Mecánica_Cuántica_FINAL_(1)

2

MARÍA ESTHER BURGOS

Temas de mecánica cuántica Volumen 1

4

MARÍA ESTHER BURGOS

María Esther Burgos Profesora de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Los Andes

Temas de mecánica cuántica Volumen 1

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES Consejo de Publicaciones 2012

Título de la obra: Temas de mecánica cuántica Volumen 1

Autor: María Esther Burgos

Editado por el Consejo de Publicaciones de la Universidad de Los Andes Av. Andrés Bello, antiguo CALA. La Parroquia Mérida, estado Mérida. Venezuela Telefax (+58274) 2713210, 2712034, 2711955 e-mail [email protected] http://www.ula.ve/cp

1a edición en CD-Rom. 2012 Reservados todos los derechos © María Esther Burgos

Diseño de portada: INNOVA. Diseño y Tecnología C.A. Mérida, Venezuela, 2012

6

MARÍA ESTHER BURGOS

INDICE GENERAL Prólogo ................................................................................. TEMA 1. LA MATEMÁTICA DE LA MECANICA CUANTICA ......................................................................... 1.1. El espacio de los estados. Notación de Dirac ............. 1.2. Operadores que actúan en el espacio de los estados .. 1.3. Bases discretas en el espacio de los estados ............... 1.4. Bases continuas en el espacio de los estados ............. 1.5. Dos ejemplos de bases continuas: representaciones {|r〉} y {|p〉} ................................................................. 1.6. Representaciones matriciales ..................................... 1.7. Cambio de base .......................................................... 1.8. Autovalores y autovectores de los operadores lineales 1.9. Soluciones de las ecuaciones de autovalores ............. 1.10. Operadores hermíticos ................................................ 1.11. Observables ................................................................ 1.12. Los observables posición y cantidad de movimiento . 1.13. Observables que conmutan: Teoremas ....................... 1.14. Cantidades físicas compatibles y conjuntos completos de observables que conmutan ..................................... 1.15. El operador paridad .................................................... 1.16. Producto tensorial de dos espacios ............................. TEMA 2. LOS POSTULADOS DE LA MECANICA CUANTICA NO RELATIVISTA ....................................... 2.1. Postulados referidos a la representación de estados y cantidades físicas .....................................................

11

15 15 20 27 31 35 40 45 48 52 58 60 66 70 77 81 85

91 93

MECÁNICA CUÁNTICA

2.2. La ecuación de Schrödinger ........................................ 2.3. Sistemas conservativos ............................................... 2.4. Estados estacionarios, constantes de movimiento, frecuencias de Bohr y reglas de selección .................. 2.5. Postulados referidos a la medición ............................. 2.6. Las predicciones experimentales de la mecánica cuántica ....................................................................... 2.6.1. Medición de una cantidad física...................... 2.6.2. Medición de dos cantidades físicas compatibles ..................................................... 2.6.3. Medición de dos cantidades físicas incompatibles .................................................. 2.7. El operador densidad................................................... 2.7.1. El caso de un estado puro ................................ 2.7.2. El caso de un estado mezcla ............................ 2.7.3. El estado individual de una partícula incluida en un sistema ................................................... 2.8. El operador de evolución ............................................ 2.9. El tratamiento de Heisenberg ......................................

TEMA 3. ESTUDIO DE DOS SISTEMAS CONSERVATIVOS ............................................................. 3.1. Sistemas en un potencial uniforme: ............................ 3.1.1. La partícula libre ............................................. 3.1.2. El potencial escalón ........................................ 3.1.3. La barrera rectangular y el pozo rectangular de potencial ..................................................... 3.2. El oscilador armónico: ................................................

7

103 107 111 115 124 125 127 130 134 134 136 138 142 145

151 151 151 156 162 173

8

MARÍA ESTHER BURGOS

3.2.1. El Hamiltoniano del oscilador armónico simple: algunas propiedades de sus autovalores y autofunciones ............................................... 173 3.2.2. Los operadores de creación y de destrucción . 178 3.2.3. Autovalores y autovectores del Hamiltoniano del oscilador armónico simple. El número de ocupación ........................................................ 181 3.2.4. Representación {|x〉} de los autovectores del Hamiltoniano ............................................ 186 3.2.5. Evolución temporal ........................................ 191 3.2.6. El oscilador armónico tridimensional ............. 194 TEMA 4. EL MOMENTO ANGULAR .............................. 4.1. El momento angular en mecánica clásica y en mecánica cuántica: ..................................................... 4.1.1. El momento angular en mecánica clásica ....... 4.1.2. El momento angular en mecánica cuántica .... 4.1.3. Operadores de creación J+ y de destrucción J− del momento angular ...................................... 4.1.4. Resultados de la aplicación de J+ y J− a los autovectores de Jz y J2..................................... 4.1.5. Determinación de los autovalores de los operadores J2 y Jz ............................................ 4.1.6. La base standard ............................................. 4.2. El momento angular orbital: ....................................... 4.2.1. Representación {|r〉} del momento angular orbital .............................................................. 4.2.2. Autovalores y autofunciones de L2 y Lz. Armónicos esféricos .......................................

201 201 201 203 206 208 211 217 220 220 225

MECÁNICA CUÁNTICA

9

4.3. El espín del electrón: ................................................... 4.3.1. Evidencia experimental ................................... 4.3.2. Operadores y estados en el espacio del espín . 4.4. Simetrías y leyes de conservación: ............................. 4.4.1. Simetría de traslación espacial ........................ 4.4.2. Simetría de rotación ........................................ 4.4.3. Simetría de traslación temporal .......................

230 230 234 238 240 242 244

TEMA 5. EL ÁTOMO DE H ............................................... 5.1. El potencial central: .................................................... 5.1.1. Hipótesis fundamentales ................................. 5.2. El átomo de H libre: .................................................... 5.2.1. El modelo de Bohr .......................................... 5.2.2. El Hamiltoniano del átomo de H libre ............ 5.2.3. Soluciones de la ecuación radial ..................... 5.2.4. Números cuánticos y degeneración de los autovalores del Hamiltoniano. Notación espectroscópica ............................................... 5.3. El átomo de H en un campo magnético uniforme: ..... 5.3.1. Modificación del Hamiltoniano y órdenes de magnitud de los distintos términos.................. 5.3.2. Los términos paramagnético y diamagnético .. 5.4. El efecto Zeeman ........................................................ 5.4.1. Modificación de los niveles de energía ........... 5.4.2. El momento dipolar del átomo ........................

247 247 247 249 249 253 257

263 269 269 271 273 273 275

MECÁNICA CUÁNTICA

1

MECÁNICA CUÁNTICA

11

PRÓLOGO Este libro está destinado a los estudiantes de mecánica cuántica de las licenciaturas de física y química. Se ha supuesto que estos estudiantes tienen los conocimientos de matemáticas que se adquieren en los tres primeros años (o en los seis primeros semestres) de dichas carreras y que están familiarizados con los experimentos realizados a fines del siglo XIX y comienzos del siglo XX. Como es sabido, los científicos de ese periodo fracasaron en el intento de explicar tales experimentos a partir de las teorías clásicas vigentes para la época: la mecánica clásica (en sus distintas versiones) y el electromagnetismo. Lo cual planteó la necesidad de introducir nuevos conceptos, y condujo a la formulación de la mecánica cuántica tal como la conocemos hoy en día. Los estudiantes deberían haber estudiado tanto los experimentos previamente referidos como los conceptos introducidos para explicarlos en una materia que, generalmente, recibe el nombre de “Física Moderna”. A continuación detallamos la lista: La radiación del cuerpo negro y la catástrofe del ultravioleta; el análisis debido a Einstein del efecto fotoeléctrico; el efecto Compton; la hipótesis de de Broglie; el atómo de Bohr; el experimento de Frank-Hertz; el principio de incertidumbre de Heisenberg; y el experimento de Stern-Gerlach y el concepto de espín.

12

MARÍA ESTHER BURGOS

En la primera clase de los numerosos cursos de mecánica cuántica que he dictado, tropecé siempre con la misma dificultad: los estudiantes manifestaban no ser capaces de leer la bibliografía recomendada pues prácticamente toda ella está en inglés; y, de hecho, no existen traducciones aceptables de ninguno de los libros de mecánica cuántica que considero buenos. Mi respuesta era que deben aprender inglés; que un físico o un químico que no sepa inglés tiene cerradas las puertas a los congresos internacionales que podrían interesarle, y tampoco tiene posibilidades de ubicar artículos de su autoría en revistas internacionales que, en la inmensa mayoría de los casos, requieren que las contribuciones estén escritas en inglés. Mantengo esa posición, pero, al mismo tiempo, he comprendido que el estudiante que encara al mismo tiempo las dos tareas (aprender algo de inglés y asomarse a la mecánica cuántica) difícilmente tenga éxito en ambas; peor aún, con frecuencia ni siquiera alcanza alguna de las metas. Por tal razón comencé a redactar unos apuntes que fueron el germen de la presente obra. He intentado adecuar este libro al nivel de los estudiantes que enfrentan por primera vez un curso formal de mecánica cuántica y no pretendo que reemplace obras de otros autores, más elaboradas y completas, pero podría brindar un escalón intermedio para acceder a ellas; en tal sentido, al final de cada capítulo se incluye una breve bibliografía que inclusive el principiante interesado en ese tema particular debería consultar. Pese a lo cual, y a efectos de respetar el rigor que implica la materia, he prestado especial atención a ciertas cuestiones formales. En particular, el lector notará que el primer tema, referido a la matemática de la mecánica cuántica, ocupa un espacio

MECÁNICA CUÁNTICA

13

considerable. Esto, en virtud de que las herramientas allí expuestas son imprescindibles para encarar tanto la lectura de los restantes temas, como la de textos más avanzados y de artículos sobre temas actuales. Y, como en general los principiantes tienen dificultades con estas herramientas matemáticas, me pareció conveniente exponerlas en forma detallada. Debo advertir al lector que si no intenta responder las preguntas y resolver al menos parte de los ejercicios propuestos al final de cada sección, la mera lectura de este libro difícilmente rinda los frutos deseados. Salvo contadas excepciones, los ejercicios son muy sencillos y el estudiante debe tener en claro que su progreso depende, ante todo, de su trabajo y empeño; poco o nada aprenderá si se limita a seguir el análisis del problema hecho por otra persona. Asimismo, cualquier lector que desee consultarme sobre el contenido de esta obra, puede ubicarme en la siguiente dirección electrónica: mbugos25@ gmail.com. Finalmente: Agradezco a los Profesores Alejandra Melfo, Nelson Pantoja y Luis Rincón por la revisión de algunos temas, y sus sugerencias. En particular, estoy en deuda con el Profesor Daniel Morales por una revisión exhaustiva de la totalidad del manuscrito y sus múltiples observaciones. Va también mi profundo agradecimiento al Profesor Mario Peralta, por su estímulo para llevar a cabo esta obra.

María Esther Burgos Mérida, julio 2012

14

MARÍA ESTHER BURGOS

MECÁNICA CUÁNTICA

15

TEMA 1. LA MATEMÁTICA DE LA MECANICA CUANTICA 1.1. El espacio de los estados. Notación de Dirac. 1.2. Operadores que actúan en el espacio de los estados. 1.3. Bases discretas en el espacio de los estados. 1.4. Bases continuas en el espacio de los estados. 1.5. Dos ejemplos de bases continuas: representaciones {|r〉} y {|p〉}. 1.6. Representaciones matriciales. 1.7. Cambio de base. 1.8. Autovalores y autovectores de los operadores lineales. 1.9. Soluciones de las ecuaciones de autovalores. 1.10. Operadores hermíticos. 1.11. Observables. 1.12. Los observables posición y cantidad de movimiento. 1.13. Observables que conmutan: Teoremas. 1.14. Cantidades físicas compatibles y conjuntos completos de observables que conmutan. 1.15. El operador paridad. 1.16. Producto tensorial de dos espacios. En este tema nos proponemos proporcionar al lector una revisión somera de los conceptos matemáticos utilizados en mecánica cuántica, sin entrar en demostraciones rigurosas.

1.1. El espacio de los estados. Notación de Dirac Seguramente el lector está familiarizado con el concepto de función de onda ψ(r), donde r es el vector posición. Más adelante mostraremos que la función de onda ψ(r) no es más que una forma particular de escribir el estado cuántico ψ de un sistema físico; pero en primer lugar vamos a referirnos a dos

16

MARÍA ESTHER BURGOS

entes matemáticos, los kets y los bras, que también pueden representar dicho estado. Vamos a asociar un ket ψ, identificado por el símbolo |ψ〉, y un bra ψ, identificado por el símbolo 〈ψ|, a la función de onda ψ(r). Subrayemos que el vector posición r no figura ni en el símbolo |ψ〉 ni en el símbolo 〈ψ|. El conjunto de asociaciones de entes matemáticos que representan el estado ψ puede ser resumido así: ψ(r) (función de onda) ⇒ |ψ〉 (ket) ⇔ 〈ψ| (bra)

(1.1)

donde el símbolo ⇒ significa implicación y el símbolo ⇔ doble implicación. Pues, aunque siempre es posible asociar un ket y el correspondiente bra a una función de onda, hay estados que no pueden ser representados por una función de onda y deben ser necesariamente representados por un ket o por un bra. Este es el motivo por el cual la primera flecha en (1.1) es simple y la segunda doble. El estado ψ pertenece a un espacio vectorial abstracto ξ denominado espacio de los estados del sistema. Usualmente se utiliza la expresión “vector ψ” para referirse tanto al estado ψ como a la función de onda, al ket o al bra que lo representan. Es sin embargo conveniente recordar que tales términos se refieren a conceptos diferentes y que la representación de ψ dada por ψ(r) pertenece al espacio de las funciones de onda; la representación de ψ dada por |ψ〉 pertenece al espacio de los kets; y la representación de ψ dada por 〈ψ| pertenece al espacio de los bras, también llamado espacio dual del espacio de los kets. Tanto el espacio de las funciones de onda como el espacio de los kets y el espacio de los bras son espacios vectoriales.

MECÁNICA CUÁNTICA

17

Esto significa que dados los estados ψ1, ψ2 y ψ3, los números complejos λ y µ, y el estado nulo ∅, se cumplen las siguientes relaciones

y

ψ1 + ψ2 = ψ2 + ψ1

(1.2a)

ψ1 + (ψ2 + ψ3) = (ψ1 + ψ2) + ψ3

(1.2b)

(µ + λ) ψ1 = ψ1 (λ + µ) = λ ψ1 + µ ψ1

(1.3a)

λ (ψ1 + ψ2) = λ ψ1 + λ ψ2

(1.3b)

(λ µ) ψ1 = λ (µ ψ1) = µ (λ ψ1)

(1.3c)

ψ1 + ∅ = ψ1

(1.4a)

0 × ψ1 = 0

(1.4b)

Veremos que se puede elegir una base en el espacio ξ y expresar los estados del sistema en términos de los vectores que componen dicha base. En la Tabla 1.1 se explicitan algunas analogías entre el espacio ordinario SO(3) y el espacio de los estados ξ. La correspondencia ket ⇔ bra es antilineal. Esto significa que dados los estados ψ1 y ψ2 y los números complejos λ1 y λ2, la correspondencia entre combinaciones lineales de kets y bras es λ1 |ψ1〉 + λ2 |ψ2〉 ⇔ λ1* 〈ψ1| + λ2* 〈ψ2|

(1.5)

donde λ1* y λ2* son, respectivamente, los complejos conjugados de λ1 y λ2. En una primera etapa nos referiremos a vectores de estado a los cuales se puede asociar una función de onda. El producto escalar de los vectores |ϕ〉 y |ψ〉, tomados en ese orden y res-

18

MARÍA ESTHER BURGOS

pectivamente representados por las funciones de onda ϕ(r) y ψ(r) es, por definición, 〈ϕ|ψ〉 = ∫ d3r ϕ*(r) ψ(r)

(1.6)

donde, a menos que se indique lo contrario, esta integral y las que siguen sobre d3r se extienden a todo el espacio de los vectores posición r. El primer miembro de (1.6) se lee “producto del bra ϕ por el ket ψ.” Este producto también se llama producto interno o producto bracket, palabra que Dirac partió en los términos ket y bra para introducir su notación. Cuando se expresa en notación de Dirac, el álgebra de la mecánica cuántica incluye, básicamente, cuatro entes matemáticos: los kets y los bras, que representan los estados del sistema; los operadores, cuyo efecto es (como veremos) modificar los kets y los bras; y los números complejos. La multiplicación de kets, bras y operadores por un número complejo goza de la propiedad conmutativa, pero la multiplicación de dos cualesquiera de los restantes entes entre sí no goza de tal propiedad. El álgebra utilizada en mecánica cuántica es no conmutativa. Hay que subrayar, en particular, que en la expresión (1.6) el orden de los factores altera el producto. Como 〈ϕ|ψ〉 = 〈ψ|ϕ〉*

(1.7)

en general resulta 〈ϕ|ψ〉 ≠ 〈ψ|ϕ〉. Si 〈ϕ|ψ〉 = 0, se dice que los vectores |ϕ〉 y |ψ〉 son ortogonales. Por definición, la norma de ψ es 〈ψ|ψ〉 1/2, donde, de acuerdo con (1.6), resulta 〈ψ|ψ〉 = ∫ d3r |ψ(r)|2

(1.8)

MECÁNICA CUÁNTICA

19

Notar que, como |ψ(r)|2 sólo puede ser positivo o nulo, la norma de |ψ〉 se anula si y sólo si |ψ〉 = 0 (esto es, cuando ψ(r) = 0 salvo en un número finito de puntos). Si la integral en la ecuación previa converge y 〈ψ|ψ〉 es un número real y positivo, se dice que el vector |ψ〉 es normalizable; para normalizarlo, basta con multiplicarlo por 〈ψ|ψ〉 −1/2. Por el contrario, si 〈ψ|ψ〉 diverge, el vector |ψ〉 no es normalizable. Las funciones ψ(r) de cuadrado integrable, esto es, las funciones para las cuales la integral en (1.8) converge, pertenecen a un espacio vectorial denominado de Hilbert. Lo mismo ocurre con todos los vectores de estado, aunque no sea posible asociarles una función de onda. Subrayemos que únicamente los vectores que pertenecen al espacio de Hilbert pueden representar el estado de un sistema. Tomando en cuenta que la correspondencia ket ⇔ bra es antilineal, escribimos

y

〈ϕ|(λ1ψ1 + λ2ψ2)〉 = λ1 〈ϕ|ψ1〉 + λ2 〈ϕ|ψ2〉

(1.9a)

〈(λ1ϕ1 + λ2ϕ2)|ψ〉 = λ1* 〈ϕ1|ψ〉 + λ2* 〈ϕ2|ψ〉

(1.9b)

Nótese que el producto escalar goza de la propiedad distributiva.

Preguntas y ejercicios 1.1. Utilizando la definición (1.6) probar la igualdad (1.7) 1.2. Verificar que el cuadrado de la norma del vector |ψ〉, dado por (1.8), es un número real no negativo que se anula si y

20

MARÍA ESTHER BURGOS

sólo si |ψ〉 = 0. Mostrar que el vector |ψ’〉 = 〈ψ|ψ〉−1/2 |ψ〉 está normalizado.

1.2. Operadores que actúan en el espacio de los estados En mecánica cuántica las cantidades físicas (como la posición, la cantidad de movimiento lineal, la cantidad de movimiento angular y la energía) se representan por operadores lineales. De ahí que el concepto de operador lineal desempeñe un papel fundamental en esta teoría. Aplicando un operador a un ket, se obtiene otro ket, en general distinto del primero. Si el operador A transforma |ψ〉 en |ψ’〉 = A |ψ〉

(1.10)

respetando la relación A (λ1|ψ1〉 + λ2|ψ2〉) = λ1 A |ψ1〉 + λ2 A |ψ2〉

(1.11)

se dice que A es lineal. El adjunto del operador lineal A, que denotaremos por A†, queda definido por la correspondencia |ψ’〉 = A |ψ〉 ⇔ 〈ψ’| = 〈ψ| A†

(1.12)

Se dice que si el operador A actúa (a la derecha) en el espacio de los kets, el operador A† actúa (a la izquierda) en el espacio de los bras. Esto es, tomando el adjunto de ambos miembros de la expresión (1.10), nos trasladamos del espacio de los kets al espacio de los bras. Notar, sin embargo, que esto

MECÁNICA CUÁNTICA

21

no significa que no sea posible aplicar A† a un ket (A a un bra); puesto que si hacemos B = A† (B† = A) se obtiene A† |ψ〉 = B |ψ〉 (〈ψ| A = 〈ψ| B†) donde, en general, resulta A† |ψ〉 ≠ A |ψ〉 (〈ψ| A† ≠ 〈ψ| A). El elemento de matriz del operador lineal A entre los vectores |ϕ〉 y |ψ〉, tomados en ese orden, es 〈ϕ| A |ψ〉. Utilizando (1.10) y (1.6), queda en evidencia que 〈ϕ| A |ψ〉 = 〈ϕ|ψ’〉

(1.13)

es, en general, un número complejo. Si dos operadores A y C producen el mismo efecto sobre un ket genérico |ψ〉, todos sus elementos de matriz entre los vectores |ϕ〉 y |ψ〉 son idénticos y se cumple que A = C. Tomando en cuenta esta observación se demuestra que 〈ϕ| A |ψ〉* = 〈ψ| A† |ϕ〉

(1.14)

(A†)† = A

(1.15)

(λ A)† = λ* A†

(1.16)

(A + B)† = A† + B†

(1.17)

y que

El producto A B de dos operadores lineales A y B se define por su acción sobre un ket genérico |ψ〉. Se cumple que (A B) |ψ〉 = A (B |ψ〉)

(1.18)

22

MARÍA ESTHER BURGOS

lo cual significa que al aplicar B a |ψ〉 se obtiene |ψB〉 = B |ψ〉; y luego, al aplicar A a |ψB〉, se obtiene |ψAB〉 = A |ψB〉 = A (B |ψ〉); ver Fig. 1.1. En este punto cabe destacar que el espacio de los estados esquemáticamente ilustrado en ésta y otras figuras que siguen no debe ser confundido con el espacio ordinario; y que el último tiene siempre tres dimensiones, mientras que el primero puede tener desde dos hasta un conjunto infinito no numerable de dimensiones.

Fig. 1.1. Representación esquemática de la transformación del ket |ψ〉 por aplicación de los operadores B y (A B). La aplicación de B a |ψ〉 arroja el resultado |ψB〉 = B |ψ〉, y la aplicación del producto (A B) da |ψAB〉 = A B |ψ〉.

MECÁNICA CUÁNTICA

23

El producto de dos o más operadores goza de la propiedad asociativa, pero en general no goza de la propiedad conmutativa; más adelante veremos varios ejemplos de operadores que no conmutan. El conmutador de los operadores A y B, tomados en ese orden, se denota por [A, B] y es, por definición, [A, B] = A B – B A

(1.19)

Se cumplen las siguientes relaciones entre conmutadores

y

[A, (B + C)] = [A, B] + [A, C]

(1.20a)

[A, B C] = B [A, C] + [A, B] C

(1.20b)

Para obtener el adjunto del producto A B, hacemos |ψAB〉 = A (B|ψ〉) = A |ψB〉

(1.21a)

de donde, teniendo en cuenta (1.12), podemos escribir |ψAB〉 = A |ψB〉 ⇔ 〈ψAB| = 〈ψB| A†

(1.21b)

y como el adjunto de |ψB〉 = B |ψ〉 es 〈ψB| = 〈ψ| B†, el adjunto de |ψAB〉 = A B |ψ〉 es 〈ψAB| = 〈ψB| A† = 〈ψ| B†A†. Puesto que |ψ〉 es un vector genérico, esto implica que (A B)† = B† A†

(1.22)

La regla general para obtener el adjunto de una expresión que contiene kets, bras, operadores y números, puede resumirse así: (i) se reemplazan los kets por los bras, los bras por los kets, los operadores por sus adjuntos y los números por sus

24

MARÍA ESTHER BURGOS

complejos conjugados; y (ii) se invierte el orden de los factores que componen la expresión original. Hasta este punto, en todas las relaciones en las que figuran kets y bras, los bras aparecen a la izquierda y los kets a la derecha. Sin embargo, las expresiones donde los kets aparecen a la izquierda y los bras a la derecha también tienen un significado que explicitamos a continuación: |ϕ〉 〈χ| es un operador cuya aplicación transforma |ψ〉 (un ket arbitrario) en |ϕ〉 multiplicado por un número complejo. En efecto, puesto que (|ϕ〉 〈χ|) |ψ〉 = |ϕ〉 (〈χ|ψ〉) y como 〈χ|ψ〉 es un número complejo, queda demostrada nuestra afirmación previa; observar que estamos haciendo nuevamente uso de la propiedad asociativa. Por el contrario, |ϕ〉 y 〈χ| no conmutan: si en lugar de aplicar |ϕ〉 〈χ| al vector |ψ〉 se le aplica 〈χ|ϕ〉, se obtiene el vector |ψ〉 (no |ϕ〉) multiplicado por el número complejo 〈χ|ϕ〉. A continuación, veamos un ejemplo de operador lineal. Si |ϕ〉 está normalizado, lo cual significa que 〈ϕ|ϕ〉 = 1, el operador Pϕ = |ϕ〉 〈ϕ|

(1.23)

es, por definición, el proyector a |ϕ〉. El operador Pϕ recibe ese nombre por cuanto proyecta cualquier vector |ψ〉 al vector |ϕ〉; esto es, la aplicación de Pϕ transforma el vector |ψ〉 en Pϕ |ψ〉 = |ϕ〉 〈ϕ|ψ〉 = λ |ϕ〉

(1.24)

donde λ = 〈ϕ|ψ〉 es un número complejo. Se prueba fácilmente que Pϕ es un operador lineal. Los proyectores a un ket, también

MECÁNICA CUÁNTICA

25

llamados proyectores elementales, son idempotentes; esto significa que satisfacen la relación (Pϕ)2 = Pϕ

(1.25)

La extensión del concepto de proyector a un ket al concepto de proyector a un subespacio de dos o más dimensiones es sencilla. Sea {|ϕj〉} (j = 1, 2,... , q) un conjunto de vectores ortonormalizados, lo cual implica que se satisfacen las relaciones 〈ϕj|ϕk〉 = δjk

(1.26)

donde δjk es la delta de Kronecker. Llamaremos ξq al subespacio que subtienden dichos vectores. Por definición, el proyector Pq al subespacio ξq es la suma de los proyectores elementales |ϕj〉 〈ϕj|, esto es Pq = ∑j=1q |ϕj〉 〈ϕj|

(1.27)

Es fácil probar que el proyector Pq también es idempotente. La idempotencia de los operadores dados por (1.23) y (1.27) implica que la aplicación repetida de Pϕ tiene exactamente el mismo efecto que su aplicación por una única vez; y lo mismo vale para Pq. La analogía de las proyecciones en el espacio de los estados ξ con las proyecciones en el espacio ordinario proviene de que ambas proyecciones operan en espacios de Hilbert (esto es, espacios de vectores normalizables). Consideremos, por ejemplo, el operador P1 = (e1 ⊗ e1.), donde e1 es un vector normalizado del espacio ordinario y ⊗ denota el producto tensorial. La

26

MARÍA ESTHER BURGOS

aplicación de P1 al vector V lo transforma en P1V = e1 ⊗ e1.V, esto es, lo proyecta a e1. Del mismo modo, la aplicación de P12 = (e1 ⊗ e1. + e2 ⊗ e2.) al vector V lo proyecta al plano que subtienden e1 y e2; ver Fig. 1.2. No obstante, a pesar de la analogía que acabamos de señalar, es conveniente insistir en que el espacio de los estados no debe ser confundido con el espacio ordinario.

Fig. 1.2. La aplicación del operador P1 = (e1 ⊗ e1.) al vector V lo proyecta a e1. La aplicación del operador P12 = (e1 ⊗ e1. + e2 ⊗ e2.) al vector V lo proyecta al subespacio que subtienden e1 y e2.

MECÁNICA CUÁNTICA

27

Preguntas y ejercicios 1.3. Demostrar que las relaciones (1.14) - (1.17) son válidas. 1.4. Probar que se cumplen las relaciones (1.20). 1.5. Verificar que para cualquier |ψ〉, cualquier 〈ϕ|, cualquier operador lineal A y cualquier número complejo λ se cumplen las siguientes relaciones: (i) |ψ〉 λ = λ |ψ〉; (ii) 〈ϕ| λ = λ 〈ϕ|; (iii) A λ = λ A; y (iv) 〈ϕ| λ |ψ〉 = λ 〈ϕ|ψ〉. 1.6. Dados |ψ〉, |η〉, 〈ϕ| y 〈η|, el operador lineal A y el número complejo λ, encontrar los adjuntos de las expresiones: (i) λ A |ψ〉 〈ϕ|; y (ii) 〈ϕ| A |ψ〉 |η〉 〈η|. ¿Se puede identificar un elemento de matriz en dichas expresiones? ¿Se puede identificar un proyector? 1.7. Sea PN el operador que aplicado al ket |ψ〉 da como resultado su norma. Probar que PN no es lineal. 1.8. Demostrar que tanto el proyector Pϕ, dado por (1.23), como el proyector Pq, dado por (1.27), son operadores lineales e idempotentes. 1.9. La desigualdad de Schwarz establece que si |ϕ〉 y |ψ〉 son dos vectores cualesquiera, se cumple que |〈ϕ|ψ〉|2 ≤ 〈ϕ|ϕ〉 〈ψ|ψ〉. Probar dicha desigualdad y mostrar que la igualdad es válida si y sólo si |ϕ〉 y |ψ〉 son proporcionales. 1.3. Bases discretas en el espacio de los estados Hemos dicho que el espacio de los estados ξ es un espacio vectorial. Por lo tanto, tal como ocurre en todo espacio vectorial, es posible escoger una base en el espacio ξ. En esta sección

28

MARÍA ESTHER BURGOS

nos referiremos a las bases discretas. En la próxima sección nos ocuparemos de las bases continuas. Sea {|uj〉} un conjunto numerable de kets etiquetados por el subíndice discreto j = 1, 2,..., n,... , que cumplen con la condición de ortonormalización 〈uj|uk〉 = δjk

(1.28)

Si es posible expresar cualquier vector de estado |ψ〉 en la forma |ψ〉 = ∑j cj |uj〉

(1.29)

y todos los coeficientes cj quedan unívocamente definidos por los vectores |uj〉 y |ψ〉, diremos que el conjunto {|uj〉} constituye una base discreta en el espacio ξ de los estados del sistema. En particular, el vector |ψ〉 = |uj〉 puede representar el estado del sistema: los vectores de una base discreta pertenecen al espacio de los estados. Resulta cj = 〈uj|ψ〉

(1.30)

Y, puesto que cj es el producto escalar de los vectores |uj〉 y |ψ〉, podemos afirmar que cj es la componente de |ψ〉 en |uj〉. Notar que la elección de una base particular {|uj〉} nos permite expresar el vector |ψ〉 por el conjunto de sus componentes cj. Naturalmente, si se cambia la base, cambia también el conjunto de las componentes de |ψ〉. Tomando en cuenta las ecuaciones (1.29) y (1.30) escribimos

MECÁNICA CUÁNTICA

|ψ〉 = ∑j 〈uj|ψ〉 |uj〉 = [∑j |uj〉 〈uj|] |ψ〉

29

(1.31)

lo cual implica que ∑j |uj〉 〈uj| = I

(1.32)

donde I es el operador identidad. Esta última relación, denominada de clausura o cierre, desempeña un papel fundamental en mecánica cuántica. Es asimismo fácil mostrar que, si se cumplen las condiciones de ortonormalización (1.28) y de clausura (1.32), cualquier vector de estado |ψ〉 puede escribirse en la forma (1.29). Lo cual implica que el conjunto numerable {|uj〉} es una base discreta en el espacio de los estados ξ si y sólo si los vectores |uj〉 cumplen con las condiciones de ortonormalización y clausura. A continuación veamos la expresión del producto escalar de dos vectores |ϕ〉 y |ψ〉 en términos de sus componentes en una base particular {|uj〉}. Si

y

|ϕ〉 = ∑j bj |uj〉

(1.33a)

|ψ〉 = ∑k ck |uk〉

(1.33b)

el producto escalar de los vectores |ϕ〉 y |ψ〉 es 〈ϕ|ψ〉 = (∑j bj* 〈uj|) (∑k ck |uk〉) = ∑jk bj*ck 〈uj|uk〉 = ∑jk bj*ck δjk = ∑j bj*cj

(1.34)

Esta expresión del producto escalar de |ϕ〉 y |ψ〉 es válida tanto en los casos en que es posible representar dichos vectores por

30

MARÍA ESTHER BURGOS

una función de onda como en los casos en que tal representación no existe. En particular, el cuadrado de la norma de |ψ〉 es 〈ψ|ψ〉 = ∑j |cj|2

(1.35)

Para concluir esta sección, volvamos a destacar la analogía entre el espacio ξ y el espacio ordinario SO(3) resumida en la Tabla 1.1: - El conjunto numerable de kets ortonormalizados {|uj〉} desempeña un papel similar al conjunto de versores {e1, e2, e3}. - Se cumplen las condiciones de ortonormalización: como los versores e1, e2 y e3, los vectores |uj〉 están normalizados y son ortogonales entre sí. - Se cumple la relación de clausura: si se aplica el operador ∑j |uj〉 〈uj| a cualquier vector |ψ〉 del espacio ξ, se obtiene nuevamente el vector |ψ〉; si se aplica el “operador” (e1 ⊗ e1. + e2 ⊗ e2. + e3 ⊗ e3.) a cualquier vector V del espacio ordinario, se obtiene nuevamente el vector V. En ambos casos la suma de la totalidad de los proyectores a vectores normalizados y ortogonales entre sí es la unidad. - Del mismo modo que cualquier vector V del espacio ordinario se puede expresar en términos de sus componentes V1, V2 y V3 en la base {e1, e2, e3}, cualquier vector |ψ〉 del espacio ξ se puede expresar en términos de sus componentes cj en la base {|uj〉}. - En el espacio ordinario, la componente Vj de V es el producto escalar ej.V; en el espacio ξ, la componente cj de |ψ〉 es el producto escalar 〈uj|ψ〉.

MECÁNICA CUÁNTICA

31

- En el espacio ordinario, el producto escalar de los vectores V = V1e1 + V2e2 + V3e3 y W = W1e1 + W2e2 + W3e3 es V.W = V1W1+ V2W2 + V3W3; en el espacio ξ, el producto escalar de |ϕ〉 = ∑j bj |uj〉 y |ψ〉 = ∑k ck |uk〉 es 〈ϕ|ψ〉 = ∑j bj*cj.

Preguntas y ejercicios 1.10. Demostrar que el coeficiente cj que figura en la expresión (1.29) está dado por (1.30). 1.11. Verificar que si se cumplen las condiciones de ortonormalización (1.28) y de clausura (1.32), cualquier vector de estado |ψ〉 puede escribirse en la forma (1.29).

1.4. Bases continuas en el espacio de los estados Además de las bases discretas, presentadas en la sección previa, es posible escoger bases continuas en el espacio de los estados ξ. Como veremos a continuación, el tratamiento de tales bases es análogo al tratamiento de las bases discretas. Sea {|w(α)〉} un conjunto infinito no numerable de kets etiquetados por el índice continuo α. Es posible demostrar que la norma de |w(α)〉 siempre diverge, pero aquí nos limitaremos a dar un par de ejemplos en los cuales se evidencia tal propiedad y admitiremos, sin prueba, que si el índice α es continuo los |w(α)〉 no son normalizables. En cambio, supondremos que dichos kets cumplen con las siguientes condiciones de “ortonormalización” (en el sentido de Dirac)

32

MARÍA ESTHER BURGOS

〈w(α)|w(α’)〉 = δ(α−α’)

(1.36)

donde δ(α−α’) es la delta de Dirac. Si es posible expresar cualquier |ψ〉 en la forma |ψ〉 = ∫−∞∞ dα c(α) |w(α)〉

(1.37)

y todos los coeficientes c(α) quedan unívocamente definidos por los vectores |w(α)〉 y |ψ〉, diremos que el conjunto {|w(α)〉} constituye una base continua en el espacio ξ de los estados del sistema. No obstante, como la norma de los |w(α)〉 diverge, los vectores de una base continua en el espacio de los estados ξ no pertenecen a dicho espacio. Es fácil probar que c(α) = 〈w(α)|ψ〉

(1.38)

Análogamente a lo que ocurre en el caso de las bases discretas, en el caso de las bases continuas c(α) es la componente de |ψ〉 en |w(α)〉. Tomando en cuenta las ecuaciones (1.37) y (1.36) escribimos |ψ〉 = ∫−∞∞ dα 〈w(α)|ψ〉 |w(α)〉 = [∫−∞∞ dα |w(α)〉 〈w(α)|] |ψ〉

(1.39)

de donde se obtiene ∫−∞∞ dα |w(α)〉 〈w(α)| = I

(1.40)

MECÁNICA CUÁNTICA

33

que es la relación de clausura en el caso de las bases continuas (I es el operador identidad, como en el caso de las bases discretas). Se demuestra fácilmente que, si se cumplen las condiciones de “ortonormalización” (1.36) y de clausura (1.40), cualquier vector de estado |ψ〉 puede escribirse en la forma (1.37). Lo cual implica que el conjunto infinito no numerable {|w(α)〉} es una base continua en el espacio de los estados ξ si y sólo si los vectores |w(α)〉 cumplen con las condiciones de “ortonormalización” (1.36) y de clausura (1.40). Para obtener la expresión del producto escalar de dos vectores de estado |ϕ〉 y |ψ〉 en términos de sus componentes en una base particular {|w(α)〉} empezamos suponiendo que |ϕ〉 = ∫−∞∞ dα b(α) |w(α)〉 y

|ψ〉 = ∫−∞∞ dα c(α) |w(α)〉

(1.41a) (1.41b)

Por lo tanto, el producto escalar de |ϕ〉 y |ψ〉 es 〈ϕ|ψ〉 = (∫−∞∞ dα b*(α) 〈w(α)|) (∫−∞∞ dα’ c(α’) |w(α’)〉) = ∫−∞∞ ∫−∞∞ dα dα’ b*(α) c(α’) 〈w(α)|w(α’)〉 = ∫−∞∞ ∫−∞∞ dα dα’ b*(α) c(α’) δ(α−α’)

= ∫−∞∞ dα b*(α) c(α)

(1.42)

y el cuadrado de la norma de |ψ〉 es 〈ψ|ψ〉 = ∫−∞∞ dα |c(α)|2

(1.43)

La analogía con el caso de la base discreta {|uj〉} y con el del espacio ordinario SO(3) se resume en la Tabla 1.1.

34

MARÍA ESTHER BURGOS

Tabla 1.1. Analogía entre la base del espacio ordinario SO(3), la base discreta {|uj〉} y la base continua {|w(α α)〉〉} Espacio SO(3) Base Ortonormalización* Clausura

{e1, e2, e3}

discreta: {|uj〉}

ej .ek = δjk

〈uj|uk〉 = δjk

∑j ej ej. = I

∑j |uj〉 〈uj| = I

V = ∑j Vj ej

|ψ〉 = ∑j cj |uj〉 |ϕ〉 = ∑j bj |uj〉

Componentes

W = ∑j Wj ej Vj = ej.V

Producto escalar

V.W = ∑j VjWj

〈ϕ|ψ〉 = ∑j bj*cj

Expresión del vector

cj = 〈uj|ψ〉

Espacio ξ continua: {|w(α)〉} 〈w(α)|w(α’)〉 = δ(α−α’)

∫−∞∞ dα |w(α)〉 〈w(α)| = I |ψ〉 = ∫−∞∞ dα c(α) |w(α)〉 |ϕ〉 = ∫−∞∞ dα b(α) |w(α)〉 c(α) = 〈w(α)|ψ〉 〈ϕ|ψ〉 = ∞ ∫−∞ dα b*(α) c(α)

* En la línea de las relaciones de ortonormalización, nótese que en el caso de las bases discretas figura la delta de Kronecker δjk; y en el caso de las bases continuas figura la delta de Dirac δ(α−α’).

Para finalizar esta sección, subrayemos que nuestro análisis presupone que a cada valor del índice α le corresponde un único vector |w(α)〉. Si esta última condición no se cumple, es necesario tomar en cuenta que el número de estados en el intervalo dα es dN(α) = ρ(α) dα, donde ρ(α) es la correspondiente densidad de estados.

Preguntas y ejercicios 1.12. Mostrar que el coeficiente c(α) que figura en la expresión (1.37) está dado por (1.38).

MECÁNICA CUÁNTICA

35

1.13. Verificar que si se cumplen las condiciones de ortonormalización (1.36) y clausura (1.40), cualquier vector de estado |ψ〉 puede escribirse en la forma (1.37).

1.5. Dos ejemplos de bases continuas: representaciones {|r〉〉 } y {|p〉〉 } En esta sección vamos a presentar dos bases continuas que desempeñan un papel fundamental en mecánica cuántica. Nuestro primer ejemplo de base continua será el conjunto de las funciones delta de Dirac centradas en los distintos puntos r0 del espacio ordinario. Vamos a asociar |r0〉 a la función wro(r) = δ(r−r0), de modo que podemos escribir |r0〉 ⇔ wro(r) = δ(r−r0)

(1.44)

El conjunto {|r0〉} es un conjunto infinito no numerable de kets etiquetados por el índice triplemente continuo r0 (o x0, y0, z0). Tomando en cuenta la definición de producto escalar (1.6) y de norma (1.8), vemos que el producto 〈r0|r0〉 = ∫ d3r |wro(r)|2

(1.45)

que es el cuadrado de la norma de |r0〉, diverge. Por lo tanto, |r0〉 no puede ser normalizado. En cambio, como 〈r0|r0’〉 = δ(r0−r0’)

(1.46)

podemos afirmar que los kets del conjunto {|r0〉} cumplen con las condiciones de “ortonormalización” de las bases continuas dadas por (1.36).

