Maximo Comun Divisor Minimo Comun Multiplo i
February 27, 2017 | Author: Rosa Ayra Leandro | Category: N/A
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c c Y YV
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c
INTRODUCCIÓN c En la teoría del máximo común divisor juega un papel muy importante el siguiente teorema:
Entonces, el conjunto de los divisores comunes de los números D y d coíncide con el conjunto de los divisores comunes de los números Ú y . Demostración: Sea 0 el mayor divisor común de D y d.
D d
Si r donde D = Ú × +
Luego:
DX
o
... ( I )
o
En ( I ) 0 X 0
entonces
¬X
MCD (D; Ú) = MCD (Ú; )
^ I^O CO^N DIVIDOR (^CD) CONCEPTO Es el mayor divisor común que hay entre dos o más números.
Sean los números 20 y 30. Número 24: 30:
Divisores 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30
Determine el MCD de 8 y 15 Número Divisores 8: ; 2; 4; 8 15: ; 3; 5; 15 único divisor común
r r
r
MCD En General:
Divisores comúnes MCD (24; 30) = 6 Se observa que 1; 2; 3 y 6 son divisores de 6.
Si A; B y C son PESI MCD (A; B; C) = 1
Luego: c c c
M os divisores comunes de dos o más números son a su vez divisores del ^CD de ellos´.
Determine el MCD de los números 4; 8 y 12. Número Divisores 4 1; 2; 4 8 1; 2; 4; 8 12 1; 2; 3; 4; 6; 12
Divisores comúnes
î
comunes extraídos a todos los números hasta conseguir en ellos la unidad. Calcule el MCD y MCM de 60; 40 y 100 * Para el MCD 60 - 40 - 100 2 30 - 20 - 50 2 15 - 10 - 25 5 3- 2 - 5 20
{1; 2; 4}
U
Máximo
MCD (4; 8; 12) = 12 En general Si A es divisor de B y C entonces MCD (A, B, C) = A
^^INO CO^N ^ TIP O ^C^
Son PES
Es el menor de todos los múltiplos comunes que hay entre dos o más números. Sean los números 4 y 6
MCD (60; 40; 100) = 20 Además: 60 20 3 Son PES 40 20 2 100 20 5 En general: si MCD (A, B, C) = 0
Número Múltiplos 4 4; 8; 12;16;20;24;28;32; 36;.... 6 6; 12; 18; 24; 30; 36; ..... Múltiplos comúnes {12; 24; 36; ......} Mínimo MCM [4; 6] = 12.
u c
0· 0· 0·
* Para el MCD Se observa que: 12; ±24; 36; .... son múltiplos de 12.
Luego: ! " # $ c
Calcular el MCM de 4 y 8 Número Múltiplos 4 4; 8;12; 16; .... 8 8; 16 ; 24; .... MCM [4; 8] = 8 En general: Si A y B son divisores de C, entonces MCM [A: B; C] = C
^ETÓDO PARA E C CU O DE ^CD Y ^C^ 1.
Descomposición simultánea. El MCD de dos o más números será el producto de todos los factores comunes extraídos a los números hasta conseguir en ellos números primos entre sí. El MCM de dos o más números será el producto de todos los factores comunes y no
|
MCM [60; 40; 100] = 600 Además:
Determine el MCM de 3 y 5 Número Múltiplos 3 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21;.... 5 5; 10; 15; 20; 25; ..... MCM En general: si A y B son PESI, entonces MCM [A; B] = A × B
# ! " # $ ! "% # " !
( )* , &' +
En general: si MCM [A; B; C] =c
.
- .1
- /1
2
345 6789
- 01 Descomposición canónica El MCD de los números será el producto de los factores primos comunes afectados de su menor exponente.
El MCM de los números será el producto de los factores primos comunes y no comunes afectados de su mayor exponente. * Calcule el MCD y MCM de A; B y C si: A = 22 × 33 × 5 B = 23 × 32 × 7 C = 24 × 33 × 5 × 11 Para el MCD MCD (A; B; C) = 22 × 32 = 36 Para el MCM
MCM [A; B; C] = 24 × 33 × 5 × 7 × 11 D.
Divisiones sucesivas o algoritmo de Euclides (sólo permite el cálculo del ^CD de dos números) Calcule el MCD de 132 y 36. Los divisiones son: r
r
r
r
MCM [A"; B"; C"] = ×". D.
Sólo para el MCD y MCM de dos números. Sean los números A y B donde: MCD (A; B) = 0 MCM [A; B] =c A × B = 0.
[.
MCD (A; B; C; D) = .... MCD (A; B) = MCD (C; D) = MCD (A; B; C; D) = MCD ( ; )
·.
MCM [A, B, C, D] = .... MCM [A; B] = MCM [C; D] = " MCM [A; B; C; D] = MCM [; "]
Se dispone así:
"
è
MCD (132; 36) = 12 Calcule el MCD de 208 y 88.
