MATSM16E2M
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Descripción: libro matematicas segundo medio...
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MaTeMáTica 2.° MeDiO TexTO Del esTuDianTe
Dirección editorial Felipe Muñoz Gómez
Coordinación de diseño Gabriela de la Fuente Garias
Coordinación editorial Daniela Cienfuegos Fernández
Diseño y diagramación Anghela Badiola Sanhueza
Edición Pedro Rupin Gutiérrez
Diseño de portada Anghela Badiola Sanhueza
Ayudantía de edición Marcela Cofré Moraga
Ilustraciones Archivo editorial
Autoría Gerardo Muñoz Díaz Pedro Rupin Gutiérrez Lorna Jiménez Martínez
Infografías Sol90images
Asesoría Verónica Muñoz Correa Guadalupe Álvarez Pereira Desarrollo de solucionario Susan Schwerter Felmer Carolina Parada González
Producción fotográica Carlos Johnson Muñoz Archivo editorial Gestión de derechos Joseina Majewsky Vera Producción Andrea Carrasco Zavala
Corrección de estilo Alida Montero de la Fuente
Este texto corresponde al Segundo año de Enseñanza Media y ha sido elaborado conforme al Decreto Supremo N° 254/2009, del Ministerio de Educación de Chile.
©2013 – Ediciones SM Chile S.A. – Coyancura 2283 piso 2 – Providencia ISBN: 978-956-349-542-3 / Depósito legal: 229885 Se terminó de imprimir esta edición de 235.000 ejemplares en el mes de octubre del año 2015. Impreso por QuadGraphics Chile S.A.
Quedan rigurosamente prohibida, sin la autorización escrita de los titulares del Copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.
medio
Matemática Gerardo Muñoz Díaz Profesor de Matemática Pontiicia Universidad Católica de Chile Ingeniero eléctrico Universidad de Santiago de Chile Magíster en Enseñanza de las Ciencias con mención en Didáctica de la Matemática Pontiicia Universidad Católica de Valparaíso
lorna Jiménez Martínez Profesora de Matemática Licenciada en Matemática Pontiicia Universidad Católica de Chile
Pedro Rupin Gutiérrez Profesor de Matemática Licenciado en Matemática Pontiicia Universidad Católica de Chile
Texto del estudiante
Índice de contenidos 1
Unidad 1: Números ......................................................... 6 Sección 1: Números reales ..................................................8 ¿Qué debes saber?...............................................................9 Lección 1: Números irracionales y problemas geométricos. ............................10 Lección 2: Aproximación y construcción de números irracionales ....................................14 Lección 3: Números irracionales en la recta numérica y orden ................................18 Lección 4: Números reales. ............................................22 Resolución de problemas .................................................26 Para no cometer errores ...................................................27 Integrando lo aprendido ..................................................28 Sección 2: Raíces ...................................................................30 ¿Qué debes saber?.............................................................31 Lección 5: Raíz enésima.................................................32 Lección 6: Raíces y operaciones ....................................36 Lección 7: Potencias de exponente racional .................40 Lección 8: Racionalización.............................................44 Lección 9: Raíces enésimas, problemas y ecuaciones ..48 Resolución de problemas .................................................52 Para no cometer errores ...................................................53 Integrando lo aprendido ..................................................54
2
Diario Mural ...........................................................................74 Para sintetizar .......................................................................76 Reforzar antes de evaluar.................................................78 Profundizar ............................................................................81 Evalúo mis aprendizajes ....................................................82
Unidad 2: Geometría ................................................. 86 Sección 1: Semejanza de figuras planas .....................88 ¿Qué debes saber?.............................................................89 Lección 13: Semejanza y figuras a escala .......................90 Lección 14: Criterios de semejanza de triángulos. ..........96 Lección 15: Homotecia y semejanza. ............................100 Resolución de problemas ...............................................104 Para no cometer errores .................................................105 Integrando lo aprendido ................................................106 Sección 2: Teoremas de semejanza .............................108 ¿Qué debes saber?...........................................................109 Lección 16: Teorema de Thales ......................................110 Lección 17: División interior de trazos. ..........................116 Lección 18: Teorema de Euclides ...................................120 Lección 19: Teorema de Pitágoras y recíproco...............124 Resolución de problemas ...............................................128 Para no cometer errores .................................................129 Integrando lo aprendido ................................................130
2
Sección 3: Logaritmos ........................................................56 ¿Qué debes saber?.............................................................57 Lección 10: Logaritmos....................................................58 Lección 11: Propiedades de los logaritmos .....................62 Lección 12: Aplicaciones de logaritmos ..........................66 Resolución de problemas .................................................70 Para no cometer errores ...................................................71 Integrando lo aprendido ..................................................72
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
Sección 3: Ángulos y segmentos en la circunferencia......................................................................132 ¿Qué debes saber?...........................................................133 Lección 20: Ángulo inscrito y del centro en una circunferencia. ............................................134 Lección 21: Cuerdas y secantes en la circunferencia .....140 Resolución de problemas ...............................................144 Para no cometer errores .................................................145 Integrando lo aprendido ................................................146 Diario Mural .........................................................................148 Para sintetizar .....................................................................150 Reforzar antes de evaluar...............................................152 Profundizar ..........................................................................155 Evalúo mis aprendizajes ..................................................156
3
Unidad 3: Álgebra ......................................................160 Sección 1: Fracciones algebraicas ................................162 ¿Qué debes saber?...........................................................163 Lección 22: Fracción algebraica. ....................................164 Lección 23: Fracciones algebraicas y fórmulas..............166 Lección 24: Mcd y mcm de expresiones algebraicas. ...170 Lección 25: Amplificación y simplificación de fracciones algebraicas ..................................................174 Lección 26: Multiplicación y división de fracciones algebraicas ...........................178 Lección 27: Adición y sustracción de fracciones algebraicas ..................................................182 Lección 28: Resolución de problemas que involucran ecuaciones fraccionarias.. ...........................186 Resolución de problemas ...............................................192 Para no cometer errores .................................................193 Integrando lo aprendido ................................................194 Sección 2: Función exponencial, logarítmica y raíz ................................................................196 ¿Qué debes saber?...........................................................197 Lección 29: Funciones, tablas y gráficos........................198 Lección 30: Función raíz cuadrada. ...............................202 Lección 31: Función exponencial...................................206 Lección 32: Función logarítmica....................................210
4
Resolución de problemas ...............................................214 Para no cometer errores .................................................215 Integrando lo aprendido ................................................216 Sección 3: Sistemas de ecuaciones lineales .............218 ¿Qué debes saber?...........................................................219 Lección 33: Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas ..................................................220 Lección 34: Sistemas de ecuaciones lineales y gráficos.222 Lección 35: Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales.....................................226 Lección 36: Existencia de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.....................................232 Lección 37: Resolución de problemas que involucran sistemas de ecuaciones lineales.................236 Resolución de problemas ...............................................242 Para no cometer errores .................................................243 Integrando lo aprendido ................................................244 Diario Mural .........................................................................246 Para sintetizar .....................................................................248 Reforzar antes de evaluar...............................................250 Profundizar ..........................................................................253 Evalúo mis aprendizajes ..................................................254
Unidad 4: Datos y Azar ........................................... 258 Sección 1: Dispersión y comparación de datos........260 ¿Qué debes saber?...........................................................261 Lección 38: Medidas de dispersion de datos ................262 Lección 39: Comparación de conjuntos de datos ..........266 Resolución de problemas ...............................................270 Para no cometer errores .................................................271 Integrando lo aprendido ................................................272
Sección 3: Eventos excluyentes, independientes y probabilidades ....................................................................292 ¿Qué debes saber?...........................................................293 Lección 43: Conjuntos y probabilidades ........................294 Lección 44: Producto y suma de probabilidades ..........298 Lección 45: Eventos independientes .............................302 Lección 46: Combinatoria y probabilidades ..................304 Resolución de problemas ...............................................308 Para no cometer errores .................................................309 Integrando lo aprendido ................................................310
Sección 2: Muestreo y variable aleatorios ................274 ¿Qué debes saber?...........................................................275 Lección 40: Muestreo aleatorio simple .........................276 Lección 41: Variable aleatoria ........................................280 Lección 42: Medias muestrales .....................................284 Resolución de problemas ...............................................288 Para no cometer errores .................................................289 Integrando lo aprendido ................................................290
Diario Mural .........................................................................312 Para sintetizar .....................................................................314 Reforzar antes de evaluar...............................................316 Profundizar ..........................................................................319 Evalúo mis aprendizajes ..................................................320
Solucionario .........................................................................324 Índice temático ...................................................................375
Glosario ..................................................................................377 Bibliografía ..........................................................................383
ÍNDICE
3
Estructura del texto El Texto Matemática 2 se compone de 4 unidades: números, Geometría, álgebra y Datos y azar. Cada unidad se compone de secciones, y cada sección de lecciones.
estructura de las unidades
1.
2. inicio de unidad
Al final de cada unidad encontrarás una interesante aplicación de lo estudiado, en diversos contextos.
En estas páginas podrás activar tus ideas previas, conocer las palabras clave de la unidad, y recordar lo que ya sabes. Te presentaremos lo que aprenderás y su objetivo, en un contexto relacionado con los contenidos que se estudiarán.
3.
Diario Mural
Para sintetizar Aquí podrás organizar y resumir los contenidos abordados. Además, retomaremos la situación presentada en el inicio y podrás relacionarla con tus aprendizajes.
4.
Reforzar y profundizar Estas páginas te permitirán reforzar los contenidos antes de la evaluación, como también profundizar tus aprendizajes.
5.
evalúo mis aprendizajes Te proponemos una evaluación de alternativas, en la que podrás medir tus logros en la unidad.
4
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
estructura de las secciones
6.
De esto se trata y ¿Qué debes saber? Activarás tus ideas previas y reflexionarás sobre la importancia de los contenidos y el propósito de la sección, a partir de una situación real. Además, podrás evaluar tus conocimientos previos y repasar lo que necesites con la ayuda de Internet.
8. 7.
lección Estas son las páginas de contenido en las que recordarás tus aprendizajes previos y desarrollarás tus habilidades. Te proponemos actividades para que razones, comentes y reflexiones con tus compañeros, y ejercicios de repaso, práctica y aplicación.
9.
Resolución de problemas y Para no cometer errores Podrás analizar estrategias de resolución de problemas, y analizar errores para no cometerlos.
integrando lo aprendido Podrás evaluar tus aprendizajes de la sección y analizar si has logrado el propósito de ella.
Páginas finales
10.
solucionario, Índice temático y Bibliografía Aquí encontrarás la solución a los ejercicios planteados, un Índice temático de los contenidos abordados y la Bibliografía del Texto, además de material que te sugerimos para profundizar tus conocimientos.
RecueRDa Que las acTiViDaDes Y eJeRciciOs PROPuesTOs DeBes RealiZaRlOs en Tu cuaDeRnO
ESTRUCTURA DEL TEXTO
5
unidad
Números
Ideas previas El estudio de la música de manera sistemática comenzó en la antigua Grecia gracias a Pitágoras que captó la relación entre el largo de una cuerda pulsada y el sonido que produce, según la vibración. Estas relaciones han permitido la creación de escalas musicales, adaptadas posteriormente para generar distintos tipos de sonidos y crear nuevas obras. Aunque con algunas diferencias, todas tienen un origen común: la observación de Pitágoras. • Si golpeas una lámina de metal muy gruesa y otra muy delgada, ¿en qué se diferencian los sonidos que producen? • ¿Cómo se forman las notas al tocar una guitarra?
6
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
Palabras clave Ü Racional
Ü Potencia
Ü Irracional
Ü Exponente
Ü Número real
Ü Base
Ü Conjunto numérico
Ü Logaritmo
1
2
3
4
UNIDAD 1 • NÚMEROS
7
Sección 1
Números reales ¿Qué aprenderás?
¿Dónde?
Es importante porque te permitirá…
A identificar números irracionales y sus propiedades, y operar con ellos en problemas geométricos.
Lección 1
comprender la necesidad de ampliar el conjunto de los números racionales.
A aproximar números irracionales.
Lección 2
manejar procedimientos para operar con estos números.
A ordenar y ubicar números irracionales.
Lección 3
comparar números irracionales.
A identificar y caracterizar el conjunto de los números reales.
Lección 4
asociar el orden de los números irracionales con su posición en la recta numérica.
Explorando tus ideas previas
Actividad
§ ¿Qué te sugieren los siguientes términos? Ü
Irracional
Ü
Exacto
Ü
Comprobar
Ü
Demostrar
Ü
Conjunto
§ ¿En qué ocasiones has oído que un número “no es exacto” Ejemplifica.
De esto se trata… Es posible que al resolver un ejercicio hayas obtenido como resultado un número no muy “cómodo” de utilizar. Por ejemplo, con una calculadora puedes comprobar que
5 : 3 = 1,666666667
4 : 17 = 0,235294117 La calculadora, ¿está mostrando todos los decimales? Si tuviéramos una calculadora de mayor capacidad, ¿obtendríamos más? Es posible, incluso que pudiéramos ver algunas regularidades como en la división 5 : 3 5 : 3 = 1,666666667 Parece que solo obtendremos el decimal 6, repetido hasta que… terminamos con un 7. ¿Es un error de la calculadora? ¿Podemos seguir confiando en ella o necesitamos más información?
Actividad grupal en grupos de 3 personas, realicen las siguientes actividades.
➊ ➋
Utilicen una calculadora para determinar el resultado de la división 15 015 : 6 678 671.
➌
Suponiendo que se trata de un decimal finito, expresen el resultado obtenido como fracción,
El valor obtenido anteriormente, ¿es un número con decimal finito? ¿Es un decimal periódico, semiperiódico? ¿Es posible responder esta pregunta con el resultado que entrega la calculadora? Justifiquen. y simplifiquen hasta una fracción irreductible. El resultado que obtienen, ¿es equivalente a la fracción 15 015 ? 6 678 671
Propósito: que comprendas la necesidad de que exista un conjunto de números que permita resolver situaciones que no tienen solución en los números racionales. 8
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1
2
3
4
¿Qué debes saber? Realiza las siguientes actividades. Identificar y realizar operaciones entre números racionales
Aproximar, ordenar y ubicar números racionales en la recta numérica
1 Determina cuáles de los siguientes números son naturales, enteros o racionales.
5 Aproxima por redondeo a la cifra indicada los siguientes números:
a. 2
e. –2
b. 5
f. –1,3333….
c. 5,5
g. 4,2878787…
d. 3,777…
h. 5,73
2 Expresa los siguientes números decimales como fracción. a. 3,1
e. 7,21
b. 2,92
f. 2,05
c. 3,5
g. 6,231
d. 4,56
h. 5,2898989…
e. 1251,84, a la unidad.
b. 67 278, a la centena.
f. 3,45, a la unidad.
c. 128, a la decena.
g. 4,126, a la décima.
d. 4242, a la decena. 6 Aproxima por truncamiento a la cifra indicada los siguientes números: a. 3,355, a la décima. b. 273,251, a la centésima. c. 21,0174, a la centésima. d. 1,23487, a la milésima. 7 Ordena de menor a mayor los siguientes números. a. 4,41
4,44
4,42
4,4343
b. 5,23
5,2
5,22
5,222
5,23
2 8 3 23 c. 1 2 5 17 4 42 3 15 d. 0,5 0,65 0,75 5 21 11 1,25 1,26 1,26 e. 5 9 4 8 Ubica en una misma recta numérica cada uno de los siguientes grupos de números. a. 1,4
1,7
2,1
1,9
0,8
b. 2,5
5 3 5 14
7 4 8 21
1,8
31 8
0,45
0, 4
c. 3 7
Actividad
3 Expresa las siguientes fracciones como número decimal. a. 7 e. 4 9 10 15 82 b. f. 99 100 c. 27 g. 24 90 1000 15 1234 d. h. 8 990 4 Calcula el resultado de las siguientes operaciones. d. 3 • 0,7 a. 0,3 + 0,81 4 b. 0,5 – 0,012 e. 5,1: 2 5 c. 2,27 • 4 5 f. + 0,31• 1,3 2
a. 5324, a la centena.
Autoevaluació Autoevaluación En la tabla que te entregará tu profesor(a), evalúa el nivel de dominio alcanzado. Luego, repasa en los sitios web que se indican si fuera necesario.
Repasa en los siguientes sitios web…. http://goo.gl/tNSPC
Operaciones entre números racionales.
http://goo.gl/xyW9j
Aproximación, orden y ubicación de números racionales en la recta numérica.
UNIDAD 1 • NÚMEROS
9
1 Lección
Propósito: identificar números irracionales y sus propiedades, y operar con ellos en problemas geométricos.
Números irracionales y problemas geométricos Taller En parejas, lean y realicen las siguientes actividades. Un arco de fútbol mide 7,32 metros de largo, lo que es equivalente a 73,2 decímetros o 732 centímetros. ¿Por qué no mide exactamente 7 metros? Porque se definió en Inglaterra, donde se emplea el sistema de medida anglosajón. En él, en lugar del metro y los centímetros se utiliza la pulgada (25,4 mm), de modo que 12 pulgadas (30,48 cm) conforman un pie, y 3 pies una yarda (91,44 cm, aproximadamente un paso de un adulto). De esta forma se estableció que el arco de fútbol tiene una longitud de 8 yardas (8 pasos). Podemos decir que, independientemente de la unidad de medida que utilicemos, la longitud del arco siempre es la misma. Aunque se emplean distintas unidades, tanto el sistema métrico decimal como el anglosajón se basan en la comparación, es decir, en analizar cuántas veces "cabe" una unidad de medida dentro de una longitud. Si no cabe en forma exacta podemos dividirla en partes iguales más pequeñas hasta obtener el número adecuado. Pero, ¿será posible siempre encontrar una división exacta de la unidad de medida?
Recuerda que… Teorema de Pitágoras Si ABC es un triángulo, rectángulo en C, se cumple que: B
1 Consideren el cuadrado de la figura. a) Midan con regla la medida de sus lados AB, BC y su diagonal AC. ¿Es posible determinar con regla la medida exacta de AC?
C
A
B
b) De acuerdo con el Teorema de Pitágoras se tiene la siguiente relación: AB2 + BC2 = AC2
C
A
AC² + BC² = AB² La raíz cuadrada de un número a es el número no negativo que, multiplicado por sí mismo, da como resultado a. Se escribe a.
Ayuda ¿Qué significa que una vara mida 1,2 metros? Significa que podemos dividir el metro en 10 partes iguales, y la vara mide 12 de estas partes 1,2 =
10
D
12 10
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
2
2
AB + BC = AC
/ 2
AB2 + BC2 = AC
Utilicen una calculadora para determinar la medida de AC, considerando las medidas de AB y BC en centímetros. ¿Cuántos decimales tiene el número obtenido? Comparen con los resultados de sus compañeros utilizando distintas calculadoras. 2 A los miembros de la escuela Pitagórica, en el siglo VI a.C., les llamó la atención esta diagonal y su medida. Para estudiarla consideraron un cuadrado cuyo lado midiera 1 unidad, y con ello su diagonal mediría 2 unidades, ya que: 12 + 12 = 1+ 1 = 2 Supongamos que la unidad de medida utilizada para medir el lado del cuadrado puede dividirse en una cierta cantidad b de partes iguales, de modo que la diagonal mide a de estas partes. Con ello tenemos que
2=
a b
1 a y b son números naturales, los que en caso de tener factores comunes podríamos simplificarlos y obtener una fracción x = a , donde x e y son números naturales y b que no tienen factores comunes. Observen que para dos números naturales tenemos las siguientes posibilidades: • par , que no es el caso porque entonces ambos números tendrían como par factor común a 2 (y ya simplificamos todos los factores comunes). • impar , que al elevarlo al cuadrado se obtiene par 2=
2
3
4
Ayuda Si un número x es impar, puede escribirse como x = 2n + 1 Si se calcula x², tenemos que x² = (2n + 1)² = 4n² + 4n + 1 = 2(2n² + 2n) +1 Por lo tanto, si x es impar, necesariamente x² es impar. ¿Qué ocurre si x es par?
impar impar impar impar →2= • →2= → 2 • par = impar par par par par
Necesitaríamos que x fuera un número par que al multiplicarlo por 2 resultara un número impar. No es posible. a) Veriiquen si son posibles las combinaciones par y impar . impar impar b) Considerando los resultados anteriores, ¿es posible encontrar una fracción que sea igual a 2? Justiiquen. Los pitagóricos se dieron cuenta de que no puede existir la fracción a = 2. Se dijo b entonces que era un número inconmensurable o inmedible porque no podemos tomar una unidad de medida y dividirla en partes que quepan exactamente en ella. Ya que no hay una fracción que lo represente, es un número que no pertenece a los números racionales, por lo tanto, es irracional. Posteriormente se demostraría que toda raíz cuadrada de un número natural, o bien es un número natural o necesariamente es irracional. Por ejemplo, son números irracionales 3
5
1,2
Ayuda Para realizar esta demostración se supuso lo contrario a lo que se deseaba demostrar y se llegó a una contradicción. Esto se conoce como reducción al absurdo.
1 2
Al dividir un número natural por otro el resultado puede ser un número natural, un decimal finito o un número decimal periódico o semiperiódico, pero un número irracional tiene infinitas cifras decimales sin período. Ya que tampoco se pueden expresar como fracción, la única forma exacta de escribirlos es utilizando símbolos o, al escribir parte de sus decimales, utilizar puntos suspensivos o el signo de aproximación (≈).
2 = 1, 414213...
Recuerda que… El número π es una constante que corresponde al perímetro de un círculo de diámetro 1.
1
2 ≈ 1, 414213 π = 3,145926... Por lo mismo, en los problemas geométricos en que aparezcan solo será posible trabajar con ellos en forma simbólica y, si es necesario, utilizar al final una aproximación de ellos, como se observa en el siguiente ejemplo.
P = 2πr = 2r π =1•π =π
UNIDAD 1 • NÚMEROS
11
Lección
1 Ejemplo En la siguiente figura los triángulos ABC y ACD son rectángulos cuyos catetos son los segmentos BC, AC y CD. Sobre el segmento CD se ha construido una semicircunferencia. Calcula el perímetro de la figura, si BC = CD = 4 cm y AC = 5 cm. A
B Paso 1
C
D
Los triángulos ABC y ACD son congruentes entre sí, por lo que AB = AD. Por teorema de Pitágoras se tiene que: AB2 = BC2 + AC2 AB2 = 4 2 + 52 AB = 16 + 25
Recuerda que… Perímetro de un círculo de radio r: P = 2πr
AB = 41 Paso 2
La semicircunferencia tiene radio igual a la mitad de CD, es decir, 2 cm. Aplicando la fórmula del perímetro de la circunferencia, se tiene que: 2πr 2 2π • 2 = 2 = 2π
CD =
Paso 3
El perímetro P de la figura corresponde a la suma de las medidas de las líneas que componen su contorno. Por lo tanto, P = 41 + 4 + 2π + 41 = 2 41 + 4 + 2π
Este valor corresponde a la medida exacta del perímetro de la figura. Más adelante veremos cómo es posible aproximar estos valores para obtener algunos decimales.
Razona
y comenta
§ En la vida real, ¿es posible medir las cosas con exactitud o siempre habrá errores e impre§
cisiones? Discute con tus compañeros. Patricio afirma que al calcular la medida de la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 5 cm, no se obtiene un “resultado exacto”. ¿Estás de acuerdo con él? Justifica tu respuesta.
En resumen Los números irracionales son aquellos cuya representación decimal es infinita no periódica, y no pueden ser representados en forma de fracción a , con a y b b números enteros y b ≠ 0.
12
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1
1. Identifica a qué tipo de número decimal corresponde
g) 6,03
b) 1,21
h) 5,2372
c) 0,234
i) 0, 421
d) 2,1
j) 2 9 k) 32 90 l) 57 18
e) 3,24 f) 5,2335
2. Expresa los siguientes números decimales como fracción. a) 6,2
e) 0,51
b) 4,38
f) 0,025
c) 2,552
g) 0, 426
d) 7,9913
h) 2, 435
3. Expresa las siguientes fracciones como número decimal. a) 75 2 31 b) 4 5 c) 7
4
Para calcularlo debemos utilizar la fórmula 2 π r, donde r corresponde al radio de la circunferencia. 2π • 4 = 8π = 8 • 3,1415926...
cada uno de los siguientes números racionales: decimal finito, decimal periódico o semiperiódico. a) 0,72
3
Por lo tanto, se requieren números irracionales para calcularlo. a) Calcular el perímetro de un círculo cuyo radio mide 7 cm.
Practiquemos lo aprendido
Repaso
2
b) Calcular el área de un círculo cuyo radio mide 12 cm. c) Calcular el perímetro de un cuadrado cuya diagonal mide 2 cm. d) Calcular la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 19 cm. e) Calcular el área de un rectángulo cuyos lados miden 5 cm y 7 cm. f) Calcular la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 12 cm y 5 cm. g) Calcular el perímetro de un rectángulo, si uno de sus lados mide 12 cm y su área es de 60 cm2.
Aplica 5. Calcula en forma exacta el perímetro de las siguientes figuras.
d) 16 27 e) 1 45 f) 8 15
Práctica guiada 4. Identifica cuáles de los siguientes problemas requieren de números irracionales para obtener el resultado. Ejemplo: el cálculo del perímetro de una circunferencia cuyo radio mide 4 metros.
a)
1 cm
c)
2 cm
3 cm
3 cm
b)
5 cm
d)
2 cm 1 cm
2 cm
1 cm
6. Desafío: se tiene un círculo cuya área es un número racional, ¿cuál puede ser la medida de su radio? Justifica.
Reflexiona § Que un número tenga infinitos decimales, ¿implica que no es “exacto”? Discute con tus compañeros. UNIDAD 1 • NÚMEROS
13
2 Lección
Propósito: aproximar números irracionales.
Aproximación y construcción de números irracionales La puesta en órbita de un satélite precisa de complejos cálculos que requieren gran exactitud, y pueden involucrar números irracionales. Ya que un número irracional tiene infinitas cifras decimales sin período, cualquier representación decimal que hagamos con ellos será una aproximación que contiene un error. Para determinar estas aproximaciones consideraremos los siguientes aspectos.
Raíces con calculadora Para calcular una raíz cuadrada con calculadora utilizamos la tecla . Dependiendo de la calculadora, se digita alguna de las siguientes secuencias para calcular, por ejemplo, la raíz cuadrada de 54.
Observa que… Truncar siempre produce una aproximación por defecto, mientras que redondear puede generar una por exceso o por defecto.
Al hacerlo, obtenemos
Si queremos comprar, por ejemplo, una vara de madera en una barraca, allí difícilmente podrán cortarla considerando esta cantidad de decimales. Por lo tanto, realizamos una aproximación por truncamiento o por redondeo. Lo haremos a la segunda cifra decimal. Truncado:
54 = 7,348469228349534
→
54 ≈ 7,34
Redondeado:
54 = 7,348469228349534
→
54 ≈ 7,35
Aproximaciones y error Cuando el número que se obtiene es mayor, se dice que la aproximación es por exceso. Si el número es menor es por defecto. Al truncar se obtiene una aproximación por defecto de 54 , mientras que al redondear, la aproximación es por exceso. Entonces 7,34 < 54 < 7,35.
Ayuda El error absoluto corresponde a la diferencia, en valor absoluto, entre el valor real y la aproximación. El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor real.
En ambos casos podemos calcular el error absoluto y el error relativo entre la aproximación y el valor real. Por truncamiento
Por redondeo
Error absoluto
Error absoluto
54 – 7,34 = 0,0084692283495343
54 – 7,35 = 0,0015307716504657
Error relativo
Error relativo
54 – 7,34 54
= 0,0011525159984152 ≈ 0,12%
14
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
54 – 7,35 54
= 0, 000208312 ≈ 0, 02%
1
2
3
4
Aproximaciones sucesivas
Ayuda
Si no contamos con una calculadora es posible obtener una aproximación de una raíz cuadrada empleando aproximaciones sucesivas.
Es posible calcular valores y aproximarlos utilizando una planilla de cálculo. Para ello se emplean los siguientes comandos: = RAIZ(2) Calcula la raíz cuadrada de 2.
Para el caso de
54 . buscamos los cuadrados perfectos menor y mayor cercanos a 54.
7² = 49 y 8² = 64, entonces 7 < 54 2
11 = 3,3166247903553998491149327366707…
6>3
Razona
y comenta
§ ¿Qué estrategia utiliza-
§
13 = 3,6055512754639892931192212674705… Podemos concluir que para comparar números irracionales utilizamos la misma estrategia que ya conocemos para los números racionales. En resumen Para ordenar raíces cuadradas se comparan sus cantidades subradicales, es decir, sean a y b números no negativos donde a < b, entonces a < b . En caso de estar escritas en representación decimal, podemos ordenarlas cifra por cifra, de la misma manera que los números racionales. Para ubicarlas en la recta numérica, se utiliza regla y compás.
§
rías para comparar un número racional y un irracional? Dos números tienen iguales sus partes enteras y sus cinco primeras cifras decimales, pero uno de ellos es periódico y el otro, irracional. ¿Cuál es mayor?, ¿o depende de cada caso? Justifica. ¿Será posible utilizar la espiral para construir raíces cuadradas de números que no sean naturales? Si es posible, explica cómo ubicarías en la recta el número 0, 4 .
UNIDAD 1 • NÚMEROS
19
Practiquemos lo aprendido
Repaso
Práctica guiada
1. Ordena de menor a mayor los siguientes grupos
6. Ordena de menor a mayor las siguientes raíces cuadradas. Guíate por el ejemplo:
de números racionales. a) 2; 2,25; 1,9; 1,98; 2,251
14 ; 8 ; 17
b) 3,37; 3,377; 3,38; 3,378; 3,387 c) 5,24; 519 ; 5,2424; 5,255; 236 99 45 d) 7,32 ; 7,32 ; 7,32 ; 7,3 ; 7,324
2. Determina en cada caso dos números racionales que se encuentren entre los números dados. a) 6,1 y 6,2
e) 7,3 y 7, 4
b) 0,15 y 1,155
f) 0,35 y 0,35
c) 4,74 y 4,75
g) 5,21y 5,2
h) 1 y 11 2 21 3. Ubica en una misma recta numérica cada uno de los siguientes grupos de números: 2 7 d) 3 ; ; 2,5 a) 1 ; 3 ; 3 3 4 2 4 8 9 1 b) 3 ; 3 ; 1 e) ; 1 ; 1,2 5 5 5 10 4 4 2 5 c) ; ; 0, 6 f) 0,75 ; 0,8 ; 5 3 6 4. Se tiene un triángulo rectángulo cuyos catetos son a y b, y su hipotenusa es c. Calcula en cada caso la medida del lado que falta, considerando los siguientes datos: d) 9,21y 9,2
a) a = 12; b = 5
e) a = 8; b = 13
b) a = 15; b = 36
f) a = 10; b = 10
c) a = 16; c = 34
g) a = 2; b = 5
d) a = 35; c = 37
h) a = 7; b = 21
Observando las cantidades subradicales tenemos que: 8 < 14 < 17 Por lo tanto,
8 < 14 < 17
a)
11 ; 7 ; 31
b)
23 ; 26 ; 24
c) 2 12 ; 11 ; 10 d) 4 21 ; 3 22 ; 2 23 e)
18 ; 7 ; 31
7. Ubica en la recta numérica los siguientes números utilizando regla y compás o un procesador geométrico. Guíate por el ejemplo. 10 Paso 1
Podemos observar que 10 = 1+9 = 12 +32 Por lo tanto, podemos construir un triángulo rectángulo de catetos 1 y 3, y su hipotenusa medirá 10.
Paso 2 0
Paso 3
Trazamos la recta y ubicamos las unidades. 1
2
3
4
Construimos el triángulo indicado y copiamos su hipotenusa sobre la recta
5. Construye, con regla y compás, un triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c, con los datos dados.
0
2
3
c) a = 4; b = 0,5
a)
b) a = 2; b = 5
d) a = 0,2; b = 0,7
b) 13
e) 1+ 5
14
f) 2+ 5
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
d)
22
a) a = 6; b = 7
c) 20
11
1
10
4
1
3
4
Resuelve los siguientes problemas.
8. Determina en cada caso cuál de los siguientes números es menor.
empleando el método visto en la actividad anterior. Puedes utilizar un procesador geométrico. a)
d) 3 5 ; 4 2 ; 2 3
8; 7; 5
8 10 ;2 5 ; 2 2 38 c) 2 5 ; 2 8 ; 2 3 f) 37 ; 6,28 ; 6 9. Dados los números a y b, determina en cada caso un número racional c y un irracional d, de modo que a < c < d < b. 3 7 yb= a) a = 3 y b = 6 d) a = 2 2 b) 10 ; 11 ; 12
e)
b) a = 10 y b = 12
e) a = 6,93 y b = 7,1
c) a = 2 5 y b = 21
f) a = 3 11 y b = 10
10. Realiza el siguiente procedimiento: » Escoge dos números naturales distintos, p y q, de modo que p > q. p+q p–q » Calcula el valor de c = y a= . 2 2 » Construye un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mida c, y uno de sus catetos mida a. » Determina la medida del cateto faltante b. » ¿Qué operaciones relacionan los valores p, q y la medida de b? a) Escoge dos pares más de valores (no necesariamente naturales) y realiza los pasos anteriores. ¿Se mantiene la relación?
11
d)
42
b) 15
e)
0,5
35
f)
6, 4
c)
12. Desafío: Ordena de mayor a menor los siguientes
Practiquemos lo aprendido
11. Ubica en la recta las siguientes raíces cuadradas
Aplica
a)
2
números. a) π ; 3,14156 ; 10 b)
8 ; 8+3; 8 – 3
c) 2,71828; – 5; 2 d) 1 ; 3 ; 2 2 2 2 e) 3 ; 6 ; 2 3 6 2 f) 6,578453; 40 ; 2 20 g) 3 3; 10 –1; 2 6+3
13. Conexiones: se llama número de oro (o número áureo) al valor 5+1 , que se designa con la letra 2 griega φ (phi —se pronuncia “fi”—). Un rectángulo es áureo si al dividir la medida de su largo por la de su ancho se obtiene el número φ. a) Utilizando solo regla y compás, ubica en la recta numérica el número áureo. b) El siguiente segmento corresponde al largo de un rectángulo áureo:
b) Verifica la siguiente relación algebraica, considerando que p > q: 2
p + q p – q – pq = 2 2
2
c) Si quieres construir un triángulo rectángulo de modo que uno de sus catetos mida 24, ¿qué valores pueden tener el otro cateto y la hipotenusa? Determina dos pares de valores.
Reflexiona
Determina, con regla y compás, su ancho. Investiga cómo hacerlo. Puedes consultar en http://goo.gl/i8Qj4k c) Investiga respecto a obras de arte, arquitectónicas y otras disciplinas en que se utiliza o aparece este número.
§ ¿Por qué los números irracionales solo pueden construirse con regla y compás? Justifica tu respuesta y discute con tus compañeros.
UNIDAD 1 • NÚMEROS
21
Propósito: identificar y caracterizar el conjunto de los números reales.
Lección
4
Números reales Taller En parejas, lean y realicen las siguientes actividades. 1 Realicen las siguientes operaciones con calculadora. 2+3
8 –1
7+5
5• 3
15 4 a) ¿En qué casos se obtiene un número racional? ¿En cuáles un irracional? –2, 4 • 5
0 • 11
7: 2
b) Conjeturen qué resultado (racional o irracional) se obtiene al realizar las siguientes operaciones. • • • • •
Sumar un número racional y uno irracional. Restar un número racional a uno irracional. Multiplicar un número racional distinto de cero y uno irracional. Multiplicar un número irracional por cero. Dividir un número irracional por un número racional.
2 Calculen el resultado de las siguientes operaciones con calculadora. 3– 2
4: 8
8– 5
9: 5
a) ¿En qué casos se obtiene un número racional? ¿Y en cuáles un irracional? b) Conjeturen qué resultado (racional o irracional) se obtiene al realizar las siguientes operaciones. • Restar un número irracional a un número racional. • Dividir un número racional por un número racional. 3 Realicen las siguientes operaciones con calculadora y analicen los resultados obtenidos. 2 – ( 2 –1)
3– 2
8• 2
7• 5
27 : 3
5: 3
¿Es posible generalizar los resultados obtenidos? Justifiquen. Al realizar operaciones entre números racionales e irracionales podemos obtener distintos resultados: en ocasiones es posible anticipar su naturaleza y en otros casos depende de cuáles son los números que se están operando. En general, se tiene que:
Siempre es irracional racional + irracional racional – irracional irracional – racional racional (≠ 0) • irracional racional (≠ 0) : irracional irracional : racional (≠ 0)
22
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
Puede ser racional o irracional irracional + irracional irracional – irracional irracional • irracional irracional : irracional
1
2
3
4
Ayuda
Los conjuntos numéricos Como has visto en cursos anteriores, en ocasiones es necesario ampliar los conjuntos numéricos para poder dar solución a situaciones y problemas. Así, para poder contar, primero se crearon los números naturales () , y luego los naturales con el cero, forman el conjunto de los números cardinales (0).
Podemos observar la siguiente relación entre los conjuntos numéricos.
ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …}
⊂
ℕ 0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …}
La necesidad de representar cantidades menores que cero, y hacer siempre posible la sustracción motivó la creación del conjunto de los números enteros (). En él se incluyen los números naturales y sus opuestos aditivos.
⊂⊂
ℤ = {… , −3, −2, −1, 0,1,2,3…}
*
Luego, la necesidad de dividir motivó la ampliación a los números racionales (), que a su vez incluyen a los enteros y sus inversos multiplicativos.
= *
a ℚ = / a , b ∈ℤ ∧ b ≠ 0 b A diferencia de los conjuntos anteriores, en el conjunto no existe la noción de sucesor o de antecesor, es decir, no es posible hablar de un único número que viene antes o después de un número dado. Además, el conjunto de los números racionales es denso, es decir, entre dos números racionales distintos cualesquiera (por ejemplo, a y b, con a < b) siempre es posible encontrar un número racional c, de modo que a < c < b. Sin embargo, hemos visto en lecciones anteriores que los números racionales no agotan todas las posibilidades ni permiten resolver todos los problemas, ya que existen los números irracionales (*). Este conjunto es distinto de los anteriores porque no verifica la clausura entre las operaciones, es decir, la suma y el producto entre dos irracionales no necesariamente es irracional. Se define entonces el conjunto de los números reales () como aquel que incluye tanto a los números racionales como a los irracionales.
Razona
y comenta
§ ¿Qué utilidad puede
En resumen Se define el conjunto de los números reales () como aquel que incluye a los números irracionales y a los racionales. En la operación entre números racionales e irracionales se verifica que: racional ± irracional = irracional irracional ± racional = irracional racional (≠ 0) • irracional = irracional racional (≠ 0) : irracional = irracional irracional : racional (≠ 0) = irracional
§
tener anticipar el tipo de número que se obtendrá al realizar una operación? Busca en cada caso dos números que cumplan la condición dada: • irracional + irracional = racional • irracional : irracional = racional • irracional + irracional = irracional • irracional : irracional = irracional
UNIDAD 1 • NÚMEROS
23
Practiquemos lo aprendido
Paso 2
Repaso
Si se llama A a este conjunto, se tiene que A = {15n / n ∈ ℕ}
1. Determina a que conjuntos numéricos (naturales, enteros y racionales) pertenecen los siguientes números. h) 4280 20 723 i) 3 j) 0
a) –7 b) 2 c) 19 d) 5 4 e) –3,56
k) –29
l) 19 9 m) – 0 f) 7,48 8 90 g) 5,32 n) 2,13 2. Identifica cuáles de los siguientes números son irracionales. a) 3,333…
e)
7
b)
f)
16
24
c) 87,21
g) 5,290729072907…
d) 19
h)
9
3. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica en cada caso. a) Todo número entero es además, natural.
a) El conjunto de los números naturales que son múltiplos de 3 y de 7. b) El conjunto de los números enteros que son múltiplos de 2 y de 11. c) El conjunto de los números naturales que, al ser divididos por 7 dan como resto 5. d) El conjunto de los números racionales en cuya representación fraccionaria, el denominador es 8 unidades menor que el numerador.
5. Calcula en cada caso un valor de a, para que se cumpla la relación dada. Guíate por el ejemplo. 5 3a + ∈ ℤ a Paso 1
Se analizan las operaciones realizadas, y el valor que se debe obtener.
5 debe ser un número entero. Para ello, una a posibilidad es que 3a y 5 sean, cada uno, a números enteros.
3a +
Paso 2
Se determina un posible valor de a.
3a es un número entero si a lo es. 5 es un número entero si a es un divisor de 5. Por lo a tanto, tenemos los siguientes posibles valores de a: –5, –1, 1 y 5.
b) El cero es un número entero, pero no racional. c) Los números naturales contienen a los números racionales. d) Si el denominador de una fracción es 1, representa un número natural.
Práctica guiada 4. Escribe para cada conjunto 5 de sus elementos y
100 25 + ∈ℕ a – 1 2a + 1 2a a + 3 e) + ∈ℤ a –1 a 3a – 2 a + 1 f) + ∈ℤ a a –1 d)
6. Considera el siguiente grupo de números reales
represéntalo simbólicamente. Guíate por el ejemplo.
7
2
– 17
El conjunto de los números naturales que son múltiplos de 3 y de 5.
0
1,5
4,28
Paso 1
Ya que los números deben ser múltiplos de 3 y de 5, deben ser múltiplos de 15. Considerando esto se escriben 5 elementos de él. 15, 30, 45, 60, 75
24
7 a) 2a + ∈ ℤ a a +1 b) 6a – ∈ℤ a 18 c) a + ∈ℕ a –1
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1 – 0,25
Elige en cada caso algunos de ellos para verificar las siguientes propiedades de los números reales. a) Clausura de la adición b) Asociatividad de la multiplicación
1
d) Propiedad conmutativa de la multiplicación
7. Demuestra en cada caso que x es un número
x es la suma de un número racional y un irracional. Por lo tanto, es irracional. a) x = 2 + 8
g) x = – 103
b) x = 3– 21
h) x = 6 + 133
39 3 1 d) x = 8 c) x =
que las siguientes expresiones correspondan a números racionales. a)
3 b
4 c) b • π 3
b)
5+b
d) (b + 15 ) • 3
e) x = – 30 f) x =
15 2
10. Se planteó en la lección que el conjunto de los números reales es denso, es decir, que entre cualquier par de números reales distintos siempre existe otro número real. a) Verifica, para tres pares de números reales cualesquiera a y b, que si a > b se cumple que:
i) x = 47 – 0,28 j) x = 10 – 209 57 57 3,21 l) x = 523
a>
a > c > d > b. • • • •
Aplica Resuelve los siguientes problemas. operaciones es un número racional o irracional. 5 g) 8 7 + a) 2 • 2 4 17 h) b) 3 + 6 3 5 i) 20 – 16 – 4 c) • 4 3 d) 5 –4 + 1 + 9 j) (1+ 5) + (1– 5) 2 2 2 2 1 k) (4 + 3)2 e) 13 7 – • 5 – 6 5 (2 + 10 )2 (2 – 10 )2 l) f) ( 8 + 5)( 8 – 5) + 2 2
a+b >b 2
b) Determina, para cada par de números a y b, un irracional c y un racional d que verifiquen la relación:
k) x =
8. Determina si el resultado de las siguientes
4
9. Determina en cada caso un valor de b para
irracional. Guíate por el ejemplo: x=5+ 7
3
Practiquemos lo aprendido
c) Distributividad de la multiplicación respecto de la adición
2
a=2 a=1 a = 4,6 a = 5,2
b=1 b = 0,6 b = 4,3 b = 5,2
11. Catherine dibujó el esquema de conjuntos que relaciona los números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. Su esquema fue el siguiente. *
A su amiga Laura le pareció que ese esquema podría llevar a un error a quien lo viera. ¿De qué error se trata? Justifica.
Reflexiona § Los números irracionales son necesarios para calcular raíces cuadradas. ¿Son posibles todas las operaciones en los números reales? Investiga y discute con tus compañeros.
UNIDAD 1 • NÚMEROS
25
Resolución de problemas Analiza la resolución del siguiente problema. Se sabe que a es un número racional distinto de cero mientras que b es un número irracional. ¿Cuál(es) de la(s) siguiente(s) operación(es) da siempre como resultado un número irracional? Justifica. I. (a + b)(a – b)
II. a²b
III. ab²
Paso 1 Comprende el enunciado a. ¿Qué se quiere saber una vez resuelto el problema? Justificar qué operaciones dan siempre como resultado un número irracional. b. ¿Qué información entrega el enunciado? Que uno de ellos es irracional, y el otro es racional. Paso 2 Planifica lo que vas a realizar Cuando sea posible, utilizaremos los criterios ya conocidos para determinar si el resultado es un número irracional. Si no es posible aplicarlos buscaremos contraejemplos, es decir, casos en que el resultado sea racional. Paso 3 Resuelve el problema Analizamos el primer caso, utilizando productos notables: (a + b)(a – b) = a² – b² a² es un número racional (a • a)y b² es el producto de un número irracional por sí mismo, lo que en ocasiones puede ser racional como se observa en el contraejemplo.
(5 + 2 )(5 – 2 ) = 52 –
2
2 = 25 – 2 = 23
Analizamos el segundo caso: a²b a² es un número racional (a • a), y ya que a es distinto de cero, necesariamente a² es distinto de cero. b es un número irracional, y sabemos que el producto entre un racional distinto de cero y un irracional es irracional. Analicemos el tercer caso: ab² a es un número racional y b² es el producto de un número irracional por sí mismo, lo que en ocasiones puede ser racional como se observa en el contraejemplo. 2
3 • 5 = 3 • 5 = 15 Por lo tanto, solo en el segundo caso se obtiene siempre un número irracional. Paso 4 Revisa la solución Puedes verificar, para distintos pares de números que cumplan la condición dada, que nunca se obtiene como resultado un número irracional. Podrás aplicar lo aprendido aquí en los problemas que se presentan en la página 28. 26
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1
Para no cometer errores Analiza la situación
2
3
4
Aprende la forma correcta
Priscila le pidió a Cardenio un valor aproximado de 6 con cuatro cifras decimales. Utilizando la calculadora, obtuvo: 6 = 2,4494897427831780981972840747059…
El redondeo de un número debe hacerse siempre a partir de la estimación original. En este caso:
Redondeado a la cuarta cifra decimal obtuvo que 6 = 2,44948… →
6 = 2,449489…
→
6 ≈ 2,4495
6 ≈ 2,449
Priscila corrige ahora la instrucción, y le dice que lo necesita con tres cifras decimales. Cardenio entonces toma el valor anterior y lo redondea: 6 ≈ 2,4495 →
6 ≈ 2,450
Razona
y comenta
§ ¿Cuál es el error cometido por Cardenio? § ¿Qué otros errores se pueden cometer al aproximar números irracionales?
Analiza la situación
Aprende la forma correcta
Fabiola analiza si el número 20, 4304 es racional o irracional. Para ello observa que: 1² = 1
2² = 4
3² = 9
4² = 16
5² = 25
Constata así que no es un número entero, por lo que deduce que debe ser irracional.
20, 4304
Razona
y comenta
§ ¿Cuál es el error cometido por Fabiola? § ¿Qué otros errores se pueden cometer al juzgar si un número es racional o irracional?
Fabiola deduce que si la raíz no es entera entonces debe ser irracional, pero esto se cumple solo para las raíces de números enteros. En este caso podemos verificar fácilmente con calculadora que: 4,52 • 4,52 = 20,4304 →
20,4304 = 4,52
Reflexiona § ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores? ¿Cuáles? § Respecto de los que no, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos? § Revisa los ejercicios que hayas resuelto en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes tomar para no volver a cometerlos?
UNIDAD 1 • NÚMEROS
27
Integrando lo aprendido Lección 1: Números irracionales y problemas geométricos
Lección 2: Aproximación de números irracionales
1 Resuelve los siguientes problemas e indica en qué casos el resultado corresponde a un número irracional.
4 Determina con ayuda de la calculadora una aproximación de los siguientes números, redondeados a la tercera cifra decimal.
a. ¿Cuál es la altura de un triángulo equilátero de lado 2 m? b. ¿Cuál es la medida de la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 1 cm? c. ¿Cuál es la medida de un cateto de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 25 cm y el otro cateto mide 20 cm? d. ¿Cuál es la razón entre el largo de un rectángulo y su ancho si sus medidas son 1 + 5 cm y 2 cm correspondientemente? e. ¿Cuál es la distancia en cm que recorre una rueda de una bicicleta de 26 pulgadas de diámetro en dar una vuelta completa?
Evaluación
f. ¿Cuál es el área de la tapa de un libro cuyo largo y ancho miden 100 cm? 2 Determina en cada caso si los siguientes números son racionales o irracionales. 81
a.
g.
8 3
h. ϕ
b. 3,876543… c. 4 5 d. 1+ 5 2 e. 1,54545454687…
i.
25 5
j. 15,35 k. 23,59 2 l. (1+ 8 ) 2
f. π
3 Calcula y expresa en forma exacta el perímetro y el área de las siguientes figuras. 2 cm
a.
2 cm 2 cm 2 cm
7 cm
5 cm
28
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
15
f. 3 5
b.
20
g.
120
c.
35
h.
d.
7 +3
i.
2 4 13 2 3+ 5
e. 4 10
j.
5 Aproxima el resultado de los siguientes ejercicios truncando y redondeando en cada caso a la centésima. Calcula en cada caso el error absoluto cometido. a. 3 + π
d.
8+ 8
b. 1+ 3
e.
3 2 + 4 4
5 2 6 Determina en cada caso una aproximación al número dado, con un margen de error absoluto menor que 0,0001. c.
a.
22 , por exceso.
b.
29 , por defecto.
Lección 3: Orden en los números irracionales y recta numérica 7 Ordena de mayor a menor los siguientes números irracionales 8 10 ; 15; ; 10 ; 5 5 5 8 Determina en cada caso un número irracional que cumpla las siguientes condiciones. a. Ser mayor que 3 y menor que 2. b. Ser mayor que 3 y menor que 10.
5 cm
b.
a.
c. Ser mayor que 5 + 1 y menor que 2
5 + 1.
1 9 Decide en cada caso si corresponde escribir o = entre cada par de números. a.
13
b.
235
c. 3 5
Lección 4: Números reales
5 3 ( 6 – 1)2 13 Decide si los siguientes números son racionales o irracionales. Justifica en cada caso.
3 3+2
6 126
5 2 b. 7 + 1
e.
75 : 3
f.
24 • 600
c. 5 3 – 8 3
g.
1 + 15 15
a.
20
10 Determina entre qué par de números naturales consecutivos se encuentran los siguientes números irracionales.
b.
4
135
e. 2 3 + 3
a.
3
12 En el siguiente esquema escribe el nombre de cada conjunto numérico.
14
2 d. ( 6 + 1)
f. 2 5
2
c. ( 8 + 1)
d.
19 –
2
d. (1+ 3)
7 –1
h. 2 21 + 3 : 8 – 3 120
14 Determina, en cada caso, dos números que cumplan las condiciones dadas. a. Ambos irracionales, y su producto es irracional.
a.
5
d.
b.
8
e. – 2
b. Uno racional y otro irracional, y su producto es racional.
c.
10
f. – 5
c. Ambos irracionales, y su cociente es racional.
Evaluación
11 Ubica los siguientes números irracionales en la recta numérica.
76 2
Autoevaluació Autoevaluación Evalúa tu aprendizaje utilizando el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las páginas indicadas para repasar. Indicador
Identificar números irracionales y sus propiedades, y operar con ellos en problemas geométricos Aproximar números irracionales
Ordenar y ubicar números irracionales
Identificar y caracterizar el conjunto de los números reales
Mínimo sugerido por ítem
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14 y 15
18 y 19
22 y 23
UNIDAD 1 • NÚMEROS
29
Sección 2
Raíces ¿Qué aprenderás?
¿Dónde?
A definir raíces y calcularlas aplicando su definición.
Lección 5
A realizar operaciones con raíces.
Lección 6
A interpretar las raíces como potencias de exponente racional y deducir propiedades de ellas.
Lección 7
A racionalizar expresiones fraccionarias.
Lección 8
A resolver problemas que involucran raíces.
Lección 9
Explorando tus ideas previas
Actividad
§ ¿Qué te sugieren los siguientes términos? Ü
Base
Ü
Exponente
Ü
Potencia
Ü
Raíz
Ü
Subradical
Es importante porque te permitirá…
realizar cálculos que permiten resolver distintos problemas.
De esto se trata… Las redes sociales han tenido un gran impacto en nuestro mundo, y todo indica que así seguirá siendo. Como nunca antes hoy es posible difundir una noticia en pocos minutos a practicamente todo el mundo, contando solo con que las personas que reciben una información la reenviarán. En ocasiones esto da pie a malos entendidos o a informaciones falsas, con o sin mala intención. El uso de redes sociales exige una gran responsabilidad en la difusión de noticias; en general, las personas subestiman las consecuencias de lo que se puede difundir, y se asume erróneamente que algo “lo verá muy poca gente”. La experiencia ha demostrado que no es necesario que sean muchas las personas que lean una información para que esta se difunda con mucha rapidez. El comportamiento de estas redes es un campo de estudio muy apreciado por empresas de publicidad que buscan difundir un contenido. La clave del éxito para estas empresas es conseguir, sin enviar demasiados mensajes, una difusión amplia y rápida. ¿Cuál es el menor número de personas a las que se debe enviar una información, para que esta se propague? ¿Y si es necesario que eso ocurra antes de una fecha u hora determinada? Estas son algunas de las preguntas a las que se enfrentan publicistas y encargados de distintos tipos de campañas.
Actividad grupal en parejas, lean y realicen las siguientes actividades.
➊
Una persona publica una información que es vista por n personas. Cada una de ellas le informa, al minuto siguiente, a n personas más, y así sucesivamente. Al cabo de 20 minutos, la información es conocida por más de un millón de personas. Estimen el valor de n.
➋ ➌
El valor de n en la pregunta anterior es 2. En general, ¿qué tan bien estimamos este tipo de crecimientos? ¿Qué precauciones toman en el uso de redes sociales? Comenten con sus compañeros.
Propósito: que comprendas la definición de raíz enésima, y la apliques en el cálculo de resultados de operaciones y en la resolución de problemas. 30
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1
2
3
4
¿Qué debes saber? Realiza las siguientes actividades. Calcular potencias de base racional y exponente entero
Aplicar propiedades de las potencias.
1 Escribe como potencias las siguientes expresiones.
4 Reduce las siguientes expresiones a una sola potencia, y calcula su valor cuando sea posible.
a. 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 b. 5 • 5 • 5 • 5 c. 7 • 7 • 7
e. 8 • 8–¹0 f. a–² • a
m. (–21)² : (–21)–6
f. –8 • –8 • –8 • –8 • –8 • –8 • –8 • –8 • –8
d. 9 • 9–²
g. (a + 2b) (a + 2b) (a + 2b) (a + 2b) (a + 2b)
c. –5³ d. (–6)4 e. (–0,2)5
3
6
3
3 Escribe las siguientes expresiones como potencias con exponentes naturales. a. 2–5
f. 5,1–8
b. 7–6
g. (–4,21)–9
c. (–12)–4
h. 2 3 i. 6 3–2 –3 j. 5 4 –6
d. 3x–5 e. (a + 5b)–9
4
n. (–12)³ : (–12)5
5 Reduce las siguientes expresiones a una sola potencia, y calcula su valor cuando sea posible.
g. – 3 4 1 h. 1 4
2
g. – 1 • – 1 3 3
–3
a. 3³ • 4³ 5 2 b. • 35 3
f. 5 • (–3)
Actividad
b. 28
f. 1 2
–3
i. 4 • 5 5 4 6 j. 5 54 –a k. b bc l. 6¹³ : 6¹¹
c. (–1)³ • (–1)
a. 34
5
b. 4 • 4
e. ab • ab • ab • ab • ab • ab • ab • ab
2 Calcula el valor de las siguientes potencias.
–1
h. 7 • 7 6 6
d. 2x • 2x • 2x • 2x • 2x • 2x • 2x
h. 2 • 2 • 2 • 2 3 3 3 3 i. – 4 • – 4 • – 4 • – 4 • – 4 • – 4 • – 4 • – 4 5 5 5 5 5 5 5 5
–3
a. 3² • 3
g. (–12) • (–6) 2
c. 6 • 2
h. 5 • 3 6 5
d. (–4) • 2
i. 45³ : 5³
2
−6 j. a b−6 6 Resuelve en cada caso las siguientes operaciones.
e. (–8) • (–1)
13 a. (13 : 13 ) • 3 2 7
7
6
8
b. – 8 • – 8 : – 9 9 9 8
2
1 23 + 2 d. −2 1 4
−3
3
c. (–3)6 : (–3)3 •(–3) •(–3)–4
Autoevaluació Autoevaluación En la tabla que te entregará tu profesor(a), evalúa el nivel de dominio alcanzado. Luego, repasa en los sitios web que se indican si fuera necesario.
Repasa en los siguientes sitios web…. http://goo.gl/fxySW
Potencias de base racional y exponente entero.
http://goo.gl/LghWU
Operaciones que involucran potencias.
UNIDAD 1 • NÚMEROS
31
5 Lección
Propósito: definir raíces y calcularlas aplicando su definición.
Raíz enésima Taller En parejas, lean y realicen las siguientes actividades. Un problema problemaimposible imposiblede deresolver resolverenenlalageometría geometría clásica clásica –es—es decir,decir, solo utilizando utilizando solo una regla sin graduar y compás— es la duplicación del cubo, es decir, a partir de una regla no numerada y compás- es la duplicación del cubo, es decir, a partir de un un cubo cualquiera construir cuyo volumen el doble inicial. cubo cualquiera construir otrootro cuyo volumen seasea el doble del del inicial.
VV=1u³ = 1u³
VV=2u³ = 2u³
1 Para abordar la duplicación del cubo, podemos suponer que tenemos uno cuya arista mide 1 u, y deseamos construir otro cuyo volumen sea el doble. a) ¿Cuál es el volumen del cubo original? ¿Cuál es el volumen del cubo que se desea construir? b) La primera solución dada por los griegos fue construir un cubo cuya arista midiera 2. ¿Cuál es el volumen de dicho cubo? c) Si el lado de un cuadrado mide x, su área se calcula mediante la fórmula A = x²
Dato Existen otros dos problemas imposibles de resolver en geometría clásica, utilizando solo regla sin graduar y compás: § La trisección del ángulo: dado un ángulo, dividirlo en tres ángulos congruentes. § La cuadratura del círculo: dado un círculo de radio conocido, construir un cuadrado que tenga la misma área.
Ayuda 3
Las expresiones 8 =2 y 2³ = 8 entregan la misma información, es decir, son equivalentes. Por ello podemos decir que 2³ = 8 es la potencia equivalente a 3 8 =2 . 32
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
Si la arista de un cubo mide x, ¿cuál es la fórmula para calcular su volumen? d) Macarena realiza la siguiente airmación: “para encontrar la medida del lado de un cuadrado cuya área es 2, debo encontrar un número que multiplicado por sí mismo sea igual a 2”. ¿Qué número debe encontrar, para determinar la medida de la arista que se busca en el cubo pedido? De la misma manera que definimos la raíz cuadrada de un número a como el número no elevado 2 da como resultado a, podemos otras raíces quenegativo elevadoque a 2 da comoaresultado a, podemos definir otras definir raíces de acuerdo de acuerdo al resultado al calcular una al resultado obtenido al obtenido calcular una potencia. Porpotencia. ejemplo:Por ejemplo: 2 3 • 33² = 3² 9 →3 3elevado elevadoaa22es es igual igual a 99→ dede 9→ == 9→ → 33es eslalaraíz raízcuadrada cuadrada 9 → 9 =9 =92 =9 3= 3 3•3=
2 •23 2 •=2= 23 =28elevado → 2 elevado 3 es igual a 82→ la raíz cúbica 8→ 3 8 =2 2•2•2= 8→ a 3 esaigual a8→ es2laesraíz cúbica dede 8→ 5 • x–19 • x • x→• xx=elevado x5 = –19a→ 5 es igual –19 = xde -19 x•x•x•x•x= x5x = 5 xeselevado igual aa-19→ → xaes–19→ la raíz quinta → x es la raíz quinta de –19
1 En general, si n es un número natural mayor que 1 y a es un número real, decimos que xn = a, entonces x es la raíz enésima de a: x n = a ↔ n a = x ↔ x es la raíz enésima de a. Además, a se llama cantidad subradical y n es el índice de la raíz. 2 Calculen las siguientes raíces y justifiquen según el ejemplo: 4
81 = 3 , porque 34 = 81
4
Observa que… Cuando el índice de la raíz es 2, no se escribe: 2
a= a
En caso que n a esté definida en los , se tiene, n
( n a ) =( n an )=a
125
5
–32
x = x2
4
16
6
729
Por ejemplo: 3
7 3 =7 4 = 42
Ejemplo 1: 64 = 4 pues 4³ = 64
Ayuda
Ejemplo 2: 3
3
3
3 Observen los siguientes resultados:
3
2
–64 = – 4 pues (–4)³ = –64
a) ¿Qué relación existe entre 3 64 y 3 –64 ? ¿Se cumplirá una relación similar entre 5 32 y 5 –32 ? Generalicen estos resultados.
Puedes utilizar la calculadora para determinar el valor de las raíces enésimas. (en este caso, para la raíz quinta de 6): x
b) Si n es un número par y a es positivo, ¿siempre será posible encontrar dos valores para n a? ¿Por qué? Justiiquen. A partir de los resultados anteriores, si a es un número positivo, se observa que: • Si n es impar, siempre es posible calcular n a y n –a . Además, n a es un número positivo y n –a = – n a, un número negativo. Por ejemplo: 5
5
243 = 3
–243 = – 5 243 = – 3
• Si n es par, n –a no es un número real. Además, se define que n a solo es el valor positivo x que cumple que xn = a. Por ejemplo: 4
–2401 no es un número real 4
2401 = 7
En resumen Sea a un número real y n un número natural mayor que 1. Si xn = a, decimos que x es la raíz enésima de a, que se escribe n a . n
a = x ↔ xn = a
Si a es un número positivo, se observa que: Si n es par:
Si n es impar:
•
n
–a no es un número real.
•
n
a siempre es un número positivo.
•
n
a y n –a siempre son números reales. n –a = – n a
Razona
y comenta
§ ¿Cómo interpretarías la expresión 1 5? Justifica y discute tu afirmación con tus compañeros.
UNIDAD 1 • NÚMEROS
33
Practiquemos lo aprendido
Repaso
Práctica guiada
1. Escribe como potencias las siguientes expresiones.
4. Escribe para cada potencia una expresión equivalente con raíces. Guíate por el ejemplo.
a) 10 • 10 • 10 • 10
24 = 16
b) 4 • 4 • 4 • 4 • 4
4
2 = 16 → 4 16 = 2
c) a • a • a • a • a • a • a • a b) 4² = 16
d) ax = b e) 4y = c
5. Calcula en cada caso el valor de x. Guíate por el ejemplo. 3= 5 x Paso 1
Se determina la potencia equivalente. 3 = 5 x → 35 = x
2. Calcula el valor de las siguientes potencias. f) – 5 3
4
Paso 2
b) 12 ¹ c) (–2)4
4 h) 3 3
d) –46
i) (2,5)–1
3⁵ = 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 243
2
b) 6 = 3 x c) 4 = x –1
i) (–0,2)
b) (4,2)–¹
j) (x + y)–a
c) 10–²
k) c + 1 b
d) 10–3
l) (3ac)–5
e) a–4b²
m) 3 3–8 n) (0,8)–¹0
g) –5–² h) 9 8 34
–4
a) 3 ¹
f) (ab)–6 –3
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
f) 4 = x 5 3 g) = 4 x 2 h) 0,25 = x
a) 2 = 5 x
3 j) 1 e) (2²)³ 2 3. Escribe las siguientes expresiones como potencias con exponentes naturales. –
Se calcula el valor de x.
–3
g) 6 7
–
5
g) 1 = 1 3 243 w h) 1 = a z b
c) (–6)3 = –216
j) b + 1 • b + 1 • b + 1 • b + 1 • b + 1 c –1 c –1 c –1 c –1 c –1
a) 53
3
f) 2 = 8 3 27
a) 34 = 81
d) (b + 2) • (b + 2) e) 4 • 4 • 4 5 5 5 f) – 1 • – 1 • – 1 2 2 2 1 g) 625 h) 512 49 i) (2a + 3) • (2a + 3) • (2a + 3)
d) 3 = 3 x
i) 2,5 = 3 x
e) 1 = 3 x 2
j) 5 = 3 x 2
6. Calcula, cuando sea posible, el valor de las siguientes raíces utilizando los valores dados. Justifica cuando no sea posible. Guíate por el ejemplo.
–3
–4
3 ñ) –6 6 –2 o) –10–² • 4–¹
2² = 4
2³ = 8
24 = 16
25 = 32
3² = 9
3³ = 27
34 = 81
35 = 243
5² = 25
5³ = 125
54 = 625
55 = 3125
3
Paso 1
–125
Si es necesario se determina una expresión equivalente. 3
–125 = – 3 125
1 Se calcula el valor pedido. – 3 125 = –5
a)
3
b)
3
–8
i)
c)
3
125
j) – 25
–27
h)
25 4
4
16
k)
e)
l) – 4 16
4
f) – 4 81 g)
5
–243
m) 5 3125 n)
5
–32
Aplica 7. Calcula el valor de las siguientes expresiones. 3
a) b)
4
3
cada caso el número real a para que la raíz pueda calcularse en los números reales. a)
a
g)
b)
3
a
h)
c)
4
a
i)
e)
4
a –1
f)
6
a 2
1 a 3a
2a 3 j) 6 – 4a 5 (a + 1)(a – 1) k)
a +1
d)
3
l)
7
–
(a + 2) (a – 2)
10. Desafío: realiza la siguiente actividad con
4 + 27
tu calculadora.
256+ 81
a) Escoge un número positivo mayor que 1, y calcula una raíz de él a tu elección (por ejemplo, su raíz séptima).
c) 2 64 − 3 8 d)
4
9. Determina qué condiciones debe cumplir en
625
d) – 9
3
64 +3 3 8 – 5 7 1
b) Al resultado anterior, calcúlale su misma raíz enésima.
4 +4 4 625 1 f) 4 10000 – 3 1000 2 e)
c) Repite el paso anterior tantas veces como te permita la calculadora. ¿A qué resultado llegas? Explica por qué.
36 2 3 729 + 6 3 4 49+3 2401 h) 7 5 i) 32 (3 4 + 3 216 – 2 3 27 ) g)
d) Repite los pasos anteriores, con un número positivo menor que 1. ¿A qué resultado llegas? Compara con el caso anterior y explica.
8. Utiliza la calculadora para determinar una aproximación redondeada a la milésima de las siguientes expresiones. Calcula además el error relativo cometido en la aproximación. a)
3
2
f) 8 5 –19
b)
4
5
g) 3 11– 2 5
c)
5
12
h) 7 3 0,2 – 4 8
d) 2 3 6
i) 4 5 21+6 13
e) 3 7 18
Practiquemos lo aprendido
Paso 2
2
11. Desafío: considera las siguientes raíces enésimas. 5 8 1024 27 a) Determina su valor con calculadora. 3
2
4
81
3
3
5
b) A partir del cálculo anterior, ¿cuáles son irracionales? ¿Cuáles son racionales? Justifica. c) Considera la afirmación “si la raíz enésima de un número entero no es entera, es irracional”. ¿Te parece que es cierta? Investiga al respecto y da un contraejemplo si es falsa, o una demostración si es verdadera.
Reflexiona § ¿Cómo interpretarías la expresión –3 n ? Discute con tus compañeros. UNIDAD 1 • NÚMEROS
35
6 Lección
Propósito: realizar operaciones con raíces.
Raíces y operaciones Sofía está realizando algunos cálculos que involucran raíces, y utilizará la calculadora para obtener su resultado final. Sin embargo, ha llegado a una expresión que le resulta difícil de manejar: 4 12 5 2 • 5 3 + 5 192 – 4 2 Para reducirla un poco deduce algunos resultados previos mediante los siguientes pasos: Paso 1
Plantea la siguiente relación: 5
5
2•5 3=x
/( )
5
( 5 2 • 5 3) = x5 5 5 ( 5 2 ) ( 5 3) = x5
Producto de potencias de igual exponente.
2 • 3 = x5
Por definición. Por definición.
5
2•3 =x 5
6=x
5
6=52•53
Por lo tanto, 5 2 • 5 3 = 5 6 . En general, se puede utilizar la propiedad de la multiplicación de raíces de igual índice: n
Ayuda Para aplicar las propiedades de las raíces que estudiaremos, es necesario que las expresiones involucradas siempre se encuentren definidas en los números reales.
Paso 2
a • n b = n ab
Para el segundo término, observa que: 5
192 = 5 32 • 6
5
192 = 5 25 • 6
5
192 = 5 25 • 5 6
5
192 = 2 • 5 6
En general, se puede utilizar la propiedad de introducción y extracción de un término a una raíz: n
anb = a n b
Observa que este resultado puede utilizarse de dos maneras, tanto para introducir términos en una raíz como para sacarlos. Se busca una expresión equivalente. Se utiliza el producto de raíces de igual índice.
36
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
Para introducir un coeficiente a la raíz 3 4 5 = 4 34 • 4 5
Para sacar una potencia de la raíz 3
112 = 3 8 • 14 = 3 23 • 14
= 4 34 • 5
= 3 23 • 3 14
= 4 405
= 2 3 14
1 Paso 3
2
3
4
4 Analiza la expresión 12 4 2 4
12 4 2 • 6 = 4 4 2 2 4
=
246 4
2
=46=4
12 2
En general, se puede utilizar la propiedad de la división de raíces de igual índice: n n
Paso 4
a n a = b b
Remplaza y reduce la expresión 5
2 • 5 3 + 5 192 –
4
12 2
4
5 6 + 25 6 – 4 6
35 6 – 4 6 Los términos que contienen raíces con igual índice y cantidad subradical pueden sumarse o restarse de la misma manera en que se hace con términos semejantes. Si no son iguales, no podemos reducir las expresiones entre sí. Estos resultados nos permiten manejar expresiones más pequeñas, que favorecen el uso y cálculo de éstas con la calculadora. Así, utilizando la calculadora se obtiene una aproximación para: 3 5 6 – 4 6 ≈ 2,7278 Es conveniente que las expresiones sean "reducidas a su mínima expresión" pues nos permitirá disminuir el riesgo de errores gracias a que podremos realizar menos operaciones.
Razona
y comenta
§ En la sección 1 se vio que no siempre el producto de dos números irracionales da como resultado un número irracional. Por ejemplo:
En resumen
2• 8 y
Es posible sumar o restar entre sí raíces enésimas si sus índices y cantidades subradicales son iguales. Si
n
a y
n
b pertenecen a , se verifican las siguientes propiedades: n
a • n b = n ab n
anb = a n b n n
a na = b , con b ≠ 0. b
§
8: 2
no son números irracionales. Demuestra ahora por qué. Determina en pocos pasos un procedimiento para ubicar en la recta las siguientes raíces cuadradas. Utiliza lo visto en la lección.
45
75
98
UNIDAD 1 • NÚMEROS
37
Practiquemos lo aprendido
Repaso
Práctica guiada
1. Reduce los términos semejantes de las
4. Reduce las siguientes expresiones a una sola raíz. Guíate por el ejemplo.
siguientes expresiones.
3
a) wz + 5zw – 3y 1 b) a+3a – a 2 c) m² + 4m² – 9m²
a)
d) 3a² + b5 – a² + b e) 12m²y + 3xy – 12m²y – xy f) 0,2x²y – 0,3xy² + 0,5x²y + x²y – 0,4xy² 1 3xy 2 g) 15xy 2 – y 3 – +4y 3 – 5xy 6 2
4
a) 2³ • 5³
g) (5–3 )
b) 10² • 5²
h) 3 • 4 4 3
4
i)
2 4 3
4
–1
j) (b–²)–³
2 3 3 k) 5 • 4 • 5 42 b b b l) a (c +2 ) 2b 3. Resuelve en cada caso las siguientes operaciones.
c) (3x³ + 2y³ – x²)³ : 4³ 8
d) – 5 : – 2 4 5
f)
n
a•n b
c)
6
3 • 6 12 • 6 2
g)
4
a•4 a
d)
4
1 44 • 2 6
h)
b
a b b • 4• b b
2 4 3 = 4 2 4 • 3 = 4 16 • 3 = 4 48
potencia, y calcula su valor cuando sea posible.
5 5 a) 2 • 4 15 b) 16³ : 8³ • 3³
5• 6
Guíate por el ejemplo.
2. Reduce las siguientes expresiones a una sola
4 d) 6 34 6 e) –16 46 y f) x zy
e) – 8 7 • 8
5. Reduce las siguientes expresiones a una sola raíz.
2 2 h) a b – 2ab2 +3a2b – 6ab 2 5
c) ab • cb • db
a) 2 4 4
e) x 3 x
b) 4 2
f) 2n 5 3
c) a n b
g) 4 4 125 5
h) 32 5 3 d) 5 1 5 6. Reduce las cantidades subradicales de las siguientes expresiones hasta el menor número natural posible. Guíate por el ejemplo. 5
f)
5
96
f)
4
a7
b)
4
80
g)
5
b8
c)
3
108
h)
d)
5
224
i)
e)
4
240
j)
6
a
b 4a
7. Reduce las siguientes expresiones a una sola raíz. Guíate por el ejemplo. 7
3
3 3 g) 2(a b+4a b) ab
38
3
4 8 648 384
8
((2 • 4 ) : 5 ) 3
288 = 5 32 • 9 = 5 25 • 9 = 2 5 9
a)
e) (3 • 5³) : (3² • 5) 3 2
1 7
6•3 4
3
b)
5 • 3 12 = 3 5 • 12 = 3 60
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
12 7 12 = 5 5
7
a)
4
10 5
4
b)
6 3
1
d) e) f)
5
1024 5 4
g)
3
a 3 b
h)
n
xy
n
xy
4
b:4a
i) j)
5+ y
7
5+ y
4
12
23b2 12 8b
3
x+y 3
9
x
6:94 9 9
Aplica
c) 1,5 3 9 •
a) 19 – 2 2+1– 2 2
d) 21– 3 5+7 – 7 5 3 e) 2, 4+3 7 – – 3 7 2 3 f) 2,5 5+3 11– 5+ 11 5
10. Resuelve los siguientes problemas. a) Calcula el volumen de un cubo cuya arista mide
h) 8,3 51– 22 51+1,8 – 21 49 i)
81– 2,1π+ 3 3+
6 π– 3 3 13
3 j) 1,3π – 3 11π – π – 33 11π 5
3 cm.
b) Calcula el área de un círculo cuyo radio mide π m. c) Calcula el perímetro de un triángulo, cuyos lados miden 75 m, 100 m y 125 m. d) Calcula el perímetro y el área de un rectángulo cuyo largo mide 3 24 m, y su ancho, 3 375 m. e) Calcula el volumen de un paralelepípedo cuyas
3
g) 835– 5 223+14 – 2 223
3 3 12 3+y = 4 – 14 5
e) 23 : 4 – z = 98 : 2 5 3 f) x = 4 3 • 12
b) 9,2 3+2 3+0, 6+2 2 2 c) 2,27+4 3 8+ + 3 8 7
aristas miden 2 cm, 6 cm y 10 cm.
11. Calcula el valor numérico de cada expresión: a) 9 • 2 3 • 2 3 b) 5,3 50 : (2 2 ) 1 c) 2,9 • 9 3 27 • 21 3 d) 3 3 11 : 3 11 5 e)
81 • 2,7 • 3 3 • 3 3
k)
1 125 – 3,8+ 3 7 – – 3 7 2
f) a •(–4a 24 ) : 24
l)
6+ 6+ 9
g) (2 8 – 4 8 ) : 2 2
m) 169 •
25 1 • 13 625
9. Aplica las propiedades de las raíces para resolver las siguientes ecuaciones.
4
d) x – 3 = 3– 18 •7 2
5
8. Resuelve las siguientes operaciones.
3
Practiquemos lo aprendido
c)
2
103 3 ( 4 : 3 4) 9 3 i) 1,3 • 3a 25 – a – 33a 3 125 5 j) a 12 : (b 12 ) •b –12a+1 h) 11, 4 :
a) 21+x – 4 8 = 32 – 8 b) 3 3+ 5+y = 2 5 – 2 3
Reflexiona § Una calculadora o un computador pueden realizar cálculos con gran rapidez, sin necesidad de que los valores se ingresen “reducidos”. ¿Qué sentido puede tener saber hacer esto manualmente? Discute con tus compañeros.
UNIDAD 1 • NÚMEROS
39
Lección
7
Propósito: interpretar las raíces como potencias de exponente racional.
Debes saber… En las potencias, si a y b son números racionales distintos de cero, y m y n son enteros, se cumple que: an • am = an+m an : am = an–m (an)m = amn an • bn = (ab)n an : bn = (a : b)n a0 = 1 No existen propiedades para la multiplicación y división de potencias de distinta base o distinto exponente.
Potencias de exponente racional En años anteriores se definió que si n es un número natural, an, corresponde a una multiplicación de n factores, todos iguales a a. Con esta definición no es natural pensar que n pueda ser igual a –2, por ejemplo, pues correspondería a multiplicar “–2 factores” iguales a a. De la misma manera, tampoco resulta muy comprensible que el exponente pudiera ser igual a 1. Sin embargo, sí podemos hacer una interpretación de lo que 5 corresponde a una potencia de exponente entero o racional. Paso 1
Sabemos que, para dividir dos potencias de igual base, se mantienen las bases y se restan los exponentes. Por lo tanto: 35 = 35–7 = 3–2 7 3
Si para realizar este cálculo desarrollamos las potencias, tendríamos que: 1 1 3•3•3•3•3 3•3•3•3•3 35 = 2 = = = 7 3•3•3•3•3•3•3 3 • 3 • 3 • 3 • 3 •3•3 3•3 3 3 Por lo tanto, se puede interpretar que 3–2 =
Paso 2
1 1 . En general, a–n = n . 2 a 3
3
Sabemos también que (72 ) = 72 • 3 = 7 6 . En general, podemos utilizar la n
propiedad de potencia de potencia (am ) = am • n. 1
¿Cómo se puede interpretar 5 4 ? Podemos llamarlo x, y aplicar la propiedad anterior: 1
/(
54 = x
)4
4
1 4 4 5 = x 1
•4
54 = x4 51 = x 4 4
/por definición
5=x 1
Por lo tanto, se puede interpretar que 5 4 = 4 5 . En general, podemos interpretar una potencia de exponente 1 (con n número natural mayor que 1) como la raíz enésima n de la base: 1
an = n a
40
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1 2
Paso 3
Interpretaremos ahora el sentido de la expresión a 3, utilizando los resultados anteriores. Tenemos dos formas de hacerlo y son equivalentes entre sí. 2
1
a3 = a3
2
•2 2
( ) 1
= a3
1
= (a2 )3
2
= ( 3 a) 2 decir, a 3
2
1 3
2•
a3 = a
= 3 a2 m n
m
2
3
4
Ayuda La interpretación de una raíz como potencia de exponente racional se puede calcular en la planilla de cálculo. Por ejemplo, para calcular 3 5, puedes utilizar el siguiente comando: =POTENCIA(5;1/3)
= ( a ) = a . En general, a = ( a ) = a . Es Estos resultados nos permiten reducir expresiones y demostrar propiedades. Sea n y q números naturales mayores que 1, se cumple que: 3
3
2
n
n
m
Propiedad nr n
amr = a
mr nr
m
Ejemplo 3• 2
m
= a n = n am , r > 0 m
m
m
8
am • n bm = a n •b n = (ab) n = n ab , m ∈ ℝ n
2
7
a a n = m = = n , con b ≠ 0 n m b bn b b n
an
q
(
p q
m n
mq+np nq
am • ap = a • a = a con p ∈ ℝ n q
mn
am ap
m
=
an
p q
( mq–np nq )
=a
=
)
=
nq
nq
( ) 1
1 m
1 1 •m
= ( a) n
2 5
2
4
4
24
2 2 7 = 4 = = 7 7 11 114 117 11
amq+np ,
6
amq–np ,
3
84 1
8
1
= ( a) mn = mn a,
27
2
4
1 2 ( 7+12 ) 21 • 7 22 = 2 6 • 2 7 = 2 42 = 42 219
5
a a ≠ 0 y con p ∈ ℝ
a = ( a) n
2 5
2
5
9 • 5 = 9 • 5 = (5• 9)5 = 5 45
m
m
m
am
5
3
36 = 3 4• 2 = 3 4 = 4 33
3 5
m ∈ℕ y mayor que1
Ayuda Recuerda verificar que las raíces involucradas al aplicar las propiedades estén definidas en los números reales.
4
=
85 8
1 3
( 45 – 31 )
=8
1 3
( 1215−5 )
=8
( ) = (10)
10 = (10 )
1 5
1 15
= 15 87
= 15 10
Al interpretar las raíces como una potencia de exponente racional sí es posible realizar algunas operaciones que con exponentes enteros no habríamos podido realizar, ya que en este caso siempre será posible igualar los exponentes. Por ejemplo: 3
8
5
53 • 12 75 = 5 8 • 7 12 Tenemos un producto de potencias con distinta base y exponente, que hasta el momento no habíamos podido operar. En este caso amplificaremos los exponentes para que tengan igual denominador, lo que nos permitirá luego igualarlos, como se muestra. 3 8
5 12
3•3 8•3
y comenta
§ Hemos definido las
5•2 12 • 2
5 •7 =5 •7 9 10 = 5 24 • 7 24 1
Razona
1
= (59 )24 • (710 )24 = 24 59 • 710
En resumen Una raíz enésima puede relacionarse con una potencia de exponente racional, como se muestra: m m a n = n am =( n a ) Al considerarla así, es posible aplicar las propiedades de la multiplicación y división de potencias.
raíces enésimas considerando solo números naturales para el índice, es decir: 3
5
4
8
7
21
9
17
§ ¿A qué raíces enésimas son equivalentes las siguientes expresiones? Justifica. – 21
5
7
– 31
2
– 41
8
– 51
UNIDAD 1 • NÚMEROS
41
Practiquemos lo aprendido
Repaso 1. Resuelve las siguientes multiplicaciones y divisiones para expresar el resultado en una única potencia. 20 j) 10 1017 k) 10–¹ • 10 • 10–5
a) 2 • 2³ b) 5 • 5³
–1
c) 55 : 5³
l) 5 • 5 6 6
d) 5³ • 5–6
m) x–³ • x–
–6 e) a a4 f) ax • ay 2
g) 1 • 1 3 3 b
p) 8 5
–b
8 : 5
42
a
e) 5 + 4 : 30 + 6 6 6 9 9 f) 4 • 10 : 1 5 2 3
c) 12 : 6 4 2
g) 7 • 7 • 5 + 2 2 3 6 3 7 2 – h) 6 7 4 3 + 12 6
1 3 12
g) 3a
–
3 5
7
d) 1 , amplificada por 4 2 7 e) , amplificada por 7 8 f) 3 , amplificada por 10 4
b) 2 1 + 5 3 4 2
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
5
f) 3 4 2
3
c) 4 4 7 4 d) (a + b) 3
el resultado.
3 9 d) 2+ – 3+ 4 6
Guíate por el ejemplo.
b)
3. Resuelve las siguientes operaciones y reduce a) 5 + 10 – 20 7 2 7
4. Representa como raíz las siguientes potencias.
1
40
a) 8 , simplificada por 2 4 b) 25 , simplificada por 5 125 c) 49 , simplificada por 7 343
1 2
Práctica guiada
a) 32
110 10 i) 1 : 1 q) 2 5 2 2 1 2 2. Calcula el resultado de las siguientes operaciones. 45
1–
1
o) 78 : 74
−c
1
1–
43 = 3 4
– ñ) m–n : m ¹
h) a • a b b
1
j) 1–
3
n) (–58) • (–58)
7
7 3 3+ – 6 6 i) 3 4– 4
h) (3– x) 2 3
i) (–2) 5
1
2
e) –32
j) (–3) 3
5. Representa como potencias las siguientes raíces. Guíate por el ejemplo.
1
5 = 52 a)
13
f)
5
a7
b)
4
3 2
g)
c)
3
a+b
h)
9
(–2)7
i)
4
3–4
j)
b
2a2
d) – 8 e)
2 5
6
5
(3 + 5x)2
6. Representa las siguientes raíces como otra raíz equivalente, con el menor índice posible. Guíate por el ejemplo. 6
a)
8
74
b) 6 129 c) d) e)
ab
8
4n
15
5 =5
3 •5 2• 3
5
= 5 2 = 2 55 f)
64
y16
g) 924 7 4
4bc
h)
20
2110 4 5
8
i)
20
2110 • 410
j)
4y
1 52x • 2
x5 232n
2x
1
raíz. Guíate por el ejemplo. 4
5
a)
6 • 7 4
b) c) d)
23 •
4 4 3 3 = 23
4
4
g)
7 –3 • 5 3–3
5
1 42
•
6
8
h)
1 10 2 6
el ejemplo. 4
7 f) 21 87 • 21 8
5
e) – 10 • 7
10. Expresa como una sola raíz. Guíate por
= (2 • 3) 3 = 4 63
5
5 • 4
5
4 • 33
a
a
b
6 • 9
2
7
a)
b
3
45
5
44
a a
c
i) – 5 3 • x 3
a
7
c) 6
raíz. Guíate por el ejemplo. 3
a)
b) c)
4
43
3
55
3
75
8
216
8
6
4 4
7
=
3 44
3
3
2 4 1 4 1 = = = 4 4 2 2 d)
a
xc
a
yc
3
1
98
b 3a
r
b
s3a
9. Expresa las siguientes multiplicaciones de raíces de igual base como una sola raíz. Guíate por el ejemplo. 3
2
5
6
4 • 4 =
2 43
6 • 45
=4
10+18 15
e)
b
=
15
4
9
37
1 2
1 1 • 2 6
1
= (12 )12 = 12 12
a)
4 3
21
e)
5 4
b)
7 6
32
f)
3
c)
3
a
g)
8 5
d)
10 7
5 9
h)
5
2x
27 3 4
10
a6 23 8
10
Aplica 12. Reduce las siguientes expresiones.
28
a)
3• 5 3 15
(
4
62 : 4 32
b)
3
6 • 4 65
f) – 6 0,23 • 3 –0,232
c)
a2 a–2
c)
a
b•b b
g) 2 9 c –1 • 5 4 c 6 9a • 3 62
1 6
( ) = (12)
12 = (12 )
18
h)
(a+3)6
f)
95
b)
4 9 4 • 5 5
5
4
e) – 4 63 • – 4 67
3
(a+3)2
35
55 • 6 53
d)
3
1
7
5
3 4
5
7
d)
a)
4
3 4
9
7
el ejemplo.
458
e)
–2
3 7 6–28 – = 3( 4 2 ) = 3( 8 ) = 8 3–22
11. Expresa como una única raíz. Guíate por
3
1
3
f)
3
7 2
92
6 2
6 –2 7
14
j) – 5 • 5
24
=
4
3
8. Expresa las siguientes divisiones como una sola 23
37
3
34
14 a
b)
2
4
33
2 (1+x) • 5 62
5
c
8
3
Practiquemos lo aprendido
7. Reduce las siguientes multiplicaciones a una sola
2
)
f)
3 4
g)
3
a4 h) d)
2 23 2
e)
(x+1) (x+1) (x+1)
xy • 12
1 x
3 4 3 : 5 3–1
10
100 a 2 3 • 10 3
Reflexiona § Como viste en la lección, en ocasiones se definen operaciones que luego deben ser interpretadas nuevamente para darle sentido. ¿Conoces casos similares en otras disciplinas? Comenta con tus compañeros.
UNIDAD 1 • NÚMEROS
43
Lección
8
Propósito: racionalizar expresiones fraccionarias.
Debes saber… Toda fracción se puede amplificar por un número distinto de cero, obteniendo así una fracción equivalente.
Racionalización Se llama racionalizar una expresión fraccionaria a encontrar otra expresión equivalente a ella, pero que no contenga raíces en el denominador. Puedes verificar utilizando la calculadora que: 2 1 = 1: 2 = 2 : 2 = 2 2
Por ejemplo: 3 6 3 • 6 18 = • = 5 6 5 • 6 30
Para determinar esta expresión buscaremos en cada caso el valor por el cual debemos amplificarla. Caso 1
Consideremos el caso 4 . Necesitamos amplificarla por un número que, 5 multiplicado por 5 dé como resultado un número racional. Lo más sencillo es que sea precisamente 5, pues 5 • 5 = 5. Por lo tanto: • 5 5
4 4 = 5 5 =
Dato Existen análisis matemáticos que requieren estudiar el denominador de una fracción, por lo que se necesita que esté expresado de la manera más simple posible. Por esto, se evitan las raíces inexactas en el denominador.
Ayuda ¿Por qué escogimos 5 72 para amplificar? Comenzamos buscando una expresión del tipo 5 7 x . Así, 5
=
4 5 5 5
5 • 5 =5
4 5 5
Hemos obtenido así una expresión cuyo denominador es un número entero. En general: a a b = b b Caso 2
Consideremos el caso 4 . ¿Qué número multiplicado por 5 73 da como 5 3 7 resultado un número entero? Podemos observar que 5 73 • 5 72 = 5 75 = 7 , por lo que amplificaremos por 5 72 . 4 5
=
73
7 3 • 5 7 x = 5 7 3+x
Lo más sencillo es hacer que 5 3+x 7 = 5 75 =7 . Por lo tanto, 3+x=5 x=5–3 x=2
=
=
5 2 • 7 5 3 7 5 72 4
4 5 72 5
73 5 72
4 5 72 7
En general, para m < n tenemos que: a n
44
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
amplificando
bm
=
a n bn–m b
1 3 3 y . 15 – 2 15+ 2 Ahora hay dos raíces cuadradas en el denominador. Para determinar el término por el cual amplificar utilizaremos el producto notable conocido como suma por diferencia: Caso 3
2
3
4
Consideremos ahora los casos
2
(
15 + 2 )( 15 – 2 ) = 15 – 2
2
= 15 – 2 = 13 Por lo tanto, la primera fracción la amplificaremos por 15 + 2 , y la segunda, por 15 – 2. Obtendremos así una diferencia de cuadrados que será un número entero. 3 3 = 15 – 2 15 – 2 =
=
3
(
(
+ 2 • 15 15 + 2
15 + 2
15 – 2
)(
3 3 = 15 + 2 15 + 2
)
15 + 2
=
)
3 15 + 3 2 2
15 – 2
=
2
3
(
(
Suma por diferencia (x – y)(x + y) = x2 – y2
– 2 • 15 15 – 2
15 – 2
15 + 2
)(
)
15 – 2
Ayuda
)
3 15 – 3 2 2
Ayuda
15 – 2
2
=
3 15 + 3 2 15 – 2
=
3 15 – 3 2 15 – 2
=
3 15 + 3 2 13
=
3 15 – 3 2 13
Para racionalizar una expresión, se debe verificar que las raíces se encuentren definidas en los números reales como también las fracciones que resultan, es decir, que no tengan denominador igual a cero.
En general: a a b –a c = b–c b+ c a a b +a c = b–c b– c En ocasiones habrá que utilizar más de una vez estos procedimientos, o más de uno de ellos en cada caso, para racionalizar expresiones más complejas.
Razona
En resumen
y comenta
Dada una expresión que contiene una o más raíces inexactas (irracionales) en su denominador, se llama racionalizar al proceso de encontrar una expresión equivalente a ella que no contenga raíces en el denominador. Para ello se pueden emplear las siguientes equivalencias: a a b ,con b >0 = b b a n
m
b
=
a n bn–m ,con b ≠ 0 b
a( b ∓ c ) a = ,con b y c mayores o iguales a cero y b≠c b–c b± c
§ ¿Qué procedimiento se puede utilizar para racionalizar la siguiente expresión?
1 3 –1
§ Ubica en la recta numérica los siguientes números irracionales:
1 ; 3
1 1 1 ; ; 5 5 – 2 81 7
UNIDAD 1 • NÚMEROS
45
Practiquemos lo aprendido
4. Determina para cada expresión otra equivalente
Repaso 1. Resuelve los siguientes productos notables. a) (a + b)²
h) (x + 3)(x + 4)
b) (x – y)²
i) (a – 3)(a² + 9 + 3a)
c) (2 + a)²
j) (4 + x³)(16 + x6 – 4x³)
d) (xy – 4a³)²
k) (x + y + 2z)²
e) (5 + b)(5 – b)
l) (2a + b²)²
f) (3a + 5)(3a – 5)
m) (3a² + 4xy³)²
g) (4x – 1)(4x + 2)
n) (5x² + 3)(5x² – 3)
2. Reduce las siguientes expresiones. 2
a) (1– 2 )
sin raíces en el denominador. Guíate por el ejemplo. 2 5
=
5
5 4 5–2 2 5 43 2 5 43 = = • 4 2 5 4 5–2 5 4 2 5 4 3 5 4 2 • 4 3
2 5
2 5 43 45
=
2 5 43 4
a) 2 3 4 b) – 12 3 2 7 c) 10 2 3 16 d) 2 3
1 1 b) 5 – 5+ 5 5
g) – h)
2
6
ab
=
ab 4 x – x 6 – 3 x 6 + x2 f) b a
(
2
)
=
Práctica guiada
=
3. Determina para cada expresión otra equivalente 3 • = 3
5 8 625 a2 3
125b 4
3
(
3 3
)
=
2 7 3 g) 5 13 h) x y
3 – 10 • 3 – 10
4 3 – 4 10
(
3 + 10
)(
3 – 10
)
4 3 – 4 10 2
3 – 10
2
4 3 – 4 10 3 – 10
=–
3 ( 3)
a) 1 6 1 b) 8 3 c) a
f) –
d) – 21 2
i)
6 x+y
d)
j)
5 3z
e)
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
b7
4 3 – 4 10 7 4 10 – 4 3 = 7
sin raíces en el denominador. Guíate por el ejemplo.
46
13
3
5 3 6
43 a
f)
4 4 = 3 + 10 3 + 10
d) (2 – 2 ) – (2 – 2 )(2+ 2 )
e)
5
sin raíces en el denominador. Guíate por el ejemplo.
2
1 1 = 3 3
7
e)
5. Determina para cada expresión otra equivalente
c) ( x – 8 )( x – 8 )
1 e) b 3 b – 3 a a
42
=
a) b) c)
1 2+ 8 9 5– 3 17 18 – 11
f)
32 21– 13
i) 1+ 2 1– 2
1 7– 6
2 2+ 2 g) – 3 4– 5 7 h) – 7+ 12
j)
15 2 4 +3 5
1
sin raíces en el denominador. Si es necesario aplica más de una vez los procesos vistos. 5
a)
f)
5+ 2 x
b)
4
g)
1 4 2+ 3
a
i) 4
4+ 3 1
e) 5 3
Guíate por el ejemplo. 3 62 – 3 6 • 5+ 3 52 1 1 = • 3 6+ 3 5 3 6+ 3 5 3 62 – 3 6 • 5+ 3 52 =
a) c a
e)
a a –1
b) b b
f)
c a– b
c) c 3 a
g)
b b+ b
h)
a 2 c– b
9. Calcula a² – b² si a = 10. Calcula (a + b)² si a =
3
62 +
(
3
6+ 3 5 • –
) (
3
)(
6•5 +
3
6+ 3 5
)
3
52
62 – 3 30+ 3 52
62 – 3 30+ 3 52 11
1 2+ 3 4 2 b) 3 5+ 3 8 3 c) 3 3 9+3 3 10
f)
1
i)
a)
d)
3
2+ 3 12 2c e) 3 c–3b
g) h)
j)
1 6–33 5 3 2 5+ 3 4 1 3 3 3 – 5 4 2 3 6 –1 5b – c 3 a–3 b 3
13. Desafío: Racionaliza las siguientes expresiones.
5 1 y b= 2 3+ 6 2 3– 6 2 –4 y b= 2– 5 2+ 5 5
)
62 – 3 6 • 5+ 3 52
27a2
para a = 5, b = 2 y c = 6.
8. Calcula a² + b² si a =
6+ 3 5
3
6 + 3 5• 62 – 3 62 • 5 – 3 6 • 52 + 3 52 • 6 +5 3
7. Racionaliza y luego evalúa la expresión obtenida
1 4 a+b
3
=
j) 3x – xy 3 xy – y
1024b10
(
3
=
6 –4 6+4
h)
4– 3
1 2+ 4 6 2 1 3 2
x+ 3
d)
4 Practiquemos lo aprendido
6. Determina para cada expresión otra equivalente
d)
3
12. Desafío: Racionaliza las siguientes expresiones.
Aplica
c)
2
3 2 – 3+ 5 7 b) 2 – 3+ 2 c) a – b 3 (a – b)2 a)
3 3 yb= 4 8 6
11. Calcula 4a² + 8ab + 4b² si a =
1 1 yb= 5– 3 5+ 3
Reflexiona § Investiga respecto a la utilidad de racionalizar una expresión. ¿Qué sentido puede haber tenido hacerlo hace doscientos años? ¿Qué sentido puede tener hacerlo ahora?
UNIDAD 1 • NÚMEROS
47
Lección
9
Propósito: resolver problemas que involucran raíces.
Raíces enésimas, problemas y ecuaciones
Debes saber… Para que una raíz de índice par esté definida, es necesario que su cantidad subradical no sea negativa.
Dato Una unidad astronómica (UA) corresponde a la distancia de la Tierra al Sol. Con ello, se puede medir la distancia de los demás planetas en unidades astronómicas.
Johannes Kepler (1571-1630) fue un astrónomo alemán que describió las relaciones entre las masas de los planetas, sus distancias y sus órbitas. La tercera ley de Kepler permite relacionar el período de traslación t de un planeta (medido en años terrestres) con su distancia d al Sol –medida en unidades astronómicas– por medio de la siguiente fórmula t = d3 El período de traslación t del planeta Marte es de 1,8809 años terrestres. ¿Cuál es su distancia al Sol? Para averiguarlo, resolvemos la siguiente ecuación:
Tierra
Venus
1, 8809 = d3 1, 88092 = d3
2
3,53778481= d3
Sol
3
0,72 UA 1 UA
3,53778481 = d d ≈ 1,52
Hemos resuelto una ecuación cuya incógnita se encontraba en la cantidad subradical de una raíz. A este tipo de ecuaciones se les llama ecuaciones radicales. Como regla general, para resolverlas aislamos una raíz a uno de los lados de la ecuación y elevamos a la potencia adecuada para eliminarla. Es preciso además comprobar que la solución obtenida no sea contradictoria con las restricciones de la raíz. Observa en los siguientes casos. Caso 1 Se deja una raíz a cada lado, y se eleva al cuadrado.
Considera las ecuaciones 2x+8 – 3x – 6 = 0 y 2x – 8 – 3x+6 = 0
2x+8 – 3x – 6 = 0 2x+8 = 3x – 6
2x – 8 – 3x+6 = 0 2
/( )
2x – 8 = 3x+6
2
/( )
2x+8 = 3x – 6 x = 14
2x – 8 = 3x+6 x = –14
Al remplazar en la ecuación se obtiene:
Al remplazar en la ecuación se obtiene:
2 •14+8 – 3•14 – 6 = 0
2 • –14 – 8 – 3• –14+6 = 0
28+8 – 42 – 6 = 0
–28 – 8 – –42+6 = 0
36 – 36 = 0 6–6= 0
–36 – –36 = 0
Podemos observar que en la primera ecuación, al remplazar el valor obtenido se confirma que es correcto porque la igualdad se satisface. En la segunda, el valor obtenido genera raíces cuadradas de números negativos, lo que no es válido en los números reales. Por lo tanto, en la primera ecuación la solución es x =14, mientras que la segunda no tiene solución.
48
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1 Caso 2
2
3
4
Considera la ecuación x + 11 + 4x + 9 – 9x + 34 = 0
En este caso es preciso aislar una de las raíces y será necesario elevar al cuadrado dos veces, como se muestra: Se aísla una de las raíces y se eleva al cuadrado.
x + 11 + 4x + 9 – 9x + 34 = 0 2
x + 11 + 4x+9 = 9x + 34
/( )
Se reducen términos semejantes.
x+11+2 ( x + 11)( 4x + 9) + 4x + 9 = 9x + 34 2 4x 2 + 53x + 99 = 4x + 14
/:2 2
4x 2 + 53x + 99 = 2x + 7 2
/( )
Se eleva al cuadrado nuevamente.
2
4x + 53x + 99 = 4x + 28x + 49 25x = – 50 x = –2 Al remplazar la solución en la ecuación se tiene que: –2 + 11 + 4 • – 2+9 – 9 • – 2 + 34 = 0 9 + 1– 16 = 0 3 + 1– 4 = 0 No se verifican restricciones, por lo que la solución es válida. Caso 3
Considera la ecuación 5 – 2x =
98 – 2x 2 x+7 .
Podemos multiplicar la ecuación a ambos lados por x+7 y resolvemos: 5 – 2x =
98 – 2x 2 x+7
/• x +7 Se aplica la propiedad del producto de raíces.
5 – 2x x + 7 = 98 – 2x 2
(5 – 2x)( x + 7) = 98 – 2x 2 2
–9x – 2x 2 + 35 = 98 – 2x 2
/( )
–9x – 2x 2 + 35 = 98 – 2x 2 –9x = 63 x = –7 Al remplazar la solución en la ecuación se tiene que: 2
5 – 2 • –7 =
98 – 2(–7) –7 + 7
→ 19 =
Razona
y comenta
§ ¿Sabemos que por 0 0
Observa que este valor hace que el denominador de la fracción sea igual a cero, esto no debe ocurrir. Por lo tanto, la ecuación no tiene solución. En resumen Una ecuación radical es aquella cuya incógnita se encuentra en una cantidad subradical. Para resolverla es necesario utilizar las propiedades de las raíces y considerar sus restricciones.
definición la raíz cuadrada de x es el valor positivo que, multiplicado por sí mismo, da como resultado x. ¿Por qué la ecuación
2x+5+ 3x – 8 = 0 no tiene solución? Justifica.
UNIDAD 1 • NÚMEROS
49
Practiquemos lo aprendido
Repaso
Al remplazar en la ecuación se obtiene 0+ 4 + 49 • 0+9 = 64 • 0+25
1. Desarrolla las siguientes potencias.
4 + 9 = 25
a) (a + b)2
e) (2a + 5)2
b) (x + y)3
f) (4c – 3)3
c) (2 – y)2
g) (p2 + q3)2
d) (p – 3)3
h) (2ap3 – 5q)2
2+3 = 5 No hay restricciones, por lo que la solución es válida. a)
x – 3 = 4x – 3 – x + 6
2. Determina en cada caso qué condición debe
b)
x +16 + 4x +52 = 9x +124
cumplir a para que sea posible calcular la raíz.
c)
x +9 + 16x +84 = 25x +141
d)
4
a–3
d)
x + 6 = 16x + 48 – 9x +22
e)
6
3a – 8
e)
5x +35 = 20x +181– 5x +56
f)
10
3
f)
x +1+ 25x +329 = 36x + 484
Práctica guiada
g)
2x – 25 = 32x – 263 – 18x – 200
3. Resuelve las siguientes ecuaciones. Guíate por
h)
3x – 23 = 27x – 251– 12x –120
i)
4x – 3 + 9x – 27 = 25x – 66
j)
x +5 + 64x – 255 = 81x – 308
a) b) c)
a a+5 a–8
5a
el ejemplo. x+6 – 2x – 6 = 0 x+6 = 2x – 6 x+6 = 2x – 6 x = 12
2
/( )
5. Resuelve las siguientes ecuaciones. Guíate por el ejemplo.
Al remplazar en la ecuación se obtiene:
7 – 3x 2 x –1 2 – 3x x –1 = 7 – 3x 2 2 – 3x =
12+6 − 2 •12–6 = 0 18 – 18 = 0 0=0
(2 – 3x)( x –1) = 7 – 3x 2
No hay restricciones, por lo que la solución es válida. a)
2x+2 – 3x+1= 0
3 1 x+3 – x–5 = 0 e) 2 2
b)
x –10 – 5x – 6 = 0
f)
x 2 – 25 + x 2 +5x = 0
c)
4x – 5+ x+12 = 0
g)
3x+9 – 63 = 0
d)
x+4 – 6x – 6 = 0
h)
x+5 + x+3 = 2
–3x 2 +5x – 2 = 7 – 3x 2 5x = 9 9 x= 5 Al remplazar en la ecuación se obtiene: 9 2 – 3• = 5
4. Resuelve las siguientes ecuaciones. Guíate por el ejemplo. x + 4 + 49x +9 = 64x +25
2
/( )
x + 4 +2 ( x + 4)( 49x +9) + 49x +9 = 64x +25 2 ( x + 4)( 49x +9) = 14x +12
17 – = 5
2 ( x + 4)( 49x +9) = 7x + 6 / ( )
49x 2 +205x +36 = 49x 2 + 84x +36 205x = 84x 121x = 0 x=0 50
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
2
/( )
17 – = 5
7–
9 7 – 3• 5 9 –1 5 243 25 → 4 5
−68 25 → 4 5
2
→
−17 = 5
–
27 = 2– 5 −68 25 → 4 5
17 17 = – 5 5
7 – 3• 4 5
81 25 →
1
a)
7 – 3x =
b)
2+ 4x =
c)
2+5x = 9x +1=
d)
1– 6x 2 2x –1 7+12x 2 3x –1 7+10x 2
e)
8x +1=
f)
6x +3 =
g)
2x –1
x–2 =
8x 2 x +5 3+ 6x 2 x +3 10+2x 2 2x
3
13. Conexiones: Si un capital C se deposita en un banco a una tasa de interés compuesto anual del i% anual durante t años, se obtendrán
2x +3
ecuaciones y verifica su validez. a)
b) Josefa deja caer una piedra desde un puente y activa un cronómetro para medir cuándo demora en llegar al suelo. Si el tiempo registrado es de 2,15 segundos, ¿cuál es la altura del puente?
i C t = C 1+ 100
6. Calcula las soluciones de las siguientes x +5 = 3
b)
16x 2 + x – 3 = 2 x
c)
x +3 – x – 7 = 4 4x –1
Resuelve los siguientes problemas.
