MATV408a26(1)
February 25, 2017 | Author: Maria Duarte | Category: N/A
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Resolução das atividades complementares Matemática M19 — Geometria Analítica: Pontos e Retas p. 08
1 (MACK-SP) Identifique a sentença falsa: a) O ponto (0, 2) pertence ao eixo y. b) O ponto (4, 0) pertence ao eixo x. c) O ponto (500, 500) pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares. d) O ponto (80, 280) pertence à bissetriz dos quadrantes pares. e) O ponto 3 1 1, 3 1 1 pertence à bissetriz dos quadrantes pares.
)
(
Resolução: O ponto 3 1 1, 3 1 1 tem as coordenadas iguais. Logo, pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares.
(
)
2 (FURRN) O ponto P, do eixo Oy, eqüidistante dos pontos Q(2, 0) e R(4, 2) é:
( ) ( )
a) 0, 9 12
c) (0, 4)
b) 0, 11 2
d) (0, 3)
Resolução: P(0, y); Q(2, 0); R(4, 2)
e) (0, 0)
d(P, Q) 5 d(P, R)
(2 2 0) 1 (0 2 y)2 5 (4 2 0)2 1 (2 2 y)2 2
4 1 y 2 5 16 1 4 2 4y 1 y 2 ⇒ 4y 5 16 ⇒ y 5 4 P(0, 4)
3 (Unitau-SP) Sabendo-se que o ponto Q(1 2 a, b 1 2) pertence ao quarto quadrante do plano
cartesiano, pode-se concluir que os possíveis valores de a e b são: d) {a IR | a , 22} e {b IR | b , 1} a) {a IR | a 5 0} e {b IR | b , 1} e) {a IR | a 5 21} e {b IR | b 5 2} b) {a IR | a , 1} e {b IR | b , 22} c) {a IR | a . 1} e {b IR | b . 22} Resolução: No quarto quadrante, devemos ter: • abscissa positiva: 1 2 a . 0 ⇒ a , 1
• ordenada negativa: b 1 2 , 0 ⇒ b , 22
Portanto, {a IR | a , 1} e {b IR | b , 22}.
4 (Vunesp-SP) Os vértices da base de um triângulo isósceles são os pontos (1, 21) e (23, 4) de um
sistema de coordenadas cartesianas retangulares. Qual a ordenada do terceiro vértice, se ele pertence ao eixo das ordenadas? 2,3 Resolução: d(A, C) 5 d(B, C)
B(�3, 4)
(21)2 1 (y 1 1)2 5
C(0, y)
32 1 (y 2 4)2
1 1 y 2 1 2y 1 1 5 9 1 y 2 2 8y 1 16 10y 5 23 ⇒ y 5 2,3
A(1, �1)
5 (UFU-MG) São dados os pontos A(2, y), B(1, 24) e C(3, 21). Qual deve ser o valor de y para que o triângulo ABC seja retângulo em B? 2 14 3 Resolução: A
O triângulo ABC é retângulo em B. • • Logo, o lado AC é a hipotenusa. B
C
Usando o teorema de Pitágoras, temos:
[d ( A, C)]2
(
5 [d ( A, B)] 1 [d ( B, C)] 2
2
(3 2 2)2 1 ( 21 2 y)2 ) 5 2
(
(1 2 2)2 1 ( 2 4 2 y)2 ) 1 2
(3 2 1)2 1 ( 21 1 4)2 )
(
2
y 2 1 2y 1 2 5 y 2 1 8y 1 17 1 13 ⇒ y 5 2 14 3
p. 09
6 (UESPI) Se os pontos P(1, 2), Q(3, 5), R(6, 7) são os vértices de um triângulo, então o triângulo é: a) isósceles e retângulo b) retângulo e não-isósceles
c) isósceles e não-retângulo d) eqüilátero
e) escaleno
Resolução: Desenhando o triângulo no plano caartesiano: y
R
7 Q
5
2
3
(3 2 1)2 1 (5 2 2)2 5 13
d(P, R) 5
(6 2 1)2 1 (7 2 2)2 5 2
2
50
d(Q, R) 5 (6 2 3) 1 (7 2 5) 5 13 Como d(P, Q) 5 d(Q, R) d(P, R) e d(P, R)2 d(P, Q)2 1 d(Q, R)2, o triângulo PQR é isósceles e não-retângulo.
P
1
d(P, Q) 5
6
x
7 (UFAL) Sejam o ponto P(2, 1) e o ponto Q, de abscissa 4, localizado no 1o quadrante. Se a distância de
Q a P é igual à distância de Q ao eixo das abscissas, então Q é o ponto: c) (4, 3) a) 5 , 4 2
( ) ( )
b) 4, 5 2
e) (4, 4)
d) (2, 4)
Resolução: y Q
a
1 0
P 1
2
3
4
x
d(Q, P) 5 a ⇒ (4 2 2)2 1 (a 2 1)2 5 a 4 1 a 2 2 2a 1 1 5 a 2 2a 5 5 ⇒ a 5 5 2 5 Logo, Q 4, 2
( )
8 (Unicruz-RS) O ponto médio do segmento (23, 7) e (11, 15) é: a) (11, 4) b) (8, 4)
c) (4, 5) d) (8, 11)
e) (4, 11)
Resolução: 23 1 11 xM 5 5 4 2 M(4, 11) 7 1 15 yM 5 5 11 2
9 (FEI-SP) Os pontos X, Y e Z possuem as seguintes coordenadas no plano cartesiano: (0, 0), (m, 8), (n, n 1 3). • • Se Z é o ponto médio do segmento XY , então: c) n 5 3 a) m 5 2 d) m 5 5 b) m 5 1
e) n 5 2
Resolução: X(0, 0); Y(m, 8); Z(n, n 1 3) n 5 0 1 m 2n 5 m m 5 2 2 ⇒ ⇒ 2n 5 2 n 5 1 n 1 3 5 0 1 8 2
10 Calcule os comprimentos das medianas de um triângulo cujos vértices são os pontos A(0, 0), B(4, 26) e C(21, 23). Resolução: 21 1 0 5 2 1 2 2 1 3 ⇒ M1 2 , 2 2 2 23 1 0 y 5 5 2 3 2 2
(
x 5 A(0, 0) M1(x, y)
M3(u, v)
C(�1, �3)
21 1 4 5 3 2 2 3 9 ⇒ M2 , 2 2 2 23 2 6 t 5 5 2 9 2 2
(
z 5
M2(z, t) B(4, �6)
)
)
0 1 4 5 2 2 ⇒ M 3 (2, 2 3) 0 26 v 5 5 2 3 2
u 5
d(A, M 2) 5
( ) ( ) 5 3 210 (2 12 2 4) 1 (2 32 2(26)) 5 9 22 3 20 2
2
1 29 2 0 2
2
2
d(B, M1) 5 d(C, M 3) 5
2
(2 2 (21))2 1 (23 2 (23))2 5 3
