Lecciones de Física Mecánica 1
Manuel R. Ortega Girón
Departamento de Física Aplicada. Universidad de Córdoba.
Lecciones de Física (Mecánica 1) Novena edición: octubre 2006
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Manuel R. Ortega Girón
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Mecánica
A Estela y Olga
Desde la infancia he sido criado en el estudio de las letras y, como quiera que me aseguraban que por medio de éstas se podía adquirir un conocimiento claro y seguro de todo aquello que es útil para la vida, yo tenía un vivísimo deseo de aprenderlas. Pero cuando acabé el curso de los estudios, al finalizar los cuáles es costumbre ser admitido en la jerarquía de los doctos, cambié enteramente de opinión. Por que me encontraba turbado y confuso entre tantas dudas y errores que me parecía no haber obtenido otro provecho, al procurar instruirme, que el descubrir cada vez mejor mi ignorancia. RENÉ DESCARTES (1596-1650) El Discurso del Método.
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Lecciones de Física.
Prólogo del autor
Este libro está destinado a los alumnos de Primer Ciclo de las Facultades de Ciencias y Escuelas Técnicas. Durante su elaboración he pretendido la consecución de dos objetivos principales que entiendo que deben orientar la docencia de las asignaturas de Física de Primer Ciclo de los estudios universitarios: familiarizar al alumno con el conjunto de los conceptos y leyes básicas que constituyen la esencia de la Física y desarrollar en el estudiante la habilidad para manejar esas ideas y para aplicarlas a situaciones concretas. Además, creo que estas asignaturas, y muy especialmente la asignatura correspondiente al Primer Curso Universitario, deben proponerse unos objetivos de cimentación y estructuración de los conocimientos adquiridos en los cursos de enseñanza media. A lo largo de los sucesivos cursos en los que he participado en la docencia de la Física de Primer Ciclo, en las Universidades de Sevilla, Autónoma de Barcelona y Córdoba, he tenido ocasión de ir perfilando los programas de las asignaturas que se imparten a este nivel, tratando de encontrar el punto de equilibrio entre la extensión de los programas y el nivel y profundidad en el tratamiento de cada uno de los temas. Durante este proceso de estructuración y perfeccionamiento, siempre he tenido muy presente que los programas de estas asignaturas, aunque pueden plantearse de muy diversas formas, con enfoques diferentes, con una gran variedad en cuanto a sus contenidos, ... de ningún modo pueden ser una simple suma de temas inconexos o poco relacionados entre sí, por muy interesantes y bien estructurados que estén cada uno de ellos. Entiendo que el propósito primario de estas asignaturas debe ser dar al estudiante una visión unificada de la Física a través de la compresión de los conceptos, leyes y principios que constituyen el aspecto más fundamental de esta ciencia. Por supuesto que conozco muchos y excelentes libros adecuados a este nivel, que satisfacen en gran medida los requisitos anteriormente expuestos; pero la mayor parte de ellos son de procedencia foránea, lo que los distancia, hasta cierto punto, de la problemática de la enseñanza en nuestras Universidades. Para soslayar este inconveniente, los profesores suelen recurrir a recomendar a sus alumnos varios libros de texto, como complemento de los apuntes que éstos tomen en clase. Sin embargo, pienso que se facilita enormemente el aprovechamiento de las clases cuando el alumno puede disponer de un texto de base, aunque ello no implique la renuncia a la consulta de otros libros de texto y de obras más especializadas. Fruto de esta convicción es el presente libro, que será completado con otros tomos, preparados en colaboración con colegas de otras Universidades españolas, hasta cubrir los
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Prólogo
contenidos que normalmente se desarrollan en las disciplinas de Física de Primer Ciclo de nuestras Facultades y Escuelas Técnicas. No debería considerarse esta obra como un libro más de Física General, en la acepción que tradicionalmente tiene esta denominación, ya que tanto su nivel como su extensión son notablemente superiores a los que encontramos normalmente en los libros de texto de tal denominación. Mi intención ha sido desarrollar un programa en el que tengan cabida aquellos temas de la Física Clásica que configuran los contenidos de la Física que se enseña en los primeros cursos universitarios, en sus vertientes científica y técnica, prestando una atención especial a la asignatura de Primer Curso, de modo que los profesores puedan seleccionar los temas que sean apropiados a los Planes Docentes de sus Centros. Incluso algunas Lecciones de esta obra, que normalmente se incluyen en el programa de la asignatura de Primer Curso, tienen un nivel algo superior al que normalmente encontramos en los textos de Física General. De este modo, el profesor podrá graduar el nivel de sus enseñanzas al de la preparación previa de sus alumnos, evitando así que la Física que se enseña en los primeros cursos universitarios sea, en algunos casos, una mera repetición de la correspondiente al Curso de Orientación Universitaria. No puedo dejar de expresar mi agradecimiento a todos aquellos compañeros que de un modo u otro han colaborado en la preparación de este libro, muy especialmente a mis amigos y colegas los Dres. José A. Ibáñez Mengual (U. Murcia) y Alejo Vidal-Quadras Roca (UAB), cuyas acertadas sugerencias y útiles intercambios de puntos de vista me han resultado muy provechosos, y a mis compañeros en las tareas docentes, los Dres. C. Baixeras (UAB), D. Baró (UAB), S. Bordas (UAB), A. Coronas (U. Tarragona), C. Domingo (UAB), F. González (U. Granada), F. Fernández (UAB), A. Hernández (U. Valladolid), J.I. Jiménez (U. Granada), E. Martín (U. Murcia), R. Perea (E.U. Jaén), L.F. Sanz (U. Valladolid), S. Suriñach (UAB) y M.A. Villamañán (U. Valladolid), por la buena acogida que han dispensado a estas Lecciones de Física y por sus útiles comentarios y sugerencias. Córdoba, Enero 2006.
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Índice de materias.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40.
Álgebra vectorial. Vectores deslizantes. Análisis vectorial. Cinemática de la partícula. Cinemática del sólido rígido. Principios de la Mecánica Clásica. La ley de la inercia. Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación de la cantidad de movimiento. Las fuerzas de la Naturaleza. Sistemas de referencia en rotación. Trabajo y energía. Conservación de la energía. Momento angular. Fuerzas centrales. Movimiento armónico simple. Oscilaciones amortiguadas y forzadas. Superposición de movimientos armónicos simples. Geometría de masas. Sistemas de partículas. Sistemas de masa variable. El problema de 2-cuerpos. Colisiones. Estática del sólido rígido. Dinámica del sólido rígido. Trabajo y energía en el movimiento general del sól. ríg. Ecuaciones de Euler. Dinámica impulsiva del sólido rígido. La ley de la Gravitación Universal. El campo gravitatorio. Elementos de elasticidad. Elastostática. Estática de los fluidos. Tensión superficial. Cinemática de los fluidos. Dinámica de los fluidos ideales. Dinámica de los fluidos reales. Flujo viscoso. Ondas progresivas. Fenómenos ondulatorios en medios ilimitados. Fenómenos ondulatorios en medios limitados. Ondas estacionarias. Acústica física. Acústica musical y arquitectónica. Apéndices.
Índice de materias Prolegómenos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1. La Ciencia (1); §2. La Naturaleza (1); §3. La Física (2); §4. Nuestra visión del Mundo Natural (3); §5. El método científico (5); §6. La ciencia como descripción (6); §7. La ciencia como creación (7); §8. La ciencia como comprensión (8); §9. Los modelos (9); §10. Los conceptos físicos (10); §11. Las ramas de la física (12); §12. La Física y las otras Ciencias (13); §13. La Ciencia y la Tecnología (14); §14. La Física y las Matemáticas (14)
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VECTORES. 1.- Álgebra vectorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 §1.1. Escalares y vectores (19); §1.2. Formulación vectorial (20); §1.3. Suma y diferencia de vectores (21); §1.4. Producto de un vector por un escalar (22); §1.5. Versores (22); §1.6. Componentes de un vector. Base vectorial (22); §1.7. Producto escalar de dos vectores (24); §1.8. Producto vectorial de dos vectores (27); §1.9. Representación vectorial de superficies (29); §1.10. Producto mixto de tres vectores (30); §1.11. Doble producto vectorial (32); §1.12. Definición axiomática del vector (32); §1.13. Cambio de base vectorial (34); §1.14. Vector de posición. Sistemas de referencia (37); Problemas (38) 2.- Vectores deslizantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 §2.1. Momento de un vector respecto a un punto (41); §2.2. Momento de un vector respecto a un eje (42); §2.3. Sistemas de vectores deslizantes (43); §2.4. Invariantes del sistema (44); §2.5. Par de vectores (45); §2.6. Eje central (46); §2.7. Centro de un sistema de vectores paralelos (47); §2.8. Sistemas de vectores equivalentes (48); §2.9. Reducción de sistemas (49); §2.10. Virial de un vector (53); §2.11. Virial de un sistema de vectores (54); §2.12. Plano central (55); §2.13. Punto central (56); Problemas (57) 3.- Análisis vectorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 §3.1. Campos escalares y vectoriales (61); §3.2. Derivada de un vector respecto a un escalar (63); §3.3. Integral de un vector con respecto de una variable escalar (65); §3.4. Circulación de un vector (66); §3.5. Flujo de un campo vectorial (69); §3.6. Gradiente de un campo escalar (71); §3.7. Función potencial (73); §3.8. Divergencia de un campo vectorial (74); §3.9. Teorema de Gauss (76); §3.10. Rotacional de un campo vectorial (77); §3.11. Teorema de Stokes (78); §3.12. El operador nabbla (80); Problemas (82) CINEMÁTICA. 4.- Cinemática de la partícula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 §4.1. Cinemática (88); §4.2. Relatividad del movimiento. Referenciales (88); §4.3. Movimiento de la partícula (90); §4.4. Velocidad (91); §4.5. Aceleración (93); §4.6. Componentes intrínsecas de la aceleración (95); §4.7. Triedro móvil (97);
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§4.8. Discusión de algunos tipos de movimiento (98); §4.9. Velocidad y aceleración relativas (102); Problemas (104) 5.- Cinemática del sólido rígido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 §5.1. Concepto de sólido rígido (109); §5.2. Condición cinemática de rigidez (110); §5.3. Movimiento de traslación (111); §5.4. Movimiento de rotación. Vector velocidad angular (113); §5.5. Principio de superposición de movimientos (114); §5.6. Composición de rotaciones (115); §5.7. Movimiento rototraslatorio (117); §5.8. Movimiento helicoidal (118); §5.9. Eje instantáneo de rotación y deslizamiento (119); §5.10. Teorema de Chasles (120); §5.11. Axoides. Representación de Poncelet (121); §5.12. Aceleración. Vector aceleración angular (122); §5.13. Contacto entre sólidos: deslizamiento, rodadura y pivotamiento (126); §5.14. Movimiento plano del sólido rígido (127); §5.15. Base y ruleta (129); §5.16. Velocidad de sucesión del CIR (133); §5.17. Movimiento de rotación alrededor de un eje fijo (134); Problemas (136) DINÁMICA DE LA PARTÍCULA. 6.- Principios de la Mecánica Clásica. La ley de la Inercia. . . . . . . . . . . . . . . . . §6.1. Mecánica Clásica (144); §6.2. Las Leyes de la Mecánica (145); §6.3. Las leyes del movimiento (146); §6.4. La ley de la inercia (147); §6.5. Referenciales inercial y no-inercial (149); §6.6. Buscando un referencial inercial (151); §6.7. Transformación de Galileo (154); §6.8. Principio de Relatividad de Galileo (156); Problemas (159) 7.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación de la cantidad de movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §7.1. Fuerza (161); §7.2. Masa (163); §7.3. Segunda ley de Newton (164); §7.4. Peso. Peso aparente e ingravidez (165); §7.5. Sistemas de unidades mecánicas (166); §7.6. Cantidad de movimiento (168); §7.7. Impulsión (169); §7.8. Invariancia de las leyes de la Mecánica (171); §7.9. Tercera ley de Newton (175); §7.10. Conservación de la cantidad de movimiento (177); §7.11. Acción a distancia (179); §7.12. Limitaciones de la ley de la acción-reacción (180); Problemas (182) 8.- Las fuerzas de la Naturaleza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §8.1. Las leyes de las fuerzas (187); §8.2. Las fuerzas fundamentales (188); §8.3. Fuerzas gravitatorias (189); §8.4. Fuerzas electromagnéticas (191); §8.5. Fuerzas nucleares (194); §8.6. Interacción débil (196); §8.7. Fuerzas moleculares (196); §8.8. Fuerzas de rozamiento (198); §8.9. Rozamiento. Estudio experimental (199); §8.10. Ángulos de rozamiento (202); §8.11. Rozamiento. Estudio microscópico (203); §8.12. Fuerzas de rozamiento en los fluidos (205); §8.13. Fuerzas de ligadura (206); §8.14. Fuerzas de inercia (209); §8.15. Estática de la partícula. Principio de D’Alembert (214); Problemas (216) 9.- Sistemas de referencia en rotación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §9.1. Movimiento relativo (222); §9.2. Velocidad (222); §9.3. Aceleración (224); §9.4. Fuerzas ficticias en un referencial en rotación (227); §9.5. Fuerza centrífuga (228); §9.6. Fuerza de Coriolis (231); §9.7. Movimiento relativo a la Tierra (232); §9.8. Desviación de una partícula en caída libre (235); §9.9. Péndulo de Foucault (237); Problemas (240) 10.- Trabajo y energía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §10.1. Trabajo y energía (245); §10.2. Trabajo de una fuerza (247); §10.3. Potencia (250); §10.4. Unidades de trabajo y potencia (250); §10.5. Energía (251); §10.6. Energía cinética (252); §10.7. Campos de fuerzas. Fuerzas conservativas (255); §10.8. Energía potencial (259); §10.9. La energía potencial como energía de configuración (264); §10.10. Teorema del virial (265); Problemas (267)
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11.- Conservación de la energía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 §11.1. Fuerzas conservativas. Conservación de la energía mecánica (274); §11.2. Sistemas conservativos en una dimensión (276); §11.3. Discusión de curvas de energía potencial. Estabilidad del equilibrio (277); §11.4. Sistemas conservativos en dos y tres dimensiones (280); §11.5. Equilibrio en dos y en tres dimensiones (282); §11.6. Fuerzas que dependen explícitamente del tiempo (284); §11.7. Fuerzas no conservativas (284); §11.8. Conservación de la energía (286); §11.9. Crítica del concepto de energía (288); §11.10. Principio de conservación de la masa (289); §11.11. Masa y energía (289); Problemas (293) 12.- Momento angular. Fuerzas centrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 §12.1. Momento de una fuerza (297); §12.2. Momento angular (298); §12.3. Impulsión angular (300); §12.4. Conservación del momento angular de una partícula (301); §12.5. Fuerzas centrales. Órbitas planas y ley de las áreas (302); §12.6. Descripción del movimiento de la partícula en coordenadas polares planas (303); §12.7. Movimiento producido por una fuerza central (306); §12.8. Energías potenciales centrífuga y efectiva (311); §12.9. Análisis de diagramas de energía (312); §12.10. Fuerza central inversamente proporcional al cuadrado de la distancia (315); §12.11. Órbitas elípticas: Leyes de Kepler (320); §12.12. Órbitas hiperbólicas: El problema de Rutherford (322); §12.13. Sección eficaz de dispersión (324); Problemas (327) APÉNDICES. A.- Resultados de los problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.- Índice alfabético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Prolegómenos. §1. La Ciencia (1); §2. La Naturaleza (1); §3. La Física (2); §4. Nuestra visión del Mundo Natural (3); §5. El método científico (6); §6. La ciencia como descripción (6); §7. La ciencia como creación (7); §8. La ciencia como comprensión (8); §9. Los modelos (9); §10. Los conceptos físicos (10); §11. Las ramas de la física (12); §12. La Física y las otras Ciencias (13); §13. La Ciencia y la Tecnología (14); §14. La Física y las Matemáticas (14)
§1. La Ciencia.- Desde la más remota antigüedad, el hombre ha sentido curiosidad por conocer y comprender el mundo que le rodeaba. Los primeros testimonios gráficos de que disponemos nos demuestran que el hombre ha estado preocupado, desde siempre, por imponer un orden en la gran diversidad de cosas y fenómenos que observaba. En la búsqueda de ese orden, el hombre ha adoptado tres vías o actitudes: una de ellas es la Religión, otra el Arte y otra la Ciencia. La palabra Ciencia proviene de la voz latina scientia y ésta deriva del verbo latino scio que significa conocer o saber. En la actualidad, el significado que le damos al vocablo Ciencia es más restringido, pues ha dejado de significar meramente un conocimiento para referirse más específicamente al conocimiento del mundo natural y, lo que resulta más importante, a un conocimiento metódicamente formado y ordenado. §2. La Naturaleza.- Los antiguos se valían de dos palabras para designar el conjunto de todas las cosas: los griegos decían Cosmos (χοσµος) y los latinos Mundus, que nosotros traducimos por Mundo. Estas voces han perdido en parte su significación primitiva, pues siendo en la antigüedad inseparables de las ideas de belleza, ornamento y armonía, en contraposición con el Caos (χαος) que representaba el estado de desorden y confusión en que se encontraban las cosas en el momento de su Creación, hoy sólo designan el conjunto de las cosas que existen, enlazadas entre sí en función de su mutua dependencia. "Las lenguas tienen a veces expresiones felicísimas. ¿Puede encontrarse otro apelativo que exprese, mejor que las palabras cosmos y mundo, las cuales significan orden, adorno, ornamento, la impresión experimentada por los helenos y latinos a la vista de este vasto conjunto que se mueve con extraordinaria regularidad y que despliega por la noche su manto de estrellas? En nuestras lenguas derivadas se ha perdido el significado primitivo de esos
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Prolegómenos. vocablos, y el mundo, cualquiera que fuera la idea fundamental que los latinos le atribuyeran, no es hoy más que el conjunto de las cosas del Universo." LITTRÉ: La Ciencia bajo el punto de vista filosófico.
Por otra parte, la significación de la palabra Mundo depende de las circunstancias en las que se aplica. Podemos designar con ella sólo la Tierra, aislada del resto del Universo, o también utilizarla como sinónima de Universo, esto es, como el conjunto de todas las cosas que existen. Pero también utilizamos frecuentemente la palabra Naturaleza para designar el conjunto de las cosas. A veces tomamos la palabra Naturaleza como sinónima de Universo o Mundo; otras veces damos a este vocablo una acepción filosófica, significando con él el orden o el sistema de leyes que regulan la existencia de las cosas y sus cambios; pero también la consideramos como una especie de personificación de la materia universal, como la potencia o fuerza activa en virtud de la cual se desarrollan en sucesión ordenada los fenómenos observables. Bajo este último punto de vista la consideró SCHELLING cuando escribió ... "La Naturaleza no es una masa inerte; para el que sabe comprender su sublime grandeza, es la fuerza creadora del Universo, fuerza siempre eficiente, primitiva, eterna, que engendra en su propio seno todo cuanto existe, perece y renace eternamente."
Así pues, Mundo o Cosmos, Universo y Naturaleza, son las denominaciones de que nos servimos comúnmente para designar el conjunto de las cosas, de los fenómenos, de sus leyes y hasta de sus causas. §3. La Física.- Hemos hecho esa disquisición sobre el significado de las palabras Cosmos o Mundo, Universo y Naturaleza, para comprender cual es el contenido de la Física. La palabra física (ϕυσιχη) proviene del término griego ϕυσις, que significa naturaleza, y por ello la Física debería ser una ciencia dedicada al estudio de todos los fenómenos naturales. En verdad, hasta principios del siglo XIX se entendía la Física en ese sentido amplio, y se la denominaba Filosofía Natural. Recordemos que la célebre obra de Isaac NEWTON (1642-1727), publicada en 1686, en la que se presentaban, entre otras grandes ideas, las leyes del movimiento y la ley de la Gravitación Universal, se titulaba Principia Mathematica Philosophiæ Naturalis. Hace cinco siglos, el conjunto de todos los conocimientos científicos era lo suficientemente reducido como para que una persona pudiera estar familiarizada con todas las facetas de la ciencia. En aquellos días, era denominado como un filósofo de la Naturaleza y se dedicaba al estudio general de los fenómenos naturales. La acumulación de conocimientos científicos, desde el Renacimiento hasta nuestros días, ha sido tal que este tipo de hombre ha desaparecido, y un Leonardo DA VINCI (14521519) o un GALILEO GALILEI (1564-1642) no se pueden dar en nuestros días. Actualmente tenemos físicos, químicos, biólogos, matemáticos, geólogos,... y otras muchas designaciones para los diferentes campos de la actividad científica. La restricción del campo de la Física comenzó, como ya decíamos, a principios del siglo XIX, y durante ese siglo, y hasta muy recientemente, la Física se limitó al estudio de los llamados fenómenos físicos, definidos sin precisión alguna como aquellos procesos que tienen lugar sin que cambie la naturaleza de las sustancias que
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participan en ellos. Esta definición ha sido abandonada gradualmente para regresar al concepto más amplio y fundamental de antes. La Física tiene como objetivo el estudio de los fenómenos naturales para esclarecer la estructura de la realidad que nos rodea. Pero este interés por los fenómenos naturales es común a todas las ciencias. También la Química, la Biología o la Psicología, por citar algunas ciencias, se interesan por los procesos reales e intentan explicarlos de un modo racional. ¿Qué distingue, entonces, a la física de las otras ciencias? Si tuviéramos que responder con una sola frase diríamos que La Física estudia los procesos más fundamentales de la Naturaleza. Esto no significa que la Física sea una ciencia más noble que las demás, o que el objeto de su estudio sean los fenómenos auténticamente interesantes. No hay que entender así la expresión procesos más fundamentales que hemos empleado. Trataremos de clarificar el significado de esa expresión. Cuando un psicoanalista estudia la neurosis de angustia, un biólogo las formas vivientes o un geólogo la formación de un terreno, describen el comportamiento de sistemas muy complejos. Manejan conceptos tales como subconsciente, protoplasma o erosión cuyo grado de precisión es limitado. Las leyes que rigen estos fenómenos no pueden ser enunciadas de forma exacta y rigurosa y difícilmente podrán expresarse de una manera cuantitativa precisa. El físico, en cambio, cuando estudia la interacción entre los nucleones del núcleo atómico, o cuando intenta clasificar las partículas elementales de acuerdo con ciertas simetrías, se halla ante el límite de elementalidad de los procesos y debe tratarlos con todo rigor, enunciando las leyes que los rigen de modo que se excluya toda ambigüedad, y definiendo magnitudes que pueden ser medidas con precisión. No deja de ser interesante considerar que cuando un biólogo estudia la vida de manera fundamental, acercándose a la base molecular de la misma, dice que hace Biofísica. En la Filosofía, la parte de ella que trata del ser como tal, de sus propiedades, principios y causas primeras, recibe el nombre de Metafísica. Ese es el significado de la fundamentalidad de un proceso. Cuando los conceptos que intervienen en él son simples y admiten una definición rigurosa, cuando las leyes que lo rigen pueden ser enunciadas de forma exacta y las magnitudes que aparecen son susceptibles de ser medidas con precisión, diremos que el proceso es fundamental, y el grado de simplicidad, exactitud y rigor de su tratamiento nos proporciona su grado de fundamentalidad. El físico trata, pues, de comprender la manera en que operan los sistemas elementales de la Naturaleza. Pero no hay que pensar que "elemental" sea sinónimo de "pequeño" y que el físico esté absorbido por lo microscópico dejando de lado lo macroscópico. La interacción entre los planetas y el Sol, objetos enormes a la escala humana, es uno de los procesos fundamentales que la Física ha estudiado hace siglos, y en cuyo esclarecimiento se empeñaron físicos de la talla de GALILEO, NEWTON Y EINSTEIN (1879-1955). §4. Nuestra visión del Mundo Natural.- En el momento actual consideramos que la materia está constituida por unas pocas clases de partículas elementales y que todos los cuerpos, vivientes e inertes, están formados por diferentes agrupamientos y ordenamientos de dichas partículas. De entre ese puñado de partículas elementales
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hay tres que son especialmente importantes, por estar presentes en muchos fenómenos comunes: el electrón, el protón y el neutrón. Las demás partículas elementales sólo tienen una vida muy fugaz, creándose y destruyéndose continuamente (son inestables) de modo que, aparentemente, no participan en la mayor parte de los fenómenos que observamos. Para detectarlas es necesario recurrir a dispositivos experimentales altamente sofisticados. Sin embargo, no debemos pasar por alto su importancia; así, una de esas partículas, el mesón π, es la partícula de intercambio en la interacción nuclear fuerte que hace posible que los protones y los neutrones se agrupen para formar el núcleo atómico. Para hacernos una idea de los órdenes de magnitud que utilizamos en la Física, diremos que la masa del electrón es 9.1×10-31 kg y que la del protón y la del neutrón (que son casi iguales) es 1.67×10-27 kg, esto es, unas 1840 veces superior a la del electrón. Los electrones, protones y neutrones se agrupan para formar estructuras bien definidas que llamamos átomos. Los neutrones y protones constituyen el núcleo atómico, de unas dimensiones del orden de 10-15 m; los electrones se mueven alrededor de ese núcleo. El radio atómico es del orden de 10-10 m. Se conocen en la actualidad 104 especies diferentes de átomos (elementos químicos) y casi 1400 variedades atómicas que reciben el nombre de isótopos. Los átomos, a su vez, se agrupan para formar moléculas. Actualmente se han identificado varios millones de moléculas distintas (compuestos químicos) y ese número crece de día en día con las nuevas moléculas que se van sintetizando en los laboratorios. Las distancias que separan a los átomos que forman las moléculas vienen a ser del mismo orden que el radio atómico. Existen moléculas constituidas por muy pocos átomos, como las del ácido clorhídrico (ClH), del agua (H2O)..., pero también existen moléculas gigantes, formadas por centenares, millares e incluso millones de átomos, como es el caso de las proteínas, de las enzimas, de los ácidos nucléicos (ADN y ARN) y las de algunos polímeros orgánicos (polietileno, cloruro de polivinilo, ...). Finalmente, las moléculas se agrupan para formar los cuerpos materiales, que se pueden presentar en tres estados de agregación: sólidos, líquidos y gases, aun cuando esta clasificación no es del todo rigurosa. Existe un cuarto "estado de agregación" de la materia, el estado de plasma, que corresponde al de un gas fuertemente ionizado (gas de iones); la mayor parte de la materia del Universo se encuentra en este estado. Una parte de la materia, la menos abundante, se encuentra organizada en la forma que llamamos materia viviente o protoplasma, compuesta por moléculas altamente organizadas que exhiben unas propiedades que, aparentemente, no presenta la materia inerte. Encontramos la materia viviente bajo formas muy diversas, desde las más elementales (como los protozoos) hasta las más complicadas y perfectas (como el ser humano). Se han descrito y dado nombre a más de un millón de especies diferentes que existen en nuestro planeta. El ser humano es una de las manifestaciones vitales más complicadas y perfectas. Está compuesto, aproximadamente, por unas 1016 células. Cada célula es una unidad fisiológica que contiene entre 1012 y 1014 átomos. Puede estimarse que el cuerpo humano está compuesto por unos 1029 átomos, principalmente de carbono (C), hidrógeno (H), oxígeno (O) y nitrógeno (N).
§4.- Nuestra visión del Mundo Natural.
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La materia inerte también se nos presenta bajo formas muy diversas. La acumulación de materia forma planetas, como la Tierra, cuya masa es 6×1024 kg y cuyo radio es 6.3×106 m. Puede estimarse que la Tierra está constituida por 1051 átomos. La Tierra, junto con ocho planetas más (algunos de ellos gigantescos en comparación con la Tierra), unas decenas de satélites, algunos cometas y un gran número de cuerpos asteroideos, se mueve alrededor de una estrella de regular tamaño, el Sol, de 2×1030 kg de masa (1057 átomos) y 7×108 m de radio, constituyéndose así nuestro Sistema Solar. Podemos estimar en unos 1013 m el radio de tal sistema. Pero nuestro Sistema Solar forma parte de un sistema mayor, constituido quizás por unas 1010 estrellas (muchas de las cuales pudieran tener sus propios sistemas planetarios). Esta agrupación de estrellas recibe el nombre de Galaxia y tiene forma de disco, de unas dimensiones de unos 1021 m de radio y un espesor máximo de 1020 m. Estimamos que nuestra Galaxia está formada por 1070 átomos. Existe un gran número de galaxias, de diferentes formas y tamaños. Las galaxias tienen la tendencia a agruparse en racimos o cúmulos. Nuestra Galaxia forma parte de un grupo, llamado Grupo Local, compuesto por una veintena de galaxias distribuidas en una esfera de un radio aproximado de 1022 m (un millón de años-luz). En extremos opuestos de este agrupamiento se encuentran nuestra Galaxia y la Gran Nebulosa de Andrómeda, una galaxia muy semejante a la nuestra en cuanto a forma y tamaño; entre las dos representan casi el 70% de la masa total del Grupo Local, de modo que las demás galaxias de nuestro grupo son muy pequeñas. Se estima que en el Universo pueden existir unas 1020 estrellas, agrupadas en unas 1010 galaxias que se agrupan, a su vez, en un número no definido de cúmulos (algunos de ellos, como el de Virgo, compuesto por miles de galaxias), con un total de 1080 átomos. Toda esta materia existiría en una región cuyo radio pudiera ser de unos 1026 m (1010 años-luz), magnitud que se ha dado en llamar "radio del Universo", aun cuando su significado real no se conozca y sea una simple lucubración a caballo entre la Física y la Metafísica. A la vista de toda esta grandiosa estructura, algunas preguntas acuden a nuestra mente. ¿Por qué y cómo se unen los electrones, protones y neutrones para formar los átomos? ¿Por qué y cómo se agregan los átomos para formar las moléculas? ¿Por qué y cómo se agrupan las moléculas para formar desde las partículas de polvo hasta un planeta, desde una célula hasta esa máquina excelsa que es el hombre? Podemos responder a esas preguntas fundamentales introduciendo el concepto de interacción. Decimos que las partículas que constituyen los átomos interaccionan entre sí para producir una configuración estable de orden superior, que los átomos interaccionan con otros átomos y configuran moléculas, ... ... ¿Cuál debe ser el trabajo del Físico? A la vista de lo anteriormente expuesto es casi obvio que el primer objetivo del físico será descubrir las diferentes interacciones de la materia. A continuación deberá expresarlas cuantitativamente y, por último, formular las reglas, esto es, establecer las leyes que rigen el comportamiento de la materia, comportamiento que nos es sino el resultado de aquellas interacciones fundamentales.
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§5. El método científico.- Hemos intentado establecer la peculiaridad de la Física frente a las demás ciencias a través de la noción de "proceso fundamental". A continuación, vamos a destacar algo que es común a la Física y a cualquier actividad: su método de trabajo. Las formas en que un biólogo o un astrónomo atacan un problema que les sea propio son muy distintas en ciertos aspectos, pero hay un denominador común, que constituye lo que se ha venido a denominar el método científico. Al igual que el grado de fundamentalidad de un proceso distingue entre sí a las distintas ciencias, el método científico marca una neta separación entre la Ciencia y otras formas de estudio de la realidad, como la Filosofía, la Historia, la Economía o la Sociología. Estas últimas serán "ciencias", y se hablará así de "Ciencias Económicas" o "Ciencias Sociales" en la medida en que utilicen el método científico para tratar cuestiones de sus campos respectivos. Aunque las raíces de la Ciencia son tan profundas como las de la Religión y las del Arte, sus tradiciones son mucho más recientes. Sólo a partir de los tres últimos siglos se han desarrollado métodos para estudiar sistemáticamente la Naturaleza. Como dice John G. TAYLOR en su libro La Nueva Física (1971): "Para todos los que vivimos en una sociedad científica el método científico constituye el único medio válido de adquirir un conocimiento cada vez más completo de la Naturaleza; un medio que, además, ha demostrado su valía al proporcionar a la humanidad poderes sobrecogedores. Hemos de hacer notar, sin embargo, que sólo durante los tres últimos siglos ha sido utilizado de forma consciente y eficaz. Antes de la revolución científica, acaecida en el siglo XVII, era algo así como un juego de azar".
El estudio de un problema lleva consigo un esfuerzo descriptivo, un esfuerzo creativo y un esfuerzo cognoscitivo. Veamos, pues, sucesivamente a la ciencia como descripción, creación y comprensión. §6. La ciencia como descripción.- Desde la Antigüedad, numerosos fenómenos han llamado la atención de los hombres por su espectacularidad o por sus características peculiares. Un ejemplo es el movimiento de los cuerpos celestes, es decir, la Luna, el Sol, los planetas y las estrellas. Los movimientos de los astros en el firmamento se intentaron relacionar con el conocimiento del futuro y ciertos planetas y estrellas fueron identificados con divinidades diversas por las distintas civilizaciones del pasado. Un primer paso para el conocimiento de los movimientos de los cuerpos celestes fue la cuidadosa observación de sus posiciones en las distintas horas de la noche a lo largo del año. Se llegó así a establecer que los movimientos de las estrellas eran regulares y los de los planetas extrañamente caprichosos. Durante siglos, numerosos astrólogos y astrónomos confeccionaron cartas celestes que fueron creciendo en complejidad y exactitud. Paralelamente se intentaron explicaciones más o menos ingeniosas de los movimientos de los astros. Las primeras teorías serias no fueron enunciadas hasta el siglo XVI e Isaac Newton resolvió la cuestión casi completamente en el siglo XVII con su teoría de Gravitación Universal. COPÉRNICO, KEPLER, GALILEO y NEWTON pudieron resolver el tremendo problema del movimiento de los planetas gracias a las cuidadosas observaciones y medidas de los que les habían precedido y a las que ellos mismos realizaron. Dispusieron de un material pacientemente acumulado, con el que pudieron trabajar. Sus contribuciones a una mejor comprensión del Universo fueron posibles gracias a la descripción de un
§6.- La ciencia como descripción.
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fenómeno natural realizada tras cuidadosas observaciones del mismo. Los que les precedieron no acertaron a explicar el fenómeno o dieron explicaciones de carácter fantástico, como la afirmación de PLATÓN (siglo IV a.C.) de que el movimiento perfecto e inmutable de las estrellas se debía a su "sustancia divina". Sin embargo, los resultados de sus observaciones, convenientemente transmitidos, permitieron llegar a la solución del misterio. Así pues, en el estudio de un proceso natural es indispensable la observación y la expresión de las observaciones en un lenguaje transmisible y coherente. Por eso, la Física y la Ciencia en general es, en primer lugar, descripción. §7. La ciencia como creación.- Además del movimiento de los cuerpos
celestes, también el movimiento de los objetos sobre la superficie de la Tierra, sus causas y su naturaleza, había preocupado a los pensadores desde tiempos antiguos. A diferencia del movimiento de los astros, que por su periodicidad regular y lentitud a los ojos del observador terrestre, admitía una descripción relativamente fácil, en la que los únicos requerimientos eran una vista aguda y paciencia, los movimientos de los cuerpos sobre la superficie de la Tierra eran de tal variedad y complejidad que su observación sistemática parecía una tarea abrumadora. Una piedra arrojada desde una ventana, las olas del océano, el viento, un caballo al galope, ... ¿Por dónde empezar? Los filósofos especularon durante la Antigüedad Clásica y la Edad Media sobre el movimiento y sus causas. Pero el progreso en el conocimiento real del fenómeno fue nulo hasta el Renacimiento. En la segunda mitad del siglo XVI, Galileo realizó la siguiente experiencia: Tomó objetos pesados y los abandonó en caída libre desde cierta altura. Comprobó, realizando medidas de espacio y de tiempo, que los espacios recorridos eran proporcionales a los cuadrados de los tiempos transcurridos. Atacó el problema creativamente; hizo experimentos. Cuando la Naturaleza ofrece una situación enormemente compleja, los físicos, y los científicos en general, tratan de reducirla al caso más sencillo posible y observan y miden. Realizan lo que conocemos como un experimento. Si arrojamos en una dirección cualquiera una cadena, ésta describirá antes de caer al suelo una cierta trayectoria al tiempo que se doblará y girará de manera aparentemente imprevisible. Reduzcamos la situación a su máxima simplicidad. Tomemos un único eslabón, subamos a una azotea, y dejémoslo caer libremente. Obtendremos el resultado que obtuvo Galileo. Intentemos comprender este movimiento sencillo y si lo conseguimos habremos dado un paso importante en el conocimiento del movimiento de la cadena, el viento o las olas del océano. Este es el lado creativo de la ciencia: la realización de experimentos. Los científicos no se conforman con la observación y descripción del mundo; sino que imitan las situaciones reales en los laboratorios, simplificándolas y adaptándolas a las preguntas que les preocupan. Pero no solo imitan a la Naturaleza, sino que llevan a cabo experiencias nuevas con el fin de hallar respuestas rápidas y precisas a las incógnitas que intentan esclarecer. Para que un experimento sea válido, reproducido en las mismas condiciones, debe conducir a idénticos resultados cada vez que se realice. La experimentación ocupa gran parte de los esfuerzos de los físicos en su búsqueda de una comprensión más clara del mundo. Gracias a ella se han establecido
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o confirmado las leyes físicas que constituyen la expresión condensada de nuestros conocimientos sobre los procesos fundamentales de la Naturaleza. §8. La ciencia como comprensión.- La observación y la experimentación llevan a los científicos y a los físicos en particular a establecer con claridad y concisión ciertos hechos, ciertas leyes que rigen el comportamiento de la Naturaleza: Dos cargas eléctricas de igual signo se repelen con una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa; si sobre un cuerpo en movimiento no actúa ninguna fuerza su trayectoria es rectilínea; cuando se mantiene constante la temperatura de un gas, su presión es inversamente proporcional a su volumen, ... El paso siguiente es buscar una explicación a estos hechos y a estas leyes. Para una comprensión más completa del mundo, los físicos construyen teorías que respondan a los resultados de sus observaciones y experiencias. Este es un terreno resbaladizo. Si bien los resultados de las mediciones y observaciones admiten poca discusión (cualquiera que repita lo mismo en las mismas condiciones debe obtener idéntico resultado), no sucede lo mismo con las teorías. En ocasiones, más de una teoría ha intentado la explicación de un mismo fenómeno, originándose apasionadas polémicas. Es interesante preguntarse: ¿cuáles son las características de una buena y una mala teoría?, ¿cuáles son los métodos para decidir si una teoría es correcta o falsa? La dilatación de los sólidos, así como otros muchos fenómenos relacionados con el calor, fue explicada en un principio mediante la teoría del calórico. Según esta teoría, el calor es un fluido que penetra y sale de los cuerpos. Si un cuerpo contiene mucho calor, su temperatura es alta, y si contiene poco, baja. Al poner en contacto un cuerpo caliente con otro frío, el calórico pasa del uno al otro y al penetrar en el más frío provoca el desplazamiento de unas partes de éste respecto de las otras, dando lugar a su dilatación. Sin embargo, además de aumentar de tamaño, el cuerpo que se ha dilatado debería aumentar de peso, ya que en su interior existiría un fluido en mayor proporción que antes de ser calentado. Las determinaciones rigurosas de la masa de los cuerpos a distintas temperaturas dieron como resultado indiscutible que la masa era independiente de la temperatura. Este y otros experimentos hicieron que la teoría del calórico fuese rechazada por estar en contradicción con la experiencia. Ninguna teoría correcta puede llevar a consecuencias que contradigan a la experiencia. La teoría actual sobre la dilatación de los sólidos se sitúa en un marco general en el que se explican otras muchas propiedades eléctricas y magnéticas de los sólidos, la fusión y los sistemas cristalinos. Utilizando un punto de vista similar para los líquidos y gases aparecen claras numerosas leyes a las que se ajustan la presión y la temperatura, la viscosidad y la tensión superficial.
La validez de una teoría se comprueba cuando un pequeño número de hipótesis permite explicar gran número de fenómenos sin relación aparente. Por último, una de las comprobaciones más espectaculares de la bondad de una teoría es su capacidad para predecir fenómenos aún no observados. Cuando estos se detectan y sus características responden a lo que la teoría había enunciado, aportan un sólido fundamento a su validez. El examen de los hechos experimentales y el ensayo de diversas hipótesis hasta encontrar las adecuadas no es la única forma de construir una buena teoría. Existe
§8.- La ciencia como comprensión.
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un método más directo, relacionado con lo que podríamos llamar intuición genial o genio creador. Cuando en los años 1920 los mejores físicos teóricos se concentraban en los problemas suscitados por los nuevos experimentos a nivel atómico, Werner HEISENBERG (1901-1976) se desvió del procedimiento normal de reunión de datos y búsqueda de relaciones entre ellos para construir una teoría que fuera estética en el sentido matemático. Esta persecución de la belleza y de la simplicidad, como en el antiguo Canon griego, llevó a Heisenberg a establecer la que se denominó Mecánica Matricial, base de la moderna Teoría Cuántica. El tratamiento paralelo de los fenómenos cuánticos que hizo Erwin SCHRÖDINGER (1881-1961), en todo equivalente al de Heisenberg en cuanto a resultados de los cálculos, no tuvo la misma simplicidad y belleza, y no ha conducido a consecuencias tan profundas sobre el conocimiento de la estructura íntima de la materia como la formulación de Heisenberg. §9. Los modelos.- Es interesante destacar que, en su estado embrionario, una
teoría se apoya frecuentemente en un modelo. En un modelo se intenta la descripción de un sistema físico en el espíritu de que las cosas pasan "como si ...". Así, por ejemplo, ciertos fenómenos nucleares se explican asimilando el núcleo a una gota líquida de materia nuclear que vibra y gira. Otros aspectos de la estructura nuclear son explicados, en cambio, mediante un modelo de filosofía radicalmente opuesta, en la que cada nucleón se mueve independientemente de los demás. Este ejemplo ilustra el límite de validez de los modelos, que no suelen explicar todos los fenómenos observados, sino que suelen estar especializados en una cierta parcela de aquéllos. Los modelos que utilizan los físicos suelen ser matemáticos o básicamente mecánicos. Muchos físicos piensan con mayor claridad en términos concretos que en términos abstractos. Una característica de la mente humana es su ansia por lo concreto, lo que la incita a una constante preocupación por los modelos mecánicos en el campo de la ciencia, ya que este tipo de modelo, que cabe considerarlo como el tipo más primitivo de explicación, le permite aprehender intuitivamente la realidad de las cosas. Recordemos la famosa expresión de Lord KELVIN (1824-1907): "Nunca estoy satisfecho hasta que consigo el modelo mecánico de una cosa. Si puedo construir un modelo mecánico, entiendo el fenómeno."
En efecto, un modelo mecánico afortunado puede ser muy clarificador en la formulación incipiente de una teoría y resulta ser una ayuda considerable en los tanteos preliminares del físico para establecerla. Recordemos la primera teoría del átomo que tuvo éxito, la de Niels BOHR en 1913: los átomos se describen como si fuesen pequeños sistemas solares en miniatura, en los que las fuerzas gravitatorias son sustituidas por las fuerzas eléctricas. Los electrones girarían alrededor del núcleo en órbitas circulares o elípticas, como se deducía directamente de las leyes de Newton de la Mecánica. Pero aunque los modelos mecánicos pueden ser de una gran ayuda en la formulación de las teorías hay que recurrir a ellos con ciertas reservas. Hay ejemplos famosos en los que se pone de manifiesto que una fe demasiado firme en un modelo puede llevar a conclusiones erróneas y ser un obstáculo serio en el progreso científico. Por ejemplo, es mucho más fácil imaginar un haz luminoso como una
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vibración mecánica que se propaga en un medio material (el éter postulado por los antiguos) que como una energía inmaterial propagándose en el vacío, ya que esta segunda forma de representar el fenómeno es menos intuitiva que la primera. Por ello, hubo que esperar mucho tiempo, hasta finales del siglo XIX, para desechar el modelo del éter, por no encontrarse de acuerdo con las observaciones experimentales. El desarrollo de la Física, desde Newton (siglo XVII) y hasta finales del siglo XIX, ha estado guiado por modelos mecanicistas. Pero conforme la Física Moderna se ha enfrentado con problemas que han ido escapando más y más del marco de nuestra experiencia común, los físicos han debido recurrir a modelos abstractos y matemáticos. Pero tampoco este tipo de modelos está libre de los peligros inherentes a los modelos mecanicistas. Sin embargo, y a pesar de ello, no podemos prescindir de los modelos y debemos reconocer la importancia capital que han jugado y juegan en el desarrollo del conocimiento científico. §10. Los conceptos físicos.- Una característica de la actividad científica es el rigor en la definición de los conceptos. En la Física se manejan conceptos tales como temperatura, energía, velocidad, longitud de onda ... y otros muchos. Estos conceptos deben ser definidos con rigor y existe un aspecto en la definición de los conceptos físicos que es muy característico y determina una neta diferencia entre la forma en que un físico define el concepto de "temperatura" y un filósofo el de "trascendencia" o el de "libertad". La definición del concepto físico de "temperatura" debe reflejar el hecho de observación diaria de que unos cuerpos están más calientes que otros y debe hacerlo en forma cuantitativa, simple y precisa, sin dejar margen alguno a la ambigüedad o a la interpretación subjetiva. Decir, por ejemplo, que "la temperatura es la propiedad de los cuerpos que refleja su mayor o menor capacidad para transmitir calor", no respondería a las exigencias mencionadas. Un termómetro está formado por una ampolla (o bulbo) de paredes muy delgadas que contiene un líquido (mercurio, alcohol coloreado ...) y que comunica con un tubo capilar, en el que previamente se ha hecho el vacío. Cuando colocamos el bulbo del termómetro en contacto con un cuerpo, la altura de la columna líquida en el tubo capilar es una medida de la temperatura del cuerpo. Para ello es preciso que calibremos el termómetro, marcando un cero y un cien (como se hace en la escala de Celsius) en los puntos que corresponden a la fusión del hielo y a la ebullición del agua a presión normal, y dividiendo dicha distancia en cien partes iguales. De este modo, podemos expresar la temperatura de un cuerpo mediante un número. Nos aparece así claramente el aspecto operacional del concepto de temperatura y, por extensión el de cualquier otro concepto físico. La temperatura es algo definido a través de una serie de operaciones que tienen como resultado asignar un número a un estado del cuerpo. La temperatura es esa serie de operaciones. El "cómo" y el "qué" se confunden. Podríamos pensar que esta definición no nos dice realmente qué es la temperatura, sino que nos dice simplemente cómo medirla de acuerdo a unos convenios preestablecidos. Eso es cierto, y debemos aceptar las limitaciones de la Física y de la Ciencia en general, cuya tarea no es hallar lo que las cosas son realmente. Recordemos como el gran matemático y filósofo de la ciencia, Henri POINCARÈ (1854-1912) explicaba la actitud operacional frente a los conceptos físicos:
§10.- Los conceptos físicos.
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"Cuando decimos que la fuerza es la causa del movimiento, hablamos en términos metafísicos, y esta definición, si nos satisficiera, sería completamente estéril. Pues una definición útil debe enseñarnos cómo medir la fuerza; esto nos basta; no es absolutamente necesario que nos diga lo que la fuerza es en sí, ni si es la causa o el efecto del movimiento".
Podría objetarse que la definición operacional de los conceptos físicos está, en muchos casos, lejos del significado que comúnmente damos a las palabras que lo expresan. Puede servirnos como ejemplo la definición operacional que hemos dado del concepto de temperatura que nos puede parecer desligada de la significación ordinaria que le damos, relacionada con la sensación de "caliente" o de "frío". Parece como si los conceptos de la vida corriente fueran más claros que los conceptos científicos, que se nos podrían antojar como misteriosos o enigmáticos, cuando en realidad ocurre todo lo contrario. El carácter operacional de los conceptos científicos los hace unívocos e inequívocos en su significado, en tanto que las palabras que usamos en la vida corriente son, frecuentemente, flexibles y poco definidas y susceptibles de matices emocionales y subjetivos. En este sentido, vale la pena destacar que una de las características más notables de la Ciencia, y de la Física en particular, es la facilidad con que desaparecen posibles desacuerdos, a diferencia de lo que ocurre con otras disciplinas donde el núcleo de acuerdo general es extraordinariamente más reducido que en la Física. Como ejemplo de lo que acabamos de decir nos permitimos entresacar el siguiente párrafo del libro de VON WEIZSÄCKER titulado La importancia de la Ciencia (1959): "Que la Física es ciencia y el materialismo dialéctico no lo es, por ejemplo, se hizo claro en 1955, en la primera Conferencia de Ginebra sobre el uso pacífico de la energía atómica. En aquella reunión muchos físicos occidentales y soviéticos se encontraron por primera vez, y entonces se hizo pública una gran masa de información clasificada. Fue una valiosa experiencia comprobar que los valores de las mismas constantes atómicas, medidos en el más riguroso secreto en diferentes países, bajo sistemas y credos políticos opuestos, al ser comparados, resultaron idénticos hasta la última cifra decimal. Nada parecido ocurrió respecto de las teorías sobre la sociedad. El físico soviético y su colega del Oeste se encuentran unidos por un vínculo que ninguna disensión puede alterar; están unidos por una verdad común."
De cuanto hemos dicho se desprende que un concepto que no pueda ser definido operacionalmente carecerá de significado, al menos desde el punto de vista científico. Esto es realmente así. Uno de los resultados del trabajo de Einstein fue despertar en los científicos el sentimiento de que los conceptos físicos de los que se sirven en sus argumentaciones deben tener una base operacional, ya que de no ser así se puede llegar a serias contradicciones. Como ejemplo de esto podemos referirnos a las definiciones de tiempo y espacio absolutos que aparecen en los Principia de Newton: "El tiempo matemático, verdadero, absoluto, transcurre en sí y por su propia naturaleza de modo uniforme sin relación a nada externo, y se llama, por otro nombre, duración." "El espacio absoluto, por su propia naturaleza, permanece siempre igual e inmutable, y sin relación a nada externo."
Para que estos conceptos adquieran un sentido físico es necesario que dispongamos de una experiencia de medida con la que puedan ser comprobados; pero observemos que, en ambas definiciones aparece la expresión "sin relación a nada externo", esto es, que debemos descartar "las manecillas de un reloj" o una "regla graduada". Hoy en día, a estas definiciones sin ningún significado operacional
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inherente se les llama "sin sentido", un término que nos puede parecer excesivamente riguroso, pero necesario desde el punto de vista científico. En cambio, Einstein se preocupa de dar definiciones precisas y operacionales de los conceptos de tiempo y espacio, definiendo con todo rigor el proceso de medida del tiempo y de las longitudes. Y el resultado es inesperado y sorprendente: la longitud de un cuerpo depende de la velocidad con que se mueve con respecto al observador, hecho que explica algunas cosas que no podían explicarse hasta entonces. ¿Debemos pensar que la ciencia de Newton estaba invalidada por el hecho de partir de unos postulados básicos "sin significado" científico? No, porque realmente Newton no hizo uso explícito de dichos postulados; su formulación obedecía más bien a una inquietud filosófica que a una necesidad científica. §11. Las ramas de la física.- En los últimos años la Física ha vuelto a convertirse en una disciplina unificada. Parece ser que los mismos principios básicos permiten explicar tanto los procesos que tienen lugar en las ínfimas dimensiones del núcleo atómico como aquéllos que tienen lugar a escala galáctica. Sin embargo, no siempre ha sido así, y la Física se ha presentado, hasta fechas muy recientes, dividida en unas pocas ciencias o ramas con muy poca o ninguna conexión entre ellas. Esta división de la Física en diversas ramas ha sido consecuencia de los diversos conductos cognoscitivos de que se ha servido el hombre para indagar sobre el significado de los fenómenos naturales. Se comprende que, inicialmente, el hombre sólo dispuso de sus sentidos para recabar información del mundo natural y clasificase los fenómenos naturales de acuerdo con el sentido con que los percibía. Así, la luz fue relacionada con la visión y la Óptica se desarrolló como una ciencia más o menos independiente ligada con ella. El sonido fue relacionado con el sentido del oído y la Acústica fue otra ciencia que se desarrolló con una cierta autonomía. Lo mismo podemos decir del calor, relacionado con otra sensación física, que dio lugar al desarrollo de otra ciencia, la Termología, con muy pocas conexiones con las demás. Naturalmente, el fenómeno más familiar, el más corrientemente observado fue, desde un principio, el del movimiento, de cuyo estudio se ocupó otra ciencia, la Mecánica, que fue de las primeras en desarrollarse y en adquirir una cierta madurez. El movimiento de los planetas y el de caída de los cuerpos pudo ser explicado satisfactoriamente por las leyes de la Mecánica y, por ello, la Gravitación ha sido considerada tradicionalmente como un capítulo de la Mecánica. El Electromagnetismo, al no estar relacionado directamente con ninguna experiencia sensorial, y a pesar de que los fenómenos eléctricos y magnéticos ya habían sido observados en la Antigüedad Clásica, no apareció como una ciencia organizada hasta entrado el siglo XIX. De esta manera en el siglo XIX, la Física aparece dividida en las llamadas ramas clásicas o tradicionales: Mecánica, Acústica, Termología, Electromagnetismo y Óptica. Las descripciones teóricas de estas áreas parecían esencialmente completas al terminar el siglo y se creía que todos los descubrimientos básicos estaban ya hechos. Incluso se habían establecido unos nexos o puentes entre estas áreas o ramas clásicas de modo que, aunque la Física se seguía enseñando dividida en esas ramas, se reconocía que esa división atendía tan sólo a aspectos diferentes del mismo campo general de la Física. El cuerpo de doctrina firmemente reconocido hasta esa fecha suele conocerse como FÍSICA CLÁSICA.
§11.- Las ramas de la física.
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En los últimos años del siglo XIX y en las tres primeras décadas del siglo XX surgen una serie de ideas nuevas y sorprendentes en el campo de la Física. Se descubre la Radiactividad y se comienza a explorar el núcleo atómico. El desarrollo de la teoría de la Relatividad exigió que los conceptos de espacio y tiempo fueran reexaminados y modificados. Se formuló la teoría cuántica, que pudo explicar la estructura atómica y molecular con enorme precisión. Durante estos años decisivos todo el edificio de la Física fue remodelado y ampliado, conociéndose este periodo como el de la FÍSICA MODERNA. La década de 1930 vio las primeras observaciones de la radioemisión estelar y el descubrimiento del neutrón, de la fisión nuclear y de las primeras partículas elementales no existentes en los átomos. Todos estos resultados dieron lugar a un tremendo estallido de resultados y de nuevos campos de investigación que se encuentran en plena actividad, constituyendo lo que se conoce como FÍSICA CONTEMPORÁNEA. §12. La Física y las otras Ciencias.- Ya hemos establecido anteriormente que una disciplina será científica si ha adoptado el método científico para tratar los problemas que le son propios. Pero aquí precisamente, en saber cuáles son los problemas inherentes a cada una de las ciencias, nos encontramos ante una cierta indeterminación. En principio, la Ciencia estudia la Naturaleza, los fenómenos naturales, y su división en distintas disciplinas o ciencias obedece, principalmente, a una motivación de índole práctica. Anteriormente hemos caracterizado la Física por su grado de fundamentalidad: su objetivo es el estudio de los componentes básicos o elementales de la materia y sus interacciones mutuas, explicando los fenómenos naturales y las propiedades de la materia en su conjunto. La Química se ocupa tan sólo de un aspecto parcial de ese vasto intento; el estudio de los elementos y los compuestos que resultan de combinarlos y de las leyes que rigen esas combinaciones. Para ello utiliza las leyes de la Física para comprender la formación de las moléculas y los variados métodos prácticos que llevan a la transformación de unas moléculas en otras. La Biología estudia la vida y los seres vivientes; se basa fundamentalmente en las leyes de la Física y de la Química para explicar los procesos vitales. La Geología estudia la composición, estructura y evolución de la Tierra; para ello se sirve de las leyes y métodos de la Física y de la Química. Vemos pues que la Física, como ciencia fundamental, aparece en la base de las otras Ciencias Naturales, proporcionándoles una soporte conceptual y una estructura teórica, además de una serie de técnicas. Así, el geólogo utiliza en sus investigaciones métodos gravimétricos, acústicos, nucleares y mecánicos; un moderno laboratorio de biología utiliza un instrumental sofisticado apoyado en las más refinadas técnicas de la Física. Podemos asegurar que hoy día sería difícil avanzar en cualquier actividad científica, teórica o experimental, sin recurrir al uso de las refinadas técnicas de la Física. Decíamos en el artículo anterior que la Física está encontrando en los últimos años su unidad. Esta idea la podemos hacer extensiva a las Ciencias de la Naturaleza en general, ya que cada día resulta más difícil delimitar con precisión los campos de las diferentes Ciencias Naturales. Y ello se debe a la aplicación de un método común en todas ellas (el método científico) y a la utilización de unas técnicas comunes (pensemos en las técnicas microscópicas o electrónicas que se utilizan en Biología, Geología, Química, Física ...). Que las fronteras entre las diferentes ciencias naturales
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van borrándose más y más, lo demuestra el hecho de que cada día vayan aumentando el número de científicos y de revistas especializadas en temas interdisciplinares, como son la Química-Física, la Biofísica, la Bioquímica, la Geofísica, la Astrofísica, ... Hoy día sabemos que ninguna de las ciencias naturales es completamente independiente de las demás y que es necesario que un científico, sea cual sea su campo de especialización, esté familiarizado, cuanto menos, con las otras disciplinas. Esta interdependencia entre las diferentes disciplinas de la Ciencia Natural ha sido maravillosamente expresada por el poeta inglés Francis THOMPSON en los siguientes versos: "Todas las cosas por fuerza inmortal, cerca o lejos, ocultamente, están ligadas entre sí de tal manera que no se puede agitar una flor sin perturbar una estrella."
§13. La Ciencia y la Tecnología.- La aplicación de los principios de la Física y de la Química a los problemas prácticos han dado lugar a las diferentes ramas de la Ingeniería. Muchos de los trabajos de investigación en Ingeniería pueden ser considerados como científicos, por cuanto se utiliza el método científico; sin embargo, la práctica de la ingeniería debe ser considerada como una ciencia aplicada, esto es, como la aplicación de unos conocimientos científicos a unas situaciones prácticas, acompañada de un arte, o sea, un saber hacer (construir, manejar, ...). Por la misma razón, podemos decir que la práctica de la Medicina es una ciencia biológica aplicada, acompañada de un arte (a veces en un grado mayor que la Ingeniería). La Ciencia y la Tecnología se necesitan y se apoyan mutuamente. La una no podría existir sin la otra. Es verdad que el desarrollo científico ha posibilitado el desarrollo tecnológico, pero no es menos cierto que la Ciencia moderna necesita de la tecnología tanto como ésta de aquélla. Ciencia y Tecnología pueden compararse a dos árboles gemelos, brotados de distintas semillas y que mantienen aún algunas raíces y algunas ramificaciones separadas, pero cuyos troncos se han juntado y cuyas hojas forman una única e inmensa copa. §14. La Física y las Matemáticas.- El lenguaje es un ingrediente esencial del
pensamiento abstracto. Las Matemáticas, que permiten expresar los conceptos y leyes físicas en una forma compacta, concisa y fácilmente comunicable, constituyen el lenguaje natural de la Física. Las Matemáticas constituyen una forma de razonamiento altamente organizado que emplea ciertos símbolos estipulados y ciertas convenciones con el fin de potenciar la facultad intelectual de que hemos sido dotados por la Naturaleza. Para Galileo, para algunos de sus contemporáneos y para los físicos modernos, las Matemáticas son la herramienta por excelencia para ordenar y comprender la Naturaleza. Esta convicción la expresaba Galileo del modo siguiente:
§14.- La Física y las Matemáticas.
15
"La filosofía (ahora decimos la Ciencia) está escrita en este gran libro que tenemos ante los ojos - quiero decir, el Universo -, pero no podemos comprenderlo si no aprendemos su lenguaje y el significado de los símbolos en que está escrito. Su lenguaje es el de las matemáticas, y sus símbolos, triángulos, círculos y otras figuras geométricas (ahora añadimos otros símbolos matemáticos) sin cuya ayuda es imposible comprender ni una sola palabra, y en vano intentaríamos atravesar este oscuro laberinto."
En la medida en que en el Universo existe un orden susceptible de ser comprendido, este orden aparecerá bajo la forma de estructuras matemáticas. Ningún físico puede desenvolverse cómodamente sin un considerable bagaje matemático. Las relaciones existentes entre las magnitudes físicas u observables pueden expresarse en forma funcional. En algunas ocasiones, las leyes físicas establecen que alguna combinación funcional de las magnitudes físicas relacionadas con un fenómeno presenta un valor constante (por ejemplo, el cociente s/t2, entre el espacio recorrido por un cuerpo en caída libre, partiendo el reposo, y el cuadrado del tiempo empleado, tiene un valor constante). En otras ocasiones, algunas combinaciones funcionales de los observables tienden a alcanzar un valor máximo o mínimo (principio de Fermat del camino óptico, por ejemplo). El alto aprecio que sienten los físicos hacia estos tipos de leyes o postulados se debe a que combinan dos de las características más sobresalientes de la ciencia: la formulación matemática de los conceptos y el descubrimiento de características permanentes en el caos de la experiencia. La formulación matemática del trabajo científico impone a éste ciertas condiciones. Una relación entre magnitudes observables no debe considerarse como una relación causa-efecto. Así, una relación matemática entre los observables X, Y y Z de la forma Z = XY es totalmente equivalente a expresar que Y = Z/X o que X = Z/Y; esto es, no cabe asignar a ninguno de los observables un papel especial. Así, la primera de las relaciones, Z = XY, debemos interpretarla en el sentido de que el observable Z está relacionado con los X e Y, y no en el de pensar que los observables X e Y sean la causa del Z. Expresar las ideas, conceptos y leyes científicas en términos matemáticos es de gran ayuda para la comprensión rápida de esos mismos conceptos y leyes, sin ambigüedad alguna, y es una invitación a buscar nuevas relaciones entre las distintas magnitudes. En definitiva, la Física es una ciencia experimental en la que el progreso hacia una comprensión más profunda de la Naturaleza se realiza mediante la aplicación del método científico a los procesos más fundamentales. Los modelos y las teorías físicas se constituyen para relacionar entre sí, de forma coherente, los distintos hechos que han sido descubiertos sobre el mundo real. Ninguna teoría es verdadera, sino que tan sólo representa en un cierto momento nuestro grado de comprensión de determinados fenómenos naturales. Toda teoría física debe estar abierta a modificaciones o a su total desaparición cuando la aparición de nuevos hechos experimentales así lo exijan. La Física es un intento de aprehensión de la Naturaleza de manera precisa y ordenada, mediante la reducción de las observaciones y las teorías a números que pueden ser comparados entre sí.
16
Prolegómenos.
Capítulo I.
Vectores.
1.- Álgebra vectorial.
19
2.- Vectores deslizantes.
41
3.- Análisis vectorial.
61
Manuel R. Ortega Girón
17
18
Lecciones de Física
1.- Álgebra vectorial. §1.1. Escalares y vectores (19); §1.2. Formulación vectorial (20); §1.3. Suma y diferencia de vectores (21); §1.4. Producto de un vector por un escalar (22); §1.5. Versores (22); §1.6. Componentes de un vector. Base vectorial (22); §1.7. Producto escalar de dos vectores (24); §1.8. Producto vectorial de dos vectores (27); §1.9. Representación vectorial de superficies (29); §1.10. Producto mixto de tres vectores (30); §1.11. Doble producto vectorial (32); §1.12. Definición axiomática del vector (32); §1.13. Cambio de base vectorial (34); §1.14. Vector de posición. Sistemas de referencia (37); Problemas (38)
§1.1. Escalares y vectores.- Frente a aquellas magnitudes físicas, tales como la masa, la presión, el volumen, la energía, la temperatura, ... que quedan completamente definidas por un número y las unidades utilizadas en su medida, aparecen otras, tales como el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza, el campo eléctrico, ... que no quedan completamente definidas dando un dato numérico, sino que llevan asociadas una dirección y un sentido. Estas últimas magnitudes son llamadas vectoriales en contraposición a las primeras que son llamadas escalares. Las magnitudes escalares quedan representadas por el ente matemático más simple; por un número. Las magnitudes vectoriales quedan representadas por un ente matemático que recibe el nombre de vector. En un espacio euclidiano, de no más de tres dimensiones, un vector se representa por un segmento orientado1. Así, un vector queda caracterizado por los siguientes elementos: su longitud o módulo, siempre positivo por definición; su dirección, determinada por una recta (directriz) a la cual el vector es paralelo; y su sentido, que podrá ser coincidente u opuesto con un sentido predeterminado sobre la dirección antes mencionada. Así pues, podemos enunciar:
Un vector es una magnitud que tienen módulo, dirección y sentido. Las magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos por letras en negrita, para diferenciarlas de las magnitudes escalares. En la pizarra representaremos las magnitudes vectoriales colocando una flechita sobre la letra que designa su
Este significado de la palabra vector es una ampliación natural de su utilización inicial en la astronomía, hoy en desuso: "recta imaginaria que une a un planeta, moviéndose alrededor del centro o foco de una circunferencia o elipse, con dicho centro o foco". 1
Manuel R. Ortega Girón
19
20
Lec. 1.- Álgebra vectorial.
módulo (que es un escalar). Así, por ejemplo; A, V, W, ... representan, respectivamente, las magnitudes vectoriales de módulos A, V, W, ... También representaremos el módulo de una magnitud vectorial encerrando entre barras la notación correspondiente al vector: A , V , W , ... Cuando nos convenga, representaremos la magnitud vectorial haciendo referencia al origen y al extremo del segmento orientado que la representa geométricamente; así, designaremos los vectores representados en la Figura 1.1 en la forma A=MN, B=OP, ... resultando muy útil esta notación para los vectores desplazamiento. Para que dos vectores sean iguales (equipolentes) no basta que tengan el mismo módulo, sino que además es preciso que actúen según la misma dirección y sentido. En lo que sigue, mientras que no se advierta otra cosa, consideraremos los llamados vectores libres, para los cuales dos direcciones son equivalentes con tal de que sean paralelas. Por consiguiente, diremos que dos vectores libres son iguales si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido, aunque sus rectas de acción (directrices) sean diferentes. De este modo, en la Figura 1.1 es A = B = C = D = E. Por el contrario, en los llamados vectores deslizantes, el criterio de igualdad exige que los vectores tengan el mismo módulo y que actúen en un mismo sentido sobre una misma recta de acción, siendo indiferente el punto de la recta en que estén Figura 1.1 aplicados. Así, en la Figura 1.1, tan sólo es C = D. Veremos más adelante que las fuerzas que actúan sobre un sólido rígido tienen carácter de vectores deslizantes, mientras que los momentos de tales fuerzas son vectores libres. §1.2. Formulación vectorial.- La formulación vectorial de la Física presenta dos grandes ventajas:
(a) La formulación de una ley física en forma vectorial es independiente de los ejes coordenados que se escojan. La notación vectorial ofrece una terminología en la que los enunciados tienen un significado físico claro sin necesidad de introducir en ningún caso un sistema coordenado. Así, la relación existente entre la fuerza F aplicada a un cuerpo de masa m y la aceleración a que dicho cuerpo adquiere, dada por la segunda ley de Newton, F = ma, es una ecuación intrínseca, válida en cualquier sistema de coordenadas.
(b) La notación vectorial es compacta y concisa. Muchas leyes físicas tienen formulaciones sencillas y diáfanas que se desfiguran cuando se escriben referidas a un sistema coordenado particular. Así, La segunda ley de Newton, F=ma, cuando se escribe en coordenadas polares planas, toma la forma de las dos ecuaciones siguientes: Fr=m(¨r-rθ˙ 2) y Fθ=m(rθ¨ +2˙rθ˙ ).
Aunque al resolver un problema físico concreto puede convenir la utilización de sistemas coordenados particulares, siempre que sea posible deberemos establecer la leyes de la física en notación vectorial.
21
§1.2.- Formulación vectorial.
La utilidad y aplicación de los vectores a los problemas físicos está basada esencialmente en la Geometría Euclidiana, de modo que el enunciado de una ley física en términos vectoriales conlleva la hipótesis de la validez de dicha geometría2. Si la geometría no es euclidiana no es posible sumar dos vectores de un modo sencillo y sin ambigüedad. Para el espacio curvo existe otra formulación mucho más general, la Geometría Métrica Diferencial, que es el lenguaje de la Relatividad Generalizada, dominio de la Física en el que la Geometría Euclidiana no tiene validez general. §1.3. Suma y diferencia de vectores.- Dados dos vectores A y B, llamamos suma o resultante de los mismos, y la designaremos por A+B, al vector obtenido como diagonal del paralelogramo formado por los vectores A y B (Figura 1.2). Evidentemente, el mismo resultado se obtiene si se sitúan los vectores uno a continuación de otro y se define la suma de ambos como el vector que va desde el origen del primero al extremo del segundo. Para más de dos vectores, la generalización de estas reglas es inmediata. De la definición geométrica de la suma se siguen las siguientes propiedades de esta operación: Figura 1.2 (1) Propiedad conmutativa (Figura 1.2):
A
B
B
[1.1]
A
(2) Propiedad asociativa (Figura 1.3): (A
B)
C
(B
A
[1.2]
C)
(3) Existencia del vector opuesto: A
( A)
[1.3]
0
En virtud del teorema del coseno, el módulo de la suma es, A
B
A2
B2
2 A B cos θ
Figura 1.3
[1.4]
siendo θ el ángulo que forman entre sí las direcciones de los vectores A y B. Dados dos vectores A y B, definimos la diferencia entre el primero y el segundo, y la designamos por A - B, como el vector obtenido como suma del vector A con el vector opuesto de B (mismo módulo y dirección, pero sentido opuesto) (Figura 1.4): A B
A ( B)
[1.5]
El análisis vectorial, tal como lo conocemos hoy, es fundamentalmente el resultado del trabajo realizado hacia finales del siglo XIX por el físico-ingeniero electrotécnico inglés Josiah W. GIBBS (1839-1903) y por el matemático americano Oliver HEAVISIDE (1850-1925). 2
22
Lec. 1.- Álgebra vectorial.
Si llevamos los vectores A y B a un mismo origen, el vector A - B es el que va desde el extremo de B al extremo de A, y su módulo viene dado por A2 B2
A B
2 A B cos θ
[1.6]
§1.4. Producto de un vector por un escalar.Dado un escalar p y un vector A, llamaremos producto de los dos, y lo representaremos por pA, a un vector cuyo módulo es el producto del valor absoluto del escalar p por el módulo del vector A, de la misma dirección que el vector A y de sentido coincidente u opuesto al del vector A según que el escalar p sea positivo o negativo (Figura 1.5). Este producto tienen las siguientes propiedades: (1) Propiedad asociativa: Figura 1.4
p (q A)
( p q )A
q (p A)
[1.7]
(2) Propiedad distributiva respecto a la suma de escalares: (p q) A
pA qA
[1.8]
(3) Propiedad distributiva respecto a la suma de vectores:
Figura 1.5
p (A B)
pA pB
[1.9]
El cociente de un vector por un escalar es, por definición, el producto del vector A por el escalar 1/p, de modo que 1 A p
A p
[1.10]
y tiene las mismas propiedades (1) y (3) enunciadas anteriormente, aunque no la propiedad (2). §1.5. Versores.- Si dividimos un vector por su propio módulo se obtiene un
vector de módulo unidad, al que llamaremos vector unitario o versor, cuya dirección y sentido coinciden con la dirección y sentido del vector de partida. Existirán infinitos versores, correspondientes a las infinitas direcciones que podemos considerar en el espacio. Un vector cualquiera A puede expresarse como el producto de su módulo A por el versor de su misma dirección y sentido, esto es, e
A A
y
A
Ae
[1.11]
§1.6. Componentes de un vector. Base vectorial.- Dadas tres rectas concurrentes no coplanarias siempre es posible descomponer un vector dado A en tres vectores, A1, A2, y A3, de forma que cada uno de ellos sea paralelo a una de las tres
§1.6.- Componentes de un vector. Base vectorial.
23
rectas dadas, y que sumados tengan al vector A como resultante. Esta descomposición es única y se obtiene construyendo un paralelepípedo cuyas aristas sean paralelas a las tres rectas dadas y del cual es diagonal el vector A que descomponemos (Figura 1.6). Definidos tres versores, e1, e2, e3, en las direcciones de las tres rectas dadas, podemos escribir A
A1
A2
A3
A1 e 1
A2 e 2
A3 e 3
[1.12]
siendo Ai los vectores componentes de A y Ai las componentes del vector A en la base vectorial3 definida por los versores e1, e2, e3. Tomando las tres rectas anteriores perpendiculares entre sí (ortogonales) y escogiendo los versores e1, e2 y e3, de forma que constituyan un triedro directo, es decir de tal modo que un tornillo que gire de Figura 1.6 uno de ellos al siguiente en orden creciente de permutación circular avance en el sentido del otro vector (regla de tornillo, Figura 1.7, o de la mano derecha, Figura 1.12), entonces, a cada vector A corresponderá una descomposición única en la forma expresada en [1.12]. Si ahora tomamos las tres rectas anteriores como ejes coordenados x, y, z, y llamamos i, j, k, a los correspondientes versores e1, e2, e3, según convenio prácticamente universal, entonces la descomposición anterior la escribiremos en la forma A
Ax i
Ay j
Az k
[1.13]
siendo Ax, Ay, Az las componentes cartesianas del vector A De este modo vemos que una magnitud vectorial, a diferencia de una magnitud Figura 1.7 escalar, requiere el conocimiento de tres números para quedar completamente definida. Para el vector tridimensional A = (Ax, Ay, Az) cada una de las cantidades contenidas en el paréntesis representa una de sus componentes. Obsérvese que es importante el orden en que demos las componentes del vector, ya que la terna numérica (m,n,p) no representa el mismo vector que la terna (n,p,m). Figura 1.8 Resulta conveniente escribir las componentes (Figura 1.8).
Obsérvese que una base vectorial queda definida exclusivamente por las direcciones de tres vectores no coplanarios; i.e., no hacemos mención a algún punto del espacio, por lo que no cabe hablar del "origen" de la base vectorial. 3
24
Lec. 1.- Álgebra vectorial.
del vector A utilizando la notación matricial; esto es, en forma de matriz columna o de matriz fila:
A
⎛A ⎞ ⎜ x ⎟ ⎜ Ay ⎟ ⎜A ⎟ ⎝ z ⎠i j k
o
A
Ax Ay Az
[1.14] ijk
donde los subíndices añadidos a las matrices indican (cuando sea necesario evitar ambigüedades) la base vectorial en la que están expresadas las componentes del vector A. Dada la ortogonalidad del triedro cartesiano definido por los versores i, j, k, es fácil comprobar que el módulo del vector A viene dado por 2
A
Ax
2
[1.15]
2
Ay
Az
y que, dados los vectores A = Ax i + Ay j + Az k y B = Bx i + By j + Bz k, de acuerdo con la propiedad asociativa para la suma (y diferencia) vectorial, es (Ax±Bx ) i (Ay±By ) j (Az±Bz ) k
A±B
[1.16]
y que, de acuerdo con la propiedad distributiva del producto de un escalar respecto a la suma de vectores, tenemos pA
pAx i
p Ay j
p Az k
[1.17]
quedando definida tanto la suma (y diferencia) vectorial como el producto de un vector por un escalar en forma analítica, i.e., en función de sus componentes cartesianas, con independencia de la correspondiente representación geométrica. Con notación matricial escribiremos: ⎛A ⎞ ⎛B ⎞ ⎜ x ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ Ay ⎟ ± ⎜ By ⎟ ⎜A ⎟ ⎜B ⎟ ⎝ z ⎠ ⎝ z ⎠
A±B
y
pA
⎛A ⎞ ⎜ x ⎟ p ⎜ Ay ⎟ ⎜A ⎟ ⎝ z ⎠
⎛ A ±B ⎞ ⎜ x x ⎟ ⎜ Ay±By ⎟ ⎜ A ±B ⎟ ⎝ z z ⎠
⎛ pA ⎞ x ⎟ ⎜ ⎜ pAy ⎟ ⎜ pA ⎟ z ⎠ ⎝
[1.18]
[1.19]
§1.7. Producto escalar de dos vectores.- Se define el producto escalar de los vectores A y B, y lo representaremos por A B, como el escalar que se obtiene multiplicando el módulo del vector A por el módulo del vector B y por el coseno del ángulo que forman entre sí los dos vectores. Esto es (Figura 1.9):
AB
A B cos θ
[1.20]
siendo esta definición de naturaleza puramente geométrica y, por lo tanto, independiente del sistema de coordenadas elegido. El producto escalar de dos vectores es un número (escalar) y, si ninguno de los vectores es nulo, dicho producto será un
25
§1.7.- Producto escalar de dos vectores.
número positivo, nulo o negativo, según que el ángulo formado por los dos vectores (0≤θ≤π) sea agudo, recto u obtuso. Puesto que B cos θ representa el módulo de la proyección del vector B sobre la dirección del vector A, esto es B cos θ = proyA B, será AB
A proy A B
[1.21] Figura 1.9
de modo que el producto escalar de dos vectores también puede definirse como el producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. Se puede demostrar fácilmente que el producto escalar de dos vectores tiene las siguientes propiedades: (1) Propiedad conmutativa: AB
]
BA
(2) Propiedad distributiva respecto a la suma vectorial: A (B
C)
(A B )
(A C )
[1.23]
(3) Propiedad asociativa respecto al producto por un escalar: p (A B )
(p A ) B
A (p B )
[1.24]
(4) Ya que (A B) C no se ha definido (el signo se usa sólo entre vectores) la propiedad asociativa no ha lugar a considerarla. Obsérvese, sin embargo, que en general es [1.25]
(A B ) C ≠ A (B C )
(5) Si los vectores A y B son perpendiculares entre sí, será cos θ=0, y resulta AB
[1.26]
0
Esta relación expresa la condición de perpendicularidad entre dos vectores. Obsérvese, que el producto escalar de dos vectores puede ser nulo sin que lo sean uno ni otro vector. (6) En particular, para los vectores cartesianos i, j, k, tenemos ⎧ ii ⎨ ⎩ ij
jj ik
kk jk
1 0
[1.27]
(7) Expresión analítica del producto escalar: Si los vectores A y B se expresan en función de sus componentes cartesianas rectangulares, o sea, A = Axi + Ayj + Azk y B = Bx i + By j + Bz k, entonces, teniendo en cuenta las propiedades anteriores, se tiene AB
Ax Bx
Ay By
Az Bz
[1.28]
26
Lec. 1.- Álgebra vectorial.
de modo que el producto escalar de dos vectores es igual a la suma de los productos de las componentes cartesianas rectangulares correspondientes. Con notación matricial, el producto escalar A B es, simplemente, el producto matricial de la matriz fila de A por la matriz columna de B; esto es,
A B
⎛A ⎞ ⎜ x⎟ ⎜ Ay ⎟ ⎜A ⎟ ⎝ z⎠
⎛B ⎞ ⎜ x⎟ ⎜ By ⎟ ⎜B ⎟ ⎝ z⎠
⎛B ⎞ ⎜ x⎟ Ax Ay Az ⎜ By ⎟ ⎜B ⎟ ⎝ Z⎠
[1.29]
Ax Bx Ay By Az Bz
Ejemplo I.- Calcular el producto escalar de los vectores A = i + 2j + 3k y B = 4i - 5j + 6k. ⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝3 ⎠
⎛ 4 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 5 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 6 ⎠
⎛ 4 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 5 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 6 ⎠
1 2 3
14
2 ( 5)
36
4
10
18
12
(8) Módulo de un vector: Para el vector A = Ax i + Ay j + Az k se tiene AA
A2
2
Ax
2
2
Ay
[1.30]
Az
(9) Ángulo formado por dos vectores: De la definición del producto escalar se sigue cos θ
AB AB
[1.31]
eA eB
expresión que nos permite determinar el ángulo formado por dos vectores dados. (10) Cosenos directores: Se llaman cosenos directores a los cosenos de los ángulos directores formados por el vector con los ejes coordenados (Figura 1.10). Tenemos ⎧ ⎪ cos α ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ cos β ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ cos γ ⎩
Figura 1.10
de modo que es con
A eA
A (cos α i
cos β j
cos γ k)
cos α i
cos β j
cos γ k
Ai A Aj A Ak A
Ax A Ay
[1.32]
A Az A [1.33] [1.34]
siendo eA el versor en la dirección del vector A. Evidentemente, se verifica que la
27
§1.7.- Producto escalar de dos vectores.
suma de los cuadrados de los cosenos directores es igual a la unidad; esto es, cos2 α
cos2 β
cos2 γ
[1.35]
1
(11) El producto escalar de dos vectores no tienen operación inversa; esto es, si A X = c, no existe una solución única para X. Dividir por un vector es una operación sin definir y carente de sentido (Problema 1.17). §1.8. Producto vectorial de dos vectores.- Existe otro tipo de producto de dos vectores ampliamente utilizado en la Física. Este producto no es un escalar sino más bien un vector; i.e., un vector en cierto sentido restringido. El producto vectorial de A y B, que representaremos por A × B, es un vector cuyo módulo se define como el producto de los módulos de A y B por el seno del ángulo que forman entre sí los dos vectores, cuya dirección es perpendicular al plano determinado por ambos vectores, y cuyo sentido es tal que los vectores A, B y A × B constituyan un triedro directo (regla del tornillo, Figura 1.11 Figura 1.7, o de la mano derecha, Figura 1.12). Escribiremos
A×B
[1.36]
A B sen θ e
siendo e el versor normal al plano determinado por los vectores A y B. Por ser esta definición de naturaleza puramente geométrica, el producto vectorial es independiente del sistema coordenado elegido4. Se demuestra fácilmente que el producto vectorial de dos vectores tiene las siguientes propiedades: (1) Propiedad anticonmutativa: A×B
Figura 1.12
[1.37]
B×A
(2) Propiedad distributiva respecto a la suma vectorial: A × (B C )
(A × B )
(A × C )
[1.38]
(3) Propiedad asociativa respecto al producto por un escalar:
En un sistema de coordenadas inverso (-i,-j,-k), las componentes de los vectores A y B cambian de signo. Sin embargo, las componentes del vector A×B no cambian de signo en la inversión. A los vectores que no cambian de signo en la inversión del sistema coordenado se les llama seudovectores o vectores axiales. Así pues, el producto vectorial es un vector axial. 4
28
Lec. 1.- Álgebra vectorial.
p (A × B )
(p A) × B
[1.39]
A × (p B)
(4) Como veremos más adelante (§1.11), el producto vectorial no tienen la propiedad asociativa; esto es, en general será [1.40]
A × (B × C ) ≠ (A × B ) × C
(5) Si los vectores A y B son mutuamente paralelos, entonces, por ser sen θ=0, será A×B
[1.41]
0
relación que expresa la condición de paralelismo entre dos vectores. Obsérvese que el producto vectorial de dos vectores puede ser nulo sin que lo sea ninguno de ellos. (6) En particular, para los versores i, j, k, tenemos ⎧ i×i ⎪ ⎨ j×i ⎪ ⎩ k×i
0
i×j j×j k×j
k j
i×k j×k k×k
k 0 i
j i 0
[1.42]
(7) Expresión analítica del producto vectorial: Si los vectores A y B se expresan en función de sus componentes cartesianas, esto es A = Ax i + Ay j + Az k y B = Bx i + By j + Bz k , entonces, teniendo en cuenta las propiedades anteriores, será A×B
(Ay Bz
A z B y) i
(Az Bx
A x B z) j
(Ax By
A y B x) k
[1.43]
expresión que puede escribirse de un modo más compacto en forma de determinante
A × B
⎡ i j k ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ Ax Ay Az ⎥ ⎢ ⎥ ⎢B B B ⎥ ⎣ x y z ⎦
[1.44]
o bien con notación matricial
A × B
⎛A ⎞ ⎛B ⎞ ⎜ x ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜A ⎟ ⎜B ⎟ ⎜ y ⎟ × ⎜ y ⎟ ⎜A ⎟ ⎜B ⎟ ⎝ z ⎠ ⎝ z ⎠
⎛ A B ⎜ y z ⎜ A B ⎜ z x ⎜A B ⎝ x y
Az By ⎞⎟ Ax Bz ⎟⎟ Ay Bx ⎟⎠
[1.45]
pudiéndose encontrar directamente las componentes del vector A × B, sin necesidad de escribir el determinante, mediante la regla operativa que se ilustra en el esquema
29
§1.8.- Producto vectorial de dos vectores.
siguiente, donde los círculos oscuros ( ) indican productos con signo positivo y los círculos claros ( ) indican productos con signo negativo: Ejemplo II.- Calcular el producto vectorial de los vectores A = i + 2j + 3k y B = 4i - 5j + 6k. ⎛1 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 × 5 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 6 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
⎛ 2 6 3 ( 5) ⎜ ⎜ ⎜ 34 16 ⎜ ⎝ 1 ( 5) 2 4
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ 12 15 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 12 6 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 5 8 ⎠ ⎝
⎛ 27 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 6 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 13 ⎠ ⎝
(8) De la definición del producto vectorial se sigue una importante propiedad geométrica del mismo: El módulo del producto vectorial A × B representa el área del paralelogramo determinado por los vectores A y B. En efecto, como se apreciará en la Figura 1.13, es [1.36]
A×B Ah
A B sen θ
[1.46]
Figura 1.13
área del paralelogramo
(9) El producto vectorial no tiene operación inversa; esto es, si A × X=C, no existe una solución única para X. Dividir por un vector es una operación sin definir y carente de sentido (Problema 1.18). §1.9. Representación vectorial de superficies.- Hemos visto anteriormente que el módulo de A × B representa el área del paralelogramo definido por los vectores A y B. Esta propiedad nos permite representar el área del paralelogramo por un vector S perpendicular a su plano cuyo módulo S sea igual a su área. Esta representación puede extenderse a cualquier superficie plana (Figura 1.14), ya que siempre la podremos imaginar descompuesta en un cierto número de paralelogramos. Una vez definido el módulo y la dirección del vector superficie S, sólo nos queda fijar su sentido que será el del avance de un tornillo que girase en el sentido atribuido al contorno de la superficie Figura 1.14 (regla de la mano derecha). Las componentes del vector S tienen un significado simple. Supongamos que el plano de la superficie S forma un ángulo θ con el plano coordenado xy (Figura 1.15). La proyección de la superficie S sobre el plano coordenado xy es S cos θ. Pero la dirección normal al plano de la superficie S también forma un ángulo θ con el eje z. Por consiguiente, la componente del vector S en la dirección del eje z es Sz = S cos θ. De este modo, podemos asegurar que las componentes del vector S sobre los ejes coordenados representan las proyecciones de la superficie plana S sobre los tres
30
Lec. 1.- Álgebra vectorial.
planos coordenados respectivos. Si la superficie no es plana (Figura 1.16), siempre será posible dividirla en un número muy grande de pequeñas superficies elementales, cada una de las cuales podrá ser considerada como plana y representable por un vector ΔSi. De este modo, el vector S que representa a una superficie curva será: S
ΔS1
ΔS2
...
ΔS i
[1.47]
Obsérvese que, en este caso, el módulo de S no es igual al área de la superficie curva, ya que dicha área es ΔSi ; sin embargo, los valores de las tres componentes del vector S según los ejes coordenados si que serán iguales a las áreas de las proyecciones de la superficie sobre los tres planos coordenados. Figura 1.15
Figura 1.16
Figura 1.17
Finalmente, consideremos una superficie cerrada y dividámosla en pequeños elementos casi planos, cada uno de ellos representado por un vector ΔSi en la dirección hacia afuera (Figura 1.17). Podemos tomar estos elementos por parejas de modo que la proyección neta de cada una de estas parejas sobre cualquier plano coordenado sea nula. De este modo llegamos a la conclusión de que las componentes del vector superficie que representa a una superficie cerrada son nulas; o sea que el vector que representa a una superficie cerrada es S=0; aunque, obviamente, el área de dicha superficie cerrada no es nula. §1.10. Producto mixto de tres vectores.- Llamamos producto mixto de los vectores A, B y C, en este orden, al escalar que resulta de multiplicar escalarmente por A el producto vectorial de B y C. Esto es
A B C
A (B × C)
[1.48]
y expresando los tres vectores en función de sus componentes y desarrollado los productos indicados resulta
31
§1.10.- Producto mixto de tres vectores.
⎡ By Bz ⎤ ⎥ A i ⎢⎢ ⎥ C C ⎣ y z ⎦ o bien ABC
⎡ Bx Bz ⎤ ⎥ A j ⎢⎢ ⎥ C C ⎣ x z ⎦ ⎧⎛ A ⎞ ⎛ B ⎞ ⎪⎜ x ⎟ ⎜ x ⎟ ⎨ ⎜ Ay ⎟ ⎜ By ⎟ ⎪⎜ A ⎟ ⎜ B ⎟ ⎩⎝ z ⎠ ⎝ z ⎠
⎡ ⎤ ⎢ Ax Ay Az ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ Bx By Bz ⎥ ⎢ ⎥ ⎢C C C ⎥ ⎣ x y z⎦
⎡ Bx By ⎤ ⎥ A k ⎢⎢ ⎥ C C ⎣ x y ⎦ ⎛C ⎞ ⎫ ⎜ x ⎟ ⎪ ⎜ Cy ⎟ ⎬ ⎜C ⎟ ⎪ ⎝ z ⎠ ⎭
⎡A B C ⎤ ⎢ x x x ⎥ ⎢ Ay By Cy ⎥ ⎢A B C ⎥ ⎣ z z z ⎦
[1.49]
de modo que el producto mixto de tres vectores es igual al valor del determinante formado por las componentes de los tres vectores. Entonces, teniendo en cuenta que el valor de un determinante no varía cuando se realiza un número par de permutaciones entre sus filas (o columnas), se deduce fácilmente que AB C o sea
A (B × C)
BCA B (C × A)
CAB
[1.50]
C (A × B)
[1.51]
de modo que el producto mixto admite la permutación circular entre los vectores que lo integran sin modificar el resultado. Pero, en cambio, será ABC
BAC
→
A (B×C)
B (A×C)
[1.52]
de modo que cuando la permutación entre los vectores que integran el producto mixto no es circular el resultado cambia de signo. Por otra parte, de la expresión [1.51] se deduce que A (B × C)
[1.53]
(A × B) C
de modo que podemos intercambiar el punto ( ) y el aspa (×). Una importante propiedad geométrica del producto mixto es que representa el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores A, B y C. En efecto (Figura 1.18) ABC
A (B × C )
AS
A S cos θ
(A cos θ) S
= hs = volumen del paralelepípedo En particular, para el paralelepípedo definido por los versores cartesianos i, j, k, tenemos {i j k} = 1 (triedro directo) en tanto que para el definido por los versores cartesianos -i, -j, -k, se tiene {(-i)(-j)(-k)} = -1
(triedro inverso)
Una consecuencia inmediata de la interpretación geométrica del producto mixto es la condición de coplanaridad (dependencia
Figura 1.18
[1.54]
32
Lec. 1.- Álgebra vectorial.
lineal) de tres vectores del espacio, expresada por [1.55]
0
ABC
§1.11. Doble producto vectorial.- Llamamos doble producto vectorial de tres vectores a la expresión A × (B × C) y es un vector contenido en el plano definido por los vectores B y C, ya que se puede demostrar que se verifica
A × (B × C )
B (A C )
C (A B )
[1.56]
Evidentemente, el producto vectorial no tienen la propiedad asociativa, ya que (A × B ) × C
B (A C)
A (B C )
[1.57]
es un vector contenido en el plano definido por los vectores A y B, por lo que, en general, será A × (B × C ) ≠ (A × B ) × C
[1.58]
resultando fundamental la colocación de los paréntesis. §1.12. Definición axiomática del vector.- Anteriormente hemos definido un vector como una magnitud caracterizada por su módulo, su dirección y su sentido y que tiene la propiedad de sumarse con otras de su misma naturaleza según la regla del paralelogramo. Esta última precisión es importante ya que, como veremos más adelante, no todas las magnitudes dotadas de módulo, dirección y sentido son necesariamente vectoriales, puesto que dichas magnitudes deben satisfacer, además, las reglas del álgebra vectorial. Estas reglas son las correspondientes a la estructura algebraica, llamada espacio vectorial, que definiremos a continuación. Sea un grupo abeliano G, es decir un conjunto entre cuyos elementos A, B, ... se ha definido una operación, que llamaremos suma vectorial y representaremos por el signo +, que cumpla las leyes siguientes: (1) Existe un elemento neutro, 0 ∈ G, tal que para ∀ A ∈ G se verifica
0
A
A
[1.59]
0
(2) Para ∀ A ∈ G existe un único elemento, que designaremos por -A ∈ G y llamaremos opuesto de A, tal que A
( A)
[1.60]
0
(3) Para tres elementos cualesquiera A,B,C ∈ G es válida la ley asociativa; i.e., A
(B
C)
(A
B)
C
[1.61]
(4) Para dos elementos cualesquiera A,B ∈ G es válida la ley conmutativa; i.e., A
B
B
A
[1.62]
Consideremos ahora un conjunto F dotado de estructura de cuerpo. Definamos una
§1.12.- Definición axiomática del vector.
33
operación, que llamaremos producto, entre los elementos m,n,o,p ∈ F y los elementos A,B,C, ∈ G, de modo que (m,A) → mA sea un elemento que pertenezca al grupo abeliano G, y que dicha operación cumpla con las siguientes leyes: (5) Ley distributiva respecto a la suma de elementos del cuerpo F; esto es, (m
n) A
mA
nA
[1.63]
(6) Ley distributiva respecto a la suma de elementos del grupo G; esto es, m (A
B)
mA
mB
[1.64]
(7) Para ∀ A ∈ G, existe un elemento único del cuerpo F, que representaremos por 1 y llamaremos elemento unidad, tal que 1A
A
[1.65]
(8) Ley asociativa respecto al producto de elementos del cuerpo F, esto es (m n) A
m (n A)
[1.66]
Decimos entonces que el conjunto de los elementos A,B,C, ∈ G tiene una estructura de espacio vectorial y dichos elementos son los vectores de ese espacio. Estos elementos no son necesariamente entes que puedan ser representados por segmentos orientados. Así, por ejemplo, el conjunto de las matrices cuadradas de segundo orden sobre el cuerpo de los números reales tiene una estructura de espacio vectorial; pero sus elementos no son representables por segmentos orientados. La importancia de esta definición axiomática es que amplía la idea geométrica de vector. Cualquier conjunto de elementos entre los cuales puedan definirse las operaciones anteriores con las propiedades [1.59][1.66] será un espacio vectorial y sus elementos podrán considerarse como vectores. Sin embargo, es conveniente que tengamos bien claro que el concepto de vector que vamos a manejar en la Física es más Figura 1.19 restringido que el definido
34
Lec. 1.- Álgebra vectorial.
en el Álgebra, pues no sólo debe satisfacer las leyes algebraicas sino que también debe estar caracterizado por tener módulo, dirección y sentido. Pero también debemos tener muy en cuenta que no todas las magnitudes físicas que tienen módulo, dirección y sentido serán necesariamente magnitudes vectoriales. Así, por ejemplo, la rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo en el espacio tiene módulo (el ángulo de rotación), dirección (la del eje) y sentido. Pero dos rotaciones como éstas no se combinan de acuerdo con las leyes de la suma vectorial, a no ser que los ángulos de rotación sean infinitesimales. Esto se comprueba fácilmente si los dos ejes son perpendiculares entre sí y las rotaciones son de 90° (Figura 1.19a). Evidentemente estas rotaciones no cumplen la ley conmutativa de la suma vectorial. Así, a pesar del hecho de que las rotaciones finitas tienen módulo, dirección y sentido, estas rotaciones no tienen carácter vectorial. Pero si en lugar de rotaciones de 90° realizamos rotaciones angulares menores (de 45° en la Figura 1.19b y de 20° en la Figura 1.19c) los resultados de combinar estas rotaciones en distinto orden, aunque siguen siendo distintos, presentan menos diferencia. Si los desplazamientos angulares se hacen infinitesimales, el orden de adición ya no afecta al resultado; por lo que las rotaciones infinitesimales admiten una representación vectorial.
§1.13. Cambio de base vectorial.- Consideremos un vector A expresado en un sistema de coordenadas cartesianas (x,y,z); i.e.,
A
⎛A ⎞ ⎜ x ⎟ ⎜ Ay ⎟ ⎜A ⎟ ⎝ z ⎠i j k
⎛ Ai ⎞ ⎜ Aj ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ A k ⎠i j k
[1.67]
ya que, por ser (Ax, Ay, Az) las proyecciones de dicho vector sobre los correspondientes ejes coordenados (i.e., las componentes del vector en la base vectorial (i, j, k) asociada al sistema de coordenadas), es Ax = A i, Ay = A j y Az = A k. Ahora, supongamos que dejamos invariable la dirección del vector A y que giramos el sistema de ejes coordenados alrededor del origen del mismo, de modo que tendremos un nuevo triedro ortogonal de ejes (x′, y′, z′), con una base vectorial asociada definida por los versores (i′, j′, k′). En esta nueva base vectorial las componentes del vector A serán (Ax′, Ay′, Az′); i.e.,
Figura 1.20
A
⎛A ⎞ ⎜ x ⎟ ⎜ Ay ⎟ ⎜A ⎟ ⎝ z ⎠i j k
⎛ Ai ⎞ ⎜ Aj ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ A k ⎠i j k
Las nuevas componentes (Ax′, Ay′, Az′) están relacionadas con las antiguas por
[1.68]
35
§1.13.- Cambio de base vectorial.
⎧ ⎪ Ax ⎪ ⎨ Ay ⎪ ⎪ A ⎩ z
Ai
Ax i i
Ay j i
Az k i
Aj
Ax i j
Ay j j
Az k j
Ak
Ax i k
Ay j k
Az k k
[1.69]
y llamando sij′ al coseno del ángulo determinado por los versores i y j′, i.e., al producto escalar i j′, tenemos la transformación lineal ⎛A ⎞ ⎜ x ⎟ ⎜A ⎟ ⎜ y ⎟ ⎜A ⎟ ⎝ z ⎠i j k o bien
A
⎛ s s s ⎜ ii ji ki ⎜ s s s ⎜ ij jj kj ⎜s s s ⎝ ik jk kk S
ijk
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
A
⎛A ⎞ ⎜ x ⎟ ⎜A ⎟ ⎜ y ⎟ ⎜A ⎟ ⎝ z ⎠i j k ijk
[1.70]
[1.71]
donde S es la matriz de transformación para el cambio de base vectorial. Observamos que los elementos de cada una de las filas de la matriz de transformación representan las componentes de cada uno de los versores nuevos (i′,j′,k′) en la base vectorial original definida por los versores (i,j,k). Obviamente, la transformación inversa, i.e., la obtención de las componentes (Ax, Ay, Az) a partir de las (Ax′, Ay′, Az′), se efectuará mediante la matriz de transformación inversa S-1 , que coincide con la traspuesta ST , por representar S una transformación ortonormal. Esto es ⎛A ⎞ ⎜ x ⎟ ⎜A ⎟ ⎜ y ⎟ ⎜A ⎟ ⎝ z ⎠ijk o bien
⎛ s s s ⎜ ii ji ki ⎜ s s s ⎜ ij jj kj ⎜s s s ⎝ ik jk kk A
ijk
S
1
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ A
⎛ ⎞ ⎜ Ax ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ Ay ⎟ ⎜ ⎟ ⎜A ⎟ z ⎝ ⎠i j k ijk
[1.72]
[1.73]
donde observaremos de nuevo que los elementos de cada una de las filas de la matriz de transformación S-1 representan las componentes de cada uno de los versores nuevos (i,j,k) en la base vectorial original definida por los versores (i′,j′,k′).
Ejemplo III.- Obtener las transformaciones de las componentes de un vector para el cambio de base consistente en una rotación de magnitud θ alrededor del eje z. En el caso simple en el que el giro tenga magnitud θ alrededor del eje z (Figura 1.21), tendremos la transformación ⎛A ⎞ ⎜ x⎟ ⎜Ay ⎟ ⎜A ⎟ ⎝ z⎠
⎛ cos θ sen θ 0⎞⎛⎜Ax⎞⎟ ⎜ sen θ cos θ 0⎟⎜A ⎟ ⎟ y ⎜ 0 1⎠⎜Az⎟ ⎝ 0 ⎝ ⎠
[1.74]
36
Lec. 1.- Álgebra vectorial.
y para la transformación inversa ⎛A ⎞ ⎜ x⎟ ⎜Ay⎟ ⎜A ⎟ ⎝ z⎠
⎛cos θ ⎜sen θ ⎜ ⎝ 0
⎛ ⎞ sen θ 0⎞⎜Ax ⎟ ⎟ cos θ 0⎟⎜Ay ⎟ 0 1⎠⎜Az ⎟ ⎝ ⎠
[1.75]
La longitud o módulo del vector A debe ser independiente de la orientación de la base vectorial, de modo que deberá ser
Figura 1.21
2
Ax
2
Ay
2
Az
2
Ax
2
Ay
2
Az
[1.76]
siendo este nuestro primer ejemplo de una forma invariante. La expresión del módulo de un vector es la misma en todos los sistemas de coordenadas cartesianas obtenidos por rotación de los ejes. Como consecuencia de su definición geométrica como proyección, el producto escalar de dos vectores AB
Ax Bx
Ay By
Az Bz
Ax Bx
Ay By
Az Bz
[1.77]
es un segundo ejemplo de forma invariante ante las rotaciones de la base vectorial de referencia. También, en virtud de su definición geométrica, el producto vectorial de dos vectores proporciona una tercera forma invariante ante las rotaciones de la base vectorial de referencia; esto es,
A × B
⎡ ⎤ ⎢ i j k ⎥ ⎢A A A ⎥ ⎢ x y z ⎥ ⎢B B B ⎥ ⎣ x y z ⎦
⎡ ⎤ ⎢ i j k ⎥ ⎢A A A ⎥ ⎢ x y z ⎥ ⎢B B B ⎥ ⎣ x y z ⎦
[1.78]
Vemos, pues, que los vectores y las operaciones definidas entre ellos tienen un significado intrínseco, i.e., independiente del sistema de coordenadas utilizado. Este carácter intrínseco resulta evidente cuando los vectores se definen geométricamente, pero deja de serlo cuando se definen analíticamente a partir de sus componentes. Las componentes de un vector se transforman de un modo simple cuando giramos la base vectorial en la que están expresadas. Por lo tanto, no son tres números cualesquiera los que definen un vector, sino tres números que se transforman en las rotaciones de la base vectorial de referencia de acuerdo con la relación [1.70]. Así, para verificar si una magnitud es vectorial deberemos ver como se transforman sus componentes cuando giramos la base vectorial de referencia; si la ley de transformación es la expresada por [1.70], la magnitud representada por el conjunto de componentes (Ax,Ay,Az) es un vector. Un vector es una entidad física independiente de la orientación del sistema de ejes, aunque sus componentes variarán al cambiar la base vectorial en la que se expresan; i.e., un vector es un objeto descrito en forma diferente en sistemas de coordenadas distintos. Supongamos que tenemos dos vectores iguales: F y ma. Una ecuación del tipo F = ma es correcta cualquiera que sea el sistema de coordenadas utilizado para especificar las
37
§1.13.- Cambio de base vectorial.
componentes de los vectores F y ma; la ecuación F = ma es una ecuación intrínseca. El hecho de que una relación entre fenómenos físicos pueda ser expresada como una ecuación vectorial nos asegurará que la relación seguirá siendo válida cuando se produzca una rotación del sistema de coordenadas. Esta es una razón por la cuál los vectores son importantes en la Física; su uso nos asegura la invarianza de las ecuaciones de la Física por rotaciones y, obviamente, por traslaciones del sistema de coordenadas. En efecto5, si consideramos un sistema de coordenadas xyz, en el cual el vector MN tendrá las componentes (xN-xM, yN-yM, zN-zM), siendo (xM, xM, xM) y (xN, yN, zN) las coordenadas de los puntos origen (M) y extremo (N) del vector, y hacemos una traslación de los ejes coordenados, las coordenadas (x′M, y′M, z′M) y (x′N, y′N, z′N) de los puntos M y N respecto a los nuevos ejes son distintas; pero ⎧ ⎪ Ax ⎪ ⎨ Ay ⎪ ⎪ A ⎩ z
xN
xM
xN
xM
Ax
yN
yM
yN
yM
Ay
zN
zM
zN
zM
Az
[1.79]
esto es, las componentes de un vector son invariantes ante las traslaciones de los ejes coordenados. Es decir, los tres números que definen un vector en el espacio no cambian al trasladar los ejes de coordenadas.
Figura 1.22
La definición de vector del Álgebra sólo atiende al aspecto estructural y no se interesa a priori por los sistemas de referencia y sus cambios. Hemos visto también que la definición del vector como "una magnitud con módulo, dirección y sentido" resulta incompleta. Entonces; ¿qué es un vector en la Física? Diremos que una magnitud física es vectorial si, además de satisfacer la definición del Álgebra ([1.59]-[1.66]): (1) posee módulo, dirección y sentido, (2) es representable mediante un segmento orientado, (3) se suma con otras de la misma categoría de acuerdo con la regla del paralelogramo, (4) puede expresarse mediante tres números (componentes) que: (a) son invariantes frente a las traslaciones de los ejes coordenados, (b) frente a las rotaciones de los ejes coordenados se transforman según la relación [1.70]. §1.14. Vector de posición. Sistemas de referencia.- Frecuentemente
necesitaremos definir la posición de un punto del espacio respecto a un sistema de ejes coordenados. Podemos conseguir esto dando las coordenadas cartesianas (x,y,z) del punto o bien definiendo el vector de posición de dicho punto respecto al origen O del sistema de coordenadas (Figura 1.23). Dicho vector de posición se define como el vector que tiene como origen el punto O y como extremo el punto P, o sea el En realidad, la demostración que sigue es superflua, ya que los dos sistemas de ejes coordenados comparten una misma base vectorial, puesto que ésta queda completamente definida por la orientación de los ejes coordenados y no por el origen del sistema de ejes considerado. 5
38
Lec. 1.- Álgebra vectorial.
vector aplicado en el punto O que tiene como componentes las coordenadas x, y, z, del punto P. Escribiremos r
Figura 1.23
OP
xi
yj
zk
⎛x ⎞ ⎜y ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ z ⎠i j k
[1.80]
En general, un sistema de referencia queda definido por un origen y una base vectorial asociada. Si la base vectorial es ortogonal (i.e., si los tres versores que la definen son perpendiculares entre sí), el sistema de referencia también es ortogonal. Merece particular atención considerar el vector de posición cuando cambia por traslación el sistema de referencia, pues entonces cambia el vector de posición del punto P. Entre los vectores de posición del punto P respecto a los sistemas de referencia de origen en O y en O′ existe la relación r
Figura 1.24
OO
r
y, consecuentemente, las componentes del vector de posición no son invariantes en las traslaciones del sistema de referencia.
Problemas 1.1.- Decir cuáles son las propiedades de los vectores A y B, tales que: a) A + B = A - B; b) A + B = C y A + B = C; c) A + B = C y A2 + B2 = C2; d) A + B = A - B .
1.5.- Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se bisecan, y que sólo son perpendiculares entre sí cuando el paralelogramo es un rombo.
1.2.- Dados cuatro puntos A, B, C y D en el espacio, demostrar que los puntos medios de los segmentos AB, BC, CD, y DA son los vértices de un paralelogramo.
1.6.- Demostrar que si A ⊥ (B - C) y B ⊥ (C - A), entonces es C ⊥ (A - B).
1.3.- Un vector forma ángulos iguales con cada uno de los ejes coordenados. Expresar dicho vector en función de sus componentes cartesianas. 1.4.- Determinar la ecuación de la bisectriz del ángulo formado por los vectores concurrentes A y B.
1.7.- Demostrar vectorialmente las relaciones trigonométricas para el seno y el coseno de la suma de dos ángulos. 1.8.- Descomponer el vector A = 3i + 5j + 4k en las direcciones de los vectores u(1,1,0), v(1,0,1), w(0,1,1). 1.9.- Descomponer el vector A = 5i + 10j + 7k en las direcciones del vector unitario e = 0.8,i + 0.6j y del normal al vector e.