7. Si a la raíz cuadrada de cierto número se le suma una unidad, se obtiene el número 3. ¿Cuál es el resultado de calcular la raíz cúbica del doble del número?
b) Sergio invirtió un dinero en un banco con cierto interés compuesto anual, durante 10 años. Andrea invirtió el mismo dinero también durante 10 años, pero obtuvo el doble que Sergio. ¿Qué relación hay entre las tasas de interés de Sergio y de Andrea? Explica.
14. Conexiones: En física, la aceleración de gravedad puede calcularse con la ayuda de un péndulo. En el movimiento de un péndulo se verifican las siguientes relaciones: f=
9. ¿Cuál es la longitud de una arista de un cubo cuyo volumen es de 8 64 cm3?
10. Los lados de un rectángulo miden 3 3 y 4 3. ¿Cuánto mide su diagonal?
11. ¿Cuál es el radio r de un cilindro de altura h igual a 16 cm y volumen (V) de 64 cm ? (el volumen del cilindro está dado por V = πr 2 •h ) 3
12. Conexiones: se puede calcular el tiempo t (en segundos) que tarda un objeto en caer al suelo si se lo suelta desde una altura h, mediante la fórmula t=
h 5
t
a) Una persona depositó $120 000 en un banco a una cierta tasa de interés compuesto anual, y luego de 7 años obtuvo $147 585. ¿Cuál era la tasa de interés?
8. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado cuya área es 4 16 cm2 ?
4
a) ¿Cuántos segundos demora en caer un objeto si se lo suelta desde una altura de 100 m?
7+18x 2
Aplica
3
Practiquemos lo aprendido
Hay raíces con cantidad subradical negativa, por lo que la solución no es válida.
2
1 T
T = 2π
L g
Donde f es la frecuencia del péndulo (en Hz), T el período de la oscilación del péndulo, L es su longitud (en metros) y g es la aceleración de gravedad, en m/s2. a) Calcula la aceleración de gravedad de un lugar en el cual un péndulo cuya longitud es 0,4 m oscila con una frecuencia de 0,83 Hz. (Considera π = 3) b) En un lugar, la aceleración de gravedad es igual a 10. ¿Cuál es la longitud del péndulo, si oscila con una frecuencia de 0,53 Hz?
Reflexiona § Discute con tus compañeros los resultados obtenidos en la pregunta 13. ¿Es consciente, la mayoría de la gente, de los efectos de un leve aumento en una tasa de interés? ¿Cómo eso puede afectar y producir un sobreendeudamiento de las personas? UNIDAD 1 • NÚMEROS
51
Resolución de problemas Analiza la resolución del siguiente problema. ¿Qué expresión se obtiene al simplificar la siguiente expresión? x 5 x 4 6 x2 Paso 1 Comprende el enunciado ¿Qué se quiere obtener una vez resuelto el problema? Una expresión equivalente a la dada, más simple. Esto quiere decir que su índice y su exponente deben ser los menores posibles. Paso 2 Planifica lo que vas a realizar Para simplificar esta expresión se procederá desde adentro hacia afuera, es decir, nos fijaremos primero en las raíces más interiores, con las que realizaremos las operaciones necesarias (introducir términos a una raíz o simplificar exponentes e índices) para luego continuar cada vez con raíces más exteriores. Paso 3 Resuelve el problema Aplica la estrategia. 5 En la expresión x x 4 6 x 2 la raíz más interior es 6 x 2 . En ella podemos simplificar el exponente de la cantidad subradical, es decir: 6
x2 = 3 x
5 Por lo tanto, x x 4 6 x 2 = x 5 x 4 3 x
En la expresión x 5 x 4 3 x , podemos proceder ahora a operar la raíz 5 x 4 3 x •
Introducimos el término x4 a la raíz 3 x → x 4 3 x = 3 x12 3 x = 3 x13 → 5 x 4 3 x = 5 3 x13
•
Aplicamos la propiedad de raíz de raíz en la expresión 5 3 x13 → 5 3 x13 = 15 x13
Por lo tanto, 5 x 4 3 x = 15 x13 y con ello, x 5 x 4 6 x 2 = x15 x13 En la expresión x15 x13 : •
Introducimos el término x a la raíz x15 x13 →
15
15
x 28
•
Aplicamos la propiedad de raíz de raíz en la expresión
x 28 →
15
•
Simplificamos el exponente y el índice de la expresión 30 x 28 → 30 x 28 = 15 x14
x13 • x15 = 15
x 28 = 30 x 28
Por lo tanto, se tiene que x 5 x 4 6 x 2 = 15 x14 Paso 4 Revisa la solución Puedes verificar el resultado obtenido dando distintos valores a x y calculando ambas expresiones con calculadora, para verificar que se obtiene el mismo resultado y por ende ambas expresiones son equivalentes. Podrás aplicar lo aprendido aquí en los problemas que se presentan en la página 54. 52
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1
Para no cometer errores Analiza la situación
2
3
4
Aprende la forma correcta
Macarena desea calcular el valor de la siguiente expresión, para a = 3. 4
1– a • 4 2 – a
Para hacerlo aplica propiedades de las raíces: 4
1– a • 4 2 – a = 4 (1– a)(2 – a)
Las propiedades de las raíces solo pueden aplicarse cuando son números reales. En este caso, si a = 3, se tiene que 4
= 4 2 – 3a+ a2 Finalmente, remplaza a = 3 en esta expresión. 4
2 – 3• 3+32 = 4 2 – 9+9 =42
Razona
y comenta
§ ¿Cuál es el error cometido por Macarena? § ¿Qué otros errores pueden cometerse en el cálculo de expresiones con raíces?
Analiza la situación
1–3 • 4 2–3 = 4 −2 • 4 –1
Tenemos raíces de índice par de números negativos, lo que no está definido en los números reales. Por lo tanto, no se pueden aplicar propiedades ni calcular el valor pedido.
Aprende la forma correcta
Rubén debe resolver la siguiente ecuación radical. 3
Rubén no consideró la definición de raíz cuadrada, que corresponde a un valor positivo. Por lo tanto, al llegar a
2 x +1 = –1
Para hacerlo realiza lo siguiente: 3
(
3
3
3
2 x +1 = –1
)
/( )
2 x+1 = –1
3
2 x +1 = (–1)
2
2 x +1 = –1
(2
2
/( ) 2
x +1) = (–1) 4x + 4 = 1 4x = – 3 –3 x= 4
se puede concluir que la ecuación no tiene solución, ya que la raíz cuadrada tendría que ser un número negativo.
Razona
y comenta
§ ¿Cuál es el error cometido por Rubén? § ¿Qué otros errores pueden cometerse en la resolución de ecuaciones radicales?
Reflexiona § ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores? ¿Cuáles? § Respecto de los que no, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos? § Revisa los ejercicios que hayas resuelto en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes tomar para no volver a cometerlos?
UNIDAD 1 • NÚMEROS
53
Integrando lo aprendido 7 Resuelve los siguientes problemas.
Lección 5: Raíz enésima 1 Expresa en cada caso las potencias como raíces y las raíces como potencias. a. 27 = 128
d.
b. (–9)3 = –729
e.
a. Calcula el perímetro del siguiente triángulo rectángulo
64 = 8 3
17 + 1
3
–125 = – 5
3
1 c. = 0,001 10
2 32 = 3125 5 2 Calcula el valor de las siguientes raíces. f.
5
a.
3
125
d.
4
81
b.
5
–32
e.
5
1
Lección 7: Potencias de exponente racional
c.
7
–1
f.
2
81
8 Expresa, en cada caso, las raíces como potencias y las potencias como raíces.
Evaluación
3 Determina en cada caso las restricciones de a para que las siguientes raíces sean números reales. a.
2
a–5
d.
6
b.
4
3a – 9
e.
4
a – 51
c.
5
19a
f.
8
a2
12a
2
b.
4 Calcula las siguientes multiplicaciones y divisiones.
b.
5
12 • 5 7
d.
7
14 : 7 49
b.
3
5p • 3 10p
e.
3
36 : 3 8
c.
4
16 • 4 1024
f.
9
1000 : 9 250
a. 3 2 = 18
d.
b. 7 3 = 21
e.
c. 2 3 5 = 30
5
64 = 2 5 2
48 4 = 27 3 f. 3 1 = 1 3 1 100 10 10
6 Calcula las siguientes expresiones. Expresa el resultado de la manera más reducida posible. a. 4 75 – 2 25• 3 – 2 100 • 3 – 3 3 b. –5 32 – 4 18 c. 2 3 – 7 27 – 3 12 d.
3
21• 3 5 3 3 210
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
3
c.
34
d.
5
e. 7 9
25
1 3 5
f.
5 3 22
9 Aplica las propiedades de potencias para reducir las siguientes expresiones. a.
a.
21
a.
Lección 6: Raíces y operaciones
5 Determina si las siguientes equivalencias son verdaderas o falsas. Justifica las falsas.
54
b. Un paralelepípedo tiene aristas de medida 8 m, 4 3 m y x m. Su volumen es el mismo que el de un cubo cuya arista mide 2 4 3 m. ¿Cuál es el valor de x?
3 4
12
c.
6
52
31
d.
12
27
10 Calcula el valor de las siguientes expresiones. a.
b.
c.
4
b• b 8 b
(
3
x • 3 x2
3
x:
3
n–1 •n12 n–2
d.
4
p−3 : p p4
)
5 4 e. k : k k2 : k5
f.
a • 4 b3 4 b•8 a
4
11 Calcula el valor de las siguientes expresiones. 4 a. 3 5+ 25 75 : 3
b.
3
13 ( 5 13+ 2 52 )
Lección 8: Racionalización 12 Aplica las propiedades para racionalizar las siguientes expresiones. a. b.
3 15 4 20
2 28 4 d. 3 7 c.
1 e. f.
2 27
5 4 4
g.
11 121 9 7– 5
h.
13 13+ 10
d.
i.
6 +1 6− 2
e.
3
a.
2 –1 7
b. 3
c.
4– 2 1
5
2 1
d.
x –1+ x x –1– x
e.
x+y – x
f. g.
x – y+ x 4
3 3 –3
2 –1–1
Lección 9: Raíces enésimas, problemas y ecuaciones
a.
x +7 + 4x +16 = 9x + 43
b.
5x +19 = 20x +1– 5x –14
c.
x +7 + 16x +52 = 25x +91
h.
4
1+ x 1– x
1+16x 3+ x 3
3– x 8–x
=
=4
x +3 = 5 3+ x = 5
15 Plantea y resuelve los siguientes problemas. a. Paola desea depositar un dinero en el banco con interés compuesto anual, durante 10 años. ¿Cuál debe ser la tasa de interés, si le interesa triplicar el dinero invertido? Recuerda que, para el interés compuesto, t i C t = C 1+ 100 b. La tercera ley de Kepler relaciona el período de traslación t de un planeta (en años terrestres) con su distancia d al Sol —medida en unidades astronómicas (ua)—, mediante la fórmula t = d3 ¿Cuál es el período de traslación de un planeta cuya distancia al Sol es de 10 ua?
Evaluación
14 Resuelve las siguientes ecuaciones.
g.
3
5– 6x 2 = 1+3x 1– 2x
f.
13 Aplica sucesivamente las propiedades para racionalizar las siguientes expresiones.
2
Autoevaluació Autoevaluación Evalúa tu aprendizaje utilizando el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las páginas indicadas para repasar. Indicador
Definir raíces y calcularlas aplicando su definición
Realizar operaciones con raíces
Interpretar las raíces como potencias de exponente racional y deducir propiedades de ellas Racionalizar expresiones fraccionarias Resolver problemas que involucran raíces
Mínimo sugerido por ítem
Ítem 1: 3/6 Ítem 2: 3/6 Ítem 3: 3/6 Ítem 4: 3/6 Ítem 5: 3/6 Ítem 6: 2/4 Ítem 7: 1/2 Ítem 8: 3/6 Ítem 9: 2/4 Ítem 10: 3/6 Ítem 11: 1/2 Ítem 12: 5/9 Ítem 13: 4/7 Ítem 14: 4/8 Ítem 15: 1/2
Puedes repasar en la(s) página(s)
32 y 33
36 y 37
40 y 41
44 y 45 48 y 49
UNIDAD 1 • NÚMEROS
55
Sección 3
Logaritmos ¿Qué aprenderás?
¿Dónde?
A identificar logaritmos y relacionarlos con raíces y potencias.
Lección 10
A deducir y aplicar propiedades de logaritmos.
Lección 11
A resolver problemas aplicando logaritmos.
Lección 12
Explorando tus ideas previas § ¿Qué te sugieren los siguientes términos?
Es importante porque te permitirá…
calcular y resolver problemas en distintos ámbitos.
De esto se trata… Si decimos que el Sol tiene un diámetro de casi 1 400 000 kilómetros, es muy difícil hacernos una idea de lo que es eso. Cuando es necesario explicar tamaños y distancias es frecuente recurrir a comparaciones como la siguiente:
Escala
Ü
Potencia
Ü
Exponente
Si el Sol fuera una bola de 1 metro de diámetro:
Ü
Base
• Mercurio mediría unos 3,5 mm (un grano de arroz), y se ubicaría a 42 metros de él (casi media cuadra). • Venus y la Tierra medirían 8,7 mm y 9,2 mm (un poroto), ubicados a 77 metros y 107 metros, respectivamente (una cancha de fútbol suele tener 105 metros de largo). • Marte mediría unos 5 mm (una arveja), a 163 metros. • Júpiter y Saturno medirían 10,2 cm y 8,7 cm respectivamente (una naranja grande y una manzana mediana). Júpiter estaría a 558 metros, y Saturno aproximadamente a un kilómetro. • Urano y Neptuno medirían 3,7 cm y 3,6 cm respectivamente (una ciruela pequeña), ubicados respectivamente a 2062 kilómetros (la distancia entre Arica y Santiago, aproximadamente) y 3230 kilómetros (la distancia entre Calama y Puerto Aysén).
Actividad
Ü
Aunque queramos hacer estas comparaciones, rápidamente nos vemos trabajando nuevamente con números grandes. Para abordar este problema es preciso relacionar los números de otras formas, es decir, utilizando escalas distintas que permitan reflejar grandes aumentos en la realidad en aumentos numéricos más pequeños.
Actividad grupal en parejas, lean y realicen las siguientes actividades.
➊
➋ ➌ ➍
¿Qué distancias son capaces de estimar? Estimen, sin averiguar, la distancia entre Chile y Japón, la distancia de la Tierra a la Luna, etc. ¿Qué tamaño tiene un microbio? ¿Cuál es el grosor de un cabello humano? Estimen y comparen. Averigüen las medidas anteriores y compárenlas con su estimación. ¿Cómo fueron sus resultados? Observen la animación de la página http://htwins.net/scale2/lang.html que muestra el universo con distintas escalas.
Propósito: que comprendas el concepto de logaritmo, sus propiedades y aplicaciones en distintos ámbitos. 56
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1
2
3
4
¿Qué debes saber? c. El resultado de cualquier potencia siempre es distinto de cero.
Realiza las siguientes actividades. Relacionar raíces y potencias
1 Expresa en cada caso las potencias como raíces y las raíces como potencias. i.
3
216 = 6
b. 54 = 625
j.
17
–1= –1
c. (–2)5 = –32 2 d. 1 = 1 3 9 4 81 3 e. = 4 256
k.
6
a. 7² = 49
f. 5 2
–3
=
8 125
64 = 2 l. 3 1 = 1 343 7 m. 5 243 = 3 32 768 8 n. 100 = 10 9 3
g. (ab³)² = a²b6
ñ.
5
a10b5 = a2b
h. (3x²y)² = 9x4y²
o.
3
64a6b9 = 4a2b3
a. Un número elevado a su quinta potencia es igual a 32. ¿Cuál es el número?
Calcular raíces y potencias aplicando propiedades
4 Calcula el valor de las siguientes expresiones. a. 54
i. 2
3
125
c. (–2)6
4 25 3 k. –27
d. (–3)5
l.
e. 6–²
m. 5 1 32
b. 3 2
j.
4
10000
f. (–7)–³
n. 0,01 –2 4 g. ñ. 3 27p3 x12 5 –4 m8 h. – 6 o. 4 16 16 7 n 5 Aplica las propiedades de potencias para reducir las siguientes expresiones.
b. –8 se eleva al cubo. ¿Cuál es el resultado?
a. 2p • 2q
e. 2a • 3a
c. Luego de multiplicar 6 veces un número por sí mismo se obtuvo 729. ¿Cuál es el número?
b. (–3)q • (–3)q
f. 7–x : 4–x
c. 5²x • (–5)²x
g. (3a²b5) ³ : (ab) ³
d. a–² • a–²
h. (6a4)² : (3a²)²
d. ¿Cuál es el valor de la tercera potencia de 5 dividido por 2? e. 256 corresponde a la tercera potencia de un 125 número. ¿Cuál es ese número? 3 Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica en cada caso. a. El resultado de una potencia puede ser un número negativo. b. Toda potencia de base 1 es igual a 1.
–
Actividad
2 Plantea una ecuación que represente cada situación y resuelve.
d. Todo número elevado a 0 es igual a cero.
–
6 Aplica las propiedades de raíces para reducir las siguientes expresiones. a.
3
a•3 b
g.
b.
3
x 2 • 3 2x
h.
c.
7
3g : 7 6g4
i.
6
x5 : 4 y3
d.
3
–9p2q2 : 3 pq
j.
6
4n10 x7
e.
6
q4
k.
3
p2q5r7
f.
5
a2 • 3 a2
3
2p • 2p m•4 n
Autoevaluació Autoevaluación En la tabla que te entregará tu profesor(a), evalúa el nivel de dominio alcanzado. Luego, repasa en los sitios web que se indican si fuera necesario.
Repasa en los siguientes sitios web…. http://goo.gl/fPsfJK Relacionar raíces y potencias. http://goo.gl/ptXyJ http://goo.gl/sTJzbq Cálculo de raíces y potencias aplicando propiedades. http://goo.gl/nzrf7E
UNIDAD 1 • NÚMEROS
57
Lección
10
Propósito: identificar logaritmos y relacionarlos con raíces y potencias.
Debes saber…
Logaritmos
Si a es un número real positivo y n es un número natural, se pueden distinguir dos casos:
Considera la siguiente relación:
Si n es par: (–a)n = an
Podemos observar que:
Si n es impar: (–a)n = –an Además, a0 = 1
47 = 16 384
• 16 384 es la séptima potencia de 4, es decir, el resultado de multiplicar 7 veces el 4 por sí mismo. • 4 es el número que, multiplicado 7 veces por sí mismo, da como resultado 16 384. Es decir, 4 es la raíz séptima de 16 384. • 7 es el número al cual debemos elevar 4 para obtener 16 384. Decimos que 7 es el logaritmo de 16 384 en base 4. En general, dada la relación ab = c
Ayuda En la expresión logac = b a se llama base del logaritmo. c se llama argumento del logaritmo.
decimos que b es el logaritmo de c en base a, y lo escribimos loga c = b. Corresponde al exponente de la potencia de base a cuyo resultado es c. Es decir, b = loga c ↔ ab = c ¿Cuándo es posible determinar un logaritmo, y qué propiedades tiene? Lo analizaremos mediante los siguientes pasos. Paso 1
Observa los siguientes resultados: 05 = 0
0–2 no está definido
012 = 0
1³ = 1
1–4 = 1
10 = 1
Podemos observar que una potencia de base 0 puede ser igual a cero o no estar definida. Por otra parte, si la base de una potencia es igual a uno su resultado siempre será igual a uno. Para evitar estos problemas, se exigirá en el estudio de logaritmos que la base de este siempre sea distinta de 0 y de 1. Paso 2
En la sección anterior vimos que 5 4
1
–1024 = (–1024)5 = – 4 1
–16 = (–16)4 no está definida. 6
1
64 = (64)6 = 2 1
16 = (16)2 = 4 En general, para que una potencia siempre esté bien definida es necesario que su base no sea negativa. Por lo tanto, complementando la condición vista en el paso anterior, se exige que la base a del logaritmo debe ser positiva y distinta de 1.
58
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1 Paso 3
50 = 1 2 5
5 = 5 25
5–2 = –2 3
5 =3
1 25
Por lo tanto, se exige que el argumento de un logaritmo sea positivo.
Paso 5
4
Se llama logaritmo natural (ln) al logaritmo cuya base es el número irracional e. e =2,71828…
1 25
Podemos observar que ninguno de los resultados es negativo ni cero, ya que hemos considerado una base positiva. En general, si la base de una potencia es positiva necesariamente su resultado será positivo, por lo que no tiene sentido preguntarse por el logaritmo de un número negativo.
Paso 4
3
Dato
Observa los siguientes resultados: 53 = 125
2
Las definiciones y restricciones anteriores además nos permiten establecer que: Logaritmo de la base
Logaritmo de la unidad
Logaritmo de una potencia de la base
loga a = 1
loga1 = 0
loga an = n
Para que el cálculo de logaritmos tenga utilidad es necesario ponerse de acuerdo respecto a la base que se utilizará, es decir, que los logaritmos se calculen siempre en la misma base (en una misma situación o problema). En general, consideraremos la base 10 que define los logaritmos comunes o decimales, para los cuales simplemente se omite su base, es decir, log10 c = logc
Este número se presenta en muchos contextos, y es considerado uno de los más importantes de las matemáticas.
Dato El estudio de los logaritmos se debe al matemático escocés John Napier (escrito también como Neper) que se dedicó a ellos buscando estrategias para simplificar los cálculos que involucraban números muy grandes, necesarios fundamentalmente para la navegación y la astronomía. Gracias a su obra muchos cálculos se hicieron mucho más sencillos, dando un gran impulso al desarrollo de las ciencias.
Algunos ejemplos de cálculo: log 1 0,125 = x
log3 81= x 3x = 81 x
3 =3
2 x
1 = 0,125 2
4
Entonces, x = 4
x
1 1 = 8 2
log3 81= 4
x
1 1 = 2 2
3
Entonces, x = 3 log 1 0,125 = 3 2
John Napier (1550-1617)
Razona
y comenta
§ Explica con tus palabras qué es un logaritmo.
En resumen Dado un número real positivo a ≠ 1, y un número real c > 0, se llama logaritmo de c en base a al número al que se debe elevar a para obtener c. Es decir: logac = b ↔ ab = c
§ Dada la relación: n
p =q
Escribe un logaritmo que relacione n, p y q.
UNIDAD 1 • NÚMEROS
59
Practiquemos lo aprendido
Repaso
Práctica guiada
1. Calcula en cada caso el valor de x.
4. Expresa como logaritmo las siguientes potencias.
a) 3x = 27
j) (–3,1)³ = x
b) 5 = 625
k) 1 = x 5
c) (–2)x = –32
l) 7 2
d) (–9)x = –729 1 x e) (–3) = 9 f) (–0,5)x = 4
m) x² = 36
g) 8² = x
o) x4 = 0,0001
h) 1,1² = x
p) x–² = 0,25
i) (–6)6 = x
q) x–5 = 243
6³ = 216 6³ = 216 → log6 216 = 3
4
x
–3
=x
n) x³ = -1000
a)
3
125 = x
j)
b)
5
1024 = x
k)
c)
2
0,25 = x
l)
16 =x 81 e) 3 – 1 = x 216 f) 5 – 1 = x 32 6 g) x = 1 d)
4
x = 100
h)
1 3 x = –1
x= 7 5
x = –2
m) x 25 = 5 n)
x
343 = 7
ñ)
x
81= 3
o)
x
1331 11 = 8 2
p)
x
0,00001= 0,1
1 q) x –10, 648 = – 2,2 2 3. Determina en cada caso si es posible calcular el valor de x. Cuando no lo sea, justifica. i)
3
x=
1 125 1 m) 2–5 = 32 1 n) 4 –1 = 4 1 –5 ñ) 8 = 32768 1 o) 4 –3 = 64 1 p) 8 –3 = 512 l) 5–3 =
a) 34 = 81 b) 2³ = 8 c) 7¹ = 7
ñ) x5 = 32
2. Calcula en cada caso el valor de x.
60
Guíate por el ejemplo.
d) 46 = 4096 e) 76 = 117 649 f) 9³ = 729
5
g) 65 = 7776
q) 5 = 3125 6 7776
h) 10³ = 1000
r) 8 = 32 768 7 16 807
i) 8³ = 512
s) 10 = 10 000 3 81
j) 74 = 2401
t) 9 4
5
4
=
1024 59 049
–4
1 u) 5 = 256 4 625 64 5. Expresa como potencia los siguientes logaritmos. Guíate por el ejemplo. log5 78 125 = 7 k) 2–6 =
log5 78 125 = 7 → 57 = 78 125 a) log2 32 = 5
g) log3 1= 0
b) log8 512 = 3
h) log9
c) log9 6561= 4
i)
a) 2x = –8
e)
x
–27 = 3
b) 06 = 5x
f)
x
20 = 0
c) (–2)4 = x
g)
3
–1000 = x
d) log10 10000000 = 7
j)
d) (–3)x = –27
h)
x
16 = – 2
e) log9 531441= 6
k)
f) log7 117 649 = 6
l)
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
–5
1 = –2 81 1 log2 = – 5 32 1 log7 = –3 343 1 log5 = –3 125 1 log6 = – 2 36
1 1024 = –5 59 049 4 5 q) log13 = –1 13 5 4 r) log 7 = 0 4 16 p) log 9
3
7. Calcula el valor de x en cada caso, para que se cumplan las siguientes igualdades. a) logx 27 = 3
m) log729 3 = x
b) logx 625 = 4
n) log125 5 = x
c) logx 49 = 2
ñ) log16807 7 = x
d) logx 729 = 6
o) log4 2 = x
Aplica
e) logx 16 807 = 5
p) log15625 5 = x
Considera el valor de las siguientes potencias.
f) logx 8 = 3
q) log 1 2 = x
g) log2 x = 4
r) log 1 2 = x
2² = 4 2³ = 8 24 = 16 25 = 32 26 = 64
3² = 9 3³ = 27 34 = 81 35 = 243 36 = 729
5² = 25 5³ = 125 54 = 625 55 = 3125 56 = 15 625
7² = 49 7³ = 343 74 = 2401 75 = 16 807 76 = 117 649
6. Utilízalas para calcular el valor de los siguientes logaritmos. a) log2 32 b) log3 27 c) log5 3125 d) log7 16 807 1 e) log2 8 1 f) log3 729 1 g) log3 243 1 h) log5 25 1 i) log7 343 1 j) log7 117 649 k) log 1 8
m) log 1 7 1 8 2 1 ñ) log 1 729 3 o) log 1 729 3
5
243 3125 5 1 log 1 2401 7 1 log 1 49 7 2401 log7 81 3 1 log 1 9 3 64 log 3 729 2
p) log 3 q) r) s) t)
2
l) log 1 3125
32
64
h) log3 x = 2
s) log 1 3 = x
i) log3 x = 5
t) log 1 3 = x
9
81
j) log5 x = 6
u) log 1 5 = x
k) log7 x = 3
v) log
l) log81 3 = x
w) log
5
7
n) log 1
u)
4 Practiquemos lo aprendido
1 = –6 46 656 125 =3 n) log 5 343 7 1 ñ) log 1 = 2 4 2 729 =6 o) log 3 262144 8 m) log6
2
1 625
5= x
1 7= 343
x
8. Desafío: Demuestra las siguientes propiedades de los logaritmos. a) log 1 a = –logx a x
b) loga
1 = –loga b b
9. Desafío: Resuelve las siguientes operaciones. 1 a) 2log4 64 + log3 27 – log5 125 3 1 b) 4log3 9 + log16 8 – log2 32 3 c) 1 log10 + 2 log10 –log10 + log10 3 3 d)
3log100 log6 3 + log6 2 : log 1 4 9 + log2 8 2
Reflexiona § ¿Cuál es el significado de la palabra “logaritmo”. Investiga y explica por qué crees que le pueden haber puesto este nombre. § Investiga el significado de las palabras “guarismo” y “algoritmo”. ¿Qué relación tienen con “logaritmo”?
UNIDAD 1 • NÚMEROS
61
11 Lección
Propósito: deducir y aplicar propiedades de logaritmos.
Propiedades de los logaritmos En los cálculos necesarios para el desarrollo de la astronomía que motivaron a Napier se presentaban operaciones como la siguiente: 387 420 489 : 4 782 969 Calcular el cociente tomaba, como es de suponer, mucho tiempo y se corría un alto riesgo de cometer errores. Sin embargo, si observamos que: 387 420 489 = 3¹8
4 782 969 = 314
su cociente puede calcularse utilizando la operatoria de potencias de igual base: 387 420 489 : 4 782 969 = 3¹8 : 3¹4 – = 3¹8 ¹4 = 34 Al expresar los números como potencias de una misma base, el cálculo de la división se reduce a una sustracción. Esta es una de las propiedades ventajosas de los logaritmos, que analizaremos a continuación. Paso 1
Supongamos que x e y son números tales que loga y = q → aq = y
loga x = p → ap = x
Ayuda Para aplicar las propiedades de los algoritmos que estudiaremos, es necesario que las expresiones involucradas siempre se encuentren definidas en los números reales.
Calcularemos el producto y el cociente entre x e y, representándolos como potencias y utilizando logaritmos. x • y = ap • aq
x : y = ap : aq
x • y = ap+q
x : y = ap–q
→ loga ( x • y) = p + q = loga x + loga y
→ loga ( x : y) = p – q = loga x – loga y
Se tienen así las siguientes propiedades:
Paso 2
Logaritmo del producto
Logaritmo del cociente
loga(x • y) = loga x + loga y
loga(x : y) = loga x – loga y
Observa la siguiente deducción: b = loga c ab = c q
(ab )
Elevamos a q
= cq
aqb = c q loga c q = qb = q loga c
Potencia de potencia
b = loga c
1 Considerando además los casos en que q = –1 y q = , se tienen las siguientes n propiedades (con a > 0, a ≠ 1, c > 0): Logaritmo de una potencia
loga c n =nloga c
62
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
Logaritmo de una raíz
loga n c =
loga c n
Logaritmo de un inverso
1 loga =loga c –1 = − loga c c
1 Estas propiedades permiten calcular los logaritmos de todos los números racionales teniendo solo los logaritmos de los números primos. Por ejemplo: 3
log 56 = log 2 • 7 = 3 log 2 + log 7 ≈ 3 • 0,3 + 0, 85 = 1,75 log Paso 3
50 2 • 52 = log = log (2 • 52 ) –log (7 •11) = log 2 +2 log 5–log 7 – log 11 77 7 •11
2
3
4
Ayuda Puedes determinar logaritmos con calculadora; para ello debes digitar alguna de las siguientes secuencias para calcular, por ejemplo, log 8:
Las propiedades anteriores se cumplen solo si los logaritmos están expresados en la misma base, pero ¿qué se puede hacer cuando no lo están? Observa la siguiente deducción. loga c = b ↔ ab = c
/ logp
→ logp ab = logp c → b •logp a = logp c →b=
Despejamos b
Se aplica la propiedad de logaritmo de una potencia.
logp c logp a
Tenemos así la propiedad del cambio de base: loga c = Esta propiedad tiene especial importancia ya que la mayoría de las calculadoras solo permiten calcular logaritmos en base 10 o e, y de esta manera podemos encontrar su equivalencia. Por ejemplo:
logp c logp a
log3 5 =
log 5 0,7 ≈ = 1, 4583 log 3 0, 48
Estas propiedades permiten reducir expresiones y lograr así un manejo más sencillo. Por ejemplo: 1 1 1 = log 72 + 4log (3•7) + log log 49 + 4 log 21+ log 5 27 5 27 1 = 2 log 7 + 4 (log 3+log 7)+ log 3−3 5 3 = 2 log 7 + 4 log 3 + 4 log 7 – log 3 5 17 = 6 log 7 + log 3 5 El trabajo de Napier consistió, entonces, en determinar estas propiedades y elaborar tablas de logaritmos, que fueron utilizadas hasta principios del siglo XX. La aparición de calculadoras y computadores las ha dejado en desuso, pero por muchos años constituyeron una poderosa ayuda. Incluso, los cálculos que permitieron la expedición del Apolo XI a la Luna fueron realizados utilizando estas tablas. En resumen Los logaritmos verifican las siguientes propiedades (a, x, y, c, p > 0, a ≠ 1 , p ≠ 1, n ∈ ): logaritmo de un producto
logaritmo de un cociente
loga ( x•y )= loga x+loga y
x loga = loga x–loga y y
logaritmo de un inverso
1 loga =loga c –1 = –loga c c
logaritmo de una raíz
loga n c = cambio de base
logac =
logp c logp a
loga c n
Razona
y comenta
§ Si x = –3, ¿es válida la siguiente relación? 2 log (7 + x) = log (7 + x)2
¿Y qué ocurre si x = –8? Justifica.
UNIDAD 1 • NÚMEROS
63
Practiquemos lo aprendido
Repaso
a) log rs
k) log 3 p
1. Expresa como logaritmo las siguientes potencias.
b) log pqs
l) log 4
p q pr d) log q rq e) log ps
n) log r2 4 q
a) 2³ = 8
g) 4 –1 =
b) 7¹ = 7
1 4
c) log
1 32 768 1 i) 8 –3 = 512 h) 8 –5 =
c) 46 = 4096 d) 9³ = 729
5 e) 65 = 7776 j) 5 = 3125 f) 2–5 = 1 6 7776 32 2. Expresa como potencia los siguientes logaritmos.
a) log2 32 = 5
f) log3 1= 0 1 g) log2 = – 5 c) log10 10 000 000 = 7 32 1 = –3 h) log7 d) log9 531441= 6 343 3. Calcula el valor de los siguientes logaritmos. b) log8 512 = 3
b) log5 5
h) log0,11000
c) log4 64
i) log12111
d) log 0,1
j) log4
1 16
k) log 3 81 l) log
3 2
64 27
Práctica guiada 4. Aplica las propiedades de logaritmos para descomponer las siguientes expresiones en términos de a, b, c y d. Guíate por el ejemplo. Sea: a = log p
b = log q
c = log r
64
d = log s
p2 q r p2 q 2 = log (p q) – log r log r = log p2 + log q – log r = 2 log p + log q – log r = 2a + b – c
Descomponer la expresión log Se tiene que:
g)
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
h) i) j)
p) log
5
r s
q) log 3 pqr2 r) log p 4 q 6 r5 3
s) log
4
pr2 s3q2
cando las propiedades vistas. Guíate por el ejemplo.
3
1 8 1 f) log7 49
1 p 1 log rq sr log pq pq3 log s 2 (sr) log pq
5. Calcula el valor de los siguientes logaritmos apli-
g) log 1 81
e) log2
q2 r s 1 s o) log q ñ) log
f) log
e) log7 117 649 = 6
a) log3 27
1 s r m) log 5 ps
Se tiene que: log3 5 81 =
Calcula log3 5 81 1 1 1 4 log3 81= log3 34 = • 4 = 5 5 5 5
1 8 1 b) log5 625 c) log7 4921
d) log7 7 32 e) log2 1024
a) log2
6. Aplica las propiedades de logaritmos para reducir las siguientes expresiones a un solo logaritmo. Guíate por el ejemplo. Reducir la expresión log p2 + 5 log p – log 3 p2 + log Se tiene que:
log p2 + 5 log q – log 3 p2 + log = 2 log p + 5 log q – 4 log p + 4 log q 3 = log 3 p 4 + log q4
=
= log
(
3
p 4 q4
)
1 q
1 p
2 log p – log q 3
1
b) log 12 + log 3,5 c) log 21 – log 7
e) log
f) log 28 – log 4 – log 7 g) log 16 – log 5 + log 2 – log 20 h) log 18 – log 15 i) log 24 – log 3 6 1 1 1 j) log p – log q – log r 3 2 2 3 5 k) log x + log y 2 2 1 l) log x + log y – 2 log z 2 m) log (a + b) + log (a – b) 1 1 1 log x – log y + log z 2 3 4 ñ) log (a – b) – log 3 n)
1 o) log a – 4 log b + (log c – 2 log d) 5 1 p) log a – 5 log b2 + (log 3 c – 2 log d) 5 3 q) logq3 – log p 4 + (log q2 – 6 log p) 4
Aplica 7. Demuestra que las siguientes igualdades son correctas. 1 3 – log a + log a = –log a2 a 2 125 27 b) log + log 363 + log = log 5 99 25 1 1 x+5 = log x+5 c) log ( x 2 + 8x + 15) + log 4 4 x+3 1 x+3 d) log 4 ( x 2 +8x+15) –log x+5 = log 4 x+5 a) log
4
343 1 27 – log 7 = log – log 117 507 49
f) log
125 6859 1 + log = log 19 – log 45 361 75 2
g) log
x x+1 1 = log x – log (x+1) – log (x –1) 2 2 x –1
d) log 35 – log 23 e) log 19 + log 3 – log 6
3
8. Considera los siguientes valores: log 2 = a log 11 = e
log 3 = b log 13 = f
log 5 = c log 17 = g
log 7 = d log 19 = h
Practiquemos lo aprendido
a) log 3 + log 2
2
Determina una expresión para los siguientes logaritmos en términos de a, b, c, d, e, f, g y h. a) log 4
g) log 24
b) log 6
h) log 91
c) log 8
i) log 95
15 44 102 n) log 9 m) log
j) log 99 ñ) log 3,25 3 e) log 12 k) log o) log 8,91 4 f) log 18 7 l) log p) log 1,1 25 9. Resuelve los siguientes problemas. d) log 10
1 1 a) Si log3 = x , log 1 y = 3 , logz = − 2 , determina el 3 2 2 valor de xyz. x b) Si log (x²y³) = m y log = n, encuentra una exprey sión equivalente a logx. 1 log x log 3 4 c) Si x = ey= , calcula . 1 1 y log log 27 3 10. Desafío: determina en cada caso el valor de x para el cual se verifica la igualdad. a) log 2 + log (11 − x 2 ) = 2 log (5 − 2x) x b) 2 log x = 3 + log 10 c) log (2x − 7) − log ( x −1) = log 5 d) log x + log ( x +3) = 2 log ( x +1)
Reflexiona § En el libro que expone por primera vez el uso de los logaritmos, Napier se refiere a ellos como “maravillosos”. ¿Qué motivo crees que puede haber tenido para esto? Comenta con tu profesor.
UNIDAD 1 • NÚMEROS
65
Propósito: resolver problemas aplicando logaritmos.
Lección
12
Aplicaciones de logaritmos La intensidad del sonido se mide en vatios por metro cuadrado (W/m2), siendo 10 –12 W/m 2 la menor intensidad que puede captar el oído humano. A partir de 1 W/m2 comienza el umbral del dolor en el oído. Para comparar un sonido cualquiera con la menor intensidad audible se utilizan los decibeles (Db), mediante la siguiente fórmula: Db = 120 + 10log I donde I es la intensidad en W/m². Paso 1
Compararemos los valores, en decibeles, de las intensidades descritas. Menor intensidad 120 + 10 log (10
–12
)=120 +(–12)•10 log10 =120 –12 •10 =0
Umbral del dolor 120 + 10 log (1)=120 + 10 • 0 =120
La menor intensidad audible corresponde a 0Db, mientras que el umbral del dolor comienza en los 120 Db. Se obtiene así una escala que utiliza números más pequeños y manejables. A esto se le llama escala logarítmica. Paso 2
Observa que… 10 –2 = 10 2 = 100 10 –4
es decir, 100 Db corresponde a 100 veces la intensidad recomendada.
En general, se recomienda que al usar audífonos no se superen los 80 Db. Sin embargo, muchas personas los utilizan cerca de los 100 Db. ¿Cuál es la diferencia entre estas magnitudes? 80 = 120 + 10 log I –40 = 10 log I –4 = log I I = 10 –4 W 2 m
100 = 120 + 10 log I –20 = 10 log I –2 = log I I = 10 –2 W 2 m
Para determinar estos valores fue necesario resolver una ecuación cuya incógnita se encontraba en el argumento de un logaritmo. Para hacerlo utilizamos la definición de logaritmo, es decir, si elevamos la base del logaritmo a su valor se obtiene el argumento. Este tipo de ecuaciones se conocen como ecuaciones logarítmicas. Para resolverlas consideraremos esencialmente cuatro aspectos: a) Reducir las expresiones, cuando sea posible, utilizando las propiedades de logaritmos, hasta establecer una igualdad de logaritmos. b) Si dos logaritmos de igual base son iguales, sus argumentos son iguales. c) Utilizar la definición de logaritmo para obtener el valor de la incógnita que se encuentra en el argumento. d) Verificar la solución para considerar las posibles restricciones.
66
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1 Paso 3
2
3
4
Observa los siguientes ejemplos de resolución de ecuaciones logarítmicas.
Ejemplo 1: log (8 – 4x ) – log (3 – 2x ) = 2 Tenemos que: Se aplican propiedades de logaritmos.
log ( 8 – 4x ) – log ( 3 – 2x ) = 2 8 – 4x =2 log 3 – 2x 8 – 4x = 102 = 100 3 – 2x 8 – 4x = 300 – 200x 196x = 292 292 73 = x= 196 49
Se aplica la definición de logaritmo.
Al remplazar en la ecuación, obtenemos 73 73 100 1 – log log 8 – 4 • – log 3 – 2 • = log 49 49 49 49 = log 100 – log 49 – log 1+ log 49 = 2 No hay restricciones, por lo que la solución obtenida es válida. Ejemplo 2: 2 log ( x+1) – log ( x – 2) = log ( x+3) Tenemos que: 2 log ( x + 1) – log ( x – 2 ) = log ( x + 3)
Se aplican propiedades de logaritmos.
2
( x + 1) log x–2
= log ( x + 3)
( x + 1)2 = x + 3
x–2 2 x + 2x + 1= x 2 + x – 6 x = –7
Razona
y comenta
§ Una persona expuesta Se igualan los argumentos.
Al remplazar en la ecuación tenemos: 2 log (–7 + 1) – log (–7 – 2) = log (–7 + 3) → 2 log (–6) – log (–9) = log (–4) Hay logaritmos con argumento negativo, por lo que la solución no es válida.
En resumen Se llama ecuación logarítmica a aquella cuya incógnita se encuentra en el argumento de un logaritmo. Para resolver una ecuación logarítmica se utilizan las propiedades de los logaritmos o su definición.
a más de 90 Db durante dos horas o más se arriesga a un daño auditivo que puede llegar incluso a la sordera total. La mayoría de los audífonos soportan una intensidad de 100 Db o más. Si una persona escucha música con audífonos y otra a su lado puede oírla, el volumen es excesivo. ¿A qué volumen escuchas música? ¿Te has informado de los cuidados que debes tener para no dañar tus oídos?
UNIDAD 1 • NÚMEROS
67
Practiquemos lo aprendido
Repaso 1. Aplica las propiedades de logaritmos para reducir las siguientes expresiones a un solo logaritmo.
a) log ( x + 5) = 1
a) log ( x + 5) + log ( x – 2)
b) log (2x +125) = 2
b) log (2x + 7) – log ( x + 1)
c) log (–2x + 5) = –1
c) log ( x 2 + 5x + 1) – log ( x –1)
d) log (3x + 8) = log (2x – 3)
1 log ( x 2 + 4x + 4) – log ( x + 2) 2 e) log ( x 2 +7x + 12) – log ( x 2 +4x + 3)
e) log ( 4x + 24) = log (9x + 2)
d)
f) log ( x + 4x – 5) – log ( x + 5) – log ( x + 1) 2
g) log x – 2 – log ( x + 7) – log ( x – 2)
Práctica guiada
f) log (5x –16) = log (6x + 15) g) log (3x + 2) + log ( x + 4) = log (3x 2 – 2x + 4) h) log ( 4x + 7) = log ( 4x 2 + 5x – 6) –log ( x – 3) i) log (5x + 4) + log ( x + 1) = log (5x 2 + 4x + 1)
Aplica
2. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas. Guíate por el ejemplo.
Resuelve los siguientes problemas.
Resolver la ecuación:
3. El pH es una medida de la acidez o alcalinidad de una
log (32x + 12) – log (5x – 8) = 1 Paso 1
Se aplican las propiedades de logaritmos para reducir la expresión. log ( 32x + 12 ) – log ( 5x – 8 ) = 1 32x + 12 =1 → log 5x – 8
Paso 2
Se aplica la definición de logaritmo y se resuelve 32x +12 32x +12 log = 1→ = 101 5x – 8 5x – 8
Paso 3
32x +12 = 10 5x – 8 32x +12 = 50x – 80 92 = 18x 46 x= 9 Se verifica la solución. 46 46 log 32 • + 12 – log 5 • – 8 = 1 9 9 1472 + 12 • 9 230 – 9 • 8 – log log = 1 9 9 1364 158 =1 – log log 9 9
68
No se presentan restricciones, por lo que la solución es válida.
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
sustancia. Se mide de acuerdo con la concentración de moles de hidrógeno utilizando la fórmula: pH = – log[H+] Donde [H+] corresponde a la concentración de iones de hidrógeno, medida en moles por litro. a) Calcula el pH de una sustancia, cuya concentración de iones de hidrógeno es de 0,00000038 moles por litro. b) En algunos lugares muy contaminados se produce el fenómeno llamado “lluvia ácida”. Se han dado lluvias con un pH de 2,8. Calcula su concentración de iones de hidrógeno. c) Calcula la concentración de iones de hidrógeno de las siguientes sustancias, conociendo su pH aproximado. Sustancia
pH
Vinagre Jugo gástrico Jugo de naranja Orina Jabón de manos
2,9 1,5 4,5 6,5 9,5
1
del sonido y los decibeles Db = 120 + 10 log l a) Si un equipo de música genera un sonido cuya magnitud en W/m2 es el triple de la de otro, ¿cuánto mayor es la intensidad en decibeles que posee? b) Un amplificador para una guitarra eléctrica tiene 2500 W/m2 de salida. ¿Cuál es su intensidad en decibeles? c) Calcula la magnitud del sonido en W/m2 que producen los siguientes fenómenos, conociendo sus decibeles. Fenómeno
Intensidad
Bomba atómica de Hiroshima Avión despegando Perforadora eléctrica Personas gritando Conversación tranquila
200 dB 130 dB 100 dB 90 dB 40 dB
5. La energía liberada en los terremotos se mide en escala de Richter. Pese a ser modificada para intensidades superiores a 7, se puede relacionar la magnitud de un sismo y la energía liberada en él mediante la fórmula log E = 1,5R + 11,8
a) Completa la siguiente tabla con la intensidad o la energía liberada en los siguientes terremotos ocurridos en Chile:
Terremoto de Valdivia (1960) Terremoto de Cauquenes (2010) Terremoto de Algarrobo (1985) Terremoto de Vallenar (2013)
4
b) El terremoto de Haití de 2010 tuvo una magnitud de 7,2 R. ¿Cuántas veces menos energía liberó, comparado con el de Chile en 2010?
6. En Chile, a partir del año 2012 se estableció la ley de “Tolerancia 0” al alcohol, con la que se redujo a 0,3 g/L de sangre la concentración de alcohol considerada como “estado de ebriedad”. Se estima que el riesgo de sufrir un accidente (en porcentaje) se relaciona con la concentración de alcohol mediante la siguiente fórmula: R = 6ekx a) Se estima que una concentración de 0,04 g/L de alcohol en la sangre (x = 0,04) corresponde a un riesgo del 10% (R = 10). Determina el valor de la constante k. b) Una persona que, de acuerdo con la ley chilena, conduce en estado de ebriedad, ¿qué riesgo tiene de sufrir un accidente? c) Si una persona presenta el doble de concentración de alcohol que otra, ¿cuánto mayor es su riesgo de accidente? d) ¿Para qué concentración de alcohol en la sangre se puede estimar un riesgo de accidente del 100%? ¿Qué significa eso? Discute con tus compañeros.
7. Al tomar un medicamento la cantidad de
donde E es la cantidad de energía liberada medida en Ergios, y R es su intensidad en grados Richter.
Magnitud (R)
3
Practiquemos lo aprendido
4. Considera la fórmula que relaciona la intensidad
2
Energía liberada (E)
9,6 8,8 3,16 • 1023 1,9 • 1022
milígramos que quedan de él en la sangre luego de t horas de haber sido administrado se calcula mediante la fórmula C = 10e–0,2t a) ¿Cuántos miligramos del medicamento hay en la sangre luego de una hora? b) Si la cantidad de miligramos no puede bajar de 3, ¿aproximadamente, cada cuánto tiempo debe tomarse el medicamento? c) Según esta fórmula, ¿hay algún momento en que deja de haber medicamento en la sangre? Justifica tu respuesta y discute con tus compañeros.
Reflexiona § Al principio de la unidad se planteó la necesidad de establecer escalas y comparaciones para representar ciertos fenómenos. ¿Qué utilidad tienen para ello los logaritmos? Comenta con tus compañeros.
UNIDAD 1 • NÚMEROS
69
Resolución de problemas Analiza la resolución del siguiente problema. Considera la siguiente secuencia de números 5
-
15
-
45
-
135
-
405…
Se puede observar que su primer término es 5, y para obtener el siguiente término se multiplica por 3. Se sabe que el número 1937102445 pertenece a esta secuencia. ¿En qué posición está? Paso 1 Comprende el enunciado a. ¿Qué datos tenemos del problema? Los primeros términos de una secuencia, la regla con que se forman y uno de sus términos, con posición desconocida. b. ¿Qué se quiere averiguar? La posición que ocupa en la secuencia un número dado. Paso 2 Planifica lo que vas a realizar En primer lugar se determinará una fórmula para relacionar un término y su posición. Luego, se planteará la ecuación igualando la fórmula al número dado, y se resolverá. Paso 3 Resuelve el problema Observa que: Primer término: Segundo término: Tercer término: Cuarto término: Quinto término:
5 5 • 3= 5 • 32–1 5 • 3 • 3 = 5 • 32 = 5 • 33–1 5 • 3 • 3 • 3 =5 • 33 = 5 • 34–1 5 • 3 • 3 • 3 • 3 = 5 • 34 = 5 • 35–1
En general, el término en la posición n (lo llamamos an) puede determinarse mediante la fórmula 5 • 3n – 1. Por lo tanto, para averiguar el valor de n, planteamos y resolvemos la ecuación 1937 102 445 = 5 • 3n–1 387 420 489 = 3n–1 log 387 420 489 = log (3n–1) log 387 420 489 = (n –1) log 3 log 387 420 489 = n –1 log 3 log 387 420 489 + 1= n log 3 Con calculadora se obtiene que n = 19, es decir, es el término que ocupa la posición 19. Paso 4 Revisa la solución Verifica que 5 • 319–1 = 5 • 318 = 5 • 387 420 489 = 1 937 102 445 Podrás aplicar lo aprendido aquí en los problemas que se presentan en la página 72. 70
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1
Para no cometer errores Analiza la situación
3
4
Aprende la forma correcta
Danitza necesita desarrollar la siguiente expresión:
Danitza utilizó erróneamente la siguiente relación
log (p2 – q2 )
log (p 2 − q2 )=log p 2 −log q2
Para ello, sigue estos pasos:
En general, el logaritmo de una diferencia no es equivalente a la diferencia de los logaritmos. Lo correcto es:
log (p2 – q2 ) = log p2 – log q2 = 2 log p – 2 log q
Razona
y comenta
§ ¿Cuál es el error cometido por Danitza? § ¿Qué otros errores pueden cometerse en el cálculo de expresiones con logaritmos?
Analiza la situación
log (p 2 – q2 )=log ((p +q)(p – q)) =log (p + q) + log (p – q)
Aprende la forma correcta
Elías debe resolver la siguiente ecuación logarítmica: log (3x + 4) + log (2x +2) = log (6x 2 + 15x + 10) Aplicando las propiedades de los logaritmos se da cuenta de que es equivalente a la ecuación log ((3x + 4)(2x +2)) = log (6x 2 +15x +10) 2
log (2 • –2 + 2) = log (–4 + 2) = log (–2)
Resolviendo esta última obtiene que: 6x 2 + 14x + 8 = 6x 2 + 15x + 10 –2 = x Al verificarla en la ecuación obtiene que:
)
2
(
2
log 6 • (–2) + 14 • (–2) + 8 = log 6 • (–2) + 15 • (–2) + 10
La ecuación en la que Elías comprueba la solución no es la ecuación original. Si el valor se remplaza en la ecuación original se tiene que: log (3 • –2 + 4) = l og (–6 + 4) = log (–2)
log (6x +14x + 8) = log (6x +15x +10) 2
(
2
)
log (24 – 28 + 8) = log (24 – 30 + 10)
Ya que estas expresiones no están definidas, no es posible aplicar las operaciones de logaritmos. En general, la solución de una ecuación debe verificarse en la ecuación original.
log 4 = log 4 Elías concluye, por lo tanto, que la solución encontrada es válida pues no presenta restricciones.
Razona
y comenta
§ ¿Cuál es el error cometido por Elías? § ¿Qué otros errores pueden cometerse en la resolución de ecuaciones logarítmicas?
Reflexiona § ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores? ¿Cuáles? § Respecto de los que no, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos? § Revisa los ejercicios que hayas resuelto en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes tomar para no volver a cometerlos?
UNIDAD 1 • NÚMEROS
71
Integrando lo aprendido Lección 10: Logaritmos 1 Expresa las siguientes igualdades en la forma equivalente que se indica. a. 27 = 128, como raíz. b. 38 = 6561, como raíz.
3 Resuelve los siguientes problemas. a. Ordena de menor a mayor las siguientes expresiones: 1 log 105 ; log100 10 ; 2 log0,5 ; log99 1 2 b. Si log x = y , determina una expresión que corresponda al valor de log x2.
–
c. 0,5 4 = 16, como logaritmo. 3
1728 = 12, como potencia.
e.
2
256 = 16, como logaritmo.
f.
5
–1 = –1, como potencia.
a. log 3 + log ( x+1)
g.
p
5,22 = s, como potencia.
b. log 8x –log 4y
h.
q
2,51 = 2m, como logaritmo.
c. log 3 p2 + log 5 p3
1 i. log5 5 = , como potencia. 2 j. log3,1 8528,91037441= 8 , como raíz. 729 = 6, como raíz. 117 649 7 1 l. loga = –c, como potencia. b m. log1 s = a, como raíz.
Evaluación
k. log 3
t
2 Calcula en cada caso el valor de x. a. logx 36 = 2
4 Aplica las propiedades para reducir las siguientes expresiones a un logaritmo.
1 + log 3a a2 1 e. log 4 – log b2 b log x 4 f. log x + log (5x 2 ) – 2 d. log
g. log (p+q) + log 5 p2q3 – 0,5 log (p2 +2pq +q2 )
5 Aplica las propiedades a las siguientes expresiones. a. log (pq2 )
c. logx 8 = 0,5
5p3q7r2 b. log xy 5
1 = –0,25 81 e. log7 x = –1 f. log0,2 x = 5 1 g. log4 x = 4 3 h. log9 x = 2 i. log6 36 = x 1 j. log5 =x 125 k. log
21
l. log 2 3
21= x 9 = x 16
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1 x
h. log a • loga 3x –log
b. logx 49 = –2
d. logx
72
Lección 11: Propiedades de los logaritmos
d.
4m+5 c. log 2x +8 1 d. log 3( x + 4 ) 5x e. log 3q 2p x+3 f. log 5x 2 9y g. log
( x + 1)( x + 7 ) 5xy
1 6 Resuelve los siguientes problemas. a. Sea U = log a + log b y V = log (a–1b). Determina cuál de las siguientes expresiones es equivalente a V U –1 1 –logab (a b) 1 a² logab (a–1b) 2 a
log 1 256 – 2 + 2
4
1 log0,25 2
= log 1 x 2
Lección 12: Aplicaciones de logaritmos 7 Resuelve las siguientes ecuaciones. a. log ( x – 2) = 2 b. log (5x) = –1 c. log (5x – 2) = log (3x + 7) d. log ( x 2 + 8x – 3) = 2 log ( x + 5)
f. log ( x –1) –log ( x – 5) = log ( x + 7) –log ( x – 4)
4
a. Si una persona deposita cierta cantidad C de dinero en un banco a un i% de interés mensual, el dinero que tiene al cabo de n meses se calcula con la fórmula i C(n) = C 1+ 100
n
Calcula cuántos meses habrá que mantener $150 000 en el banco —con un interés del 5%— para que al cabo de ellos haya $221 618. b. Para calcular el pH de una solución química se utiliza la fórmula pH = –log[H+], donde [H+] es la concentración de iones de hidrógeno presentes en la solución. ¿Cuál es el pH de una solución que tiene una concentración de [H+] igual a 9,5 • 10–12? 9 Analiza la siguiente ecuación log (2x +5) + log ( x – a) – log ( x + 1) = log (2x + 8) Determina un valor de a para el cual la ecuación tiene solución, y otro para que no la tenga. Justifica en cada caso.
g. log (2x – 3) –log ( x + 4) = log (2x + 1) –log ( x – 9)
Evaluación
e. log (8x + 1) = log (2x – 2) + log 3
3
8 Resuelve los siguientes problemas.
b. Determina el valor de x en la siguiente igualdad log 1 2
2
Autoevaluació Autoevaluación Evalúa tu aprendizaje utilizando el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las páginas indicadas para repasar. Indicador
Mínimo sugerido por ítem
Puedes repasar en la(s) página(s)
Identificar logaritmos y relacionarlos con raíces y potencias
Ítem 1: 7/13 Ítem 2: 6/12 Ítem 3: 1/2
58 y 59
Deducir y aplicar propiedades de logaritmos
Ítem 4: 4/8 Ítem 5: 4/7 Ítem 6: 1/2
62 y 63
Resolver problemas aplicando logaritmos
Ítem 7: 4/7 Ítem 8: 1/2 Ítem 9: 1/1
66 y 67
UNIDAD 1 • NÚMEROS
73
l a r u m o i r a i D De piedras a computadores Desde la antigüedad el ser humano ha necesitado realizar cálculos con distintos niveles de complejidad. En ocasiones, los sistemas de numeración propios de cada cultura han presentado dificultades para hacerlo; por ejemplo, el sistema de numeración romano no permite realizar algoritmos con facilidad, incluso para la suma. El uso de los numerales indo-arábigos (los que usamos actualmente), y el sistema decimal posicional facilitan este tipo de operaciones, y representaron un gran avance para la aritmética.
Tuvo que pasar mucho tiempo —hasta el siglo XVII— para que comenzaran a desarrollarse las primeras calculadoras mecánicas: sistemas de ruedas y engranajes que permitían calcular el resultado de sumas, resta, multiplicaciones y divisiones girando manivelas. Su uso tuvo gran impacto entre contadores y comerciantes, pero no resultaban muy prácticas por su lentitud. Para usos prácticos se popularizaron entonces las reglas de cálculo: tablas con resultados de operaciones ya calculadas, y en las que por medio de ingeniosos procedimientos mecánicos era posible encontrarlos. Estas reglas de cálculo —y algunas tablas de valores— fueron utilizadas ampliamente en colegios y universidades hasta mediados del siglo XX, cuando fueron desechadas definitivamente por la aparición de los grandes computadores y las calculadoras de bolsillo.
Realizar operaciones con números menores que 10 no representa gran dificultad, ya que es posible utilizar los dedos para representar las cantidades. Pero, ¿qué hacer cuando ya se han utilizado todos los dedos? Se hace imprescindible comenzar a representar estas cantidades, por ejemplo, con piedras, de manera que una piedra simbolice una utilización de los diez dedos Hoy, la tecnología nos asombra con su capacidad de de las manos. Cuando un antiguo ganadero contaba reducir cada vez más los tamaños de los artefactos. sus animales podía hacerlo con Hacia 1960, era necesario sus dedos y, cada vez que los un computador del tamaño utilizara todos, ponía una piedra de tu sala de clases para con bra Hoy, la tecnología nos asom en el suelo. Así, si al terminar de realizar operaciones que de reducir cada vez ad acid cap su contarlos había ocupado 3 dedos hoy puedes calcular con más los tamaños de los artefactos. y tenía 4 piedras en el suelo, sabía una sencilla calculadora que tenía 43 animales. de bolsillo, y cada vez Hacia 1960, era necesario un sala tu con mayor velocidad y de año computador del tam La palabra cálculo proviene del precisión. Por muy distante de clases para realizar operaciones latín calculus, que significa piedra. que parezca a los métodos Así, los antiguos calculistas se que hoy puedes calcular con una anteriores, la programación sentaban a resolver problemas sencilla calculadora de bolsillo. de estos computadores sobre una alfombra y manipulaban sigue basándose en el piedras con gran rapidez. Poco trabajo realizado por los a poco fueron ganando destreza para representar matemáticos a lo largo de la historia, particularmente operaciones con ellas, y transmitiendo estos métodos. en los siglos XVI, XVII y XVIII. Puede decirse que así comenzaron a desarrollarse las calculadoras.
Actividades complementarias
74
➊
¿En qué otro contexto has escuchado la palabra cálculo? ¿Con qué se relaciona? ¿Qué relación observas con lo leído en el texto?
➋
Consulta con tus padres y/o profesores: ¿qué artefactos tecnológicos utilizaban? ¿Cuál fue el que más les llamó la atención cando apareció? Comenta con tus compañeros.
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
UNIDAD 1 • NÚMEROS
75
Síntesis
Para sintetizar Volviendo al inicio…
¿Cómo se llama?
Los miembros de la escuela pitagórica observaron que dos cuerdas tales que una midiera el doble de la otra (e igualmente tensas, del mismo grosor y material) producían un sonido agradable al ser pulsadas en conjunto. La diferencia entre los sonidos producidos por ambas es lo que actualmente llamamos una octava, y se considera que corresponden a la misma nota.
Relaciona los conceptos utilizando un mapa conceptual.
Números racionales Números irracionales Raíces Números reales Raíz enésima Potencia Exponente racional Racionalización Ecuaciones radicales Operatoria de potencias y raíces
Lo agudo o grave del sonido depende de su frecuencia (mientras mayor es, más agudo). Así, podemos decir que la cuerda más larga produce un sonido cuya frecuencia es 1, y la frecuencia del sonido de la cuerda corta es 2. ¿Qué frecuencias intermedias conviene utilizar? Esta definición es la que da pie a las escalas musicales. Escala pitagórica Los pitagóricos constataron además que dos sonidos cuyas frecuencias estuvieran en razón 3 : 2 sonaban bien juntos (se dice que forman una quinta). Así, las notas que estarían entre la frecuencia 1 y la frecuencia 2 (formando la escala tónica), se definen con la siguiente regla: 1. Se multiplica la frecuencia de la nota anterior por 3 . 2
2. Si el valor obtenido es menor que 2, se añade esta frecuencia a la escala. Si es mayor que 2, se divide el valor por 2 y se agrega a la escala.
Potencia Logaritmo Base Exponente Propiedades de logaritmos
Evaluando e innovando Diseña una evaluación con los contenidos vistos en la unidad e intercámbiala con un compañero. Te sugerimos:
§ Un crucigrama o sopa de letras con las palabras o conceptos clave. § Un juego de mesa con preguntas de contenidos de la unidad. § Un juego de memoria, que relacione conceptos, fórmulas y definiciones.
76
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1
Completa en tu cuaderno el siguiente cuadro sinóptico. Definición y/o procedimiento
Ejemplo
Orden y ubicación de números irracionales en la recta numérica Determinación del tipo de resultado de una operación entre números reales
37 32 39 34 311 , , , , , 211 23 214 2 6 217 36 3 38 33 310 35 , , , , , 2 9 2 212 2 4 215 27
Operatoria entre raíces enésimas
Racionalización
Ecuaciones radicales
Cálculo de logaritmos por definición
La escala temperada La escala pitagórica presentaba un problema: la razón entre dos frecuencias sucesivas no es constante, lo que provocaba una gran descoordinación entre los músicos si querían tocar una misma pieza pero en un tono más grave o más agudo. Esto motivó que Johan Sebastian Bach reconstruyera una escala tomando una razón constante igual a 12 2 . De esta manera consiguió 12 notas determinadas por las siguientes frecuencias:
Síntesis
Cálculo de raíces por definición
4
1,
Representación exacta de números irracionales
Aproximación de números irracionales
3
Así se obtienen las siguientes frecuencias (puedes verificar calculando los valores, que aquí están en orden):
¿Cómo se hace?
Contenido
2
1, 12 2 , 12 4 , 12 8 , 12
16 , 12 32 , 12 64 ,
12
128 , 12 256 , 12 512 ,
12
1024 , 12 2048
Bach aplicó esta escala en su composición “El clavecín bien temperado”, y su uso permitió simplificar en parte la dura tarea de afinar un piano y otros instrumentos similares.
Propiedades de logaritmos
Ecuaciones logarítmicas Johann Sebastian Bach
UNIDAD 1 • NÚMEROS
77
Reforzar antes de evaluar Refuerza los contenidos vistos en la unidad, realizando las siguientes actividades. 7 Demuestra que x = 23 – 46 es un número irracional.
Números reales Números irracionales y problemas geométricos 1 Identifica cuáles de los siguientes problemas requieren de números irracionales para obtener el resultado.
8 Analiza el número ( 18 – 2 ) • ( 4 – 9 ). ¿Es un número racional o irracional? Justifica.
Raíces
a. Calcular el volumen de un cubo de arista 2 cm.
Raíz enésima
b. Calcular el área de un trapecio isósceles de bases 4 cm y 8 cm y altura 10 cm.
9 Determina para cada potencia una expresión equivalente con raíces.
c. Calcular el perímetro de un triángulo equilátero cuya altura mide 1 cm. 2 Calcula en forma exacta el perímetro y el área de la siguiente figura. 8 12
a. 54 = 625 b. 7y = z 4
c. 2 = 16 3 81 10 Calcula en cada caso el valor de x. a. 7 = 3 x
2 20
x = 0,81
Refuerzo
b.
Aproximación de números irracionales 3 Se sabe que 12 es un número irracional: a. Utiliza una calculadora para determinar una aproximación de 12 a la quinta cifra decimal. b. Calcula el error absoluto y el error relativo de la aproximación de anterior. c. Determina una aproximación por defecto y una por exceso para 12 , de modo que el error relativo de ambas sea menor al 1%, pero mayor que el 0,1%.
Orden en los números racionales y recta numérica 4 Ubica en una misma recta numérica los siguientes números: 8 , – 2 3 y 20. 5 Ordena de menor a mayor los siguientes números: 2 7 ; 3 6 ; 15.
Números reales 6 Calcula un valor de b para que se cumpla la relación. 2b 7b − ∈ℤ b+3 78
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
c. 7 = 4 x 2 6 11 Calcula cuando sea posible el valor de las siguientes expresiones. Si no es posible, justifica por qué. a.
5
243
b.
3
−216
c.
4
−64
d. 2( 64 – 3 27 ) e. 5 4 81 + 7 100 – 9 3 1000 12 Determina qué condición(es) debe cumplir en cada caso el número real a para que la raíz esté definida en los números reales. a. b.
3
2a
c.
(a + 4)
d.
4
5a − 20 (a − 4)(a + 4)
Raíces y operaciones 13 Reduce las siguientes expresiones a una sola raíz. a.
15 • 30
b. 5 3 2
c. 3p2 n p 4 d.
5
64 • 5 4 5 2
1 14 Reduce las cantidades subradicales de las siguientes expresiones hasta el menor número natural posible. a.
4
32
c.
5
486
b.
3
162
d.
7
−256
a. 9 3 – 7 3 + 2 3
1 7
b. – 10 2 5
d.
1 3+ 7
e.
7
6– 5 11 f. 5 12+5 13
c. 3 3 5 • 2 3 25 – 9
Raíces enésimas, problemas y ecuaciones
d. 50 27 : (2 3) + 100
20 Resuelve las siguientes ecuaciones.
Potencias de exponente racional 16 Expresa en cada caso las raíces como potencias y las potencias como raíces. 2
d.
a. 15 3 −
b. (9b)
1 3
c. (2x
5x 2
e.
3
(7x – 6)
f.
3
a2 + b2
17 Expresa las siguientes raíces como otra raíz equivalente, con el menor índice posible. a.
12
94
c.
15
3020 • 610
b.
27
518
d.
x
5xy
18 Reduce las siguientes expresiones a una sola raíz. Cuando sea posible, calcula su valor. 7
a. b. c.
8 • 4
7
a
xb • a y b
3
42
3
42 4• 6 3 24
e.
3 34 3
f. g. h.
6
1+ 3x + 1+ 2x = 2
c.
9 – 2x =
d. e.
4
3– 8x 2 4x – 5 3x+7 = 2 x – 5 – x + 8 = 4 2x + 3
21 Resuelve los siguientes problemas. a. ¿Cuál es la longitud de la arista de un cubo cuyo volumen es 3 27cm3? b. Si a la raíz cuadrada de cierto número se le suma el doble de tres se obtiene el número 10. ¿Cuál es el número? c. ¿Cuál es el radio r de un cono de altura h igual a πr2 • h 25 cm y volumen (V) de 625 cm3? (V = ) 3
22 Expresa los logaritmos como potencias y las potencias como logaritmos.
4y
4 3
b.
Logaritmos
x
20
3x – 7 – 4x+2 = 0
Logaritmos
d.
2
a.
Refuerzo
5 – 5) 4
4
4
19 Determina, para cada expresión, otra equivalente sin raíces en el denominador.
c. 3 3 9
b. 3 3 5 – 2 6 + 4 3 5 –10 6
3
Racionalización
a.
15 Calcula el valor de las siguientes expresiones.
2
(
4
52 : 4 4 2
a. 54 = 625
d. log2 128 = 6
b. 210 = 1024
e. log7 1= 0
c. 10–3 = 0,001
f. log9
1 = –3 729
)
5m UNIDAD 1 • NÚMEROS
79
Reforzar antes de evaluar 23 Calcula en cada caso el valor de x. d. logx 81= 4
a. log5 125 = x 1 =x b. log9 729 64 c. log 3 =x 27 4
e. log216 6 = x f. log4 x = 5
24 Calcula el valor de las siguientes expresiones. 1 a. 3 log4 16 + log3 81– log6 1 8 1 2 3 b. log 100 + log 1000 – log 10000 2 3 4 3 log4 2 + log8 2 c. : 1–log2 16 log 1 8 2
25 Aplica las propiedades de logaritmos para descomponer las siguientes expresiones en términos de r, s y t, si r = log a, s = log b y t = log c.
Refuerzo
ab c
c. log
ab c4
a4 c b. log (a b ) d. log 2 3b 26 Calcula el valor de los siguientes logaritmos. 128 512 0,2 b. log3 2710 d. log5 0,008 27 Desarrolla los siguientes logaritmos. a. log (p3q4 ) a5b 6 b. log 5 c c. log
m3n2 p2q3
f. log
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
)
( 4x+7) 2 (9 – 5x)
28 Aplica las propiedades de logaritmos para reducir las siguientes expresiones a un solo logaritmo. a. log a3 + 4 log b c b. log –log cd d c. log a2 – log 3 b5 + log c 4 2
d. log 3 a8 – 0,3 log c 3 + log (ac)
Aplicaciones de logaritmos 29 Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas. a. log (2x + 3) = 1
c. log2
b. log (3x – 113) = 2 c. log (2x – 1) + log ( x + 4) = log (2x 2 + x + 7) 1 d. log ( 3x – 2) – log 3x 2 + 4x – 5 = log x + 3 30 Resuelve los siguientes problemas.
(
)
1 1 , log 1 b = –3 y logc = 3. 8 16 4 ab Determina el valor de . c log 10 log 10 b. Si x = , calcula x ey= log 50 log 0,5 y a. Se sabe que a = log4
c. Se sabe que la relación entre la cantidad E de energía liberada por un terremoto (en ergios) con su magnitud en grados Richter está dada por la fórmula log E = 1,5R + 11,8. ¿Cuál es la cantidad de energía que libera un temblor cuya magnitud en la escala de Richter es 5?
¿Te sientes más preparado para la evaluación de la unidad? 80
(cd)3
3
2 3
a. log4 8 64
(
e. log 9b
3
Propiedades de los logaritmos
a. log
3x – 2 d. log 3x+2
Profundizar
1
2
3
4
Ahora que has reforzado los contenidos de la unidad, te sugerimos las siguientes actividades para que puedas profundizar tus conocimientos.
El número e En ocasiones los bancos presentan el interés ofrecido en una inversión de maneras distintas. Por ejemplo, es posible que se declare una tasa de interés anual de un 12% con pago semestral, trimestral, mensual, etc. En estos casos, la tasa de interés se divide por el número n de períodos en que se divide el año, y se realiza el pago de intereses n veces durante ese año (lo que recibe el nombre de capitalización). Por ejemplo, si el capital invertido es C con una tasa anual del 12%, se tiene que: n
2 3 12
Tipo de capitalización
semestral trimestral anual
Períodos
Tasa de interés
Monto obtenido al año 6 C 1+ 100
2
2, de 6 meses
12% =6% 2
4 C 1+ 100
3
3, de 4 meses
12% = 4% 3
1 C 1+ 100
12
12, de 1 mes
12% =1% 12
Profundizo Guía
1 Analiza las expresiones anteriores y responde. a. ¿En qué caso el monto obtenido al cabo de un año es mayor? ¿Siempre ocurrirá así? Discute con tus compañeros. b. Un banco ofrece una tasa de interés anual del 20% capitalizable semestralmente, mientras que otro ofrece una tasa de interés del 10% anual. ¿Cuál es más conveniente para invertir? Justifica. 2 En 1619, el matemático suizo Jacob Bernoulli estudió un problema de interés compuesto, en el que analizaba los beneficios de una cantidad de dinero depositada con un interés anual del 100%, dependiendo de los períodos en los que se capitalice a lo largo de un año. a. Demuestra que si el interés es del 100% y se capitaliza en n períodos durante el año, la fórmula que permite calcular el monto obtenido al n 1 cabo de un año es 1+ n b. Analiza lo que ocurre con el monto obtenido si el período de capitalización es un mes, una semana o un día. ¿Qué observas? 3 El número e es un número irracional. Es la base de los logaritmos naturales. Sus primeras cifras son: 2,718281828459045… n 1 Su valor se estima 1 + haciendo n cada vez más grande. n Prueba valores para n = 1; n = 2; n = 5; n = 10; n = 100; n = 1000; n = 10 000 ¿Qué puedes concluir? ¿Qué relación observas con las actividades anteriores?
UNIDAD 1 • NÚMEROS
81
Evalúo mis aprendizajes Evaluemos los contenidos vistos en la unidad, realizando las siguientes actividades 6 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
Números reales 1 ¿Cuál de las siguientes alternativas muestra solo números irracionales? a. 0,5; π; 2 B. π ; π; 5 2 3π c. 7 ; ; 9 π 2 1 D. ( 20 ) ; – ; 11 π e. Ninguna de las anteriores.
B. I y II c. I y III D. II y III e. I, II y III
Evaluación
c.
a2 –1
D.
3a –1
e.
B.
–
c.
+
D.
*
e.
+
a + 1,2
D. 169 cm
a. Solo I
B. 37 cm
e.
481cm
B. Solo II
13 cm
c. Solo III
4 El valor 7 = 2, 64575… se aproxima por defecto, considerando cuatro cifras decimales. ¿Qué número representa 4 + 7? a. 2, 6457
D. 6, 6457
B. 2, 6458
e. 6, 6458
c. 4, 6457 5 Considerando π = 3,14159, ¿qué resultado se obtiene al redondear 3π a la décima? a. 3,1
D. 9,42
B. 9,3
e. 9,425
c. 9,4
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
. ¿A qué conjunto no puede
I. a, b II. (a + b) III. (a + b 2)
a. 13 cm c.
+
8 Dos números a y b son tales que a ℚ y b ℝ. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
2
3 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 25 cm y uno de sus catetos mide 12 cm. ¿Cuál es la medida del otro cateto?
82
7 Se sabe que a pertenecer a? a.
a. a2 – a B.
*
a. Solo I
2 Se sabe que a = 1, 6. ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde a un número irracional?
a 1+ 3
I. Si r ℚ ⇒ r II. ℤ=ℕ∪ {0} III.ℝ=ℚ∪ *
D. I y II e. II y III 9 Se sabe que 3 ≤ a ≤ 5 y 0 ≤ b ≤ 4. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)? I. 3 ≤ a + b ≤ 9 II. 0 ≤ a + b ≤ 20 III. 3 ≤ a + b ≤ 9 a. Solo I B. Solo III c. I y II D. I y III e. I, II, y III
1 10 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. El número π es irracional. II. Todo número decimal infinito es un número irracional. III. Todo número irracional se puede escribir como cociente entre números enteros. a. Solo I
D. II y III
B. Solo II
e. I y III
D.
B. 36
e. 12 3 +1
D. I y III
B. Solo II
e. I, II y III
c. 37 15 ¿Cuál es la longitud de la arista de un cubo cuyo volumen es (54u3) mm3?
1+ 5 , 2 1+ 5 2 2, π, , 7, 2 1+ 5 , 3, π, 2 2, 2 1+ 5 , 3, 7 , 2 2, 2 1+ 5 π, , 3, 2 2, 2 3, π,
a. 9 cm2
D. 9 3 cm2
B. 34 cm2
e. 27 3 cm2
c.
54cm2
17 ¿Por cuál(es) de las siguientes expresiones se puede amplificar la fracción 5 para racionalizarla? 3 9
equivalente(s) con
II. 3 81
III. 3 3
a. Solo I
D. II y III
B. I y II
e. I, II y III
18 ¿Qué valor de a satisface la igualdad 3
3
27 –
36 + xa = x ? 2
a. 0
7
B. 1 π
c. 2
7
D. –1 e. –2 19 ¿Qué expresión resulta al reducir 50 + 32 –
13 ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son)
B. Solo II
e. 3 2 u mm
c. I y III 7
Raíces
a I. x 3 x a. Solo I
54 u mm 3
cuyo radio mide 3 3 cm?
I. 3 9
12 ¿En cuál de los siguientes casos los números están ordenados de menor a mayor?
e.
D.
16 Considerando π = 3, ¿cuál es el área de un círculo
c. I y II
D.
36 +1
1 2 (ax) ?
II.
Evaluación
a. Solo I
c.
4
c. 18u mm
I. Existen infinitos números reales x tales que 2 < x < 3. II. Existen infinitos números racionales x tales que 2 < x < 3. III. Existe una cantidad finita de números irracionales x tales que 2 < x < 3.
B.
4
a. 7
B. 9u mm
11 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
a. 2 2,
3
14 Si a = 3 y x = 4 12 , ¿cuál es el valor de (ax2 + 1)?
a. 3u mm
c. Solo III
2
8 ? 2
a. 8 B. 8 2
a x
III. ax x
3
c. 10 2
D. II y III
D. 9 – 4
e. I, II y III
e. Ninguna de las anteriores.
c. I y II UNIDAD 1 • NÚMEROS
83
Evalúo mis aprendizajes 20 ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente con 27 + 48 ? 3 14 4 3
c. 2 3 3 2 e. Ninguna de las anteriores. D.
21 ¿Qué expresión se obtiene al racionalizar 2 5 ? 10 a. 2 D. 5 50 5
B.
e.
c. 2 50
50 10
Evaluación
22 ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente con
(
4
)
b 6 − 6 b12 ?
D. 11
B. 7
e. 13
26 ¿Qué expresión se obtiene al reducir la expresión loga m – loga n + loga p? pn a. loga m pm B. loga n p c. loga mn p D. loga m p e. loga n 27 Se sabe que logx a = 3. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa una expresión equivalente con logx(ax)3? a. 9 B. 3ª
a. b
D.
B. b2
b (b −1)
e. b b −b
2
c. b2 – b
D. 5 2 17 e. 6
a. 3 B. 4 c. 3 2
Logaritmos 24 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. La base de un logaritmo no puede ser negativa. II. Si a, b
+
y a log b.
III. Si x > y , entonces log x2 > log y2. 2
c. logx 3a D. logx x12 e. 3logx x
23 ¿Cuál es la solución de la ecuación 12 + 6x –1 = 4?
2
a. Solo I
D. I y III
B. Solo III
e. I, II y III
c. I y II 84
a. 4 c. 9
a. 1 B.
25 ¿Cuál es el valor de log10100 + log2 128 + log5 625?
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
28 Sea log 9 = 0,95424. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) correcta(s)? I. log 3 9 = 0,31808 II. log 900 = 2,95424 III. log 81 = 1,90848 a. Solo I
D. II y III
B. Solo II
e. I, II y III
c. I y II 29 Si log a3=p y log b=q, ¿cuál es el valor de log a ? b p q – 6p a. D. 3 3 B. p – 6q e. q + 6p 3 3 c. p + 6q 3
1 30 ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente con la expresión log 125 – log 45 ? 27 D. 2 log 5 – 5 log 3 a. 4 log 5 + log 3 B. 2 log 5 + log 3
e. 2 log 5 + 5 log 3
c. 4 log 5 – log 3 31 Si log 2 = a y log 3 = b, ¿qué alternativa representa log 0,06? a. 6a
D. a – b + 2
B. 2ab
e. a + b + 2
c. a + b –2 32 Si log x= 0,7186, ¿cuál es el valor de log x2? a. 0,71864
D. 2 log 0,7186
B. 4 • 0,7186
e. 4 log 0,7186
c. log 0,7186 33 ¿Cuál es el valor de x en la ecuación (a • b)x = c • d? I. log (c • d) – log (a • b) II. log (cd) log (ab) III. log cd ab
4
35 ¿Cuál es el valor de x en la ecuación log2 (x +1) = 2? a. 0
c. 2
B. 1
D. 3
e. 4
36 El número de habitantes —en millones— de cierta ciudad se puede calcular utilizando la expresión 2t 10 3
3
P(t) = 2 Si t representa el tiempo en años, ¿cuánto tiempo aproximado debe transcurrir para que la población de la ciudad sea de 200 millones de habitantes? a. 1 año
D. 4 años
B. 2 años
e. 5 años
c. 3 años 37 ¿Cuál es el valor de x? (1) 2 = log x (2) 100 logx x = x
c. Juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) o (2).
B. Solo II
e. II y III
c. Solo III 34 ¿Cuál es el valor de x en la ecuación log (x + 2) + log 3 = log 2? 8 D. – 3 4 e. – 3
e. Se requiere información adicional.
Evaluación
B. (2) por sí sola.
D. I y III
3 c. – 8
3
a. (1) por sí sola.
a. Solo I
a. 8 3 B. 3 8
2
38 ¿Cuál es el valor numérico de la expresión loga b • loga b? (1) x = a
(2) a = b
a. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. c. Juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) o (2). e. Se requiere información adicional.
Autoevaluació Autoevaluación Evalúa tu aprendizaje con el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las secciones correspondientes. Contenido
Mínimo sugerido
Puedes repasar en la…
Números reales
9 respuestas correctas
Sección 1
Raíces
8 respuestas correctas
Sección 2
Logaritmos
12 respuestas correctas
Sección 3
UNIDAD 1 • NÚMEROS
85
unidad
Geometría
Ideas previas Julian Beever es un artista británico cuya especialidad son los dibujos que crean ilusión 3D. Para ello utiliza una técnica llamada anamorfosis, con resultados verdaderamente impresionantes. Beever utiliza la naturaleza del lugar en el que realiza su obra y utiliza el punto de vista del observador, de manera que una misma pintura del artista parece tener volumen desde un lugar, pero luce deforme si se la mira desde otro.
Palabras clave
86
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
Ü Semejanza
Ü Teorema
Ü Criterios
Ü Circunferencia
Ü Proporcionalidad
Ü Ángulos
Ü Escala
Ü Segmento
1
2
3
4
UNIDAD 2 • GEOMETRÍA
87
Sección 1
Semejanza de figuras planas ¿Qué aprenderás?
¿Dónde?
Es importante porque te permitirá…
A identificar y caracterizar polígonos semejantes en diversos contextos.
Lección 13
comprender el concepto de semejanza.
A comprender y aplicar los criterios de semejanza de triángulos.
Lección 14
analizar la semejanza de triángulos sin necesidad de conocer todas sus medidas.
A analizar y construir homotecias.
Lección 15
aplicar los criterios de semejanza a la homotecia de figuras planas.
Explorando tus ideas previas
Actividad
§ ¿Qué te sugieren los siguientes términos? Ü
Razón
Ü
Proporcional
Ü
Ángulos congruentes
Ü
Semejante
§ En una pintura, los objetos más lejanos aparecen más pequeños. ¿Conoces otra forma de dar “profundidad” a un dibujo? Explícala.
De esto se trata… Muchas veces un cuadro es una representación de una escena real. ¿Has visto cómo, en las pinturas de paisajes, cada detalle de la obra se ve en armonía en su tamaño respecto al resto de los objetos que aparecen? Para pintar un cuadro, algunos artistas utilizan una técnica para medir los objetos que irán en él. Esta consiste en tomar un pincel con el brazo estirado, y con un ojo cerrado hacer coincidir uno de sus extremos con el extremo del objeto, y ubicar luego su dedo pulgar sobre el pincel coincidiendo con el otro extremo (ver imagen). Esta técnica permite al pintor tener una misma referencia para el tamaño de los objetos en la pintura, y así poderlos representar de manera adecuada sin que se distorsione en el cuadro.
Actividad grupal Discute con tus compañeros.
➊
¿Qué significa que una pintura sea proporcional a la escena real? ¿Qué relación existe entre las medidas de cada objeto de la pintura con las reales?
➋
¿En qué otras situaciones se representa un objeto, con distinto tamaño pero sin distorsionar sus medidas?
➌
¿Conoces alguna otra técnica para dibujar en un papel un objeto, respetando la relación entre sus dimensiones originales? Explica cuáles.
Propósito: que puedas analizar la semejanza de figuras en diversos contextos, a partir de los criterios utilizados en los triángulos. 88
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1
2
3
4
¿Qué debes saber? Realiza las siguientes actividades. Plantear razones y resolver ecuaciones con proporciones
5 Calcula el perímetro de las siguientes figuras. a.
1 Calcula el valor de las siguientes razones. a. 1 : 2
c. 9 : 5
b. 8 : 4
d. 7 : 3
3,6 m
2m 2m
2m
1,5 m
2 Divide los siguientes números en cantidades que se encuentren en las razones dadas.
b. 1 cm
2m
a. 24, en razón 1 : 3
1 cm
b. 35, en razón 2 : 5
1 cm
c. 24, en razón 1 : 3 : 8
1 cm 1 cm
1 cm
3 Calcula el valor de x en las siguientes proporciones. d. 2x = 8 9 4 e. 12 : 6 = 3 : x
Identificar y aplicar congruencia de figuras planas
6 En cada caso determina si los triángulos nombrados son congruentes. Indica el criterio que te permite determinarlo.
f. x + 2 : 10 = 30 : 15
Z
a.
F
El ∆DEF y el ∆YZX 72º Y
Calcular medidas de ángulos y segmentos en polígonos
4 Calcula en cada caso el valor de x con los datos que se indican. a.
c.
x
D 70º
b. x
E O
X
El ∆MPO y el ∆NPO
3x
56º M
b.
1 cm 2 cm
Actividad
a. x = 6 3 2 b. 5 : x = 10 : 4 c. 8 = x 4 7
1 cm
3,6 m
x
P
N
7 Se sabe que ∆ABC ≅ ∆QRP. Además, el perímetro del triángulo ABC es de 28 cm, AC = 10 cm y RP = 12 cm. Calcula la medida de QR. 45º
45º
Autoevaluació Autoevaluación En la tabla que te entregará tu profesor(a), evalúa el nivel de dominio alcanzado. Luego, repasa en los sitios web que se indican si fuera necesario.
Repasa en los siguientes sitios web…. http://goo.gl/gV8fX
Razones y ecuaciones con proporciones.
http://goo.gl/mEY8i
Cálculo de medidas de ángulos y segmentos en polígonos.
http://goo.gl/UGKV3
Congruencia de figuras planas.
UNIDAD 2 • GEOMETRÍA
89
Lección
13
Propósito: Identificar y caracterizar polígonos semejantes en diversos contextos.
Semejanza y figuras a escala
Debes saber… § Una razón es una compa-
Semejanza
ración entre dos cantidades a y b, se escribe a o
Taller
a : b y se lee “a es a b”.
En parejas, lean y realicen las siguientes actividades.
b
§ La igualdad de dos o más
razones es una proporción. Además se cumple que: a c == b d
b•c a•a•d== •c
Algunas banderas de los países del mundo no son rectangulares: la bandera de Suiza es cuadrada y la de Nepal tiene una forma muy particular, que representa los montes Himalayas. La bandera de Nepal se construye sobre un género con la siguiente forma. E
§ Dos ángulos son con-
gruentes cuando tienen igual medida. § Dos pares de segmentos
C
de medidas a, b, c y d son proporcionales si existe alguna constante r tal que: c a = r y = r. d b
Nepal es un país muy pequeño ubicado en Asia, pero muy visitado pues en él se ubican las montañas más altas del mundo, entre ellas el Everest.
D
B
A
1 Recorten –cada uno– una bandera de Nepal sobre una hoja de manera que su lado inferior (AB) mida 12 cm. a) ¿Les quedaron iguales las banderas? Si no, ¿en qué se diferencian? b) Comparen sus banderas con las de otros compañeros. ¿Cuáles son las diferencias? 2 Las instrucciones para construir la bandera de Nepal se encuentran en el artículo 5 de su Constitución política, donde se describe paso a paso cómo hacerlo. a) ¿Qué datos creen que son necesarios para construir una bandera como esta? ¿Cuáles solicitarían ustedes? Justifiquen. b) Si alguien dice que la bandera está “mal construida”, ¿en qué aspectos se fijarían para determinarlo? Justifiquen. 3 Las instrucciones indicadas en la Constitución son las siguientes: x
3x
3x
3x
90
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1
2
3
4
a) Construyan, cada uno, una bandera con estas instrucciones y distintos valores de x. b) ¿Qué tienen en común las banderas construidas? ¿En qué se diferencian? c) Imaginen que deben darle instrucciones a alguien para que construya la bandera, pero por teléfono. ¿Cómo lo harían? 4 Supongan que tienen dos banderas, y una de ellas es tres veces el tamaño de la otra. Si el perímetro de la más grande es 48 cm, ¿cuál es el perímetro de la más chica? Justifiquen. Las banderas que construyeron no son todas iguales entre sí, ya que pueden tener distintas medidas, pero sí podemos observar que hay una forma que se mantiene, y nos permite decir si está bien construida o no. Esta forma tiene que ver con los ángulos involucrados y la relación que existe entre las medidas de los lados; por ejemplo, el alto de la bandera siempre debe ser igual a 4 de la medida del largo. 3 En general, decimos que dos figuras planas son semejantes (se denota con el símbolo ~) si tienen la misma forma, (por lo tanto, si sus ángulos son respectivamente congruentes) y cada par de lados correspondientes (llamados homólogos) son proporcionales. La razón entre las medidas de un par de lados correspondientes se llama razón de semejanza (r). Por ejemplo, considerando dos banderas, tenemos que: E T
C
A
D
B
R
P
S
Q
ABCDE ~ PQRST Se cumple que: ∢BAE ≅ ∢QPT ∢CBA ≅ ∢RQP ∢DCB ≅ ∢SRQ ∢EDC ≅ ∢TSR ∢AED ≅ ∢PTS AB BC CD DE = = = =r PQ QR RS ST
Ayuda Cuando escribimos la congruencia o la semejanza de las figuras es conveniente respetar el orden de los vértices al señalarla, es decir, que el orden utilizado para la segunda figura corresponda con el de la primera.
Siendo r un número real, distinto de cero. Observa que, en este caso, AB > PQ, por AB lo que = r es un número mayor que 1. Según sus valores, podemos decir que: PQ Si r > 1, ABCDE es una ampliación de PQRST. Si r < 1, ABCDE es una reducción de PQRST. Si r = 1, ABCDE es congruente con PQRST.
UNIDAD 2 • GEOMETRÍA
91
Lección
13 Escala Una importante aplicación de la semejanza son las figuras a escala, que se utiliza en la confección de mapas y planos. El siguiente ejemplo muestra el sector del Barrio Bellavista, ubicado en la comuna de Providencia en Santiago, en él se observan algunas de sus calles y lugares de interés turístico. Paso 1
Se analiza la escala del mapa, en este caso, 1 : 7 000. Esto significa que cada centímetro del mapa representa 7 000 centímetros de la realidad (o 0,07 kilómetros).
Paso 2
¿Cuál es, en la realidad, la distancia en kilómetros entre los puntos A y B? Para calcularlo, consideramos la distancia en centímetros entre estos lugares en el plano, y la multiplicamos por 0,07. 6 1 = = 6 • 0,07 = 0,42 0,07 x Por lo tanto, su distancia es de 0,42 km.
Paso 3
Dos ciudades distan en la realidad 8 km. ¿A qué distancia en centímetros deben ubicarse en este mapa? Para calcularlo, dividimos su distancia en kilómetros por 0,07; para obtener la distancia en centímetros en el plano. x 1 = = 8 : 0,07 ≈ 114,29 0,07 8 Por lo tanto, deben ubicarse a 114,29 centímetros en el mapa.
Razona
y comenta
§ ¿Cuál es la relación en-
§
§
92
tre el largo y el ancho de la bandera de Chile? ¿Qué relación existe entre el cuadrado azul y la estrella? Investiga. ¿Qué similitudes tienen la congruencia y la semejanza? ¿Qué diferencias? Justifica. Si una imagen dice “escala 300 000 : 1, ¿qué significa? ¿En qué casos se podría utilizar una escala así?
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
En resumen Dos figuras son semejantes si todos sus ángulos correspondientes son congruentes y las medidas de sus lados correspondientes (homólogos) son proporcionales. α=α'; β=β'; γ= γ' AB BC CA = = = r , donde r se llama razón DE EF FD de semejanza. Entonces ∆ ABC ~ ∆ DEF Cuando representamos una figura en un plano, construimos una figura semejante a la original, es decir a escala.
1
c) 8 4 6 d) b) 2 : 3 5 2. Calcula el valor de x en cada proporción. a) 1 : 4
∢BAD ≅ ∢POR; ∢CBA ≅ ∢QPO; ∢DCB ≅ ∢RQP; ∢CDA ≅ ∢ORQ
5. Para cada par de polígonos semejantes identifica los ángulos y lados correspondientes, el valor de la razón y escribe la semejanza considerando la correspondencia entre los vértices. Guíate por el ejemplo.
c) 12 = 9 x 21 d) x = 41 19 35
E
C
1,2cm
72º
52º
3. Calcula el área y perímetro de la siguiente figura. 5 cm
56º
3 cm
4. Identifica todos los pares de figuras semejantes. Guíate por el ejemplo.
W
D
68º 56º
2m
7m
79º C
4m
101º T
125º
B
100 cm
101º
100 cm C
101º
3 cm
50 cm
3m
3 cm
Q
3,5 m
2 cm
13 cm 56º
S
5m Q
R
37º
Q
T
135º P
3 2 cm
3 2 cm
135º
P
56º
cm
6m
63º
c)
Q 79º
K
M
O
3
1m
3,5 m
2m P 135º
8
E 63º 1,2 m 0,7 m 117º 45º G H 1,4 m 7m N 45º O 117º
50 cm
G 2m
D
R
cm
37º
4 cm F 135º
F
3 2 cm
45º
b)
H 68º
31º
45º
10 3
O
U
2 cm
53º
5 cm
3 cm
E
4 cm
34º
S
2 2m
135º B
2 cm
R
P
1m
1m
5 cm
J
a)
2m
V 101º
56º
0,8 cm
53º
6m
3 cm
72º
F
∢BAC ≅ ∢EDF ∢CBA ≅ ∢FED ∢ACB ≅ ∢DFE AB correspondiente con DE BC correspondiente con EF AC correspondiente con DF Razón = 1,2 ∆ABC ~ ∆DEF
Práctica guiada
L
1,2 cm 1,44 cm
A 2 cm
24º
1 cm
0.96 cm
2 cm
A
B
52º
8 cm 4 cm
4 Practiquemos lo aprendido
1. Calcula en cada caso el valor de la razón.
A
3
Ejemplo: El cuadrilátero ABCD es semejante con el AB BC CD DA cuadrilátero OPQR, pues = = = =2 OP PQ QR RO y además
Repaso
a) 3 = 12 5 x b) 25 = x 65 13
2
R
X 6 cm
6 2 cm
2 cm W 45º 135º
Z
2 2 Y
45º
2 2
O
UNIDAD 2 • GEOMETRÍA
93
Practiquemos lo aprendido
6. Resuelve los siguientes problemas. Guíate por el
b) Rombos semejantes en los cuales AD = 9 m y C'D' = 6 m.
ejemplo.
A′
El plano de una casa está diseñado con una escala de 1 : 200, y en él, uno de los dormitorios mide 1,8 cm de largo por 1,5 cm de ancho. ¿Cuáles son las medidas reales del dormitorio? Paso 1
Paso 2
El plano de la casa es una reducción de la realidad, por lo que las medidas en él deben multiplicarse por 200.
D C
A
D′
B′
B C′
9. Identifica en qué casos puede afirmarse que las figuras son semejantes. En caso que lo sean calcula el valor de la razón (r).
Se calculan las medidas. 1,8 • 200 = 360 cm
a) Figura original: ABCDEF.
1,5 • 200 = 300 cm
Hexágono regular de lado
Las medidas reales del dormitorio son 360 cm de largo y 300 cm de ancho.
2a cm. 3
Hexágono regular de lado E′
E
a) El modelo a escala de un vehículo mide 3,8 cm de largo y fue diseñado utilizando una escala de 1: 100 ¿Cuál es la medida real?
D′
D
F
F′
C A
b) La torre Eiffel (París, Francia) tiene una altura aproximada de 325 m. Si se construye una maqueta de esta estructura con una escala de 1: 25, ¿cuál sería la altura?
5a4 cm. 9
B
C′
A′
B′
b) Figura original: ABCD. Rombo de lado 0,6 cm.
Rombo de lado 12 cm. D′
c) Si en un mapa confeccionado con una escala de 1: 5 000 000 una ciudad dista 12 cm de otra, ¿cuál es la distancia real entre ambas ciudades?
D A
A′
C
C′
B B′
Aplica 7. Se sabe que ∆ABC ~ ∆OPQ, relación escrita considerando el orden de los vértices. Determina cuál(es) de las siguientes proporciones se cumple(n) siempre. a) CB = AC QP OQ b) CB = QP OQ AC
c) AB = OP BC PQ d) PQ = BA OQ AC
c) Figura original: ABCD. 10 cm
D
C D′
8 cm
5 cm
C′
8 cm 4 cm
4 cm A
B
6 cm
A′ 3 cm B′
8. Calcula la razón de semejanza en cada caso. d) Figura original: ABC.
a) Trapecios rectángulos semejantes. 7 cm
D 3 cm A
C 5 cm
3 cm
Triángulo equilátero de lado (a – b) m.
14 cm
D′
C
C′
B 6 cm
10 cm A
A′
94
Triángulo equilátero de lado (a2 – b2) m. C′
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
6 cm
B′
B
A′
B′
1
2
3
4
10. Una fotografía cuyos lados medían 6 y 15 cm respectivamente se reduce de tal forma que un objeto que en ella medía 3 cm de largo, ahora mide 2 cm. ¿Cuáles son las nuevas medidas de los lados de la fotografía?
son siempre semejantes entre sí. Si no lo son, justifica dando un contraejemplo. a) Los triángulos equiláteros. b) Los rectángulos. c) Los triángulos rectángulos. d) Los cuadrados. e) Los triángulos isósceles.
Practiquemos lo aprendido
13. Analiza en cada caso si los polígonos nombrados
Resuelve los siguientes problemas.
f) Los heptágonos. g) Los pentágonos regulares.
11. A partir de una imagen rectangular de 16 x 12 cm se realizan diversas reducciones o ampliaciones. a) ¿Cuál es el perímetro de la nueva imagen si la figura es ampliada en la razón 2 : 5? b) ¿Cuál es el área de la nueva imagen si la figura es reducida en la razón 4 : 3? c) Si la figura reduce sus dimensiones a 8 x 6 cm, ¿cuál es la razón de su ampliación? d) Si la figura aumenta sus dimensiones a 20 x 15 cm, ¿cuál es la razón de su ampliación?
12. Analiza la información de la imagen. Luego, resuelve: En el plano se muestra el ensamble de tres piezas metálicas. Sus medidas corresponden a las longitudes en centímetros con que fueron dibujadas. Si la escala utilizada fue 1 : 250, completa el dibujo con las medidas reales de la pieza. Plano
h) Los triángulos isósceles rectángulos.
14. Desafío: Que un polígono sea semejante a otro quiere decir que sus lados correspondientes son proporcionales y sus ángulos correspondientes congruentes. Piensa en la circunferencia y responde justificando cada respuesta. a) ¿Es un polígono? ¿Por qué? b) ¿Podemos comparar la medida de los lados y ángulos de una circunferencia con otra? Si es así, ¿cómo? c) ¿Todas tienen igual tamaño? ¿Todas tienen la misma forma? Explica. d) ¿Son semejantes todas las circunferencias entre sí? ¿Por qué?
15. Desafío: Observa las siguientes manchas de pintura verde.
7,5 22,5 30
37,5 7,5 7,5
¿Son semejantes entre sí? Justifica.
16. Desafío: Utiliza una técnica Pieza real
apropiada para ampliar la figura en la escala 2 : 3.
Reflexiona § Cuando decimos que un ser humano es “mi semejante”, ¿en qué se parece el sentido que le damos a esta palabra con el que se le da en matemáticas? Discute con tus compañeros. UNIDAD 2 • GEOMETRÍA
95
Lección
14
Propósito: Identificar y aplicar los criterios de semejanza de triángulos.
Debes saber… § Dos triángulos son
congruentes si tienen sus ángulos y sus lados correspondientes de igual medida. § Los criterios de
congruencia de los triángulos son: lado – lado – lado (LLL); lado – ángulo – lado (LAL); ángulo – lado – ángulo (ALA) y lado – lado – ángulo (LLA).
Criterios de semejanza de triángulos Taller En grupos de tres personas lean y realicen las siguientes actividades. El triángulo es el polígono con menor cantidad de lados que existe, por lo que resulta conveniente analizar a partir de él la semejanza entre las figuras planas. En particular, nos interesará saber cuál es la cantidad mínima de datos que debemos tener para afirmar que dos triángulos son semejantes entre sí. 1 Dibujen un triángulo ABC cualquiera y midan dos de sus ángulos, α y β. Con estas medidas construyan otro triángulo A’B’C’. C C′
§ La suma de las medidas
de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.
Ayuda Representamos el segmento de extremos A y B como AB (podemos escribir también segmento AB). AB representa la medida del segmento. ACB representa al ángulo formado por los rayos CA y CB. Su medida se representa como m(ACB).
α
α
β
A
β
A′
B
B′
a) Sean γ el tercer ángulo del triángulo ABC y γ' el tercer ángulo del triángulo A’B’C’. ¿Debe cumplirse que γ = γ'? Justifiquen por qué. b) Midan los lados del triángulo ABC y los de A’B’C’, y analicen las siguientes razones. AB AC BC A′B′ A′C′ B′C′ c) ¿Pueden concluir que ∆ABC ~ ∆A’B’C’, sabiendo que tienen dos pares de ángulos correspondientes congruentes? Justifiquen. 2 Dibujen un triángulo ABC cualquiera y midan sus lados. Luego, construyan dos triángulos PQR y XYZ, de manera que cada lado de PQR mida el doble de los lados de ABC, y cada lado de XYZ mida el triple de los lados de ABC. a) Midan los ángulos de los tres triángulos. ¿Son congruentes? b) ¿Se puede concluir que ∆ABC ~ ∆PQR ~ ∆XYZ, si se sabe que la medida de sus lados son proporcionales? Justifiquen.
Ayuda Pueden utilizar un procesador geométrico para realizar estas construcciones.
3 Dibujen un ángulo α como el de la figura, y sobre sus rayos ubiquen los puntos B y C (donde quieran) para construir el triángulo ABC. C
A
α B
a) Midan los segmentos AB y AC. Sobre el mismo ángulo α, construyan los triángulos APQ y AXY, de manera que AP = 3AB AQ = 3AC AX = 4AB
96
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
AY = 4AC
1
2
3
4
b) Midan los segmentos PQ y XY, y compárenlos con la medida de BC. c) Midan los ángulos faltantes de los triángulos ABC, APQ y AXY. ¿Qué relación encuentran entre ellos? d) ¿Pueden concluir que ∆ABC ~ ∆APQ, si saben que tienen en común el ángulo α y además los lados AB y AC proporcionales con AP y AQ? Justifiquen. e) Del mismo modo ¿Pueden concluir que ∆ABC~ ∆AXY? Justifiquen. Al igual que ocurre con la congruencia, para afirmar que dos triángulos son semejantes entre sí nos basta conocer la relación entre algunos de sus elementos, que podemos resumir en los criterios de semejanza de triángulos; se llama de esta manera, a un conjunto mínimo de condiciones tales que, si se cumplen, tendremos la seguridad de que los triángulos son semejantes. Esos criterios son: Criterio ángulo – ángulo (AA): dos triángulos son semejantes si tienen dos pares de ángulos correspondientes congruentes. C β′
C′ β
α
A
B′
α = α' entonces, ∆ABC ~ ∆A'B'C' β = β'
α′ A′
B
Criterio lado – lado – lado (LLL): dos triángulos son semejantes si tienen tres pares de lados correspondientes proporcionales. B′
C C′
A
AB BC AC = = A'B' B'C' A'C'
B
entonces, ∆ABC ~ ∆A'B'C'
A′
Criterio lado – ángulo – lado (LAL): dos triángulos son semejantes si tienen dos pares de lados correspondientes proporcionales y los ángulos comprendidos por dichos lados congruentes.