11 Determine as coordenadas dos pontos que dividem em três partes iguais o segmento de extremidades (22, 21) e (3, 2). Resolução:
(�2, �1)
x 5
z 22 2
(I)
y 5
(x, y)
t 21 2
(z, t)
(II)
z 5
(3, 2)
3 1 x 2
(III)
Das equações (I) e (III): 2x 2 z 5 2 2 2x 1 2z 5 3
Das equaçõees (II) e (IV): 2y 2 t 5 21 2y 1 2t 5 2
Resolvendo o sistema, obtemos: x 5 21 ez 5 4 3 3
Resolvendo o sistema, obtemos:
(
y 5 0et 5 1
) ( )
Os pontos procurados são: 2 1 , 0 e 4 , 1 . 3 3
t 5
21 y 2
(IV)
12 (UFPE) Dado um triângulo ABC, calcule as coordenadas (x, y) do vértice A, sabendo-se que B(1, 1) e que os pontos médios dos lados BC e AC são respectivamente (21, 22) e (1, 0). Indique o valor do produto x ? y. 25 Resolução: Seja o triângulo ABC da figura: B(1, 1)
(�1, �2)
1 1 xC ⇒ x C 5 2 3 2 C(2 3, 2 5) 1 1 yC 22 5 ⇒ yC 5 2 5 2
A(x, y)
21 5
(1, 0)
23 1 x ⇒ x 5 5 2 A(5, 5) 25 1 y 0 5 ⇒ y 5 5 2
15 C(xC, yC)
Logo, x ? y 5 5 ? 5 5 25
13 (Fafi-BH) O baricentro do triângulo ABC de vértices A(25, 25), B(1, 5) e C(19, 0) é: a) (25, 0)
b) (215, 0)
c) (5, 0)
Resolução: x 5 25 1 1 1 19 5 5 G 3 G(55, 0) y 5 25 1 5 1 0 5 0 G 3
p. 16
14 (Cesgranrio-RJ) A equação da reta mostrada na figura a seguir é: a) 3x 1 4y 2 12 5 0 b) 3x 2 4y 1 12 5 0 c) 4x 1 3y 1 12 5 0 d) 4x 2 3y 2 12 5 0 e) 4x 2 3y 1 12 5 0
y 3
�4
O
x
Resolução: x y 1 24 0 1 5 0 ⇒ 212 1 4y 2 3x 5 0 3x 2 4y 1 12 5 0 0 3 1
d) (15, 0)
15 (Unifor-CE) Na figura, tem-se um triângulo eqüilátero de lado 6 e cujos
y C
vértices A, B e C situam-se sobre os eixos cartesianos. A equação da reta suporte do • • lado BC é: a) x 1 y 2 3 5 0 d) 3 x 1 y 2 3 3 5 0 b) x 1 c)
3 y 23 3 50
e) 3x 1 y 2
3 50
3 x 2 y 13 3 50
B x
O
A
Resolução: Se cada lado de um triângulo eqüillátero mede , então a medida de sua altura é h 5 5 6, temos h 5 3 3 . Então, A( 2 3, 0), B(3, 0), C (0, 3 3 ) . x y 1 •
•
BC : 3
0
0 3 3
1 50 ⇒
3 . Como 2
3 x 1 y 23 3 50
1
16 (UFG) Sejam P(0, 0), Q(0, 2), R(2, 2) e S(2, 0) pontos do plano cartesiano. Sejam A e B pontos médios
dos segmentos QR e RS, respectivamente. a) Represente, num mesmo plano cartesiano, os pontos P, Q, R, S, A e B, destacando o triângulo APB. b) Mostre que o triângulo APB é isósceles. c) Determine a equação da reta que passa por A e B. x 1 y 2 3 5 0 Resolução: a) Plano cartesiano
b) d(P, A) 5
(1 2 0)2 1 (0 2 2)2 5 1 1 4 5 2
d(P, B) 5 (2 2 0) 1 (1 2 0) 5 4 1 1 5 Logo, PA 5 PB e o triângulo PAB é isósceles.
y A(1, 2)
Q
2
R
5 5
c) Equação da reta que passa poor A e B: B(2, 1)
1 2 1 2 1 1 50 ⇒ x 1 y 23 50
P
S
x
x
y 1
17 (Fuvest-SP) A tabela mostra a temperatura das águas do oceano
Atlântico (ao nível do equador) em função da profundidade. Admitindo que a variação da temperatura seja linear entre duas medições consecutivas quaisquer feitas para a profundidade, qual a temperatura prevista para a profundidade de 400 m? 10,5 °C Resolução: 100 21 1 400
t
1 5 0 ⇒ 4t 2 42 5 0 ⇒ t 5 10,5 °C
500
7
1
Profundidade (m)
Temperatura (°C)
superfície 100 500 1 000 3 000
27 21 7 4 2,8
18 (Faap-SP) Uma reta de demanda estabelece a relação entre o preço de venda p de uma unidade de
um produto e a quantidade q que se deseja comprar. Um distribuidor de relógios de mesa estima que, se o preço for R$ 80,00, ele poderá vender 1 000 unidades; se o preço subir para R$ 86,00, venderá 700. Quantos relógios ele poderia vender se o preço fosse R$ 90,00? a) 580 c) 500 e) 860 b) 900 d) 730 Resolução: Pelos dados, temos: q p 1 000 80 700
86
x
90
p
90 86 80
A
B
x 700
C
1 000
q
Os pontos A, B e C estão alinhados, logo: x 90 1 86 1 5 0 ⇒ 6x 2 3 000 5 0 6x 5 3 000 ⇒ x 5 500 1 000 80 1 700
19 (PUCC-SP) Na figura abaixo tem-se representada, em um sistema de eixos cartesianos ortogonais, a rota de uma aeronave, de uma cidade M a uma cidade N, passando sobre as pequenas cidades A e B.
Se os quatro pontos pertencem à reta de equação 4x 2 3y 1 1 200 5 0, a distância entre as cidades A e B, em quilômetros, é aproximadamente: a) 50 c) 800 e) 8 000 b) 500 d) 5 000
y (km) N B A x (km) M
Resolução: O ponto A tem ordenada y 5 0. 4x 2 3y 1 1 200 5 0 ⇒ 4x 2 0 1 1 200 5 0 x 5 2300 km Daí: A(2300, 0) O ponto B tem abscissa x 5 0. 4x 2 3y 1 1 200 5 0 ⇒ 0 2 3y 1 1 200 5 0 y 5 400 km Daí: B(0, 400) A distância entre A e B é igual a: d 5
(0 1 300)2 1 (400 2 0)2 5
90 000 1 160 000
Portanto, d 5 500 km.
