Mec. de Fluidos Teoria

 

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERIA MECÁNICA-ENERGÍA

I UNIVERSIDAD UNIVE RSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD FAC ULTAD DE INGENIERIA MECÁNICAMECÁNICA- ENERGÍA

PROYECTO DE INVESTIGACIÓN:

“TEXTO: MECÁNICA DE FLUIDOS APLICADA”  APLICADA” 

JEFE DEL PROYECTO ING. JORGE LUIS ALEJOS ZELAYA CIP. 26308

CRONOGRAMA ( 01 OCTUBRE OCTUBRE 2001 AL 30 SETIEMBRE 2003 )

RESOLUCIÓN RECTORAL Nº-595-2001-R

( 22 OCTUBRE 2001 ) 

Íng. Jorge Alejos Zelaya 1

 

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INDICE RESUMEN

4

INTRODUCCIÓN

5

CAPITULO CAPITUL O I INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN A LA MECANICA DE FLUIDOS

7

1.1.- Objetivos. 1.2.- Aplicaciones. 1.3.- Magnitudes Físicas. Dimensiones. Dimensio nes. Unidades. 1.4.- Principio de Homogeneidad Homogeneida d Dimensional. Dimension al. 1.5.- Objetivos del Análisis Dimensional. Dimension al.

7 7 12 14 15

CAPITULO CAPITUL O II CONSIDERACIONES CONSIDERACIONES BASICAS

18

2.1.- Perspectiva de Medio Continuo de Gases y Líquidos. Líquido s. 2.2.- Definición de Fluido. 2.3.- Clasificación de los Fluidos. 2.4.- Fluidos : Newtonianos y no Newtonianos. Newtonianos . 2.5.- Escalas de Presión y Temperatura. 2.6.- Propiedades de los Fluidos. 2.7.- Leyes de Conservación. Conservación . Propiedades Propied ades y Relaciones Termodinámicas. Termodinámicas .

18 19 19 21 25 27 41

CAPITULO CAPITUL O III

ESTÁTICA DE LOS FLUIDOS.

47

3.1.- Presión en un Punto. 3.2.- Variación de la presión de un fluido en reposo.

48 49

3.3.- 3.3.1.Fuerzas Hidrostáticas sobre superficies sumergidas. Superficies Planas. 3.3.2.- Superficies Curvas ó Alabeadas. 3.4.- Principio de Arquímedes. Flotación. 3.5.- Estabilidad de Cuerpos Total y Parcialmente Sumergidos. 3.5.1.- Estabilidad Rotacional de cuerpos sumergidos. 3.5.2.- Estabilidad Rotacional de cuerpos flotantes. 3.6.- Equilibrio Relativo. 3.6.1.- Líquidos con aceleración lineal. 3.6.2.- Líquidos con aceleración angular constante.

60 60 69 74 77 78 79 86 86 94

Íng. Jorge Alejos Zelaya 2

 

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CAPITULO CAPITUL O IV CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO DE LOS FLUIDOS. 102 4.1.- Descripción del movimiento de los fluidos. 4.1.1.-- Método Lagrangiano. 4.1.1. 4.4.2.-- Método Euleriano. 4.4.2. 4.2.- Clasificación de los Fluidos.

102 102 104 105

4.3.- Características cuantif cuantificables icables del movimiento. 4.3.1.- Velocidad y Aceleración. 4.3.2.- Rotación y Vorticidad. 4.4.- Gasto y Velocidad Media.

111 114 119

CAPITULO CAPITUL O V DINAMICA DE LOS FLUIDOS

123

5.1.- Formas Integrales de las Leyes Fundamentales. 5.2.- Transformación de Sistema a Volumen de Control. 5.3.- Conservación de la Masa. 5.4.- Conservación de Energía. 5.5.- Ecuación de Momentum. 5.6.- Ecuación del Momento de Momentum. Momentu m.

123 124 126 129 134 137

MATERIALES Y METODOS

140

RESULTADOS

140

DISCUSIÓN

141

BIBLIOGRAFÍA

142

APENDICE

143

Íng. Jorge Alejos Zelaya 3

 

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RESUMEN El texto esta destinado a los alumnos de Ciencias Básicas de Ingeniería, en el que se pretende dar dar un enfoque actualizado sobre el análisis global del comportamiento general de los fluidos , facilitando su comprensión y conocimiento de una disciplina fuertemente conceptual , constituyéndose de esta manera en un medio de apoyo al aprendizaje eficaz de los alumnos en los aspectos  básicos sobre la Mecánica de Fluidos Aplicada. Por tratarse de un texto universitario, el libro tiene una estructura didáctica con una redacción lógica y explicaciones suficientemente claras, que que permitirán a los alumnos a reconocer e identificar los problemas de Mecánica de Fluidos y su relación con la labor del ingeniero en el análisis y diseño de cualquier sistema en el cual el fluido es el elemento de trabajo. El agua y el aire son elementos esenciales para el hombre y además los más abundantes en la naturaleza y todo lo que se diseña para estar en contacto con ellos o utilizarlos de algún modo requiere de conocimientos de Mecánica de Fluidos, esto ha dado origen a la Aerodinámica y la Hidráulica, dos ramas importantes de la Mecánica de Fluidos.

Siguiendo el enfoque típico de la mecánica, se analiza en forma secuencial: las Magnitudes Físicas. Dimensiones .Unidades y Principio de Homogeneidad Dimensional. ; Las Consideraciones Básicas, Definición y Propiedades de los Fluidos, de los Fluidos dinámico en reposo, la descripción del movimiento del fluidoelyComportamiento finalmente su comportamiento

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INTRODUCCIÓN Este texto está concebido para que el estudiante de pregrado de las Ciencias Básicas de  Ingeniería  pueda entender los principios básicos del comportami comportamiento ento de la la Mecánica de Fluidos . En años recientes han aparecido muchos textos sobre la materia, habiendo sido alguno de ellos de muy amplio uso en los programas de pregrado; sin embargo se pe percibía rcibía la necesidad de contar con un texto que proporcionara al estudiante de Ingeniería la motivación necesaria y que hiciera hhincapié incapié en los casos prácticos mas comunes comunes de interés para para el Ingeniero. Se supone supone que eell alumno posee conocimientos en el Calculo Diferencial e Integral, las nociones básicas de la Mecánica en relación a condiciones de equilibrio estático, cinemática y dinámica de la partícula. Los conceptos necesarios de Termodinámica pueden adquirirse en forma paralela. En mecánica se acostumbra analizar el comportamiento de un cuerpo recurriendo a la idea de cuerpo cuerpo libre. Es decir, se aísla el elemento en estudio del resto y se indican i ndican las fuerzas que lo ligan con el exterior. Esto es simple de hacer cuando el cuerpo en cuestión es es fácilmente identificable, como ocurre en el estudio de los hacer cuerpos cuya forma constante. En Termodinámica por otra parte, se prefiere el rígidos, análisis en un sistema, entendiendo por tal a una cantidad fija e identificable de masa, aunque su forma cambie. Los bordes del sistema pueden ser fijos o móviles, pero la masa no puede sobrepasar estos bordes. En Mecánica de Fluidos no se puede hacer uso de la idea de cuerpo libre o de sistema, ya que es difícil fijar la atención sobre una parte identificable de masa que se mueve, desplaza y deforma en el espacio. En este caso, es más simple tomar como elemento de análisis un volumen fijo en el espacio a través del cual el fluido escurre. Esta es la idea de Volumen de Control. La superficie que define al volumen de control puede ser real o imaginaría y puede estar fija o en movimiento, pero es indeformable. En el Primer Capítulo  se plantea objetivos y aplicaciones de la Mecánica de Fluidos , cuantificando el comportamiento de los fluidos, par el cuál se utilizan ciertas magnitudes de referencia para las dimensiones básicas. Actualmente se utilizan en algunos países dos sistemas básicos de unidades, el sistema gravitacional británico, al que nos referimos como Sistema Ingles y el Sistema Internacional ( SI ), que se basa en el sistema MKS con algunas modificaciones. El Segundo Capítulo  se define el fluido como una sustancia que escurre o se deforma continuamente cuando está sometido sometido a un esfuerzo de corte corte o tangencial tangencial.. La Mecánica de Fluidos estudia el comportamiento de éstos como un medio continuo, sin considerar lo que ocurre a nivel de sus moléculas; así mismo se define como  propiedades intensivas las que nnoo dependen de la cantidad de materia comprometida, y extensivas las que dependen de la masa.

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En el Tercer Capítulo  la Estática de los Fluidos estudia las condiciones de equilibrio bajo las cuales un fluido está en reposo, sabiendo que para ello se requiere que todos los elementos que lo forman se muevan a la misma velocidad, es decir que no se desplacen unos con respecto a los otros y por lo tanto no haya escurrimiento. El fluido está entonces detenido o se mueve como si fuera un cuerpo rígido sin deformarse Mediante el uso adecuado de los principios de la Estática de los Fluidos es posible determinar equilibrio masasque de se fluidos, calcular las fuerzas las quecondiciones ejercen los generales fluidos endereposo sobredelasgrandes superficies encuentran en contacto con ellos o los recipientes que los contienen, las fuerzas sobre cuerpos sumergidos y flotantes, así como sus condiciones de equilibrio y medir las presiones en cualquier punto al interior del fluido. En el Cuarto Capítulo  la cinemática de fluidos describe el movimiento del fluido como un medio continuo. Los escurrimientos se clasifican con base en la variación de sus propiedades en el tiempo como permanente e inpermanente, y de acuerdo a la variación en el espacio como uniforme o variado. Para describir el flujo se utilizan las llamadas formas cinemáticas entre las cuales están las líneas de trayectoria , de corriente y de humo. Si el régimen es permanente todas ellas coinciden. En régimen inpermanente son diferentes. Cada una de ellas requiere un  procedimiento experimental exp erimental distinto para definirlas. d efinirlas. Existen diversas maneras de describir el movimiento de un fluido. El método de Lagrange se basa en el uso de las trayectorias y el de Euler utiliza las líneas línea s de corriente . El fluido al moverse se traslada, rota y deforma. Todas estas transformaciones dependen del campo de velocidades. En el Quinto Capítulo  se hace un análisis global del comportamiento de los fluidos, recurriendo a la idea de volumen de control. Este consiste en un volumen fijo en el espacio, limitado por una superficie indeformable, llamada superficie de control, a través de la cual el fluido se mueve, mientras la forma y dimensiones del volumen de control permanecen invariables. Las leyes básicas que se aplican a un volumen de control en el análisis global del comportamiento de un fluido corresponde a la conservación de la masa, la conservación de la energía, el cambiohecha de entropía el de cantidad de movimiento. Para poder traspasar la formulación para uny sistema a la requerida para un volumen de control, se utiliza el teorema del Transporte de Reynolds que permitirá abordar en forma  práctica una gran cantidad cantida d de problemas reales reale s en ingeniería. Se espera que este libro pueda proporcionar bases sólidas al estudiante de Ingeniería. Serán muy apreciados todos los comentarios, sugerencias ó críticas.

