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MÉCANIQUE DES FLUIDES Eléments d’un premier parcours

Patrick CHASSAING

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Préface Discipline ancienne, la première de la physique où le quantitatif a progressivement complété puis enrichi l’intuition ou le savoir faire, la mécanique a toujours fasciné l’homme en même temps qu’elle l’a servi ou qu’il a su y avoir recours. Parmi les grands domaines de la mécanique, la mécanique des fluides nous a de tout temps passionnés, qu’il s’agisse des écoulements d’air (les moulins, la marine à voile, puis l’aéronautique bien sûr, ou les mouvements des grandes masses de l’atmosphère) ou d’eau (l’hydraulique, les écoulements autour des coques, les circulations marines et océaniques). Comme toute discipline ancienne, la mécanique des fluides demande de la part de celui qui s’y intéresse un effort « initiatique » tout à la fois long, puisqu’il y a, rançon de l’histoire, beaucoup de choses à assimiler, et efficace, de manière à ce que le poids du passé n’empêche pas d’atteindre les champs nouveaux qui sont actuellement défrichés. Dans ce contexte général, il nous faut saluer le travail de Patrick CHASSAING qui, dans ses « éléments d’un premier parcours », a su rassembler les éléments indispensables à cette première initiation à la mécanique des milieux continus et tout spécialement à la mécanique des fluides. Ce document, très complet, sans confiner toutefois à l’exhaustivité fastidieuse, agréable à lire, constitue un compromis entre toutes les démarches pédagogiques possibles dans le domaine, compromis qui sera sans aucun doute apprécié des lecteurs, ce d’autant plus qu’il n’existe pas de texte français récent réellement équivalent. Souhaitons à Patrick CHASSAING d’avoir le même enthousiasme pour nous préparer ensuite à la découverte des étapes ultérieures (la prochaine concernera sans aucun doute la turbulence) du parcours auquel il nous convie aujourd’hui. Qu’il soit d’ores et déjà remercié pour cette première et précieuse production. Michel COMBARNOUS Professeur à l’Université Bordeaux I Membre Correspondant de l’Académie des Sciences

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Remerciements Cet ouvrage est d’abord un témoignage de profonde reconnaissance aux maîtres qui m’ont fait découvrir puis apprécier les richesses cachées de la mécanique des fluides. Si sa lecture ne servait qu’à transmettre une parcelle de l’émerveillement que l’on peut éprouver à l’étude de phénomènes vieux comme le monde et qui, pour certains, sont encore des défis à la physique macroscopique moderne, alors sa rédaction n’aurait pas été tout à fait inutile.

Sa parution est ensuite l’occasion de saluer les nombreux collègues qui ont eu la gentillesse et la patience de lire les nombreuses versions « provisoires » du document, tout en me faisant part de leurs remarques et suggestions. La rédaction définitive s’est ainsi enrichie grâce à eux. Je les en remercie tous très sincèrement, avec une mention particulièrement reconnaissante à messieurs les professeurs Roland BORGHI et Marcel LESIEUR, pour avoir accepté de rapporter sur cet ouvrage, ainsi qu’à monsieur le président Michel COMBARNOUS pour l’avoir en outre préfacé.

Pour terminer, c’est aux étudiants que je voudrais m’adresser. Leurs besoins en formation ont été à l’origine même de la conception de cet ouvrage. Sa rédaction a été façonnée par l’expérience acquise à leurs contacts et qui seule permet de dégager la formulation la plus « percutante » en réponse à leurs interrogations. Ils furent nombreux à se voir infliger la lecture de versions préliminaires entachées de beaucoup d’erreurs et imperfections. Si de tels défauts ont disparu du document final, c’est à eux, aussi, que je le dois. C’est pourquoi je suis heureux de les en remercier tous ici, avec une mention particulière à l’un d’entre eux, dont la modestie m’impose de taire le nom, mais qui se reconnaîtra aisément si je précise qu’il est de ces cas d’exceptions où l’élève en vient vite à dépasser le maître dans la noria de la connaissance.