36

MARÍA ESTHER BURGOS

En este caso la relación de clausura se escribe ∫ d3r0 |r0〉 〈r0| = I

(1.47)

y el conjunto infinito no numerable {|r0〉} es una base continua en el espacio de los estados ξ. La expresión de |ψ〉 es |ψ〉 = ∫ d3r0 |r0〉 〈r0|ψ〉 = ∫ d3r0 〈r0|ψ〉 |r0〉

(1.48)

Suponiendo que es posible asociar la función de onda ψ(r) a |ψ〉 y tomando nuevamente en cuenta la definición de producto escalar (1.6), resulta 〈r0|ψ〉 = ∫ d3r δ(r−r0) ψ(r) = ψ(r0)

(1.49)

Es importante subrayar que la componente de |ψ〉 en |r0〉 (un ket de la base {|r0〉}) es el número complejo dado por el valor que toma la función de onda ψ(r) en el punto r0. En otras palabras, el conjunto (infinito) de dichos valores es el conjunto de las (infinitas) componentes del vector de estado |ψ〉. Se dice que la función de onda ψ(r) es la representación {|r〉} del estado |ψ〉. Para obtener la expresión del producto escalar de los vectores de estado |ϕ〉 y |ψ〉 en términos de sus funciones de onda ϕ(r) y ψ(r) hacemos |ϕ〉 = ∫ d3r ϕ(r) |r〉

(1.50a)

|ψ〉 = ∫ d3r ψ(r) |r〉

(1.50b)

de donde

MECÁNICA CUÁNTICA

37

〈ϕ|ψ〉 = (∫ d3r ϕ*(r) 〈r|) (∫ d3r’ ψ(r’) |r’〉) = ∫ d3r d3r’ ϕ*(r) ψ(r’) 〈r|r’〉 = ∫ d3r d3r’ ϕ*(r) ψ(r’) δ(r−r’) = ∫ d3r ϕ*(r) ψ(r)

(1.51)

En particular, el cuadrado de la norma de |ψ〉 es 〈ψ|ψ〉 = ∫ d3r |ψ(r)|2

(1.52)

Nuestro segundo ejemplo de base continua será el conjunto de funciones que representan las ondas planas de vectores de onda p0/ħ, donde ħ es la constante de Planck dividida entre 2π. Como en este caso se asocia el ket |p0〉 a la función wpo(r) = (2πħ)−3/2 exp[(i/ħ)p0.r] (donde i es la unidad imaginaria), podemos escribir |p0〉 ⇔ wpo(r) = (2πħ)−3/2 exp[(i/ħ)p0.r]

(1.53)

Siguiendo el mismo esquema ya utilizado para estudiar la base {|r0〉}, concluimos que, como 〈p0|p0〉 = ∫ d3r |wpo(r)|2

(1.54)

diverge, |p0〉 no puede ser normalizado. En cambio, puesto que 〈p0|p0’〉 = δ(p0−p0’)

(1.55)

los kets del conjunto {|p0〉} cumplen con las condiciones de “ortonormalización” de las bases continuas dadas por (1.36).

38

MARÍA ESTHER BURGOS

La relación de clausura se escribe ∫ d3p0 |p0〉 〈p0| = I

(1.56)

(donde, a menos que se indique lo contrario, esta integral y las que siguen sobre d3p0 se extienden a todo el espacio de los vectores cantidad de movimiento p0) y el conjunto infinito no numerable {|p0〉} es una base continua en el espacio de los estados ξ. Por lo tanto, la expresión de |ψ〉 es |ψ〉 = ∫ d3p0 |p0〉 〈p0|ψ〉 = ∫ d3p0 〈p0|ψ〉 |p0〉

(1.57)

Suponiendo que es posible asociar la función de onda ψ(r) a |ψ〉, resulta 〈p0|ψ〉 = ∫ d3r wpo*(r) ψ(r)

= (2πħ)−3/2 ∫ d3r exp[(−i/ħ)p0.r] ψ(r)

(1.58)

En el último miembro de (1.58) figura la transformada de Fourier de la función de onda ψ(r). Esto es, la transformada de Fourier de la función de onda ψ(r), que será denotada por ψ(p), es la representación {|p〉} del vector |ψ〉. La transformada ψ(p) y la antitransformada ψ(r) cumplen con las siguientes relaciones ψ (p) = 〈p|ψ〉

= (2πħ)−3/2 ∫ d3r exp[(−i/ħ)p.r] ψ(r)

y

(1.59a)

ψ(r) = 〈r|ψ〉

= (2πħ)−3/2 ∫ d3p exp[(i/ħ)p.r] ψ (p)

(1.59b)

En particular, si en (1.58) se reemplaza |ψ〉 por |r0〉 se obtiene

MECÁNICA CUÁNTICA

〈p0|r0〉 = (2πħ)−3/2 ∫ d3r exp[(−i/ħ)p0.r] δ(r−r0)

= (2πħ)−3/2 exp[(−i/ħ)p0.r0]

39

(1.60)

lo cual implica, como es sabido, que la transformada de Fourier de una delta de Dirac es una función que representa una onda plana. En cuanto al producto escalar de los vectores de estado |ϕ〉 y |ψ〉 en términos de sus transformadas de Fourier ϕ(p) y ψ(p) de las funciones de onda ϕ(r) y ψ(r), es fácil mostrar que 〈ϕ|ψ〉 = ∫ d3p ϕ*(p) ψ(p)

(1.61)

y, en particular, que el cuadrado de la norma de |ψ〉 es 〈ψ|ψ〉 = ∫ d3p |ψ(p)|2

(1.62)

Preguntas y ejercicios 1.14. ¿Es legítimo intercambiar los factores |r0〉 y 〈r0|ψ〉 como se ha hecho en (1.48)? 1.15. Discutir la afirmación “La componente de |ψ〉 en |r0〉 (un ket de la base {|r0〉}) es el número complejo dado por el valor que toma la función de onda ψ(r) en el punto r0.” ¿Cuántas componentes tiene el vector de estado |ψ〉 en la base {|r0〉}? 1.16. Mostrar que cualquier función de onda puede escribirse como una combinación lineal de las deltas de Dirac centradas en los distintos puntos r0 del espacio ordinario.

40

MARÍA ESTHER BURGOS

1.17. Si no fuera posible asociar una función de onda a |ψ〉, ¿cuáles de las relaciones (1.44) - (1.52) seguirían siendo válidas? 1.18. Comparar la expresión del producto escalar dada por (1.51) con las expresiones del producto escalar dadas por (1.34) y por (1.42). 1.19. Verificar las relaciones (1.54) y (1.62). 1.20. Dadas dos funciones ϕ(x) y ψ(x), la relación de ParsevalPlancherel establece que ∫ dx ϕ*(x) ψ(x) = ∫ dp ϕ*(p) ψ(p

(1.63)

donde ϕ(p) y ψ(p) son, respectivamente, las transformadas de Fourier de ϕ(x) y ψ(x). Utilizar esta relación para probar la validez de las ec. (1.61) y (1.62) en el caso unidimensional. 1.21. Encontrar las expresiones de las ecuaciones que figuran en la cuarta columna de la Tabla 1.1 (i) en el caso en que los |w(α)〉 corresponden a deltas de Dirac centradas en los distintos puntos r0 del espacio ordinario; y (ii) en el caso en que los |w(α)〉 corresponden a ondas planas.

1.6. Representaciones matriciales Hemos dicho que la función de onda ψ(r) es la representación {|r〉} del estado |ψ〉; y que ψ(p), la transformada de Fourier de ψ(r), es la representación {|p〉} del estado |ψ〉. Las bases {|r〉} y {|p〉} son sólo dos bases particulares en el espacio de los

MECÁNICA CUÁNTICA

41

estados ξ. Hay otras bases (en general, un número infinito de ellas) y tantas representaciones como bases. Dada una base discreta {|uj〉} (continua {|w(α)〉}) la representación de |ψ〉 = ∑j cj |uj〉 (|ψ〉 = ∫ dα c(α) |w(α)〉) en dicha base es, por definición, el conjunto de números cj = 〈uj|ψ〉 (c(α) = 〈w(α)|ψ〉). Es usual agrupar tal conjunto de números en una matriz columna, como se ilustra a continuación:

|ψ〉 ⇔

〈u1|ψ〉 〈u2|ψ〉 〈uj|ψ〉

(1.64a)

Nótese la similitud con la expresión matricial del vector W del espacio ordinario que figura en la Tabla 1.1, y que está dada por W1 W ⇔ W2 W3

(1.64b)

La representación de 〈ϕ| = ∑j bj* 〈uj| en la base {|uj〉} ({|w(α)〉}) es el conjunto de números bj* = 〈ϕ|uj〉 (b*(α) = 〈ϕ|w(α)〉). Es usual escribir tal conjunto de números como una matriz fila 〈ϕ| ⇔ 〈ϕ|u1〉 〈ϕ|u2〉 . . . 〈ϕ|uj〉

(1.65a)

que es una expresión análoga a la del vector V del espacio ordinario que figura en la Tabla 1.1 y que puede escribirse

42

MARÍA ESTHER BURGOS

V ⇔ V1 V 2 V 3

(1.65b)

Asímismo, en la representación matricial, el producto 〈ϕ|ψ〉 (que es un número complejo) viene dado por 〈ϕ|ψ〉 = 〈ϕ| (∑j |uj〉 〈uj|) |ψ〉 = ∑j 〈ϕ|uj〉 〈uj|ψ〉

(1.66)

que es el producto de una matriz fila por una matriz columna, tal como ocurre con el producto V.W. Cabe destacar que, con frecuencia, no se distingue entre el ket (bra) y su representación; por lo tanto, en las ec. (1.64) y (1.65) el signo ⇔ se reemplaza por el signo =. Lo mismo vale para las representaciones de operadores, que explicitamos a continuación. En la Sección 1.2 dijimos que el elemento de matriz del operador lineal A entre los vectores |ϕ〉 y |ψ〉 es 〈ϕ| A |ψ〉. En la base {|uj〉} dicho operador se representa por el conjunto de números Ajk = 〈uj| A |uk〉. Se pueden agrupar en una matriz cuadrada donde el primer subíndice (correspondiente al bra) indica la fila y el segundo (correspondiente al ket) la columna, como se ilustra a continuación:

A⇔

A11 A21 Aj1

A12 A22 Aj2

A1k A2k Ajk

(1.67a)

MECÁNICA CUÁNTICA

43

Tomando en cuenta la ec. (1.14), se muestra que la representación matricial del adjunto de A se escribe

A† ⇔

A11 A12 A1j

A21 A22 A2j

Ak1 Ak2 Akj

(1.67b)

En palabras: la representación matricial de A† es la matriz que resulta de transponer la matriz que representa A (esto es, de intercambiar filas y columnas) y tomar el complejo conjugado de cada uno de sus elementos. La representación matricial de las ecuaciones |ψ’〉 = A |ψ〉 y 〈ϕ’| = 〈ϕ| B no presenta ninguna dificultad. En general, el espacio de los estados ξ tiene infinitas dimensiones. Por lo tanto, el conjunto de números que representan |ψ〉 (un ket), 〈ϕ| (un bra), o A (un operador), también es infinito. A efectos de evitar representaciones que involucran matrices de infinitas dimensiones, vamos a introducir el concepto de restricción de kets, bras y operadores al subespacio ξq. Sea {|uj〉} (j = 1, 2,... , q) un conjunto de vectores ortonormalizados que satisfacen las relaciones (1.26), y ξq el subespacio que subtienden dichos vectores. El proyector Pq al subespacio ξq es la suma ∑j |ϕj〉 〈ϕj| dada por la ec. (1.27). En estas condiciones, la restricción de |ψ〉 al subespacio ξq es |ψq〉 = Pq |ψ〉

(1.68a)

44

MARÍA ESTHER BURGOS

la restricción de 〈ϕ| al subespacio ξq es 〈ϕq| = 〈ϕ| Pq

(1.68b)

y la restricción del operador A al subespacio ξq es Aq = P q A P q

(1.68c)

Es importante subrayar que la aplicación de Pq anula todas las componentes (de un ket, un bra o un operador) que contienen algún vector ortogonal al subespacio ξq. Si se omiten las componentes así anuladas, tanto el número de componentes de las representaciones de kets y bras como el número de dimensiones de la representación del operador A se reduce a q. En particular, la restricción de Pq al subespacio ξq coincide con la matriz identidad (de q filas por q columnas) en ξq.

Preguntas y ejercicios 1.22. Dada la base {|u1〉, |u2〉, |u3〉}, escribir las expresiones matriciales (i) de |ψ〉 = (√1/2) |u1〉 + (√1/2) |u2〉 y |ϕ〉 = (√1/2) |u2〉 + (√1/2) |u3〉; (ii) de 〈ψ| y 〈ϕ|; (iii) del producto 〈ϕ|ψ〉; y (iv) de los operadores |ϕ〉 〈ψ| y |ψ〉 〈ψ|. ¿Es alguno de estos operadores un proyector? 1.23. Aplicar los operadores |ϕ〉 〈ψ| y |ψ〉 〈ψ| definidos en el ejercicio anterior y escritos en forma matricial, a |χ〉 (un ket genérico expresado también en forma matricial). ¿Qué comentarios puede hacer sobre el resultado? 1.24. Partiendo de la ec. (1.14), mostrar que la representación matricial del adjunto de A está dada por (1.67b).

MECÁNICA CUÁNTICA

45

1.25. Escribir las ecuaciones |ψ’〉 = A |ψ〉 y 〈ϕ’| = 〈ϕ| B en forma matricial. 1.26. Mostrar que la restricción del proyector al subespacio ξq dado por la ec. (1.27) coincide con la matriz identidad (de q filas por q columnas) en ξq.

1.7. Cambio de base Los kets y bras pueden representar estados de un sistema y los operadores pueden representar cantidades físicas, pero las bases no son más que herramientas útiles para analizar un determinado problema. La elección de una base particular desempeña un papel análogo al que desempeña la elección de un sistema de referencia particular en el espacio ordinario y, por tal razón, es totalmente arbitraria. No obstante, del mismo modo que hay sistemas de referencia más adecuados para hallar la solución de un problema específico, hay bases que son más adecuadas que otras para encarar ciertos estudios. Veamos un ejemplo tomado de la mecánica: para analizar un proceso que tiene simetría rotacional, es conveniente utilizar un sistema de coordenadas cilíndricas, que es lo que sugiere la geometría del problema; la escogencia de otro sistema de referencia no conduciría a ningún resultado diferente pero sí a una complicación innecesaria del análisis. De igual manera, para encarar el estudio del átomo de H en mecánica cuántica, es muchas veces conveniente utilizar la base de los autovectores de su Hamiltoniano; la escogencia de otras bases como {|r〉} o {|p〉} sólo aportaría complicaciones innecesarias.

46

MARÍA ESTHER BURGOS

La representación de un operador depende obviamente de la base en la cual se expresa; pero no así sus propiedades, como la de ser o no unitario, ser o no hermítico, o tener una determinada paridad. Lo mismo ocurre con sus autovalores y autovectores. Por lo tanto, para demostrar que un operador tiene tal o cual propiedad, o para encontrar sus autovalores y autovectores, bastará con hacerlo en una base particular. A continuación vamos a ver cómo cambian los elementos de matriz de los kets, bras y operadores cuando se efectúa un cambio de representación. El caso más simple es el cambio de una base discreta a otra también discreta, que tratamos a continuación: en ambas se cumplen las relaciones de ortonormalización y clausura. Por lo tanto, podemos escribir

y

〈uj|ul〉 = δjl

(1.69a)

∑j |uj〉 〈uj| = I

(1.69b)

〈vk|vm〉 = δkm

(1.69c)

∑k |vk〉 〈vk| = I

(1.69d)

De donde las componentes 〈vk|ψ〉 de |ψ〉 en la base {|vk〉} se relacionan con las componentes 〈uj|ψ〉 de |ψ〉 en la base {|uj〉} como se explicita a continuación 〈vk|ψ〉 = 〈vk| (∑j |uj〉 〈uj|) |ψ〉 = ∑j 〈vk|uj〉 〈uj |ψ〉

(1.70a)

〈uj |ψ〉 = ∑k 〈uj |vk〉 〈vk|ψ〉

(1.70b)

MECÁNICA CUÁNTICA

47

Del mismo modo, se obtienen las componentes 〈ψ|vk〉 de 〈ψ| en la base {|vk〉} en términos de las componentes 〈ψ|uj〉 de 〈ψ| en la base {|uj〉} 〈ψ|vk〉 = ∑j 〈ψ|uj〉 〈uj|vk〉

(1.71a)

y recíprocamente 〈ψ|uj〉 = ∑k 〈ψ|vk〉 〈vk|uj〉

(1.71b)

Asimismo, los elementos de matriz del operador A en las bases {|uj〉} y {|vk〉} satisfacen las relaciones

y

〈vk| A |vm〉 = ∑j,l 〈vk|uj〉 〈uj| A |ul〉 〈ul|vm〉

(1.72a)

〈uj| A |ul〉 = ∑k,m 〈uj|vk〉 〈vk| A |vm〉 〈vm|ul〉

(1.72b)

Recordemos, finalmente, que la traza de A es Tr (A) = ∑j 〈uj| A |uj〉 en la representación {|uj〉} y Tr (A) = ∑k 〈vk| A |vk〉 en la representación {|vk〉}. Es importante notar que Tr (A) conserva su valor cuando se cambia de representación.

Preguntas y ejercicios 1.27. La traza del operador A expresada en la base {|uj〉} es ∑j 〈uj| A |uj〉 y en la base {|vk〉} es ∑k 〈vk| A |vk〉. Probar que ∑j 〈uj| A |uj〉 = ∑k 〈vk| A |vk〉. 1.28. Mostrar que las componentes de 〈ψ| en las bases {|uj〉} y {|vk〉} se relacionan como explicitan las ec. (1.70). 1.29. Probar que se cumplen las ec. (1.72).

48

MARÍA ESTHER BURGOS

1.30. Encontrar las relaciones equivalentes a (1.71) en los casos de cambio (i) de una base discreta a otra continua; y (ii) de una base continua a otra también continua. ¿Cómo cambiarían las ec. (1.72) en el primer caso?

1.8. Autovalores y autovectores de los operadores lineales Dado el operador lineal A, si se satisface la relación A |ψ〉 = λ |ψ〉

(1.73)

donde λ es un número (en general, complejo), diremos que λ es un autovalor (o valor propio) de A y |ψ〉 es un autovector (o vector propio) de A correspondiente a dicho autovalor λ. La ecuación (1.73) recibe el nombre de ecuación de autovalores de A y, en general, tiene más de una solución. Esto significa que existe más de un número λ y más de un vector |ψ〉 que satisfacen dicha ecuación. El conjunto de autovalores λ para los cuales se cumple (1.73) es, por definición, el espectro del operador A. El espectro de A puede ser íntegramente discreto, íntegramente continuo o parcialmente discreto y parcialmente continuo. Los autovectores correspondientes a los autovalores situados en la parte discreta son normalizables; por el contrario, la norma de los autovectores correspondientes a los autovalores situados en la parte continua diverge; ver Secciones 1.3 y 1.4. No presentaremos una prueba de esta regla pero sí varios ejemplos.

MECÁNICA CUÁNTICA

49

En primer lugar, notemos que si |ψ〉 es un autovector de A correspondiente al autovalor λ, cualquier vector µ |ψ〉, donde µ es un número complejo, es también un autovector de A correspondiente al mismo autovalor λ. En efecto, puesto que A (µ |ψ〉) = λ (µ |ψ〉)

(1.74)

queda demostrada nuestra afirmación previa. Podemos, por lo tanto, afirmar que todo operador A tiene un conjunto infinito de autovectores correspondientes al mismo autovalor λ. De ellos, y salvo especificación en contrario, sólo retendremos aquellos que cumplen con la condición de normalización 〈ψ|ψ〉 = 1, pero esta restricción no remueve completamente la ambigüedad que involucra la determinación de un autovector por cuanto, si |ψ〉 es un autovector normalizado de A correspondiente al autovalor λ, el vector eiγ |ψ〉, donde γ es un número real, también es un autovector normalizado de A correspondiente al autovalor λ. Todos los kets eiγ |ψ〉 que resultan de modificar γ sin cambiar |ψ〉 son colineales; sólo difieren en el factor global de fase eiγ. Como veremos, la indeterminación de dicho factor no desempeña ningún papel relevante ni en la representación del estado del sistema, ni en las predicciones físicas que resultan de tal representación. Esto es algo similar a lo que ocurre con la energía potencial: aunque está definida a menos de una constante, la indeterminación de dicha constante no desempeña ningún papel relevante en el marco de validez de las teorías que involucran la energía potencial. Si todos los autovectores del operador A correspondientes al autovalor λ difieren tan sólo en el factor global de fase eiγ, se dice que el autovalor λ es no degenerado. Por el contrario, cuando g autovectores linealmente independientes corresponden

50

MARÍA ESTHER BURGOS

al mismo autovalor λ, se dice que λ es degenerado de orden (o grado) g. Usualmente, el orden de degeneración g se indica entre paréntesis a continuación del autovalor λ, de modo que se escribe λ (g). Notar que el orden de degeneración de un autovalor puede ser finito o infinito. Si el autovalor λ del operador A es degenerado de orden g, es usual escribir los g autovectores linealmente independientes en la forma |ψj〉 (j = 1, 2,…, g); es importante destacar que el supraíndice j no indica una potencia sino que denota un vector particular. Dichos vectores satisfacen la ecuación de autovalores A |ψj〉 = λ |ψj〉

(1.75)

y es fácil probar que |ψ〉 = ∑j cj |ψj〉

(1.76)

donde los coeficientes cj pueden tomar cualquier valor, también es un autovector de A correspondiente al autovalor λ. El conjunto de autovectores |ψj〉 correspondientes al mismo autovalor λ del operador A y todas sus posibles combinaciones lineales pertenecen a un subespacio ξλ de dimensión g, denominado autosubespacio correspondiente a λ; en particular, si g = 1, la degeneración de λ es 1 y se dice que λ es no degenerado. Por el contrario, una combinación lineal de dos autovectores pertenecientes a dos autosubespacios ξλ y ξλ’, respectivamente correspondientes a dos autovalores diferentes λ y λ’, no es un autovector de A.

MECÁNICA CUÁNTICA

51

A efectos de ilustrar los conceptos que acabamos de presentar, consideremos el proyector elemental Pϕ = |ϕ〉 〈ϕ|. Su ecuación de autovalores Pϕ |ψ〉 = λ |ψ〉 puede escribirse en la forma (|ϕ〉 〈ϕ|) |ψ〉 = 〈ϕ|ψ〉 |ϕ〉 = λ |ψ〉

(1.77)

Esta ecuación tiene dos soluciones: si |ϕ〉 = |ψ〉, obtenemos λ = 〈ϕ|ϕ〉 = 1, y si |ϕ〉 ≠ |ψ〉, resulta λ = 〈ϕ|ψ〉 = 0. Por lo tanto, el espectro del operador Pϕ consta de dos autovalores: λ = 1, que es no degenerado pues le corresponde sólo el autovector |ψ〉 = |ϕ〉; y λ = 0. El número de autovectores de Pϕ correspondientes al autovalor λ = 0 coincide con el número de vectores linealmente independientes que son ortogonales a |ϕ〉 y puede tomar cualquier valor.

Preguntas y ejercicios 1.31. Demostrar que toda combinación lineal de los autovectores del operador lineal A correspondientes a un mismo autovalor λ es también un autovector de A correspondiente a λ, y que la combinación lineal de dos autovectores de A correspondientes a dos autovalores diferentes λ y λ’ no es un autovector de A. 1.32. Suponer que |ψ〉 = c1 |u1〉 + c2 |u2〉 representa el estado de un sistema. Si |ϕ〉 = eiα (c1 |u1〉 + c2 |u2〉) y |χ〉 = c1 eiα |u1〉 + c2 eiβ |u2〉 donde α y β son dos números reales y distintos, (i) ¿representan |ϕ〉 y |ψ〉 el mismo estado del sistema? y (ii) ¿representan |χ〉 y |ψ〉 el mismo estado del sistema?

52

MARÍA ESTHER BURGOS

1.33. En la Sección 1.8 probamos que el proyector elemental Pϕ = |ϕ〉 〈ϕ| tiene dos autovalores: λ = 1 y λ = 0. Si el espacio de los estados de cierto sistema tuviera dimensión 4, ¿cuál sería la degeneración del autovalor λ = 1? ¿Y cuál sería la degeneración del autovalor λ = 0?

1.9. Soluciones de las ecuaciones de autovalores Para determinar los autovalores y los autovectores del operador lineal A, se procede como indicamos a continuación. A efectos de simplificar el tratamiento supondremos que el espacio de los estados ξ tiene dimensión finita N; la extensión al caso en que la dimensión de ξ es infinita no presenta dificultades. En primer lugar, se proyecta la ecuación de autovalores (1.73) a los elementos de la base {|uj〉} (j = 1, 2,... , N) y se obtiene el conjunto de N ecuaciones 〈uj| A |ψ〉 = λ 〈uj|ψ〉

(1.78)

Insertando la relación de clausura ∑k |uk〉 〈uk| = I, resulta ∑k 〈uj| A |uk〉 〈uk|ψ〉 = λ 〈uj|ψ〉

(1.79a)

y tomando en cuenta que el elemento de matriz de A entre los vectores |uj〉 y | uk〉 es Ajk = 〈uj| A |uk〉 y que la componente de |ψ〉 en |uj〉 es cj = 〈uj|ψ〉, escribimos ∑k Ajk ck = λ cj. De donde ∑k (Ajk − λ δjk) ck = 0

(1.79b)

MECÁNICA CUÁNTICA

53

Este es un sistema de N ecuaciones lineales y homogéneas donde figuran las N incógnitas c1, c2,... , cN, y la incógnita λ; en total, N+1 incógnitas. Para resolver dicho sistema se necesita una ecuación adicional. Además, para que tal sistema tenga una solución no trivial es necesario que el determinante de los coeficientes de ck se anule. Por lo tanto, debe cumplirse que A11 − λ A12 A21 A22 − λ AN1

AN2

A1N A2N

=0

(1.80)

ANN − λ

Esta ecuación, llamada ecuación característica (o secular) de A, tiene N raíces que son los N autovalores λ que componen el espectro de A. Dichas raíces pueden ser distintas o idénticas. En el caso de los operadores utilizados en mecánica cuántica para representar las cantidades físicas, se puede demostrar que la degeneración del autovalor λ coincide con la multiplicidad de la raíz correspondiente. A continuación expondremos el procedimiento para obtener los autovectores del operador A. En el caso de una raíz simple, como ya hemos despejado la incógnita λ, el número de ecuaciones independientes dadas por (1.79) se reduce de N a N − 1; la N-ésima ecuación no es independiente de las restantes. Disponemos, sin embargo, de la ecuación adicional, aún no mencionada, que es la condición de normalización de |ψ〉 ∑j |cj|2 = 1 El sistema de N − 1 ecuaciones independientes

(1.81)

54

MARÍA ESTHER BURGOS

∑k (Ajk − λ1 δjk) ck = 0

(1.82)

a las que se agrega la condición de normalización, da un total de N ecuaciones con las N incógnitas cj, lo cual permite determinar las N componentes de |ψ〉 en la base {|uj〉}. Salvo el factor global de fase, el autovector |ψ〉 queda unívocamente determinado. Ahora bien, si λ es una raíz múltiple de orden g, el número de ecuaciones independientes dadas por (1.79) se reduce de N a N − g; y agregando la condición de normalización de |ψ〉, resultan N − g + 1 ecuaciones independientes. Si g > 1, N > N − g + 1, y el número N de incógnitas cj supera el número de ecuaciones independientes. Esto implica que no es posible obtener una solución única. Para obtener una solución particular, se fijan g − 1 coeficientes en forma arbitraria (salvo por la restricción de que sus módulos no deben superar el valor 1). Los N − g + 1 coeficientes restantes se obtienen de las N − g + 1 ecuaciones independientes. Puesto que se han fijado g − 1 coeficientes en forma arbitraria, en este caso el autovector |ψ〉 no es único. De hecho, siempre hay infinitos autovectores no colineales correspondientes a un autovalor λ cuyo orden de degeneración es g > 1. Todos ellos pertenecen al autosubespacio correspondiente al autovalor λ. Vamos a ilustrar estos conceptos con el siguiente ejemplo. Sea A un operador lineal que actúa en un espacio de dimensión N = 3. Su representación matricial en la base {|u1〉, |u2〉, |u3〉} es 0 1 A⇔a 1 0 0 0

0 0 1

(1.83)

donde a es una constante real, y su ecuación característica es

MECÁNICA CUÁNTICA

−λ 0

−λ 0

0

0

−λ

=0

55

(1.84)

Las raíces de esta ecuación son λ1 = − a (simple) y λ2 = a (doble). Por lo tanto, el espectro de A consta de dos autovalores: λ1 = − a (g = 1) y λ2 = a (g = 2). cribe

Si escogemos λ1 = − a, la ecuación de autovalores se es0 a 1 0

1 0 0 0 0 1

c1 c1 c2 = − a c2 c3 c3

(1.85)

de donde resulta c2 = − c1 y c3 = − c3, que implica c3 = 0 (nótese que, como la degeneración del autovalor λ1 es g = 1, el número de ecuaciones independientes dadas por (1.85) se reduce de N = 3 a N − 1 = 2). Tomando en cuenta la condición de normalización, se obtiene la expresión del autovector de A correspondiente al autovalor λ1 = − a |ψ1〉 = (√1/2) |u1〉 − (√1/2) |u2〉

(1.86)

Como todos los autovectores correspondientes a un autovalor no degenerado, dicho vector está unívocamente definido (a menos de un factor global de fase). be

Si escogemos λ2 = a, la ecuación de autovalores se escri-

56

MARÍA ESTHER BURGOS

0 a 1 0

1 0 0 0 0 1

c1 c1 c2 = a c2 c3 c3

(1.87)

de donde resulta c2 = c1 (es importante subrayar que, como la degeneración del autovalor λ2 es g = 2, el número de ecuaciones independientes dadas por (1.85) se reduce de N = 3 a N − 2 = 1). Puesto que g − 1 = 1, para obtener una solución se fija un coeficiente en forma arbitraria. Una elección posible es c1 = 0. Por lo tanto, tomando en cuenta la condición de normalización, se obtiene el autovector de A correspondiente al autovalor λ2 = a |ψ21〉 = |u3〉

(1.88a)

Otra elección posible es c3 = 0. De donde, tomando en cuenta la condición de normalización, se obtiene el autovector de A correspondiente al autovalor λ2 = a |ψ22〉 = (√1/2) |u1〉 + (√1/2) |u2〉

(1.88b)

La expresión de los infinitos autovectores no colineales correspondientes al autovalor λ2 = a es |ψ2〉 = d1 |ψ21〉 + d2 |ψ22〉

(1.88c)

donde d1 y d2 pueden tomar cualquier valor; en este último análisis hemos utilizado la notación usual para dos autovectores correspondientes al mismo autovalor; ver sección 1.8. Todos los vectores |ψ2〉 pertenecen al autosubespacio correspondiente al autovalor λ2 = a; ver Fig. 1.3.

MECÁNICA CUÁNTICA

57

Fig. 1.3. El único autovector de A correspondiente al autovalor −a es |ψ1〉: la dimensión del autosubespacio ξ1 es 1. Los autovectores |ψ21〉, |ψ22〉 y todas sus combinaciones lineales corresponden al autovalor +a: el autosubespacio ξ2 tiene dimensión 2.

Preguntas y ejercicios 1.34. Dado el operador lineal A y la base {|uj〉}, indicar cuáles de los elementos que figuran en las ec. (1.79) se suponen conocidos. 1.35. La ecuación característica (1.80) puede expresarse en la forma D (A − λ I) = 0, donde D significa “determinante de”. Utilizando esta expresión, mostrar que las soluciones de la ecuación característica no dependen de la base elegida.

58

MARÍA ESTHER BURGOS

1.36. Verificar que tanto [Pϕ |ψ〉] como [(I − Pϕ) |ψ〉] son autovectores del proyector elemental Pϕ = |ϕ〉 〈ϕ| respectivamente correspondientes a los autovalores λ = 1 y λ = 0.

1.10. Operadores hermíticos Por definición, un operador hermítico (o autoadjunto) es aquel que satisface la condición A† = A

(1.89)

Cabe destacar que estos operadores tienen dos propiedades remarcables: (i) los autovalores de un operador hermítico son reales; y (ii) dos autovectores de un operador hermítico correspondientes a dos autovalores diferentes son ortogonales entre sí. Para demostrar que los operadores hermíticos gozan de la propiedad (i), proyectamos sobre 〈ψ| la ecuación de autovalores de A dada por (1.73). Resulta 〈ψ| A |ψ〉 = λ 〈ψ|ψ〉

(1.90a)

y, tomando en cuenta la regla general para obtener el adjunto de una expresión, 〈ψ| A† |ψ〉 = λ* 〈ψ|ψ〉* de donde, como A† = A y 〈ψ|ψ〉* = 〈ψ|ψ〉, se obtiene

(1.90b)

MECÁNICA CUÁNTICA

〈ψ| A |ψ〉 = λ* 〈ψ|ψ〉

59

(1.90c)

Comparando (1.90a) con (1.90c) concluimos que λ* = λ

(1.91)

esto es, que los autovalores de un operador hermítico son reales. Para probar que los operadores hermíticos gozan de la propiedad (ii), empezamos escribiendo las ecuaciones de autovalores correspondientes a dos autovalores distintos

y

A |ψ〉 = λ |ψ〉

(1.92a)

A |ϕ〉 = µ |ϕ〉

(1.92b)

donde |ψ〉 (|ϕ〉) es un autovector de A correspondiente al autovalor λ (µ ≠ λ). Tomando en cuenta la regla general para obtener el adjunto de una expresión y puesto que A† = A y λ* = λ (µ* = µ), resulta

y

〈ψ| A† = 〈ψ| A = λ 〈ψ|

(1.93a)

〈ϕ| A† = 〈ϕ| A = µ 〈ϕ|

(1.93b)

Es importante notar que los operadores hermíticos actúan tanto a la derecha, sobre los kets de las ec. (1.92), como a la izquierda, sobre los bras de las ec. (1.93)). Multiplicando 〈ϕ| por la ec. (1.92a), y la ec. (1.93b) por |ψ〉, se obtiene 〈ϕ| A |ψ〉 = λ 〈ϕ|ψ〉

(1.94a)

60

y

MARÍA ESTHER BURGOS

〈ϕ| A |ψ〉 = µ 〈ϕ|ψ〉

(1.94b)

y, como µ ≠ λ, concluimos que 〈ϕ|ψ〉 = 0

(1.95)

lo cual implica que |ψ〉 y |ϕ〉 son ortogonales. Lo mismo vale, obviamente, para los autosubespacios ξλ, correspondiente al autovalor λ, y ξµ, correspondiente al autovalor µ.

Preguntas y ejercicios 1.37. Probar que el proyector Pq dado por (1.27) es hermítico. 1.38. Dado el operador B = λ A |u〉 〈v|, donde λ es un número complejo y A un operador no hermítico, ¿es B un operador hermítico? Si λ fuera real y A hermítico, ¿sería B un operador hermítico?

1.11. Observables Entre los operadores hermíticos, los denominados observables desempeñan un papel fundamental en mecánica cuántica. A efectos de introducir este concepto, consideremos, en primer lugar, un operador lineal y hermítico A cuyo espectro es íntegramente discreto. Denotaremos por λn (n = 1, 2,…) sus autovalores, por gn la degeneración del autovalor λn y por |ψnj〉 (j = 1, 2,... , gn) un número gn de autovectores de A que son linealmente independientes y pertenecen al autosubespacio ξn (de dimen-

MECÁNICA CUÁNTICA

61

sión gn) correspondiente al autovalor λn. En este caso la ecuación de autovalores es A |ψnj〉 = λn |ψnj〉

(1.96)

Por una parte, hemos mostrado que dos autovectores de A pertenecientes a dos subespacios correspondientes a autovalores diferentes son ortogonales entre sí; por lo tanto, si m ≠ n, se cumple que 〈ψmj|ψnk〉 = 0 para todo par (j, k). Por otra parte, vamos a exigir que los gn vectores del autosubespacio ξn sean ortogonales entre sí. Y, finalmente, supondremos que todos los autovectores de A han sido normalizados. Estas tres condiciones se resumen de la siguiente manera 〈ψnj|ψmk〉 = δnm δjk

(1.97)

Si, además, se cumple la relación de clausura ∑n,j |ψnj〉 〈ψnj| = I

(1.98)

se dice que el operador lineal y hermítico A es un observable. La denominación de observable, propuesta por Dirac, no es en nuestra opinión afortunada. En principio, un observable es algo que se puede observar, y cabe preguntarse cómo podría observarse un operador, que es un ente matemático. No obstante, por una parte hay que reconocer la utilidad de distinguir con una denominación particular los operadores hermíticos cuyos autovectores satisfacen las relaciones de ortonormalización y clausura, de otros operadores hermíticos cuyos autovectores no satisfacen dichas relaciones. Y, por otra, que como el uso ha impuesto tal denominación, lo más sensato parece ser respetar-

62

MARÍA ESTHER BURGOS

la; entendiendo, claro está, que no se trata más que del nombre dado a cierto tipo de operadores hermíticos. El proyector elemental Pϕ = |ϕ〉 〈ϕ|, dado por la ec. (1.23), es un ejemplo de observable. En primer lugar, es fácil probar que dicho operador es lineal y hermítico. En segundo lugar, en la Sección 1.8 mostramos que Pϕ tiene dos autovalores: λ = 1, no degenerado, al cual le corresponde el autovector |ϕ〉; y λ = 0, cuyo orden de degeneración coincide con el número de vectores linealmente independientes que son ortogonales a |ϕ〉. Ahora bien, puesto que es posible expresar cualquier vector |ψ〉 en la forma |ψ〉 = Pϕ |ψ〉 + (I − Pϕ) |ψ〉

(1.99)

y tanto [Pϕ |ψ〉] como [(I − Pϕ) |ψ〉] son autovectores de Pϕ respectivamente correspondientes a los autovalores λ = 1 y λ = 0, queda probado que los autovectores de Pϕ constituyen una base y, en consecuencia, que Pϕ es un observable (ver Sección 1.3). Es posible demostrar que cualquier observable A puede escribirse en la forma A = ∑n λn Pn

(1.100)

donde Pn = ∑j |ψnj〉 〈ψnj| es el proyector al autosubespacio correspondiente al autovalor λn. Por ejemplo, en términos de sus autovalores, el proyector Pϕ se escribe Pϕ = 1 Pϕ + 0. Hemos dicho que los autovectores |ψnj〉 de A constituyen una base en el espacio de los estados ξ. La representación del observable A en dicha base es la matriz diagonal dada por

MECÁNICA CUÁNTICA

λ1 0 0 0

0

0 λ1 0 0

0

0 0

λ1 0

63

0 0

0 λ2

λn 0 0 λn

(1.101)

donde los elementos de la diagonal, que son los autovalores λn de A, aparecen repetidos gn veces. Por el contrario, en una base distinta de la de sus autovectores |ψnj〉, la representación de A no es diagonal. Sea {|up〉} (p = 1, 2,...) una base en la cual la representación de A no es diagonal. Una vez hallados los autovectores |ψnj〉 de A, se puede obtener la matriz diagonal que la representa en la base {|ψnj〉}. Asimismo, el procedimiento que permite (i) determinar los autovalores y autovectores de A, y (ii) escribir la representación de A en la base de sus autovectores, se denomina proceso de diagonalización de la matriz A. Vamos a ilustrar estos conceptos diagonalizando la matriz Au dada por (1.83), que es la representación del operador A en la base {|u1〉, |u2〉, |u3〉}. En la Sección 1.9 mostramos que los autovalores de A son λ1 = − a (1) y λ2 = a (2); que |ψ1〉, dado por (1.86), es el autovector correspondiente a λ1; y que |ψ21〉 y |ψ22〉, dados por (1.88), son dos autovectores de A correspondientes al autovalor λ2. Tomando en cuenta estos resultados se muestra que A es un observable cuya representación Aψ en la base {|ψ1〉, |ψ21〉, |ψ22〉} es

64

MARÍA ESTHER BURGOS

−1 0 0 Aψ = a 0 1 0 0 0 1

(1.102)

La extensión del concepto de observable al caso en que el espectro de A no es íntegramente discreto sino que contiene al menos una parte continua es sencilla. Si las ecuaciones de autovalores de A son A |ψnj〉 = λn |ψnj〉

(1.103a)

para la parte discreta y A |ψ(λ)〉 = λ |ψ(λ)〉

(1.103b)

para la parte continua (donde, por simplicidad, suponemos que todos los autovalores λ contenidos en la parte continua son no degenerados), las relaciones de otonormalización se escriben 〈ψnj|ψmk〉 = δnm δjk

(1.104a)

〈ψ(λ)|ψ(λ’)〉 = δ(λ − λ’)

(1.104b)

〈ψnj|ψ(λ)〉 = 0

(1.104c)

y la relación de clausura es ∑n,j |ψnj〉 〈ψnj| + ∫ dλ |ψ(λ)〉 〈ψ(λ)| = I

(1.105)

MECÁNICA CUÁNTICA

65

Preguntas y ejercicios 1.39. Demostrar que cualquier observable A puede expresarse como A = ∑n λn Pn, donde Pn = ∑j |ψnj〉〈ψnj| es el proyector al autosubespacio correspondiente al autovalor λn. Sugerencia: Mostrar que la aplicación del operador ∑n λn Pn y la aplicación del operador A a un ket de la base {|ψnj〉} dan el mismo resultado. 1.40. Probar que la representación de un observable A en la base de sus autoestados tiene la forma dada por la ec. (1.101). 1.41. Obtener la expresión (1.101) partiendo de la ec. (1.100). 1.42. Mostrar que el operador A, cuya representación en la base {|u1〉, |u2〉, |u3〉} es la matriz Au dada por (1.83), es un observable; y verificar que la representación Aψ de A en la base {|ψ1〉, |ψ21〉, |ψ22〉} está dada por (1.102). ¿Qué comentarios pueden hacerse sobre este resultado? 1.43. Sea Sn el operador que representa la componente del espín S en la dirección del versor n = senθ cosφ x + senθ senφ y + cosθ z, donde x, y y z son respectivamente los versores en las direcciones x, y, z; y θ, φ son respectivamente los ángulos polar y azimutal de las coordenadas esféricas en el espacio ordinario. Tomando en cuenta que S = (ħ/2) (σx x + σy y + σz z), donde σx, σy, σz son las matrices de Pauli dadas por

y

0 σx = " 1

1 # 0

0 σy = " i

1 0 σz = " # 0 −1

−i # 0

(1.106)

66

MARÍA ESTHER BURGOS

(i) dar la representación matricial de Sn = S.n en la base de los autovectores de Sz; (ii) hallar los autovalores y los autovectores de Sn; y (iii) verificar que si n = x, Sn coincide con Sx = (ħ/2) σx. 1.44. Partiendo de la expresión X = ∫ d3r x |r〉 〈r|, y análogas para Y y Z, verificar que R es un observable.