C′
A
α
α′ B
y comenta
§ Considera los siguientes cuadriláteros:
B′
C
Razona
AB AC = A'B' A'C' entonces, ∆ABC ~ ∆A'B'C' α = α'
D δ γ C
A α
A′
β S
1,2 • CD
1,2 • AD
En resumen Para determinar la semejanza de dos triángulos, existen tres criterios: • Criterio ángulo – ángulo (AA) • Criterio lado – lado – lado (LLL) • Criterio lado – ángulo – lado (LAL)
B
γ R 1,2 • BC
P α 1,2 • AB
Q
§ ¿Son semejantes entre sí? Traza una diagonal en ambos para justificar tu respuesta.
UNIDAD 2 • GEOMETRÍA
97
Practiquemos lo aprendido
Repaso 1. Identifica cuáles de los siguientes pares de
Paso 2
Se aplican las propiedades de proporciones para calcular el valor de x.
triángulos son congruentes entre sí. Indica en cada caso el criterio utilizado para afirmarlo. a)
B
3
D
E
12 = 3x → a) D
12 =x→4=x 3
12 cm
4 cm
D′
E
E′ 3,5 cm
6 cm 4,2
4,5
4,5
4,2
10,5 cm
x
F′ F
A
b)
F
C
3
b)
M 117º
K I
6 cm
60º 10
y
45º
L 60º
10
G
K
Estable la relación de semejanza para cada par. Guíate por el ejemplo.
de los siguientes segmentos.
C 45º
B
E
D
72º
D
F H J
45º
a) AB : CD
d) EF : (AB + GH)
b) IJ : EF
e) GH : IJ
c) CD : GH
f) (IJ + CD) : AB
F A
72º
B
BAC ≅ EDF ACB ≅ DFE
Práctica guiada 3. Calcula el valor de la incógnita en los siguientes triángulos semejantes. Semejanza por LAL.
Por lo tanto, ∆ABC ~ ∆DEF. a)
N
A′ G
A x
Paso 1
98
33º
7
2 B
C
B′
6
O
C′
Se establece la proporción 6 = x , que 3 2 permite calcular la incógnita.
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
30
10
H 3
H 45º 3 cm
4. Los siguientes triángulos son semejantes entre sí.
J
2. Determina las razones pedidas entre las medidas A C E G I
117º I
G
L
H
7 cm
21
I 33º
M
1
3
4
ΔABC ~ ΔA′B′C′.
J
X
xm 3 6,32
A
3,16
z
38º
6 K
Y
L
2,5
72 cm
1,26 m
C′
k
A′ w
0,7 m
60 cm
y cm B′
53º
Z
5
C
B
Aplica
8. Comprueba que si dos triángulos son semejantes, la razón de sus perímetros coincide con la razón de semejanza.
5. Identifica, entre los siguientes triángulos, tres pares de ellos que sean semejantes entre sí. Escribe el criterio aplicado. 18 D
35º
92º
A 5 C
2
N
10. Utiliza criterios de semejanza de triángulos
Q
18
53º
4
8
K
35º
3
L
10 6
G
existe entre la razón de semejanza y la razón de sus áreas? Experimenta con diversos ejemplos y formula una conclusión.
92º I
E
9. En dos triángulos semejantes ¿Qué relación 53º Ñ
J
5
9
4
M
F
P 10
O
H
Practiquemos lo aprendido
7. Calcula el valor de cada incógnita si se sabe que
b)
B
2
6. Analiza cada figura e identifica en ella los triángulos
para demostrar que las siguientes figuras son semejantes entre sí. Traza diagonales para descomponerlas en triángulos. a)
D
que son semejantes. Indica el criterio aplicado.
4
C
117º
C
a)
H
4
2
G
117º
2 A
B
D
b) MN = 4 cm, NÑ = 6 cm, ÑO = 7,5 cm, PO = 3 cm, MP = 2 cm. O
117º
A
1,25
D M 5
Ñ
c) MJ = 5 cm, JL = 3 cm, JK = 3,6 cm, NJ = 6 cm. E N O
J
67º
Ñ
35º
35º
F
I
b)
P
N
117º
E
B
8
5
67º
1,25 H
2 C
F
G
9
J
M
L K
A
B
Reflexiona § ¿Cómo definirías lo que es un criterio? Explícalo con tus palabras. § ¿Qué semejanzas ves entre los criterios de semejanza y los criterios de congruencia de triángulos? ¿Qué diferencias. Comparte tus conclusiones con tus compañeros.
UNIDAD 2 • GEOMETRÍA
99
Propósito: Analizar y construir homotecias.
Lección
15
Homotecia y semejanza La Luna es mucho más pequeña que el Sol, pero cuando hay un eclipse solar total parece cubrirlo completamente. Lo que ocurre es que desde la Tierra parecen ser del mismo tamaño, o como se dice en geometría, desde la Tierra son figuras homotéticas.
Analizaremos como construirlas con ayuda del procesador geométrico GeoGebra, al cual puedes acceder gratuitamente desde la dirección http://www.geogebra.org Paso 1 Co n l a h e r r a m i e n t a , Paso 3 Con la herramienta , Recta Polígono, construye un polígono a tu por dos puntos, traza dos rectas distintas elección. Luego, con la herramienta , que pasen por el centro de homotecia y Nuevo Punto, ubica un punto cualquiera por un vértice del polígono original. en el plano.
Este punto se llama centro de homotecia. Paso 2 Haz clic sobre el botón , Paso 4 Forma los triángulos ACD y A’C’D’. Refleja objeto en recta, y selecciona , Distancia o Lonel último botón de la lista desplegable, Con la herramienta gitud, mide los lados de estos triángulos. Homotecia desde un punto por un Factor de Escala. Luego haz clic sobre el polígono, sobre el punto y finalmente ingresa el número 2 en la ventana que se desplegará. Luego presiona OK.
100
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1
2
3
4
Realiza las siguientes actividades: 1 En la ventana lateral de GeoGebra se muestran las medidas de los lados de cada polígono. ¿Qué relación observas entre ellas, y el número ingresado en el paso 2? 2 Con la herramienta , Elige y Mueve, haz clic sobre el centro de homotecia y, sin soltarlo, muévelo por la ventana. ¿Qué cambios observas? ¿Qué se mantiene?
Observa que…
3 ¿Son semejantes los polígonos homotéticos? Justifica. 4 Construye dos homotecias más, con Factor de escala –3 y 0,5 (debes agregarlo con punto en la ventana del paso 2). Analiza las figuras resultantes. ¿Qué observas? En general, dado un segmento AB, un punto C y un número real k ≠ 0, podemos construir una homotecia A’B’ de AB con centro en C y razón de homotecia k como se muestra en la figura k• CB' = B
B′
CB
Se cumple que: CA' CB' A'B' =k = = AB CA CB
C
Además, AB // A'B'
CA' = A k • CA
A′
Lo anterior puede aplicarse para polígonos con distintos valores de k, obteniendo figuras semejantes con lados correspondientes paralelos. Pueden darse los siguientes casos. C′ Figura original Contracción k = 0,75 < 1
Contracción k = –0,6 > –1 |–0,6| < 1
C′′
En resumen
C
Dilatación k = 1,5 > 1
A′ A B
O
A′′ Dilatación k = -1,2 1
En GeoGebra se utiliza el término “Factor de escala” para referirse a la razón de homotecia.
B′
Centro de Homotecia
B′′
Homotecias Inversas (k0)
Una homotecia es una transformación geométrica que permite construir una figura semejante a la original, con lados paralelos a esta. Dado un punto (O) y un número real k (distinto de 0), se define una homotecia de centro O y razón de homotecia (k) como la transformación que hace corresponder un punto A en otro punto A', tal que A, A' y O están alineados y OA' = k. OA • Si k > 0 la homotecia es directa, la figura original y resultante están al mismo lado del centro. • Si k < 0 la homotecia es inversa, la figura original y resultante están en lados opuestos al centro.
Observa que… A diferencia de la razón de semejanza r, la razón de homotecia k admite valores negativos, correspondientes a las homotecias inversas.
Observa que… La razón de homotecia (k) es igual a la razón de semejanza entre la figura homotética y la original.
Razona
y comenta
§ ¿Existe una homotecia §
§
de razón 1? ¿A qué transformación isométrica equivale una homotecia de razón –1? Justifica. Dadas dos figuras homotéticas, ¿cómo puedes determinar su centro de homotecia? Explica.
UNIDAD 2 • GEOMETRÍA
101
Practiquemos lo aprendido
Repaso
La razón de homotecia es 1, por lo que 2 los segmentos OM′, ON′ y OP′ deben medir la mitad de los segmentos OM, ON y OP, respectivamente.
Paso 2
1. Calcula en cada caso la razón de semejanza entre la figura B y la figura A. a) B
Figura A
4,5
D
E
Se ubican, por lo tanto, los puntos M′, N′ y P′ en la mitad de los segmentos OM, ON y OP.
2 3 A
C
3 Figura B
F
b)
Figura B 1
H Figura A 0,5
D
N N O
G
M M
1
C
0,5
1
a) k =
0,5
A
E
B
0,5
F
1
c)
1 3 X
5
Figura A D 3 3
A
b) k = 2
H
S
5
5
3 B
3
Y
5
J C
3
Z O
I
E
F
5 Figura B
G
Q
c) k = –3 B
2. Aplica en cada caso la homotecia correspondiente según el centro de homotecia (O) y la razón de homotecia (k). Guíate por el ejemplo. d) k= – P
k=
O
C
A
N O
O
R
P
Práctica guiada
1 2
M
Paso 1
P
P
1 2
D
A
D
B
C
O
Se trazan las rectas OM, ON y OP, y se miden los segmentos OM, ON y OP. N
Aplica 3. Asocia a cada figura la razón de homotecia que le corresponde respecto de la figura original ABCD.
P O O 1,5
M 1,5
102
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1
B
1 A
1 C D
1
a)
Figura imagen
B′
4
C′
B
C
Figura original A
b)
1 1,5
C′
3
O 1
B′ A
Figura imagen
3
motecia de razón 2. ¿Cuál es el área y el perímetro del nuevo cuadrado?
A′
Figura original
b) A un triángulo equilátero de perímetro 24 cm se le aplica una homotecia de razón 1 . ¿Cuál es el 3 perímetro del nuevo triángulo?
d) A un cuadrado de lado 4 cm se le aplica una ho-
A′ C
4
c) A un triángulo rectángulo de catetos 8 cm y 10 cm se le aplica una homotecia de razón1 1. ¿Cuál es el 32 área y el perímetro del nuevo triángulo?
3
2
4
3
Practiquemos lo aprendido
4. Determina en cada caso la razón de homotecia.
2
B
e) Dibuja un triángulo rectángulo de área 12 cm² y luego aplica sobre él una homotecia de razón 3 con centro de homotecia en el vértice de su ángulo recto. ¿Cuál es la suma de los perímetros de ambos triángulos?
6. Conexiones: el pantógrafo es un instrumento
c) Figura original
que permite ampliar y reducir figuras planas mecánicamente, y aún es utilizado por personas que se dedican al grabado de joyas y medallas.
B
C
A′ 3
D O
D′ 1
6
B′
C′ Figura imagen
A
d) Figura original
M′ N′ 0,6 0,9 0,5 O P′ Q′ 1
4,5
M
b) ¿Qué parte del pantógrafo corresponde al centro de homotecia?
7. Desafío: determina en cada caso el centro de
5
Q
a) Investiga respecto del funcionamiento del pantógrafo.
homotecia (O) y calcula la razón de homotecia (k).
P 2,5
Figura imagen
B′
N
3
D C′ E
E′ C
D′
5. Resuelve los siguientes problemas. a) Se tiene un rectángulo de lados 3 cm y 4 cm sobre el que se aplica una homotecia de razón1 1 cuyo 32 centro es el punto de intersección de sus diagonales. ¿Cuál es la distancia entre el centro de homotecia y los vértices del nuevo rectángulo?
A′
a) Figura imagen
B Figura original
b) A
A′
A Figura imagen
B
C′
B′ Figura original
C
Reflexiona § Un proyector (como el de un cine), ¿construye una homotecia? ¿Con qué centro y razón? Investiga y discute con tus compañeros.
UNIDAD 2 • GEOMETRÍA
103
Resolución de problemas Analiza la resolución del siguiente problema. Para una construcción se instalan dos pilares de manera perpendicular al suelo, separados a 18 m entre sí. La altura de uno de ellos es de 1,5 m, mientras que la del otro es de 3 m. En el extremo superior de uno de ellos se ata una lienza, la que a su vez es fijada en el suelo en un punto que se ubica en la misma línea de los postes. Luego, la lienza se ata al extremo superior del otro poste. Si los ángulos que forman los pilares con la lienza son iguales, ¿a qué distancia de los pilares se fijó la lienza al suelo? Paso 1 Comprende el enunciado ¿Qué datos son necesarios para resolver la pregunta? La altura de los pilares (1,5 m y 3 m), la distancia entre ellos (18 m), y se sabe que la lienza forma ángulos congruentes con los pilares. Paso 2 Planifica lo que vas a realizar Realizaremos un dibujo que represente la situación. Seguidamente se utiliza la semejanza de triángulos para determinar proporciones que permitan calcular los valores desconocidos y responder la pregunta. Paso 3 Resuelve el problema Realiza el dibujo. Ya que la distancia entre los dos postes es de 18 m, se tiene la relación BC = 18 – AB Dado que los ángulos de inclinación de la lienza con los pilares son congruentes, y además, el ángulo entre cada pilar con el suelo es de 90° los triángulos ABC y CDB son semejantes por el criterio AA. Por lo tanto, se verifica la relación AB = EA . RemplaBC CD zando los valores, se tiene: AB EA = BC CD 1,5 AB = 18 – AB 3 3AB = 1,5(18 – AB)
D
E
3m
1,5 m A
B
C 18 m
3AB = 27 –1,5AB 4,5AB = 27 27 =6 AB = 4,5 Es decir, el pilar de 1,5 m de altura se encuentra a 6 m del punto fijo en el suelo, mientras que el pilar de 3 m se encuentra a 12 m de él. Paso 4 Revisa la solución Para verificar que la respuesta es correcta puedes dibujar la situación a escala. Verifica que si el punto se ubica a 6 metros del menor de los postes, se forman triángulos semejantes.
Podrás aplicar lo aprendido aquí en los problemas que se presentan en la página 106.
104
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
Para no cometer errores
1
Analiza la situación
2
3
4
Aprende la forma correcta
Martina está confeccionando un distintivo que utilizarán en su curso durante un encuentro regional. Para ello realizó la siguiente plantilla: 3 cm
3 cm
5 cm
Cuando lo mostró a su curso le pidieron hacerlo un poco más grande, de manera que el lado del pentágono midiera 6 cm. Martina lo hizo y entregó la siguiente plantilla: 4 cm
4 cm
Al aumentar la medida del lado del pentágono, Martina debe aumentar las demás medidas en la misma razón, la cual se obtiene multiplicando y no sumando un valor. Si llamamos x a la medida indicada en la estrella, debe cumplirse que: 6 x 3•6 = → x = → x =3,6 cm 5 3 5
6 cm
Razona
y comenta
§ ¿Cuál es el error cometido por Martina? § ¿Qué otros errores se pueden cometer al construir figuras semejantes?
Analiza la situación
Aprende la forma correcta
Jorge analiza la siguiente homotecia, y quiere calcular cuál fue la razón utilizada que generó la flecha roja a partir de la verde. OA = 1,4 cm AA’ = 2,8 cm
O A
Para ello, calcula el valor k =
AA' 2, 8 = =2 OA 1, 4
A′
Para calcular la razón de una homotecia, se deben considerar los segmentos OA y OA’, es decir, medir la distancia de cada vértice al centro de homotecia. Así, k=
OA' 1,4+2,8 4,2 = = =3 OA 1,4 1,4
Razona
y comenta
§ ¿Cuál es el error cometido por Jorge? § ¿Qué otro error crees que puede ser común cometer al calcular la razón de una homotecia?
Reflexiona § ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores? ¿Cuáles? § Respecto a los que no, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos? § Revisa los ejercicios que hayas resuelto en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes tomar para no volver a cometerlos?
UNIDAD 2 • GEOMETRÍA
105
Integrando lo aprendido Lección 13: Semejanza y figuras a escala 1 En los siguientes paralelogramos el ángulo x mide 70°. Mide sus lados e identifica cuáles de ellos son semejantes entre sí, y cuando corresponda calcula el valor de la razón de semejanza.
I IV x
x III
x
es 18 cm, ¿Cuál es el área de un triángulo PQR semejante a ABC, si AB = 2 ? PQ 1 d. Un rectángulo cuyos lados miden 8 cm y 6 cm es semejante a otro cuyos lados miden (2x + 5) cm y (x + 4) cm respectivamente. Determina el perímetro y área del segundo rectángulo.
Lección 14: Criterios de semejanza de triángulos
x II
4 Identifica, de entre los siguientes triángulos, 3 pares de ellos que pueda afirmarse que son semejantes. Escribe el criterio empleado en cada caso.
V VI x
x
b. Se dibuja el plano de una casa a escala 1 : 20. El frontis de la casa representado en el plano mide 45 cm, ¿cuánto mide el frontis en la realidad? c. El perímetro de un triángulo equilátero ABC
A
Evaluación
2 Los siguientes pares de figuras son semejantes entre sí. Identifica en cada caso los ángulos y lados correspondientes y calcula el valor de la razón de semejanza. a.
C
9 cm 75º C
B
R
b.
7,5 cm
40º
B
J 12 cm
Q
B
7
Q C
70º
10 cm
M 80º
5 70º 3
E
D
L
8
O
75º
M
3
U
X Z
A
65 cm
39 cm
B
3 Resuelve los siguientes problemas. a. Un mapa está confeccionado a escala 1 : 100 000. Las ciudades A y B están a una distancia de 50 km. ¿A qué distancia en el mapa se encuentran los puntos que las representan? 106
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
I
6,5 cm
9 cm Y
8
2,5 cm
2
C
5
G
N
N R
30º
A
c.
Q
3 cm
F 6
80º
P
K
P 40º
5
3,25 cm
W
V
30º D
R
30º
1,2
1 A
X
T
S
H
1 5 Cada uno de los siguientes pares de triángulos son semejantes. Determina en cada caso la medida del lado que falta. a.
3
4
Lección 15: Homotecia y semejanza 7 Considera las siguientes figuras. as
3 cm 9 cm
12,5 cm
b.
2
B
x
A O
9,3 cm
C
y 2,4 cm 7,2 cm
D
6 En la siguiente figura, DE // BC.
Completa las siguientes oraciones considerando como centro de homotecia el punto O.
A 4 cm D 3 cm
2,1 cm E
2,5 cm
C
a. Identifica los triángulos semejantes presentes en la figura. ¿Qué criterio permite afirmar la semejanza? b. Determina la medida de BC y EC. c. Calcula el perímetro del triángulo ABC. d. Sean F y G puntos medios de BD y CE. El triángulo AFG, ¿es semejante con los anteriores? Justifica.
8 Resuelve los siguientes problemas. a. A un triángulo equilátero de perímetro 54 cm se le aplica una homotecia de razón 1. ¿Cuál es el 3 perímetro del triángulo que resulta?
Evaluación
B
a. B es una imagen de una homotecia de A en razón . b. C es una imagen de una homotecia de B en . razón c. A es una imagen de una homotecia de D en . razón
b. A un triángulo rectángulo de cateto 12 cm e hipotenusa 20 cm se le aplica una homotecia de razón 4. ¿Cuál es el área y el perímetro del nuevo triángulo?
Autoevaluació Autoevaluación Evalúa tu aprendizaje utilizando el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las páginas indicadas para repasar. Indicador
Mínimo sugerido por ítem
Puedes repasar en la(s) página(s)
Identificar y caracterizar polígonos semejantes en diversos contextos.
Ítem 1: 1/1 Ítem 2: 2/3 Ítem 3: 2/4
90 y 92
Comprender y aplicar los criterios de semejanza de triángulos.
Ítem 4: 1/1 Ítem 5: 1/2 Ítem 6: 2/4
96 y 97
Analizar y construir homotecias.
Ítem 7: 2/3 Ítem 8: 1/2
100 y 101
UNIDAD 2 • GEOMETRÍA
107
Sección 2
Teoremas de semejanza ¿Qué aprenderás?
¿Dónde?
Es importante porque te permitirá…
A comprender y aplicar el teorema de Thales sobre trazos proporcionales.
Lección 16
analizar y calcular medidas de segmentos proporcionales.
A dividir trazos en una razón dada.
Lección 17
aplicar resultados vistos a la construcción de segmentos proporcionales.
A demostrar y aplicar los teoremas de Euclides relativos a proporcionalidad de trazos.
Lección 18
resolver problemas relativos a la proporcionalidad de los trazos de los triángulos rectángulos.
A demostrar y aplicar el teorema de Pitágoras y su recíproco.
Lección 19
comprender y aplicar este teorema en la resolución de problemas.
Explorando tus ideas previas
Actividad
§ ¿Qué te sugieren los siguientes términos? Ü
Teorema
Ü
Paralelismo
Ü
Proporcionalidad
Ü
Perspectiva
Ü
Semejanza
§ ¿Cómo verificas si dos rectas son paralelas entre sí? Explica.
De esto se trata… Muchas veces pensamos que las artes solo tienen que ver con el talento, pero en realidad hay ocasiones en que la posibilidad de hacer buenas representaciones y obras tiene que ver con la aplicación de técnicas cuidadosamente aprendidas y puestas en práctica, que permiten crear efectos sorprendentes. Un buen ejemplo de ello son las perspectivas en los cuadros y algunas ilusiones ópticas que, aprovechando lo que nuestro cerebro desea interpretar, nos hacen “ver” cosas donde no las hay. En las figuras de esta página, por ejemplo, se aprovechan algunas rectas paralelas para hacernos creer que las líneas marcadas en verde no son del mismo tamaño cuando en realidad sí lo son… ¿o no?
Actividad grupal En parejas, lean y realicen las siguientes actividades.
➊
¿Conocen otras ilusiones ópticas que se generan con rectas paralelas? ¿Cuáles? Investiguen y expónganlas al curso.
➋
¿En qué consiste el punto de fuga? Investiguen en internet o con su profesor(a) de artes visuales, y realicen un dibujo de alguna parte de su colegio utilizándolo.
Propósito: que comprendas y apliques los teoremas de Thales, Euclides y Pitágoras, en la resolución de problemas en diversos contextos. 108
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1
2
3
4
¿Qué debes saber? Realiza las siguientes actividades. Identificar y calcular ángulos entre paralelas cortadas por una transversal
1 Determina si las siguientes relaciones son verdaderas o falsas. Escribe V o F según corresponda. a. ∢1≅ ∢3
L1 // L2
b. ∢5 ≅ ∢6
L1
d. ∢1≅ ∢ 4 L2
e. ∢8 ≅ ∢2
6 x 3,6
1 2 4 3
c. ∢7 ≅ ∢ 4
b.
5 6 8 7
4 Calcula en cada caso el valor pedido. a. En un triángulo rectángulo uno de sus catetos mide 5 cm, y su hipotenusa mide 7 cm. ¿Cuál es la medida del otro cateto? b. En un triángulo isósceles rectángulo su hipotenusa mide 18 cm. ¿Cuál es la medida de cada uno de sus catetos?
f. ∢ 4 ≅ ∢6 g. ∢6 ≅ ∢3 h. ∢8 ≅ ∢1
Aplicar propiedades de las proporciones
2 Calcula la medida de los ángulos α , β, γ y δ en la figura. L3
80° β
γ
δ α
45°
L1 L2
L₁ // L₂ L₃ // L₄
a. 4
x
5
e. 13 = k + 1 3 k–2 f. x – 3 = x – 5 x+4 x+6
c. 2b –1 = 5– 3b 3 2
6 Determina en cada caso el término que falta en cada proporción, considerando que: a c = b d
Aplicar el teorema de Pitágoras
3 Aplica el teorema de Pitágoras para calcular el valor de x en cada caso.
d. a –1 = 5 2 11
a. 2 = 3 3 m b. 4 = 7 x –1 10
Actividad
L4
5 Calcula en cada caso el valor de la incógnita.
a. a = c d b b. = d a a c. + c = d c
b+a c a a + b e. = c+d d f. c + d = c a+b d.
=
Autoevaluació Autoevaluación En la tabla que te entregará tu profesor(a), evalúa el nivel de dominio alcanzado. Luego, repasa en los sitios web que se indican si fuera necesario.
Repasa en los siguientes sitios web…. http://goo.gl/OY2XC
Ángulos entre rectas paralelas.
http://goo.gl/CWXwbi
Teorema de Pitágoras.
http://goo.gl/VJIhR
Propiedades de proporciones.
UNIDAD 2 • GEOMETRÍA
109
Lección
16
Propósito: Comprender y aplicar el teorema de Thales sobre trazos proporcionales.
Teorema de Thales Historia…
Teorema particular de Thales
Thales vivió alrededor del año 640 al 560 a.C. en Mileto, Asia menor (actual Turquía). Es considerado el primero de los siete sabios de Grecia. Padre de las matemáticas y la filosofía griega, fue el primero en intentar explicar el mundo a través de causas naturales, aplicando la razón y no acontecimientos divinos de la creación. También fue un gran astrónomo. Se dice que logró predecir el eclipse solar del año 585 a.C.
Taller Lee y realiza las siguientes actividades. Jaime (J) y Gonzalo (G) suben un cerro por distintas laderas para realizar una exploración. Acordaron comunicarse al alcanzar los 500 metros de altura, como se muestra en la figura. C G
J
500 metros
El Nevado Ojos del Salado es el volcán más alto del mundo y se ubica en Chile. Su altura es de 6891 m sobre el nivel del mar.
750 metros A
D
B
1 La altura CD del cerro es de 750 metros. ¿Qué parte de esta altura han subido Jaime y Gonzalo? 2 La distancia AJ que ha recorrido Jaime es de 800 metros. ¿Cuál es la distancia JC que le falta por recorrer? Explica cómo calcularlo. 3 La distancia BG que ha recorrido Gonzalo es de 600 metros. ¿Cuál es la distancia GC que le falta por recorrer? Explica cómo calcularlo. 4 Plantea una proporción que relacione las medidas AJ, JC, BG y GC. Ambos escaladores han subido 500 metros de altura, aunque para hacerlo han debido recorrer distancias distintas. Lo que les falta por recorrer para llegar a la cima es distinto para cada uno de ellos, pero se encuentra en la misma proporción con lo que ya han recorrido. Es decir: CJ CG = JA GB Para que esto se cumpla ambos deben estar a la misma altura respecto del suelo; en ese caso se observa que AB // JG. Este resultado podemos expresarlo como el: Teorema particular de Thales: Si dos lados de un triángulo son cortados por una recta paralela al tercer lado, esta determina sobre P ellos segmentos proporcionales entre sí. Q
S
QS // RT → R
T
PQ PS = QR ST
Además, ∆PQS ~ ∆PRT por criterio AA, por lo que se verifica la proporción: PQ PS QS = = PR PT RT
110
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1
2
3
4
Teorema particular y uso de software Taller Podemos utilizar un procesador geométrico para verificar algunas otras relaciones que se cumplen cuando trazamos rectas paralelas. En este caso utilizaremos GeoGebra, programa al que puedes acceder gratuitamente desde la página http://www.geogebra.org Paso 1 Con la herramienta , Recta Paso 3 Con la herramienta , Recta que pasa por Dos Puntos, traza dos rec- Paralela, construye las rectas paralelas a tas AB y AC. Luego construye la recta BC. BC por los puntos D, E y F. Luego, con la herramienta Intersección de Dos Objetos, ubica los puntos de intersección de las rectas anteriores con la recta AC. I
A
F A
E B
H
D
C
G
B
C
Paso 2 Con la herramienta , Nuevo Paso 4 Con la herramienta , DistanPunto, construye los puntos D, E y F sobre cia o Longitud, mide los segmentos AE, la recta AB, como se muestra. ED, DB, AH, HG, GC AF y AI I
F
F AI = 2.46 A
AF = 2.41
A AE = 1.74
E
ED = 1.62 D DB = 1.18
B C
B
D
E
Ayuda
HA = 1.78 H
GH= 1.05 G
CG = 1.2 C
Considerando los pasos anteriores, realiza las siguientes actividades y responde.
En GeoGebra, existen muchas herramientas agrupadas en un mismo botón. Para encontrarlas, mantén presionado el botón que corresponda; aparecerá un menú desplegable donde encontrarás la herramienta adecuada.
1 ¿Qué triángulos semejantes observas en la figura del paso 4? Identifícalos, plantea las razones correspondientes entre las medidas de sus lados y calcúlalas. 2 Calcula las razones ED y HG, y observa que los puntos E, B, H y C no forman DB GC un triángulo. ¿Qué puedes concluir? 3 Calcula las razones AE y AH . ¿Qué relación observas con el teorema partiAF AI cular de Thales? UNIDAD 2 • GEOMETRÍA
111
Lección
16 Teorema general de Thales Cuando tenemos rectas paralelas cortadas por dos transversales puede darse alguno de los siguientes casos:
p q
r
L1
L1 // L2
p
L1 s
s
r L1 // L2
q L2
L2
L1
r
p
L2
L1 // L2 // L3 s
q L3
En ellos los segmentos que determinan las rectas paralelas en las transversales son proporcionales entre sí, es decir, p = r . Considerando las tres combinaciones q s posibles, podemos enunciar el: Teorema general de Thales: si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos o más transversales se determinan sobre las transversales segmentos proporcionales entre sí.
Ayuda Dada la afirmación “a implica b” (o “si a, entonces b”), se llama recíproco de ella a la afirmación “b implica a”. El recíproco del teorema de Thales se cumple también en los casos particulares: A B
Recíproco del Teorema de Thales Hemos visto que rectas paralelas determinan segmentos proporcionales sobre las transversales que las cortan. En el dibujo se verifica la proporción AB = DE . ¿Son BC EF paralelas las rectas AD, BE y CF? A B C
D
C
D E F
E
La respuesta es afirmativa, y constituye el: E
Recíproco del teorema de Thales: si dos o más rectas son cortadas por dos transversales, determinando sobre estas últimas segmentos proporcionales, dichas rectas son paralelas entre sí.
C A
B
D
AB AD = → BD // CE AC AE
112
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1
2
3
4
Aplicaciones del teorema de Thales y su recíproco Podemos aplicar el teorema de Thales y su recíproco en el cálculo de medidas de segmentos, como se muestra en los siguientes ejemplos: Ejemplo 1: Calcula el valor de x en la siguiente figura, si se sabe que QS // RT.
3 cm Q
4 cm
P
x cm S
Analiza… Calcula el valor de x en la siguiente figura, si AD // BE // CF A
6 cm
R
x–5 B
T
D 6 E
x–7 C
Por teorema de Thales se tiene que: PQ PS = QR ST
10 F
¿Es posible la situación? Justifica.
Por lo tanto, 3 x 18 = → 3• 6 = 4x → x = → x = 4,5 cm 4 6 4 Ejemplo 2: En la siguiente figura, OQ // PR. Denise debe trazar una recta ST, paralela a OQ y PR. ¿A qué distancia de Q debe ubicarse el punto T? O S P
2 cm 3 cm
Q T
10 cm R
Sea x la distancia QT, y con ello TR = 10 – x. Para que la recta ST sea paralela a OQ y a PR, debe cumplirse que: 2 x = → 2(10 − x ) = 3x → 20 − 2x = 3x → x = 4 3 10 − x Por lo tanto, T debe ubicarse a 4 centímetros del punto Q.
En resumen Teorema de Thales: Tres o más rectas paralelas que cortan a dos o más transversales, determinan sobre ellas segmentos proporcionales. Recíproco del Teorema de Thales: Si tres o más rectas determinan segmentos proporcionales sobre dos transversales, entonces las rectas son paralelas entre sí.
Razona
y comenta
§ En general, ¿es cierto §
siempre el recíproco de un teorema? Justifica. ¿En qué situaciones convendría utilizar el recíproco del Teorema de Thales para trazar dos rectas paralelas? Inventa una situación en que lo sea, y otra en la que no resulte directo hacerlo.
UNIDAD 2 • GEOMETRÍA
113
Practiquemos lo aprendido
a) RQ // ST, RQ = 9 cm, TS = x, QS = 2 cm, SP = 4 cm
Repaso
Q
1. Determina en cada caso si se puede afirmar que la proposición es correcta, considerando la figura dada. Justifica por qué. L₁ // L₂ L₃ // L₄
L1 a f e
c
d
R
L2 b L5
T L4
b) ED // BC, AD = (2x + 4) cm, DB = 20 cm, AE = (3x + 12) cm, EC = 40 cm
e) c ≅ f
b) b ≅ c
f) a ≅ f
c) c ≅ d
g) b ≅ d h) a ≅ e
2. Aplica propiedades de proporciones para calcular en cada caso el valor de x. a) x = 9 5 15 2 b) = 12 7 x c) 4 = 16 6 x
d) 3 = 1 2 x e) x + 5 = 3 4 16 x + 1 4 f) = 2x + 7 3
C E
c) AB // CD // EF, AC = 2 cm, CE = 3 cm, BD = 2,5 cm, DF = x cm A
D
E
x A
5 cm B
F
d) AB // CD // EF, AC = 8 cm, CE = x cm, BD = 5 cm, DF = 4 cm B 5 cm 4 cm D E x cm C A 8 cm
A E
D
24 • 5 = 4 (24 + x )
f) BC // EF, AF = (3x + 3) cm, FB = (7x +1) cm, CE = (2x + 2) cm, EA = (x + 1) cm C E A
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
C
B
5
24 • 5 = 4 •24 + 4x 24 = 4x 24 =x 4 6=x
114
F
e) ED // AC, ED = 12 cm, DB = (2x + 5) cm, AC = 8 cm, BA = (x + 4) cm
4 20 24 = 24 + x 25
20 cm
D
E
el ejemplo:
C
B
C
3. Calcula el valor de x en cada figura. Guíate por Ejemplo: AB // DE, CD = 24 cm, DA = x, CE = 20 cm, EB = 5 cm.
B
D
A
Práctica guiada
24 cm
P
L3
a) a ≅ b
d) d ≅ e
S x
B F
1
determinar en cuál(es) de los siguientes casos las rectas por las que se pregunta son paralelas. Guíate por el ejemplo. A
AC = 8 cm CE = 4 cm BD = 6 cm DE = 2 cm
B C
D E
Paso 1
¿AB // CD?
Se calcula la razón entre los segmentos determinados sobre las transversales. AC 8 = =2 CE 4
Paso 2
BD 6 = =3 DE 2
Se concluye que, dado que los valores de las razones no son iguales, los segmentos no son proporcionales y, por lo mismo, las rectas no son paralelas.
a)
EA = 2 cm AC = 4 cm EB = 3 cm BD = 6 cm
E A
B
C
D
5. Resuelve los siguientes problemas: a) Antonia y su hermana Camila se encuentran a 50 cm de distancia una de otra y a cierta hora Antonia genera una sombra de 120 cm. Si las sombras terminan en un mismo punto y se sabe que Camila mide 1,45 m y es más alta que su hermana, ¿cuál es la altura aproximada de su hermana? b) Tres árboles están alineados, y ordenados de menor a mayor tamaño. El árbol de menor tamaño mide 90 cm de altura; el de mayor tamaño, 3,6 m y la distancia entre ellos es de 4 metros. Si el árbol restante equidista a los otros, ¿cuál es su altura? c) Un edificio genera una sombra de 100 m. A la misma hora, una casa vecina al edificio genera una sombra de 15 m. Si el edificio mide 40 metros de altura, ¿cuál es la altura de la casa si su sombra termina en el mismo punto que la sombra del edificio?
6. En la figura AD // BE // CF . Si AB : AC=1 : 4 y EF = 2AB = 30 cm, calcula la medida del segmento DF. A B
b) A
B E
C
c)
D
A
B C
D E
d)
F
A
B
¿AB // CD?
C
D
F
E
AC = 8 cm AE = 23 cm BF = 11,5 cm DF = 7,5 cm ¿AB // CD // DF?
AC = 2x cm CF = 3x cm BD = 18k cm BE = 45k cm ¿AB // CD // EF?
4
Aplica
¿AB // CD?
AE = 18 cm ED = 12 cm BC = 35 cm EC = 14 cm
3
Practiquemos lo aprendido
4. Aplica el recíproco del teorema de Thales para
2
C
D E F
7. Sean tres rectas, AB, CD y EF, paralelas entre sí, cortadas por dos transversales en los puntos A, C, E y B, D, F respectivamente. Verifica la veracidad o falsedad de las siguientes proporciones. a) AC = BD CE DF b) AE = CE BF DF
c) AB = CD CD EF d) AC = CE CD EF
8. Desafío: se cuenta que Thales, en una visita a las pirámides de Egipto quedó tan embelezado ante estos monumentos que quiso saber inmediatamente su altura. Para hacerlo se valió de una relación de semejanza entre dos triángulos rectángulos. Averigua y describe el procedimiento utilizado por Thales.
Reflexiona § Existen edificios cuyas paredes no forman ángulos rectos con el suelo. ¿Cómo se verifica en ellos que cada uno de los pisos sea efectivamente horizontal? Justifica y comenta con tus compañeros.
UNIDAD 2 • GEOMETRÍA
115
Lección
17
Propósito: Dividir trazos en una razón dada.
Debes saber… Dos rectas paralelas cortadas por una transversal definen ángulos alternos internos congruentes. A la vez, si dos rectas son cortadas por otra formando ángulos alternos internos congruentes, las rectas son paralelas. α β
División interior de trazos Para construir una escalera un carpintero ubicará 6 escalones a lo largo de una viga que mide 1,7 metros, como se muestra en la figura. Para ello, debe dividir la viga en 7 partes iguales, lo que hace que cada tramo deba medir 1,7 = 0,2428571. 7 Hacerlo de esta manera siempre implica una inexactitud porque el período del número obtenido implica realizar infinitas veces la división y obtener siempre un resto. Una alternativa es hacerlo en forma geométrica, como puedes ver en los siguientes pasos.
L2 L1
α = β ↔ L1 // L2
Paso 1 Sea AB el trazo que representa la viga que se va a dividir. Construye el ángulo BAC, de la medida que quieras.
Paso 3 Al último punto marcado sobre el rayo AC le llamaremos Q. Se traza el segmento QB.
C
Q
C
P A
Ayuda Por teorema particular de Thales:
B
Paso 2 Ubica un punto P sobre el rayo AC. Con el compás, toma la medida de AP y cópiala 6 veces consecutivas sobre el rayo AC.
A
B
Paso 4 Por cada uno de los puntos ubicados en el rayo AC se trazan rectas paralelas a QB. Se divide así el segmento AB en 7 partes iguales.
C
PA 1 AT = = PQ 6 TB
Q
C
Es decir, 6AT = TB Luego,
P
AB = AT + TB = AT + 6AT = 7AT
116
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
A
P B
A
T
B
1
2
3
4
Si llamamos T, U, V, W, X e Y a los puntos obtenidos podemos observar que: T
U
V
W
X
Y
A
B
AT 1 = TB 6
AU 2 = UB 5
AV 3 = VB 4
AW 4 = WB 3
AX 5 = XB 2
AY 6 = YB 1
En general, decimos que un punto M divide interiormente a un segmento AB en la razón p si se cumple que: q kp kq AM p = MB q A M B ¿Cómo podemos dividir un segmento AB en una razón p dada? Podemos seguir q alguno de los siguientes métodos (se utilizará razón 2 ). 3 Método 1
Método 2
Paso 1 Se traza un rayo AC en el que se copia dos trazos de una misma medida p (p = 2), obteniendo el punto P.
Paso 1 Desde A y B traza los rayos AC y BD, pero en sentido contrario. C
C B
A P D A
B
Paso 2 Desde P copia tres trazos de una misma medida q (q = 3), obteniendo el punto Q. Luego une Q con B. En P traza una recta paralela a QB determinando R en AB. Q
C
C
P A
P A
Paso 2 Con una misma medida copia 2 trazos (p = 2) en el rayo AC obteniendo P y con la misma medida 3 trazos (q = 3) en el rayo BD determinando Q. Une P con Q, determinando R en AB.
R
B
R
B
El punto R divide al segmento en la razón pedida.
D
Q
El punto R divide al segmento en la razón pedida.
Razona
y comenta
§ Un punto divide a un segmento en razón 1:1. ¿Qué significa esto? § Inventa una forma para dividir un segmento en una razón dada utilizando otro caso del teorema de Thales.
UNIDAD 2 • GEOMETRÍA
117
Practiquemos lo aprendido
3. Calcula las razones que se piden en cada caso,
Repaso 1. Utiliza regla y compás para determinar o construir en cada caso lo que se pide.
considerando la figura. 0 cm Q
a) El punto medio del segmento AB.
10 cm D
20 cm
A
R
30 cm P
E
B
T F
La razón en que divide E al segmento QB.
A
Paso 1
B
b) Una recta paralela a PQ, que pase por el punto R. R
P
Se establece la razón entre los segmentos. El punto E divide al segmento QB en razón QE . EB Paso 2
Q
c) Una recta perpendicular a la recta MN, por el punto T. T
Se remplazan los valores en cm y calcular la razón. QE 20 2 = = EB 10 1
Esto quiere decir que el segmento QB se dividió en 2 + 1 = 3 partes de 10 cm cada una, donde QE considera dos partes y EB solo una. a) La razón en que divide A al segmento QE. b) La razón en que divide T al segmento BF.
N M
d) Una recta perpendicular al segmento AB, por el punto A.
c) La razón en que divide P al segmento ET. d) La razón en que divide R al segmento AP. e) La razón en que divide D al segmento QF.
B
Aplica A
4. Utiliza regla y compás para dividir los siguientes
Práctica guiada
segmentos según se pide.
2. Aplica el procedimiento del método 2 (visto en
a) Un segmento de 5 cm de largo en 3 partes iguales.
la lección) para dividir los siguientes trazos en la razón dada. a) Un segmento AB de 5 cm de largo, en razón 1 : 3. b) Un segmento PQ de 8 cm de largo, en razón 3 : 4. c) Un segmento MN de 7 cm de largo, en razón 5 : 2. d) Un segmento KS de 9 cm de largo, en razón 7 : 4.
b) Un segmento de 6 cm de largo en 9 partes iguales. c) Un segmento de 11 cm de largo en 10 partes iguales. d) Un segmento de 10 cm de largo en 2 partes, de modo que una mida la sexta parte de la otra.
5. Calcula la razón en la que cada punto divide al segmento dado. Para ello, considera que el trazo AG está dividido en partes de igual medida. F G
e) Un segmento PJ de 13 cm de largo, en razón 5 : 6. B A
118
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
C
D
E
1
2
3
4
El punto Q divide exteriormente al segmento AB y+z . en razón z a) ¿En qué razón divide el punto A al segmento PB? ¿Qué relación observas entre esta razón y aquella en la que P divide al segmento AB?
b) El punto F, al segmento BG. c) El punto C, al segmento AE. d) El punto E, al segmento CG.
b) ¿En qué razón divide el punto B al segmento AQ? ¿Qué relación observas entre esta razón y aquella en la que Q divide al segmento AB?
e) El punto D, al segmento AE. f) El punto B, al segmento AG.
6. Resuelve los siguientes problemas. a) El punto P divide interiormente al trazo AB en la razón 7 : 5, AP = (x + 1) cm y PB =2x cm. Calcula el valor de x.
c) Si un punto R divide exteriormente a un segmento AB en razón 3 , ¿a qué lado del punto A se encuentra? 7
b) El punto P divide al segmento AB en razón 3k:1. Si AP = k + 5 cm y PB = 7 cm, calcula la medida del segmento AB.
d) Si un punto W divide exteriormente a un segmento AB en una razón mayor que 1, ¿a qué lado del punto A se encuentra? Compara con lo obtenido en la pregunta anterior. ¿Qué puedes concluir?
c) El punto P divide al segmento AB en razón 3 : (m + 1), de modo que AP = 5 cm, y PB = (m + 2) cm. Calcula el valor de m.
e) Determina un método para dividir exteriormente un segmento aplicando el teorema de Thales.
d) Un trazo se divide interiormente en la razón 4 : 7. Si este mide 55 cm, ¿cuál es el cuadrado del segmento de menor medida que se forma? e) Un trazo de 32 cm se divide interiormente en la razón 5 : 3. Si sobre los segmentos que se forman se construyen dos cuadrados, ¿cuál es la suma de las áreas de ambos cuadrados? ¿Cuál es el perímetro del cuadrilátero que se forma? f) Un trazo se ha dividido interiormente en la razón 5 : 1. Si la medida del segmento mayor que se forma es 30 cm, ¿cuál es la quinta parte de la medida del segmento de menor medida?
Practiquemos lo aprendido
•
a) El punto B, al segmento AD.
f) Aplica el método anterior para dividir exteriormente un segmento de 10 cm de largo en razones 4 y 9 . 9 4 8. Desafío: utilizando regla y compás, construye una homotecia del triángulo ABC, con centro O y razón 4 : 3. C O
A B
7. Desafío: Considera el segmento AB, y los puntos P y Q ubicados en sus prolongaciones. y
x P
A
z B
Q
Decimos que: •
El punto P divide exteriormente al segmento AB en razón x . x+y
Reflexiona § ¿Será posible dividir un segmento en razón 3 ? Investiga y discute un procedimiento con tus compañeros. 2
UNIDAD 2 • GEOMETRÍA
119
Lección
18
Propósito: Demostrar y aplicar el teorema de Euclides.
Teorema de Euclides
Debes saber…
Taller
§ La altura de un triángulo
es una recta que pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto o prolongación de éste. § Al trazar dos rectas perpendiculares a partir de los extremos A y B del segmento AB, sobre la recta L tenemos la proyección del segmento AB, que es PQ.
Lee y realiza las siguientes actividades. En la figura se muestra un triángulo ABC rectángulo en C; en el que se ha trazado la altura hc. C a
b hc α A
q
β B
c
B
1 En el triángulo ABC llamamos α y β a las medidas de los ángulos correspondientes a los vértices A y B, respectivamente.
A
P
p
D
Q
L
a) ¿Cuál es el valor de α + β? Justifica. b) Expresa la medida β en términos de α. c) ¿Qué otros ángulos en la figura miden α? ¿Cuáles miden 90° – α? Escríbelos y justifica por qué.
Historia…
2 En el triángulo ABC, sus lados miden a, b y c ,y sus ángulos α, β y 90°. a) ¿Cuáles son los lados y ángulos del triángulo ADC? b) ¿Son semejantes entre sí los triángulos ABC y ADC? Justifica por qué. c) Escribe las proporciones correspondientes a las medidas de los lados de ambos triángulos. d) Expresa el valor de b2 en términos de otros dos segmentos. 3 Considera los triángulos BDC y BCA. a) Escribe las medidas de los lados y ángulos de cada uno de la misma forma que en la actividad 2. b) ¿Son semejantes entre sí? Justifica por qué.
Euclides (vivió alrededor del año 300 a. C.) Fue un matemático y geómetra griego. Se le conoce como "El Padre de la Geometría". Es muy poco lo que se sabe de su vida. Su gran obra es el libro “Los elementos” que reúne todos los conocimientos de geometría de su época. 120
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
c) Escribe las proporciones correspondientes a sus lados. d) Expresa el valor de a2 en términos de otros dos segmentos. 4 Considera los triángulos ADC y CDB. a) Escribe las medidas de sus ángulos y sus lados de la misma forma que en las actividades 2 y 3. b) ¿Son semejantes entre sí? Justifica por qué. c) Escribe las proporciones correspondientes a sus lados. d) Expresa el valor de hc2 en términos de otros dos segmentos.
1
Al trazar la altura de cualquier triángulo rectángulo desde su ángulo recto se forman dos triángulos semejantes entre sí y semejantes al inicial. Las proporciones que se presentan dan lugar a tres resultados que constituyen el Teorema de Euclides:
2
Demostración del Teorema de Euclides C
Ejemplo: calcula el valor de x en la siguiente figura. Paso 1 Establecemos las relaciones entre los distintos segmentos presentes en el triángulo según el teorema de Euclides. R
PR² = RS • RQ PS² = QS•RS
S 3 cm P
Paso 2
6 cm
p
B
q+p=c
Aplicando el teorema de Pitágoras a los triángulos DBC y ADC se obtiene las siguientes igualdades: a2 = p2 + hc 2 b2 = q2 + hc 2
Sumando término a término: a2 + b2 = p2 + q2 + 2hc 2
(p + q)2 = p2 + q2 + 2hc 2
Remplazamos las medidas de los segmentos en las relaciones anteriores, para calcular los términos faltantes: QS = 3 cm
p2 + 2pq + q2 = p2 + q2 + 2hc 2
De donde se deduce:
PR = x cm
2pq = 2hc 2
Tenemos que: PQ² = QS • QR → 62 = 3 • QR → 36 = 3 • QR → QR = 12 cm Ya que: RQ = QR = RS + QS → 12 = RS + 3 → RS = 9 cm Por lo tanto: PR² = RS • RQ → x² = 9 • 12 → x² = → x = 108 = 6 3
p • q = hc 2
Razona
y comenta
Entonces, x = 6 3 cm.
§ Analiza si en un trián-
En resumen El teorema de Euclides afirma que si ABC es un triángulo rectángulo en C, y hc es la altura relativa a la hipotenusa, se cumple que: hc² = p • q
D
q
Y como c = p + q se tiene:
Q
PQ = 6 cm
a
hc
Como ABC triángulo rectángulo, sabemos que c 2 = a2 + b2 por teorema de Pitágoras, entonces c 2 = p2 + q2 + 2hc 2
PQ² = QS • QR x cm
b
A
b) El cuadrado de la medida de un cateto es igual al producto entre su proyección y la hipotenusa a² = p • c b² = q • c Esta relación nos permitirá calcular las medidas de algunos segmentos en un triángulo rectángulo, como se muestra en el siguiente ejemplo.
4
Observa que…
Sea ABC un triángulo rectángulo en C y hc la altura trazada desde ese vértice. Entonces: a) El cuadrado de la altura es igual al producto de las proyecciones hc² = p • q
3
a² = p • c
b² = q • c
Donde p y q son las proyecciones de los catetos a y b correspondientemente sobre la hipotenusa.
gulo ABC, rectángulo en C, se cumplen las siguientes relaciones:
B
p
a2 p = b2 q
c
a D hc
C
q b
A
hc =
a•b c
UNIDAD 2 • GEOMETRÍA
121
Practiquemos lo aprendido
Repaso
F
a)
1. Calcula el valor de x en los siguientes triángulos. a)
B 3
95°
2 x
51°
A
b)
4
b) B
x
C 3
c)
D
6
E
2
E
C
F
4
57°
62°
1,5
x 2x
D
A
c)
D
2x B
d)
4,5
3
F 135º
27º
C 135º
27º
x
8 5
x+22°
E
A
2. Construye la altura de los siguientes triángulos en dos de sus vértices. a)
Práctica guiada 4. En el triángulo ABC, rectángulo en C, D es el pie de la altura trazada desde la hipotenusa. Calcula en cada caso el valor de x. Guíate por el ejemplo. B D
b)
C
Paso 1
c)
criterio por el cual son semejantes, escribe la semejanza considerando sus vértices y escribe las proporciones entre las medidas de sus lados y las congruencias respectivas entre sus ángulos.
122
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
AB es la hipotenusa del triángulo, BC es un cateto y BD es la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa. Por lo tanto: BC² = BD • AB
Paso 2
3. Para cada pareja de triángulos identifica el
A
AB = 8 cm BD = 2 cm BC = x cm
Se remplazan los valores y se calcula. x² = 2 • 8 x² = 16 x=4
a) AB = x cm, BD =1cm, BC = 3 cm b) AB = 12 cm, AD = 3 cm, AC = x cm c) CD = 10 cm, AD = 5 cm, BD = x cm
1
5. Considera cuatro triángulos ABC llamados T1, T2, T3 y T4. Todos son rectángulos en C, siendo D el punto de intersección de la altura trazada desde el ángulo recto y la hipotenusa de los triángulos rectángulos, AC = b, AB = c, BC = a, BD = p, AD = q y CD = hc. Completa la siguiente tabla. T1
a b c hc p q
T2
4 cm 3 cm 5 cm
T3
T4
7 cm 24 cm 25 cm
6m
9 cm 4 cm
3m
6. Calcula los valores de x e y en las siguientes figuras. a) x 30 cm y
3
4
c) La altura respecto a la hipotenusa en un triángulo ABC rectángulo en C mide 12 cm, y los segmentos que ella determina sobre la base están en la razón 9 : 16. ¿Cuál es la longitud de cada lado del triángulo? d) La base de una escultura tiene 2 m de ancho. Dos focos luminosos, uno por delante y otro por atrás, se ubican a 4 m y 6 m de distancia de la base respectivamente para iluminar la cúspide de la escultura. Los rayos de luz se intersecan formando un ángulo recto. Calcula:
Practiquemos lo aprendido
Aplica
2
• la altura de la escultura. • las distancias a las que están los focos de la cúspide.
8. Desafío: la distancia de una recta a un punto en el plano cartesiano se define como la longitud del segmento perpendicular a la recta trazado desde el punto. Observa que en la figura la distancia de la recta representada por la función 4 afín y = – x+8 al origen está representada por el 3 segmento AD. Y
C
40 cm
b)
y A
16 cm 25 cm
c)
y
D B
X
x
a) Determina los puntos de intersección de la recta con los ejes X e Y.
8 cm 6 cm x
7. Resuelve los siguientes problemas: a) En un triángulo ABC rectángulo en C se sabe que AB = 1m, BC = 80 cm y AC = 60 cm. Calcula las medidas de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa y la altura respecto a la misma. b) Los catetos de un triángulo rectángulo están en la razón 3 : 4. Si la altura respecto a la hipotenusa mide 0,84 m, ¿cuánto mide la hipotenusa del triángulo?
b) ¿Cuánto mide el segmento AB y el segmento AC? c) Calcula la longitud del segmento AD ¿cuál es la 4 distancia de la recta y = – x + 8 al origen? 3 d) Calcula la distancia entre la recta que representa 4 a y = – x + 4 y el origen del plano cartesiano. 3 e) Determina una fórmula para calcular la distancia al origen de la recta representada por la función afín y = mx + n.
Reflexiona § Considera un triángulo PQR, rectángulo en su vértice Q. ¿Cómo plantearías en él el teorema de Euclides? § En general, ¿qué cuidados crees que se deben tener en matemática al nombrar los elementos y enunciar un teorema? Comenta con tus compañeros.
UNIDAD 2 • GEOMETRÍA
123
Lección
19
Propósito: Demostrar y aplicar el teorema de Pitágoras y su recíproco.
Debes saber…
Teorema de Pitágoras y recíproco
§ Teorema de Pitágoras:
En años anteriores has estudiado el teorema de Pitágoras y sus aplicaciones. En esta lección analizaremos por qué se cumple y si es cierto su recíproco.
En todo triángulo rectángulo se tiene que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa: a2 + b2 = c2
Teorema de Pitágoras Paso 1
Considera un triángulo ABC, rectángulo en C. Se traza su altura hc y se identifican las medidas de sus lados y las proyecciones de la altura hc. C
B a
b
c
a
A
hc
B
p
q c
C
b
A
Paso 2
§ Los números naturales
Se construyen cuadrados sobre los catetos, y sobre la hipotenusa se construyen rectángulos de lados q y c, y p y c.
a, b y c que cumplen con la relación a2 + b2 = c2 se llaman tríos pitagóricos. Ejemplo: 3, 4 y 5. 32 + 42 = 52 9 + 16 = 25
C b A
Historia…
124
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
q
p
B
c
Paso 3
Pitágoras (572-497 a.C.) Filósofo y matemático griego, fundador de una escuela religiosa, política y filosófica de gran influencia en la Grecia antigua.
a
hc
Por teorema de Euclides se verifica que a² = pc b² = qc pc + qc = a² + b²
además, p + q = c, por lo tanto, pc + qc = (p + q)c = c • c = c² Entonces, a² + b² = c²
1
2
3
4
Recíproco del teorema de Pitágoras Paso 1
Considera un triángulo ABC en el que se cumple la relación a² + b² = c². Trazamos su altura h respecto del lado c. Una de las proyecciones mide x, y la otra mide c – x. C a
b
A
h
x
c–x
D
B
c
Paso 2
Se observa que los triángulos ADC y BDC son rectángulos en D. Se cumple en ellos el teorema de Pitágoras. a² = (c – x)² + h² → h² = a² – (c – x)² b² = x² + h² → h² = b² – x² Por lo tanto,
Se igualan las expresiones a² – (c – x)² = b² – x² a² – (c² – 2cx + x²) = b² – x² a² – c² + 2cx – x² = b² – x² a² – c² + 2cx = b² a² – (a² + b²)+ 2cx = b² a² – a² – b²+ 2cx = b² 2cx = 2b² cx = b • b c b = b x
Paso 3
Por hipótesis, c2 = a2 + b2
Se observa que en los triángulos DAC y CAB: ∢CAD ≅ ∢CAB ⇒ ∆CAD ~ ∆BAC por criterio LAL c b = b x Por lo tanto, CDA ≅ BCA Pero m(CDA) = 90°, por lo tanto,
m(BCA) = 90° Es decir, hemos demostrado que si en un triángulo se cumple que la suma de los cuadrados de las medidas de dos lados es igual al cuadrado de la medida del tercer lado, el triángulo es rectángulo.
Razona
y comenta
En resumen Teorema de Pitágoras: Sea ABC un triángulo rectángulo en C donde a y b son las medidas de los catetos y c es la medida de la hipotenusa. Entonces a² + b² = c² Recíproco del teorema de Pitágoras: Si en un triángulo se cumple que la suma de los cuadrados de las medidas de dos lados es igual al cuadrado de la medida del tercer lado, entonces el triángulo es rectángulo.
§ Un triángulo de lados 3n, 4n, 5n; con n ∈ , ¿es rectángulo?
§ ¿Cuáles son los lados de un triángulo rectángulo cuyo perímetro es 60 cm?
UNIDAD 2 • GEOMETRÍA
125
Practiquemos lo aprendido
Repaso
Paso 1
El mayor lado es QR, de medida 12 m. En caso de ser un triángulo rectángulo, QR debe ser la hipotenusa.
Paso 2
Se analiza si se cumple la relación QR² = PQ² + RP²
1. Verifica si los siguientes tríos de números representan tríos pitagóricos, es decir, si pueden ser medidas de los lados de un triángulo rectángulo. a) 3, 4 y 5
f) 12, 15 y 27
b) 5, 12 y 13
g) 140, 171, 221
c) 7, 24 y 25
h) 280, 352, 450
d) 12, 35 y 37
i) x² – y², 2xy, x²y² 2
e) 10, 15 y 20
j) x,
2
x –1 x +1 , 2 2
2. Calcula en cada caso el valor de x. a) x
QR² = 12² = 144 PQ² + RP² = 11² + 6² = 121 + 36 = 157 Se observa que QR² ≠ PQ² + RP²; por lo tanto, el triángulo no es rectángulo. a) 9, 5, 7
d) 1, 1, 2
b) 3,5; 12,5; 12
e) x, 2, x2+2
c) 32, 24, 40
f) a, a2, a3
Aplica 4. Calcula el perímetro y área de las siguientes figuras.
4 3
D
a)
C
12 cm
b)
19,24
ABCD es cuadrado
E 5 cm
x
3,2
A
b) A
c)
6 cm E
B
15 cm
x
4
D
AC = 15 cm. B
6
d)
C
5. Calcula lo que se pide en cada caso.
x
12
16
Práctica guiada 3. Determina en cada caso si el triángulo PQR es rectángulo, dadas las medidas de sus lados. Guíate por el ejemplo. PQ = 11 cm, QR = 12 m, RP = 6 m
126
9 cm
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
a) La medida de la diagonal de un rectángulo cuyo ancho mide 8 cm y el largo 15 cm. b) La medida de la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide a. c) La medida de la altura de un triángulo equilátero cuyo lado mide 10 cm. d) La medida del lado de un rombo cuyas diagonales miden 9 cm y 12 cm (Ayuda: las diagonales de un rombo se dimidian, y además son perpendiculares).
1
rectángulo en C, cuyos lados son AB = c, BC = a y AC = b. Comprueba en caso que el área de la figura roja corresponde a la suma de las áreas de las figuras azul y verde. a)
c B c
a a
4
c) ¿Cuál es el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 6 cm y 8 cm? d) El perímetro de un triángulo equilátero es de 36 cm ¿Cuál es el área? e) ¿Cuál es el área de un triángulo isósceles, cuyos lados miden 25 cm, 25 cm y 14 cm? f) Dentro de un rectángulo de lados 6 cm y 8 cm se ha construido un rombo cuyos vértices equidistan los lados del rectángulo. ¿Cuál es el área de la parte que no cubre el rombo?
A
C b
b)
3
Practiquemos lo aprendido
6. En las siguientes figuras, ABC es un triángulo
2
b
Ayuda: la medida de la altura del triángulo equilátero cuyo lado mide x es x 3 . 2
6 cm
B 8 cm
A
C
c)
g) Calcular el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de perímetro 25,12 cm (considera π = 3,14).
c 2 a 2 B
r c
O
a A b 2
C b
7. Resuelve los siguientes problemas.
demostración del teorema de Pitágoras. a
b
c
b
a
a b
b
c
a
b
c
a
c
b
a
c
b) Dos bicicletas parten de un mismo punto en direcciones perpendiculares. Ambos circulan a una rapidez constante de 40 km/h. Al cabo de dos horas ¿a qué distancia se encuentran uno del otro?
8. Desafío: analiza y explica la siguiente
c
a) ¿Cuál es la medida del tercer lado de un triángulo para que sea rectángulo, si los otros dos lados miden 33 cm y 65 cm?
h) Una escalera de 2 m se apoya en la pared a una distancia de 50 cm. ¿Qué altura alcanza?
a
b a
b
Reflexiona § ¿Cómo puede aplicarse el recíproco del teorema de Pitágoras a la construcción de ángulos rectos? Investiga y comenta con tus compañeros.
UNIDAD 2 • GEOMETRÍA
127
Resolución de problemas Analiza la resolución del siguiente problema. Es posible doblar un papel a la mitad sucesivamente, y obtener así una división en 2, 4, 8, 16 partes o, en general, una potencia de 2 (aunque al aumentar el número de pliegues la dificultad aumenta notoriamente). Sin embargo, ¿cómo podemos doblar un papel, por ejemplo, en 3 partes iguales? En grupos de 3 personas, realicen la siguiente actividad. Paso 1 Tomen una hoja rectangular y dóblenla a la mitad por su lado más corto. Luego, dóblenla nuevamente a la mitad por ese lado y extiéndanla. Quedarán marcados tres dobleces paralelos.
Paso 3 Dos de los dobleces iniciales son intersecados por el doblez anterior. Doblen ahora la hoja en los puntos de corte, en forma perpendicular a los dobleces paralelos.
Paso 2 Doblen la hoja diagonalmente desde el extremo del tercer doblez hasta la esquina opuesta de la hoja.
Paso 4 Extiendan la hoja y verifiquen que ha quedado doblada en 3 partes iguales.
Discutan grupalmente. a) ¿Qué teorema permite afirmar que la hoja ha quedado doblada en tres partes iguales? Justifiquen asignando letras a los pliegues y a los puntos de intersección entre ellos. b) ¿Es posible utilizar este sistema para doblar una hoja en 5 partes? ¿En 7 partes? Justifiquen en cada caso el procedimiento utilizado, y compruébenlo doblando una hoja en 5 y en 7 partes. c) Paulina quiere doblar una hoja de papel de modo que las partes queden en razón 2 : 3. ¿Cómo puede hacerlo? Expliquen un método para ello. 128
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
Para no cometer errores
1
Analiza la situación
2
3
Aprende la forma correcta
Gerardo quiere calcular el valor de x en la siguiente figura, donde AB // CD, AE = 3, EC = x, ED = 8 y EB = 4. A
Para hacerlo, plantea la siguiente proporción:
B
8 4 = x 3 8 • 3 = 4x 24 = 4x x=6
E
C
D
Razona
y comenta
§ ¿Cuál es el error cometido por Gerardo? § ¿Qué otros errores pueden cometerse al aplicar el teorema de Thales?
Al aplicar el teorema de Thales es muy importante identificar correctamente cuáles son los segmentos proporcionales entre sí. En este caso, una de las proporciones correctas es EA EB = ED EC
Con ello, EA EB 3 4 = → = ED EC 8 x 3x = 8 • 4 3x = 32 x=
Analiza la situación
32 3
Aprende la forma correcta
Valeska quiere calcular la medida de BC en la siguiente figura, donde se sabe que AD = 3 cm y BD = 9 cm. Para hacerlo aplica el teorema de Euclides, utilizando que BC = a, AD = p, BD = q y, con ello, AB = AD + BD = 3 + 9 = 12
B
a2 = p • c BC2 = AD • AB D
BC2 = 3•12 BC2 = 36
C
4
A
BC = 6
Razona
y comenta
§ ¿Cuál es el error cometido por Valeska? § ¿Qué otros errores pueden cometerse al aplicar el teorema de Euclides?
Al aplicar el teorema de Euclides es fundamental nombrar correctamente a las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa e identifica sus medidas. En este caso, se llamó erróneamente p a AD, cuando en realidad p = BD. Con ello se obtiene que: a2 = p•c BC 2 = BD•AB BC 2 = 9•12 BC 2 = 108 BC = 108 = 6 3
Reflexiona § ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores? ¿Cuáles? § Respecto a los que no, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos? § Revisa los ejercicios que hayas resuelto en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes tomar para no volver a cometerlos?
UNIDAD 2 • GEOMETRÍA
129
Integrando lo aprendido 3 Aplica el recíproco del Teorema de Thales para determinar en cuál(es) de los siguientes casos las rectas por las que se pregunta son paralelas.
Lección 16: Teorema de Thales 1 Calcula el valor de x en cada figura. a. AB // CD // EF, AC = 8 cm, CE = x cm, BD = 5 cm, DF = 4 cm. B
D
a. ¿AB // CD? C A
F
AE = 27 cm ED = 15 cm BC = 40 cm EC = 18 cm
E
E C
D
B
A
b. ¿AB // CD // EF? b. AB // DE, CD = 12 cm, DA = 6 cm, DE = 18 cm, AB = x cm.
A
C
B D
C E
F
E
D A
Lección 17: División de trazos
B
c. AB // DE, AB = 6 cm, AC = 5 cm, CE = 4 cm, DE = x cm.
Evaluación
AC = 20 cm CE = 16 cm BD = 30 cm BF = 54 cm
A
B
4 Aplica alguno de los métodos aprendidos para ubicar los puntos P, Q y R en el siguiente segmento con las condiciones dadas. A
C D
E
2 Calcula el valor de x e y en cada figura. a. BC // DE, AC = 6 cm, CE = y cm, AB = x cm, BD = 2 cm y AD = 6 cm. E
a. P divide al segmento AB en razón 3. 2 b. Q divide al segmento AB en razón 1 . 4 5 c. R divide al segmento AB en razón . 3 5 Resuelve los siguientes problemas. a. Se sabe que P divide interiormente al trazo AB en razón 5 : 2. Si AP = (x – 1) cm y PB = (x – 2) cm, ¿cuánto mide el trazo AB?
C
A
B
B
D
b. AB // CD // EF, AB = 12 cm, CG = y cm, AC = 4 cm, CE = 12 cm, DF = x cm, BD = 6 cm.
b. El trazo AB mide (x + 4) cm, y está dividido interiormente en razón 1 : 2 por el punto P. Si AP mide (x – 2) cm, ¿cuál es la medida del trazo AP?
Lección 18: Teorema de Euclides 6 Completa la siguiente tabla a partir de los datos de la figura.
F
E G C
A
b
D
B
h p
q c
130
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
a
1 c
16 4
p
q
6
2
h
20
7 Calcula el valor de las incógnitas en las siguientes figuras. a.
24 cm
7 cm
x=
x
y=
y
b.
y
z
x= x
10 cm
10,5 cm
y= z=
c. 6 cm
10 cm
y x
z
3
b. Se sabe que un triángulo ABC inscrito en una semicircunferencia de centro O y diámetro AB es rectángulo. Además, CB = 17 cm y AC = 64 . 17 ¿Cuál es el perímetro de la circunferencia?
Lección 19: Teorema de Pitágoras y recíproco 9 Determina en cada caso si el triángulo ABC es rectángulo, dadas las medidas de sus lados. a. AB = 30 cm, BC = 40 cm y CA = 50 cm. b. AB = 0,9 cm, BC = 0,12 cm y CA = 0,15 cm. c. AB = 24x cm, BC = 10x cm y CA = 26x cm. 10 Calcula en cada caso el valor de x. b. a.
x= y=
4
x cm 20 cm
z=
25 cm 16 cm
b
13 cm
a
2
8 cm
8 Resuelve los siguientes problemas.
5 cm
12 cm
11 Calcula el área y el perímetro de la siguiente figura. 15 cm
a. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 17 m y el menor de sus catetos mide 8 m. ¿Cuánto mide la altura respecto del ángulo recto?
Evaluación
x cm
40 cm
32 cm
Autoevaluació Autoevaluación Evalúa tu aprendizaje utilizando el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las páginas indicadas para repasar. Indicador
Mínimo sugerido por ítem
Puedes repasar en la(s) página(s)
Comprender y aplicar el teorema de Thales sobre trazos proporcionales.
Ítem 1: 2/3 Ítem 2: 1/2 Ítem 3: 1/2
110 y 112
Dividir trazos en una razón dada.
Ítem 4: 2/3 Ítem 5: 1/2
116 y 117
Demostrar y aplicar los teoremas de Euclides relativos a proporcionalidad de trazos.
Ítem 6: 4/7 Ítem 7: 2/3 Ítem 8: 1/2
120 y 121
Demostrar y aplicar los teoremas de Euclides relativos a proporcionalidad de trazos.
Ítem 9: 2/3 Ítem 10: 1/2 Ítem 11: 1/1
124 y 125
UNIDAD 2 • GEOMETRÍA
131
Sección 3
Ángulos y segmentos en la circunferencia ¿Qué aprenderás?
¿Dónde?
Es importante porque te permitirá…
Identificar y relacionar los ángulos inscritos y del centro en una circunferencia.
Lección 20
calcular la medida de los ángulos inscritos y del centro de una circunferencia.
Determinar relaciones entre trazos y secantes de una circunferencia.
Lección 21
aplicar la semejanza para demostrar las relaciones entre trazos en una circunferencia.
Explorando tus ideas previas
Actividad
§ ¿Qué te sugieren los siguientes términos? Ü
Circunferencia
Ü
Círculo
Ü
Arco
Ü
Cuerda
Ü
Secante
Ü
Tangente
De esto se trata… Un arcoíris es un bello espectáculo de la naturaleza. En su formación influyen una gran cantidad de sucesos climáticos y, por supuesto, están presentes la matemática y la física. Isaac Newton demostró en el siglo XVII que la luz blanca puede descomponerse en sus distintos colores que no son más que distintas frecuencias de onda. Esto sucede por el proceso de refracción que hace que las distintas longitudes de onda tomen rumbos distintos generando un arcoíris primario y uno secundario, más tenue y con los colores invertidos.
En realidad, un arcoíris es una circunferencia completa, pero una parte de él no la vemos pues se encuentra bajo el horizonte. Sin embargo, en teoría sería posible ver la circunferencia completa en algunos casos, pero deberíamos estar volando varios metros sobre el suelo.
Actividad grupal Observen el video ubicado en http://goo.gl/GfizJ y respondan las siguientes preguntas.
➊ ➋
¿En qué ángulo sobre el horizonte se observa el arcoíris primario? ¿Y el secundario? ¿Por qué se produce esto? Si medimos los ángulos desde el horizonte hasta los extremos inferior y superior arcoíris primario, ¿cuál es la diferencia entre ellos?
Propósito: que comprendas algunas relaciones entre segmentos y ángulos que se forman en una circunferencia, y las apliques en la resolución de problemas. 132
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1
2
3
4
¿Qué debes saber? Realiza las siguientes actividades. Identificar elementos lineales de la circunferencia
c. x
1 Construye los siguientes elementos en la circunferencia (lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro).
63º
d.
O
a. Cuerda
x
110º
b. Radio c. Tangente d. Secante
e.
C 4x
e. Diámetro
Actividad
f. Arco 2 ¿Qué relación existe entre el radio y el diámetro de una circunferencia? Explica. Calcular ángulos en triángulos
3 Calcula en cada caso el valor de x.
5x A
59º
B
D
4 Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica las falsas. a. Un triángulo rectángulo isósceles siempre tiene un ángulo que mide 45°.
a. 56º
b. Un triángulo isósceles tiene sus tres ángulos de distinta medida. x
b.
x
c. Un triángulo inscrito en una circunferencia siempre es isósceles. d. En un triángulo rectángulo, los ángulos no rectos suman 90°.
Autoevaluació Autoevaluación En la tabla que te entregará tu profesor(a), evalúa el nivel de dominio alcanzado. Luego, repasa en los sitios web que se indican si fuera necesario.
Repasa en los siguientes sitios web…. http://goo.gl/C0AKg
Elementos lineales de la circunferencia.
http://goo.gl/93QbF
Cálculo de ángulos en triángulos.
UNIDAD 2 • GEOMETRÍA
133
Lección
20
Propósito: identificar y relacionar los ángulos inscritos y del centro en una circunferencia.
Debes saber… § Cuando dos líneas cortan
a otra formando un arco, se dice que ellas lo subtienden. En la figura, las líneas subtienden el arco AB. B
A
Ángulo inscrito y del centro en una circunferencia En parejas, lean y realicen las siguientes actividades. Has visto en cursos anteriores que la medida de un ángulo se basa en una circunferencia trazada desde su vértice, la cual se divide en 360 partes iguales (grados) y la medida del ángulo corresponde a la cantidad de partes que quedan contenidas entre sus rayos. En la figura los rayos abarcan 75 partes, por lo que podemos decir que el ángulo mide 75°, o también que el arco AB mide 75°. Es decir, podemos expresar la medida de un arco según la medida del ángulo que tiene como vértice el centro de la circunferencia que lo contiene,
A
B
75º O
) = m(AOB) m( AB
§ Un arco de circunferencia
siempre se escribe en sentido contrario a las agujas del reloj.
A
¿Qué ocurre si el vértice de un ángulo se ubica sobre la circunferencia y no en el centro de ella? En ese caso decimos que el ángulo es inscrito, y relacionaremos su medida con la del ángulo del centro correspondiente, considerando los siguientes casos. Caso 1
El centro de la circunferencia queda dentro de la región angular. C
B O
O
) = m(AOB) m( AB
B
) = m(BOA) m(BA A
C C
Ayuda Salvo que se indique lo contrario, el punto O siempre representará al centro de la circunferencia.
Se traza un diámetro CD; con ello OA = OC = OB, por lo que los triángulos AOC y BOC son isósceles de base AC y BC, respectivamente. Por lo tanto,
α β
∢OAC ≅ ∢ACO = α ∢OCB ≅ ∢CBO = β
α 2α
O 2β
β B
A
En el triángulo AOC, AOD es exterior a COA. Por lo tanto,
D
m(∢AOD) = 2α Por la misma razón, m(∢DOB) = 2β Entonces, m(∢ACB) = α + β m(∢AOB) = m(∢ACB) → m(∢AOB) = 2m(∢ACB) → m(∢AOB) = 2α + 2β 2 Es decir, el ángulo ACB mide la mitad del ángulo del centro que subtiende el mismo arco. En general también decimos que ACB mide la mitad del arco que subtiende. 134
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1 Caso 2
2
3
4
Observa que…
El centro de la circunferencia queda fuera de la región angular.
Podríamos definir el caso en que uno de los rayos del ángulo inscrito coincide con el diámetro de la circunferencia.
C O
C α
B
A
O
Se traza el radio OC; con ello OA = OC, por lo que los triángulos AOC y BOC son isósceles de base AC y BC, respectivamente. Si llamamos β a la medida del ángulo ACB, tenemos que ∢OAC ≅ ∢ACO = α ∢OCB ≅ ∢CBO = α+β En el triángulo DBC, ADB es exterior a BDC. Por lo tanto,
α 2α
O
α β
C
2β D β +α α 2β +α A
B
A B
La demostración de que también mide la mitad del arco que subtiende se desprende del mismo análisis del caso 1.
m(∢ADB) = β + α + β = 2β + α En el triángulo ADO, ADB es exterior a ODA. Por lo tanto, m(∢ADB) = m(∢AOD) + m(∢DAO) 2β + α = m(∢AOD) + α 2β = m(∢AOD) m(∢AOB) m(∢AOB) β= → m(∢ACB) = 2 2 Es decir, el ángulo ACB mide la mitad del ángulo del centro que subtiende el mismo arco. En general podemos decir también que, todo ángulo inscrito en una circunferencia mide la mitad del arco que subtiende. A partir de este resultado podemos deducir además los siguientes corolarios: 180° m(∢ACB) = = 90° 2
C
Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia A es recto
O 180º
D
C
Ángulos inscritos que subtienden arcos iguales son congruentes entre sí
B
m(∢AOB) m(∢AOB) ; m(∢ADB) = ; 2 2 m(∢AOB) m(∢AEB) = 2 Por lo tanto, ∢ACB ≅ ∢ADB ≅ ∢AEB m(∢ACB) =
E O α A B
Todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, sus ángulos opuestos son suplementarios
C
A
Ángulo del centro: es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella. La medida del arco AB es igual a la medida del ángulo del centro AOB.
( )
m( ∢AOB) = m AB
Angulo inscrito: es aquel que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son cuerdas de la misma. El ángulo inscrito ACB mide la mitad que el ángulo del centro AOB. m( ∢AOB) = m( ∢ACB) 2 C
α β y m(∢ADC) = . 2 2 Así m(∢CBA)+m(∢ADC) = 180º
α 2
α + β= 360° , pero m(∢CBA) =
D αβ O
En resumen
B
Del mismo modo se obtiene: m(∢BAD)+m(∢DCB) = 180º
O
α A B
UNIDAD 2 • GEOMETRÍA
135
Practiquemos lo aprendido
Repaso
Aplica
1. Explica cómo se define una circunferencia.
5. Evalúa si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas respecto a la circunferencia con centro en O. Justifica las falsas.
2. Define los siguientes términos en una circunferencia:
B
a) Radio
c) Cuerda
b) Centro
d) Diámetro
O C
3. Explica la diferencia entre círculo y circunferencia. A
Práctica guiada
D
4. Calcula en cada caso la medida del ángulo α. Guíate por el ejemplo. α
a) Si la medida angular del arco AC es 120° y la del arco CB es 110°, entonces la medida angular del arco AB es 110°. b) Si la medida del ángulo ABO es 40° y BO es bisectriz del ángulo ABC, entonces el ángulo COB mide 100°.
O
c) El arco que subtiende el ángulo del centro AOC corresponde a la medida del arco AC. Paso 1
El ángulo α es inscrito, por lo que mide la mitad del ángulo del centro que subtiende el mismo arco.
Paso 2
Se calcula la medida de α:
d) El arco que subtiende el ángulo AOC es el mismo que subtiende el ángulo ABC.
6. Resuelve los siguientes problemas: α = 90 : 2 = 45° d)
a)
Z
a) La medida del arco XY es 50°. ¿Cuál es la medida del ángulo XZY?
O
α + 10º 30º O
X
α
O α + 60º
b) PQ es diámetro y la medida del arco QM es 80°. ¿Cuál es la medida del ángulo PMO?
e)
b)
40º α
α
O
Y Q M O
O P
75º
E
c)
f) O α
30º
101º O 2α
c) El ángulo ACB mide 30°, y el arco AB mide la mitad del arco DA. ¿Cuál es la medida del ángulo DEA?
D
C O
A
136
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
B
1
3
4
8. Observa la figura y responde: D
E
O
C
A
O C
B
D E
e) El arco EA mide 15º ¿Cuáles son las medidas de los ángulos EDA, ECA y EBA?
A D O
A
C
b) Si el ángulo DCB mide (x + 3)° y BAC mide (x + 17)°, ¿cuál es el valor de x?
B
9. En el cuadrilátero inscrito en la circunferencia,
K
f) Los ángulos OKJ y JHO miden 20° ¿Cuál es la medida del ángulo KOH?
a) Si el ángulo BAD mide 95°, y el ABC mide 80°, ¿cuánto miden los ángulos DCB y ADC?
Practiquemos lo aprendido
B
d) El ángulo ABD mide 40°, y el arco AC mide la cuarta parte del arco AD. ¿Cuál es la medida del ángulo CED?
2
α α – β = 60º. Si γ= , ¿cuánto mide el ángulo x? 3
O
A
J
α H
B γ
g) El arco KM mide 100°. ¿Cuál es la medida del ángulo NMO?
O
N
x β
D
C
O
10. Analiza la siguiente información y luego realiza B
h) El ángulo CDB mide 25°. ¿Cuánto mide el ángulo CAB?
las actividades:
M
K
A
Un ángulo semi-inscrito β es aquel que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son una tangente y una cuerda.
C
O
D
O
7. Analiza el triángulo ABC inscrito en una semicircunferencia y responde.
A
β
B
C
A
0
B
a) Si el arco AB mide α, expresa la medida del ángulo inscrito β en función de α. (Utiliza la figura y considera que OA y OB son radios).
a) ¿Cuánto mide el ángulo BCA?
b) Si α = 30° ¿Cuánto mide β?
b) Si el ángulo CAB mide 45°, ¿qué tipo de triángulo es ABC?
c) Si β = 45° ¿Cuánto mide α?
c) Si el ángulo ABC mide 65°, ¿cuál es la medida del ángulo CAB?
d) Si β = 60° ¿Cuánto mide el arco AB?
UNIDAD 2 • GEOMETRÍA
137
Practiquemos lo aprendido
11. Calcula en cada caso la medida del ángulo semi
d) BC es tangente a la circunferencia en B, y el arco AB mide 50°. ¿Cuánto mide el ángulo CBA?
inscrito α. a) 30º
B O
C
α
O
b)
A A
e) Si el arco AB mide 30°, BC es diámetro y CD es tangente B a la circunferencia en C, ¿cuáles son las medidas de α y β?
30º O
α
O
β C
α
13. Analiza la información y responde: c)
Un ángulo interior α está formado por la intersección de dos cuerdas en un punto al interior de la circunferencia.
α O
C D
γ
E α β
γ
B
β
A C
12. Resuelve los siguientes
B
problemas respecto al ángulo semi-inscrito.
x
a) El arco AB mide 160° y BC es tangente a la circunferencia en B. ¿Cuál es la medida del ángulo x?
a) Considerando que α = β + γ por ser ángulo exterior al triángulo AEB, expresa la medida de α en función de los arcos DA y BC. b) Si el arco DA mide 20° y el arco BC mide 10°, ¿cuánto mide el ángulo α?
O A
c) Si α = 60° y el arco DA mide 15°, ¿cuánto mide el arco BC?
14. Analiza la figura y realiza las siguientes actividades.
A
b) El arco BA mide 130° y BC es tangente a la circunferencia en B. ¿Cuánto mide el ángulo CBA?
Un ángulo exterior α es aquel cuyo vértice está fuera de la circunferencia y puede estar formado por la intersección de dos secantes
O C
D
B
γ
A
c) El arco BC mide 276° y AB es tangente a la circunferencia en B. ¿Cuánto mide el ángulo CBA?
138
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
B
C α
C
β
E
B
A
O
a) Expresa la medida del ángulo β en función de la medida del arco BC y el ángulo γ en función de la medida del arco DA.
1
las circunferencias de centro O. a) Sea OPQR un cuadrado. ¿Cuánto mide el ángulo PSR? S
Q
15. Calcula en cada caso el valor de x.
A
x
O
P
d) Si el ángulo α mide 70° y el arco BC mide 50°, ¿cuánto mide el arco DA?
D
R
b) El ángulo ADC mide 130°. ¿Cuánto mide el ángulo CBA? C
D
B
P
A
B
0
O
C
4
16. Resuelve los siguientes problemas de ángulos en
c) Si el arco DA mide 100° y el arco BC mide 30°, ¿cuánto mide el ángulo α?
a) El arco BD mide 20°, y el AC mide 30°.
3
Practiquemos lo aprendido
b) Considerando que γ = α + β, por ser ángulo exterior al triángulo AEC, expresa el valor de α en función de los arcos DA y BC.
2
c) El arco BC corresponde a un cuarto de circunferencia con centro en A. ¿Cuánto mide el ángulo CAD? b) El arco DB mide 10°.
C
D
C
x A
20º
P
O
A
B
B
d) El ACB mide 30°. ¿Cuánto mide el OBA? C
D
c) El arco DB mide 70°. B
A
x
O
P 110º
D
e) El triángulo ABC está inscrito en la circunferencia y la recta AP es tangente en A. Si el ángulo BAC mide 60° y el BAP mide 145°, ¿cuánto mide el ángulo CBA?
C
d) A
B 10º x
P
B
A
O
B
C
80º
O
O
D C P
e) El arco DB mide 10°. A O
40º
A
f) El ángulo BAO mide la mitad del ángulo AOB. ¿Cuánto mide el ángulo ACB?
B x
C
D
O
E A
C
D B
Reflexiona § ¿Cuál es la mayor medida que puede tener un ángulo interior? ¿Y un ángulo exterior? Discute con tus compañeros.
UNIDAD 2 • GEOMETRÍA
139
Lección
21
Propósito: Demostrar las relaciones entre segmentos que se forman al cortarse dos cuerdas o dos secantes.
Debes saber… § Se puede establecer
semejanza de triángulos bajo el criterio AA, el criterio LAL y el criterio LLL § Teorema fundamental de las proporciones: a c = → a•→ a•d=b•c b• b d
Cuerdas y secantes en la circunferencia Taller Lee y realiza las siguientes actividades. Al igual que con los ángulos, existen relaciones entre las medidas de los segmentos que determinan dos cuerdas o dos secantes que se intersecan entre sí. Para analizar estas relaciones consideraremos los siguientes casos: Caso 1 Caso 2 B C
B
P
A P
D D
A C
1 En cada caso traza los segmentos AC y BD. ¿Qué relación existe entre los triángulos APC y DPB? Justifica. 2 Escribe la proporción entre los lados homólogos de ambos triángulos. 3 Utiliza el teorema fundamental de las proporciones para escribir una operación que relacione las medidas de los segmentos AP, BP, CP y DP. Se puede constatar que en ambos casos las cuerdas y las secantes se intersecan determinando triángulos semejantes, por lo tanto, segmentos correspondientes proporcionales. PA PC = == =•PPA =•PBD=• PD •PC PD PB El resultado anterior se conoce, respectivamente, como Teorema de las cuerdas para el caso 1 y Teorema de las secantes para el caso 2. Es posible también relacionar una secante y una tangente mediante el Teorema de la secante y la tangente. D
PA • PB = PD²
Razona
y comenta
§
140
Traza los segmentos AD y BD en la figura del teorema de la secante y la tangente. ¿Qué ángulos tienen la misma medida? ¿Qué triángulos semejantes se pueden determinar? Justifica.
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
P
B
A
En resumen Teorema de las cuerdas Teorema de las secantes B C
Teorema de la secante y la tangente
PA • PB = PD²
B
P
A D
A
PA • PB = PD • PC
P
D
D C
PA • PB = PD • PC
A
B
P
1
2
3
4
1. En la siguiente circunferencia identifica y nombra
teorema de las secantes visto en la lección. Guíate por el ejemplo.
los elementos indicados. D 5
E
A
4
B
O
F
3
x
Practiquemos lo aprendido
3. Calcula en cada caso el valor de x, aplicando el
Repaso
G C
H
4 ( 4+5) = 3(3+x ) d) DB e) FG
a) AH b) OE
36 = 9+3x 27 = 3x 9= x
c) CD a)
Práctica guiada
10 x
2. Calcula en cada caso el valor de x, aplicando el
8
teorema de las cuerdas visto en la lección. Guíate por el ejemplo. 4
7
x
b)
6 3
5
x 5
(5 + x)
4 • 6 = 3x 8=x a)
x
c)
c)
2
5 x
b)
2
5
d) 4 (5 + x)
10 20
5
10
4
x
1 (x – 3)
O
x+7
x
d) 3
8
x
4,5 (1 + x)
16
UNIDAD 2 • GEOMETRÍA
141
Practiquemos lo aprendido
Aplica 4. Representa con un dibujo las siguientes
b) AB = 4 cm, BC = 9 cm y AD = 6 cm, ¿cuál es el triple de la longitud de DE? A
situaciones y luego resuelve.
B
a) Dos cuerdas MT y PQ se cortan en el punto A. Si PA = 12 cm, QA = 4 cm y AT = 16 cm, ¿cuál es el doble de la longitud de MA?
O
b) Las cuerdas AB y CD se intersecan en el punto E de tal manera que AE : EB = 1 : 3. Si AB = 8 cm y CE = 4 cm, ¿cuál es la tercera parte de la longitud de ED? c) Dos cuerdas XZ y WY se intersecan en el punto K de tal manera que WK = (a + 3) cm, KY = (a + 6) cm y XK = (a + 1) cm. ¿Cuál es el 50% de la longitud de KZ?
f) En una circunferencia de centro O y radio r, las cuerdas QP y TH se prolongan hasta que se intersecan en el punto M. Si QP = 12 cm, el segmento exterior a QP mide 4 cm y el segmento exterior a TH mide 6 cm, ¿cuál es la longitud de TH? g) Desde un punto A exterior a una circunferencia se traza la recta tangente AB y la recta secante AD que se interseca con la circuferencia en los puntos C y D. Si AC = 6 cm y DC = 18 cm, ¿cuál es la mitad de la medida del segmento AB? h) En una circunferencia la cuerda MP se prolonga más allá de P hasta intersecarse con una recta tangente TA en el punto A, donde T es el punto de tangencia. Si PA = 2 cm y TA = 4 cm, ¿cuál es el doble de la longitud de MP?
c) HK es diámetro, FH = 5 cm, HK = 8 cm y FL = 4 cm, ¿cuál es el cuádruplo de la longitud LM? M L
a) PL = 7 cm, LK = 1 cm y JK = 2 cm. ¿Cuál es la longitud de MJ? M J K L P
142
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
F
K
O
H
d) XY = 3 cm, YQ = (k + 1) cm, HQ = k cm, ¿cuál es la longitud de MH? Y
X O
Q H
M
e) AP es diámetro, AB = 3 cm, BP = 4 cm, PQ = 3 cm, TQ = 2 cm, ¿cuál es la longitud del segmento BT? B T A
Q
P
O
f) HE = 18 cm, HA = 9 cm y AD = 7 cm. ¿Cuál es la cuarta parte de la longitud del segmento XE? D A O
5. Resuelve los siguientes problemas:
O
E
C
d) El radio OM de una circunferencia de centro O se interseca con la cuerda PQ en el punto B, de modo que MB : BO = 2 : 3. Si PB = 20 cm y BQ = 5 cm, ¿cuál es la longitud de MB? e) Desde un punto A exterior a una circunferencia se trazan dos rectas secantes, de tal manera que una de ellas se interseque con ella en los puntos B y C; y la otra, en los puntos D y E, donde AB < AC y AD < AE. Si AB = 4 cm, CB = 11 cm y AE = 12 CM. ¿Cuál es la medida del segmento DE?
D
H
X
E
1
3
4
b) PT es tangente a la circunferencia en T, PB = AB y PT = 6 2 cm, ¿cuál es la medida del segmento PA? T
R O
O
P
T J
B
P L
A
h) PT= 27 cm, PQ : QT =2 : 7 y PH = 4 cm. ¿Cuál es el doble de la longitud de HA?
c) PA es tangente a la circunferencia en P, BO = OC = 9 cm y CA = 6 cm. ¿Cuál es la medida del segmento AP? P
T
A
Q
C
O
P
O
H B
A
6. Analiza la siguiente figura y realiza las actividades: D x
C
a
P p
d) PA es tangente a la circunferencia en P, PA = 10 cm = 2CA y BO = OC = x cm. ¿Cuál es la medida de BO + OC? P
B
A
q
C
A
O
a) Aplica el teorema de las secantes para establecer la ecuación correspondiente. b) A medida que disminuye x, ¿a qué elemento se asemeja la secante PD? c) Si x toma el valor 0, ¿qué elemento de la circunferencia sería PD?
B
e) PA es tangente a la circunferencia en P, PA = 6 cm y AB = 3PA. ¿Cuál es la medida del diámetro de la circunferencia? P
d) Reemplaza el valor de x = 0 en la ecuación. ¿Qué expresión obtienes? Explica.
O B
centro O, en cada caso. a) PT es tangente a la circunferencia en T, AB = 30 cm y BP = 2 cm, ¿cuál es la medida del segmento PT?
T O B
P
A C
7. Calcula el valor pedido para las circunferencias de
A
Practiquemos lo aprendido
g) En la figura, TR es diámetro y JT mide lo mismo que un radio de la circunferencia. Además, JL = 6 cm y LP = 12 cm. ¿Cuál es el perímetro de la circunferencia?
2
8. Conexiones: las imágenes que vemos se deben a la entrada de luz a nuestros ojos en los que se producen diversos efectos debido a la curvatura del cristalino. a) Investiga respecto del funcionamiento del ojo y la forma en que captamos las imágenes. b) Investiga respecto de algunas enfermedades a la vista. ¿Qué relación tienen con la formación de ángulos dentro del ojo? Explica.
Reflexiona § Desde un punto exterior a una circunferencia se traza una secante y una tangente. ¿Mide más la tangente o la secante? ¿O depende de cada caso? Discute con tus compañeros.
UNIDAD 2 • GEOMETRÍA
143
Resolución de problemas Analiza la resolución del siguiente problema. Isabel debe ubicar el número 19 en la recta numérica, pero no quiere construir tantas raíces antes del número deseado. Le parece que utilizando el teorema de Euclides y algo de ángulos inscritos podría ser más corto el procedimiento. ¿Cómo puede hacerlo? Paso 1 Comprende el enunciado a. ¿Qué se quiere saber una vez resuelto el problema? La ubicación de una raíz cuadrada en la recta numérica. b. ¿Qué información entrega el enunciado? La raíz cuadrada a ubicar, y algunos teoremas que se pueden emplear para simplificar la tarea. Paso 2 Planifica lo que vas a realizar Se buscará encontrar una relación entre el teorema de Euclides y lo que se sabe en relación con el ángulo inscrito para utilizar estos resultados y realizar la construcción. Para ello, se harán dibujos y se asignarán distintos valores. Paso 3 Resuelve el problema De acuerdo con el teorema de Euclides se tiene que: a² = cp C
hc α
β
q
P
D
B
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
A
c
hc² = pq
De la segunda igualdad podemos deducir que si b = 19, entonces cq = 19. Es decir, podría construirse un triángulo de modo que q = 1 y c = 19, para que con ello su lado b tenga la medida buscada.
a
b
b² = cq
Sabemos además que un triángulo rectángulo está inscrito en una semicircunferencia cuyo diámetro es la hipotenusa del triángulo. Utilizaremos esta idea para ubicar la raíz pedida:
a. Desde el 0 (vértice A), trazamos un segmento AD de medida q = 1 y otro segmento AB de medida c = 19. b. Desde el punto D, se traza una recta DE, perpendicular a AB.
E
c. Se ubica el punto F, punto medio de AB, y desde él se traza una semicircunferencia de radio FB. d. La intersección entre la recta DE y la circunferencia trazada nos da el punto C, de modo que AC = 19. Se copia esta distancia sobre la recta para obtener el punto pedido.
C
F A
D 0 1
19
19 2
Paso 4 Revisa la solución Verifica que la ubicación obtenida es correcta, realizando los procedimientos vistos en la unidad 1.
Podrás aplicar lo aprendido aquí en los problemas que se presentan en la página 146. 144
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
B 19
Para no cometer errores
1
Analiza la situación
2
3
4
Aprende la forma correcta
En la siguiente figura Fabián quiere calcular la medida del ángulo x en función de α. Se sabe que AB es diámetro y que el arco DB mide el doble que el arco BC. A x O
C
α
Fabián interpretó que el ángulo DOB mide lo mismo que el DAB, lo que es incorrecto pues en realidad mide el doble de él. Así, la medida de DOB es 2x, por lo que el arco DB mide 2x y con ello la medida del arco BC es x.
B D
Fabián considera que el DOB mide x, y, por lo tanto, el arco DB mide x. Con ello, el arco BC mide x . 2 x Por ello, concluye que α = . 2
Por lo tanto, α = x.
Razona
y comenta
§ ¿Cuál es el error cometido por Fabián? § ¿Qué otros errores crees que es común cometer en el cálculo de ángulos en la circunferencia?
Analiza la situación
Aprende la forma correcta
Isidora debe calcular la medida del segmento AB en la siguiente figura.
B
Para hacerlo plantea la relación x cm
A
4 cm P
C 2 cm D
32 cm
4 • x = 2 • 32 4x = 64 x = 16 Obtiene así que el segmento AB mide 16 cm.
Razona
y comenta
§ ¿Cuál es el error cometido por Isidora? § ¿Qué otro error crees que se pueden cometer al calcular medidas de segmentos en
Para calcular la medida del segmento AB, Isidora consideró la medida de la cuerda que se forma por la secante y no la medida del segmento completo. La relación correcta es: PA • PB = PC • PD Remplazando se tiene que 4 • (4 + x) = 2 • 34 16 + 4x = 68 4x = 52 x = 13 La respuesta correcta es que el segmento AB mide 13 cm.
la circunferencia.
Reflexiona § ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores? ¿Cuáles? § Respecto de los que no, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos? § Revisa los ejercicios que hayas resuelto en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes tomar para no volver a cometerlos?
UNIDAD 2 • GEOMETRÍA
145
Integrando lo aprendido Lección 20: Ángulo inscrito y del centro en una circunferencia 1 Calcula los valores pedidos.
c. Si los triángulos ABO y OCD son equiláteros y el arco AC mide 150°, ¿cuál es la medida del ángulo DBE? A
B
a. Calcula la medida del ángulo ABC.
E O
B
D
C
O
88º
C A
b. Se sabe que α + β + γ = 90°. ¿Cuál es la medida del ángulo BOA? Z Y X
B 30º
O
A
α β γ
d. El arco BD mide 200°. ¿cuál es la medida del ángulo CED?
A
C
O B
E
D
3 Calcula los valores pedidos.
c. El arco PM mide 40° y MAT = 70°. ¿Cuál es la medida del ángulo TMP?
a. El arco DC mide 60°, y el arco AB mide 30°. ¿Cuál es la medida del ángulo AEB? C
A Q
Evaluación
P
O O
M
A
T
d. AB es diámetro de la circunferencia. ¿Cuál es la medida del ángulo x?
B
b. El arco MA mide 80° y el ángulo MPA mide 60°. ¿Cuánto mide el arco XY? X
C
x B
20º
A
D
E
M
c. El arco BA mide 100° y el arco DC mide 60°. ¿Cuál es la medida del ángulo BEA? A
a. El arco BA mide 300°. ¿Cuál es la medida del ángulo CAB?
D E
A
A
O
Y
2 En las siguientes circunferencias de centro O, calcula los valores pedidos.
P
O C
B
O
Lección 21: Cuerdas y secantes en la circunferencia B
C
b. El ángulo ABC mide 110°, ¿cuál es la medida del ángulo CDB?
4 Resuelve los siguientes problemas. a. AE = 8 cm, EB = 10 cm y ED = 16 cm. ¿Cuál es la longitud de CE? B
C
B
A
146
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
E
C O D
A
O
D
1 b. MY = 20 cm, MP : PY = 3 : 2 y XP = 4 cm. ¿Cuál es la longitud de PZ?
2
B
P
M
K
Z
O
X
O
L
A
W
c. AD = 18 cm, HD = 2 cm y EH = 2HF. ¿Cuál es el doble de la longitud de EF? E
D H
4
c. XW = 6 cm, XL = 4 cm y XK = 3 cm. ¿Cuáles son las longitudes de LA y KB?
Y
X
3
6 Resuelve los siguientes problemas. Considera O centro de la circunferencia. a. AB = 14 m, AD = 4 m y AE = 7 m. ¿Cuál es la medida del segmento AC?
F
O A
D
B O
5 Resuelve los siguientes problemas. a. DC es tangente a la circunferencia en el punto D, AB = 5cm y BC = 4 cm. ¿Cuál es la longitud de DC? D
A E
C
b. PA = (28 + x) cm, PB = x cm, PC = (18 + x) cm, PD = (7 + x) cm. ¿Cuál es la medida de PC? C
O
C
D
A
P
b. LK es tangente a la circunferencia, LK = (a + 2) cm, KM = a cm y MP = 5 cm. ¿Cuál es la longitud de KL?
O
B
A
L
Evaluación
B
O
K M
P
Autoevaluación Autoevaluació Evalúa tu aprendizaje utilizando el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las páginas indicadas para repasar. Indicador
Mínimo sugerido por ítem
Puedes repasar en la(s) página(s)
Identificar y relacionar los ángulos inscritos y del centro de una circunferencia.
Ítem 1: 2/4 Ítem 2: 2/4 Ítem 3: 2/3
134 y 135
Determinar relaciones entre trazos y secantes de una circunferencia.
Ítem 4: 2/3 Ítem 5: 2/3 Ítem 6: 1/2
140 y 141
UNIDAD 2 • GEOMETRÍA
147
l a r u m o i r a i D ¿Astrónomos precoces? Emblema de la arquitectura europea de la Edad de Bronce, ubicado en Inglaterra, este complejo representa la obra cumbre de una antigua sociedad interesada en la observación de los astros que comenzaba una sufrida transición de la tradicional vida de caza a la ardua y sedentaria labor de la vida agrícola.
148
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
¿Quiénes colaboraron con los antiguos britanos en la construcción de Stonehenge?
En una de las excavaciones con fines arqueológicos que se llevaron a cabo en la zona donde fue levantado Stonehenge, el equipo encabezado por el profesor inglés Richard Atkinson encontró un puñal de piedra cuyo contorno labrado era muy similar al de las dagas de la civilización griega que floreció en Micenas en el 1500 a. C. Ese hallazgo lo llevó a suponer que los micénicos podrían haber estado involucrados en la construcción del monumento, algo que fue descartado más adelante.
UNIDAD 2 • GEOMETRÍA
149
Síntesis
Para sintetizar Volviendo al inicio…
¿Cómo se llama?
El empleo de la perspectiva en las obras de arte es conocido desde la antigüedad aunque con diversas técnicas, pese a que incluso algunas destacadas civilizaciones como los egipcios la desconocían completamente.
Relaciona los conceptos utilizando un mapa conceptual.
Esencialmente, perspectiva es el arte de crear una ilusión de tres dimensiones en una superficie plana —de solo dos dimensiones—. Algunas de las técnicas utilizadas se basan en aspectos de percepción —por ejemplo, dotar de más detalles y colores más intensos a los objetos más cercanos, mientras que los lejanos parecen más difusos y menos detallados—. Otras técnicas están basadas en aspectos matemáticos que, si bien pueden ser utilizados en forma intuitiva por el artista, pueden analizarse científicamente. Julian Beever y el anamorfismo La técnica utilizada por Julian Beever es la anamorfosis, que consiste en deformar las imágenes para hacerlas visibles desde un punto específico. De esta manera, el ojo capta una imagen que en conjunto con otros elementos del entorno, es percibida como parte de él, con profundidad y volumen.
Semejanza Escala Razón de semejanza Criterios Homólogo Correspondiente Homotecia Teorema de Thales Proporcionalidad División de trazos Teorema de Euclides Teorema de Pitágoras
Ángulo del centro Ángulo inscrito Arco Teorema de las cuerdas Teorema de las secantes
Evaluando e innovando Diseña una evaluación con los contenidos vistos en la unidad e intercámbiala con un compañero. Te sugerimos:
§ Un crucigrama o sopa de letras con las palabras o conceptos clave. § Un juego de mesa con preguntas de contenidos de la unidad. § Un juego de memoria, que relacione conceptos, fórmulas y definiciones.
150
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1
¿Cómo se hace? Completa en tu cuaderno el siguiente cuadro sinóptico. Contenido Semejanza de figuras planas
Figuras a escala
Criterios de semejanza de triángulos
Construcción de figuras mediante homotecias
Definición y/o procedimiento
Ejemplo
2
3
4
En el ejemplo visto en el inicio de la unidad, el globo terráqueo dibujado por el artista se encuentra en una calle levemente inclinada. Si Beever lo hubiese dibujado perfectamente redondo sobre ella, una persona que lo observa desde el inicio de la calle vería un óvalo achatado. Por ello es necesario que lo prolongue de manera que, en el plano inclinado, el dibujo tenga las mismas proporciones que tendría en el plano recto frente al observador. Lo anterior se puede constatar en la siguiente figura: Imagen que el artista desea lograr
Teorema de Thales
Imagen y el pavimento inclinado
Síntesis
División de segmentos en una razón dada
Teorema de Euclides
Teorema de Pitágoras
Ángulo del centro e inscrito en una circunferencia
Relación entre las cuerdas en una circunferencia
Relación entre las secantes en una circunferencia
Imagen que se quiere dibujar Algunos artistas han utilizado marcos de madera con hilos que forman un cuadriculado, para poder guiarse y respetar las proporciones que deben mantenerse entre los elementos de la figura, garantizadas por el teorema de Thales. En la página web www.julianbeever.net, puedes encontrar extraordinarios ejemplos del uso de esta técnica en diversos escenarios.