P. Chassaing

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Avertissement à la troisième édition La parution de cette nouvelle édition est d’abord l’occasion de témoigner ma reconnaissance à tous les lecteurs des versions antérieures pour avoir trouvé quelque intérêt dans les premières parutions de cet ouvrage. C’est ensuite l’occasion de remercier ceux qui m’ont fait part, avec indulgence mais discernement, des coquilles et imperfections qui les émaillaient encore. C’est en tenant compte de ce double retour d’expérience qu’a été élaborée cette troisième édition. Aussi, tout en conservant la structure générale initiale du livre, cette nouvelle parution a fait l’objet d’un remaniement complet, tant sur le fond que dans la forme. Les modifications formelles visent une meilleure lisibilité d’ensemble, en facilitant la distinction entre éléments pouvant faire l’objet de différents niveaux de lecture : corpus principal, exercices, compléments, notes historiques. Ils apparaissent désormais sous des typographies dédiées. Sur le fond, de nombreux sujets ont été entièrement repris et plusieurs autres ont été ajoutés. Une dimension historique a en outre été introduite à des fins didactiques. La présentation actuelle de certaines notions peut, en effet, induire le sentiment qu’il s’agit de la formulation « définitive » de connaissances quasi-immuables et établies depuis longtemps. L’étudiant s’efforce alors de les assimiler telles qu’elles, sans en percevoir toujours le sens profond ni en pénétrer le contenu véritable, lesquels se révèlent plus volontiers dans une perspective historique du cheminenent et mâturation de la pensée, avec parfois des erreurs, mais aussi des enrichissements successifs. Ce n’est donc pas dans un souci d’érudition épistémologique qu’ont été conçues et introduites les notes historiques incluses dans le présent ouvrage, mais en pariant sur l’intérêt qu’elles offrent au regard d’une démarche pédagogique ouverte. Il ne saurait être question de terminer cet avertissement sans dire toute ma reconnaissance aux collègues qui ont contribué à l’amélioration du présent ouvrage, tant par leurs suggestions de modifications que par leurs corrections à l’issue de relectures attentives. Qu’ils en soient tous ici remerciés, avec une mention particulière à Jean-Bernard CAZALBOU et Xavier CARBONNEAU de l’ISAE et à Gilles HARRAN de l’INPT-ENSEEIHT.

Patrick CHASSAING Novembre 2009

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Table des matières Préface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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; Avertissement à la troisième édition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii

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Partie I : PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES FLUIDES ET MODÈLES D’ÉCOULEMENTS

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1 DONNÉES PHYSIQUES ET OUTILS MATHÉMATIQUES. . . . . . . . . . . 1 Les différents niveaux de description du mouvement . . . . . . . . . . . . . 2 Le point de vue macroscopique et ses conséquences . . . . . . . . . . . . . 2.1 Validité de l’approche du milieu continu . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Le concept de particule fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Les fonctions de la description macroscopique d’un écoulement 3 Le point de vue macroscopique et ses conséquences . . . . . . . . . . . . . 3.1 Notion de fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Viscosité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Conductivité thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Compressibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Dilatation thermique et chaleurs spécifiques . . . . . . . . . . . . 4 Description mathématique du mouvement d’un fluide . . . . . . . . . . . 4.1 Variables de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Variables d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Principes généraux d’étude du mouvement d’un fluide . . . . . . . . . . . 5.1 Point de vue Eulérien et volume de contrôle . . . . . . . . . . . . 5.2 Point de vue Lagrangien et domaine de matériel . . . . . . . . . 6 Dérivation particulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Dérivation particulaire d’une fonction scalaire . . . . . . . . . . vii

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3 3 5 5 7 8 14 14 14 20 25 29 31 32 32 34 34 35 36 36 36