39
Problemas
1.10.- a) Demostrar que los tres vectores: A = 51i + 42j - 26k B = 18i + 19j + 66k C = 46i - 54j + 3k son perpendiculares entre sí y que forman un triedro directo. b) Establecer una base vectorial ortogonal y positiva que tenga las mismas direcciones que los vectores anteriores. 1.11.- Hacer uso del cálculo vectorial para demostrar que todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto. 1.12.- Dados los vectores A = 3i + 4j + k y B = i + 2j + 5k, calcular: a) sus módulos; b) su suma; c) su producto escalar; d) el ángulo formado entre ambos; e) la proyección del vector A sobre el B; f) su producto vectorial; g) el versor perpendicular a A y a B. 1.13.- Diagonales interiores del cubo. Calcular el ángulo formado por dos diagonales interiores de un cubo. 1.14.- Dados los tres vectores: A = 2i - j + 3k B = xi + 2j + zk C = i + yj + 2k determinar x, y, z, para que los tres vectores sean mutuamente perpendiculares. 1.15.- Expresar el vector A = 2i + j - 3k como combinación lineal de los vectores u = i + j, v = j + k y w = i + k. 1.16.- Ecuaciones vectoriales. Dado el sistema de ecuaciones vectoriales: a + b = 3i - 2j + 5k a - b = i + 6j + 3k determinar a y b. 1.17.- Hallar la forma general del vector X que satisface la relación A X = c. 1.18.- Hallar la forma general del vector X que satisface la relación A × X = C. 1.19.- Hallar el vector X que satisface simultáneamente las relaciones A X = c y A × X = C. 1.20.- Demostrar las relaciones siguientes: a) (A + B) (A - B) = A2 - B2
b) (A + B) × (A - B) = 2B × A Si A y B representan los lados de un paralelogramo, ¿cuál es la interpretación geométrica de esas identidades? 1.21.- Área del triángulo. Calcular el área del triángulo determinado por los puntos A(3,0,0), B(0,2,0) y C(0,0,4). 1.22.- Ec. de la recta I. Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2,4,5) y B(3,6,4). 1.23.- Ec. de la recta II. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,5,3) y es paralela al vector u = 2i + j + 3k. 1.24.- Distancia entre punto y recta. Calcular la distancia del punto P(1,1,0) a la recta que pasa por los puntos A(2,3,7) y B(1,4,3). 1.25.- a) Calcular el producto vectorial OP × A, siendo P un punto cualquiera de la recta x 2
y 1 1
z 2 3
y sabiendo que A tiene la misma dirección que la recta, que su módulo es igual a 2 y que su componente en la dirección del eje z es negativa. b) Demostrar que OP×A es invariante al considerar diferentes puntos P sobre la recta dada. 1.26.- Ec. del plano I. Determinar la ecuación del plano determinado por los puntos A(2,3,-1), B(3,5,1) y C(1,-2,3). 1.27.- Ec. del plano II. Determinar la ecuación del plano que pasa por el punto P(2,5,3) y es normal al vector N = i + 2j + 3k. 1.28.- Intersección de dos planos. Dada la recta definida por la intersección de dos planos, de ecuaciones 2x - y - z - 5 = 0 y 2x + 9y + 6z + 5 = 0, expresar dicha recta en forma cartesiana; esto es, determinar un vector director de la recta y un punto de la misma. 1.29.- Ec. del plano III. Encontrar la ecuación del plano determinado por la recta [2x + y - z + 3 = 0; x - 3y + z + 1 = 0] y el punto (1,2,3). 1.30.- Distancia de un punto a un plano. Calcular la distancia del punto P(1,1,0) al plano determinado por los puntos A(1,3,2), B(4,1,0) y C(-2,3,1). 1.31.- Distancia entre dos rectas. Determinar la distancia más corta entre dos rectas que
40
Lec. 1.- Álgebra vectorial.
pasan, respectivamente, por los puntos [A(2,-4,3); B(1,2,-1)] y [C(0,3,4); D(1,2,4)]. 1.32.- Si representamos por los vectores S1, S2, S3, S4 cada una de las caras de un tetraedro, de modo que cada uno de dichos vectores sea normal a la cara respectiva y su módulo sea el área de dicha cara, demostrar que S1 + S2 + S3 + S4 = 0. 1.33.- Proyección de una superficie. Determinar la proyección de la superficie representada por el vector S = 3i + 2j + k sobre el plano normal a la dirección del vector N = i + j + k. 1.34.- Volumen definido por tres vectores. a) Calcular el volumen del paralelepípedo definido por los vectores: A = 3i B = 2i + 3j C = i + 2j + 3k b) Ídem por los vectores -A, B y C. Interpretar el signo negativo en el resultado. 1.35.- Doble producto vectorial. a) Demostrar la expresión [1.56] del doble producto vectorial, utilizando los vectores: A = Ax i B = Bx i + By j C = Cx i + Cy j + Cz k b) Demostrar que el doble producto vectorial no posee la propiedad asociativa. 1.36.- Efectuar el doble producto vectorial A×(B×C), siendo A, B y C los vectores dados en la primera parte del Problema 1.34. 1.37.- Consideremos el vector A y la dirección definida por el vector B. Descompongamos el vector A en dos: uno paralelo y otro perpendicular a la dirección del vector B. Demostrar que los vectores componentes de A son (A B/B)eB y (B×(A×B)/B2. 1.38.- Sean P, Q y R tres puntos no alineados y O cualquier punto del espacio. Demostrar que el vector OP×OQ + OQ×OR + OR×OP es perpendicular al plano definido por los puntos P, Q y R 1.39.- Cambio de base I. Dado el vector A = 3i + 2j + 4k, expresarlo en función de los vectores unitarios e1 = j, e2 = k, e3 = i.
1.40.- Cambio de base II. a) Encontrar las componentes del vector A = 2i + 3j + 4k en un sistema de ejes coordenados x′y′z′ obtenido por rotación del sistema de ejes xyz un ángulo de 30° alrededor del eje z, en el sentido positivo. b) Encontrar las componentes del vector A′ obtenido por rotación del vector A, dado anteriormente, un ángulo de 30° alrededor del eje z, en el sentido positivo. 1.41.- Dada la ecuación de la elipse, referida a sus ejes principales, x2 A2
y2 B2
1
obtener la expresión de dicha elipse cuando su eje mayor forma un ángulo θ con el eje x. 1.42.- Comprobar que el par de funciones definidas por f1 = 0, f2 = x2 + y2 , cualquiera que sea el sistema de coordenadas usado en el plano, no son las componentes de un vector.
2.- Vectores deslizantes. §2.1. Momento de un vector respecto a un punto (41); §2.2. Momento de un vector respecto a un eje (42); §2.3. Sistemas de vectores deslizantes (43); §2.4. Invariantes del sistema (44); §2.5. Par de vectores (45); §2.6. Eje central (46); §2.7. Centro de un sistema de vectores paralelos (47); §2.8. Sistemas de vectores equivalentes (49); §2.9. Reducción de sistemas (50); §2.10. Virial de un vector (54); §2.11. Virial de un sistema de vectores (55); §2.12. Plano central (56); §2.13. Punto central (56); Problemas (57)
Hemos visto en la lección anterior como la definición de igualdad (equipolencia) entre vectores nos permite clasificarlos en dos categorías: la de los vectores libres y la de los vectores deslizantes. En la lección anterior hemos establecido las reglas del Álgebra Vectorial bajo el supuesto de que nos referíamos a los vectores libres. Así, cuando se definía la suma vectorial, no teníamos inconveniente alguno en desplazar los vectores de modo que tuviesen un punto de origen común. Esta operación, obviamente, no la podemos realizar con los vectores deslizantes, a menos que sus rectas de acción concurran en un mismo punto. Así pues, debemos ampliar nuestras definiciones de modo que podamos dar cabida en el Álgebra Vectorial a los llamados vectores deslizantes. §2.1. Momento de un vector respecto a un punto.- Definimos el momento de un vector deslizante F con respecto a un punto O del espacio como el vector OP×F, siendo P un punto cualquiera de la recta de acción del vector F; esto es,
MO
OP × F
[2.1]
Esta definición exige que el momento de F con respecto al punto O sea independiente de la posición de F sobre su recta de acción. En efecFigura 2.1 to, imaginemos el vector F desplazado a lo largo de su recta de acción, de modo que sea P′ su punto de aplicación (Figura 2.1). La definición [2.1] significa que, llamando M′O al momento de F, aplicado en P′, con respecto al punto O es
Manuel R. Ortega Girón
41
42
Lec. 2.- Vectores deslizantes.
OP × F
MO
[2.2]
de modo que restando [2.1] y [2.2] miembro a miembro resulta MO
M
O
(OP
OP ) × F
PP × F
0
[2.3]
por ser P′P F. Por lo tanto es MO = M′O. Es obvio que el módulo del momento de un vector F con respecto a un punto O puede expresarse por MO
[2.4]
Fb
donde b es la distancia del punto O a la recta de acción del vector. Dicha distancia recibe el nombre de brazo del vector deslizante con respecto al punto O. Por otra parte, de la propiedad geométrica del producto vectorial, por la que representa el área del paralelogramo determinado por los dos vectores, se sigue una propiedad geométrica análoga para el momento de un vector, que queda representado por el doble del área de los triángulos sombreados en la Figura 2.1 y en la Figura 2.2 Figura 2.2 El momento de un vector, aunque es independiente de su punto de aplicación sobre su propia recta de acción, depende del punto con respecto al cuál se toma. Esto es, si en lugar de tomarlo con respecto al punto O lo tomamos con respecto a otro punto O′ (Figura 2.2), en general, será MO′≠MO. En efecto MO′
OP × F
(O O
OP) × F
MO
OO × F
[2.5]
de modo que MO′ sólo es igual a MO cuando O′O × F = 0, lo que ocurre cuando se escoge O′ sobre una recta que pasando por O sea paralela a la dirección del vector F. §2.2. Momento de un vector respecto a un eje.- Consideremos un vector deslizante F y un eje en la dirección del versor e (Figura 2.3). Definimos el momento del vector F con respecto al eje e como la proyección sobre dicho eje del momento del vector con respecto a un punto cualquiera del eje. Esto es
Meje o bien
MO e Meje
(OP × F ) e Mejee
[2.6] [2.7]
Esta definición sólo tendrá sentido si logramos demostrar que, cualquiera que sea el punto elegido sobre el eje, la proyección sobre el eje del momento del vector con respecto a dicho punto del eje es siempre la misma (invariante). En efecto, considerando otro punto del eje, O′, tenemos
43
§2.2.- Momento de un vector respecto a un eje.
Meje
[2.8]
(O P × F ) e
MO e
y restando miembro a miembro [2.6] y [2.8] resulta Meje
Meje
[(OP
[(OP × F ) (O P × F )] e
O P) × F] e
(OO × F ) e
[2.9]
0
ya que OO′ e. Por lo tanto es M′eje=Meje. El momento de un vector con respecto a un eje sólo será nulo cuando la recta de acción del vector corte al eje o cuando sea paralela a él; esto es, cuando el vector sea coplanario con el eje, puesto que entonces el momento del vector con respecto a un punto del eje será perpendicular al eje y no dará proyección sobre él. Figura 2.3
§2.3. Sistemas de vectores deslizantes.- Consideramos un
sistema de vectores deslizantes, Fi (i=1,2, ... n), aplicados respectivamente en los puntos Pi (Figura 2.4). Llamaremos resultante general de un sistema de vectores deslizantes al vector que se obtiene sumando todos los vectores del sistema como si fuesen libres. Es decir, designando por R tal resultante n
R
i 1
Fi
[2.10]
Llamaremos momento resultante general de un sistema de vectores deslizantes, con respecto a un punto dado O, al vector obtenido sumando todos los momentos individuales, de cada uno de los vectores que integran el sistema, con respecto al punto O. Es decir, designando por MO tal momento resultante, es n
MO
i 1
n
MO,i
i 1
(OP i × F i )
Figura 2.4
[2.11]
Obsérvese que la resultante R es independiente del punto elegido como polo o centro de reducción; pero no sucede lo mismo con el momento resultante MO, que varía de un punto a otro. Si elegimos otro centro de reducción, O′, tendremos
44
Lec. 2.- Vectores deslizantes.
n
MO n i 1
o sea
i 1
n
(O P i × F i) n
OP i × F i
i 1
i 1
(O O
O O × Fi
MO
MO
OP i) × F i
MO
O O×
O O×R
[2.12]
n i 1
Fi [2.13]
de modo que el momento resultante con respecto al punto O′ es igual al momento resultante con respecto al punto O más el momento de la resultante del sistema, supuesta aplicada en el punto O, con respecto al punto O′. Debemos advertir que el momento de un vector con respecto a un punto, tal como el O, es un vector aplicado en dicho punto, de modo que cuando sumamos los dos términos del segundo miembro de [2.13], el primero de ellos aplicado en O y el segundo en O′, lo deberemos hacer como si de vectores libres se tratara y luego trasladaremos el resultado al punto O′.
Si las rectas de acción de todos los vectores del sistema concurren en un punto O, entonces es obvio que MO=0 y que MO
OO × R
[2.14]
de modo que: el momento resultante de un sistema de vectores deslizantes concurrentes en un punto es igual al momento de su resultante aplicada en dicho punto de concurrencia. Este enunciado corresponde al llamado Teorema de VARIGNON (1654-1722), que puede enunciarse también en esta otra forma equivalente: El momento de la resultante de un sistema de vectores deslizantes concurrentes en un punto es igual a la suma de los momentos individuales de cada vector. §2.4. Invariantes del sistema.- Hemos visto que la resultante R de un sistema de vectores es independiente del punto elegido como centro de reducción; se dice que la resultante R es un invariante del sistema que, dado su carácter vectorial, recibe el nombre de invariante vectorial o primer invariante del sistema. Podemos encontrar un segundo invariante del sistema si multiplicamos escalarmente por R ambos miembros de la expresión [2.13]; entonces se sigue
R MO
R MO
R (O O × R)
[2.15]
pero como (O′O×R) R = 0, resulta que R MO
R MO
[2.16]
que es el segundo invariante del sistema que, dado su carácter escalar, recibe el nombre de invariante escalar. El significado de este segundo invariante se hace más evidente si lo escribimos en la forma
45
§2.4.- Invariantes del sistema.
R MO R
[2.17]
cte.
expresión que suele recibir el nombre de tercer invariante del sistema, aunque en realidad es sólo otra forma de escribir la expresión del segundo invariante. Vemos que el invariante escalar expresa la constancia de la proyección del momento resultante en la dirección de la resultante general del sistema de vectores deslizantes. §2.5. Par de vectores.- Llamamos par de vectores a todo sistema formado por dos vectores del mismo módulo y dirección (i.e., situados sobre rectas de acción paralelas entre sí), pero en sentidos opuestos. Evidentemente, la resultante de un par de vectores es nula (R = O), pero no así su momento, que goza de la propiedad de ser independiente del punto elegido como centro de reducción. Esto es, el momento resultante de un par de vectores es invariante. En efecto, sea O un punto cualquiera del espacio (Figura 2.5); entonces, tomando momentos con respecto a dicho punto, tenemos
MO
OP × F
OQ × ( F)
QP × F
[2.18]
de modo que resulta ser independiente (invariante) del punto elegido como centro de reducción. El momento de un par de vectores es un vector perpendicular al plano definido por los dos vectores y su sentido es el del avance de un tornillo que girase en el sentido indicado por los vectores, esto es, el que impone la regla de la mano derecha explicada en la lección anterior. El módulo del momento de un par de vectores es M
F QP sen θ
Fb
[2.19]
Figura 2.5
siendo b la distancia entre las rectas de acción de los vectores que forman el par; i.e., el brazo del par. Las propiedades más importantes del par de vectores son las siguientes: (1) El momento de un par es un invariante. (2) El momento de un par es un vector libre; esto es, no vinculado a ninguna recta de acción. (3) Dos pares son equivalentes si tienen el mismo momento. Esto es, al ser nula la resultante R del par, su momento lo caracteriza completamente. (4) Un par puede girarse en su plano o trasladarse paralelamente a sí mismo, sin alterar su momento.
46
Lec. 2.- Vectores deslizantes.
(5) Si un sistema de vectores está formado por varios pares, de momentos individuales Mi (i=1,2,...), el momento del par resultante es M = Mi. (6) Dos pares se equilibran si M1=-M2. §2.6. Eje central.- Hemos visto que el momento resultante general de un sistema de vectores deslizantes (en lo sucesivo lo llamaremos simplemente el momento resultante) no es un invariante del sistema, ya que depende del punto del espacio que elijamos como polo o centro de reducción. Existirán, por lo tanto, unos puntos del espacio en los que el momento del sistema presente un valor mínimo; el lugar geométrico de tales puntos (que demostraremos que es una recta) recibe el nombre de eje central del sistema. Esto es:
Llamamos eje central de un sistema de vectores deslizantes al lugar geométrico de los puntos del espacio en los que el momento resultante del sistema presenta un valor mínimo. Para determinar dicho lugar geométrico, partiremos del invariante escalar, ya que este invariante expresa la constancia de la proyección del momento resultante, cualquiera que sea el punto de reducción, sobre la dirección de la resultante R del sistema. En consecuencia, el momento será mínimo en aquellos puntos en los que sea paralelo a dicha dirección. Esto es, puesto que Figura 2.6
MR
M R cos θ
cte.
[2.20]
y como R=cte, se sigue que M será mínimo cuando cos θ sea máximo, o sea cuando el ángulo θ determinado por los vectores M y R sea nulo. Entonces, el momento en los puntos del eje central será paralelo a la resultante R del sistema, lo que nos permite dar esta otra definición del eje central: Llamamos eje central de un sistema de vectores deslizantes al lugar geométrico de los puntos del espacio en los que el momento del sistema es paralelo a la resultante R. Esta segunda definición del eje central, en todo equivalente a la primera, nos permite identificar fácilmente dicho lugar geométrico. En efecto, multiplicando vectorialmente por R ambos miembros de la ecuación [2.13] se sigue R×MO R×M O o sea
R × MO
R×M O
R×(OO ×R)
OO (R R) R × MO
[2.21]
R(OO R)
R 2 OO
mR
[2.22]
donde m=OO′ R es un parámetro escalar cuyo valor depende de la posición del
47
§2.6.- Eje central.
punto O′ respecto al punto O. Si consideramos que O′ sea un punto del eje central, i.e., O′≡E, la condición de paralelismo entre R y ME es R×ME=0, de modo que la ecuación (vectorial) del lugar geométrico buscado es R × MO
OE
λR
R2
[2.23]
donde λ es un parámetro escalar (λ=m/R2) que es simplemente un transformado del parámetro m anteriormente definido. La ecuación [2.23] lo es de una recta paralela a la dirección del vector R y que pasa por un punto definido por el vector de posición R×MO/R2. La ecuación de dicha recta puede escribirse también en la forma x x0
y y0
z z0
Rx
Ry
Rz
[2.24]
donde (x0,y0,z0) representan las coordenadas cartesianas de un punto del eje central (el R×MO/R2, por ejemplo) y donde Rx, Ry y Rz son las componentes cartesianas de la resultante R del sistema de vectores.
Otro método.- Conocido el momento resultante en el origen de coordenadas, determinamos el momento resultante en un punto genérico E mediante la expresión ME
EO × R
MO
[2.25]
Este momento resultante será función de las coordenadas (x,y,z) del punto E; i.e., ME(x,y,z). Imponemos la condición de que el punto E pertenezca al eje central, por lo que ME deberá ser paralelo a R; esta condición se expresa en la forma ME,x
ME,y
ME,z
Rx
Ry
Rz
[2.26]
que es la ecuación de la recta asociada al eje central del sistema de vectores deslizantes.
Obviamente, el módulo del momento mínimo puede calcularse proyectando el momento resultante en un punto cualquiera del espacio sobre la resultante general del sistema de vectores deslizantes; i.e., Mmín
R M R
[2.27]
y su dirección es la del vector R (i.e., la del eje central). §2.7. Centro de un sistema de vectores paralelos.- Dado un sistema de vectores paralelos entre sí, no necesariamente coplanarios, definimos el centro de tal
48
Lec. 2.- Vectores deslizantes.
sistema como el punto de intersección de todos los ejes centrales correspondientes a todas las posibles orientaciones en el espacio que pudiera presentar dicho sistema de vectores, de modo que se mantengan constantes el módulo y el punto de aplicación de cada uno de los vectores que lo integran. Sea un sistema de vectores paralelos a una cierta dirección que indicaremos mediante el versor e. Cada uno de los vectores que componen el sistema podrá expresarse en la forma Fi
[2.28]
Fi e
con Fi≠0, y, obviamente, tendremos un versor e para cada orientación del sistema en el espacio1. Supongamos que sea G el punto que buscamos, esto es el centro del sistema (Figura 2.7). Por pertenecer dicho punto al eje central del sistema deberá ser MG R. Pero, por otra parte, al estar constituido el sistema sólo por vectores paralelos entre sí (sistema de vectores concurrentes en el punto impropio), en virtud del teorema de Varignon [2.14], deberá ser MG⊥R. De modo que, para Figura 2.7 que esas dos condiciones puedan satisfacerse simultáneamente deberá ser MG=0. En consecuencia podemos enunciar: El centro de un sistema de vectores paralelos es un punto tal que el momento del sistema con respecto a él es nulo. Para cualquiera de las orientaciones del sistema, tomando momentos con respecto al punto O (origen de un sistema de ejes coordenados) tenemos MO
i
OP i × F i
OP i × Fi e
i
( i
OP i Fi ) × e
[2.29]
y tomando momentos con respecto al punto G resulta MG
MO
OG × R [ i
(
(Fi OP i)
i
OP i Fi ) × e OG i
Fi ] × e
OG × ( 0
i
Fi )e
[2.30]
y como esta ecuación deberá satisfacerse para cualquier orientación del sistema de vectores, o sea para cualquier e, nos queda
Obsérvese que Fi puede ser positivo o negativo, según que el sentido del vector Fi sea coincidente u opuesto al del versor e. Así, estrictamente, Fi no es el módulo del vector Fi, ya que éste es esencialmente positivo. 1
49
§2.7.- Centro de un sistema de vectores paralelos.
OG
Fi OP i
i
i
[2.31]
Fi
que nos determina la posición del centro buscado. En coordenadas cartesianas, siendo (xi, yi, zi) el punto de aplicación del vector Fi, la ecuación [2.31] da lugar a tres ecuaciones escalares Fi xi
i
xG
i
yG
Fi
Fi yi
i
i
zG
Fi
Fi zi
i
i
[2.32]
Fi
que, como veremos en una lección posterior, son las mismas expresiones que definen la posición del centro de gravedad de un cuerpo en un campo gravitatorio uniforme. §2.8. Sistemas de vectores equivalentes.- Decimos que dos sistemas de vectores son equivalentes cuando tienen la misma resultante R y el mismo momento resultante MO con respecto a un punto cualquiera del espacio. Para que la definición anterior tenga sentido, deberemos demostrar que si dos sistemas de vectores deslizantes tienen la misma resultante y el mismo momento resultante con respecto a un cierto punto del espacio, también lo tendrán con respecto a cualquier otro punto. En efecto, dados dos sistemas de vectores, el Vi (i=1, 2, ... m) con puntos de aplicación Ai y el Wj (j=1, 2, ... n) con puntos de aplicación Bj, y suponemos que ambos sistemas tengan la misma resultante y el mismo momento resultante con respecto al punto O; es decir, m
MV
i 1
n
OA i × V i
j 1
OB j × W j
[2.33]
MW
entonces, para otro centro de reducción, O′, será MV
MV
O O × RV
y
MW
MW
O O × RW
[2.34]
y como por hipótesis es MV=MW y RV=RW será también M′V=M′W. De acuerdo con la definición de equivalencia entre dos sistemas de vectores deslizantes, tenemos: (a) Un sistema de vectores concurrentes en un punto es equivalente a un vector único (i.e., la resultante R del sistema), cuya recta de acción pasa por dicho punto de concurrencia. (b) Un sistema de vectores cuya resultante R sea nula, no siéndolo el momento resultante M, es equivalente a un par de vectores que tenga el mismo momento. Diversas operaciones nos permiten transformar un sistema de vectores en otro que le sea equivalente. Las operaciones elementales que consiguen ese objetivo son: (1) La incorporación al sistema de vectores de dos vectores de igual módulo
50
Lec. 2.- Vectores deslizantes.
y recta de acción común, pero de sentidos opuestos. (2) La supresión de dos vectores en las mismas condiciones anteriores. (3) La sustitución de dos vectores concurrentes en un punto por su suma efectuada y situada sobre una recta de acción que pase por el punto de concurrencia. (4) La sustitución de un vector por otros dos en las mismas condiciones anteriores. (5) Y, naturalmente, la traslación de un vector a lo largo de su recta de acción. §2.9. Reducción de sistemas.- Reducir un sistema de vectores es sustituirlo por otro sistema de vectores más sencillo que le sea equivalente. La reducción de un sistema de vectores puede llevarse a cabo mediante las operaciones elementales enumeradas anteriormente. Para la reducción de un sistema de vectores resulta sumamente interesante la consideración de los siguientes teoremas:
TEOREMA I.- Todo sistema de vectores deslizantes puede reducirse a un vector único cuya recta de acción pasa por un punto arbitrario más un par cuyo momento sea el momento resultante del sistema con respecto a dicho punto. Esto es, elegido un cierto punto O como centro de reducción, el sistema es equivalente al formado por la resultante general R aplicada en O y a un par, constituido por los vectores F y -F, que podemos elegir arbitrariamente con tal de que el momento del par sea igual al momento resultante general del sistema dado con respecto al centro de reducción O. Podemos conseguir una reducción de esa forma sin más que aplicar en el centro de reducción O elegido un vector igual a cada uno de los Fi (i=1, 2, ... n) y otro, -Fi, igual y opuesto Figura 2.8. Los vectores Fi aplicados en el punto O dan (sumados) la resultante R del sistema total así constituido, en tanto que los vectores -Fi se agrupan por parejas con los dados inicialmente para formar n pares de vectores que, una vez sumados nos dan el momento resultante MO, esto es, el momento del par resultante (F, -F).
Figura 2.8
Figura 2.9
TEOREMA II.- Todo sistema de vectores deslizantes puede reducirse a sólo dos vectores, para uno de los cuales podemos elegir la recta de acción.
§2.9.- Reducción de sistemas.
51
En efecto, puesto que un par de momento M está compuesto por dos vectores, uno de los cuales puede tener la recta de acción que se desee, uno de ellos puede ser elegido de modo que esté aplicado en el punto O (centro de reducción arbitrario) del caso precedente, de modo que podrá sumarse a la resultante general R aplicada en O (Figura 2.9). En consecuencia, nos quedará, además de esa suma, el otro vector que formaba parte del par de momento M; esto es, dos vectores en total.
TEOREMA III.- Reducción canónica2. Todo sistema de vectores deslizantes cuyo invariante escalar sea distinto de cero, puede reducirse a un vector único y a un par cuyo momento sea paralelo a dicho vector único. Tal reducción se llama canónica. En efecto, si tomamos el centro de reducción sobre el eje central del sistema de vectores, la resultante y el momento resultante del sistema serán paralelos entre sí, como se muestra en la Figura 2.10. El sistema así constituido, equivalente al dado, se llama torsor y el eje del par (i.e., el eje central del sistema) recibe el nombre de flecha del torsor.
Evidentemente la condición necesaria y suficiente para que la reducción canónica sea posible (i.e. que el sistema pueda reducirse en un par de momento Mmín paralelo a la resultante R) es que el invariante escalar no Figura 2.10 sea nulo, o sea R M≠0, pues así ni R ni M son nulos ni perpendiculares entre sí. Cuando el invariante escalar del sistema de vectores es nulo, es decir M R=0, siendo M el momento en un punto cualquiera, se pueden presentar los casos siguientes: (a) Si R=0 y M=0, esta situación se presentará para cualquier centro de reducción y el sistema es equivalente a cero (sistema nulo). (b) Si R=0 y M≠0, el sistema se reduce a un par de vectores de momento M cualquiera que sea el centro de reducción. (c) Si R≠0 y M=0, el sistema se reduce a un vector único cuya recta de acción pasa por ese centro de reducción. Esta situación se presenta tanto si los vectores son concurrentes (sean coplanarias o no) (Figura 2.11), como si los vectores que constituyen el sistema son paralelos entre sí (punto de concurrencia impropio) (Figura 2.12). En todo caso, en los puntos que no pertenecen a la recta de acción de la resultante R (eje central del sistema) aparecerá un cierto momento M≠0, pero dicho momento será siempre perpendicular a la resultante R, ya que dicho momento será igual al momento de la resultante en esos puntos (teorema de VARIGNON). (d) Si R≠0 y M≠0 pero es R M=0, deberá ser M⊥R cualquiera que sea el
En la Física, el adjetivo canónico significa adaptado o ajustado lo mejor posible. El concepto se aplica a las magnitudes, fórmulas y procedimientos que sirven para describir los fenómenos físicos. 2
52
Lec. 2.- Vectores deslizantes.
centro de reducción. Como caso particular, si el centro de reducción se toma sobre el eje central del sistema de vectores, deberá ser Mmín R, de modo que para que puedan satisfacerse simultáneamente las dos condiciones anteriores (perpendicularidad y paralelismo entre M y R) y al ser R≠0 e invariante, deberá ser Mmín=0, reduciéndose el sistema a un vector único (la resultante R del sistema) dirigido a lo largo del eje central.
Figura 2.11
Figura 2.12
Ejemplo I.- Dado el sistema de vectores deslizantes: a = i + 2j + 3k aplicado en A(1,2,3) b=i-j+k aplicado en B(-1,0,1) c = -i + 2j - 2k aplicado en C(2,0,-1) hallar: a) su resultante; b) su momento resultante respecto al origen de coordenadas; c) el módulo y componentes del momento mínimo del sistema; d) la ecuación del eje central; e) el torsor del sistema. a) La resultante es R = a + b + c = i + 3j + 2k y su módulo vale R 1 b) El momento resultante es MO = MO(a) + MO(b) + MO(c), o sea
MO
⎛1 ⎞ ⎛1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 2 ⎟×⎜ 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎝3 ⎠ ⎝3
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎟×⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 1
⎛0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 ⎠
⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝1 ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜5 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝4 ⎠
⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎟×⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 2
12 32 22
14 .
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜7 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝5 ⎠
c) El invariante escalar es R MO= 3 + 21 + 10 = 34, de modo que el momento mínimo vale Mmín en la dirección de R, por lo que será:
R MO
34
R
14
17 7
14
53
§2.9.- Reducción de sistemas.
17 14 ⎛ R ⎞ ⎜ ⎟ 7 ⎝R⎠
Mmín
R2
⎛1 ⎞ 17 ⎜⎜ ⎟⎟ 3 7 ⎜2 ⎟ ⎝ ⎠
1
⎛1 ⎞ ⎛3 ⎞ 1 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ 3 × 7 14 ⎜ 2 ⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
R×M O
d) El punto
⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜3 ⎟ 14 ⎜⎝ 2 ⎟⎠
17 14 7
⎛ 1 ⎞ ⎟ 1 ⎜⎜ 1 ⎟ 14 ⎜ 2 ⎟ ⎠ ⎝
pertenece al eje central, por lo que la ecuaciones cartesianas de éste serán 14x 1 1
14y 1 3
14z 2 2
Otro método: Calculamos el momento resultante en un punto genérico E(x,y,z) perteneciente al eje central
ME
MO
⎛1 ⎞ ⎛x ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟×⎜ y ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2 ⎠ ⎝ z ⎠
⎛3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜7 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝5 ⎠
EO × R
⎛ 3z 2y 3 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 2x z 7 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ y 3x 5 ⎠
de modo que la ecuación de la recta asociada al mismo será 3z
e) El torsor del sistema es
2y 1
3
2x
R ; Mmín
7
z 3
(1,3,2) ;
3x 2
y
17 7
5
(1,3,2)
Ejemplo II.- La resultante de un sistema de vectores deslizantes es R = 2i - 3j + k y su momento resultante con respecto al punto P(1,-1,2) vale MP = i + 2j - k. Determinar el eje central del sistema. Podemos evaluar el momento resultante en el origen de coordenadas O(0,0,0); esto es,
MO
⎛ 1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 1 ⎠
OP×R
MP
⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ 1 ⎟ × ⎜ 3 ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 1
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ 6 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 5 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 2 ⎠
de modo que la ec. vectorial (ec. paramétricas) del eje central será
OE
R × MO R2
o bien, en forma continua
λR
⎛ 2 ⎞ ⎛ 6 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎜⎜ 3 ⎟ × ⎜ 5 ⎟ 14 ⎜ 1 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 1
x
14
2
⎛ 2 ⎞ ⎟ ⎜ λ ⎜ 3 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 1 ⎠
5
y
7
3
⎛ 1/14 ⎜ ⎜ 5/7 ⎜ ⎝ 2
2λ 3λ λ
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
2
z 1
También podemos encontrar directamente las ec. del eje central a partir del momento resultante del sistema en P; esto es,
54
Lec. 2.- Vectores deslizantes.
OE
⎛ 1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 2 ⎠
OP
PE
R×MP
OP
⎛ 2⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3⎟ × ⎜ 2⎟ 14 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ 1⎠ 15
x
o bien en forma continua
y
14
2
λR
R2 ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ λ ⎜ 3⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ 11 14
3
⎛ 15/14 2λ ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 11/14 3λ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 5/2 λ ⎠
5
z
2
1
que es la misma recta que antes, como el lector comprobará fácilmente.
§2.10. Virial de un vector.- Definimos el virial de un vector F, aplicado en un punto P, respecto al punto O del espacio, como el producto escalar del vector OP por el vector F. Esto es
VO
OP
F
[2.35]
El virial de un vector respecto a un punto es, evidentemente, una magnitud escalar. La definición del virial de un vector presenta una cierta analogía con la del momento de un vector, ya que intervienen los mismos elementos (los vectores OP y F), si bien el producto vectorial ha sido reemplazado ahora por un producto escalar. Figura 2.13 Obsérvese que en la definición del virial de un vector hemos omitido el carácter deslizante de éste; en su lugar, hemos destacado la palabra "aplicado". En efecto, el virial de un vector respecto a un punto dado del espacio no es independiente de la posición del vector F sobre su recta de acción (Figura 2.13). Si calculamos el virial del vector F, aplicado en otro punto (P′) de su recta de acción, respecto al punto dado O, tenemos VO o sea
OP F VO
VO
( OP
PP ) F
PP F
[2.36] [2.37]
de modo que VO′≠VO. Consideraremos, pues, el vector F como un vector ligado. Establecemos, así, una nueva clase de vectores, la de los vectores ligados, junto a las dos anteriores definidas de los vectores deslizantes y de los vectores libres. En los sistemas de vectores ligados, el criterio de igualdad entre dos vectores (equipolencia) exige que los vectores tengan el mismo módulo, la misma dirección y sentido y el mismo punto de aplicación. El virial de un vector depende del punto del espacio respecto al cual se tome.
55
§2.10.- Virial de un vector.
Esto es, si en lugar de tomarlo respecto al punto O lo tomamos respecto al punto O′, será, en general VO′≠VO. En efecto; VO o sea
OP F VO
(O O
OP) F
[2.38]
OO F
VO
[2.39]
de modo que VO′ sólo será igual a VO cuando O′O F=0, lo que ocurre cuando se escoge O′ sobre Figura 2.14 una recta que pasando por O sea perpendicular a la dirección del vector F. Así pues, el virial de un vector tiene el mismo valor en todos los puntos de un plano normal al vector (Figura 2.14.)
§2.11. Virial de un sistema de vectores.- Consideremos un sistema de vectores ligados, Fi (i=1, 2, ...). aplicados respectivamente en los puntos Pi (Figura 2.15). Llamaremos virial del sistema de vectores ligados, respecto a un punto dado O, al escalar que resulta de sumar todos los viriales individuales (i.e., de cada uno de los vectores que integran el sistema) respecto al punto O. Esto es, si designamos por VO el virial del sistema, tenemos
VO
OP i F i
i
[2.40]
El virial de un sistema de vectores depende del punto del espacio respecto al cual se calcula. El virial del sistema en un punto O′ será VO
i
O Pi F i i
o sea
VO
VO
OO R
(O O i
OP i F i
OP i ) F i
OO i
Fi
[2.41]
[2.42]
donde R= Fi es la resultante general del sistema de vectores ligados (suma de todos los vectores del sistema como si fuesen libres), de modo que el virial del sistema en el punto O′ es igual al virial del sistema en el O más el virial de la resultante del sistema, supuesta aplicada en el punto O, en el punto O′. Figura 2.15 De la expresión [2.42] se deduce fácilmente que el virial del sistema tiene el mismo valor en todos los puntos de cualquier plano perpendicular a la dirección de la resultante general del sistema de vectores (Figura 2.16), puesto que entonces es Q′Q R=0.
56
Lec. 2.- Vectores deslizantes.
§2.12. Plano central.- Hemos visto que el virial de un sistema de vectores ligados no es un invariante del sistema, ya que su valor depende del punto del espacio en el que se calcula; dicho valor variará de forma continua desde -∞ a ∞, al pasar de un punto a otro. También hemos visto que el virial de un sistema de vectores ligados toma un valor constante en todos los puntos de cualquier plano perpendicular a la dirección de la resultante general (R) del sistema. Existirá, por lo tanto, un plano en cuyos puntos el virial será nulo; tal plano recibe el nombre de plano central; i.e.,
Llamamos plano central de un sistema de vectores ligados al lugar geométrico de los puntos del espacio en los que se anula el virial del sistema. Para determinar la ecuación del plano central, consideraremos un punto genérico Q de dicho lugar geométrico, en el que será VQ=0. Entonces, de acuerdo con la expresión [2.42], será VQ
VO
QO R
o sea
OQ R
0
[2.43]
VO
[2.44]
que es la ecuación de un plano normal a la dirección de la resultante general del sistema de vectores (i.e., normal al eje central), en cuyos puntos se anula el virial del sistema; la expresión [2.44] es la ecuación vectorial del plano central del sistema de vectores ligados. En coordenadas cartesianas (x,y,z), tomando el origen en el punto O, como se indica en la Figura 2.16, la ecuación del plano central se escribe en la forma Figura 2.16
x Rx
y Ry
z Rz
VO
[2.45]
donde (Rx,Ry,Rz) son las componentes de la resultante general del sistema sobre los ejes coordenados y VO es el virial del sistema en el origen de coordenadas. §2.13. Punto central.- Hemos definido en esta lección el eje central de un
Figura 2.17
sistema de vectores deslizantes y el plano central de un sistema de vectores ligados. Consideremos ahora un sistema de vectores dado, Fi (i=1, 2, ... n), cuyas rectas de acción pasen por los puntos Pi correspondientes. Considerémoslo, primero, como un sistema de vectores deslizantes y determinemos el eje central del sistema. A continuación, consideraremos cada uno de los vectores del sistema ligados a los puntos Pi correspondientes y determinaremos el plano central del sistema (para
§2.13.- Punto central.
57
los puntos de aplicación dados). El punto de intersección del eje central con el plano central (Figura 2.17) recibe el nombre de punto central del sistema de vectores, para unos puntos de aplicación dados. Para encontrar el punto central bastará, evidentemente, resolver el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones del eje central [2.23] o [2.24] y la ecuación del plano central [2.44] o [2.45]. De acuerdo con la definición anterior, es obvio que el punto central de un sistema de vectores es aquél en el que el virial es nulo y mínimo el momento. Deberá quedar bien claro que el punto central sólo tiene significado para un sistema de vectores ligados o para un sistema de vectores deslizantes para un conjunto de puntos de aplicación dado (lo que equivale a considerar los vectores como ligados). No debemos confundir el concepto de punto central de un sistema de vectores ligados con el de centro de un sistema de vectores paralelos; sin embargo, en el caso de un sistema de vectores ligados paralelos, ambos coinciden en un mismo punto del espacio (vide Problema 2.25). Podemos considerar el punto central como una generalización del centro de un sistema de vectores paralelos (deslizantes o ligados).
Problemas 2.1.- Determinar el momento del vector F = 2i - j + 3k, aplicado en el punto P(2,5,3): a) con respecto al origen de coordenadas; b) con respecto al punto O′(1,2,-1); c) comprobar que MO′= MO + O′O × F.
2.5.- Demostrar que, si el momento de un sistema de vectores deslizantes es nulo con respecto a tres puntos no alineados, el sistema de vectores es equivalente al sistema nulo. ¿Qué ocurre si los tres puntos están alineados?
2.2.- Dado el vector deslizante F = i + 2j + 3k, aplicado en el punto P(3,4,2), calcular su momento: a) con respecto a cada uno de los ejes coordenados; b) con respecto al eje determinado por el origen de coordenadas y el punto Q(2,3,1); c) con respecto a la recta de ecuación (x-1)/2 = (y+2)/3 = (z-4)/(-5).
2.6.- Un sistema de vectores deslizantes está definido por sus momentos respecto a tres puntos del espacio, en la forma siguiente
2.3.- Dado el vector deslizante F = 2i - 3j + 2k, cuyo momento con respecto al origen de coordenadas es MO = 5i + 6j + Mzk, determinar Mz y la ecuación de la recta de acción del vector F. 2.4.- Demostrar que el momento resultante de un sistema de vectores deslizantes no es igual al momento de la resultante del sistema salvo que los vectores sean concurrentes en un punto o paralelos entre sí.
M1 = i + 2j -k M2 = ai + 4j + 3k M3 = bi - j + ck
respecto a O1(2,0,1) O2(0,0,1) O3(1,-1,0)
Hallar el vector resultante y completar las expresiones de los momentos. 2.7.- El módulo de la resultante de un sistema de vectores es R = 6, el invariante escalar del sistema es M R=30 y la ecuación del eje central del sistema es 2x = y = 2z. Hallar: a) el momento mínimo; b) la resultante; c) el momento respecto al origen; d) el momento con respecto al punto (2,1,0).
58
Lec. 2.- Vectores deslizantes.
2.8.- a) Determinar el centro de un sistema de vectores deslizantes paralelos, formado por los vectores de módulos 2, 4 y 5, respectivamente, y aplicados en los puntos (1,1,0), (2,3,1) y (2,1,3). b) Determinar la resultante del sistema y el momento resultante con respecto al origen de coordenadas. 2.9.- Demostrar que el sistema de vectores: F1 = 2i, F2 = -i y F3 = -i, aplicados en los puntos (0,0,0), (0,1,0) y (0,0,1), respectivamente, se puede reducir a un par y determinar dicho par. 2.10.- Dado un vector deslizante F = -i + 2j + 3k cuya recta de acción pasa por el punto P(2,1,1), y el par de momento M = 4i + 2j, reducir dicho sistema a un vector único (de ser posible) aplicado en un punto del plano xy, cuyas coordenadas deben determinarse. 2.11.- Dado el sistema de vectores deslizantes que se representa en la figura, reducirlo a un vector que pase por el origen de coordenadas y a Prob. 2.11 un par. Determinar los módulos de dichos vectores para que el sistema se pueda reducir: a) a un vector único y b) a un par. 2.12.- Sobre un cuerpo rígido actúan dos fuerzas, F1 = 3i - 2j + k y F2 = i - j, aplicadas respectivamente en los puntos (0,1,1) y (2,0,1), y un par de fuerzas de momento M = 3i - k. Sustituir ese sistema de fuerzas por: a) una fuerza que pase por el punto (1,1,1) y un par; b) por una fuerza y un par de eje paralelo a la fuerza.
b=k
aplicado en B(1,0,0)
Determinar un sistema equivalente al dado que esté constituido por dos vectores, de modo que uno de ellos tenga el eje y como recta directriz. 2.15.- Determinar el eje central del sistema de vectores deslizantes definidos de la siguiente forma: A = 2i + j + 3k; PA(0,0,1) B =6; Bx>0; 2(x-1)=y=z C =3; Cx>0; PC(3,0,0); 2cosα=cosβ=cosγ 2.16.- Dado el sistema de vectores deslizantes: a=i-j
aplicado en A(0,0,1)
b=k
aplicado en B(1,0,0)
determinar un tercer vector, de módulo 2 y componentes enteras, que junto con los dos anteriores constituya un sistema cuyo eje central sea la recta x = y = z. 2.17.- Consideremos el sistema de vectores deslizantes F1 = j - k
aplicado en P1(0,1,0)
F2 = -j
aplicado en P2(1,0,0)
Determinar un tercer vector tal, que junto con los dos anteriores, constituya un nuevo sistema equivalente a un par cuyo momento tenga la dirección del eje z.
2.13.- Dados los vectores deslizantes a=i+j+k
aplicado en A(1,1,0)
b=i-j-k
aplicado en B(0,0,2)
c = 2i + j
aplicado en C(1,1,1)
d = 2k
aplicado en D(0,3,0)
reducirlo a dos vectores, uno aplicado en el origen de coordenadas y otro de módulo unidad aplicado en un punto del plano xy cuyas coordenadas deberán determinarse. 2.14.- Sea el sistema de vectores deslizantes formado por los vectores a=j
aplicado en A(0,0,1)
Prob. 2.18 2.18.- Consideremos el sistema de vectores deslizantes infinitesimales definido por dA = λds, donde λ es una constante y ds es el vector arco de la curva: x = 3 a cos θ
y = 3 a sen θ
z = 4aθ
para O≤θ≤2π, como se muestra en la figura. a) Calcular la resultante y el momento del sistema respecto al origen de coordenadas. b) De-
Problemas
terminar el eje central y el torsor del sistema. 2.19.- Sean dos sistemas de vectores deslizantes definidos por sus torsores {R;M} respectivos: T1 = {(1,2,1);(2,4,2)}
P1(1,0,0)
T2 = {(0,1,1);(0,3,3)}
P2(0,1,0)
Determinar el torsor resultante del sistema de vectores constituido por los dos dados. 2.20.- Demostrar que el momento resultante de un sistema de vectores deslizantes es el mismo para todos los puntos de una recta paralela a la dirección de la resultante general del sistema. 2.21.- Demostrar que un vector y un par coplanarios equivalen a un vector único y que, recíprocamente, un vector único equivale a otro equipolente que pase por el punto que se desee y a un par. 2.22.- En el §2.6 hemos obtenido la ecuación vectorial del eje central de un sistema de vectores deslizantes [2.23], en la que aparece un parámetro escalar λ que depende del punto O elegido como centro de reducción. Normalmente, dicho punto será el origen de un sistema de coordenadas, de modo que O(0,0,0), adoptando entonces la ec. vectorial del eje central su forma más simple [2.23]. Sin embargo, si conocemos el momento resultante del sistema de vectores deslizantes en un punto cualquiera P, podemos obtener la misma ec. vectorial del eje central en la forma OE
OP
PE
OP
R × MP R2
λP R
siendo λP un nuevo parámetro, asociado al nuevo centro de reducción P, relacionado con el anterior por λP
⎛λ ⎜ ⎝
OP R ⎞ ⎟ R2 ⎠
Demostrar estas dos expresiones y comprobar que se reducen a la [2.23] cuando el punto P coincide con el origen de coordenadas. 2.23.- a) Calcular el virial en el origen de coordenadas y determinar el plano central correspondiente al sistema de vectores ligados dado en el Ejemplo I de esta lección. b) Determinar el punto central de dicho sistema de vectores. 2.24.- a) Consideremos el sistema de vectores
59
paralelos al eje z, formado por los vectores de módulo 2, 4 y 5, respectivamente y aplicados en los puntos (1,1,0), (2,3,1) y (2,1,3), correspondientes. Determinar la posición del centro y del punto central de este sistema de vectores. b) Ahora, giremos el sistema de vectores para colocarlo paralelo al eje x, sin alterar los módulos ni los puntos de aplicación de los vectores. Determinar de nuevo la posición del centro y del punto central del sistema. Interpretar los resultados. 2.25.- Demostrar los teoremas siguientes: a) Dado un sistema de vectores ligados y paralelos entre sí, el punto central de tal sistema queda definido como el punto de intersección de todos los planos centrales correspondientes a todas las posibles orientaciones que pudiera presentar dicho sistema de vectores en el espacio. b) El centro y el punto central de un sistema de vectores paralelos coinciden en un mismo punto del espacio.
60
Lec. 2.- Vectores deslizantes.
3.- Análisis vectorial. §3.1. Campos escalares y vectoriales (61); §3.2. Derivada de un vector respecto a un escalar (63); §3.3. Integral de un vector con respecto de una variable escalar (65); §3.4. Circulación de un vector (66); §3.5. Flujo de un campo vectorial (69); §3.6. Gradiente de un campo escalar (71); §3.7. Función potencial (73); §3.8. Divergencia de un campo vectorial (74); §3.9. Teorema de Gauss (76); §3.10. Rotacional de un campo vectorial (77); §3.11. Teorema de Stokes (78); §3.12. El operador nabbla (80); Problemas (82)
§3.1. Campos escalares y vectoriales.- Consideremos una función tal que haga corresponder a cada punto del espacio el valor de una cierta magnitud física (función unívoca de punto); decimos, entonces, que ese espacio, como soporte de dicha magnitud física, es un campo; así, hablaremos de campos gravitatorios, eléctricos, de presiones, de temperaturas, ... De acuerdo con el carácter de la magnitud física que define al campo distinguiremos dos tipos de campos: Campo escalar: Toda función que haga corresFigura 3.1 ponder a cada punto del espacio el valor de una magnitud escalar define un campo escalar (Figura 3.1). Como ejemplos de campos escalares tenemos los campos de temperatura, de presión, de densidad ... Campo vectorial: Toda función que haga corresponder a cada punto del espacio el valor de una magnitud vectorial, esto es, un vector, define un campo vectorial (Figura 3.2). Como ejemplos de campos vectoriales tenemos el campo gravitatorio (g), el eléctrico (E), el magnético (B), el de velocidades en una corriente fluida (v) .... En general, el valor de la magnitud física que Figura 3.2 define al campo (escalar o vectorial) será función
Manuel R. Ortega Girón
61
62
Lec. 3.- Análisis vectorial.
tanto de las coordenadas del punto como del tiempo. Así, escribiremos para los campos escalares y vectoriales anteriormente definidos φ (r,t)
y
A(r,t)
[3.1]
y
A(x,y,z,t)
[3.2]
o bien, en coordenadas cartesianas, φ (x,y,z,t)
Si el campo sólo es función de la posición, o sea si es φ(x,y,z) ó A(x,y,z), diremos que se trata de un campo estacionario; esto es, independiente del tiempo. Si, por el contrario, sólo es función del tiempo, y, por tanto, toma el mismo valor en un instante dado en todos los puntos del espacio en el que está definido, diremos que se trata de un campo uniforme y escribiremos φ(t) ó A(t). Los campos escalares y los vectoriales admiten una representación gráfica que, si la realizamos de un modo adecuado, nos permitirá obtener una idea inmediata de algunas de las características del campo. En el caso de un campo escalar, representado analíticamente por la magnitud escalar φ, función continua en todo el espacio (salvo, eventualmente en algunos puntos, líneas o superficies aisladas), se define la superficie equiescalar como el lugar geométrico de los puntos del espacio en los que la Figura 3.3 función φ toma un determinado valor. Obsérvese que si en lugar de considerar un espacio ordinario de 3 dimensiones considerásemos un espacio de sólo 2 dimensiones, entonces hablaríamos de líneas equiescalares o isolíneas. Es conveniente dibujar las superficies (o líneas) equiescalares correspondientes a valores del escalar φ regularmente espaciados, esto es, tales que φ2
φ 1 Δφ ;
φ3
φ 2 Δφ ; ...
[3.3]
En la Figura 3.3 se representan las líneas equiescalares correspondientes a un cierto campo escalar bidimensional. En las regiones donde las líneas (o superficies) equiescalares están más apretadas la variación del escalar φ por unidad de desplazamiento (el gradiente) es más acusada. En algunos campos, como es el caso del representado en la Figura 3.3, pueden existir más de una línea o superficie equiescalares correspondientes a un mismo valor del escalar; pero las líneas o superficies equiescalares correspondientes a distintos valores de la magnitud escalar φ en ningún caso pueden cortarse, ya que φ es Figura 3.4 una función unívoca de punto (i.e., en cada punto del espacio la función φ(x,y,z) sólo
63
§3.1.- Campos escalares y vectoriales.
toma un valor). Cuando la magnitud física que define al campo tenga carácter vectorial, como por ejemplo la función vectorial A(x,y,z), se dibujarán unas líneas de modo que sean tangentes en cada uno de sus puntos a la dirección del vector A en esos puntos; estas líneas son llamadas líneas vectoriales y nos mostrarán la dirección del vector A en cada uno de los puntos del espacio donde el campo vectorial esté definido. La representación del módulo del vector A en cada punto puede conseguirse espaciando las líneas vectoriales de modo que el número de ellas que atraviesen la unidad de superficie situada perpendicularmente a la dirección del campo en dicho punto sea igual a la intensidad del campo (módulo del vector A) en dicho punto. También aquí, al ser A(x,y,z) una función unívoca de punto, las líneas vectoriales no pueden cortarse entre sí. Puesto que el campo vectorial A en cualquier punto del espacio es tangente a la línea vectorial que pasa por ese punto, si consideramos un desplazamiento elemental dr sobre la línea vectorial será A×dr =0 (condición de paralelismo), de modo que dx Ax
dy Ay
dz Az
[3.4]
son las ecuaciones diferenciales de la familia de líneas vectoriales asociadas al campo vectorial A(x,y,z).
Ejemplo I.- Líneas vectoriales.- Dado el campo vectorial A = -yi + xj, obtener la ecuación general de las líneas vectoriales y representarlas gráficamente. Aplicaremos la expr. [3.4] para obtener las eces.difes. de las líneas vectoriales; i.e., dx y
dy x
dz 0
de donde se sigue ⎧ x dx ⎨ ⎩
y dy dz
0 0
⇒
⎧ x2 ⎨ ⎩
y2 z
cte. cte.
Figura 3.5
de modo que las líneas vectoriales son circunferencias concéntricas con el eje z, contenidas en los planos z=cte y recorridas en el sentido antihorario, como se ilustra en la Figura 3.5. Obsérvese que A2 = y2+x2 = r2, de modo que el radio de cada una de las circunferencias es igual al módulo del vector campo en los puntos de la misma, que permanece constante.
§3.2. Derivada de un vector respecto a un escalar.- En el párrafo anterior hemos tratado con vectores variables; esto es, función de una o más variables independientes, que bien pueden ser las coordenadas cartesianas (x,y,z) del espacio y el tiempo t. El estudio de estos vectores variables puede reducirse al de las fun-
64
Lec. 3.- Análisis vectorial.
ciones ordinarias sin más que referirlos a un sistema de ejes fijos. En un tal sistema, las componentes de un vector variable resultan ser funciones, en el sentido más usual de la palabra, de las variables independientes. Se estudian así, sin dificultad, los conceptos de continuidad, derivación, integración, ... Así, en el caso de un vector que sea función de una única variable independiente u, esto es, una función (que supondremos continua) de la variable escalar u, A(u), si el escalar experimenta un incremento Δu, el vector experimentará una variación ΔA = A(u+Δu) - A(u), cuyo significado queda explícito en la Figura 3.6. En completo paralelismo con la definición ordinaria de derivada, definimos la derivada del vector A(u) con respecto al escalar u como Figura 3.6
dA du
lim Δu→0
ΔA Δu
[3.5]
en el supuesto de que dicho límite exista. La derivada dA/du es un vector que tiene la dirección hacia la que tiende el vector ΔA cuando Δu tiende a cero. Como ΔA es la cuerda del arco descrito por el extremo del vector A, resulta que la derivada dA/du está dirigida según la tangente a la curva descrita por el extremo del vector A cuando se va incrementando el valor del escalar u, pues en el límite dicha cuerda pasa a la posición tangente a la curva. Si es A = Ax(u)i+Ay(u)j+Az(u)k, por la propiedad distributiva de la derivación tenemos dAx
dA du
du
i
dAy du
j
dAz du
[3.6]
k
y con notación matricial escribiremos
dA du
⎛ ⎞ ⎜Ax(u)⎟ d ⎜⎜A (u)⎟⎟ y ⎟ du ⎜ ⎜A (u)⎟ ⎝ z ⎠
⎛ ⎞ ⎜ dAx(u)/du ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ dAy(u)/du ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ dA (u)/du ⎟ z ⎝ ⎠
[3.7]
De la definición de derivada de un vector y del álgebra vectorial se siguen con facilidad las siguientes propiedades, que damos sin demostrar, siendo A(u), B(u) ... vectores funciones de la variables escalar u, m un escalar y φ(u) una función escalar: d (A ± B) du d (mA) du
m
dA du
dA dB ± du du d (φ A) du
[3.8]
φ
dA du
A
dφ du
[3.9]
65
§3.2.- Derivada de un vector respecto a un escalar.
d (A B ) du
dB du
A
dA B du
d ⎛ dA ⎞ ⎜ ⎟ du ⎝ du ⎠
d (A×B ) du d2A x
d2A du 2
du 2
d2A y
i
du 2
j
A×
dB du
d2A z du 2
dA ×B [3.10] du [3.11]
k
Si en lugar de una sola variable independiente aparecen dos o más, habrá que introducir derivadas parciales con respecto a ellas. Las fórmulas anteriores se transforman con cambios evidentes sustituyendo las derivadas totales por parciales. En el caso de un campo vectorial A(x,y,z,t), esto es A = A1(x,y,z,t)i + A2(x,y,z,t)j + A3(x,y,z,t)k tendremos ∂A ∂x
∂A1
∂A ∂z
∂A1
∂x ∂z
i
∂A2
i
∂A2
∂x ∂z
j
∂A3
j
∂A3
∂x ∂z
k
k
∂A ∂y
∂A1
∂A ∂t
∂A1
∂y ∂t
i
∂A2
i
∂A2
∂y ∂t
j
∂A3
j
∂A3
∂y ∂t
k [3.12]
k
Como suponemos que los versores (i,j,k) son fijos, se tiene como definición de diferencial del vector A dA siendo
d Ai
∂Ai ∂x
dA1 i
dA2 j
∂Ai
dx
∂y
dA3 k ∂Ai
dy
∂z
dz
[3.13]
∂Ai ∂t
[3.14]
dt
con i = 1,2,3. En particular, si es A = A(u), será dAi
dAi du
[3.15]
du
§3.3. Integral de un vector con respecto de una variable escalar.- De la definición de derivada de un vector respecto de una variable escalar se sigue, como operación inversa, la integración. Así, dado un vector variable A=A(u), definiremos la integral indefinida de A(u) como
⌠A(u)du ⌡ o sea
i ⌠A1(u)du ⌡ ⌠A(u)du ⌡
j ⌠A2(u)du ⌡ B(u)
k ⌠A3(u)du ⌡ C
C
[3.16]
[3.17]
siendo B(u) el vector cuyas componentes son las integrales anteriores y C un vector constante arbitrario. Evidentemente es
66
Lec. 3.- Análisis vectorial.
A(u)
dB(u) du
[3.18]
Análogamente se define la integral definida de A(u) entre los valores u=α y u=β, obteniéndose la siguiente generalización de la regla de BARROW: β
⌠ A(u)du ⌡α
β ⌠ dB(u) du ⌡α du
β
[ B(u) C ]
B(β )
α
B(α)
[3.19]
§3.4. Circulación de un vector.- Supongamos definido un arco de curva regular por el vector de origen fijo O, r(t), siendo t un parámetro escalar (no necesariamente el tiempo), y dado un campo vectorial A(r), función continua de punto. Podemos definir la integral del producto escalar A dr; esto es, β
⌠ A dr ⌡α
[3.20]
C
donde C es la curva sobre la que se efectúa la integración, α y β, son los puntos inicial y final sobre dicha curva y dr es un desplazamiento infinitesimal sobre la misma. Puesto que A dr es un escalar, está claro que la integral [3.20] dará como resultado un escalar. Dicha integral se denomina circulación del vector A(r) sobre la curva C, entre los puntos α y β. Figura 3.7 La definición de una integral de esta clase, llamada integral curvilínea, es muy semejante a la definición de RIEMANN de la integral definida. El trozo de curva, entre los puntos α y β se divide en un gran número de pequeños elementos Δri; en cada elemento se toma un punto interior al mismo y se determina el valor de A(r) en dicho punto; y, finalmente, se calcula el producto escalar de cada incremento Δri por el valor correspondiente de Ai, y se suman todos esos productos. La integral curvilínea queda entonces definida como el límite de dicha suma (en el supuesto de que dicho límite exista) a medida que el número de elementos se hace cada vez mayor, tendiendo a infinito, de tal manera que cada elemento tenderá a cero. Esta definición puede expresarse en forma compacta por β
⌠ A dr ⌡α C
lím N→∞
N i 1
A i Δr i
[3.21]
La evaluación de una integral curvilínea puede llevarse a cabo de la forma siguiente. Consideremos un sistema de coordenadas cartesianas (x,y,z) de modo que, siendo A(x,y,z) = A(t), será
67
§3.4.- Circulación de un vector.
r (t)
x (t) i
y (t) j
β
β
yj xβ
⌠ ⌡x
α
C
A2(t)
dy dt
A3(t)
dz ⎤ ⎥ dt dt ⎦
[3.23]
dr
dx i
dy j
dz k
[3.24]
α
xi
⌠ A dr ⌡α
⎛ dx ⎜ i ⎝ dt
β
C
r
dr
t ⌠ ⎡⎢ A (t) dx ⌡t ⎣ 1 dt
⌠ A dr ⌡α o también
z(t) k
zk yβ
⌠ ⌡y
A1(x,y,z) dx
α
C
dy j dt
zβ
⌠ ⌡z
A2(x,y,z) dy
α
C
dz ⎞ k ⎟ dt [3.22] dt ⎠
A3(x,y,z) dz C
[3.25]
Ejemplo II.- Dado el campo vectorial A = 2xy i + (x2+2yz3) j + 3y2z2 k, calcular su circulación entre los puntos (0,0,0) y (1,2,3) a lo largo del camino definido: a) por la línea quebrada determinada por los puntos (0,0,0), (1,0,0) (1,2,0) y (1,2,3); b) por la recta que pasa por los dos puntos. a) A partir de la expresión [3.25], se obtiene (1,2,3)
1
⌠ A dr ⌡(0,0,0)
⌠(2xy)dx ⌡0 y 0 z 0
C
1
2
⌠ (0)dx ⌡0
2
⌠ (3y 2z 2)dz ⌡0
x 1 z 0
3
⌠ dy ⌡0
3
⌠(x 2 2yz 3)dy ⌡0
⌠ 12z 2dz ⌡0
0
x y
2
1 2
108
110
b) Las ecuaciones de dicha recta son x/1 = y/2 = z/3, o bien, en forma paramétrica x=t y = 2t z = 3t correspondiendo los puntos extremos a t=0 y t=1, respectivamente, y siendo entonces dx/dt = 1 dy/dt = 2 dz/dt = 3 A = 4t2 i + (t2+108t4) j + 108t4 k de modo que, aplicando [3.23], tenemos (1,2,3)
⌠ A dr ⌡(0,0,0)
1
x
y
z
1
2
3
⌠ [ 4t 2 ⌡0
2(t 2
108t 4)
3(108t 4) ] dt
1
⌠ [ 6t 2 ⌡0
Figura 3.8
540t 4] dt
110
Si se invierte el sentido de la circulación, esto es si se invierte el sentido de dr, cambia el signo de la integral [3.20], o sea β
⌠ A dr ⌡α C
α
⌠ A dr ⌡β C
[3.26]
68
Lec. 3.- Análisis vectorial.
Si coinciden los puntos inicial y final, esto es si la integral curvilínea se evalúa sobre una curva cerrada, es costumbre emplear una notación especial, C
A dr
[3.27]
Por otra parte, si A es un vector constante, esto es, si se trata de un campo vectorial uniforme, entonces tenemos que β
⌠ A dr ⌡α C
de modo que
β
A ⌠ dr ⌡α
A PαPβ
[3.28]
C
A dr
[3.29]
0
ya que PαPβ = 0. Generalmente la circulación del vector A entre los puntos α y β es función de la curva que una dichos puntos; i.e., del camino seguido para ir del primer punto al segundo; es decir, β
⌠ ⌡α
β
C1
A dr ≠ ⌠ ⌡α
A dr
[3.30]
C2
Figura 3.9
y será preciso especificar el camino seguido entre los puntos α y β para calcular la circulación del campo vectorial A entre dichos puntos (Figura 3.9). No obstante, en la física, o lo que es lo mismo, en la Naturaleza, existen algunos campos sumamente importantes en los que se verifica que su circulación es independiente del camino que se siga para realizar la integración de [3.20] entre los puntos α y β. Tales campos vectoriales reciben el nombre de campos conservativos o irrotacionales (por las razones que se verán más adelante). En un campo conservativo, a causa de que su circulación no depende del camino seguido entre dos puntos dados, ésta puede calcularse como la diferencia de valores que toma una cierta una función escalar de punto llamada función potencial. Son campos conservativos el gravitatorio y el electrostático. No son conservativos el campo eléctrico de inducción, ni el campo de velocidades en una corriente fluida con remolinos. La condición necesaria y suficiente para que un campo vectorial A sea conservativo es que sea nula la circulación de A a lo largo de cualquier línea cerrada del espacio en el que está definido el campo. O sea que A dr
0
[3.31]
69
§3.4.- Circulación de un vector.
ya que entonces
A dr
β
α
⌠ A dr ⌡α
⌠ A dr ⌡β
C1
β
⌠ A dr ⌡α
lo que implica que
C1
0
[3.32]
C2
β
⌠ A dr ⌡α
[3.33]
C2
o sea que la circulación del campo entre dos puntos dados no depende del camino que sigamos para unir dichos puntos. §3.5. Flujo de un campo vectorial.Imaginemos un elemento de superficie suficientemente pequeño como para que podamos considerarlo como plano; dicho elemento de superficie es representable mediante un vector, dS, cuyo módulo es el área del eleFigura 3.10 mento, cuya dirección es normal al plano del mismo y cuyo sentido es el del avance de un tornillo que girase según el sentido atribuido arbitrariamente al contorno del elemento de superficie (Figura 3.10). Consideremos un campo vectorial A y un tal elemento de superficie dS; al ser infinitesimal dicho elemento, el vector A puede considerarse constante en toda la extensión de dicho elemento de superficie (Figura 3.11). Se define el flujo elemental del campo vectorial A a través del elemento de superficie dS como el producto escalar
dΦ o sea
dΦ
[3.34]
A dS
A dS cos θ
A dS′
[3.35]
Puesto que dS′ es la proyección del elemento de superficie dS en la dirección normal al campo vectorial A, y recordando lo que dijimos para la representación de los campos vectoriales mediante líneas vectoriales, vemos que el flujo elemental dΦ es igual al númeFigura 3.11 ro de líneas vectoriales que atraviesan la superficie dS. Ahora, consideremos una superficie S colocada en una región cualquiera del espacio en el que existe un campo vectorial A. Dividamos dicha superficie en superficies elementales ΔS1, ΔS2, ... y tracemos los versores normales e1, e2, ... a cada una de dichas superficies elementales (Figura 3.12), de modo que
70
Lec. 3.- Análisis vectorial.
ΔSi
[3.36]
e i ΔSi
Los versores ei apuntarán siempre hacia fuera (convexidad) de la superficie S. El flujo del campo vectorial A a través de toda la superficie S se define como la integral de superficie Φ
⌠ A dS ⌡S
lím N→∞
N i 1
A i ΔS i
[3.37]
con consideraciones análogas a las que hicimos cuando definíamos la integral curvilínea en el apartado anterior. La integral de superficie, y por tanto el flujo, son claramente magnitudes escalares. El valor del flujo de un campo vectorial a través de una superficie puede ser un número positivo, negativo y nulo. Si el flujo es positivo, se denomina flujo saliente; si es negativo, se denomina flujo entrante; si es cero, no hay flujo neto. El nombre de flujo se debe a una aplicación de la ec. [3.37] al estudio de las corrientes fluidas. Supongamos que tenemos una corriente de partículas, todas moviéndose hacia la derecha con una misma velocidad v (Figura 3.13). Aquellas partículas que atraviesan el elemento de superficie dS durante un intervalo de tiempo Δt estarían contenidas en un cilindro de base dS, generatriz paralela a v y longitud vΔt. El volumen de tal cilindro es vΔtdScos θ. Supongamos que haya n partículas por unidad de volumen; entonces, el número total de partículas que atraviesan la superficie dS por unidad de tiempo, o flujo de partículas, es Figura 3.12
n v dS cos θ
nv dS
[3.38]
y el número total de partículas que pasarán a través de una superficie finita, S, será Φ
Figura 3.13
⌠ nv dS ⌡S
[3.39]
expresión similar a la [3.37], con A = nv. Se comprenderá que el nombre de flujo dado a la ec. [3.37] no significa que, en general, haya movimiento real de algo material a través de una superficie.
Si la integral de superficie que define al flujo del campo vectorial se extiende sobre una superficie cerrada, entonces se utiliza la notación S
A dS
[3.40]
Interpretando el flujo como el número de líneas vectoriales que atraviesan una superficie, si ésta es cerrada y el flujo es positivo (saliente) habrá más flujo saliente
§3.5.- Flujo de un campo vectorial.
71
(+) que entrante (-), de modo que salen más líneas vectoriales desde el interior de la superficie que las que entran en la misma; diremos que dentro de la superficie hay una fuente o creación de líneas vectoriales. Por el contrario, si el flujo a través de una superficie cerrada es negativo, diremos que hay un sumidero o desaparición de líneas vectoriales en el interior de la superficie cerrada, ya que entran más líneas que las que salen. Por último, si el flujo a través de una superficie cerrada es nulo, todas las líneas vectoriales que penetran en la superficie saldrán por otros puntos de la misma, de modo que el efecto neto es que ni se crean ni se destruyen líneas vectoriales en el interior de la superficie cerrada. La integral de superficie A dS depende, en general, de la superficie de integración y los casos en que no depende de dicha superficie son particularmente interesantes. Diremos que un campo vectorial es solenoidal si S
A dS
0
[3.41]
para cualquier superficie sumergida en el campo. Ya hemos dicho que esto equivale a afirmar que el número de líneas vectoriales que salen por unos Figura 3.14 puntos de la superficie es igual al número de las que entran por otros puntos de la misma, de modo que ni nacen ni mueren líneas vectoriales en el interior de la superficie cerrada. El campo gravitatorio sólo es solenoidal en aquellas regiones que no contienen masas gravitatorias, pues éstas actúan como sumideros de líneas de fuerza gravitatoria. Lo mismo ocurre con el campo electrostático (Figura 3.14): sólo es solenoidal donde no existan cargas eléctricas. El campo magnético B es solenoidal en todos los puntos del espacio, ya que las líneas de inducción magnéticas son cerradas. De lo anteriormente expuesto se sigue fácilmente que las fuentes y sumideros de un campo representan las fuentes escalares (positivas, fuentes; negativas, sumideros) del campo. Así, la fuente u origen escalar del campo gravitatorio es la masa gravitatoria, que se comporta como sumidero del campo. La fuente u origen escalar del campo electrostático es la carga eléctrica: las cargas positivas representan las fuentes y las negativas los sumideros de campo. Obviamente, el campo magnético B no tiene fuentes escalares; i.e., su origen no es de naturaleza escalar, sino vectorial (cargas en movimiento). §3.6. Gradiente de un campo escalar.- Dada una función escalar φ(x,y,z), función continua y derivable de las coordenadas espaciales (x,y,z), su diferencial
dφ
∂φ dx ∂x
∂φ dy ∂y
∂φ dz ∂z
[3.42]
72
Lec. 3.- Análisis vectorial.
puede expresarse como el producto escalar de dos vectores: uno de componentes (dx,dy,dz), que es el diferencial (dr) del vector de posición r = xi + yj + zk; el otro el vector de componentes (∂φ/∂x, ∂φ/∂y, ∂φ/∂z), que se denomina gradiente de φ, y se designa por grad φ, o bien por ∇φ; es decir grad φ
∇ φ
y es
dφ
∂φ i ∂x
∂φ j ∂y
∂φ k ∂z
[3.43]
[3.44]
∇ φ dr
Una interpretación geométrica del gradiente se obtiene observando que la ecuación φ (x,y,z)
cte.
representa una familia de superficies (una superficie para cada valor de la constante); la superficie S de la familia que pasa por el punto P0(x0,y0,z0) tendrá de ecuación φ
φ (x0,y0,z0)
Figura 3.15
Figura 3.16
Entonces, para cualquier punto en un entorno suficientemente restringido de P0 será dφ=0, esto es, ∇φ dr = 0; lo que indica que ∇φ es perpendicular a dr. Por tanto, el vector ∇φ0 (i.e., el gradiente en el punto P0) es perpendicular a todas las tangentes a la superficie S en el punto P0, i.e., normal a la superficie en dicho punto. Además, obsérvese que de dφ = ∇φ dr se sigue que
(Figura 3.15),
dφ ds
∇φ
dr ds
∇φ e
∇ φ cos θ
[3.45]
siendo ds = dr (i.e., dr/ds=e es un versor en la dirección del desplazamiento elemental dr) y θ el ángulo formado por los vectores ∇φ y dr (Figura 3.16). La expresión anterior se denomina derivada direccional o derivada de φ en la dirección de e. De aquí se sigue que dφ/ds varía con el valor del ángulo θ, presentándose su valor máximo (igual a ∇φ ) para θ=0. Esto es: la variación máxima de φ en el punto P0 se presenta en la dirección de ∇φ
73
§3.6.- Gradiente de un campo escalar.
en el punto P0; o sea, en la dirección normal a la superficie equiescalar S en el punto P0. El resultado anterior nos permite definir el gradiente de un campo escalar como un vector cuya dirección y sentido corresponden al del máximo crecimiento de φ y cuyo módulo es el valor de dicho crecimiento por unidad de desplazamiento en esa misma dirección (derivada direccional). Obsérvese que, dado un campo escalar φ(x,y,z), podemos obtener a partir de él un campo vectorial ∇ φ (x,y,z)
A(x,y,z)
[3.46]
Figura 3.17
que hace corresponder a cada punto del espacio (en el que está definido el campo escalar φ) un vector A(x,y,z) que es el gradiente del campo escalar en ese mismo punto. Como consecuencia de la representación de los campos escalares y vectoriales por superficies (o líneas) equiescalares y líneas vectoriales, respectivamente, y al ser el vector gradiente en un punto perpendicular a la superficie (o línea) equiescalar que pasa por dicho punto, resulta que las líneas vectoriales (que son tangentes a ∇φ) cortarán ortogonalmente a las superficies (o líneas) equiescalares (Figuras 3.17 y 3.18). §3.7. Función potencial.- Ahora podemos calcular
la circulación del vector A=∇φ a lo largo de un camino cualquiera que una dos puntos dados, α y β, del espacio (Figura 3.19). Tenemos β
⌠ A dr ⌡α C
Figura 3.18
β
⌠ ∇ φ dr ⌡β C
β
⌠ dφ ⌡α
φβ
φα
[3.47]
de modo que la circulación del vector ∇φ es independiente del camino seguido para ir desde el punto α al puntos β, ya que dicha circulación sólo depende de los valores que toma la función escalar de punto φ (i.e., el campo escalar) en los puntos α y β. Así, podemos afirmar que el campo de gradiente es un campo vectorial conservativo.
74
Lec. 3.- Análisis vectorial.
Si tenemos un campos vectorial A tal que se pueda obtener a partir de un campo escalar φ, mediante la operación A = ∇φ, el campo vectorial A será conservativo y la función φ(x,y,z) se denomina su función potencial1. Inversamente, todo campo vectorial A que sea conservativo se podrá obtener a partir de un campo escalar o función potencial φ mediante la operación A = ∇φ.
Figura 3.19
Ejemplo III.- El campo vectorial A definido en el Ejemplo II es conservativo (se demostrará en el Ejemplo IV). Obtener su función potencial. Calculamos la circulación del campo vectorial a lo largo del camino definido por la línea quebrada determinada por los puntos (0,0,0), (x,0,0), (x,y,0) y (x,y,z); esto es, (x,y,z)
⌠ A dr ⌡(0,0,0) C
x
y
⌠(2xy)dx ⌡0 y 0 z 0
x
⌠ (0)dx ⌡0
z
⌠(x 2 2yz 3)dy ⌡0
⌠(3y 2z 2)dz ⌡0
x x z 0
y
z
⌠ x 2 dy ⌡0
⌠ 3y 2z 2dz ⌡0
x x y y
x 2y
y 2z 3
de modo que φβ - φα = x2y + y2z3, y puesto que las coordenadas del punto β son genéricas, será φ (x,y,z)
x 2y
y 2z 3
cte.
§3.8. Divergencia de un campo vectorial.- Consideremos un campo vectorial
A y un elemento de volumen que contiene al punto P. Definiremos la divergencia del campo vectorial en el punto P como el límite a que tiende el cociente entre el flujo del campo vectorial a través de la superficie S que delimita al elemento de volumen ΔV y dicho elemento de volumen, cuando ΔV→0 encerrando siempre al punto P (Figura 3.20). Esto es, designándola por div A o bien por ∇ A, será div A
∇ A
lím
ΔV→0
1 ΔV
S
A dS
[3.48]
donde la integral se extiende a la superficie S que delimita al elemento de volumen ΔV. Conforme tiende a cero el elemento de volumen, el punto P siempre permanece en su interior. Se puede demostrar que esta definición es independiente de la forma del elemento de volumen. De la definición anterior, y si consideramos ΔV como la
Cuando el campo vectorial conservativo es un campo de fuerzas, se define el potencial (Φ) de modo que su diferencia de valores en dos puntos es igual a la circulación del campo de fuerzas entre esos puntos, cambiada de signo. De este modo, resulta ser Φ = -φ. Ampliaremos este concepto en la Lec. 10. 1
75
§3.8.- Divergencia de un campo vectorial.
unidad de volumen, se puede interpretar la divergencia de un campo vectorial en un punto P como el flujo de dicho campo a través de una superficie que delimita la unidad de volumen en torno al punto P. De otro modo, la div A en un punto representa el número de líneas vectoriales que nacen o mueren en la unidad de volumen colocada en dicho punto. Evidentemente, la diverFigura 3.20 gencia de un campo vectorial es una función escalar de punto. El campo vectorial A será solenoidal cuando en todos los puntos del espacio donde está definido se verifica que div A=0; es decir, que en ningún punto de dicho espacio nacen ni mueren líneas vectoriales. Ya vimos anteriormente que el campo magnético es solenoidal en todo el espacio, ya que las líneas de inducción magnética son cerradas. Puesto que en la definición de la divergencia de un campo vectorial no hemos hecho mención a algún sistema de coordenadas, resulta obvio que ésta es independiente del sistema de coordenadas elegido; sin embargo, su expresión si depende del sistema de coordenadas y deberá determinarse a partir de la evaluación de la definición [3.48] en dicho sistema de coordenadas. Ahora buscaremos la expresión de div A en coordenadas cartesianas. Para ello, elegiremos la forma del elemento de volumen ΔV del modo más conveniente para que la integral de superficie de la ec. [3.48] resulte lo más sencilla posible. Así, tomaremos como elemento de volumen un paralelepípedo de aristas Δx, Δy, Δz, como se muestra en la Figura 3.21, de modo que ΔV = Δx Δy Δz. Para calcular A dS calcularemos el flujo de A a través de cada una de las seis caras del paralelepípedo y sumaremos los resultados. Así, el flujo a través de la cara 1 es sólo debido a la componente Ay del vector A y, como es un flujo entrante en el elemento de volumen, lo consideramos negativo: Ay(1) Δx Δz y a través de la cara 2 tenemos un flujo positivo (saliente) dado por
Ay(2) Δx Δz
⎡ ⎢ ⎢ A (1) ⎢ y ⎣
⎤ ⎞ ⎛ ⎥ ⎜ ∂Ay ⎟ ⎥ ⎟ Δy ⎥ Δx Δz ⎜ ⎝ ∂y ⎠0 ⎦
de modo que el flujo ligado a esas dos caras es Figura 3.21
⎞ ⎛ ⎜ ∂Ay ⎟ ⎟ Δx Δy Δz ⎜ ⎝ ∂y ⎠0 y, de modo análogo, se tiene para las otras dos parejas de caras ⎞ ⎛ ⎜ ∂Ax ⎟ ⎟ Δx Δy Δz ⎜ ⎝ ∂x ⎠0
⎞ ⎛ ⎜ ∂Az ⎟ ⎟ Δx Δy Δz ⎜ ⎝ ∂z ⎠0
de modo que, sumando las expresiones anteriores, obtenemos el flujo total a través de las seis caras del paralelepípedo;
76
Lec. 3.- Análisis vectorial.
A dS S
⎛ ⎜ ∂Ax ⎜ ⎝ ∂x
⎞ ∂Az ⎟ ⎟ Δx Δy Δz ∂z ⎠0
∂Ay ∂y
entonces, de la definición de div A, se sigue ∇ A
1 lím ΔV→0 ΔV
⎛ ⎜ ∂Ax ⎜ ⎝ ∂x
A dS S
∂Ay ∂y
⎞ ∂Az ⎟ ⎟ ∂z ⎠
de modo que la expresión cartesiana de la divergencia del campo vectorial A es div A
∇ A
∂Ax
∂Ay
∂Az
∂x
∂y
∂z
[3.49]
§3.9. Teorema de Gauss.- Consideremos un campo vectorial A definido en todos los puntos de un volumen V y de la superficie S que lo delimita. Subdividamos dicho volumen en pequeños elementos ΔVi, como se ilustra en la Figura 3.22; entonces, para cada uno de esos elementos de volumen, podemos escribir
(∇ A) ΔVi
Si
A dS
[3.50]
estando extendida la integral a la superficie Si total (i.e., bases y caras laterales) que delimita al elemento de volumen ΔVi. Tendremos una ecuación como la [3.50] para cada uno de los elementos de volumen en que hemos descompuesto el volumen total V. Cuando sumamos miembro a miembro todas esas ecuaciones, tenemos Figura 3.22
(∇ A) ΔVi i
i
Si
A dS
[3.51]
Los términos que aparecen en el segundo miembro de la expresión anterior representan el flujo a través de cada una de las superficies que delimitan cada uno de los elementos de volumen ΔVi. Se observará que al sumar todos esos flujos, los correspondientes a las caras comunes de dos elementos vecinos (Figura 3.22) se compensarán, de modo que la suma del segundo miembro de [3.51] representa simplemente el flujo a través de las caras exteriores de los elementos de volumen ΔVi; o sea, el flujo a través de la superficie S que delimita al volumen total V. Si pasamos al límite, para elementos de volumen ΔVi cada vez más pequeños, el sumatorio del primer miembro de [3.51] se convierte en una integral, y nos queda ⌠ ∇ A dV ⌡V
S
A dS
[3.52]
donde las integrales de volumen y de superficie se extienden, respectivamente, al volumen total V y a la superficie S que lo delimita. El resultado anterior constituye la expresión del TEOREMA DE GAUSS, que se enuncia en la siguiente forma:
77
§3.9.- Teorema de Gauss.
La integral de la divergencia de un campo vectorial en un volumen V es igual al flujo de dicho campo a través de la superficie S que delimita al citado volumen V. El teorema de Gauss nos permite asegurar que en un campo solenoidal la divergencia del campo es nula en todos los puntos del espacio. Esto es, para un campo solenoidal es ∇ A
[3.53]
0
§3.10. Rotacional de un campo vectorial.- Consideremos, de nuevo, un campo vectorial A y un elemento de volumen ΔV que contiene al punto P. Definiremos el rotacional del campo vectorial en el punto P, y lo designaremos por rot A o bien por ∇×A, como
rot A
∇×A
lím
ΔV→0
1 ΔV
S
dS × A
[3.54]
donde la integral se extenderá a la superficie S que delimita al elemento ΔV considerado, el cuál, al tender a cero, deberá contener siempre al punto P (Figura 3.23). Si comparamos esta definición con la dada anteriormente para div A, veremos que existe un cierto parecido entre ambas. Obsérvese que en tanto que, en cierto modo, la div A es una medida de la componente Figura 3.23 normal del campo en la superficie del elemento ΔV, el rot A lo es de la componente tangencial a dicha superficie. Evidentemente, el rot A es una función vectorial de punto. La definición que hemos dado para el rot A es independiente del sistema de coordenadas considerado; sin embargo, su expresión depende del sistema de coordenadas que elijamos y se determinará evaluando la definición [3.54] en dicho sistema de coordenadas. Buscaremos ahora la expresión del rot A en coordenadas cartesianas. Para ello, debemos elegir la forma del elemento del volumen ΔV de modo que la integral de superficie que aparece en [3.54] sea fácil de calcular. Tomaremos como elemento de volumen un paralelepípedo rectangular de aristas Δx, Δy y Δz, de modo que ΔV = Δx Δy Δz. Para la componente x de rot A sólo contribuyen las caras perpendiculares a los ejes y y z; entonces será (∇ × A)x
lím
ΔV→0
1 ΔV
[ Ay(x,y,Δz)
Ay(x,y,0) ] ΔxΔy
[ Az(x,Δy,z)
y desarrollando en serie de TAYLOR y pasando al límite se tiene
Figura 3.24
Az(x,0,z) ] ΔxΔz
78
Lec. 3.- Análisis vectorial.
(∇ × A)x
∂Az
∂Ay
∂y
∂z
y, análogamente, para las componentes y y z de rot A se tiene (∇ × A)y
∂Ax
∂Az
∂z
∂x
(∇ × A)z
∂Ay
∂Ax
∂x
∂y
de modo que rot A se expresa en coordenadas cartesianas en la forma rot A
o bien
∇×A
⎛ ⎜ ∂Az ⎜ ⎝ ∂y
rot A
⎞ ∂Ay ⎟ ⎟i ∂z ⎠
⎛ ⎜ ∂Ax ⎜ ⎝ ∂z
∇×A
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎞ ∂Az ⎟ ⎟j ∂x ⎠
k ⎤⎥ ⎥ ∂ ∂ ∂ ⎥ ∂x ∂y ∂z ⎥ ⎥ Ax Ay Az ⎥⎦ i
⎛ ⎜ ∂Ay ⎜ ⎝ ∂x
⎞ ∂Ax ⎟ ⎟k ∂y ⎠
j
[3.55]
§3.11. Teorema de Stokes.- Veamos ahora una definición alternativa del rotacional de un campo vectorial, equivalente a la dada en el apartado anterior, que resulta más conveniente en ciertas aplicaciones. Sea un campo vectorial A y un elemento de superficie ΔS (suficientemente pequeño como para que podamos considerarlo plano) que contiene a un punto P. Calculemos la circulación del campo vectorial A a lo largo del contorno de dicho elemento de superficie y calculemos el límite a que tiende el coeficiente entre dicha circulación y el área del Figura 3.25 elemento de superficie cuando ΔS→0 conteniendo siempre al punto P. Ese valor límite es, por definición, la proyección del rotacional del campo vectorial A en el punto P en la dirección de la normal, en = ΔS/ΔS, al elemento de superficie considerado;
(∇ × A) e n
lím ΔS→0
1 ΔS
A dr
[3.56]
C
Consideremos, ahora, un campo vectorial A definido en todos los puntos de una superficie arbitraria S y en los puntos de la curva C que la limita, en la que elegimos un sentido de circulación, como se muestra en la Figura 3.26. Subdividamos esa superficie en elementos ΔSi, en los que el sentido de circulación en sus respectivos contornos viene impuesto por el establecido anteriormente; entonces, en virtud de la definición anterior de ∇×A, para cada uno de esos elementos podemos escribir
79
§3.11.- Teorema de Stokes.
(∇ × A) ΔS i
Ci
A dr
[3.57]
efectuándose la integral a lo largo del contorno del elemento de superficie correspondiente. Tendremos una ecuación como la anterior para cada uno de los elementos de superficie en que hemos descompuesto la superficie total S. Si sumamos miembro a miembro todas esas ecuaciones, tenemos (∇ × A) ΔS i i
Ci
i
A dr
[3.58]
Los términos que aparecen en el segundo miembro de [3.58] representan la circulación del campo a lo largo de cada una de las líneas que delimita cada uno de los elementos de superficie ΔSi. Se observará que al sumar todas esas circulaciones, las correspondientes a los recorridos interiores se compensan, ya que cada uno de ellos es común a dos circuitos vecinos y es recorrido dos veces en sentidos opuestos, de modo que el sumatorio del segundo miembro de [3.58] representa simplemente la circulación del Figura 3.26 campo sobre el contorno exterior C de la superficie S. Si pasamos al límite, para elementos de superficie cada vez más pequeños, el sumatorio del primer miembro de [3.58] se convierte en una integral, y nos queda ⌠ (∇ × A) dS ⌡S
C
A dr
[3.59]
donde las integrales se extienden a la superficie total S y a su contorno C. El resultado anterior constituye la expresión del TEOREMA DE STOKES, que se enuncia en la forma siguiente: La circulación de un campo vectorial sobre una línea cerrada es igual al flujo del rotacional del campo a través de una superficie cualquiera limitada por dicha línea cerrada. Como ya sabemos, el rotacional de un campo vectorial es una función vectorial de punto. Cuando en todos los puntos del espacio donde está definido el campo vectorial A se verifica que rot A=0, se dice que el campo vectorial A es irrotacional. Si es A = grad φ, esto es, si el campo vectorial deriva de un campo escalar (potencial), A será un campo irrotacional, pues por aplicación del teorema de Stokes a una superficie arbitraria situada en el campo, se tiene ⌠ (∇ × A) dS ⌡S
C
A dr
C
∇ φ dr
C
dφ
0
de modo que, puesto que S es arbitraria, deberá ser rot A=0, o sea que
[3.60]
80
Lec. 3.- Análisis vectorial.
rot ( grad φ )
∇ × (∇ φ )
[3.61]
0
lo que significa que todo campo vectorial irrotacional es conservativo, y todo campo vectorial conservativo es irrotacional de modo que decir campo conservativo o campo irrotacional es equivalente.
Ejemplo IV.- Demostrar que el campo vectorial A definido en el Ejemplo II es conservativo. Simplemente, verificaremos si su rotacional es nulo; esto es,
∇×A
⎛ ∂/∂x ⎞ ⎛ 2xy ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ∂/∂y ⎟ × ⎜ x 2 2yz 3 ⎟ ⎜ ⎜ 2 2 ⎝ ∂/∂z ⎠ ⎝ 3y z
⎛ 6yz 2 ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎝ 2x
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
6yz 2 0 2x
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 ⎠
0
§3.12. El operador nabbla.- Las notaciones ∇ φ, ∇ A y ∇× A que hemos utilizado anteriormente para designar operadores tan diversos como el gradiente de un campo escalar (grad φ), la divergencia de un campo vectorial (div A) y el rotacional de un campo vectorial (rot A) se explican considerando el signo operativo ∇ de HAMILTON, que se denomina nabbla, que puede considerarse como un operador vectorial diferencial de componentes ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z; esto es
∇
i
∂ ∂x
j
∂ ∂y
k
∂ ∂z
[3.62]
conviniendo en considerar las derivadas parciales ∂φ/∂x, ∂φ/∂y, ∂φ/∂z, como un producto simbólico de ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z por la función φ(x,y,z), con lo que resulta que el operador ∇ puede multiplicarse escalar y vectorialmente por otros vectores, obteniéndose: grad φ
div A
rot A
⎛ ∂ ⎜i ⎝ ∂x
∇φ
∇ A
∇×A
j
⎛ ∂ ⎜i ⎝ ∂x
⎛ ∂ ⎜i ⎝ ∂x
∂ ∂y
k ∂ ∂y
j
∂ ⎞ ⎟ φ ∂z ⎠ k
∂ ⎞ ⎟ ∂z ⎠
∂φ i ∂x
∂φ j ∂y
( Ax i
Ay j
∂Ax
∂Ay
∂Az
∂x
∂y
∂z
k
∂ ⎞ ⎟ × ( Ax i ∂z ⎠
j
∂ ∂y
∂φ k ∂z
[3.63]
Az k )
[3.64]
Ay j
Az k )
81
§3.12.- El operador nabbla.
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
k ⎤⎥ ⎥ ∂ ∂ ∂ ⎥ ∂x ∂y ∂z ⎥ ⎥ Ax Ay Az ⎥⎦ i
j
⎛ ⎜ ∂Az ⎜ ⎝ ∂y
⎛ ⎜ ∂Ax ⎜ ⎝ ∂z
⎞ ∂Ay ⎟ ⎟ i ∂z ⎠
⎞ ∂Az ⎟ ⎟ j ∂x ⎠
⎛ ⎜ ∂Ay ⎜ ⎝ ∂x
⎞ ∂Ax ⎟ ⎟ k ∂y ⎠ [3.65]
o bien, expresando los vectores con notación matricial: ⎛ ∂/∂x ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∂/∂y ⎟ φ ⎜ ⎟ ⎝ ∂/∂z ⎠
∇φ
∇ A
∇×A
⎛ ∂/∂x ⎞ ⎛⎜ Ax ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∂/∂y ⎟ × ⎜⎜ Ay ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ∂/∂z ⎠ ⎜⎝ Az ⎟⎠
⎛ ∂/∂x ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∂/∂y ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ∂/∂z ⎠
⎛ ⎞ ⎜ Ax ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ Ay ⎟ ⎜ ⎟ ⎜A ⎟ ⎝ z⎠
⎛ ⎜ ∂Az ⎜ ⎝ ∂y
⎞ ∂Ay ⎟ ⎟i ∂z ⎠
⎛ ∂φ /∂x ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∂φ /∂y ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ∂φ /∂z ⎠
[3.66]
∂Ax
∂Ay
∂Az
∂x
∂y
∂z
⎛ ⎜ ∂Ax ⎜ ⎝ ∂z
⎞ ∂Az ⎟ ⎟j ∂x ⎠
⎛ ⎜ ∂Ay ⎜ ⎝ ∂x
[3.67]
⎞ ∂Ax ⎟ ⎟k ∂y ⎠
[3.68]
Esta notación simbólica abrevia las expresiones y es muy útil en las aplicaciones. El alumno puede demostrar fácilmente que rot ( grad φ )
∇ × (∇ φ )
0
div ( rot A )
∇ (∇ ×A)
0
[3.69]
82
Lec. 3.- Análisis vectorial.
Problemas 3.1.- Dado el vector A = 2ti + t2j + k, calcular dA dt dA y para t=2. dt 3.2.- Indicar la diferencia existente entre el módulo de la derivada de un vector y la derivada del módulo del mismo vector. 3.3.- Demostrar que la derivada de un vector de módulo constante es otro vector normal al dado. 3.4.- Demostrar que la dirección del vector A(t) permanecerá constante si se verifica que A×
dA dt
0
3.5.- Si es r = a cosωt + b senωt, siendo a y b vectores constantes no-colineales y ω una constante escalar, demostrar que a)
r×
d2r dt 2
b)
3.6.- Demostrar vectoriales: a)
c)
ω (a × b)
las
dA A dt
d ⎛ dA ⎞ ⎟ ⎜A × dt ⎝ dt ⎠
⎞ ⎛ d ⎜ dA d2A ⎟ A × ⎜ dt ⎝ dt dt 2 ⎟⎠
igualdades
dA A dt A×
b)
2
⌠ A dt ⌡1
3.8.- Dado el vector A = x2yi + (xz - y2)j + 3xz2k, calcular todas las derivadas parciales, de primer y de segundo orden, respecto a las variables (x,y,z), así como dA. 3.9.- Resolver la ecuación vectorial d2r/dt2 = -gk, donde g es una constante, dado que para t=0 sea r(0)=0 y v(0) = dr/dt t=0 = v0(cosθ0j + senθ0k). Interprétese físicamente el resultado. 3.10.- Demostrar las siguientes igualdades vectoriales a) b)
⌠C dA dt ⌡ dt
⌠ dA ⌡ dt
d2A dt dt 2
C A
cte
1 ⎛ dA ⎞2 ⎜ ⎟ 2 ⎝ dt ⎠
cte
3.11.- Consideremos la función definida por el módulo del vector de posición de los puntos del espacio con respecto al origen de coordenadas. a) ¿Define dicha función un campo escalar? b) ¿Cómo son las superficies equiescalares de dicho campo?
0
siguientes
y
siendo C un vector constante.
0
ω 2r
⎞ ⎛ dr d2r ⎟ × r ⎜⎜ 2 ⎟ ⎝ dt dt ⎠
c)
b)
dr dt
⌠ A dt ⌡
a)
d2A dt 2
dA d3A × A dt dt 3
3.7.- Dado el vector A = (t+1)i + t2j + 2tk, calcular:
3.12.- La función φ = x2 + y2 - z define un campo escalar. ¿Cómo son las superficies equiescalares de dicho campo? 3.13.- Consideremos la función definida por el vector de posición de los puntos del espacio con respecto al origen de coordenadas. a) ¿Define dicha función un campo vectorial? b) ¿Cómo son las líneas vectoriales de dicho campo? 3.14.- Un campo escalar estacionario, φ(r), está definido por la función φ = r2 - 2a r, donde a es un vector constante. a) Demostrar que las superficies equiescalares son esféricas. b) Determinar el menor valor posible que tomará el campo escalar y el punto(s) donde lo toma. 3.15.- Si es A = (x + y)i + xyj, calcular ∫Adr sobre los siguientes recorridos: a) y=x desde
83
Problemas
(0,0) hasta (1,1); b) la línea quebrada determinada por los puntos (0,0), (1,0) y (1,1); c) ídem por los puntos (0,0),(0,1) y (1,1); d) sobre la curva y=x2 entre los puntos (0,0) y (1,1); e) ídem sobre la curva x=y2; f) sobre la trayectoria cerrada definida por las curvas y=x2 y x=y2; g) ¿Es conservativo este campo? 3.16.- Calcular A dr, donde A = (2x-y+z)i + (x+y-z)j + xyzk sobre la elipse de ecuación x2/9+y2/4=1. ¿Es conservativo este campo? 3.17.- Calcular el flujo del campo vectorial definido por A = xi + yj + zk, a través de las superficies siguientes: a) la superficie de un cubo de arista unidad delimitado por los planos coordenados y los planos x=1, y=1 y z=1; b) la superficie esférica de radio unidad y centrada en el origen de coordenadas. 3.18.- Calcular el flujo del campo eléctrico E
q 4π
0
r a través de una superficie esr3
férica de radio R centrada en el origen de coordenadas. 3.19.- Hallar los gradientes de los campos escalares siguientes: a) φ = x2 + y2 + z2 b) φ = xy3 + yz3 + zx3 c) φ = x2y/z3 d) φ = x sen(yz) + y cos(xz) e) φ = x cos x + xyz 3.20.- Determinar la ecuación del plano tangente al paraboloide elíptico z= x2+2y2, en el punto de coordenadas (2,1,6). 3.21.- a) Calcular la derivada direccional de la función φ = 2xz - y2 en la dirección del vector 2i + j - k en el punto P(1,3,2). b) Determinar, en dicho punto, la dirección del máximo crecimiento de φ, así como el valor de dicho crecimiento por unidad de longitud en la citada dirección. 3.22.- Calcular grad (A r), siendo A un vector constante y r el vector de posición. 3.23.- Dado el campo vectorial definido por A =(x3+yz)i + (y3+xz)j + (z3+xy)k calcular: a) div A; b) SA dS, siendo S la superficie de la esfera x2 + y2 + z2 = R2.
3.24.- a) Demostrar que el campo vectorial A definido en el Problema 3.23 es conservativo. b) Determinar una función escalar φ tal que sea A = grad φ. c) Calcular la circulación del campo A entre los puntos (0,0,0) y (1,3,-2). 3.25.- Sea el campo vectorial A = (1+yz)i + (1+xz)j + (1+xy)k a) Calcular la circulación de este campo vectorial entre los puntos (0,0,0) y (1,2,3) a lo largo de la recta que los une. b) Demostrar que este campo es conservativo y determinar la función potencial correspondiente. c) Recalcular el primer apartado mediante la función potencial. 3.26.- Sea el campo vectorial A = y i + z j + x k. a) ¿Es conservativo? b) Calcular su circulación a lo largo de media vuelta de la hélice cuyas ecuaciones paramétricas son: x = 2 cos θ,
y = 2 sen θ,
z = 3θ
entre el punto (2,0,0) y el (-2,0,3π). c) Ídem a lo largo de la recta que une esos dos puntos. d) Ídem a lo largo de la poligonal definida por los puntos (2,0,0), (2,2,0), (-2,2,0), (-2,0,0) y (2,0,3π). 3.27.- Sea el campo vectorial A = (2x+yz)i + (2y+xz)j + (2z+xy)k a) Evaluar su circulación entre los puntos (0,0,0) y (1,1,1) a lo largo de la curva definida por y = x2; z = x. b) Demostrar que el campo es conservativo y determinar la función de potencial. c) Reavaluar el primer apartado utilizando la función potencial. 3.28.- Sea A un campo vectorial que deriva de una función potencial φ = 1/r, siendo r el vector de posición de los puntos del espacio en el que está definido dicho campo. Determinar las coordenadas del punto del espacio en el que se verifica que A = r , teniendo A la dirección del eje x y el sentido de las x decrecientes, en dicho punto. 3.29.- Sea el campo vectorial A = r/r, donde r es el vector de posición. a) Demostrar que el campo es potencial y obtener su función potencial. b) Calcular la circulación del campo entre los puntos (1,0,0) y (0,0,1) a lo largo de un arco de circunferencia que pasa por dichos puntos y cuyo centro es el origen de coordenadas: i) directamente; ii) utilizando la función potencial. 3.30.- Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial
84
Lec. 3.- Análisis vectorial.
A = (2x-y)i - yz2j - y2zk siendo S y C la superficie y el contorno, respectivamente, del hemisferio superior de una esfera de radio unidad centrada en el origen de coordenadas. 3.31.- Si es f(r) una función arbitraria de r, siendo r el vector de posición de un punto del espacio con respecto al origen de coordenadas, demostrar que: a)
f
r r
2
f r
∇ [ f(r) er ]
b)
c)
d)
∇ f(r)
∇ 2 [f (r)]
∇ × [f(r)er ]
f
f
b)
2
f r
c)
d)
er r2
⎛e ⎞ ∇ ⎜⎜ r ⎟⎟ 2 ⎝r ⎠ ⎛e ∇ × ⎜⎜ r 2 ⎝r
0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ ∇ ⎢∇ ⎜ ⎟ ⎥ ⎣ ⎝ r ⎠⎦
∂ρ ∂t
0
que es la llamada ecuación de continuidad. b) ¿Qué ocurre si ρ =cte (fluido incomprensible) y se verifica la ecuación de continuidad?
0
∇ [ ∇ f (r)]
⎛1⎞ ∇ ⎜ ⎟ ⎝r⎠
3.35.- Consideremos un fluido en movimiento en el que tanto la densidad ρ como la velocidad de cada uno de sus elementos de volumen sean función de las coordenadas espaciales y del tiempo, esto es, ρ=ρ(x,y,z,t) y v=v(x,y,z,t). a) Demostrar que si no existen ni fuentes ni sumideros en un cierto volumen finito ocupado por el fluido se cumple ∇ (ρv)
3.32.- Demostrar que: a)
de radio R, centrada en el origen de coordenadas. (Utilizar el teorema de Gauss).
0
0
3.33.- Dado el campo vectorial A = ker/r2, siendo k una constante: a) Demostrar que dicho campo es solenoidal en todos los puntos del espacio salvo en el origen de coordenadas; b) Calcular el flujo del campo a través de una superficie cerrada cualquiera que rodea al origen de coordenadas; c) Ídem para una superficie cerrada que no rodea al origen; d) Demostrar que el campo es conservativo; e) Encontrar una función escalar (potencial) tal que A = -grad φ. f) Para el campo gravitatorio es k=-Gm, y para el campo electrostático es k=q/4π 0; aplicar los resultados anteriores a estos dos campos y discutir los resultados. 3.34.- Calcular el flujo del campo vectorial A = kr3er a través de una superficie esférica,
Capítulo II.
Cinemática.
4.- Cinemática de la partícula.
87
5.- Cinemática del sólido rígido.
109
Manuel R. Ortega Girón
85
86
Lecciones de Física
4.- Cinemática de la partícula. §4.1. Cinemática (87); §4.2. Relatividad del movimiento. Referenciales (88); §4.3. Movimiento de la partícula (90); §4.4. Velocidad (91); §4.5. Aceleración (93); §4.6. Componentes intrínsecas de la aceleración (95); §4.7. Triedro móvil (97); §4.8. Discusión de algunos tipos de movimiento (97); §4.9. Velocidad y aceleración relativas (102); Problemas (104)
En las lecciones anteriores hemos pasado revista a un conjunto de conceptos matemáticos que nos resultarán sumamente útiles conforme vayamos desarrollando este curso. Nótese que hasta ahora no hemos considerado ningún fenómeno físico y que sólo hemos preparado las herramientas necesarias para trabajar en la Física. El fenómeno físico más obvio y fundamental es el movimiento. La Mecánica es la ciencia del movimiento. En un principio, la Física pretendía dar imágenes mecánicas de todos los fenómenos físicos y en tiempos de GALILEO (1564-1642) ya se reconocía el papel hegemónico de la Mecánica, estando condensada esta idea en la proposición ignorato motu, ignoratur natura. Hoy en día se ha renunciado a ese propósito pero, no obstante, los principios de la Mecánica encuentran aplicación en todos los campos de la Física y por ello deberemos comprenderlos bien antes de pasar al estudio de la Termodinámica, del Electromagnetismo y de la Física Atómica y Nuclear. La Mecánica es la rama de la Física que estudia los movimientos y las fuerzas que los producen. Atendiendo a la naturaleza de su contenido, la Mecánica puede dividirse en dos partes: Cinemática o teoría geométrica del movimiento y Dinámica o estudio de las relaciones existentes entre las fuerzas y los movimientos que éstas producen; esta última abarca a la Estática o teoría de las fuerzas y del equilibrio. Comenzaremos el estudio de la Mecánica preocupándonos por describir adecuadamente el movimiento de los cuerpos (la Cinemática) y dejaremos para más adelante el porqué de esos movimientos (la Dinámica). En la antigüedad se cometió el error de invertir el orden de esos dos problemas. ARISTÓTELES (384-322 AC) se preguntó sobre las causas del movimiento antes de dar una descripción científica del movimiento. Este error impidió el avance en el conocimiento del fenómeno del movimiento durante muchos siglos, hasta que llegó el Renacimiento.
Manuel R. Ortega Girón
87
88
Lec. 4.- Cinemática de la partícula.
§4.1. Cinemática.- La Cinemática estudia en forma abstracta el movimiento, sin preocuparse de las causas del mismo. Los orígenes de la Cinemática hay que buscarlos en el estudio de la cicloide realizado por TORRICELLI (1608-47), continuando con el enunciado de la ley fundamental del centro instantáneo de rotación en el movimiento plano de BERNOULLI (1700-1782). D’ALEMBERT, EULER, KANT y CARNOT, entre otros, estudiaron el movimiento prescindiendo de sus causas y fundaron la Geometría del Movimiento. El vocablo Cinemática fue creado por AMPÈRE (1775-1836), quién delimitó el contenido de la Cinemática y aclaró su posición dentro del campo de la Mecánica. Desde entonces y hasta nuestros días la Cinemática ha continuado su desarrollo hasta adquirir una estructura propia. Los elementos básicos de la Cinemática son: espacio, tiempo y móvil. En la Mecánica Clásica1 se admite la existencia de un espacio absoluto; es decir, un espacio anterior a todos los objetos materiales e independiente de la existencia de estos. Este espacio es el escenario donde ocurren todos los fenómenos físicos, y se supone que todas las leyes de la física se cumplen rigurosamente en todas las regiones de ese espacio. El espacio físico se representa en la Mecánica Clásica mediante un espacio puntual euclídeo. Análogamente, la Mecánica Clásica admite la existencia de un tiempo absoluto que transcurre del mismo modo en todas las regiones del Universo y que es independiente de la existencia de los objetos materiales y de la ocurrencia de los fenómenos físicos. El móvil más simple que podemos considerar es el punto material o partícula. La partícula es una idealización de los cuerpos que existen en la Naturaleza, en el mismo sentido en que lo es el concepto de punto geométrico. Entendemos por punto material o partícula un cuerpo de dimensiones tan pequeñas que pueda considerarse como puntiforme; de ese modo su posición en el espacio quedará determinada al fijar las coordenadas de un punto geométrico. Naturalmente la posibilidad de despreciar las dimensiones de un cuerpo estará en relación con las condiciones específicas del problema considerado. Así, por ejemplo, podemos considerar la Tierra como un punto material si sólo estamos interesados en su movimiento alrededor del Sol, pero no cuando estemos interesados en el movimiento de la Tierra en torno a su propio eje. Es importante que no confundamos el concepto de punto material con el de punto geométrico, pues aquél posee un tributo que éste no tiene; la masa inercial, que está íntimamente ligada al movimiento de los cuerpos, como veremos al estudiar la Dinámica. Dado un punto material, con una cierta masa inercial, se precisará un cierto esfuerzo para modificar su estado de movimiento; llamaremos fuerza a cualquier agente capaz de modificar el estado de movimiento de los cuerpos. §4.2. Relatividad del movimiento. Referenciales.- Estudiar el movimiento
de un cuerpo quiere decir determinar su posición en el espacio en función del tiempo,
La existencia de un espacio y de un tiempo absoluto son dos hipótesis de partida que están, en el ámbito de la Mecánica Clásica, fuera de toda posibilidad de experimentación, de modo que la verdad o falsedad de esas ideas salen del campo de la Mecánica Clásica para entrar en el de la Metafísica. 1
§4.2.- Relatividad del movimiento. Referenciales.
