Mecánica de Suelos, Tomo III - Eulalio Juárez Badillo y Alfonso Rico Rodríguez

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Flu jo de A g u a en Suelos

Dr. A rturo Casagrande continuador de la obra de Terzaghi, guía y estímulo del avance de la M ecánica de Suelos en el mundo

Mecánica de Suelos TOMO III Flujo

de

Agua

en

Suelos

EU LALIO JU A R EZ BADILLO A LFO N S O RICO RODRIGUEZ

EDITORIAL MEXICO

LIMUSA 1974

©

1969, R ev ista IN G E N IE R IA

E U L A L IO JU A R E Z B A D IL L O D octor en Ingeniería. Profesor de la División del Doctorado de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional Autónoma de M éxico. Auxiliar del C. Director Gerenal de Proyectos de Vías Terrestres, S O P . A LFO N SO R IC O R O D R IG U E Z M aestro en Ingeniería. Profesor de la División Profesional y Estudios Superiores de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional Autónoma de M éxico. Profesor de la Universidad Iberoam ericana. Je fe del Departam ento de Geotecnia. D irector General de proyectos de Vías Terrestres, SO P. Todos los derechos reservados © 1974, E D IT O R IA L L IM U S A , S . A. Arcos de Belén Ndm. 75, M éxico 1, D. F . M iem bro de la C ám ara Nacional de la Industria E ditorial. Registro Núm. 121

P rim era reim p resión : 1974 Im p reso en M éxico (1,318)

PROLOGO DE LOS AUTORES Presentam os ahora a la atención d e nuestros benévolos lectores el tercero y último volumen d e nuestro trabajo. D esd e que en 1961 com enzam os a laborar en el Volum en I d e nuestro libro ha transcu­ rrido una larga jorn ada; es una maravillosa suerte p od er decir que la vemos con la alegría d e saberla una d e las más serenas y fecundas de nuestra existencia. En ella hem os recibido solo estímulo y respaldo am istoso y muchas veces entusiasta de nuestros am igos d e casa y d e nuestros buenos vecinos d e habla española; éllos quizá no tienen idea de lo im portante que fu e para nosotros su ap oy o y su simpatía, pero se convirtió en gratos todos los momentos que dedicam os a este esfuerzo y. excusado es decirlo, éstos no fueron pocos. L os estu­ diantes han acogido nuestro trabajo con la actitud con que siempre acogen lo que se hace por éllos sin otro interés qu e su ben eficio; con generosidad, algunas veces injustamente halagadora; siem pre cálida y sincera. A éllos, algunos ya profesan tes y com pañeros muy esti­ m ados en nuestra especialidad, d eb e ir también nuestro pensam iento en este m om ento en qu e superam os la cuesta, em prendida pensando muy especialm ente en sus necesidades. E l volumen qu e hoy presentam os a nuestros lectores (y a nues­ tros am igos d e an tigu o), está d ed icad o al flu jo d e las aguas y a su influencia en los problem as d e resistencia y com portam iento general d e los suelos. H asta ahora, habíam os hablado d e una M ecánica d e Suelos casi seca (con agua q u ieta); hoy dam os un p aso más hacia la inalcanzable realidad, pues el flu jo d el agua está casi siem pre pre­ sente en nuestras preocupaciones prácticas y m ojar la M ecánica d e Suelos es una n ecesidad imperiosa, dem andada p or la experiencia de campo. La ponderación d e los problem as d e flu jo d e agua en la M ecánica d e S u elos es muy diversa dentro d e sus varios cam pos d e aplicación. Tradicionalm ente, los ingenieros especialistas en presas d e tierra han d ad o gran importancia al punto y es natural que asi sea, ya que la estructura que m anejan está sistem áticam ente expu esta al flu jo d e agua. L os hom bres que aplican la M ecánica d e Suelos en otros cam ­ p os han sido mucho más descu idados; en las vías terrestres, por ejem plo, si bien el control d e las aguas que discurren superficial­ mente ha preocupado d esd e siem pre, se suele p erder con mucha frecuencia todo rastro d e las que se infiltran, a menudo con tan malas consecuencias, que pu ede hoy afirm arse qu e un subdrenaje

vi

PRO LO G O D E LO S A U T O R E S

ad ecu ad o d e b e ser una precaución tan rutinaria com o la qu e más, en esas técnicas. L os ingenieros d e cim entaciones no suelen tam poco prestar gran atención a las agu as en m ovim iento, a no ser q u e vean an eg ad as sus excavacion es. Q uerríam os que todos esos colegas vieran en este libro un arm a útil para el m anejo d e sus problem as diarios; que a través d e él pudieran sop esar d e m ejor m odo la conveniencia o inconveniencia d e introducir la condición d e flu jo en sus diseños. E ste punto es, sin duda, m uchas v eces uno d e criterio fin o y ha sid o ciertam ente muy d ebatid o, pu es en tanto qu e hay estructuras, com o la presa d e tierra, en qu e un diseñ o qu e tom e en cuenta condiciones d e flu jo es indis­ pen sable, hay tam bién otras en que el criterio para proyectar ap a rece m ucho m ás d u d oso a este resp ecto: en la carretera, p o r ejem plo, diseñar tod os los taludes consideran do flu jo probablem en te conduce a p osicion es con servadoras en exceso, pues la experiencia indica qu e cuando ello no se hace, la d eficien cia solo se m anifiesta en algunos casos aislados, qu e pu eden corregirse eso s si, tom ando ya en cuenta tod as las accion es perjudiciales d el agua, con un ahorro económ ico d e conjunto con siderable; el hasta d on d e d eb a d e llevarse este cri­ terio, aún en casos en qu e el flu jo d e agua vaya h acién dose más y más p alp ab le p o r signos externos o aún internos es uno d e los puntos m ás d elicad os para defin ir una política d e estabilidad d e ta­ ludes, tan necesaria a quien construya vías d e com unicación terrestre y qu e tanto influye en los costos que s e alcancen. N aturalm ente qu e las reflex ion es an teriores se refieren a la estabilidad d e los taludes y no a la n ecesid ad d e d ren aje y su bdren aje, qu e d e b e verse siem pre com o rutinaria en las vías terrestres y qu e d e b e resolverse siem pre con b en éfica g en erosidad. N uestro prim er y fundam ental objetivo sigue sien do en este volu­ men el proporcion ar un libro d e texto com prensible y eficaz a nuestros com pañeros estudiantes. D e nuevo presentam os en an exos p or sep a ­ rado, al fin d e cad a capítulo, la inform ación qu e juzgam os perten ece más bien a cursos d e nivel superior a los regulares qu e se im parten en los sem estres correspondien tes al cuarto añ o universitario d e la carrera normal. A l repetir á nuestros am igos nuestra gratitud p o r su respaldo, sólo nos resta esperar qu e acojan con la misma sim patía este tercer volumen. M éxico, D . F ., m arzo d e 1969