1.12. Los observables posición y cantidad de movimiento Vamos a dar dos ejemplos de observables que tienen un espectro íntegramente continuo y no degenerado: el operador posición y el operador cantidad de movimiento. Sea X (Y, Z) el operador que representa la componente x (y, z) del operador posición R. El autovector de R correspondiente al autovalor x0 (y0, z0), denotado por |r0〉, satisface la ecuación de autovalores X |r0〉 = x0 |r0〉

(1.107a)

y análogamente

y

Y |r0〉 = y0 |r0〉

(1.107b)

Z |r0〉 = z0 |r0〉

(1.107c)

Nótese que X, Y y Z son hermíticos. Por lo tanto, 〈r0| X |ψ〉 = 〈r0| X ∫ d3r |r〉 〈r|ψ〉 = x0 ∫ d3r 〈r0|r〉 〈r|ψ〉 = x0 〈r0|ψ〉

(1.108)

MECÁNICA CUÁNTICA

67

Esto significa que si el operador X cambia el ket |ψ〉 por |ψ’〉 = X |ψ〉

(1.109a)

las representaciones {|r〉} de |ψ〉 y |ψ’〉 satisfacen la relación ψ’(r) = x ψ(r)

(1.109b)

La aplicación del operador X al ket |ψ〉 produce el mismo efecto que la multiplicación por x de ψ(r). Obviamente se cumplen relaciones análogas para las componentes y y z del operador posición R. Del mismo modo, si Px (Py, Pz) es el operador que representa la componente x (y, z) del operador cantidad de movimiento lineal P, el autovector de P correspondiente al autovalor px0 (py0, pz0), denotado por |p0〉, satisface las ecuaciones de autovalores

y

Px | p0〉 = px0 |p0〉

(1.110a)

Py | p0〉 = py0 |p0〉

(1.110b)

Pz | p0〉 = pz0 |p0〉

(1.110c)

En consecuencia

y

〈p| Px |ψ〉 = px 〈p|ψ〉

(1.111a)

〈p| Py |ψ〉 = py 〈p|ψ〉

(1.111b)

〈p| Pz |ψ〉 = pz 〈p|ψ〉

(1.111c)

68

MARÍA ESTHER BURGOS

Es posible mostrar que en la representación {|r〉} el operador P coincide con el operador diferencial (ħ/i) ∇, un resultado que seguramente el lector ya conoce. Teniendo en cuenta las relaciones (1.107) y (1.110), se puede probar que [X, X] = [X, Y] = [X, Z] = [Y, Y] = [Y, Z] = [Z, Z] = 0

(1.112a)

y que [Px, Px] = [Px, Py] = [Px, Pz] = [Py, Py] = [Py, Pz] = [Pz, Pz] = 0

(1.112b)

Para obtener el conmutador [X, Px], consideramos su aplicación a un ket genérico |ψ〉, y nos situamos en la representación {|r〉}. Puesto que 〈r| [X, Px] |ψ〉 = 〈r| X (Px |ψ〉) − 〈r| Px (X |ψ〉)

(1.113a)

tomando en cuenta que la representación {|r〉} de Px coincide con (ħ/i) (∂/∂x), se obtiene 〈r| [X, Px] |ψ〉 = x 〈r| (Px |ψ〉) − (ħ/i) (∂/∂x) {〈r| (X |ψ〉)} = (ħ/i) x ∂/∂x 〈r|ψ〉 − (ħ/i) ∂/∂x (x 〈r|ψ〉) = − (ħ/i) 〈r|ψ〉)

(1.113b)

y, análogamente, 〈r| [Y, Py] |ψ〉 = 〈r| [Z, Pz] |ψ〉 = − (ħ/i) 〈r|ψ〉; de donde

MECÁNICA CUÁNTICA

[X, Px] = [Y, Py] = [Z, Pz] = i ħ

69

(1.113c)

En forma similar se demuestra que [X, Py] = [X, Pz] = [Y, Px] = [Y, Pz] = [Z, Px] = [Z, Py] = 0

(1.114)

Notar que los observables posición y cantidad de movimiento no conmutan. A partir de estas ecuaciones es posible deducir las relaciones de Heisenberg que figuran en la versión formal del principio de incertidumbre. Finalmente, subrayemos que como los operadores R (X, Y, Z) y P (Px, Py, Pz) son hermíticos, las relaciones 〈ϕ| X |ψ〉 = 〈ψ| X |ϕ〉*

(1.115a)

〈ϕ| Px |ψ〉 = 〈ψ| Px |ϕ〉*

(1.115b)

etc., son válidas para todo par de vectores (|ϕ〉, |ψ〉). Y, además, que los autovectores |r0〉 de R que figuran en las ec. (1.107) cumplen con las condiciones de “ortonormalización” (1.46) y con la relación de clausura (1.47); y los autovectores |p0〉 de P que figuran en las ec. (1.110) cumplen con las condiciones de “ortonormalización” (1.55) y con la relación de clausura (1.56). En consecuencia, R y P son observables.

70

MARÍA ESTHER BURGOS

Preguntas y ejercicios 1.45. Demostrar la validez de la relación (1.108). 1.46. Mostrar que en la representación {|r〉} el operador Px coincide con el operador diferencial (ħ/i) ∂/∂x. Sugerencias: (i) Utilizando (1.111a), la relación de clausura ∫ d3p |p〉 〈p| = I y (1.59), verificar que 〈r| Px |ψ〉 = (2πħ)−3/2 ∫ d3p exp[(i/ħ)p.r] px ψ(p)

(1.116)

y (ii) Tomar en consideración que la antitransformada de Fourier de [px ψ(p)] es (ħ/i) ∂/∂x ψ(r). 1.47. Probar que se cumplen las ec. (1.112) y (1.114). 1.48. Demostrar que las ec. (1.115) son válidas. 1.49. Deducir las ec. (1.115) partiendo de las expresiones 〈ϕ| X |ψ〉 = ∫ d3r ϕ*(r) x ψ(r)

(1.117a)

〈ϕ| Px |ψ〉 = ∫ d3r ϕ*(r) (ħ/i) (∂/∂x) ψ(r)

(1.117b)

1.13. Observables que conmutan: Teoremas En esta sección vamos a demostrar algunos teoremas referidos a observables que conmutan. Teorema I: Si dos observables A y B conmutan, y si |ψ〉 es un autovector de A correspondiente al autovalor λ de A, el ket B |ψ〉 también es un autovector de A correspondiente al mismo autovalor λ.

MECÁNICA CUÁNTICA

71

Puesto que [A, B] = 0 y A |ψ〉 = λ |ψ〉, podemos escribir A B |ψ〉 = B A |ψ〉 = λ (B |ψ〉)

(1.118)

lo cual prueba el Teorema I. Pueden presentarse dos casos: Si el autovalor λ es no degenerado, el ket B |ψ〉 es forzosamente proporcional a |ψ〉, y |ψ〉 es también un autovector de B. Por el contrario, si el autovalor λ es degenerado sólo puede afirmarse que el ket B |ψ〉 pertenece al autosubespacio ξλ correspondiente al autovalor λ. En otras palabras, la acción de B puede modificar |ψ〉 transformándolo en otro vector no necesariamente colineal con |ψ〉, pero no puede convertirlo en un vector perteneciente a un subespacio distinto de ξλ; ver Fig. 1.4. Corolario: Si los observables A y B conmutan, los autosubespacios correspondientes a los distintos autovalores de A son globalmente invariantes bajo la acción de B. Teorema II: Si los observables A y B conmutan, y si |ψ1〉 y |ψ2〉 son dos autovectores de A respectivamente correspondientes a los autovalores diferentes λ1 y λ2, los elementos de matriz 〈ψ2| B |ψ1〉 son nulos. De acuerdo con el Teorema I, si |ψ1〉 es un autovector de A correspondiente al autovalor λ1, el ket B |ψ1〉 también es un autovector de A correspondiente al autovalor λ1. Pero como |ψ2〉 es un autovector de A correspondiente al autovalor λ2, y dos autovectores de un operador hermítico correspondientes a dos autovalores diferentes del mismo operador son ortogonales entre sí, resulta 〈ψ2| B |ψ1〉 = 0.

72

MARÍA ESTHER BURGOS

Fig. 1.4. En el caso en que [A, B] = 0: si |ψ1〉 es un autovector de A correspondiente a un autovalor de A no degenerado, B |ψ1〉 y |ψ1〉 son colineales; si |ψ21〉 es un autovector de A correspondiente a un autovalor de A doblemente degenerado, B |ψ21〉 pertenece al autosubespacio ξ2 pero no necesariamente es colineal con |ψ21〉.

Teorema III: Si los observables A y B conmutan, es posible hallar una base en el espacio de los estados ξ cuyos elementos son autovectores comunes a A y B. Sea A un observable cuyos autovalores λn (n = 1, 2,…) tienen orden de degeneración gn; por simplicidad nos referiremos únicamente al caso en que su espectro es íntegramente discreto. Si |ψnj〉 es un autovector de A correspondiente al autovalor λn, la ecuación de autovalores de A es

MECÁNICA CUÁNTICA

A |ψnj〉 = λn |ψnj〉

73

(1.119a)

donde j = 1, 2,... , gn, y las relaciones de ortonormalización y clausura se escriben

y

〈ψnj |ψmk〉 = δnm δjk

(1.119b)

∑n,j |ψnj〉 〈ψnj| = I

(1.119c)

Como [A, B] = 0, tomando en cuenta el Teorema II se puede afirmar que si n ≠ m los elementos de matriz 〈ψnj| B |ψmk〉 se anulan para todo par (j, k). Vamos a ordenar los autovectores de A del siguiente modo: |ψ11〉, |ψ12〉,... , |ψ1g1〉 (que pertenecen al autosubespacio ξ1 correspondiente al autovalor λ1); |ψ21〉, |ψ22〉,... , |ψ2g2〉 (que pertenecen al autosubespacio ξ2 correspondiente al autovalor λ2); etc. Por una parte, la matriz que representa el observable B en la base de los autovectores de {|ψnj〉}, ordenados como hemos dicho, es B11 0

0

0

B22 0

0

0

Bnn

(1.120a)

donde Bnn es la restricción de B al subespacio ξn y luce como se ilustra a continuación

74

MARÍA ESTHER BURGOS 〈ψn1| B |ψn1〉 〈ψn1| B |ψn2〉

〈ψn1| B |ψngn〉

〈ψngn| B |ψn1〉 〈ψngn| B |ψn2〉

〈ψngn| B |ψngn〉

〈ψn2| B |ψn1〉 〈ψn2| B |ψn2〉 〈ψn3| B |ψn1〉 〈ψn3| B |ψn2〉

〈ψn2| B |ψngn〉 〈ψn3| B |ψngn〉

(1.120b)

Y, por otra, de acuerdo con las ec. (1.100) y (1.101) la representación de A en la base de sus autovectores {|ψnj〉} es A11 0 0

0

0

A22

0

0

Ann

(1.121a)

donde Ann es la restricción de A al subespacio ξn y tiene el siguiente aspecto λn 0 0

0

λn 0

0

0

(1.121b)

λn

o, lo que es lo mismo, Ann = λn In

(1.121c)

MECÁNICA CUÁNTICA

75

donde In es la matriz identidad en ξn (ver Sección 1.6). Hay que destacar la diferencia esencial entre las restricciones Ann y Bnn: salvo un número, la primera es la identidad; mientras que la segunda ni siquiera es necesariamente diagonal. A continuación, vamos a diagonalizar la matriz Bnn. Como indicamos en la Sección 1.11, en primer lugar se determinan los autovectores de Bnn. Dichos autovectores, que pertenecen al subespacio ξn, serán denotados por |ϕnk〉 (k = 1, 2, ..., gn) y pueden expresarse del siguiente modo |ϕnk〉 = ∑j cj |ψnj〉

(1.122)

(lo cual implica que los |ϕnk〉 son también autovectores del observable A correspondientes al autovalor λn; ver Sección 1.8). Una vez obtenidos los |ϕnk〉 y tomando en cuenta las ec. (1.73), se obtienen las restricciones de Ann y Bnn en la base {|ϕnk〉}. Por una parte, la restricción Bnn escrita en la base de sus autovectores {|ϕnk〉} es una matriz diagonal; ver Sección 1.11. Y, por otra, como de acuerdo con la ec. (1.121c) la restricción Ann es la matriz identidad multiplicada por un número, dicha restricción no se modifica cuando se cambia de base. Podemos, en consecuencia, concluir que la base {|ϕnk〉} es común a Ann y Bnn. Procediendo del mismo modo en los distintos subespacios ξn (n = 1, 2,...), se obtiene una base común a los observables A y B, que es la base en la cual las representaciones de ambos observables son diagonales. Por lo tanto, queda demostrado el Teorema III.

76

MARÍA ESTHER BURGOS

Preguntas y ejercicios 1.50. Probar que si existe una base de autovectores comunes a los observables A y B, dichos observables conmutan. Sugerencia: Escribir la representación matricial de los observables A y B en la base de sus autovectores comunes. 1.51. En la base de los autovectores de Lz, las matrices Lx = (ħ/√2)

0 1 0

1 0 1

0 −' Ly = (ħ/√2) ' 0 0 ' y

Lz = ħ

1 0 0

0 0 0

0 0 −1

0 1 0

0 −' 0

(1.123a)

(1.123b)

(1.123c)

representan las restricciones de las componentes x, y y z del momento angular a un subespacio de dimensión 3. Decir: (i) si Lx y Ly son o no hermíticos; (ii) si Lx es o no un observable; y (iii) si Lx y Ly conmutan o no. 1.52. Suponga que en lugar de escribir Lx, Ly y Lz en la base de los autovectores de Lz se las expresa en la base de los autovectores de Lx. ¿Cómo cambiarían las respuestas a las preguntas formuladas en el ejercicio anterior? 1.53. Si el estado del sistema es un autovector de Lz, (i) ¿tiene la componente z del momento angular orbital un valor bien definido?; (ii) ¿tiene la componente x del momento

MECÁNICA CUÁNTICA

77

angular orbital un valor bien definido? Repetir el ejercicio en el caso en que el estado del sistema es un autovector de Lx.

1.14. Cantidades físicas compatibles y conjuntos completos de observables que conmutan Se dice que dos cantidades físicas son compatibles si los correspondientes observables conmutan. Esto es, si el observable A representa la cantidad física α y el observable B representa la cantidad física β, la compatibilidad de α y β implica que: (i)

[A, B] = 0;

(ii)

existe al menos una base en el espacio de los estados ξ cuyos elementos son autovectores comunes a A y B; y

(iii) las representaciones matriciales de A y B en dicha base son diagonales. Cabe destacar que la condición [A, B] = 0 es necesaria y suficiente para que los observables A y B tengan una base común. En la sección previa demostramos que si A y B conmutan, existe al menos una base en el espacio de los estados ξ cuyos elementos son autovectores comunes a A y B. Recíprocamente, es posible probar que si existe una base de autovectores comunes a los observables A y B, dichos observables conmutan. Y es también posible mostrar que si dos observables A y B no conmutan, pueden eventualmente tener algunos autovectores comunes, pero no comparten una base.

78

MARÍA ESTHER BURGOS

Consideremos, por ejemplo, el caso del átomo de hidrógeno, donde las cantidades físicas energía, cuadrado del momento angular orbital, y componente z del momento angular orbital, son respectivamente representadas por los observables HH (Hamiltoniano), L2 y Lz. Puesto que [HH, L2] = [L2, Lz] = [Lz, HH] = 0

(1.124)

dichas cantidades son compatibles, y los observables HH, L2 y Lz pueden expresarse como matrices diagonales en la base de sus autovectores comunes. Por el contrario, en vista de las ec. (1.113c) se puede afirmar que la componente x de la posición y la componente px de la cantidad de movimiento de un sistema (como un electrón o un átomo) son incompatibles y que los observables X y Px que las representan no tienen una base común. En general, en mecánica cuántica no es posible asignar valores bien definidos a las cantidades físicas. Pero esta regla tiene una excepción importante: si el estado del sistema es un autovector del observable A correspondiente al autovalor λn, se admite que la cantidad física representada por A tiene el valor bien definido λn; del mismo modo, si dicho estado es además un autovector del observable B correspondiente al autovalor µp, la cantidad física representada por B tiene el valor bien definido µp. Si el estado del sistema es un autovector de los observables que representan dos o más cantidades físicas compatibles, dichas cantidades toman valores simultáneamente bien definidos. En el caso del átomo de hidrógeno, si su estado es un autovector de HH, de L2 y de Lz, las cantidades físicas energía, cuadrado del momento angular orbital, y componente z del momento angular orbital, toman valores simultáneamente bien definidos. Por el contrario, de acuerdo con las ec. (1.113c), no existe un

MECÁNICA CUÁNTICA

79

estado para el cual la componente x de la posición y la componente px de la cantidad de movimiento tomen, al mismo tiempo, valores bien definidos. En el Tema 2 mostraremos que las cantidades físicas compatibles pueden ser medidas simultáneamente, con tanta precisión como las técnicas disponibles lo permitan. En cambio, dos cantidades físicas incompatibles no pueden ser medidas simultáneamente con una precisión que supere un cierto límite fijado, no por la técnica, sino por la teoría. En particular, la componente x de la posición y la componente px de la cantidad de movimiento, que son cantidades físicas incompatibles, no pueden ser medidas simultáneamente en forma precisa, tal como establece el principio de incertidumbre. En muchos casos es útil expresar el estado del sistema en términos de los autovectores del Hamiltoniano. Si el espectro del Hamiltoniano es íntegramente no degenerado, la base de sus autovectores es única. Esto es lo que ocurre con el Hamiltoniano HO del oscilador armónico simple: puesto que cada autovalor lleva asociado un único autovector, la identificación de un autovalor basta para identificar también el correspondiente autovector. Por el contrario, en el caso del Hamiltoniano HH del átomo de hidrógeno, sólo el autovalor correspondiente al estado fundamental es no degenerado (por simplicidad nos referimos al tratamiento en el que se ignora el espín). En consecuencia, la base de los autovectores de HH no es única. Se puede remover esta indeterminación considerando un conjunto de observables que conmutan de a pares. Por definición, el conjunto de observables {A, B, C,...} es un conjunto de observables que conmutan si los observables A, B, C,... satisfacen las relaciones [A, B] = [B, C] = [C, A] = ... = 0

(1.125)

80

MARÍA ESTHER BURGOS

Si, además, la base común a dichos observables es única, se dice que el conjunto {A, B, C,...} es completo; y será denotado en forma abreviada por CC. En el ejemplo del oscilador armónico simple, la base de los autovectores de HO es única; asimismo, en el caso del átomo de hidrógeno, la base de los autovectores comunes a HH, L2 y Lz es única. Por lo tanto, {HO} es un CC y lo mismo vale para {HH, L2, Lz}. Notar, sin embargo, que el oscilador armónico simple tiene un único CC que incluye su Hamiltoniano, mientras que el átomo de hidrógeno tiene tantos CC que incluyen su Hamiltoniano como direcciones z pueden escogerse en el espacio ordinario. En el Tema 2 veremos que los procesos que permiten conocer con precisión el estado del sistema, denominados procesos de preparación de estado, son procesos de medición de las cantidades físicas correspondientes a los operadores que conforman un CC.

Preguntas y ejercicios 1.54. Las componentes Lx, Ly y Lz del momento angular orbital, ¿son o no cantidades físicas compatibles? 1.55. Decir si en el caso del átomo de H los siguientes conjuntos son o no conjuntos de observables que conmutan: (i) {Lx, Lz}; y (ii) {L2, Lx}. ¿Es alguno de ellos un CC? 1.56. En la base {|u1〉, |u2〉, |u3〉} el operador A está dado por la ec. (1.83), y el operador B por 1 B(b 0 0

0 1 0

0 0 0

(1.126)

MECÁNICA CUÁNTICA

81

donde b es una constante real. (i) Decir si |u1〉 (|u2〉, |u3〉) es o no un autovector de A y si es o no un autovector de B; (ii) mostrar que ni {A} ni {B} son CC; (iii) probar que {A, B} es un CC; (iv) encontrar la base común a A y B; y (v) escribir las representaciones de A y B en dicha base.

1.15. El operador paridad El operador paridad, que denotaremos por Π, se define por su acción sobre el ket |r〉 de acuerdo con la siguiente relación Π |r〉 = |−r〉

(1.127)

La aplicación de Π a un ket arbitrario |ψ〉 arroja el resultado Π |ψ〉 = Π ∫ d3r |r〉 〈r|ψ〉 = Π ∫ d3r ψ(r) |r〉 = ∫ d3r ψ(r) |−r〉 = ∫ d3r’ ψ(−r’) |r’〉

(1.128)

donde se ha llamado r’ a –r. Cabe destacar que, como ψ(r) es una función, el operador Π conmuta con ψ(r). Por otra parte, haciendo |ψ〉 = ∫ d3r’ |r’〉 〈r’|ψ〉 = ∫ d3r’ ψ(r’) |r’〉

(1.129)

vemos que la aplicación de Π a |ψ〉 produce exactamente el mismo efecto que el reemplazo de r’ por −r’ en ψ(r’) = 〈r’|ψ〉. Como 〈r| Π |ψ〉 = ∫ d3r’ ψ(−r’) 〈r|r’〉 = ψ(−r)

(1.130a)

82

MARÍA ESTHER BURGOS

y, tomando en cuenta (1.127), podemos escribir 〈r| Π† |ψ〉 = 〈−r|ψ〉 = ψ(−r)

(1.130b)

concluimos que Π† = Π

(1.131)

esto es, que Π es hermítico y actúa tanto a la derecha (sobre el ket |r〉) como a la izquierda (sobre el bra 〈r|). El operador Π2 coincide con el operador identidad ya que una primera aplicación de Π cambia el ket |r〉 por |−r〉, y una segunda el ket |−r〉 por |r〉, con lo cual se regresa al punto de partida. Puesto que Π2 = I

(1.132a)

resulta Π† Π = Π Π† = I

(1.132b)

El operador paridad es unitario; ver Sección 1.6. A continuación vamos a obtener los autovalores y autovectores de Π. Sea γ uno de sus autovalores y |ψγ〉 un autovector de Π correspondiente a γ. Tomando en cuenta (1.132), se obtiene Π2 |ψγ〉 = γ2 |ψγ〉 = |ψγ〉

(1.133)

Por lo tanto, los autovalores de Π son γ = +1 y γ = −1. Los autovectores de Π correspondientes al autovalor +1 satisfacen la ecuación

MECÁNICA CUÁNTICA

Π |ψ+〉 = |ψ+〉

83

(1.134a)

y se denominan pares; y los autovectores de Π correspondientes al autovalor −1 satisfacen la ecuación Π |ψ−〉 = − |ψ−〉

(1.134b)

y se denominan impares. Los operadores también se clasifican en pares e impares. Por definición, un operador par A+ satisface la condición A+ = Π A+ Π

(1.135a)

y un operador impar A− satisface la condición A− = − Π A− Π

(1.135b)

En otras palabras, los operadores pares conmutan y los impares anticonmutan con Π. Como es sabido, cualquier función f(r) puede expresarse en la forma f(r) = f+(r) + f−(r)

(1.136)

donde f+(r) = (1/2) [f(r) + f(−r)] es una función par y f−(r) = (1/2) [f(r) − f(−r)] es una función impar. Análogamente, todo ket |ψ〉 es la suma de un ket par |ψ+〉 y un ket impar |ψ−〉. Para determinar la paridad de los operadores que representan las componentes de la posición, calculamos la acción de Π X sobre el ket |r〉

84

MARÍA ESTHER BURGOS

Π X |r〉 = Π x |r〉 = x Π |r〉 = x |−r〉

(1.137a)

y, a continuación, la de X Π sobre el mismo ket. Resulta X Π |r〉 = X |−r〉 = − x |−r〉

(1.137b)

de donde, como Π X + X Π = 0, concluimos que X es un operador impar (la prueba de que las restantes componentes de la posición son también impares es trivial). De modo similar se demuestra que también las componentes del operador cantidad de movimiento lineal P son impares. Por el contrario, el operador P2 es par y lo mismo ocurre con el operador que representa la energía cinética. Si, además, lo mismo vale para el operador que representa la energía potencial, el Hamiltoniano resultante es par. En particular, para todos los potenciales centrales el Hamiltoniano es par y tiene autofunciones que son también autofunciones de Π: tales autofunciones son, o pares o impares. En los temas que siguen utilizaremos con frecuencia esta importantísima propiedad de los Hamiltonianos correspondientes a los potenciales centrales.

Preguntas y ejercicios 1.57. Mostrar que el ket |−r〉 difiere del ket −|r〉. Sugerencia: Encontrar y comparar las representaciones {|r’〉} de ambos. 1.58. Considerar los operadores Π± = (1/2) (I ± Π). Probar que ambos son proyectores y que Π+ Π− = Π− Π+ = 0.

MECÁNICA CUÁNTICA

85

1.59. Demostrar que siempre es posible escribir |ψ〉 = |ψ+〉 + |ψ−〉, donde el ket |ψ+〉 = Π+ |ψ〉 es simétrico y el ket |ψ−〉 = Π− |ψ〉 es antisimétrico.

1.16. Producto tensorial de dos espacios En las secciones precedentes nos hemos referido al espacio de los estados de un sistema físico. Para fijar ideas, supongamos que dicho sistema físico consta de una partícula que puede ser, por ejemplo, un electrón. En esta sección nos proponemos encarar los casos en que el sistema físico considerado consta de dos partículas (o subsistemas). Consideremos dos partículas cualesquiera 1 y 2: puede tratarse de dos electrones, de un electrón y un protón, o de dos protones, etc. Sea ξ(1) el espacio de los estados de la partícula 1 y ξ(2) el espacio de los estados de la partícula 2. Los vectores que representan el estado de la partícula 1, denotados por |ψ(1)〉, pertenecen al espacio ξ(1); y los vectores que representan el estado de la partícula 2, denotados por |ψ(2)〉, pertenecen al espacio ξ(2). El espacio de los estados del sistema constituido por las partículas 1 y 2, que denotaremos por ξ, es por definición el producto tensorial de los espacios ξ(1) y ξ(2). En símbolos ξ = ξ(1) ⊗ ξ(2)

(1.138)

86

MARÍA ESTHER BURGOS

lo cual significa que si |ψ(1)〉 es el estado de la partícula 1 y |ψ(2)〉 es el estado de la partícula 2, |ψ〉 = |ψ(1)〉 ⊗ |ψ(2)〉

(1.139a)

es el estado del sistema constituido por las dos partículas. Cabe destacar que, cuando no se presta a confusión, se omite el símbolo ⊗ que indica el producto tensorial. Aunque, como ya hemos señalado, el álgebra utilizada en mecánica cuántica es no conmutativa, el producto de kets (o bras) que representan estados de partículas diferentes es conmutativo. Por lo tanto, también podemos escribir |ψ〉 = |ψ(2)〉 ⊗ |ψ(1)〉

(1.139b)

Sea {|uj(1)〉} (j = 1, 2,...) una base en el espacio ξ(1) y {|vk(2)〉} (k = 1, 2,...) una base en el espacio ξ(2); por simplicidad nos referiremos únicamente al caso de bases discretas. Como podemos escribir

y

|ψ(1)〉 = ∑j cj |uj(1)〉

(1.140a)

|ψ(2)〉 = ∑k bk |vk(2)〉

(1.140b)

resulta |ψ〉 = [∑j cj |uj(1)〉] ⊗ [∑k bk |vk(2)〉] = ∑j,k cj bk |uj(1)〉 ⊗ |vk(2)〉

(1.141)

Los estados del sistema que se pueden escribir en la forma dada por las ec. (1.139) o (1.141) reciben el nombre de factorizables. Es importante subrayar, sin embargo, que no todos los estados

MECÁNICA CUÁNTICA

87

de un sistema de dos o más partículas son factorizables. Puede también suceder que el estado del sistema tenga la forma |ψ’〉 = ∑j,k djk |uj(1)〉 ⊗ |vk(2)〉

(1.142)

donde |ψ’〉 ≠ |ψ(1)〉 ⊗ |ψ(2)〉. Cuando esto ocurre, ni el estado de la partícula 1 ni el estado de la partícula 2 pueden ser representados por un ket; y se dice que los estados de las partículas 1 y 2 están acoplados o entrelazados. Los operadores A(1), B(1), C(1), etc., que representan cantidades físicas de la partícula 1, actúan en el espacio ξ(1); y los operadores A(2), B(2), C(2), etc., que representan cantidades físicas de la partícula 2, actúan en el espacio ξ(2). La extensión de A(1) es un operador que actúa en el espacio ξ y será denotado por A’(1). Se define por su acción sobre un estado factorizable |ψ〉, dado por las ec. (1.139), de la siguiente manera: la aplicación de A’(1) al estado |ψ〉 del sistema de dos partículas tiene exactamente el mismo efecto que la aplicación de A(1) al estado |ψ(1)〉 de la partícula 1, y no modifica el estado |ψ(2)〉 de la partícula 2. En símbolos A’(1) |ψ〉 = [A(1) |ψ(1)〉] ⊗ |ψ(2)〉

(1.143a)

y, análogamente, B’(2) |ψ〉 = |ψ(1)〉 ⊗ [B(2) |ψ(2)〉]

(1.143b)

En cuanto a los operadores A’(1) y B’(2), se expresan en la forma A’(1) = A(1) ⊗ I(2)

(1.144a)

88

y

MARÍA ESTHER BURGOS

B’(2) = I(1) ⊗ B(2)

(1.144b)

donde I(1) e I(2) son respectivamente los operadores identidad en ξ(1) y ξ(2). No obstante, cuando no se presta a confusión, es usual omitir las identidades I(1) e I(2) y denotar por el mismo símbolo el operador que actúa en uno de los espacios (ξ(1) o ξ(2)) y el que actúa en el espacio ξ. Los operadores que actúan en el espacio ξ(1) conmutan con aquellos que actúan en ξ(2). Por lo tanto, podemos escribir A(1) ⊗ B(2) = B(2) ⊗ A(1)

(1.145)

Para obtener el producto de dos extensiones A’(1) y B’(2) hacemos A’(1) B’(2) |ψ〉 = [A’(1) |ψ(1)〉] ⊗ [B’(2) |ψ(2)〉] = [A(1) |ψ(1)〉] ⊗ [B(2) |ψ(2)〉]

(1.146)

Cuando se aplica el producto A’(1) B’(2) a |ψ’〉 dado por (1.142), se obtiene A’(1) B’(2) |ψ’〉 = ∑j,k djk [A(1) |uj(1)〉] ⊗ [B(2) |vk(2)〉]

(1.147)

La metodología que acabamos de exponer también es útil para encarar otros problemas, como el de una partícula dotada de espín. En este último caso, los espacios ξ(1) y ξ(2) que figuran en la ec. (1.138) se reemplazan por un espacio que involucra únicamente las variables espaciales y otro que involucra únicamente las variables de espín, todas ellas referidas a la misma partícula.

MECÁNICA CUÁNTICA

89

Preguntas y ejercicios 1.60. Sea un sistema de dos partículas 1 y 2, Sz(1) el operador que representa la componente z del espín de la partícula 1 y Sx(2) el que representa la componente x del espín de la partícula 2. ¿Cuánto vale [Sz(1), Sx(2)] ¿Son compatibles las cantidades físicas correspondientes? 1.61. Escribir los vectores que representan el estado de un sistema de dos partículas de espín 1/2: (i) cuando el estado de ambas partículas es un autovector de la componente z del operador que representa su spin; y (ii) en el caso general.

Para saber más sobre este tema, ver: - C. Cohen-Tannoudji, B. Diu and F. Laloë, Quantum Mechanics (John Wiley & Sons, New York, 1977), Capítulo II; Complementos AII y BII. - E. Merzbacher, Quantum Mechanics (John Wiley & Sons, New York, 1998), Capítulos 3, 4, 9 y 10. - A. Messiah, Mécanique Quantique (Dunod, Paris, 1965), Capítulos V y VII.

MECÁNICA CUÁNTICA

1

MECÁNICA CUÁNTICA

91

TEMA 2. LOS POSTULADOS DE LA MECANICA CUANTICA NO RELATIVISTA 2.1. Postulados referidos a la representación de estados y cantidades físicas. 2.2. La ecuación de Schrödinger. 2.3. Sistemas conservativos. 2.4. Estados estacionarios, constantes de movimiento, frecuencias de Bohr y reglas de selección. 2.5. Postulados referidos a la medición. 2.6. Las predicciones experimentales de la mecánica cuántica. 2.6.1. Medición de una cantidad física. 2.6.2. Medición de dos cantidades físicas compatibles 2.6.3. Medición de dos cantidades físicas incompatibles. 2.7. El operador densidad. 2.8. El operador de evolución. 2.9. El tratamiento de Heisenberg.

La mecánica clásica, mal llamada elemental, está íntegramente implícita en las leyes de Newton. De hecho, esta teoría se reduce a dichas leyes y los resultados que de ellas se derivan, como el teorema del trabajo y la energía, o las leyes de conservación de los momentos lineal y angular. Algo similar ocurre con los postulados de la mecánica cuántica: esta última teoría no es más que el conjunto de sus postulados y los resultados que de ellos se derivan. A pesar de que existen varias formulaciones de la mecánica cuántica, la que verdaderamente ha dado frutos (y la única que actualmente recogen los libros de texto) es la mecánica cuántica ortodoxa. Otras versiones de la teoría, frecuentemente denominadas “interpretaciones de la mecánica cuántica”, modi-

92

MARÍA ESTHER BURGOS

fican u omiten alguno de los postulados de la versión ortodoxa. Son, por lo tanto, teorías diferentes, y es tarea de sus adherentes demostrar que son equivalentes o preferibles a la ortodoxa. Inicialmente la mecánica cuántica no tuvo una formulación precisa. Comenzó con un conjunto de principios debidos a diferentes autores, entre los cuales destacan los nombres de Bohr, Born, Dirac, Einstein, Heisenberg, Schrödinger y Pauli. Y, aunque no intervino en la etapa de producción de “los principios guía” que orientaron los primeros análisis cuánticos de diversos problemas, fue von Neumann quien, en la década de 1920, estableció la formulación matemática de la mecánica cuántica no relativista que conocemos hoy día. Dicho lo cual, debemos agregar que von Neumann incluyó en dos de sus postulados la contribución de Born (resultados posibles de una medición y correspondientes probabilidades) y la ecuación de Schrödinger; y tomó en cuenta el principio de incertidumbre de Heisenberg. Originalmente su teoría constaba de cinco postulados (de los cuales sólo el último, denominado de proyección, es verdaderamente de su autoría) pero actualmente es usual presentar uno de ellos partido en dos. Es necesario decir, además, que posteriormente se le añadió un postulado denominado de simetrización, del cual puede deducirse el principio de exclusión de Pauli, y que no será tratado en este tema. Considerando el papel fundamental que desempeñan los postulados de la mecánica cuántica ortodoxa, y a pesar de que supuestamente el lector ya los conoce, vamos a dedicar este tema a hacer una revisión de los mismos.

MECÁNICA CUÁNTICA

93

2.1. Postulados referidos a la representación de estados y cantidades físicas Postulado I: A cada sistema físico le corresponde un espacio de los estados ξ cuyos vectores (vectores de estado, funciones de onda) describen completamente los estados del sistema. Comentarios: I.a. En primer lugar, vamos a preguntarnos qué es un sistema físico. En el marco de validez de la física clásica, la respuesta es que los científicos “recortamos” los sistemas físicos (de la totalidad del universo) de una manera totalmente arbitraria; tratamos, eso sí, de que el recorte se haga de modo que contribuya al análisis del problema que vamos a encarar. Por ejemplo, se puede considerar el sistema físico “una piedra,” o bien el sistema físico constituido por “una piedra y la tierra,” o bien el sistema físico compuesto por “una piedra y la luna.” La primera elección puede ser útil para hablar del principio de inercia; pero si vamos a referirnos a la conservación de la energía mecánica en el proceso de caída de la piedra, será preferible elegir el segundo sistema físico. En cuanto al tercero, aunque no es evidente que sea de utilidad para el análisis de un problema particular, también es un sistema físico posible. Hay quien pretende que la mecánica cuántica se refiere sólo a objetos microscópicos; pero si se adopta este punto de vista surge el siguiente problema: ¿a partir de cuántos átomos o moléculas se pasa de lo microscópico a lo macroscópico? Por una parte, esta pregunta no tiene una respuesta evidente. Y, por otra, ni el primer ni ningún otro postulado restringe la naturaleza del sistema físico a considerar. Por lo tanto, deberíamos con-

94

MARÍA ESTHER BURGOS

cluir que en mecánica cuántica la elección del sistema físico es arbitraria, como en física clásica. Y, de hecho, la mecánica cuántica ha resultado útil para estudiar una inmensa variedad de sistemas físicos que van desde las partículas elementales, como un electrón o un protón, hasta objetos macroscópicos, como un sólido cristalino. Ahora bien, las relaciones de Einstein−de Broglie implican que la dificultad para detectar efectos de difracción crece con la masa del objeto difractado. Esta es una de las razones por las cuales la mecánica cuántica no es útil para resolver muchos de los problemas de interés que involucran objetos macroscópicos. La física clásica tiene asegurada su utilidad, aún para quienes pretendemos la validez universal de la mecánica cuántica. I.b. Los conceptos centrales de la física clásica son los conceptos de masa puntual y de onda. En el dominio de validez de la física clásica los objetos tienen un comportamiento o estrictamente corpuscular o estrictamente ondulatorio. Por ejemplo, en el análisis del lanzamiento de un proyectil es usual considerar que el proyectil se comporta como una masa puntual; y si es necesario perfeccionar el modelo se trata el proyectil como un cuerpo rígido (que es un agregado de masas puntuales). Asimismo, si se quieren estudiar fenómenos de interferencia o difracción de la luz se supone que la luz se comporta como una onda o conjunto de ondas, etc. El estado de una masa puntual queda determinado por su posición y velocidad, perfectamente bien definidas (o precisas) en todo instante, y el estado de una onda plana queda determinado por su vector de onda y correspondiente frecuencia, también perfectamente bien definidos (o precisos) en todo instante.

MECÁNICA CUÁNTICA

95

Por el contrario, en mecánica cuántica el concepto central es el de sistema. El Postulado I nos dice que el estado de un sistema es un vector del espacio de los estados ξ, lo cual descarta, desde el inicio, la determinación de dicho estado tanto por su posición y velocidad como por su vector de onda y frecuencia. I.c. En la versión original del Postulado I, en lugar de la expresión “espacio de los estados ξ” figura la expresión “espacio de Hilbert,” que es el espacio de los vectores (kets, funciones de onda) normalizables. En la Sección 1.1 señalamos que el espacio de los estados ξ es un espacio de Hilbert; esto implica que todo ket que represente el estado del sistema debe satisfacer la condición 〈ψ|ψ〉 = N

(2.1)

donde N es un número real y positivo. Más aún, en general es conveniente representar el estado del sistema por un ket normalizado (recordemos que para normalizar |ψ〉 basta con multiplicarlo por N−1/2), de modo que quede definido salvo un factor global de fase. El autovector |r0〉 del operador posición R, cuya representación {|r〉} es la delta de Dirac δ(r−r0), no es normalizable. Lo mismo ocurre con cualquier autovector de un observable correspondiente a un autovalor situado en la parte continua de su espectro; y éste es, en particular, el caso del autovector |p0〉 del operador cantidad de movimiento P, cuya representación {|r〉} es la función wpo(r) = (2πħ)−3/2 exp[(i/ħ)p0.r]; ver Sección 1.5. El autovector |r0〉 representa el estado de una partícula perfectamente localizada en r0 y el autovector |p0〉 corresponde al estado de un sistema con una cantidad de movimiento perfecta-

96

MARÍA ESTHER BURGOS

mente precisa p0; pero ni |r0〉 ni |p0〉 pertenecen al espacio de los estados del sistema. El Postulado I no solamente nos dice que el estado del sistema no queda determinado por las variables posición y cantidad de movimiento, sino que además prohibe que el sistema esté en un estado correspondiente a una posición o una cantidad de movimiento perfectamente bien definidas. I.d. De acuerdo con el Postulado I, los estados del sistema pertenecen al espacio de los estados ξ, que es un espacio vectorial. El primer postulado implica el principio de superposición pues toda combinación lineal |ψ〉 = ∑j cj |ψj〉

(2.2)

de los estados |ψj〉 del sistema (donde cj es un número complejo) pertenece también al espacio ξ y es, asimismo, un posible estado del sistema. I.e. El Postulado I establece que los vectores del espacio ξ describen completamente los estados del sistema; en este punto la versión del primer postulado que aquí reportamos coincide con la versión original. Quedan por lo tanto excluidas de la teoría todo tipo de “variables ocultas” destinadas a “completarla,” por ejemplo a efectos de asignar al sistema una posición y una cantidad de movimiento bien definidas. Postulado II: A cada cantidad física medible A le corresponde un observable A que actúa en el espacio de los estados ξ.

MECÁNICA CUÁNTICA

97

Comentarios: II.a. La versión original del segundo postulado dice: “A cada observable A le corresponde únicamente un operador autoadjunto que actúa en ξ.” Notemos la diferencia de nomenclatura: en la versión moderna la expresión “cantidad física medible” reemplaza a la expresión “observable” de la versión original y la expresión “observable” reemplaza a la expresión “operador autoadjunto” de la versión original. Cabe destacar que von Neumann establece una distinción clara entre lo que él llama observable (algo que se puede observar) y el operador autoadjunto (ente matemático) que lo representa. Del mismo modo, en la versión moderna de este postulado salta a la vista la distinción entre la cantidad física (que se puede medir) y el observable (ente matemático) que la representa. No obstante, y a pesar de esta importante diferencia conceptual, con frecuencia los términos “cantidad física” y “observable” se utilizan de manera indistinta y, excepción hecha de la cantidad física energía y del Hamiltoniano (que es el operador que la representa), se utiliza la misma letra para denotarlos. II.b. Recordemos que la ecuación de autovalores del operador A en el caso del espectro discreto es A |anj〉 = an |anj〉

(2.3a)

donde an (n = 1, 2,…) es un autovalor de A, el ket |anj〉 es un autovector de A, y el supraíndice (j = 1, 2,... , gn) se incluye para dar cuenta de la degeneración gn de an. Para ser un observable, el operador A tiene que ser hermítico (o autoadjunto), lo cual implica que sus autovalores son reales. Además, sus autovectores deben satisfacer las relaciones de ortonormalización y clausura

98

MARÍA ESTHER BURGOS

〈anj|amk〉 = δnm δjk

(2.3b)

∑n,j |anj〉〈anj| = I

(2.3c)

de modo que en la base de sus autovectores el observable A se escribe A = ∑n an ∑j |anj〉 〈anj|

(2.3d)

(ver Sección 1.11). En el caso del espectro continuo se cumplen relaciones similares a las (2.3). II.c. En física clásica las cantidades físicas como la posición, la cantidad de movimiento lineal, la cantidad de movimiento angular, la energía, etc., se representan por funciones del tiempo que toman valores precisos en cada instante. Por el contrario, en mecánica cuántica las cantidades físicas se representan por operadores y, en general, no se les puede asignar un valor preciso. El único caso en el que se puede asignar un valor bien definido a la cantidad física A es aquel en el cual el estado del sistema es un autovector del observable A que la representa. Por ejemplo, la cantidad física componente z del espín, representada por el observable Sz, toma el valor −ħ/2 (donde ħ es la constante de Planck dividida entre 2π) si y sólo si el estado del sistema |ψ〉 es un autoestado de Sz; esto es, si se cumple que Sz |ψ〉 = − ħ/2 |ψ〉

(2.4)

Esto implica que las únicas cantidades físicas que pueden tomar valores perfectamente bien definidos (y esto, sólo para ciertos estados) son aquellas representadas por observables cuyos autovectores son normalizables. Como señalamos en la Sección 1.8, el espectro de tales operadores es discreto.