89
pero para ello necesitaremos un sistema de referencia. En el espacio puntual euclídeo de la Mecánica Clásica un sistema de referencia (o, simplemente, referencial) queda definido por los elementos siguientes (Figura 4.1): un origen O, que es un punto del espacio físico. una base vectorial del espacio vectorial asociado a dicho espacio físico. de esta forma queda definido un triedro con vértice en el origen O y cuyos ejes tienen las direcciones definidas por la base vectorial asociada. Debemos destacar el hecho de que, en tanto que un referencial queda definido por un origen y la orientación de un triedro, una base vectorial queda definida exclusivamente mediante la orientación de un triedro, por lo que resulta irrelevante la posición del "origen" de ésta en las representaciones gráficas. Así, por ejemplo, tiene sentido hablar de la traslación de un referencial respecto a otro; pero carece de sentido hablar de la traslación entre Figura 4.1 bases vectoriales, ya que entre éstas sólo tiene sentido la rotación o cambio de orientación. Esto equivale a decir que las bases vectoriales asociadas a dos referenciales en movimiento de traslación relativo son las mismas. Decimos que una partícula o punto material se encuentra en movimiento con respecto a un referencial si su posición con respecto a él cambia en el transcurso del tiempo. En caso contrario, si la posición del cuerpo no cambia con respecto al referencial, el cuerpo está en reposo en dicho referencial. De las definiciones que acabamos de dar para el movimiento y el reposo de un cuerpo, vemos que ambos conceptos son relativos. En efecto, el pasajero que está sentado en un vagón de ferrocarril se encuentra en reposo con respecto al vagón; pero como el tren se mueve con respecto a la Tierra, el pasajero se encuentra en movimiento con respecto a los árboles que bordean la vía. Estos se encuentran en reposo con respecto a la Tierra, pero están en movimiento con respecto al pasajero del tren. En la Figura 4.2 hemos representado dos observadores, S y S′, y una partícula P. Estos observadores utilizan los referenciales xyz y x′y′z′, respectivamente. Si S y S′ se encuentran en reposo entre sí, describirán del mismo modo el movimiento de la partícula P. Pero si S y S′ se encuentran en movimiento relativo, sus observaciones acerca del movimiento de la partícula P serán diferentes. Por ejemplo, consideremos dos observadores, uno de Figura 4.2 ellos colocado en el Sol y el otro en la Tierra, que intentan describir el movimiento de la Luna. Para
90
Lec. 4.- Cinemática de la partícula.
el observador terrestre la Luna describirá una órbita casi circular en torno a la Tierra. Para el observador solar la trayectoria de la Luna será una línea ondulante, como se muestra en la Figura 4.3. Naturalmente, si los observadores conocen su movimiento relativo, podrán reconciliar fácilmente Figura 4.3 sus observaciones respectivas. Dejaremos para más adelante la discusión detallada de como comparar las observaciones realizadas por observadores en movimiento relativo. Por ahora vamos a suponer que disponemos de un cierto referencial bien establecido y a él vamos a referir todas nuestras observaciones. §4.3. Movimiento de la partícula.- Comenzaremos la Cinemática con el estudio del movimiento del punto material. La posición de una partícula en el espacio queda determinada mediante el vector de posición r trazado desde el origen O de un referencial xyz a la posición de la partícula P (Figura 4.4). Cuando la partícula se mueve, el extremo del vector de posición r describe una curva C en el espacio, que recibe el nombre de trayectoria. La trayectoria es, pues, el lugar geométrico de las sucesivas posiciones que va ocupando la partícula en su movimiento. (1) En un sistema coordenado de ejes rectangulares xyz, de origen O, las componentes del vector r son las coordenadas (x,y,z) de la partícula en cada instante. Así, el movimiento de la partícula P quedará completamente especificado si se conocen los valores de las tres coordenadas (x,y,z) en función del tiempo. Esto es
x
x (t )
y
y (t )
z
z (t )
[4.1]
Estas tres ecuaciones definen una curva en el espacio (la trayectoria) y son llamadas ecuaciones paramétricas de la trayectoria. Para cada valor del parámetro t (tiempo) las ecuaciones [4.1] nos determinan las coordenadas de un punto de la trayectoria. Vemos que el movimiento real de la partícula puede reconstruirse a partir de los movimientos (rectilíneos) de sus proyecciones sobre los ejes coordenados. En el caso de que la trayectoria sea plana, esto es, contenida en un plano, si convenimos en que dicho plano sea el xy, será z=0 y podemos eliminar el tiempo t entre las dos primeras ecuaciones de [4.1] para obtener la ecuación de la trayectoria plana en forma implícita, f(x,y)=0, o en forma explícita, y=y(x). (2) Las tres ec. [4.1] se pueden compactar en una sola ecuación vectorial r (t)
x (t ) i
y (t ) j
z (t ) k
[4.2]
que es la ecuación vectorial del movimiento. (3) En ciertos casos puede ser conveniente proceder de un modo distinto,
91
§4.3.- Movimiento de la partícula.
tomando un punto arbitrario OO sobre la trayectoria y definiendo un cierto sentido positivo sobre ella. La posición de la partícula P, en cualquier instante t, queda determinada por la longitud del arco s = OOP. Entonces, a cada valor de t le corresponde un valor de s, es decir [4.3]
s (t )
s
Al parámetro s se le llama intrínseco y la ecuación [4.3] se denomina ecuación intrínseca del movimiento. Evidentemente, dicha ecuación sólo describe el movimiento de la partícula si conocemos de antemano su trayectoria.
Figura 4.4
§4.4. Velocidad.- Consideremos una partícula que describe una trayectoria curvilínea en el espacio, como la ilustrada en la Figura 4.5, y que durante un cierto intervalo de tiempo Δt pasa de la posición P a la Q. Aunque la partícula se ha desplazado a lo largo del arco PQ=Δs, el desplazamiento, que es un vector, lo definimos como PQ=Δr, de modo que el nuevo vector de posición es OQ=r+Δr. Definimos, entonces, como velocidad media de la partícula durante ese desplazamiento el cociente Δr/Δt, esto es
v
Δr Δt
[4.4]
Es obvio que es un vector que tiene la misma dirección y sentido que el vector desplazamiento Δr, o sea, Figura 4.5 secante a la trayectoria. Además, el valor encontrado para dependerá de la duración del intervalo de tiempo Δt empleado para medirla. Evitaremos este inconveniente considerando un intervalo de tiempo infinitesimal y definiendo la velocidad en un instante dado como el límite a que tiende el cociente incremental Δr/Δt, en el caso de que exista dicho límite, cuando Δt→0; esto es, como la derivada del vector de posición con respecto al tiempo2. Por tanto v
lím Δt→0
Δr Δt
dr dt
r˙
[4.5]
Cuando Δt→0, el punto Q→P, como lo indican los puntos Q′, Q″, ... en la Durante el proceso de paso al límite el vector PQ=Δr cambia continuamente
Figura 4.6.
2
Utilizaremos la notación r˙ , x˙ , ... para indicar derivación con respecto al tiempo.
92
Lec. 4.- Cinemática de la partícula.
en magnitud y en dirección, y de igual modo lo hace la velocidad media . En el límite, cuando el punto Q se confunde con el punto P, el vector Δr es tangente a la trayectoria y, por consiguiente, la velocidad instantánea será un vector tangente a la trayectoria. Multiplicando y dividiendo la expresión [4.5] por Δs=arc PQ, obtenemos lím
v
Δt→0
Δr Δs Δt Δs
lím Δs→0
Δr Δs lím Δs Δt→0 Δt
[4.6]
Ahora bien, en la Figura 4.6 podemos ver que la magnitud del desplazamiento Δr es casi igual a la longitud del arco PQ y que, a medida que Q se acerca a P, más se aproxima la magnitud Δr a la de Δs. Por lo tanto, el primer factor de [4.6] representa un vector unitario tangente a la trayectoria (versor tangente et). Esto es dr ds
lím Δs→0
Δr Δs
et
[4.7]
El segundo factor de [4.6] es ds dt
lím Δt→0
Δs Δt
v
[4.8]
de modo que v Figura 4.6
et
ds dt
v et
[4.9]
donde ds/dt=v representa el módulo de la velocidad (celeridad) de la partícula. En coordenadas cartesianas, teniendo en cuenta [4.2] y que los versores cartesianos (i,j,k) son constantes, tenemos para la velocidad v
dr dt
dx i dt
dy j dt
dz k dt
[4.10]
o bien, con notación matricial,
v
⎛ ⎞ ⎜vx ⎟ ⎜ ⎟ ⎜vy ⎟ ⎜ ⎟ ⎜v ⎟ ⎝ z⎠
⎛dx/dt ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜dy/dt ⎟ ⎜ ⎟ ⎝dz/dt ⎠
[4.11]
de modo que las componentes del vector velocidad en las direcciones de los ejes coordenados son vx
dx dt
vy
y el módulo de la velocidad o celeridad es
dy dt
vz
dz dt
[4.12]
93
§4.4.- Velocidad.
ds dt
v
2
vx
2
vy
2
vz
[4.13]
§4.5. Aceleración.- En cada instante, o sea en cada punto de la trayectoria, queda definido un vector velocidad que, en general, cambia tanto en módulo como en dirección al pasar de un punto a otro de la trayectoria. La dirección de la velocidad cambiará debido a que la velocidad es tangente a la trayectoria y ésta, por lo general, no es rectilínea. La dirección de la velocidad sólo permanece constante, y coincide con la trayectoria, en el movimiento rectilíneo; entonces, para especificarla, será suficiente dar su valor numérico (la celeridad) con el signo adecuado al sentido del movimiento. En la Figura 4.7 se representan los vectores velocidad correspondientes a los instantes t y t+Δt, cuando la partícula pasa por los puntos P y Q, respectivamente. El cambio vectorial en la velocidad de la partícula durante ese intervalo de tiempo está indicado por Δv, en el triángulo vectorial al pie de la Figura 4.7. En estrecho paralelismo con nuestra definición anterior de la velocidad media, definiremos ahora la aceleración media de la partícula, en el intervalo Δt, como el cociente
Δv Δt
a
[4.14]
que es un vector paralelo a Δv, y, como aquélla, dependerá de la duración del intervalo de tiempo Figura 4.7 Δt empleado en medir el cambio en la velocidad. La aceleración instantánea la definiremos, análogamente, como el límite a que tiende el cociente incremental Δv/Δt cuando Δt→0; esto es, como la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo: a
lím Δt→0
Δv Δt
dv dt
v˙
[4.15]
o bien, en función del vector de posición a
d2r dt 2
r¨
[4.16]
La aceleración es un vector que tiene la misma dirección que el cambio instantáneo en Figura 4.8 la velocidad. Como la velocidad cambia en la dirección en que la trayectoria se curva, la aceleración apuntará siempre hacia la concavidad de la curva, como se muestra en
94
Lec. 4.- Cinemática de la partícula.
la Figura 4.8, y en general no será ni tangente ni normal a la trayectoria. Si tomamos un punto arbitrario (A) del espacio y trazamos desde él vectores equipolentes a los vectores velocidad en cada uno de los puntos de la trayectoria, el lugar geométrico de los extremos de dichos vectores define una curva llamada hodógrafa3 del movimiento. Comparando la hodógrafa de la Figura 4.9b con la trayectoria de la Figura 4.9a es fácil comprender que la derivada de la velocidad con respecto al tiempo, esto es, la aceleración, será un vector tangente a la hodógrafa y que la celeridad del punto figurativo H sobre la hodógrafa será igual al módulo de la aceleración.
Figura 4.9
En coordenadas cartesianas, teniendo en cuenta [4.15] y [4.16] y que los versores cartesianos (i,j,k) son constantes, podemos escribir a
dv dt
dvx
a
d2r dt 2
d2x i dt 2
dt
dvy
i
dt
dvz
j
k
[4.17]
d2z k dt 2
[4.18]
dt
d2y j dt 2
o bien, con notación matricial ⎛ ⎞ ⎜ ax ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ay ⎟ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ z ⎝ ⎠
a
⎛ ⎞ ⎜ dvx/dt ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ dvy/dt ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ dv /dt ⎟ z ⎝ ⎠
⎛ d2x/dt 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ d2y/dt 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 2 ⎟ ⎝ d z/dt ⎠
[4.19]
Las componentes de la aceleración en las direcciones de los ejes coordenados son ax
ax y su módulo es
dvx
ay
dt d2x dt 2
ay
a
2
ax
dvy
az
dt d2y dt 2 2
ay
az 2
az
dvz dt d2z dt 2
[4.20]
[4.21]
[4.22]
De οδος=camino y grafo (=γραϕος, de la raíz γραϕω=escribir, elemento compositivo que significa «que escribe» o «que describe»). El término «hodógrafa» no aparece en el Diccionario de la Academia, en tanto que sí aparece «odómetro» (aparato para medir el camino recorrido, taxímetro), por lo que entendemos que, en contra de la costumbre, debería escribirse sin «h». 3
§4.6.- Componentes intrínsecas de la aceleración.
95
§4.6. Componentes intrínsecas de la aceleración.- Consideremos una partícula que describe una trayectoria curva (Figura 4.10). En un instante t la partícula se encuentra en el punto P y tiene una velocidad v y una aceleración a. Sabemos que el vector velocidad es tangente a la trayectoria y que lo podemos expresar como
v
[4.23]
v et
siendo et el versor tangente a la trayectoria en el punto considerado. Para obtener la aceleración de la partícula derivaremos con respecto al tiempo la expresión anterior y obtendremos a
dv dt
Figura 4.10
d (v et) dt
dv e dt t
v
de t dt
[4.24]
Si la trayectoria es rectilínea, el versor et es constante y det/dt=0. Pero cuando la trayectoria es curvilínea la dirección del versor tangente et varía al pasar de un punto a otro, de modo que det/dt≠0. Para evaluar el segundo miembro de la ec. [4.24] debemos calcular previamente el valor de det/dt. Como el versor tangente et es de módulo constante (sólo su dirección cambia al pasar de un punto a otro de la trayectoria), la derivada de este versor es un vector perpendicular al dado y, por tanto, normal a la trayectoria en el punto P. En efecto, puesto que et et=1, por derivación se sigue 2et (det/dt)=0, de modo que los vectores et y det/dt son perpendiculares entre sí. El vector det/dt está situado en el plano de dos tangentes consecutivas a la curva (Figura 4.11). Dicho plano recibe el nombre de plano osculador. La dirección del vector det/dt es la de la normal principal (normal a la curva que está contenida en el plano osculador) y su sentido es el de la concavidad. Si trazamos las normales principales a la curva en dos puntos contiguos (separados por una distancia infinitesimal ds), estas normales se cortan en un punto C llamado centro de curvatura, y forman entre sí un ángulo dθ. La distancia ρ=CP recibe el nombre de radio de curvatura (su inversa la representamos por κ=1/ρ y la llamaremos curvatura) y representa el radio de la circunferencia osculatriz a la curva en el punto P. En la Figura 4.11, en el triángulo isósceles formado por los vectores et′, et″ y det, se observa fácilmente que de t
e t dθ
dθ
[4.25]
y, por otra parte, en el sector circular CP′P″, es ds
ρ dθ
[4.26]
96
Lec. 4.- Cinemática de la partícula.
de modo que combinando las dos expresiones anteriores resulta que de t
1 ds ρ
[4.27]
o sea ⎡ ⎢ de t ⎢ ⎣ dt
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
1 ds ρ dt
v ρ
[4.28]
que nos da el módulo del vector det/dt. Si llamamos en al versor en la dirección de la normal principal a la curva y en el sentido de la concavidad podemos escribir
Figura 4.11
de t dt
v e ρ n
[4.29]
y llevando este resultado a la expresión [4.24] de la aceleración obtenemos finalmente dv e dt t
a
v2 e ρ n
[4.30]
Así pues, en tanto que el vector velocidad v es tangente a la trayectoria, el vector aceleración a puede descomponerse en dos componentes (llamadas componentes intrínsecas) mutuamente perpendiculares (Figura 4.10): una componente tangencial at (en la dirección de la tangente a la trayectoria), llamada aceleración tangencial, y una componente normal an (en la dirección de la normal principal a la trayectoria), llamada aceleración normal o centrípeta (este último nombre en razón a que siempre va dirigida hacia el centro de curvatura). Las magnitudes de estas dos componentes de la aceleración son at
dv dt
an
v2 ρ
[4.31]
y la magnitud de la aceleración de la partícula es a
2
at
2
an
[4.32]
Cada una de estas dos componentes de la aceleración tiene un significado físico bien definido. Cuando una partícula se mueve, su celeridad puede cambiar y este cambio lo mide la aceleración tangencial. Pero si la trayectoria es curva también cambia la dirección de la velocidad y este cambio lo mide la aceleración normal. Si en el movimiento curvilíneo la celeridad es constante (v=cte), la aceleración tangencial será nula, pero habrá una cierta aceleración normal, dada por [4.31], de modo que en un movimiento curvilíneo siempre habrá aceleración. Si el movimiento es circular, entonces el radio de curvatura es el radio R de la circunferencia y la
97
§4.6.- Componentes intrínsecas de la aceleración.
aceleración normal se escribe an = v2/R, como ya sabíamos por los cursos elementales de Física. Si la trayectoria es rectilínea, entonces el radio de curvatura es infinito (ρ→∞) de modo que an=0 (no hay cambio en la dirección de la velocidad) y la aceleración tangencial at será nula o no según que la celeridad sea o no constante. §4.7. Triedro móvil.- Anteriormente hemos definido los versores et (tangente) y en (normal) a una curva alabeada (en el espacio). Definiremos ahora un nuevo versor eb (binormal) mediante el producto vectorial de los dos anteriores; i.e.,
eb
et × en
[4.33]
de modo que los versores et, en y eb, en ese orden, definen un triedro directo llamado triedro intrínseco o de Frenet. Este triedro acompaña a la partícula en su movimiento, por lo que también se le llama triedro móvil (Figura 4.12). Los versores (et, en) definen, como ya dijimos anteriormente, el plano osculador. Los pares de vectoFigura 4.12 res (en, eb) y (et, eb) definen los planos normal y rectificante, respectivamente. El vector aceleración está contenido en el plano osculador. Podemos servirnos de la relación a = at + an para calcular las componentes intrínsecas de la aceleración y el radio de curvatura en un punto de la trayectoria. En efecto, multiplicándola escalar y vectorialmente por v obtenemos v a
v×a
⎛ v ⎞ ⎛ v˙ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 0 ⎟ × ⎜ v 2/ρ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 0 ⎠t n b ⎝ 0
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠t n b
v (a t ⎛ 0 ⎜ ⎜ 0 ⎜ 3 ⎝ v /ρ
a n) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠t n b
[4.34]
v at
v3 e ρ b
v an e b
[4.35]
y de aquí se sigue at
(v a) v
an
v×a v
κ
1 ρ
v×a v3
an v2
[4.36]
§4.8. Discusión de algunos tipos de movimiento.- Como aplicación de todo lo anteriormente expuesto, estudiaremos a continuación algunos tipos de movimiento de especial relevancia. §4.8.a. Movimiento uniforme.-
Cuando la velocidad es constante (en módulo,
98
Lec. 4.- Cinemática de la partícula.
dirección y sentido), o sea v = v0 = cte, el movimiento se llama uniforme. Entonces, integrando la ecuación diferencial [4.5] obtenemos r
⌠ v dt ⌡ 0
v0 ⌠ dt ⌡
v0 t
[4.37]
r0
donde r0 es una constante de integración que representa el vector de posición de la partícula en el instante inicial t=0. Puesto que los vectores v0 y r0 son constantes, la ec. [4.37] es la ecuación vectorial de una recta, o sea que la trayectoria de la partícula es rectilínea (Figura 4.13).
Figura 4.13
Figura 4.14
§4.8.b. Movimiento uniformemente acelerado.- Un tipo de movimiento especialmente interesante se presenta cuando la aceleración es constante, esto es a = a0 = cte. Este tipo de movimiento se llama uniformemente acelerado. Integrando la ecuación diferencial [4.15] se tiene
v
⌠ a dt ⌡ 0
a0 ⌠ dt ⌡
a0 t
[4.38]
v0
donde v0 es una constante de integración que representa la velocidad de la partícula en el instante inicial t=0. Sustituyendo este resultado en [4.5] y procediendo a una nueva integración se obtiene r
⌠ v dt ⌡
⌠ (a t ⌡ 0
v0 ) dt
1 2
a0 t 2
v0 t
r0
[4.39]
donde el vector r0 representa, como en el caso anterior, el vector de posición de la partícula en el instante t=0. De acuerdo con la ec. [4.38], la velocidad de la partícula se encuentra siempre en el plano definido por los vectores v0 y a0. Del mismo modo, la ec. [4.39] nos indica que el vector r-r0 se encuentra siempre en ese mismo plano. Así, llegamos a la conclusión de que en el movimiento con aceleración constante la trayectoria de la partícula está situada en un plano (plano osculador, Figura 4.14). Se pueden presentar los siguientes casos: (1) Si la velocidad inicial es nula, o sea v0=0, la ec. [4.39] se reduce a
99
§4.8.- Discusión de algunos tipos de movimiento.
r
1
r0
2
a0 t 2
[4.40]
de modo que la trayectoria es rectilínea y el sentido del movimiento es el de a0. (2) Si los vectores v0 y a0 tienen la misma dirección, entonces la trayectoria es rectilínea y el movimiento será rectilíneo uniformemente acelerado o retardado según que los sentidos de ambos vectores sean iguales u opuestos. (3) En el caso general, los vectores v0 y a0 tendrán direcciones diferentes. Entonces, la ec. [4.39] representa una parábola situada en el plano definido por los vectores v0 y a0 y que pasa por un punto del espacio cuyo vector de posición es r0. Uno de los problemas más interesantes en que se presenta esta situación es el movimiento de los proyectiles. §4.8.c. Movimiento de un proyectil.- Aplicaremos los resultados anteriores al estudio del movimiento de un proyectil, es decir de un objeto que es lanzado al aire con una cierta velocidad inicial y que se mueve sometido solamente a la acción del campo gravitatorio. Utilizaremos las siguientes hipótesis simplificadoras: (a) El alcance del proyectil es suficientemente pequeño como para poder despreciar la curvatura de la superficie terrestre (la aceleración gravitatoria g es normal a dicha superficie); (b) la altura que alcanza el proyectil es suficientemente pequeña como para poder despreciar la variación del campo gravitatorio terrestre con la altura; (c) la velocidad del proyectil es suficientemente pequeña como para poder despreciar la resistencia que presenta el aire al movimiento del proyectil y (d) no tendremos en cuenta el efecto de rotación de la Tierra que, como veremos más adelante, tiende a desviar el proyectil hacia la derecha de su trayectoria cuando el movimiento tiene lugar en el hemisferio Norte. Supongamos que se dispara un proyectil con una velocidad inicial v0 que forma un ángulo θ0 con la horizontal. En este problema a=g, siendo g la aceleración gravitatoria. Escogeremos el plano xy coincidiendo con el plano de la trayectoria (definido por v0 y g), con el eje y vertical y dirigido hacia arriba y el origen O coincidiendo con la posición de disparo del proyectil. Tenemos
r0
0
⎛ v cos θ 0 ⎜ 0 ⎜ v0 sen θ0 ⎜ 0 ⎝
v0
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ijk
a
g
⎛ ⎞ ⎜ 0 ⎟ ⎜ g ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 ⎠ijk
[4.41]
De acuerdo con la ec. [4.38], la velocidad en un instante genérico t viene dada por
v
⎛v ⎞ ⎜ x ⎟ ⎜ vy ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 ⎠ijk
⎛ v cosθ 0 0 ⎜ ⎜ v0 senθ0 gt ⎜ 0 ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ijk
[4.42]
y el módulo de la velocidad es v
2
vx
2
vy
[4.43]
formando el vector v (que es siempre tangente a la trayectoria) un ángulo θ con la
100
Lec. 4.- Cinemática de la partícula.
horizontal dado por tg θ
vy
[4.44]
vx
Similarmente, de la ec. [4.39] se sigue para el vector de posición
r
⎛ ⎞ ⎜x ⎟ ⎜y ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ z ⎠
⎛ v0 t cosθ0 ⎜ ⎜ 1 g t2 ⎜ v0 t senθ0 2 ⎜ 0 ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
[4.45]
que nos proporciona las ecuaciones paramétricas de la trayectoria. Si eliminamos el tiempo t entre las expresiones de las componentes x e y del vector de posición, se obtiene la ecuación algebraica de la trayectoria; esto es, y
g
x tg θ0
2 0
2v cos2θ0
x2
[4.46]
que representa una parábola de eje vertical con la concavidad dirigida hacia abajo. Así, pues, el movimiento es parabólico. A partir de las ecuaciones anteriores podemos obtener mucha información acerca del movimiento del proyectil. Por ejemplo, el tiempo th requerido para que el proyectil alcance la máxima altura h lo encontraremos anulando la segunda componente de v en [4.42], ya que en ese punto la velocidad del proyectil es horizontal. La altura máxima h alcanzada por el proyectil y el recorrido horizontal xh realizado hasta ese instante los obtendremos sustituyendo el tiempo th en las componentes del vector de posición r dado por [4.45]:
Figura 4.15
th
v0 senθ0 g
2
xh
v0 sen 2θ0 2g
2
yh
h
v0 sen2 θ0 2g
[4.47]
Resulta fácil comprobar que la máxima altura que adquiere el proyectil, para un determinado valor de v0, presenta un valor máximo, para θ0=90° (disparo vertical, como es obvio). El tiempo tA que emplea el proyectil en retornar al plano horizontal de lanzamiento recibe el nombre de tiempo de vuelo y lo podemos calcular haciendo y=0 en [4.45]. El alcance xA es la distancia horizontal cubierta durante ese tiempo y se determina sustituyendo el valor del tiempo de vuelo en x(t) dada por [4.45]. Descartando la solución trivial (t=0, x=0, y=0) tenemos
101
§4.8.- Discusión de algunos tipos de movimiento.
2v0 sen θ0
tA
g
2
xA
v0 sen 2θ0
yA
g
[4.48]
0
Obsérvese que tA=2th, que xA=2xh y que, para un valor fijo de v0, el alcance será máximo para un ángulo de disparo de 45°. Por otra parte, como sen 2(90°-θ0) = sen 2θ0, se obtiene el mismo alcance para un ángulo de disparo dado y para su complementario. §4.8.d. Movimiento rectilíneo.- La trayectoria de una partícula es rectilínea cuando su aceleración es nula (sin serlo la velocidad) o cuando su aceleración no tiene componente normal a la velocidad. El movimiento rectilíneo es, pues, un caso particular del movimiento general en el espacio, pero debido a la abundancia de problemas y situaciones en que lo encontraremos, le dedicaremos una atención especial. Puesto que los vectores v y a están dirigidos a lo largo de la trayectoria, será conveniente escoger el origen O sobre ella de modo que el vector de posición r también estará situado sobre ella. Entonces, al ser paralelos entre sí todos los vectores que nos describen el movimiento de la partícula podemos prescindir de la notación vectorial. Si tomamos el eje x en la dirección de la trayectoria y especificamos un cierto sentido como positivo, las ecuaciones de definición de la velocidad y de la aceleración se reducen a la componente x, o sea
v
dx dt
a
dv dt
d2x dt 2
[4.49]
de modo que, si conocemos x=x(t), podemos obtener la velocidad y la aceleración de la partícula, i.e., v=v(t) y a=a(t), mediante dos derivaciones sucesivas. En algunos casos conoceremos a=a(t) y, entonces, por integración (y conociendo las condiciones iniciales v0 y x0) podemos obtener v=v(t) y x=x(t). Podemos encontrar otra relación cinemática importante aplicando a la definición Tabla 4.1.- Expresiones para el movimiento rectilíneo. Conocemos
Se aplica
Se obtiene
O sea
a = a(t)
dv = a dt
v = v0 + ∫ a dt
v = v(t)
v = v(t)
dx = v dt
x = x0 + ∫ v dt
x = x(t)
a = a(x)
v dv = a dx
v2 = v20 + 2 ∫ a dx
v = v(x)
v = v(x)
dt = dx/v
t = t0 + ∫ dx/v
t = t(x)
dx = v dv/a
x = x0 + ∫ v dv/a
x = x(v)
dt = dv/a
t = t0 +∫ dv/a
t = t(v)
a = a(v)
102
Lec. 4.- Cinemática de la partícula.
de la aceleración la regla de derivación de una función de función. Así, obtenemos la expresión a
dv dt
dv dx dx dt
v
dv dx
[4.50]
que nos resultará de gran utilidad cuando conozcamos a=a(x) o v=v(x). En la Tabla 4.1 presentamos el modo de abordar diversos problemas de movimiento rectilíneo. Las expresiones anteriores aplicadas al movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (a=cte) nos llevan a las bien conocidas relaciones v
v0
v2
at
2
2a( x
v0
x0 )
x
x0
1
v0 t
2
a t2
[4.51]
§4.9. Velocidad y aceleración relativas.- Ya hemos indicado anteriormente que el movimiento es un concepto relativo porque debe referirse a un referencial particular escogido por el observador. Ya que diferentes observadores pueden utilizar referenciales distintos, es importante conocer la forma en que se relacionan las observaciones realizadas por aquéllos. En este artículo sólo vamos a introducir los conceptos de velocidad y aceleración relativas para observadores ligados a referenciales en movimiento que mantienen una orientación fija en el espacio (i.e., traslación, sin rotación) y dejaremos para un tema posterior el análisis del movimiento relativo en el caso más general (i.e., traslación y rotación). Consideremos dos partícuFigura 4.16 las A y B que se mueven en el espacio y sean rA y rB sus vectores de posición con respecto al origen O de un referencial dado. Las velocidades de A y B medidas en ese referencial son
vA
drA dt
vB
drB
[4.52]
dt
Los vectores de posición de la partícula B con respecto a la A y de la A con respecto a la B están definidos por rBA
AB
rB
rA
rAB
BA
rA
rB
y las velocidades de B con respecto a A y de A con respecto a B son
[4.53]
103
§4.9.- Velocidad y aceleración relativas.
drBA
vBA
dt
vAB
drAB
[4.54]
dt
de modo que al ser rBA = - rAB también resulta que vBA = - vAB. Esto es, las velocidades relativas de B con respecto a A y de A con respecto a B son iguales y opuestas. Efectuando las derivadas indicadas en [4.54] resulta drBA
drB
drA
drAB
drA
drB
dt
dt
dt
dt
dt
dt
o sea que
vBA
vB
vA
vAB
vA
[4.55]
[4.56]
vB
de modo que obtendremos la velocidad relativa entre las dos partículas restando vectorialmente sus velocidades con respecto a un mismo referencial (Ref. Oxyz en la Figura 4.16). Derivando de nuevo las expresiones [4.56] tenemos para las aceleraciones relativas dvBA
dvB
dvA
dvAB
dvA
dvB
dt
dt
dt
dt
dt
dt
[4.57]
Los primeros miembros de [4.57] son las aceleraciones relativas de B con respecto a A y de A con respecto a B. Los otros términos son las aceleraciones de A y de B con respecto a un mismo observador. Tenemos aBA
aB
aA
aAB
aA
aB
[4.58]
siguiéndose para las aceleraciones relativas la misma regla que para las velocidades.
Ejemplo I.- Navegando por el río.- Un hombre en un bote navega corriente arriba por un río y lleva una botella medio vacía de whisky sobre la popa del bote. Mientras el bote pasa bajo un puente, una ola reflejada por los pilares del puente choca contra la embarcación y la botella cae al agua, sin que lo advierta el tripulante. Durante 15 minutos, el bote continúa aguas arriba, mientras la botella flota aguas abajo. Al cabo de los 15 minutos, el hombre ve que la botella ha desaparecido, vuelve al bote (prescindamos del tiempo empleado en la maniobra) y navega aguas abajo con la misma velocidad que antes respecto al agua. Coge la botella un kilómetro aguas abajo del puente. La pregunta es: ¿cuál es la velocidad del río? (Adaptado de Biografía de la Física, pág, 218, de George Gamow. Alianza Editorial. Madrid 1980). La resolución del problema es muy simple si lo planteamos en un referencial (el del río) en el que la botella se encuentra en reposo. En este referencial, la velocidad de la barca es la misma (en módulo, no en dirección) cuando se aleja de la botella y cuando regresa para recogerla. Puesto que la botella se encuentra en reposo respecto del río, el tiempo que emplea la barca en regresar hasta la botella será otros 15 min. Así, la botella ha permanecido en el agua 30 min. Figura 4.17 Durante ese tiempo, la botella ha recorrido 1 km, arrastrada por la
104
Lec. 4.- Cinemática de la partícula.
corriente; por consiguiente, la velocidad de la botella respecto a tierra, que es también la velocidad de la corriente, es 1 km 30 min
1 km 0.5 horas
2 km/h
Naturalmente, también podemos resolver el problema planteándolo en el referencial de tierra. Invitamos al lector a que así lo haga, aunque tan sólo sea para comprobar que no encontrará la elegante simplicidad del método descrito anteriormente.
Problemas 4.1.- Una pelota dejada caer desde la cornisa de un edificio emplea 0.25 s en pasar frente a una ventana de 2 m de altura. ¿Qué distancia hay entre el borde superior de la ventana y la cornisa? 4.2.- Un niño lanza una bola verticalmente hacia arriba, con una velocidad inicial de 20 m/s. Transcurrido 1 s, el niño lanza otra bola, también verticalmente hacia arriba y con la misma velocidad inicial que la primera. a) ¿En qué instante y en qué posición se cruzarán ambas bolas? b) ¿Cuáles serán sus velocidades en ese instante? 4.3.- El maquinista de un tren expreso que circula con una velocidad v1 observa a una distancia d el furgón de cola de un tren de mercancías que marcha por delante del expreso, sobre la misma vía y en el mismo sentido, con una velocidad v2, menor que la del expreso. El maquinista del expreso aplica inmediatamente los frenos, produciéndose una desaceleración constante a, mientras que el mercancías continúa su marcha a velocidad constante. Determinar el menor valor de la desaceleración para que pueda evitarse la colisión. 4.4.- Una partícula se mueve sobre el eje x de modo que su velocidad es v = 2 + 3t2 (cm/s). En el instante t=0 su posición es x=3 cm. Determinar: a) la posición de la partícula en un instante genérico t; b) su aceleración; c) su velocidad media en el intervalo de tiempo t1=2 s a t2=5 s. 4.5.- Después de parar el motor de una canoa,
ésta tiene una aceleración en sentido opuesto a su velocidad y directamente proporcional al cuadrado de ésta. Determinar: a) la velocidad de la canoa en función del tiempo; b) la distancia recorrida en un tiempo t; c) la velocidad de la canoa después de haber recorrido una distancia x; d) Constrúyanse las gráficas del movimiento. Aplicación numérica: supóngase que cuando se para el motor la velocidad de la canoa es de 20 m/s y que 15 s después dicha velocidad se ha reducido a la mitad. Determinar el valor de la constante de proporcionalidad que aparece en la definición de la aceleración. 4.6.- Vehículo quitanieves. La velocidad de un vehículo quitanieves es inversamente proporcional al tiempo transcurrido desde que comenzó a nevar. Transcurrido un cierto tiempo, t0, a partir del instante en que empezó a nevar, el vehículo se pone en marcha y recorre 2 km en la primera hora y 1 km en la segunda. a) Determinar la ecuación del movimiento del vehículo, i.e., x(t). b) Calcular el valor de t0. c) ¿Qué distancia recorrerá el vehículo durante la tercera hora de funcionamiento? 4.7.- El movimiento rectilíneo de una partícula está caracterizado por su aceleración a=-9x, siendo x la distancia (en cm) que la separa de un cierto origen sobre la trayectoria. En el instante inicial la partícula se encuentra en el punto x0=3 cm y tiene una velocidad de 2 cm/s (alejándose del origen). Determinar la posición y la velocidad de la partícula en un instante cualquiera t.
105
Problemas
4.8.- En un cierto instante la celeridad de una partícula es de 20 m/s y el módulo de su aceleración es 3 m/s2. Los vectores velocidad y aceleración forman, en ese instante, un ángulo de 30°. Determinar la curvatura y el radio de curvatura de la trayectoria de la partícula en ese instante. 4.9.- El movimiento de una partícula queda definido por r = R cos ωt i + R sen ωt j, donde R y ω son constantes. a) Obtener la ecuación f(x,y) de la trayectoria. ¿En qué sentido se recorre dicha trayectoria? b) Demostrar que la velocidad de la partícula es en todo momento perpendicular a su vector de posición. c) Demostrar que la aceleración de la partícula está siempre dirigida hacia el origen y que su módulo es proporcional al módulo del vector de posición. d) Demostrar que r×v es un vector constante. 4.10.- El movimiento de una partícula está definido por las ecuaciones x = a cosωt e y = b senωt, donde a, b y ω son constantes. a) Demostrar que la trayectoria es una elipse. b) Demostrar que, en general, la velocidad de la partícula no es perpendicular al vector de posición de la misma. c) Demostrar que la aceleración de la partícula está siempre dirigida al origen. d) Determinar las componentes tangencial y normal de la aceleración. e) Encontrar las expresiones de la curvatura y del radio de curvatura en los puntos de la trayectoria.
Prob. 4.11 4.11.- En el dispositivo que se muestra en la figura, las deslizadoras 1 y 2 están unidas por una cuerda flexible, de longitud l, que pasa por una pequeña polea P. Determinar la velocidad y la aceleración de la deslizadora 2 en el instante en que la deslizadora 1 se mueve hacia la derecha con velocidad v1 y aceleración a1. 4.12.- El movimiento de una partícula en el plano xy está definido por las ecuaciones paramétricas x = 2t, y = 4 sen ωt. a) Determinar la ecuación de la trayectoria y representarla gráficamente. b) Calcular la velocidad y la aceleración de la partícula en función del tiempo. c) ¿En qué instantes alcanzan la
velocidad y la aceleración sus valores extremos (máximos o mínimos)? 4.13.- Desde el pie de un plano inclinado, que forma un ángulo α con la horizontal, se dispara un proyectil con una velocidad inicial v0 que forma un ángulo θ0 con la horizontal. Determinar el alcance del proyectil medido a lo largo del plano inclinado.
Prob. 4.14 4.14.- Justamente en el instante en que un indio dispara un dardo, apuntando con la cerbatana directamente hacia un mono que está colgado de una rama de un árbol, el mono se suelta y cae libremente (vide figura). a) Demostrar que cualquiera que sea la velocidad v0 de salida del dardo, el mono será siempre alcanzado. b) El "siempre" anterior no es totalmente cierto; hay un valor mínimo de v0 por debajo del cual el mono no será alcanzado. Determinar dicho valor.
Prob. 4.15 4.15.- Sombrilla de cobertura. El piloto de un avión de caza que va a operar cerca del emplazamiento de un cañón antiaéreo debe conocer la sombrilla de cobertura del cañón, esto es, la envolvente de todas las posibles trayectorias de las proyectiles disparados por el cañón, en el supuesto de que éste pueda cubrir todos los ángulos de disparo, desde el disparo horizontal al vertical (vide figura). Si consideramos emplazado el cañón en el origen de un sistema coordenado, como se indica en la figura, ¿cuál es la ecuación de la sombrilla de cobertura del cañón? (Se supone que el cañón dispara un tipo único de proyectiles). 4.16.- Un esquiador se desliza por una pista de
106
Lec. 4.- Cinemática de la partícula.
en los puntos de la trayectoria. 4.23.- Las ecuaciones paramétricas del movimiento de una partícula son: x = R cosωt, y = R senωt, z = bt, donde R, ω y b son constantes. a) Hacer un esquema de la trayectoria. b) Calcular la velocidad y la aceleración de la partícula. c) Determinar las componentes intrínsecas (tangencial y normal) de la aceleración. d) Calcular el radio de curvatura. Prob. 4.16 pendiente constante que forma un ángulo θ con la horizontal. Tras haber partido del reposo, recorre una distancia s sobre la pista antes de encontrarse con el borde de un escarpado vertical de altura H, como se indica en la figura. Al pie de la escarpadura la pista continúa con la misma pendiente. Determinar la posición del punto donde cae el esquiador. 4.17.- Una partícula se encuentra inicialmente en el origen de coordenadas y su velocidad viene dada por v = 8t3i + t2j. a) Determinar su trayectoria. b) Obtener las componentes tangencial y normal de su aceleración. 4.18.- ¿Cuál debe ser la elevación de disparo de una pieza de artillería para que en el punto más alto de la trayectoria del proyectil se pueda trazar una circunferencia tangente (circunferencia osculatriz) cuyo centro se encuentre situado en la misma horizontal que la pieza? 4.19.- Demostrar las fórmulas de FrenetSerret: a) det/ds = κen; b) deb/ds = -τen; c) den/ds = -κet+τeb; siendo s la longitud de arco sobre una curva C medida desde un punto fijo de la curva, y κ y τ la curvatura y torsión, respectivamente, de la curva. 4.20.- Demostrar que para una curva plana es τ=0. 4.21.- Demostrar que el vector de aceleración de una partícula que se mueve sobre una curva cualquiera del espacio está siempre contenido en el plano osculador de la trayectoria. 4.22.- Una partícula se mueve describiendo la parábola x2 = 2py, donde p es una constante, de modo que la proyección de su velocidad sobre la tangente a la parábola en el vértice de ésta permanece constante e igual a k. a) Determinar la velocidad y la aceleración de la partícula. b) Evaluar las componentes intrínsecas de la aceleración. c) Encontrar las expresiones da la curvatura y del radio de curvatura
4.24.- En la curva definida en el Problema 4.23, poner R = 3, ω = 1 y b = 4. Determinar: a) el versor tangente; b) el versor normal principal, la curvatura y el radio de la curvatura; c) el versor binormal, la torsión y el radio de torsión. 4.25.- Dadas las ecuaciones paramétricas (temporales) del movimiento de una partícula: x = 2t, y = t2, z = t3/3, determinar: a) Las componentes intrínsecas de su aceleración en el instante t=1; b) el radio de curvatura de la trayectoria en dicho instante. 4.26.- Dada la curva del espacio x = t, y = t2, z = (2/3)t3, determinar: a) su curvatura; b) su torsión; c) las ecuaciones de las rectas tangente, normal y binormal en el punto correspondiente a t = 1; d) las ecuaciones de las planos osculador, normal y rectificador en el mismo punto. 4.27.- Una partícula describe una trayectoria elíptica de ecuaciones: x = A cos θ, y = B sen θ, existiendo la relación θ - sen θ = kt, siendo la excentricidad de la elipse, k una constante y t el tiempo. a) Determinar la velocidad de la partícula. b) Encontrar la hodógrafa del movimiento. 4.28.- El movimiento de dos partículas queda definido, respectivamente, por r 1 = 3t2i + 5tj + t3k y r2 = ti + 4t2j. Determinar la velocidad y aceleración de la segunda partícula respecto a la primera en el instante t = 2 s. 4.29.- La velocidad de un avión con respecto al aire es de 600 km/h. Si sopla un viento procedente del Oeste, con una velocidad de 100 km/h, determinar el rumbo que debe poner el piloto del avión para dirigirse hacia el Norte y calcular cuál será entonces la velocidad del avión con respecto a tierra. 4.30.- Puente aéreo. Un avión emplea 1 h y 15 min para desplazarse entre dos poblaciones separadas por una distancia de 660 km. En el viaje de vuelta emplea sólo 55 min. Suponiendo que tanto en el viaje de ida como en el de vuelta ha soplado un viento constante en una dirección que forma un ángulo de 30° con la
107
Problemas
trayectoria calcúlense la velocidad del viento y la del avión en aire en calma. 4.31.- Atravesando un río. Un bote parte desde el punto P en la orilla de un río y marcha con celeridad constante v (respecto al agua) siempre en dirección hacia un punto Q de la orilla opuesta, que se encuentra justamente enfrente del punto P de partida. La anchura del río es D y la velocidad de la corriente es V. Demostrar que la trayectoria del bote queda definida por r
D secθ v
(secθ
tgθ ) V
un automóvil que circula por un sendero que sigue el borde del lago. La velocidad máxima de la barca es vf y la del automóvil vp = kvf, con k > π. Para alcanzar la orilla del estanque, escapando de su perseguidor, el fugitivo utiliza la estrategia de colocarse en posición diametralmente opuesta a la de su perseguidor, mientras sea posible. a) Determinar la ecuación de la trayectoria seguida por el fugitivo y la curvatura de la misma. b) ¿Conseguirá llegar a la orilla? En caso contrario, ¿cuál será la máxima separación del centro del lago que conseguirá? c) Si a partir de esa posición comienza a moverse radialmente, ¿para qué valor de k conseguirá escapar? ¿Cuál será el tiempo empleado en ese caso?
siendo r la distancia que existe en un instante dado entre la posición del bote y el punto Q y θ el ángulo formado por r y QP. 4.32.- Un cochecito de juguete, autopropulsado, que se mueve con celeridad constante v, está unido mediante una cuerda flexible de longitud l a una columna cilíndrica de radio R, como se ilustra en la figura. Cuando el cochecito se pone en movimiento, la cuerda se enrolla en la columna, permaneciendo siempre tensa. a) Obtener las ecuaciones horarias del Prob. 4.32 movimiento del cochecito, i.e., x(t) e y(t), a partir del momento en que la cuerda comienza a enrollarse en la columna. b) Determinar el tiempo que tarda la cuerda en enrollarse completamente. c) Encontrar la velocidad y la aceleración del punto de tangencia entre la cuerda y la columna cuando el ángulo de arrollamiento vale 90°. 4.33.- Persecución. Un fugitivo se encuentra en una barca en el centro de un lago circular de radio R, encontrándose su perseguidor en
Prob. 4.33
Prob. 4.34 4.34.- Una rueda de radio R rueda sobre un camino horizontal embarrado, avanzando con una velocidad constante v0. De la periferia de la rueda se desprenden partículas de barro. a) Determinar la altura máxima sobre el suelo que pueden alcanzar las partículas de barro. b) ¿De qué punto de la periferia de la rueda se desprenden esas partículas de barro?
108
Lec. 4.- Cinemática de la partícula.
5.- Cinemática del sólido rígido. §5.1. Concepto de sólido rígido (109); §5.2. Condición cinemática de rigidez (110); §5.3. Movimiento de traslación (111); §5.4. Movimiento de rotación. Vector velocidad angular (112); §5.5. Principio de superposición de movimientos (114); §5.6. Composición de rotaciones (115); §5.7. Movimiento rototraslatorio (117); §5.8. Movimiento helicoidal (118); §5.9. Eje instantáneo de rotación y deslizamiento (118); §5.10. Teorema de Chasles (120); §5.11. Axoides. Representación de Poncelet (121); §5.12. Aceleración. Vector aceleración angular (122); §5.13. Contacto entre sólidos: deslizamiento, rodadura y pivotamiento (126); §5.14. Movimiento plano del sólido rígido (127); §5.15. Base y ruleta (129); §5.16. Velocidad de sucesión del CIR (133); §5.17. Movimiento de rotación alrededor de un eje fijo (134); Problemas (136)
§5.1. Concepto de sólido rígido.- En esta lección describiremos el movimiento del sólido rígido, entendiendo por tal aquel sistema de partículas en el que la distancia entre dos cualesquiera de ellas permanece invariable en el transcurso del tiempo. Los cuerpos sólidos que manejamos se deforman siempre, en mayor o menor grado, cuando están sometidos a las acciones de las fuerzas; sin embargo, si éstas son suficientemente pequeñas, las deformaciones producidas son despreciables y, entonces, hablaremos de cuerpos rígidos o indeformables. La definición de sólido rígido es sólo conceptual, por cuanto que el sólido rígido, en todo rigor, no existe. En este sentido, el sólido rígido es sólo una idealización y extrapolación del sólido real, al igual que lo fue, en la lección anterior, el punto material. Consideremos un sólido rígido y un sistema de coordenadas, xyz, como se muestra en la Figura 5.1. Indicaremos por ri y rj los vectores de posición de dos puntos, Pi y Pj, del sólido; la condición geométrica de rigidez se expresa por
( ri
r j )2
cte.
[5.1]
La posición del sólido con respecto al sistema de ejes coordenados queda perfectamente determinada si conocemos la posición de tres cualesquiera de sus puntos, no alineados, como los puntos 1, 2 y 3 que se indican en la Figura 5.1. Para especificar la posición de cada uno de ellos se necesitan tres parámetros o coordenadas; de modo que en total necesi-
Manuel R. Ortega Girón
Figura 5.1
109
110
Lec. 5.- Cinemática del sólido rígido.
tamos, aparentemente, nueve parámetros o coordenadas para especificar la posición del sólido en el espacio. Los tres puntos que hemos tomado como referencia están ligados por las condiciones de rigidez expresadas por [5.1]; esto es ⎧ ⎪ (x1 x2)2 ⎪ ⎨ (x2 x3)2 ⎪ ⎪ (x x )2 ⎩ 3 1
2
(y1 y2)2
(z1 z2)2
k12
(y2 y3)2
(z2 z3)2
k23
(y3 y1)2
(z3 z1)2
k31
2
[5.2]
2
tres ecuaciones que nos permiten despejar tres incógnitas en función de las demás, de modo que el número mínimo de parámetros o coordenadas necesarias para especificar la posición del sólido es solamente seis. Decimos que el sólido rígido posee seis grados de libertad. Volveremos sobre este asunto en §20.6. §5.2. Condición cinemática de rigidez.- Para describir el movimiento de un sólido rígido deberíamos describir el movimiento de cada uno de los puntos materiales que lo constituyen. La situación puede parecernos demasiado complicada pero, afortunadamente, la propia condición de rigidez impone ciertas restricciones al movimiento de los distintos puntos materiales del sólido, de modo que la situación se simplifica enormemente.
Figura 5.2
Figura 5.3
Para cada pareja de partículas pertenecientes al sólido rígido, la (Pi,Pj) por ejemplo, podemos escribir la condición geométrica de rigidez, esto es, la ec. [5.1], que derivada con respecto al tiempo nos conduce a 2 (r i
rj )
⎛ ⎜ dr i ⎜ ⎝ dt
⎞ dr j ⎟ ⎟ dt ⎠
0
[5.3]
que también podemos escribir en la forma rij
vij
0
[5.4]
donde rij y vij representan, respectivamente, el vector de posición y la velocidad de la partícula Pi con respecto a la Pj. La ec. [5.4] expresa un resultado importante: al no ser nulos ninguno de los vectores que intervienen en el producto escalar, han de ser perpendiculares entre sí. Dicho de otro modo: todo vector que tenga sus extremos fijos en el sólido rígido (como el rij) es perpendicular a su derivada con respecto al tiempo (i.e., a vij). La ec. [5.3] puede escribirse:
111
§5.2.- Condición cinemática de rigidez.
en la forma
r ij v i
r ij v j
o también
r ij
r ij
rij
vi
rij
[5.5]
[5.6]
vj
ecuación que expresa la igualdad de las proyecciones de las velocidades de los puntos Pi y Pj sobre la recta que los une. Este resultado constituye la condición cinemática de rigidez que se enuncia así: Las velocidades de los puntos alineados pertenecientes a un sólido rígido dan idéntica proyección sobre la recta que definen. Manifiestamente, la condición cinemática de rigidez expresa la imposibilidad de que se modifique la distancia entre dos puntos cualesquiera del sólido en el transcurso del movimiento de éste. §5.3. Movimiento de traslación.- Veremos más adelante que el movimiento más general del sólido rígido puede considerarse como la superposición de dos tipos de movimiento: de traslación y de rotación. Estudiaremos, primero, cada uno de estos dos movimientos básicos por separado. El movimiento de traslación es el más sencillo que puede experimentar el sólido rígido. Desde un punto de vista geométrico lo podemos definir del modo siguiente:
Se dice que un sólido rígido está animado de un movimiento de traslación cuando todo segmento rectilíneo definido por dos puntos de aquél permanece paralelo a sí mismo en el transcurso del movimiento. Consideremos un sólido rígido animado de un movimiento de traslación, como se muestra en la Figura 5.4. En virtud de la condición geométrica de rigidez, el vector rij=ri-rj ha de mantener constante su módulo en el transcurso de cualquier movimiento y, además, en virtud de la definición geométrica del movimiento de traslación, también ha de mantener constante su dirección y sentido; entonces, siendo c un vector constante, podemos escribir ri
rj
[5.7]
c
y derivando con respecto al tiempo
o sea
dr i
dr j
dt
dt vi
vj
0
[5.8]
Figura 5.4
[5.9]
constituyendo esta igualdad la condición cinemática del movimiento de traslación, esto es: Todos los puntos de un sólido rígido animado de un movimiento de traslación tienen, en cada instante, la misma velocidad.
112
Lec. 5.- Cinemática del sólido rígido.
Esa velocidad, común a todos los puntos del sólido, recibe el nombre de velocidad de traslación del sólido y debe ser considerada como un vector libre. Las mismas consideraciones pueden aplicarse a la aceleración. En consecuencia, una vez definido el movimiento de un punto cualquiera del sólido rígido que se traslada, tenemos definido el movimiento del sólido. Otra característica importante del movimiento de traslación del sólido rígido es que las trayectorias recorridas por sus diversos puntos son congruentes. En efecto, consideremos de nuevo dos puntos cualesquiera, Pi y Pj, pertenecientes al sólido, y sean ri y rj sus vectores de posición con respecto a un cierto origen arbitrario O. Imaginemos un desplazamiento experimentado en una traslación del sólido, de modo que los vectores de posición de esos puntos, con respecto al mismo origen O, sean ahora r′i y r′j, respectivamente. La condición geométrica de rigidez junto con la condición geométrica que define al movimiento de traslación se expresa en la forma
o sea Figura 5.5
ri
rj
ri
rj
[5.10]
ri
ri
rj
rj
[5.11]
Δ ri
Δ rj
[5.12]
de modo que el desplazamiento experimentado por cada uno de los puntos del sólido durante un intervalo de tiempo Δt es único. De este resultado, junto con la noción de la línea curva como límite de una poligonal y de la continuidad del movimiento, se sigue la congruencia de las trayectorias recorridas por los distintos puntos del sólido rígido. Es conveniente que insistamos en que el movimiento de traslación no prejuzga forma alguna para las trayectorias de los distintos puntos que constituyen el sólido. Evidentemente, si la velocidad de traslación es constante (v=cte), cada uno de los puntos del sólido recorrerá una trayectoria rectilínea con celeridad constante y todas esas trayectorias serán paralelas entre sí (movimiento de traslación uniforme). Pero, en general, la velocidad de traslación no tiene por que ser constante y la trayectoria puede ser curvilínea. Así, por ejemplo, las trayectorias recorridas por los distintos puntos del cuerpo pueden ser circunferencias, todas ellas del mismo Figura 5.6 radio (congruentes) aunque de distinto centro. Esta situación se presenta en una noria de feria de eje horizontal, como se muestra en la Figura 5.6; la armadura gira en torno al eje (rotación), pero las barquillas suspendidas de dicha armadura, prescindiendo de pequeñas oscilaciones pendulares, experimentan una traslación con trayectorias circulares. §5.4. Movimiento de rotación. Vector velocidad angular.- Desde el punto de vista geométrico, podemos enunciar:
§5.4.- Movimiento de rotación. Vector velocidad angular.
113
Se dice que un sólido rígido está animado de un movimiento de rotación alrededor de un eje fijo cuando todos sus puntos describen trayectorias circulares centradas sobre dicho eje y contenidas en planos normales a éste. El eje de rotación puede atravesar el cuerpo o ser exterior al mismo; en el primer caso, los puntos del sólido que están sobre el eje permanecen en reposo en tanto que los demás puntos describen circunferencias en torno al eje; en el segundo caso, todos los puntos del sólido están en movimiento circular alrededor del eje exterior al sólido. En cualquier caso, la velocidad v de un punto P del sólido será tangente a la circunferencia descrita y, en un instante dado, tendrá un módulo tanto mayor cuanto mayor sea la distancia del punto al eje de rotación. Dicha velocidad viene dada por v
v et
[5.13]
El módulo de la velocidad, es decir, la celeridad, es v
lím Δt→0
Δs Δt
ds dt
[5.14]
pero se verifica que ds = r dθ, midiéndose el ángulo en radianes (rad), de modo que v
ds dt
Figura 5.7
dθ r dt
[5.15]
El cociente dθ/dt recibe el nombre de celeridad angular y podemos expresar la celeridad v de cualquier punto del sólido como el producto de la celeridad angular por la distancia r del punto al eje de rotación. Designando por ω la celeridad angular, podemos escribir v
ω r
[5.16]
La introducción del concepto de celeridad angular es de gran importancia por la simplificación que supone en la descripción del movimiento de rotación del sólido, ya que, en un instante dado, todos los puntos del sólido poseen la misma celeridad angular, en tanto que a cada uno de ellos le corresponde una celeridad que es función de su distancia al eje de rotación. Así pues, la celeridad angular caracteriza al Figura 5.8 movimiento de rotación del sólido rígido en torno a un eje fijo. La celeridad angular se mide en radianes por segundo (rad/s). Definiremos el vector velocidad angular ω, como un vector situado sobre el eje de rotación, cuyo módulo es la celeridad angular anteriormente definida, o sea
114
Lec. 5.- Cinemática del sólido rígido.
ω
lím
ω
Δt→0
Δθ Δt
dθ dt
[5.17]
y cuyo sentido coincide con el del avance de un tornillo que girase en el sentido en que lo hace el sólido (regla de la mano derecha). Si designamos por e al versor que indica la dirección del eje, y cuyo sentido sea el definido por la regla anterior, tenemos ω
dθ e dt
ωe
dθ dt
[5.18]
donde hemos considerado al elemento de ángulo dθ como un vector dθ, de módulo dθ, cuya dirección y sentido están definidos por la regla del tornillo. Llamando et y en a los versores tangencial y normal, respectivamente, a la trayectoria del punto genérico P, la velocidad de ese punto puede expresarse en la forma v
rω (e n×e)
v et
(r e n)× (ω e)
PO × ω
[5.19]
de modo que podemos afirmar: La velocidad v de un punto genérico P del sólido rígido en rotación es igual al momento del vector velocidad angular ω con respecto a dicho punto P. Así pues, conocida la velocidad angular ω queda determinada la distribución de velocidades en todos los puntos del sólido rígido en rotación. La expresión [5.19] puede escribirse en la forma v o bien
v
ω × OP
[5.20]
ω × r
[5.21]
donde r=OP es el vector de posición del punto genérico P con respecto a un punto cualquiera del eje de rotación. Las definiciones anteriores exigen que el vector velocidad angular ω tenga carácter deslizante sobre el eje de rotación; en efecto, se verifica que ω × OP
ω × O1P
ω × O2P
[5.22]
siendo O, O1 y O2 distintos puntos del eje de rotación, ya que es OP = O1P sen φ1 = O2P sen φ2. §5.5. Principio de superposición de movimientos.- El principio de superposición de movimientos en un sólido rígido establece lo siguiente:
Si un sólido rígido está animado de varios movimientos simultáneos que originan velocidades v′, v″, ... en un punto genérico P del sólido, la velocidad resultante v de ese punto genérico es la suma vectorial de las velocidades que le corresponde en cada uno de los movimientos componentes por separado. En efecto, por el principio de superposición de los desplazamientos elementales originados por cada uno de los movimientos simultáneos, se cumple que dr
dr′
dr″
v′dt
v″dt
(v′
de modo que, en el instante t, la velocidad del punto genérico P es
v″
) dt
[5.23]
115
§5.5.- Principio de superposición de movimientos.
v
v′
[5.24]
v″
Otra forma de enunciar el principio de superposición es la siguiente: Si un sólido rígido esta animado de varios movimientos simultáneos, para cada uno de los cuales se cumple la condición cinemática de rigidez, el movimiento resultante también cumple esa condición. En efecto, consideremos dos puntos del sólido, Pi y Pj (Figura 5.9); por cumplirse la condición cinemática de rigidez para cada uno de los movimientos componentes (simultáneos), podemos escribir: v i r ij
v j r ij
v i r ij
v j r ij
[5.25]
que sumados dan (v i′
v i″
(v j′
v j″
) r ij ) r ij
[5.26]
de modo que, teniendo en cuenta [5.24], resulta v i r ij
[5.27]
v j r ij
Figura 5.9
que es la expresión de la condición cinemática de rigidez para el movimiento resultante.
§5.6. Composición de rotaciones.- A partir de la definición del vector velocidad angular, y al quedar completamente representado por dicho vector el movimiento de rotación del sólido, es fácil comprender que componer dos o más rotaciones se reducirá a sumar los vectores de velocidad angular que las representan, sin olvidar que dichos vectores son deslizantes. Consideraremos dos casos sencillos. (1) Rotaciones cuyos ejes concurren en un punto.- Consideremos un sólido rígido animado de dos rotaciones simultáneas1, ω1 y ω2, cuyos ejes concurren en el punto O (Figura 5.10). La velocidad de un punto genérico P del sólido2 será la suma de las velocidades, v1 y v2, que le corresponderían a ese punto en cada rotación por separado; i.e.,
v1
ω1 × R
v2
ω2 × R
[5.28]
Podemos imaginar las dos rotaciones simultáneas del modo que se ilustra en la (Figura 5.10). Esto es, el sólido está en rotación con una velocidad angular ω2 alrededor de un cierto eje; a su vez, este eje está rotando con una velocidad angular ω1 alrededor de un eje fijo en el espacio. La rotación ω2 suele denominarse rotación intrínseca; la rotación ω1 recibe el nombre de precesión. 1
Entenderemos que el punto P pertenece materialmente al sólido o que, en caso contrario, es un punto del espacio que se mueve como lo haría si perteneciese realmente al sólido (i.e., que se mueve solidariamente con el sólido). 2
116
Lec. 5.- Cinemática del sólido rígido.
de modo que
v
v1
(ω 1
v2
ω2 ) × R
ω ×R
[5.29]
o sea que el resultado de la superposición de dos o más rotaciones simultáneas cuyos ejes concurren en un punto es igual a otra rotación cuyo eje pasa por dicho punto y cuya velocidad angular es la suma (vectorial) de las velocidades angulares correspondientes a las rotaciones componentes.
Figura 5.10
Figura 5.11
(2) Par de rotaciones.- Consideremos un sólido rígido que esté animado simultáneamente de dos movimientos de rotación, en torno a ejes paralelos entre sí y de modo que las velocidades angulares correspondientes, localizadas sobre dichos ejes, tengan el mismo módulo y sentidos opuestos (Figura 5.11); esto es, ω1=ω y ω2=-ω. Los vectores ω y -ω constituyen un par de rotaciones. La velocidad de un punto genérico P del sólido será v o sea
(ω × O1P)
( ω × O2P) v
ω × (O1P
ω × O1O2
PO2)
[5.30] [5.31]
resultando ser independientes del punto P. En consecuencia, tenemos un movimiento en el que todos los puntos del sólido poseen, en un instante dado, la misma velocidad. En definitiva, podemos enunciar: Un par de rotaciones equivale a una traslación cuya velocidad es la expresada por [5.31], o sea, el momento del par. Y recíprocamente: Una traslación equivale a un par de rotaciones cuyo momento sea la velocidad de traslación. Como puede parecernos algo difícil aprehender intuitivamente el enunciado anterior, recurriremos a un ejemplo sencillo. Figura 5.12 Sea AB una recta del sólido (Figura 5.12); supongamos que sólo existiese la rotación ω1=ω y giremos el sólido un cierto ángulo φ (=90° en la figura) alrededor del eje de ω1, de modo que la recta AB pase a la posición A′B′. A continuación consideremos la rotación ω2=-ω, de modo que la recta A′B′ girará (en el mismo intervalo de tiempo) el mismo ángulo φ en sentido contrario al anterior,
117
§5.6.- Composición de rotaciones.
pasando a la posición A″B″. Se observa que la recta AB es paralela a la A″B″; esto es, en el transcurso del movimiento combinado y simultáneo toda recta ligada al sólido permanece paralela a sí misma, por lo que se trata de un movimiento de traslación.
§5.7. Movimiento rototraslatorio.- El movimiento más general del sólido rígido es el movimiento rototraslatorio; esto es, el originado por la superposición de los dos movimientos básicos definidos anteriormente: el movimiento de traslación y el movimiento de rotación. Consideremos un sólido rígido que está animado simultáneamente de un cierto número de movimientos de traslación y de rotación. Cada uno de los movimientos de traslación quedará completamente definido por la velocidad de traslación correspondiente; esto es, v1, v2, ... vm. Análogamente, cada una de las rotaciones quedará completamente definida por el vector velocidad angular correspondiente; esto es ω1, ω2, ... ωn. Teniendo en cuenta que un movimiento de traslación es equivalente a un par de rotaciones cuyo momento es igual a la velocidad de traslación, el estado de movimiento del sólido rígido estará definido por un conjunto de rotaciones simultáneas, ω1, ω2, ... ωn, ωn+1, ... ωn+2m, cuyos ejes de rotación pasan por los puntos O1, O2, ... On+2m (Figura 5.13). En definitiva, el movimiento del sólido está descrito por un sistema de vectores deslizantes. La velocidad de un punto genérico del sólido, P, viene dada por el momento resultante del sistema de vectores deslizantes ωi (i=1, 2, ...) en el punto P; i.e.,
PO i × ω i
vP i
ω i × Oi P
[5.32]
i
Por otra parte, el momento del sistema de vectores deslizantes en otro punto, P′, del sólido (i.e., la velocidad del punto P′) está relacionado con el anterior mediante la expresión vP
vP
ω × PP
[5.33]
siendo ω = Σ ωi la resultante general del sistema de vectores deslizantes (i.e., la velocidad angular resultante) que es Figura 5.13 un invariante del sistema (primer invariante o invariante vectorial). La expresión [5.33] nos permite decir que la velocidad que le corresponde a un punto P′ de un sólido rígido es igual a la que le corresponde a otro punto arbitrario del mismo, P, más la velocidad que le correspondería al punto P′ en una rotación instantánea, ω, alrededor de un eje que pasase por el punto P. En definitiva, podemos enunciar: El movimiento general de un sólido rígido (movimiento rototraslatorio) puede reducirse a una rotación de velocidad angular ω = Σ ωi alrededor de un eje paralelo a ω y que pasa por un punto arbitrario del sólido, más una traslación cuya velocidad es el momento resultante del sistema de vectores ωi (i=1, 2,...) con respecto a dicho punto arbitrario.
118
Lec. 5.- Cinemática del sólido rígido.
El enunciado anterior nos indica que cualquier movimiento del sólido rígido, por complejo que nos parezca, puede reducirse siempre a la superposición de dos movimientos básicos: uno de traslación y otro de rotación. Obsérvese que la velocidad de cualquier punto del sólido queda perfectamente determinada con el conocimiento de la velocidad angular ω del sólido y la velocidad vP de un punto cualquiera del mismo; i.e., por los vectores ω y vP, a los que denominaremos, conjuntamente, grupo cinemático en P. §5.8. Movimiento helicoidal.- Un movimiento rototraslatorio de especial interés es el que resulta de combinar un movimiento de rotación en torno a un eje dado con un movimiento de traslación a lo largo de ese mismo eje; el resultado es un movimiento helicoidal. Sean vO la velocidad de traslación y ω la velocidad angular de rotación del sólido rígido. La velocidad de un punto genérico P, perteneciente al sólido y que no está situado sobre el eje de rotación (Figura 5.14), viene dado por
vP
vO
ω × OP
[5.34]
Como el vector ω × OP resulta ser perpendicular a ω y, por lo tanto, a vO, la velocidad del punto P es la suma de dos Figura 5.14 vectores perpendiculares entre sí; el vO, paralelo al eje y el ω×OP, debido a la rotación, perpendicular al eje y que depende de la posición del punto P con respecto a dicho eje. Si tanto vO como ω son independientes del tiempo (traslación y rotación uniformes), el punto P describe una trayectoria que es una curva alabeada llamada hélice (Figura 5.15), cuyo eje es la recta soporte de ω, y el movimiento del sólido se llama helicoidal uniforme. El paso de la hélice estará dado por Figura 5.15
h
vO T
2π
vO ω
[5.35]
Obsérvese que en el movimiento helicoidal el eje actúa como eje de rotación y deslizamiento, ya que el sólido rígido, al tiempo que gira en torno al eje se traslada o desliza a lo largo del mismo. Si son vO(t) y ω(t) (i.e., funciones del tiempo), el movimiento sigue siendo helicoidal, pero tanto el eje de rotación y deslizamiento como el paso de la hélice variarán en el transcurso del tiempo.
119
§5.9.- Eje instantáneo de rotación y deslizamiento.
§5.9. Eje instantáneo de rotación y deslizamiento.- En los apartados anteriores hemos visto como podemos reducir el estudio del movimiento general del sólido rígido al del sistema de vectores deslizantes, ωi (i=1, 2, ...), que lo representa. Así, la velocidad de un punto del sólido rígido puede considerarse como el momento de dicho sistema de vectores con respecto al punto considerado [5.32], y la velocidad de un segundo punto del sólido está relacionada con la del anterior por la expresión [5.33]. A cada punto del sólido le corresponde una velocidad distinta (en general); pero, en un instante dado, todas esas velocidades dan la misma proyección en la dirección de la velocidad angular resultante ω. En efecto, multiplicando escalarmente por ω ambos miembros de la exp. [5.33], tenemos
ω vP
ω vP
o sea
ω (ω × PP )
ω v
ω vP
cte.
[5.36]
que es la expresión del segundo invariante o invariante escalar del sistema de vectores deslizantes ωi (i=1, 2, ...). Por tanto, podemos enunciar que en un instante dado, el producto escalar de los dos vectores del grupo cinemático tiene el mismo valor en todos los puntos del sólido; i.e., es invariante. El módulo de la velocidad v de un punto del sólido rígido tendrá un valor mínimo si dicha velocidad es paralela a la velocidad angular resultante ω. Pero el lugar geométrico de los puntos cuya velocidad (momento) es paralela a ω (resultante) sabemos que es una recta definida por la ecuación (Figura 5.16): OE
ω × vO ω2
λω [5.37]
que es la ecuación del eje central del sistema de vectores deslizantes ωi (i=1, 2, ...), en un referencial de origen en el punto O. Obviamente, vO representa la velocidad que le correspondería al punto O, en el caso de que perteneciera al sólido. Cuando el sistema de vectores deslizantes está constituido por vectores de velocidad Figura 5.16 angular ωi, el eje central del sistema de vectores recibe el nombre especial de eje instantáneo de rotación y deslizamiento (EIRD). Así pues, el EIRD queda definido como el lugar geométrico de los puntos del sólido de velocidad mínima o bien
120
Lec. 5.- Cinemática del sólido rígido.
el lugar geométrico de los puntos del sólido cuya velocidad es paralela a la dirección de la velocidad angular del mismo. Obviamente, el módulo de la velocidad mínima puede determinarse proyectando la velocidad v de un punto cualquiera del sólido sobre la velocidad angular ω del mismo; esto es, vmín
ω v ω
[5.38]
y su dirección es la del vector ω (i.e., la del EIRD). §5.10. Teorema de Chasles.Cuando el invariante escalar del sistema de rotaciones es distinto de cero (i.e., ω v ≠0) es posible reducir canónicamente el movimiento rototraslatorio a los dos movimientos básicos: rotación y traslación. Tomando un punto E del eje central como centro de reducción, el sistema de rotaciones resulta ser equivalente a una Figura 5.17 rotación única, ω = Σ ωi, localizada sobre el eje central del sistema de rotaciones, más una traslación o deslizamiento a lo largo de dicho eje, con una velocidad vd, llamada velocidad mínima o de deslizamiento, dada por
vmín
vd
ω i × OiE
vE
[5.39]
i
que constituye la expresión del TEOREMA DE CHASLES.- El movimiento general de un sólido rígido resulta equivalente a una rotación pura alrededor del eje central del sistema de rotaciones ωi (i=1, 2, ...) más una traslación a lo largo de dicho eje. Por esa razón el eje central de un sistema de rotaciones recibe el nombre de eje instantáneo de rotación y deslizamiento y el movimiento resultante se denomina movimiento helicoidal tangente. Cuando el invariante escalar es nulo, o sea ω v = 0, siendo v la velocidad de un punto genérico del sólido, se nos pueden presentar los siguientes casos: (1) Que sea ω = 0 y v = 0: Esta condición prevalecerá para cualquier punto del sólido. En ese instante, el sólido se encuentra en reposo. (2) Que sea ω = 0 y v ≠ 0: Todos los puntos del sólido tienen la misma velocidad. En ese instante, el movimiento del sólido es una traslación pura. (3) Que sea ω ≠ 0 y v = 0: El sistema de rotaciones está definido por un sistema de vectores deslizantes concurrentes o paralelos. Se trata de una rotación pura alrededor de un eje que pasa por el punto de concurrencia
§5.10.- Teorema de Chasles.
121
(propio o impropio). En los demás puntos del sólido, fuera de la recta de acción de ω, aparecerá una velocidad que será siempre perpendicular a ω, por ser ω v=0. (4) Que sea ω ≠ 0 y v ≠ 0: En este caso deberá ser v⊥ω, de modo que cada punto del sólido se moverá en un plano perpendicular al eje instantáneo de rotación (o sea, al vector ω). Como para los puntos de dicho eje deberá ser, además, v ω, la velocidad de dichos puntos será nula. Por consiguiente, el sólido pasará en cada instante por un estado de rotación pura, con velocidad angular ω, alrededor del eje instantáneo de rotación, pero sin que exista deslizamiento alguno a lo largo de dicho eje. Este movimiento recibe el nombre de movimiento de rodadura y en él los puntos del eje instantáneo de rotación se encuentran instantáneamente en reposo. §5.11. Axoides. Representación de Poncelet.- Recordemos que todo cuanto hemos estudiado hasta ahora ocurre en un instante determinado y, así, la ec. [5.37], que define al eje instantáneo de rotación y deslizamiento (eje central), depende de los valores instantáneos de ω y de vO, de modo que representa una recta móvil en el espacio. En efecto, los vectores ω y vO pueden variar de un instante a otro de modo que el eje instantáneo, en general, cambiará constantemente de posición, en el transcurso del tiempo, tanto con respecto a un sistema de ejes fijos en el espacio, como con respecto a otro sistema de ejes ligados al sólido rígido y que se mueven solidariamente con él. El eje instantáneo sólo estará indefinido en aquellos Figura 5.18 instantes en los que el movimiento del sólido sea una traslación pura. En el transcurso del movimiento del sólido, el eje instantáneo modifica su posición con respecto a un referencial de ejes fijos en el espacio (xyz), generando una superficie reglada que recibe el nombre de axoide fijo. Por otra parte, el eje instantáneo, en su movimiento con respecto al referencial de ejes ligados al sólido (x′y′z′), genera otra superficie reglada que recibe el nombre de axoide móvil. Se comprende que, en cada instante, ambos axoides deben tener una recta común, que es el eje instantáneo correspondiente a dicho instante, de modo que ambos axoides son tangentes a lo largo de la recta mencionada. Pero además, en cada instante, el sólido rígido realiza una traslación o deslizamiento a lo largo de dicho eje o recta común a ambos axoides, con una velocidad vd que es la velocidad de traslación del movimiento helicoidal tangente, y que es simplemente la proyección del vector velocidad v de cualquier punto del
122
Lec. 5.- Cinemática del sólido rígido.
sólido sobre el eje instantáneo de rotación y deslizamiento; i.e., vd
ω v ω
[5.40]
En definitiva, el movimiento general del sólido rígido (rototraslatorio) se puede representar de forma continua suponiendo que el sólido está ligado y se mueve solidariamente con una superficie móvil (axoide móvil) que rueda sobre una superficie fija (axoide fijo) al mismo tiempo que experimenta un deslizamiento a lo largo de la generatriz común instantánea. Tal representación del movimiento del sólido se debe al matemático y general francés Jean Victor PONCELET (1788-1867). En el caso de que uno de los puntos del sólido permanezca fijo durante el movimiento, ambos axoides degeneran en conos tangentes entre sí a lo largo de una generatriz y el movimiento continuo de Poncelet se reduce a una rodadura del cono móvil sobre el cono fijo, ya que no habrá deslizamiento por ser nula la velocidad de uno de los puntos del sólido. En la Figura 5.19 ilustramos este tipo de movimiento. El sólido rígido (y el cono móvil al cual es solidario) gira con velocidad angular ω1 al mismo tiempo que el eje de Figura 5.19 ω1 gira con una velocidad angular ω2 alrededor de un eje fijo en el espacio. El resultado de estos dos movimientos combinados es una rodadura del cono móvil sobre el cono fijo, siendo el eje instantáneo de rotación (puntos de velocidad instantánea nula con respecto al sistema de ejes fijos) la generatriz común instantáneamente a ambos conos. Obviamente, será ω = ω1 + ω2, como se ilustra en la Figura 5.19, siendo ω la velocidad angular instantánea del sólido. §5.12. Aceleración. Vector aceleración angular.- Consideremos un punto genérico P de un sólido rígido en movimiento y sea vP su velocidad. Si consideramos un segundo punto, O, perteneciente al sólido, cuya velocidad sea vO, la relación existente entre ambas velocidades es de la forma
vP
vO
ω × OP
[5.41]
donde ω es la velocidad angular resultante, que la podemos considerar localizada sobre un eje que pase por el punto O. Derivando la expresión anterior con respecto al tiempo, obtenemos la aceleración aP del punto P; esto es, aP
dvP
dvO
dt
dt
dω × OP dt
ω×
dOP dt
[5.42]
123
§5.12.- Aceleración. Vector aceleración angular.
aO donde aO
dω × OP dt
ω × (vP
v O)
aO
dω × OP dt
ω × (ω × OP)
es la aceleración del punto O;
dω × OP dt
es la aceleración tangencial del punto P en su rotación alrededor de un eje en la dirección de ω y que pasa por el punto O;
ω × (ω × OP) es la aceleración normal del punto P respecto al eje anteriormente citado. Obviamente, la suma de las aceleraciones tangencial y normal del punto P en su rotación en torno al eje definido por ω y que pasa por el punto O es igual a a-aO, o sea la aceleración (relativa) del punto P respecto al punto O. Definimos el vector aceleración angular, y lo representamos por α, de modo que α
dω dt
d (ω e ) dt
resultando que, en general, el vector α no está localizado sobre el eje de rotación. La aceleración angular se mide en rad/s2. En el caso particular de que el eje de rotación mantenga una orientación fija en el espacio (movimiento plano, vide §5.14), entonces será de/dt=0 y el vector aceleración angular α estará localizado sobre el eje de rotación. Esto es, α
dω e dt
d2θ e dt 2
αe
dω e dt
ω
de dt
[5.43]
Figura 5.20
[5.44]
de modo que el módulo de la aceleración angular es la derivada de la celeridad angular con respecto al tiempo (o la derivada segunda del ángulo de rotación con respecto al tiempo); su dirección es la del eje de rotación y su sentido es el de ω cuando la celeridad angular aumenta con el tiempo, pero es de sentido opuesto si disminuye. En el caso general, cuando el eje de rotación no mantiene una dirección fija en el espacio, será de/dt≠0, aunque e =1, ya que el versor del eje cambia de dirección en el transcurso del movimiento. Puesto que e es un versor (módulo unitario, constante), su derivada será un vector perpendicular a e, como se ilustra en la Figura 5.21, de la que se deducirá fácilmente que
124
Lec. 5.- Cinemática del sólido rígido.
de
dφ sen θ
⎡ de ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ dt ⎦
dφ sen θ dt
Ω sen θ
[5.45]
siendo Ω la velocidad angular instantánea asociada a la rotación del eje (definido por e) en el espacio, lo que nos lleva a ⎡ de ⎤ ω⎢ ⎥ ⎣ dt ⎦ o sea
ω
de dt
Ω ω sen θ
Ω×ω
[5.46]
[5.47]
Así pues, en el caso más general, la aceleración angular α se expresará en la forma
Figura 5.21
α
dω dt
dω e dt
Ω×ω
[5.48]
en la que observaremos que la aceleración angular α tiene dos componentes (Figura 5.22): una componente longitudinal (i.e., en la dirección del eje de rotación) cuyo módulo es dω/dt y una componente transversal (i.e., perpendicular al eje de rotación) cuyo módulo es Ω×ω . Así pues, en general, el vector α no tendrá la misma dirección que el vector ω; dicho de otra manera, el vector α no tendrá la dirección del eje de rotación. En definitiva, la dirección de la aceleFigura 5.22 ración angular sólo coincide con la del vector velocidad angular, o sea, con el eje de rotación, en el caso de que dicho eje mantenga su orientación fija en el espacio (Figura 5.34). En cualquier caso, de acuerdo con las anteriores definiciones, la expresión [5.42] puede escribirse ahora en la forma a
aO
α × OP
ω × (ω × OP)
[5.49]
y vemos que, puesto que at=α × OP, podemos considerar la aceleración tangencial del punto P del sólido, en la rotación instantánea alrededor de un eje que pasa por el punto O, como el momento del vector α con respecto al punto P. En realidad, una pequeña reflexión nos descubrirá que el resultado [5.48] es mas general de lo que pudiera parecernos a primera vista, ya que podemos emplear cualquier magnitud vectorial en [5.48], en el lugar del vector velocidad angular ω, y la forma del resultado sería la misma. Así, la operación de calcular la derivada temporal de cualquier magnitud vectorial, expresando el resultado descompuesto en dos componentes asociadas, respectivamente, al cambio de su módulo
125
§5.12.- Aceleración. Vector aceleración angular.
(componente longitudinal, i.e., en la dirección de la propia magnitud vectorial) y al cambio de su dirección (componente transversal, i.e., perpendicular a la misma), es equivalente a efectuar la operación simbólica d dt
d e dt
Ω×
[5.50]
donde representa el vector, su módulo, e el versor en la dirección del vector y Ω la velocidad angular instantánea asociada a la rotación del versor e en el espacio. Así, por ejemplo, si sustituimos en el operador [5.50] por e, obtenemos de dt
d e e dt
Ω×e
Ω×e
[5.51]
ya que e =1, de donde se sigue (Figura 5.21) ⎡ de ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ dt ⎦
Ω ×e
[5.52]
Ω sen θ
que es la misma expresión [5.45] encontrada anteriormente mediante consideraciones fundamentalmente geométricas.
Ejemplo I.- Un disco circular, de radio R2, gira alrededor de un eje perpendicular a él y que pasa por su centro, con una velocidad angular constante ω2. A su vez, dicho eje gira alrededor de otro eje, perpendicular al primero y que lo corta a una distancia R1 del centro del disco, como se ilustra en la Figura 5.23, con movimiento uniformemente acelerado. Determinar la velocidad y la aceleración del punto P indicado en la figura. (a) La velocidad angular resultante del sólido rígido es ω ⎛ 0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 0 ⎟ ⎜ω ⎟ ⎝ 1 ⎠
ω1
ω2
⎛ ω ⎞ 2 ⎟ ⎜ ⎜ 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 0 ⎠
⎛ ω ⎞ 2 ⎟ ⎜ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ω ⎟ ⎝ 1 ⎠
Figura 5.23
La velocidad y la aceleración del punto O, "perteneciente" al sólido rígido, son nulas, por encontrarse dicho punto en la intersección de los dos ejes de rotación; i.e., vO=0 y aO=0. La velocidad del punto P es
vP
y su aceleración es
vO
ω × OP
aP
⎛0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 ⎠ aO
⎛ ω 2 ⎞ ⎛ R1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎟×⎜ 0 ⎟ ⎜ ω ⎟ ⎜R ⎟ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠
dω × OP dt
⎛ 0 ⎜ ⎜ ω 1R1 ω 2R2 ⎜ 0 ⎝
ω × (ω × OP)
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
126
Lec. 5.- Cinemática del sólido rígido.
con dω dt
α1
ω1 × ω2
⎛ 0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 0 ⎟ ⎜α ⎟ ⎝ 1 ⎠
⎛ 0 ⎞ ⎛ ω2 ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎟×⎜ 0 ⎜ω ⎟ ⎜ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 0
dω × OP dt
0 ⎛ ⎜ ω ω 1 2 ⎜ ⎜ α 1 ⎝
⎞ ⎛ R1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟×⎜ 0 ⎟ ⎟ ⎜R ⎟ ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎛ ω ω R ⎜ 1 2 2 ⎜ αR 1 1 ⎜ ⎜ ω ω R ⎝ 1 2 1
dω 1
dω 2
dt
dt
ω × (ω × OP)
⎛ ω2 ⎞ ⎛ 0 ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎟ × ⎜ ω 1R1 ω 2R2 ⎜ ω ⎟ ⎜ 0 ⎝ 1 ⎠ ⎝
de modo que
aP
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ω 21R 2ω 1ω 2R2 1 ⎜ ⎜ α 1R 1 ⎜ 2 ⎜ ω 2R2 ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
0 ⎛ ⎜ ω ω 1 2 ⎜ ⎜ α 1 ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ω 2R ω ω R 1 1 1 2 2 ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎜ ω ω R ω 2R 2 2 1 2 1 ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
(b) También podemos partir del punto C, con
vC
⎛ 0 ⎜ ⎜ ω 1R1 ⎜ ⎝ 0
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
aC
⎛ 2 ⎜ ω 1R1 ⎜ ⎜ α 1R 1 ⎜ ⎝ 0
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
CP
⎛ 0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 0 ⎟ ⎜R ⎟ ⎝ 2 ⎠
y obtendremos los mismos resultados que antes, como el lector comprobará fácilmente.
§5.13. Contacto entre sólidos: deslizamiento, rodadura y pivotamiento.Consideremos dos sólidos rígidos, S1 y S2, que se mueven de forma que sus superficies mantienen en todo momento un punto (J) de contacto, como se ilustra en la Figura 5.24. Aunque, en el caso más general, ambos sólidos pueden estar en movimiento, cuando solamente estemos interesados en el movimiento relativo entre las superficies de los sólidos, podemos considerar uno de ellos (S2) en reposo (Figura 5.24). En estas condiciones, el movimiento instantáneo del sólido S1 con respecto al S2 queda caracterizado por su grupo cinemático en J; i.e., por los vectores ω y v(J). En virtud de la indeformabilidad de los sólidos, el vector v(J) está contenido en el plano tangente a ambas superficies en el punto de contacto J. Su existencia indica que existe un deslizamiento relativo entre las superficies de los sólidos. El otro vector del grupo cinemático en J, Figura 5.24 i.e., la velocidad angular ω, se puede
127
§5.13.- Contacto entre sólidos: deslizamiento, rodadura y pivotamiento.
descomponer en dos rotaciones concurrentes en J, en las direcciones ortogonales definidas por la normal NN a ambas superficies en el punto de contacto y por la proyección sobre el plano tangente: ω
ωp
[5.53]
ωr
La componente ωp recibe el nombre de rotación de pivotamiento; la componente ωr se denomina rotación de rodadura. Consideramos ahora el caso particularmente importante en el que un sólido (S1) rueda sin deslizar sobre otro sólido (S2) que se encuentra también en movimiento (Figura 5.25). La confluencia de las dos condiciones imponen la anulación de la velocidad del punto de contacto perteneciente a un sólido en el referencial solidario al otro; i.e., vR.S2(JS1)
0
vR.S1(JS2)
0
[5.54]
de donde se sigue la igualdad de las velocidades de ambos puntos en cualquier referencial: vRef(JS1)
vRef(JS2)
[5.55]
expresión de gran utilidad ya que, si conocemos la cinemática del sólido S2 (en lo que concierne a las velocidades) y el estado de rotación del sólido S1 (i.e., ω1), permite conocer la velocidad de los puntos del sólido S1 partiendo de la del punto de contacto JS1.
Figura 5.25
§5.14. Movimiento plano del sólido rígido.- El movimiento del sólido rígido se simplifica considerablemente cuando todos sus puntos se mueven paralelamente a un plano fijo determinado. Este tipo de movimiento, que recibe el nombre de movimiento plano, se caracteriza por ser planas las trayectorias de todos los puntos del sólido. Los planos de esas trayectorias, o cualquier otro plano paralelo a ellas, reciben el nombre de planos del movimiento (Figura 5.26). El movimiento plano del sólido rígido implica:
(1) No hay deslizamiento a lo largo del eje instantáneo de rotación (rotación pura); i.e., la velocidad de deslizamiento es nula. (2) El eje instantáneo de rotación mantiene una dirección fija en el espacio, perpendicular a los planos del movimiento, aunque puede trasladarse manteniéndose paralelo a sí mismo; i.e., la velocidad angular, ω, del sólido es un vector de dirección constante. Por ser nula la velocidad de deslizamiento, el invariante escalar será ω v=0, siendo v (≠0) la velocidad de un punto genérico del sólido. Por consiguiente, el sólido pasará en cada instante por un estado de rotación pura alrededor del eje instantáneo de rotación (rodadura). El punto I, determinado por la intersección del eje instantáneo de rotación con un plano del movimiento, se denomina centro instantáneo de rotación (CIR) o polo de velocidades, correspondiente a dicho plano
128
Lec. 5.- Cinemática del sólido rígido.
del movimiento; evidentemente, dicho punto se encuentra instantáneamente en reposo. También podemos considerar el movimiento del sólido rígido como la superposición de un movimiento de traslación paralelo a los planos del movimiento y de una rotación alrededor de un eje cualquiera perpendicular a dichos planos. Frecuentemente, aunque no necesariamente, dicho eje se elige de modo que pase por el centro de masas del sólido rígido. Así pues, queda bien claro que, en el movimiento plano, el sólido rígido posee tres grados de libertad: dos de ellos asociados con el movimiento de traslación y el otro con el de rotación.
Figura 5.26
Figura 5.27
Las expresiones [5.41] y [5.42], que nos relacionan la velocidad y la aceleración de un punto P del sólido con las de otro punto O del mismo, admiten ahora una interpretación geométrica más simple, ya que ω y α son normales al plano del movimiento en el que se encuentran vP y aP. Así, puesto que todos los puntos de sólido rígido que se encuentran sobre una recta paralela a ω tienen la misma velocidad y la misma aceleración (vide Problema 5.5) nos serviremos de las expresiones [5.41] y [5.42] para relacionar las velocidades y aceleraciones de dos puntos (O y P) del sólido contenidos en un mismo plano de movimiento; i.e., vP aP
aO
α × OP
ω × OP
vO
ω × (ω × OP)
aO
α × OP
[5.56]
ω 2 OP
[5.57]
En la Figura 5.27 mostramos la disposición geométrica particular de los términos de estas expresiones, derivadas del hecho de ser ω⊥OP y α⊥OP. Si en un plano del movimiento partimos del polo de velocidades (i.e., O≡I), al ser vI=0, pero aI≠0, las expresiones [5.56] y [5.57] adoptan la forma vP aP
aI
α × IP
ω × IP
ω × (ω × IP)
[5.58]
aI
α × IP
ω 2 IP
[5.59]
La expresión [5.58] pone de manifiesto que el movimiento instantáneo del sólido es una rotación pura en torno al eje de rotación que pasa por el polo de velocidades, lo que nos permite localizar geométricamente dicho polo de velocidades en los dos casos siguientes: (a) Si en el plano del movimiento se conocen las direcciones de las velocidades
129
§5.14.- Movimiento plano del sólido rígido.
de dos puntos cualesquiera del sólido, y éstas no son paralelas entre sí, el polo de velocidades (I) se encuentra en la intersección de las perpendiculares a ellas en los puntos respectivos (A y B), como se ilustra en la Figura 5.28, de modo que será ω
vA
vB
IA
IB
[5.60]
Obviamente, si las velocidades de los puntos A y B son paralelas entre sí, el punto de intersección de las perpendiculares a ellas se encontrará en el infinito (punto impropio) y el movimiento se reduce en ese instante a una traslación pura.
Figura 5.28
Figura 5.29
(b) Si las direcciones de las velocidades de dos puntos dados, A y B, del sólido son paralelas entre sí y las perpendiculares a ellas en A y B coinciden con la recta AB, podemos localizar el CIR sobre la recta AB si conocemos los módulos de esas velocidades. En efecto, por ser lineal la distribución de velocidades a lo largo de la recta AB, el polo de velocidades quedará definido como el punto de dicha recta de velocidad nula, localizándosele geométricamente como se indica en la Figura 5.29, cumpliéndose la relación [5.60]. §5.15. Base y ruleta.- Observemos que los axoides se reducen ahora a superficies cilíndricas. Las intersecciones de los axoides fijo y móvil con un plano del movimiento definen unas curvas que reciben los nombres de base y ruleta, respectivamente (Figura 5.30). En cada plano del movimiento, la ruleta rueda con velocidad angular ω sobre la base, siendo el punto de contacto entre ambas, en cada instante, el polo de Figura 5.30 velocidades o centro instantáneo de rotación. Obviamente, también podemos dar las siguientes definiciones alternativas para la base y la ruleta:
130
Lec. 5.- Cinemática del sólido rígido.
La BASE es el lugar geométrico o trayectoria del polo de velocidades en el referencial de ejes fijos en el espacio (xy). La RULETA es el lugar geométrico o trayectoria del polo de velocidades en el referencial de ejes ligados al sólido rígido (x′y′). Consideraremos dos referenciales. Un referencial Oxyz, con una base vectorial asociada B (i,j,k), que estará fijo en el espacio. Otro referencial O′x′y′z′, con una base vectorial asociada B′ (i′,j′,k′), que se mueve solidariamente con la sección plana móvil. La posición y orientación de este segundo referencial estarán determinadas en cada instante por las coordenadas (xO′,yO′) de su origen O′ en el referencial Oxyz y por el ángulo θ que forman las direcciones de los ejes Ox y O′x′, como se indica en la Figura 5.31. La posición del centro instantáneo de rotación en el plano del movimiento vendrá dada por OI
ω × vO ω2
[5.61]
donde vO representa la velocidad que tendría el punto O (origen de coordenadas fijo) si perteneciera a la sección plana móvil (Figura 5.31). Corrientemente nos interesa determinar el polo de velocidades a partir de la velocidad de un punto que realmente pertenezca a la sección plana móvil, tal como el punto P. Entonces, será
Figura 5.31
PI
ω × vP ω2
[5.62]
pudiéndose expresar las componentes de los vectores bien sea en la base vectorial asociada al referencial Oxyz (fijo en el espacio) o en la asociada al referencial O′x′y′z′ (solidario a la sección plana móvil). De acuerdo con las definiciones dadas para la base y la ruleta, las ecuaciones vectoriales de éstas serán respectivamente: BASE:
RULETA:
OI B
O IB
OP B
PI B
OPB
PI B
OP B
OPB
ω × vP B ω2 ω × vP B ω2
[5.63]
[5.64]
donde la notación {}B y {}B′ nos indica la base vectorial en la que deben expresarse las magnitudes vectoriales. De estas expresiones se siguen de inmediato las ecuaciones paramétricas de la base y de la ruleta. Desarrollando la expr. [5.63], con P ≡ O′, se sigue
131
§5.15.- Base y ruleta.
⎛ xO ⎜ ⎜y ⎜ O ⎜ ⎝ 0
OI B
o sea
x
esto es,
dyO
xO
x
⎛ 0 ⎞ ⎛ x˙ O ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ 0 ⎟ × ⎜⎜ y˙ O ⎟⎟ ⎜ ω2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ω ⎠B ⎝ 0 ⎠B
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠B
dt dθ
dt xO
dyO dθ
y˙ O /ω ⎞ ⎟ x˙ O /ω ⎟ ⎟ ⎟ 0 ⎠B
⎛ xO ⎜ ⎜y ⎜ O ⎜ ⎝
y
yO
y
yO
dxO dt
dt dθ
dxO
[5.65]
dθ
que son las ecuaciones paramétricas de la BASE. Análogamente, desarrollando [5.64], con P ≡ O′, tenemos
OIB
⎛ 0 ⎞ ⎛ cosθ senθ 0 ⎞ ⎛ x˙ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ O 1 ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ 0 ⎟ × ⎜ senθ cosθ 0 ⎟ ⎜⎜ y˙ O 2 ⎜ ω ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ 0 1 ⎠ ⎜⎝ 0 ⎝ ω ⎠B ⎝ 0
⎛0 ⎞ ⎛ x˙ O cosθ y˙ O senθ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 0 ⎟ × ⎜ x˙ O senθ y˙ O cosθ ω ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎝ 1 ⎠B ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠B
dxO
dxO
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠B
⎛ x˙ O senθ y˙ O cosθ ⎞ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ x ˙ cosθ y ˙ senθ O ⎟ ω ⎜⎜ O ⎟ 0 ⎝ ⎠B
esto es, x
dθ
sen θ
dyO dθ
cos θ
y
dθ
cos θ
dyO dθ
sen θ
que son las ecuaciones paramétricas de la RULETA.
Ejemplo II.- Determinación de la base y de ruleta.- Los extremos de una varilla de longitud se mueven sobre sendas rectas coplanarias perpendiculares entre sí. Determinar la base y ruleta del movimiento de la varilla.
la 2l y la
Primer método (geométrico): Las direcciones de las velocidades vA y vB de los extremos de la varilla se indican en la Figura 5.32. La intersección de las perpendiculares a dichas velocidades, en los puntos A y B respectivos, determinan el polo de velocidades I. La distancia OI permanece siempre constante
Figura 5.32
[5.66]
132
Lec. 5.- Cinemática del sólido rígido.
e igual a 2l; en consecuencia, la BASE es una circunferencia de radio 2l y centro en O. La distancia CI también se mantiene siempre constante e igual a l; por consiguiente, la RULETA es una circunferencia de radio l y centro en C. La varilla se mueve como sí estuviese unida a la ruleta y fuese arrastrada por ésta en su rodadura sobre la base. Segundo método (vectorial): Elegimos el punto A como punto del sólido de velocidad conocida. Entonces, la velocidad del punto B será:
vB
vA
ω × AB
⎛v ⎞ ⎜ A ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 0 ⎠
de modo que será vA = 2ωl cosθ, POLO DE VELOCIDADES:
AI B
ω × vA ω2
AI B
⎛ 0 ⎞ ⎛v ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ A ⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 ⎟ × ⎜ 0 ⎟ ω2 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ ω ⎠B ⎝ 0 ⎠B
ω ×vA ω2
⎛ vAsenθ/ω ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ v cosθ/ω ⎟ A ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎠B ⎝
BASE:
OI B
OA B
⎛ 0 ⎞ ⎛ 2l senθ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎟ × ⎜ 2l cosθ ⎟ ⎜ ⎜ 0 ⎝ω ⎠ ⎝ vA o sea ω 2l cosθ
AI B
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ v 2ω l cosθ ⎜ A ⎜ ⎜ 2ω l senθ ⎜ 0 ⎝
⎛ 0 ⎜ ⎜ v /ω ⎜ A ⎜ ⎝ 0
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠B
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ 0 ⎜ ⎜ ⎜ 2l cosθ ⎜ 0 ⎝
⎛ 0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜v ⎟ B ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 0 ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠B
⎛ 0 ⎞ ⎛ vAcosθ ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎜ ⎟ 0 ⎟ × ⎜⎜ vAsenθ ⎟⎟ 2 ⎜ ω ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ ω ⎠B 0 ⎠B ⎝ ⎛ 2l senθ cosθ ⎜ ⎜ 2 ⎜ 2l cos θ ⎜ 0 ⎝ ⎛ 2l senθ ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎜ 0 ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠B
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠B
⎛ l sen 2θ ⎜ ⎜ ⎜ l ( 1 cos 2θ ) ⎜ 0 ⎝
⎛ 0 ⎜ ⎜ ⎜ 2l cosθ ⎜ 0 ⎝
de modo que la ecuaciones paramétricas de la BASE son:
⎧x ⎨ ⎩y
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠B
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠B
⎛ 2l senθ ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 2l cosθ ⎟ ⎟ ⎜ 0 ⎠B ⎝
2l senθ 2l cosθ
y eliminando el parámetro θ entre ellas se obtiene x2 + y2 = (2l)2, por lo que la BASE es una circunferencia de radio 2l y centro en O.
RULETA:
O I B ≡ AI B
⎛ l sen 2θ ⎜ ⎜ ⎜ l ( 1 cos 2θ ) ⎜ 0 ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠B
133
§5.15.- Base y ruleta.
de modo que las ecuaciones paramétrica de la RULETA son:
⎧x ⎨ ⎩y
l sen 2θ l ( 1 cos 2θ )
Para eliminar el parámetro θ, ponemos la segunda ecuación en la forma y′ - l = l cos 2θ, elevamos al cuadrado ambas ecuaciones y las sumamos miembro a miembro; resulta: x′2 + (y′ - l)2 = l2, i.e., una circunferencia de radio l y centro en C. Tercer método (algebraico): Tomamos el punto A del sólido como origen del referencial móvil (i.e., A ≡ O′); esto es,
⎧ xO ⎨y ⎩ O
2l senθ 0
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
de modo que
Ecuaciones paramétricas de la BASE:
⎧ ⎪x ⎪ ⎨ ⎪ ⎪y ⎩
xO yO
dyO dθ dxO dθ
dxO dθ dyO dθ
2l cosθ 0
2l senθ 2l cosθ
y eliminando el parámetro θ entre ellas se obtiene x2 + y2 = (2l)2, por lo que la BASE es una circunferencia de radio 2l y centro en O.
Ec. paramétricas de la RULETA:
dxO
⎧ ⎪x ⎪ ⎨ ⎪ ⎪y ⎩
dθ dxO dθ
dyO
senθ
dθ dyO
cosθ
dθ
cosθ
2l senθ cosθ
senθ
2l cos2θ
l (1
l sen 2θ cos 2θ)
y eliminando el parámetro θ entre ellas se obtiene x′2 + (y′ - l)2 = l2, por lo que la RULETA es una circunferencia de radio l y centro en C.
§5.16. Velocidad de sucesión del CIR.- Sean I e I′ los centros instantáneos de rotación en los instantes t y t+Δt; llamaremos velocidad de sucesión del CIR al límite
vs
lím Δt→0
II′ Δt
[5.67]
que corresponde a la de un punto ficticio cuya trayectoria fuese la base y cuya posición coincidiese en cada instante con la del centro instantáneo de rotación. La velocidad de sucesión vendrá representada por un vector tangente a la base en el CIR. Aunque la velocidad de sucesión puede determinarse a partir de los recursos usuales de la cinemática, resulta interesante expresarla en función de la velocidad de rotación del sólido y de las curvaturas de la base y de la ruleta en el CIR. Puesto que la ruleta rueda sobre la base, el arco II′B tiene la misma longitud que
134
Lec. 5.- Cinemática del sólido rígido.
el arco II′R. Así pues, durante un intervalo de tiempo infinitesimal tendremos ds
arc IIB′
ρ B dφ B
ds
arc IIR′
ρ R dφ R
[5.68]
donde ρB y ρR son los radios de curvatura de la base y de la ruleta, respectivamente. Así pues, el módulo de la velocidad de sucesión será: ds dt
vs
ρB
dφ B
ρR
dt
dφ R dt
[5.69]
Por otra parte se verifica
Figura 5.33
dθ ω
dφ B
dθ dt
dφ R
dφ B
dφ R
dt
dt
[5.70]
y, sustituyendo [5.69] en esta expresión tenemos ω
de donde
vs
vs
ρB
ρR
vs
(κ B
κ R) vs
[5.71]
ω κB
[5.72]
κR
que es la expresión que buscábamos. Préstese atención a que en la deducción de las expresiones anteriores hemos establecido implícitamente un convenio de signos según el cual la curvatura de la ruleta (o el radio de curvatura) es positiva si el centro de curvatura de la ruleta (CR) está a distinto lado de la tangente común base-ruleta que el centro de curvatura de la base (CB), como se ilustra en la Figura 5.33; en el caso contrario, será negativa.
§5.17. Movimiento de rotación alrededor de un eje fijo.- El movimiento de rotación alrededor de un eje fijo es un caso particular del movimiento plano del sólido rígido. Cuando el sólido rígido gira en torno a un eje fijo en el espacio, sin deslizamiento a lo largo de dicho eje (rotación pura), resulta conveniente tomar el punto de referencia O sobre dicho eje, pues entonces, al ser vO=0 y aO=0, se logra una gran simplificación en la descripción del movimiento. Entonces, para un punto genérico P del sólido, será
v a
α × OP
ω × OP
ω × (ω × OP)
α × OP
ω ×v
[5.73]
y tomando el punto O en la incidencia del eje de rotación y la perpendicular bajada
135
§5.17.- Movimiento de rotación alrededor de un eje fijo.
desde P, con lo que OP=r, podemos escribir v a con: at=α×r
α×r
ω × r
ω × (ω × r )
α×r
[5.74]
ω ×v
componente tangencial de la aceleración en el movimiento circular que realiza el punto P. componente normal de la aceleración del punto P.
an=ω×v=ω×(ω×r)
Evidentemente, tenemos para los módulos ω r sen 90°
v at
α r sen 90°
αr
an
ωr ω v sen 90°
Figura 5.34
ωv
ω2 r
[5.75]
Figura 5.35
En su rotación alrededor de un eje fijo, el sólido rígido posee solamente un grado de libertad, de modo que su movimiento quedará definido cuando se conoce el ángulo θ en función del tiempo, es decir θ=θ(t). Sin embargo, en muchos problemas prácticos se conocen ω(t), ω(θ), α(t), α(θ) ...; entonces, utilizando las expresiones ω
dθ dt
dω dt
α
d2θ dt 2
ω
dω dθ
[5.76]
podemos encontrar las ecuaciones del movimiento (vide §4.8d). Casos particulares: (a) Si α=0, el movimiento es de rotación uniforme; esto es, ω es constante y el ángulo θ viene dado por θ
θ0
[5.77]
ωt
(b) Si α=cte., el movimiento de rotación es uniformemente acelerado, de modo que ω
ω0
αt
ω2
2
ω0
2 α (θ θ0)
θ
θ0
ω 0t
1 2 αt 2
[5.78]
Cuando los valores de ω y de α tiene el mismo signo, la rotación es uniformemente acelerada; en el caso contrario, es uniformemente retardada.
136
Lec. 5.- Cinemática del sólido rígido.
La analogía formal entre las leyes del movimiento rectilíneo de la partícula y las del movimiento de rotación del sólido rígido alrededor de un eje fijo, que acabamos de obtener, nos permite establecer las siguientes correspondencias: x (desplazamiento lineal) v (celeridad lineal) a (aceleración lineal)
←→ ←→ ←→
θ (desplazamiento angular) ω (celeridad angular) α (aceleración angular)
Problemas 5.1.- Un sólido rígido se mueve con respecto a un sistema de ejes de referencia. En un instante dado, el punto del sólido de coordenadas (2,3,1) tiene una velocidad v = (2 1 -1). Decir si es posible que el punto del sólido de coordenadas (5,4,6) tenga en ese instante algunas de las velocidades siguientes: a) v = (1 2 -2); b) v = (1 4 -1); c) v = (2 1 -1).
Prob. 5.2 5.2.- Los extremos A y B de una varilla deslizan sobre sendos ejes como se muestra en la figura. Supóngase conocida la velocidad del extremo A y determínese la velocidad del extremo B en el instante que se indica en la figura. 5.3.- A partir de la expresión vB = vA + ω×AB, que nos relaciona las velocidades de dos puntos de un sólido rígido, obtener: a) la condición cinemática de rigidez; b) la expresión del invariante escalar. 5.4.- Demostrar que la derivada con respecto al tiempo de un vector que tiene sus extremos en dos puntos de un sólido rígido animado de
un movimiento de rotación, es igual al producto vectorial de la velocidad angular por el vector. 5.5.- a) Para el movimiento general del sólido rígido, demostrar que todos los puntos del sólido que se encuentran sobre una recta paralela a la dirección de la velocidad angular ω del sólido tienen la misma velocidad. b) Para el caso del movimiento plano del sólido rígido, demostrar la misma proposición anterior para la aceleración. 5.6.- Un sólido rígido está sometido a dos rotaciones simultáneas con respecto a ejes concurrentes en el origen de coordenadas. En un instante dado son ω1 = (0 0 2) y ω2 = (0 3 4). a) Determinar la velocidad de un punto del sólido de coordenadas P(0,2,1). b) Ídem la aceleración de P, suponiendo que el eje de ω1 permanece fijo en el espacio, en tanto que el de ω2 rota alrededor del de ω1, con velocidad angular ω1, siendo constantes los módulos de ambas rotaciones. 5.7.- Un sólido se mueve con respecto a un sistema de ejes de referencia, de modo que su velocidad angular en un instante dado vale ω = (5 -2 3). Si la velocidad del punto P(2,3,1) es en ese instante vP = (1 -1 2), ¿cuál será la velocidad del punto Q(3,1,1) en ese instante? 5.8.- En un instante dado, el movimiento de un sólido queda definido por las rotaciones simultáneas siguientes: ω1 = (-3 0 2), ω2 = (1 0 1) y ω3 = (2 1 0), cuyos ejes pasan,
137
Problemas
respectivamente, por los puntos (0,0,0), (0,-9,6) y (-1,5,0). a) Reducir el movimiento al origen de coordenadas y describir los movimientos elementales correspondientes. b) Determinar el movimiento helicoidal tangente, hallando el eje instantáneo de rotación y deslizamiento y la velocidad de deslizamiento. c) Determinar la velocidad de un punto del sólido de coordenadas (1,1,2). 5.9.- En un instante determinado, el movimiento de un sólido rígido consiste en dos rotaciones simultáneas, ω1 y ω2, teniendo lugar ω1 alrededor de un eje paralelo al eje z y que pasa por el punto (0,1,0). En ese instante, el movimiento del sólido se reduce a una traslación del punto "perteneciente" al sólido de coordenadas (0,0,0) y a una rotación alrededor de un eje que pasa por dicho punto. Sean vO = 2i + j + k
y
ω=i+j+k
a) Determinar ambas velocidades angulares de rotación. b) Determinar el eje de ω2. 5.10.- Demostrar que el movimiento de un sólido rígido queda completamente definido si conocemos las velocidades de tres de sus puntos no-alineados. 5.11.- En un instante determinado, las velocidades de tres de los puntos de un sólido rígido, de coordenadas A(0,0,0), B(1,10) y C(0,1,1) son, respectivamente, vA = (6 -2 6), vB = (4 0 5) y vC = (5 -2 6). a) Comprobar que dicho movimiento es posible. b) Determinar la velocidad angular del sólido en dicho instante. c) Determinar la ecuación del eje instantáneo de rotación y deslizamiento. d) ¿Qué tipo de movimiento tiene lugar? 5.12.- Repetir el Problema 5.11 con los siguientes datos: A(0,0,0), B(0,1,0), C(1,0,0), vA = (1 -2 1), vB = (0 -2 0), vC = (1 -1 1). 5.13.- En un instante dado, el movimiento de un sólido rígido está definido por tres rotaciones, dos de las cuales son: ω1 = j y ω2 = k, cuyos ejes pasan por los puntos O1 = (1,0,0) y O2 = (0,1,0), respectivamente. Determinar la tercera rotación para que el movimiento resultante, en ese instante, sea una traslación pura cuyo módulo tenga el menor valor posible. 5.14.- En un instante dado, las velocidades de tres de los puntos de un sólido rígido son: vA = (a 0 0);
A=(0,0,0)
vB = (b 1 0);
B=(1,0,0)
vC = (-1 c 0); C=(0,2,0) Determinar: a) los valores de los parámetros a, b y c; b) la velocidad angular y la velocidad de deslizamiento; c) el eje instantáneo de rotación y deslizamiento. 5.15.- Un sólido rígido está sometido a una rotación ω = (3t 0 2) cuyo eje pasa siempre por el origen de un referencial fijo en el espacio. Para el punto del sólido de coordenadas (1,1,0) y para los instantes t=0 y t=1, determinar: a) la velocidad y b) la aceleración. 5.16.- Demostrar que cuando un cuerpo parte del reposo y gira alrededor de un eje fijo con aceleración angular constante, la aceleración normal de un punto del cuerpo es directamente proporcional a su desplazamiento angular. ¿Qué ángulo habrá girado el cuerpo cuando su aceleración forme un ángulo de 60 con su aceleración normal? 5.17.- Una escalera de 250 cm de longitud está apoyada en una pared vertical y en un suelo plano y horizontal. Si el pie de la escalera es empujado de modo que se desplace horizontalmente con una velocidad constante de 12 cm/s, calcular la velocidad y aceleración del otro extremo de la escalera en el instante en que el pie de la misma dista 150 cm de la pared. 5.18.- Una escalera AB, de longitud l, está apoyada en una pared vertical OA (vide figura). El pie de la Prob. 5.18 escalera es empujado de modo que se desplaza a velocidad constante v0 alejándose de la pared. a) Demostrar que el punto medio de la escalera describe una circunferencia de radio l/2 y con centro en el punto O. b) Determinar la velocidad y la celeridad de dicho punto medio en el instante en que B dista una distancia x de la pared. c) ¿Cuál sería la función vx(t) del pie de la escalera para que el movimiento del punto medio de la misma sea circular uniforme? 5.19.- El extremo superior de la varilla AB desliza a lo largo de una guía vertical (vide figura), en tanto que la varilla no pierde contacto en C con el apoyo. a) Determinar el valor del ángulo θ al que corresponde una
138 velocidad horizontal para el extremo libre, B, de la varilla. b) Supongamos que el punto A desciende a velocidad constante vA. Determinar la velocidad angular de la varilla y la velocidad del extremo B en función del valor del ángulo θ. c) Ídem la aceleración del punto B.
