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Mécanique du point matériel _ cinématique Cinématique du point matériel & changement du référentiel Introduction Cinématique : c’est l’étude des mouvements indépendamment des causes qui les provoquent. Point matériel : Modèle mathématique qui consiste à associer à un objet matériel un point géométrique affecté de la masse totale de l’objet. 1- Repérage d’un point matériel dans l’espace et dans le temps 1- Repérage dans l’espace Pour repérer un point dans l’espace, on a besoin d’un repère d’espace connu que l’on caractérise par une origine et une base orthonormé directe.(système d’axes de coordonnées). 2- Repérage dans le temps Pour repérer un point matériel en mouvement, on a besoin, en plus du repère d’espace, d’un repère de temps caractérisé par une origine du temps et une horloge pour mesurer l’écoulement du temps. 3- Référentiel L’ensemble d’un repère d’espace et d’un repère de temps. 4- Trajectoire On décrit le mouvement d’un point matériel si on connaît à chaque instant sa position dans l’espace. L’ensemble de ces positions constitue la trajectoire. Ainsi : La trajectoire est la courbe décrite par le point matériel dans le référentiel d’étude. G G G Notation : le référentiel dont le repère d’espace est d’origine O et de base (ex , ey , ez ) est noté : G G G R (O, ex , ey , ez ) . 2- Repérage d’un point – système de coordonnées z

2.1- Coordonnées cartésiennes ƒ ƒ ƒ ƒ

Par définition, les coordonnées cartésiennes d’un point A sont (x,y,z) La base cartésienne est la base orthonormée directe G G G G G G souvent notée par (ex , ey , ez ) ou (i , j , k ) JJJG G G G Le vecteur position : OA = xex + yey + zez JJJG G G G Le déplacement élémentaire : dOA = dxex + dyey + dzez

ƒ

G ez

G ex O x

2.2- Coordonnées cylindriques ƒ

A

Par définition, les coordonnées cartésiennes d’un point A sont : ( ρ , ϕ , z ) telles que ρ ≥ 0 et 0 ≤ ϕ ≤ 2π La base locale cylindrique est la base G G G orthonormée directe : (eρ , eϕ , ez ) telle que : JJJG JJJG G OP G eρ = ( ρ = OP ) ; eϕ ⊥ au plan défini par ϕ et

G ey

y

z

A

ρ

G G G tel que : eϕ = ez ∧ eρ # Relations entre coordonnée cartésiennes et coordonnées cylindriques : x = ρ cos ϕ et y = ρ sin ϕ JJJG G G ƒ Le vecteur position : OA = ρ eρ + zez ƒ

Le vecteur déplacement élémentaire : JJJG G G G dOA = d ρ eρ + ρ dϕ eϕ + dzez

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y

O

G ez

ϕ x

P

G eϕ G eρ

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Mécanique du point matériel _ cinématique 2.3- Coordonnées polaires – repérage dans un plan Les coordonnées polaire d’un point A sont ( ρ , ϕ ) telles que : ρ ≥ 0 et 0 ≤ ϕ ≤ 2π La base polaire JJJG JJJG G G G G G OA locale est (eρ , eϕ ) telle que : eρ = et eϕ ⊥ eρ ( ρ = OA )

ρ

2.4- Coordonnées sphériques

z

Les coordonnées sphériques du point A sont : (r ,θ , ϕ ) telles que : r ≥ 0 , 0 ≤ θ ≤ π et 0 ≤ ϕ ≤ 2π G G G ƒ La base locale sphérique est : (er , eθ , eϕ ) telle JJJG G OA G G G G G que : er = , eθ ⊥ er et eϕ = er ∧ eθ r JJJG G ƒ Le vecteur position : OA = r er # Relations entre coordonnées sphériques et coordonnées cartésiennes : x = r sin θ sin ϕ ; y = r sin θ cos ϕ et z = r cosθ ƒ Le vecteur déplacement élémentaire : JJJG G G G dOA = dr. er + r dθ .eθ + r sin θ dϕ .eϕ ƒ

G er G A

θ

eϕ

G eθ

y

O

ϕ

G eϕ

x

3- Cinématique du point matériel

G G G Notation : Le référentiel dont le repère d’espace est d’origine O et de base (ex , ey , ez ) est noté : G G G R (O, ex , ey , ez ) . 3.1- Vitesse d’un point par rapport à un référentiel a- Définition

Considérons un point matériel A en mouvement par rapport à un référentiel R d’origine O, G la vitesse de A par rapport à R est un vecteur noté v et défini par : A/ R JJJG dOA  G vA / R =  dt  R ← L 'indice R signifie que la dérivée doit etre effectuée par rapport à un observateur de R (lié à R ).