MECÁNICA CUÁNTICA

99

II.d. El valor medio de A cuando el estado del sistema es el ket normalizado |ψ〉 se denota por 〈A〉 ψ y es, por definición, 〈A〉 ψ = 〈ψ| A |ψ〉

(2.5)

(si |ψ〉 no está normalizado se hace 〈A〉ψ = 〈ψ| A |ψ〉 / 〈ψ|ψ〉). Es fácil probar que 〈(A − 〈A〉ψ)〉ψ = 0

(2.6)

Por el contrario, el valor medio de (A − 〈A〉 ψ)2 es, en general, no nulo. La desviación cuadrática media de A cuando el estado del sistema es |ψ〉 se denota por (∆A)ψ y se define por la relación (∆A)ψ2 = 〈(A − 〈A〉 ψ)2〉ψ

(2.7a)

de donde (∆A)ψ2 = 〈A2〉ψ − (〈A〉ψ)2

(2.7b)

En particular, si el espectro de A es discreto y |ψ〉 = ∑n,j cnj |anj〉, se obtiene

y

〈A〉 ψ = ∑n an ∑j |cnj|2

(2.8a)

〈A2〉 ψ = ∑n an2 ∑j |cnj|2

(2.8b)

Por lo tanto, si |ψ〉 es un autovector de A correspondiente al autovalor an, la cantidad física A tiene el valor bien definido an y resulta

100

y

MARÍA ESTHER BURGOS

〈A〉ψ = an

(2.9a)

〈A2〉 ψ = an2

(2.9b)

(∆A)ψ2 = 0

(2.9c)

II.e. Por simplicidad, en este comentario vamos a referirnos al caso unidimensional. Si el estado del sistema es |ψ〉, la desviación cuadrática media de la posición es (∆X)ψ = [〈X2〉ψ − (〈X〉ψ)2]1/2 y la desviación cuadrática media de la cantidad de movimiento es (∆P)ψ = [〈P2〉 ψ − (〈P〉 ψ)2]1/2. Es posible probar que para cualquier estado |ψ〉 se cumple la desigualdad de Heisenberg (∆X)ψ (∆P)ψ ≥ ħ/2

(2.10)

Nótese que, a pesar de que nos recuerda el principio de incertidumbre, esta desigualdad es un resultado de los Postulados I y II. No es necesario invocar ningún postulado referido a la medición para demostrarla. En este punto cabe mencionar que el principio de incertidumbre guarda relación con el principio de complementaridad, debido a Bohr. Tomando en cuenta que los objetos tradicionalmente asociados con ondas presentan también un comportamiento corpuscular (como la luz en el efecto fotoeléctrico) y que los objetos tradicionalmente asociados con corpúsculos presentan también un comportamiento ondulatorio (como los electrones difractados por un cristal en el experimento de Davisson y Germer), Bohr estableció un principio según el cual la descripción completa de la naturaleza requiere de dos imágenes que, aunque contradictorias, son complementarias: onda y

MECÁNICA CUÁNTICA

101

corpúsculo. En opinión de Bohr, los resultados de todo experimento deben necesariamene ser expresados en términos de dichos conceptos clásicos; y la mejor adecuación de una o otra imagen a la descripción del fenómeno considerado depende del dispositivo experimental utilizado. Por lo cual, afirma Bohr, es imposible establecer una separación completa entre el comportamiento de los objetos atómicos y los instrumentos de medición utilizados que son, justamente, los que definen las condiciones en las cuales se presenta un fenómeno particular. Asimismo, mencionemos que Bohr fue también el autor del principio de correspondencia. Por una parte, el éxito de la teoría cuántica en el dominio de lo microscópico es indudable; y, por otra, también lo es el éxito de las teorías clásicas en el dominio de lo macroscópico. Sin embargo, es razonable suponer que las leyes de la física deberían ser independientes del tamaño de los objetos considerados. Para enfrentar esta contradicción, Bohr estableció el principio de correspondencia. Según este principio, las leyes de la física clásica emergen de las de la mecánica cuántica a medida que aumenta el tamaño de los objetos. Más precisamente, cuando los números cuánticos que caracterizan el sistema son elevados, el comportamiento del objeto en cuestión sigue las leyes de la física clásica.

Preguntas y ejercicios 2.1. Utilizando las relaciones de Einstein−de Broglie, encontrar la longitud de onda λ asociada a (i) un electrón; (ii) un protón; y (iii) un átomo de plata. Suponer que todos ellos viajan a la velocidad del sonido.

102

MARÍA ESTHER BURGOS

2.2. Discutir la afirmación de que la dificultad para detectar efectos de difracción crece con la masa del objeto difractado. 2.3. Escribir las relaciones equivalentes a las ec. (2.3) en el caso de un espectro al menos parcialmente continuo. 2.4. Sea Sn el operador que representa la componente del espín S en la dirección del versor n = senθ cosφ x + senθ senφ y + cosθ z, donde x, y y z son respectivamente los versores en las direcciones x, y, z; y θ, φ son respectivamente los ángulos polar y azimutal de las coordenadas esféricas en el espacio ordinario. Si σx, σy, σz son las matrices de Pauli dadas por

y

0 σx = " 1

1 # 0

1 σz = " 0

0 # −1

σy = "

0 −i # i 0

(2.11)

tomando en cuenta que S = (ħ/2) (σx x + σy y + σz z), (i) obtener los valores medios 〈Sx〉, 〈Sy〉 y 〈Sz〉 cuando el sistema está en un autoestado de Sn = S.n correspondiente al autovalor (ħ/2); y (ii) representar gráficamente 〈Sx〉 y 〈Sy〉 en función de φ para θ constante, y 〈Sz〉 en función de θ. Sugerencia: Tomar en cuenta los resultados del ejercicio 1.42. 2.5. Probar que se cumple la ec. (2.6). 2.6. Utilizando la ec. (2.7a) mostrar que se cumple la ec. (2.7b).

MECÁNICA CUÁNTICA

103

2.7. Escribir las ecuaciones equivalentes a las (2.8) en el caso en que |ψ〉 = ∫ dα c(α) |w(α)〉, donde los |w(α)〉 son los elementos de una base continua; ver Sección 1.4. 2.8. Obtener las relaciones (2.9). 2.9. Mostrar que (∆A)ψ2 = 0 si y sólo si |ψ〉 es un autovector de A. Sugerencia: Notar que el cuadrado de la norma de |ϕ〉 = (A − 〈A〉ψ) |ψ〉 coincide con (∆A)ψ2. 2.10. Considerar un átomo de H en el estado |ψ〉 = (1/√2) |n=2, l=0, m=0〉 + (1/2) |n=2, l=1, m=1〉 + (1/2) |n=2, l=1, m=−1〉

(2.12)

donde n, l y m son respectivamente los números cuánticos principal, azimutal y magnético. Encontrar los valores medios y las desviaciones cuadráticas medias de los observables H, L2 (cuadrado del momento angular orbital) y Lz (componente z del momento angular orbital). Sugerencia: Tomar en cuenta que los autovalores de H están dados por –EI/n2 (donde EI es la energía de ionización), los de L2 por l(l+1)ħ2 y los de Lz por mħ. 2.11. Discutir la relación entre el principio de incertidumbre y la desigualdad de Heisenberg dada por (2.10).

2.2. La ecuación de Schrödinger Postulado III: La evolución temporal del estado del sistema |ψ(t)〉 está regida por la ecuación de Schrödinger i ħ d|ψ(t)〉/dt = H(t) |ψ(t)〉

(2.13)

104

MARÍA ESTHER BURGOS

donde d|ψ(t)〉/dt es la derivada temporal del vector de estado, H(t) es el observable que representa la energía total del sistema al tiempo t, i es la unidad imaginaria y ħ es la constante de Planck dividida entre 2π.

Comentarios: III.a. Como el vector de estado |ψ(t)〉 depende únicamente del tiempo, podemos escribir d|ψ(t)〉/dt = ∂|ψ(t)〉/∂t. Tomando la representación {|r〉} de la ecuación (2.13), se obtiene i ħ ∂ψ(r,t)/∂t = H(r,t) ψ(r,t)

(2.14)

que es la versión más conocida de la ecuación de Schrödinger. Notar que el reemplazo de la derivada parcial de ψ(r,t) por su derivada total en la ecuación anterior, podría sugerir que hay que incluir también la derivada dr/dt, lo cual es incorrecto. III.b. Si r es la posición y p es la cantidad de movimiento de una partícula, en el dominio de validez de la física clásica se cumple que r.p = p.r. Por el contrario, en el campo de la mecánica cuántica el producto R.P de los operadores R y P que representan respectivamente dichas cantidades, difiere del producto P.R y, en consecuencia, ni R.P ni P.R son operadores hermíticos. Para obtener el operador hermítico correspondiente a la cantidad física r.p, se representa dicho producto por la semisuma (1/2) (R.P + P.R), que es la expresión simetrizada de R.P. El mismo procedimiento permite obtener el observable A (R, P, t) a partir de la cantidad física (clásica) A(r, p, t).

MECÁNICA CUÁNTICA

105

III.c. Utilizando la ecuación de Schrödinger se demuestra que la norma del vector de estado permanece constante durante su evolución temporal. Esto implica que d(〈ψ(t)|ψ(t)〉)/dt = 0 o, lo que es lo mismo, que 〈ψ(t1)|ψ(t1)〉 = 〈ψ(t2)|ψ(t2)〉

(2.15)

donde t1 y t2 son dos instantes arbitrarios. Este importante resultado se conoce como conservación de la probabilidad, una expresión que adquiere pleno sentido si admitimos que 〈ψ(t)|ψ(t)〉 es la probabilidad de encontrar el sistema en algún punto del espacio ordinario al tiempo t. III.d. La evolución del valor medio 〈A〉 ψ, dado por (2.5), queda determinada por la ecuación de Schrödinger. En efecto, si A depende del tiempo 〈A〉 ψ(t) = 〈ψ(t)| A(t) |ψ(t)〉 y

(2.16a)

d〈A〉ψ(t)/dt = d〈ψ(t)|/dt {A(t) |ψ(t)〉} + 〈ψ(t)| ∂A/∂t |ψ(t)〉 + {〈ψ(t)| A(t)} d|ψ(t)〉

(2.16b)

de donde, tomando en cuenta la ecuación de Schrödinger, resulta d〈A〉 ψ(t)/dt = 〈∂A(t)/∂t〉ψ + (1/i ħ) 〈[A(t), H(t)]〉ψ

(2.16c)

III.e. El caso de los observables que representan la posición R y la cantidad de movimiento P de un sistema es de particular interés. Puesto que ni R ni P dependen explícitamente del tiempo,

106

y

MARÍA ESTHER BURGOS

d〈R〉 ψ(t)/dt = (1/i ħ) 〈[R, H(t)]〉 ψ

(2.17a)

d〈P〉ψ(t)/dt = (1/i ħ) 〈[P, H(t)]〉ψ

(2.17b)

Si el sistema es una partícula de masa m situada en un potencial escalar que no depende del tiempo, el Hamiltoniano es H = P2/2m + V(R) y las expresiones anteriores se escriben

y

d〈R〉 ψ(t)/dt = (1/i ħ) 〈[R, P2/2m]〉 ψ

(2.18a)

d〈P〉 ψ(t)/dt = (1/i ħ) 〈[P, V(R)]〉ψ

(2.18b)

En consecuencia, tomando en cuenta las relaciones de conmutación entre R y P se obtiene

y

d〈R〉 ψ(t)/dt = (1/m) 〈P〉 ψ

(2.19a)

d〈P〉 ψ(t)/dt = − 〈∇ ∇ V(R)〉ψ

(2.19c)

Estas dos últimas ecuaciones resumen el Teorema de Ehrenfest. Notar su similitud con las ecuaciones de Hamilton, válidas en el dominio de la mecánica clásica.

Preguntas y ejercicios 2.12. Explicar por qué es conveniente reemplazar la derivada total que figura en la ec. (2.13) por la derivada parcial que figura en la ec. (2.14). 2.13. Probar que los productos R.P y P.R no son operadores hermíticos. Verificar que, por el contrario, la expresión

MECÁNICA CUÁNTICA

107

simetrizada (1/2) (R.P + P.R) de dichos productos es hermítica. 2.14. Demostrar que en los procesos regidos por la ecuación de Schrödinger se cumple que d(〈ψ(t)|ψ(t)〉)/dt = 0. 2.15. Obtener la ec. (2.16c) a partir de la ec. (2.16b). 2.16. Partiendo de las ec. (2.18) mostrar que se cumplen las ec. (2.19). Sugerencias: (i) Demostrar que [X, Px2/2m] = (iħ/m) Px; y (ii) verificar que si |ψ〉 es un vector genérico, la representación {|r〉} de {[Px, V(R)] |ψ〉} se puede escribir en la forma (ħ/i) {∂V(r)/∂x} ψ(r). 2.17. Discutir las similitudes y diferencias entre las ec. (2.19) y las ecuaciones de Hamilton dr/dt = (1/m) p y dp/dt = − ∇ V(r).

2.3. Sistemas conservativos Por simplicidad, en esta sección vamos a referirnos al caso en que el espectro del Hamiltoniano es íntegramente discreto. La extensión al caso en que el espectro de H es al menos parcialmente continuo no presenta mayores dificultades. Un sistema conservativo es, por definición, aquel cuyo Hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo. La ecuación de autovalores del Hamiltoniano H de un sistema conservativo es H |ϕnj〉 = En |ϕnj〉

(2.20)

108

MARÍA ESTHER BURGOS

donde los números En (n = 1, 2,...) son los autovalores de H, los kets |ϕnj〉 son sus autovectores, y el supraíndice j (= 1, 2,... , gn) da cuenta de una eventual degeneración de En. Con frecuencia esta ecuación es referida como la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, y la ec. (2.13) (o (2.14)) se denomina ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. En nuestra opinión, esta nomenclatura puede inducir a confusión; es preferible reservar la expresión ecuación de Schrödinger (a secas) para referirse a la ecuación de evolución (2.13), o a la (2.14); y utilizar la expresión ecuación de autovalores del Hamiltoniano para referirse a la ec. (2.20), que no es una ecuación de evolución. Como H no depende del tiempo, ni los autovalores En ni los autovectores |ϕnj〉 pueden depender del tiempo. Y, puesto que H es un observable, sus autovectores deben cumplir con las relaciones de ortonormalización y de clausura 〈ϕnj|ϕmk〉 = δnm δjk y

j

k

∑n,j |ϕn 〉 〈ϕn | = I

(2.21a) (2.21b)

Por lo tanto, es posible expresar cualquier vector de estado |ψ(t)〉 en la forma |ψ(t)〉 = ∑n,j cnj(t) |ϕnj〉

(2.22a)

donde cnj(t) = 〈ϕnj|ψ(t)〉

(2.22b)

MECÁNICA CUÁNTICA

109

Es importante subrayar que el estado |ψ(t)〉 depende del tiempo únicamente a través de los coeficientes cnj(t). A efectos de resolver la ecuación de autovalores (2.20), proyectamos la ecuación de Schrödinger (2.13) a los vectores de la base {|ϕnj〉}. Se obtiene i ħ d〈ϕnj|ψ(t)〉/dt = 〈ϕnj| H |ψ(t)〉

(2.23a)

y, como H es hermítico, resulta i ħ dcnj(t)/dt = En cnj(t)

(2.23b)

La solución de esta ecuación arroja el resultado cnj(t) = cnj(t0) exp [−i En (t − t0)/ħ]

(2.24)

donde t0 es el instante inicial. En consecuencia, podemos escribir |ψ(t)〉 = ∑n,j cnj(t0) exp [−i En (t − t0)/ħ] |ϕnj〉

(2.25)

Si el espectro de H es discreto, ésta es la expresión más general del estado |ψ(t)〉 de un sistema conservativo en términos de sus autovalores y autovectores, y de su estado inicial |ψ(t0)〉 (nótese que los coeficientes cnj(t0) quedan determinados por la ec. (2.22b) a partir de |ψ(t0)〉). Esto implica que, dado el estado inicial |ψ(t0)〉, queda completamente determinado el estado |ψ(t)〉 en cualquier otro instante t. En otras palabras, en el caso de los sistemas conservativos la ecuación de Schrödinger es una ley determinista; es importante agregar que esta última afirmación también es válida para sistemas no conservativos.

110

MARÍA ESTHER BURGOS

En suma, la “rutina” para encarar problemas que involucran sistemas conservativos puede resumirse del siguiente modo: (i) se identifica un conjunto completo de observables que conmutan (CC) que incluya el Hamiltoniano H del sistema; y (ii) se resuelven las ecuaciones de autovalores de tales observables. Estas dos operaciones permiten determinar en forma unívoca la base de los vectores |ϕni〉 que figuran en la ec. (2.25). El estudio de los sistemas conservativos es de particular interés pues en muchos problemas prácticos H no depende explícitamente del tiempo. Más aún, cuando H depende explícitamente del tiempo, se procede a separarlo en dos términos: H0, que se supone constante, y W(t), que incluye toda la dependencia temporal. Si este segundo término es mucho más pequeño que el primero, es usual encarar el problema recurriendo a la teoría de perturbaciones dependientes del tiempo, donde los autovalores y autovectores del Hamiltoniano constante H0 desempeñan un papel fundamental.

Preguntas y ejercicios 2.18. ¿Qué se entiende por sistema conservativo en el dominio de la física clásica? ¿Y en el dominio de la mecánica cuántica? Dar ejemplos de tales sistemas. 2.19. Verificar que en los procesos regidos por la ecuación de Schrödinger el valor medio del Hamiltoniano permanece constante para todo estado del sistema. 2.20. ¿Es posible obtener la ec. (2.23b) a partir de la ec. (2.23a) sin suponer que H es hermítico?

MECÁNICA CUÁNTICA

111

2.21. Escribir la generalización de la ec. (2.25) para el caso en que el espectro de H es al menos parcialmente continuo.

2.4. Estados estacionarios, constantes de movimiento, frecuencias de Bohr y reglas de selección A menos que se indique lo contrario, también en esta sección nos referiremos a un sistema conservativo cuyo Hamiltoniano tiene un espectro íntegramente discreto. Por definición, un estado estacionario de un sistema conservativo es un autoestado del Hamiltoniano. Si |ψ(t0)〉 es un autoestado de H correspondiente al autovalor En, podemos escribir |ψ(t0)〉 = ∑j cnj(t0) |ϕnj〉 y

(2.26)

|ψ(t)〉 = ∑j cnj(t0) exp [−i En (t − t0)/ħ] |ϕnj〉 = exp [−i En (t − t0)/ħ] ∑j cnj(t0) |ϕnj〉 = exp [−i En (t − t0)/ħ] |ψ(t0)〉

(2.27)

Es importante notar que, como las ecuaciones anteriores involucran solamente un autovalor En, el ket |ψ(t)〉 pertenece al autosubespacio correspondiente a dicho autovalor. Hay que destacar que los kets dados por las ec. (2.26) y (2.27) difieren únicamente en un factor global de fase. Como veremos, el cambio del factor global de fase no cambia las predicciones referidas a las mediciones y diremos que |ψ(t0)〉 y

112

MARÍA ESTHER BURGOS

|ψ(t)〉 representan el mismo estado del sistema. Por el contrario, en el caso de un estado que no es estacionario, las fases relativas que figuran en la ec. (2.25) desempeñan un papel fundamental. Por definición, una constante de movimiento es un observable A que cumple con las condiciones

y

∂A/∂t = 0

(2.28a)

[A, H] = 0

(2.28b)

Esta definición es válida tanto en el caso en que el espectro de H es íntegramente discreto como en el caso en que dicho espectro es al menos parcialmente continuo. Tomando en cuenta la ec. (2.16c) queda en evidencia que, si A es una constante de movimiento, d〈A〉 ψ(t)/dt = 0

(2.29)

Esto implica que 〈A〉 ψ(t) permanece constante en el tiempo, sea cual fuere el estado |ψ(t)〉. Lo mismo vale para la desviación cuadrática media (∆A)ψ dada por la ec. (2.7b). Si las cantidades físicas representadas por H y A son compatibles, estos observables tienen una base común de autovectores; ver Sección 1.14. Si, además, el espectro de A es discreto, se satisfacen las ecuaciones de autovalores H |En, ap, j〉 = En |En, ap, j〉

(2.30a)

MECÁNICA CUÁNTICA

y

A |En, ap, j〉 = ap |En, ap, j〉

113

(2.30b)

donde los números En (n = 1, 2,…) son los autovalores de H, los números ap (p = 1, 2,…) son los autovalores de A, {|En, ap, j〉} es una base común a H y A, y el índice j da cuenta de los casos en los cuales {H, A} no es un CC. Notar que en el caso en que el estado inicial del sistema es el estado estacionario |ψ(t0)〉 = ∑j cn,p,j |En, ap, j〉 (donde cn,p,j = 〈En, ap, j|ψ(t0)〉), tanto la energía como la cantidad física A conservan sus valores bien definidos En y ap. A continuación vamos a introducir el concepto de frecuencias de Bohr. Consideremos un observable B que no necesariamente conmuta con H. Tomando en cuenta la definición de valor medio podemos escribir 〈B〉ψ(t) = 〈ψ(t)| B(t) |ψ(t)〉

(2.31a)

En el caso de un sistema conservativo, la expresión más general del estado del sistema |ψ(t)〉 está dada por la ec. (2.25). De donde se puede concluir que 〈B〉ψ(t) = 〈ψ(t)| B(t) |ψ(t)〉 = ∑n,j ∑n’,j’ [cn’j’(t0)]*cnj(t0) 〈B(t)〉nn’jj’exp[−i ωnn’ (t − t0)/ ħ] (2.31b) donde 〈B(t)〉nn’jj’ = 〈ϕn’j’|B(t) |ϕnj〉

(2.31c)

y ωnn’ = En−En’. Además, si B no depende explícitamente del tiempo, resulta

114

MARÍA ESTHER BURGOS

〈B〉ψ(t) = 〈ψ(t)| B |ψ(t)〉 = ∑n,j ∑n’,j’ [cn’j’(t0)]* cnj(t0) 〈B〉nn’jj’exp [−i ωnn’ (t − t0)/ ħ] (2.32a) Como en este caso los elementos de matriz 〈ϕn’j’| B |ϕnj〉 son constantes, la evolución temporal de 〈B〉 ψ(t) está dada por una serie de términos que oscilan con las frecuencias νn,n’ = (1/2π) |En’ − En| /ħ

(2.32b)

denominadas frecuencias de Bohr. Cabe destacar que en el caso de un sistema conservativo, (i) los valores medios de los observables que representan cantidades físicas como la posición, la cantidad de movimiento y la cantidad de movimiento angular oscilan con tales frecuencias, sea cual fuere el estado inicial del sistema; y (ii) la intensidad de los distintos términos presentes en las ec. (2.31) y (2.32) depende del estado inicial a través de los coeficientes cnj(t0). Ambas observaciones valen también para los momentos eléctrico y magnético. En otro tema veremos que la absorción y emisión de sistemas como los átomos y moléculas están relacionadas con las oscilaciones de estos valores medios y, por ende, con las diferencias de energía (En’ − En). Ahora bien, si el elemento de matriz 〈ϕn’j’| B |ϕnj〉 es nulo, el término correspondiente en la ec. (2.32a) también se anula y el sistema no puede ni absorber ni emitir una radiación de energía |En’ − En|. Las reglas de selección, que impiden la absorción y emisión de ciertas frecuencias, se originan en la nulidad de algunos de dichos elementos de matriz.

MECÁNICA CUÁNTICA

115

Preguntas y ejercicios 2.22. ¿Qué se entiende por estado estacionario en el dominio de la física clásica? ¿Y en el dominio de la mecánica cuántica? 2.23. Si el espectro del Hamiltoniano H es íntegramente continuo, ¿es posible que el estado del sistema sea un estado estacionario? 2.24. Probar que si A es una constante de movimiento, la desviación cuadrática media (∆A)ψ permanece constante en el tiempo, sea cual fuere el estado |ψ(t)〉. 2.25. ¿Es el Hamiltoniano H una constante movimiento? ¿Lo es la cantidad de movimiento P? ¿Y la posición R? Responder estas preguntas si el sistema es (i) una partícula libre; y (ii) un oscilador armónico simple. 2.26. La desviación cuadrática media de la cantidad de movimiento (∆P)ψ, ¿se modifica con el tiempo? ¿Y la desviación cuadrática media de la posición (∆R)ψ? Responder estas preguntas si el sistema es (i) una partícula libre; y (ii) un oscilador armónico simple en un estado estacionario. 2.27. Dar una expresión general de las frecuencias de Bohr en el caso en que el sistema es (i) un oscilador armónico simple; y (ii) un átomo de H.

2.5. Postulados referidos a la medición Antes de dar inicio a esta sección, vamos a destacar que tanto las teorías de la física clásica como otras teorías científi-

116

MARÍA ESTHER BURGOS

cas (por ejemplo de las áreas de la química o la biología) se refieren a lo que ocurre, no a lo que se mide. Por el contrario, el concepto de medición desempeña un papel fundamental en mecánica cuántica; hasta tal punto, que hay quien ha dicho que la mecánica cuántica no es más que una teoría de la medición. Pero aún admitiendo que la mecánica cuántica es algo más que un conjunto de reglas útiles para determinar valores medios y desviaciones, aún admitiendo que la mecánica cuántica da cuenta de ciertos aspectos de la naturaleza que son fundamentales y están presentes inclusive cuando no se efectúa ninguna medición, salta a la vista que esta teoría es hija de la filosofía positivista que cautivó las mentes más brillantes de comienzos del siglo XX. Y ésta es, en nuestra opinión, la razón por la cual los postulados referidos a la medición están impregnados de dicha filosofía. A continuación presentamos sus enunciados. Postulado IV: Los únicos resultados posibles de la medición de la cantidad física A son los autovalores del observable A que la representa. Comentarios: IV.a. Como A es un observable, los resultados posibles de la medición de A son necesariamente reales. IV.b. Si el espectro de A es discreto, los resultados posibles de la medición de A están cuantizados. Postulado V-a (caso discreto): Si el espectro de A es íntegramente discreto, lo cual implica que se cumplen las relaciones (2.3), y si el sistema está en el estado normalizado |ψ〉 = ∑n,j cnj |anj〉

(2.33)

MECÁNICA CUÁNTICA

117

con cnj = 〈anj|ψ〉, la probabilidad de que una medición de la cantidad física A arroje el resultado an es P(an) = ∑j |〈anj|ψ〉|2 =∑j |cnj|2

(2.34a)

Como el proyector al autosubespacio correspondiente a an es Pn = ∑j |anj〉 〈anj|, se obtiene P(an) = 〈ψ| Pn |ψ〉

(2.34b)

Postulado V-b (caso continuo): Si el espectro de A es íntegramente continuo, se cumplen las relaciones A |αj〉 = α |αj〉

(2.35a)

〈αj|βk)〉 = δ(α−β) δjk

(2.35b)

∫ dα ∑j |αj〉 〈αj| = I

(2.35c)

donde |αj〉 es un autovector de A correspondiente al autovalor α y el supraíndice j (= 1, 2,...) da cuenta de su eventual degeneración. En tal caso, si el sistema está en el estado normalizado |ψ〉 = ∫ dα ∑j cj(α) |αj〉

(2.36)

con cj(α) = 〈αj|ψ〉, la probabilidad de que el resultado de una medición de la cantidad física A arroje un resultado comprendido entre α y α + dα es dP(α) = dα ∑j |〈αj|ψ〉|2 = dα ∑j |cj(α)|2

(2.37)

118

MARÍA ESTHER BURGOS

Postulado V (caso general): Si el espectro de A es parcialmente discreto y parcialmente continuo, y el estado normalizado del sistema es |ψ〉 = ∑n,j cnj |anj〉 + ∫ dα ∑j cj(α) |αj〉

(2.38)

la probabilidad de que el resultado de una medición de la cantidad física A arroje el resultado an está dada por la ec. (2.34) y la probabilidad de que arroje un resultado comprendido entre α y α + dα está dada por la ec. (2.37). Tomando en cuenta las relaciones (2.34) y (2.37), es fácil probar que el valor medio del observable A es 〈A〉ψ = ∑n P(an) an + ∫ dP(α) α

(2.39)

Asímismo, como la probabilidad de obtener una desviación individual (an − 〈A〉 ψ) es P(an) y la probabilidad de obtener una desviación individual (α − 〈A〉ψ) es dP(α), la desviación cuadrática media (∆A)ψ cumple con la relación (∆A)ψ2 = ∑n P(an) (an − 〈A〉ψ)2 + ∫ dP(α) (α − 〈A〉ψ)2 (2.40) Comentarios: V.a. El Postulado V es una generalización de la interpretación probabilística de la función de onda, debida a Born. De acuerdo con dicha interpretación, la probabilidad de encontrar el sistema en el elemento de volumen d3r centrado en r es proporcional a |ψ(r)|2.

MECÁNICA CUÁNTICA

119

V.b. En la versión original de la mecánica cuántica (debida a von Neumann) los Postulados IV y V conforman un único postulado que contiene todo lo que la teoría dice sobre los resultados de una medición. V.c. Si se reemplaza el ket |ψ〉 dado por la ec. (2.38) por el ket |ψ’〉 = eiγ |ψ〉, donde γ es un número real arbitrario, no se modifica la probabilidad de que una medición de la cantidad física A arroje el resultado an; y lo mismo vale para la probabilidad de obtener un resultado comprendido entre α y α + dα. Por tal razón se dice que dos kets que sólo difieren en un factor global de fase representan el mismo estado. V.d. En particular, si |ψ(t0)〉 es un estado estacionario de un sistema conservativo, de acuerdo con la ec. (2.27) |ψ(t)〉 = exp [−i En (t − t0)/ħ] |ψ(t0)〉. Como los kets |ψ(t0)〉 y |ψ(t)〉 representan el mismo estado, la probabilidad de obtener el resultado an cuando se efectúa una medición de la cantidad física A no depende del tiempo. V.e. Cabe destacar que las probabilidades a las que se refiere este postulado hacen su aparición si y sólo si se efectúan mediciones. A diferencia de la ecuación de Schrödinger que, como dijimos, es una ley determinista, el Postulado V no lo es; por lo tanto es imprescindible recurrir al concepto de probabilidades. Postulado VI-a (caso discreto): Si se mide la cantidad física A relativa a un sistema en el estado normalizado dado por la ec. (2.38), y si el resultado de la misma es el autovalor an situado en la parte discreta del espectro de A, inmediatamente después de efectuar la medición el estado del sistema es la pro-

120

MARÍA ESTHER BURGOS

yección normalizada de |ψ〉 al autosubespacio correspondiente al autovalor an dada por |ψn〉 = Nn Pn |ψ〉

(2.41a)

donde Pn es el proyector al autosubespacio correspondiente al autovalor an y Nn = 〈ψ| Pn |ψ〉 −1/2

(2.41b)

Postulado VI-b (caso continuo): Si se mide la cantidad física A relativa a un sistema en el estado normalizado |ψ〉 dado por (2.38), y si el resultado de la misma está comprendido en el intervalo (α0, α0 + ∆α) situado en la parte continua del espectro de A, inmediatamente después de efectuar la medición el estado del sistema es la proyección normalizada de |ψ〉 al subespacio correspondiente a los autovalores de A comprendidos en dicho intervalo, esto es |ψα0〉 = Nα0 P (α0, α0 + ∆α) |ψ〉

(2.42a)

donde P (α0, α0 + ∆α) es el proyector al subespacio correspondiente a los autovalores de A comprendidos en el intervalo (α0, α0 + ∆α) y Nα0 = 〈ψ| P (α0, α0 + ∆α) |ψ〉−1/2

(2.42b)

Comentarios: VI.a. La proyección a la que se refiere este postulado recibe también el nombre de reducción y de colapso. Estas expresiones aluden a la desaparición de parte de las componentes del

MECÁNICA CUÁNTICA

121

estado inicial, que pasa de |ψ〉 a |ψn〉 dado por la ec. (2.41) en el caso discreto, o de |ψ〉 a |ψα0〉 dado por la ec. (2.42) en el caso continuo. VI.b. Este es el postulado más polémico de la versión ortodoxa de la mecánica cuántica. De acuerdo con este postulado, se ha dicho, el observador tendría poderes especiales: aunque la evolución espontánea del estado del sistema se rige por la ecuación de Schrödinger, la intervención del observador induce su colapso. Y, de hecho, von Neumann (su autor) sugiere que la proyección tiene lugar cuando el observador toma conciencia del resultado de la medición. VI.c. Una interpretación más benigna de este postulado asigna propiedades especiales, no al observador sino al aparato de medición, por cuanto el colapso se produce cuando el sistema interactúa con un aparato de medición. Algunos autores afirman que la proyección es un resultado de la interacción del sistema (supuestamente microscópico) con un aparato de medición (supuestamente macroscópico) ya que tal interacción perturba de manera impredecible e incontrolable el estado del sistema. Pero, por una parte, los conceptos “microscópico” y “macroscópico” desafían las definiciones precisas; y, por otra, nadie explica de manera detallada y satisfactoria cómo dicha interacción podría provocar tales colapsos. Como acertadamente señala Bell, no existe una regla para decidir qué objetos deben ser catalogados como dispositivos de medición ni cuáles procesos (supuestamente naturales) tiene el status especial de las mediciones. Es importante señalar, no obstante, que luego de adquirir cierta práctica es posible decir, en buena parte de los casos de interés, si un determinado proceso es del tipo espontáneo

122

MARÍA ESTHER BURGOS

(regido por la ecuación de Schrödinger) o del tipo medición (regido por el postulado de proyección). VI.d. La proyección interrumpe la evolución continua del vector de estado dada por la ecuación de Schrödinger, no respeta el determinismo de dicha ecuación y, de acuerdo con un argumento debido a Einstein, implica una forma de acción a distancia. En suma, se ha dicho, “el postulado de proyección es una ley fuera de la ley,” supuestamente encarnada por la ecuación de Schrödinger. Por tal motivo, en 1936 Margenau propuso excluir tal postulado de la teoría. Sin embargo, Einstein se opuso a esta solución argumentando que el formalismo de la mecánica cuántica requiere inevitablemente el siguiente postulado: “si una medición arroja un cierto valor m, la misma medición realizada inmediatamente después, debe arrojar el mismo valor m con certidumbre.” Tomando en cuenta éstas y otras consideraciones, numerosos autores han intentado deducir el postulado de proyección a partir de la ecuación de Schrödinger; pero hasta la fecha dichos intentos han fracasado. VI.e. En nuestra opinión, las proyecciones son un tipo particular de procesos naturales que, efectivamente, interrumpen la evolución del vector de estado dada por la ecuación de Schrödinger. Esto implica que en la naturaleza se producen dos tipos de procesos, espontáneos e irreductibles los unos a los otros. De acuerdo con este punto de vista, ni el observador tiene poderes especiales ni los aparatos de medición son nada distinto de objetos cuyos comportamientos se rigen por las mismas leyes que rigen el comportamiento de los restantes objetos. Sólo que, en algunas circunstancias, mediando la teoría y el ingenio del experimentador, tales aparatos son útiles para efectuar mediciones. Pues toda medición está impregnada de teorías (con

MECÁNICA CUÁNTICA

123

frecuencia, varias), o al menos de hipótesis, y el ingenio del experimentador desempeña un papel fundamental. Nuestro tratamiento permite, en principio, determinar en cuáles circunstancias el vector de estado puede proyectarse, y en cuáles su evolución está necesariamente regida por la ecuación de Schrödinger. Pero los detalles de este tratamiento están fuera del alcance de este tema.

Preguntas y ejercicios 2.28. Verificar que si la degeneración del autovalor an es gn = 1, la relación (2.34a) se reduce a P(an) = |〈an|ψ〉|2. 2.29. Demostrar que las probabilidades dadas por las ec. (2.34) y (2.37) no se modifican cuando se reemplaza el ket |ψ〉 (dado por (2.33), por (2.36) o por (2.38)) por |ψ’〉 = eiγ |ψ〉, donde γ es un número real arbitrario. 2.30. Tomando en cuenta las relaciones (2.34) y (2.37) probar que el valor medio del observable A está dado por la ec. (2.39) y que su desviación cuadrática media está dada por (2.40). 2.31. Sean |ϕnj〉 y |w(α)〉 los autoestados del Hamiltoniano H de un sistema conservativo respectivamente correspondientes a las partes discreta y continua de su espectro. El estado del sistema al tiempo t es |ψ(t)〉 = ∑n,j cnj(t) |ϕnj〉 + ∫ dα c(α, t) |w(α)〉

(2.43)

donde cnj(t) = cnj(t0) exp [−i En (t − t0)/ħ] y c(α, t) = c(α, t0) exp [−i En (t − t0)/ħ]. Sea B la cantidad física representada por el observable B cuyo espectro es íntegra-

124

MARÍA ESTHER BURGOS

mente discreto y no degenerado y P(bm, t) la probabilidad de que el resultado de una medición de B, efectuada al tiempo t, arroje el resultado bm. Encontrar la dependencia temporal de P(bm, t) en el caso en que [B, H] = 0. 2.32. Repetir el ejercicio anterior en el caso en que el sistema está en un estado estacionario. 2.33. Mostrar que el estado |ψn〉 dado por (2.41) está normalizado. 2.34. Tomando en cuenta que el proyector al subespacio correspondiente a los autovalores de A comprendidos entre α0 y α0 + ∆α es P (α0, α0 + ∆α) = ∫α0α0+∆α dα |w(α)〉 〈w(α)|

(2.44)

mostrar que el estado |ψα0〉 dado por (2.42) es la proyección normalizada de |ψ〉 a dicho subespacio. 2.35. Discutir la afirmación de que los conceptos “microscópico” y “macroscópico” desafían las definiciones precisas.

2.6. Las predicciones experimentales de la mecánica cuántica Pocas teorías han resultado tan exitosas como la mecánica cuántica. Aunque muchas de sus numerosas predicciones han sido verificadas de manera satisfactoria, en esta sección no vamos a presentar más que unas pocas que se derivan en forma casi inmediata de sus postulados. Además, nos limitaremos al caso del espectro íntegramente discreto. La extensión al caso

MECÁNICA CUÁNTICA

125

del espectro parcialmente discreto y parcialmente continuo no presenta mayores dificultades.

2.6.1. Medición de una cantidad física 2.6.1.1. En primer lugar, supondremos que inmediatamente antes de efectuar la medición de la cantidad física A, el estado del sistema es un autoestado del observable A correspondiente al autovalor an, esto es, que la cantidad física A tiene el valor bien definido an. De acuerdo con los Postulados IV y V, se puede predecir con certidumbre el resultado de la medición de A, que sólo puede ser an. Asimismo, el Postulado VI nos dice que en este caso el sistema permanece en el estado que tenía antes de efectuar la medición; en otras palabras, que no se proyecta. Si se mide A sobre N sistemas en ese mismo estado, el resultado será siempre an y el vector de estado de todos ellos permanecerá idéntico al inicial. 2.6.1.2. Por el contrario, si inmediatamente antes de efectuar la medición el estado del sistema es |ψ〉 = ∑n,j cnj |anj〉

(2.45)

donde al menos dos coeficientes cnj con subíndices n distintos son no nulos, el estado |ψ〉 no es un autovector del observable A y la cantidad física A no tiene un valor bien definido. De acuerdo con los Postulados IV, V y VI, la probabilidad de que el resultado de la medición sea am es P(am) = ∑j |cmj|2, y el estado del sistema inmediatamente después de efectuar la medición y obtener el resultado am será |ψm〉 = Nm ∑j cmj |amj〉, con Nm =

126

MARÍA ESTHER BURGOS

(∑j |cmj|2)−1/2. Hay que subrayar que en este caso el vector de estado sí se proyecta. A continuación supongamos que se mide A sobre N sistemas en el estado dado por la ec. (2.45). Los resultados de las N mediciones individuales pueden ser diferentes; algunas veces se obtendrá a1, otras a2, etc. Sea f(am) la frecuencia del resultado am y, por lo tanto, la frecuencia con la cual el vector de estado se proyecta a |ψm〉 = Nm ∑j cmj |amj〉. El promedio de las N mediciones de A estará dado por 〈A〉ψ = ∑n f(an) an

(2.46a)

y la dispersión de dichos resultados por (∆A)ψ, donde (∆A)ψ2 = ∑n f(an) (an − 〈A〉ψ)2

(2.46b)

Hay que subrayar que aún cuando los N sistemas estén en el mismo estado inicial, dado por la ec. (2.45), luego de efectuar la medición pueden encontrarse en distintos estados. Si N es elevado, de acuerdo con la ley de los grandes números, que suponemos válida, debe cumplirse que f(an) ≈ P(an), esto es, que la frecuencia f(an) es próxima a la probabilidad P(an). Por lo tanto, para N elevado obtenemos

y

〈A〉ψ ≈ 〈A〉ψ

(2.47a)

(∆A)ψ ≈ (∆A)ψ

(2.47b)

Cabe destacar que las cantidades 〈A〉ψ y (∆A)ψ, que figuran en los miembros de la derecha de (2.47), son resultados de cálculos; no es necesario efectuar ninguna medición para obtenerlas. Por el contrario, las cantidades 〈A〉 ψ y (∆A)ψ son resultados de mediciones. Nótese, asimismo, que si el número de me-

MECÁNICA CUÁNTICA

127

diciones N no es elevado, la frecuencia f(an) no tiene por qué ser próxima a P(an): la condición de que N sea elevado desempeña un papel fundamental en las relaciones (2.47).

