Md Solid

UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA ELÉCTRICA

“ANALISIS DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE CON MDSOLIDS”

MONOGRAFIA

Que para obtener el título de: INGENIERO MECÁNICO ELÉCTRICISTA

PRESENTA: JOSUE MARQUEZ MARTINEZ

DIRECTOR DE MONOGRAFIA: ING. RODOLFO SOLORZANO HERNANDEZ

XALAPA, VER.

MARZO 2014

Universidad Veracruzana

Página 2

AGRADECIMIENTO

Con todo mi cariño y mi amor para las personas que hicieron todo en la vida para que yo pudiera lograr mis sueños, por motivarme y darme la mano cuando sentía que el camino se terminaba, a ustedes por siempre mi corazón y mi agradecimiento. Mamá y papá.

Universidad Veracruzana

Página 3

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids

Índice Introducción…………………………………….………....5

CAPITULO I MDSolids………………………………………………….7 CAPITULO II Fuerza cortante y momento flector………………...…….32

CAPITULO III Funciones de singularidad………………………………..41 CAPITULO IV Problemas propuestos…………………………………….47 Comentarios finales………………………………....……82 Bibliografía…………………………………...………….83

Universidad Veracruzana

Página 4

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids

INTRODUCCION Los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante nos permiten describir el comportamiento mecánico de las vigas cuando son sometidas a diversas condiciones de carga. Con este trabajo pretendo complementar el análisis básico de las vigas mediante la aplicación del modulo de vigas estáticamente determinadas que se incluye en el programa llamado MDSolids, el cual es un software especializado en algunos de los conceptos elementales de la mecánica de materiales. En el Primer Capítulo se describe al MDSolids el cual consta de 12 módulos, cada módulo dirigido a distintos temas que ofrecen al usuario opciones gráficas e intuitivas para todos los datos requeridos o unidades. En el Segundo Capítulo se presentan los conceptos fundamentales requeridos para el análisis de fuerza cortante y momento flexionante en vigas, se hace mención del tipo de cargas y las convenciones de signo y obviamente se describen los diferentes tipos de vigas en función de sus apoyos. En el Tercer Capítulo se muestra como mediante el uso de funciones de singularidad hace posible representar el cortante V y el momento flector M por expresiones matemáticas únicas, así también presentaremos los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante gráficamente. En el cuarto capítulo se presenta una selección de problemas y se describe el proceso de solución utilizando las funciones de singularidad y comparando los resultados con los obtenidos con MDSolids.

Universidad Veracruzana

Página 5

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids

CAPITULO I MDSolids

Universidad Veracruzana

Página 6

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids

MDSolids es un software educativo para estudiantes que toman el curso de Mecánica de los Materiales (también denominada Resistencia de Materiales y Mecánica de Sólidos Deformables). Este curso es normalmente una parte de la mecánica aplicada, en diversos programas de ingeniería. El software dispone de módulos didácticos para análisis de vigas estáticamente determinadas, miembros en torsión, columnas, estructuras sujetas a carga axial, armaduras, propiedades de secciones transversales, y el círculo de Mohr, incluyendo el análisis de las transformaciones de esfuerzo. La hipótesis del concepto MDSolids es que los estudiantes están más interesados en la comprensión de los problemas de tarea específicos asignados por sus profesores, y que los estudiantes usarán el software educativo si esto les ayuda con sus preocupaciones de curso inmediatas. En el proceso, el software puede ayudar a desarrollar el problema que soluciona, proporcionando a los estudiantes una interface intuitiva que los dirige a los factores importantes que inciden en varios tipos de problema, les ayuda a visualizar la naturaleza de esfuerzos internos y deformaciones, y proporciona un medio fácil de usar y de investigar un número mayor de problemas y variaciones. Basado en esta premisa, MDSolids fue desarrollado con varios objetivos en mente:

 Versatilidad

 Comunicación visual

 Facilidad de Entrada

 Explicaciones a base de texto

Universidad Veracruzana

Página 7

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids

Versatilidad MDSolids tiene rutinas que pertenecen a todos los aspectos enseñados en un curso típico de mecánica de materiales. Estas rutinas son agrupadas en doce módulos, similares a capítulos que pertenecen a una amplia gama de problemas de los textos comunes disponibles actualmente. Dentro de los módulos, cada rutina soluciona los tipos de problemas clásicos de la mecánica de materiales. El alcance de MDSolids ofrece rutinas para ayudar a estudiantes en todos los niveles de comprensión, de la más fundamental en el conocimiento, la comprensión, y del tipo de aplicación a problemas más complejos que requieren el análisis y la síntesis.

Facilidad de entrada La facilidad de entrada es un aspecto esencial en el concepto MDSolids. La solución de problemas de mecánica de materiales es bastante confusa para los estudiantes. Para se eficaz, el software no debe aumentar la confusión. Idealmente, el estudiante debería ser capaz de definir un problema de forma intuitiva y directamente de un libro sin la necesidad de un manual de usuario. MDSolids, proporciona señales gráficas para guiar a los usuarios en la entrada de datos. Las ilustraciones se pueden ajustar fácilmente para que la pantalla de entrada de MDSolids se vea muy similar a la ilustración de los libros de texto. Varias unidades (por ejemplo, las unidades de esfuerzo, las unidades de longitud) están disponibles y los factores de conversión están presentes para asegurar la consistencia dimensional.

Universidad Veracruzana

Página 8

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids Comunicación visual En cada rutina de MDSolids cuenta con una imagen, dibujo o gráfico que representa gráficamente los aspectos importantes del problema. Los dibujos se utilizan para mostrar la dirección de los esfuerzos internos, las cargas aplicadas y las reacciones.

