO a) BORDE DE ATAQUE.-

Es el lugar por donde el flujo ingresa al perfil. Es la zona por donde e l flujo abandona al perfil

b) BORDE DE FUGA.c) EXTRADOS.-

Es la parte superior del perfil

d) INTRADOS.-

Es la^^nferior del perfi1

e ) ENVERGADURA.f) CUERDA.-

Es el ancho del perfil

Es la distancia media que existe entre el borde de ataque y el borde de fuga

g) LINEA MEDIA.-

Es

el

1ugar geométrico

que ocupan

todos

los

puntos

que son equidistantes del extrados y del intradós. h) ESPESOR RELATIVO (e).-

Es el máximo

cociente y

la

que cuerda

existe

entre el

(h/1).

Se

espesor

expresa

en

porcentaje, así por ejemplo: -

si

e < 6 %

-

si

6 % 12 %

i) FLECHA MAXIMA.-

Es

la

media cuerda.

==>

12 %==-■> el perfi 1 es semigrueso =$?

mayor y

la

el perfil es delgado

el perfi! es grueso

distancia cuerda; se

que

exi ste

expresa

con

entre

la

relación

línea a la

\ 156

I

cV

^ V

espesor

RELATIVO

MOTA :

La flecha máxima

siempre estará

referida a la distancia

*x“ 9 respecto

al borde de ataque. j)

ANGULO DE ATAQUE ( X 6 Cs=0 , | = 0

y

1 fnea

que

representa

la

dirección

en la posidcm (b) el perfil lugre, sa a la zona de p érd id a A

4.16.2 Es

DIAGRAMA POLAR (LILIENTHAL)

aquel en

arrastre representa

el

para

cual

se -grafican los

diferentes

en el

eje

coeficientes de

ángulos de

de ordenadas,

ataque;

el

sustentación

coeficiente

y el coeficiente

y se

en el eje de

abs isas. Al cociente que existe entre C$ y

se le denomina fineza,

y caracteriza el rendimiento aerodinámico de un perfi1 . El

valor máximo

de dicho valor se obtiene trazando una tangente a

curva que nace en el origen de cordenadas.

MOTA:

Un buen perfi1 posee un alto valor de fineza

la

u 58

159

GRUPO DE PROBLEMAS N° 4 Senoidal : 1. PROB.-

El

perfil

de velocidades

laminar en una capa

senoidal más general

para el flujo

límite sobre una placa plana está dada

por

SOLUCION v

a)

=

A sen(B y) + f

Recordando la ecuación :

Establézcanse tres condiciones a la frontera aplicables a este perfil de velocidades

b)

Vo

í

i

Determinar las constantes

(i - f

) dy

A, B y C

£ SOLUCION =

,■■■... ■■=»

0

9y y

¡i

JL

dx

2

0.0872 -f-ís- 4

x

+

C,

f

ví

i--



6

Vo

-

0.005 m = 5m m .. ...... (a)

=40

m/s

....

175 La p o s i c i ó n

en la

cual

estam os eva lu a n d o ,

la

vamos a d e te r m in a r h a c ie n d o

uso de l a s o l u c i ó n e x a c t a de B l a s i u s :

1

x

=

4 .96

=

Z-P- ( - 2 — ) R 4 .9 6

Re

n y

x

A c)

y

v X> =

f

=

x

Y

° - 332 f

Cf

14.

PROB.-

'

Sobre

una

co rr ie n te \

y

la

p laca

=

* 1/2

)

-3 )

=

2 Vo

1.7A8 * 10

? „p y x Vo ( * - • "«• - )

0 .3 3 2

flu ye

la m in a r

? = 0 . 2 3 5 N/m¿

K

- 1/2 Rex

p la n a

1im ite

*

2 .796 m

- 1 /2

Re„

agua

1 i b r e de 0 . 5 p i e / s .

capa

x

H

= ------------------- =------- * 0 . 6 6 4 1 ~ c f P Vo

= ------- --------t 9 I P v!

e)

(

1/2

H

2 -1/2 Vo Rev

0.322

4 .9 6

=

*

p # , - 1/2 4 - 96 (

'

x



=

1 . 1 0 4 5 x 10* 3

1b;v £ S

pie

.

f

= 62-4 1 b /p ie 3 -

1 .94 s lu g /p ie ^

SOLUCION a)

T

= H

— dy

=

H

pu nto

Para l a s c o n d i c i o n e s d a d a s , c a l c u l e e l e s f u e r z o

Vo

— C os(

Z&

— y) 2o

= 1 . 5 7 H Vo Cos(J

y) Zd

176

b)

1 !