2.6.2. Medición de dos cantidades físicas compatibles Nuestro próximo paso será considerar la medición de dos cantidades físicas compatibles A y B, respectivamente representadas por los observables A y B. Puesto que A y B tienen al menos una base común, podemos escribir las ecuaciones de autovalores en la siguiente forma

y

A |an, bp, j〉 = an |an, bp, j〉

(2.48a)

B |an, bp, j〉 = bp |an, bp, j〉

(2.48b)

donde n = 1, 2,…; p = 1, 2,…; y j es un índice que se incluye para dar cuenta del caso en que {A, B} no es un CC. 2.6.2.1. Supongamos que inmediatamente antes de efectuar la medición de la cantidad física A, el estado del sistema es un autoestado del observable A correspondiente al autovalor an y del observable B correspondiente al autovalor bp. Esto implica que las cantidades físicas A y B tienen respectivamente los valores bien definidos an y bp. De acuerdo con los postulados de la mecánica cuántica, el resultado de la medición de A sólo puede ser an y el vector que representa el estado del sistema no se proyecta. Estos postulados también nos dicen que, si luego de medir A se mide B, el resultado sólo puede ser bp, y el sistema permanece en el estado que tenía antes de efectuar ambas mediciones. La medición de A y B en orden inverso arroja los mismos resultados: se obtienen bp y an, y el estado del sistema no se

128

MARÍA ESTHER BURGOS

modifica. Como el orden de las mediciones es irrelevante, se puede hablar de mediciones simultáneas de A y B. 2.6.2.2. A continuación supongamos que inmediatamente antes de efectuar la medición el estado del sistema es |ψ〉 = ∑n,p,j cn,p,j |an, bp, j〉

(2.49)

donde al menos dos coeficientes cn,p,j con subíndices n (p) distintos son no nulos. Como el estado |ψ〉 no es un autovector del observable A (B), la cantidad física A (B) no tiene un valor bien definido. Sea Pam el proyector al autosubespacio correspondiende al autovalor am. De acuerdo con los postulados de la mecánica cuántica, la probabilidad de que el resultado de la medición de A sea am es P(am) = ∑p,j |cm,p,j|2

(2.50a)

y si se obtiene este resultado el estado |ψ〉 se proyecta a |ψm〉 = Nm Pam |ψ〉 = Nm ∑p,j cm,p,j |am, bp, j〉

(2.50b)

con Nm = (∑p,j |cm,p,j|2)−1/2. Ahora supongamos que luego de obtener este primer resultado se mide B. Sea Pbq el proyector al autosubespacio correspondiende al autovalor bq. Como la medición se efectúa sobre un sistema que está en el estado |ψm〉, de acuerdo con los postulados de la mecánica cuántica la probabilidad de obtener bq es Pam(bq) = (∑j |cm,q,j|2)/(∑q,j |cm,q,j|2)

(2.51a)

y si se obtiene este resultado el estado |ψm〉 se proyecta a |ψmq〉 = Nmq ∑j cm,q,j |am, bq, j〉

(2.51b)

MECÁNICA CUÁNTICA

129

con Nmq = (∑j |cm,q,j|2)−1/2; ver Fig. 2.1(a). Se puede probar que si las mediciones de A y B se efectúan en orden inverso y si los resultados siguen siendo am y bq, luego de las dos mediciones el sistema también queda en el estado |ψmq〉; ver Fig. 2.1(b). Como la probabilidad de obtener am y bq P(am, bq) = P(am) Pam(bq) = P(bq) Pbq(am)

(2.52)

Fig. 2.1. Medición de las cantidades físicas compatibles A y B sobre un sistema en el estado inicial

|ψ〉 = c1,1 |a1, b1〉 + c1,2 |a1, b2〉 + c2,2 |a2, b2〉 (a) Si primero se mide A y el resultado es a1, el estado |ψ〉 se pro- (b) Si se efectúan las mediciones en orden inverso y los resultayecta al autosubespacio corresdos son los mismos (b2 y a1), pondiende al autovalor a1; si lueel estado final es también go se mide B y el resultado es |a1, b2〉. b2, el estado se proyecta nuevamente, esta vez a |a1, b2〉.

130

MARÍA ESTHER BURGOS

no depende del orden en el que se efectúan las mediciones, y lo mismo ocurre con el estado final del sistema, también en este caso se puede hablar de mediciones simultáneas. Es de particular interés el caso en que {A, B} es un CC (en este caso el índice j es superfluo). Si la medición de las cantidades físicas A y B arroja los resultados am y bq, el estado se proyecta de |ψ〉 = ∑n,p cn,p |an, bp〉 a |ψmq〉 = |am, bq〉, que es un autoestado común a todos los observables que integran este CC. La extensión al caso en que el CC incluye tres o más observables A, B, C,... es inmediata. El conjunto de mediciones de todas las cantidades físicas compatibles cuyos correspondientes observables constituyen un CC, se denomina preparación de estado. Es importante notar que si se obtienen los resultados am, bq, cr,…, luego de completar dichas mediciones el sistema está en el estado |am, bq, cr,…〉; en otras palabras, el conjunto de tales mediciones determina completamente el estado del sistema. 2.6.3. Medición de dos cantidades físicas incompatibles Si A y B son dos cantidades físicas incompatibles, los observables A y B que las representan no tienen una base común. No obstante, como es posible expresar el estado inicial |ψ〉 del sistema tanto en la base {|anj〉} de los autovectores de A como en la base {|bpk〉} de los autovectores de B, podemos escribir

y

|ψ〉 = ∑n,j cnj |anj〉

(2.53a)

|ψ〉 = ∑p,k dpk |bpk〉

(2.53b)

Si primero se mide A y después B, el vector |ψ〉 se proyecta en primer lugar a un autovector de A y luego a un autovector

MECÁNICA CUÁNTICA

131

de B; ver Fig. g. 2.2(a). Por el contrario, contra si primero se mide B y a continuación A, el vector |ψ〉〉 se proyecta en primer lugar a un autovector de B y luego a un autovector de A; ver Fig. 2.2(b). Ahora bien, como los autovectores tovectores de A y B son, en general, diferentes, el estado del sistema al completar las dos mediciones depende del orden en que se hicieron. Lo mismo ocurre con las probabilidades; en general resulta P(am) Pam(bq) ≠ P(bq) Pbq(am)

(2.54)

Fig. 2.2. Medición ición de las cantidades físicas incompatibles A y B sobre un sistema en el estado inicial

|ψ〉 = c1 |a1〉 + c2 |a2〉 = d1 |b1〉 + d2 |b2〉. (a) Si se mide A y el resultado es a1, el estado |ψ〉 se proyecta a |a1〉;; si a continuación se mide B y el resultado es b2, el estado se proyecta nuev nuevamente, esta vez a |b2〉.

(b) Si se efectúan las mediciones en orden inverso y los resultados son los mismos (b2 y a1), el estado final es |a1〉.

132

MARÍA ESTHER BURGOS

Por lo tanto, en este caso no se puede hablar de mediciones simultáneas.

Preguntas y ejercicios 2.36. Comparar probabilidades y frecuencias de resultados de lanzamientos de una moneda en los siguientes casos: (i) la moneda se lanza una sola vez y el resultado es “cara”; (ii) la moneda se lanza 10 veces y el resultado es “7 caras”; (iii) la moneda se lanza 100 veces y el resultado es “48 caras”; (iv) la moneda se lanza 100 veces y el resultado es “75 caras.” ¿Qué comentarios puede hacer sobre estos resultados? 2.37. Sean n, l y m respectivamente los números cuánticos principal, azimutal y magnético del átomo de H. Si inicialmente el átomo está en el estado |ψ〉 = |n=1, l=0, m=0〉 y se mide el cuadrado del momento angular orbital, ¿qué resultados pueden obtenerse y cuáles son las correspondientes probabilidades? ¿Cuál es el estado del átomo inmediatamente después de efectuar la medición? 2.38. Si se mide primero la energía y luego el cuadrado del momento angular orbital de un átomo de H en el estado |ψ〉 = |n=1, l=0, m=0〉, ¿qué resultados pueden obtenerse y cuáles son las correspondientes probabilidades? ¿Cuál es el estado del átomo inmediatamente después de efectuar las mediciones? ¿Cambia alguno de estos resultados si las mediciones se efectúan en orden inverso? 2.39. Si el estado inicial del átomo de H es

MECÁNICA CUÁNTICA

133

|ψ〉 = (1/2) |n=1, l=0, m=0〉 + (1/2) |n=2, l=0, m=0〉 + (1/√2) eiπ/4 |n=2, l=1, m=0〉

(2.55)

y se mide el cuadrado del momento angular orbital, ¿qué resultados pueden obtenerse y cuáles son las correspondientes probabilidades? ¿A qué estado se proyecta |ψ〉 si el resultado de la medición es 2 ħ2? 2.40. Si el estado inicial del átomo de H está dado por la ec. (2.55) y se mide la energía, ¿qué resultados pueden obtenerse y cuáles son las correspondientes probabilidades? ¿A qué estado se proyecta |ψ〉 si el resultado de la medición es E2 = −EI/4, donde EI es la energía de ionización? 2.41. Sean A y B dos observables que representan repectivamente las cantidades físicas compatibles A y B. Si el estado del sistema es |ψ〉 = c1,1 |a1, b1〉 + c1,2 |a1, b2〉 + c2,1 |a2, b1〉 + c2,2 |a2, b2〉

(2.56)

donde a1 y a2 (b1 y b2) son los autovalores de A (B) y los cuatro coeficientes c1,1, c1,2, c2,1 y c2,2 son no nulos, probar que si se obtiene el mismo par de resultados (por ej. a1, b2) el estado final del sistema es independiente del orden en que se efectúan las mediciones; ver Fig. 2.1(a) y 2.1(b). 2.42. Si el estado inicial del átomo de H está dado por la ec. (2.55), primero se mide la energía y luego se mide el cuadrado del momento angular orbital, ¿cuáles son las probabilidades de los distintos pares de resultados? Si la medición de la energía arroja el resultado E2 y la medición del cuadrado del momento angular orbital arroja el valor 0,

134

MARÍA ESTHER BURGOS

¿cuál es el estado del átomo al completar ambas mediciones? ¿Qué ocurre si las mediciones se efectúan en orden inverso y se obtienen los mismos resultados? 2.43. ¿Puede alguna de las mediciones referidas desde el ejercicio 2.37 hasta el ejercicio 2.42 ser calificada de proceso de preparación de estado?

2.7. El operador densidad Hasta este punto, en este tema hemos supuesto que el estado del sistema puede ser representado por un ket. Pero si no se conoce ese ket y si se cumplen ciertas condiciones que detallaremos a continuación, es necesario representar el estado del sistema por otro ente matemático, denominado operador densidad. Dicho operador es también de utilidad cuando el sistema está acoplado a otro, ya que entonces ningún ket puede representar el estado de uno de ellos (ver Sección 1.16).

2.7.1. El caso de un estado puro Si en el instante t el estado del sistema es el ket |ψ(t)〉, se dice que el sistema está en un estado puro y el operador densidad ρ(t) es el proyector a |ψ(t)〉 dado por ρ(t) = |ψ(t)〉 〈ψ(t)|

(2.57)

MECÁNICA CUÁNTICA

135

Sea {|ϕm〉} una base del espacio ξ de los estados del sistema. Si el estado es |ψ(t)〉 = ∑n cn(t) |ϕn〉, la representación de ρ(t) en dicha base es la matriz densidad cuyos elementos son ρmn(t) = 〈ϕm|ψ(t)〉 〈ψ(t)|ϕn〉 = cm(t) cn*(t)

(2.58)

Es fácil verificar que {ρ(t)}2 = ρ(t)

(2.59a)

y que la traza de ρ(t) cumple con la condición Tr ρ(t) = ∑n ρnn(t) = 1

(2.59b)

Asimismo, si el sistema está en el estado |ψ(t)〉, el valor medio del observable A es 〈A〉 ψ(t) = 〈ψ(t)| A |ψ(t)〉. De donde 〈A〉 ψ(t) = ∑n,m cn*(t) Anm cm(t) = ∑m,n ρmn(t) Anm = Tr {ρ(t)A}

(2.60)

La evolución temporal de ρ(t) se obtiene tomando en cuenta la ecuación de Schrödinger como se detalla a continuación dρ(t)/dt = (d|ψ(t)〉/dt) 〈ψ(t)| + |ψ(t)〉 (d〈ψ(t)|/dt) = (1/i ħ) {H(t) |ψ(t)〉} 〈ψ(t)| + (−1/i ħ) |ψ(t)〉 {〈ψ(t)| H(t)} = (1/i ħ) [H(t), ρ(t)]

(2.61)

y se puede probar que, si en el tiempo t se mide la cantidad física A, la probabilidad de obtener el autovalor an es P(an) = Tr {ρ(t)Pn}

(2.62)

136

MARÍA ESTHER BURGOS

donde Pn es el proyector al subespacio correspondiente al autovalor an. Teniendo en cuenta las relaciones que preceden, diremos que en el caso de un estado puro las representaciones del estado del sistema dadas por el ket |ψ(t)〉 y por el operador densidad ρ(t) son completamente equivalentes.

2.7.2. El caso de un estado mezcla A continuación vamos a considerar el caso en que el sistema está en uno de los kets del conjunto {|ψj〉} (j = 1, 2,… M), pero no se sabe en cuál de ellos. Supondremos, no obstante, que es posible asignar la probabilidad pj al ket |ψj〉. Por lo tanto, 0 ≤ pj ≤ 1 para todo j, y ∑j pj = 1. Un estado mezcla es aquel para el cual al menos dos de las probabilidades pj son no nulas. Por ejemplo, si un sistema está en equilibrio termodinámico a la temperatura T, la probabilidad de que su estado sea alguno de los correspondientes a la energía Ej es pj = exp (−Ej/κT), donde κ es la constante de Boltzmann. Es importante destacar que no se debe confundir la probabilidad de que el estado sea uno de los |ψj〉 con las probabilidades referidas a los procesos de medición, dadas por (2.34) y (2.37). La probabilidad de que el estado del sistema sea ρj = |ψj〉 〈ψj| coincide con la probabilidad pj de que el sistema esté en el estado puro |ψj〉. En vista de lo cual, el operador densidad que representa un estado mezcla se define como ρ = ∑j pj |ψj〉 〈ψj|

(2.63)

y sus elementos de matriz en la base {|ϕm〉} son ρmn = ∑j pj 〈ϕm |ψj〉 〈ψj|ϕn〉

(2.64)

MECÁNICA CUÁNTICA

137

Los elementos de la diagonal de esta matriz se denominan poblaciones, y los que están fuera de la diagonal coherencias. El cuadrado del operador densidad es ρ2 = (∑j pj |ψj〉 〈ψj|) (∑k pk |ψk〉 〈ψk|) = ∑j (pj)2 |ψj〉 〈ψj| ≠ ρ

(2.65)

Notar que ρ2 = ρ, si y sólo si el estado es puro; esto es, si son nulos todos los pj salvo uno de ellos (= 1). Esta observación es importante pues permite decidir si un estado representado por el operador densidad es puro o mezcla. Por el contrario, y tal como ocurre en el caso puro, también para un estado mezcla se obtiene Tr ρ = 1. De acuerdo con (2.57), (2.60) y (2.62), si el sistema está en el estado puro |ψj〉 su operador densidad es ρj = |ψj〉 〈ψj|, el valor medio del observable A es 〈A〉j = 〈ψj| A |ψj〉 = Tr {ρjA}

(2.66a)

y la probabilidad de que una medición de la cantidad física A arroje el autovalor an es Pj(an) = Tr {ρjPn}

(2.66b)

Ahora bien, si el sistema está en un estado mezcla representado por el operador densidad ρ, las correspondientes expresiones del valor medio 〈A〉 ρ y de la probabilidad Pρ(an) de obtener an son

y

〈A〉 ρ = Tr {ρA}

(2.67a)

Pρ(an) = Tr {ρPn}

(2.67b)

138

MARÍA ESTHER BURGOS

Por lo tanto, tomando en cuenta que si el sistema está en el estado puro |ψj(t)〉, la ec. (2.61) se escribe dρj(t)/dt = (1/i ħ) [H(t), ρj(t)]

(2.68a)

es fácil probar que, cuando las probabilidades pj son constantes, la evolución temporal del operador densidad está regida por la ecuación dρ(t)/dt = (1/i ħ) [H(t), ρ(t)]

(2.68b)

2.7.3. El estado individual de una partícula incluida en un sistema Comenzaremos considerando un sistema S que incluye sólo dos partículas no acopladas 1 y 2, respectivamente en los estados |ψ(1)〉 y |ψ(2)〉. Sus correspondientes operadores densidad son

y

ρ(1) = |ψ(1)〉 〈ψ(1)|

(2.69a)

ρ(2) = |ψ(2)〉 〈ψ(2)|

(2.69b)

El estado de S es |ψ(S)〉 = |ψ(1)〉 |ψ(2)〉 y su correspondiente operador densidad es ρ(S) = |ψ(S)〉 〈ψ(S)| = |ψ(1)〉 |ψ(2)〉 〈ψ(1)| 〈ψ(2)| = ρ(1) ρ(2)

(2.70)

Llamaremos ξ(1) al espacio de los estados de la partícula 1, ξ(2) al espacio de los estados de la partícula 2 y ξ(S) =

MECÁNICA CUÁNTICA

139

ξ(1) ⊗ ξ(2) al espacio de los estados del sistema S. Las bases en estos espacios serán respectivamente denotadas por {|uj(1)〉} (j = 1, 2,...), {|vk(2)〉} (k = 1, 2,...) y {|uj(1)〉 |vk(2)〉} (j = 1, 2,...; k = 1, 2,...). Los elementos de matriz del operador ρ(1), que actúa en ξ(1), son [ρ(1)]jj’ = 〈uj(1)| ρ(1) |uj’(1)〉

(2.71a)

los elementos de matriz del operador ρ(2), que actúa en ξ(2), son [ρ(2)]kk’ = 〈vk(2)| ρ(2) |vk’(2)〉

(2.71b)

y los elementos de matriz del operador ρ(S), que actúa en ξ(S), son [ρ(S)]jj´kk’ = 〈uj(1)| 〈vk(2)| ρ(S) |uj’(1)〉 |vk’(2)〉

(2.71c)

Por definición, la traza parcial de ρ(S) en ξ(2) es Tr2 ρ(S) = ∑k 〈vk(2)| ρ(S) |vk(2)〉 = ρ(1)

(2.72a)

y, análogamente, la traza parcial de ρ(S) en ξ(1) es Tr1 ρ(S) = ∑j 〈uj(1)| ρ(S) |uj(1)〉 = ρ(2)

(2.72b)

Se debe destacar que la traza parcial de ρ(S) en ξ(2) no es un número sino el operador ρ(1), que representa el estado de la partícula 1 y actúa en ξ(1). Un comentario similar vale para la traza parcial Tr1 ρ(S). Por el contrario, la traza de ρ(S) es Tr ρ(S) = ∑jk 〈uj(1)| 〈vk(2)| ρ |uj(1)〉 |vk(2)〉 = Tr1 ρ(1) = Tr2 ρ(2) y se cumple que Tr ρ(S) = Tr1 ρ(1) = Tr2 ρ(2) = 1.

(2.73)

140

MARÍA ESTHER BURGOS

Pasemos ahora al caso en que los estados de las partículas 1 y 2 están entrelazados. Puesto que ninguno de ellos puede ser representado por un ket, el estado de S no es factorizable; ver Sección 1.16. Este es, por ejemplo, el caso del par de electrones de un átomo de He en el estado fundamental. No obstante, también en estas circunstancias el operador densidad ρ(S) representa el estado de S y se admite que sus trazas parciales representan los estados de las partículas individuales 1 y 2. Por consiguiente, los estados de las partículas 1 y 2 quedan definidos por las relaciones

y

ρ(1) = Tr2 ρ(S)

(2.74a)

ρ(2) = Tr1 ρ(S)

(2.74b)

sea cual fuere el estado de S. Dado el observable A(1), que representa una cantidad física referida a la partícula 1 y actúa en ξ(1), su extensión a ξ es A’(1) = A(1) ⊗ I(2)

(2.75)

donde I(2) es el operador identidad que actúa en ξ(2); ver Sección 1.16. Tomando en cuenta (2.67) se puede escribir 〈A’(1)〉 ρ(S) = Tr {ρ(S) A’(1)} = ∑jk〈uj(1)| 〈vk(2)| ρ(S) A(1) ⊗ I(2) |uj(1)〉 |vk(2)〉 = ∑j〈uj(1)| [∑k〈vk(2)| ρ(S) |vk(2)〉] A(1) |uj(1)〉

(2.76a)

de donde 〈A’(1)〉 ρ(S) = Tr1 {ρ(1) A(1)}

(2.76b)

MECÁNICA CUÁNTICA

141

Comparando esta última ecuación con (2.67), podemos concluir que el valor medio 〈A’(1)〉 ρ(S) coincide con el valor medio 〈A(1)〉ρ(1). Cabe destacar que el estado ρ(1) determina por sí solo dichos valores medios, sea cual fuere el estado ρ(2) de la partícula 2. Comentarios análogos valen para un observable A(2), que representa una cantidad física referida a la partícula 2 y actúa en ξ(2).

Preguntas y ejercicios 2.44. N partículas de espín 1/2 están en el autoestado correspondiente al autovalor ħ/2 del operador Sn referido en el ejercicio 2.4. Si se mide la componente Sx de cada una de ellas, ¿qué resultados pueden obtenerse y cuáles son las correspondientes probabilidades? ¿Qué valor del promedio de estas mediciones cabe esperar para N elevado? 2.45. Si los estados de las N partículas del ejercicio anterior estuvieran uniformemente distribuidos en los autoestados de todos los Sn posibles, esto es, correspondientes a todos los ángulos θ en el intervalo (0, π) y φ en el intervalo (0, 2π), ¿qué valor del promedio de mediciones de Sx cabría esperar para N elevado? 2.46. Verificar las relaciones dadas por (2.59). 2.47. Probar que se cumple la ec. (2.62) para un estado puro (i) si an es no degenerado; y (ii) si an es degenerado. 2.48. Mostrar que si ρ representa un estado mezcla, se cumple que Tr ρ = 1 y que Tr ρ2 < 1. 2.49. Partiendo de las ec. (2.66) obtener las ec. (2.67).

142

MARÍA ESTHER BURGOS

2.50. Demostrar que las ec. (2.72) son válidas. 2.51. Verificar las ec. (2.76). ¿Es legítimo intercambiar el orden de los kets |uj(1)〉 y |vk(2)〉? 2.52. Considerar una partícula de espín 1/2 que tiene igual probabilidad de encontrarse en el autoestado de Sz correpondiente al autovalor ħ/2 que en el autoestado de Sz correpondiente al autovalor − ħ/2. (i) Escribir la matriz densidad que representa este estado mezcla de la partícula (en la base de los autovectores de Sz). (ii) Encontrar el valor medio de la componente x del espín S. (iii) Comparar estos resultados con los del ejercicio 2.45. (iv) ¿Existe algún modo de distinguir un conjunto de partículas en este estado mezcla del conjunto referido en el ejercicio 2.45?

2.8. El operador de evolución En la Sección 2.3 señalamos que la ecuación de Schrödinger es una ley determinista; esto significa que el estado |ψ(t)〉 queda completamente determinado por el estado inicial |ψ(t0)〉; notar que lo mismo es válido si se intercambian t0 y t. Por lo tanto, el operador U(t, t0) que transforma |ψ(t0)〉 en |ψ(t)〉 queda unívocamente definido por la relación |ψ(t)〉 = U(t, t0) |ψ(t0)〉

(2.77)

y recibe el nombre de operador de evolución. El operador de evolución satisface la ecuación de Scrödinger. En efecto, puesto que

MECÁNICA CUÁNTICA

143

i ħ ∂|ψ(t)〉/∂t = i ħ ∂[U(t, t0) |ψ(t0)〉]/∂t = H(t) |ψ(t)〉 = H(t) U(t, t0) |ψ(t0)〉

(2.78)

donde |ψ(t0)〉 es un ket arbitrario, concluimos que i ħ ∂U(t, t0)/∂t = H(t) U(t, t0)

(2.79)

La expresión de U(t, t0) se obtiene integrando esta ecuación y tomando en cuenta que, si t = t0, resulta |ψ(t)〉 = |ψ(t0)〉 y U(t0, t0) = I

(2.80)

donde I es el operador identidad. Por lo tanto, U(t, t0) = I – (i/ħ) ∫t0t dt’ H(t’) U(t’, t0)

(2.81)

El operador de evolución infinitesimal es U(t+dt, t) = I – (i/ħ) dt H(t)

(2.82)

Como H(t) es hermítico, el adjunto de U(t+dt, t) es U†(t+dt, t) = I + (i/ħ) dt H(t). Por lo tanto, U(t+dt, t) es un operador unitario. Por otra parte, dividiendo el intervalo (t0, t) en los intervalos (t0, t0+dt), (t0+dt, t0+2dt),… (t−dt, t), el operador de evolución U(t, t0) puede escribirse como el producto de operadores de evolución infinitesimales, tal como se explicita a continuación U(t, t0) = U(t, t−dt)…U(t0+2dt, t0+dt) U(t0+dt, t0)

(2.83)

144

MARÍA ESTHER BURGOS

Esta expresión nos permite comprender en forma intuitiva que el operador de evolución transforma de manera continua el estado inicial |ψ(t0)〉 en el estado |ψ(t)〉. Puesto que los operadores de evolución infinitesimales son unitarios, el operador de evolución U(t, t0) también lo es. Además, como U(t0, t0) = U(t0, t) U(t, t0) = I

(2.84)

el operador U(t0, t), que transforma |ψ(t)〉 en |ψ(t0)〉, es el inverso de U(t, t0), y se puede escribir U(t0, t) = [U(t, t0)]−1

(2.85)

de donde

y

U†(t0, t) U(t0, t) = U†(t0, t) [U(t, t0)]−1= I

(2.86a)

U†(t0, t) = U(t, t0)

(2.86b)

En el caso de un sistema conservativo, efectuando la integral en (2.81), el operador de evolución adquiere la forma sencilla U(t, t0) = exp [− (i/ħ) H (t − t0)]

(2.87)

Es importante subrayar, sin embargo, que esta expresión del operador de evolución es válida si y sólo si el Hamiltoniano es una constante de movimiento.

MECÁNICA CUÁNTICA

145

Preguntas y ejercicios 2.53. En un proceso regido por la ecuación de Schrödinger, el estado |ψ(t)〉 queda completamente determinado por el estado inicial |ψ(t0)〉. Si definimos |ψ’(t)〉 por la relación |ψ’(t)〉 = U(t, t0) |ψ(t0)〉, ¿es posible que en algún caso resulte |ψ’(t)〉 ≠ |ψ(t)〉? 2.54. Sea C = A B, donde A y B son dos operadores unitarios (esto es, que cumplen con las condiciones A A† = B B† = I). Demostrar que C también es un operador unitario. 2.55. Sea |ϕnj〉 el autovector del Hamiltoniano de un sistema conservativo correspondiente al autovalor En y j = 1, 2,… gn (donde gn es la degeneración de En). Mostrar que aplicando el operador de evolución U(t, t0) al estado inicial |ψ(t0)〉 = ∑n,j cnj(t0) |ϕnj〉, el estado al tiempo t es |ψ(t)〉 = ∑n,j cnj(t0) exp [−i En (t − t0)/ħ] |ϕnj〉. Sugerencia: Desarrollar U(t, t0) en serie de potencias del exponente que figura en su expresión.

2.9. El tratamiento de Heisenberg En un sistema de referencia fijo a un automóvil, la velocidad de los asientos es nula y los árboles se desplazan; pero en un sistema de referencia fijo a la tierra, los árboles no se mueven y son los asientos del automóvil los que se desplazan. Algo similar ocurre con los tratamientos de Heisenberg (en inglés, Heisenberg picture) y de Schrödinger (en inglés, Schrödinger picture): en el primero, sólo los observables son funciones del tiempo y el estado del sistema permanece fijo; en el segundo,

146

MARÍA ESTHER BURGOS

puede ocurrir que los observables no dependan del tiempo, mientras que el vector de estado debe necesariamente cambiar con el tiempo pues, si así no fuera, el Hamiltoniano sería nulo. Sin decirlo explícitamente, hasta este punto hemos adoptado el tratamiento de Schrödinger, y recién en esta sección vamos a presentar el de Heisenberg. Este tratamiento data de 1925, y el de Schrödinger de 1926. Pocos meses después de presentar su tratamiento, Schrödinger mostró que ambos son equivalentes. Para evitar confusiones, al referirnos al primero (con el que ya estamos familiarizados) agregaremos el subíndice S; y cuando trabajemos con el segundo, el subíndice H. En el tratamiento de Schrödinger, el ket |ψS(t)〉 que representa el estado del sistema evoluciona de acuerdo con la ec. (2.77); esto es, se cumple que |ψS(t)〉 = U(t, t0) |ψS(t0)〉

(2.88)

donde |ψS(t0)〉 es el estado inicial y U(t, t0) el operador de evolución. En el tratamiento de Heisenberg, el estado del sistema se representa por el ket |ψH〉 = U†(t, t0) |ψS(t)〉 = |ψS(t0)〉

(2.89)

que no depende del tiempo. Sea AS el operador que representa la cantidad física A en el tratamiento de Schrödinger. Por simplicidad, en lo que sigue supondremos que AS no depende explícitamente del tiempo. De acuerdo con la ec. (2.3), en la base de sus autovectores el observable AS se escribe

MECÁNICA CUÁNTICA

AS = ∑n an ∑j |anj〉 〈anj|

147

(2.90)

donde an (|anj〉) es un autovalor (autovector) de AS. Aplicando U†(t, t0) y U(t, t0) respectivamente a la izquierda y a la derecha de esta última ecuación, se obtiene el observable AH(t) = U†(t, t0) AS U(t, t0) = ∑n an ∑j [U†(t, t0) |anj〉] [〈anj| U(t, t0)]

(2.91a)

que representa la cantidad física A en el tratamiento de Heisenberg. Y haciendo |bnj(t)〉 = U†(t, t0) |anj〉, podemos escribir AH(t) = ∑n an ∑j |bnj(t)〉 〈bnj(t)|

(2.91b)

Cabe destacar que los elementos de matriz de AH(t) en la base {|bnj(t)〉} coinciden con los elementos de matriz de AS en la base {|anj〉}. Las relaciones previas ponen en evidencia que en el tratamiento de Schrödinger, donde la base {|anj〉} (de los autovectores de AS) permanece fija, la evolución del vector de estado puede visualizarse como una rotación de |ψS(t)〉 en el espacio de Hilbert dada por la ec. (2.88). Por el contrario, en el tratamiento de Heisenberg, donde el vector de estado |ψH〉 permanece fijo, son los vectores de la base {|bnj(t)〉} los que giran. En consecuencia, aunque AS no dependa explícitamente del tiempo, AH(t) tiene una dependencia temporal acorde a (2.91). Para finalizar, consideremos el caso en que AS es una constante de movimiento referida a un sistema conservativo. Puesto que

148

MARÍA ESTHER BURGOS

[AS, U(t, t0)] = 0

(2.92)

y como U(t, t0) es unitario, se obtiene AH(t) = U†(t, t0) AS U(t, t0) = AS

(2.93)

Esto significa que los operadores que representan las constantes de movimiento de los sistemas conservativos en el tratamiento de Heisenberg coinciden con los operadores que las representan en el tratamiento de Schrödinger. En particular, el operador que representa la energía no depende del tiempo y es el mismo en ambos tratamientos.

Preguntas y ejercicios 2.56. Utilizando la ecuación de Schrödinger, probar que |ψS(t)〉 sólo puede permanecer constante si el Hamiltoniano del sistema se anula. 2.57. Probar que las constantes de movimiento de un sistema conservativo satisfacen la ec. (2.92). 2.58. Dar ejemplos de observables que no dependen explícitamente del tiempo en el tratamiento de Schrödinger. ¿Son todos ellos constantes de movimiento?

MECÁNICA CUÁNTICA

149

Para saber más sobre este tema, ver: - J. Bell, Against ‘measurement,’ Physics World (August 1990), p. 33. - D. R. Bes, Quantum Mechanics (Springer−Verlag, Berlin Heidelberg, 2004), Capítulo I. - M. E. Burgos, Which natural processes have the special status of mesuremnts?, Found. Phys. 28, 1323 (1998). - C. Cohen−Tannoudji, B. Diu and F. Laloë, Quantum Mechanics (John Wiley & Sons, New York, 1977), Capítulo III; Complementos EIII, FIII, y GIII. - M. Jammer, The Philosophy of Quantum Mechanics (John Wiley & Sons, New York, 1974), Capítulos V y VI. - A. Messiah, Mécanique Quantique (Dunod, Paris, 1965), Capítulo VIII.

150

MARÍA ESTHER BURGOS

MECÁNICA CUÁNTICA

151

TEMA 3. ESTUDIO DE DOS SISTEMAS CONSERVATIVOS 3.1. Sistemas en un potencial uniforme: 3.1.1. La partícula libre. 3.1.2. El potencial escalón. 3.1.3. La barrera rectangular y el pozo rectangular de potencial. 3.2. El oscilador armónico: 3.2.1. El Hamiltoniano del oscilador armónico simple: algunas propiedades de sus autovalores y autofunciones. 3.2.2. Los operadores de creación y de destrucción. 3.2.3. Autovalores y autovectores del Hamiltoniano del oscilador armónico simple. El número de ocupación. 3.2.4. Representación {|x〉} de los autovectores del Hamiltoniano. 3.2.5. Evolución temporal. 3.2.6. El oscilador armónico tridimensional.

3.1. Sistemas en un potencial uniforme 3.1.1. La partícula libre En la Sección 2.3 dijimos que el Hamiltoniano de un sistema conservativo no depende explícitamente del tiempo. Sin duda el caso más sencillo de sistema conservativo es el de la partícula libre: su Hamiltoniano H no depende del tiempo y, además, su potencial V es uniforme. Tomando en cuenta que el potencial está definido a menos de una constante, haremos V = 0. Sea m la masa de la partícula, P el observable que representa su cantidad de movimiento lineal p, H = P2/2m su Hamiltoniano y |ψ(t)〉 su estado al tiempo t. La evolución temporal de |ψ(t)〉 está regida por la ecuación de Schrödinger i ħ d|ψ(t)〉/dt = H |ψ(t)〉

(3.1a)

152

MARÍA ESTHER BURGOS

cuya representación {|r〉} es i ħ ∂ψ(r,t)/∂t = −(ħ2/2m) ∇2ψ(r,t)

(3.1b)

Esta ecuación tiene soluciones de la forma ψ(r,t) = ϕ(r) τ(t), donde ϕ(r) y τ(t) satisfacen las ecuaciones

y

[(− ħ2/2m) ∇2] ϕ(r) = E ϕ(r)

(3.2a)

i ħ dτ(t)/dt = E τ(t)

(3.2b)

y el autovalor E de H es la energía. Haciendo p = ħ k y E = ħ ω (donde k y ω son, respectivamente, el vector de onda y la frecuencia angular; recordar las relaciones de Einstein−de Broglie), es fácil mostrar que las expresiones de ϕ(r) y τ(t) son

y

ϕk(r) = A(k) exp(ik.r)

(3.3a)

τω(t) = exp(−iωt)

(3.3b)

El módulo del vector k es k = (2 m E)1/2/ħ, A(k) no depende de r, y ω = ħ k2/2m

(3.3c)

Esta última relación se denomina de dispersión. En consecuencia, la solución de la ecuación de Schrödinger (3.1) es ψk(r,t) = ϕk(r) τω(t) = A(k) exp[i(k.r − ωt)]

(3.4)

MECÁNICA CUÁNTICA

153

que tiene la forma de una onda plana de longitud λ = 2π/k y frecuencia ω que se propaga en la dirección k del espacio ordinario. Puesto que las componentes kx, ky y kz de k son índices continuos, la norma de ψk(r,t) diverge; ver Sección 1.4. Como señalamos en la Sección 2.1, el primer postulado de la mecánica cuántica prohíbe que el estado de la partícula libre sea representado por ψk(r,t). No obstante, tomando en cuenta el principio de superposición, se puede demostrar que si A(k) es una función (real o compleja) suficientemente regular, la expresión más general de cualquier solución de (3.1b) con norma convergente puede expresarse como una combinación lineal de las ψk(r,t) dada por ψ(r,t) = ∫ d3k ϕk(r) τω(t) = (2π)−3/2 ∫ d3k A(k) exp[i(k.r − ωt)]

(3.5a)

donde las integrales previas se extienden a la totalidad del espacio de k. Esta última integral recibe el nombre de paquete de ondas y es usual escribirla así: ψ(r,t) = (2πħ)−3/2 ∫ d3p ψ(p) exp{i[(p.r/ħ) − ωt]}

(3.5b)

donde ψ(p) = (ħ)−3/2 A(p/ħ) es la transformada de Fourier de ψ(r,t); ver Sección 1.5. Si t = 0 ψ(r,0) = (2πħ)−3/2 ∫ d3p ψ(p) exp[i(p.r/ħ)]

(3.6a)

y, como su transformada de Fourier es ψ(p) = (2πħ)−3/2 ∫ d3r ψ(r,0) exp[i(p.r/ħ)]

(3.6b)

154

MARÍA ESTHER BURGOS

podemos concluir que la función ψ(p) queda unívocamente determinada por el estado inicial ψ(r,0) de la partícula libre; en este punto cabe recordar que ψ(r,0) es la representación {|r〉} del estado inicial |ψ(0)〉 y que ψ(p) es su representación {|p〉}; ver Sección 1.5. Además, la norma de |ψ(t)〉 permanece constante (ver Sección 2.2) y, si |ψ(0)〉 está normalizado, la relación de Parseval−Plancherel nos permite asegurar que ∫ d3p |ψ(p)|2 = ∫ d3r |ψ(r,0)|2 = 1

(3.7)

Cada una de las ondas individuales ψk(r,t) que componen el paquete de ondas ψ(r,t) se propaga en la dirección k con una velocidad de fase de módulo vk = ω/k. Pero el paquete contiene un conjunto de ondas (en general, un conjunto infinito no numerable) que viajan en distintas direcciones y con distintas velocidades, razón por la cual la partícula no tiene una velocidad bien definida. No obstante, su velocidad media tiene un valor perfectamente bien definido. En el estado |ψ(t)〉, dicha velocidad media es 〈V〉ψ(t) = (1/m) 〈P〉ψ(t)

(3.8)

donde 〈P〉 ψ(t) = 〈ψ(t)| P |ψ(t)〉; ver Sección 2.2. Puesto que P es una constante de movimiento, 〈V〉 ψ(t) no varía con el tiempo, análogamente a lo que ocurre en el caso clásico. Además, como P2 también es una constante de movimiento, las desviaciones cuadráticas medias de las componentes de la cantidad de movimiento lineal ∆Px, ∆Py, ∆Pz (ver Sección 2.1) tampoco varían con el tiempo. Por el contrario, el observable R (que representa la posición de la partícula) no es una constante de movimiento. En consecuencia, las desviaciones

MECÁNICA CUÁNTICA

155

cuadráticas medias de las componentes de la posición ∆X, ∆Y y ∆Z, sí varían con el tiempo. Se puede mostrar que para tiempos suficientemente largos dichas desviaciones crecen; este efecto se denomina ensanchamiento del paquete de ondas. Cuando el paquete de ondas se ensancha, aumentan las dispersiones de los resultados de las mediciones de X, Y y Z de un conjunto de partículas libres que se encuentran en el mismo estado |ψ(t)〉. También este resultado es análogo al del caso clásico: si en t = 0 las N partículas libres de un conjunto se encuentran en estados similares ri(0), pi (i = 1, 2,…, N), una pequeña diferencia en los distintos pi produce una dispersión de sus posiciones al cabo de un tiempo suficientemente elevado; es importante notar la importancia de que el tiempo sea elevado pues, inicialmente, las partículas pueden concentrarse aún más en una región del espacio.

Preguntas y ejercicios 3.1. Utilizando (3.1) probar que ϕ(r) y τ(t) satisfacen (3.2). 3.2

Mostrar que ϕ(r) y τ(t) dadas por (3.3) son soluciones de (3.2).

3.3. Verificar que (3.4) y (3.5) son soluciones de (3.1). 3.4. Justificar las siguientes afirmaciones: (i) la cantidad de movimiento lineal P de la partícula libre es una constante de movimiento; (ii) las desviaciones cuadráticas medias de las componentes de P no varían con el tiempo; (iii) la posición R de la partícula libre no es una constante de

156

MARÍA ESTHER BURGOS

movimiento; y (iv) las desviaciones cuadráticas medias de las componentes de R varían con el tiempo. 3.5. En un problema unidimensional, el estado inicial de una partícula libre es ψ(x,0) = C ∫ dp exp(−α2p2/ħ2) exp(ipx/ħ)

(3.9)

donde C y α son constantes reales. Encontrar la expresión normalizada de ψ(p) y mostrar que |ψ(x,0)|2 y |ψ(p)|2 son gaussianas. Sugerencia: Utilizar la relación (−α2p2/ħ2) + (ipx/ħ) = −α2 [(p/ħ) − (ix/2α2)]2 − x2/4α2

(3.10)

3.6. Tomando en cuenta los resultados del ejercicio anterior, calcular 〈X〉 ψ(0), 〈P〉 ψ(0), ∆Xψ(0) y ∆Pψ(0); y verificar que se cumple la correspondiente desigualdad de Heisenberg. 3.7. Partiendo de la ec. (3.9) dar la expresión de ψ(x,t) y comparar ψ(0,t) en el límite t → ∞ con ψ(0,0). ¿Qué comentarios puede hacer al respecto?

3.1.2. El potencial escalón Como segundo ejemplo de sistemas en un potencial uniforme, consideraremos una partícula en un potencial escalón (por simplicidad, trataremos sólo el caso unidimensional). El potencial escalón tiene una única discontinuidad que vamos a situar en x = 0; por lo tanto, es un potencial uniforme por secciones. Supondremos que para x < 0, V = 0 y, para x ≥ 0, V = V1 > 0; ver Fig. 3.1.

MECÁNICA CUÁNTICA

157

Fig. 3.1. El potencial escalón

Hay que subrayar que en la naturaleza no existen potenciales verdaderamente uniformes por secciones; los casos aquí tratados son sólo aproximaciones útiles para estudiar problemas como la reflexión y transmisión parciales debidas a la presencia de un potencial escalón, que son efectos típicamente cuánticos y no tienen analogía en la mecánica clásica. Vamos a restringir nuestro análisis al comportamiento de las componentes individuales de la función de onda que tienen la energía bien definida E; el del paquete de ondas puede efectuarse en forma ulterior y similar a la detallada en la sección previa. Consideraremos por separado los casos: (i) E > V1 y (ii) 0 < E < V1.