Explicaciones a base de texto Muchos de los módulos MDSolids proporcionan explicaciones adicionales para describir con palabras cómo se realizan los cálculos. Estas explicaciones pueden ayudar a los estudiantes a desarrollar los procesos de pensamiento utilizados en la solución de problemas de la mecánica de materiales. Las explicaciones de texto son dinámicas y sensibles al contexto, diseñadas específicamente para el problema en particular en cuanto a los valores y las unidades registradas para el problema. Errores comunes en las ecuaciones de equilibrio, inconsistencia en las unidades y al manipular las ecuaciones se corrigen cuando el estudiante compara sus cálculos de la mano con las explicaciones de MDSolids.

Características MDSolids ofrece al usuario opciones gráficas e intuitivas para todos los datos requeridos o unidades. En los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante, por ejemplo, el usuario puede hacer clic sobre el botón de una flecha vertical dirigida hacia abajo y entrar en la magnitud de la carga para definir una carga concentrada descendente vertical en lugar de tener que acordarse de introducir un signo negativo para la carga. Universidad Veracruzana

Página 9

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids

En la mayoría de los casos, cuatro unidades comunes (dos del sistema inglés y dos del sistema internacional) son dan para cada variable. Por ejemplo, la tensión puede ser calculada en psi, ksi, kPa, o MPa. El usuario es libre de mezclar las unidades de cualquier forma deseada. Por ejemplo, la sección transversal de una viga podría ser definida en milímetros, su longitud en pulgadas, un diagrama de momento flexionante en kN∙m, y presentar el esfuerzo de flexión en psi. Todas estas opciones para fuerzas y unidades se hacen con un simple clic en el botón correspondiente. Los conceptos de la mecánica de materiales son bastante difíciles sin necesidad de añadir confusión acerca de las convenciones de signo y sistemas de unidades.

El software está escrito en Visual Basic para correr en el entorno de Windows; se requiere como mínimo una resolución SVGA (800 x 600) y para correrlo es suficientemente un ordenador 486-33MHz, pero algunos de los gráficos se benefician en una máquina más rápida.

Universidad Veracruzana

Página 10

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids

Figura 2.1 Pantalla principal de MDSolids Módulos

Biblioteca de problemas (Problem Library) Contiene rutinas diseñadas para doce tipos comunes de los problemas frecuentemente utilizados para introducir los conceptos de esfuerzo y deformación. Para cada tipo de problema, la rutina incluye preguntas típicas relativas a la estructura, las variaciones comunes (como el corte doble o cortante simple), y una imagen o dibujo que describe la geometría del problema. Después de que el estudiante hace clic en el botón Calcular, la rutina se prepara una explicación detallada del enfoque que se debe tomar para resolver el problema con los datos de entrada suministrados por el usuario y las unidades. Universidad Veracruzana

Página 11

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids

Por ejemplo, la rutina de la viga y el puntal se dedica a un grupo de problemas que comúnmente se utiliza para introducir los conceptos de esfuerzo y deformación. Estos problemas incluyen una viga que se fija en un extremo y con el apoyo de una barra o puntal en el otro extremo. A menudo, estos problemas requieren especificar el diámetro de los pernos y sus configuraciones, ya sea de corte simple o doble en las conexiones. El estudiante puede ser requerido para determinar la capacidad de la estructura teniendo en cuenta el esfuerzo normal permisible en el puntal y los esfuerzos de corte en las conexiones. Un problema de la viga y el puntal en cualquier configuración puede ser resuelto por este módulo.

Entramado (Trusses) Armaduras

estáticamente determinadas

pueden

ser

analizadas para determinar fuerzas axiales internas. La entrada de datos es visual y sólo requiere de la definición mínima por parte del usuario.

Figura 2.2 Armadura estáticamente determinada

Universidad Veracruzana

Página 12

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids Las dimensiones de la armadura se establecen mediante la creación de una red definida por el usuario de los puntos de nodo. Los miembros de la armadura son definidos con el mouse para dibujar las líneas que conectan los nodos deseados. El software comprueba los miembros a medida que son definidos para garantizar que los supuestos de idealización de armadura están satisfechos (por ejemplo, los miembros conectados sólo en las articulaciones).

Los apoyos y cargas también son definidos con movimientos del mouse. Los controles de software permiten al menos a tres limitaciones de apoyo y de aceptar cargas sólo en las articulaciones. El etiquetado de las uniones se realiza automáticamente. Los ángulos de los miembros de la armadura se calculan y se muestran cuando la armadura es creada. Los resultados del análisis se muestran sobre la armadura. Los miembros de tensión, de compresión y de fuerza cero son indicados cada uno por un color diferente. Opcionalmente, los esfuerzos normales pueden ser calculados para los miembros de la armadura, o dado un límite de esfuerzos, el área de la sección transversal requerida para cada miembro puede ser calculada a partir de los resultados del análisis de armadura.

Universidad Veracruzana

Página 13

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids Indeterminado axial (Indet axial) En este módulo se consideran estructuras estáticamente indeterminadas sujetas a carga axial compuestas por dos miembros. Los problemas de éste tipo son, por lo general, los que se indican a continuación: miembros coaxiales, miembros de extremo a extremo con una carga aplicada en la unión, miembros de extremo a extremo con una separación entre los dos y sujetos a una variación de temperatura, miembros de extremo a extremo con un desajuste entre ellos que se cierra antes de aplicar una carga a la estructura, dos miembros axiales conectados a una barra fija rígida que gira y un cerrojo que pasa por una manga con una tuerca que es apretada.

Figura 2.3 Pantalla del módulo de estructuras indeterminado axial (miembros coaxiales)

Universidad Veracruzana

Página 14

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids Torsión (Torsion) La torsión de elementos con secciones transversales circulares es considerada por el software MDSolids. Cuatro opciones diferentes de miembros de torsión están disponibles. El usuario puede definir un miembro de torsión simple (por ejemplo, un eje con un momento de rotación). Éste eje se muestra como una representación en tres dimensiones. Una cuadrícula se sobrepone en el eje para ilustrar la torsión producida por un momento de rotación. La perspectiva del dibujo es variable de modo que el usuario pueda observar el eje desde varios puntos de vista.