20 Determine k, sabendo que a inclinação da reta que passa pelos pontos A(k, 3) e B(21, 24) é 45°. k 5 6 Resolução: m 5 tg 45° 5 1
24 2 3 51 ⇒ k 56 21 2 k
21 (PUC-SP) Determine a equação da reta de coeficiente angular igual a 2 4 e que passa pelo ponto 5
P(2, 25). 4x 1 5y 1 17 5 0
Resolução: m 5 2 4 ; P(2, 2 5) 5 y 1 5 5 2 4 (x 2 2) ⇒ 5y 1 25 5 2 4x 1 8 ⇒ 4x 1 5y 1 17 5 0 5
22 (Esam-RN) A equação da reta que tem coeficientes angular e linear, respectivamente, iguais a 2 e 21 é: 3
a) x 1 3y 2 5 5 0
c) 2x 2 3y 1 3 5 0
b) 2x 2 3y 2 3 5 0
d) y 5 2 x 1 2 3
Resolução:
e) y 5 2 x 3
y 5 mx 1 n ⇒ y 5 2 x 2 1 ⇒ 3y 5 2x 2 3 ⇒ 2x 2 3y 2 3 5 0 3
23 (UERJ) Um atleta está treinando em uma pista
retilínea e o gráfico ao lado apresenta dados sobre seu movimento. A distância percorrida pelo corredor, no intervalo entre 0 e 5 s, é igual à área do trapézio destacado. Calcule essa distância. 12,5 m
v (m/s)
4
2
O t (s) Resolução: 5 10 Se o gráfico representativo da velocidade está contido em uma reta, a função horária da velocidade tem a forma v(t) 5 at 1 b → v 5 2 m/s t 5 0 2 5 b Do gráfico, temos: → t 5 10 s → v 5 4 m/s 4 5 10a 1 b Substituindo b por 2, obtemos: 4 5 10a 1 2, ou seja, a 5 1 . 5 Logo, v(t) 5 1 t 1 2 5
A base maior do trapézio mede (para t 5 5 s): v(5) 5 1 ? 5 1 2 5 3 5 (B 1 b)h (3 1 2) ? 5 Portanto, S 5 ⇒ S 5 5 12,5 2 2 A distância é de 12,5 m.
24 (FGV-SP) Quando uma família tem uma renda mensal de R$ 5 000,00, ela consome R$ 4 800,00 por
mês; quando a renda é R$ 8 000,00, ela consome R$ 7 200,00. a) Chamando de X a renda mensal e de C o consumo, obtenha C em função de X, sabendo-se que o gráfico de C em função de X é uma reta. C(X) 5 0,8X 1 800 b) Chama-se poupança mensal da família (P) à renda mensal menos o correspondente consumo. Obtenha P em função de X e encontre os valores da renda para os quais a poupança é maior que R$ 1 000,00. X . 9 000 Resolução: a) A sentença que define a função é do tipo C(X) 5 aX 1 b, uma vez que o gráfico de C é uma reta. Pelo enunciado: 4 800 5 a ? 5 000 1 b (I) 7 200 5 a ? 8 000 1 b (II) Fazendo (II) 2 (I): 3 000a 5 2 400 a 5 0,8 Substituindo a por 0,8, em (I): 4 800 5 0,8 ? 5 000 1 b b 5 800 Então: C(X) 5 0,8X 1 800
b) P(X) 5 X 2 C(X) e C(X) 5 0,8X 1 800, então: P(X) 5 X 2 (0,8X 1 800) ou P(X) 5 0,2X 2 800 P . 1 000 ⇒ 0,2X 2 800 . 1 000 X . 9 000
p. 17
25 (Vunesp-SP) A figura mostra os gráficos de uma função exponencial
y
( )
y 5 ax e da reta que passa pelo ponto 0, 5 e tem coeficiente angular 10 . 3 7 Pelo ponto C 1 , 0 passou-se a perpendicular ao eixo x, que corta os gráficos, 2 respectivamente, em B e A.
( )
(0, 53 )
A B C
Supondo-se que B esteja entre A e C, conforme mostra a figura, e que a medida
1 2
• • do segmento AB é dada por 8 , determine o valor de a. 4 21 Resolução:
y
x 5 1 ⇒ y 5 10 ? 1 1 5 ⇒ y 5 50 2 7 2 3 21 Logo, A 1 , 50 , B 1 , y e d(A, B) 5 8 2 21 2 21
r2
(
(0, 53 ) A B r1
1 2
) ( ) ( 12 2 12 ) 1 ( 5021 2 y) 2
2
8 5 ⇒ 21 ⇒ 8 5 50 2 y ⇒ y 5 2 21 21 Então, B 1 , 2 2 Como B pertence ao gráfico da função y 5 a x ,
C 0
x
x
( )
De acordo com a figura: r1: y 2 5 5 100 (x 2 0) ou y 5 10 x 1 5 3 7 7 3 r2: x 5 1 2 {A} 5 r1 r2
1
2 5 a2 ⇒ a 5 4
26 (UFSM-RS) A figura mostra um retângulo com dois lados nos eixos carte sianos e um vértice na reta que passa pelos pontos A(0, 12) e B(8, 0). As dimensões x e y do retângulo, para que sua área seja máxima, devem ser, respectivamente, iguais a: a) 4 e 6 c) 5 e 7 e) 6 e 3 d) 4 e 7 b) 5 e 9 2
y
A(0, 12)
P(x, y)
B(8, 0) x
O
Resolução: Os pontos A, P e B estão alinhadoss, logo: 0 12 1
1 5 0 ⇒ 24 2 2y 2 3x 5 0 ⇒ y 5 12 2 3 x 2 8 0 1 A retângulo 5 x ? y (2) x
y
(1)
Substituindo (1) em (2), vem: A 5 x 12 2 3 x ⇒ A 5 23 x 2 1 12x ⇒ A 5 2 3x 2 1 24x 2 2
(
)
Para que a área seja máxima, temos: 2b 224 xv 5 ⇒ xv 5 54 2a 2 ? (23) Substituindo x 5 4 em (1), vem: y 5 12 2 3 ? 4 y 5 6. 2 As dimensões do retângulo são 4 e 6.
p. 24
27 (UERN) Seja M o ponto de intersecção das retas de equações x 2 y 2 6 5 0 e 3x 1 y 2 2 5 0.
A equação da reta paralela ao eixo das abscissas, passando por M, é: c) x 5 2 a) x 2 2y 5 10 d) x 5 24 b) y 5 2 Resolução: x 2 y 26 50 1 3x 1 y 2 2 5 0 4x 28 50 ⇒ x 52 x 2 y 26 50 2 2 y 2 6 5 0 ⇒ y 5 24 M(2, 2 4) A equação da reta “horizontal” e que passa por M é y 5 24.
