Meca Polocopie 2nde PDF
October 10, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Cahier de l’élève COURS ET EXERCICES D’APPLICATION Edition de SEPTEMBRE/2019
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SOMMAIRE Leçon 1 : Quelques rappels mathématiques ; Leçon 2: Généralités sur les vecteurs ; Leçon 3 : Coordonnées d’un vecteur ; Leçon 4 : Notion de Force ou Action mécanique 1 ; Leçon 5 : Notion de Force ou Action mécanique 2; Leçon 6 : Moment et Couple d’une force 1; Leçon 7 : Moment et Couple d’une force 2; Leçon 8 : Modélisation d’un système matériel ; Leçon 9 : Isolement d’un solide ; Leçon 10 : Efforts de liaison ; Leçon 11 : Equilibre d’un corps ; Leçon 12: Application du PFS 1; Leçon 13: Application du PFS 2; Leçon 14: Masse, Poids et Centre de gravité ; Leçon 15: Masse, Poids et Centre de gravité ; Leçon 16: Généralités sur l’Adhérence et le Frottement ; Leçon 17: Lois du Frottement et Adhérence Leçon 18: Applications des lois de l’Adhérence et du Frottement 1; Leçon 19: Applications des lois de l’Adhérence et du Frottement 2; Leçon 20 : Travaux Dirigés ; Leçon 21 : Travaux Dirigés ;
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LEÇO LE ÇON N 1 : OUT OUTIL ILS MATHÉMATIQUES SUR LA T IGONOMÉTRIE
Objectifs : A la fin de de cette leçon, je dois être capable : - De reconnaitre et identifier et manipuler une écriture trigonométriq e ; pose serr eett eff effec ectu tuer er des opérations trigonométriques ; - De po - De résoudre certaines ituations de vie en exploitant des ressources trigonométriques ; I.
LE CERCLE TR GONOMÉTRIQUE
Définitions : Sur uunn cerc Sur ercle, le, on app ppeelle lle sens dir direc ect,t, se sens ns ppos ositif itif ou ou se sens ns tr trigo igonom nométr étriq iq e le sens contraire des aiguilles d’une montre. Dans le plan muni d’un re ère orthonormé ( et orienté dans le sens direct, le cercle
trigon trig onomé ométriq trique ue est le cer cerccle de centre O et de rayon r ayon 1. (Fig. 1)
FIGURE 1 FIGURE 2
II- Sinus, Cosinus et angente d’un nombre réel 1- Définitions : Dans le plan muni d’un repère ortho orthonormé normé et orien orienté té dan danss le se sens ns dire direct, ct, o considère un cerc cercle le tr trigo igono nomé métr triq ique ue de cen cen re O et de rayon 1. Pour tout nombre réel x, onsidérons le point N de la droite orientée orientée d’abscisse x. À ce point, on fait correspondre n point M sur le
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cercle tr trigo igonométrique. On On aapp elle H et K les pieds respectifs des perpendiculaires à l’axe des abscisses et à l’axe des or onnées passant passant par M. (Fig. 2) Le cosinus du no nomb mbre re réel réel x est l’abscisse de M et on note cos x. Le sinus du nombre réel x est l’ordonnée de M et on note sin x. La tangente du nombre réel x est déduite par ration du sinus sur le cosinus et est noté tan x .
2- Lien avec la trigono étrie vue dans le triangle rectangle : Cons Co nsid idér éron onss le le tri trian anggle rec recta tann le suivant :
3- Propriétés --------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------
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III- Applications 1) Soit x un nombre réel. Calculer cos x sachant que sin x =
2) Soit ABC un triangle rectangle en B tel que = 30° et AB = 5.Quelle est la mesure de BC. En déduire tan 30. 3) Soit x la mesure d’un angle aigu tel que cos x = 0,4. Calculer la valeur exacte de sin x. en déduire la valeur exacte de tan t an x. 4) ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 5 et AC = 7. Déterminer la mesure de à 0,01 près.
Corrections commentées :
………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………….……………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………
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LEÇON 2 : GENERALITES SUR LES VECTEURS
Objectifs : A la fin de cette leçon, je dois être capable : - Définir et représenter un vecteur dans un repère; - Caractériser un vecteur ; - De résoudre certaines situations de vie en exploitant des ressources sur les vecteurs; 1. Définition et caractér caractéristiques istiques d’un vecteur vecteur est la----------------------représentation d’un bipoint. C’est C’est une-----------------------grandeur grandeur définie par une Un -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------direction, un sens------------------------et une intensité. i ntensité. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------a)-----------------------La direction est la droite qui porte le vecteur. Elle est définie par l’angle-----------------------mesuré entre un ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------axede---------------------référence et le ------------------------support. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------b)---------------------Le sens représente l’orientation origine-extrémitédu vecteur et est------------------------symbolisé par une-----------------flèche.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
θ
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------norme ou module, représente lavaleur de la -----------------------grandeur-----------------------mesurée par ------le c)---------------------L’intensité,
V;⃗V ou ⃗V
vecteur.Graphiquement, elle correspond à la longueur decelui-ci. vecteur.Graphiquement, Notation : ------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------d ) Le point d’application est le point qui sert d’origine à un représentant(ou image) du --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------vecteur. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Remarque : définir un vecteur, c’est connaître les quatre paramètres précédents.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2.
Représentation Représen tation d’un vecteur Extrémité
Axe de reférence
d u d u l l e e M o / é é t n s i e e t n I n
B n s s e
θ
A
Point d’application ou origine Direction ou support
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3. Notion de repère ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Nous travaillerons dans le plan oouu dans l’espac l’espace. e. Exemple : z y
⃗ ⃗
⃗ ⃗ ⃗
x
o
Repère dans le plan
⃗ı⃗ ⃗k
N.B. : ; et sont des vecteurs unitaires
Repère dans l’espace x
4. Décomposition d’un vecteur dans un plan Considérons le schéma suivant :
⃗
o
⃗ = ⃗ + ⃗⃗ = + = = = ..
y
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5.
Exercice d’application
i. Déterminer les coordonnées des points points O, A ; B ; C ; D ; E. et ii. Déduire les composantes des vecteurs, Solution
⃗ , BBC⃗C, DDE⃗E OA⃗ + DE ⃗ OA −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
6.