Figura 2.4 Torsión simple

Opcionalmente,

una

fuerza

axial

también

puede

ser

considerada en el problema, y si el eje es una forma de tubular, los efectos de la presión pueden ser incluidos. Esto permite a problemas con carga axial y efectos de torsión ser considerados. Universidad Veracruzana

Página 15

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids Los cálculos de círculo de Mohr también pueden ser iniciados desde esta opción de torsión. Los valores estándar para los módulos de corte están disponibles para el usuario simplemente pulsando sobre el material deseado en un menú desplegable.

Dos opciones de torsión toman en cuenta los problemas de transmisión de potencia. Una de estas opciones considera un solo eje conectado a un motor mientras que la segunda opción considera un eje de potencia unido por engranajes a un eje simple.

Figura 2.5 Transmisión de potencia

La opción de eje de potencia simple también incluye un motor animado y el movimiento de engranaje con reguladores simulados de modo que los Universidad Veracruzana

Página 16

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids usuarios puedan observar los efectos producidos por el cambio de alimentación del motor, la velocidad, o relación de engranaje. Cada una de estas tres opciones tiene un ejercicio de formato de definición flexible. El usuario introduce las variables conocidas y el software soluciona para el resto de las variables. El software incluye explicaciones adicionales que describen el procedimiento específico que debería ser usado para solucionar cada problema.

Una cuarta opción de torsión considera un solo eje con múltiples momentos de torsión. Esta opción produce un diagrama de momento de torsión, un diagrama esfuerzo cortante y un diagrama de ángulo de giro.

Figura 2.6 Eje de torsión con múltiples torques Universidad Veracruzana

Página 17

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids

Vigas (Determinate Beams)

Figura 2.7 Modulo de vigas estáticamente determinadas (Diagramas de fuerza cortante y momento flexionantes)

El usuario puede definir a cualquier viga estáticamente determinada simplemente apoyada, con voladizo simple o doble y empotrada. Las cargas que pueden aplicarse a las vigas incluyen carga puntual, uniformemente distribuida, linealmente variable y momentos de flexión.

Los iconos mostrados en un formato de barra de herramientas permiten a los usuarios seleccionar la carga deseada sin necesidad de la consideración de una convención de signos. Los diagramas que muestran la fuerza cortante,

momento

Universidad Veracruzana

flexionante,

pendiente

y

deflexión

son

dibujados Página 18

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids inmediatamente después de la entrada de una carga. Esto permite al usuario ver el efecto de cada carga al ser añadida.

MDSolids incluye explicaciones adicionales que describen: 1) La forma de configurar las ecuaciones de equilibrio necesario para resolver las reacciones de la viga, 2) cómo las fuerzas concentradas y momentos afectan a la fuerza de corte y diagramas de momento, y 3) la forma de calcular el área en cada parte del diagrama de fuerza cortante, como encontrar puntos de cero en fuerza cortante, y como construir el diagrama de momento a partir del diagrama de fuerza cortante.

Las cargas se pueden introducir, ya sea para análisis sin factor de carga o con factor. Las cargas sin factor se utilizan en la filosofía de diseño por esfuerzo permisible habitualmente encontrada en los textos de la mecánica de materiales. Las cargas con factor se utilizan en el diseño por resistencia para estructuras de acero y hormigón. Tres combinaciones de carga están disponibles: 1.4D, 1.2D + 1.6L, y 1.4D + 1.7L.

Con el mouse, el usuario puede pulsar en una posición específica sobre el diagrama de carga y obtener la fuerza cortante, momento, pendiente o la deflexión en ese punto.

Flexión (Flexure) Universidad Veracruzana

Página 19

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids Si una sección transversal se define, el software puede mostrar la forma de la sección transversal y trazar la distribución de cualquier esfuerzo normal o cortante, los cuales varían en la profundidad de la sección. El software incluye una pestaña desplegable en la que los usuarios puedan indicar una posición específica en la profundidad de la sección transversal y muestra los valores de esfuerzo normal y cortante calculados para ese punto. En el cálculo del esfuerzo cortante, el valor de Q también se calcula para la posición elegida por el usuario.

Universidad Veracruzana

Página 20

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids

Figura 2.8 Diversas pantalla del modulo de flexión

Las distribuciones de esfuerzo se trazan y algunos ejercicios específicos pueden ser calculados para secciones transversales compuestas. Además, las fuerzas axiales en la sección transversal también pueden ser consideradas de modo que las cargas combinadas puedan ser analizadas.

El usuario puede definir esfuerzos admisibles para que la fuerza axial admisible, la fuerza cortante y el momento flexionante puedan ser calculados. Los estudiantes que lo requieran podrán resolver ejercicios de diseño de vigas para calcular el tamaño de viga necesaria. La flexión de formas asimétricas puede ser considerada.

Propiedades de la sección (Section Properties) Universidad Veracruzana

Página 21

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids Los menús permiten al usuario calcular las propiedades de la sección transversal de 19 figuras genéricas diferentes. Las formas generales que se incluyen son: “I, T, C, L, Z", caja, circular sólida, tubular y las formas rectangulares. También se incluyen formas dobles I, T, C y L.

Los botones de visualización permiten al usuario hacer girar la forma a la orientación deseada. Por ejemplo, una forma de T se puede girar de modo que el tallo de la T señale hacia arriba. Esta característica permite a los usuarios hacer coincidir exactamente con lo planteado en el ejercicio particular que se esté analizando.

Las propiedades de la sección calculada incluyen: localización del centroide, momento de inercia, módulo de sección, radio de giro, módulo plástico, momento polar de inercia y, momentos máximos y mínimos de inercia. La forma de la sección transversal se vuelve a dibujar a escala y se muestran los ejes centroidales.

