Mecánica Aplicada. Simulacro Resuelto

Universidad Central de Venezuela Departamento de Mecánica Mecánica Aplicada (0602) / Sección: 03

Ejercicio 1

Abril de 2010 – Semestre 1-2010 Nombre: C.I.: Primer Examen Parcial El sistema mostrado en la figura está compuesto por una barra AB de longitud L cuyo extremo B se vincula a una cuerda inextensible que pasa por una polea fija a tierra de radio despreciable en el punto C y finalmente su otro extremo se encuentra unido a la partícula P, cuyo movimiento se desarrolla sobre el semiaro CD de centro O. El movimiento de P está gobernado por la ecuación: Donde k es una constante y t se mide en segundos.

Esta coordenada se mide desde el punto C donde P inicia su movimiento; en este mismo instante inicial B está alineado verticalmente debajo de A. A y C están separados en la misma horizontal por una distancia L. Además, C, O y D están sobre la misma vertical. P demora 1 segundo en realizar el movimiento circular, en este momento calcule: 1. El radio del semi-aro para que la barra esté dispuesta horizontalmente y el valor de k. 1 Pto 2. El vector velocidad respecto a tierra del extremo B de la barra. 3 Pto 3. El vector aceleración respecto a tierra de dicho extremo B. 4 Pto 4. El vector velocidad respecto a tierra de la partícula P. 0,5 Pto 5. El vector aceleración de respecto a tierra de P. 1,5 Pto 6. El ángulo Φ como una función del tiempo t 1 Pto 7. ¿Cuántos grados de libertad tiene este sistema? Explique 1 Pto Ejercicio 2 En el sistema adjunto, para el instante mostrado, las barras AB y ED forman ambas 30° con la vertical y la barra BC forma 30° con la horizontal. Además, el disco de radio R mostrado, rueda sobre la superficie semicircular de centro E y radio 3R. Al igual que en los puntos A y B, éste posee pasadores ideales en su centro D que comunica a la barra ED y en el punto periférico C que comunica a la barra BC. La barra AB mide 4R en tanto que la barra BC mide 3R. Si el bloque se mueve con velocidad de magnitud constante V hacia la izquierda y la barra DE rota con velocidad angular constante de magnitud V/4R en sentido horario. Calcular para dicha configuración: 1. Vector velocidad angular de la barra AB. 3 Pto 2. Vector aceleración angular de la barra BC. 5 Pto Jesús A. Pinto Semestre 1-2010

Resolución - Ejercicio 1 1. Radio del semiaro para que la barra finalice el movimiento horizontalmente y valor de k. Cuando P finaliza su movimiento circular y la barra AB se dispone de forma horizontal, esto significa que toda la cuerda (tramo CB) se encuentra contenida en el semiaro. Para el instante inicial se puede observar que la longitud total de la cuerda (Lc) viene dada por la hipotenusa del triángulo ABC, eso es:

Al culminar el movimiento, esta longitud ahora es el arco de circunferencia (S) recorrido por P en el semiaro, por lo que:

Donde β es el ángulo recorrido y R el radio del semiaro. De la figura se observa que el ángulo recorrido es π para el instante final, entonces:

Para el valor de la constante k, basta con hacer: Al realizarse todo el recorrido en un segundo, tenemos que

y t=1 y entonces:

2. Vector velocidad del extremo B de la barra Es necesario, primeramente, establecer un vector de posición para el punto B a estudiar, entre numerosas alternativas se seleccionará el punto A, ya que la distancia entre A y B es la longitud L de la barra de magnitud constante, por lo que, para todo instante t :

Por la definición anterior, el sistema de coordenadas a usar es el sistema polar, aunque no es la única alternativa, bien podría plantearse el sistema en coordenadas cartesianas de la siguiente manera (empleando un sistema de coordenadas xy estándar):

Entonces, por definición, obtenemos la velocidad de B, derivando respecto al tiempo el vector

:

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De acá se puede notar que es necesario obtener el valor de , para lo cual se debe proceder a través de algunas relaciones escalares, en detalle: La suma del ángulo que forma la barra con la vertical

y el que la misma forma con la horizontal

forman siempre un ángulo recto para todo momento:

Al derivar esta expresión, entendiéndose que tanto λ como ∅ son funciones del tiempo, se obtiene: De donde:

Del resultado anterior, es obvio que ahora se requiere el valor de

para proseguir. Ahora, al

observar el triángulo ABC se puede decir que para todo instante:

Al derivar esta expresión, considerando que el tramo BC varía respecto al tiempo, se obtiene:

Despejando , se obtiene:

Ahora se requiere el valor de

para proseguir. En este caso, se sabe que BC es un tramo de la

cuerda inextensible; para todo momento esta porción y la del semiaro (CP) cumplen con: Esta es la ecuación de relación de cuerda, al derivarla se tiene: Siendo el tramo CP aquél que se ubica sobre el semiaro, su longitud entonces está dada por la coordenada intrínseca, de modo que:

Utilizando esta información, la ecuación

, pasa a ser:

De donde se obtiene:

Ahora la función , puede determinarse completamente:

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Finalmente, obtenemos el vector velocidad del extremo B:

NOTA: También puede plantearse como una función de , haciendo

:

3. Vector aceleración del extremo B de la barra Dado que el vector de posición AB y su velocidad están definidos, queda entonces derivar nuevamente para obtener la aceleración:

En este caso, sólo resta conocer , partiendo de la ecuación de :

Resulta más conveniente realizar la derivación de forma lineal, por lo que:

Derivando:

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Haciendo

Reemplazando a

y despejando:

por su función explícita, se tiene:

Finalmente:

Entonces, el vector aceleración del extremo B de la barra, será:

4. Vector velocidad de P La coordenada intrínseca de P es conocida, por lo que:

5. Vector aceleración de P De nuevo, aplicando la ecuación de aceleración en coordenadas intrínsecas se obtiene rápidamente este vector:

Donde R es el radio del semi-aro, calculado anteriormente como

:

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6. Ángulo Φ como una función del tiempo t Tomando la ecuación de la relación de cuerda: Sustituyendo: Al término BC por la relación del triángulo ABC:

Al término CP por la relación intrínseca a la que está asociada: Y, a la longitud de la cuerda por su valor (empleado para calcular el radio del semiaro)

Tenemos, entonces:

Entonces, al despejar al ángulo :

Finalmente, reemplazando la relación

y despejando se tiene:

7. Grados de libertad Se puede verificar sin mayor dificultad que el sistema de libertad tiene un solo grado de libertad, ya que la configuración que la barra adopte dependerá de la posición que ocupe la partícula P. En otras palabras, al mover P la barra deberá moverse y viceversa y esto se logra a través de la vinculación a través de la cuerda, en consecuencia, ninguno de los cuerpos puede moverse independientemente. Valores en t=1 En este instante: λ=0 |

|

|

|

|

Radio del semi-aro Constante k Velocidad de B

Aceleración de B

Velocidad de P Aceleración de P Jesús A. Pinto Semestre 1-2010

Resolución - Ejercicio 2 Para poder realizar este cálculo, es necesario llevar el problema desde las variables desconocidas hasta los datos cinemáticos conocidos. Todos los sistemas de vectores auxiliares se presentan a continuación:

1. En primer lugar, conocemos el movimiento del punto A, ya que éste se mueve junto con el bloque:

Utilizando la relación cinemática de velocidades, asociamos al punto A con el punto B.

Esta relación es insuficiente para determinar el valor de

ya que

es desconocido en valor.

Proseguimos asociándonos con el otro dato cinemático: La velocidad de la barra DE. Para hacer esto, hay que vincularse a través de la barra 4 y subsiguientemente con el disco 3. Por lo que conviene determinar las variables de velocidad de estos cuerpos rígidos en primera instancia. Comencemos con la barra DE.

Ahora, procedemos a determinar la velocidad angular del disco sabiendo que rueda sobre el punto I, de ese modo se podrá seguir con el punto C.

Y, como el punto D es un perno que une a los cuerpos 2 y 3, se puede decir que: Jesús A. Pinto Semestre 1-2010

Por lo que:

Ahora, puede determinarse la velocidad del punto C:

Ahora, conocida la velocidad del punto C, se puede finalmente relacionarla con la velocidad del punto C, recordando que el punto C es otro perno que vincula al cuerpo 3 y al cuerpo 4.

Entonces:

Ahora, como B es otro perno más. Se puede decir que:

E igualamos las ecuaciones que contienen los términos anteriores:

Al haber mayor cantidad de elementos en

y con determinar cualquiera de las velocidades angulares se

determina el valor de la velocidad buscada, tenemos entonces, al multiplicar por

:

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2. La serie de pasos a seguir para determinar la aceleración buscada, son los mismos hechos para el caso de la velocidad por lo que:

Asociamos a A con el punto B

De nuevo, nos encontramos en la situación donde no podemos determinar el valor de

porque

es

desconocido, así que, estudiamos la barra DE:

Ahora, procedemos a buscar la aceleración angular del disco (usando su centro D), para que pueda determinarse la aceleración del punto C: (En este punto utilizaremos la ecuación de aceleración para el centro de un objeto que rueda).

Como D es un perno ideal, se pueden vincular los cuerpos 2 y 3:

Por lo que:

Como R ni

no pueden ser 0, entonces:

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Ahora, podemos asociar a C con D:

Ahora, como C es una articulación que une al cuerpo 3 y al 4, se puede decir que:

Ahora, procedemos finalmente a asociar a C con el punto B:

Ahora, como B es una articulación,se puede decir que:

Si observamos cuidadosamente, el vector que nos interesa es escalarmente por

, por lo que (en este caso) con multiplicar

se eliminan las dos incógnitas remanentes (

necesario entonces calcular

y

), si esto no ocurriera, sería

(o, en general, todas las variables cinemáticas de velocidad) y luego

manipular la expresión anterior. Al multiplicar por

:

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