[Mcgraw-hill] Resistencia de Materiales - Luis Ortiz Berrocal

RESISTENCIA

MATERIALES LUIS ORTIZ BERROCAI, Catedrático de Elasticidad y Resistencia de blateriairs Escuela Tecnica Superior de Ingenieros Industriales Universidad Politécnica de Madrid

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M A D R I D BUENOS AIRES C A R A C A S G U A T E M A L A L I S B O A . MEXICO N U E V A Y O R K SAO PAULO PANAMA SAN JUAN SANTAFE DE BOGOTA SANTIAGO LONDRES MlLAN MONTREAL NUEVA DELHI AUCKLAND HAMBURGO ST. LOUlS TUti, en su.5 múltiples aspectos. Etí los dos primeros de éstos se e.upone la teoria general haciendo en uno de ellos un málisis del estado tensional que se crea en el prisma nlecánico cuando se le somete a fle-uión pura o jle.~ión rimple. J. en el orro, el estudio de las rleforn7ucioiie.s prociucidas por la mismu cuusa. La jlexion según dos direcciones, esto es, los casos de fle'ción desciada, así con10 cuundo ésta va acompañada de compresión o tracción (jlexión conipuesra), son tratadas en el Cupitirlo 6. Se derlicri orro capiritlo a e.uponer un nié!odo general para el cúlculo de sistetnas hiperestaticos: el nlétodo de los fuerzas, aconsejable para resolcer problemus de pequeña dificulrad ya que problemas mas complejos, como pueden ser los cálculos de las estructuras de eddicios, caen dentro del campo de otra disciplina: /a crteoria de las estructuras)). El itnporrante tenia del pandeo es tratado en el Capítulo 8. en el que hay que abandonar una de las hipótesis firndamenrales admitidas en Resistencia de ;Materiales cual es la de pequeñez de las deformaciones. Con la exposicióti de la teoria de la torsión en el Capirulo 9 se completa el esiudio indivitiuolCado de cada una de las formas de trabajar del prisma mecanico. Se expone la reoria de 1u torsión de Saint- Venant desde el punto de vista de la reoria de la Elasticidad. Finalmente. Un úlritno capitulo se dedica al estudio de los estados tensional y de defortnaciones cirando la .solicitación que actúa sobre el pristt~amecánico es arbitraria. Era necesario ucnbor lu obra con un tenia que nos hiciera ver la generalidad de aplicación de las teorías de la Resisrencia de hfateriales a todo tipo de piezas. El esiudio itidividualizado de los efectos hecho unteriortnente L. la consideración reiterada de piezas rectas podria llecar erróneamente a la creencia que lo e.rpitesto sólo es aplicable a este tipo de piezus. Sin enlbargo, hay qite hacer la obsercación que todo lo aqui e.upuesto no es sino una mera introducción a lo qire hoy se considera como el cuerpo de doctrina propio de la Resisrencia de Materiales, cuya evolirción histórica en los últimos cinczrenta años ha sido verdaderamente notable. Acruu/mente entran dentro del campo de nuestra disciplina temas tales como los referentes a la fatiga y la teoría de la Plasticidad. Se han incorporado otros, como puede ser la teoria de placas y enr~olventrs,que rradicior~almenteeran rrarados en Elasticidad. Y es de esperar en un futuro muy próximo la incorporación a la Resistencia de r materiales de algunos remas de la reoria no !Niea1 de los sistemas elasricos. Pero éstos ,v algunos otros temas pueden ser el objero de otra obra si el favor de los lectores a ésta así lo aconsejara. Para un estudiante de ingenieria, cualquiera que sea su especialidad, no basta la siniple con1prensión de la teoria, ya que de nada le vale si nU sabe aplicarla. Por ello, al final de cada capitulo se han resuelto quince problemas, nii.wero más gire razonable si se tiene en cuenta que es éste un libro en el que se exponen las teorías fundamentales de la Resistencia de Materiales y ní, un libro de !7roblemas. Se recomienda que el lector proceda a la resolución de ellos sin mirar la solución dada en e1 texto, y solamente después de haber ¡legado a sus resulta+s cotnpruebe si son ks_rloscorrectos y contraste Ia bondad del método que haya podido seguir para resoiverlos. En toda la obra se ha procurado utilizar el Sistenza Internacional de Unidades, aunque en Resistencia de Mate;ia!es no sería aconsejable actualniente dejar d2 considerar unidades drrivados iotlio son p c q r e z m !ES ? P . ~ ~ o ~ Pn P S kp,lcrn2 . por la utilización =.%tendidaque se hace de estas unidades en las tablas de los catálogos técnicos.

is

Se ha oprado por usar la notacibn kp paru denotar la unidad defuer:~,kilogranio-jirer:~ o kilopondio, y distinguirlo así de kilogranlo-niasa, tratatzdo2e evitar la posible confirsión en que pueden caer los que tzo nianejan con la debida soltura los sisteinas de unidades. Debo de agradecer a los profesores A . Ros J, V. ZrrhCarrera, colaboradores en las tarecl.7 del departatnento, por 10s atinadas ohservacioties que han hecho a la lectura de los originaler. No quiero acabar esta breve presentación sin pedir benevolencia al.lictor por los posibles fallos y erratas que pirdiera tener esta niodesra obra, que esto,v seguro tendrá, a pesar del e.+íer:o hecho para evirílrlas. Y , finaltnente, desear qire esto obra seu & interés a los que decidieron /iclcer de /o ingenieria su profesión.

Luis ORTIZ B E R R O C A L Madrid, mayo de 1990

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Contenido

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Presentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Notaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Capítulo 1. lntroduccion al estudio de la resistencia de materiales 1.1. Obieto v finalidad de-la Resistencia de Materiales 1.2. Concepto de sólido elástico.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Modelo teórico de sólido utilizado en Resistencia de Materiales. Prisma me. . cantco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Equilibrio estático y equilibrio elástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Estado tensional d e un prisma mecánico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Estado de deformación de un prisma mecánico.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Principios generales de la Resistencia de Materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Relaciones entre los estados tensional y de deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9. Esfuerzos normal y cortante y momentos de ilexión y de torsión: sus relaciones con las componentes de la matriz de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10. Tipos de solicitaciones exteriores sobre un prisma mecánico . . . . . . . . . . . . . . 1.1 1. Reacciones de las ligaduras. Tipos de apoyos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12. Sistemas isostáticos e hiperestáticos .................................... 1.13. Noción de coeficiente de seguridad. Tensión admisible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.14. Criterios de resistencia. Tensión equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.15. Teoría del potencial interno. Teoremas energéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eiercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

,

Capítulo 2. Tracción y compresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esfuerzo normal y estado tensional de un prisma mecánico sometido a tracción o compresión monoaxial ......................................... 2.2. Estado de deformaciones por tracción o compresión monoaxial . . . . . . . . . . . 2.3. Tensiones y deformaciones producidas en un prisma recto por su propio peso. Concepto de sólido de igual resis:encia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.

vii

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Expresión del potencial interno de un prisma mecánico somerido a tracción ., o iompresinn rnonoaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5. Tracci011 o c3mpresihn mocoaxial hiperestáticr? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Tracción o cr?rnpresiór: n o n ~ a x i a !producida por vari:icior.es tirrnicas o dciectos de moctrijc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Equilibrio d i hilos y cables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . 3.8. Arcos tuniculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Tracción o curnpresihn biaxiai. tnvnlventes de revol¿ición de pequeño espesor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ., . . 7.10. Traccion o ccmpresion triaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

-

Capítulo 3.

Cortadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

l . Cortadura pura. Teoría elemental de la cortadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., 3.2. Tension cortante pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3. Deformaciones producidas por cortadura pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Cálculo de uniones remachadas y atornilladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Cálculo de uniones soidadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?

7

7

('apits-lo -l.'l'eoria general de la fleuion. Análisis de tensiones

4.l .

..

Intrnduccioii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

, -. t._. Flcxion pura. Ley de Naiiier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

-+ . Fiesión simpie. Convenio de signos para esfuerzos cortantes y monieiltos Ílec-

Deformaciones por esfuerzos cortantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Método de Mohr para el cálculo de deforniaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Método de multiplicaci o, y representamos en unos ejes coordenados planos, lievando en abscisas la tensión normal y en ordenadas la tensión tangencial, el punto M, representativo de la tensión de cualquiera de los planos de la radiación, pertenece al área sombreada en la Figura 1.10.

Figura 1.10.

,

I

?

Las tres circunferencias de c ~ n t r o sen el eje de abscisas y de diámetros 03 Y O , - o2 reciben el nombre de círculos de Mohr.

-

siendo:

O,

- a,,

l

Un detenido estudio de todo lo que se expone en este epígrafe se puede ver en el Capitulo 3 de la obra Elusticrdad, del autor.

P 7 14

RESISTENCIA DF MATERIALES

INTRODL'CCION AL ESTUDIO DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES

La ecuación (1.6-2) nos indica que el vector (17 que tiene por origen un punto P del sólido elástico y por extremo otro punto Q de su entorno antes de la deformación, se convierte. después de producida ista. en otro vecTor $7, que se puede obtener a partir de a q u e l mediante ios siggientes pasos (Fig. i.!?):

:

Las direccior -5 principales se obtienen resolviendo los sisterrias de ecuaciones

/

en los que

E

toma los valores

El,

-

El, E,, raices de la ecuación caracteristica

P'

Figura 1.12.

L&a traslacikdefinida por el vector corrimiento 6, del punto P mediante la cual PQ pasa a PQ, 2." -aUn oiro determinado por la rnarriz hemisimitrica [ H ] por el que pasa a YQ,. 3 " Una dilatación definda por la matriz simétrica [ D I . mediante !a cual PQ, pasa finalmente a la posición P ' Q ' .

;

Fijado el punto P, los dos primeros pasos -traslación y giro- son comunes para todos los puntos del entorno de P, por !o que no tienen influencia en la deformación propiamente dicha, ya que no se produce variación relativa alguna de las distancias entre las particulas del sólido elástico. Es por ello que la deformación viene dada por la transformación [DI ú? y de ahí que la matriz [DI se denomine murriz de deforn~acion. Esta matriz se suele poner de la siguiente forma:

;

l."

'

-

i i

Las raices de esta ecuación. que no son otra cosa que los valores propios de la matriz de deformación [ D I , reciben el nombre de clefornzaciones principnles. Son los alargamientos longitudinales unitarios Correspondientes a las direcciones principales. En un punto P interior al sólido elástico, se define el vector deforniiición unitaria en la dirección determinada por A7, como el limite

i Í

i; 1

E

=

lim

--

A7

ú?

= [DI - = [ D ] [ Ü ]

l a

Sus términos tienen un fácil significado. Los situados en la diagonal principal, E,, E,, E=, indican los alargamientos unitarios en las direcciones de los ejes coordenados respectivos, mientras que los términos rectangulares, y,, y,, y,, representan las variaciones angulares experimentadas por ángulos inicialmente rectos de lados paralelos a los ejes coodenados x, J ; .Y, 2, e y, respectivamente. A1 ser simétrica la matriz de deformación se deduce la existencia de tres dtr:cciones ortogonales entre si, llaniadas direcciones principales, tales que el vector dado por la transformación [DI d7 no cambia de dirección, sino solamente de móaulo.

(1.6-S)

siendo ü el vector unitario en la dirección de &. Las proyecciones del vector E sobre la dirección definida por ü y sobre el plano 1 perpendicular a dicha dirección son sus componentes in~rínsecasE , y - y, (Fig. 1.13).

2

:.

13

A

16

!

RESISTENCIA DE MATERIALES

1

E,

es la de/ormacióll lorlgi/udinal uniruriu, y - y, representa la .'cformación trunsversal

2

unitaria, ambas correspondientes a la dirección definida por Ü. El lugar geométrico de los extremos de los vectores deformación unitaria para las infinitas direcciones que pasan por el punto P es un elipsoide llamado elipsoide (/e dejormaciorres. Su ecuación. referida a un sistema cartesiano ortogonal de ejes coincidentes con las direcciones principales en P, es

i 1

i

; i

INTRODUCCION AL ESTUDIO DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES

17

Estas hipótesis y otras que en el momento oportuno se establecerán al estudiar el comportamiento de los materiales ante determinado tipo de solicitación, son insuficientes. Es necesario aceptar algunos postulados que tengan carácter general y sirvan de base para la solución de la mayoría de los problemas que se nos puedan pressntar. En Resistencia de materiales existen tres principios generales: el principio de rigidez relativa de los sistemas elásticos, el principio de superposición de efsctos y el principio de Saint-Venant. En este capítulo introductorio es obligado exponer - q u e no demostrar. pues como tales principios carecen de den-iostración- es!os principios generales que vamos a utilizar en todo el desarrollo de la disciplina.

_----

siendo E , , e,, E, los valores de los alargamientos principales. En virtud de la analogia existente entre las expresiones de los vectores tensión a y deformación unitaria E. según hemos visto, se podrán representar gráficamente en un plano las componentes intrinsecas

E,,

y

-1

;., de este último, análogamente a como se ha

expuesto para Z en el epigrafe anterior. Suponiendo E , >, E? >, E , , si representamos en unos ejes coordenados planos llevando en abscisas los valores de la deformación longitudinal unitaria y en ordenadas los correspondientes de la deformación transversal unitaria, el punto M, cuyas coordenadas son estas componentes intrinsecas del vector deformación unitaria, pertenece al área sombread a en la Figura 1.14, para las infinitas direcciones que parten del punto P.

Principio de rigidez relativa de los sisiemas elásticos Segun este principio, se admite que al aplicar el sistema exterior de fuerzas. la forma del solido no varia de forma significativa. Por ello, se expresan las condiciones de equilibrio como si el sólido deformado tuviera la misma forma y dimensiones que antes de producirse la deformación. Asi, por ejemplo, si se ap'lica una carga P en la articulacion O del sistema formado por las dos barras 0,4 y OB de la Figura l . 15-u, el sistema se deforma en la forma indicada por puntos en la misma figura.

Figura 1.15.

Si no existiera el principio d e rigidez relativa de los sistemas elásticos, las ecuaciones de d equilibrio del nudo O serían (Fig. 1.15-b):

N, sen (B - AB) = N,sen (a - A r ) N,cos (a - Aa) + N, cos í B - Ap) El

Las tres circunferencias, de centros en el eje de abscisas y de diámetros E 3 . E ] - E,, reciben el nombre de circulos de Molir de deformaciones.

E,

- E,,

-

1.7.

Principios generales de la Resistencia de Materiales

Se ha dicho anteriormente u:.e la Resistencia de Materiales introduce hipótesis simplificativas e incluso ya se han establecido algunas cuando hemos wpuesto que el material de los sólidos elásticos posee las propiedades de homogeneidad, continuidad e isotropía.

=

P

(1.7-1)

Pero la resolución de este sistema de ecuaciones presenta dificultades, ya que las deformaciones del sistema son desconocidas hasta tanto se determinen los esfüarzos N,y N, en las barras. El principio de rigidez, dada la pequeñez de las deformaciones, permite suponer el sistema indeformado (Fig. 1.15-c), por lo que las ecuaciones de equilibrio del nudo serán.

N, sen /l = N, sen a + N, cos j3

N,cos a

=

P

i 18

RESISTENCIA D E MATERIALES

I N T R O D U C C I O N AL E S T U D I O D E L.4 RESISTENCIA D E M A T E R I A L E S

sistema de ecuaciones que permite obtener, sin más, los valores de los esfuerzos en las barras sin necesidad de tener en cuenta las deformaciones. Este principio no será aplicable cuando las condiciones de equilibrio en las posiciones deformada y sin deformar sean sustancialmente distintas. como ocurre, por ejemplo. en 10s casos indicados en la Figura 1.16, en los que las magnitudes que se consideren dependen de la nueva geometria del sistema.

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general, que puede ser compleja, en casos stxcillos que resultan haciendo actuar por separado las diversas fuerzas o acciones de cualquier tipo, como pueden ser variaciones tErmicaso asientos de los apoyos de una estructura, etc. A pesar de que el principio de superposición es de aplicación generalizada a 10s sistemas elásticos, tiene sus limitaciones. Asi, no será válido en los casos en los que no Sea aplicable el principio de rigidez que hemos visto anteriormente. Ni en los casos en 10s que los efectos de las fuerzas no sean independientes de las deformaciones como ocurre en la viga recta AB indicada en la Figura 1.1 7, sometida a una fuerza de F y a una carga P aplicada en la sección media de-AB.

Figura 1.16.

En el primer caso (Fig. 1.16-a), el momento, por ejemplo, en una sección de abscisa seria nulo si fuera cierto e1 principio. Por el contrario, su valor depende del desplazamiento experimentado por la sección de la viga. El caso iridicadó en la Figura 1.16-b es el ejemplo tipico que se suele poner de sistema en el que. siendo sus elementos elásticos, existe una dependencia no lineal entre desplazamientos y las fuerzas exteriores aplicadas. La consideración de la nueva configuración geométrica del sistema es esencial en la formulación del problema. Por tanto, no será aplicable el principio. Es de hacer notar, sin embargo, que el principio de rigidez puede ser aplicable a sistemas de material que no siga la ley de Hooke, es decir, en los que exista una relación de dependencia no lineal entre desplazamientos y fuerzas exteriores, siempre que la variación de forma experimentada por el sistema no sea significativa.

Principio de superposición de efectos Es a?licable a los sistemas en que son lineales las relaciones entre fueizas exteriores y desplazamientos y en los que las líneas de acción d e las fuerzas no quedan modificadas de d o r m a significativa por los desplazamientos. Expresa que el estado de equilibrio debido a varias acciones exteriores es igual a lz superposicinn de las soluciones que corresponden a cada uno de los estados si cada acción exterior actuara independientemente, o dicho de otra forma, los desplazamientos y las tensiones en un punto de un sólido elástico sometido a varias fuerzas exteriores directamente aplicadas son, respectivamente, la suma de los desplazamientos y las tensiones que se producen en dicho punto por cada fuerza actuando aisladamente. Una consecuencia inmediata que se deduce del citado principio es que el estado final del cuerpo no depende del orden en que se apliquen las fuerzas. Hemos indicado que este principio es válida su aplicación a sistemas en los que son lineales las relaciones entre fuerzas exteriores y desplazamientos, o, lo que es lo mismo, las tensiones son proporcionales a las deformaciones, es decir, sistemas en los que se verifica la ley de HooKe. Este principio es de gran utilidad ,dado que permite dividir el caso de una solicitación

Figura 1.17.