UNIDAD 2 • GEOMETRÍA
151
Reforzar antes de evaluar Refuerza los contenidos vistos en la unidad, realizando las siguientes actividades.
Semejanza de figuras planas Semejanza y figuras a escala 1 Los siguientes triángulos son semejantes entre sí. Determina el valor de y. y cm 6,4 cm
9 Los lados de un cuadrilátero miden 12 cm, 7 cm, 9 cm y 15 cm, mientras que los de otro miden 24 cm, 14 cm, 18 cm y 30 cm. ¿Se puede afirmar que son semejantes entre sí? Justifica.
Homotecia y semejanza 10 Utiliza la cuadrícula para reproducir la figura dibujada según la razón de semejanza dada.
5 cm
a. r = 2
1,6 cm
2 Dos ciudades están separadas por 600 km en la realidad, ¿cuál es la distancia que las separa en un mapa dibujado a escala 1: 200 000?
Refuerzo
3 La cocina de una casa tiene forma rectangular de dimensiones 4 x 3 m. Si para remodelarla es necesario crear un plano a escala 1: 200, ¿cuáles serán las medidas del largo y el ancho de la cocina en el plano?
b. r = 1,5
4 Un automóvil viaja a 120 km por hora. En un mapa a escala 1 : 750, la distancia entre su punto de partida y de llegada es de 15 cm. ¿Cuánto tiempo demorará en llegar a su destino? 5 Un plano está dibujado a escala 1 : 50. Si el piso de una bodega es de forma rectangular y sus dimensiones en el plano son de 14 cm de largo y 10 cm de ancho, ¿cuánto mide la superficie de este piso en la realidad?
c. r = 1 2
Criterios de semejanza de triángulos 6 Analiza cada figura e identifica en ella los triángulos que son semejantes. Escribe el criterio utilizado en cada caso. a.
b.
C
4 cm
A
D
B
M
8 cm
P
O
6 cm
15 cm N 12 cm
Ñ
7 Compara los criterios de semejanza de triángulos con los de congruencia. ¿En qué se parecen? ¿En qué se diferencian? 8 Explica por qué todos los cuadrados son semejantes entre sí. 152
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
11 ¿Cuál es la relación entre la razón de semejanza de dos figuras, y una razón de homotecia? Explícalo con tus palabras. 12 La razón de homotecia entre una figura A y una figura B es de 3 : 4, y entre la figura A y una figura C 1 es – ¿Cuál es la razón de homotecia entre C y B? 2 13 A partir de un segmento AB se ha construido una homotecia de centro O, para obtener el segmento A'B´. Si OA = 5 y OA’ = 3, ¿cuáles son los 2 posibles valores de la razón de homotecia?
1
2
3
División de trazos
Teoremas de semejanza
16 Divide en 6 partes iguales el segmento de AB.
Teorema de Thales
B
14 Calcula el o los valores desconocidos en cada figura. a. AB // DE
x cm
A
A
B
9 cm
17 El trazo AB se divide en razón 3 : 4, donde Q es el punto de división. Si el trazo AB mide 20 cm, ¿cuál es la medida de AQ?
C 12 cm 15 cm
D
b. AB // CD
E
18 El trazo AB se divide en la razón 2 : 5, donde Q es el punto de división. Si la distancia entre Q y B es 45 cm, ¿cuál es la medida de AQ?
D y cm B 8 cm E
16 cm 6 cm A
x cm
10 cm
c. L₁ // L₂ // L₃ 15 cm
C
19 Un trazo AB es dividido interiormente por el punto P. Si AP = (x + 5) cm, BP = (x + 1) cm y AB = 10 cm, ¿en qué razón fue dividido interiormente el trazo AB? ¿Cuál es la medida de AP?
L1
Teorema de Euclides
L2
20 Determina en cada caso el valor de x.
x cm 12 cm
9 cm
d. AB // DE
a.
C
c.
x 8 cm
18 cm
8 cm
12 cm 18 cm
D
b.
E
6 cm
x cm
x
x L1
6 L2
8
x
Teorema de Pitágoras y recíproco 21 Resuelve los siguientes problemas.
b. ABCD es un cuadrado de lado 37 cm y CBE un triángulo rectángulo en E, en el cual uno de sus catetos mide 25 cm menos que el lado del cuadrado. Calcula el área y el perímetro de la figura. D
3
48 cm
a. En un rombo cuyo lado mide 2,5 cm, su diagonal mayor mide 4 cm. ¿Cuánto mide la diagonal menor?
5
b.
14 cm
42 cm
B
15 Determina en cada caso el valor de x, para que las rectas L1 y L2 sean paralelas. 2
d.
12 cm
6 cm
A
x
Refuerzo
L3
a.
4
C
L1
4
E
x L2
A
B
UNIDAD 2 • GEOMETRÍA
153
Reforzar antes de evaluar 22 Determina si las siguientes medidas a, b y c corresponden o no a los lados de un triángulo rectángulo ABC. a. a = 4; b = 3; c = 5
e. a = 3; b = 2; c = 2,5
b. a = 13; b = 5; c = 12
f. a = 21; b = 72; c = 75
c. a = 8; b = 19; c = 15
g. aa= = 21;b = 21;c= 84
28 En la figura, AT es tangente a la circunferencia. ¿Cuál es la medida del ángulo TOB? T
38º
O
A
B
d. a = 24; b = 25; c = 7
C
Cuerdas y secantes en la circunferencia
Ángulos y segmentos en la circunferencia
29 XY es diámetro, el radio de la circunferencia mide 10 cm, AY = 4 cm y WA = 6 cm, ¿Cuál es el triple de la longitud de AZ?
Ángulo inscrito y del centro en una circunferencia Considera cada circunferencia de centro O. 23 Calcula la medida del ángulo α.
W
76º
Y A
α
O Z X
24 Calcula la medida del ángulo COA.
30 LE = (14 – 2m) cm, AE = (m + 4) cm, EK = (10 – 2m) cm y PE = (m + 5) cm. ¿Cuál es la longitud de PK?
C
Refuerzo
L O B
25º
A
P
25 AC es tangente a la circunferencia, el ángulo EBA mide 60° y el ∢CBD, 70°. ¿Cuál es la medida del ángulo DOE? C
D
B
O
O A
E K
31 En la figura, BH es tangente a la circunferencia, BM = 4 cm, MO = 6 cm y BF = 5 cm. ¿Cuál es la medida de FD? H
A E
M
B
O
C
26 AB es diámetro. Calcula la medida del ángulo OCB.
F D
B 25º
A
32 HJ es tangente en H, PQ = 6 cm, QT = 8 cm, TJ = a cm y HJ = (a + 3) cm. ¿Cuál es el cuádruple de la longitud de PJ?
O
82º
27 Calcula el valor de α – β.
128º
T
P
O
α β
Q
¿Te sientes más preparado para la evaluación de la unidad? 154
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
H
J
Profundizar
1
2
3
4
Ahora que has reforzado los contenidos de la unidad, te sugerimos las siguientes actividades para que puedas profundizar tus conocimientos.
Demostración del teorema particular de Thales 1 Analiza la demostración del teorema particular de Thales, considerando un triángulo de vértices A, B y C, y una recta paralela al lado BC, que se interseca con los lados AB y AC en los puntos D y E, respectivamente. En cada caso, (ABC) representa el área del ABC Paso 1
A
Se trazan los segmentos BE y CD.
Podemos observar que:
2
(DEB) =
Paso 2
h
DE DE •h (DEC) = •h 2 2 → (DEB) = (DEC)
B
C
A
3 h1 es altura para los triángulos ADE (respecto del lado AD), DBE (respecto del lado DB) y ABE (respecto del lado AB).
h1
AE •h2 2
(ECD) =
EC •h2 2
(ACD) =
AC •h2 2
D
B
h2 E
C
Profundizo
4 h2 es altura para los triángulos AED (respecto del lado AE), ECD (respecto del lado EC) y ACD (respecto del lado AC). Por lo tanto
Paso 3
h
Se trazan los segmentos h1 y h2, perpendiculares respectivamente a los segmentos AB y AC. Así,
(AED) =
E
D
1 Los triángulos DEB y DEC tienen igual altura h, respecto del lado DE.
Considerando las igualdades anteriores:
5 (ADE) = (AED) y (DEB) = (DEC) → (ADE) + (DEB) = (AED) + (DEC) → (ABE) = (ACD) AD AE AE h1 = •h1 = •h2 → AD •h1 = AE •h2 → 2 2 AD h2 EC h1 EC DB = •h1 = •h2 → DB •h1 = EC •h2 → (DBE) = (ECD) → DB h2 2 2 AC h1 AC AB = •h2 → AB •h1 = AC •h2 → •h1 = (ABE) = (ACD) → AB h2 2 2 (ADE) = (AED) →
Paso 4
Podemos concluir que: AE h1 = AD h2
EC h1 = DB h2 AE EC AC → = = AD DB AB
AC h1 = AB h2
2 Demuestra el Teorema general de Thales. Utiliza el caso particular.
UNIDAD 2 • GEOMETRÍA
155
Evalúo mis aprendizajes Evaluemos los contenidos vistos en la unidad, realizando las siguientes actividades 5 ¿Cuál es la razón entre las áreas de los siguientes triángulos semejantes?
Semejanza de figuras planas 1 Los cuadriláteros ABCD y EFGH son semejantes. De acuerdo con lo anterior, ¿cuáles son las medidas de los lados x, y, z? C
3 cm
D
1 cm
H y
6 cm
2,8 cm
Z E
A
G
F
3 cm
B
x
A. x = 9 cm; y = 8,4 cm; z = 2 cm B. x = 1,5 cm; y = 8,4 cm; z = 2 cm D. x = 9 cm; y = 8,4 cm; z = 18 cm E. x = 9 cm; y = 2,8 cm; z = 18 cm
Evaluación
2 Se tiene que ∆ABC ~ ∆DEF. ¿Cuál es la razón de semejanza entre los triángulos? C
B. 0,3
E
12 cm
C. 0,1
D 3,6 cm
D. 0,03
F
3 Los lados homólogos de dos triángulos semejantes están en la razón 1 : 2. ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. Sus áreas están en la misma razón. II. Sus perímetros están en esta misma razón. III. Sus alturas correspondientes están en esta misma razón. A. Solo I
D. I y II
B. Solo II
E. II y III
C. Solo III 4 En la figura ∆ABC ~ ∆EDF. ¿Cuál es el valor de k? E (2k – 1) cm D
C
A. 1 B. 3 C. 8
60 cm
(3k + 12) cm
65 cm
(4k + 7) cm
D. 13 E. 16 156
A
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
25 cm
B
Y
B
A
X
C´ A´
B´
F
A. 0,023 cm
D. 2100 cm
B. 7 cm
E. 14 700 cm
C. 49 cm 7 Según la figura, ¿cuál fue la razón de homotecia aplicada a la figura original para obtener la figura imagen? A'
A. 8 : 6
8 cm
B. 7 : 3
B
A
E. 0,01
C
6 En un plano dibujado a escala de 1 : 300, una habitación de forma cuadrada tiene un área de 49 cm2. ¿Cuál es la medida real del lado de la habitación?
C. x = 1,5 cm; y = 8,4 cm; z = 18 cm
A. 3
A. 1 2 B. 1 4 8 C. 1 1 D. 3 E. 6 2
A
C. 6 : 8 D. 7 : 4 E. 1 : 7
Figura imagen
6 cm 0
Figura original
8 En la figura, al rombo ABCD se le aplicó una homotecia de razón k = − 1 . ¿Cuál es el valor de x? 6 47 A. − C 3 A´ (2x + 7) cm B. − 37 O 9 D D´ B B´ 37 C. − 3 (3x + 5) cm C´ 47 D. − A 9 E. − 17 9
1 9 Si ABCD y FEDG son cuadrados, ¿cuál es el perímetro del triángulo ABF? F
A. 1 cm
D
B
A
x cm
2x cm
B
C
14 Un trazo AB de 48 cm es dividido interiormente por un punto C en la razón 5 : 7. ¿Cuáles son las medidas de los trazos AC y CB ?
A. (1) por sí sola.
A. 6 cm y 8 cm, respectivamente.
B. (2) por sí sola.
B. 20 cm y 28 cm, respectivamente.
C. Juntas, (1) y (2).
C. 20 cm y 120 cm, respectivamente.
D. Cada una por sí sola, (1) o (2).
D. 168 cm y 28 cm, respectivamente.
E. Se requiere información adicional.
E. 120 cm y 168 cm, respectivamente.
Teoremas de semejanza A. 2 cm
D
B. 3,5 cm
E
C. 6 cm
24 cm
12 cm
D. 12 cm x cm
B
6 cm
C
11 En el triángulo ABC, DE // AB , CD = 30 cm y CA = 90 cm. ¿Cuál es el valor de x? C
D. Solo II y III
B. Solo II
E. I, II y III
C. Solo III
A. 5 cm B. 10 cm
D
C. 45 cm
(2x − 5) cm
E
D. 60 cm E. Ninguna de las anteriores.
I. AD = DC = DB II. AD + DC = 120 cm 7 III. AD = 240 cm 49 A. Solo I
Evaluación
15 El trazo AB, que mide 40 cm, es dividido interiormente por un punto C en la razón 3 : 4. Luego, el trazo AC es dividido interiormente por el punto D en la razón 2 : 5. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
10 ¿Cuál es la medida de AB?
A
(2x - 3) cm
E. 12 cm
(1) Área cuadrado FEDG es 25 cm2. (2) Área cuadrado ABCD es 49 cm2.
A
B
45 cm
12 Se tiene que AB//FC//ED, DC = 5 cm, CB = 8 cm y FA = 10 cm, ¿cuál es el valor de EF? A. 13 cm E
B. 15 cm C. 18 cm
F
D
A
16 Sea ABC un triángulo rectángulo en C, en el que se traza la altura desde el vértice C, dividiendo la hipotenusa en dos segmentos. Si sus catetos e hipotenusa miden respectivamente (a + 2) cm, (a + 3) cm y (a + 6) cm, ¿cuál es la longitud de cada proyección sobre la hipotenusa? 2 2 A. (a + 2) cm, (a + 3) cm a+ 6 a+ 6 a + 6 a+ 6 B. cm, cm 2 (a + 3) (a + 2)2
C. (a + 3)(a + 6) cm, (a + 2)(a + 6) cm
C
D. 2,7 cm E. 6,25 cm
E
C. 6 cm D. 9 cm
E. 48 cm
4
D
B. 3 cm
C
A
3
13 En el triángulo ACD, BE //CD y BC = 2 cm, ¿cuál es el valor de BE?
G
E
2
B
D. (a + 2) cm, (a + 3) cm E. a + 2 cm, a + 3 cm a+ 6 a+ 6 UNIDAD 2 • GEOMETRÍA
157
Evalúo mis aprendizajes 17 Respecto de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? p+ q → (p – q)2 = 0 I. Si h = 2 p+ q → p2 + q2 = 0 II. Si h = 2 p+ q III. Si h = → (p+ q)2 = 0 2 A. Solo I
21 En el triángulo ABC, el valor de x se puede calcular si se sabe que: (1) AB // DE (2) Triángulo ABC rectángulo en A. C (1) por sí sola. (2) por sí sola. 4 cm Juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, D (x + 5) cm E (1) o (2). 3 cm E. Se requiere informa(3x + 7) cm ción adicional.
A. B. C. D.
B p
B. Solo II
D
C. Solo III
b
D. Solo I y II E. I, II y III
q
h
C
A
A
a
18 ¿Cuál es la suma de los perímetros de los triángulos ADC y DBC? A. 10 cm
C
B. 3,6 cm
Evaluación
C. 6,4 cm
E
8 cm
6 cm
Ángulos y segmentos en la circunferencia 22 En la figura, AB es diámetro de la circunferencia de centro O. ¿Cuál es la medida del ángulo x? A. 30º
D. 90º
B. 45º
E. 120º
C 30°
x
A
O
C. 60º
B
D. 28,4 cm E. 33,6 cm
A
B
D
19 En un triángulo rectángulo la medida de uno de los catetos es el triple que la del otro, y su área es 243 cm2. ¿Cuál es la medida de su hipotenusa?
23 En la figura, los puntos P, Q, R y S pertenecen a la circunferencia de centro O. Si QT : TP = 4 : 5, QT = 8 cm y RT = 16 cm, ¿cuál es la medida del segmento ST? A. 4 cm
D. 20 cm
A. 9 cm
B. 5 cm
B. 27 cm
C. 16 cm
E. Ninguna de las anteriores
R
S
24 Respecto de la siguiente figura, ¿cuál es el valor de z?
E. Ninguna de las anteriores. 20 En el paralelepípedo de la figura, ¿cuál es la medida de la diagonal AG? A. 10x G
B. 19x D. 90,5x E. x 181
H
⎧ ⎪ 9x ⎨ ⎪ ⎩
D
E
F 6x
C 8x
A
B
A. 5
D. 13
B. 9
E. 17
C. 11
(z + 3) cm 4 cm
5 cm
11 cm
25 En la figura el segmento de recta tangente a la circunferencia mide 9 cm y los segmentos determinados por la secante miden 3 cm y w cm, respectivamente. ¿Cuál es la medida del segmento representado por w? A. 3 cm
D. 81cm
B. 9 cm
E. 243 cm
C. 24 cm
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
T
Q
D. 910 cm
C. 100x
P O
C. 810 cm
158
B
w cm
9 cm 3 cm
1 26 En la circunferencia de centro O, α + β = 58°. ¿Cuál es el valor de γ? A. 29º
D. 116º
B. 58º
E. 145º
C. 87º
β
27 En la figura, PT es tangente a la circunferencia en el punto P y RQ es diámetro. ¿Cuál es el valor de β? A. 40º
D. 100º
B. 50º
E. Ninguna de las anteriores.
C. 60º
R β
P
α
Q 60°
28 Las medidas de los arcos AB y DC son 116º y 54º, respectivamente. Si las cuerdas AD y BC se intersecan en el punto Q, ¿cuál es la medida del ángulo CQD? D. 85º
B. 62º
E. 170º
C Q
29 En la figura, las cuerdas AB y CD se intersecan en el punto P. Si el ángulo APD mide 95º y la medida del arco CA es 72°, ¿cuál es la medida del arco DB? D. 160º
B. 98º
E. 170º
C. 120º
C
B P
D. 70º
B. 65º
E. 80º
B
C
C. 40º A
O
D
31 En la figura x = 30°, AB = BC y O es centro de la circunferencia. Si AB // DE, ¿cuál es el valor de 2α? A. 30º
D. 150º
B. 60º
E. Ninguna de las anteriores.
B
A α
O
D
E
x C
32 En la figura, la recta BC es tangente en C a la circunferencia de centro O. Se puede determinar la longitud del radio si: B
95°
A D
A. B. C. D. E.
(1) por sí sola. (2) por sí sola. Juntas, (1) y (2). C Cada una por sí sola, (1) o (2). Se requiere información adicional.
Evaluación
O B
A. 85º
4
(1) Se conoce la longitud de BC. (2) BC = 2OA.
D
A
C. 75º
A. 50º
C. 120º
T
A. 31º
3
30 En la semicircunferencia de centro O de la figura, el ángulo COB mide 80º. Si se sabe que el triángulo EAD es isósceles de base AD, ¿cuál es la medida el ángulo AED? E
γ O
α
2
D
O A
33 ¿Cuál es la medida del ángulo BCD? (1) La medida angular del arco DB es 10°. (2) La medida angular del arco BD corresponde a la medida angular de AE – 70° . A
A. B. C. D. E.
(1) por sí sola. (2) por sí sola. O Juntas, (1) y (2). E Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional
40°
B D
C
Autoevaluació Autoevaluación Evalúa tu aprendizaje con el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las secciones correspondientes. Contenido
Mínimo sugerido
Puedes repasar en la…
Semejanza de figuras planas.
6 respuestas correctas
Sección 1
Teoremas de semejanza.
9 respuestas correctas
Sección 2
Ángulos y segmentos en la circunferencia.
9 respuestas correctas
Sección 3
UNIDAD 2 • GEOMETRÍA
159
unidad
Álgebra
Ideas previas En febrero de 2013 un asteroide cayó sobre Rusia causando gran impacto en todo el mundo. Si bien no causó mayores daños, reavivó la inquietud que cada cierto tiempo despierta respecto de este tipo de riesgos. ¿Es posible que un asteroide de grandes proporciones impacte a la Tierra, provocando una tragedia devastadora? ¿Es posible prever este tipo de hechos, y hacer algo para evitarlos? • Los asteroides y la Tierra orbitan alrededor del Sol. ¿Qué debería ocurrir para que se produzca un impacto entre ellos? • ¿Es posible determinar con exactitud la trayectoria que seguirá un cuerpo celeste? • ¿Hay fenómenos astronómicos que se repiten periódicamente? ¿Cuáles conoces tú?
Palabras clave Ü Fracción
Ü Sistema de ecuaciones
Ü Expresión algebraica
Ü Incógnitas
Ü Gráfico
Ü Compatibilidad
Ü Función
Ü Pertinencia
Ü Parámetros
160
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1
2
3
4
UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
161
Sección 1
Fracciones algebraicas ¿Qué aprenderás?
¿Dónde?
Es importante porque te permitirá…
A definir una fracción algebraica y sus restricciones.
Lección 22
caracterizar una fracción algebraica.
A analizar una fracción algebraica.
Lección 23
comprender el comportamiento de una fracción algebraica al variar sus términos.
A calcular mcm y mcd de expresiones algebraicas.
Lección 24
A amplificar y simplificar fracciones algebraicas.
Lección 25
A multiplicar y dividir fracciones algebraicas.
Lección 26
A sumar y restar fracciones algebraicas.
Lección 27
A resolver problemas que involucran fracciones algebraicas.
Lección 28
realizar operaciones con fracciones algebraicas.
Actividad
Explorando tus ideas previas § ¿Qué te sugieren los siguientes términos? Ü
Expresión algebraica
Ü
Restricción
Ü
Variable
Ü
Ecuación
plantear y resolver problemas en variados ámbitos.
De esto se trata… Julio César de Mello e Sousa (1895-1974) es el verdadero nombre de Malba Tahan, autor del libro El hombre que calculaba. Allí relata la famosa historia de tres hermanos que debían repartirse una herencia de 35 camellos, respetando las siguientes condiciones: • El mayor debía recibir la mitad de la herencia. • El hermano del medio debía recibir un tercio de la herencia. • El menor debía recibir solo un noveno del total de camellos.
Los hermanos discutían ya que, con estas reglas, el mayor recibiría 17,5 camellos, el del 11, 6 y el menor 3,8 camellos, lo que era bastante engorroso. Ante esto Beremís medio § Para resolver un problema (protagonista de la obra) tiene la solución, y les propone hacer justicia a cambio de poder matemático, ¿es necesario conocer previamente las elegir al final su recompensa. Para ello pide el camello en el que viajaban a su amigo y lo suma a la herencia, completando 36 camellos. Con esto: condiciones que debe 36 36 cumplir su solución? • Da al mayor • Da al del medio = 12 camellos. = 18 camellos. 3 2 36 • Da al menor = 4 camellos. 9 Ya que 18 + 12 + 4 = 34, quedan dos camellos, uno de los cuales regresa a su amigo y el otro lo deja para sí, como premio por lograr esta repartición tan justa y beneficiosa.
Actividad grupal en grupos de 3 personas, realicen las siguientes actividades.
➊
Sumen las fracciones correspondientes a las partes de la herencia que le toca a cada hermano. ¿Qué observan?
➋
Busquen otro trío de fracciones y un número para el cual se dé una situación similar a la del relato.
Propósito: generalizar la operatoria de fracciones por medio del álgebra, para ampliar tus posibilidades de operatoria, planteamiento y resolución de problemas. 162
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1
2
3
4
¿Qué debes saber? Realiza las siguientes actividades. Identificar y operar expresiones algebraicas
6 Factoriza completamente las siguientes expresiones.
1 Identifica el coeficiente, parte literal y grado de los siguientes términos.
a. x2 – 2xy + y2
e. 4a3m2 – a3n2
a. 3a2
c. –0,5xy6
b. x2 –y2
f. h3 + 8h2c + 7hc2
b. –2a4b
d. pqr2
c. c2 +5bc + 4b2
g. 4a4 – 9x6
d. q2 – 8qs + 15s2
h. 4p2q2 + 8pq – 5
2 Identifica el grado y el número de términos de las siguientes expresiones algebraicas. a. 3xy3 + 2 b. y5 + a6 – a2 c. 3x3y – 6x2y2 + 5 – 9y3
Operar y ordenar fracciones
d. 4z2x3 + 2xz + 12y8 e. 3 a5 + x4 + 6x4 5
7 Compara las siguientes fracciones. Escribe >, < o = según corresponda. a. 1 ___ 6 2 12 b. –2 ___ 4 7 5 c. 23 ___ 1 43 7
3 Calcula el valor de las siguientes expresiones, evaluadas para x = 2 e y = –4. a. 8x2 + 2xy − 4y2
c. 11x2 − 12xy + 5y2
b. 3x2 − 2xy − 6y2
d. 7x2y2 + 8x3y – 2xy
6 2
e. 52 ___ 5 4 2 f. 1 ___ 8 43 50
8 Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones.
a. 4ax –10bx – 9bx – 5ax
a. 1 , 1 , –1, 1 4 10 4 16 b. –2 , 11, 2 , 11, –100 3 6 15 9 9
b. (2x + 3)(3x + 4)(x – 3) c. 2(x – 3)(x + 4)(x + 3) d. (x2 – 2x + y)(x2 + 2x – y) e. (a + b + c)(a + b – c)
c. 1 , 2 , – 3 , 7 , – 1 2 3 2 5 6
Actividad
4 Realiza las operaciones indicadas.
d. 1___
9 Calcula las siguientes operaciones.
Calcular productos notables y factorizaciones
5 Desarrolla las siguientes expresiones aplicando productos notables. a. (a + b)2
e. (x – 2y)2
b. (p + q)(p – q)
f. (2x + 5)(2x – 1)
c. (x + 4)(x – 7)
g. (2pq2 – m) (2pq2 + m)
d. (x + 2)3
h. (3ab + 5a)(3ab + a)
a. 2 + 1 – 5 3 6 4 b. – 7 + 5 – 1 3 6 9 1 3 5 c. 3 + + 4 5 4 5 6 7 d. – • + • 2 8 7 10
4 3 e. −1+ : 5 10 1 13 1 f. 4 : • 3 6 2
Autoevaluació Autoevaluación En la tabla que te entregará tu profesor(a), evalúa el nivel de dominio alcanzado. Luego, repasa en los sitios web que se indican si fuera necesario.
Repasa en los siguientes sitios web…. http://goo.gl/sqF8S Operatoria con expresiones algebraicas. http://goo.gl/0tOQY http://goo.gl/y7R8A Productos notables y factorizaciones. http://goo.gl/9AhMw http://goo.gl/1DhvH
Orden y operatoria con fracciones.
UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
163
Lección
22
Propósito: definir una fracción algebraica y sus restricciones.
Fracción algebraica
Debes saber… § Una fracción es un núme-
ro expresado de la forma x con y ≠ 0. El valor de
Taller En parejas lean y realicen las siguientes actividades.
y
una fracción corresponde al resultado de la división x : y. § Una expresión algebraica
es una combinación de números y letras mediante las operaciones aritméticas, por ejemplo: 2a; a + b ; 5b – 3 ; 1 a+4a2 −c 3
1 2
5 b +q
a = x → 0•x = a 0
Ayuda
Una fracción del tipo a+b no 2
suele considerarse fracción algebraica ya que puede escri1 1 birse como a+ b , es decir, 2
como términos con coeficiente 1. La denominación fracción 2
algebraica suele reservarse para las fracciones cuyo denominador contiene letras.
a) Analicen sus numeradores y denominadores. ¿Qué similitudes y diferencias ven? b) Julieta clasificó las fracciones anteriores. Dejó en un mismo grupo 5, 1, 3 2 a y a + 3 , diciendo que “no tienen letras en el denominador”. ¿Qué otra(s) 3 b+5 clasificación(es) puede haber hecho Julieta? Expliquen y clasifiquen las fracciones anteriores de acuerdo a ello.
a) ¿Qué sucede con el valor de la expresión si el numerador es igual a 0? ¿Y si el denominador es igual a 1? Justifiquen. b) ¿Es posible calcular el valor de la expresión a si a es cualquier número real? 0 ¿Existe un número que multiplicado por 0 dé como resultado a? 3 Observen las siguientes expresiones. 5 2 2–a a –1
a a +3
Como puedes observar, en álgebra existen fracciones cuyos denominadores son expresiones algebraicas que contienen letras. En general, una fracción cuyos términos son expresiones algebraicas corresponde a una fracción algebraica o expresión algebraica fraccionaria. Por ejemplo: 3 2a
5x y–2
3a –1 2b – 3
Ya que una letra puede tomar diferentes valores, es preciso restringirlos para que no estén indefinidas, es decir, para que sus denominadores sean distintos de 0. En los ejemplos anteriores las restricciones son, respectivamente:
5x → y–2≠ 0→ y ≠2 y–2
3a −1 3 → 2b − 3 ≠ 0 → 2b ≠ 3 → b ≠ 2b − 3 2
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
a b+a
a) Decimos que una fracción está indeinida si su denominador es igual a 0. ¿Para qué valores de a están indefinidas las expresiones anteriores?
3 → 2a ≠ 0 → a ≠ 0 2a
164
a+3 b+5
2 Evalúen las siguientes expresiones para distintos valores de a. 0 a a a 0 1
Observa que…
2
1 Consideren las siguientes fracciones. 7 x 5 a c y–2 3 3
1
2
y comenta
Se llama fracción algebraica al cociente entre dos polinomios a , en la que el b numerador a y denominador b son polinomios.
§ ¿Existen fracciones algebraicas que no tengan restricciones? Si crees que existen, da un ejemplo. Si no, justifica por qué.
Si b es igual a 0, la fracción está indefinida.
a a+2
c)
a) Su denominador sea 4. b) Su numerador sea 17. c) Su numerador sea el triple de su denominador. d) Sea equivalente a la fracción 2 . 3
Práctica guiada 2. Identifica, entre las siguientes fracciones, cuáles son fracciones algebraicas y justifica por qué. Guíate por el ejemplo. Ejemplo: la fracción 3a es una fracción algebraica, 2b pues su denominador es 2b, un término con parte literal. a) 5 b b) a 2
c) 3 – a b+3 b d) – 2a 5 3. Determina las restricciones de las siguientes fracciones algebraicas. Guíate por el ejemplo. Ejemplo: x x +7 Paso 1
Se identifica el denominador de la fracción, y se iguala a 0. x+7=0 Paso 2 Se resuelve la ecuación, donde el o los valores de x corresponden a las restricciones. x+7=0 x = –7 La restricción de la fracción es x ≠ –7.
b) a + 1 5a
2a 3a + 1
d) 4 +a 2a – 2
e) a + 6 1 a– 5 f) 2a + 1 5a – 7
Aplica 4. Utiliza fracciones algebraicas para representar las siguientes cantidades. a) La rapidez v de un automóvil que recorre d + 2 kilómetros en 4 + t horas.
Practiquemos lo aprendido
a)
1. Determina en cada caso una fracción que cumpla las siguientes condiciones.
4
Razona
En resumen
Repaso
3
b) La cantidad de dinero que recibe cada niño, si se reparten 500 + 2p pesos en partes iguales entre n niños. c) La cantidad de flores que recibe cada mamá de los alumnos de un curso del liceo en su día, si se reparten 2n +10 flores entre n mamás. d) El promedio de pasajeros por bus que llevó una empresa de buses el día viernes de un fin de semana largo, si la suma de los pasajeros de ese día fueron 6x + 2 y la empresa cuenta con 3x + 1 buses. e) La cantidad de gallinas que hay en la parcela de la señora María, si pusieron un total de 300 + m huevos y cada una puso en promedio n + 3 huevos.
5. Desafío: ¿Para qué valores de x se encuentra
2 ? (Ayuda: utiliza x –4 factorización y responde la pregunta ¿qué debe ocurrir para que el producto de dos números sea igual a 0?) indefinida la fracción
2
6. Conexiones: Investiga sobre fórmulas matemáticas que se utilicen en física y química que estén formadas por fracciones algebraicas. ¿Qué tienen en común cada una de ellas?
Reflexiona § ¿Qué similitudes y diferencias observas entre una fracción numérica y una fracción algebraica? Explica. UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
165
Lección
23
Propósito: analizar una fracción algebraica.
Debes saber…
Fracciones algebraicas y fórmulas
§ Una variable es una letra
que puede representar distintos valores. Las fórmulas matemáticas que se utilizan en otras áreas como la física, química, biología, sociología etc. utilizan una o más variables. § Evaluar una expresión
algebraica consiste en obtener el valor numérico para ciertos valores de la(s) variable(s) que la componen. Ejemplo: Si la expresión 2a + b se evalúa para a = 2 y b =1, se obtiene: 2•2+1=4+1=5
La presión (P) se define como la fuerza F (en Newton) o peso por unidad de área A (en F m2) siendo su expresión P = y su unidad de A N medida es el pascal . Carolina está reali m2 zando un estudio de la presión en diferentes objetos, para lo que utilizará un dinamómetro que le permitirá medir la fuerza en Newton que ejercerá en una superficie de área determinada (A).Para esto presionará con una fuerza constante algunos objetos sobre una superficie de polietileno (plumavit), y observará el efecto que causa. Paso 1
Paso 2
Carolina construye la siguiente tabla con las áreas en m2 de los objetos que utilizará: Objeto
Cuaderno
Moneda de $ 10
Filo de un cuchillo
Área
0,048
0,00314
5 x 10-7
Carolina ejerce fuerzas de 50 N y 90 N sobre cada objeto calcula la presión que estos ejercen sobre la superficie de polietileno y observa lo que sucede con ella. Objeto
Área
Presión P=
Cuaderno
50 = 1041,6 0,048 90 = 1875 0, 048
50 = 15923,56 0, 00314
Se hunde un poco y deforma levemente el polietileno.
P=
90 ≈ 28 662,42 0,00314
Se hunde y deforma el polietileno.
0,00314
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
50 = 108 5x10 –7
Se hunde y deja una marca en el polietileno.
5 x 10-7 P=
166
Se hunde muy levemente.
P=
P=
Filo del cuchillo
No sucede nada.
0,048 P=
Moneda
Observación
90 = 1,8•108 5x10 –7
Rompe el polietileno.
1 Paso 3
2
3
4
Carolina obtiene las siguientes conclusiones: 1º Al aplicar la misma fuerza, se obtiene mayor presión si el área de contacto es pequeña, es decir, si se mantiene el valor del numerador y se disminuye el del denominador, el valor de la fracción aumenta. 2º Al aplicar más fuerza pero manteniendo la superficie, se obtiene mayor presión, es decir; si se aumenta el valor del numerador y se mantiene el valor del denominador, el valor de la fracción aumenta. 3º Si se combinan las variables anteriores, es decir, aumenta la fuerza y disminuye el área, la presión aumenta, es decir, si se aumenta el valor del denominador y disminuye el valor del denominador, el valor de la fracción aumenta. Carolina resume lo anterior a través de la siguiente tabla:
P= La presión aumenta si
Paso 4
F A La presión disminuye si
El área A o denominador disminuye
El área A o denominador aumenta
Si la fuerza F o numerador aumenta
Si la fuerza F o numerador disminuye
A partir de las observaciones anteriores, Carolina se hace algunas preguntas:
Observa que… No es posible determinar a priori lo que ocurre si el numerador y el denominador disminuyen o aumentan simultáneamente.
• ¿Es posible que el área de un objeto sea igual a 0? • ¿Qué ocurre si el área del objeto se hace cada vez más pequeña, hasta valores que son “casi cero”? • ¿Qué ocurre si la fuerza ejercida es igual a cero? • ¿Es posible que la presión dé un valor negativo? ¿Por qué? Muchas situaciones de la vida cotidiana se modelan mediante fórmulas que involucran fracciones algebraicas, y a quienes las estudian les interesa saber no solo el valor que adoptan para algunos valores específicos sino su comportamiento, es decir, lo que ocurre cuando uno de los valores o ambos aumentan o disminuyen.
Razona
y comenta
§ Responde las preguntas que se plantea Carolina, y discute con tus compañeros. § ¿Por qué crees que los científicos piensan en valores extremos o teóricos como lo hizo Carolina?
En resumen El valor de una fracción a con b ≠ 0 aumenta si aumenta el valor del numerador, b si disminuye el valor del denominador o si ocurren ambas cosas a la vez.
UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
167
Practiquemos lo aprendido
4. Calcula en cada caso posibles valores de las
Repaso 1. Calcula el valor de x2 – 2 (2 – x), evaluada para los siguientes valores de x. d) x = 0,45
a) x = 0
e) x = –0,9 1 f) x = c) x = 2,4 2 2. Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas evaluadas para los valores que se indican: b) x = 1
b) 5xy + 9, para x = 7 e y = 2,9 c) –9 x – y , para x = 10 e y =1 4 6 d) x2 – y, para x = 1,3 e y = –2 e) (x – y )(x + y2), para x = –2 e y = 2
g)
2 1 ey= 5 2
x 4 − 3y , para x = –5 e y = 9 2
a) 4x2 – 2, para que el valor de la expresión sea 2. b) 3x – 5, para que el valor de la expresión sea –5. c) 3xy – 1, para que el valor de la expresión sea 0. d) 2x2 + 1, para que el valor de la expresión sea 0.
Práctica guiada 5. Determina en cada caso los valores de x que hacen que se cumpla la condición dada. Guíate por el ejemplo. Ejemplo: 1 tenga valor negativo. 5– x Paso 1 Una fracción tiene valor negativo si su numerador es negativo y su denominador positivo, o bien si su numerador es positivo y su denominador negativo. En este caso, el numerador es positivo, por lo que solo se debe analizar en qué casos el denominador es negativo.
a) 3x – y , para x = 3 e y = 4
f) x2 – y2, para x =
variables, para que la expresión algebraica tenga el valor que se indica.
Paso 2
2
h) –x + x + 4y z, para x = 3, y = –3 y z = 2
3. Para los siguientes problemas determina una
Luego, la fracción tiene valor negativo si x > 5.
fórmula que represente lo pedido. a) El perímetro de una circunsferencia de radio 3a. b) El perímetro y el área de un rectángulo cuyos lados miden a y (b – a). c) El área de un cuadrado cuyo lado mide a2 + b2. d) El perímetro y área de la zona achurada de la siguiente figura (ambas figuras son rectángulos). 2x
x–9 x–2
a) –2 , tenga valor negativo. x b) –3 , sea positivo. x +2 1 , sea positivo. c) 4 – 2x d) 2x , sea negativo. x –1 e) 11x , sea positivo. 4x +3
Aplica
2x + 5
6. Calcula el valor numérico de las siguientes
e) El perímetro de la figura achurada que está formada por dos triángulos equiláteros.
expresión fraccionarias que se indican:
x–1 20 + x
168
Se analiza para qué valores el denominador es negativo: 5 – x < 0 → x es mayor que 5 (x > 5)
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
x , si x = 10. 2x +1 10x – 2 , si x = –5. b) 6x +1 c) x – y , si x = 7 e y = 3 x 2 – 2y a)
1
7. La medida del ángulo interior de un polígono regular o se determina mediante la expresión 180 (n – 2) . n a) ¿Cuál es la medida del ángulo interior de un polígono regular con 3, 4, 5, 9 ,10 y 20 lados?
b) ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de un polígono regular de 9 lados? c) ¿Qué puedes concluir respecto a la medida de un ángulo interior de un polígono regular a medida que la cantidad de lados aumenta?
8. En las siguientes expresiones, n pertenece a los números naturales. 2n n+2 5n , , 4n+3 4n 4n+7 a) Calcula las expresiones anteriores para n = 0, n = 3, n= 5 y n =7. b) ¿Cuál es el menor valor que toma cada una de las expresiones anteriores? c) ¿Qué sucede si el valor de n aumenta? ¿Cuál de estas expresiones aumenta más rápidamente? Justifica.
9. El índice de masa corporal (IMC) es un indicador que relaciona la masa de una persona con su m estatura, mediante la expresión IMC = 2 , donde h m es la masa en kg y h es la altura en metros. El IMC permite categorizar a los individuos según los siguientes valores: Bajo peso Normal Sobrepeso Obeso
Altura
85 1,56
71 1,9
4
b) ¿En qué categoría se encontrarían los individuos de la tabla si todos tuvieran una masa de 70 kg? c) ¿En qué categoría se encontrarían los individuos de la tabla si todos midieran 1,70 m? d) ¿En qué categoría te encuentras tú?
10. Celso está realizando un experimento que consiste en calcular la variación en la densidad del pan amasado que se produce en un horno de barro. Los datos de Celso indican que el pan pierde 0,4 g por minuto, y aumenta su volumen en 0,15 cm3, por lo tanto, la densidad del pan en el m – 0, 4t minuto t está dada por la expresión d = . v + 0,15t a) ¿Cuál es el valor de la densidad del pan para 2, 5, 8, 15 y 30 minutos? b) ¿Cómo se comporta la densidad a medida que el tiempo transcurre? c) En teoría, la densidad del pan, ¿puede ser infinita? Explica. d) En teoría la densidad del pan puede, ¿ser igual a cero? Explica. e) Si Mario pone en el horno un material que con el tiempo gana 0,12 g por minuto y pierde 0,05 cm3 por minuto, ¿cuál será el comportamiento de la densidad de este material a medida que el tiempo transcurre?
11. Un terreno rectangular tiene un largo que es el doble del ancho más 20 metros. a) ¿Cuál es la razón entre el ancho y largo?
Menor que 18,5 Entre 18,5 y 24,9 Entre 25 y 29,9 Sobre o igual a 30
b) ¿Cuál es el valor de la razón si el ancho es igual a 10 cm?
12. El automóvil de Camila recorre a kilómetros en b horas, mientras que el automóvil de Andrés recorre a + 7 kilómetros en el doble de tiempo que el automóvil de Camila.
a) Calcula el IMC para los siguientes datos. Masa
3
Practiquemos lo aprendido
Resuelve los siguientes problemas.
2
60 1,79
50 1,80
90 1,98
a) ¿A qué rapidez viaja cada uno? b) ¿Quién viaja más rápido? Explica.
Reflexiona § Cecilia afirma que toda fracción cuyo numerador es igual a su denominador tiene un valor igual a 1. ¿Estás de acuerdo con ella? ¿Pondrías alguna excepción? Explica.
UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
169
Lección
24
Propósito: calcular mcm y mcd de expresiones algebraicas.
Debes saber…
Mcd y mcm de expresiones algebraicas
§ El mínimo común múlti-
plo (mcm) de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos. § El máximo común
divisor (mcd) de dos o más números naturales es el mayor número natural que es divisor de todos.
En cursos anteriores has visto que, para calcular el mínimo común múltiplo (mcm) y el máximo común divisor (mcd) entre dos números naturales, primero los expresamos mediante su descomposición prima. Luego, el mcm y el mcd los calculamos seleccionando adecuadamente los factores. Por ejemplo, si consideramos los números 252 y 120, tenemos que: 252 = 22 • 32 • 71 120 = 23 • 31 • 51 mcd(252, 120) = 22 • 31 = 12
mcm(252, 120) = 23 • 32 • 51 • 71 = 2 520
• El mcm se compone de todos los factores que aparecen en las factorizaciones (2, 3, 5 y 7), con el mayor exponente con el que aparecen. En el ejemplo, se consideran 23 y 32. • El mcd se compone solo de los factores que se repiten en ambas factorizaciones (2 y 3), con el menor exponente con el que aparecen (22 y 31, en el ejemplo). Para expresiones algebraicas utilizaremos un procedimiento similar; para lo que necesitamos considerar los siguientes métodos de factorización: Método
Fórmula
Ejemplos
Trinomio cuadrado perfecto
abx + aby = ab(x + y) abx – aby = ab(x – y) m(x + y) + np(x + y) = (m + np)(x + y) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
Diferencia de cuadrados
x2 – y2 = (x + y)(x – y)
Trinomio de la forma x2 + (a+b)x + ab
x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
Suma de cubos
x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)
Diferencia de cubos
x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2)
2p3q + 6p2r = 2p2(pq + 3r) 2p3q – 6p2r = 2p2(pq – 3r) 6x(2a – b) + 5y(2a – b) = (6x + 5y)(2a – b) n6 + 6n3p + 9p2 = (n3 + 3p)2 4n2 – 4np + p2 = (2n – p)2 4p2q4 – 9a4b6 = (2pq2 + 3a2b3) (2pq2 – 3a2b3) x2 + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5) x2 + 2x – 15 = (x – 3)(x + 5) x2 – 2x – 15 = (x + 3)(x - 5) x2 – 8x + 15 = (x – 3)(x – 5) 8a3b6 + c3 = (2ab2 + c)(4a2b4 – 2ab2c + c2) 8a3b6 – c3 = (2ab2 – c)(4a2b4 + 2ab2c + c2)
Factor común monomio Factor común polinomio
En ocasiones será necesario utilizar sucesivamente más de un método para factorizar una expresión, por ejemplo: 2px2 + 6px – 8p = 2p(x2 + 3x – 4) = 2p(x + 4)(x – 1) Factor común monomio
170
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
Trinomio de la forma x2 + (a + b)x + ab
1
2
3
4
Utilizaremos esto para calcular el mcm y el mcd de expresiones algebraicas mediante los siguientes pasos, tomando como ejemplo las expresiones: 6p2x2 + 12pqx2 + 6q2x2 Paso 1
10p2xy – 20pqxy – 30q2xy
Se factorizan ambas expresiones en sus factores primos. Trinomio cuadrado perfecto 6p2x2 + 12pqx2 + 6q2x2 = 6x2(p2 + 2pq + q2) = 6x2(p + q)2 2•6
Factor común monomio
10p2xy – 20pqxy – 30q2xy = 10xy(p2 – 2pq – 3q2) = 10xy(p – 3q)(p + q) 2 • 10
Paso 2
3 • 10
Se calcula el mcm y el mcd de los coeficientes numéricos, que será el coeficiente del mcm y del mcd de las expresiones algebraicas. mcm(6, 10) = 30
Paso 3
Trinomio de la forma x2 + (a + b)x + ab
mcd(6, 10) = 2
Para los factores que son expresiones algebraicas, se utiliza la misma idea vista para el mcm y el mcd entre números naturales, como se muestra:
mcm
mcd
x2(p + q)2 xy(p – 3q)(p + q)
x2(p + q)2 xy(p – 3q)(p + q)
Se compone de todos los factores, con el mayor exponente con el que aparecen. Su coeficiente numérico es 30.
Se compone solo de los factores que se repiten, con el menor exponente con el que aparecen. Su coeficiente numérico es 2.
mcm = 30x2y(p + q)2(p – 3q)
mcd = 2x(p + q)
Razona
y comenta
§ ¿De qué otra manera
§
Si debemos calcular el mcm o el mcd entre más de dos expresiones, podemos realizar el mismo procedimiento pero considerando todas las factorizaciones, o bien, utilizar las siguientes propiedades: mcm(a, b, c) = mcm(mcm(a, b), c) = mcm(a, mcm(b, c)) mcd(a, b, c) = mcd(mcd(a, b), c) = mcd(a, mcd(b, c))
§
puedes calcular el mcm y mcd entre dos expresiones algebraicas? Discute con tus compañeros. ¿Conoces algún método para calcular el mcm entre uno o más números?¿Puedes aplicar ese o esos métodos en el cálculo del mcm y mcd, de expresiones algebraicas? Justifica. Utiliza las propiedades mcm(a, b, c) = mcm(mcm(a, b), c) mcd(a, b, c) = mcd(mcd(a, b), c)
En resumen El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más expresiones algebraicas es la expresión de menor coeficiente numérico y menor grado que es múltiplo de ellas. El máximo común divisor (mcd) de dos o más expresiones algebraicas es la expresión de mayor coeficiente y mayor grado que es factor de ellas.
para calcular el mcm y el mcd entre
6p2x2 + 12pqx2 + 6q2x2, 10p2xy – 20pqxy – 30q2xy y 8x3p2 – 8x3q2.
UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
171
Practiquemos lo aprendido
Repaso
Paso 2
1. Determina la descomposición prima de los
Se calcula el mcm de las partes literales, y finalmente se agrega el coeficiente: mcm(x3y5z2, x2yz5) = x3y5z5
siguientes números. a) 12
e) 56
i) 315
b) 28
f) 88
j) 105
c) 36 d) 42
Por lo tanto, mcm(5x3y5z2, 15x2yz5) = 15x3y5z5 a) 5x2y4z, 20x2y3z2
d) 14x2y2, 21xy
g) 100
b) x3, 6x2y
e) 30xyz3, 60x2y
h) 270
c) x2y4, xy
f) 24ab2, 36a2b4
2. Calcula el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor entre los siguientes números. a) 15 y 12
f) 5, 16 y 21
b) 35 y 105
g) 100, 125 y 150
c) 32 y 48
h) 3, 15, 17 y 35
d) 12, 20 y 24
i) 2, 45, 56 y 100
e) 8, 12 y16
j) 14, 140, 325 y 490
3. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas.
5. Determina el máximo común divisor de las siguientes expresiones algebraicas. Guíate por el ejemplo. Ejemplo: mcd(5x3y5z2, 15x2yz5) Paso 1
En este caso las expresiones ya están factorizadas, por lo que comenzamos por calcular el mcd entre los coeficientes. mcd(5, 15) = 5
Paso 2
a) 4a2 + 3a2
Se calcula el mcd de las partes literales, y finalmente se agrega el coeficiente: mcd(x3y5z2, x2y1z5) = x2yz2
b) 3x2 – 9x c) 6a3b3 + 27a2b6 – 9a3b2c3
Por lo tanto, mcd(5x3y5z2, 15x2yz5) = 5x2y5
d) –6xy + 2xz + 3y – z
a) 8x, x2
d) 12x2y3, 15x3y2
e) x2 – 9
b) x2y, x2y5
e) 18xy2, 27x2y3z4
c) 14xy3z, 28x2yz3
f) 15ab3, 10a2c
2
f) x − 25 4 9 g) x2 + 7x + 10
6. Determina el mcm y el mcd entre las siguientes
h) a2 – 2a + 1
expresiones. Guíate por el procedimiento visto en la lección.
i) 1 – p3
a) x2 – 9, x2 + 6x + 9
d) x4 – x, 3x5 +3x4 +3x3
j) x3 + x2 – 2x
b) 2b – 2a, a2 – b2
e) x3 – y3, x2 + xy + y2
k) 3p2 – 12
c) x2 + 3x – 4, x2 –1
f) 9p2 – 4, 3p – 2
l) 6x2 – 3x – 3
Aplica
Práctica guiada
7. Determina el mcm y el mcd entre las siguientes
4. Determina el mínimo común múltiplo de las siguientes expresiones algebraicas. Guíate por el ejemplo. Ejemplo: mcm(5x3y5z2, 15x2yz5) Paso 1
En este caso las expresiones ya están factorizadas, por lo que comenzamos por calcular el mcm entre los coeficientes. mcm(5, 15) = 15
172
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
expresiones. a) p2, 4p, 16 b) z3, 6zy, 12zy2 c) a3b4, a4b3, a4b4 d) 4x3, 8x, 12x2 e) 5d2 – 10d, 3d – 6, d2 – 4d + 4 f) w2 + 4w + 3, w2 – w – 12
1
3
4
11. Conexiones. Existen eventos astronómicos, como
i) n2 – 8n + 15, n2 – 10n + 25, n2 – 9
el paso de cometas o meteoritos, alineación de planetas o eclipses cuyas ocurrencias coinciden en ocasiones.
j) x2 + 2xy + y2, x2 – y2, x2 – 2xy + y2
a) Averigua respecto a ellos y su frecuencia.
h) 3z4, 6z2 – 8z, 12z2 – 9z3
k) 2x3, 8xy, 16xy3, 12x2y2, 20x2y5 m) xy2 – x, xy + x, x2y2 + x2y + x2
b) ¿De qué manera el cálculo del mcm o mcd pueden ayudar a predecir nuevamente dichos acontecimientos?
n) x2 + 2x +1, x2 – 1, x2 + 3x +2
12. Desafío: Euclides se dedicó, además de la geometría,
Resuelve los siguientes problemas.
al estudio de la Teoría de números. A él le debemos un método para calcular el mcd entre dos números naturales, conocido como Algoritmo de Euclides.
l) 2x2y2, 4x2y2, 8xy2z2, 16xy3z3
8. Tres buses viajan periódicamente desde la ciudad A hasta la ciudad B. El primer bus viaja cada 2a2x2 días, el segundo, cada 4ax2 días y el tercero, cada 2a3x días. a) ¿Qué expresión algebraica representa el día en que viajan los tres buses simultáneamente? b) ¿Cada cuántos días viajan juntos los 3 buses si a = 1 y x = 2?
9. Jimena tiene dos bidones de aceite que contienen, respectivamente, (12x2 + 12xy + 3y2) y (24x +12y) litros, y necesita vaciar completamente el contenido de estos bidones en algunas botellas que debe conseguir. a) ¿Cuál es la máxima capacidad que pueden tener las botellas de Jimena si con cada bidón se puede llenar un número entero de ellas? b) En el caso anterior, ¿cuántas botellas necesitará? c) Si se agrega un tercer bidón que contiene 4x2 – y2 litros de aceite, ¿cuál debería ser la capacidad de las botellas? ¿Cuántas botellas necesitará?
10. Un urbanista recomienda ubicar, a lo largo de la avenida principal, un farol cada (5a2 + 5abc) metros y un basurero cada (a2 + 2abc + b2c2) metros. Si el primer poste de luz y basurero se ubican al inicio de la avenida, ¿a qué distancia se volverán a instalar juntos?
Practiquemos lo aprendido
g) 4y – 4, y – 1, y2 – 2y + 1
2
El algoritmo de Euclides se basa en que, dados dos números a y b, si a > b podemos calcular la división con resto a : b, de modo que a = qb + r Donde q es el cociente y r el resto. Euclides observó que, si b es divisor de a, entonces mcd(a, b) = b Si b no es divisor de a, entonces mcd(a, b) = mcd(b, r) a) Demuestra las observaciones de Euclides. b) Investiga respecto a la aplicación del algoritmo, y utilízalo para calcular el mcd entre 2014 y el año de tu nacimiento.
13. Desafío: discute con tus compañeros las siguientes preguntas. a) ¿Por qué no tiene sentido hablar de mínimo común divisor y máximo común múltiplo? b) El mcd se define para números naturales. ¿Cuál debería ser el mcd entre 0 y un número natural? c) ¿Cuál debería ser el mínimo común múltiplo entre 0 y un número natural? d) ¿Por qué, en rigor, no podemos calcular el mcm en los números enteros?
Reflexiona § ¿De qué manera debes sumar o restar fracciones de distinto denominador? § Establece la relación que existe entre el mcm y la adición o sustracción de fracciones algebraicas. UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
173
Lección
25
Propósito: amplificar y simplificar fracciones algebraicas.
Debes saber… § Dos fracciones a y c son b d
equivalentes si tienen el mismo valor. Además se cumple que a • d = c • b. § Una fracción es irreduc-
tible si sus términos no tienen factores comunes, y, por lo tanto, su mcd es igual a 1. Dada una fracción cualquiera podemos obtener su fracción irreductible equivalente si simplificamos su numerador y su denominador por el mcd entre ellos.
Amplificación y simplificación de fracciones algebraicas En cursos anteriores has visto que una fracción se puede representar de diversas maneras. Por ejemplo, se tiene la siguiente relación: 3 6 9 12 15 18 21 24 = = = = = = = = ... 4 8 12 16 20 24 28 30 Decimos que la fracción 12 es el resultado de amplificar por 2 la fracción 6 , 8 16 6 • 2 12 18 6 ya que = . A la inversa, es el resultado de simplificar por 3 la fracción 8 • 2 16 24 8 18 6 • 3 6 ya que = = . 24 8 • 3 8 La fracción 3 es irreductible, ya que no es posible simplificarla. Observa que: 4 18 3• 6 3 18 → mcd(18,24) = 6 → = = 24 24 4• 6 4 Utilizaremos estas ideas para la amplificación y simplificación de fracciones algebraicas para los casos más comunes a los que nos enfrentaremos.
Amplificación Caso 1
Observa que… Al amplificar se ha añadido una nueva restricción a la fracción, ya que 5b – x no debe ser igual a cero.
Trinomio de la forma x2 + (a + b)x + ab En este caso, a+b=4 a • b = –21 Se deduce que a = –3 y b = 7
amplificar por una expresión cualquiera. Para amplificar una fracción algebraica, simplemente multiplicamos su numerador y su denominador por la expresión dada. Por ejemplo, para amplificar la fracción 3b por 5b – x: 5b+ x 3b • ( 5b – x ) 3b ( 5b – x ) = (5b+ x ) • (5b – x ) (5b+ x )(5b – x ) 15b2 – 3bx 25b2 – x 2 con x ≠ 5b, x ≠ – 5b amplificar a un numerador o denominador específico. En ocasiones interesa amplificar una fracción para que uno de sus términos tenga un valor específico (en general, el denominador). Por ejemplo, para amplificar la fracción x+5 al denominador x2 + 4x – 21: x–3 • Se factoriza el denominador al que se quiere llegar =
Caso 2
x2 + 4x – 21 = (x – 3)(x + 7) • Se compara este denominador con el de la fracción original. Podemos observar que x2 + 4x – 21 se obtiene multiplicando por (x + 7) el denominador de la fracción x +5 . x–3 • Se amplifica entonces por (x + 7):
( x +5) • ( x +7 ) = ( x +5)( x +7 ) ( x − 3) • ( x +7 ) ( x − 3)( x +7 ) = 174
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
x 2 +12x +35 x 2 + 4x – 21 con x ≠ 3, x ≠ –7
1
2
3
4
Simplificación Caso 1
simplificar por una expresión. Para simplificar una fracción algebraica por una expresión cualquiera es preciso factorizar sus términos para luego efectuar una división. Por ejemplo, 2 se simplificará la fracción ax +2ax +a . a2 x + a2 • Primero se factorizan sus términos. 2 ax 2 +2ax + a a( x +2x +1) = a2 x + a2 a2 ( x +1) 2
a( x +1) = 2 a ( x +1) • Podemos simplificar por cualquiera de los factores comunes que se encuentren a la vez en el numerador y en el denominador. En este caso, simplificaremos por (x + 1). 2 a( x +1) ( x +1) ax 2 +2ax + a a( x +1) = 2 = 2 2 a x+a a ( x +1) a2 ( x +1)
Trinomio cuadrado perfecto
a( x +1) a2 con x ≠ –1, a ≠ 0 simplificar hasta la fracción irreductible. Observa que en el Caso 1 no se simplificó por todos los factores comunes. Podemos seguir simplificando por a (con a ≠ 0):
Observa que…
ax 2 +2ax + a a( x +1) a ( x + 1) = = a2 x + a2 a2 a•a x +1 = a con x ≠ –1, a ≠ 0 Al simplificar por todos los factores comunes se obtiene la fracción irreductible equivalente a la original.
Observa que…
=
Caso 2
Caso 3
Factor común monomio
simplificación y signos. Considera la fracción (1– a)( x – y ) . Se realizarán algunas manipulaciones (a –1)( x – 2) algebraicas para simplificarla. • Se observa que (1 – a) = –(a – 1). Por lo tanto, se puede multiplicar por –1 ambos factores del denominador para obtener en él el término (1 – a), sin alterar el valor de la fracción. (1– a)( x – y) (1– a)( x – y) (1– a)( x – y) = = (a–1)( x – 2) (–1)(a–1)(–1)( x – 2) (1– a)(2 – x) • Ahora sí es posible simplificar la fracción por 1 – a. (1– a)( x – y) (1– a) ( x – y) ( x – y) = = (a–1)( x –2) (1– a) (2 – x) (2 – x) con x ≠ 2, a ≠ 1
Para poder simplificar por x – 1, se debe añadir la restricción de que sea distinto de 0. Por lo tanto, x ≠ –1.
La fracción se simplificó finalmente por a(x + 1), que es el mcd entre los términos de la fracción.
En resumen Si ac es una fracción bc algebraica y d es una expresión algebraica, se tiene que: § acd es una bcd amplificación de ac bc por d. § a es una una b simplificación de ac bc por c.
UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
175
Practiquemos lo aprendido
Repaso
Práctica guiada
1. Determina la fracción irreductible equivalente a
6. Aplica el procedimiento visto en la lección para
las siguientes fracciones. a) 6 d) 30 12 20 8 17 b) e) 24 34 f) 56 c) 15 64 20 2. Determina en cada caso tres fracciones equivalentes a la fracción dada. c) 15 a) 3 20 4 d) 10 b) 49 40 21 3. Calcula el valor de x en las siguientes fracciones equivalentes. d) – 6 = x a) 3 = x 5 45 4 16 e) – 7 = 6 b) 2 = x x 12 9 36 f) 10 = 8 c) 5 = 10 15 x x 22 4. Determina el número por el cual se amplificaron las siguientes fracciones. a) 2 para obtener 10 5 25 b) –12 para obtener –36 7 21 c) 17 para obtener 51 5 15 d) 16 para obtener 80 9 45 5. Determina el número por el cual se simplificaron las siguientes fracciones. a) 10 para obtener 1 2 20 b) –54 para obtener –2 3 81 c) 56 para obtener 8 49 7 d) –21 para obtener –7 8 24
176
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
amplificar las siguientes fracciones algebraicas por la expresión dada. a)
x , por a x +1
2 b) xy , por xy – 1 xy – 2 c) x + y , por x2 + y2 x3 2
d) ( x + y ) , por x2 3 ( x +1) 3 e) m , por m + 3 2 –m 2 f) 1– y – y , por y + 5 y 3 – 3y 2
7. Calcula en cada caso el numerador de la fracción. Guíate por el ejemplo. Ejemplo: x = x +1 2x 2 +2x Paso 1
La expresión x+1 se ha multiplicado por el factor 2x, pues (x + 1) • 2x = 2x2 + 2x
Paso 2
Por lo tanto, se multiplica el numerador x por el factor 2x. x • 2x = 2x2
2 Por lo tanto, x = 2x x +1 2x 2 +2x a) x = 2 2x – 6
3 2 b) 3x +3x = 3x 3 +9x 2 x 2 +3x 2 c) x – 3x +2 = x +2 x2 – 4
d)
x
2
=
2x – 2 2x 3 – 2x 2
2 e) 2x +5 = 3x 9x 3
1 Paso 2
se obtiene al simplificar cada fracción algebraica. Guíate por el ejemplo. 3 3 Ejemplo: 4x y + 8x 2x 2 y 2 + 4x 2
Paso 1
Se descompone en factores comunes el numerador y el denominador y luego se simplifican. 2 • 2 • x 2 • x • (y +2) 2
2 • x • y • (y +2)
=
2x y
con y ≠ 0 2 i) x –16 x+4 2 j) 3x + 6x +3 x +1 ax – ay +bx – by k) x2 – y2 2 l) x – 6x –16 4x 2 –16 2 m) 2x +5x –12 4x 2 – 4x – 3 3 n) x – x x 2 – 2x + 1
ñ)
x 4 –16y 4
(x2 + 4y 2 )(x – 2y)
9. Determina la fracción equivalente irreductible que se obtiene al simplificar cada fracción algebraica. Guíate por el ejemplo. 2 2 Ejemplo: a – b 2 2 b –a Paso 1 Se factoriza el numerador y el denominador. a2 – b2 (a– b)(a +b) = b2 – a2 (b – a)(b + a)
Reflexiona
Se observa que (a – b ) = –(b – a), por lo tanto, la fracción factorizada se puede escribir como:
con b ≠ a, b ≠ –a
Se factorizan los términos de la fracción.
2 a) 4x z 2xz 3 2 b) 20xyz 60x 2 y 4 z 2 5 c) 90x y 18x 4 z 2 d) x – x x xy e) 10x 3 y 3z xy f) xy + y 2 3 g) 4x y – 4xy 8xy 2 2 h) x – x xy – y
4
(a– b)(a+b) –(b – a)(a+b) = (b – a)(b+ a) (b – a)(b+ a)
4x 3 y + 8x 3 4x 3 (y +2) = 2x 2 y 2 + 4x 2 y 2x 2 y(y +2) con x ≠ 0, y ≠ 0, y ≠ –2 Paso 2
3
Paso 3
Se simplifican los factores comunes entre el numerador y denominador. – (b – a) (a+b)
(b – a) (b+ a)
Practiquemos lo aprendido
8. Determina la fracción equivalente irreductible que
2
= –1
2 2 Por lo tanto la fracción a – b es equivalente a –1. b2 – a2 9 –12y + 4y 2 a) a – b d) b2 – a2 2y – 3 2 2 2 a – b x – 2x +1 b) e) 2 b – ab 1– x 2 2 2 2a – 4b f) x – 2xy + y c) 2b – a y2 – x2
Aplica 10. Resuelve los siguientes problemas. a) Al simplificar hasta obtener una fracción algebraica irreductible, Patricio obtiene la fracción 2x – y . y – 2x ¿Está correcto el resultado de Patricio? Justifica. b) Marta afirma que la fracción –xy es equivalen3x + y te a la fracción xy . ¿Es correcta la afirmación –3x + y de Marta? Explica. c) ¿Es correcto afirmar que para simplificar la fracción x–y , basta solamente con multiplicar el (y – x)(y – x) numerador por –1? Justifica tu respuesta.
11. Juzga si las siguientes equivalencias son correctas. En caso que no lo sean, encuentra una fracción que sea equivalente a la primera de ellas. 3 4 c) x – 2 = 1 a) 1 = 5x y z x +2 2xy 3 10x 2 yz 2 d) 4x – 4y = 4x b) x +10x +25 = x – 5 4y x +5 x 2 – 25
§ ¿Cuál es la diferencia entre la simplificación de fracciones numéricas y algebraicas? UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
177
Lección
26
Propósito: multiplicar y dividir fracciones algebraicas.
Debes saber…
Multiplicación y división de fracciones algebraicas
§ Para multiplicar fraccio-
nes numéricas se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. Por ejemplo, 6 3 6 • 3 18 • = = 5 7 5 • 7 35 § Para dividir fracciones
numéricas se multiplica la fracción dividendo por el inverso multiplicativo de la fracción divisor. Por ejemplo, 6 3 6 7 42 14 : = • = = 5 7 5 3 15 5
Multiplicación de fracciones algebraicas Para multiplicar fracciones algebraicas utilizaremos el mismo procedimiento que para las fracciones numéricas, es decir, multiplicar sus numeradores y sus denominadores entre sí. Por ejemplo, para calcular la multiplicación
1 3 5
0
6a2 +3ab x 2 –16 • x 2 + x – 20 2a+b
1 2
1
El área del rectángulo de lados 1 3 3 y es ,es 2 5 10 1 3 3 decir, • = 2 5 10
utilizaremos los siguientes pasos: Paso 1
Se factorizan los términos de ambas expresiones y se determinan sus restricciones. 3a(2a+b) 6a2 +3ab = 2 x + x – 20 ( x +5)( x – 4)
x 2 –16 ( x – 4)( x + 4) = 2a + b 2a +b
x ≠ –5, x ≠ 4 Paso 2
2a ≠ –b
Se multiplican ambas fracciones factorizadas, sin desarrollar los paréntesis. 3a(2a +b) ( x – 4)( x + 4) 6a2 +3ab x 2 –16 = • • 2 2a+b x + x – 20 2a+b ( x +5)( x – 4) =
Paso 3
3a(2a+b)( x – 4)( x + 4) ( x +5)( x – 4)(2a+b)
Se simplifica la fracción obtenida. 3a (2a+b) ( x – 4) ( x + 4)
( x +5) ( x – 4) (2a+b)
=
3a( x + 4) x +5
2 2 3a x + 4) Por lo tanto, 6a +3ab • x –16 = ( 2 x +5 x + x – 20 2a+b
En general, no es necesario desarrollar estas multiplicaciones. Paso 4
Al realizar la multiplicación hemos simplificado por (x – 4) y (2a + b), lo que parece haber eliminado las restricciones x ≠ 4 y 2a ≠ –b. Por lo tanto, es necesario agregarlas al expresar el resultado final. Así: 6a2 +3ab x 2 –16 3a( x + 4) • = x +5 x 2 + x – 20 2a+b Con x ≠ –5, x ≠ 4 y 2a ≠ –b
178
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1
2
3
4
División de expresiones algebraicas Para dividir fracciones algebraicas utilizaremos el mismo procedimiento que para las fracciones numéricas, es decir, multiplicar el dividendo por el inverso multiplicativo del divisor. Por ejemplo, para calcular la división x –1 x 2 – 2x + 1 : 2 a + 5a – 6 3ab – 3b
utilizaremos los siguientes pasos: Paso 1
Se factorizan las expresiones y se determinan sus restricciones. Ya que en una división el divisor no puede ser igual a cero, se debe agregar también la restricción de que el numerador de esta fracción no sea igual a cero. 2
Paso 2
( x –1) x 2 – 2x + 1 = 2 a + 5a – 6 (a + 6)(a –1)
x –1 x –1 = 3ab – 3b 3b(a –1)
a ≠ 1, a ≠ –6
b ≠ 0, a ≠ 1, x ≠ 1
Se expresa la división como multiplicación, y se calcula como se estudió anteriormente 2 ( x –1) x 2 – 2x + 1 x –1 x–1 = : : 2 a + 5a – 6 3ab – 3b (a+6)(a – 1) 3b(a – 1) 2
3b(a – 1) ( x –1) = • (a – 6)(a + 1) x –1 2
( x –1) 3b(a – 1) = (a + 6)(a – 1)( x – 1) Paso 3
Se descomponen los factores comunes, se simplifica la expresión y finalmente se indican las restricciones definidas. 2
( x – 1) 3b(a – 1) ( x – 1) ( x –1) 3b (a–1) x –1 x 2 – 2x + 1 = = : 2 a + 5a – 6 3ab – 3b (a + 6)(a – 1)( x – 1) (a + 6) (a–1) ( x –1) = Entonces:
( x –1)3b ( a + 6)
3b( x –1) x 2 – 2x + 1 x –1 = : 2 a + 5a– 6 3ab – 3b ( a + 6)
Con a ≠ 1, a ≠ –6, b ≠ 0, y x ≠ 1. En resumen § Sean las fracciones algebraicas a y c , donde b y d son distinto de cero, se define b d el producto como: a c a•c • = b d b•d § Sean las fracciones algebraicas a y c , donde b, d y c son distinto de cero, se b d define el cociente como: a c a d a•d : = • = b d b c b•c
Razona
y comenta
§ ¿Qué dificultades observas en la multiplicación y división de fracciones algebraicas? Discute con tus compañeros.
UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
179
Practiquemos lo aprendido
4. Calcula las siguientes divisiones. Guíate por los
Repaso 1. Calcula las siguientes operaciones. a) 1 • 2 2 3 b) 2 • 3 5 7 c) 3 • 24 8 9 –3 d) 0,5• 7
f) 3 • 2 • 1 4 5 4 g) 3 • 7 • 4 7 8 9 3 5 h) –0, 4 • • 24 4 –4 7 4 i) • • –3 12 5 5 1 j) 5 : 2 5
e) 12 • 51 17 48 2. Resuelve los siguientes problemas.
a) Ramón necesita varios pedazos de tubo de 1 2 m de largo y 3 m de diámetro. Cuando fue a 8 4 la ferretería, compró un tubo de 12 m de largo. ¿Crees que puede obtener los pedazos que necesita del tubo que compró? Explica. b) Carlos preparó 8 tazas de mezcla para bizcocho. Con ella va a preparar varios bizcochos pequeños, de 2 de taza de mezcla cada uno. ¿Cuántos bizco3 chos puede preparar? ¿Le sobrará mezcla? Explica.
Práctica guiada 3. Calcula las siguientes multiplicaciones. Guíate por los pasos estudiados en la lección. a) b) c) d) e) f) g) h)
180
4x 16 • 3 x 2a 15b • 5b2 a2 12x 2 15x • 10x 2 y 9x 2x 2 –6xy 2 z • 9xy 4x 2 x – 5 2x • 3x 2 x 2 – 25 x2 – y2 x • xy x+y 2 x +2x – 80 x 2 – 9x –10 • x 2 –100 x 2 – 4x – 32 5x 3x – 3y • 2 2 2 x – 2xy + y
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
pasos estudiados en la lección. 2 a) x : x x +1 (x +1)2 b) 4xy : 2x x2 – y2 x + y 2 2 c) x + y : x – y y y 2 2 d) x – 4x : x –16 x 2 +1 2x 2 +2 4 e) 16 – x : (32 – 8x 2 ) 4x +8 2 2(x –1) x 2 – 2x +1 f) : 3x 3x 2 2 2 g) x + 6x +9 : x – 9 x 2 +3x x2 2 2 h) x –1 : x +2x +1 x –1 x 2 – 2x +1
Aplica 5. Calcula las siguientes operaciones. 2 3 2 a) x y • x + y • x – xy x 3 – xy x 4 y 3 x 2 + y 2 2 2 2 2 b) x + xy • y • x – 2xy + y y xy – y 2 x 3 – y 3 2 2 2 c) 3x y • 4y(x +2y) : 8xy (x +2y) x +2y 3x(2x – y) (2x – y)2
d) x +2 • (x 2 – 4) : x +2 x–2 x x 2 +2xy + y 2 e) ( x + y ) : : (x – y) x 2 – y 2
6. Resuelve los siguientes problemas.
h+2 a) Si los lados de un rectángulo miden cm 2h+ 6 2 y cm, ¿cuál es su área? 2 h –4 b) ¿Cuáles son la dimensiones de un cubo si su volumen máximo está dado por la expresión (a3 + 9a2 + 27a + 27) cm3? c) ¿Qué expresión algebraica al ser dividida por x – 2 x+2 resulta (x2 – 4)?
d) Si la altura y la base de un triángulo miden 2 2x – 4 cm y x –1 cm respectivamente, x – 2 x –1 ¿cuál es su área?
1
ejemplo que se muestra. a a+b Ejemplo: a2 a2 – b2 Paso 1 Se escribe la fracción como división. a a2 a a+b = : a + b a2 – b2 a2 a2 – b2 Paso 2
Paso 3
Se escribe la división como multiplicación. a a2 – b2 • a+b a2 Se factorizan y simplifican los numeradores y denominadores. (a– b) (a + b) a– b a a2 – b2 a • = • = 2 a a+b a+b a a2 con a ≠ –b, a ≠ 0
x 5 y 8 z7 4 6 10 a) x y z x 6 y8z9 x3 y2z5
x 2 + 4x – 5 2 d) x – 2x + 1 x 2 + 5x x 2 –1
x+5 b) x + 3 x +1 x–5
x2 + x 2 e) 2x + 5x –12 x2 + x 2x 2 – 7x + 6
(x + 2)2 c) (x – 2)(x + 1) (x 2 – 4) x +1
x 2 – x – 20 2 f) x – 7x + 12 6x 2 – 31x + 5 3x 2 +10x + 3
8. Determina los datos que se piden en cada caso. a) El lado que falta y el perímetro del siguiente rectángulo.
A=
15x2 19xy3
20x 38x3y
3
4
b) El lado que falta y el perímetro del rectángulo, si se conoce el área del triángulo que se forma con la diagonal.
3x A=
10x3 y
9. Resuelve los siguientes problemas.
Practiquemos lo aprendido
7. Simplifica las siguientes fracciones. Guíate por el
2
a) Andrés debe cercar un terreno de forma cuadra2 da que no supere un área de 100x m2. ¿Cuál es 2 la longitud máxima de la cerca? y b) Paula debe llenar botellas de (4x + 2) litros, con agua de un contenedor que tiene (2x + y)3 litros. ¿Cuántas botellas necesitará?
10. Desafío. Dos scouts utilizan dos barcos de juguete para calcular el área de un sector rectangular en una laguna. Los barcos viajan con las direcciones que se muestran en la figura. Barco 2
Barco 1
El barco 1 recorre (a +1) metros en t2 segundos, y 2 2 el barco 2 recorre a – b metros en 2t segundos. a ¿Cuál es la expresión que representa la distancia a la que se encuentran los barcos luego de t segundos?
11. Conexiones: La ley de Boyle y Gay - Lussac permiten calcular la presión dentro de un objeto hueco si la temperatura externa varía, mediante la igualdad P1 = P2 donde P1 es la presión en atm. T1 T2 dentro del objeto a temperatura T1 y P2 es la presión dentro del objeto a temperatura T2 en Kelvin (K). Se tiene una botella vacía, con presión de 1 atm y una temperatura de 296, 4 K. ¿Cuál es la presión en la botella si se aumenta la temperatura en 100, 4 K?
Reflexiona § ¿Por qué para dividir por una fracción se "da vuelta"? Investiga. UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
181
Lección
27
Propósito: sumar y restar fracciones algebraicas.
Debes saber…
Adición y sustracción de fracciones algebraicas
§ Para sumar o restar frac-
ciones con igual denominador, se conserva el denominador y se suman o restan los numeradores. Ejemplo: 5 3 5+ 3 8 + = = 9 9 9 9 § Para sumar o restar
fracciones con distinto denominador, se busca el denominador común a todas ellas y luego se busca la fracción equivalente a la original con el nuevo denominador. Finalmente se suman o se restan los numeradores. Ejemplo: 2 2 – = 3 9
Adición de fracciones algebraicas Nuevamente, utilizaremos las ideas que ya conoces de la adición de fracciones numéricas para extenderlas a las fracciones algebraicas. Así, por ejemplo, para calcular la adición: 2p + 1 p2 –1 + p2 +5p + 4 rp2 +2pr + r seguiremos los siguientes pasos: Paso 1
2p + 1 2p + 1 = 2 p +5p + 4 (p + 4)(p + 1)
Paso 2
6 2 4 – = 9 9 9
p ≠ –1, r ≠ 0
Se calcula el mcm entre los denominadores de ambas fracciones. mcm((p+ 4)(p+1) ,r (p+1)) = r (p+ 4)(p+1)
Paso 3
Amplificamos las fracciones al denominador 9
Restamos los numeradores y se conserva el denominador
(p + 1)(p – 1) : (p +1) p –1 p2 – 1 = = 2 2 r rp + 2pr + r (p + 1) : (p +1) r (p + 1)
p ≠ –4, p ≠ –1
mcm (3, 9) = 9
2 •3 2 6 2 – = – 3•3 9 9 9
Se factorizan las fracciones, se indican sus restricciones y se simplifican si corresponde.
Se amplifican las fracciones para que tengan como denominador el mcm r(p + 4)(p + 1). r (2p + 1) 2p + 1 2p + 1 = = 2 p +5p + 4 (p + 4)(p + 1) r (p + 4)(p + 1)
(p –1)(p+ 4) p2 –1 p –1 = = 2 rp +2pr + r r (p + 1) r (p + 1)(p + 4) Paso 4
Ahora tenemos fracciones con igual denominador, por lo que las sumamos de la misma forma que las fracciones numéricas. Si corresponde, el resultado se simplifica y se indican las restricciones. r (2p + 1) (p –1)(p + 4) p2 –1 2p + 1 + + = 2 2 p + 5p + 4 rp + 2pr + r r (p + 4)(p + 1) r (p + 1)(p + 4) =
(2pr + r)+(p2 + 3p – 4) r (p + 4)(p + 1)
=
p2 +2pr + 3p + r – 4 r (p + 4)(p + 1) con r ≠ 0, p ≠ –4, p ≠ –1
Sustracción de fracciones algebraicas Para la sustracción utilizamos esencialmente los mismos pasos anteriores, salvo que se debe poner atención al cambiar los signos. Así por ejemplo, para calcular la sustracción entre las fracciones anteriores: 2p2 – 8 p –1 – 2 p +5p + 4 p + 1 182
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1
2
3
4
Se siguen los pasos 1, 3 y 4, para restar fracciones algebraicas.
(p –1)(p + 4) p –1 2p2 – 8 2p2 – 8 = – – (p + 4)(p + 1) (p + 1) (p + 4)(p + 1) (p + 1)(p + 4) =
2p2 – 8 – (p2 + 3p – 4)
(p + 4)(p + 1)
=
2p 2 – 8 – p 2 – 3p+ 4 (p + 4)(p + 1)
=
(p – 4) (p + 1) p – 4 p2 – 3p – 4 = = (p + 4)(p + 1) (p + 4) (p + 1) p + 4
Con p ≠ –4, y p ≠ –1.
Se cambia el signo de cada término dentro del paréntesis.
Expresiones mixtas En ocasiones tendremos que sumar o restar fracciones algebraicas con expresiones que no lo son. Por ejemplo: 2a – b 3a + 5b – a + 4b A esto le llamamos expresiones mixtas, y para reducirlas realizamos un proceso similar al que permite convertir un número mixto a fracción impropia. Por lo tanto, seguimos los siguientes pasos: Paso 1
Paso 2
La expresión que no es fracción algebraica se escribe como fracción de denominador igual a 1. 3a + 5b 3a + 5b = 1 Esta fracción se amplifica por el denominador de la fracción algebraica. 3a + 5b ( 3a + 5b ) • ( a + 4b ) ( 3a + 5b )( a + 4b ) = = 1 1• ( a + 4b ) a + 4b
Paso 3
Tenemos ahora dos fracciones algebraicas con igual denominador (y por ende, la restricción de ambas es la misma, a ≠ –4b. Realizamos ahora la operación e indicamos la restricción. 3a + 5b –
2a – b (3a + 5b)(a + 4b) 2a– b – = a + 4b a + 4b a + 4b =
(3a + 5b)(a + 4b) – (2a – b)
a + 4b 3a • a + 3a • 4b + 5b • a + 5b • 4b – 2a + b = a + 4b =
Por lo tanto,
3a2 + 17ab + 20b2 – 2a + b = a + 4b 3a + 5b –
Con a ≠ –4b.
3a2 + 12ab + 5ab + 20b2 – 2a + b a + 4b
2a– b 3a2 + 17ab + 20b2 – 2a + b = a + 4b a + 4b
Razona
y comenta
§ ¿Qué otro método puedes utilizar para sumar o restar dos fracciones algebraicas con distinto denominador?
UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
183
Practiquemos lo aprendido
Repaso
Práctica guiada
1. Calcula las siguientes adiciones y sustracciones.
5. Calcula las siguientes operaciones con fracciones
a) 1 + 1 2 2 b) 4 1 – 7 5 3 6 c) – 3 + 1 5 10 2 12 1 7 d) – + 3 3 5
e) 1– 4 – 3 + 2 15 10 5 f) 2 – 5 – 3 3 2 4 1 g) – – 3 – 1 5 4 2 7 h) 6 – 4 + +0,5 5 4
2. Calcula las siguientes operaciones combinadas. e) 3 + 1 : –14 5 10 15
a) 1 + 3 • 2 4 4 3 b) 1 – 2 3 4 4
2
f) 2 3 –1 4 • 3 7 7
c) 1 : 1 + 2 4 8 12
g) 3 1 – 2 3 : 2 – 4 4 4 5 3
d) 1 : 1 + 1 4 8 8
h) 10 • 12 + 6 • 15 6 15 5 18
3. Resuelve los siguientes problemas aplicando adición y sustracción de fracciones. a) El día lunes Patricia leyó 1 de un libro, y el viernes, 5 1 de lo que le quedaba. ¿Qué parte del libro leyó 3 durante esos dos días? Si el libro tiene 480 páginas, ¿cuántas páginas le faltan por leer, aproximadamente? b) En una competencia de 100 metros planos, Andrés corrió durante 17 minutos, clasificando para 60 la gran final. Si en la carrera final hizo el mismo trayecto en 14 minutos, ¿en cuántos segundos 60 mejoró su marca?
4. Completa el siguiente cuadrado mágico si la suma de las diagonales, horizontales y verticales debe ser la misma.
184
9 5
0,3
2,1
X
Z
Y
6,5 9 10 6 5
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
de igual denominador. Guíate por el ejemplo. Ejemplo:
3 a– 3 3 +(a – 3) a con x ≠ 0 + = = 2x 2x 2x 2x
a) 2a – 5a 3x 3x b) 1 + 5 – 10 3x 3x 3x c) 8x + 3 – 7 – 6x x 2 +3 x 2 +3 2 d) 2x – 3x + 8 – 5 2x + 6 2x + 6 2 x + 1 3x e) – 2 + 2 2 x +1 x +1 x +1 x–3 2x + 4 f) – 2 2 x + x +1 x +x +1 g) x + 2 – 5 2x + 6 2x + 6 2 2 h) x –100x – 2x – 5 x–y x–y
6. Calcula las siguientes operaciones entre fracciones de distinto denominador. Realiza el procedimiento visto en la lección. 3 5 – x+7 x b) 6 – 3 + 5 4x x 3x 7x x x + 5 c) – + y 15y 25y 2 a)
d) e) f) g) h) i) j)
2x 5x 2 c – + 3y 6y 2 9y 3x + 2 x + 2 – 3x + 6 x 2 – 3x x 3 x 3 +3 + 2 − 3 x –1 x –1 x –1 7x 2 + 4 x – 2 2x – − 2 ( x + 2) x + 2 6 4 6 − 2 + 2 x + 3 x +3x x – 9 x –1 x + 1 x – 6 – + x – 2 x + 2 x2 – 4 2x 3x x–6 + + x + 3 x – 3 9 – x2
1
2
3
4
el procedimiento visto en la lección. 1 x x b) 3– 2– x
x+5 – x–5 x–5 2 2 36x e) (6x – 5) – 2x
2x – 2 c) x + 1– 3x
x 2 +2x + 1 f) – x –1 x –1
a) 5 +
d)
Aplica 8. Determina en cada caso el valor de A. a)
1 x +A= 2 2 x x y 2
3 –6 –A= 2 x +1 x –1
9. Reduce las siguientes expresiones. 2 4 + a) x 7x 4 2 + x 5x
1 2 6– – 2 x x e) 1 2 3+ – 2 x x
x 2 + 3x + 2 x+2 b) (x + 2) : (x + 1)
2 2x – 3 f) 8 2a –1– 2x – 3 1 g) 1– 1 1– 1 1– x –1 1 a+ 1 a– a h) 1 a– 1 a+ a
5 +2 c) x – 3 1 x– 2x + 1 x + 2y y 2 + y x d) xy + y 2 x+ x+y
se pide. A = 1+
a–
a2 – b2 b2
B = a–
a) A + B
a2 – b a
d) B – A
e) 2 + A B c) A + A f) 2B + A B 11. Utiliza las expresiones A, B y C para calcular lo que se pide. b) A – B
A = 1+
2
1+x x +1 +A= 2 2 b) 2 x y x y c)
10. Utiliza las expresiones A y B para calcular lo que
a2 – b2 b2
B = a–
a2 – b a
C=
a) A + B + C
d) 2A – B – C
b) A – B + C
e) B + 1 A B f) 1 A+C
c) A – B – C
Practiquemos lo aprendido
7. Reduce las siguientes expresiones mixtas. Realiza
2 b
12. Conexiones: para los egipcios, las fracciones no eran números sino “repartos por realizar”. Por ello, para ellos solo tenían sentido las fracciones de numerador 1 y toda fracción distinta se debía expresar como una suma de fracciones de denominador 1. a) Investiga respecto de los procedimientos que seguían los egipcios para expresar sus fracciones. b) Realiza la descomposición “a la egipcia” para la fracción 4 . 7 13. Desafío. Simplifica la siguiente expresión. 3x 2x – x – y x+y a) 3x 4y + y2 2 2 – 2 x – 2xy + y x + 2xy
Reflexiona § ¿En qué situaciones podrías utilizar la adición y sustracción de fracciones algebraicas? § Joaquín dice que la línea de fracción debe considerarse como un paréntesis a la hora de sumar y restar fracciones algebraicas. ¿Estás de acuerdo con Joaquín? Justifica.
UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
185
Lección
28
Propósito: resolver problemas que involucran ecuaciones fraccionarias.
Debes saber… § Una ecuación es una
igualdad entre dos expresiones algebraicas en la cual aparecen algunas incógnitas. § Si a = b, se tiene que: • a+c=b+c • a–c=b–c • ac = bc •
a b , con c ≠ 0. = c c
Resolución de problemas que involucran ecuaciones fraccionarias Si una máquina A demora 4 horas en mezclar una determinada cantidad de litros de líquido y una máquina B demora 3 horas en hacer el mismo trabajo, ¿cuántas horas tardarán en mezclar esa misma cantidad de líquido si ambas máquinas operan juntas? Para resolver este problema aplicaremos lo que hemos visto en la unidad, mediante los siguientes pasos: Paso 1
Definimos una incógnita y en base a ella representamos las otras cantidades. Así: La máquina A: demora 4 horas en hacer la mezcla, entonces en 1 hora hace 1 de la mezcla. 4 La máquina B: demora 3 horas en hacer la mezcla, entonces en 1 hora 1 hace + de la mezcla. 3 Juntas: demoran x horas en hacer la mezcla, entonces en 1 hora hacen 1 de la mezcla. x
Paso 2
Planteamos la ecuación que resuelve el problema, 1 1 1 + = 4 3 x Tenemos así una ecuación fraccionaria, es decir, una ecuación cuya incógnita está presente en el denominador de una fracción algebraica. Podemos observar que las restricciones de las fracciones son x ≠ 0.
Paso 3
Se calcula el mcm. de los denominadores de las fracciones y se multiplican ambos lados de la ecuación por él, para obtener una ecuación sin fracciones algebraicas. mcm(4, 3, x) = 12x Por lo tanto, se multiplica a ambos lados de la igualdad por 12x.
se simplifican los factores 12 : 4 = 3 12 : 3 = 4 x:x=1 se divide por 7
1 1 1 / •12x + = 4 3 x 1 1 1 • 12x + • 12x = • 12x x 3 4 1 1 12 • x + • 12 x = • 12 x x 3 4 3x + 4x = 12 7x = 12 x=
186
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
12 7
/ :7
se reducen términos semejantes
1 Paso 4
2
3
4
Podemos finalmente calcular la cantidad de horas que demorarán ambas máquinas en hacer la mezcla. 12 12 12 de de • 60 = 102, 85 • 61 hora → • 660 minutos → 7 7 7 Por lo tanto, se demorarán 102,85 minutos que es equivalente a 1 hora y 43 minutos aproximadamente.
Razona
En resumen
y comenta
Se llama ecuación fraccionaria a aquella cuya incógnita está presente en el denominador de una fracción algebraica.
§ ¿Por qué es importan-
Para resolver una ecuación fraccionaria, se multiplican ambos lados de ella por el mcm de los denominadores de las fracciones en las que esté presente la incógnita, y se obtiene así una ecuación no fraccionaria que se resuelve. Se debe comprobar que la solución obtenida sea pertinente al problema (si corresponde), y que no corresponda a alguna restricción de las fracciones.
te restringir la solución en una ecuación fraccionaria? ¿Por qué no realiza lo mismo en las ecuaciones lineales de primer grado? ¿Cuál es la diferencia?
1. Resuelve las siguientes ecuaciones lineales de primer grado con una incógnita.
o) 8x – 15x – 30x – 51x = 3x – 31x – 100 p) (x + 3)2 – (x – 1)2 = x
a) 3x = 24
q) 4(2x – 3) = 5 + 4(x – 2)
b) 7 + x = 12
r) 9x – (5x + 1) – (2 + 8x – 7x +5) = –9
c) 3 – x = 3 d) x – 3 = 11 e) 3x – 15 = 3 f) –2x – 1 = 8 g) 6 + 4x = 2x + 2 h) x + 2 = 3x – 4 i) 4x – 1 = 5x – 3 j) 4x + 1 = 7x – 9 k) 2(x – 4) – (6 – x )= 3 x – 4 l) 2(x – 4 ) – (6 + x )= 3x – 1
Practiquemos lo aprendido
Repaso
2. Verifica si el valor dado es solución para la ecuación planteada. a) 5(z + 3) + 4(1− z) = z − 5z 4 16 4 20 b) − (6x + 4) − 5(3 − x) = 0 6 25 c) 9(3y + 9) − 15(0,5 + y) = 0, 4 6 25 2
z=4 x = 1,583 1 y =1 2
3. Identifica, entre las siguientes situaciones, las que
m) 3(x + 2) – 2(2x – 1) = 6x +1
se pueden representar mediante la ecuación 2x + 1 = 3(x + 1).
n) x – 3 – x – 5 = x – 2 4 6 9
a) El sucesor del doble de un número es igual al triple del sucesor del número.
ñ) 1+
x +3 x +1 x + 4 = + 4 2 5
b) Se multiplica un número por dos y se le suma 1, para obtener el triple de dicho número, aumentado en uno?
UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
187
Practiquemos lo aprendido
c) Dos veces un número es igual a tres veces el mismo número aumentado en uno. ¿Cuál es ese número? d) Al agregar 1 al doble de un número, se obtiene el triple del sucesor del número. ¿De qué número se trata?
b) Perímetro de triángulo igual a 80 cm. x x+5
c) Rectángulo de perímetro igual a 102 cm.
4. Analiza cada problema y escribe la variable que 4x + 3
utilizarías para resolverlo. Luego, plantea una ecuación que modele el problema. a) Un celular tiene un precio de $ 59 998. Si se tie5 nen ahorrados de su costo, ¿cuál es el monto 9 que falta por ahorra? b) Un atleta correrá un trayecto de 25 kilómetros. Si ha recorrido 7 hectómetros, ¿cuál es la diferencia que le falta por recorrer? (1 hectómetro = 0,1 kilómetro) c) Un notebook tiene un precio al contado de $ 757 890. Si se cancela en 3 cuotas precio contado, ¿cuál es el monto que se pagará en 2 cuotas? d) Si en un terreno rectangular uno de sus lados mide el doble del otro y su perímetro es 44 m, ¿cuál es el área del terreno?
5. Resuelve los siguientes problemas. a) Un número excede a otro en 10 unidades. Si ambos números suman 90, determina el número mayor. b) ¿Qué número es mayor que 45 en la misma cantidad en que es excedido por 135? c) La edad de Pablo es tal que si al doble de su edad le quitaran 27 años resultaría lo que le falta para cumplir 90 años. ¿Cuál será su edad dentro de 13 años? d) Dos ciudades, A y B están a una distancia de 600 km. Desde A parte un vehículo hacia B con una rapidez de 80 km/h, y otro parte desde B hacia A con una rapidez de 84 km/h. ¿A qué distancia se encontrarán los dos autos?
6. Determina el valor de x, considerando la información de cada una de las siguientes figuras. a) Pentágono regular de perímetro 1080 cm.
8x + 6
7. Una balanza se equilibra en las siguientes situaciones: • Si en un plato hay una vaca, y en el otro, cuatro cerdos. • Si en un plato hay dos cerdos, y en el otro, cuatro perros. • Si en un plato hay un cerdo, un caballo y un perro, y en el otro, una vaca. a) Si se ubica un caballo en un plato de la balanza, ¿cuántos perros se deben poner en el otro para que se equilibre? b) En uno de los platos de la balanza hay una vaca y un caballo. ¿Cuántos perros y cuántos cerdos se deben poner en el otro plato para que se equilibre?
Práctica guiada 8. Resuelve las siguientes ecuaciones indicando las restricciones de cada una. Guíate por el procedimiento visto en la lección. a) 3 = 26 5x b)
3 = 10 2x –1
c) 3 = 2 – 1 12 15 x d) 1 = 3 x x −2 e) 1 + 1 = 3 3x 2 x f) 3 = 1 + 1 x 3 2x
3x
188
x
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1
h)
x 3x = x + 3 3x + 5
i)
3 6 = 2x +1 2x +1
j) 3 = 2 x +1 x –1 k)
3 2 –4= x +1 x +1
l) 5+ 2 = –1 x +2 m) 2 –1= 3 5+x 5+x n) 2 − x = x x − 3 x −1 ñ)
2 a −1 2 − = 2 x − a x + a x − a2
o)
x2 x 2 = + 2 x – 4 x +2 2 – x
p)
2 6x 2 2 + 2 = 3x –1 9x –1 3
q)
3 1 1 + – =0 3x – 9 4x + 4 12x +12
r)
x–5 x–4 5 – 2 = 2 x +2x − 3 x – 9 x – 4x +3 2
s)
x +2 x –7 2 – + =0 x – 2x –15 x 2 – 8x +15 x 2 – 9
t)
5x – 2 7 2 – = x + x –12 x + 4 2x – 6
2
2
9. Juzga si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifica las falsas. Guíate por el ejemplo. Ejemplo: 2 es la solución de la ecuación 11 – 4 = 3 . x 2
3
4
Paso 1
Se remplaza la incógnita x por 2, y se desarrolla. 11 3 –4= 2 2 3 3 = 2 2
Paso 2
Ya que se obtiene una igualdad correcta, la proposición es verdadera.
a) 3 es solución de la ecuación 4 = 2 + 6. x x
Practiquemos lo aprendido
g) 1 = 2 – x 3x 5 6
2
b) –2 es solución de la ecuación 10 = 4 . 2x + 6 6x – 8 c) –8 es solución de la ecuación 1 + 2 2 = 4 . x +2 x – 4 x – 2 3 d) –3 es solución de la ecuación 4 – 5 = 2 . x +2 x + 4 x +2 2 e) x ≠ –2 y x ≠ 2 para la ecuación 4 = 2 . x – 2 x +2 f) x ≠ –5 y x ≠ 5, x ≠ –1para la ecuación
x 1 . = x – 25 x +1 2
g) Para expresar la ecuación 2 = 1 como una x x +2 ecuación lineal , se debe multiplicar por x(x+2). h) Para que la expresión ser iguala a –5.
6 sea igual a –4, x debe 2x +5
10. Resuelve las siguientes ecuaciones. Guíate por el ejemplo. Ejemplo: resuelve la ecuación 2+
Paso 1
2 = 3. 1+ x x
Se determinan las restricciones de la ecuación. En la fracción 1+ x , se tiene que x x ≠ 0, y en la fracción 2 , la fracción 1+ x x 1+ x no puede ser cero, por lo tanto x ≠ –1. x
UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
189
Practiquemos lo aprendido
Paso 2
Paso 3
Se reducen las fracciones algebraicas involucradas. En este caso se reducirá la 2 expresión 2 + . 1+ x x x 2 2+ = 2 + 2• 1+ x 1+ x x 2x =2+ 1+ x 2 +2x +2x = 1+ x 2 + 4x = 1+ x Se remplaza la expresión en la ecuación y se resuelve. 2 + 4x =3 / • (1+ x ) 1+ x 2 + 4x = 3(1+ x ) 2 + 4x = 3 +3x
Paso 4
x =1 Se comprueba el resultado de la ecuación inicial, remplazando en ella el valor x = 1. 2 2 2+ =3→2 + 1+1 2 1 1 3 → 2+1= 3 → 3 = 3
Luego x = 1 es solución de la ecuación. 1 = 10 1 x 1 = –5 b) 2+ 2 1+ x 1 = –5 c) 3+ 2 1– x a) 1+
d) 1 + 1 = x +10 x 1 x 1 e) + 1 = 1 + x x x –1 x x –1 2 x f) 10 = 1 1 7 2x + 6 2x +3
Aplica 11. Responde las siguientes preguntas. Justifica tu respuesta en cada caso. a) ¿Existe un número real x, para el cual la expresión 1 tome el mismo valor que la expresión –1 ? 3x – 3 3x – 3 190
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
b) Si p y q son números reales distintos entre sí, ¿existe un valor x, distinto de p y de q, para el cual las q p expresiones tomen el mismo valor? y x –p x –q Resuelve los siguientes problemas.
12. ¿Cuál es el número que sumado con su inverso multiplicativo equivale al mismo número disminuido en dos?
13. Considera el siguiente rectángulo. 1 x x
¿Existe un valor de x, tal que el área de la figura sea igual a 20 cm2? Si existe, determínalo. Si no, explica por qué.
14. Un número sumado con su inverso es igual al mismo número disminuido en una unidad. ¿Cuál es el doble de dicho número?
15. Jaime administra los despachos de productos lácteos en la región de Tarapacá. Debe repartir 720 kg de productos en partes iguales entre cierta cantidad de colegios. En el trayecto se da cuenta de que cuatro de ellos ya habían recibido la mercadería, por lo que Jaime decide repartir los productos en los restantes, recibiendo cada colegio 40 kg de productos. ¿Cuántos colegios eran inicialmente? ¿Cuántos kg de productos habrían recibido?
16. La suma de los dígitos de un número de dos cifras es 9. Si el número aumentado en 6 se divide por el doble de la cifra de las decenas, el cociente es 7. ¿Cuál es el número?
17. Una llave puede llenar un estanque en 4 horas; otra lo puede llenar en 16 horas y una tercera llave lo hace en 10 horas. ¿Cuánto demoran en llenar el estanque las tres llaves juntas?
18. La suma de dos números es 45. Si el mayor se divide por el menor, el cociente es 2 y el resto es 9. ¿Cuáles son los números?
1
numerador. Si el denominador aumenta en 6, el valor de la fracción es 1. ¿Cuál es el valor de 2 la fracción?
20. Cristián camina desde una ciudad A hacia una ciudad B, en un trayecto que demora 3 horas. Clara parte desde B hacia A al mismo tiempo en bicicleta, trayecto en el que se suele demorar una hora y cuarto. ¿Luego de cuánto tiempo se encontrarán?
21. Considera el siguiente reloj análogo
3
4
a) ¿A qué distancia del vértice se formará la imagen de un objeto ubicado a 20 cm del vértice de un espejo cóncavo si este tiene una distancia focal de 15 cm? b) ¿A qué distancia del vértice de un espejo cóncavo se ubica un objeto si se sabe que la imagen que se formó se ubicó a 12 cm del vértice y su distancia focal es de 8 cm? c) ¿Cuál debe ser la distancia focal de un espejo cóncavo para que tanto un objeto como su imagen se ubiquen a 10 cm del vértice?
Practiquemos lo aprendido
19. El denominador de una fracción excede en 1 al
2
23. Conexiones: El efecto Doppler es un principio que explica por qué, cuando una fuente de sonido de frecuencia constante avanza hacia el observador, el sonido parece más agudo (de mayor frecuencia), mientras que si la fuente se aleja, parece más grave.
a) ¿A qué hora, entre las 4 y las 5, las agujas del reloj formarán un ángulo recto? b) ¿A qué hora, entre las 7 y las 8, las agujas del reloj formarán un ángulo extendido? c) ¿A qué hora, entre las 10 y las 11, las agujas del reloj coincidirán?
22. Conexiones: En óptica, existe una relación que permite determinar la distancia de una imagen (q), respecto del vértice (V) del espejo, que se formará por un objeto ubicado a una distancia (p) de este vértice.
Objeto
p F Imagen
f
V
q
La frecuencia percibida f’ se relaciona con la frecuencia f emitida por el objeto mediante la fórmula: 340 f ' = f 340± v s La unidad de medida de la frecuencia es el hertzio (Hz). a) ¿Cuál es la rapidez de la fuente que se acerca a un receptor si este percibe una frecuencia de 500 Hz cuando la fuente emite un sonido de 400 Hz? b) Una fuente de sonido se está alejando del receptor, quien la percibe con una frecuencia de 1000 Hz. ¿Cuál es la rapidez, si la fuente emite a 1500 Hz? c) Para determinar la frecuencia percibida f’ por un receptor cuando tanto este como la fuente se acercan uno al otro, se aplica la fórmula: 340+ v 0 f ' = f 340 – v s
El punto F corresponde al foco del espejo, y f se conoce como distancia focal. Para un espejo cóncavo, como el de la figura, se cumple la siguiente relación entre p, q y f: 1 1 1 + = p q f
donde vo es la rapidez del receptor. ¿Cuál es la rapidez de la fuente si la del receptor es de 30 m/s, lo que le permite percibir el sonido emitido por la fuente de 800 Hz como un sonido de 1000 Hz?
Reflexiona § ¿Qué dificultades encuentras al plantear problemas con fracciones algebraicas? Discute con tus compañeros. UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
191
Resolución de problemas Analiza la resolución del siguiente problema. ¿Qué condiciones deben cumplir a y b, para que la siguiente expresión represente un número positivo?
a +b –1 a–b a +b 1– b–a
Paso 1 Comprende el enunciado a. ¿Qué se quiere saber una vez resuelto el problema? Las condiciones que deben cumplir a y b, para que la fracción represente un número positivo. b. ¿Qué información entrega el enunciado? La fracción, que es una expresión compuesta sin desarrollar. Paso 2 Planifica lo que vas a realizar Desarrollaremos la expresión para simplificarla lo más que se pueda, y luego se analizarán los valores posibles de a y de b. Paso 3 Resuelve el problema El numerador y el denominador son expresiones mixtas que pueden expresarse como fracciones. Numerador
a+b – (a – b) a+b –1= a–b a–b a+b – a+b = a–b 2b = con a ≠ b a–b
Denominador
1–
a+b b – a – (a+b) = b–a b–a b –a–a–b = b–a –2a = b–a 2a = con a ≠ b a–b
Aplicamos ahora lo aprendido para la división de fracciones a+b –1 a–b = a+b 1– b–a
2b a – b = 2b • a – b = b con a ≠ 0 2a a a – b 2a a–b
Para que una fracción represente un número positivo su numerador y su denominador deben tener ambos igual signo, es decir, ser ambos positivos o ambos negativos. Lo anterior se puede expresar como ab > 0. Paso 4 Revisa la solución Para verificar que la respuesta es correcta, puedes remplazar distintos valores de a y de b en la expresión original, verificando que se obtiene un número positivo si la condición se cumple, y negativo si no.
Podrás aplicar lo aprendido aquí en los problemas que se presentan en la página 194.