Si (P;c ) = Ú; Demostrar que: (0A;0B)=KD, %
MCD (208; 88) = 8 PROPIEDADES DE ^CD Y ^C^ 1.
<
Si MCD (A, B; C) = K Donde: 0 è
0
0 Multiplicando cada igualdad por un entero " >1 : 0 : 0
è
:
Si: (A; B) = ; donde ñ Demostrar que:
Si MCM [A; B; C] =c Donde:
> u> > u donde
;
;
è
;
%
Multiplicando cada igualdad por un entero n >1 ;
;
XÚ X Ú
X Ú =
Si: donde y son PESI; entonces MCD(0A; 0B) = MCD(0Ú; 0Ú ) = 0ÚMCD(p; q)...( ) pero como y son PESI:
^ î En ( ): MCD(0A; 0B) = 0Ú×1 = 0Úc Ú è è
0 MCD (A"; B"; C") = 0 × " .
=
è
;
c c c
c
c
c
?
è c 1.
El cociente de 2 números enteros es 18. Si su MCD es 17. Determine el número mayor.
ñ ñ
( ð 2)(" 1)0
@
fueron 1; 1; 1; 3; 2
c
.
MCD(800P:1200 ) = 3600 Determine MCD(90P;135 )
c
11.
c
D.
Se trata de depositar el aceite de 3 barriles que tienen 180; 360 y 480 litros de capacidad en envases que son iguales entre sí: ¿Cuál es la menor cantidad de envases que se emplearía para que todos estén llenos y no desperdiciar aceite?
c
1.
Los números A y B están en relación tanto como 80 y 30. Si el MCD de A y B es 13, determinar la diferencia de los números.
La suma de dos números es 1133, además los cocientes sucesivos al calcular el MCD por divisiones sucesivas son; 4; 2; 2; 1 y 2. ¿Cuál es el mayor número?
1D.
Determinar el valor de 0 sabiendo que: MCD(A; B) = 0 MCD(C; D) = 0/6 MCD(A; B; C y D) = 15
8.
se obtuvo
Un número está formado por 20 cifras 9, mientras que un segundo número tiene 15 cifras nueve. La suma de las cifras del MCD de ambos números es:
1[.
¿Cuántos divisores comunes tienen los números 3050; 4540 y 6030?
c
1·.
¿Cuántos pares de números suman 312 y tienen como MCD a 24?
16.
Si se cumple: MCD(N; 1200) = 6 Calcular cuántos valores toma N si es menor que 1200.
Al determinar el MCD de dos números enteros por el algoritmo de Euclides los cocientes sucesivos fueron 4; 3; 2 y 5 si los números son primos relativos. Determinar el mayor de ellos.
c
c
c
7.
A
c
c
6.
PPP
c
c
·.
Al calcular el MCD de
como cocientes sucesivos 1; 4; 3 y 2 si PPP tiene 12 divisores, calcular (×")
c
[.
En MCD de ÔÎ ÔÎ ÔÎ y el que resulta de invertir el orden de sus cifras es 36. Hallar la suma de dichos números.
La suma de los cuadrados de dos números es 676 y uno de ellos es 12 veces su MCD. Determine la diferencia de los números.
c
17.
Si el MCD de 40A y 56B es igual a 32. Calcule el MCD de 15A y 21B.
c
c
9.
18.
La suma de los cuadrados de un par de números es 244 y MCD es 2. El mayor de los números es:
c
10.
Calcule (") si los cocientes sucesivos al calcular el MCD por divisiones sucesivas de los números:
Se quiere dividir un terreno en parcelas cuadradas y las más grandes posibles. ¿Cuál será el número de parcelas si el terreno tiene 192 m de largo y 144 m de ancho?
c
19.
Hemos dividido 3 barras de acero cuyas longitudes son 360 m; 480 m y 540 m en trozos
de igual longitud, los más largos posibles. Se desea conocer cuántos trozos se han obtenido.
0 ð
Si el MCD de A; B; C y D es igual a 9. Calcular 0 si está comprendido entre 20 y 120.
c
0.
Si:
c
^
c
0
c c
c
c 1.
Si el MCD de 45A y 63B es igual a 36. Calcule el MCD de 25A y 35B. A) 21 C) 20 E) 25
.
D.
B) 15 D) 20
Determine el MCD de
B) 10 D) 12
ñ X y 5!
A) 40 B) ñ C) 5 D) 5! E) falta más información ·.
c c c
Si el MCD(A, B, C) = 360. ¿Cuántos divisores comunes tiene A, B y C? A) 12 C) 18 E) 24
c
c
Calcular la suma de los cocientes que se obtienen al determinar el MCD de 930 y 735 por divisiones sucesivas: A) 9 C) 11 E) 13
[.
c
B) 32 D) 15
Un comerciante realiza dos ventas consecutivas de frutas: por 1170 soles las papayas, y por 910 soles los duraznos. Si las papayas y los duraznos tienen el mismo precio y es el mayor posibles ¿cuántas vendió en total? A) 16 C) 17 E) 21
B) 16 D) 20
c
c
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