Mecánica 2 - Ortega Giron

Lecciones de Física Mecánica 2

Manuel R. Ortega Girón

Departamento de Física Aplicada. Universidad de Córdoba.

Lecciones de Física

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Lecciones de Física (Mecánica 2) Novena edición: enero 2006

© Copyright. Reservados todos los derechos. Ninguna parte de este libro puede ser reproducida por cualquier medio, incluidas las fotocopias, sin el permiso por escrito del autor.

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Manuel R. Ortega Girón

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Manuel R. Ortega Girón CL Santa Cruz, 10 14.012 Córdoba. España. Tfnos.: +34-957 280 051 (particular) +34-957 218 483 (departamento) Fax: +34-957 218 483 e-mail: [email protected] http://www.uco.es/~fa1orgim

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Reprografía Don Folio Córdoba. España.

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84-398-9218-7 CO. 1400-1988

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Mecánica

A Estela y Olga

Desde la infancia he sido criado en el estudio de las letras y, como quiera que me aseguraban que por medio de éstas se podía adquirir un conocimiento claro y seguro de todo aquello que es útil para la vida, yo tenía un vivísimo deseo de aprenderlas. Pero cuando acabé el curso de los estudios, al finalizar los cuáles es costumbre ser admitido en la jerarquía de los doctos, cambié enteramente de opinión. Por que me encontraba turbado y confuso entre tantas dudas y errores que me parecía no haber obtenido otro provecho, al procurar instruirme, que el descubrir cada vez mejor mi ignorancia. RENÉ DESCARTES (1596-1650) El Discurso del Método.

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Lecciones de Física.

Prólogo del autor

Este libro está destinado a los alumnos de Primer Ciclo de las Facultades de Ciencias y Escuelas Técnicas. Durante su elaboración he pretendido la consecución de dos objetivos principales que entiendo que deben orientar la docencia de las asignaturas de Física de Primer Ciclo de los estudios universitarios: familiarizar al alumno con el conjunto de los conceptos y leyes básicas que constituyen la esencia de la Física y desarrollar en el estudiante la habilidad para manejar esas ideas y para aplicarlas a situaciones concretas. Además, creo que estas asignaturas, y muy especialmente la asignatura correspondiente al Primer Curso Universitario, deben proponerse unos objetivos de cimentación y estructuración de los conocimientos adquiridos en los cursos de enseñanza media. A lo largo de los sucesivos cursos en los que he participado en la docencia de la Física de Primer Ciclo, en las Universidades de Sevilla, Autónoma de Barcelona y Córdoba, he tenido ocasión de ir perfilando los programas de las asignaturas que se imparten a este nivel, tratando de encontrar el punto de equilibrio entre la extensión de los programas y el nivel y profundidad en el tratamiento de cada uno de los temas. Durante este proceso de estructuración y perfeccionamiento, siempre he tenido muy presente que los programas de estas asignaturas, aunque pueden plantearse de muy diversas formas, con enfoques diferentes, con una gran variedad en cuanto a sus contenidos, ... de ningún modo pueden ser una simple suma de temas inconexos o poco relacionados entre sí, por muy interesantes y bien estructurados que estén cada uno de ellos. Entiendo que el propósito primario de estas asignaturas debe ser dar al estudiante una visión unificada de la Física a través de la compresión de los conceptos, leyes y principios que constituyen el aspecto más fundamental de esta ciencia. Por supuesto que conozco muchos y excelentes libros adecuados a este nivel, que satisfacen en gran medida los requisitos anteriormente expuestos; pero la mayor parte de ellos son de procedencia foránea, lo que los distancia, hasta cierto punto, de la problemática de la enseñanza en nuestras Universidades. Para soslayar este inconveniente, los profesores suelen recurrir a recomendar a sus alumnos varios libros de texto, como complemento de los apuntes que éstos tomen en clase. Sin embargo, pienso que se facilita enormemente el aprovechamiento de las clases cuando el alumno puede disponer de un texto de base, aunque ello no implique la renuncia a la consulta de otros libros de texto y de obras más especializadas. Fruto de esta convicción es el presente libro, que será completado con otros tomos, preparados en colaboración con colegas de otras Universidades españolas, hasta cubrir los

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Prólogo

contenidos que normalmente se desarrollan en las disciplinas de Física de Primer Ciclo de nuestras Facultades y Escuelas Técnicas. No debería considerarse esta obra como un libro más de Física General, en la acepción que tradicionalmente tiene esta denominación, ya que tanto su nivel como su extensión son notablemente superiores a los que encontramos normalmente en los libros de texto de tal denominación. Mi intención ha sido desarrollar un programa en el que tengan cabida aquellos temas de la Física Clásica que configuran los contenidos de la Física que se enseña en los primeros cursos universitarios, en sus vertientes científica y técnica, prestando una atención especial a la asignatura de Primer Curso, de modo que los profesores puedan seleccionar los temas que sean apropiados a los Planes Docentes de sus Centros. Incluso algunas Lecciones de esta obra, que normalmente se incluyen en el programa de la asignatura de Primer Curso, tienen un nivel algo superior al que normalmente encontramos en los textos de Física General. De este modo, el profesor podrá graduar el nivel de sus enseñanzas al de la preparación previa de sus alumnos, evitando así que la Física que se enseña en los primeros cursos universitarios sea, en algunos casos, una mera repetición de la correspondiente al Curso de Orientación Universitaria. No puedo dejar de expresar mi agradecimiento a todos aquellos compañeros que de un modo u otro han colaborado en la preparación de este libro, muy especialmente a mis amigos y colegas los Dres. José A. Ibáñez Mengual (U. Murcia) y Alejo Vidal-Quadras Roca (UAB), cuyas acertadas sugerencias y útiles intercambios de puntos de vista me han resultado muy provechosos, y a mis compañeros en las tareas docentes, los Dres. C. Baixeras (UAB), D. Baró (UAB), S. Bordas (UAB), A. Coronas (U. Tarragona), C. Domingo (UAB), F. González (U. Granada), F. Fernández (UAB), A. Hernández (U. Valladolid), J.I. Jiménez (U. Granada), E. Martín (U. Murcia), R. Perea (E.U. Jaén), L.F. Sanz (U. Valladolid), S. Suriñach (UAB) y M.A. Villamañán (U. Valladolid), por la buena acogida que han dispensado a estas Lecciones de Física y por sus útiles comentarios y sugerencias. Córdoba, Enero 2006.

Lecciones de Física Mecánica 2

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Índice de materias.

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I.

II.

III.

IV.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40.

Álgebra vectorial. Vectores deslizantes. Análisis vectorial. Cinemática de la partícula. Cinemática del sólido rígido. Principios de la Mecánica Clásica. La ley de la inercia. Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación de la cantidad de movimiento. Las fuerzas de la Naturaleza. Sistemas de referencia en rotación. Trabajo y energía. Conservación de la energía. Momento angular. Fuerzas centrales. Movimiento armónico simple. Oscilaciones amortiguadas y forzadas. Superposición de movimientos armónicos simples. Geometría de masas. Sistemas de partículas. Sistemas de masa variable. El problema de 2-cuerpos. Colisiones. Estática del sólido rígido. Dinámica del sólido rígido. Trabajo y energía en el movimiento general del sól. ríg. Ecuaciones de Euler. Dinámica impulsiva del sólido rígido. La ley de la Gravitación Universal. El campo gravitatorio. Elementos de elasticidad. Elastostática. Estática de los fluidos. Tensión superficial. Cinemática de los fluidos. Dinámica de los fluidos ideales. Dinámica de los fluidos reales. Flujo viscoso. Ondas progresivas. Fenómenos ondulatorios en medios ilimitados. Fenómenos ondulatorios en medios limitados. Ondas estacionarias. Acústica física. Acústica musical y arquitectónica. Apéndices.

Índice de materias

CÁP. IV.- OSCILACIONES. 13.- Movimiento armónico simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 §13.1. Movimiento periódico. Oscilaciones (363); §13.2. Cinemática del movimiento armónico simple (364); §13.3. Representación de Fresnel del m.a.s (368); §13.4. Dinámica del movimiento armónico simple (370); §13.5. Energía en el m.a.s. (371); §13.6. Energías cinética y potencial medias (373); §13.7. Oscilaciones en las proximidades del equilibrio (375); §13.8. Sistema masa-muelle (380); §13.9. Péndulo simple (385); §13.10. Solución exacta del problema del péndulo (388); §13.11. Péndulo cicloidal (391); Problemas (392) 14.- Oscilaciones amortiguadas y forzadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 §14.1. Rozamiento (398); §14.2. Oscilador armónico amortiguado (399); §14.3. Amortiguamiento débil (400); §14.4. Disipación de energía (402); §14.5. Factor de calidad (404); §14.6. Amortiguamiento crítico (405); §14.7. Sobreamortiguamiento (406); §14.8. Oscilaciones forzadas (407); §14.9. Absorción de potencia. Resonancia (412); §14.10. Impedancia de un oscilador (420); Problemas (424) 15.- Superposición de movimientos armónicos simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429 §15.1. Principio de superposición (429); §15.2. Teorema de Fourier (432); §15.3. Convergencia de las series de Fourier (436); §15.4. Fuerzas impulsoras periódicas (436); §15.5. Superposición de dos m.a.s. en una dimensión (439); §15.6. Superposición de dos m.a.s. en direcciones perpendiculares (444); Problemas (452) CÁP. V.- DINÁMICA DE LOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS. 16.- Geometría de masas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 §16.1. Distribuciones discretas y continuas de materia (457); §16.2. Centro de masa (458); §16.3. Teoremas concernientes al centro de masa (461); §16.4. Momentos de inercia (470); §16.5. Radio de giro (472); §16.6. Productos de inercia (472); §16.7. Matriz de inercia (473); §16.8. Teoremas concernientes a los momentos y productos de inercia (474); §16.9. Teoremas de Steiner (477); §16.10. Momento de inercia respecto a un eje cualquiera (479); Problemas (485) 17.- Sistemas de partículas. Leyes de conservación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489 §17.1. El problema de los N-Cuerpos (490); §17.2. Cantidad de movimiento (492); §17.3. Conservación de la cantidad de movimiento (493); §17.4. Movimiento del centro de masa (495); §17.5. Sistema de referencia del centro de masa (497); §17.6. Momento angular (498); §17.7. Conservación del momento angular (503); §17.8. Momentos angulares orbital e interno (505); §17.9. Energía cinética (508); §17.10. Energía potencial (510); §17.11. Conservación de la energía (512); Problemas (515)

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x

Índice de materias

18.- Sistemas de masa variable. El problema de 2-cuerpos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 519 §18.1. Sistemas de masa variable (519); §18.2. Fundamentos de la propulsión de los cohetes (522); §18.3. El problema de dos cuerpos (525); §18.4. Masa reducida (528); §18.5. Momento angular y energía cinética (529); §18.6. Oscilaciones de dos cuerpos (531); §18.7. Movimiento en el Sistema Solar (534); Problemas (536) 19.- Colisiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541 §19.1. Colisiones (541); §19.2. Dinámica impulsiva de la partícula (543); §19.3. Colisiones frontales. Coeficiente de restitución (545); §19.4. Colisiones oblicuas (549); §19.5. Descripción de la colisión en el referencial del centro de masa (551); §19.6. Transformación de ángulos (557); §19.7. Balance energético en las colisiones. Definición del Q (560); §19.8. Estudio de las colisiones en función del Q (566); §19.9. Algo más acerca de las colisiones elásticas (568); §19.10. Reacciones (573); §19.11. Umbral de reacción (575); §19.12. Ecuación del Q (576); Problemas (577) CÁP. VI.- DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO. 20.- Estática del sólido rígido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §20.1. Estática (587); §20.2. Equilibrio del sólido rígido (588); §20.3. Fuerzas aplicadas a un sólido rígido (589); §20.4. Ecuaciones cardinales de la estática (590); §20.5. Centro de gravedad (592); §20.6. Sistemas con ligaduras. Grados de libertad (594); §20.7. Estática del sólido rígido sujeto a ligaduras (596); §20.8. Diagrama del cuerpo libre (600); §20.9. Estática de un sistema de cuerpos rígidos (602); §20.10. Concepto de desplazamiento virtual (604); §20.11. Principio de los trabajos virtuales (605); Problemas (611) 21.- Dinámica del sólido rígido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §21.1. Movimiento de traslación del sólido rígido (620); §21.2. Momento angular del sólido rígido. Coeficientes de inercia (621); §21.3. Tensor de inercia (623); §21.4. Momentos angulares orbital e intrínseco (625); §21.5. Ejes principales de inercia (626); §21.6. Movimiento de rotación del sólido rígido alrededor de un eje fijo (630); §21.7. Péndulo físico. Teorema de Huygens (632); §21.8. Conservación del momento angular (636); §21.9. Movimiento giroscópico. El trompo (640); §21.10. El giroscopio (643); §21.11. Aplicaciones del movimiento giroscópico (645); Problemas (648) 22.- Trabajo y energía en el movimiento general del sólido rígido. . . . . . . . . . . . . §22.1. Energía cinética del sólido rígido (655); §22.2. Energía cinética de rotación (657); §22.3. Eje instantáneo de rotación y deslizamiento (660); §22.4. Rodadura (661); §22.5. Resistencia a la rodadura (663); §22.6. Expresión del trabajo (666); §22.7. Teorema de la energía cinética (667); §22.8. Conservación de la energía (668); Problemas (673) 23.- Ecuaciones de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §23.1. Ecuaciones del movimiento en un referencial solidario (679); §23.2. Ecuaciones de Euler (683); §23.3. Movimiento libre del sólido rígido (685); §23.4. Peonza esférica (686); §23.5. Peonza simétrica (686); §23.6. Precesión del eje de rotación de la Tierra (690); §23.7. Estabilidad de la rotación (691); Problemas (694) 24.- Dinámica impulsiva del sólido rígido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §24.1. Dinámica impulsiva del sólido rígido (697); §24.2. Percusión y percusión angular (697); §24.3. Ecuaciones fundamentales de la dinámica impulsiva (698); §24.4. Movimiento plano. Teorema del centro de percusión (700); §24.5. Percusiones sobre un sólido ligado (702); §24.6. Percusiones sobre un sólido con un punto fijo (703); §24.7. Percusiones sobre un sólido con un eje fijo (705); §24.8. Colisiones.

587

619

655

679

697

Índice de materias

xi

Coeficiente de restitución (707); §24.9. Ecuación simbólica de la dinámica impulsiva (712); §24.10. Teorema de Carnot (712); Problemas (715) APÉNDICES. A.- Resultados de los problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721 B.- Índice alfabético. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737

xii

Índice de materias

Capítulo IV.

Oscilaciones.

13.- Movimiento armónico simple.

363

14.- Oscilaciones amortiguadas y forzadas.

397

15.- Superposición de movimientos armónicos simples.

Manuel R. Ortega Girón

429

361

362

Lecciones de Física

13.-

Movimiento armónico simple.

§13.1. Movimiento periódico. Oscilaciones (363); §13.2. Cinemática del movimiento armónico simple (364); §13.3. Representación de Fresnel del m.a.s (368); §13.4. Dinámica del movimiento armónico simple (370); §13.5. Energía en el m.a.s. (371); §13.6. Energías cinética y potencial medias (373); §13.7. Oscilaciones en las proximidades del equilibrio (375); §13.8. Sistema masa-muelle (380); §13.9. Péndulo simple (385); §13.10. Solución exacta del problema del péndulo (388); §13.11. Péndulo cicloidal (391); Problemas (392)

§13.1. Movimiento periódico. Oscilaciones.- Llamamos movimiento periódico a cualquier movimiento que se repita a intervalos iguales de tiempo. El tiempo que debe transcurrir para que se produzca la repetición del movimiento recibe el nombre de periodo y lo designaremos por T. Como veremos en §15.2, el desplazamiento de una partícula que realiza un movimiento periódico general puede expresarse siempre mediante una combinación apropiada de funciones sinusoidales y cosinusoidales. Como tales funciones reciben el calificativo de armónicas, el movimiento periódico suele recibir, también, el nombre de movimiento armónico. En la Física, o lo que es lo mismo, en la Naturaleza, encontramos abundantes ejemplos de movimientos periódicos. Así, el movimiento de una masa sujeta a un muelle, el movimiento de la Tierra en el sistema solar, el movimiento de un péndulo o del balancín de un reloj, las vibraciones de los átomos en una molécula, ... son ejemplos de movimientos periódicos1. Cuando una partícula que realiza un movimiento periódico se mueve alternativamente en un sentido y en otro sobre una misma trayectoria (movimiento de vaivén), su movimiento recibe el nombre de oscilatorio o vibratorio; esta última denominación suele reservarse para cuando el periodo es muy pequeño. Así, hablaremos de las oscilaciones de una masa sujeta a un muelle o del péndulo de un reloj, pero preferiremos referirnos a las vibraciones de los átomos en la red cristalina de un sólido. En general, las oscilaciones o vibraciones predominantes en los objetos de gran tamaño suelen ser lentas (oscilaciones), en tanto que las de los objetos pequeños

1

La definición del movimiento periódico presupone una duración infinita del movimiento, sin principio ni fin. En los procesos reales, los movimientos periódicos están definidos solamente durante un cierto intervalo finito de tiempo en el que se verifican las condiciones de periodicidad.

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363

364

Lec. 13.- Movimiento armónico simple.

suelen ser rápidas (vibraciones). Cuando no estemos interesados en hacer la matización anterior, nos referiremos sencillamente a las oscilaciones. El movimiento oscilatorio más importante es el movimiento armónico simple (m.a.s.), debido a que, además de ser el más fácil de describir matemáticamente, constituye un modelo exacto o aproximado para muchos sistemas físicos, mecánicos y no mecánicos. En este capítulo, concentraremos preferentemente nuestra atención sobre esta clase de movimiento. Comenzaremos, en esta lección, con una breve descripción puramente cinemática del m.a.s., para analizar después algunas de sus propiedades dinámicas que nos permitirán considerar el m.a.s. como un problema físico real, y no sólo como un interesante problema matemático. §13.2. Cinemática del movimiento armónico simple.- Decimos que una partícula que se mueve a lo largo del eje x realiza un movimiento armónico simple, centrado en el origen O de dicho sistema coordenado, cuando su desplazamiento x con respecto al origen viene expresado en función del tiempo en la forma:

x

A sen(ω t

ψ)

[13.1]

donde A, ω y ψ son constantes. La distancia x que separa la partícula del origen O recibe el nombre de elongación. Puesto que la función seno puede tomar todos los valores Figura 13.1 comprendidos entre -1 y +1, los valores de la elongación estarán comprendidos entre -A y +A. La cantidad positiva A, que corresponde al valor absoluto de la elongación máxima, se denomina amplitud del movimiento armónico simple. La cantidad ωt + ψ recibe el nombre de fase del movimiento y, por ello, la constante ψ es la constante de fase o fase inicial; i.e., el valor de la fase correspondiente al instante inicial (t=0). Puesto que la función seno repite sus valores cuando el ángulo aumenta en 2π, la partícula repetirá su elongación (y también su velocidad, como veremos) cuando la fase del movimiento aumenta en 2π desde su valor en un instante t. Durante el intervalo tiempo en que la fase aumenta en 2π la partícula completa una oscilación o ciclo de su movimiento. Podemos determinar el periodo T del movimiento teniendo en cuenta que la fase en el instante t+T debe superar en 2π a la fase en el instante t; esto es, [ω (t de modo que

T)

ψ]

[ ωt T

2π ω

ψ]

ωT

2π

[13.2]

[13.3]

La frecuencia ν del movimiento es el número de oscilaciones o ciclos que se completan en la unidad de tiempo. Su valor es, obviamente, el recíproco del periodo: ν

1 T

[13.4]

§13.2.- Cinemática del movimiento armónico simple.