Lec. 5.- Cinemática del sólido rígido.
5.23.- Un cilindro de radio R rueda sin deslizar sobre una superficie plana y horizontal. Si la velocidad angular al rodar es ω, determinar: a) el eje instantáneo de rotación; b) la velocidad y la aceleración de los puntos del eje del cilindro; c) ídem de un punto cualquiera del cilindro; d) ídem de los puntos del cilindro que instantáneamente están en contacto con el plano.
Prob. 5.19
5.20.- Una varilla, que está apoyada sobre un cilindro de radio r= 1 cm, puede deslizar a lo largo de una guía tangente a dicho Prob. 5.20 cilindro, como se indica en la figura. La longitud de la varilla es cuatro veces el radio del cilindro. En el instante en que el centro de la varilla se apoya en el cilindro, la velocidad del punto A es 10 cm/s. Calcular, en dicho instante, las velocidades de los puntos B y C y la velocidad angular de la varilla. 5.21.- En el mecanismo articulado que se muestra en la figura, la varilla DB gira con velocidad angular constante ω alrededor del eje que pasa por D. Determinar la velocidad y la aceleración del extremo C de la varilla Prob. 5.21 AC: a) en el instante en que θ=60°; b) para un valor genérico del ángulo θ. 5.22.- Un disco de radio R rueda en línea recta sobre una superficie plana y horizontal. En un instante dado, su velocidad angular es ω y su aceleración angular es α. Determinar la velocidad y aceleración en ese instante de un punto del disco situado sobre el diámetro vertical y a una altura h sobre el centro del disco.
5.24.- Sobre un plano horizontal rueda sin deslizar un cono recto de sección circular, de 20 cm de generatriz y 30° de semiángulo en el vértice. La rodadura es tal que el cono pisa 5 veces/s un punto determinado del plano. Determinar: a) la velocidad angular del cono alrededor de su eje de simetría; b) el punto del cono cuya velocidad (con respecto al plano fijo) es máxima, así como la velocidad y aceleración de dicho punto.
Prob. 5.25 5.25.- El disco que se muestra en la figura está girando con velocidad angular ω1 y aceleración angular α1 alrededor de su eje de revolución, al tiempo que dicho eje es arrastrado por el movimiento de rotación de la horquilla, con velocidad angular ω2 y aceleración angular α2. Determinar la velocidad y aceleración de un punto genérico P de la periferia del disco. 5.26.- Un disco de radio r está girando alrededor de su eje de simetría con velocidad angular ω y aceleración angular α. Simultáneamente, el disco está girando, con velocidad angular constante Ω, alrededor de un eje fijo en el espacio que está contenido en el plano del disco y es tangente al perímetro de éste en un punto Q. a) Determinar la velocidad y aceleración del punto P del perímetro del disco diametralmente opuesto al punto Q de tangencia. b) Ídem para un punto genérico de la periferia del disco. 5.27.- Las aspas principales de un helicóptero giran con una velocidad angular de 600 rpm.
139
Problemas
Determinar la posición del eje instantáneo de rotación y deslizamiento de las aspas y calcular la velocidad de un punto de una de las aspas, situado a 1 m del eje de giro de las mismas, cuando ésta es perpendicular a la dirección del movimiento, en cada uno de los siguientes casos: a) El helicóptero se traslada horizontalmente, en línea recta, con una velocidad de 72 km/h; b) El helicóptero describe una trayectoria circular, en un plano horizontal, de 200 m de radio, con la misma celeridad que antes. 5.28.- La hélice de un avión gira a razón de 6 000 rpm, en tanto que el avión tiene una velocidad horizontal, en línea recta, de 360 km/h. Determinar: a) El tipo de movimiento que realiza un punto de la hélice distante 1 m del eje de la misma; b) la velocidad y aceleración de dicho punto. 5.29.- En el mecanismo de biela y manivela que se muestra en figura la manivela gira con velocidad angular constante de 10 rad/s y son l=90 cm y R=30 cm. Calcular la velocidad del pistón A y la velocidad angular de la biela (AB) para los siguientes valores del ángulo θ: a) 0°; b) 90°; c) 180°; d) para un valor genérico del ángulo θ.
en ese tiempo.
Prob. 5.33 5.33.- Un cilindro de radio r rueda sin deslizar sobre la superficie de otro cilindro de radio 2r, de modo que se eje de simetría tiene permanentemente una velocidad de módulo constante v0. Determinar las velocidades y aceleraciones de los puntos A y B de la periferia del cilindro en el instante que se indica en la figura. 5.34.- Un disco de radio R rueda con velocidad constante sobre un plano horizontal. a) Demostrar que las ecuaciones paramétricas de la trayectoria de cualquier punto de su borde son x = R (ωt - sen ωt);
Prob. 5.30
5.30.- En la figura, AB es una biela de pistón de longitud l. Si A se mueve a lo largo de la línea horizontal CD mientras que B se mueve con velocidad angular constante sobre una circunferencia de radio R y centro O, calcular la velocidad y la aceleración del punto A para un valor genérico del ángulo θ. 5.31.- Un sólido rígido gira en torno a un eje fijo, de modo que en el instante en que su velocidad angular es 2 rad/s, su aceleración angular es 3 rad/s2. Determinar la velocidad y la aceleración de un punto del sólido situado a 10 cm del eje de rotación. 5.32.- La aceleración angular de un volante viene dada por α = -ω2/2. Si inicialmente su velocidad angular es de 120 rpm, determinar el tiempo que debe transcurrir para que su velocidad angular se reduzca a la mitad, y el número de vueltas que habrá dado el volante
y = R (1 - cos ωt)
donde ω es la velocidad angular del disco y el tiempo t se mide a partir del instante en que el punto estuvo en contacto con el plano. b) Representar gráficamente dicha trayectoria. c) Encontrar las componentes de la velocidad y de la aceleración del punto. Interpretar los resultados. 5.35.- En el Problema 5.34, determinar: a) las componentes intrínsecas de la aceleración de un punto del borde del disco y b) la curvatura de la trayectoria del punto en la posición más alta de la misma. 5.36.- Un disco de radio R rueda en línea recta sobre una superficie plana y horizontal. En un instante dado, su velocidad angular es ω y su aceleración angular es α. Determinar la velocidad y la aceleración de un punto genérico del disco. 5.37.- Una rueda de radio r rueda sin deslizar, con una velocidad angular constante ω, por el interior de otra (fija) de radio 2r (vide
Prob. 5.37
140
Lec. 5.- Cinemática del sólido rígido.
figura). a) Determinar la trayectoria de un punto genérico de la rueda pequeña. b) Calcular la velocidad y aceleración de dicho punto. 5.38.- La escuadra que se muestra en la figura realiza un movimiento plano deslizando sobre los puntos fijos A y B. Determinar la base y la Prob. 5.38 ruleta del movimiento. 5.39.- El extremo A de una varilla desliza a lo largo de un aro circular fijo de radio R, en tanto que la varilla está guiada por un pasador orientable fijado en un punto B del aro, como se muestra en la figura. Determinar la base y la ruleta del movimiento de la varilla.
la velocidad y aceleración de punto de la varilla que se encuentra en B en función del tiempo, expresando sus componentes en una base fija y en una base móvil.
Prob. 5.41 5.41.- En el dispositivo que se muestra en la figura, el extremo A de la barra se mueve a lo largo del eje vertical sin que la barra pierda contacto con el disco de radio R. a) Encontrar la velocidad de rotación de la barra en función del ángulo θ. b) Determinar la base y la ruleta del movimiento de la barra.
Prob. 5.39 Prob. 5.42 5.40.- La varilla AC que se muestra en la figura tiene un movimiento plano tal que su extremo A desliza a lo largo de un eje horizontal, en tanto que la varilla pasa por una abrazadera fija y orientable (B), situada a una distancia h del eje. a) Determinar la base y la
Prob. 5.40 ruleta del movimiento de la varilla. b) Supongamos que el extremo A de la deslizadera desliza con velocidad constante v y que se encuentra en O (θ=0) en el instante t=0. Expresar la rotación instantánea de la varilla en función del tiempo [i.e., ω=ω(t)]. c) Hallar
5.42.- El piñón satélite de radio R que se muestra en la figura engrana con las dos ruedas dentadas coaxiales de radios 2R y 4R que giran con velocidades angulares constantes 3ω y 2ω, respectivamente, en sentidos opuestos, como se indica en la figura. El movimiento del piñón produce la rotación del brazo OO′ alrededor del eje O. a) Determinar la rotación θ˙ instantánea del piñón (indicando su sentido), así como la velocidad de su eje. b) Encontrar la velocidad angular φ˙ del brazo OO′. c) Obtener la base y la ruleta del movimiento del piñón. d) Calcular la velocidad de sucesión del CIR del piñón.
Capítulo III.
Dinámica de la partícula.
6.- Principios de la Mecánica Clásica. La Ley de la Inercia.
143
7.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación de la cantidad de movimiento.
161
8.- Las fuerzas de la Naturaleza.
187
9.- Sistemas de referencia en rotación.
221
10.- Trabajo y energía.
245
11.- Conservación de la energía.
273
12.- Monento angular. Fuerzas centrales.
297
Manuel R. Ortega Girón
141
142
Lecciones de Física
6.- Principios de la Mecánica Clásica. La ley de la Inercia. §6.1. Mecánica Clásica (144); §6.2. Las Leyes de la Mecánica (145); §6.3. Las leyes del movimiento (146); §6.4. La ley de la inercia (147); §6.5. Referenciales inercial y noinercial (149); §6.6. Buscando un referencial inercial (151); §6.7. Transformación de Galileo (154); §6.8. Principio de Relatividad de Galileo (156); Problemas (159)
En las lecciones anteriores hemos aprendido a describir el movimiento de los cuerpos. Intentaremos ahora profundizar en las causas del movimiento investigando la razón por la cual los cuerpos se mueven del modo en que lo hacen. Nuestro estudio nos va a conducir a los conceptos de masa y de fuerza, conceptos que nos permitirán establecer leyes generales a las que obedecen todos los movimientos. Nos remontaremos así desde la descripción de movimientos particulares a conclusiones de muy amplia validez sobre el funcionamiento del mundo físico. La observación diaria nos permite distinguir movimientos muy diversos en los objetos al alcance de nuestros sentidos. Los antiguos griegos clasificaron los movimientos en tres categorías fundamentales: (1) El movimiento de los cuerpos provocado por otros cuerpos en contacto directo (v.g., un caballo tirando de un carro). (2) El movimiento de los objetos que caen libremente hacia el suelo (v.g., fruta desprendida de un árbol). (3) El movimiento de los astros, unas veces regular e inmutable (estrellas) y otras veces aparentemente caprichoso (planetas). Para la primera categoría de movimientos se disponía de una explicación inmediata: Cuando el caballo tira del carro, éste se mueve bajo la acción directa de la tracción realizada por el caballo; cuando la tracción cesa el movimiento también cesa. Es decir, en ausencia de fuerzas no podría haber movimiento y, además, una fuerza constante produciría un movimiento uniforme, ya que para mantener constante la velocidad del carro el caballo debería ejercer una fuerza constante sobre el carro. Estas afirmaciones se revelarían erróneas tras los trabajos de Galileo y Newton.
Manuel R. Ortega Girón
143
144
Lec. 6.- Principios de la Mecánica Clásica. La ley de la Inercia.
Se disponía también de una explicación simple para la segunda categoría de movimientos. ARISTÓTELES1 afirmaba que puesto que la Tierra era el centro del Universo, todos los cuerpos "pesados" tendían a caer de una forma natural hacia éste. Así se explicaba la caída libre. Por último, los cuerpos celeste estarían formados por una sustancia esencialmente distinta de la de los cuerpos terrestres, de modo que tendrían la propiedad de autopropulsarse. Esto es, la causa del movimiento de los cuerpos celestes estaría en ellos mismos. Tratándose de dioses (Venus, Marte, ...) esta entelequia no resultaba descabellada; lo menos que se le podía pedir a un dios es que se moviese por sí mismo. Este primer intento de explicar las causas de los movimientos adolece de los defectos de un tratamiento no científico de la realidad. Hipótesis distintas para los diferentes tipos de movimientos, en lugar de sintetizar el fenómeno del movimiento en el marco de una teoría única. Hipótesis fantásticas, como la de la naturaleza divina de los astros, o simplemente erróneas, como la de que en ausencia de fuerza no hay movimiento. En definitiva, ausencia total de experimentación en el examen del fenómeno y de un análisis riguroso de los resultados experimentales. Hoy sabemos que la materia de que están hechas las estrellas es la misma de la que están hechos los objetos terrestres y hemos aprendido a prescindir de los dioses. Sin embargo, las explicaciones que dieron los griegos al fenómeno del movimiento, en las circunstancias de su época y con los medios a su alcance, merecen nuestro respeto: el respeto que inspira la mente del hombre cuando se interroga sobre el significado de sí mismo y de su entorno. §6.1. Mecánica Clásica.- El estudio de la relación existente entre el movimiento de un cuerpo y las causas de dicho movimiento constituye una rama de la Física que se denomina Dinámica. La experiencia nos muestra que el movimiento de un cuerpo es el resultado directo de sus interacciones con los demás cuerpos que lo rodean y que constituyen su medio ambiente. En general, sólo incluiremos en dicho medio ambiente los cuerpos cercanos pues los efectos de los cuerpos más alejados ordinariamente son insignificantes. Así, cuando un jugador de golf golpea la pelota, su acción sobre ella modifica el estado de movimiento de la pelota, y la posterior trayectoria parabólica de ésta no es sino el resultado de su interacción con la Tierra. Análogamente, el movimiento de un electrón alrededor del núcleo de un átomo es el resultado de las interacciones del electrón con el núcleo y con los otros electrones. Las interacciones se describen convenientemente introduciendo el concepto físico-matemático que denominamos fuerza. De este modo,
la Dinámica es básicamente el análisis de la relación existente entre las fuerzas y los cambios de movimiento de los cuerpos.
1
ARISTÓTELES (384-322 a.c.). Nació en Macedonia, por lo que se le llama «el Estagirita». Fue discípulo de Platón y maestro de Alejandro el Magno. Fundó en Atenas (334) una escuela filosófica. Gran investigador y pensador profundo, sólo construía sus teorías sobre hechos experimentales. Fue el creador de la terminología filosófica y el fundador de la Lógica, de la Psicología, de la Poética, de la Historia Natural y de la Metafísica.
§6.1.- Mecánica Clásica.
145
Se denomina Dinámica Clásica o Newtoniana la teoría que formularon GALILEO y NEWTON para relacionar las fuerzas y el movimiento; esta teoría constituye una de las más poderosas armas de investigación de la Naturaleza que ha sido inventada y sus resultados influyeron todo el desarrollo de la Física a partir del siglo XVIII. Se basa en ciertos postulados razonables (leyes de Newton) y tuvo un éxito espectacular en la explicación de los movimientos de los planetas, de los cuerpos sobre la superficie terrestre y de las propias moléculas. Es difícil encontrar en la Física otra teoría cuyo campo de validez sea tan extenso. La Dinámica Clásica, junto con la Cinemática de Galileo y la Estática, constituye ese grandioso edificio que es la Mecánica Clásica, ciencia que aún hoy permite resolver una infinidad de problemas prácticos. No obstante, las leyes de la Mecánica Clásica resultan inadecuadas y deben modificarse cuando los cuerpos se mueven con velocidades muy grandes, próximas a la velocidad de la luz c ≈ 300 000 km/s, y cuando se utilizan para la descripción de fenómenos a pequeña escala, como los que se presentan en la Física Atómica y Nuclear. En el primer caso, la Mecánica Clásica se sustituye por la Mecánica Relativista, debida principalmente a Albert EINSTEIN (1879-1955), y en el segundo por la Mecánica Cuántica, desarrollada inicialmente por Max PLANCK (1858-1947). Sin embargo, la Mecánica Relativista y la Mecánica Cuántica incluyen a la Mecánica Clásica como caso límite. Así, dentro de su campo de validez, la Mecánica Clásica nos proporciona una descripción satisfactoria de los fenómenos físicos. §6.2. Las Leyes de la Mecánica.- El problema central de la Mecánica Clásica de las partículas es el siguiente:
(1) Tenemos una partícula cuyas características físicas (masa, carga, momento dipolar magnético, ...) conocemos; (2) Colocamos esta partícula, con una cierta velocidad inicial conocida, en un medio ambiente del que tenemos una descripción completa; (3) Problema: ¿Cuál será el movimiento subsiguiente de la partícula? Este problema fue resuelto, al menos para una gran variedad de medios ambiente, por Newton cuando propuso las leyes del movimiento y formuló su ley de Gravitación Universal. El método a seguir para resolver el problema, de acuerdo con nuestra forma de entender hoy día la Mecánica Clásica, es el siguiente: (a) Introduciremos el concepto de fuerza F, definiéndolo en función de la aceleración a que adquiere un cierto cuerpo patrón. (b) Desarrollaremos algún procedimiento para asignar una masa m a cada cuerpo, con objeto de entender porque los cuerpos de una misma naturaleza experimentan distintas aceleraciones al encontrarse en un mismo medio ambiente. (c) Trataremos de encontrar el modo de calcular las fuerzas que obran sobre los cuerpos a partir de las propiedades de éstos y de las del medio ambiente; esto es, buscaremos las leyes de las fuerzas.
146
Lec. 6.- Principios de la Mecánica Clásica. La ley de la Inercia.
El concepto de fuerza, que no es más que una técnica para relacionar el medio ambiente con el movimiento de la partícula, aparece tanto en la leyes del movimiento (que nos dicen que aceleración experimentará un cuerpo bajo la acción de una fuerza dada) como en las leyes de las fuerzas (que nos permiten calcular la fuerza que actuará sobre un cuerpo dado al colocarlo en un medio ambiente determinado). Las leyes del movimiento y las leyes de las fuerzas consideradas conjuntamente constituyen las leyes de la Mecánica. §6.3. Las leyes del movimiento.- Las leyes del movimiento relacionan la aceleración de un cuerpo con su masa y con la fuerza que actúa sobre él. Hasta aquí estamos empleando los términos fuerza y masa de un modo bastante impreciso. Hemos identificado a la fuerza con la influencia del medio ambiente; intuitivamente pensamos que una fuerza es como un empuje o una tracción semejante a la que ejercen nuestros músculos. Por otra parte, nos hacemos idea de un cuerpo de gran masa como algo grande y pesado. Estas nociones intuitivas son correctas durante la conversación cotidiana, pero no lo son para un enunciado preciso de las leyes del movimiento ni para la aplicación de dichas leyes a los problemas de la Física. Si queremos comprender las leyes del movimiento, y si las queremos aplicar correctamente, debemos definir los conceptos con todo cuidado; lo que haremos más adelante, describiendo métodos para su medida, mediante lo que se denomina una definición operacional. De momento vamos a limitarnos a enunciar y revisar en forma general las leyes del movimiento, para estudiar después más profundamente sus contenidos. Durante muchos siglos el problema del movimiento y de sus causas fue un tema central de la Filosofía Natural. Las primeras ideas acerca del movimiento aceptadas generalmente fueron las de ARISTÓTELES, que prevalecieron hasta el siglo XVII, en que fueron impugnadas por GALILEO2, quien negó que Aristóteles hubiera experimentado con los cuerpos en movimiento y demostró experimentalmente que todos los cuerpos caen con igual movimiento (experimentos en la torre inclinada de Pisa) en contra de lo dicho por Aristóteles de que los cuerpos más pesados caían más deprisa. NEWTON3, nacido en Inglaterra el mismo año en que muere Galileo, fue el gran arquitecto de la Mecánica Clásica. Llevó a cabo una admirable fructificación y
2
GALILEO GALILEI (1564-1642). Físico, matemático y astrónomo italiano. Fue profesor en las Universidades de Pisa (1587) y de Padua (1592-1610). Puso los cimientos de la ciencia del movimiento de los cuerpos (Dinámica), base de la Mecánica actual. Descubrió las leyes de la caída de los cuerpos y la ley del péndulo y estableció el fundamento de la ley de la inercia. Realizó observaciones astronómicas (con un anteojo de su invención) y descubrió los satélites de Júpiter, el anillo de Saturno y las fases de Venus. Sus descubrimientos astronómicos le llevaron a impugnar el Sistema Geocéntrico de Ptolomeo y a defender el Sistema Heliocéntrico de Coopérnico, lo que le creó graves problemas con la Inquisición (1633). 3
Sir Isaac NEWTON (1642-1727). Físico, matemático y astrónomo inglés. Fue profesor de Física en la Universidad de Cambridge (1669-1701) y presidente de la Royal Society de Londres desde 1703. Por su extraordinarios méritos recibió el tratamiento de Sir (1705). Se le considera el fundador de la Mecánica Clásica y de la Mecánica Celeste. Estudió las leyes del movimiento de los planetas, descubrió la Ley de la Gravitación (1686) e ideó el cálculo de fluxiones (antecedente del Cálculo Diferencial e Integral). Sus trabajos se extendieron también a los campos de la Óptica y de la Acústica.
147
§6.3.- Las leyes del movimiento.
síntesis de las ideas de Galileo y de otros sabios que le habían precedido y enunció las tres leyes del movimiento, que hoy llevan su nombre, que fueron presentadas por primera vez en 1686 en su obra Principia Mathematica Philolophiæ Naturalis. Es interesante recordar la versión de Newton de dichas leyes del movimiento. LEY I.- Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme a menos que se le obligue a variar dicho estado mediante fuerzas que actúen sobre él. En otras palabras, sin la acción de las fuerzas no pueden haber aceleraciones. Hay dos ideas importantes contenidas en esta ley: La primera es una definición cualitativa de fuerza como agente capaz de modificar el estado de movimiento de un cuerpo; la segunda es la de que el reposo (v=0) y el movimiento rectilíneo uniforme (v=cte.) son dos estados enteramente equivalentes para un cuerpo material. LEY II.- La variación del movimiento es proporcional a la fuerza que actúa sobre el cuerpo y se realiza en la dirección de la recta en que actúa la fuerza. Este enunciado es válido también en el marco de la Mecánica Relativista. De nuevo nos aparece la fuerza como el agente capaz de modificar el estado de movimiento de un cuerpo, esto es de producir aceleraciones. La segunda ley del movimiento de Newton constituye una definición dinámica de fuerza cuando se expresa en la forma F
ma
[6.1]
postulándose previamente el valor de la masa para una partícula material dada. LEY III.- A toda acción se le opone siempre una reacción igual; o sea, las acciones mutuas entre dos cuerpos, uno sobre otro, son siempre iguales y se dirigen en sentidos opuestos. Dicho de otro modo: las fuerzas se presentan por parejas. Si el cuerpo 1 ejerce una fuerza F21 sobre el cuerpo 2, el cuerpo 2 ejercerá una fuerza F12 sobre el cuerpo 1, de modo que F12
F21
[6.2]
COROLARIO I.- Un cuerpo sobre el que actúan simultáneamente dos fuerzas se moverá según la diagonal de un paralelogramo en el mismo tiempo en que describiría los lados del mismo mediante la acción de dichas fuerzas por separado. Esto es, las fuerzas obedecen la ley de la suma del paralelogramo. Por tanto este Corolario expresa el carácter vectorial de las fuerzas. §6.4. La ley de la inercia.- Antes de Galileo se creía que para mantener un cuerpo en movimiento, incluso en movimiento rectilíneo uniforme, era necesaria la acción continuada de una fuerza sobre él. El fundamento de esta idea radicaba en la creencia de que el "estado natural" de un cuerpo era el reposo, de modo que si el cuerpo no era impulsado constantemente se detendría de un modo "natural".
148
Lec. 6.- Principios de la Mecánica Clásica. La ley de la Inercia.
La comprobación experimental de tales ideas deberá comenzar por encontrar el modo de liberar un cuerpo de todas las influencias de su medio ambiente, esto es, de todas las fuerzas que pueden actuar sobre él, para ver posteriormente como se comporta bajo esta circunstancia de ausencia de acción exterior. Es difícil realizar este tipo de experiencia, en las que todas las fuerzas hayan sido eliminadas; ésta es una idealización muy grande y fue necesario un genio como Galileo para percibir, a partir de experiencias relativamente burdas, que la Ley de la Inercia es válida. Una partícula libre es aquélla que no está sujeta a interacción alguna. Estrictamente no existe tal cosa, ya que toda partícula interacciona con el resto del Universo; la partícula libre debería estar completamente aislada, o ser la única partícula en el Universo. Sin embargo es posible, en la práctica, considerar algunas partículas como libres, ya sea porque se encuentren suficientemente alejadas de otras partículas, de modo que las interacciones resulten suficientemente débiles para ser despreciadas o porque las interacciones con las otras partículas se cancelen, dando una interacción neta nula. Por otra parte podemos estudiar el movimiento conforme vamos consiguiendo que las fuerzas que actúan sobre el cuerpo sean cada vez más y más pequeñas, de modo que por extrapolación podamos hacernos una idea de cómo sería el movimiento en la ausencia total de fuerzas. Consideremos un objeto, digamos un bloque, descansando sobre una superficie horizontal lisa, como la de una mesa. Observemos que si el bloque está en reposo (respecto a la mesa) permanecerá en esta situación a menos que le empujemos o tiremos de él. En el sentido vertical podemos considerar el bloque como "libre" de acción exterior, ya que su peso P está exactamente compensado con la reacción normal N de la mesa sobre él. Si lanzamos el bloque de modo que deslice sobre la mesa podremos observar que su movimiento se irá haciendo cada vez más lento hasta que finalmente se detiene. De hecho, esta observación era la base para sostener la idea de que el movimiento tenía que cesar cuando la fuerza exterior, en este caso la ejercida por la mano que empujó al bloque, dejase de actuar. Sin embargo, Galileo arguyó contra esta Figura 6.1 idea atribuyendo la disminución de velocidad a la fuerza de rozamiento entre el bloque y la mesa, debido a que ni el uno ni la otra son perfectamente lisos. De modo que, aunque podemos considerar el bloque como "libre" de acción exterior en la dirección vertical, no es ese el caso en la dirección horizontal debido a la existencia de la fuerza de rozamiento que no está compensada por ninguna otra fuerza horizontal. Si repetimos el experimento puliendo previamente la superficie de la mesa y la del bloque y utilizando un lubricante, notaremos que la velocidad disminuirá más lentamente que antes. Si apoyamos el cuerpo en un "colchón de aire" (esto es posible con una mesa o carril de aire) el cuerpo deslizará durante un tiempo considerable con una variación casi imperceptible en su velocidad. Podemos extrapolar estas experiencias a la de una superficie lisa ideal que no se oponga en absoluto al movimiento del bloque de modo que sobre dicha superficie la velocidad del mismo no variará. Así pues, si todo el rozamiento pudiera eliminarse, el bloque seguiría moviéndose indefinidamente en línea recta con celeridad constante. Esta fue la
§6.4.- La ley de la inercia.
149
conclusión a la que llegó Galileo4. A la vista de estos resultados experimentales, Galileo afirmó: "Se requiere una cierta fuerza externa para cambiar la velocidad de un cuerpo; pero no se necesita fuerza externa alguna para conservar su velocidad." Dicho de otro modo, la materia presenta una cierta inercia u oposición a los cambios de movimiento. Así, para poner en movimiento el bloque de las experiencias anteriores debemos ejercer una fuerza sobre él, y lo mismo si luego lo queremos detener o si queremos modificar su velocidad. Por ejemplo, nuestra mano debe ejercer una fuerza sobre el bloque para ponerlo en movimiento y el plano áspero ejerce una fuerza sobre el bloque (la fuerza de rozamiento) que produce una reducción en su velocidad. Ambas fuerzas producen un cambio en la velocidad; esto es, una aceleración. Este principio de Galileo fue adoptado por Newton como la primera de sus tres leyes del movimiento, que ya hemos enunciado anteriormente. El significado de la primera ley, o ley de la inercia, consiste en que define por un procedimiento operacional lo que queremos decir cuando afirmamos que no existe fuerza neta o resultante actuando sobre un cuerpo, ya que podemos determinar si existe una fuerza externa neta actuando sobre un cuerpo mediante la observación del movimiento del mismo. Si la velocidad del cuerpo es constante (movimiento rectilíneo uniforme) sacamos la conclusión de que no existe fuerza externa resultante actuando sobre el cuerpo. Pero si la velocidad del cuerpo no permanece constante, porque esté cambiando su módulo (celeridad) o su dirección (movimiento curvilíneo) o ambas cosas a la vez, podemos asegurar que sobre el cuerpo está actuando una fuerza externa neta no nula. La primera ley de Newton contiene una definición cualitativa de la fuerza como agente capaz de modificar el estado de movimiento de los cuerpos; esto es, de producir aceleraciones. Veremos más adelante, en la próxima lección, que la segunda ley de Newton contiene una definición cuantitativa de la fuerza; lo que nos permitirá establecer un método operacional para la medida de las fuerzas. §6.5. Referenciales inercial y no-inercial.- La ley de la inercia es de
fundamental importancia ya que determina la naturaleza de los sistemas de referencia o referenciales que debemos utilizar en el desarrollo de la Mecánica; es decir, las condiciones que deben cumplir tales referenciales para que en ellos sean válidas las conclusiones que saquemos de las leyes enunciadas. Recordemos, ante todo, que el movimiento es siempre relativo, de modo que la aceleración que pueda presentar un cuerpo depende del referencial en el que se mide. La primera ley del movimiento de Newton nos dice que si no hay objetos cercanos (y con ello entendemos que no hay fuerza, ya que toda fuerza debe estar asociada con algún cuerpo en la vecindad) entonces es posible encontrar una familia de referenciales en los que una partícula (partícula libre) no presenta aceleración; es
4
En realidad, Galileo experimentó no como hemos expuesto anteriormente sino con esferas y planos inclinados.
150
Lec. 6.- Principios de la Mecánica Clásica. La ley de la Inercia.
decir, una familia de referenciales en los que la partícula libre se desplaza con movimiento rectilíneo uniforme, entre los que existe uno (que viaja con la partícula) en el que la partícula se encuentra en reposo. Tales referenciales reciben el nombre de inerciales. En los demás referenciales, i.e., en los referenciales no-inerciales, la partícula libre presentará una cierta aceleración, de modo que en tales referenciales no se cumple la ley de la inercia. Es obvio que los referenciales no-inerciales están acelerados con respecto a los referenciales inerciales. Para comprender mejor estos conceptos pondremos unos ejemplos. Consideremos un observador en reposo en un cierto referencial inercial S y un segundo observador en reposo en otro referencial S′ que se desplaza con una aceleración a0 con respecto al referencial S. Imaginemos, para fijar ideas, que el referencial S está ligado a tierra en tanto que el referencial S′ está ligado a un vagón de ferrocarril que se mueve por una vía recta y horizontal con movimiento uniformemente acelerado. Sobre la plataforma del vagón, que supondremos horizontal y perfectamente lisa a fin de que no aparezcan fuerzas de rozamiento, se coloca un bloque unido mediante un muelle dinamométrico a un punto fijo del vagón, como se muestra en la Figura 6.2. El dinamómetro permitirá a Figura 6.2 los observadores S y S′ apreciar una fuerza real F (el muelle del dinamómetro se alarga) que actúa sobre el bloque en el sentido de la aceleración a0. El observador S no se extrañará de la existencia de dicha fuerza, ya que con respecto a él el bloque está acelerado, con la misma aceleración a0 que posee el vagón (i.e., a≠0), de modo que, de acuerdo con la primera ley del movimiento, esa fuerza es necesaria para producir la aceleración del bloque. El observador S es un observador inercial y para él es válida la ley de la inercia. En cambio la situación es muy diferente para el observador S′. El observador S′ también puede apreciar la existencia de la misma fuerza F que actúa sobre el bloque, pero como éste se encuentra en reposo respecto al vagón tendrá que negar la validez de la primera ley del movimiento. El bloque permanecerá en reposo con respecto al observador S′ (i.e., a′=0) a pesar de que una fuerza externa neta no nula actúa sobre él. El observador S′ es un observador no-inercial. Liberemos ahora el bloque de modo que pueda moverse libremente y sin rozamiento sobre la plataforma del vagón (Figura 6.3). Cuando la velocidad de éste aumenta, esto es, cuando está sometido a una aceleración, el bloque se moverá sobre la plataforma con velocidad creciente (movimiento acelerado) en sentido contrario al de la aceleración del vagón, de forma tal que si el vagón se encontraba inicialmente en reposo respecto a la vía, el bloque permanecería en reposo con respecto al observador S (es como si el vagón se "deslizase" por debajo del bloque, sin arrastrarlo, ya que no existe rozamiento). De nuevo, como en el experimento anterior, el observador S acepta la validez de
§6.5.- Sistemas de referencia inercial y no inercial.
151
la ley de la inercia; puesto que ninguna fuerza actúa sobre el bloque, éste permanece en reposo en el referencial inercial. También, de nuevo, el observador S′ rechaza la validez de la ley de la inercia, ya que el bloque Figura 6.3 presenta una aceleración a′ = -a0 en el referencial del vagón, pero no se puede detectar fuerza alguna actuando sobre él. El referencial S′, que está acelerado respecto al referencial inercial S, es un referencial no-inercial. A partir de estas sencillas experiencias sacamos como conclusión que la ley de inercia sólo se cumple cuando las observaciones se efectúan desde lo que hemos llamado un referencial inercial y que no se cumplen en los referenciales no-inerciales. Tales referenciales están acelerados con respecto a los referenciales inerciales. En los ejemplos anteriores hemos considerado un referencial ligado al vagón que se mueve con aceleración constante sobre una trayectoria rectilínea con respecto a tierra. Como ya sabemos, en el movimiento curvilíneo (del que es un caso particular el movimiento circular) siempre existe aceleración, de modo que si un referencial se encuentra en rotación con respecto a un referencial inercial, entonces ese referencial será no-inercial. Esto resulta claro a partir de nuestra experiencia cotidiana. Si nuestro referencial está inmóvil sobre un tiovivo no tendremos aceleración cero en dicho referencial en ausencia de fuerzas aplicadas. Únicamente podremos permanecer quietos sobre el tiovivo si ejercemos sobre nuestro propio cuerpo una cierta fuerza, dirigida hacia el eje de rotación, cuyo módulo viene dado por mω2r, siendo m nuestra masa, ω la velocidad angular y r la distancia que nos separa del eje de rotación. Así pues, la plataforma del tiovivo constituye un referencial no-inercial. Resumiendo, un referencial inercial es aquel con respecto al cual un cuerpo no presenta aceleración cuando no actúa ninguna fuerza sobre él. Todo referencial acelerado con respecto a un referencial inercial será no-inercial y en él no será válida la primera ley del movimiento de Newton. Es importante que observemos la necesidad de conocer todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo si queremos clasificar un determinado referencial como inercial o no-inercial. Podemos identificar las fuerzas posibles buscando el agente, esto es, otros cuerpos, responsable de cada una de ellas. Si observamos que en un cierto referencial un cuerpo presenta una cierta aceleración pero no somos capaces de encontrar el agente de la fuerza que suponemos produce esa aceleración, habremos de concluir que tal referencial no es inercial. §6.6. Buscando un referencial inercial.- La ley de la inercia afirma que un cuerpo no sometido a fuerza alguna tiene una velocidad constante y hemos visto que este enunciado sólo es válido en un referencial que definimos como inercial. Nuestro problema es hallar un referencial que tenga la propiedad de ser inercial. Pero, ¿es eso
152
Lec. 6.- Principios de la Mecánica Clásica. La ley de la Inercia.
posible? El enunciado de la ley de la inercia puede parecernos ambiguo: ¿Cómo podemos saber si sobre un cuerpo actúa o no una fuerza? No podemos estar seguros de que sobre un cuerpo no actúen fuerzas sólo porque no existan otros cuerpos próximos a él, ya que las fuerzas pueden actuar sobre el cuerpo no sólo por contacto directo con otros cuerpos sino también mediante una acción a distancia. Este es el caso de las fuerzas gravitatorias y electromagnéticas que pueden ser importantes incluso para distancias considerables entre los cuerpos. Así pues, sólo podemos saber si actúa una fuerza sobre el cuerpo si medimos su aceleración; pero tal medida exige que hayamos establecido previamente un referencial y, además, que ese referencial sea inercial para poder aplicar la ley de la inercia. Pero, ¿cómo saber si dicho referencial es inercial? A poco que reflexionemos comprenderemos que nos encontramos en un circulo vicioso. Sin embargo, la situación no carece de esperanza porque sabemos que las fuerzas ejercidas entre dos cuerpos decrecen muy rápidamente cuando aumenta la distancia que los separa. Si no fuera así, sería imposible aislar un cuerpo de las interacciones debidas a los demás cuerpos del Universo. Todas las fuerzas conocidas entre las partículas decrecen con la distancia al menos de manera inversamente proporcional al cuadrado de la misma. En una descripción razonable, un cuerpo muy alejado de cualquier otro no estará prácticamente sometido a ninguna fuerza y por tanto su aceleración será nula. Una estrella típica está separada por unos 1016 m de su vecina más próxima, lo que supone sólo una pequeña aceleración. Por consiguiente, podemos esperar que las estrellas "fijas" definan un referencial no acelerado, esto es, un referencial inercial, dentro de una buena aproximación. Ciertamente, para muchos problemas prácticos, resulta mucho más útil considerar un referencial sujeto a la superficie de la Tierra. Tal referencial recibe el nombre de referencial o Sistema del Laboratorio (S.L.). En la mayoría de los casos este referencial es una aproximación suficientemente buena de un referencial inercial, aunque no lo es en sentido estricto. En efecto, debido a la rotación diaria de la Tierra, el Sistema del Laboratorio presenta una aceleración dirigida hacia el eje de rotación que es pequeña pero no despreciable en todos los casos. Un punto en reposo en el Ecuador experimenta una aceleración centrípeta dada por a
v2 RT
ω 2 RT
[6.3]
siendo ω=2π/T la velocidad angular de la Tierra y RT el radio de la misma. Como el periodo de revolución es T ≈86 160 s (i.e., un día sidéreo, vide Problema 6.1) la velocidad angular es
Figura 6.4
ω ≈
2π 86 160
7.29 × 10
y como RT≈ 6 400 km, la aceleración resulta ser
5
rad/s
[6.4]
§6.6.- Buscando un sistema de referencia inercial.
a ≈ (7.29 × 10 5)2 × 6.4 × 106
0.034 m/s 2
153 [6.5]
Este valor explica parte del exceso observado en el valor de la aceleración gravitatoria aparente en el Polo sobre la del Ecuador. La aceleración gravitatoria medida en el Polo es de 9.832 m/s2 y la medida en el Ecuador es de 9.780 m/s2, lo que representa una diferencia de 0.052 m/s2. El resto de la variación apreciable en el valor de la aceleración gravitatoria se debe principalmente a la forma del geoide, que corresponde a la de un esferoide achatado por los polos, de modo que, aún en la ausencia del efecto de la rotación terrestre, el valor de la aceleración gravitatoria es mayor en los Polos que en el Ecuador. Así pues, el referencial del laboratorio está acelerado y no constituye un referencial inercial. Una mejor aproximación a lo que es un referencial inercial nos la proporciona un referencial cuyo origen está fijo en el centro de la Tierra, que se traslada con ésta en su órbita alrededor del Sol y que mantiene fijas las direcciones de sus ejes con respecto a las estrellas lejanas, de modo que no participa del movimiento de rotación de la Tierra alrededor de su eje polar. Tal referencial recibe el nombre de sistema geocéntrico. La aceleración de la Tierra en su órbita resulta ser un orden de magnitud menor que la aceleración debida a la rotación terrestre. Como 1 año ≈ 3.15×107s, la velocidad angular de la Tierra alrededor del Sol es ω ≈
2π 3.15 × 107
1.995 × 10
7
rad/s
[6.6]
y como el radio de la órbita terrestre es R ≈ 150 × 106 km, la aceleración de la Tierra en su órbita resulta ser a ≈ (2 × 10 7 )2 × 150 × 109
0.006 m/s 2
[6.7]
de modo que el sistema geocéntrico también presenta una cierta aceleración, aunque pequeña, y no constituye un referencial inercial. Es obvio que conseguiremos una gran mejora si adoptamos un referencial cuyo origen esté cerca del centro del Sol (en el centro de masas del Sistema Solar) y cuyos ejes no giran con respecto a las estrellas lejanas. Llamaremos sistema heliocéntrico a un tal referencial. Pero el Sistema Solar participa en el movimiento de rotación de la Galaxia de modo que el sistema heliocéntrico presenta también una determinada aceleración. La Galaxia (formada por unas 1010 estrellas) presenta una estructura de disco con brazos espirales; en el centro de uno de ellos y hacia el borde de la Galaxia se encuentra el Sistema Solar (Figura 6.5). La aceleración del Sol hacia el centro de la Galaxia no se conoce experimentalmente; pero, a partir de los estudios realizados sobre los corrimientos por efecto Doppler de las líneas espectrales, se estima que la velocidad del Sol respecto al centro de la Galaxia es de 300 km/s. Si el Sol describe una órbita circular alrededor del centro de la Galaxia, que se encuentra a una distancia aproximada de 3×1020 m del Sol (lo que representa un periodo de 2×108 años = 6.3×1015 s), entonces la aceleración de éste con respecto al centro de la Galaxia es
154
Lec. 6.- Principios de la Mecánica Clásica. La ley de la Inercia.
a
ω2 R
v2 9×1010 ≈ R 3×1020
3 × 10
10
m/s 2
[6.8]
que es una aceleración muy pequeña, de modo que el sistema heliocéntrico es satisfactorio para describir la gran mayoría de los fenómenos. Sin embargo, con todo rigor sería necesario escoger un nuevo referencial con origen en el centro de nuestra Galaxia y que probablemente sería inercial. Este Figura 6.5 sería el sistema galáctico. Pero incluso las mismas galaxias no están completamente distribuidas al azar sino que tienen una marcada tendencia a formar racimos. Nuestra Galaxia pertenece a un grupo de unos 19 miembros conocido como Grupo Local, que forma un sistema físico ligado gravitatoriamente. Nuestra Galaxia experimenta una aceleración con respecto al centro de masas del Grupo Local. Aparentemente no existe ningún sistema físico sencillo que nos pueda servir como referencial inercial. Sin embargo, puede tomarse el sistema heliocéntrico como inercial para los efectos prácticos de los problemas de la Mecánica dentro del Sistema Solar. Incluso el referencial del laboratorio constituye una aproximación suficiente para un gran número de problemas, como ya descubrió Galileo y como se utiliza hoy día en numerosas aplicaciones científicas y de ingeniería. De todos modos es muy interesante, al menos desde un punto de vista puramente formal, definir un patrón de referencial inercial. Es un convenio establecido considerar las estrellas llamadas "fijas" como un referencial inercial patrón. Este modo de hablar es algo metafísico, ya que asegurar que las estrellas fijas no están aceleradas rebasa nuestro conocimiento experimental actual. Es imposible que nuestros instrumentos puedan detectar una aceleración de una estrella lejana, o grupo de estrellas, menor que 10-6 m/s2, aun cuando se realizaran rigurosas medidas durante un centenar de años. Con fines prácticos es conveniente referir a las estrellas fijas las direcciones en el espacio. §6.7. Transformación de Galileo.- La ley de la inercia establece la equivalencia de todos los referenciales inerciales, es decir de aquellos marcos en los que la partícula libre no presenta aceleración. Puesto que esos marcos se mueven unos con respecto a otros con velocidad constante, los distintos observadores ligados a cada uno de esos referenciales describirán de distinto modo el movimiento de un cuerpo y estamos interesados en encontrar unas ecuaciones que nos permitan comparar esas distintas descripciones. Tales ecuaciones son las llamadas ecuaciones de transformación de Galileo.
155
§6.7.- Transformación de Galileo.
Consideremos dos referenciales S y S′ que se mueven, uno con respecto a otro, con movimiento relativo de traslación uniforme (sin rotación) de modo que el observador O ve al observador O′ moviéndose con una velocidad v0 mientras que el observador O′ ve al O moviéndose con una velocidad -v0. Por ejemplo, el observador O puede encontrarse en el andén de una estación de ferrocarril y el O′ puede estar situado en un tren que se desplaza sobre una vía recta con velocidad constante. Ambos observadores darán distintas descripciones del movimiento de un automóvil que circula por una carretera próxima. Por simplicidad, escogeremos los sistemas de ejes coordenados xyz y x′y′z′ de modo que los ejes x y x′ estén situados a lo largo de la línea del movimiento relativo (Figura 6.6 y que los ejes yz e y′z′ sean respectivaFigura 6.6 mente paralelos entre sí. Los ejes coordenados permanecerán siempre paralelos debido a la ausencia de rotación relativa. También supondremos que en el instante inicial, t=0, los orígenes de ambos referenciales coinciden, de modo que al ser constante la velocidad relativa se puede escribir OO
[6.9]
v0 t
Consideremos ahora una partícula P y sean r=OP y r′ = O′P los vectores de posición de dicha partícula con respecto a los orígenes O y O′ de sendos referenciales. Estos vectores de posición están relacionados en la forma r
r
[6.10]
v0 t
Esta ecuación vectorial da lugar a tres ecuaciones escalares que, tomando en consideración el hecho de que v0 es paralela a x, podemos escribir x
x
v0 t
y
y
z
z
t
t
[6.11]
donde hemos añadido t=t′ a las tres ecuaciones espaciales para hacer énfasis en que estamos suponiendo que ambos observadores están utilizando la misma escala de tiempos; esto es, suponemos que las mediciones del tiempo son independientes del movimiento del observador. Aunque esto nos parece razonable (al menos fue razonable hasta el año 1905) no deja de ser una suposición que debe ser confirmada (y desvirtuada) por la experiencia. Por ahora la aceptamos como válida (hasta que abordemos el estudio de la Mecánica Relativista). El conjunto de las ecuaciones [6.11], o la simple ecuación vectorial [6.10] combinada con t=t′, constituyen las ecuaciones de transformación de Galileo que nos permiten relacionar las coordenadas de una partícula en dos referenciales en
156
Lec. 6.- Principios de la Mecánica Clásica. La ley de la Inercia.
movimiento relativo de traslación uniforme. Las velocidades v y v′ de la particular P en los referenciales S y S′ se definen respectivamente, por v
dr dt
v
dr dt
[6.12]
Obsérvese que no escribimos dr′/dt′ debido a que hemos supuesto que t=t′, de modo que d/dt′ es lo mismo que d/dt. Derivando la ec. [6.10] con respecto al tiempo y teniendo en cuenta que v0 es constante, tenemos v
v
[6.13]
v0
que es la ley de adición de velocidades, que proporciona la regla galileana para comparar la velocidad de la partícula medida por dos observadores en movimiento relativo. Las aceleraciones de la partícula P en los referenciales S y S′ son a
dv dt
a
dv dt
[6.14]
respectivamente, donde de nuevo hemos hecho uso de la igualdad t=t′. Derivando la ec. [6.13] con respecto al tiempo y teniendo en cuenta que dv0/dt=0, por ser v0=cte, tenemos a
a
[6.15]
de modo que ambos observadores miden la misma aceleración. Esto es, la aceleración de una partícula es la misma para todos los observadores en movimiento relativo de traslación uniforme. Este resultado nos ofrece un ejemplo de una magnitud física, la aceleración de una partícula, que parece ser independiente del movimiento del observador; dicho de otro modo, hemos encontrado que la aceleración permanece invariante cuando se pasa de un referencial a otro que se encuentra en movimiento relativo de traslación uniforme. Es la primera vez que encontramos una magnitud física (la aceleración) que permanece invariante bajo una transformación (la de Galileo). Más adelante encontraremos otras magnitudes físicas que se comportan de la misma manera. Este resultado tiene una profunda influencia en la formulación de las leyes de la Física. §6.8. Principio de Relatividad de Galileo.- Como en el artículo anterior, consideremos de nuevo dos referenciales en movimiento relativo de traslación uniforme: uno de ellos, el S por ejemplo, lo podemos suponer en reposo, en tanto que el otro se encuentra en movimiento; pero igualmente podemos adoptar el criterio opuesto. En general, nos podemos plantear la siguiente pregunta: ¿Existe algún procedimiento que nos permita decidir qué referencial está realmente en reposo y cuál de ellos está en movimiento? Es decir, ¿tiene algún significado la velocidad absoluta? De acuerdo con todos los experimentos realizados hasta ahora la respuesta es negativa. Esto es, no existe ningún procedimiento que nos pueda servir para detectar
157
§6.8.- Principio de Relatividad de Galileo.
el movimiento absoluto: El movimiento es siempre relativo. Este principio de relatividad ya fue estudiado en el siglo XIV, pero sólo llegó a ser bien conocido a partir de los trabajos de Galileo en el siglo XVI. Es interesante leer las notas de Galileo sobre la imposibilidad de observar el movimiento absoluto: "Encerrémosnos con algún amigo en la cabina principal bajo cubierta de un barco grande y con nosotros encerremos algunas moscas, mariposas, y otros pequeños animales voladores. También tengamos una vasija grande de agua con algún pez en su interior; colguemos una botella que se está vaciando gota a gota dentro de un recipiente grande debajo de la misma. Cuando el barco está detenido, se observa cuidadosamente que estos pequeños animales vuelan con velocidad igual por todas partes de la cabina; el pez nada indiferentemente en todas direcciones; las gotas caen dentro del recipiente que está debajo de la botella; y si se lanza algún objeto hacia nuestro amigo, no es necesario lanzarlo con más fuerza en una dirección que en otra, siendo iguales las distancias; si se salta con los dos pies juntos, se recorren espacios iguales en todas direcciones. Una vez observadas todas estas cosas cuidadosamente (aunque no existe ninguna duda de que cuando el barco está quieto todo debe ocurrir de este modo), veamos lo que ocurre cuando el barco se mueve con una velocidad cualquiera, de modo que el movimiento resulte uniforme y no fluctuando de un lado para otro. No se descubrirá la menor variación en todos los efectos mencionadas, ni podremos decir a partir de cualquiera de ellos si el barco se está moviendo o está quieto. Al saltar se recorren sobre el suelo los mismos espacios que antes, y no se harán saltos mayores hacia popa que hacia la proa, aunque el barco se mueva con mucha rapidez, a pesar del hecho de que durante el tiempo en que se está en el aire el suelo bajo nosotros se está moviendo en una dirección opuesta a la del salto. Al arrojar un objeto a nuestro compañero, no se necesita más fuerza para alcanzarle, aunque él esté en dirección de la proa o de la popa, estando nosotros situados en el lado opuesto. Las gotitas caerán, como antes, dentro del recipiente que está debajo de la botella sin caer hacia la popa, a pesar de que cuando las gotitas
están en el aire el barco recorre cierta distancia hacia adelante. El pez dentro del agua nadará hacia la parte delantera de sus vasija con el mismo esfuerzo que hacia la parte trasera y se moverá con igual facilidad hacia el cebo que coloquemos
Figura 6.7 en cualquier punto a lo largo de los bordes de la vasija. Finalmente, las mariposas y las moscas continuarán sus vuelos indiferentemente hacia todos los lados, y no ocurrirá nunca que se concentren hacia popa como si estuviesen cansadas de luchar contra la marcha del barco, del cual están separadas durante largos intervalos de tiempo manteniéndose en el aire con sus alas. Y si se hace humo quemando algo de incienso, se verá que asciende hacia arriba en forma de nubecillas que permanecen estacionarias y sin moverse de un lado hacia otro." Galileo Galilei: Diálogo respecto a los dos sistemas cosmogónicos principales - Ptoloméico y Coperniaco.
Vemos como Galileo comprendió que las leyes a que obedecen los fenómenos físicos deben ser las mismas para un observador en reposo y para otro observador que presenta un movimiento relativo de traslación uniforme, de modo que no se puede disponer de ningún procedimiento que nos permita saber si nos encontramos o no en movimiento. Este principio de relatividad se puede enunciar del modo siguiente:
158
Lec. 6.- Principios de la Mecánica Clásica. La ley de la Inercia.
Las leyes básicas de la Física son idénticas en todos los referenciales que se mueven con movimiento uniforme (velocidad constante) unos con respecto a otros. De acuerdo con este principio, un observador encerrado en un vagón de ferrocarril sin ventanas, viajando con velocidad constante sobre una vía recta a nivel, sin vibraciones, no podrá servirse de ningún experimento para averiguar si se encuentra o no en movimiento, pues cualquier experimento que realice dentro del vagón en marcha dará el mismo resultado que cuando lo realiza con el vagón parado. Únicamente mirando a través de una ventana puede saber si se encuentra en movimiento, pero incluso entonces no puede decidir si es el vagón el que se mueve o si, por el contrario, es todo lo que ve a través de la ventana (incluido el paisaje) lo que se mueve en sentido opuesto. El principio de Relatividad de Galileo (o de invarianza galileana, como también se le conoce) fue uno de los primeros en ser introducidos en la Física. Era básico para la visión que Newton tenía del Universo y ha sobrevivido después de numerosos experimentos. Se pensaba que una medida cuidadosa de la velocidad de la luz con respecto a la Tierra revelaría la presencia del movimiento absoluto de ésta a través del espacio. Esta observación debería contradecir al principio de relatividad que no era aún aceptado como ley fundamental de la Naturaleza. Sin embargo, los cuidadosos experimentos realizados por MICHELSON y MORLEY, en los años 1881 a 1887, dieron un resultado nulo para la velocidad absoluta de la Tierra; i.e., no pudieron detectar el movimiento de la Tierra midiendo la velocidad de la luz en distintas direcciones. El principio de relatividad fue enunciado de nuevo, en los comienzos del siglo XX, por POINCARÈ (1854-1912) y EINSTEIN (1879-1955): El movimiento uniforme absoluto no puede detectarse mediante ningún experimento. El principio de Relatividad de Galileo está totalmente de acuerdo con la Teoría de la Relatividad Especial. ¿Qué uso podemos hacer de este principio? La hipótesis de que la velocidad absoluta no tiene significado en la Física restringe en parte la forma y contenido de las leyes físicas, tanto las conocidas como las aún por descubrir. Para dos observadores que se muevan sin aceleración relativa las leyes de la Física han de ser las mismas. Si ambos observadores estudian un mismo fenómeno, cada uno dará una distinta descripción del mismo. A partir de las leyes físicas podemos predecir como serán las observaciones del primer observador, a partir de esas observaciones podemos averiguar cuáles serán las observaciones del segundo observador y, a partir de ellas, establecer las leyes de la Física que rigen el fenómeno estudiado por el segundo observador. Estas leyes son las mismas que las del primer observador. Si combinamos el principio de relatividad con la definición de la transformación galileana llegaremos a la siguiente conclusión: Las leyes básicas de la Física tienen la misma forma en dos referenciales ligados por una transformación galileana. Este enunciado es algo más restrictivo que el dado anteriormente acerca de que las leyes de la Física son idénticas en todos los referenciales que se mueven con
§6.8.- Principio de Relatividad de Galileo.
159
velocidad constante unos con respecto a otros. Este segundo enunciado incluye, por ejemplo, la hipótesis de que t=t′, que es una hipótesis que, como veremos más adelante, deberá ser abandonada. El principio de relatividad siempre es válido, pero la transformación correcta no es la de Galileo, sino la de LORENTZ (1853-1928). En efecto, la transformación de Galileo no deja invariantes todas las leyes de la Física. En el Electromagnetismo existen unas leyes, las de MAXWELL, sólidamente establecidas, que rigen los fenómenos electromagnéticos con el mismo carácter fundamental con que la Segunda Ley de Newton rige los fenómenos mecánicos. Resulta que las leyes de Maxwell no son invariantes por la transformación de Galileo, sino que lo son por la de Lorentz. La transformación de Lorentz, que se encuentra en la base de la teoría de la Relatividad Especial, respeta las leyes de Maxwell y las de Newton convenientemente modificadas de modo que los principios newtonianos constituyen aproximaciones válidas para velocidades muy inferiores a la de la luz. La teoría de la Relatividad Especial modifica, asimismo, el carácter absoluto del espacio y del tiempo, carácter absoluto que es fundamental en la Mecánica Clásica o Newtoniana.
Problemas 6.1.- Día solar y día sidéreo.- El día solar corresponde al intervalo de tiempo que emplea el Sol en pasar dos veces sucesivas por un mismo meridiano terrestre. El día solar medio es de 86 400 segundos (= 24 horas). El día sidéreo corresponde al intervalo de tiempo que emplea la Tierra en completar una revolución alrededor de su eje polar. Calcular la duración del día sidéreo.
6.4.- La cinta transportadora de viajeros de un aeropuerto tiene una longitud de 100 m y avanza con una velocidad de 1.2 m/s. Una persona se mueve sobre la cinta con una velocidad relativa a ella de 1.5 m/s. Determinar el tiempo que estará la persona sobre la cinta cuando: a) camina en dirección del movimiento de la cinta y b) cuando camina en sentido opuesto.
6.2.- Un péndulo cuelga del techo de un autobús. Describir y explicar, al menos cualitativamente, el comportamiento de dicho péndulo en cada una de las situaciones siguientes: a) El autobús se mueve en una trayectoria rectilínea con celeridad constante; b) el autobús acelera; c) el autobús frena; d) el autobús toma una curva.
6.5.- Escaleras mecánicas.- Una persona sube por una escalera mecánica, que se encuentra parada, en 8.2 s. Cuando la escalera está en funcionamiento, puede subir a la persona en 5.0 s. ¿Cuánto tiempo emplearía la persona en subir caminando por la escalera en movimiento?
6.3.- Un tren circula con una velocidad de 108 km/h. Sobre el piso de uno de los vagones rueda una bola con una velocidad de 15 m/s dirigida a) en la dirección del movimiento del tren, b) en dirección opuesta y c) en dirección perpendicular a la del tren. Encontrar, en cada uno de los casos anteriores, la velocidad de la bola con respecto a tierra.
6.6.- Un automóvil viaja con una velocidad de 54 km/h bajo la lluvia que cae verticalmente. Los pasajeros del automóvil observan que las gotas de lluvia dejan trazas en las ventanas laterales formando un ángulo de 50° con la vertical. Calcular la velocidad de las gotas de lluvia con respecto al automóvil y con respecto a la tierra. 6.7.- El movimiento plano de una partícula
160
Lec. 6.- Principios de la Mecánica Clásica. La ley de la Inercia.
viene descrito en un cierto referencial por las ecuaciones: x = 8t, y = 6t - t2. a) Escribir las ecuaciones que describen el movimiento de la partícula en un segundo referencial que se mueve con una velocidad constante v0=8i respecto del primero y que coincide con él en el instante t=0. b) Calcular la velocidad y la aceleración de la partícula respecto de ambos referenciales. 6.8.- Trayectorias de colisión.- Dos barcos se aproximan entre sí sobre trayectorias que se interceptan y con velocidades que conducen a una colisión. Examinar la situación desde un referencial fijo en uno de los barcos. Explicar cómo los observadores situados en cualquiera de los barcos pueden advertir el peligro de colisión por medio de mediciones sucesivas de la dirección en que ven al otro barco. 6.9.- Demostrar que la distancia entre dos puntos del espacio permanece invariante en una transformación de Galileo. 6.10.- Dos referenciales no-inerciales, S′ y S″, coinciden en el instante t=0 con un referencial inercial S. Inicialmente el referencial S′ se encuentra en reposo en tanto que el referencial S″ tiene una velocidad v0 a lo largo del eje x. A partir del instante t=0 ambos referenciales S′ y S″ experimentan una misma aceleración constante a0 a lo largo del eje x. a) ¿Cuáles serán las posiciones de O′ y O″ respecto a O en función del tiempo? b) Relacionar las posiciones x′ y x″ de una partícula en S′ y S″ con la posición x en S. c) Relacionar las velocidades v′ y v″ de una partícula en S′ y S″ con la velocidad v de esa partícula en S. d) Ídem para las aceleraciones de la partícula. e) Supóngase que la partícula se mueve en la dirección del eje x de modo que x = a0t2/2, ¿cómo quedará descrito el movimiento de la partícula al estudiarlo desde los referenciales S′ y S″? 6.11.- ¿Invariancia de las leyes del electromagnetismo?.- En un referencial inercial, dos protones se mueven sobre trayectorias paralelas y con una misma velocidad. Sea S′ un referencial que viaja con los protones, de modo que éstos se encuentran en reposo en dicho referencial. a) Expresar la fuerza eléctrica que se ejerce entre los dos protones en el referencial S y en el S′. b) Mostrar que en el referencial S existen dos fuerzas, una electrostática y otra magnética, y calcular su suma. c) ¿Cómo es que siendo inerciales los referenciales S y S′ las fuerzas son distintas en ambos referenciales?
7.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación de la cantidad de movimiento. §7.1. Fuerza (161); §7.2. Masa (163); §7.3. Segunda ley de Newton (164); §7.4. Peso. Peso aparente e ingravidez (165); §7.5. Sistemas de unidades mecánicas (166); §7.6. Cantidad de movimiento (168); §7.7. Impulsión (169); §7.8. Invariancia de las leyes de la Mecánica (171); §7.9. Tercera ley de Newton (175); §7.10. Conservación de la cantidad de movimiento (177); §7.11. Acción a distancia (179); §7.12. Limitaciones de la ley de la acción-reacción (180); Problemas (182)
§7.1. Fuerza.- Como ya vimos en la lección anterior, la primera ley de Newton o ley de la inercia contiene una definición cualitativa de la fuerza como agente capaz de modificar el estado de movimiento de los cuerpos. Buscaremos ahora una definición más precisa que nos permita establecer un método para la medida de las fuerzas y encontrar la relación "cuantitativa" existente entre el valor de una fuerza y la aceleración que produce al actuar sobre un determinado cuerpo. Conseguiremos este propósito definiendo el módulo y la dirección de la fuerza en función de la aceleración que adquiere un cuerpo concreto, que consideraremos como patrón o estándar, cuando se le coloca en un medio ambiente adecuado. La experiencia nos muestra que el movimiento de un cuerpo es el resultado directo de sus interacciones con los demás cuerpos que constituyen su medio ambiente. El concepto de fuerza no es más que una técnica para relacionar el medio ambiente con el movimiento del cuerpo que estamos analizando. Resulta conveniente utilizar como cuerpo patrón un cierto cilindro de platino e iridio que se conserva en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas de Sèvres (cerca de París) y que se llama kilogramo patrón. Por lo que toca al medio ambiente, colocaremos el cuerpo patrón sobre una mesa horizontal lisa que presente un rozamiento insignificante. Un medio o agente conveniente para "actuar" sobre este objeto lo constituye un muelle provisto de un índice, en uno de sus extremos, que se mueve frente a una escala. Este aparato recibe el nombre de dinamómetro y, como veremos, nos permitirá "medir las fuerzas" a través de las deformaciones del muelle. Unamos uno de los extremos del dinamómetro a nuestro cuerpo patrón y tomemos el otro extremo con nuestra mano, como se muestra en la Figura 7.1. Tiremos horizontalmente de modo que el cuerpo adquiera una aceleración constante de
Manuel R. Ortega Girón
161
162
Lec. 7.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ...
1.00 m/s2 (para la medida de esta aceleración se utilizará una regla graduada y un cronómetro). En estas condiciones declaramos, por definición, que el muelle del dinamómetro está ejerciendo sobre el cuerpo patrón una fuerza constante que llamaremos "1.00 newton". Observaremos que mientras se está aplicando esa fuerza el muelle se mantiene estirado una cierta longitud Δl1 sobre su longitud normal. Análogamente, si un alargamiento Δl2 del muelle está asociado con una aceleración de 2.00 m/s2, diremos que la fuerza ejercida sobre el cuerpo patrón es de 2.00 newton. En general, si observamos que nuestro cuerpo patrón adquiere una aceleración a en un medio particular, diremos que dicho medio ejerce una fuerza F sobre el cuerpo patrón, tal que F (newtons) es numéricamente igual a a (m/s2).
Figura 7.1
Figura 7.2
El método anteriormente descrito nos ha permitido establecer una escala de fuerzas; esto es, hemos calibrado el dinamómetro en unidades de fuerza. La Figura 7.2 representa la curva de calibrado de un muelle ordinario, en el que la fuerza definida de ese modo es proporcional a la deformación Δl del muelle respecto de su longitud natural, siempre que estas deformaciones no sean demasiado grandes, lo que constituye la denominada LEY DE HOOKE. Observemos, sin embargo, que este comportamiento de los muelles no es necesario para nuestra definición de una escala de fuerzas ya que ésta se ha definido en función de las aceleraciones y no en función de los alargamientos del muelle; i.e., la relación entre fuerza y alargamiento no tiene porqué ser lineal. Definido el módulo o magnitud de la fuerza, definiremos la dirección y sentido de la misma como la de la aceleración que produce sobre el cuerpo. De este modo la fuerza queda caracterizada por su módulo, su dirección y su sentido. Parece como si a priori estuviéramos aceptando el carácter vectorial de las fuerzas; pero, como ya sabemos, para que una magnitud física tenga carácter vectorial (sea representable por vectores) no es suficiente que tenga esos tres atributos, sino que también debe obedecer las leyes de la adición vectorial. Solamente la experimentación nos pondrá de manifiesto si las fuerzas, tal como las hemos definido, obedecen efectivamente las leyes de la adición vectorial. Utilicemos ahora dos muelles calibrados (dinamómetros) unidos al mismo cuerpo patrón de modo que obren sobre él fuerzas de 4.00 y 3.00 newtons, respectivamente, en direcciones perpendiculares entre sí. ¿Cuál será la aceleración del cuerpo patrón cuando ambas fuerzas actúan simultáneamente sobre él? Experimentalmente encontraremos que la aceleración es de 5.00 m/s2 un una dirección que forma un ángulo de 37° con la fuerza de 4.00 newtons. En otras palabras, el cuerpo patrón está sometido a una fuerza resultante de 5.00 newtons en esa misma dirección. Este
§7.1.- Fuerza.
163
mismo resultado se obtiene sumando vectorialmente las fuerzas de 4.00 y 3.00 newtons de acuerdo con la regla del paralelogramo. Los experimentos de esta naturaleza demuestran de modo concluyente el carácter vectorial de las fuerzas. Este resultado experimental está contenido en el corolario de las leyes de Newton enunciado en la lección anterior. §7.2. Masa.- Newton definió la masa de un cuerpo como el producto de su
volumen por su densidad. Evidentemente esta definición no puede ser correcta, puesto que usualmente se define la densidad como la masa por unidad de volumen, de modo que la definición resulta ser circular. Entonces, podemos preguntarnos, ¿qué es la masa? En lugar de intentar responder directamente a la pregunta anterior, lo que podría resultar muy complicado1, encontramos más conveniente definir operativamente el concepto de masa. Esto es, vamos a establecer un procedimiento que nos permita comparar las masas de distintos cuerpos de modo que, tras tomar uno de ellos como patrón asignándole una masa unidad, podamos asignar un valor numérico a la masa de los demás cuerpos. De ese modo podremos comprender el significado de ese número, de esa etiqueta, que nos traduce cuantitativamente una de las propiedades fundamentales de la materia. Emplearemos uno de nuestros muelles calibrados (dinamómetros) para ejercer una determinada fuerza constante sobre diversos cuerpos en las mismas condiciones que en los experimentos descritos en el artículo anterior. Observaremos que aún cuando la fuerza aplicada a los distintos cuerpos sea la misma (lo que se traduce en un mismo alargamiento del muelle) las aceleraciones que éstos adquieren son distintas en general. Los cuerpos "más masivos" (de acuerdo con el uso corriente de esta palabra) adquirirán aceleraciones menores que los cuerpos "menos masivos". Esto nos sugiere que podemos cuantificar el concepto de masa considerando las aceleraciones que una misma fuerza origina al actuar sobre cuerpos diversos. Definiremos como relación de las masas de dos cuerpos el recíproco de la relación de las aceleraciones producidas en ambos cuerpos por la acción de una misma fuerza. Así, si una fuerza determinada produce una aceleración a cuando actúa sobre cierto cuerpo y una aceleración a0 cuando actúa sobre otro, las masas de esos cuerpos se encuentran en la relación. m m0
a0
[7.1]
a
Una vez definido el cociente de las masas para dos cuerpos cualesquiera, podemos establecer una escala de masas escogiendo un cuerpo concreto2 como masa
En última instancia, siempre podemos afirmar que la masa representa la inercia u oposición de la materia a los cambios de movimiento (vide más adelante). 1
Inicialmente se pretendía que fuese igual a la masa de 1000 cm3 de agua pura a la temperatura de 4°C; pero comprobaciones posteriores de gran exactitud demostraron que la relación es inexacta en un pequeña cantidad. 2
164
Lec. 7.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ...
patrón y considerándolo arbitrariamente como unidad de masa. La unidad SI de masa es el kilogramo, que corresponde a la masa del kilogramo patrón mencionado en el artículo anterior. La masa de cualquier otro cuerpo puede compararse con la masa patrón, por el procedimiento de aplicar a ambos cuerpos una misma fuerza y obtener el cociente de las aceleraciones producidas en cada uno de ellos. De este modo podemos asignar a la masa de cada cuerpo un número apropiado. Así, por ejemplo, si una fuerza determinada produce una aceleración de 6 m/s2 al cuerpo patrón y la misma fuerza produce una aceleración de 3 m/s2 a un cuerpo dado, la masa de este último cuerpo será m1 = (a0/a)m0 = 2 kg. Si repetimos el experimento anterior aplicando una fuerza común diferente, encontraremos que las aceleraciones son diferentes de las obtenidas antes, pero que su cociente permanece constante, o sea m m0
a0
a0
a
a
[7.2]
Esto es, el cociente de las aceleraciones producidas por una misma fuerza al actuar sobre cada uno de los cuerpos es independiente de la magnitud de la fuerza. Es también independiente del tipo de fuerza utilizado; es decir, bien sea la fuerza debida a la acción de muelles, a la atracción gravitatoria, a la atracción o repulsión eléctrica o magnética, etc. Así pues, la masa es una propiedad intrínseca del cuerpo que no depende del entorno del mismo, de ningún agente externo ni del tipo de fuerza que usemos para medirla. Siguiendo con estos experimentos, podemos demostrar que si unimos dos cuerpos de masas respectivas m1 y m2, el conjunto se comporta mecánicamente como si fuera un solo cuerpo de masa (m1 + m2). En otras palabras, la masa es una magnitud escalar que obedece las reglas ordinarias de la aritmética y el álgebra. Hemos llegado al concepto de masa a través de la aceleración producida por una fuerza determinada. Cuanto mayor es la masa de un cuerpo menor será la aceleración que adquiere bajo la acción de dicha fuerza. Así pues, la masa de un cuerpo es una medida cuantitativa de la inercia o resistencia que presenta ese cuerpo a modificar su estado de movimiento bajo la acción de las fuerzas. La masa es proporcional al tamaño (para una misma sustancia), independientemente del estado físico (sólido, líquido o gas), es aditiva, se conserva en las reacciones químicas y, dentro del dominio de la Mecánica Clásica o Newtoniana, es independiente del estado de movimiento del cuerpo. §7.3. Segunda ley de Newton.- Podemos resumir todas las definiciones y experiencias descritas anteriormente en la ecuación fundamental de la dinámica clásica
F
ma
[7.3]
donde F es la suma (vectorial) de todas la fuerzas que actúan sobre un cuerpo de masa m y a es la aceleración que éste adquiere. La ecuación [7.3] puede considerarse como un enunciado de la segunda ley de Newton: la fuerza neta o resultante que actúa sobre un cuerpo es proporcional a su
165
§7.3.- Segunda ley de Newton.
masa y a su aceleración. La ecuación [7.3] resume el hecho experimental de que si la fuerza exterior resultante F actúa sobre un objeto de masa m, el objeto se acelerará en la dirección de la fuerza F y que la magnitud de dicha aceleración será tanto mayor cuanto menor sea la masa del cuerpo. Por esta razón, la masa del cuerpo es la medida de su inercia o resistencia a los cambios de movimiento. Observamos también que la primera ley del movimiento está contenida en la segunda ley como un caso especial, porque si F=0, entonces a=0. Esto es, si es nula la fuerza neta o resultante exterior no hay aceleración y el cuerpo estará en reposo o se moverá con velocidad constante (movimiento rectilíneo uniforme), que es lo que dice la primera ley del movimiento. Por lo tanto, de las tres leyes del movimiento de Newton sólo dos son independientes, la segunda y la tercera. Conviene insistir en que la ecuación [7.3] es una ecuación vectorial que podemos escribir también descomponiéndola en tres ecuaciones escalares Fx
m ax
Fy
m ay
Fz
m az
[7.4]
que relacionan las componentes x,y,z de la fuerza resultante (Fx,Fy,Fz) con las componentes x,y,z de la aceleración (ax,ay,az). Podemos considerar la ec. [7.3] como la expresión de la ley central de la mecánica, como la clave de la síntesis de Newton de una gran parte de la filosofía natural de su época. Nuestras definiciones de fuerza y masa nos permiten describir una amplia variedad de fenómenos físicos utilizando pocas leyes de fuerzas y relativamente simples. Así, por ejemplo, añadiendo a las tres leyes del movimiento de Newton la ley de Gravitación Universal podemos explicar fenómenos tales como el movimiento de planetas y satélites en el Sistema Solar, la variación del valor de la aceleración gravitatoria aparente con la latitud debida a la rotación de la Tierra, la trayectoria de los cohetes balísticos y muchos otros problemas que aparecen en la ciencia y en la tecnología. §7.4. Peso. Peso aparente e ingravidez.- La fuerza con la que estamos más familiarizados, por nuestra experiencia diaria, es la fuerza de atracción que ejerce la Tierra sobre todos los cuerpos que están sobre ella. Esta fuerza se denomina peso del cuerpo. Podemos determinar el peso de un cuerpo cualquiera, de masa m, midiendo la aceleración que adquiere cuando se le deja caer libremente de modo que la única fuerza que actúe sobre él sea su peso. La aceleración resultante para cualquier cuerpo en caída libre, que designaremos por g, es independiente de la masa del cuerpo en tanto que se pueda despreciar la resistencia y la densidad del aire. El módulo de esa aceleración es aproximadamente de 9.81 m/s2 en el nivel del mar y para las latitudes medias. Entonces el peso P de un cuerpo de masa m viene dado por
P
mg
[7.5]
y está dirigido hacia abajo (hacia el centro de la Tierra). La medida cuidadosa de la aceleración de caída libre de los cuerpos en diversos lugares de la Tierra pone de manifiesto que esta aceleración no es la misma en todos ellos, sino que depende de diversos factores como son la latitud del lugar, la altura
166
Lec. 7.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ...
sobre el suelo, la presencia de yacimientos minerales en el subsuelo, la presencia de formaciones montañosas en las proximidades, etc... Así pues, el peso, a diferencia de la masa, no es una propiedad intrínseca del cuerpo. Dado que el peso de un cuerpo viene dado por el producto de su masa por el valor de la aceleración gravitatoria del lugar, se deduce que si en un mismo lugar los pesos de dos cuerpos son iguales, sus masas serán también iguales. La balanza de brazos iguales es un instrumento por medio del cual se puede determinar con un gran grado de precisión cuando son iguales los pesos de dos cuerpos y, en consecuencia, la igualdad de sus masas. La sensación que tenemos de nuestro propio peso procede normalmente de las fuerzas que lo equilibran. Así, cuando nos situamos sobre una balanza de resorte, nuestros pies aprecian la fuerza que ejerce sobre nosotros la balanza. El resorte de la balanza está calibrado de forma que registra la fuerza que debe ejercer (por compresión del resorte) para equilibrar nuestro peso. La fuerza que equilibra nuestro peso se denomina peso aparente y es el peso que registra la balanza de resorte. Si no existe ninguna fuerza para equilibrar nuestro peso, como sucede en la caída libre, el peso aparente será cero. A esta situación se le denomina ingravidez. Los tripulantes de un satélite en órbita experimentan la situación de ingravidez. Existe una creencia con respecto a este interesante fenómeno que se asocia con la carencia de peso, ya que los tripulantes del satélite flotan dentro de la cápsula (o fuera de ella) sin necesidad de apoyarse en parte alguna. La idea es falsa, pues siempre existe una fuerza gravitatoria3 que actúa sobre la masa m del astronauta de modo que éste siempre tiene peso, de acuerdo con nuestra definición de este fenómeno. La única fuerza que actúa sobre el astronauta (y también sobre la cápsula) es su peso que produce la aceleración de caída libre g = v2/r, o sea la aceleración centrípeta necesaria para que la órbita sea circular, con radio r y celeridad v. Como esta fuerza no está equilibrada por ninguna otra, el peso aparente del astronauta (y también el de la cápsula) es cero. Una situación similar, aunque más artificial, se presenta en un ascensor en caída libre: los objetos en el interior del ascensor parecen flotar y una balanza de resorte (un dinamómetro) suspendido del techo del ascensor no registrará peso alguno para un cuerpo enganchado a su otro extremo. §7.5. Sistemas de unidades mecánicas.- Aunque para Newton la ecuación F = ma no es una definición de fuerza (que podría ser definida entonces como producto de la masa por la aceleración), sino que ésta es más bien un concepto intuitivo análogo, en último análisis, al esfuerzo muscular, resulta bien evidente que se puede utilizar la ecuación anterior para medir las fuerzas. Si disponemos de una unidad de masa y una unidad de aceleración podemos adoptar como unidad de fuerza aquélla que proporciona a un cuerpo de masa unitaria una aceleración unitaria. En el sistema mks de unidades mecánicas, que es un subconjunto del Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad de masa es el kilogramo (kg) y la unidad de aceleración es el m/s2, de modo que la unidad de fuerza en dicho sistema es aquella fuerza que comunica a la masa de 1 kg una aceleración de 1 m/s2. Dicha fuerza se denomina newton (N). Así, en el SI de unidades
3
Para una altitud de 400 km, la intensidad del campo gravitatorio terrestre es 8.7 N/kg (m/s2).
167
§7.5.- Sistemas de unidades mecánicas.
F (N)
m (kg)
[7.6]
a (m/s 2)
La unidad de masa en el sistema cgs de unidades mecánicas es el gramo (g), o sea la milésima parte del kilogramo (1 kg = 1000 g) y la unidad de aceleración es el cm/s2 . En este sistema la unidad de fuerza, denominada dina (dyn), es la fuerza que proporciona a una masa de 1 g una aceleración de 1 cm/s2. Tenemos F (dyn) y es fácil comprobar que
1 N
m (g)
[7.7]
a (cm/s 2)
[7.8]
105 dyn
En el sistema técnico o terrestre se empieza por definir una unidad de fuerza, llamada kilogramo4 (kg), y una unidad de aceleración, el m/s2. Entonces se define la unidad de masa como la masa de un cuerpo que adquiere una aceleración de 1 m/s2 cuando sobre él actúa una fuerza de 1 kg. Tal unidad de masa se denomina unidad técnica de masa (utm). Tenemos F (kg)
[7.9]
m (utm) a (m/s 2)
Pudiera parecer a primera vista que se origina una cierta confusión al designar con el mismo nombre (kilogramo) y el mismo símbolo (kg) la unidad de masa del SI de unidades y la unidad de fuerza del sistema técnico; sin embargo, no es así. El kilogramo (fuerza) es la fuerza con que la Tierra atrae al kilogramo patrón (masa); esto es, el peso del kilogramo patrón. Como la aceleración producida por la atracción gravitatoria es aproximadamente de 9,8 m/s2, cerca de la superficie terrestre, tendremos 1 kg
P
9.8 m/s 2
9.8 kg
Figura 7.3
m s2
9.8 N
1 kgf
[7.10]
por lo que 1 kg (fuerza) = 9.8 N. En el sistema técnico, la masa del kilogramo patrón es m
P g
1 kg 9.8 m/s 2
1 kg s 2 9.8 m
1 utm 9.8
1 kgm
[7.11]
de modo que 1 utm = 9.8 kg (masa). Cuando en un problema nos hagan referencia a un cuerpo de, digamos 24 kg, no es necesario que nos especifiquen si se trata de la masa o del peso del cuerpo. Si adoptamos el SI de unidades, 24 kg será la masa del cuerpo y entonces todas las fuerzas que intervengan en el problema deberán expresarse en newtons (N). Por el contrario, si adoptamos el sistema técnico de unidades para resolver el problema, 24 kg será el peso del cuerpo y entonces todas la masas deberán expresarse en utm y las fuerzas en kg.
A esta unidad de fuerza también se la llamó kilopondio (kp), aunque esta denominación está hoy prácticamente en desuso y no es aconsejable su utilización. 4
168
Lec. 7.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ...
§7.6. Cantidad de movimiento.- Si repasamos el enunciado original de Newton referente a la segunda ley del movimiento puede llamarnos la atención que en él no se haga referencia a la masa ni a la aceleración sino a la variación del movimiento. Lo que Newton llamaba movimiento hoy se denomina cantidad de movimiento. La cantidad de movimiento de una partícula es una magnitud física definida como el producto de la masa de la partícula por su velocidad. Designándola por p, tenemos
p
mv
[7.12]
La cantidad de movimiento es una magnitud física vectorial, que tiene la misma dirección y sentido que la velocidad y, como ésta, depende del marco de referencia del observador; siempre deberemos especificar dicho marco. Esta nueva magnitud física no debemos entenderla simplemente como el resultado de una operación matemática, sino que representa un concepto físico de mucha importancia porque combina los dos elementos que caracterizan el estado dinámico de una partícula: su masa y su velocidad. Ya en el siglo XIV los escolásticos comprendieron la importancia que tenía tanto la masa como la velocidad en el movimiento de los cuerpos e introdujeron el concepto de ímpetu, precursor de la actual cantidad de movimiento. Escribiendo a = dv/dt para la aceleración y admitiendo que la masa de la partícula sea independiente de su estado de movimiento y que permanece constante en el transcurso del tiempo, tenemos F
m
dv dt
d (mv) dt
[7.13]
de modo que, utilizando la definición de cantidad de movimiento, la fuerza que actúa sobre la partícula viene dada por F
dp dt
[7.14]
La palabra "actúa" puede que no sea la apropiada, pues sugiere la idea de algo aplicado a la partícula. La fuerza es un concepto físico-matemático que, por definición, mide el cambio por unidad de tiempo de la cantidad de movimiento de una partícula dada y cuyo valor, a su vez, depende de la interacción de la partícula con su medio ambiente; por consiguiente, desde el punto de vista físico, debemos considerar la fuerza como la expresión de una interacción; i.e., como una técnica para relacionar el medio ambiente con el movimiento de la partícula. Si la fuerza resultante sobre la partícula es nula, bien porque la partícula esté libre de acción exterior o bien porque las distintas interacciones se equilibren, i.e., si F=0, entonces p=cte; o sea que la cantidad de movimiento de la partícula libre permanece constante, que es otro modo de expresar la primera ley de Newton o ley de la inercia. En la Mecánica Clásica la masa de una partícula siempre es independiente de su estado de movimiento y las ecuaciones [7.3] y [7.14] pueden considerarse equivalentes. Sin embargo, cuando una partícula se mueve con una velocidad próxima a la de la luz, (c ≈ 3 108 m/s), el cociente entre los módulos de la fuerza y la aceleración depende de la velocidad de la partícula; esto es, la masa
169
§7.6.- Cantidad de movimiento.
es función de la velocidad. Como veremos más adelante en este libro, en el caso de partículas de alta velocidad, la Mecánica Clásica deberá modificarse de acuerdo con la teoría de la Relatividad Especial de Einstein. En la Mecánica Relativista, la ley de Newton no es válida cuando se escribe en la forma F = ma; sin embargo, sigue siendo válida cuando se expresa en la forma F = dp/dt, con tal de que definamos la cantidad de movimiento como m0v
p 1
[7.15]
v 2/c 2
donde m0 es la masa en reposo de la partícula y c es la velocidad de la luz en el vacío. Cuando la velocidad de la partícula es mucho menor que la de la luz, el valor del denominador de la ec. [7.15] es muy próximo a la unidad y las expresiones relativista y clásica de la cantidad de movimiento son aproximadamente iguales. Por otra parte, la ec. [7.15] sugiere una nueva definición de masa (relativista) m0
m 1
v /c 2
[7.16] 2
de modo que la cantidad de movimiento pueda seguir escribiéndose como p = mv. Volveremos a tratar este asunto con más profundidad en temas posteriores dedicados a la Mecánica Relativista.
§7.7. Impulsión.- Consideremos una partícula, de masa m, sobre la que actúa una fuerza resultante F, que puede variar tanto en módulo como en dirección. El efecto de dicha fuerza es producir un cambio en la cantidad de movimiento de la partícula; dicho cambio viene expresado por la segunda ley del movimiento, ec. [7.14], que también podemos escribir en la forma
F dt
[7.17]
dp
que nos expresa el cambio elemental de la cantidad de movimiento durante un intervalo de tiempo infinitesimal. Podemos obtener el cambio de la cantidad de movimiento de la partícula durante un intervalo de tiempo finito, Δt = tB-tA, bajo la acción de la fuerza resultante F, integrando [7.17]; así, tB
pB
⌠ F dt ⌡t
⌠ dp ⌡p
A
[7.18]
A
La integral del primer miembro recibe el nombre de impulsión de la fuerza F durante el intervalo de tiempo tB-tA y es, manifiestamente, una magnitud vectorial que representaremos por Π. Esto es, Π
tB
⌠ F dt ⌡t
[7.19]
Figura 7.4
A
y, naturalmente, esta integral sólo podrá ser evaluada si conocemos como varía la fuerza en función del tiempo; es decir, si conocemos F=F(t). En realidad, esta situación nos la encontramos en muy contados problemas físicos de interés. Lo más
170
Lec. 7.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ...
frecuente es conocer F en función de la posición de la partícula en su medio ambiente. En otros casos, la información que tenemos acerca de como varía la fuerza en función del tiempo resulta insuficiente para poder integrar el primer miembro de [7.18]. Pensemos en la pelota de golf que es golpeada violentamente con el palo; poco antes de que el palo entre en contacto con la pelota la fuerza que actúa sobre ésta es cero, después aumenta rápidamente hasta un cierto valor máximo para disminuir de nuevo hasta cero cuando la pelota deja de estar en contacto con el palo. El tiempo total de contacto es muy corto, quizás del orden de los milisegundos. La información que tenemos sobre la intensidad (variable) de la fuerza y sobre el tiempo durante el cual actúa es muy escasa. Todo lo más, podemos dar una descripción cualitativa de la fuerza representando su módulo en función del tiempo, como se muestra Figura 7.5 en la Figura 7.5. Las fuerzas, como la de este ejemplo, que son relativamente intensas y que actúan durante un intervalo de tiempo relativamente corto reciben el nombre de fuerzas impulsivas. Aunque el primer miembro de [7.18] sólo puede ser integrado en condiciones bien concretas, la integral del segundo miembro conduce siempre al resultado pB
⌠ ⌡p
dp
pB
pA
Δp
[7.20]
A
Así pues, la ecuación [7.18] puede escribirse en la forma Π
Δp
[7.21]
que expresa el siguiente resultado importante: La impulsión de la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es igual a la variación de la cantidad de movimiento de la partícula. Este es el enunciado del teorema de la cantidad de movimiento que, aunque es de uso general, se aplica fundamentalmente a las fuerzas impulsivas, como las que aparecen en las colisiones y explosiones, es decir, en aquellos casos en los que no conocemos, ni tenemos posibilidades de conocer, la dependencia de la fuerza (aplicada a la partícula) con el tiempo. En cualquier sistema de unidades, la unidad de impulsión será el producto de la unidad de fuerza por la unidad de tiempo. Así en los sistemas SI, cgs y técnico las unidades de impulsión son, respectivamente, el newton segundo (N s), la dina segundo (dyn s) y el kilogramo segundo (kg s), que no reciben nombres especiales. Puesto que la impulsión consiste, esencialmente, en el producto de una fuerza por un tiempo, es obvio que una fuerza muy intensa que actúe durante un corto intervalo de tiempo puede producir el mismo cambio en la cantidad de movimiento de la partícula que el que produzca una fuerza débil que actúe durante un largo intervalo de tiempo. Así pues, podemos interpretar la impulsión de una fuerza como una
171
§7.7.- Impulsión.
medida de su efectividad para modificar la cantidad de movimiento de la partícula sobre la que actúa. Tanto la impulsión como la cantidad de movimiento son magnitudes vectoriales. La expr. [7.21] es una ecuación vectorial que puede desglosarse en tres ecuaciones escalares; en coordenadas cartesianas: Πx
tB
⌠ F dt ⌡t x
Δpx
tB
⌠ F dt ⌡t y
Πy
A
Δpy
A
Πz
tB
⌠ F dt ⌡t z
Δpz
[7.22]
A
Podemos representar gráficamente la impulsión de cualquier componente de una fuerza (o de una fuerza cuya dirección sea contante) sin más que llevar los tiempo en abscisas y la magnitud de la fuerza en ordenadas (Figura 7.6). El área limitada por la curva, entre las ordenadas correspondientes a tA y tB, representa la impulsión de la Figura 7.6 fuerza durante ese intervalo de tiempo. Así, el valor medio de la magnitud de la fuerza F, de dirección constante, durante el intervalo de tiempo Δt = tB-tA, se define como F
1 tB
tB
tA
⌠ F dt ⌡t
[7.23]
A
§7.8. Invariancia de las leyes de la Mecánica.- La segunda ley de Newton representa un enorme progreso en la comprensión del movimiento; sin embargo no es la única ley posible y, para establecerla, Newton fue influido sin duda por los estudios que se realizaron en su época sobre las colisiones entre sólidos, por Huygens principalmente. Al decir que no es la única posible, queremos expresar la posibilidad de establecer una relación entre la fuerza y el cambio en la cantidad de movimiento por unidad de distancia recorrida sobre la trayectoria (esto es, F=dp/ds), en lugar de la que hemos adoptado (F=dp/dt); pero esa definición no sería útil y daría lugar a muchas dificultades. Son, sobre todo, consideraciones de invariancia las que fijan la forma de la segunda ley de Newton. Una ley, o un sistema, es invariante cuando no cambia al someterla a una cierta operación. La invariancia está íntimamente ligada con la simetría y pudiéramos haber titulado este artículo como "simetría de las leyes de la Mecánica". Así, por ejemplo, un cilindro presenta simetría de rotación porque al girarlo alrededor de su eje no cambia su aspecto; permanece invariante ante la rotación. La invariancia de las leyes de la Mecánica con respecto a la transformación de Galileo no es, obviamente, el único tipo de invariancia que debe exigirse de ellas. Investigaremos en primer lugar la invariancia de la segunda ley de Newton ante la
172
Lec. 7.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ...
traslación y la rotación del sistema de referencia5. Consideremos dos referenciales S y S′ que tienen sus ejes coordenados correspondientes paralelos entre sí, como se muestra en la Figura 7.7. Los vectores de posición de una partícula P con respecto a esos dos referenciales están relacionados en la forma r
OO
r
[7.24]
Si sobre la partícula P actúa una fuerza F, las componentes de esa fuerza a lo largo de los ejes coordenados de cada uno de los referenciales verifican obviamente las
Figura 7.7
relaciones
F
F
⎧ F ⎪ x ⇔ ⎨ Fy ⎪ F ⎩ z
Fx′ Fy′ Fz
[7.25]
Por otra parte, la masa es un escalar invariante por traslación; además, derivando [7.24] dos veces con respecto al tiempo se obtiene r¨
r¨
→ a
a
:
x¨
x¨
y¨
y¨
z¨
z¨
[7.26]
Por lo tanto se verifica ⎧ ⎪ Fx ⎨ ⎪ F ⎩ x
m x¨
Fy
m y¨
Fz
m z¨
m x¨
Fy
m y¨
Fz
m z¨
[7.27]
Entonces, si en el referencial S escribimos F = ma, en el S′ será F′ = ma′ y la segunda ley de Newton es invariante por traslación. Si esta ley pudiera dar cuenta de todos los fenómenos conocidos diríamos que en el Universo no hay un origen de coordenadas privilegiado. Aunque las leyes de Newton no dan cuenta de todos los fenómenos conocidos, no existe hasta ahora ninguna evidencia en contra de la invariancia por traslación de las leyes de la Física. En consecuencia, podemos afirmar que el espacio físico es homogéneo. Preocupémosnos ahora de la rotación. Consideraremos de nuevo dos referenciales S y S′ con una mismo origen pero girados uno con respecto al otro. Para mayor sencillez en el razonamiento supondremos que el giro tenga lugar alrededor del eje z, que será común para ambos referenciales, como se muestras en la Figura 7.8. Entre las componentes (Fx,Fy,Fz) de la fuerza en el referencial S y (Fx′,Fy′,Fz′) en el S′ existen las relaciones
En general, no es necesario preocuparse de la invariancia de las leyes físicas por traslaciones y rotaciones del sistema de referencia, porque se exige siempre que ambos miembros de una ecuación física tengan el mismo carácter (escalar o vectorial). Esta exigencia garantiza la invariancia de las leyes físicas por esas operaciones (un vector o un escalar son independientes de la orientación de los ejes) ya que los dos miembros de una ecuación se transforman de la misma manera. 5
§7.8.- Invariancia de las leyes de la Mecánica.
⎧ Fx ⎪ ⎨ Fy ⎪ F ⎩ z
Fx cos θ Fx sen θ Fz
Fy sen θ Fy cos θ
173
[7.28]
que son las mismas que existen entre las componentes de los vectores de posición r y r′ ⎧ ⎪ x ⎨ y ⎪ ⎩ z
x cos θ x sen θ z
y sen θ y cos θ
[7.29]
En el referencial S se verifica Fx
m x¨
Fy
m y¨
Fz
m z¨
[7.30]
y derivando [7.29] dos veces con respecto al tiempo (téngase en cuenta que θ=cte.) y sustituyendo el resultado, así como [7.28], en [7.30] se obtiene ⎧ ⎪ Fx cos θ Fy sen θ ⎪ ⎨ Fx sen θ Fy cos θ ⎪ ⎪ F m z¨ ⎩ z
m x¨ cos θ
m y¨ sen θ
m x¨ sen θ
m y¨ cos θ
[7.31]
de modo que en el referencial S′ se verifica Fx
m x¨
Fy
m y¨
Fz
m z¨
[7.32]
Así pues, la segunda ley de Newton es invariante por rotación del sistema de referencia. Como en el caso anterior, si esta ley pudiera dar cuenta de todos los fenómenos conocidos diríamos que en el Universo no hay ninguna dirección privilegiada, por lo que podemos afirmar que el espacio físico es isótropo.
Hemos establecido la invariancia de las leyes de la Mecánica por traslación y giro del sistema de referencia. Es un hecho probado que no sólo Figura 7.8 las leyes de la Mecánica, sino todas las leyes de la Física son simétricas (invariantes) respecto a esas operaciones; esto equivale a decir que el espacio físico es homogéneo e isótropo. Investiguemos ahora la invariancia de la segunda ley de Newton por la transformación de Galileo. Consideremos dos referenciales S y S′ que se mueven, uno con respecto a otro, con movimiento relativo de traslación uniforme (sin rotación). Como ya vimos en la lección anterior, las aceleraciones de una partícula en cada uno de estos referenciales son iguales, esto es a
a
[7.33]
de modo que la aceleración permanece invariante cuando se pasa de un referencial
174
Lec. 7.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ...
a otro que se encuentra en movimiento de traslación uniforme respecto del primero. Pero, ¿cómo se transformará la fuerza? La hipótesis de que las leyes de la Física son las mismas en ambos referenciales (invariancia galileana) significa que si F = ma (en el referencial S) será F′ = ma′ (en el referencial S′) con tal que de que la masa m sea independiente de la velocidad. En efecto, hemos demostrado que a = a′ y, por consiguiente, será F
[7.34]
F
de modo que las fuerzas son iguales en ambos referenciales. Llegamos a la conclusión de que si utilizamos la relación F = ma, todos los observadores inerciales coincidirán en el módulo y dirección de F independientemente de las velocidades relativas de sus referenciales. La segunda ley de Newton es, pues, invariante por la transformación de Galileo. Pero a diferencia de lo que sucedía con la traslación y el giro del sistema de referencia la transformación de Galileo no deja invariantes todas las leyes de la Física. Ya indicábamos en la Lección anterior que la transformación correcta, que deja invariantes las leyes de Maxwell del Electromagnetismo así como todas las demás leyes de la Física, es la de Lorentz, que se encuentra en la base de la Teoría de la Relatividad. Los requisitos de invarianza imponen restricciones a las posibles formas de las leyes físicas. Así, aunque desde la perspectiva de la invariancia por traslación y giro del sistema de referencia la ecuación fundamental de la dinámica podría ser del tipo F
m
dr dt
[7.35]
mv
resulta evidente que esta ecuación es inaceptable por no ser invariante por la transformación galileana, ya que se obtendría m (v′
F
[7.36]
v0 )
que es diferente de la ecuación original. Además, tampoco es invariante por la inversión temporal esto es por la transformación particular de Galileo x
x
y
y
z
z
t
t
[7.37]
ya que aunque F sigue siendo la misma, v′ = dr′/dt′ pasa a ser v
dr dt
dr d( t)
dr dt
v
[7.38]
de modo que en el referencial con primas es F
mv
[7.39]
que es diferente de la ecuación original. En cambio, la ecuación fundamental de la dinámica F
m
d2r dt 2
[7.40]
es invariante por la inversión temporal, pues el tiempo aparece al cuadrado y entonces no habrá alteración al sustituir t por -t′. Esta invariancia garantiza la reversibilidad de los fenómenos de la Mecánica. Si abandonamos un cuerpo desde una altura h y filmamos su caída, cuando pasamos la película marcha atrás veríamos subir el cuerpo por si solo hasta la misma altura h. Desde el punto
§7.8.- Invariancia de las leyes de la Mecánica.
175
de vista de la Mecánica estos dos fenómenos (caída del cuerpo y su lanzamiento hacía arriba) son enteramente equivalentes.
§7.9. Tercera ley de Newton.- Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo provienen de otros cuerpos que constituyen su medio ambiente. Por cada fuerza que actúa sobre un determinado cuerpo A debe existir un agente externo B responsable de dicha fuerza. La tercera ley de Newton establece que el cuerpo A ejerce, a su vez, una fuerza igual y opuesta sobre el cuerpo B. Esto es,
F AB
F BA
[7.41]
Una fuerza sola es únicamente un aspecto parcial de la interacción mutua entre dos cuerpos. Las fuerzas se presentan siempre por parejas, de modo que es totalmente imposible tener una fuerza aislada. Por ejemplo, la Tierra ejerce una fuerza de atracción gravitatoria sobre una pelota de masa m; dicha fuerza es el peso P de la pelota en el campo gravitatorio de la Tierra. La pelota adquiere una aceleración dirigida verticalmente hacia abajo igual a g = Figura 7.9 P/m (g=9.8 m/s2). De acuerdo con la tercera ley de Newton, la pelota ejerce una fuerza P′ sobre la Tierra, que representa el peso de la Tierra en el campo gravitatorio de la pelota. Ambas fuerzas, P y P′, son iguales en módulo y dirección pero de sentido opuesto. La Tierra, en respuesta a esa fuerza, debe acelerarse. Debido a la gran masa M de la Tierra esta contribución a su aceleración total resulta ser despreciable e inobservable. En efecto m/M = aT/g nos conduce a aT=(m/M)g≈0. Si a una de las dos fuerzas que intervienen en la interacción entre dos cuerpos se le llama acción, a la otra la llamaremos reacción. No importa qué fuerza en dicha pareja se llame acción y cuál reacción. En este proceso no se implica una relación de causa y efecto; lo único que se implica es una interacción mutua entre los dos cuerpos. Lo importante es que las fuerzas siempre se presentan en parejas acciónreacción y que la una es siempre opuesta a la otra. Nótese que las fuerzas de acción y reacción nunca pueden equilibrarse entre sí debido a que obran sobre cuerpos diferentes. Este último aspecto es de capital importancia pues si ambas fuerzas actuasen sobre el mismo cuerpo nunca se podría tener movimiento acelerado porque sería nula la fuerza resultante sobre el cuerpo. Aclararemos el significado de cuanto acabamos de decir con un ejemplo. Supongamos que tenemos un bloque sobre una superficie horizontal y que tiramos de el mediante una cuerda, como se indica en la Figura 7.10. No hemos representado en dicha figura ni el peso del bloque, ni la reacción normal de la mesa (que sostiene al bloque) ni el peso de la cuerda. El bloque puede estar o no en equilibrio; esto es, puede estar en reposo o moviéndose con velocidad constante o estar acelerado. Con la notación usada en la figura, las parejas acción-reacción son las (F1,F1′) y
176
Lec. 7.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ...
(F2,F2′). En cambio las parejas de fuerzas (F1,F2′) y (F1′,F2) no constituyen parejas de acción-reacción. Para comprenderlo, obsérvese que la fuerza F1 representa la fuerza ejercida por la mano sobre la cuerda; su reacción será la fuerza F1′ que ejerce la cuerda sobre la mano. La fuerza F2 representa la fuerza que ejerce la cuerda sobre el bloque; su reacción es la fuerza F2′ que ejerce el bloque sobre la cuerda. En ambos casos se cumple que F1
F′1
F2
F′2
[7.42]
Para comprender por qué las fuerzas F1 y F2′ no constituyen una pareja de acciónreacción observemos que ambas fuerzas actúan sobre el mismo cuerpo (la cuerda), mientras que una acción y su reacción deben ejercer necesariamente sobre cuerpos difeFigura 7.10 rentes. Lo característico de la pareja de acción-reacción es su reciprocidad. Por otra parte, las fuerzas F1 y F2′ no son necesariamente de igual magnitud. Si el bloque y la cuerda se mueven hacia la derecha con velocidad creciente, la cuerda no estará en equilibrio y necesariamente será F1 mayor que F2′. En efecto, siendo m la masa de la cuerda y a la aceleración del sistema tenemos F1
F′2
ma
[7.43]
de modo que solo en el caso de que la cuerda no esté acelerada, por encontrarse en reposo o moviéndose con velocidad constante, son iguales las magnitudes de las fuerzas F1 y F2′. Sin embargo, en cualquier caso, siempre serán iguales las magnitudes de las fuerzas F1 y F1′ y también las de F2 y F2′, aún cuando no lo sean las de F1 y F2′. En el caso de que la cuerda esté en equilibrio, esto es, no presente aceleración, al ser a=0 se deduce de [7.43] que será F1 = -F2′. Como por otra parte F2 es siempre igual a -F2′, resulta que, en esta situación especial, será F1 = F2 y cabe considerar que la cuerda transmite al bloque la totalidad de la fuerza ejercida sobre ella por la mano en su otro extremo. Este punto de vista tiene una gran utilidad práctica, pero conviene recordar que sólo es aplicable en las condiciones restringidas anteriores. En principio, el mismo resultado anterior es válido si m =0. En la práctica nunca encontraremos una cuerda sin masa, pero muy a menudo podremos considerar despreciable la masa de la cuerda o cuerdas que intervengan en un mecanismo frente a las masas de los demás cuerpos; en estas condiciones podemos suponer que estas cuerdas ideales transmiten íntegramente las fuerzas. Un cuerpo (como una cuerda, una varilla, ...) sometido a tracciones en sus extremos decimos que está en tensión. La tensión en cualquier punto es igual a la fuerza en dicho punto. Podemos medir la tensión en cualquier punto de la cuerda cortándola en dicho punto e intercalando un dinamómetro; la tensión será la lectura del dinamómetro. La tensión será la misma en todos los puntos de una cuerda
177
§7.9.- Tercera ley de Newton.
horizontal si ésta se encuentra en equilibrio o si su masa es despreciable. §7.10. Conservación de la cantidad de movimiento.- A partir de la tercera ley de Newton podemos llegar a una conclusión sencilla pero importante para el caso de dos partículas aisladas del resto del Universo, de modo que estén sometidas solamente a su interacción mutua. Como resultado de la interacción, la velocidad de cada una de las partículas, y por lo tanto su cantidad de movimiento, no permanece constante sino que cambia con el tiempo y la trayectoria será curvilínea en general, como se muestra en la Figura 7.11. En un cierto instante t, la partícula 1 se encuentra en A y tiene una velocidad v1 y la partícula 2 se encuentra en B y tiene una velocidad v2. En un instante posterior t′ las partículas se encuentran en A′ y B′ y tienen velocidades v1′ y v2′, respectivamente. Evidentemente, como resultado de la interacción, la cantidad de movimiento Figura 7.11 individual de cada una de las partículas no se conserva en el transcurso del tiempo. De acuerdo con la segunda ley de Newton, la variación por unidad de tiempo de la cantidad de movimiento de una partícula es igual a la fuerza que actúa sobre ella. Así, en nuestro caso de dos partículas sometidas solamente a su interacción mutua actuará una fuerza única sobre cada una de ellas y las dos fuerzas, de acuerdo con la tercera ley de Newton, tendrán el mismo módulo y dirección pero sentidos opuestos. Esto es
F1
dp1
F2
dt
dp2
[7.44]
dt
con F1 = - F2, de modo que F1
F2
dp1
dp2
dt
dt
d (p dt 1
p2)
0
[7.45]
lo que significa que la variación de la cantidad de movimiento total, p1+p2, es nula, esto equivale a decir que la cantidad de movimiento total permanece constante p1
p2
cte.
[7.46]
Este resultado lo podemos enunciar del modo siguiente: La cantidad de movimiento total de un sistema compuesto por dos partículas sujetas solamente a su interacción mutua permanece constante en el transcurso del tiempo.
178
Lec. 7.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ...
enunciado que constituye el principio de la conservación de la cantidad de movimiento, uno de las principios fundamentales y universales de la Física y que podemos considerar como un enunciado equivalente de la tercera ley de Newton. Aunque en el enunciado anterior se hace referencia a sólo dos partículas el principio de conservación de la cantidad de movimiento es mucho más general y se cumple para cualquiera que sea el número de partículas que constituyan un sistema aislado; es decir, partículas sometidas solamente a sus interacciones mutuas y no a interacciones con otras partes del Universo. Por ello, el principio de la conservación de la cantidad de movimiento en su forma más general se enuncia del modo siguiente: La cantidad de movimiento total de un sistema de partículas aislado se mantiene constante.
En el caso concreto de dos partículas podemos reescribir la expr. [7.46] como Δp1
Δp2
0
[7.47]
donde Δpi = pi′-pi representa el cambio que experimenta la cantidad de movimiento de la partícula i-ésima durante el intervalo de tiempo Δt = t′-t; así, podemos escribir Δp1
Δp2
[7.48]
de modo que, en el caso de dos partículas interactuantes, la variación en la cantidad de movimiento de una de las partículas en un cierto intervalo de tiempo es igual y opuesta a la variación en la cantidad de movimiento de la otra durante el mismo intervalo de tiempo, de modo que la variación en la cantidad de movimiento total será nula, como ya habíamos indicado anteriormente. El resultado anterior podemos expresarlo igualmente diciendo que una interacción produce un intercambio de cantidad de movimiento, de manera que la cantidad de movimiento perdida por una de las partículas interactuantes es ganada por la otra. Es ésta una interpretación interesante de la interacción entre dos partículas, en la que vemos como la idea de fuerza queda en cierto modo difuminada. Podemos encontrar a nuestro alrededor numerosos ejemplos del principio de conservación de la cantidad de movimiento. Al disparar un fusil se desarrolla en el sistema constituido por el fusil y la bala fuerzas interiores que determinan la salida de la bala con una cierta cantidad de movimiento. El principio de conservación exige que el fusil retroceda con una cantidad de movimiento igual y opuesta a la de la bala. Debido a la masa relativamente grande del fusil frente a la de la bala, la velocidad de retroceso de aquél es pequeña frente a la de ésta. Cuando un núcleo radioactivo se desintegra, emitiendo por ejemplo una Figura 7.12 partícula α, la cantidad de movimiento total de la partícula α y del núcleo residual debe ser cero, ya que el sistema se encontraba inicialmente en reposo en el referencial inercial del laboratorio (Figura 7.12). Así pues, si consideramos la emisión de una partícula α por un núcleo de 212Po, la cantidad de movimiento del núcleo residual (208Pb), será igual y opuesta a la de la partícula α emitida.
No se conocen excepciones al principio de la conservación de la cantidad de movimiento. Es más, cuando ha parecido haber violación de este principio en un
§7.10.- Conservación de la cantidad de movimiento.