192
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
Para no cometer errores
1
Analiza la situación
2
4
Aprende la forma correcta
Soledad debe calcular la siguiente resta de fracciones algebraicas: x–y y – 2x +1 2x – 3 2x +1 ( )( ) Para ello realiza lo siguiente: y (2x – 3) y x–y x–y – = − (2x +1)(2x – 3) 2x +1 (2x +1)(2x – 3) (2x +1)(2x – 3) =
x–y 2xy – 3y − (2x +1)(2x – 3) (2x +1)(2x – 3)
=
x – y – 2xy – 3y (2x +1)(2x – 3)
Conviene utilizar paréntesis al realizar la sustracción, para así cambiar los signos correctamente. y(2x–3) x– y – (2x+1)(2x–3) (2x+1)(2x–3) (2xy–3y) x– y − (2x+1)(2x–3) (2x+1)(2x–3) x–y–(2xy–3y) (2x+1)(2x–3) x–y–2xy +3y
x – 2xy – 4y = (2x +1)(2x – 3)
Razona
(2x +1)(2x–3) x–2xy + 2y (2x +1)(2x–3)
y comenta
3 1 con x ≠ – , x ≠ – 2 2
§ ¿Cuál es el error cometido por Soledad? § ¿Qué otros errores se pueden cometer al restar fracciones algebraicas?
Analiza la situación
Aprende la forma correcta
Sebastián debe realizar la siguiente multiplicación de fracciones: y2 – x2 a2 +2ab+b2 • 2 x–y b – 2ab+ a2 Para ello, realiza el siguiente procedimiento: 2
(a+b) ( y – x)( y + x) y2 – x2 a2 +2ab+b2 • 2 = • 2 2 x–y x–y b – 2ab+ a (b – a) Para simplificar, cambia los signos de (y – x) y de (b – a). Así: 2
Razona
3
2
(a+b) ( y – x)( y + x) (a + b) ( x – y)( y + x) • = • 2 2 x–y x–y (b – a) (a– b) 2 (a+b) ( x – y) ( y + x) = • 2 x–y (a– b) 2 (a+b) ( y + x) = 2 (a– b)
y comenta
§ ¿Cuál es el error cometido por Sebastián? § ¿Qué otros errores se pueden cometer al simplificar fracciones algebraicas?
Si Sebastián cambia el signo de (b – a), ya que la expresión está al cuadrado, en realidad cambia dos signos, por lo que la expresión en realidad es la misma. Lo que podría haber hecho es lo siguiente: 2
(a+b) ( y– x)( y + x) • 2 x– y (b–a) 2 (a+b) –( y– x)( y + x) = • 2 x– y (b–a) 2 (a+b) – ( x– y)( y + x) = • 2 x– y (b–a) 2
(a+b) ( y + x) 2 (a–b)
=−
cona≠b
Reflexiona § ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores? ¿Cuáles? § Respecto de los que no, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos? § Revisa los ejercicios que hayas resuelto en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes tomar para no volver a cometerlos?
UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
193
Integrando lo aprendido 7 Resuelve los siguientes problemas.
Lección 22: Fracción algebraica 1 Determina las restricciones de las siguientes fracciones algebraicas. a. 1 c. x – 3 x–2 5x +2 x +1 b. d. 3+ x x –1 6x – 2 2 Utiliza fracciones algebraicas para representar las siguientes cantidades. a. El dinero que recibe cada persona, si entre 3 se reparten $(pq) en razón a : b : c. b. El promedio de 3x – 1 notas en Biología de un alumno cuya suma de notas es 25x + 10.
Lección 23: Fracciones algebraicas y fórmulas
Evaluación
3 Determina en cada caso los valores de x para que se cumpla la condición dada. c. 8x , sea positivo. a. 5+ x , sea positivo. 3x 7+8x 6 , sea negativo. b. x–2 4 Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones fraccionarias que se indican. 5x , si x = 3 3x – 2 3(x – 2) , si x = –5 b. 4x a.
2
c. ( x – y ) , si x = –4 e y = 6 y + x2 5 La medida del ángulo exterior de un polígono o regular se calcula con la expresión 360 . ¿Cuánto n mide cada ángulo exterior de un polígono regular con 5, 6, 8 10, 12 y 15 lados?
Lección 24: Mcd y mcm de expresiones algebraicas 6 Determina el mcm y el mcd entre las siguientes expresiones.
194
a. 24x3y5, 16x4y6
d. 4xy, 6yz, 8xz
b. 12pqr4, 60p3r
e. x2 – 4, x2 + 4x + 4
c. 5m, 10m2, 15m3
f. 6a – 6b, 2a2 – 2b2
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
a. Un auto necesita un cambio de aceite cada 9x4y5 km, un cambio de filtro del aire cada 12x3y6z4 km y de bujías cada 15x6y4 km. ¿A qué cantidad mínima de kilómetros habrá que hacer los tres cambios a la vez? b. Alicia debe preparar sorpresas para un cumpleaños. Si tiene 12p5q7r3 globos, 16p6q3r2 dulces y 18p6q4r5 serpentinas y todas las sorpresas deben ser iguales, ¿cuál es el máximo número de sorpresas que puede preparar con los tres elementos?
Lección 25: Amplificación y simplificación de fracciones algebraicas 8 Amplifica las siguientes fracciones algebraicas por la expresión dada. 3x , por 4m. 2x –1 2 2 b. x + y , por xy2 – 5. x+y a.
c. 3a – 2b , por p2 + q3. 5a+ 4b 2 d. x – 5x +8 , por 3 + x2. x 3 – 7x
9 Calcula en cada caso el numerador de la fracción para que se cumpla la igualdad. a. 1 = c. 7 = 2 5x 10x +10x x +5 x 2 – 25 2 8x – 4 d. b. x – x –12 = = 3 3 2 2x 4x – 2x 2 x+4 x –16 10 Simplifica cada fracción algebraica hasta obtener una fracción equivalente irreductible. 3 2 c. 3x – 6 a. 9a b c 2x – 4 12ac 3 2 2 d. 3p – 27 b. b – 4b – 21 p2 – 3p –18 b2 – 8b+7 11 Resuelve los siguientes problemas. 2 2 a. ¿Es ab – a b una fracción irreductible? En caso a3 de que no lo fuera, ¿por qué expresión debe simplificarse para que lo sea?
b. ¿Son equivalentes las fracciones 2a – 2 ? Justifica. 3a+3
2a2 – 2 y 3a2 + 6a+2
1 Lección 26: Multiplicación y división de fracciones algebraicas 12 Calcula las siguientes multiplicaciones. 2 a. 3y • 4 c. 16 – y • x +5 8x 9y 2x +10 4 + y 2 3 x 2 – 5x –14 x 2 +6x+8 b. 6a c • –5b d. • 10b2 3a4 c x 2 +2x – 8 x 2 – 4x – 21 13 Calcula las siguientes divisiones. 2 2 a. 4a – 4b : a+b 8ab ab
2 +15 x +3 b. x +8x : 2 2x +10x 2x
14 Resuelve los siguientes problemas.
3
4
16 Reduce las siguientes expresiones mixtas. 3 y b. 4 – x 5– 2x
2
c. ( x +2) – ( x – 4) x–4 x 2 +5x – 2 x –1– d. x +3 17 Reduce las siguientes expresiones. 5 4 2a + b b2 – + a. x 3x b a b. 7 1 2ab – b2 + a – 3x x ab a. 12x +
Lección 28: Resolución de problemas que involucran ecuaciones fraccionarias 18 Resuelve las siguientes ecuaciones indicando las restricciones de cada una. 7 c. 5 = 7 =1 5x +2 x – 4 x+3 b. 2 = 5 – 1 9 6 x 19 Resuelve los siguientes problemas. a.
Lección 27: Adición y sustracción de fracciones algebraicas
a. ¿Cuál es el número que sumado con el doble de su reciproco resulta el mismo número aumentado en tres?
15 Calcula las siguientes operaciones. 2 1 2 3 b. a. 3x – 3x +7 – 4 + 2 – 2 x – 6x x – 6 x – 36 3x +3 3x +3
b. El numerador de una fracción excede en 2 al denominador. Si el denominador disminuye en 6, el valor de la fracción es 3. ¿Cuál es la fracción? 7
Evaluación
a. Si los lados de un rectángulo miden 3m + 9 cm m2 − 25 m+5 y cm, ¿cuál es su área? m+3 b. El volumen de un prisma recto de base rectangular es 2 cm3 y su base tiene aristas que 3x miden 7x –1 cm y 14x cm. ¿Cuánto 7x 49x 2 –1 mide su altura?
2
Autoevaluació Autoevaluación Evalúa tu aprendizaje utilizando el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las páginas indicadas para repasar. Indicador
Definir una fracción algebraica y sus restricciones. Analizar una fracción algebraica. Calcular mcd y mcm de expresiones algebraicas. Amplificar y simplificar fracciones algebraicas. Multiplicar y dividir fracciones algebraicas.
Sumar y restar fracciones algebraicas. Resolver problemas que involucran ecuaciones fraccionarias.
Mínimo sugerido por ítem
Ítem 1: 2/4 Ítem 2: 1/2 Ítem 3: 2/3 Ítem 4: 2/3 Ítem 5: 1/1 Ítem 6: 3/6 Ítem 7: 1/2 Ítem 8: 2/4 Ítem 9: 2/4 Ítem 10: 2/4 Ítem 11: 1/2 Ítem 12: 2/4 Ítem 13: 1/2 Ítem 14: 1/2 Ítem 15: 1/2 Ítem 16: 2/4 Ítem 17: 1/2 Ítem 18: 2/3 Ítem 19: 1/2
Puedes repasar en la(s) página(s)
164 166 y 167 170 y 171 174 y 175 178 y 179 182 y 183 186 y 187
UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
195
Sección 2
Función exponencial, logarítmica y raíz ¿Qué aprenderás?
¿Dónde?
A analizar gráficas de funciones y sus variaciones.
Lección 29
A analizar la gráfica de la función raíz cuadrada.
Lección 30
A analizar la gráfica de la función exponencial.
Lección 31
A analizar la gráfica de la función logarítmica.
Lección 32
Explorando tus ideas previas
Actividad
§ ¿Qué te sugieren los siguientes términos? Ü
Función
Ü
Plano cartesiano
Ü
Parámetro
¿En qué otras asignaturas has utilizado funciones? Explica la forma en que las has utilizado. s
Es importante porque te permitirá…
modelar situaciones mediante funciones y analizar las variaciones que experimenta su gráfica al variar sus parámetros.
De esto se trata… El estudio de curvas en el plano, e incluso en el espacio fue de gran atractivo para muchos matemáticos durante siglos, aunque utilizando métodos muy distintos a los que hoy conocemos. Ya los griegos se interesaron, por ejemplo, en las curvas que se generan, al cortar un cono mediante un plano, o las que parecen describir los planetas alrededor de la Tierra. Sin embargo, los matemáticos no contaban con un sistema de símbolos adecuado y solo utilizaban las descripciones —en ocasiones, muy complicadas— de las curvas a partir de sus características, sin el uso de fórmulas que conocemos hoy. Fue René Descartes (conocido como Renatus Cartesius) quien en 1619 presentó por primera vez de manera formal lo que hoy conocemos como geometría analítica, que relacionaba el estudio de curvas con el álgebra (hay quienes postulan que su verdadero creador fue Pierre de Fermat, otro matemático francés contemporáneo a Descartes). Gracias a su trabajo, se pudo asociar una curva con una ecuación y viceversa, lo que facilitó el análisis de regularidades y los efectos de modificar valores. Por ejemplo, en lugar de tener que describir una circunferencia como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto dado, basta con considerar la ecuación:
hipérbola
(x – h)² + (y – k)² = r² donde (h, k) son las coordenadas del centro y r es su radio. Descartes fue consciente del gran aporte que su obra hacía a la matemática, y no dudó en decir que “esta geometría supera a la ya conocida como la retórica de Cicerón supera al ABC”.
Actividad grupal en parejas, lean y realicen las siguientes actividades.
➊ ➋
¿En qué disciplinas se utilizan y analizan curvas para estudiar fenómenos? Den algunos ejemplos e investiguen. Investiguen quién fue Cicerón para comprender el sentido de la frase de Descartes.
Propósito: analizar el comportamiento de las funciones raíz cuadrada, exponencial y logarítmica, a partir de sus gráficos. 196
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1
2
3
4
¿Qué debes saber? Realiza las siguientes actividades. Caracterizar funciones y calcular valores con ellas
1 Identifica cuál(es) de las siguientes relaciones corresponde(n) siempre a una función. a. La cantidad de agua que pasa por un río cada hora de un día. b. Los alumnos de un curso que están de cumpleaños en 10 fechas determinadas. c. La cantidad de personas que van a ver a un equipo de fútbol, cuatro domingos del mes. 2 Determina el recorrido de las siguientes funciones si el dominio corresponde al conjunto A = {–5, –4, –3, 0, 1, 2, 3, 4}.
Analizar y graficar funciones
6 Clasifica las siguientes funciones en lineales o afines. a. f(x) = x – 2(x +1) b. g(x) = –3x²+ 3x(x – 2) c. h(x) = –2(x – 1) + x 7 Describe la gráfica de la función f(x) = ax, si a. a es un número mayor que cero.
a. f(x) = x²
b. a es un número menor que cero.
b. f(x) = x² – 2x + 1 2x – x c. f(x) = x+6
8 Considera la función f(x)= x + b. a. Construye su gráfica para b = 1, b = 2, b = 5, b = –2 y b = –6.
x + 10 + x + 100
3 Determina el dominio y recorrido de las siguientes funciones. a. y = – x, si x es un número entero mayor que 4 y menor que 10. b. y = 2x – 2, donde x son todos los números impares mayores que cero y menor que 15. c. y = 3x, si el recorrido es igual o mayor que –3 y menor o igual que 9. 4 Determina si los siguientes puntos pertenece(n) a la función f(x) = –x². a. A(2, 4)
d. D(5, –25)
b. B(0, 0)
e. E(a – b, a² – 2ab +b²)
c. C(5, 25)
b. ¿Qué representa el valor de b en la gráfica de la función? Explica y entrega un ejemplo diferente a los anteriores.
Actividad
d. f(x) =
5 Dos máquinas arrojan f(t) y g(t) litros de agua en t segundos respectivamente, si f(t) = 2t y g(t) = t². ¿Cuál de las dos llaves ha arrojado más agua al cabo de 20 segundos?
Resuelve los siguientes problemas. 9 Andrés trabaja vendiendo celulares en un centro comercial, donde le pagan un sueldo base más una comisión por cada venta. El sueldo base mensual es de $200 000, y por cada venta gana $500. a. ¿Cuál es la función que representa el sueldo mensual de Andrés en función de la cantidad de ventas? b. Si Camila gana un sueldo base de $120 000, ¿cuántas ventas, aproximadamente, tiene que realizar para igualar el sueldo base de Andrés?
Autoevaluació Autoevaluación En la tabla que te entregará tu profesor(a), evalúa el nivel de dominio alcanzado. Luego, repasa en los sitios web que se indican si fuera necesario.
Repasa en los siguientes sitios web…. http://goo.gl/vY1mA
Funciones: características y valoración.
http://goo.gl/WGTvK
Análisis y gráficos de funciones.
UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
197
Lección
29
Propósito: analizar gráficas de funciones y sus variaciones.
Debes saber… Una función f(x) es una relación entre elementos de dos conjuntos A y B, donde a cada elemento del conjunto A le corresponde un único elemento del conjunto B. El dominio de una función es el conjunto formado por los elementos que tienen imagen. Se escribe Dom f(x). El recorrido de una función corresponde al conjunto de las imágenes del conjunto del dominio de la función. Se escribe Rec f(x).
Funciones, tablas y gráficos Taller En parejas, lean y realicen las siguientes actividades. 1 Consideren las siguientes funciones. f(x) = 2x
g(x) = f(x) + 1 = 2x + 1
h(x) = f(x) – 1 = 2x – 1
j(x) = f(x + 3) = 2(x + 3)
k(x) = f(x – 3) = 2(x – 3)
a) Completen la siguiente tabla. X
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
f(x) = 2x g(x) = 2x +1 h(x) = 2x – 1 j(x) = 2(x + 3) k(x) = 2(x – 3) b) Grafiquen las funciones f(x), g(x) y h(x) en el mismo plano cartesiano, según los valores de la tabla anterior. ¿Qué relación observas entre ellas? c) Grafiquen las funciones f(x), j(x) y k(x) en el mismo plano cartesiano, según los valores de la tabla anterior. ¿Qué relación observas entre ellas? d) ¿En qué punto se intersecan las gráficas de las funciones f(x), g(x) y h(x) con el eje Y? ¿Qué relación puedes establecer entre los términos de la función y su gráfica? e) ¿En qué punto se intersecan las gráficas de las funciones f(x), j(x) y k(x) con el eje X? ¿Qué relación puedes establecer entre los términos de la función y su gráfica? f) ¿En qué punto se deben intersecar las gráficas de las funciones j(x) = f(x) + 5 y k(x) = f(x) – 2 con el eje Y? Grafiquen y comprueben sus conjeturas. g) Considerando lo anterior conjeturen respecto de la relación que existe entre las gráficas de las funciones f(x) = 2x, m(x) = f(x) + 5 y n(x) = f(x) – 2. Luego, grafíquenlas y verifiquen sus conclusiones. En general, dada una función f(x) y un número real positivo a, se tiene que: f(x) + a es una traslación vertical de f(x), a unidades hacia arriba. f(x) – a es una traslación vertical de f(x), a unidades hacia abajo. f(x + a) es una traslación horizontal de f(x), a unidades hacia la izquierda. f(x – a) es una traslación horizontal de f(x), a unidades hacia la derecha.
198
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1
2
3
4
2 Ahora consideren las siguientes funciones. f(x) = 2x + 1
l(x) = f(–x) = 2(–x) + 1 = –2x + 1 m(x) = –f(x) = –(2x + 1) = –2x – 1
a) Completen la siguiente tabla. X
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
f(x) = 2x + 1 l(x) = –2x + 1 m(x) = –2x – 1 Grafiquen las funciones f(x), l(x) y m(x) en el mismo plano cartesiano, según los valores de la tabla anterior. ¿Qué relación observan entre las gráficas de las funciones anteriores? Expliquen. En general, dada una función f(x), se tiene que: l(x) = f(–x) es una reflexión de f(x) respecto del eje Y. m(x) = –f(x) es una reflexión de f(x) respecto del eje x. Como puedes observar, la forma de la gráfica de f(x) se ha mantenido en cada caso, pero se observan algunas transformaciones isométricas según las modificaciones que se realizan. Los resultados anteriores podemos resumirlos diciendo que, si f(x) es una función, a su gráfica se le pueden realizar las siguientes transformaciones: Traslación vertical
Traslación horizontal
hacia arriba:
Reflexión
hacia la izquierda: Y
respecto del eje X: Y
Y
f(x) + a f(x + a) a
–f(x )
f(x)
f(x) a
x
hacia abajo:
x
hacia la derecha: Y
x
respecto del eje Y: Y
x a
f(x) – a
Y f(x – a)
f(x) f(x)
f(x)
a
f( – x) x
f(x) x
Razona
y comenta
§ ¿Qué crees que ocurrirá si se multiplica una función por un número? Experimenta con una función f(x), grafícala y compara con 5f(x), –2f(x) y 0,5f(x). UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
199
Practiquemos lo aprendido
5. Determina el dominio y el recorrido de las
Repaso
siguientes funciones.
1. Ubica los siguientes puntos en el plano a) A(4, 4)
e) E(–4, –2)
i) I(0, 3)
b) B(–6, 2)
f) F(–2, –4)
j) J(0, –3)
c) C(–4, 5)
g) G(–2, 4)
k) K(3, 1)
d) D(–2, 2)
h) H(2, –4)
l) L(–3, 1)
2. Construye la gráfica de las funciones expresadas
Práctica guiada 6. Considera la función f(x), cuya gráfica es la siguiente: Y 25 20 15 10 5 0 –25 –20–15–10 –5 0 5 10 15 20 25 X –5
a) Se asocia la medida del lado de un cuadrado con su área.
1 1
2 4
3 9
4 16
5 25
b) El triple de un número. Número
3 9
Triple del número
4 12
5 15
6 18
3. Calcula las siguientes expresiones considerando las funciones: f(x) = 2x
x h(x) = 2
g(x) = 3x²
a) f(3) + g(2) – h(12)
d) f(–3) – h(5) + 0,25 g(12)
b) (f(12))² – 5h(10)
e) f(a + b) – (a – b)
c) h(50) – f(10) 26
f) h(a) – f(a) a
Construye las gráicas de las siguientes funciones. Guíate por lo visto en la lección. a) –f(x)
c) f(x + 5)
e) f(x) + 2
b) f(–x)
d) f(x – 3)
f) f(x) – 0,5
7. Considera la función f(x), cuya gráfica es la siguiente. Y 25 20 15 10 5 0 –30–25–20–15–10 –5 0 5 10 15 20 25 30 X –5 –10 –15 –20
4. Determina cuál(es) de las siguientes gráficas representa(n) una función. Justifica cuando no lo sean. a)
Y
c)
Y
Construye las gráicas de las siguientes funciones. Guíate por el ejemplo. ejemplo: h(x) = –10 + f(–x) Paso 1
x
x
c) h(x) =
b) g(x) = 4 x
en las siguientes tablas.
Lado Área
3 x−5 1 d) j(x) = 1+ x
a) f(x) = 2x
cartesiano.
Se grafica f(–x), reflexión de f(x) respecto del eje Y. Y
b)
Y
d) x
200
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
Y
x
25 20 15 10 5 0 –30–25–20–15–10 –5 0 5 10 15 20 25 30 X –5 –10 –15 –20
1 Se grafica –10 + f(–x), trasladando verticalmente en 10 unidades hacia los negativos. La gráica azul corresponde a la función pedida.
b)
Y
20 15 10 5 0 –30–25–20–15–10 –5 0 5 10 15 20 25 30 X –5 –10 –15 –20 –21
a) h(x) = –f(x) b) g(x) = f(–x) – 20 c) i(x) = f(x – 10)
c)
3
4
Y
20 15 10 5 0 –30–25–20–15–10 –5 0 5 10 15 20 25 30 X –5 –10 –15
Y
25 20 15 10 5 0 –30–25–20–15–10 –5 0 5 10 15 20 25 30 X –5 –10 –15
Practiquemos lo aprendido
Paso 2
2
9. El siguiente gráfico muestra el ingreso (en pesos) de un vendedor por la venta de celulares durante 20 días, cuyo sueldo base mensual es de $200 000 (por los 20 días trabajados).
d) j(x) = 10 – f(20 – x) e) k(x) = f(10 – x)
Aplica
Y
8. Considera la función f(x), cuya gráfica es la siguiente. Y
25 20 15 10 5 0 –30–25–20–15–10 –5 0 5 10 15 20 25 30 X –5 –10 –15
Determina la función, en términos de f(x), a la que corresponde cada uno de los siguientes gráicos. a)
Y
20 15 10 5 0 –30–25–20–15–10 –5 0 5 10 15 20 25 30 X –5 –10 –15 –20
Reflexiona
8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 –2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 X
a) ¿Cuánto dinero en total gana el vendedor? b) Si f es representa la función de la gráfica, ¿cuál es la grafica de la función g(x) = f(x) + 5? ¿Qué representa g(x)? Justifica.
10. Conexiones. El código del tránsito indica que los conductores deben mantener la distancia entre un automóvil y otro, para esto se utiliza la fórmula: v2 , d(v) = 100 donde d es la distancia de frenado en metros y v es la velocidad del vehículo en km/h. a) Grafica la función. b) Antonio viaja 10 km/h más rápido que Ana. ¿Cuántos metros antes debe frenar? ¿O depende de su velocidad? Justifica.
§ ¿Cuál es la aplicación que tienen las funciones en tu vida diaria? § ¿Qué información entregan los gráficos de una función que no entrega una tabla de valores? UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
201
Lección
30
Propósito: analizar la gráfica de la función raíz cuadrada.
Debes saber… § Un número real a mayor
o igual a cero es la raíz cuadrada de otro número real b si:
Función raíz cuadrada Valentina estudia la función que relaciona el período T de un péndulo en segundos y la longitud de su cuerda L en centímetros, que está dada por la fórmula: T = 2,1 L
• a² = b. En este caso se
escribe a = b , donde b se llama cantidad subradical. § La cantidad subradical
de una raíz cuadrada siempre debe ser mayor o igual a cero.
¿Qué variación produce un cambio en la longitud de la cuerda? En esta función, la variable L se encuentra como argumento de una raíz cuadrada. Para analizar lo que ocurre con los cambios en la longitud de la cuerda vamos a analizar la gráfica de la función raíz cuadrada, definida como: f(x) = x Para ello utilizaremos el programa GeoGebra, aplicando los siguientes pasos. Paso 1
Haz clic sobre el botón , Deslizador, y luego sobre la ventana del gráfico. Aparecerá una ventana en la que debes presionar Aceptar. Se creará una figura como la que se muestra, con la que podemos hacer variar los valores de un número a. a=1
Repite el procedimiento para crear un deslizador b y otro deslizador c. Fija sus valores en 0. Paso 2
En la celda Entrada (ubicada en la parte inferior de la ventana), escribe g(x) = a * sqrt(x – b) + c (sqrt proviene de square root, raíz cuadrada en inglés), lo que permitirá analizar la función y = a x − b + c . Luego presiona enter y se obtiene el gráfico de la función. a=1
b=0 c=0
Podemos observar que su dominio y su recorrido corresponden a los números reales positivos y el cero (+U {0}). Paso 3
202
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
Haz clic sobre el punto ubicado en el deslizador a, muévelo hasta el valor a = 2,1. Se obtiene así el gráfico de la función pedida.
1 Paso 4
2
3
4
Analizaremos ahora la gráfica de la función g(x) = a x − b , variando los valores de a y de b para comparar con la función f(x) = x . Para ello, realiza las siguientes actividades.
1. En la celda Entrada, escribe la función y=sqrt(x), y presiona enter. Esto te permitirá fijar la gráfica de la función f(x) = x . 2. Mantén el deslizador correspondiente a b en 0, y mueve el deslizador a. a) ¿Qué ocurre si a toma valores mayores que 1? ¿Cómo describirías esta transformación? b) ¿Qué ocurre si a toma valores positivos, menores que 1? ¿Cómo describirías esta transformación? c) ¿Qué ocurre si a toma valores negativos? Compara con lo obtenido en los puntos a) y b). d) Analiza los cambios en el dominio, recorrido e intersecciones de la gráfica con los ejes al variar los valores de a. 3. Mantén el deslizador correspondiente a a en 1, y mueve el deslizador b. a) ¿Qué ocurre si b toma valores positivos? ¿Cómo describirías esta transformación? b) ¿Qué ocurre si b toma valores negativos? ¿Cómo describirías esta transformación? c) Analiza los cambios en el dominio, recorrido e intersecciones de la gráfica con los ejes al variar los valores de b.
Razona
y comenta
§ Mantén los deslizadores correspondientes a a en 1 y b en 0, y desplaza el deslizador c.
§ ¿Qué ocurre si c toma valores positivos? ¿Cómo describirías esta transformación?
§ ¿Qué ocurre si c toma valores negativos? ¿Cómo describirías esta transformación?
§ Analiza los cambios en el dominio, recorrido e intersecciones de la gráfica con los ejes al variar los valores de c.
4. Compara las gráficas de las siguientes funciones entre sí: n(x) =
1 1 x y p(x) = x 3 9
¿Qué conclusión obtienes? Explica por qué sucede esto. Decimos que la gráfica de una función se dilata si se “abre” respecto del eje Y, mientras que cuando se “cierra” respecto a dicho eje decimos que se contrae. En resumen Para la función raíz cuadrada f(x) = x , se cumple que: § Su dominio y su recorrido corresponden a los números reales positivos y el cero (+U {0}). § Si |a|> 1, g(x) = a x = corresponde a una dilatación de f(x). Si |a|< 1, g(x) = a x = corresponde a una contracción de f(x). § h(x) = x–b corresponde a una traslación horizontal de b unidades respecto de f(x). Si b > 0 se desplaza b unidades hacia la derecha y si b < 0 se desplaza b unidades hacia la izquierda. § j(x) = ( x ) + c corresponde a una traslación vertical de c unidades respecto a f(x). Si c > 0 se desplaza c unidades hacia arriba y si c < 0 se desplaza c unidades hacia abajo.
Razona
y comenta
§ Utiliza el deslizador de GeoGebra para estudiar la función g(x) = ax + b .
§ ¿Qué sucede cuando a y b toman distintos valores? Realiza conjeturas y verifícalas utilizando el programa.
§ ¿Qué ocurre con el período del péndulo si la cuerda se alarga? ¿Y si se acorta a la mitad? Utiliza los gráficos vistos para responder.
UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
203
Practiquemos lo aprendido
Repaso
Por lo tanto el punto de intersección es P(32, 0).
1. Valoriza las siguientes expresiones algebraicas,
Paso 2
para a = 3, b = 5 y c = 16. Aproxima cada valor a la décima. a)
(
2a − 3
2
c)
)
(
a+4
)
f(0) = 2 • 0 − 8 f(0) = 0 − 8 f(0) = −8
a+ b
a+ b c 2. Calcula las medidas que se indican en el siguiente cubo cuya arista mide 2a cm. b)
El punto de intersección con el eje Y es el punto para el cual x = 0. Se remplaza entonces este valor en la función.
d)
Por lo tanto, el punto de intersección con el eje Y es Q(0, –8) a) f(x) = x − 10 + 20
c) h(x) = 12 − 3x
b) g(x) = 40 + 2x + 10
d) i(x) = 2(x –10) – 5
D
d
5. Construye la gráfica de las siguientes funciones. Guíate por el ejemplo
a) ¿Cuál es el volumen del cubo? b) ¿Cuál es el valor de d?
ejemplo: f(x) = 5 – Paso 1
Consideremos la gráfica de y = x .
c) ¿Cuál es el valor de D?
Y 3 2 1 0 –2 –1–1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 X
3. Resuelve las siguientes ecuaciones radicales. a)
2x − 4 = 7
b)
x + 1− 4 = 5
x−6 .
–2
c) 2 x − 4 + 6 = 0 Paso 2
1 x−3+5= 6 3 1 e) x − 2 = x 2
d)
Se traslada horizontalmente hacia la derecha en seis unidades, graficando y= x−6 . Y
Práctica guiada
4 3 2 1 0
4. Determina los puntos de intersección con los ejes X e Y de las siguientes funciones. Guíate por el ejemplo. ejemplo: f(x) = Paso 1
2x − 8
La intersección con el eje X es el punto para el cual y = 0. Por lo tanto, se plantea y resuelve la ecuación 0 = f(x) 0 = 2x − 8 2x = 8 2x = 64 x = 32
204
–2–1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 X –2
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
Paso 3
Se refleja en el eje X graficando y=− x−6 . Y 3 2 1 0 –2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 X –1 –2 –3
1 Se traslada verticalmente hacia arriba en cinco unidades y = 5 − x − 6 . Y 6 4 2 0
–5–2 0 5 10 15 20 25 30 35 40 X –4 –6
d)
3
4
Y
6 5 4 3 2 1 0
–1 0 1 2 3 4 5 6 X
7. Sin graficar determina el dominio y recorrido de
Practiquemos lo aprendido
Paso 4
2
las siguientes funciones. a) f(x) = x − 1 + 1
d) i(x) = 1+ 1− x
b) g(x) = x + 2 + 2
e) j(x) = − x − 2 + 3
c) h(x) = x + 3 − 2
f) j(x) = 4 − − x
Aplica
a) f(x) = x + 3
e) k(x) = − 2x − 10
b) g(x) = x − 1 4
1 f) l(x) = − 2x 3
c) h(x) = x − 1
g) m(x) = 10 +
d) i(x) = 2x + 3
h) j(x) = 3 + x − 1
6. Identifica las funciones correspondientes a la curva en rojo. La curva en azul corresponde a y = x. a)
Y
4 3 2 1 0
–1 0 1 2 3 4 5 6 X
b)
Y
4 3 2 1 0 –1 0 1 2 3 4 5 6 X
c)
Y
7 6 5 4 3 2 1 0
–1 0 1 2 3 4 5 X
x + 20 4
8. Considera la función f(x) = x − a + b y determina su dominio, recorrido e intersecciones con los ejes para los siguientes valores: a) a = b = 1 b) a = –2, b =1 c) a = 1, b = –2 1 d) a = − , b = – 5 2
9. Utiliza la función f(x) = x − a + b, con a y
b ∈, para determinar su dominio, recorrido e intersecciones con los ejes según los valores de a y de b.
10. Conexiones: se puede relacionar el tiempo t (en segundos) que tarda un objeto en caer al suelo si se lo suelta desde una altura h (en metros), h . mediante la fórmula t = 5 h+ 4 ? a) ¿Cómo interpretarías la función t = 5 b) ¿Qué relación tiene con la función dada originalmente? Explica.
Reflexiona § Con lo que has visto en esta lección, ¿puedes anticipar cómo será el gráfico de la función y = x²? Discute con tus compañeros.
UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
205
Lección
31
Propósito: analizar la gráfica de la función exponencial.
Debes saber… Cuando se define una potencia cuyo exponente es un número racional o un número real, se exige que su base sea positiva y distinta de 1.
Función exponencial Tania estudia el comportamiento de dos cultivos A y B de bacterias (ambos comenzaron con aproximadamente 1000 bacterias). El cultivo A se encuentra en condiciones muy favorables y se triplica cada un minuto, mientras que el B se está probando un antibiótico, y a cada minuto la población disminuye a su tercera parte. Para hacer el estudio construye una tabla de valores que representa las situaciones, considerando el tiempo t en minutos y la cantidad de bacterias B en cada cultivo. Cantidad de bacterias luego de t minutos
Cultivo A
0 1000 • 3⁰ =1000
1 1000 3 Cultivo B = 1000
1 1000 • 3¹ = 3000
0
1 1000 3 ≈ 333,33
1
2 1000 • 3² = 9000 1 1000 3 ≈ 111,11
2
3 1000 • 3³ = 27 000 1 1000 3 ≈ 37,037
3
4 1000 • 3 = 81 000 1 1000 3 ≈ 12,35
4
5 1000 • 3 = 243 000 1 1000 3 ≈ 4,12
5
De las tablas anteriores se desprende que las situaciones se puede modelar mediante funciones f(t) y g(t) tales que: Primer cultivo: f(t) = 1000 • 3 , con t ∈ U {0} t
t
1 Segundo cultivo: g(t) = 1000 • , con t ∈ U {0} 3 Este tipo de funciones, en que la variable independiente se encuentra en un exponente, reciben el nombre de funciones exponenciales.
Observa que… • En el primer cultivo, la
cantidad de bacterias crece a cada minuto, triplicándose. Esto se conoce con el nombre de crecimiento exponencial. • En el segundo cultivo, la cantidad de bacterias disminuye a cada minuto, dividiéndose por 3. Esto se conoce como decrecimiento exponencial.
206
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
Tania se pregunta qué sucede con las funciones exponenciales cuando varían algunos parámetros. Para responderle utilizaremos el programa GeoGebra, mediante los siguientes pasos. Paso 1
Inserta dos deslizadores a y b, con valores mínimo y máximo de a –10 y 10, respectivamente, y para b en 0 y 10.
Paso 2
Escribe en la celda de Entrada la función y = a*b^x y presiona enter, lo que x permitirá analizar la función exponencial y = ab . Luego, escribe en la celda x de Entrada la función exponencial g(x)= 2 , digitando g(x) = 2^x. Se obtiene así la gráfica que se muestra en la siguiente figura.
1 Paso 3
2
3
4
Ayuda
Realiza las siguientes actividades. x
1. Considera la función g(x) = 2 .
Si la gráfica de una recta se aproxima cada vez más a una recta, pero sin intersecarse con ella, decimos que dicha recta es una asíntota de la gráfica.
a) Determina su dominio y recorrido. b) Determina el punto de intersección de la gráfica con el eje Y. ¿Existe un punto de intersección con el eje X? ¿Qué sucede con la gráfica respecto del eje X? Explica. 2. Fija el valor a = 1 y mueve el deslizador b.
5 4 3 2 1
a) Analiza lo que ocurre con la gráfica de la función en los siguientes casos: b>2 2>b>1 0 f(b).
3. Fija el valor b = 2 y mueve el deslizador a. a) Analiza lo que ocurre con la gráfica de la función en los siguientes casos:
Una función f(x) es decreciente si se cumple que si a > b entonces f(b) > f(a).
a>1 0 1, la gráfica de la función es creciente, mientras que si 0 < b < 1, la gráfica es decreciente. Además, mientras mayor es el valor de b, la función tiene un mayor crecimiento. +
b>1
0 0 y hacia la izquierda se c < 0. • La gráfica de y = ab x + h es una traslación vertical de h unidades respecto de y = ab x, hacia arriba si h > 0 y hacia abajo si h < 0. x
UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
207
Practiquemos lo aprendido
Repaso
Paso 2
1. Determina los exponentes en las siguientes
Se traslada horizontalmente una unidad x+ hacia los negativos, para obtener y = 2 ¹.
potencias.
Y 6 5 4 3 2 1 0
x
x
e) 2 = 8
b) 4 = 16
x
f) 4 = 64
x
g) 8 = 64
x
h) 1,5 = 2,25
a) 7 = 49
x
x
c) 2 = 16
x
d) 5 = 125
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 X –1
2. Calcula lo que expresan las siguientes proposiciones.
Paso 3
a) El cubo de 7.
Se traslada verticalmente dos unidades hacia los negativos, para obtener x+ y = 2 ¹ – 2.
b) El cuadrado de 17. Y
c) El cubo de 2,5.
5 4 3 2 1 0
d) La suma entre el cubo de 10 y el cuadrado de 15. e) La diferencia del cubo de 2 y el quíntuplo de –5.
3. Calcula las siguientes operaciones.
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 X –1 –2
a) 2³ • 2⁰ • 2²
e) 2¹ • 2 : 2¹²
b) 75 : 7³
f) (5³)³ : (5 • 5)
c) (24)² : 25
g) (35 : 3³)5 : 96
a) f(x) = 3 – 4
d) (8 : 8²) • 8
h) 3 : (3¹ : 3²)⁰
b) g(x) = 4 + 2
x
4. Calcula el resultado de las siguientes operaciones.
c) h(x) = 3
x
h) m(x) = 3
(x – 2)
i) n(x) = 5
–2
k) q(x) = 5 – 3
b) (–5x²y)(5x6y6)
e) (6x¹¹y¹²c¹ )² : (36x y c¹⁰)
e) j(x) = 2
c) (x³)4(x²)5
8 2 2 f) x 5 : x 5 125
f) k(x) = 2
–x + 1
–x + 6 –x
l) r(x) = 1 – 0,5
–x + 1
Aplica 6. Identifica en cada caso a qué curva corresponden
5. Construye la gráfica de las siguientes funciones. Guíate por el ejemplo.
las funciones indicadas. a) f(x) = 3
x
g(x) = 2
x
ejemplo: f(x) = 2x+1 – 2.
Se grafica y = 2x. Y
5 4 3 2 1 0
–4 –3 –2 –1–1 0 1 2 3 4 X
208
2–x
0,5x + 1
d) i(x) = 3
Paso 1
1–x
j) p(x) = –2
d) (5x¹¹)² : (25x²)5
Práctica guiada
–x + 3
(x + 4)
a) (–8x²y³)(5x4y²)
−2
g) l(x) = 2
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
Y
5 4 3 2 1 0
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 –1 –2
X
x
h(x) = 10
1 x
g(x) = 0,3
x
x
secciones con los ejes de las gráficas correspondientes a las siguientes funciones exponenciales.
5 4 3 2 1 0
x
a) f(x) = 2 – 1 x
b) g(x) = 10 – 5 c) h(x) = 1 2
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 X –1 –2
7. Identifica las funciones correspondientes a la Y
5 4 3 2 1 0
b)
x
x
e) k(x) = − 1 2 x f) h(x) = 1 – 3
x
verdaderas o falsas. Justifica las falsas. x
a) Una función exponencial con base mayor que cero y menor que uno es siempre una función decreciente. b) Una función exponencial con base fraccionaria siempre es una función decreciente. c) La gráfica de una función exponencial con base entera no se interseca con el eje X.
X
Y
3 2 1 0
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 X –1 –2
d) La gráfica de la función h(x) = ax (a >1) se traslada en 5 unidades horizontalmente hacia a los positivos si se grafica h(x – 5).
10. Conexiones. En epidemiología se utilizan diversos modelos matemáticos para representar el número de personas contagiadas por una enfermedad. Por ejemplo, el número de personas contagiadas por un virus esta dado por la función f(t) =
c)
d) j(x) = 2 – 10
9. Juzga si las siguientes proposiciones son
curva en rojo. La curva en azul corresponde a y = 2 .
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3
4
8. Sin graficar, determina el dominio recorrido e inter-
h(x) = 0,1
Y
a)
3
Practiquemos lo aprendido
b) f(x) = 0,4
2
Y 7 6 5 4 3 2 1 0
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 X
10000 • ( 2,72 )
t
( 2,72 )t + 9000
donde t es la cantidad de días.
a) ¿Cuántos contagiados se espera que habrá luego de 1, 4 y 10 días? b) Grafica la función. ¿Qué ocurre al cabo de mucho tiempo? Discute con tus compañeros.
11. Analiza considerando una función exponencial de base mayor que 1. a) ¿Cómo es su comportamiento para valores negativos de x?
Reflexiona
b) ¿Cuánto crece la función entre 0 y 1? ¿entre 1 y 2?, ¿entre 9 y 10? ¿Cómo describirías su comportamiento? Discute con tus compañeros.
§ ¿Cuál es la diferencia entre una función exponencial y una función potencia? § Respecto a la relación que existe entre las potencias y los logaritmos, estudiada en la unidad 1, ¿qué relación crees que existe entre una función exponencial y logarítmica?, ¿cómo será la gráfica de una función logarítmica?
UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
209
Lección
32
Propósito: analizar la gráfica de la función logarítmica.
Debes saber… Se definen los logaritmos como el exponente de una potencia, es decir, para una potencia y = ax, se define el logaritmo x = loga y. Por ejemplo, para 24 = 16 se tiene 4 = log2 16. § La base de un logaritmo
Función logarítmica En grupo de 4 integrantes realicen la siguiente actividad. En la unidad 1 vieron que muchas situaciones de la naturaleza, como la intensidad del sonido o de los terremotos, se modelan utilizando logaritmos. Analizaremos ahora el comportamiento de la gráfica de la función logarítmica: y = log x Utilizaremos para ello las propiedades de los logaritmos y el procesador geométrico GeoGebra, que nos permitirá añadir algunos parámetros y estudiar sus variaciones. Para esto, aplicaremos los siguientes pasos. Paso 1
debe ser positiva y distinta de 1.
En GeoGebra, en la celda Entrada escribe la función y = lg (x) (GeoGebra utiliza lg en lugar de log para el logaritmo de base 10). Luego presiona enter, y obtendrás la siguiente gráfica:
§ El argumento del logarit-
mo (es decir, el número al que se calcula su logaritmo) debe ser positivo.
a) Determina el dominio y el recorrido de la función. b) Determina los puntos en que la gráfica se interseca con los ejes. ¿Se observa alguna asíntota? c) ¿Se trata de una función creciente o decreciente? Qué ocurre con los valores de la función cuando aumenta el valor de x? Paso 2
Considera la expresión y = logp x. Para construir la gráfica de y = logp x, inserta un deslizador p, y luego ingresa en la celda entrada y = log (p,x). Luego presiona enter y mueve el deslizador para que tome distintos valores. a) ¿Cambia el dominio y el recorrido de la función? ¿Qué ocurre con los puntos en que la gráfica se interseca con los ejes? b) Describe lo que ocurre con la gráfica de la función, cuando p toma valores cada vez mayores. c) Describe lo que ocurre con la gráfica de la función, cuando p toma valores entre 0 y 1. ¿Por qué se produce esto? Justifica algebraicamente. d) ¿Puede tomar p valores negativos? Justifica.
210
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1 Paso 3
2
3
4
Inserta un deslizador b y luego ingresa en la celda de entrada la función y = lg (x) + b. Presiona enter y mueve el deslizador. a) ¿Cambia el dominio y el recorrido de la función? ¿Qué ocurre con los puntos en que la gráfica se interseca con los ejes? b) Describe lo que ocurre con la gráfica de la función cuando b toma valores cada vez mayores. c) ¿Puede tomar b valores negativos? Justifica y describe lo que ocurre.
Paso 4
Inserta un deslizador c y luego ingresa en la celda de entrada la función y = lg(x – c). Presiona enter y mueve el deslizador. a) ¿Cambia el dominio y el recorrido de la función? ¿Qué ocurre con los puntos en que la gráfica se interseca con los ejes? b) Describe lo que ocurre con la gráfica de la función cuando c toma distintos valores.
En resumen Podemos observar que una función logarítmica se puede escribir de la forma: f(x) = loga x con a > 0, a ≠ 1. En ella, se tiene que: +
• Dom f(x) = y Rec f(x) = . • La gráfica se interseca con el eje X en el punto (1, 0), y no se interseca con el eje Y que actúa como asíntota de la gráfica. • Si a > 1, la gráfica de la función es creciente, mientras que si 0 < a < 1, la gráfica es decreciente. Además, mientras mayor es el valor de a, la función tiene un mayor crecimiento. Y
a>1 3
3
2
2
1
1
–1 0 –1 –2
1
2
3
4
X
–1 0 –1
y comenta
§ Construye en un
Y
0 0 y hacia la izquierda si c < 0.
¿Hay alguna manera de reducir el número de parámetros involucrados en ella? Justifica.
UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
211
Practiquemos lo aprendido
Repaso
Paso 3
1. Calcula en cada caso el valor de x. a) logx 4 = 0,5
e) log8 x = 4
b) log x = –2
1 =x 16 g) logx 1 = –2 9 h) log 0,0001 = x
Y 1,5 1 0,5 0 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 –0,5 –1 –1,5
f) log4
c) log3 x = –9 d) log x = –3
2. Juzga si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Justifica las falsas.
Paso 4
a) log (xy) = log x + log y x log x b) log = y log y c) 4 log (x) = log (x4)
X
Se traslada verticalmente una unidad hacia los positivos para obtener y = 1 – log (x – 2). Y 1,5 1 0,5 0 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 –0,5 –1 –1,5
d) log (2x – y) = log 2 + log x – log y
Práctica guiada 3. Construye la gráfica de las siguientes funciones
X
exponenciales. Guíate por el ejemplo.
a) f(x) = log (x +3)
e) j(x) = 2 log x – 1
ejemplo: f(x) = 1 – log (x – 2).
b) g(x) = –log x
f) k(x) = –3 log (–x)
c) h(x) = 1 – log x
g) l(x) = 2 – log (3x)
d) i(x) = log (x +1) –1
h) m(x) = 5 – log (2x +1)
Paso 1
Se grafica y = log x. Y 1,5 1 0,5 0 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –0,5 –1 –1,5
Paso 2
4. Determina los puntos de intersección con los X
Se traslada horizontalmente dos unidades hacia la derecha, para obtener y = log (x – 2). 1,5 1 0,5 0 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 –0,5 –1 –1,5
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
ejes de las gráficas de las siguientes funciones logarítmicas. Guíate por el ejemplo. ejemplo: f(x) =2 + log5 (x + 9) Paso 1
Se busca un punto (x, 0), es decir, un valor de x para el cual y = 0. 2 + log5 ( x + 9 ) = 0 log5 ( x + 9 ) = −2 x + 9 = 5−2 224 1 x = −9= − 225 25
Y
212
Se refleja respecto del eje X para obtener y = – log (x – 2).
X
Por lo tanto, el punto de intersección con el 224 eje X es − ,0 . 225
1 Se busca un punto (0, y), es decir, el valor de la función para x = 0.
c)
3
4
Y 2 1 0
f(0) = 2 + log5 (x + 9) ⇒ f(0) = 2 + log5 9 f(0) ≈ 2 + log5 9 = 3,365
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 X –1 –2 –3 –4
Por lo tanto, el punto de intersección con el eje Y es, aproximadamente, (0; 3,365).
a) f(x) = log (– x + 5) b) g(x) = log (x + 10)
d)
Y
c) h(x) = 2 + log2(x – 2)
Practiquemos lo aprendido
Paso 2
2
2 1 0
d) j(x) = log2(x – 3) + 9
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 X –1 –2 –3 –4
x + 5 e) k(x) = log 1 3 2 f) l(x) = log 3 (7 − x ) 4
Aplica
7. Sin graficar determina el dominio y recorrido de
5. Determina qué condición debe cumplir a, en cada caso para que las siguientes funciones sean decrecientes o crecientes. a) f(x) = log4a x
c) h(x) = log(a–1) x
b) g(x) = log–5a x
d) j(x) = log(2a–1) x
6. Identifica las funciones correspondientes a la curva en rojo. La curva en azul corresponde a y = log x. a)
Y
c) h(x) = log3 x – 5
b) g(x) = log 2x – 1
d) j(x) = 1 – log6 x
8. Juzga si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifica las falsas. a) Una función logarítmica f no puede tener valores negativos en su recorrido. c) El dominio de una función logarítmica es siempre el conjunto de los números reales.
–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 X –1 –2
Y 4 3 2 1 0 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 X –1 –2
Reflexiona
a) f(x) = log x + 1
b) Si a > b, entonces loga x > logb x.
5 4 3 2 1 0
b)
las siguientes funciones logarítmicas.
d) Si f(x) =1 + log x, la gráfica de la función g(x)= log x – 3 corresponde a la gráfica de f(x), trasladada 4 unidades horizontalmente hacia los negativos.
9. Conexiones: se sabe que el pH de una solución se calcula mediante la fórmula + pH = –log [H ] donde [H+] es la concentración de iones de hidrógeno. ¿Qué ocurre con el pH de una solución cuya concentración de iones de hidrógeno se triplica? Utiliza el gráfico de la función para analizarlo. ¿Depende de su concentración original?
§ ¿Qué similitudes y diferencias observas entre las gráficas de las funciones exponencial y logarítmica? ¿Cómo puedes explicar estas relaciones? Discute con tus compañeros.
UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
213
Resolución de problemas Analiza la resolución del siguiente problema. Cierta población de bacterias que inicialmente tenía una población de 1800 microorganismos, aumenta a 3000 bacterias en tres horas. Suponiendo que el crecimiento de esta población es exponencial, ¿cuántos de estos microorganismos habrá al cabo de 15 horas? Paso 1 Comprende el enunciado a. ¿Qué datos son necesarios para responder la pregunta? Conocer la fórmula que permitiría calcular la cantidad de bacterias después de 15 horas. b. ¿Qué información entrega el enunciado del problema? La cantidad inicial de bacterias y el tipo de crecimiento que experimenta la población de microorganismos al transcurrir el tiempo. Paso 2 Planifica lo que vas a realizar x
Una función exponencial es de la forma f(x) = ab . En este caso conocemos algunos valores de ella lo que permitirá determinar a y b, y así utilizar la función que modela el crecimiento para calcular lo pedido. Paso 3 Resuelve el problema Aplica la estrategia. Como la población de bacterias crece exponencialmente es posible utilizar la siguiente fórmula para modelar la situación: t N(t) = N0a Donde N0 es la cantidad inicial de bacterias. Como se sabe por los datos del problema, se comienza con 1800 bacterias, por lo tanto, t N0 = 1800 ⇒ N(t) = 1800 • a Por otro lado, se sabe que el número de bacterias aumenta de 1800 a 3000 en tres horas. De lo que es posible deducir que: N( 3) = 3000 = 1800 • a3 3000 3 3 5 =a → =a 3 1800 t
5 Se tiene entonces que la función es N( t ) = 1800 • 3 . Para saber la cantidad de bacterias que habrá al 3 cabo de 15 horas basta evaluar la función para t = 15. 15
5 5 3125 5 N(15) = 1800 • 3 = 1800 • = 1800 • ≈ 23 148 3 243 3
Por lo tanto, al cabo de 15 horas habrá aproximadamente 23 148 bacterias. Paso 4 Revisa la solución Construye la gráfica de la función en GeoGebra para verificar tu respuesta. Podrás aplicar lo aprendido aquí en los problemas que se presentan en la página 216. 214
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
Para no cometer errores
1
Analiza la situación
2
3
4
Aprende la forma correcta
Camilo debe construir la gráfica de la función y = log (x – 2) + 1 a partir de la gráfica de y = log x. Y 3 2 1 0 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –1 –2 –3 –4 –5
X
Para ayudarlo realiza lo siguiente: 1. Traslada verticalmente la gráfica una unidad hacia los positivos, para obtener y = log (x) + 1. 2. Traslada horizontalmente la gráfica anterior dos unidades hacia los negativos, para obtener y = log (x – 2) + 1.
La traslación vertical y horizontal de funciones no funcionan de la misma manera. Mientras que la traslación vertical se hace hacia los positivos si el valor que se suma es positivo, en el caso de la traslación horizontal la gráfica se desplaza hacia los negativos si el valor se suma y hacia los negativos si se resta. Por lo tanto, en el segundo paso Camilo debe trasladar horizontalmente la gráfica dos unidades hacia los positivos.
Razona
y comenta
§ ¿Cuál es el error cometido por Camilo? § ¿Qué otros errores se pueden cometer al analizar gráficas de funciones?
Analiza la situación
Aprende la forma correcta
Paz analiza la siguiente función exponencial 4–x
y=3
Concluye que para construirla puede utilizar los siguientes pasos: x
1. Graficar la función y = 3 . 2. Reflejar la gráfica anterior respecto del eje Y, para obtener la gráfica de la –x función y = 3 . 3. Trasladar horizontalmente la función 4 unidades hacia los negativos, para 4–x obtener la gráfica de la función y = 3
Razona
Paz ha sumado 4 al exponente de 3, pero no a la variable x. Se puede observar que 4–x
y =3
= 3–(x – 4)
Por lo tanto, la gráfica se refleja respecto del eje Y y luego se traslada 4 unidades hacia los positivos.
y comenta
§ ¿Cuál es el error cometido por Paz? § ¿Qué otros errores se pueden cometer al analizar gráficas de funciones?
Reflexiona § ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores? ¿Cuáles? § Respecto de los que no, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos? § Revisa los ejercicios que hayas hecho en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes tomar para no volver a cometerlos?
UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
215
Integrando lo aprendido 4 Construye la gráfica de las siguientes funciones, considerando la gráfica de y = x .
Lección 29: Funciones, tablas y gráficos 1 Considera la función f(x), cuya gráfica es la siguiente:
Y 4 3 2 1 0
Y
–2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 X –1 –2
a. f(x) = x − 2 + 3
c. h(x) = x + 3 − 2
b. g(x) = x + 1 − 2
d. j(x) = − x − 4 + 2
Construye las gráficas de las siguientes funciones.
Lección 31: Función exponencial
a. –f(x)
c. f(–x)
e. f(x) + 1
5 Construye la gráfica de las siguientes funciones.
b. f(x – 4)
d. f(x + 2)
f. f(x) – 3
2 El siguiente gráfico muestra la relación entre la nota obtenida y el porcentaje de respuestas correctas. En esta escala el 60% de logro corresponde a una nota 4,0 y el 100% de logro corresponde a un 7,0.
x–
a. f(x) = 4 ³ b. g(x) = 3
Y 7,0 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 10
20
30 40
50
60
70
80
90 100
X
a. ¿Qué nota corresponde, aproximadamente, al 86% de logro?
c. Si f(x) representa la función de la gráfica, ¿cuál es la grafica de la función g(x) = f(x – 10)? ¿Qué representa g(x)? Justifica.
Lección 30: Función raíz cuadrada 3 Determina los puntos de intersección con los ejes X e Y de las siguientes funciones.
216
a. f(x) = x + 9 − 1
c. h(x) = 8 − 5x
b. g(x) = −10 + 2x + 4
d. j(x) = 3(x + 1) − 5
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
–x +
4
–x
d. j(x) = (0,5) – 1
²+1
Y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
Porcentaje de logro (%)
b. Si en una prueba de 20 preguntas un alumno responde correctamente 15 de ellas, ¿qué nota, aproximadamente, le corresponde?
x–
c. h(x) = 5
6 Identifica las funciones correspondientes a la curx va en rojo. La curva en verde corresponde a y = 3 . a.
Relación entre el porcentaje de logro y la nota
Nota
Evaluación
25 20 15 10 5 0 –30–25–20–15–10 –5 0 5 10 15 20 25 30 X –5 –10 –15 –20
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6
b.
X
Y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
X
1 7 La cantidad de ciertas bacterias presentes en un cuerpo se reproduce exponencialmente, duplicando su población cada 3 minutos. a. Completa la siguiente tabla.
9
12 15 18 21 24 27
c. ¿Cuál es el dominio y el recorrido de f(x)? d. Esboza un gráfico de f(x).
10 Determina los puntos de intersección con los ejes de las gráficas de las siguientes funciones logarítmicas.
b. h(x) = log3 (x + 9) – 1 c. g(x) = log (x – 5) 4
11 Determina qué condición debe cumplir a, en cada caso, para que las siguientes funciones sean decrecientes o crecientes. a. f(x) = loga + 1 x
8 Sin graficar determina el dominio, recorrido e intersecciones con los ejes de las gráficas correspondientes a las siguientes funciones exponenciales. x 1 x c. h(x) = a. f(x) = 3 + 1 3 x
4
d. j(x) = log 1 ( − x + 4 )
b. ¿Qué función f(x) modela la situación según el tiempo de reproducción?
b. g(x) = 5 – 2
3
a. f(x) = log (x + 6)
Producción de la población de bacterias
Tiempo (minutos) 3 6 Población 500
2
x
d. j(x) = –4 + 2
b. h(x) = log(6a + 5) x c. g(x) = log–3a x d. j(x) = log(6 – 3a) x 12 Determina sin graficar el dominio y recorrido de las siguientes funciones logarítmicas. a. f(x) = log x + 2
9 Construye la gráfica de las siguientes funciones logarítmicas, considerando el gráfico de y = log x.
b. g(x) = log 3x – 4
a. f(x) = log (x – 4)
c. h(x) = 1 – log (2x)
b. g(x) = –log x + 1
d. j(x) = log (x + 3) – 2
Evaluación
Lección 32: Función logarítmica
c. h(x) = 1 – log3 x d. j(x) = log2 (x + 8)
Autoevaluació Autoevaluación Evalúa tu aprendizaje utilizando el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las páginas indicadas para repasar. Indicador
Mínimo sugerido por ítem
Puedes repasar en la(s) página(s)
Analizar gráficas de funciones y sus variaciones.
Ítem 1: 3/6 Ítem 2: 2/3
198 y 199
Analizar la gráfica de la función raíz cuadrada.
Ítem 3: 2/4 Ítem 4: 2/4
202 y 203
Analizar la gráfica de la función exponencial.
Ítem 5: 2/4 Ítem 6: 1/2 Ítem 7: 2/4 Ítem 8: 2/4
206 y 207
Analizar la gráfica de la función logarítmica.
Ítem 9: 2/4 Ítem 10: 2/4 Ítem 11: 2/4 Ítem 12: 2/4
210 y 211
UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
217
Sección 3
Sistemas de ecuaciones lineales ¿Qué aprenderás?
¿Dónde?
A identificar y plantear un sistema de ecuaciones lineales.
Lección 33
A interpretar gráficamente un sistema de ecuaciones lineales.
Lección 34
A resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones lineales.
Lección 35
A analizar algebraicamente la existencia de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. A plantear y resolver problemas que involucran sistemas de ecuaciones lineales.
Explorando tus ideas previas § ¿Qué te sugieren los siguientes términos? Ü Simultáneo
Actividad
Ü Compatible Ü Determinado Ü Reducir § ¿En qué contextos has visto que se debe cumplir más de una condición en un problema?
Es importante porque te permitirá…
plantear y resolver problemas en variados ámbitos, y analizar sus soluciones.
Lección 36 Lección 37
De esto se trata… Cuando se diseña el horario de un colegio se debe cumplir una serie de condiciones tales como el número de horas por asignatura, la disponibilidad de un profesor, la cantidad de cursos, etc., pero también se asignan restricciones que pueden ser obligatorias o pensando en lo que se cree más conveniente. Así, se debe combinar la disponibilidad de los profesores, la necesidad de cada curso y una larga lista de requisitos. La programación de un torneo deportivo es algo similar a esto. En Chile, desde 2005 se utiliza un sistema diseñado por el Centro de Gestión de operaciones del departamento de Ingeniería Industrial de la Universidad de Chile para la programación del Campeonato de fútbol profesional. Mediante este sistema se busca no solo garantizar las condiciones básicas de un campeonato (que todos jueguen contra todos, alternar la condición de local – visita, etc), sino además incluir algunas variables de tipo comercial que dan más atractivo al campeonato. Algunas de ellas son: • Los partidos llamados clásicos (Colo Colo – Universidad de Chile, Universidad de Chile – Universidad Católica y Universidad Católica – Colo Colo) se deben jugar entre las fechas 11 y 16. • Ningún equipo jugará en fechas consecutivas contra Colo Colo y Universidad de Chile. • Si hay fechas a mitad de semana y el fin de semana, los equipos deben jugar en ciudades geográficamente cercanas. La adecuada programación computacional ha permitido generar programaciones cada vez más óptimas, resultando un gran aporte de la tecnología al espectáculo deportivo.
Actividad grupal en parejas, lean y realicen las siguientes actividades.
➊ ➋
¿Por qué creen que se ponen las condiciones descritas al campeonato? ¿Pondrían ustedes otras? ¿Cuáles? Analicen el horario de enseñanza media de su colegio. ¿Puede mejorarse? Consulten con la persona encargada de hacerlo cuál es el mecanismo utilizado y sus dificultades.
Propósito: plantear y resolver problemas que involucran dos incógnitas, analizando la existencia y pertinencia de sus soluciones. 218
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1
2
3
4
¿Qué debes saber? Realiza las siguientes actividades. Plantear y resolver problemas con ecuaciones de primer grado
1 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado.
Identificar, graficar y analizar funciones afines
4 Identifica la pendiente y el coeficiente de posición de las siguientes funciones afines.
a. 3x = 15
f. 2x − 1 = 6
a. x + y = 12
c. 6x − 7 = 5y
b. x + 1 = 15
g. x − 4 = 12
b. 3x – 4y = 8
d. 2x − 10 = 3y − 5
c. 10 + x = 22
h. 3(14 + x) = 48
d. 5x + 12 = 20
i. 5x = 12 − 3x
e. 1 + x = 2 j. 3 x – 2 = 1 2 3 4 2 Expresa en lenguaje algebraico las siguientes situaciones. a. Un número que es 15 unidades mayor que x es igual a 100. b. Un número aumentado en 8 es igual a 13. c. La diferencia entre un número y –1 es igual a 2.
e. Restar 17 de un número es igual al número al cuadrado.
a. y = 4x + 1, A(0, 0)
c. 2y = x + 2, C(2, 14)
b. y = 3x − 2, C(3, 7)
d. y = −0,5x − 10, E(4, −3)
6 Construye el gráfico de las siguientes funciones afines. a. y = 3x + 5
d. 5y = 4x + 10 5 b. 5x − 4y + 2 = 0 e. y = x +1 4 x c. y − 3x = −2 f. y = – x – 3 2 7 Determina la función afín correspondiente a cada gráfico. Y
a.
4 3 2 1 0
f. El producto de un número y 14 es igual al triple del número menos 15.
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 X –1 –2 –3 –4
3 Resuelve los siguientes problemas. a. Calcula el valor de x, si se sabe que la figura tiene un perímetro de 100 cm. (x – 1) cm
(x + 5) cm
Y
b.
4 3 2 1 0
(2x + 10) cm
b. El área de un triángulo rectángulo isósceles es 2 000 cm2. La expresión que representa la base está dada por el binomio x + 3. ¿Cuáles son las medidas de los lados del triángulo?
Actividad
d. Un número disminuido en 7 es igual al triple del número.
5 Verifica en cada caso si el punto dado pertenece a la gráfica de la función afín correspondiente.
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 X –1 –2 –3 –4
Autoevaluació Autoevaluación En la tabla que te entregará tu profesor(a), evalúa el nivel de dominio alcanzado. Luego, repasa en los sitios web que se indican si fuera necesario.
Repasa en los siguientes sitios web…. http://goo.gl/cvnsU
Ecuaciones de primer grado.
http://goo.gl/0b4Px
Función afín: gráfico y análisis.
UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
219
Lección
33
Propósito: identificar y plantear un sistema de ecuaciones lineales.
Debes saber… Decimos que un conjunto de valores satisface una ecuación si, al evaluar la ecuación para dichos valores, la igualdad se cumple. Por ejemplo, los valores x = 2, y = –1 satisfacen la ecuación 3x + 2y = 4 pues 3 • 2 + 2 • –1 = 4 6–2=4 4=4
Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas En la fiesta del colegio el curso de Paulina vendió papas fritas en porciones de $300 y $500. Para realizar el conteo del dinero, Paulina preguntó a dos de sus compañeros sobre el total vendido y ellos le dieron las siguientes respuestas: Andrea: en total recaudamos $12 800. Pablo: se vendieron 34 porciones en total. Para averiguar cuántas porciones de cada precio se vendieron, Paulina aplica los siguientes pasos. Paso 1
Asigna las variables x e y, respectivamente, al número de porciones de $300 y $500 pesos vendidas. Con ello, plantea las siguientes ecuaciones: x: porciones de $300
Andrea: en total recaudamos $12 800 → 300x + 500y = 12 800 Pablo: se vendieron 34 porciones en total → x + y = 34 Paso 2
Realiza una tabla de valores para la primera ecuación. x y
Paso 3
1 25
6 22
11 19
Paso 4 En resumen
donde a, b, c, d, e, f ∈ y x e y son las incógnitas. Una solución (p, q) del sistema es un par de valores que satisface simultáneamente ambas igualdades.
220
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
16 16
21 13
26 10
31 7
Analiza cuál de los siguientes pares de valores anteriores corresponde con lo que le dijo Pablo, es decir, cuáles de los valores anteriores satisfacen la ecuación x + y = 34 x = 1, y = 25 → x + y = 26 x = 6, y = 22 → x + y = 28 x = 11, y = 19 → x + y = 30 x = 31, y = 7 → x + y = 38
Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto de ecuaciones lineales. Se representa de la forma ax + by = e cx + dy = f
y: porciones de $500
x = 16, y = 16 → x + y = 32 x = 21, y = 13 → x + y = 34 x = 26, y = 10 → x + y = 36
Con esto Paulina concluye que x = 21 e y = 13, pues estos valores se corresponden tanto con la información que le dio Andrea como con la que le dio Pablo. Es decir, se vendieron 21 porciones de papas de $300 y 13 de $500.
Lo que ha hecho Paulina es resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas (una ecuación es lineal si el mayor exponente de sus incógnitas es igual a 1), es decir, ha planteado dos ecuaciones con incógnitas x e y y ha determinado un par de valores de ellas que satisfacen simultáneamente a ambas ecuaciones. En general, un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas se puede representar de las siguientes maneras: ax + by = e cx + dy = f
ax + bx = e cx + dx = f
a, b, c y d se llaman coeficientes mientras que e y f son los términos libres. La solución del sistema se escribe como un par ordenado (x, y). En el ejemplo, la solución del sistema es (21, 13).
Razona
y comenta
§ ¿Habrías planteado el problema de otra manera? ¿Cuál? Explica y verifica si llegas al mismo resultado.
1
4
c) x = 1, para la ecuación 2x +5 = 7
1. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado. a) 6 – x = 12
3
e) 3x – 0,5 = 67
f) 26 = 2 – 6x b) 9 – 2x = 16 g) x +5 = 2x – 9 c) 2x + 6x = 16 3 3x 2x 1 d) x + 3x = 18 – 2x h) – = x– 4 5 2 2. Expresa en lenguaje algebraico las siguientes situaciones.
d) x = –2, para la ecuación x2 – 5x – 14 = 0 e) x = –3, para la ecuación 2x2 +12 = –18 f) x = 2, para la ecuación 3x2 –12 = 0 g) x = 0, para la ecuación 3x2 – 5x = 0
Práctica guiada 5. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. Utiliza el procedimiento visto en la lección. a)
c) El producto de mi edad por 10 es igual a 100. d) La cantidad de departamentos de un edificio es igual al triple de 50. e) La diferencia entre un número y 40 es igual a 28.
b)
a) El perímetro de un rectángulo es de 204 cm. El largo es el doble del ancho y el ancho está representado por la expresión 8x + 10. ¿Cuánto miden el largo y el ancho?
3x + 6y = 6
c) –7x+14y = 10 7x+y = 10
–3x + 4y = y 7x – y = 5y +2
e)
–2x +3y = 2
f) El cociente entre un número y 6 es igual a 3.
3. Resuelve los siguientes problemas.
d)
3x – y = 4
a) Mi mamá tiene 24 años más que yo. b) Entre mi hermano y yo tenemos 132 láminas.
–2x + y = –2
x + 4y = 8 –x – 2y = –3
f)
4y +5 = 2x 6( x –1)+ 4y = y
6. Plantea y resuelve los sistemas de ecuaciones correspondientes a las siguientes situaciones. Guíate por el procedimiento indicado en la lección. a) La suma de dos números es 29 y su diferencia es 5. ¿Cuáles son los números?
b) El doble de la edad de Carlos es igual al triple de 100 menos 150. ¿Cuál es la edad de Carlos?
b) La suma de dos números es 100 y su diferencia es 48. Determina los números.
c) El lado de un pentágono regular de 74 cm de perímetro está representado por la expresión 3x + 4. ¿Cuántos centímetros mide cada lado? ¿Cuál es el valor de x?
c) La diferencia entre dos números es 17. Si el mayor se divide por el menor, el cociente es dos y el resto es cuatro. ¿Cuáles son los números?
d) Miriam y Raúl llevan bandejas de huevos. Si Miriam le diera a Raúl una de sus bandejas, Raúl llevaría el doble de bandejas que ella. Pero si Raúl le diera a Miriam una de sus bandejas, ambos llevarían la misma cantidad. ¿Cuántas bandejas lleva cada uno?
d) El perímetro de un rectángulo es 45 cm. Si el triple de la longitud del menor de los lados es el doble de la longitud del mayor, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?
Aplica 7. Desafío: Andrés es un artista que vendió a un cliente
a la respectiva ecuación.
un cuadro y tres esculturas a $ 60 000, y a otro cliente le vendió 3 cuadros y 9 esculturas en $120 000.
a) x = 2, para la ecuación 2x + 4 = 3x + 2
a) ¿Cuánto cuesta cada cuadro y cada escultura?
b) x = 7, para la ecuación x – 16 = 2x + 5
b) ¿Puedes asegurar que Andrés vende sus obras al mismo precio a ambos clientes? ¿Por qué?
4. Determina si el valor dado en cada caso satisface
Reflexiona
Practiquemos lo aprendido
Repaso
2
§ Hacer una tabla de valores puede no ser efectivo siempre. ¿Se te ocurre algún método para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones, de manera más rápida? Discute con tus compañeros.
UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
221
Lección
34
Propósito: interpretar gráficamente un sistema de ecuaciones lineales.
Debes saber…
Sistemas de ecuaciones lineales y gráficos
§ Una función de la forma
y = mx + n se llama función afín, y su representación gráfica es una recta. En una función afín y = mx + n, m se llama pendiente y n, coeficiente de posición. § La pendiente de una recta que pasa por los puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2), se calcula mediante la fórmula m=
Resolución gráfica de un sistema de ecuaciones Clara quiere resolver el siguiente sistema de ecuaciones: x + y =1 4x + 2y = –2 Daniela le sugiere utilizar un gráfico para estudiar el sistema, siguiendo estos pasos. Paso 1
Se despeja la variable y en cada ecuación del sistema. De esta manera se obtienen dos ecuaciones que corresponden a funciones afines. x + y =1 y = –x + 1 y = –x + 1 → → 4x + 2y = –2 2y = –4x – 2 y = –2x –1
y 2 – y1 x 2 – x1 Paso 2
Se construye una tabla de valores para cada una de las ecuaciones. y = –x + 1
Paso 3
y = –2x – 1
x –2
y 3
(x, y) (–2, 3)
x –2
y 3
(x, y) (–2, 3)
–1
2
(–1, 2)
–1
1
(–1, 1)
0
1
(0, 1)
0
–1
(0, –1)
1
0
(1, 0)
1
–3
(1, –3)
Se grafican ambas funciones en un mismo sistema cartesiano. Para ello ubicamos los pares ordenados obtenidos en el plano cartesiano y graficamos las rectas.
Y 4x + 2y = –2
(–2, 3) es el punto de intersección entre las rectas que representan gráficamente las ecuaciones en el plano cartesiano.
x+y=1
5 4 3 2 1 0
–4 –3 –2 –1–1 0 1 2 3 4 5 –2 –3 –4
Paso 4
222
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
X
Analizando con detalle el gráfico podemos observar que las rectas se intersecan en el punto de coordenadas (–2, 3). Por lo tanto, esta es la solución del sistema.
1
2
3
4
Análisis gráfico de un sistema de ecuaciones Clara analiza ahora los siguientes sistemas. Para ello, ha construido el gráfico correspondiente a cada uno de ellos. Sistema 1 3x + y = 1 y = –3x +1 → 2x– y = 3 y = 2x–3
Sistema 2 x + 5y = 1 → 2x +10y = 8
Y 4 3 2 1 0
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 X –1 –2 –3 –4
Se obtienen dos rectas secantes (se intersecan en un punto). Por lo tanto, el sistema tiene solución, y es única. Este tipo de sistemas se llama compatible determinado.
x 1 y=– + 5 5 x 4 y=– + 5 5
Y 4 3 2 1 0
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 X –1 –2 –3 –4
Sistema 3 2x + 4y = 6 → 3x + 6y = 9
x 3 y =− + 2 2 x 3 y =− + 2 2
Y
Ayuda Las ecuaciones 2x + 4y = 6 y 3x + 6y = 9 se satisfacen con los mismos valores, por lo que decimos que son equivalentes.
4 3 2 1 0
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 X –1 –2 –3 –4
Se obtienen dos rectas paralelas Se obtienen dos rectas (no se intersecan). Por lo tanto, el coincidentes (se intersecan sistema no tiene solución. en todos sus puntos). Por lo tanto, el sistema tiene Este tipo de sistemas se llama infinitas soluciones. incompatible. Este tipo de sistemas se llama compatible indeterminado.
Podemos observar, a partir de las funciones afines correspondientes a las ecuaciones de los sistemas, que: • si en las funciones afines de un sistema sus pendientes son distintas, sus gráficas representan rectas secantes y se trata de un sistema compatible determinado. • si en las funciones afines de un sistema sus pendientes son iguales pero sus coeficientes de posición son distintos, sus gráficas representan rectas paralelas y se trata de un sistema incompatible. • si en las funciones afines de un sistema sus pendientes y coeficientes de posición son iguales, sus gráficas representan rectas coincidentes, y se trata de un sistema compatible indeterminado.
Razona
y comenta
§ Si un sistema de En resumen Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas se representa gráficamente mediante dos rectas, que pueden ser secantes (solución única), paralelas (no tiene solución) o coincidentes (infinitas soluciones).
ecuaciones tuviera tres ecuaciones con dos incógnitas, ¿qué posibilidades se pueden dar? Discute con tus compañeros.
UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
223
Practiquemos lo aprendido
5. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones
Repaso 1. Identifica la pendiente y el coeficiente de posición de las siguientes funciones afines. a) y = –5x + 4
e) y = 2x + 1
b) y = 2x + 0,3
f) 2y = 5x – 2
c) y = 5x + 7
g) –y = –0,5x – 4
d) y = –5
h) 0,5x – 4,4y = 12
2. Calcula la pendiente de la recta correspondiente a la función afín a la que pertenecen los siguientes pares de puntos. a) A(–3, 2) y B(1, 2)
e) H(–0,5; 0) y E(2, –4)
b) B (1, 0) y C (–3, 5)
f) J(–0,6; –10) y K(22, –24)
c) D(1, 3) y E(0, 0)
g) L(–2; 0,3) y M(–2, –4)
d) F(–2, –1) y G(2, –4)
h) N(–1, –3) y O(–3, –8)
3. Construye la gráfica de las siguientes funciones afines.
b) g(x) = –3x – 1
4 e) j(x) = x – 4 5 f) k(x) = –5x + 30
c) h(x) = 0,5x – 0,5
g) l(x) = 3x – 0,5
a) f(x) = x + 2
1 2 d) i(x) = x + 3 3 4. Para cada gráfico, identifica la función afín que representa. a)
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 X –1 –2 –3 –4
Y 4 3 2 1 0
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 X –1 –2 –3 –4
224
a)
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
x +5y = 7
f)
7x – 2y = 9 2x – 5y = 7
x – 3y = –1 b) 2x + 6y = 4
g) x +3y = 7
3x + 4y = 6
x +y = 3
c) 5x – 2y = 10
h)
3x – y = 3 d)
2x – y = 6
e) 5x – 4y = 1
x–y=3 2x + y = 4
i)
3x +2y = 44
3x – y = 2 2y + x = 3
j)
2x +5y = –2 x +3y = 12
–x + y = 4
Práctica guiada 6. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por medio de gráficos. Guíate por el procedimiento visto en la lección. Puedes utilizar un procesador geométrico. a)
b)
x–y=3
h) –3x +5y = 0
x +y = 9
–7x + y = 4
x +y = 8
i)
c)
x + 4y = 1
j)
y +x = 2 d)
x +3 = y
k)
4x +3y = 2
l)
2x – 5y = 3 15y – 6x = 5
–x – 2y = –6 –x + 4y = 6
m)
–x + y = –3 –3x +5y = –11
–3x – 2y = –1 g)
x – 2y = 8 2x + y = 1
5x – 2y = 4 f)
–x +3y = –4 –x + y = –2
2x + y = 6 e) 4x – 3y = –1
x – y = –1 x + y = –1
2x – 3y = –4
Y 4 3 2 1 0
b)
utilizando tabla de valores.
n)
3y – 2 = –x 2x – 4 = –6y
1
3
4
8. Asocia a cada uno de los siguientes gráficos
si cada uno de ellos es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible. Guíate por el ejemplo.
su respectivo sistema de ecuaciones. Para ello, identifica primero el tipo de sistema que representa, y luego analiza los sistemas dados.
Ejemplo: 3x +3y = 13
a.
2y = 12 – 3x Paso 1
Se expresan como funciones afines las ecuaciones del sistema. 13 y = –x + 3y = –3x +13 3x +3y = 13 3 ⇒ ⇒ 3 2y = –3x +12 2y = 12 – 3x y = – x +6 2
Practiquemos lo aprendido
7. Sin resolver los siguientes sistemas, determina
2
b.
Paso 2
Se analizan sus pendientes y sus coeficientes de posición. En la primera ecuación, su pendiente es igual a –1, y el coeficiente de posición es 13 . 3 3 En la segunda ecuación, su pendiente es – , y el 2 coeficiente de posición es 6. Paso 3
Ya que las pendientes son distintas, las rectas asociadas a las ecuaciones del sistema son secantes, por lo que el sistema es compatible determinado.
a) 2x –12y = 6
g)
3x + y = 9 b)
x + y = 12 –y + 2x = 9
i)
25x + 10y = 4
x – 2y = 4
6x – 8y = 0
12 5
–x – 2y = 0
15x – 20y = –5
–7x + 8y = 25 e)
f)
15x + 6y =
x + 2y = 1 4x + 8y = 3 3x – 2y = 13 2x + 4y = 3
Reflexiona
d.
2 x – 8y = 1 3 1 x – 3y = 2 4
2x + 5y = 29 x – 5y = 8
6 2 x– y= 4 5 3 5 3 x+ y=2 6 4
h)
c) –2y + 5x = 29
d)
c.
j)
3 x + 2y = 0 4 4 1 x+ y=0 3 2
4x – 3y = –1
x – 2y = 0
3x + y = –4
5x –10y = 0
Aplica 9. Desafío: crea un sistema de ecuaciones compatible determinado cuya solución sea (3, –5), un sistema compatible indeterminado y un sistema incompatible.
§ Es posible que un sistema de ecuaciones lineales tenga dos soluciones (y no más)? Si la solución no es única, ¿necesariamente hay infinitas? Discute con tus compañeros.
UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
225
Lección
35
Propósito: resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones lineales.
Debes saber… En una igualdad puedes multiplicar ambos lados de ella por un mismo número sin que esta se altere. Debes multiplicar cada término, respetando los signos. Por ejemplo 2x – 3y = 8 / • –5 (–5)•(2x) – (–5) • (3y) = (–5) • 8 –10x + 15y = –40
Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales Hasta el momento has podido resolver sistemas de ecuaciones por medio de tablas de valores o de gráficos, pero estos métodos tienen limitaciones que no los hacen fáciles de aplicar en ocasiones. En adelante utilizaremos algunos métodos algebraicos.
Método de sustitución Considera los siguientes sistemas de ecuaciones: (1)
x + 4y = 1 3x +12y = –1
(2)
2x – y = 3 4x – 2y = 6
(3)
2x – 3y = 9 x +5y = –2
Podemos observar que en cada uno de ellos hay una ecuación en la que una de las variables aparece con coeficiente igual a 1 o a –1. Para resolver cada sistema aplicaremos los siguientes pasos. Paso 1
Se despeja la variable con coeficiente 1 o –1 en la ecuación indicada. x = 1– 4y 3x +12y = –1
Paso 2
Ayuda Una igualdad es una expresión matemática que involucra el signo =. Pueden darse 3 casos: Absurdo: la igualdad no se cumple en ningún caso. Por ejemplo x+2=x+3 Identidad: la igualdad se cumple en todos los casos. Por ejemplo
Se cumple solo si x = 3.
3(1– 4y)+12y = –1
4x – 2(2x – 3) = 6
3 –12y+12y = –1
4x – 4x + 6 = 6 0=0
2(–2 – 5y) – 3y = 9 –4 –10y – 3y = 9 –13y = 13 y = –1
En el primer caso se obtiene un absurdo, lo que indica que el sistema no tiene solución. En el segundo caso se obtiene una identidad, que indica que el sistema tiene infinitas soluciones. En el tercer caso, en cambio, se obtiene un valor para la incógnita y. Remplazamos este valor en la ecuación despejada del paso 1, para determinar x. x = –2 – 5(–1) x = –2 + 5 x=3
x² – 1 = (x + 1) (x – 1) Ecuación: la igualdad se cumple solo en algunos casos. Por ejemplo 2x + 5 = 11
2x – 3y = 9 x = –2 – 5y
Se sustituye la expresión obtenida en el despeje en la otra ecuación para obtener una ecuación con una incógnita, que se resuelve.
3 = –1
Paso 3
2x – 3 = y 4x – 2y = 6
Paso 4
Podemos concluir que: • el primer sistema es incompatible. • el segundo sistema es compatible indeterminado. • el tercer sistema es compatible determinado, y su solución es (3, –1).
226
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1
2
3
4
Método de igualación Considera los siguientes sistemas de ecuaciones. (1)
3x +5y = 9 3x – 2y = –12
(2)
2x –11y = –5 3x –11y = 9
(3)
2x – 6y = –10 x + 6y = 4
Podemos observar que en cada uno de ellos, en ambas ecuaciones el coeficiente de una de las variables es el mismo (o con signo contrario). Para resolver cada sistema aplicaremos los siguientes pasos. Paso 1
Se despeja la variable con coeficiente común 3x = 9 – 5y 3x = –12+2y
Paso 2
–11y = –2x – 5 = –3x + 9 3x – 2x = 9 + 5 x = 14
6y = 2x + 10 = 4 – x 2x + x = 4 –10 3x = –6 x = –2
Remplazamos el valor obtenido en alguna de las ecuaciones del sistema obtenido en el paso 1 para determinar el valor de la otra variable. 3x = 9 – 5 • 3 x = –2
Paso 4
2x +10 = 6y 6y = 4 – x
Se igualan las expresiones obtenidas en ambas ecuaciones para obtener una ecuación con una incógnita, que se resuelve. 3x = 9 – 5y = –12 + 2y 9 + 12 = 2y + 5y 21= 7y 3= y
Paso 3
–11y = –2x – 5 –11y = –3x +9
–11y = –2 •14 – 5 y=3
6y = 4 – –2 y =1
Las soluciones de los sistemas son, respectivamente, (–2, 3), (14, 3) y (–2, 1). Considerando este método podemos realizar algunas observaciones: • Es posible multiplicar (o dividir) por un número una de las ecuaciones, o ambas, para obtener variables con el mismo coeficiente y aplicar el método. Por ejemplo: 5x – 3y = –1 • 2 10x – 6y = –2 → 8x – 6y = 5 8x – 6y = 5 • Se despeja la variable con coeficiente común –6y = –2 –10x –6y = 5 – 8x • Se igualan las expresiones: –6y = –2 – 10x = 5 – 8x –2 – 5 = –8x + 10x –7 = 2x 7 – =x 2 Obtenemos la solución – 7 , – 11 . 2 2
• Se reemplaza este valor en una de las ecuaciones: 7 5 • – – 3y = –1 2 11 y=– 2
Ayuda Para sistemas compatibles indeterminados o incompatibles obtenemos resultados similares a los que se observan al aplicar el método de sustitución. Así, al realizar el paso 2 se obtendrá una identidad si hay infinitas soluciones, y un absurdo si no hay solución.
UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
227
Lección
35 Método de reducción Considera los siguientes sistemas de ecuaciones. (1)
2x +3y = 6 4x +5y = –1
(2)
5x – 8y = 0 4x +2y = 7
(3)
2x +3y = 1 5x – 2y = 1
A diferencia de los casos anteriores, no observamos términos con coeficientes comunes en las ecuaciones. Sin embargo, podemos realizar algunas operaciones algebraicas que nos permitan que si los haya, aplicando los siguientes pasos. Paso 1
Paso 2
Se multiplica una de las ecuaciones del sistema, o ambas, por un número que permita que en ambas ecuaciones una de las variables quede con el mismo coeficiente u opuesto. 2x +3y = 6 • 2 4x +5y = –1
5x – 8y = 0 4x +2y = 7 • 4
2x +3y = 1 • 5 5x – 2y = 1 • 2
↓ 4x + 6y = 12 4x +5y = –1
↓ 5x – 8y = 0 16x + 8y = 28
↓ 10x +15y = 5 10x – 4y = 2
Se suman o restan las ecuaciones (según convenga) de lado a lado, para reducir el término con coeficiente común. Se obtiene así una ecuación con una sola incógnita que se resuelve. 4x + 6y = 12 4x +5y = –1 – 0x + y = 13 y = 13
Razona
228
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
21x + 0y = 28 21x = 28 4 x= 3
0x +19y = 3 19y = 3 3 y= 19
Se remplazan los valores obtenidos en alguna de las ecuaciones originales, para determinar el valor de la otra incógnita. 4 3 5• – 8y = 0 2x +3•13 = 6 2x + 3• = 1 3 19 33 5 5 x =− y= x= 2 6 19
Paso 4
Las soluciones de los sistemas son, respectivamente,
§ Trinidad dice que, en
§
+
10x +15y = 5 10x – 4y = 2 –
Paso 3
y comenta el fondo, los tres sistemas de resolución son lo mismo, y se pueden aplicar para cualquier sistema de ecuaciones. ¿Estás de acuerdo con ella? Justifica. ¿Qué se obtendrá si se resuelve por reducción un sistema de ecuaciones compatible indeterminado? ¿Y uno incompatible? Justifica.
5x – 8y = 0 16x + 8y = 28
33 4 5 5 3 – ,13 , , y , . 3 6 2 19 19 En resumen Podemos resolver un sistema de ecuaciones utilizando los métodos de sustitución, igualación o reducción. En los tres casos, buscamos reducir las ecuaciones a una ecuación de una incógnita que se resuelve, y luego permite calcular el valor de la otra.
1
2
3
Práctica guiada
1. Resuelve las siguientes ecuaciones.
4. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones
a) 4x – 8 = 6 + 2x
por el método de sustitución. Guíate por el procedimiento visto en la lección.
b) 16 + 3x = –12 – 4x
a)
c) 4x + 17 = 11x + 24
x = 10y x + y = 12
j) x + y = 2 3x – y = 2
b) x + y = 50 x = y –10
k) x + 2y = 25 2x + 3y = 40
f) 3x + 12 + 2x + 10 = 6
c) 2x + y = 12 x + 3y = 11
l) 3x – 2y = 1 x + 4y = 19
g) 15(x – 1) + 20(x + 1) = 75
d)
d) 4(x – 3) + 40 = 64 – 3(x – 2) e) 2(x – 4) – (6 + x) = 3x – 4
h) 15 (x – 1) – 2 (x + 1) = 75 i) 15(x + 2) = 6(x + 1) + 10(x – 1) j) 10(13 – x ) + 15 (2 – x ) = 4 + x
2. Calcula el valor de las siguientes expresiones algebraicas, evaluadas para los valores indicados. a) 2x – 5x2 + x(x – 1), para x = –2 b) 2x4 + 3x3 – 2x2 – 6x + 2, para x = 6 c) x3 – 3x2 + x + 2, para x = 0,5 d) 2x3 – 3x2 + x – 2, para x = –9 e) 3x + 3 – x –10 , para x = 3 2x x 2 x +1 4 f) + x – (x –10), para x = 5 x 3. Reduce las siguientes expresiones. a) 2x – 8y – 6y – y – 9x b) (2x4 – 3x2 + 1) + (4x2 – 2x + 8) c) 4(x – 1) + 1+ 3(x + 1) d) –2(2x – 4) + 5(–2x – 10) e) 3a2 – [2a – 1 – (2a2 – 5a + 3)] – 6 f) (3a2 – 5ab + 2c – 2bc) – (5a2 – 5ab – 2bc) 2 3 ( x – 0,5)+ (x – 6) 5 2 2 2 1 1 2 h) x + x – 2 – – x – x + x 2 2 3 g)
e)
x – y = 10 2x + 3y = 10
m) –2x + y = 9
x = y + 10 4x + y = –3
n) –2x + y = 12 3x – 5y = 4
Practiquemos lo aprendido
Repaso
4
4x – 3y = 10
x –5= y 4 3x + 20 = 2y
f) 2x + y = 7 5x – 2y = –5
ñ)
g) x + y = 5 2x + y = 10
o) –3x + 40 = –10y 3x + 15y = y
h)
x–y=3 x + 2y = 18
p) 3x – 4y – 4 = 8 x + 2y = 3
i)
x–y=4 2x – 4y = 13
q) 5x – y = –4 2y –10 = 6x
5. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por igualación. Guíate por el procedimiento visto en la lección. a) 2x + 2y = 8 3x + 2y = 14
g) x + 6y = 6 –x + 3y = 2
b)
h) 2x –10 = 100 – 5y –5y – x = –10
x – 3y = 1 2x + 3y = 7
c) x + 2y = 25 x + 3y = 40 d) 2x + 6y = 6 2x – 3y = –10 e) –2x + y = –2 3x – y = 4
1 i) x – – 5y = 0 5 1 y – – 2x = 5 5 j) 2x – 3y = 12 3y – 25 = 5x
f) 5x – y = 3x 2x + y = 8 + 3x UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
229
Practiquemos lo aprendido
6. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por reducción. Guíate por el procedimiento visto en la lección. a) 2x + 5y = 1 7x + 2y = –12
f)
b) 3x – 4y = –8 22x + 3y = 6
g) 2x + y = 5 3x – 2y = 11
sistema
x + y =1 –2x – y = 9
c)
5x – 4y = 2 –3x + 5y = 5
h) 2x – 5y = 4 3x + 7y = 0
d)
3x + 2y = 7 –18x + 3y = 6
i) 2x + 5y = 0 3x + 7y = 0
2x – 4y = 0 –2x + 5y = 3
j) 24x + 13y = 80 18x – 7y = 90
e)
8. Analiza la siguiente estrategia para resolver el
Aplica
• Se realizan los siguientes cambios de variable: 1 1 p= q= x y • Con ello se obtiene el sistema 2p – 5q = –2 3p – 7q = 3 Que se puede resolver por los métodos estudiados anteriormente. Aplica la estrategia de cambio de variable para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones. a)
7. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método que prefieras. Justifica tu elección. a) –2x – 5y = –10 7x + 2y = –10
h)
b) x – 7y = –2 x + 4y = –9 c) 3( x + 1) + y = 2 y+4 –x=6 3 d) 2( x –1) = 6
i)
j)
x – y = 10 e) –3x + 4y = –7x 5x + y = –1 5 f) 2y – = x 2 − y x 1 +y= 2 4 4 2
g) (1– x) = y + x 2 x –1 =1 4
230
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
k)
x –1 + y = x–2 4 y + 1 2x + 1 5– = 4 3 x + y 2x – 2 – =0 4 4 x – 3y = x + 6
l) 4x – 2y 6( x – y ) =x + 7 5 2x 2y –1 5 = – 3 6 9
1 5 + =7 x y 2 9 + =5 x y
b) 4 3 + = –1 x y 3 2 + =2 x y c)
x+y 1 = –x + 2 2 3x – ( y –1) = 6x 3x – 2y 2( x – y ) =x – 3 2 5 x y+6 =– – 4 3 4
2 5 – = –2 x y 3 7 – =3 x y
d)
e) 5x 2 +2y 2 = 7 4x 2 – 3y 2 = 1
f) 2x 2 – y 2 = –1 7x 2 +3y 2 = 29
6 3 + =0 x y 2 1 + = –1 x y
g) 6x 2 – y 2 = 0
3 2 + =2 x y 2 1 – = –1 x y
h) 2x 2 – 3y 2 = 5
x2 + y2 = 0
x 2 +7y 2 = –6
9. Considera los sistemas propuestos en la pregunta anterior. a) ¿Qué restricciones tienen los cambios de variable? b) ¿Es posible que el sistema original no tenga solución, pero el sistema con las variables reemplazadas sí lo tenga? Justifica y, si corresponde, pon un ejemplo.
1
coeficientes literales.
a) Utiliza el método de reducción para demostrar que su solución está dada por la expresión:
13. Un sistema de ecuaciones se denomina homogéneo
14. Analiza la siguiente estrategia para resolver el sistema de tres ecuaciones lineales y tres incógnitas:
de – bf af – ce , ad – bc ad – bc b) Considerando lo anterior, ¿qué debe ocurrir para que el sistema tenga solución única? c) Analiza lo que ocurre si ad = bc pero de – bf ≠ 0? ¿Qué tipo de sistema es? Justifica.
x + 3y + 2z = 2 2x – 2y + z = 6 3x + y – z = 0 • Se utiliza el método de eliminación entre la primera y la segunda ecuación, y luego entre la primera y la tercera, para eliminar la variable x. x + 3y + 2z = 2 2x + 6y + 4z = 4 2x – 2y + z = 6 → 8y + 3z = –2 → 3x + y – z = 0 3x + y – z = 0
d) Analiza lo que ocurre si ad = bc y de – bf = 0? ¿Qué tipo de sistema es? Justifica.
11. Aplica la fórmula de la pregunta anterior para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: f)
b) 29x + 4y = 12 7x + y = 1
g)
c) 2x + 3y = –7 6x + 9y = 5
h)
d) x + y = 0,1 x – y = 0,5 e)
x + 4y = 2 3x + 13y = 9
5x – y = 6 x + 5y = –2
(
3 –1) x – y = 19
x – ( 3 + 1) y = 5 x + 2y = 3 3x + 6y = 1– 3 j) x – 12y = 9 x + 3y = 10
12. Considera el sistema de ecuaciones: ax+(a + 1) y = e
(a + 1) x+(a + 2) y = f Con a, e y f números enteros. Muestra que el sistema es compatible determinado y su solución siempre son valores enteros.
Reflexiona
x + 3y + 2z = 2 2x + 6y + 4z = 4 8y + 3z = –2 → 8y + 3z = –2 3x + y – z = 0 8y + 7z = 6
3x + 2y = 0 2x + 3y = 1
i)
4
si sus términos libres son ambos iguales a cero. Muestra que un sistema homogéneo, o bien es compatible indeterminado, o tiene solución única e igual a (0, 0).
ax + by = e cx + dy = f
a) 2x + 5y = 1 x + 3y = 1
3
Practiquemos lo aprendido
10. Considera el siguiente sistema de ecuaciones de
2
• La segunda y la tercera ecuación forman un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas, que se resuelve. Se obtiene así el valor de y y de z. • Se remplazan los valores obtenidos en la primera ecuación, para obtener el valor de x. Aplica la estrategia anterior para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones. a) x + y + z = 6 e) 2x + 7y + 5z = 1 x–y +z=0 x + 3y + z = 16 –x + y + z = 4 x + 3y – z = 20 x + y + z =1 x – 5y + 4z = 0 2x + y – 5z = 1
b) 2x + 2y + 3z = 1 x + y + 4z = 120 4x + 8y + 4z = 136
f)
c) –2x + 3y + 4z = –2 –3x – 4z = –1 2y + 3z = 5
g) x + y = 2 y + z = –2 3x – z = 0
d)
x + y + z = 26 8x + 4y + 4z = 120 4x + 8y + 4z = 136
h) x – 2y + z = –5 x + 3y = –2 x – 3z = 1
§ ¿Cuál de los métodos de resolución de sistemas te resulta más conveniente? ¿Por qué? § ¿Cómo podrías interpretar un sistema de ecuaciones lineales, de tres ecuaciones con tres incógnitas? Investiga. UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
231
Lección
36
Propósito: analizar algebraicamente la existencia de soluciones en un sistema de ecuaciones lineales.
Debes saber… Un sistema de ecuaciones puede ser: § Compatible determinado: si tiene solución única. § Compatible indeterminado: si tiene infinitas soluciones. § Incompatible: si no tiene solución.
Existencia de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales Estefanía debe cotizar el valor de los martillos y serruchos que su curso necesita llevar a los trabajos voluntarios que realizarán en invierno. Para averiguar sus precios preguntó a Emilio, un alumno de otro curso que se encontraba haciendo lo mismo, quien le respondió “Tres martillos y dos serruchos me costaron $15 300” Estefanía se dio cuenta de que había muchos precios de martillos y serruchos que podían cumplir esta relación, por lo que siguió consultando a otros estudiantes de otros cursos, que le dieron las siguientes respuestas: Andrea: “Seis martillos y cuatro serruchos me costaron $30 600” José: “Nueve martillos y seis serruchos me costaron $40 500” Claudia: “Cinco martillos y tres serruchos me costaron $24 100” ¿Puede Estefanía averiguar el precio de un martillo y de un serrucho, con esta nueva información? Para hacerlo siguió estos pasos: Paso 1
Si llama x al precio de un martillo e y al de un serrucho, la información entregada por Emilio y el resto de los estudiantes se puede representar mediante las siguientes ecuaciones: Emilio: 3x + 2y = 15 300 Andrea: 6x + 4y = 30 600 José: 9x + 6y = 40 500 Claudia: 5x + 3y = 24 100
Paso 2
Estefanía constata que la información dada por Andrea es la misma que la que le dio Emilio, ya que Andrea compró el doble de martillos y de serruchos, y precisamente le costaron el doble. Es decir, las ecuaciones correspondientes a la información entregada por Emilio y por Andrea son equivalentes, por lo que el sistema que ellas formen es compatible indeterminado. 3x + 2y = 15 300 • 2 6x + 4y = 30 600 → 6x + 4y = 30 600 6x + 4y = 30 600
Ayuda Se dice que una información es consistente si en ella no hay contradicciones. En caso contrario se dice inconsistente. Por esto, un sistema incompatible suele llamarse también inconsistente.
232
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
Paso 3
José compró el triple de martillos que José y el triple de serruchos, pero pagó $ 40 500 por ellos. Estefanía observa que el total no es el triple de lo que pagó Emilio, por lo que le parece que la información entregada por José es contradictoria. Si plantea un sistema con estas dos ecuaciones es incompatible 3x + 2y = 15 300 • 3 9x + 6y = 45 900 → 9x + 6y = 40 500 9x + 6y = 40 500
1 Paso 4
2
3
4
La cantidad de martillos y serruchos comprados por Claudia no se relacionan con los que compró Emilio, por lo que la información que entrega Claudia puede complementar a la de Emilio y formar un sistema compatible determinado:
Ayuda 9x + 6y = 45 900 3x + 2y = 15 300 •3 → 10x + 6y = 48 200 5x + 3y = 24 100 •2 x
= 2300
3 • 2300 + 2y = 15 300 2y = 15 300 – 6 900 y = 4200
Por método de reducción –x = –2300 / • –1 x = 2300
Ayuda Sustituimos el valor de x en la primera ecuación. 3x + 2y = 15300
Es decir, con la información entregada por Emilio y Claudia puede determinar que un martillo cuesta $ 2300 y un serrucho, $ 4200. ¿Cómo podemos determinar, algebraicamente de qué tipo es un sistema sin necesidad de resolverlo? Considerando el sistema ax +by = e cx + dy = f Se tiene que: • el sistema es compatible indeterminado si es posible obtener la segunda ecuación a partir de la primera (o la primera a partir de la primera) multiplicando o dividiendo por un número k ≠ 0. Es decir, se cumple la relación: c f d c = ka → = k f = ke → = k d = kb → = k a e b Entonces, c = d = f a b e • el sistema es incompatible si es posible obtener los coeficientes de x e y de la segunda ecuación a partir de los de la primera (o los de la primera a partir de los de la segunda) multiplicando o dividiendo por un mismo número k ≠ 0, pero no el término libre. Es decir, se cumple la relación: c f d c = ka → = k f ≠ ke → ≠ k d = kb → = k a e b Entonces, c = d ≠ f a b e • el sistema es compatible determinado si no es posible obtener los coeficientes de la segunda a partir de los de la primera (o los de la primera a partir de los de la segunda) multiplicando o dividiendo por un mismo número k ≠ 0. Es decir, para todo número k ≠ 0 se tiene que: c d ≠ a b
Razona
y comenta
§ ¿Es posible que un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas tenga infinitas soluciones para el valor de una de sus variables, pero no para la otra? Si piensas que sí, pon un ejemplo. Si no, justifica por qué.
UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
233
Practiquemos lo aprendido
Repaso
Práctica guiada
1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones.
5. Analiza los siguientes sistemas y determina de
a)
x + 2y = 4 –2x + 3y = 5
b) 5x – 2y = 0 2x + y = 3 c)
x + y = –1 4x + y = –7
d) 3x + 5y = 10 –x + 4y = –3 e) 2x + 7y = 0 2x + 11y = 0 f)
qué tipo son. Guíate por el ejemplo. Ejemplo: 8x + 12y = 4 6x + 9y = 5 Paso 1
Se analizan los coeficientes de x en ambas ecuaciones, para determinar k: 6 3 6=k•8→k = = 8 4
Paso 2
Se verifica si al multiplicar el coeficiente de y de la primera ecuación por k se obtiene el de la segunda: 3 36 k •12 = •12 = = 9 4 4
–3x + 8y = 0 –7x + 10y = –9
2. Representa gráficamente cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones y determina de qué tipo son. a) x – 2y = 2 x + 3y = 5 b)
x–y=9 2x – 2y = 4
c) 6x + 15y = 0 10x + 25y = 11
d) 3x + 5y = 8 x + 4y = –6 e) 2x + 10y = 1 5x + 25y = 7 f) 24x + 18y = 15 8x + 6y = 10
Se concluye que el sistema es compatible determinado o incompatible. Paso 3
Se verifica si ocurre lo mismo con los términos libres. k•4=
3. Identifica la pendiente y el coeficiente de posición de las siguientes funciones afines. a) y = 4x + 5
e) y = 7x
b) y = –3x + 8
f) 4 = 5x – y
x–y 2 g) 1= c) y = x + 10 4 3 5 y d) y = – x –1 h) –3 = 5 x – 2 9 4. Juzga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica las falsas. a) Dos rectas son paralelas si sus coeficientes de posición son iguales. b) Un sistema compatible indeterminado tiene infinitas soluciones. c) La solución de un sistema de ecuaciones lineales corresponde a las coordenadas del punto de intersección entre las rectas representadas por las ecuaciones. d) Si las rectas correspondientes a un sistema de ecuaciones tienen igual pendiente, el sistema es compatible determinado. e) Un sistema de ecuaciones formado por ecuaciones equivalentes es incompatible. 234
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
3 12 •4 = =3≠5 4 4
La relación no se cumple, por lo que el sistema es incompatible. a) 2x + 3y = 2 –3x – 4y = 5
f) 4x – y = 0 2x + y = 0
x – y =1 –x + y = 5
g) 12x + 8y = 20 3x + 2y = 5
c) 7x + 9y = 0 2x + y = 11
h) 10x – 7y = 4 3x + 5y = –6
d) 18x + 27y = 81 2x + 3y = 9
i) 14x + 49y = –21 4x + 14y = –6
b)
e)
x + 2y = 4 2x + 4y = 8
6. Analiza de qué tipo son los siguientes sistemas de ecuaciones según el valor de k. Guíate por el ejemplo. Ejemplo: 2x – 3y = 4 5x + ky = 11
1 Se analiza la condición que debe cumplir k para que el sistema sea compatible determinado. 5 k 15 ≠ →k ≠– 2 −3 2 15 Por lo tanto, si k ≠ – , el sistema es compatible 2 determinado. Paso 2
15 . Al 2 remplazar este valor se obtiene el sistema 2x – 3y = 4 15 5x – y = 11 2
a) El sistema
–
15 5 = • (–3) 2 2
11=
b) 8x –10y = 15 4x + ky = 6
e) 5x + ky = 1 5x + y = 1
c)
f)
11 •4 4
x + 5y = 4 kx + 10y = 8
Aplica
do, para cualquier valor real de k. x – 7y = 1 no puede ser compatible x + ky = 8 indeterminado.
b) El sistema
c) El sistema
x + y =k no puede ser compatible. x + y =k +1
d) El sistema
ax – by = e es compatible determinacx + dy = f
9. Determina en cada caso si la información entregada por Enrique y Daniela es consistente o inconsistente. Justifica en cada caso. a) Enrique: mi edad es el doble de la de Daniela. Daniela: la edad de Enrique menos mi edad, es igual a mi edad. b) Enrique: El costo de cuatro relojes y dos lapiceras es igual a $21 000. Daniela: El costo de seis relojes y tres lapiceras es igual a $25 000.