365

y se mide en ciclos por segundo o hercios (Hz), en honor de H. R. HERTZ2. Obsérvese que tanto la frecuencia como el periodo del m.a.s. son independientes de la amplitud de las oscilaciones; esta propiedad se suele enunciar diciendo que las oscilaciones armónicas simples son isócronas, y constituye una característica importante del m.a.s.. El parámetro ω recibe el nombre de frecuencia angular y, también, el de pulsación, aunque preferiremos el primero. La frecuencia angular se mide en radianes por segundo (rad/s), o sea, en las mismas unidades que la velocidad angular. Entre la frecuencia angular (ω) y la frecuencia (ν) existe la relación siguiente3: ω

2π ν

[13.5]

El valor de la constante de fase ψ depende de la elección que hagamos del instante inicial. Si escogemos t=0 en el instante en que x=0, la constante de fase ψ valdrá cero o π, según que la partícula se dirija en ese instante inicial hacia las x positivas o negativas. Entonces, el m.a.s. vendrá descrito por una u otra de las expresiones siguientes: x

A sen ω t

x

A sen (ω t

π)

A sen ω t

[13.6]

En cambio, si escogemos el instante t=0 cuando x=A, la constante de fase ψ tomará el valor π/2 y la ecuación del m.a.s. será x

A sen ( ω t

π ) 2

A cos ω t

[13.7]

En general, cuando la constante de fase ψ tiene un valor arbitrario cualquiera, en el instante t=0 la partícula se encontraba en la posición x0

A sen ψ

⇒

ψ

arcsen

x0

[13.8]

A

Es fácil comprender que aunque hemos escogido la función seno para describir el m.a.s., igualmente hubiéramos podido escoger la función coseno. Ambas funciones armónicas tiene la misma forma; pero la función coseno está adelantada en π/2 rad respecto a la función seno. Así, el m.a.s. puede describirse también por una ecuación de la forma x

A cos ( ω t

φ)

[13.9]

2

Heinrich Rudolph HERTZ (1857-94), físico alemán. Realizó importantes estudios teóricos y experimentales en el campo de la Electrodinámica. Sus investigaciones confirmaron experimentalmente la existencia de las ondas electromagnéticas y la identidad de la naturaleza de éstas con la luz, como habían predicho FARADAY y MAXWELL. 3

Muchos autores utilizamos la denominación común de frecuencia para referirnos tanto a la frecuencia (ν) propiamente dicha como a la frecuencia angular (ω). Obviamente, el contexto y las unidades en que se expresan siempre permiten resolver la ambigüedad.

366

Lec. 13.- Movimiento armónico simple.

donde A y ω son las mismas constantes definidas anteriormente. La constante de fase φ deberá calcularse ahora de modo que las expresiones [13.1] y [13.9] sean idénticas. Recordemos que para un ángulo θ cualquiera es válida la relación cos θ

π ) 2

sen ( θ

[13.10]

de modo que la identidad ψ)

A sen (ω t exige que

ψ)

sen (ω t

A cos (ω t

φ)

[13.11]

φ

π ) 2

[13.12]

sen (ω t

Los senos de dos ángulos son iguales si estos son iguales o difieren en un múltiplo entero de 2π. Tomando la posibilidad más sencilla, tenemos ψ

φ

π 2

⇒

φ

ψ

π 2

[13.13]

La equivalencia entre las expresiones [13.1] y [13.9] nos permiten describir un m.a.s. bien en función del seno o del coseno. Nosotros hemos adoptado la primera posibilidad, aunque en alguna ocasión también haremos uso de la segunda.

En las gráficas de la Figura 13.2a hemos representado la función Asen(ωt+ψ) para dos valores distintos de la constante de fase ψ. Obsérvese que una constante de fase positiva indica un adelanto de la forma sinusoidal y que una constante de fase negativa representa un retraso. La velocidad de la partícula que realiza un m.a.s. es v

dx dt

ω A cos (ω t

ψ)

ω A sen (ω t

ψ

π ) 2

[13.14]

de modo que la velocidad varía también según una ley sinusoidal, pero está adelantada π/2 respecto a la elongación. En la Figura 13.2b hemos representado gráficamente la función v(t). Obsérvese que la velocidad de la partícula se anula cuando su elongación es máxima y que tiene su valor máximo (vmáx= ωA) cuando la partícula pasa por la posición de equilibrio (x=0). Para un valor cualquiera de la constante de fase ψ, la velocidad de la partícula en el instante inicial (t=0) es ω A cos ψ

v0

[13.15]

Las relaciones [13.8] y [13.15] nos permiten expresar A y ψ en función de las condiciones iniciales del movimiento; es decir, en función de la elongación (x0) y de la velocidad (v0) de la partícula en el instante inicial (t=0). Tenemos 2

A

x

2 0

v0 ω

2

ψ

arctg

ω x0

[13.16]

v0

donde ω es un parámetro cuyo valor es independiente de las condiciones iniciales, que se determinará, como veremos más adelante, por otro procedimiento.

367

§13.2.- Cinemática del movimiento armónico simple.

Figura 13.2

Podemos calcular ahora la aceleración de la partícula; tenemos a

dv dt

ω 2A sen (ω t

ψ)

[13.17]

de modo que la aceleración también varía en el transcurso del tiempo según una ley sinusoidal, pero presenta una diferencia de fase de π rad respecto a la elongación; i.e., la elongación y la aceleración de la partícula están en oposición de fase (contrafase). En la Figura 13.2c se representa gráficamente la función a(t). La aceleración de la partícula se anula cuando ésta pasa por el origen (x=0) y es máxima ( amáx =ω2A) cuando también es máxima a la elongación. La expresión [13.17] de la aceleración puede escribirse también en la forma a

ω2 x

[13.18]

de modo que en un movimiento armónico simple, la aceleración es proporcional en todo instante a la elongación y de sentido contrario a ésta.

368

Lec. 13.- Movimiento armónico simple.

Este resultado es importante dado que al ser la aceleración de una partícula el cociente entre la fuerza resultante que actúa sobre ella y la masa de la partícula (a=F/m), la fuerza que deberá actuar sobre una partícula para originar un m.a.s. deberá ser también proporcional a la elongación de la partícula y de signo contrario a ésta; esto es, F

ma

mω 2 x

kx

[13.19]

con k=mω2. Volveremos a tratar este asunto más adelante. §13.3. Representación de Fresnel del m.a.s.- Las ecuaciones que describen el m.a.s. son susceptibles de una interpretación geométrica sencilla, por la cuál se puede considerar un m.a.s. sobre una recta como la proyección sobre la misma de un movimiento circular uniforme. Esta representación resulta útil para describir muchas características del m.a.s. y, en particular, para dar un significado geométrico sencillo a la frecuencia angular ω y a la constante de fase ψ. Haremos uso intensivo de esta representación4 en la última lección de este capítulo, en la que analizaremos el resultado de superponer dos o más m.a.s.. Podemos imaginar un m.a.s. como la proyección geométrica de un movimiento circular uniforme sobre uno de los diámetros de la circunferencia. Consideremos la Figura 13.3, en la que el punto Q se mueve sobre una trayectoria circular, de radio A, con una velocidad angular ω constante. El punto P es la proyección ortogonal del punto Q sobre el diámetro vertical de la circunferencia. Llamaremos punto de referencia a Q y circunferencia de referencia o matriz a aquella sobre la que se mueve el punto Q. La posición del punto Q vendrá determinada en cada instante por el extremo del segmento rectilíneo OQ, de longitud A. Conforme el punto Q se mueve sobre la circunferencia, con velocidad angular ω constante, dicho segmento gira con esa misma velocidad angular. El segmento rectilíneo OQ que gira recibe los nombres de vector rotatorio, rotor o fasor, aunque en todo rigor no es una magnitud vectorial, sino más bien una magnitud compleja5. Esto es, aunque se le haya asignado un sentido en la Figura 13.3, no se ha especificado su dirección en el espacio6. Cuando el fasor OQ gira en el sentido indicado en las Figura 13.3, el punto de referencia Q se mueve sobre la circunferencia de radio A y el punto P lo hace sobre el diámetro vertical (x) con un movimiento de vaivén cuya amplitud es A (i.e., -A ≤ x ≤ A). El movimiento del punto P es periódico. El tiempo que emplea el punto Q para completar una vuelta es el mismo que emplea el punto P en completar una oscilación; i.e., el periodo T de las oscilaciones es igual a 2π/ω. La frecuencia de las

4

En general, esta representación será válida e interesante para cualquier magnitud física cuyo valor varíe en el transcurso del tiempo conforme a una función sinusoidal "simple". Este es el caso, por ejemplo, de la representación fasorial de la corriente alterna. 5

6

Admite un tratamiento mediante el Álgebra de los Números Complejos.

El término que se utiliza en alemán es Zeiger, lo que significa índice, en el sentido de manecilla de un reloj.

§13.3.- Representación de Fresnel del m.a.s.

369

Figura 13.3

oscilaciones del punto P coincide con el número de vueltas que completa el punto Q en la unidad de tiempo; esto es, ν=ω/2π=1/T. Por último, la frecuencia angular de las oscilaciones de P coincide con la velocidad angular del punto Q de referencia. Hagamos que en el instante inicial (t=0) el fasor OQ forme un ángulo ψ con el diámetro horizontal de la circunferencia de referencia. Al cabo de un tiempo t dicho ángulo valdrá ωt+ψ y la elongación del punto P será, en ese instante x

A sen (ω t

ψ)

[13.20]

de modo que el movimiento del punto P es un movimiento armónico simple. En esta representación, la fase ωt+ψ es el ángulo que forma el fasor OQ con el diámetro de referencia (horizontal) en un instante dado. El alumno demostrará fácilmente que la velocidad y Figura 13.4 la aceleración del punto P pueden obtenerse también como las proyecciones respectivas de la velocidad y de la aceleración del punto Q de referencia sobre el diámetro vertical de la circunferencia matriz, como se indica en la Figura 13.4. En definitiva, la elongación de una partícula que realiza un m.a.s. puede considerarse como la componente sobre el eje x (vertical) de un vector rotante o fasor x, cuyo módulo es igual a la amplitud A del m.a.s. y que gira en el sentido antihorario con una velocidad angular constante ω que se corresponde con la frecuencia angular del m.a.s, de modo que forma en Figura 13.5 cada instante un ángulo ωt+ψ con el eje horizontal de referencia, representando dicho ángulo

370

Lec. 13.- Movimiento armónico simple.

la fase del m.a.s.. La velocidad y la aceleración de la partícula pueden representarse también por sendos vectores rotantes o fasores, v y a, cuyos módulos son ωA y ω2A, respectivamente, de modo que sus componentes sobre el eje x (vertical) dan la velocidad y la aceleración de la partícula que ejecuta el m.a.s.. En la Figura 13.5 se ilustran los fasores x, v y a en un instante dado; en ella puede apreciarse que v y a presentan un adelanto de fase de π/2 y π rad, respectivamente, en relación al fasor x. §13.4. Dinámica del movimiento armónico simple.- La expr. [13.18] de la aceleración de una partícula que ejecuta un movimiento armónico simple nos permitió calcular la fuerza que debe actuar sobre dicha partícula, de masa m, para que tenga lugar ese movimiento. Ya hemos visto que dicha fuerza debe ser directamente proporcional a la elongación y de sentido contrario a ella; esto es,

F

ma

mω2 x

[13.21]

kx

donde hemos definido una nueva constante, k, esencialmente positiva, llamada constante de fuerza, mediante la expresión

k

m ω2

o bien

ω

k m

[13.22]

En consecuencia, la fuerza F está dirigida en todo instante hacia el origen, que corresponde al punto O (de abscisa x=0), siendo nula cuando la partícula pasa por dicho punto; el punto O es la posición de equilibrio. La fuerza F es una fuerza atractiva, siendo O el centro de atracción. La fuerza expresada por [13.21] es el tipo de fuerza que aparece cuando se deforma un cuerpo elástico, tal como un muelle, y la ley de fuerza que la expresa recibe el nombre de ley de Hooke, en honor de Robert HOOKE (1635-1703) que enunció las leyes de las deformaciones elásticas de los cuerpos. Por esa razón la constante k suele recibir el nombre de constante elástica. Dicha constante representa la fuerza que debemos aplicar para mantener desplazada la partícula una unidad de distancia a partir de su posición de equilibrio; sus unidades son newton por metro (N/m) en el sistema internacional (S.I.). Debemos señalar que en la ec. [13.22] la constante ω (frecuencia angular del m.a.s.) queda determinada en función de los valores que posean la masa (m) de la partícula y la constante de fuerza (k) del sistema oscilante (un muelle, por ejemplo). Esas son las dos características esenciales que intervienen en el establecimiento de un movimiento oscilatorio: 1. Una componente inercial, con la que estará asociada la energía cinética del sistema oscilante. 2. Una componente elástica, capaz de almacenar energía potencial (elástica). Recuérdese que las otras dos constantes que aparecen en la ec. [13.1] que describe el m.a.s., esto es la amplitud (A) y la constante de fase (ψ), deben determinarse a partir de las condiciones iniciales del sistema (x0,v0) y que, por tanto, no dependen de las características intrínsecas o esenciales del mismo.

§13.4.- Dinámica del movimiento armónico simple.

371

La relación [13.22] nos permite expresar el periodo (T) y la frecuencia (ν) de un movimiento armónico simple en función de la masa de la partícula y de la constante elástica de la fuerza que actúa sobre ella; tenemos

T

m k

2π

⇒

1 2π

ν

k m

[13.23]

Hemos comenzado esta lección definiendo el movimiento armónico simple mediante sus propiedades cinemáticas expresadas por la ex. [13.1] y sus derivadas respecto al tiempo. A partir de esas propiedades cinemáticas hemos sido capaces de encontrar el tipo de fuerza que debe aplicarse a la partícula para que su movimiento sea armónico simple [13.21]. Sin embargo, es interesante que abordemos también el problema inverso; esto es, dada una fuerza del tipo F=-kx, encontrar la clase de movimiento que esa fuerza origina. Supongamos que sobre una partícula de masa m actúa una fuerza dada por F=-kx. La segunda ley del movimiento nos permite escribir F

kx

[13.24]

m¨x

ec. dif. de segundo orden que podemos escribir en la forma m¨x

kx

⇒

0

ω 2x

x¨

0

[13.25]

con ω2=k/m. La ec. dif. [13.25] requiere que x(t) sea alguna función cuya segunda derivada sea el valor negativo de la función misma, salvo en un factor constante ω2. Sabemos que las funciones armónicas (seno y coseno) tiene esa propiedad. Por lo tanto, la solución de la ec. dif. [13.25] debe ser de la forma x

ψ)

A sen (ω t

[13.26]

solución que podemos verificar sustituyéndola directamente en la ec. dif. de partida. Las dos constantes A y ψ son las correspondientes a las dos etapas de integración de la ec. diferencial. En definitiva, la función [13.26] es la solución general de la ec. dif. del movimiento [13.25], de modo que podemos asegurar que una fuerza de atracción proporcional a la elongación origina siempre un movimiento armónico simple. §13.5. Energía en el m.a.s..- Resulta interesante e instructivo analizar el m.a.s. bajo el punto de vista energético. Teniendo en cuenta que la aceleración de la partícula puede expresarse en la forma

x¨

a

v

dv dx

[13.27]

la ecuación diferencial [13.25a] del movimiento producido por una fuerza del tipo F= -kx puede reescribirse como mv dv

kx dx

0

[13.28]

que es una ec. dif. de primer orden. Esta ec. dif. nos conduce, por integración, a

372

Lec. 13.- Movimiento armónico simple.

1 mv2 2

1 2 kx 2

cte.

[13.29]

E

El primer término de esta expresión es la energía cinética de la partícula; el segundo término corresponde a la energía potencial. En consecuencia, la constante del segundo miembro es la energía total E; esto es, E

Ek

[13.30]

Ep

Por lo tanto, la energía total de la partícula es una constante del movimiento, como cabía esperar para un sistema conservativo. El significado de la relación anterior se pone de manifiesto mediante la gráfica de la Figura 13.6, en la que se ha representado la energía (potencial) en ordenadas y la elongación en abscisas. Comenzamos por dibujar la curva de la energía potencial Ep=kx2/2, que es una parábola de eje vertical y con su vértice en el origen. A continuación trazamos una recta horizontal, que corresponde al valor constante de la energía total E. Entonces se comprueba que el movimiento de la partícula queda restringido al intervalo -A≤x≤A, ya que los puntos x=-A y x=+A son puntos de retroceso. Fuera del intervalo anteriormente citado la energía potencial superaría a la energía total, de modo que la energía cinética sería negativa, cosa imposible pues implicaría una velocidad imaginaria. Así pues, el movimiento tiene lugar en un pozo de potencial, cuyo fondo corresponde a la posición de equilibrio estable. Si trazamos una recta vertical para cualquier x, tal que (-A≤x≤A), la longitud del segmento de dicha recta comprendido entre el eje de abscisas y la parábola representa la energía potencial correspondiente a ese valor de la elongación; y la longitud del segmento comprendido entre la parábola y la recta horizontal E=cte corresponde a la energía cinética. Conforme la partícula se mueve entre los límites -A y +A, hay una conversión continua de energía cinética a potencial y viceversa. Cuando la partícula se aleja de la posición de equilibrio (x=0) aumenta la energía potencial a expensas de la energía cinética; ocurre lo contrario cuando la partícula se aproxima a la posición de equilibrio. En los puntos de retroceso toda la energía es potencial; en la posición de equilibrio toda la energía es cinética. La velocidad de la partícula Figura 13.6 cuando pasa por la posición de equilibrio toma su valor máximo; esto es,

E

1 2 mvmáx 2

⇒

vmáx

2E m

[13.31]

En los extremos de la trayectoria, la elongación presenta su valor máximo xmáx =A y es

373

§13.5.- Energía en el m.a.s..

1 kA 2 2

E

⇒

2E k

A

[13.32]

La velocidad de la partícula cuando pasa por un punto de elongación genérica x se puede obtener a partir de [13.29]. Se tiene kx 2

2E

v

kA 2

m

kx 2

k m

m

A2

ω

x2

A2

x2

[13.33]

con ω =k/m, como anteriormente. Ahora podemos obtener la elongación en función del tiempo, x(t), sustituyendo v por dx/dt en la ecuación anterior e integrando 2

x

⌠ ⌡x

0

que nos conduce a

arcsen

t

dx A2

x2

x A

arcsen

ω ⌠ dt ⌡0 x0 A

[13.34]

ωt

[13.35]

de modo que, haciendo ψ

arcsen

se tiene finalmente

x0 A

x

⇒

A sen (ω t

sen ψ

x0

[13.36]

A

ψ)

[13.37]

que es, como ya sabemos, la ecuación cinemática que describe un movimiento armónico simple. §13.6. Energías cinética y potencial medias.- Las energías cinética y potencial del oscilador armónico simple son funciones del tiempo y vienen dadas por

⎧ ⎪ Ek ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ Ep ⎩

1 m˙x 2 2 1 2 kx 2

1 mω 2A 2 cos2(ω t ψ) 2 1 kA 2 sen2(ω t ψ) 2

[13.38]

donde hemos empleado las expresiones [13.1] y [13.14] que nos dan la elongación y la velocidad de la partícula en función del tiempo. En la Figura 13.9 hemos representado gráficamente las energías cinética y potencial del oscilador armónico simple en función del tiempo (con ψ=0). Obsérvese que ambas funciones son periódicas, de periodo T/2, y que su suma, esto es, la energía total E, permanece constante en el transcurso del tiempo, siendo su valor E

Ek

Ep

1 mω 2A 2 2

1 kA 2 2

[13.39]

374

Lec. 13.- Movimiento armónico simple.

VALOR MEDIO DE UNA FUNCIÓN RESPECTO AL TIEMPO Sea F(t) una función del tiempo. Se llama valor medio de la función F(t) en el intervalo de tiempo Δt=t2-t1 al valor 1 ⌠t F(t) dt t2 t1 ⌡t 2

F(t)

1

Geométricamente, puesto que la integral representa el área limitada por la curva F(t), el eje de tiempos (abscisas) y las ordenadas extremas t=t1 y t=t2, el valor medio 〈F(t)〉 puede interpretarse como la altura de un rectángulo cuya base es Δt=t2-t1 y cuya Figura 13.7 área es igual a la anteriormente citada. Cuando la función F(t) sea periódica, de periodo T, estaremos interesados normalmente en el valor medio de la función en un intervalo de tiempo que corresponda a un periodo. Entonces podemos escribir 〈F(t)〉

1 ⌠T F(t) dt T ⌡0

Calcularemos ahora el valor medio de la función sen2ωt: 〈sen2ω t〉

1 ⌠T sen2ω t dt T ⌡0

1 ⌠T 1 T ⌡0

2π

sen 2ω t ⎤ ω ⎥ 4ω ⎦0

1 ⎡t ⎢ T ⎣2

cos 2ω t dt 2

1 2

y análogamente se encuentra que 〈cos2ω t〉

1 2

Llegaremos al mismo resultado de una forma más sencilla, sin necesidad de resolver integral alguna, si partimos de la identidad trigonométrica: Figura 13.8

sen2ω t

cos2ω t

1

Entonces, al tomar valores medios en un intervalo de tiempo T=2π/ω, tenemos 〈sen2ω t〉

〈cos2ω t〉

1

y puesto que la única diferencia que existe entre las funciones seno y coseno es la referente a una constante de fase de π/2 rad, deberá ser 〈sen2ω t〉

〈cos2ω t〉

1 2

Dejamos el cuidado del alumno demostrar las relaciones siguientes, con m≠n: 〈sen mω t〉

0

〈cos mωt〉

0

375

§13.6.- Energías cinética y potencial medias.

