MD-Proracun Prema Dozv Naponima

DRVENE KONSTRUKCIJE Predavanje 4 PRORAČUN NOSIVOSTI, STABILNOSTI I UPOTREBLJIVOSTI DRVENIH KONSTRUKCIJA

PRORAČUN NOSIVOSTI, STABILNOSTI I UPOTREBLJIVOSTI DRVENIH KONSTRUKCIJA OPŠTI PRINCIPI Tehnička mehanika, pri proračunu materijala pod uticajem spoljašnjih sila, podrazumeva da su ti materijali idelano elastični, homogeni i izotropni. Drvo ne ispunjava ni jedan od navedenih kriterijuma, ali se ipak proračunava po principima tehničke mehanike. Ispunjenje gore navedenih kriterijuma obezbeñuje se uvoñenjem odgovarajućih korekcionih faktora koji uzimaju u obzir: • vlažnost i temperaturu • dugotrajnost delovanja opterećenja • tečenje • materijalnu i geometrijsku imperfekciju • pravce anizotropije • promenu zapremine i dr.

KONCEPTI PRORAČUNA 1.

Proračun prema dopuštenim naponima

Računska vrednost dejstava (opterećenja): F = Fi * c (Fi - opterećenje, c – korekcioni faktor) ⇒ uticaji ⇒ σ

σ ≤ σd

σd = σl / n

n=2—4

2. Proračun prema graničnim stanjima (nosivosti i upotrebljivosti) Računska vrednost dejstava (opterećenja): Fd = γf * Fk (Fk – karakteristična vrednost dejstava, γf – parcijalni koeficijenti sigurnosti ⇒ Sd (uticaji) ⇒ σd Računska vrednost svojstava materijala: Xd = Xk / γm (Xk _- karakteristična vrednost svojstva materijala, γm – parcijalni koeficijenti sigurnosti materijala) ⇒ Rd = Rd (Xd, ad) (računska nosivost), ad – geometrijske veličine ⇒ fd (računska čvrstoća materijala)

Sd ≤ Rd

odnosno

σ d ≤ fd

Proračun prema dopuštenim naponima Naponi i deformacije pod uticajem najnepovoljnijeg opterećenja treba da su manji od dopuštenih. Drvena konstrukcija je neupotrebljiva (nesigurna, nefunkcionalna), ako nastupi:

• gubitak statičke ravnoteže – celine ili pojedinog dela • lom kritičnog preseka – usled prekoračenja čvrstoće ili deformacija • gubitak stabilnosti – zbog izvijanja pojedinih elemenata konstrukcije • nekontrolisano pomeranje – celine ili pojedinog elementa ili ako nastanu: • prevelike deformacije – koje utiču na eksploataciju ili izgled • preterane vibracije – koje utiču na neudobnost elsploatacije • lokalna oštećenja, utiskivanja i pukotine – koje smanjuju trajnost i efikasnost • lokalna izbočavanja – koja utiču na stabilnost

Ugib

OPTEREĆENJA Dokaz napona i deformacija sprovodi se za moguće kombinacije opterećenja. Merodavna je ona kombinacija koja daje najveće uticaje. • Prva grupa – Osnovna opterećenja (σ σo ) - stalno opterećenje - g - pokretno opoterećenje (uključujući sneg) - s - opterećenje vetrom (kao samostalno opterećenje) - w

g g+s g+w

• Druga grupa – Dopunska opterećenja (σ σd) - opterećenje vetrom (kada nije samostalno opterećenje) - opterećenje skela i oplata - opterećenje privremenih konstrukcija - trenja na ležištima - sile kočenja - temperaturne promene - skupljanje i bubrenje

g+s+w

• Treća grupa - Naročita opterećenja (σ σn) - zemljotres - razmicanje oslonaca - pritisak leda - požar

Za osnovna opterećenja σ = σo (osnovni dopušteni naponi) Za osnovna + dopunska opterećenja σ = σo * 1,15 Za osnovna + dopunska + naročita opterećenja σ = σo * 1,50

Osnovni dopušteni naponi Koriste se prilikom dimenzionisanja elemenata drvenih konstrukcija, a zavise od: botaničke vrste drveta, klase drveta, vrste naprezanja i vlažnosti.