Exercice de consolidation
i) ii)
Déterminer les coordonnées des points O, A ; B ; C ; D ; E ; F et G Déduire les composantes des vecteurs, et
OA ⃗ , BBC⃗C, DDE⃗E OA⃗ + DE ⃗
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LEÇON 3 : COORDONNEES D’UN VECTEUR
Objectifs : A la fin de cette leçon, je dois être capable : - - - -
Effectuer les opérations sur les vecteurs Localiser et définir un vecteur dans un repère ; D’effectuer des opérations de produit scalaire et produit vectoriel ; De représenter un vecteur dans un plan.
DÉFINITION On appelle cord cordonnée onnée d’un vecteur, les valeurs représe représentantes ntantes de ce vecteur respectivement sur l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées.
I-
VECTEURS UNITAIRES
Les vecteurs , sont des vecteurs unitaires d’intensité égale à 1. , de base du repère orthonormé (0, x, y, z).
⃗ ⃗ ⃗
⃗ ⃗ ⃗
IICOORDONNÉES DE VECTEURS II. 1. Coordonnées dans le plan
⃗
Dans le plan, le vecteur a pour coordonnées
⃗ ⃗ et
.
sont les vecteurs
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Exemple
⃗
Déterminons le module et la direction du vecteur ayant pour coordonnées cartésiennes 4 suivant x et 3 suivant y.
Réponse. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
II.2. coordonnées dans l’espace 1.
Somme de deux vecteurs Considérons deux vecteurs
⃗U UUU et⃗V VVV U + V U⃗ + V⃗ UU ++ VV
y
U⃗ ⃗V
et donnés par :
⃗
⃗ + ⃗
⃗
o
Exemple : Soient deux vecteurs
x
F⃗ et F⃗ F⃗ −1− 21 ; F⃗ 9800 0, 7044 F⃗ + F⃗ 9799 1, 9044 donnés par:
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⃗ U ⃗k.U k.k.k.k. UU k.k. U
2. Produit d’un vecteur par un scalaire (ou un réel) Soient vecteur et un réel donné par :
k
0,3,3,052 10.F⃗ −10 202100 ; 0,5.F⃗ 4900 ⃗ ⃗V U ⃗U UUU et⃗V VVV ⃗ ⃗(θ) U⃗ . V⃗ U V −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Exemple :
3.
Produit scalaire de deux vecteurs Considérons deux vecteurs et donnés par :
Le produit scalaire du vecteur
par le vecteur, noté
deux vecteurs multiplié par le cosinus de l’angle par la relation définie définie par :
, est égal au produit des modules des
entre leurs directions respectives. Il est donné
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
⃗
⃗
U⃗ V⃗
(θ = 90°) U⃗ . V⃗ = U⃗ .V⃗ Cos 90 = 0 ⃗⃗UU..⃗(V(V⃗V = +V⃗W⃗.⃗U) = ⃗U.⃗V + U⃗ . W⃗ ⃗ ⃗ ı ⃗ et k ⃗.ı⃗ = 1 ⃗.⃗ = 1 ⃗k .⃗k = 1 ⃗.ı⃗ = 0 ⃗.k⃗ = 0 ⃗k ⃗. ı= 0
Remarques : le produit des deux vecteurs est un nombre ou un scalaire et pas un autre vecteur. Si et sont perpendiculaires alors Propriétés : ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Soient , ------------------------ des vecteurs unitaires------------------------d’un repère orthonormé. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ; ; ; ; ;
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⃗A et B⃗
Exemple : Déterminons le produit scalaire des vecteurs y 16
⃗⃗AB = = 4ı7ı⃗⃗−3 ⃗⃗+4−3+4⃗⃗ A⃗ . B⃗ = ( 4 ×7× 7) − (4 × 3) = ABouθ ==bi √23,e 34n22 +°+45° 47 2 =7,5,=668,26 2° ⃗ ⃗ ⃗ ⃗A. B⃗ = 5,66× .7,62× Cos 68,2° = 16
proposés
x
o
4.
45°
⃗
23,2°
C
Produit vectoriel de deux vecteurs Définition Le produit vectoriel du vecteur
⃗ , V⃗ ) ( U A⃗ ∧ B⃗ = C⃗ = A. B Sin θθ.. u⃗⃗ C⃗ = A. B SSiin θ ‖u‖ = 1
perpendiculaire perpendicula ire au plan
et tel que :
A⃗
B⃗ A⃗ ∧ B⃗
par le vecteur, noté par
est un vecteur
Avec
et
⃗
90°
(A ⃗ ,∧B⃗)⃗ ⊥ ⊥ =C⃗
Propriétés :
⃗C ou u⃗
est à la fois perpendiculaire à
A⃗ et B⃗
!
⃗
⃗ ⃗
90°
⃗C
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(A⃗ ⃗B⃗C A⃗ ∧ B⃗ = −B⃗ ∧⃗A ⃗k.A ∧⃗B(B⃗∧⃗+C⃗C =) =k.k.⃗AB ∧⃗BC.+=⃗AB ∧ C⃗k.k.⃗C (k étant un scalaire ) ⃗A et B⃗ ⃗A ∧⃗B = 0
, , ) pris dans cet ordre forment un “trièdre” direct (analogie avec les axes
la règle des trois doigts de la main droite (ou règle du « tire-bouchon »).
x,y,z
)ou obéissent à
Leproduit vectoriel n’est pas commutatif :
Remarque : si
sont parallèles alors
.
Calcul en coordonnées cartésiennes cartésiennes
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Exemple :
Z
k
j
Y
i
B A
X
⃗⃗ = = 43⃗⃗+2+5⃗⃗+0+0 ⃗⃗ ⃗ ∧ ⃗ == (140⃗× 2 − 5 × 0)⃗− (0 × 4 − 3 × 0)⃗ + (5 ×4 − 3 × 2)⃗ ⃗,⃗⃗ ⃗⃗ ∧∧⃗⃗= =⃗⃗⃗⃗ ∧ ∧⃗⃗==−−−⃗⃗∧⃗⃗∧=⃗=0 0
Produit vectoriel des vecteurs de base
⃗ ∧⃗= ⃗ ⃗ ∧⃗= −⃗⃗ ∧ ⃗ = 0
Formule du double produit vectoriel
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⃗ ∧ ⃗ ∧ ⃗ = ⃗ ⃗ .⃗ −−⃗⃗ .⃗
5. Exercice d’application Travail demandé : coordonnées des points O, A, B, C, D, E, F, G, H et I. Déterminer les coordonnées
⃗ ⃗ , ⃗ ⃗ , ⃗ ⃗ , ⃗ ⃗ ⃗ ),),( ⃗⃗ ⃗ ),),( ⃗ ⃗ ⃗ ),),( ⃗, ⃗ ) ( ⃗ ⃗ ) = −1/2. −1/2. ,
,
Représenter sur le schéma les sens des vecteurs :
,
Déterminer les composantes puis le module de chaque bipoint.