6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10

Dérivation particulaire d’une fonction vectorielle . . . . . . . . Dérivation particulaire d’un élément de ligne fluide . . . . . . Dérivation particulaire d’une intégrale curviligne . . . . . . . Dérivation particulaire de l’intégrale curviligne de circulation Dérivation particulaire d’une intégrale triple . . . . . . . . . . . Dérivation particulaire en bilans massiques . . . . . . . . . . . Théorèmes de transport de Reynolds-Rayleigh . . . . . . . . . Cas du mouvement permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 CINÉMATIQUE DE L’ÉCOULEMENT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1 Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Lignes et surfaces particulières d’un écoulement . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Ligne et tube de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Ligne d’émission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Ligne et surface fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Flux et débits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Notion de flux généralisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Débits en volume et en masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Débit en volume et fonction courant . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Cinématique des petits déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Analyse de la variation spatiale d’un champ vectoriel . . . . . . . 4.2 Composants du mouvement infinitésimal d’une parcelle fluide 5 Rotationnel et Tourbillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Vecteur vortex, vorticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Ligne et tube vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Intensité vortex. Circulation de vitesse. Formule de Stokes . . . . 5.4 Tourbillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Persistance tourbillonnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Théorèmes de Helmhlotz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Étirement de tourbillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Loi de Biot et Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Application à la visualisation d’écoulements . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Notions sur les techniques de visualisation d’écoulements . . . 6.2 Exemples de visualisation par traceur . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Exemples de visualisation par propriété . . . . . . . . . . . . . .

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3 BILANS FONDAMENTAUX DU MOUVEMENT D’UN FLUIDE . . . . . . . .

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1 Objectifs du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Bilan de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.1 Formulation intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Expression locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Evolution isovolume et fluide incompressible . . . . . . 3 Bilan de quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Équations globales de bilan de quantité de mouvement 3.2 Analyse des forces de surfaces . . . . . . . . . . . . . . . 4 Bilans d’énergies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Théorème de l’énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Premier principe pour un fluide en mouvement . . . . . 4.3 Variation particulaire d’énergie interne . . . . . . . . . . 4.4 Variation particulaire d’entropie . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Second principe pour un fluide en mouvement . . . . . 5 Formulation eulérienne des équations globales de bilan . . . . . . 5.1 Bilan de masse sur un tube de courant . . . . . . . . . . 5.2 Bilan de quantité de mouvement : Théorème d’Euler . . 5.3 Bilan d’énergie cinétique : Pertes de charge . . . . . . .

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4 MODÈLES DE MOUVEMENT DE FLUIDES. . . . . . . . . . . . . . . . . 129 1 Objectifs du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 État de la mise en équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Schémas constitutifs du modèle de Newton-Stokes . . . . . . . . . 3.1 Schéma de comportement dynamique . . . . . . . . . . 3.2 Schéma de comportement thermique . . . . . . . . . . . 3.3 Loi d’état thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Le concept de fluide parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Irréversibilités intrinsèques au mouvement d’un fluide visqueux newtonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Le fluide "idéal" ou "parfait" . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Le modèle général de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Les équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Les conditions initiales et aux limites . . . . . . . . . . . 6 Les modèles simplifiés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Notion de modèle restreint . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Fluide réel compressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Fluide parfait compressible . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Fluide réel incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Fluide parfait incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Nombres caractéristiques du mouvement d’un fluide . . . . . . . 7.1 Formulation adimensionnelle des équations locales . . 7.2 Équation de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Équation de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

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7.4 Équation de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Interprétation physique des nombres caractéristiques . . . . 7.6 Applications du traitement adimensionnel . . . . . . . . . . . 7.7 Théorème des "π" ou de Vaschy-Buckingham . . . . . . . . . 8 Les modèles incompressibles en fonction du nombre de Reynolds . . . 8.1 Écoulement rampant : Modèle de Stokes . . . . . . . . . . . . 8.2 Écoulement à nombre de Reynolds infini : Modèle d’Euler . . 8.3 Écoulement laminaire à grand nombre de Reynolds : Modèle de Prandtl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5 CLASSES D’ÉCOULEMENTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Écoulement irrotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Fonction potentiel de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Potentiel d’accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Expression de la circulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Relation de barotropie en fluide parfait . . . . . . . . . . . . . 3 Écoulement isovolume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Potentiel vecteur des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Écoulement bidimensionnel et Fonction courant . . . . . . . 4 Écoulement permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Potentiel vecteur des vitesses pondérées . . . . . . . . . . . . 4.3 Propriétés en écoulement bidimensionnel . . . . . . . . . . . 4.4 Exemples d’écoulements définis par des fonctions courant . 5 Écoulement irrotationnel & isovolume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Propriétés cinématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Propriétés dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Propriétés énergétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Théorèmes locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Premier théorème de Bernoulli en écoulement irrotationnel 6.2 Théorèmes en fluide parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Récapitulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Exemples d’application des théorèmes locaux . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Relation de Toricelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Antennes de Pitot et de Prandtl . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Tube de Venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Vitesse d’éjection isentropique d’un gaz comprimé . . . . . x