MODULI ELASTIČNOSTI I KLIZANJA Koriste se prilikom dimenzionisanja elemenata drvenih konstrukcija (proračun deformacija), a zavise od: vrste drveta, zapreminske mase, grañe, vlažnosti, temperature.

AKSIJALNO (CENTRIČNO) ZATEZANJE Sila zatezanja poklapa se sa osom štapa i pravcem vlakana

A0 = Ak

σ t|||| = Z / A0 ≤ σt||||d || Za nepoznato slabljenje: A0 = 0,8 Ak

SAVIJANJE Nosač je opterećen upravno na svoju podužnu osu (poprečnim opterećenjem)

Pravo (čisto) savijanje Kada je opterećenje u jednoj od glavnih ravni inercije poprečnog preseka Naponi savijanja: max

σm = maxMx / Wx ≤ σmd

Naponi smicanja:

max τm||||

= maxT*Sx / Ix * b ≤ τm||||d ||

Napon pritiska na mestu oslanjanja:

σ c⊥⊥ = P / A ≤ σc⊥⊥ d

Ugibi (deformacije): • za kratkotrajno opterećenje (do tri meseca) • za dugotrajno opterećenje (duže od tri meseca – uvodi se uticaj tečenja) max f

= ψ Mx / E ||*Ix ≤ f dop = l/m

+ ugib od T sile Dopušteni ugibi

ψ - zavisi od statičkog sistema i opterećenja

Koso savijanje Kada ravan savijanja ne pada u jednu od glavnih ravni inercije poprečnog preseka σm = σmx + σmy = maxMx /Wx +

maxMy

/Wy ≤ σmd

τ m|| = τ m2 || x + τ m2 || y ≤ τ m||d

f =

τ m|| x =

Ty .S x

τ m|| y =

Tx .S y

I x .b I y .h

l f +f ≤ m 2 x

fx =ψ x

Mx E|| .I x

f y =ψ y

My

2 y

E|| .I y

EKSCENTRIČNO ZATEZANJE Naprezanje nosača aksijalnom zatežućom silom i momentom savijanja

Ugibi i τ naponi kao kod pravog savijanja

AKSIJALNI (CENTRIČNI) PRITISAK Sila pritiska poklapa se sa osom štapa i pravcem vlakana Ako nema izvijanja: σ c|||| = N / A ≤ σc||||d ||

Kada ima izvijanja:

Ni = π2 E || Imin /li2 – Ojlerova kritična sila izvijanja Deljenjem sa površinom preseka A dobijamo: Ni /A= i2min π2 E || /li2 Ako uvedemo oznake:

- vitkost štapa: λ = li / imin

i

- Ojlerov napon na izvijanje: σi = Ni /A

(i2min = Imin/A)

Dobijamo:

σi = π2 E || / λ2

(1)

Ako se odnos izmeñu granične čvrstoće drveta na pritisak (σlc|| ) i Ojlerovog napona na izvijanje (σi ) definiše kao koeficijent izvijanja ω

ω = σlc|| / σi , i usvoji da je dopušteni napon na pritisak paralelno vlaknima (σc||d) jednak:

σc||d = σlc|| / n

(n je koeficijent sigurnosti),

iz jednačine (1) dobijamo:

σc||d = ω N / A , odnosno, stv σc|||| =

ω N / A ≤ σc||||d ||

ω

postupak

Odeñivanje koeficijenta izvijanja ω Koeficijent izvijanja ω odreñuje se na osnovu deformacija štapa u elastičnom (E || = const.) i neelastičnom (E || ≠ const.) području.

Za elastično područje (σ σc|||| < σcp) ω = σlc|| / σi = λ2 σlc|| / π2 E ||

(a)

Ispitivanjima je utvrñeno da je odnos: E || / σlc|| = const =312, pa se iz jednačine (a) dobija da je: ω = λ2 / 312 π2 , odnosno:

ω = λ2 / 3100 (za elastično područje - λ > 75)

Za neelastično područje (σc|| > σcp) Odreñivanje koeficijenta izvijanja ω bazira se na eksperimentalnim istraživanjima U važećem standardu za drvene konstrukcije (JUS U.C9.200), usvojena je kriva Kočetkova

ω = 1/[1-0,8 (λ λ/100)2 ] za neelastično područje - λ < 75

Vitkost

λ = li / imin

λ ≤ 120 - za glavne noseće elemente kod kojih konstrukcija ne omogućuje pouzdanu tačnost proračuna vitkosti λ ≤ 150 – za glavne noseće elemente za koje se sa dovoljno sigurnosti može odrediti dužina izvijanja λ ≤ 175 – za sekundarne elemente čija je stabilnost od sekundarnog značaja za stabilnost konstrukcije kao celine

Dužine izvijanja li a) Osnovni Ojlerovi slučajevi

b) Kod rešetkastih nosača

1.