Calculer le produit scalaire et vectoriel des couples de vecteurs suivants :
(
,
Montrer que
,
,
,
,
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LEÇON 4 : NOTION DE FORCE OU ACTION MECANIQUE
Objectifs : A la fin de cette leçon, je dois être capable : - - - - 1.
De définir une force ou action mécanique ; De déterminer les composantes d’un vecteur force ; D’effectuer des opérations entre les vecteurs force ; D’utiliser ces ressources pour résoudre des situations physiques
Définition On appelle vecteur-force ou action mécanique, toute cause susceptible de : ---------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------------------------------
2.
Notion de force et de vecteur-force
En mécanique, les forces sont utilisées pour modéliser ou schématiser des chargesconcentrées et des résultantes d’actions mécaniques très diverses, parmi lesquelles : les actions mécaniques de contacts, les actions mécaniques à distance, les actions mécaniques gravitationnelles,… (Poids, attractionmagnétique, etc.). Les forces sont représentées par des vecteurs-forces ayant les propriétés générales des vecteurs (voir chapitre précédent) : opérations, coordonnées, produit scalaire, produit vectoriel. Un vecteur-force ou action mécanique est défini par une intensité ou un module (en
N ou unité dérivéedaN,k N,etc.), une direction, un sens et un point d’application (ou un point du support).
Remarque : les forces sont aussi appelées glisseurs (voir chapitre torseurs). Exemple 1.
/⃗
L’action de contact exercée par le câble (2) sur le support (1) est schématisée par le vecteur-
force
de point d’application A, de direction celle du ccâble, âble, d’intensité1 000 daN, de sens A
vers I (le câble tire sur le support). Fig.1
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Exemple 2.
/ ⃗ 15
Au moment du tir, l’action de contact exercée par le pied du footballeur (2) sur le ballon (1) est schématisée par le vecteur-force
()
verticale
, d’intensité
, point d’application T, incliné de
, de sens vers (vers l’intérieur du ballon).
Le poids du ballon est schématisé par le vecteur-poids
40°
par rapport à la par
(résultante des actions de pesanteur
⃗
sur le ballon), vertical (axe y), intensité 5 N, sens du haut vers le bas et de point d’application G, le centre de gravité du ballon.
3.
⃗ (⃗, ⃗⃗) ⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗
Composantes d’une force Une force agissant en un point peut toujours être remplacée par deux ou trois autres forces ou composantes agissant au même point et vérifiant la condition .
y
⃗
A
⃗
40°
o
⃗
x
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4. Coordonnées cartésiennes d’une force f orce ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Considérons la figure ci-dessus et déterminons les coordonnées cartésiennes de la force représentée. y
= .cosos = . sin = 2 + 2 ⃗ = 2 + 2 tan =
⃗
A
⃗
40°
o
x
⃗
Exemple Considérons la figure 1 et déterminons les coordonnées cartésiennes de l’action
/⃗
mécanique
.
5. Principes des actions mutuelles (ou réciproques) Toute action mécanique implique l’existence d’une action mécanique réciproque, qui est son opposée. (Même point d’application, même direction, même module mais de sens opposés)
Exemple :
⃗ / = −⃗ /
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6.
=
Exercices Écrire les coordonnées cartésiennes module et des angles indiqués.
L’échelle utilisée pour représenter les forces est 1 mm pour 15
⃗ ⃗
L’action exercée par la route 0 sur la roue motrice 1 est schématisée par la force
⃗ ⃗ ⃗
N.Déterminer les modules desmodules forces en , Écrire ces et proposées. N, daN et kN.
⃗
et des forces indiquées en fonctiondu dans les cinq cas.
/⃗ / ⃗ =/ ⃗⃗/⃗/ ⃗ / ⃗
(suivant ) a pour Si l’effort normal valeur 300 daN, déterminé et (suivant ) sachant que + .
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LEÇON 6 : MOMENT ET COUPLE D’UNE FORCE
Objectifs : A la fin de cette leçon, je dois être capable : - Définir le moment d’une force par rapport à un point et énoncer le théorème de Varignon. - Développe Développerr la notion de vecteur-moment et de moment d’une force par rapport à un axe. - Décrire et définir les notions de couple et de vecteur-couple 1. Moment scalaire d’une force par rapport à un point 1.1. Définition -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
⃗ = . du(signe= ⃗) Convention ,
a)
⃗
Si fait tourner le solide dans le sens trigonométrique, le moment est dit positif.il devient négatif négatif dans le cas contraire.(voir contraire.(voir figure)
⃗ = − × ×
b)
Exemple 1. 4
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ +⃗⃗ +=⃗0= 0 ⃗ = − × = −30× −30 × 200200 = −600 −6000.0. −6N .000 0 ++1515.. = 0 ⟹⃗ = += 600015 ×=⃗400 = 15.15−600
Déterminons de façon que : Déterminons de façon que : --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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(⃗) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Remarque : si B est le point d’application de F et si la longueur AB est connue, calculé par :
peut être
c) Exemple 2. Déterminons le couple de serrage exercé par une clé plate sur un écrou en fonction de l’inclinaison de l’effort exercé par la main de l’opérateur.
( /⃗ )
( /⃗ )
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Le couple de serrage est-------------------------égal au moment en A de l’action : -------------------------
/ / =(45°60°90° ⃗ )=( //⃗.)=.17,14,2031
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------1)
2) 3) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Remarque : plus la main est inclinée, plus le couple de
serrage diminue. diminue. Les clés dynamométrique dynamométriquess permetten permetten de réaliser des couples de serrage précis indépendamment de l’inclinaison de bras.
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⃗
1.2. Théorème de Varignon Le moment de la force au point A est égal à la somme des moments de ses composantes par rapport au même par même point.
⃗⃗
⃗
⃗ ⃗ ⃗ =
+
⃗
M(⃗)
⃗
⃗
Exemple : Déterminons de la force proposée A la figure ci-contre. Solution : , ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------
= =− 50050.0×60,60°° 1=+=1 00000868661 0000× ×6 ×0,0,88661160,6665==88,8886866500(,6⃗6,)= =⃗..+. (⃗) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ∧ = ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ , ⃗ ⃗
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. Moment-vecteur 2.1. Définition Soit un point B, quelconque, appartenant à la direction de la force . Le moment en A de est
défini par le vecteur.