〈sen mω t sen nω t〉

0

〈sen mω t cos nω t〉 1 2

〈sen2nω t〉

0

〈cos mω t cos nω t〉

0

1 2

〈cos2nω t〉

de modo que: la energía total de un oscilador armónico simple es proporcional al cuadrado de la amplitud de las oscilaciones. Calcularemos ahora los valores medios temporales de las energías cinética y potencial del oscilador armónico simple: ⎧ ⎪ 〈Ek〉 ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ 〈Ep〉 ⎩

1 mω 2A 2 〈cos2(ω t 2 1 2 kA 〈sen2(ω t 2

ψ)〉

ψ)〉

1 mω 2A 2 4

[13.40]

1 kA 2 4

Vemos claramente7 que los valores medios de las energías cinética y potencial del oscilador armónico simple son iguales: 〈Ek〉

〈Ep〉

1 E 2

[13.41]

Obsérvese que =E, ya que la energía total es una constante del movimiento8. La igualdad Figura 13.9 entre los valores medios de las energías cinéticas y potencial es una propiedad especial del oscilador armónico simple, propiedad que no se mantiene, en general, para los osciladores anarmónicos. §13.7. Oscilaciones en las proximidades del equilibrio.- Hemos visto que el movimiento armónico simple es generado por una fuerza del tipo F=-kx, asociada a una energía potencial Ep=kx2/2, midiéndose x a partir de la posición de equilibrio, que hemos supuesto en x=0. Supongamos ahora que la posición de equilibrio se encuentra en un punto de abscisas x0, en lugar de en el origen; será:

Ep

7

8

1 k (x 2

x0)2

[13.42]

Recordemos que k = mω2 (expr. [13.22]).

El lector llegará fácilmente al mismo resultado [13.41] por aplicación directa del teorema del virial para una partícula en un campo conservativo, como se explicó en §10.9.

376

Lec. 13.- Movimiento armónico simple.

La representación gráfica de esta energía potencial, en función de x, es una parábola de eje vertical con su vértice en el punto x0. Si la energía total del oscilador es E>0, como se indica en la Figura 13.10, la recta E=cte interseca a la curva de energía potencial Ep(x) en dos puntos, P1 y P2, cuyas abscisas x1 y x2, colocadas simétricamente respecto a x0, constituyen los límites de oscilación (puntos de retroceso). La fuerza que actúa sobre la partícula es F

dEp

k (x

dx

x0 )

[13.43]

siendo nula en el punto x0, que corresponde a la posición de equilibrio estable, ya que en el presenta su valor mínimo la energía potencial. Calculemos la segunda deriva de Ep(x) con respecto a x: d2E p dx 2

[13.44]

k >0

lo que nos permite escribir para la frecuencia angular de las oscilaciones armónicas simples

Figura 13.10

ω

k m

2 1 d Ep m dx 2

[13.45]

Consideremos ahora un movimiento unidimensional de una partícula, de masa m, bajo la acción de una fuerza conservativa arbitraria. Limitándonos, de momento, a movimientos a lo largo del eje x, dicha fuerza será función de la abscisa x de la partícula, esto es, F=F(x), y estará dirigida a lo largo de dicho eje. En estas condiciones, la energía potencial de la partícula será una función de la coordenada x (i.e., Ep(x)) y podrá representarse gráficamente como en la Figura 13.11, por ejemplo. Supongamos que sea E la energía total de la partícula, como se muestra en la Figura 13.11. Ya sabemos (§10.3) que, entonces, el movimiento de la partícula estará limitado a la región x1 ≤ x ≤ x2; i.e., la partícula se mueve (movimiento periódico) en un pozo de potencial cuyo fondo se encuentra en la posición de equilibrio estable. Puesto que el sistema es conservativo, podemos escribir 1 m˙x 2 2 Figura 13.11

Ep(x)

E

[13.46]

§13.7.- Oscilaciones en las proximidades del equilibrio.

377

y la velocidad de la partícula puede expresarse en función de la abscisa x en la forma dx dt

x˙

2 m

[E

Ep(x)]

[13.47]

El periodo del movimiento en un pozo de potencial puede obtenerse por integración de la ecuación anterior: T

T

m 2

⌠ dt ⌡0

dx E

[13.48]

Ep(x)

donde la integración se extenderá a un ciclo completo del movimiento. Puesto que el movimiento es simétrico (se emplea el mismo tiempo en recorrer la anchura del pozo de izquierda a derecha que de derecha a izquierda), el periodo T será igual al doble del tiempo de tránsito entre los puntos x=x1 y x=x2; esto es9, x2

T

2m ⌠ ⌡x

1

dx E

[13.49]

Ep(x)

donde los puntos de retorno, x1 y x2, se obtendrán resolviendo la ecuación Ep(x)=E. Dejamos al cuidado del alumno demostrar que, para el caso de una energía potencial de la forma Ep=k(x-x0)2/2, el periodo del movimiento, calculado a partir de [13.49] es

T

2π

m k

[13.50]

es decir, el mismo que corresponde a un m.a.s. y que resulta ser independiente del valor de la energía total E, lo que equivale a decir que es independiente de la amplitud de las oscilaciones (isocronismo).

En el caso general, en el que la energía potencial sea una función arbitraria de la posición x de la partícula, el movimiento en el interior del pozo de potencial será periódico, pero no será armónico simple, y el periodo T será una función de la energía total E de la partícula y, por ende, de la "amplitud" de las oscilaciones, no siendo simétrico el movimiento con respecto a la posición de equilibrio. Esta es una situación que encontraremos frecuentemente en los sistemas físicos reales y da como resultado un movimiento oscilatorio anarmónico. En todo caso, la frecuencia, o el periodo, de las oscilaciones podrá calcularse, al menos en principio, a partir de la expresión [13.49]. Si la energía total de la partícula es tan sólo ligeramente superior que la energía potencial correspondiente a la posición de equilibrio, las oscilaciones alrededor de dicha posición de equilibrio pueden considerarse como armónicas simples. Veamos que, en efecto, es así.

9

Obsérvese que en [13.49] tenemos una integral impropia (el integrando se hace infinito en los límites de integración, x1 y x2); sin embargo, en el terreno físico la integral debe existir para una partícula que se mueva enteramente dentro de un pozo de potencial.

378

Lec. 13.- Movimiento armónico simple.

Recordemos que dada una función arbitraria f(x), el teorema de Taylor nos permite desarrollarla como una serie de potencias: f(x)

f(x0)

⎛ df ⎞ ⎜ ⎟ (x ⎝ dx ⎠0

⎞ ⎛ 1 ⎜ d2f ⎟ (x 2! ⎜⎝ dx 2 ⎟⎠0

x0)

⎞ ⎛ 1 ⎜ d3f ⎟ (x 3! ⎜⎝ dx 3 ⎟⎠0

x0)2

x0)3

[13.51]

...

donde el subíndice "0" (cero) significa que las derivadas se avalúan en el punto x0. Aplicando el teorema de Taylor a la función energía potencial Ep(x), y teniendo en cuenta que (dEp/dx)0=0, por corresponder el punto x=x0 a un mínimo de la energía potencial, tenemos

Ep(x)

⎛ 2 ⎞ 1 ⎜ d Ep ⎟ (x 2 ⎜⎝ dx 2 ⎟⎠0

Ep(x0)

Ep(x0)

1 k (x 2

x0)2

⎛ 3 ⎞ 1 ⎜ d Ep ⎟ (x 6 ⎜⎝ dx 3 ⎟⎠0

x0)2

1 k (x 6 3

k3

⎛ d3E ⎞ p⎟ ⎜ ⎜ 3⎟ ⎝ dx ⎠0

x0)3

x0)3

...

...

[13.52]

donde hemos puesto, para abreviar,

k

⎛ d2E ⎞ p⎟ ⎜ ⎜ 2⎟ ⎝ dx ⎠0

...

[13.53]

El primer término, Ep(x0), en el desarrollo en serie de potencias de la energía potencial Ep(x), es constante y representa simplemente una elección arbitraria en el cero de energía potencial; podemos prescindir de este término sin que ello afecte a los resultados físicos. El segundo término es justamente el término cuadrático que corresponde a un oscilador armónico simple, con k definido como en [13.53]. Los términos restantes son los responsables de la anarmonicidad, y reciben el nombre de términos anarmónicos. Si la energía total E de la partícula es tan sólo ligeramente superior a Ep(x0), la amplitud de las oscilaciones será pequeña. Así, si nos limitamos a considerar pequeños desplazamientos respecto a la posición de equilibrio estable x=x0, podremos despreciar los términos de [13.52], que contienen (x-x0)3, (x-x0)4, ... y potencias superiores de (x-x0). Retendremos, entonces, solamente los dos primeros términos de [13.52], en el supuesto de que sea k≠0, y escribiremos Ep(x) ≈ Ep(x0)

1 k (x 2

x0)2

[13.54]

En consecuencia, para pequeñas oscilaciones en torno a cualquier mínimo de energía potencial Figura 13.12, salvo para el caso excepcional k=0, el movimiento es el de un oscilador armónico simple, cuya frecuencia angular es

ω

k m

⎛ 2 ⎞ 1 ⎜ d Ep ⎟ m ⎜⎝ dx 2 ⎟⎠0

[13.55]

379

§13.7.- Oscilaciones en las proximidades del equilibrio.

La aproximación anterior es aceptable en muchas situaciones reales, y en ella radica la gran importancia del oscilador armónico simple. La mayoría de los problemas en los que intervienen sistemas oscilantes se reducen al del oscilador armónico simple cuando son suficientemente pequeñas las amplitudes de oscilación. Para amplitudes Figura 13.12 mayores, la aproximación no es aceptable, y el valor de la frecuencia angular calculado mediante [13.55] discrepará notablemente, en general, del valor real; en este caso, la aproximación armónica simple al problema no es adecuada, y deberá tomarse en cuenta el efecto de los términos anarmónicos. Consideremos ahora la fuerza correspondiente a la energía potencial Ep(x) dada por [13.52]; tenemos F(x)

dEp

k (x

dx

x0 )

1 k (x 2 2

x0)2

...

[13.56]

Si nos limitamos a considerar pequeños desplazamientos de la partícula respecto a la posición de equilibrio x=x0, podemos escribir la relación aproximada F

k (x

[13.57]

x0 )

conocida como ley de Hooke, que no es sino un caso especial de una relación más general [13.56] en el fenómeno de la deformación de los cuerpos elásticos. La ley de Hooke implica una relación lineal entre la deformación y la fuerza recuperadora (o deformadora). Los muelles y otros sistemas elásticos, así como los sólidos en general, obedecen esta "ley" con tal que las deformaciones no sean demasiado grandes. Si se deforma un sólido más allá de un cierto grado, llamado límite elástico, no recuperará su forma y tamaño originales cuando deje de actuar la fuerza aplicada. Cuando se sobrepasa el límite elástico y comienza el flujo plástico, la fuerza depende de un modo complicado de factores muy diversos, incluyendo la velocidad de deformación y la historia previa del sistema deformable (histéresis), y no puede especificarse mediante una energía potencial. Estudiaremos con más profundidad estas cuestiones en una lección posterior.

Resumiendo, podemos afirmar que siempre que una partícula, o un sistema deformable, en general, se separa de su posición o configuración de equilibrio estable, se originarán oscilaciones armónicas simples si los desplazamientos son suficientemente pequeños, pues entonces puede considerarse lineal la relación existente entre la elongación y la fuerza recuperadora. En la Figura 13.13

Figura 13.13

380

Lec. 13.- Movimiento armónico simple.

hemos representado gráficamente la fuerza correspondiente a la función de energía potencial representada en la Figura 13.12. Los puntos de abscisa x0 y x1 corresponden a las posiciones de equilibrio estable e inestable, respectivamente; en ambas posiciones es nula la fuerza. Hemos ampliado el entorno del punto x0 para poder apreciar que existe una relación lineal aproximada entre F y (x-x0), tal como se expresa en la ley de Hooke, si el entorno de x0 es suficientemente pequeño. §13.8. Sistema masa-muelle.- El sistema masa-muelle constituye el paradigma de las oscilaciones de los sistemas mecánicos. Consideremos el sistema constituido por un muelle con uno de sus extremos fijo y con el otro unido a un cuerpo, de masa m, que puede resbalar sobre una superficie horizontal lisa (Figura 13.14). La posición de equilibrio de la masa es O, y corresponde a la ausencia de tensión (tensora o compresora) en el muelle; tomaremos dicha posición como origen de abscisas. Supongamos que desplazamos la masa de su posición de equilibrio y que después la abandonamos; el sistema comenzará a oscilar. En el instante en que la masa tenga una elongación x, la fuerza que actúa sobre ella es

F

kx

[13.58]

ya que la fuerza es proporcional a la elongación (=deformación del Figura 13.14 muelle) y está dirigida hacia la posición de equilibrio (fuerza recuperadora). La constante k es la llamada constante elástica o recuperadora, y se mide en newtons por metro (N/m) en el S.I.. El valor recíproco de la constante elástica, 1/k, recibe el nombre de sensibilidad del muelle, y se mide en metros por newton (m/N). Podemos clasificar los muelles en blandos (muy sensibles) y duros (poco sensibles). La segunda ley de Newton, aplicada a la masa m, nos permite escribir F o sea

m¨x

kx

m¨x

[13.59]

kx

0

[13.60]

que es la ec. dif. del m.a.s., con una pulsación o frecuencia angular dada por ω

k m

[13.61]

El movimiento del sistema es armónico simple. Debemos destacar que la frecuencia de las oscilaciones del sistema masa-muelle queda definida en todos los casos por los valores de m (característica inercial) y k (característica elástica). Sin embargo, las otras dos constantes (A,ψ) que intervienen en la ecuación del m.a.s. x=A sen(ωt+ψ) deberán calcularse, en cada caso, a partir de las condiciones iniciales (x0,v0).

381

§13.8.- Sistema masa-muelle.

Ejemplo I.- Muelle suspendido verticalmente.- Analizar las oscilaciones de un sistema masa-muelle suspendido verticalmente de un punto fijo. Consideremos un muelle de masa despreciable suspendido verticalmente de un punto fijo. Sea L su longitud natural y tomemos como origen del eje de abscisas (vertical y hacia abajo) el punto O. Cuando colgamos un cuerpo de masa m del extremo libre del muelle, éste se alarga una cierta distancia x0. Cuando se restablece el equilibrio tenemos mg

kx0

[13.62]

0

de modo que x0

mg k

[13.63]

que corresponde a la posición de equilibrio del sistema masa-muelle. Supongamos que desplazamos el cuerpo verticalmente de su posición de equilibrio y que, después, lo abandonamos; el sistema comienza a oscilar. La ec. del movimiento del cuerpo es mg

Figura 13.15

kx

⇒

m¨x

m¨x

kx

mg

[13.64]

que difiere de la ec. [13.25] en que contiene el término de fuerza constante mg; pero, teniendo en cuenta [13.62], o sea que mg=kx0, se escribirá como m¨x

kx

⇒

kx0

m¨x

k(x

x 0)

0

[13.65]

que ya no contiene dicho término constante. Para proceder a la integración de esta ec. dif. conviene hacer el siguiente cambio de variable: x′

x

x˙ ′

x0

x¨ ′

x˙

x¨

[13.66]

lo que equivale a trasladar el origen de abscisas a la posición x0 de equilibrio del sistema masa-muelle. Entonces, la ec. dif. [13.65] se convierte en m¨x′ cuya solución general es

o sea

x′ x

kx′

A sen (ω t mg k

[13.67]

0 ψ)

A sen (ω t

[13.68]

ψ)

[13.69]

con ω2=k/m. Así pues, el cuerpo oscila con m.a.s. alrededor de la posición de equilibrio correspondiente al sistema masa-muelle. Obsérvese que la frecuencia de las oscilaciones es la misma que corresponde al caso del sistema masa-muelle horizontal; el único cambio ha sido un desplazamiento de centro del m.a.s.. En vista de estos resultados, en el análisis del problema puede ignorarse el campo gravitatorio uniforme, al menos cuando tan sólo estemos interesados en la frecuencia de las oscilaciones.

382

Lec. 13.- Movimiento armónico simple.

Ejemplo II.- Sistema con dos muelles.- En el sistema que se representa en la Figura 13.16, los muelles tienen constantes elásticas y longitudes naturales (k1,l1) y (k2,l2) y están conectados, cada uno por un lado, a un bloque de masa m, de tal modo que ambos están tensados (i.e., L1+L2 >l1+l2). Determinar la constante elástica equivalente del sistema y la frecuencia angular de sus oscilaciones. Método de Newton: Comenzaremos estableciendo la condición de equilibrio (figura superior); i.e., la igualdad de las tensiones en los dos muelles: k1(L1

l1)

k2(L2

l2)

[13.70]

0

Imaginamos el sistema en oscilación y escribimos la ec. del movimiento para el bloque cuando presenta una elongación x (figura inferior): k1(L1

x

l1)

k2(L2

x l2)

m¨x

[13.71]

que una vez ordenada y teniendo en cuenta la condición [13.70] queda en la forma Figura 13.16

m x¨

keq

de modo que

k1

keq

ω

k2

(k1

k2) x

k1

m

[13.72]

0

k2

[13.73]

m

Método de la energía: Método de la energía potencial.- Si solamente estamos interesados en determinar el valor de la constante elástica del sistema, expresamos la energía potencial del sistema en función de la elongación x; i.e., Ep

1 k (L 2 1 1

1 k (L 2 2 2

l1)2

x

l2)2

x

[13.74]

En la posición de equilibrio (x=0), la energía potencial presentará un mínimo; i.e., ⎡ ⎤ ⎢ dEp ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ dx ⎦x

k1 (L1

x

l1)

k2 (L2

x

l2)

x 0

k1 (L1

l1)

k2 (L2

l 2)

0

[13.75]

0

que es la misma relación [13.70]. La expr. [13.44] nos permite calcular la constante elástica del sistema a partir de la expr. [13.75] ; i.e., d2Ep

k1

dx 2

k2

[13.76]

keq

Método de la energía total.- Para determinar la ec. dif. del movimiento, expresaremos la energía total del sistema en un instante genérico, cuando es x la elongación; i.e., E

1 m˙x 2 2

1 k (L 2 1 1

x

l1)2

1 k (L 2 2 2

x

l 2) 2

cte.

[13.77]

que permanece constante (sistema conservativo). Derivando esta expresión respecto al tiempo,

383

§13.8.- Sistema masa-muelle.

dE dt

m x˙ x¨

k1(L1

x

l1) x˙

k2(L2

x

l2) x˙

[13.78]

0

ordenando y teniendo en cuenta la condición [13.75] tenemos x˙ [ m¨x

(k1

k2) x ]

[13.79]

0

y, puesto que x˙ no es siempre nulo, deberá ser m¨x

(k1

k2) x

[13.80]

0

que es la misma ec. dif. del movimiento [13.72] obtenida por el método anterior, que nos conduce al mismo resultado [13.73] que antes. Obsérvese que la frecuencia de las oscilaciones del sistema no depende ni de las longitudes naturales de los muelles (l1, l2), ni de sus tensiones en el equilibrio (definidas por L1 y L2), por lo que pudiéramos haber ignorado dichos parámetros (considerarlos nulos), al menos si tratamos con muelles extensores-compresores.