179
experimento, el físico siempre ha encontrado alguna partícula hasta entonces desconocida que daba cuenta de esta aparente violación del principio. De este modo los físicos han identificado el neutrón, el neutrino, el fotón y muchas otras partículas elementales. §7.11. Acción a distancia.- Parece ser que Newton llegó a su enunciado de la ley de acción-reacción a partir de los estudios realizados en su época sobre la cinemática de los choques. Durante el corto intervalo de tiempo en que se encuentran en contacto los cuerpos que chocan se ejercen entre ellos fuerzas muy grandes de modo que aún cuando existieran otras fuerzas (como el peso o el rozamiento), por ser éstas mucho menores que aquéllas, no producirán efectos apreciables y pueden ser despreciadas. A partir de las medidas cuidadosas, realizadas principalmente por HUYGENS (1629-95), de las cantidades de movimiento de los cuerpos colisionantes, Newton sabía que, independientemente de la clase de choque que tuviera lugar, la cantidad de movimiento total después del choque es la misma que había antes. La ec. [7.46] describe este resultado y sólo necesitamos derivarla con respecto al tiempo y sustituir dp1/dt por F1 y dp2/dt por F2 para establecer la ley de la acción-reacción. Sin embargo, la extrapolación de esta ley de acción-reacción para cuerpos en contacto a cuerpos muy separados presenFigura 7.13 Isaac NEWTON (1642-1727) ta dificultades conceptuales que Newton apenas había sospechado. Hemos visto que el enunciado de que la acción es igual a la reacción es equivalente a afirmar que la velocidad con la que un cuerpo adquiere cantidad de movimiento es igual a la velocidad con la que el otro la pierde. Esto es fácil de imaginar cuando los dos cuerpos están en contacto pero no cuando están muy separados, ya que esto implicaría aceptar que la cantidad de movimiento se transmite instantáneamente a través del espacio que los separa. Este concepto, llamado acción a distancia, resulta difícil de aceptar. Por ejemplo, aplicado al sistema Sol-Tierra, el concepto de acción a distancia implica que la cantidad de movimiento perdida por uno de estos dos cuerpos viaja instantáneamente a través de los casi 150 millones de kilómetros que los separan para ser adquirida por el otro. Newton justificaba su ampliación de la ley de acción-reacción para cuerpos separados aceptando la hipótesis de la acción a distancia, debido a que ésta le permitía calcular correctamente las órbitas de los planetas a partir de la ley de la Gravitación. Sin embargo Newton se daba cuenta de que la acción a distancia constituía un fallo de su teoría y en 1692 hizo un comentario famoso sobre este concepto: "Es inconcebible que la materia inanimada y bruta pueda operar e influir, sin la mediación de alguna otra cosa que no sea material, sobre la materia sin un contacto mutuo, como debe suceder si la gravitación, en el sentido de Epicuro, fuese esencial e inherente a ella. Y ésta es una razón por la cual yo desearía no tener que adscribirme a la gravedad innata. El que la gravedad deba ser innata, inherente y esencial a la materia, de modo que un cuerpo pueda actuar sobre otro a distancia a través del vacío, sin la mediación de ninguna otra cosa, de modo que
180
Lec. 7.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ... mediante él y a través de él su acción y fuerza pueda transportarse de un cuerpo a otro, es para mí un absurdo tan grande que no creo que haya ninguna persona competente en temas filosóficos que pueda nunca coincidir en ello." Isaac Newton: Tercera carta a Bentley (25 Febrero 1692)
El hecho de que dos partículas interactúen cuando las separa una cierta distancia significa que debemos considerar un mecanismo para la transmisión de la interacción. Hoy, resolvemos el problema de la acción a distancia introduciendo el concepto de campo. Consideramos que una partícula modifica en cierto modo las propiedades del espacio que la rodea, es decir, crea en dicho espacio una alteración que llamamos campo, y este campo produce una fuerza, expresión de la interacción, sobre una segunda Figura 7.14 partícula colocada en dicho espacio. Así pues, el campo actúa como agente intermedio en la propagación de la interacción. Análogamente, la segunda partícula crea a su vez un campo que produce una fuerza sobre la primera. Si repentinamente una de las partículas se mueve a una nueva posición, se modifica el campo creado por ella, pero este cambio no se propaga instantáneamente a todo el espacio sino que lo hace como máximo con la velocidad de 3×108 m/s, que es también la velocidad de la luz (Figura 7.14). Si podemos despreciar el tiempo empleado en la propagación del campo, podemos ignorar este agente intermedio y considerar que la interacción tiene lugar directamente entre las dos partículas. Por ejemplo, durante los 8 minutos que se emplea en la propagación del campo gravitatorio entre la Tierra y el Sol, la Tierra se mueve sólo una pequeña fracción de su órbita (5.5 milésimas de grado) de modo que con una buena aproximación podemos considerar las fuerzas entre el Sol y la Tierra como ejercida directamente entre ellos (acción a distancia). En la forma en que está escrita la ec. [7.46] se presupone que la interacción entre las dos partículas es instantánea. Sin embargo, puesto que las interacciones físicas se propagan con una velocidad finita, se emplearía un cierto tiempo para que se produzca el intercambio de cantidad de movimiento entre las dos partículas de modo que el principio de la conservación de la cantidad de movimiento será solo aproximado, ya que existirán fases durante la interacción en las que no se conservará la cantidad de movimiento. Sin embargo, la conservación de la cantidad de movimiento puede volverse a enunciar como una ley exacta introduciendo la idea de que el propio campo puede poseer cantidad de movimiento, de modo que durante el tránsito la cantidad de movimiento perdida por uno de los cuerpos es transportada por el campo. Puede demostrarse que en la interacción electromagnética entre dos cargas móviles el campo electromagnético transporta cantidad de movimiento; sin embargo no es fácil probarlo en el caso de la interacción gravitatoria. §7.12. Limitaciones de la ley de la acción-reacción.- De acuerdo con nuestro análisis de la acción a distancia, la tercera ley de Newton es sólo una ley aproximada para la interacción a distancia entre dos cuerpos separados. Puesto que la interacción se "propaga" con una velocidad finita, en cualquier instante durante la interacción no será F12 exactamente igual a -F21. En consecuencia,
§7.12.- Limitaciones de la ley de la acción-reacción.
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La tercera ley de Newton sólo es válida si podemos despreciar el tiempo de transmisión de la cantidad de movimiento entre los cuerpos interactuantes. En los choques atómicos, no es siempre una buena aproximación. En los choques macroscópicos (bolas de billar, automóviles, ...) es una aproximación excelente, pues la duración de la colisión es grande en comparación con el tiempo que emplea la señal o interacción en "recorrer" la longitud de los cuerpos que colisionan. Existe otra limitación inherente a la validez de la ley de la acción-reacción, ya que esta ley sólo es aplicable en el caso de que la fuerza ejercida por una partícula sobre otra esté dirigida según la recta que las une. Tales fuerzas son llamadas fuerzas centrales; la tercera ley de Newton es sólo aplicable a fuerzas centrales atractivas o repulsivas. En el caso de las interacciones gravitatorias y electrostáticas este requisito se cumple y la tercera ley de Newton puede utilizarse en los problemas en los que aparecen estos tipos de fuerzas. En otros casos, como en el de una fuerza elástica (que a fin de cuentas es la manifestación macroscópica de fuerzas electrostáticas microscópicas), la fuerza tiene también carácter central. Así, dos cuerpos (puntuales) conectados por un muelle recto obedecen a la tercera ley de Newton. Cualquier fuerza que dependa de la velocidad de las partículas interaccionantes tiene carácter no-central y la tercera ley de Newton no es aplicable en esa situación. Así, las fuerzas de interacción entre dos partículas en movimiento (fuerzas electromagnéticas) dependen de las velocidades de las partículas, no tienen carácter central y no obedecen a la ley de la acción-reacción. Las fuerzas dependientes de la velocidad de las partículas son características en las interacciones que se propagan con una velocidad finita. La interacción electromagnética es de ese tipo. Incluso la fuerza gravitatoria entre partículas en movimiento depende de las velocidades de las partículas, pero el efecto es pequeño y difícil de detectar; el único efecto observado corresponde a la precesión del perihelio del planeta Mercurio. Hemos visto como la extensión de la ley de la acción-reacción a cuerpos separados ha engendrado ciertas dificultades conceptuales, de modo que no debemos aceptar esta ley como una ley general de la Naturaleza, en el mismo sentido en que puedan serlo las dos primeras leyes del movimiento de Newton. Sin embargo, las dificultades son realmente de tipo conceptual y no práctico, así que la ley de la acción-reacción es generalmente una aproximación excelente para describir muchas situaciones físicas.
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Lec. 7.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ...
Problemas 7.1.- Una partícula de 2 g de masa se mueve a lo largo de una recta bajo la acción de una fuerza constante, en la misma dirección que la recta, definida por F = 12 - 24t dyn. Si en el instante t=0 la partícula se encuentra en reposo en el origen, determinar la posición y la velocidad de la partícula en función del tiempo. 7.2.- Sobre una masa de 2 kg actúa una fuerza definida por F = 2ti + 6t2j + 10k (N). En el instante t=0, el vector de posición de la partícula es r0 = 4i + j (m) y su velocidad es v0 = 6i + 2k (m/s). Encontrar la posición y la velocidad del cuerpo en el instante t=2 s. 7.3.- Una partícula de masa m se mueve en el plano xy de modo que su vector de posición es r = a cos ωt i + b sen ωt j, donde a, b y ω son constantes y a>b. a) Demostrar que la trayectoria es una elipse. b) Demostrar que la fuerza que actúa sobre la partícula está siempre dirigida hacia el origen y que su módulo es proporcional a la distancia de la partícula al origen. 7.4.- Demostrar que si la fuerza que obra sobre una partícula es constante, entonces su trayectoria será rectilínea o parabólica. 7.5.- Determinar las componentes tangencial y normal de la fuerza que actúa sobre un proyectil, lanzado horizontalmente desde lo alto de un edificio, en función del su desplazamiento horizontal. 7.6.- Dos bloques de masas m1 = 4 kg y m2 = 2 kg se encuentran en reposo sobre una superficie horizontal lisa y están en contacto mutuo, el uno junto al otro. a) Calcular el valor de la fuerza entre los dos bloques cuando empujamos horizontalmente el m1 con una fuerza de 3 kg. b) Ídem cuando la misma fuerza se aplica al cuerpo m2 en lugar de al m1. c) Explicar por qué son diferentes los dos resultados. 7.7.- Un avión de transporte va a despegar de una pista horizontal arrastrando dos planeadores, uno detrás del otro. Cada uno de los planeadores pesa 500 kg y la fuerza de rozamiento o resistencia sobre cada uno de ellos puede considerarse constante e igual a 200 kg. Si la tensión en los cables de remolque no debe
exceder 2000 kg y si se requiere una velocidad de 150 km/h para el despegue; a) ¿qué longitud mínima de recorrido sobre la pista es necesaria para el despegue?; b) ¿cuál será la tensión en el cable entre los dos planeadores mientras son acelerados para el despegue? 7.8.- Péndulo simple. Una masa puntual está suspendida mediante un hilo inextensible y ligero, de longitud l, de un punto fijo O, de modo que puede oscilar en un plano vertical. Aplicar las ecuaciones del movimiento para determinar el periodo de las pequeñas oscilaciones del péndulo simple. 7.9.- Una partícula se mueve a lo largo del eje x bajo la acción de una fuerza definida por F = -(k/x2)i. Si la partícula se encuentra inicialmente en reposo en el punto abscisa x0, obtener: a) la expresión de su velocidad en función de su posición y b) el tiempo que transcurrirá hasta que la partícula pase por el origen de coordenadas. 7.10.- Una cadena flexible y homogénea, de longitud L, se encuentra inicialmente en reposo sobre una mesa lisa, colgando una longitud b de la cadena por fuera del borde de la mesa. Calcular el tiempo que empleará la cadena en abandonar la mesa y su velocidad en ese instante. 7.11.- El cable de una grúa puede soportar una tensión máxima de 10 Tm. ¿Cuál sería el tiempo mínimo necesario para elevar un bulto de 6 Tm desde el suelo hasta una altura de 2 m? 7.12.- Un paquete cuelga de una balanza de resorte sujeta al techo de un ascensor. a) Si el ascensor tiene una aceleración hacia arriba de 1.2 m/s2 y la balanza marca 25 kg, ¿cuál es el verdadero peso del paquete?; b) ¿En qué circunstancias indicará la balanza 15 kg?; c) ¿Qué indicará la balanza si se rompe el cable del ascensor? 7.13.- Demostrar que el piloto de un avión puede establecer, durante un cierto periodo de tiempo, las condiciones de ingravidez en el interior del avión, de modo que él mismo y los objetos en el interior del avión presenten una aparente carencia de peso, volando en una trayectoria balística con una velocidad exacta-
Problemas
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mente igual a la de un proyectil que se mueva sometido solamente a la acción de su peso. ¿Cómo puede conseguir dicha trayectoria?
partícula en ese instante? c) ¿A qué distancia del pie de la hemiesfera caerá la partícula sobre el plano horizontal?
7.14.- En un experimento típico destinado a conseguir las condiciones de "gravedad cero" (vide Problema 7.13), el piloto de un avión de reacción comienza una trayectoria balística a una altura de 6 000 m sobre el suelo, con una velocidad de 800 km/h y un ángulo de 70° sobre la horizontal. Cuando regresa a los 6 000 m de altura, abandona la trayectoria balística y recupera el control del aparato. a) ¿Durante cuánto tiempo se ha mantenido la condición de ingravidez en el interior del aparato? b) ¿Cuáles fueron la velocidad y la altura en el punto más alto de la trayectoria?
7.20.- Un automóvil cuyo peso es 1 200 kg circula por una carretera recta con una velocidad constante de 72 km/h. El automóvil toma una curva de 60° y 300 m de radio, manteniéndose constante su celeridad. Calcular: a) El cambio en su cantidad de movimiento a la salida de la curva; b) la magnitud y dirección de la fuerza que actúa sobre el automóvil. ¿Quién ejerce esa fuerza?
7.15.- Calcular cuál debería ser el periodo de rotación de la Tierra para que el peso aparente de un cuerpo fuese nulo en el Ecuador. 7.16.- Una masa m colocada sobre una superficie lisa horizontal está unida a una masa M mediante una cuerda ligera que pasa por un agujero practicado en la superficie. La masa m se mueve describiendo una trayectoria circular de radio r con una celeridad v. Determinar el valor de la masa M para que ese movimiento se mantenga. 7.17.- Una bola de 2 kg de masa está sujeta al extremo de una cuerda y se mueve en una circunferencia de 1 m de radio. a) ¿Cuál ha de ser la velocidad mínima de la bola en el punto más alto de la trayectoria que permita completar la trayectoria circular? b) Si la velocidad en el punto más alto de la trayectoria fuese el doble de la calculada anteriormente, ¿cuál sería la tensión de la cuerda en dicho punto? c) Ídem cuando la partícula pasa por la posición más baja. 7.18.- Un cazabombardero que está volando en picado a la velocidad de 720 km/h sale del picado cambiando su trayectoria para describir una circunferencia vertical. a) ¿Cuál ha de ser el radio mínimo de ésta si la aceleración en el punto más bajo no debe exceder el valor de 6 g. b) En esas condiciones, ¿cuál será el peso aparente del piloto si su peso real es de 80 kg? 7.19.- Una partícula de masa m permanece en reposo en la cima de una hemiesfera de radio R que está apoyada por su base sobre una superficie horizontal. Cuando desplazamos ligeramente la partícula de su posición de equilibrio, ésta comienza a deslizar sobre la superficie de la hemiesfera. a) ¿En qué posición abandona la partícula la superficie de la hemiesfera? b) ¿Cuál es la velocidad de la
7.21.- Una pelota de baseball pesa 150 g y tiene una velocidad de 20 m/s un instante antes de ser golpeada con el bate. Después de ser bateada, su velocidad pasa a ser de 35 m/s en sentido contrario. a) Calcúlese el incremento de su cantidad de movimiento y la impulsión del golpe. b) Si la pelota está 2 ms en contacto con el bate, ¿qué valor tiene la fuerza media durante el golpe? 7.22.- Una bala de 2 g de masa sale de la boca de un fusil con una velocidad de 300 m/s. La fuerza que actúa sobre la bala mientras recorre el cañón del fusil está dada por la expresión F = 400 - 400 000 t/3, estando F expresada en newtons y t en segundos. a) Representar gráficamente F(t). b) Calcular el tiempo que emplea la bala en recorrer la longitud del cañón del fusil c) ¿Cuál es la longitud del cañón? 7.23.- Un automóvil pesa 1 000 kg y se mueve con una velocidad de 36 km/h cuando choca frontalmente contra un muro muy resistente. ¿Cuál es el cambio en la cantidad de movimiento del automóvil y la fuerza promedio que actúa sobre el mismo si en 0.2 s: a) queda en reposo; b) si rebota con una velocidad de 9 km/h. c) En ambos casos, discutir la conservación de la cantidad de movimiento durante el choque. 7.24.- Una corriente de agua va a dar contra un álabe perfectamente liso de una turbina, de modo que la Prob. 7.24 corriente se desvía, como se muestra en la figura, pero no se frena. El caudal de la corriente es y la sección constante del chorro es A. Encontrar una expresión que nos permita calcular la fuerza que ejerce
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Lec. 7.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ...
la corriente sobre el álabe. 7.25.- Una ametralladora dispara a un ritmo de 4 proyectiles por segundo. Cada proyectil tiene una masa de 10 g y lleva una velocidad de 400 m/s en el instante en que incide sobre un blanco fijo en el que se detiene. a) ¿Cuál es la fuerza media ejercida sobre el blanco durante un intervalo de tiempo grande en comparación con el que separa la llegada de los proyectiles? b) ¿Cuál es la fuerza media de retroceso que actúa sobre la ametralladora? 7.26.- Sobre el platillo de una balanza de resorte se coloca una caja y se ajusta la balanza de modo que marque cero con la caja vacía. Dejamos caer un chorro de perdigones sobre el fondo de la caja, a razón de 20 perdigones por segundo. Cada perdigón pesa 200 mg y la altura desde la que se dejan caer es 5 m. ¿Cuál será la lectura de la balanza al cabo de 10 s de que los perdigones comenzasen a llenar la caja? 7.27.- Una balanza de resorte está ajustada para leer el cero. Dejamos caer desde una altura de 5 m sobre el platillo de la balanza un chorro de perdigones, a razón de 20 perdigones por segundo, que chocan contra el platillo, rebotan hacia arriba con la misma velocidad y salen definitivamente del platillo. Si cada perdigón pesa 200 mg, ¿cuál será la lectura de la balanza? 7.28.- Reloj de arena.- Sobre el plato de una balanza monoplato, muy sensible, colocamos un reloj de arena. Describir y explicar la lectura de la balanza mienProb. 7.28 tras la arena pasa del depósito superior al inferior, en chorro constante, y cuando finalmente ya ha pasado al depósito inferior. 7.29.- Una partícula se mueve con una velocidad v0 = 40 m/s en el instante en que penetra en un medio resistivo que le presenta una fuerza resistente dada por F = -5v, con F medida en newtons y v en m/s. a) Calcular el valor medio temporal de dicha fuerza durante el tiempo necesario para que la velocidad de la partícula se reduzca a 1/e de su valor inicial. b) Ídem el valor medio espacial en ese recorrido.
7.30.- Dos partículas, A y B, limitadas a moverse sobre una recta, interaccionan entre sí. La cantidad de movimiento de la partícula A viene dada en función del tiempo por pA = p0 - kt, donde p0 y k son constantes. a) Encontrar la expresión de la cantidad de movimiento de B suponiendo que ésta se encontrase inicialmente en reposo. b) Ídem si la cantidad de movimiento inicial de B era -p0. c) Expresar la fuerza de interacción entre las partículas en función del tiempo. 7.31.- Un vagón con su carga pesa 15 Tm y circula por una vía recta, sin rozamientos apreciables, con una velocidad de 18 km/h. El vagón choca contra otro vagón vacío, de 8 Tm, que se encuentra en reposo sobre la misma vía y queda enganchado a él. a) Calcular la velocidad final del sistema. b) Suponiendo que el choque haya durado 0.1s, calcular la fuerza promedio durante el choque. 7.32.- Un núcleo radioactivo, inicialmente en reposo, se desintegra emitiendo un electrón y un neutrino en direcciones perpendiculares entre sí, cuyas cantidades de movimiento son 10.3×10-21 kg m/s y 6.42×10-21 kg m/s, respectivamente. a) ¿En qué dirección retrocede el núcleo residual? b) ¿Cuál es la cantidad de movimiento del núcleo residual? 7.33.- La masa del electrón es 9.11×10-31 kg. Comparar las cantidades de movimiento del electrón dadas por las expresiones clásicas y relativista para velocidades de: a) 0.001c, b) 0.01c, c) 0.1c, d) 0.5c y e) 0.95c. Dato: velocidad de la luz en el vacío, c = 2.998×108 m/s. 7.34.- Los dos bloques de la figura están unidos por una cuerda homogénea que pesa 2 kg. Las masas de los bloques son m1 = 10 kg y m2 = 5 kg. Calcular la tensión en los extremos y en el punto medio de la cuerda.
Prob. 7.34
7.35.- En cada uno de los sistemas representados en la figura, calcular las aceleraciones que adquieren cada uno de los cuerpos que intervienen y las tensiones en las cuerdas. En todos los casos, supóngase que las superficies son lisas (sin rozamiento), que las cuerdas son flexibles, inextensibles y de masas despreciables y que las poleas tienen
185
Problemas
masas despreciables y fricción nula. En todos los casos, resolver primero el problema algebraicamente y luego obtener la solución numérica para m1 = 5 kg, m2 = 3 kg, F = 40 N, α = 30° y β = 60°. 7.36.- Las masas de los cuerpos A y B, en la figura son 2 kg y 1 kg respectivamente. Inicialmente ambas masas se encuentran en reposo sobre el suelo. La cuerda que las une pasa por la garganta de una polea ligera y sin fricción. Determinar la aceleración de cada Prob. 7.36 masa y la tensión de la cuerda cuando se aplica una fuerza hacia arriba de: a) 1 kg, b) 2 kg, c) 3 kg y d) 5 kg. 7.37.- Un albañil, que pesa 70 kg, está de pie sobre una plataforma de aluminio de 10 kg de peso. Una cuerda sujeta a la plataforma pasa por una polea fija a la parte alta de la casa, de modo que el albañil puede elevarse a sí mismo tirando del extremo libre de la cuerda (vide figura). a) ¿Qué fuerza debe ejercer el albañil sobre la cuerda para mantenerse en reposo o moverse con velocidad constante. b) Ídem para acelerarse hacia arriba a razón de 0.5 m/s2. c) Ídem para descender con una aceleración de Prob. 7.37 1 m/s2. Prob. 7.35
186
Lec. 7.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ...
8.- Las fuerzas de la Naturaleza.
§8.1. Las leyes de las fuerzas (187); §8.2. Las fuerzas fundamentales (188); §8.3. Fuerzas gravitatorias (190); §8.4. Fuerzas electromagnéticas (191); §8.5. Fuerzas nucleares (194); §8.6. Interacción débil (195); §8.7. Fuerzas moleculares (196); §8.8. Fuerzas de rozamiento (198); §8.9. Rozamiento. Estudio experimental (199); §8.10. Ángulos de rozamiento (202); §8.11. Rozamiento. Estudio microscópico (203); §8.12. Fuerzas de rozamiento en los fluidos (205); §8.13. Fuerzas de ligadura (206); §8.14. Fuerzas de inercia (209); §8.15. Estática de la partícula. Principio de D’Alembert (214); Problemas (216)
§8.1. Las leyes de las fuerzas.- Las tres leyes del movimiento que hemos estudiado en las dos lecciones precedentes no resuelven por sí solas el problema central de la Mecánica Clásica de las partículas; esto es, dada una partícula cuyas características físicas (masa, carga eléctrica, ...) conocemos, colocada en un cierto ambiente del que tenemos una descripción completa, ¿cuál será el movimiento subsiguiente de la partícula? De acuerdo con el método de trabajo que nos propusimos seguir, ya hemos definido el concepto de fuerza (en función de la aceleración que adquiere un cierto cuerpo patrón) y el concepto de masa (estableciendo un procedimiento que nos permite asignar una masa a cada cuerpo). Sólo nos falta investigar las leyes de las fuerzas, esto es, los procedimientos que nos permitan calcular la fuerza que actúa sobre la partícula a partir de las propiedades de la misma y de su medio ambiente. Entonces completaremos nuestro programa y podremos dar por resuelto el problema. No debemos considerar la segunda ley del movimiento
F
ma
[8.1]
como una ley de la Naturaleza, sino más bien como una definición de fuerza. Está claro que podemos utilizar la segunda ley de Newton para medir la fuerza F que actúa sobre la partícula de masa m, a través de una medida de su aceleración a. Pero el concepto de fuerza juega un papel central en la Física y la ec. [8.1] debe interpretarse más bien del siguiente modo: conocida la fuerza, la ec. [8.1] nos determina la aceleración, o sea el movimiento de la partícula. Por consiguiente, el papel del físico es descubrir cuáles son las fuerzas que existen en la Naturaleza ya que, una vez conocidas, el problema se reducirá a buscar la solución de la ec. [8.1],
Manuel R. Ortega Girón
187
188
Lec. ?.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ...
que es una ecuación diferencial de segundo orden. Así pues, necesitamos identificar diversas funciones del tipo [8.2]
F = una función de las propiedades de la partícula y de las de su entorno. de modo que podamos, en cada caso, eliminar F entre las ecuaciones [8.1] y [8.2], para obtener así una ecuación que nos permita calcular la aceleración de la partícula en función de sus propiedades y de las de su medio ambiente. Como vemos, el concepto de fuerza aparece tanto en las leyes del movimiento [8.1] (que nos dicen qué aceleración experimentará una partícula bajo la acción de una fuerza dada), como en las leyes de las fuerzas [8.2] (que nos permiten calcular la fuerza que actuará sobre la partícula al colocarla en un medio ambiente determinado). La cantidad y variedad de medios ambientes posibles para una partícula es tan grande que nos resultaría imposible realizar un estudio detallado de todas las leyes de las fuerzas. En esta lección haremos una breve exposición de algunas características de las interacciones fundamentales, que estudiaremos con más detalle y profundidad en los capítulos específicos que desarrollaremos a lo largo de este libro. También daremos algunas descripciones empíricas de las fuerzas macroscópicas, no fundamentales, más comunes en el ámbito de la Mecánica Clásica. §8.2. Las fuerzas fundamentales.- En nuestra experiencia cotidiana encontramos una gran variedad de fuerzas, que relacionamos con diversos agentes. Así hablamos de la fuerza muscular que ejercemos al empujar un armario sobre el piso, de la fuerza de rozamiento que el piso hace sobre aquél, de la fuerza elástica en un muelle estirado, de la fuerza gravitatoria que la Tierra ejerce sobre la Luna, de la fuerza de origen eléctrico que pone en marcha el motor de un automóvil, de la fuerza hidráulica que acciona los frenos del mismo o de la fuerza mecánica que lo detiene si tiene la desgracia de colisionar contra una farola. Con independencia del número de nombres que damos a las fuerzas que usamos o que simplemente conocemos, existen solamente dos fuerzas fundamentales que gobiernan el comportamiento de los cuerpos que encontramos en nuestra experiencia diaria. Estas dos fuerzas son las gravitatorias y las electromagnéticas. Todas las otras fuerzas, aparentemente diferentes, pueden considerarse como diferentes manifestaciones macroscópicas de esas fuerzas fundamentales. Así, las llamadas fuerzas de contacto entre dos cuerpos son realmente, en último análisis, de carácter electromagnético (principalmente electrostático) y representan la suma total de un número enorme de interacciones entre moléculas muy próximas entre sí. Las fuerzas de fricción viscosa que experimenta un cuerpo que se mueve en el seno de un fluido tienen también su origen en las fuerzas electromagnéticas a nivel molecular entre las numerosas moléculas del cuerpo y del fluido. Normalmente resultará difícil (por no decir imposible) y poco práctico obtener la ley a la que obedece una fuerza macroscópica en función de las fuerzas gravitatorias y electromagnéticas (principalmente estas últimas) entre partículas submicroscópicas (moléculas, átomos, partículas elementales). Por lo tanto, las
§8.2.- Las fuerzas fundamentales.
189
expresiones de dichas leyes de fuerza habrá que suponerlas (como hipótesis de trabajo) y obtenerlas experimentalmente. Como ejemplos, un bloque que se desliza sobre un tablero experimenta una fuerza de rozamiento que es aproximadamente proporcional a la fuerza normal que hace el bloque contra el tablero; una esferilla que cae en un fluido viscoso está sometida a una fuerza viscosa que se opone a su movimiento y que es aproximadamente proporcional a su velocidad; la fuerza que ejerce un muelle estirado es aproximadamente proporcional a su deformación. Todas estas leyes de las fuerzas son leyes empíricas y, como vemos, aproximadas; i.e., no son leyes fundamentales de la Naturaleza. Sin embargo, las dos fuerzas fundamentales anteriormente mencionadas, las gravitatorias y las electromagnéticas, no son suficientes para describir todos los fenómenos de la Física. El estudio de los fenómenos a escala nuclear y de partículas elementales pone de manifiesto la existencia de otras dos fuerzas fundamentales: la asociada a la denominada interacción fuerte, que mantiene juntos los nucleones (protones y neutrones) del núcleo atómico y la asociada a la llamada interacción débil, que existe entre las partículas elementales. Las fuerzas gravitatorias y las electromagnéticas son fuerzas de largo alcance; esto es, son efectivas a largas distancias y, por eso mismo, son responsables de los fenómenos a gran escala. Las fuerzas nucleares y las de interacción débil son fuerzas de corto alcance de modo que sus efectos sólo resultan evidentes a la escala nuclear. Sin embargo estas fuerzas desempeñan un papel crucial en nuestra existencia. La vida en la Tierra es posible gracias a la energía que, en forma de radiación luminosa, recibimos del Sol, energía que en último análisis procede de los procesos nucleares que tiene lugar en el Sol. Resumiendo, todas las fuerzas distintas observadas en la Naturaleza pueden explicarse hoy día en función de cuatro interacciones fundamentales o básicas que ocurren entre las partículas elementales: (1) (2) (3) (4)
Fuerzas Fuerzas Fuerzas Fuerzas
gravitatorias. electromagnéticas. de la interacción fuerte. de la interacción débil.
y parece ser que no hay necesidad de ninguna otra fuerza fundamental adicional para explicar todos los fenómenos conocidos hoy día. Es imposible, en el estado actual de la Física, decir porque existen estas fuerzas y nos contentamos con escribir los movimientos en función de ellas. Por otra parte, es posible que las interacciones fundamentales no sean completamente independientes, pero la relación existente entre ellas no ha sido establecida aún de una forma satisfactoria. Experimentos recientes con partículas elementales en el dominio de muy altas energías parecen indicar una conexión entre la interacción electromagnética y la interacción débil. Quizás, con el tiempo, seamos capaces de basar nuestra descripción de toda la Naturaleza en sólo una o dos interacciones fundamentales, pero de momento tenemos que basarla en las cuatro interacciones básicas descritas.
190
Lec. ?.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ...
§8.3. Fuerzas gravitatorias.- La fuerza de atracción gravitatoria entre dos cuerpos es un fenómeno universal: todas las partículas ejercen entre sí una fuerza gravitatoria de atracción. La ley de gravitación universal fue descubierta por Newton y publicada en 1686. Esta ley puede enunciarse así:
Toda partícula material del Universo atrae a cualquier otra partícula con una fuerza que es directamente proporcional al producto de las masas de ambas partículas, inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa y dirigida según la recta que las une. Esto es, la fuerza F21 con que una partícula de masa m1 atrae a otra partícula de masa m2 viene dada por F21
Figura 8.1
G
m1m2 2
r21
e21
[8.3]
donde r21 = r21e21 es el vector de posición de la partícula 2 respecto a la 1, e21 es el vector dirigido de la partícula 1 a la 2 (Figura 8.1) y G es una constante universal, denominada constante de Gravitación Universal, cuyo valor, determinado experimentalmente, es G
6.672 0 × 10
11
N m2 kg 2
[8.4]
El signo negativo en la ec. [8.3] indica que la fuerza gravitatoria está dirigida hacia m1, o sea que es una fuerza de atracción. La expr. [8.3] puede aplicarse para calcular la fuerza que m2 ejerce sobre m1 (bastará intercambiar todos los subíndices 1 y 2). La fuerza F12, así obtenida, tiene el mismo módulo y dirección de la fuerza F21, pero su sentido es opuesto al de ésta, ya que el versor e12 es opuesto al versor e21. Así, en principio, la ley de gravitación de Newton cumple los requisitos de la ley acciónreacción. La proporcionalidad inversa al cuadrado de la distancia que aparece en la ley de la gravitación universal ya fue sospechada por HOOKE (1635-1703) y otros científicos contemporáneos de Newton. Pero fue Newton1 quien consiguió deducir la ley de la gravitación universal a partir de las leyes de KEPLER (1571-1630) y de sus propias leyes del movimiento. La ley de gravitación de Newton se refiere a la fuerza entre dos partículas. ¿Cómo puede aplicarse para calcular la fuerza gravitatoria entre dos cuerpos de un cierto tamaño?. Evidentemente, el procedimiento a seguir será aplicar la ec. [8.3] entre todas las parejas de partículas que podamos formar tomando una partícula de cada cuerpo y sumando los resultados parciales obtenidos (Figura 8.2). Esta operación exige
Parece existir alguna evidencia de que Newton llegase a la deducción de esta ley a partir de sus reflexiones sobre la caída de una manzana, pero los primeros cálculos para justificar su exactitud se referían al movimiento de la Luna alrededor de la Tierra. 1
191
§8.3.- Fuerzas gravitatorias.
recurrir al calculo integral y, aunque no es difícil, la pospondremos para cuando estudiemos con más profundidad, en una lección posterior, la ley de gravitación. Por ahora nos conformaremos con aceptar la hipótesis formulada por Newton (que demostró posteriormente tras inventar el cálculo Figura 8.2 diferencial e integral2) de que la fuerza gravitatoria ejercida por o sobre una esfera homogénea es la misma que se tendría si toda la masa de la esfera estuviera concentrada en su centro. De acuerdo con este enunciado no tendremos ninguna dificultad para calcular la fuerza gravitatoria entre un pequeño cuerpo y la Tierra, o entre ésta y la Luna. Al ser tan pequeño el valor de la constante de gravitación universal, G, la atracción gravitatoria sólo puede apreciarse entre cuerpos de gran masa o si se toman precauciones extremas para evitar cualquier otra perturbación que pueda actuar sobre los cuerpos. A modo de ejemplo calcularemos la magnitud de la fuerza gravitatoria existente entre dos bolas de plomo de 1 kg de masa cada una, cuando sus centros están separados 10 cm. Tratando las bolas como si la masa de cada una de ellas estuviese concentrada en su centro, obtendremos una fuerza extraordinariamente pequeña: F
6.672 × 10
11
1 1 0.12
6.672 × 10
9
N ≈ 10 µg
[8.5]
En cambio, si repetimos el cálculo para la fuerza gravitatoria entre la Tierra y la Luna encontraremos una fuerza muy grande: F
6.672 × 10
11
7.35 1022 5.98 1024 ≈ 2 × 1020 N (3.84 × 108)2
[8.6]
§8.4. Fuerzas electromagnéticas.- Las fuerzas ejercidas entre dos partículas
a causa de su carga eléctrica se denominan fuerzas electromagnéticas. La descripción de estas fuerzas es considerablemente más complicada que la correspondiente a las fuerzas gravitatorias. Por una parte, la fuerza electromagnética entre dos partículas cargadas en reposo, la llamada fuerza electrostática, puede ser atractiva o repulsiva, en tanto que la fuerza gravitatoria es siempre atractiva. Una complicación aún mayor surge cuando las partículas se encuentran en movimiento, pues entonces a la fuerza electrostática se superpone la llamada fuerza magnética, que es función de las velocidades de las partículas cargadas interactuantes y que generalmente no actúa según la recta que une ambas partículas. Normalmente utilizaremos el término de fuerza electromagnética para indicar que los dos efectos,
En realidad, Newton ideó el Cálculo de Fluxiones, antecedente del actual Cálculo Diferencial e Integral. 2
192
Lec. ?.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ...
el electrostático y el magnético, están presentes. Sin embargo es importante comprender que las fuerzas magnéticas no tienen existencia independiente de las cargas eléctricas; estas fuerzas aparecen exclusivamente entre cargas eléctricas en movimiento. Por esa razón, usaremos el término de fuerza eléctrica en un sentido general para indicar la fuerza electrostática pero incluyendo la posibilidad de la fuerza magnética, si las cargas están en movimiento. Ahora, en nuestra breve descripción de las fuerzas fundamentales, comenzaremos considerando la fuerza electrostática; esto es, la fuerza que actúa entre cargas eléctricas en reposo. La ley de la fuerza electrostática fue descubierta por el físico francés Charles A. COULOMB (1736-1806) en 1795 y establece que Entre dos partículas cargadas existe una fuerza atractiva o repulsiva que es proporcional al producto de las cargas, inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa y dirigida según la recta que las une. Esto es, de acuerdo con la notación utilizada en el artículo anterior, la fuerza electrostática entre dos partículas cargadas, en el vacío, viene expresada por F21
k
q1q2
[8.7]
e21
2
r21
en donde k es una constante, llamada constante de Coulomb, cuyo valor depende del sistema de unidades elegido. En el Sistema Internacional de Unidades Físicas (SI), la constante de Coulomb (que por razones históricas se acostumbra escribir 1/4π 0) tiene el valor 1 4π
k
o sea siendo
0
0
8.99 × 10 9 0
8.854 × 10
12
N m2 C2
C2 N m2
[8.8]
[8.9]
la llamada permitividad del vacío. Así, la ley de Coulomb la escribiremos F21
Figura 8.3
1 4π
q1q2 0
2
r21
e21
[8.10]
Existen dos clases de carga eléctrica. Las cargas de una misma clase se repelen entre sí; las cargas de distinta clase se atraen mutuamente. Siguiendo la sugerencia de Benjamín FRANKLIN (1706-90), y de modo arbitrario, se le asignó el signo positivo a las de una clase y el negativo a las de la otra. En la ec. [8.10] viene incluido el hecho de que las cargas del mismo signo se repelen y las de distinto signo se atraen.
193
§8.4.- Fuerzas electromagnéticas.
Una importante propiedad de la carga eléctrica es que está cuantizada; esto es, la carga eléctrica siempre tiene la magnitud Ne, en donde N es un número entero y e una unidad fundamental de carga igual a la magnitud de la carga eléctrica de un electrón o de un protón. Todas las partículas elementales conocidas poseen una carga +e, -e o nula. La unidad fundamental de carga, en unidades del sistema SI (mks), o sea en coulombs (C) es e
1.602 × 10
19
[8.11]
C
Las fuerzas coulombianas se superponen a las fuerzas gravitatorias, que están siempre presentes. Como ambas fuerzas, la electrostática y la gravitatoria, varían en razón inversa al cuadrado de la distancia entre las partículas, la relación entre ellas es independiente de la separación entre las partículas. Podemos así comparar las intensidades relativas de estas dos fuerzas entre partículas elementales, tales como dos protones o dos electrones. La masa del protón es mp = 1.673×10-27 kg y su carga es +e = 1.602×10-19 C, de modo que la relación entre la fuerza electrostática Fe y la gravitatoria Fg para dos protones a cualquier separación es: Fe Fg
k e2 ≈ 10 36 G mp2
[8.12]
Como los electrones poseen una masa que es me ≈ mp/1836, la relación Fe/Fg para dos electrones es aún mayor (≈4×1042). Así pues, la fuerza gravitatoria entre dos partículas elementales es tan pequeña frente a la fuerza electrostática que puede despreciarse al describir la interacción. Por lo tanto, sólo la fuerza electrostática es importante en la descripción de los sistemas atómicos. En el núcleo atómico, la fuerza nuclear es aún más potente que la fuerza electrostática entre los protones que lo constituyen, pero no tanto como para que ésta sea siempre despreciable. Muchos fenómenos importantes a nivel del núcleo atómico son consecuencia de las fuerzas electrostáticas. Cuando las cargas eléctricas están en movimiento, a las fuerzas electrostáticas se superponen otras, las fuerzas magnéticas, que dependen de las velocidades de las partículas y que generalmente no actúan según la recta que une las partículas interactuantes, por ser fuerzas deflectoras; esto es, que tienen siempre una dirección normal a la velocidad de la partícula cargada sobre la que actúan. No vamos ahora a entrar en más detalles acerca de esta fuerza, ni tan siquiera nos va a preocupar la expresión correcta de la ley de fuerza entre dos cargas eléctricas puntuales que se mueven de modo arbitrario, la una con respecto a la otra, puesto que resulta demasiado complicado para hacerlo sin entrar más a fondo en el tema. Nos conformaremos con escribir la llamada fórmula de Lorentz: F
q(E
v×B)
[8.13] Figura 8.4
194
Lec. ?.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ...
que nos permite calcular la fuerza electromagnética que actúa sobre una carga q que se mueve con una velocidad v en un campo electromagnético definido por la intensidad eléctrica E y la inducción magnética B. §8.5. Fuerzas nucleares.- Las dos interacciones que acabamos de describir, la gravitatoria y la electromagnética, son las únicas que necesitamos tener en cuenta para explicar el movimiento de los objetos cotidianos y aun para explicar el comportamiento de los sistemas atómicos. Sin embargo, cuando profundizamos dentro del átomo e indagamos acerca de la naturaleza de las fuerzas que actúan entre los componentes de su núcleo, encontramos que las fuerzas gravitatorias y electromagnéticas no son ya apropiadas para describir los fenómenos que observamos. Como ya sabemos, el núcleo atómico es extraordinariamente pequeño, siendo su radio del orden de 10-15 m (1 fm) y está compuesto por protones (p), partículas elementales con carga positiva, y neutrones (n), que no tienen carga eléctrica. Entre los protones que constituyen el núcleo atómico existe una fuerza coulombiana repulsiva muy fuerte que no puede ser compensada por la fuerza gravitatoria (atractiva) entre los componentes del núcleo (los nucleones) pues, como hemos visto anteriormente, la magnitud de ésta es despreciable frente a la de aquélla. Como observamos que un gran número de núcleos son estables, es obvio que debe existir una fuerza atractiva extraordinariamente fuerte que actúe en el interior del núcleo y compense a la fuerza de repulsión coulombiana que tiende a romperlo. A modo de ejemplo numérico, calcularemos aproximadamente la magnitud de la fuerza electrostática entre dos protones en un núcleo típico. Así, consideramos el núcleo de helio (4He) que está constituido por dos protones y dos neutrones, contenidos en un volumen de un radio de 2×10-15 m, aproximadamente. A esa distancia, la fuerza electrostática entre los protones es Fe
k
e2 r2
9 × 109
(1.6 × 10 19)2 ≈ 58 N ≈ 6 kg (2 × 10 15)2
[8.14]
que es una fuerza repulsiva enorme. Sin embargo, el núcleo 4He es muy estable.
El resultado anterior nos indica que debe existir una fuerza atractiva extraordinariamente fuerte entre los componentes del núcleo. Esta fuerza es la que denominamos fuerza nuclear, también llamada fuerza de interacción fuerte para distinguirla de la fuerza de interacción débil que actúa entre todas las partículas elementales. La fuerza nuclear actúa entre dos protones (p-p), entre dos neutrones (n-n) y entre un protón y un neutrón (p-n), pero sólo si las partículas están muy próximas. Esto es, la fuerza nuclear es de corto alcance. Hoy sabemos que las fuerzas p-n y n-n son esencialmente idénticas y que, aparte la porción coulombiana, la fuerza p-p es la misma que la n-n o la p-n. Puesto que los protones y los neutrones tienen muchas propiedades comunes (excepto, principalmente, la carencia de carga eléctrica en el neutrón), estas partículas reciben el nombre genérico de nucleones. En lo que sigue hablaremos de fuerzas nucleón-nucleón, incluyendo así de una vez las tres posibles combinaciones. Cuando la distancia entre dos nucleones es del orden de 1 fm (fermi) la fuerza nuclear entre ellos es atractiva y unas 100 veces más intensa que la fuerza eléctrica repulsiva que existe entre dos protones a esa misma distancia. Pero la fuerza nuclear es de corto alcance, siendo su radio de acción como mucho del orden del radio nu-
195
§8.5.- Fuerzas nucleares.
clear, de modo que fuera de ese alcance deja de existir bruscamente. La fuerza nuclear no es enteramente atractiva, ya que para distancias muy pequeñas es repulsiva; de ese modo se evita que el núcleo atómico se colapse. En la Figura 8.5 se representa esquemáticamente la variación de la fuerza nuclear entre dos nucleones en función de la distancia que los separa. Figura 8.5 En el momento presente no existe una ley de fuerza para las fuerzas nucleares. Es más, en la Física Nuclear no pensamos en términos de fuerza al describir la interacción entre dos nucleones sino que encontramos preferible utilizar el concepto de energía de interacción. Cualquier fórmula que escribamos en términos de las fuerzas no será más que una grosera aproximación que omitirá muchas complicaciones. Así ocurre cuando decimos que las fuerzas nucleares no decrecen simplemente con el cuadrado de la distancia, sino que incluyen un factor de decrecimiento exponencial con la distancia, de forma que escribimos F
K e r2
r r0
( para r > r0 )
[8.15]
donde r0≈10-15 m y, además, cuando r r0 la fuerza nuclear desaparece. La ec. [8.15] corresponde a la fuerza nuclear derivada del potencial de YUKAWA. En nuestro estado actual de conocimientos, la ley de la fuerza nuclear resulta muy compleja y no podemos entenderla por un camino simple. Al tratar con partículas tan pequeñas y tan cortas distancias, las leyes de la Mecánica Newtoniana pierden validez y deben ser sustituidas por las de la Mecánica Cuántica. El problema total de analizar el mecanismo íntimo que conduce a la aparición de las fuerzas nucleares está aún por resolver. Para terminar nuestra breve y elemental exposición sobre las fuerzas nucleares diremos que este tipo de interacción no es exclusivo de los nucleones (protones y neutrones) sino que existe una amplia variedad de partículas elementales, llamadas hadrones que interaccionan por medio de la fuerza nuclear fuerte. Los hadrones incluyen los mesones de muchos tipos (piones, kaones, ...) y los bariones, que a su vez incluyen a los nucleones y a otras partículas pesadas. En cambio, otras partículas elementales más ligeras no participan de este tipo de interacción; son los leptones, que incluyen los electrones, positrones, muones y neutrinos. §8.6. Interacción débil.- En el proceso radioactivo de desintegración β de un núcleo, el núcleo padre emite un electrón y un neutrino; podemos expresar ese proceso por A Z
(núcleo) →
A Z 1
(núcleo)
e
νe
[8.16]
196
Lec. ?.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ...
lo que equivale a considerar que un neutrón del núcleo padre ha experimentado una desintegración β, n → p
e
[8.17]
νe
de modo que se obtiene un núcleo hijo con un protón más y un neutrón menos que el padre (isóbaro). Del mismo modo que dos hadrones (dos nucleones por ejemplo) interaccionan fundamentalmente a través de la fuerza de la interacción fuerte, el electrón y el neutrino lo hacen (exclusivamente) por la fuerza de interacción débil. Esta fuerza débil es la responsable de la desintegración β. Se había pensado que la interacción débil no aparecería más que con la presencia de neutrinos y otros leptones, pero también parece dirigir las desintegraciones lentas de las llamadas partículas raras aun cuando no se detecte ningún leptón. La interacción débil existe entre todo par de partículas elementales, por lo que también se la denomina interacción universal de Fermi. La interacción débil es la única que existe entre los electrones y los neutrinos, pero también existe entre los nucleones, aunque es mucho más débil que la interacción fuerte y la interacción electromagnética. La relación entre la fuerza débil y la fuerza nuclear es 1:1013, lo que nos permite despreciar las "fuerzas débiles" cuando están en juego las nucleares. Para terminar, y a modo de resumen, en la Tabla 8.1 presentamos las magnitudes relativas de las cuatro fuerzas fundamentales que actúan entre diversos pares de partículas elementales, para pequeñas distancias del orden de 10-15 m. Arbitrariamente, hemos asignado la magnitud unidad a las fuerzas nucleares. §8.7. Fuerzas moleculares.- Las fuerzas que actúan entre las moléculas reciben el nombre de fuerzas moleculares. Estas fuerzas no tienen carácter fundamental, en el sentido en que lo son las cuatro fuerzas básicas estudiadas anteriormente, ya que son manifestaciones complejas de la interacción electromagnética básica entre los electrones y núcleos de una molécula con los de otra. Las fuerzas moleculares no han podido ser explicadas dentro del formulismo de la
Tabla 8.1.- Magnitudes relativas de las cuatro interacciones fundamentales. Hemos asignado la magnitud unidad a la fuerza nuclear. Tipo de interacción
p-p
p-n, n-n
e-p
e-ν
nuclear
1
1
0
0
electromagnética
10-2
0
10-2
0
débil
10-13
10-13
10-13
10-13
gravitatoria
10-38
10-38
10-41
0
§8.7.- Fuerzas moleculares.
197
Mecánica Clásica; sus detalles sólo pueden comprenderse dentro de la estructura de la Mecánica Cuántica. Sin embargo, podemos encontrar descripciones empíricas satisfactorias que nos pueden ser muy útiles en la comprensión de las fuerzas moleculares. Se nos presentan diferentes casos. Así, por ejemplo, en una molécula de agua (H2O), la carga negativa está más ligada al átomo de oxígeno que a los átomos de hidrógeno, de modo que la posición media de las cargas eléctricas negativas y de las positivas no coinciden en un mismo punto. Las moléculas que tiene esta propiedad se llaman moléculas polares y están caracterizadas por su momento dipolar, que se define como el producto de la carga por la distancia entre sus centros. En el caso de las moléculas polares, la fuerza molecular es relativamente intensa. En otros casos, como en el de la molécula de oxígeno (O2) que es muy simétrica, la carga eléctrica está más distribuida, de modo que coinciden en un mismo punto las posiciones medias de las cargas positivas y negativas. Estas son las llamadas moléculas no-polares y para ellas las fuerzas intermoleculares son menos intensas. Para las moléculas no-polares cabría esperar que todas las fuerzas eléctricas se neutralizasen; sin embargo es un hecho bien comprobado la existencia de una fuerza atractiva para distancias grandes en comparación con el tamaño de la molécula. Esa fuerza, en primera aproximación, varía en razón inversa a la séptima potencia de la distancia, esto es F
k r7
[8.18]
donde k es una constante para cada especie molecular. La ec. [8.18] corresponde a la llamada fuerza de Van der WAALS y para comprenderla se debe recurrir a los métodos mecano-cuánticos. Cuando las moléculas son polares la atracción es más fuerte. Además, las fuerzas moleculares, al Figura 8.6 igual que vimos que ocurre con las fuerzas nucleares, no son estrictamente atractivas, sino que para pequeñas distancias son fuerzas repulsivas que tienden a alejar las moléculas. Estas fuerzas repulsivas son las que nos permiten estar sobre el suelo sin que pasemos a través de él. En la Figura 8.6 representamos la variación de la magnitud de la fuerza molecular entre dos moléculas en función de la distancia que las separa. Así pues, las fuerzas moleculares son atractivas a gran distancia (relativa al tamaño de la molécula) y repulsivas cuando las moléculas están muy próximas. Para una cierta distancia r0 la fuerza molecular es nula, lo que significa que todas las complejas interacciones electromagnéticas se compensan, de modo que a esa distancia el sistema formado por las dos moléculas se encuentra en equilibrio. Si a partir de esa posición tratásemos de aproximarlas, aunque solo fuera ligeramente, enseguida aparecerían las fuerzas repulsivas que se oponen a esa aproximación: se requeriría una fuerza externa extraordinariamente grande para aproximar las moléculas más allá de su posición de equilibrio pues, como muestra la gráfica de la Figura 8.6, la fuerza repulsiva aumenta rápidamente para distancias inferiores a r0. Por otra parte, si
198
Lec. ?.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ...
tratásemos de separarlas ligeramente, aparecería una fuerza atractiva que aumentaría en intensidad conforme creciese la separación entre las moléculas; pero si la fuerza externa fuese suficientemente intensa, entonces podríamos separarlas definitivamente, esto es, romperíamos el enlace. La gráfica de la Figura 8.6 nos muestra también que para pequeños desplazamientos con respecto a la posición de equilibrio r0, la fuerza molecular (atractiva o repulsiva) es proporcional al desplazamiento. Este resultado es conocido como ley de Hooke o ley de la elasticidad, aplicable en muy diversas situaciones, y nos dice que cuando un cuerpo o un sistema experimenta una deformación aparece una fuerza restauradora que trata de devolverlo a las condiciones originales, y que dicha fuerza es proporcional a la magnitud de la deformación. La ley de Hooke puede escribirse en la forma F
k(r
r0 )
k Δr
[8.19]
donde Δr es la magnitud de la deformación y el signo negativo indica que la fuerza es recuperadora. La constante k que aparece en la ec. [8.19] depende de la naturaleza del sistema y debe determinarse experimentalmente. La ley de Hooke sólo es válida para deformaciones relativamente pequeña; si la deformación es relativamente grande no existirá una relación lineal entre ésta y la fuerza recuperadora; y si es aún más grande puede que ni tan siquiera exista fuerza recuperadora y que el sistema mantenga permanentemente la deformación o que se rompa. Para terminar esta exposición de carácter general sobre las fuerzas moleculares diremos que éstas son responsables de un gran número de fenómenos que se presentan a escala macroscópica. Así, las llamadas fuerzas de contacto son, en último análisis, fuerzas entre moléculas. También es ese el caso de las fuerzas de cohesión que actúan entre las moléculas de una misma especie, de las fuerzas de adhesión que actúan entre moléculas de distinta especie (entre líquido y sólido, por ejemplo), de las fuerzas de tensión superficial en los líquidos, que junto con las anteriores dan lugar a los fenómenos de capilaridad, de las fuerzas de rozamiento entre sólidos y de las fuerzas de viscosidad que se oponen al movimiento interno de los fluidos reales y al movimiento de los sólidos en el seno de aquéllos, de las fuerzas elásticas que aparecen en los muelles extendidos o comprimidos o en cualquier cuerpo real sometido a tensión o comprensión, etc ... Todas ellas son manifestaciones de las fuerzas intermoleculares y, en último término, de la interacción electromagnética básica. §8.8. Fuerzas de rozamiento.- Las fuerzas de rozamiento están clasificadas entre aquellas fuerzas pasivas que tratan de impedir o retardar el movimiento, independientemente de la dirección en que dicho movimiento tenga lugar o tienda a tenerlo. Si lanzamos un bloque, de masa m, a lo largo del tablero horizontal de una mesa, con una velocidad inicial v0, la experiencia nos enseña que su velocidad no permanece constante, sino que disminuye gradualmente hasta que el bloque se detiene; esto es, el bloque experimenta una cierta aceleración a en sentido opuesto al de su movimiento. Si en un referencial inercial observamos que un cuerpo está acelerado debemos pensar que sobre él está actuando una fuerza resultante en la misma dirección y sentido que la aceleración. Evidentemente, sobre el bloque de
§8.8.- Fuerzas de rozamiento.
199
nuestro experimento están actuando dos fuerzas en la dirección vertical: el peso P del bloque y la reacción normal N del tablero sobre el bloque. Esas dos fuerzas deben equilibrarse ya que no se observa aceleración alguna en la dirección vertical. Como existe una aceleración en la dirección horizontal y en sentido opuesto al del movimiento declararemos que sobre el bloque está actuando una fuerza de rozamiento, ejercida por el tablero, cuyo valor es ma. En realidad, siempre que la superficie de un cuerpo desliza sobre la de otro aparecen las fuerzas de rozamiento, que son paralelas a las superficies y obran sobre cada uno de los cuerpos en tal sentido que se oponen al movimiento relativo. Las fuerzas de rozamiento siempre se Figura 8.7 oponen al movimiento y nunca lo ayudan. Aunque no haya movimiento relativo puede haber rozamiento entre las superficies: basta con que haya una tendencia al movimiento como consecuencia de la acción de otras fuerzas que actúen sobre los cuerpos en contacto. En este último caso hablaremos de rozamiento estático en contraposición al rozamiento cinético que se presenta cuando hay movimiento relativo. El rozamiento desempeña un papel muy importante en la vida diaria. En general, el rozamiento estático nos resulta útil y es difícil imaginar como sería la vida sin él. Sin el rozamiento estático no podríamos caminar como lo hacemos, no podríamos sostener un lápiz entre nuestros dedos y, si lo consiguiéramos, no podríamos escribir con él, no sería posible el transporte sobre ruedas (tal como lo conocemos) y ni siquiera sería posible fabricar cuerdas y tejidos ya que su resistencia y durabilidad depende del rozamiento entres sus fibras. También la acción de las bandas, poleas y transmisiones del movimiento en la maquinaria sería imposible sin el rozamiento estático. En contrapartida, el rozamiento cinético es por lo general un inconveniente. Al actuar sólo la fuerza de rozamiento se detendrá cualquier cuerpo que se encuentre en movimiento. Tendremos que consumir energía para mantener en movimiento uniforme un automóvil, un avión, un barco, ... o una máquina cualquiera. Además, el rozamiento cinético hace que se desgasten las partes móviles de las máquinas; en ingeniería se dedican muchas horas-hombre para reducirlo. En cambio, tenemos a favor del rozamiento cinético, entre otras pocas cosas, la acción del embrague de un automóvil (en la arrancada) y la de los frenos.
§8.9. Rozamiento. Estudio experimental.- Supongamos un bloque en reposo sobre un tablero horizontal, como se muestra en la Figura 8.8, y apliquémosle una fuerza horizontal cuya magnitud F podemos variar (tribómetro). Encontraremos que cuando la magnitud de la fuerza F es suficiente pequeña el bloque permanece en reposo sobre el tablero; la fuerza F está contrarrestada por una fuerza de rozamiento (estático), fs, en la misma dirección pero en sentido opuesto al de la fuerza aplicada, ejercida por el tablero y que obra en la superficie de contacto. Conforme vamos aumentando la magnitud de la fuerza aplicada F nos iremos acercando a un valor límite para el cual el movimiento es inminente. Hasta alcanzarse ese valor límite, la fuerza de rozamiento estático irá creciendo de modo que en todo momento contrarreste exactamente a la fuerza aplicada F. En esa situación límite diremos que el tablero ejerce una fuerza de rozamiento estático máxima sobre el bloque. Cuando aumentemos, aunque sólo sea ligeramente, la intensidad de la fuerza aplicada por encima de ese valor límite, observaremos que el bloque se pone en movimiento, y que dicho
200
Lec. ?.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ...
movimiento es acelerado. Se demuestra así que, una vez iniciado el movimiento, la fuerza de rozamiento disminuye; esto es, la fuerza de rozamiento cinético es menor que la de rozamiento estático máxima. Si después de iniciado el movimiento reducimos la intensidad de la fuerza F aplicada a un valor conveniente, encontraremos que es posible conservar el bloque en movimiento uniforme; esta fuerza puede ser pequeña pero no nula. Quisiéramos ahora expresar las fuerzas de rozamiento en función de las propiedades del cuerpo (el bloque) y de su medio ambiente (el tablero); esto es, conocer la ley de fuerza para el rozamiento. Como veremos más adelante, al analizar el rozamiento a nivel microscópico, el rozamiento es un fenómeno extremadamente complejo, ya que representa a nivel macroscópico el valor promedio de un enorme número de Figura 8.8 interacciones que ocurre a nivel microscópico. No podemos, pues, esperar una ley de fuerza para el rozamiento que tenga la elegante simplicidad y exactitud de la ley de gravitación universal o de la ley de la electrostática. Las leyes a que obedece la fuerza de rozamiento son leyes macroscópicas y empíricas que son sólo aproximadas en sus predicciones. Sin embargo, es notable que, considerando la gran variedad de superficies que encontramos, podamos entender muchos aspectos de la forma en que ocurre el rozamiento en base a un formulismo relativamente sencillo. En este artículo consideraremos únicamente el deslizamiento (no la rodadura) entre dos superficies secas (no lubricadas). Los primeros antecedentes del estudio experimental del rozamiento se remontan a Leonardo da VINCI (1452-1519), quien encontró que la fuerza de rozamiento entre dos superficies es proporcional a la carga (fuerza normal entre las superficies) e independiente de la superficie de contacto. El enunciado de da Vinci relativo a estas dos leyes es notable, sobre todo si consideramos que se hizo dos siglos antes de que Newton desarrollarse por completo el concepto de fuerza. Estas leyes del rozamiento fueron redescubiertas por AMONTONS (1663-1705) en 1699 y comprobadas en 1781 en Charles A. COULOMB, que fue el primero en señalar la diferencia entre rozamiento estático y cinético. El trabajo de estos investigadores condujo a la formulación de las dos leyes para la fuerza de rozamiento estático entre superficies no lubricadas: El valor máximo de la fuerza de rozamiento estático ... (1) ... es aproximadamente independiente del área (macroscópica) de contacto, dentro de unos límites muy amplios. (2) ... es proporcional a la fuerza normal de presión entre las superficies en contacto.
201
§8.9.- Rozamiento. Estudio experimental.
Esta fuerza normal3 es la que ejerce cualquier cuerpo sobre otro, perpendicularmente a la superficie de contacto mutuo, y proviene de la deformación elástica de los cuerpos que están en contacto. La proporcionalidad entre el valor máximo de la fuerza de rozamiento estático y la fuerza normal se establece a través del llamado coeficiente de rozamiento estático, que designaremos por µs, de modo que fs ≤ µ s N
[8.20]
siendo válido el signo (=) sólo cuando fs tiene su valor máximo; esto es, cuando el movimiento es inminente. La fuerza de rozamiento cinético, fk, entre superficies secas, obedece a las mismas dos leyes anteriores del rozamiento estático y, además, ... (3) ... es independiente de la velocidad relativa de las superficies al menos si ésta es moderada. (4) ... es, de ordinario, menor que la fuerza de rozamiento estático entre las mismas superficies. El cociente entre la fuerza de rozamiento cinético y la magnitud de la fuerza normal es llamado coeficiente de rozamiento cinético, que designaremos por µk, de modo que fk
µk N
[8.21]
Tanto µs como µk son constantes adimensionales, puesto que ambas son el cociente de las magnitudes de dos fuerzas. Obsérvese que las ec. [8.20] y [8.21] son relaciones entre las magnitudes de la fuerza normal y la de rozamiento; estas fuerzas son perpendiculares entre sí. Los valores de los coeficientes de rozamiento, estático y cinético, dependen principalmente de la naturaleza de las superficies y de su grado de pulimento. Ambos coeficientes pueden tener valores superiores a la unidad, si bien en los problemas más corrientes no será ese el caso, y además, de ordinario, es µs > µk. En la Tabla 8.2 mostramos algunos valores típicos de ambos coeficientes para varios materiales. Aunque las llamadas leyes del rozamiento son útiles para el propósito de una orientación preliminar en este tema y para las aplicaciones técnicas, un poco de reflexión y de experimentación nos demostrará que no pueden aceptarse sin grandes reparos. Así, una observación cuidadosa demostraría que los coeficientes de rozamiento no pueden determinarse de modo exacto para dos superficies dadas, ya que los valores obtenidos variarán de un experimento al siguiente aun cuando las condiciones sean aparentemente las mismas, de modo que solamente podemos asignarles unos valores aproximados. Como ejemplo de la variación del coeficiente de rozamiento para dos superficies dadas podemos considerar el caso del vidrio en contacto y resbalando sobre vidrio. Si las dos superficies son planos ópticos cuidadosamente preparados y si dichas superficies, previamente limpiadas, se ponen en contacto, pueden agarrarse entre sí de un modo tan intenso que se requiera un gran
3
Se trata de una fuerza de ligadura, como veremos en §8.13.
202
Lec. ?.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ...
Tabla 8.2.- Valores de los coeficientes de rozamiento estático y cinético para varios materiales. material
µs
µk
material
µs
µk
hielo - hielo 0°C
0.05 - 0.15
0.02
hierro-hierro
1.2
0.15
madera - madera
0.25 - 0.50
0.2 - 0.5
cobre-cobre
1.6 - 3
0.3
madera - metal
0.20 - 0.60
0.2 - 0.5
níquel-níquel
3.0
0.53
madera - ladrillo
0.30 - 0.40
0.2 - 0.3
caucho-sólido
1. - 4.
0.9 - 1.2
vidrio - metal
0.50 - 0.70
0.4 - 0.6
teflón-teflón
0.04
0.04
acero - acero
0.74 - 0.78
0.42 - 0.57
esfuerzo para separarlas de nuevo. En estas condiciones la misma idea de coeficiente de rozamiento pierde todo significado. Incidentalmente, la propensión de las superficies a agarrarse aumenta con el tiempo de contacto y si queremos evitar un riesgo excesivo de agarrotamiento es conveniente que las hagamos deslizar o separarse antes de que sea demasiado tarde. En general, el coeficiente de rozamiento estático tiende a aumentar con el tiempo de contacto precedente. También, de ordinario, el coeficiente de rozamiento estático (para una misma carga) suele aumentar si las superficies en contacto han sido presionadas una contra otra con anterioridad. La tercera ley del rozamiento dice que el coeficiente de rozamiento cinético es independiente de la velocidad, pero esto sólo es cierto entre unos límites bastantes estrechos. La comprobación experimental de esta ley exige una experimentación sumamente cuidadosa porque el rozamiento aparente entre dos superficies se reduce considerablemente si las superficies vibran muy rápidamente. Cuando el experimento se hace a muy altas velocidades debemos asegurarnos que el descenso que se observe en el valor del coeficiente de rozamiento no se deba precisamente a la existencia de esas vibraciones.
§8.10. Ángulos de rozamiento.- La superficie rugosa en contacto con el bloque B (Figura 8.9a) ejerce sobre éste dos fuerzas: la reacción normal N y la fuerza de rozamiento f. Aunque ambas fuerzas están distribuidas en toda el área de contacto, en la Figura 8.9 hemos representado las resultantes N y f de las mismas, aunque también podemos expresarlas en función de la resultante R y del ángulo de rozamiento θ definido por la dirección de R y la normal a la superficie de contacto. De la Figura 8.9a se sigue:
f de modo que,
R sen θ tg θ
N f N
R cos θ
[8.22]
[8.23]
El valor del ángulo θ cuando el movimiento es inminente se llama ángulo de rozamiento estático (θs); su valor cuando existe movimiento relativo entre las dos superficies se denomina ángulo de rozamiento cinético (θk). De las definiciones de los coeficientes de rozamiento estático [8.20] y cinético [8.21] se siguen las relaciones
203
§8.10.- Ángulos de rozamiento.
existentes entre éstos y los respectivos ángulos de rozamiento: tgθ s
µs
tgθ k
µk
[8.24]
Las denominaciones de ángulos de rozamiento proceden del siguiente hecho, que el lector comprobará fácilmente. En la Figura 8.9b, cuando vayamos aumentando gradualmente el ángulo de inclinación del plano sobre el que puede deslizar el bloque B, el movimiento de éste será inminente cuando θ=θs. En el caso más frecuente, una vez iniciado el movimiento, éste será acelerado. Si deseamos que el bloque B descienda a velocidad constante, deberemos disminuir gradualmente el ángulo de inclinación del plano hasta que sea θ=θk (vide Problema 8.5). Figura 8.9
§8.11. Rozamiento. Estudio microscópico.-
A la escala molecular, incluso la superficie más finamente pulida está muy lejos de ser plana (Figura 8.10). Resulta fácil aceptar que, cuando colocamos dos cuerpos en contacto, el área real (microscópica) de contacto sea mucho menor que el área de contacto aparente (macroscópico). En algunos casos estas áreas pueden encontrarse en la proporción 1:10 000. Comprenderemos entonces que la presión en los contactos reales debe ser enorme. Las investigaciones realizadas por BOWDEN, en la década de los 40, han demostrado que dichas presiones son suficientes para hacer que hasta un duro metal como el acero fluya plásticamente. De ese modo, las crestas de las irregularidades en las superficies en contacto son aplastadas de manera que aumenta la superficie de contacto y la presión disminuye hasta que está justamente en el límite que causaría el fluir del metal. De hecho, muchos puntos de contacto quedan soldados en frío entre sí. Este fenómeno de adherencia superficial se debe a que, en los puntos de contacto, las moléculas en las caras opuestas de las superficies están tan próximas las unas a las otras que las fuerzas moleculares son extraordinariamente intensas. Ya sea que dichas soldaduras localizadas ocurran o no, habrá siempre un considerable grado de trabazón entre las superficies reales, que, como ya hemos dicho, son rugosas a escala molecular. Cuando un cuerpo, como por ejemplo un metal, se arrastra sobre otro, la fuerza de rozamiento está relacionada con la ruptura de esos millares de pequeñas soldaduras, que continuamente se vuelven a formar en cuanto Figura 8.10 se presentan nuevas oportunidades de contacto. Experimentos realizados con rastreadores radiactivos han permitido demostrar que durante el proceso de ruptura de las pequeñas soldaduras existe un intercambio de fragmentos de materia de una superficie a otra.
204
Lec. ?.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ...
Asociado a la extrema pequeñez de las áreas de contacto, se presenta un calentamiento friccional localizado cuando ocurre el deslizamiento. Se ha obtenido evidencia de este calentamiento conectando dos metales diferentes, resbalando el uno sobre el otro, a un voltímetro de alta precisión y midiendo la fuerza electromotriz (f.e.m.) producida por efecto termoeléctrico. Estas medidas han puesto en evidencia que se alcanzan temperaturas considerablemente elevadas, hasta de 1 000°C y aún más, que incluso pueden producir una fusión local en algunas zonas de contacto, aun cuando la superficie en su conjunto pueda sentirse sólo ligeramente caliente. El valor del coeficiente de rozamiento entre dos superficies depende de diversos factores, como son la naturaleza de los materiales, el acabado de las superficies, la presencia de películas superficiales, el grado de contaminación de las superficies, la temperatura, ... Es un hecho notable que si intentamos medir el valor del coeficiente de rozamiento entre dos sustancias puras, tales como cobre sobre cobre, nos encontramos con resultados erróneos puesto que, normalmente, la superficies en contacto no serán de cobre puro sino que estarán contaminadas por óxidos y otras impurezas. Pero si intentásemos hacer nuestra medida para un contacto cobrecobre puro, para lo cual deberíamos pulir y limpiar cuidadosamente las superficies a fin de eliminar cualquier película superficial de óxido o de grasa, e hiciéramos la experiencia en el vacío, para evitar la oxidación superficial del cobre y que quedase atrapada una película de aire entre las superficies, entonces encontraríamos con sorpresa que los dos cuerpos quedan soldados firmemente entre sí. La explicación de esta inesperada conducta es que cuando los átomos son todos de un mismo elemento no hay ningún procedimiento por el que puedan "saber" si pertenecen a una u otra pieza. Cuando existen otros tipos de átomos o moléculas (óxidos, grasas, ...) interpuestos entre las dos piezas en contacto, los átomos de cobre si "saben" a que pieza pertenecen y el rozamiento se reduce a sus valores normales. El mismo fenómeno es fácilmente observable con láminas planas de vidrio convenientemente desengrasadas.
Con todas estas complicaciones no nos debe extrañar que no exista una teoría exacta del rozamiento en seco y que las leyes del mismo sean sólo empíricas y aproximadas. No es posible, dada su complejidad, establecerlas a partir de las fuerzas fundamentales, ni tan siquiera a partir de las fuerzas intermoleculares, pero la teoría microscópica del rozamiento (teoría de la adherencia superficial) ayuda a comprender las leyes enunciadas anteriormente. A primera vista parecería lógico que la fuerza máxima de rozamiento estático (y lo mismo para el rozamiento cinético) fuese proporcional al área de contacto. Esto significaría que cuando arrastramos un ladrillo apoyado sobre una de sus caras más extensas el rozamiento debería ser mayor que cuando lo arrastramos sobre uno de sus bordes. Sin embargo, la primera ley del rozamiento, y la experiencia, nos dice que no es así, y que la fuerza de rozamiento es independiente, con buena aproximación, del área de contacto. Pero el área de contacto a la que se refiere esa ley es el área de contacto macroscópica (aparente) que es mucho mayor que el área de contacto microscópica (real). En realidad, la fuerza de rozamiento es proporcional al área de contacto real (microscópica), como parece lógico; pero esta área es proporcional al área macroscópica y a la presión que se ejercen entre sí las superficies. Cuando el ladrillo de nuestro ejemplo se apoya sobre una de sus caras extensas existen un número grande de superficies de contacto microscópicas relativamente pequeñas; cuando el ladrillo se apoya sobre uno de sus bordes el número de superficies de contacto microscópicas es menor pero, debido a la mayor presión, la extensión de cada una de ellas es mayor que en el caso anterior. De ese modo la disminución del número de contactos queda compensado con el aumento individual del área de cada uno de ellos y el área total de contacto real es la misma en ambos casos.
§8.11.- Rozamiento. Estudio microscópico.
205
El rozamiento por deslizamiento entre superficies secas puede reducirse considerablemente utilizando lubricantes. En un mural egipcio, fechado en 1900 A.C., se ve una gran estatua que es arrastrada mientras que un hombre va vertiendo aceite en su camino. Con el uso de los lubricantes se sustituyen las fuerzas de rozamiento entre sólidos por las de viscosidad, que son considerablemente menores. Como veremos en el próximo artículo, los gases son las sustancias que a las temperaturas ordinarias presentan menor viscosidad, de modo que una técnica muy eficaz para reducir el rozamiento entre dos superficies hasta un valor prácticamente nulo es introducir una capa de gas (colchón de gas) entre ellas. Actualmente nos servimos de éstas técnicas en los laboratorios, utilizando discos de nieve carbónica (hielo seco, CO2), mesas y carriles de aire comprimido, ... §8.12. Fuerzas de rozamiento en los fluidos.- Cuando un cuerpo se mueve en el seno de un fluido real, tal como un líquido o un gas, aparecen unas fuerzas que actúan sobre el cuerpo y que se oponen a su movimiento. Estas fuerzas, al igual que las estudiadas anteriormente, son fuerzas de rozamiento que tienen su origen en un gran número de interacciones entre las moléculas del cuerpo y las del fluido y, principalmente, entre las del propio fluido. Como el fenómeno es demasiado complejo no podemos establecer una ley exacta para estas fuerzas de rozamiento y, al igual que hicimos en el artículo anterior, nos conformamos con buscar unas leyes empíricas, y por lo tanto aproximadas, que si bien no nos explican las causas del rozamiento interno en los fluidos, nos permiten resolver numerosos problemas prácticos. Con frecuencia, es suficiente considerar que la fuerza que se opone al movimiento de un cuerpo en el seno de un fluido sea proporcional a alguna potencia de la velocidad. Entonces podemos expresar dicha fuerza en función de la velocidad como
f
k v n ev
[8.25]
donde k es una constante cuyo valor depende principalmente de la geometría del cuerpo y de la naturaleza del fluido. El movimiento de un cuerpo en un medio fluido en el que la fuerza resistiva es proporcional a la velocidad o al cuadrado de la velocidad (o a una combinación lineal de ambas) fue estudiado por Newton en sus Principia en 1686. Una generalización de esos estudios para cualquier potencia de la velocidad fue llevada a cabo por J. BERNOULLI (1667-1748) en 1711. La denominación de ley de rozamiento de Newton se aplica normalmente para las fuerzas de rozamiento que son proporcionales al cuadrado de la velocidad; la de ley de rozamiento de Stokes se suele reservar para cuando la fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad. Cuando un cuerpo se mueve en el seno de un fluido con una velocidad relativamente pequeña, podemos suponer, con buena aproximación, que la fuerza resistiva obedece a la ley de Stokes; esto es f
kv
Kηv
[8.26]
donde hemos descompuesto el coeficiente de rozamiento k en dos factores. El primero de ellos depende de la forma del cuerpo: así, en el caso de una esfera de radio R, un cálculo laborioso demuestra que
206
Lec. ?.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ...
Tabla 8.3.- Coeficientes de viscosidad para algunos fluidos a varias temperaturas. fluido
temperatura (°C)
viscosidad
fluido
temperatura (°C)
viscosidad
aire
0 20 40
170.8 µP 181.0 µP 190.4 µP
glicerina
20 30
14.90 P 6.29 P
azúcar
109
28. kP
0 20 40
1.787 cP 1.002 cP 0.653 cP
aceite de motor ligero
alcohol
20
1.2 cP
16 38 100
113.8 cP 34.2 cP 4.9 cP
aceite de oliva
20 40
138.0 cP 36.3 cP
pesado
16 38
660.6 cP 127.4 cP
agua
K
6π R
[8.27]
El segundo factor, η, es independiente del material y forma del cuerpo y depende de la naturaleza del fluido y de su temperatura. El coeficiente η representa la fricción interna del fluido; esto es, la fuerza de rozamiento entre las diferentes capas fluidas que se mueven con distinta velocidad. Esta fricción interna se llama viscosidad y η es el coeficiente de viscosidad. En el sistema de unidades cgs, el coeficiente de viscosidad se expresa en dyn s/cm2, unidad que recibe el nombre de poise (P); normalmente se acostumbra a expresarla en centipoise (cP). La viscosidad de los gases es mucho menor que la de los líquidos y aumenta con la temperatura, al contrario de lo que ocurre con los líquidos. En la Tabla 8.3 presentamos los coeficientes de viscosidad de diferentes fluidos. §8.13. Fuerzas de ligadura.- Cuando intentamos determinar la fuerza resultante que actúa sobre una partícula hemos de poner cuidado en incluir no solamente las fuerzas activas, tales como el peso, las fuerzas eléctricas, las fuerzas elásticas ejercidas por muelles, las tensiones en cuerdas ... sino también las llamadas fuerzas de reacción vincular o de ligadura. Decimos que un punto material está ligado o vinculado cuando existen unas limitaciones físicas que constriñen sus movimientos; estas limitaciones físicas reciben el nombre de ligaduras. Así, por ejemplo, las bolas de un ábaco sólo pueden efectuar movimientos a lo largo de las varillas que las soportan; una bolita situada sobre la superficie de una esfera maciza está sometida a una ligadura tal que sólo puede moverse en dicha superficie o en la región exterior a la esfera; las moléculas de un gas encerrado en un recipiente están sometidas a unas ligaduras tales que sólo les permiten moverse en el interior del recipiente ... Las ligaduras son susceptibles de clasificarse atendiendo a muy diversos puntos de vista. Así, vemos que existe una gran diferencia entre la ligadura impuesta por la
207
§8.13.- Fuerzas de ligadura.
varilla del ábaco y la impuesta por la esfera de los ejemplos anteriores. En efecto, la ligadura impuesta por la varilla del ábaco es eficaz en todas las direcciones perpendiculares a la varilla (de hecho las bolas sólo pueden moverse a lo largo de la varilla), en tanto que la ligadura impuesta por la superficie de la esfera sólo es eficaz en un sentido de la dirección perpendicular a la superficie esférica, ya que nada nos impide separar la bolita de dicha superficie (de hecho, la bolita abandonará la superficie tras hacer un cierto recorrido sobre ella). De un modo general, la línea o la superficie a la que está vinculada la partícula recibe en nombre de guía y podemos clasificar las ligaduras en Unilaterales: si la ligadura es eficaz en un solo sentido de la normal a la guía. Bilaterales: si la ligadura es eficaz en los dos sentidos de la normal a la guía. Bajo otro punto de vista, las ligaduras pueden clasificarse en Holónomas: cuando la condición de ligadura es expresable mediante una ecuación de la forma f ( x, y, z; t )
0
[8.28]
que relaciona las coordenadas de la partícula y, eventualmente, el tiempo. Un ejemplo de este tipo de ligaduras lo constituye una partícula obligada a moverse a lo largo de una curva o una superficie, ya que la ecuación de esa guía relaciona las coordenadas de la partícula en la forma de la ec. [8.28]. Así, por ejemplo, si la partícula está obligada a moverse a lo largo de la parábola de ecuación y = 3x2, ésta ecuación expresa la condición de la ligadura.
No-holónomas: cuando la condición de ligadura no es expresable por una ecuación que relacione las coordenadas de la partícula y el tiempo, de la forma [8.28]. Las paredes de un recipiente que contiene un gas constituyen, para las moléculas del gas, una ligadura no-holónoma. La ligadura impuesta por la superficie de una esfera maciza a una bolita que se mueva en su exterior es también una ligadura no-holónoma, que puede expresarse por la desigualdad x2
y2
z2 ≥ R2
[8.29]
siendo x,y,z las coordenadas de la partícula y R el radio de la esfera. Así, en el campo gravitatorio, la bolita se moverá inicialmente sobre la superficie de la esfera pero finalmente la abandonará.
Las ligaduras pueden clasificarse atendiendo a si son o no independientes del tiempo en: Esclerónomas: cuando la ligadura es independiente del tiempo. Constituye un ejemplo de este tipo la ligadura correspondiente a un punto material obligado a moverse a lo largo de una curva fija, f(x,y)=0, es decir que las coordenadas de la partícula deben satisfacer en todo instante la ecuación de la curva.
Reónomas: cuando la ligadura contiene explícitamente al tiempo. Un ejemplo de este tipo de ligadura lo constituye una partícula obligada a moverse sobre una curva móvil, f(x,y;t)=0.
208
Lec. ?.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ...
Podemos transformar un sistema con ligaduras en un sistema libre sin más que sustituir las ligaduras por las llamadas fuerzas de ligadura; i.e., por unas fuerzas que produzcan los mismos efectos sobre el movimiento de la partícula que las ligaduras a las que sustituyen. Este modo de operar se conoce con el nombre de Principio de liberación de LAGRANGE (1736-1818) que se enuncia del siguiente modo: Todo sistema con ligaduras puede suponerse libre de ellas con tal de añadir a las fuerzas activas las llamadas fuerzas de ligadura que producen los mismos efectos que las ligaduras a las que sustituyen. De este modo podemos obtener un diagrama en el que se incluyen el cuerpo y todas las fuerzas que actúan sobre él, incluidas las de ligadura (una vez suprimidas las propias ligaduras); dibujaremos así el llamado diagrama del cuerpo libre (de ligaduras), que constituye un primer paso en la resolución de los problemas de la Mecánica.
Figura 8.11
Así, por ejemplo, un bloque situado sobre el tablero horizontal de una mesa está sujeto a una ligadura (unilateral, no-holónoma y esclerónoma) que constriñe sus movimientos: sólo podemos moverlo deslizándolo sobre el tablero o levantándolo sobre él. La ligadura impuesta por el tablero a los movimientos del bloque puede sustituirse por la fuerza de ligadura correspondiente que, en este caso, viene representada por la llamada fuerza de reacción normal, N, que ejerce el tablero sobre el bloque. Obsérvese que ésta fuerza y el peso, P, del bloque no forman una pareja de acciónreacción. El Principio de Liberación nos permite escribir: F
P
f
N
ma
[8.30]
En la Figura 8.11 hemos dibujado el diagrama del bloque libre, en el que hemos sustituido la ligadura (tablero) por la fuerza de ligadura (N) que produce el mismo efecto que aquélla.
Las fuerzas de ligadura están caracterizadas por las propiedades siguientes: (1) Las fuerzas de ligadura no producen movimiento; tan sólo impiden los movimientos producidos por las fuerzas activas que no sean compatibles con las ligaduras. (2) La magnitud de las fuerzas de ligadura se considera ilimitada, dependiendo de las fuerzas activas y anulándose cuando éstas se anulan.
§8.13.- Fuerzas de ligadura.
209
(3) La dirección de las fuerzas de ligadura siempre es normal a la guía4. Las ligaduras introducen dos tipos de dificultades en la resolución de los problemas de la mecánica de la partícula. (a) Las coordenadas de la partícula dejan de ser independientes entre sí, puesto que están relacionadas por las ecuaciones de las ligaduras. (b) Las fuerzas de ligadura no son conocidas a priori, sino que se encuentran entre las incógnitas del problema. Imponer ligaduras a una partícula (o a un sistema de partículas) es reconocer la existencia de unas fuerzas (las de ligaduras) que no podemos especificar directamente y que sólo conocemos por los efectos que producen en el movimiento de la partícula (o del sistema de partículas). Cuando las ligaduras tienen carácter holónomo, es relativamente fácil soslayar la dificultad que introduce el desconocimiento a priori de las fuerzas de ligadura. Bastará para ello introducir las ecuaciones que expresan las condiciones de ligadura junto a la ecuación diferencial del movimiento en la que solo intervendrán las componentes de las fuerzas activas en la dirección del movimiento permitido por las ligaduras; de ese modo evitamos que aparezcan las fuerzas de ligadura en la ecuación diferencial del movimiento. En el caso de que las ligaduras sean no-holónomas no será posible, en general, aplicar ese método y cada problema requerirá un tratamiento propio. §8.14. Fuerzas de inercia.- Todas las fuerzas que hemos considerado hasta ahora son fuerzas reales, en el sentido de que podemos identificar a sus agentes; i.e., otros cuerpos responsables de cada una de ellas. Conocidas las fuerzas que actúan sobre la partícula, la segunda ley del movimiento nos permite calcular la aceleración que ésta adquiere. Pero, evidentemente, necesitamos un referencial con respecto al cual mediremos la aceleración de la partícula y, además, es necesario que dicho referencial sea inercial, pues sólo en esos referenciales es válida la primera ley del movimiento (como ya vimos) y la segunda ley del movimiento (como veremos). Sin embargo, en muchas ocasiones puede ser conveniente aplicar las leyes del movimiento desde el punto de vista de un observador no-inercial. Así, para describir el movimiento de un cuerpo sobre o cerca de la superficie terrestre puede resultar conveniente emplear un referencial ligado a la Tierra y que gira con ella (referencial o sistema de laboratorio) a pesar de que dicho referencial es no-inercial. En los referenciales no-inerciales, la fuerza que actúa sobre la partícula no es igual simplemente al producto de su masa por su aceleración, como ocurre en los referenciales inerciales. No obstante, en los referenciales no-inerciales, podemos seguir escribiendo la segunda ley de Newton en la forma habitual, F = ma, si
En algunos textos, esta propiedad se enuncia haciendo referencia a los vínculos lisos, ya que incluyen las fuerzas de rozamiento entre las de ligadura. Nosotros preferimos, siguiendo la tendencia más actual, considerar las fuerzas de rozamiento como fuerzas pasivas diferenciadas de las de ligadura, por lo que el enunciado que hemos dado es correcto. 4
210
Lec. ?.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ...
consideramos, junto con las fuerzas reales, otras fuerzas, llamadas fuerzas inerciales, que dependen de la aceleración del referencial con respecto a un referencial inercial. En este artículo vamos a centrar nuestra atención en los referenciales noinerciales en movimiento de traslación (sin rotación) con respecto a un referencial inercial. En la siguiente lección nos ocuparemos ampliamente de los referenciales en rotación. Imaginemos un referencial S, que consideraremos inercial, y un segundo referencial S′ que se mueve respecto al primero con movimiento de traslación acelerado (uniformemente o no). Por simplicidad, escogeremos los ejes coordenados xyz e x′y′z′ de modo que los ejes correspondientes sean paralelos entre sí, como se muestra en la Figura 8.12. Consideraremos ahora una partícula P y sean r y r′ los vectores de posición de dicha partícula con respecto a los orígenes O y O′ de cada uno de los referenciales. Estos vectores de posición están relacionados en la forma r
rO
r
[8.31]
donde rO=OO′ es el vector de posición del origen del referencial S′ con respecto al referencial S. Las velocidades de la partícula en cada uno de los referenciales, que designaremos por v y v′, respectivamente, están relacionadas por v
vO
v
[8.32] Figura 8.12
que se obtiene derivando con respecto al tiempo la ec. [8.31] y donde vO representa la velocidad del referencial S′ con respecto al referencial S. A partir de la ec. [8.32], derivándola de nuevo con respecto al tiempo, encontramos la relación existente entre las aceleración de la partícula P en ambos referenciales; esto es a
aO
a
[8.33]
donde aO representa la aceleración del referencial S′ con respecto al referencial S. Esto es, los observadores S y S′ miden, en general, aceleraciones diferentes para el movimiento de la partícula P. Sabemos que en un referencial inercial se cumple F
ma
[8.34]
siendo F la resultante de las fuerzas aplicadas a una partícula de masa m (que suponemos constante) y a la aceleración de la misma en el referencial inercial. ¿Cómo se transformará la ec. [8.34] cuando hagamos las observaciones desde un referencial no-inercial?. Puesto que la fuerza resultante F es la representación de las interacciones de la partícula con su medio ambiente, esto es, con los demás cuerpos existentes en las proximidades, el cambio de referencial no modificará, al menos en el ámbito de la Mecánica Clásica, dichas interacciones, de modo que F permanecerá invariante. Del
211
§8.14.- Fuerzas de inercia.
mismo modo, la masa de la partícula se considera invariante al pasar de un referencial al otro. En cambio, la aceleración medida en el referencial S′ no es la misma que la que se mide en el referencial S; por consiguiente, la aceleración no es invariante. Obviamente, sustituyendo [8.33] en [8.34], podemos escribir F
m ( aO
a )
maO
ma
[8.35]
de modo que en el referencial S′ la resultante de las fuerzas aplicadas, F, no es igual simplemente al producto de la masa de la partícula por su aceleración en ese referencial, sino que hay que añadir un término, maO, que representa el efecto de la aceleración del propio referencial no-inercial. La ec. [8.35] no tiene la forma que presenta habitualmente la segunda ley del movimiento, pero podemos conseguir que se le parezca si la escribimos en la forma F
maO
ma
[8.36]
pues entonces tenemos en el segundo miembro el producto de la masa de la partícula por su aceleración en el referencial no-inercial. En cambio, en el primer miembro de la ec. [8.36] nos encontramos, además de con la resultante de las fuerzas aplicadas, con el término -maO que, aunque no es una fuerza, tiene dimensiones de fuerza. Al trabajar en los referenciales no-inerciales es conveniente considerar el término -maO como si fuese una fuerza, a la que denominaremos fuerza de inercia y representaremos por FO; esto es, FO
[8.37]
maO
de modo que la ec. [8.36] puede ahora escribirse como F
F
FO
ma
[8.38]
que es la forma que adopta la segunda ley del movimiento en los referenciales noinerciales. En el referencial no-inercial hay que considerar, junto con las fuerzas reales, las fuerzas de inercia, ya que de ese modo la suma F′ de todas las fuerzas (reales y de inercia) será igual al producto de la masa de la partícula por su aceleración en el referencial no-inercial. Las fuerzas de inercia reciben también el nombre de fuerzas ficticias, en contraposición al de fuerzas reales, ya que a diferencia de éstas no las podemos asociar con ningún cuerpo particular en el medio ambiente de la partícula sobre la que actúan; i.e., no tienen agente. Representan la no-inercialidad del referencial y, naturalmente, al observar el movimiento de la partícula desde un referencial inercial las fuerzas de inercia desaparecen. Las fuerzas de inercia son simplemente una técnica que nos permite aplicar las leyes de Newton en su forma habitual a ciertos fenómenos cuando nos empeñamos en describirlos desde el punto de vista de un observador no-inercial. Las fuerzas de inercia son simples ficciones que introducimos para poder seguir escribiendo F = ma, aún cuando la aceleración se mida con respecto a un referencial no-inercial. Aunque las fuerzas de inercia son ficticias (falsas), para un observador no-inercial parecen tan reales como las demás debido a la confianza que tiene el observador en la validez de las leyes de Newton.
212
Lec. ?.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ...
Cualquier cosa ficticia tiende a parecernos confusa; para aclarar lo que representan las fuerzas de inercia volveremos a los experimentos idealizados, sobre la plataforma lisa de un vagón de ferrocarril acelerado, de los que nos servimos en la Lección 6 para comprender la diferencia existente entre los referenciales inerciales y no-inerciales. En primer lugar consideraremos un bloque liso unido mediante un muelle dinamométrico a un punto fijo del vagón (Figura 8.13). El dinamómetro permite, a los observadores S y S′, medir una fuerza real F (debida a la tensión del muelle) que actúa sobre el Figura 8.13 bloque en la dirección y sentido de la aceleración aO del vagón. El observador S entenderá que esa fuerza F es la causante de la aceleración que tiene el bloque, a = aO (ya que el bloque tiene la misma aceleración que el vagón) y escribirá la segunda ley de Newton en la forma F
[8.39]
maO
Pero el observador S′, al ver que el bloque está en reposo con respecto a él, sospechará la existencia de una fuerza que equilibre a la fuerza F, de modo que incluirá una fuerza FO aunque no sepa identificar su agente. Así F
FO
0
→
F
maO
0
[8.40]
que es, a fin de cuentas, la misma que estableció el observador S. La fuerza de inercia FO=-maO tiene sentido para el observador S′ pero no lo tiene para el observador S; en consecuencia es una fuerza ficticia. Liberemos ahora el bloque de modo que pueda moverse sin fricción sobre la plataforma del vagón (Figura 8.14). Cuando aumenta la velocidad del vagón el bloque se moverá sobre la plataforma con velocidad creciente (acelerado) en sentido contrario a la Figura 8.14 aceleración del vagón, de tal modo que, si el vagón se encontraba inicialmente en reposo sobre la vía, el bloque permanecerá en reposo con respecto al observador S (ya que al no existir rozamiento no puede ser arrastrado por el movimiento del vagón). El observador S entenderá que al no existir fuerza aplicada al bloque (en la dirección horizontal) la aceleración de éste sea nula. En cambio, el observador S′ observa que el bloque está acelerado en su propio referencial (el vagón), con a′=-aO, y sospechará la existencia de una fuerza, FO=-maO, que sería la responsable de esa aceleración. Evidentemente, como en el caso anterior, esa fuerza es ficticia.
213
§8.14.- Fuerzas de inercia.
En definitiva, en la resolución de los problemas de la Mecánica podemos elegir entre dos alternativas: (1) Escoger un referencial inercial y considerar únicamente las fuerzas reales. (2) Escoger un referencial no-inercial y considerar no sólo las fuerzas reales sino también las llamadas fuerzas de inercia, que vienen expresadas siempre por -maO, siendo aO la aceleración del referencial no-inercial con respecto a un referencial inercial. De ordinario escogeremos la primera alternativa, pero en ocasiones será más conveniente escoger la segunda; ambas son equivalentes.
Ejemplo I.- Una cuña de masa M y ángulo θ desliza sin rozamiento sobre un tablero horizontal fijo, como se muestra en la figura. Sobre la cuña desliza, también sin rozamiento, un bloque de masa m. a) Determinar la aceleración de la cuña. b) Determinar la aceleración del bloque respecto de la cuña y respecto del tablero. Figura 8.15 Asumimos que la cuña experimenta una aceleración de retroceso a0 en la dirección que se indica en la Figura 8.15. En el referencial S (inercial), en lo que concierne al movimiento horizontal de la cuña, escribiremos N senθ → N
Ma0 Ma0 senθ
Para analizar el movimiento del bloque, resulta conveniente describirlo en el referencial S′ ligado a la cuña, que posee una aceleración a0 (referencial no-inercial). Así, aplicaremos la segunda ley de Newton al bloque, incluyendo todas las fuerzas que "actúan" sobre él, esto es: mg (peso), N (reacción vincular o fuerza de ligadura) y -ma0 (fuerza de inercia); mg
N
(
ma0 )
ma′
de donde, tomando las componentes en la base vectorial 123 que se indica en la Figura 8.15, tenemos ⎧ ⎨ ⎩
mg senθ ma0 cosθ ma′ mg cosθ N ma0 senθ 0
→ →
a′ N
g senθ a0 cosθ m (g cosθ a0 senθ)
Sustituyendo el valor de N en la segunda ecuación y despejando a0 obtenemos la aceleración de la cuña: a0
mg senθ cosθ M m sen2θ
⇒
a0
a0 0 0
xyz
entonces, de la primera ecuación obtenemos la aceleración a′ del bloque respecto de la cuña:
214
Lec. ?.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ...
a′
g senθ
(M m) g senθ M m sen2θ
a0 cosθ
⇒
a′
a′cosθ
a′senθ 0
xyz
Para obtener la aceleración a del bloque respecto del tablero tendremos en cuenta que
a
a′
⎧ ⎪ ax ⎪ ⎨ ⎪ a ⎪ y ⎩
⇒
a0
a x′
a′ cosθ
a0
a′ senθ
a y′
Mg senθ cosθ M m sen2θ (M m)g sen2θ M m sen2θ
a0
cuyo módulo es
a
2
ax
2
⎛ m senθ cosθ ⎞2 g senθ ⎜ 2 ⎟ ⎝ M m sen θ ⎠
1
ay
g2
2
a0
senθ
y su dirección forma un ángulo φ con la horizontal, dado por φ
arctg
⎞ ⎛M m tg θ ⎟ arctg ⎜ ⎠ ⎝ M
ay ax
§8.15. Estática de la partícula. Principio de D’Alembert.- La relación existente entre el movimiento de un cuerpo y sus causas es el objeto de estudio de la Dinámica, la cuál nos ha enseñado que el movimiento de un cuerpo depende de su masa y de las acciones que sobre él ejercen otros cuerpos que constituyen su medio ambiente; dichas acciones vienen representadas por el concepto físicomatemático que llamamos fuerza. Los efectos de dichas fuerzas pueden contrarrestarse entre sí, dando lugar a una situación análoga a la que se presentaría si no se ejerciera fuerza alguna sobre el cuerpo. El capítulo de la Dinámica que trata sólo aquellos sistemas en los que la fuerza resultante es nula recibe el nombre de Estática. Ahora nos ocuparemos solamente del estudio de la Estática de la Partícula, dejando para más adelante el estudio de la Estática de los Sistemas de Partículas, de los que el sólido rígido es un caso especial. Decimos que una partícula se encuentra en equilibrio en un cierto referencial inercial cuando su aceleración es cero en ese referencial. En consecuencia,
el equilibrio implica que la resultante de todas las fuerzas aplicadas a la partícula debe ser nula; esto es
R i
Fi
0
[8.41]
Podemos generalizar la definición anterior para los referenciales no inerciales, ya que la ecuación del movimiento en un referencial no inercial [8.36] puede escribirse en la forma R
ma0
m a′
0
[8.42]
§8.15.- Estática de la partícula. Principio de D’Alembert.
215
cuando la aceleración de la partícula es nula en ese referencial, i.e., cuando la partícula está en equilibrio en él. La ecuación anterior puede ser considerada como una ecuación de «equilibrio» que establece que la resultante de todas las fuerzas «aplicadas» a la partícula, incluidas las fuerzas de inercia (en su caso), debe ser nula. Este enunciado constituye la esencia del Principio de D’ALEMBERT. Bajo este punto de vista, la Dinámica se reduce a la Estática, ya que siempre podremos plantear nuestro problema (¿dinámico?) en un referencial en el que la partícula no presente aceleración (i.e., se encuentre en equilibrio). Puesto que la partícula es considerada como un cuerpo de dimensiones muy pequeñas (puntual), todas las fuerzas aplicadas a la partícula (reales e inerciales, en su caso) serán concurrentes en un punto, de modo que no encontraremos dificultad al efectuar la suma vectorial indicada en la expr. [8.41] (o en la [8.42], en su caso). Esta ecuación expresa la condición de equilibrio para la partícula. Como consecuencia directa de ella se tiene que el equilibrio de una partícula no se altera si ... (1) se suprimen dos fuerzas iguales y opuestas, (2) se incorporan dos fuerzas iguales y opuestas, (3) se sustituyen dos o más fuerzas por su suma efectuada, (4) se sustituye una fuerza por otras que la tengan como resultante. Es conveniente que no confundamos el concepto de equilibrio con el de reposo. Una partícula puede estar en reposo en un cierto referencial y no hallarse en equilibrio en él. Así, por ejemplo, cuando lanzamos una piedra verticalmente hacia arriba, en el punto más alto de su trayectoria la piedra se encuentra instantáneamente en reposo, pero no en equilibrio puesto que la fuerza peso no está equilibrada por ninguna otra. Por esa razón la piedra comienza a caer (aceleradamente) hacia abajo. Por otra parte, una partícula puede estar en equilibrio en un cierto referencial y no estar en reposo en ese referencial. Un ejemplo de este tipo lo constituye la partícula libre; al no actuar fuerzas sobre ella, su aceleración será nula, lo que significa que su velocidad será constante en un referencial inercial. Por supuesto que siempre podemos encontrar un referencial inercial en el que la partícula libre estará en reposo. La situación más corriente es aquella en la que la partícula se encuentra simultáneamente en reposo y en equilibrio en un referencial dado; por eso es frecuente que muchas personas consideren, erróneamente, ambos conceptos como sinónimos.
216
Lec. ?.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ...
Problemas 8.1.- Utilizar la ley de gravitación universal y la segunda ley de Newton para demostrar que el periodo T de un planeta que se mueve en un órbita circular alrededor del Sol está relacionado con el radio de la órbita por la tercera ley de Kepler, T2 = kr3, y determinar la constante k. 8.2.- Dos esferillas idénticas cuelgan mediante sendos hilos de seda, de longitud L, de un mismo punto. Cuando se les suministra una misma carga eléctrica a cada una de las esferillas, los hilos de suspensión forman entre sí un ángulo θ. Expresar el valor de la carga de cada esferilla en función de dicho ángulo. 8.3.- Una partícula de masa m que tiene una carga eléctrica q se lanza desde una gran distancia, con una velocidad v0, directamente contra otra partícula fija en el espacio, de masa M y carga eléctrica Q. a) Estudiar cualitativamente el movimiento de la partícula m en los casos en que las cargas eléctricas sean del mismo y de distinto signo. b) Determinar la distancia mínima de aproximación cuando ambas cargas son del mismo signo.
Prob. 8.4 8.4.- El bloque A de la figura pesa 15 kg y el bloque B pesa 5 kg. El coeficiente de rozamiento entre todas las superficies en contacto vale 0.20. Calcular la magnitud de la fuerza F necesaria para arrastrar el bloque B hacia la derecha con velocidad constante, en cada uno de los casos que se muestran en la figura. 8.5.- Un estudiante trata de encontrar experimentalmente el coeficiente de rozamiento entre
un ladrillo y un tablón. Para ello coloca el ladrillo sobre el tablón y va aumentando gradualmente el ángulo de inclinación de éste. Cuando el ángulo es de 30° el ladrillo comienza a deslizar, acelerándose hacia abajo. Entonces comienza a reducir progresivamente el ángulo de inclinación y observa que cuando éste es de 25° se detiene. Obtener los coeficientes de rozamiento a partir de esas observaciones. 8.6.- En el sistema que se muestra en la figura, calcular la aceleración de cada uno de los dos bloques en los siguientes supuestos: a) no existe ningún rozamiento; b) el coeficiente de rozamiento entre todas las superficies en contacto es µ.
Prob. 8.6
8.7.- El bloque de la figura pesa 100 kg y se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie es 0.50. Mediante una cuerda ligera unida al bloque y que forma un ángulo θ con la horizontal tratamos de mover el bloque. Encontramos que la magnitud de la fuerza mínima necesaria para mover el b l o q u e Prob. 8.7 depende del valor del ángulo θ. a) Expresar la magnitud de dicha fuerza mínima en función del ángulo θ. b) ¿Cuál es el valor del ángulo θ más eficaz para mover el bloque? 8.8.- En el sistema de la figura, la masa del bloque A es 20 kg y los coeficientes de rozamiento estático y cinético de cada bloque con los planos inclinados valen 0.30 y 0.25, res-
217
Problemas
pectivamente. a) ¿Cuál debe ser la masa mínima del bloque B para que el sistema coProb. 8.8 mience a moverse hacia la izquierda? b) Una vez iniciado el movimiento, ¿cuál será la aceleración del sistema? 8.9.- Dos bloques de madera se encuentran sobre un plano inclinado, unidos entre sí por una cuerda ligera que pasa por una polea de rozamiento e inercia despreciables, como se indica en la figura. El coeficiente de rozamiento entre todas las superficies en contacto vale 0.30. Determinar: a) El Prob. 8.9 valor crítico del ángulo de inclinación del plano que impide el deslizamiento de los bloques; b) la aceleración de los bloques si el ángulo de inclinación es de 80°. 8.10.- Desde el pie de un plano inclinado 30° sobre la horizontal se lanza, hacia arriba a lo largo del plano inclinado, un bloque de 3 kg, con una velocidad inicial de 4 m/s. El coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y el plano vale 0.60. a) Calcular la distancia que recorrerá el bloque sobre el plano. b) ¿Volverá a descender el bloque? En caso afirmativo, determinar la velocidad del bloque cuando llegue al pie del plano. 8 . 11 . - D o s bloques, de masas m1 = 4 kg y m2 = 8 kg, están unidos meProb. 8.11 diante una varilla rígida y ligera y resbalan por un plano inclinado 30°, como se muestra en la figura. El coeficiente de rozamiento cinético entre el plano y cada uno de los bloques es 0.20 y 0.30, respectivamente. Calcular: a) la aceleración del sistema y b) la tensión en la varilla, indicando si es tensora o compresora.
8.12.- Un bloque de masa m resbala por un canal en forma de V, como se muestra en la figura. Si los coeficientes estático y cinético de rozamiento entre el bloque y las paredes del canal valen 0.3 y 0.2, respectivamente, obte-
Prob. 8.12 ner: a) El valor mínimo del ángulo θ para el que el bloque comienza a deslizar; b) la aceleración del bloque si el ángulo θ vale el doble del calculado en el apartado anterior. 8.13.- En el sistema que se representa en la figura, el coeficiente de rozamiento entre todas las superficies es µ. a) Escribir las ecuaciones del movimiento de Prob. 8.13 cada una de las c u ñ a s . b ) Enc ontra r las aceleraciones de las cuñas en el caso de que sean m1=m2, θ=45° y µ=0.1. c) ¿Para qué valores de µ no habrá movimiento? 8.14.- La resistencia que presenta el aire al movimiento de caída de un paracaidista puede considerarse proporcional a la velocidad instantánea de éste. De acuerdo con esta hipótesis: a) expresar la velocidad, la aceleración y el espacio recorrido en función del tiempo, para t>0, suponiendo que en el instante t=0 (cuando se abrió el paracaídas) el paracaidista tenía una velocidad v0; b) demostrar que el paracaidista alcanza una cierta velocidad límite y obtener el valor de dicha velocidad. 8.15.- Dejamos caer una esferilla lisa y homogénea, de radio r y densidad ρ, desde la superficie libre de un fluido viscoso, de coeficiente de viscosidad η y densidad δ(F1, de modo que resulta ser independiente del radio del cilindro, dependiendo tan sólo del valor del ángulo de contacto. b) ¿Es generalizable el resultado anterior para θ0>2π?
9.-
Sistemas de referencia en rotación.
§9.1. Movimiento relativo (222); §9.2. Velocidad (222); §9.3. Aceleración §9.4. Fuerzas ficticias en un referencial en rotación (227); §9.5. Fuerza centrífuga §9.6. Fuerza de Coriolis (231); §9.7. Movimiento relativo a la Tierra §9.8. Desviación de una partícula en caída libre (235); §9.9. Péndulo de Foucault Problemas (240)
(224); (228); (232); (237);
La ventaja de escoger un sistema de referencia inercial para describir los procesos dinámicos es bien evidente, ya que en esos referenciales las leyes del movimiento adoptan su forma más simple cuando son expresadas mediante las leyes de Newton. Sin embargo, existen algunos problemas que pueden resolverse más fácilmente utilizando un sistema de referencia no-inercial. Así, para describir el movimiento de una partícula sobre o cerca de la superficie terrestre resulta más conveniente emplear un referencial ligado a la Tierra y que gire con ella, a pesar de que dicho referencial no es inercial. En efecto, como sabemos, la Tierra realiza un movimiento complicado, compuesto de diferentes rotaciones; en consecuencia, presenta aceleraciones diversas en un referencial inercial identificado con las estrellas fijas. El referencial de coordenadas terrestre o referencial del laboratorio es, por tanto, un referencial no-inercial y, aunque la solución de muchos problemas puede obtenerse con un alto grado de exactitud ignorando esa circunstancia, existen importantes fenómenos que son el resultado de la naturaleza no-inercial del referencial del laboratorio. En esta lección nos proponemos deducir las ecuaciones del movimiento de una partícula respecto a un referencial no-inercial y discutiremos algunas aplicaciones de las mismas. En la lección anterior ya vimos que en los referenciales no inerciales tenemos que considerar, junto a las fuerzas reales, unas fuerzas ficticias o de inercia para poder aplicar la segunda ley de Newton. Esas fuerzas ficticias o inerciales vimos que vienen dadas por -mao, siendo ao la aceleración del referencial no-inercial en el referencial inercial. Nos proponemos en primer lugar determinar la aceleración de un referencial que realiza un movimiento general (traslación y rotación) respecto a un referencial inercial, para después poder determinar las fuerzas ficticias que interpretará un observador ligado al referencial no-inercial.
Manuel R. Ortega Girón
221
222
Lec. 9.- Sistemas de referencia en rotación.