PROLOGO Por su importancia en el diseño de presas y cimentaciones así como en el estudio de la explotación de agua subterránea, el tema de este libro constituye un instrumento valioso para el ingeniero. En cas­ tellano no se ha publicado un trabajo completo como el presente, por lo que es una contribución inestimable para la enseñanza en los niveles profesional y superior de las escuelas de ingeniería; además, servirá de consulta a los que laboran en problemas como los mencionados al principio. En 1930, P. Forchheimer expuso en su conocido libro “H y d raulik ”, la teoría del flujo de agua en medios porosos, aplicando un método gráfico para encontrar de modo expedito la solución de la ecuación de Laplace, una vez definidas las condiciones de frontera. Este procedimiento despertó gran interés en los ingenieros dedicados al proyecto de presas, y en 1937, A. Casagrande publica su notable trabajo " S eep a g e through D am s’’. Hasta esa fecha, el proyecto de presas y diques estaba basado exclusivamente en reglas empíricas ( Bligh, Lañe). Las fallas por tubificación eran frecuentes, y aunque entre los años 1925 a 1934, K. Terzaghi había explicado en varias publicaciones el mecanismo de ese fenómeno y la importancia de las fuerzas creadas por la percolación del agua, el ingeniero no disponía de la herramienta necesaria para el análisis de procesos como el antes señalado. La labor de los profesores P. Forchheimer y A. Casagran­ de, tiene como antecedentes a las publicaciones que sobre el tema inició J. Dupuit en 1863, seguidas por otras del presente siglo que produjeron Iterson, Schaffernak y Kozeny. Pero todas ellas se apo­ yan en un resultado experimental expuesto por Darcy en "L es fon taines publiques d e la Ville d e D ijon", 1856, a raíz de sus estudios sobre el flujo de agua en filtros. E s interesante anotar que en el corto lapso de 1934 a 1936, aparecen las contribuciones de tan des­ tacados ingenieros como G. Hamel y E . Günther, G. Gilboy, L. Casagrande, A. F. Samsioe, M. Muskat, R. Dachler, y J. H. Brahtz. Este desarrollo explosivo de la materia hizo que rápidamente se in­ corporara gran parte de su contenido a la enseñanza, como capítulo importante de la mecánica de suelos, y sin duda alguna, el Prof. A. Casagrande ha tenido en ello una influencia extraordinaria, a través del trabajo antes mencionado y principalmente desde su cátedra en la Universidad de Harvard. En México, estas técnicas encontraron aplicación desde 1938, en los Laboratorios de Ingeniería Experimental de la Secretaría de Re­

viü

PROLOGO

cursos Hidráulicos, bajo la dirección del Ing. Rodolfo Espinoza P .: los Ings. F. Hiriart y R. Sandoval L. utilizan con soltura el método gráfico, la analogía eléctrica y el de la membrana; el Ing. M. Urquijo desarrolla el conformógrafo; para estudiar el flujo de agua en las excavaciones de la presa Alvaro Obregón, Son., se recurre en 1946 a estudios con modelos tridimensionales de la cimentación de esa época, el diseño de la presa A. Rodríguez, próxima a la ciudad Hermosillo, requiere determinaciones de permeabilidad en el propio lecho y el análisis correspondiente con redes de flujo para definir la longi­ tud del delantal impermeable, aguas arriba del corazón de arcilla. Los hechos mencionados señalan etapas del desarrollo que ha tenido en México, la aplicación, de los conocimientos expuestos en este libro. R aúl ]. M ar sal M ayo d e 1969

C A PIT U LO I

PRINCIPIOS TEORICOS FUNDAMENTALES 1-1. Introducción Hasta hace apenas unos cuarenta años el proyecto de las presas y estructuras de retención de agua hechas con suelos se basaba casi exclusivamente en reglas empíricas que los constructores se transmi­ tían por tradición oral; se adoptaban las secciones de obras que habían resistido satisfactoriamente el embate del tiempo y de las aguas, in­ dependientemente de la naturaleza de los materiales constituyentes y de las características del terreno de cimentación. Con el nacimiento de la Mecánica de Suelos y el conocimiento del comportamiento de estos materiales que con ella se adquirió, ha sido posible analizar bajo una nueva luz el comportamiento de las presas y estructuras afines construidas, extrayendo de ellas y especialmente de las que fallaron, enseñanzas de tendencia generalizadora. Las bases para un análisis racional de los problemas prácticos que comporta la infiltración del agua a través de los suelos fueron establecidos por Darcy en trabajos ya mencionados' en el Volumen I y que datan apenas de algo más de un siglo. Posteriormente a Darcy, el siguiente paso fundamental en el avance del conocimiento fue dado alrededor de 1880 por Ph. Forchheimer1, quien demostró que la función carga hidráulica que gobierna un flujo en un medio poroso es una función armónica, es decir, que satisface la ecuación de Laplace. E l propio Forchheimer desarrolló al principio de este siglo las bases para el método gráfico que hoy se conoce con el nombre de Método de las Redes de Flujo, que sigue siendo el arma más sencilla y poderosa de que el ingeniero dispone para la resolución práctica de los problemas diarios que involucre el flujo de agua en suelos. El método fue popularizado a partir de 1937 para los pro­ blemas de proyecto por A. Casagrande, en su histórico artículo mencionado en la reí. 2. Desde entonces la solución gráfica de la ecuación de Laplace, que constituye el Método de las Redes de Flujo, se ha transformado en el procedimiento normal de trabajo para todos los ingenieros. En épocas más modernas, la escuela rusa ha añadido importantes contribuciones con soluciones teóricas a mu­ chos problemas de interés práctico. ' 1 .M ecánica de Suelos III

2

C A PITU LO I

Antes de comenzar con una exposición más o menos detallada de las bases teóricas actuales de que se dispone para atacar los proble­ mas de ílujo de agua, conviene establecer las razones por las que la resolución de tales problemas es vital para el ingeniero. Al resolver un problema práctico de flujo de agua, tal como el análisis de las infiltraciones a través de la cortina y del terreno de cimentación de una presa de tierra, el ingeniero obtiene información fundamental respecto a tres cuestiones trascendentales: 1. El gasto de infiltración a través de la zona de flujo 2. La influencia del flujo de agua sobre la estabilidad general de la masa de suelo a través de la que ocurre 3. Las posibilidades del agua de infiltración de producir arrastres de material sólido, erosiones, tubificación, etc. La primera cuestión es importante porque todo gasto que se infil­ tre a través de una cortina o bordo de tierra representa una pérdida que debe ser cuantificada. La segunda cuestión suele ser la más importante de las conectadas con los problemas de flujo de agua en suelos, a lo menos desde un punto de vista práctico. Cuando el agua fluye, la presión a la que está sujeta es, por definición, hidrodinámica y este hecho produce varias repercusiones importantes. En primer lugar, dependiendo de la dirección del flujo, la presión hidrodinámica puede alterar el peso específico sumergido del suelo; por ejemplo, si el agua fluye vertical­ mente hacia abajo aquel se incrementa en el valor de tal presión; si el flujo ocurre verticalmente hacia arriba, se ejerce un efecto boyante sobre las partículas del suelo, que equivale a la disminución de su peso específico. En segundo lugar y de acuerdo con la ecuación de Coulomb: s =(* 3x dy dz

Nótese que en la tercera ecuación, la fuerza gravitacional (-o) aparece con signo negativo, debido a que su sentido es el de la di­ rección negativa del eje Z . Las ecs. l-a.3 reciben el nombre de ecuaciones de Euler y descri­ ben el movimiento de un fluido no viscoso. En flujo laminar, las componentes de la velocidad y sus derivadas son chicas, por lo que los productos del tipo u*(3u,/3*) puede despreciarse: entonces las ecs. l-a.3 pueden escribirse 1 n

dv* _ ^ _ dt ~

1 3p p dx

1 n

8ty _ y dt ~

1 p

- r w

3p dy

= z - - i r i ¡ r ~ ‘>

( '-a A >

En las ecuaciones anteriores vt, vy y vz representan las compo­ nentes de la velocidad de descarga, relacionadas con las respectivas de la velocidad de filtración por expresiones del tipo: 1 TI