158

MARÍA ESTHER BURGOS

Caso i: Si E > V1, tanto la región x < 0 como la región x > 0 están clásicamente permitidas. Por lo tanto, de acuerdo con el tratamiento clásico de este problema, la partícula puede estar en cualquiera de las dos regiones. En este caso, la componente x del vector de onda sólo puede tomar los valores k = ± k0 para x < 0 y k = ± k1 para x > 0, donde k0 = +(2 m E)1/2/ħ

(3.11a)

k1 = +[2 m (E−V1)]1/2/ħ

(3.11b)

y las frecuencias correspondientes a k0 y k1 son, respectivamente, ω0 = ħ k02/2m y ω1 = ħ k12/2m. Las ondas con k > 0 viajan hacia la derecha y las ondas con k < 0 viajan hacia la izquierda. Como k1 < k0, las ondas viajan más rápido en la región x < 0 que en la región x > 0, y la longitud de onda λ0 = 2π/k0 es más pequeña que la longitud de onda λ1 = 2π/k1. Si E > V1 la solución más general de la ecuación de Schrödinger correspondiente al autovalor E del Hamiltoniano H es ψ0(x,t) = A0+ exp[i(k0x − ω0t)] + A0− exp[i(−k0x − ω0t)]

(3.12a)

para x < 0 y ψ1(x,t) = A1+ exp[i(k1x − ω1t)] + A1− exp[i(−k1x − ω1t)]

(3.12b)

MECÁNICA CUÁNTICA

159

para x > 0, donde A0+, A0−, A1+ y A1− son constantes. Notar que en las dos regiones se presenta una superposición de ondas que viajan en ambos sentidos. En el problema unidimensional que nos ocupa, la validez de (3.1b) implica que tanto ψ(x,t) como ∂ψ(x,t)/∂x son funciones continuas. Por lo tanto

y

ψ0(0,t) = ψ1(0,t)

(3.13a)

[∂ψ0(x,t)/∂x]x=0 = [∂ψ1(x,t)/∂x]x=0

(3.13b)

Estas dos condiciones sólo nos permiten determinar dos de los cocientes entre las cuatro constantes A0+, A0−, A1+ y A1− que involucran. No obstante, si la onda incide desde la izquierda, se puede hacer A1− = 0 y se obtienen los cocientes

y

|A0−/A0+| = (k0 − k1)/(k0 + k1)

(3.14a)

|A1+/A0+| = 2 k0/(k0 + k1)

(3.14b)

Análogamente, si la onda incide desde la derecha, se puede hacer A0+ = 0 y se obtienen los cocientes |A0−/A1−| y |A1+/A1−|. Los coeficientes de reflexión y transmisión correspondientes a una onda de energía E > V1 quedan respectivamente definidos por

y

R(E) = |A0−/A0+|2 = 1 – [4 k0 k1)/(k0 + k1)2]

(3.15a)

T(E) = (k1/k0) |A1+/A0+|2 = 4 k0 k1/(k0 + k1)2

(3.15b)

160

MARÍA ESTHER BURGOS

de modo que resulta R(E) + T(E) = 1. Notar que el factor k1/k0 que figura en la última ecuación da cuenta de que, como ya hemos señalado, la velocidad de la onda en la región x < 0 difiere de la velocidad de la onda en la región x > 0. Cabe destacar que ni R(E) ni T(E) varían si se intercambian k0 y k1 en las ec. (3.15). Esto implica que la discontinuidad del potencial genera una reflexión parcial que es independiente del sentido en el que incide la onda. Este efecto no tiene equivalente en el tratamiento clásico de una partícula que incide sobre un potencial escalón. En cambio, es análogo al efecto que se produce cuando una onda electromagnética incide sobre la superficie que separa dos medios de distintos índices de refracción. Caso ii: Si 0 < E < V1, la región x < 0 está clásicamente permitida, pero la región x > 0 está clásicamente prohibida; esto significa que en el tratamiento clásico de este problema la partícula no puede estar en la región x > 0. En este caso k0 es un número real pero k1 es un número imaginario; ver ec. (3.11). Por lo tanto, en la región x > 0 la solución más general de la ecuación de Schrödinger correspondiente al autovalor E del Hamiltoniano H involucra dos exponenciales reales, como se detalla a continuación. Haciendo κ1 = + [2 m (V1−E)]1/2 /ħ

(3.16)

podemos expresar la solución buscada en la forma ψ0(x,t) = A0+ exp[i(k0x − ω0t) + A0− exp[i(−k0x − ω0t)]

(3.17a)

MECÁNICA CUÁNTICA

161

para x < 0 y ψ1(x,t) = B1+ exp(κ1x − iω1t) + B1− exp(−κ1x − iω1t)

(3.17b)

para x > 0, donde A0+, A0−, B1+ y B1− son constantes. Como la solución dada por (3.17) debe estar acotada para x → ∞, concluimos que B1+ = 0. Además, tomando en cuenta las condiciones de continuidad (3.13), se obtiene |A0−/A0+| = |(k0 − iκ1)/(k0 + iκ1)|

(3.18)

Por lo tanto, en este caso los coeficientes de reflexión y transmisión están dados por

y

R(E) = |A0−/A0+|2 = |k0 − iκ1/k0 + iκ1|2 = 1

(3.19a)

T(E) = 0

(3.19b)

Si una partícula incide sobre un potencial escalón con una energía menor que la altura del escalón, la mecánica clásica nos dice que la partícula rebota. El resultado que acabamos de obtener es análogo pues la onda se refleja totalmente en el punto donde se sitúa la discontinuidad del potencial. No obstante, cabe destacar que, como ψ1(x,t) = B1− exp(−κ1x − iω1t) es una función no nula, la onda penetra en la región clásicamente prohibida.

162

MARÍA ESTHER BURGOS

Preguntas y ejercicios 3.8. Utilizando las ec. (3.12) y (3.13) probar que se cumple (3.14). 3.9. Explicar por qué la ec. (3.15b) incluye el factor k1/k0. ¿Qué ocurriría si se elimina dicho factor? 3.10. Discutir la afirmación “la discontinuidad del potencial genera una reflexión parcial que es independiente del sentido en el que incide la onda.” 3.11. ¿Por qué la solución ψ1(x,t) dada por (3.17b) debe estar acotada para x → ∞? 3.12. Utilizando las ec. (3.17) y (3.13) demostrar que se cumplen las ec. (3.18) y (3.19).

3.1.3. La barrera rectangular y el pozo rectangular de potencial Tanto en la barrera rectangular como en el pozo rectangular, el potencial es discontinuo en dos puntos del eje x que supondremos situados a una distancia d. Tal como hicimos en la sección previa, vamos a restringir nuestro análisis al comportamiento de las componentes individuales de la función de onda que tienen la energía bien definida E; la construcción ulterior del paquete de ondas puede efectuarse como detallamos previamente. Trataremos por separado los siguientes casos: (i) La onda incide sobre una barrera de altura V1 con una energía E > V1;

MECÁNICA CUÁNTICA

163

(ii) La onda incide sobre una barrera de altura V1 con una energía 0 < E < V1. (iii) La onda incide sobre un pozo de profundidad −V1 con una energía E > 0; y (iv) la onda permanece ligada a un pozo de profundidad −V1 con una energía −V1 < E < 0. Caso i: Barrera rectangular y E > V1; ver Fig. 3.2. Las tres regiones x < 0, 0 < x < d y x > d están clásicamente permitidas. Para una onda que incide desde la izquierda, la solución de la ecuación de Schrödinger correspondiente al autovalor E del Hamiltoniano es ψ0(x,t) = A0+ exp[i(k0x − ω0t)] + A0− exp[i(−k0x − ω0t)]

Fig. 3.2. La barrera rectangular de potencial. a. La energía de la onda supera V1; y b. Es inferior a V1.

(3.20a)

164

MARÍA ESTHER BURGOS

para x < 0, ψ1(x,t) = A1+ exp[i(k1x − ω1t)] + A1− exp[i(−k1x − ω1t)]

(3.20b)

para 0 < x < d, y ψ2(x,t) = A2+ exp[i(k0x − ω0t)]

(3.20c)

para x > d. Aquí k0 = +(2 m E)1/2/ħ, k1 = +[2 m (E−V1)]1/2/ħ; y A0+, A0−, A1+, A1− y A2+ son constantes. Aplicando las condiciones de continuidad

y

ψ0(0,t) = ψ1(0,t)

(3.21a)

ψ1(d,t) = ψ2(d,t)

(3.21b)

[∂ψ0(x,t)/∂x]x=0 = [∂ψ1(x,t)/∂x]x=0

(3.21c)

[∂ψ1(x,t)/∂x]x=d = [∂ψ2(x,t)/∂x]x=d

(3.21d)

se demuestra que los coeficientes de reflexión R(E) y transmisión T(E) están dados por R(E) = |A0− / A0+|2 = Κ2 sen2 (k1d) / [4k02k12) + Κ2 sen2 (k1d)] y

(3.22a)

T(E) = | A2+ / A0+|2 = 4 k02 k12 / [4k02k12 + Κ2 sen2 (k1d)]

(3.22b)

donde Κ = (k02 + k12). Para V1 y E fijos, el coeficiente de transmisión T(E) es una función del ancho de la barrera d que

MECÁNICA CUÁNTICA

165

varía entre el mínimo Tm = 4 k02 k12/(k02 + k12)2 y el máximo TM = 1; ver Fig. 3.3. La resonancia se presenta en d = nπ/k1, donde n es un entero positivo; esto es, en los puntos en los que d es un múltiplo entero de λ1/2. Este es un fenómeno análogo al que ocurre en un interferómetro de Fabry−Perot. Caso ii: Barrera rectangular y 0 < E < V1: Efecto túnel; ver Fig. 3.2. El tratamiento es análogo al Caso ii de la Sección 3.1.2. Si la onda incide desde la izquierda, la solución más general de la ecuación de Schrödinger correspondiente al autovalor E del Hamiltoniano H es ψ0(x,t) = A0+ exp[i(k0x − ω0t)] + A0− exp[i(−k0x − ω0t)]

(3.23a)

Fig. 3.3. El coeficiente de transmisión de una barrera o un pozo de potencial para una energía E fija varía en función del ancho d. El máximo es TM = 1 y el mínimo es Tm = 4 k02 k12/(k02 + k12)2.

166

MARÍA ESTHER BURGOS

para x < 0, ψ1(x,t) = B1+ exp(κ1x − iω1t) + B1− exp(−κ1x − iω1t)

(3.23b)

para 0 < x < d, y ψ2(x,t) = A2+ exp[i(k0x − ω0t)]

(3.23c)

para x > d, con k0 = +(2 m E)1/2/ħ, κ1 = + [2 m (V1−E)]1/2/ħ; y A0+, A0−, B1+, B1− y A2+ constantes. Tomando en cuenta las condiciones de continuidad (3.21), se obtiene T(E) = |A2+ / A0+|2 = (4 k02 κ12) / {4 k02 κ12 + (k02 + κ12) [Senh(κ1d)]2} (3.24a) y

R(E) = 1 − T(E)

(3.24b)

Puesto que cada onda individual correspondiente a una energía bien definida E (0 < E < V1) tiene una probabilidad no nula de atravesar la barrera, lo mismo vale para una partícula cuyo estado está dado por una superposición de ondas individuales, aunque su energía media 〈H〉 no supere V1. Este fenómeno, que no tiene análogo en la mecánica clásica, recibe el nombre de efecto túnel. Caso iii: Pozo rectangular y E > 0; ver Fig. 3.4. Es fácil mostrar que, si se reemplaza la barrera por un pozo rectangular, para E > 0 se produce exactamente el mismo fenómeno que en el caso (i); para ver esto en detalle basta con reemplazar V1 por

MECÁNICA CUÁNTICA

167

Fig. 3.4. El pozo rectangular de potencial. (a) La energía de la onda supera el valor V = 0. (b) La energía de la onda está comprendida entre V = 0 y −V1.

−V1 en la expresión de k1 (notar que los coeficientes de reflexión R(E) y de transmisión T(E), dados por (3.22), dependen del signo de V1). En este caso el pozo se comporta como una barrera, ya que genera tanto una reflexión como una transmisión que, en general, son parciales; la transmisión total y la reflexión nula sólo se presentan para d = nλ1/2, donde n es un entero. Caso iv: Pozo rectangular y −V1 < E < 0: espectro de energía discreto y estados ligados; ver Fig. 3.4. En este caso la solución más general de la ecuación de Schrödinger correspondiente al autovalor E del Hamiltoniano H es ψ0(x,t) = B0+ exp(κ0x − iω0t)] + B0− exp(−κ0x − iω0t)

(3.25a)

168

MARÍA ESTHER BURGOS

para x < −d/2, ψ1(x,t) = A1+ exp[i(k1x − ω1t)] + A1− exp[i(−k1x − ω1t)]

(3.25b)

para −d/2 < x < d/2, y ψ2(x,t) = B2+ exp(κ0x − iω0t) + B2− exp(−κ0x − iω0t)

(3.25c)

para x > d/2, donde κ0 = +(−2 m E)1/2/ħ, k1 = +[2 m (E+V1)]1/2/ħ; y B0+, B0−, A1+, A1−, B2+ y B2− son constantes. En la regiones clásicamente prohibidas |x| > d/2 la solución dada por (3.25) debe estar acotada para |x| → ∞; de donde B0− = B2+ = 0. Como en los casos previos, los cocientes entre las constantes no nulas quedan determinadas por las condiciones de continuidad. Por una parte, el valor de la constante no determinada afecta únicamente la norma de la solución de la ecuación de Schrödinger correspondiente al autovalor E, lo cual implica que esta solución es única (ésta es una diferencia importante con los otros tres casos, en los cuales la onda puede incidir desde la izquierda o desde la derecha y, por lo tanto, la solución no es única). Por otra parte, el Hamiltoniano es un operador par. En consecuencia, sus autofunciones deben ser o pares o impares; ver Sección 1.15. Si las autofunciones son pares, podemos escribir (3.25) en la forma ψ0(x,t) = B exp(κ0x − iω0t)]

(3.26a)

MECÁNICA CUÁNTICA

169

para x < −d/2, ψ1(x,t) = A cos(k1x) exp(−iω1t)

(3.26b)

para −d/2 < x < d/2, y ψ2(x,t) = B exp(−κ0x − iω0t)

(3.26c)

para x > d/2, donde A y B son constantes. Aplicando las condiciones de continuidad

y

ψ0(−d/2,t) = ψ1(−d/2,t)

(3.27a)

ψ1(d/2,t) = ψ2(d/2,t)

(3.27b)

[∂ψ0(x,t)/∂x]x=−d/2 = [∂ψ1(x,t)/∂x]x=−d/2

(3.27c)

[∂ψ1(x,t)/∂x]x=d/2 = [∂ψ2(x,t)/∂x]x=d/2

(3.27d)

resulta

y

tg(k1d/2) = κ0/k1

(3.28a)

|B/A| = exp(κ0d/2) cos(k1d/2)

(3.28b)

Si las autofunciones son impares, podemos escribir (3.25) en la forma ψ0(x,t) = B’ exp(κ0x − iω0t)]

(3.29a)

para x < −d/2, ψ1(x,t) = A’ sen(k1x) exp(−iω1t)

(3.29b)

170

MARÍA ESTHER BURGOS

para −d/2 < x < d/2, y ψ2(x,t) = −B’ exp(−κ0x − iω0t)

(3.29c)

para x > d/2, donde A’ y B’ son constantes. Aplicando las condiciones de continuidad (3.27), se obtiene

y

tg(k1d/2) = −k1/κ0

(3.30a)

|B’/A’| = exp(κ0d/2) sen(k1d/2)

(3.30b)

Las ec. (3.28a) y (3.30a) involucran los parámetros k1 y κ0, que dependen de los autovalores E, y sólo tienen soluciones (no analíticas) para ciertos valores de E. Haciendo z1(E) = tg(k1d/2), z2(E) = κ0/k1 y z3(E) = −k1/κ0, es posible obtener tales valores a partir de las representaciones gráficas de z1(E), z2(E) y z3(E) en función de E: los puntos en los cuales z2(E) intersecta z1(E) corresponden a los autovalores del Hamiltoniano para las autofunciones pares dadas por (3.26); y los puntos en los cuales z3(E) intersecta z1(E) corresponden a los autovalores del Hamiltoniano para las autofunciones impares dadas por (3.29). El espectro de autovalores del Hamiltoniano es discreto y las correspondientes autofunciones reciben el nombre de estados ligados. Notar que el espectro de energía resulta discreto porque las autofunciones del Hamiltoniano están acotadas en la totalidad del eje; si así no fuera, E podría tomar cualquier valor. En los casos (i), (ii) y (iii) el espectro de energía es continuo y la norma de las correspondientes autofunciones diverge, mientras que en el caso (iv) el espectro de energía es discreto y las correspondientes autofunciones son normalizables; éste es un ejemplo concreto de la regla enunciada en la Sección 1.8. De

MECÁNICA CUÁNTICA

171

acuerdo con el primer postulado de la mecánica cuántica, en los Casos (i), (ii) y (iii) las autofunciones del Hamiltoniano no pueden representar el estado de una partícula; dicho estado debe ser necesariamente representado por un paquete de ondas. Por el contrario, en el Caso (iv) las autofunciones del Hamiltoniano sí pueden representar el estado de una partícula. En otras palabras, sólo las partículas en estados ligados pueden tener energías bien definidas. Para finalizar esta sección, consideremos el caso en que |E| > 1 se obtiene T(E) ≈ 16 [(V1−E)/V12] exp (−2κ1d). 3.17. Una partícula de masa m y energía E = 1 eV incide sobre una barrera de potencial de altura V1 = 2 eV y ancho d ≈ 1 Å. Encontrar el coeficiente de transmisión (i) si la partícula es un electrón; y (ii) si la partícula es un protón. 3.18. Obtener (3.28) aplicando las condiciones de continuidad (3.27) a las autofunciones del Hamiltoniano dadas por (3.26). 3.19. Obtener (3.30) aplicando las condiciones de continuidad (3.27) a las autofunciones del Hamiltoniano dadas por (3.29). 3.20. Explicar cualitativamente por qué el espectro de autovalores del Hamiltoniano correspondientes a los estados ligados es discreto. Sugerencia: Notar que ψ(x0,t) y [∂ψ(x,t)/∂x]x0 (respectivamente los valores numéricos de la solución de la ecuación de Schrödinger y de su derivada respecto de x en el punto x0) determinan completamente la función ψ(x,t) en todo el eje, salvo una constante. 3.21. Discutir la afirmación de que sólo las partículas en estados ligados pueden tener energías bien definidas. 3.22. Mostrar que, si |E| 0, la ecuación de movimiento de la partícula tiene la forma dada por (3.32). 3.24. En un circuito L C, la carga del condensador al tiempo t es Q(t) y su potencial es V(t). Escribir la ecuación que satisface Q(t) y encontrar su solución. ¿Cómo varían las energías almacenadas en el condensador y en la inductancia en función del tiempo? Comparar el comportamiento de este sistema con el de una masa unida a un resorte. 3.25. Obtener la ec. (3.35b) partiendo de la ec. (3.35a).

3.26. Verificar que + Xy+ P, dados por las ec. (3.36), son adimensionales.

178

MARÍA ESTHER BURGOS

3.27. Utilizando la relación de conmutación [X, P] = i ħ y las ec. (3.34), (3.35) y (3.36), probar las ec. (3.37), (3.38) y (3.39).

3.2.2. Los operadores de creación y de destrucción Antes de proceder a resolver la ecuación de autovalores (3.39), vamos a presentar los operadores de creación a†, y de destrucción a, definidos por

y

+−i+ a† = (1/√2) (X P) ++i+ a = (1/√2) (X P)

(3.40a) (3.40b)

(en la sección siguiente veremos la razón de estas denominaciones). Hay que subrayar que a† es el adjunto de a y que a† y a no son observables; por lo tanto, el Postulado II de la mecánica cuántica nos dice que no pueden representar cantidades físicas medibles. Se verifica que

y

[a, a†] = 1

(3.41a)

+ = a† a + 1/2 = a a† − 1/2 H

(3.41b)

+2 + + a† a = (1/2) (X P2 – 1)

(3.41c)

de donde, haciendo + = a† a N

(3.42)

MECÁNICA CUÁNTICA

179

y εn = n + 1/2, se obtiene +=N + + 1/2 H

+ |ϕn〉 = n |ϕn〉 N y

+ , a† ] = a† [N

+ , a] = − a [N

(3.43) (3.44) (3.45a) (3.45b)

A partir de estas ecuaciones, vemos que

+ , a†] |ϕn〉 = N + (a† |ϕn〉) − a† n |ϕn〉 a† |ϕn〉 = [N

(3.46a)

Por lo tanto,

+ (a† |ϕn〉) = (n + 1) (a† |ϕn〉) N

(3.46b)

Y, analógamente,

+ (a |ϕn〉) = (n − 1) (a |ϕn〉) N

(3.46c)

|ϕn+1〉 = Cn+ (a† |ϕn〉)

(3.47a)

|ϕn−1〉 = Cn− (a |ϕn〉)

(3.47b)

+ resEsto implica que (a† |ϕn〉) y (a |ϕn〉) son autovectores de N pectivamente correspondientes a los autovalores (n + 1) y + . Pero puesto que (como probaremos en la Sección (n − 1) de N 3.2.4) todos los autovalores de H son no degenerados, lo mismo + . En consecuencia, se cumple que ocurre con los de N y que donde Cn+ y Cn− son constantes. Nótese que |ϕn+1〉, |ϕn〉 y |ϕn−1〉 +; son ortogonales pues corresponden a distintos autovalores de N ver Fig. 3.6.

180

MARÍA ESTHER BURGOS

Preguntas y ejercicios

3.28. Demostrar que + X = (1/√2) (a† + a), a partir de (3.40). Idem que + P = (1/√2) (a† − a). 3.29. ¿Por qué se puede asegurar que a† y a no son observables?

3.30. Verificar las ec. (3.41), (3.45) y (3.46).

Fig. 3.6. La restricción del espacio de Hilbert que subtienden los autovectores |ϕ0〉, |ϕ1〉 y |ϕ2〉. Estos autovectores, que son ortogonales entre sí, se pueden obtener los unos de los otros por aplicación de los operadores de creación a† y de destrucción a.

MECÁNICA CUÁNTICA

181

3.2.3. Autovalores y autovectores del Hamiltoniano del oscilador armónico simple. El número de ocupación Como la norma de (a |ϕn〉) no puede ser negativa, 〈ϕn| a† a |ϕn〉 = n 〈ϕn|ϕn〉 ≥ 0

(3.48a)

n≥0

(3.48b)

con

Si n = 0, εn = ε0 = 1/2, |ϕn〉 = |ϕ0〉 y

a |ϕ0〉 = 0

(3.49)

Aplicando repetidamente a† a |ϕm〉, obtenemos la sucesión de + autovectores de N |ϕ0〉, |ϕ1〉 = C0+ a† |ϕ0〉, |ϕ2〉 = C1+ a† |ϕ1〉,…

(3.50a)

Y aplicando repetidamente a a |ϕn〉 obtenemos la sucesión de + autovectores de N |ϕn〉, |ϕn−1〉 = Cn− a |ϕn〉, |ϕn−2〉 = Cn−1 a |ϕn−1〉,…

(3.50b)

Si n es un número entero positivo, el último vector no nulo de esta sucesión es |ϕ0〉; por el contrario, si n no es un número entero positivo, se obtienen autovectores correspondientes a + , en contradicción con la conclusión autovalores negativos de N de que n ≥ 0; ver ec. (3.48). Por lo tanto, los únicos autovalores + son enteros no negativos; los únicos autovalores posibles de N posibles de H son (n + 1/2) ħω (n = 0, 1, 2,…); y su ecuación de autovalores (3.35) puede escribirse en la forma H |ϕn〉 = En |ϕn〉 = (n + 1/2) ħω |ϕn〉

(3.51)

182

MARÍA ESTHER BURGOS

Como anunciamos en la Sección 3.2.1, el espectro de H es íntegramente discreto y todos sus autovalores son positivos. Vemos, además, que dos autovalores sucesivos difieren en ħω. En la Fig. 3.5 se han indicado los tres primeros niveles de energía del oscilador armónico; en la Fig. 3.6 se ha representado la restricción del espacio de Hilbert que subtienden los autovectores |ϕ0〉, |ϕ1〉 y |ϕ2〉; y en la Fig. 3.7 el número de cuantos correspondientes a esos estados. Supongamos que inicialmente el oscilador se encuentra en el estado |ϕ0〉, no hay ningún cuanto presente y su energía es (1/2) ħω, que es la energía del vacío. La aplicación de a† transforma |ϕ0〉 en |ϕ1〉 y cambia la energía correspondiente de (1/2) ħω a (3/2) ħω; esto es, crea un cuanto de energía ħω que se suma a la energía inicial del oscilador, por eso a† recibe el nombre de operador de creación. Obviamente una segunda aplicación de a† transforma |ϕ1〉 en |ϕ2〉 y agrega un cuanto adicional ħω a la energía del oscilador, etc. Análogamente, si el estado inicial del oscilador es |ϕ1〉, la aplicación de a transforma |ϕ1〉 en |ϕ0〉 y cambia la energía del oscilador de (3/2) ħω a (1/2) ħω; esto es, destruye un cuanto de energía ħω que se sustrae a la energía inicial del oscilador; por esta razón a recibe el nombre de operador de destrucción. Por su parte, el número n se denomina número de ocupación del oscilador armónico ya que se corresponde con la presencia de n cuantos de energía ħω. Para obtener las expresiones de los autovectores |ϕ0〉, |ϕ1〉, |ϕ2〉,… que figuran en las sucesiones (3.50), basta con normalizarlos. Suponiendo que |ϕ0〉 está normalizado, resulta 〈ϕ1|ϕ1〉 = |C0+|2 〈ϕ0| a a† |ϕ0〉 + + 1)|ϕ0〉 = |C0+|2 = 1 = |C0+|2 〈ϕ0|(N

(3.52a)

MECÁNICA CUÁNTICA

183

Fig. 3.7. Representación esquemática del número de cuantos correspondientes a los estados |ϕ0〉, |ϕ1〉 y |ϕ2〉 del oscilador armónico. La aplicación del operador a† transforma |ϕn〉 en |ϕn+1〉 y agrega un cuanto ħω a la energía del oscilador; la aplicación del operador a transforma |ϕn〉 en |ϕn−1〉 y sustrae un cuanto ħω a la energía del oscilador.

Como C0+ = 1 (se puede escoger C0+ real y positivo), |ϕ1〉 = a† |ϕ0〉

(3.52b)

De igual modo,

+ + 1)|ϕ1〉 = 2 |C1+|2 = 1 〈ϕ2|ϕ2〉 = |C1+|2 〈ϕ1|(N

(3.53a)

|ϕ2〉 = (1/√2) a† |ϕ1〉 = (1/√2) (a†)2 |ϕ0〉

(3.53b)

de donde C1+ = 1/√2 y

En general,

+ + 1)|ϕ (n−1)〉 〈ϕn|ϕn〉 = |C(n−1)+|2 〈ϕ(n−1)|(N = n |C(n−1)+|2 = 1

(3.54a)

184

MARÍA ESTHER BURGOS

y puesto que C(n−1)+ = 1/√n, |ϕn〉 = (1/√n) a† |ϕn−1〉 = (1/√n) (1/√n−1) (a†)2 |ϕn−2〉 = (1/√n) (1/√n−1) ... (1/√2) (a†)n |ϕ0〉 = (1/√n!) (a†)n |ϕ0〉

(3.54b)

Los autovectores |ϕn〉 así obtenidos cumplen con las relaciones de ortonormalidad y clausura 〈ϕp|ϕn〉 = δp,n

(3.55a)

∑n |ϕn〉 〈ϕn| = I

(3.55b)

y constituyen una base en el espacio de los estados del oscilador armónico. Tomando en cuenta las ec. (3.47) se deducen las siguientes relaciones a† |ϕn〉 = √(n+1) |ϕn+1〉

(3.56a)

a |ϕn〉 = √n |ϕn−1〉

(3.56b)

que nos permiten obtener fácilmente los elementos de matriz 〈ϕp| a† |ϕn〉 = √(n+1) δp,n+1

(3.57a)

〈ϕp| a |ϕn〉 = √n δp,n−1

(3.57b)

y la representación matricial de a† y a en la base {|ϕn〉}. Del mismo modo se obtienen también las representaciones matriciales de los observables que representan la posición X y la cantidad de movimiento P en dicha base.

MECÁNICA CUÁNTICA

185

Preguntas y ejercicios 3.31. Un péndulo simple de masa 100 g y longitud 1 m oscila con una amplitud de 1 cm. (i) Calcular su energía. (ii) Si un oscilador armónico cuántico tuviera la misma frecuencia y la misma energía, ¿cuánto valdría el número cuántico n? 3.32. Probar que la separación entre regiones clásicamente permitidas y clásicamente prohibidas se sitúa en: (i) β x = 1 para n = 0; (ii) β x =√3 para n = 1; (iii) β x =√5 para n = 2; y (iv) β x = √21 para n = 10. 3.33. ¿Por qué se pueden escoger reales y positivas las constantes Cn+ que figuran en (3.52), (3.53) y (3.54)? 3.34. Justificar las afirmaciones de que los autovectores del Hamiltoniano del oscilador armónico simple cumplen con las relaciones de ortonormalidad y clausura y constituyen una base en el espacio de sus estados. 3.35. Probar las ec. (3.56). 3.36. Obtener las ec. (3.57). 3.37. Escribir las restricciones de a† y de a al subespacio que subtienden los autovectores del Hamiltoniano del oscilador armónico |ϕ0〉, |ϕ1〉 y |ϕ2〉. 3.38. Escribir las restricciones de la posición X y de la cantidad de movimiento P al subespacio del ejercicio anterior.

186

MARÍA ESTHER BURGOS

3.2.4. Representación {|x〉〉 } de los autovectores del Hamiltoniano Comenzaremos suponiendo que el autovalor de H correspondiente al estado fundamental (n = 0) puede ser degenerado y escribiremos la ec. (3.49) en la forma a |ϕ0j〉 = 0

(3.58a)

(el supraíndice j da cuenta de esa eventual degeneración). Como la expresión del operador a en la representación {|x〉} es (1/√2) {[√(mω/ħ)] x + [√(ħ/mω)] d/dx}, la expresión de (3.58a) en esta representación es (mω/ħ) x + d[ϕ0j(x)]/dx = 0

(3.58b)

y su solución es ϕ0j(x) = C exp[−(mω/2ħ) x2]

(3.59)

donde C es una constante. Notemos que ϕ0j(x) no depende de j. En consecuencia, el autovalor de H correspondiente al estado fundamental es no degenerado y el supraíndice j puede ser omitido. La aplicación repetida de a† a |ϕ0〉, que es el único autovector de H correspondiente a n = 0, produce una sucesión única de autovectores |ϕ1〉, |ϕ2〉, |ϕ3〉,… respectivamente correspondientes a n = 1, 2, 3,… ; ver ec. (3.56). Análogamente, si comenzamos suponiendo que existe un autovalor n ≠ 0 al menos doblemente degenerado, estaríamos diciendo que existen dos autovectores no colineales |ϕn〉 y |ϕ’n〉 correspondientes al

MECÁNICA CUÁNTICA

187

mismo n, y la aplicación de an sobre ambos produciría los autovectores no colineales |ϕ0〉 y |ϕ’0〉. Esto implicaría que n = 0 es también un autovalor degenerado, en contradicción con nuestra conclusión previa. Queda probado que, tal como afirmamos en la Sección 3.2.1, todos los autovalores de H son no degenerados y {H} es un conjunto completo de observables que conmutan (CC). La normalización de ϕ0(x) arroja el resultado ϕ0(x) = (mω/πħ)1/4 exp[−(mω/2ħ) x2]

(3.60)

Para obtener la representación {|x〉} de |ϕn〉, tomaremos en cuenta que la expresión del operador a† en la representación {|x〉} es (1/√2) {[√(mω/ħ)] x − [√(ħ/mω)] d/dx}. De acuerdo con (3.54b), ϕn(x) = 〈x|ϕn〉 = (1/√n!) 〈x| (a†)n |ϕ0〉 = (1/√n!) (1/√2n) {[√(mω/ħ)] x − [√(ħ/mω)] d/dx}n ϕ0(x) = β [(mω/ħ) x − d/dx]n exp[−(mω/2ħ) x2]

(3.61a)

β = [(1/(2n n!) (ħ/mω)n]1/2 (mω/πħ)1/4

(3.61b)

con

Esto es, se obtiene el producto de un polinomio de Hermite de grado n por la exponencial exp[−(mω/2ħ) x2]. Puesto que la exponencial no tiene nodos y es una función par, el número de nodos de ϕn(x) coincide con el grado n del correspondiente polinomio de Hermite y su paridad es (−1)n. Como afirmamos en

188

MARÍA ESTHER BURGOS

la Sección 3.2.1, las autofunciones del Hamiltoniano son o pares o impares. Las autofunciones del Hamiltoniano correspondientes a n = 1 y n = 2, son

y

ϕ1(x) = [(4/π) (mω/ħ)3]1/4 x exp[−(mω/2ħ) x2]

(3.62a)

ϕ2(x) = γ [(2mω/ħ) x2 – 1] exp[−(mω/2ħ) x2]

(3.62b)

donde γ = (mω/4πħ)1/4. Notar que, cuando n aumenta, (i)

crece la energía En del oscilador;

(ii)

crece el valor medio del potencial Vn = 〈ϕn|V|ϕn〉 por cuanto la región del eje x donde ϕn(x) toma valores no despreciables se hace mayor e incluye puntos donde V(x) toma valores más elevados; y

(iii) crece el valor medio de la energía cinética Tn = 〈ϕn|(P2/2m)|ϕn〉 = (−ħ2/2m) ∫−∞∞ dx ϕn(x) d2ϕn(x) /dx2

(3.63)

como se deduce del teorema de virial. Como X y P son operadores impares y las autofunciones ϕn(x) tienen una paridad bien definida, se cumple que 〈ϕn|X|ϕn〉 = 〈ϕn|P|ϕn〉 = 0

(3.64)

En palabras: cuando el oscilador está en un estado estacionario, los valores medios de su posición y de su cantidad de movi-

MECÁNICA CUÁNTICA

189

miento se anulan. Para calcular sus desviaciones cuadráticas medias en dichos estados tomamos en cuenta que, de acuerdo con (3.36) y (3.40),

y

X2 = (ħ / 2 m ω) (a† + a) (a† + a)

(3.65a)

P2 = − (m ħ ω / 2) (a† − a) (a† − a)

(3.65b)

En vista de (3.41) y (3.42), 〈ϕn|(a† a + a a†)|ϕn〉 = 〈ϕn|(2 a† a + 1)|ϕn〉 + + 1)|ϕn〉 = 2 n + 1 = 〈ϕn|(2 N

(3.66)

y puesto que 〈ϕn|(a†)2|ϕn〉 = 〈ϕn|(a)2|ϕn〉 = 0, resulta (∆X)n2 = 〈ϕn|X2|ϕn〉 − 〈ϕn|X|ϕn〉2 = (n + 1/2) (ħ / m ω)

(3.67a)

(∆P)n2 = 〈ϕn|P2|ϕn〉 − 〈ϕn|P|ϕn〉 2

y

= (n + 1/2) m ħ ω

(3.67b)

(∆X)n (∆P)n = (n + 1/2) ħ

(3.67c)

La desigualdad de Heisenberg (ver sección 2.1) se cumple para todos los autoestados del Hamiltoniano |ϕn〉 y toma su mínimo valor para n = 0, caso en el cual la correspondiente autofunción ϕ0(x) es una gaussiana. De paso, digamos que, en el caso de una partícula libre, para obtener que (∆X) (∆P) = ħ/2 es necesario (mas no suficiente) que la función de onda que describe su estado sea una gaussiana.

190

MARÍA ESTHER BURGOS

Asimismo, es fácil mostrar que si el oscilador armónico está en el estado estacionario |ϕn〉, los valores medios de la energía cinética y de la energía potencial están respectivamente dados por

y

〈T〉n = 〈ϕn|(P2/2m)|ϕn〉 = En/2

(3.68a)

〈V〉n = 〈ϕn|V|ϕn〉 = En/2

(3.68b)

Preguntas y ejercicios 3.39. Obtener las ec. (3.60) y (3.62). 3.40. Encontrar la función ϕ10(x). 3.41. Verificar las ec. (3.65), (3.66) y (3.67). 3.42. Mostrar que se cumplen las ec. (3.68). 3.43. Probar que Xn,p = 〈ϕn| X |ϕp〉 = 0 si n ≠ p ± 1; Xn,p = [(n + 1) ħ / 2 m ω)]1/2 si n = p + 1; y Xn,p = (n ħ / 2 m ω)1/2 si n = p – 1. Comparar estas expresiones de Xn,p con las obtenidas en el ejercicio 3.38. 3.44. Probar que, si n ≠ p ± 1, Pn,p = 〈ϕn| P |ϕp〉 = 0; si n = p + 1, Pn,p = − i [(n + 1) m ħ ω/2]1/2; y cuando n = p – 1, Pn,p = − i (n m ħ ω/ 2)1/2. Comparar estas expresiones de Pn,p con las obtenidas en el ejercicio 3.38.

MECÁNICA CUÁNTICA

191

3.2.5. Evolución temporal El oscilador armónico es un sistema conservativo cuyo Hamiltoniano tiene un espectro íntegramente discreto y no degenerado. Por lo tanto, la expresión más general del estado |ψ(t)〉 es |ψ(t)〉 = ∑n=0∞ cn(0) exp (−i En t/ħ) |ϕn〉 = ∑n=0∞ cn(0) exp [−i (n + 1/2) ω t] |ϕn〉

(3.69a)

donde cn(0) = 〈ϕn|ψ(0)〉

(3.69b)

Por simplicidad hemos hecho t0 = 0 y |ψ(0)〉 es el estado inicial; ver Sección 2.3. En la Sección 2.2 mostramos que, como ni X ni P dependen explícitamente del tiempo, sus valores medios para cualquier estado |ψ(t)〉 satisfacen las ecuaciones d〈X〉 ψ(t)/dt = (1/i ħ) 〈[X, H]〉 ψ = 〈P〉 ψ(t)/m y

(3.70a)

d〈P〉ψ(t)/dt = (1/i ħ) 〈[P, H]〉ψ = − 〈dV(X)/X〉ψ = − m ω2 〈X〉 ψ( t)

(3.70b)

que implican d2〈X〉 ψ(t)/dt2 + ω2 〈X〉ψ(t) = 0

(3.71)

El valor medio de la posición satisface la ecuación de un oscilador armónico clásico que oscila con la frecuencia ω.

192

MARÍA ESTHER BURGOS

Más aún, si el oscilador está en el estado |ψ(t)〉, el valor medio de un observable B que no depende explícitamente del tiempo es 〈B〉ψ(t) = 〈ψ(t)| B |ψ(t)〉 = ∑n,p=0∞ [cn(0)]* cp(0) Bn,p exp [i (n−p) ω t]

(3.72a)

Bn,p = 〈ϕn| B |ϕp〉

(3.72b)

con

ver Sección 2.4. Por lo tanto, la evolución temporal de 〈B〉ψ(t) se expresa como una serie que sólo incluye términos que oscilan con las frecuencias de Bohr: la fundamental ω/2π y las de sus armónicos |p−n| ω/2π. En particular, para el observable posición, Xn,p = 〈ϕn| X |ϕp〉

(3.73a)

que, tomando en cuenta (3.36) y (3.40) se escribe Xn,p = (ħ / 2 m ω)1/2 〈ϕn| (a† + a) |ϕp〉

(3.73b)

Se verifica que, si n ≠ p ± 1, Xn,p = 0; si n = p + 1, Xn,p = [(n + 1) ħ / 2 m ω)]1/2; si n = p – 1, Xn,p = (n ħ / 2 m ω)1/2; y 〈X〉ψ(t) = ∑n=0∞ [cn(0)]* cn+1(0) Xn,n+1 exp (− i ω t) + ∑n=1∞ [cn(0)]* cn−1(0) Xn,n−1 exp (i ω t)

(3.74)

Del mismo modo, para el observable cantidad de movimiento P los elementos de matriz Pn,p son nulos si n ≠ p ± 1; y

MECÁNICA CUÁNTICA

193

〈P〉ψ(t) = ∑n=0∞ [cn(0)]* cn+1(0) Pn,n+1 exp (− i ω t) + ∑n=1∞ [cn(0)]* cn−1(0) Pn,n−1 exp (i ω t)

(3.75)

con Pn,n+1 = − i [(n + 1) m ħ ω/2]1/2 y Pn,n−1 = − i (n m ħ ω/ 2)1/2. Para finalizar esta sección, recordemos que si el oscilador está en un estado estacionario, los valores medios 〈X〉ψ(t) y 〈P〉ψ(t) se anulan; ver ec. (3.64). Es necesario que al menos dos de los coeficientes cn(0) sean no nulos para que los valores medios de la posición y de la cantidad de movimiento oscilen con la frecuencia angular ω. Por eso, cabe destacar que el comportamiento del oscilador armónico en un estado estacionario difiere fundamentalmente de su comportamiento en el caso clásico, inclusive cuando n es elevado.

Preguntas y ejercicios 3.45. Sea |ψ(0)〉 = (1/√2) |ϕ0〉 + (1/√2) |ϕ1〉 el estado inicial de un oscilador armónico. Encontrar el valor medio de la posición en el tiempo t. Comparar el resultado con el que se obtendría si |ψ(0)〉 = |ϕ1〉. 3.46. Repetir el ejercicio anterior en el caso en que el estado inicial es |ψ(0)〉 = (1/√2) |ϕ0〉 + (1/√2) eiα |ϕ1〉, donde α es una constante real. ¿Cómo depende 〈X〉 ψ(t) de α? 3.47. Sea |ψ(0)〉 = (1/√3) |ϕ0〉 + [√(2/3)] |ϕ1〉 el estado inicial de un oscilador armónico. Encontrar el valor medio de la cantidad de movimiento en el tiempo t. Comparar el resultado con el que se obtendría si |ψ(0)〉 = |ϕ1〉.

194

MARÍA ESTHER BURGOS

3.48. Repetir el ejercicio anterior en el caso en que el estado inicial es |ψ(0)〉 = (1/√3) |ϕ0〉 + [√(2/3)] eiα |ϕ1〉, donde α es una constante real. ¿Cómo depende 〈P〉ψ(t) de α?