10
e) y 5 24
(2 )
28 (UFPA) Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P 1 , 21 e é perpendicular a uma reta que forma com o sentido positivo do eixo do x um ângulo cuja tangente é 5 . 2x 1 5y 1 4 5 0 2 Resolução: m5 5 y 2 y1 5 m(x 2 x 2) 2 y 11 522 x 2 1 P 1 , 21 5 2 2 2x 1 5y 1 4 5 0 m ? m 5 21 m 5 2 2 5
(
)
)
(
29 (UMC-SP) Dois barcos navegam durante um nevoeiro, segundo as direções das retas r e s, num
sistema de coordenadas cartesianas. y Sendo r: 2x 1 2y 2 6 5 0 e s: x 1 5 2, pode-se afirmar que: 3 3 a) O ponto possível de colisão é 2 , 2 . d) O ponto possível de colisão é (3, 0). 3 3
( ) b) O ponto possível de colisão é (2 2 , 2 2 ) . 3 3
e) Não poderá haver colisão.
c) O ponto possível de colisão é (0, 3). Resolução: Ponto de intersecção: 2x 1 2y 5 6 x 1 y 5 3 ⇒ x y x 1 y 5 6 3 1 3 5 2 Não há ponto de colisãão, pois as retas são paralelas.
11
p. 25
30 (UFSM-RS) Sejam r: x 1 qy 2 1 5 0 e s: px 1 5y 1 2 5 0 duas retas perpendiculares entre si. Então,
é correto afirmar que: p a) 5 25 q p b) 55 q
p 51 q
c)
e) p ? q 5 5
d) p ? q 5 21
Resolução: p mr 5 2 1 e m s 5 2 q 5 Para as retas serem perpendiculares: p mr ? ms 5 21 ⇒ 2 1 2 5 21 q 5 p p 5 21 ⇒ p 5 2 5q ⇒ 5 25 5q q
( )
31 (UFPI) A equação da reta perpendicular à reta y 5 2x 1 1 e que passa pela intersecção das retas
2x 2 3y 2 1 5 0 e 3x 2 y 2 2 5 0 é: c) 7x 2 7y 2 4 5 0 a) 2x 1 2y 1 7 5 0 d) 7x 1 7y 2 6 5 0 b) 5x 2 5y 1 1 5 0
e) 22x 1 2y 2 5 5 0
Resolução: r
u
s P
Reta t: y 5 2 x 1 1 mt 5 21 t
Observando que u ⊥ t, temos: mt ? mu 5 21 ⇒ ( 21)mu 5 21 ⇒ mu 5 1 Coordenadas do ponto P , intersecção das retas r e s. 2x 2 3y 2 1 5 0 3x 2 y 2 2 5 0
(
)
Resolvendo o sistema, temos x 5 5 e y 5 1 , ou seja, P 5 , 1 . 7 7 7 7
(
Equação da reta u: y 2 1 5 1 x 2 5 7 7 7y 2 1 5 7x 2 5 7x 2 7y 2 4 5 0
)
12
Em questões como a 32, a resposta é dada pela soma dos números que identificam as alternativas corretas.
32 (UEM-PR) Considere as retas r, s e t, dadas no gráfico ao lado. Sabe-se que a equação de r é 2y 5 x 2 3, que os pontos B e C são simétricos em relação ao eixo das abscissas, que as retas r e s são paralelas e que t é perpendicular a r. Nessas condições, é correto afirmar: (01) O ponto A sobre o eixo x, intersecção de r e t, é (2, 0).
( )
s
y
r
C
O
(02) O ponto C é 0, 3 . 2 (04) A distância entre r e s é 3.
x
A
B
t
(08) Os coeficientes angulares das retas r, s e t são, respectivamente, 1 , 1 e 22. 2 2 (16) A equação da reta t é y 5 22x 1 6. (32) A equação da reta horizontal que passa por A é x 5 0. (64) A equação da reta vertical que passa por A é x 5 3. 2 1 8 1 16 1 64 5 90 Resolução: r: 2y 5 x 2 3 ⇒ y 5 1 x 2 3 mr 5 1 2 2 2 Como as retas r e s são paralelas, temos mr 5 ms 5 1 . 2 A reta t é perpendicular à reta r. mr ? mt 5 21 ⇒ 1 ? mt 5 21 ⇒ mt 5 2 2 2 (01) Falsa. A reta r intercepta o eixo x quando y 5 0. 2 ? 0 5 x 2 3 ⇒ x 5 3. Logo, A(3, 0). (02) Verdadeira. A reta r intercepta o eixo y quando x 5 0. 2y 5 0 2 3 ⇒ y 5 23 2 2 3 Então, 0, . Como o ponto C é simé2 trico de B em relação ao eixo das abscissas,
(
)
( )
C 0, 3 . 2 (04) Falsa. A reta s tem coeficiente angular 1 e 2 passa pelo ponto C 0, 3 . 2 s: y 2 3 5 1 (x 2 0) ⇒ x 2 2y 1 3 5 0 2 2
( )
13
(
)
A distância do ponto B 0, 2 3 à reta s é: 2 3 0 2 2? 2 13 2 d(B, s) 5 5 12 1 ( 2 2)2
( )
6 5 6 5 5 5 (08) Verdaadeira. (16) Verdadeira. Equação da reta t: 5
y 2 0 5 2 2(x 2 3) ⇒ y 5 2 2x 1 6 (32) Falsa. A equação da reta horizontal que passa por A é y 5 0. (64) Verd dadeira. São corretas as afirmativas 2, 8, 16 e 64, somando 90.
33 (FGV-SP) No plano cartesiano, considere a reta r de equação 2x 2 y 1 3 5 0. Seja t a reta
perpendicular a r, passando pelo ponto P(21, 5). a) Obter o ponto de intersecção da reta t com o eixo da abscissas. (9, 0) b) Qual o ponto da reta r mais próximo de P? 3 , 21 5 5 Resolução: b) Seja M o ponto de intersecção das retas r e t. a) Cálculo do coeficiente angular da reta r 2x 2 y 3 5 0 ⇒ y 5 2x 3 mr 5 2 Logo: Cálculo do coeficiente angular da reta t, per2x 2 y 1 3 5 0 pendicular a r x 1 2y 2 9 5 0 1 mr ? mt 5 21 ⇒ mt 5 2 2 Resolvendo o sistema, temos M 5 3 , 21 . 5 5 Equação da reta t, passando pelo ponto O ponto da reta r mais próximo de P é P( 21, 5) M 5 3 , 21 . 5 5 y 2 5 5 2 1 (x 1 1) ⇒ x 1 2y 2 9 5 0 2 Para obtermos o ponto A de intersecção da reta t com o eixo das abscissas, devemos ter y 5 0. x12?02950⇒x59 Portanto, A 5 (9, 0).