Universidad Veracruzana

Página 22

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids

Figura 2.9 Modulo propiedades de la sección

El módulo de elasticidad de la sección se puede introducir directamente o el usuario puede seleccionar de una lista de materiales comunes. Por ejemplo, el usuario simplemente podría pulsar sobre " el Aluminio 6061-T6 " y el software recuperará un valor de 10,000,000 de psi para el módulo de elasticidad.

Las propiedades de sección también pueden ser calculadas para áreas transversales compuestas. Dos materiales diferentes pueden ser seleccionados y asignados a las partes deseadas de las secciones transversales. Para las secciones transversales compuestas, los resultados se dan en términos del método de área transformada para posibles transformaciones.

Universidad Veracruzana

Página 23

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids MDSolids

incluye

las

dimensiones

y

propiedades

seleccionadas por el American Institute of Steel Construction (AISC) de una lista de perfiles de acero estándar, en denominaciones usuales de los sistemas inglés (US) y métrico (SI).

En cada análisis de sección transversal el programa genera una tabla con los parámetros calculados, que incluyen: 1) centroide y momentos de inercia, 2) eje neutro (y/o plano neutro) y módulo de la sección, y 3) producto de inercia.

Para las áreas compuestas, el centroide y el momento de inercia están calculados con la conversión del material A en el material B y viceversa. Los cálculos de propiedades de sección actúan recíprocamente tanto con la viga, la flexión, como con la rutina de columna.

Columnas (Columns) Los cálculos de columnas se basan en la fórmula de pandeo de Euler:

MDSolids muestra dos vistas de pandeo, del eje fuerte y el eje débil, con las vistas de corte transversal correspondientes para cada columna. Cualquier condición de soporte en los extremos de la columna (articulado, fijo, empotrado y libre) puede ser seleccionada para uno u otro extremo de la columna. Universidad Veracruzana

Página 24

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids

Figura 2.10 Módulo de pandeo de columnas

La carga crítica de pandeo y el esfuerzo son calculados por el software, que además, muestra la dirección del pandeo de la columna. El usuario también puede agregar soportes intermedios en cualquier dirección que se pueden colocar en cualquier posición entre los apoyos de los extremos. Un gráfico de esfuerzo crítico contra la relación de esbeltez se muestra y los resultados de las dos direcciones de pandeo se indican sobre la curva.

Opcionalmente, el usuario puede definir el límite de elasticidad del material y/o el límite de proporcionalidad de modo que el pandeo de Euler pueda ser evaluada.

Universidad Veracruzana

Página 25

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids Se pueden realizar diseños de columnas utilizando el acero estándar, el aluminio y/o madera.

Figura 2.11 Diseño de columnas

Círculo de Mohr (Mohr’s circle) El análisis del círculo de Mohr para planos de esfuerzo y los momentos de inercia están disponible en MDSolids. Los esfuerzos normales en las direcciones x y y son especificados en términos de tensión o compresión y no como un número positivo o negativo. El esfuerzo cortante se define en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario sobre la cara x positiva del elemento de esfuerzos.

Universidad Veracruzana

Página 26

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids Un diagrama de orientación aparece para mostrar el resultado de las condiciones de esfuerzo según lo especificado por el usuario. El círculo de Mohr se dibuja, etiquetando los puntos que corresponden a la orientación de los ejes x y y del elemento de esfuerzos. Se dibujan planos de esfuerzos separados para indicar la orientación de los esfuerzos principales en relación con el sistema de coordenadas xy, así como la orientación del esfuerzo cortante máximo.

Los diagramas de los estados de esfuerzos dan a los usuarios una clara representación visual de la orientación o dirección de rotación del estado de esfuerzos para representar los planos de esfuerzos principales y de esfuerzo cortante máximo. Los esfuerzos en cualquier orientación arbitraria pueden ser obtenidos a partir del diagrama de un plano de esfuerzos ubicado en el interior de un transportador que permite al usuario obtener los valores correspondientes en cualquier orientación arbitraria con simplemente un clic del ratón.

Universidad Veracruzana

Página 27

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids

Figura 2.12 Módulo de transformación por círculo de Mohr Los cálculos del círculo de Mohr se pueden obtener tanto desde el módulo de vigas estáticamente determinadas como de las partes del módulo de miembros de torsión de MDSolids. Los datos de planos de esfuerzos combinados automáticamente son suministrados desde estas rutinas al cálculo de círculo de Mohr. Los cálculos de esfuerzo plano se pueden obtener a partir de los datos de deformación normal y cortante.

Dos tipos de galgas extensómetricas, rectangulares y en delta, que pueden ser analizadas en este modulo.

Universidad Veracruzana

Página 28

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids

Figura 2.13 Módulo de transformación por círculo de Mohr (galgas extensómetricas)

Los momentos principales de inercia pueden ser calculados a partir de los momentos de inercia en torno a dos ejes ortogonales más el producto de inercia.

Universidad Veracruzana

Página 29

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids Análisis General (General Analysis, Axial Torsion Beams) En este módulo se consideran estructuras axiales estáticamente determinadas e indeterminadas, ejes y vigas.

Figura 2.14 Módulo de análisis general

Universidad Veracruzana

Página 30

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids

CAPITULO II Fuerza Cortante y Momento Flector

Universidad Veracruzana

Página 31

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids

Fuerza Cortante y Momento Flector Un elemento estructural diseñado para soportar cargas que sean aplicadas en varios puntos a lo largo del elemento se conoce como viga Las vigas son comúnmente elementos prismáticos largos y rectos en la mayor parte de los casos las cargas son perpendiculares al eje de la viga. Tales cargas transversales solo causan flexión y corte en la viga. Las fuerzas aplicadas a un elemento estructural pueden inducir un efecto de deslizamiento de una parte del mismo con respecto a otra. En este caso, sobre el área de deslizamiento se produce un esfuerzo cortante, o tangencial, o de cizalladura.

