MB 2004-2 Material Complementario N°2 Sistema de Ecuaciones Lineales y No Lineales

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

Matemáticas Básicas - Semestre 2004-2 Material complementario No 2 Sistemas de ecuaciones y lineales y no lineales

Descripción del método de Gauss La resolución de un sistema de ecuaciones lineales puede abreviarse trabajando con los coeficientes de las variables y de los términos independientes que aparecen en las ecuaciones. A continuación se mostrará un ejemplo en el que se aplica este método denominado Método de eliminación gaussiana y en el que el objetivo es trabajar con ecuaciones equivalentes a las dadas inicialmente pero con las que el cálculo resultará más sencillo. Por ejemplo, resolver el sistema

2x+4y+6z = 18 {

4x + 5y + 6z = 24 3x+ y-2z

(1)

=4

Solución propuesta: Se deben encontrar todos los posibles valores que pueden tomar x, y y z tales que las tres ecuaciones se satisfagan simultáneamente al evaluarlas en dichos números. El sistema ( 1) puede ser escrito en forma matricial como se observa en la columna de la derecha, omitiendo las variables: 2x+4y+6z=18 {

4x+5y+6z = 24 ... 3x+ y-2z = 4

(1)

!( ; :

3 1 -2

La matriz (2) se denomina matriz ampliada del sistema ( 1 ). Ahora, las operaciones que realizaríamos sobre las ecuaciones del sistema (1) se realizarán con las filas de la matriz (2). Cada fila (ecuación) de la matriz se denotará por f¡ donde i=l, 2 ó 3.

El objetivo es obtener, a través de la suma de filas o la multiplicación de una fila por un número distinto de cero, nuevas filas pero que correspondan a un sistema equivalente al dado inicialmente. La matriz (2) deberá convertirse, si fuera posible, en una matriz de la forma:

Para conseguirlo, sigamos el siguiente procedimiento:

1o.

Para conseguir un 1 en la primera posición, se multiplica la primera .'

ecuac10n por

"21 JI

20.

~

1 -J; 2 1

Luego, para obtener O en la primera columna de las filas· 2 y 3:

/2

/3

~

~

/2-4/I

/J-3/¡

(~ (i

2 -3

-6

1

-2

2

3

-3

-6

3

-H -~2]

-5 -11 -23

Los pasos realizados equivalen a eliminar la variable x en la segunda y tercera ecuación.

1

Ahora multiplicaremos la segunda ecuación por

fz 4°

~

3

1

--/2 : 3

Para obtener O en la segunda columna de la tercera fila (ecuación), se debe multiplicar por 5 la segunda fila y sumar la tercera fila con la nueva segunda fila.

(o~ ~o ~

-1

:J -3

5°

Finalmente, para obtener 1 en la tercera columna de la tercera fila:

6°

De la tercera fila se obtiene: z=3 y sustituyendo este valor en la segunda ecuación se obtiene: y=-2; luego x=4. Por lo tanto , este sistema de ecuaciones tiene solo una solución: (4; -2; 3). 2

... Problemas I.

Resolver los siguientes problemas, empleando el método de eliminación gaussiana. l.

En una carpintería se fabrican rnesas, sillas y estantes; para ello se emplean los procesos de corte, ensamble y acabado. En la siguiente tabla se muestra el número de horas que se emplea en la producción de cada uno de dichos artículos.

~

Estante

Mesa

Silla

Corte

7

2

4

Ensamble

4

4

4

Acabado

10

5

1

p

Hallar el número de unidades de cada uno de los productos que se deben producir en una semana de cinco días, sabiendo que se emplean 8 horas diarias en cada proceso. 2.

La Texas Electronics Inc. (TEI) produce tres nuevos modelos de computadoras: 1, 2 y 3. Como parte del proceso de elaboración, estos productos pasan por la planta técnica y por la planta de ensamblaje. Los tiempos empleados por unidad en cada una de estas plantas se muestran en la siguiente tabla: Modelo

Planta técnica

Planta de ensamblaje

1

30 minutos

0,5 hora

2

12 minutos

2 horas

3

36 minutos

2 horas

116 horas

3 70 horas

Tiempo total empleado en un mes en cada !planta

¿Cuántas unidades de cada modelo produjo la empresa si obtuvo una utilidad mensual de 37 500 dólares, sabiendo que las ganancias obtenidas por la venta de los modelos 1, 2 y 3 fueron de 200, 50 y 100 dólares por unidad, respectivamente? Asumir que se vendió toda la producción.

3.

Una empresa panificadora tiene tres panaderías y en cada una de ellas produce tres tipos de pan: francés, de maíz e integral. El número de canastas de pan producidas diariamente en cada una de las panaderías se muestra en la siguiente tabla: Panadería A

Francés De maíz Integral

1 4

3

B

e

3 5 2

5 3 2

Si cierto día, las ganancias totales de las panaderías A, B y e fueron respectivamente $34, $39 y $41, ¿cuál fue la ganancia obtenida por cada canasta de pan francés, de pan de maíz y de pan integral? Nota: Una canasta de un mismo tipo de pan produce la misma ganancia en las tres panaderías. 4.

Una fábrica de muebles posee tres aserraderos: A, B y e, en los cuales se corta madera a razón de 60m 3 , 45m 3 y 30m 3 , por día, respectivamente. La madera se distribuye a 2 fábricas de muebles M y N que necesitan 65m 3 3 y 70m por día, respectivamente. Los costos de transporte en dólares por metro cúbico desde los aserraderos hasta las fábricas se muestran en la siguiente tabla: Desde el aserrradero

II.

Hasta la fábrica M

Hasta la fábrica N

A

1,5

3,0

B

3,5

2,0

e

2,9

1,9

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones, verificando que las soluciones encontradas sean solución de ambas ecuaciones en aquellos casos en los que se puedan haber incrementado las soluciones. l.

3.

5.

7.

x 2 - 2x +y - 7 = O {

3x- y+1 =O y= 4-x 2

{ 3x+ y= O y= 4x-x 2 +8 { y= x 2 -2x

x2 + y 2 - 2xy = 1 {

3x- y= 5

2.

4.

y= -Jx+ 2 { x+ y =4 y 2 -x 2 = 28 { x-y= 14 x = ~ +14 { y= X -16 2

6.

2

Coordinadora de teoría:

Profesora Cecilia Gaita

4