U ravni rešetke

•

kada se štapovi ispune vezuju ekserima - li = 0,8 l

•

kada se štapovi ispune vezuju vezom na zasek, moždanicima i zavrtnjima - li = l

•

za pojasne štapove - li = l

2.

Izvan ravni rešekte

•

za štapove ispune - li = l

•

za pojasne štapove dužina izvijanja zavisi od razmaka ukrućenja kojima se ukrućuje pritisnuti pojas

c) Za krovne konstrukcije prema skici

1.

U ravni vezača

•

ako je Su < 0,75 S, i sistem je pomerljiv ⇒ Si = 0,8 S

•

ako je Su ≥ 0,75 S, i sistem je pomerljiv ⇒ Si = S

•

ako je sistem nepomerljiv ⇒ Si = Su, odnosno Si = So, zavisno šta je veće

2.

Upravno na ravan vezača

•

dužine izvijanja jednake su razmacima pridržajnih tačaka

d) Lukovi sa kružnom i paraboličnom osom Za odnos 0,15 ≤ f / l ≤ 0,50 i ako se ne sprovodi tačan proračun

1.

U ravni luka

• • • •

simetrično opterećen i obostrano uklješten luk - Si = 0,5 S simetrično opterećen luk na dva zgloba - Si = 0,625 S simetrično opterećen trozglobni luk - Si = 0,7 S nesimetrično opterećen (na polovini raspona) uklješten, dvozglobni i trozglobni luk - Si = 0,5 S

Za veće raspone lukova, prema tačnijem proračunu: •

za lukove na dva zgloba - Si = 0,5 l

1+ 6,15k , gde je k = f / l

•

za lukove na tri zgloba - Si = l/1,75

2.

Upravno na ravan luka

•

dužine izvijanja jednake su razmacima pridržajnih tačaka

1+ 2k

, gde je k = f / l

e) Ramovi sa rešetkastim riglama

1.

U ravni rama

•

Si = 2 hu + 0,7 ho (napon treba sračunati za veću pritiskujuću silu (No ili Nu)

Ako je veza izmeñu štapova ho i hu izvedena kao zglob, za dužinu izvijanja treba uzeti Si = hu 2. Upravno na ravan rama •

Ako je veza izmeñu štapova ho i hu izvedena kao zglob, za dužinu izvijanja treba uzeti Si = hu

•

Ako čvor na visini hu nije pridržan već je ukrućenje na visini ho + hu , onda treba uzeti Si = hu + ho

f) Dvozglobni i trozglobni ramovi punog preseka

1.

U ravni rama

•

za stub (α ≤ 150 )

Si = S1 4 + 1,6c , gde je c = 2J S2 / J0 S1

Za α > 150 dužine izvijanja treba uzeti kao za lukove •

za riglu

Si = S1 4 + 1,6c k

, gde je k = J0 N1 / J N2

(N1 i N2 su sile u stubu odnosno rigli) 2.

Upravno na ravan rama

•

Za stub – dužina izvijanja je od zgloba do gornje ivice rigle

•

Za riglu – dužine izvijanja jednake su razmacima pridržajnih tačaka

Za dvozglobne i trozglobne ramove sa vertikalnim stubovima i horizontalnim riglama (u ravni rama) K=J1l / J2 h

g) Kod drvenih kuća i sličnih konstrukcija – prema slici

EKSCENTRIČNI PRITISAK Kada je nosač opterećen aksijalnom pritiskujućom silom i momentom savijanja. Moment savijanja može nastati usled: a) Ekscentričnosti normalne sile N

c) Poprečnog opterećenja

b) Nesimetričnog slabljenja preseka

d) Početne krivine nosača

Proračun napona i deformacija

stv σc|||| =

stv

ω N / A + η maxMx / Wx ≤ σc||||d ||

τm|||| = T*Sx / Ix * b ≤ τm||||d ||

max f

≤ f dop = l/m

Ugib:

fM + fN

(η η = σc||||d σmd ) || /σ

Pretpostavka – oblik elastične linije je sinusoida (za opterećenje u obliku sinusa)