Vi — Vi

donde n es la porosidad del suelo Cuando el flujo es establecido, es decir, cuando la velocidad no depende del tiempo, el primer miembro de las expresiones l-a.4 vale cero y aquellas pueden escribirse:

MECANICA D E SU ELO S (III)

19

x = ± 3 L p dx Y -

J_ ͣ

9*9 Z = — — + g p oz

(l-a .5 )

Si h es la carga hidráulica en un punto, podrá escribirse: h = z + -£ r«

(l-a .6)

en donde se ha considerado despreciable la carga de velocidad, por estar enestudio flujo laminar con bajas velocidades.Lo anterior puede escribirse: P = y,c(h— z ) = p g ( h - z ) y las ecs. l-a.5 quedan v oh * = 0 3 j = - 9 '. v

^h

Y = s ^ = - < 1 '’ Z = g ^ = -g i,

(l-a .7 )

Nótese que se ha definido i = — dh/ds. Donde se ve que en flujo establecido y régimenlaminar, las fuerzas de cuerpo son funciones lineales dela velocidad, ya que al aplicar la ley de Darcy (v = ki) a las ecs. l-a.7, se tiene:

r = - » í Z =

d -a -8>

20

C A PITU LO I

Así, en definitiva, las ecs. l-a.4 pueden escribirse para las condi­ ciones supuestas: 1 dvx n dt

p

ex

9 Vr k

1 dvv n dt

____1 dp p dy

gv„ k

± *Z l = _ J .Í E n dt p dz

k

9

\

■)

Para el caso de flujo establecido, los primeros miembros de las ecs. l-a .9 valdrán cero y por ello: _ L JE - _ p dx 9 k 1 dp

Vy

J d í = ~ 9 T1 dp _ vx p dz ~ 9 k

9

Teniendo en cuenta que p = p g (h — z ) , se tendrá: 1 dh vx 7 p* á ? = - * x 1

de donde

dh

vv

1 (dh A V ~ p " \ d z ~ ) = ~ 9 1T ~ 9

vx -

— k. —dhdx

. dh en Vy = — k — dy ch v- = - k ~ cz

( l - a . 10)

Si se consideran las ecs. l-a.10 como expresiones de las compo­ nentes del vector velocidad total v y se multiplican ordenadamente

M ECAN ICA D E SU E L O S (III)

21

por i, j y k (vectores unitarios en las direcciones de los ejes X , Y y Z . respectivamente), se tiene, sumando vectorialmente miembro a miembro. -♦

v — — A: grad h

( 1 - a .l l )

La hipótesis de flujo establecido se hace usualmente, al igual que aquí se hizo, para poder calcular las fuerzas de cuerpo X , Y , Z poniéndolas en términos manejables. Por otra parte, puede demostrarse3 que los términos de inercia en los primeros miembros de las ecs. l-a.9 son de orden desprecia­ ble en muchos casos de la práctica, aun cuando la velocidad del flujo varíe con el tiempo. La razón de ésto es que la velocidad del flujo real a través del suelo es tan baja que los cambios en cantidad de movi­ miento son despreciables en comparación a las resistencias viscosas al flujo, por lo que los cambios en velocidad no ejercen efecto apreciable. La ec. 1 -a .ll contiene en realidad cuatro incógnitas, a saber vlw vv, v, y h; de aquí que se necesita una ecuación más para hacer posible la solución del problema. Volviendo de nuevo a la fig. I-a .l, la cantidad de agua que cruza la cara Y Z del elemento más próxi­ ma al origen es n v ¡.d y dz; en la cara opuesta, el agua que cruza es f

+

1 7 ^n

dy dz.

Así la cantidad neta de agua que sale del elemento por flujo en la dirección del eje X y por unidad de tiempo e s: ~

(n vx)d x d y d z

Análogamente, las transferencias netas de agua que se tienen en el elemento por flujo en las direcciones Y y Z , son, respectiva­ mente: 0 ~ ( n v v) d x d y d z

y

0 — ( n~ v¡¡)dxdydz

Ahora bien, si se cumplen las hipótesis mencionadas en el cuerpo de este capítulo y si el fluido y las partículas de suelo son ambos incompresibles, el almacenamiento o pérdida total de agua en el ele­ mento debe ser nulo, de manera que:

22

CA PITU LO I

¿ ( « í . ) + ^ ( n ii,) + ¿ ( « 5 , ) = 0 o, lo que es lo mismo: 3u» , dv„ , Su* _ A i 7 + -0 ¡r + ^ r = o

,, ,„ v í 1' 3 -12)

que eslaecuación de continuidad ya vista en el cuerpo de este capítulo.Esta ecuación, juntamentecon la ( 1- a .l l ) proporciona los medios para encontrar los valores de las incógnitas vx, vy, vz y h. Conviene en la resolución de los problemas de flujo introducir la función (x, y, z ) , definida como: (x,y,z)= - k ( ^ - + z j + c = — k h + c

(l-a .1 3 )

donde c es una constante. Debe observarse de inmediato que el gradiente de esta función así definida es la velocidad en el punto de la región de flujo consi­ derada; en efecto: v* = Ü 7 + ^ 7 + i¿ í9 dx 9 dg ' 9 d i k J j l + t dFk) = -» -> -» -4 = vt i + vvj + v„k = v De acuerdo con la definición tradicional de función potencial de un campo vectorial de variable escalar, la función arriba definida resulta ser simplemente el potencial de velocidad en la región de flujo. Así, en resumen, se cumple: 3

dd>

t e = v’

•'

Z

:

■••'«>

Si se substituyen las ecs. 1-a. 14 en la (1-a. 12), se obtiene final­ mente

adx2*2 +r 3V ady2«2 +,

3 ^ _ n dz2 — 0

que es la ecuación de Laplace, ya mencionada.

(l-a. .15. .)

,,

M E C A N IC A D E S U E L O S (III)

23

ANEXO I-b La función flujo (i]/ = cte) Sea la función de flujo vj; (x, y ) — cte, definida en cada punto de la región de flujo por las expresiones:

Teniendo en cuenta que: r

£ = 1 b 2 sen2 '

( l-c .12)

Lo que indica que las curvas equipotenciales son hipérbolas cofocales con las elipses que resultaron líneas de flujo.

MECANICA D E SU ELO S (III)

29

Así. la red de flujo (conjunto de líneas de flujo y equipotencia­ les) resulta en definitiva como se muestra en la fig. I-c.l.a. Y a con este trazo realizado, el problema de flujo puede considerarse resuel­ to, tomando en cuenta las ideas que se exponen en el Capitulo II. Quizá con el ejemplo analizado, el lector haya adquirido claramen­ te la idea de lo difícil y engorroso que podría llegar a ser para la mayor parte de los ingenieros la solución analítica rigurosa de los problemas de flujo; para confirmar lo anterior debe tenerse en cuenta que el caso presentado es de los más sendllos. Sin embargo, el lector podría tomar la idea también de que la aplicación de los métodos matemáticos es fundamentalmente cuestión de ingenio y dependiente de la feliz idea del proyectista. En efecto, en la resolución del proble­ ma anterior hubo mucho de aparente artificio. Es conveniente aclarar, sin embargo, que esa sensación de relativo desamparo ante este tipo de problemas no sería, en general, del todo justa. Existen métodos generales, de carácter mucho más determinista, para resolver muchos problemas de flujo; por ejemplo, el lector podrá consultar la ref. 10 para encontrar un modo de resolver el problema anterior en forma mucho menos dependiente de una ocurrencia feliz, a base de una aplicación sencilla de la transformación de Schwarz-Christoffel. una de las más utilizadas para encontrar soluciones analíticas rigu­ rosas a problemas de flujo.