Ing. Jorge Luís Alejos Zelaya

Íng. Jorge Alejos Zelaya 6

 

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CAPITULO I

INTRODUCCIO INTRO DUCCION N A LA MECANICA DE FLUIDOS En la formación del Ingeniero Mecánico, además de las Matemáticas instrumento imprescindible de trabajo y de la Física  base de la Ingeniería, han de intervenir las siguientes disciplinas fundamentales: Mecánica de los cuerpos rígidos, Mecánica de los cuerpos deformables y Resistencia de Materiales, Termodinámica, Transferencia de calor, Mecánica de Fluidos, etc. El agua  y el aire  son elementos esenciales para el hombre y además los más abundantes en la naturaleza y se comportan como fluidos. El agua es necesaria para la vida y el desarrollo en aspectos tan variados como la  bebida, la agricultura, la industria, indu stria, el transporte y la recreación. El aire esta presente y rodea todas las acciones humanas. De hecho en vez de decir que la humanidad vive sobre la superficie de la tierra, debiera decirse con más  propiedad que qu e lo que hace en el fondo fond o de un océano de aire, como co mo lo hicieron notar Torricelli hace más de tres siglos. La comprensión adecuada de la Mecánica de Fluidos  adquiere una importancia extraordinaria en muchas áreas de la Ingeniería. Antes de poder estudiar las cantidades de interés, debemos presentar las unidades  y dimensiones que usaremos en nuestro estudio de la materia.

1.1.  OBJETIVOS Distinguir el comportamiento de un fluido , en comparación con los otros estados existentes de la materia (sólido, liquido, gaseoso, plasma).

Íng. Jorge Alejos Zelaya 7

 

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Conocer y entender los principios y conceptos básicos de la Mecánica de Fluidos, que estudia las leyes del comportamiento de los fluidos en equilibrio (Hidrostática) y en movimiento (Hidrodinámica).

1.2.  APLICACIONES.  

En el diseño de los medios de transporte : aviones, buques, submarinos y típicamente automóviles, los fabricantes han dado mayor importancia a consideraciones aerodinámicas.

Fig 1.1 Perfil Aerodinámico

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El Perfil Aerodinámico es la geometría que se da a un objeto sumergido en un fluido, con la finalidad de incrementar la fuerza de sustentación y disminuir la fuerza de arrastre.

 F   

 c, ,V , A  

Estudio experimental en modelos reducidos   para determinar las fuerzas aerodinámicas alrededor de edificios, puentes y otras estructuras complejas.

E studi studio o expe perr i menta ntall d de el p prrob oblem lema: a: V ari ari ac acii ón de la Caí Caída da de P r esi sión ón   

E cuaci cuació ón ffunciona uncional:l:   Ecuación analítica o matemática.

 P  Variable Dependiente

a) fijos:

V   , , , d , h

(1.1) 

 

Variables Independientes

h

b) fijos: fijos :

Íng. Jorge Alejos Zelaya 9

d

 

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Ideal:   Es escribir la ecuación analítica o matemática en términos de parámetros adimensionales.

 P  2 V     1

V  d   2

,

h d   



3

 Aná  A nálisi lisiss D i mens nsion iona al y Si Sim mi litud litud::

Íng. Jorge Alejos Zelaya 10

(1.2) 

 

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 

En el diseño de Turbomaquinas , como bombas, turbinas y hélices.

En las maquinas motores  se transforma la energía de un fluido en energía mecánica en el eje, para producir mediante un generador acoplado , energía eléctrica.   Así, en una Central Hidroeléctri Hi droeléctrica ca, una turbina hidráulica transforma la energía de  posición del agua en energía eléctrica. Las maquinas generadoras, por el contrario absorben la energía mecánica mecánica e incrementan incrementa n la energía al fluido.

 

Sistema de refrigeración  y aire acondicionado.

 

Combustible y lubricantes.

 

Estudio de Canalizaciones y Conducciones Hidráulicas  

 

En biomecánica  es de particular interés el flujo de la sangre y del líquido cerebral, por lo que no debe sorprender el diseño de corazones artificiales.

 

En Ingeniería Aeronáutica  para maximizar la sustentación sustentación y minimizar el arrastre de los aviones.

En si todo lo que se diseña para estar en contacto con los fluidos o utilizarlos Fluidos de algún modo, requiere del conocimiento de Mecánica de Íng. Jorge Alejos Zelaya 11

 

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1.3. MAGNITUDES FÍSICAS. DIMENSIONES. UNIDADES.   Fenómeno Físico.- Es el cambio que sufre la materia sin alterar su estructura íntima. Se caracteriza por ser reversible.

Las leyes que rigen los fenómenos de la física  se expresan mediante ecuaciones entre magnitudes físicas   (todo aquello que puede ser cuantificado y que representa alguna propiedad física de la materia ) como la presión, viscosidad, etc. que es preciso

medir. La medida es un número expresado en un sistema de unidades. Por ejemplo: La pizarra, no es una magnitud física, pero la longitud si lo es por ser inmaterial. Si se escogen tres magnit magnitudes udes básicas básicas o fundamentales fundamentales y se asigna una unidad a cada una de estas tres magnitudes, las restantes magnitudes se denominan magnitudes   derivadas y se pueden expresar en función de las tres magnitudes fundamentales; así como sus unidades, unidad es, se se denominan unidades derivadas y pueden pueden expresarse en función función de las tres unidades fundamentales. El Sistema Internacional de Unidades , denominado actualmente en el mundo entero con las siglas SI, no es más que una extensión y perfeccionamiento del sistema Giorgi o MKS. MKS.

Magnitud Magni tud Masa Longitud Tiempo Corriente Eléctrica Temperatura Cantidad de sustancia Intensidad Luminosa ángulo plano ángulo sólido

Dimensión

Nombre

Símbolo

M L T

Kilogramo metro segundo Amperio Kelvin Mol Candela radian estereorradián

Kg m s A k mol cd rad sr

Tabla 1.1. Magnitudes y Unidades Fundamentales Fundamentales en el S.I. S. I.

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En el estudio de la Mecánica de Fluidos  solo intervienen las tres primeras magnitudes fundamentales. Las unidades derivadas se expresan convenientemente como productos de las unidades fundamentales elevadas a ciertos exponentes. A veces las unidades derivadas se expresan con nombres especiales.

 Nombre

Representación Dimensional M L T F

 c

g   de Constante Proporcionalidad  

M.K.S. o absoluto Técnico

kg

m

s

 N

C.G.S.

gr

cm

s

dina

1

Métrico de Ingeniería

kg

m

s

kg f  

9.81

Grav. Métrico

UTM

m

s

kg f  

1

Gravitacional Ingles

slug

pie

s

lb f  

1

Ingles de Ingeniería

lb

pie

s

lb f  

32.2

Absoluto Ingles

lb

pie

s

 poundal

1

kg . m  N . s 2 gr . cm

dina . s 2

UTM UT M .m slug. pie lb f  . s 2

 

lb . pie lb f  . s 2

lb . pie 1  pundal  pun dal . s 2

 slug   slu g : 32.2 lb 14.59 kg  

13

 

Kg f  . s 2

kg  f  : 9.81 N 

Íng. Jorge Alejos Zelaya

 

kg f  . s 2

Equivalencias:

UTM  : 9.81 kg   Pound  Pou ndal  al : 0.0141 kg  f 

 

kg . m

Tabla 1.2. Sistema de Unidades.

  5  N  : 10 dinas

 

   

 

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 F 

 m.a

(1.3) 

 

 g c

Sistema Técnico: kg  f 

m 1   UTM  . 2 .  s UTM . m kg  f  . s 2

kg  f  

m UTM  a

m  s 2  

Sistema Internacional: 1 m    N  kg . 2 . kg . m  s  N . s 2

 N 

m k g  a

m  s 2  

1.4. PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL. “Todos los términos de una ecuación que expresa una ley deben ser dimensionalmente dimensionalmen te iguales” iguales”   Los corchetes [ ], representan “las dimensiones de”  

Si X = A + B

(Ley Física)

Entonces [X] = [A] [A] = [B] [B]

Problema 1: La siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea.

F

4E y 1

2

Rd

2

h  y h

y 2

t t3  

donde: E  d, h, j R   F 

:  :  :  :  : 

Modulo de elasticidad longitudinal (Young) Coeficiente de Poissón Distancia Reilación de Distancia Distanciass Fuerza

Íng. Jorge Alejos Zelaya 14

 

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¿Cuáles son las dimensiones de t?

Solución:  F   L 2  . 2  L t  t 3 2  L  L

 F 

t   L

   L3

longitud   

 L2 t  t 3

Problema 2: Verificar si la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta.

 F  L2 T  2   V 2 L3 donde: F L T V

:  :  :  :  : 

Fuerza Longitud Tiempo Velocidad Peso específico

Solución: F L V

2

2

T L

3

F

2

 

;

3

L

2

FL T L2 3 L 2 T

2

F 3

L

 

La ecuación es dimensionalmen dimensionalmente te correcta.

1.5. OBJETIVOS DEL ANÁLISIS DIMENSIONAL  

Expresar  las magnitudes derivadas  en función de las magnitudes fundamentales.

 

Comprobar si las fórmulas físicas son correctas, mediante el principio de  homogeneidad dimensional.