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Partie II : MOUVEMENTS DE FLUIDE PARFAIT

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6 MOUVEMENTS IRROTATIONNELS PLANS DE FLUIDE PARFAIT INCOMPRESSIBLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 1 Les hypothèses et leurs conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Fonction potentiel complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Condition initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Aspects mathématiques de l’étude des écoulements à potentiel . . . . . . 2.1 Problème direct et problème inverse . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Principe de matérialisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Principe de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Méthode des images hydrodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Représentation conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Exemples de fonctions potentiel complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Écoulements élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Écoulements composés par superposition . . . . . . . . . . . . . 3.3 Écoulement déduit de la méthode des images . . . . . . . . . . . 4 Efforts exercés par un fluide en mouvement sur un solide . . . . . . . . . . 4.1 Expression générale de l’action d’un fluide en mouvement sur contour fermé quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Application à une ligne de courant fermée : Formules de Blasius 4.3 Théorème de Kutta-Joukovski pour le cylindre . . . . . . . . . . . 4.4 Théorème général pour une singularité logarithmique . . . . . . 4.5 Interprétation physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Théorie des profils à pointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Génération d’un profil à pointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Condition de Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Circulation adaptée autour d’un profil . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Portance d’un profil d’allongement infini . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Interprétation et validité de la théorie de Kutta-Joukovski en fluide réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7 PROPAGATION D’ONDES SONORES ET PHÉNOMÈNES DE CHOC . . . . . 243 1 Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Propagation de petites perturbations de pression . . . 2.1 Vitesse de propagation en milieu immobile 2.2 Aspects énergétiques . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Propagation associée à une source mobile . 3 Onde d’amplitude finie – Choc . . . . . . . . . . . . . . xi

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243 243 243 248 249 250

3.1 Train d’ondes de compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Train d’ondes de détente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Onde de choc normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Hypothèses sur l’écoulement à la traversée d’un choc . . . . . . . . 4.2 Équations locales à la traversée d’un choc normal . . . . . . . . . . . 4.3 Relations de Prandtl du choc droit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Relation entre nombres de Mach de part et d’autre du choc . . . . . 4.5 Sauts de grandeurs statiques à travers un choc normal . . . . . . . . 4.6 Relation de Hugoniot à la traversée d’un choc . . . . . . . . . . . . . 4.7 Variation d’entropie et de conditions génératrices . . . . . . . . . . 4.8 Valeurs pour un choc normal dans l’air . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Onde de choc oblique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Réalité physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Les équations locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Relation de Prandtl du choc oblique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Relations entre paramètres de part et d’autre du choc . . . . . . . . 5.5 Angle de choc en fonction de la déflexion et du nombre de Mach amont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Nombres de Mach de part et d’autre du choc . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Récapitulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Considérations pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Formation d’ondes de choc en aérodynamique externe . . . . . . . 6.2 Réflexion – Interaction choc-couche limite . . . . . . . . . . . . . . .