M ql 4 ql 2 l 2 f0 = 4 = 2 2 = max π EJ π π EJ N kr

Ako je:

onda je i:

∆f 0 =

MN N = max f N kr N kr max

Pa je: fO = β

max

M

N kr

max

f = f o + ∆f 0 = f o + max f

Odnosno:

β = 1 za poterećenje po sinusu 0,82 20% Nosač se računa kao okvirna konstrukcija ili se zanemaruje uticaj kosnika

d) Nosač sa sedlima i kosnicima l =l

NOSAČI SA SEDLIMA (JASTUCIMA) a) Nosači su prekinuti iznad oslonca

Ne uzima se u proračun uticaj sedla Nosač: M = 0,125 q l2 Sedlo: M = - 0,5 q a2

b) Nosači “idu” kontinualno preko oslonca

Nosač i sedlo “rade” zajedno => iste krivine => Ms Mn = (1) J s Es J n En

Jn = bhn3 /12

Iz (1) =>

Mb = Ms + Mn

Es = En = E

Js = bhs3 /12

Ms Mn = 3 (2) 3 hs hn

Visina nosača hn odreñuje se iz maksimalnog momenta u polju: potrWn

= maxM / σmd

(potrWn = b hn2 / 6)

Iz (2) => Visina sedla

hs = hn 3

Ms Mn

Nosač i sedlo povezuju se sa po dva zavrtnja

NOSAČI SA SEDLIMA I KOSNICIMA

- za l0 ≤ 1,20 l, nosač se dimenzioniše za srednju vrednost momenta M = q l2 / 10

- za l0 >1,20 l, ne uzimaju se u obzir sedlo i kosnik, već se nosač računa kao prosta greda raspona l0 odnosno l0'

Proračun sedla i kosnika - sila u kosniku: K = N / sin α - sila u sedlu: H = N / tg α Veza izmeñu kosnika i sedla ostvaruje se na zasek => kosnik i sedlo opterećeni su ekscentričnim pritiskom odnosno zatezanjem

Napon u kosniku: stv σc|| = ω N / A + η K*e / W ≤ σc||d (η = σc||d /σmd ) Napon u sedlu: stv σt|| = H / A + η (M – H*eH)/ W ≤ σt||d (η = σt||d /σmd ) Momenat M u tački B primaju dva zavrtnja u kojima se javljaju sile zatezanja N1 i N2. Iz uslova ravnoteže => M = N1a1 + N2 a2 (veličine a1 i a2 se unapred usvajaju) Pošto je i N1/N2 = a1 / a2 , to su sile u zavrtnjima:

N1 = a1 M / (a 12 + a22), odnosno N2 = a2 M / (a 12 + a22), Na osnovu sila u zavrtnjima usvajaju se odgovarajući zavrtnjevi i podložne pločice

ŠTAPOVI SLOŽENOG PRESEKA 1. PRITISNUTI ŠTAPOVI SLOŽENOG PRESEKA Štapovi koji se sastoje od dva ili više prostih preseka.

Kod idealno pravih štapova pritiskujića sila se prenosi samo preko elemenata složenog preseka. Kod realnih štapova usled početne krivine štapa, anizotropije drveta, mogućih grešaka u izvoñenju, ekscentričnosti i sl., javlja se pomeranje u vezama, odnosno, javljaju se sile u spojnim ravnima, koje se moraju uzeti u obzir. Usled pomeranja spojnih sredstava u spojnim ravnima se javljaju smičiće sile tf , koje se moraju primiti ogovarajućim spojnim sredstvima.