 

Determinar formulas empíricas a partir de datos experimentales.

Problemas 3:  No se conocen las leyes que rigen la caída de Presión P = P1-P2  ¿como organizar organizar experimentos que hagan hagan aparecer magnitude magnitudess que intervienen en el  problema? Íng. Jorge Alejos Zelaya 15

 

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Solución: 1.- Plantear la Ecuación Funcional.- Selección de las variables.

 P  :



v, d , L, , ,

 o   

V . dep.

V . independientes

(1)

( 6)

n: numero numero total de variables = 7 donde: V d P L

:  :  :  :  :  : 

Velocidad medida del flujo Diámetro de la tubería Densidad del fluido Caída de presión para un tramo L de tubería. Longitud de la tubería Rugosidad absoluta de la tubería

2.- Elegir el Sistema de Dimension D imensiones es Fundamentales Fundamentales ó Básicas. B ásicas.

M , L, T  

F, L, T  

o

* problema. Del sistema(m) elegido, se toma el número de dimensiones, que intervienen en el   V

h,g

 

n: 3 variables

Íng. Jorge Alejos Zelaya 16

V

LT 1  

h

L 

g

LT 2  

m = 2  2 

 

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3.-  Se escribe la ecuación dimensional dimension al de cada variable.   [V] [d] [ ] [ P]

=  =  =  = 

L T-1  L  M L-3  M L-1 T-2 

[[L]] [ ]

=   = = 

ML   L  L 

-1

m

3 M, L, T  

4.- Cálculo del número de grupos ó parámetros adimensionales ( )

n m  7 3

4 

Luego el número de parámetros adimensionales, son: 1

,

 ,

2

3

,

4

 

Solución de : Se construye la matriz dimensional del sistema . 1

:

Teorema   de Teorema de  Buckingham Buckingham  

P V

2

 

2

:

L 3

:d

vd     o

 

4

: d

 

Cualquier cantidad física puede caracterizarse mediante dimensiones. Las magnitudes arbitrarias asignadas a las dimensiones d imensiones se llaman unidades.

Íng. Jorge Alejos Zelaya 17

 

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CAPITULO II

CONSIDERACIONES BASICAS Desde el punto de vista de la Mecánica de Fluidos,  interesa el comportamiento de la metería en un sentido global  considerándolo en su conjunto como un medio continuo  y por ende sin vacíos intermedios. Esto es en contraposición a considerarlo como un sistema de partículas individuales aisladas que actúan como grupo. Un medio continuo  se caracteriza por que sus átomos ó moléculas  están  próximos unos de otros, y el conjunto puede considerarse macroscópicamente como una masa homogénea cuyo comportamiento puede preverse sin tener en cuenta el movimiento cada una de las partículas elementales quepartículas. lo componen. En este sentido se supone quedeno existen vacíos o separaciones entre las En este capítulo incluimos una descripción macroscópica  de los fluidos, las  propiedades de estos y las leyes físicas  que dominan la Mecánica de Fluidos

2.1. PERSPECTIVA DE MEDIO CONTINUO DE GASES Y LÍQUIDOS Las sustancias a las que llamamos fluidos,  pueden ser líquidos ó gases.

Liquido.- Es un estado de la materia en el que las moléculas están relativamente libres  para cambiar definposición unas un respecto derelativamente otras, pero restringidas restringida s por fuerzas de cohesión , con el de mantener volumen fijo.

Gas.-  Es un estado de la materia en el que las moléculas prácticamente no se hallan restringidas por fuerzas de cohesión . El gas no tiene forma, ni volumen definido. Una fuerza F que actúa sobre un área A, se puede descomponer en la componente normal Fn y la componente Tangencial Ft como se muestra. La fuerza dividida entre el área sobre la que actúa se denomina esfuerzo. esfuerz o. El vector de fuerza dividido entre el área es el vector esfuerzo, la componente normal de la fuerza dividida entre el área es el Esfuerzo Normal, y la Fuerza Tangencial dividida entre el área es el Esfuerzo Cortante. En esta explicación nos interesa el esfuerzo cortante, definido matemáticamente:

Ing. Jorge L. Alejos Zelaya

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lim

 A   0

 F t   F   

(2.1) 

Fig. 2.1. Componentes normal y tangencial de una fuerza.

2.2. DEFINICIÓN DE UN FLUIDO Es una sustancia que se deforma d eforma continuamente cuando está som s ometido etido a un esfuerzo de corte c orte o tangencial, sin importar lo pequeño que q ue sea este. De esta definición se desprende que un fluido en reposo no soporta ningún esfuerzo de corte.

Las partículas del fluido en movimiento adquieren una cierta velocidad, desplazándose unos con respecto a las otras.

2.3. CLASIFICACIÓN DE LOS FLUIDOS Si la condición del fluido, es:

Estática

Fluido Compresible.- Su densidad es variable, generalmente es un gas y la rama que se encarga de su estudio es la Aerostática. Fluido Incompresible.- Se considera que la densidad es invariable en un líquido (Hidrostática).  

Ing. Jorge L. Alejos Zelaya

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Dinámica 

Flujo incompresible.- La variación de su densidad no es muy considerable. (se asume constante). El número de Mach es menor que 0,4 (M < 0,4), puede ser liquido ó gas. Flujo compresible.- La variación de la densidad es considerable en el problema. El numero de Mach es mayor que 0,4 (M > 0,4). 

Número de Mach (M).- Es el mas impórtate de los parámetros adimensionales, para el estudio de los fluidos comprensibles.  M 

 Fuerzai  Fuer zainer  ner cial   Fuerza  Fuer za compresibilidad 

   M 

Velocidad  del  Flujo (V ) Velocidad  del  Sonido(C )

 M  La velocidad del sonido, se obtiene por :

V    C 

C   K  RaT   

(2.2)

(2.3) 

donde: K =  Ra =  T = 

Relación de calores específicos. Constante del gas (J/kg.K) Temperatura absoluta.

Los flujos comprensibles se clasifican: M M M

< = >

1 1 1

Flujo subsónico  Flujo Sónico Flujo Supersónico

La velocidad del sonido en el agua es 1400 m/s y en el aire 330 m/s. En los líquidos la velocidad del sonido varia solo ligeramente con la temperatura y la presión, mientras en los gases sucede los contrario.

Ventilador.- Es una Turbomáquina Hidráulica generadora para gases.

Ing. Jorge L. Alejos Zelaya

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Si :  P    1000 mmca ( Ventilador ) ;

 P    1000 mmca ( Turbocompresor )

En el cálculo y diseño de ventiladores se  se  desprecia el efecto de compresibilidad y el gas se puede considerar como incompresible. incompresible.

h ( mmca)

10   .19 x P( mbar )  

2.4.- FLUIDOS NEWTONIANOS Y NO NEWTONIANOS. REOLOGÍA.- Es la ciencia que estudia el esfuerzo y la deformación de la materia Un sólido puede soportar o resistir un esfuerzo cortante, suponiendo claro esta que este esfuerzo no exceda el límite elástico del material.

Ing. Jorge L. Alejos Zelaya

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  Supóngase que se tiene un fluido entre dos placas paralelas separadas por una distancia pequeña entre ellas, una de las cuales se mueve con respecto a la otra. Para que la placa superior se mantenga en movimiento con respecto a la inferior con una diferencia de Velocidades (V), es necesario aplicar una fuerza (F), que por unidad de área se traduce en un esfuerzo de corte, siendo “A” el área de la placa en contacto con el fluido. Se puede constatar además que el fluido en contacto con la placa inferior que esta en reposo se mantiene adherido a ella y por lo tanto no se mueve. Por otra parte, el fluido en contacto con la placa superior se mueve a la misma velocidad que ella. Si el espesor de fluido entre ambas placas es pequeña, se puede suponer que la variación de velocidades en su interior es lineal, de modo que se mantiene la  proporción. tg

dv

v

dy

y

Para un instante t  pequeño dt , el ángulo aproximarse por d . 

es también pequeño y su tangente puede puede

d : ángulo ángulo que que se se defo deforma rma el el fluido fluido en el el in inter tervalo valo dt

Fig. 2.2.- Comportamiento de un fluido Viscoso entre dos placas Paralelas . d



dv dy

dt  

dv dy

Ing. Jorge L. Alejos Zelaya

22

 

(2.4)

 

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La ecuación anterior se denomina : Razón de deformación. Velocidad de deformación angular Índice de deformación cortante Gradiente de Velocidad ( s  s -1)  Para ciertos fluidos denominados Newtonianos, se ha comprobado que la fuerza necesaria para lograr una velocidad V, es proporcional a ella y al área, e inversamente  proporcional a la separación separaci ón entre las placas. pla cas.

 F   A

v  y

 

(2.5) 

La constante de proporcionalidad es una propiedad del fluido (Viscosidad) , y se designa  por , además debido a la distribución lineal de Velocidad, esta expresión, esta dada por la Ecuación de Newton de la Viscosidad.

dv dy

 

(2.6 )

La expresión (2.6), es valida para un flujo bien ordenado en el que las partículas se mueven por trayectorias rectilíneas y paralelas (laminar). 

Todos los gases y la mayoría de los líquidos son Fluidos Newtonianos .

Fig 2.3 Fluidos Fluidos Newtonianos Newtonianos y no Newtonianos Newtonianos

Ing. Jorge L. Alejos Zelaya

23

 

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En el diagrama Reológico, que se ilustra en la figura 2.3, se tiene los casos mas típicos de los fluidos: a.  Fluido ideal, en el cual la viscosidad se puede considerar despreciable.  b.  Fluido Newtoniano, la la viscosidad es constante y pendiente, n = 1 c.  Fluidos no Newtonianos: (n

1)

C1.

Pseudoplásticos (n < 1).- Menos resistentes al movimiento (Soluciones coloidales, pinturas, etc.) al aumentar la razón de deformación.

C2.

Dilatantes  (n > 1).- Resistentes al movimiento a medida (arenas movedizas, lodos, etc.) que aumenta dv/dy.