Ì Unité de la vitesse dans ( S.I ) : ms-1 Ì Dimension de la vitesse : [vitesse] ≡ [longueur][temps]-1 ≡ L.T-1. b- Composantes de la vitesse

# Composantes cartésiennes

JJJG dOA  G vA / R =  et dt  R

JJJG G G G OA = x ex + y ey + z ez soit

• G • G • G G vA / R = x ex + y ey + z ez

avec

•

X=

dX   . dt  R

# Composantes cylindriques • G • G • G JJJG G G G OA = ρ eρ + zez d’ou : vA / R = ρ eρ + ρ ϕ eϕ + z ez

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Mécanique du point matériel _ cinématique Remarques : Î Le déplacement élémentaire est une grandeur relative, il dépend du référentiel d’étude. Î Le vecteur déplacement élémentaire exprimé précédemment «paragraphe.I » étant calculé JJJG G G G G par rapport à R (O, ex , ey , ez ) , on le note par : d OA ainsi v A / R peut être déterminée R JJJG facilement à partir de d OA en écrivant : R JJJG JJJG dOA  dOA R  = dt  R dt

)

)

)

# Composantes de FRENET (Composantes intrinsèques) Considérons un point matériel A évoluant dans un référentiel R d’origine O, sur une G trajectoire (C). La vitesse v A / R peut être exprimer d’une façon plus commode dans une base G G G orthonormé dite de FRENET (en , et , eb ) telle que : G et : vecteur unitaire tangent à la trajectoire au point où se situe et dans le sens du mouvement. G de G G G G G en : vecteur unitaire normal à la trajectoire et en = RC t ; eb = en ∧ et ds Avec : RC : rayon de courbure et s : l’abscisse curviligne de A à l’instant t . On appelle rayon de courbure au point A, la longueur RC définie comme suite : Les normales à la trajectoire aux points voisins A et Ao se coupent en C ⇒ RC = CA. RC(A) : représente le rayon du cercle « tangent » à la courbe (C) en A et localement confondu avec elle au voisinage de A. G G Dans le repère local de FRENET (et , en ) , la vitesse de A s’exprime par : JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG dOA  dOA  ds  dOA G OAo − OA AAo G vA / R = = lim = lim = et  =   ; s s s s → → o o s − s dt  R ds  dt  ds s − so o G  ds  G Soit : vA / R =   et  dt   ds    : est la vitesse scalaire qu’on notera par la suite : v .  dt 

G et (so)Ao

A(s) G en

R

G ⊗eb (C)

O C

3.2- Accélération d’un point matériel par rapport à un référentiel a- Définition

G L’accélération de A par rapport à R est un vecteur noté a A / R et défini par : JJJG G dvA / R  d 2 OA  G aA / R =   = dr  R dt 2  R Ì Unité dans ( S.I ) : ms-2 . Ì Dimension : [accélération] ≡ L.T-2 .

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Mécanique du point matériel _ cinématique b- Composantes du vecteur accélération # Composantes en coordonnées cartésiennes •• G •• G •• G G a A / R = x ex + y e y + z ez

# Composantes en coordonnées cylindriques •• •2 G • • •• G •• G G a A / R = ( ρ − ρ ϕ )eρ + (2 ρ ϕ + ρ ϕ )eϕ + z ez

# Composantes de FRENT G G vA / R = v et ⇒

2

dv G v G G G G aA/ R = et + en = at + an ; dt RC

G • G at = v et : accélération tangentielle. avec  G v2 G a en : accélération normale. =  n RC 

Remarque : dv G v 2 G G L’expression a A / R = et + en permet de distinguer deux catégories de mouvement : dt RC • G G  R a v et • → ∞ ⇒ = Mouvements rectilignes C A/ R   v2 G G v Cte a en • = ⇒ = Mouvements uniformes  A/ R RC 

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