REFERENCIAS 1. Forchheimer, Ph. — U ber d ie E rg ieb ig k eit von Brunnenanlagen und S ick erschlitzen — Zeitschrift Architekten — und Ingenieur — V erein — Hannover — 1886. 2. Casagrande. A — S e e p a g e through D am s — Contributions to Soil Mechantes 1925-1940 — Boston Society of Civil E n gin eers— 1940. 3. Reynolds, O . — An E xperim en tal investigation o f the C ircunstances w hich D eterm ine w hether th e m otion o f w ater shall b e D irect o f Sinuous an d the taiv o f R esisten ce in p a ra llel chann els ~ Phil, Trans. Royal Society — Vol. 174 — Londres —- 1883. 4. Muskat, M. — T h e flo w o f H om og en eou s Fluids fh orou q h P orou s M edia — M cG raw Hill Book Co. — 1937. 5. Harr, M . E . — G rou n dw ater and S e e p a g e — Capítulo I — M cG raw Hill Book Co. — 1962. 6. Harr, M . E . — G rou ndw ater and S e e p a g e — Capítulos 3 y 4 y Apéndices A V B — M cGraw Hill Book Co. — 1962. 7. Hildebrand, F. B. — A d v a n ced C alculus fo r E n gin eers — Prentice Hall — 1948. 8. Pipes, L. A. — A p p lied M athem atics fo r E n gin eers and P husicists — M cGraw Hill Book Co. - 1946. 9. Levi, E . — Introducción a las M atem áticas A p licad a s — Facultad de Ingenie­ ría U N A M . — División del Doctorado — M éxico, D. F . — 1964. 10. Harr, M . E . — G rou n dw ater an d S e e p a g e — Capitulo I V (S e cs: 4-5 y 4-7) — M cG raw Hill Book Co. — 1962.

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C A P IT U L O I

BIBLIOGRAFIA

G rou ndw atec an d S e e p a g e — M . E . Harr -— M e Graw Hill Book Co. • — 1962. P rin cipies o { S o il M echan ics — Inc. - 1963.

R.

F . Scott — Addison-W esley Publishinu Co.

T h coretical S o il M echan ics — K. Terzaghi -—John W ile y and Sons. Inc. 1956.

C A P IT U L O II

TEORIA DE LAS REDES DE FLUJO II-l. La red de flujo En el párrafo 1-4 se demostró que la ecuación de Laplace queda resuelta por dos familias de curvas ortogonales entre sí, que son las líneas de flujo y las líneas equipotenciales que allí se estudiaron; se mencionó también que dos familias de líneas que cumplan la condi­ ción de ortogonalidad y las condiciones de frontera de la región de flujo constituyen una solución única de la ecuación de Laplace y, por ende, del problema de flujo descrito por aquella ecuación. E l método de las redes de flujo utiliza esas afirmaciones para re­ solver el problema de un modo sencillo y puramente gráfico. Se trata de definir en cada caso particular las condiciones de frontera especí­ ficas del problema y de trazar, cumpliendo aquellas, las dos familias de curvas ortogonales, obteniendo así una verdadera imagen gráfi­ ca del problema. Al acomodar en un dibujo hecho a mano las dos familias, respe­ tando las condiciones de frontera y la de ortogonalidad, se tendrá una aproximación a la solución única del problema; esta aproximación, si el dibujo se ha realizado con cuidado, es lo suficientemente buena para los fines ingenieríles y da soluciones del problema ventajosas respecto a las que se obtienen por los métodos matemáticos rigurosos, algo más precisos quizá, pero mucho más complicados. E l trazo de una red de flujo comprende en la práctica los si­ guientes pasos: 1. Delimitación de la zona de flujo que se desea estudiar, anali­ zando sus condiciones específicas de frontera 2, Trazo de dos familias de curvas ortogonales entre sí que sa­ tisfagan las condiciones de frontera y que constituyen la solu­ ción única de la ecuación de Laplace. No se pueden dar muchas reglas generales para definir qué fronteras pueda tener en un caso dado una zona de flujo en estudio, pero a continuación se mencionan algunos casos muy frecuentes respecto a los que si es posible decir algo como guia de criterio o de aprendizaje. 31

32

CAPITULO II

Considérese en primer lugar el caso ilustrado por la línea 1-2 de la fig. II-1, que es evidentemente una frontera de la •zona por la que se infiltra el agua a través de la presa.

ZONA IM P E R M E A B L E

FIG. II-1. Análisis d e algunos condiciones d e frontera en redes d e flujo

Puede notarse al analizar lo que sucede en los puntos A y A' que a lo largo de esa línea, las cargas de presión (representadas por las alturas de agua medidas del punto a la superficie) son diferentes; las cargas de posición, si se toma el plano 1-3 como plano de com­ paración por ejemplo, también lo son, pero la suma de ambas, o sea la carga hidráulica total,* es la misma en todos los puntos y está representada por la distancia comprendida entre la horizontal 1-3 y el nivel de agua. Así, la línea 1-2 es una línea equipotencial. En ge­ neral la situación ilustrada por el ejemplo anterior prevalece y el contacto entre el agua libre y un medio permeable a través del cual se infiltra el agua es siempre una línea equipotencial. Considérese ahora el caso de la frontera 1-3. El agua que llegue a hacer contacto con esa línea deberá de seguirla en su recorrido, pues la roca impermeable no le permite atravesarla. Así, la línea 1-3 es una línea de flujo. También puede establecerse como regla general que el contacto entre un medio impermeable y otro permeable a través del que se infiltra el agua, es una línea de flujo. Siguiendo lincamientos similares a los expresados arriba puede entonces definirse a qué tipo de línea corresponde cada una de las fronteras de la región de flujo; por el momento se supone que todas esas fronteras son conocidas a priori, es decir, que la región de flu­ jo está claramente delimitada; más adelante se estudiarán algunos casos importantes en los que las fronteras de la región de flujo no son conocidas de antemano y, por lo tanto, han de ser estudiadas como primer paso para el trazo de la red de flujo. * En realidad la carga hidráulica total es la suma de las cargas de posición de presión y de velocidad, que no se ha considerado en el razonamiento anterior. La razón es que, dadas las bajas velocidades con que el agua circula a través del suelo, esta carga de velocidad es despreciable y no se toma en cuenta en los problemas de flujo de agua en suelos.

MECANICA D E SU ELO S (III)

33

Una vez conocidas las fronteras, el trazo de la red de flujo con­ siste, como ya se dijo, en dibujar las dos familias de curvas orto­ gonales entre si y que cumplan dichas condiciones de frontera. El hacer cumplir las condiciones de frontera consiste simplemente en satisfacer en éstas los requerimientos teóricos de la red; así por ejem­ plo si la frontera es una línea de flujo, la familia de líneas equipo­ tenciales la deberá cortar ortogonalmente, etc.