.
est à la fois perpendiculaire à et à Remarque :
⃗
.
obéissent à la règle des trois doigts de la main droite.
2.2. Vecteur-mome Vecteur-moment nt en coordonnées cartésiennes A partir du produit vectoriel étudié à la leçon 2, déterminons les coordonnées cartésiennes du vecteur-moment suivant :
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550000 ⃗ ⃗ = ⃗ ∧ ⃗ ⃗ −0. 00..053 ⃗ −866 0 ⃗ ⃗⃗ = ( −0.3×0−( ⃗ ( ) ) ( ) ( ) ( ) ×0− −866) −866 × 0 ⃗ − 0. 5 ×0−500×0 ×0−500×0) ⃗ + 0. 5 × ×( −866) −866 −500×( −500× −0. 3 ⃗ = −283⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ (⃗)
.
3. 3.1.
Moment d’une force par rapport à un axe Définition
Le moment de la force par rapport à un axe est égal au produit scalaire de par le vecteur moment
dans lequel est un point quelconque appartenantau support de .
4. 4.1.
Notion de couple et de vecteur-couple Définition Le moment engendré par deux forces égales et opposées ayant des lignes d’action différentes (non colinéaires) constitue un couple .L’intensité du couple est indépendante du point 0 choisi ou de la valeur de . Elle ne dépend que de la distance entre les deux forces et de l’intensité F.
()
.
Démonstration :
= ⃗ + −⃗
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
= .. (=++.. ) −.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4.2.
Vecteur couple Soient et deux points quelconqu quelconques es des supports rrespectifs espectifs de est perpendiculaire au plan formé par et . .
⃗
4.3.
⃗ −⃗ ⃗ = ⃗ ∧ ⃗
Signe d’un couple ou d’un moment
⃗ −⃗ et
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Un coup couple le po posi siti tiff am amèè e une rotation dans le sens trigonométrique.
Exemple: Une clé à bougie se compo mpose se d’un d’un corp corpss et dd’un ’unee tige tige de manœ manœuv uv e coulissante et réglable. et sc schéma hématisen tisentt le less ac action tions exercées par les mains de l’opérateur. Si , déter inons le couple de desserrage exercé par la clé sur l’écrou en E, pour les positions indiquées.
–
Sous forme algébrique ou scalaire Pour les quatre les positions,
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5. 5.1.
Moment résultant de plusieurs forces Définition
en un point A de n forces Le moment résultant de dess m mom omen ents ts en A ddee to tout utes es l s forces.
est égal à la somme
------------------------------------ ------------------------------------------------------ ------------------ mêmee pla plann (copla (coplana naire ire), ), le mome mome t résultant peut être écrit Si ttooutes le les appartien ent à un mêm sous forme algébrique. ------------------------------------ ------------------------------------------------------ -----------------------------
5.2.
Exemple :la balance r maine
Une balance ro aine se compose d’un balancier 2 ar arti ticu culé lé en 0 (pivot) sur un crochet 1 li lié à un supp rt fixe et d’une masse d’équilibrag d’équilibragee mobile (a variable) de poids q = 5 daN . La masse à peser, poids est suspendue en B par l’intermédiaire d’un crochet 4. Si , déterminons la valeur de . Résolution : lo squ’il y a équili ilibrage des deux ma masses, le moment résultant en 0 des poids
et
sont nul. :
D’où
6.
Exercices d’applicati n
La force sc s ché atise l’action deserrage exercée par l’opérateur. Calculer le m ment en B (« couple » deserrage ur l’écrou) de la force de module
.
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Le couple t ansmis par l’arbremoteur au oret aléseur es t .En éduire les efforts de coupe e ercés sur les trois lèvres du foret.
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LEÇON 8 : MODELISATION D’UN SYSTEME MATERIEL Objectifs : A la fin de cette leçon, je dois être capable : - Reconnaitre les actions mécaniques extérieures et intérieures - Isoler un système matériel - faire l’inventaire des forces extérieures 1. définition ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2.
Notion de force extérieure et de force intérieure Considérons l’ensemble l’ensemble (E) ci-dessous, constitué des systè systèmes mes matériels (1), (2) et (3).
Système matériel ou ensemble de point matériel Observation : L’ensemble (E) et ses sous ens ensemble emble sont constitués des des points matériels. matériels. Ils s’exercent entre eux des actions mécaniques dites extérieures et intérieures.
Remarque : deux actions mécaniques, extérieure et intérieure vérifient le principe d’actions mutuelles ou principe de l’action et de la réaction.
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Actions mécaniques mécaniques intérieures au solide (2)
Actions mécaniques mécaniques extérieuresau solide (2)
3. Isolement d’un système ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Exemple :Montage d’usinage
Pièce isolée isolée
4.
Ensemble Notion de solideou Mécanisme a) Solide parfait Un solide parfait est un système matériel à l’intérieur duquel les forces internes ou forces de cohésions sont nulles.les forces de contacts sont perpendiculaires aux surfaces sur lesquelles elles s’exercent. b) Solide réel Dans solide réel,les forces de contacts ne sont pas forcement perpendiculaires aux surfaces de contact. Dans ce cas elles admettent une composante tangentielle et une composante normale.(cône d’adhérence d’adhérence ou de frottement)
c) Solide déformable Un solide est dit déformable lorsque les forces ou les actions mécaniques qui lui sont appliquées ne modifient pas les contours de celui-ci. 5. Liaison mécanique a) Notion de degré de liberté
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------------------------------------ ------------------------------------------------------ ----------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------ ------------------
b) Notion de degré de li ison liais isoon, tout toutee imp impos osssib ibil ilit itéé de de mou mouve ve ent d’ou solide dans une On aapppelle deg degré de lia direction donnée. nee pe t se déplacer suivant les Exemple :Le solide 1 situé à l’intérieur du solide 0 n six (06) degrés de mouvement de l’espace.(0 empêche sa mobilité dans l’espace)
6. Différentes liaison m caniques(Appui simple, Articulation et Enc strement)
Appui simple
Articulation Articulati on
Encastrement
7. Exercices d’applicati n Un bouteur se ompose d’un châssis (1), d’une lame (2) a arrticulée en B sur deux bras de poussée (3) eu -mêmes articulés en A sur (1). La La ha haut uteu eurr de la lame est réglée par deux vérins (6 + 7) et son inclinaison par deux vérins
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/⃗
(4 + 5). Les liaisons en A, B, C, D, E et F sont des liaisons pivots dont les centres portent le même nom. nom. Les poids de dess pièces so sont nt négligés ; (22 000 daN) schématise l’action du sol sur la lame (inclinée de 5° par rapport à l’horizontale). L’étude est réalisée dans le plan de symétrie de l’appareil. Travail demandé : Nommer toutes les actions mécaniques extérieures et intérieures appliquées aux systèmes isolés (2), (3), (4), (5) et (6) dans un tableau élaboré.