Pri proračunu izvijanja razlikujemo: a) izvijanje oko materijalne ose preseka b) izvijanje oko slobodne ose preseka

a) izvijanje oko materijalne ose preseka Proračun je u svemu isti kao za proste preseke

Za λx ⇒ odgovarajuće ω, pa je napon: stv σc|||| =

ω N / A ≤ σc||||d ||

b) izvijanje oko slobodne ose preseka Proračun je složeniji jer se u obzir mora uzeti pomerljivost spojnih sredstava, odnosno računski moment inercije prema izrazu:

n

n

J f = ∑ J i +γ ∑ A a i =1

i =1

2 i i

•

∑J

• Ai

- površina preseka pojedinih elemenata složenog preseka

• ai

- rastojanje težišta pojedinih preseka od težišta složenog preseka

f

- suma sopstvenih momenata inercije pojedinih elemenata složenog preseka

• γ = 1/(1+k) – koeficijent koji uzima u obzir popustljivost spojnih sredstava. Dat je u Tabeli koja je dobijena eksaperimentalno

Tabela E// - modul elastičnosti // vlaknima e , - prosečan razmak spojnih sredstava

α = 2,94d (d je prečnik eksera)

• Svi elementi preseka “idu” kontinualno dužinom štapa Maksimalna smičuća sila u spojnoj ravni (tf ): λf = li / if

if =

Jf A

Za λf ⇒ odgovarajuće ω

Prosečan razmak spojnih sredstava ( e , ) proverava se za najveću smičuću silu: e , = dopN /max tf Napon u štapu je:

stv σc|||| =

ω F / A ≤ σc||||d ||

• Štapovi složenog preseka sa mestimično rasporeñenim podmetačima (vezama)

Najmanji broj podmetača je 2 Maksimalni razmak podmetača ≤ li /3 Kod štapova sa podmetačima [ a), c),e)], treba da je a/h1 ≤ 3 Kod štapova sa poprečnim vezama [ b), d)], treba da je 3 ≤ a/h1 ≤ 6

Proračun: Računska vitkost:

a) za izvijanje oko slobodne ose (y – y) λf =

λ 2y + s

m 2 λ1 2

λy – vitkost štapa složenog preseka u odnosu na y-y osu kao da je kruto spojen s – koeficijent prema Tabeli: m – broj elemenata preseka koji idu celom dužinom štapa

λ1 – lokalna vitkost jednog elementa preseka λ1 = l1 / i1 ( l1 ≤ liy / 3, i1 =

J1 y A1

)

Za λf ⇒ odgovarajuće ω, stv σc|||| =

ω F / A ≤ σc||||d ||

b) Za izvijanje oko materijalne ose (x-x ) ⇒ u svemu kao za monolitni presek

Broj spojnih sredstava (n) za vezu podmetača odnosno poprečnih veza odreñuje se u odnosu na smičuću silu T n = T / N1 N1 – računska nosivost jednog spojnog sredstva Za dvodelne štapove: T = max Q l1/ 2a1 Za trodelne štapove: T = 0,25 max Q l1/ a1 Za četvorodelne štapove: T’ = 0,20 max Q l1/ a1 T’’ = 0,15 max Q l1/ a1

(maxQ – kao za kontinualnu vezu)

Dimenzije podmetača odnosno poprečnih veza (b/h) treba proveriti na momenat: Za dvodelne štapove: M = max Q l1/ 2 Za trodelne štapove: M = max Q l1/ 3 Za četvorodelne štapove: M = max Q l1/ 4

Napomene: • Na krajevima složenog preseka treba postaviti podmetače odnosno poprečne veze istih dimenzija i sa istim brojem spojnoh sredstava kao i po dužini štapa; • Za vezu podmetača treba usvojiti min. 4 eksera, odnosno 2 zavrtnja ili moždanika • Kod lepljenih podmetača, njihova dužina treba da je veća ili jednaka dvostrukom razmaku izmeñu podužnih elemenata složenog preseka.

Rešetkaste konstrukcije pritisnutih štapova (ispuna rešetke vezana ekserima) • izvijanje oko slobodne ose (x – x) Računska vitkost λf računa se kao kod štapova sa razmaknutim presecima:

λf =

λ 2y + s

m 2 λ1 2

Ali je za štap na slici a): 2 π 4 EA1 2 sλ1 = A1nc sin 2 β

a za štap na slici b):

4π 2 EA1 2 sλ1 = a1 sin 2 β

 1 sin 2 β  + n c npc  d

   

U ovim izrazima je: E – modul elestičnosti paralelno vlaknima, A1 – površina jednog elementa preseka, a1 – rastojanje jednog podužnog elementa od ose težišta složenog preseka n – ukupan broj eksera u vezi jedne dvodelne dijagonale sa uzdužnim elementom štapa, nd i np – ukupan broj eksera kojima je dijagonala odnosno vertikala vezana za uzdužni element štapa, β - ugao nagiba dijagonale prema pojasnom štapu, c – koeficijent pomerljivosti kao kod složenih kontinualnih preseka (c = 6000 α ) Proračun napona u svemu kao i ranije.