Figura 2.1 (esfuerzo cortante)

El diseño de una viga para que soporte de la manera más efectiva las cargas aplicadas es un procedimiento que involucra dos partes: 1) Determinar las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes producidos por las cargas. 2) Seleccionar la sección transversal que resista de la mejor forma posible a las fuerzas cortantes y a los momentos flectores.

Universidad Veracruzana

Página 32

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids Las vigas se clasifican de acuerdo con la manera en la que se encuentran apoyadas. Las vigas que involucran un total de solo tres incógnitas pueden determinarse empleando métodos estáticos a tales vigas se les conoce como estáticamente determinadas este tipo de vigas son las que vamos a estudiar. Cierto tipo de vigas y sus diferentes apoyos involucran más de tres incógnitas y no pueden determinarse por medio de métodos estáticos tales vigas se denominan estáticamente indeterminadas.

Figura 2.7 (tipos de vigas)

Como se sabe si se efectúa un corte en una sección de una viga en voladizo que soporta una carga concentrada P en su extremo se encuentra que las fuerzas internas en el corte consisten de una fuerza cortante P’ igual y opuesta a la carga P y un momento flector M cuyo momento es igual al momento de P alrededor de dicho punto, algo similar ocurre para una viga simplemente apoyada AB que porte dos cargas concentradas y una carga uniformemente distribuida. Para determinar las fuerzas internas en un corte a través del punto C, primero se dibuja el diagrama de cuerpo libre de toda la viga para obtener las reacciones en los apoyos, haciendo un corte atreves de C, se dibuja el diagrama de cuerpo libre de AC. El par flector M crea esfuerzos normales en la sección transversal, mientras que la fuerza cortante V produce esfuerzos cortantes en dicha sección. Debido a que la distribución de esfuerzos normales en una sección dada depende solo del valor del momento flector M en dicha sección y de la geometría de la sección, la fórmula para la solución de la viga es:

Universidad Veracruzana

Página 33

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids El momento puede ser positivo o negativo dependiendo de si la concavidad de la viga en el punto considero es hacia arriba o hacia abajo en este caso la concavidad de la viga es positivo.

Figura 2.8 (corte en C y momentos)

Todo se facilita si se dibuja un diagrama de momento flector, es decir si el valor del momento flector M se determina en varios puntos de la viga y se grafica contra la distancia x medida desde un extremo de la viga, y se facilita más si se dibuja un diagrama de fuerza cortante al mismo tiempo que se grafica la fuerza cortante V contra x. Los valores de V y M serán obtenidos en varios puntos de la viga dibujando diagramas de cuerpo libre de porciones sucesivas de ella.

Universidad Veracruzana

Página 34

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE Los valores se facilitan con la obtención de diagramas que se resolverán determinando los valores de V y M en puntos de la sección e la viga estos valores se calcularan ya que las fuerzas cortantes V y V’ tienen sentidos opuestos el registrar el corte en el punto C con una flecha hacia arriba o hacia abajo no tendría a menos que se indique al m mismo tiempo cual de los cuerpos libres AC y CB se está considerando. Por lo tanto el corte V se considera positivo si las fuerzas cortantes se dirigen como en la figura 2.9

Figura 2.9 (diagrama de V y M)

Universidad Veracruzana

Página 35

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids El cortante V y el momento flector M en un punto dado de una viga se consideran positivos cuando las fuerzas internas y los pares que actúan en cada porción de la viga se dirigen como se muestra:

Figura 2.10 (diagramas positivos de V y M)

De las figuras 2.10 se pueden obtener: 1. El cortante en cualquier punto dado una viga es positivo cuando las fuerzas externas (cargas y reacciones) que actúan sobre la viga tienden a cortar la viga como se indica en la figura. 2. El momento flector en cualquier punto dado una viga es positivo cuando las fuerzas externas que actúan sobre la viga tienden a flexionar la viga en ese punto como se muestra

Analizaremos una viga especificando los diagramas de V y M así como su respectivo cortante y momento flector. 

Una viga simplemente apoyada en AB con una distancia 2a sometida a una carga única concentrada P en su centro.

Figura 2.11 (viga) Primero se obtienen las reacciones en los soportes a partir del diagrama de cuerpo libren de la viga entera se encuentra que cada reacción es igual a la mitad de la fuerza P a P/2. Universidad Veracruzana

Página 36

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids

Figura 2.12 (viga reacciones) Se corta la viga en un punto que llamaremos C entre A y P se dibujan los diagramas de cuerpo libre suponiendo que el corte y el momento flector son positivos se dirigen las fuerzas internas V y V’ y M y M’ considerando el cuerpo libre se escriben sus componentes verticales y la suma de momentos alrededor del corte es igual con cero. Se encuentra que V = P/2 y que M = Px/2. Ambos son positivos esto se observa que la reacción en A tiende a cortar y a flexionar la viga en el corte, se grafican a V y M el cortante V = P/2 y el momento aumenta.

Figura 2.13 (viga M y V)

Se puede seccionar la viga entre la carga y la reacción en B y considerando el diagrama de la sección de corte a la reacción B se escribe que la sima de momentos y componentes verticales respecto al corte quedan como V = -P/2 y M = P(L – x)/2 el cortante es negativo y el momento flector positivo, la reacción en B flexiona a la viga en el corte pero tiende a cortarla en una

Universidad Veracruzana

Página 37

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids manera opuesta a la mostrada en la figura 2.14 con los datos obtenidos es posible completar los diagramas de cortante y momento flexionante.