§9.1. Movimiento relativo.- En lo que sigue, consideraremos dos referenciales. Uno de ellos, al que llamaremos referencial absoluto o fijo, definido por el triedro XYZ de direcciones "fijas" representadas por los versores (I,J,K) y con origen en el punto fijo O. El otro, al que llamaremos referencial relativo o móvil, definido por el triedro xyz, de origen en o y cuyas direcciones están asociadas a los versores (i,j,k), que se mueve en forma general en el referencial fijo. La posición de partícula P quedará definida en el referencial fijo por el vector de posición R = XI + YJ + ZK; el extremo de dicho vector describirá en el transcurso del tiempo una curva en dicho referencial, llamada trayectoria absoluta. Las derivadas dR/dt y d2R/dt2 son la velocidad y aceleración absolutas, respectivamente, de la partícula. En el referencial móvil, la posición de la partícula P estará Figura 9.1 definida por el vector de posición r = xi + yj + zk; el extremo de este vector describirá en el transcurso del tiempo una curva en el referencial móvil, llamada trayectoria relativa. Las derivadas dr/dt y d2r/dt2 son la velocidad y aceleración relativas de la partícula, respectivamente. Por último, si la partícula P está en reposo en el referencial móvil (i.e., si sus coordenadas xyz permanecen constantes), describirá en el referencial fijo una cierta trayectoria a la que llamaremos trayectoria de arrastre. La velocidad y aceleración de la partícula en el referencial fijo son la velocidad y aceleración de arrastre, respectivamente. Debemos observar que si Ro, i, j y k son constantes, el extremo de R recorre la trayectoria relativa, puesto que
dR dt
d (R o dt
r)
dr dt
x˙ i
y˙ j
z˙ k
[9.1]
§9.2. Velocidad.- Comenzaremos considerando dos referenciales con un mismo origen. Uno de ellos, el XYZ, lo consideraremos como "fijo", y el otro, el xyz, como "móvil", pero manteniendo fijo su origen. El referencial xyz está en rotación y, en cada momento, existirá un eje instantáneo de rotación que pasa por el origen común a ambos referenciales. Sea ω el vector velocidad angular instantáneo que determina la rotación del referencial xyz en el referencial XYZ (i.e., la velocidad angular de arrastre). Consideremos ahora una partícula P que se mueve solidariamente con el referencial móvil (i.e., que está en reposo en dicho referencial), como si el referencial
223
§9.2.- Velocidad.
móvil junto con la partícula constituyeran un sólido rígido. La velocidad de la partícula P en el referencial fijo (i.e., la velocidad de arrastre) será: [9.2]
ω × r
Si ahora consideramos que la partícula P está libre para moverse en el referencial móvil, su velocidad vF en el referencial fijo será la suma de su velocidad ω×r debida a la rotación del referencial móvil respecto al fijo, más la velocidad relativa vM que tiene la partícula en el referencial móvil; o sea, vF
vM
ω ×r
[9.3]
Figura 9.2
Esto es, la velocidad de la partícula en el referencial fijo (velocidad absoluta) es igual a su velocidad en el referencial móvil (velocidad relativa) más la velocidad de arrastre ω×r. Podemos escribir la expresión anterior en la forma dr dt
F
dr dt
ω×r
[9.4]
M
donde los subíndices F y M hacen referencia expresa a los referenciales en los que se miden las variaciones del vector de posición r de la partícula. Una pequeña reflexión nos descubrirá que el resultado obtenido es más general de lo que pudiera parecernos, puesto que cualquier vector puede ser empleado en [9.4], en lugar del vector de posición r, y la forma del resultado sería la misma. Así, la operación de calcular la derivada temporal de cualquier vector en el referencial XYZ es equivalente a efectuar la operación
d dt
ω × en el referencial xyz. M
Podemos escribir simbólicamente d dt
d dt
F
ω×
[9.5]
M
Aplicando la expresión [9.5], observaremos que dω/dt tiene el mismo valor en ambos referenciales, ya que dω dt
F
dω dt
ω ×ω M
dω dt
[9.6] M
por ser ω×ω=0. Debemos observar que el vector ω en el primer y en el último miembro de [9.6] es la velocidad angular del referencial móvil (xyz) respecto al
224
Lec. 9.- Sistemas de referencia en rotación.
referencial fijo (XYZ), aunque su derivada se calcule en el referencial fijo en el primer miembro y en el referencial móvil en el último. Obviamente, la velocidad angular del referencial fijo respecto al referencial móvil es -ω. Podemos pasar ahora al caso más general en el que los dos referenciales no tengan un origen común (Figura 9.1). Entonces, entre los vectores de posición de la partícula P en a cada uno de los referenciales existe la relación R
Ro
[9.7]
r
de modo que, aplicando [9.5], resulta dR dt
dR o F
dt
esto es
dr dt
F
vF
siendo: vF; vM; vo; ω; ω×r;
dR o dt
F
vM
F
dr dt
ω ×r M
ω ×r
vo
[9.8]
[9.9]
la velocidad de la partícula en el referencial fijo (velocidad absoluta), la velocidad de la partícula en el referencial móvil (velocidad relativa), la velocidad del origen móvil en el referencial fijo (arrastre de traslación), la velocidad angular del referencial móvil respecto al fijo (velocidad angular de arrastre), la velocidad de arrastre debida a la rotación (arrastre de rotación).
Los dos últimos términos [9.9] constituyen la velocidad de arrastre total; i.e., v arr
vo
ω ×r
[9.10]
que coincide con la expresión que obtuvimos en §5.7 para la velocidad de un punto de un sólido rígido en movimiento. Podemos escribir [9.9] en la forma vF
vM
varr
[9.11]
§9.3. Aceleración.- ¿Cómo estarán relacionadas las aceleraciones absolutas y relativas? Para averiguarlo, calcularemos la derivada temporal de vF, dada por [9.9], en el referencial fijo, esto es, aF:
dv F dt
dv M F
dt
dv o F
dt
F
d(ω × r ) dt
F
225
§9.3.- Aceleración.
dv M dt dv M dt
dv o
ω × vM
dt
M
dv o
ω × vM
dt
M
d(ω × r ) dt
F
dω ×r dt
F
ω×
ω × (ω × r ) M
dr dt
ω ×(ω ×r)
[9.12]
M
o sea dv F dt
dv M F
o bien
dt
dv o M
aF
dt aM
dω ×r dt
F
ω ˙ ×r
ao
ω ×(ω ×r) ω ×(ω ×r)
2ω ×
dr dt
2 ω × vM
[9.13] M
[9.14]
siendo: aF; aM; ao; ˙ at=ω×r; an=ω×(ω×r); aC=2ω×vM; O sea,
la aceleración de la partícula en el referencial fijo (aceleración absoluta). la aceleración de la partícula en el referencial móvil (aceleración relativa), la aceleración del origen del referencial móvil en el referencial fijo (arrastre de traslación), la aceleración tangencial (arrastre de rotación), la aceleración normal o centrípeta (arrastre de rotación), la aceleración complementaria o de Coriolis. aF
aM
ao
at
an
aC
[9.15]
Para una partícula que se encuentre en reposo en el referencial de ejes móviles, al ser vM=0 y aM=0, la aceleración que le corresponderá en el referencial fijo, o sea, la aceleración de arrastre, será a arr
ao
at
an
[9.16]
que coincide con la aceleración que obtuvimos para un punto de un sólido rígido en movimiento [5.42]. Entonces, podemos expresar la aceleración de la partícula en el referencial fijo en la forma aF
aM
a arr
aC
[9.17]
expresión que nos recuerda a la [9.11], pero ahora hemos tenido que añadir un tercer término en el segundo miembro; este tercer término es la aceleración complementaria o de Coriolis. La aceleración de Coriolis será siempre perpendicular al eje instantáneo de rotación y a la velocidad relativa y se anulará en los siguiente casos:
226
Lec. 9.- Sistemas de referencia en rotación.
(1) Si ω = 0; arrastre de traslación pura. (2) Si vM=0; la partícula se encuentre en reposo en el referencial móvil. (3) Si ω y vM son paralelos; la partícula se mueve paralelamente al eje instantáneo de rotación. Obsérvese que si el referencial móvil presentase una traslación pura respecto al fijo, sería ω = 0, o sea, at = 0, an = 0 y aC = 0, de modo que aF
aM
[9.18]
ao
y que si dicha traslación fuese uniforme, al ser ao = 0, nos quedaría aF
[9.19]
aM
de modo que se igualarían las aceleraciones absolutas y relativas.
Ejemplo I. Un disco circular, de radio R2, gira alrededor de un eje perpendicular a él y que pasa por su centro, con una velocidad angular constante ω2. A su vez, dicho eje gira alrededor de otro eje, perpendicular al primero y que lo corta a una distancia R1 del centro del disco, como se ilustra en la Figura 9.3 con movimiento uniformemente acelerado. Determinar la velocidad y la aceleración del punto P indicado en la figura. a) Elegimos un referencial móvil xyz con el mismo origen O que el referencial fijo XYZ, en rotación con velocidad angular ω=ω1 y aceleración angular α=α1 alrededor del Figura 9.3 eje Z, que coincidirá siempre con el eje z. Podemos escribir
vo
0
ao
0
ω
⎛ 0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 0 ⎟ ⎜ω ⎟ ⎝ 1 ⎠
ω ˙
⎛ 0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 0 ⎟ ⎜α ⎟ ⎝ 1 ⎠
r
⎛ R1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 0 ⎟ ⎜R ⎟ ⎝ 2 ⎠
OP
La velocidad absoluta del punto P viene dada por [9.9]; esto es,
vF
⎛ 0 ⎜ ⎜ ω 2R 2 ⎜ ⎝ 0
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 ⎠
⎛ 0 ⎞ ⎛ R1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟×⎜ 0 ⎟ ⎜ω ⎟ ⎜R ⎟ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠
y su aceleración la calculamos a partir de [9.14]; esto es,
⎛ 0 ⎜ ⎜ ω 1R1 ω 2R2 ⎜ 0 ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
227
§9.3.- Aceleración.
⎞ ⎛ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ω 2R ⎟ 2 2 ⎠ ⎝
aF
⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎝0⎠
o sea
⎛ 0 ⎞ ⎛R1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 ⎟ × ⎜0 ⎟ ⎜α ⎟ ⎜R ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠
aF
⎛0⎞ ⎛ 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 0 ⎟ × ⎜ ω 1R1 ⎜ω ⎟ ⎜ ⎝ 1⎠ ⎝ 0
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛0⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎜ 0 ⎟ × ⎜ω 2R2⎟ ⎟ ⎜ω ⎟ ⎜ ⎝ 1⎠ ⎝ 0 ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ω 21R 2ω ω R 1 1 2 2 ⎜ ⎜ α1R1 ⎜ 2 ⎜ ω 2R2 ⎝
b) También podemos elegir el referencial móvil x′y′z′ con origen en el centro del disco (C) y la misma rotación que antes. Entonces será
vo
⎛ 0 ⎜ ⎜ω R ⎜ 1 1 ⎜ ⎝ 0
vC
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ω 21R1 ⎜ ⎜ αR ⎜ 1 1 ⎜ ⎝ 0
aC
ao
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
CP
r
⎛ 0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜R ⎟ 2 ⎠ ⎝
de modo que al aplicar las expresiones [9.9] y [9.14] obtendremos los mismos resultados que antes, como el lector comprobará fácilmente. c) Una tercera posibilidad de elección sería la del referencial móvil x′y′z′ con origen en C (como antes), pero con la rotación ω=ω1+ω2, de modo que el punto P permanezca en reposo en el referencial móvil. Entonces, teniendo en cuenta que
ω ˙
ω ˙1
ω ˙2
será
vF
aF
⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎝0⎠
ω1 × ω2
α1
⎛0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 ⎠
⎛ 2 ⎞ ⎜ ω 1R1⎟ ⎟ ⎜ ⎜ α1R1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 0 ⎠
⎛ 0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 0 ⎟ ⎜α ⎟ ⎝ 1 ⎠
⎛ 0 ⎜ ⎜ ω 1R1 ⎜ ⎝ 0
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ 0 ⎞ ⎛0 ⎞ ⎜ ω ω ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 2⎟ × ⎜ 0 ⎟ ⎜ α ⎟ ⎜R ⎟ 1 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝
⎛ 0 ⎞ ⎛ ω2 ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎟×⎜ 0 ⎜ω ⎟ ⎜ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 0
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
0 ⎛ ⎜ ω ω 1 2 ⎜ ⎜ α 1 ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ω2 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎟×⎜ 0 ⎟ ⎜ ω ⎟ ⎜R ⎟ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛ ω 2⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 0 ⎟ × ⎜ω 2⎟ ⎜ω ⎟ ⎜0⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ ⎠
⎛ ω 2⎞ ⎛0⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎜ 0 ⎟ × ⎜0⎟ ⎜ ω ⎟ ⎜0⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ ⎠
obteniéndose los mismos resultados que en los apartados anteriores.
§9.4. Fuerzas ficticias en un referencial en rotación.- Si estamos
observando el movimiento de una partícula desde un referencial acelerado, o sea, no inercial, deberemos ser capaces de escribir correctamente las ecuaciones del movimiento en ese mismo referencial. Esto es, deberemos conocer la forma del producto maM en ese referencial, siendo m la masa de la partícula. Es conveniente comenzar escribiendo la ecuación del movimiento en un referencial inercial; esto es,
228
Lec. 9.- Sistemas de referencia en rotación.
F
[9.20]
m aF
donde F es la resultante de las fuerzas reales que actúan sobre la partícula y aF es la aceleración de dicha partícula respecto al referencial inercial. Como no siempre será posible medir esa aceleración, sustituiremos en [9.20] el valor de aF dado por [9.14]; el resultado es el siguiente: F
m aM
mω ˙ ×r
m ao
mω ×(ω ×r)
2 m ω × vM
[9.21]
de donde podemos obtener la ecuación del movimiento en el referencial no-inercial sin más que aislar en el segundo miembro el término maM; esto es, F
m ao
mω ˙ ×r
mω ×(ω ×r)
2 m ω × vM
m aM
[9.22]
de modo que a la fuerza real F hay que añadirle unas fuerzas ficticias o inerciales que aparecen en los referenciales acelerados en razón de su falta de inercialidad. La fuerza ficticia total en el referencial no-inercial es Fin
m ao
mω ˙ ×r
mω ×(ω ×r)
2 m ω × vM
[9.23]
y la fuerza efectiva que actúa sobre la partícula, desde el punto de vista del observador no-inercial, es la suma de la fuerza o fuerzas reales y de la fuerza ficticia o inercial total Fin. De este modo, podemos escribir la ecuación del movimiento en el referencial no-inercial en forma análoga a como se escribe en el referencial inercial [9.20]; esto es F ef
m aM
[9.24]
con Fef = F + Fin. En la expresión [9.23] de la fuerza ficticia total Fin aparecen cuatro términos, o sea, cuatro fuerzas inerciales, relacionadas con las aceleraciones ao, at, an y aC, respectivamente. La primera de estas fuerzas inerciales está relacionada con el movimiento de traslación acelerado del referencial móvil respecto al fijo, y será nula, evidentemente, si el origen del referencial móvil está en reposo en el referencial fijo o se mueve con velocidad contante en él. La segunda de estas fuerzas no recibe ningún nombre especial y sólo aparece en los referenciales en rotación no uniforme; la tercera y cuarta, reciben los nombres de fuerza centrífuga y de fuerza de Coriolis, respectivamente, y a ellas dedicaremos nuestra atención preferente en lo que sigue. §9.5. Fuerza centrífuga.- Sabemos que la aceleración normal o centrípeta de
Figura 9.4
una partícula P viene dada por ω×(ω×r) de modo que la fuerza inercial asociada con esta aceleración será -mω×(ω×r) y estará dirigida perpendicularmente al eje de rotación y hacia afuera, de ahí que reciba el nombre de fuerza centrífuga. Esta fuerza centrífuga aparecerá siempre que las
§9.5.- Fuerza centrífuga.
229
observaciones se hagan desde un referencial en rotación. El calificativo de "centrífuga" significa que "huye del centro". En efecto, un observador situado sobre una plataforma que gira con velocidad angular ω (observador no-inercial) entenderá que existe una fuerza misteriosa que actúa sobre él y que le imposibilita a permanecer en reposo sobre la plataforma a menos que él mismo realice otra fuerza dirigida hacia el eje de rotación, fuerza que debe tener de módulo mω2r, siendo r la distancia a la que se encuentra del eje de rotación. Está bien claro que la fuerza centrífuga no es una fuerza en el sentido usual de la palabra, sino que es una fuerza ficticia que aparece en los referenciales noinerciales. Así, por ejemplo, si un cuerpo está girando alrededor de un centro de fuerzas fijo, la única fuerza real que actúa sobre el cuerpo es la fuerza de atracción hacia el centro de la trayectoria (fuerza centrípeta) necesaria, desde el punto de vista de un observador estacionario (inercial) para que el cuerpo pueda describir una trayectoria curvilínea. Dicha fuerza real (la tensión de la cuerda en los ejemplos ilustrados en la Figura 9.4 y en la Figura 9.5) proporciona la aceleración centrípeta característica de todo movimiento curvilíneo. Sin embargo, un observador situado en un referencial en el cual el cuerpo esté en reposo (referencial en rotación y, por tanto, no inercial) observará que el cuerpo no presenta aceleración alguna en la dirección de la fuerza aplicada (que podrá medir interFigura 9.5 calando un dinamómetro en la cuerda de la Figura 9.4 y en la Figura 9.5). Para reconciliar este resultado con el requerimiento de que la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo sea nula, el observador imagina la existencia de una fuerza igual y de sentido opuesto a la fuerza centrípeta; esto es, postula la existencia de una fuerza centrífuga, que no tiene existencia real y que sólo resulta útil al observador noinercial para poder escribir la segunda ley de Newton en la forma usual [9.24]. El mismo comentario podemos hacer a la fuerza Coriolis que "aparece" cuando intentamos describir el movimiento del cuerpo desde un referencial no inercial. En el caso de una partícula situada cerca de la superficie terrestre, la fuerza centrífuga es una función lentamente variable con la latitud del lugar y proporcional a la masa de la partícula. Cuando medimos en el laboratorio la aceleración debida a la gravedad, lo que realmente medimos no es g, sino g
g
ω × ( ω × R o)
[9.25]
es decir, la composición vectorial del efecto gravitatorio y del efecto centrífugo, a la que llamaremos aceleración gravitatoria efectiva o aparente. En los Polos no interviene el efecto centrífugo, de modo que g*P = g. En el Ecuador el efecto centrífugo es máximo, de modo que g*E = g-ω2R. Cabría esperar que el valor medio para la aceleración de la gravedad (aparente) en los Polos fuese 3.38 cm/s2 mayor que en el Ecuador. Sin embargo, la discrepancia real en la medida es algo mayor:
230
Lec. 9.- Sistemas de referencia en rotación.
Δg
gP
gE
[9.26]
5.2 cm/s 2
Esta discrepancia se explica considerando que la Tierra no es una esfera perfecta, sino un esferoide achatado por los Polos, de modo que la aceleración gravitatoria real g, excluyendo el efecto centrífugo, es mayor en los Polos que en el Ecuador. Estos dos efectos no son realmente independientes, ya que el achatamiento de la Tierra es una consecuencia de su rotación. Ejemplo II.- Péndulo cónico.- Un péndulo cónico está formado por una masa puntual suspendida mediante un hilo ligero, de longitud l, de un punto fijo O, de modo que puede girar alrededor de un eje vertical. a) Encontrar la relación existente entre la frecuencia (velocidad) angular ω del péndulo cónico y el ángulo θ que forma el hilo con la vertical. b) Calcular la tensión del hilo. Referencial inercial (S).- Sobre la masa pendular actúan sólo dos fuerzas: su propio peso (mg) y la tensión (N) del hilo de suspensión. Bajo la acción de esas dos fuerzas, la masa pendular describe una trayectoria circular, contenida en un plano horizontal, de radio R, con centro en el punto C. Presenta, por tanto, una aceleración centrípeta ω2R, siendo ω la frecuencia angular o velocidad angular (en este caso). Así, escribiremos la ec. del movimiento en la forma ⎧ N senθ ⎨ ⎩ N cosθ mg
mω 2R 0
Referencial no-inercial (S′).- En un referencial en rotación en el que la masa pendular permanezca en reposo tendremos que considerar que sobre ésta actúan, además de su peso (mg) y de la tensión (N) del hilo, la fuerza centrífuga (Fcf), cuyo módulo es mω2R. En este referencial, las ec. del movimiento se escriben en la forma ⎧ N senθ mω 2R ⎨ N cosθ mg ⎩
0 0
que son las mismas que las encontradas por el observador inercial. Así, sea cual sea el referencial que elijamos para plantear el problema, obtenemos las mismas ecuaciones del movimiento. Resolviéndolas, teniendo en cuenta que R = l senθ, el lector obtendrá fácilmente Figura 9.6
ω
g l cosθ
N
mg cosθ
Ejemplo III.- Desviación de la plomada.- Como consecuencia del efecto centrífugo, la plomada no apunta directamente hacia el centro de la Tierra, sino que está desviada (excepto en los Polos y en el Ecuador) un pequeño ángulo β respecto de dicha dirección. Expresar la desviación de la plomada β en función de la latitud λ del lugar. Consideremos un lugar de la Tierra de latitud λ; entonces, puesto que en ese lugar es
231
§9.5.- Fuerza centrífuga.
⎛ ω cos λ ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ω sen λ ⎠ xyz ⎝
ω
será
⎛ ω 2R sen λ cos λ ⎜ 0 ⎜ ⎜ 2 2 ⎝ ω R cos λ g
g
Ro
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ xyz
⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ R ⎠ xyz
g
⎛ 0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ g ⎠ xyz
[9.27]
de modo que el módulo de la aceleración gravitatoria efectiva es ω 2R ( ω 2R
g2
g
≈
g
2
2g ) cos2λ ≈
[9.28]
2 g ω R cos λ 2
2
Figura 9.7 ya que ω2R = 0.0338 m/s2 es mucho menor que 2g = 2 19.6 m/s . El valor máximo de g* se presenta para λ = 90° (i.e., en los Polos). El ángulo β determinado por la dirección de la plomada (dirección de g*) con la dirección radial (dirección de g) es
tg β
gx gz
ω 2R sen λ cos λ ω 2R sen 2λ ≈ 2g g ω 2R cos2λ
[9.29]
que presenta un valor máximo para λ = 44°54’, siendo entonces βmáx = 0°6’. Obsérvese que la plomada no marca exactamente la dirección del centro de la Tierra, aunque si marca la dirección normal a su superficie (superficie de las aguas tranquilas).
§9.6. Fuerza de Coriolis.- La fuerza de Coriolis, FC = -2mω × vM, es una fuerza ficticia que "aparece" cuando intentamos describir el movimiento de la partícula desde un referencial no-inercial.
Figura 9.8
Para comprender fácilmente su origen y significado físico, será útil considerar una plataforma giratoria horizontal sobre la que se moverá un objeto (una pelota de tenis, en la Figura 9.8). Para analizar el movimiento de ese objeto utilizaremos dos
232
Lec. 9.- Sistemas de referencia en rotación.
referenciales: el XYZ, fijo en el espacio y el xyz, solidario a la plataforma y arrastrado por ésta en su rotación; el origen de ambos referenciales lo tomaremos en el centro de la plataforma. En el instante inicial (t=0), cuando ambos referenciales coinciden, lanzamos el objeto a lo largo del eje Y (ó y) con una velocidad (absoluta) v. Transcurrido un tiempo t el objeto se encontrará en P (Figura 9.9), sobre el eje Y (puesto que el objeto no puede ser arrastrado por el movimiento de la plataforma) a una distancia r = vt del centro. Mientras tanto, la plataforma habrá girado un ángulo θ = ωt, de modo que el objeto ha recorrido, además, un arco s = θr = ωtr = ωvt2 (en el referencial móvil) en el sentido contrario al de rotación de la plataforma. Evidentemente, el movimiento del objeto "sobre" la plataforma es el resultado de la composición de los dos movimientos indicados. De acuerdo con la expresión s = ωvt2,el movimiento del objeto a lo largo del arco no es uniforme, pues el trayecto recorrido, s, es proporcional al cuadrado del tiempo. Se trata pues de un movimiento acelerado y comparando s = ωvt2 con s = ½at2 resulta que la aceleración vale aC = 2ωv. Un observador noinercial, en reposo sobre la plataforma, describirá el movimiento del objeto como curvilíneo (Figura 9.8), en tanto que un observador inercial (en reposo en tierra) lo describirá como rectilíneo y uniforme. Si el Figura 9.9 observador situado sobre la plataforma no es consciente de que se encuentra en un referencial en rotación, achacará la curvatura de la trayectoria a una fuerza que deberá actuar perpendicularmente a la velocidad de la partícula, desviándola hacia la derecha de la trayectoria, aunque será incapaz de determinar el agente de dicha fuerza. Esta es la llamada fuerza de Coriolis que, al igual que la fuerza centrífuga, es una fuerza ficticia. La ecuación del movimiento (componente horizontal) de la partícula para el observador no inercial se escribe F cf o sea con
FC
mω × ( ω × r ) vM
2 m ω × vM v
[9.30]
m aM
ω ×r
m aM
[9.31] [9.32]
§9.7. Movimiento relativo a la Tierra.- El movimiento de la Tierra en un referencial inercial está dominado por la rotación de la Tierra en torno a su eje, ya que los efectos de los otros movimientos (de traslación o revolución en torno al Sol, movimiento del Sistema Solar en la Galaxia, ...) son muy pequeños comparativamente. Por lo tanto, con muy buena aproximación podemos considerar un sistema de coordenadas fijo con respecto a la superficie de la Tierra (referencial del laboratorio), que experimentará en cada instante una rotación pura en un referencial inercial, y podremos aplicar la ecuación [9.22] para estudiar el movimiento de un cuerpo sobre o cerca de la superficie terrestre. Si un cuerpo es lanzado horizontalmente sobre la superficie terrestre, por efecto de la rotación de la Tierra, aparenta estar sometido a una fuerza desviadora perpendicular a su propia velocidad y al eje de rotación terrestre. Teniendo en cuenta que 2m ω ×v M 2m v M × ω , se comprende la fuerza de Coriolis viene dada por F C
§9.7.- Movimiento relativo a la Tierra.
233
sin dificultad que dicha fuerza tiene una componente horizontal dirigida hacia la derecha de la trayectoria seguida por el móvil si éste se encuentra en el hemisferio Norte, y hacia la izquierda si se encuentra en el hemisferio Sur. Supongamos que disparamos un proyectil de largo alcance desde el Polo Norte y a lo largo de un meridiano. Por efecto de la rotación terrestre, conforme avanza el proyectil se va encontrando con un suelo que cada vez posee una mayor velocidad lineal hacia el Este; puesto que el proyectil no participa de ese movimiento (por haber sido lanzado desde el Polo Norte), se Figura 9.10 "retrasa" con respecto a la superficie terrestre. Sin embargo, un observador en reposo en la superficie terrestre, observará que el proyectil se desvía hacia la derecha del meridiano. En el hemisferio Sur la desviación aparente se producirá hacia la izquierda de la trayectoria. Si el disparo se hace en sentido contrario, o sea desde el Ecuador hacia el Polo Norte, el proyectil parte con una cierta velocidad hacia el Este (ya que cuando estaba en reposo participaba del movimiento de rotación terrestre) y a medida que avanza "sobre" el meridiano se encuentra sobre un suelo que presenta cada vez menos velocidad hacia el Este. El resultado será, de nuevo, una desviación aparente hacia la derecha de la trayectoria que llevaría si la Tierra no estuviese en rotación. En el hemisferio Sur la desviación aparente se producirá hacia la izquierda de la trayectoria.
Durante la Primera Guerra Mundial, en la batalla de las Islas Malvinas, los artilleros ingleses se encontraron con la desagradable sorpresa de que sus proyectiles caían unos 90 m a la izquierda de los barcos alemanes. Los ingenieros militares ingleses habían tenido buen cuidado en incluir la "corrección de Coriolis" en las tablas de puntería de la artillería naval, pero los cálculos los habían realizado pensando en que las grandes batallas navales tendrían lugar a en el hemisferio Norte, pero no en el Sur. En consecuencia los proyectiles caían a una distancia de los blancos igual a dos veces la corrección de Coriolis.
Un cuerpo que se mueva en el Ecuador no experimentará desviación horizontal alguna, pues la fuerza de Coriolis o bien es nula (movimiento en un meridiano) o actúa según la vertical, modificando algo el "peso" del cuerpo. En el hemisferio Norte, al dirigirse los vientos hacia una región de bajas presiones (borrascas) se desvían hacia la derecha de la dirección radial, originando así una circulación en el sentido antihorario (circulación ciclónica o de borrasca) como se indica en la Figura 9.11a . Inversamente, cuando las masas de aire divergen hacia el exterior de una región de altas presiones (anticiclón) al desviarse dan lugar a una circulación en el sentido horario (circulación anticiclónica). (En el hemisferio Sur ocurre justamente lo contrario). Por supuesto que el movimiento de las masas de aire es mucho más complicado Figura 9.11 pero, al menos cualitativa-
234
Lec. 9.- Sistemas de referencia en rotación.
mente, el movimiento ciclónico puede ser interpretado correctamente como un efecto de la fuerza de Coriolis.
El movimiento de las corrientes marinas presenta una situación análoga, pero intervienen diversos factores (varias perturbaciones y la existencia de momentos angulares residuales) que dominan sobre el efecto de la fuerza de Coriolis, y así se encuentran corrientes con ambas direcciones de flujo.
Por efecto de la fuerza de Coriolis, en el hemisferio Norte las aguas de los ríos erosionan con más intensidad el terreno de la orilla derecha que el de la izquierda (Problema 9.25). En lo que respecta a la cara interna de los dos railes ferroviarios, los trenes desgastan más el raíl derecho que el izquierdo cuando circulan en vía recta (Problema 9.24). Después de este estudio descriptivo de los efectos de la fuerza de Coriolis vamos a establecer las ecuaciones del movimiento de una partícula en un referencial ligado a la Tierra. Si la única fuerza que actúa sobre la partícula, de masa m, es la fuerza de atracción gravitatoria de la Tierra, la ecuación del movimiento en un referencial inercial será Mm [9.33] eR R2 donde eRF es el verNor en la dirección de R y M es la masa de la Tierra. Considerando que la Tierra está girando con una velocidad angular constante ω = 7.292×10-5 rad/s, tenemos F
Figura 9.12
0
ω ˙
[9.34]
ω × ( ω × Ro )
R¨ o
ao
G
y la ecuación del movimiento se escribe d2r dt 2
G M
M eR R2
ω × ( ω × Ro )
ω ×(ω ×r)
GM e R ω × ( ω × R o) R2 es la aceleración gravitatoria efectiva definida en [9.25], nos queda y como
g
d2r dt 2
ω ×(ω ×r)
g
2ω ×v
2ω ×v
[9.35]
[9.36]
[9.37]
M
Si la partícula se mueve cerca de la superficie terrestre, será ω×(ω×r)≈0, ya que ω2 ≈ 53×10-10 rad/s2 y r no será muy grande; entonces, la ecuación anterior se reduce a d2r dt 2
g
2ω ×v
M
Para desarrollar esta expresión tengamos en cuenta que
[9.38]
235
§9.7.- Movimiento relativo a la Tierra.
ω
ω ×v
⎛ ω cos λ ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎝ ω sen λ
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ xyz
⎛ x˙ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y˙ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ z˙ ⎠ xyz
v
⎛ ω y˙ sen λ ⎜ ⎜ ⎜ ω x˙ sen λ ω z˙ cos λ ⎜ ω y˙ cos λ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ xyz
a
g
d2r dt 2
⎛ x¨ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y¨ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ z¨ ⎠ xyz
⎛ ω 2R sen λ cos λ ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎜ 2 2 ⎝ ω R cos λ g
de modo que, al sustituir en [9.38], resulta para las componentes de ⎧ x¨ ⎪ ⎨ y¨ ⎪ ⎩ z¨
ω 2R sen λ cos λ 2ω y˙ sen λ 2ω x˙ sen λ 2ω z˙ cos λ 2ω y˙ cos λ ω 2R cos 2λ g
d2r dt 2
[9.39]
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ xyz
[9.40]
M
[9.41]
que son las ecuaciones del movimiento de una partícula en el referencial del laboratorio cuando sobre ella actúa únicamente la fuerza de atracción gravitatoria. Obsérvese en estas ecuaciones la presencia bien diferenciada de los términos asociados al efecto centrífugo (contienen ω2R) y de los asociados con la fuerza de Coriolis (contienen 2ω˙x, 2ω˙y o 2ω˙z). §9.8. Desviación de una partícula en caída libre.- La componente de la aceleración centrífuga en la dirección Norte-Sur, en el hemisferio Norte, es la causa de que un cuerpo que cae libremente, en dicho hemisferio, experimente una desviación hacia el Sur de la dirección radial PA (como se indica en la Figura 9.13. En el hemisferio Sur, la desviación tendrá lugar hacia el Norte (Figura 9.13b). En ambos casos, la trayectoria se mantiene en el plano meridiano NPS. Por otra parte, cuando un cuerpo cae libremente hacia la Tierra, se producirá una desviación respecto a la trayectoria vertical como consecuencia del efecto de Figura 9.13 Coriolis. Esta desviación tiene lugar en la dirección hacia el Este, tanto en el hemisferio Norte como en el hemisferio Sur, como se comprenderá fácilmente analizando la Figura 9.14. Combinando los efectos anteriores, el efecto Figura 9.14 centrífugo y el de Coriolis, se comprende que un cuer-
236
Lec. 9.- Sistemas de referencia en rotación.
po que caiga libremente chocará con la superficie terrestre en un punto situado al Sureste del pie de la dirección radial en el hemisferio Norte y al Noreste en el hemisferio Sur.
Ejemplo IV.- Deflexión en caída libre.- Calcular la posición del punto de impacto sobre la superficie terrestre de un cuerpo que cae libremente, en ausencia de rozamiento, bajo la acción gravitatoria, abandonado sin velocidad inicial (respecto a la Tierra) desde una altura h sobre la superficie terrestre. Las condiciones iniciales están expresadas por x0
0
y0
0
z0
h
x˙ 0
0
y˙ 0
0
z˙0
0
[9.42]
-5
Puesto que la velocidad angular de la Tierra es ω = 7.292×10 rad/s, de modo que ω2 = 53×10-10 rad/s2 resulta ser muy pequeño, en primera aproximación podemos despreciar los términos de las ecuaciones [9.41] que contienen ω2 (asociados al efecto centrífugo), de modo que se nos reducirán a ⎧ x¨ 2ω y˙ sen λ ⎪ [9.43] 2ω x˙ sen λ 2ω z˙ cos λ ⎨ y¨ ⎪ 2ω y˙ cos λ g ⎩ z¨ Además, como la fuerza de Coriolis produce pequeñas componentes de la velocidad de la partícula en las direcciones de los ejes x e y en comparación a la componente de la velocidad en la dirección vertical (eje z), podemos considerar x˙ ≈ 0
[9.44]
y˙ ≈ 0
por lo que las ec. dif. del movimiento quedan en la forma x¨ ≈ 0
y¨ ≈
2ω z˙cosλ
z¨ ≈
g
[9.45]
y el efecto de la fuerza de Coriolis es producir una aceleración en la dirección del eje y. Integrando dos veces sucesivas la tercera ecuación de [9.45] tenemos
Figura 9.15
z˙ ≈
gt
z ≈ h
1 2 gt 2
[9.46]
y sustituyendo esta expresión de z˙ en la de y¨ de [9.45], e integrado de nuevo dos veces, obtenemos y¨ ≈ 2ω gt cosλ
y˙ ≈ ω gt 2 cosλ
y ≈
1 ω gt 3 cos λ 3
[9.47]
El tiempo de caída (correspondiente a z=0) y la desviación δy de la partícula en el instante de tocar la superficie terrestre vienen dados por [9.48] 2h ω 8h 3 cos λ δy g g 3 Así, por ejemplo, para un cuerpo que cae desde una altura de 200 m en una latitud λ=45°, la desviación hacia el Este viene a ser de 44 mm, que es una cantidad relativamente pequeña cuando se la compara con la altura de caída. Por otra parte, la primera ecuación de [9.43] nos indica que, simultáneamente a la desviación anterior, se presenta una desviación hacia el Sur, en el hemisferio Norte, como consecuencia de la fuerza de Coriolis, si bien ésta desviación resultará considerablemente menor (vide Problema 9.27). Hay que añadir el efecto centrífugo que desvía a la partícula hacia el Sur, en el hemisferio Norte, como se manifiesta en la primera ec. de [9.41]. La aceleración centrífuga hacia el Sur es ω2R senλ cosλ y la desviación producida durante el tiempo de caída será
tc
§9.8.- Desviación de una partícula en caída libre.
δx
1 2 2 (ω R sen λ cos λ) tc 2
ω 2R h sen 2λ 2g
237 [9.49]
como el lector comprobará fácilmente, lo que representa tan sólo 1.7 mm en las condiciones de este ejemplo.
§9.9. Péndulo de Foucault.- No debemos terminar esta lección sin hacer referencia a un interesante problema de movimiento relativo a la Tierra: el problema del péndulo de Foucault. Para introducirlo, consideremos en primer lugar el aparato que mostramos en la Figura 9.16. Si hacemos girar la plataforma mientras que el péndulo está oscilando, observaremos que el plano de las oscilaciones permanece inalterado con respecto a un observador inercial. Este efecto se debe a la inercia de la masa pendular. Puesto que las dos fuerzas que actúan sobre ella (su peso y la tensión del hilo) están contenidas en el plano de las oscilaciones, éstas, una vez iniciadas, tendrán lugar siempre en un mismo plano. Para cambiar el plano de las oscilaciones se requeriría una componente de fuerza normal a dicho plano. Por el contrario, resulta obvio que el plano de las oscilaciones no permanecerá inalterado para un observador situado sobre la plataforma giratoria, que será, evidentemente, un observador no inercial; para este observador, el plano de las oscilaciones efectuará una precesión alrededor del eje vertical (eje de rotación) en sentido contrario al de giro de la plataforma y con la misma celeridad angular (de precesión). Esta propiedad de la inalterabilidad del plano de las oscilaciones del péndulo fue utilizada por el físico francés Jean Bernard León FOUCAULT (1819-68) para comprobar el movimiento de rotación de Figura 9.16 la Tierra en torno a su eje, y demostrar que la Tierra no constituye un referencial inercial. Foucault realizó públicamente su experiencia en 1851, bajo la cúpula del Panteón de París, utilizando una masa de 28 kg suspendida de un hilo de 70 m de longitud. El periodo de un péndulo de esa longitud es de unos 17 segundos. La suspensión del extremo superior del hilo permitía al péndulo oscilar con igual libertad en todas las direcciones. Alrededor del punto del suelo que estaba directamente debajo del punto de suspensión se dispuso una balsa circular, llena de arena, de unos 3 m de radio, de modo que una aguja metálica colocada en la parte inferior de la masa pendular barría la arena en cada oscilación. Se vio con toda claridad que, en oscilaciones sucesivas, el plano de oscilación del péndulo se movía en el sentido de las agujas del reloj. En una hora el plano de oscilación del péndulo giraba unos 11°, y la circunferencia se completaba en algo más de 32 horas. ¿Porqué gira el plano de oscilación del péndulo? Es fácil comprender que si la experiencia se hubiera realizado en el Polo Norte, resultaría evidente que el plano de oscilación del péndulo permanecería fijo en un referencial inercial, mientras que la Tierra giraría bajo el péndulo a razón de una vuelta cada 24 horas. Por el contrario, un observador situado "sobre" la Tierra vería girar el plano de oscilación del péndulo en sentido contrario al de la rotación terrestre, dando una vuelta cada 24 horas. La situación es muy diferente y mucho más difícil de analizar cuando abandonamos el Polo Norte y nos situamos en un lugar de la Tierra de latitud geográfica λ. Entonces, como ya hemos visto al describir la experiencia de Foucault, el tiempo empleado por el plano de oscilación del péndulo para girar 360° es mayor del necesario en el Polo. Para analizar el problema, consideraremos un referencial ligado a Tierra (referencial del laboratorio), que designaremos por S.L., cuyos ejes estarán orientados (respecto a Tierra) en la forma acostumbrada (Figura 9.17). El punto de suspensión del hilo del péndulo estará situado a gran altura en el eje z, y tomaremos el origen del referencial del laboratorio en el punto de equilibrio (O) de la masa pendular (m);
238
Lec. 9.- Sistemas de referencia en rotación.
en estas condiciones, si sólo consideramos oscilaciones de pequeña amplitud, el vector de posición r de la masa pendular será prácticamente horizontal. Sobre la masa pendular actúan dos fuerzas; su peso (mg) y la tensión del hilo (T), como se indica en la Figura 9.18. En el hemisferio Norte, la velocidad angular de la Tierra (ω) tiene la dirección que se indica en la Figura 9.17. De acuerdo con lo anteriormente expuesto, la aceleración aL de la masa pendular en el referencial del laboratorio es d2r dt 2
L
T m
g
ω × ( ω × Ro)
ω ×(ω ×r)
2ω ×
dr dt
[9.50] L
donde ω×(ω×Ro) = ao es la aceleración del origen del referencial del laboratorio en el referencial geocéntrico (inercial). Sirviéndonos de la definición de aceleración gravitatoria aparente [9.25] y teniendo en cuenta que el término ω×(ω×r)≈0, por ser ω2 = 53×10-10 rad/s2 y r no muy grande, podemos simplificar la expresión [9.50]. Nos quedará d2r dt 2
L
T m
g
2ω ×
dr dt
[9.51] L
que es la ecuación diferencial del movimiento del péndulo en el referencial del laboratorio (no-inercial). El último Figura 9.17 término de la ecuación anterior (con el signo negativo incluido) corresponde, evidentemente, a la fuerza de Coriolis; esta fuerza (ficticia) desaparecería si la Tierra no girase (ω=0). La fuerza de Coriolis es realmente muy pequeña y representa tan sólo menos del 0.01% del peso del péndulo para una velocidad del orden de 10 km/h; por eso, su componente vertical (que juntamente con el peso determina la tensión del hilo) puede ser despreciada en una primera aproximación. Sin embargo, no podemos hacer otro tanto con la componente horizontal de la fuerza de Coriolis, ya que al no estar compensada por ninguna otra modificará sustancialmente la naturaleza del movimiento del péndulo. De hecho, puesto que la componente horizontal de la fuerza de Coriolis apunta siempre hacia la derecha del plano de oscilación (en el sentido del movimiento), tanto cuando el péndulo "va" como cuando "viene", su efecto será una rotación de dicho plano, en torno al eje vertical, en el sentido horario (en el hemisferio Norte). El estudio cuantitativo del péndulo de Foucault pasa por la Figura 9.18 resolución de la ecuación diferencial [9.51]; pero es posible hacer un estudio bastante completo de dicho movimiento sin necesidad de resolver realmente dicha ecuación diferencial. Utilizaremos como guía las consideraciones cualitativas anteriores acerca de la naturaleza del movimiento y trataremos de encontrar un nuevo referencial en el que permanezca inalterado el plano de oscilación del péndulo, esto es, en el que desaparezca el término de Coriolis, o al menos su componente horizontal. Supondremos que tal referencial gira alrededor del eje vertical con velocidad angular constante Ω; lo designaremos por P (referencial del péndulo) y por (x′,y′,z′) a sus ejes. Entonces, de acuerdo con las expresiones [9.4] y [9.13], tendremos
239
§9.9.- Péndulo de Foucault.
dr dt d2r dt 2
y
d2r dt 2
L
dr dt
L
Ω×r
[9.52]
P
Ω × ( Ω × r)
2Ω ×
P
dr dt
[9.53] P
Teniendo en cuenta las dos expresiones anteriores, la ec. [9.51] se convierte en dr 2 dt 2
T m
P
T m
g
⎛ dr 2ω × ⎜⎜ ⎝ dt
P
⎞ Ω × r ⎟⎟ ⎠
2ω × ( Ω × r )
g
Ω× ( Ω × r )
Ω×(Ω×r)
2 (ω
2Ω ×
Ω)×
dr dt
dr dt
P
[9.54] P
que es la ecuación diferencial del movimiento en el referencial P. Desarrollando los dobles productos vectoriales y agrupando se obtiene finalmente d2r dt 2
P
T m
g
(2ω r Ω r ) Ω
(2Ω ω
Ω2 ) r
2 (ω
Ω)×
dr dt
[9.55] P
y puesto que Ω = Ωk, todos los vectores del segundo miembro, salvo el último, están en el plano vertical que contiene al péndulo. Como para oscilaciones de pequeña amplitud es vP prácticamente horizontal, el último término de [9.55] estará también en el plano vertical si es horizontal el vector (ω+Ω); esto es, si k (ω de modo que
Ω
k ω
Ω)
0 ω sen λ
[9.56] [9.57]
donde (90°-λ′) es el ángulo formado por la vertical del lugar y el eje de rotación de la Tierra. La aceleración gravitatoria aparente g* tiene la dirección de la vertical del lugar y como g* sólo está ligeramente desviada con respecto a g (0°6’, como máximo), el ángulo λ′ es muy aproximadamente igual a la latitud geográfica del lugar, esto es, λ≈λ′. Así pues, en el referencial P, que gira alrededor del eje vertical con una velocidad angular dada por [9.57], en el caso de pequeñas oscilaciones, todos los términos del segundo miembro de [9.55] están contenidos en el plano de oscilación (plano y′z′, en la Figura 9.18) de modo que dicho plano permanecerá inalterado en dicho referencial. (¿Es inercial dicho referencial?). Obviamente, el plano de oscilación del péndulo precesa en el referencial del laboratorio con una velocidad angular Ω dada por la expresión [9.57]. En el hemisferio Norte la precesión tiene lugar en el sentido horario (mirando hacia abajo).
Podemos interpretar del modo siguiente el resultado expresado por [9.57]: en un lugar de la Tierra, de latitud λ, el suelo se comporta como una plataforma giratoria con una velocidad angular Ω = ωz = ω sen λ (componente vertical de la velocidad angular de la Tierra) de modo que el movimiento de precesión del péndulo de Foucault es el que corresponde a esa velocidad angular. De este modo, el tiempo empleado por el plano de oscilación del péndulo en dar una vuelta completa es 2π 24 horas ω sen λ sen λ y el ángulo girado en una hora (ξ) es función de la latitud del lugar: T
[9.58]
240
Lec. 9.- Sistemas de referencia en rotación.
ξ
[9.59]
15° sen λ
Por último, deberemos observar que, al ser muy pequeños los tres últimos términos del segundo miembro de [9.55] en comparación con los dos primeros, el movimiento del péndulo en el referencial P es prácticamente el mismo que el que tendría lugar en el caso de que la Tierra no girase. La experiencia del péndulo de Foucault es una prueba efectiva de la rotación de la Tierra. Aún si la Tierra estuviese y hubiese estado siempre cubierta de nubes, la experiencia de Foucault nos permitiría demostrar que la Tierra está girando. Existe un péndulo de Foucault en la gran sala de entrada del edificio de las Naciones Unidas en Nueva York, y es frecuente encontrarlo en los grandes Museos de Ciencias.
Problemas 9.1.- Comparar las expresiones [9.9] y [9.14], que nos expresan la velocidad y aceleración absolutas, respectivamente, de una partícula, con las expresiones dadas en la Lección dedicada a la Cinemática del Sólido Rígido para la velocidad y aceleración de un punto de un sólido en función de la velocidad y aceleración de otro punto del mismo. ¿Cómo podemos hacer "coincidir" estas expresiones? 9.2.- Un referencial xyz está girando con una velocidad angular ω = 2ti + 3t2j + (1-t)k con respecto a un referencial inercial XYZ que tiene su mismo origen. El vector de posición de una partícula en el referencial xyz es r = (t2-1)i + 3tj - 2k. Calcular las velocidades absoluta y relativa de la partícula y las distintas aceleraciones que intervienen (absoluta, relativa, centrífuga, de Coriolis, ...) en el instante t=2 s. 9.3.- Dispositivo experimental. Un método sencillo para demostrar el efecto de la aceleración centrífuga y de Coriolis consiste en colocar una hoja de papel sobre una plataforma que gira con
velocidad angular constante ω, como se muestra en la figura. Por encima del disco se dispone de un carril fijo por el que puede deslizar un rotulador que marcará un trazo sobre el papel. Supongamos que el rotulador se mueve de izquierda a derecha, desde un borde a otro de la plataforma, con una velocidad constante v. a) Si v es tal que el rotulador recorre una distancia de un diámetro D en el tiempo en que la plataforma gira 90°, dibujar el trazo que quedará marcado sobre el papel. b) Repetir para una velocidad doble de la anteriormente considerada. Ídem cuádruple. c) ¿Es constante la velocidad del rotulador con respecto a la plataforma? d) Las trayectorias sobre la plataforma son, obviamente, curvilíneas. ¿Presentan una curvatura constante en todos sus puntos? ¿Dónde se presentan las mayores curvaturas? ¿Porqué? 9.4.- Una partícula se mueve en un referencial inercial de modo que su trayectoria queda definida por las ecuaciones paramétricas: X = V0 t
Y=0
Z=0
¿Cuál es la trayectoria de la partícula en un referencial que gira con velocidad angular constante, ω, en el sentido antihorario, alrededor del eje Z?
Prob. 9.3
9.5.- Piñón y corona. Un piñón de radio r rueda con velocidad angular ω constante por el interior de una corona de radio R, como se indica en la figura. Supongamos que la corona también está girando, con velocidad angular Ω constante. a) Determinar la velocidad y aceleración del punto P que se indica en la figura. b) Ídem para un punto genérico de la periferia del piñón.
241
Problemas
9.6.- En un tiovivo. Sobre la plataforma de un tiovivo, que gira con una velocidad angular constante ω, se encuentra un cubilete giratorio, de radio Prob. 9.5 r, que está girando alrededor de su eje con una velocidad angular constante Ω, en la misma dirección que ω. Sea Ro la distancia del eje del cubilete al centro de la plataforma. a) Calcular la velocidad y aceleración absolutas de un punto genérico de la periferia del cubilete. b) Determinar la relación que deberá existir entre los módulos de ω y Ω (i.e., el valor del cociente ω/Ω) para que el punto del cubilete que en cada instante se encuentra más próximo al centro de la plataforma tenga una velocidad absoluta nula. En estas condiciones, ¿cuál será la aceleración absoluta de ese punto? 9.7.- El disco que se muestra en la figura está girando con velocidad angular ω1 y aceleración angular α1 alrededor de su eje de revolución, al tiempo que dicho Prob. 9.7 eje es arrastrado por el movimiento de rotación de la horquilla, con velocidad angular ω2 y aceleración angular α2. Determinar la velocidad y aceleración de un punto genérico P de la periferia del disco. 9.8.- Una corredera P desliza a lo largo de un anillo de radio R con una velocidad v (de módulo constante) respecto del anillo. A su vez, el anillo está girando con velocidad angular constante, ω, alrededor de un eje tangente al mismo, como se muestra en la figura. a) Determinar la velocidad y la aceleración absolutas de la corredera en una posición genérica, como se indica en la figura. b) Particularizar los Prob. 9.8 resultados del apartado anterior para θ=0, 90°, 180° y 270°. 9.9.- Un disco de radio r rueda a lo largo de una guía diametral fija en una plataforma giratoria, acercándose al centro de ésta con celeridad constante v0. Determinar la velocidad y la aceleración del punto P, en el instante que se indica en la
Prob. 9.9 figura adjunta, cuando la plataforma está girando con velocidad angular ω y aceleración angular α.
Prob. 9.10 9.10.- Un disco de radio r rueda, manteniéndose siempre vertical, por una guía circular de radio R fija en una plataforma horizontal, como se indica en la figura adjunta. La celeridad de traslación del disco (relativa a la plataforma) es vC=cte. Determinar la velocidad y la aceleración absolutas del punto P de la periferia del disco que se encuentra en posición diametralmente opuesta al de contacto de éste con la plataforma, cuando ésta se encuentra en rotación con velocidad angular Ω constante, en el instante que se ilustra en la figura. 9.11.- La hélice de un avión gira con una velocidad angular constante ω, en tanto que el avión se mueve en un plano horizontal, describiendo una trayectoria circular de radio R, con velocidad v de módulo constante. Determinar la velocidad y aceleración absolutas de un punto genérico de la hélice. 9.12.- El diámetro AB del disco circular que se muestra en la figura forma un ángulo de 30° con la vertical. El disco está girando con velocidad angular constante, ω, alrededor de un eje vertical
Prob. 9.12
242
Lec. 9.- Sistemas de referencia en rotación.
que pasa por el punto B. Una partícula P está recorriendo la periferia del disco con velocidad v (de módulo constante) relativa al mismo. Determinar la velocidad y la aceleración de la partícula en la posición genérica indicada en la figura. 9.13.- Grúa telescópica. El brazo telescópico de la grúa que se muestra en la figura se está alargando de modo que su extremo P se aleja con celeridad constante v0 del centro O. Simultáneamente, el brazo se eleva sobre la horizontal
condiciones más desfavorables en que el rozamiento entre los neumáticos y el firme sea nulo (carretera helada). Determinar la velocidad máxima a que un vehículo puede tomar esa curva en el caso de que el coeficiente de rozamiento valga 0.25. 9.18.- En bicicleta. a) Calcular el radio mínimo de la curva que puede tomar un ciclista que corre a una velocidad de 25.2 km/h por una carretera no peraltada si el coeficiente de rozamiento estático entre los neumáticos y el suelo vale 0.30. b) Bajo esas condiciones, calcular el ángulo que debe inclinarse el ciclista para tomar la curva. 9.19.- Superficie libre de los líquidos en rotación. Demostrar que la superficie libre de un líquido en rotación uniforme en torno a un eje vertical es un paraboloide y escribir su ecuación. 9.20.- Desviación de la plomada I. Calcular el ángulo que forma la dirección de la plomada con la dirección radial al centro de la Tierra en el lugar donde nos encontramos ahora mismo. ¿Cuál es la verdadera vertical del lugar?
Prob. 9.13
con una celeridad angular constante ω1 y la plataforma de apoyo está girando con una celeridad angular constante ω2. Determinar la velocidad y la aceleración absolutas del extremo P en el instante que se muestra en la figura. 9.14.- En el hemisferio Norte, un automóvil, cuya masa es 1000 kg, circula por una autopista con una velocidad de 144 km/h. En un instante, el automóvil avanza en la dirección Sur-Norte en un lugar de 40° de latitud. a) Determinar la velocidad y aceleración absolutas del automóvil en ese instante, considerando tan sólo el movimiento de la Tierra como rotación pura alrededor de su eje polar. Calcular el valor (módulo y dirección) de la fuerza de Coriolis en ese instante. b) Repetir el apartado anterior cuando el automóvil avanza hacia el NE, formando un ángulo de 30° con la dirección del meridiano. 9.15.- Un autobús toma una curva (no peraltada) de 20 m de radio a una velocidad de 36 km/h. ¿Qué ángulo formarán con la vertical las agarraderas de mano que cuelgan libremente del techo del autobús? 9.16.- En un parque de atracciones las personas se sostienen "prendidas" de la pared de un gran cilindro giratorio (de eje vertical) mientras que el suelo se hunde bajo sus pies. Si el radio del cilindro es de 3 m y gira a razón de 30 rpm, calcular el valor mínimo del coeficiente de rozamiento entre la persona y la pared del cilindro que impida la caída. 9.17.- Peralte. Una carretera está peraltada de modo que un vehículo que circula a 80 km/h pueda tomar una curva de 30 m de radio aún en las
9.21.- Desviación de la plomada II. Calcular la máxima desviación de una plomada de la dirección radial en el planeta Júpiter, sabiendo que el periodo de revolución de dicho planeta es de 9h 51min, que su radio es de unos 70 000 km y que el valor de la intensidad del campo gravitatorio en su superficie es de 26.5 N/kg. 9.22.- a) Demostrar que, si la Tierra girase con una velocidad angular ω 2g /R , el peso aparente de un cuerpo no dependería de la latitud λ del lugar. b) Demostrar que, en las condiciones anteriores, la desviación de la plomada sería β = 180° - λ. 9.23.- Un tubo delgado de longitud 2l, gira en un plano horizontal alrededor de un eje vertical que pasa por su centro. Una bolita se encuentra inicialmente en reposo en el interior del tubo, a una distancia b de su centro. Suponiendo que no existan rozamientos, calcular: a) el tiempo que emplea la bolita en salirse del tubo y su velocidad en ese instante; b) la fuerza que ejerce el tubo sobre la bolita un instante antes de que ésta salga fuera del tubo. 9.24.- Una locomotora se mueve hacia el Norte, en un lugar de la Tierra de latitud λ, sobre una vía recta a nivel constante, con una velocidad v. a) Demostrar que la relación existente entre las reacciones normales en los dos railes vale aproximadamente 1 + (8ωvh sen λ)/bg, donde h es la altura del centro de gravedad de la locomotora sobre los railes y b es el ancho de la vía. b) ¿Cuál de los railes soporta un peso mayor? 9.25.- Orillas de un río. Un río de anchura D corre a lo largo de un meridiano, en el hemisferio Norte, a una latitud λ. Demostrar que existe un desnivel de agua entre las orillas derecha e izquierda dado por h ≈ 2Dωv sen λ/g, donde ω es la velocidad angular de la Tierra y v la velocidad
Problemas
de la corriente. Efectuar los cálculos para D = 1 km, v = 6 km/h y λ ≈ 45°. 9.26.- Desde un lugar de la Tierra de latitud λ lanzamos verticalmente hacia arriba un objeto con una velocidad v0. a) Demostrar que caerá en un punto desplazado hacia el Oeste del punto de lanzamiento a una distancia igual a 4ωv03cos λ/3g2. b) Realizar el cálculo del desplazamiento si el lanzamiento tiene lugar en el Ecuador y la velocidad de lanzamiento es de 108 km/h. c) ¿Cuál debe ser, en el Ecuador, la velocidad inicial del objeto para que caiga a 5 m del lugar de lanzamiento? 9.27.- Se deja caer un cuerpo desde una altura h, en un lugar de la Tierra de latitud λ (en el hemisferio Norte). a) Demostrar que el efecto de Coriolis produce una desviación del punto de impacto con respecto al pie de la vertical, hacia el Sur, 2 2 cuyo valor aproximado es ω h sen 2λ 3g b) Comparar esa desviación con la producida hacia el Este por el efecto de Coriolis y hacia el Sur por el efecto centrífugo, para el caso en que λ = 45° y h = 200 m. 9.28.- Desviación de un proyectil. Se dispara un proyectil de 100 kg a lo largo de un meridiano, en dirección Norte, con una velocidad inicial de 1 800 km/h y un ángulo de disparo de 25° sobre la horizontal, en un lugar de latitud 40° N. a) Calcular el valor de la aceleración y de la fuerza de Coriolis en el momento inicial. b) ¿Hacia dónde se produce la desviación aparente de la trayectoria? 9.29.- Azafata. Un avión comercial vuela sobre el Ecuador, a una altura de 6 000 m, con una velocidad de 900 km/h, en dirección hacia el Este. Una de las azafatas se pesa en una balanza de resorte, precisa y de buena fidelidad. En el viaje de vuelta, cuando el avión sobrevuela la misma población, la azafata vuelve a pesarse y descubre con horror que la balanza marca casi medio kilogramo más que en el viaje de ida. ¿Ha engordado la azafata o podemos atribuir la diferencia de peso a otras causas? ¿A cuáles? Hacer unos cálculos indicativos que justifiquen las respuestas anteriores. 9.30.- Un insecto que pesa 4 g se encuentra inicialmente en reposo sobre el plato de un tocadiscos que está girando a razón de 45 rpm. a) Calcular el valor mínimo del coeficiente de rozamiento que permita al insecto permanecer en reposo sobre el plato a 15 cm de su eje. b) Describir y calcular las fuerzas que actuarán sobre el insecto cuando éste comience a caminar hacia el centro del plato, con una velocidad constante (respecto al plato) de 3 cm/s. 9.31.- Péndulo de Foucault. Un péndulo de Foucault de 50 m de longitud está situado en un lugar de la Tierra de latitud 45°N. a) Describir el movimiento de la masa pendular. b) ¿Qué ángulo gira el plano de oscilación del péndulo en cada oscilación completa del mismo? c) ¿Qué tiempo
243
deberá transcurrir para que el péndulo oscile en un plano normal al inicial?
244
Lec. 9.- Sistemas de referencia en rotación.
10.- Trabajo y energía. §10.1. Trabajo y energía (245); §10.2. Trabajo de una fuerza (247); §10.3. Potencia (250); §10.4. Unidades de trabajo y potencia (251); §10.5. Energía (251); §10.6. Energía cinética (252); §10.7. Campos de fuerzas. Fuerzas conservativas (255); §10.8. Energía potencial (259); §10.9. La energía potencial como energía de configuración (264); §10.10. Teorema del virial (266); Problemas (268)
El problema central de la Mecánica Clásica es, como ya hemos dicho reiteradamente, averiguar como será el movimiento de un cuerpo dado, cuyas características físicas conocemos (masa, carga eléctrica, ...) cuando lo colocamos en un cierto medio ambiente del que tenemos una descripción completa (campo gravitatorio, campo eléctrico, ...). En las lecciones anteriores hemos visto como podemos abordar ese problema. Para ello hemos definido un conjunto de magnitudes cinemáticas, tales como la velocidad y la aceleración, que nos han permitido describir el movimiento del cuerpo, y hemos relacionado esas magnitudes cinemáticas con otras magnitudes dinámicas, tales como la masa y la fuerza, por medio de las llamadas leyes del movimiento (leyes de Newton). Por último, hemos indagado acerca de la naturaleza de las fuerzas, i.e., de la relación que existe entre ese ente físico-matemático que nos representa la interacción de la partícula con su medio ambiente y las características de aquélla y de éste. §10.1. Trabajo y energía.- Pudiéramos pensar que con estos elementos estamos en condiciones de resolver cualquier problema de mecánica, ya que en último extremo todo se reduce a integrar una ecuación diferencial de segundo orden; la ecuación diferencial del movimiento. En efecto, tanto en el caso de que la fuerza sea constante como si es una función conocida del tiempo, F = F(t), podemos calcular la aceleración de la partícula:
a(t)
F(t) m
Manuel R. Ortega Girón
[10.1]
245
246
Lec. 10.- Trabajo y energía.
y a partir de ella la velocidad y la posición de la misma, en función del tiempo, mediante dos integraciones sucesivas, teniendo en cuenta las condiciones iniciales v0 y r0. Sin embargo, en la mayor parte de las situaciones físicas de interés, la fuerza que obra sobre la partícula ni es constante ni es una función conocida (a priori) del tiempo; lo más frecuente es conocerla en función de la posición que ocupa la partícula en su medio ambiente. Este es el caso, por ejemplo, de la acción gravitatoria sobre una partícula, ya que la ley de la fuerza correspondiente (la ley de gravitación) nos expresa la fuerza que actúa sobre la partícula en función de las distancias que la separa de las demás partículas que constituyen su medio ambiente. Así, en el problema clásico de determinar la órbita de un planeta en el Sistema Solar, conocemos la fuerza que el Sol ejerce sobre el planeta en función de la distancia Sol-planeta, que varía a medida que el planeta se desplaza sobre su órbita elíptica. La misma situación se nos presenta en el caso de la interacción electromagnética entre dos partículas cargadas. Del mismo modo, en la descripción de fuerzas complejas, como puede ser la fuerza elástica que actúa sobre una masa sujeta a un muelle deformado, es frecuente que la fuerza venga expresada en función de la posición de la partícula y no en función del tiempo; así en el ejemplo anterior, en una dimensión, la ley de la fuerza es F = -k(x-x0), que es la ley de HOOKE.
En esta lección vamos a desarrollar unos métodos generales que nos permitirán abordar aquellos problemas en los que conocemos la fuerza como función de la posición de la partícula. Veremos la necesidad de introducir nuevos conceptos físicos, tal como el de energía, que juega un papel central en la Física, interviniendo como nexo de unión entre áreas de la misma que, en principio, pudieran parecer desconectadas entre sí, como la Mecánica, la Termología, el Electromagnetismo y la Óptica. El desarrollo histórico del concepto de energía fue lento y sinuoso, ya que debió transcurrir más de siglo y medio desde que se columbró hasta que se estableció en la forma en que lo formulamos actualmente. Las raíces de este concepto hay que buscarlas en el siglo XVII. Fue HUYGENS (1629-1695) a quien le cupo el gran honor de vislumbrarlo por primera vez cuando trataba de establecer las reglas por las que se regía el choque elástico entre dos cuerpos. Como ya vimos en la Lec. 7, NEWTON (1642-1727) se basó en los trabajos de Huygens acerca de la cantidad de movimiento de los cuerpos colisionantes para establecer la tercera ley del movimiento (ley de la acción-reacción). Se sabía que la cantidad de movimiento total después del choque era la misma que la que había antes del mismo, con independencia del tipo de colisión que tuviera lugar. La tercera ley de Newton describe este resultado experimental. Huygens sugirió otra magnitud física que también se conservaría en un cierto tipo de colisiones, llamadas colisiones elásticas. En 1669 propuso la siguiente regla para tales colisiones: la suma, extendida a todos los cuerpos colisionantes, del producto de la masa de cada uno por el cuadrado de su velocidad permanece constante en una colisión elástica. A la magnitud mv2 se le dio el nombre de vis viva y fue utilizada por LEIBNIZ (1646-1716) y en otros trabajos de Huygens publicados hacia el año 1700 (en especial en su obra póstuma De motu corporum percussione, 1703). La magnitud entonces definida como vis viva es la precursora de la que hoy llamamos energía cinética. Pero no es únicamente la necesidad de resolver la ecuación diferencial del movimiento, en el caso de que la fuerza no sea función explícita del tiempo, sino de la posición de la partícula, la que nos lleva a introducir el concepto de energía; hay
247
§10.1.- Trabajo y energía.
algo más, pues el concepto de energía nos permitirá abordar problemas en los que desconozcamos la ley de la fuerza, siempre que podamos formular suposiciones razonables acerca de sus propiedades. Esa situación la encontramos en la Física Nuclear, donde no existe, en el momento presente, una ley de fuerza exacta en el mismo sentido en que lo son la Ley de Gravitación o la de Coulomb. En tales circunstancias encontraremos más apropiado utilizar el concepto de energía de interacción en lugar del concepto de fuerza. §10.2. Trabajo de una fuerza.- Uno de los conceptos más útiles y fundamentales de la Física es el de energía, pero este concepto está ligado de tal modo con el de trabajo que apenas sería posible hablar inteligiblemente de energía sin haber definido antes lo que entendemos por trabajo y esto a pesar de que históricamente el concepto de energía se vislumbró antes que el de trabajo. Comenzaremos, por lo tanto, definiendo este último. Consideremos una partícula P sobre la que actúa una fuerza F, función de la posición de la partícula en el espacio, esto es F = F(r), y sea dr un desplazamiento elemental (infinitesimal) experimentado por la partícula durante un intervalo de tiempo dt. Llamamos trabajo elemental, dW, de la fuerza F, correspondiente al desplazamiento elemental dr, al producto escalar de F por dr; i.e.,
dW
Figura 10.1
[10.2]
F dr
Si representamos por ds la longitud de arco (medido sobre la trayectoria de la partícula) en el desplazamiento elemental, esto es ds = dr , entonces el versor tangente a la trayectoria viene dado por et = dr/ds y podemos escribir [10.2] en la forma dW
F dr
F e t ds
( F cos θ ) ds
Fs ds
[10.3]
donde θ representa el ángulo determinado por los vectores F y et y Fs es la componente de la fuerza F en la dirección del desplazamiento elemental dr. El trabajo realizado por la fuerza F durante un desplazamiento elemental de la partícula sobre la que está aplicada es una magnitud escalar, que podrá ser positiva, nula o negativa, según que el ángulo θ sea agudo, recto u obtuso. Si la partícula P recorre una cierta trayectoria en el espacio, su desplazamiento total entre dos posiciones A y B puede considerarse como el resultado de sumar infinitos desplazamientos elementales dr y el trabajo total realizado por la fuerza F en ese desplazamiento será la suma de todos esos trabajos elementales; o sea B
WAB
⌠ F dr ⌡A C
B
⌠ F ds ⌡A s C
[10.4]
248
Lec. 10.- Trabajo y energía.
Esto es, el trabajo viene dado por la integral curvilínea de F a lo largo de la curva C que une los dos puntos; en otras palabras, por la circulación de F sobre la curva C entre los puntos A y B. Así pues, el trabajo es una magnitud física escalar que dependerá en general de la trayectoria que una los puntos A y B, a no ser que la fuerza F sea conservativa, en cuyo caso el trabajo resultará ser independiente del camino seguido para ir del punto A al punto B, siendo nulo en una trayectoria cerrada. La evaluación de una integral curvilínea como la [10.4] se hará por los métodos estudiados en la lección dedicada al Análisis vectorial (vide Lec. 3). Téngase en cuenta que antes de proceder a tal integración deberemos conocer F en función de las coordenadas (x,y,z) de la partícula y que de igual manera deberemos conocer la ecuación de la trayectoria seguida por la partícula (salvo en el caso de que la fuerza sea conservativa). En coordenadas cartesianas, la expresión [10.4] se escribe en la forma B
⌠ F dr ⌡A
WAB
C
B
⌠ F dx ⌡A x
Fy dy
Fz dz
[10.5]
C
donde (Fx,Fy,Fz) son las componentes de la fuerza F en las direcciones de los ejes coordenados y (dx,dy,dz) son las componentes del vector desplazamiento elemental dr. Si la curva C viene definida por sus ecuaciones paramétricas, x = x(t), y = y(t), z = z(t), donde t es un parámetro que, incidentalmente, pudiera ser el tiempo, entonces podemos escribir [10.5] en la forma tB
WAB
⌠ ⌡t
A
dx ⎧ ⎨ Fx (t ) dt ⎩
Fy (t )
dy dt
Fz (t )
dz ⎫ ⎬ dt dt ⎭
[10.6]
siendo tA y tB los valores del parámetro t correspondientes a los puntos A y B.
Figura 10.2
Figura 10.3
En el caso particular de que la fuerza aplicada a la partícula sea constante (en módulo, dirección y sentido, Figura 10.2), se tiene que B
WAB
⌠ F dr ⌡A C
B
F ⌠ dr ⌡A
F Δr
[10.7]
§10.2.- Trabajo de una fuerza.
249
o sea que el trabajo realizado por una fuerza constante viene expresado por el producto escalar de la fuerza por el vector desplazamiento total entre la posición inicial y la final. Esta es la definición que encontramos en los textos elementales. Si en lugar de una sola fuerza son varias las que actúan sobre la partícula, Fi (i = 1,2, ... n), el trabajo elemental de cada una de ellas durante un cierto desplazamiento elemental será dWi = Fi dr, advirtiéndose que dr es el mismo para todas las fuerzas que actúan sobre la partícula (Figura 10.3). Sumando todos esos trabajos elementales tendremos el trabajo elemental total en el desplazamiento dr; i.e., dW i
dWi
i
F i dr
F dr
[10.8]
siendo F = Fi la resultante de todas las fuerzas, de modo que el trabajo de la resultante de varias fuerzas aplicadas a una partícula es igual a la suma de los trabajos de las fuerzas individuales. En ocasiones puede resultar interesante representar gráficamente la componente de la fuerza, Fs, en la dirección del movimiento (tangente a la trayectoria) en función de la longitud s recorrida a lo largo de la trayectoria (coordenada intrínseca), como se muestra en la Figura 10.4. Entonces, el trabajo elemental efectuado Figura 10.4 durante un desplazamiento elemental ds, i.e., dW = Fsds, viene representado por el área del rectángulo rayado en la Figura 10.4. El trabajo total realizado por la fuerza en un desplazamiento A→B viene representado, obviamente, por el área sombreada en esa figura. El valor medio de la componente Fs de la fuerza durante ese desplazamiento es
B
1 sB
sA
⌠ F ds ⌡A s
[10.9]
Conviene destacar que nuestra definición de trabajo no se corresponde con el significado que corrientemente se le da tal palabra, y ello puede dar lugar a confusiones. Para que se realice trabajo, desde el punto de vista de la Mecánica, es necesario que el punto de aplicación de una fuerza experimente un desplazamiento; es decir, contrariamente al sentir popular, el trabajo tal como lo hemos definido no está asociado con la fatiga física o mental que podemos experimentar al realizar un esfuerzo o al resolver un intrincado problema. Así, cuando una persona soporta sobre sus espaldas un pesado fardo pero no lo desplaza en el sentido vertical, a pesar de la fatiga física que ello pueda representarle, no realiza trabajo desde el punto de vista de la Mecánica. Es más, incluso cuando la persona se desplace sobre un suelo horizontal, cargada con el fardo, no está trabajando (puesto que la fuerza es perpendicular al desplazamiento) y, paradójicamente, cuando con gran esfuerzo baja con su carga por unas escaleras, recibe trabajo (realiza un trabajo negativo) en lugar de hacerlo ella. En realidad, la magnitud física relacionada con la fatiga muscular es la fuerza, no el trabajo. Podemos asociar un trabajo fisiológico a cualquier tipo de ejercicio físico o mental; pero
250
Lec. 10.- Trabajo y energía. deberemos reservar el término de trabajo para el que se ajusta a nuestra definición anterior. Pero la definición de trabajo, aunque no está relacionada de un modo evidente con el trabajo fisiológico, está ligada con él mediante el concepto de energía, que como veremos es una consecuencia de la definición de trabajo; todo trabajo fisiológico implica el consumo de una cierta energía.
§10.3. Potencia.- En la definición dada ante-
riormente del trabajo realizado por una fuerza no importa el tiempo que ésta invierte en realizarlo. Sin embargo, en las aplicaciones, y especialmente en la ingeniería, es fundamental conocer la rapidez con que se realiza ese trabajo; esto es, el trabajo realizado por unidad de tiempo. La magnitud física que mide la Figura 10.5 rapidez con que se realiza el trabajo recibe el nombre de potencia y la designaremos por P. La potencia media se define como el cociente entre el trabajo realizado por una fuerza y el tiempo invertido en su realización; esto es, W Δt
[10.10]
El límite del cociente anterior1, cuando consideramos un intervalo de tiempo que tiende a cero, nos define el concepto de potencia instantánea; esto es, lím
P
Δt→0
dW dt
W Δt
[10.11]
De modo que, si conocemos P en función del tiempo, el trabajo realizado en el intervalo de tiempo Δt = t2-t1 será t2
W
⌠ P dt ⌡t
[10.12]
1
Teniendo en cuenta que dW = F dr, podemos escribir esta otra expresión para la potencia desarrollada por una fuerza: P
dW dt
F
dr dt
F v
[10.13]
donde v representa la velocidad de la partícula a la que está aplicada la fuerza. Vemos que la potencia desarrollada por la fuerza F será positiva, nula o negativa según que los vectores F y v formen un ángulo agudo, recto u obtuso.
Rehusamos escribir ΔW en el numerador de la expresión [10.10] ya que el trabajo se realiza o no se realiza, pero no se incrementa. Dicho de otra forma, el trabajo no es función de estado del sistema. Insistiremos y desarrollaremos con más rigor esta idea en las Lecciones de Termología. 1
§10.4.- Unidades de trabajo y potencia.
251
§10.4. Unidades de trabajo y potencia.- La definición de trabajo de una fuerza nos muestra que el trabajo es dimensionalmente equivalente al producto de una fuerza por una longitud. En el Sistema Internacional de unidades (SI o mks), el trabajo vendrá expresado en newton-metro (N m), unidad que recibe el nombre de julio (joule) y cuyo símbolo es J, en honor al científico británico James P. JOULE (1816-1869), famoso sobre todo por sus investigaciones acerca de los conceptos de calor y energía. En el sistema cgs la unidad de trabajo es la dina-centímetro (dyn cm), unidad que recibe el nombre de ergio, cuyo símbolo es erg. En el sistema técnico la unidad de trabajo es el kilogramo-metro (kg m), unidad que recibe el nombre de kilográmetro, cuyo símbolo es kgm. Es fácil encontrar los factores de conversión entre esas unidades de trabajo:
1 J = 107 erg
y
1 kgm = 9.8 J
En cuanto a la potencia, dimensionalmente equivale al cociente de un trabajo por un tiempo. En el sistema SI (mks), la potencia vendrá expresada en julios/segundo (J/s), unidad que recibe el nombre de watio (W), en honor al ingeniero británico J. WATT (1736-1819). En los sistemas de unidades cgs y técnico las unidades de potencia son el erg/s y el kgm/s, respectivamente, que no reciben nombres especiales. En la técnica son de uso frecuente las siguientes unidades de potencia: el caballo de vapor (CV), el horse power (HP) y el kilovatio (kW) (Cuadro 10.1). Cuadro 10.1.- Equivalencias de unidades de potencia. 1 CV = 75 kgm/s = 736 W 1 HP = 550 lb pie/s = 746 W 1 kW = 1 000 W = 102.04 kgm/s
Naturalmente, el producto de una unidad de potencia por una unidad de tiempo nos dará una unidad de trabajo. Así podemos definir la unidad de trabajo llamada kilovatio-hora (kWh), como el trabajo efectuado durante una hora por una máquina cuya potencia (constante) sea de un kilovatio; esto es 1 kWh = (103 W) (3.6×103 s) = 3.6×106 J §10.5. Energía.- El término de energía, al igual que el de trabajo, tiene en la Física un significado muy preciso. Aunque el concepto de energía es previo, históricamente, al de trabajo, debemos llegar a él mediante un proceso intuitivo y gradual, por lo que puede ser conveniente definirlo, de un modo general, de la forma siguiente:
La energía de un sistema material es una medida de su capacidad para realizar trabajo. La energía es una magnitud física escalar y se mide en las
252
Lec. 10.- Trabajo y energía.
mismas unidades que el trabajo. A partir de esa definición podemos pensar inmediatamente en muchos sistemas materiales que poseen energía. Por ejemplo, a causa de encontrarse en movimiento. Así, un automóvil, un proyectil, el agua que cae por una cascada, el viento ... poseen energía en el sentido de que tienen capacidad para realizar trabajo durante el proceso que los lleve al reposo. La energía que posee un sistema material en razón de encontrarse en movimiento recibe el nombre de energía cinética. Pero también podemos concebir otros sistemas materiales que poseen energía en razón de su posición o de su configuración. Por ejemplo, un metro cúbico de agua situado en la parte superior de la presa de un pantano tiene, como consecuencia de su posición, capacidad para realizar trabajo, moviendo la turbina situada en la parte inferior de la presa, la cuerda tensa de un arco tiene capacidad para realizar trabajo, impulsando a la flecha. La energía que posee un sistema material en razón de su posición o de su configuración, se denomina energía potencial. El metro cúbico de agua mencionado en el ejemplo anterior posee una cierta energía potencial como consecuencia de su posición en el campo gravitatorio terrestre. A esa energía potencial la llamamos energía potencial gravitatoria. También el arco tenso tiene una cierta energía potencial. El sistema constituido por la armadura del arco y la cuerda constituye un sistema elástico y almacena una cierta energía cuando está tenso; dicha energía se llama energía potencial elástica. Los ejemplos anteriores nos demuestran como podemos añadir diferentes calificativos a la energía potencial, de acuerdo con las características de cada sistema material. Siempre podemos pensar en la energía como el resultado de la realización de un trabajo. Así, en el caso del metro cúbico de agua, la energía potencial la adquiere mediante el trabajo que tendríamos que realizar para elevarlo hasta la parte superior de la presa; en el caso del arco, la energía potencial (elástica) la adquiere mediante el trabajo que hay que realizar para tensarlo. Para poner un cuerpo en movimiento hay que realizar un trabajo, y el resultado es que el cuerpo adquiere energía cinética. Estas observaciones nos sugieren la posibilidad de definir operativamente el concepto de energía, a través del trabajo que se ha realizado previamente sobre el cuerpo o sistema material. Estas definiciones operativas, que estudiaremos con detalle en los apartados que siguen, resultan más satisfactorias que la definición general de energía dada al principio de este artículo; aunque, como veremos, son equivalentes a ella. §10.6. Energía cinética.- Consideremos
Figura 10.6
una partícula de masa m sobre la que actúa una fuerza única F, o un conjunto de fuerzas cuya resultante sea F, y describamos su movimiento desde un determinado referencial inercial, como se muestra en la Figura 10.6. Bajo la acción de esa fuerza, o de ese conjunto de fuerzas, la
253
§10.6.- Energía cinética.
partícula adquiere una aceleración, tal que F = ma. Calculemos el trabajo realizado por la fuerza F en un desplazamiento de la partícula entre dos puntos, A y B, de su trayectoria: B
WAB
B
⌠ F dr ⌡A
B
⌠ ma dr ⌡A
C
m⌠ ⌡A
C
pero como de
d (v v)
se sigue que
C
B
dv dr dt
d (v 2)
m⌠ v dv ⌡A
[10.14]
[10.15]
2 v dv
1 d(v 2) 2
v dv
[10.16]
y la expresión [10.14] se transforma en B
m⌠ d(v 2) 2 ⌡A 1
WAB
1 2
mv 2
B
1 2
A
2
mvB
1 2
2
mvA
[10.17]
El término ½mv2, que reconoceremos como la mitad de la vis viva definida por Leibniz, aparece tan a menudo en las expresiones de la Física, que desde hace ya más de un siglo se estimó conveniente considerarlo como una magnitud física importante, a la que se le dio el nombre de energía cinética. Representaremos la energía cinética por Ek, de modo que la expresión [10.17] podemos escribirla como B
WAB
⌠ F dr ⌡A C
1 2
2
mvB
1 2
2
mvA
Ek(B)
Ek(A)
[10.18]
que constituye la expresión del llamado teorema de las fuerzas vivas2, que puede enunciarse de la siguiente forma: El trabajo efectuado sobre una partícula es igual a la variación que experimenta su energía cinética. El teorema de las fuerzas vivas, o teorema del trabajo y de la energía cinética como se le conoce actualmente, es de validez general, cualquiera que sea la naturaleza de la fuerza o fuerzas que obren sobre la partícula. La energía cinética de una partícula es una magnitud física escalar, esencialmente positiva, que se mide, obviamente, con las mismas unidades que el trabajo; esto es, en julios (J) en el sistema mks (SI) y en ergios (erg) en el sistema cgs. La expresión [10.18], que relaciona el trabajo realizado sobre una partícula con la variación de su energía cinética, presenta un cierto parecido formal con la expresión
El nombre de fuerza viva se conserva por razones históricas. Fue asignado por Leibniz a aquellas fuerzas que producen movimiento; en contraposición a las que él llamaba fuerzas muertas, que no dan lugar a movimiento alguno, como es, por ejemplo, el peso de un cuerpo situado sobre un tablero horizontal. 2
254
Lec. 10.- Trabajo y energía.
Π
B
⌠ F dt ⌡A
mv B
mv A
pB
[10.19]
pA
que relaciona la impulsión de una fuerza con la variación de la cantidad de movimiento que experimenta la partícula sobre la que actúa (vide §7.7). La diferencia radica en que la impulsión, por ser una integral de tiempo, es útil si conocemos la fuerza en función del tiempo; en tanto que el trabajo, por ser una integral de espacio, es útil si conocemos el valor de la fuerza en función de la posición de la partícula sobre la que actúa, que es una situación que nos encontramos frecuentemente y, por ello, los conceptos de trabajo y de energía desempeñan un papel tan importante en la Física.
Observemos que, por ser relativa al observador la velocidad de una partícula, la energía cinética de la misma también será una magnitud física relativa al observador; esto es, cuando hablemos de la energía cinética de la partícula tendremos que especificar el referencial en el cual se mide. Pero también debemos observar que el trabajo realizado por una fuerza depende del referencial en el que describamos el B
F dr es movimiento de la partícula a la que está aplicada; i.e., la integración ⌠ ⌡A C
función del referencial (inercial) elegido, ya que la trayectoria, y con ella A y B, resulta ser función del referencial que utilizamos para describir el movimiento. De ese modo resulta que el teorema de las fuerzas vivas es válido (de acuerdo con el principio de relatividad de Galileo) en cualquier referencial inercial.
Ejemplo I.- Demostrar la validez del teorema de las fuerzas vivas en todos los referenciales inerciales. Supongamos un vagón de ferrocarril que se mueve con velocidad constante v0 sobre una vía recta y horizontal; consideremos dos observadores, S y S′, en reposo con respecto a tierra y en reposo en el interior del vagón, respectivamente, como se muestra en la Figura 10.7. Evidentemente, al ser v0=cte, o sea a0=0, si el observador S es considerado como inercial, el S′ también lo será. Sea un cuerpo de masa m que se encuentre sobre la plataforma del vagón, y supongamos que se le aplica una fuerza constante F en la dirección del movimiento del vagón (para simplificar el problema, aunque ello no impida que sean generales los resultados que obtengamos). Figura 10.7 En todo instante, la energía cinética del cuerpo de masa m viene dada, en cada uno de los referenciales S y S′ por Ek
1 2
mv 2
Ek
1 2
mv 2
[10.20]
255
§10.6.- Energía cinética.
estando v y v′ relacionadas por
v
v
[10.21]
v0
que sustituida en [10.20] nos conduce a Ek
1 2
mv 2
1 2
m(v
1
v0)2
2
mv 2
1 2
2
mv0
mv0v
1
Ek
2
mv0
2
mv0v
[10.22]
de modo que Ek > E′k La variación de la energía cinética del cuerpo en un desplazamiento A′B′ sobre la plataforma del vagón, lo que corresponde a un desplazamiento AB para el observador S, en cada uno de los referenciales vale respectivamente: 1
ΔEk(A→B)
2
2
1
mvB
2
2
1
ΔEk(A →B )
mAvA
2
mv 2B
1 2
mv 2A
[10.23]
estando relacionadas por ΔEk(A→B)
ΔEk(A →B )
mv0(v B
[10.24]
v A)
Esto es, ni las energías cinéticas, ni las variaciones de las energías cinéticas, tienen el mismo valor en los dos referenciales. Pero lo mismo ocurre con el trabajo efectuado por la fuerza F, aunque ésta es la misma en ambos referenciales inerciales. En efecto, en cada uno de los referenciales, tenemos F (AB)
WAB
Fs
pero
s
WA B s
F (A B )
Fs
[10.25]
[10.26]
v0 t
donde t es el tiempo empleado en el desplazamiento A→B (o A′→B′), de modo que WAB
Fs
F (s
v0 t)
Fs
F v0 t
W AB
F v0 t
[10.27]
resultando que el trabajo efectuado por la fuerza es mayor cuando lo mide el observador S que cuando lo mide el observador S′, lo que está de acuerdo con las correspondientes variaciones en la energía cinética. Podemos desarrollar el último término de la expresión anterior para obtener F v0 t
(ma) v0 t
m v0 (at )
m v0 (v B
v A)
[10.28]
que es el término que aparece en el segundo miembro de [10.24], de modo que podemos asegurar que el trabajo suplementario que se mide en el referencial S es igual a la variación suplementaria de energía cinética que se mide en ese mismo referencial. Por consiguiente, el teorema de las fuerzas vivas es válido en ambos referenciales y, en general, lo es en todos los referenciales ligados por una transformación galileana.
§10.7. Campos de fuerzas. Fuerzas conservativas.- Llamamos campo de fuerzas a toda región del espacio en la que una partícula se encuentra sometida a la acción de una fuerza cuyo valor está perfectamente definido en módulo, dirección y sentido. Esto es, la fuerza que actúa sobre una partícula situada en una región del espacio donde está definido un campo de fuerzas será función de las coordenadas que fijan su posición en el espacio y, eventualmente, del tiempo; o sea,
256
Lec. 10.- Trabajo y energía.
F (r ;t)
F
[10.29]
F (x,y,z;t)
En el caso particular de que F no sea función explícita del tiempo, esto es, de que F
F (r)
[10.30]
F (x,y,z)
el campo de fuerzas se llama estacionario. En lo que sigue, salvo que se diga lo contrario, consideraremos sólo campos de fuerzas estacionarios. Naturalmente, la fuerza que actuará sobre una partícula que esté situada en un campo de fuerzas, dependerá no sólo de su posición (y eventualmente del tiempo) sino de la característica o propiedad de la partícula que la hace sensible al campo. Esto es: de su masa, si se trata de un campo gravitatorio; de su carga eléctrica, si se trata de un campo electrostático ... Por ello, es conveniente definir la intensidad del campo de fuerzas en cada punto del espacio donde esté definido como la fuerza a la que estará sometida una partícula que tenga la unidad de carga sensible al campo (masa gravitatoria o carga eléctrica, en los ejemplos anteriores). Designando por g y E las intensidades del campo gravitatorio y eléctrico, respectivamente, la fuerza a la que estará sometida una partícula, de masa m y carga eléctrica q, será Fg
mg
FE
[10.31]
qE
donde los subíndices g y E hacen referencia a la naturaleza de las fuerzas. Mediante el concepto de intensidad de campo conseguimos asignar a cada punto del espacio donde está definido el campo de fuerzas un vector único; esto es, con independencia del valor de la característica de la partícula sensible al campo. Así, tenemos definido un campo vectorial, que podrá ser representado, como ya sabemos, mediante líneas vectoriales, que en este caso reciben el nombre de líneas de fuerza. Consideremos, ahora, una partícula de masa m situada en un campo de fuerzas al cual es sensible; por ejemplo, un campo gravitatorio, o un campo eléctrico si la partícula tiene carga eléctrica. El trabajo realizado por el campo cuando la partícula se desplaza entre las posiciones A y B, recorriendo una cierta trayectoria C, viene dado por Figura 10.8
B
WAB
⌠ F dr ⌡A
[10.32]
C
Generalmente ese trabajo depende de la trayectoria que sigue la partícula en su desplazamiento entre los puntos A y B. No obstante, existen algunos campos de fuerzas, sumamente importantes en la Física, en los que se verifica que la circulación (o sea el trabajo) entre dos puntos dados es independiente del camino que se siga al hacer la integración curvilínea de [10.32]. Tales campos de fuerzas se llaman conservativos o irrotacionales (por las razones que ya vimos en la Lec. 3.- Análisis vectorial), y las fuerzas definidas por ellos se llaman fuerzas conservativas. En tales campos, la circulación, i.e., el trabajo realizado por el campo, cuando la partícula se
257
§10.7.- Campos de fuerzas. Fuerzas conservativas.
desplaza entre dos puntos dados se puede obtener calculando la diferencia de valores que toma una cierta función escalar de punto que se llama función potencial. Como veremos en el próximo epígrafe, la energía potencial está relacionada en los campos de fuerza conservativos con el trabajo realizado por el campo en un desplazamiento dado de la partícula. Un criterio alternativo para definir un campo de fuerzas (o una fuerza) conservativa es el siguiente: Una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza sobre una partícula es cero cuando la partícula recorre cualquier trayectoria cerrada y vuelve a la posición de partida. En efecto, se verifica que F dr
WAB
B
⌠ F dr ⌡A C
A
⌠ F dr ⌡B
0
[10.33]
C
y esto implica que B
⌠ F dr ⌡A C
B
⌠ F dr ⌡A
[10.34]
C
o sea que la circulación (el trabajo) entre dos puntos dados, A y B, no depende del camino de integración. Una fuerza no-conservativa es, por Figura 10.9 ejemplo, el rozamiento por deslizamiento. Como la fuerza de rozamiento se opone siempre a la dirección del movimiento, resulta obvio que el trabajo realizado por ella es siempre negativo. Así, cuando un objeto recorre una trayectoria cerrada y regresa a su posición inicial, el trabajo total realizado por la fuerza de rozamiento es negativo. Evidentemente se trata de una fuerza no-conservativa que, puesto que el trabajo realizado por ella es siempre negativo (disipa energía), se dice que es disipativa. Un caso muy importante de campo conservativo es el de una fuerza central; es decir, el campo de una fuerza cuya línea de acción pasa siempre por un punto determinado O, llamado centro de fuerzas o centro del campo, y cuyo módulo es función únicamente de la distancia entre su punto de aplicación (posición de la partícula sobre la que actúa) y el centro del campo. Si tomamos como origen de coordenadas el centro del campo, podemos expresar una tal fuerza central del modo siguiente: F
F (r) e r
f (r) r
[10.35]
Figura 10.10
258
Lec. 10.- Trabajo y energía.
donde no hacemos ninguna hipótesis sobre la forma funcional de F(r) o f(r). Naturalmente, si F y r tienen el mismo sentido, la fuerza F representa una repulsión, ejercida desde el origen, sobre la partícula; en caso contrario F representa una atracción. Es fácil demostrar que cualquier campo de fuerzas centrales es conservativo. El campo gravitatorio y el campo electrostático, que son campos centrales, son campos conservativos. Ejemplo II.- Fuerzas centrales.- Demostrar que todos los campos de fuerzas centrales son conservativos. ♦ Para demostrar que cualquier campo de fuerzas centrales es conservativo, bastará demostrar que es irrotacional, o sea que ∇×F
∇ × [ f(r ) r ]
0
[10.36]
En efecto, ya que es r = xi + yj + zk, tenemos ⎛ ∂/∂x ⎞ ⎛ x f(r) ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ∂/∂y ⎟ × ⎜ y f(r) ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ ∂/∂z ⎠ ⎝ z f(r)
∇ × [ f (r )r ]
⎛ ∂f ⎜z ⎝ ∂y
y
∂f ∂x
ya que
y análogamente ♦
∂f ⎞ ⎟i ∂z ⎠
∂f ∂y
⎛ ∂f ⎜x ⎝ ∂z
df ∂r dr ∂x df ∂r dr ∂y
z
∂f ⎞ ⎟j ∂x ⎠
[10.37]
⎛ ∂f ⎜y ⎝ ∂x
df ∂ 2 2 2 x y z dr ∂x y df r dr
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ x
0
x df r dr df ∂r dr ∂z
∂f ∂z
∂f ⎞ ⎟k ∂y ⎠
[10.38]
z df r dr
Resulta conveniente proceder de un modo más intuitivo, sin calcular el rotacional. Para ello, evaluaremos el trabajo realizado por la fuerza central en un desplazamiento de la partícula entre los puntos A y B: B
WAB
⌠ F dr ⌡A C
B
⌠ F(r ) e dr r ⌡A C
B
⌠ F(r ) dr ⌡A
[10.39]
ya que er dr representa la proyección dr del desplazamiento elemental dr en la dirección radial, i.e., dr. Obviamente, la última integral de [10.39] no depende del camino seguido, ya que nos conduce al siguiente resultado B
WAB Figura 10.11
⌠ F(r) dr ⌡A
φ (r)
B A
φB
φA
[10.40]
esto es, el trabajo (la circulación) realizado por el campo es función únicamente de los valores que toma una cierta función escalar de punto en los extremos de la trayectoria.
§10.7.- Campos de fuerzas. Fuerzas conservativas.
259
Imaginemos, ahora, una fuerza que dependa de la velocidad con que se recorre la trayectoria; por ejemplo, la fuerza que actúa sobre una partícula cargada eléctricamente que se mueve en un campo magnético es función de su velocidad (F=qv×B). ¿Puede ser conservativa una fuerza de este tipo? En general no serán conservativas, pero resulta que esas fuerzas fundamentales que dependen de la velocidad si que son conservativas, ya que al ser la fuerza perpendicular a la velocidad (i.e., a la trayectoria), el trabajo realizado siempre será nulo, tanto en una trayectoria cerrada como en una trayectoria abierta. Como sabemos, con independencia de los nombres que demos a las diferentes fuerzas que usamos o simplemente conocemos, existen solamente dos fuerzas fundamentales que gobiernan el comportamiento de los cuerpos que encontramos en nuestra experiencia cotidiana. Estas dos fuerzas son las gravitatorias y las electromagnéticas. Todas las otras fuerzas pueden considerarse como manifestaciones complejas de esas dos fuerzas fundamentales; por consiguiente, todo proceso debe ser conservativo si se analiza con suficiente detalle. Hemos dicho anteriormente que la fuerza de rozamiento es disipativa, esto es que el trabajo que realiza siempre es negativo, de modo que cuando la partícula regresa a su posición inicial se ha disipado parte de su energía. En realidad lo que ha ocurrido es que esa energía se ha transformado en algo que no nos es útil (energía calorífica) por lo que la consideramos como perdida desde el punto de vista mecánico; todo es, según se ve, una cuestión de contabilidad. §10.8. Energía potencial.- Consideremos un campo de fuerzas conservativo en el que la fuerza que actúa sobre una partícula sea función tan sólo de la posición de ésta; esto es, F = F(r) = F(x,y,z). Imaginemos un desplazamiento de la partícula entre los puntos A y B, a lo largo de una cierta trayectoria C, y calculemos el trabajo realizado por el campo, B
WAB
⌠ F dr ⌡A C
B
⌠ F dr ⌡A
[10.41]
que, por ser conservativo el campo, sólo depende de las posiciones extremas, A y B, de la partícula y no del camino recorrido por ésta. Es decir, podemos expresar dicho trabajo como la diferencia de valores que toma cierta función escalar en los extremos de dicha trayectoria; dicha función recibe el nombre de energía potencial y la designaremos por Ep, de modo que B
WAB
⌠ F dr ⌡A
[ Ep(B)
Figura 10.12
Ep(A) ]
[10.42]
anteponiéndose el signo negativo para indicar que el trabajo realizado por el campo representa una disminución de su energía potencial; esto es, una disminución de su capacidad para realizar más trabajo sobre la partícula. Evidentemente, la energía
260
Lec. 10.- Trabajo y energía.
potencial tiene las mismas dimensiones que el trabajo, y se medirá en las mismas unidades que éste. En definitiva, podemos dar la definición siguiente: La energía potencial de una partícula en un campo (al cuál es sensible) es una función (escalar) de las coordenadas de la posición que ocupa, de tal modo que el trabajo realizado por el campo durante un desplazamiento de la partícula es igual a la diferencia de valores de la energía potencial en la posición inicial y en la posición final. Obsérvese que el valor de Ep(B) sólo estará definido si conocemos el valor de Ep(A), pues entonces Ep(B)
B
⌠ F dr ⌡A
Ep(A)
[10.43]
Esto es, la energía potencial no tiene carácter absoluto, ya que sólo podemos calcular la diferencia de energías potenciales correspondientes a dos posiciones dadas de la partícula; sólo la diferencia Ep(B) - Ep(A) tiene siempre un significado físico. Sin embargo, podemos dar significado a la energía potencial en B, Ep(B), haciendo que el punto A sea un punto de referencia conveniente al que le asignamos un valor arbitrario de energía potencial, ordinariamente igual a cero; entonces Ep(B)
Ep(A)
B
⌠ F dr ⌡A
B
⌠ F dr ⌡A
con Ep(A)
0 [10.44]
Normalmente es conveniente escoger la posición de referencia a la que hacemos corresponder (arbitrariamente) una energía potencial nula en una posición en la que es nula la fuerza que obra sobre la partícula. En el caso del campo gravitatorio y del campo electrostático creado por una masa y una carga puntual, respectivamente, esta circunstancia se presenta a una distancia infinita de dicha masa o carga puntual, de modo que la energía potencial que le corresponde a una segunda masa o carga puntual colocada en dichos campos viene dada por Ep(B)
B
⌠ F dr ⌡∞
∞
⌠ F dr ⌡B
[10.45]
o sea que Ep(B) representa el trabajo que realiza el campo sobre la segunda masa o carga cuando ésta se desplaza desde el punto B hasta el infinito. Lo que equivale a decir, que Ep(B) representa el trabajo que tenemos que efectuar, mediante la aplicación de una fuerza Fap = -F, que equilibre en todo instante a la fuerza intrínFigura 10.13 seca del campo, para traer la masa o carga desde el infinito hasta el punto B. Naturalmente, en el caso de que la fuerza F no sea conservativa, el trabajo que realiza en un desplazamiento desde A hasta B dependerá del camino que siga la partícula y, al no ser dicho trabajo función exclusiva de las posiciones inicial y final de la partícula, no existirá una función energía potencial asociada con tal fuerza.
261
§10.8.- Energía potencial.
Resulta conveniente definir el concepto de potencial, asociado a un campo de fuerzas conservativo, en un punto del espacio en el que está definido dicho campo, como la energía potencial asociada a la unidad de carga sensible al campo (masa gravitatoria, carga eléctrica, ...) en dicho punto. Así, denominando por (r) y V(r) los potenciales gravitatorio y electrostático en un punto P (definido por su vector de posición r), en los campos respectivos, tenemos las expresiones: Ep,g(r)
(r)
Ep,e(r)
V(r)
m
[10.46]
q
que definen unas funciones escalares de punto a las que llamamos campos de potencial (gravitatorio, electrostático, ...) o, simplemente, potencial (gravitatorio, electrostático, ...). Teniendo en cuenta la definición dada en §10.7 para la intensidad de un campo de fuerzas, podemos sustituir las expresiones [10.31] en las [10.42]-[10.45] para obtener las relaciones existentes entre la circulación de la intensidad del campo de fuerzas y el campo de potencial asociado. Así, la expr. [10.43] se convierte en (B)
B
B
⌠ g dr ⌡A
(A)
V(B)
V(A)
⌠ E dr ⌡A
[10.47]
para los potenciales gravitatorio y electrostático respectivamente. En un desplazamiento infinitesimal de la partícula, en un campo de fuerzas conservativo, se tiene dEp
F dr
F ds cos θ
[10.48]
donde θ es el ángulo determinado por la dirección de la fuerza y la del desplazamiento elemental3. Podemos escribir [10.48] en la forma F cos θ
dEp
Fs
ds
Figura 10.14
[10.49]
esto es, la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento elemental (arbitrario) es igual a la derivada de la energía potencial en esa dirección (derivada direccional de Ep), cambiada de signo. Como vimos en la lección de Análisis vectorial, cuando un vector es tal que su componente en una dirección cualquiera puede expresarse como la derivada direccional de una función escalar de punto en esa dirección, el vector se llama gradiente de esa función. De ese modo, podemos decir que F es el gradiente, con signo negativo, de la función Ep; esto es, F
grad Ep
∇ Ep
[10.50]
En coordenadas cartesianas (x,y,z) las componentes de la fuerza F pueden expresarse, como ya sabemos, por
3
Obsérvese, una vez más, que ds (elemento de longitud sobre la trayectoria) es igual a dr .
262
Lec. 10.- Trabajo y energía.
Fx
∂Ep
Fy
∂x
∂Ep ∂y
∂Ep
Fz
∂z
[10.51]
En ocasiones estaremos interesados en obtener las componentes de la fuerza F en coordenadas polares planas, en especial en el caso de que F sea una fuerza central. En coordenadas polares planas se utilizan las coordenadas r (radial) y θ (angular) para determinar la posición de una partícula en el plano, como se muestra en la Figura 10.15, siendo er y eθ los versores correspondientes a las direcciones de crecimiento de las coordenadas r y θ, respectivamente. Las componentes polares de un desplazamiento elemental dr son dr
dr e r
r dθ eθ
[10.52]
de modo que, aplicando [10.49], las componentes radial y transversal de la fuerza son Fr
∂Ep
Fθ
∂r
1 ∂Ep r ∂θ
[10.53]
o sea que la expresión del gradiente en coordenadas polares planas es ∇ Ep
∂Ep ∂r
er
1 ∂Ep e r ∂θ θ
[10.54]
Se presenta un caso particularmente importante cuando la energía potencial de una partícula colocada en un campo es función tan sólo de r [esto es, Ep(r)], en lugar de serlo de r y θ [es decir, Figura 10.15 Ep(r,θ)]. Entonces, es obvio que Fθ = 0 y la fuerza sólo tiene componente radial; esto es, se trata de una fuerza central. Recíprocamente, si la fuerza es central, al ser Fθ = 0 se sigue de [10.53] que Ep es independiente de θ, o sea que será Ep = Ep(r). En resumen: La energía potencial asociada con una fuerza central es función tan sólo de la distancia a que se encuentra la partícula del centro de fuerzas y recíprocamente. Ejemplo III.- Energía potencial gravitatoria (I).- El ejemplo más simple de fuerza conservativa lo constituye una fuerza constante que define un campo de fuerzas uniforme. En este caso se encuentra el campo gravitatorio terrestre en una región del espacio no demasiado extensa. Si elegimos un sistema de ejes coordenados de modo que el eje z sea perpendicular a la superficie terrestre, la fuerza que actúa sobre un cuerpo de masa m, esto es, el peso del cuerpo, viene dado por F
mg k
[10.55]
Así, el trabajo realizado por dicha fuerza cuando el cuerpo se desplaza entre las posiciones A y B es
263
§10.8.- Energía potencial.
B
WAB
B
⌠ F dr ⌡A
⌠ mg dz ⌡A
( mgzB
mgzA )
[10.56]
resultando que dicho trabajo es independiente de la trayectoria seguida por el cuerpo. En consecuencia, el campo gravitatorio terrestre es conservativo y la diferencia de energía potencial entre dos puntos viene expresada por el trabajo realizado por el campo en un desplazamiento del cuerpo entre esas dos posiciones. De [10.56] se sigue la expresión de la energía potencial en una posición cualquiera; esto es,
Ep
[10.57]
mgz
Figura 10.16
de modo que la diferencia de energía potencial entre dos puntos es Ep(A)
Ep(B)
mg (zA
zB)
[10.58]
mgh
donde h representa la diferencia de alturas de las posiciones A y B con respecto a un nivel de referencia arbitrario. Obsérvese que el nivel de referencia de energía potencial nula corresponde, de acuerdo con [10.57], a z = 0, aunque eso es irrelevante y podemos elegir cualquier otro nivel.
Ejemplo IV.- Energía potencial gravitatoria (II).- En el ejemplo anterior hemos considerado sólo una pequeña región del campo gravitatorio terrestre, a fin de poderlo considerar uniforme; las expresiones [10.55] a [10.58] sólo serán válidas dentro de esas limitaciones. Pero, ¿cómo abordaremos el problema en el caso más general? La fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra (M) sobre una partícula de masa m que se encuentra situada a una distancia r de su centro es una fuerza central y, por tanto, conservativa, que viene dada por F
G
Mm er r2
[10.59]
La función energía potencial asociada a esta fuerza conservativa puede calcularse utilizando la expresión [10.45], escogiendo la posición de referencia a la que hacemos corresponder una energía potencial nula en el infinito, ya que cuando r→∞ la fuerza que actúa sobre la partícula tiende hacia cero. Entonces Wr→∞
esto es
Ep(r)
Ep(r)
G
Mm r
∞
⌠ F dr ⌡r
∞ dr GMm ⌠ ⌡r r 2
G
Mm r
[10.61]
que es la expresión de la energía potencial gravitatoria de la masa m en el campo gravitatorio creado por la masa M (o viceversa), siendo r la distancia entre sus centros (en el caso de esferas homogéneas). La expresión [10.61] es muy diferente de la [10.57], pero podemos demostrar que ésta es un caso particular de aquélla. En efecto, a partir de [10.61] podemos escribir
Figura 10.17
[10.60]
264
Lec. 10.- Trabajo y energía.
Ep(r)
Ep(R)
G
Mm R
G
Mm r
GMm
r R Rr
GM R m (r R) 2 r R
[10.62]
que, teniendo en cuenta que GM/R2 = g y que r - R = h, se reduce, en el caso de que R≈r, a Ep(r)
Ep(R)
[10.63]
mgh
Ejemplo V.- Energía potencial elástica.- Otro ejemplo de fuerza conservativa lo constituye la que ejerce un muelle sobre un cuerpo sujeto a él. En el caso de que la deformación del muelle no sea demasiado grande, la fuerza elástica, con el muelle estirado o comprimido con respecto a su longitud natural x0 , viene dada con suficiente aproximación por la ley de Hooke, F = -k(x-x0). El trabajo realizado por esa fuerza en un desplazamiento desde la posición de equilibrio (x0) hasta una posición genérica (x) viene dado por x
Wx →x 0
⌠ F dr ⌡x 0
x
⌠ k(x ⌡x
x0 ) dx
1 2
k (x
[10.64]
x 0 )2
0
que depende tan sólo de las coordenadas x0 y x de los puntos inicial y final. Por ser conservativa la fuerza elástica así definida, dicho trabajo será igual a la disminución de la energía potencial elástica, quedando definida ésta por Ep(x)
Figura 10.18
1 k (x 2
x 0 )2
[10.65]
esto es, proporcional al cuadrado de la deformación del muelle con respecto a su configuración natural. Obsérvese que a la configuración de equilibrio (x=x0) le corresponde una energía potencial elástica nula.
§10.9. La energía potencial como energía de configuración.- En tanto que la energía cinética de una partícula viene expresada siempre por la fórmula mv2/2, no ocurre lo mismo con la energía potencial. A cada fuerza conservativa podemos asociarle una energía potencial que, de acuerdo con la naturaleza de la fuerza, recibe distintos calificativos, tales como los de energía potencial gravitatoria o elástica, vistos en los ejemplos anteriores, y serán distintas sus expresiones; esto es, no existe una fórmula única para expresar la energía potencial. Todo lo más que podemos hacer es definir la diferencia de energía potencial de la partícula, para dos posiciones dadas, como el trabajo que realiza el campo de fuerzas, cambiado de signo, en un desplazamiento de la partícula entre esas dos posiciones. Pero hay una matización más que debemos hacer al concepto de energía potencial. En los apartados anteriores nos hemos referido a la energía potencial de una partícula en un campo de fuerzas (conservativo) como si esa energía potencial estuviese "almacenada" en la partícula. Así, hablábamos de la energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m en el campo gravitatorio terrestre como si dicha energía estuviese exclusivamente ligada al cuerpo a través de la posición que ocupa
§10.9.- La energía potencial como energía de configuración.