• izvijanje oko materijalne ose (y – y) ⇒ u svemu kao za monolitni presek Broj eksera za vezu dijagonale n = D / N1 D = max Q / sinβ ; N1 – nosivost jednog usvojenog ekesera max Q

– veličina transverzalne sile – u svemu kao kod složenih kontinualnih preseka

2. SAVIJENI NOSAČI SLOŽENOG PRESEKA Sastavljeni su iz dva ili više prostih preseka, koji su meñusobno spojeni različitim spojnim sredstvima. Pri proračunu se uzima u obzir pomerljivost u spojnoj ravni.

Nezavisne grede ⇒ w = bh2/3 Kruto spojene grede ⇒ w = 2bh2/3 a) Približan proračun: max σm = maxM / W’ ≤ σmd max f = ψ M / E ||*I’ ≤ f dop = l/m ϕ = 0,85 za dve grede W’= W ϕ I’ = I ϕ

ϕ = 0,70 za tri grede (za pravougaone preseke)

ϕ za I nosače

b) Tačniji proračun – horizontalne spojne ravni Svi elementi preseka “idu” kontinualno celom dužinom nosača, a spojna sredstva su ravnomerno rasporeñena.

Normalni naponi:

(a1 = ho/2)

Računski moment inercije

J

f

=

n

∑

i =1

J i +γ

γ = 1/(1+k) – koeficijent koji uzima u obzir popustljivost spojnih sredstava. π 2 EA 1 e , Tabela (slajd 15) k = l 2c Za vezu ekserima ⇒ bruto presek ≅ neto presek, pa je

n

∑

i =1

A i a i2

J1 = J1n , Jr = Jrn , A1 = A1n

Napon smicanja u neutralnoj osi: S1 – statički moment bruto površine flanše za osu x – x Sr – statički moment bruto površine rebra za osu x – x Usvojeni razmak spojnih sredstava (eksera) e odreñuje se u odnosu na silu smicanja po jedinici dužine flanše: e = N1 / T1 N1 – nosivost jednog usvojenog eksera

T1 = maxT γ S1 / Jf

(S1 = A1t / 2) – statički moment površine flanše u odnosu na spojnu ravan

Ugib: Od momenta

fM= ψ maxM / E || Jf Od T sile

fT =

maxM

max f

/ G AR

= fM + fT ≤ f dop = l / m

b) Tačniji proračun – vertikalne spojne ravni

Normalni naponi:

Napon smicanja u neutralnoj osi:

Razmak spojnih sredstava (eksera) i proračun ugiba, u svemu kao za I nosače sa horizontalnim spojnim ravnima

KOVANI NOSAČI SA TANKIM REBROM Pojasevi (flanše) ovih nosača izrañuju se od gredica ili dasaka i mogu biti iz jednog, dva ili više preseka (sl. b, a, c ). Flanša se može ojačati i horizontalnim lamelama. Rebra se rade od ukrštenih dasaka ili šperploča. Daske rebra se mogu ukrštati naizmenično pod 90o (sl. e ) ili jednostrano pod uglom od 30o do 45o (sl. d )

Duž raspona treba postaviti vertikalna ukrućenja na razmaku koji je ≅ visini nosača (sl. f ).

Za nosače konstantne visine, sa paralelnim pojasevima kod kojih je h ≤ h / 7 provera napona može se ograničiti na proveru težišnih napona σc|| i σt||, uz zanemarivanje sopstvenog momenta inercije pojaseva ( Jf ≅ 2γ A1 (h/2)2 ). (U ostalim slučajevima treba proveriti i ivične napone σm).

Sila smicanja po jedinici dužine nosača:

Razmak spojnih sredstava, kontrola smičućih napona i ugiba u svemu kao i ranije.