3.2.6. El oscilador armónico tridimensional Los conceptos introducidos en el tratamiento del oscilador armónico simple pueden ser fácilmente aplicados al caso del oscilador tridimensional. Para fijar ideas, vamos a considerar como ejemplo de oscilador armónico tridimensional una partícula de masa m situada en la posición r(t) y sometida a una única fuerza cuya expresión es F(r) = − k r

(3.76)

donde k es una constante. Tal como ocurre en el caso del oscilador armónico simple, la fuerza es restitutiva y su módulo F es proporcional a la distancia r que separa la partícula del origen. Además, como F depende sólo de r, el oscilador es isotrópico. La fuerza F(r) es generada por el potencial V (r) = (1/2) k r2

(3.77)

Si p(t) denota la cantidad de movimiento de la partícula, haciendo ω = √(k/m), la expresión de su energía total es E = [p(t)]2/2m + (1/2) m ω2 [r(t)]2

(3.78)

MECÁNICA CUÁNTICA

195

donde ω es la frecuencia angular de la oscilación. Tal como ocurre en el caso del oscilador armónico simple, el oscilador armónico tridimensional es un sistema conservativo: cuando aumenta la energía cinética, disminuye la potencial, y viceversa. Para pasar del tratamiento clásico al tratamiento cuántico del oscilador armónico tridimensional, se reemplazan las cantidades físicas posición r(t) y cantidad de movimiento p(t) por los observables R y P que las representan. El Hamiltoniano es H = P2/2m + (1/2) m ω2 R2

(3.79)

que también puede escribirse en términos de las componentes X, Y y Z de R y Px, Py y Pz de P, como se detalla a continuación H = Hx + Hy + Hz

(3.80a)

donde

y

Hx = Px2/2m + (1/2) m ω2 X2

(3.80b)

Hy = Py2/2m + (1/2) m ω2 Y2

(3.80c)

Hz = Pz2/2m + (1/2) m ω2 Z2

(3.80d)

Las tres últimas ecuaciones dan los Hamiltonianos de tres osciladores armónicos simples cuyas oscilaciones se restringen respectivamente al eje x, al eje y y al eje z. Sea u uno de los ejes x, y o z; U el observable que representa X, Y o Z; Pu el que representa Px, Py o Pz; y Hu el que re-

196

MARÍA ESTHER BURGOS

presenta Hx, Hy o Hz. Los correspondientes operadores adimensionales son +=βU U

y

+ Pu = (1/β ħ) Pu

+ u = (1/2) (U +2 + P +u2) H

(3.81a) (3.81b) (3.81c)

donde

β = (m ω / ħ)1/2

(3.81d)

Los operadores de creación au† y de destrucción au quedan definidos por

y

+−i+ au† = (1/√2) (U Pu)

++i+ au = (1/√2) (U Pu)

(3.82a) (3.82b)

La ecuación de autovalores de Hu es Hu |nu〉 = (nu + 1/2) ħω |nu〉

(3.83)

donde nu = 0, 1, 2,…; |nu〉 es un autovector de Hu correspondiente al autovalor (nu + 1/2) ħω, y se verifican las siguientes relaciones

y

au† |nu〉 = √(nu+1) |nu+1〉

(3.84a)

au |nu〉 = √nu |nu−1〉

(3.84b)

MECÁNICA CUÁNTICA

197

Sea ξx (ξy, ξz) el espacio de los estados del oscilador cuyas oscilaciones se restringen al eje x (y, z). Los observables X, Px y Hx actúan en ξx, y los autovectores |nx〉 pertenecen a ξx. Análogamente, los observables Y (Z), Py (Pz) y Hy (Hz) actúan en el espacio de los estados ξy (ξz) y los autovectores |ny〉 (|nz〉) pertenecen a ξy (ξz). El espacio de los estados del oscilador tridimensional es el producto tensorial ξ = ξx ⊗ ξy ⊗ ξz

(3.85)

ver Sección 1.16. Denotando respectivamente por Ix, Iy e Iz, los operadores identidad en ξx, ξy y ξz, el observable H, que actúa en ξ, se expresa en la forma H = Hx ⊗ Iy ⊗ Iz + Hy ⊗ Iz ⊗ Ix + Hz ⊗ Ix ⊗ Iy

(3.86)

Esta expresión de H coincide con la dada por la ec. (3.80) salvo por la presencia de las identidades Ix, Iy e Iz que, como señalamos en la Sección 1.16, es usual omitir. Los autovectores de H son |nx, ny, nz〉 = |nx〉 ⊗ |ny〉 ⊗ |nz〉

(3.87)

y la ecuación de autovalores de H es H |nx, ny, nz〉 = (n +3/2) ħω |nx, ny, nz〉

(3.88)

con n = nx + ny + nz. Salvo si n = 0, los autovalores de H son degenerados y su orden de degeneración es gn = (n +1) (n +2)/2.

198

MARÍA ESTHER BURGOS

Destaquemos finalmente que, para encarar el problema de un oscilador armónico tridimensional anisotrópico cuyas frecuencias de oscilación en los ejes x, y y z son respectivamente ωx, ωy y ωz, basta con reemplazar la ec. (3.80) por H = Hx + Hy + Hz

(3.89a)

donde

y

Hx = Px2/2m + (1/2) m ωx2 X2

(3.89b)

Hy = Py2/2m + (1/2) m ωy2 Y2

(3.89c)

Hz = Pz2/2m + (1/2) m ωz2 Z2

(3.89d)

Nótese que si las tres frecuencias ωx, ωy y ωz son distintas, todos los autovalores de H son no degenerados.

Preguntas y ejercicios 3.49. Verificar la validez de la ec. (3.88). 3.50. Probar que la degeneración de los autovalores de H dado por (3.88) es gn = (n +1) (n +2)/2.

MECÁNICA CUÁNTICA

199

Para saber más sobre este tema, ver: − D. R. Bes, Quantum Mechanics (Springer−Verlag, Berlin Heidelberg, 2004), Capítulos III y IV. − C. Cohen−Tannoudji, B. Diu and F. Laloë, Quantum Mechanics (John Wiley & Sons, New York, 1977), Capítulos I y V; Complementos HI y EV. − E. Merzbacher, Quantum Mechanics (John Wiley & Sons, New York, 1998), Capítulos 5 y 6. − A. Messiah, Mécanique Quantique (Dunod, Paris, 1965), Capítulos III y XII. − J. Singh, Quantum Mechanics, (John Wiley & Sons, New York, 1997), Capítulo 3.

MECÁNICA CUÁNTICA

1

MECÁNICA CUÁNTICA

201

TEMA 4. EL MOMENTO ANGULAR 4.1. El momento angular en mecánica clásica y en mecánica cuántica: 4.1.1. El momento angular en mecánica clásica. 4.1.2. El momento angular en mecánica cuántica. 4.1.3. Operadores de creación J+ y de destrucción J− del momento angular. 4.1.4. Resultados de la aplicación de J+ y J− a los autovectores de Jz y J2. 4.1.5. Determinación de los autovalores de los operadores J2 y Jz. 4.1.6. La base standard. 4.2. El momento angular orbital: 4.2.1. Representación {|r〉} del momento angular orbital. 4.2.2. Autovalores y autofunciones de L2 y Lz. Armónicos esféricos. 4.3. El espín del electrón: 4.3.1. Evidencia experimental. 4.3.2. Operadores y estados en el espacio del espín. 4.4. Simetrías y leyes de conservación: 4.4.1. Simetría de traslación espacial. 4.4.2. Simetría de rotación. 4.4.3. Simetría de traslación temporal.

4.1. El momento angular en mecánica clásica y en mecánica cuántica 4.1.1. El momento angular en mecánica clásica Si una partícula situada en la posición r respecto del punto O viaja con la cantidad de movimiento p, su momento angular l respecto de O es el producto vectorial l=rxp

(4.1a)

y la variación temporal de l está dada por dl/dt = τ

(4.1b)

202

MARÍA ESTHER BURGOS

donde τ es el torque o momento respecto de O de la fuerza resultante que actúa sobre la partícula. El momento angular, también llamado cantidad de movimiento angular, desempeña un papel fundamental en mecánica clásica. Para justificar esta afirmación, baste recordar que si la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula está dirigida hacia O, su torque o momento respecto de O es nulo y el momento angular de la partícula se conserva. En consecuencia, su movimiento (i) queda restringido a un plano que contiene el punto O y es perpendicular al momento angular de la partícula; y (ii) obedece la segunda ley de Kepler. El momento angular de una partícula es un (pseudo) vector cuyas componentes (escalares) serán denotadas por lx, ly y lz. Si las componentes de su cantidad de movimiento lineal p son px, py y pz, las expresiones de lx, ly y lz son

y

lx = y pz − z p y

(4.2a)

ly = z px − x pz

(4.2c)

lz = x p y − y px

(4.2d)

En el caso de un sistema de N partículas, si rk es la posición de la partícula k y pk su cantidad de movimiento (k = 1, 2,…, N), su momento angular es lk = rk x pk y el momento angular del sistema es l = Σk=1N lk

(4.3a)

se cumple que dl/dt = Σk=1N dlk/dt = Σk=1N τk = τ

(4.3b)

MECÁNICA CUÁNTICA

203

donde τk es el torque respecto de O de la fuerza resultante que actúa sobre la partícula k y τ es la resultante de los torques respecto de O que actúan sobre el sistema de N partículas. Si este último se anula, el momento angular total l se conserva. Pero esto no implica que el momento angular de cada partícula permanezca constante; pues puede ocurrir que los torques que actúan sobre algunas de ellas sean no nulos. En estas circunstancias, puede producirse una transferencia de momento angular de esas partículas a las restantes, sin que ello afecte la constancia del momento angular total l.

Preguntas y ejercicios 4.1. Mostrar que en el dominio de validez de la mecánica clásica, si las únicas fuerzas que actúan sobre una partícula son centrales, su movimiento tiene lugar en un plano perpendicular al momento angular de la partícula y obedece la segunda ley de Kepler. 4.2. Dar un ejemplo de sistema de varias partículas en el cual los momentos angulares de algunas de ellas varían y el momento angular del sistema permanece constante.

4.1.2. El momento angular en mecánica cuántica Para obtener el observable L que representa el momento angular l de una partícula, basta con reemplazar las cantidades físicas r y p que figuran en (4.1a) por sus correspondientes operadores R y P. Resulta L=RxP

(4.4a)

204

MARÍA ESTHER BURGOS

que tiene las componentes

y

Lx = Y P z − Z P y

(4.4b)

L y = Z Px − X Pz

(4.4c)

Lz = X P y − Y P x

(4.4d)

Subrayemos que las componentes de L no conmutan, como se prueba a continuación. [Lx, Ly] = [(Y Pz − Z Py), (Z Px − X Pz)] = [Y Pz, Z Px] + [Z Py, X Pz] = Y [Pz, Z] Px + X [Z, Pz] Py = iħ (X Py − Y Px) = iħ Lz

(4.5a)

Análogamente, se obtiene

y

[Ly, Lz] = iħ Lx

(4.5b)

[Lz, Lx] = iħ Ly

(4.5c)

Notar que la no conmutación de dos componentes del momento angular se relaciona con la no conmutación de los operadores que representan la posición y la cantidad de movimiento; y, asimismo, que las relaciones previas implican que dos componentes del momento angular de una partícula no pueden tener valores simultáneamente bien definidos. La generalización de estas últimas relaciones a las componentes del momento angular de un sistema de N partículas no presenta dificultades.

MECÁNICA CUÁNTICA

205

Tomando en cuenta el análisis que precede, vamos a generalizar el concepto de momento angular como se detalla a continuación: Dados los observables Jx, Jy y Jz, diremos que J = Jx x + Jy y + Jz z

(4.6)

es un momento angular J de componentes Jx, Jy y Jz si y sólo si se cumplen las relaciones

y

[Jx, Jy] = iħ Jz

(4.7a)

[Jy, Lz] = iħ Jx

(4.7b)

[Jz, Jx] = iħ Jy

(4.7c)

Haciendo J2 = Jx2 + Jy2 + Jz2

(4.8)

es fácil ver que

y

[Jx2, Jx] = 0

(4.9a)

[Jy2, Jx] = −iħ Jy Jz − iħ Jz Jy

(4.9b)

[Jz2, Jx] = iħ Jy Jz + iħ Jz Jy

(4.9c)

de modo que [J2, J] = 0

(4.10)

206

MARÍA ESTHER BURGOS

Preguntas y ejercicios 4.3. En el dominio de validez de la mecánica cuántica, ¿es posible afirmar que una partícula se mueve estrictamente en un plano (sin salir de él)? Responder la pregunta (i) tomando en cuenta las desigualdades de Heisenberg; y (ii) a partir de las relaciones de conmutación (4.5). 4.4. ¿Cómo escogería las direcciones de los ejes x, y y z al encarar un problema concreto? ¿Procedería de un modo diferente del que utiliza en mecánica clásica? 4.5. La cantidad física representada por el operador Jx, ¿puede tomar un valor bien definido? ¿Y la cantidad física representada por el operador Jy? ¿Pueden las cantidades físicas representadas por Jx y Jy tomar valores simultáneamente bien definidos? 4.6. Partiendo de las ec. (4.7) y (4.8) probar las ec. (4.9) y (4.10).

4.1.3. Operadores de creación J+ y de destrucción J− del momento angular En el tratamiento del oscilador armónico simple presentamos los operadores de creación y de destrucción de un cuanto de energía, respectivamente denotados por a† y a; ver Sección 3.2.2. En la presente sección vamos a definir los operadores

y

J+ = Jx + i J y

(4.11a)

J− = Jx − i Jy

(4.11b)

MECÁNICA CUÁNTICA

207

respectivamente llamados de creación y de destrucción del momento angular; más adelante veremos la justificación de estas denominaciones. Tal como a† y a, los operadores J+ y J− no son observables; por lo tanto, no representan cantidades físicas. Es fácil probar las siguientes ecuaciones, que nos serán de utilidad en lo que sigue:

y

[Jz, J+] = ħ J+

(4.12a)

[Jz, J−] = − ħ J−

(4.12b)

[J+, J−] = 2 ħ Jz

(4.12c)

[J2, J+] = [J2, J−] = [J2, Jz] = 0

(4.12d)

Asimismo, haremos uso de las relaciones J+ J− = (Jx + i Jy) (Jx − i Jy) = Jx2 + Jy2 − i [Jx, Jy] = Jx2 + Jy2 + ħ Jz = J2 − Jz2 + ħ Jz y

(4.13a)

J− J+ = (Jx − i Jy) (Jx + i Jy) = Jx2 + Jy2 + i [Jx, Jy] = Jx2 + Jy2 − ħ Jz = J2 − Jz2 − ħ Jz

(4.13b)

de donde se deduce que J2 = (1/2) (J+ J− + J− J+) + Jz2

(4.14)

208

MARÍA ESTHER BURGOS

Notemos que los operadores Jx, Jy, Jz, J+ y J− actúan en el espacio de los estados del sistema, un espacio de Hilbert que difiere del espacio ordinario SO(3); ver Secciones 1.1 y 1.2.

Preguntas y ejercicios 4.7. Decir si los operadores Jx, Jy y Jz son o no observables. ¿Lo son los operadores J+ y J− dados por (4.11)? Justifique sus afirmaciones. 4.8. Utilizando las definiciones (4.11), mostrar que se cumplen las relaciones (4.12), (4.13) y (4.14).

4.1.4. Resultados de la aplicación de J+ y J− a los autovectores de Jz y J2 Como los observables J2 y Jz conmutan, representan cantidades físicas compatibles y tienen al menos una base común; ver Secciones 1.13 y 1.14. Denotaremos por λ ħ2 los autovalores de J2, por m ħ los autovalores de Jz, y por |n, λ, m〉 los autovectores comunes a J2 y Jz que satisfacen las ecuaciones de autovalores

y

J2 |n, λ, m〉 = λ ħ2 |n, λ, m〉

(4.15a)

Jz |n, λ, m〉 = m ħ |n, λ, m〉

(4.15b)

El índice (o conjunto de índices) n se agrega para tomar en cuenta el caso en que {J2, Jz} no es un conjunto completo de

MECÁNICA CUÁNTICA

209

observables que conmutan (CC), como ocurre en general; notar que λ y m son números adimensionales. Entonces, si A es un observable (o conjunto de observables), n designa sus autovalores (o conjunto de autovalores) y {A, J2, Jz} es un CC, el conjunto {|n, λ, m〉} (donde tanto n como λ y m toman todos sus valores permitidos) es una base. Sea |ψ〉 un estado genérico del sistema. De acuerdo con la ec. (4.14), el valor medio de J2 en el estado |ψ〉 es 〈J2〉ψ = 〈ψ| J2 |ψ〉 = 〈ψ| Jx2 |ψ〉 + 〈ψ| Jy2 |ψ〉 + 〈ψ| Jz2 |ψ〉 = 〈ψ| Jx† Jx |ψ〉 + 〈ψ| Jy† Jy |ψ〉 + 〈ψ| Jz† Jz |ψ〉

(4.16)

Esto significa que, sea cual fuere |ψ〉, el valor medio 〈J2〉 ψ es la suma de los cuadrados de las normas de tres vectores y, en consecuencia, un número no negativo. Haciendo |ψ〉 = |n, λ, m〉, se deduce que λ≥0

(4.17)

Asimismo, y siempre de acuerdo con la ec. (4.14), el valor medio 〈(J2 − Jz2)〉ψ es 〈(J2 − Jz2)〉 ψ = (1/2) 〈ψ| (J+ J− + J− J+) |ψ〉 = (1/2) 〈ψ| J−† J− |ψ〉 + (1/2) 〈ψ| J+† J+ |ψ〉

(4.18)

lo cual implica que, sea cual fuere |ψ〉, el valor medio 〈(J2 − Jz2)〉ψ también es un número no negativo. Haciendo nuevamente |ψ〉 = |n, λ, m〉, se obtiene λ − m2 ≥ 0

(4.19)

210

MARÍA ESTHER BURGOS

A continuación vamos a considerar el resultado de aplicar el producto de los operadores Jz y J+ al ket |n, λ, m〉. Tomando en cuenta (4.12a), vemos que Jz (J+ |n, λ, m〉) = (J+ Jz + ħ J+) |n, λ, m〉 = J+ m ħ |n, λ, m〉 + ħ J+ |n, λ, m〉 = (m + 1) ħ (J+ |n, λ, m〉)

(4.20a)

Análogamente, se prueba que Jz (J− |n, λ, m〉) = (m − 1) ħ (J− |n, λ, m〉)

(4.20b)

J2 (J± |n, λ, m〉) = λ ħ2 (J± |n, λ, m〉)

(4.20c)

y que

Esto es, el ket (J+ |n, λ, m〉) es un autovector común a los observables Jz y J2, respectivamente correspondiente a los autovalores (m + 1) ħ y λ ħ2; y el ket (J− |n, λ, m〉) es un autovector común a los observables Jz y J2, respectivamente correspondiente a los autovalores (m − 1) ħ y λ ħ2. La aplicación de J+ a un autovector de Jz correspondiente al autovalor m ħ lo transforma en un autovector de Jz correspondiente al autovalor (m + 1) ħ, y la de J− lo transforma en un autovector de Jz correspondiente al autovalor (m − 1) ħ. Por lo tanto, podemos escribir

y

J+ |n, λ, m〉 = C+(n, λ, m) ħ |n, λ, m+1〉

(4.21a)

J− |n, λ, m〉 = C−(n, λ, m) ħ |n, λ, m−1〉

(4.21b)

donde C+(n, λ, m) y C−(n, λ, m) son constantes adimensionales de normalización cuyos valores serán determinados más adelante. Hay que destacar que la aplicación de J+ o de J− al ket

MECÁNICA CUÁNTICA

211

|n, λ, m〉 modifica m pero no puede modificar ni n ni λ. En base al análisis que precede, los operadores J+ y J− son respectivamente denominados de creación y de destrucción del momento angular.

Preguntas y ejercicios 4.9. Probar que los números λ y m que figuran en las ec. (4.15) son adimensionales. 4.10. Demostrar que las ec. (4.20b) y (4.20c) son válidas. 4.11. Verificar que las constantes C+(n, λ, m) y C−(n, λ, m) que aparecen en las ec. (4.21) son adimensionales.

4.1.5. Determinación de los autovalores de los operadores J2 y Jz Sea A un observable (o conjunto de observables) cuyos autovalores (o conjunto de autovalores) están dados por n, y supongamos que {A, J2, Jz} es un CC. El autosubespacio ξ(n, λ) es la intersección de los autosubespacios ξ(n), correspondiente al autovalor n de A, y ξ(λ), correspondiente al autovalor λ ħ2 de J2. El autosubespacio ξ(n, λ) es globalmente invariante bajo la acción de J+ y de J− pues, aunque la aplicación de J+ o de J− a un ket de ξ(n, λ) puede transformarlo en otro, perteneciente también a ξ(n, λ), no puede transformarlo en un ket con componentes en otro autosubespacio ξ(n’, λ’) correspondiente a un autovalor n’ ≠ n y/o un autovalor λ’ ≠ λ; ver Fig. 4.1.

212

MARÍA ESTHER BURGOS

Fig. 4.1. Los kets |n, λ, 0〉, |n, λ’, 0〉 y |n’, λ, 0〉 pertenecen a ξ(m = 0). Notar que la aplicación de los operadores J+ y J− a uno de ellos no puede transformarlo en ninguno de los otros dos.

La condición (4.19) nos dice que para cada λ hay un máximo m que denotaremos por j. Sea |n, λ, j〉 el ket del autosubespacio ξ(n, λ) para el cual m = j. De acuerdo con la ec. (4.21a), el resultado de aplicarle J+ es incrementar m; pero si m toma su máximo valor no puede ser incrementado y debe cumplirse que J+ |n, λ, j〉 = 0

(4.22a)

Aplicando el operador J− a ambos miembros de la ecuación anterior y tomando en cuenta la ec. (4.13b), resulta J− J+ |n, λ, j〉 = (J2 − Jz2 − ħ Jz) |n, λ, j〉 = (λ − j2 − j) ħ |n, λ, j〉 = 0

(4.22b)

MECÁNICA CUÁNTICA

213

de donde λ = j (j+1)

(4.23)

Del mismo modo, la condición (4.19) nos dice que para cada λ hay un mínimo m que denotaremos por j’. Sea |n, λ, j’〉 el ket perteneciente al autosubespacio ξ(n, λ) para el cual m = j’. De acuerdo con la ec. (4.21b), al aplicar J− al ket |n, λ, m〉 se reduce m; pero si m toma su mínimo valor no puede ser reducido y debe cumplirse que J− |n, λ, j’〉 = 0

(4.24a)

Aplicando el operador J+ a ambos miembros de la ecuación anterior y en vista de la ec. (4.13a), se obtiene J+ J− |n, λ, j’〉 = (J2 − Jz2 + ħ Jz) |n, λ, j’〉 = (λ − j’2 + j’) ħ |n, λ, j’〉 = 0

(4.24b)

En consecuencia, λ = j’ (j’−1)

(4.25)

Para que el sistema de las ec. (4.23) y (4.25) tenga solución, es necesario que sea (i) j’ = −j o (ii) j’ = j+1 > j; pero la segunda opción es inadmisible porque implica que el mínimo m en el autosubespacio ξ(n, λ) supera el máximo (que es j). Por lo tanto, los autovalores de J2 están dados por λ ħ2 = j (j+1) ħ2

(4.26)

214

MARÍA ESTHER BURGOS

Esta última ecuación pone en evidencia que los autovalores de J2 siempre superan el cuadrado de los autovalores de Jz. Dicho en lenguaje coloquial: el momento angular J no puede estar íntegramente contenido en una única dirección (que hemos llamado z) pues, si J y Jz z fueran iguales, obtendríamos λ ħ2 = j2 ħ2. Como λ = j (j+1), en lo que sigue reemplazaremos |n, λ, m〉 por |n, j, m〉, ξ(n, λ) por ξ(n, j) y C±(n, λ, m) por C±(n, j, m), etc. Las ec. (4.21) establecen que m aumenta en la unidad por cada aplicación de J+ y disminuye en la unidad por cada aplicación de J−. Esto es, cuando se parte del ket |n, j, −j〉, será necesario aplicarle 2j veces el operador J+ para obtener el ket |n, j, j〉; y partiendo del ket |n, j, j〉, habrá que aplicarle 2j veces el operador J− para obtener el ket |n, j, −j〉; ver Fig. 4.2. Por una parte, como el número de veces que se aplica un operador sólo puede ser un número entero, 2j también debe ser un entero, y j sólo puede tomar los valores j = 0, 1/2, 1, 3/2,…

(4.27a)

Y, por otra, para un j particular el número m solo puede tomar los valores m = j, j − 1, j − 2,… , −j+1, −j

(4.27b)

Nótese que, partiendo de un vector cualquiera |n, j, m〉, la aplicación de los operadores de creación J+ y de destrucción J− del momento angular produce los restantes vectores de la base {|n, j, m〉} pertenecientes al autosubespacio ξ(n, j). Esto es, si en una situación particular está presente uno de los kets del conjunto {|n, j, j〉, |n, j, j−1〉, |n, j, j−2〉,… |n, j, −j〉}, queda garanti-

MECÁNICA CUÁNTICA

215

Fig. 4.2. Acción de los operadores de creación y de destrucción del momento angular J+ y J− en el autosubespacio ξ(n, j = 1).

zada la presencia de todos los otros que pertenecen a dicho conjunto. Por el contrario, la presencia de uno de dichos kets no garantiza que otros kets con j o n distintos también estén presentes. Como veremos más adelante, el número cuántico j puede ser asociado tanto con el momento angular orbital, que tiene una analogía clásica, como con el momento angular intrínseco o de espín, que no tiene analogía clásica. En el primer caso se acostumbra reemplazar J por L (y j por l, etc.); y en el segundo es usual reemplazar J por S (y j por s, etc.); el símbolo J se reserva para el tratamiento general y para la suma de ambos momentos angulares L + S.

216

MARÍA ESTHER BURGOS

Ahora bien, en la naturaleza hay dos tipos de partículas: los bosones, que tienen espín entero, y los fermiones, que tienen espín semientero. O sea que, para un sistema dado, sólo puede estar presente o la serie j = 0, 1, 2,…

(4.28a)

o la serie j = 1/2, 3/2, 5/2,…

(4.28b)

pero jamás se presenta una mezcla de ambas series. Hay que destacar, finalmente, que el número cuántico j también puede tener un tope que depende de n, de modo que normalmente las series (4.28) son finitas. Más aún, en este mismo tema veremos un ejemplo donde la serie (4.28b) contiene sólo un término.

Preguntas y ejercicios 4.12. Discutir la afirmación de que el momento angular J no puede estar íntegramente contenido en una única dirección. Dicha afirmación, ¿sería válida si dos componentes cualesquiera del momento angular conmutaran y pudieran tener valores simultáneamente bien definidos? ¿Y sería válida si los operadores que representan la posición y la cantidad de movimiento conmutaran? 4.13. Si no se toma en cuenta el espín del átomo de H, los observables H, L2 (cuadrado del momento angular orbital) y Lz (componente z del momento angular orbital) constituyen un CC. ¿Pueden H, L2 y Lz tomar valores simultá-

MECÁNICA CUÁNTICA

217

neamente bien definidos? ¿Debe necesariamente el átomo de H estar en un estado para el cual estos tres observables tienen valores bien definidos? 4.14. En el ejercicio anterior, si Lu es la componente de L en una dirección u que no coincide con z, ¿es {H, L2, Lu} un CC? ¿Pueden H, L2 y Lu tomar valores simultáneamente bien definidos? ¿Pueden H, L2, Lz y Lu tomar valores simultáneamente bien definidos? 4.15. Sean n, l y m respectivamente los números cuánticos principal (correspondiente al autovalor de H), azimutal (correspondiente al autovalor de L2) y magnético (correspondiente al autovalor de Lz) del átomo de H. ¿Qué valores puede tomar m en el subespacio ξ(n = 3, l = 2)? ¿Y en el subespacio ξ(n = 3, l = 1)? ¿Es posible pasar de un ket del subespacio ξ(n = 3, l = 2) a un ket del subespacio ξ(n = 3, l = 1) aplicando los operadores de creación y de destrucción del momento angular L+ y L−?

4.1.6. La base standard Como dijimos, de acuerdo con las ec. (4.21) la aplicación de los operadores J+ y J− cambia el ket |n, j, m〉 perteneciente al autosubespacio ξ(n, j) por otro que también se encuentra en el mismo autosubespacio. A continuación, vamos a calcular las constantes de normalización C+(n, j, m) y C−(n, j, m) que figuran en dichas ecuaciones. Puesto que J+ |n, j, m〉 = C+(n, j, m) ħ |n, j, m+1〉

(4.29a)

218

MARÍA ESTHER BURGOS

podemos escribir 〈n, j, m| J− = C+*(n, j, m) ħ 〈n, j, m+1|

(4.29b)

de donde 〈n, j, m| J− J+ |n, j, m〉 = |C+(n, j, m)|2 ħ2 〈n, j, m+1|n, j, m+1〉

(4.30a)

Por otra parte, en vista de (4.13b), (4.15) y (4.26), se puede afirmar que 〈n, j, m| J− J+ |n, j, m〉 = 〈n, j, m| (J2 − Jz2 − ħ Jz) |n, j, m〉 = ħ2 [j (j+1) ħ2 – m2 ħ2 – m ħ2] 〈n, j, m|n, j, m〉

(4.30b)

En consecuencia, si los kets |n, j, m〉 y |n, j, m+1〉 están normalizados, resulta |C+(n, j, m)|2 = j (j+1) – m2 – m

(4.30c)

De donde podemos concluir que la constante de normalización C+(n, j, m) sólo puede diferir de [j (j+1) – m (m+1)]1/2 en un número complejo de módulo uno que tenemos la libertad de escoger sin pérdida de generalidad. Igualando este número a la unidad obtenemos C+(n, j, m) = [j (j+1) − m (m+1)]1/2

(4.31a)

Un análisis similar permite probar que C−(n, j, m) = [j (j+1) − m (m−1)]1/2

(4.31b)

MECÁNICA CUÁNTICA

219

Finalmente, teniendo en cuenta la relación (4.26), escribimos las ecuaciones de autovalores (4.15) en la forma

y

J2 |n, j, m〉 = j (j+1) ħ2 |n, j, m〉

(4.32a)

Jz |n, j, m〉 = m ħ |n, j, m〉

(4.32b)

Si, además, se cumple que

y

J+ |n, j, m〉 = [j (j+1) – m (m+1)]1/2 ħ |n, j, m+1〉

(4.32c)

J− |n, j, m〉 = [j (j+1) − m (m−1)]1/2 ħ |n, j, m−1〉

(4.32d)

diremos que el conjunto de vectores {|n, j, m〉} es una base standard. Suponiendo que n puede tomar g(j) valores diferentes, la base standart tiene (2j+1) g(j) vectores; ver Tabla 4.1.

Tabla 4.1 Los (2j+1) g(j) vectores de una base standard con un j fijo

Hay (2j+1) autosubespacios ξ(j, m). Cada uno tiene g(j) vectores

ξ(j, m = j)

|1, j, j〉

|2, j, j〉

…

|g(j), j, j〉

J− ⇒

J− ⇒

J− ⇒

…

J− ⇒

ξ(j, m = j−1)

|1, j, j−1〉

|2, j, j−1〉

…

|g(j), j, j−1〉

J− ⇒ J− ⇒...

J− ⇒ J− ⇒...

J− ⇒ J− ⇒...

ξ(j, m)

|1, j, m〉

|2, j, m〉

J− ⇒ J− ⇒...

J− ⇒ J− ⇒...

J− ⇒ J− ⇒...

ξ(j, m = −j)

|1, j, −j〉

|2, j, −j〉

… J− ⇒ J− ⇒... …

|g(j), j, m〉

… J− ⇒ J− ⇒... …

|g(j), j, −j〉

Hay g(j) autosubespacios ξ(n, j) con n y j fijos. Cada uno tiene (2j+1) vectores

220

MARÍA ESTHER BURGOS

Hay que destacar que no todas las bases cumplen con las condiciones previas. Por ejemplo, la base de los autovectores del operador posición no es standard.

Preguntas y ejercicios 4.16. Encontrar todos los kets que pueden obtenerse por aplicación de los operadores L+ y L− cuando se parte del estado |n = 3, l = 2, m = 1〉 de un átomo de H. 4.17. Probar la validez de la ec. (4.31b). 4.18. Escribir los vectores de la base standart pertenecientes al subespacio ξ(n = 3, l = 2) del átomo de H. Idem para los subespacios ξ(n = 4, l = 2) y ξ(n = 5, l = 2).

4.2. El momento angular orbital 4.2.1. Representación {|r〉〉 } del momento angular orbital En la representación {|r〉} los operadores asociados a las componentes cartesianas del momento angular orbital L, dados por (4.4), pueden escribirse en la forma

y

Lx = (ħ/i) (y ∂/∂z – z ∂/∂y)

(4.33a)

Ly = (ħ/i) (z ∂/∂x – x ∂/∂z)

(4.33b)

Lz = (ħ/i) (x ∂/∂y – y ∂/∂x)

(4.33c)

MECÁNICA CUÁNTICA

221

(como es usual, al referirnos al momento angular orbital reemplazaremos J por L, y j por l, etc.). Frecuentemente puede considerarse que, al menos en forma aproximada, el sistema tiene simetría esférica; y éste es, en particular, el caso de muchos átomos y moléculas. Por lo tanto, es preferible utilizar las expresiones de Lx, Ly y Lz en coordenadas esféricas. Para efectuar las correspondientes transformaciones, comencemos por recordar que las coordenadas cartesianas x, y y z de la posición r de un punto P del espacio ordinario se relacionan con las coordenadas esféricas r, θ y ϕ a través de las ecuaciones

y

x = r senθ cosϕ

(4.34a)

y = r senθ senϕ

(4.34b)

z = r cosθ

(4.34c)

con r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ π y 0 ≤ ϕ ≤ 2π; ver Fig. 4.3. Asimismo, utilizando estas coordenadas, el elemento de volumen dτ = dx dy dz se escribe dτ = r2 dr dΩ

(4.34d)

donde dΩ = senθ dθ dϕ es el ángulo sólido subtendido por las cuatro direcciones definidas por (θ, ϕ), (θ + dθ, ϕ), (θ, ϕ + dϕ) y (θ + dθ, ϕ + dϕ).

222

MARÍA ESTHER BURGOS

Fig. 4.3

Relción entre las coordenadas cartesianas y las coordenadas esféricas del punto P.

Tomando en cuenta las relaciones previas, podemos escribir

y

Lx = iħ [senϕ (∂/∂θ) + (cos ϕ/tgθ) (∂/∂ϕ)]

(4.35a)

Ly = iħ [− cosϕ (∂/∂θ) + (senϕ/tgθ) (∂/∂ϕ)]

(4.35b)

Lz = (ħ/i) (∂/∂ϕ)

(4.35c)

de donde L2 = −ħ2 [(∂2/∂θ2) + (1/tgθ) (∂/∂θ) + (1/sen2θ) (∂2/∂ϕ2)] (4.36a)

MECÁNICA CUÁNTICA

y

223

L+ = ħ eiϕ [(∂/∂θ) + i cotθ (∂/∂ϕ)]

(4.36b)

L− = ħ e−iϕ [(−∂/∂θ) + i cotθ (∂/∂ϕ)]

(4.36c)

Las ecuaciones que acabamos de presentar ponen en evidencia que las distintas componentes del momento angular actúan únicamente sobre la parte angular de las funciones que representan el estado de un sistema; esto es, actúan en un subespacio del espacio de Hilbert que denotaremos por ξ(θ, ϕ). Sea ψnlm(r) = 〈r|n, l, m〉 la representación {|r〉} de los autovectores comunes al CC {A, L2, Lz}. En dicha representación, y utilizando coordenadas esféricas, las ecuaciones de autovalores (4.32a) y (4.32b) se reducen a − [(∂2/∂θ2) + (1/tgθ) (∂/∂θ) + (1/sen2θ) (∂2/∂ϕ2)] ψnlm(r,θ,ϕ)

y

= l (l + 1) ψnlm(r, θ, ϕ)

(4.37a)

− i (∂/∂ϕ) ψnlm(r,θ,ϕ) = m ψnlm(r,θ,ϕ)

(4.37b)

En consecuencia, haciendo ψnlm(r, θ, ϕ) = Rnlm(r) Ynlm(θ, ϕ)

(4.38)

donde Rnlm(r) es una función radial y Ynlm(θ, ϕ) es una función que no depende de r, podemos escribir las ecuaciones de autovalores de L2 y Lz como sigue

y

L2 Ynlm(θ, ϕ) = l (l + 1) ħ2 Ynlm(θ, ϕ)

(4.39a)

Lz Ynlm(θ, ϕ) = m ħ Ynlm(θ, ϕ)

(4.39b)

224

MARÍA ESTHER BURGOS

Como estas ecuaciones no dependen de n, podemos omitir dicho subíndice y hacer Ynlm(θ, ϕ) = Ylm(θ, ϕ)

(4.39c)

El resultado previo es importante pues muestra que las soluciones de las ecuaciones de autovalores de L2 y Lz no dependen ni de la función radial Rnlm(r) ni del valor particular que toma el índice n. Por tal razón, en los problemas que involucran únicamente el momento angular orbital, es usual reemplazar el ket |n, l, m〉 por el ket |l, m〉. Subrayemos, asimismo, que las funciones Ylm(θ, ϕ) se sitúan en el subespacio que hemos denotado por ξ(θ, ϕ). Supongamos que {A, L2, Lz} es un CC. Como en este caso, {|n, l, m〉} constituye una base en el espacio de los estados, ψnlm(r) = 〈r|n, l, m〉 es la representación {|r〉} de dichos autovectores en el espacio de los estados del sistema, que puede ser denotado por ξ(r). Obviamente, ξ(θ, ϕ) es un subespacio de ξ(r).

Preguntas y ejercicios 4.19. Mostrar que, en coordenadas esféricas, las expresiones de los operadores Lx, Ly y Lz están dadas por las ec. (4.35). 4.20. Verificar que, en coordenadas esféricas, las expresiones de los operadores L2, L+ y L− están dadas por las ec. (4.36).

MECÁNICA CUÁNTICA

225

4.2.2. Autovalores y autofunciones de L2 y Lz. Armónicos esféricos Para encontrar los autovalores de Lz, notemos que, en vista de la ec. (4.35c), la ec. (4.39b) puede ser escrita como sigue −iħ ∂Ylm(θ, ϕ)/∂ϕ = m ħ Ylm(θ, ϕ)

(4.40a)

cuya solución es de la forma Ylm(θ, ϕ) = Θlm(θ) Φm(ϕ)

(4.40b)

Φm(ϕ) = eimϕ

(4.40c)

con

Además, como ϕ está comprendido en el intervalo (0, 2π), debe cumplirse que Ylm(θ, ϕ + 2π) = Ylm(θ, ϕ). Por lo tanto, haciendo Ylm(θ, ϕ) = Θlm(θ) eimϕ

(4.40d)

se obtiene eim2π = 1. De modo que m sólo puede tomar los valores m = 0, ±1, ±2,…

(4.40e)

Como vimos en la Sección 4.1.5, los únicos valores posibles de m son m = l, l − 1, l − 2,… −l

(4.41a)

donde l es no negativo. Esto implica que los únicos valores posibles de l son l = 0, 1, 2,…

(4.41b)

226

MARÍA ESTHER BURGOS

La expresión de Yll(θ, ϕ) (con m = l) se obtiene fácilmente a partir de la condición L+ Yll(θ, ϕ) = 0. Resulta L+ Yll(θ, ϕ) = ħ eiϕ (∂/∂θ + i cotθ ∂/∂ϕ) Θll(θ) eilϕ = 0 (4.42a) y

(d/dθ − l cotθ) Θll(θ) = 0

(4.42b)

En consecuencia,

y

Θll(θ) = cl (senθ)l

(4.42c)

Yll(θ, ϕ) = cl (senθ)l eilϕ

(4.42d)

donde la constante cl se calcula a partir de la normalización de Yll(θ, ϕ) en el subespacio ξ(θ, ϕ). Las funciones Ylm(θ, ϕ) reciben el nombre de armónicos esféricos y desempeñan un papel fundamental en los problemas con simetría esférica. Para obtener sus expresiones en los casos en que m ≠ l, partimos de las relaciones de recurrencia (4.32c) y (4.32d) para el momento angular orbital en coordenadas esféricas L± ψnlm(r, θ, ϕ) = [l (l+1) – m (m±1)]1/2 ħ ψnlm(r, θ, ϕ) (4.43) que, en vista de las ec. (4.36b) y (4.36c), pueden escribirse en la forma eiϕ (∂/∂θ − m cotθ) Ylm(θ, ϕ) = [l (l+1) − m (m+1)]1/2 Ylm+1(θ, ϕ)

(4.44a)

MECÁNICA CUÁNTICA

y

227

e−iϕ (−∂/∂θ − m cotθ) Ylm(θ, ϕ) = [l (l+1) − m (m−1)]1/2 Ylm−1(θ, ϕ)

(4.44b)

Una vez conocido uno de los armónicos esféricos Ylm(θ, ϕ), estas relaciones bastan para obtener todos los Ylm(θ, ϕ) que pertenecen al autosubespacio ξ(n, l) con el mismo n y l. Los armónicos esféricos también pueden ser obtenidos con el siguiente método alternativo. Puesto que ∂2Ylm(θ, ϕ)/∂ϕ2 = − m2 Ylm(θ, ϕ), si m = 0 la ecuación de autovalores de L2, dada por (4.39a), queda expresada en la forma −ħ2 [d2/dθ2 + (1/tgθ) d/dθ] Θl0 = l (l + 1) ħ2 Θl0

(4.45a)

que también puede escribirse como sigue (1/senθ) (d/dθ) [senθ dΘ l 0/dθ] + l (l + 1) Θl 0 = 0 (4.45b) De donde, haciendo σ = cosθ y reemplazando Θl0(θ) por Pl(σ) = Θl0(θ), la ecuación anterior toma la forma particularmente simple (d/dσ) [(1 − σ2) dPl/dσ] + l (l + 1) Pl = 0

(4.46a)

conocida como la ecuación diferencial de Legendre. La solución de esta última es proporcional al polinomio de Legendre de orden l Pl (σ) = (dl/dσl) (1 − σ2)l

(4.46b)

228

MARÍA ESTHER BURGOS

Resulta Θl0 (θ) = cl’ [dl/d(cosθ)l] (senθ)2l

(4.46c)

donde cl’ es una constante de normalización. Y, en vista de (4.40d), Yl0(θ, ϕ) = Θl0(θ) = cl’ [dl/d(cosθ)l] (senθ)2l

(4.47)

Las expresiones de los armónicos esféricos con m ≠ 0 pueden obtenerse por aplicación de los operadores L+ y L−, como se hace con el primer método. A continuación figuran las expresiones de los armónicos esféricos normalizados correspondientes a l ≤ 2. Y00(θ, ϕ) = 1/√(4π) Y10(θ, ϕ) = + √(3/4π) cosθ Y1+1(θ, ϕ) = −√(3/8π) senθ e+iϕ Y1−1(θ, ϕ) = +√(3/8π) senθ e−iϕ Y20(θ, ϕ) = + √(5/16π) (3 cos2θ − 1) Y2+1(θ, ϕ) = − √(15/8π) senθ cosθ e+iϕ Y2−1(θ, ϕ) = + √(15/8π) senθ cosθ e−iϕ Y2+2(θ, ϕ) = + √(15/32π) sen2θ e+i2ϕ Y2−2(θ, ϕ) = + √(15/32π) sen2θ e−i2ϕ En la Fig. 4.4 se han representado los diagramas polares de los productos Ylm(θ, ϕ) [Ylm(θ, ϕ)]* para m = ± l y l ≤ 4.