(
)
(
(
)
)
34 (UFSC) Dados, num sistema de coordenadas cartesianas, os pontos A(4, 1), B(1, 1), C(4, 5) e a reta r
representada pela equação x 1 y 2 2 5 0. Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) verdadeira(s). • • (01) O ponto médio do lado BC é o ponto M de coordenadas 5 , 3 . 2 (02) A distância do ponto C à origem do sistema de coordenadas cartesianas é de 6 unidades. (04) O ponto A pertence à reta r. (08) A reta s de equação 25x 1 5y 2 13 5 0 e a reta r são perpendiculares. (16) A equação da reta que passa pelos pontos A e B é y 2 1 5 0. 1 1 8 1 16 5 25
( )
Resolução: (01) B 5 (1, 1); C 5 (4, 5) 11 4 xM 5 5 5 2 2 5,3 M 5 2 11 5 yM 5 53 2 Verdadeira.
(08) s: 2 5x 1 5y 2 13 5 0 ⇒ y 5 x 1 13 5 ms 5 1 r: x 1 y 2 2 5 0 ⇒ y 5 2 x 1 2 mr 5 21 mr ? ms 5 21 ⇔ r ⊥ s
( )
(02) d(C, O) 5 Falsa.
2
2
(4 2 0) 1 (5 2 0) 5
Verdadeira. 41 6
(04) A 5 (4, 1); r: x 1 y 2 2 5 0 4 112250 3 50 Falsa.
14
(16) A 5 (4, 1);; B 5 (1, 1) 121 m5 50 12 4 y 2 1 5 0(x 2 4) y 2150 Verdadeira. São corretas as afirmativas 1, 8 e 16, somando 25.
35 (MACK-SP) Num sistema cartesiano, as coordenadas dos vértices de um triângulo ABC são A(0, 0), B(3, 6) e C(8, 0). A soma das coordenadas do ortocentro (encontro das alturas) desse triângulo é: a) 12 c) 13 e) 11 5 6 3 b) 11 d) 13 2 12 Resolução: Considerando a representação gráfica do triângulo, temos: y
7
B
6 5 4 3
H1 H3 O
2 1
C A
0
1
2
3 H2
4
5
6
7
8
9
10
x
O ponto O (encontro das alturas) tem abscissa 3, pois BH2 é uma altura do ABC. Sendo y←sua → ←→ ordenada, sabemos que o ortocentro é da forma (3, y). Sabendo que OC é perpendicular a AB, → ? m← → podemos afirmar que m ←OC AB 5 21, logo: y 20 6 20 y 26y 6 ? 5 21 ⇒ ? 5 21 ⇒ 5 21 ⇒ 3 2 8 3 20 25 3 15 ⇒ 6y 5 15 ⇒ y 5 15 ⇒ y 5 5 6 2
( )
6 1 5 Sendo O 3, 5 , a soma dessas coordenadas será: 3 1 5 5 5 11 . 2 2 2 2
36 (FGV-SP) O quadrado representado ao lado tem lados paralelos
aos eixos x e y e sua diagonal AB está contida numa reta cuja equação é: c) y 5 x 1 3 e) y 5 3x 1 1 a) y 5 x 2 1 d) y 1 x 1 1 b) y 5 2x 1 3
(2, )
y
B
(, 2) A
Resolução: Sabendo que as diagonais do quadrado são perpendiculares, o coeficiente angular da reta ←→ 21 AB será m 5 5 21 5 21 5 1. 4 2 ( 2 2) 6 21 26 21 2 5 ←→
Sendo A(21, 22), a equação de AB será: y 2 (22) 5 1(x 2 (21)) ⇒ y 1 2 5 x 1 1 ⇒ y 5 x 2 1
15
x
37 (FGV-SP) No plano cartesiano, a reta de equação y 5 x 1 1 corta o lado AC do triângulo de vértices A(1, 7), B(1, 1) e C(10, 1), no ponto: a) (3, 4) c) (5, 6) b) (4, 5)
d)
(
117 , 2
)
e) (5,5; 4)
117 1 1 2
Resolução: Sendo A(1, 7) e C(10, 1), m AC 5
127 5 26 5 22 10 2 1 9 3
←→ A equação da reta AC será: y 2 7 5 22 (x 2 1) ⇒ 3 3y 2 21 5 2 2x 1 2 ⇒ 2x 1 3y 2 23 5 0 ←→
O ponto procurado é a intersecção entre AC e a reta y 5 x 1 1 : 2x 1 y 5 1 ? (2) 22x 1 2y 5 2 ⇒ ⇒ 5y 5 25 ⇒ y 5 5 2x 1 3 y 5 23 2x 1 3 y 5 23 2x 1 5 5 1 ⇒ x 5 4 O ponto procurado é (4, 5).
38 (MACK-SP) A equação de uma reta, paralela à reta x 1 y 2 4 5 0 e distante 3 2 do ponto P(2, 1), é: a) x 1 y 1 3 5 0 b) x 1 y 1 9 5 0
c) x 1 y 2 3 5 0 d) x 2 y 2 6 5 0
e) x 1 y 2 12 5 0
Resolução: Uma paralela à reta x 1 y 2 4 5 0 é da forma x 1 y 1 c 5 0. Se a distância de P(2, 1) até essa reta é 3 2 , então: |2 1 1 1 c| 5 3 2 ⇒ |3 1 c| 5 3 2 ? 2 ⇒ |3 1 c| 5 6 12 1 12 Se |3 1 c | 5 6
3 1c 56 ⇒ c 53 3 1 c 5 26 ⇒ c 5 29
As paralelas à reta x 1 y 2 4 5 0, distantes 3 2 do ponto P, são x 1 y 2 9 5 0 e x 1 y 1 3 5 0.