II-2. Trazo de la red de flujo. Cálculo del gasto Al intentar el trazo de las familias de líneas equipotenciales y de flujo surge el problema de que por cada punto de la región de flujo deberá de pasar en principio precisamente una línea de flujo y una equipotencial, pues en cada punto de la región de flujo el agua tiene una velocidad y una carga hidráulica. Esto llevaría, de trazar todas las líneas posibles, a una solución que formaría una mancha uniforme en todas las regiones de flujo; a este modo de proceder le faltaría todo valor práctico, pues las soluciones obtenidas en los diferentes problemas serán uniformemente inútiles. Para aspirar a una solución discriminativa, que sepa diferenciar un problema de flu­ jo de otro, será preciso no trazar todas las líneas de flujo y equipo­ tenciales posibles; en cambio se trazarán sólo unas cuantas selec­ cionadas con un cierto ritmo útil y conveniente. El problema no es nuevo y los lectores familiarizados con la representación gráfica de otros campos vectoriales de variable escalar, como el campo eléctrico por ejemplo, o la representación de una topografía con curvas de nivel, lo reconocerán de inmediato. La solución que conviene dar en el caso de problemas de flujo es análoga a la dada en esos otros casos; fijar, como se ha dicho, un ritmo para dibujar solamente al­ gunas de las infinitas lineas posibles. La convención más conveniente es la siguiente: a) Dibujar las líneas de flujo de manera que el gasto que pase por el canal formado entre cada dos de ellas sea el mismo (Aq ) . b ) Dibujar las líneas equi­ potenciales de manera que la caída de carga hidráulica en­ tre cada dos de ellas sea la misma (Ah). FIS. 11-2. Una porcün de una red de flujo. Obtención de la fórmula para el cálculo del gasto Mecánica de Suelos III

Supóngase que se ha tra­ zado la red de flujo cumplien-

34

CA PITU LO II

do los dos requisitos anteriores, de manera que un fragmento de ella, el limitado por las líneas de flujo y i];;- y por los equipotenciales i y (¡>j es tal como el que se muestra en la fig. II-2. El gasto Aq que pasa por el canal vale, según la ley de Darcy: A q-ka^ -

( 2- 1 )

pues el área media del rectángulo curvilíneo normal al flujo es a (se considera un espesor unitario normal al plano del papel), Ah es la caída constante de potencial hidráulico entre ¡ y y b es la dis­ tancia media recorrida por el agua. Si n¡ es el número total de canales de flujo que tiene la red y ne el número de caídas de potencial que hay en toda la zona de flujo, podrá escribirse, teniendo en cuenta las dos convenciones que se han segui­ do para construir la red de flujo:

Ah = —

fie

(2-2)

Donde q y h son el gasto total y la carga perdida en total, en toda la zona de flujo. Asi, la ec. 2-1 podrá escribirse: * =

(2-3)

En la expresión 2-3 puede notarse que puesto que q, k, h, n¡ y ne son constantes para una red .de flujo dada, la relación a / b debe serlo también. Así, si han de satisfacerse las dos condiciones que se ha decidido cumplir, la relación entre el ancho y el largo de todos los rectángulos curvilíneos de una red de flujo debe de ser la misma; es decir todos los rectángulos curvilíneos deben ser semejantes y, recíprocamente, el hecho de que se cumpla esta condición de seme­ janza implica que se están satisfaciendo automáticamente las dos condiciones impuestas a la red al comienzo de esta sección. Nótese también que el único requisito que ha de cumplirse respecto a la re­ lación a / b , para satisfacer las dos condiciones que fijan el ritmo de las líneas de flujo y equipotenciales es que sea constante; por lo de­ más, la relación a / b podrá ser cualquier constante. Se antoja así, en aras de lasencillez y la elegancia, fijar el valor de a / b precisa­ mentecomo la unidad,que es incuestionablemente laconstante más sencilla. Si esto se hace, los rectángulos curvilíneos se transforman en cuadrados curvilíneos, de manera que la red dibujada cumplirá la

M EC A N ICA D E S U E L O S (III)

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condición de que por cada canal pase el mismo gasto y de que entre cada dos líneas equipotenciales haya la misma caída de potencial, simplemente si las figuras definidas por esas líneas son cuadrados. Evidentemente el cuadrado es la figura más sencilla y conveniente, con la ventaja adicional de que permite verificar lo bien dibujada que una red esté al golpe de vista, lo que no sucedería con los rectángulos, pues al variar el tamaño de ellos no se puede decir sin tomar medidas si se conservan sus proporciones o se han dibujado diferentes, con el correspondiente error. Si se acepta para siempre en adelante que todas las redes de flujo serán de cuadrados, en tanto no se especifique otra cosa, la ec. 2-3 podrá escribirse: q = kh^ ~ He

(2 -4 )

El término n ¡/n e depende solamente de la forma de la región de flujo. Se le llama Factor de Forma y se representa: F f = J±

•le

(2 -5 )

Así, en definitiva, la expresión 2-3 puede ponerse como: q —khF f

(2 -6 )

que es la fórmula sencilla que permite calcular el gasto por uni­ dad de longitud normal a la sección estudiada, que ocurre a través de una región de flujo en la que se ha dibujado la red correspondiente. Antes de detallar otros conceptos importantes que pueden calcu­ larse por medio de la red de flujo, conviene insistir un poco más en las normas para el trazo de éstas. Casagrande en la ref. 1 de este capítulo proporciona los siguientes consejos a los ingenieros no ex­ pertos en este campo y a los jóvenes estudiantes: 1. Usense todas las oportunidades posibles para estudiar la apa­ riencia de redes de flujo bien hechas, tratando después de repetirlas sin tener a la vista el modelo hasta obtener dibujos satisfactorios. 2. Usualmente es suficiente trazar la red con un número de cana­ les de flujo comprendidos entre cuatro y cinco. E l uso de muchos canales dificulta grandemente el trazo y desvía la aten­ ción de los aspectos esenciales. 3. Debe siempre observarse la apariencia de la red en conjunto, sin tratar de corregir detalles hasta que toda ella está aproxi­ madamente bien trazada.

36

CA PITU LO II

4. Frecuentemente hay partes de la red en que las líneas de flujo deben ser aproximadamente rectas y paralelas: en ese caso los can'ales son más o menos del mismo ancho y los cuadrados deben resultar muy parecidos. Puede facilitar el trazo de la red el comenzarlo por esa zona. 5. Las redes de flujo en áreas confinadas, limitadas por fronte­ ras paralelas (especialmente la superior y la inferior) son frecuentemente simétricas y las líneas de flujo y las equipo­ tenciales son entonces de forma parecida a la elíptica. 6. Un error común en los principiantes es el de dibujar transicio­ nes muy bruscas entre las partes rectas y las curvas de las diferentes líneas. Debe tenerse presente que las transiciones deben ser siempre muy suaves y de forma parabólica o elíptica: el tamaño de los diferentes cuadrados debe ir cambiando tam­ bién gradualmente. 7. En general el primer intento no conduce a una red de cua­ drados en toda la extensión de la región de flujo. La caída de potencial entre dos equipotenciales sucesivas correspondien­ te a un cierto número de canales con el que se intentó la solu­ ción, no suele ser una parte entera exacta de la pérdida total de potencial, de manera que al terminar la red suele quedar una última hilera de rectángulos entre dos lineas equipoten­ ciales en la que la caída de carga es una fracción de la Ah que haya prevalecido en el resto de la red. Generalmente esto no es perjudicial y esta última hilera puede tomarse en cuenta para el cálculo de ne. estimando que fracción de caída ha re­ sultado. Sí, por razones de presentación, se desea que todas las hileras de cuadrados queden con el mismo Ah, podrá corre­ girse la red, cambiando el número de canales de flujo, bien sea por interpolación o empezando de nuevo. No debe inten­ tarse convertir la hilera incompleta en una de cuadrados por correcciones locales puramente gráficas, a no ser que el faltante o sobrante de espacio en la hilera incompleta sea muy pequeño. 8. Las condiciones de frontera pueden introducir singularidades en la red que se discutirán con más detalle en los párrafos siguientes. 9. Una superficie de salida en la red, en contacto con aire, si no es horizontal, nunca es ni línea de flujo ni equipotencial, de manera que los cuadrados limitados por esa superficie no pueden ser completos. Sin embargo, como más adelante se demostrará,, estas superficies deben cumplir la condición de que se tengan iguales caídas de posición entre los puntos de ellas cortados por las líneas equipotenciales. Además de las normas anteriores, es conveniente que las líneas de flujo y equipotenciales se dibujen siempre completas. Los princi-