Es evidente que si se aplican simultáneamente F y P, la deformación de la línea media de la viga es diferente si se aplica P por una parte y F por otra, separadamente, ya que la fuerza F (sin sobrepasar un determinado valor critico, como veremos más adelante) no produce, actuando sola, desplazamiento alguno en la dirección del eje y. Por el contrario, si actúan simultáneamente, el momento producido por F aumenta la deformación producida por P. Tampoco se verificará en el s i s t e m ~indicado en la Figura 1.16-b, ya qlle n o se vzrifica una relación lineal entre la fuerza P y el desplazamiento 6. Principio de Saint-Venant Este principio establece que a partir de una distancia suficiente de !os puntos de la superficie de un sólido elástico en los que está aplicado un determinado sistema de fuerzas, las tensiones y deformaciones son prácticamente iguales para todos los sistemas d e fuerzas que sean estáticamente equivalentes al dado. Fácilmente se comprende que en el caso d e cargas puntuales, para evitar que en los puntos de localización de esas ca,gas la tensión tome valor infinito, será preciso suponer una dktribución uniforme tal que sea estáticamente equivalente a la real, esto es, que respecto de cualquier punto los siste,xas real y supuesto tengan la misma resultante y el mismo momento resultante. El reparto de tensiones en las proximidades d e los puntos de aplicación de las fuerzas es evidente que no son iguales en ambos casos.

L 20

INTRODUCCION AL ESTUDIO DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES

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RESISTENCIA DE MATERIALES

La probeta, debido al esfuerzo, se alarga. Llamemos e al alargamiento unitario en el sentido longitudinal. Aumentando progresivamente el valor de F y llevando los valores de U y E a un gráfico cuyo eje de ordenadas mida tensiones (o) y el de abscisas deformaciones unitarias (E), se obtiene para el acero dulce el diagratnu tensión-deformación indicado en la Figura 1.18-0.

Con cualquier esquema de cálculo que podamos considerar, podemos representar un sinfin de disposiciones constructivas equivalentes. El principio de 5ain;- Venanr nos dice que en todas ]a distribución de tensiones y deformaciones es la misma, a distancia suficiente de los puntos de aplicación de las fuerzas exteriores. En vigas normales esta distancia suficiente suele ser del orden de las dimensiones de la sección transversal. Aunque este principio es aplicable a la mayoría de los sistemas que nos psdamos encontrar en la práctica, no tendrá sentido referirnos a él cuando se trate de calcular las tensiones en la zona próxima a la aplicación de las fuerzas. En tal caso tendremos que recurrir a la teoría de la Elasticidad y el grado de exactitud con que la solución del problema elástica nos dé la distribución de tensiones en esa zona dependerá del grado de coincidencia de la distribución real de las fuerzas aplicadas al sólido elástico con la distribución supuesta en las condiciones de contorno.

1.8. Relaciones entre los estados tensional y de deformaciones* 1

En dos epígrafes anteriores hemos expuesto las principales particularidades que presentan 10s estados tensional y de deformación creados en el interior de un sólido elástico. El tratamiento de ambas cuestiones ha sido totalmente independiente. Sin embargo, dado que deformación y tensión son causa y efecto, es de esperar que las matrices de tensiones y de deformación estén relacionadas entre si. Fijada la solicitación exterior es evidente que la deformación que se origina y, en consecuencia, la tensión creada en el sólido elástico, dependen de las fuerzas de átracción molecular, es decir, de la estructura intzrna del material. Se deduce, por tanto, que para obtener la relación entre tensiones y deformaciones tendremos que proceder necesariamente por vía experimental mediante ensayos realizados en el laboratorio, en donde se comprueba, en efecto, que para dos piezas de distintos materiales, de iguales dimensiones y sometidas al mismo estado de cargas, las deformaciones son distintas. Quizá el ensayo más simple que se pueda hacer sea el de tracción. Se realiza este ensayo sometiendo una pieza de dimensiones normalizadas llamada probeta a un esfuerzo de tracción que se aumenta gradualmente' hasta la rotura. En la probeta se realizan previamente dos marcas, que determinan una locgitud denominada a'istancia entre puntos, sobre las que se efectúa, por medio de un extensómetro, la medida de los alargamientos. Consideremos una probeta de sección R a 1- que aplicamos en sus extremos una fuerza F en dirección axial. Esta fuerza causa er el interior del material un estado de tensiones que supondremos uniforme para cualquier sección recta. La tensión normal o está relacionaa con la fuerza F mediante la ecuación

Un detenido estudio de todo lo que se expone en este epígrafe se puede ver en el Capítulo 4 de la obra Elasricidad. del autor.

(4 Figura 1.18.

Al ir aumentando el valor de la tensión desde O hasta o,, existe proporcionalidad con las deformaciones unitarias. La gráfica es recta y el punto p correspondiente recibe el nombre de Iínlife de proporcionalidad. Para el acero es o, = 2000 kp/cm2, aproximadamente. Sobrepasando este valor, se entra en la zona de elasticidad no proporcional. La gráfica es curva, siendo nulas las deformaciones permanentes hasta e1 punto e llamado límite de eiasricidad, que separa el período elástico del período elástico-plástico. En la zona elásticc-plástica, en el caso de cesar la fuerza, se observarían deformaciones permanentes, lo que imposibilita que el material v u a a a recuperar las condiciones iniciales. L!:grido a este p a t o , se pueden observar unas líneas que forman 45" con el eje de la probeta llamadas líneas de Lüders, y que son producidas por las tensiones tangenciales cuyos valores máximos, según veremos en el Capítulo 2, corresponden a esas direcciones y originan un desplazamiento relativo de las redes cristalinas de moléculas del material. Hasta un puntof, que se llama lítnite defluencia los alargamientos son pequeños, pero al llegar a él aumentan considerablemente sin necesidad de aumentar la fuerza F. Para cierto tipo de materiales la fuerza disminuye hasta un valor determinado por el punto f,, denominado tímire inferior de fluencia (en este caso f, se llama límite superior defluencia). Se advierte que el alargamiento de la probeta a partir del momento que comienza a fiuir es un gran número de veces mayor que el producido antes d e fluir. Cuando el valor de la tensión alcanza cierto valor, la sección de una parte de la probeta comienza a disminuir.

22

RES1STEhCI.A DE MATERIALES

Este fenómeno se conoce como estricción. Las tensiones permanecen constantes produciéndose un notable alargamiento a partir del momento en que el material empieza a fluir. A partir de este alargamiento a tensión constante es preciso aumentar la fuerza de tracción sobre la probeta hasta un valor g,,,. Esto se debe a la propiedad del material. conocida como endurecitnie!lto por defirmación. Después, la tensión disminuye. el aiargamiento aumenta hasta producirse la rotura para un valor a, de la tensión. Para el acero dulce la tensión de rotura vale de 4000 a 5000 kp/cm2. Cuando hemos hablado de que se ha alcanzado un valor determinado de la rensiór,. se ha calculado 2sta dividiendo la fuerza F ejercida por la sección inicial que tenia la probeta. pero esta sección tia ido disminuyendo. lo que hace que el valor indicado en la gráfica sea un valor erróneo por defecto que irá aumentando con las deformaciones. Esto hace que la grifica obtenida sea falsa; sin embargo, es la que se utiliza en la práctica dado lo laborioso que seria tener en cuenta continuamente en el valor de la tensión las variaciones de la sección. La determinación del limite de elasticidad es, en general, bastante difícil, por lo que en la práctica se toma este limite el punto f, que se llama entonces lítnile oparenre de rlasricidad. La rotura se produce en una sección media de la garganta o huso que se forma como consecuencia de la estricción. Esta :argahta forma una superficie cónica, cuyo semiangulo tiene un valor aproximado de 45'. lo que nos indica que son las tensiones cortantes Iris principales causantes de la rotura de los materiales ductiles. Por el contrario, el comportamiento de los materiales frigiles, como la fundición. el vidrio o la porce!ana, es distinto. La rotura se produce sin que se manifieste el fenómeno de estricción, en una sección perpendicular al eje de la probeta, lo que nos indica que son las tensiones normales las causantes de la rotura de los materiales frlgiles. Una observación es necesario hacer respecto a las diferentes características de fluencia que presentan los materiales dúctiles, como son el acero de construcción y el aluminio. En el caso del acero, como hemos visto, en el periodo de fl,uencia se presenta alargamiento a tensión constante y el fenómeno de endurecimiento por deformación (Fig. 1.18-a). En el caso del aluminio (Fig. 1.18-b) y de otros muchos materiales dúctiles no existe el aumento de la deformación a tensión constante, sino que es creciente hasta un valor ami, en el que comienza la estricción y aumenta el alargamiento a la par que disminuye la tensión hasta que se produce la rotura. En este caso, se define el limite elástico a un tanto por ciento del alargamiento. En la Figura 1.19 se indica la forma como se determina el límite elástico en un material dúctil de las características indicadas cuando el alargamiento longitudinal unitario de la probeta es del 0.2 por 100.

I N T R O D U C C I O N AL ESTUDIO D E LA RESISTENCIA DE MATERIALES

23

Por el punto del eje de abscisas correspondiente a E = 0.2 por 100 se traza una recta paralela a la parte del diagrama tensión-deformación. La ordenada del punto A ¿L intersección de esta recta con la curva nos da e! valor del limite elástico a,. Se observa una zona de elasticidad proporcional en la que la relación tensión-deformación será lineal, es decir, su ecuación analítica tendrá la forma

i: i

i

I

siendo E una constante llamada módldo de rlasricidud lotlgiru~titialo niócfuio de Yoiing. Esta expresión constituye la ley de Hooke: en la zona elástica de los materiales, las tensiones son proporcionales a los._a4argamientos unitarios. El módulo de elasticidad E. que según la ecuación (1.8-2) tiene las diniensiones de una tensión ([F][L]-2), es diferente para cada material. En la Tabla 1 . 1 figura su valor para algunos materiales de uso frecuente. ~ a b l ' a1.1.

Valores del módulo de elasticidad E klaterial

Acero (0.15-0.309 4 C) Acero (3-3.5 Ni) Fundicibn gris Hormicbn ( 1 . 2 : 3.5) Mad5ra pino kladsrli de roble Aluniinio. lundición (99 46 Ai) Laton (60 % Cu; 30 9'0 Z n ) Bronce (90 '/O Cu; 10 % Sn) Cobre

1

1 f

1i

E Lp/crn2

12.1 12.1

x lo6 x lo6

11.35 r 10' 1 7 6 x 105

1

1 . 2 7 x 10: 1.12 x 10' 0.7 x lo6 0.9 x 10' 0.8 x 106 0.9 x lo6 '

En el mismo ensayo a tracción se observa que simultáneamente al alargamiento de la probeta se produce un acortamiento de las dimensiones de la seccion transversal. Para una pieza de sección rectangular (Fig. 1.20), las deformaciones transversales unitarias se rigen por las expresiones

en donde p es el llamado coeficiente de Poisson, que es constante paia cada material. Su valor para materiales isótrspos es aproximadamente igual a 0.25. Par? el iicer9 dglcc 5r. deformaciones elásticas se suele tomar el valor p = 0.3. Los valores correspondientes para el aluminio y cobre que se deforman elásticamente son ligeramente superiores.

Figura 1.20.

21

INTRODUCCION A L ESTUDIO DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES

RESISTENCIA DE MATERIALES

Las ecuaciones (1.8-2) y (1.8-3) nos relacionan los elementos de la matriz de tensiones a, = a, = 0. con la de deformaciones en un caso muy simple, en el que a , = a;, Si consideramos ahora un estado elástico tridimensional. se demuestra que las direcciones principales de ambas matrices son coincidentes. Admitido el principio de superposición, las relaciones entre las deformaciones y tensiones principales serán:

Si el sistema de ejes coordenados no coincide con las direcciones principales, las y de deformación [DI son: relaciones entre las componentes de la matriz de tensiones

!

:

25

1.9. Esfuerzos normal y cortante y momentos de flexión y de torsión: sus relaciones con las componentes de la ..iatriz de tensiones Consideremos un prisma mecánico que suponemos en equilibrio estático bajo la acción de un sistema de fuerzas Fi(i = 1, 2, .., 7, en la Figura 1.21), que representa la acción exterior y emplearemos el método de las secciones para analizar el equilibrio elistico en una sección mn.

;

[u

! F6

Figura 1.21.

F7

Estas relaciones constituyen las leyes de Hooke generalizadas. G recibe el nombre de tnódulo de elasticidad transversal. Su expresión en función de E y de '<

G

E

(1.8-6)

= -

7(1

+ ' u,). las tensiones equivalentes, según los diversos criterios, son las siguientes: 01

1 . Criterio ríe ((1 trtisidn prit~cipal rnu.ritnu o de R u t ~ k i t ~Segun ( ~ . este criterio, para > O Y IGII > IO3I

es decir, si la mayor tensión principal es de tracción y además ésta es la de mayor valor absoluto, el campo elaqtico del material en el entorno del punto que se considerú está liniitadu por ella. En la práctica. cuaiido la3[> a , , el cálculo de la resistencia por este criterio se hace imponiendo las siguientes condiciones simultáneas: O,

G oPi ; Iojl

Iffecl

siendo a,, y a, los limites elásticos a tracción y a compresión, respectivamente.

* Vtase el capitulo 1 1 de la obra Elrciona una sola ecuación de equilibrio

126

RESlSTENClA D E MATERIALES

Por tanto. el dispositivo considerado es un sistema hiperestitico de primer grado. La ecuacibn necesaria para la determinación de 10s esfuerzos normales. mientras las dc.ormaciones sean elásticas, la podemos obtener expresando la iguafdad de alar,oamientos del ckible de acero y del tubo de duraluminio

Las ecuaciones que nos dan ahora los valores de !VI y I V ~son:

que serán válidas mientras se verifiquen las dos condiciones siguienres: o ) quc la tensión en el tubo sea menor que el limite elistico del dur:iIumiiilo Esta ecuación, junto con la de equilibrio, cocstituye un sistema dz dos ecuaciones con dos incógnitas. cuyas soluciones son:

6) que el alargamiento del cable esté comprendido en e1 escalón de plasticidad del 3CSTO.

De la primera condición se deduce:

A partir de los esfilerzos normales, la determinación de la tensión a, en el cable de acero y o, en el tubo de duraluminio es inmediata

Cuando P = Y500 k p el tubo alcanza su limite elástico (punto '1 en e1 dirigrarn,~ de tracción del duraluminio). En cuanto a la segunda condición, calculemos el alaroamiento unitario del cable

Sustituyendo \,alares, se tiene:

u,, =

P x 100 x 0.8 x lo6 0.8P -50 x 2 x lo6 x 1 100 x 0.8 x lo6 x 2 2.6

+

Para que se cumpla la hipótesis de deformaciones elásticas, se tendri que verificar:

es decir, las dos partes del dispositivo trabajan en regimen elisticc micntras la carga P se mantiene inferior a 6500 kp. Cuando P alcanza este valor, los esfuerzos N, y N, valen

que como vemos, al observar el diagrama de tracción del acero. se encuentra dentro de1 esca!ón de plasticidad (punto a , en la Figura 11.9-c).

k:-/ /

O

a,

/ 1 1a I

I

II I 1

i

A

0.125

6

372j

E

10- 2

Por tanto, las curvas N - P que expresan la variación de los esfuerzos en e! cable y en el tubo en función de P serán, en el proceso de carga, las indicadas en la Figura 11.9-4 es decir, segmentos rectilineos: y para el acero; m, y para el duraluminio. 2." Si la carga P se disminuye lenta y progresivamente a partir del valor de 8500 kp. la descarga del acero se realiza siguiendo el segmento rectilíneo G z . : p a r a l e l o a G (Figura 11.9-c).

m,

EII este instante el acero inicia la fluc,icia. manteniéndose hr, constante cciaridn P aunlenta.

Figura 11.9-c.

m

TRACCION Y COMPRESION

129

expresiones válidas mientras N, sea un valor positivo, ya que el cable no puede estar sometido a compresión, es decir, para valores de P menores de 8 5 0 0 k p y que verifiquen la inrcuacion: Plz P>-

ELRz Al,

=

-

E2QzAlo > O

0.8 x lo6

x

2

0.0625

=

2000 kp

50

'1

Para valores de P nienores de 2000 k p

___---

Las curvas :V - P del proceso de descarga, de acuerdo con los resultadosbtenidos. se representan en 13 Figura 11.94 mediante los segmentos rectilineos: ALA3 para el acero; y D,O para el duraluminio.

m,

Figura 11.9-b. 11.10.

El cable presentaria una deformación permanente unitaria dada por

que corresponde a un alargamiento Al,

Se prevé la sujeccion de una barra T B perfectamente rígida mediante tres barras del mismo material enlazadas por medio de articulaciones como se indica en la Figura 11.10-a. Por un error cometido al cortar las hartas. la prevista situarla en posición vertical de longitud 1 presenta un defecto A en su longitud. El área de las secciones de todas las barras tienen el mismo valor R y el modulo de elasticidad es E. Calcular las tensiones de montaje

Por tanto, a partir del momento en que se inicia la descarga, la relación entre esfuerzo y deformación en el cable de acero será

En el tubo la descarga se hace siguiendo la recta aü del diagrama de tracción, de forma reversible respecto del proceso de carga. E202 N, = -A12 12

G)

La determinación de los esfuerzos N, y N , en función de P se hará resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones

Al,

=

Al,

(Al

E2Rz - Al*) + Al

=

P

[Z

de donde

I

Figura 11.10.

130

TRACCION Y COh.1PRESION

RESISTENCIA DE 'V14TERIALES Al ser A pequeño en comparación con a podemos admitir que las dos barras inclinadas experimentan el mismo acortamiento Al-, por ]o qtle estarán sometidas a esfuerzos normales ieuales. Para calcuiar los esfuerzos .V, de la barra vertical y NI de las barras inclinadas disponeque expresa la nulidad de momento mos dc la ecuación de equilibrio de la barra rigida respecto de la arriculación B (Fig. 11.10-b).

=

iL', 2a - 2.Y' cos z

x

a

=

N,

0

=

N2 cos z

131

Por razoci de simetria los esíuerzos normales en las barras que forman los lados del ... cuadrado son iguales

De la ecuación de equilibrio en el nudo d o 5:

-

A

2 .V, cos 45

=

F. se deduce: .Vi

=

~ $ 2

-2

y la ecuación de compatibilidad de deformaciones que se deduce de la Figura 11.10-c es decir.

Al2 = 2 -

A -Al,

COS 3:

Expresando las deformaciones en función d e los esfuerzos, de esta ultima ecuación se obtiene otra equivalente A

-

1 2 N, 1 = --ER

cos z E R

que bon esiuerzos de tracción El s~fuerzo.V, en la quinta barra, que es de compresion. se obtiene de la ecudcion de equilibrio en el nudo C o D.

~ O z S

que junto con la ecuación de momentos permite calcular los valores de los esfuerzos normaies

Obtsriidos los esfuerzos a los que estin sometidas las barras el cilculo del potencial inierno del sistema es inmediato: =

!VI =

11.1 l.