10. Determina cuál(es) de los siguientes sistemas es(son) compatible(s) indeterminado(s). a) x – 3y = b – a 2
x–y=a +b b)
7. Para los siguientes sistemas, determina valores de a y de b para que se cumpla la condición pedida. 2x + 5y = 4 , para que sea compatible determinado. a) ax + by = 9 b)
ax + 8y = 4 , para que sea compatible indeterminado. 2x + by = 8
c)
x + ay = 2 , para que sea incompatible. 4x + by = 10
d)
3x + ay = b , para que sea compatible determinado. 5x + by = 9
Reflexiona
kx –10y = 1 es compatible determina4x + ky = 8
do si a, b, c y d son números naturales.
El número por el que se debe multiplicar el término libre de la primera ecuación para obtener el de la segunda no es igual al utilizado para obtener los coeficientes. Por 15 lo tanto, si k = – el sistema es incompatible. 2 d) x + ky = 0 a) x + 4y = 1 3x + ky = 3 5x + 8y = 1
3x – y = 0 kx + 9y = 4
4
8. Verifica las siguientes proposiciones.
Se analiza lo que ocurre si k = –
Se observa que 5 5= •2 2
3
Practiquemos lo aprendido
Paso 1
2
c) 2
x + y =b–a –ax + ay = a2 – ab
x + y = b –1 ax – ay = b2 –1
11. Desafío: Emilio quiere determinar las ecuaciones de 3 rectas, L1, L2 y L3, de modo que L1 y L2 formen un sistema compatible determinado, L1 y L3 uno indeterminado y L2 con L3 formen uno incompatible. ¿Es posible hacerlo? Si no es posible, justifica por qué.
12. Desafío: Andrés y Camilo discuten sobre el área y perímetro de un rectángulo. Andrés asegura que no se puede construir un rectángulo cuyo perímetro sea 22 cm y la diferencia entre la medida del largo y ancho sea de 3 cm, en cambio Camilo insiste que si existe. ¿Quién tiene la razón?¿Cómo lo puedes averiguar?
§ En ocasiones, los medios de comunicación entregan información inconsistente, o incompatible entre sí. ¿Has visto casos de este tipo? Busca un ejemplo en diarios, revistas o televisión. UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
235
Lección
37
Propósito: plantear y resolver problemas que involucran sistemas de ecuaciones lineales.
Debes saber… La solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de valores (p, q), de modo que al remplazar estos valores por las incógnitas, ambas igualdades se satisfacen.
Resolución de problemas que involucran sistemas de ecuaciones lineales La edad de Rubén menos la edad de Luis es igual a 27 años, y el triple de la edad de Rubén más el doble de la de Luis es igual a 61 años, ¿qué edad tiene cada uno? Para resolver este problema aplicaremos los métodos vistos en esta sección mediante los siguientes pasos. Paso 1
Asignamos las variables x e y a las edades de Rubén y de Luis, respectivamente. x: edad de Rubén. y: edad de Luis.
Con esto podemos plantear el sistema de ecuaciones. La edad de Rubén menos la edad de Luis es igual a 27 años: x – y = 27 El triple de la edad de Rubén más el doble de la edad de Luis es igual a 61 años: 3x + 2y = 61 Por lo tanto el sistema es: x – y = 27 3x + 2y = 61 Paso 2
Analizamos si el sistema tiene solución única, infinitas soluciones o si no tiene solución. Para ello, observamos que: • el coeficiente de x en la segunda ecuación (3) se obtiene multiplicando por 3 el coeficiente de x de la primera (1). • el coeficiente de y en la segunda ecuación (2) se obtiene multiplicando por –2 el coeficiente de y de la primera (–1). Ya que los valores por los que se debe multiplicar son distintos, el sistema es compatible determinado, es decir, tiene solución única.
Paso 3
236
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
Se resuelve el sistema utilizando alguno de los métodos vistos. En este caso, ya que la primera ecuación tiene variables con coeficiente igual a 1 es conveniente proceder por sustitución.
1
2
3
4
x – y = 27 x = 27 + y → 3x + 2y = 61 3x + 2y = 61 3(27 + y) + 2y = 61 81+ 3y + 2y = 61 5y = –20 y = –4 Se remplaza el valor obtenido y = –4 en la ecuación despejada. x = 27 + (–4) x = 23 Por lo tanto, la solución del sistema es (23, –4). Paso 4
Se analiza si la solución obtenida es pertinente al contexto del problema, es decir, si realmente es posible que las variables tengan estos valores. En este caso, x e y son edades de personas, por lo que no es pertinente que existan valores negativos. Por lo tanto, si bien el sistema asociado al problema tiene solución —y única— el problema mismo no tiene solución.
Paso 5
Aunque en este caso la solución no es pertinente, en el caso de que lo fuera puedes verificar que los valores obtenidos satisfacen las condiciones del problema. En este caso: La edad de Rubén menos la edad de Luis es igual a 27 años: x – y = 27 23 – –4 = 27 27 = 27 El triple de la edad de Rubén más el doble de la de Luis es igual a 61 años: 3x + 2y = 61 3 • 23 + 2 • –4 = 61 69 + –8 = 61 61 = 61
Razona
y comenta
§ ¿Cuál es la diferencia
Por lo tanto, podemos verificar que la solución obtenida sería correcta pues cumple las condiciones, pero el problema no tiene solución pues el valor obtenido no es pertinente.
§ En resumen Para resolver problemas que involucran sistemas de ecuaciones, asignamos las letras a las respectivas incógnitas, planteamos las ecuaciones y se resuelve el sistema, si tiene solución única. Es importante verificar si la solución obtenida es pertinente al contexto del problema.
entre un sistema incompatible y un problema con solución que no es pertinente? Explica con tus palabras. Analiza el enunciado del problema. ¿Habrías podido anticipar que la solución no era pertinente, antes de resolverlo? Explica cómo podría hacerse esto.
UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
237
Practiquemos lo aprendido
Repaso 1. Resuelve las siguientes ecuaciones lineales. a) 5x – 7 = 13 b) 19x + 47 = 16 c) x + 15 = 6 (10 + x) d) –12 – 2x = 6x
4. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. Si no tienen solución única, demuestra por qué.
e) 2(x – 3 ) = 4x + 1
a) 2x + 3y = 9 x + 5y = 8
f) x + 1 = 7 (x + 2)
b)
g) 3 ( x – 1) = 0,5x – 1 h) x – 1 = 0,25x + x
2. Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados. a) El perímetro de un rectángulo cuyo ancho mide 2x metros, y largo mide el triple de su ancho. b) El perímetro de un triángulo equilátero cuyo lado mide a + b cm. c) La edad del mayor de tres hermanos, si el menor tiene x años, y el del medio tiene 3 años más que el menor y cinco años menos que el doble de la edad del mayor.
3. Resuelve los siguientes problemas. Plantea
4x – 2y = 0 –12x + 6y = 4
c) 7x + 6y = –2 6x + 5y = –5
d) 18x + 30y = 6 15x + 25y = 5 e) 2x + 9y = 14 x + y = 23 f)
5x + 8y = 0,1 0,125x + 0,2y = 0,5
Práctica guiada 5. Resuelve los siguientes problemas. Guíate por el ejemplo estudiado en la lección. a) Ester pagó $10 000 en total por una polera, una camisa y un pantalón. El costo de la polera más el del pantalón es igual al de la camisa, y el doble del precio de polera es igual al precio del pantalón más $1000. ¿Cuál es el precio de la polera, camisa y pantalón?
en cada caso la ecuación de primer grado correspondiente.
b) Andrea tiene $5800 en monedas de $100 y $500. Si en total tiene 18 monedas, ¿cuántas monedas de $100 y de $500 tiene?
a) Al dinero que Daniel tiene se le suma su mitad y luego se le agregan otros $6000, de modo que finalmente queda con $18 000. ¿Cuánto dinero tenía Daniel originalmente?
c) Pedro tiene $500 en monedas de $10 y de $50. Si en total tiene 20 monedas, ¿cuántas de cada tipo tiene?
b) Un rectángulo tiene el doble de largo que de ancho. Si el largo disminuye en 6 cm y el ancho aumenta en 5 cm, la superficie del rectángulo no varía. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? c) Dos hermanos se reparten $20 000 de modo que al mayor le corresponde el triple de dinero que al menor. ¿Cuánto recibe cada uno? d) Camila compra un automóvil con un 15% de descuento, por lo que finalmente paga $3 000 000. ¿Cuánto costaba el automóvil sin el descuento? e) El doble de la altura de un triángulo disminuida en 8 unidades es igual a 10 unidades. Si el lado correspondiente a dicha altura mide 16 cm, ¿cuál es el área del triángulo? 238
f) Para elegir a un representante del colegio se realizó una votación entre tres candidatos, en la que se registraron un total de 560 votos. Pablo tiene 75 votos menos que Juan y 55 votos más que Pedro. ¿Cuántos votos obtuvo cada candidato?
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
d) Un producto A cuesta $300 y otro producto B, $350. Omar compra algunos productos A y otros B, de modo que lleva 12 en total. Si paga $3950, ¿cuántas unidades compró del producto B? e) Nelson tiene el doble de la edad de Ana y hace cinco años tenía el triple. ¿Cuál será la edad de Ana en 5 años más? f) La edad de Amaro hace 3 años era la mitad de la edad que tenía Alonso. Si dentro de 2 años la edad de Amaro será igual a la edad de Alonso disminuida en 3 años, ¿cuál es la edad de cada uno? g) Amanda compró en una tienda 5 lápices y 2 cuadernos por $2900. Javiera compró en la misma tienda 6 lápices y 3 cuadernos por $4050. ¿Cuánto cuestan los lápices y los cuadernos en la tienda?
1
3
4
Aplica 6. Resuelve los siguientes problemas geométricos.
i) En un corral hay conejos y gallinas, que en conjunto suman 36 ojos y 110 patas. ¿Cuántos animales hay?
a) El perímetro de un rectángulo es 50 cm y el largo excede al ancho en 1 cm. ¿Cuál es el área del rectángulo?
j) Las edades de dos hermanos están en razón 4 : 5. Si hace dos años el menor tenía 26 años, ¿cuántos años tenía el mayor cuando su hermano menor nació?
b) ¿Cuáles son las medidas de los ángulos dibujados en el siguiente triángulo rectángulo?
k) En un curso hay 45 estudiantes. Si el doble de la cantidad de hombres sobrepasa en 10 estudiantes al doble de la cantidad de alumnas, ¿cuántas mujeres hay en el curso? l) Si se compran cuatro computadores de la marca A y tres de la marca B se debe pagar $ 3 573 000; mientras que al comprar cinco de la marca A y cuatro de la marca B se debe pagar $ 3 500 000. ¿Cuál es el valor de cada computador? m) A una función de cine asistieron 850 personas y se recaudaron $ 2 052 400. Si la entrada tenía un valor de $ 2800 para los adultos y $ 2200 para los niños, ¿cuántos niños asistieron a la función? n) La edad de un padre y la de su hijo suman 100 años, y dentro de dos años la edad del padre será el doble de la de su hijo. ¿Cuáles son las edades actuales de cada uno? ñ) En un garaje hay 55 vehículos, entre autos y motos. Si en total se cuentan 160 ruedas, ¿cuántos autos y cuántas motos hay? o) Andrea ganó el doble de dinero que Paula, y entre ambas ganaron $ 210 000. ¿Cuánto ganó cada una? p) En un taller de pintura, una máquina la mezcla de acuerdo con el color y el tinte elegido por el consumidor. El precio de una lata de pintura se calcula de acuerdo a las cantidades de cada una de estas sustancias. El precio de un galón de látex es de $ 4000 y el de tinte es de $ 8000. Si un cliente pagó $ 100 000, por quince galones en total, ¿cuántos galones de látex y tinte compró? q) María compra 5 kg de manzanas y 2,5 kg de naranjas pagando en total $ 4550. Al otro día regresa a comprar más, y por 6 kg de manzanas y 4 kg de naranjas paga $ 5250. ¿Cuál es el precio por kg de manzanas y de naranjas?
Practiquemos lo aprendido
h) La suma de las edades de Andrés y Jaime es igual a 48 años. Si Andrés tiene el doble de la edad de Jaime, ¿cuáles son las edades de cada uno?
2
c) ¿Cuáles son las medidas de los ángulos interiores del siguiente paralelogramo? d) Dos ángulos α y β son complementarios. Si se aumenta la medida del primero al doble y la medida del segundo disminuye en 10 grados, al sumarlos se obtiene el suplemento de 45°. ¿Cuáles son las medidas de los ángulos α y β? e) El perímetro de un terreno rectangular mide 232 m. Si se sabe que el largo es 8 m mayor que el ancho, ¿cuáles son sus dimensiones? f) α y β son dos ángulos complementarios y la diferencia entre el doble del ángulo α y el ángulo β es de 180°. ¿Cuáles son los ángulos? g) ¿Cuáles son las medidas de x e y en la siguiente figura?
h) En la siguiente figura la suma de las medidas de w y z es de 90° y el ángulo exterior a la circunferencia mide 30° ¿Cuáles son las medidas de los arcos AB y CD? i) En la siguiente circunferencia, la suma de las medidas de los ángulos inscritos α y β es de 68°, y la tercera parte de la medida del ángulo del centro γ más la del ángulo del centro α es de 150°. ¿Cuánto mide cada ángulo en la circunferencia?
UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
239
Practiquemos lo aprendido
7. Resuelve los siguientes problemas numéricos. a) La suma de dos números es 30 y su diferencia es igual a 6. ¿Cuáles son los números? b) Un número de 2 cifras es igual a cuatro veces la suma de sus cifras y si se invierten de orden las cifras, el número aumenta en 36 unidades. ¿Cuál es el triple de dicho número? c) Dado un número entre 200 y 300, la cifra de las decenas es la tercera parte de la cifra de las unidades y la suma de las tres cifras es 14. ¿Cuál es el número? d) Encuentra dos números que sumados den 285 y restados, 121. e) Si al sumar dos números impares consecutivos resulta 8, ¿cuál es el producto de estos números? f) Al simplificar una fracción se obtiene 2. Si se disminuye el numerador en 1 unidad y se aumenta 1 el denominador en 4, se obtiene . ¿Cuál es la 2 fracción original? g) Dos números naturales están en la razón 7 : 5. Si la diferencia entre ellos es 8 unidades, ¿cuáles son los números? h) La suma de dos números es 17 y la diferencia entre triple del primero y la mitad del segundo es 23. ¿Cuáles son los números? i) Al sumar los dígitos que componen un número de dos cifras resulta 12. Si se invierten los dígitos del número, este aumenta en 54 unidades. ¿Cuál es la cifra de las unidades del número? j) La suma de las dos cifras de un número equivale a la tercera parte del número. Si la cifra de las unidades excede en cinco a las decenas, ¿Cuál es el número? k) La suma de dos números es 27. Si al primero de ellos se le suman 5 unidades y al segundo se le restan 5 unidades, se obtiene que el primero es el doble del segundo. ¿Cuáles son los números?
8. Analiza la pertinencia de los resultados en cada problema. a) 5 gomas más dos lápices cuestan $650 y por el precio de 3 gomas más 50 pesos me llevo un lápiz. ¿Cuánto cuesta cada artículo?
240
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
b) Sean dos números enteros positivos tales que el triple del primero menos el segundo es igual a 79 y el doble del primero más el segundo es igual a 31. Hallar los números. c) En un juego, 2 fichas verdes y 4 blancas entregan 6 puntos, y 2 fichas blancas más 3 verdes dan 17 puntos ¿Cuántos puntos entrega cada ficha? d) Si en una fracción restamos 2 al numerador y al denominador, el resultado es 7 . Pero si al nume10 rador restamos 1 y al denominador restamos 4, el resultado es 3 . Determina la fracción. 4 9. Conexiones: Se llama reacción química a la transformación de una o más sustancias iniciales (reactantes) en una o más sustancias finales (productos). Una reacción se representa mediante una ecuación química, de la forma: →
A+B Reactantes
C+D Productos
Por ejemplo, la reacción entre el metano (CH4) y el oxígeno (O2) produce dióxido de carbono (CO2) y agua (H20). Por lo tanto, se puede representar mediante la ecuación: →
CH4 + O2
CO2 + H2O
Sin embargo, podemos observar que en esta ecuación hay 4 átomos de hidrógeno en los reactantes pero solo hay 2 en los productos, mientras que hay 2 de oxígeno en los reactantes y 4 en los productos. Para que se respete la ley de conservación de la materia de Lavoisier es necesario utilizar coeficientes estequiométricos, que ajustan la ecuación de manera que haya la misma cantidad de átomos en reactivos y productos. En este caso: xCH4 + yO2
→
zCO2 + wH2O
Con ello, se obtiene que: Átomos C H O
Reactantes x•1=x x • 4 = 4x y • 2 = 2y
Productos z•1=z w • 2 = 2w z • 2 + w = 2z + w
Lo que genera el sistema de ecuaciones: x=z 4x = 2w 2y = 2z + w Este tipo de sistemas siempre tiene infinitas soluciones, por lo que para encontrar una de ellas daremos un valor a x, y a partir de ello encontraremos los demás valores.
1
1= z 1= z 1= z 4 •1= 2w →2=w →2=w 2y = 2 •1+ w 2y = 2 + w 2y = 2 + 2 Se obtiene así que una solución posible es x = 1, y = 2, z = 1 y w = 2. Por lo tanto, la ecuación correcta es: →
CH4 + 2O2
CO2 + 2H2O
Ajusta las siguientes ecuaciones químicas: →
a) NaCl + H2S04 b) H2CO3 + KClO c) C4H10 + 02 d) HCl + Ca
→ →
HCl + Na2SO4
→
K2CO3 + HClO
CO2 + H2O CaCl2 + H2
10. Conexiones: En economía se llama oferta a la relación entre el precio de un artículo y la cantidad de ellos que un mercado (vendedor) pondrá a disposición a dicho precio. Mientras mayor sea el precio, mayor cantidad de artículos estará dispuesto el mercado a poner a la venta. A la inversa, se llama demanda a la relación entre el precio de un artículo y la cantidad de ellos que los compradores efectivamente estarán dispuestos a comprar. Mientras mayor sea el precio de venta, menos compradores habrá dispuestos a comprar. En ocasiones, la oferta y la demanda pueden modelarse por medio de ecuaciones lineales que conforman un sistema de ecuaciones. En él, la solución se conoce como punto de equilibrio. Por ejemplo: Si el precio de un artículo es $80, el mercado pondrá a la venta 60 de ellos, mientras que si el precio es $200 pondrá 100 artículos. La función correspondiente a la oferta es la de la recta que pasa por los puntos (80, 60) y (200, 100), es decir: 100 1 → x – 3y = –100 y= x+ 3 3 A la vez, si el precio del artículo es $80 habrá 120 compradores, mientras que si es $200 habrá solo 40. La función correspondiente a la demanda es
3
4
la de la recta que pasa por los puntos (80, 120) y (200, 40), es decir: 1 100 y= x+ → x – 3y = –100 3 3 El punto de equilibrio corresponde a la solución del x – 3y = –100 sistema , es decir, (140, 80). El punto de 2x + 3y = 520 equilibrio representa la combinación “ideal” entre precio del artículo y unidades vendidas, es decir, en la que tanto compradores como vendedores quedarán satisfechos. En este caso, el precio del artículo será de $140, y habrá 80 artículos comprados/vendidos.
Practiquemos lo aprendido
Sea x = 1. Con ello.
2
Calcula el punto de equilibrio en las siguientes situaciones: a) Si el precio de un artículo es $40, el mercado pondrá a la venta 60 de ellos, mientras que si el precio es $120, pondrá 140 artículos. A la vez, si el precio del artículo es $40 habrá 140 compradores, mientras que si es $120 habrá solo 60. b) En una empresa de útiles escolares la función correspondiente a la oferta de cierto lápiz es y = x+20, y la función correspondiente a la de2 manda es y = – x + 160 . 5 c) Don Carlos vende sandías en la feria. Si las ofrece a $1000 pesos lleva 60 al puesto, y si las vende a $800 lleva 40. A su vez él sabe que si las ofrece a $600 le compran 100 sandías y si las ofrece a $1200 le compran 55. (Aproxima el precio a la decena y la cantidad a la unidad).
11. Considera la oferta y la demanda. a) ¿Puede originarse un sistema compatible indeterminado? ¿Y uno incompatible? Justifica. b) ¿En qué casos una situación de oferta y demanda tiene solución que no es pertinente? Discute con tus compañeros y cita ejemplos. c) Investiga qué significa que una demanda sea elástica o inelástica. Cita dos ejemplos para cada caso.
12. Desafío: Una empresa de jugos naturales necesita preparar 300 litros de jugo al 85% de pureza. En las bodegas hay dos tipos de jugos: unos con un 95% de pureza y otros con un 80%. ¿Cuántos litros de cada tipo de jugo se deben mezclar para obtener la cantidad de jugo con la concentración deseada?
Reflexiona § ¿En qué otros contextos has utilizado palabra “pertinente” o “impertinente”. Menciona dos ejemplos para cada una. UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
241
Resolución de problemas Analiza la resolución del siguiente problema. Un automóvil está cargando combustible en un punto a de la carretera; mientras que un ciclista está descansando en un punto c ubicado 240 km más adelante por la misma carretera. Si ambos retoman su viaje en el mismo sentido y de manera simultánea con una rapidez constante de 90 km/h y 30 km/h respectivamente, ¿cuál es la distancia que logrará recorrer el ciclista antes de ser alcanzado por el automóvil? Paso 1 Comprende el enunciado a. ¿Qué datos son necesarios para responder la pregunta? La fórmula que relaciona la rapidez constante, el tiempo y la distancia recorrida, y los valores asociados al problema. b. ¿Qué información entrega el enunciado del problema? La distancia que separa al ciclista del automóvil y la rapidez con que se mueven en la misma dirección. Paso 2 Planifica lo que vas a realizar En primer lugar se debe relacionar la rapidez, el tiempo y la distancia recorrida por el automóvil y el ciclista, d es decir v = donde v es la rapidez, t el tiempo y d la distancia. Por otro lado, puedes expresar la informat ción que entrega el problema con un dibujo:
a
c 240 km
Punto de encuentro
e
x km
donde E es el punto en el que el automóvil alcanza al ciclista. Así, puedes plantear un sistema de ecuaciones con incógnita x (distancia entre C y E) y t (tiempo transcurrido). Finalmente, al resolver el sistema se obtendrá el valor de la incógnita x, que corresponderá a la distancia que logrará recorrer el ciclista hasta ser alcanzado por el automóvil. Paso 3 Resuelve el problema x Como la rapidez del ciclista es 30 km/h, entonces 30 = , y como la del móvil es 90 km/h, entonces t 30t – x = 0 240 + x 90 = , . Luego, el sistema que representa la situación descrita en el problema es t 90t – x = 240 cuya solución es x = 120 y t = 4. Paso 4 Revisa la solución Remplazando x = 120 y t = 4, se verifica cada una de las ecuaciones planteadas.
Podrás aplicar lo aprendido aquí en los problemas que se presentan en la página 244. 242
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
Para no cometer errores Analiza la situación
1
2
3
4
Aprende la forma correcta
Elena debe resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 2x + 7y = 4 5x – 3y = 2 Para hacerlo utiliza el método de reducción considerando la primera ecuación del sistema: 2x + 7y = 4 4 – 7y → 2x = 4 – 7y → x = 5x – 3y = 2 2 Luego remplaza esta expresión en una de las ecuaciones del sistema 4 – 7y + 7y = 4 2 2 4 – 7y + 7y = 4 0=0 Dado que llega a una identidad, Elena concluye que el sistema es compatible indeterminado.
Razona
Elena despejó la variable x en la primera ecuación del sistema y luego remplazó la expresión obtenida en la misma ecuación. Lo que debe hacer es hacer el remplazo en la otra ecuación. 4 –7y 5 –3y = 2 2 35 10 – y –3y = 2 2 41 – y = –8 2 16 y= 41
Luego se remplaza este valor en alguna de las ecuaciones y se obtiene la solución.
y comenta
§ ¿Cuál es el error cometido por Elena? § ¿Qué otros errores se pueden cometer en la resolución de sistemas de ecuaciones utilizando los métodos vistos?
Analiza la situación
Aprende la forma correcta
Patricio debe resolver el siguiente sistema de ecuaciones. 6x – 4y = 2 9x – 6y = 3 Para ello comienza por probar algunos valores. Primero verifica lo que ocurre si x = 1. 6 •1– 4y = 2 –4y = –4 y =1 → → 9 •1– 6y = 3 –6y = –6 y =1 Así, observa que (1, 1) satisface ambas ecuaciones del sistema. Por lo tanto, concluye que esta es la solución.
Razona
y comenta
§ §
¿Cuál es el error cometido por Patricio? ¿Qué otros errores se pueden cometer en la resolución de sistemas de ecuaciones?
Patricio no consideró que un sistema de ecuaciones puede tener infinitas soluciones. En este caso se puede verificar que: 3 9 = •6 2 3 –6 = •−4 2 3 3 = •2 2
Es decir, el sistema es compatible indeterminado y (1, 1) solo es una solución del sistema.
Reflexiona § ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores? ¿Cuáles? § Respecto de los que no cometiste, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos? § Revisa los ejercicios que hayas resuelto en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes tomar para no volver a cometerlos?
UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
243
Integrando lo aprendido Lección 33: Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas
Lección 35: Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales
1 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, utilizando tablas de valores. 4x + y = 4 x a. –y=4 c. 5 –4x + 3y = 12 x + 3y =2 b. x + 5y = 10 2 7x – 5y = 10
5 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando alguno de los métodos estudiados. Justifica en cada caso la elección del método empleado.
2 Utiliza una tabla de valores para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones. a. En empresa lechera se han envasado 60 00 litros de leche en 2400 botellas de 2 y 5 litros. ¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado? b. En una librería han vendido 20 revistas a dos precios distintos: unas a $1600 y otras a $2 400. Si han obtenido $38 400, ¿cuántas revistas se vendieron de cada precio?
a.
x + 2y = 8
f.
x – 4y = –10 b.
3x – y = 7 5x + 2y = –3
c.
6x + 7y = 1
2y = –15– 3x g. 10x – y = 4 4x + y = 3 h.
e.
3x – 2y = 1 5x + 3y = 8
–4x + 5y = 9
d. 2x – 3y = –8 6x – 5y = 0
–4x – 5y = –8
i.
6x + 2y = 0
3x + y =3 2 5x – 2y = –4 3
5x + 2y = –5
Evaluación
Lección 34: Sistemas de ecuaciones lineales y gráficos 3 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por medio de gráficos. Puedes utilizar un procesador geométrico. a.
5x – 3y = –8 6x + 7y = 1
b.
c.
6 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando cambio de variables. a.
–2x + 5y = –11
3 2 + = 13 x y
x–y= 4
x+ y=9 5x – 6y = 23
4 7 – = 27 x y
b.
c.
2 1 – =2 x y 5 3 + = –17 x y
8 1 – =0 x y 1 1 +7= y x
4 Determina el sistema de ecuaciones asociado a cada gráfico. a.
7 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método que prefieras para encontrar los valores de x, y, z según corresponda. a.
2ax – 5by = 0 ax + 2by = 1
b. b.
a b – = 20 x y 3a 2b + = 15 y x
244
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
c. 2x – 4y + z = 3 x + 2y + 3z = 4 3x – 6y – z = 5
1 Lección 36: Existencia de soluciones de un sistema de ecuaciones 8 Analiza los siguientes sistemas y determina si tienen solución única, infinitas soluciones o si no tienen solución. a.
x–y=5 3x – 3y = 15
b.
6x – 5y = 9 12x –10y = 6
c.
9x + 2y = 3 –5x + 7y = 1
a. El triple de la suma de dos números es 90, y el doble de la diferencia entre ellos es 20. ¿Cuáles son los números? b. El promedio de dos números es 18. Si el doble del primero más el triple del segundo es 150, ¿cuáles son los números?
5x – 8y = 0
c. El perímetro de un rectángulo es 32 cm, y uno de sus lados mide el cuádruple del otro. ¿Cuáles son sus dimensiones?
0,5x – 4y = –2 2x –16y = –8
9 Para los siguientes sistemas, determina valores de a y de b para que se cumpla la condición pedida. 3x – 4y = 7 , sea compatible determinado. ax + by = 1
b.
2ax – 6y = 10 , sea compatible indeterminado. 4x – by = 2
c.
x + ay = 2 , sea incompatible. 4x + by = 10
10 Dada la ecuación 4x + 12y = 20, crea en cada caso una ecuación que forme con ella: a. un sistema compatible determinado. b. un sistema compatible indeterminado. c. un sistema incompatible.
d. Carolina compró 5 pendrives y 2 tablets en una tienda computacional, por los que pagó $440 000. En la misma tienda, Claudia compró 3 pendrives y 4 tablets en $920 000. Si los pendrives y las tablets que compraron son idénticos, ¿cuál es el valor de cada artículo? e. Alicia le dice a Patricio, “el dinero que tengo es el doble del que tienes tú” y Patricio contesta: “Si tú me das $6000, ambos tendremos la misma cantidad”. ¿Cuánto dinero tiene cada uno? 12 Las edades de Eugenia y su hijo Marcelo, sumadas, son iguales a 54 años. Crea en cada caso una información adicional para formar un problema: a. con solución única y pertinente. b. con solución, pero que no sea pertinente. c. sin solución.
Evaluación
a.
4
11 Resuelve los siguientes problemas.
5x + 8y = 0 f.
3
Lección 37: Plantear y resolver problemas que involucran sistemas de ecuaciones lineales
d. 24x –18y = 1 4x – 6y = 22 e.
2
Autoevaluació Autoevaluación Evalúa tu aprendizaje utilizando el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las páginas indicadas para repasar. Indicador
Identificar y plantear un sistema de ecuaciones lineales. Interpretar gráficamente un sistema de ecuaciones lineales. Resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones lineales. Analizar algebraicamente la existencia de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Plantear y resolver problemas que involucran sistemas de ecuaciones lineales.
Mínimo sugerido por ítem Puedes repasar en la(s) página(s)
Ítem 1: 2/3 Ítem 2: 1/2 Ítem 3: 2/3 Ítem 4: 1/2 Ítem 5: 5/9 Ítem 6: 2/3 Ítem 7: 2/3 Ítem 8: 3/6 Ítem 9: 2/3 Ítem 10: 2/3 Ítem 11: 3/5 Ítem 12: 2/3
220 222 y 223 226 a 228
232 y 233 236 y 237
UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
245
l a r u m o i r a i D El lenguaje MATEMÁTico La palabra álgebra proviene del término árabe “al-jabr”, que significa“componer”. De esta forma se denominaba a los procedimientos para resolver una ecuación, en la que se deben ir componiendo los miembros de ella para mantener la igualdad y finalmente llegar a la solución de ella. No está demás decir que la acepción de “algebrista” como componedor perduró algunos siglos en la lengua española, y durante algún tiempo incluso se llamó algebrista al médico que reubicaba y componía los huesos. Su uso en este sentido aparece en el capítulo XV de la segunda parte de Don Quijote de la Mancha, mencionando. “En esto fueron razonando los dos, hasta que llegaron a un pueblo donde fue ventura hallar un algebrista, con quien se curó el Sansón desgraciado”
Francisco Vieta es quien propone el uso de letras para las variables, y pronto se comenzarían también a utilizar símbolos para las operaciones y las relaciones. En el siglo XVI, Oughtred eligió una x como símbolo para sus multiplicaciones, lo que pronto se popularizó. Sin embargo Leibniz, en 1698, le escribió a Johann Bernoulli: "no me gusta como símbolo para la mutiplicación, pues se confunde demasiado fácilmente con la x; ... a menudo relaciono dos cantidades con un punto interpuesto, e indico la multiplicación mediante ZC·LM".
La barra horizontal de las fracciones era usada por Leonardo Fibonacci en el siglo XIII, aunque no se generalizó hasta el siglo XVI. La barra oblicua /, variante de la Como decía Euler, el gran anterior para escribir en una sola línea, fue introducida por De matemático suizo, en Morgan en 1845. ocasiones los símbolos y el
Si ya fue un gran avance para la humanidad comenzar a utilizar símbolos que representaran cantidades, otro aun El signo para la igualdad es lápiz se encargan de pensar mayor fue utilizar símbolos obra de Robert Recorde, que que representaran cualquier por nosotros. empezó a utilizarlo en 1557. Lo cantidad (variables). Incluso, justificó diciendo: "Pondré, como en sus inicios la matemática hago a menudo en el curso de mi trabajo, un par de se fue desarrollando en forma retórica, es decir, paralelas o líneas gemelas de una misma longitud, así: solo con palabras. Lo que hoy designamos como , porque no hay dos cosas que puedan ser incógnita fue, por mucho tiempo, llamada “cosa”, más iguales". Posteriormente el uso acortó estas líneas de forma que la resolución de un problema podía hasta llegar al símbolo que utilizamos hoy. ser enunciada como “se suma a la cosa cinco, para obtener tres veces la cosa...”. Pese a ser resistido en sus inicios, el uso de símbolos Poco a poco, los matemáticos fueron abreviando el lenguaje para llegar a términos cortos y precisos que indicaran lo que se deseaba hacer. Esto se conoce como “álgebra sincopada”. Sin embargo, en ella aun no había símbolos para variables ni operaciones, lo que solamente llegaría en el siglo XVI.
acabó imponiéndose por su simpleza, y claridad. Hay quienes plantean que el desarrollo de toda ciencia pasa, invariablemente, por un adecuado lenguaje para desarrollarla. Como decía Euler, el gran matemático suizo, en ocasiones los símbolos y el lápiz se encargan de pensar por nosotros.
Actividades complementarias
246
➊
¿En qué otra disciplina el empleo de símbolos es imprescindible para su desarrollo? Menciona algún ejemplo.
➋
En su novela 1984, George Orwell plantea que, mediante el uso de la neolengua (un idioma simplificado hasta lo más básico) se podía reducir la capacidad de las personas de pensar, es decir, si no existen las palabras adecuadas, hay pensamientos que no pueden desarrollarse. ¿Estás de acuerdo con esta idea? Discute con tus compañeros.
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
247
Síntesis
Para sintetizar Volviendo al inicio…
¿Cómo se llama?
Los caldeos fueron un pueblo que habitaba hace más de tres mil años en la zona que hoy conocemos como Irak. Aparte de ser la cuna de muchas culturas de medio oriente y de las tres más grandes religiones monoteístas del planeta —Judaísmo, Cristianismo e Islam—, tuvieron un avanzado conocimiento de la astronomía que les permitió predecir la ocurrencia de eclipses.
Relaciona los conceptos utilizando un mapa conceptual.
Vistos desde la Tierra, el Sol y la Luna describen trayectorias a través del cielo, de modo que cada día parecen encontrarse en distintas posiciones. Estas trayectorias se encuentran inclinadas una respecto de la otra, de manera que, para que ocurra un eclipse, es necesario que se encuentren en alguno de los puntos de intersección entre sus trayectorias. Si el tiempo que tardan estos astros en pasar por dichos puntos fuera el mismo, cada mes tendríamos un eclipse. Pero esto no ocurre, por lo que luego de que ocurra una de estas coincidencias, la próxima ocurrirá luego de un tiempo que corresponde al mínimo común múltiplo entre ellas. A esto se añade el movimiento propio de la Tierra, que agrega un tercer factor a este período.
Fracción algebraica Restricción Máximo común divisor Mínimo común múltiplo Amplificación y simplificación Multiplicación y división entre fracciones algebraicas Adición y sustracción entre fracciones algebraicas
Sistemas de ecuaciones lineales Representación gráfica Sistema compatible determinado Sistema compatible indeterminado Sistema incompatible Método de sustitución Método de igualación Método de reducción Pertinencia de las soluciones
Funciones y gráficos Función raíz cuadrada Función exponencial Función logarítmica Desplazamiento Reflexión Parámetros Dilatación Contracción
Evaluando e innovando Diseña una evaluación con los contenidos vistos en la unidad e intercámbiala con un compañero. Te sugerimos:
§ Un crucigrama o sopa de letras con las palabras o conceptos clave. § Un juego de mesa con preguntas de contenidos de la unidad. § Un juego de memoria, que relacione conceptos, fórmulas y definiciones.
248
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1
¿Cómo se hace? Completa en tu cuaderno el siguiente cuadro sinóptico. Contenido Fracción algebraica y restricciones Mcd y mcm entre expresiones algebraicas Operatoria entre expresiones algebraicas
Ecuaciones fraccionarias
Análisis gráfico de funciones
Función exponencial
Función logarítmica
Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones Sistemas de ecuaciones y gráficos Tipos de sistemas de ecuaciones
Ejemplo
3
4
Los caldeos observaron que cada 18 años y 10 días —aproximadamente— se repite un ciclo de eclipses, lo que se conoce como Ciclo de Saros. Los eclipses no se producen en los mismos lugares del planeta y, en ocasiones, ni siquiera se producen, pero este ciclo establece las fechas en las que pueden producirse. Asteroides y meteoritos Teóricamente es posible observar estos objetos y lograr determinar su trayectoria, incluso modelándola por medio de funciones, por lo que podría esperarse que, una vez observado un meteorito y definida su trayectoria. Sin embargo, estos cuerpos se desplazan en medio de muchos otros que modifican su trayectoria, desplazándola, contrayéndola o dilatándola. Si quisiéramos añadir estos parámetros a las funciones que describen sus trayectorias, el estudio de ellas se haría cada vez más complejo y difícil de analizar —como de hecho ocurre—. A medida que los cuerpos son más pequeños, la masa de otros más grandes les afecta de mayor manera, modificando su trayectoria, por lo que la trayectoria de un meteorito, para ser estudiada, debe ser aislada de otros factores externos.
Síntesis
Función raíz cuadrada
Definición y/o procedimiento
2
Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones
UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
249
Reforzar antes de evaluar Refuerza los contenidos vistos en la unidad, realizando las siguientes actividades. 8 Simplifica cada fracción algebraica hasta obtener una fracción irreductible.
Fracciones algebraicas Fracción algebraica 1 Determina las restricciones de las siguientes fracciones algebraicas. 2a + 5 (a – 8)(a + 3) d. 5x x2 – 4
–6 7 –10m b. 9 – x 4(x – 2)
c.
a.
2 Expresa con una fracción algebraica el costo de un libro si se pagan en total $ x2y por comprar xy libros.
Fracciones algebraicas y fórmulas 3 Calcula el valor de
(x – 4)3 , si x = 7. x–5
n(n + 1) corresponde a la suma de los 2 primeros n números naturales. ¿Cuánto suman
Refuerzo
4 La fórmula
los primeros 10 números naturales?
Mcd y mcm de expresiones algebraicas 5 Determina el mcm y el mcd entre las siguientes expresiones. a. 6x, 9x2, 12x3
b. 4pq, 8pqr, 10pr
6 Marcelo está enfermo y debe tomar gotas cada 4a2b2 horas, un comprimido cada 6a3bc2 horas y un jarabe cada 8ab3c horas. Si toma a las 12:00 horas los tres remedios, ¿en cuántas horas más volverá a tomar los tres remedios juntos?
Amplificación y simplificación de fracciones algebraicas 7 Amplifica las siguientes fracciones algebraicas por la expresión dada. a. 3x + 2 , por 2x2. x+5 x 2 + 5xy + y 2 , por xy. 4x 2 – 9y 2 1 c. 2 , por x + 5. x + 10x + 25
b.
250
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
35a6b7 c 8 7a9 c10 b. 5b –10 5b2 – 5 a.
c.
b2 –16 b2 – 2b – 8
d.
2x 2 + 2x x 3 + 2x 2 + x
Multiplicación y división de fracciones algebraicas 9 Calcula las siguientes multiplicaciones. a.
8a2 5x 2 • 20x 16a3 y
b.
x 2 – 4x + 4 x 2 + 7x + 6 • x 2 + 8x + 12 x2 – 4
10 Calcula las siguientes divisiones. a. 6a – 6b : a – b 3a + 3b 3a2 – 3b2 b.
y2 – y – 6 y – 3 : y 2 – 25 y + 5
7m + 14 11 Claudia compró 2 metros de género a m –1 m –1 $ cada metro. ¿Cuánto pagó en total por m + 2 la pieza de género? x 2 + 6x + 9 lápices de colores 12 Si se reparten 16x 2 4x 2 entre alumnos. ¿Cuántos lápices recibe x + 3 cada niño?
Adición y sustracción de fracciones algebraicas 13 Calcula las siguientes operaciones. a.
5p 3p – 4m 4m
2 b. 5x – 7x + 8 + 7 – 4 + x 6x – 2 6x – 2
6x 5x 7x – + 2 x – 5x x + 5 x – 25 2 ( x –1) d. + 5( x + 6) 2(2x + 3) c.
2
1 Resolución de problemas que involucran fracciones algebraicas 14 Resuelve las siguientes ecuaciones. a.
9 8 = x–5 x + 6
b.
4 3 1 + = x –1 x + 1 2
15 El denominador de una fracción excede en 5 al numerador. Si el numerador disminuye en 1, el valor 1 de la fracción es . ¿Cuál es el valor de la fracción? 4
5 4 3 2 1 0
–2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
a. f(x) = 2x – 5
b. g(x) = –3x + 4
20 Identifica en cada caso a qué curva corresponden las funciones indicadas. f(x) = 3x + 1
g(x) = 0,2x
h(x) = 10x – 1
Y 5 4 3 2 1 0
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 X –1 –2 –3
21 Sin graficar, determina el dominio, recorrido e intersecciones con los ejes de las gráficas correspondientes a las siguientes funciones exponenciales. X
a. f(x) = 4x – 2
b. g(x) = 0,2x + 5
Función logarítmica
a. f(x) – 2
c. f(x – 4)
b. –f(x) + 1
d. –f(–x) + 1
22 Construye la gráfica de las siguientes funciones logarítmicas, a partir de la de y = log x.
Refuerzo
Construye las gráficas de las siguientes funciones.
Y
Función raíz cuadrada 17 De las siguientes funciones, determina los puntos de intersección con los ejes X e Y, dominio y recorrido. a. f(x) = x – 9 + 4
4
19 Construye la gráfica de las siguientes funciones.
Funciones, tablas y gráficos
Y
3
Función exponencial
Función exponencial, logarítmica y raíz 16 Considera la función f(x), cuya gráfica es la siguiente:
2
b. g(x) = 7 – x + 5
18 Construye la gráfica de las siguientes funciones, a partir de la de y = x. Y
1,5 1 0,5 0 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –0,5 –1 –1,5
a. f(x) = log (x – 6)
X
b. h(x)= –log (x – 3) + 2
23 De las siguientes funciones, determina los puntos de intersección con los ejes X e Y, dominio y recorrido.
5 4 3 2 1 0
a. f(x) = log x + 6
–2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
X
b. g(x) = –log (x – 7) c. h(x) = log (x) – 16
a. f(x) = x + 3 – 4
b. g(x) = − x + 5
UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
251
Reforzar antes de evaluar Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones
Sistemas de ecuaciones Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas 24 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, utilizando tablas de valores. a.
3x + y = 0
b.
2x – y = 25
a.
4x + 3y = 10
25 Grafica los siguientes sistemas de ecuaciones para determinar su solución.
3(x – 2y) = –9 2(x + y) = –6
–2x + y = 10
Sistemas de ecuaciones lineales y gráficos
a.
27 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando un método algebraico.
a.
ax – 6by = –1 3ax – by = –2
−3x + 4y = −15 x + 2y = 8
Refuerzo
c.
x+y = –1 4 x–y =4 4
26 Determina en cada caso el sistema de ecuaciones asociado al gráfico. a.
Y 4 3 2 1 0
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 X –1 –2 –3 –4
b.
Y 4 3 2 1 0
29 Analiza cada sistema y determina si es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible. a.
7x – 2y = 8 9x + 6y = 1
b. 16x – 8y = –2 –8x + 4y = 1 c.
4x + 5y = 8 –8x –10y = –4
Resolución de problemas que involucran sistemas de ecuaciones 30 Un cuarto de la suma de dos números es 40 y un quinto de su diferencia es 8. ¿Cuál es el número menor? 31 Marcela es un fanática de la tecnología que podría comprar dos celulares y un televisor en $460 000, o un celular y dos televisores en $680 000. ¿Cuál es el costo del televisor?
¿Te sientes más preparado para la evaluación de la unidad? MATEMÁTICA 2.º MEDIO
b. x + y + z = 1 x – y + z =1 2x – y + z = 2
Existencia de soluciones de un sistema de ecuaciones
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 X –1 –2 –3 –4
252
5x – 4y =0 2 10x + 8y = –4
28 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método que prefieras para encontrar x, y, z según corresponda.
3x + y = 5
b. 7x − 2y = −8
b.
Profundizar
1
2
3
4
Ahora que has reforzado los contenidos de la unidad, te sugerimos las siguientes actividades para que puedas profundizar tus conocimientos.
Programación lineal lee atentamente el siguiente problema y realiza las actividades. En una pastelería se elaboran dos tipos de pasteles: A y B. El pastel A ne1 cesita kg de crema por cada kg de harina, y al venderlo y produce una 4 1 ganancia de $250. El pastel B necesita kg de crema por cada kg de hari2 na, y con su venta se gana $400. En la pastelería disponen diariamente de 150 kg de harina y 50 kg de crema, aunque por problemas de maquinaria no pueden preparar más de 125 pasteles de cada tipo. ¿Cuántos pasteles de cada tipo se deben vender al día para obtener el máximo de ganancia? a. Resuelve el problema anterior. Diseña para ello una estrategia y compárala con la de tus compañeros. b. Investiga en internet sobre “programación lineal”, y compara con tu estrategia de resolución. ¿Qué similitudes y qué diferencias observas?
Función inversa Profundizo Guía
Realiza las siguientes actividades. 1 Analiza los siguientes pares de funciones. f(x) = x + 3 f(x) = 5x
y y
g(x) = x – 3 g(x) = log5 x
¿Qué relación hay entre las funciones, en cada caso? Explica. 2 Grafica en un mismo sistema cartesiano las funciones anteriores. ¿Qué relación puedes observar entre cada par de gráficas? 3 Dos funciones son inversas si en una de ellas, al intercambiar x e y y despejar y, se obtiene la otra. a. Determina la función inversa de y = x . b. Conjetura respecto a la forma que tendrá la gráfica de la función obtenida en el punto anterior, su dominio, recorrido e intersecciones con los ejes. Verifica tus conjeturas construyendo la gráfica respectiva.
UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
253
Evalúo mis aprendizajes Evaluemos los contenidos vistos en la unidad, realizando las siguientes actividades
Fracciones algebraicas 1 ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalen1 ? te con la fracción algebraica 1− 1 1 − x x 2 − 3x + 1 a. x −1 2
B. x − 2x + 1 x −1
6 ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalen2 2 te con la fracción algebraica (a + b)(a − b ) ? a−b a. (a + b)²
D. (a + b)(a – b)
B. (a – b)²
e. a(a – b)
c. a + 2ab – b² x 7 ¿Qué expresión resulta al simplificar 4x:6
2 c. x + 3x + 1 x −1
a.
x
c.
B.
x3
D.
x6
e.
6
2
? x
x5
2
D. x + 2x + 1 x −1 e. Ninguna de las anteriores. 2 ¿Para qué valor de n se indetermina la
Evaluación
expresión 5n − 10 ? 3n − 3 a. 3
c. 1
B. 2
D. –1
e. –2
x+2 3 ¿Qué expresión se utilizó para amplificar 2 y 2 x + 1 2x + 4x obtener ? 2x 3 + 2x a. 2
c. x³
B. x²
D. 2x
e. 2x³
4 ¿Qué fracción resulta al multiplicar la expresión ax + by x por ? a+b b 2 a. ax + by a + b2
2 D. ax + by ab + b2
2 B. ax + bxy ab + b2
2 e. ax + bxy ab + b
2 c. ax + bxy ax + bx 2 5 ¿Qué expresión resulta al simplificar x + 29x + 18 ? x −9 x+6 a. –2 c. – x – 18 e. x−3 + x 6 B. x+18 D. x+3
5
x6
8 ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalen2 te con la fracción algebraica (a + b) (a − b) ? a+b a2 − b2 a. (a + b)
D. (a² – b²)²
B. (a – b)
e. (a + b)²(a – b)
c. (a + b)² 9 ¿Qué expresión dividida por 8 resulta n 2 a. 2 c. n e. 16 B.
2 n2
D. 162 n
10 El ancho de un rectángulo es
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
(2x − y) cm y el x−y
largo, (2x + y) cm. ¿Cuál es el área del rectángulo? x+y a.
4x 2 − 4y 2 2 cm x2 − y2
B.
4x 2 − y 2 2 cm x2 − y2
c.
x2 − y2 cm2 4x 2 − y 2
D.
x2 – y2 cm2 2 2 4x – 4y
e. Ninguna de las anteriores. 254
4 ? n 32 n2
1 11 Al lanzar un objeto se puede calcular aproximadamente el tiempo que tarda en caer al piso utiliv − v 2 + 2gh zando fórmula t = , donde g es la −g aceleración de gravedad que equivale a 9,8 m/s². ¿Cuánto tiempo tardaría en caer una piedra que es lanzada con una velocidad (v) de 1,2 m/s desde la azotea de un edificio de 29,4 m de altura (h)? a. 2 s
c. 20 s
B. 3 s
D. 22,8 s
3
4
15 ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor la función f(x) = 5 x + 10 ? a.
Y 50
0 –50
e. 2,33 s
12 Si 3 hombres hacen un trabajo en n días, ¿cuántos días demoran en realizar el mismo trabajo (3 + t)² hombres en las mismas condiciones? Esta pregunta se puede responder si se sabe que: (1) n = 2 (2) t = 3
2
B.
X
Y 0
a. (1) por sí sola.
0
0
X
50
–50
B. (2) por sí sola. c.
c. Juntas (1) y (2).
Y
D. Cada una por sí sola, (1) o (2).
0
e. Se requiere información adicional. 2ab + b ? Esta 3b − 2ab pregunta se puede responder si se sabe que:
0
X
Evaluación
–50
13 ¿Cuál es el valor de la expresión
(1) a = 3
(2) b = 5
–50
D.
a. (1) por sí sola.
Y 50
B. (2) por sí sola. c. Juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) o (2).
0
e. Se requiere información adicional.
Función exponencial, logarítmica y raíz 14 Una colonia de microorganismos presente en el ecosistema crece exponencialmente según t la fórmula: P(t) = 4 • 2² • 10³. Si t representa el tiempo en horas, ¿al cabo de cuántas horas habrá 64 000 microorganismos? a. 1
c. 2
B. 1,5
D. 4
e. 8
0
X
50
e.
Y 0 –50
0
X
–50
UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
255
Evalúo mis aprendizajes x
16 Con respecto a la función exponencial f(x) = a , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. f(1) = a + II. a ∈ – {1} III. f(x – y) = f(x) – f(y) e. I, II y III
Evaluación
I. La función f(x) = loga x es creciente si a < 0. II. Las gráficas de las funciones de la forma f(x) = loga x se intersecan con el eje X en el punto de coordenadas (1, 0). III. Las gráficas de las funciones de la forma x f(x) = a son siempre crecientes.
a. Solo I
c. Solo III
B. Solo II
D. I y II
A. Solo I
17 Si f es una función exponencial, ¿cuál(es) de las siguiente(s) afirmaciones es(son) verdadera(s)?
B. Solo II
I. Dom(f ) = II. f es siempre creciente + III. Rec(f ) = {0}
C. Solo III D. I y III E.
I, II y III
a. Solo I
c. I y II
B. Solo II
D. I y III
21 Se define la función f(x) = b • a ; con a, b, ∈ . ¿Cuál es el valor de f(5)? Se puede responder esta pregunta si se sabe que:
18 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
(1) El punto (1, 40) pertenece al gráfico de f(x). (2) log a = 2
x
e. I, II y III
I. La función f(x) = − x − 5 es decreciente en II. El dominio de h(x) = + {0}
x 2 es el conjunto
1 III. La gráfica de g(x) = x + 3 − se interseca 2 con el eje X en el punto de coordenadas 11 11 − 4 , g − 4 a. Solo I
c. I y II
B. II y III
D. I y III
I. f(x) = 2x + 5 − 10 II. g(x) = 7 – 2log x –x III. h(x) = 10 – 6 a. Solo I B. Solo II c. I y II D. I y III e. I, II y III
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
a. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. c. Juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) ó (2). e. Se requiere información adicional.
Sistema de ecuaciones lineales e. I, II y III
19 ¿A cuál(es) de las siguientes funciones pertenece el punto (10, –5)?
256
20 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas?
22 Las edades de Sebastián y su hermano menor Carlos son x e y respectivamente. Hace 5 años las edades estaban en la razón 2 : 3 y en 5 años más estarán en la razón 4 : 5. ¿Qué sistema de ecuaciones representa la situación descrita? a. 2x + 3y = 0 5x – 4y = 5
D. 2x – 3y = –5 4x – 5y = 5
B. 3x – 2y = 5 5x – 4y = 5
e. 3x – 2y = 5 5x – 4y = –5
c. 2x – 3y = –5 4x – 5y = –5
1 23 Rodrigo compra 6 cuadernos y 5 lápices en $2 270. Si Camila compra 5 cuadernos y 4 lápices a los mismos precios, en $1880, ¿cuál es el precio de un cuaderno? a. $70
c. $320
B. $100
D. $300
e. $370
24 El doble de la edad de Ángela sobrepasa en 14 años la edad de Juan. Si se sabe que un quinto de la edad de Juan es 13 años menos que la edad de Ángela, ¿cuáles son las edades? a. Ángela tiene 17 años y Juan, 20. B. Ángela tiene 22 años y Juan, 20. c. Juan tiene 20 años y Ángela, 18.
3
4
26 ¿Cuál(es) de los siguientes sistemas representa(n) gráficamente dos rectas secantes? I. 4x + y = 2 3 6 y 4x + = 6 2 II. 6x + 6y = 20 3x + 2y = 5 III. 200x + 101y = 20 4x − 3y = 3 a. Solo I
c. I y III
B. Solo III
D. II y III
e. I, II y III
27 Respecto del sistema de ecuaciones 4x − y = −3 , 8x − 2y = −6
D. Juan tiene 17 años y Ángela, 22. e. Juan tiene 22 años y Ángela, 17. 25 ¿Cuál(es) de los siguientes sistemas tiene(n) solución? I.
2
c. Una de las ecuaciones corresponde a una recta con pendiente positiva. D. Los puntos (0,3) y (–1,–1) del plano cartesiano son soluciones del sistema.
II. 6x + 6y = 20 2x + 2y = 5
Evaluación
4x y + =2 3 6 y 4x + = 6 2
¿cuál de las siguientes alternativas es FALSA? 3 a. y = 0; x = − es solución del sistema. 4 B. La solución corresponde a la intersección de dos rectas distintas.
e. El sistema tiene infinitas soluciones. 28 ¿Cuál es la solución del sistema − x − 2y = 2 ? 9 7 7x + 2y = −2
III. 200x + 101y = 20 4x − 3y = 3 a. Solo I
c. I y II
B. Solo III
D. I y III
e. I, II y III
31 27 ;y= − 4 14 31 27 B. x = − ; y = − 4 14 14 31 ;y= − c. x = 27 4 a. x =
27 31 ;y= 14 4 4 27 ;y= − e. x = 31 14 D. x =
Autoevaluació Autoevaluación Evalúa tu aprendizaje con el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las secciones correspondientes. Contenido
Mínimo sugerido
Puedes repasar en la…
Fracciones algebraicas.
11 respuestas correctas
Sección 1
Función exponencial, logarítmica y raíz.
6 respuestas correctas
Sección 2
Sistemas de ecuaciones lineales.
5 respuestas correctas
Sección 3
UNIDAD 3 • ÁLGEBRA
257
unidad Ideas previas
Datos y Azar
Johann Gregor Mendel (1822-1884) es considerado el padre de la genética gracias a los estudios que realizó en el monasterio agustino de Königskloster. Doctorado en matemáticas y ciencias, Mendel se dedicó a observar las características de las arvejas, la probabilidad de que estas se mantengan de una generación a otra y la independencia en la forma en que se combinan estas características. • ¿Qué te sugiere la palabra “herencia”? Da algunos ejemplos. • Las personas de una región o de un país, ¿tienen características comunes? ¿Cuáles?
Palabras clave Ü Dispersión
Ü Aleatorio
Ü Representatividad
Ü Probabilidad
Ü Población y muestra
258
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1
2
3
4
UNIDAD 4 • DATOS Y AZAR
259
Sección 1
Dispersión y comparación de datos ¿Qué aprenderás?
¿Dónde?
Es importante porque te permitirá…
A determinar indicadores de dispersión de un conjunto de datos.
Lección 38
analizar conjuntos de datos de manera más objetiva.
A comparar dos o más conjuntos de datos utilizando distintos indicadores.
Lección 39
comparar conjuntos de datos y obtener conclusiones.
Explorando tus ideas previas
Actividad
§ ¿Qué te sugieren los siguientes términos? Ü
Disperso
Ü
Homogéneo
Ü
Heterogéneo
Ü
Representativo
§ Dos estudiantes rinden dos pruebas. Uno obtiene un 3,5 y un 6,5; mientras el otro obtiene un 4,9 y un 5,1. ¿Podrías decir que a uno le fue mejor que al otro? Justifica.
De esto se trata… Se llama ingreso per cápita de un grupo de personas al promedio de sus ingresos. De acuerdo con el ingreso per cápita de un país se establecen categorías tales como “en vías de desarrollo”, "desarrollado", etc. El ingreso per cápita de Chile estimado para 2012 por www.bancomundial.org fue de $18 000 dólares, lo que equivale aproximadamente a $8 500 000 anuales. La asignación de becas y créditos para estudios superiores se asignan de acuerdo con el quintil de ingreso de las personas. Para determinarlo se ordena la población del país según a su ingreso Quintiles de ingreso mensual (de menor a mayor), Quintil Pertenece a él si su ingreso mensual es: y se divide en 5 partes iguales correspondientes cada una a I menor a $70 543 un 20% de la población, como II entre $70 544 y $118 145 se muestra en la tabla (corresIII entre $118 146 y $181 703 pondiente a 2012).
IV V
entre $181 704 y $331 917 mayor a $331 918 Fuente: www.becasycreditos.cl
Actividad grupal considerando la información de la tabla, respondan las siguientes preguntas.
➊
Según el ingreso per cápita de Chile, ¿cuál es el ingreso per cápita mensual? ¿A qué quintil pertenece una persona cuyo ingreso es igual a dicho valor?
➋
De acuerdo con la tabla, el tercer quintil corresponde a $ 118 146 – $ 181 703. ¿Qué porcentaje de la población chilena tiene un ingreso per cápita mensual menor a este valor?
Propósito: que aprendas a analizar datos no solo a partir del promedio de ellos, sino también de indicadores que nos permitirán determinar qué tan dispersos son y así juzgar si el promedio es representativo o no.
260
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1
2
3
4
¿Qué debes saber? Realiza las siguientes actividades. Calcular y determinar medidas de tendencia central
1 Calcula el promedio, la mediana y la moda de los siguientes conjuntos de datos.
Calcular y determinar medidas de posición
Considera el siguiente conjunto de datos. 2
11
8
15
7
a. 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7
12
7
13
6
1
b. 7; 12; 15, 15; 21; 24; 28
13
14
12
7
0
5
8
11
0
7
4
7
4
7
8
c. 17; 14; 14; 4; 6; 12; 6; 16; 4; 2 d. 8; 18; 8; 16; 3; 0; 8; 5; 9; 20 2 Se ha tabulado la masa corporal de 40 estudiantes de un primero medio, obteniéndose los siguientes resultados. Masa corporal estudiantes de primero medio
Cantidad de estudiantes 6 13 9 8 4
Calcula las medidas de tendencia central para los datos de la tabla. 3 Resuelve los siguientes problemas a. Determina 2 conjuntos distintos de 5 números cuyo promedio sea 4,2. b. Jorge tuvo 5 notas en matemática, de las cuales 4 fueron iguales. Si su promedio fue 5,7, no tuvo notas bajo 4 y entre sus notas hay un 6,1, ¿cuáles fueron sus notas? c. El promedio de estatura de 7 jugadores de un equipo de básquetbol es de 1,7 m. Al ordenarlos del más alto al más bajo, cada uno mide 2 cm menos que el anterior. ¿Cuánto mide el más bajo?
a. El primer cuartil. b. El segundo cuartil. c. El tercer cuartil. 5 Resuelve los siguientes problemas. a. Se añadieron 5 valores al conjunto anterior, de manera que su percentil 75 ahora es igual a 12. ¿Qué valores se agregaron? b. Se quitaron 10 valores del conjunto anterior, manteniendo su segundo cuartil. ¿Qué valores se quitaron?
Actividad
Masa corporal (kg) [50, 55[ [55, 60[ [60, 65[ [65, 70[ [70, 75[
4 Calcula:
c. Construye un conjunto de 20 números enteros, de modo que su segundo y tercer cuartil coincidan, el mayor valor sea 15 y el menor, –4. d. Q1, Q2 y Q3 son, respectivamente, los cuartiles 1, 2 y 3 de un conjunto de datos. Calcula los valores correspondientes si: • A cada valor del conjunto se le suma 5. • Cada valor del conjunto se multiplica por 3.
Autoevaluació Autoevaluación En la tabla que te entregará tu profesor(a), evalúa el nivel de dominio alcanzado. Luego, repasa en los sitios web que se indican si fuera necesario.
Repasa en los siguientes sitios web…. http://goo.gl/aTC1F
Medidas de tendencia central.
http://goo.gl/YGvF62
Medidas de posición.
UNIDAD 4 • DATOS Y AZAR
261
Lección
38
Propósito: determinar indicadores de dispersión de un conjunto de datos.
Debes saber…
Medidas de dispersión de datos
§ El promedio o media
aritmética de un conjunto de datos {x1, x2, x3,…, xn} corresponde a x +x +x +...+ xn x= 1 2 3 n § Puede expresarse
Marcela observa sus notas semestrales en algunas asignaturas, y el promedio entre ellas, para hacer una evaluación respecto a su rendimiento en el semestre. Lo primero que le interesa saber es qué tan parecidas son sus notas entre sí. Para ello: Paso 1
también en notación de sumatoria:
Ciencias sociales: 6,2 Inglés: 4,5
n
∑ xi x=
i=1
Paso 2
n
Identifica la mayor y la menor de sus notas.
Ayuda
Resta estos valores:
Matemá tica: 5,2 Lenguaje : 5,7 Ciencias sociales: 6,2 Ciencias naturale s: 5,4 Inglés: 4,5 Promed io: 5,4
R = Xmáx – Xmín = 6,2 – 4,5 = 1,7
Podemos llamar X = {x1, x2,…,xn} al conjunto de notas de Marcela. Con ello, su mejor nota se simboliza como Xmáx, y la peor, Xmín.
Ya que la escala de notas es de 1 a 7, 7 – 1 = 6 es la mayor diferencia que podría haber en un conjunto de notas, se puede concluir que esta diferencia no es tan grande, es decir, que las notas de Marcela son relativamente parecidas entre sí. En general, a la diferencia entre el mayor valor de una muestra y el menor se le llama rango. Ahora Marcela quiere averiguar si su rendimiento semestral es cercano al promedio. Para ello compara cada una de sus notas con el promedio obtenido. Calcula el promedio de la diferencia entre las notas y el promedio.
(5,2 – 5, 4) + (5,7 – 5, 4) + (6,2 – 5, 4) + (5, 4 – 5, 4) + ( 4,5 – 5, 4) 5 –0,2 + 0,3 + 0,8 + 0 + – 0,9 = 5 0 = =0 5
Observa que… Para datos agrupados, N
∑ (x Dm =
mci
– x) • fi
i=1
n
(x mci es la marca • de clase del
intervalo i. − x)es• la media aritmética de la variable. • fi es la frecuencia absoluta del intervalo i. n es el número total de datos. N es la cantidad de intervalos.
262
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
Se puede demostrar que cualquiera sea la cantidad de datos y el promedio este resultado será cero, por lo que es preciso tomar otras medidas. Una opción es la desviación media (Dm), que toma los valores absolutos de estas diferencias: 5,2 – 5, 4 + 5,7 – 5, 4 + 6,2 – 5, 4 + 5, 4 – 5, 4 + 4,5 – 5, 4 5 0,2 + 0,3 + 0,8 + 0 + 0,9 = 5 2,2 = = 0, 44 5
Dm =
En general la desviación media, Dm =
x1 – x + x 2 – x + … + x n – x n
n
∑ (x – x) i
Dx =
i=1
n
1 Marcela calcula ahora la desviación estándar que mide cuánto se separan los datos. Para esto debe calcular la raíz cuadrada de la varianza, que es la media de las diferencias con la media elevadas al cuadrado. Paso 1
2
s =
Calcula el promedio de los cuadrados de las diferencias entre cada nota y el promedio, obteniendo así la varianza (σ²) que es el cuadrado de la desviación estándar. 2 (5,2 – 5, 4) + (5,7 – 5, 4)2 + (6,2 – 5, 4)2 + (5, 4 – 5, 4)2 + (4,5 – 4,5)2
5
s2 =
(–0,2)2 + 0,32 + 0,82 + 02 + (–0,9)2 5
σ2 =
0,04 + 0,09 + 0, 64 + 0 + 0,81 = 0,316 5
3
4
Observa que… La varianza se encuentra en unidades “al cuadrado”, mientras que la desviación estándar está en la misma unidad que los datos (notas), por lo que esta última nos puede dar una idea más cercana de lo disperso que es el conjunto.
Observa que…
Así la varianza es 0,316. Paso 2
2
Para datos agrupados, N
Calcula la raíz cuadrada del valor anterior, y obtiene la desviación estandar (σ).
∑ (x σ2 =
σ = 0,316 ≈ 0,562
mci
− x)2 • fi
i=1
n
Mientras más parecidas sean las notas al promedio, menores serán sus diferencias con este, haciendo que la varianza y la desviación estándar sean menores. En general la varianza, n
σ2 =
2
2
2
(x1 – x) + (x 2 – x) + … (xn – x) n
2
∑ (x – x) i
σ2 =
i=1
n
En general la desviación estándar, n
(x1 – x) + (x 2 – x) + … (xn – x) σ= n
2
∑ (x – x) i
σ=
i=1
n
El porqué usar la desviación estándar se debe a otras consideraciones que verás en cursos posteriores, pero en la lección siguiente podrás apreciar su uso para comparar conjuntos de datos y analizar en cuál los datos son más parecidos entre sí (es decir, el conjunto es más homogéneo) o si se diferencian más (conjunto heterogéneo).
Se llama dispersión de un conjunto X = {x1, x2, x3,… xn} a la variabilidad que existe entre los datos y las medidas de tendencia central. Generalmente estas medidas tienen que ver con el grado de dispersión que tiene el conjunto de datos con respecto a su media. Mientras más dispersos sean, más heterogéneo es el conjunto, y si es menos disperso es más homogéneo. La dispersión se puede cuantificar utilizando el rango (R), la desviación media (Dm), la desviación estándar (σ(x)) y la varianza (var(x) o σ2(x)).
y comenta
§ Si las notas de Marcela hubieran sido 2; 2; 4; 6; 6, ¿cuál habría sido el rango de sus notas? ¿Y su varianza y desviación estándar? Estos valores, ¿habrían sido mayores o menores que los anteriormente obtenidos?
§ En el caso anterior, las notas de Marcela, ¿son más o menos dispersas? El promedio que obtuvo, ¿es más o menos parecido a sus notas que en el ejemplo anterior?
UNIDAD 4 • DATOS Y AZAR
Practiquemos lo aprendido
En resumen
Razona
263
Practiquemos lo aprendido
Repaso
b) 6; 2; 13; 1; 12
1. El siguiente conjunto de datos refleja el número de páginas de los 24 libros que integran una colección. Haz una tabla de frecuencia absoluta y calcula el promedio de páginas. 90 99 94
96 98 98
97 91 94
96 96 96
97 99 97
91 98 95
96 92 97
98 96 95
2. El siguiente gráfico de barras expresa las puntuaciones obtenidas al lanzar 68 veces un dado:
Número de veces
Lanzamientos de un dado 15
d) 5; 14; 18; 19; 14; 19; 13; 5; 20; 12
4. Analiza la siguiente situación. Luego resuelve. El largo en pulgadas de 10 clavos de una bolsa es el siguiente: 3,2 - 3 - 3,5 - 3,5 - 3,5 - x - 3,2 - 3,1 - 3,2 - 3 Si se sabe que el rango de las medidas es 0,6; ¿qué valores puede tomar x? Para determinarlo: • Identificamos los valores mínimo y máximo, y calculamos el rango, sin considerar X. Mín = 3 Máx = 3,5 Máx – Mín = 0,5
10 5 0
1
2
4 5 3 Números del dado
6
Calcula el promedio obtenido.
3. Calcula el rango, la varianza y la desviación estándar de los siguientes conjuntos de datos, siguiendo los pasos utilizados en la página anterior. Ejemplo: 20; 20; 5; 8; 11 Rango = 20 – 5 = 15 Varianza 20 + 20 + 5 + 8 + 11 64 = = 12, 8 x= 5 5 (20 – 12,8)2 = 7,22 = 51,84 (20 – 12,8) = 7,2 = 51,84 2
2
(5 – 12,8)2 = (–7,8)2 = 60,84 (8 – 12,8)2 = (4,8)2 = 23,04 (11– 12,8)2 = (–1,8)2 = 8,64 51, 84 + 51, 84 + 60, 84 + 23, 04 + 8, 64 5 = 39,24
σ2 =
Desviación estándar σ = 39,24 ≈ 6,26 a) 5; 14; 15; 13; 1
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
• Para que el rango sea 0,6, necesitamos aumentar el valor máximo en 0,1, o disminuir el mínimo de igual manera. Por lo tanto, los posibles valores de X son: x = 2,9
Práctica guiada
264
c) 11; 6; 14; 2; 7; 11; 18; 19; 17; 6
x = 3,6
Determina valores posibles de x para que se cumpla la condición dada. a) 19,4; 15,5; x; 2,7; 8,7, si el rango es 17,6. b) 10,6; 6,8; 13,4; 4,2; x; 6,3, si el rango es 9,3. c) 18,9; x; 0,9; 5,7; 5,1; 5,8, si el rango es 19.
Aplica Resuelve los siguientes problemas.
5. Manuel ha sacado la misma nota en todas las pruebas de Lenguaje del semestre. ¿Cuál es la desviación estándar de sus notas?
6. Sara se propuso mejorar sus notas durante el segundo semestre, y logró subir un punto todas ellas. ¿Qué ocurrió con la dispersión de sus notas? Justifica y pon un ejemplo.
7. Una central telefónica registra las siguientes cantidades de llamadas, de lunes a viernes: Día
Llamadas
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes
4 9 7 12 8
1
b) Debido a una promoción, el número de llamadas a la central se quintuplicó cada día. ¿Qué sucede con el rango? ¿y con la varianza? c) Considera tus respuestas anteriores para responder: ¿qué sucede con el rango y la varianza si todos los valores se multiplican por un número dado x?
8. En un análisis de la sangre de unos pacientes se obtuvieron, en miles por centímetro cúbico, las siguientes cantidades de leucocitos: 9,5 12
11,8
14,5
10
17,5
13,5
Halla el rango, la varianza y la desviación media.
9. Se midió la tensión arterial máxima (presión que ejerce la sangre sobre la pared de los vasos sanguíneos) de 50 personas. El resultado viene reflejado por el siguiente gráfico de barras:
3
4
Luego, escribe lo siguiente: σ2 =
22 + 32 + 52 + 82 2 • 4,5(2 + 3 + 5 + 8) 4 • 4,52 – + 4 4 4
a) Desarrolla los términos de la expresión anotada por Camilo. ¿Qué obtienes en cada caso? b) Explica algebraicamente cómo se calcula cada uno de los términos. c) Utiliza la expresión obtenida por Camilo y tus resultados de las preguntas a) y b) para demostrar que, si x 2 corresponde al promedio de los cuadrados de los valores y x es el promedio de 2 ellos, entonces σ2 ( x) = x 2 – ( x) .
Practiquemos lo aprendido
a) Durante la última semana del mes, el número de llamadas se duplicó cada día. ¿Qué sucede con el rango? ¿y con la varianza?
2
11. Desafío: dado un conjunto x = {x1, x2, …, xn}, cuyo promedio es x , demuestra las relaciones: a) Si x + a = {x1 + a, x2 + a, …, xn + a}, entonces σ2(x + a) = σ2(x). b) Si ax = {ax1, ax2,…, axn},
Número de personas
Tensión arterial máxima
entonces σ2(ax) = a2σ2(x).
20
8
10 5 0
c) Si ax = {ax1, ax2,…, axn},
15
15
10
5
4 120
entonces R(ax) = a • R(x).
8
125
130 135 140 Tensión arterial
145
Calcula el promedio y la desviación estándar de la tensión arterial de las 50 personas.
10. Analiza la siguiente situación. Camilo está analizando nuevas formas de calcular la varianza de un conjunto. Para ello calcula la varianza de x = {2, 3, 5, 8} utilizando la siguiente tabla, sabiendo que el promedio es 4,5. 2 (xi – x ) =
x 2i –2x i x + x 2
(2 – 4,5)2 = (3 – 4,5)2 = (5 – 4,5)2 = (8 – 4,5)2 =
22 – 2(2 • 4,5) + 4,52 32 – 2(3 • 4,5) + 4,52 52 – 2(5 • 4,5) + 4,52 82 – 2(8 • 4,5) + 4,52
2 2 2 d) σ2 (x) = x1 + x 2 + … + xn – x 2 n
12. Desafío: David tiene la siguiente información respecto de las notas de su curso en una prueba. Nota
Cantidad de alumnos
Entre 1 y 1,9 Entre 2 y 2,9 Entre 3 y 3,9 Entre 4 y 4,9 Entre 5 y 5,9 Entre 6 y 7
4 8 9 11 7 6
Calcula la varianza de los datos.
13. Conexiones: averigua de qué manera se calcula el puntaje de la PSU. ¿Cuál es la importancia de la desviación estándar?
Reflexiona § ¿Por qué es importante determinar la dispersión de un conjunto de datos? § Si tus notas tienen una dispersión muy alta, ¿qué significa eso respecto a tu rendimiento académico? Explica.
UNIDAD 4 • DATOS Y AZAR
265
Lección
39
Propósito: comparar dos o más conjuntos de datos utilizando distintos indicadores.
Comparación de conjuntos de datos
Debes saber… § La mediana (Me) de un
conjunto de n datos X = {x1, x2,…, xn} se puede calcular de dos formas, dependiendo de n. En ambos casos, los datos se ordenan de menor a mayor. Si n es par, corresponde al promedio de los valores centrales. xn + xn Me =
2
2
+1
Un equipo de fútbol femenino necesita contratar a una delantera, para lo cual está observando a dos candidatas. En los últimos 10 partidos del campeonato, registraron las siguientes cantidades de goles: Canales:
1
0 3 0 4 1 0 0 0
3
Carvajal:
1
1 2 0 1 1 2 1 1
2
La DT del equipo observa que ambas marcaron 12 goles en 10 partidos, con un promedio de 1,2 goles por partido. Para comparar mejor el rendimiento de ellas utiliza otros indicadores, como se muestra:
El fútbol femenino ha tenido un gran impulso en nuestro país, a partir de la realización del mundial femenino sub-20 2008. Esto ha llevado un mayor progreso que se ha reflejado, entre otros, por la Copa Libertadores Femenina, ganada por Colo Colo en 2012.
2
Si n es impar, corresponde al dato central.
Paso 1
Me = x n + 1
RCanales = 4 – 0 = 4
2
Paso 2
Ayuda Para utilizar estos indicadores en la comparación de conjuntos de datos, es importante que estos sean del mismo tipo, se encuentren en las mismas unidades, y sus promedios sean iguales o similares.
RCarvajal = 2 – 0 = 2
El mayor rango que presenta Canales puede indicar que en algunos partidos anota muchos goles, pero en otros no anota, mientras que los de Carvajal están más repartidos.
§ Los cuartiles Q1 y Q3 se
pueden calcular como la mediana de la mitad inferior y de la mitad superior de los datos, respectivamente.
Calcula el rango de goles marcados por ambas jugadoras.
Calcula la varianza y la desviación estándar. Varianza
σ2Canales = 2,16
σ2Carvajal = 0,36
Desviación estándar
σ Canales ≈ 1,47
σ Carvajal = 0,6
Estos indicadores confirman que los goles de Carvajal presentan menor dispersión, lo que se refleja en que cada partido hace una cantidad de goles más similar entre ellos que los de Canales. Paso 3
Calcula los indicadores de posición: mediana y cuartiles. Q1 = 0
Me = 0,5
Q3 = 3
Canales: 0 0 0 0 0 1 1 3 3 4 Carvajal: 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 Q1 = 1
Me = 1
Q3 = 2
Se puede confirmar que la dispersión es menor en el caso de Carvajal, observando que las diferencias entre la mediana y los cuartiles Q1 y Q3 es menor que en el caso de Canales.
¿A cuál de las jugadoras escogerá la DT? Discutan en grupos y fundamenten su opinión.
266
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1
2
La jugadora escogida por la DT dependerá de lo que busque. Si consideramos los promedios de goles por partido ambos son iguales, pero el promedio de Carvajal resulta mucho más representativo, ya que presenta una cantidad de goles por partido más homogénea.
Razona
A la DT del equipo puede parecerle más confiable en este sentido, ya que quizás no marcará tantos goles en cada partido, pero sí es muy probable que cada partido marque al menos un gol. Si va a jugar pocos partidos en los que debe asegurar anotar una gran cantidad de goles puede ser conveniente que se escoja a Canales, que si bien no convierte en todos los partidos cuando lo hace convierte más de uno, en general. En resumen Podemos comparar dos o más conjuntos de datos de acuerdo a sus medidas de tendencia central —como el promedio y la mediana— y de la dispersión que muestran. Así, podemos juzgar cuál de ellos posee un promedio más representativo, es decir, aquél conjunto cuyos valores son más cercanos al promedio.
4
y comenta
§ ¿A qué jugadora
§
habrías escogido tú? Fundamenta y discute con tus compañeros. Si en los dos semestres del año tuviste el mismo promedio pero distinta dispersión, ¿en cuál de ellos podría decirse que te fue mejor?
Conjunto X: x = 12
1. Determina la mediana y los cuartiles Q1 y Q3 de los siguientes conjuntos de datos.
σ = 45, 4 σ ≈ 6,74 Q1 = 7 Q2 = 12 Q3 = 17
a) 4; 3; 5; 3; 5; 4; 4; 1 b) 6; 2; 12; 11; 5; 14; 13; 14; 14; 2 c) 0; 1; –8; 2; 6; –4; 7; 3; 10; –2 d) 7; –6; –1; –3; 3; 5; –6; 2; 7; 6; –5; –2; –9
2. Construye en cada caso un conjunto de n números con las condiciones dadas. a) n = 7, Med = 6 b) n = 12, Med = 15 c) n = 30, Q1 = 2; Q3 = 3 d) n = 29, Med = 0, Q1 = –5; Q3 = 1 e) n = 31, Med = 0, Q1 = 0; Q3 = 1
Práctica guiada 3. Determina en cada caso qué conjunto tiene un promedio más representativo. Para ello utiliza los distintos indicadores como se muestra en la página anterior. Ejemplo:
R = 20
2
Conjunto Y: y = 12
R = 10
Practiquemos lo aprendido
Repaso
3
σ2 = 14,2 σ ≈ 3,77 Q1 = 8 Q2 = 12 Q3 = 16 El promedio es más representativo para el conjunto Y. a) X = {12; 2; 5; 7; 6; 10; 6; 10; 0; 2} Y = {10; 0; 5; 7; 9; 12; 3; 9; 2; 3} b) X = {17; 3; 5; 13; 17; 15; 1; 10; 1; 8} Y = {13; 6; 8; 10; 14; 12; 4; 13; 5; 5}
4. Analiza la siguiente situación. Paulina trabaja en una ferretería, y ha recibido una muestra de diez clavos (medidos en pulgadas) y una de diez varas de madera, medidas en metros.
X = {17; 11; 11; 13; 22; 13; 2; 22; 7; 2}
Clavos: 2; 2,5; 3,4; 2,6; 3,3; 3,5; 2,1; 2,3; 2,1
Y = {17; 10; 8; 16; 17; 14; 7; 13; 7; 11}
Varas: 3,3; 3; 3,5; 3,2; 3,5; 3,6; 2,7; 3,5; 3,5
UNIDAD 4 • DATOS Y AZAR
267
Practiquemos lo aprendido
Ya que las medidas son muy distintas entre sí, va a comparar la dispersión de ambas muestras mediante el coeficiente de variación que se define como: σ CV = x
En general, este valor se se expresa en porcentaje. Así, obtiene que: Clavos Varas x = 2,56
x = 3,28
σ ≈ 0,59 0,59 CV ≈ ≈ 0,23 = 23% 2,56
σ ≈ 0,28 0,28 CV ≈ ≈ 0,09 = 9% 3,28
Lo anterior permite concluir que la muestra de clavos es más heterogénea que la de varas. Por lo tanto, la distribuidora que le envió los clavos parece ser más cuidadosa en las medidas de sus productos. Juzga qué conjunto es más homogéneo, utilizando su coeficiente de variación.
a) El fertilizante, ¿hace crecer más las plantas? Justifica tu respuesta. b) Si el fertilizante aumenta el promedio de los tamaños pero aumenta la dispersión, ¿podría decirse que es efectivo? Justifica tu respuesta y discute con tus compañeros. c) Si el fertilizante mantiene el promedio de los tamaños pero disminuye la dispersión, ¿podría decirse que es efectivo? Justifica tu respuesta y discute con tus compañeros.
6. Sergio es contador, y está analizando los sueldos de los trabajadores de una empresa, que son los siguientes: Empresa A:
Y = {3; 0; 1; 5; 5; 6; 1; 4; 3; 2}
Aplica
5. Bárbara desea comprobar la efectividad de un fertilizante para plantas. Para ello, cultivó dos maceteros con 20 plantas cada uno; la única diferencia entre ellos fue que a uno le agregó fertilizante. Luego de dos semanas, los tamaños en cm de las plantas eran los siguientes. Sin fertilizante
15 13 13 11
12 14 12 13
15 10 14 14
12 11 12 13
13 14 15 12
14 11 13 14
14 15 15 12
Con fertilizante
268
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
15 11 13 16
$180 000 $500 000
b) ¿Qué indicador(es) serían más útiles para analizar la dispersión? Justifica.
Resuelve los siguientes problemas.
10 13 11 12
$100 000 $700 000 $200 000
a) ¿Cuál de las empresas presenta una mayor dispersión en sus sueldos?
Y = {47; 16; 2; 46; 44; 32; 4; 36; 1; 12}
11 12 13 10
$300 000 $300 000
Empresa B:
a) X = {203; 75; 5; 235; 193; 165; 47; 240; 37;0}
b) X = {2; 0; 0; 2; 2; 2; 0; 2; 0; 0}
$300 000 $300 000 $6 000 000
c) En general, ¿hay ocasiones en que los indicadores de dispersión pueden distorsionarse? Da ejemplos y explica qué harías tú en esos casos para solucionarlos.
7. En algunos países de Latinoamérica, las notas van de 1 a 10. Jorge tiene un amigo ecuatoriano, Eusebio, con el que compara sus notas: Jorge:
4,5
Eusebio: 6,2
5
5,2
6,7
6,1
5,8
7,8
3,1
9,6
5,4
7,7
a) ¿Es útil utilizar el rango para comparar las dispersiones de sus notas? Justifica. b) ¿Qué indicador(es) puede(n) resultar más convenientes en este caso? Justifica.
1
temperaturas máximas alcanzadas en las dos quincenas de noviembre en Puerto Montt. Primera quincena Número de días
4 3 2 1 0
19
20 21 22 23 24 Temperaturas máximas (ºC)
Curso B Notas Frecuencia
6,0 5,5 5,3 5,2 5,1 5,0 Total
2 5 9 5 3 10 34
a) ¿Cuál es la desviación estándar de los cursos? b) ¿Qué curso tiene mejor rendimiento? Fundamenta tu respuesta.
5 Número de días
4
25
Segunda quincena
10. Conexiones: David obtuvo 630 puntos en la
4
PSU de matemáticas, y su hermano Andrés obtuvo 615 cuatro años después. ¿Es cierto que, necesariamente, a David le fue mejor que a Andrés? Investiga y justifica tu respuesta.
3 2 1 0
3
Practiquemos lo aprendido
8. Los siguientes gráficos de barra muestran las
2
18
19
20 21 22 23 24 25 Temperaturas máximas (ºC)
26
27
a) Calcula los rangos de las dos variables estadísticas. b) Calcula las desviaciones medias de las dos variables estadísticas. ¿Cuál de las dos variables tiene mayor dispersión?
9. Analiza la información de las tablas y luego responde. Las tablas muestran las notas de dos cursos diferentes obtenidas en una misma prueba de matemática. Curso A Notas Frecuencia
7,0 6,7 6,3 6,0 4,0 3,4 3,0 Total
3 5 4 8 8 2 4
11. Conexiones: investiga respecto a los valores del coeficiente de variación, para los cuales se considera que un conjunto de datos es muy homogéneo, homogéneo, heterogéneo o muy heterogéneo.
12. Desafío: Mariela observa un conjunto X de datos, cuyo coeficiente de variación es, aproximadamente, 27,4%. 5; 4; 4; 3; 3; 2; 2; 3; 3; 4; 4; 5 a) Si Mariela decide restar 1 a cada valor, ¿cuál es el valor del coeficiente de variación ahora? b) Al restar 1 a cada valor, ¿cambia la dispersión de los datos? Utiliza resultados anteriores para justificar tu respuesta. c) En general, ¿se podrá utilizar siempre el coeficiente de variación para comparar dos conjuntos de datos? ¿Qué alternativas crees que podrían utilizarse en los casos en que no? Discute con tus compañeros.
34
Reflexiona § ¿Por qué es importante no utilizar solo el promedio al comparar conjuntos de datos? § ¿Has visto en los medios de comunicación un mal uso de un promedio? ¿Crees que pueden ser engañosos?
UNIDAD 4 • DATOS Y AZAR
269
Resolución de problemas Analiza la resolución del siguiente problema. Se registran los tiempos, en minutos, que demoran dos grupos de estudiantes en completar una competencia deportiva. Grupo 1: 2,35; 3,9; 4; 2,5; 3; 4,1; 5; 1,9; 2,7; 4,05; 4; 5; 3,3; 3,75; 2 Grupo 2: 3; 1,75; 3,2; 4; 2,98; 3,4; 5; 1,12; 2,5; 3; 7; 1,84; 2,76; 3; 1,5 Se afirma que los datos que representan los tiempos que demoran los estudiantes del grupo 1 son más homogéneos que los datos del grupo 2. ¿Es válida esta afirmación? Debes evaluar la afirmación, es decir, definir y aplicar criterios que Paso 1 Comprende el enunciado permiten decidir si la afirmación es válida o no. a. ¿Qué se quiere saber una vez resuelto el problema? Si la afirmación presentada es válida. b. ¿Qué información entrega el enunciado? Se muestran los tiempos, en minutos, que demoran en la competencia los dos grupos de estudiantes. Paso 2 Planifica lo que vas a realizar A partir de la información entregada sobre los tiempos que demora cada grupo de estudiantes, puedes calcular las medidas de tendencia central, de dispersión o de posición, y luego comprobar si con esta información puedes verificar la afirmación. Define el o los criterios de evaluación. Para evaluar la afirmación se puede calcular el rango y la desviación estándar, ya que son los valores que efectivamente nos brindan información respecto a la dispersión de los datos. Paso 3 Resuelve el problema Calcula los indicadores definidos en los criterios anteriores. • Grupo 1: R = 3,1
σ ≈ 0,996
• Grupo 2: R = 5,88
σ ≈ 1,467
La afirmación es válida, pues efectivamente los datos del grupo 1 son más homogéneos. Paso 4 Revisa la solución Es posible verificar esta solución calculando la desviación estándar y los valores máximos y mínimos en una planilla de cálculo (en general no calculan rango directamente).
Podrás aplicar lo aprendido aquí en los problemas que se presentan en la página 272. 270
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
Para no cometer errores
1
Analiza la situación Jorge calcula la varianza del siguiente conjunto de datos: X = {5, 7, 7, 8, 10, 10, 10, 12, 15, 16} Primero determina el promedio, x = 10. Luego calcula los cuadrados de las diferencias entre los datos y el promedio: (5 – 10)2 = (–5)2 = 25
(10 – 10)2 = 02 = 0
(7 – 10)2 = (–3)2 = 9
(10 – 10)2 = 02 = 0
(7 – 10)2 = (–3)2 = 9
(12 – 10)2 = 22 = 4
(8 – 10)2 = (–2)2 = 4
(15 – 10)2 = 52 = 25
(10 – 10)2 = 02 = 0
(16 – 10)2 = 62 = 36
2
3
4
Aprende la forma correcta El error cometido por Jorge es no haber dividido por 10 el valor obtenido, ya que la varianza no es la suma de los cuadrados de las diferencias de los datos con el promedio, sino el promedio de ellas. Luego: σ2 =
112 =11,2 10
Finalmente suma estos valores y obtiene la varianza: σ2 = 25 + 9 + 9 + 4 + 0 + 0 + 0 + 4 + 25 + 36 = 112
Razona
y comenta
§ ¿Cuál es el error cometido por Jorge? § ¿Qué otros errores pueden cometerse en el cálculo de la varianza?
Analiza la situación Mariela quiere determinar cuál de los siguientes conjuntos es más heterogéneo. X = {6, 7, 5, 7, 8, 6, 6, 6, 7, 2}
Y = {8, 4, 7, 7, 6, 6, 8, 7, 3, 3}
Para hacerlo calcula el rango de cada uno, y obtiene los siguientes valores: Xmáx – Xmín = 8 – 2 = 6 Ymáx – Ymín = 8 – 3 = 5 Ya que el rango de los datos del conjunto X es mayor, Mariela concluye que el conjunto X es más heterogéneo que Y.
Razona
y comenta
§ ¿Cuál es el error cometido por Mariela? § ¿Qué se necesita para determinar el conjunto más heterogéneo?
Aprende la forma correcta El error cometido por Mariela es calcular solo el rango, que es un valor que solo considera dos datos del conjunto. Para determinar el conjunto más heterogéneo es conveniente calcular también la desviación estándar. Así: Luego:
σ x ≈1,64 σ y ≈1,81 Luego, el conjunto Y es más heterogéneo. El conjunto X tiene mayor rango solo porque un valor (2) es mucho menor que los demás.
Reflexiona § ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores? ¿Cuáles? § Respecto de los que no, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos? § Revisa los ejercicios que hayas realizado en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes tomar para no volver a cometerlos?
UNIDAD 4 • DATOS Y AZAR
271
Integrando lo aprendido Lección 38: Medidas de dispersión de datos 1 Los precios sin redondear, de las bencinas en una semana se registran en la siguiente tabla. Precio de la bencina Día Precio ($)
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo
656,8 645,6 633,9 655,1 624,4 644,5 652,4
8 La media de 8 datos es 5, su mínimo es b, su máximo es a y su varianza es n. Se agregan dos datos, p y q, de modo que p = a y q = b. Para este nuevo conjunto, calcula: a. rango.
Evaluación
2 En un test de selección se obtuvieron los siguientes resultados: Cantidad de respuestas correctas
5 3
6 6
7 2
6 Calcula la varianza de un conjunto de 3 números naturales consecutivos. 7 La media de 10 datos es 5, y la varianza es 8. Si se agregan dos datos más, x e y, la media y la varianza se mantienen. ¿Cuáles son los valores de x e y?
Calcula la media y la desviación estándar. ¿Qué puedes concluir?
Respuestas correctas Postulantes
5 La media aritmética de dos datos es 2, y su desviación estándar es 2 . ¿Cuál es el producto de los datos?
8 5
12 2
Calcula el rango, el promedio y la desviación estándar de los resultados. ¿Con los resultados obtenidos se puede concluir acerca del rendimiento de los postulantes? 3 En una empresa, a todos los trabajadores se les aumenta el sueldo en $30.000. Juzga si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Justifica las falsas. a. La varianza de los sueldos se mantiene.
b. media. c. varianza. ¿Qué ocurre en general, si a un conjunto se agregan dos datos iguales al máximo y el mínimo? 9 En una muestra de 300 personas, la media de sus estaturas es 1,7 m; y su varianza, 0,0064 m. Si otra muestra de igual tamaño tiene como media 1,68 m; y como desviación estándar, 0,07 m, ¿cuáles son respectivamente la media y la desviación estándar de la muestra formada por ambas?
Lección 39: Comparación de conjuntos de datos 10 En un colegio se aplica una prueba a tres segundos medios. En los tres cursos hubo alumnos con la nota máxima (7). Además, se obtuvieron los siguientes datos:
b. El rango de los sueldos aumenta en $30 000. c. El promedio de los sueldos aumenta en $30 000. 4 En una distribución de datos, todos ellos son iguales. Juzga si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Justifica las falsas. a. La media aritmética es 0. b. La varianza es 0. c. El rango es 0. 272
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
2MA 2MB 2MC
x
σ
Mín
Med
Q1
Q3
5,4 5,5 5,6
1,6 1,9 2
3,5 2 1,8
5,8 5,9 5,9
4,5 4,8 5
6 6,3 6
1 Juzga si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Justifica las falsas. a. Un estudiante del 2MA que tiene un 6,5 pertenece al tercer cuartil. b. La nota de un estudiante del 2MB del tercer cuartil es mejor que cualquier nota obtenida en el 2MC.
Mes
Producción (ton) Sucursal 1
Sucursal 2
1 2 3 4 5 6
13,4 7,5 6,5 22 15 14
8,5 12,5 15 9,6 17 8,9
d. El mejor rendimiento lo tiene el 2MC, pues el promedio es 5,6.
f. En los tres cursos el 50% de los estudiantes obtuvo nota superior a 5,5. ¿Qué curso tiene mejor rendimiento? Justifica tu respuesta.
a. tengan igual media. b. el rango de A sea mayor que el de B.
4
a. Calcula el promedio y la desviación estándar de cada sucursal. b. Según su producción de los últimos seis meses, ¿en cuál de las dos sucursales esta es más homogénea? c. Existe una tercera sucursal que produce, cada mes, el promedio de las dos sucursales anteriores. Analiza el promedio de producción de esa sucursal durante los seis meses y la dispersión de sus valores, y compáralos con las sucursales 1 y 2. ¿Qué puedes concluir?
Evaluación
11 Crea dos conjuntos A y B, de 15 valores cada uno, de modo que:
3
12 Una fábrica necesita invertir cierto capital en el mercado. Para ello, debe analizar el rendimiento de las sucursales, representado en la tabla.
c. Las notas son menos dispersas en el 2MA que en los otros cursos.
e. El curso con menor dispersión es el 2MA, pues la desviación estándar es 1,6.
2
c. la varianza de B sea mayor que la de A. d. el Q3 de ambos conjuntos sea igual.
Autoevaluació Autoevaluación Evalúa tu aprendizaje utilizando el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las páginas indicadas para repasar. Indicador
Determinar indicadores de dispersión de un conjunto de datos.
Comparar dos o más conjuntos de datos utilizando distintos indicadores.
Mínimo sugerido por ítem
Ítem 1: 1/1 Ítem 2: 1/1 Ítem 3: 2/3 Ítem 4: 2/3 Ítem 5: 1/1 Ítem 6: 1/1 Ítem 7: 1/1 Ítem 8: 2/4 Ítem 9: 1/1 Ítem 10: 3/6 Ítem 11: 2/4 Ítem 12: 2/3
Puedes repasar en la(s) páginas
262 y 263
266 y 267
UNIDAD 4 • DATOS Y AZAR
273
Sección 2
Muestreo y variable aleatorios ¿Qué aprenderás?
¿Dónde?
Es importante porque te permitirá…
Utilizar métodos de muestreo aleatorio simple.
Lección 40
hacer inferencias sobre una población, a partir de una muestra de ella.
A definir y aplicar una variable aleatoria asociada a un experimento.
Lección 41
analizar los resultados posibles de un experimento y su probabilidad.
A calcular y analizar el comportamiento de las medias muestrales.
Lección 42
predecir y verificar resultados de experimentos.
Explorando tus ideas previas
Actividad
§ ¿Qué te sugieren los siguientes términos? Ü
Experimento aleatorio
Ü
Población
Ü
Muestra
Ü
Inferir
§ ¿Cómo crees que se seleccionan las personas que responden una encuesta de opinión? Explica.
De esto se trata… Cada 10 años, se realiza en Chile un censo cuyo objetivo es determinar la población del país y sus características, lo que permite tomar distintas acciones. En un censo, toda la población del país debe ser considerada. Existen otros datos que no pueden ser recopilados solo cada 10 años: el empleo, víctimas de enfermedades, incluso la opinión de las personas respecto a un tema específico o una elección. Para obtener datos al respecto es preciso utilizar encuestas que, a partir de una muestra, permiten inferir sobre la población. En ocasiones, la forma de seleccionar esta muestra puede ser discutible, ya que se privilegia a un grupo por sobre otro o bien no se le da la debida importancia a una parte de la población. Esto se conoce como sesgo. Por otra parte, se asume que la muestra efectivamente podrá representar a toda la población, lo que en realidad solo es una probabilidad.
Actividad grupal En grupos de 5 personas, analicen y respondan.
➊
Mayra quiere averiguar respecto al deporte favorito de sus compañeros de colegio. Para ello, se ubica en la puerta del colegio y pregunta al azar. ¿Es adecuada su manera de seleccionar la muestra? ¿Qué aspectos debiera considerar? Discutan en grupos.
➋
El año 2010, con motivo del Bicentenario de nuestro país se realizaron numerosas elecciones sobre personajes chilenos. ¿Cómo se realizaron estas elecciones? ¿Qué aspectos pueden haber distorsionado los resultados? Justifiquen cada uno sus opiniones y escuchen las de los demás.
Propósito: que conozcas algunos métodos para escoger muestras e inferir sobre la población a partir del promedio de dicha muestra.
274
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1
2
3
4
¿Qué debes saber? Realiza las siguientes actividades. Definir población y muestras, y extraerlas
b. Se lanza al aire una moneda de $100 y una de $500.
1 Determina en cada caso la población y una posible muestra de ella.
c. Se escoge un día al azar del mes de febrero, y se anota su número.
a. Una fábrica de yogur quiere investigar sobre la calidad de sus productos.
d. Se lanza un dado dos veces, y se anota la diferencia entre los puntajes obtenidos.
b. Diego necesita saber el precio de un kilogramo de carne, para una comida familiar.
5 Calcula la cardinalidad de los espacios muestrales (cantidad de casos posibles) correspondientes a los siguientes experimentos (E) y al suceso (S) asociado (es decir, los casos favorables). Además, determina la probabilidad del suceso.
c. Ximena estudia respecto del tamaño de las hormigas que habitan en un insectario. d. Daniel desea saber si una ciudad cuenta con suficientes lluvias, para realizar una plantación.
a. E: lanzar un dado. S: obtener un número primo.
2 Calcula la cantidad de muestras de tamaño m que se pueden extraer de una población de tamaño p, con los datos dados. e. p = 18; m = 15
b. p = 8; m = 5
f. p = 20; m = 7
c. p = 12; m = 3
g. p = 24; m = 11
d. p = 15; m = 10
h. p = 25; m = 21
c. E: escoger un plato de fondo (cazuela, tallarines o puré con pescado) y un postre (fruta o flan). S: escoger cazuela.
3 Determina 5 muestras de distinto tamaño del conjunto X = {7, 8, 2, 4, 5, 12, 2, 0, 10, 12}, y calcula en cada caso la media muestral. Definir espacios muestrales, eventos y calcular probabilidades
d. E: escoger una carta de un naipe inglés. S: escoger un as.
Actividad
a. p = 6; m = 2
b. E: escoger a dos personas de un grupo de tres mujeres y dos hombres. S: escoger un hombre y una mujer.
e. E: escoger un número del 1 al 100. S: escoger un múltiplo de 4. f. E: escoger una letra de la palabra UNIVERSIDAD. S: escoger una consonante.
4 Determina el espacio muestral (todos los casos posibles) de los siguientes experimentos: a. Elección al azar de un color de la bandera chilena.
Autoevaluació Autoevaluación En la tabla que te entregará tu profesor(a), evalúa el nivel de dominio alcanzado. Luego, repasa en los sitios web que se indican si fuera necesario.
Repasa en los siguientes sitios web…. http://goo.gl/3hglP
Población y muestra.
http://goo.gl/wcZgr
Espacios muestrales, eventos y cálculo de probabilidades.
UNIDAD 4 • DATOS Y AZAR
275
Lección
40
Propósito: utilizar métodos de muestreo aleatorio simple.
Debes saber…
Muestreo aleatorio simple
§ Se llama población al
conjunto total que se encuentra en estudio, y puede estar formado por personas, objetos, casos, números, etc. § Una muestra es un subcon-
junto de la población. § Se llama variable a la
característica que se está estudiando, por ejemplo: color de ojos.
Un colegio instalará una gradería alrededor de una cancha para ubicar a los alumnos, para ver un partido muy importante de un campeonato interescolar. La empresa encargada desea conocer la masa promedio de los estudiantes para hacer estudios respecto a la resistencia del material. El colegio no tiene tiempo de registrar la masa de sus 600 estudiantes, por lo que decide tomar algunas muestras. Para ello:
Paso 1
Asigna un número a cada estudiante, de 1 a 600.
El estadio Hugo Arqueros Rodríguez estaba ubicado en Estación Central, Santiago, y era propiedad de la Empresa de los Ferrocarriles del Estado. En él hacía de local el Club Deportivo Ferroviarios de Chile, y alguna vez Pelé entrenó allí. Su gradería estaba hecha de durmientes de ferrocarril. Fue construido en 1941, y demolido en noviembre de 2012.
Alumnos = {1, 2, 3,…, 598, 599, 600} Paso 2
Escoge al azar, 10 números del 1 al 600 (utilizando una tómbola con bolitas numeradas, por ejemplo), y escoge a los estudiantes que corresponden a dichos números. Por ejemplo: Muestra = {233, 573, 592, 427, 234, 591,395, 84, 137, 161}
Paso 3
Registra las masas de estos estudiantes, y calcula el promedio de ellas. Masas = {41,1 - 45,9 - 52,7 - 56,9 - 58,8 - 59,5 - 40,7 - 54,7 - 47,8 - 54,1} Promedio: 50,9
Observa que… Se distinguen la media poblacional (μ) y la media muestral ( x ), pese a que en ocasiones el símbolo x se utiliza para un promedio cualquiera, sea de una muestra o de la población.
276
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
Se ha escogido una muestra aleatoria, en la que cada estudiante tenía igual probabilidad de salir, sin considerar a qué curso pertenecían, edad, etc. Por esto, hablamos de muestreo aleatorio simple. El promedio obtenido se llama media muestral (que se anota x ), y se espera que, para un tamaño de muestra no demasiado pequeño, su valor sea cercano a la media poblacional (anotada como µ), es decir, el promedio de toda la población.
1
2
3
4
Pero, ¿cómo asegurarse de escoger una muestra realmente al azar? Algunas calculadoras científicas permiten generar números aleatorios que nos ayuden en esta tarea como se muestra a continuación.
Fix 1
Sci 2
Norm 3
Paso 1 Presiona la tecla MODE hasta que aparezcan las opciones que se muestran en la imagen, y que nos permitirán definir la cantidad de decimales. Presiona el botón con el número 1.
Fix 0~9 ?
Paso 3 Por defecto, la calculadora entrega números aleatorios entre 0 y 1. Para generarlos entre 1 y 600, escribe 600 + x + Shift + * (Ran#) + =.
600 x Ran# 99.
Paso 2 Ahora, presiona el botón 0, para que los resultados no tengan decimales.
Paso 4 Al presionar la tecla =, obtendrás otro número aleatorio con las condiciones pedidas.
Las personas que realizan encuestas utilizan también métodos que tienen que ver con el número de las casas, nombre de las calles, etc., para garantizar que la selección de las personas efectivamente es aleatoria. También existen las tablas de números aleatorios, que contienen números ya generados, pero con los métodos computacionales actuales son cada vez menos utilizadas.
Razona
y comenta
§ En el colegio donde
§
En resumen Se llama muestreo aleatorio simple a la elección de una muestra de una población, de modo que cada elemento de la población tiene la misma probabilidad de ser escogido. Un método para escoger estas muestras es mediante la generación de números aleatorios. La media muestral x que se obtiene en un muestreo aleatorio simple permite, en algunos casos, hacer inferencias respecto a la media poblacional μ.
§
se instalará la gradería hay dos cursos por nivel de 5° a 8° básico, y tres cursos por nivel de 1° a 4° medio. Según esto, ¿es confiable escoger la muestra de la forma presentada en la lección? Justifica. Considerando el punto anterior, ¿se te ocurren otras formas de escogerla? ¿Cuáles?. El colegio extrajo 5 muestras de 10 estudiantes, y obtuvo promedios distintos. ¿Qué valor podría utilizar para estimar la masa promedio de los estudiantes? Justifica.