Los fluidos no Newtonianos, se expresan por la ecuación de “Fluidos ley de Potencias”   Potencias”

k 

dv

n

 

dy

(2.7)

Problema 1: Un esfuerzo cortante de 4 dinas/cm2, da lugar a que un fluido Newtoniano Experimente una deformación angular de 1rad/s. Determinar la viscosidad dinámica (Pa.s). Solución: Para un fluido Newtoniano:

4 dina dv

 

cm2 1 rad  

dv

dy

dy

4 p  

s

0.4 Pa.s  

Problema 2: Con la notación que se muestra, el perfil de velocidades esta dado por la ecuación: V = 5y + 10 y2 ; donde: V ( pie/s ) e y ( pie ). Determinar: a)  El gradiente de velocidades en el límite y a 8 pulg. del límite.  b)  El esfuerzo cortante (lbf/pie2) en la pared, si el fluido es aire estándar (0.0373 x 10 -5  slug/pie.s).

Solución: a)  du dy

Ing. Jorge L. Alejos Zelaya

d 5  y 10y 2 dy

24

5 20y  

 

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en el limite y = 0 dv

  5 s

dy

dv

5 20

dy

b)

dv  pared  pare d

dy 0.0373x 10

5

y

slug lbf .s x pie.s  pie.s

1

 pie2 slug

,

8 12

8 pu lg  

y

18.33 s 1  

0  0.1865x 10

5

lbf   pie2

 

2.5 ESCALA DE PRESIÓN Y TEMPERATURA. TEMPERATURA. En mecánica de fluidos la presión es el resultado de la acción de una fuerza  de compresión normal sobre un área.

Fig 2.4. Definición de Presión

   P  lim

 A   0

 F n  A

 

(2.8) 

La presión solo se emplea cuando se  trata de un gas o un líquido. La contraparte de la  presión en los sólidos es el esfuerzo. Ing. Jorge L. Alejos Zelaya

25

 

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La representación dimensional y unidad de la presión es:

P Pa

FL

2

 N

Pascal  

m2

1 ba  bar  r   105 Pa

0.1MPa 100 kPa  

Atmósfera estándar o normal: 1.01396 bar (15 ºC y al nivel del mar, latitud 40º) Atmósfera técnica: 1 bar Atmósfera local (Reinante en un lugar y tiempo determinado): Barómetro.  Con frecuencia a las unidades de presión se añaden las letras “a” para la presión absoluta y “g” para la presión m manométri anométrica ca (como psi psiaa y psig), para aclarar de los

que se habla.

Pabs

Patmosféric   a

Pmanométrica  

(2.9)

La presión real en una posición dada se denomina presión absoluta y se mide respecto al vacío absoluto (no quedan moléculas en el espacio). La mayor parte de los dispositivos que miden presión se calibra para leer el cero en la atmósfera y por ello indican la diferencia entre la presión absoluta y la presión atmosférica local. Esta diferencia se denomina presión manométrica.

Fig 2.5. Presión manométrica y Presión absoluta

Ing. Jorge L. Alejos Zelaya

26

 

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Lo mas común en mecánica de fluidos es utilizar presiones manométricas Aunque existe cierta familiaridad con la temperatura  como medida de lo “caliente” o lo “frío ”, no es fácil definirla exactamente.   Es el índice de calor o frío de un sistema . De acuerdo con las sensaciones fisiológicas, el nivel de temperatura se expresa en un sentido cualitativo con palabras como: congelado, frío, tibio, caliente y ardiente . Las escalas de temperatura se basan en el punto de congelamiento y ebullición del agua a una presión atmosférica de 101.3 kPa.

Punto de vaporización del agua Punto de congelamiento Cero absoluto

ºC

K

ºF

ºR

100º 0º -273º

373 273 0

212º 32º -460º

672º 492º 0

Fig 2.6. Escala de Temperaturas

Cero absoluto. Es la temperatura a la cual las moléculas de un cuerpo tienen a cesar su movimiento, es decir en estado de energía cinética molecular es mínimo, mínimo, pero no es igual a cero. Escalas absolutas Escalas relativas

: :

Kelvin y Rankine Celsius y Fahrenheit

La formula que expresa la relación entre las lecturas indicadas por las distintas escalas,  para una misma temperatura, temperatura , es:

º C 

k  27 273 3   º F  32

5

5

9

º R 49 492 2 9

2.6 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS:

Ing. Jorge L. Alejos Zelaya

27

 

(2.10)

 

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Un sistema termodinámico o simplemente un sistema, es una cantidad de materia o una región en el espacio elegido para estudio. estudio. La masa o región fuera del sistema sistema recibe el nombre de alrededores, la superficie real o imaginaria que separa al sistema de sus alrededores se llama llama frontera (fija o móvil) En términos matemáticos, la frontera tiene espesor cero, y por ello no contiene ninguna masa, ni ocupa ningún volumen en el espacio.

Sistema cerrado o masa de control

Sistema abierto o volumen de control

Las relaciones termodinámicas aplicables a sistemas cerrados y abiertos son diferentes. En con consecuencia, secuencia, eess muy im importante portante reconocer al tipo de sistema, antes de empezar con el análisis. Las propiedades intensivas   son independientes del tamaño de un sistema (temperatura, presión, etc.). los valores valores de las propiedades extensivas dependen del tamaño o extensión del sistema (masa, volumen, energía, etc.)

Ing. Jorge L. Alejos Zelaya

28

 

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Las letras mayúsculas  se utilizan para denotar las propiedades extensivas, (la masa es un excepción importante), y las letras minúsculas  para las propiedades intensivas (la presión P y la temperatura T son excepciones) Las propiedades extensivas por unidad de masa se llaman propiedades específicas o intensivas.

 N  m

e

 E  m

 B m

m  s 2

 J  kg 

2

e  L2 T 

2

 si :

 

 B

dm

1. Viscosidad: Es una medida de la fluidez a temperaturas definidas. Propiedad del fluido por el cual este opone resistencia a la deformación angular  provocada por el esfuerzo de corte. c orte. La constante de proporcionalidad entre y dv/dy, se denomina viscosidad dinámica  ( )

 F . y dv    A. v   dy FL 2 T

(2.11) 

ML 1T 1  

ó

Las Unidades en el Sistema:

SI  :

 Pa . s kgf  kg f . s m2 dina. s  Poisee  Pois cm2

Tecnico : CGS  :

Nota:  

 X  Pa . s .10  Ejm : 8  Pa . s

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 p 80  p   29

  ( p)

 

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kgf  kg f  . s . 98.1 m2 kgf  kg f  . s  Ejm : 10 m2 Y 

 

 p   981 98 1 p

La viscosidad  ( ), repres representa la dificultad dific que opone el el fl fluido uido apor: es escurrir currir sometido a los cinemática esfuerzos internos que enta provoca su ultad propioque peso, se determina

(2.12)  L T 1 ; donde

la representación dimensional de la viscosidad cinemática es: densidad del fluido. SI

:

CGS : agua

  2

es la

m2 s

 

cm 2

stoke

s

st

  20º C 1.007 x 10 6 m2 s  

Tabla 2.1. SISTEMA DE UNIDADES DE LA VISCOSIDAD

 Nº

Viscosidad Absol olu uta ( )

NOMBRE

F L  2 T  

1 2

M.K.S. o absoluto Técnico C.G.S.

 N . s

Pa . s  

m2

dina . s 2

 p  

3

m2

m .s gr 

 

s

 

UTM UT M

5

Gravitacional Ingles

lbf . s

6

Ingles de Ingeniería

lbf . s

Absoluto

Poundal . s

m2

 pie 2

 pie 2 2

Ing. Jorge L. Alejos Zelaya

kg

kgf . s

Grav. Gra v. Métrico

Ingles

L2 T 1  

kgf . s   m2

4

7

M L 1 T 1 

cm . s kg   9.81 m.s

cm

Métrico de Ingeniería

Viscosidad Cinemática ( )

 pie

30

 

m .s slug

 

 pie . s

 

 

lb  pie . s

st  

s m2 s m2 s

 

 pie 2 s

lb   32.2  pie . s

 

cm2

 

 

 pie 2 s  pie 2 s

         

 

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La viscosidad depende de la Presión y la Temperatura. En el caso de los líquidos las fuerzas de cohesión son preponderantes y disminuyen con el aumento de la temperatura. En el caso de los gases el intercambio de cantidad de movimiento origina  principalmente el aumento aum ento de la viscosidad con la temperatura. te mperatura. La influencia de la Presión es pequeña y generalmente se desprecia. La representación grafica, de la variación de la viscosidad con la temperatura, es:

La determinación experimental de la viscosidad se hace utilizando viscosímetros o viscómetros, que pueden ser cinemáticos o dinámicos. La ecuación general experimental es:

 A t  donde:

 B   t 

(2.13) 

2

t

: :

AyB :

viscosidad cinemática (cm /s) tiempo de escurrimiento de la muestra (s) constantes que dependen del tipo de viscosímetro utilizado

Existen unidades no convencionales  de la viscosidad utilizadas por técnicos, como son “Segundo Saybolt Saybolt Universal ( SSU   SSU )”, “Grados Engler (ºE), etc.

º E 

200 0cc de aceite Tiempo  pa  para ra evacuar 20   (2.14)  Tiempo de vaciado de 20 200 0cc de agua a 20º C  (48.51 s )

Si se utiliza el viscosímetro Engler, la viscosidad se determina:

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31

 

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cm2  s

0.0731 º E 

0.0631 º E 

  (2.15) 

Análisis de tipos de problemas: a) Placas ms 

P a.s

F

. A. 

m2

v y

 



m

Acción-Reacción F

F

1

F

A.v

F E

F

 

Ing. Jorge L. Alejos Zelaya

32

F1   F2  

Av

A

v y1

2

A

v y2

 

1

2

y1

y2

F1

F 2

F peso  

1

1

y1

y2

c

 

Vc

L

Vc

 

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F

F

 

b) Eje-Cojinete

 F 

 A V   y  

( )

donde: A: Área de la superficie móvil en contacto con el fluido A: Área lateral:

d 1L  

 N RPM

V

R 1

rad d1

   N .

30

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s

rad 30

m 

2

33

s

 

Fv

A

F peso .Sen  

v y

V . Sen c

c

 

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y (huelgo radial) :

d 2     d 1 2

 

Reemplazar en : Además saber que: Torque (T0 )

Potencia P

To .