EQA cos' a ((2 + c0s3 z) ;

ERA cos'z 'l ( 2 + cos3 a )

lVz

Se considera el sistema articulado plano indicado en la Figura 11.11 formado por cinco barras del mismo material e igual sección. Conociendo el módulo de elasticidad E, la longitud a de las cuatro barras iguales que forman un cuadrado y el i r e a R de la sección de las mismas, calcular la variación de la distancia entre los vértices A y B cuando se aplica en ellos una fuerza F en la dirección de la diagonal que los une, así como los alargamientos de las barras.

V I r--=

2ER

8EO

F'a

=-(2 SEQ

+ ,,h)

y expresado este en función de la luerza F, la variación 6 de la distancia entre los vkrtices A y B pedida. en virtud del teorema de Castigliano, será:

Las barras 1, 2, 3 y 4 están sonietidas a una fuerza de tracción del misnio módulo F :l /V = V. 2 El alargamiento de estas barras 2s: L/,

C

F'oJ 2M

F22a 4--+-

-

AÍ2

=

Al,

-

N a AFJ? Al - - = "-En 2ER

D

La barra diagonal está sometida a compresión. La iariacion de su longitud será:

Figura 11.11.

1

F

El signo menos indica que la barra 5 ha experimentado un acortamiento.

132 11.12.

i

RESISTENCIA DE MATERIALES

El cable de acero indicado en la Figura 11.12-a cuando está descargado tiene una longitud 21 = 40 m y su peso por unidad de longitud es q = 4 N/m. Los puntos de amarre A y H eitán situados al mismo nivel y distantes 21. Suponiendo que la línea funicular es una parábola. >e pide:

Por otra parte. podemos expresar el esfuerzo normal N en función de la flecha. cn virtud de la ecuación (2.7-7)

1." Determinar la flecha que corresponde a la sección media del hilo. 2." Calcular el valor del esfuerzo normal en dicha sección media. 3." Hallar e! valor del esfuerzo normai en los puntos de amarre.

Datos:

módulo de elasticidad E = 1.2 x 105 MPa area de la sección recta R = 0.5 cm2

Figura 11.1 2-a. l."

El alargamiento de un elemento de cable de longitud ds es

Integrando, obtenemos el alargamiento de la mitad del cable.

21

El cable esta sometido a tracción en todas sus secciones. Como consecuencia de ello se va a producir un alargamiento que vamos a calcular en función de la flecha, por dos caminos distintos:

Por lo tanto, la longitud L del cable después de la deformación sera:

a ) a partir de la longitud del arco de paribola entre los puntos de amarre A y B, y b) calculando el alargamiento producido por el esfuerzo normal a que está sometido el cable. La figura de equilibrio del cable tendido entre los puntos A y B es una catenaria, pero cuando la relación f/les pequeña, como es nuestro caso, sabemos que se puede considerar la pariboia como figura muy aproximada. Tomando el sistema de ejes indicado en la Figura 11.12-h. la ecuación de la parábola, segun se deduce de la ecuación (2.7-14). es

I_oualando las dou

expresiones

de L, tenemos

Despreciando f frente a 12, nos queda

de donde:

que nos permite obtener la relación entre los valcces de la flecha f y del esfuerzo oormal H en la sección más baja Sustituyendo valores en esta expresión, obtenemos la flecha

P a r a x = +l ; y = f - / = - 412 2H Si L e s la longitud de la mitad del cable después de la deformación, de la ecuación de la parábola se deduce: 2."

En la sección media el esfuerzo normal es precisamente H (Fig. 11.12-b). De la ecuación que da la flecha en función de H, se deduce 1' 412 f= 2H 9 4 = -

2f i

-.. . -.-.> -2

134

RESISTENCIA DE MATERIALES Sustituyendo valores:

3." C o m o se ha visto anteriormente, la Icy d e esluerzos normales es

1-

cuyos valores máximos corresponden a las seccioncs de los puntos dc amarre, y se obtienen haciendo .v = f 1 en esta expresion.

i < = i ~ c m

Obtenido sI valor de o,. de la ecuación 3 0 ,

-

'

Figura 11.13-h

o, = 900 se deduce

o, = 3o, - 900 = 150 kp/cml

11.13.

Un neumático de fornia tbrica, de las dimensiones indicadas en la Figura 11.13-a. está somctido a una presión in~eriorp = 10 kp/cm2. Sí su espesor es e = 1 mni calcular las tcrisiones de membrana en cualquiera de los puntos m i s cercanos al eje de revolución.

Por tanto. las tcnsiories de nicmbrana pedidas son:

Represcniai zriíicanientc la variación de la tensihn e q u i v a l e n ~a~lo largo de la gcneratriz dcl recipiriitc cilíndrico de p:trctics delgadas intlicado en la Figura 11.14~.lleno hasin una altura II dc un líquido de peso especiíico y, aplicando los criierios de Tresca ! de ton >lises. Se considerarán desprrcial~leslas tensiones de flexibn engendradas en las paredes dcl recipicnte. asi conio en cl peso propio del mismo.

Figura 11.13-a Aplicaremos la ecuación d e Laplace teniendo en cuenta qiie p , = 3 cni: p,

=

-9 crn

d e donde

La otra ecuación que necesitamos para determinar las tensiones de membrana en los puntos más cercanos al eje de revolución del toro, la obtenemos al plantear el equilibrio en el seccionamiento indicado en la Fisura 11.13-b.

t----l Figura 11.14-a.

Figura 11.14-h.

De las do4 tsnsiones princijl;ilss del estado biaxial eiistctitr cn el cir.phsito (Fig. 11.14-b). o, es const:inrc j I;i poderrios c;ilziilar in1:iginarido un cor-ie dcl recipicntc por un plano horizontal d e donde

TRACCION Y COMPRESION

137

1.:i dcrern1in;icii>n {Ic la tciisión circcinferencial la hacernos apl~c;~rido la ecuaci0n de Laplace. reniendo en ciienta que p,,, = %.

ya que la presión p sobre la pared interna del depósito e j la debidii dril liquido que. como sabernos es

~i I;i

acción hjdrosrática

siendo .t. la distancia a la superficie libre. Por tanto. las tensiones principales en el deposito cilindrico, sin prejuzgar el orden de mayor 3 rnenor, son: Figura 11.14-c. Como en los criterios interviene el orden, es necesario sstablecer Si u, 2 o,, que se verifica para

previamente

Para .v 2

If

Y: oequiv=

sión que para O para ú las tensiones principales son: o, = a,; o: = o,; o, = 0. H Si. por el contrario o, < o,, que se verilica para - < .v 2 princip3lts son: u , = o,;o, = o,; o, = 0. Calculemos ahora la tensión equivalente. U) Según el criterio de Tresca o,,,,, = o ,

- o,.

$

cuya representación grilica se hace en la Figura 11.14-c

Para O

$

2

-

<

If 2 ' es decir, la expresion de la tension equivalente.

ti,es:

cuya representación gráfica se'hace también en la Figura IL14-c. Se observa que la tensión equivalente según el criterio de von Mises es, en todas las secciones del recipiente, menor que la que resulta de aplicar el criterio de Tresca, salvo en los puntos del anillo correspondiente a x = H/2. Podemos, pues, decir que el coeficiente de seguridad del estado tensional en cualquier punto del depósito es mayor según el criterio de vor! Mises que según Tresca. Por consiguiente, el criterio de Tresca es más conservador que el de von Mises.

Por consiguiente

6) SI aplicamos el criterio de von Llises:

1 2 [(o,

se obtiene Ir misnia expre-

ti, eritonces las tensiones

11.15.

H .r ,< - ; oCqui,=

< .r <

.Y

/m,

u2l2 + (o2 - o,):

+ (o, - o ~ ) ~=]

d Una barra OA de sección constante pequeña angular uniforme o alrededor de un eje vertical mantiene perpendicular a l eje longitudinal de la de la barra, así como su módulo de elasticidad

tiene una longitud L y gira con una velocidad fijo que pasa por e! extremo O de la barra y se misma. Conociendo la densidad p del material 2, se pide:

l." Hallar la ley de distribución de tensi0ne.i normales en las secciones de la barra en función de Ir distancia r al eje de giro. 2." Calcular el alargamiento experimentado por la barra. l."

La fuerza centrífuga sobre el elemento de barra dx es (Fig. 11.15-a) dj; = dui 0 2 x = pf2 dx w'x

siendo dm = pR d.r la masa del elemento considerado y f2 el área de la sección recta de la barra.

138

RESISTENCIA DE MATERIALES

Cor tndurcr (4 Figura 11.15.

(b)

E1 esfuerzo normal en una sección a distancia r ael eje será

y, por tanto, la ley de distribución de tensiones normales en las secciones de la barra es

Se observa que la ley es parabdica tomando su valor maximo en la sección niis próxinia al eje de giro. Se representa gráficamente en la Figura 11.15-b. 2." Por la ley de Hooke, si u = 4.r) es el desplazamiento de la sección situada a distancia x del eje de giro, tenemos:

El alargamiento pedido es el desplazamiento de la sección extrema. Por tanto. integrando

es decir:

C o r t a d u r a pura. T e o r í a e l e m e n t a l de la c o r t a d u r a

3.1.

Cuando en iiria sección recta d e un prisma mecinico la resultante de las fuerzas situadas a un lado de I:i niisnia esta contenida en su plano y el momento resultante es nulo, diremos que esa seccióri dcl prisma tfabaja a corradiira pirra (Fig. 3.1-0). Pero si esto ocurre en una determinada secsi6n. en las secciones próximas existe también un momento flector M producido por esta resultante, es decir, no es posible quc en un tramo finito dc un prisrnn mecánico se de en todo él un estado de cortadura pura. En el próximo capitulo veremos que el esfuerzo cortante es la derivada del moniento flector. Quiere esto decir que si existc un esfuerzo cortante no nulo, existe un momento flector variable, y éste sólo se anulará en una o varias secciones determinadas del prisma. No obstante, en el cálculo de elementos de unión, como tornillos, remaches o cordones de soldadura, se suele admitir la presencia únicamente del esfuerzo cortante y la nulidad del momento flector en todas las secciones. Este es aceptable porque, en estos elementos, los electos (las tensiones y deíorrnaciones) debidos a! esluetzo cortante son mucho mayores que los debidos al momento flector. En los prisrnas mecánicos rectos que admiten plano medio de simetria y las cargas verticales están contenidas en este plano, adoptaremos para el esfuerzo cortante T el convenio dc signos indicado en la Figura 3.1-6. La tendencia a la rotura de la barra para T positivo se indica asimismo en la Figura 3.1-c. En la teoria elemental se admiten las siguientes hipótesis: Hipó~c.~i.r [fe B~~rltolilli, según la cual las secciones rectas permanecen planas dsspues de la deformación. 2. La tensión tangciicinl r que produce el csluerzo cortante tiene la misma dirección que Cstc. 1:s decir, para la rcfcrcricia dc 1;1 Figura 3.1 las coiiiponentes tangenciales de la matriz de tcnsioncs en los puntos dc la sección rccta soii: 1.

r,;

=

O

; r,,. =

T =

constante

(3.1-1,)

3.2. Tensión cortante pura

Figura 3.1.

cbl

LO dicho en el epigrafe anterior se refiere al esfuerzo de cortadura pura en la sección recta de un prisma niecanico. Pero puede ser de interés conocer en un determinado punto del solido elástico si existen planos para los cuales el vector tensión este contenido en el plano al que corresponde. Si existen. diremos que en ese punto el sólido elástico esta sometido segun esos planos a tr)~sióiicortante pura. La condición para que esto ocurra se deduce fácilmente de los círculos de Mohr: seri necesario que los puntos representativos de los planos sometidos a tensión cortante pura sstén situados sobre el eje de ordenadas, e>decir?si el área sombreada de la Figura 3.3 . . corta al eje de ordenadas.

es decir, el esfuerzo cortante T se reparte uriiformernente en la seccióri recta. Si 0 es el área de la misma:

y la tension tangencia1 es constante en toda la seccion y paralela a T. A esta teoria elemental se 12 puede hacer una seria observación que la Iiiice inadmisible,

ya que contraviene las condiciones de equilibrio interior del sólido elástico y, eri particular,

el teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales. Eri efecto, la tensión en un elemento superlicial adyacente al contorno de la sección recta tiene la dirección del eje vertical y se puede descomponer en dirección normal y tangente al contorno. Por el teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales deberá existir una tensión tangencial igual sobre la cara ortogonal al elemento, situada sobre la superficie lateral del prisma (Fig. 3.2), lo que no es posible al no existir fuerzas exteriores aplicadas a su superficie.

Figura 3.2.

Figura 33.

D e los circuios de Mohr se desprende, asimismo, que no existen planos de tensión cortante pura cuando las trps tensiones principales tienen el mismo signo. En el caso de que existan, la deterniinación del plano correspondiente a cada punto M se puede hacer, como sabemos, mediante los círculos de Evlohr. En efecto. los círculos c , y c, (concéntricos a los de M o h r C, y C, respectivamente) que pasan por un puiito M perteneciente al eje de ordenadas, cortan a C, en sendos puntos H y K, según se indica en la Figura 3.3. Uniendo estos puntos con los extremos F y D del círculo C2 se obtienen los ángulos ci = HFD y 7 = KDF, que forma la normal al plano, cuyo punto representativo es M, con las direcciones correspondientes a las tensiones principales o, y a, respectivamente. Por otra parte, tambikn sabemos que las normales de los planos sorxetidos a tensión cortante pura son coincidentes con las generr:;ices del cono asintótico de las cuádricas indicatrices. Es de particular interés el caso de un estado de elasticidad plana en el que las tensiones

Id2

RESISTENCIA DE MATERIALES

CORTADURA

principales contenidas en el plano director son iguales en valor absoluto, pero de signo contrario, o , = -o,. Los puntos Mi y M2 del círculo de Mohr (Fig. 3.44) indican que las caras del entorno ABCD (Fig. 3.4-6) paralelas a las bisectrices de las direcciones principales, están sometidas a tensión cortante pura.

Figura 3.4.

(6)

Inversamenic. si las cuatro caras del entorno de un punto están sometidas a tensión cortante pura en un estado d e elasticidad plana, las tensiones principales son una de traccion y otra d e conipresión, ambas del mismo valor absoluto.

3.3. Deformaciones producidas por cortadura pura Antes de estudiar la dcrormación de la rebanada del prisrna mecinico. es decir, 13 deíorriiación de la porcion de prisma con~prendidaentre dos secciones indefinidamente próxinias, veamos cómo se produce la deformación de un elemento sometido a tensión cortante pura. como puede ser el caso de un es:ado de elasticidad plana en el que o, = -o,, al que nos hemos referido en el epigrafe anterior.

X

Figura 35. 6

143

Eri la Figura 3.5-a se ha dibujado el p;~ralclepipcdoelemental ya oricntiido, es decir, a los planos coordcnaque 10s plancs quc trabajan a tensión cortante pura soii dos. Debido a la acciOn de las terisioncs tangenci;iles el paraIelepiprdo eleriicntal se dcforrria pero sin que las longitudes de sus lados vririen, o se: que el paralelepipedo inicialmenre rectangular cainbia de forma pasando a tener 1;i dc un paraleiepiped~oblicuo. El reclanculo ,JIBCD de 13 cara frontal se delorma en el romboide ,4'B'C'D1 (Fig. 3.54). El I:ido ,4B y la'cara qiic la contiene cxperinientiin el giro JC un ingulo q!7 respecto de sil plano xz inicial en sentido antihorario, asi como el lado / I D y e[ plano de la cara que la contiene sxperiiiicnta tanibién el giro de un ángulo ; / 2 respecto de su piano y; inicial. pero cstc giro en seritido horario. Los in_eulos entre caras en los puntos .1 y C, inicialmente rectos. pasan a ser de ni2 - 7. Ei ángulo y que nos mide la distorsión o cambio de forma del elemento se denomiria dt'/or~>~(icii>r~ angirlur y viene niedida en radianes. La rel~cióricnrre r y"? viene dada por la ley de Hooke

siendo G, corno sabemos. el niódulo de cl;isricidnd transversal dcl niaterial, que estj relacionado con el modulo de elasticidad E y con el coeficiente de Poissóii 11 mcdiaiite la rcliición (1.8-6). Uria observación convicric hacer rcspccio al signo dc las dcforrnaciorics ringuliircs. Para aclarar los convenios-de signos, [arito [>:ira las componc~itescart~sianasdc las tensiones tangcnciales como para las eorrcqwndicntes deformaciones angulares, conviene distinguir entre caras positivas y caras negativas del paralelepipedo elemental. Diremos que una cara es positiva si su nornial exterior tiene la direccion y sentido positivo de un eje coordenndo y negativa, en caso contrario. Pues bien. sentada esta distinción expresaremos de otra forma el convenio para las tensiones tangenciales que ya fuc cstnblecidu en el epigrafe 1.5: In tensión tangcnciril que actua sobre una cara positiva del elcniento es positiva si tiene la dircccióri y sentido positivo dc urio de los ejes coordenados, y es negativa si tiene el sentido negativo del eje. La tensicn tangencial que actua sobre una cara negativa del elemento es positiva si tiene la dirección y sentido negativo de uno de los ejes coordenados. y negativa si tiene el sentido positivo del eje. En cuanto al convenio de signos para las deformaciones angulares es necesario qdsc relacione con el de las tensionc:. Asi, diremos que la deformación angular de un elemento es positivn cuando disminuye rl Sngulo entre dos caras positivas, o entre dos caras negativas; 1;i tlcformación angular es negativa cuando el ángulo entre dos caras positivas. o eritre dos caras negitivas. aumenta. Pascmos atiora a estudiar la deformación de la rebanada en la quz existe un esfuerzo cortante I; tal corno la que existe en el pasador dsl mecanismo indicado en la Fisura 3.6. Si suponenios anulado el momento de la fuerza F. o consideranios despreciables las tensiones cluc engendra frente a las tcnsioncs tangencialcs producidris por el esfuerzo cortante T = E; es evidente que la jcccióri recta del pas~idorsituadri ciitrc los dos trozos del rnecanismo csti sometida a cortadura pura. Expcriiiiciitainiente se observa que dos secciones CD y A 8 indefinidamente próximas. pcrtenccicntes a la zona del pasador situada entrc las dos piez;is que une. desliza ur;;

CORTADURA

145

klientras la tensión tansencial se mantiene inferior a T,, T y ;. son proporcionales y la deformación desaparece cuando cesa la fuerza que la ha causado. La zona representada por el segmento es la ~ o n r ide deforniacioti rlú.sricu. La fuerza F para la cual la tensión ~:ingznciales r , deline la carga elástica límite. Para valores de T superiores a r , se entra en 21 campo de las deformaciones permanentes. Otra forma de obtener el valor del ángulo de deslizamiento ;. seria aplicando el teorema de Castigliano. En efecto, el potencial interno de la porcion de prisma entrz las secciones A B y CD (Fig. 3.6-c) es, particularizando la expresión (1.15-5) para u,, = o,, = o,, = 0; r,, = r; -.-Ti: = Ty, = O

El corrimiento 6 de la sección CD respecto de la A B sera:

Figura 3.6.