Ejemplo III.- Pequeñas oscilaciones.- Calcular la frecuencia de las pequeñas oscilaciones transversales del sistema representado en la Figura 13.17. Los dos muelles son idénticos, de constante elástica k y longitud natural l0 cada uno de ellos y están sometidos a una tensión F0 en la posición de equilibrio. Resultará conveniente expresar la longitud L en función de la tensión de equilibrio; esto es k (L

l0)

→

F0

L

F0

l0

k

Escribiremos la expresión de la energía potencial (elástica) correspondiente a una elongación transversal x; i.e., 2

Ep

L2

k

x2

l0

Figura 13.17

y la derivaremos dos veces sucesivas respecto de la elongación ... dEp dx

2k

L2

dx 2

2k

x

l0 L2

L2 x2 d2Ep

x2

2 k l0

L2

2kl0 x

2kx x2

L2

x2 L2 x2 x2

2k

2 k l0

⎛ 2k ⎜⎜1 ⎝

L2 2 ( L x 2 )3/2

de modo que, de acuerdo con la expr. [13.53a], será

keq

x2

⎛ d2E ⎞ p⎟ ⎜ ⎜ 2⎟ ⎝ dx ⎠0

⎛ ⎜ 2k ⎜ 1 ⎝

⎞ l0 ⎟ ⎟ L⎠

2k

L

l0 L

⎞ ⎟ ⎟ x 2 )3/2 ⎠

l0 L 2 (L 2

384

Lec. 13.- Movimiento armónico simple.

o bien, en función de la tensión F0,

2 F0

keq

L

de modo que la frecuencia de las oscilaciones transversales de la masa m será

ω

keq

2 F0

m

mL

En los análisis anteriores del sistema masa-muelle hemos considerado los muelles como si no presentasen inercia (masa) y actuasen solamente como un "almacén" de energía potencial. Las características inerciales y elásticas, esenciales para que se produzcan las oscilaciones, estaban asociadas a elementos bien diferenciados. Esto puede se una buena aproximación en muchos casos, pero en otros la masa del muelle puede jugar un papel importante.

Ejemplo IV.- Muelle que tiene masa no despreciable.- Consideremos un cuerpo de masa m unido a un muelle de masa M, como en la Figura 13.18. Sea k la constante elástica del muelle. ¿En qué diferirá el periodo de las oscilaciones de este sistema del que se tendría si el muelle no tuviese masa? Intuitivamente podemos predecir que el periodo de las oscilaciones será tanto mayor cuanto mayor sea la masa del muelle. Pudiéramos estar tentados a sustituir en [13.61] m por m+M, al efecto de calcular la frecuencia angular del sistema. Pero el problema no es tan simple, dado que no todas las secciones del muelle oscilan con la misma amplitud. La amplitud del extremos fijo es nula, en tanto que la del extremo unido a la masa m es igual a la de ésta. Podemos abordar el problema de un modo sencillo y razonable suponiendo que las diferentes secciones del muelle experimentan desplazamientos proporcionales a su distancia al extremo fijo, como se indica en la Figura 13.18. De este modo podremos calcular la energía cinética total del muelle cuando su extremo móvil presente una elongación x. Sea L la longitud natural del muelle y consideremos un elemento infinitesimal del mismo, de longitud dl, situado a una distancia l del extremo fijo (O ≤ l ≤ L). La masa de ese elemento infinitesimal es dM

M dl L

[13.81]

y su elongación ξ, cuando es x la elongación del extremo móvil, es la fracción l/L Figura 13.18 x l l x. de x, i.e., ξ L L La velocidad del elemento infinitesimal dM, en cada instante, puede expresarse en función de su distancia l al extremo fijo y de la velocidad v y que tenga en ese instante el extremo móvil del muelle: vl

dξ dt

d⎛l ⎞ ⎜ x⎟ dt ⎝ L ⎠

l dx L dt

l v L

[13.82]

385

§13.8.- Sistema masa-muelle.

de modo que la energía cinética de ese elemento infinitesimal es dEk

1 2 dM vl 2

1 Mv 2 2 l dl 2 L3

[13.83]

y la energía cinética total del muelle, en el instante en que es v la velocidad de su extremo móvil, viene dada por la expresión Ek,M

1⎛M⎞ 2 ⎜ ⎟v 2⎝ 3 ⎠

1 Mv 2 ⌠L 2 l dl 2 L 3 ⌡0

[13.84]

energía que equivale a la de un cuerpo cuya masa fuese la tercera parte de la del muelle y que se moviese con la velocidad del cuerpo que está unido a su extremo móvil. El teorema de conservación de la energía para el sistema completo (cuerpo-muelle) nos permite poner E

o sea

E

1⎛ ⎜m 2⎝

con

1 mv 2 2 M⎞ 2 ⎟v 3⎠ meq

1M 2 v 2 3 1 2 kx 2 m

1 2 kx 2

[13.85]

1 m v2 2 eq

1 2 kx 2

[13.86]

M 3

[13.87]

de modo que, derivando con respecto al tiempo e igualando a cero (sistema conservativo), obtenemos la ec. dif. del movimiento: dE dt

meq v a

resultando que

kxv

0

⇒

v (meqa

ω

k meq

k x)

0

m

⇒

k M/3

a

k x meq

0

[13.88]

[13.89]

lo que equivale a considerar un muelle ideal (sin masa) y sumar M/3 a la masa que lleva sujeta en su extremo.

§13.9. Péndulo simple.- El péndulo simple o matemático es un sistema idealizado constituido por una partícula de masa m que está suspendida de un punto fijo O mediante un hilo inextensible y sin peso. Naturalmente es imposible la realización práctica de un péndulo simple, pero si es accesible a la teoría. El sistema que acabamos de describir se llama péndulo simple o matemático en contraposición a los péndulos reales, compuestos o físicos, únicos que pueden construirse y cuyos movimientos podemos observar. Consideremos un péndulo simple, como el representado en la Figura 13.19. Si la partícula se desplaza desde la posición de equilibrio (C) hasta la posición A, de modo que el hilo forma un ángulo θ con la vertical, y luego se abandona, el péndulo oscilará en un plano vertical bajo la acción de la gravedad. Las oscilaciones tendrán lugar entre las posiciones extremas A y A′, simétricas respecto a la vertical, a lo

386

Lec. 13.- Movimiento armónico simple.

largo de un arco de circunferencia de radio l=OC. El movimiento es periódico, pero no podemos asegurar que sea armónico. Para determinar la naturaleza de las oscilaciones deberemos escribir la ecuación del movimiento de la partícula. La partícula se mueve sobre un arco de circunferencia bajo la acción de dos fuerzas: su propio peso (mg) y la tensión de la cuerda (T). Tan sólo el peso de la partícula proporciona una componente tangencial a la trayectoria, cuyo valor es

Figura 13.19

Ft

[13.90]

mg senθ

donde hemos incluido el signo negativo para manifestar que la fuerza Ft tiene siempre sentido opuesto al desplazamiento (fuerza recuperadora). La componente tangencial de la ecuación del movimiento, la única componente que nos interesa, es Ft=mat, siendo at, la aceleración tangencial. Pero como el movimiento de la partícula es circular, podemos poner at=lθ¨ y, por consiguiente, tenemos mg sen θ

ml θ¨

⇒

θ¨

g sen θ l

[13.91]

0

Esta ec. dif. no es del mismo tipo que la correspondiente a un m.a.s., debido a la presencia de la función seno, de modo que podemos asegurar que el movimiento del péndulo simple no es armónico simple, en general. Sin embargo, si consideramos tan sólo oscilaciones de pequeña amplitud, de modo que el ángulo θ sea siempre suficientemente pequeño, entonces el valor del senθ será muy próximo al valor de θ expresado en radianes (senθ≈θ, para θ suficientemente pequeño), como podemos apreciar en la Tabla 13.1, y la ec. dif. del movimiento se reduce a θ¨

g θ l

[13.92]

0

que es idéntica a la ec. dif. correspondiente al m.a.s., refiriéndose ahora al movimiento angular en lugar de al movimiento rectilíneo, cuya solución es:

Tabla 13.1.- Comparación entre el valor de un ángulo (rad) y el de su seno.

θ

θ (rad)

sen θ

dif.(%)

θ

θ (rad)

sen θ

dif.(%)

0°

0.00000

0.00000

0.00

15°

0.26180

0.25882

1.15

2°

0.03491

0.03490

0.02

20°

0.34907

0.34202

2.06

5°

0.08727

0.08716

0.13

25°

0.43633

0.42262

3.25

10°

0.17453

0.17365

0.51

30°

0.52360

0.50000

4.72

387

§13.9.- Péndulo simple.

θ

ω

con

Θ sen (ω t

g l

⇒

T

ψ)

[13.93]

2π

l g

[13.94]

donde Θ y ψ son dos constantes "arbitrarias" correspondientes a la amplitud angular y a la fase inicial del movimiento. Obsérvese que el periodo del péndulo simple es independiente de la masa de la partícula suspendida y, también, de la amplitud de las oscilaciones, siempre que éstas sean suficientemente pequeñas como para que la aproximación senθ≈θ sea aceptable. Esta última propiedad, conocida como isocronismo de las pequeñas oscilaciones, fue descubierta por GALILEO (1564-1642), hacia el año 1581, en la catedral de Pisa: "Un día en que asistía, algo distraído sin duda, a una ceremonia religiosa, fijó su mirada en una lámpara de bronce, obra maestra de Benvenuto Cellini, que, suspendida de una larga cuerda, oscilaba con lentitud ante el altar. Quizás, con los ojos fijos en aquel metrónomo improvisado, unió su voz a la de los celebrantes; la lámpara se detuvo poco a poco y, atento Galileo a sus últimos movimientos, observó que marcaba siempre el mismo compás". (J. BERTRAND: Galileo y sus trabajos.)

Esta última circunstancia fue la que más atrajo la atención de Galileo; a pesar de que la amplitud de las oscilaciones se iba reduciendo, permanecía sensiblemente constante la duración de las mismas. Galileo repitió muchas veces el experimento y acabó por descubrir la relación existente entre dicha duración y la longitud de la cuerda que soportaba al peso oscilante. Más adelante, hacia el año 1673, Christian HUY10 GENS encontró la expresión del periodo correspondiente a las oscilaciones de pequeña amplitud, basando su demostración en las leyes de caída de los graves, según las había enunciado Galileo. Puesto que las pequeñas oscilaciones del péndulo son isócronas, este dispositivo es útil para la medida del tiempo11.

Figura 13.20 Christian HUYGENS (1629-1695)

10

Christian HUYGENS (1629-1695), astrónomo, matemático y físico holandés, nacido en La Haya. Sus numerosos y originales descubrimientos científicos le valieron un amplio reconocimiento entre los científicos del siglo XVII. 11

Fue Huygens quién en 1657 presentó a los Estados de Holanda un reloj regulado por péndulo; al año siguiente publicó una obra sobre tan importante aplicación. En el año 1673 apareció el admirable tratado De horlogio oscillatorio ex Christiano Huygenio, en el que se demuestran las propiedades del isocronismo de las pequeñas oscilaciones del péndulo, y de las del péndulo cicloidal, asunto que trataremos más adelante.

388

Lec. 13.- Movimiento armónico simple.

El péndulo simple se utilizó en las primeras determinaciones precisas de la aceleración producida por la gravedad, debido a que tanto el periodo de las oscilaciones como la longitud de la cuerda pueden determinarse con facilidad. A partir de [13.94] podemos expresar g en función de T y de l; i.e., 4π 2

g

l T2

[13.95]

§13.10. Solución exacta del problema del péndulo.- Los primeros estudios acerca de las oscilaciones pendulares finitas fueron realizadas por el matemático suizo Leonhard EULER (1707-1783) hacia el año 1736. Para obtener la expresión general del periodo de las oscilaciones pendulares deberemos proceder a integrar la ec. dif. del movimiento [13.91] de la masa pendular. Sin embargo, puesto que el sistema es conservativo, el problema puede resolverse más fácilmente por medio de la integral de la energía. La energía potencial gravitatoria de la masa pendular m, referida al plano horizontal que pasa por el punto más bajo de su trayectoria (C), viene dada por Ep

mgh

mgl (1

cosθ)

2mgl sen2

θ 2

[13.96]

y la energía total E es 1 2˙2 ml θ 2

2mgl sen2

θ 2

E

[13.97]

En la Figura 13.22 hemos representado gráficamente la energía potencial Ep en función del ángulo θ. Podemos observar, en dicha gráfica, que para 0 ω20 (i.e., 0.707≤ζr. a) ¿Cuál deberá ser el valor mínimo de v0 a fin de que la bolita complete Prob. 22.25 su trayectoria circular sin despegarse del carril? b) Sea vm el valor mínimo calculado anteriormente; y supóngase ahora que v0 = 0.387 vm. Bajo estas condiciones, determinar la posición angular θ del punto P en el que la bolita se despega del carril, así como su velocidad en ese instante. 22.26.- Un cubo homogéneo está apoyado sobre una de sus aristas en contacto con un plano horizontal, de modo que inicialmente se encuentra en equilibrio inestable. Los desplazamos ligeramente de esa posición para que comience a caer. Calcular su velocidad angular cuando una de sus caras choca con el plano horizontal: a) suponiendo que la arista no resbale sobre el plano y b) suponiendo que el plano sea perfectamente liso. 22.27.- Un rodillo macizo, de sección circular, de radio r y masa m, descansa sobre el borde horizontal de un escalón y empieza a rodar Prob. 22.27 hacia afuera, sin r e s b a l a r, c o n velocidad inicial despreciable. Calcular el ángulo que girará el rodillo antes de que pierda contacto con el borde del escalón, así como su velocidad angular en ese instante.

Prob. 22.28

22.28.- Dos discos idénticos, de 200 g de masa cada uno de ellos y de 10 cm de radio, están

Problemas

unidos por un eje cilíndrico y ligero de 2 cm de radio. El sistema rueda sin deslizar por un plano inclinado (30°) angosto de forma que los discos cuelgan a ambos lados del plano. El sistema parte del reposo y recorre una longitud de 1 m sobre el plano antes de que los discos tomen contacto con el plano horizontal; entonces se produce un aumento notable en la velocidad de traslación del sistema. a) Calcular la velocidad del sistema cuando está a punto de alcanzarse el pie del plano. b) Calcular la velocidad que finalmente adquiere el sistema rodando sobre el plano horizontal. c) ¿Se conserva la energía cinética en el tránsito del plano inclinado al horizontal?

Prob. 22.29 22.29.- Un rodillo macizo, de masa m y radio r, desciende rodando (sin resbalar) por la cara inclinada de un prisma triangular móvil, de masa M e inclinación θ, como se ilustra en la figura. a) Determinar las aceleraciones (absolutas) del rodillo y del prisma. b) Si el rodillo partió del reposo en la parte superior del prisma, estando también éste inicialmente en reposo, ¿cuál será la velocidad final del prisma? 22.30.- Un cilindro macizo y homogéneo, de masa m y radio r, rueda sin deslizar por el interior de otro cilindro hueco, de masa M y radio R, que puede girar Prob. 22.30 alrededor de un eje fijo horizontal (O) que coincide con su eje de simetría. En el instante inicial, se abandona el sistema (partiendo del reposo) en la posición que se indica en la figura. a) Determinar las velocidades angulares de cada uno de los dos cilindros en el instante en que el cilindro interior pasa por su posición más baja. b) Determinar la velocidad de traslación del cilindro interior en dicho instante.

677

678

Lec. 22.- Trabajo y energía en el movimiento general del sólido rígido.

23.- Ecuaciones de Euler. §23.1. Ecuaciones del movimiento en un referencial solidario (679); §23.2. Ecuaciones de Euler (683); §23.3. Movimiento libre del sólido rígido (685); §23.4. Peonza esférica (686); §23.5. Peonza simétrica (686); §23.6. Precesión del eje de rotación de la Tierra (689); §23.7. Estabilidad de la rotación (691); Problemas (693)

El movimiento del sólido rígido cuando faltan los apoyos que fijan la posición del eje de rotación es extraordinariamente complicado, como ya hemos tenido ocasión de comprobar en el estudio elemental que hemos hecho en la Lección 21 sobre el movimiento del trompo y del giroscopio. Nuestro propósito en esta lección es establecer las ecuaciones generales del movimiento del sólido rígido, esto es, las llamadas Ecuaciones de Euler, y analizar algunos problemas sencillos referentes al movimiento del sólido rígido y a la estabilidad de su rotación. §23.1. Ecuaciones del movimiento en un referencial solidario.- Para encontrar las ecuaciones del movimiento del sólido rígido, partiremos de la relación fundamental entre el momento y el momento angular, esto es

dL dt

M

[23.1]

F

donde el subíndice F nos recuerda que esta relación sólo es válida si tanto L como M están referidos a un mismo punto que está fijo en un cierto referencial inercial o que es el centro de masa del sólido. Cuando expresamos los coeficientes de inercia Iμν en un referencial fijo, resultan ser función del tiempo, ya que la posición y orientación del sólido cambia en el transcurso del movimiento con respecto a los ejes coordenados de dicho referencial. Por ello resulta conveniente expresar la matriz de inercia en un sistema de ejes coordenados en el que los coeficientes de inercia Iμν permanezcan constantes en el transcurso del movimiento; i.e., la distribución de masa del sólido deberá permanecer invariable con respecto a tal sistema de ejes coordenados. Obviamente, estos requisitos los cumple cualquier referencial definido por un punto de cuerpo y un sistema de ejes coordenados ligados al cuerpo, i.e., un Manuel R. Ortega Girón

679

680

Lec. 23.- Ecuaciones de Euler.

referencial solidario. Sin embargo, no es absolutamente necesario (en ocasiones, ni tan siquiera conveniente) que el sólido esté en reposo en tal referencial; será suficiente que sus coeficientes de inercia permanezcan constantes en el mismo. Denominaremos referencial "solidario" a cualquier referencial en el que los coeficientes de inercia permanezcan constantes en el transcurso del movimiento del sólido. Generalmente, el referencial solidario será un referencial no-inercial, por poseer un movimiento general (rototraslatorio) con respecto al referencial fijo o inercial. Como sabemos relacionar las derivadas temporales en dos referenciales que presentan un movimiento relativo de rotación, podemos escribir la expr. [23.1] en la forma dL dt

Figura 23.1

F

dL dt

ω×L

M

[23.2]

M

donde ω es la velocidad angular del referencial en rotación (referencial solidario) y el subíndice M hace referencia a dicho referencial móvil (prescindiremos de dicho subíndice en el resto de esta lección). Todas las magnitudes del segundo miembro de [23.2] están expresadas en la base vectorial (móvil) asociada al referencial solidario, estando M y L referidos a un mismo punto que cumpla los requisitos anteriormente citados. Así pues, la ecuación del movimiento del sólido rígido es dL dt

ω×L

M

[23.3]

en la que todas las magnitudes que intervienen deberán estar expresadas en la base vectorial asociada al referencial solidario.

Ejemplo I.- El trompo.- Expresar la velocidad angular intrínseca (ω) del trompo o peonza simétrica en función de la velocidad angular de precesión (Ω) del mismo y de su ángulo de nutación (φ). Adoptaremos un referencial "solidario" definido por los ejes 123 y el punto O (fijo) en el que el trompo se apoya sobre el suelo, de modo que el eje 1 permanece siempre horizontal. Puesto que los ejes 123 son ejes principales del trompo, la matriz de inercia en el punto O (estacionario) será Figura 23.2

§23.1.- Ecuaciones del movimiento en un referencial solidario.