UNIDAD 4 • DATOS Y AZAR
277
Practiquemos lo aprendido
Repaso 1. Asocia en cada caso una variable, una población o una muestra adecuada. a) Población: habitantes de una comuna. Determina una variable y una muestra.
a) 30 números de 0 a 50, con dos decimales. b) 27 números de –5 a –1, sin decimales.
b) Variable: longitud de los tornillos. Determina una población y una muestra.
c) 30 números de –4 a 4, con tres decimales.
c) Muestra: dos personas por paradero, en 30 paraderos de una avenida. Determina una población y una variable.
e) 40 números de –3,2 a –1,7, con dos decimales.
d) Población: celulares importados por una empresa. Determina una variable y una muestra. e) Variable: número de páginas leídas. Determina una población y una muestra. f) Muestra: colaciones de 20 estudiantes de un colegio. Determina una población y una variable.
2. Determina en cada caso todas las muestras del tamaño n indicado, para cada conjunto. Calcula además la media muestral de cada una.
d) 18 números de 0,1 a 3,8, con cuatro decimales.
f) 35 números de 3,25 a 5,75, con un decimal.
4. Analiza el procedimiento que se indica. Para generar números aleatorios, utilizando una planilla de cálculo podemos escribir en una celda lo siguiente: = REDONDEAR(3*ALEATORIO();2) Genera un número aleatorio entre 0 y 3, con dos decimales. = ALEATORIO.ENTRE(5;12)
a) 0,3; 4,5; 0,3; 3,7; 3; 1,7; n = 4
Genera un número entero aleatorio, entre 5 y 12.
b) 3,8; 1,9; 8,4; 11,3; 11,2; 1,4; 10,8; n = 2
Utiliza los pasos anteriores para generar los siguientes conjuntos de números aleatorios. Indica la formula que debes escribir en la planilla de cálculo.
c) 6; 15; 20; 11; 16; 4; 1; 9; 4; 10; n = 9
a) 20 números de 0 a 42, con dos decimales.
Práctica guiada 3. Analiza el procedimiento que se indica para generar números aleatorios entre 20 y 60 con un decimal: Paso 1
Presionamos MODE, hasta que aparezca la opción Fix, y la seleccionamos.
Paso 2
Aparece en pantalla Fix 0 ~ 9, y presionamos 1.
Paso 3
Luego, escribimos la fórmula 40 x Ran# + 20
• 40 es el rango de los datos (60 – 20). • 20 es el menor valor.
278
Sigue los pasos anteriores para generar los siguientes conjuntos de números aleatorios. Indica la formula que debes escribir en la calculadora.
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
b) 28 números de 11 a 32, con un decimal. c) 31 números de 10 a 25, sin decimales. d) 20 números de –3 a 5, con tres decimales. e) 18 números de 0,1 a 3,8, con cuatro decimales.
5. Utiliza los métodos vistos para generar muestras aleatorias de tamaño 8 en tu curso, utilizando el número de lista de cada uno.
1
6. Extrae 5 muestras aleatorias de las alturas de
9. Ana trabaja para una municipalidad, y debe
tus compañeros de curso y calcula el promedio de cada una ellas. Compara los resultados. ¿Son parecidos entre sí? Calculen el promedio de estatura del curso, y la media aritmética de los promedios de las muestras anteriores. ¿Qué puedes concluir?
7. La siguiente tabla muestra las edades de 100 47 35 53 56 36 59 38 63 21 56
12 62 14 20 46 34 49 8 52 62
26 12 51 45 42 36 49 27 58 38
22 44 13 27 59 49 54 35 53 20
45 18 49 44 25 30 22 55 23 54
45 44 62 41 61 39 32 21 46 40
56 64 55 40 39 48 45 60 64 28
averiguar la opinión de los vecinos respecto al retiro de basura en una calle de 3 cuadras. En cada cuadra hay 10 casas, en una vereda tienen números pares y en la otra, impares. Si desea obtener una muestra aleatoria de 20 casas, determina un método que puede utilizar para extraerla.
10. Conexiones: Averigua en qué consisten los
personas que asistieron a una obra de teatro.
15 62 59 16 62 57 66 67 65 23
4
c) Si una población es muy heterogénea y se extrae una muestra de ella, ¿será representativo de la población este promedio? Justifica.
Resuelve los siguientes problemas.
47 26 28 56 44 17 53 10 43 35
3
Practiquemos lo aprendido
Aplica
2
siguientes métodos de muestreo.
20 27 15 50 25 31 40 40 44 39
a) Utiliza muestreo aleatorio para escoger 10 muestras de tamaño 8, y calcula su promedio. b) Estima el promedio de edad de los asistentes a la obra, considerando tus resultados anteriores.
8. En un curso de 40 alumnos, 30 practican gimnasia y 10 practican rugby. Néstor extrae distintas muestras aleatorias de 5 estudiantes, y calcula el promedio de sus masas. a) Las masas de los estudiantes, ¿serán distintas dependiendo del deporte que practiquen? b) Una muestra extraída por Néstor incluye a 4 estudiantes que practican rugby y uno que practica gimnasia. Otra incluye a uno de rugby y 4 de gimnasia. Al comparar los promedios, ¿serán parecidos? Justifica.
• Aleatorio sistemático. • Aleatorio estratificado. • Aleatorio por conglomerados. Da, para cada uno, dos ejemplos en que sería mejor utilizar estos tipos de muestreo en lugar del muestreo aleatorio simple.
11. Conexiones: al realizar una encuesta sobre las preferencias de las personas antes de una elección, la consultora a cargo informa que un determinado candidato obtiene un 45% de intención de voto, con un margen de error del 3% y una confiabilidad del 95%. Investiga qué significan los conceptos “margen de error” y “confiabilidad”.
12. Desafío: la planilla de cálculo incluye la función potencia, de modo que si se desea calcular, por ejemplo, 2 elevado a 3, se utiliza el comando: =POTENCIA(2; 3) Utiliza la función potencia para generar números aleatorios entre –5 y 5, pero distintos de cero.
Reflexiona § ¿Por qué es importante que la elección de una muestra se realice efectivamente al azar? § ¿En qué casos no corresponde extraer al azar una muestra? ¿Qué aspectos habría que considerar? UNIDAD 4 • DATOS Y AZAR
279
41 Lección
Propósito: definir y aplicar una variable aleatoria asociada a un experimento.
Variable aleatoria Existen distintos juegos que han tomado el nombre de “Pepito paga doble”. Uno de ellos consiste en un tablero dividido en tres partes, como se muestra: 2a6 Menor
7 Pepito
8 a 12 Mayor
Se pide a los jugadores que apuesten al resultado que saldrá al sumar los números que se obtienen al lanzar dos dados, y los jugadores ponen sus apuestas en los distintos sectores del tablero. Si sale un número de 2 a 6, quienes apostaron menor reciben un monto igual al apostado; lo mismo que si sale un número de 8 a 12 y quienes apostaron mayor. Si sale 7 (Pepito), los que apostaron allí reciben el doble de lo apostado. ¿Cuál es la probabilidad de ganar, en cada caso? Para ello estableceremos una función que nos permita determinarlo, con los siguientes pasos: Paso 1
Determinamos todos los casos posibles en el lanzamiento de dos dados, es decir, el espacio muestral Ω del experimento. Sabemos que hay 36 casos, ya que 6 • 6 = 36. Podemos además escribirlos simbólicamente: Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
Paso 2
Ayuda La variable aleatoria en este caso está asociada al experimento específico. Dependiendo del experimento que se estudie podría ser otra, por ejemplo, si los números se restaran.
280
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
(3, 5) significa que en un dado sale 3 y en el otro, 5. Observa que es distinto al caso (5, 3), es decir, hay dos casos en los que sale un 3 y un 5.
Lo que nos interesa estudiar es, esencialmente, la suma de los valores obtenidos en los dados. Concretamente, si el número obtenido es menor que 7, igual a 7 o mayor que 7. Podemos asignar 0 a que salga menor, 1 a Pepito y 2 a mayor. De esta manera, definimos el conjunto Y de los eventos en estudio y podemos establecer una función x(Ω) llamada variable aleatoria, asociada al experimento. Ω (1, 1) (1, 2), (2, 1) (1, 3), (2, 2), (3, 1) (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) (1, 5), (2, 4), (3, 3) (4, 2) (5, 1) (1, 6), (2, 5) (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3) (4, 6), (5, 5), (6, 4) (5, 6), (6, 5) (6, 6)
y
0
1
2
1 Paso 3
Asignar números a los eventos en estudio nos permite definir también una función de probabilidad, f: → [0, 1], que relaciona cada elemento de Y con su probabilidad. Ω (1, 1) (1, 2), (2, 1) (1, 3), (2, 2), (3, 1) (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) (1, 5), (2, 4), (3, 3) (4, 2) (5, 1) (1, 6), (2, 5) (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3) (4, 6), (5, 5), (6, 4) (5, 6), (6, 5) (6, 6)
[0,1]
0
15 5 = 36 12
Hay 15 casos que dan un número menor que 7, y 36 casos totales.
1
6 1 = 36 6
Hay 6 casos que dan 7, y 36 casos totales.
2
15 5 = 36 12
Hay 15 casos que dan un número mayor que 7, y 36 casos totales.
2
3
4
Ayuda La probabilidad de un suceso siempre es un número real entre 0 y 1, ambos valores inclusive. Este conjunto se llama “intervalo cero uno”, es decir, mayor o igual a cero y menor o igual a uno.
La función X definida en el paso 2 corresponde a la variable aleatoria (v.a.) asociada al experimento “lanzamiento de dos dados”, que asigna a cada suceso un valor. La función definida en el paso 3 corresponde a la función de probabilidad de la variable aleatoria X, que nos permite afirmar que: - la probabilidad de ganar apostando a menor es 5 , es decir P(x = 0) = 5 . 12 12 1 1 - la probabilidad de ganar apostando a Pepito es , es decir P(x = 1) = . 6 6 5 , es decir P(x = 2) = 5 . - la probabilidad de ganar apostando a mayor es 12 12 En general, dado un experimento decidimos prestar atención a algunos resultados para nuestro estudio, a los que se asignan valores numéricos que permitirán realizar operaciones entre ellos, que de otro modo no se podrían realizar. Así, podemos definir distintas variables aleatorias a partir de un experimento, y mediante ellas podremos visualizar de manera más eficiente el comportamiento de sus resultados, como se resume en la siguiente tabla: X
0
P(X = x)
5 12
1 1 6
2
5 12
Razona
y comenta
En resumen
§ ¿Qué utilidad puede
Dado un experimento aleatorio cualquiera, se llama variable aleatoria (v.a.) a la función que, a cada suceso del espacio muestral (Ω), le asigna un único número real. x:Ω→ ℝ Estos valores se relacionan con su probabilidad mediante la función de probabilidad de la variable aleatoria.
§
f(x) : ℝ → [ 0, 1]
tener definir una variable aleatoria asociada a un experimento? ¿Qué otra variable aleatoria podrías haber definido para el experimento “lanzamiento de dos dados”. Cita tres ejemplos distintos.
UNIDAD 4 • DATOS Y AZAR
281
Practiquemos lo aprendido
Repaso
Paso 3
1. Determina el espacio muestral de los siguientes experimentos.
Tenemos que el conjunto Y se compone de los elementos 3, 4, 5, 6. De esta forma definimos la variable aleatoria como: Ω
a) Lanzamiento de 2 monedas.
1
b) Se extrae al azar una letra de la palabra PANORAMA.
2
c) Se extrae una carta de un naipe inglés (52 cartas sin comodines) y se anota su pinta.
3
3
4
d) Se lanza una moneda y un dado.
4
5
e) Se escogen al azar dos meses del año, de entre los 6 primeros.
6
5
7
6
f) Se escogen al azar un número del 1 al 10, luego uno del 15 al 20, y se suman los valores obtenidos.
8
2. Calcula la probabilidad de cada suceso. a) Obtener un número par al lanzar un dado. b) Escoger al azar dos días del mes de enero de modo que haya 6 días de diferencia entre ellos. c) Lanzar dos dados, y que el producto de los números obtenidos sea 12. d) Escoger al azar un número de 2 cifras, y que la suma de ellas sea 9.
9 Paso 4
Se define ahora la función de probabilidad: y
[0,1]
3
2 9
4
3 9
5
3 9
6
1 9
Práctica guiada 3. Define la variable aleatoria correspondiente a cada situación y su correspondiente función de probabilidad. Utiliza los pasos vistos anteriormente como se muestra en el ejemplo: Se elige al azar un número entre 1 y 9, ambos inclusive, y se cuenta el número de letras al escribirlo con palabras. Paso 1
El espacio muestral está dado por Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Paso 2
Se escriben los casos posibles para cada número.
Uno = 3 letras Dos = 3 letras Tres = 4 letras Cuatro = 6 letras Cinco = 5 letras 282
y
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
Seis = 4 letras Siete = 5 letras Ocho = 4 letras Nueve = 5 letras
a) Se lanzan dos monedas y se cuenta el número de sellos obtenidos. b) Bastián tiene en su bolsillo una moneda de $10, dos monedas de $100 y 3 de $500. Si saca dos de ellas al azar y se las da a René ¿cuánto dinero le dará? c) Se lanza un dado de seis caras y se calcula la diferencia entre el número de puntos obtenidos y el número 6. d) Se elige al azar un número natural n de tal forma que 15 < n < 25, y se cuenta la cantidad de divisores de n. e) Se lanzan dos dados y se calcula el producto de los números obtenidos.
1
g) En una familia con 4 hijos, interesa saber la cantidad de varones que hay entre ellos.
Aplica Resuelve los siguientes problemas.
4. Se elige un número entero entre 1 y 9, ambos inclusive y se determina la letra con la que comienza al escribirlo con palabras y se le asigna un número según la posición de esta en el abecedario. a) ¿Cuál es la variable aleatoria considerada? b) ¿Qué número real se le asigna al 8? c) ¿A cuál de los números considerados se le asocia el menor valor de la variable aleatoria? d) ¿Cuál es el menor valor que puede tomar la variable aleatoria? e) ¿Existen, entre los números considerados, algunos que se relacionen con el mismo valor de variable? ¿Cuáles?
5. Evalúa si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifica las falsas. a) La suma de las probabilidades de los valores que toma una variable aleatoria es 1. b) Una función de probabilidad asocia a cada valor de la variable aleatoria un número real p, con 0 ≤ p ≤ 1. c) Las variables aleatorias son funciones que relacionan los sucesos de un experimento aleatorio con números reales.
3
4
6. Se elige un número entre 8 y 15, ambos inclusive, y se cuenta la cantidad de consonantes que tiene su escritura con palabras. Plantea la variable aleatoria y escribe la función de probabilidad asociada y determina: a) la probabilidad de que tenga más de dos consonantes. b) la probabilidad de que tenga menos de 4 consonantes.
Practiquemos lo aprendido
f) Se escoge una letra del alfabeto al azar, y se clasifica según si está presente o no en el nombre FRANCISCO.
2
7. Un artesano vende 5 collares, de los cuales 2 tienen un defecto. Un turista compra dos collares al azar. Define la variable aleatoria asociada al número de collares defectuosos comprados, su función de probabilidad y determina la probabilidad de que haya comprado solo un collar defectuoso.
8. Para el experimento aleatorio A: elegir al azar un número natural n de tal forma que 10 < n < 20, se cuenta la cantidad de divisores que tiene. Escribe la función de probabilidad asociada.
9. Desafío: Se lanza dos veces un dado cargado, de manera que los números pares tienen el doble de posibilidad de salir que los impares. Se define la variable aleatoria X: producto de los números obtenidos. Calcula la probabilidad de obtener un número menor que 12.
10. Desafío: Inventa dos experimentos distintos y define su variable aleatoria, de modo que su función de probabilidad sea la siguiente: y
[0,1]
0
0,25
1
0,5
2
0,25
d) En el lanzamiento de tres monedas, la función de probabilidad asociada a la variable aleatoria X: número de caras, tiene 8 elementos en su dominio.
Reflexiona § ¿Comprendiste lo que es una variable aleatoria? § Dada una función de probabilidad definida, ¿existe una única variable aleatoria que corresponde a ella? Justifica.
UNIDAD 4 • DATOS Y AZAR
283
Lección
42
Propósito: calcular y analizar el comportamiento de las medias muestrales.
Debes saber… § Dado el conjunto de
valores X = {5, 2, 7, 8, 3, 10}, podemos considerarlo una población, y decir que su media poblacional μ es igual a 5,83 . Además, podemos extraer muestras de tamaño 3 y calcular sus medias muestrales x , por ejemplo: {5, 2, 7}
x = 4, 6
{8, 3, 10}
x =7
{3, 2, 7}
x =4
{10, 8, 7}
x = 8, 3
Medias muestrales Taller En grupos de 4 personas realicen la siguiente actividad. En un colegio se anota la cantidad de celulares que los estudiantes tienen por curso. Los resultados se resumen en el siguiente cuadro. 40 - 35 - 41 - 34 - 44 - 37 - 44 - 45 - 39 - 30 - 41 - 32 - 31 - 45 - 43 - 32 - 35 - 39 38 - 39 - 43 - 20 - 32 - 33 - 34 - 38 - 37 - 48 - 35 - 27 - 40 - 30 - 29 - 25 - 30 - 45 18 - 25 - 25 - 19 - 14 - 26 - 30 - 45 - 37 - 34 - 14 - 17 - 14 - 39 - 39 -25 -16 - 24 19 - 30 - 53 - 22 - 15 - 10 - 15 - 29 - 13 A partir de ello se calcula el promedio o media poblacional de los datos obtenidos, el que corresponde a 31,380952 celulares por curso. 1 Completen la tabla escogiendo cinco muestras de tamaño 3 y calculen la media aritmética de cada una de las muestras.
Muestra Dato 1 Dato 2 Dato 3 Media muestral
Tabla (sin reposición) 1 2
3
4
5
2 Realicen en sus cuadernos una tabla como la anterior, pero esta vez escojan 5 muestras de tamaño 10, 15 y 20. 3 Calculen la media muestral para cada una de las muestras de tamaño 10, luego para las de tamaño 15 y finalmente para las de tamaño 20. 4 Comparen las medias muestrales obtenidas en los puntos 1 y 3. ¿Qué sucede con los valores de las medias muestrales a medida que aumenta el tamaño de la muestra? 5 ¿Qué relación observan entre los valores de las medias muestrales a medida que el tamaño de la muestra aumenta y la media poblacional de la población de celulares?
284
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1
2
3
4
Ley de los grandes números
Ayuda
La ley de los grandes números establece que la frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse en torno a un número a medida que la cantidad de veces que se realiza un experimento aleatorio crece indefinidamente.
En general, la ley de los grandes números afirma que al repetir muchas veces un experimento, los valores obtenidos se acercan cada vez más a los que deberían darse en teoría, es decir, de acuerdo a su probabilidad teórica. Por lo mismo, si no tenemos los medios para determinar la probabilidad de un suceso, podemos estimarla extrayendo una muestra de sus resultados.
fr (A) ≈
número de casos favorables al suceso A = P(A) número de casos posibles
Donde P(A) denota la probabilidad de ocurrencia del suceso A. Dependiendo del número de veces que se realice un experimento, te podrá ser útil realizar una simulación de este usando una planilla de cálculo como Excel. Analiza la siguiente situación: “Se quiere simular 300 lanzamientos de un dado de seis caras”. Sigue los pasos.
Paso 2: la función = CONTAR. SI(A3:J32;”6”) te permite contar el número de veces que aparecerá un “6” entre las casillas A3 y J32. La condición no es única y dependerá del problema al que te enfrentes.
Paso 3: la función =M7/300 te permite calcular el cociente entre el número de veces que aparecieron 6 puntos y la cantidad de lanzamientos del dado, es decir, la frecuencia relativa asociada al suceso. Paso 1: la función = ENTERO(ALEATORIO()*6+1) te permite generar números enteros aletaorios entre el 1 y el 6, que representan en esta situación el número de puntos obtenidos en cada lanzamiento. En este caso se generaron 300 números aleatorios, copiando desde la celda A3 hasta la celda J32.
a. Calcula la frecuencia relativa al suceso A: obtener un punto. b. ¿A qué número se aproxima la casilla M13 si generas 1000 números aleatorios? Justifica. En resumen Al extraer muestras aleatorias de una población puedes calcular la media aritmética de cada una de estas, de la cuales es posible concluir que la media muestral se aproxima a la media poblacional a medida que el tamaño de la muestra se acerca al tamaño de la población. Al repetir una gran cantidad de veces un experimento aleatorio, la frecuencia relativa de cada suceso tiende a estabilizarse en un número específico que corresponde a la probabilidad teórica del suceso. Este hecho se conoce como la ley de los grandes números.
UNIDAD 4 • DATOS Y AZAR
285
Practiquemos lo aprendido
Repaso 1. Se tiene el siguiente conjunto: A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17}
Muestra
a) ¿Cuántas muestras de tamaño 4 se pueden obtener?
Dato 1
b) ¿Cuál es la media aritmética de los elementos del conjunto?, ¿cuál es la media aritmética de las muestras de tamaño 4 obtenidas?
Práctica guiada Utiliza los procedimientos tratados en la lección.
2. En un curso, los estudiantes han ahorrado fondos para realizar una convivencia durante 20 días sin considerar los fines de semana. Semana 1: $5234 – $7356 – $6765 – $9980 – $10960 Semana 2: $12400 – $10666 – $11540 – $19000 – $11670 Semana 3: $15345 – $17563 – $18567 – $12234 – $11345 Semana 4: $12345 – $16653 – $19545 – $19110 – $14760 a) ¿Cuántas muestras de tamaño 5, pueden obtenerse de los datos representados en la tabla?, ¿cómo seleccionaste estas muestras? b) ¿Cuál es la media poblacional del conjunto? y ¿cuál es la media muestral de 5 muestras seleccionadas al azar?
3. Se ha realizado un estudio en diferentes sectores de la población, la que consiste en estudiar la cantidad de agua consumida mensualmente por hogar. Los resultados se resumen en la siguiente tabla. 40 - 35 - 41 - 34 - 44 - 37 - 44 - 45 - 39 - 30 - 41 - 32 31 - 45 - 43 - 32 - 35 - 39 - 38 - 39 - 43 - 20 - 32 - 33 34 - 38 - 37 - 48 - 35 - 27 - 40 - 30 - 29 - 25 - 30 - 45 18 - 25 - 25 - 19 - 14 - 26 - 30 - 45 - 37 - 34 - 14 - 17 14 - 39 - 39 -25 -16 - 24 - 19 - 30 - 53 - 22 - 15 - 10 15 - 29 - 13
286
a) Completa la siguiente tabla.
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
Tabla (sin reposición) 1 2 3
4
5
Dato 2 Dato 3 Media artimética b) ¿Cuál es el promedio de todos los datos? c) ¿Cuál es la media muestral de la tabla? d) Construye una tabla utilizando los datos del estudio y elige muestras de tamaño 7 y 8. ¿Cuáles son los valores de las medias muestrales? e) ¿Qué sucede con los valores de las medias muestrales a medida que aumenta el tamaño de la muestra?
Aplica 4. Utiliza Excel para responder. En el experimento A: lanzar una moneda, hay dos posibles resultados: cara (C) o sello (S). a) ¿Qué funciones te permitirán generar 2000 resultados aleatorios? b) ¿A qué valor tiendes las frecuencias relativas de cada resultado?
5. Moisés quiere averiguar si 5 monedas utilizadas en un juego están cargadas o no, pero no tiene los medios para hacerlo en forma exacta. Una posibilidad es realizar algunas pruebas. a) Se define la v.a. X: “número de sellos al lanzar 5 monedas”. Lance cada uno una moneda, y anoten la cantidad de sellos que salieron. Repitan el experimento 10, 20 y 50 veces, anoten los resultados de cada lanzamiento y luego completen la siguiente tabla, con el número de veces que se repite la cantidad de sellos en cada caso:
1
0
1
4
Con ello, obtiene que: 4
5 sellos: 1 caso
5
10
4 sellos: 5 casos 3 sellos: 10 casos
20
2 sellos: 10 casos
50
1 sello: 5 casos
b) Sea xn el promedio de sellos obtenidos en n lanzamientos. Calculen x10 , x20 y x50 . x10 =
3
x20 =
x50 =
c) Si el experimento se repite 100 veces, ¿cuál sería el promedio? Estimen un valor y justifiquen. d) Natalia le dice a Moisés que, en realidad, está extrayendo muestras aleatorias. En este caso, ¿cuál es la población? ¿Cuántos elementos tiene?
0 sellos: 1 caso
Practiquemos lo aprendido
Lanzamientos
Número de sellos 2 3
2
f) Considerando los resultados obtenidos por Daniel, ¿qué resultados son más probables de obtener al lanzar 5 monedas? g) Considerando lo anterior, si lanzas muchas veces 5 monedas, ¿qué resultados deberían ser más frecuentes? h) Si lanzas muchas veces las cinco monedas, ¿qué promedio de la v.a. esperarías obtener? Justifica.
e) Daniel decide estudiar un poco más la variable aleatoria X, por lo que define sus casos posibles a partir del experimento. 5 sellos: SSSSS
2 sellos: CCCSS; CCSSC; CSSCC; SSCCC; CCSCS; CSCSC; SCSCC; CSCCS; SCCSC; SCCCS
4 sellos: SSSSC; SSSCS; SSCSS SCSSS; CSSSS
1 sello: CCCCS; CCCSC; CCSCC; CSCCC; SCCCC
3 sellos: SSSCC; SSCCS; SCCSS; CCSSS; SSCSC; SCSCS; CSCSS; SCSSC; CSSCS; CSSSC
0 sellos: CCCCC
Reflexiona § ¿Qué formulaciones de la ley de los grandes números conoces? Da un ejemplo. § Si realizas un experimento y los resultados no calzan con la ley de los grandes números, ¿qué conclusiones puedes sacar? ¿Es una ley que produzca resultados siempre confiables?
UNIDAD 4 • DATOS Y AZAR
287
Resolución de problemas Analiza la resolución del siguiente problema. Se lanza dos veces una ruleta como la que se muestra en la figura. Se gana si los números obtenidos son de distinto color y su suma es un número par. ¿Cuál es la probabilidad de ganar?
1
3
2
4
Paso 1 Comprende el enunciado a. ¿Qué datos son necesarios para responder la pregunta? La probabilidad de los casos que pueden darse, y su relación con el suceso “ganar”. b. ¿Qué información entrega el enunciado del problema? La ruleta que se utiliza, y las condiciones que se deben cumplir para ganar. Paso 2 Planifica lo que vas a realizar En primer lugar se deben determinar todos los casos posibles, y asociarlos al suceso “ganar” o “perder”. A partir de ello definiremos la variable aleatoria asociada. Luego, se define la función de probabilidad, que nos permitirá responder la pregunta. Paso 3 Resuelve el problema Se definen los casos posibles y se define la variable aleatoria, considerando perder = 0 y ganar = 1. Ω (1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 3), (4, 4)
Y
(1, 3), (2, 4), (3, 1), (4, 2)
1
Se define la función de probabilidad.
0
Y
[0,1]
0
12 3 = 16 4
1
4 1 = 16 4
Por lo tanto, la probabilidad de ganar es 1 . 4 Paso 4 Revisa la solución Puedes verificar tu resultado comparándolo con un compañero.
Podrás aplicar lo aprendido aquí en los problemas que se presentan en la página 290. 288
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
Para no cometer errores
1
Analiza la situación Verónica tiene una bolsa con una bolita verde (V), una roja (R), una negra (N) y una azul (A). Saca una, anota el color, la devuelve y saca otra vez. Le interesa conocer la probabilidad de extraer al menos una bolita roja.
2
x
VV – VN – VA – NN – NA – AA VR – RR – RN – RA
0 1
Luego, define la función de probabilidad.
x
[0,1]
0
6 3 = 10 5
1
4
Aprende la forma correcta El error cometido por Verónica es haber definido mal los casos posibles, ya que el caso Verde – Negra, por ejemplo, es distinto a Negra – Verde. Considerando esto, los casos posibles son
Para ello, define la variable aleatoria X: mínimo de bolitas rojas extraídas. Ω
3
VV – VR – VN – VA – RV – RR –RN – RA – NV – NR – NN – NA – AV – AR – AN – AA Y con ello, la probabilidad es igual a 7 . 16
4 2 = 10 5
Con esto, Verónica concluye que la probabilidad es igual a 2 . 5
Razona
y comenta
§ ¿Cuál es el error cometido por Verónica? § ¿Qué otros errores pueden cometerse en una variable aleatoria?
Analiza la situación
Aprende la forma correcta
Felipe ha definido la variable aleatoria X: cuadrado del número, asociada al experimento “lanzar un dado no cargado”. Luego de realizar 20 lanzamientos, obtiene los siguientes resultados:
Felipe ha asumido que la media muestral es igual a la media poblacional, lo que no es correcto. Si se calcula en forma teórica, se obtiene:
16; 1; 36; 4; 25; 25; 25; 9; 25; 16; 1; 16; 36; 16; 9; 25; 25; 9; 36; 25 Felipe considera estos datos como una muestra, y calcula la media muestral: x = 19 Con ello Felipe interpreta que la media poblacional de esta variable aleatoria es igual a 19.
Razona
=
1+ 4 + 9 + 16 + 25 + 36 =15 6 Al aumentar el tamaño de la muestra, este es el valor al que se espera aproximarse.
y comenta
§ ¿Cuál es el error cometido por Felipe? § ¿Qué otros errores pueden cometerse en el cálculo de medias muestrales?
Reflexiona § ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores? § Respecto a los que no, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos? § Revisa los ejercicios que hayas resuelto en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes tomar para no volver a cometerlos?
UNIDAD 4 • DATOS Y AZAR
289
Integrando lo aprendido Lección 40: Muestreo aleatorio simple
Lección 41: Variable aleatoria
1 Identifica cuáles de los siguientes casos corresponde a un muestreo aleatorio simple:
4 Se lanza una moneda cinco veces. Calcula la probabilidad de los siguientes eventos.
a. Elegir a tres deportistas de cada curso para generar un estudio acerca de la frecuencia con que hacen deporte los alumnos del liceo.
a. Obtener cinco caras.
b. Escoger por votación de todos los alumnos del curso al mejor compañero.
c. Obtener cara en el primer lanzamiento.
c. Escoger a 20 de los 400 trabajadores de una empresa para responder una encuesta sobre el clima laboral, de modo que el apellido de cada trabajador comience con una letra diferente. 2 En un curso de 20 alumnos los promedios en la asignatura de matemática son:
Evaluación
4,8; 5,3: 6,6; 5,8; 3,5; 4,3; 5,8; 3,7; 5,6; 6,3; 6,2; 4,5; 5,4; 6,1; 5,4; 4,1; 6,3; 6,8; 4,6; 5,7
d. Obtener sello en el tercer y quinto lanzamiento. 5 Se lanzan dos dados y se suman los números obtenidos. Define la variable aleatoria X asociada a verificar si el número es par o impar, y determina su función de probabilidad. 6 Crea una variable aleatoria a partir de un experimento, de modo que su función de probabilidad sea la siguiente: y
[0,1]
La profesora desea inferir acerca de la media con una muestra de 5 alumnos:
0
1 2
a. Utiliza muestreo aleatorio simple para escoger una muestra de 5 alumnos. Explica tu procedimiento.
1
1 6
2
1 3
b. Calcula el promedio de todo el curso, y compáralo con la media muestral anterior. ¿Fue una buena aproximación? 3 Daniela intenta saber el promedio de la estatura de todas las alumnas de los segundos medios de su colegio. Extrae al azar cinco muestras de cuatro personas y lo repite cinco veces obteniendo lo siguiente: Muestra 1: 1,60 - 1,63 – 1,45 – 1,65
7 Alejandro, Macarena, José y Camila quedaron clasificados para la final del campeonato de ajedrez de su colegio. Se enfrentan todos contra todos, y cada uno tiene la misma probabilidad de ganar. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos.
Muestra 2: 1,58 – 1,63 – 1,58 - 1,53
a. Que Macarena obtenga el primer lugar.
Muestra 3: 1,70 – 1,60 – 1,40 – 1,60
b. Que José quede en el último lugar.
Muestra 4: 1,62 – 1,56 – 1,59 – 1,60 Muestra 5: 1,60 – 1,54 – 1,55 – 1,57 Además, sabe que las alturas en su colegio son bastante homogéneas. ¿Entre que valores se puede estimar que se encuentra el promedio de ellas?
290
b. Obtener dos sellos.
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1 Lección 42: Medias muestrales y variable aleatoria 8 La siguiente tabla muestra la velocidad en km/h que llevaban 100 automóviles que pasaron por un control de velocidad en una avenida, un día jueves a las 16 horas con velocidad máxima permitida de 60 km/h.
86 12 82 45 50 82 97 70 40 78
27 107 102 134 88 64 61 133 68 73
35 18 64 42 126 133 126 37 80 116
107 70 52 48 144 126 128 134 89 81
116 135 131 129 63 107 25 76 107 81
106 119 140 79 118 126 44 50 76 67
114 39 51 72 42 35 96 69 54 36
21 54 33 63 58 42 92 97 100 101
61 43 49 150 114 140 40 106 33 126
93 41 139 94 99 107 57 114 53 85
2
3
4
9 Emilio tiene 3 llaves, y solo una abre la puerta de su casa. Cada noche se olvida de cuál llave abre su puerta, así que las ordena y va probando de a una al azar, hasta que acierta. a. Determina la función de probabilidad de la variable aleatoria X: número de intentos. b. ¿Cuántos intentos debe realizar Emilio, en promedio, hasta abrir su puerta? 10 En las siguientes situaciones indica el valor esperado de la media muestral. a. La cantidad de hombres al elegir una muestra de diez personas de una ciudad. b. La cantidad de caras que se obtienen al lanzar seis monedas. c. La cantidad de “cuatros” que se obtienen al lanzar 10 dados.
Evaluación
a. Extrae 6 muestras aleatorias de tamaño 10, y calcula su media muestral. ¿Cuál es, aproximadamente, el promedio de velocidad de los automovilistas? b. ¿Qué puedes inferir respecto a la prudencia de los automovilistas de esta avenida Justifica tu respuesta.
Autoevaluació Autoevaluación Evalúa tu aprendizaje utilizando el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las páginas indicadas para repasar. Indicador
Mínimo sugerido por ítem
Puedes repasar en la(s) página(s)
Utilizar métodos de muestreo aleatorio simple.
Ítem 1: 2/3 Ítem 2: 1/2 Ítem 3: 1/1
276 y 277
Definir y aplicar una variable aleatoria asociada a un experimento.
Ítem 4: 2/4 Ítem 5: 1/1 Ítem 6: 1/1 Ítem 7: 1/2
280 y 281
Calcular y analizar el comportamiento de las medias muestrales.
Ítem 8: 1/2 Ítem 9: 1/2 Ítem 10: 2/3
284 y 285
UNIDAD 4 • DATOS Y AZAR
291
Sección 3
Eventos excluyentes, independientes y probabilidades ¿Qué aprenderás?
¿Dónde?
Es importante porque te permitirá…
A utilizar conjuntos y su operatoria en el cálculo de probabilidades.
Lección 43
modelar y comprender problemas que involucran probabilidades.
A resolver problemas utilizando suma y producto de probabilidades.
Lección 44
A identificar sucesos independientes en experimentos aleatorios.
Lección 45
A utilizar herramientas de combinatoria en el cálculo de probabilidades.
Lección 46
Explorando tus ideas previas
Actividad
§ ¿Has escuchado los siguientes términos? ¿Sabes lo que significan? Ü
Excluyente
Ü
Dependiente
Ü
Independiente
Ü
Intersección
§ Mabel dice que comprará un helado o una bebida. Si compra ambas cosas, ¿mintió? Justifica.
calcular probabilidades de sucesos de distinto tipo.
De esto se trata… Existen muchos mitos respecto a los terremotos, y fórmulas “mágicas” que permitirían, eventualmente, predecirlos. Hay quienes afirman que tiene que ver con las fases de la Luna, otros con las mareas y el comportamiento del mar, e incluso con repentinos cambios climáticos. Insistentemente, los científicos advierten sobre los peligros de creer en este tipo de predicciones. Es importante señalar que hay sucesos que no pueden ocurrir simultáneamente: no puede haber marea alta si la Luna no se encuentra en fase nueva o llena. Por otra parte, hay cosas que pueden suceder simultáneamente pero eso no indica, necesariamente, que una de ellas sea causa o consecuencia de la otra. Si bien observar coincidencias es, muchas veces, un punto de partida en el estudio científico, siempre hay un largo camino que realizar para comprobar si existe efectivamente una relación entre los fenómenos en estudio.
Actividad grupal En grupos de 4 personas, analicen y respondan.
➊
¿Qué sucesos conocen con explicaciones “no científicas”, pero que suelen repetirse entre las personas? Discutan y analicen la validez de ellos.
➋
Imaginen que están en un concurso de conocimientos que consta de 10 preguntas, que pueden ganar (y obtener un premio millonario) solo si las contestan todas correctamente. Tienen dos opciones: que les hagan todas las preguntas de una vez (en una hoja escrita, por ejemplo) o bien les hacen las preguntas una por una, y solo les hacen la siguiente si contestan correctamente. ¿Qué forma prefieren? ¿Por qué?
Propósito: que modeles sucesos asociados a experimentos utilizando conjuntos, operaciones y herramientas de combinatoria. 292
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1
2
3
4
¿Qué debes saber? Realiza las siguientes actividades. Definir casos, eventos y calcular probabilidades
Determina, para los siguientes experimentos y sucesos, sus casos favorables. 1 Experimento: escoger un número entre 1 y 100 (ambos inclusive). Sucesos: A: escoger un múltiplo de 7. B: escoger un número terminado en 6 o en 8. C: escoger un número que no sea múltiplo de 3. 2 Experimento: escoger una letra al azar del alfabeto. Sucesos: A: escoger una letra que pertenezca a la palabra CONSIDERACIÓN.
4 Calcula, en cada caso, la cardinalidad del espacio muestral del experimento y del suceso descrito. Determina además su probabilidad. a. Experimento: lanzar un dado y una moneda. Suceso: obtener cara y un número par. b. Experimento: lanzar un dado 3 veces. Suceso: Obtener 3 veces el 6. c. Experimento: escoger una tenida, entre tres camisas y dos pantalones. Suceso: escoger la camisa azul y un pantalón cualesquiera. d. Experimento: lanzar 4 veces una moneda. Suceso: obtener 4 sellos. e. Experimento: lanzar 3 monedas y un dado. Suceso: obtener 3 sellos y un número menor que 5.
C: escoger una letra que pertenezca a la palabra ODISEA, o bien a la palabra PARAÍSO.
Actividad
B: escoger una consonante que pertenezca a la palabra UNIVERSITARIO.
Utilizar el principio multiplicativo para calcular probabilidades
3 Experimento: escoger dos dígitos distintos al azar. Sucesos: A: que no tengan divisores comunes además del 1. B: que puedan formar un número mayor que 74. C: que ambos sean pares.
Autoevaluació Autoevaluación En la tabla que te entregará tu profesor(a), evalúa el nivel de dominio alcanzado. Luego, repasa en los sitios web que se indican si fuera necesario.
Repasa en los siguientes sitios web…. http://goo.gl/GGB7AL
Casos, eventos y cálculo de probabilidades.
http://goo.gl/1i8wi
Principio multiplicativo y cálculo de probabilidades.
UNIDAD 4 • DATOS Y AZAR
293
Lección
43
Propósito: utilizar conjuntos y su operatoria en el cálculo de probabilidades.
Debes saber… § Para calcular la proba-
bilidad de un suceso se determina la cantidad de casos posibles, lo que corresponde al espacio muestral. Luego se identifican los casos favorables y se calcula la división según la Regla de Laplace: P=
casos favorables casosposibles
Conjuntos y probabilidades Taller En grupos de 4 personas, realicen las siguientes actividades. José es veterinario en la región de Magallanes, y trabaja vacunando a los animales de los productores locales. Para determinar las medicinas que debe comprar ha consultado por el tipo de ganado que tienen los criadores de su pueblo, y obtuvo los siguientes resultados.
Las regiones más australes de nuestro país se destacan por la cantidad y calidad de su producción ganadera.
Tipo de ganado de los criadores Tipo de ganado Criadores Solo corderos 9 Solo vacunos 6 Corderos y vacunos 3 Cerdos 5 Para realizar la vacunación, José recorre al azar los campos. ¿Qué probabilidad tiene de encontrar los distintos tipos de ganado? Para averiguarlo, realiza el siguiente esquema, llamado Diagrama de Venn. Ganado Corderos
Vacunos 9
3
6
5 Cerdos
Llamaremos A y B, respectivamente, a los conjuntos de criadores de corderos y de vacunos, y U al conjunto que representa a todos los ganaderos. Si consideramos el experimento “visitar a un ganadero al azar que tenga algún tipo de ganado”, Ω es el espacio muestral de dicho experimento. Por lo tanto, P(Ω) = 1 José se pregunta: “¿Cuál es la probabilidad de que visite a un ganadero que tenga corderos?” Para responder estas preguntas, se apoya en el diagrama que acaba de realizar. Suceso
A: que tenga corderos. Corresponde a: los ganaderos que solo tienen corderos, más los que tienen corderos y vacunos.
294
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
Esquema A
Probabilidad B
9
3
6 5 C
P(A) =
9 3 12 + = 23 23 23
1
2
3
4
1 Calculen la probabilidad de los siguientes sucesos definidos. En cada caso, realicen un esquema para apoyarse. • P(B): probabilidad de que un ganadero tenga vacunos. U • A intersección B (P(A B)): probabilidad de que un ganadero tenga corderos y vacunos. • “A menos B” (P(A – B)): probabilidad de que tenga corderos, pero no vacunos. • “A complemento”, “complemento de A” o “no A” (P(AC)): la probabilidad de que no tenga corderos.
Ayuda U
Si A C = 0 (conjunto vacío), se dice que A y C son conjuntos disjuntos. Además, los sucesos asociados a ellos se llaman mutuamente excluyentes. P(0) = 0
• “A unión B” (P(A U B)): probabilidad de que tenga corderos o vacunos (o ambos). 2 Para cada una de las siguientes probabilidades, planteen una fórmula que las relacione, y justifiquen utilizando un diagrama de Venn. U U • P(A), P(A – B) y P(A B) • P(A), P(B), P(A B) y P(A U B) U • P(A) y P(AC) • P(A), P(C), P(A C) y P(A U C). Podemos utilizar conjuntos para definir distintos sucesos de un experimento aleatorio, y plantear las relaciones existentes entre ellos que nos permitan deducir sus probabilidades. En general, dado un experimento aleatorio con dos sucesos A y B, podemos definir las siguientes operaciones. A unión B A intersección B A
B
A U B: Que ocurra el suceso A o el suceso B o ambos sucesos.
A
A
U
B : Que ocurra el suceso A y el suceso B a la vez.
A menos B A
B
Complemento de A B
A
B
Razona A – B: Que ocurra el suceso A y no el suceso B.
Ac : Que no ocurra el suceso A.
y comenta
§ Si Pedro dice “ten-
En resumen Dado un experimento aleatorio y dos sucesos A y B, se tiene que: U P(A – B) = P(A) – P(A B) P(AC) = 1 – P(A) U P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A B) A y B son mutuamente excluyentes si ambos sucesos no pueden ocurrir de U manera simultánea A B = 0: P(A U B) = P(A) + P(B)
§
go lápices azules”, ¿significa que no tiene de otro color? ¿Qué sueles entender ante una afirmación así? Romina dice “mis cuadernos son verdes o rojos”. ¿Tiene cuadernos de los dos tipos? ¿Qué sueles entender ante una afirmación así?
UNIDAD 4 • DATOS Y AZAR
295
Practiquemos lo aprendido
Repaso 1. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos, con los experimentos asociados. Para hacerlo determina el espacio muestral e identifica los casos favorables. a) Lanzar un dado, y obtener un cinco. b) Escoger un número entre 1 y 20, y que salga el 9. c) Escoger una letra al azar del alfabeto, que sea una vocal. d) Lanzar un dado, y obtener un número impar. e) Escoger un número entre 1 y 20, que sea primo. f) Escoger una letra al azar del alfabeto, que se encuentre antes de la L. g) Lanzar cuatro monedas, y obtener cuatro sellos.
Práctica guiada 2. Define en cada caso el suceso pedido a partir del experimento (E) y el(los) suceso(s) indicado(s). Haz una lista de los casos favorables. Guíate por el ejemplo. E: Lanzar un dado. A: obtener un divisor de 6. B: obtener un número par. Define A – B. A = {1, 2, 3, 6} B = {2, 4, 6} A – B = {1, 3} A – B corresponde a obtener un divisor de 6 que no sea par. a) E: escoger una letra del alfabeto. A: escoger una vocal. B: escoger una letra de la palabra MAQUINA. Define A – B. b) E: sacar una carta de una baraja inglesa sin comodines. A: sacar un corazón. Define AC. c) E: escoger un día al azar de la semana. A: escoger un día después del martes B: escoger un día antes del sábado. U Define A B. d) E: escoger un número del 1 al 30. A: escoger un número par. B: escoger un múltiplo de 5. U Define A BC.
296
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
e) E: escoger una región de Chile. A: escoger una región al sur de la octava. B: escoger una región al norte de la décima. Define A UB.
3. Calcula en cada caso la probabilidad pedida. Guíate por el ejemplo: P(A) = 0,32; P(A
U
B) = 0,15.
Calcula P(A – B) U Se tiene que: P(A – B) = P(A) – P(A B) Entonces: P(A – B) = 0,32 - 0,15 P(A – B) = 0,17 a) P(A) = 0,78; P(B) = 0,65; P(A U B) = 0,8. Calcula P(A – B). b) P(A) = 0,24. Calcula P(AC). c) P(A) = 0,49; P(B) = 0,45; P(A U B) = 0,71. U Calcula P(A B). U d) P(B) = 0,13; P(A B) = 0,02; P(A U B) = 0,8. Calcula P(A). U e) P(A) = 0,33; P(B) = 0,22; P(A B) = 0,04. Calcula P(A U B).
4. Considera los siguientes sucesos al lanzar un dado de seis caras: A: obtener un número mayor que 3. B: obtener un número divisible por 3. a) Completa el diagrama de Venn que representa el experimento aleatorio y los sucesos A y B. A
B
U
b) Determina la probabilidad de que el resultado sea un número mayor que 3 o divisible por 3. c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un número mayor que 3 y divisible por 3?
1
2
3
4
Aplica
7. Desafío: Considera el siguiente diagrama y
Resuelve los siguientes problemas.
su explicación.
5. La siguiente tabla presenta las preferencias musicales de un grupo de personas, entre las cuales se sorteará un ipad. Completa la tabla.
Música rock
Hombre
Mujer
15
20
B A
U
B
Total
Música alternativa Total
A
25
=
32
Determina la probabilidad de cada suceso. a) Que la persona ganadora sea hombre. b) Que la persona ganadora sea mujer y prefiera la música alternativa.
Practiquemos lo aprendido
g) No obtener una bolita que esté numerada con un múltiplo de 5 o con un impar.
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A
U
B)
a) Observa el siguiente esquema: A
B
c) Que guste de la música rock o sea hombre. d) Que guste de la música alternativa y que no sea hombre. e) Que no prefiera la música alternativa.
6. Una tómbola contiene 15 bolitas numeradas del 1 al 15. Se extrae una bolita y se anota el número obtenido. a) Determina el conjunto correspondiente al suceso A: obtener una bolita numerada con un valor impar. b) Determina el conjunto correspondiente al suceso B: obtener una bolita numerada con un múltiplo de 5. Considerando lo anterior, determina la probabilidad de los siguientes sucesos: c) Obtener una bolita numerada con un múltiplo de 5 que además sea impar. d) Obtener una bolita numerada con un múltiplo de 5 o bien con un impar. e) Obtener una bolita numerada con un múltiplo de 5 que no sea impar. f) Obtener una bolita que no esté numerada con un múltiplo de 5 ni con un impar.
C
Utilízalo para mostrar que: P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A U U U U P(A C) – P(B C) + P(A B C)
U
B) –
b) Aplica este resultado para resolver el siguiente problema: en un grupo de 53 personas, a 27 les gusta el básquetbol, a 23 el fútbol y a 29 el vóleibol. A 9 les gusta el básquetbol y el fútbol, a 13 el básquetbol y el vóleibol y a 10 el fútbol y el vóleibol, mientras que a 6 les gustan los tres deportes. Calcula la probabilidad de que: • a una persona le guste algún deporte. • a una persona le guste solo el fútbol. • a una persona no le guste el básquetbol, pero sí le guste algún deporte.
8. Conexiones: Investiga en qué consiste el principio de inclusión y exclusión.
Reflexiona § ¿De qué manera la operatoria de conjuntos facilita el cálculo de probabilidades? Explica con tus palabras.
UNIDAD 4 • DATOS Y AZAR
297
Lección
44
Propósito: resolver problemas utilizando suma y producto de probabilidades.
Debes saber… § El principio multiplica-
tivo indica que, dado un experimento E1 con n casos posibles, y otro experimento E2 con m casos posibles, el experimento que resulta al realizar E1 y luego E2 tiene n•m casos posibles.
Producto y suma de probabilidades Taller En parejas, lean y realicen las siguientes actividades. Una urna contiene dos bolitas rojas y tres azules y se extraen dos de ellas, consecutivamente. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos bolitas de distinto color? Para analizar esta situación, se puede utilizar un diagrama de árbol en el que se registran todos los casos posibles al realizar cada extracción, y se señalan los casos favorables al experimento. Primera extracción Segunda extracción
Podemos observar que al realizar la primera extracción hay 5 bolitas que pueden ser escogidas, mientras que al realizar la segunda hay solo 4. Así, por principio multiplicativo, el experimento tiene 5 ∙ 4 = 20 casos totales. 1 ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos bolitas de distinto color? Utilice la regla de Laplace. 2 El primer caso favorable (señalado por la primera flecha, de izquierda a derecha) corresponde a la combinación de resultados “primera bolita roja y segunda bolita azul”. Describan, en palabras, las combinaciones de resultados que conforman los casos favorables. 3 Determinen la probabilidad de los siguientes sucesos: • • • •
Que la primera bolita sea roja. Que la primera bolita sea azul. Que la primera bolita sea roja y la segunda sea azul. Que la primera bolita sea azul y la segunda sea roja.
El diagrama de árbol realizado anteriormente se puede resumir considerando que, en realidad, cada extracción tiene dos resultados esencialmente distintos (que la bolita sea roja o que sea azul), a los que podemos cada vez, asignar una probabilidad, como se muestra:
2 5 1 4
3 4
3 5 2 4
2 4
4 Identifiquen nuevamente los casos favorables (en este caso son dos). ¿Cuál era la probabilidad de cada uno? ¿Qué operación relaciona estas cantidades con las probabilidades asociadas a la primera y la segunda extracción?
298
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1
2
3
4
5 En la pregunta 1 determinaron la probabilidad de ganar. ¿Qué operación relaciona esta probabilidad con las probabilidades de cada caso favorable? Expliquen. El suceso “extraer dos bolitas de distinto color” está compuesto de dos casos: que la primera bolita sea roja y la segunda azul, y que la primera sea azul y la segunda roja. Se trata de sucesos mutuamente excluyentes, pues no pueden ocurrir simultáneamente. Para calcular la probabilidad de cada caso, analizamos lo que ocurre en cada extracción, como se muestra: Caso roja y azul: Hay dos casos favorables en la primera extracción, y tres en la segunda. Por lo tanto, hay 2 • 3 = 6 casos favorables.
Por lo tanto: P(roja y azul) = 6 = 2 • 3 = 2 • 3 20 5• 4 5 4 Probabilidad de que la primera bolita sea roja.
Probabilidad de que la segunda bolita sea azul si la primera fue roja.
P(azul y roja) = 6 = 3• 2 = 3 • 2 20 5• 4 5 4 Probabilidad de que la primera bolita sea azul.
Caso azul y roja: Hay tres casos favorables en la primera extracción, y dos en la segunda. Por lo tanto, hay 3 • 2 = 6 casos favorables.
Probabilidad de que la segunda bolita sea roja si la primera fue azul.
Para ganar, puede ocurrir el caso roja y azul o bien el caso azul y roja. Luego:
Razona
y comenta
2 3 3 2 6 6 12 P(dosbolitas de distinto color) = P(rojo y azul) + P(azul y rojo) = • + • = + = 5 4 5 4 20 20 20 En general, cuando un suceso está formado por casos que deben ocurrir sucesivamente (es decir, que suceda uno y el otro) podemos multiplicar sus probabilidades. Además, si un suceso está compuesto por distintos casos mutuamente excluyentes, sumamos sus probabilidades.
En resumen Si en un experimento debe ocurrir primero un suceso A (con probabilidad P(A)) y luego un suceso B (con probabilidad P(B) luego de que ocurre A), se tiene que: P(A y B) = P(A) • P(B) Si un suceso C se compone de dos sucesos A y B mutuamente excluyentes, entonces: P(C) = P(A) + P(B)
§ Danitza plantea que la probabilidad de obtener una bolita roja es 2 , y la de extraer 5 una azul es 3 . Por lo 5 tanto, la probabilidad de obtener bolitas de distinto color es 2 3 3 2 6 6 12 • + • = + = 5 5 5 5 25 25 25 . ¿Qué error cometió?
§ Resuelve el problema planteado en la lección calculando la probabilidad del complemento, es decir, de que las bolitas sean del mismo color.
UNIDAD 4 • DATOS Y AZAR
299
Practiquemos lo aprendido
Repaso
Práctica guiada
1. Determina para cada situación el espacio
3. Resuelve los siguientes problemas utilizando un
muestral y la probabilidad del suceso correspondiente. a) Se lanzan 2 dados, y el producto de los números obtenidos es 12.
diagrama de árbol. Guíate por el ejemplo. Se extraen dos letras al azar de la palabra RARAS. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos letras iguales? Paso 1
Se dibuja el diagrama de árbol, y se asignan las probabilidades de cada caso.
b) Se lanzan tres monedas, y se obtienen tres sellos. c) Escoger una carta de una baraja inglesa (sin comodines), anotar su pinta, devolverla y extraer otra, y que ambas sean de picas.
2 5 R
d) Escoger al azar dos días de una semana, y que ambos correspondan al fin de semana (sábado o domingo). e) Escoger al azar un número mayor que 9 y menor que 100, y que la suma de sus cifras sea igual a 11.
2. Calcula las probabilidades de que ocurran los siguientes sucesos, considerando el experimento aleatorio que consiste en extraer una carta de un mazo de 52 naipes (sin comodines). Considera que el As es igual a 1. a) Obtener una carta mayor que 2 o múltiplo de 5. b) Obtener un 3 o un naipe cuya pinta sea trébol. c) Obtener un Rey o un As. d) Obtener una carta mayor que 10 o menor que 5. e) Obtener una carta de pinta negra, o una figura de picas. f) Obtener un As, o un corazón. g) No obtener un trébol, u obtener una carta de pinta roja. h) No obtener una figura, o bien no obtener un trébol. i) Obtener un corazón que no sea un número par, u obtener una figura de pinta roja.
2 5 A
1 4 R
2 4 A
Paso 2
1 4
2 4 S
R
A
S 1 4
2 4 S
R
2 4 A
Identifica los casos favorables y multiplica sus probabilidades.
Caso RR: 2 • 1 = 2 5 4
Paso 3
1 4
1 5
20
Caso AA: 2 • 1 = 2 5 4
20
Suma las probabilidades anteriores. P=
2 2 4 + = 20 20 20
a) Se extraen dos letras de la palabra AMALIA. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos letras iguales? b) En un curso hay 15 mujeres y 14 hombres. Si se eligen al azar 2 estudiantes, ¿cuál es la probabilidad de que sean mujeres? c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par al sumar dos dígitos menores que 7? d) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar tres monedas al aire se obtenga como resultado más de una cara? e) Se escriben, cada uno en un papel, los dígitos desde el 1 al 9. Si se eligen al azar dos papeles, ¿cuál es la probabilidad de obtener como diferencia entre los dígitos el número 3? f) ¿Cuál es la probabilidad de obtener, como suma de los puntajes de lanzar dos dados de seis caras, un puntaje mayor que 9?
300
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1
Resuelve los siguientes problemas.
4. La siguiente tabla muestra la cantidad de hombres y mujeres de un grupo de personas encuestadas que eligen entre dos planes de conexión a internet. Entre ellas se realizará un sorteo. Elección de planes de conexión a internet Plan Hombres Mujeres Total
A B Total
105
3
4
En una ciudad se estima que el 20% de las personas padece una determinada enfermedad. Si un examen se aplica a una persona al azar de dicha ciudad, la probabilidad de que el examen arroje un falso positivo es de un 1,6%, mientras que la probabilidad de que arroje un falso negativo es de 0,6%. ¿Cuál es la probabilidad de que el examen indique que una persona está sana? ¿Cuál es la probabilidad de que el examen indique que está enferma?
Practiquemos lo aprendido
Aplica
2
7. Desafío: a una reunión internacional han asistido
90 500 240
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el ganador sea hombre? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el ganador sea mujer y haya escogido el plan A?
201 personas, de 5 nacionalidades diferentes. En todos los grupos de 6 personas que pueden formarse, siempre hay al menos dos personas que tienen la misma edad. Demuestra que, entre los asistentes a la reunión, hay al menos 5 personas de la misma nacionalidad, de la misma edad y del mismo sexo.
8. Conexiones: el escritor británico George Bernard
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el ganador haya escogido el plan A o el plan B?
Shaw es el autor del siguiente apunte, refiriéndose a las personas que siempre están cansadas:
d) ¿Cuál es la probabilidad de que el ganador no haya elegido ninguno de los planes?
"El año tiene 365 días de 24 horas, de las cuales 12 están dedicadas a la noche y hacen un total de 182 días, por lo tanto, solo quedan 183 días hábiles menos 52 sábados y 52 domingos, quedan un total de 79 días, pero hay 4 horas diarias dedicadas a las comidas sumando 60 días, lo que quiere decir que quedan 19 días dedicados al trabajo, pero como usted goza de 15 días de vacaciones, solo le quedan 4 días para trabajar, menos, aproximadamente, 3 días de permiso que utiliza para hacer diligencias o estar enfermo, solo le queda un día para trabajar, pero ese día es precisamente el día del trabajo (1º de mayo) y, por lo tanto, no se trabaja por ser festivo"; entonces...¿de qué se siente cansado?
5. Nibaldo va los sábados a la feria, y las tres cuartas partes de las veces que va lleva su bolsa. Cuando la lleva, el 80% de las veces compra pescado, mientras que si no la lleva solo lo hace la mitad de las veces. ¿Cuál es la probabilidad de que un sábado no compre pescado?
6. Conexiones: en medicina se aplican exámenes para detectar enfermedades, que a veces fallan. Cuando una persona sana es señalada como enferma por el examen se dice que es un falso positivo. A la inversa, si la persona está enferma y el examen indica que está sana se trata de un falso negativo.
¿Cuál es la “trampa” del texto? Discute con tus compañeros?
Reflexiona § ¿Por qué es importante identificar si dos sucesos tienen casos en común? § Dos sucesos se llaman dicotómicos si no pueden tener casos en común, por su naturaleza. En cambio, hay sucesos que en ocasiones no tienen casos en común. Da dos ejemplos de cada uno.
UNIDAD 4 • DATOS Y AZAR
301
45 Lección
Propósito: identificar sucesos independientes en experimentos aleatorios.
Eventos independientes Carmen quiere realizar el experimento de la lección anterior (sacar dos veces una bolita de una urna con dos rojas y tres azules) con una diferencia: extraerá la bolita y anotará su color, y luego la devolverá a la urna para extraer por segunda vez. ¿Cuál es ahora la probabilidad de extraer dos bolitas de distinto color? Para averiguarlo, realiza el siguiente razonamiento: Paso 1
Los casos favorables corresponden, nuevamente, a sacar una bolita roja y una azul, o sacar una azul y una roja. Es decir: P(bolitas de distinto color) = P(R y A) + P(A y R)
Paso 2
2 5 2 5
3 5
Al sacar una bolita de la urna por primera vez, la probabilidad de sacar una bolita roja es 2 , mientras que la probabilidad de sacar una azul es 3 . 5 5 Al realizar la segunda extracción, estas probabilidades se mantienen, pues la primera bolita es devuelta a la urna. Por lo tanto:
3 5 2 5
Abraham De Moivre, matemático francés (1667-1754), definió formalmente la dependencia e independencia de sucesos.
P(bolitas de distinto color) = P(R y A) + P(A y R)
3 5
2 3 3 2 = • + • 5 5 5 5 6 12 6 = + = 25 25 25 Por lo tanto, la probabilidad de extraer dos bolitas de distinto color es 12 igual a . 25
Razona
y comenta
§ Si lanzas un dado y
§
302
obtienes un 3, ¿cambia la probabilidad de obtener un 3 en el siguiente lanzamiento? Los resultados de un dado, ¿son dependientes o independientes? Da dos ejemplos de sucesos dependientes y dos de independientes, asociados a algún experimento.
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
Podemos observar que en este experimento la probabilidad del color de la segunda bolita extraída es independiente del color que haya tenido la primera bolita. En general, decimos que dos sucesos son independientes si la ocurrencia de uno no afecta en la probabilidad de ocurrencia del otro. Cuando dos sucesos son independientes, mantienen su probabilidad, por lo que esta puede multiplicarse sucesivamente, sin cambiar, para calcular la probabilidad de un evento. En resumen Dos sucesos A y B son independientes si la ocurrencia de uno no influye en la ocurrencia del otro. Además se cumple que: P(A y B) = P(A) • P(B) En caso de que la ocurrencia de A influya sobre la probabilidad de B (y viceversa), los sucesos son dependientes. En tal caso, P(A y B) ≠ P(A) • P(B)
1
2
3
Aplica
1. Calcula, en cada caso, la probabilidad del
4. Una caja contiene 10 bolitas numeradas del 1
suceso indicado. a) Obtener tres caras consecutivas al lanzar una moneda. b) Lanzar un dado cinco veces y obtener la secuencia 3, 3, 5, 6, 2. c) Lanzar un dado cuatro veces, y obtener solo números pares. d) Sacar tres cartas de una baraja de 52, y obtener sólo tréboles o diamantes. e) Se escoge un dígito al azar de 0 a 6 cuatro veces, para formar un número. Se obtiene un número mayor que 4320.
al 10. El experimento consiste en “extraer dos bolitas, una primero y otra después” se define los siguientes sucesos: A: obtener una bolita con un número par en la primera extracción. B: obtener una bolita con un múltiplo de 3 en la segunda extracción.
Practiquemos lo aprendido
Repaso
4
a) ¿Son independientes los sucesos si se repone la bolita en la primera extracción? Fundamenta. b) ¿Qué ocurre con los sucesos si no se repone la bolita?
5. Se dispone de 2 urnas con fichas de colores, como muestra la figura, y se extrae una ficha de cada una.
Práctica guiada 2. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos, sabiendo que los sucesos A y B son independientes. Utiliza lo visto en la página anterior. Guíate por el ejemplo: P(A) = 0,4; P(B) = 0,3. Calcula P(A y B) Ya que los sucesos son independientes, P(A y B) = P(A) • P(B). Por lo tanto: P(A y B) = 0,4 • 0,3 = 0,12 a) P(A) = 0,77; P(B) = 0,99. Calcula P(A y B). b) P(A) = 0,01; P(B) = 0,9. Calcula P(A y B).
3. Determina si los sucesos A y B son independientes. Guíate por el ejemplo: P(A) = 0,5; P(B) = 0,6; P(A y B) = 0,3 Los sucesos son independientes si P(A) • P(B) = P(A y B). Luego, verificando: 0,5 • 0,6 = 0,3 = P(A) • P(B) Por lo tanto, los sucesos son independientes. a) P(A) = 0,2; P(B) = 0,3; P(A y B) = 0,06. b) P(A) = 0,4; P(B) = 0,5; P(A y B) = 0,16.
Reflexiona
a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha roja y una azul? b) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha roja y una amarilla? c) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha verde y una no azul?
6. En un grupo de personas la probabilidad de escoger al azar a una persona con cierta enfermedad es de un 10%. a) Supón que en el grupo hay 100 personas. Calcula la probabilidad de escoger al azar a dos personas y que tengan la enfermedad. b) Supón que en el grupo hay 1000 personas. Calcula la probabilidad de escoger al azar a dos personas y que tengan la enfermedad. c) Supón que en el grupo hay 1000 personas. Calcula la probabilidad de escoger al azar a dos personas y que tengan la enfermedad. d) Supón que en el grupo hay 10 000 personas. Calcula la probabilidad de escoger al azar a dos personas y que tengan la enfermedad. e) Compara las probabilidades anteriores con el producto 0,1 • 0,1. ¿Qué puedes concluir?
§ Explica con tus palabras lo que significa que dos sucesos de un experimento sean independientes. § Si dos sucesos A y B son dependientes, ¿puede afirmarse que A es causa de B? ¿o que B es causa de A? Justifica. UNIDAD 4 • DATOS Y AZAR
303
Lección
46
Propósito: utilizar herramientas de combinatoria en el cálculo de probabilidades.
Debes saber…
Combinatoria y probabilidades
§ Un diagrama de árbol
permite representar una secuencia de realizaciones de un experimento. En cada etapa, sus ramas indican la cantidad de casos posibles que existen para cada una.
Guadalupe debe seleccionar entre 5 de sus compañeros (Alfredo, Beatriz, Carolina, Diego y Eugenia) a 3 de ellos, que representen al liceo en una competencia. Para ello, quiere averiguar cuántas posibilidades tiene de hacerlo. Pretende realizar un diagrama de árbol, pero Alonso le sugiere hacerlo solo imaginando que construye el diagrama, mediante los siguientes pasos. Paso 1
Si tuviera que escoger a sus cinco compañeros en orden, tendría 5 posibilidades para escoger al primero. Luego, para escoger al segundo, tendría solo 4 posibilidades, 3 para el tercero, 2 para el cuarto y 1 para el quinto. Por lo tanto, el diagrama de árbol tendría: 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120 posibilidades A este producto, 5 • 4 • 3 • 2 • 1 le llamaremos 5 factorial, que se escribe 5!. En general, se puede calcular el factorial de cualquier número natural n, multiplicando entre sí todos los números naturales menores o iguales que él. n! corresponde a la cantidad de formas en que podemos ordenar en una fila a n personas (llamadas también permutaciones). Se anota Pn = n!
Paso 2
Ya que solo debe escoger a 3 de sus compañeros, el árbol habría llegado hasta la tercera etapa, es decir, habría tenido solo 5 • 4 • 3 = 60 posibilidades. Alonso observa que al “suprimir” las últimas dos etapas en el diagrama de árbol ha debido dividir por 1 • 2 = 2 el número de casos, es decir:
60 =
120 5 • 4 • 3 • 2 •1 5! 5! = = = 2 2 •1 2! (5 − 3)!
5! le llamaremos variación de 3 objetos escogidos (5 − 3)! entre 5 o simplemente variación de 5 sobre 3 (se anota V35 ), y corresponde a la cantidad de formas en que podemos escoger, en orden, 3 objetos entre 5 disponibles. Al número
En general, dados dos números naturales m y n, con m > n, se tiene que:
Vnm =
304
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
m! (m – n)!
1 Paso 3
2
3
4
Al considerar 60 casos se está pensando que escoger, por ejemplo a Alfredo, Beatriz y Carolina es distinto que escoger a Carolina, Alfredo y Beatriz. Ya que 3 personas pueden ordenarse de 3! = 1 • 2 • 3 = 6 maneras, debemos dividir los 60 casos por 6, para obtener las formas de escogerlos sin importar el orden:
5! 60 5! 5! = 10 = 2! = = 6 3! 3! • 2! (5 − 3)! • 3! Al número
5! le llamaremos combinación de 5 sobre 3 (5 − 3)! • 3! (se anota C 35 ), y corresponde a la cantidad de formas en que podemos
Ayuda
escoger, sin importar el orden, 3 objetos entre 5 disponibles.
nombre de número combinatorio, se lee “m sobre n”. Recuerda que por principio multiplicativo, las posibilidades de escoger a dos hombres se multiplican por las de escoger a una mujer, para obtener el total de casos posibles.
En general, dados dos números naturales m y n, con m>n, se tiene que:
Cnm =
m m! = (m − n)! • n! n
Si Guadalupe quiere averiguar la probabilidad de escoger a dos hombres y una mujer, solo le falta determinar los casos favorables: •
Posibilidades de escoger a 2 hombres entre 3: 1• 2 • 3 3! =3 C23 = = (3 − 2)! • 2! 1•1• 2
•
Posibilidades de escoger a 1 mujer entre 2:
C12 = •
La expresión m recibe el n
2! 2! = =2 (2 −1)! •1! 1! •1!
Posibilidades de escoger a 2 hombres entre 3 y 1 mujer entre 2: C23 • C12 = 3 • 2 = 6
Por lo tanto, la probabilidad de escoger a dos hombres y una mujer es
Razona
y comenta
C23 • C12 3 • 2 6 P= = = 10 10 C35
§ Si Guadalupe debe
En resumen • Si n es un entero positivo, se llama n factorial (n!) al producto n • (n – 1) • (n – 2) • … 3 • 2 • 1. Por definición 0! = 1 • Se llama permutación (Pn) a la cantidad de formas que podemos ordenar Pn = n! linealmente n elementos. • Se llama Variación (Vnm ) a la permutación de n elementos que se seleccionan de un conjunto de m elementos distintos. • Se llama Combinación ( C nm ) a la cantidad de los distintos grupos que se pueden formar con n elementos escogidos de entre m, sin considerar el orden.
Cnm =
Vnm =
m! (m–n)!
m m! = (m-n)! • n! n
§
escoger a sus compañeros para formar una directiva del curso, ¿es importante el orden en que los seleccione? ¿Cuál sería, en ese caso, la probabilidad de escoger a dos hombres y una mujer? Justifica. ¿En qué casos es importante el orden en que se escojan los elementos de un conjunto? Explica.
UNIDAD 4 • DATOS Y AZAR
305
Practiquemos lo aprendido
3. Resuelve los siguientes problemas. Guíate por
Repaso 1. Calcula la cantidad de casos posibles de los siguientes experimentos. a) Lanzar una moneda 5 veces. b) Escoger al azar un menú considerando 3 posibles entradas, 4 platos de fondo y dos postres. c) La cantidad de patentes de auto que se pueden formar, utilizando 4 consonantes y 2 dígitos. d) Generar al azar una clave secreta, que debe contener 6 caracteres que pueden ser números o letras (sin la ñ).
el ejemplo. Mariano tiene 5 lápices a tinta y 8 lápices de grafito, y quiere llevar a su colegio 7 lápices en total. Si los selecciona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que escoja 3 lápices de tinta? Paso 1
13 13! 13! 7 = (13 − 7)! • 7! = 6! • 7! =
Práctica guiada
=
2. Resuelve los siguientes problemas. Guíate por
Se determinan los casos posibles, que corresponden a las permutaciones de 4 letras, es decir:
Paso 2
P4 = 4! = 1 • 2 • 3 • 4 = 24
8 • 9 • 10 • 11• 12 • 13 1• 2 • 3 • 4 • 5 • 6
Ya que la palabra SUMA es uno de esos casos, su probabilidad es: 1 P= 4
b) Se escogen al azar los diez dígitos. ¿Cuál es la probabilidad de escoger la combinación 7639410825? c) Se escogen al azar tres vocales. ¿Cuál es la probabilidad de escoger la combinación EAI? d) ¿Cuántas palabras de 4 letras, con o sin sentido, se pueden formar con las letras de la palabra PLUMAS? ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger una de estas palabras sea elegida LUSA? e) Si entre 11 políticos se escogerá a 6 senadores, ¿cuántas posibles combinaciones se pueden elegir? ¿Cuál es la probabilidad de escoger aleatoriamente un determinado grupo de senadores? MATEMÁTICA 2.º MEDIO
Calcula la cantidad de formas de escoger 3 lápices de tinta, de entre los 5 que tiene. 5 5! 5! 3 = (5 − 3)! • 3! = 2! • 3! =
1• 2 • 3 • 4 • 5 1• 2 • 1• 2 • 3
4•5 1• 2 20 = = 10 2 =
a) Se seleccionan al azar las letras de la palabra COMPLETA. ¿Cuál es la probabilidad de escoger la palabra PLECOMTA?
306
1• 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 1• 2 • 3 • 4 • 5 • 6
=
Se seleccionan al azar las letras de la palabra SUMA ¿Cuál es la probabilidad de que se escoja esta palabra?
Paso 2
1• 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8 • 9 • 10 • 11• 12 • 13
8 • 9 • 11• 13 1• 6 10 296 = 6 = 1716
el ejemplo.
Paso 1
Calcula la cantidad de formas de escoger 7 lápices de entre 5 + 8 = 13 lápices en total.
Paso 3
Calcula la cantidad de formas de escoger 4 lápices de grafito, de entre los 8 que tiene. 8 8! 8! 4 = (8 − 4)! • 4! = 4! • 4! =
1• 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8 1• 2 • 3 • 4 • 1• 2 • 3 • 4
5•6•7•8 1• 2 • 3 • 4 1680 = = 70 24 =
1 Por lo tanto, la probabilidad P pedida es
5 3 P= 13 7
8 4 10 • 70 700 175 = = = 1716 1716 429
Utiliza el procedimiento anterior para resolver los siguientes problemas: a) De un grupo de cuatro mujeres y dos hombres se seleccionan tres personas. ¿Cuál es la probabilidad de que queden seleccionados los dos hombres? b) Considerando el problema anterior, ¿cuál es la probabilidad de que queden seleccionadas tres mujeres? c) Un entrenador de un equipo de fútbol debe escoger a la delegación de 22 jugadores que viajarán a un campeonato. Para ello debe escoger a 2 arqueros de los 3 que tiene, a 6 defensas de 10, 8 mediocampistas de 12 y a 6 delanteros de 9. ¿Cuál es la probabilidad de que dos defensas y un mediocampista cualquiera queden seleccionados? d) Rebeca e Irene trabajan haciendo turnos en un hospital. De los siete días de la semana, deben escoger 3 que serán sus días libres; Rebeca debe escoger sus días de lunes a jueves e Irene, de jueves a domingo. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de ellas trabaje el jueves?
Aplica Resuelve los siguientes problemas.
4. ¿Cuántas palabras con o sin sentido se pueden formar con las letras de la palabra PALTOS, de tal modo que comiencen con P y terminen con S?
3
4
5. Martín quiere sacarse una foto con su familia, compuesta por su papá, su mamá, él y sus dos hermanos. Para eso, se pondrán al azar uno al lado del otro. ¿Cuál es la probabilidad de que sus dos padres queden juntos en la foto?
6. Paulina quiere adornar su casa con plantas, para lo que le encarga a su hermano que compre 2 plantas de interior y 5 de exterior. En la tienda su hermano compra las plantas al azar (todas distintas) pues no las distingue. Si en la tienda había 6 tipos de plantas de interior y 8 de exterior, ¿cuál es la probabilidad de que cumpla con el deseo de Paulina?
Practiquemos lo aprendido
Paso 4
2
7. En un plano cartesiano hay 5 puntos no colineales (A, B, C, D y E), es decir, no pertenecen a una misma recta, ¿cuántos triángulos es posible dibujar? ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger 3 de los 5 puntos para formar un triángulo se elijan los puntos A, B y C?
8. Un profesor interrogará a la mitad de los estudiantes de un curso de 38. Si uno de ellos no estudió, ¿cuál es la probabilidad de que no salga seleccionado?
9. La clave de un maletín de seguridad está compuesto por 5 dígitos. A su dueño se le olvidó la clave, solo sabe que comienza con un número primo. ¿Cuál es la probabilidad de que, al tratar de abrir el maletín, acierte con la clave al primer intento?
10. Se formará un equipo de 4 mujeres y 3 hombres elegidos entre 12 mujeres y 18 hombres. Pablo y Camila son hermanos, ¿cuál es la probabilidad de que ellos conformen juntos el equipo?
11. Desafío: Marcela es hermana de Raúl, y Constanza es hermana de Beatriz, mientras que Leonardo no es hermano de los anteriores nombrados. ¿Cuál es la probabilidad de escoger al azar a dos personas de este grupo que sean de distinto sexo o que sean hermanos?
Reflexiona § ¿De qué manera facilita la resolución de problemas de probabilidad el uso de combinatoria? Explica. § Resuelve los ejercicios 3, 4 y 5 de la lección 44, utilizando combinatoria en lugar de diagramas de árbol. ¿Confirma lo que respondiste en la pregunta anterior? Justifica.
UNIDAD 4 • DATOS Y AZAR
307
Resolución de problemas Analiza la resolución del siguiente problema. En un conjunto de cartas de una baraja inglesa sin comodines, la probabilidad de extraer una K es 2 , la pro9
babilidad de extraer una carta de pinta negra es 6 y la de extraer una carta que sea de pinta roja o K es 5 . 9
¿Está entre esas cartas la K de corazón?
9
Paso 1 Comprende el enunciado a. ¿Qué datos son necesarios para responder la pregunta? La probabilidad de los casos dados, y las características de las cartas b. ¿Qué información entrega el enunciado del problema? Las probabilidades que hay de extraer distintos tipos de cartas de un grupo de ellas. Paso 2 Planifica lo que vas a realizar En primer lugar se definirán eventos y sus probabilidades. Además, se extraen otras probabilidades a partir de las ya definidas. Luego se aplican las fórmulas conocidas para calcular probabilidades, analizando si los eventos son excluyentes o no. Paso 3 Resuelve el problema Se definen los sucesos y sus probabilidades: K: extraer una K → P(K) = 2
N: extraer una carta de pinta negra → P(N) =
9
6 9
K U R: extraer una K o una carta de pinta roja → P(K U R) = 5 9
Los sucesos “extraer una carta de pinta roja” y “extraer una carta de pinta negra” son excluyentes, por lo que 6 9
3 9
si la probabilidad extraer una carta de pinta roja es igual a P(R) = 1− = . Tenemos que
U P(K U R) = P(K) + P(R) – P(K R) U U 5 2 3 = + − P(K R) → P(K R) = 0
9
9
9
La probabilidad de extraer una K de pinta roja es 0, por lo que la K de corazón no puede estar entre ellas. Paso 4 Revisa la solución Forma grupos de cartas que incluyan la K de corazón, e intenta obtener las probabilidades dadas, para verificar que no es posible.
Podrás aplicar lo aprendido aquí en los problemas que se presentan en la página 310. 308
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
Para no cometer errores Analiza la situación Tres equipos, A, B y C, disputan un torneo entre sí, de modo que los dos primeros clasifican al campeonato nacional. Andrea deduce que la probabilidad de que cada equipo clasifique es igual a 1 ya que son 3 equipos. Para comprobarlo, define los sucesos A, B y C según 3 clasifiquen los colegios respectivos, y obtiene que: 1 1 1 P(A) + P(B) + P(C) = + + = 1 3 3 3
1
2
y comenta
§ ¿Cuál es el error cometido por Andrea? § ¿Qué otros errores pueden cometerse al sumar probabilidades?
Analiza la situación Ramiro participa en un concurso en el que lanza una ruleta con números del 1 al 10. Le dicen que pierde si obtiene un número impar y múltiplo de 3, y en caso contrario gana. Para analizar su probabilidad de ganar, define los siguientes eventos: A: obtener un número impar B: obtener un múltiplo de 3 A y B: obtener un impar y múltiplo de 3 Ya que con A y B pierde, Ramiro considera que gana si ocurre el suceso (A y B)C, es decir, AC y BC, que corresponde a que salga un número par que no sea múltiplo de 3. Es decir: AC y BC = {2, 4, 8, 10} Por lo tanto, su probabilidad de ganar es
4 2 = . 10 5
4
Aprende la forma correcta Andrea no consideró que al haber dos clasificados en el torneo, los sucesos A, B y C no son excluyentes, por lo que no corresponde sumar sus probabilidades. Ya que clasifican 2 equipos, pueden darse las siguientes combinaciones: AB
Razona
3
AC
BC
Para cada equipo, hay dos combinaciones que le favorecen. Luego, la probabilidad de clasificar es 2 . 3
Aprende la forma correcta (A y B)C no es equivalente a AC y BC sino a AC U BC, como se puede deducir: A = {1, 3, 5, 7, 9} B = {3, 6, 9} AC = {2, 4, 6, 8, 10} AC = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} A y B = {3, 9} (A y B)C = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10} AC U BC = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10} Por lo tanto, su probabilidad de ganar es 8 = 4 . 10 5
Razona
y comenta
§ ¿Cuál es el error cometido por Ramiro? § ¿Qué otros errores pueden cometerse al operar conjuntos??
Reflexiona § ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores? § Respecto a los que no cometiste, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos? § Revisa los ejercicios que hayas resuelto en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes tomar para no volver a cometerlos?
UNIDAD 4 • DATOS Y AZAR
309
Integrando lo aprendido Lección 43: Conjuntos y probabilidades 1 Sean A y B dos sucesos de un experimento, de 1 5 7 modo que P(A U B) = , P(A B) = y P(A c ) = . 8 8 8 Calcula: a. P(A) U
b. P(B) c. P(A – B) 2 Dado el experimento E: Lanzar dos dados de seis caras, se definen los siguientes sucesos: A: Obtener la misma cantidad de puntos en ambos dados. B: Obtener dos puntos en el primer lanzamiento. a. Determina el espacio muestral del experimento. b. Determina los conjuntos asociados a los sucesos A y B, A U B, A B, Ac y Bc. U
a. P(A) b. P(B) c. P(A
U
Evaluación
3 Considerando la pregunta anterior, calcula:
B)
d. P(A U B) e. P(A – B) 4 Determina en cada caso si los sucesos A y B, asociados al experimento E son mutuamente excluyentes o no. a. E: escoger un día del año al azar. A: que llueva ese día. B: que esté nublado ese día. b. E: escoger un número del 1 al 30. A: escoger un múltiplo de 7. B: escoger un múltiplo de 5. c. E: escoger al azar una carta de un naipe inglés. A: que salga un 3. B: que salga una figura. 5 El 25% de los habitantes de una ciudad escucha un noticiero de la radio por la mañana, el 35% lo escucha por la noche y se sabe que el 10% escucha ambos noticieros. Si se escoge una persona al azar de esta ciudad, calcula la probabilidad de que:
310
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
a. escuche el noticiero de la mañana o de la noche. b. no escuche ninguno de los noticieros. c. escuche solo noticiero de la mañana o solo el de la noche. d. escuche el de la noche pero no el de la mañana.
Lección 44: Producto y suma de probabilidades 6 Laura vive en Chillán y en sus vacaciones pretende viajar a Talcahuano o a Constitución. Para alojar, debe decidir entre un camping, una residencial o la casa de las amigas a las que quiere visitar. Si todo lo escogerá al azar: a. ¿Cuál es la probabilidad de que aloje en un camping de Talcahuano? b. ¿Cuál es la probabilidad de que se aloje en una residencial? c. ¿Cuál es la probabilidad de que no aloje en un camping? 7 Una caja contiene bolitas numeradas del 1 al 15. Se realiza el experimento que consiste en extraer una de ellas, dejarla aparte y sacar otra. a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una bolita con un número impar en la primera extracción y una con un número impar en la segunda? b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener bolitas cuyos números tengan suma impar? c. ¿Cuál es la probabilidad de escoger dos bolitas de modo que el producto de sus números sea par? 8 Josefa debe escoger al azar dos días de una semana para hacer un taller. Si lo hace al azar, ¿cuál es la probabilidad de que escoja dos días seguidos, pero que no esté el lunes entre ellos?
Lección 45: Eventos independientes 9 Se sacan consecutivamente tres cartas al azar de un mazo inglés, reponiéndolas cada vez. Calcula la probabilidad de los siguientes eventos: a. obtener tres ases. b. obtener un rey, un corazón y un trébol (sin importar el orden). c. obtener tres cartas de pinta roja.
1
d. obtener dos números menores que 6.
c. ¿Cuál es la probabilidad de que Óscar obtenga el 60% de la prueba correcta?
14 5 mujeres y 3 hombres quieren jugar un partido de básquetbol mixto, para lo que deben seleccionar a 5 jugadores.
11 Un dado se ha trucado de tal forma que: P(2) = P(4) = P(5) y P(1) = P(3) = P(6) = 2P(5). Si se lanza dos veces, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:
a. ¿Cuántos equipos se pueden formar, si cada jugador puede ocupar cualquier puesto y el equipo puede tener solo mujeres?
a. obtener un 2 y un 3.
b. ¿Cuántos equipos se pueden formar, si el equipo puede debe tener hombres y mujeres?
b. obtener dos números pares. c. obtener el 6 y un número impar.
c. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo este conformado por tres mujeres y dos hombres?
12 Se lanza dos veces la ruleta de la figura.
15 Estefanía y Bárbara forman una fila junto a 3 compañeros de su curso.
4 5
10 9
8
7
a. ¿Cuál es la probabilidad de que Bárbara quede justo detrás de Estefanía?
6
Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a. obtener un 1 y un múltiplo de 4.
Evaluación
d. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo tenga a lo más 3 mujeres?
3
11
Lección 46: Combinatoria y probabilidades 13 ¿Cuántas palabras (con o sin sentido) se pueden formar con las letras de la palabra SUYAI de manera que siempre comiencen con S y terminen con I?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que Óscar tenga la mitad de las respuestas correctas?
2
4
c. obtener un número impar y uno mayor que 8.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que Óscar responda todo correctamente?
1
3
b. obtener un número impar y un número primo.
10 Una prueba de matemáticas consta de 30 preguntas de cinco alternativas cada una. Óscar no estudió y decide recurrir a la suerte en cada una de ellas, respondiendo al azar.
12
2
b. ¿Cuál es la probabilidad de que Estefanía quede en cualquier posición delante de Bárbara?
Autoevaluació Autoevaluación Evalúa tu aprendizaje utilizando el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las páginas indicadas para repasar. Indicador
Utilizar conjuntos y su operatoria en el cálculo de probabilidades. Resolver problemas utilizando suma y producto de probabilidades. Identificar sucesos independientes en experimentos aleatorios. Utilizar herramientas de combinatoria en el cálculo de probabilidades.
Mínimo sugerido por ítem
Ítem 1: 2/3 Ítem 2: 1/2 Ítem 3: 3/5 Ítem 6: 2/3 Ítem 7: 2/3 Ítem 9: 2/3 Ítem 10: 2/3 Ítem 13: 1/1 Ítem 14: 2/4
ítem 4: 2/3 ítem 5: 2/4 Ítem 8: 1/1 Ítem 11: 2/3 ítem 12: 2/3 Ítem 15: 1/2
Puedes repasar en la(s) página(s)
294 y 295 298 y 299 302 304 y 305
UNIDAD 4 • DATOS Y AZAR
311
l a r u m o i r a i D La falacia del fiscal Muchos casos judiciales, en los que se debe declarar la inocencia o culpabilidad de un acusado dependen, finalmente, de cuestiones probabilísticas. En estos casos, la ignorancia de algunos principios matemáticos puede ocasionar graves errores, como se relata a continuación. Supongamos que usted es un juez. Tiene que juzgar un caso difícil: una madre a la que se acusa de causar la muerte sus dos hijos recién nacidos. La defensa argumenta que se trata de dos casos de “muerte súbita del lactante”, un fenómeno sin causa conocida que afecta a uno de cada 8500 nacidos. Con estos datos, usted razona que la probabilidad de que esto ocurra en dos ocasiones es
1 1 1 . • = 8500 8500 72 250 000
Por lo tanto, la probabilidad de que la acusada sea inocente es de, aproximadamente, 1 entre 72 millones. Esto es tan inverosímil que la declara culpable.
Multiplicando probabilidades Pero ¿dónde está el error? En realidad, hay dos errores graves en el razonamiento del jurado. En primer lugar, que la probabilidad de muerte súbita del primer hermano sea de 1 entre 8500 no significa que la de los dos sea el producto de ellas, porque las probabilidades sólo se multiplican si los sucesos son independientes.
Esto fue ignorado por el prestigioso pediatra que testificó como experto ante el tribunal, y convenció Bien, pues resulta que no se trata de un caso hipotético. al jurado de que la probabilidad era de una entre Es el caso de Sally Clark, que fue juzgada en Inglaterra 72 millones: tal cosa debería ocurrir menos de una en noviembre de 1999, acusada del parricidio de sus vez por siglo en Inglaterra. Los datos que manejó hijos Christopher (muerto en 1996), y Harry (en 1998). el pediatra no detallaban si había más incidencia Ocho de los diez miembros del jurado razonaron de muertes súbitas en familias en las que ya había como usted y Sally fue condenada a cadena perpetua. habido alguna. En un fenómeno tan raro es difícil Tres años después fue puesta en libertad al revocarse tener datos significativos. Y sin embargo, es de la sentencia, que fue sentido común pensar que puede calificada como uno haber tal correlación: la primera de los mayores errores muerte súbita tendrá alguna causa, por ¿Cómo se establecen las judiciales de la historia tan os men más que la desconozcamos, y parece probabilidades de fenó moderna de Gran probable que esa causa pudiera actuar lisis aná el e extraños? Solo mediant Bretaña. Para Sally Clark también en el segundo hermano de muestras, cuya dispersión es fue demasiado tarde. No (es lo que ocurriría, por ejemplo, si consiguió sobreponerse estimativa. En muchos casos se la muerte tuviera relación con un a su desgracia. El 15 de defecto genético). Después del juicio, habla de algo que ocurre “cada tres marzo de 2007 apareció es no ente un matemático de la Universidad de iam obv mil años”, lo que muerta en su casa, Salford analizó los datos y estimó comprobable. víctima del alcoholismo. que la probabilidad de una segunda 1 1 muerte súbita estaba entre y . 60 130 1 Tomando como “promedio” , la probabilidad de 100
dos muertes es de 1 entre 850 000, no una entre 72 millones. 312
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
La falacia del fiscal De todas maneras, podemos pensar, sigue siendo una probabilidad ínfima: ¡casi una en un millón! El problema (y ahí está el segundo error, el más grave) es que lo que hemos calculado (la probabilidad de dos muertes súbitas en una familia) no es la probabilidad de que Sally sea inocente. Confundir ambas probabilidades es lo que se llama en estadística la falacia del fiscal. Casi todo el mundo la comete, no sólo los fiscales. Desgraciadamente, también los jurados y los jueces. Veamos por qué se trata de una falacia. Supongamos que usted gana un millonario premio en un juego de azar. Digamos que hay una probabilidad de 0,000000001 de ganarlo. Por tanto, la probabilidad de que a usted le haya tocado el premio por azar es ínfima, y puede asegurarse de que usted ha cometido un fraude. Evidentemente este razonamiento no tiene ni pies ni cabeza, pero es exactamente el mismo que se hizo con Sally Clark. En el caso del premio, está claro que lo más probable es que a usted simplemente le haya tocado por azar: es improbable, pero mucho más improbable son las explicaciones alternativas. Así que antes de votar “culpable” tenemos que ponderar la probabilidad de la explicación alternativa a la inocencia de Sally Clark. Que una madre mate a su hijo es muy raro. En Inglaterra y Gales ocurren unos 30 casos al año para unos 650.000 nacimientos: menos de 1 de cada 20.000. Se sabe también que cuando hay un primer parricidio, hay un segundo en 1 de cada 100 casos. Según esto, la probabilidad de que las dos muertes fueran asesinatos es sólo de 1 entre 2 millones. De modo que la balanza se inclina del
lado de la inocencia: redondeando, hay un caso entre dos millones de “culpable” y un caso entre un millón de “inocente”: la probabilidad de inocencia es doble que la de culpabilidad.. La falacia del fiscal es, realmente, una enorme falacia.
Una falacia es un razonami ento erróneo, que parece verdadero en su estru ctura. Son objeto de estudio en disciplinas co mo la filosofía. Puedes encontrar en interne t muchos ejemplos de ellas, con diversos ejemp los. Todo esto fue explicado en una nota oficial de la Royal Statistical Society emitida en octubre de 2001, con Sally en la cárcel. El escándalo fue creciendo: una campaña de apoyo consiguió que salieran a la luz cerca de 50 familias que habían sufrido dos muertes súbitas (¡pese al evidente peligro de ser condenadas a cadena perpetua!). El juicio se revisó… y ya sabemos el triste final de la historia, pese a la absolución final. Hay varias lecciones que aprender del caso de Sally Clark; una de ellas es la falacia del fiscal. Parece increíble que, siendo un resultado conocido desde hace más de dos siglos, sea ignorado sistemáticamente por quienes mejor debieran conocerlo: jueces y jurados. Hay aquí una ignorancia culpable, negligencia con las pruebas (no había evidencia concluyente de malos tratos, y se ignoró que la autopsia del segundo niño había encontrado una infección que podría haber causado su muerte), e irresponsabilidad de la prensa británica que demonizó a Sally y muy probablemente la empujó a la muerte.
Actividades complementarias ➊
Conversa con tus compañeros respecto al papel de los medios de comunicación en casos como el detallado. ¿Has escuchado casos en que alguien, finalmente inocente, ha sido condenado por la opinión pública?
➋
Investiga respecto de las siguientes falacias, y da un ejemplo de ellas en la vida cotidiana: Falacia post hoc Falacia ad hominem Falacia del hombre de paja
UNIDAD 4 • DATOS Y AZAR
313
Para sintetizar ¿Cómo se llama? Volviendo al inicio… Mendel se dedicó a estudiar cómo las características de las plantas se conservaban de una generación a otra. Primer resultado
Síntesis
Mendel probó lo que sucedía al cruzar dos plantas de arvejas, una de semillas amarillas y otra de semillas verdes.
Relaciona los conceptos utilizando un mapa conceptual.
Varianza Dispersión Medidas de posición Promedio Cuartiles Representatividad Homogéneo Heterogéneo
Obtuvo solo semillas amarillas, lo que le hizo concluir que “los descendientes híbridos [mezclados] de la primera generación se parecen en exclusividad a uno de los padres y nunca al otro”.
Experimento aleatorio Variable aleatoria Muestreo aleatorio simple Media muestral Media poblacional Función de probabilidad Ley de los grandes números Población infinita
Segundo resultado Luego decidió autofecundar las plantas de la primera generación, y esta vez sí había semillas verdes. Por lo mismo, estableció que el color amarillo era dominante mientras que el verde era recesivo, ya que pese a no predominar se mantenía. Así distinguió entre el fenotipo (lo que se ve directamente) y el genotipo (características presentes, pero ocultas).
Sucesos excluyentes Sucesos independientes Suma de probabilidades Producto de probabilidades Intersección de conjuntos Conjuntos disjuntos Unión de conjuntos Diagrama de árbol Combinatoria
Evaluando e innovando Diseña una evaluación con los contenidos vistos en la unidad e intercámbiala con un compañero. Te sugerimos: • Un crucigrama o sopa de letras con las palabras o conceptos clave. • Un juego de mesa con preguntas de contenidos de la unidad. • Un juego de memoria, que relacione conceptos, fórmulas y definiciones.
314
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1
2
3
4
¿Cómo se hace? Completa en tu cuaderno el siguiente cuadro sinóptico. Contenido Medidas de dispersión
Comparación de conjuntos de datos
Definición y/o procedimiento
Ejemplo
Estos resultados los observó para distintas características de las plantas (tallo, vaina y flor), y constató en todas sus muestras que “de las formas que tienen el carácter dominante en la primera generación, tres cuartos lo mantienen en la segunda, y un cuarto mantiene el gen recesivo.
Muestreo aleatorio simple
Tercer experimento Variable aleatoria
Probabilidad de sucesos excluyentes
Síntesis
Media muestral de una variable aleatoria
Mendel además constató que la textura lisa de una semilla era dominante y la rugosa, recesiva. Autofecundó una planta con una semilla con el siguiente fenotipo: Amarilla dominante Verde recesivo Liso dominante
Probabilidad de sucesos independientes
Rugoso recesivo Los resultados que obtuvo corresponden a los del producto de las probabilidades, lo que le permitió concluir que “los factores pertenecientes a un determinado carácter se combinan entre sí de manera independiente a otros factores”.
UNIDAD 4 • DATOS Y AZAR
315
Reforzar antes de evaluar Refuerza los contenidos vistos en la unidad, realizando las siguientes actividades.
Dispersión y comparación de datos Medidas de dispersión de datos 1 Define con tus palabras los siguientes términos. a. Dispersión. b. Homogéneo. c. Heterogéneo. d. Rango.
b. que su Q1 y mediana sean iguales, y su rango sea mayor que 6. c. que su Q1, Mediana y Q3 sean iguales, y su rango sea 7.
Muestreo aleatorio simple
2 Las temperaturas (en grados Celsius) durante dos semanas en Talca fueron las siguientes: 30, 31, 30, 25, 21, 20, 22, 30, 29, 29, 27, 26, 20, 27 a. Calcula e interpreta las medidas de dispersión.
Refuerzo
a. que su rango sea 8, y su varianza mayor que 2 y menor que 8.
Muestreo y variable aleatorios
e. Varianza.
b. ¿Qué ocurriría con la dispersión de los datos si las temperaturas se tomaran en distintas estaciones del año? Justifica. 3 Determina en cada caso un conjunto de 10 números, que cumplan las siguientes condiciones: a. R = 16. b. R = 21, σ = 1. c. R = 7, σ = 0,1. d. R = 10, σ = 4. e. R = 100, σ = 10.
Comparación de conjuntos de datos 4 Compara los siguientes conjuntos de datos. Utiliza medidas de dispersión y posición.
6 Explica con tus palabras en qué consiste el muestreo aleatorio simple. 7 Enumera y explica los pasos a seguir para realizar un muestreo aleatorio simple de diez números entre 1 y 100, utilizando una calculadora y planilla de cálculo. 8 Determina cuál(es) de las siguientes situaciones corresponde(n) a un muestreo aleatorio simple. a. Para realizar un estudio sobre la iluminación pública se escogen las casas con numeración par de una villa. b. Para averiguar la opinión de los estudiantes de un colegio respecto de la comida del casino se seleccionan los 5 primeros de la lista de cada curso. c. Para escoger a los vocales de mesa de una elección se hace un sorteo con sus números de cédula de identidad.
Variable aleatoria 9 Define dos variables aleatorias para cada uno de los siguientes experimentos. a. Lanzar un dado.
X = {5, 8, 10, 2, 3, 9, 15, 6, 15, 21}
b. Lanzar 3 monedas.
Y = {23, 14, 3, 10, 5, 8, 6, 4, 11, 9}
c. Sacar dos cartas a la vez, de una baraja inglesa.
a. Analiza para cada uno si el promedio es representativo b. ¿En qué conjunto el promedio es más representativo? Justifica.
316
5 Construye en cada caso un conjunto de 10 números, con las siguientes condiciones:
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
1 10 Evalúa si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas: Justifica las falsas. a. La probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un seis es de 1 . 6 b. El recorrido de la función variable aleatoria está comprendida entre el 0 y el 1.
Describe con palabras los siguientes sucesos, y determina su probabilidad.
d. Un experimento tiene solo una variable aleatoria asociada.
b. A U C U c. A C
e. Para definir una variable aleatoria, todos los eventos deben tener la misma probabilidad.
d. AC
Medias muestrales y variable aleatoria
e. BC U CC U f. AC BC
11 Explica brevemente que entiendes por ley de los grandes números.
g. (B U C)C
b. Los posibles resultados de una variable aleatoria corresponden a una población infinita. c. Al repetir varias veces un experimento el promedio de la variable aleatoria se acerca al valor teórico. d. La media muestral de un experimento se puede obtener calculando la media de una muestra. e. Al lanzar un dado 50 veces, necesariamente el promedio de los números obtenidos será 3,5.
Tipos de eventos y probabilidades Conjunto y probabilidades 14 ¿Qué significa que dos eventos sean mutuamente excluyentes?
Producto y suma de probabilidades 17 Resuelve los siguientes problemas: a. Se tiene una urna con 6 bolitas rojas y 10 bolitas verdes y otra urna con 11 rojas y 7 verdes. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bolita de cada urna ambas sean verdes?
Refuerzo
a. La media muestral corresponde siempre al promedio de la población.
4
A: escoger un número par. B: escoger un número primo. C: escoger un múltiplo de 7.
a. A U B
13 Evalúa si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifica las falsas.
3
16 Se escoge al azar un número del 1 al 20, y se definen los siguientes sucesos:
c. El dominio de una variable aleatoria corresponde al espacio muestral.
12 ¿Cuál es la diferencia entre una media muestral y la media poblacional? Explica.
2
b. De un grupo de 4 hombres y 3 mujeres se escogen a tres de ellos. ¿Cuál es la probabilidad de que se escojan más hombres que mujeres? c. Paola lanzará una moneda al aire 8 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga cara al menos una vez? d. David está escogiendo su ropa al azar. Para ello puede elegir entre una polera azul, una amarilla y una camisa blanca; y entre un pantalón azul y otro negro. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos prendas que seleccione no sean del mismo color?
Eventos independientes 18 ¿Qué significa que dos sucesos sean indepedientes? 19 Da tres ejemplos de eventos independientes.
15 Da dos ejemplos de eventos mutuamente excluyentes.
UNIDAD 4 • DATOS Y AZAR
317
Reforzar antes de evaluar 20 Una bolsa contiene 4 fichas redondas y 6 cuadradas. Al escoger consecutivamente dos fichas al azar, la probabilidad de que tengan la misma forma es 13 .¿Se repone la primera ficha luego de 25 extraerla? Justifica. 21 Para los sucesos A y B se cumple que P(A) = 0,3; x P(B) = y P(A y B) = 0,12. Determina el valor de x 5 para que A y B sean independientes.
Combinatoria y probabilidades
Refuerzo
22 Calcula el valor de las siguientes expresiones:
24 De un conjunto de 8 dígitos distintos se escogerán 5: a. ¿En qué caso se trata de una variación?, ¿en cuál de una combinación? b. Calcula V58 y C85. 25 Se ordenan al azar los números del 1 al 5. ¿Cuál es la probabilidad de que los números pares no queden juntos? 26 Se escogen al azar dos dígitos, del 1 al 8. Si la suma de ellos es par, ¿cuál es la probabilidad de que los dos números escogidos sean pares? 27 Martín escribió en unas tarjetas todos los números de 6 cifras que se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4 y 5, sin repetir ningún dígito.
a. 6!
9 f. C3
b. 8!
g. C74
c. 9! 5!
9 h. V5 C95
b. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una tarjeta al azar y que corresponda a un número impar?
d. V24
i. V34 • C14
c. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una tarjeta con un número que termine en 3 o en 4?
e. V57 23 Fabián debe escoger a 14 de sus compañeros (que en total son 25) para invitarlos a un evento del colegio. Ya que tiene dudas sobre quiénes escoger, su mamá le dice que piense primero en quienes no va a invitar. Fabián piensa que él debe escoger a 14 compañeros de entre 25, y su mamá le está proponiendo escoger a 11 de los 25. a. ¿Hay igual cantidad de casos en las dos formas? Justifica utilizando combinatoria. b. Demuestra que, en general, si se tiene un conjunto de n elementos y se deben escoger k de ellos sin considerar el orden, la cantidad de casos posibles es la misma que si se escogen n – k elementos.
a. ¿Cuántas tarjetas tiene Martín?
28 Considera las letras de la palabra MAZAPAN. a. ¿Cuántas palabras se pueden formar (con o sin sentido), considerando 5 letras no repetidas? b. Si se escogen dos letras al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sean dos consonantes? c. Si se escogen dos letras al azar, ¿cuál es la probabilidad de una de ellas sea la A? d. Si se escogen cuatro de ellas, ¿cuál es la probabilidad de que a lo más una de ellas sea una A?
¿Te sientes más preparado para la evaluación de la unidad? 318
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
Profundizar
1
2
3
4
Ahora que has reforzado los contenidos de la unidad, te sugerimos las siguientes actividades para que puedas profundizar tus conocimientos.
Muestreo aleatorio Lee y realiza las actividades propuestas En ocasiones, escoger una muestra mediante muestreo aleatorio simple no es lo más conveniente para estimar la media poblacional. Existen factores que pueden influir en esto, por ejemplo, que la población esté compuesta por grupos muy diferentes entre sí. Para ello, se definen otros tipos de muestreo aleatorio, como los siguientes: Muestreo aleatorio sistemático: este método utiliza los siguientes pasos. Paso 1
Se ordenan los elementos de la población y se les asigna un número correlativo.
Paso 2
Se calcula la parte entera del cociente r entre la cantidad de elementos N de la población y el número de elementos n de la muesN tra, es decir, r = . n Se selecciona aleatoriamente un número m entre 1 y r, y se escogen los elementos correspondientes a los números m, m + r, m + 2r, … , m + (n – 1)r
Paso 3
Paso 1
La población (de tamaño N) se divide en p grupos o estratos E1, E2, …, Ep de tamaños N1, N2, …,Np, según alguna característica (edad, sexo, etc). Se debe cumplir que N1 + N2 + …+ Np = N.
Paso 2
El tamaño n de la muestra se divide en p partes de tamaños n1, n2,…, np, en forma proporcional al tamaño de cada estrato. Se debe cumplir que n1 + n2 + … + np = n y np n1 n2 = = ... = N1 N2 Np
Paso 3
De cada estrato Ei se escoge una muestra mediante muestreo aleatorio simple, del tamaño ni. La unión de estas muestras conforma la muestra total.
Profundizo Guía
Muestreo aleatorio estratificado: este método utiliza los siguientes pasos.
Muestreo aleatorio por conglomerados: este método utiliza los siguientes pasos. Paso 1 Paso 2 Paso 3
La población se divide en agrupaciones o conglomerados, según una característica. De estos conglomerados, se escogen al azar algunos de ellos. De cada conglomerado anterior se escoge una muestra aleatoria, que juntas constituyen la muestra requerida.