Figura 2.14 (viga sección 2)

Universidad Veracruzana

Página 38

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids Del ejemplo anterior se concluye que cuando una viga se somete únicamente a cargas concentradas, el cortante es constante entre las cargas y el momento flector varia linealmente entre las cargas, por lo tanto es posible dibujar con facilidad los diagramas de cortante y momento flector, una vez que los valores de V y M se han obtenido en secciones seleccionadas justo a la izquierda y justo a la derecha de los puntos donde las cargas y reacciones se aplican.

Universidad Veracruzana

Página 39

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids

CAPITULO III FUNCIONES DE SINGULARIDAD

Universidad Veracruzana

Página 40

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids El cortante y el momento se pueden describir por funciones analíticas en el caso de una viga en voladizo que soporta una carga uniformemente distribuida w, el cortante y el momento flexionantes se pueden representar por funciones analíticas quedando el cortante como y

esto se debió q que no existe discontinuidad en la carga.

Figura 3.1 (viga en voladizo con carga uniformemente distribuida)

En el caso de la viga simplemente apoyada que está cargada solo en su punto central, la carga P aplicada en el centro representa una singularidad en la carga de la viga. Esta singularidad resulta en discontinuidades en los diagramas de cortante y de momento y requiere de del uso de diferentes funciones analíticas para representar V y M en las porciones de la viga que se analizan. Este capítulo su propósito es mostrar como el uso de funciones de singularidad hace posible representar el cortante V y el momento flector M por expresiones matemáticas únicas.

Universidad Veracruzana

Página 41

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids Considere la viga simplemente apoyada AB de longitud 2a, que lleva una carga uniformemente distribuida w que se entiende desde punto medio C hasta su soporte derecho B y que . Primero se dibuja el diagrama de cuero libre de la viga completa remplazando la carga distribuida por una carga concentrada equivalente y sumando momentos alrededor de B se tiene que:

Figura 3.2 (viga con carga distribuida)

Se corta la viga en un punto D entre A y C. Del diagrama de cuerpo libre de AD se concluye que, en el intervalo 0 < x < a, el cortante y el momento flector son expresados por las funciones:

Universidad Veracruzana

Página 42

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids

Figura 3.3 (momento y cortante) Cortando la viga en el punto E se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la porción AE reemplazando la carga distribuida por la canga concentrada equivalente, se tiene:

Universidad Veracruzana

Página 43

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids

Figura 3.4 (viga momento y cortante)

Se concluye que, en el intervalo a < x < 2a el cortante y el momento flexionante se expresan como:

El hecho de que el cortante y el momento flector estén representados por diferentes funciones de x dependiendo de si x es menor o mayor que a, se debe a la discontinuidad de la carga de la viga, sin embargo las funciones v(1 y 2) pueden representarse por una expresión única.

Universidad Veracruzana

Página 44

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids Si se especifica que el segundo término deberá incluirse en los cálculos cuando e ignorarse cuando en otras palabras, los corchetes < > deberán reemplazarse por paréntesis ordinarios ( ) cuando y por cero cuando x < a de la misma forma el momento flector queda como:

Se observa que la carga distribuida en cualquier parte de la viga puede expresarse como:

De hecho, si los corchetes deberían reemplazarse por cero para x < a y por paréntesis para entonces se verifica que = 0 para x < y, definiendo la potencia cero para cualquier numero como la unidad que = = 1. Las expresiones singularidad

,

,

; a

se conoces como funciones de

Siempre que la cantidad entre los corchetes sea positiva o cero, los corchetes deberán reemplazarse por paréntesis ordinarios: en cambio, si la cantidad es negativa el corchete mismo es igual a cero.

Figura 3.5 (grafica de tres diferentes funciones de singularidad) De esto se sigue de la definición de las funciones de singularidad, que

Universidad Veracruzana

Página 45

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids Se muestra una tabla se muestran cargas básicas aplicables a vigas se utilizo el fondo con color más intenso con el fin de indicar, para cada carga, la expresión que más fácilmente se deduce o recuerda y de la que otras pueden encontrarse por integración.

Figura 3.6 (cargas básicas y sus correspondientes cortes y momento flectores expresados en términos de singularidad)

Universidad Veracruzana

Página 46

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids

CAPITULO IV PROBLEMAS PORPUESTOS

Universidad Veracruzana

Página 47

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids

1.1

Donde w = 3lb/plg L = 10plg Aplicando una sumatoria de momentos en B y A tenemos

15 lb

15 lb Realizando los diagramas Por tener una carga distribuida el esfuerzo cortante queda

Realizando el diagrama de momentos tenemos que para el primer triangulo por ser positivo hará una parábola siendo el resultado el área de dicho triangulo y ese será su momento máximo cuando pasa a ser negativa la curva bajara de manera gradual. Universidad Veracruzana

Página 48

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids Donde: El área del triangulo es

De esta forma se obtuvo el esfuerzo cortante y el momento máximo de forma analítica procedemos a realizarlo por medio de MDsolids

NOTA: El ejercicio que se utilizo es muy sencillo con el fin de aprender a utilizar el programa y tratar de aclarar de manera detallada todos los pasos a realizar para la resolución de este.

Universidad Veracruzana

Página 49

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids 1.-seleccionamos el segmento de vigas en este caso determinate beans

Universidad Veracruzana

Página 50

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids 2.- seleccionamos el tipo de apoyo que se utilizara son uno fijo y otro con rodamiento.

Universidad Veracruzana

Página 51

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids 3.-seleccionamos la distancia que tendrá la viga y sus unidades

4.-ahora seleccionamos el tipo de carga (se observa son 8 tipos de cargas que se le pueden aplicar a la viga) que tendrá la viga así como las unidades que se utilizaran y se le da click en enter

Universidad Veracruzana

Página 52

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids 5.- al darle entrer a la carga el programa nos arroja inmediatamente el diagrama de momento y cortante las reacciones que tiene la viga y diferentes tipos de unidades.