1.57h

Iy-o

c)

C, f

Vo

Cos

=

fi.67 X 10

=

--i 2 -- P Vo ?.'

15. PROB.- Para el

-4

x 1.1045 x 10

= 1.57

Ibf/pie

en

una

x 0.5 x 1

?

--- 8 J>Z_*_iO— i - x1.94 x 0.5¿ 2

=

un flujo perfil

0

tubería

de velocidades

=0.00358 ?

en

se

la capa

límite turbulenta

puede aproximar

mediante

la

"ley de potencias":

1 /n V■ Vo

= (*) í

Determinar una expresión para evaluar la longitud de Prandtl, en función de la velocidad de corte.

SOLUCION

Como la teoría de la longitud de mezcla de Prandtl sostiene: 2 (V *)

2 =

-}-

=

[

(

r

V*

=

^

)

1

]

°y

dy

)

1

=

[

Vo

• • i

'

1

1

1

¿

1 /n 1

=

[

-----

n- 1 . y—

] y*

=>

1 = [—

V.

16.

P R O B .-

(^) "

vo

]V*

CA =

0.008 (1 + 7)

=

0.35 (1 + 0 .2 X ) =*•

CA

X = 7° (Rpta) =

0.064

señalada

181

Potencia

=

Fft .

V

=

( ±

CA f

potencia

= i (0.064)(0.00238 --H2. )(100 £Í£5- ) 3 (300 pie2 ) x ---- ---------

2 Potencia

=

V 2 A)

V

pie 3

41.542 HP

?\. PROB.~ Determinar

(con

el

= i

CA f V 3 A

S

550 I M j L E l e seg

(Rpta) la

fuerza

movimiento

de

rozamiento

un iforme) para

1 mm de grosor a Una velocidad

que es pasar

necesario

una

placa

vencer de

t =

V = 1.2 m/s por la cavidad

entre dos placas (paredes) situadas entre sí a una distancia de h = 4 mm. a rea A

En la planta la placa en movimiento 2 = 6 my se encuentra a una distancia t^

= 0.5 mm

de

de

gl ice riña

una

las paredes; la cavidad

( H = 85 x K f 2 Pa.s). NOTA:

Considerar

que

esta

la velocidad

en las

holguras

«■ v / t .

i

=

1,2

SOLUCION Considerando flujo Newtoniano:

T.1 = —A =M —t, T La fuerza total será : F 1 + F2

F

=

F

=M A V ( 1

de

El flujo es laminar.

con las leyes lineales, es decir:

3v/ay

llena

tiene el

h - t - t.

)

=

14688 N

varían

de acuerdo

5

FLUJOS COMPRESIBLES F. ISOENTROPICO F. FANNO F. RAYLEIGH ONDAS DE CHOQUE

J

ESTUDIO DE FLUJO denomina flujo vauacicm ante

compresible

un cambio

de

£\ número

aditnensional 1 )

d) Flujo

supersónico

M >1

e) Flujo

hipersonico

M >3

NOTA

" M"

se define de la siguiente fo rm a

M = VR

Velocidad

re la t i

c

— ]_______ K Velocidad del sonido en el "p unto'' / o am biente en doride se mueve ef objeto ó flu jo

EJEM PLO S

a)

.jp z > ¿ rr r

..

B

b)

/ M . ' ^ h v

rJf^t

¿ i¿ ///////////X ¿ /y ////y X //A

►

i

\

I M, r

8

C M, =

M & - Vf

Va- v¿ C

Cí

2 o) La

^ ^

velocidad del sonido se evalúa de ¡as siguientes for-roas :

a)

c - v rkR T'

K = Cp/Cv R - C P - Cv

T : tem pera! uta estática

b) c = / i Ü

( ECUACION

DE LAPLACE)