F. R  N.m  

 N.m.

rad s

Watts  

c) Cilindro-Pistón (M.C.I.)

 F 

 A

v    y

( ) 

Donde: A : d p L v : velocidad o celeridad del pisto  piston n y:

dc

d p 2

  Reemplazar en

d) Discos

Ejemplo: Evaluar el Torque para vencer la resistencia viscosa dT  dF   x   Ing. Jorge L. Alejos Zelaya

34

( )

 

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dT

dA :

v dA . x   y

 x  dx

2

;

x2  

R 2

dA : Corona :

r 2

 

; dA : x 2 2xdx xdx dx 2 x 2  

El área de la corona representa el dA 2 x dx    Reemplazando  Reemplaza ndo en :

dT

2 x dx

x y

.x  

T

;

0

dT

2

R 

y

0

x 3 dx  

Desarrollando la integral, se tiene: T

2

y

.

R 4 4

 

 2. Dens D ens i da dad dóM Mas asa a E s pec pecíí fic fi c a. (  ) Es la masa ó cantidad de materia por unidad de volumen de una sustancia. Puntualmente esta definida:

lim

V    0

m   V 

 M  L 3 ó  F  L 4 T 2

(2.16)  (kg  / m3 ); ( gr / cc)  

ue, al hace acer V ext xtre rem madam adameent ntee Físicamente no podemos hacer  V 0 ya que,  pequeño, la masa contenida en V varia de forma discontinua dependiendo del numero de moléculas moléculas que hay hay en V. En realidad el el cero de la definic definición ión de densidad se debe ddeebemedio sustituir por cierto pequeño , , por por debajo del cual falla el supuesto continuo. Paravolumen casi todas las aplicaciones de ingeniería, el  pequeño volumen es extremadamente in insignificante. significante.

Fig 2.6. Densidad en un punto de un medio continuo.

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35

 

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La densidad se puede definir en todos loa puntos del fluido, puede variar de un punto a otro y de un instante a otro, es decir en coordenadas cartesianos es una función continua, y se escribe como (x, (x , y, z, z, t).   La densidad de los fluidos varía con la temperatura y la presión. En los líquidos a  presiones normales la influencia i nfluencia de la temperatura es más importante.

 3.-- V  3. Volumen olumen e ess pecí fico fi co ( ) Es una propiedad propiedad que en termodinámica se usa con mayor mayor frecuencia específico y se define el volumen por unidad de masa.

V  m M 1 L3 ; 

1  

(2.17)

m3 / kg  

4.- G rave raveda dad d es específica pecífica ó densi da dad d rel rela ativa (S ) Es la relación entre la densidad de un fluido y la densidad de una sustancia de  preferencia a condiciones condicio nes normales.

S  x

 x

 

(2.18)

agua

Para fluidos incompresibles y sólidos : agua

013 3 bar  4º C ; 1.01

S  x

 x

1000

kg m

3

; 1

 

gr  cc

 

(2.19)

aire

Para fluidos compresibles: aire

20º C ; 1.01 013 3 bar 

1.2

kg m3

 

 5.-- P  5. Pes es o e ess pec pecíí fic fi c o (  ) Corresponde a la fuerza con que la tierra entre a una unidad de volumen de una sustancia. Ing. Jorge L. Alejos Zelaya

36

 

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 Peso   Volumen FL 3 ,

(2.20)

 N / m3  

;

agua , cn

9.81   KN / m3  

La masa y el peso específico, están relacionados, por:

. g 

 g c   6.- C om ompres pres ibilida ibilidad.d.Representa la relación entre los cambios de volumen y los cambios de presión a que esta sometido un fluido. fluidosUna se forma comprimen presión laaumenta y el resultado es un aumentoTodos en la los densidad. comúnsideladescribir compresibilidad de un fluido es con el Modulo de elasticidad Volumétrico (E), el cual se define como la relación entre ent re el ccambio ambio de ppresión resión ( P) y la la def deform ormació aciónn del del volumen volumen ( V/Vc V/Vc), ), m mient ientras ras la temperatura permanece constante.

 E 

 P    V  V 0

(2.21)

(-) a un incremento de Expresa presiónquecorresponde un decremento de volumen

El módulo de elasticidad volumétrico, tiene unidades de presión E

FL 2  

El modulo de elasticidad volumétrica del agua en condiciones estándar es aproximadamente.

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E agua : 2100 MPa   37

 

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El reciproco del modulo de compresibilidad de una sustancia se denomina: “coeficiente de comprensibilidad ”( )  1

 E  E m

 

(2.22 )

(densidad)   V 

; dV

dV Vd  

dm Vd  

;

dV  V 

;

d 

si

cte  

dm

 

( )

Reemplaz Reem plazando ando llaa ecuació ecuaciónn ( ), en (2,21): (2,21):  P 

 E 

dP 

 E 

 

(2.23)

d  dV   E    V 0

(2.24)

Para el caso de gases ideales, se puede obtener el valor de dP / d  de la ecuación del  proceso mediante diferenciación: difere nciación: P

cte ,

donde:

dP

P

d

 

Por lo tanto:

 E 

 P   

( 2.25 )

De tal modo que el modulo de elasticidad volumétrico de los gases no es constante, si no que depende del proceso, y se puede ver que:

E=0

;

Pr Proc oces esoo Isobár sobáric icoo ( = 0)

E=P

;

Proces Procesoo Isotérm sotérmico ico ( = 1)

E = KP

;

Proces Procesoo Adiabá Adiabátic ticoo ( = k)

E = nP

;

Proces Procesoo Politr Politrópi ópico co ( = n)

E=

;

Proces Procesoo Isotérm sotérmico ico ( =

Ing. Jorge L. Alejos Zelaya

38

)

 

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Problema 3: Demostrar Para un gas ideal, que sigue un proceso Isotérmico que E = P Solución: De la ecuación de los Gases Ideales, se tiene P

P

R T  

. cte

cte  

P

derivando : dc

dP dx

dx

d dx

0 

2

dx dP

P

P

d dx

dP d

 

P 

Reemplazando en la ecuación (2.24) se obtiene :

P 

E

7. 7.-- Te Tensión nsión Sup Supe erficia rficiall ( )  Es la fuerza que produce efectos de tensión en la superficie de los líquidos, allí donde el fluido entra en contacto con otro fluido ó con un contacto sólido. El valor valor de ( ) depende de los fluidos fluidos en contacto y de la la temperat temperatura. ura. Los efectos de la tensión superficial son apreciables solo en fenómenos de pequeñas dimensiones, como es el caso de tubos capilares, burbujas, gotas y situaciones similares.

 F     L  F  L 1

(2.26)  ;

 N / m  

La longitud que se usa es la del contacto entre el fluido y un sólido, o la circunferencia en el caso de una burbuja.

Ejemplo: Para una gota liquida en el aire, la fuerza debida a la presión, balancea la fuerza de tensión superficial alrededor de la circunferencia

Por tanto P

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39

2 R 

 

 

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La tensión superficial ocasiona la elevación o descenso de un liquido en un tubo capilar (tubos de pequeños diámetros)

La elevación capilar (h) puede determinarse igualando la componente fuerza de tensión superficial vertical y el pesodede la columna del líquido. d Sen

h

4 d2 h  

 

4 Sen d

Si el tubo es limpio;

 

= 90º

tubo de con diámetro de 2mm; se inserta en agua a 15 Problema 4: Un ºC. Determine la altura a lavidrio que ellimpio agua subirá por el el tubo.

Solución: : 7.41 x 10 2 N / m  

Agua 15 ºC:

h0

4 x 0.0741 9800x 0.002 00 2

0.0151m  

h

;

;

: 9800 N / m3  

15.1 mm  

El origen de la tensión superficial es la cohesión intermolecular y la fuerza de adhesión del fluido al sólido.

8.- Pr es ión de va vapo porr (P v) Cuando a un líquido se le disminuye la presión a que esta sometido hasta alcanzar un valor tal que comienza a ebullir, se dice que ha alcanzado la presión de vapor. Esta presión depende de la temperatura. La termodinámica enseña que un líquido entra en ebullición a una presión determinada, llamada presión de saturación, que depende de la temperatura; llamada temperatura de saturación, para dicha presión. El comienzo de la ebullición del líquido es también el comienzo del fenómeno de cavitación (fenómeno que puede dañar el rodete de la turbomáquina)

Ing. Jorge L. Alejos Zelaya

40

 

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2.7 LEYES DE CONSERVACIÓN –  CONSERVACIÓN –  PROPIEDADES  PROPIEDADES Y RELACIONES TERMODINÁMICAS Tres leyes constituyen la base de nuestro estudio de la mecánica de fluidos.

1ra. Ley: “conservación de la masa”: la materia es indestruc indestructible. tible. 2da. Ley: “Conservación de Mom M omentum”: entum”: el momentum de un sistema  permanece constante constant e si sobre el sistema no actúan fuerzas externos. Una ley específica basada en este principio es la segunda ley de newton : la suma de todas las fuerzas externas que actúan sobre un sistema es igual a la razón de cambio temporal del momentun lineal del sistema. ra.

3la Termodinámica”.   Ley: “conservación de energía”: se conoce también como “Primera ley de Termodinámica”.   A) Sistemas Cerrados: Transferncia neta de

Incremento o

energía a (o de) el

decremento en

sistema como calor 

la energía total  

y trabajo.

del sistema.

Q Ing. Jorge L. Alejos Zelaya

W  41

 E   

(2.27) 

 

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En Mecánica de Fluidos la energía total consiste en energía potencial, cinética e interna. Los efectos magnéticos, eléctrico y de tensión superficial son insignificativos.

B) Volumen de Control :

Energía total que cruza la frontera como calor  y trabajo por unidad de tiempo.