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LEÇON 9 : ISOLEMENT D’UN SOLIDE
Objectifs :A la fin de cette leçon, je dois être capable de: - - - -
I-
Définir la notion d’isolement d’un solide ; Caractériser une action mécanique ; Isoler un corps afin d’en établir les actions mécaniques qu’il subit ; Définir et modéliser une action mécanique.
INTRODUCTION
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Pour deux solides 0 et 1 en contact, l’action exercée par le solide 0 sur le solide 1 est égale et opposée à l’action exercée par le solide 1 sur le solide 0.
L’effet d’une force sur un u n solide dépend uniquement de l’intensité, de laligne lali gne d’action et du sens de la force. Le point d’application sur la ligne li gne d’action ne joue aucun rôle et n’a aucune influence en statique sur l’équilibre des solides, leur mouvement éventuel à vitesse constante et sur les résultats numériques obtenus.
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II-
TYPES D’ACTI NS MECANIQUES
Les actions mécaniques re résentent les efforts exercés sur et entre les solides réels. Ces actions sont schématisées ou odélisées par des forces, moments, couples, pressions, contraintes, torseurs, etc. On peut les diviser en deux grandes familles : les actions à distance et les les aact ctio ions ns de cont contac actt (l (les es p us nombreuses et les plus diverses).
1) Les actions mécaniq es à distance Ce sont des forces qui s’e solid olidees. E Enn m méc écaaniqu niquee, sseu eull d forces de pesanteur (poids) et cette leçon, parler de l’action
erce ercent nt entr entree ddeu euxx sol solid ides es sa sans ns qu qu’il ’il y ait ait co conntact entre les deux ux types types d’ac d’actions tions méca mécaniqu niques es à ddistan istance ce so so t utilisées : les es forces électromagnétique électromagnétiquess (aimantations). Nous allons dans dans écanique de pesanteur.
les ccor orps ps qui qui l’e l’ent ntou oure rent nt,, uune ne fo forc rcee d’a d’attr ttrac ac ion appelée force La terre exerc exercee ssur ur to touu les cale,, de sen senss toujours toujours orie orienté nté vers vers le centre centre de la terre , son de pesanteu teur ddee direction verticale point d’application le centre de gravité du solide, et d’intensité P = mg, où g représente l’accélération de la pesanteur.
2) Les actions mécaniq es de contact On appelle appelle actio actions ns mé mécaniq canique ues de de con conta tact ct,, le less fo forc rces es qu quii s’ex s’exer erce cent nt ent entre re deux solides en contact l’une de l’autre. Nous allons illustrer ici quelques cas :
a) Le Less aact ctio ions ns ou ch char argg s concentrées Chaque fois que l’effort ddee co tact tact eest st conc concen entr tréé en un po poin intt ou su surr une une to te petite surface, l’action est dite ponctuelle ou concentrée et est schématisée par un vecteur-force. Unités : N ou dérivés (daN, kN, etc.).
Exemple: action exercée par n pla plann hor horizo izonta ntall (0) sur un unee bille bille (1). (1). L’eff L’effort de contact est concentré au point A et est sc ématisé par le vecteur-force perpendi ulaire au plan (0) et ppaassan sant ppaar le cent centre re de gra ité de la bille.
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b) Charges ou actions mécaniques linéiques L’effort de contact est réparti sur une ligne droite ou non. L’action exercée est schématisée par une chargelinéique chargelinéique (q), uniforme oouu non. Unités : N.m-l oouu N/m.
Exemple : Action exercée par un plan horizontal (0) sur un cylindre (1). L’effort de contact est réparti de façon uniforme (q constant) le long de AB et schéma schématisé tisé par une charge linéique q (N/m). Dans le but de simplifier les résolutions, la ccharge harge répartie peut peut être remplacée par sa résu résultante ltante R,au milieu de AB et d’intensité : R = qL.
c) Charges ou actions mécaniques surfaciques, ou pression de contact
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---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------L’effort----------------------de contact entre--------------------------huile et piston est-----------------------réparti de façon ------------------------uniforme-----------------------sur une------------------------surface circulaire
,⃗
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------de diamètre det--------------------------est schématisé sché--------------------------matisé par------------------------la pression p qui------------------------est la pression du fluide.------------------------Dans le --------------------but de ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------simplifier les résolutions, cette action peut-----------------------être remplacée par sa résultante dirigée suivant 2 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------l’axe du----------------------piston--------------------------et d’intensité R =------------------------pS= pπd /4. -------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
III- ISOLEMENT D’UN SOLIDE 1) Généralités La notion d’isolement d’un solide est fondamentale dans l’analyse et la résolution des problèmes de mécanique. C’est la première étape de toute résolution en statique ou- en dynamique.Le solide isolé peut être un croquis à main levée, un dessin simplifié ou un dessin précis à l’échelle du solide étudié, destiné à décrire et à définir toutes les l es actions ou efforts qui s’y exercent : poids, actions de contact... Tous les éléments connus concernant les actions extérieures agissant sur le solide isolé doivent être clairement indiqués : direction, intensité, sens, point d’application mais aussi les distances entre les actions et les axes (0, x, y) éventuellementt choisis pour des calculs. éventuellemen
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L’isolation d’un solide se récapitule généralement dans un tableau afin de mieux visualiser les détails.
2) Méthode Isoler un système matériel consiste à suivre les étapes suivantes : - Extraire le solide du mécanisme et le dessiner seul, dans sa même position. - Repérer toutes les zones de contact entre le solide et les autres solides du mécanisme. - Identifier pour chaque zone de contact la liaison correspondante et schématiser les actions mécaniques correspondantes. - Identifier les actions à distance di stance et les schématiser.
IV-
CAS DES ENSEMBLES DE SOLIDES
Dans le cas des ensembles de solides, les actions mutuelles exercées entre les solides de l’ensemble des efforts intérieurs et ne doivent pas être dans le nombre des deviennent actions extérieures. Le principe fondamental s’applique de comptabilisées la même manière.