Vdf

^ Sí el medio es sólido : d |> - 0 =

^ Si el medio es

líquido: d^>> 0

a _ oo

, CL— ►grande

-jf Si el ‘medio es gaseoso: dj> > > 0 , Cg— »- pe^ueíio La

velocidad del solido

^.ueoa Cismo sigue:

paia

a i ie

a condiciones n orm ales ;

_

v

C -.Z O m /fW )

(m/s)

C- H l/T C R )

Cpies/se^)

■

d e f in ic io n e s

C--KT)

im p o r t a n t e s

en

ESTUDIO DEL FLUJO

C O M P R E SIBLE

1°) F.

ideal

ISOENÍ TRO P I C O e s la

2o) F.

sea 3°) F.

y

r e v e r s ib le . En el

e s ta n c a m ie n to

ADIABATICO.- es les

flujo

en el cual se considera t^ue

fricción es c e i o , ra tó n por la cual se le define adiabá­

tico de

a^uel

se

son

flujo isoentrópico la s condiciones

c o n sta n te s.

a^uel en el cual mediante mecanismos o materia

lo(jran h, + - 1 z

=

f V2_ z

T ± ll

- T0

2Cp

T. de estaTKa, 1 T. está tic a

Tnienio

L.

1— VaiiaciOT de la tempera ^UXa p0r ^ [a

Velocidad NOTA ’. " La

te T n p e x a iu ta de esta-ncaTnientb sí ss m i d e , p e to ta termpe_

ta tu ta

Relación A

paxti'r

e-ntre de :

e s tá ti c a

T¡

T

T„ - T |

se

tío

puede 'medir, se caícula

indirectam ente.

: V ZCp

=>

i

T

= 1 + i 2_

2 CfT

-_H- VÍCirJl

Z kRT

190

T

Relación enlxe

R

Retoi damos que-.

'd

P

_R_ _ /T, \ k_l

-p.

_ f

1 K

1 . p

Relación enlxe

£ JT,

f»

3

f

r -

, ¿ y YK-1 1 4- J l r l M M

2

J

:

Vk-1

N O T A -'v Todas las Condicif-nes de estaTicaTnientc eri arn f>toceso i 5oen ito p ico

te s "

í

t

á

)

50T) CoUSláT'.

(?pI ación

p y iíig

©

'i

©

fL P,

L -

EJEM PLO

1

192

J___________________________________ _____________________________ ______________

GRAFICO

D E : T/To , P/P0 , A / A *

V5

M

C o Tnenía.Tio : Como

To ^ 1 i k - 1 T,

Si M-A

2

~~s

T

7 *

_

:

k 4-V ¿

To , ~í¡

„ ^ 4. k-

T

~

=5>

T* T * T.

-

22 k+ A

PelaciffO__exilie

'j

A

A*

( E-n un duelo

de sección

cual circula um flujo (p

(?)

variable

a t r a v é s de.l

IsoftiAtíOpic-O)

©

P A, V, x j> A3 V3 J\

y A, V, r f

rtf/Z/TT,r77r?77?

k

A3

M *=.!¿!= 1=>

A* V 4

A . - i ! ,

/ peto :

J3

^

vi

f,

•(1)

V,

V * = C* = -/Ü R T * '

c* M| = A . ==>

En M

t.

f*

A*

ft

V, - C, M,

1

/ T *n}rT

,

f

1/2

I~T \

M,

m *h

(\\/l

ItJ

lf j

f/t

f H . x .

M,

N T,

/y*\2U-0

=> A - J _ 1 x 1 J jL A _ = JL Af

. '

i M, / K K T ,

M,

U J

2CK-n

(JAÍfeti [ j j

_ 1 ^

K+-I

II

2 + (K -1)

M|2

2

(k - 0 También

K+-1

Az .

l + C K -0 M 2

t

k+1

a*.. 1

■v+i 1 2CR-1> J K+i

- Júí k z ~ M,

2.4-Ck-O M *

A

-

2. - K K - 0 M i

K-H

194

195

E X P R E S IO N PARA HALLAR EL FLUJO Df FLXi JO ISOENTROP'lCO EN DUCTOS MASA A TRAVES DE UN DUCTO DE SECCIOh de S E C C I O N V A R I A B L E Reíio~nes e n t r e el ato a M nm p r o piedad : V A R IA B L E Cotis\ derando (lu jo hoe'uliópKo: vt i

^ \ k

T,

(?,

,

/w - íV

= hi 4 - ^

2

=>

CpT0 f

2

V¡. = V T

cT

F

v

Tí T

la

z

Cotí

^

T

£-

f, ~ U -

TT1, = A, ( f f

i dA.