3.4. respecto a la otra. Esta deformacion viene dada por el átigirlo de ciorliic~n~iento7, cuyo valor. viene dado por la ley de Hooke. Admitida la teoría elemental de la cortadura, la expresión de y será:

siendo R el área de la sección recta del pasador. Se comprueba experimentalmente dicha ley, ya que si construimos el diagrama tensión cortante-Sngulo de deslizamiznto para un material dúctil tal corzo el acero de construcción obtenemos una gráfica como la representada en la Figura 3.7. A '

Figura 3.7.

Cilculo de uniones remachadas y atornilladas

Existen algunas estructuras e piezas de determinadas máquinas que están compuestas de partes que hay que unir de forma adecuada para que cumplan la función para la que han sido diseñadas. Si se trata de materiales metalicos, los medios de unión comúnmente enipleados son remaches, tornillos y soldadura. Las uniones con bulones tienen poca aplicación, y las uniones por medios adhesivos se encuentran aun en fase experimental. La distribución de tensiones en estos medios de unión es bastante compleja, dependiendo en gran parte de las deformaciones propias d e los elementos que la constituyen. Esto hace que el cálculo riguroso de las uniones sea siempre dificil y muchas veces imposible de realizar. Por esto. en el terreno práctico es necesario contrastar los resultados obtenidos aplicando los métodos simplificados de cálculo, con el comportamiento real de los materiales de las uniones. P o r ello, el cálculo de uniones remachadas o atcrnilladas que estudiarnos en este epígrafe y las uniones soldadas que estudiareinos en el siguiente, se basan en la teoria elemental d e la cortadura que se ha expuesto anteriormente, cuyos resultados estin sancionados por la experiencia. N o considerarenios las uniories mediante tornillos de alta resistencia. en cuyo clilculo habría que tener en ciient? el electo del par d e apriete (muy elevado) y la consiguiente compresión d e las chapas, que hace que 10s esfuerzos puedan transmitirse solamente por rozamiento. Las irt~iotiesrettiacliacks se llevan a cabo mediante piezas denominadas roblones O remaclies. Un remache es un elemento de unión que está formado por una espiga cilíndrica llanada caira, uno d e cuyos extremos tiene una cabeza esférica, bombeada o plana. llamada cahezu de asiento. El remache se introduce, calentandolo previamente entre 1050 "C (rojo naranja) y 950 "C (rojo cereza claro), en un agujero efectuado en las piezas a unir y se golpea bien con martillo neumático o máquina roblonadora de presión uniforme en el otro extremo, para formar una segunda cabeza (cabeza de cierre) que asegure la unión.

146

RESISTENCIA DE MATER1At.ES

La parte de la caña que sobresale, con la que se va a forwar la cabeza de cierre. ticnc una longitud de 413 del diámetro del taladro (Fig. 3.8).

Figura 3.8. El diámetro d, de la caña del roblón o remache se hace ligeramente inferior al diamctro d del agujero con objeto de facilitar la introducción del remache. No obstante, en el cálculo consideraremos el diámetro d del taladro, pues se supone que después del remachado y enfriamiento posterior la caña del remache llena completamente el agujero. Las uniot~esatornilladas se llevan a cabo mediante piezas denominadas rorrlillos. Un tornillo es un elemento de unión formado por una espiga cilíndrica llamada cufiu, uno de cuyos extremos tiene una cabeza de forma determinada, estando el otro extremo roscado. La union se forma introduciendo el tornillo en un agujero efectuado en las piezas a unir y colocando e n el extremo roscado una tuerca con su arandela correspondiente. Las dirnensiones de los tornillos vienen definidas por las distintas nornias que regulan su uso en los diferentes paises. En España esta norma es la MV-106-1968. La suma de los espesores dc las piezas a unir es función dc la longitud del vistago del tornillo y esta definida por las normas. El uso de uniones atornilladas resulta interesante en estructuras desmontables. Si la unión es permanente se suele fijar la tuerca bien con un ligero recalcado de la parte saliente de la espiga, matando el filete d e la rosca o con punto de soldadura. Los tornillos se clasifican en rornillos ordinarios y rornillos calibrados, segun sus características geomktricas y de colocación. En los tornillos ordinarios se permite un huelgo de hasta 1 mm entre el diámetro de la caña y el del agujero. En los tornillos calibrados ambos diámetros deben coincidir. La elección de¡ diimetro d de los elementos de unión es función del espeso, mínimo de las chapas a unir. C o m o orientación se recomienda tanto para roblones como para tornillos que:

expresando d y e en cm. La suma de los espesores de las piezas unidas será menor que 4.5d para roblones y tornillos ordinarios, y menor que 6.5d para tornillos calibrados. Las uniones remachadas y atornilladas se dice que trabajan a cortadura cuando las fuerzas se transmiten por contacto entre las chapas a unir y la caña de los remaches o Una interpretación dc csta fórmula se puede realizar en función del rallo de la uniOn por cortadura o analizaremos más adelante. Su inlenciOn es si:¿~arla unión en el óptimo. de forma que los tornillos o roblones necesarios por ambos conceptos, cortadura y aplastamiento, sean aproximadamente iguales aplas(amicnro. q u e (a,

= nectadri de la espiga del remache sobre la placa, es decir, sobre el área d x e(Fig. 3.10). Se puede aumentar la resistencia 2 compresión de la unión aumentando el área de compresión, o sea, aumentando el diámetro del remache o el espesor de la placa, o ambos.

CORTADURA

149

de donde:

siendo r l el diámetro del agujero para remaches y tornillos calibrados, o diámetro de la espiga para tornillos ordinarios. En el cilculo a aplastamiento de la chapa contra la espiga del remache o tornillo se adrnite que la presión se reparte uniformemente sobre la superficie de contacto entre chapa y espiga, tomándose ésta como la supsrfici&.q~eresulta de multiplicar el diimetro del agujero por el espesor de la chapa o chipüs que transmiten el esfuerzo 1' (Fig. 3.10-b). Si U,,,, es la tensión admisible a compresión en la chapa, el mínimo número 11, de remaches o tornillos que se precisarán verificará

Figura 3.10.

Fullo por rofltra ile lo placo o rracción..En una pieza sometida ii tracción, de una C) unión mediante remaches, se puede producir el fallo por rotura de la seccion debilitada por los agujeros para los remaches. Al cargar la placa, antes que se produzca la rotura, se producen concentraciones de tensiones en los bordes de los agujeros de los remaches, como se ha visto en el capitulo anterior. N o obstante. en el caso de mareriales ductiles, que son únicamente los empleados en uniones remachadas, la distribucióri de tensiones en la sección debilitada tendera a ser uniforme en el punto de fluencia cuando aumenta la fuerza de tracción sobre la placa. A efectos prácticos del cálculo se admite la hipótesis de ser uniforme la distribución de tensiones en la sección neta de la placa, esto es, descontando al area de la sección recta de la placa la correspondiente a los agujeros de los remaches o tornillos. Se puede elevar la resistencia de la unión aunientando el espesor o el ancho de la placa, o ambos. (1) Follopor cortodtrra de / i r plncn. Se produce este fallo por desgarro de la placa en la parte situada detrás del remache. Este fallo se evita aumentando la superficie de la placa sometida a cortadura, es decir, dando suficiente longitud a la placa detris del remache, como puede ser el de dos a tres veces el diámetro del remache. Las roturas por fallo de la chapa a tracción o cortante no se suelen considerar en el calculo de la unión, ya que se evitan al tener en cuenta las recomendaciones de las normas en cuanto a distancias mínimas entre agujeros, y entre éstos y los bordes de las chapas. No obstante, la comprobación de una determinada unión a estos dos posiblcs fallos no reviste ninguna dificultad. Se utilizará la tensión admisible a tracción en el primer caso y la tensión admisible a cortadura en el segundo, tenrriones en. ambos casos referentes al material de la pieza que puede presentar esos falbs. Nos centraremos, pues, en el clilculo dc las uniones remachadas o atornilladas atendiendo a su posible fallo por cortadura de los remaches o fallo por aplastamiento. Supongamos que deseamos unir dos chapus de espesores e, y e, mediante una fila de remaches O tornillos (Fig. 3.10-a) y propongámonos calcular el número de ellos necesarios para que la unión resista la f:ierza P. Admitiremos que el esfuerzo P se distribuye uniformemente entre los n elementos de unión. El cálculo a cortadura se hace considerando un reparto uniforme de tensiones cortantes sobre la sección recta. Si r,,, es la tensión admisible a cortadura, el número minimo n, de remaches O tornillos que se precisarían para no sobrepasarla verificaria la condición de equilibrio

de donde: 11,

=

P d . e . u,,,,

siendo e el espesor menor de las chapas a unir. De acuerdo con la norma española MV-103-1968, suponiendo P como carga ponderada, podemos considerar como valores admisibles para cortadura y compresión los siguientes:

siendo:

p

= Coeficiente que toma el valor 0.80 para roblones y tornillos calibrados, y 0.65

para tornillos ordinarios. a, = Resistencia de cálculo del acdro del elemento de unión. Normalmente igual a 2400 kp/cm2 para roblones, y a 2400 Ó 3iN0 kp/cm2 para tornillos según la clase de acero, 4 0 o 5 0

.

...

siendo:

a = Coeliciente que toma el valor 2 para uniones con tornillos ordinarios y 2.5 para uniones con remaches o tornillos calibrados. a, = Resistencia de cálculo del acero de la chapa. Nsrmalmente, 2400 kp/cm2 para aceros A-37; 2600 kp/cm2 para aceros, A-42; y 3600 kp/cm2 para aceros A-52. D e los valores obtenidos para el número d e remaches o tornillos dados por (3.4-3) y (3.4-S), se habrá de adoptar el mayor. Resulta fácil ver la condición que se ha d e verificar

150

RESISTENCIA DE hlATERlr\LES

entre el valor del espesor menor de las chapas y el diimctro del elemento de unión, para que el cálculo se haga de una u otra forma. En efecto, la condición para que 11: = n, seri: 4P

d 2 . x . radm

--

P

den,

,,,

Figura 3.11.

de dondc:

Estc efccto se puede evitar colocando las placas en alguna de las disposiciones indica das en la 1. iiriira 3.12.

siendo:

Los valores dc 7 para los distintos elementos de unión (remaches, tornillos ciilibrados o tornillos ordinarios) y las distintas clases de acero dc las chapas a unir (A-37, A-42 o A-52) pueden verse en la siguiente tabla. En estc caso los elcmcntos de unión trabajan a doble c o r ~ u c l ~ r r aPara . el c i l c u l t ~ cortadura dcl numero niciior ti, de tornillos o remaches se tcndria:

Tabla 3.1. Valores de y Elcmcnio de

Accro de las chapas

unión

Tipo

R

Acero A-37 b (n, = 2400)

A-37 o, = 2400

a, = 2600

o, = 3600

0.246

0.227

O. 164

0.235

No se recomienda su uso

0.290

0.109

14-42

A-51 -

mientras que para el cálculo por aplastamiento:

P P = n , r d ~ , , ~ , n, = --

adm

T.O. T.C.

4D

0.255

(a, = 2400)

5D

0.314

(o, = 3000)

.

Las iensioiies estin expresadas e n kp!cm2.

Por tanto, las uniones mediante una lila de remaches o tornillos, cuando estos trabajan a cortadura simple, se calcularan a cortadura cuando el menor espcsor de las chapas a unir verifique c > yd, y a compresión o aplastamiento dc la chapa contra la espira cuando e < yci. Una unión niedinnte costura simple tiene el inconvcnicntc dc que al efecto rlsl r \ r ~ i e r ~ o cortante en la sección recta se añade un momento debido a no tener !as íuerzas igualcs y opuestas aplicadas a las chapas la misma línea de acción. La existencia de este morncnto tenderá a provocar un3 deformación de la costura del tipo indicado en las Figuras 3.1 1-0 y 3.1 1-b, scgiin se trate de unión con una o dos filas dc remaches. E

Igualando las expresiones dc

11,

y

no se ticnc:

de donde:

mediante tornillos o remacties, cuando éstos trabajan a doble coi:es decir, las urici>:,c~ dura, se calcularan a cortante cuando el menor espesor de las piezas a unir vcrific e > 2-id y a aplastamiento de la chapa contra la espiga del elemento de uniCili. e < 2yd (vnlores de y dados en la Tabla 3.1). Hasta aqui Iicinos corisidcrado una o dos Cilas de rcmachcs Si el número dr .

152

RESISTENCIA D E MATí!RIALES

CORTADURA

153

aumenta, el problema es hiperestático. El reparto de tension~;de c»rt;idiira en 10s remaches pertenecientes a distint;is filas ya no es la misma. sino que los pertcnecicntes a las filas e'ctremas aparecen m i s cargados que los centrales. Puede ocurrir que los remaches de las filas extremas lleeuen a la fluencia. En esros casos, la plasticidad del niaierial actúa de reoulador alejando el peligro de rotura, y3 que si el diagrama tension-deformación de los remaches es del ripo indicado en la Figura 3.13-b. cuando las dos filas extremas llegan a la tensión de fluencia la tension taneencial se mantiene constanre en los correspÓndientes remaches. Mientras, la rensión tangencia1 en la fila central (Fig. 3.13-0) se mantiene inferior a la de las filas extremas, absorbiendo posibles aumzntos de la carga P.

Figura 3.14.

(a)

Por tanto, se tendrá que verificar

Despejando el valor de k de esta expresión y sustituyendo en F, esfuerzo cortante F, sobre cada remache debido al momento Pe.

=

kri, obtenemos el

Figura 3.13.

Como en una unión por remaches o tornillos, de las que hasta aquí hemos considerado, los agujeros reducen el área de la sección recta de la placa y es evidente que la resistencia de 13 unión es siempre menor que la resistencia de la placa sin agujerear, definiremos como ejiciericia de la ur~iótlal cociente carga admisible de la unión x 100 carga admisible en la placa sin remaches Todo lo expuesto anteriormente se refiere al cálculo de uniones remachadas en las que la carga está centrada respecto a la posición de los remaches. Se presen!:ir. con frecuencia casas de uniones reniachadas en las que la carga es excénrrica, como ocurre en la unión indicada en la Figura 3.14-0, y cuyo calculo simplificado se basa en la teoria elemental de la cortadura. La solicitación exterior (Fig. 3.14-a) es equivalente a una carga P y iin momento M = Pe, aplicados ambos vectores en.el centro de gravedad G de los taladros (Fig. 3.14-6). La cprga P se reparte entre los remaches de forma uniforme, es decir, sobre cada remache actuará en sentido vertical un esfuerzo cortante Pln, si n es el número de ellos (Fig. 3.14-e). Admitiremos quc el momento es absorbido por fuerzas cortantes I;; de dirección perpendicular a la recta que une el centro del taladro Ai ron el centro de gravedad G y d e módulo directamente proporcional a la distancia ri entre ambos puntos, siendo la constan. te de proporcionalidad la misma para todos los remaches, es decir, F, = kri.

Respecto de un sistema de referencia C.ry este esfuerzo cortante tiene las componentes:

F.LZ

=

- Pe -F. sen ai = -ri sen zi = -

f

r:

(.Y;

Yi

+ Y);

(3.4- 1 7 )

1

1

Ky = 6. cos ai

Pe

Pe

Pe

= ñ- r, cos a, =

C 't

Figura 3.15.

1 1

(.Y?

+

.Y

(3.4- 18)

154

RESISTENCIA DE hlATERlALES

Para calcular el esfuerzo cortante total sobre cada remache h a b r i que componer vectorialmente Pln en dirección de la carga P y cuyo modulo viene dado por (3.4-16), en dirección perpendicular a la recta que une el centro del taladro con el centro de gravedad G (Fig. 3.15).

c.,

3.5. Cálculo de uniones soldadas En los últimos años la soldadura ha tenido un gran desarrollo en su aplicación a las uniones en construcciones metálicas. Es un procedimiento mediante el cual los metales se unen por fusión. Se reblandece y se funde el metal en los bordes a soldar mediantc el calor producido por un arco eléctrico o un soplete de oxiacetileno. En la soldadura eléctrica se provoca el arco eléctrico entre las piezas que se van a soldar y un electrodo que constituye el nieral de aportación que queda depositado entre las piezas a unir formando lo que se llama el cordón de soldadura. Los tipos de soldadura más frecuentes son: soldadiira a [ope (Fig. 3.16-0) y sol(lti pirrci. los t>ió / ; t ~/ihrus f ~ l . ~ sori c/irrc~c~/~icti~e pr0~1orcior1~11e.s u .sus d i s r ~ t ~ c iua .11 ~1! i / ~ r utie~,tru.)) La represrntac~Ó~l ,orafic;i de diclias tensiones será lineal (Fig. 4.7) y, como era de esperar, las miiximas tensiones de compresión y de tracción correspunden a las libras extremas.

I

Figura 4.7.

Vamos a demostrar ahora que la libra neutra contiene el centro J e gravedad de la sección. En efecto, a1 tenerse que cumplir las condiciones del equilibric> elástico, la resultante de las fuerzas exteriores 2 interiores debe ser nula en cualquier sección. Por tratarse de ílexibn pura, la resultante de las fuerzas exteriores es nula, por lo qiie la resultante de fuerzas interiores debe ser igual a cero. Podemos escribir, pues, que:

Para que d R sea igual a cero, las distancias y deben contarse con relación a un eje qiie contenga el centro de gravedad, ya que j,v d R es el momento estático cit. una superficie plana respecto a un eje con:enido en sl iiiismo plano y solamente se anula en dicho caso. Para garantizar el equilibrio elástico en cualquier sección no es suficiente la nulidad de la resultante. Se tiene que verificar, además, que el momeiito resultante del sisama de fuerzas engendradas pc.r !as tensiones normales tiene que ser igual al m(;mento flectcr en' dicha sección. Teniendo en cuenta que para un moniento Rector M, pcisitivc (Fig. 4.8) las tensiones normales sori negativas para ordenadas .v positivas, tendremos

siendo Ir el momento de inercia de la sección respecto del eje z. Este resultado nos permite expresar la constante de la ley d e Nrivier en función del momento íiector que actúa en la sección y las caracteristicas geométricas de ésta, .

Figura 3.8.

6 ) hlétodo analítico

A este mismo resultado llegamos siguiendo un razonamiento puramente analitico. En erecto, si la flexión es pura, la única componente no nula de la matriz de tensiones será la tension normal u,, = u sobre las caras coincidentes con la sección recta. Admitida la hipótesis de Bernoulli sobre las secciones planas, la tensión normal a será, en virtud de la ley de Hooke, una función lineal de y, z

siendo n, 6, c, canstantes, estando esia ecuación referida al sistema usual de coordenadas. es decir, a los ejes principales de inercia de la sección en el centro de gravedad, que será el origen.