251 252 253 253 254 254 255 256 258 260 266 267 267 270 271 272 273 274 275 278 278 280

8 ÉCOULEMENTS PERMANENTS UNIDIRECTIONNELS DE FLUIDE COMPRESSIBLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 1 Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Écoulement de fluide idéal en conduit à section variable . . 2.1 Les conditions du mouvement . . . . . . . . . . . 2.2 Les équations du mouvement isentropique . . . 3 Lois de variation de l’écoulement avec la section . . . . . . 3.1 Expression des différentielles logarithmiques . . 3.2 Discussion et interprétation physique . . . . . . . 4 Lois de l’écoulement isentropique . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Notion de condition génératrice . . . . . . . . . . 4.2 Expressions à partir des conditions génératrices . 4.3 Expressions à partir des conditions de col . . . . 4.4 Discussion physique . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Exemples d’écoulements de fluide idéal . . . . . . . . . . . . 5.1 Tuyère de Laval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Écoulement compressible dans un Venturi . . . . xii

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283 283 283 284 286 286 287 289 289 289 292 293 294 294 303

Tube de Pitot en écoulement supersonique . . . . . . . . . . . . . .

304

6 Écoulements de gaz parfait en conduit à section constante . . . . . . . . . . .

5.3

306

6.1

Écoulement de Fanno avec pertes de charge . . . . . . . . . . . . . .

307

6.2

Écoulement de Rayleigh avec transfert de chaleur . . . . . . . . . . .

311

Partie III : MOUVEMENTS DE FLUIDE RÉEL

319

9 LE MODÈLE DE NAVIER-STOKES INCOMPRESSIBLE . . . . . . . . . . . 321 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

321

2 Retour sur les équations du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

321

2.1

Les équations en formulation vitesse-pression . . . . . . . . . . . . .

321

2.2

L’équation du rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

322

2.3

L’équation au potentiel des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

323

2.4

Cas de l’écoulement bidimensionnel plan . . . . . . . . . . . . . . .

323

2.5

L’équation de Poisson pour la pression . . . . . . . . . . . . . . . . .

324

3 Analyse temporelle du bilan de quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . .

325

3.1

Échelles de temps associées au bilan de quantité de mouvement . .

325

3.2

Nombres caractéristiques en rapport d’échelles temporelles . . . .

326

3.3

La comparaison Advection / Diffusion : Nouvelle interprétation du nombre de Reynolds . . . . . . . . . . .

327

4 Propriétés du rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

330

4.1

Caractère rotationnel de l’écoulement sur un obstacle . . . . . . . .

330

4.2

Mécanismes élémentaires de la dynamique du rotationnel . . . . .

331

4.3

L’interaction vitesse-rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

332

5 Propriétés énergétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

334

6 Exemples d’écoulement incompressible “solution exacte” des équations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

335

6.1

Écoulement de Poiseuille plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

336

6.2

Écoulement de Poiseuille en conduite . . . . . . . . . . . . . . . . . .

339

6.3

Écoulement de Couette cylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

340

6.4

Écoulement général entre plans parallèles . . . . . . . . . . . . . . .

345

6.5

Écoulement instationnaire sur plan en translation . . . . . . . . . .

347

7 Notions élémentaires sur la stabilité des écoulements . . . . . . . . . . . . . .

349

7.1

Exposé du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

349

7.2

Quelques exemples d’instabilités d’écoulements . . . . . . . . . . .

350

8 Transition et Turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

359

8.1

Régimes de transition et régime turbulent . . . . . . . . . . . . . . .

359

8.2

Quelques spécificités du régime turbulent . . . . . . . . . . . . . . .

361

xiii

10 ÉCOULEMENTS À TRÈS FAIBLE NOMBRE DE REYNOLDS. . . . . . . . . 363 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Le modèle de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Les hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Les équations en formulation vitesse–pression . . 2.3 Les équations en formulation pression–rotationnel 2.4 Les propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Validité du modèle de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Exemples d’écoulements rampants . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Écoulement en cellule de Hele Shaw . . . . . . . . . 4.2 Lubrification : Film visqueux et palier fluide . . . . 4.3 Écoulement de Stokes autour d’une sphère . . . . .