II

⎞ ⎛ ⎜ I1 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 I2 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 I ⎟ 3 ⎠123 ⎝

681

[i]

con I1 = I2 ( = I12). Puesto que los ejes coordenados 123 no participan de la rotación intrínseca ω del trompo, la velocidad angular del referencial "solidario" en el referencial inercial (XYZ) es Ω, en tanto que la velocidad angular del trompo es ω+Ω; i.e.,

Ω

⎞ ⎛ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ Ω senφ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ Ω cosφ ⎠123

ω

Ω

⎛ 0 ⎜ ⎜ ⎜ Ω senφ ⎜ ⎝ ω Ω cosφ

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠123

[ii]

de modo que el momento angular del trompo con respecto al punto O será

II ( ω Ω )

L

⎛ 0 ⎜ ⎜ I12 Ω senφ ⎜ ⎜ I ( ω Ω cosφ ) ⎝ 3

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠123

[iii]

Aplicamos la expr. [23.3]

M

dL dt

Ω×L

⎛ 0 ⎜ ⎜ Ω senφ ⎜ ⎜ ⎝ Ω cosφ

⎞ ⎛ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ I12Ω senφ ⎟ × ⎜ ⎟ ⎜ I ( ω Ω cosφ ) ⎠123 ⎝ 3

⎛ [ I Ωω (I I )Ω2cosφ] senφ 3 12 ⎜ 3 ⎜ 0 ⎜ ⎜ 0 ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠123

[iv]

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠123

ya que dL/dt=0 (en el referencial 123). Por otra parte, podemos calcular el momento dinámico que actúa sobre el trompo a partir del par de fuerza (mg,N) que interviene:

M

⎛0 ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ 0 × ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ h ⎠123 ⎝

OG × mg

⎞ ⎟ ⎟ mg senφ ⎟ ⎟ mg cosφ ⎠123 0

⎛ mgh senφ ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎜ 0 ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠123

[v]

de modo que igualando [iv] y [v] I3Ωω (I3 I12)Ω2 cosφ

o sea que es la expresión pedida.

ω

mgh I3Ω

I12 I3 I3

mgh

[vi]

Ω cosφ

[vii]

682

Lec. 23.- Ecuaciones de Euler.

Ejemplo II.- Una moneda, de radio r y masa m, rueda libremente sobre un plano horizontal de modo que su centro describe una trayectoria circular de radio R. Obviamente, para que tal movimiento sea posible, el plano de la moneda deberá forma un cierto ángulo, ϕ, con la vertical, como se indica en la Figura 23.3 (izq). a) Determinar la velocidad de traslación de la moneda en función del ángulo ϕ. b) Evaluar el valor mínimo del coeficiente de rozamiento entre la moneda y el suelo que impida el resbalamiento lateral de la moneda. a) La condición de rodadura impone las siguientes relaciones entre la velocidad de traslación v de la moneda y sus velocidades angulares ω (intrínseca) y Ω (asociada a la traslación): Ω

v R

rω

(R r sen ϕ) Ω

⇒

R r sen ϕ Ω2 r

ωΩ

[i]

Adoptaremos un referencial "solidario" definido por los ejes 123 y el centro G de la moneda, de modo que el eje 2 permanece siempre horizontal (i.e., no ligado a la moneda). Puesto que los ejes 123 son ejes principales de la moneda, la matriz de inercia será ⎞ ⎛ ⎜ I1 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 I2 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 I ⎟ 3 ⎠123 ⎝

II

con

I1

I2

1 2 mr 4

I3

1 2 mr 2

Obviamente, la velocidad angular de dicho referencial "solidario" en el referencial inercial (XYZ) es Ω, en tanto que la velocidad angular de la moneda es ω+Ω; i.e.,

Ω

⎛ Ω cosϕ ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎜ ⎝ Ω senϕ

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠123

ω

Ω

⎛ Ω cosϕ ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎜ ⎝ ω Ω senϕ

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠123

[ii]

de modo que el momento angular de la moneda con respecto a su centro de masa (G) será

L

II ( ω Ω )

⎛ I1 Ω cosϕ ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎜ I ( ω Ω senϕ ) ⎝ 3

Figura 23.3

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠123

[iii]

§23.1.- Ecuaciones del movimiento en un referencial solidario.

683

Aplicamos la expr. [23.3]

M

dL dt

Ω×L ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎛ I1 Ω cosϕ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ × ⎜ ⎟ ⎜ I (ω Ω senϕ ) ⎠123 ⎝ 3 ⎞ 0 ⎟ I3Ω cosϕ (ω Ω senϕ ) ⎟⎟ ⎟ 0 ⎠123

⎛ Ω cosϕ ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎜ Ω senϕ ⎝

I1Ω 2senϕ cosϕ

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠123

[iv]

ya que dL/dt =0 (en el referencial 123). En consecuencia, el momento dinámico con respecto a G tan solo tiene componente en la dirección del eje 2; i.e., M2

(I3 I1 ) Ω 2senϕ cosϕ

I3 Ω ω cosϕ

[v]

Pero, por otra parte, podemos calcular dicho momento dinámico a partir de los dos pares de fuerzas que intervienen, como se muestran en la Figura 23.3 (dcha); i.e., (mg,N) y (f,Fcf): M2

mg r senϕ

mv 2 r cosϕ R

[vi]

de modo que igualando [v] con [vi] y sustituyendo las expresiones de Ω y de ωΩ dadas por [i], después de algunas operaciones, se obtiene

v

Rr

2

mr R

mg tgϕ I3R I2r senϕ

⇒

v

2R

g tgϕ 3R r senϕ

[vii]

que es la velocidad pedida. Obsérvese que para ϕ=0 deberá ser v=0 (i.e., no es posible el movimiento). b) Para que la moneda no resbale lateralmente deberá ser f

μN

μ mg ≥

mv 2 R

⇒

μ ≥

v2 gR

[viii]

§23.2. Ecuaciones de Euler.- Si escogemos los ejes ligados al cuerpo en rotación coincidiendo con los ejes principales de inercia (123) del cuerpo, será

L

ω×L

⎛ ⎞ ⎜ I1ω1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ I2ω2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜Iω ⎟ ⎝ 3 3 ⎠123

[23.4]

⎛ ⎞ ⎜ (I3 I2)ω2ω3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ (I1 I3)ω1ω3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ (I I )ω ω ⎟ 2 1 1 2 ⎝ ⎠123

[23.5]

dL dt

⇒

⎛ ⎛ ⎞ ⎜ I1ω1 ⎜ ω1 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ω2 ⎟ × ⎜ I2ω2 ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ω ⎟ 3 ⎝ ⎠123 ⎝ I3ω3

⎛ ⎞ ˙1 ⎟ ⎜ I1ω ⎜ ⎟ ⎜ I2ω ˙2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜Iω ⎟ ˙ ⎝ 3 3 ⎠123

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠123

684

Lec. 23.- Ecuaciones de Euler.

de modo que la ecuación vectorial [23.3] equivale a tres ecuaciones escalares que podemos escribir en la forma ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

˙1 I1ω I2ω ˙2 I3ω ˙3

(I2 I3)ω2ω3 (I3 I1)ω1ω3 (I1 I2)ω1ω2

M1 M2 M3

[23.6]

que son las Ecuaciones de EULER1 para el movimiento del sólido rígido en un campo de fuerzas. Observemos que el movimiento del sólido rígido depende de la estructura del cuerpo a través, tan sólo, de tres números (I1, I2, I3), que son los momentos principales de inercia. Entonces, dos cuerpos cualesquiera que tengan los mismos momentos principales de inercia se moverán del mismo modo, independientemente de que presenten una estructura diferente. (Por Figura 23.4 supuesto que no se tendrán en cuenta las fuerzas de rozamiento ya que estas dependerán de la forma del cuerpo). La forma geométrica más simple que puede presentar un cuerpo que tenga los tres momentos principales de inercia distintos es, obviamente, la de un elipsoide homogéneo. Por lo tanto, el movimiento de un sólido rígido cualquiera quedará representado por el de su elipsoide equivalente, también llamado elipsoide de inercia (Figura 23.4). El estudio del movimiento del sólido rígido bajo este punto de vista fue ideado por POINSOT en 1834. La construcción de Poinsot es objeto de estudio en cursos más avanzados de Mecánica.

Figura 23.5

1

Ejemplo III.- Resolver de nuevo el problema del Ejemplo II aplicando directamente las ecuaciones de Euler en un referencial solidario 1′2′3′. Adoptamos el referencial solidario definido por los ejes 1′2′3′ y el centro G de la moneda (Figura 23.5), de modo que ahora los ejes 1′ y 2′ son arrastrados por la rotación intrínseca de la moneda alrededor del eje 3′. La velocidad angular del referencial 1′2′3′ en el referencial inercial (XYZ) es ω+Ω, de modo que

Leonhard EULER (1707-1783); matemático y físico suizo. Sus actividades abarcaron las disciplinas afines como la Astronomía y la Física, así como las Matemáticas. Fundó el Cálculo de Variaciones e imprimió nuevos rumbos a la Mecánica Analítica y a la Mecánica Celeste.

685

§23.2.- Ecuaciones de Euler.

ω

Ω

⎛ cosθ senθ 0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ senθ cosθ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 1 ⎠ ⎝

d (ω dt

de donde se sigue

⎛ Ω cosϕ ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎜ ⎝ ω Ω senϕ

Ω)

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠123

⎛ Ω cosθ cosϕ ⎜ ⎜ ⎜ Ω senθ cosϕ ⎜ ⎝ ω Ω senϕ

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠1′2′3′

⎞ Ωω senθ cosϕ ⎟ ⎟ Ωω cosθ cosϕ ⎟ ⎟ 0 ⎠1′2′3′

Apliquemos ahora las ecuaciones de Euler [23.6], teniendo en cuenta las componentes de ω+Ω ˙ dadas por las dos expresiones anteriores; y de ω+ ˙ Ω ⎧ ⎪ M1′ ⎪ ⎨ M2′ ⎪ ⎪ M ⎩ 3′

o sea

I1Ωω senθ cosϕ

(I2 I3)( Ω senθ cosϕ ) (ω Ω senϕ)

I2Ωω cosθ cosϕ

(I3 I1)( Ω cosθ cosϕ ) (ω Ω senϕ)

0 ⎧ M ⎪ 1′ ⎪ ⎨ M2′ ⎪ ⎪ M ⎩ 3′

[ (I3 I2) Ω 2 senϕ cosϕ

I3 Ωω cosϕ ] senθ

[ (I3 I1) Ω 2 senϕ cosϕ

I3 Ωω cosϕ ] cosθ

0

de modo que el momento dinámico tiene la dirección del eje 2 (sin prima) y su módulo es M

(I3 I1 ) Ω 2senϕ cosϕ

I3 Ω ω cosϕ

que es el mismo resultado que encontrábamos en [v] del Ejemplo I, por lo que el problema se concluye en la forma que ya conocemos ...

§23.3. Movimiento libre del sólido rígido.- Uno de los problemas a los que podemos aplicar las ecuaciones de Euler es el referente al movimiento de un sólido rígido sobre el que no actúan fuerzas ni momentos. El centro de masa de dicho sólido se hallará en reposo o en movimiento uniforme en un referencial inercial; pero no se pierde generalidad si suponemos que se encuentra en reposo y lo tomaremos como origen tanto del referencial inercial como del sistema de ejes ligado al cuerpo. Puesto que el momento resultante es nulo, las ec. de Euler permiten escribir:

⎧ ˙1 ⎪ I1ω ⎪ ⎨ I2ω ˙2 ⎪ ⎪ Iω ⎩ 3˙3

(I2 I3)ω2ω3 (I3 I1)ω1ω3

[23.7]

(I1 I2)ω1ω2

Estas mismas ecuaciones describen también el movimiento del sólido rígido con un punto fijo si sobre él no actúa un momento resultante con respecto a dicho punto.

686

Lec. 23.- Ecuaciones de Euler.

§23.4. Peonza esférica.- En el caso de una peonza esférica (Figura 23.6) es, I1

= I2 = I3 = I, de modo que las ecuaciones [23.7] se reducen a I1ω ˙1

0

I2ω ˙2

I3ω ˙3

0

[23.8]

0

y, por consiguiente, ω = cte, permaneciendo el eje de rotación fijo en el espacio y coincidiendo la dirección del vector velocidad angular ω con la del momento angular L. La energía cinética de rotación también permanece constante, tomando el valor Figura 23.6

Ek

1 2 2 2 I (ω1 ω2 ω3 ) 2

1 2 Iω 2

L2 2I

[23.9]

§23.5. Peonza simétrica.- Tomando como eje principal 3 el eje de simetría del cuerpo (Figura 23.7), de modo que I1 = I2 ≠ I3, las ecuaciones [23.7] se reducen a

⎧ I12ω ˙1 ⎪ ˙2 ⎨ I12ω ⎪ Iω ⎩ 3˙3

(I12 I3)ω2ω3 (I3 I12)ω1ω3 0

[23.10]

donde I12 sustituye2 a I1 e I2. Consideraremos el caso general en el que la velocidad angular no está dirigida a lo largo de un eje principal del sólido, puesto que en esas circunstancias el movimiento sería trivial. Figura 23.7

˙3 De la ecuación [23.10c] se sigue que ω que implica que ω3

cte

0 , lo

[23.11]

de modo que la componente de la velocidad angular sobre el eje 3 es constante y puede considerársela como una condición inicial del problema. Las dos primeras ecuaciones de [23.10] pueden escribirse en la forma ω ˙1

⎛I I ⎞ ⎜ 3 12 ω ⎟ ω 3⎟ 2 ⎜ I ⎝ 12 ⎠

ω ˙2

⎛I I ⎞ ⎜ 3 12 ω ⎟ ω 3⎟ 1 ⎜ I ⎝ 12 ⎠

[23.12]

y puesto que los términos encerrados en los paréntesis son iguales y constantes, los designaremos por

2

No existe posibilidad de confusión con la notación que empleamos, en la que un doble subíndice debería representar un producto de inercia, ya que en el referencial de los ejes principales de inercia aquellos son siempre nulos.

687

§23.5.- Peonza simétrica.

I3 I12

Ω

ω3

I12

[23.13]

que tiene las dimensiones de una velocidad angular. Con esta notación, las ecuaciones [23.12] pueden escribirse en la forma ω ˙1

Ω ω2

ω ˙2

Ω ω1

[23.14]

y constituyen un par de ecuaciones diferenciales acopladas. Para obtener las soluciones de dicho sistema de ec. dif. derivamos [23.14b] respecto al tiempo ω ¨2

Ωω ˙1

[23.15]

y sustituimos en [23.15] el valor de ω ˙ 1 dado por [23.14a] ω ¨2

Ω2 ω2

[23.16]

que es una ec. dif. de segundo orden cuya solución es obvia; i.e., ω2

A sen Ωt

[23.17]

donde A es una cierta constante. Sustituyendo ahora [23.17] en [23.14a] obtenemos ω ˙1

Ω A sen Ωt

[23.18]

A cos Ωt

[23.19]

cuya solución es ω1

Figura 23.8

de modo que, en resumen, tenemos ω1

A cos Ωt

ω2

A sen Ωt

ω3

cte

[23.20]

Las soluciones [23.20] ponen de manifiesto que el vector ω = ω1e1 + ω2e2 + ω3e3, tiene módulo constante ω2

ω1 2

ω2 2

ω3 2

A2

ω3 2

cte

[23.21]

y que gira uniformemente, alrededor del eje 3 del cuerpo, con una frecuencia angular Ω, puesto que las primeras ecuaciones de [23.20] son las ecuaciones paramétricas de una circunferencia. Esta situación está descrita en la Figura 23.8, en la que se muestra como el extremo del vector ω (que tiene módulo constante) describe una circunferencia de radio A en torno al eje 3 (eje de simetría de la peonza simétrica) en tanto que se mantiene constante su proyección sobre dicho eje. En definitiva, la velocidad angular ω, o lo que es lo mismo, el eje instantáneo de rotación, presenta un movimiento de precesión alrededor del eje 3, con una velocidad angular constante Ω. La ecuación [23.13] pone de manifiesto que cuanto más próximos son los valores de I12 e I3, tanto menor será la velocidad angular de

688

Lec. 23.- Ecuaciones de Euler.

precesión (Ω) en relación con la de rotación (ω). Recuérdese que la precesión así descrita es relativa a los ejes del cuerpo, los que a su vez giran en el espacio con una velocidad angular mayor ω. Para un observador fijo en el sistema de coordenadas ligado al cuerpo, ω traza un cono que tiene como eje el de simetría del cuerpo; este cono se denomina cono del cuerpo. Puesto que estamos considerando el movimiento libre del sólido rígido, el vector momento angular L es estacionario en el espacio, esto es, constante en un referencial fijo o inercial. Además, otra constante del movimiento lo será la energía cinética; y puesto que el centro de masa del cuerpo permanece fijo, será constante la energía cinética de rotación; esto es, Ek

1 ω L 2

[23.22]

cte

de modo que, al ser L = cte y ω = cte, ω debe moverse, en el referencial fijo, de tal forma que su proyección sobre L sea constante. Por lo tanto, ω precesa alrededor de L formando un ángulo constante con la dirección (constante en el espacio) del momento angular L. Lo anteriormente expuesto equivale a decir que el eje instantáneo de rotación genera un cono que tiene como eje la dirección constante en el espacio del momento angular L; este cono se denomina cono del espacio. La situación queda descrita como se ilustra en la Figura 23.9. El cono del cuerpo rueda sobre el cono del espacio, de modo que ω (que tiene en cada instante la dirección de la generatriz común) precesa alrededor de L (eje z, por convenio) en el referencial fijo, y también precesa alrededor del eje de simetría del cuerpo (eje 3, por convenio) en el referencial ligado al cuerpo. Podemos determinar fácilmente los semiángulos de abertura de ambos conos. En virtud de la ec. [23.22], el ángulo α que determinan las direcciones del momento angular L y del eje instantáneo de rotación ω es constante y, por ser la energía cinética esencialmente positiva, dicho ángulo es siempre agudo. Esto es, el semiángulo de abertura del cono del espacio es siempre menor de 90° y viene dado por cos α

Figura 23.9

ω L ωL

2Ek

[23.23]

ωL

Figura 23.10

689

§23.5.- Peonza simétrica.

Por otra parte, el semiángulo de abertura β del cono del cuerpo, esto es, el ángulo determinado por el eje instantáneo de rotación (ω) y el eje de simetría del cuerpo (eje 3) viene dado por cos β

ω e3

ω3

ω

ω

ω3

⇒

A ω3

tgβ

A 2 ω3 2

[23.24]

Las constantes A (amplitud de precesión) y ω3, cuyos valores dependen de las condiciones iniciales, pueden calcularse a partir de las constantes del movimiento más usuales; es decir, la energía cinética y el momento angular. Teniendo en cuenta la relación [23.22] y que ⎛ ⎞ ⎜ I1ω1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ I2ω2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜Iω ⎟ ⎝ 3 3 ⎠123

L

se sigue

Ek

1 I A2 2 12

1 2 I3 ω3 2

[23.25]

2

L2

I12 A 2

I3 ω3 2

2

[23.26]

y de estas expresiones se pueden obtener A y ω3 en función de Ek y L; i.e., L2

2I3 Ek

A2

L 2 2I12 Ek

ω3 2

I12 (I3 I12)

[23.27]

I3 (I3 I12)

como el lector comprobará fácilmente. Resulta interesante calcular el ángulo γ determinado por los ejes del cono del cuerpo y del cono del espacio; es decir, por las direcciones de los vectores L y e3. Dicho ángulo viene dado por cos γ

L e3

I3ω3

L

I12A 2 I3 ω3 2

⇒ 2

2

tgγ

I12 A I3 ω3

[23.28]

y combinando las expresiones [23.24] y [23.28] resulta tgβ tgγ

A/ω3

I3

I12A/I3ω3

I12

[23.29]

de modo que si I3I12 (esferoide oblato, i.e., achatado por los polos, Figura 23.11), será β > γ, de modo que la situación se describe geométricamente por la Figura 23.10; esto es, el cono del espacio es interior al cono del cuerpo. §23.6. Precesión del eje de rotación de la Tierra.- Puesto que la Tierra no es exactamente esférica cabe esperar que su eje de rotación presente un movimiento

690

Lec. 23.- Ecuaciones de Euler.

de precesión como anteriormente hemos descrito, ya que los pares externos que actúan sobre la Tierra son muy débiles, de modo que cabe considerar su movimiento como libre, en lo que se refiere a la rotación. Como sabemos, la Tierra es simétrica respecto a su eje polar y ligeramente achatada por los polos (esferoide oblato, Figura 23.11), por lo que I3 es mayor que I12. Numéricamente, la razón de los momentos principales de inercia es tal que I3 I12 I12

Figura 23.11

≈

1 300

[23.30]

de modo que la magnitud de la velocidad angular de precesión del eje de rotación de la Tierra alrededor del eje polar es Ω ≈

ω3

[23.31]

300

y puesto que prácticamente ω3 es de la misma magnitud que ω, y como el periodo de rotación de la Tierra es 2π/ω = 1 día, el periodo de precesión teórico es del orden de 300 días. Un observador terrestre encontrará que el eje de rotación terrestre traza un círculo cada diez meses alrededor del Polo Norte. Este "bamboleo" se observa realmente muy bien, dando lugar a lo que se denomina variación de latitud y es tan interesante que el International Latitude Service mantiene un cierto número de observatorios con objeto de medirlo rigurosamente. La amplitud de la precesión es muy pequeña, pues el punto de corte del eje instantáneo de rotación de la Tierra con la superficie de la misma nunca se aparta más de 5 metros del Polo Norte. Pero la órbita es muy irregular y el periodo fundamental parece ser de unos 427 días, en vez de los 300 días teóricos. Las fluctuaciones se atribuyen a pequeñas variaciones en la distribución de la masa de la Tierra, tales como las originadas por los movimientos oceánicos y atmosféricos. La diferencia en el periodo se debe al hecho de que la Tierra no es completamente rígida, sino que posee ciertas propiedades elásticas, y al hecho de que su forma no corresponde exactamente a un elipsoide de revolución, sino más bien tiene la forma de una pera achatada, estando el extremo más abultado de la "pera" en el hemisferio Sur. No debemos confundir la precesión del eje de rotación de la Tierra en ausencia de momentos externos con la precesión del mismo alrededor de la normal a la eclíptica, que ya hemos descrito en la lección anterior. El abultamiento ecuatorial de la Tierra, junto con la circunstancia de que su eje de rotación forme un ángulo de unos 23°27′ con la normal al plano de la órbita terrestre en su movimiento alrededor del Sol (plano de la eclíptica), da lugar a un momento gravitacional, debido al Sol y a la Luna, que produce una lenta precesión del eje de rotación de la Tierra alrededor de la normal a la eclíptica (precesión de los equinoccios). El periodo de esta precesión es de 27 725 años. Así, en diferentes épocas diferentes estrellas han desempeñado el papel de la "actual" Estrella Polar.