186

RESISTENCIA D E MATERIALES

T E O R I AGENERAL D E LA FLEXION. ANALISIS DE TENSIONES

El sistema de fuerzas engendrado por las tensiones o tiene que ser tal que su resultante sea nula y su momento. respecto a G, igual y opuesto al niomento flector en la sección.

Sustituyamos el valor a, dado por (4.2-7). en estas integrales. En la primera, se tiene:

De aquí se obtiene directamente: a = O, ya que las dos últimas intezrales son los momentos estáticos de la sección respecto a los ejes coordenados, que se anulan, por pasar éstos por el centro de gravedad. De la segunda:

197

Si pretendcrrios Iiallar en una sección (en la que ,MF e 1: son constantes) el valor dc umx l , tendrcnios:

Al denominador de esta ultima expresión que, como se ve, depende exclusivamente dc las caractcris~icasecométricas de la seccióri se le suele Ilarnar niódulo re.\irii(;tlirl7 -

2 y =

:),

. y 3 ($,.

> y 2 O) (Fig. IV.9-b).

250

RESISTENCIA DE MATERIALES

IV.10.

llallar la Icy de distribución de tensioncc ~nngericialese11 las secciones rectas de 11 viga en voladizo, de anchura constante y espesor variable, indicada en 13 Figura lV.10-a. qite esti sometida en su extremo a una carga P uniformemente repartida sohre el borde transversal. Dibujar los diagrarrias correspondientes en las secciones e\-tremas en la secciíin rnedi~ide la viga.

/. -j 4-

-p

Figura IV.9-a.

Aplicareriios la fórmula de Colignon

1: =

12 los puiitos 1

- En los puntos 2

-En

Tm En esta fórmula son consrariies T e

T = -.

los puntos 3

!/

Figura I\'.lO-o

bl*

(/ir' - 0 ~ 1 1 ;

-En

Figura 1V.9-h.

(i

2

>

$)

en donde T es la tensión rasante en los puntos del pl;iiio longrtudinal de corte que, por el teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales. es igual a las rensiones tangenciale% en los puntos de la sección recta de In viga. comunes 3 ambos planos. Coriio por la ley de Navier

( - ?) J

($

Si realizariios un corte por un pl;tno longitudinal paralslo 3 IJ fibi:i rieiiira. J. la pcircibn cit. prisnili cornprendidii cntre dos pl,inos transicrs:ilcs tridcíiriicl~riiente próiriios \ep.ircido\ entre si d r (Fig. IV.10-b). 13 condición de equilibrio nos d a

= -

> y 2 0)

El diagrama de tensiones tangenciales se ha dibujado en la niisma Figura IV.9-b. t

3"

Figura IV.10-h.

152

R E S I S T E N C I A DE LtATERI.+LES

T E O R I A G E N E R A L D E LA F L E X I O N . A N A L l S l S D E T E N S I O N E S

la ecuación de cqu~librioioma la lornia:

253

con el valor niiximo para la fibra neutra, es decir. para y = O Trmi

Para .r =

1 -

"

3 --P

-

2 611,

,e tiene:

de donde: que es constante en roda la sección Finalmenic. para r = l. Ahora bien. expresarido

I r y .1I

en función de .r

que iiene su valor rna.ió(fit/o 112 sólo se da para una solución de y; = 0.

El segundo caso que hemos considerado en el epígrafe anterior para ilustrar la obtención de la ecuación de la línea elástica de una viga recta nos hace ver la dificultad analitica que el método expuesto presenta, cuando existen varias leyes de momentos flectores a lo largo de su luz. Porque si existen n tramos sera necesario resolver 2n ecuaciones para la determinación de las 211 constantes de integración, ya que el número de constantes es el doble del númcro de tramos. Para disminuir esta dificultad se trata de buscar una ecuación universal que, independientemente del número de tramos que existari en la viga, sea preciso determinar solamente dos constrintes de integraci6n. Para la forrnulncinula la derivada

I Linca deformada

I Diagrama de momentos fleciorcs

-

-

310

RESISTENCIA D E MATERIALES 1 - E O R [ A G E N E R A L D E LA F L E X J O N .ANALISIS D E DEI'OR'IlACIONiIS

31 1

El módulo resistente necesario será:

hf,,,,

4 x lo5 k p . cm

O2dm

loJ kp/cm2

-- -

IV,

=

El án-ulo que ha cirado la sección extrenia C se determina particularizando Iii ccuacii)ri que se ohiiene en la prinlcra integración de la ecuacion diferencial de la elástica para r = 0

4 0 cm'

El valor más próximo por exceso d a d o por 1:)s tnblris de perfiles larniriados es = 442 cm'. que corresponde a un I P N 2 6 0 y cuyo momento de iiiercia respecto al eje c es 1: = 5740 cmJ. Por tanto, el perfil necesario es 14:'

El signo positivo nos indica que el ciro del extremo C tiene sciitido nntihorar10 V.3.

Para calcular las cicformaciones pedidas determinaremos la ecuacion de la linea elistica

EIz',' = E =

- 4 .r -

4

+

6

- 1)

para O ,< para 1

< <

Y. .Y

1 3

habiendo considerado solamente la mitad d e la viga, ya que la deformada de la otra mirad se deduce por simetria. Integrando estas dos ecuaciones.

En las secciones C y B de una viga A B simpleinente apoyada. de I U L 1 = Su, estin alilic;lrlo\ monientos .// y -.//. rcspectivamente. La abscisa de la secci0n C es 20 y la de D. 4u. contarlas arnhas a partir del extremo A. Se pide:

l." Calciilar la ecuación de la elástica. 2." Dihiij:ir la deformada de la viga. a estima, indicando el valor de la flecha y que se presenta. 3." El 3ngiiIo que fornian los planos de las scccionri C y D. 1."

ltcnitloc los valores Js las reacciones. las leyes de esruerios nornialcs. esíuerzos cortantes y iiionieritos ílcctores son inmediatas.

331

1.53 ton

Esfuerzos normales 7

AC:

,V = R , = 4 83 ton

CI):

N

-

cos 45'

= /A Y FLEXION COMPUESTA

RESISTENCIA DE ~ ~ A T E K I A L E S la Icy de distribución dc la teiisii>~inormal vendrá dada por:

Veanios cu;ilr11jii 5111 ningui1~1 dificultiid 1. dcformad:~(l:ig. Vll.12-1).

Dada la estructurd indicada en la Figura V11.13-a. constituida por barras de la misma rigidez El, se pide: l." Calcular el grado de hiperestaticidad del sistema. 2." Ilisgramas de esfuerzos normales, de ~ f u e r z o scortantes y de momentos flectores. 3." I>ibujar a esiinia la deforni;i M , = ?k!- ,

k,M,

El-

= --(

El-

=

1

~ I O A+ z 2 0 ~ )

1 (a,O,

+

a,O,)

(8.11-18) (8.1 1-19)

En la barra se tendrán que verificar simultáneamente estas dos últimas expresiones que constituyen un sistema de ecuaciones homogéneo.

en las ecuaciones (8.1 1-8) y (8.1 1-9), ss tiene:

'

Las expresiones (8.1 1-1 1) y (8.1 1-12) permiten despejar los monientos h.I, y MB en función de los ángiilos O , y 9,

Para que este sistema tenga solución distinta de la trivial se habrá de verificar 1s condición de compatibilidad, que se traduce en la anuiacibn del determinante d e lo.: coeficientes

514

FLEXION LATERAL. PANDEO

RESISTENCIA DE MATERIALES

515

Por ser el ángulo dO un infinitésirno podemos considerar el coseno igual a la unidad y

Teniendo en cuenta las expresiones (8.-;1-15).se llega a

el serio igual al iingulo.

Dcsprcciiiiidu irifinitcsinios dc ordcn supcrior, esta cc~i;iciorisc rcducc a: en la que los valores de 4, y 4, vienen dados por (8.1 1-10) y que nos permite calcular el menor valor de kl que corresponde a la carga critica.

8.12.

pcls

+

d T - (N,

+

N)clU = O

o bien

Estabilidad de anillos sometidos a presión exterior unifornie

Cuando aplicamos a un anillo una presión exterior p. es decir, lo sometemos a una compresión radial y vamos aumentando el valor de p observamos que para un determinad o valor de p la forma circular se hace inestable. Nos proponemos hacer un anilisis de este fenómeno y obtener una expresión que nos permita calcular el valor crítico de la compresión radial p, que supondremos uniforme. Para ello consideramos una porción elemental del anillo de longitud dr (Fig. 8.18-6). Llamaremos R al radio inicial del anillo y p al radio de curvatura del elemento considerado.

Dividiendo por R ds y tcnicndo en cuenta (8.12-1). se tiene:

(S. 12-4)

1 R = - - - la variacibn dc la curvatura que experimenta el anillo, P R supuesto que el valor de p difiere poco del valor de R(p 2 R). la ecuación (8.12-4) toma la

Si llamamos

forma:

Obtenemos otras ecuaciorics de equilibrio proyectando sobre la tangente al elemenio:

no + d1V cos do = O 2

2T sen 2

(4

Figura 8.18.

Sobre este elemento actúan los esfccrzbs normales, cortantes y momentos flectores indicados en la Figura 8.18-6, habiendo considerado el esfuerzo normal compuesto de dos términos: N,, que es el esfuerzo normal antes de que el anillo pierda la estabilidad, N. ei esfuerzo normal debido a la fiexión del aiiiiio. La condición de equilibrio de medio anillo antes de la deformaci6n (Fig. 8.18-c) nos . .< permite obtener la expresión de No

Por otra parte, la condicitn de equilibrio del elemento del anillo deformado nos perliii!e obtener, proyectando sobre un eje radial, la siguiente ecuación: de de p h + dTcos 2 - (NO + N ) sen 2 - (No

de

+ N + d N ) sen 2 = O (8.12-2)

y tomando momentos:

Eliminando T y N entre las tres ecuaciones (8.12-5). (8.12-6) y (5.12-7). derivando la dN diLI despejadas dc las otras dos, sc frene primera y sustituyendo -- y (1.7 dr

F L E X I O N LATERAL. PANDEO

517

de donde:

(S. 12-9) '

siendo C una consranrs. Ahora bien, tri iin;i pieza cori fuerte curvatur:i inicial el niomerito flector ,2/ esti reliicionado con la variación de curvatura mediante la ecuiicihn

P:~ra un anillo libre de ligaduras fijas la carga critica vendri dada por el riienor viilor de est3. ecua~ión.es decir, para n = 2

El :inillo se dsforrna adoptando una configuración como la indicada en la Figura 8.19. de la que se deduce

Estas dos ecuaciones nos perniiten eliminar en (8.1 2-9) el riiomento .M, obteniendo una ecuación exclusivamenre en

Figura 8.19.

o bien

d 2 % + kZy = -, CR 105 calcularemos la carga crítica pedida p o r aplicación de la fórmula dc Euler

( 1

(h)

Cotas en cm

S

( ):

I- = 4 - -

-

-

= 492 cm'

Pero por otra parte, llamando s a la distancia entre el eje y 5 la cara exterior del perfil, aplicando el teorema de Síeiner, se tiene:

VIII.2.

Calcular la carga critica de un sopor:e formádo por dos perfiles de U, camo el icdicado en la Figura VIII.2-u. q u ~ d i e n euna longitud 1 = 5 m y esta articulado en ambos extremos ,, = 120 M P a y el mbdulo de elasticidad E = 2 x 10' RIPa. La tensión admisible es o

C"

b

r

Desarrollando y simplificando se tiene:

ecuación de segundo grado, c u y ~ soluciones s son:

1

Figura VIILZ-a.

Existen. por tanto. dos soluciones de idintica resistencia a la flexión Iatcral. represcntadas en las Figuras VIII.2-b y c.

C5

F L E X I O N LATERAL. P . I N D E O

521

cuyas ecuaciones iniegr;iles son:

Las caracrsrísticas geonllrricas y meciriicas son:

"-

Is,

=

3-56 cm : 1, = I2 = 197 cm'

C , sen k ,/& + C 2 cos k&.r C , ser) k.v + C2co, k.r

ir, =

=

Condiciories de coniorno: Por r\i&irel soporie ariiculiido cn sus eniremos. la Ion-iiud de pandco coincide con loneirud rral:

1 !>Al)

13

C, sen x./

=0

+ C,

cos ICI= O

lp=I=5n1 Corno la esbeltez mscinicd

(;)-

es riplicsbls 1ii forniula de Eulcr. Por tanto. 13 carga c r i i i c ~del

S O P O ~ I Ses

C,

c;f i cos kJ'

=

= y;(;)

-

1 1 = C, cos k - - C, sen k -

I

2

Sisie~nrihoriioglneo que para que tenga soluciOn distinta de la trivial C, = C, = = O, se tiene que verilicar:

,

O

-

sen k l kl -sen 2

kfil

kl

sen k f i V111.3.

1

-

Determinar la fuerza crítica de una barra sonielida a compresión, forniada por dos partes de igual longitud, teniendo una de ellas doble rigidez a la íiexión que Ir otra, y estando ariiculada en ambos extremos.

1

f i cos 7 -

-tos

2

cos kl kl -cos 2 srn

=o

kl -

-

Poniendo: sen k l = 2 sen

kl

- cos k-l 2

2

kl ; cos k l = cos2 -

y simplificando, 53 obtiene la ccuacihn Figura 1'111.3. fitg-

Las ecuaciones de In elásiica son: El!,'

+

Py, = O

O

1

< .y < -2

Haciendo

kl

2

= -tg-

kfil

2

. kl

-2 - O = J 2 t g O = -tg&o P Haciendo - = k' queda: 2E l

- sen' kl 2

522

FLEXION LATERAL. P A N D E O

523

RESISTENCIA D E MATERIALES

De este sistema se deduce:

de donde

La carga critica será siendo d el valor arbitrario del desplazamiento lateral de la seccion C en la posicion critica. ya que planteamos el equilibrio indiferente. Los momentos flectores son:

VIII.4.

Calcular el valor critico de la carga vertical P aplicada en la seccibn media de una barra esbelta de longitud I y sección constante, que se encuentra en posici0n vertical unida en sus. extremos a dos articulaciones fijas Sobre la barra deformada actuan las fuerzas indicadas en la Figura V111.4. Las ecuaciones de equilibrio son:

Con estas expresiones podemos obtener las ecuaciones diferenciales de la elástica

l; - k z y l

=

d

-ZZ 1 .r, siendo k 2

y, = C sen k x

+

d

D cos k.r - 2 -1 x

P

= 2EI

+ 2d

Determinemos las constantes de integracion imponiendo las condiciones de contorno -y

1

Figura V111.4.

El qlt-. la fuerza P estS aplicada en la seccibn media C implica que el a c o r t a m i ~ ~ i l * longitudinal del tramo AC es igual al alargamiento del tramo BC, por lo quc las rcacciones verticales VA y V, serán iguales.

x = o

; y , = o

. = - 21 ; y , = d

= /

; y, = O

-

e .

B=O kl , 4 5 121 - + d = d

C sen Xl

A = O

+ B cos k1 = O

1..i ; I I I ~ I ~ ~ C Idc O I ~133 corl>t;inics A y B nos indicaii que el tramo BC es rectilinco, rr>iilt.i

o,,,

El croquis acotado de la seccion del pilar se indica en la Figura V111.13-h. en el que se ha tenido en cuenta el valor e = 1.60 cm obtenido de las tablas de perfiles laminados.

Por tanto, al ser este perfil insuficiente. ensayaremos el inmediato superior, es decir. el UPN 120. La esbeltez, en este caso, en el que

seria

a la que corresponde un coeficiente w = 3.96. Por tanto. la tensión en los perfiles que componen el pilar es 6 =

3.96 x 145 x lo3 P a = 169 MPa < a,,, 34 x 1 0 - ~

Los perfiles a emplear son. pues

u UPN 120

Figura VIII.13-b.

2." Estos perfiles sí son válidos. pero para asegurar que la estabilidad del pilar respecto a los planos xy y xz sea la misma es necesario separar los dos perfiles una distancia d entre centros de gravtdad (Fig. VIII.13-a). Esta estabilidad se asegura cuando el plano de pandeo es indeterminado, y esto ocurre cuando las esbelteces son iguales

3." Para calcular el coeficiente de seguridad calcularemos la tensión critica aplicando la fórmula de Euler por ser la esbeltez mayor que l.,,, = 105 o,, =

z2E n2 x 2 x 10' MPa = 87.73 MPa l.l 150'

--

Como ia tensión real a que esti sometida este soporte es

9

de donde se obtiene

el coeficiente de seguridad sera Por la definición de radio de giro y por el teorema de Steiner tenemos

V111.14.

Calcular el soporte BC de la F i p r a V111.14-a formado por dos perfiles UI'N soldados por los extrenios de sus alas. Lus perfiles son de acero A 37 de tensión adniisihle u,.,,,, = 1200 kp/cni2.

FLEXION LATERAL. PANDEO

545

La fuerza norrii:il que aciiia sobre el soporte es igual y contraria a la reacción que corresponde a la viga horizontal A B , apoyada eri la articulacii>ri B. Esta rraccion la obtenemos pur superposici8n: o)

dzbid;i a la c;irga unilorme de p = 1 ton/m actuando a lo largo de toda Is viga

R',, = &, = 5 ton

Aplicarido el segundo teorema de Moh:

se obtiene el momento M, en el empotramiento rCf,

= -6.15 m - ton

La reacción en B es, pues:

de donde: ñ , = 1.15 ton GI

b) debido n la carga P

=

;

R',, = - 1.25 ton

+ R'é

=

RUI + Rek+ Gi + K;,= 5 - 1.25 + 6.4 - 0.768 = 9.382 ton

Este es el esfuerzo normal que actúa sobre el soporte BC, cuya longitud de pandeo, por tratarse de barra empotrado-articulada, es

8 ton

RA, = 1.6 ton

RB =

;

KL, = 6.4 ton

Aplicando el segundo teorenia de Mohr: Ensayemos el pefil más pequeño UPN 80. Las caracteristicas de los dos perfiles son:

R

=

22 cm'

de donde: por lo que la esbeltez del soporte será M, = - 3.84 m . ion R:, =

5> f

= 0.768 ton

; X,, = -0.768 'lon

; i,,

= 3.10 cm

546

F L E X I O N LATERAL. P A N D E O

RESISTENCIA D E MATERIALES

Se deduce la solucioc .iitegral

a la que corresponde un coeficiente w = 2.30 WN= o 0

=.