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363 363 363 364 365 365 370 371 371 375 379

11 COUCHE LIMITE LAMINAIRE : CONCEPTS DYNAMIQUE ET THERMIQUE 389 1 Écoulements de fluide réel à grand nombre de Reynolds . . . . . . 1.1 Classe d’écoulements à grand nombre de Reynolds . . . 1.2 Localisation des effets visqueux à grand Reynolds . . . . 1.3 Bilan advection-diffusion en couche limite isotherme . 1.4 Bilan convection-diffusion en couche limite thermique 2 Paramètres caractéristiques de couche limite . . . . . . . . . . . . 2.1 Epaisseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Transfert thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Équations locales de couche limite dynamique isovolume . . . . . 3.1 Configuration de couche limite . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Forme adimensionnelle des équations locales . . . . . 3.3 Discussion : Hypothèses de Prandtl . . . . . . . . . . . . 3.4 Modèle de Prandtl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Le couplage fluide parfait-couche limite . . . . . . . . . 3.6 Décollement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Bilans globaux en couche limite isovolume . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Vitesse transversale en frontière de couche limite . . . . 4.2 Équation de von Kármán . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Bilan global de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Bilan global de quantité de mouvement . . . . . . . . . . 5 Couche limite thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Situation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 L’hypothèse fondamentale de couche limite thermique 5.3 Équations de la couche limite thermique . . . . . . . . . 5.4 Configurations types de couche limite thermique . . . . xiv

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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389 389 390 392 393 395 395 398 399 400 400 401 402 403 403 406 407 408 408 410 411 411 411 412 413 415

12 MÉTHODES ET EXEMPLES DE CALCUL D’ÉCOULEMENTS ; DE COUCHE LIMITE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 1 Objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Méthodes de calcul de couche limite dynamique isovolume . . . 2.1 Résolution des équations locales . . . . . . . . . . . . . 2.2 Calcul par méthode intégrale . . . . . . . . . . . . . . . 3 Exemples de calcul de couche limite dynamique isovolume . . . 3.1 Écoulements en solution exacte des équations locales 3.2 Exemples de résolution par méthode intégrale . . . . . 4 Couche limite thermique sur plaque plane . . . . . . . . . . . . . 4.1 Convection naturelle sur plaque plane verticale . . . . 4.2 Convection forcée à basse vitesse . . . . . . . . . . . . 4.3 Convection forcée isovolume à grande vitesse . . . . . 4.4 Notions sur la couche limite compressible à P r = 1 . . 5 Écoulements bidimensionnels de type couche limite . . . . . . . 5.1 Hypothèses de couche limite en écoulement libre . . . 5.2 Jet libre plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Sillage plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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ANNEXES

419 419 419 426 431 431 438 446 446 450 454 460 463 463 465 469

475

A – Rappels de thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 B – Notation indicielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 C – Identités vectorielles usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 D – Opérateurs vectoriels en projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 E – Équations de Navier-Stokes en projections. . . . . . . . . . . . . . . . 491 Liste des exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 Index des sujets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Index des auteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

497 517

Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521

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Introduction

L

a mécanique des fluides est une discipline vaste et diversifiée, tant par les champs scientifiques qu’elle recouvre que par ses domaines applicatifs. Son enseignement offre de ce fait une large gamme d’options de présentation selon que l’accent est mis sur les aspects théoriques, l’analyse et la compréhension de mécanismes de transferts d’échelles variées, ou encore la conception et la maîtrise de fonctionnement d’installations, machines, équipements. . . mettant en jeu des fluides en mouvement. Dans le premier cas, la mécanique des fluides est comprise comme une ramification « mécaniste » des mathématiques, dans le second elle devient une discipline à part entière de la physique macroscopique. Enfin, selon la troisième option, elle sert d’ancrage « scientifique » à des techniques de l’ingénieur en hydraulique, aérodynamique, génie chimique, thermique, énergétique, environnement. . .