Podemos observar la curva que crea el momento y como tiene el mismo valor que la que obtuvimos de forma analítica, las reacciones y las unidades hay que tener mucho cuidado con las unidades porque un mal uso de ellas nos puede afectar todo el resultado la imagen también nos muestra, cabe resaltar que para decir una fracción no se separa con un punto si no con una coma (37,5).

Universidad Veracruzana

Página 53

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids 1.2

Aplicamos sumatoria de momentos para obtener las reaccione en A y B:

Con las reacciones obtenidas se puede proceder a graficar el esfuerzo cortante

la reacción en A fue 30 positiva (hacia arriba) por lo tanto sube 30 la siguiente que tenemos es una carga hacia abajo tendrá que restarse y baja 24 como teníamos 30 el resultado es 6 la siguiente carga es de 24 hacia abajo se le restaran esos 6 que sobran y se seguirá hacia abajo contando de manera negativa se obtiene -18 otra carga hacia debajo de 24 con esta tenemos un resultado de -24-18 es igual a -42 el siguiente es el esfuerzo con un resultado de +66 hacia arriba en la suma de amos tenemos un resultado de 24 con la carga siguiente de 24 hacia abajo no da 0 el obtener el valor 0 no hace percatarnos de que el resultado es correcto. Universidad Veracruzana

Página 54

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids

Para el cálculo del momento máximo nos apoyaremos en el diagrama de cortante para obtener las respectivas aéreas del los en este rectángulos.

La figura nos muestra el máximo momento de la viga se obtuvo atreves de las áreas de los cuadrados con la formula (L x A) el resultado será una diagonal como el área del rectángulo es positiva la diagonal será hacia arriba cuando el área es negativa la diagonal bajara. Podrecemos al análisis por medio del software

Universidad Veracruzana

Página 55

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids 1.-seleccionamos el segmento de vigas en este caso determinate beans

Universidad Veracruzana

Página 56

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids 2.- seleccionamos el tipo de apoyo que se utilizara en este caso son uno fijo y otro con rodamiento.

Universidad Veracruzana

Página 57

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids 3.-seleccionamos la distancia que tendrá la viga y sus unidades

Universidad Veracruzana

Página 58

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids 4.-ahora seleccionamos el tipo de carga en este caso solo se utilizaran cargas puntuales que tendrá la viga así como las unidades que se utilizaran y se le da click en enter

Universidad Veracruzana

Página 59

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids 5.- al darle entrer a la carga el programa nos arroja inmediatamente el diagrama de momento y cortante las reacciones que tiene la viga y diferentes tipos de unidades

Como se puede observar el resultado que arroja el programa es idéntico al obtenido tanto en el diagrama de momento como cortante

Universidad Veracruzana

Página 60

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids 1.3

+ 〖 ƩM〗 _c=0: 40(.9)-80(1.2)-80(2.4)+Rb(3.6) = 0 Rb = 70 kN

+ 〖 ƩM〗 _B=0: 40(4.5) + Rc(3.6)+80(2.4)+80(1.2) = 0 Rc = 130 kN Aplicando las tablas de funciones de singularidad para el cortante obtenemos que para una carga puntual V= - P mas la suma de las reacciones de B y C

V(x) = = Ay0 +By0 - P10 - P20 - P30 V(x) = 130 0 + 70 0 - 40 0 - 80 0 – 80 0

Para el momento tenemos la ecuación M(x) = - P1 mas la suma de los momentos en las reacciones en C y B M(x) = Ay 1 +By 1 - P1 1 – P2 1 - P3 1 M(x) = 130 1 +70 1 – 40 1 – 80 1 – 80 1 Universidad Veracruzana

Página 61

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids Obtenemos los siguientes diagramas de cortante y momento analizando por medio de las reacciones.

Por medio te la grafica obtenemos que el momento máximo es de 84 utilizando la formula de momento obtenido por medio de las funciones de singularidad tenemos:

Universidad Veracruzana

Página 62

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids Punto en la viga

Distancia (m) Ecuación de singularidad

A

0

0

C

0.9

– 40 1 = 36

D

2.1

– 40 1+130 1= 72

E

3.3

– 40 1+130 1–80 = 84

B

4.5

– 401+1301–80 –80 = 0

El momento máximo como podemos comprobar es de 84 kN. Aplicando el programa MDsolids para encontrar el momento con su respectiva función de singularidad se obtiene de la misma manera en la que ya obtuvimos los diagramas de cortante y momento su le dan los valores a la viga y las cargas.

Universidad Veracruzana

Página 63

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids

Asignamos las cargas:

Universidad Veracruzana

Página 64

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids Se obtienen los diagramas el siguiente paso es identificar el icono con una D localizado al lado derecho de cada diagrama ese símbolo nos indica la ecuación de discontinuidad o función de singularidad

Universidad Veracruzana

Página 65

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids

Una vez identificado el icono el damos click, tendremos un cuadro como el siguiente:

Este recuadro muestra la ecuación de momento de la viga

Como se puede apreciar nos muestra la ecuación única de cortante que defina a la viga tanto simbólica como numérica.

Universidad Veracruzana

Página 66

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids 1.4

N m

d c

d

Realizando el cálculo de cortante con funciones de singularidad una vez obtenidas las reacciones tenemos: V(x) = Ay0 +By0 - w11 + w11 V(x) = 3.0000 +30000 - 1.500,001 +1.500,001

De la misma manera tenemos el momento multiplicando los momentos en las vigas por su distancia encontramos:

M(x) = Ay1 +By1 - w1/22 + w1/22 M(x) = 3.000 1 + 3.000 1 – 750 2 + 750 2

Universidad Veracruzana

Página 67

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids Por medio de las reacciones y los momentos que encontramos obtenemos los siguientes diagramas.