 W  Q

Energía total

Energía total

transportada

transportada

fuera del V.C.

hacia dentro

co con n la masa

del V.C. co con n  

 por unidad de

la masa por 

tiempo.

unidad de t.

  s m

s

 

e m

e

 

donde: = Energía total del fluido que circula.  Q W 

m  s s h

v2

 g  z

2

  S 

m e s h

v2 2

 g  z

 

(2.28)

 E 

Calor especifico.  Es Es la e nergía referida para elevar la temperatura de una masa unitaria de una sustancia en un grado. En termodinámica interesan dos tipos de colores específicos: calor especifico a volumen constante (Cv) y calor especifico a presión cantante (Cp). Cp>Cv (a presión constante el sistema se expande) Cp k 

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Cv  

42

 

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R gas  

Cp Cv

KJ / kg.k  

Cp , Cv , R gas

Cualquier ecuación que relaciones la presión, la temperatura y el volumen especifico de una sustancia, se denomina ecuación de estado.

La ley de los gases ideales  esta dado por:

 P 

 

 Rg T 

 

(2.29)

En esta ecuación la presión y temperatura son absolutas. La constante del gas R g, se relaciona con la constante universal R  , mediante la relación:

 R g 

 R

 

(2.30)

 M 

donde:

R : 8.31 314 4 KJ / Kmol. k  0.08314 10.73

 bar . m3

Kmol. k   

Psia. pie3 lb mol. R 

La masa de un sistema, es igual al producto de su masa molar ( M ) por el numero de moles (n)

m   n . M  R aire : 0.28 287 7

 

KPa . m3 kg . k 

(2.31) 0.28 287 7

KJ kg . k 

 

La ecuación de los gases ideales para una masa fija, en dos estados diferentes se relaciona entre si por medio de:

P V

   

 

m R g T 

KPaa m KP





3

kg

KJ kg . k 

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43

k 

 

 

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 P 1 V 1 T 1

 P 2 V 2 T 2

 

(2.32 )

También, se cumple que:

 P v  m  R T 

 

(2.33)

Claro esta que:

V  n

vm

 

Volumen especifico molar

Problemas 5: Un tanque con un volumen de 0.2m 3 contiene 0.5 Kg de nitrógeno (masa molar: 28 KJ/kmol). KJ/kmol). La temperatura es de de 20ºC. Calcular la Presión. Solución: PV

m R g T   R 

PV

x 29 293 3k  kg . k    kg 3 0.2 m x 28 kmol

VM

P

KJ

0.5 kg x 8.31 314 4

m R T

P

m MT 

2.18

KJ m

3

ó

2.18 KPa  

ue tiene como viscosidad Problema 6:   Calcular la densidad relativa de un aceite qque 25 x 10

7

UTM UT M m .s

 

y

4 x 10 4 st .

Solución:  .

25 x 10 S 4

4 x 10

cm

2

7

ac

 

.

2

 

UTM

m

s x 1000 m 3 x 9.81 kg x 10 4 cm 2

Ing. Jorge L. Alejos Zelaya

. Sac  

UTM m .s

kg

agua

44

S

0.613  

 

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Problema 7: ¿Qué valoras tienen la viscosidad absoluta y cinemática (Sistema técnico) de un aceite (S: (S: 0.932) que tiene un unaa viscosidad a 37ºC de 155 SSU? Considerar: Considerar: A: 0.0022 y B: 1.35. Solución:  En el sistema sistema técnico la viscosidad absoluta o dinámica, tienen las siguientes unidades:  

kg kgf  f  . s ó kg m2 m .s

2

B

At

t

0.0022x 15 155 5

0.333

m s

;

cm2

  1.35 15 155 5

 

3.33 x 10

s

 

5

m2 s

 

. kgf  0.33 333 3x 0.93 932 2

gr  cm . s

1 p gr 

m2   98 p

3.16 x 10

3

kgf  kg f . s m2

 

cm . s

Problema 8:  ¿Qué par to torsión rsión se requiere para vencer el el efecto viscoso, al hacer girar el cilindro intermedio de la figura a 40 RPM? Considerar que todos los cilindros tienen 400mm de longitud. La viscosidad del aceite es 2,5 p. R: 150mm y e: 3mm

Solución: Se sabe,que :

Torque = Fuerza x Radio T

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Av y

R  i

45

Av y

R   e

 

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T

2

A

v y

R  

;

T

2

2 R L e

T

T

R  R 

L R 3

4 e

 

 

 N . s 40 ra rad d 3 4 x 0.25 2 x x 0.4m x 0.15 m 3 m 30 s   0.003 m

T

5.92 N. m  

Problema 9:  En el esquema, la placa superior se mueve a una velocidad de 0.8m/s, y la inferior se puede mover libremente bajo la acción de las fuerzas de viscosidad que actúan sobre ella una vez que el movimiento se establece. ¿Qué velocidad tendrá la  placa inferior? Suponer que el área de contacto con el aceite es el mismo en la placa superior que en ambas caras de la placa inferior y en la superficie fija. t1: 2mm,

t2: 1mm,

1:

10-1 Pa.s,

2 :

40x10-2 Pa.s

Solución:  Fi

2

2

A

A

v1 t2

v1 t2

1

A

;

Fs

v v1

  ;

t1

Reemplazando valores, se tiene :

A

v v1 t1 v1

v1

v1

Ing. Jorge L. Alejos Zelaya

1

1

t2 v

2 t1

1 t2

 

10 1 x 10 3 x 0.8 40 x 10 2 x 2 x 10

0.44 m   s 46

  ; F1 = F2 

3

10 1 x 10

3

 

 

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CAPITULO III

ESTATICA DE LOS FLUIDOS La estática  de los fluidos estudia las condiciones de equilibrio bajo las cuales un fluido esta en reposo , sabiendo que para ello se requiere que todos los elementos que la forman se mueven a la misma velocidad, es decir que no se desplacen unos con respecto a los otros y por lo tanto no hay escurrimiento. El fluido esta entonces detenido o se mueve como si fuera un cuerpo rígido sin deformarse. La ausencia de escurrimiento y por lo tanto de deformación angular lleva implícita la ausencia de esfuerzo de corte.

Reposo:

dv dy

0

0 

El único esfuerzo  que hay es un esfuerzo normal: la presión de modo que lo que interesa primordialmente en estática de los fluidos es la presión.

Ing. Jorge L. Alejos Zelaya

47

 

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3.1. PRESIÓN EN UN PUNTO PUNTO La presión actúa igualmente en todas las direcciones en un punto dado para un fluido estático.

Fig 3.1 Presión en un punto de un fluido

Tomamos un prisma triangular de un líquido en reposo, bajo la acción de las fuerzas del fluido que lo rodean. Apliquemos la segunda ley de Newton al elemento, en todas las direcciones. Fx  m a x   0 

F1 F3 Sen P1 dy dz

P3 ds dz Sen

0 

 P 1   P 3  

( ) 

Fy  m a y   F2 P2 dx dz

F3 Cos

P3 ds dz Cos P2

P3

dy 2

Ing. Jorge L. Alejos Zelaya

48

0 

Fw

2

dx dy dz 0 

0 

 

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Como el prisma tiende a contraerse en un punto, el dy tiende a cero en el limite, luego dy = 0.

 P 2   P 3

( ) 

 

Igual Igualand andoo llas as ecu ecuac acion iones es ( ) y ( ); se tie tiene ne::

 P 1  P   2 P 3

(3.1)

 

La presión en todos los puntos situados en un mismo plano horizontal en el seno de un fluido en reposo es la misma

En el manómetro de tubo en U P x

0

PA   PB  

La fuerza de la presión en un fluido en reposo se dirige siempre hacia el interior del mismo, mismo, es decir es una compresión, jamás una tracción. La superficie libre de un líquido en reposo es siempre horizontal.

3.2 VARIACIÓN DE LA PRESIÓN EN UN FLUIDO EN REPOSO La variación de la presión tiene lugar en una dirección vertical. Considerar un volumen elemental dv = dx dy dz, en el interior de un fluido en reposo. Suponemos una presión en el centro de este elemento

Ing. Jorge L. Alejos Zelaya

49

 

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Fig 3.2 Fuerzas que actúan sobre un elemento infinitesimal que esta en reposo en el marco de referencia xyz.

El diferencial total de Presión en cualquier dirección es:

dP 

 P  dx  x

 P  dy  y

 P  dz  z

 

(3.2) 

La segunda ley de Newton, se escribe en forma vectorial para un sistema de masa constante como:

F

m.a  

Eje X: P dx P

x 2 dy dz

P dx P P x

x 2 dy dz dx

P

dx a x  

ax  

x

Eje Y:  Análisis de forma similar: P

ay  

y

Ing. Jorge L. Alejos Zelaya

50

dx dy dz a x  

 

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Eje Z: P

P dz z 2

dx dy

P dz

P

z 2

dx dy

g dx dy dz

dx dy dz a z  

P z

dz

dz a z  

g dz

P

g  

az

z

Reemplazando los valores de las derivadas parciales en la ecuación (3.2), se tiene:

dP 

a x dx

a y dy

a z   g  dz  

(3.3)

LaHidrostática. ecuación anterior; se denomina como la Ecuación de Euler o Ecuación general de la  

a. Fluido incompresible Un fluido en reposo no sufre aceleración, por tanto, hacemos: a x  = ay  = az = 0, entonces la ecuación (3.3), se reduce:

dP 

PA

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 g dz  

P0

51

h 

(3.4)

 

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Notas: La Presión disminuye a medida que subimos y aumenta cuando bajamos. Si despreciamos la Presión exterior Po, tenemos:

 P  A

(3.5) 

h  

La ecuación anterior es útil para para convertir la presión en altura equivalente de líquido.

Ejemplo: Convertir 0.5 bar en altura equivalente de gasolina  (S = 0.68 ) Solución:

h

KN 0.5 bar x 10 100 0  bar . m 2   KN 9.81 3 x 0.68 m

P g

h

0.5 ba  bar  r 

7.49 m  

7.49 m de gasolina  

Diagrama de Presiones.-  Indica el valor que toma la presión hidrostática del líquido según la profundidad, en el pplano lano ( P vs h ). dP : N / m 2 : kg / m 3

dP a x dx ...

a x : m / s2

 

dx : m Si suponemos que la r es constante, la ecuación (3.4) podemos integrar.