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es recherches réalisées au cours des quelques dernières décennies tendent cependant de plus en plus à conférer à la mécanique des fluides une spécificité propre, tant pour sa démarche méthodologique que ses approches thématiques. En matière méthodologique, l’association d’outils mathématiques parmi les plus modernes et de la pensée inductive souvent nourrie de l’observation expérimentale reste un moteur puissant de progrès dans cette discipline. Par exemple, les développements théoriques les plus récents sur les propriétés des systèmes dynamiques non-linéaires dissipatifs jettent un éclairage nouveau sur des questions majeures de stabilité et transition d’écoulements. Pour autant de nombreuses facettes expérimentales « attribuées » aux solutions des équations de Navier-Stokes échappent encore à ces traitements. D’un point de vue thématique, la mécanique des fluides procède d’une analyse macroscopique de tous les mécanismes de transferts diffusifs par agitation moléculaire. Elle ne saurait donc se limiter aux seuls échanges de quantité de mouvement dans une conception qui n’aurait plus d’autre justification que d’ordre historique. Désormais l’assise scientifique de cette discipline est à rechercher autour d’un nouveau pôle barycentrique entre physique, mécanique, thermodynamique des processus irréversibles, thermique, chimie. Pour s’en convaincre, il suffit de prendre l’exemple de « l’écoulement » dans une turbomachine avec coexistence d’aspects diphasiques, réactifs, thermiques. . . où la connaissance du mélange est souvent l’une des clés de la maîtrise de tels équipements, renvoyant à une mécanique des fluides fort complexe.

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es quelques observations précédentes montrent à l’évidence qu’il ne saurait être question de couvrir d’un seul élan le vaste champ qui relève actuellement de la discipline telle qu’elle vient d’être introduite. C’est pourquoi nous nous sommes limités ici aux seuls « éléments d’un premier parcours » comme le précise le sous-titre de l’ouvrage. Par cette dénomination, nous voulons attirer l’attention du futur lecteur et lui transmettre un double xvii

message susceptible d’orienter son choix au mieux de ses intérêts. La teneur de ce message a trait au contenu de ce cours et à sa logique de présentation. – Par son contenu, cet ouvrage est destiné à ceux qui découvrent le « milieu fluide ». C’est pourquoi il est consacré aux seuls mouvements de fluides monophasiques homogènes et non réactifs. C’est l’espoir de l’auteur qu’une bonne assimilation de notions générales traitées dans cette situation « simple » serve de plateforme introductive à la variété de problèmes posés par une plus grande diversité et complexité des milieux fluides. – Par sa logique de présentation, l’ouvrage s’efforce en revanche de refléter au mieux l’ouverture méthodologique et la richesse de complémentarité qu’offre la discipline, entre déduction mathématique, démarche inductive, analyse physique, approche phénoménologique et construction semi-empirique, dans une association où ne prévaut aucune hiérarchie de valeur a priori.

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ans le contexte qui vient d’être évoqué, la présentation d’ensemble de ce cours s’efforce alors de ne privilégier aucun éclairage particulier. En d’autres termes des propriétés physiques ou mathématiques qui sont à l’origine de clivages « classiques » dans de nombreuses monographies sont ici exposées avec un souci de justification, d’équilibre et de valorisation réciproque. Ainsi sont associées des notions telles que liquide et gaz, milieux incompressible et compressible, régimes subsonique et supersonique, fluides visqueux et parfait, mouvements rotationnels et irrotationnels. . . Précisons enfin que les raisons du choix de l’organisation de cet ouvrage ne sont ni le fruit du hasard ni l’expression irrépressible d’une crise d’originalité de l’auteur. Elles émanent plus prosaïquement d’un constat dressé après plusieurs années d’expérience d’enseignement de la mécanique des fluides en écoles d’ingénieurs, tant en cycle initial qu’en année de spécialisation et stage de formation continue. En effet, derrière cette diversité d’audience est apparue, assez paradoxalement, la nécessité d’un accès unitaire aux éléments fondamentaux de mécanique des fluides en réponse à des besoins qui, eux, sont variés. Ainsi progressivement, s’est forgée l’idée d’une alliance d’intérêt pédagogique entre celui qui est en recherche de cohérence des connaissances éparses qu’il a pu acquérir sur tel ou tel sujet, et celui qui, ignorant tout de cette discipline, désire en cerner rapidement les grands contours pour en acquérir une maîtrise correcte. C’est avec l’espoir d’être utile à ce vaste public que ce livre a été conçu et rédigé. Puisse-t-il éveiller la curiosité naturelle du néophyte tout en préservant l’intérêt déclaré de l’initié !