Maximos y Minimos

 

3.4.2 Máximos y mínimos

Según la información encontrada en la  página https://jorgesosasanchez.wordpress.com https://jorgesosas anchez.wordpress.com  con título 3.2.1 MÁXIMOS Y MÍNIMOS PROGRAMACIÓN NO LINEAL que fue hecha con la información del libro llamado  INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES  de  de Hamdy A.TAHA, dice lo siguiente: Puntos minimax. El punto minimax de la función lagrangiana es otro concepto relacionado con la solución de un problema de optimización. Si bien su definición no le hace útil a la hora de la resolución directa del problema, sí constituye un paso intermedio muy importante en la obtención del  problema dual, que estudiaremos más adelante. En esta sección definimos dicho punto y estudiamos su relación con otro concepto, el punto de silla de la lagrangiana.

La relación del punto minimax con la solución del problema de programación no lineal se obtiene de forma inmediata sin más que tener tene r en cuenta que:

Min L (x, ë ) = f (x) − Max ët [g(x) − b]R m+R m+ Si gi (x) –  (x) –  bi  bi ≤ 0, entonces ëi [gi(x) –  bi]  bi] ≤ 0, luego luego Max ëi ( gi (x) − bi ) = 0R m+ (se alcanza en ë = 0). Por tanto, si x ∈ X, Min L (x, ë ) = f (x) .R m+ Si gi (x) –  (x) –  bi  bi > 0, entonces Sup S up ëi [gi(x) [gi(x) –   –  bi]  bi] = ∞, por lo que en este caso no se alcanza el R m+ mínimo de la Lagrangiana. Por tanto, Max Min L (x, ë ) = Max f (x) D R m+ X Así pues, si (x0, (x0, ë0) es un punto minimax, x0 es una solución óptima del problema original. Pasamos ahora a dar los teoremas que relacionan los conceptos de punto de silla de L y punto minimax. Veremos que dicha relación es casi una equivalencia, en el sentido de que todo  punto minimax es punto de silla, silla, y todo punto de silla es un punto minimax minimax considerado sobre conjuntos más restringidos.

 

 

Como hemos expuesto anteriormente, para obtener el teorema recíproco es necesario restringir los conjuntos de definición del punto minimax. Previamente, hemos h emos visto que la  primera parte de la igualdad debe ser de la forma:

Definimos, por tanto,  N = {ë ∈ R m + / ∃ Max (f (x) (x) − ët [g(x) − b ])}, N ⊂ R m + Entonces, la segunda parte de la igualdad se debe expresar como sigue: Min Max L (x, ë ) Por tanto, el punto minimax que buscamos ahora es de la forma:

Para el problema de mínimo, el punto pun to minimax toma la forma:

tomando además la función lagrangiana correspondiente a este problema. Con esta definición, los teoremas 16 y 17 serían válidos de forma análoga para esta formulación.

 

 

Dualidad en Programación Matemática.

El concepto de dualidad nace estrechamente ligado al de punto minimax que se desarrolló en la sección anterior. Así, dado nuestro problema original, recordemos la definición de  punto minimax: se trata de un par (x0, ë0) que verifica: L (x0, ë0 ) = Max Min L (x, ë ) = Min Max L (x, ë ) , donde L(x, ë) = f(x) –  f(x) –  ët[g(x)  ët[g(x) que es, precisamente, el problema de partida, que llamaremos a partir de ahora Problema Primal (PP). Por notro lado, el segundo término de la igualdad del punto minimax se puede expresar como: Min  N õ (ë ), tomando además la función lagrangiana correspondiente a este problema. Con esta definición, los teoremas 16 y 17 serían válidos de forma análoga para esta formulación.