265
en dicho campo. Esta es una forma simplificada de enfocar la cuestión. Como sabemos, hemos "inventado" el concepto de campo para que nos sirva como "vehículo" de la interacción a distancia entre dos (o más) partículas materiales; la fuerza que "actúa" sobre cada una de las partículas es simplemente un artificio cómodo para representar dicha interacción. Estrictamente hablando, la energía potencial deberá depender tanto de las coordenadas de la partícula considerada como de las de todas las demás partículas que constituyen su medio ambiente. Esto es, la energía potencial no debe asignarse a ningún cuerpo concreto, sino que debe considerarse como algo "perteneciente" a todo el sistema en su conjunto; es decir, a todas las partículas interactuantes. Unos ejemplos nos ayudarán a comprender esta idea. Consideremos una piedra situada a una cierta altura sobre la superficie terrestre. Como hemos visto anteriormente, podemos afirmar que "la piedra posee una cierta energía potencial", por cuanto que posee una cierta capacidad para realizar trabajo en virtud de su posición. Un poco de reflexión nos descubrirá que debemos considerar esa energía potencial como una propiedad del sistema piedra-Tierra, en su conjunto; es la posición relativa entre las partes del sistema la que determina su energía potencial. La energía potencial es mayor cuanto más separadas están dichas partes. Supongamos que abandonamos el sistema; las partes se aproximan y disminuye la energía potencial. Durante esa "desaparición" de energía potencial se realiza un trabajo y se va incrementando la energía cinética del sistema. La piedra "cae" hacia la Tierra, pero la Tierra "también cae" hacia la piedra, ya que en virtud de la ley de la acción-reacción, la piedra ejerce sobre la Tierra una fuerza igual en módulo y de sentido contrario a la que la Tierra ejerce sobre la piedra. La Tierra adquiere, pues, una cierta aceleración, muy pequeña dada la enorme disparidad de masas, con respecto a algún marco de referencia inercial. Como el cambio de velocidad de la Tierra es sumamente pequeño, su energía cinética adicional (en su órbita) es despreciable en comparación a la de la piedra que "cae"; ésta es la razón por la que tendemos a asignar la energía potencial a la piedra, por cuanto que es ella la que adquiere prácticamente toda la energía cinética a expensas de la energía potencial del sistema. Una situación muy distinta se nos presenta si consideramos dos cuerpos de masas comparables. Imaginemos dos planetoides inicialmente unidos (por su atracción gravitatoria) y que ATLAS4 los separa una cierta distancia, interponiendo su cuerpo entre ellos, empujando a uno de ellos hacia arriba (?) con sus brazos y al otro hacia abajo (?) con sus piernas. El sistema habrá adquirido una cierta energía potencial igual al trabajo que ha realizado Atlas. Aquí resulta evidente que no debemos asignar esa energía potencial a ninguno de los dos planetoides en concreto, sino que debemos considerarla como una propiedad del sistema en su conjunto; esto es, la energía potencial está relacionada con la configuración del sistema. Figura 10.19 Cuando consideramos el sistema total, es decir, la partícula y su medio ambiente (en definitiva, otras partículas), la energía potencial es una magnitud asociada con la configuración del sistema y no con una partícula en concreto. Cuando el sistema evoluciona, bajo la acción de las fuerzas de interacción entre sus partes, desde una configuración a otra, la variación de la energía potencial del sistema (con el signo cambiado) es igual al trabajo efectuado por las
ATLAS o ATLANTE: Divinidad griega que encabezó la lucha de los Titanes contra los dioses, por lo que fue condenado por ZEUS a sostener eternamente sobre sus hombros la bóveda celeste. Acabó su vida petrificado, convertido en la cadena montañosa africana de Atlas, cuando PERSEO le mostró la cabeza de la GORGONA. 4
266
Lec. 10.- Trabajo y energía.
fuerzas de interacción durante ese periodo de tiempo. Podemos imaginar las cosas desde un punto de vista ligeramente diferente. Si queremos modificar la configuración de un sistema (digamos, una masa sujeta a un muelle) deberemos aplicar una fuerza igual y opuesta a la de interacción. Entonces, podemos decir que la energía potencial del sistema es igual al trabajo que debe hacerse por un agente externo para dar al sistema una cierta configuración a partir de una configuración de referencia arbitrariamente elegida. §10.10. Teorema del virial.- Consideremos una partícula de masa m que se encuentra en movimiento bajo la acción de una fuerza F, y sean r y v sus vectores de posición y velocidad en un cierto instante en un referencial dado. La cantidad de movimiento de la partícula es p = mv y, como ya sabemos, dp/dt = F. Definamos ahora el virial de la cantidad de movimiento (vide §2.10) como el escalar
V
[10.66]
r p
Como tanto r como p son funciones del tiempo, también lo será V. Calculemos la derivada temporal de V; tenemos dV dt
r
[10.68]
o sea
dp dt
dr p dt
dV dt
r F
r F
mv 2
[10.67]
2Ek
Calculemos ahora los promedios temporales correspondientes a los dos miembros de la ecuación anterior; esto es: dV dt
r F
2 Ek
[10.69]
El promedio temporal del primer miembro, en un intervalo de tiempo τ, es fácil de evaluar dV dt
1 ⌠τ dV dt τ ⌡0 dt
1 ⌠τ dV τ ⌡0
V(τ )
V(0) τ
[10.70]
En el caso de que el movimiento de la partícula sea periódico, es decir, que tanto sus coordenadas de posición como su velocidad se repitan simultáneamente al cabo de un tiempo T (periodo), y si consideramos un tiempo τ que sea múltiplo del periodo (τ = nT), será V(τ) = V(0), de modo que = 0. Llegaremos al mismo resultado, aun cuando el movimiento no sea periódico, con tal que supongamos que los valores de r y de v estén acotados (entonces la partícula se moverá en una región limitada del espacio). Ese es el caso, por ejemplo, de un electrón en un átomo o de la Tierra en el Sistema Solar. En esas condiciones, puesto que V estará acotado, bastará considerar un tiempo τ suficientemente largo para que sea tan pequeño como deseemos. En ambos casos se deduce de [10.69] que
267
§10.10.- Teorema del virial.
1
Ek
[10.71]
r F
2
El segundo miembro de esta igualdad recibe el nombre de virial de la partícula o de CLAUSIUS (1812-1888), y la ecuación anterior constituye la expresión del teorema del virial, que en su forma más general (para una partícula) nos dice: El valor medio de la energía cinética de una partícula que tiene un movimiento acotado es igual a su virial. Si la fuerza F es conservativa, entonces existirá una función de energía potencial tal que F = -grad Ep, y el teorema del virial adopta la forma 1
Ek
∂Ep 1 r 2 ∂r
r ∇ Ep
2
[10.72]
Un caso particularmente interesante lo constituye el de una partícula que se mueve en un campo de fuerzas centrales, cuya ley de fuerza es del tipo F ∝ rn; entonces, la energía potencial es función únicamente de la coordenada radial (r), es decir, Ep = krn+1, y será r
∂Ep ∂r
r
dEp dr
r k (n 1) r n
(n 1) Ep
[10.73]
y el teorema del virial expresa una relación entre los promedios temporales de las energías cinéticas y potencial de la partícula: Ek
n 1 Ep 2
[10.74]
En el caso especialísimo de fuerzas inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia (fuerzas gravitatoria, electrostáticas, ...), entonces es n = -2, y el teorema del virial se reduce a su forma más familiar Ek
1 2
Ep
[10.75]
El teorema del virial puede extenderse a un sistema de partículas, y es entonces cuando adquiere un mayor significado e interés práctico. Ello se debe a que este teorema, a diferencia de los que hemos estudiado anteriormente, es de naturaleza estadística, es decir, se refiere a valores medios respecto a intervalos de tiempo muy largos de varias magnitudes físicas (fundamentalmente de las energías cinética y potencial). Evidentemente, cuando estudiamos un sistema compuesto por muchas partículas, tal como un gas contenido en un recipiente, o un átomo de muchos electrones, nos vemos forzados a utilizar ciertos métodos estadísticos para calcular los valores promedio de las magnitudes físicas, sin interesarnos por el comportamiento de cada partícula individual. Una de las aplicaciones más interesantes del teorema del virial es la deducción de la ecuación de estado de los gases ideales y no ideales; en este último caso, como veremos en una lección posterior, las fuerzas Fi, que definirán el virial del sistema abarcarán no sólo las de ligadura (que confinan al gas en el interior del recipiente, en uno de los ejemplos anteriores), sino también las fuerzas de interacción intermoleculares.
268
Lec. 10.- Trabajo y energía.
Problemas 10.1.- Un cuerpo de 6 kg de masa se mueve a lo largo del eje x bajo la acción de una fuerza resultante dirigida a lo largo de dicho eje y que está definida en función del tiempo por la expresión F = (3 + 2t), estando F expresada en newtons y t en segundos. En el instante t = 0 s el cuerpo se encuentra en reposo y en el origen de coordenadas. a) Expresar la aceleración, velocidad y posición de la partícula en función del tiempo. b) Expresar la potencia desarrollada por la fuerza en función del tiempo. c) Calcular el trabajo realizado por dicha fuerza durante los cinco primeros segundos del desplazamiento del cuerpo. 10.2.- Un cuerpo de 6 kg de masa se mueve a lo largo del eje x bajo la acción de una fuerza resultante dirigida a lo largo de dicho eje y que está definida en función de la posición del cuerpo por F = (3 + 2x), estando F expresada en newtons y x en metros. En el instante inicial, el cuerpo se encuentra en reposo en el origen de coordenadas. a) Expresar la aceleración y la velocidad del cuerpo en función de la coordenada x. b) Ídem para la potencia desarrollada por la fuerza. c) Calcular el trabajo realizado por dicha fuerza durante el desplazamiento del cuerpo desde el origen hasta el punto x = 5 cm. 10.3.- Un proyectil de 5 g de masa que lleva una velocidad de 400 m/s penetra 6 cm en un bloque de madera. ¿Cuál fue la fuerza promedio que ejerció sobre el bloque? 10.4.- Una partícula de masa m se mueve bajo la influencia de un campo de fuerzas definido por F = A (cos ωt i + sen ωt j) donde A y ω son constantes. Si la partícula se encuentra inicialmente en reposo en el origen de coordenadas, demostrar que el trabajo que se ha realizado sobre la partícula, transcurrido un tiempo t, viene dado por A2(1-cos ωt)/mω2.
10.5.- Un disco que pesa 50 g está colocado sobre un tablero horizontal liso. El disco está sujeto a una cuerda flexible y ligera que pasa por un orificio practicado en el tablero. Inicialmente, el disco describe una trayectoria circular, de 40 cm de radio y con centro en el orificio, con una celeridad angular de 30 rpm, para lo que es necesario que sujetemos con la mano el otro extremo de la cuerda. a) ¿Qué fuerza debemos ejercer sobre la cuerda para mantener ese movimiento circular? b) Tiramos poco a poco del extremo libre de la cuerda hasta reducir a la cuarta parte el radio de la trayectoria circular y observamos que la celeridad angular experimenta un aumento considerable. ¿Qué trabajo hemos realizado sobre el disco? ¿Se conserva la energía cinética del disco? 10.6.- La fuerza que actúa sobre una partícula cargada eléctricamente que se mueve en un campo magnético viene dada por la fórmula de Lorentz, F = qv×B, donde q es la carga de la partícula, v su velocidad y B la inducción magnética. Supongamos que el campo magnético sea uniforme: a) Describir el movimiento de la partícula. b) ¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza? ¿Cómo varía la energía de la partícula? 10.7.- La fuerza que ejerce el gas contenido en un cilindro sobre el pistón de área A (vide figura) está dada por F = pA, donde p es la presión del gas. a) Buscar una expresión para el trabajo que realiza el gas durante una expansión elemental, esto es, un Prob. 10.7 aumento de volumen dV. b) Si la expansión del gas tiene lugar a temperatura constante (transformación isotérmica, T =cte), la presión del mismo varía con la temperatura de acuerdo con la relación pV = nRT, donde n y R son constantes. Calcular el trabajo realizado por el gas al expandirse isotérmicamente desde un
269
Problemas
volumen V1 hasta un volumen V2. c) Si la expansión tiene lugar de modo que no haya intercambiado calorífico entre el gas y el medio externo que lo rodea (transformación adiabática), la presión varía con el volumen de modo que pVγ = cte, donde γ es una constante. Calcular el trabajo realizado por el gas durante una expansión adiabática. 10.8.- Un automóvil que pesa 750 kg circula por una carretera a nivel (vide figura) con Prob. 10.8 una velocidad 54 km/h cuando su motor desarrolla una potencia de 10 CV. a) ¿Cuánto vale la suma de todas las resistencias (rozamiento, resistencia del aire, ...) que actúan sobre el automóvil? b) ¿Qué potencia deberá desarrollar el motor del automóvil para subir a 54 km/h una cuesta del 10% de pendiente? c) ¿Qué potencia será necesaria para que el automóvil baje a 54 km/h una pendiente del 3%? d) ¿Qué pendiente permitirá que el automóvil baje a una velocidad de 54 km/h sin que funcione el motor? (Nota: supóngase que todas las fuerzas de resistencia permanecen constantes). 10.9.- Supongamos que la potencia máxima que puede desarrollar el motor del automóvil del Problema 10.8 sea de 30 CV y que las fuerzas de resistencia mantengan el mismo valor con independencia de la velocidad del automóvil (esta es una suposición muy poco realista). a) ¿Cuál será la velocidad máxima del automóvil en una carretera horizontal? b) ¿Cuál será la velocidad máxima del automóvil cuando suba una pendiente del 10%? c) Ídem cuando baje una cuesta del 3% de pendiente? d) ¿Ídem cuando baje una cuesta del 10% de pendiente? 10.10.- Debemos construir un arrastre de esquiadores constituido por un cable del que puedan asirse, mediante las correspondientes manillas, los esquiadores que han de ser remolcados cuesta arriba. La pendiente en la que ha de actuar nuestro aparato es de 30° y el ángulo (θ) que forman, por término medio, las manillas con la dirección del cable es de 45°. El cable debe moverse con una velocidad de 10 km/h y debe ser capaz de transportar simultáneamente 50 esquiadores. Suponemos que cada uno de los esquiadores pesa, por término medio, 75 kg y que el coeficiente de rozamiento entre los skies y la nieve sea 0.10.
Si admitimos que la eficiencia mecánica del sistema en funcionamiento sea del 80%, ¿cuál deberá ser la potencia del motor que preveamos en nuestro proyecto? 10.11.- Una persona que pesa 70 kg sube corriendo por las escaleras de un edificio, subiendo 100 escalones de 25 cm de alto cada uno, en 2 minutos. a) ¿Qué trabajo ha realizado? ¿Cuál ha sido la potencia máxima desarrollada? b) ¿Cuál sería la respuesta si en lugar de subir, baja por las escaleras? 10.12.- Un ascensor desciende con una velocidad constante de 0.75 m/s. Del techo del ascensor se desprende una de las bombillas de 50 g, que cae sobre el piso del ascensor. La altura de la caja del ascensor es 2.5 m. Calcular el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria sobre la bombilla y la variación de la energía cinética de la misma, desde que se desprende hasta que se estrella: a) en el referencial ligado a la caja del ascensor y b) en el referencial ligado al edificio. c) Explicar las diferencias existentes entre los resultados de los aparatos a) y b). 10.13.- La fuerza que actúa sobre una partícula está definida por la función F = (x + yz)i + z2j + y2k donde las coordenadas están expresadas en cm y la fuerza en dyn. Calcular el trabajo realizado por dicha fuerza cuando la partícula se traslada entre los puntos A(0,0,0) y B(2,4,8) a lo largo de las siguientes trayectorias: a) la línea recta que une los dos puntos dados; b) la curva cuyas ecuaciones paramétricas son x = t, y = t2, z = t3 ; c) la línea quebrada definida por los puntos (0,0,0), (2,0,0), (2,4,0) y (2,4,8), en ese orden. d) ¿Es conservativa esa fuerza? 10.14.- Una partícula se encuentra en un campo de fuerzas tal que la fuerza que actúa sobre ella es F = (2xy+z3)i + x2j + 3xz2k {S.I.} a) Demostrar que dicho campo de fuerza es conservativo. b) Obtener una expresión para la energía potencial de la partícula en dicho campo. c) Calcular el trabajo que tenemos que realizar para llevar la partícula desde el punto (2,1,3) al (0,0,0). 10.15.- Dado el campo de fuerzas F = (x-y+z)i + (2x+y+3z)j + (5x-2y+z)k
270
Lec. 10.- Trabajo y energía.
y una partícula sensible a dicho campo, calcular el trabajo realizado por el campo cuando la partícula recorre una vez la circunferencia de 4 unidades de radio, contenida en el plano xy y centrada en el origen de coordenadas. 10.16.- Una partícula es atraída por el origen de coordenadas con una fuerza directamente proporcional a su distancia a dicho origen. a) ¿Es conservativa esa fuerza? b) Calcular el trabajo que deberemos realizar sobre la partícula para trasladarla desde el punto (1,0,0) al (3,0,0) a lo largo de la circunferencia de radio unidad y centro en (2,0,0). 10.17.- La energía potencial de una partícula de masa m está dada por la expresión Ep
1 2
k (x2
y2)
donde k es una constante. a) Obtener las componentes cartesianas de la fuerza que actúa sobre la partícula. b) Ídem las componentes polares y describir la fuerza en función de la posición de la partícula. c) ¿Cómo clasificaremos esta fuerza? ¿Puede Vd. pensar en algún modelo físico que responda a una fuerza de esta forma? 10.18.- Sea una fuerza definida en coordenadas polares planas por F = f(r)eθ, donde f(r) es una función arbitraria de la coordenada radial r. a) Demostrar que esa fuerza no es conservativa. b) Calcular el trabajo realizado por esa fuerza cuando su punto de aplicación recorre una circunferencia de radio R centrada en el origen de coordenadas. 10.19.- Un bloque de masa m desliza hacia abajo por un plano inclinado que forma un ángulo θ con la horizontal; el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es µ < tg θ. Considérese que el bloque se encuentre inicialmente en reposo sobre el plano inclinado. a) Expresar en función del tiempo el aumento en la energía cinética del bloque. b) Ídem la disminución de su energía potencial gravitatoria. c) ¿Se compensan los resultados anteriores? En caso negativo, ¿por qué? 10.20.- Una escalera homogénea, de masa m y longitud L, está apoyada sobre una pared vertical lisa y sobre un suelo horizontal rugoso, formando un ángulo θ0 con la horizontal (vide figura). El coeficiente de rozamiento entre el
suelo y el pie de la escalera es µ. Calcular el trabajo que debemos realizar para llevar la escalera a la posición vertical, empujándola horizontalmente a una distancia D de su pie. 10.21.- A partir de la ley de COULOMB para la fuerza electrostática, encontrar la expresión de la energía potencial electrostática. 10.22.- a) Consideremos dos cargas eléctricas idénticas, infinitamente alejadas la una de la otra. ¿Qué trabajo deberemos realizar para aproximarlas, la una a la otra, hasta una cierta distancia l? b) Consideremos, ahora, una tercera carga eléctrica igual a las anteriores. ¿Qué trabajo deberemos realizar para traerla desde el infinito y colocarla en una posición tal que las tres cargas determinan un triángulo equilátero de lado l? 10.23.- Una descripción suficientemente exacta de la interacción entre dos nucleones nos la suministra el llamado potencial de YUKAWA
Ep
r
Ep,0 e
r r0
donde r0≈ 1.5×10-15m y Ep,0≈ 50 MeV (1 eV = 1.6×10-19J). a) Encontrar la expresión correspondiente para la fuerza. b) Para poner de manifiesto el corto alcance de la fuerza nuclear, calcular la relación de fuerza (y de potencial) con respecto a la fuerza (y al potencial) correspondiente a r = r0, r = 2r0 , r = 4r0 y r = 10r0. c) Representar gráficamente los resultados obtenidos en el apartado anterior. ¿Tiene en cuenta el potencial de Yukawa la repulsión entre los nucleones para distancias muy pequeñas (hard-core)? d) Consideremos dos protones; obténgase las relaciones existentes entre las fuerzas electrostática y nuclear para las separaciones anteriormente propuestas. ¿Para que separación son iguales las intensidades de esas dos fuerzas? 10.24.- La energía potencial de una molécula biatómica viene dada, según LENNARD-JONES, en función de la distancia interatómica r, por la expresión
Ep
Prob. 10.20
r0
Ep,0
⎡ ⎞12 ⎢⎛ ⎢ ⎜ r0 ⎟ ⎟ ⎢⎜ ⎣⎝ r ⎠
⎤ ⎞6 ⎥ ⎛ r ⎟ ⎥ ⎜ 2⎜ 0 ⎟ ⎥ ⎝ r ⎠ ⎦
donde r0 y Ep,0 son constantes. a) Demostrar que r0 es la distancia interatómica cuando la energía potencial es mínima, esto es, correspondiente a la separación de equilibrio. b) De-
Problemas
mostrar que el valor de la energía potencial mínima es -Ep,0. c) Demostrar que la distancia interatómica para la que Ep = 0 es igual a 0.89r0 . d) Representar gráficamente la función Ep(r) frente a r, e) Obtener la expresión de la fuerza interatómica, esto es, F = F(r), f) ¿Cuándo se anula la fuerza interatómica? ¿Cuándo es repulsiva? ¿Cuándo es atractiva? g) Demostrar que las fuerzas interatómica alcanza su valor atractivo máximo para una separación r = 1.11 r0. 10.25.- En el modelo de Niels BOHR (18851962) del átomo de hidrógeno, un electrón de masa m se mueve en una órbita circular alrededor de un protón estacionario, bajo la acción de la fuerza central de Coulomb F
1 4π
0
e2 r2
donde e es la carga eléctrica del electrón y 0 es la permitividad del vacío. a) Obtener las expresiones, en función del radio de la órbita, de las energías cinéticas, potencial y total. La energía total resulta negativa; ¿por qué? b) Verificar el teorema del virial en este sistema. 10.26.- Expresar en función del tiempo las energías cinéticas y potencial correspondientes al sistema constituido por una masa m sujeta a un muelle de constante elástica k, que cumple la ley de Hooke. a) Calcular los valores medios de dichas energías en el transcurso de un periodo del movimiento. b) Verificar el teorema del virial en este sistema. 10.27.- Una partícula de masa m se mueve en una trayectoria circular de radio R bajo la acción de una fuerza central atractiva directamente proporcional al cubo de la distancia al centro de fuerza. a) Obtener la expresión de la energía cinética de la partícula. b) Ídem de la energía potencial. (Indicación: Utilizar el teorema del virial). 10.28.- Una partícula se mueve bajo la acción en una fuerza central tal que F ∝ rn (n, real). a) Encontrar las expresiones de los valores medios de sus energías cinéticas y potencial en función de la energía total E. ¿Son válidas estas expresiones cualesquiera que sea el valor de E? b) Aplicar los resultados anteriores al caso de una fuerza central inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al centro de fuerzas. Analizar y discutir los resultados.
271
272
Lec. 10.- Trabajo y energía.
11.- Conservación de la energía. §11.1. Fuerzas conservativas. Conservación de la energía mecánica (274); §11.2. Sistemas conservativos en una dimensión (276); §11.3. Discusión de curvas de energía potencial. Estabilidad del equilibrio (278); §11.4. Sistemas conservativos en dos y tres dimensiones (280); §11.5. Equilibrio en dos y en tres dimensiones (282); §11.6. Fuerzas que dependen explícitamente del tiempo (284); §11.7. Fuerzas no conservativas (284); §11.8. Conservación de la energía (286); §11.9. Crítica del concepto de energía (288); §11.10. Principio de conservación de la masa (289); §11.11. Masa y energía (289); Problemas (293)
Se decía en la lección anterior que siempre podemos considerar la energía como el resultado de la realización de un trabajo; pero también podemos adoptar el punto de vista inverso, y considerar que se produce trabajo cuando tiene lugar una transformación de una forma de energía en otra. Así, cuando cae un objeto en el campo gravitatorio terrestre, su energía potencial gravitatoria (o mejor, la del sistema) disminuye; pero se produce un aumento concomitante de la energía cinética. Es decir, se produce una transformación de energía en forma potencial en energía en forma de movimiento (cinética); durante esa transformación la fuerza (el peso) realiza un trabajo. Nos podemos preguntar si, en el ejemplo precedente, el aumento de energía cinética compensa exactamente a la disminución de energía potencial. Desde los tiempos de NEWTON (1642-1727) se reconoce que, bajo ciertas condiciones, la energía del movimiento (cinética) y la energía asociada con la configuración o posición (potencial) cambia a medida que progresa el movimiento, pero que su suma (la energía mecánica total) permanece constante. Sin embargo, bajo otras circunstancias la energía mecánica total no se conserva. Así, por efecto del rozamiento, la energía se "disipa"; pero cuando eso sucede, se observa que hay siempre algún objeto que se calienta. La generalización del concepto de energía y el establecimiento del principio de conservación fue un empeño al que se entregaron hombres de gran valía, como el ingeniero norteamericano B. THOMPSON (1753-1814), el médico alemán J. R. MAYER (1814-1878) y los físicos H. von HELMHOLTZ (1821-1894) y J. P. JOULE (1818-1889), quienes clarificaron el concepto de energía y llegaron a demostrar que la energía no se disipa, sino que sencillamente se transforma de unas formas a otras. Desde entonces, el concepto de energía, como el de una magnitud física que se conserva y que puede presentarse bajo apariencias muy diversas, pero que en ningún
Manuel R. Ortega Girón
273
274
Lec. 11.- Conservación de la energía.
caso puede ser creada ni destruida, quedó firmemente establecido como una de las ideas más útiles de todas las Ciencias de la Naturaleza. Esta lección la dedicaremos al estudio de estas ideas importantes; las contenidas en el llamado Principio de la Conservación de la Energía, que junto con el de la conservación de la cantidad de movimiento (ya estudiado en lecciones anteriores) y el de la conservación del momento angular (que estudiaremos en la lección siguiente), constituyen los tres grandes Principios de Conservación de la Mecánica. En los tres casos nos limitamos a establecer y a analizar sus consecuencias para el caso de una partícula (como corresponde al contexto de este Capítulo); más adelante los generalizaremos para incluir los sistemas de partículas. §11.1. Fuerzas conservativas. Conservación de la energía mecánica.Cuando una partícula se mueve entre los puntos A y B, bajo la acción de una fuerza resultante F (conservativa o no-conservativa), la variación de su energía cinética viene dada por el trabajo realizado por dicha fuerza resultante en ese desplazamiento; esto es,
Ek(B)
ΔEk
B
⌠ F dr ⌡
Ek(A)
[11.1]
A
Por otra parte, en el caso de que la fuerza F sea conservativa, dicho trabajo, cambiado de signo, expresa la diferencia de energía potencial entre los dos puntos; i.e., ΔEp
Ep(B)
B
Ep(A)
⌠ F dr ⌡
[11.2]
0
[11.3]
A
de modo que, sumando las dos expresiones, resulta ΔEk
ΔEp
Δ(Ek
E p)
lo que significa que la suma de las energías cinéticas y potencial de la partícula, o sea su energía total que designaremos por E, es constante; así pues, ΔE
0
con E
Ek
Ep
[11.4]
de modo que podemos enunciar el Principio de Conservación de la Energía para una partícula del modo siguiente: Cuando las fuerzas que actúan sobre una partícula son todas conservativas, la energía total de la partícula permanece constante en el transcurso del movimiento, esto es, se conserva. Esta es la razón por la que decimos que dichas fuerzas son conservativas. Hemos definido la energía total de la partícula como la suma de sus energías cinética y potencial, como en [11.4], o mejor E(r,v)
Ek(v)
Ep(r)
[11.5]
donde ponemos de manifiesto que la energía cinética es función exclusiva de la velocidad y que la energía potencial lo es de la posición. La energía total será
§11.1.- Fuerzas conservativas. Conservación de la energía mecánica.
275
función, en general, tanto de la velocidad como de la posición de la partícula; pero si todas las fuerzas que actúan sobre la partícula son conservativas, la energía total mantendrá un valor constante en el transcurso del tiempo. Este es el significado del principio de conservación. El principio de conservación de la energía nos dice que en tanto que la partícula se mueve y van cambiando las diferentes magnitudes físicas (tales como la velocidad, la aceleración, la cantidad de movimiento, la energía cinética, la energía potencial, ...), existe una magnitud física, la energía total, que permanece constante en el transcurso del movimiento; esto es, La energía es una constante escalar del movimiento. Naturalmente, el principio de conservación de la energía no nos proporciona ninguna información que no esté contenida en la ecuación del movimiento1, F = ma. Entonces, ¿por qué tomarnos la molestia de establecerlo? Con mucha frecuencia nos encontraremos con problemas cuya solución deberemos abordar sin conocer el detalle de las fuerzas de interacción (i.e., la ley de la fuerza); esta situación se encuentra, en forma sobresaliente, en la Física Nuclear y de Partículas Elementales. Pero aun cuando conozcamos con exactitud las leyes de las fuerzas, el principio de conservación de la energía (junto con el de la cantidad de movimiento y el del momento angular, que estudiaremos en la próxima lección) constituye una ayuda conveniente para la resolución de numerosos problemas de interés teórico o práctico. Las leyes de conservación son independientes de los detalles de la trayectoria y, a menudo, de los detalles de una fuerza particular; por consiguiente constituyen un procedimiento para obtener consecuencias muy generales y significativas de la ecuación del movimiento. Así, una ley de conservación nos puede asegurar que algo es imposible; de ese modo, no perderemos el tiempo analizando un pretendido aparato que produzca trabajo sin consumir una cantidad equivalente de energía (móvil perpetuo de primera especie). Por otra parte, aun cuando un problema dado pueda resolverse a partir de las leyes del movimiento, iniciar su resolución a partir de la ecuación [11.5] tiene la ventaja de que esta ecuación es una ecuación diferencial de primer orden (en tanto d2r que la ecuación del movimiento de Newton, F m , lo es de segundo orden) lo dt 2 que significa que ya hemos avanzado un paso hacia la solución del problema; por ello decimos que la ecuación [11.5] constituye una integral primera del movimiento de la partícula.
1
Esto puede comprobarse fácilmente sin más que diferenciar la energía total E; i.e., dE
d(Ek
E p)
dEk
dEp
dEk
F dr
0
que es idéntica a F = ma, ya que dEk de modo que ma dr
F dr
d( 1 mv 2)
d( 1 mv v)
2
0
2
→
F
ma .
mv dv
ma dr
276
Lec. 11.- Conservación de la energía.
Naturalmente, lo anteriormente dicho es válido si son conservativas todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. En muchos problemas encontraremos que, aun cuando algunas de las fuerzas no sean conservativas, éstas serán tan pequeñas que podrán ser despreciadas. En otros problemas no será ese el caso, pero entonces podremos aplicar el principio de conservación en una forma más general, que desarrollaremos en esta lección para una partícula y en una lección posterior para un sistema de partículas. §11.2. Sistemas conservativos en una dimensión.- Como ejemplo de aplicación del principio de conservación de la energía, obtendremos la ecuación del movimiento de una partícula que se mueve en una dimensión sobre una recta dada, que identificaremos con el eje x, bajo la acción de una fuerza dirigida a lo largo de dicha recta y que sólo depende de la coordenada de posición de la partícula (i.e., no es función explícita del tiempo, de la velocidad ...). Tal fuerza es conservativa [∇×F(x)i = 0] y la energía potencial de la partícula sólo es función de la coordenada de posición de la misma; i.e.,
Ep(x)
x
⌠ F(x) dx ⌡x
Ep(xref)
[11.6]
ref
de modo que la ecuación de conservación de la energía [11.5] puede escribirse como E
1 2
mv 2
Ep(x)
[11.7]
donde E (i.e., la energía total) es una constante del movimiento. La ecuación [11.7] establece una relación entre la velocidad de la partícula y su coordenada de posición. Para completar la solución del problema deberemos determinar la Figura 11.1 posición de la partícula en función del tiempo. Podemos resolver la ec. [11.7] respecto de la velocidad v de la partícula y, teniendo en cuenta que en el movimiento rectilíneo es v = dx/dt, obtendremos dx dt
v
2
[E
m
Ep(x)]
[11.8]
que es una ecuación diferencial de primer orden, de variables separables, que nos permitirá determinar la función x(t) siempre que conozcamos la función Ep(x) y las condiciones iniciales del movimiento, que en este caso se reducen al conocimiento de E (que es una constante) y de x0 = x(t0). La ec. [11.8] se escribe, pues t
⌠ dt ⌡t 0
x
m ⌠ 2 ⌡x
0
dx E Ep(x)
[11.9]
277
§11.2.- Sistemas conservativos en una dimensión.
dx
x
o sea
t
m ⌠ 2 ⌡x
t0
[11.10]
E Ep(x)
0
con lo que queda resuelto (al menos desde un punto de vista físico) el problema del movimiento rectilíneo de la partícula. En consecuencia, siempre que conozcamos la energía potencial en función de la posición (cosa que será relativamente fácil si conocemos F(x)), el principio de conservación de la energía, expresado por [11.10] nos dará directamente la solución del problema del movimiento rectilíneo.
Ejemplo I.- Oscilaciones armónicas.- Una partícula, de masa m, se mueve a lo largo del eje x bajo la acción de una fuerza F = -kx, donde k es una constante positiva. Determinar la posición de la partícula en función del tiempo; i.e., x(t). Comenzaremos determinando la expresión de la energía potencial: Ep(x)
x
La energía total (constante) es
1 2 kx 2
x
⌠ ( kx) dx ⌡0
Ep(0)
⌠ kx dx ⌡0 1 2 mv0 2
E
con
Ep(0)
0
1 2 kx0 2
siendo x0 y v0 la posición y velocidad de la partícula, respectivamente, en el instante inicial (t=0). Aplicando el Principio de la Conservación de la energía, llegaremos a la ec. [11.10], i.e., t
t
⌠ dt ⌡0
m ⌠x 2 ⌡x 0
1 2 mv0 2
1 ⌠x ω ⌡x 0
donde
ω2
y poniendo
ψ
escribiremos finalmente
m ⌠x k ⌡x
dx 1 2 kx0 2 dx A2
x2
1 2 kx 2 1 x [arcsen ω A
k m arcsen
x
A2
x0 A
0
→
A sen (ω t
2
x0
sen ψ
⎛m 2 ⎜ v0 ⎝k x arcsen 0 ] A
dx 2⎞ x0 ⎟ ⎠
x2
2
v0
ω2 x0 A
ψ)
que es la función x(t) pedida y que representa un movimiento armónico simple (vide Lec. 13).
278
Lec. 11.- Conservación de la energía.
§11.3. Discusión de curvas de energía potencial. Estabilidad del equilibrio.- La ecuación [11.10] puede resultar muy difícil de integrar; sin embargo,
en ocasiones no será necesario realizar dicha integración, pues sólo estaremos interesados en comprender cualitativamente algunas de las características más conspicuas del movimiento de la partícula y, para ello, nos puede bastar con el análisis de la curva que representa gráficamente a la función energía potencial, Ep(x), frente a la coordenada posicional, x, de la partícula. En la Figura 11.2 hemos representado una posible curva de energía potencial2 para un movimiento unidimensional. La fuerza que actúa sobre la partícula es función de la posición de ésta y viene dada por F
dEp dx
[11.11]
Pero dEp/dx es, precisamente, la pendiente de la curva Ep = Ep(x), que es positiva cuando la curva crece (al aumentar x) y negativa cuando decrece. Por consiguiente, la fuerza será negativa (dirigida hacia la izquierda) cuando la energía potencial crece y será positiva (dirigida hacia la derecha) cuando la energía potencial decrece. Esta circunstancia ha sido indicada en la Figura 11.2 mediante flechas horizontales. En los puntos en los que Ep(x) presenta un valor máximo o mínimo relativo, es decir en aquellos puntos en los que es dEp/dx = 0, la fuerza será nula; tales posiciones lo serán de equilibrio. Aquellas posiciones (como la x0) en las que Ep(x) presenta un valor mínimo son posiciones de equilibrio estable. Una partícula en reposo en una de tales posiciones permanecerá en reposo en ella; si se la desplaza ligeramente de tal posición se verá sometida a una fuerza recuperadora que tratará de devolverla a la posición de equilibrio, produciéndose oscilaciones alrededor de dicha posición. En aquellas otras posiciones (como la x0′) en las que Ep(x) toma un valor máximo, con respecto a las posiciones vecinas, el equilibrio es inestable. La partícula permanecerá en reposo en una tal posición; pero si se la desplaza ligeramente de ella aparecerá una fuerza que tiende a alejarla aún más de la posición de equilibrio inestable. Por último, en aquellas regiones en las que Ep(x) sea constante el equilibrio será neutro o indiferente, puesto que no aparecerán fuerzas recuperadoras ni repulsivas al desplazar ligeramente la partícula que se encuentre en tal región3 (al ser Ep = cte, será F = 0). Consideremos ahora que la partícula tenga una energía total E (que permanecerá constante durante el movimiento si sólo actúan fuerzas conservativas sobre ella) que vendría indicada por una línea horizontal en la representación gráfica de la Figura 11.2. En cualquier posición x, la energía potencial Ep(x) de la partícula vendrá dada por la ordenada de la curva Ep = Ep(x) y la energía cinética de la partícula, será Ek = E - Ep, No debemos confundir la curva de energía potencial (movimiento unidimensional) con las líneas equipotenciales (movimiento bidimensional). 2
Podemos hablar, aún, de otra clase de equilibrio: el equilibrio metaestable, que es un equilibrio estable para pequeñas perturbaciones, pero inestable cuando éstas son un algo mayores. 3
§11.3.- Discusión de curvas de energía potencial. Estabilidad del equilibrio.
279
Figura 11.2
de modo que vendrá representada por la distancia de la curva Ep(x) (en el punto dado x) a la línea E, como se ilustra en la Figura 11.2 para E=E3. Puesto que la energía cinética es esencialmente positiva (una energía cinética negativa implicaría una velocidad imaginaria), resulta evidente que, para una energía total dada E, la partícula únicamente podrá encontrarse en aquellos puntos en los que E > Ep. Así pues, en la gráfica de la Figura 11.2 se advierte inmediatamente que la menor energía posible es E0; para esta energía la partícula sólo puede permanecer en reposo en x0. Con una energía algo mayor, tal como la E1, la partícula puede permanecer en reposo en x0" o bien puede moverse entre los puntos x1 y x2; su velocidad disminuye al acercarse a los puntos x1 o x2, anulándose en ellos, de modo que la partícula se detiene e invierte su sentido de movimiento cuando alcanza dichos puntos, llamados puntos de retorno. Si la energía es aún mayor, tal como E2, la partícula podrá oscilar en la región definida por los puntos x3 y x4 o en la definida por los puntos x5 y x6; en una o en otra, dependiendo de las condiciones iniciales, sin poder pasar de una región a otra, porque ello exigiría pasar por la región x4-x5 en la que su energía cinética sería negativa (región prohibida). Las regiones en las que queda confinada la partícula representan pozos de potencial; las regiones prohibidas corresponden a barreras de potencial. Si la partícula tiene una energía aún mayor, tal como la E3, existen solamente tres puntos de retorno, de modo que hay dos regiones de movimientos permitidos. Así, la partícula podrá estar confinada en la región delimitada por los puntos x7 y x8 (pozo de potencial) o moverse a la derecha del punto x9 (región ilimitada por la derecha), no pudiendo pasar de una región a otra (barrera de potencial). Para el nivel de energía E4 sólo existe un punto de retorno; si la partícula está moviéndose inicialmente hacia la izquierda, al llegar al punto x11 "rebotará" y se dirigirá indefinidamente hacia la derecha, acelerándose al pasar por los pozos de
280
Lec. 11.- Conservación de la energía.
potencial y frenándose al pasar por las barreras de potencial. Para energías superiores a E5 no hay puntos de retorno y la partícula se moverá sólo en un sentido (el inicial) acelerándose y frenándose al pasar por los pozos y las barreras de potencial, respectivamente, pero sin invertir nunca su sentido de movimiento. §11.4. Sistemas conservativos en dos y tres dimensiones.- Podemos generalizar nuestro estudio de los dos apartados anteriores para incluir aquellas situaciones en las que la partícula puede moverse en dos o en tres dimensiones del espacio bajo la acción de una fuerza (resultante) conservativa, función de la posición de la partícula. En estas condiciones, la energía potencial será función de las coordenadas de posición de la partícula, esto es, Ep(x,y,z), o mejor diremos Ep(r), sin necesidad de referirnos a las coordenadas cartesianas. El principio de conservación de la energía podemos expresarlo por
E
1 2
mv 2
Ep(r)
[11.12]
donde E, que es una constante del movimiento, queda determinada por las condiciones iniciales del movimiento. La ecuación anterior, al igual que la ec. [11.7] en el caso del movimiento unidimensional, nos permite calcular la celeridad de la partícula en función de su posición. Pero obsérvese que ni la ec. [11.7], ni la ec. [11.12], nos suministran información alguna acerca de la dirección del movimiento. Este desconocimiento es mucho más grave en el caso del movimiento en dos o en tres dimensiones, donde existen infinitas direcciones posibles, que en el caso del movimiento unidimensional, donde la partícula sólo dispone de una dirección, con dos sentidos posibles, para su movimiento. En el caso del movimiento unidimensional, la partícula se moverá sobre una trayectoria fija. En el caso del movimiento en dos o en tres dimensiones, la partícula podrá moverse sobre trayectorias muy diversas y, a menos que conozcamos la que realmente sigue, la ecuación [11.12] nos proporcionará escasa información acerca del movimiento de la partícula, salvo que dicho movimiento sólo tendrá lugar en aquellas regiones del espacio en las que E > Ep(r), y que la celeridad v
2 m
[E
Ep(r)]
[11.13]
es función de la posición de la partícula en esas regiones permitidas.
Ejemplo II.- Movimiento del electrón en el campo de dos protones.- Como ejemplo de lo anteriormente expuesto, analizaremos el movimiento de un electrón en el campo atractivo de dos protones (molécula de Hidrógeno ionizada, H2+). La energía potencial (electrostática) del electrón en dicho campo viene dada por
Ep
⎛ e2 ⎜ 1 4π 0 ⎜⎝ r1
⎞ 1 ⎟ r2 ⎟⎠
[11.14]
donde r1 y r2 representan, respectivamente, las distancias del electrón a cada uno de los dos protones. En la Figura 11.3 se han representado algunas curvas equipotenciales, correspondientes
§11.4.- Sistemas conservativos en dos y tres dimensiones.
281
a la intersección de las superficies equipotenciales con el plano del papel, estando los protones separados por una distancia de 2 Å (1 Å = 10-10 m) y expresando las energías potenciales en electrón-voltios (1 eV = 1.602 × 10-19J). Obviamente, las superficies equipotenciales se obtienen rotando la Figura 11.3 alrededor de la línea que une a los dos protones. Cuando la energía del electrón, que será una constante del movimiento que vendrá impuesta por las condiciones iniciales, sea positiva, el electrón no quedará confinado en ninguna región limitada del espacio; se tratará de un electrón libre, i.e., no ligado. Para -29 eV E < 0, el electrón estará confinado en el interior de una superficie casi-esférica, Figura 11.3 centrada en el punto O, de modo que su movimiento será como sí estuviese ligado a un solo centro atractivo de carga +2e. Para E < -29 eV, el electrón estará confinado en un volumen finito que rodea a uno u otro de los protones pudiendo oscilar o girar alrededor del centro de atracción, según fuesen las condiciones iniciales. En el caso de que E -29 eV, el electrón estará confinado en un volumen casi esférico, centrado en uno u otro de los protones, y su movimiento será como si solamente existiera uno de ellos. Obsérvese que el electrón no puede encontrarse en equilibrio establece en ningún punto del campo creado por los dos protones (el punto O es de equilibrio inestable4). Esta es una característica interesante de los campos electrostáticos creados por una distribución de carga eléctrica.
Ejemplo III.- Salto de potencial.- Consideremos una separación plana entre dos regiones del espacio. La energía potencial de una partícula de masa m en la región 1 es Ep(1)=cte. y en la región 2 es Ep(2)=cte. Inicialmente, la partícula se mueve en la primera región con una velocidad v1, en una dirección que forma un ángulo θ1 con la normal a la superficie de separación entre las dos regiones. a) Determinar la velocidad (módulo y dirección) de la partícula cuando penetra en la segunda región. b) Representar gráficamente la situación para el caso en que sea Ep(1) 0.9, la masa relativista es varias veces mayor que la masa en reposo, y que tiende hacia infinito a medida que β tiende hacia 1, o sea cuando la velocidad v de la partícula se aproxima a la velocidad c de la luz. La Dinámica Relativista será objeto de atención en una lección posterior; ahora sólo trataremos de desprender, mediante un razonamiento sencillo, algunas consecuencias interesantes de la ecuación [11.34]. Llamando β al cociente v/c, la ec. [11.34] puede escribirse en la forma
291
§11.11.- Masa y energía.
m
m0 ( 1 β 2 )
[11.35]
1/2
de modo que desarrollando la expresión anterior por la fórmula del binomio m0 ( 1
m
1 2
3
β2
8
β 4 ...)
[11.36]
Entonces, si v c, o sea si β 1, con muy buena aproximación7 podemos escribir m ≈ m0 ( 1
1 2
β )
1
v2 ) 2c 2
m0 ( 1
2
m0
2
m0v 2
[11.37]
c2
resultado que nos ofrece una sorprendente interpretación física del incremento de masa con la velocidad, ya que 1
Δm
m
2
m0
m0v 2
[11.38]
c2
donde podemos identificar el término ½m0v2 con la energía cinética clásica de la partícula; esto es, Δm
Ek
[11.39]
c2
y llegamos a la idea, al tratar de comprender el cambio de la masa con la velocidad, de que la energía cinética adquirida durante el proceso de aceleración de la partícula ha aumentado su masa o inercia en la cantidad Ek/c2. Ese es el significado de la ecuación [11.39]; decir que la energía tiene masa, que la energía es masa, o que es equivalente a la masa, sólo son expresiones del lenguaje que no añaden nada nuevo al significado físico de la ecuación [11.39]. Aunque hemos llegado a establecer la ecuación [11.39] mediante una aproximación, la citada ecuación es cierta en general. Pero es más, la idea básica de que la energía es equivalente a la masa puede extenderse a otras energías distintas de la cinética. Así, por ejemplo, al comprimir un resorte, realizando un trabajo sobre él y suministrándole, con ello, una energía potencial elástica Ep, su masa se incrementa en Ep/c2. Igualmente, un cuerpo incrementa su masa cuando lo calentamos; en este caso si es Q la energía térmica (calor) que le hemos suministrado, su incremento de masa será Q/c2. En resumen, el principio de equivalencia entre la masa y la energía establece que por cada unidad de energía (1 joule) que suministramos a un objeto material su masa se incrementa en 1 J ( 3 × 108 m/s )2
7
1.1 × 10
17
kg
En general, es válida la aproximación (1 + )n = 1 + n , cuando
[11.40]
1.
292
Lec. 11.- Conservación de la energía.
y esto no significa que ahora haya más moléculas que antes; lo que se ha modificado es la masa o inercia observable del objeto. Obsérvese que, debido al factor c2, los cambios de masa sólo serán apreciables cuando se pongan en juego energías muy grandes. Por esa razón, los cambios de masa no son apreciables en las reacciones químicas, en las que las energías puestas en juego son relativamente pequeñas, pero tendrán una gran importancia en las interacciones nucleares o en la Física de Altas Energías. La equivalencia entre la masa y la energía, esto es la famosa expresión de Einstein E
[11.41]
(Δm) c 2
puede ser considerada como la contribución más significativa de la Teoría de la Relatividad. De hecho, como la masa en reposo es tan sólo una forma de energía, podemos asignar una energía m0c2, llamada energía en reposo, a la partícula de masa m0 y considerarla como un paquete de energía (este concepto puede generalizarse incluso para partículas, como el fotón, cuya masa en reposo es nula). Teniendo en cuenta la equivalencia masa-energía, el principio de conservación de la energía (o el de la masa) deben reformularse. Una forma simple de hacer esto es considerar todo objeto del sistema como una fuente potencial de aniquilación completa, esto es, como capaz de "desmaterializarse" para transformarse en energía "pura e inmaterial". De este modo, para un sistema cerrado y aislado, la cantidad de energía en reposo ( m0c2) más las restantes formas de energía ( E), es constante; esto es ( m0c 2
E)
cte
[11.42]
expresión que podemos considerar como la generalización del principio de conservación de la energía total, o también como una generalización del principio de conservación de la masa, si preferimos escribir [11.42] en la forma ( m0
E ) c2
cte
[11.43]
Las expresiones [11.42] y [11.43] tienen esencialmente el mismo contenido. Tal como fue escrito por Einstein ... "La física prerrelativista contiene dos leyes de conservación de importancia fundamental; a saber: la ley de conservación de la energía y la ley de conservación de la masa; ambas aparecen con total independencia la una de otra. En la Teoría de la Relatividad, ambas se funden en un solo principio."
293
Problemas
Problemas 11.1.- En la obra de Huygens, Horlogium Oscillatorum (1673), encontramos la proposición siguiente: "Cuando un péndulo oscila de modo que su amplitud es de 90°, al pasar por la posición más baja resulta que la tensión del hilo es el triple de la que le correspondería si el péndulo estuviese inmóvil." Demostrar esta proposición.
posición de despegue sería mayor o menor que el anteriormente calculado?
11.2.- En la figura, se representa un péndulo simple, de longitud l, cuyas oscilaciones están limitadas por la existencia de Prob. 11.2 un clavo horizontal situado a una distancia 2l/3 del punto de suspensión y en su misma vertical. Determinar el ángulo Θ desde el que debemos abandonar la masa pendular para que el hilo de suspensión se enrolle en el clavo.
11.6.- Un cable flexible y uniforme, de longitud l, está colgado en una pared vertical pasando sobre un clavo fijo y liso. Inicialmente el cable se encuentra en equilibrio. Calcular la velocidad que adquiere el cable, en el instante en que abandona al clavo, cuando se le separa ligeramente de su posición de equilibrio.
11.3.- Colgamos un cuerpo de masa m del extremo inferior de un muelle vertical que está sujeto del techo por su otro extremo, y lo dejamos descender lentamente, soportándolo con la mano, lo que hace que el muelle se estire una distancia d. ¿Cuál sería el máximo descenso del cuerpo si lo hubiéramos dejado caer bruscamente? 11.4.- Una partícula de masa m está situada en la cima de una hemiesfera lisa, de radio R, que está apoyada por su base sobre un plano horizontal. Cuando desplazamos ligeramente la partícula de su posición de equilibrio comienza a deslizar sobre la superficie de la esfera. La posición de la partícula queda determinada en cada instante por el ángulo θ que forma el radio-vector correspondiente con la vertical. a) Tomando el plano de la base como nivel de referencia, expresar las energías potencial y cinética de la partícula en función del ángulo θ. b) Ídem las aceleraciones tangencial y normal. c) Determinar el valor del ángulo para el cuál la partícula se despega de la hemiesfera. d) En el caso de que existiese rozamiento, ¿el ángulo correspondiente a la
11.5.- Una partícula se mueve bajo la acción de una fuerza única, que es conservativa. ¿En qué condiciones, si es que las hay, es posible que aumente la energía potencial de la partícula?
11.7.- Considérese una masa puntual m suspendida de un punto fijo O mediante un hilo elástico de longitud natural l y constante elástica k. Supongamos que abandonamos el sistema, con el hilo en su longitud natural y horizontal. a) Demostrar que cuando el hilo pasa por la posición vertical, se habrá alargado una cantidad Δl = 3mg/k; siempre que Δl pueda considerarse mucho más pequeña que l. b) Demostrar, en esas condiciones, que la velocidad de la masa puntual, en el punto más bajo de su trayectoria, es
v
2g ( l
3mg ) 2k
que es menor que la que le correspondería para una cuerda inelástica (k=∞). Explicar físicamente estos resultados.
Prob. 11.8 11.8.- Un pequeño objeto desliza, sin rozamiento, por un carril situado en un plano vertical, que está compuesto por un tramo rectilíneo seguido de un tramo circular de 4 m de radio, y que subtiende un ángulo θ=30° a
294
Lec. 11.- Conservación de la energía.
cada lado de la vertical, como se muestra en la figura. Si el pequeño objeto pesa 20 g y parte del reposo de la posición H = 10 m, calcular la altura máxima (h) que alcanzará después de abandonar el carril. 11.9.- Demostrar que el ritmo o velocidad de variación de la energía cinética de una partícula viene dado por dEk/dt = F v, siendo F la fuerza resultante que actúa sobre la partícula y v su velocidad. Interpretar este resultado. 11.10.- Un bloque de 5 kg comienza a subir por un plano inclinado de 30° con una velocidad inicial de 20 m/s. a) ¿Qué distancia recorrerá sobre el plano, antes de detenerse, si el coeficiente cinético de rozamiento vale 0.25? b) Sea 0.45 el coeficiente estático de rozamiento. ¿Volverá a bajar el bloque, plano hacia abajo, después de haberse detenido? En caso afirmativo, ¿cuál será su velocidad al llegar de nuevo al pie del plano? 11.11.- Una pelota de ping-pong se deja caer sobre un suelo duro y rebota hasta el 90% de su altura original. a) Encontrar una expresión general para la altura máxima de la pelota después del n-ésimo rebote. b) Ídem para la pérdida de energía y la fracción de pérdida de energía de la partícula después del n-ésimo rebote. c) ¿Cuántos rebotes se necesitarán para que la altura máxima de la pelota se reduzca a un 5% de su valor inicial. d) Hacer una estimación del tiempo máximo durante el cuál estará botando la pelota, cuando se la deja caer desde una altura inicial de 5 m. 11.12.- Una masa puntual, m, está unida al extremo superior de una varilla rígida y ligera, de longitud l, que puede girar alrededor de un eje horizontal que pasa por su extremo inferior. Se abandona el sistema a partir de la posición vertical (equilibrio inestable), en reposo. a) Expresar la tensión en la varilla en función del ángulo que forma ésta con la vertical. b) Calcular el ángulo que formará la varilla con la vertical cuando la tensión en la misma pasa de ser compresora a tensora. 11.13.- Una vagoneta, abierta por su parte superior, que marcha con una velocidad constante de 4 m/s es cargada con 10 t de carbón, mientras pasa bajo una tolva de descarga, en un tiempo de 5 segundos. a) ¿Qué fuerza extra habrá que aplicar a la vagoneta para que su velocidad permanezca constante durante el proceso de carga? b) ¿Qué trabajo realizará esa fuerza? c) ¿Qué aumento de energía cinética experimenta el carbón? d) Explicar la discrepancia entre los resultados de los dos apartados anteriores.
11.14.- Una bolita de pequeñas dimensiones rueda en un carril circular situado en un plano vertical, como se Prob. 11.14 muestra en la figura. Cuando la bolita pasa por el punto más bajo del carril lleva una velocidad v0. a) ¿Cuál deberá ser el valor mínimo de v0 a fin de que la bolita complete la trayectoria circular sin despegarse del carril? b) Sea vmín el valor anteriormente calculado y supóngase ahora que es v0 = 0.837 vmín. Bajo estas condiciones determinar la posición angular θ del punto P en el que la bolita se despega del carril, así como su celeridad en ese instante. 11.15.- Una bolita, de pequeñas dimensiones, de masa m, desliza sin rozamiento por un carril, como se muestra en la figura. La bolita se abandona en reposo en un punto P, situado a una altura h sobre el nivel de referencia, desciende por el carril y prosigue por el interior de la circunferencia vertical de radio R. Deseamos ajustar la posición del punto P de modo que la bolita abandone el carril circular en un cierto punto M y que, en el subsiguiente
Prob. 11.15 movimiento sin ligaduras, vaya a pasar por el centro de la circunferencia (punto O). a) Determinar el valor del ángulo α correspondiente a la posición M en que la bolita se despega del carril circular, así como la velocidad de la bolita en ese instante. b) Determinar la altura h del punto P para conseguir el resultado deseado. Aplicación numérica: R = 50 cm. 11.16.- Una partícula se mueve sobre el eje x bajo la acción de una fuerza dada por F = -16x + 8x3 (SI). a) Representar gráficamente la función energía potencial Ep(x). b) Analizar el movimiento de la partícula para diversos valores de su energía total. c) Determinar los
295
Problemas
puntos de retorno para E = 4 J. d) Ídem para E = - 4 J.
periodo de las pequeñas oscilaciones en torno a la posición de equilibrio.
11.17.- La energía potencial de una partícula de 2 g de masa que se mueve sobre el eje x viene dada por Ep = 24x2e-2x, donde x está expresada en cm y Ep en ergios. a) Determinar las posiciones de equilibrio de la partícula, así como las energías potenciales correspondientes a esas posiciones. b) Represéntese gráficamente la función Ep(x) y discútanse los movimientos posibles de la partícula. c) ¿Cuáles son los puntos de retorno correspondientes a una energía total de 2 erg? d) Considérese la partícula en reposo en el punto de coordenada x = 0.5 cm; ¿Cuál será la velocidad de la partícula cuando pase por el origen de coordenadas? e) Calcular el periodo de las pequeñas oscilaciones de la partícula alrededor de la posición de equilibrio estable.
11.20.- Una partícula de 2 g de masa se mueve bajo la acción de una fuerza que viene expresada por
11.18.- Una partícula, de masa m, se mueve bajo la acción de una fuerza conservativa que deriva de un potencial dado por a 2 E0
Ep
a2 x2 8a 4 x 4
donde a y E0 son constantes. a) Representar gráficamente Ep(x) y F(x), determinar las posiciones de equilibrio y discutir los movimientos posibles. b) La partícula parte con una velocidad inicial v∞ de un punto muy lejano y dirigiéndose hacia el origen; ¿qué velocidad tendrá cuando pase por el origen? c) Como en el apartado anterior, pero la partícula, al pasar por x=a sufre un choque con otra partícula, durante el cual pierde una fracción α de su energía cinética. ¿Cuál ha de ser el valor mínimo de α para que la partícula quede atrapada en el pozo de potencial? d) ¿Cuál ha de ser el valor mínimo de α para que la partícula quede atrapada en una de las paredes del pozo? e) ¿Cuáles serán los puntos de retorno si α=1? 11.19.- Una partícula, de masa m, se mueve sobre el eje x bajo la acción de una fuerza F dada por F
kx
c x3
donde k y c son constantes. a) Expresar y representar gráficamente la energía potencial Ep(x) de la partícula y describir los rasgos más conspicuos del movimiento de la misma. b) Obténgase la solución x(t). c) Determinar el
F = 2(3x+y)i + 2(x+4yz)j + 4y2k con x,y,z en cm y F en dyn. Cuando pasa por el punto de coordenadas (3,2,1) tiene una celeridad de 5 cm/s. a) ¿Cuál será su celeridad cuando pase por el punto (2,3,5)? b) ¿Ídem por el punto (1,-3,0)? 11.21.- Encontrar y analizar las posiciones de equilibrio de una partícula cuya energía potencial está expresada por a) Ep = x3 + y3 - 3x - 12y b) Ep = 9x2 - 4y2 - 18x + 24y - 25 c) Ep = (x2 + y2 - 4)2 d) Ep = (x2 + y2 - 9) expr[-(x2 + y2) 11.22.- Agrupamiento α. La energía potencial de una partícula α en el interior de un núcleo pesado queda descrita cualitativamente, en función de su distancia al centro del núcleo, por la gráfica que se muestra en la figura. a) Encontrar una función de r que se Prob. 11.22 ajuste a esa gráfica. b) Determinar la fuerza que actúa sobre la partícula α en función de r. c) Describir los movimientos posibles de la partícula α. *11.23.- Pozo de potencial rectangular. Consideremos un pozo de potencial rectangular, de profundidad U0, i.e., una región del espacio en la que la energía potencial de una partícula venga dada por una función Ep(r) tal que Ep(r)=0 para r>R y Ep(r)=-U0 para r≤R. Una partícula, de masa m, incide con una velocidad v0 sobre el pozo de potencial, con un parámetro de impacto s, como se ilustra en la figura, atraviesa el pozo y, tras experimentar dos refracciones, emerge en una dirección que forma un ángulo θ con su dirección inicial. a) Determinar la velocidad de la partícula en el interior del pozo. b) Demostrar que entre el
296
Lec. 11.- Conservación de la energía.
mn = 1.674 928 ×10-27 kg Expresar dichas masas en u y en MeV. (La velocidad de la luz es c=2.997 925×108 m/s).
Prob. 11.23 parámetro de impacto y el ángulo de desviación existe la relación n 2 sen2 s2
R2 1
n2
con
1
n
θ 2
2n cos
θ 2
2 U0 2
mv0
c) Comprobar que la desviación máxima de la partícula al atravesar el pozo de potencial se presenta para s=R y que su valor es cos
θ máx 2
1 n
11.24.- El electrón-voltio.- En Física Atómica y Nuclear se utiliza preferentemente la unidad de energía llamada electrón-voltio (eV) y sus múltiplos (keV, MeV, GeV ...), que se define como el trabajo realizado sobre la carga de un electrón cuando se desplaza entre dos puntos cuya diferencia de potencial es un voltio. Demostrar que 1 eV = 1.602 177×10-19 J. 11.25.- Unidad de masa atómica.- La unidad de masa atómica (u) se define como la doceava parte de la masa del átomo de Carbono-12. a) Demostrar que 1 u = 1.660 540×10-27 kg (Recuérdese que el número de Avogadro es NA = 6.022 045×1023 moléculas/mol). b) Demostrar que el equivalente energético de 1 u es 931.494 MeV. 11.26.- Las masas del electrón, del protón y del neutrón son, respectivamente me = 9.109 396 ×10-31 kg mp = 1.672 623 ×10-27 kg
11.27.- Un electrón se mueve con una velocidad v = 0.99 c. a) ¿Cuál es su masa relativista a esa velocidad? b) Encontrar la relación entre las energías cinéticas relativista y clásica del electrón para esa velocidad? c) Expresar la energía cinética relativista del electrón en MeV. 11.28.- Un protón, con una energía cinética de 100 keV se lanza frontalmente contra el núcleo de un átomo de plomo (Z=82), que consideraremos fijo. a) ¿Cuál será la distancia de máxima aproximación del protón al núcleo de plomo? b) ¿Son importantes, a esa distancia, las fuerzas nucleares? 11.29.- Energía de enlace de la partícula α. Las masas del protón, del neutrón y de la partícula α (núcleo del Helio-4) son, respectivamente, de 1.007 825 u, 1.008665 u y 4.002 600 u. Con estos datos, calcular la energía que debemos de suministrar a la partícula α para disociarla completamente en sus componentes. Esa energía recibe el nombre de energía de enlace. 11.30.- Se cree que el Sol obtiene su energía radiante mediante un proceso de fusión en el cual, después de unos pasos intermedios, se forman núcleos de helio-4 a expensas de protones y neutrones libres. El proceso es exoenergético y la energía se libera en forma de radiación. a) Calcular la energía liberada en cada proceso de fusión conducente a la formación de un núcleo de helio-4. b) Ídem conducente a la formación de un gramo de helio-4. Exprésense esas energías en MeV y en W h. 11.31.- En el proceso de creación de un par electrón-positrón, un rayo gamma (radiación electromagnética) se materializa en un electrón y en su antipartícula, el positrón, que tiene la misma masa que aquél y cuya carga es de la misma magnitud que la del electrón, sólo que positiva. Calcular, en MeV, la energía mínima del rayo gamma para que pueda producirse la creación del par electrón-positrón.
12.- Momento angular. Fuerzas centrales. §12.1. Momento de una fuerza (297); §12.2. Momento angular (298); §12.3. Impulsión angular (300); §12.4. Conservación del momento angular de una partícula (301); §12.5. Fuerzas centrales. Órbitas planas y ley de las áreas (302); §12.6. Descripción del movimiento de la partícula en coordenadas polares planas (303); §12.7. Movimiento producido por una fuerza central (306); §12.8. Energías potenciales centrífuga y efectiva (311); §12.9. Análisis de diagramas de energía (312); §12.10. Fuerza central inversamente proporcional al cuadrado de la distancia (315); §12.11. Órbitas elípticas: Leyes de Kepler (320); §12.12. Órbitas hiperbólicas: El problema de Rutherford (322); §12.13. Sección eficaz de dispersión (324); Problemas (326)
En las lecciones anteriores hemos definido magnitudes físicas tales como la cantidad de movimiento y la energía y hemos establecido, bajo ciertas condiciones, los principios de conservación correspondientes para una sola partícula. En esta lección vamos a definir una nueva magnitud física, el momento angular, y estableceremos el correspondiente principio de conservación. Veremos que el momento angular, al igual que la cantidad de movimiento y la energía es una herramienta eficaz para la resolución de numerosos problemas que se plantean en la Física. Con el principio de conservación del momento angular completaremos la terna de principios de conservación que constituyen la clave y el fundamento de la Mecánica. Es más, estos tres principios de conservación pueden ser considerados como las piedras angulares de la Física actual, siendo válidos en general en todas las teorías físicas. Como culminación de estas lecciones dedicadas a la Dinámica de la Partícula, abordaremos la resolución de un problema clásico: el del movimiento de una partícula bajo la acción de una fuerza central. Nos serviremos de este problema para ilustrar la forma en que los principios de conservación de la energía y del momento angular nos permiten resolver un problema dinámico concreto. §12.1. Momento de una fuerza.- Consideremos una fuerza F que actúa sobre una partícula localizada en un punto P del espacio y un punto O fijo en un cierto referencial inercial. Utilizaremos nuestra definición previa del momento de un vector con respecto a un punto (Lección 2) para definir ahora el momento de la fuerza F con respecto al punto O como el producto vectorial del vector de posición de la partícula con respecto al punto O (esto es, r = OP) por el vector F; o sea que, designando por M a dicho momento, tenemos
Manuel R. Ortega Girón
297
298
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
M
[12.1]
r×F
de modo que el momento M resulta ser un vector perpendicular, en cada instante y conforme se mueve la partícula, al plano determinado por el punto O y la línea de acción o recta directriz de la fuerza F (Figura 12.1), su sentido es el determinado por la regla de la mano derecha o del tornillo para el producto vectorial y su módulo vendrá dado por M
r F sen θ
F bF
[12.2]
donde bF representa la distancia del punto O a la recta directriz del vector F y es llamado brazo de la fuerza con respecto al punto O. La definición anterior presupone que la fuerza F tenga carácter de vector deslizante, asunto sobre el que no insistiremos ahora pero que trataremos en profundidad cuando estudiemos las propiedades de las fuerzas aplicadas a un sólido rígido.
Figura 12.1
Obsérvese que el momento de una fuerza tiene las dimensiones que corresponden al producto de una fuerza por una longitud (ML2T-2) que son las mismas que las del trabajo. Sin embargo el momento de una fuerza y el trabajo realizado por una fuerza son dos magnitudes físicas de significado muy diferente. Repárese, por lo pronto, en que el momento1 es una magnitud vectorial en tanto que el trabajo lo es escalar. Las unidades de momento en los sistemas cgs y mks (SI) son el centímetro dina (cm dyn) y el metro newton (m N), respectivamente, que no reciben nombres especiales2. §12.2. Momento angular.- El momento angular o cinético3 con respecto a un
punto arbitrario O (fijo en un cierto referencial) de una partícula de masa m y velocidad v (en ese mismo referencial), o sea de cantidad de movimiento p = mv, se define como el producto vectorial L
r × mv
r×p
[12.3]
1
El momento de una fuerza recibe también el nombre de momento dinámico o el de momento, simplemente. En este texto preferiremos esta última denominación, siempre que no haya posibilidad de confusión. 2
En el sistema técnico, la unidad de momento es el metro kilogramo (m kg), que tampoco recibe nombre especial. Recordemos que la unidad de trabajo en este sistema es el kilogramo metro (kg m), que recibe el nombre de kilográmetro (kgm). 3
Las dos denominaciones son aceptables, aunque en este texto utilizaremos sólo la primera.
§12.2.- Momento angular.
299
donde r es el vector posición de la partícula con respecto al punto O (r = OP). De acuerdo con la definición anterior, el momento angular de una partícula con respecto a un punto dado es el momento de la cantidad de movimiento de la partícula con respecto a dicho punto (Figura 12.2). El momento angular es un vector perpendiFigura 12.2 cular al plano definido por el punto arbitrario (O) elegido como origen de momentos y la recta directriz de la cantidad de movimiento de la partícula, su sentido es el determinado por la regla de la mano derecha o del tornillo para el producto vectorial y su módulo es L
r p sen θ
p bp
[12.4]
donde bp es el llamado brazo de la cantidad de movimiento con respecto al punto O elegido y representa la distancia de dicho punto a la recta directriz del vector p. La definición dada para el momento angular presupone que la cantidad de movimiento de una partícula tenga el carácter de vector deslizante.
El momento angular, así como el momento de una fuerza, tiene todas las propiedades correspondientes al momento de un vector deslizante, tal como las estudiábamos en la lección correspondiente. Por ello no insistiremos ahora en esas propiedades; únicamente recordaremos que podemos definir el momento de un vector con respecto a un eje como la proyección sobre el eje del momento de dicho vector con respecto a un punto cualquiera del eje y dejaremos al cuidado del alumno el definir el momento de una fuerza y el momento angular de una partícula con respecto a un eje. Las unidades en que se mide el momento angular en los sistemas cgs y mks (SI) son el g cm2/s y el kg m2/s, respectivamente, que no reciben nombres especiales. En general, el momento angular4 de una partícula cambia en módulo y en dirección conforme ésta se mueve. Sin embargo, si la trayectoria de la partícula está contenida en un plano y elegimos como centro u origen de momentos un punto O contenido en dicho Figura 12.3 plano (Figura 12.3), la dirección del momento angular permane-
4
Aunque siempre es necesario especificar cual es el origen de momentos elegido, cuando no haya posibilidad de confusión omitiremos dicha mención.
300
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
cerá constante, es decir, perpendicular al plano de la trayectoria, por estar contenidos en él tanto r como p. En estas condiciones, teniendo en cuenta que v = ω × r y ω r = 0, se sigue que L
mr × v
mr × (ω × r )
o sea
L
m r 2ω
m(ω r )
m r 2ω
mr 2 ω
[12.5]
[12.6]
de modo que, en este caso, el momento angular es un vector que tiene la misma dirección que el vector velocidad angular. §12.3. Impulsión angular.- Con el objeto de indagar acerca del significado físico del momento angular de una partícula, estudiaremos como varía L en el transcurso del tiempo. Para ello, calcularemos la derivada del momento angular con respecto al tiempo;
dL dt
d (r × p ) dt
dr ×p dt
r×
dp dt
v×p
r×F
r×F
[12.7]
puesto que F = dp/dt. El primer término del segundo miembro de la expresión anterior es nulo, ya que v es paralelo a p. El segundo término, r × F, es el momento con respecto al centro u origen de momentos O, arbitrariamente elegido, de la fuerza que actúa sobre la partícula. De este modo, hemos establecido una relación importante entre el momento angular de la partícula y el momento de la fuerza que actúa sobre ella; i.e., M
dL dt
[12.8]
Así, podemos enunciar: La rapidez de cambio del momento angular de una partícula es igual al momento de la fuerza que actúa sobre ella. Debemos resaltar que la ecuación [12.8] sólo es correcta cuando tanto L como M se evalúan con respecto a un mismo centro u origen de momentos que puede ser elegido arbitrariamente y que deberá estar fijo en un cierto referencial. La ecuación [12.8], que como veremos más adelante es fundamental para la discusión del movimiento de rotación, guarda una gran semejanza formal con la que relaciona la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento de una partícula con la fuerza que actúa sobre ella, esto es, con F = dp/dt; con la cantidad de movimiento p reemplazada por el momento angular L y la fuerza F por su Figura 12.4 momento M.
301
§12.3.- Impulsión angular.
De la ec. [12.8] se desprende que el cambio dL en el momento angular de la partícula durante un intervalo de tiempo infinitesimal dt es igual al producto del momento aplicado por el intervalo de tiempo (infinitesimal) durante el cual actúa, M dt
[12.9]
dL
de modo que dicho cambio dL es paralelo al momento aplicado M. El cambio total en el momento angular durante un intervalo de tiempo Δt = tB - tA vendrá dado por Λ
tB
⌠ M dt ⌡t A
LB
⌠ dL ⌡L
LB
LA
ΔL
[12.10]
A
de modo que aun cuando el primer miembro de [12.9] sólo pueda ser integrado en condiciones muy concretas (cuando conozcamos M en función del tiempo), la integral del segundo miembro conduce siempre a un resultado sencillo; i.e., Λ
ΔL
[12.11]
El primer miembro de [12.10] se denomina impulsión del momento o impulsión angular y la ecuación anterior expresa el siguiente resultado importante: La impulsión del momento de la fuerza que actúa sobre una partícula es igual a la variación del momento angular de la partícula. Este es el enunciado del teorema del momento angular, que se aplica fundamentalmente a las fuerzas impulsivas, como las que aparecen en las colisiones y percusiones, es decir en aquellos casos en los que no conocemos la dependencia con el tiempo de la fuerza (y por ende del momento) aplicada a la partícula. El significado del teorema anterior guarda una gran semejanza formal con el teorema de la cantidad de movimiento. La impulsión del momento es una magnitud vectorial (sus unidades son las mismas que las del momento angular) y mide, en cierto modo, la efectividad del momento de la fuerza para producir cambios en el momento angular (o sea, en el estado de rotación). §12.4. Conservación del momento angular de una partícula.- Si el momento aplicado a una partícula es cero, o sea si M = r × F = 0, tendremos que dL/dt = 0, de modo que el momento angular de la partícula permanecerá constante en el transcurso del tiempo.
El momento angular de una partícula es constante en ausencia de momento dinámico. Esta es una forma de enunciar la ley de conservación del momento angular de una partícula. Naturalmente, el momento será nulo si la fuerza aplicada (o la resultante de las fuerzas aplicadas) es nula; esto es, cuando se trata de una partícula libre. Sabemos que el movimiento de una partícula libre es rectilíneo y uniforme (Figura 12.5); esto es, v = cte, o sea, p = cte. El módulo del momento angular de la
Figura 12.5
302
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
partícula libre con respecto a un punto fijo en un referencial inercial es L
mr × v
m r v sen θ
mvb
[12.12]
donde b = r sen θ. Al ser constantes todos los factores involucrados, el momento angular de la partícula libre también será constante. §12.5. Fuerzas centrales. Órbitas planas y ley de las áreas.- La condición de que el momento sea nulo también se satisface si F es paralela a r; en otras palabras, si la recta directriz de la fuerza pasa siempre por el punto O elegido como centro u origen de momentos. Una categoría especial de este tipo de fuerzas está constituida por las llamadas fuerzas centrales; entonces, el punto O recibe el nombre de centro de fuerza. Por ello podemos establecer que
cuando una partícula se mueve bajo la acción de una fuerza central, su momento angular con respecto al centro de fuerzas es una constante del movimiento, y viceversa. Este resultado es muy importante en razón de que muchas fuerzas de la Naturaleza tienen carácter central. Así, por ejemplo, la Tierra se mueve en torno al Sol bajo la acción de una fuerza central (la fuerza gravitatoria) cuya línea de acción pasa siempre por el centro del Sol; en consecuencia, será constante el momento angular de la Tierra con respecto al Sol. Una situación análoga se presenta en el movimiento del electrón del átomo de Hidrógeno; en este caso, la interacción es esencialmente electrostática y la fuerza que actúa sobre el electrón está dirigida siempre hacia el núcleo; en consecuencia, el momento angular del electrón con respecto al núcleo será constante. El movimiento de una partícula bajo la acción de una fuerza central tiene características muy importantes. Como ya hemos visto, el momento angular de la partícula con respecto al centro de fuerzas es constante. El que sea L = cte significa, debido a su carácter vectorial, que lo será en módulo, dirección y sentido. La constancia de la dirección del momento angular significa que la trayectoria de la partícula estará confinada en un plano perpendicular a la dirección del momento angular. En consecuencia, podemos enunciar: La trayectoria de una partícula que se mueve bajo la acción de una fuerza central se encuentra en un plano que contiene al centro de fuerzas. Este enunciado es de interés histórico en relación con el movimiento planetario y se le conoce como Primera Ley de Kepler. En general, la trayectoria plana podrá ser cerrada o abierta; en principio, dichas trayectorias podrán ser muy variadas. En el caso de que la fuerza central sea inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de la partícula al centro de fuerzas, esto es, F ∝ 1/r2, entonces esas trayectorias u órbitas serán secciones cónicas (circunferencias, elipses, parábolas e hipérbolas), como veremos más adelante. Cuando la partícula experimenta un desplazamiento infinitesimal, dr, bajo la acción de una fuerza central, su vector de posición (radio vector) barre un área dS (sombreada en la Figura 12.6). En virtud de la interpretación geométrica del producto vectorial podemos escribir
303
§12.5.- Fuerzas centrales. Órbitas planas y ley de las áreas.
dS
1 r × dr 2
[12.13]
donde dS es el vector elemento de superficie, que tiene la misma dirección que el momento angular L. Entonces, el área barrida por unidad de tiempo, o velocidad areolar es dS dt
1 dr r× 2 dt
1 r×v 2
[12.14]
siendo v la velocidad de la partícula y, como L = mr × v, se sigue que dS dt
L 2m
[12.15]
que es la expresión de la velocidad areolar en función Figura 12.6 del momento angular. Como el momento angular es una constante del movimiento, también lo será la velocidad areolar, de modo que tenemos el siguiente resultado importante: En el movimiento bajo la acción de fuerzas centrales el radio vector de la partícula barre áreas iguales en tiempos iguales. Esto es, el área barrida por unidad de tiempo (velocidad areolar) es constante. Este enunciado, que como vemos tiene validez general para el movimiento bajo la acción de fuerzas centrales, tiene también interés histórico en relación con el movimiento planetario; en ese contexto se le conoce como Segunda Ley de Kepler. Los planetas se mueven en órbitas elípticas alrededor del Sol, el cual ocupa uno de los focos de dichas elipses. Con objeto de que se conserve el momento angular del planeta con respecto al Sol (que ocupa la posición del centro de fuerzas) aquél deberá moverse más rápidamente en el punto de máxima aproximación (perihelio) que en aquel otro de máximo distanciamiento (afelio) al Sol. En tales puntos, llamados absidales, el radio vector r es perpendicular a la velocidad v, de modo que el módulo del momento angular en ellos es L = mrv cumpliéndose que Figura 12.7
rp vp
ra va
[12.16]
§12.6. Descripción del movimiento de la partícula en coordenadas polares planas.- Para facilitar el análisis del movimiento de una partícula deberemos servirnos de
un sistema de coordenadas que sea apropiado a las características generales de dicho
304
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
movimiento. Puesto que nos proponemos estudiar el movimiento de la partícula bajo la acción de una fuerza central, i.e., de una fuerza cuya recta directriz pasa siempre por un punto fijo O (centro de fuerzas) y cuyo módulo es función únicamente de la distancia de la partícula a dicho punto, resultará muy conveniente la adopción de un sistema de coordenadas polares planas con origen en el centro de fuerzas. De ese modo, la fuerza central quedará expresada en la forma F
F(r) e r
[12.17]
siendo er el versor en la dirección del vector de posición r, esto es r
r er
[12.18]
y donde F(r) es una función que representa el módulo de la fuerza, que será una atracción (dirigida hacia el centro de fuerzas) si es F(r) < 0 o una repulsión (desde el centro de Figura 12.8 fuerzas) si es F(r) > 0. En coordenadas polares planas, la posición de la partícula en el plano del movimiento queda determinada por la coordenada radial r (distancia al punto O tomado como origen) y por la coordenada angular θ (ángulo que forma el vector r con una dirección o eje polar preestablecido). Los versores correspondientes son el er y el eθ. El versor er está dirigido desde el origen a la posición que ocupa la partícula. El versor eθ es perpendicular al anterior y marca la dirección de crecimiento del ángulo polar (θ). Tomando el eje cartesiano x como eje polar, las fórmulas de transformación de las coordenadas cartesianas de la partícula y de los versores cartesianos a polares son5: r
x2 ⎧ er ⎨ e ⎩ θ
y2
θ
arctg
y x
cos θ i sen θ j sen θ i cos θ j
[12.19]
[12.20]
Para expresar la velocidad de la partícula en coordenadas polares planas calcularemos la derivada del vector de posición, dado por [12.18], con respecto al tiempo; se obtiene: v
dr dt
d (r e r) dt
dr e dt r
r
de r
[12.21]
dt
A partir de [12.20], por derivación y posterior sustitución, tenemos
5
Dejamos al cuidado del alumno la demostración de estas relaciones y la obtención de las relaciones de transformación inversas.
§12.6.- Descripción del movimiento de la partícula en coordenadas polares planas.
⎧ de r ⎪ dt ⎪ ⎨ ⎪ deθ ⎪ ⎩ dt
sen θ i
(
cos θ i
(
cos θ j )
dθ dt
305
θ˙ eθ
dθ sen θ j ) dt
[12.22]
θ˙ e r
de modo que la velocidad de la partícula es v
r˙ e r
r θ˙ eθ
[12.23]
v
vr e r
vθ eθ
[12.24]
que puede escribirse como
con
vr
r˙
r θ˙
vθ
[12.25]
La componente vr = vr er es paralela al vector r y recibe el nombre de velocidad radial6, en razón a que representa el cambio que experimenta la distancia r de la partícula al punto O por unidad de tiempo. La componente vθ = vθ eθ es un vector perpendicular a r y está asociada al cambio que experimenta la dirección del vector posición r de la partícula, por unidad de tiempo, conforme ésta se mueve; recibe el nombre de velocidad transversal. En el movimiento circular, con centro en O, no hay velocidad radial (vr = 0) ya que r permanece constante, de modo que dr/dt = Figura 12.9 0, y la velocidad es enteramente transversal. Utilizando las componentes radial y transversal de la velocidad podemos escribir para un movimiento plano cualquiera L
mr × v
mr × (v r
vθ )
[12.26]
mr × vθ
ya que vr es paralelo a r. Además, teniendo en cuenta que r = rer y que vθ = rθ˙ eθ, la expresión anterior también puede escribirse como L
mr e r × r θ˙ eθ
mr 2θ˙ (e r × eθ )
mr 2θ˙ k
mr 2 ω
[12.27]
que es la misma expresión que obtuvimos en [12.6].
6
No debemos confundir vr = dr/dt (velocidad radial) con ds/dt (celeridad o módulo de la velocidad) ya que, en general, será dr/dt ≠ ds/dt. Recuérdese que dr = ds y que, en general, d r = dr ≠ ds.
306
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
Ahora derivaremos ambos miembros de [12.23] para obtener la expresión de la aceleración en coordenadas polares planas: a
dv dt
r¨ e r
r˙
de r dt
r˙ θ˙ eθ
r θ¨ eθ
r θ˙
deθ
[12.28]
dt
y sustituyendo [12.22] en [12.28] resulta a
( r¨
2 r θ˙ ) e r
( r θ¨
2 r˙ θ˙ ) eθ
[12.29]
que puede escribirse como a
ar e r
[12.30]
a θ eθ
siendo ar y aθ las componentes radial y transversal de la aceleración dadas por ar
r¨
2 r θ˙
aθ
r θ¨
2 r˙ θ˙
[12.31]
El término r¨ procede del movimiento en la dirección radial r; el término -rθ˙ 2 = -vθ2/r se denomina aceleración centrípeta y procede del movimiento en la dirección de θ. En el movimiento circular, referido al centro de la circunferencia, es r = cte, de modo que r˙ = r¨ = 0, resultando que ar = -rθ˙ 2 = -vθ2/r (aceleración centrípeta) y aθ = rθ¨ = rα (aceleración tangencial). En coordenadas polares, la segunda ley del movimiento de Newton, desdoblada en las componentes radial y transversal, se escribe en la forma Fr
m ( r¨
2 r θ˙ )
Fθ
m ( r θ¨
2 r˙ θ˙ )
[12.32]
y proporciona el punto de partida para resolver el problema del movimiento de la partícula en el plano, referido a un origen de coordenadas polares. §12.7. Movimiento producido por una fuerza central.- El estudio del movimiento de los cuerpos bajo la acción de fuerzas centrales constituye una de las áreas más ricas e interesantes de la Mecánica. El análisis de tales movimientos ha representado en dos ocasiones de la historia de la Física grandes avances en el conocimiento y comprensión de las leyes fundamentales de la Naturaleza: una vez a escala macroscópica, a través de la explicación del movimiento planetario, que condujo a la formulación de lo que hoy llamamos Mecánica Clásica o Newtoniana; y otra vez a escala subatómica, a través de los estudios de RUTHERFORD (1871-1937) sobre la dispersión de partículas alfa por los núcleos atómicos, lo que permitió crear una nueva imagen del átomo. La situación que vamos a estudiar en este artículo se presenta frecuentemente en la interacción entre dos partículas; la fuerza que actúa entre ellas está dirigida a lo largo de la recta que las une y depende solamente de la distancia que las separa. Entonces, si convenimos en tomar como origen O una de las partículas, la fuerza que actúa sobre la otra viene dada por [12.17]. Ejemplos de fuerzas centrales atractivas son las fuerzas gravitatorias ejercida por el Sol sobre los planetas o la fuerza electrostática entre un electrón y el núcleo del átomo a que pertenece. La fuerza que ejerce el núcleo atómico sobre una partícula alfa es una fuerza central repulsiva. En muchos casos importantes, el módulo de la fuerza
§12.7.- Movimiento producido por una fuerza central.
307
central, F(r), es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa a las dos partículas. En otros casos, como en ciertos problemas referentes a la estructura e interacciones entre núcleos, átomos complejos y moléculas, se presentan otras formas funcionales para F(r). En §12.5 hemos estudiado algunas características generales del movimiento de la partícula bajo la acción de una fuerza central. Vimos que, en esas condiciones, la trayectoria de la partícula es plana y que su velocidad areolar es constante. Ahora nos proponemos dar más detalles acerca de ese movimiento, estableciendo los métodos generales para determinarlo. Inicialmente, al menos, asumiremos que el cuerpo responsable de la fuerza que actúa sobre nuestra partícula en movimiento es suficientemente másico como para que pueda ser considerado como un centro de fuerzas fijo y que se encuentra en el origen del referencial en el que analizaremos el movimiento. De este modo idealizamos el problema general, el de la interacción mutua (tercera ley de Newton) entre dos partículas, reduciéndolo al del movimiento de una partícula en un campo de fuerzas al cual es sensible. En una lección posterior veremos que, con una pequeña modificación, puede hacerse que la solución que ahora obtendremos sea exacta para el problema general de interacción mutua entre dos partículas de masas similares; entonces ambas partículas estarán en movimiento y no podemos considerar a una de ellas como un centro de fuerzas fijo. Cuando la partícula se mueve bajo la acción de una fuerza central hay dos magnitudes físicas que se conservan durante el movimiento; esto es, dos constantes del movimiento. Una, de carácter vectorial, es el momento angular de la partícula con respecto al centro de fuerzas; la otra, de carácter escalar, es la energía total. El momento angular de la partícula con respecto al centro de fuerza permanece constante en dirección (perpendicular al plano de la trayectoria) y su módulo viene dado por L
m r 2 θ˙
[12.33]
Puesto que toda fuerza central, de la forma F(r)er, es conservativa, y la energía asociada con ella es función tan sólo de la distancia a la que se encuentra la partícula del centro de fuerzas, la conservación de la energía total de la partícula (cinética + potencial) se expresa en la forma 1
E
2
mv2
[12.34]
Ep(r)
Cuando usamos coordenadas polares planas (r,θ), el cuadrado del módulo de la velocidad de la partícula puede expresarse en la forma 2
v2
vr
2
vθ
r˙ 2
2 r 2 θ˙
[12.35]
de modo que la energía total se puede escribir como E
1 2
m r˙ 2
1 2
2 m r 2 θ˙
Ep(r)
[12.36]
˙ obtenida de [12.33], para escribir la ec. dif. del movimiento radial; donde sustituiremos θ, i.e., una ec. dif. en la que no intervenga la coordenada angular θ:
308
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
1
E
2
m r˙ 2
L2 2mr 2
Ep(r)
Ep(r)
⎞ L2 ⎟ ⎟ 2mr 2 ⎠
[12.37]
de donde despejaremos r˙ para obtener ⎛ 2 ⎜ E m ⎜⎝
r˙
[12.38]
Supongamos que r = r0 para t = 0; entonces, la integración de la ecuación diferencial anterior, desde el estado inicial hasta el correspondiente al tiempo genérico t, conduce a
t
m ⌠r 2 ⌡r
dr [12.39]
0
E
Ep(r)
L2 2mr 2
que expresa t en función de la coordenada radial r de la partícula y de las constantes del movimiento E y L y de r0. En principio, la solución anterior puede invertirse para obtener r como función de t y de las constantes, i.e., r(t), obteniéndose así la solución de nuestro problema dinámico en lo que concierne al movimiento radial. Una vez obtenida la expresión r = r(t) se puede obtener fácilmente la θ = θ(t) correspondiente al movimiento angular. Para ello, basta despejar θ˙ de la expresión [12.33]; θ˙
L mr 2
[12.40]
y proceder a una nueva integración, introduciendo en [12.40] la r(t) obtenida anteriormente; de esa forma, se obtiene θ
θ0
t L ⌠ dt ⌡0 mr 2(t)
[12.41]
Así obtenemos θ en función del tiempo; esto es θ(t). De esta forma queda completamente resuelto nuestro problema dinámico, una vez que hemos podido expresar los movimientos radiales y angulares en función del tiempo. En las expresiones de dichos movimientos intervienen cuatro constantes: E, L, r0 y θ0. Estas constantes no son las únicas que cabe considerar; igualmente pudiéramos haber tomado r0, θ0, r˙0 y θ˙ 0, pero siempre E y L quedan determinadas por ese conjunto. Normalmente resulta más natural y conveniente tomar el conjunto de cuatro constantes que contienen la energía y el momento angular. En muchas ocasiones, la integral [12.39] resulta demasiado engorrosa de calcular y, en el caso de que podamos efectuarla, es difícil despejar r(t) en la ecuación resultante. Generalmente resulta más fácil hallar la ecuación de la trayectoria, i.e., la relación existente entre r y θ (ecuación polar), que determinar las ecuaciones paramétricas del movimiento de la partícula, i.e., r(t) y θ(t). En ocasiones, puede que lo que nos interese realmente sea la ecuación de la trayectoria r(θ). A fin de determinarla, escribiremos
309
§12.7.- Movimiento producido por una fuerza central.
dθ dr
θ˙ r˙
dθ/dt dr/dt
[12.42]
de modo que sustituyendo las expresiones de r˙ y θ˙ , dadas por [12.38] y [12.40], en la expresión [12.42], resulta dθ dr
L
mr
⎛ 2 ⎜ E m ⎜⎝
2
⎞ L2 ⎟ ⎟ 2mr 2 ⎠
Ep(r)
[12.43]
y separando las variables r y θ e integrando se obtiene θ(r)
L
θ0
2m
r
dr
⌠ ⌡r
r
2
E
[12.44]
L2 2mr 2
0
Ep(r)
i.e., la ecuación de la trayectoria en coordenadas polares. Recíprocamente, si conocemos la ecuación de la trayectoria, de modo que podamos calcular dθ/dr (o dr/dθ), la ecuación [12.43] nos permitirá calcular Ep(r); Ep(r)
E
L2 2mr 2
⎡ ⎢1 ⎢ ⎣
1 r2
⎤ ⎛ dr ⎞2⎥ ⎜ ⎟⎥ ⎝ dθ ⎠ ⎦
[12.45]
y, a partir de ella, la fuerza, F(r) = - grad Ep. Hemos resuelto el problema, en su aspecto formal, combinando las ecuaciones [12.33] y [12.34] que expresan la conservación del momento angular y de la energía, ilustrando la forma en que los principios de conservación nos permiten abordar la resolución de los problemas dinámicos. Naturalmente, también podemos abordar el problema a partir de las leyes del movimiento de Newton. Para ello tomaremos coordenadas polares planas (r,θ) en el plano del movimiento y con origen en el centro de fuerzas. Puesto que la fuerza es central, tenemos que Fr = F(r) y Fθ = 0, de modo que las ecuaciones del movimiento en las direcciones r y θ son, según [12.32], m r¨
2 m r 2 θ˙
F(r)
m r θ¨
2 m r˙ θ˙
0
[12.46]
Multiplicando por r la segunda ecuación de [12.46] tendremos m ( r 2 θ¨
2 r r˙ θ˙ )
d ( m r 2 θ˙ ) dt
dL dt
0
[12.47]
de modo que esa ecuación expresa simplemente la conservación del momento angular respecto al centro de fuerzas y, una vez integrada, puede escribirse como
310
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
L
m r 2 θ˙
⇒
cte
L mr 2
θ˙
[12.48]
donde L es una constante que deberá ser evaluada a partir de las condiciones iniciales. Sustituyendo el resultado [12.48b] en [12.46a] tendremos la ecuación diferencial del movimiento radial m r¨
L2 mr 3
[12.49]
F(r)
que puede escribirse de una forma más conveniente, para ciertas aplicaciones, si hacemos el siguiente cambio de variable u
1 r
⇒
1 u
r
[12.50]
En efecto, derivado dos veces sucesivas la expr. [12.50b], y teniendo en cuenta [12.48a], tendremos r˙
r¨
dr dt
d ⎛ dr ⎞ ⎜ ⎟ dt ⎝ dt ⎠
1 du u 2 dt L d ⎛ du ⎞ ⎜ ⎟ m dt ⎝ dθ ⎠
1 du dθ u 2 dθ dt
r 2 θ˙
L d2u dθ m dθ2 dt
du dθ
L ˙ d2u θ m dθ2
L du m dθ
[12.51]
L 2 d2u m 2r 2 dθ2
de modo que, sustituyendo [12.51] en [12.49], ésta se transforma en ⎡ L 2 ⎢ d2 ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎢ mr 2 ⎣ dθ2 ⎝ r ⎠
⎤ 1 ⎥ r ⎥⎦
F(r)
[12.52]
que es la ecuación diferencial de la órbita7 si se conoce la ley de fuerzas F(r). Recíprocamente, la ecuación [12.52] nos permitirá determinar la ley de fuerzas F(r) si conocemos la ecuación de la órbita r = r(θ). Obsérvese que la ecuación [12.52] carece de sentido si L = 0; pero entonces, teniendo en cuenta [12.48], se ve que θ = cte y la trayectoria es una recta que pasa por el centro de fuerzas.
Ejemplo I.- Determinar la fuerza central bajo la cual una partícula se mueve en una órbita elíptica con el centro de fuerzas en unos de los focos de la órbita. Estas son las órbitas que describen los planetas alrededor del Sol (Primera Ley de Kepler). Comenzamos expresando la ecuación de la trayectoria en coordenadas polares planas referidas a uno de los focos de la elipse (vide página 318); i.e.,
7
También podemos llegar a la expresión [12.52] a partir de [12.45], sin más que desarrollar dEp(r) F(r) , como el lector comprobará fácilmente. dr
§12.7.- Movimiento producido por una fuerza central.
r
1
α cos θ
1 r
⇒
1 α
α
311
cos θ
de modo que d ⎛1⎞ ⎜ ⎟ dθ ⎝ r ⎠
α
sen θ
d2 ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ dθ2 ⎝ r ⎠
α
cos θ
Entonces, sustituyendo estos valores en la ec. dif. de la órbita [12.52] se obtiene F(r)
L2 ⎛ ⎜ mr 2 ⎝
α
cos θ
1 α
⎞ cos θ ⎟ α ⎠
Figura 12.10
L2 α mr 2
K r2
Así pues, se trata de una fuerza atractiva inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de la partícula al centro de fuerzas. Esta es, en esencia, la ley de la gravitación universal descubierta por Newton a partir del conocimiento de las órbitas planetarias.
§12.8. Energías potenciales centrífuga y efectiva.- Aunque el problema haya quedado formalmente resuelto, las integrales [12.39], [12.41] y [12.44] o la ecuación diferencial [12.52] suelen ser muy poco manejables en la práctica. No obstante, podemos obtener bastante información cualitativa sobre el movimiento de la partícula en base sólo de las ecuaciones de conservación, aun cuando sea difícil obtener soluciones explícitas. Para ello es conveniente reducir el problema a otro unidimensional equivalente. En la ecuación del movimiento radial [12.37], que no es más que la expresión de la conservación de la energía, aparecen tan sólo r y su derivada temporal r˙, así como las constantes del movimiento E y L. Esta ecuación se parece mucho a la ec. dif. para el movimiento rectilíneo de una partícula bajo la acción de una fuerza conservativa (vide §11.2), con velocidad dr/dt, si suponemos que, en lo que al movimiento radial se refiere, la partícula dispone de una energía potencial efectiva
L2 2mr 2
Ep(r)
Ep(r)
[12.53]
de modo que la ecuación [12.37] puede escribirse en la forma E
1 2
m r˙ 2
Ep(r)
[12.54]
donde la cantidad Ep′(r) desempeña el papel de una energía potencial equivalente en el problema unidimensional radial. El término adicional L2/2mr2 tiene en cuenta, en lo que al movimiento radial se refiere, que el vector de posición r está cambiando no sólo en magnitud sino también en dirección en el transcurso del movimiento. Evidentemente, sus dimensiones son las de una energía, y recibe el nombre de energía potencial centrífuga porque la "fuerza" asociada con él, utilizando la expresión del gradiente en coordenadas polares, es
312
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
Fcf
⎛ ∂ ⎜ L2 ∂r ⎜⎝ 2mr 2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
L2 mr 3
mrθ˙
2
[12.55]
que, siendo positiva, apunta hacia afuera y que es idéntica a la fuerza centrífuga mrω2 en un referencial que girase con una velocidad angular ω igual al valor instantáneo de dθ/dt. Por supuesto que no actúa ninguna fuerza centrífuga sobre la partícula, excepto la que pueda deberse a la energía potencial real Ep(r), en el caso de que la fuerza actuante sea repulsiva. La fuerza centrífuga Fcf = L2/mr3 no es una fuerza real; es una fuerza ficticia o de inercia, que describe la tendencia de la partícula a moverse en línea recta en lugar de hacerlo en una trayectoria curvilínea. Podemos comprender mejor el papel que juega esta fuerza centrífuga si observamos que la ecuación [12.49] puede escribirse en la forma m¨r
F(r)
L2 mr 3
[12.56]
ecuación que tiene exactamente la misma forma que la correspondiente al movimiento de una partícula bajo la "acción" de una fuerza real F(r) más una fuerza centrífuga L2/mr3. Como ya sabemos, la fuerza centrífuga no es realmente una fuerza sino una parte del producto masa × aceleración, traspuesta al segundo miembro de la ecuación del movimiento. Las mismas consideraciones podemos hacer para la energía potencial centrífuga, que no es sino una parte de la energía cinética de la partícula: la porción correspondiente al movimiento transversal con respecto a la dirección instantánea de vector posición r; i.e., ½mvθ2 = ½mr2θ˙ 2. La circunstancia de que esta porción de la energía cinética pueda expresarse como función exclusiva de la posición radial, (esto es, L2/2mr2) nos permite tratar el problema del movimiento radial como un problema unidimensional, independiente del movimiento rotacional (transversal). §12.9. Análisis de diagramas de energía.- Podemos descubrir las propiedades generales del movimiento de la partícula en un campo de fuerza centrales mediante el estudio de las curvas de energía potencial efectiva, en estrecha analogía a como hicimos en §11.3 para el movimiento rectilíneo de la partícula bajo la acción de una fuerza conservativa. Sin embargo, a pesar de la analogía, existen dos diferencias notables entre la utilización del método de las curvas de energía potencial en el problema del movimiento unidimensional y su aplicación al problema bidimensional que es objeto de nuestro estudio, aun cuando dicho problema lo hayamos reducido a un problema unidimensional equivalente (en la dirección radial) con la introducción del concepto de energía potencial efectiva. En primer lugar, debemos observar que la energía E determina por sí sola el carácter del movimiento rectilíneo producido por una fuerza conservativa. En cambio, en el movimiento bidimensional producido por una fuerza central habrá que especificar también el momento angular L de la partícula; i.e., el carácter del movimiento depende tanto de la energía E como del momento angular L. Esto resulta evidente en el diagrama o representación gráfica de la energía potencial efectiva en función de la distancia radial, ya que resultan distintas curvas para distintos valores del momento angular (Figura 12.11). Así pues, tendremos una familia de curvas de energía potencial efectiva, correspondientes a distintos
§12.9.- Análisis de diagramas de energía.
313
valores de L. En cada problema específico deberemos conocer el valor de L (que es una constante del movimiento determinada por las condiciones iniciales), o discutir lo que sucederá para diversos valores del momento angular. Un segundo aspecto a tener en cuenta es que no debemos preocuparnos exclusivamente de analizar el movimiento radial de la partícula (a través del método de la Figura 12.11 energía potencial efectiva), sino que también debemos preocuparnos del movimiento alrededor del centro de fuerzas. Ambos movimientos tienen lugar simultáneamente y el movimiento real (bidimensional) es la superposición de ambos. La rotación del vector de posición r no es uniforme, salvo en el caso de que la trayectoria sea circular, ya que la velocidad angular viene dada por θ˙
L mr 2
[12.57]
de modo que θ˙ disminuye cuando aumenta la distancia radial r. Consideremos ahora un diagrama de energía típico, tal como el que mostramos en la Figura 12.12. La energía total Ep(r) corresponde a una fuerza central que es atractiva para cualquier valor de r; i.e., -dEp/dr es siempre negativa y Ep(r) es una función creciente
Figura 12.12
314
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
(Ep(r)→0 cuando r→∞), como se indica en la curva inferior de trazos. La curva superior de trazos representa la energía potencial centrífuga L2/2mr2 para un valor dado del momento angular L; este término centrífugo es muy pequeño a grandes distancias pero aumenta rápidamente para pequeñas distancias. La curva continua representa la energía potencial efectiva Ep′(r) = L2/2mr2 + Ep(r). En muchos casos de interés físico la energía potencial centrífuga predomina sobre la energía potencial Ep(r) para pequeños valores de r, en tanto que predomina esta última para grandes valores de r; en estas condiciones, la energía potencial efectiva Ep′(r) presentará un valor mínimo relativo, como se muestra en la Figura 12.12, para r = r0. Para ello será suficiente que el potencial atractivo 1) disminuya con más lentitud que 1/r2 cuando r → ∞; 2) tienda a infinito más despacio que 1/r2 cuando r → 0. Obviamente, si el potencial es atractivo, la energía potencial efectiva presentará siempre algún mínimo relativo. Utilizando el diagrama de energías anterior podemos obtener información cualitativa sobre el movimiento de la partícula. Supongamos que la energía total de la partícula sea Ea > 0, como se indica en la Figura 12.12. Está claro que ra será la máxima aproximación de la partícula al centro de fuerzas; de otro modo, si fuese r < ra , Ep′(r) sería mayor que Ea y la energía cinética radial [½m˙r2 = Ea - Ep′(r)] debería ser negativa, lo que representaría una velocidad radial imaginaria. Por otra Figura 12.13 parte, no existe límite superior para r, por lo que se tratará de una órbita abierta e ilimitada. Una partícula que proceda del infinito rebotará en la barrera centrífuga y regresará de nuevo al infinito (Figura 12.13). La diferencia entre Ea y Ep′ es ½m˙r2, o sea proporcional al cuadrado de la velocidad radial, anulándose en el punto de retorno r1. Por otra parte, la distancia entre Ea y Ep en el diagrama es la energía cinética Ek = ½mv2, de modo que la distancia entre las curvas Ep′ y Ep representa el término centrífugo ½mr2θ˙ 2. Así pues, estas curvas proporcionan el módulo de la velocidad así como sus componentes radial y transversal. Basta con esta información para tener una idea aproximada de la forma de la órbita. Para una energía E = 0 se obtiene una descripción análoga a la anterior. Pero si la energía total de la partícula es negativa, tal como E = Eb, la situación es muy diferente. Además del límite inferior r1 existe un límite superior r2 que no puede ser sobrepasado con energía cinética radial positiva; el movimiento estará limitado a una superficie anular definida por las circunferencias de radios r1 (mínima distancia) y r2 (máxima distancia) que corresponden a los puntos de retorno, también llamados puntos absidales. Se trata por lo tanto, de una órbita limitada, aunque no necesariamente cerrada, como se ilustra en la Figura 12.14. El movimiento radial será periódico, con periodo Tr, pero este periodo radial no será, en general, el Figura 12.14 mismo que el periodo de revolución Tθ, por lo que
315
§12.9.- Análisis de diagramas de energía.
la órbita puede no ser cerrada, aunque esté limitada a una región finita del espacio. Si ambos periodos son conmensurables (esto es, si su cociente puede expresarse como el cociente de dos números enteros) la partícula se encontrará al cabo de un cierto tiempo (igual al mínimo común múltiplo de Tr y Tθ) en la misma posición (y con la misma velocidad) en que se encontraba inicialmente y la órbita será cerrada. Obsérvese, además, que la órbita, sea cerrada o abierta, será tangente a las circunferencias absidales en los puntos de contacto, ya que en dichos puntos (absidales) se anula la velocidad radial, pero no así la transversal, dado que el momento angular debe permanecer constante. Si la energía es E0, precisamente en el mínimo de la curva de energía potencial efectiva Ep′, los dos puntos de retorno coincidirán en r0; la órbita será una circunferencia de radio r0. Puesto que, para una órbita circular, es r = cte, o sea r˙ = r¨ = 0, se sigue que la condición [12.56] para una tal órbita es m¨r
F(r)
L2 mr 3
[12.58]
0
o sea que la fuerza aplicada F(r) debe equilibrar a la fuerza centrífuga L2/mr3. Si, por algún mecanismo, una partícula que tiene una energía igual a Eb puede absorber suficiente energía para saltar a un nivel de energía positiva, la partícula se alejará del centro de fuerzas; esto es, la partícula se "disociará" del centro de fuerzas. La energía mínima que tiene que absorber para disociarse del centro de fuerzas es, evidentemente Eb y recibe el nombre de energía de disociación o de enlace. Recíprocamente, si una partícula tiene una energía igual a Ea y, por alguna causa, pierde energía hasta el nivel Eb, la partícula será "capturada" por el centro de fuerzas, en el sentido de que permanecerá en una órbita limitada alrededor de dicho centro. Estas situaciones se presentan, por ejemplo, en los procesos de ionización de los átomos. Obsérvese que los estados ligados (órbitas limitadas) corresponden a energías negativas de la partícula. §12.10. Fuerza central inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.- La ley de proporcionalidad inversa al cuadrado de la distancia es la más
importante de todas las referentes a fuerzas de tipo central; por ello merece que le dediquemos un estudio detallado. La ley de la fuerza y la energía potencial asociada se escriben en la forma F
K er r2
Ep(r)
K r
[12.59]
donde el nivel cero para la energía potencial se ha escogido a una distancia infinita del centro de fuerzas (i.e., Ep(r) → 0 cuando r → ∞) a fin de evitar un término adicional constante en la expresión de Ep(r). Un ejemplo de este tipo de fuerzas lo constituye la interacción gravitatoria entre dos masas, m1 y m2, separadas por una distancia r; entonces K
G m1 m2
G
6.67 × 10
11
N m 2/kg 2
[12.60]
siendo K negativa, puesto que la fuerza es atractiva. Otro ejemplo importante lo constituye la fuerza electrostática entre dos cargas eléctricas, q1 y q2, separadas por una distancia r;
316
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
K
q1q2 4π
8.854 × 10
0
12
C 2/N m 2
[12.61]
0
donde la carga eléctrica se mide en coulombs (C). En este caso, la fuerza será repulsiva o atractiva según que q1 y q2 sean del mismo o de distinto signo. Comenzaremos determinando la naturaleza de las órbitas correspondientes a la ley de fuerzas inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Para ello, hemos representado en la Figura 12.15 la energía potencial efectiva
Figura 12.15
Ep
L2 2mr 2
K r
[12.62]
correspondiente a diversos valores de K y de L. Para una fuerza repulsiva (K > 0), sólo son posibles energías totales E positivas y sólo serán posibles las órbitas ilimitadas; i.e., la partícula viene desde el infinito hasta el punto absidal y regresa de nuevo al infinito. En ausencia de fuerza (K = 0) la situación es análoga a la anterior, si bien el punto absidal estará más próximo al centro de fuerzas, para un mismo valor del momento angular L; la trayectoria será, obviamente, una recta. Si la fuerza es atractiva (K < 0) con L ≠ 0, el movimiento será ilimitado si E > 0, pero en este caso el punto absidal se halla más próximo del centro de fuerzas que para K > 0. Las órbitas serán como se muestra en la Figura 12.16, donde los segmentos rectilíneos de trazo discontinuo representan el radio vector en el pericentro (punto de la órbita de máxima aproximación al centro de fuerzas). Para una fuerza atractiva (K < 0) y < E < 0, la órbita está limitada por dos puntos absidales: el pericentro y el apocentro (punto de la órbita más alejado del centro de fuerzas). Para K < 0, con L ≠ 0 y E = -mK2/2L2, la órbita es una circunferencia de radio r0 = -L2/mK (demuéstrese). Por último, si K < 0 con L = 0, el problema se reduce al movimiento unidimensional sobre una recta que pasa por el centro de fuerzas. Figura 12.16 Disponemos de diversos métodos para obtener la ecuación de la órbita, siendo el más sencillo la sustitución de [12.59] en la ecuación diferencial de la órbita [12.52]; se obtiene d2 ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ dθ2 ⎝ r ⎠
1 r
mK L2
[12.63]
317
§12.10.- Fuerza central inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
1 r
Haciendo el cambio de variable w
mK , la ecuación anterior se convierte en L2 [12.64]
cuya solución inmediata es
w
A cos(θ
θ0 )
[12.65]
siendo A y θ0 las dos constantes de integración. Deshaciendo el cambio de variable obtenemos la ecuación de la órbita r(θ): 1 r
mK L2
A cos(θ
θ0 )
[12.66]
que puede escribirse en la forma r
con
L2 mK
α
1
α cos(θ
[12.67]
θ0 ) αA
L2 A mK
[12.68]
que es la ecuación general de una sección cónica (hipérbola, parábola, elipse o circunferencia) con un foco en el origen, en la que: La constante θ0 determina la orientación de la órbita en el plano (en lo que sigue tomaremos θ0 = 0, sin perder generalidad en nuestro razonamiento). La magnitud es la excentricidad de la cónica y determina su tipo, como se muestra en el Cuadro 12.1. La cantidad 2α recibe el nombre de latus rectum (ascensión recta) de la órbita; corresponde al valor de r para θ = π/2 y su significado se comprenderá inmediatamente al inspeccionar la forma de los diversos tipos de cónicas (vide página 318). Cuadro 12.1.- Clasificación de las cónicas. si
>1
es una hipérbola
si
=1
es una parábola
si 0< si
0). Por otra parte, como en los puntos absidales (pericentro y apocentro) la energía cinética radial es nula, podemos escribir L2
E
2mr
L2
K rmín
2 mín
2mr
2 máx
K rmáx
[12.69]
y sustituyendo en esta ecuación las expresiones de rmín y de α, dadas por α
rmín
L2 mK
α
1
[12.70]
(vide página 318) se obtiene, después de algunas operaciones, E
mK 2 ( 2L 2
2
→
1)
2
1
2EL 2 mK 2
[12.71]
Tabla 12.1.- Fuerza central inversamente proporcional al cuadrado de la distancia
órbita
excentricidad
energía mK 2 ( 2L 2
hipérbola
>1
E
parábola
=1
E=0
elipse
circunferencia
0<
0
mK 2 ( 2L 2
2
1) 0, E = 0, Emín < E < 0 ó E = Emín. Cuando la fuerza es repulsiva (K>0) habrá de ser E>0, y la órbita sólo puede ser una hipérbola (rama -). En el caso de órbitas elípticas e hiperbólicas, el semieje mayor viene dado por a
α 1
2
K 2E
[12.72]
320
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
que, como vemos, depende tan sólo de la energía total de la partícula y no de su momento angular, resultado de gran importancia en la teoría del modelo atómico de Bohr. En cambio, en el caso de órbitas elípticas, el semieje menor α
b 1
L [12.73] 2
2m E
depende de las dos constantes del movimiento (E,L). §12.11. Órbitas elípticas: Leyes de Kepler.- Tras una laborioso análisis de las numerosas y precisas mediciones astronómicas realizadas por el gran astrónomo danés Tycho BRAHE (1546-1601), el que fue su discípulo y asistente, el astrónomo alemán Johannes KEPLER8, enunció las leyes del movimiento planetario. Estas leyes empíricas, conocidas como leyes de Kepler, son una descripción cinemática del movimiento de los planetas en el sistema solar y sirvieron de base a Isaac NEWTON (1642-1727) para la descripción dinámica del movimiento planetario y para el descubrimiento de la ley de la fuerza responsable de dicho movimiento, esto es, la ley de la Gravitación Universal. Kepler enunció las tres leyes, esencialmente, en la forma siguiente:
(1) Los planetas describen órbitas elípticas, en las que el Sol se encuentra en uno de sus focos. (2) El vector de posición de cualquier planeta con respecto al Sol (radio vector) barre áreas iguales en tiempo iguales; i.e., la velocidad areolar es constante. (3) Los cuadrados de los periodos de revolución de los diversos planetas alrededor del Sol son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus órbitas. La segunda ley de Kepler (constancia de la velocidad areolar) es, como ya vimos en §12.5, un teorema general referente al movimiento bajo la acción de fuerzas centrales. Como acabamos de demostrar en el artículo anterior, la primera ley de Kepler se refiere exclusivamente a fuerzas inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia. A continuación vamos a deducir la tercera ley de Kepler. Con el objetivo de calcular el periodo de revolución en una órbita elíptica, es conveniente escribir la ec. [12.15], referente a la velocidad areolar, en la forma dt
8
2m dS L
[12.74]
Johannes KEPLER (1571-1630). Astrónomo alemán. Había de ser teólogo, pero estudió también Filosofía, Matemáticas y Astronomía. Fue profesor de Matemáticas y de Moral (1594-98) y (1612-26). Fue ayudante de Tycho BRAHE en Praga (1600-01) y, al morir éste (1601), pasó a ser matemático y primer astrónomo del emperador. Bajo la influencia de Coopérnico y de las ideas pitagóricas, realizó sus primeros avances acerca de la armonía del sistema planetario. Recalculó las tablas planetarias de Brahe y, al investigar el movimiento de Marte, encontró sus dos primeras leyes (1609). Además, estudió la teoría de las lentes y los principios del anteojo astronómico.