P P

Z Z

 c arg a piezometrica

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52

c te ctee ct

 

 

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Convención de signos:

PA

PB

  1h1

3

h3  

b) Fluidos compresibles Para un fluido de densidad variable no se puede lograr la integración de P2

z2

z1

dP  , hhasta asta que se conozca una relación relació n entre P y , estos pproblemas roblemas se

P1

 presentan en oceanografía oceanogra fía y metereología. Para la atmósfera en que la densidad depende de la altura, debemos integrar la ecuación (3.4) a lo largo de una distancia vertical.

dP P R T

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g dz  

Ecuación Gas ideal  

53

 

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dP   Si

P

g dz

R T

dP

g dz

P

R  T

 

el gas es Isotérmico: P

P0

ln

g

P

R T

P

g

P0

R T

dz   z0

z z0  

 g   z  z0  R T 

 P   P 0 e   Gas

z

dP

 

(3.6) 

ideal con variación lineal lineal de la temperatura con la altura:

La temperatura de la Troposfera varia con:

T2

T1

 

z1  

z2

donde: : gradiente térmico

6.5 k / Km.

luego:

P

P0

ln

dP

g

P

R T

dP

g

P

R 

P

g

P0

R 

 P   P 0

dz  

T

T0

ln

T  T 0

Ing. Jorge L. Alejos Zelaya

54

dT T

 

dT

 

T  g   R

 

(3.7) 

 

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Piezómetros: Consiste en un tubo curvado, conectado en uno de sus extremos al recinto en el cual se quiere medir la presión y su otro extremo generalmente vertical, dejado al aire libre donde reina la presión atmosférica.

Pequeñass presiones Pequeña presiones

PA

P0

Grandes Presiones Presiones

h 

PA

P0

si

P0 = 0

PA 

 

H 2O

h

mca

2

2

H



H 2O

 

H 1

h 

1

h



 

H 2O

S2 H S1h  

Manómetros diferencia d iferenciales: les: Son usados para determinar la diferencia de presiones entre dos puntos A y B, cuando la presión en cualquier otro punto del sistema no puede ser determinada.

Ing. Jorge L. Alejos Zelaya

55

 

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PA

PB

PA

P

B 

h 3 

3

h 3 



 

2

h2

2

h2



hB

h

1 1 

h

1 1

 



H2O

H2O

H2O

hA

3

 

H2O

S3h 3  S2 h 2 S1h1  

¿Pasar de una altura de presión a otra? h hg

ó

mmcm

mmca  

PH 2 O  

Phg hg

h mca

h hg

H 2O

h H 2O  

h H 2O   Shg h hg  

h H 2O   Sx h x   Ejemplo:

600 mmcm

h aceite S

075 07 5 

Solución

Phg   Paceite  

h  hg

H2O

h ac

Shg Sac

h hg

h ac

   

hg

h 

ac

H2O

ac

 

13.6 0.75

0.6 m  

10.88 m  

Problema 1:   En el esquema determinar: L1-L2 (bar). Si h1 = 1.5m h2 = 0.5m

; ;

S1 = 0.8 S2 = 1.6

h3 = 2.5m

;

S3 = 1

Ing. Jorge L. Alejos Zelaya

56

 

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Solución: L1

L2

3

h 3 

2

h2

h

1 1

  L1 L 2

 H2O

3

h 3



H2O

2

h2

  

H2O

h

 

1 1



H2O

  L1 L 2



S3h 3  S2 h 2 S1h1

H2O

  L1 L 2

(2.5 1.6 x 0.5 0.8 x 1.5) m x 9.81

L1

L2

KN  ba  bar  r  m3 KPa

 

0.206 bar  

la Problema 2:   El diagrama muestra una vista en corte de un submarino. Calcular la 3  profundidad de inmersión inm ersión (y). Suponer = 10 KN/m  , a = 200 mm.

Solución: En el tubo en U:

Px

P0

P

Py

x

y

ag. mar 

0  

a

ag. mar 

P0'

hg

2a  

Ing. Jorge L. Alejos Zelaya

57

 

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P0'

y

P0

hg

 2a

a

ag. mar 

 

ag. mar 

hg

si : Shg

;

h 

P

ag

hg

y

h '0

hg

2 a

a

ag. mar 

 

ag. mar 

consideran do

y

ag

Shg h '0 y

ag. mar 

h0

 

2a

a 

13.6 0.84 0.74 0.4

y

0.2  

6.6 m  

Problema 3: En el esquema determinar L (bar). Considerar:

h1 = 2.5m h2 = 2m h3 = 0.5m h4 = 0.5m

; ; ; ;

S1 = 1.5 S2 = 1.0 S3 = 0.8 S4 = 13.6

; ;

L1 = 3.5bar L2 = 4bar

Solución: Px

 P 0  L

h

3 3

Py

P x

h 

 2 2

0  

h

1 1

 P A

4

h4  

(1) 

Ing. Jorge L. Alejos Zelaya

58

 

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Análisis en los depósitos de Gas:  L1  P  B   P  A  

 L2    P   B

P 0  

De ( ) y ( )  

 L2  L 1

 P  A

(2) 

P 0  

Reemplazando (2) en (1): P0

L

3

h3

L

2

L2

h2

1 1

h  

L1

4

L2

h4

L1

  3h 3

P0 2

h2

4

h4  

h  

1 1

0.5 x 100 9.81 13.5 x 0.5 0.8 x 0.5 2 1.5 x 2.5

L2

56.37 KPa  

L2

;

 

0.5637 ba  bar  r  

L2

Problema 4: Demostrar que la lectura en el manómetro de agua, viene expresada por:

h1

h

aire

gas

 

agua

gas

 y

.h2  

agua

Considerar que:

aire

aire

aire

 no varían con la altura.

Solución:  P 0'  P  0

(1) 

  h h1 h2  

aire

P P

1

 P 0

P

2

x

0  

h  P 0 '  

ag 

h

ag  2

h  

gas 1

(2) 

Ing. Jorge L. Alejos Zelaya

59

 

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Reemplazando Reemplaz ando (2) en (1): P0 ag

h

P0

aire

h1

aire

gas

ag

h

h

h1

h

  h1

aire

h2

aire

 

ag

gas

aire

h2

aire

ag

aire

h2

h2

gas

h1  

h 

ag

aire

  ag

aire

3.3 FUERZAS HIDROSTÁTICAS SOBRES SUPERFICIES SUMERGIDAS Como consecuencia de la existencia de presiones en el interior de un fluido en reposo se generan fuerzas sobre las superficies que están están en ccontacto ontacto con eel.l. Estas reciben el nombre de fuerzas hidrostáticas y representan el efecto del fluido sobre la superficie en cuestión. Desde el punto de vista práctico práctico interesa determinar la magnitud, dirección y punto de aplicación de la resultante de las fuerzas.

3.3.1. SUPERFICIES PLANAS

Fig. 3.3 Elementos para Calcular la Fuerza Hidrostática sobre una superficie Plana.

Ing. Jorge L. Alejos Zelaya

60

 

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CG: Cp: hg: hp:

Centro de gravedad Centro de Presione Presioness (Punto de aplicación de la Fuerza Resultante) Profundidad o altura del centro de gravedad a la superficie libre del líquido. Profundidad o altura del centro de presione presioness a la superficie libre del líquido.

El superficie plana sumergida, que al prolongarlo esquema AB  representa corta la superficie libre en “ouna ” bajo un ángulo . El plano XY, contiene a la superficie arbitraria inclinada. Consideramos un dA, de modo que todas sus partículas están situadas a una distancia h por debajo de la superficie super ficie libre del liquido. La presión en esta área es uniforme. El dF actuante en el dA, es: dF

h dA  

Como todas las fuerzas dF son paralelas, se integra el área: dF 

h dA

FR 

dF 

 ySen dA

y dA  

Sen   A

Pero y dA , es el momento estático de primer orden del área con respecto al eje Y, A

la cual es igual al producto del área por la distancia entre centro de gravedad y dicho eje. y dA

Ay   g

A

Luego,

FR 

Sen   A yg  

 F  R

 A h g 

   F  R

(3.8) 

 P cg  A

La línea de acción de la fuerza resultante corta a la superficie en un punto llamado centro de presiones.

Ing. Jorge L. Alejos Zelaya

61

 

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Centro de Presiones:  Nos permite localizar la fuerza resultante resulta nte (Xp,Yp), sobre una superficie plana sumergida.

a) Calculo de Xp: Tomando momentos respecto al eje Y: dF.x  

FR  x p A

dF.x A

x p

 

A

FR 

hgA

1

x p

x p

h dA.x

hgA

h dA.x   A

1

  y gSen A

x y Sen dA   A

1

x p

  ygA

x y dA   A

x y dA   A

I xy  

x y dA A

 x p

 I  xy    y g  A

(1) 

Por el teorema de los ejes paralelos (Steiner)

(2) 

 I  xy  I mm   x g  y g  A   Reemplazando (2) en (1): I mm x p

x g yg A yg A

 

Ing. Jorge L. Alejos Zelaya

62

 

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 I mm   x g     y g  A

 x p

(3.9) 

Imm: Por definición puede ser positivo o negativo, pero si uno de los dos ejes (n o m) es de simetríacomunes el valor son de simétricas I mm  es igual cero. cero. aAfortunadamente un gran número de superficies con arespecto uno o a los dos ejes.

Nota: Si la figura fuera simétrica:

x p   x g   b) Calculo de Yp: Tomando momentos respecto al eje X: dF.y  

F y R 

dF.y y p

A

h dA.y

A

A

1

 

FR  y p

 p

h gA

hgA

1

  y gSen A

A

y Sen y dA   A

1

y p

h y dA  

  yg A

y dA   2

A

Pero: y 2 dA : Momento de segundo orden con respecto al eje X. A

y 2 dA

I xx  

A

Ixx: el momento de inercia es siempre positivo puesto que dA es (+)

 I  xx    y g  A

(1) 

 I  xx  I  nn'  y g 2 A  

(2) 

 y p Por el teorema de Steiner:

Reemplazando (2) en (1):

Ing. Jorge L. Alejos Zelaya

63

 

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I nn '

y p

 y p

Nota: y p

y g2 A

yg A  

 I nn '    y g  A

 

y g   

(3.10) 

y g I nn ' es ( )  

Si la superficie es vertical: y p

h p

h p

 

; 

yg

 I nn '   h g   A

h p  

h g   

(3.11) 

Existen tablas del Momento de Inercia de Áreas simples, respecto a ejes centroidales.