5.17

2.30 x 9 3 8 2 = a . 22

r = A sen k y

de donde:

+

,

ltf 6 cos ky - --

!ilEI

/

o = 981 kp/cm2 < o,,,

cuyas constantes de integración determinaremos imponiendo las condicioiies de contorno

El soporte BC considerado se construirá, pues, con dos perfiles U P N 8 0 soldados los extremos de sus alas formando una viga cajón. V111.15. Un marco rectangular de nudos rigidos está formado por dos soportei verticales .4B y CD de longitud 2a unidos por dos dinteles AD y BC de longitud a, sustentado y cargado como indica la Figura V111.15-a. Sabiendo que las secciones de soportes y dinteles son iguales. calcular el valor critico de la carga P.

y = O .r =

IM

Al

O = B - 2

.y=O

;

5

P

; x'=O

=.

O=rlk

1Lf

2 (COS rC.2, - 1 ) P

O

3

y

B = c P A = O

i)/J]

Sustiruyendo valores y operando en el sistema técnico

o=

1

[40 x 0.4 + (40 + 30)0.4 + (30 + 30 + 14) .0.3] rad

n2.l' A l o - " Y S x 1 OM -----

-

de donde

O = 0.0278 rad .1f ,_,,= -91M cm. kp

Si R es el ridio dr.1 eje, como éste es de seccion circular, el modiilu resistente es: II'=

l

lI

n R'

7

cuyo valor pedido en erados es:

1X.5.

Cri eje horizontal de longitud I = 6 m tiene los extremos perfectamente empotrados. A partir de uno de sus extremos actúan dos niomentos torsores aislados de IW,, = 10 m . ton y ~\l,.= , 15 rn . ton en las secciones situadas s distancias a , = 2 m y a, = J m, respectivamente, de dicho extremo. Los momentos torsores tienen el sentido indic~doen la Figura 1x5-a. Se pide: Determinar los monientos de empotramiento. Calcular el miniriio d i á m e t r o del eje s i la tensión de cortadura admisible es T , = ~ 800 ~ kp/crn2. 3." Hallar la expresión O = O(x) del lngulo girado por las secciones, representándola grlficamente e indicando el valor máximo y sección en la que se alcanza. Se tomará C = 8 x 10S kplcni'. 4.. Si el material se fisura por tra'cción. determinar las líneas de rotura. l." 2."

por lo que.

de donde:

Sustituyendo valores:

l." El diámetro pedido será:

I 2." Según se deduce de la observación del diagrama de momentos torsorcs. al ser el área de momentos negativos mayor, en valor absoluto, que el de positivos. resulta que el e.

Scrin 'M, y ILI, los momentos d e empotramiento (Fig. IX.5-a). La condición d e equilibrio M,

- M,,

+ M,, + M,

=O

junto a la condición de ser nulo el giro relati.,o d e las secciones empotradas:

Tomaremos

nos permiten obtener los valores de M , y X I ,

3." La ecuación (9.3-1 1) nos permite expresar el ángulo de torsión 4 en la función de la abscisa x

de donde

C

6 6

5 m - ton , - 3

,U

2."

-

-

20 ; M, = -- m . ton

3

El signo menos de M, significa que este momento torsor tiene sentido contrario al supuesto en la Figura IX.15-a. Del diagrama de momentos torsores (Fig. IX.5-b) se deduce que el momento torsor máximo se presenta en el tramo comprendido entre los dos momentos torsores aplicados. Su valor es: M,

para O G x G a ,

r

6

Sustituyendo valores. se tiene:

25 ,,, = m . ton 3

De la expresión de la tensión cortarite

:a

se deduce:

Figura 1X5-c.

3 GIo

e 6 6

Sustituyendo valores:

Del diagrama del ángulo de torsion (Fig. IX.5-c) se deduce que la sección que más ha girado es aquClla en la que esta aplicado el par torsor Alr2. El valor del ángulo girado por esta sección es:

'-

6

e

4.'

Si considtramos dos planos del haz de virtice un riidio: uno coincidente con la sección recia: el otro. un pl.1110 longirudinril (Fig. lX.5-:ii t;iiigeiirss fornl;iii 45 coi1 21 eje. ya q u c I:is ;risr.is s t iorrn:iriri cii ciirrcociri psrpei~drciil.ir :i Id tensioti priiicip:il de iraccion O , I P I ~ .iX.j-/.).

De la T;ibla 9.1 se obtienen los valores de Iri tensión mixima de cortridiiri y del ringulo de torsión. a m b o s en función del momento torsor 111,

Tmi.

'M, = -

0.208, $e torsigina riicdiariie iin par de fuerras Fcciyas lirieas dc accióii ~ $ f a separadas n una di3rancia J = 50 crii. eciuarido dicho par en uiia scrcicin a disiaricia 1 , = I m de uno de sus exrrcriios. Si la longitcid dr la barra es 1 = 3 m, c ~ l c u l a rel valor niáxinio de Fcon la condición de que el Iiigulo mi\iino de torsión sea de 114'. Sr tomará cumo nibdulo de ela,ricidad transrersal G = 3.51 x l o 5 kp/ciri2 y conio tensión m i s i n i a adniisible el valor r,,,, = 600 kp/cii12.

De la primera ecuación se obtiene:

I

de donde

i I

F < 6.24 x 600 = 3744 k p decir, 13 primera ecuación acota el valor d e F para que e1 valor d e la tensión máxima de cori;iclurli n o sobrepase el valor d e la tensión admisible. La segunda nos darla o t r a acotación al establecer q u e el ángulo de torsión entre 1s sección en la q u e se aplica el par y cualquiera de las extremas es menor o igual a 0.25". P o r tanto es

t

Figura lS.6-a.

I

de doiide Se trata de un caso de torsión hipercstática. Si ,VI es el momeiito torsor producido por el par d e fuenris F

1

El valor máximo d e F q u e c u n ~ p l ea m b a s acotaciones es. por consiguiente

Los moriieiitos d e einpotrnmienro son: Al, = A{-

estando expres:ida 1s fiisrza F en k p 6

1, 1 = F1 2

y

'

F

3

3

i = -m.kp

I1

f

IX.7.

En un eje hueco de transmisibn de potencia, que tiene diámetro exterior D e interior d. soiiietido a iorsibn pura s e alcanza una tensión cortante máxirn:: T,. 1."

Sabiendo qiie el potencial interno por unidad de rolunien es de los dihnietros del eje.

-.16C sr:i*

determinar la relacibil

598

RESISTENCIA DE MATER~ALES

2." Si es conocido el potencial interno por unidad de volumen 6, = 2200 m . kp/rnJ y el módulo de elasticidad transversal G = 8 x 10' kp/cm2, calcular los diámetros del eje si ha de transmitir una potencia de N = 500 kW a n = 180 rpm. l."

Despejando y sustituyendo valorec. se tiene:

De la expresion (9.4-1) que nos d a el potencial interno de donde: 1 n ( D 2- d') (D' 16. 4

d.x ,U:

=---

G1:

+dZ)

se deduce la correspondiente al potencial interno por unidad de volumen

IX.8.

Una barra recta tiene como sección una elipse cuyas longitudes de los semiejes son a y b (a > b). Se somete la barra a torsión pura. Determinar la función de tensiones. 2." Hallar las tensiones tangcncisles en la sección, deduciendo el valor de la tensión másima y punto. o puntos, donde se produce 3." Hallar la función de alabeo y deducir la solución de corrimientos.

e -7.

1."

Igualando esta expresión a la dada en el enunciado, se tiene:

l."

8

; :

+ -b' -

f(g,:) = -

d e donde:

u2

1

=o

Esta ecuación. evidentemente, se anula en su contorno. Además, su laplaciana es constante

Sustituyendo valcres. se tiene:

,

En estas condiciones, según sabemos, la función de tensiones es d e la forma

siendo C una constante que determinaremos aplicando la Fórmula (9.5-16)

t9

P o r otra parte, el momentor torsor M , a que está somctido el eje, en función Oe la potencia N a transmitir. es:

La tensiór cortante máxima s e presenta en los puntos perifericos. Por tanto:

9-

La ccuación analitica d y la curva del contorno de la sección es ,'l

2." El valor d e la Y, se puede obtener a partir de la expresión del potencial interno por unidad de volumen

e-

sustituyendo. tenemos: C=

.-' I

u' b' 2g(2+bi-4)

noh

=

-noh

3 'e d'

4

4

Por i:lnro.

l;i

Tiinciáii de trnsio~iespedida es

de donde se obtiene la expresión del ángulo de torsión por unidad de longitud

Allora bien. de (9.5-4) y de la solución de tensiones obrenida en el apartado rinterioi se deduce:

de donde:

La, isnsiones t:ingsncislcs resiilran ser funciones lineales de las coordenadas. Como ' 1 > h. 1.1 irnsion niisiina de cortadura es r X i para (.v = 0; := h). En esir punro r,, = O

Integrando, se obtiene la expresión de la runcion de alabeo $

En la Fi-urn 1X.S ss representan I:ts tensiones tangenciales en los punlos de los sjes de la elipse sección. Se obscrva qiir Ir: ten,ijn mixima se presenta en los cxtrenios del semieje menor, es decir. cn los puntos del coiiioriio m l s ccrcanos iiI ccniro. Con la teoria elemental la máxinia ~ r n s i ó nse presenr3ria en los plintos m i s alejados.

siendo 4, una constante de integración que h a b r i que determinar imponiendo condiciones de contorno. Si el centro d e la sección es fijo $, = O. En este caso la función de alabeo es

La solución de corrimientos s e r a LJ

3." Aplicando la expresión (9.5-7) se tiene:

IX.9.

0'4

a2d

,3.2

6-1

AQ= -~Go=-+-=

21~1 -2

nub

Se tiene un rollizo de madera de roble de radio R = 10 cm, empotrado en uno de sus extrer+.:i' y muy corto para poder despreciar los efectos de flexión. En el otro extremo y perpendicuiri aeje del mismo se tiene, perfectamente empotrado, un perrii laminado de aluminio de secoc... cuadrada y de longitud tal que la distancia de su extremo libre al eje de rollizo es 6 = 0.5 t í .

TEORIA DE LA TORSION

Se ejerce una cierta fuerza f en el extremo libre de la barra de aluminio, de dirección la perpendicular común a los ejes de ambas piezas, alcandndose simultineamente los límites admisibles de tensiones de cortadura en el rollizo y de tracción en la barra de aliiminio. Calcular el valor de la fuerza P y la dimensión del lado del cuadrado de la sección de perfil. Datos: Tensión admisible a cortadura del roble r,,, = 70 kp/cm2. Tensión admisible a tracción del aluminio a,,, = 450 kp/cm2.

Sustituyendo valores se obtiene la longitud del lado del cuadrar'; de la seccion

a

I

i

a = 10.6 cm

l

1

1

b Figura IX.9.

603

11

IX.10.

Se considera una viga cilíndrica de sección elíptica de longitudes de semiejes o y h (o > h ) sometida a tonibn pura. Determinar los puntos de la sección en los cuales el módulo de la tensión tangencia1 tiene por valor la semisuma de los valores modulares que ésta toma en los extremos de los serniejes.

El rollizo trabaja a torsión y la barra de aluminio a flexion. El momento torsor sobre el rollizo es:

1'

que provoca una tensión maxima de cortadura

igual a T., cuando alcanza el valor limite. De esta ecuación se obtiene el valor de P para que esto ocurra 3.14 x lo' x 70 2 x 50 Figura IS.10. Consideremos ahora el perfil cuadrado d e aluminio. El momento !lector máximo se presenta en la seccion de empotramiento con el rollizo y su valor es:

1

Las tensiones tarigenciales en los puntos de la seccion elíptica son (véase ejercicio 1x3) Q

que se puede expresar en función de las carac:tr~sticas geométricas de la sección.

P.I, =

w*.o,

=

a'

- a,, 6

El modulo de

T

es:

Igiialando ambas expresiones: a'

- u*,, 6

=

P(b - R ) En A(y = a ; ; = 0):

de donde:

En B(y = 0; = = b);

i 1

La ,einisumli de estos valores es:

I_iualando esta expresión a la obtenida anteriorniente, las coordenadas de loi puntos en los cuales la tensión tan~enciales T, verifican:

1

P ( ! , :),

-(!+;j=-J; ,M,

nub

.-

1

:;

Si el cocliciente de seguridad es n = 2.5, la tensión limite de traccion es:

Con estos datos veamos cual es el momento torsor máximo que puede transmitir el tubo: a)

/'vi. el

rr/rrio

tic.

TI-rrc[i:

--

+b

U

En este caso

13

condición sera

de doiide:

,,-' + :' (a + b)' = ----

-

b1

114

-111'b2

es decir:

o bien

-

-

=

de donde

' (7 ( ) T ) h(a

+

h)

Esta ecuación representa una elipse, cuyas longitudes de los semiejes son: ,

o =

+

b) -----2h u(n

> a

b((i

: h'=---

+ b)

b)

Por el c r i r c ~ i oI/C lo errrrgiu (Ir ~lefirnrución ~~lií.rir>tri:

La expresión de la energia d e deformación por unidad de volumen es < b

211

ya que a > b. Por tanto, los puntos en los cuales el módulo de la tension tangencial es r son los de los arcos de elipse CD y FT indicados en la Figura IX.10.

C o m o en el ensayo a tracción esta magnitud tiene por expresión

Un tubo de acero de diirnetro exterior D = 50 rnrn e interior d = 46 mrn está solicitado a torsión pura. Sabiendo que la Tension de fluencia drl acero es u, = 25UU kpjcrn2 y el coeficiente de Poisson 11 = 03. calcular el rn9xirno ntomento torsor que puede transmitir el tubo si el coeficiente de segeridad es n = 2.5, aplicando:

se tendrá que verificar

L.) el criterio de Tresca, 6) el criterio de la energia de deformación rnisima, c ) el criterio de von Mises.

El momento de inercia polar de la sccción tubular respecto de un diámetro es:

n(D4 - d 4 ) - n(504 - 46") Io = 32 37

= 174 019 m m "

La tensión tangencial máxima en kp/cm2. si el momento ibf, se expresa en m . kp, es: T~~~

=

;M,D

A1,.25

I

-- = -10' = 14.36 A l , kp/cm2 1, 2 174019

de donde:

TEORIA DE LA TORSlON

607

Sustituyendo valores. se tiene:

c) P o r e l crirerio de uotr Mises:

+

+

Según este criterio (o, - a,)' (a, - 0,)' (o3 Pero los valores de las tensiones principales son:

- u,)' < 2nl,,. M, =

810000(100 x d' 3

+

? x 60 r 5'). ! O - ' 6 n

x

100

--

- 605 c m . kp

140

Tomaremos el menor de los valores obtenidos: como fácilmente se deduce del circulo de Mohr. Por tanto:

IS.13.

de donde:

Se consideran dos tubos de pared delgada, de las mismas dimensiones y material. El radio medio es R y espesor e. Uno de ellos es de sección cerrada y el otro será abierto longitudinalmente. Si a ambos se les somete a torsión pura, se pide: flallar las relacionés entre las tensiones tangenciales máximas. y entre las rigideces a torsión cuando ambos tubos están sometidos al mismo momento torsor M,. 2." Calcular la relación entre los momentos torsores qiie se pueden aplicar a los tubos. 3." Determinar la relación de los ángulos de torsion de ambos tubos.

l."

15.12. Un perfil delgado, cuya sección es una 1 de las dimensiones indicadas en la Figura IX.12, esti sometido a torsión pura. Si el módulo de elasticidad transversal es G = 810 000 kp/cm2, calcular el máximo valor del momento torsor si la tensión tangencial admisible es r,,, = 450 kp/cm2, no debiendo de superar el ángulo de torsión por metro de longitud el valor de 6'.

Figura 1S.13. 1."

1

& ir5

c o t a s en mm Figura IX.12.

((1)

E I I el tubo cerrado, en virtud de la ecuación (9.7-10). tenemos:

siendo R* = n R 2 el área delimitada por la linea media p de la sección. La rigidez torsional es. scgun sabemos:

r3 De la expresión (9.7-6) que nos d a la tensi& tangencial máxima en función del momento torsor, se deduce

1 L s,e; M , = -3 emrx

(100 x 4' rm4.

=

+2

x 60 x S3)10-'

3 x 5 x 10-i

450 = 642 c m . k p

Este seria el valor del momento torsor aplicado al perfil que produciria en el miscio una tensión tangencial máxima igual a la tensión admisible. Para ver si cumple la otra condición referente al ángulo de torsión veamos qué momento torsor tendríamos que aplicar al perfil para que el ángulo gira50 por dos secciones separadas entre sí 1 m sea d e 6". Para ello expresamos el momcnto tnrsor en función d~ O despejándolo de la ecuación (9.7-5)

y tcnicndo en cuenta la ecuación (9.7-15) que relaciona ángulo de torbion po: unidad de longitud y momento torsor, se tiene

Eii el tubo abierto. dc (9.7-1) se deduce

1

1

1

IX.14.

[.a varilla del agitador representado en la Figura IX.14-a tiene una longitud 1, siendo su sección iranwersal la indicada en la Figura IX.14-h. 1.3s ciratro aletas de la varilla tienen idtnticas dimensiones, pudiéndose considerar la sección como de pared delgada. Se pide: I." 2."

D i ~ i d i t i ~ dentre o si IJ, ecii:iciories correspondientes, tenemos:

Determinar el mhxirno momento torsor que es capaz de resistir la sección. Suponiendo que la acción del fluido agitado es un momento por unidad de longitud m, tal como se indica en la Figurn IX.14-a, determinar el giro relatiio entre las secciones estrenias de la varilla.

Datos: a,,,, G. Nota: El ángulo de torsión por unidad de longitud es único para el conjunto de la sección.

2."

Se ob,crva que el cociente de las tensioriss es un valor grande. Por el contrario, la reliición snrre 1.1, rigidece, s j un valor pequeño. Aplicarsmos a anibos tubos, cerrado y abierto, sendos momentos torsores M , y ,Lí./,,, respectivamente, para que en ambos se alcance la tensibn tangtricial adniisible. En el tubo cerrrido, en birtud de (9.7-1 1). se tiene: .tíT,

=

?i?*r~,,

=

7nR2rr,,,

En el tubo ablerto. por (9.7-1). podemos poner

(h) Figura IX.11.

Di\idierido ambas sspresiones: 1."

3." Ahora el moniento iorsor aplicado a cada perfil es el mismo. pues se trata de coriiparar los ángulos de torsión para una misma solicitación de torsión. Di- la ecuación (9.7-1 5) se deduce:

El momento torsor sección del tubo.