I

MECANICA D E SU ELO S (III)

37

piantes cometen numerosos errores de concepto en la red por dejar trazos incompletos que, de ser terminados, les hubieren revelado di­ chos errores en forma muy clara. En las figs. II-3 aparecen algunas redes de flujo dibujadas a modo de ilustración.

n-3. Superficies libres a la presión atmosférica Una frontera muy común en las redes de flujo la constituye una superficie abierta al aire o, en general, una superficie en la cual todos los puntos estén a la presión atmosférica. Respecto a tales superficies existe una condición teórica que ha de cumplirse, que se traduce en una condición gráfica que debe satisfacerse y que es sencilla de verificar.

FIG. 11-4. Superficie abierta al aire

Sea la superficie A B una superficie abierta al aire, en la cual todos los puntos tienen la misma carga de presión, que corresponde a la presión atmosférica (fig. II-4 ). Entonces dos puntos de esa super­ ficie cortados por dos equipotenciales sucesivas estarán separados ver­ ticalmente por una distancia Ah que tiene que ser igual a la caída de carga hidráulica entre esas dos equipotenciales, puesto que por ser igual la carga de presión, la diferencia de carga tiene que traducirse sólo en pérdida de posición. Como quiera que entre todas las equipo­ tenciales que cortan a la superficie libre hay la misma pérdida de carga, se sigue que entre todos los puntos en que dichas equipoten­ ciales cortan a la superficie libre debe de haber la misma diferencia de posiciones o caída de alturas, precisamente igual a Ah. Ese hecho está gráficamente expresado en la fig. II-4.

II-4. Cuadrados singulares Hay ocasiones en que dentro de las redes de flujo las circuns­ tancias geométricas de la región de flujo fuerzan las cosas de manera

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CA PITU LO II

que se produce una singularidad, dando así lugar a cuadrados en la red que quedan aparentemente fuera de la regla común. La parte'a^l de la fig. II-5 presenta un caso muy común que, por otra parte, ya se presentó en las redes de la fig. ÍI-3,

IMPERMEABLE

c FIG. 11-5. Cuadrados singulares

La frontera superior del fragmento que se reproduce de la región de flujo es una línea equipotencial, en tanto que la inferior lo es de flujo. Ambas líneas son paralelas, por lo que el cuadrado extremo, de a¡ bj a la izquierda, es un cuadrado abierto de forma singular. E s de notar que de la línea de flujo que parte de a¡ a la izquierda pasa el gasto Aq, mismo que pasa por los restantes canales de flujo de la red; si se subdivide en mitades el cuadrado singular (líneas por los puntos a* y b¡, de la figura), por cada subdivisión pasará el gasto A q/2 . Si se siguen las subdivisiones hacia la izquierda podrán obte­ nerse los canales por los que pasa la cuarte parte, la octava parte, etc., del gasto; puede verse que esos canales tienden a ser similares hacia la izquierda, en tanto que el gasto que pasa por ellos disminuye

MECANICA D E SU ELO S (III)

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rápidamente. De lo anterior se deduce que la velocidad de filtración del agua en la zona permeable disminuye hacia la izquierda monó­ tonamente, de manera que se acerca asimptóticamente a cero. Lo an­ terior puede elevarse al grado de regla general, de modo que puede decirse que cuando una línea de flujo y una equipotencial son para­ lelas por una singularidad de una red, en su intersección (punto oo ) la velocidad con la que el agua se infiltra se reduce a cero. En la parte b) de la fig. II-5 se presenta otra singularidad bas­ tante común en muchas redes. En el punto A concurren una línea de flujo y una equipotencial, que son colineales; es decir, forman entre sí un ángulo de 180°, en lugar del usual de 90°. También ahora si se subdivide el canal original, en el que pasa el gasto Aq, se obtienen dos canales por cada uno de los que pasa A q/2. La subdivisión pos­ terior permite obtener canales por los que irá pasando la cuarta parte, la octava parte, etc., del gasto. Pero ahora la situación es dife­ rente a la que se tuvo en el caso a ). Si ahora se observa la fig. II-5.b se verá que la sección de cada canal va siendo bastante menor que la mitad de la anterior, en tanto que el gasto que pasa por ella es pre­ cisamente la mitad del que pasaba por el canal antes de la subdi­ visión; en consecuencia, al acercarse al punto A , la velocidad de infiltración del agua en el suelo debe ir aumentando. De hecho, esa velocidad aumenta monótonamente hacia A , de manera que en ese punto es, teóricamente, infinita. Lo anterior también es regla general y puede decirse ahora que si una línea de flujo y una equipotencial se unen a un ángulo mayor que 90° (y 180° no es más que un caso particular), en el punto de unión el agua tiene una velocidad de infiltración infinita. Al considerar el hecho teórico de que la velocidad en el punto A es infinita, deben de tenerse en cuenta los siguientes puntos de vista: La teoría con la que se ha llegado a la conclusión que se estudia, que se ha venido exponiendo en éste y en el precedente capítulo, ha sido elaborada bajo la hipótesis de régimen laminar en el agua y de validez de la ley de Darcy. Estas hipótesis exigen a su vez, según se ha venido insistiendo, bajas velocidades en el agua que fluye; así, esa teoría no es aplicable a un punto en el que las velocidades crecen en forma importante, por lo que la conclusión de que la velocidad se hace infinita no ha de ser aceptada literalmente. La conclusión que si puede extraerse es que en las vecindades de A las velocidades del agua aumentan mucho y el flujo se concentra, razón por la que zonas de este tipo serán zonas críticas desde el punto de vista de erosiones, arrastres, etc., cuando estén a la salida de la red y el material no tenga confinamiento. En la fig. II-5.C se presenta otra singularidad frecuente en las redes de flujo. Ahora una línea equipotencial y una de flujo se cortan a un ángulo a que es menor de 90°. Puede verse que al hacer las

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subdivisiones en este caso se tiene cada vez un gasto mitad del an­ terior pasando a través de una sección que es mayor que la mitad de la anterior; así la velocidad de filtración va disminuyendo monó­ tonamente cuanto más cerca se esté de A , de manera que en dicho punto se llega a la velocidad cero. Lo anterior también es regla ge­ neral; es decir, cuando una equipotencial y una línea de flujo se cortan por singularidad en la red de flujo a un ángulo a < 90°, en el punto de intersección la velocidad de filtración del agua vale cero. El valor a < 90° incluye a cero, como se vio al discutir el caso de la fig. II-5.a, que es entonces un caso particular del que ahora se discute.

n-5. Cálculo de las presiones hidrodinámicas en una red de flujo

Ahora se verá una de las más útiles aplicaciones de una red de flujo: aquella que permite calcular las presiones hidrodinámicas en el agua que se infiltra a través de la región de flujo. Este cálculo es aplicable de inmediato al diseño de estructuras sujetas a flujo, tales como taludes, muros de retención, cimentaciones, etc. En los párrafos siguientes y a modo de ilustración se analiza el cálculo de las presiones en el agua en dos casos de interés práctico. En el primero de ellos se considera un talud cuya red de flujo aparece parcialmente dibujada (ver fig. II-6 ); se trata de calcular las pre­ siones en el agua en el interior del talud.