16
39 (Fuvest-SP) A reta s passa pela origem O e pelo ponto A do primeiro quadrante. A reta r é
perpendicular à reta s, no ponto A, intercepta o eixo x no ponto B e o eixo y no ponto C. Determine o coeficiente angular de s se a área do triângulo OBC for o triplo da área do triângulo OAB. 2 2 Resolução: O enunciado remete à seguinte figu ura: y C(0, c) � s XA
yA
A
yA B(b, 0)
� O
x
XA r
yA 2 O y 5 A. XA 2 O xA Se considerarmos o OBC, teremos ms 5 b . c O coeficiente angular da reta s é ms 5
C ? XA 2 y 5 1 ⇒ b ? A 5 1 ⇒ 2 c XA 2
Sendo A OBC 5 3 ? A OAB, então A OAC 5 2 ? A OAB, como A OAC 5 e A OAB 5
b ? yA C ? XA b ? yA by A , então: 52? ⇒ 2 2 2 CX A
m s ? m s 5 1 ⇒ m s2 5 1 ⇒ m s 5 1 ⇒ m s 5 2 2 2
2 2
40 (FGV-SP) Considere os pontos A(1, 22) e B(22, 4) e C(3, 3). A altura do triângulo ABC pelo vértice C
tem equação: a) 2y 2 x 2 3 5 0 b) y 2 2x 1 3 5 0
c) 2y 1 x 1 3 5 0 d) y 1 2x 1 9 5 0
Resolução:
e) 2y 1 x 2 9 5 0
←→
A altura do triângulo ABC pelo vérrtice C é perpendicular a AB, logo: 4 2 ( 2 2) → 5 m ←AB 5 6 5 2 2 ⇒ m1 5 2←1→ 5 21 5 1 . 22 2 1 23 m AB 22 2 A equação da altura será: y 2 3 5 1 (x 2 3) ⇒ 2y 2 6 5 x 2 3 ⇒ 2 ⇒ 2y 2 x 2 3 5 0.
17
41 (Unicamp-SP) Os pontos A, B, C e D pertencem ao gráfico da função y 5 1 , x . 0. As abscissas de
x A, B e C são iguais a 2, 3 e 4, respectivamente, e o segmento AB é paralelo ao segmento CD. a) Encontre as coordenadas do ponto D. b) Mostre que a reta que passa pelos pontos médios dos segmentos AB e CD passa também pela origem. Resolução: a) Os pontos A, B e C são, respectiivamente, 2, 1 , 3, 1 e 4, 1 . Sendo k a abscissa do ponto D, 2 3 4 1 esse ponto será da forma k, , k 0. k → 5 m← → Se a reta que passa por A e B é paralela à reta que passa por C e D, então m ←AB CD . Ou seja: 22 3 4 2k 1 2 1 1 2 1 2(k 2 4) 3 2 6 k 4 4k 5 ⇒ 5 ⇒ 21 5 ⇒ 2 4k 5 2 6 ⇒ k 5 3 . 3 22 k 24 1 k 24 6 2 4k(k 2 4) O ponto D tem coordenadas 3 , 2 . 2 3
( )( ) ( )
( )
(
)
(
) (
)
b) Os pontos médios de AB e CD são, respectivamente, 5 , 5 e 11 , 11 . 2 12 4 24 x y 1 5 1 50 ⇒ 12 11 1 24 11y 5y ⇒ 5x 1 1 55 2 55 2 11x 2 50 ⇒ 12 4 48 48 24 2 10x 1 66y 2 11x 2 60y ⇒ 5 0 ⇒ 2 x 1 6y 5 0. 24 24 A reta 2 x 1 6y 5 0 passa pela origem. A reta que passa por esses pontos será:
5 2 11 4
p. 26
42 (FGV-SP) Escreva a equação da reta que passa pelo ponto A(2, 5) e que corta a reta r dada por suas equações paramétricas: x 5 t 1 1 e y 5 t 2 2, num ponto B, tal que AB 5 3 2 . x 1 y 2 7 5 0 Resolução: x 5 t 1 1 t 5 x 2 1 Sendo r: , temos: ⇒ x 2 1 5 y 1 2 ⇒ r: x 2 y 2 3 5 0 y 5 t 2 2 t 5 y 1 2 x 5 y 1 3 (I) O ponto B e r e d AB 5 3 2. Logo: d AB 5 ⇒ (x 2 2)2 1 (y 2 5)2 5 18
(x 2 2)2 1 (y 2 5)2 5 3 2 ⇒ (II)
De I e II, vem: (y 1 3 2 2)2 1 (y 2 5)2 5 18 ⇒ y 2 1 2y 1 1 1 y 2 2 10y 1 25 5 18 ⇒ ⇒ 2y 2 2 8y 1 8 5 0 ⇒ y 5 2 ⇒ x 5 2 1 3 5 5 B(5, 2) A reta que passa por A(2, 5) e B(5, 2) será: x y 1 2 5 1 5 0 ⇒ 5x 1 5y 1 4 2 25 2 2x 2 2y 5 0 ⇒ 3x 1 3y 2 21 5 0 ( 3) ⇒ 5 2 1 ⇒ x 1 y 2 7 5 0. 18
^
^
43 (FGV-SP) Na figura ao lado, os ângulos OCA e AMN são retos, ^
t
o ângulo COA mede 45°, e as medidas dos segmentos OC e MN são, respectivamente, 2 cm e 5 cm. Escreva a equação da reta t, suporte do segmento MN. x 1 y 2 3 2 5 0
y P M B
C N A
Resolução:
O
x
O triângulo ACO é retângulo e isóssceles. Se OC 5 AC 5 2 cm, então OA 5 2 2 cm. O triângulo AMN também é retângulo e isósceles. Se MN 5 AM 5 5 cm, então NA 5 5 2 cm. Se NA 5 5 2 e OA 5 2 2 , então ON 5 5 2 2 2 2 5 3 2 ; logo, as coordenadas de N serão ( 3 2 , 0) . A reta t passa por N e tem inclinação de 135°. Sendo N ( 3 2 , 0) e m 5 tg 135° 5 21, a equação da reta t será:
y 2 0 5 21 ( x 2 3 2 ) ⇒ y 5 2 x 1 3 2 ⇒ x 1 y 2 3 2 5 0.