M, es absorbido por las secciones de las cuatro aletas y por la

Veamos cuáles son las expresiones del ángulo de torsión de cada una de las aletas, por una parte, y del tubo por otra. El de la aleta, en virtud de (9.7-2). será

y el del tubn, segiin (9.7-15)

y de (9.7-2). análogamente Igualando ambas expresiones, se obtiene la ecuacion

Dividiendo, se tiene que junto con M, = obtener M, y I M ,

4M,, + M, constituye un sistema d e ecuaciones que nos permite

610

TEORIA DE LA TORSION

RESISTENCIA DE MATERIALES

Calcu!emos las tensiones tangenciales máximas en aletas y cilindro. r~spectivamcnt~

61 1

]

I Trnli.

~ M T, 3rMT se' 6 n R J + 4se'

= --

C o m o R » e, se deduce que r,,,, verificar será

>

Figura IX.15-a.

por lo que la condición que se tiene que

T,,,.

l."

Figura IX.15-b.

Aplicando la ecuación (9.7-21) obtenemos los ángulos de torsión por unidad de longitud, correspondiente a cada una de las células que forman la sección, en Función de 10s flujos de cortadura (Fig. IX.15-h).

de donde se obtiene el momenio torsor máximo que es capaz de resistir la sección

Corno los angulós de torsión por unidad de longitud de ambas células tienen que ser i_~usles 2."

La variación del momento torsor en la varilla es lineal desde un valor nulo en el extremo libre hasta el valor 1111 en el otro extremo d e donde Para el cálculo del angulo de torsión por unidad de longitud es indistinto hacerlo en una aleta o en el tubo. Considerando una aleta, tenemos:

o,=-=31\fra

GseJ

3M, Ge(6nR'

+ 4se2)

do d.r

= -

Por otra parte, de la expresión (9.7-18) que expresa la equivalencia entre el momento torsor y los flujos cortantes de la seccion se obtiene la ecuaciljn

por lo que el giro relativo pedido entfe las secciones extremas de la varilla sera que junto con la anterior relación entre r , y t 2 forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, cuyas soluciones son:

IX.15. Las paredes del perfil delgado cuya seccibn es la indicada en la Figura 1X.15-a tiene espesor constante e = 1 cm. El perfil esta sometido a un momento torsor hf, = 8 m . ton en sentido antihorario. Conociendo el módulo de elasticidad transversal del material C = 41 GPa, se pide:

l." Hallar la distribución de tensiones tangenciales en la sección del perfil. 2." Calcular la rigidez a torsión del perfil.

Sustituyendo el valor de Af,, obtenemos

El flujo de cortadura en la pared coiriún, según (9.7-17). es

El ,i:no negativo indica que el flujo de cortadura tiene sentido contrario al supucst o y, p o r tanto. la [ensión tangcnciril T.

Solicitaciones combir~adas

10.1.

Expresióri del potencial intcrno de un prisma rnecánico s o m e t i d o a una solicitación exterior arbitraria

En los capitulas precedentes hemos estudiado separadamente las tensiones y deformacio2."

L a rigidez a la torsion. p o r definicion, es

Como

41, = 8 m - ron = 8 x 10' x 9.8 m . N = 78 400 n i . N

Sustituyendo valores, se tiene

nes producidas en un prisma mecánico por las cuatro solicitaciones simples: esfuerzo

nornl;il, csruerzo cortante. momento flector y momento torsor. Se trata ahora de encontrar un metodo que nos permita obtener los estados icnsional y dc deforniaciones que se producen en el prisma mecinico cuando, en el caso mi5 general, esti sometido simultáneamente a los cuatro tipos de solicitaciones citadas. En cuanto al estado tensional, el problema queda resuelto al admitir el principio de superposición: la tensión normal a, en un punto de la sección es la suma algebraica d e las tensiones normales debidas al esfuerzo normal N y a los momentos flectores M, y M-, actuando cada uno de ellos separadamente. Por la misma razón, la tensión tangencia1 7 es la suma vectorial de las tensiones tangenciales engendradas por T, T, y M,. El conocimiento del estado de deformaciones ya no es tan simple. Se trata, pues, de encontrar una forma sistemática de resolver este problema. Iniciaremos nuestro análisis obteniendo la expresión del potencial interno de un prisma mecánico sometido a una solicitación exterior arbitraria. Si realizamos un corte ideal del prisma por una sección recta de centro de gravedad G y elimiiiamos Ir parte d e la derecha (Fi,o. 10.1). la reducción en G del sistema de fuerzas que equivale a la solicitación sobre la parte elimiiiada consta de iini r e d t a n t e R y d e un momento resultante hi, cuyas componentes respecto de la terna G . y , siendo el eje x tangente a la línea media y los ejes J., :los principales ¿e inercia de la sección, son:

La resultante y e! .>omento resultante fl serán, en general, funciones de la abscisa curvilinea s de linea media, por lo que al considerai el tramo elemental de prisma mecinico limitado por dos secciones rectas 2: y I' que interceptan un elemento d e línea

Dcsprcciando inrinitksirnos de orden superior, es:

13

Veamos ahora cuáles son las expresiones de los vectores (17 y dg referidos a la terna de ejes G-Y!.: definidos por los vectores iinitarios i . J . k . El ingulo (ig es la sunia vectorial de los efecios de giro debidos n la flcxión y a la torsion. El ángulo (/OF debido al momento flector se puede obtener aplicando el tcorema de Castigliano a la expresión (6.3-4) -

: I

1

i

do, =

'/

l

Figura 10.1.

I i

media de longitud ds (Fig. 10.2). la reducción de la acción que ejerce el resto del prisma sobre este elemento consta:

'

,!l

l

expresibn de la energia de deformación

?(di;)

a M,

t(tfF)

+ mk

=

-

A

-

1 - + ,tl_ (1s k2 &;

El:

Ely

En cuanto al ángulo (lp, debido al momento torsor , \ i r tenemos:

siendo / el módulo de torsión, pero hay que tener en cuenta que iG se compone del momento bZx, de rnódulo la componente del momento resultante en la dirección del cjc .Y, y del momento debido al esfuerzo cortante aplicado en el centro de esfuerzos cortantes C. según se vio en el epigrale 4.12 M,

=

izTx + CG' x I

(10.1-4)

Por tanto, d g se obtendrá sumando las expresiones (10.1-2) y (10.1-3)

-

11/ +2 dsj +

M,

dO = - dsi

GJ

+

y momento resultante - M ;en G' (abscisa s ds), dR dfl resultante R + - ds y momento resultante M + -ds. (/S ds Al aplicar la solicitación externa al prisma mecanice, en el elemcnto considerado se ha S),

resultante

-R

El,

iif.

Elz

tlsz

Análogamente emontraremos Iz expresión correspandiente a dT que determina el dcspiazamiento de G' respecto de Z debido al esfuerzo n ~ m a l al , esfuerzo cortante y a la rotación alrededor del centro C de esfuerzos cortantes

Figura 10.2.

en G (abscisa

,

producido una deformación, de forma que la variación relativa de la sección X' respccto de la sección Z sc puedc considerar como la composición de una traslación d z , quc hacc pasar el centro de gravedad G' a la posición G", y de un giro d j . En virtud del teorema de Clapeyron podemos expresar el potencial interno dcl elemento considerado en función de las deformaciones relativas de la sección Z' respecto de C.

1

De las expresiones (10.1-5) y (10.1-6) se deduce:

616

u ~ s i s - r t s c i .DE \ .LIATEKIALES

SOLlClTAClONES COMBINADAS

r\t10r3 bien, como:

y;i

normales, esfuerzos cortantes, momentos torsores y momentos flectores respectivos, debidos a la carga real, por una parte, y a la carga ficticia actuando sola sobre el prisma, por otra. Por la linealidad entre causa y efecto, cualquiera de estas magnitudes dcbidris a la carga 6 es igual al efecto producido por una carga unidad aplicada en el mismo punto o sección. de la misma dirección y sentido que 6, multiplicado por el módulo de la carga (F. Ssgun esto. las leyes de esfuerzos y momentos en las secciones del prisma serin:

qus .V es colineiil con ;\iry el producto mixto es nulo. Adcmij, en virtud de (10.1-1) --

.\f.,

.\l.r GJ

. -(1.5

- (.\IT+ GT

x

!\TT f).-11s

GJ

'U+ GJ

= -(/S

617

-x

+ (GC

-

!uT

T).-(~s GJ

+

4Ni

7;. = T,O +

47,

iV =

=

z M,

Tenicndo en cuenta estos resultados, si sumsnios (10.1-7) y (10.1-SI y sustituimos en (10.1-1) se tiene

N,

=

T0 + 4c,

=

M,,

1LI, =

+ dM,, Myo + ~ I M , ,

M, = Mzo

+

41Mz1

en donde: Esra expresión nos indica q. el potencial interno por unidad de longitud de linea media del prisnia no es sino la supsrposición de los potenciales internos debidos a cada uns de 1'1s solicitaciones actuando independientemente unas de otras. El potencial iritsrno de todo el prisma se obtendrá integrando la expresión anterior

en donde S, y S, son las abscis¿s curvilineas de los centros de gravedad de las dos sscciones extremas del prisma mecánico. Esta expresión del potencial interno es la que utilizaremos para aplicar los teoremas J e Castisliano, blenabrea y Maxwell-Betti.

i i

son las leyes de esfuerzos normales y cortantes en el prisma mecánico sometido a la solicitación real dada. 1i4T0,iMY0,MI, son las leyes de momentos torsores y flectores en el prisma mecinico sometido a la solicitación real dada. N , son las leyes de esfuerzos normales y cortantes producidos en el prisma por una solicitación formada exclusivamente por una carga unidad, o un momento unidad aplicada al punto, o sección. en el que se quiera medir el corrimiento. o giro, respectivamente. M,,, IM,,, M,, son las leyes d e momentos torsores y flectores producidos en el prisma por una solicitación formada exclusivamente por una carga unidad. o un momento unidad aplicada al punto, o sección, en el que se quiera medir el corrimiento, o giro, respectivamente. I

T

.

,

El potencial interno de la viga, en virtud de (10.1-12) y teniendo en cuenta (10.2-I), es: (3

10.1. hlétodo de Mohr para el c5lculo de desplazamientos en el caso general de una solicitación arbitrarin En el epígrafe 5.8 se expuso el método de Mohr para el cilculo de desplazamientos de los puntos de un prisma mecánico sometido a ílexión simple. Ahora veremos que el método es ocneralizable al calculo de desplazamientos, tanto para corrimientos de puiitos como para siros de las secciones, en el caso general de una solicitación arbitraria. En efecto, siguiendo la metodología allí expuesta supondremos aplicada una carga ficticia 6, que sera una fuerza en e: caso que queramos calcular el corrimiento del punto en el que se aplica, o bien un momento si se trata de hallar el giro de la sección s o b l ~la quc se hace actuar. Por el principio de superposición, e! esfuerzo n o m a l , los esfuerzos cortantes, el morncnto torsor y los momentos flectores del prisma mecánico seran la s i m a de los esfuerzos

+ MTO +GJ4h,fTl)2 6

+

(Myo

1

+El,4iVy1)2 + (Mzo +El,4j4z,)2

ds

(10.2-2)

Si es una fuerza y se trata de calcular la proyección sobre dicha fuerza del corrimiento del punto C en el que se aplica, por el teorema de Castigliano, se tiene:

618

SOLICITACIOi.;ES COMBINADAS

RESISTENCIA DE MATERIALES

Análogamente, si & es un momento y s e quiere calcular la proyección del vcctor dcl giro de una sección Z sobre el monlento 4 aplicado a la misma tendremos:

"1

10.3. F l e x i ó n y torsión c o m b i n a d a s Es poco frecuente que en los problemas que se le pueden plantear a un técnico se presente la torsión en su forma simple. Por el contrario. son abundantes los casos en que aparece combinada con flexión, como ocurre en el caso de ejes motrices utilizados para transmitir potencia, en los que el peso propio, reacciones en cojinetes, etc. producen un momento fiector que hay que considerar; o en el caso de una viga curva plana horizontal (llamada viga-balcón) sometida a la acción de cargas verticales.

Figura 10.3.

..

Consideremos un eje sometido a torsión y en el cual se considera su propio peso. Suponemos que actúan sobre el mismo fuerzas verticales (cargas directamente aplicadas o reacciones). Al ser la sección circular, las direcciones principales de inercia están indeterminadas. por lo que tomaremos como eje Gy el radio vertical. En estas condiciones el momento torsor MT tiene la d i r e ~ i 6 ndel eje x, el fiector M , la del eje z, y el esherzo c g t a n t e T, la del $e y (Fig. 10.3). Veamos qué estado tensional produce en la sección cada uno de ellos: M, sólo produce cortadura, según sabemos. En la Figura !0.4-a se representa el espectro de tensiones en una sección para :os puntos d e su diámetro vertical. El valor máximo es:

619

Tensiones debidas a la iorsian (0)

.

Normales Tangencialcs Terisioncs debidas a la íiexion

(4

Figura 10.4.

(4

Finalmente, la distribución dc tensioncs verticales de cortadura debidas al esfuerzo cortante T, sigue una ley parabólica. que se anula en los extremos del diámetro vertical y toma su valor maximo en los puntos del diámetro horizontal (Figs. 10.4-c y 10.4-4

Este valor es, generalmente, muy pequeño frente a r,,. y a,,,. por lo que no se suclc tener en cuenta. Por el contrario, se considera que en todos los puntos de la sección, a electos del cilcuio del elemento resistente, actúan las tensiones; o,,, en dirección normal a la sección (de sentido positivo si se trata de tracción, y negativo si están sometidos a compresión), y rmaX, de dirección perpendicular al radio que le corresponda. Ahora bien. a,, y r,,, son las componentes normal y tangencia1 del vector tensión en una superficie elemental contenida en la sección recta. Considerando otra sección elemental. ortogonalmente a la anterior (Fig. 10.5-a), los valores de las tensiones principales se obtienen inmediatamente a partir del circulo de Mohr correspondiente (Fig. 10.5-b):

M,, por su parte, causa una distribución d e tensiones normales a la sección, dada por una funcióti lineal de la distancia de cada punto al plano Gxz, y cuyo valor máximo corresponde a los extremos del diámetro vertical (Fig. 10.4-6): Figura 10.5.

620

SOLICITACIONES C O M t i l N A D A S

RESISTENCIA DE XtATER1,ALES

Asimismo, se obtienr el valor de In tensión de cortadura mixima:

y. en virtud dc (10.3-6). resulta:

Sustituyendo los valores de r,,,, y o,,,

10.4.

dados por (10.3-1) y (10.3-2). se tiene:

i

621

Torsióri y cortadura. R e s o r t e s de torsión

Otro ejernplo tipico de torsion combinada es el de los muelles o resortes de torsión. Consideremos un alambre de seccion transversal constante, que supondremos circular, cuya fibra media adopte la configuración geornétrica de una hélice y esté sometido a un esfuerzo de tracción k- en la direccibn de su eje. Realizando un corte en una sección recta, en el centro de gravedad de la misma existirá una fuerza igual y coniraria a F y un momento M opuesto al de la fuerza F respecto de G (Fig. 10.7).

Las miximas tensiones principales se produciriii. en gerieral. donde las tensiones debidas a la Ilesion son mayores. es decir. en la parte supcrior o inferior de la sección del prisma que esiii soinetida al momento flector máximo. No obstante, esto puede no ser cierto y hay que considerar otras posibilidades, y calcul;ir, por ejemplo, las tensiones principales sn los puntos de la seccion que son extremos del eje neutro, aunque, como ya sean pequeños frente a ,,T y o,,,. liemos dictio, por lo general, los valores de T,

Figura 10.6.

u

Si la sirstentación de la viga no es el apoyo simple, o si 13 sección del prisma no es circular, se puedcn calcular los valores de las tensiones principales en diversos puntos del prisma, en los que bien la tensión normal o bien la tcnsión cortante tomen valores máximos, y compararlos. Se tendrá de esta forma una razonable seguridad de haber obtenido los niriximos valores absolutos de Iás tensiones. Si se trata de calcular el diámetro de un eje. éste se determinará a partir de estos máximos valores absolutos que, en general, serán los dados por las ecuaciones (10.3-61, aplicando alguno de los criterios de resistencia que ya conocemos. Dentro de éstos es quizás el de Tresca el que nos resulte de más comodidad a la par que nos aporta la mayor seguridad. Según este criterio. si el limite elástico es a, se tendrá que vcrificnr:

Tomaremos como eje Gy la intersección del plano de la sección con el plano que contiene a F y es tangente a la fibra media cn G (plano que, para la sección que se ha tornado en ! 3 !ígara, 2s pardelo al plano del papel, por lo que los vectores F y M, así como sus componentes según los ejes Gx y Gy pertenecientes a este plano, aparecen representados en verdadera magnitud). La fuerza F admite dos componentes:

siendo U) el ángulo helicoidal que es constante para todas las secciones del muelle.

SOLICIT,ZCIONES COMBINADAS La primera componente N produce un efecto de tracción la segunda T, lo produce de cortadura. También el momento M tiene dos componentes: M,

=

,Cf cos O

=

FD

- cos 2

O

compresión. mientras que

estando extendida la iniegral a lo largo de toda la linca media del rcsortc. y siendo !MT= F . R

; hd,, = R

Sustituyendo en (10.4-4) y suponiendo que el mucllc tiene

O

623

t~

espiras. se tiene

( 10.4-2)

FD M, = M sen O = - sen O

2 siendo D el diámetro medio del resorte. La primera componente M, es un momento flector que causará un efecto de tracción en media sección (en > 0. por ejemplo) y compresión en la otra media (en r < O). La segunda componente, de dirección tangente a la fibra media en G, es un momento torsor. Para muelles que tengan las espiras muy próximas, el ángulo helicoidal 0 tiende a n/2, por lo que tanto N como M, se pueden considerar despreciables. En este caso las tensiones en la sección recta son exclusivamente de cortadura.

Esta expresión de S se puede poner en función de los diameiros D de la espira y [í del alambre. 6

FD' 32 8 FD3n - 2nn = --8G nd4 Gta ~orritrtidoa un nioniento torsor d.1, = 600 m . kp y a una pre3ión interna p. Conociendo el valor de la ierisión adniisible en el materi~l.tanto a tracción coirio a compresi6n, o,,, .- 110 kp/crii' y admitiendo que las tensiones tangenciales debidas al inoincnto torsor son uniforines eri el espesor. dcierrninar el rniximo valor que puede tornar la presión interna p.

((1)

Aislando un elemento limii3do por dos planos diameirales y por dos planos transversales. indefiriidamente pró.rimos entre si ambos (Fig. X.7-o).se tienen sobre sus caras las tensiones indicadas en la Figura X.7-h.

Figura X.7. (1200

-

I

(4

4 . 5 ~ ) ' = ( 4 . 5 ~ ) ' + 105.52'

de donde:

Un eje vertical de acero dulce del tipo A 37, que está empotrado por su extremo inferior. tiene un radio R = 5 cm. En la sección extrema superior se splica un momento torsor M , = 1000 i i i .i.p y sobre ella dscanba una carga P = 10 ton. . Estudiar el estado tensional exisgnte en el interior del eje calculando en particular las tensiones principales en magnitud y dirección para un punto a distancia r = R / 2 del eje geométrico de la pieza. Comprobrr si es superada en algún punto la tensión máxima admisible. Datos del acero A 37: u,,, = 1200 kp/cm2; T,,, = 800 kp/cm2.