Por medio de la grafica podemos observar que el máximo momento obtenido gráficamente es de 600 N/m. Utilizando la formula de singularidad en momento podemos comprobar este dato: Punto en la viga Mc M (centro) Md

distancia

Formula sustituida

0.8 2, 1.2 3.2, 2.4

-(750)(.8)2 + 0 + 0 = - 480 N/m 3(1.2) -(750)(2)2 = 600 N/m ( en el centro de la viga 3(2.4) + -(750)(3.2)2 = -480 N/m

Se comprueba que el momento máximo en la viga es de 600 N/m.

Universidad Veracruzana

Página 68

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids Aplicando el programa MDsolids para encontrar el momento con su respectiva función de singularidad se obtiene de la misma manera en la que ya obtuvimos los diagramas de cortante y momento su le dan los valores a la viga y las cargas.

Asignamos la carga distribuida:

Universidad Veracruzana

Página 69

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids Se obtienen los diagramas el siguiente paso es identificar el icono con una D localizado al lado derecho de cada diagrama ese símbolo nos indica la ecuación de discontinuidad o función de singularidad.

Universidad Veracruzana

Página 70

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids Una vez identificado el icono con la D le damos click en ambas graficas y obtenemos los siguientes recuadros de cortante y momento.

En ambos casos encontramos una ecuación única que nos identifica el momento y el cortante en cualquier la de la viga ya sea simbólica o numérica.

Universidad Veracruzana

Página 71

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids

1.5

Analizando la viga con la reacción obtenida encontramos la ecuación de cortante por medio de las graficas de singularidad. Analíticamente tenemos: V(x) = Ay 0 + By 0 - w1 1 + w1 1 - w21 + w21 - P10 V(x) = 13,000 +13,000 - 3,001 +3,001 - 3,001 +3,001 - 8,000 De la misma manera obtenemos la ecuación de momento: M(x) = = Ay1 +By1 - w1/22 + w1/22 - P1 w2/22 + w2/22 M(x) = 13,001 +13,001 - 3,00/22 +3,00/22 - 8,001 - 3,00/22 +3,00/22 Universidad Veracruzana

Página 72

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids Por medio de las reacciones y los momentos que encontramos obtenemos los siguientes diagramas:

El momento máximo se presenta en la carga de 8kips si se sustituye a esa distancia en la ecuación de momento por singularidad obtenemos que el máximo momento es de 41.5 lb/ft

Universidad Veracruzana

Página 73

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids Aplicando el programa MDsolids para encontrar el momento con su respectiva función de singularidad se obtiene de la misma manera en la que ya obtuvimos los diagramas de cortante y momento su le dan los valores a la viga y las cargas.

Asignamos la carga distribuida:

Universidad Veracruzana

Página 74

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids

Se obtienen los diagramas el siguiente paso es identificar el icono con una D localizado al lado derecho de cada diagrama ese símbolo nos indica la ecuación de discontinuidad o función de singularidad.

Universidad Veracruzana

Página 75

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids Una vez identificado el icono el damos click, tendremos un cuadro como el siguiente:

Y el siguiente recuadro para momento:

Universidad Veracruzana

Página 76

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids 1.6

Aplicando sumatoria de momentos en el punto A y sumatoria de momentos en A tenemos:

Con los siguientes datos obtenemos los diagramas de cortante y momento flexionante:

Universidad Veracruzana

Página 77

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids

Analizando la viga con la reacción obtenida encontramos la ecuación de cortante. Analíticamente tenemos: V(x) = Ay 0 - P1 0 – P2 0 V(x) = 6 0 - 3,000 +3,000

De la misma manera obtenemos la ecuación de momento: M(x) = Ay1 – P11 – P2 1 - M Ay0

M(x) = 6 1 – 3 1 - 3 1 - 45 0

Universidad Veracruzana

Página 78

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids Aplicando el programa MDsolids para encontrar el momento con su respectiva función de singularidad se obtiene de la misma manera en la que ya obtuvimos los diagramas de cortante y momento su le dan los valores a la viga y las cargas.

Asignamos las respectivas cargas:

Universidad Veracruzana

Página 79

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids Se obtienen los diagramas el siguiente paso es identificar el icono con una D localizado al lado derecho de cada diagrama ese símbolo nos indica la ecuación de discontinuidad o función de singularidad.

Universidad Veracruzana

Página 80

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids Una vez identificado el icono el damos click, tendremos un cuadro como el siguiente:

Y el siguiente recuadro para momento:

Universidad Veracruzana

Página 81

Análisis de fuerza cortante y momento flector con MDsolids

COMENTARIOS FINALES Este trabajo presenta una propuesta para complementar con software especializado la enseñanza o el uso de libros texto, tomar una ventaja de la tecnología disponible para mejorar la calidad y eficiencia del aprendizaje.

Las posibilidades observar las simulaciones animadas es una ventaja clara y precisa comparada con los libros, especialmente si hay que estudiar diagramas de cuerpo libre, distribución de esfuerzos y procesos de deformación.

El ambiente es más cómodo y creado bajo un software adecuado para el aprendizaje autodidáctico permite a los estudiantes avanzar según su propio ritmo.

Con la implementación de las nuevas tecnologías a los estudiantes el software es la mejor manera de tener una mejor comprensión con la ventaja de poder utilizarlo en casa.

Universidad Veracruzana

Página 82

REFERENCIAS 

.

C.

Hibbeler,

“MECANICA

DE

MATE IALES”

6ta edición, Pearson educación, mexico 2006 

Beer, Johnston, De Wolf, Mazurek, “MECÁNICA DE MATERIALES”, 5ª Edición, McGraw-Hill, México 2010



Gere, James M., “MECÁNICA DE MATERIALES”, 6ª Edición, Editorial Thomson, México 2006



http://www.mdsolids.com/

.

Universidad veracruzana

Página 83