Problema 1:  Calcular la fuerza F, necesaria para mantener cerrada la puerta con bisagra (sección cuadrada de 500 mm de lado). El tanque está lleno de agua. Solución: Calculo de la fuerza resultante que ejerce el agua sobre la puerta (F R ). ). FR 

R 

F

Pared Vertical (Vista Lateral)

hgA  

KN 0.5 2 2 3 9.81 m 3 m x 0.3 m   2 

FR  Calculo de la ubicación (hp):

ag

7.97 KN  

Ing. Jorge L. Alejos Zelaya

64

 

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Por simetría: x p   x g  

Por la posición de la puerta: h p   y p   h p

hg  

I nn   ' hgA 4

h p

1 0.5 m 4 2

12 3.25 m 0.5 m

h p

3.25 m  

2

3.2564 m  

Diagrama de cuerpo libre: Tomado momentos respecto al eje de giro (bisagra). FR  h p F

3

F 0.5 m  

7.97 KN 3.2564 x 3 m

F

F 0.5m

 

4.08 087 7 KN  

Nota: La presión atmosférica obra sobre la superficie del agua y sobre la cara exterior de la puerta, por lo tanto esta fuerza se anula por si misma, quedando por considerar solo la fuerza del agua

Repetir el problema anterior considerando una presión de 1 bar sobre el agua. Cálculo de la fuerza F R . Primera Prim era forma: Pasar la presión L a una altura equivalente de agua.

L 

h eq.

Ing. Jorge L. Alejos Zelaya

65

 

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hq

P KPa

100

KN / m3

9.81

F

FR 

  ag

10.1936 m  

h 'g A  

9.81 KN 3 0.5  10.1936 m 0.5 2 m 2   3 m 2

FR 

32.97 KN  

Segunda forma: FR  FR  FR  FR 

F ag

Fs ag  

h gA L A   hg

L A  2

9.81 x 3. 25 100 0.5  

FR 

32.97 KN  

Calculo de la ubicación (hp):   h p

h p

I nn '   hgA

1 0.5

hg  

4

12 13.4436 0.5

h p

2

13.4436 

13.445 m  

Tomando momentos respecto al eje de giro: FR  h p 13.1936 32.97 0.25

F 0.5   F 0.5

 

F 1 6.5 KN   Problema 2:  En el esquema que se muestra. Calcular L2  (bar) para que esté en equilibrio la compuerta, si: L1: 0.1 bar y : 45º ; ancho: 1m.

Ing. Jorge L. Alejos Zelaya

66

 

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Solución: L

h eq h eq h eq

h q agua  

0.1 x 10 100 0 9.81

 

1.0193   1m  

Diagrama de cuerpo libre: h1

hg

0.6 x Sen 45

0.4242 m  

1 0.2 0.424

hg

  FR  F

hgA  

9.81 x 1.6242 1.2 x 1

F 19.12 KN   y p

Sen 45

y p

hg

yg

yg 1 1 1.2

I nn '   ygA

2.29 297 7m 

3

12 2.29 297 7 1.20 x 1

2.297 29 7  

 y p   2.3492 m   La ubicación desde A, será: y pA

MA

0 

2.3492 1.697 ;

y pA

0.652 m  

yg  

 

1.6242 m

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F 0.652 19.12 x 0.652

R  0.6

 

R  0.6

 

R  20.77 KN   L2

P

 bar 

R 

20.77 KN

A

100 0 KPa 1.20 x 1 m 2 10

 

 L2   0.173 bar    DETERMINACIÓN GRÁFICA DEL EMPUJE HIDROSTÁTICO SOBRE DETERMINACIÓN SUPERFICIES SUPERFICI ES PLANAS: CUADRANGULARES CUADRANGULARES Y RECTANGULARES: Cuando las superficies planas son de forma cuadrangular o rectangular, la determinación del empuje hidrostático que actúa por metro de ancho de superficie se  puede realizar con ayuda del diagrama de presiones. Para el tipo de secciones indicadas, el diagrama tiene la propiedad de que la medida de su área es igual al empuje  por metro de ancho que actúa a ctúa sobre la superficie plana que se considera c onsidera y su punto de aplicación o centro de presión, se encuentra en el centro de gravedad de dicho grafico.

Analíticamente   F

h gA  

Gráficamente   F = Área del diagrama de  presiones

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H

F

H  

2

H2

F

 

2 I nn '   hgA

h p

3

h p

h p

2 3

H 2

 

2

H2

F

 

2

La ubicación está

hg  

1 1 H H 12 H 2

H H

F

1 3

a

de H

 

luego :

 

h p

H 

h p

H H/3

2 3

 

H 

3.3.2. SUPERFICIES CURVAS O ALABEADAS Para este caso de superficies, la fuerza total  que ejerce al fluido se determina descomponiendo en sus componentes horizontal y vertical en forma separada.

Componente Horizontal (FH).- Es igual a la fuerza hidrostática que se ejerce sobre la  proyección de d e la superficie super ficie albeada en un plano vertical. La línea de acción pasa por el centro de Presión de la proyección vertical.  F  H 

(3.12)

  h g  A pv  

I

FH

  h g A pv  

h p

 nn ' h g A R 

hg  

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FH

3

D

a D.L  

2

h p

1 L D D 12 a D.L 2

D 2

a  

V) .- Es igual al peso del fl uido realvertical o imaginario ubicado por Componente Vertical (F encima de la superficie curva. La línea de acción defluido la fuerza para por el centro de gravedad del volumen considerado.

d  F  Z 

  h dA Z   

(3.13) 

 A

h dA Z ; la integral representa el volumen del fluido comprendido entre la

donde: A

superficie libre y la superficie dada V  

 F V 

 A

(3.14) 

 

h eq  

L

h eq

FV

a

R  R 

R 2 4

L 

FV

FV

2R . h eq

L

 

V 

R 2 2

L 

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Problema 1: El depósito cuya sección se muestra, tiene 2m de longitud y esta lleno de agua. Determinar las componentes de la fuerza requerida, para mantener el cilindro en su  posición, despreciando el peso del mismo.

Solución: Convertir la presión L a una altura equivalente: L

h eq

0.15 x 10 100 0 9.81

H 2O

 

1.529 m  

h eq

Calculo de la componente horizontal (FH)   h g A Pv  

FH

FH

9.81

1.5

1.52 529 9 1.5 2  

2

FH

67 KN  

Para mantener el equilibrio la fuerza debe ser dirigida hacia la izquierda.

Cálculo de la componente vertical (F V): FV

FV

9.81 x 2 1.52 529 9x

FV

lA  

V 3   2

1 2

x 0.5 x

3 2

1

2

120 12 0 360 36 0

 

19.62 1.324 0.216 1.047  

FV 50.76 KN   Para estar en equilibrio, la fuerza debe estar dirigida hacia abajo.

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FR 

F H

2

FV

2

 

Reemplazando valores tenemos: 2

FR 

FR 

arc tg

FV FH

2

50.76  

67  

 

84KN  

;

37.14º  

Problema 2:  El recipiente mostrado esta dividido en dos compartimientos independientes. La presión del aire actúa sobre la superficie superfi cie de ambas secciones y un manómetro diferencial nos mide mide 150mmcm. Una esfera esfera de madera esta colocada colocada entre ambas secciones. Calcular:a. La Fuerza resultante horizontal sobre la esfera, producida por los fluidos.  b. El empuje vertical sobre la esfera. Considerar: desfera: 600mm, Shg: 13.6

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Solución: En el manómetro diferencial: P

0 

y PA

PA

PB 

PB

ag

hg

h hg  

9.81 x 13.6 x 0.15  

Shg h hg

 P  A  P  B   20.012  KPa   Calculo de la componente horizontal F H: FH

FH ac  

FH  ag

Área Proyectada en el plano vertical: A Pv

4

d2

FH

4

 0.6

2

0.282 m 2  

9.81 x 4.3 FH

PA A Pv  

0.282 42.183  PA

FH

25.89 PB

10.238 KN  

Calculo de la componente vertical F V: FV

V0

Volumen de la esfera 2 FV

FV

FV

FV  ag V

ag

ag

  FV ac   V

agSac

2

Vesfera   2

2

 

1 Sac   3

FV

9.81 1 2

PB A Pv  

9.81x 0.8 x 3.3

1 x 0.6 6

1 0.8  

 

( 1 ) 

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FV

0.998 KN  

3.4 PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES-FLOTACIÓN La Fuerza ejercida por un fluido en reposo sobre un cuerpo sumergido total o parcialmente, se llama empuje y actúa verticalmente hacia arriba.

Fig 3.4 Fuerzas sobre un cuerpo sumergido.

Tenemos un cuerpo sumergido CDE en un fluido de peso especifico . La fuerza neta en la componente y es nula.

Fy

Fy1

h g A pv1

Fy 2

h g A pv 2

A pv1

A pv 2   (Áreas Proyectad Proyectadas) as)

0  FHn

Fy1

Fy 2

0 

 No hay componente horizontal. horizo ntal.

FHn

0 

La fuerza neta en la componente Z es:

 F  Z  0  

 F Vn  F 2   F 1  

( )

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donde: F2: fuerza que actúa sobre la cara inferior y es igual al peso del liquido representado en la figura por ABCDE. F1: fuerza que actúa sobre la cara superior y es igual al peso del liquido, representado en la figura por ABCFE W: Peso del cuerpo EFCD. Reemplaz Reem plazando ando en la ecuaci ecuación ón ( ), se tiene: tiene: FVN FVN

VABCDE  

VABCFE  

V ABCDE VABCFE  

 F VN    V  EFCD  

(3.15) 

El cuerpo esta sometido a una fuerza vertical neta o empuje ascensional. VEFCD representa el volumen del liquido desalojado por el cuerpo al sumergirse.

PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES.- Todo cuerpo sumergido toral o parcialmente en un fluido, experimenta una fuerza de abajo hacia arriba (empuje ascensional) de una magnitud igual al peso del líquido desalojado. Sobre el cuerpo sumergido EFCD actúa su peso (W) y se tiene: a) W>E (El cuerpo tiende a hundirse)  b) W