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Exercice d’application :
Soit le système suivant présentant deux boules 3 et 4 contenues dans une boite 1. La boite elle-même est posée sur sur surface plane 2. La boule 3 est en con contact tact avec la boite en D et avec la boule 4 en C. la boule 4, en contact avec la boite en A et B et avec la boule 2 en C. 1- 2- 3- 4-
Quels sont les différents types de contact en présence dans cet ensemble ? Isoler chacune des boules 3 et 4, et faire un inventaire des actions mécaniques. Isoler le système 3+4 et faire un inventaire des forces qui s’y appliquent. Isoler le système 1+3+4 et faire un inventaire des forces en présence.
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LEÇON 10 : EFFORT DE LIAISON Objectifs :A la fin de cette leçon, je dois être capable de: - Représenter une action concentrée, une action repartie - Calculer les éléments de réduction 1. Actions mécaniques de contact Les actions de contact se divisent en trois groupes : -------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------1.1. les actions ou charges concentrée concentréess Chaque fois que l’effort de contact est concentré en un point (contact ponctuel) ou sur une toute petite surface, l’action mécanique est schématisée par un vecteur-force orthogonal au plan de contact. contact. Unités : N ou dérivés (daN, kN, etc.). Exemple : action exercée par un plan horizonta1 (0) sur une bille (1). L’effort de contact est concentré au point A et est schématisé par le vecteur-force perpendiculaire au plan (0) et passant passant par le centre ddee gravité de la bille.
/⃗
1.2. les actions réparties sur une ligne ou charges linéiques L’effort de contact est réparti sur une ligne droite ou non. L’action exercée est
../ ()
schématisée par une charge linéique
Unités:
, uniforme ou non.
.
Exemple : Action exercée par un plan horizontal (0) sur un cylindre (1). L’effort de contact estréparti de façon uniforme (q constant) le long de AB et schématisé par une
(.
chargelinéique
). Dans le but de simplifier les résolutions, la charge répartie peut
êtreremplacée par sa résultante R, au milieu de AB et d’intensité :
=
.
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1.3. les actions réparties sur une surface ou charges surfaciques. Lorsque l’effort de contact est réparti sur une surface, l’action exercée est schématisée par une pression de contact ou une pression qui peut être uniforme ou non.Unités: . Exemple 1 : action exercée par un fluide sous pression sur un piston de vérin.L’effort de contact entre huile et piston est réparti de façon uniforme sur une surface circulaire de diamètre et est schématisé par la pression qui est la pression du fluide. Dans le but de simplifier les résolutions, cette action peut être remplacée par sa résultante dirigée suivant l’axe du piston et d’intensité.
() = (. ), (1 = 10 )
⃗
= ×
2. Torseur des efforts extérieurs 2.1. Eléments de réductions d’un torseur Défini en un point donné (A), un torseur d’action mécanique est un système force – couple constitué de deux grandeurs appelées éléments de réductions : a) une force ou somme vectorielle indépendante du point choisi. b) un couple ou moment résultant fonction du point A choisi.
⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ , , , ⃗ ⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ { } = ⃗ ⃗ = (,,)
2.2. Caractéristiques et notation ’écrivent : Dans--------------------------le repère---------------------- et ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------et -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------On note : ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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Exemple : action de contact, en A et B, exercée par un solide 1 sur un solide 2.
⃗ / / / / = / ⃗ = // //(,,) / = //⃗⃗ ⃗ / / = / ⃗ + ⃗ ∧ /⃗ (,,)
On notera :
2.2.1.1. Réducteur d’un torseur en un point quelconque .
Considérons le torseur
Réduisons ce torseur en un point d’un repère donné. Soit
2.3. Exercices d’application Pour chacun des quatre exemples proposés, le solide ou l’ensemble isolé est indiqué sous forme incomplète. Pour chaque cas, faire le l e bilan des actions extérieures. Déterminer la direction de ces actions et éventuellement leur intensité dans les cas simples (deux forces égales et opposées). Les poids, autres que ceux indiqués, sont négligés.
I.
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II. LEÇON 11 : EQUILIBRE D’UN CORPS, APPLICATION DU PFS Objectifs : A la fin de cette ce tte leçon, je dois être capable de: - Enoncer le principe fondamental de la statique - Résoudre un problème de statique analytique en utilisant le P.F.S. 1. Principe fondamental de la statique 1.1. Enoncé du P.F.S. Un solide indéformable en équilibre sous l’action de forces extérieures reste en équilibre si : La somme vectorielle de toutes les forces extérieures est nulle. Le moment résultant en n’importe quel point I de toutes les forces extérieures est nul.
⃗( , ⃗, ⃗, … . , ⃗) ⃗ ⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ +⋯. + ⃗ = ⃗ ⃗ ⃗ = + + ⃗+⋯. + ⃗ = (,⃗,⃗).
1.2.
Traduction analytique du P.F.S. dans un plan (syst. de forces coplanaire) Considérons une poutre horizontale soumis à l’action de actions mécaniques, dans un repère plan, orthonormé Traduisons analytiquement le P.F.S. dans ce repère lié à la poutre.
⃗ + ⃗ + ⃗ +⋯+⃗ = ⃗ ⃗ − + ⃗ + ⃗ − +⋯+ + ⋯+⃗ − = ⃗ +−++ ++ +⋯+ ⋯+ = + ⃗ + − +⃗⋯− = + ⃗ + ⃗ =
Composantes des actions mécaniques mécaniques Projection suivant les axes Suivant y : Suivant x : Suivant z : 1.3. Exercice d’application
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⃗ = 2000 ⃗ = 3000 a) b) c) d)
c)
Considérons la poutre placée entre deux appuis de la figure ci-contre. On donne et .On demande : Quel est la nature des contacts en A et B. Enoncer le principe fondamental de la statique appliqué à la poutre. Isoler la poutre et faire le bilan des actions mécaniques appliquées appliquées à celle-ci Déterminer les modules des réactions en A et en B.
1.3.1. Résolution a) Nature des contacts contacts en A et B ______________________ ___________ ______________________ ______________________ ______________________ _______________________ _____________ _ ______________________ ___________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____ b) Enoncé du P.F.S. appliqué à la poutre ______________________ ___________ ______________________ ______________________ ______________________ _______________________ _____________ _ ______________________ ___________ ______________________ ______________________ ______________________ _______________________ _____________ _ ______________________ ___________ ______________________ ______________________ ______________________ _____________ Isolement de la poutre et tableau bilan des actions mécaniquesext.