S.8.

, ,

Figura IX.7.

.,

El valor d e la tensión normal o se puede obtener planteando el equilibrio en medio tubo (Fig. X.7-c) de longitud unidad

El eje considerado está solicitado pc; una acción combinada de compresión y torsión. Sea P un punto interior a distancia r del centro de la sección recta que la contiene. El primer efecto de compresión se traduce, para una superficie elemental que rodea a P y está contenida en la sección recta, en una tensión normal o, a la superlicie, de valor:

siendo R , el radio interior.

que es constante cn toda la pieza.

SOLICITACIONES COMBINADAS

639

de donde:

direcciones contenidas en el plano n indicado en la Fisura X.8-o. Las tensiones tansenciales rnixirnas se dan en los puritos periícricos en los que

1

Figura X.8-a.

Figura A.8-b.

Por otra parte el momento torsor M, causa una tensión d e cortadura plano de la sección recta. perpendicular al radio G P y de valor:

Las tensiones principales en estos puntos son: T

contenida en el

Sea n el plano que contiene a ambas tensiones. Este plano resulta paralelo al eje de la pieza y perpendicular por tanto a la sección recta. Considerando un haz de planos que contienen el radio G P se pueden obtener para estas orientaciones las componentes normal y tangencia1 del vector tensión utilizando cl circulo d e Mohr (Fig. X.8-b). Fácilmente se deducen los valores de las tensiones principales:

que no supera el valor de la tensiRn adniisible

X.9.

Un eje hucco de acero, de diámetro exterior D = 12 cm e interior d = 6 cm, ha de transmitir una potencia de N = 800 CV girando a n = 500 rpm. El eje esta sometido a una compresión de r" = 5 ton y es lo suficientemente corto pJra que no haya que considerar fenbmenos de pandeo. También lleva un volante quc produce en el eje uii niomcnto ilector mi\imo Af,. Calcular el niayor valor que puede tcner ,VI, para que el ~ a l o rde la nihsinia tensión principal no supere el valor a,,, = 1000 Lp/cm2. El eje que se considera esta sometido a una solicitación combinada de compresión, ilexión y torsión.

Sustituyendo valores se obtiene: Los valores miximos de la tensión tangencia1 debida al momento torsor y la normal d:bida al momento fleclor se presentan en los puntos dc las secciones rectas que pertenecen a las generatrices superior e inferior del eje. Sus correspondicatec expresiones son:

Las tensiones principales están contenidas en el plano n y valen: o, = 198.8 kp/cm2 (tracción) o, = -326.1 kp/cm2 (compresión) del mismo circulo de Mohr se qbtienen las direcciones principales:

Conio la tcnsión priricip;il mixima es:

642

SOLICIT4CIONES COMBINADAS

RESISTENCIA DE MATERIALES

l."

2." Si o = bfi. a, es también una función creciente. Su máximo se presenta también en el vértice A . Su valor es:

643

Segun se ha visto (Fig. 10.8). la tensión mixjinn d e corradura en la seccihn de un mucllc se presenta en el punto i n ~ e r i o rde la espira. Esta tensión rnrixima consta de dos términos: T,. debida al momento torsor

y r,. debida al esfuerzo cortante

3.0 si o > bfi. Estudiemos la función o, = /(!). q u e verificar: -

do,

Veamos si tiene máximos relativos. Si los tiene se tiene

-

2M

-=y .nab

Se tendrá que verilicar,

de donde Sus~iiuyendovalores: solución válida si y X.11.

< a.

Un resorte helicoidal de una balanza para carga máxima P = 10 kp tiene un diámetro de espira de 2 R = 4 cm. Se pide calcular:

l." El diametro del alambre, si la tensibn maxima admisible a cortadura es 2."

T.,

en donde r viene expresado en milimetros. Esta inecu:icion sc piicdc rcsolver por tanteo viendo el menor valor entero de r q u e la satislace. Resulta:

= 1000

kp/cm2. El alargamiento del muelle cuando esta aplicada la carga máxima, si n = 12 es el número de espiras.

Se tomara como módulo de elasticidad transversal G

=

85 x l o s kp/cm2. 2." Aplicando ;! eciiición (10.4-5) tenemos:

X.12.

Un resorte helicoidal compuesto esta formado por dos resortes, coloc-do uno en el interior del otro. Las caracterlsticas del resorte interior son las siguientes: tiene n , = 10 espiras de diámetro d, = 5 ,nm, el dilrnetro medio es D I = 60 mni y su longitud cuando no esta sometido a esfuerlo alguno es 1, = 80 mrn. El resorte exterior tiene n 2 = 8 espiras de diáinctro d , = 7 mm, su diimetro medio es D, = 75 nlrn y su longitud cuando no está comprimido 1, = 70 mm. Se comprimen ambos resortes entre dos placas paralelas hasta que la distancia entre las dos placas es de 60 mrn. Si cl módulo de elasticidad transversal c i G = 8.4 x 10* kp/cm2, se pide: 1."

Calcular la rigidez de cada uno de los resortes.

La Hallar la carga aplicada a las placas. Figura X.ll.

3." Determinar el valor dc la terisión maxirna de cortadura en cada resorte.

1."

1-a rigidcr de cada rchorte ch. bcgiin la exprrsibn (10.4-Y)

1-a condicit,n de lorigitud del resorte c!s;i~ido las espiras se tocan nos proporciona la eciiación ,ir/

= 1 = 60

mni

y d ~ .la coritlicion dc ser la tensión tangencia] niixiina i-u~il a cortadura. se tiene:

2."

I;i

terisión ;idiiii>iblc

3

L3 c3rp.1 que j o p o r t ; ~cada uno de los resortes es:

Sustituyendo en la primera ecuación. teniendo en cuenta la segunda:

L.I carga

10131

aplicada

3

1.1s pIac9s s e r i d c doiide:

Lo Despreciando e1 efecto del esfuerzo cortante la tensiOn tangencial en un resorte será la dcbida al momento torsor. Su valor minirno cs: Finalmcnie. el numero

Particularizando esta ecuacion para los resortes interior y exterior. respectivamente. tenemos

S.14.

ti

d e espiras es:

Cuando se comprime un resorte helicoidal de n = 10 espiras cerradas, produciéiidose un acortamiento 6 = 5 cm, se absorbe una enerbía F = 2 5 m - kp. Si el diúmetro medio de la espira es nueve veces el del alambre, calcular los diámetros de la espira y del alambre, asi como el valor de la tensión tangencial niixima. El rnódulo de elasticidad transversal es G = 8 4 x 105 kp/cm2. De la expresión de la energía d e deformación. expresada c o m o trabajo d e las fuerzas exteriores,

X.13. Se quiere construir un resorre helicoidal de rigidez X- = 1 kplcm, tal que su longitud con las espiras tocandose entre si sce I = 60 mm, para una carga nihsima de P = 5 kp. Sabiendo que

se deduce el valor d e In fuerza que coriiprime el resorte

la tensión tangencial admisible del material es r,,, = 800 kp/cm2 y que su módulo de elasticidad rransversdl es G = 6 x 105 kp/crn2 se pide calcular el diiritctro del alambre, el diimetru medio del resorte y el número de espiras. De la expresión (10.4-8) quz nos da la rigidez se deduce una relación entre las incógnitas

C o m o B = 9íi y

ti =

10. cn virtud de (10.4-6), se tiene:

SOLICITACIONES COLIBINADAS

647

L a ecuación (10.5-10) que nos da el vector corrimiento de una dcterniiriada seccion.

de donde:

aplicad;^ a la sección C de la viga que corisideramos. se reduce a

-

= n >irnplc

,dX

- . .-.

?dL

T.

F.

=-

F.

r-

,+e

h

3 t-.< -. Ti oL'

v

t.

F'r 1 +l.$ - -

COr13nIe cornbinridos

7- oL2

V

r.---

Para

+

a'. = Ju,lj(::)' Torsibn y

Eri cstas ciprclioncs:

1

cortante con1binados

h l i s i m o nfucrzo cortante admisible para las soldaduras 2:

I I (

!

El momento t o n o r M: P P e Y dcscdmpone proporcionalmente a A l , y hf,. E l csfucrzo cortante I.'* x descompone proporcionalmcnre a

&Y&. Las soldaduras 1 se calculan como el caso iZ Las soldaduras 2 'se calculan como el caso I l .

6Caso

Solicitaci6n

Uni6n Dos soldaduras laterales y una frontal

l

I

Expresi6n prlctica

G 4r

Para O.5h < L, < 2h. Maximo morncnto admisible pan la soldadura 1:

Apéndice

M, =0.14a,L:a, M i x i m o momento ionor admisible para las soldaduras 2:

we=

hf, =0.75a,L1a,(h+o,) Tonion y afucrzo cortante combinados

El momento ,M' = F'e se descompone proporcionalmcntc a Af, y M2. El csfucrzo cortante F. (si ssti contenido en el plano de la junta. o su excentricidad es pequeña) se considera absorbido por las soldaduras 2. L a soldadura 1 se calcula a IicxiSn pura. L a soldadura 2 se calcula como en el caso I1.

Para 0.5h < L

i .?h.

Tablas de pe~fileslanzinados

Caso a:

M; = F*c* ; M: = F * r , Los valores de o. r. y ,T debidos a A!, y F*. se obtienen como cn el caso 13. Los valores dc a y r.. debidos a hf;. se obtienen como en el caso 10 (r.'=01. Caso b: debido a M .: obtcncmor unas tensioncs:

M: ; a w ' = 0 ; r,Y'=O rr=2Ao Donde: A. área encerrada por la linea mcdia de la sección de garganta de las soldaduras. abatida sobre et plano de la uniiin; o, dimension de garganta de la soldadura en el punto q ~ x z considera. E l resto de las tcnsioncs y la wmprobación de las soldadutdz como en el caso a. Debe cumplirse en todos los casos: un=~u"

16

wrtantc comb;.,*dos

+ 1.8(r:1+~:')

< u,

En general. se pueden omitir en atas uniones los cilculm de las tensiones dcbidas a la torsión.

,

@=

APENDICE

S

Z

657

DOBLE T I'ERFIL N O R h l A L (IPN)

A = Area de la s c c i ó n I = Momento de inercia W = Módulo resistente I i = = Radio de giro

J;

S,

=

blomento estático de media sección

S,

=

-

fx

S,

= Distancia entre los centros de compresión y tracción

q = Rendimiento u = Superficie lateral por metro lineal

658

RESISTENCIA DE MATERIALES

DOBLE T PERFIL EUROPEO (IPE)

ri = Area de la sección I = hfomento de inercia IV = Modulo resistente

/;

-

i =

=

Radio de giro

S. = hloniento estático de media seccion

= I ' =istancia D . entre los centros de compresión y iracción

5

S. q = Rendimiento u = Perimetro =

Dimensiones (mm)

-

IPE h

-

b

e

el

r~

h,

Sección Peso A P cm2 kg/m

Referido al eje x-x

. 1, cm'

W, cm'

i, cm

80

80

46

3.8

5.2

5

59

6.00

80.1

20.0

3.24

100 120 140 160 180

100 120 140 160 180

55 64 73 82 91

4.1 4.4 4.7 5.0 5.3

5.7 6,3 6.9 7.4 8.0

7 7 7 9 9

74 93 112 127 146

10.3 13.2 16,4 20.1 23.9

8,lO 10,4 12.9 15,8 18.8

171 318 541 869 ;.32@

34,2 53,O 77,3 109 146

4.07 4.90 5.74 6.58 7.42

200 220 240 270

200 220 240 270

100 110 120 135

5.6 5.9 6.2 6.6

8.5 9.2 9.8 10,2

12 12 15 15

159 177 190 219

28,5 33.4 39.1 45.9

22,4 26.2 347 36.1

1.94C 2.770 3.890 5.?9(!

194 252 324 429

826 9,11 9,97 112

300 330 360

300 330 360

150 160 170

7.1 7.5 8,O

10,7 11.5 12.7

15 18 18

248 271 298

53,8 62,6 72,7

422 49,l 57.1

8360 11.770 16 270

557 713 904

12s 13,7 15,O

400 450

400 450

180 190

8,6 9,4

13.5 14.6

21 21

331 378

84,5 98,8

66.3 77.6

23.130 1.160 33.740 1.500

16.5 18.5

500 550

500 550

200 210

10.2 11.1

16,O 17.2

21 24

426 467

116 134

947 48.200 1.930 67.120 2.440 106

600

600

220

12.0

19,O

24

514

156

122

92.080 3.070

'

I

7,64

Referido al eje y-y

1

l

i

W,

1, cm4 I

W1

mm

IY

S, cm3

mm

Jr

cm

'1=

IVx/P

m2/rn

IPE

cm

3.69

1.05

25

10.5

6.4

11.6

6.90

3.34

0,328

80

5.79 8,65 12.3 16.7 2í2

1,24 1.45 1,65 1.84 2,05

30 35 40

8.4 8.4 11 13 13

19.7 30.4 44,2 61.9 83.2

8,68 10.5 12.3 14.0 15.8

4.22 5,ll 6,00 6.89 7.78

0,400 0,475 0.551 0.623 0,698

100

45

12.5 14.5 16,s 19 21.5

120 140 160 180

142 205 284 420

28.5 37.3 47.3 62.2

2.24 2.48 2.69 3.02

52 58 65 72

24 26 27.5 31.5

13 17 17 21

1 10 143 183 242

17,6 19.4 2i.2 23.9

8-69 9,62 10.6 11.9

0,768 0,848 0,922 1,041

2u0 220 240 270

604 788 O

80.5 98,s 123

3.35 3.55 3.79

80 85 90

35 37,s 40

23 25 25

374 402 510

26.6 29,3 31.9

13.2 14.5 15.8

1.159 1,254 1,353

300 330 360

1.320 1.680

146 176

3.95 4,12

95 100

42.5 45

28 28

654 851

35.4 39.7

17.4 19.3

1.467 1,605

400 450

20.4 22.3

2.140 2.670

214 254

4,31 4.45

110 115

45 47,s

28 28

1 100 1390

43.9 48.2

21.3 23.1

1.744 1,877

500 550

24.3

3.390

308

4.66

120

50

28

1760

52.4

25.1

2315

600

1

8.49

cm'

I

)I

mm

15.9 27.7 44.9 68.3 Io1

1

44

1

q

;

*

DOBLE T ALA ANCHA. SERIE bIED1.A (HEB)

A = Area d e la sección LV = Módulo resistente

Radio de giro

compresión y tracción q

=

Rendimiento

1

Dimensiones (rnm)

1-IEB h

b

e

6' 1

r

11,

Rcferido al cjc

Scccion I'rso A P cm' kgjm

f, cm'

V cm3

i,

450 864 1.510 2.490 3.830

89,9 144 216 311 426

4.16 $04 593 6,78 7.66

100 120 140 160 130

6 6.5 7 8 8,5

700 220 240 260 210

200 220 240 260 280

200 220 240 260 280

9 9.5 10 10 10.5

15 16

300 320 340 360

300 320 340 360

300 300 300 300

11

11.5 12 12,5

19 20,5 21.5 22.5

27 27 27 27

208 225 243 261

149 161 171 181

117 127 134 142

400 456

400 450

300 300

13,5 14

24 26

27 27

298 344

198 218

155 171

500 550

500 550

300 300

14.5 15

28 29

27 27

390 435

239 254

187 199

57.680 2.880 17.1 79.890 3.550 19.1 : 107.200 4.290 212 1 136.700 4.970 232;

600

600

300

15.5

30

27

486

270

212

171.000 5.700 25.2 .

1

61.3 5.700 71.5 8.090 83.2 :1.260 93,O 149201 103 19:270

1

G

25.170 30.820 36.660 43.190

570 8.51 736 9.43 938 10.3 1.150 112 1.380 12.1 . 1.680 1.930 2.160 2.400

1,

1% cm3

1

1

13,0, 13.8 14.6 15.5

.

y-

S,

cm -~ -

r,=

W/P

(

U

m2/m

HEB

100 120 140 160 180 200 220 240 260 280

27.5 32.5 37,5 40

52.1 82.5 123 177 241

8,63 !U,5 12,3 14,l 15.9

35 40 45

45 50 40 40 40

25 25 25 25 25

321 4!4 527 641 767

17.7 19.6 21.4 23,3 25,l

0,567 0,686 0,805 0.918 1.04 9,30 1.1 5 1.27 10.3 11.3 1.38 1.50 12.4 1.62 13.4

1?0 . 120 120 120

50 50 50 50

40 40 40 40

25 25 25 25

934 1.070 1.200 1.340

26,9 28,7 30,4 32.2

14.4 15,2 16,l 16.9

1.73 1.77 1.81 1.85

300 320 340 360

7,40 7,33

120 120

50 50

40 40

25 25

1.620 1.990

35,7 40,l

18,6 20.8

1.93 2.03

400 450

7.27 7.17

120 120

45 45

45 45

28 28

2.410 2.800

44,5 48.9

22,9 25,O

2.12 2,22

500 550

7.05

120

45

45

28

3.210

53.2

26,9

2,32

600

53 65 75 85 100

2.000 2.840 3.920 5.130 6.590

200 258 327 395 471

110 120 90 100 110

8.560 9.24U 9.690 10.140

571 616 646 676

5,07 559 6.08 6,58 7.09 7.58 7.57 .7,53 7,39

10.820 721 11.720 781 1

-

S, cm3

13 ii 21 23 25

2,53 3,06 3,58 4,05 4.57

13.530 902

tv2

rnm

167 33.5 318 52,9 550 78.5 889 1 1 1 1.360 151

12.620 842 13.080 872

)vl

i,

cm4 cm I----

--

100 120 140 160 180

20.4 26.7 33.7 42.6 51.2

i

cm

-. -

100 120 140 160 180

11 12 13 14

)Y

!

-

----

Referido al eje y-*v

x-.ic

,

4.41 5.39 6,41 7,30 8.32

662

RESISTENCIA DE MATERIALES

DOBLE T ALA ANCHA. SERIE LIGERA (HEA)

p , w ,

dw

,u.

rl = Area de la sección 1 = hlomento de inercia ii' = h.lódulo resistente ;=

x ---

=

Radio de giro

\ A

S,

=

h$omento estático de media sección =

Distancia entre los centros de compresión y tracción

= Rendimiento u = Perimctro 11

Dimensiones (mm)

Sección

Peso

Referido al eje x - x

@

-

666

KESISTEYCI.I Dt- .\lr\Tii',l,4LES

APENDICE 1

667

PERFIL I