321
§12.11.- Órbitas elípticas: Leyes de Kepler.
Ahora, integrado la ecuación anterior para un periodo completo, durante el cual el radio vector barre toda la superficie de la elipse, se tiene T
T
2m ⌠S dS L ⌡0
⌠ dt ⌡0
2m S L
[12.75]
y teniendo en cuenta que el área de la elipse es S = πab, donde a y b son los semiejes mayor y menor, respectivamente, y elevando al cuadrado la expresión [12.75], resulta que 4π 2m 2a 2b 2 L2
T2
[12.76]
Los semiejes mayor y menor de la elipse vienen dados por a
α 1
1 2
2
1
L2 mK
b
a 1
2
[12.77]
La expresión [12.77a] nos permite despejar L2 L2
a (1
2
[12.78]
)m K
Entonces, sustituyendo [12.77b] y [12.78] en [12.76] se obtiene T2
4π 2m 3 a K
[12.79]
La constante K, en la ley de la fuerza gravitatoria, viene dada por [12.60], de modo que T2
4π 2 3 a GM
[12.80]
donde M representa la masa del Sol. El coeficiente de a3 es una constante para todos los planetas del sistema solar, de acuerdo con la tercera ley de Kepler. La ecuación [12.80] permite "pesar" el Sol, si se conoce el valor de G y si conocemos el semieje mayor y el periodo de revolución de cualquier órbita planetaria. Es interesante comprobar [12.80] para el caso de una órbita circular; puede hacerse fácilmente porque en dicho tipo de órbita la aceleración del planeta es exclusivamente centrípeta, ya que el módulo de la velocidad permanece constante, lo que nos permite escribir G
Mm r2
mrω2
→
ω2 r3
GM
[12.81]
que es la misma ec. [12.80].
Debemos destacar que la tercera ley de Kepler, al igual que la primera, es válida solamente para fuerzas inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia; la segunda ley de Kepler es menos restrictiva. En este artículo y en el anterior hemos demostrado las leyes de Kepler a partir de las leyes del movimiento de Newton y de la ley de Gravitación Universal; esto es, hemos supuesto conocida la ley de la fuerza. El problema inverso, esto es, deducir la ley de la fuerza a partir de las leyes de Kepler (vide Ejemplo I) es de mayor importancia histórica, pues así fue como dedujo Newton la ley de la gravitación.
322
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
Es de esperar que el movimiento de los planetas se aparte ligeramente del previsto por las leyes de Kepler, ya que el problema que hemos resuelto en los artículos anteriores corresponde a una idealización simplificada del problema físico real. En primer lugar, hemos supuesto que el Sol, como objeto más másico del sistema solar, permanece fijo, definiendo así un centro de fuerzas estacionario; de hecho, el Sol deberá tener algún tipo de movimiento como resultado de las fuerzas con que es atraído por los planetas que se mueven a su alrededor. Este efecto es realmente muy pequeño y puede corregirse por los métodos que introduciremos en una lección posterior (El problema de dos cuerpos). En segundo lugar, sobre un planeta dado actúan también los otros planetas, además del Sol. Como las masas de los planetas, incluso la de los más pesados, representan una pequeñísima proporción de la del Sol (la masa del planeta Júpiter, el mayor de todos, es 1042 veces menor que la del Sol), la acción de los demás planetas sobre uno dado representará tan sólo pequeñas desviaciones, aunque medibles, de las órbitas planetarias respecto a las predichas por las leyes de Kepler. De hecho, los planetas Neptuno (ADAMS y LEVERRIER, 1846) y Plutón (LOWEL, 1930) se descubrieron como resultado de sus efectos sobre las órbitas de los demás planetas.
§12.12. Órbitas hiperbólicas: El problema de Rutherford.- Aunque desde un punto de vista histórico el interés de las fuerzas centrales surgió con el estudio de las órbitas planetarias, no hay razón alguna para considerarlas ligadas exclusivamente a ese tipo de problemas; ya hemos mencionado el caso de las órbitas de Bohr. Otro problema interesante susceptible de estudiarse por los métodos desarrollados en esta lección es el de la dipersión de partículas en un campo de fuerzas centrales. En particular, es de especial interés histórico la dispersión de partículas cargadas (v.g., partículas α) por los núcleos atómicos, ya que fueron las experiencias de este tipo las que hicieron posible el descubrimiento del núcleo atómico y la estimación de sus dimensiones, hacia 1910, por RUTHERFORD (1871-1937) y sus colaboradores GEIGER y MARSDEN. Supongamos una partícula ligera, de carga ze, lanzada desde un punto lejano contra otra partícula mucho más pesada, de carga Ze. La partícula pesada permanecerá prácticamente estacionaria, pero la partícula ligera seguirá una trayectoria hiperbólica, de acuerdo con los resultados de los artículos anteriores. Si la fuerza es atractiva (las dos cargas son de distinto signo) la partícula pesada (el centro de fuerzas) quedará en el foco interior de la hipérbola (rama positiva); si la fuerza es repulsiva (las dos cargas son del mismo signo) la partícula pesada quedará en el foco exterior de la hipérbola (rama negativa). Esencialmente el problema es el mismo en los dos casos; sin embargo, nosotros centraremos nuestra atención en el caso de que la fuerza sea repulsiva; esto es,
F
K r2
con
K
Zze 2 >0 4π 0
[12.82]
En las colisiones entre partículas atómicas, la región en la que se desvía la partícula ligera incidente, pasando de una asíntota a otra, es tan pequeña (del orden de 10-10 m) que no puede medirse directamente la distancia de máxima aproximación (pericentro). Lo que si puede medirse es el ángulo de dispersión Θ definido por las direcciones del movimiento de la partícula incidente antes y después de la interacción con la partícula pesada. El ángulo φ que forman las asíntotas de la hipérbola con el eje polar viene dado por cos φ
1
[12.83]
§12.12.- Órbitas hiperbólicas: El problema de Rutherford.
323
y puesto que Θ
π
2φ
π 2
⇒ φ
Θ 2
[12.84]
será 1
ctg φ 2
tg 1
Θ 2
[12.85]
de modo que sustituyendo en [12.85] la expresión de la excentricidad [12.71], se tiene
tg
Θ 2
mK 2 2EL 2
[12.86] Figura 12.20
Supongamos que la partícula incidente tuviese una velocidad inicial v0 cuya recta directriz pasase a una distancia s del centro de fuerzas; dicha distancia s recibe el nombre de parámetro de impacto. El momento angular y la energía total de la partícula, esto es, las dos constantes de su movimiento, vendrán dadas por E
1 2
2
m v0
L
m v0 s
s 2mE
[12.87]
que sustituidas en [12.86] nos permiten calcular el ángulo de dispersión mediante la expresión tg
Θ 2
K 2E s
[12.88]
en la que podemos sustituir el valor de K, dado por [12.82b], para obtener finalmente el ángulo de dispersión de Rutherford tg
Θ 2
Zz e2 8π 0 E s
Zz e2 4π
2
0
[12.89]
mv0 s
en función del parámetro de impacto s de la partícula incidente. Se ve que el ángulo de dispersión será tanto mayor cuanto menor sea el parámetro de impacto. En un experimento típico de dispersión, un haz de partículas cargadas (por ejemplo, partículas alfa, con z = 2) monoenergéticas atraviesa una lámina delgada (v.g., de oro, con Z = 79). La expresión anterior nos permite conocer (vide §12.13) la proporción de partículas del haz que serán desviadas con un ángulo de dispersión comprendido entre Θ y Θ + dΘ; todas aquellas cuyos parámetros de impacto estén comprendidos entre s y s + ds, como se ilustra en la Figura 12.21. A la inversa, si conocemos la distribución experimental de los ángulos de dispersión, podemos conocer la de los parámetros de impacto correspondientes y a través de ellos hacer una estimación del "tamaño del centro de dispersión". Este fue, en grandes líneas, el razonamiento de Rutherford para explicar la dispersión "de gran ángulo" de partículas alfa por los átomos y que le llevó a formular la teoría nuclear del átomo, en contraposición al modelo atómico de Thomson que imaginaba el átomo formado por electrones negativos en el seno de una masa de carga positiva extendida a todo el volumen del átomo.
324
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
§12.13. Sección eficaz de dispersión.- En los experimentos típicos de dispersión, un haz homogéneo de partículas monoenergéticas incide sobre un centro de dispersión. Para caracterizar el haz especificaremos la energía E de las partículas y la intensidad I del haz, definida como el número de partículas que por unidad de tiempo atraviesan la unidad de superficie de una sección recta del haz. Puesto que las diferentes partículas del haz presentan diferentes parámetros de impacto, serán dispersadas bajo distintos ángulos Θ. En el caso de partículas atómicas o subatómicas, el parámetro de impacto s no es directamente medible, por lo que deberemos eliminarlo de la expresión [12.88]; en su lugar, haremos aparecer en ella la distribución experimental de los ángulos de dispersión, i.e., la fracción de partículas dispersadas en función del ángulo de dispersión Θ. Sea dN el número de partículas dispersadas por unidad de tiempo bajo ángulos comprendidos entre Θ y Θ+dΘ, como se ilustra en la Figura 12.21. El cociente
dσ
dN I
[12.90]
se denomina sección eficaz de dispersión y tiene dimensiones de una superficie, como el lector comprobará fácilmente. Cabe imaginarla como el área efectiva que rodea al centro dispersor por la que debe pasar la partícula incidente para ser dispersada un ángulo comprendido en el intervalo (Θ, Θ+dΘ). En el S.I. de unidades se mide en m2; en la Física Atómica y Nuclear se utiliza corrientemente un submúltiplo de esta unidad, que recibe el nombre de barn (b), que equivale a 10-28 m2. La sección eficaz de dispersión queda completamente determinada por la "forma" del campo de dispersión y constituye la característica más importante del proceso de dispersión. Supondremos que la dependencia entre el ángulo de dispersión (Θ) y el parámetro de impacto (s) sea biunívoca; así será si la función Θ=Θ(s) es monótona decreciente, tal como ocurre con la expresada en [12.89]. En estas condiciones, tan sólo se dispersan en el intervalo angular (Θ, Θ+dΘ) aquellas partículas del haz cuyos parámetros de impacto están comprendidos en el intervalo (s, s+ds), como se ilustra en la Figura 12.21. El número de estas partículas es igual al producto de la intensidad del haz por el área de la corona circular de radio s y espesor ds; i.e., Figura 12.21
dN
(2π s ds) I
⇒
dσ
2π s ds
[12.91]
Encontraremos la relación existente entre la sección eficaz de dispersión y el ángulo de dispersión escribiendo la expresión anterior en la forma dσ
⎛ ds(Θ) ⎞ 2π s(Θ) ⎜ ⎟ dΘ ⎝ dΘ ⎠
[12.92]
325
§12.13.- Sección eficaz de dispersión.
donde hemos añadido el signo negativo para tener en cuenta que ds/dΘ es habitualmente negativa, ya que un incremento ds del parámetro de impacto corresponde a una disminución dΘ del ángulo de dispersión. Frecuentemente, dσ se refiere al elemento de ángulo sólido dΩ, en lugar de al elemento de ángulo plano dΘ. El ángulo sólido dΩ definido por dos conos de ángulos en el vértice Θ y Θ+dΘ vale dΩ
[12.93]
2π senΘ dΘ
por lo que de [12.92] se sigue σ(Θ)
dσ dΩ
s(Θ) ds sen Θ dΘ
Figura 12.22
[12.94]
donde σ(Θ) recibe el nombre de sección eficaz diferencial de dispersión. En la Física Atómica y Nuclear tiene gran importancia el concepto de sección eficaz total de dispersión, σt, definido como π
2π ⌠ σ(Θ) sen Θ dΘ ⌡0
⌠ σ(Ω) dΩ ⌡4π
σt
[12.95]
que representa, obviamente, el área efectiva asociada al centro dispersor para dispersar las partículas incidentes un ángulo cualquiera. Uno de los problemas más importantes en los que podemos utilizar las expresiones anteriores es el de la dispersión de partículas cargadas en un campo coulombiano, definido por la expr. [12.82]. Entonces, tal como hemos visto en §12.12, podemos obtener la relación existente entre el parámetro de impacto (s) y el ángulo de dispersión (Θ); i.e., [12.88], que escribiremos en la forma K 2E
s
1 Θ tg 2
κ Θ tg 2
con κ
K 2E
[12.96]
de la que se sigue por derivación ds dΘ
κ 2 sen2
Θ 2
[12.97]
que sustituimos en [12.94] para obtener σ(Θ)
o sea
σ(Θ)
κ κ Θ Θ tg senΘ 2 sen2 2 2 K2 Θ sen 4 2 (4 E)2
1 4
κ2 4 sen4
Θ 2
2 ⎛ 2 ⎞ ⎜ Z z e ⎟ sen 4 Θ ⎜ 8π E ⎟ 2 0 ⎠ ⎝
[12.98]
[12.99]
que es la célebre sección eficaz de Rutherford para la dispersión, deducida originariamente por éste para la dispersión de partículas alfa por los núcleos atómicos. Obsérvese que σ(Θ) no depende del signo de K; i.e., las distribuciones de ángulos de dispersión tienen la misma forma para fuerzas atractivas y repulsivas. También debemos destacar que la Mecánica Cuántica, en el caso no
326
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
relativista, llega a un resultado completamente idéntico a éste, lo que cabe considerar como una afortunada circunstancia, ya que, de no haber sido así, se hubiera retrasado notablemente el desarrollo de la Física Nuclear. Si intentamos calcular la sección eficaz total para la dispersión coulombiana, sustituyendo en [12.95] la expr. [12.99], encontraremos que el resultado es infinito. La razón física de ello es fácil de comprender, ya que el campo coulombiano es un ejemplo de "fuerzas de largo alcance"; i.e., sus efectos se extienden hasta el infinito. Así, incluso las partículas del haz que incidan sobre el centro dispersor con un parámetro de impacto muy grande serán difundidas un pequeño ángulo, por lo que contribuirán a la sección eficaz total. Evidentemente, el valor infinito de la sección eficaz total σt no es exclusivo del campo coulombiano; se presentará siempre que el campo dispersor sea distinto de cero para cualquier distancia, por grande que ésta sea. Sólo si el campo difusor se anula a partir de cierta distancia, la sección eficaz total de dispersión será finita. En el caso del campo coulombiano de un núcleo atómico, tal discontinuidad se produce como consecuencia del apantallamiento de la carga nuclear producida por la presencia de los electrones atómicos.
Problemas 12.1.- En el instante t = 0, un cuerpo de 2 kg de masa se encuentra en el punto r = 5i m y tiene una velocidad v = 3j m/s. Sobre el cuerpo actúa una fuerza constante F = 4i N. a) Expresar la cantidad de movimiento y el momento angular del cuerpo en función del tiempo. b) Calcular el momento de la fuerza y compararlo con la derivada temporal del momento angular. 12.2.- Una partícula de masa unidad se mueve bajo la acción de una fuerza F = 6ti + 12t2j, donde t es el tiempo. En el instante inicial (t=0) la partícula se encuentra en reposo en el origen de coordenadas. a) Expresar en función del tiempo el momento angular de la partícula y el momento de la fuerza con respecto al origen de coordenadas. b) Comprobar que M = dL/dt. 12.3.- El movimiento de una partícula de masa m está definido, en función del tiempo, por r = a cos ωti + b sen ωtj donde a, b y ω son constantes. a) Calcular, con respecto al origen de coordenadas, el momento angular de la partícula y el momento de la fuerza que actúa sobre ella. b) Interpretar físicamente los resultados anteriores. 12.4.- Un cuerpo de pequeñas dimensiones, de 20 g de masa, está unido a un extremo de una
cuerda ligera y flexible que pasa a través de un orificio practicado en un tablero horizontal liso, como se Prob. 12.4 muestra en la f i g u r a . Sujetamos el extremos inferior de la cuerda y hacemos que se mueva el cuerpo en una trayectoria circular de 40 cm de radio, con una velocidad angular de 2 rad/s. a) Calcular la velocidad lineal del cuerpo, su momento angular y su energía cinética y la fuerza con que debemos tirar hacia abajo para que el movimiento sea posible. b) A continuación, vamos aumentando la tensión de la cuerda hasta que el radio de la trayectoria se reduce a 10 cm. Repetir los cálculos del apartado anterior. ¿Qué magnitudes físicas han permanecido constantes? c) Calcular el trabajo que hemos realizado al tirar de la cuerda y compararlo con el cambio que ha experimentado la energía cinética. 12.5.- Probar que el campo de fuerzas F = F(r)er es conservativo, demostrando por cálculo directo que la integral ∫ABF dr a lo largo de
Problemas
una trayectoria cualquiera, entre los puntos A y B, depende sólo de las distancias radiales de dichos puntos al centro de fuerzas. 12.6.- Una partícula se mueve con celeridad constante a lo largo de la parábola de ecuación θ r cos2 k , donde k es una constante. 2 a) Dibujar la trayectoria, determinar la posición del foco de la parábola y calcular los valores del pericentro y del latus rectum. b) Hallar las componentes radiales y transversales de la velocidad y de la aceleración de la partícula. c) Determínense las componentes intrínsecas (tangencial y normal) de la aceleración y el radio de curvatura de la trayectoria en función de θ. 12.7.- Espirales. Encontrar la ley de fuerza para el campo de fuerzas centrales en el que una partícula se está moviendo sobre cada una de las trayectorias espirales que se indican a continuación, siendo k y α constantes. a) r = k/θ. b) r = k/θ2. c) r = kθ (espiral de Arquímedes) d) r = kθ2 e) r = k exp(αθ) (espiral logarítmica). 12.8.- Una partícula se mueve en un campo de fuerzas centrales definido por F∝rn. a) Encontrar las expresiones de los valores medios de sus energías cinética y potencial en función de la energía total E. ¿Son aplicables estas expresiones para cualquier valor de E? b) Aplicar los resultados anteriores para el caso de una fuerza central inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al centro de fuerzas. Analizar y discutir los resultados. 12.9.- La trayectoria de una partícula que se mueve bajo la acción de un campo de fuerzas centrales (con centro en el origen de coordenadas) es la hipérbola equilátera xy = ½k2. a) Determinar la ley de la fuerza central que produce ese movimiento. b) Expresar la celeridad de la partícula en función de su velocidad en el pericentro (v0) y de su distancia radial al origen de coordenadas. c) Encontrar la expresión de la energía potencial efectiva y analizar el diagrama correspondiente. 12.10.- Las ecuaciones paramétricas polares que describen el movimiento plano de una partícula de masa m en un campo de fuerzas vienen dadas por: r = k·φ(t) y θ = φ(t), siendo k = cte y φ(t) una función del tiempo tal que φ(0) =0. Además, se sabe que la velocidad transversal de la partícula es igual a la inversa de su distancia al origen de coordenadas. a) Demostrar que el movimiento es central. b) Determinar la función φ(t). c) Encontrar la ecuación polar, r =r(θ), de la
327
trayectoria y dibujarla. d) Hallar la ley de la fuerza, F = F(r), que actúa sobre la partícula. e) Obtener las expresiones de la energías potencial y potencial efectiva y analizar, en función de ellas, el movimiento de la partícula. 12.11.- El comandante de una nave espacial, que ha apagado los motores y que se encuentra e n l a s proximidades de una extraña nube de gas, observa que su nave está describiendo una trayectoria circular que penetra a Prob. 12.11 través de la nube, como se ilustra en la figura. También se percata de que el momento angular de la nave con respecto al centro de la nube permanece constante durante el movimiento. Determinar la ley de la fuerza atractiva que está actuando sobre la nave. 12.12.- Una partícula de masa m se mueve bajo la acción de una fuerza F = -Kr3er, con K>0. a) Obtener la expresión de la energía potencial de la partícula. b) Dibujar el diagrama correspondiente a la energía potencial efectiva. c) ¿Para qué energía y momento angular será la trayectoria una circunferencia de radio R y con centro en el origen? 12.13.- a) Estudiar por el método de la energía potencial efectiva los tipos de movimiento posibles correspondientes a una fuerza central atractiva inversamente proporcional a la cuarta potencia de la distancia radial al centro de fuerzas y determinar la energía y el momento angular correspondientes a una órbita circular. ¿Es estable esa órbita? b) Ídem para una fuerza central atractiva directamente proporcional a la distancia radial. ¿Puede Vd. pensar algún modelo físico que corresponda a una fuerza de este tipo. 12.14.- a) Estudiar por el método de la energía potencial efectiva los tipos de movimiento posibles correspondientes a una fuerza central atractiva inversamente proporcional al cubo de la distancia radial al centro de fuerzas. b) Determinar los intervalos de energías y de momentos angulares para cada tipo de órbitas. c) Resolver la ec. diferencial de la órbita para cada tipo de movimiento.
328
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
12.15.- Una partícula se mueve en una órbita elíptica, de eje mayor 2a y excentricidad , de modo que el radio vector desde el centro de la órbita barre áreas iguales en tiempos iguales. a) Demostrar que la ecuación de la elipse en coordenadas polares referidas al centro de la órbita es r2
2 a 2 (1 ) 2 1 cos2θ
b) Demostrar que la fuerza que actúa sobre la partícula es central y expresarla en función de la masa m de la partícula y del periodo T de revolución. 12.16.- Átomo de Bohr. En el modelo de Niels BOHR (1885-1962) del átomo de hidrógeno, un electrón de masa m se mueve en una órbita circular alrededor de un protón estacionario, bajo la acción de la fuerza central de Coulomb F
1 4π
0
e2 r2
donde e representa la carga eléctrica del electrón y 0 es la permitividad del vacío (constante). a) Obténgase una expresión de la velocidad del electrón en función del radio de la órbita. b) Expresar el momento angular orbital del electrón en función del radio de la órbita. c) Expresar las energías potencial, cinética y total del electrón en función de r. La energía total resulta negativa ¿por qué? d) Introducir el postulado de Bohr de que el momento angular en una órbita circular ha de ser un múltiplo entero de la cantidad h/2π, donde h es la constante de Planck (h = 6.626×10-34 J s), para obtener las expresiones de los radios y energías totales permitidas para el electrón. e) Calcular el radio y la energía del electrón permitidas para el estado fundamental (el de menor energía) del átomo de hidrógeno. ¿Cuánto valdrá la energía de ionización? 12.17.- Sonda espacial. Dos satélites artificiales, de masas M1 y M2, están unidos mediante una sonda de longitud L, como se indica en la figura. Los satélites describen órbitas circulares
Prob. 12.17
de radios R1 y R2=R1+L. a) Determinar el periodo orbital (común) de los satélites. b) Determinar la tensión de la sonda. c) Evaluar los resultados anteriores para el caso de un astronauta (70 kg) unido al Skylab (50 000 kg, 6 800 km) mediante una sonda de 10 m de longitud. d) Calcular la tensión de la sonda para el caso de dos satélites idénticos con M1 = M2 = 50 000 kg, R1 = 6 800 km y L = 1.0 km. 12.18.- Órbita geoestacionaria. Supóngase que se desea establecer en el espacio una base interplanetaria que se mueva en una órbita circular en el plano ecuatorial de la Tierra y a una altura tal que permanezca siempre sobre el mismo punto. ¿Cuál deberá ser el radio de esa órbita? 12.19.- Un satélite describe una órbita circular ecuatorial, en el mismo sentido de rotación de la Tierra, a una altura de 800 km sobre su superficie. ¿Durante cuanto tiempo permanecerá visible (sobre el horizonte) desde un lugar cualquiera de la Tierra? 12.20.- Fricción atmosférica. Un satélite de 4 000 kg describe una órbita circular de 7 000 km de radio alrededor de la Tierra. a) Al cabo de algún tiempo como consecuencia de la fricción atmosférica, la órbita se reduce a otra circular de 6 600 km. Calcular los cambios que experimentan la velocidad, la velocidad angular, el periodo de revolución y las energías cinética, potencial y total. b) Suponiendo que la resistencia del aire sobre el satélite representa una fuerza promedio de 2 N, calcular el momento de dicha fuerza y estimar el tiempo necesario para la mencionada reducción del radio orbital. c) Hacer una estimación del número de vueltas que ejecuta el satélite durante ese tiempo. 12.21.- Imaginemos que fuese posible construir una torre muy alta (629 km, puestos a imaginar) en el Polo Norte y que desde el punto más alto de ella disparásemos "horizontalmente" un proyectil. a) Discutir el movimiento subsiguiente de dicho proyectil en función de la velocidad v0 que le suministremos en el instante del disparo y estudiar la naturaleza de las órbitas, especificando los valores de v0 que corresponden a las transiciones de unos tipos a otros. ¿Influye la rotación terrestre en los resultados anteriores? b) Ídem si construyésemos la torre en el Ecuador terrestre. 12.22.- En el Problema 12.21, calcular la velocidad inicial mínima que hay que dar al proyectil para que no caiga sobre la superficie
Problemas
terrestre; esto es, para ponerlo realmente en órbita. 12.23.- Desde un gran satélite en órbita circular, situado a una altura de 629 km sobre la superficie terrestre, se dispara un pequeño proyectil con una velocidad v0 respecto del satélite, en dirección tangencial al movimiento de éste y en el sentido de su movimiento. Discutir el movimiento subsiguiente del proyectil en función del valor de v0, analizando la naturaleza de las posibles órbitas del mismo y especificando los valores de v0 que corresponden a las transiciones de unos tipos de órbitas a otros. 12.24.- Se pone en órbita un satélite artificial llevándolo a una distancia sobre la superficie terrestre igual al radio de la Tierra y proporcionándole una velocidad "horizontal" inicial igual a 1.10 veces la requerida para una órbita circular a esa distancia. a) ¿De qué tipo de órbita se tratará? b) Calcular los parámetros (semiejes, excentricidad, perigeo, apogeo, velocidades ...) de esa órbita. c) Repetir los dos apartados anteriores para el caso de que la velocidad inicial sea 0.90 veces la requerida para la órbita circular. 12.25.- Demostrar que la ecuación general de una cónica, en coordenadas polares planas referidas a uno de sus focos y a sus ejes, puede escribirse en la forma r
1 ±
±
rmin
1
cosθ
donde el doble signo ± se refiere a las ramas positiva y negativa, respectivamente, en el caso de que la cónica sea una hipérbola. 12.26.- Excentricidad de la órbita terrestre. A finales de Diciembre el disco solar se ve bajo un ángulo de 32’36" y a finales de Junio subtiende un ángulo de 31’31". Con estos datos, calcular la excentricidad de la órbita terrestre. 12.27.- Una partícula se mueve en una órbita elíptica bajo la acción de una fuerza central inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Sea n el cociente entre las velocidades angulares máxima y mínima en la órbita (n>1); demostrar que la excentricidad de la órbita viene dada por n
1
n
1
329
12.28.- Sputnik III. La distancia máxima a la superficie terrestre a la que se movía el satélite Sputnik III fue 1880 km y la mínima 230 km. Calcular: a) los semiejes y la excentricidad de su órbita; b) el periodo de revolución del satélite; c) las velocidades en el apogeo y en el perigeo. 12.29.- Explorer III. El satélite Explorer III tuvo una órbita elíptica con un perigeo de 175 km sobre la superficie terrestre y una velocidad de 29 620 km/h en su perigeo. Determinar: a) la excentricidad de su órbita, b) su semieje mayor, c) su periodo de revolución y d) su velocidad y altura en el apogeo. 12.30.- Se dispara un proyectil desde un punto de la superficie terrestre con una velocidad absoluta inicial v0 que forma un ángulo φ con la horizontal del lugar de lanzamiento. Despreciar la resistencia del aire y expresar los resultados en función de la masa y el radio de la Tierra (M y R), de la constante de Gravitación G y de las condiciones iniciales φ y v0.a) Calcular excentricidad de la trayectoria del proyectil. b) Determinar la altura máxima sobre la superficie terrestre que alcanza el proyectil antes de caer de nuevo. c) APLICACIÓN NUMÉRICA: v0=3600 km/h y φ=45°. 12.31.- Una partícula de masa m interacciona gravitatoriamente con otra partícula de masa M, siendo M m. Inicialmente, cuando es muy grande la distancia de separación entre ambas partículas, la partícula de masa m se mueve con una velocidad v0 y con un parámetro de impacto s respecto de la partícula M, que permanece estacionaria en todo el proceso. a) Calcular la distancia de máxima aproximación entre ambas partículas. b) Determinar el ángulo que forman las direcciones iniciales y finales de la partícula incidente. c) ¿Qué tipo de trayectoria sigue la partícula incidente? ¿Existe algún valor de v0 al que corresponda una trayectoria cerrada? 12.32.- Masa del Sol. Conocidos los semiejes mayores de las órbitas de la Tierra y de la Luna, 149.6×106 km y 384.0×103 m, respectivamente y los correspondientes periodos de revolución, 1 año y 27.32 días, calcular la masa del Sol en unidades de la masa de la Tierra. 12.33.- Lunas de Marte. Los semiejes mayores de las dos Lunas del planeta Marte, Phobos y Deimos, miden 9.408×10 3 km y 23.457×103 km, respectivamente. El periodo de revolución orbital de Phobos es de 4.65 horas. Con esos datos se deben calcular la masa del
330
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
planeta Marte y el periodo de revolución de Deimos.
Prob. 12.34 12.34.- Transferencia de órbita. Un satélite artificial tripulado (S), provisto de un motor cohete, se encuentra en una órbita circular de 7000 km alrededor de la Tierra y desea acoplarse a una estación espacial (E) que se encuentra en otra órbita circular, de 10 000 km de radio, coplanaria con la del satélite. Para conseguir su objetivo, el astronauta enciende su motor cohete durante un breve intervalo de tiempo, a fin de incrementar su velocidad y alcanzar la estación espacial en el punto A, diametralmente opuesto al de ignición de motores. Obviamente, el astronauta también pretende aproximarse a la estación espacial tangencialmente a la órbita de ésta. a) ¿Cuál deberá ser la velocidad del satélite después del corto periodo de funcionamiento del motor cohete? b) ¿Con qué velocidad llegará al punto A de acoplamiento? c) ¿Qué deberá hacer para acoplarse con la estación espacial? d) Calcular el valor del ángulo θ que forman los radiovectores de la estación espacial y del satélite en el instante en que éste enciende el motor cohete. 12.35.- Un planeta describe una órbita elíptica, de excentricidad 2/2 y un periodo de π años. Calcular el tiempo que invierte el planeta para moverse desde el extremo del latus rectum al extremo del eje menor de su órbita. 12.36.- Se observa un cometa a una distancia de 108 km del Sol y acercándose hacia él con una velocidad de 60 km/s en una dirección que forma un ángulo de 45° con el radio-vector. a) Calcular la excentricidad y la ascensión recta de la órbita del cometa. b) ¿Qué tipo de órbita es? c) Calcular la distancia de máxima aproximación del cometa al Sol. 12.37.- a) Calcular el tiempo durante el que permanecerá en el interior de la órbita terrestre (supuesta circular, de radio R) un cometa que describa una trayectoria parabólica en el plano
de la eclíptica. b) Calcular el tiempo máximo de permanencia. 12.38.- Chatarra espacial. Un satélite artificial se encuentra en una órbita circular de radio 2R alrededor de la Tierra, siendo R el radio de la Tierra. Un trozo de chatarra espacial, cuya masa es el 5% de la del satélite, se encuentra describiendo la misma órbita pero en sentido contrario. Se produce una colisión frontal entre el satélite y la chatarra y, como consecuencia de ella, el satélite, con la chatarra incrustada, cambia de órbita. a) ¿De qué tipo será la nueva órbita? b) Calcular los parámetros de la nueva órbita (excentricidad, semiejes, perigeo, apogeo, ...) c) ¿Caerá el satélite sobre la superficie terrestre? 12.39.- Precesión de la órbita. a) Discutir el movimiento de una partícula en un campo de fuerzas centrales atractivas de magnitud inversamente proporcional al cuadrado de la distancia para el caso en que se superponga una fuerza atractiva cuya magnitud sea inversamente proporcional al cubo de la distancia de la partícula al centro de fuerzas; esto es, k r2
F(r)
λ r3
siendo k y λ constantes positivas. Considerar los casos L2>mλ, L2=mλ y L26°. (La masa de la partícula α es 6.646×10-27 kg.) 12.41.- a) Determinar la sección eficaz diferencial en la dispersión de partículas por una esfera perfectamente rígida, lisa y fija, de radio R; i.e., un potencial de fuerza central tal que
Ep(r)
⎧ 0 ⎨ ⎩ ∞
si r > R si r < R
b) Obtener la sección eficaz total. 12.42.- Un potencial de fuerza central que encontramos frecuentemente en la Física
Problemas
Nuclear es el llamado pozo rectangular, definido por ⎧ ⎨ ⎩
Ep(r)
0 U0
si r > R si r ≤ R
a) Demostrar que la sección eficaz diferencial de dispersión está dada por
σ (Θ)
Θ ⎞⎛ Θ⎞ ⎛ 1⎟⎜n cos ⎟ ⎜n cos n2R2 ⎝ 2 2⎠ ⎠⎝ 2 Θ ⎛ 2 Θ ⎞ 4 cos n 2 n cos 1⎟ ⎜ 2 ⎝ 2 ⎠
con
n
1
2U0 2
mv0
b) Obtener la sección eficaz total de dispersión. 12.43.- a) Analizar la dispersión producida por una fuerza central repulsiva inversamente proporcional al cubo de la distancia (i.e., F = k/r3, con k>0). b) Demostrar que la sección eficaz diferencial de dispersión es σ (Θ)
π 2k (π Θ) 2 2E Θ (2π Θ)2 sen Θ
donde E es la energía de la partícula.
331
332
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
Apéndices.
A.- Resultados de los problemas.
335
B.- Índice alfabético.
351
Manuel R. Ortega Girón
333
334
Lecciones de Física
A.-
Resultados de los problemas.
1.- Álgebra vectorial. 1.1.
a) B=0 b) A B c) A⊥B d) A⊥B
1.2.
s/c
1.3.
3 (i 3
⎛A λ ⎜ ⎝A
j
70.53° 1.14. 52, 8, -34
1.15.
3.5u-2.5v-0.5w
1.16.
a=(2 2 4); b=(1 -4 1)
1.17.
X
C A2
1.18.
X
C×A A2
mA
1.19.
X
c A A2
1 (C×A) A2
1.20.
a) prod. esc. diagonales b) prod. vect. diagonales.
1.21.
7.8 unid. de área
k)
B⎞ ⎟ B⎠
1.4.
OP
1.5.
s/c 1.6. s/c
1.7.
sen(α cos(α
1.8.
A = 2u+u+3w
1.9.
A = 10e+b con b=-3i+4j+7k
1.10.
a) A B=B C=C A=0; A×B=71C b) eA=(1.39 0.82 -0.51) eB=(0.35 0.37 1.29) eC=(0.90 -1.06 0.06)
β) β)
1.13.
senα cosβ cosα cosβ
cosα senβ senα senβ
2
x
1.22.
(V×A)
y
1 2
1.24.
3.7
4
z
y
5
z
1 1.25. a)
5 1 3 3
14 7
1.11.
s/c
1.26.
18x+6y-3z+18=0
1.12.
a) 5.48 b) (4 6 6) c) 16 d) 55° e) 2.92 f) (18 -14 2) g) (0.79 -0.61 0.087)
1.27.
x+2y+3z-21=0
Manuel R. Ortega Girón
m cualquiera
2 1
x
1.23.
V cualquiera
5 4 2
335
336
Resultados de los problemas
x
1.28.
20 3
y
1 14
1.29.
6x-11y+3z+7=0
1.30.
-6/11 1.31.
1.32.
s/c 1.33. 2 3
1.35. s/c
z 20
25 / 57
a) (3.23 1.60 4.00) b) (0.23 3.60 4.00)
1.41.
⎡ 2 cos θ x′2 ⎢⎢ 2 ⎣ A
1
s/c
2.- Vectores deslizantes. 2.1.
a) (18 0 -12) b) (13 5 -7) c) s/c
2.2.
a) 8, -7, 2 b) -3/14 (2 3 1) c) 15/19 (2 3 -5)
2.3.
4,
2.4.
s/c 2.5. s/c
2.6.
a=1, b=-2, c=5; (-4 2 -1)
2.7.
a)
3
x
5
2
5 6 6
b) 6
2y
1 2 1
1 2 1
d)
6 6
1 22
a) (4 -3 2), (3 1 1)
2.13.
(4.00 1.32 2.95) en (0, 0, 0); (0.00 -0.32 -0.95) en (3.16, -8.43 0.00)
2.14.
(0 1 0) en (0, 0, 0); (0 0 1) en (1, -1, 0) 155x 142 155y 59 155z 33 5 7 9
2.16.
(0 2 0) en (0, 0, -0.50)
2.17.
(0 0 1) en (0, 1, 0)
2.18.
a) A=8πaλk; M0=6πa2λ(4j+3k) b) x=-3, y=0; {8πaλk;18πa2λk}
2.19.
{(1 3 2); 2.5(1 3 2)} en (9, -1, -3)/14
2.20.
s/c
2.23.
a) 14; x+3y+2z=14 b) (1.07, 3.07, 1.86)
2.24.
a) (20, 19, 19)/11; ídem b) lo mismo
2.25.
s/c
2.21. s/c
3.1.
2 5;
3.3.
s/c
3.4.s/c
2.8.
a) (20/11, 19/11, 0) b) 11; no está definido.
2.9.
(0 -1 1)
3
3.2. s/c
3.5. s/c
3.6. s/c
2
a) (t /2+t t /3 t )+C b) (4.5 3 3) ∂A ∂x
∂2A ∂x 2 3.9.
8 33 11
2
3.8.
13
2.22. s/c
3.- Análisis vectorial.
3.7.
1 2 1
5 6 6
2.12.
z 2
6
c)
a) F1=0, F2, F3=F4 b) F1=F3, F2=0, F4=0
2.15.
⎤ sen2θ ⎥ ⎥ B2 ⎦ ⎤ cos2θ ⎥ ⎥ B2 ⎦
⎡ 2 sen θ y′2 ⎢⎢ 2 ⎣ A 1 1⎤ 2 x′y′ ⎡⎢ ⎥senθ cosθ 2 B2 ⎦ ⎣A 1.42.
2.11.
1.37. s/c
1.38. s/c 1.39. (2 4 3) 1.40.
(-1 2 3); (5/3, 5/3, 0)
b) (4 -3 1), 5/13 (4 -3 1)
1.34. a) 27 b) -27
1.36. (0 -3 -18)
2.10.
r
2yi r0
v0t
un proyectil
2xyi
zj ∂2A ∂x∂y
3z 2k 2xi
...
1 2 gt k ; disparo de 2
3.10.
s/c
3.11.
a) si b) esféricas concéntricas en (0,0,0)
337
Resultados de los problemas
3.12.
paraboloides de revolución de eje z
3.13.
a) si b) radiales
3.14.
a) s/c b) φ(a) = -a2;
3.15.
a) 4/3 b) 1 c) 1.5 d) 37/30 e) 17/12 f) -11/60 g) no
3.16.
12π; no 3.17. a) 3 b) 4π c)
3.18.
q/
3.19.
a) 2r b) (y3, z3, x3) c) (2xy/z3, x2/z3, -3x2y/z4) d) [sen(yz)-yzsen(xz), xzsen(yz)+cos(xz), xycos(yz)-xysen(yz)] e) (-xsenx+cosx+yz, xz, yz]
3.20. 3.21.
0
4.5.
a) x=3+2t+t3 cm b) a=6t cm/s2 c) 41 cm/s 1 v c) v
a) 0 b)
2
14
3 1 ; 2 14
3.23. a) 3r b) (12/5)πR
3.24.
a) ∇×A=0 b) φ=(x4+y4+z4)/4+xyz+φ0 c) 18.5
3.25.
a) 12 b) φ=x+y+z+xyz+φ0 c) 12
3.26.
a) no b) -(12+2π) c) 0 d) -(8+6π)
3.27.
a) 4 b) φ=x2+y2+z2+xyz+φ0 c) 4
3.28.
A=-er/r2; (-1, 0, 0)
3.29.
a) φ=r+cte b) 0
3.30.
s/c 3.31. s/c 3.32. s/c
3.33.
a) s/c b) 4πk c) 0 d) ∇×A=0 e) φ=k/r f) s/c
3.34.
4πkR5
x=3.07 sen(3t+1.35); v=9.21 cos(3t+1.35)
4.8.
3.75 10-3 m-1; 267 m
4.9.
a) x2+y2=R2; antihorario b) r v=0 c) a=-ω2r d) r×v=ωR2k=cte
4.10.
a)
x2 a2
2.34 m
4.2.
a) 2.54 s, 19.18 m b) -4.90 m/s; +4.90 m/s
4.3.
amín
(v1
v 2)
2
b 2cos2ω t
ω 2ab a 2sen2ω t 1 ρ
(a 2sen2ω t
h2 2
h 2x˙ 1
x¨ 2
4.12.
b 2cos2ω t ab b 2cos2ω t)3/2
x1x˙ 1
x˙ 2
2
x1
a) y
2
(h 2
x1 )x1x¨ 1 2
(h 2
v a
4.1.
b 2) senω t cosω t
an
e) κ
x1 )3/2
⎛π ⎞ 4 sen⎜ x⎟ ⎝2 ⎠ 4 16π 2cos2π t 4π 2senπ t
2
4.13.
2v0 cos2θ0
(tgθ0
g cosα
tgα)
4.14.
a) tgθ0=h/D b) v0 <
4.15.
ysomb
4.16.
D
2
2d
(S.I.)
1 b) r v≠0 c) a=-ω2r
ω 2(a 2
at
b)
4.- Cinemática de la partícula.
y2 b2
a 2sen2ω t
4.11.
a) s/c b) ∇ v=0; Φ=0
k ln
4.7.
5
A
kx
t t 2.078 ln t0 0.618 b) 37.08 min c) 672 m
d) 2
1 ln(1 kv0t) k d) s/c e) 1/300 m-1
kt b) x
a) x
4x+4y-z=6 1
1 v0 v0 e
a)
4.6.
(ley de Gauss)
3.22.
3.35.
4.4.
v0
g
2g
2v0
2
2 H s sen θ0
x2
Dg sen 2θ0
338 4.17. b)
at
Resultados de los problemas
a) y4=2x3 96t 3
36t
16t 2 4.18. 4.19.
4.27.
24t 2
an
9
16t 2
9
b)
54.7° s/c 4.20. s/c 4.21. s/c
4.22. a)
k A 2sen2θ B 2cos2θ 1 cosθ
a) v x˙ 2 A2
y˙ 2 B2
k2 cosθ)2
(1
4.28.
(-11 11 -12); (-6 8 -12)
4.29.
9.59° NO, 592 km/h
x2 ⎞ ⎛ 0 ⎟ ⎜x 2p ⎠ ⎝
k2 2 ⎞ ⎛ t 0 ⎟ ⎜ kt 2p ⎠ ⎝
4.30.
111 km/h; 627 km/h
r
4.31.
s/c
v
k ⎞ ⎛ x 0 ⎟ ⎜k p ⎠ ⎝
k2 ⎞ ⎛ t 0 ⎟ ⎜k p ⎠ ⎝
4.32.
a) x(θ) y(θ)
a
k2 ⎞ ⎛ 0 ⎟ ⎜0 p ⎠ ⎝ kx p2
c) κ
4.23.
k
an x2
1 ρ
p2 p
(p
2
2
x 2)3/2
a) s/c b) v
;
ρ0
ω 2R 2
a)
1 5
b2
cosω t
c)
1 4 senω t 5
2
R
b ω 2R
a) r
R senθ b) no k π R π 1 vf
a) Hmáx
R
b) senθ
a) at=(4 4 2)/3; at=2; an=(4 -2 -4)/3; an=2 b) ρ=4.5
4.26.
a) κ b) τ
2 (1 2t 2)2
0.22
2 2t 2)2
0.22
(1 1 1
1 2 x 1 2 x
6y 6y 3y
1
y
2/3 2 z 2/3 2 z 2/3 1 z
2
1 1 y 1 2 y
3z 6z 6z
2 13 5
8R 2v 2 (2l π R)3
at
c) k>π+1;
v0
R 2g
2g
2v0
2
Rg 2
v0
4 cosω t 3 , τ=4/25; 25/4
4.25.
d) 6x 3x 6x
2Rv 2l π R
2
4.34.
senω t 0 , κ=3/25; ρ=25/3
c) x
c) vt
ω 2R
a
3 senω t 3 cosω t 4
b)
b) tf
p 4.33.
R
l2 2Rv
x2
c) at=0, an=ω2R d) ρ 4.24.
2
2Rvt
l2
l
θ
2
b) at
R senθ (l Rθ)cosθ (l Rθ)senθ Rcosθ
5.- Cinemática del sólido rígido. 5.1.
a) no b) si c) si
5.3.
s/c
5.6.
a) (-9 0 0) b) (0 -54 27)
5.7.
(7 2 -6)
5.8.
a) ω=(0 1 3); vO=(-9 6 -2) z b) x 2 ; y 2.7
5.4. s/c
5.2. avA/b
5.5. s/c
vmín=0 c) (-10 9 -3)
0.9 ; 3
339
Resultados de los problemas
5.9.
a) (0 0 2) en (0,1,0); (1 1 -1) en (1,0,0) b) x-1 = y = -z
5.10.
s/c
5.11.
a) si b) (0 1 2) c) x=2; 2y-z=6 d) {(0 1 2);2(0 1 2)}
5.25.
5.12.
a) si b) (-1 0 1) c) x=1; x+z=2 d) {(-1 0 1);(0 0 0)}, rodadura
5.13.
(0 -1 -1) en (0,1,0), (1,1,0), ...
5.14.
a) a=1, b=1, c=0 b) {(0 0 1);(0 0 0)} c) x=0, y=1
5.15.
a) (-2 2 0); (-2 2 3) b) (-4 -4 3); (-4 -13 9)
5.16.
16.5°
5.18.
a) s/c v0 ⎛ ⎜1 2 ⎜ ⎝
x l2
2 l2
b) ω c) aB
⎛ ⎜ 2 vM sen⎜θ0 ⎝
x2
⎞ 0 ⎟ ⎟ ⎠
⎞ 2vM ⎟ t⎟ l ⎠
⎛ senθ cos2θ l vA ⎜⎜ vB cos3θ a/l a a ⎜⎜ 0 ⎝ ⎛ 2 3 cos2θ ⎞ ⎟ ⎜ l vA ⎜ ⎟ cos3θ 3 senθ cosθ ⎟ ⎜ a2 ⎜ ⎟ 0 ⎠ ⎝
5.20.
6 cm/s, 10 cm/s, 4 rad/s
5.21.
a) vC=ωl, aC=ω2l/2
a
θ ⎛ ω l ⎜cos 2 ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎞ ⎟ ⎟ 2 2 (ω 1 ω 2) R cosφ α1R senφ ⎟ ⎟ 2 ⎟ ω 1R senφ α1R cosφ ⎠ 2ω 1ω 2R senφ
α2R cosφ
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
θ ⎞ 0⎟ 2 ⎠
ω l⎛ θ θ ⎞ cos 0⎟ ⎜sen 2 ⎝ 2 2 ⎠
5.22.
(ω[R+h] 0 0); (α[R+h] -ω2h 0)
5.23.
a) generatriz de contacto b) (ωR 0 0); (0 0 0) c) (ωy -ωx 0); (-ω2x -ω2[y-R] 0) d) (0 0 0); (0 ω2R 0)
⎛ (ω 2 2Ω 2)r ⎜ ⎜ αr ⎜ ⎜ 0 ⎝
⎛ ω r senφ ⎜ ⎜ ω r cosφ ⎜ ⎜ Ωr (1 cosφ ) ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
2Ω 2)r cosφ ⎞⎟ ⎟ αr cosφ ω 2r senφ ⎟ ⎟ 0 ⎠
αr senφ
(ω 2
a) x=-1/π; y=0; v=82.83 m/s b) x=-20/(20π+0.1); y=0; v=82.93 m/s
5.28.
a) mov. helicoidal tangente b) 636.23 m/s; 394 784 m/s2
5.29.
a) 0 cm/s; 3.33 rad/s b) 300 cm/s; 0 rad/s c) 0 cm/s; 3.33 rad/s
d)
vA ω
⎛ ω R senθ ⎜1 ⎜ ⎝ cosω 9
sen
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ a ⎟ ⎠
5.27.
Ω
2
aC
⎛ 0 ⎜ ⎜ ⎜ ωr ⎜ ⎝ 2Ωr
v
x2
vA cos2θ0
b) v B
a
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
b)
a l
a) cos3θ0
v
⎛ ⎜ ω 2R cosφ ⎜ ⎜ ω 1R senφ ⎜ ⎜ ω R cosφ 1 ⎝
l v0
vM
5.19.
a) v
vM
a) ω1=20π rad/s; ω2=10π rad/s b) 628 cm/s; 45228 cm/s2
5.26.
5.17. 9 cm/s; 1.125 cm/s2
b)
c) vB
5.24.
cosθ 9
⎞ ⎟ ⎟ sen2θ ⎠
sen2θ
5.30. vA
aA
⎞ ⎛ R cosθ ω R senθ ⎜1 ⎟ ⎜ 2 2 2 ⎟ l R sen θ ⎠ ⎝ ⎞ ⎛ l 2cos2ω t R 2sen4ω t ⎟ ω 2R ⎜⎜cosθ R ⎟ (l 2 R 2sen2θ)3/2 ⎠ ⎝
5.31.
20 cm/s; 30 cm/s2
5.32.
0.16 s; 79.4°
340
5.33.
Resultados de los problemas
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
a) 0 2v0 0 ; ⎛ ⎜ ⎜ ⎝
b) v0 0 0 ;
3r 3 0
v
3r
r
v
c)
⎞ ⎟ 0 0 ⎟ ⎠
2
4v0
2 0
⎞ ⎟ 0 ⎟ ⎠
vB
⎛ senθ ⎜ ⎜ v senθ ⎜ cosθ ⎜ ⎝ 0
vB
⎛0 ⎜ ⎜ v senθ ⎜ 1 ⎜ ⎝0
5.41. Prob. 5.34 5.34.
5.35.
5.36.
2ω R sen
ωt 2
a
a) at
ω 2R cos
an
ω 2R sen
b) ρ
1 κ
ωt 2
ωt ; 2
ρ
con
e
5.39.
5.40.
ω 2R
4R
⎛ ωy ⎞ ⎛ ω 2x αy ⎞⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ v ⎜ ω x⎟ a ⎜ ω 2(y R) αx⎟⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎝ 0 ⎠ ⎠ ⎝ a) OP
5.38.
5.42.
c) v
5.37.
2r cos(ω t
θ )e 2
θ ) sen(ψ 2
⎛ ⎜ cos(ψ ⎝
b) v
2ω r sen(ω t
c) a
ω OP
θ ⎞ ) 0 ⎟ 2 ⎠
θ )e 2
base: circunferencia, radio h/2 y centro en C; ruleta: circunferencia radio h y centro en O′. base: coincide con el aro; ruleta: circunferencia, radio 2R, centro en A. h
ruleta: h 2x′2 b) ω
h2
hv v 2t 2
2vA
a) ω
R
sen2
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠B′
θ 2
6.- Principios de la Mecánica Clásica. La ley de la Inercia. 6.1.
86 164 s
6.2.
a) permanece vertical b) hacia atrás: tgθ=a/g c) hacia adelante: tgθ=a/g d) hacia el exterior
6.3.
a) 45 m/s b) 15 m/s c) 33.54 m/s
6.4.
a) 37 s b) 333 s c) 83 s
6.5.
3.11 s
6.7.
a) x′=0, y′=-(6t+t2) b) v′=(0 6-2t 0); a′=(0 -2 0)
6.8.
verá al otro acercarse en una dirección constante.
6.9.
s/c
6.10.
a) OO′=½a0t2; OO″=v0t+½a0t2
6.6. 70.5 km/h, 45.3 km/h
b) x′=x-½a0t2; x″=x-v0t-½a0t2 c) v′=(vx-a0t vy vz); v″=(vx-v0-a0t vy vz)
1 2 x h y′2 (y′2
a) 7ω antihorario b) ω/3 antihorario c) base: x2+y2=(20R/7)2; ruleta: x′2+y′2=(R/7)2 d) vs=20ωR/21
ωt 2
2
a) base: y
⎞ ⎛ senθ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a B vω ⎜ cosθ ⎟ ⎟ ⎜ ⎠B′ ⎝ 0
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠B
b) base: y2=2R(x-R/2); ruleta: y′2=2R(x′+R/2)
a) s/c b) vide figura
4 R sen
⎞ ⎛ sen2θ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a vω ⎟ ⎜ cos2θ B ⎟ ⎜ ⎠B ⎝ 0
d) a′=(ax-a0 ay az); a″=(ax-a0 ay az) h 2)
e) x=½a0t2; x′=0; x″=-v0t
341
Resultados de los problemas
6.11.
1 4π
a) S: F e
e2 k ; S′: igual h2
0
µ0 e 2v k ; S′: no 4π h 2
b) S: F m hay
7.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación de la cantidad de movimiento. 7.1.
x=(3t2-2t3) cm; v=(6t-6t2) cm/s
7.2.
r=(52/3 5 14) m; v=(8 8 12) m/s
7.3.
a) s/c b) F=-mω2r
7.4. s/c
2
7.5.
mg x
Ft v
4 0
mgv
Fn
g 2x 2
v
4 0
2 0
7.18.
a) 680.3 m b) 560 kg
7.19.
a) 48.19° con la vertical b) c) 0.125 R
2 gR 3
7.20.
a) (12000 20785 0) kg m/s b) 163.3 kg (centrípeta)
7.21.
a) -8.25 kg m/s; -8.25 N s b) 4125 N
7.22.
a) s/c b) 3 ms c) 60 cm
7.23.
a) -100 000 kg m/s, -50 000 N b) -12 500 KG M/S; -62 500 N c) se conserva cant. mov. Tierra-auto.
7.24.
F
7.25.
a) 16 N b) -16 N
7.27.
8.08 g
7.29.
a) 5v0(1/e-1)=-126.4 N b) -(5v0/2)(1/e+1)=-136.8 N
g 2x 2
2ρ
2
A 7.26. 44.041 g
7.28.
7.6.
a) 9.8 N b) 19.6 N
7.30.
a) pB=kt b) pB=kt-p0 c) FA=-k; FB=k
7.7.
a) 55.36 m b) 9800 N
7.31.
a) 11.74 km/h b) 260.870 kN
7.32.
a) 148° b) 12.13 10-21 kg m/s
l g
2π
7.8.
T
7.9.
a) v
±
b) t
π x0
mx0
2
2k
7.10.
2k m
1 x
7.33. a) 2.731 10-25 kg m/s; 2.731 10-25 kg m/s; b) 2.731 10-24 kg m/s; 2.731 10-24 kg m/s; c) 2.731 10-23 kg m/s; 2.745 10-23 kg m/s; d) 1.366 10-22 kg m/s; 1.577 10-22 kg m/s; e) 2.595 10-22 kg m/s; 8.309 10-22 kg m/s;
1 x0
7.34.
vf
g L
L2
tf
L g
ln
b2
L
L2 b
b2
7.11.
0.78 s
7.12.
a) 22.3 kg b) a0=-3.2 m/s2 c) cero
7.13.
a) "caída libre" b) parando motores
7.14.
a) 42.6 s b) 273.6 km/h; 2 225 m
7.15.
84.6 min 7.16. M = mv2/rg
7.17.
a) 3.13 m/s b) 6 kg c) 18 kg
8.23 kg; 5.88 kg; 7.06 kg
7.35. a) 3.68 m/s2; 1.88 kg b) 0.61 m/s2; 2.80 kg c) 0.12 m/s2; 2.56 kg d) 2.45 m/s2; 3.75 kg e) 1.33 m/s2; 3.41 kg f) 7.45 m/s2; 5.28 kg g) 2.56 m/s2; 1.28 m/s2; 2.61 kg h) 3.46 m/s2; 6.92 m/s2; 0.88 kg; 1.76 kg i) 0.58 m/s2; 1.15 m/s2; 2.67 kg; 5.29 kg j) 2.45 m/s2; 3.75 kg 7.36.
a) no hay mov. b) ídem c) 0; 4.9 m/s2 d) 2.45 m/s2; 14.7 m/s2
7.37.
a) 40 kg b) 42 kg c) 35.9 kg
342
Resultados de los problemas
8.- Las fuerzas de la Naturaleza. 8.1.
4π 4 GM
k
2L sen θ
q
8.3.
a) s/c b) xmín
4π 0mg tgθ 1 4π
2Qq 2
mv0
0
8.4.
a) 5 kg b) 5 kg c) 6 kg
8.5.
0.466
8.6.
a) a1
6F 9m1 4m2
6F
3(3m1 9m1
a2
2 a 3 1
a2
2 a 3 1
2m2)
4m2
8.17.
a) v
2gr senθ
N
b) v
2gr
3mg
a) F
8.8.
a) 84.6 kg b) 0.39 m/s2
8.9.
a) 69.68° b) 1.01 m/s2
8.10.
a) 80 cm b) no
8.11.
a) 2.64 m/s2 b) 2.26 N, tensora a) 23° b) 5.12 m/s
2gy0
v0
N
3mg senθ
(4y0
N0
1)mg
8.19.
a) 0 b) -0.412 m/s c) 1.412 m/s2
8.20.
a) a0=g tgθ b) 2.63 m/s2
8.21.
tgθ=g/a0
8.22.
a) 9.7° b) 14.3° c) 18.8°
8.23.
a) g/µ b) 4.9 m/s2; 2 h/g
8.24.
a)
8.25.
s/c
8.27.
a) 70.7 kg b) 100 kg; 141 kg c) 61 kg; 70.7 kg; 15 kg d) 200 kg; 173.2 kg e) 173.2 kg; 200 kg f) 193.2 kg; 273.2 kg
8.28.
17.98°; 10.67° (con la vertical)
8.29.
a) T
8.30.
68.786°; 0.842mg
µ mg b) 26.6° µ senθ cosθ
8.7.
8.12.
s/c
8.18.
8.2.
b) a1
8.16.
2
m2 m1
(M
m1
m2) g b)
m2g 2 (m1
m2)
8.26. 58.2 kg
mg b) ½mg cotgθ 2 senθ 8.31. s/c
2
8.13. a)
9.- Sistemas de referencia en rotación.
N1 N (senθ µ cosθ) µN1 N (cosθ µ senθ) m1(g a1) N (senθ µ cosθ) µN2 m2a2 N2 N (cosθ µ senθ) m2g a1 a2 tg θ
b) a1=a2=3.32 m/s2 c) µ>0.268 8.14.
a) v a x b) vlím
8.15.
mg ⎛ mg ⎞ ⎟e ⎜v0 k k ⎠ ⎝ kt mg ⎞ k ⎛ ⎟e ⎜g k ⎠ ⎝ ⎛ ⎜ m(vlím v0) vlímt ⎜ k ⎝ mg k
a) s/c b) t
2.996 α
x
kt m
⎞ ⎟ 1⎟e ⎠
2.046
9.1.
s/c
9.2.
vabs=(-14 8 -12); aabs=(-149 59 140)
9.3.
a) vide fig. b) vide fig. c) no d) no
kt m
Prob. 9.3
vlím α
9.4.
x=V0tcosωt; y=-V0tsenωt: x2+y2=(V0t)2
343
Resultados de los problemas
9.5. a) (0 ΩR+2ωr 0); (ω2r-(ΩR+ωr)2/(R-r) 0 0) b) (ωrsenθ ΩR+ωr(1-cosθ) 0); (-ω2rcosθ-(ΩR+ωr)2/(R-r) -ω2rsenθ 0) 9.6. a) (-(Ω+ω)rsenθ ωR0+(Ω+ω)rcosθ 0); (-ω2R0-(Ω+ω)2rcosθ -(Ω+ω)2rsenθ 0) b) ω/Ω=r/(R0-r); (-(R02/r-R0+2r)ω2 0 0) 9.7. v abs
a abs
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
9.8.
a)
⎞ ⎟ ⎟ α1R senφ (ω ω )R cosφ ⎟ ⎟ 2 ⎟ α1R cosφ ω 1R senφ ⎠ α2R cosφ
a abs
2ω 1ω 2R senφ 2 1
v abs ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ω 2R cosφ ⎜ ⎜ ω 1R senφ ⎜ ⎜ ω R cosφ 1 ⎝
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
2 2
v cosθ r
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
9.13.
⎞ ⎟ ⎟ cosθ) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
ω 2r(1 v2 senθ r
a
9.14.
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
(-ωR -2v 0); (4ωv-αR -ω2R -v2/r)
9.10.
(2v-ΩR 0 0); (0 -3v2/R-Ω2R+4Ωv -v2/r)
9.11. v abs
a abs
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎛ v(1 r cosθ ⎜ R ⎜ ⎜ ω r senθ ⎜ ⎜ ⎝ ω r cosθ
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ 2 v r cosθ) ⎟⎟ (1 ω 2r cosθ R R ⎟ ⎟ 2 ω r senθ ⎠ 2ω v
r senθ R
cosθ)
⎞ ⎟ ⎟ (ω ω )r cosθ 2ω 1v0 senθ ⎟ ⎟ 2 ⎟ ω 1r senθ 2ω 1v0 cosθ ⎠ 2ω 1ω 2r senθ 2 1
2ω 2v0 cosθ
2 2
v ω R cosλ 0
a) v
b) (-2ωr 0 v); (0 -v2/r-2ω2r 0) c) (-ωr -v 0); (2ωv -ω2r -v2/r) d) (0 0 -v); (0 v2/r 0) e) (-ωr v 0); (-2ωv -ω2r v2/r) 9.9.
ω 2r (1 2
⎞ ⎛ ω 2r cosθ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜v0 cosθ ω 1r senθ⎟ ⎟ ⎜ ⎜v senθ ω r cosθ⎟ 1 ⎠ ⎝0
v
⎞ cosθ) ⎟ ⎟ v senθ ⎟ ⎟ v cosθ ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎞ ⎟ 2ω v cosθ ⎟ ⎟ ⎟ 2 v ⎟ senθ ω 2r senθ ω v senθ ⎟ r ⎟ ⎟ ⎟ 3 v2 cosθ ⎟ 2 r ⎠
v2 cosθ 2r
ω r (1
2ω v senθ 2
9.12. ⎛ v senθ ω r senθ ⎜ 2 ⎜ ⎜ ⎜ v cosθ ω r (1 cosθ) ⎜ 2 ⎜ ⎜ ⎜ 3 v senθ ⎜ 2 ⎝
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
a
ω 2R senλcosλ ⎞⎟ 2ω v senλ ⎟⎟ ⎟ ω 2R cos2λ ⎠ 0 2mω v senλ 0
b) F cor
c) v=(-40 355.8 0) m/s; a=(-16.68 -3.75 -19.88) mm/s2; Fcor=(0 3.75 0) N 9.15.
27° 9.16. 0.33
9.18.
a) 16.7 m b) 16.7°
9.19.
z
9.20.
3’ 21"; plomada
9.21.
λ=43° 46’; βmáx=2° 29’
9.22.
s/c
9.23.
a)
ω2 2 (x 2g
t
1 l ln ω
v
ω
l2
9.17. 112.6 km/h
y 2)
l2 b b2
b2
344
Resultados de los problemas
2mω 2 l 2
b) Ncor
10.12. a) 1.225 J; 1.225 J b) 1.488 J; 1.488 J c) ref. inerciales.
b2
9.24.
s/c 9.25. 1.75 cm
9.26.
a) s/c b) -2.73 cm c) 613 km/h
9.27.
a) s/c b) 7.23 µm; 44 mm; 1.7 mm
9.28.
a) acor=0.0469 cm/s2, Oeste; Fcor=4.69 N, Este b) dcha. meridiano.
9.29.
efecto Coriolis; si m=65 kg, dif.idavuelta=484 g
9.30.
a) 0.34 b) Fcf=1332 dyn; Fcor=113 dyn
9.31.
a) s/c b) 2’ 30" c) 8h 29min 7s
10.13. a) 151.33 erg b) 131.52 erg c) 130 erg d) no 10.14. a) ∇×F=0 b) Ep=-(x2y+xz3) c) 58 J 10.15. 48π
10.17. a) F=-k(x y 0) b) F=-kr c) central; ley de Hooke.
C
1 2
1 t 2
1 2 t ; 6
1 t ; 3 1 2 t x 4
3 t 2
3 2 t 2
1 3 t 3
a v
b) P
a) a
1 2
1 m (senθ 2
µ cosθ) g 2t 2 senθ
10.20. W
1 mgL (1 2
senθ0
10.21. Ep
1 4π
3 (3 3 c) 152.5 mJ b) P
1 3 t 18
v 2x) 3x
3 3
3x
10.22. a)
1 4π
x2
0
2µ cosθ0)
qq′ r
0
q2 1 b) l 4π r
r0 r
2
0
Ep,0 e
2q 2 l r/r0
b) vide tabla c) vide figura; no d) 0.026; 0.047; 0.210; 38.443; 5.88r0
x2
10.3.
6.67 kN
10.5.
a) 19.739 mN b) 592 mJ; no
10.6.
a) helicoidal uniforme, R=mv/qB, m (v B) b) 0; no paso h 2π qB 2
10.7.
ΔEp
10.23. a) F 1 x ; 3
µ cosθ)2 g 2t 2
c) no; ΔE=Wf
c) 133.3 J 10.2.
1 m (senθ 2
10.19. a) ΔEk
10.- Trabajo y energía. a)
F dr≠0 b) 2πRf(R)
10.18. a)
b)
10.1.
10.16. a) si b) 4k
10.4. s/c
a) W=pdV b) nRTln(V2/V1) c) (p1V1-p2V2)/(γ-1)
10.8.
a) 490.7 N b) 24.9 C.V. c) 5.5 C.V. d) 6.7%
10.9.
a) 162 km/h b) 65 km/h c) 294 km/h d) no hay límite.
10.10. 68 kW 10.11. a) 143 W b) -143 W
Prob. 10.23 10.24. a) s/c b) s/c c) s/c d) vide figura
e) F(r)
⎡ ⎢⎛ ⎞12 12Ep,0 ⎢⎜ r0 ⎟ ⎢⎜ ⎟ r ⎣⎝ r ⎠
f) r=r0; rr0 g) s/c
⎤ ⎛ ⎞6⎥ ⎜ r0 ⎟ ⎥ ⎜ ⎟⎥ ⎝r⎠⎦
345
Resultados de los problemas
Tabla Prob. 10.23 r/r0
F(r)/F(r0)
Ep(r)/Ep(r)
2
1.38×10-1
1.84×10-1
4
7.78×10-3
1.24×10-2
10
6.79×10-6
1.23×10-5
11.5.
inicialmente es v F en sentidos opuestos
11.6.
v
11.8.
2.90 m 11.9. s/c
gl/2
11.7. a) s/c b) s/c
11.10. a) 28.48 m b) si; 12.58 m/s 11.11. a) hn=fnh0 b) -ΔEn=mg(1-f)fn-1; -ΔEn/En-1=1-f c) 28 botes d) 38.36 s 11.12. a) N=mg(2cosθ-2) b) 38.2° 11.13. a) 8 kN b) 160 kJ c) 80 kJ d) masa variable 11.14. a) vmín
5gR b) 30°;
gR/2
11.15. a) 54.74°; 1.68 m/s b) 0.93 m
Prob. 10.24 10.25. a)
1 8π
Ek
0
e2 r
1 8π
E
0
e2 r
10.26.
1 1 mω 2A 2 kA 2 4 4
1 kR 4 b) Ep 2
0
e2 r Prob. 11.16
1 2
b)
10.27. a) Ek
1 4π
Ep
1 kR 4 4
11.16. a) vide figura b) pozo de potencial c) -1.848; -0.765; 0.765; 1.848 d) -2.109; 2.109 11.17. a) x=0, Ep=0, estable; x=1, Ep=3.25, inestable b) vide c) -0.229; 0.455; 1.866 d) 1.49 cm e) 1.28 s
10.28. a)
n n
1 E 3
2 n
3
E
b) =-E; =2E
11.- Conservación de la energía. 11.1.
s/c 11.2. 80.4°
11.3. 2d
11.4.
a) Ep=mgRcosθ; Ek=mgR(1-cosθ) b) at=gsenθ; an=2g(1-cosθ) c) 48.2° d) mayor
Prob. 11.17 11.18. a) -a√2; 0; +a√2 F(x)
a 2E0
16a 4x 4a 2x 3 2x 5 (8a 4 x 4)2
346
Resultados de los problemas
2
b) v0
v∞ 1
d) α >
E0
4mv
2
9mv∞
e) ±a; ±1.87a
2
1
2
4E0
1
E0 2 ∞
1
c) α >
4m
4E0
2
9mv∞
Prob. 11.18 kx 2 2
11.19. a) Ep
b) x 2
E k
E2
c 2x 2 ck
k2
sen(ω t
θ0)
Prob. 11.21 Prob. 11.19 b) F c) ω
2π T
2
k m
11.23. a) v
11.20. a) 13.2 cm/s b) no pasa 11.21. a) (1,2), estable; (-1,-2), inestable; (-1,2), (1,-2), silla b) (1,3), silla c) (0,0), inestable; x2+x2=4, estable d) (0,0), estable; x2+y2=9, inestable 11.22. a) Ep
(ar
2
b) e
cr 2
A
2
a
bc ac
11.24. s/c
2acr (r 2 2
v0
A 2) e
2 U0 m
cr 2
c) s/c
b) s/c c) s/c
11.25. a) s/c b) s/c
11.26. s/c
11.27. a) 7.089m0 b) 12.42 c) 3.11 MeV 11.28. a) 1.18 pm b) no 11.29. 28.3 MeV/c2
347
Resultados de los problemas
11.30. a) 28.3 MeV b) 4.26×1024 MeV; 190 GW h
d) F
L 2 ⎛ 6k m ⎜⎝ r 4
e) F
L 2 (1 α2) mr 3
11.31. 1.022 MeV
12.- Momento angular. Fuerzas centrales. 12.1.
a) p=(4t 6 0) kg m/s; L=(0 0 30-6t2) kg m2/s b) (0 0 -12t) m N; igual
12.2.
a) (0 0 t6); (0 0 6t5) b) (0 0 6t5)
12.3.
a) (0 0 mabω); (0 0 0) b) fuerza central; tray. elíptica.
12.4.
a) 80 cm/s; 64 kg cm2/s; 64 kerg; 3.2 kdyn b) 320 cm/s; 64 kg cm2/s; 1024 kerg; 205 kdyn c) 960 kerg
12.5.
s/c
12.6.
a) rmín=k; 2α=4k
12.8.
n 1 E n 3 óv. limitados
a) F
E
2 n
L2 r b) v mk 4 ⎛ 2 1 k 2 mv0 ⎜⎜ 2 2 ⎝r
c) Ep′
K r3
a)
b) 12.9.
1⎞ ⎟ r3 ⎠
v0 k
3
Em
2E r
⎞ r2 ⎟ ⎟ k4 ⎠
Prob. 12.9.....c)
Prob. 12.6.....a)
b) vr c) ar d) at
12.7.
θ 2 2 v θ v2 θ θ cos4 aθ sen cos3 2k 2 2k 2 2 v2 2k 3θ cos ρ 0 an 2k 2 θ cos3 2
v sen
θ 2
vθ
v cos
Prob. 12.10.....e) 12.10. a) L=cte b) φ (3t/k 2)1/3 c) r=kθ ⎞ ⎛ ⎜ 2mk 2 m ⎟ d) F ⎟ ⎜ 5 r3 ⎠ ⎝ r
a) F
L2 mr 3
K r3
e) Ep
b) F
L2 ⎛ 2 mk ⎜⎝ r 2
k⎞ ⎟ r3 ⎠
12.11. F
c) F
⎛ L 2 ⎜ 2k 2 m ⎜⎝ r 5
⎞ 1⎟ ⎟ r3 ⎠
⎛ m ⎜ k2 2 ⎜⎝ r 4
12.12. a) Ep
⎞ 1⎟ ⎟ Ep′ r2 ⎠
K r5 1 Kr 4 b) vide fig. 4
mk 2 2r 4
348
Resultados de los problemas
L2>mk: 1/r = r sen[Ω(θ-θ0)]
c)
L2=mk: 1/r = A (θ-θ0) (espiral) L2 0
12.40. 262 fm 12.41. a) σ(Θ) = R2/4 b) σt = πR2 12.42. a) s/c b) σt = πR2 12.43. a) s/c b) s/c
B.- Índice alfabético acción a distancia 152, 161, 179, 180 aceleración absoluta 225, 241 aceleración angular 109, 122-124, 136, 137, 138, 139, 226, 241 aceleración centrípeta 152, 166, 229, 230, 306 aceleración complementaria 225 aceleración de arrastre 222, 225 aceleración de Coriolis 225 aceleración debida a la gravedad 229 aceleración gravitatoria aparente 153, 165, 238, 239 aceleración gravitatoria efectiva 229, 230, 234 aceleración instantánea 93 aceleración media 93 aceleración normal 96, 97, 123, 137, 225, 228 aceleración relativa 158, 225 aceleración tangencial 96, 97, 123, 124, 225, 306 acelerómetro 218 ácidos nucléicos 4 Adams 322 adherencia 203, 204 adhesión 198 adiabática 268 adición de velocidades 156 afelio 303 alcance del proyectil 99, 105 álgebra vectorial 17, 19, 32, 41, 64, 335 Ampère 88 análisis vectorial 17, 21, 61, 248, 256, 261, 336 analogía 53, 136, 282, 284, 312 ángulo de dispersión 323-325 ángulo de rozamiento 202 ángulo formado por dos vectores 26 ángulo sólido 325 ángulos directores 26 aniquilación 290, 292 anticiclón 233 apantallamiento 326 apantallamiento de la carga nuclear 326
apocentro 317, 319 apogeo 329-331 área de contacto 202-204 área de la elipse 321 areolar 303, 307, 320, 321 Aristóteles 87, 144, 146 Aristóteles (384-322 a.c.) 144 armonía 1, 320 Arquímedes 327 arrastre 222-225, 269 ascensión recta 317, 318, 331 asíntotas de la hipérbola 323 astrofísica 14 Atlante 265 Atlas 265 átomo de Hidrógeno 270, 302, 328, 329 Avogadro 296 axial 27 axoides 109, 121, 122, 129 balanza 166, 182, 184, 243, 289 bariones 195 barn 324 barrera de potencial 279 base vectorial 19, 22-24, 34-39, 89, 130, 131, 213 Bernoulli 88, 205 Biología 2, 13, 14 Bohr 9, 270, 319, 322, 328 borrasca 233 bóveda celeste 265 Bowden 203 Brahe 320 brazo 42, 45, 140, 241, 298, 299 brazo de la fuerza 298 brazo del par 45 caída libre 7, 15, 144, 165, 166, 221, 235, 236, 341 cálculo de fluxiones 146, 191 cálculo diferencial 146, 191 cálculo vectorial 39 cambio de base vectorial 19, 34, 35 cambio de referencial 210 campo conservativo 68, 80, 257
Manuel R. Ortega Girón
351
352
Apéndice B.- Índice alfabético.
campo de fuerzas 74, 255-262, 264, 266, 268, 269, 284, 307, 322, 327, 328, 331 campo de fuerzas centrales 257, 258, 266, 322, 327, 331 campo de potencial 261 campo eléctrico 19, 68, 83, 245, 256 campo escalar 61, 62, 71-74, 79, 80, 82, 284 campo estacionario 62 campo gravitatorio 48, 61, 71, 84, 99, 175, 180, 207, 242, 245, 252, 256, 257, 260, 262-264, 273 campo gravitatorio de la Tierra 175 campo gravitatorio uniforme 48 campo irrotacional 79, 80 campo solenoidal 76, 77 campo uniforme 62 campo vectorial 61, 63, 65-80, 82-84, 256 campos de fuerzas centrales 258 cantidad de movimiento 141, 161, 168, 169, 170, 171, 177-181, 183, 184, 246, 253, 265, 274, 275, 282, 288, 289, 297-301, 327, 341 cantidad de movimiento de una partícula 168, 177, 299, 300 Caos 1, 15 carga eléctrica 71, 187, 191, 192, 194, 197, 216, 245, 256, 260, 270, 281, 288, 316, 328 Carnot 88 caucho 202 celeridad 92-94, 97, 105, 107, 112, 113, 123, 136, 137, 139, 148, 149, 159, 166, 183, 218, 237, 241, 268, 280, 294, 295, 305, 327 celeridad angular 113, 123, 136, 237, 241, 268 célula 4, 5 centro de curvatura 96, 134 centro de dispersión 324 centro de fuerzas 229, 257, 262, 271, 302, 303, 304, 307, 309-311, 313-317, 322, 323, 327, 328, 331 centro de gravedad 48, 242 centro de reducción 43-46, 49-51, 58, 120 centro de un sistema de vectores paralelos 41, 47, 48, 56 centro del campo 257 centro instantáneo de rotación 88, 128, 130, 133 Chasles 109, 120
choque 179, 183, 184, 246, 288, 295 choques 179, 181 cicloide 88 Ciencia 1-3, 6-15, 87, 145, 146, 165, 288, 289 Ciencia y Tecnología 14 cinemática de la partícula 85, 87, 337 cinemática del sólido rígido 85, 109, 240, 338 circulación 61, 66-69, 73, 74, 78, 79, 83, 233, 247, 256-258, 261 circulación de un campo vectorial 79 circunferencias absidales 315 Clausius 266 coeficiente de rozamiento 201, 202, 204, 205, 216-218, 220, 242, 243, 269, 270 coeficiente de rozamiento cinético 201, 202, 217 coeficiente de rozamiento estático 201, 202, 220, 242 coeficiente de viscosidad 206, 217 cohesión 198 cohetes 165 colisión frontal 331 colisiones 170, 171, 246, 301, 323 colisiones elásticas 246 combinación lineal 39, 205 cometas 5 componentes de la fuerza 248, 261 componentes de la velocidad 139, 236 componentes de un vector 19, 22, 35, 36, 37, 40, 64 componentes intrínsecas 87, 95-97, 106, 139, 327 componentes intrínsecas de la aceleración 87, 95, 97, 106, 139 composición de rotaciones 109, 115 conceptos físicos 1, 10, 11, 246 condición cinemática de rigidez 109, 110, 111, 115, 136 condición de equilibrio 215 condición de paralelismo 28, 47, 63 condición de perpendicularidad 25 condición geométrica de rigidez 109, 110, 111, 112 condiciones iniciales 101, 236, 245, 276, 279-281, 310, 313, 330 configuración de equilibrio 264 cónicas 302, 317-319 conmensurables 315 cono fijo 122 cono móvil 122 conservación de la energía 141, 273, 274, 275-277, 280, 281,
Apéndice B.- Índice alfabético.
284, 286, 287, 288, 292, 297, 307, 311, 345 conservación de la masa 273, 289, 290, 292 conservación del momento angular 274 constante de Coulomb 192 constante de gravitación universal 190, 191 constante de Planck 328 constante del movimiento 276, 280, 281, 302, 303, 313 constante elástica 270, 293 coordenada radial 267, 269, 304, 308 coordenadas cartesianas 34, 36, 38, 47, 48, 55, 62, 63, 66, 75, 77, 78, 92, 94, 171, 248, 261, 280, 282, 304 coordenadas polares 20, 261, 262, 269, 297, 303, 304, 306, 307, 309, 311, 312, 328, 329 coordenadas polares planas 20, 261, 262, 269, 297, 303, 304, 306, 307, 309, 311, 329 Copérnico 6 corrientes marinas 233 cosenos directores 26 coulomb 192, 200, 247, 270, 328 Cowan 288 crítica del concepto de energía 273, 288 cuerda tensa 252 curvatura 96, 97, 99, 105-107, 134, 139, 232, 240, 327 D’Alembert 88, 187, 214, 215 De Motu Corporum Percussione 246 De Rerum Natura 289 definición operacional 11, 146 deformación elástica 201 derivada de un vector 61, 63-65, 82 derivada direccional 72, 83, 261 derivada temporal 125, 223, 224, 266, 311, 327 descubrimiento del neutrón 13 desintegración radiactiva 290 día sidéreo 152, 159 día solar medio 159 diagramas de energía 297, 312 Diálogo 157 diferencia de potencial 296 diferencia de vectores 19, 21 dina 167, 170, 251, 298 dinámica de la partícula 141, 297 dinámica relativista 290 dinamómetro 150, 161, 162, 166, 176, 212, 229 dirección de la plomada 231, 242
direcciones ortogonales 127 directriz 19, 58, 298, 299, 302, 304, 318, 323 disociación 315 dispersión 297, 306, 322-326, 331 dispersión de partículas 306, 322, 325, 326, 331 dispersión de partículas alfa 306, 326 dispersión de partículas cargadas 322, 325 divergencia de un campo vectorial 61, 74, 75, 76, 80 doble producto vectorial 19, 32, 40 Doppler 153 Eclíptica 331 ecuación de continuidad 84 ecuación de estado 267 ecuación de la órbita 310, 317 ecuación de la trayectoria 91, 105, 107, 248, 309, 311 ecuación del movimiento 105, 214, 227, 228, 232, 234, 275, 276, 311, 312 ecuación diferencial de la órbita 310, 317 ecuación diferencial de segundo orden 187, 245 ecuaciones de transformación de Galileo 155, 156 ecuaciones diferenciales 63 Ecuador 152, 153, 183, 230, 231, 233, 242, 243, 329 efecto Doppler 153 efecto gravitatorio 229 Einstein 3, 11, 12, 145, 158, 169, 290, 292 eje de rotación de la Tierra 239 eje de simetría 138, 139 eje instantáneo de rotación 109, 119, 120, 121, 122, 127, 128, 137, 138, 139, 222, 225, 226 eje instantáneo de rotación y deslizamiento 109, 119-122, 137, 139 eje polar 153, 159, 242, 304, 323 elasticidad 198 electrón 3, 4, 144, 184, 193, 196, 266, 270, 280, 281, 296, 302, 306, 328 electrón-Voltio 296 elemento de superficie 69, 70, 78, 303 elemento de volumen 74-77 elementos químicos 4 elipse 19, 40, 83, 105, 107, 182, 311, 317, 318-321, 328, 348, 349 energía cinética 245, 246, 252-255, 264, 265, 266, 268-271, 273-275,
353
354
Apéndice B.- Índice alfabético.
278, 279, 285-287, 291, 294, 295, 296, 312, 314, 319, 327 energía de disociación 315 energía de enlace 296 energía de interacción 195, 247 energía de ionización 329 energía en reposo 292 energía interna 285-287 energía mecánica 273, 274, 284-287 energía potencial 245, 252, 256, 259, 260, 261-267, 269-271, 273, 274, 275-278, 280-288, 291, 293, 294, 295, 311-316, 328 energía potencial centrífuga 312, 313 energía potencial como energía de configuración 245, 264 energía potencial efectiva 311-316, 328 energía potencial elástica 252, 263, 264, 291 energía potencial electrostática 270 energía potencial gravitatoria 252, 262, 263, 264, 270, 273 energía total 270, 271, 274-278, 285, 287, 292, 295, 307, 313, 314, 319, 323, 327, 328 envolvente 106 Epicuro 179 equilibrio de la partícula 282, 283, 295 equilibrio estable 278, 283, 295 equilibrio indiferente 284 equilibrio inestable 278, 281, 283, 294 equilibrio metaestable 278 ergio 251 esclerónoma 208 espacio absoluto 11, 88 espacio curvo 21 espacio vectorial 32, 33, 89 espacio y tiempo 13 espiral 327, 348 espiral de Arquímedes 327 espiral logarítmica 327 estabilidad del equilibrio 273, 277 estado fundamental 328 estática de la partícula 187, 214 estrellas fijas 154, 221 estudio experimental del rozamiento 200 éter 9, 10 Euler 88 excentricidad 107, 317, 318, 320, 323, 328, 329-331 experimentación 7, 8, 88, 144, 162, 201, 202 experimento de Rutherford 331
fenómenos físicos 2, 37, 50, 87, 88, 145, 157, 165 Fermat 15 fermi 194, 196 Filosofía Natural 2, 146, 165 Física Atómica 87, 145, 288, 296, 324, 325 Física Atómica y Nuclear 87, 145, 288, 296, 324, 325 Física Clásica 13 Física Moderna 10, 13 Física Nuclear 195, 247, 275, 326, 331 fisión 13, 290 flecha del torsor 50 flujo de un campo vectorial 61, 69, 70 flujo entrante 70, 75 flujo saliente 70 foco 19, 317, 318, 323, 327 focos de la elipse 311 fórmula de Lorentz 193, 268 fotón 179, 292 Foucault 221, 237-240, 243 Franklin 192 frecuencia 205, 229, 230, 275 frecuencia angular 230 fricción 185, 188, 206, 212, 219, 220, 286, 329 fuerza atractiva 192, 194, 197, 311, 317, 328, 331 fuerza central 257, 258, 261-263, 270, 271, 297, 302, 304, 306, 307, 311, 312, 313, 315, 319, 320, 327, 328, 330, 331, 346 fuerza centrífuga 221, 228-230, 232, 312, 315 fuerza centrípeta 229 fuerza conservativa 262-264, 282, 286, 287, 295, 311, 312 fuerza de Coriolis 221, 228, 231-233, 235, 236, 238, 242, 243 fuerza de inercia 211-213 fuerza de ligadura 200, 208, 213, 218 fuerza de reacción 208 fuerza de rozamiento 148, 149, 182, 188, 198-206, 257, 259, 285, 286 fuerza de van der Waals 197 fuerza eléctrica 160, 191, 194 fuerza electromagnética 191, 193 fuerza electrostática 191-194, 270, 306, 316 fuerza externa 149, 150, 197 fuerza ficticia 212, 228, 229, 231, 232, 312
Apéndice B.- Índice alfabético.
fuerza gravitatoria 71, 166, 181, 188-191, 193, 194, 263, 269, 302, 321 fuerza inercial 228 fuerza magnética 191, 192 fuerza normal 188, 200, 201, 237 fuerza repulsiva 194, 197, 316 fuerza resultante 162, 165, 168-170, 175, 198, 206, 210, 214, 267, 268, 274, 282, 285, 287, 294 fuerza y masa 146, 165 fuerzas activas 206, 208, 209 fuerzas aplicadas a un sólido rígido 298 fuerzas centrales 141, 181, 257, 258, 266, 297, 302, 303, 306, 321, 322, 327, 331, 346 fuerzas conservativas 245, 255, 256, 273, 274, 278, 284-287 fuerzas de cohesión 198 fuerzas de contacto 188, 198 fuerzas de corto alcance 189 fuerzas de largo alcance 189, 326 fuerzas de ligadura 187, 206, 208, 209 fuerzas dependientes de la velocidad 181 fuerzas elásticas 198, 206 fuerzas fundamentales 187-189, 192, 196, 204, 258, 259 fuerzas moleculares 187, 196-198, 203 fuerzas muertas 253 fuerzas no conservativas 273, 284-287 fuerzas nucleares 187, 189, 194-197, 296 fuerzas pasivas 198, 209 fuerzas reales 209-211, 213, 221, 227, 228 fuerzas vivas 253-255 función arbitraria 84, 269 función continua 62, 66, 71 función escalar de punto 68, 73, 75, 256, 258, 261 función potencial 61, 68, 73, 74, 83, 256 función vectorial de punto 77, 79 Galileo 2, 3, 6, 7, 14, 15, 87, 143-149, 154-160, 171, 173, 174, 254, 289 Galileo Galilei (1564-1642) 146 Geología 13, 14 geometría euclidiana 20, 21 Gibbs 21 Gorgona 265 grupo 5, 32, 33, 118, 119, 126, 127, 154 grupo abeliano 32, 33 grupo cinemático 118, 119, 126, 127 hadrones 195, 196 Hamilton 80 Heaviside 21
Heisenberg 9 hélice 83, 118, 119, 139, 241 Helmholtz 273 hipérbola 317-320, 323, 327, 329, 348, 349 hipótesis 8, 21, 49, 88, 99, 144, 158, 159, 173, 179, 188, 191, 217, 257 hodógrafa 94, 107 Hooke 162, 190, 198, 246, 263, 271, 344 Horlogium Oscillatorum 293 Huygens 171, 179, 246, 282, 293 Ímpetu 168 impulsión 161, 169-171, 183, 253, 297, 300, 301 impulsión angular 297, 300, 301 ingravidez 161, 165, 166, 182, 183 integral curvilínea 66, 67, 70, 247, 248 integral de superficie 69, 70, 75, 77 integral primera del movimiento 275 intensidad de un campo de fuerzas 261 intensidad del campo gravitatorio 242 intensidad del haz 325 interacción a distancia 180, 264 interacción débil 187, 189, 194, 196 interacción fuerte 189, 194, 196 interacción mutua 175, 177, 307 interacción universal 196 interacciones fundamentales 5, 188, 189, 195 invariancia de las leyes de la mecánica 161, 171, 173 invariante escalar 44-46, 50-52, 57, 119, 120, 127, 136 invariante vectorial 44, 117 isótopos 4 Joule 251, 273, 288, 291 julio 251, 289 Júpiter 146, 242, 322 kaones 195 Kaufmann 290 Kelvin 9 Kepler 6, 190, 216, 297, 302, 303, 311, 320, 321, 322 Johannes Kepler (1571-1630) 320 kilográmetro 251, 298 kilogramo 161, 163, 166, 167, 170, 243, 251, 298 kilogramo patrón 161, 163, 167 kilopondio 167 kilovatio 251 kilovatio-hora 251 La Nueva Física 6 Lagrange 208
355
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Apéndice B.- Índice alfabético.
Landolt 289, 290 latitud 165, 166, 229, 230, 236, 237, 239, 242, 243 latus rectum 317, 327, 331 Lavoisier 289 Leibniz 246, 253 Lennard-Jones 270 Leonardo da Vinci 2, 200 leptón 196 leptones 195, 196 Leverrier 322 ley asociativa 32, 33 ley conmutativa 32, 34 ley de adición de velocidades 156 ley de Gauss 337 ley de Hooke 162, 198, 246, 263, 271, 344 ley de la acción-reacción 161, 179-181, 246, 265 ley de la elasticidad 198 ley de la Gravitación Universal 2, 190, 311, 320 ley de la inercia 141, 143, 146-152, 154, 161, 168, 340 ley de las áreas 297, 302 ley de Stokes 205 ley distributiva 33 leyes de conservación 275, 292 leyes de Kepler 190, 297, 320, 322 leyes de la mecánica 12, 143, 145, 146, 161, 171, 173, 195 leyes de las fuerzas 145, 146, 187-189, 275 leyes de Maxwell 159, 174 leyes del movimiento 2, 136, 143, 145, 146, 147, 149, 165, 181, 187, 188, 190, 209, 221, 245, 275, 309, 320, 322 leyes empíricas 189, 205, 320 leyes macroscópicas 200 ligadura 187, 200, 206-209, 213, 218, 267 ligaduras 206-209, 294 línea de acción 257, 298, 302 líneas de fuerza 71, 256 líneas equiescalares 62 líneas vectoriales 63, 69-71, 73, 75, 82, 256 longitud de onda 10 Lorentz 159, 174, 193, 268 Lowel 322 lubricantes 205 Lucrecio 289 Luna 6, 90, 188, 190, 191, 330 macroscópico 3, 200, 203
magnitud vectorial 20, 23, 61, 125, 169, 298, 301 magnitudes escalares 19, 70 magnitudes vectoriales 19, 20, 34, 131, 171 Marte 144, 320, 330 masa en reposo 169, 290, 292 masa gravitatoria 71, 256, 260 masa inercial 88 masa relativista 290, 296 masa variable 345 masa y energía 273, 289 matriz 24, 26, 35 Maxwell 159, 174 Mayer 273, 288 Mecánica Clásica 88, 89, 141, 143-146, 159, 164, 168, 169, 187, 188, 196, 211, 245, 306, 340 Mecánica Cuántica 145, 195, 196, 326 Mecánica Matricial 9 Mecánica Relativista 145, 147, 155, 169 Mercurio 10, 181 mesón 4 mesones 195 metales 204 método científico 1, 5, 6, 13-15 Meyer 289 Michelson 158 microscópico 3, 187, 200, 203 modelo mecánico 9 modelos 1, 9, 10, 15 modelos abstractos 10 modelos mecánicos 9 módulo de la aceleración 94, 123, 230 módulo de la velocidad 92, 93, 100, 113, 119, 120, 134, 305, 307, 314, 322 módulo de un vector 26, 36 mol 4, 5, 13, 145, 188, 196-198, 203, 204, 205-207, 270, 280, 286, 292, 296, 307 molécula de Hidrógeno 280 moléculas no-polares 197 moléculas polares 196, 197 momento angular 274, 275, 297-303, 307-310, 313, 315, 316, 319, 323, 327, 328, 346 definición 298 momento angular de una partícula 297, 299, 300, 301 momento angular orbital 328 momento cinético véase: momento angular 298 momento de la resultante 44, 51, 57 momento de un par 45
Apéndice B.- Índice alfabético.
momento de un vector 41-44, 53, 297, 299 momento de un vector respecto a un eje 41, 42 momento de un vector respecto a un punto 41 momento de una fuerza 297-299 momento dinámico 298, 301 momento dipolar 145, 197 momento resultante 43-50, 52, 53, 57, 58, 117, 118 momento resultante general 43, 46, 50 Morley 158 móvil perpetuo 275 movimiento absoluto 157, 158 movimiento angular 308 movimiento armónico 277 movimiento armónico simple 277 movimiento circular 113, 135, 151, 268, 305, 306 movimiento curvilíneo 97, 149, 151, 229 movimiento de los planetas 6, 12, 146, 320, 322 movimiento de rodadura 121 movimiento de rotación 109, 113, 115, 117, 118, 134-136, 138, 153, 233, 237, 241, 300 movimiento de rotación del sólido rígido 113, 136 movimiento de traslación 89, 109, 111, 112, 117, 118, 128, 173, 210, 228 movimiento de traslación del sólido rígido 112 movimiento de un proyectil 99 movimiento del sólido rígido 109, 117, 118, 127, 128 movimiento general del sólido rígido 119, 122, 136 movimiento helicoidal 109, 118-120, 122, 137 movimiento interno 198 movimiento planetario 302, 303, 306, 320 movimiento radial 308, 310-313, 315 movimiento rectilíneo 93, 101, 102, 101, 105, 136, 147, 149, 150, 165, 276, 277, 311, 312 movimiento relativo 90, 102, 126, 155, 156, 158, 173, 199, 202, 221, 222, 232, 237 movimiento relativo a la Tierra 221, 232, 237 movimiento rototraslatorio 109, 117, 118, 120 movimiento uniforme 98, 143, 158, 199
movimiento uniformemente acelerado 125, 150, 226 muelle 150, 161-163, 181, 188, 189, 212, 246, 263-265, 270, 293 Mundo 1-3, 7, 8, 12, 15, 143 muones 195 Naturaleza 1-3, 6-8, 11, 13-15, 24, 27, 32, 68, 71, 87, 88, 141, 144, 145, 149, 158, 163, 181, 187, 189, 194, 198, 201, 204-206, 221, 238, 245, 253, 256, 264, 267, 273, 288, 289, 302, 306, 316, 329, 341 Neptuno 322 neutrino 179, 184, 196, 288 neutrón 3, 4, 13, 179, 194, 196, 296 neutrones 4, 5, 189, 194, 195, 296 Newton 2, 3, 6, 9-12, 20, 141, 143, 144, 145-147, 149, 151, 158, 159, 161-175, 177-181, 187, 189, 190, 191, 200, 205, 209, 211, 212, 213, 216, 221, 229, 245, 246, 251, 273, 275, 282, 289, 298, 306, 307, 309, 311, 320, 322, 341 Sir Isaac Newton (1642-1727) 146 nieve carbónica 205 núcleo atómico 3, 4, 12, 13, 189, 193, 194, 306, 322, 326 nucleón 9, 194 nucleones 3, 189, 194-196, 270 número de Avogadro 296 observación 6-8, 10, 143, 148, 149, 158, 201 observador inercial 150, 230, 232, 237 observador no-inercial 150, 209, 211, 228, 229, 232 odómetro 94 ondas sonoras 288 operador 61, 80, 125 operador nabbla 61, 80 operador vectorial 80 órbitas circulares 9, 329 órbitas elípticas 297, 303, 319, 320 órbitas hiperbólicas 297, 322 órbitas limitadas 315 órbitas planas 297, 302 origen de momentos 299, 300, 302 paquete de energía 292 par de fuerzas 57 par de rotaciones 116, 117 par de vectores 41, 45, 49, 51 parábola 99, 100, 106, 207, 218, 317, 318, 319, 320, 327, 348 parámetro de impacto 295, 296, 323, 324, 325, 326, 330, 331
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Apéndice B.- Índice alfabético.
partícula alfa 306 partícula libre 148-150, 154, 168, 215, 301, 302 partículas elementales 3, 13, 179, 188, 189, 193-196, 275, 288, 290 partículas raras 196 Pauli 288 péndulo cónico 229 péndulo de Foucault 221, 237-240, 243 péndulo simple 182, 293 pequeñas oscilaciones 112, 182, 239, 295 peralte 242 pericentro 316, 317, 319, 323, 327 perigeo 329-331 perihelio 181, 303 periodo 13, 152, 154, 182, 183, 216, 237, 242, 265, 266, 271, 295, 315, 321, 322, 328-330 periodo de revolución 152, 242, 315, 321, 322, 329, 330 permitividad del vacío 192, 270, 328 Perseo 265 peso aparente 161, 165, 166, 183, 242 peso real 183 piones 195 pivotamiento 109, 126, 127 Planck 145, 328 planetas 3-6, 12, 143, 145, 146, 165, 179, 303, 306, 311, 320-322 plano central 41, 55, 56, 59 plano de oscilación 237-239, 243 plano del movimiento 128-130, 283, 304, 309 plano normal 40, 54, 55, 243 plano osculador 95, 97, 99, 106 planos del movimiento 127, 128 plasma 4 Platón 6, 144 plomada 218, 230, 231, 242, 343 Plutón 322 Poincaré 10, 158 poise 206 polea 105, 185, 217 polo 43, 46, 128-132, 153, 232, 233, 237, 329 polo Norte 232, 233, 237, 329 Poncelet 109, 121, 122 positrón 296 potencia 2, 197, 205, 245, 250, 251, 267, 268, 269, 328 potencia instantánea 250 potencia media 250 potencial 61, 68, 73, 74, 79, 83, 84, 195, 245, 252, 256, 259-267,
269-271, 273-288, 291-296, 307, 311, 312, 313-316, 327-329, 331, 345 potencial de Yukawa 195, 270 pozo de potencial 279, 283, 295, 296, 345 pozo rectangular 331 precesión 115, 181, 237, 239, 331 precesión del péndulo de Foucault 239 precesión del perihelio 181 primera ley de Kepler 302, 311, 321 principio de conservación del momento angular 297 principio de D’Alembert 187, 214, 215 principio de equivalencia 291 principio de Fermat 15 principio de liberación de Lagrange 208 principio de relatividad 143, 156-159, 254 principio de relatividad de Galileo 143, 156, 158, 254 principio de superposición 109, 114, 115 producto escalar 19, 24-27, 35, 36, 39, 53, 66, 69, 71, 110, 119, 247, 248 producto mixto 19, 30, 31 producto vectorial 19, 27-30, 32, 36, 39, 40, 42, 53, 97, 136, 297, 298, 299, 302 puntos absidales 315, 317, 319 radiación 189, 288, 296 radiación electromagnética 288, 296 radio de curvatura 96, 97, 105, 106, 134, 327 radio del universo 5 radio vector 302, 303, 316, 320, 321, 328 ramas de la Física 1, 12 reacción normal 148, 175, 198, 202, 208 reacción química 289 reacción vincular 206, 213 reacciones 164, 242, 289, 290, 292 reacciones nucleares 290 reacciones químicas 164, 289, 292 recta directriz 58, 298, 299, 302, 304, 323 reducción canónica 50, 51 referencial absoluto 222 referencial del laboratorio 153, 154, 221, 232, 235, 237-239 referencial inercial 143, 150-154, 160, 178, 198, 210, 211, 213-215, 221, 227-229, 232, 234, 237, 240, 252, 254, 297, 302 referencial móvil 133, 222-228, 232
Apéndice B.- Índice alfabético.
referencial no-inercial 151, 210, 211, 213, 221, 228, 230, 231 referencial relativo 222 referencial solidario 127 regla de la mano derecha 29, 45, 114, 298, 299 regla del tornillo 27, 114 Reines 288 relatividad del movimiento 87, 88 representación vectorial de superficies 19, 29 resultante de un sistema de vectores 44, 52, 57, 58 rigidez 109-112, 115, 136 rodadura 109, 121, 122, 126-128, 132, 138, 200, 338 rotación de la Tierra 99, 153, 165, 183, 232, 237, 239, 240, 329 rotación de pivotamiento 127 rotación de rodadura 127 rotación intrínseca 115 rotacional 61, 77-80, 258, 284, 312 rotacional de un campo vectorial 61, 77, 78, 79, 80 rotaciones 34, 36, 37, 109, 115-117, 120, 121, 127, 136, 137, 172, 221 rozamiento cinético 199, 201, 202, 204, 217 rozamiento de Newton 205 rozamiento de Stokes 205 rozamiento estático 199-202, 204, 216, 218, 220, 242 rueda sin deslizar 127, 138, 139 Rutherford 297, 306, 322, 324, 326, 331 satélites de Júpiter 146 Schrödinger 9 sección eficaz 297, 324-326, 331 sección eficaz de dispersión 297, 324, 325 sección eficaz de Rutherford 326 sección eficaz diferencial 325, 331 sección eficaz total 325, 326, 331 sección recta 324 secciones cónicas 302, 318 segunda ley de Kepler 303, 321, 322 segundo 21, 33, 36, 44, 45, 68, 76, 79, 82, 92, 95, 113, 119, 122, 130, 132, 145, 150, 158-160, 170, 184, 187, 206, 210, 211, 225, 228, 239, 245, 251, 255, 266, 275, 285, 300, 301, 312, 313, 322 semieje mayor 319, 322, 330 semieje menor 319 serie de Taylor 77
simetría 138, 139, 171 simetría de las leyes de la mecánica 171 sistema aislado 178 sistema cerrado 289, 292 sistema cgs 167, 251, 253 sistema de fuerzas 57 sistema de referencia 38, 88, 89, 172, 173, 174, 221 sistema de referencia inercial 221 sistema del laboratorio 152 Sistema Internacional 166, 192, 251 sistema mks 166, 253 sistema solar 5, 153, 154, 165, 232, 246, 266, 320-322 sistema técnico 167, 251, 298 sistemas de partículas 214, 274, 288 sistemas de unidades 161, 166, 251 sistemas de vectores 41, 43, 48, 49, 54, 58 sistemas de vectores deslizantes 41, 43, 49, 58 sistemas de vectores equivalentes 41, 48 Sobre la electrodinámica 290 Sol 3, 5, 6, 88, 90, 153, 154, 159, 179, 180, 189, 216, 232, 246, 296, 302, 303, 306, 311, 320-322, 330, 331 sólido rígido 20, 85, 109-122, 125, 127, 128, 130, 134-137, 139, 214, 222, 224, 225, 240, 298, 338 Stokes 61, 78, 79, 83, 205 suma de vectores 22, 24 sumideros 71, 84 superficie libre 217, 242 superficie lisa ideal 148 superficies equiescalares 62, 82 superficies equipotenciales 280, 283 superposición de movimientos 109, 114 suspensión 216, 229, 237, 293 Taylor 6, 77 temperatura 8, 10, 11, 19, 61, 164, 204, 206, 268, 285, 286 tensión 8, 176, 182-185, 198, 212, 217, 219, 229, 230, 237, 238, 293, 294, 327, 329 tensión superficial 8, 198 teorema de Chasles 109, 120 teorema de Gauss 61, 76, 84 teorema de la cantidad de movimiento 170, 301 teorema de las fuerzas vivas 253-255 teorema de Stokes 61, 78, 79, 83 teorema de Varignon 44, 48, 51 teorema del momento angular 301
359
360
Apéndice B.- Índice alfabético.
teorema del virial 245, 265-267, 270, 271 teoría cuántica 9, 13 Teoría de la Relatividad 13, 158, 159, 169, 174, 290, 292 teoría de la relatividad especial 158, 159, 169, 290 teoría ondulatoria 282 tercera ley de Kepler 216, 321, 322 Thompson 14, 273 tiempo absoluto 88 tiempo de vuelo 101 Tierra 2, 4, 5, 7, 13, 88-90, 99, 104, 107, 144, 150-153, 158-160, 165-167, 175, 179, 180, 183, 188-191, 209, 221, 230, 231-240, 242, 243, 254, 263, 265, 266, 302, 329-331, 341 Torricelli 88 torsión 106 torsor 50, 52, 58 trabajo 5, 11, 15, 21, 141, 187, 188, 200, 245, 247-260, 262-265, 267-270, 273-275, 284-287, 289-291, 294, 296, 298, 327, 344 trabajo fisiológico 250 transformación adiabática 268 transformación de Galileo 143, 154-156, 159, 160, 171, 173, 174 transformación de Lorentz 159 transformación isotérmica 268 trayectoria absoluta 222 trayectoria de arrastre 222 trayectoria relativa 222 triedro directo 23, 27, 31, 39, 97 triedro intrínseco 97 triedro inverso 31 triedro móvil 87, 97 unidad de masa atómica 296 unidades de fuerza 162 unidades de potencia 251 unidades de trabajo 245, 250, 251 valor medio 171, 184, 231, 249, 266 van der Waals 197 Varignon 44, 48, 51 vector axial 27 vector de módulo constante 82 vector de posición 19, 37, 38, 47, 71, 82, 83, 84, 90-92, 94, 98-101, 105, 110, 114, 182, 190, 210, 222, 223, 238, 240, 260, 297, 302, 304, 312, 313, 320 vector deslizante 41, 42, 57, 298, 299 vector libre 45, 112 vector ligado 54
vector opuesto 21 vector superficie 29, 30 vector unitario 22, 39, 92 vectores deslizantes 17, 20, 41, 43-47, 49, 50, 52, 54, 56-58, 117, 119, 121, 336 vectores paralelos 41, 47, 48, 56, 59 vectores perpendiculares 118 velocidad absoluta 157, 158, 223, 224, 226, 241, 330 velocidad angular 109, 113-122, 124, 125, 127, 129, 136-140, 151, 152, 153, 222-224, 226, 228, 230, 234, 236, 238-242, 300, 312, 313, 327, 329 velocidad angular de la Tierra 152, 153, 236, 238, 239, 242 velocidad areolar 303, 307, 320, 321 velocidad de arrastre 222-224 velocidad de la luz 145, 158, 169, 180, 184, 290, 296 velocidad de traslación 112, 116-118, 122 velocidad instantánea 92, 122, 217 velocidad límite 217, 218 velocidad media 91-93, 104 velocidad radial 305, 314, 315 velocidad relativa 103, 155, 159, 201, 223, 224, 225 velocidad transversal 305, 328 versor 22, 26, 27, 39, 42, 47, 72, 92, 95, 96, 97, 106, 114, 124, 125, 190, 247, 304 versor binormal 106 versor normal 27, 106 versor tangente 92, 95, 106, 247 vibraciones 158, 202 virial 41, 53-56, 59, 245, 265-267, 270, 271 virial de la resultante 55 virial de un vector 41, 53, 54 vis viva 246, 253 viscosidad 8, 198, 205, 206, 217 voltio 296 watio 251 watt 251 Weizsäcker 11 Zeus 265