FIG. 11-6. Cálculo de las presiones en el agua, en el interior de un talud

Supóngase que se desea calcular la presión hidrodinámica en un punto como el A. Si por ese punto se dibuja la equipotencial que le corresponde, esta línea sale al aire libre en B. Los puntos A y B deben tener la misma carga hidráulica, puesto que pertenecen a la misma equipotencial; el A , si por él se hace pasar un plano horizon­ tal de referencia ( h = 0) tiene carga de posición nula y toda su carga es de presión y corresponde precisamente a la presión del agua en el punto; el punto B tiene carga de presión nula, pues está en contacto con la atmósfera y por ello toda su carga hidráulica es de posición. Debe cumplirse que:

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(Carga de posición) b = (Carga de presión)a

Luego la presión en A puede calcularse como se ve en la fig. II-6 trazando una horizontal por el punto de salida B y midiendo la dis­ tancia entre A y dicha referencia, que es la carga de presión deseada. Considérese ahora el caso ilustrado en la fig. IÍ-7 en el que el agua se infiltra en una región permeable, bajo una estructura im­ permeable. Se trata ahora de calcular tanto las presiones que el agua tiene en los puntos precisamente abajo de la estructura (que reciben el nombre de subpresiones y juegan un importante papel en el dise­ ño de la estabilidad de la estructura como un conjunto). como en cual­ quier otro lugar de la zona permeable.

FIG. 11-7. Cálculo de las presiones en el agua ba¡o una estructura impermeable

Considérese en primer lugar el caso del punto 1, en la cimenta­ ción de la estructura. Puesto que la carga original del agua es h , en el punto 1 la carga valdrá h — A h . pues dicho punto está en la si­ guiente equipotencial, con una caída de carga A h respecto al valor inicial; pero además el punto 1 tiene una carga de posición que sería la distancia que hay del punto al plano A B, que se considera como el plano de comparación ( h — 0 ). Si la carga h se divide en n c partes iguales (11 en el caso de la fig 11-7, pues hay 11 caídas de potencial en la red) y se trazan referencias horizontales por esas divisiones, la distancia del plano A B a la división correspondiente da la car­ ga hidrostática de cualquier punto. En el caso del punto 1 esta carga gráficamente es la distancia vertical entre el plano A B y el nivel de la primera división; a esta carga se le resta la de posición represen­ tada por la distancia vertical del punto 1 al plano A B, que en este

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CA PITU LO II

caso es negativa. Así la carga de presión (/ipre = h — hpoa) en 1 (o sea el valor de la subpresión) es la distancia u¡, tal como se marca en la fig. II-7. En el caso del punto 2, que está en una posición cualquiera dentro de la masa de suelo permeable, la carga de presión puede calcular­ se de un modo análogo. Obsérvese que el punto 2 está a una y media caídas de potencial Ah respecto a la carga original. Así su carga hidráulica será la distancia vertical entre el plano A B y una horizon­ tal trazada una división y media abajo del nivel h; además la distan­ cia entre 2 y el plano A B proporciona la carga de posición de aquel punto, también negativa, de manera que la carga de presión en 2 es el segmento u>, tal como se le ve en la fig. II-7, obtenido restando de la carga hidráulica, la carga de posición (negativa). En la fig. II-7 aparecen gráficamente calculadas las cargas en los puntos 3 y A y se deja al lector como ejercicio la explicación del procedimiento. Una vez calculada la presión del agua en todos los puntos bajo la estructura (subpresiónes) podrá trazarse a una escala conveniente un diagrama que las represente. El área de esa figura será la subpresión total, que pasará por el centroide de la misma.

II-6. Cálcalo de velocidades y gradientes hidráulicos en los puntos de una red de flujo En los puntos de una región de flujo en la que se haya trazado una red de flujo es posible encontrar el gradiente hidráulico, así como la velocidad del agua. Para ello bastará trazar por el punto en cues­ tión el segmento de la línea de flujo que pase por él y que quede contenido dentro del cuadrado en que haya caído el punto. Entonces la caída entre equipotenciales de la red, Ah, dividida entre la longitud de línea de flujo en la que ocurre dicha caída proporciona el gra­ diente hidráulico medio en ese tramo que incluye el punto en cuestión. Mayor aproximación al gradiente específico en el punto se puede tener subdividiendo el cuadrado en otros menores, cada vez más en torno al punto. Una vez que se tiene el gradiente en el punto, bastará multipli­ carlo por el coeficiente de permeabilidad del suelo, para tener la velocidad del agua en magnitud, según la ley de Darcy; dicha velo­ cidad será tangente en el punto a la línea de flujo que pase por él y estará dirigida en el sentido del flujo.

II-7. Fuerzas de filtración. Gradiente crítico de ebullición Cuando el agua fluye a través de una masa de suelo su efecto no se limita a la presión hidrostática que tiene lugar en el agua en

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equilibrio, sino que ejerce una presión hidrodinámica sobre las par­ tículas del suelo, en la dirección del flujo, efecto que puede repre­ sentarse por empujes hidrodinámicos, en la dirección del flujo y tan­ gentes a las respectivas lí­ neas de flujo. La magnitud de esas presiones o de esos empujes h id ro d in ám ico s depende sobre todo del gra­ diente hidráulico prevale­ cienteConsidérese un cuadrado de una red de flujo, tal co­ mo el que se muestra en la figura II-8. La presión hidrodinámica que ejerce el agua sobre las partículas del suelo en la sección AA del cuadrado (considerando a éste un es­ pesor unitario en la direc­ ción normal al papel), vale Po = A / ir*

Pues la pérdida de carga Ah ha sido trasmitida por viscosidad a las partículas de suelo. Esta presión produce un empuje hidrodinámico que es: J — Ah- y«>AA

(2-7)

Es común expresar esta fuerza por unidad de volumen, tenién­ dose entonces para el cuadrado considerado: } =

/ _ Ah y«> AA AA-AL ~ AA-AL

o sea í = Y» «

( 2- 8 )

Con la fórmula 2-8 puede calcularse cualquier fuerza de filtra­ ción ligada a un cuadrado de una red de flujo; conocido el volumen de éste, que es su área multiplicada por un espesor unitario normal al papel, puede calcularse la fuerza total, que actuará en la dirección del flujo, en el centroide del volumen del cuadrado y tangente a la línea de flujo que pase por ese punto.