MECÁNICA CUÁNTICA

229

Fig. 4.4. Diagramas polares de los productos Ylm(θ, ϕ) [ Ylm(θ, ϕ)]* para m = ±l y l ≤ 4; notar que Φm(ϕ)[Φm(ϕ)]* = 1.

Preguntas y ejercicios 4.21. Justificar la afirmación de que Ylm(θ, ϕ) = Θlm(θ) Φm(ϕ) con Φm(ϕ) = eimϕ. 4.22. Utilizando la ec. (4.42a) mostrar que se cumple la ec. (4.42b). 4.23. Mostrar que, si m = 0, la ecuación de autovalores de L2 es equivalente a las ec. (4.45). 4.24. Verificar que la ec. (4.46a) es equivalente a las ec. (4.45) y que su solución es de la forma (4.46b). 4.25. Obtener todos los armónicos esféricos pertenecientes al subespacio ξ(l = 2). Utilizando la expresión Y20(θ, ϕ) = +√(5/16π) (3 cos2θ − 1),

230

MARÍA ESTHER BURGOS

4.3. El espín del electrón 4.3.1. Evidencia experimental Examinemos el caso del átomo de H. Un argumento clásico permite afirmar que, si el momento angular del electrón respecto del núcleo es l, el momento magnético del átomo es M = (q/2me) l

(4.48)

donde me es la masa y q la carga del electrón. Cuando el átomo, que es neutro, se ubica en un campo magnético B, la fuerza de Lorentz que actúa sobre él es nula; pero surge una fuerza derivada de la energía magnetostática − M.B, cuya expresión es F = ∇ (M.B)

(4.49a)

Ahora bien, si el campo magnético en la región de interés tiene módulo B y está casi completamente dirigido en una única dirección que llamaremos z (esto es, si |Bx| « B, |By| « B, |Bz| ≈ B), y el momento magnético en dicha región no varía apreciablemente, resulta Fx ≈ 0, Fy ≈ 0 y Fz ≈ Mz dBz/dz

(4.49b)

Notar que en un campo magnético uniforme F se anula. En el experimento de Stern-Gerlach se cumplen las condiciones que acabamos de detallar: se ubican dos magnetos como se indica en la Fig. 4.5; el magneto inferior es norte y el superior sur, de modo que el campo magnético apunta hacia arriba y dBz/dz < 0. Los átomos de H, provenientes de un emisor, pasan a través de esta región del espacio ordinario, son des-

MECÁNICA CUÁNTICA

231

viados en su trayectoria por una fuerza dirigida también en la dirección z y hacen impacto sobre una pantalla. Si Mz es negativo, se desvían hacia arriba, y si Mz es positivo, hacia abajo; ver Fig. 4.5. Veamos cuáles deberían ser los posibles resultados de este experimento si se cumpliera alguna de las siguientes hipótesis: Si el tratamiento clásico fuera válido, tanto lz como Mz podrían tomar todos los valores comprendidos en cierto intervalo; y lo mismo ocurriría con Fz, dada por (4.49b). En consecuencia, la pantalla debería registrar un continuo de impactos en un intervalo correspondiente al máximo y al mínimo Mz.

Fig. 4.5. El experimento de Stern−Gerlach. Proyección en el plano y z. Los átomos son emitidos por el emisor E y recogidos en una pantalla; se ilustra la trayectoria de un átomo con Mz < 0.

232

MARÍA ESTHER BURGOS

Por el contrario, de acuerdo con el tratamiento cuántico, los autovalores de Mz, sólo podrían valer (q/2me) m ħ con m = 0, ± 1,… Y puesto que el aparato de Stern-Gerlach es un dispositivo de medición de Mz, de acuerdo con el Postulado IV de la mecánica cuántica la pantalla debería registrar un número impar de impactos, incluyendo siempre una desviación nula (para m = 0). Más aún, si los átomos de H estuvieran en el estado fundamental, se cumpliría que l = 0 y la pantalla tendría que registrar un único impacto en el centro. Pues bien, ocurre que los resultados del experimento de Stern-Gerlach contradicen ambas hipótesis, ya que sobre la pantalla sólo se presenta un número par de impactos simétricamente ubicados respecto del centro de la misma, y nunca uno que corresponda a una desviación nula. Stern y Gerlach realizaron por primera vez su experimento en 1922, con átomos de plata. Posteriormente el experimento fue repetido por varios investigadores con otros átomos y, en 1927, por Phipps y Taylor con átomos de H. A pesar de que estos átomos estaban en el estado fundamental (con l = 0), se obtuvieron dos marcas sobre la pantalla, lo cual corresponde a j = 1/2. He aquí un momento angular que no es orbital pero que está permitido por la teoría que presentamos en la Sección 4.1.5. Este experimento abrió las puertas a la conclusión de que, además del momento angular orbital, los electrones tienen un momento angular interno o intrínseco, que fue denominado espín. Es usual denotar el correspondiente operador por S (en lugar de J) y asociarle el número cuántico s (en vez de j). La introducción del concepto de espín se debe a Goudsmit y Uhlenbeck en 1925, en relación con el estudio de la estructura fina del espectro óptico del átomo de hidrógeno y otros átomos

MECÁNICA CUÁNTICA

233

alcalinos. La adopción de este concepto explica cualitativamente varios fenómenos y, en particular, el hecho de que el número de marcas sobre la pantalla en un dispositivo de Stern-Gerlach es par. No obstante, cabe destacar que la mera adopción de este concepto no explica por qué la distancia entre las marcas es la que se obtiene experimentalmente. En efecto, reemplazando l (clásico) por el operador L, la ec. (4.48) puede escribirse en la forma ML = gl (q/2me) L

(4.50a)

donde gl, denominado factor giromagnético, toma el valor gl = 1. Pero para obtener un buen acuerdo con los resultados experimentales, cuando se cambia el momento angular orbital L por el momento angular de espín S es preciso escribir MS = gs (q/2me) S

(4.50b)

con gs = 2.

Preguntas y ejercicios 4.26. Verificar que la ec. (4.48) se justifica en base a los siguientes argumentos clásicos: (i) una espira circular de radio r y superficie π r2 que transporta una corriente I produce un momento magnético M perpendicular a la superficie de la espira cuyo módulo es M = I π r2; (ii) la corriente generada por un electrón de carga q que se mueve en un círculo con rapidez v es I = q v/(2 π r); y (iii) el momento angular L de dicho electrón tiene módulo L = me v r, donde me es la masa del electrón.

234

MARÍA ESTHER BURGOS

4.27. Los (pseudo) vectores M y L referidos que figuran en la ec. (4.50a), ¿apuntan siempre en la misma dirección? y ¿tienen siempre el mismo sentido? Justifique sus respuestas. 4.28. Considerar el experimento de Stern-Gerlach ilustrado en la Fig. 4.5. Explicar detalladamente por qué, si Mz es negativo, los átomos se desvían hacia arriba, y si Mz es positivo, se desvían hacia abajo. 4.29. Decir cuántos impactos deberían registrarse en la pantalla del experimento de Stern-Gerlach si se cumpliera la segunda hipótesis explicitada en esta sección (a) para l = 1; y (b) para l = 4.

4.3.2. Operadores y estados en el espacio del espín Sea S el operador que representa el espín del electrón. Puesto que S es un momento angular (esto es, un caso particular de J), sus componentes Sx, Sy y Sz cumplen con las relaciones de conmutación (4.7). Además, como su cuadrado es S 2 = Sx2 + Sy2 + Sz2, se obtienen ecuaciones como las dadas por (4.9) y (4.10). Tal como lo hicimos en el caso general, definiremos los operadores de creación y de destrucción del momento angular de espín, respectivamente por las expresiones

y

S+ = Sx + i S y

(4.51a)

S− = Sx − i S y

(4.51b)

MECÁNICA CUÁNTICA

235

de donde se deducen relaciones análogas a las (4.12), (4.13) y (4.14). Notemos que los operadores Sx, Sy, Sz, S+ y S− actúan en el espacio de los estados del espín del electrón ξs, un espacio de Hilbert de dimensión 2. En la Sección 4.2.1, cuando aún no habíamos introducido el concepto de espín, llamamos ξr al espacio de los estados cuya base es el conjunto {ψnlm(r)} o, lo que es lo mismo, {|n, l, m〉}. Ahora bien, si además de tomar en cuenta A, L2 y Lz, es preciso tomar en cuenta el espín, el conjunto {A, L2, Lz} no es un CC; en este caso el CC es {A, L2, Lz, S2, Sz} y el espacio de los estados del sistema no es ξr sino el producto tensorial ξ = ξr ⊗ ξs. Como dijimos previamente, los resultados experimentales nos llevan a concluir que el espín del electrón vale s = 1/2. Reemplazando J2 por S2, Jz por Sz, j por s y m por ms en las ec. (4.32), resulta

y

S2 |s, ms〉 = s (s+1) ħ2 |s, ms〉

(4.52a)

Sz |s, ms〉 = ms ħ |s, ms〉

(4.52b)

con s = 1/2 y ms = ± 1/2. Es usual escribir los autovectores |s, ms〉 en la forma abreviada

y

|s = 1/2, ms = +1/2〉 = |+〉

(4.53a)

|s = 1/2, ms = −1/2〉 = |−〉

(4.53b)

y, puesto que en el espacio de los estados del espín del electrón Sz es un CC, se cumplen las relaciones de ortonormalidad y clausura

236

y

MARÍA ESTHER BURGOS

〈+|+〉 = 〈−|−〉 = 1

(4.54a)

〈+|−〉 = 0

(4.54b)

|+〉〈+| + |−〉〈−| = I

(4.54c)

La expresión matricial de Sz en la base de sus autovectores es, obviamente, 1 0 Sz = ħ/2 / 0 0 −1

(4.55a)

Asimismo, tomando en cuenta (4.51) es fácil mostrar que Sx = ħ/2 /

0 1

1 0

0

0 Sy = ħ/2 / '

−' 0

0

(4.55b)

y que la expresión matricial de la componente Su = u.S es sen θ e − 'ϕ Su = ħ/2 / 0 sen θ e'ϕ −cos θ cos θ

(4.55c)

donde u es la dirección definida por los ángulos θ y ϕ; ver Fig. 4.3. La proyección al espacio ξs (de los estados del espín) del estado más general del sistema |ψ〉 es |ψs〉 = 〈+|ψ〉 |+〉 + 〈−|ψ〉 |−〉

(4.56)

MECÁNICA CUÁNTICA

237

Es importante destacar que ni los kets |±〉 ni el ket |ψs〉 tienen representación {|r〉}. Recordemos que los operadores que involucran a S2 y Sz actúan únicamente en el subespacio ξ(s) y supongamos que, como ocurre en muchos casos de interés, los operadores que involucran a A, L2 y Lz actúan únicamente en el subespacio ξ(r). En esta situación, y puesto que las cantidades físicas representadas por los operadores A, L2, Lz, S2 y Sz son compatibles, sus autovectores comunes pueden escribirse en la forma {|n, l, m, s, ms〉}, donde |n, l, m, s, ms〉 = |n, l, m〉 ⊗ |s, ms〉

(4.57)

A efectos de tener presente la distinción entre m y ms, en los problemas que involucran tanto el momento angular orbital como el de espín es usual reemplazar m por ml. Entonces, si {an} (n = 1, 2, …) es el conjunto de autovalores de A, las ecuaciones de autovalores comunes al CC {A, L2, Lz, S2, Sz} se escriben

y

A |n, l, ml, s, ms〉 = an |n, l, ml, s, ms〉

(4.58a)

L2 |n, l, ml, s, ms〉 = l (l+1) ħ2 |n, l, ml, s, ms〉

(4.58b)

Lz |n, l, ml, s, ms〉 = ml ħ |n, l, ml, s, ms〉

(4.58c)

S2 |n, l, ml, s, ms〉 = s (s+1) ħ2 |n, l, ml, s, ms〉

(4.58d)

Sz |n, l, ml, s, ms〉 = ms ħ |n, l, ml, s, ms〉

(4.58e)

238

MARÍA ESTHER BURGOS

Hemos dicho que ni los kets |±〉 ni el ket |ψs〉 tienen representación {|r〉}. No obstante, cuando el vector de estado |ψ〉 tiene una forma como la dada por (4.57), su representación {|r, ε〉} (donde ε = ±) puede escribirse en la forma 〈 4, 6 |ψ〉 [ψ(r)] = / 0 〈 4, − |ψ〉

(4.59)

que es la expresión del correspondiente espinor.

Preguntas y ejercicios 4.30. Escribir las relaciones de conmutación de las componentes del espín Sx, Sy y Sz. 4.31. Probar que en el caso del espín se obtienen ecuaciones equivalentes a las dadas por (4.9) y (4.10). 4.32. Deducir las relaciones análogas a las (4.12), (4.13) y (4.14) para el caso del espín. 4.33. Mostrar que las expresiones (4.55) son válidas.

4.4. Simetrías y leyes de conservación Los distintos tipos de simetrías han fascinado la mente humana desde los albores de la historia y desempeñan un papel fundamental en la física. En primer lugar, por cuanto las consideraciones de simetría facilitan enormemente la solución de ciertos problemas; y, además, porque en el dominio de validez

MECÁNICA CUÁNTICA

239

de la física clásica el teorema de Noether prueba que a cada simetría le corresponde una ley de conservación. Lo cual nos induce a sospechar que, en el dominio de validez de la mecánica cuántica, puede ocurrir algo similar. Se dice que un objeto tiene un tipo particular de simetría si es posible realizar cierta operación sin que el objeto resulte modificado. Por ejemplo, como una esfera permanece invariable cuando se la hace girar alrededor de cualquier eje que pase por su centro, decimos que la esfera tiene simetría rotacional. Análogamente, si un proceso es independiente de la región del espacio ordinario en el que se produce, hablamos de simetría de traslación (espacial). Este es, por ejemplo, el caso de los procesos que ocurren en un avión que viaja con velocidad constante; el desarrollo de dichos procesos es exactamente el mismo independientemente de la posición en que se encuentre la aeronave. Para explorar la relación entre simetrías y leyes de conservación en el dominio de validez de la mecánica cuántica, comenzaremos por suponer que existe un operador Õ asociado a cada transformación de simetría particular. Esto es, supondremos que efectuar tal transformación equivale a aplicar el operador Õ a las cantidades físicas y al estado |ψ〉 del sistema, de modo que |ψ〉 cambia a |ψ’〉 = Õ |ψ〉

(4.60)

Ahora bien, si el operador A que representa una determinada cantidad física no se modifica cuando se opera una transformación de simetría particular, resulta Õ A |ψ〉 = A Õ |ψ〉, lo cual implica que [Õ, A] = 0

(4.61a)

240

MARÍA ESTHER BURGOS

En particular, si A es el Hamiltoniano H del sistema [Õ, H] = 0

(4.61b)

de donde, si Õ no depende explícitamente del tiempo, se obtiene dÕ/dt = 0

(4.61c)

Esto es, las simetrías que no modifican H implican la conservación de Õ. Estas breves consideraciones nos serán de utilidad para mostrar cómo la invariabilidad del Hamiltoniano del sistema con respecto a las traslaciones espaciales implica la conservación de la cantidad de movimiento lineal; la invariabilidad del Hamiltoniano con respecto a las rotaciones implica la conservación de la cantidad de movimiento angular; y su invariabilidad con respecto a las traslaciones temporales implica la conservación de la energía. Hay, además, otras leyes de conservación asociadas a la invariabilidad del Hamiltoniano con respecto a otras operaciones de simetría que no serán tratadas en este tema.

4.4.1. Simetría de traslación espacial Sea un sistema de N partículas que se encuentran en las posiciones rk (k = 1, 2,…, N) y que viajan con las cantidades de movimiento lineales pk. La traslación del sistema como un todo transforma las rk en r’k, donde la diferencia r’k − rk toma el

MECÁNICA CUÁNTICA

241

mismo valor para todas las partículas. Si la traslación es denotada por δr, podemos escribir r’k = rk + δr

(4.62)

Llamaremos Õr al operador asociado a este desplazamiento. La aplicación de Õr a la función de onda ψ(r1, r2, …, rN) la transforma en ψ’(r1, r2, …, rN) = ψ(r1+δr, r2+δr, …, rN+δr); y suponiendo que δr es pequeño, podemos hacer la aproximación ψ(r1+ δr, r2+ δr, …, rN+ δr) = ψ(r1, r2, …, rN) + δr . Σk∇k ψ(r1, r2, …, rN) = (1 + δr . Σk∇k) ψ(r1, r2, …, rN)

(4.63a)

Este resultado nos muestra que efectuar la traslación δr equivale a aplicar Õr = 1 + δr . Σk∇k

(4.63b)

a la función de onda ψ(r1, r2, …, rN). Por otra parte, si el Hamiltoniano no se modifica con la traslación δr, se cumple que [Õr, H] = [(δr . Σk∇k) H] – [H (δr . Σk∇k)] = δr . [H, (Σk∇k)] = 0

(4.64)

El operador Σk∇k es proporcional a la suma de los operadores que representan el momento lineal de las partículas que integran el sistema y no depende explícitamente del tiempo. Por lo tanto, la traslación δr conserva el momento lineal del sistema. Además, como una traslación arbitraria (no necesariamente

242

MARÍA ESTHER BURGOS

pequeña) equivale a sucesivas aplicaciones de Õr, queda probado que cualquier traslación que no modifique el Hamiltoniano conserva el momento lineal del sistema.

4.4.2. Simetría de rotación A continuación supondremos que el sistema de N partículas está situado en un región isotrópica, y que gira (como un todo) alrededor de un eje; el ángulo de giro será denotado por δϕ ϕ; ver Fig. 4.6. La posición de la partícula k cambia de rk a r’k, de acuerdo con la relación r’k = rk + δϕ ϕ x rk

(4.65)

Llamaremos Õϕ al operador asociado a esta rotación. Por aplicación de Õϕ la función de onda ψ(r1, r2,…, rN) cambia a ψ’(r1, r2,…, rN) = ψ(r1 + δϕ ϕ x r1, r2 + δϕ ϕ x r2,…, rN + δϕ ϕ x rN). De donde, suponiendo que δϕ ϕ es pequeño podemos hacer la aproximación ψ(r1 + δϕ ϕ x r1, r2+ δϕ ϕ x r2, …, rN + δϕ ϕ x rN) = ψ(r1, r2, …, rN) + Σk (δϕ ϕ x rk) . ∇k ψ(r1, r2, …, rN) = (1 + δϕ ϕ . Σk∇k x rk) ψ (r1, r2, …, rN)

(4.66a)

Esto es, el efecto de la rotación δϕ ϕ es equivalente a la aplicación de Õϕ = 1 + δϕ ϕ . Σk∇k x rk

(4.66b)

MECÁNICA CUÁNTICA

243

Fig. 4.6. Un giro δϕ ϕ alrededor del eje marcado cambia la posición de una partícula situada en r por r + δϕ ϕxr

a la función de onda ψ(r1, r2, …, rN). Por otra parte, si el Hamiltoniano no se modifica con la rotación δϕ ϕ, se cumple que [Õϕ, H] = (δϕ ϕ . Σk∇k x rk) H – H (δϕ ϕ . Σk∇k x rk) = δϕ ϕ . [H, Σk∇k x rk)] = 0

(4.67)

El operador Σkrk x ∇k es proporcional a la suma de los operadores que representan el momento angular de las partículas que integran el sistema y no depende explícitamente del tiempo. Por lo tanto, la rotación δϕ ϕ conserva el momento angular del sistema. Además, como una rotación arbitraria (no necesariamente pequeña) equivale a sucesivas aplicaciones de Õϕ (siempre alrededor del mismo eje), queda probado que cualquier rotación

244

MARÍA ESTHER BURGOS

respecto de un eje que no modifique el Hamiltoniano conserva el momento angular del sistema respecto de dicho eje.

4.4.3. Simetría de traslación temporal A continuación supondremos que el sistema se somete a un proceso que no depende del tiempo de modo que, cuando transcurre el tiempo τ, el vector de estado cambia de |ψ(t)〉 a |ψ’(t)〉 = |ψ(t+τ)〉 = Õt |ψ(t)〉

(4.68)

Esto es, el efecto de la traslación temporal τ (no necesariamente pequeña) equivale a la aplicación de Õt a |ψ(t)〉. Desarrollando |ψ(t+τ)〉 en serie de potencias de τ, obtenemos |ψ(t+τ)〉 = |ψ(t)〉 + τ d|ψ(t)〉/dt + (1/2!) τ2 d2|ψ(t)〉/dt2 + … = exp (τ d/dt) |ψ(t)〉

(4.69a)

y, tomando en cuenta la ecuación de Schrödinger, podemos escribir d/dt = (1/iħ) H

(4.69b)

de donde Õt = exp (τ H/iħ)

(4.69c)

El operador Hamiltoniano representa la energía del sistema. Por lo tanto, si H no depende explícitamente del tiempo,

MECÁNICA CUÁNTICA

245

cualquier traslación temporal τ conserva la energía del sistema.

Para saber más sobre este tema, ver: - D. R. Bes, Quantum Mechanics (Springer−Verlag, Berlin, 2004), Capítulo 5. - C. Cohen-Tannoudji, B. Diu and F. Laloë, Quantum Mechanics (John Wiley & Sons, New York, 1977), Capítulos VI y IX; Complemento AVI. - E. Merzbacher, Quantum Mechanics (John Wiley & Sons, New York, 1998), Capítulo 11. - A. Messiah, Mécanique Quantique (Dunod, Paris, 1965), Capítulo 9. - J. Singh, Quantum Mechanics, (John Wiley & Sons, New York, 1997), Capítulo 6.

246

MARÍA ESTHER BURGOS

MECÁNICA CUÁNTICA

247

TEMA 5. EL ATOMO DE H 5.1. El potencial central: 5.1.1. Hipótesis fundamentales. 5.2. El átomo de H libre: 5.2.1. El modelo de Bohr. 5.2.2. El Hamiltoniano del átomo de H libre. 5.2.3. Soluciones de la ecuación radial. 5.2.4. Números cuánticos y degeneración de los autovalores del Hamiltoniano. Notación espectroscópica. 5.3. El átomo de H en un campo magnético uniforme: 5.3.1. Modificación del Hamiltoniano y órdenes de magnitud de los distintos términos. 5.3.2. Los términos paramagnético y diamagnético. 5.4. El efecto Zeeman: 5.4.1. Modificación de los niveles de energía. 5.4.2. El momento dipolar del átomo.

5.1. El potencial central 5.1.1. Hipótesis fundamentales Consideremos un sistema de dos partículas. Si la única fuerza presente es la que resulta de la interacción entre ellas, y si esta fuerza depende sólo de la distancia que las separa, el sistema puede ser tratado como el de dos partículas ficticias, una de ellas libre y la otra sometida a un potencial central. Además de la relativa simplicidad del tratamiento de este problema, su importancia radica en que es uno de los pocos que tienen soluciones exactas (y esto, para ciertos potenciales). Pues ocurre que, en mecánica cuántica, la mayoría de los problemas de interés requieren de aproximaciones. En primer lugar, nos situaremos en el marco de validez de la física clásica. Si suponemos que las partículas de masa m1 y

248

MARÍA ESTHER BURGOS

m2 están respectivamente situadas en las posiciones r1 y r2, una de las partículas ficticias tiene la masa total del sistema M = m1 + m2

(5.1a)

se ubica en la posición rM = (m1 r1 + m2 r2)/( m1 + m2)

(5.1b)

y se comporta como una partícula libre; la otra tiene la masa reducida µ = m1 m2/(m1 + m2)

(5.2a)

está en la posición r = r1 − r2

(5.2b)

y evoluciona en un potencial cuyo centro coincide con rM. La hipótesis fundamental de este tratamiento es que la fuerza de interacción entre las partículas y, en consecuencia, el correspondiente potencial de interacción, depende solamente de r = |r1 − r2|. Esto implica que el potencial de interacción entre las partículas que integran el sistema tiene la forma V(r1, r2) = V(r)

(5.3)

De este modo, el problema de dos partículas se reduce al problema de una partícula sometida a un potencial central (esféricamente simétrico). En el dominio de la mecánica cuántica, el método del potencial central tiene numerosas aplicaciones: el estudio del áto-

MECÁNICA CUÁNTICA

249

mo de H, de sus isótopos neutros (deuterio y tritio), del muonio, del positronio, y de iones hidrogenoides (que tienen un solo electrón). Mediando ciertas hipótesis adicionales, este método puede ser también de utilidad en el estudio del átomo de He, de algunos átomos pesados, de ciertas propiedades de las moléculas (como la hibridación de orbitales), y en el dominio de la física del sólido.

Preguntas y ejercicios 5.1. Calcular la masa reducida del tritio, del positronio, y del Li++. 5.2. Decir qué origen tiene la fuerza de interacción entre las partículas que componen cada uno de los sistemas referidos en el ejercicio anterior: ¿gravitatorio, eléctrico u otro?

5.2. El átomo de H libre 5.2.1. El modelo de Bohr En 1913 Bohr presentó un modelo del átomo de H basado en los siguientes postulados: (i)

Los electrones de los átomos se mueven en órbitas circulares alrededor del núcleo; dicho movimiento es regido por las leyes de la física clásica.

(ii)

Sólo las órbitas para las cuales el momento angular es un múltiplo entero de ħ están permitidas; las restantes, y que

250

MARÍA ESTHER BURGOS

de acuerdo con la física clásica serían posibles, están prohibidas. (iii) Un electrón en una órbita permitida (esto es, con movimiento circular, lo cual conlleva una aceleración) no radia energía electromagnética; en consecuencia su energía total se conserva. (iv) Cuando un electrón pasa, en forma discontinua, de una a otra órbita permitida, emite una radiación electromagnética de frecuencia ν = (Ei − Ef)/ħ, donde Ei y Ef son, respectivamente, las energías del electrón en las órbitas inicial y final. El modelo de Bohr no es precisamente cuántico, pero representó un paso importante hacia el desarrollo de la mecánica cuántica. Uno de sus logros es que permitió explicar el origen de las líneas de emisión y de absorción del átomo de H, un tema que intrigaba a los científicos de la época. Y este modelo sigue siendo una referencia obligada en el estudio del átomo de H, entre otras razones, porque introduce de manera natural ciertos parámetros que continúan desempeñando un papel fundamental en el tratamiento cuántico del problema. Los presentamos a continuación. Consideremos un electrón que se mueve con rapidez constante v en un círculo de radio r alrededor del protón, que supondremos fijo. La fuerza de atracción coulombiana entre el electrón y el protón provee una fuerza centrípeta de módulo me v2/r, donde me es la masa del electrón. Por lo tanto, se cumple que me v2/r = (q2/4πε0) (1/r2)

(5.4a)

MECÁNICA CUÁNTICA

251

donde q es la carga del electrón y ε0 la constante dieléctrica del vacío. La energía potencial de dicho electrón es V(r) = − (q2/4πε0) (1/r)

(5.4b)

su energía total es E = me v2/2 − (q2/4πε0) (1/r)

(5.4c)

y, como en las órbitas permitidas el momento angular es un múltiplo entero de ħ, resulta me v r = n ħ

(5.4d)

Es importante destacar que, como el momento angular puede tomar sólo ciertos valores, lo mismo ocurre con los radios, las rapideces y las energías de los electrones en las órbitas permitidas. Los mismos serán respectivamente denotados por rn, vn y En. Introduciendo los parámetros e2 = q2/4πε0

(5.5a)

a = ħ2/ me e2

(5.5b)

que recibe el nombre de radio de Bohr, v0 = e2/ħ

(5.5c)

EI = me e4/2ħ2

(5.5d)

252

MARÍA ESTHER BURGOS

que, como veremos a continuación, es la energía de ionización del átomo de H, es fácil mostrar que los valores de rn, vn y En correspondientes a la órbita n son

y

rn = n2 a

(5.6a)

vn = v0/n

(5.6b)

En = − EI/n2

(5.6c)

En la primera órbita, correspondiente al estado fundamental del átomo, n = 1. El radio de esta órbita es el radio de Bohr; esto es r1 = a ≈ 0,52 Ǻ

(5.7a)

y la energía del electrón en esa órbita es E1 = − EI ≈ − 13,6 eV

(5.7b)

Esto implica que EI es la energía necesaria para ionizar el átomo de H cuando se encuentra en su estado fundamental. Para tomar en cuenta que el protón no permanece fijo sino que, como el electrón, evoluciona alrededor del centro de masa de dichas partículas, basta con reemplazar me por la masa reducida del electrón y el protón. Los números así obtenidos difieren en menos del 0,1% de los previamente reportados.

MECÁNICA CUÁNTICA

253

Preguntas y ejercicios 5.3. Explicar cómo el modelo de Bohr del átomo de H contradice los postulados de la mecánica cuántica. 5.4. Tomando en cuenta las definiciones dadas por (5.5), mostrar que las expresiones de rn, vn y En dadas por (5.6) son válidas. 5.5. ¿Por qué es razonable llamar energía de ionización del átomo de H a EI? 5.6. Justifique la afirmación de que los resultados obtenidos cuando se toma en cuenta el movimiento del protón difieren en menos del 1 por 1000 de los reportados en esta sección.

5.2.2. El Hamiltoniano del átomo de H libre El átomo de H es un sistema de dos partículas: el protón, cuya masa será denotada por mp, y el electrón, cuya masa es me. En ausencia de todo campo externo, la única fuerza que actúa sobre ambas partículas es la que se deriva del potencial coulombiano dado por (5.4b). El problema del átomo de H se reduce, por tanto, al de dos partículas ficticias: una libre (el átomo como un todo) de masa M = mp + me y la otra de masa µ = mp me/(mp + me) sometida a un potencial central. Cabe destacar que, como la relación entre la masa del protón y la del electrón es mp/me ≈ 1.836, µ ≈ me, la posición de la partícula ficticia libre coincide aproximadamente con la del protón y la de la partícula ficticia de masa µ con la del electrón. En el tratamiento que sigue nos ocuparemos sólo de esta última y no tomaremos en cuenta su espín.

254

MARÍA ESTHER BURGOS

Como el potencial V(r) tiene simetría esférica, el Hamiltoniano no se modifica con ninguna rotación del sistema; esto implica que el momento angular L es una constante de movimiento (ver Sección 4.4.2). Además, como no estamos tomando en cuenta el espín, el conjunto {H, L2, Lz} es un CC. Los autovectores comunes a los observables H, L2 y Lz, que denotaremos por |ψνlm〉, satisfacen las ecuaciones de autovalores

y

H |ψνlm〉 = Eνlm |ψνlm〉

(5.8a)

L2 |ψνlm〉 = l (l + 1) ħ2 |ψνlm〉

(5.8b)

Lz |ψνlm〉 = m ħ |ψνlm〉

(5.8c)

donde Eνlm, l (l + 1) ħ2 y m ħ son respectivamente los autovalores de los operadores H, L2 y Lz. En un sistema de referencia fijo al centro de masa de las partículas y en la representación {|r〉}, el Hamiltoniano del átomo de H es H = [(−ħ2/2µ) ∇2 + V(r)]

(5.9a)

Como en coordenadas esféricas ∇2 = (1/r) (∂2/∂r2) r + (1/r2 sen θ) (∂/∂θ) sen θ (∂/∂θ) + (1/r2sen2θ) (∂2/∂ϕ2) y

(5.9b)

L2 = −ħ2 [(∂2/∂θ2) + (1/tgθ) (∂/∂θ) + (1/sen2θ (∂2/∂ϕ2)] (5.9c)

MECÁNICA CUÁNTICA

255

(ver Sección 4.2.1), podemos escribir H = (−ħ2/2µr) (∂2/∂r2) r + (1/2µr2) L2 +V(r)

(5.9d)

Asimismo, en la representación {|r〉} y en coordenadas esféricas, los autovectores |ψνlm〉 se escriben ψνlm(r, θ, ϕ) = 〈r|ψνlm〉 y las ecuaciones de autovalores de H, L2 y Lz son

y

H ψνlm(r, θ, ϕ) = Eνlm ψνlm(r, θ, ϕ)

(5.10a)

L2 ψνlm(r, θ, ϕ) = l (l + 1) ħ2 ψνlm(r, θ, ϕ)

(5.10b)

Lz ψνlm(r, θ, ϕ) = m ħ ψνlm(r, θ, ϕ)

(5.10c)

Por lo tanto, haciendo ψνlm(r, θ, ϕ) = Rνlm(r) Ylm(θ, ϕ) (ver Secciones 4.2.1 y 4.2.2), se obtiene L2 Rνlm(r) Ylm(θ, ϕ) = l (l + 1) ħ2 Rνlm(r) Ylm(θ, ϕ) (5.11a) y

Lz Rνlm(r) Ylm(θ, ϕ) = m ħ Rνlm(r) Ylm(θ, ϕ)

(5.11b)

Ahora bien, puesto que tanto L2 como Lz actúan únicamente sobre la parte angular de las funciones que representan el estado del sistema, podemos escribir estas últimas ecuaciones en la forma

y

L2 Ylm(θ, ϕ) = l (l + 1) ħ2 Ylm(θ, ϕ)

(5.12a)

Lz Ylm(θ, ϕ) = m ħ Ylm(θ, ϕ)

(5.12b)

Sus soluciones son los armónicos esféricos presentados en el Tema 4.

256

MARÍA ESTHER BURGOS

Tomando en cuenta las ec. (5.9d) y (5.10), vamos a expresar la ecuación de autovalores del Hamiltoniano en la forma (− ħ2/2µr) (∂2/∂r2) [rRνlm(r)] Ylm(θ, ϕ) + (1/2µr2) l (l + 1) ħ2 Rνlm(r) Ylm(θ, ϕ) + V(r) Rνlm(r) Ylm(θ, ϕ) = Eνlm Rνlm(r) Ylm(θ, ϕ)

(5.13a)

En esta ecuación pueden suprimirse los armónicos esféricos Ylm(θ, ϕ) y (∂2/∂r2) puede ser reemplazada por (d2/dr2). Además, como los operadores que en ella figuran no dependen de m, ni los autovalores Eνlm ni las autofunciones Rνlm(r) pueden depender de m. En consecuencia, obtenemos (− ħ2/2µr) (d2/dr2) [rRnl(r)] + (1/2µr2) l (l + 1) ħ2 Rνl(r) + V(r) Rνl(r) = Eνl Rνl(r)

(5.13b)

que es la denominada ecuación radial del átomo de H. Como ya conocemos los armónicos esféricos Ylm(θ, ϕ), para encontrar las autofunciones ψνlm(r, θ, ϕ) = Rνl(r) Ylm(θ, ϕ) basta con resolver esta última ecuación.

Preguntas y ejercicios 5.7. ¿Cómo se modificaría el tratamiento de esta sección si el sistema estuviera constituido por dos partículas de masas comparables?

MECÁNICA CUÁNTICA

257

5.8. Mencionar al menos dos potenciales para los cuales es posible escribir la ecuación de autovalores del Hamiltoniano en la forma dada por (5.13b).

5.2.3. Soluciones de la ecuación radial Comenzaremos por definir la función Ŕνl(r) = r Rνl(r)

(5.14a)

e introducirla en la ec. (5.13b). Multiplicando ambos miembros por r, resulta [(− ħ2/2µ) (d2/dr2) + l (l + 1) (ħ2/2µr2) + V(r)] Ŕνl(r) = Eνl Ŕνl(r)

(5.14b)

Notemos que la suma de los dos últimos términos del miembro de la izquierda desempeña el papel del potencial efectivo Vef = V(r) + l (l + 1) (ħ2/2µr2)

(5.15)

Cuando tratamos el caso del pozo rectangular de potencial, vimos que, cuando la energía no supera la profundidad del pozo, esto es, si la región clásicamente permitida abarca sólo una parte del eje, el espectro de autovalores del Hamiltoniano es discreto; y que, por el contrario, si la energía supera dicha profundidad, los autovalores del Hamiltoniano se sitúan en un continuo; ver Sección 3.1.3. Esta es una característica de todos los sistemas cuánticos y, en particular, del átomo de H (cuyo potencial efectivo es el de un pozo no rectangular). Esto implica que, en el caso que nos ocupa, si E < 0, el espectro del Hamiltoniano es discreto y tenemos estados ligados; y si la energía es

258

MARÍA ESTHER BURGOS

E > 0, el espectro del Hamiltoniano es continuo; ver Fig. 5.1. Esta última situación se presenta cuando el electrón está lo suficientemente alejado del protón: como la interacción entre ambas partículas es prácticamente nula, Vef ≈ 0. En lo que sigue no nos ocuparemos de esta situación. Si l ≠ 0, el potencial efectivo dado por (5.15) presenta la forma de una barrera de altura infinita (impenetrable) en r = 0.

Fig. 5.1. Representación del potencial efectivo Vef(r) del átomo de H cuando l > 0. El espectro de Hamiltoniano es discreto para E < 0 y contínuo para E > 0. En el primer caso, la región clásicamente permitida abarca el intervalo (r2 , r3); en el segundo, el intervalo (r1 , ∞)

MECÁNICA CUÁNTICA

259

Lo cual nos induce a pensar que Ŕνl≠0(r) → 0 para r → 0. Tomando en cuenta este argumento, supondremos que, en la proximidad del origen, la solución de la ec. (5.14b) puede escribirse como una serie de Taylor de la cual, en primera instancia, conservaremos sólo el término no nulo de orden más bajo. Esto es, admitiremos que para r → 0 dicha solución tiene la forma Ŕνl(r) = C rγ

(5.16a)

donde γ es un número entero no negativo y C es una constante. Sustituyendo Ŕνl(r) en la ec. (5.14b), e igualando los coeficientes del término dominante, resulta γ (γ − 1) = l (l + 1)

(5.16b)

Esta última ecuación tiene dos soluciones: γ = l + 1 y γ = − l, pero descartaremos la segunda porque γ debe ser positivo. Un argumento más elaborado y que no presentaremos en este tema, permite probar que γ = l + 1 en cualquier caso, inclusive si l = 0. En consecuencia, en la proximidad del origen se cumple que Ŕνl(r) = C r(l+1)

(5.16c)

Veamos a continuación el comportamiento asintótico de Ŕνl(r). Puesto que el potencial coulombiano es V(r) = −e2/r, para r → ∞ podemos despreciar el segundo y tercer término del primer miembro de la ec. (5.14b) y obtenemos [(ħ2/2µ) (d2/dr2) + Eνl] Ŕνl(r) = 0

(5.17)

260

MARÍA ESTHER BURGOS

Esta ecuación tiene dos soluciones linealmente independientes: e−βr y eβr, donde β es una constante positiva. Como la segunda de ellas diverge en el infinito, debe ser descartada. Es conveniente escribir la ec. (5.14b) en forma adimensional. A tal efecto, haremos

y

ρ = r/a

(5.18a)

βνl = +√(− Eνl/EI)

(5.18b)

recordar que, como Eνl < 0, la constante βνl es real y positiva. Introduciendo estos parámetros en la ec. (5.14b) y tomando en cuenta que V(r) = − e2/r, se obtiene {(d2/dρ2) − [l (l + 1) (1/ρ2)]}Ŕνl(ρ) + (2/ρ − βνl2) Ŕνl(ρ) = 0

(5.19)

Hemos dicho que en la proximidad del origen la solución de esta ecuación tiene la forma Ŕνl(ρ) = C ρ(l+1) y que para ρ → ∞ es proporcional a e−βρ. Tomando en cuenta estos argumentos, pondremos a prueba una solución (para el semieje completo de ρ) que, además de estos factores, contiene un desarrollo en serie de Taylor, como se explicita a continuación: Ŕνl(ρ) = ρ(l+1) [∑k ck ρk] exp(−βνlρ) = [∑k ck ρk+l+1] exp(−βνlρ)

(5.20)

(k = 0, 1, 2…) donde c0 es el primer coeficiente no nulo de este desarrollo (lo cual implica que c0 ≠ 0). Derivando dos veces la función Ŕνl(ρ), introduciéndola en la ec. (5.19) y simplificando, obtenemos

MECÁNICA CUÁNTICA

261

∑k ck (k + l + 1) (k + l) ρk+l−1 − 2βνl ∑k ck (k + l + 1) ρk+l − l (l + 1) ∑k ck ρk+l−1 + 2 ∑k ck ρk+l = 0

(5.21)

Vamos a ordenar las potencias de ρ como sigue: ρl−1, ρl, ρl+1,… , ρl+k−1, ρl+k… Ahora bien, para que esta ecuación se cumpla, todos los coeficientes de tales potencias deben anularse. Lo cual implica que c0 (l + 1) l − l (l + 1) c0 = 0

(5.22a)

c1 (l + 2) (l + 1) − 2βνl c0 (l + 1) – l (l + 1) c1 + 2 c0 = 0 y

(5.22b)

ck (k + l + 1) (k + l) − 2βνl ck−1 (k + l) − ck l (l + 1) + 2ck−1 = 0

(5.22c)

etc. Esta última es una relación de recurrencia que nos permite obtener todos los coeficientes c1, c2,… ck… a partir de c0. Veamos ahora qué ocurre para k → ∞. De acuerdo con (5.22c), el cociente ck/ck−1 = → 2βνl/k

(5.23a)

Pero, por otra parte, exp(2βνlρ) = ∑k gk ρk

(5.23b)

donde gk = (2βνl)k/k!

(5.23c)

262

MARÍA ESTHER BURGOS

De modo que, si k → ∞, gk/gk−1 = 2βνl/k

(5.23d)

Como en el límite k → ∞, ck/ck−1 coincide con gk/gk−1, concluimos que, en dicho límite,

y

∑k ck ρk+l → exp(2βνlρ)

(5.24a)

Ŕνl(ρ) → exp(2βνlρ) exp(−βνlρ) = exp(βνlρ)

(5.24b)

Esta solución es inadmisible por cuanto diverge para ρ → ∞. Por el contrario, si la sucesión c0, c1, c2,… ck,… se anula para un cierto k = κ, la ec. (5.22c) garantiza que los coeficientes con k > κ también se anulan y la serie entre corchetes que figura en la ec. (5.20) no diverge. Por lo tanto, supondremos que ck