Cotí

la

presión

dJP - [ _ k M Í l d A

b

L 1-M M

a

RpT“ 0

temperatura

L

i_ m z

NOTA 1 Todas

las

- _P_ f= RT &

d e n sid a d

Cp = 1 B -

ÚL - (JL ' K "lP 8 .

la

L 1- m2- i A

dM _ í z + ( M t i ) k 1 dk M L 2C mz~ 1) j a

k-i

\

Con

di _ r

al Mach

Con la

i

i

velocidad ;

dV_ _ dA. [ 1 ] V A L m 2-1 1

t

= CpT2 +

2 ,

,k-\

Con

V¿

T, ’ V t

h.+ ^

t

ÍR T - £> £

= *.

h&W'-í

J

dA A

relacioties ¿Y. ,

an terio res dA ■ d f

V

A

se d e m u e stra n O

con

M = vf k R T '

OBSERVACIONES © Se

denom ina

h a -n s fo frn a

a

to bera

todo d is p o s itiv o - de seccita v a ria b le 1

I]

" TOBERA

V, > V¿ , tí ¿ P 2

w>1

es la condición sónica..

través

de

una tobera se Calcuta m e ­

... ■

r

nv, ,

I

puede lograr

urva

,

I

D

Corno tobera o diíusoi en

v ¡> v ¿ , picas

di

tra b a ja

gi E xisle una re la tio ri de ^resiories única) la

"DIFUSOR"

se

oía! p em ú te

obtiene

P

l

a

alcanzar

p a ttti

14- J4

1

2 .4 5

2 .1 1

3 .3 2

0 .2 3 R

0 .2 2 1

0 .18 1

0325

donde:

M,

v * = j i *:

A*

Y k-t-1

i

£

. _

/k

V R+-1

Peto: P0, - B-

\D : íu-nuóti de corriente .M,

,

en

la ccíndidró

m í^ -m a se logra las candi-

dmxnt'na " t o b e r a

PARA

A\

% - = #■

A*

rt

.

1.13 .5 0 .5 11

O .V55

W mn

d e 'V

C j5 T \

T 200

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

r2

/k

1

_____

_

k+ ^ x

wc# -^r v-Va ^

______ ________ _ _ ___ ___________________ _ _

201

POSICIONES RELATIVAS DE UN OBJETO DENTRO DE UN AMBIENTE GASEOSO

H i f Considerarem os

TOBERA TOBERA Es

acuella

CONVERGENTE-DIVERGENTE 0 AMPLIA O TOBERA DE LAVA[

cu\ja ^orneiria

a la salida

sin la presencia

es decir^ bajo un flujo Er> Sa

permite alcanzar

ptestón

s iti

ia

a

la

presencia

p eralte

la m á x im a

como se mués La

u n fluido ^ue se mueve

a

sobre éi o m varias velocidades,

Conti nuación *.

olentro de elfy'

c^ue Yespoude a un comportamiento isoentrópico.

salida de

sión (sonido') como

estacionario emitiendo pegúenos impulsos de p a ­

las condiciones supersónicas

de opadas de choque wmaWs

tobfLTa de L AVAL partiendo de

nica

un o b je to

t^ue

permite

con di ritmes alcanzar

subsónicas, exule una ¿. ce>T\diuones ‘supersónicas

irreversaWilidades , es decir es la urúta expansión^ dicha

presión

se denomina

presión ^ prepon de di-

sefTo. Sí

la

presión a

la tobera Sí

la

la

tobera

esta

presión,

es w n o r

Q p la presión

c r í t i c a , se dice ^

s o b re -e x p a n s io n a d a . a

e sta ole

la salida

la

salida

es maMor

^ue la p r e s a n c r í t i c a ^ se dice ^

s u b - e x p a n s i o n a d a ^ puesto

nal

-fuera

la

El

flujo (pe sale de un a to b e ra

to m a

u n a expar^síefh adú:

to b e ia ; fci í lu jo .

converc^emte - diverc^e/nte es supersónico

cuando la contrapresión, es la de di serio o m e w r . El ná m e ro de Mach as salida c^ue.da fijo cuando se especifica des p ara

la

sección de salida puedan

propiedades de estancam iento a

As /A*. T o d a s

la s

demás pr'opi^

relacionadas e n -forma única m te

tx aves dei M

correspondiente.