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CA PITU LO II

Nótese que la fuerza de filtración depende del peso específico del agua y del gradiente hidráulico prevaleciente en el cuadrado en cuestión, pero es independiente de la velocidad del flujo y del coefi­ ciente de permeabilidad del suelo, de modo que es la misma en suelos cohesivos y en suelos friccionantes, aunque las velocidades del flujo en ambos tipos de suelos difieran mucho. La fuerza de filtración es debida a la resistencia viscosa que la estructura sólida del suelo ge­ nera en el fluido; por ella el agua consume energía en forma de presión hidrodinámica capaz de vencerla, según se ve en la ec. 2-7, en que se aprecia que el empuje hidrodinámico es debido a la pérdida de carga Ah que el agua pierde en el recorrido AL a través del cuadrado. Otro fenómeno ligado de un modo muy directo con el flujo del agua a través del suelo es la ebullición de las arenas, que en última instancia es una manifestación del fenómeno de la tubificación. Al respecto, Terzaghi2 ha presentado un análisis de interés que se des­ cribe a continuación.

FIG. 11-9. Gradiente crifico de ebullición

Considérese la red de flujo correspondiente a la tablestaca que aparece en la fig. 11-19. En esa red se estudiará el equilibrio de la zona de salida aguas abajo de la tablestaca. De pruebas en modelos y de experiencias acumuladas en obras construidas se sabe que la arena de la zona en estudio permanece en equilibrio en tanto que la carga h permanezca menor que un

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cierto valor límite hp. Tan pronto como ese valor crítico es sobrepa­ sado, la descarga a la salida aumenta fuertemente, como si la per­ meabilidad de la arena hubiese aumentado con brusquedad y el agua comienza además a arrastrar a la arena, produciéndose tras la ebulli­ ción de este material un proceso de tubificación. La experiencia ha demostrado que la máxima concentración de flujo de agua ocu­ rre dentro de una distancia D /2 de la tablestaca, tal como se muestra en la fig. II-9. La tubificación se inicia cuando la presión hidrodinámica del agua ascendente vence el peso sumergido de la arena colocada en la zona en que comienza a producirse el fenómeno. Con suficiente precisión puede afirmarse que la arena movida por el agita tiene la forma de un prisma de ancho D /2 y de altura D¿; la tendencia al arrastre en este prisma está contrarrestada por su propio peso (en el instante mismo en que el arrastre se inicia, la presión efectiva en los lados del prisma de arena y por lo tanto la resistencia friccionante, es prácti­ camente nula). Así, el prisma se mueve hacia arriba cuando la pre­ sión hidrodinámica ascendente provocada por el agua vence a la presión descendente producida por el peso sumergido del material. La carga de agua, hp, que produce esta situación inestable es la carga crítica. El nivel de la base del prisma por analizar quedará de­ terminado por la condición de que hp sea mínimo, a causa de que el arrastre ocurrirá naturalmente con la mínima carga de agua capaz de producirlo. Se supone en la figura que ese nivel está representado por la dimensión D 3. Para conocer la presión hidrodinámica a ese nivel deberá cono­ cerse la presión del agua en esa profundidad; para ello se estudia en primer lugar cuál será ésta en un punto de la red cualquiera, tal como el P de la fig. II-9. La presión en P está dada por el valor h,c. altura a que sube el agua dentro de un piezómetro instalado en P. multiplicada por el peso específico y K. La altura h w está compuesta de dos sumandos, z y s, de manera que el esfuerzo neutral en P es Up = z y v> + s y»

(2-9)

E l primer sumando de la ec. 2-9 representa la presión hidrostática a la profundidad de P ; su efecto es el de reducir el peso específico de la arena del valor y m al y'm, correspondiente a la condición sumer­ gida. El segundo sumando sy w es la presión que hay en el agua en P arriba de la hidrostática (presión hidrodinámica). Así la condición de arrastre para el prisma bajo estudio es que la presión arriba de la hidrostática en su base no supere a su peso sumergido, que vale (1/2) DD¿y'm. El exceso de presión sobre la hidrostática en P puede calcularse de la red de flujo y vale, según se vio: s y „ = nd Ah y a

( 2- 10)

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CAPITULO II

donde n¿ es el número de caídas de potencial o su fracción que hay desde P hasta la salida de la red. Con base en lo anterior puede dibujarse la distribución de presiones hidrodinámicas en la base del prisma. La presión promedio en dicha base se denominará ha y así el empuje hidrodinámico ascendente en lamismazona será: U = ~ D h a yw

'

(2-11)

El valor de s puede expresarse como: s = — nd = h x (constante) (2-12) ne ne = número total de caídas de potencial en la red. Donde la constante indicada tiene un valor que depende sólo de la posición de P dentro de la red. Las cargas hidrodinámicas en la base del prisma en estudio pue­ den en definitiva, pues, expresarse como: ha = mh (2-13) donde m es una constante. Los valores de ha y h se conocen del planteamiento del problema o de la red de flujo, de donde el valor de m en la (2-13) puede ser calculado (en realidad para ello será preciso conocer D 3). El prisma de arena en estudio será levantado por el agua cuando la presión hidrodinámica exceda el valor que satisfaga la igualdad. y D ha Yw = y D D 3 y'm de donde (2-14) lw Es el valor de la carga hidrodinámica en la base del prisma en el instante en que éste entra en suspensión. En ese mismo instante, por definición, la carga h tiene el valor crítico h„ y, de acuerdo con la (2 -1 3 ): ha — m hv (2-15) ha = D 3

Substituyendo este valor en la ec. 2-14, se tiene: m hp — D 3 —— yw

(2-16)

y

hp = — L & (2-17) m y» La fórmula 2-17 puede aplicarse para diferentes valores de la profundidad D¡, siempre que se haya dibujado la red de flujo, que

MECANICA DE SU ELO S (III)

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permite calcular m, ec. 2-13. Así se tienen distintos valores de hp co­ rrespondientes a diferentes D 3. El mínimo hv es obviamente el valor más crítico de la carga y es el que gobierna el problema y el nivel D 3 correspondiente es la sección crítica, en donde puede comenzar el fenómeno de la tubificación; ésta podrá presentarse en esa sección si la carga que se tenga supera el valor de hp encontrado. En el caso de una tablestaca sencilla, como la que se ve en la fig. II-9, los cálculos anteriores conducen a que prácticamente en la sección crítica: D3 = D Este resultado, para el caso de la tablestaca mostrada, hubiera podido deducirse directamente de la observación de la red de flujo, pues debe notarse que según D 3 aumenta, el valor de las presiones hidrodinámicas crece más aprisa que el peso sumergido de la arena. Nótese que, de acuerdo con la ec. 2-17, el valor de la altura crítica no depende del ángulo de fricción interna de la arena y es propor­ cional al peso sumergido de la misma. Conviene también señalar que la concordancia entre la predicción teórica basada en los cálculos an­ teriores y los resultados de experimentos ha sido reportada como muy satisfactoria.2 Para una carga de agua real actuante, h, el factor de seguridad contra tubificación puede calcularse sencillamente con la expresión: F«= x

(2-18)

Suelen considerarse convenientes valores de F s del orden de 3 ó 4. Si se observa la ec. 2-14 podrá obtenerse el valor promedio del gradiente hidráulicocrítico, o sea el valor degradientehidráulico medio que actúaen el nivel crítico en el instante en quela tubifica­ ción comienza. Dicho valor es: i ~

- a- —Y m D3 ~ ya

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