44 (FGV-SP) A
D B
E C
a) Os lados do triângulo ABC da figura acima medem: AB 5 28 cm, AC 5 21 cm e BC 5 35 cm Uma paralela ao lado BC intercepta os lados AB e AC nos pontos D e E, respectivamente. 8 cm, 25 cm e 6 cm Determine a medida dos lados BD, DE, EC do trap pézio BDEC, sabendo que o seu perímetro é 74 cm. b) Escreva a equação da reta que passaa pelo ponto A(2, 5) e que corta a reta r dada por suas equações paramétricas: x 5 t 1 1 e y 5 t 2 2, num ponto B, tal que AB 5 3 2. x 1 y 2 7 5 0 Resolução: a) Os triângulos ABC e ADE são semeelhantes, então: AD 5 28x AD 5 AE 5 DE 5 x ⇒ AD 5 AE 5 DE 5 x ⇒ AE 5 21x AB AC BC 28 21 35 DE 5 35x Com base nessas igualdades, temos: BD 5 AB 2 AD 5 28 2 28x EC 5 AC 2 AE 5 21 2 21x Como o perímetro do trapézio BDE EC é 74 cm, teremos: BD 1 DE 1 EC 1 BC 5 74 ⇒ (28 2 28x) 1 35x 1 (21 2 21x) 1 35 5 74 ⇒ ⇒ 84 2 14x 5 74 ⇒ 214x 5 210 ⇒ x 5 5 7 5 Portanto: BD 5 28 2 28 ? 5 28 2 20 5 8 cm 7 DE 5 35 ? 5 5 25 cm 7 EC 5 21 2 21 ? 5 5 21 2 15 5 6 cm 7 b) O item b é exatamente o exercício 42 resolvido na págiina anterior. 19
45 (MACK-SP) Na figura, a reta r encontra o gráfico de y 5 log3 x no ponto (9, b). y r
b
9
a
x
O valor de a 1 b é: a) 2
c) 7 4
b) 2 1 2
d) 21
e) 2 9
Resolução: A reta r intercepta o gráfico de y 5 log 3 x num ponto de abscissa 9 e num ponto de ordenada 0. Assim, temos: x 5 9 ⇒ y 5 log 3 9 5 2 b 5 2, e o ponto será (9, 2). y 5 0 ⇒ 0 5 log 3 x ⇒ x 5 30 5 1, e o ponto será (1, 0). x y 1 A equação da reta r será: 9 2 1 5 0 ⇒ 2x 1 y 2 2 2 9y 5 0 ⇒ 2x 2 8y 2 2 5 0. 1 0 1 A reta r intercepta o eixo y no ponto de ordenada a, ou seja: 2 ? 0 2 8 ? a 2 2 5 0 ⇒ 2 8a 5 2 ⇒ a 5 2 1 . 4 21 1 8 2 1 7 O valor de a 1 b é 125 5 . 4 4 4
20
46 (FGV-SP) Seja r a reta 4x 1 7y 2 56 5 0 que intercepta o eixo das ordenadas no ponto A e o eixo das abscissas no ponto B. Considere uma reta s, que passa pela origem O(0, 0) e intercepta a reta r no ponto C, de modo que a área do triângulo OCB seja igual à metade da área do triângulo OAC. a) Encontre a equação da reta s. y 5 2 x ou y 5 2 2 x 7 7 b) Determine as coordenadas do ponto C. 28 8 , ou (28, 28) 3 3 y
8
)
(
A s x
C mx
O
B 14
r
x
Resolução: a) A reta s é da forma y 5 mx. Sabendo que A OCB 5
A OAC e com base na figura temos: 2
14 ? | mx | 5 7 | m | | x | 4 |x| 2 ⇒ |m| 5 2 5 ⇒ 7 ? |m| ? | x | 5 2 7 8 ? |x| 5 5 4 ? |x| 2
A OCB 5 A OAC
Desse modo, a reta s será y 5 2 x ou y 5 22 x. 7 7 b) O ponto C é a intersecção entre as retas r e s. 4x 1 7y 2 56 5 0 Se s: y 5 2 x, temos: ⇒ 4x 1 7 ? 2 7 y 5 7 x ⇒ 4x 1 2x 5 56 ⇒ 6x 5 56 ⇒ x 5 56 5 28 6 3 y 5 2 ? 28 5 8 7 3 3 4x 1 7y 2 56 5 0 Se s: y 5 22 x, temos: ⇒ 4x 1 7 22 7 y 5 7 x ⇒ 4x 2 2x 5 56 ⇒ 2x 5 56 ⇒ x 5 28 y 5 22 ? 28 5 2 8 7 O ponto C terá coordenadas 28 , 8 ou (28, 2 8). 3 3
(
)
21
2 x 2 56 5 0 ⇒ 7
( 272 x) 2 56 5 0 ⇒
m5 2 7 m 5 22 7
47 (Fuvest-SP) Uma das diagonais de um quadrado está contida na reta x 1 y 5 4. Determine seus vértices sabendo que um deles é o ponto (1, 1). (1, 3), (3, 3), (1, 1) e (3, 1) Resolução: A
•
B
•
•
Diagonal AD: y 5 2 x 1 4 ⇒ m1 5 21 m1 5 2 1 ⇒ m2 5 1 m2
M
C(1, 1)
D
(2 2 1)2 1 (2 2 1)2 5
d(C, M) 5 •
•
Diagonal BC : y 2 1 5 1(x 2 1) ⇒ y 2 x 5 0 y 5 2 x 1 4 x 5 2 ⇒ M(2, 2) y 5 x y 5 2 11 x 25 ⇒ x 5 3 2 B(3, 3) 11 y 25 ⇒ y 5 3 2
2
•
A AD A(x, 2 x 1 4) e M(2, 2) d2(A, M) 5 d2(C, M) ⇒ (x 2 2)2 1 (2x 1 4 2 2)2 5 ( 2 ) ⇒ x 2 2 4x 1 3 5 0 x 5 1 ⇒ y 5 3 A(1, 3) x 5 3 ⇒ y 5 1 D(3, 1) Logo, A(1, 3), B(3, 3), C(1, 1) e D((3, 1) 2
48 (FGV-SP) Dado o ponto P(2, 3), determine o ponto simétrico de P com relação à reta y 5 x 2 3. (6, 21) Resolução: Cálculo de mr: y 5 x 2 3 mr 5 1 Cálculo de ms: mr ? ms 5 21 1 ? ms 5 21 ms 5 21
s P(2, 3)
M
r
Equação da reta s: y 2 3 5 21(x 2 2) x 1 y 25 50
P�
y 5 x 2 3 Ponto M , intersecção das retas r e s: ⇒ x 5 4ey 5 1 x 1 y 2 5 5 0 Logo, M(4, 1). • Cálculo das coordenadas de P •
•
Como M é ponto médio de PP, temos: x 1 x P 2 1 x P y 1 yP 3 1 yP xM 5 P ⇒ 4 5 ⇒ x P 5 6 e y M 5 P ⇒ 15 ⇒ yP 5 21 2 2 2 2 Logo, P(6, 21).