1. Posición del objeto (Con referencia al v o W e m del ■fluido) 1 secundo antes

2. Pos'icioT» deJ objeto 2 segundos antes

3. Posición del objeto 3 secjumdos antes.

200

201

2/k

r

w© -ífr 2.K

v =

¡t t

'

POSICIONES RELATIVAS DE UN OBJETO DENTRO DE UN AMBIENTE GASEOSO

pT

Rli

vpj

rorísidexaTemos

CONVERGENTE-DIVERGENTE 0 5i

A t2 =

h (VV ~ v^p¿) tá.TKX.

j|í.

En

los puntos W

oj X

^

En

el punto

tío se capta e! sonido

jr b t z >

L

At1

V

se capta el sonido

203

ESTUDIO DEL FLUJO A DIABA TIC O CON FRICCION ( F lu jo Fanno) Características ; 1°) El

flujo es compresible

2°) La sección del dado es coTisiai^te. 3b) Existe HD) U

fricción

tubería es ad ia b á tic a

5°) Es un proceso irreversible £>•) El flujo se considera uniditmenn sionat x~ 0.->30

entramos a tablas de choque normal '■

Mx =

Mv - 0.5806

Con

Mx = ^ 1 6

entramos a tablas de (lujo isoentrópicD '■ Ax / A* =. 1.

Luego-- J L =xjTÍM 52 = 1.32

=> r*~ r i

= _2L

Tl - Y *

a

L

^

'i

= N|U W = A 2 8 8

2 - 1183=1. L 1^ 2 -1

^

X - O.S L

BALANCEO DE FUERZAS Y EMPUJE -FUE.RH.AS PROPULSORA El

empuje n e to d e s a r ro lla d o

salida

por el

í lujo I n te rn o

sobre \a í r o lie r a

del d u c to , e n t r e dos de sus secciones e s :

F - h Az + f i Ai v z 3.

I - ^ V 4- PA

|

f u n c ió n

im pulso

E JE M P L O En

un l u r b o j e t

con

4

áVea 5 t i e n e

relativa

de

tos

la com bustión

sión

L

pies2 de

el aite e n tr a n d o a tr a v é s

de

moo pie s/s. EL\

a m b ie n te de

de u n a vá\vu\a de admisión

urna t e m p e r a t u r a área de

de 0 ‘F v¡ una velocidad

\a salida es de í> pies2 ^ los produc­

salen de la maquina a

M 00 pies/s

^ a la p r e ­

0.6 atm. Suponiendo ¡lúe los productos de la combus_

218

i-ioT) l\e.wn \as TTiisTnas propiedades tib ie

^ue el aue

y ^ue la rnasa del cW rxi:,

¡a salida.

es des pT ec\ah\e ) c a lc u la r el em puje M to d e s a rro lla d o ^omt>

agregado

ti Ti r e s u lt a d o

del

í lu jo del flu id o

a tra v é s

de la m á q u in a .

f> ” o. 8 ai-tn

P¿zO.&at*v~

V7-lloop¡e/s ■

-► V( - MOO pie/s T = 0*F= 4G0°R

SOLUCION

SOLUCION P- J _ 1 RT, ■m =

í1

_ 0 .0 6 9 \b /^ \e

- .J L

_

zox\m

RTa

_

O . o q

\b/p¡e

52.3 4 *6 0 0

5 ^ 3 M *M 6 0 m2 - j> A,

V, -

0 . 0 W . 4 » HOOr iio.5 \b /s^

im

5 5 .5S pie/seg

f A,

QO^xO .2

f = _ i_ = ¿ RT¿

3o

15 x ■IHM _ O.O'TZM Ib / p ie ' 5 3 .5 M x 5G0

F = |(0.8 xH .^ xlM4)(6) + ( B l } O l 00} j _ | 0. 8x^ .1 X lH4)(4H^iA'iQ.Q-'j

V, = JÜ . - ____ L f A2

F - 5■+ 8^ \b í