§23.7.- Estabilidad de la rotación.

691

§23.7. Estabilidad de la rotación.- Cuando un sólido rígido utiliza uno de sus ejes principales como eje de rotación, dicho eje no muestra tendencia alguna a abandonar su posición y no ejerce reacciones sobre sus apoyos. Por esta razón los ejes principales de un sólido reciben también el nombre de "ejes libres". En este artículo vamos a considerar la rotación libre del sólido rígido, esto es, sin la intervención de momentos externos, alrededor de cada uno de sus ejes principales y vamos a estudiar las condiciones bajo las cuales dicha rotación es estable, entendiendo por estabilidad que el movimiento recupera su estado inicial, o realiza oscilaciones respecto a dicho estado, tras someter el cuerpo a una pequeña perturbación. Escogeremos para nuestra discusión un sólido rígido cualquiera, de forma que en general sus tres momentos principales de inercia sean distintos y los etiquetaremos de modo que I1 < I2 < I3. Naturalmente, tomaremos como sistema de ejes ligado al cuerpo el sistema de ejes principales, y, para empezar, supondremos que el cuerpo está girando alrededor del tercer eje principal (Figura 23.12), de modo que

ω3

0 0 ω3

[23.32] 123

Si en estas condiciones aplicamos una pequeña perturbación, podremos expresar el vector velocidad angular como ω

λ μ ω3

[23.33] 123

donde λ y μ serán cantidades muy pequeñas, de modo que el producto λμ podrá ser despreciable frente a otros términos que aparecerán en nuestra discusión. Figura 23.12 Las ecuaciones del movimiento del sólido rígido (ec. de Euler), en estas condiciones y en la ausencia de momentos externos, son las ec. [23.7], de modo que ⎧ ⎪ I1λ˙ ⎪ ⎨ I2μ˙ ⎪ ⎪ Iω ⎩ 3˙3

(I2 I3)μω3 (I3 I1)λω3

[23.34]

(I1 I2)λμ

˙ 3 = 0, o sea, ω3 = y puesto que λμ ≈ 0, la tercera ecuación de [23.34] implica que ω cte. Las otras dos ecuaciones nos conducen a λ˙

⎛I I ⎞ ⎜ 2 3 ω⎟ μ 3⎟ ⎜ I ⎝ 1 ⎠

μ˙

⎛I I ⎞ ⎜ 3 1 ω⎟ λ 3⎟ ⎜ I ⎝ 2 ⎠

[23.35]

donde las cantidades entre paréntesis son constantes. Estas dos ecuaciones constituyen un par de ecuaciones diferenciales acopladas. Para obtener las soluciones de este

692

Lec. 23.- Ecuaciones de Euler.

sistema de ec. dif. derivaremos respecto al tiempo ambas ecuaciones, sustituiremos las expresiones de λ˙ y μ˙ dadas por [23.35] en el resultado y definiremos Ω3

(I3 I1) (I3 I2)

ω3

[23.36]

I1 I2

con lo que finalmente obtenemos dos ec. dif. desacopladas: λ¨

Ω3 λ 2

0

μ¨

Ω3 μ 2

0

[23.37]

cuyas soluciones son ⎧ Si ⎪ ⎨ ⎪ Si ⎩

Ω3>0, será λ(t)

A cos Ω3t

μ(t)

Ω 0 y las soluciones para λ(t) y μ(t) representan movimientos oscilatorios armónicos de la misma frecuencia, en cuadratura y en direcciones perpendiculares. La conclusión es que la perturbación introducida al forzar pequeñas componentes para ω en las direcciones de los ejes principales primero y segundo no se incrementa con el tiempo, sino que se produce una precesión del eje de rotación (i.e., del vector ω) alrededor del tercer eje principal; de este modo, el eje de rotación permanece en la proximidad del tercer eje principal. En consecuencia, la rotación alrededor del tercer eje principal es estable. Si considerásemos rotaciones del sólido alrededor de los otros dos ejes principales, podríamos obtener las expresiones de Ω2 y Ω3 por permutación de subíndices en la expresión [23.36], esto es, Ω1

ω1

(I1 I2) (I1 I3) I2 I3

Ω2

ω2

(I2 I1) (I2 I3)

[23.39]

I1 I3

y puesto que I1 < I2 < I3 tenemos que Ω1 y Ω3 son reales, pero Ω2 es imaginario. Esto significa que cuando la rotación tiene lugar alrededor de los ejes principales primero y tercero la perturbación produce precesiones alrededor del eje correspondiente y la rotación alrededor de esos ejes es estable. En cambio, cuando la rotación tiene lugar alrededor del segundo eje principal, como Ω22 es negativo, resulta que la perturbación se incrementa con el tiempo sin ningún límite y la rotación es inestable. En conclusión: La rotación alrededor de los ejes principales de inercia a los que corresponde el menor y el mayor momento de inercia es estable, en tanto que la rotación alrededor del eje principal al que corresponde un momento de inercia intermedio es inestable. Este efecto puede comprobarse fácilmente si arrojamos al aire, por ejemplo, una cartulina rectangular o un libro. Así, si lo arrojamos comunicándole una cierta rotación alrededor de uno de sus ejes principales,

§23.7.- Estabilidad de la rotación.

693

el movimiento será inestable para una rotación alrededor del eje principal de momento de inercia intermedio y estable para los otros dos ejes principales.

En el caso de que dos momentos de inercia sean iguales (peonza simétrica), como por ejemplo I2 = I3, entonces el coeficiente de μ en la ecuación [23.35a] se anula, de modo que λ˙ = 0, lo que significa que λ = cte, y la ec. [23.35b] puede integrarse para obtener μ(t)

A

Bt

[23.40]

resultando que habrá inestabilidad para el tercer eje principal, además de para el segundo. Sólo habrá estabilidad para el primer eje principal (eje de simetría de revolución), independientemente de que I1 sea mayor o menor que I2 = I3. En el caso de que los tres momentos de inercia sean iguales (peonza esférica), esto es I1 = I2 = I3, tanto λ como μ en las ecuaciones [23.35] permanecen constantes con el tiempo, lo que significa que, cualquiera que sea el eje de rotación que pase por el centro de masa del cuerpo, la rotación será estable. Cabía esperar este resultado, pues para la peonza esférica el momento angular siempre está situado sobre cualquier eje de rotación que pase por el centro de masa del sólido.

Problemas 23.1.- Movimiento plano. Se denomina movimiento plano del sólido rígido al que tiene lugar de modo que cada punto del sólido se mueve en un plano paralelo a un plano fijo determinado. Escribir las ecuaciones de Euler para este tipo de movimiento y discutir su significado. 23.2.- Péndulo compuesto. Llamamos péndulo compuesto a un sólido rígido que puede oscilar libremente, bajo la influencia de la gravedad, en un plano vertical y alrededor de un eje horizontal. Utilizar las ecuaciones de Euler para determinar el periodo de las pequeñas oscilaciones del péndulo compuesto. 23.3.- Dos pequeñas masas idénticas, de masa m cada una de ellas, están montadas en los extremos de una varilla ligera de longitud 2l. El sistema puede girar alrededor de un eje fijo vertical que pasa por el centro de la varilla y que forma un ángulo constante con la misma. a) Utilizar las ecuaciones de Euler para calcular el momento que deben suministrar los apoyos del eje para que el sistema gire con velocidad angular constante. b) Calcular las

reacciones sobre los apoyos del eje, separados una distancia D. 23.4.- Una lámina rectangular está girando con velocidad angular constante alrededor de una de sus diagonales. a) Determinar el momento angular de la lámina. b) ¿Es constante dicho momento angular? c) Calcular el momento del par de fuerzas necesario para mantener el movimiento de la lámina. 23.5.- Un disco homogéneo está montado sobre un eje que pasa por su centro y que forma un ángulo φ con la normal al plano del disco. Utilizar las Prob. 23.5 ecuaciones de Euler para determinar el momento angular que deben suministrar los apoyos del eje para que el disco gire con velocidad angular constante.

694

Lec. 23.- Ecuaciones de Euler.

23.6.- Péndulo cónico I. Una varilla homogénea, de masa m y longitud l, puede girar libremente alrededor de un eje horizontal (O) que, a su vez, está girando alrededor de un eje vertical, con una velocidad angular φ˙ , como se ilustra en la figura. a) Demostrar que las eces. difes. del movimiento de la varilla son

del volante está obligado a moverse en un plano horizontal. Cuando hacemos girar el volante del giróscopo en la superficie terrestre, existirá una rotación adicional debida a la rotación de la Tierra. A partir de las ecuaciones de Euler, demuéstrese que, si la frecuencia angular del giróscopo es grande en comparación con la de rotación de la Tierra, el eje de rotación del volante oscilará simétricamente respecto de la dirección del meridiano, por lo que el giróscopo puede utilizarse como brújula. Prob. 23.6

3g senθ 2l φ¨ senθ 2 φ˙ θ˙ cosθ 0

2 θ¨ φ˙ senθ cosθ

b) Demostrar que el valor del ángulo θ correspondiente al equilibrio (dinámico), para una velocidad angular φ˙ =ω=cte, es cos θ0

23.10.- Un bloque de madera, macizo y de forma rectangular, cuyas dimensiones son 20 cm × 12 cm × 4 cm, gira libremente con una velocidad angular de 300 r.p.m. Determinar la frecuencia de precesión del eje de rotación, cuando se introduce una pequeña perturbación, si éste es: a) el de menor momento de inercia; b) el de mayor momento de inercia de los ejes de simetría del bloque.

3g 2lω2

c) Demostrar que la frecuencia de las pequeñas oscilaciones de la varilla respecto del ángulo θ0 es ω osc

ω sen θ0

23.7.- Péndulo cónico II. La barra en forma de L que se muestra en la figura está girando con velocidad angular constante ω. La varilla homogénea, de longitud l y masa m, que se muestra en la figura está artiProb. 23.7 culada en O a la barra en forma de L. Determinar la relación existente entre ω y el valor del ángulo θ.

Prob. 23.11 23.11.- En el sistema representado en la figura, una rueda de masa m y radio r y momento de inercia I está rodando sin deslizar sobre suelo horizontal y girando en torno a un eje fijo vertical con una velocidad angular Ω. Calcular el valor de la fuerza con que la rueda presiona contra el suelo. 23.12.- En el mecanismo que se muestra en la

23.8.- Demostrar que en el movimiento libre de una peonza simétrica los vectores momento angular, velocidad angular y el eje de simetría de revolución de la peonza son coplanarios. 23.9.- Brújula giroscópica de Foucault. Un giróscopo está montado con su centro de gravedad en el centro de los anillos con suspensión Cardan, por lo que no actúa sobre él par gravitatorio alguno; pero el eje de simetría

Prob. 23.12 figura, la placa rectangular delgada está unida

695

Problemas

al marco por medio de pasadores. El marco está girando con velocidad angular constante Ω, a) Demostrar que θ¨

Ω2 sen 2θ 2

b) Determinar las reacciones en los pasadores. c) Encontrar la frecuencia de las pequeñas oscilaciones de la placa respecto a su posición de equilibrio. 23.13.- Una varilla homogénea, de masa m y longitud l, está rígidamente unidad a un disco horizontal, como se muestra en la figura. El disco está girando con Prob. 23.13 velocidad angular constante Ω. Determinar la fuerza y el par de empotramiento que ejerce el disco sobre la varilla. 23.14.- Una placa rectangular, delgada y homogénea, de masa m y dimensiones l×2l, gira alrededor de un eje vertical con su plano perpendicular al piso. La esquina en O descansa en una pequeña oquedad, de modo que permanece siempre en el mismo punto. La velocidad angular ω y el ángulo β son constantes. a) Demostrar que la velocidad angular ω está relacioProb. 23.14 nada con el ángulo β por la expresión: l ω2 g

sen β 2 cos β sen 2β cos 2β

b) De la expresión anterior se sigue que ω=0 cuando senβ= 2 cosβ; i.e., tgβ=2. ¿Qué significa este resultado? c) Determinar el intervalo de valores del ángulo β para los que la placa permanecerá en el movimiento permanente descrito. 23.15.- Un cilindro circular, recto y homogéneo, cuyo eje está inclinado un ángulo φ con

respecto a la v e r t i c a l , experimenta un movimiento uniforme por el cual la periferia de su base inferior rueda sobre el suelo, en tanto que su Prob. 23.15 centro de masa (G) permanece estacionario. Sean l y R la generatriz y el radio del cilindro. Demostrar que la velocidad angular de precesión, para que el movimiento descrito sea posible, viene dado en función del ángulo φ por la expresión: Ω2

6g (2R cos φ l senφ) (3R 2 l 2) sen φ cos φ 3lR sen2φ

23.16.- Un disco circular posee una precesión permanente libre de momento. Demostrar que la velocidad angular de la precesión del disco es Ω

2 ω /cos φ

Prob. 23.16

Obsérvese que cuando el ángulo de nutación φ es muy pequeño, Ω≈-2ω. 23.17.- Un disco homogéneo, de masa m y radio R, está apoyado en su centro sobre el extremo superior de una varilla que se mantiene en posición vertical, como se muestra en la figura. En el instante t = 0 el disco está girando con velocidad angular ω alrededor de un eje que forma un ángulo β con la normal ON al plano del disco. a) Determinar las componentes del vector velocidad angular ω con respecto al sistema de ejes principales en el centro del disco. b) Demostrar que el vector velocidad angular ω precesa alrededor del eje ON con una velocidad angular Ω = ω cos β. c) Demostrar que la Prob. 23.17 amplitud de la prece-

696

Lec. 23.- Ecuaciones de Euler.

sión es A = ω sen β. d) Demostrar que el módulo del momento angular y la energía cinética del disco vienen dados, respectivamente, por

L

1 mR 2ω (1 3 cos2β) 4 1 mR 2ω2 (1 cos2β) Ek 8

e) Analizar y describir el movimiento del disco en la representación de los conos del cuerpo y del espacio. Demostrar que el semiángulo de abertura del cono del cuerpo es β y que el correspondiente al cono del espacio es α, dado por cos α

1 cos2β 1 3 cos2β

f) Demostrar que el ángulo y determinado por los ejes de simetría de ambos conos es cos γ

2 cos2β 1 3 cos2β

y comprobar que β = α + γ. Aplicación numérica: m = 80 g, R = 20 cm, ω = 100 rad/s, β = 60°.

24.-

Dinámica impulsiva del sólido rígido.

§24.1. Dinámica impulsiva del sólido rígido (697); §24.2. Percusión y percusión angular (697); §24.3. Ecuaciones fundamentales de la dinámica impulsiva (698); §24.4. Movimiento plano. Teorema del centro de percusión (700); §24.5. Percusiones sobre un sólido ligado (702); §24.6. Percusiones sobre un sólido con un punto fijo (703); §24.7. Percusiones sobre un sólido con un eje fijo (705); §24.8. Colisiones. Coeficiente de restitución (707); §24.9. Ecuación simbólica de la dinámica impulsiva (711); §24.10. Teorema de Carnot (712); Problemas (714)

§24.1. Dinámica impulsiva del sólido rígido.- En el transcurso de ciertos procesos reales, tales como las colisiones, aparición o desaparición brusca de ligaduras, explosiones, ..., se observan variaciones finitas de la velocidad durante intervalos de tiempo infinitesimales o, al menos, difícilmente medibles, de actuación de las fuerzas. A tales fuerzas las llamamos fuerzas impulsivas y sus efectos suelen recibir el nombre de percusiones. La Dinámica Impulsiva del sólido rígido se interesa tan sólo en los cambios de velocidad del sólido rígido sometido a las fuerzas impulsivas, sin preocuparse del cálculo de la intensidad de dichas fuerzas, ni del cálculo de los intervalos de tiempo de actuación de las mismas o de los desplazamientos del cuerpo durante la actuación de las fuerzas impulsivas. En la Lección 19 enunciábamos las dos Leyes del Movimiento Impulsivo de la partícula; podemos aplicar esas leyes igualmente al Movimiento Impulsivo del sólido rígido:

1. Cuando sobre un sólido rígido actúan simultáneamente las fuerzas ordinarias y las fuerzas impulsivas, podemos despreciar las primeras durante el tiempo de actuación de las segundas. 2. El sólido rígido no cambia de posición durante el tiempo de actuación de las fuerzas impulsivas. §24.2. Percusión y percusión angular.- Ya hemos definido en lecciones anteriores (§7.7 y §12.3) los conceptos de impulsión (Π) y de impulsión angular (Λ) de una fuerza. Esos conceptos, que son generales, se aplican fundamentalmente a las fuerzas impulsivas. Tanto el uno como el otro pueden interpretarse como una medida Manuel R. Ortega Girón

697

698

Lec. 24.- Dinámica impulsiva del sólido rígido.

de la efectividad de las fuerzas para modificar el estado de movimiento de traslación (cantidad de movimiento) y de rotación (momento angular), respectivamente, del cuerpo sobre el que actúan. Consideremos un sólido rígido sobre el que actúa una fuerza impulsiva F, durante un intervalo de tiempo muy corto Δt (Figura 24.1). La impulsión que produce dicha fuerza durante el tiempo que actúa suele recibir el nombre de percusión (Π), y viene dada por Π

Δt

⌠ F dt ⌡0

[24.1]

donde Π es un vector deslizante a lo largo de la línea de acción de la fuerza. Figura 24.1 La impulsión angular que produce la fuerza F, respecto a un punto, que o bien estará fijo en un referencial inercial o será el centro de masa del cuerpo, suele recibir el nombre de percusión angular (Λ) y está dada por Λ

Δt

⌠ M dt ⌡0

Δt

⌠ r × F dt ⌡0

Δt

r × ⌠ F dt ⌡0

r×Π

[24.2]

donde r es el vector de posición del punto de aplicación de la fuerza respecto al origen considerado. Vemos que la percusión angular (Λ) es sencillamente el momento de la percusión (Π) respecto al origen de momentos elegido. Obviamente, un sistema de percusiones actuando sobre un sólido rígido (Figura 24.2) constituye un sistema de vectores deslizantes al que podemos aplicarle el tratamiento general que ya hemos estudiado en la Lección 2. Así, tendremos Figura 24.2 conceptos tales como percusión resultante, percusión angular resultante, sistemas de percusiones equivalentes, eje central del sistema de percusiones, ... cuyas definiciones, por ser inmediatas, dejamos al cuidado del lector. §24.3. Ecuaciones fundamentales de la dinámica impulsiva.- Consideremos un sólido rígido sometido a un sistema de percusiones; los teoremas del centro de masa, de la cantidad de movimiento y del momento angular nos permiten enunciar:

a1) El centro de masa de un sólido rígido sometido a un sistema percusiones se mueve como si sobre él actuase la resultante de todas las percusiones y en él estuviese concentrada toda la masa del cuerpo. lo que equivale a decir:

699

§24.3.- Ecuaciones fundamentales de la dinámica impulsiva.

a2) El cambio que experimenta la cantidad de movimiento de un sólido rígido sometido a percusiones es igual a la percusión resultante. Expresado en forma analítica tenemos Π

Πi

i

Δ mv cm

m Δv cm

m (vcm

vcm)

[24.3]

donde hemos utilizado los superíndices - y + para hacer referencia a la velocidad del c.d.m. justamente antes y después de aplicar la percusión. b) El cambio que experimenta el momento angular de un sólido rígido respecto a un punto fijo (o a su centro de masa), al aplicarle un sistema de percusiones, es igual a la percusión angular resultante con respecto a dicho punto. Λ

Esto es

i

Λi

i

ri × Πi

ΔL

I Δω

I (ω

ω)

[24.4]

donde II es la matriz de inercia en el centro de reducción elegido, que permanece invariable durante la percusión ya que el sólido no cambia de posición ni de orientación durante la misma. Si elegimos como ejes coordenados los ejes principales de inercia del sólido en el instante de la percusión, entonces la matriz de inercia será diagonal y la expresión anterior se descompone en tres ecuaciones escalares: Λ1

I1 (ω1

ω1 )

Λ2

I2 (ω2

ω2 )

Λ3

I3 (ω3

ω3 )

[24.5]

donde I1, I2 e I3 son los momentos principales de inercia. Las ecuaciones anteriores determinan las componentes de la velocidad angular del sólido después de la percusión

Las expresiones [24.4] y [24.5] toman una forma más sencilla cuando el sólido rígido está obligado a girar en torno a un eje fijo (péndulo compuesto, por ejemplo) o cuando se trata de un movimiento plano en general; entonces Λ eje

ΔLeje

Ieje Δω

Ieje (ω

ω )

[24.6]

donde Λeje y Leje son la percusión angular y el momento angular con respecto al eje de rotación fijo. Así pues, frente a la Dinámica de la Velocidad Continua del sólido rígido, que admite como ecuaciones fundamentales: F

dp dt

d (mv cm) dt

M

dL dt

d (Iω) dt

[24.7]

la Dinámica Impulsiva admite como ecuaciones fundamentales Π

m Δvcm

Λ

I Δω

[24.8]

Comparando las expresiones [24.7] y [24.8], podemos ver la forma de pasar de la Dinámica de Velocidad Continua a la Dinámica Impulsiva; bastará con sustituir los conceptos de fuerza por el de percusión, el de momento por el de percusión angular y el de aceleración por el de cambio de velocidad. En la Dinámica de Velocidad

700

Lec. 24.- Dinámica impulsiva del sólido rígido.

Continua está implicado el método diferencial (diferencias infinitesimales); en la Dinámica Impulsiva se opera por el método de diferencias finitas. Por último, resaltaremos que el movimiento discontinuo, característico de la Dinámica Impulsiva, entraña, en general, una disipación de energía. Deberemos tener en cuenta esa disipación de energía cuando apliquemos el principio de conservación de la energía a problemas de Dinámica Impulsiva, tales como los problemas de choque, de explosiones, de desintegraciones, ... §24.4. Movimiento plano. Teorema del centro de percusión.- Consideremos un sólido rígido, inicialmente en reposo, al que se le aplica una percusión cuya línea de acción pasa a una distancia h de su centro de masa (Figura 24.3). Como acabamos de ver, podemos escribir

Π Π

o bien

Λ

mv cm

Icm ω

hΠ

mv cm

[24.9]

Icm ω

[24.10]

de modo que, eliminando Π entre estas dos expresiones, vcm

Icm

ω

mh

[24.11]

Figura 24.3

Se trata de un movimiento de rotación y traslación combinadas, más concretamente de un movimiento plano. En un movimiento de estas características siempre existe un punto "perteneciente" al cuerpo que se encontrará instantáneamente en reposo. Sea O′ dicho punto; podemos encontrar fácilmente la distancia h′ del punto O′ al c.d.m.. En efecto, puesto que vO′

ωh′

vcm

⇒

0

h′

vcm

[24.12]

ω

de modo que de [24.11] y [24.12] se sigue Icm

h′

mh

⇒

m h h′

⇒

Icm

h h′

2

Kcm

[24.13]

siendo Kcm el radio de giro respecto a un eje perpendicular al plano del movimiento y que pasa por el centro de masas. Si suponemos que el cuerpo pueda girar alrededor de un eje que siendo perpendicular al plano del papel pase por el punto O′, al aplicar la percusión en O no se producirá reacción alguna en el eje, ya que éste no tiende a moverse. En estas condiciones, el punto O recibe el nombre de centro de percusión respecto al punto O′ y la expresión [24.13] constituye el TEOREMA DEL CENTRO DE PERCUSIÓN, también conocido como TEOREMA DE HUYGENS (vide §21.7) La distancia (λ) entre los puntos O y O′ es λ

h

h′

h

Icm mh

Icm

mh 2 mh

IO

IO′

mh

mh′

[24.14]

701

§24.4.- Movimiento plano. Teorema del centro de percusión.

que son las mismas expresiones que obtuvimos para la longitud reducida (λ) de un péndulo físico (vide §21.7); esta longitud nos permitió definir y localizar el llamado centro de oscilación del péndulo físico. En el caso del péndulo físico, el punto O′ es el centro de suspensión; como ya sabemos, ambos puntos son conjugados porque tienen la propiedad de intercambiar entre sí sus papeles. Cuando una fuerza impulsiva actúa sobre el centro de percusión (O) con respecto a un punto O′, este punto no presenta tendencia a moverse, de modo que si por O′ pasa un eje alrededor del cual puede rotar el cuerpo, dicho eje no Figura 24.4 experimenta reacción percusional alguna. Los jugadores de béisbol saben bien que a menos que la pelota pegue justamente en el sitio correcto del bate (el centro de percusión respecto del punto donde se sujeta el bate), el impacto producirá una sensación molesta en sus muñecas y una cierta imprecisión en el disparo. Las mismas consideraciones podemos hacer en el manejo de algunas herramientas (martillo, pico, ...).

Ejemplo I.- Una varilla homogénea, que se encuentra en reposo sobre un tablero horizontal liso, recibe una percusión frontal Π cuya línea de acción pasa a una distancia h del centro de la varilla. Determinar el movimiento de la varilla si la percusión se aplica: i) en el centro de masa de la varilla; ii) en su extremo inferior. Aplicamos las ec. fundamentales de la dinámica impulsiva: Π

Λcm

mvcm

hΠ

1 ml 2 ω 12

Icmω

Figura 24.5

de las que se sigue inmediatamente Π m

vcm

ω

12 h Π ml 2

12 h vcm l2

i) Para h=0, será ω=0, y la varilla tendrá un movimiento de traslación pura. ii) Para h=l/2, será ω

12 l Π 2 ml 2

6 Π ml

6

vcm l

y la varilla posee un movimiento de rotación pura alrededor del punto O′ (Figura 24.6) que se encuentra a una distancia h′ del centro de masa, dada por

mhh′

Icm

⇒

h′

1 ml 2 12 l 2

l 6

Figura 24.6

702

Lec. 24.- Dinámica impulsiva del sólido rígido.

§24.5. Percusiones sobre un sólido ligado.- Cuando a un sólido ligado le aplicamos una percusión (o un sistema de percusiones) aparecen simultáneamente percusiones de ligadura o reacciones percusionales en los puntos de ligadura. El Principio de Liberación de LAGRANGE nos permite sustituir las ligaduras o vínculos por las percusiones de ligadura que producen los mismos efectos que aquéllas. Entonces, si llamamos Πi (i=1,2,...n) a las percusiones aplicada (activas) y ˜ j (j=1,2,...h) a las percusiones de ligadura, las ecuaciones fundamentales de la Π dinámica impulsiva deberán escribirse en la forma

Πi i

˜ Π j

Λi

m (vcm vcm )

j

i

˜ Λ j

ω )

I (ω

[24.15]

j

˜ j representan los momentos de las percusiones Πi y Π ˜ j, respectivamente, donde Λi y Λ con respecto a un punto fijo o al centro de masa del sólido. Normalmente las percusiones Πi se dan como datos en los problemas de ˜ j aparecen entre Dinámica Impulsiva. Por el contrario, las reacciones percusionales Π las incógnitas, i.e., se desconocen inicialmente, y su evaluación exige resolver completamente el problema, ya que esas percusiones sólo las conocemos a través de sus efectos sobre el movimiento del sistema. En ocasiones, no nos interesará conocer los valores de las reacciones percusionales y las eliminaremos de las ecuaciones del movimiento en una etapa inicial; pero, si se desea, se puede proceder a su determinación. En ciertos casos podremos calcular el valor de las reacciones percusionales a partir de las ecuaciones [24.15] que representan las ec. del movimiento del sólido rígido sujeto a ligaduras.

Ejemplo II.- Una varilla homogénea está suspendida verticalmente, por uno de sus extremos, de un eje horizontal, como se muestra en la Figura 24.7. a) Calcular la reacción percusional en el eje cuando se aplica a la varilla una percusión frontal Π: i) en el centro de masa de la varilla; ii) en su extremo inferior. b) ¿En que punto de la varilla deberá aplicarse la percusión frontal para que no haya reacción percusional en el eje de suspensión? a) Resolveremos el problema en general, aplicando la percusión Π a una distancia λ del eje de suspensión. Consideramos que el eje está sometido a una reacción percusional Πeje. Las ec. fundamentales de la dinámica impulsiva, tomando momentos con respecto al eje, nos permiten escribir Π

Πeje

λΠ

mvcm

con

vcm

IO′ω

1 ml 2 ω 3

l ω 2

[1]

[2]

De la segunda ec. [1] se sigue Figura 24.7

Π

1 ω ml 2 3 λ

⇒ ω

3λ Π ml 2

⇒ vcm

3λ Π 2ml

[3]

de modo que, despejando Πeje de la primera ec. [1] y sustituyendo en ella las expr. [3], se obtiene la reacción percusional pedida

703

§24.5.- Percusiones sobre un sólido ligado.

Πeje

3λ Π 2 l

mvcm Π

i) Para λ = l/2 es

Π

1 Π 4

Πeje

⎛ 3λ ⎜ ⎝ 2l

⎞ 1⎟ Π ⎠

[4]

ii) Para λ = l es

Πeje

1 Π 2

b) De la expr. [4] se sigue que la reacción percusional en el eje será nula cuando la percusión Π se aplique a una distancia del eje dada por 3λ 2l

1

0

⇒

2 l 3

λ

[5]

i.e., en el centro de percusión de la varilla con respecto al eje de suspensión. Podemos obtener el mismo resultado [5] aplicando el teorema del centro de percusión, bien sea en su forma [24.13]:

mhh′

Icm

⇒

1 ml 2 12 l m 2

Icm

h

mh′

λ

o en su forma [24.14]:

IO′ mh′

1 l 6

⇒

1 ml 2 3 l m 2

2 l 3

λ

h

h′

l 6

l 2

2 l 3

§24.6. Percusiones sobre un sólido con un punto fijo.- Consideremos un cuerpo rígido cuyo movimiento esté restringido de modo que uno de sus puntos, el O, permanezca fijo en un cierto referencial. Se comprende que el cuerpo sólo podrá girar en torno a un eje que pase por dicho punto O; la orientación de ese eje en el espacio podrá ser cualquiera. Este sistema tiene tan sólo tres grados de libertad; dos ángulos fijarán la orientación del eje en el espacio y un tercer ángulo determinará la rotación del sólido respecto a dicho eje. Supongamos que sobre el sólido actúa un sistema de percusiones Πi, con i = 1, 2, ... n. Las ecuaciones del movimiento impulsivo se escriben en la forma

i

Πi i

Λi

˜ Π ˜ Λ

m Δv cm I Δω

[24.16]

˜ es la reacción percusional en el punto fijo O donde Π ˜ y Λ es la correspondiente percusión angular. Llamaremos Π = Πi y Λ = Λi a la resultante y al momento resultante de las percusiones activas y tomaremos el punto O como centro de reducción (de ˜ modo que será Λ=0). Además, para simplificar, supondremos que los ejes coordenados xyz son los ejes

Figura 24.8

704

Lec. 24.- Dinámica impulsiva del sólido rígido.

principales de inercia del sólido en el punto O, de modo que la matriz de inercia es diagonal en dicho punto. Entonces, teniendo en cuenta que

v cm

ω × r cm

⎛ω ⎞ ⎛x ⎞ ⎜ x ⎟ ⎜ cm ⎟ ⎜ω ⎟ ⎜y ⎟ ⎜ y ⎟ × ⎜ cm ⎟ ⎜ω ⎟ ⎜z ⎟ ⎝ z ⎠ ⎝ cm ⎠

⎛ z ω y ω ⎞ ⎜ cm y cm z ⎟ ⎜ x ω z ω ⎟ ⎜ cm z cm x ⎟ ⎜y ω x ω ⎟ ⎝ cm x cm y ⎠

las ec. [24.16] quedan en la forma ⎧ Πx ⎪ (a) ⎨ Πy ⎪Π ⎩ z

˜ Π x ˜ Π y ˜ Π

z

⎧ Λx ⎪ (b) ⎨ Λy ⎪Λ ⎩ z

mzcmΔωy mycmΔωz mxcmΔωz mzcmΔωx mycmΔωx mxcmΔωy

IxxΔωx IyyΔωy IzzΔωz

[24.17]

esto es, seis ecuaciones escalares, de las que sólo las tres de [24.17b] son independientes de las reacciones percusionales y representan, por tanto, las ecuaciones del movimiento correspondientes a los tres grados de libertad del sistema. La resolución de este sistema de ec. nos permitirá determinar las componentes Δωx, Δωy y Δωz del cambio impulsivo que experimenta la velocidad angular del sólido. Entonces, las componentes de la reacción percusional en O se calcularán a partir de las tres ecuaciones de [24.17a].

Figura 24.9

Ejemplo III.- Una peonza simétrica está constituida por un disco homogéneo, de masa m y radio R, unido a un eje ligero que mantiene fijo su extremo inferior, como se ilustra en la figura. Inicialmente, la peonza está en rotación, con una velocidad angular ω, manteniendo su eje vertical. Aplicamos una percusión horizontal en el eje de la peonza, a la mitad de la distancia entre el extremo fijo del eje y el disco. a) Analizar el movimiento impulsivo de la peonza. b) Determinar la reacción percusional en el apoyo del eje. a) Puesto que nos encontramos exactamente en la situación descrita anteriormente, aplicaremos directamente las ec. [24.17b]: ⎧ ⎪ Λx ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ Λy ⎪ ⎪ Λ ⎩ z con

Figura 24.10

l Π 2

Ixx Δωx Iyy Δωy

0

Izz Δωz

0

Ixx

⇒

1 mR 2 4

⎧ ⎪ Δωx ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ Δωy ⎪ ⎪ Δω z ⎩

l Π 2 Ixx 0 0

ml 2

de modo que, finalmente, la peonza precesa alrededor del eje vertical que pasa por el punto de apoyo del eje, como se ilustra en la Figura 24.10. b) Podemos determinar la reacción percusional en el apoyo a partir de las ec. [24.17a]:

§24.6.- Percusiones sobre un sólido con un punto fijo.

˜ Π ˜ 0 Π x z

˜ Π y

⎛ 2 ⎜ ml ⎜ 2I ⎝ xx

ml Δω x Π

⎞ 1⎟⎟ Π ⎠

705

2l 2 R 2 Π 4l 2 R 2

§24.7. Percusiones sobre un sólido con un eje fijo.- Consideremos un sólido rígido que pueda girar alrededor de un eje fijo, soportado en los puntos O1 y O2, como se muestra en la Figura 24.11, sometido a un sistema de percusiones Πi. En virtud del Principio de Liberación de Lagrange, podemos imaginar al sólido libre (de ligaduras) sustituyendo los apoyos O1 y O2 por las re˜ 2 en los mismos. ˜1 y Π acciones percusionales Π Aplicando las ec. fundamentales de la dinámica impulsiva, tomando el punto O1 como centro de reducción, obtenemos

Π

˜ Π 1

Λ

˜ Π 2

˜ Λ 1

m Δv cm

˜ Λ 2

[24.18]

I Δω

donde Π es la resultante de las percusiones aplicadas, Λ es el momento resultante de las Figura 24.11 misma con respecto a O1 y II es la matriz de inercia en O1. Ahora bien, si son (xcm,ycm,zcm) las coordenadas del centro de masa del cuerpo, la velocidad de éste puede expresarse en cada instante en función de la velocidad angular del cuerpo; en efecto

v cm

ω × r cm

⎛0 ⎞ ⎛⎜ xcm ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜y ⎜0 ⎟ × ⎜ cm ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ω ⎠ ⎝ zcm

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ycmω ⎜ ⎜ x ω ⎜ cm ⎜ ⎝ 0

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

[24.19]

Así, efectuando las operaciones implícitas en [24.18], obtendremos ⎧ ⎪ Πx ⎪ (a) ⎨ Πy ⎪ ⎪Π ⎩ z

˜ Π 1x

˜ Π 2x

mycm Δω

˜ Π 1y

˜ Π 2y

mxcm Δω

˜ Π 1z

˜ Π 2z

0

⎧ ⎪Λ ⎪ x (b) ⎨ Λy ⎪ ⎪Λ ⎩ z

˜ lΠ 2y

Ixz Δω

˜ lΠ 2x

Iyz Δω

[24.20]

Izz Δω

esto es, seis ecuaciones escalares, de las que solo una, la tercera de [24.20b] es independiente de las reacciones percusionales y constituye, por tanto, la ecuación del movimiento impulsivo del cuerpo, correspondiente al único grado de libertad que tiene el sistema. Las dos primeras ec. [24.20a] y las dos primeras ec. de [24.20b] nos permiten determinar las componentes Π1x, Π1y, Π2x y Π2y de las reacciones percusionales en los apoyos del eje. Nos queda entonces la tercera ec. de [24.20b] que

706

Lec. 24.- Dinámica impulsiva del sólido rígido.

puede resolverse teniendo en cuenta el sentido de la componente Πz de la resultante de las percusiones aplicadas y el tipo de apoyos del eje. Podemos determinar ahora las condiciones que debe cumplir una percusión aplicada al sólido para que el eje de rotación no sufra reacciones percusionales en sus apoyos. Para ello, anularemos todas las componentes de las reacciones percusionales en las ecuaciones [24.20], con lo que nos quedará ⎧ Πx ⎪ (a) ⎨ Πy ⎪ Π ⎩ z

mycm Δω mxcm Δω 0

⎧ Λx ⎪ (b) ⎨ Λy ⎪ Λ ⎩ z

Ixz Δω Iyz Δω Izz Δω

[24.21]

1ª condición.- La percusión debe ser perpendicular al eje, aunque no concurrente con él. En efecto, esta condición es consecuencia de la tercera ec. de [24.21a], ya que la percusión Π no deberá tener componente a lo largo del eje.

En lo que sigue, consideraremos que la percusión aplicada, Π, es perpendicular al plano xz (y=0), de modo que las ec. [24.21] se convierten en ⎧ Πx ⎪ (a) ⎨ Πy ⎪ Π ⎩ z

mycm Δω mxcm Δω 0

0

⎧ Λx ⎪ (b) ⎨ Λy ⎪ Λ ⎩ z

Ixz Δω Iyz Δω Izz Δω

0 0

[24.22]

2ª condición.- El centro de masa debe encontrarse fuera del eje fijo, en un plano que pase por el eje fijo y que sea perpendicular a la percusión. En efecto, si el centro de masa se encontrase sobre el eje de rotación fijo, sus coordenadas serían (0,0,zcm), por lo que las tres ecuaciones [24.22a] exigirían que Πx = Πy = Πz = 0 (ausencia de percusión aplicada). Además, de la primera ec. [24.22a] se sigue que ycm=0, por lo que el centro de masa debe encontrarse en el plano y=0, como se ilustra en la Figura 24.12.

