Máximo Común Divisor

Máximo Común Divisor Definición El máximo común divisor de dos números enteros no nulos a y b, denotado mcd (a, b), es el mayor entero entero positivo que divide a ambos números. A veces se conoce como el máximo común divisor (MCD) o más alto factor común. Ejemplos (i) (i) Los Los div divis isor ores es pos posit itiv ivos os de 20 son son 1, 1, 2, 2, 4, 4, 5, 5, 10 10 y 20. 20. Los divisores positivos de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Por lo tanto el máximo común divisor es 4. (ii) El máximo común divisor de 65 y 36: 1. Ejercicio. Encontrar mcd (50, -35).

Estudiemos algunas de las propiedades básicas del máximo común divisor. teorema Para cualquier enteros a y b tenemos (i) mcd (a, b) = mcd (b, a), (ii) mcd (a, b)≥ 1, (iii) mcd (a, b) = mcd (| a |, | b |), (iv) mcd[a/mcd (a, b), b/mcd (a, b)]= 1, (v) mcd (a, b) = mcd (a + nb, b) para todo n enteros.

Prueba. (i) Este es trivial. Nos limitamos a usar la definición. (ii) El mcd se define como un número entero positivo por lo que debe ser mayor o igual a 1. (iii) Por misma razón anterior.

(iv) Vamos a empezar por dar mcd (a, b) un nombre. Vamos a mcd (a, b) = d. Así que tenemos rd =a y b = sd para algunos enteros r y s como el máximo común divisor es un divisor. Por lo tanto

mcd[a/mcd (a, b), b/mcd (a, b) =mcd[rd/d , sd/d]=mcd(r,s). Demos un nombre a este último. Sea d’=mcd(r, s), entonces, r=pd’ y s=qd’, para p y q enteros. De aquí se tiene que: a=pd’d y b=qd’d, esto nos diria que d’d es un divisor común de a y b, por lo tanto d no podría ser el máximo.

Por tanto mcd(r,s)=1

(v) Tenemos mcd (a, b) | a, y mcd (a, b) | b por definición de mcd. Así que mcd (a, b) es un divisor común para a+ nb y b (¿Por qué?). que no se ha probado sea el más grande Así  que lo que podemos decir hasta aquí es que: mcd (a, b)≤ mcd (a + nb, b).

Nos restaría probar que: mcd (a, b)≥ mcd (a + nb, b). Tenemos mcd (a + nb, b) | a + nb y mcd (a + nb,b) | b por definición de mcd. Luego mcd (a +nb,b) divide a una combinación lineal de ellos. mcd (a + nb, b) | (a + nb) + (-n) b

Así: mcd (a + nb, b) divide a a y a b. Pero como no necesariamente es el mayor, se tiene que: mcd (a, b)≥mcd (a + nb, b). Finalmente se tiene que: mcd (a, b)=mcd (a + nb, b).

Ejercicio. Para cada número entero positivo, demostrar que x3 - x es divisible por 3 y x5 - x es divisible por 5. ¿Se puede generalizar? Es xn - x divisible por n?

resumen Un entero a divide el entero b si existe un entero k tal que b = ka. Decimos b es divisible por a y escribir a | b. Se dice que a es un divisor de b. Si a | b y a | c, entonces a | (mb + nc), para todos los enteros m y n. El máximo común divisor de dos números enteros no nulos a y b, denotado mcd (a, b), es el mayor entero positivo que divide a y b. n| ab no implica que n divide a uno de los dos. •

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Calculando mcd Ejemplo Buscar mcd (14441, 3563). Aplicar repetidamente el algoritmo de la División produce: 14441 = 4 × 3.563 + 189 3563 = 18 × 189 + 161 189 = 1 x 161 + 28 161 = 5 x 28 + 21 28 = 1 × 21 + 7 21 = 3 x 7 + 0. Por lo tanto, mcd (14441, 3563) = 7.

Compare este procedimiento con el que usted usualmente aplicaría Hágalo para el caso de encontrar mcd(45,78)

Ejercicio. Buscar mcd (315, 462) Buscar mcd (9100, 546). .

Ejercicio. Si n no es un número cuadrado, entonces n1/2 es irracional.

Este algoritmo muestra también que para un par de números enteros a y b existen números enteros α y β tales que mcd (a, b) = αa + βb . Esta ecuación es llamada representación de Bézout para el máximo común divisor. α y β se obtienen eliminado consecutivamente los restos r1, r2, . . . , rn , empezando por la penúltima igualdad.

Teorema (Lema de Bézout) Sean a, b ∈ Z . Si d = mcd (a, b), entonces existen enteros m, n ∈ Z tales que d = ma + nb

Teorema Si m|ab y mcd (m, b) = 1 , entonces m|a . Intente probarlo.