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d) Détermination des modules des réactions en A et B. _____________________ __________ ______________________ ______________________ ______________________ _______________________ ___________________ _______ ______________________ ___________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ___________ ______________________ ___________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ___________ ___________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ___________ ______________________ ___________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ___________ ______________________ ___________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ___________ ______________________ ___________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ___________ ______________________ ___________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ___________ ______________________ ___________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ___________ ______________________ ___________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ___________ ______________________ ___________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ___________
1.4.
Système matériel matériel soumis à 2 forces Considérons la biellette suivante.
1.4.1. Enoncé du P.F.S.
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Lorsqu’un solide soumis à l’action de deux forces, celles-ci ont la même direction, les sens opposés et les mêmes modules. (On dit que ces forces sont directement opposées.)Ce solide peut être comprimé ou étiré. 1.4.2. Bilan des actions mécaniques
Tableau bilan des actions mécaniques
1.5.1.5.1. Système matériel soumis à 3 forces concourantes Enoncé du P.F.S. et méthode de tracé a) Enoncé du P.F.S. Un solide soumis à l’action de trois forces reste en équilibre si les trois forces sont concourantess au même point et si la somme vectorielle des trois forces est nulle. concourante b) Méthode de tracé Les directions du triangle des forces doivent être parfaitement parallèles à celles de la figure initiale ayant servi à déterminer le point I. Il est indispensable de choisir une échelle pour tracer sur le triangle des forces (exemple: 1 cm pour 1 000 N, etc.) ; les modules de seront mesurés à partir de cette même échelle. L’extrémité de chaque force coïncide avec l’origine de la force suivante.
⃗ ⃗⃗
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1.5.2. Traduction analytique du P.F.S. (3 forces concourantes) La traduction analytique du P.F.S. s’applique de la mêmefaçon que pour un solide soumis à l’action de n forces parallèles.les composantes suivant l’axe des ordonnées sont existantes.(Voir § 8.1.2 ) 1.6.
Exercices d’application Soit la bielle (3) d’une presse à décolleter.
1.6.1. Compléter le bilan des actions appliquées à (3). 1.6.2. Déterminer analytiquement puis graphiquement les actions en et si Résolution graphique : ______________________ ___________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____ ______________________ ___________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____ ______________________ ___________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____ ______________________ ___________ ______________________ ______________________ ______________________ ___________ Résolution analytique : ______________________ ___________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____ ______________________ ___________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____ ______________________ ___________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____ ______________________ ___________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____ ______________________ ___________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____ ______________________ ___________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____ ______________________ ___________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____ ______________________ ___________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____ ______________________ ___________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____ ______________________ ___________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____ ______________________ ___________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____ ______________________ ___________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____ ______________________ ___________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____ ______________________ ___________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____ ______________________ ___________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____ ______________________ ___________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____ ______________________ ___________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ _______________ ____
/⃗ = 150 150ℎℎ::1 1 50
/⃗ /⃗
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III.
LEÇON 14 : MASSE, POIDS ET CENTRE DE GRAVITE
Objectifs : A la fin de cette ce tte leçon, je dois être capable de: masse, le poids et le centre de gravité d’un système matériel 1.Déterminer Masselad’un corps
1.1. Définition Soit un système matériel de masse m constitué d’un ensemble de point matériel M1, M2,M3,……, Mnde masses respectives m1, m2, m3,……, mn. La masse de ce système matériel est donnée par :
:: / : = 1000 / / , = 1,293 / é = ′ = : é = 920 //
La masse d’un corps est le produit de la masse volumique de ce corps par son volume.
1.2. Densité La densité d’un corps est une constante. Elle est le rapport de la masse volumique de ce corps par la masse volumique de l’eau (pour liquides et solides) ou de l’air (pour les gaz).C’est la masse de l’unité de volume.
, densité d=0.92
1.3.
Poids d’un corps Le poids d’un corps, d’un solide ou d’un système matériel est le produit de la masse de ce corps par la constante gravitationnelle encore appelé accélération de la pesanteur. Le poids peut être représenté par un vecteur force encore appelé vecteur poids ayant les caractéristiques suivantes : Point d’application : G centre de gravité du solide Direction ou support : la verticale passant par G Sens : Du haut vers le bas Intensité ou module :
2.
Centre de gravité
= ..
⃗
( (), ≈ =109,.81.
2.1. Définitions Centre de masse : il est lié à la notion de masse m et représente le point central de l’ensemble de toutes les masses constituant un objet ou un système matériel et est confondu avec le centre de gravité G.
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⃗
Centre de gravité : il est le point d’application du poids ou du vecteur-poids d’un objet. Cette propriété est vérifiée quelle que soit la position de l’objet l’ objet dans l’espace. Exemple :
2.2. Position mathématique du Centre de gravité ou centre de masse Soit un système matériel de masse m, de centre de gravité G, constitué d’un en ensemble semble de point matériel M1, M2,M3,……, Mnde masses respectives m1, m2, m3,……, mn et de centres de masse respectifs G1, G2, G3, …, Gn. Dans un repère la position du centre de gravité est donnée par la relation vectorielle :
⃗ +⋯+ ⃗ ⃗ (, = ,,), ⃗ + + ⃗ ++ +⋯+
Composantes de G.
+ ⋯+ ⎧⎪ = + + + + + + + +⋯+ ⋯+ ⎨ = + + + ⋯+ ⋯+ ⎩⎪ = + + + + +⋯+
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3. Exercice d’application Déterminer la masse totale de chaque cas de figure. Déterminer les coordonnées de chaque sous-centre de masse pour chaque cas de figure. Déterminer les coordonnées du centre de masse G de chaque cas de figure.
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4. Exercices de consolidations
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I.
LEÇON 16 : AHDERENCE ET FROTTEMENT
Objectifs opérationnels : - Définir les notions d’adhérence, de frottement et les paramètres utilisés pour l’ l’étude étude du frottement. - Énoncer les lois du frottement. - Décrire les notions de résistance au roulement et d’arc-boutement. 1.
1.1.
Adhérence Définition Si deux surfaces en contact tendent à glisser mais ne se déplacent pas, on dit
qu’il y a adhérence
1.2.
Cône et paramètres d’adhérence Le cône d’adhérence est le cône de demi-angle au sommet
⃗ = ⃗ + ⃗ ⃗est⃗ estlefleffofrtort = = { = coeficient ′é avec
2. Frottement 2.1. Définition Si deux surfaces en contact se déplacent ou glissent l’une par rapport à l’autre, on dit qu’il y a frottement.