22
49 (UFPI) Há dois pontos sobre a reta y 5 2 que distam 4 unidades da reta 12y 5 5x 1 2. A soma das abscissas desses pontos é: a) 44 5
e) 43 5
c) 6 d) 42 5
b) 2 2
Resolução: Seja A(a, 2) um ponto que dista 4 unidades da reta r, 12y 5 5x 1 2. | 5a 2 12 ? 2 1 2 | d(A, r) 5 4 ⇒ 5 4 ⇒ | 5a 2 22 | 5 52 52 1 (212)2 Resolvendo a equação modular: 5a 2 22 5 52 ⇒ a 5 74 ou 5a 2 22 5 2 52 ⇒ a 5 2 6. 5 Soma das abscissas: 74 1 (26) 5 74 2 6 5 44 5 5 5
50 (Fatec-SP) Sejam 3x 2 4y 1 10 5 0 e 6x 2 8y 1 15 5 0 as equações das retas suporte das bases de um trapézio. Determine a altura desse trapézio. 1 2 Resolução:
( )
x 5 0 ⇒ 3 ? 0 2 4y 1 10 5 0 ⇒ y 5 5 ⇒ 0, 5 2 2 6 ? 0 1 (28) ? 5 1 15 2 h 5 ⇒ h 5 1 2 2 2 6 1 (28)
51 (PUC-MG) Na figura, a reta que passa pelos pontos C(2, 0) e M(0, 3)
intercepta a reta que passa pelos pontos B(21, 0) e N(0, 1) no ponto A, formando com o eixo das abscissas o triângulo de vértices A, B e C. A medida da altura do ABC, relativa ao vértice A, é: a) 1,8 b) 1,9 c) 2,0 d) 2,1 Resolução: ←→
x
y 1
Equação da reta CM : 2 0 1 5 0 ⇒ 3x 1 2y 2 6 5 0
←→
0 3 1 x y 1
Equação da reta BN : 21 0 1 5 0 ⇒ x 2 y 1 1 5 0 0 1 1 3x 1 2y 5 6 Coordenadas do ponto A: x 2 y 5 21 Resolvendo o sistema, obtemos x 5 4 e y 5 9 . 5 5 Logo, A 4 , 9 e a medida da altura do ABC relativa ao vértice A é y 5 9 5 1,8. 5 5 5
(
)
23
y M
A
N C B
O
x
52 (FGV-SP) No plano cartesiano, considere os pontos A(1, 3) e B(25, 4). Considere também a reta r de equação 2x 1 3y 5 7. a) Obtenha a equação da reta s que é paralela a r e que passa por A. 2x 1 3y 2 11 5 0 b) Obtenha a equação da reta t que é perpendicular a r e que passa por A. 3x 2 2y 1 3 5 0 353 c) Seja P o ponto onde a reta r intercepta o eixo x. Obtenha a distância de P a B. 2 d) Obtenha a distância do ponto B à reta r. 5 13 13 Resolução: O coeficiente angular da reta r é 2 2 . 3 a) O coeficiente angular da reta s é 2 2 . 3 Como a reta s passa pelo ponto A(1, 3), uma de suas equações é y 2 3 5 2 2 (x 2 1), ou seja, 3 2x 1 3y 2 11 5 0 b) O coeficiente angular da reta t é 3 . 2 Como a reta t passa pelo ponto A(1, 3), uma de suas equações é y 2 3 5 3 (x 2 1), ou seja, 2 3x 2 2y 1 3 5 0. c) Como y 5 0 na equação de r, temos x 5 7 . 2 7 Logo, P , 0 . 2
( )
A distância pedida é
(
7 15 2
)
2
d) A distância do ponto B à reta r é
1 (4 2 0)2 , ou seja,
353 . 2
| 2 ? (25) 1 3 ? 4 2 7 | 5 13 , ou seja, . 2 2 13 2 13
53 (UEMA) Seja H a área limitada pelas retas 3y 1 2x 5 0, y 2 x 1 5 5 0 e pelo eixo y. Identifique a área H em um sistema de eixo cartesiano e calcule o seu valor. 15 2 Resolução: Sejam as retas r: 3y 1 2x 5 0 e s: y 2 x 1 5 5 0. y
r (0, 0)
O
x
P
s A
(0, �5)
Resolvendo o sistema, temos: 3y 1 2x 5 0 y 2 x 1 5 5 0 x 5 3 e y 5 2 2, logo P(3, 2 2) Cálculo da área do triângulo OAP: 0 0 1 1 S 5 ? 0 25 1 5 1 |15 | 5 15 2 2 2 3 22 1
24
54 (UFU-MG) Considere, no plano cartesiano com origem O, um triângulo cujos vértices A, B e C
têm coordenadas (21, 0), (0, 4) e (2, 0), respectivamente. Se M e N são os pontos médios de AB e BC, respectivamente, a área do triângulo OMN será igual a: a) 5 u.a. b) 8 u.a. c) 1 u.a. d) 3 u.a. 3 5 2 Resolução: • Cálculo dos pontos M e N , pontos médios dos lados AB e BC. 21 1 0 0 1 4 XM 5 5 21 e YM 5 5 2 M 21 , 2 2 2 2 2 0 1 2 4 10 XN 5 5 1 e YN 5 5 2 N(1, 2) 2 2
y
(
B
M
N
A
O
C
x
)
• Cálculo da área do triângulo OMN: 0 0 1 S 5 1 ? 21 2 2 1
2 1 5 1 |2 3 | 5 3 2 2 2 1
55 (UFPel-RS) A área de um triângulo é 12 cm2. Dois de seus vértices são (21, 22) e (2, 3). Sabendo-se que o terceiro vértice está sobre a reta 2x 1 y 5 2, calcule as coordenadas desse vértice. 31 , 2 40 ou 2 17 , 56 Resolução: 11 11 11 11 y
(
r 3
r: 2x 1 y 5 2 ⇒ y 5 2 2x 1 2 C(x, 2 2x 1 2) é um ponto qualquer da reta r. SABC 5 1 ? | D | 2 D 5 24
B
�1 0 A
x
2 �2 C
x D 5 21 2
22x 1 2 1 22 3
1 5 211x 1 7 1
211x 1 7 5 24 ⇒ x 5 2 17 e y 5 56 11 11 ou 211x 1 7 5 2 24 ⇒ x 5 31 e y 5 2 40 11 11
(
)
(
)
C 2 17 , 56 11 11
C 31 , 2 40 11 11
25
) (
)
56 (Fuvest-SP) A hipotenusa de um triângulo retângulo está contida na reta r: y 5 5x 2 13, e um de
seus catetos está contido na reta s: y 5 x 2 1. Se o vértice onde está o ângulo reto é um ponto da forma (k, 5) sobre a reta s, determine: a) todos os vértices do triângulo; (6, 5), (4, 7) e (3, 2) b) a área do triângulo. 6 Resolução: C
B A(k; 5)
t r
s
y � 5x � 13
y�x�1
a) A(k, 5) s ⇔ 5 5 k 2 1 ⇔ k 5 6 Então: A(6, 5) (r) y 5 5x 2 13 ⇔ x 5 3 e y 5 2 C(3, 2) (s) y 5 x 2 1 (ms 5 1 e t ⊥ s) ⇒ mt 5 21 A(6, 5) t e mt 5 21 ⇔ y 2 5 5 21(x 2 6) ⇔ y 5 2 x 1 11 (t) y 5 2 x 1 11 ⇔ x 5 4 e y 5 7 ⇔ B(4, 7) (r) y 5 5x 2 13 b) A ABC
6 5 1 1 5 ? 3 2 1 5 1 ? |212 | 5 6 u.a. 2 2 4 7 1
26
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