3ª condición.- El eje de rotación fijo deberá ser un eje principal de inercia en O1. En efecto, de las dos primeras ec. [24.22b] se sigue Ixz=0 y Iyz=0, por lo que el eje z (eje de rotación) debe ser un eje principal de inercia.

4ª condición.- La percusión deberá aplicarse en el centro de percusión del sólido con respecto al eje fijo de rotación. Como ya sabemos, se denomina centro de percusión al punto donde debe aplicarse la percusión Π para que no existan reacciones percusionales en los apoyos del eje. Determinaremos, a continuación, las coordenadas del centro de percusión (P, en la Figura 24.12). De la segunda ec. [24.22a] y de la tercera ec. [24.22b] se sigue Figura 24.12

Π

Πy

m xcm Δω

Λz

xP Π

Izz Δω

[24.23]

de las que se deduce la distancia xP de la línea de acción de la percusión Π al eje de rotación fijo; i.e.,

707

§24.7.- Percusiones sobre un sólido con un eje fijo.

xp

Izz

o bien

m xcm

m xcm xP

[24.24]

Izz

Obsérvese que esta expresión es la misma ec. [24.?] que obtuvimos con anterioridad con un razonamiento simplificado. Por consiguiente, la 4ª condición no es más que el TEOREMA DEL CENTRO DE PERCUSIÓN. §24.8. Colisiones. Coeficiente de restitución.- Consideremos dos sólidos libres (no ligados) que se mueven de una forma cualquiera. En el instante en que chocan entre sí, se ponen en contacto y aparecen entre ellos sendas percusiones iguales y opuestas que dan lugar a un cambio brusco en el estado de movimiento de cada uno de los sólidos. En general, los sólidos se separan después de la colisión, continuando con movimiento libre. En la Figura 24.13 hemos representado dos sólidos en el instante en que chocan, poniéndose en contacto los puntos A1 y A2 pertenecientes respectivamente a cada uno de ellos. Elegiremos unos ejes coordenados en la forma en que se indica en la figura: el origen en el punto de contacto A1≡A2 (coinciden en el mismo punto del espacio), los eje y y z contenidos en el plano tangente común a ambos sólidos en dicho punto Figura 24.13 y el eje x perpendicular a dicho plano. Supongamos que conocemos las magnitudes referentes a la geometría de masas de ambos cuerpos, así como sus posiciones y velocidades (de traslación y rotación) justamente antes del choque. Nuestro propósito es determinar el estado de movimiento de cada sólido justamente después del choque, así como la magnitud de la percusión de choque. Si llamamos Π a la percusión de choque que actúa sobre en cuerpo 2, en virtud del principio de acción-reacción, la percusión de choque que actúa sobre el cuerpo 1 será -Π. Así, aplicando la primera ec. fundamental de la dinámica impulsiva a cada uno de los dos cuerpos tendremos

Π

m1 (vcm,1 vcm,1 )

Π

[24.25]

m2 (vcm,2 vcm,2 )

y, tomando momentos con respecto a los centros de masa, G1 y G2, de los cuerpos respectivos, escribiremos r1 × Π

I 1 ( ω1

ω1 )

r2 × Π

I 2 ( ω2

ω2 )

[24.26]

Las expr. [24.25] y [24.26] constituyen un sistema de 12 ecuaciones escalares con 15 incógnitas: tres componentes para cada una de las magnitudes v+cm,1, v+cm,2, ω+1, ω+2 y Π. Obviamente necesitamos más información acerca de las características del choque para poder resolver el problema. En primer lugar, observaremos que si las superficies de los cuerpos colisionantes son lisas, sin rozamiento, la percusión de choque (Π) será perpendicular al plano

708

Lec. 24.- Dinámica impulsiva del sólido rígido.

tangente común en el punto de contacto entre los cuerpos (i.e., tendrá la dirección del eje x, en Figura 24.13); de este modo se eliminan dos incógnitas, con lo que dispondremos de 12 ecuaciones con 13 incógnitas. La ecuación que nos falta está relacionada con el balance energético durante la colisión. Así, si la colisión es perfectamente elástica, la suma de las energías cinéticas (traslación y rotación) de los cuerpos tendrá el mismo valor antes y después de la colisión, lo que nos proporciona otra ecuación, de modo que el problema estará formalmente resuelto. En el caso en que la colisión sea parcialmente elástica, la energía cinética no se conserva. Entonces deberemos conocer la pérdida de energía cinética durante la colisión (i.e., el Q) o el coeficiente de restitución de la colisión, ya definidos en la Lec. 19, para obtener la ecuación que nos falta. En una colisión general, entre cuerpos extensos, el coeficiente de restitución (e) se define como el cociente entre las componentes normales (dirección del eje x, en la Figura 24.13) de las velocidades relativas de los puntos en contacto (A1, A2) después y antes de la colisión, cambiado de signo; i.e., e o bien

( v1

( v1

v2 ) i

( v1

v2 ) i

v2 )normal

e ( v1

[24.27] [24.28]

v2 )normal

que es, como ya vimos en §19.4, la REGLA DE HUYGENS-NEWTON, aplicable para las componentes de las velocidades a lo largo de la normal común a la superficie de los cuerpos en el punto de contacto.

Ejemplo IV.- Una varilla cae en posición horizontal bajo la acción de la gravedad y choca con un filo A situado a la mitad de la distancia entre el centro y un extremo de la varilla, como se ilustra en la Figura 24.14. Sean v0 la velocidad de la varilla justamente antes del choque y sea e el coeficiente de restitución entre la varilla y el filo. a) Determinar la velocidad del centro de masa de la varilla y la velocidad angular de ésta inmediatamente después del choque. b) Determinar la reacción percusional en el filo A. c) Comprobar que se conserva el momento angular con respecto al punto A. d) ¿Se conserva la energía cinética durante el choque? e) Particularizar los resultados de los dos primeros apartados para el caso de e=0. f) Ídem para el caso en que el choque sea perfectamente elástico. a) Sean vcm y ω la velocidad del centro de masa y la velocidad angular de la varilla inmediatamente después del choque. Durante el choque, la varilla está sometida a una percusión Π, aplicada en A, como se indica en la Figura 24.14. Aplicamos las ec. de la Dinámica Impulsiva (origen de momentos en G): Π

l Π 4

m (vcm v0 )

1 ml 2ω 12

[1]

que divididas miembro a miembro nos conducen a l 4

1 2 ω l 12 vcm v0

⇒

lω

3 (v0 vcm)

⇒

3 vcm l ω

3 v0

[2]

709

§24.8.- Colisiones. Coeficiente de restitución.

Por otra parte, de la definición del coeficiente de restitución, e

vA v0

⇒

vA

e v0

siendo vA la velocidad del punto A de la varilla inmediatamente después del choque y que está relacionada con la velocidad vcm del centro de masa y con la velocidad angular ω; esto es, vA

vcm

ω

l 4

Figura 24.14

[3]

e v0

Resolviendo el sistema de dos ecuaciones [2]-[3] con respecto de las incógnitas vcm y ω se obtiene 3 4e v0 7

vcm

v 12 (1 e) 0 7 l

ω

[4]

como el lector comprobará fácilmente. b) De la primera ecuación de [1], sustituyendo el valor de vcm, se sigue Π

m (v0 vcm)

4 (1 e) mv0 7

...

c) Calculamos los momentos angulares antes (L-) y después (L+) del choque en el punto A: ⎧ ⎪ L ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ L ⎩

mv0

l 4

l mvcm 4

1 ml 2ω 12

v 1 12 ml 2 (1 e) 0 l 12 7

3 4e l v0 m 7 4

[5] ...

l mv0 4

de modo que ΔL= L+ - L- = 0, con independencia del valor del coeficiente de restitución. d) Las energía cinéticas justamente antes y después del choque son ⎧ ⎪ Ek ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ Ek ⎩

1 2 mv0 2 1 2 mvcm 2

[6] 1 1 ml 2ω2 2 12

de modo que, sustituyendo los resultados [4], tenemos Ek o sea

1 ⎛ 3 4e ⎞2 2 m⎜ ⎟ v0 2 ⎝ 7 ⎠

2

2 v0 1 1 122 1 3 2 4e ml 2 mv0 (1 e)2 ... 2 2 2 12 2 7 7 l 4 (1 e 2) Ek ≤ 0 ΔEk Ek Ek 7

4e 2 3 Ek 7 [7]

ya que e≤1, por lo que siempre habrá pérdida de energía cinética, salvo en el caso particular en que la colisión sea perfectamente elástica (e=1). e) Si ponemos e=0 en las expresiones [4], obtenemos vcm

3 v 7 0

ω

12 v0 7 l

710

Lec. 24.- Dinámica impulsiva del sólido rígido.

verificándose

ω

vcm

l 4

como es obvio, ya que la varilla queda fijada instantáneamente en el punto A y rota alrededor de dicho punto (Figura 24.15 arriba). La reacción percusional en A será Π

4 mv0 7

Figura 24.15

f) Si ponemos e=1 (choque perfectamente elástico), serán vcm

1 v 7 0

24 v0 7 l

ω

y la situación después del choque es la que se ilustra en la Figura 24.15 (abajo). La reacción percusional en A será Π

8 mv0 7

Ejemplo V.- Cuando abandonamos la varilla (Figura 24.16) desde la posición horizontal, al llegar a la posición vertical colisiona elásticamente contra el bloque de masa m. a) Determinar la velocidad angular de la varilla y la velocidad del bloque inmediatamente después de la colisión. b) Determinar la reacción percusional en el eje de suspensión de la varilla. Calcularemos el momento de inercia de la varilla con respecto al eje de suspensión: IO

1 (3m)l 2 3

ml 2

Aplicando el Principio de Conservación de la Energía en las posiciones horizontal y vertical, obtenemos la velocidad angular de la varilla, ω0, justamente antes de la colisión: 3 mg

l 2

1 I ω 2 O 0

1 ml 2 ω0 2

Figura 24.16

o sea

ω0

3g l

a) Las percusiones que actúan sobre la varilla y sobre el bloque son las indicadas en la Figura 24.16. En consecuencia, tomando momentos con respecto al eje, el momento percusional es nulo y el momento angular del sistema (varilla+bloque) se conserva: I Oω 0

I Oω

mvl

[1]

donde ω y v son la velocidad angular de la varilla y la velocidad del bloque, respectivamente, justamente después de la colisión.

711

§24.8.- Colisiones. Coeficiente de restitución.

Por otra parte, puesto que la colisión es elástica, se conserva la energía cinética del sistema: 1 2 I ω0 2 O

1 I ω2 2 O

1 mv 2 2

[2]

Para resolver el sistema de ecuaciones [1]-[2] es conveniente proceder de la siguiente forma: ⎧ I (ω ω) ⎪ O 0 ⎨ ⎪ I (ω2 ω2 ) ⎩ O 0 ⎧ ⎪ ml 2 (ω0 ⎨ ⎪ mvl (ω 0 ⎩

⇒

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ I (ω ⎩ O 0

mvl ⇒

mv 2

ω)

mvl

ω)

mv 2

⇒

IO (ω0

ω)

mvl

ω ) (ω0

ω)

mv 2

⎧ ⎪ ω0 ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ω0 ⎩

ω ω

v l v l

⇒

⇒

⎧ ω ⎪ ⎨ ⎪ ω0 ⎩

0 v l

de modo que la varilla queda en reposo después de la colisión y el bloque se mueve con una velocidad ω0 l

v

3gl

b) La percusión en el eje es igual al cambio que experimenta la cantidad de movimiento del sistema; esto es, Π eje

Δp

(mv)

(3mv0,cm)

m (v

3v0,cm)

m (ω0l

l 3ω0 ) 2

1 mω0l 2

1 mv 2

que, al ser negativa, tiene la dirección que se indica en la Figura 24.16. Obsérvese que la percusión en el punto de impacto es Π mv por lo que la percusión en el eje es la mitad de ésta.

§24.9. Ecuación simbólica de la dinámica impulsiva.- Consideremos un sistema constituido por N partículas. Sean mi, ri y vi la masa, el vector de posición y la velocidad (en un cierto referencial inercial) de la partícula i-ésima. Designaremos por ˜ i a las resultantes de las percusiones exteriores y de las percusiones de ligadura Πi y Π que actúan sobre mi. Aplicando la ecuación fundamental de la dinámica impulsiva a cada una de las N partículas tenemos:

Πi

˜ Π i

mi Δv i

(i

1,2,...N)

[24.29]

Imaginemos ahora un desplazamiento virtual δri para cada una de las N partículas del sistema (i.e., compatible con las ligaduras), multipliquemos escalarmente cada una de las N ec. [24.29] por el correspondiente desplazamiento virtual y sumémoslas todas: Πi δri i

˜ δr Π i i i

mi Δv i δ r i i

[24.30]

712

Lec. 24.- Dinámica impulsiva del sólido rígido.

En el caso ordinario de que las ligaduras sean bilaterales (reversibles), las percusiones de ligadura serán normales a los desplazamientos que permiten, i.e., ˜ i⊥δri, por lo que el trabajo virtual1 correspondiente será nulo y, en consecuencia, Π también lo será el segundo sumatorio de la expr. [24.30], de modo que podemos escribir [Π i mi Δv i ] δ r i

0

[24.31]

i

conocida como ecuación simbólica de la dinámica impulsiva. §24.10. Teorema de Carnot.- Consideremos un sistema material cuyo movi-

miento está condicionado por ligaduras independientes del tiempo (esclerónomas). Supongamos que, en un instante dado, se introducen bruscamente nuevas ligaduras. Puesto que sobre el sistema tan sólo actúan percusiones de ligadura, la ecuación simbólica de la dinámica impulsiva [24.31] se reduce a mi Δv i δ r i

0

[24.32]

i

En la que los desplazamientos virtuales δri deberán ser compatibles con todas las ligaduras, tanto las iniciales como las nuevas. Podemos considerar los δri como los desplazamientos realmente experimentados por las partículas del sistema inmediatamente después de las percusiones de ligadura; obviamente, estos desplazamientos serán proporcionales a las respectivas velocidades de las partículas inmediatamente después de dicha percusiones, i.e., δri

vi δt

[24.33]

de modo que podemos sustituir los δri por las vi+ en la expr. [24.32]; mi (v i

vi ) vi

0

[24.34]

mi v i v i

[24.35]

i

miv i

o sea

2

i

i

Por otra parte, mi (v i

vi )2

i

mivi

2

i

mivi

2

2

i

miv i v i

[24.36]

i

en la que sustituiremos la expr. [24.35] para obtener mi (v i i

1

vi )2

mivi i

2

mivi

2

[24.37]

i

Obsérvese que los términos de la expr. [24.30] no son trabajos virtuales, sino acciones (i.e., trabajo × tiempo).

713

§24.10.- Teorema de Carnot.

que escribiremos en una forma más conveniente

i

1 m vi 2 i

1 m vi 2 i

2 i

2 i

1 m (v i 2 i

vi )2

[24.38]

que expresaremos en forma simbólica ( )

Ek

( )

Ek

(p)

[24.39]

Ek

y que constituye el TEOREMA DE CARNOT2.- Cuando en un sistema material rígido en movimiento se introducen bruscamente nuevas ligaduras persistentes, se producen reacciones percusionales que determinan una disminución de su energía cinética, cuyo valor es igual a la energía cinética que poseería el sistema si sus puntos se moviesen con las velocidades perdidas.

Ejemplo VI.- Acoplamiento de discos.- Un disco homogéneo, de masa m y radio r, está girando libremente alrededor de su eje con una velocidad angular ω0. Un segundo disco, cuyo eje es paralelo al del primero, también homogéneo, de masa 4m y radio 2r, se encuentra inicialmente en reposo. Acercamos el segundo disco al primero, manteniendo los eje paralelos entre sí, de modo que se ponen en contacto por sus bordes; entonces, el mayor comienza a girar y el pequeño se frena. Determinar las velocidades angulares de ambos discos cuando acoplen sus velocidades, dejando de resbalar, uno con respecto a otro, en el punto de contacto. Los momentos de inercia del disco pequeño (Ip) y del disco grande (Ig) con respecto a sus ejes respectivos son: Ip

1 mr 2 2

de modo que

1 (4m) (2r)2 2

Ig Ig

8 mr 2

16 Ip

[1]

La energía cinética perdida por el sistema es 1 2 I (ω0 ω2) 2 p

1 I (0 Ω2) 2 g

y la energía debida a las velocidades perdidas es 1 I (ω ω )2 2 p 0

Figura 24.17

1 I (0 Ω )2 2 g

de modo que aplicando el teorema de Carnot resulta 1 2 I (ω0 ω2) 2 p

1 I (0 Ω2) 2 g

1 I (ω ω )2 2 p 0

1 I (0 Ω )2 2 g

que, después de algunas operaciones y teniendo en cuenta [1], se reduce a

2

Lazare CARNOT (1753-1823); matemático francés.

[2]

714

Lec. 24.- Dinámica impulsiva del sólido rígido.

ω (ω0 ω )

16 Ω2

[3]

Cuando, finalmente, los discos dejan de resbalar en el punto de contacto mutuo, se cumplirá la condición de ligadura rω

2r Ω

⇒

ω

2Ω

[4]

y resolviendo el sistema de ecuaciones [3]-[4] se obtienen las velocidades angulares pedidas: ω

ω0 5

Ω

ω0 10

Problemas 24.1.- El plato de un tocadiscos está girando libremente (desembragado del motor) a razón de 33 rpm. Una pieza de cera, de 20 g, cae verticalmente y se adhiere al plato a una distancia de 15 cm de su eje. La velocidad angular del plato se reduce, por esa causa, a 30 rpm. Calcular el momento de inercia del plato. 24.2.- Un sólido rígido, de masa m, está suspendido de un eje horizontal situado a una distancia h de su centro de masa, como se indica en la figura. Sabemos que cuando aplicamos una percusión Π, horizontal y perpendicular al eje, Prob. 24.2 cuya línea de acción pasa a una distancia 2h de eje de suspensión, dicho eje absorbe la mitad de dicha percusión. Determinar el momento de inercia del solido con respecto al eje de suspensión. 24.3.- Una barra de 18 cm de longitud está suspendida de un punto fijo O mediante un hilo ligero de 36 cm de largo. a) Determinar la posición del punto de la barra donde deberá

aplicarse una percusión horizontal de modo que no aparezcan reacciones en el punto O. b) Explicar lo que ocurriría si la percusión se aplicase por encima o por debajo del punto anteriormente determinado. 24.4.- Una varilla homogénea, de longitud L y masa M, se encuentra en reposo sobre un plano horizontal liso. Un disco de hockey, de masa m, se mueve sobre dicho plano en dirección perpendicular a la varilla y con una velocidad v0. El disco choca elásticamente con la varilla en un punto P situado a una distancia h del centro de ésta. a) ¿Qué magnitudes se conservan durante el choque? b) ¿Cuál deberá ser la masa del disco para que quede en reposo inmediatamente después del choque? c) En el supuesto anterior, calcular la velocidad del centro de masa de la varilla y la velocidad angular de ésta. d) Determinar la posición del punto Q de la varilla que permanece en reposo después de la colisión. e) Demostrar que si el disco choca en el punto Q, el punto P permanecerá en reposo. 24.5.- Una varilla homogénea, de masa M y longitud L, puede girar libremente alrededor de un eje horizontal que pasa por uno de sus extremos, como se muestra en la figura. Un proyectil, de masa m, incide sobre la varilla, con una velocidad v0, en una dirección perpen-

715

Problemas

dicular al plano determinado por la varilla y el eje. Supongamos que la colisión sea perfectamente elástica. a) Analizar el movimiento del proyectil y de la varilla justamente después de la colisión en función de valor del parámetro l (distancia del punto de impacto al eje de suspensión de la varilla). b) Ídem la percuProb. 24.5 sión suministrada por el eje. ¿Para que valor de l no se produce reacción percusiva en el eje? 24.6.- Repetir el Problema 24.5 para el caso en que la colisión sea parcialmente elástica; i.e., caracterizada por un coeficiente de restitución 0