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2.2. Cône et paramètres de frottement Le cône d’adhérence est le cône de demi-angle au sommet
effofrtort ⃗ = ⃗ + ⃗ ⃗ est ⃗ est l ef l = = = coeficient avec
2.3.
Loi du frottement ou lois de Coulomb
Ces lois s’appliquent dans les cas de l’adhérence et du frottement L’effort tangentiel s’oppose toujours à la tendance au mouvement (adhérence)
ou au mouvement (glissement ou frottement). Dans le cas de l’équilibre strict (adhérence), la réaction est située sur le cône
de frottement d’adhérence. En pratique,
= =
= .
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3.
arc-boutement Pour un solide soumis à l’action de n forces extérieures, on dit qu’il y a arc-
boutement chaque fois que le phénomène de frottement provoque une impossibilité de mouvement (ou l’équilibre), quelle que soit l’intensité des forces mises en jeu.
4.
Quelques coefficients de frottement
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5. Exercices d’applications 5.1. Considérons le solide sui ant sur un plan incliné de pente sin 18°. airee le bilan bilan de dess for forces ces eexté xtérie rieure uress qui lui lui so t appliquées (sous a) Isoler le solide (1) et air forme de tableau). b) Déterminer graphiqu ment (Echelle : 2 cm pour 100 N ) puis analytiquement les forces et . c) Que représentent les composantes de .
5.2.
Un tendeur de câble se composed’un écrou (1) et de deux vis (2) et (3) dediamètre
. moyen et de p s est nécessaire nécessaire pour tendre le câble à lavaleu souhaitée. a) Un couple de Déterminer
si
entre les filets supposés carrés.
b) Déterminer le couple e desserrage.
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TRAVAUX DIRIGES TD : 1 Flexion d’une poutre reposant sur deux appuis et soumise à des charges localisées. La figure ci-dessous (en 3D et en 2D) représente un robot employé pour soulever des charges de 800N maximum.
On se propose de vérifier la résistance du bras de manœuvre (2) lorsque celui-ci est horizontal et supporte la charge maximale de 800N en A.
Hypothèse : Le poids du bras (2) est négligé. - Toutes les forces appliquées a la l a poutre sont disposées perpendiculairement a la ligne li gne moyenne et dans le plan de symétrie longitudinal. - Les forces appliquées sont concentrées en un point (Aen A ,B1/2 en B et C3/2 en C).
1) Isoler le bras (2) lorsqu’il est à sa position horizontale. 2) Faire le bilan des actions mécaniques, dans un tableau. 3) Appliquer le PFS en C et en déduire les actions en B et C (B1/2 et C3/2) Données : CB=0,5m ; BA=1,5m
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TD : 2 the fol follo lowi wing ngte term rms: s: llaa ssta tati tiqu quee ana analy lyti tiqu que, e, forces, équilibre des 1) Translate into English the forces, le principe fon amental de la statique, action mécanique. 2) let us consider a car presenting a mechanical system as follow :
By consi onsidderin eringg the the ran ranges a=1,4m and b=1,8m, determine the mechanical ctions in A and B.
TD : 3 est ccons onstit titué ué ppar ar une une bride bride 2 artic articulé uléee s r un axe 1 comme Un di disp spos osit itif if de bl bloc ocaage est l’indique la figure ci-dessous. L’écrou 4, après serrage, exerce sur la bride, par l’intermédiaire daN. L L’ac ’actio tionn exe exercé rcéee par par le resso ressort rt q i sert uniquement à de deux deux ro rondell ndelles, es, uunn effo effort rt d 400 daN. desserrage sur la bride étant négligée déterminer l’effort équilibrer le poids de la bride ors du desserrage lige le poids de la bride et le less fro rottte ents. exercé exe rcé par la brid bridee ssur ur llaa pi pièc èc . On néglig
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TD : 4 Considérons la figure ci- dess us qui présente l’action d’un câble tendu 2 sur un support 1 support ort sera noté A. on négligera le accroché à un mur 0. Le point d’attache du câble sur le supp poids du câble. câble.
repère ère ort orthon honorm orméé (O (O,I, ,I,J), J), sché schéma matis tiser er l’act l’actii n mécanique 1) Dans un plan muni du rep du câble câble sur le ssuppo upport rt, avec les caractéristiques suivantes : - A2/1= 1200 daN, E helle : 1cm pour 2000N. fait un angle α = 30° avec l’horizontale. - La direction de = + où l’on déterminera et . 2) Ecrire la relation : directio tionn du câb câble le eest st tell tellee que que α = 0° p r rapport à 3) Réécrire cette relation si la direc l’horizontale. ? si oui ue représente la 4) EstEst-il il po poss ssib ible le de dé dédu duire un moment en o de l’action distance de l’axe par r pport à ce point o ( en cm) ? déduire ccee mo ent.
TD :5 Considérons la fig figure ure suiva suivante nte. 1) Déterminer le moment de la force F1 par rapport au point A, M A( 2) Déterminer le moment de la force F2 par rapport au point A, M A( +MA( ) = 0.
). ), si MA(
)
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TD : 6 Soit la figure suivante :
1) Déterminer Fx et Fy. 2) Déduire le moment en A de la force F. NB : sur la figure les dimensions sont données en mm et N pour la orce. 3) Dét Déterm ermine inerr la val valeur eur d moment en A si α = 90°.
TD :7 1) Définir les termes suivants : Corps solide, système matériel, action écanique, solide isolé. 2) Soit le le sy système m méécanique suivant :
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Faites un bilan des actions mécaniques agissant sur la tourelle 2. - Isoler le vérin. Quelles sont les actions mécaniques agissant sur ce dernier ? écrire la condition d’équilibre de ce système. -
TD : 8 Soit le système ci-dessous présentant deux boules 3 et 4 contenues dans une boite 1. La boite elle-même est posée sur sur surface plane 2. La boule 3 est en con contact tact avec la boite en D et avec la boule 4 en C. la boule 4, en contact avec la boite en A et B et avec la boule 2 en C. 5- 6- 7- 8-
Quels sont les différents types de contact en présence dans cet ensemble ? Isoler chacune des boules 3 et 4, et faire un inventaire des actions mécaniques. Isoler le système 3+4 et faire un inventaire des forces qui s’y appliquent. Isoler le système 1+3+4 et faire un inventaire des forces en présence.
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