1 ¿Qué circunstancias crees que motivarían a utilizar cada uno de los métodos anteriores. Discute con tus compañeros. 2 Para cada tipo de muestreo, escribe una situación de tu colegio en que sería conveniente utilizarlo y explica los pasos que seguirías para obtener una muestra de tamaño 30. UNIDAD UNIDAD 4 • D1ATOS • NÚMEROS Y AZAR
319
Evalúo mis aprendizajes Evaluemos los contenidos vistos en la unidad, realizando las siguientes actividades 5 Con respecto a las medidas de dispersión, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)?
Dispersión y comparación de datos 1 La siguiente tabla presenta la cantidad de productos defectuosos, registrados en un año, en distintas sucursales de un supermercado. Registro de los productos defectuosos en un año Cantidad de productos Número de sucursales defectuosos
0 6 7 9 12 14
2 5 35 12 4 10
Evaluación
Respecto de la cantidad de sucursales, ¿cuál es el rango de los datos registrados en la tabla? A. 2
C. 14
B. 3
D. 33
E. 35
2 ¿Cuál(es) de los siguientes indicadores es (son) una medida de dispersión? I. Rango II. Mediana III. Desviación estándar A. Solo I
C. I y II
B. Solo II
D. I y III
E. I, II, y III
I. Representan la posición de los datos en una determinada muestra. II. Son valores centrales de la distribución. III. Muestran el grado de variabilidad de los datos. A. Solo I
C. I y II
B. Solo II
D. I y III
6 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? A. Al aumentar el tamaño de la muestra disminuye la varianza y la desviación estándar. B. Si todos los datos de la distribución son iguales, la varianza y la desviación estándar son distintas. C. Para aumentar al doble la varianza, cada dato de la muestra se debe multiplicar por 2. D. La varianza y la desviación estándar son índices que describen los datos centrales de una distribución. E. Para reducir a la mitad la desviación estándar, cada dato de la muestra se debe dividir por 2. 7 Dos candidatos: A y B han rendido 7 pruebas de selección para una empresa, con los siguientes resultados. Resultados de las pruebas Prueba
3 ¿Cuál es la media y la desviación estándar para los grupos de datos: 100 y 100 ; 99 y 101? A. 100, 0 ; 100, 1.
D. 100, 20 ; 100, 10.
B. 100, 1 ; 100, 0.
E. 100, 0 ; 100, 10.
C. 100, 10 ; 100, 20. 4 ¿Cuál es aproximadamente la desviación estándar de los siguientes datos?
320
Valor
Frecuencia
1 2 3 4
4 4 7 5
A. 1
C. 1,06
B. 1,5
D. 2
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
E. 2,06
E. II y III
1
2
3
4
5
6
7
Candidato A
57
55
54
52
62
55
59
Candidato B
80
40
62
72
46
80
40
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. Se contrata al candidato A debido a su mejor puntaje promedio. II. Se contrata al candidato B debido a su mejor puntaje promedio. III. Se contratan a ambos debido a que la diferencia entre las medias es igual a 4. A. Solo I
C. Solo III
B. Solo II
D. I y II
E. I y III
1 8 Cierta entidad quiere saber qué ciudad presenta mayor variabilidad en relación con la natalidad. Para ello, la entidad debe saber que: (1) la media de ambas ciudades (A y B) es de 3 nacimientos. (2) el rango de la ciudad A es 5 natalidades y la desviación estandar de la ciudad B es 1 nacimiento.
3
4
11 De una población de 300 personas, se desea escoger una muestra de 5 de ellas para estimar su edad promedio. ¿Cuál de los siguientes métodos corresponde a un muestreo aleatorio simple? A. Numerarlas y escoger a las que tengan los números 60, 120, 180, 240 y 300. B. Separarlas en dos grupos de 150, y escoger al azar a dos personas de un grupo y 3 personas de otro. C. Escoger a las dos mayores, las dos menores y a una al azar.
A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) o (2). E. Se requiere información adicional. 9 Se realiza un estudio para saber la variación del tiempo que demoran dos atletas en competir en los 100 metros planos en tres intentos. El atleta A tiene un rango de tiempo de 1,6 segundos. ¿Cuál de los dos atletas tiene una mayor variación de tiempo en los tres intentos?
A. (1) por sí sola.
D. Numerarlas y generar 5 números al azar de 1 a 300, para escoger a las personas correspondientes. E. Ninguna de las opciones anteriores corresponde a un muestreo aleatorio simple. 12 Respecto del experimento “elegir al azar un número natural entre los menores que 16”, se define la variable aleatoria X: número de divisores. ¿Cuál es el mayor valor que puede tomar esta variable? A. 3
C. 5
B. 4
D. 6
13 Respecto de la variable aleatoria definida en la pregunta anterior, ¿cuál es el valor con que la función de probabilidad relaciona el valor 4 de la variable aleatoria? A. 1
C. 3
B. 1
D. 5
4
B. (2) por sí sola. C. Juntas, (1) y (2).
8
D. Cada una por sí sola, (1) o (2). E. Se requiere información adicional.
Muestreo y variable aleatorios 10 Respecto del experimento aleatorio “lanzar cuatro monedas”, se define la variable aleatoria X: número de caras obtenidas. ¿Cuál es el conjunto de los valores que puede tomar dicha variable? A. {1, 2}
D. {1, 2, 3, 4, 5}
B. {1, 2, 3}
E. {0, 1, 2, 3, 4}
E. 7
15
Evaluación
(1) El atleta B tiene un rango de tiempo el 10% mayor que el atleta A. (2) Los tiempos registrados de los tres intentos del atleta B son: 14 segundos, 15 segundos y 15,76 segundos.
C. {1, 2, 3, 4}
2
E. 5
16
15
14 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. Una variable aleatoria puede tomar solo valores entre 0 y 1. II. Una función de probabilidad asocia valores naturales a los valores que toma una variable aleatoria. III. Una variable aleatoria es una función cuyo dominio es el espacio muestral de un experimento aleatorio. A. Solo I
C. Solo III
B. Solo II
D. I y III
E. I, II y III
UNIDAD 4 • DATOS Y AZAR
321
Evalúo mis aprendizajes 15 Ulises realiza un experimento y define una variable aleatoria asociada a él que tiene 3 resultados posibles: 1, 2 y 3, con las siguientes probabilidades: P(1) = 0,35
P(2) = 0,45
P(3) = 0,2
Al repetir el experimento muchas veces, ¿cuál de los siguientes valores se acerca más al valor que esperaría obtener? A. 1,7
C. 1,84
B. 1,8
D. 1,9
E. 1,92
Evaluación
16 Se lanza una moneda 5 veces y se define la variable aleatoria X: número de caras – número de sellos. Al repetir este experimento varias veces, ¿qué valor, aproximadamente, se espera obtener como promedio de los valores de la variable aleatoria? A. –3
C. 0
B. –1
D. –1
E. –3
Tipos de eventos y probabilidades
A. Posibles. B. Imposibles. C. Independientes. D. Equiprobables. E. Mutuamente excluyentes. 18 Si se lanza un dado de seis caras tres veces, ¿cuál es la probabilidad de que en el primer lanzamiento se obtenga al menos 5 puntos, en el segundo 6 y en el tercero no más de 3 puntos? C. 1
B. 1
D.
36 54
72 5 216
En un colegio hay dos segundos medios, cuyas distribuciones por género se describen en la siguiente tabla: Distribución de estudiantes 2° Medio Género 2° A 2° B
Masculino Femenino
E.
8 216
A. 17
C. 21
B. 17 21
D. 18 36
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
17 19
E. 19
38
36
20 Si se elige al azar un estudiante de segundo medio, ¿cuál es la probabilidad de que sea del 2° A? A. 17
C. 21
B. 17
D. 13
38
E. 19
38
37
25
21 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)? I. Los sucesos A: escoger un hombre de segundo medio y B: escoger una mujer de segundo medio son equiprobables. II. La probabilidad de escoger un hombre del 2° B es mayor que la probabilidad de escoger un hombre del 2º A. III. Es más probable elegir un hombre que elegir una mujer. A. Solo I
D. I y II
B. Solo II
E. Ninguna de las anteriores.
C. Solo III
22 En un experimento determinado, se tiene que U P(A) = 0,4, P(B) = 0,7 y P(A B) = 0,25. ¿Cuál es el valor de P(A U B)c? A. 0,15
D. 0,85
B. 0,35
E. No se puede determinar.
C. 0,75
322
21 18
19 Si se elige al azar un estudiante de 2° B, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?
21
17 Si se lanza un dado de seis caras y luego una moneda y se definen los sucesos A y B. Sea A: obtener un número mayor que 4 en el dado y B: obtener sello en la moneda, ¿qué tipo de sucesos son estos entre sí?
A. 1
Utiliza la información de la tabla para responder las preguntas 19, 20 y 21:
1 23 ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar cuatro monedas se obtengan 2 caras y 2 sellos? A. 1
C. 1
B. 1
D. 3
16 8
4
E. 5 8
8
Utiliza la siguiente información para responder las preguntas 24, 25 y 26: Un juego de azar se divide en dos etapas. Si la probabilidad de ganar en la primera etapa es 0,5 y la de ganar en la segunda etapa es 0,3: 24 ¿Cuál es la probabilidad de que se gane las dos etapas? A. 0,2
C. 0,15
B. 0,8
D. 0,35
C. 0,28
B. 0,12
D. 0,35
E. 0,8
26 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. Ganar la primera etapa y perder la segunda etapa tienen igual probabilidad de ocurrir que perder la primera y ganar la segunda. II. Si la probabilidad de ganar en la segunda etapa aumenta a 0,5, la probabilidad de perder ambas etapas o ganar ambas tienen igual probabilidad. III. La probabilidad de perder ambas es 0,35. A. Solo I
C. Solo III
B. Solo II
D. I y II
4
A. 8
C. 72
E. 4320
B. 34
D. 360
28 Si se extraen sucesivamente y sin reposición tres cartas de una baraja de naipe inglés (52 cartas), ¿cuál es la probabilidad de obtener un 5 en la primera extracción, un 3 en la segunda y un 9 en la tercera? 4 4 A. 52
B.
4 663
C.
1 11050
D.
8 16 575
E. Ninguna de las anteriores.
29 En un experimento aleatorio se definen los sucesos A y B, donde la cardinalidad de A es 6 y la de U B es 4. ¿Cuál es el valor de P(A B)?
Evaluación
A. 0,2
3
27 En una tienda deportiva venden 8 tipos de camisetas, 9 tipos de pantalones deportivos, 5 tipos de calcetas y 12 tipos de calzado. ¿Cuántos equipos se pueden formar, considerando que estos se componen de camiseta, pantalón, calceta y calzado?
E. 0,95
25 ¿Cuál es la probabilidad de que se gane la primera y se pierda la segunda?
2
(1) #Ω = 12 U (2) #(A B) = 2 A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) ó (2). E. Se requiere información adicional.
E. II y III
Autoevaluació Autoevaluación Evalúa tu aprendizaje con el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las secciones correspondientes. Contenido
Mínimo sugerido
Puedes repasar en la…
Dispersión y comparación de datos.
6 respuestas correctas
Sección 1
Muestreo y variable aleatorios.
5 respuestas correctas
Sección 2
Tipos de eventos y probabilidades.
9 respuestas correctas
Sección 3
UNIDAD 4 • DATOS Y AZAR
323
Solucionario Unidad 1: Números
i) Periódico j) Periódico
Sección 1: Números reales Página 9
¿Qué debes saber? 1 a. b. c. d. 2 a. b. c. 3 a. b. c.
Natural, entero y racional. Natural, entero y racional. Racional Racional. 31 d. 452 99 10 73 e. 238 33 25 37 32 f. 18 9 d. 1,875 0,7 e. 0, 4 0,82 0,027 f. 0,15
4 a. 1,11 b. 0,488
e. f. g. h.
Entero y racional. Racional. Racional. Racional. g. 6169 990 h. 5237 990
d) 79 913 10 000 17 e) 33 f) 25 999
g) 211 495 548 h) 225
3 a) 37,5
c) 0,714285
e) 0,02
d) 0,592
f) 0,53
b) 7,75 4 a) Sí b) Sí
g. 0,26 h. 1,246 e. 12,75 f. 2,913
Lección 2: Página 16
g. 4,1
6 a. 3,3
b. 273,25
c. 21,01
d. 1,234
1 a) Sí, 23 b) Sí, 28
7 a. 4,41
4,42
4,4343
4,44
b. 5,22
5,222
5,2
5,23
5,23
8 17 3 5 5 4
1 2
23 42 15 21
3 4
2 a) 3,5 b) 6,81 c) 2,178
0,75
3 a) 8,38
0,65 1,25
1,7
1,9
2,1
b.
c.
Lección 1:
5 3
7 4
1,8
5 14
8 21
3 7
2,5
31 8
0, 4
0, 45
Números irracionales y problemas geométricos
Página 13 1 a) b) c) d)
Finito Finito Semiperiódico Periódico
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
π 3π +2 c) + 2 2
cm
d) (3π + 2) cm
e) f) g) h)
Periódico Semiperiódico Semiperiódico Finito
q. π
Aproximación de números irracionales
b) 8,713 c) 9,124
1,26
1,26
8 a. 1,4
g) No
se tiene que: πr2 = q, entonces su radio puede ser r =
e. 1 252 f. 3
0,8
e) No f) No
6 Si el área de un círculo de radio r es un número racional (q),
c. 130 d. 4 240
e. 11 9
c) No d) Sí
b) (5+ 2+ 23 ) cm
5 a. 5 300 b. 67 300
d. 0,5
324
2 a) 31 5 219 b) 50 319 c) 125
5 a) (5+ 13 ) cm
c. 9,08 d. 0,525
c. 2 5
k) Semiperiódico l) Semiperiódico
d) 8,75
c) No d) No
d) 5,2018 e) 3,3 f) 8,28 e) 12,617 f) 6,73 g) –1,153 h) 8,5 i) 9,723
4 a) 1,7321 b) 2,2361 c) 3,3166
e) No f) No
j) 1,9163 k) 8083 2300 l) – 5459 325
d) 3,6056 e) 4,3589 f) 4,8990
5 a) Error absoluto = 0,000000807 / Error relativo ≈ 0,000047% b) Error absoluto = 0,000067977 / Error relativo ≈ 0,003% c) Error absoluto = 0,000027124 / Error relativo ≈ 0,00096% d) Error absoluto = 0,003375209 / Error relativo ≈ 0,102% e) Error absoluto = 0,027016653/ Error relativo ≈ 0,698% f) Error absoluto = 0,000004374 / Error relativo ≈ 0,00011%
g) No g) 6,400 h) 9,3853
m) 5,7554924 n) – 86 369 ñ) –1,154 o) 4,63 g) 6,0828 h) 6,4807
g) Error absoluto = 0,001101056 / Error relativo ≈ 0,025% h) Error absoluto = 0,000135954 / Error relativo ≈ 0,003%
f) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es 0,355 y 0,354. g) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es 5,22 y 5,222222. h) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es 0,51 y 0,5222.
Página 17 6 2 3 2+ 3 7+2 3 3: 2 2 2: 3 3 7 2• 7 5 –1 2• 5–
Por defecto 3,46 3,14 10,46 1,22 1,63 7,93 3,74 1,23 0,51 7
Por exceso 3,47 3,15 10,47 1,23 1,64 7,94 3,75 1,24 0,52
Por redondeo 3,46 3,15 10,46 1,22 1,63 7,94 3,74 1,24 0,52
7 a) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es, por defecto: 2,437242295 y por exceso: 2,461737191. b) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es, por defecto: 2,632522555 y por exceso: 2,658980068. c) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es, por defecto: 3,300041666 y por exceso: 3,333207914. d) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es, por defecto 4,221427484 y por exceso: 4,263853891. 8 a) No, los resultados son diferentes. b) No, ya que se puede estar redondeando por exceso ambos sumandos incrementando el valor. 9 Respuesta abierta. Lección 3:
Números irracionales en la recta numérica y orden
Página 20 1 a) 1,9 – 1,98 – 2 – 2,25 – 2,251 b) 3,37 – 3,377 – 3,378 – 3,38 – 3,387 c) 5,24 – 5,2424 – 519 – 236 – 5,25 99 45 d) 7,32 – 7,32 – 7,32 – 7,324 – 7,3 2 a) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es 6,11 y 6,102. b) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es 0,152 y 0,153. c) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es 4,74111 y 4,744999. d) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es 9,211 y 9,2222. e) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es 7,34 y 7,39.
3 a) Construcción b) Construcción c) Construcción 4 a) c = 13 b) c = 39 c) b = 30
d) Construcción e) Construcción f) Construcción d) b = 12 e) c = 233 f) c = 10 2
g) c = 3 h) c = 70
5 a) Construcción b) Construcción
c) Construcción d) Construcción
6 a) b) c)
d) 2 23 < 3 22 < 4 21 e) 7 < 18 < 31
7 < 11 < 31 23 < 24 < 26 10 < 11 < 2 12
7 a) Construcción b) Construcción c) Construcción
d) Construcción e) Construcción f) Construcción
Página 21 8 a) b)
5
c) 2 3
e)
8 2
10
d) 2 3
f)
37
9 a) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es c = 1,9 y d = 5 b) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es c = 3,3 y d = 11 c) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es c = 4,48 y d = 20,5 d) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es c = 1 y d = 5 2 e) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es c = 7 y d = 50 f) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es c = 9,95 y d = 99,5 10 • • • • •
p=5yq=3 c=4ya=1 Construcción b = 15 Multiplicación y raíz cuadrada. b = pq .
SOLUCIONARIO
325
Solucionario a) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es
p=7yq=4 c = 5,5 y a = 1,5 b=2 7 b = 7•4 = 2 7
p=6yq=2 c=4ya=2 b=2 3 b = 6•2 = 2 3
Si, se mantiene la relación. 2 2 p + q p – q – pq = b) 2 2 p2 + 2pq + q2 p2 – 2pq + q2 – pq = 4 4 4pq = pq 4 pq = pq c) b = 1 y c = 25 / b = 2,5 y c = 5,5 11 a) Construcción b) Construcción c) Construcción 12 a) b)
10 > π > 3,14156 8+3 > 8 > 8 –3
c) 2,71828 > 2 > – 5 d) 3 > 2 > 1 2 2 2 13 a) Construcción b) Construcción Lección 4:
d) Construcción e) Construcción f) Construcción 2 > 3> 6 6 2 3 2 20 f) > 6,578453 > 40 e)
g) 2 6 + 3 > 3 3 > 10 –1 c) Respuesta abierta.
Números reales
Página 24 1 a) Entero y racionales b) Naturales, entero y racionales c) Naturales, entero y racionales d) Racionales e) Racionales f) Racionales g) Racionales
h) Naturales, entero y racionales i) Naturales, entero y racionales j) Entero y racionales k) Entero y racionales l) Racionales m) Entero y racionales n) Racionales
2 b), d) y e) son irracionales. 3 a) F, todo número natural además es entero. b) F, también es racional. c) F, los números racionales contienen a los números naturales. –2 d) F, ejemplo: 1 4 a) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es 21, 42, 63, 84, 105 / A = {21n / n ∈ } b) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es 22, 44, 66, 88, 110 / B = {22n / n ∈ } c) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es 12, 19, 26, 33, 40 / C = {7n + 5 / n ∈ }
326
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
d) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo a 3 es – 1 , – , –1, – 5 , 5 / D = / a ∈ℤ – {8} a – 8 3 5 3 5 a) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es a = 1. b) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es a = 1. c) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es a = 3. d) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es a = 2. e) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es a = –1. f) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es a = 2. 6 a) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: 2 y 7 ∈ ℝ entonces 2 + 7 ∈ b) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: –0,25 (1,5 • 4,28) = (–0,25 • 1,5) 4,28 –0,25 • 6,42 = –0,375 • 4,28 –1,605 = –1,605 Página 25 c) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: 2 (1,5 + 4,28) = 2 • 1,5 + 2 • 4,28 2 • 5,78 = 5,78 2 5,78 2 = 5,78 2 d) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: 4,28 × –0,25 = –0,25 × 4,28 –1,07 = –1,07 7 a) x = 2 + 8 , x es la suma de un número racional y un irracional, por lo tanto es irracional. x b) = 3 – 21, x es la diferencia de un número racional y un irracional, por lo tanto es irracional. 39 , x es la división de un número irracional y un 3 racional, por lo tanto es irracional. 1 d) x = , x es la división de un número racional y un 8 irracional, por lo tanto es irracional. c) x =
e) x = – 30 , x es el opuesto aditivo de un número irracional, por lo tanto es irracional. 15 , x es la división de un número irracional y un 2 racional, por lo tanto es irracional.
f) x =
g) x = – 103 , x es el opuesto aditivo de un número irracional, por lo tanto es irracional.
h) x = 6 + 133 , x es la suma de un número racional y un irracional, por lo tanto es irracional. i) x = 47 – 0,28 , x es la diferencia de un número irracional y un racional, por lo tanto es irracional. j) x = 10 – 209 , x es la diferencia de un número irracional y un racional, por lo tanto es irracional. 57 k) x = , x es la división de un número racional y un 57 irracional, por lo tanto es irracional. l) x =
3,21 , x es la división de un número racional y 523
un irracional, por lo tanto es irracional. 8 a) b) c) d)
Racional Irracional Racional Irracional
e) f) g) h)
Racional Racional Irracional Irracional
i) j) k) l)
Irracional Racional Irracional Racional
9 a) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es b = 3 . b) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es b = – 5 . c) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es b = 1 . π d) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es b = – 15 . 10 a) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: a+b 6–3 = = 1,5. a = 6 y b = –3 → 2 2 Por lo tanto, 6 > 1,5 > –3 a + b 12,5 + 6,21 = = 9,355. a = 12,5 y b = 6,21 → 2 2 Por lo tanto, 12,5 > 9,355 > 6,21 a + b –7,34 – 9,3 = = –8,32. a = –7,34 y b = –9,3 → 2 2 Por lo tanto, –7,34 > –8,32 > –9,3 b) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es • 2 > 2 > 1,3 > 1 3 • 1> > 0,7 > 0,6 2 _ _ • 4,6 > 2√5 > 4,3 > 4,3 • 5,2 > 5,2211222222332244… > 5,201 > 5,2 11 Que hay elementos en la intersección de y * no siendo un conjunto vacío.
Integrando lo aprendido Página 28 d. 1+ 5 , irracional. 2 e. 26π pulg., irracional. f. 100 cm2
_
1 a. √3 m, irracional. _
b. √2 cm, irracional. c. 15 cm 2 a. b. c. d.
Racional Irracional Racional Irracional
e. f. g. h.
Irracional Irracional Irracional Irracional
i. j. k. l.
Racional Racional Racional Irracional
3 a. P = (22 + 4 2 ) cm A = 32 cm2 b. P = 2 5 (π +1) cm A = 5π cm2 4 a. 3,873 b. 4,472 c. 5,916 5 a. b. c. d. e.
d. 5,646 e. 12,649 f. 6,708
Truncado 6,14 2,73 1,11 5,65 0,78
Error 0,001593 0,002051 0,008034 0,006854 0,006566
g. 10,954 h. 0,354 i. 1,803 Redondeado 6,14 2,73 1,12 5,66 0,79
j. 3,968
Error 0,001593 0,002051 0,001966 0,003146 0,003434
6 a. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: 4,69050576 b. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: 5,385074807 10 8 ; 5 5 8 a. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es 13 2 b. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es 11– 0,2 c. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es 3 7
15; 10 ; 5;
Página 29 9 a. < b. >
c. > d. >
10 a. 2 y 3
b. 11 y 12
e. < f. = c. 3 y 4
d. 7 y 8
11 Construcción 12
*
SOLUCIONARIO
327
Solucionario 13 a. Irracional, ya que corresponde a un irracional dividido por un racional. b. Irracional, ya que corresponde a la adición de un irracional con un racional. c. Irracional, ya que corresponde a la diferencia de dos números irracionales. d. Racional, ya que corresponde a la diferencia de dos números irracionales. e. Racional, ya que se 75 = 5 3 y al dividir por 3, solo queda 5. f. Racional, ya que 600 = 5 24 y al multiplicar por 24 se obtiene 120. g. Irracional, ya que corresponde a la adición de dos números irracionales. h. Irracional, ya que combina operaciones de multiplicación, suma y resta de números irracionales con números naturales e irracionales respectivamente. 14 a. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es 2 y 3 . b. 0 y cualquier número irracional. c. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es 5 y 1 . 5 2
j. k. l. m.
6
1 1 g. – = 3 729 −4
7 1296 h. = 6 2401
−2
n. (–12) =
8
i.
65 536 4 = 5 390 625
5 a. 123 = 1728
2
h. 1 = 1 2 4 3 i. 9 = 729
c. 125 = 248 832 d. (–8)6 = 262 144
−6
j. a = b b a
e. 87 = 2 097 152 f. (–15)4 = 50 625 b. – 8 9 Raíz enésima
1 a) 104
Sección 2: Raíces Página 31
d) (b + 2)2
16
c. 729
d. (2x)7
2 a. 81
d. 1296
b. 256 c. –125 1 3 a. _ 25 1 b. _ 76 1 c. _ (–12)4 3 d. _ x5 4 a. 37 = 2187 b. 4 = 16 777 216 12
c. (–1)11 = –1
328
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
4
h. 2 3 8 i. – 4 5
e. (ab)8 f. (–8)9 g. (a + 2b)5
g. – 729 4096 125 h. 64
e. – 1 3125 1 f. 8 1 e. _ (a + 5b)9 10 8 f. _ 51
3 h. _ 2
( )
( )
–100 g. _ 241
(
3
i. 2 • 33
9
46 j. _ 53
)
d. 9 = 6561 1 −5 e. 8 = 32 768 f. a5 4
2 a) 125 b) 1
12
c) 16 d) –4096 e) 64
3 a) 1 3 b) 5 21 c) 12 10 d) 13 10 2 e) b 4 a
f)
4 a)
1 6 (ab) 4
j) b + 1 c –1
b) c)
3
k) b c + 1 1 l) 5 (3ac) x
16 = 4
e)
y
–216 = –6
f)
3
5
h) 169 9 i) 0,4 j) 8
f) 625 81 343 g) 216
g) – 12 5 3 8 h) 9 i) (–5)4 1 j) a (x + y)
d)
81 = 3
d. 1
i) (2a + 3)3
¿Qué debes saber? 1 a. 36 b. 54 c. 73
6
3 h) 8 72
3
e) 4 5 3 f) – 1 2 1 g) 4 5
b) 45 c) a8
1 144
g. 728
b. 25 = 32
6 a. 1 8 Lección 5: Página 34
52 = 25 b–a – c 62 = 36 (–21)8
m) 34 5 n) _ 4
( )
10
ñ) –65 1 o) – _ 202
3
b =a
g)
5
1 1 = 243 3
h)
w
a 1 = b z
c=4 2 8 = 27 3
c) x = 16
16 25 g) x = 81 16 h) x = 0,0625
d) x = 27
i) x = 15,625
5 a) x = 32 b) x = 216
e) x =
Lección 6: Página 38
f) x =
1 8
j) x = 125
Página 35 6 a) –3 b) –2 c) 5 7 a) 5 b) 13 c) 14 8
a. b. c. d. e. f. g. h. i. 9 a) b) c) d) e) f)
d) –3 e) 2 f) –3
g) –3 h) 5 i) 5
j) –5 k) 2 l) –2
m) 5 n) –2
g) 7 h) 4 i) 12
d) 5 e) 22 f) 5 Aproximación
Error relativo (aprox)
1,260 1,495 1,644 3,634 4,534 –14,416 –2,248 –7,220 28,987
0,0063% 0,0233% 0,0151% 0,0066% 0,0082% 0,0009% 0,0069% 0,0012% 0,0001%
a≥0 a∈ℝ a≥0 a ≥ –1 a≥1 a ≥0
g) h) i) j) k) l)
a ∈ ℝ – {0} a ≥0 a∈ℝ a≤0 a ≥ 1 o a ≤ –1 a > 2 o a ≤ –2
10 a) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es 5, 7 5 ≈ 1,26 . b) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es 7 7 5 ≈ 1,03 . c) El resultado obtenido es 1. La explicación depende de cada estudiante. d) También se llega a 1, pero esta vez de forma creciente, el caso anterior era decreciente. 11 a)
2 8 = , 27 3 5 1024 = 4, 3 5 ≈ 1,709975947
3
2 ≈ 1,25992105 , 4 81 = 3,
3
b) 3 2 y 3 5 son irracionales. Los demás son racionales. c) La afirmación es verdadera.
Raíces y operaciones
1 a) 6wz – 3y 7 b) a 2 c) –4m2 d) 2a2 + b5 + b e) 2xy f) 1,7x2y – 0,7xy2 27xy 2 23 3 g) + y – 5xy 2 6 7 16 2 h) a b – ab2 2 5 2 a) b) c) d) e) f) g) h) i)
103 = 1000 502 = 2500 (acd)b 24 = 16 –46 = –4096 y x z 1 1 = 12 5 244 140 625 1 4 81 3 = 2 16
j) b6 k) 55 • 4 = 12 500 b
l) ac + ab
2
3 a) 32 768 b) 216
e) 1514
c) 1 ( x 6 + 3x 4 y 3 + 3x 2 y 6 + y 9 )
8
d)
25 8
8
54 f) 2
518
g) 10a2
30
1 3
c)
6
72
e) –√1 = –1
f) g) h)
5 a)
4
64 32
d)
5
g)
4 a)
3
b)
b) c)
n
24
n
ab
d)
4
8
_
e)
3
x4
f)
5
96n5
h)
6 a) 2 5 3
c) 3 3 4
b) 2 4 5
d) 2 5 7
n 4 b
ab a2 4a
4
256 5
5
177147
SOLUCIONARIO
329
Solucionario e) 2 4 15
2 2 _ 3 √4 3 _ i) 4 4 j) b
3 f) a 4 a
g) b 5 b3
c) d)
4
h) a b 5 i) 1 2 j) 103 k) 10–2
5
256
g)
5+y
3
a b
h)
12
e) 1 f)
4
i) b a
j)
8 a) 20 – 4 2 b) 11,2 3 + 2 2 + 0,6 967 c) 77 d) 28 – 10 5 e) 17 + 2 3 7 18 f)
19 5 + 4 11 10
9 a) x = 11+ 3 8 b) y = 5 – 5 3 3 c) y = 5 10 a) 5 27 cm3 b) π2 m2 c) (5 3 + 10 + 5 5 ) m 11 a) 108 b) 13,25 c) 27 7 d) 5 e) ≈ 50,55 Lección 7: Página 42
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
l) 5 6
7 4
√ 9
g) 849 – 7 223 h) –13,7 51–145,1 213π i) 9 – 130 j) 0,7π – 36 11π k) –4,3 + 5 5 + 2 7 l) 3 m) 1 3
4 a) b) c)
3
4
f) x = 13 824
e) 2 30 cm3 f) g) h) i) j)
–4a –2 1 –146,1a 1 – 11a 2
e) 3 8
d) − 7 4
f) 12
12
e) – 3
16384 7
f)
3
4
243 32
j)
9
i) 3–1 j)
5 6
3
f)
c
4
h)
42
y
i)
84
g) 9 7
j)
x
425 20 4
_
e) –√704 7 54 b
(6 + 6x)
5
21−3
g)
d)
10
40
h)
5
5 2
a
f)
c)
2y
x
i) – c (15x) _ j) –√253 = –125
3 a
1 2 b
(2a )
23 6
3
d) 5–3 e) a–10 f) ax + y
–8
3
7
Página 43
b)
5
h) (–2)9
e)
12
7 a)
i)
2
7
5
3
(3 – x )
g) (3 + 5x)2 = 3 + 5x
1 2
e) 2 5
d)
a3
7
c) (a + b)
4
3 5
f) a 5
1 3
c)
j) 2
h)
4 b) 3 2
a
g)
(a + b )
1
b)
i) 44 39
g) 49 4 37 h) 35 4
d)
5 a) 132
6 a)
5
e) 49 56 f) 30 40
c) 1
3
d) –8 d) P = 14 3 3 m y A = 10 3 9 m2
q) 1
c) 7 49 4 d) 8
1
d) x = 3 – 39 e) z = 3
− b−a
2
3 a) 20 7 11 b) 6
1 6
p) 8 5
2
2 a) 4 2 b) 5 25
23b 8 _ 3 y 1 + _x
Potencias de exponente racional
1 a) 28 b) 57 c) 52
330
2
b)
2
n) (–58)17 ñ) m–n + 1 o) 74
b−c
Página 39 7 a)
m) x–10
9
g) 1 3
h)
2
8 a)
5 7
3
5
27
e)
7 6
c)
x y
c
4 5
17
b)
4
9 a)
14
517
b)
12
19
6
c)
ab
ba+b
e)
15
413
c)
12
1 9
7
10 a)
14
14 7a−2b
d)
7
3 4
4
b)
d) d)
a
9
24
5
2 4 2 3 2 2 3 e) –3b ab + 3b ba + a b –1 a a2 a2 a 3 4 6 f) –6x – x – 9x b
3a
f)
b
r s
f)
6
0,235
g) 1018 c 25
65
6
h)
310 • 24 a3
e)
15
1 a + 3
f)
45
1 3
17
6 6 b) 8 8 c) 3 a a d) – 42 2
3 a)
8
4 a)
3
42 2
b) – 12 7 7 2 3 5 16 c) 16 3
11 a)
12
b)
42
c)
6
12 a)
6
21
d)
32
g)
5 9
h)
e)
40
2x
a
f)
9
78 732
15
d)
b) 6 c)
70
a a
Lección 8: Página 46
8
e)
6
f)
12
7
( x + 1) 32 y
Racionalización
1 a) a2 + 2ab + b2 b) x2 – 2xy + y2 c) 4 + 4a + a2 d) x2y2 – 8xya3 + 16a6 e) 25 – b2 f) 9a2 – 25 g) 16x2 + 4x – 2 h) x2 + 7x + 12 i) a3 – 27 j) x9 + 64 k) x2 + 2xy + 4xz + y2 + 4yz + 4z2 l) 4a2 + 4ab2 + b4 m) 9a4 + 24xy3a2 + 16x2y6 n) 25x4 – 9 2 a) –2 2 + 3 b) 124 25 c) x 2 – 4 2x + 8 d) – 4 2 + 4
40
50
a
6
23 8
5 a) g)
60
337 4
h)
20
10 a 312 2
b)
30 18 f) – 6 21 g) 65 13 h) xy y
i) 6 x + y x+y 15z j) 3z
2 3 d) 2 ab ab 2 5 e) 7 4 4
2 3 g) – 5 40 _ 6 √53b2 h) a2 _ 5b
e)
6 13 f) a b b
2 6 9( 3 + 5 ) 2
c) 51 2 + 17 11 7 d) 4( 13 + 21) e)
6 +7 43
f) 2 – 2 g) –3 5 –12 11 h) 7 7 –14 3 5 i) –2 2 – 3 j) 15 3 – 4 15 29
Página 47 6 a) 25 5 + 2 – 5 10 + 2 2 23 2 b) x x + 3 – x 3x + 3 3 x2 – 3 4 4 c) 6 + 3 3 – 8 – 3 2 7 4 13 – 39 d) 13 3 2b e) 2b 4 4 4 4 f) 24 + 216 – 8 – 72 4 g) 3 4 j) 4 6 –11 h) 5 2 4 3a i) 3
xy y
SOLUCIONARIO
331
Solucionario 7 a) 6 5 5 b) 2
f) 2 2 + 2 5
73 7 e) 5 5 + 5 4 d)
2 3 c) 6 5 5
4
g) 2 – 2 h) 5 2 + 10 6 22
8 13 – 8 2 9 40 10 – 84 9 6 6 + 3 5 16 + 1220 1944 10 4 11 100 121 2 34 1 + – 3 6 3 2 3 3 b) 2 5 – 4 5 + 8 13
12 a)
3
h) i) j)
332
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
x=3 x = –12 x = –5 x = –2
e) x = 8 f) x = –5 g) x = 18 11 h) x = – 4
e) x = 13 f) N o t i e n e solución. g) N o t i e n e
solución. h) x = 13 i) x = 3 j) x = 4
9 2 4 29
5 41 2 f) x = – 7 e) x = –
g) No tiene solución.
6 a) x = 724, 724 + 5 = 3
3
3
a–b
Raíces enésimas, problemas y ecuaciones
a2 + 2ab + b2 x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 4 – 4y + y2 p3 – 9p2 + 27p – 27 4a2 + 20a + 25 64c3 – 144c2 + 108c – 27 p4 + 2p2q3 + q6 4a2p6 – 20ap3q + 25q2
4 a) b) c) d)
d) x =
13 a)
1 a) b) c) d) e) f) g) h)
x=1 No tiene solución. No tiene solución. x=2
c) No tiene solución.
9 + 3 18 + 3 36 3 3 5 2 – 5 3 20 + 10 3 25 22 3 –4 25 – 2 3 30 – 3 36 17 3 2 36 + 2 3 6 + 2 5 (5b – c) 3 a2 + (5b – c) 3 a 3 b + (5b – c) 3 b2 a–b
Lección 9: Página 50
3 a) b) c) d)
b) x =
3
3 2 – 2 3 + 30 4 35 2 – 21 3 + 28 6 + 14 c) b) 23
d) a ≥ 3
5 a) No tiene solución.
2 2 3 3 3 3 e) –2c c – 2c c b – 2c b b–c
g)
b) a ≥ –5
e) a ≥ 8 3 f) a ≥ 0
c) a ≥ 8
Página 51
3 3 3 c) 3 3 – 90 + 100 19 2 3 3 d) 12 – 2 12 + 4 20
f)
2 a) a ≥ 0
x + 5 = 3 729 = 3 27 = 3
b) x = 3, 16 • 32 + 3 – 3 = 4 144 = 4 122 = 12 = 2 3 = 2 x c) No tiene solución. 7 2 8 16 cm 9 4 cm 10 5 3 11 r = 2 π cm π 12 a) 2 5 segundos b) 23,1125 m 13 a) i ≈ 3% c) La tasa de interés de Andrea es mayor a la tasa de interés de Sergio, iA ≈1,07iS + 7,12 14 a) g = 10 m/s2 b) 1 m, aproximadamente. Integrando lo aprendido Página 54 1 a.
7
128 = 2
b.
3
–729 = –9
c.
3
0,001 =
d. 64 = 8²
1 10
e. –125 = (–5)³ f.
32 2 = 3125 5
5
c. –1 d. 3
e. 1 f. 9
3 a. a ≥ 5 b. a ≥ 3
c. a ∈ ℝ d. a ≥ 0
e. a ≥ 51 f. a ≥ 0
4 a.
5
84
c. 8 2
e.
b.
3
50p2
d.
7
2 7
5 a. V b. F, 21 = 3 • 7
6 a. –13 3
d.
4
4 6
29 2
d. – 2 – 2
2 –1– 2 2 – 2 – 2 2 e. 1– 2 x –1 x – 2x f.
x+y x – x+y x–y + x–y x –x y
4 4 g. –3 3 – 9 3 – 27 – 27 26
14 a. b. c. d.
x = –3 x=6 x = –3 No tiene solución.
15 a. i ≈ 11,6%
12 m 2
b.
8 3
d.
3
e. f.
5
12 31
c.
3
5
d.
4
3
72 3 225
9
b. 5 = 4 625
c.
3
n41
e.
10
k7
x x
d.
4
p−13
f.
8
ab 4
15 5 b. 2 5 5
12 a.
b.
15
138 + 2 6 135
14 14 3 4 72 d. 7 c.
f.
4
113 11
g. 9 5 + 9 7 2
d. 1 = 1 3 9 e. 3 = 4 81 4 256 f. 5 = 3 125 2 8
3 i. 216 = 6 17 j. –1= (–1) 6 k. 64 = 2
l.
1 1 = 343 7
3
m. 243 = 3 32 768 8 n. 100 = 10 9 3
5
2
5
g. ab3 = a2b 6
ñ. a10b5 = (a2b)
h. 3x 2 y = 9x 4 y 2
o. 64a6b9 = ( 4a2b3 )
3
2 a. x5 = 32, x = 2
Página 55 4 5 e. 2 27 27
b. t ≈ 31,6 años
¿Qué debes saber? 1 a. 7 = 49
b5
11 a. 4 5 5
h. x = 628 – 50 3
Página 57
1
c. 255
c. –2 = 5 –32 10 a.
11– 161 4 f. No tiene solución. g. x = 15622
e. x =
Sección 3: Logaritmos
1
8
9 2
)
8 a. 212 1 b. 34 3 6
c.
3 + 2 17 + 15 + 17 + 1
b. x =
9 a. b.
3
7 3 (4 – 2 ) (4 + 2 ) 14
c. –25 3
b. –32 2
(
9
b. 10
d. V e. V f. F, 1 3 1 = 3 1 10 10 10000
c. F, 2 3 5 = 3 40
7 a.
f.
2 –1+ 3 2 2 – 2 2
2 a. 5 b. –2
3
13 a. 3
h. 13 – 130 3 i.
2 +2 3+ 6 +6 4
b. x = (–8)3, x = –512 c. x6 = 729, x = 3 53 d. x = , x = 62,5 2 43 4 256 e. = x3 , x = 125 5
SOLUCIONARIO
333
Solucionario 3 a. b. c. d.
V, cuando la base es negativa y el exponente impar. V, 1 elevado n cualquiera es 1. F, si la base es 0, el resultado es 0. F, es igual a 1 (si es distinto de 0). g. 25 16 h. 2401 1296 i. 5 j. 2 5 k. –3
l. 10 m. 1 2 n. 0,1
5 a. 2p+q b. (–3)2q
d. a–4 e. 6ª
g. 1 3ab 4
c. 54x
f. 4 7
4 a. 625 b. c. d. e. f.
9 4 64 –243 1 36 1 – 343
6 a.
3
ab
b.
3
2x
c. d.
7
3
1 2g3 –9pq
e.
3
q2
f.
15
16
ñ. 3px4 o. 2
x
m2 n4
3
h. (2a2)2
i.
a
5
g.
6
(2p)
h.
4
m2n
12
x10 y9 6
4
j. nx 4n x k. qr 2 3 p2 q2r
Lección 10: Logaritmos Página 60 1 a) b) c) d) e) f) g)
x=3 x=4 x=5 x=3 x = –2 x = –2 x = 64
2 a) x = 5 b) x = 4 c) x = 0,5 2 d) x = 3 1 e) x = – 6 1 f) x = − 2
h) x = 1,21 i) x = 46 656 j) x = –29,791 1 k) x = 625 8 l) x = 343 g) x = 1 h) x = 10000 1 i) x = 8 1 j) x = 9 k) x = –1 l) x = –32
m) x = 6 o x = –6 n) x = –10 ñ) x = 2 o) x = 0,1 p) x = 2 q) x =
1 3
m) x = 2 n) x = 3 ñ) x = 4 o) x = 3 p) x = 5 q) x = 3
3 a) No, ya que la base es positiva, el resultado no puede ser negativo. b) x = 0 c) x = 16 d) x = 3
334
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
e) No, ya que si x es par, no está definida la raíz y si es impar, el resultado debería ser negativo. f) No, ya que siendo la cantidad sub radical positiva, el resultado debería ser mayor que cero. g) x = –10 h) No, ya que la cantidad sub radical es positiva. 4 a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)
log3 81 = 4 log2 8 = 3 log7 7 = 1 log4 4 096 = 6 log7 117 649 = 6 log9 729 = 3 log6 7 776 = 5 log10 1 000 = 3 log8 512 = 3 log7 2401 = 4 k) log2 1 = –6 64 l) log5 1 = –3 125 m) log2 1 = –5 32 n) log4 1 = –1 4
5 a) b) c) d) e) f) g)
25 = 32 83 = 512 94 = 6561 107 = 10 000 000 96 = 531 441 76 = 117 649 30 = 1
1 = –5 32 768 o) log4 1 = –3 64 1 p) log8 = –3 512 3125 =5 q) log 5 7 776 6
ñ) log8
32 768 =5 16 807 7
r) log 8
s) log10 3
t) log 9 4
u) log 5 4
10 000 =4 81 1024 = –5 59 049 256 = –4 625
1 81 1 2−5 = 32 1 −3 7 = 343 1 5−3 = 125 1 −2 6 = 36
−2 h) 9 =
i) j) k) l)
Página 61 m) 6−6 =
1 46 656
3
n) 5 = 125 7 343
−5
p) 9 = 1024 4 59 049 −1
q) 13 = 5 5 13
2
0
ñ) 1 = 1 2 4
r) 7 = 4 16 4
6
o) 3 = 729 8 262144 6 a) 5 b) 3
c) 5 d) 5
e) –3 f) –6
g) –5 h) –2
i) j) k) l)
m) –1 n) 3 ñ) 6 o) –6
–3 –6 –3 –5
7 a) x = 3 b) x = 5 c) x = 7 d) x = 3 e) x = 7 f) x = 2 g) x = 16 h) x = 9 i) x = 243 j) x = 15625
p) q) r) s)
t) 2 u) –6
5 4 2 4
k) x = 343 1 l) x = 4 1 m) x = 6 1 n) x = 3 1 ñ) x = 5 1 o) x = 2 1 p) x = 6
1 5 1 x=– 6 1 x=– 2 1 x=– 4 x = –1 1 x=– 4 1 x=– 3
3 a) b) c) d)
3 1 3 –1
e) f) g) h)
i) 1 2 j) –2 k) 8 l) –6
–3 –2 –4 –3
q) x = – r) s) t) u) v) w)
8 a) n
1 log 1 a = n ↔ = a → x − n = a ↔ logx a = −n → –logx a = n x x
m) c – a – d 5 b n) 2c + 4 c ñ) 2b + – d 2 b o) – + d 2 c–d p) 5 a + b + 2c q) 3 a b 5c r) + + 2 4 6
4 a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k)
c+d a+b+d a–b a+c–b c+b–a–d –a –c – b d+c–a–b a + 3b – d 2c + 2d – a – b a 3 d l) – 4
s)
Por lo tanto, log 1 a = –logx a x
5 a) –3
b) 1 1 loga = n ↔ an = → an = b−1 → a−n = b ↔ loga b = –n → –loga b = n b b 1 Por lo tanto, loga = –loga b b
9 a) 7 – 3 33 – 5 b) 4
c) 1 d) – 6 6
b) log7 7 = 1 c) log4 4096 = 6 d) log9 729 = 3 e) log6 7776 = 5 1 f) log2 = –5 32 2 a) b) c) d) e)
25 = 32 83 = 512 107 = 10 000 000 96 = 531 441 76 = 117 649
1 = –1 4 1 = –5 h) log8 32768 1 = –3 i) log8 512 g) log4
3125 =5 7776 6
j) log 5
=
6 a) log 6 b) log 42 c) log 3
1 32 1 −3 h) 7 = 343
h) log
6 15 5
i) log4 3 36
35 23
j) log 6
57 6
k) log x 3 y 5
8 g) log 25
x2 y l) log 4 z
e) log f) 0
p2 q3r 3
m) log (a2 – b2)
n) log12 ñ) log
a–b 3
o) log 5
p) log
q) log
x6 z3 y4
a5c b20 d2
a 15 c b10 d6 q9 p17
1 1 3 3 7 a) log – loga + log a = loga 2 – loga – loga = a 2 2 1 3 −1− 2
= loga 2
f) 30 = 1 −5 g) 2 =
e) –5
Página 65
Lección 11: Propiedades de los logaritmos 1 a) log2 8 = 3
c) 42 d) 1 2
b) –4
d) log Página 64
a + 2c 3d + 2b – 3 4
b) log
loga−2 = –loga2
125 27 + log 363 + log = lo 99 25
•1
•
125 125 3 3 3 3 •11 3 • log = log 99 •11 3 • 25 = log5 25 99
SOLUCIONARIO
335
Solucionario c) 1 x+5 1 log( x 2 + 8x + 15) + log = x+3 4 4 x + 5 log 4 ( x + 3)( x + 5) + log 4 = x + 3 x + 5 log 4 ( x + 3)( x + 5) • 4 = x + 3 x + 5 2 = log 4 ( x + 5) = log x + 5 log 4 ( x + 3)( x + 5) x + 3
d)
log 4 ( x 2 + 8x + 15) – log x + 5 = 4
log
(x
2
+ 8x + 15) x+5
4
log
4
= log
( x + 3)( x + 5) x+5
2
4
1
x + 3 4 1 x+3 log = log x+5 4 x + 5 e)
f)
343 343 49 •log – log7 = log 117 = log 7 117 117 1 1 27 507 •log = log – log 507 49 27 49 1 49 49 = log = log • 507 27 507 • 27 49 49 = log = log 117 13689 •log
125 6859 125 6859 = = log + log • 361 75 361 75
5 5 •19 19 5 = log 75 15 1 •log19 – log45 = log19 – log 45 = 2 19 19 5 19 5 19 = log = log = log log 3 • 5 15 45 3 5 log
g)
336
x x +1 = logx + log x + 1– log( x 2 –1) = x 2 –1 1 logx + log(x + 1) − log( x + 1)( x –1) = 2 1 logx + log(x + 1) −log( x + 1) – log( x –1) = 2 1 logx – log(x + 1) – log( x –1) 2 •log
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
9 a) xyz = – 2 8
=
2
j) 2b + e k) b – 2a l) d – 2c m) b + c – 2a – e n) a – b + g ñ) f – 2a o) e + 4b – 2c – 2a p) e – a – c
2a a+b 3a a+c 2a + b a + 2b 3a + b d+f c+h
b) logx =
( x + 3)( x + 5) ( x + 3)( x + 5) = = log ( x + 5) ( x + 5) 4
8 a) b) c) d) e) f) g) h) i)
c)
x 3log3 =– y 4log2
3n + m 5
10 a) x = 5 2 + 38 o x = 5 2 – 38 4 4 b) x = 100 c) No tiene solución. d) x = 1 Lección 12: Aplicaciones de logaritmos Página 68 1 a) log(( x + 5)( x – 2))
e) log
2x + 7 x +1
x+4 x +1
f) log
x –1 x +1
g) log
x −2 x + 7 ( )( x – 2)
b) log
2
x + 5x + 1 x –1 d) log 1 = 0 c) log
2 a) b) c) d) e)
f) g) h) i)
x=5 x = –12,5 x = 2,45 No tiene solución. x = 4,4
3 a) pH ≈ 6,4 b) H+ ≈ 0,0015849 moles/litro c) Sustancia pH
Vinagre Jugo gástrico Jugo de naranja Orina Jabón de manos
2,9 1,5 4,5 6,5 9,5
No tiene solución. x = –0,25 No tiene solución. x = –0,6
H+
0,0012589254118 0,0316227766017 0,0000316227766 0,0000003162278 0,0000000003162
1 3 a. log991 < log10010 < 2log0 ,5 < log105 2 b. logx² = 4y
Página 69 4 a) Tiene 10log 3 decibeles más. b) Db ≈ 153,979 c) Fenómeno
l (W/m2)
Bomba atómica de Hiroshima Avión despegando Perforadora eléctrica Personas gritando Conversación tranquila 5 a)
100000000 10 0,01 0,001 0,00000001
Magnitud (R)
Energía liberada (E)
9,6
1,58489 • 1026
8,8
1• 1025
7,8
3,16 • 1023
7,0
1,9 • 1022
Terremoto de Valdivia (1960) Terremoto de Cauquenes (2010) Terremoto de Algarrobo (1985 Terremoto de Vallenar (2013)
b) El terremoto de Chile liberó aproximadamente 251 veces más energía. 6 a) b) c) d)
7 a) Hay aprox. 8,18 miligramos. b) Cada 6 horas aprox. c) Después de 24 horas aproximadamente la cantidad de medicamento es pequeña, pero para que se elimine completamente tienen que pasar muchas horas.
Página 72
1
i. 52 = 5
1 a. 2 = 7 128
j. 3,1=
8 b. 3 = 6561 c. log0,516 = –4
d. 12 =1728 e. log25616 = 0,5
2 a. x = 6 1 b. x = 7 c. x = 64 d. x = 814
8
8528,91037441
k. 3 = 6 729 7 117649 1 −c l. a = b m. 1 = 2a s t
3
1 q e. x =
2x y
b
b
3 4 f. log5x x
19 c. log15 p
d. log
1 2 4
2 3 g. log 5 p q
3 a
h. log3x x
5 a. b. c. d. e.
log p + 2log q log 5 + 3log p + 7log q + 2log r – log x – 5log y log (4m + 5) – log (2x + 8) log 1 – log 3 – log (x + 4) log 3 + log q + log 5 + log x – log 2 – log p f. log 5 + 2log x + 1 log (x + 3) – log 9 – log y 2 1 g. (log( x + 1) + log( x + 7) – log5 – logx – logy ) 2
6 a. log aba–1b
b. x = 2048
7 a. b. c. d.
e. No tiene solución. 39 f. x = 7 g. No tiene solución.
x = 102 x = 0,02 x = 4,5 No tiene solución.
8 a. 8 meses b. pH = 11,022 9 Con a = -3, la ecuación no tiene solución: log(2x + 5) + log( x – –3) – log( x + 1) = log(2x + 8)
Integrando lo aprendido
h. log2,51 2m =
b. log
e. log
Página 73
k ≈ 12,771 276,73% ekx Para x ≈ 0,2203 g/L
f. –1 = (–1)5 g. sp = 5,22
4 a. log3( x + 1)
1 7
f. x = 0,00032 g. x = 4 4 h. x = 27
i. x = 2 j. x = –3
log(2x + 5) + log( x + 3) = log(2x + 8) + log( x + 1) 2x + 5 2x + 8 = log log x + 1 x + 3 2x + 5 2x + 8 = x+3 x +1
(2x + 5)( x + 1) = ( x + 3)(2x + 8) 2x 2 + 7x + 5 = 2x 2 + 14x + 24 –21= 7x x = –3
Y se puede observar que, si x = –3, log(2x + 5) = log(–6 + 5) = log (–1) Con a = –2, la ecuación tiene solución
k. x = 2 l. x = –4
SOLUCIONARIO
337
Solucionario log(2x + 5) + log( x – –2) –log( x +1) = log(2x + 8) log(2x + 5) + log( x + 2) = log(2x + 8) + log( x +1) 2x + 5 2x + 8 = log log x +1 x + 2 2x + 5 2x + 8 = x+2 x +1
(2x + 5)( x + 2) = ( x + 3)(2x + 8) 2x 2 + 7x +10 = 2x 2 +14x + 24 –7x = –14 x=2 Y se puede verificar que, si x = 2, log(9) + log( 4 ) – log(3) = log(12) 2log(3) + log( 4) – log(3) = log(12) log(3) + log( 4 ) = log(12) log(12) = log(12) Reforzar antes de evaluar U1 Página 78 b. No
c. Sí
2 P = 4 2 + 2 3 + 2 17 + 2π 5 A = 2 51+ 8 10 + 10π 3 a. 3,46410 b. Error Absoluto = 0,000001615 Error relativo ≈ 0,00005% c. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: Aproximación por defecto: 3,458905463 Aproximación por exceso: 3,469297768
5
8 Es racional, ya que:
10 a. x = 343 b. x = 0,6561
338
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
b.
3
250
c.
y
b. 7 = z
c. 2 = 4 16 3 81
3n p2n+4
n
d.
5
128
Página 79 c. 3 5 2
b. 3 3 6
d. –2 7 2
c. 21 d. 85
15 a. 4 3 3 b. 7 5 –12 6
2
16 a.
152 b. 1 3 9b 3
17 a.
3
9
b.
3
52
c.
4
1
16
1594323
h.
6
23x–2 y
e. f.
7 7
d.
b. – 2 2 3
21 a.
6
b. log21024 = 10
b. x = –3
24
5m
7– 3 4 31
f.
143 – 2 33 5
d. x = 83 e. No tiene solución.
b. 16
c. 5 3π cm π
c. log 0,001 = –3
e. 70 = 1
d. 26 = 128
f. 9 =
c. x = –3
e. x =
Página 80 23 a. x = 3
1
+ b2 )3
e. 7 30 – 5 5 + 42 6 – 5
92 3
243 cm
2
g. 5
xb y b
19 a.
(a
24
6
c. 1
f. c. 3 30 4 • 62 y d. 5
d.
a
e. (7x – 6) 3
(2x – 5)5
d. (5x)4
18 a. 217 2
22 a. log5625 = 4
18 – 2 ) • ( 4 – 9 ) = 16 • (2 – 3) = 4 • –1= –4 .
9 a. 5 = 4 625
450
c. a ≥ 4 d. a ≥ 4 o a ≤ –4
20 a. No tiene solución. b. x = 0 c. No tiene solución.
46 es irracional y 23 es racional. La diferencia entre un número real y uno irracional es irracional. Luego, x = 23 – 46 es un número irracional.
(
13 a.
20
6 b=3 7
12 a. a ∈ R b. a ≥ –4
c.
ℝ –2 3 8 15 < 2 7 < 3 6
11 a. 3 b. –6 c. No se puede calcular ya que la cantidad subradical es negativa y el índice de la raíz es par. d. 10 e. –5
b.
4
49 36
14 a. 2 4 2
log(2 • 2 + 5) + log(2 + 2) – log(2 + 1) = log(2 • 2 + 8)
1 a. Sí
c. x =
d. x = 3
−3
1 729
1 3 f. x = 1024
24 a. 6,5
b. 0
c. 1(3r + s – 4t) 2 t d. r + – 2s – log 3 4
25 a. r + s – t b. 2r + 3s 26 a. 0,375
c. 3,6
b. 30
c. –2
d. 2
27 a. 3log p + 4log q b. 5log a + 6log b – 5log c c. 1(3log m + 2log n – 2log p – 3log q) 2 d. log(3x – 2) – log(3x + 2) 3 e. log9 + log b + (log c + log d) 2 1 f. (3log( 4x + 7) – 2log(9 – 5x)) 2 28 a. log (a3b4) cd b. log 2 d 29 a. x = 3,5 b. x = 71 30 a. –256
c.
a2 c 4 log 3 5 b
11 6 d. No tiene solución.
c. x =
–log2
Página 82 1 2 3 4 5 6 7 8 9
B B E D C C B E B
Página 83
4 23 2 d. log a c a 10 c 9
b. log5 + 1
Evaluación de la Unidad 1
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
A C D D A E B D B B
Página 84 c. 1019,3
Profundizar Página 81 1 a. El monto obtenido es mayor mientras más capitalizaciones se realicen. b. El que ofrece el 20% 2 a. Ya que el interés es del 100%, 100 = 1. Al capita100 n 1 lizarse en n períodos, se tiene que C = 1+ . n b. El monto crece cada vez más pero nunca alcanza a triplicarse. 3 Mientras mayor sea el valor de n más se acerca al número e.
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
A A E E D E B D E B
Página 85 30 31 32 33 34 35 36 37 38
B C B B E D B D B
SOLUCIONARIO
339
Solucionario Unidad 2: Geometría
Página 94 6 a) 380 cm b) 13 cm c) 60 000 000 cm (600 km)
Sección 1: Semejanza de figuras planas Página 89
¿Qué debes saber? 1 a. 0,5
b. 2
2 a. 6 y 18
c. 1,8
d. 2,3
b. 10 y 25
c. 2, 6 y 16
3 a. x = 9 b. x = 2
c. x = 14 d. x = 9
3 e. x = 2 f. x = 3
4 a. x = 56°
b. x = 90°
c. x = 45°
7 a) Sí
b) No
8 a) 0,5
b) 1,5
c) Sí
9 a) Sí, r = 6 5a3 b) Sí, r = 0,05
d) No
c) Sí, r = 2 d) Sí, r =
1 a+b
Página 95 5 a. P = 16,7 m
b. P = 8 + 3 2
6 a. Los triángulos no son congruentes. b. Los triángulos son congruentes por criterio LAL.
10 4 y 10 cm 11 a) 140 cm b) 108 cm²
c) r = 2 d) r = 1,25 Pieza real
12 18,75 m 56,25 m
7 m(QR) = 6 cm
93,75 m 75 m 18,75 m
Lección 13: Semejanza y figuras a escala
18,75 m
Página 93 1 a) 0,25
b) 0,6
2 a) x = 20
c) 2
d) 1,2
c) x = 28 779 d) x = 35
b) x = 5
3 A = 42 cm² P = 32 cm 4 EFGH ~ TUVW, ABCD ~ OPQR 5 a) r = 1,5
c) r = 3
GF correspondiente con OP FE correspondiente con PM
▱RQPO ∼▱WZYX
ROP ≅ WXY OPQ ≅ XYZ PQR ≅ YZW QRO ≅ ZWX
340
Cateto1 Cateto 2 Hipotenusa
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
RO correspondiente con WX OP correspondiente con XY PQ correspondiente con YZ QR correspondiente con ZW
3 cm 4 cm 5 cm
6 cm 7 cm 85 cm
d) Sí. e) No. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: Lado 1 Lado 2 Base
EH correspondiente con MN HG correspondiente con NO
15 cm 8 cm
c) No. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es:
▱EFGH ∼▱MPON
EHG ≅ MNO HGF ≅ NOP GFE ≅ OPM FEH ≅ PMN
6 cm 3 cm
Largo Ancho
△OPQ ∼△RST
OPQ ≅ RST OP correspondiente con RS PQO ≅ STR PQ correspondiente con ST QOP ≅ TRS QO correspondiente con TR b) r = 0,2
13 a) Sí. b) No. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es:
2 cm 2 cm 3,31 cm
3,16 cm 3,16 cm 2 cm
f) No. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: Lado1 Lado 2 Lado 3 Lado 4 Lado 5 Lado 6 Lado 7
7 cm 2 cm
7 cm 2 cm
7 cm 7 cm 5 cm 2 cm
7 cm 7 cm 7 cm 5 cm 2 cm 2 2 cm
g) Sí. h) Sí. 14 a) No, ya que es una curva cerrada.
b) No, ya que no tiene lados ni ángulos. c) No, el tamaño depende del radio. Todas tienen la misma forma. d) Sí, ya que su forma siempre es la misma. 15 Sí, tienen la misma forma y su tamaño es proporcional. 16 Construcción.
Lección 15: Homotecia y semejanza
Lección 14: Criterios de semejanza de triángulos Página 98 1 a) Sí, por criterio LLL. 2 a) 2 : 3 b) 4 : 5 3 a) x = 18
b) Al trazar las diagonales EC y JH, los triángulos ECD y JHI son semejantes por criterio LAL. Luego, al trazar las diagonales AC y FH, los triángulos ACE y FHJ son semejantes por criterio LAL. Con las mismas diagonales se demuestra que los triángulos ABC y FGH son semejantes, lo que permite concluir que las figuras son semejantes entre sí.
b) Sí, por criterio LAL.
c) 3 : 1 d) 5 : 3
e) 1 : 4 f) 7 : 2 b) y = 14
4 a) △ GHI ∼△MON
Página 102 1 a) r = 0,6
c) r = 1,6
b) r = 2
2 a) Construcción b) Construcción
c) Construcción d) Construcción
3 De izquierda a derecha las razones son: 3 3 1 3 − , − , y 2 4 2 2 Página 103
Página 99
4 a) 2 b) 0,25
b) △ XYZ ∼△ JLK 5 LLL: △ ABC ∼△ OQP AA: △DEF ∼△NÑM
LAL: △DEF ∼△LKJ
6 a) △ ADC ∼△ CDB ,△ ADC ∼△ ACB y, △ CDB ∼△ ACB por AA. b) △MNP ∼△MÑO por LAL. c) △ JKL ∼△ JNM por LAL; △ JOÑ ∼△ JMN y, △ JOÑ ∼△ JLK por AA. 7 z = k =89°, w = 38°, x = 0,84, y = 108 8 Sea △ ABC ∼△ A'B'C' entonces,
AB BC CA = = = k. A'B' B'C' C'A'
Luego, P(ABC) = AB + BC + CA = k × A’B’ + k × B’C’ + k × C’A’ = k(A’B’ + B’C’ + C’A’) y P(A’B’C’) = A’B’ + B’C’ + C’A’. P k(A'B' + B'C' + C'A') Por lo tanto, (ABC) = =k P(A'B' C') A'B' + B'C' + C'A' 9 La razón de las áreas corresponde al cuadrado de la razón de semejanza. 10 a) Al trazar las diagonales AC y EG, el triángulo ADC y el EHG son semejantes por criterio LAL. Además, por formar triángulos isósceles, los ángulos CAD y DCA son congruentes, lo mismo que ocurre con GEH y HGE. Por lo anterior, y considerando que la suma de las medidas de los ángulos debe ser igual a 360°, se deduce que los ángulos BAC y ACB son congruentes entre sí, lo mismo que sucede con FEG y EGF. Por ello, los triángulos ABC y EFG son semejantes por criterio AA. Al ser semejantes los dos triángulos formados a partir de la diagonal, las figuras son semejantes entre sí.
5 a) b) c) d) e)
c) –0,5 d) –0,2
1,25 8 cm A = 10 cm2, P = (9 + 41) cm A = 64 cm2, P = 32 cm La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: ( 40 + 8 13 ) cm
6 a) El pincho morado. b) La respuesta depende cada estudiante. 7 a) La razón de homotecia es, aproximadamente, –0,5. El centro se obtiene por construcción. b) La razón de homotecia es, aproximadamente, 0,75. El centro se obtiene por construcción. Integrando lo aprendido Página 106 1 Son semejantes: I y IV, en razón 2 : 1 II y III, en razón 1 : 2 V y VI, en razón 2 : 1 2 a. r = 1,2 BAC ≅ QPR AB correspondiente con PQ ACB ≅ PRQ BC correspondiente con QR CBA ≅ RQP CA correspondiente con RP
SOLUCIONARIO
341
Solucionario b. r = 0,4
Lección 16: Teorema de Thales
CAD ≅ RQM AC correspondiente con QR ADB ≅ QMN CB correspondiente con RN DBC ≅ MNR BD correspondiente con NM BCA ≅ NRQ DA correspondiente con MQ c. r = 0,625 BAC ≅ YZX AB correspondiente con ZY ACB ≅ ZXY BC correspondiente con YX CBA ≅ XYZ CA correspondiente con XZ 3 a. 50 cm
9 3cm2 4 d. P = 21 cm A = 27 cm²
4 AA △ ABC ∼△FDE LAL △ VWX ∼△KJL LAL o LLL △RPQ ∼△ GIH
3 a) x = 6 cm b) x = 4 cm
17 4 f) x = –5
c) x = 24 2 d) x = 3
e) x = −
c) x = 3,75 cm d) x = 6,4 cm
e) x = 2 cm f) x = 5 cm
Página 115 4 a) b) c) d)
5 a. x = 37,5 cm b. y = 3,1 cm △ ADE ∼△ ABC por criterio LAL o por AA. BC = 4,375 cm EC = 1,575 cm P = 15,05 cm Si, por el criterio LAL o por AA.
7 a. 2
Sí, son ángulos correspondientes entre paralelas. Sí, son ángulos alternos externos entre paralelas. No, L4 no es paralela a L5. Sí, son ángulos correspondientes entre paralelas. Sí, son ángulos alternos internos entre paralelas. Sí, son ángulos correspondientes entre paralelas. No, L 3 no es paralela a L5. No, L 3 no es paralela a L5.
b) x = 42
Página 107
6 a. b. c. d.
1 a) b) c) d) e) f) g) h)
2 a) x = 3
c.
b. 9 m
Página 114
b. –0,25
Las rectas son paralelas. Las rectas son paralelas. Las rectas son paralelas. Las rectas son paralelas.
5 a) 1,02 m
b) 1,8 m
c) 6 m
6 40 cm 7 a) V
c. −0,3
b) V
c) F
d) F
8 La respuesta depende de cada estudiante.
8 a. 18 cm b. A = 1536 cm², P = 192 cm
Lección 17: División interior de trazos Página 118
Sección 2: Teoremas de semejanza
1 Construcción
Página 109
2 Construcción
¿Qué debes saber? 1 a. V b. F
c. F d. F
e. V f. V
g. F h. F
2 α = 55°, β = 135°, γ = 45° y δ = 125° 3 a. x = 3
b. x = 4,8
4 a. 2 6 cm
b. 9 2 cm
5 a. m = 4,5 b. x =
47 7
6 a. b b. c
342
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
17 c. b = 13 21 d. a = 11 c. b + d d. c + d
3 a) 1 : 1 b) 5 : 1
c) 4 : 11 d) 5 : 9
e) 5 : 31
c) 5 : 3 d) 3 : 4
e) 3 : 1 f) 1 : 3
4 Construcción Página 119 5 a) 1 : 1 b) 8 : 1 5 9 b) 12,25 cm c) m = 0,5 cm
6 a) x = e. k = 2,9 f. x = –0,5 e. b f. a
d) 400 cm² e) 544 cm²; 104 cm f) 1,2 cm
7 a) x : y, tienen igual antecedente pero distinto consecuente. b) y : z, tienen igual consecuente pero distinto antecedente.
c) A la izquierda. d) A la derecha. Si un punto P que divide exteriormente a un segmento AB se ubica a la izquierda de A, la razón en la que lo divide es menor que 1, en cambio si está a la derecha; es mayor que 1. e) La respuesta depende de cada estudiante. f) Construcción.
b) c = 1,75 m c) 15 cm, 20 cm y 25 cm. d) a = 2 21m, b = 2 15 m, h = 35 m) 8 a) (6, 0) y (0, 8) b) AB = 6, AC = 8 c) 4,8
d) 2,4 e) D =
8 Construcción
n m2 + 1
Lección 19: Teorema de Pitágoras y recíproco Lección 16: Teorema de Euclides
Página 126
Página 122 1 a) x = 34° b) x = 61°
1 a) Sí b) Sí
c) x = 36° d) x = 34°
3 a) LLL △ ACB ∼△DEF BA = AC = CB = 2 FD DE EF 3 CAB ≅ EDF ABC ≅ DFE BCA ≅ FED b) LAL △ ACB ∼△EDF BA = AC = CB = 2 FE ED DF 1 ABC ≅ EFD BCA ≅ FDE CAB ≅ DEF c) AA △ ABC ∼△EDF BC = CA = AB = 5 DF FE ED 8 ABC ≅ EDF BCA ≅ DFE CAB ≅ FED b) AC = 6 cm
3 a) No b) Sí
T1
hc p q
4 cm 3 cm 5 cm 12 cm 5 T1 16 cm 5 9 cm 5
T2 3 13 cm 2 13 cm
d) x = 4 7 c) Sí d) Sí
5 a) 17 cm
13 cm 6 cm T2
9 cm 4 cm
T3
25 T3 49 cm 25 576 cm 25
e) No f) No
b) a 2
c) 5 3 cm
d) 7,5 cm
Página 127 6
Área Azul 2
a.
a
b.
c) BD = 20 cm
7 cm 24 cm 25 cm 168 cm
i) No j) Sí
c) x = 2 5
c.
3
4 a2 π 4 a2 2
Área verde área azul + área verde 2 b 3 c2 3 4 4 c2 π b2 π 4 4 b2 c2 2 2
Área roja c2 3 4 c2 π 4 c2 2
T4 6 3m
b) 80 2 km c) 20 cm
e) 168 cm2 f) 24 cm2 g) 32 cm2
6m 12 m
d) 36 3 cm2
h) 50 15 cm
7 a) 56 cm o 5314 cm.
5
g) Sí h) No
4 a) P = 56 cm A = 199 cm2 b) P = 54 cm A = 108 cm2
Página 123
a b c
e) No f) No
2 a) x = 5 b) x ≈ 18,97
2 Construcción
4 a) AB = 9 cm
c) Sí d) Sí
_
8 La respuesta depende de cada estudiante.
3√3 m T4
9m 3m
Integrando lo aprendido Página 130 1 a. x = 6,4 cm
b. x = 27 cm
2 a. x= 4 cm; y = 3 cm
c. x = 4,8 cm
b. x = 18 cm, y = 9 cm
6 a) x = 50 cm, y = 24 cm b) x = 15 cm, y = 20 cm c) x = 10 cm, y = 4,5 cm
3 a. Las rectas no son paralelas. b. Las rectas son paralelas.
7 a) La proyección de AC mide 36 cm y la de BC 64 cm. La altura mide 48 cm.
5 a. 7 cm 3
4 Construcción. b. 3 cm
SOLUCIONARIO
343
Solucionario d) Diámetro: es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
Página 131 6
a
b
c
p
q
h
16 4
12
20 8
7,2 6
12,8 2
9,6
4 3
3 La circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de un mismo punto llamado centro (el punto centro no pertenece a la circunferencia), mientras que el círculo es la figura plana formada por una circunferencia más toda su región o área interior.
2 3
7 a. x = 6,72 cm; y = 25cm 210 441 200 cm, y = cm,z = cm 29 58 29 c. x = 4,8 cm; y = 3,6 cm; z = 6,4 cm
4 a) α = 60°
b. x =
8 a. 120 m 17 9 a. Sí
b. No
10 a. x = 11
b. x = 15
b) α = 150°
Página 133
¿Qué debes saber? arco
diámetro secante
c) 60°
d) 30°
f) 80°
h) 25°
e) 7,5°
g) 50°
7 a) 90° b) Isósceles rectángulo. c) 25° 8 a) m(DCB) = 85° b) x = 80
tangente
2 El diámetro corresponde a la cuerda más larga que se puede trazar en una circunferencia y el radio corresponde a la mitad de ella. °
c. x = 54° d. x = 35°
121 e. x = 9
10 a) β = α 2
b. F, los triángulos con todos los ángulos de distinta medida se llaman escalenos. c. F, puede ser rectángulo, escaleno, equilátero, etc. d. V Lección 20: Ángulo inscrito y del centro en una circunferencia Página 136 1 Una circunferencia es el lugar geométrico conformado por todos los puntos del plano que equidistan de otro llamado centro O. 2 a) Radio: es un segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de ella. b) Centro: es el punto del cuál equidistan todos los puntos de la circunferencia. c) Cuerda: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia. Las cuerdas tienen distintas medidas.
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
b) 15°
c) 90°
d) 120°
Página 138 11 a) 60°
b) 30°
c) 60°
12 a) 80° b) 65°
c) 42° d) 25°
e) α = 150° y β = 90°
4 a. V
344
m(ADC) = 100°
9 x = 140°
radio
3 a. x = 34° b. x = 45°
b) 40°
Página 137
P = 126 cm
cuerda
f) α = 101°
c) V d) V
6 a) 25°
c. Sí
Sección 3: Ángulos y segmentos en la circunferencia
1
e) α = 40°
d) α = 40°
5 a) F, es 230°. b) V
b. P ≈ 54,67 cm
11 A = 744 cm²
c) α = 60°
13 a) α=
+ m DA m BC
( ) ( ) 2
b) 15° c) 105° 14 a) β =
) ( ) , γ = m(DA
m BC
2
2
Página 139 b) α =
– m BC m DA
( ) ( ) 2
c) 35° d) 190° 15 a) x = 25° b) x = 30°
c) x = 20° d) x = 60°
e) x = 35°
c) 30° d) 60°
16 a) 45° b) 50°
e) 85° f) 45°
Lección 21: Cuerdas y secantes en la circunferencia Página 141 1 a) Diámetro
c) Cuerda
b) Radio
e) Secante
d) Tangente
2 a) x = 4
b) x = 5
c) x = 10
3 a) x = 2
b) x = 5 2
c) x = 1
Reforzar antes de evaluar U2
d) x = 5 d) x = 1
1 y = 1,25 2 300 cm 4 5 min 37,5 seg
c) (a + 3)(a + 6) cm 2(a + 1) d) 5 cm
e) 7 cm f) 14 cm 3 g) 6 cm
5 35 m2 6 a. △ ABC ∼△ ACD, por LAL. △ ABC ∼△ CBD , por AA. △ ACD ∼△ CBD , por LAL. b. △MNP ∼△MÑO, por LAL.
h) 12 cm
7 Los criterios de congruencia son 3: LLL, LAL y ALA. Los criterios de semejanza son 3: LLL, LAL y AA. Se parecen en que ambos relacionan las medidas de los lados y ángulos homólogos. En ambos casos los ángulos deben ser congruentes, pero en los criterios de congruencia se consideran los lados congruentes y en los de semejanza los lados son proporcionales.
5 a) 2 cm b) 8 cm c) 49 cm 5k + 4 cm d) MH = _ k e) 10 cm f) 2,5 cm
8 Todos los cuadrados son semejantes entre sí ya que sus ángulos homólogos son congruentes (90°) y las razones entre sus lados homólogos son iguales (ya que en un cuadrado, los cuatro lados son de igual medida).
Página 143 g) 12π cm
h) 73 cm
6 a) a(a + x) = pq b) Tangente
c) Tangente
9 Sí, ya que las proporciones entre sus lados homólogos es igual.
d) a2 = pq
10 Construcción.
c) 12 cm
e) 16 cm
d) 15 cm
8 a) La respuesta depende de cada estudiante. b) La respuesta depende de cada estudiante.
11 El valor absoluto de la razón de homotecia corresponde al inverso multiplicativo de la razón de semejanza. 12 –3 2
Integrando lo aprendido
13 3 ó – 3 5 5
Página 146
Página 153
1 a. 44°
b. 60°
c. 90°
d. 70°
2 a. 30°
b. 70°
c. 45°
d. 70°
3 a. 45°
b. 40°
c. 20°
14 a. x = 11,25 cm
40 b. x = 6 cm; y = cm 3
15 a. x = 2,4
c. x = 20 cm d. x = 27 cm
b. x = 6
16 Construcción.
4 a. 5 cm Página 147 b. 24 cm
b. 60 cm
3 Largo = 2 cm, ancho = 1,5 cm
4 a) 6 cm b) 1 cm
b) 12 cm
6 a. 8 m
Página 152
Página 142
7 a) 8 cm
5 a. 6 cm b. 6 cm c. LA = 5 cm, KB = 9 cm
c. 24 cm
17 60 cm 7 18 18 cm
SOLUCIONARIO
345
Solucionario 19 razón 7 ; AP = 7 cm 3 20 a. x = 12 cm
c. x = 20 cm d. x = 3,92 cm
b. x = 18 cm 21 a. 3 cm b. A = 1579 cm²
19 20 21 22 23 24 25
P = 158 cm
Página 154 22 a. Sí b. Sí
c. No d. Sí
e. No f. Sí
23 152° 24 50° 25 100° 26 65° 27 46° 28 104°
g. No
E E A C B D C
Página 159 26 27 28 29 30 31 32 33
B C D B A C C A
29 32 cm 30 16 cm 31 7,8 cm 32 49 cm Profundizar
La respuesta depende de cada estudiante. Evaluación de la Unidad 2 Página 156 1 2 3 4 5 6 7 8
A B E C B D B B
Página 157 9 10 11 12 13 14 15 16
C C B E D B D A
Página 158 17 A 18 E
346
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
Unidad 3: Álgebra Sección 1: Fracciones algebraicas Página 163
¿Qué debes saber? 1 a. b. c. d.
coeficiente: 3, parte literal: a2, grado: 2 coeficiente: –2, parte literal: a4b, grado: 5 coeficiente: –0,5, parte literal: xy6, grado: 7 coeficiente: 1, parte literal: pqr2, grado: 4
2 a. b. c. d. e.
grado: 4, 2 términos grado: 6, 3 términos grado: 4, 4 términos grado: 8, 3 términos grado: 5, 3 términos
3 a. –48
b. –68
c. 220
d. 208
4 a. –ax – 19bx b. 6x3 – x2 – 39x – 36 c. 2x3 + 8x2 – 18x – 72
d. x – 4x +4xy – y2 e. a2 + 2ab + b2 – c2
5 a. b. c. d.
a2 + 2ab + b2 p2 – q2 x2 – 3x – 28 x3 + 6x2 + 12x + 8
e. f. g. h.
x2 – 4xy + 4y2 4x2 + 8x – 5 4p2q4 – m2 9a2b2 + 18a2b + 5a2
6 a. b. c. d.
(x – y)2 (x + y)(x – y) (b + c)(c + 4b) (q – 5s)(q – 3s)
e. f. g. h.
a3(2m – n)(2m + n) h(c + h)(7c + h) (2a2 + 3x3) (2a2 – 3x3) (2pq – 1)(2pq + 5)
4
2
b. < 7 a. = –1 1 1 1 8 a. , , , 4 16 10 4
c. >
d. <
e. >
f. <
c. –3 ,– 1 , 1 , 2 , 7 2 6 2 3 5
b. –100 , –2 , 2 , 11, 11 9 3 15 9 6 9 a. – 5 c. 12 b. – 29 d. 18
51 10 121 140
e. – 2 3 f. 1
Lección 22: Fracción algebraica Página 165 1 a) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: 5 . 4 b) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: 17 . 2 c) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: 6 . 2 d) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: 10 . 15 2 a) Fracción algebraica ya que su denominador es un término con parte literal. b) Fracción no algebraica ya que su denominador es numérico. c) Fracción algebraica ya que su denominador es un término con parte literal. d) Fracción no algebraica ya que su denominador es numérico. 1 1 3 a) a ≠ –2 e) a ≠ c) a ≠ – 5 3 7 b) a ≠ 0 d) a ≠ 1 f) a ≠ 5 d+2 c) 2n + 10 4 a) v = e) 300 + m 4+t n n+ 3 6x + 2 d) b) 500 + 2p 3x + 1 n
d) 3,69 e) –8
b) c) d) e)
1 a) –4 b) –1
c) 6,56 d) –2,8975
e) –4,99 f) –2,75
2 a) 5
b) 110,5
c) –21
g) ≈ 24,45 h) 6
P = 2b, A = ab – a2 A = a4 + 2a2b2 + b4 A = 3x2 + 21x – 18, P = 12x – 12 P = 6x + 57
4 a) x = 1, x = –1 b) x = 0 c) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo 1 es: x = 1, y = . 3 d) No existe valor real de x para que la expresión sea 0.
5 a) x >0
c) x < 2 d) 0 < x < 1
b) x < –2
6 a) 10
b) 52 29
21
e) x > 0 o 3 x 7, Camila viaja más rápido. Si a = 7 viajan a la misma velocidad, mientras que si a < 7 Andrés viaja más rápido.
1 a) 22 • 3
b) c) d) e) f)
a a y a b; por definición es el mcd. Si b no divide a a, se tiene que a = qb + r. Sea x = mcd(b, r). Por definición, x divide a b y a r. Es decir, b = mx r = nx Luego, a = qb + r = q(mx) + nx = x(qm + n) Por lo tanto, x también divide a a, es decir, divide a a y a b. Es necesario demostrar ahora que es el mayor divisor común. Supongamos que existe un número y ≥ x, divisor común de a y b. Es decir, a = vy b = wy Entonces a = qb + r vy = q(wy) + r y(v – qw) = r Es decir, y es un divisor de r. Ya que x es el mcd entre b y r, necesariamente y divide también a x. La única
posibilidad de que un número mayor o igual que x sea divisor de x es que sean iguales, es decir, x = y. b) La respuesta depende de cada estudiante.
13 a) Porque el mínimo común divisor siempre es 1, y el máximo común múltiplo no existe ya que siempre puede encontrarse uno mayor. b) El número natural dado. c) 0. d) Porque en los enteros no habría un mínimo. Lección 25: Amplificación y simplificación de fracciones algebraicas Página 176 b) 1 3
1 a) 1 2
c) 3 4
d) 3 2
e) 1 2
f) 7 8
2 La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: c) 3 , 30 , 60 4 40 80 d) 1 , 2 , 100 4 8 400
a) 6 , 12 , 30 8 16 40 7 b) , 28 , 98 3 12 42
3 a) x = 12
c) x = 11 d) x = –54
b) x = 8
e) x = –14 f) x = 12
b) 3
c) 3
d) 5
5 a) 10
b) 27
c) 7
d) 3
b)
x 2 y 3 – xy 2 x 2 y 2 – 3xy + 2
3 2 2 3 c) x + x y + xy + y 5 3 2 x +x y
7 a) x2 – 3x b) x + x
5
c) 5y x2z d) x – 1
9 a)
–1 a+b
1 10x 2 y 2 z x f) x+y e)
2 g) x –1 2y x h) y
b) –a – b b
3
2 2
d)
x + 2x y + x y x + 3x 4 + 3x 3 + x 2
e)
m4 + 3m3 –m2 – m + 6
5
3 2 f) –y – 6y – 4y + 5 y 4 + 2y 3 –15y 2
e) 6x4 + 15x2
c) x – 1 d) 1
2
Página 177 8 a) 2x z2 b) z 3xy 3
4
i) x – 4 j) 3x + 3 k) a + b x+y
10 a) No, ya que 2x – y = – (y – 2x) con lo que el resultado sería –1. b) No, ya que al llevar el signo negativo al denominador quedaría –3x – y. c) No, lo correcto es factorizar el numerador por –1 y luego simplificar. 5 . 10xy 3 b) No son equivalentes. Un ejemplo es: x + 5. x–5 2 5x –10x . c) No son equivalentes. Un ejemplo es: 2 5x + 10x d) No son equivalentes. Un ejemplo es: x – y . y
11 a) No son equivalentes. Un ejemplo es:
Lección 26: Multiplicación y división de fracciones algebraicas
4 a) 5
6 a) ax ax + a
f) –x + y x+y
e) –x + 1 x +1
d) 2y – 3
m) x + 4 2x + 1 2 n) x + x x –1
Página 180 1 a) 1 3 b) 6 35 c) 1
h) – 1 16 i) 133 75
que necesita. b) Puede hacer 12 bizcochos y no le sobrará masa. d) – yz 3
3 a) 64 3 6 b) ab c) 2 y
2 3x 2 + 15x f) x – y y 2x x+4 2 e) x + 4 32x + 64 2 f) 2x + 2x x –1 d)
b) 2y x–y c) 1 x–y
5 a)
x2 – y2 x + x y2 – x 4 y – x2 y3 6
4
x 2 + xy x 2 + xy + y 2
6 a) 2 1 cm2 h +h– 6 b) (a + 3) cm
x +1 x+4 h) 15x 2x – 2y
g)
e)
4 a) x2 + x
b)
c) –2
j) 25 11
g) 1 6
2 a) Si, le alcanza para obtener 5 pedazos de la medida
ñ) x + 2y
l) x – 8 4x – 8
d) – 3 14 e) 3 4 f) 3 40
x x–3 h) 1 x +1
g)
y 2 d) x2 + 2x e) 1 c) x –
c) x2 – 4x + 4 d) (x + 1) cm2
SOLUCIONARIO
349
Solucionario Página 181
7 a)
d) x + 1 x x e) – 2 x+4
1 x y 4 z7 2
x 2 – 25 x + 4x + 3 x+2 c) x 2 – 4x + 4 b)
3 2 e) 3x –10x –18x –12 3x 3 – 3x 2 –18x
2
3 2 f) 3x + 22x + 43x + 12 6x 3 – 43x 2 + 79x –12
3 5 8 a) 3x , P = 57x + 20y 2y 2 19x 2 y 2 2 2 b) 20x , P = 40x + 18xy 3y 3y
y
botellas.
3 b) 25 4
c) 7 5 76 d) 15
e) 5 6 f) – 17 4
g) – 69 20 93 h) 20
c) 6 7 d) 1
e) – 3 4 18 f) 7
g) – 15 28 7 h) 3
3 a) 7 , 256 páginas. 15 b) 3 segundos 10
5 a) – a
x b) – 4 3x 14x – 4 c) 2 x +3
6 a) –2x – 35 2 x + 7x
b) 1 6x
350
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
2 d) –x + x + 30 x–5 e) 36x2 – 78x + 25
f) 2x + 2 x –1 c) A =
3 3 10 a) a + b
ab2 3 3 b) a – b 2 ab
e) 2x + 1 x +1 2ax – 3a – 2 f) 4ax – 6a – 2x – 5 g) x – 1 2 h) a + 1 a2 –1
2 c) 2a b2 3 3 d) –a + b ab2
ab2
3
3 b) a – b + 2ab ab2
2 d) 2x – 3x + 3 2x + 6 2x e) 2 + 1 x +1 f) –x – 7 x2 + x + 1
g) x – 3 2x + 6
c) 520xy + 3x + 15 75y 2 2 d) 2cy –15x + 12xy 18y 2
3 3 e) a + b a3 2 f) a + 2b ab
3 3 c) a – b – 2ab ab2
12 a) La respuesta depende de cada estudiante. b) 1 + 1 2 14
2 h) –x –100x + 5
x–y
3 2 e) a + 2ab b3 3 3 f) a + 2b 3 b
3 3 d) 2a – b – 2ab ab2
3 3 11 a) a + 2ab + b
10
3 x –1
–x 2 y + x 2 – y + 1 x2 y2
77 2 b) x + 2x + 1 x+2 2x +1 c) 2 x – 2x – 3 2 3 d) x + 2xy + y x 2 y + xy 2
4 a) X= 28 ; Y= 27 ; Z= 47 5
2 j) 5x + 2x + 6 x2 – 9
9 a) 45
Página 184
2 a) 2
2x 3 + 8x x 2 + 4x + 4
Página 185 7 a) 5x + 1 x 4x –6 b) x–2
Lección 27: Adición y sustracción de fracciones algebraicas
b) 28 15
g)
b) A =
2 2 2 2 2 10 4a (a + 1) + t (a – b ) 4a2 11 0,34 atm
1 a) 1
x 3 + 5x 2 + x x 4 + x 3 – x –1
2 c) 3x + x + 2 3x x–y 8 a) A = 2 xy
9 a) 10x m 3 2 2 3 b) 8x + 12x y + 6xy + y 4x + 2
f)
2 h) 6x –16x + 12 x 3 – 9x 3 i) x+2
13
–x 4 – 6x 3 y – 3x 2 y 2 + 10xy 3 x y + x y + 3x 3 – 3x 2 y 4 – 7x 2 y – xy 5 –15xy 2 + 2y 6 – 5y 3 4
2
3 3
Lección 28: Resolución de problemas que involucran ecuaciones fraccionarias Página 188
1 a) x = 8
b) x = 5
c) x = 0
10 3 k) N o e x i s te valor de x. 13 l) x = – 2
d) x = 14 e) x = 6 9 f) x = – 2 g) x = –2 h) x = 3 i) x = 2
2 a) No.
j) x =
m) x = 1 n) x = 11 b) No.
ñ) x = 1 5 o) x = 3 p) x = – 9 q) x = 4 r) x = –
8 7 1 3
c) No.
3 a) Sí. b) No. c) No. 4 a) x: dinero que falta por ahorrar. 5 ⋅ 59998 + x = 59998 9
d) Sí.
d) x: ancho del terreno. 6x = 44
5 a) 50 b) 90 c) 52 años. d) Se encuentran a 292,68 km de la ciudad A y 307,32 de la ciudad B. c) x = 3,5 cm
b) 5 perros y 4 cerdos.
Página 189
3 130 13 1 x≠ ,x= 20 2 60 x ≠ 0, x = – 7 x ≠ 0, x ≠ 2; x = –1 16 x ≠ 0, x = 3 15 x ≠ 0, x = 2 x ≠ 0, la ecuación no tiene solución en . x ≠ –3, x ≠ –5; x = 0 no tiene solución. 3 1 x ≠ – , la ecuación no tiene solución en . 2 x ≠ –1, x ≠ 1, x = 5 3 x ≠ –1, x = – 4
8 a) x ≠ 0, x = b) c) d) e) f) g) h) i) j) k)
2 – a – a2 3–a
3 No es solución. La solución es 2. Sí es solución. No es solución. La solución es – 2 3 Sí, Sí, Sí. No, la solución es – 13 4 Página 190 b) c) d) e) f) g) h)
757890 ⋅2 = x 3
b) x = 25 cm
ñ) x ≠ –a, x ≠ a, con a ≠ 3; x = o) x ≠ –2, x ≠ 2, x = –1 1 1 4 p) x ≠ , x ≠ − , x = – 3 3 9 3 q) x = – 7 1 r) x ≠ –3, x ≠ 1, x ≠ 3, x = – 2 s) x ≠ –3, x ≠ 5, x ≠ 3, x = –1 t) x ≠ –4, x ≠ 3, x = 5
9 a) No es solución. La solución es 1
b) x: distancia que falta del trayecto. 0,7 + x = 25 c) x: monto que se pagará en 2 cuotas.
6 a) x = 72 cm 7 a) 5 perros.
7 3 m) x ≠ –5, x = –6 n) x ≠ 3, x ≠ 1; x = 1,5 l) x ≠ –2, x = –
10 a) x ≠ 0, x = 9 b) x ≠ –2, x ≠ 0, x = –
7 4
16 c) x ≠ 2, x ≠ 0, x = 9 1 d) x ≠ 0, x = 10 e) La ecuación no tiene solución. 139 3 f) x ≠ –3, x ≠ – , x = – 46 2
11 a) No, pues
12 – 1
1 –1 b) Si, x=q + p ≠ 3x – 3 3x – 3 3x – 3 ≠ −3x + 3 –3 ≠ 3
2
13 No existe un valor para x ya que el producto de un número y su inverso multiplicativo es 1.
14 –2 15 Eran 22 colegios. Cada uno habría recibido aproximadamente 32,7 kg de productos.
16 36 17 Aproximadamente 2 horas con 25 min. y 27 seg. 18 33 y 12 19 7 8 SOLUCIONARIO
351
Solucionario Página 191
Página 195 12 a. 1 6x 2 b. –c a2b
20 Aproximadamente 52 minutos y 57 segundos. 21 a) A las 4:06 y a las 4:41, aproximadamente. b) A las 7:06, aproximadamente. c) A las 10:54, aproximadamente. b) 24 cm 22 a) 60 cm
c) 5 cm
14 a.
b. x ≠ 1
c. x ≠ –
2 a. x = y = z =
c.
4 a.
pq a b c a+b+c 25x + 10 3x –1 x < –5 o x > 0 x 0 o x 1 , decreciente si 0 < a < . 4 4 1 1 b) Creciente si a < – , decreciente si − < a < 0 . 5 5 c) Creciente si a > 2, decreciente si 1 < a < 2. 1 d) Creciente si a > 1, decreciente si < a < 1. 2 c) log (x + 1) – 2 d) log (–x + 2) + 1
6 a) 1–log x b) log (– x) + 3
15
10
10
5
5 X
− 30
− 25
− 20
− 15
− 10
−5
5
10
15
20
25
X
30
− 30
− 25
− 20
− 15
− 10
−5 −5
− 10
− 10
− 15
− 15
− 20
− 20
− 25
− 25
− 30
− 30
15
20
25
30
b. Aproximadamente 5,0. c. Representa un aumento en la exigencia.
3 a. Intersección eje X: (–8, 0), intersección eje Y: (0, 2) b. Intersección eje X: (48, 0), intersección eje Y: (0, –8) c. Intersección eje X: (12,8; 0), intersección eje Y: (0, 8) 22 d. Intersección eje X: ,0 , intersección eje Y: 3 (0, 3 – 5) Y
4 a.
Y
c.
6 5
6 5 4
3
c) Dom = R , Rec = R d) Dom = R+, Rec = R +
3
2
2
1
1 X
−6
−5
−4
−3
−2
−1
8 a) F, el recorrido si puede tener valores negativos. b) F. Si, por ejemplo, a = 3, b = 2 y x = 10, se tiene que:
1
2
3
4
5
X
6
−6
−5
−4
−3
−2
−1
−1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
−5
−5
−6
b.
log10 log10 log2 10 = log3 log2 1 1 log3 10 = log2 10 = log3 log2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
−6
Y
log3 10 =
Y
d.
6 5
6 5
4
4
3
3
2
2
1
1 X
−6
Se sabe que log 3 > log 2, por lo tanto 1 1 < → log3 10 < log2 10 log3 log2
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
X
6
−6
−5
−4
−3
−2
−1
−1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
−5
−5
−6
−6
Y
5 a.
c) V d) F, se traslada verticalmente hacia los negativos.
Y
c.
6 5
6 5
4
4
3
3
2
2
1
1 X
−6
−5
−4
−3
−2
−1
9 El pH disminuye.
1
2
3
4
5
X
6
−6
−5
−4
−3
−2
−1
−1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
−5
−5
−6
Integrando lo aprendido
−6
Y
b.
Página 216 Y
1 a.
10
2 a. Aproximadamente 6,0.
4
7 a) Dom = R+, Rec = R b) Dom = R+, Rec = R
5
−5
Y
d.
6 5
6 5
4
4
3
3
Y
c.
30 25
30
2
25
1
2 1 X
20
15
15
−1
−1
10
−2
−2
−3
−3
10 5
−6
− 25
− 20
− 15
− 10
2
3
4
5
−6
6
−5
−4
−3
−2
−1
X −4 −5
− 10
−6
−6
− 15
− 15
− 20
− 20
− 25
− 25
− 30
− 30
25
30
− 30
− 25
− 20
− 15
− 10
−5
5
10
15
20
25
30
6 a. y = 3x + 1 b. y = –3x + 3
Y
d.
30 25
20
20
15
15
Página 217
10
5
5 X
356
1
− 10
20
10
− 10
−1
−5
15
Y
− 15
−2
−4 10
25
− 20
−3
−5
5
30
− 25
−4
−5
−5
b.
− 30
−5
5 X
− 30
X
20
−5
5
10
15
20
25
30
X − 30
− 25
− 20
− 15
− 10
−5
5
−5
−5
− 10
− 10
− 15
− 15
− 20
− 20
− 25
− 25
− 30
− 30
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
10
15
20
25
30
7 a. T
3
6
9
12
15
18
21
24
27
P 500 1000 2000 4000 8000 16000 32000 64000 128000
125 t ⋅2 2 c. Dom f(x)= , Rec= ]0, + ∞[ d. Construcción.
8 a. Dom = ]– ∞, + ∞[, Rec = ]1, + ∞[, No interseca al eje X, intersección eje Y: (0, 2) b. Dom = ]– ∞, + ∞[, Rec = ]–2, + ∞[, Intersección eje X: (log 52, 0), intersección eje Y: (0, –1) c. Dom = ]– ∞, + ∞[, Rec = ]0, + ∞[, No interseca al eje X, intersección eje Y: (0, 1) d. Dom = ]– ∞, + ∞[, Rec = ]– ∞, 2[, Intersección eje X: (0,5; 0), intersección eje Y: (0, 1) Y
9 a.
Y
c.
6 5
−4
−3
−2
4
3
3
2
2
2
3
4
5
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1 −1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
−5
−5
−6
−6
d.
2
3
4
5
d.
6 5
4
4
3
3 2
2
6 1 X
X −6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−6
6
−5
−4
−3
−2
−1
−1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
−5
−5
−6
b.
4
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
Y
e.
6 5
6 5
4
4
3
3
2 1 X 1
2
3
4
5
6
X −6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
2
2
6 1
−1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
−5
−5
−6
−6
1 X
X −6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−6
6
−5
−4
−3
−2
−1
−1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
−5
−5 −6
−6
10 a. Intersección eje X: (–5, 0), intersección eje Y: (0, log 6) b. Intersección eje X: (–6, 0), intersección eje Y: (0, 1) c. Intersección eje X: (6, 0), no interseca al eje Y. d. Intersección eje X: (3, 0), intersección eje Y: (0, –1) 5 2 2 b. Creciente si a > – , decreciente si – < a < – . 6 3 3 1 1 c. Creciente si a < – , decreciente si – < a < 0 . 3 3 5 5 d. Creciente si a < , decreciente si < a < 2. 3 3
12 a. Dom = R+, Rec = R b. Dom = R+, Rec = R c. Dom = R+, Rec = R d. Dom = ]–8, + ∞ [, Rec = R
c.
5
6 5
4
4
3
3 2
2 1
1 X
X −6
−5
−4
−3
−2
7 a)
−1
1
2
3
4
5
−6
6
−5
−4
−3
−2
−1
−1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
−5
−5
−6
−6
3 f(x) = x + 3 2
2 b) f(x) = – x – 1 3
Lección 33: Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas 1 a) x = –6 b) x = –3,5 c) x = 2
Página 219
¿Qué debes saber? 1 6 f. x = 3,5 g. x = 16
f.
6
Página 221
Sección 3: Sistemas de ecuaciones lineales
e. x =
Y
Y
11 a. Creciente si a > 0, decreciente si –1 < a < 0.
x=5 x = 14 x = 12 x = 1,6
2
3
1
1 a. b. c. d.
1
−6
Y
5
2
−1
d. No Y
5
6
3
−2
c. No
6
Y
4
−3
b. Sí
1
−1
5
−4
5 a. No
X
6
6
−5
3 b. m = , n = –2 4
1
1
Y
−6
7 6 c. m = ,n = – 5 5 5 2 d. m = ,n = − 3 3
4 a. m = –1, n = 12
6 a.
5
4
−1
b.
b. Los lados miden 20 10 cm, 20 10 cm y (40 5 – 3) cm
Y
X −5
3 a. x = 21,5
6
1
−6
d. x – 7 = 3x e. x – 17 = x2 f. 14x = 3x – 15
2 a. x + 15 = 100 b. x + 8 = 13 c. x – –1 = 2
b. f(x) =
h. x = 2 i. x = 1,5 j. x = 4
2 a) m = 24 + y b) h + y = 132 c) 10e = 100 3 a) b) c) d)
d) x = 3 e) x = 22,5 f) x = –4
g) x = 8,4 10 h) x = 13
d) t = 3 × 50 e) x – 40 = 28 f) x : 6 = 3
ancho = 34 cm, largo = 68 cm. 75 años 14,8 cm, x = 3,6 Miriam lleva 5 bandejas y Raúl 7.
SOLUCIONARIO
357
Solucionario c) Sí d) Sí
4 a) Sí b) No
g) Sí
Y
g)
c) 26 , 4 21 3
5 e) –2, 2
d) (2, 2)
f) 13 ,– 3 10 5
2 1 X −6
2 a) b) c) d) e)
m=0 m = –1,25 m=3 m = –0,75 m = –1,6
4
4
3
3 2 1 X
X −3
−2
−1
1
2
3
4
5
−6
6
−5
−4
−3
−2
−1
1
−1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
2
3
4
5
6
−5
−5 −6
5
6 5
4
4
3
3
2
2 1
1 X −4
−3
−2
−1
5
6
b) y = –0,6x + 3
5 a) (2, 1) b) (2, 0) c) (–4, –15)
d) e) f) g)
6 a) (6, 3) b) (4, 4) c) 7 ,– 1 3 3 d) (1, 4) e) (2, 3) f) (–1, 2) g) El sistema no tiene solución.
7 a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)
7 2 h) ,– 3 3 i) (1, 1) j) (–66, 26)
(8, 10) (17, 21) (1, –1) (1, 2)
h) – 5 ,– 3 8 8 i) (–1, 0) j) (1, –1) k) (2, –3) l) (2, 2) m) (2, –1) n) El sistema tiene infinitas soluciones.
Sistema compatible determinado. Sistema compatible determinado. Sistema compatible determinado. Sistema compatible determinado. Sistema incompatible. Sistema compatible determinado. Sistema compatible determinado. Sistema incompatible. Sistema compatible indeterminado. Sistema compatible indeterminado.
8 a) x – 2y = 0 5x –10y = 0
Y
e)
6
−5
4
−6
Y
b)
3
Página 225
5
1
−4
2
−6
6
2
−5
1
−5
Y
d)
5
−1
−4
e) m = 2, n = 1 f) m = 2,5; n = –1 g) m = 0,5, n = 4 30 5 h) m = ,n = – 11 44 70 f) m = – 113 g) m = indefinida, recta vertical h) m = 2,5
6
−2
4 a) y = x + 1
Y
3 a)
−3
−3
Página 224 m = –5, n = 4 m = 2, n = 0,3 m = 5, n = 7 m = 0, n = –5
−4
−2
Lección 34: Sistemas de ecuaciones lineales y gráficos 1 a) b) c) d)
−5
−1
7 a) No se pueden determinar los precios. b) No, ya que al simplificar la segunda expresión se obtiene la misma cantidad de objetos vendidos en la primera pero a un valor total menor.
−6
5 4
Los números son 17 y 12. Los números son 74 y 26. Los números son 30 y 13. Ancho = 9 cm, largo = 13,5 cm
−6
6
3
5 a) (2, 2) b) 2 , 6 7 7 6 a) b) c) d)
e) No f) Sí
1
2
3
4
5
X
6
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
−1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
−5
−5
−6
−6
c)
2
3
4
5
6
d) x – 2y = 4 –x – 2y = 0
9 La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: –5x + 3y = –30 Sistema compatible determinado 5x + 2y = 5
Y
f)
b) 6x – 8y = 0 15x – 20y = –5
c) 4x – 3y = –1 3x + y = –4
6 5 4 3 2 1 X −6
−5
−4
−3
−2
−1
1 −1
2
3
4
5
6
Sistema compatible indeterminado
−2 −3 −4 −5 −6
358
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
Sistema incompatible
2x + y = 10 2x + y = 13
x + 2y = 11 3x + 6y = 33
Lección 35: Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales
233 103 h) , 41 41
j) Infinitas soluciones. k) (–1, –3)
Página 229
i) (0, –2)
117 243 l) – ,– 29 116
1 a) x = 7 b) x = –4 c) x = –1
d) e) f) g)
92 h) x = 13
x=6 x = –5 x = –3,2 x=2
i) x = 34 j) x = 6
2 a) –18 b) 3134 c) 1,875
d) –1712 e) 13 3 f) 635,2
3 a) b) c) d) e)
f) –2a2 + 2c g) 19 x – 46 10 5 1 h) x 2 + 2x – 2 3
–7x – 15y 2x4 + x2 – 2x + 9 7x –14x – 42 5a2 – 7a – 2
4 a) 120 , 12 11 11 b) c) d) e) f)
(20, 30) (5, 2) (8, –2) (1,4; –8,6) (1, 5)
5 a) (6, –2) 8 5 b) , 3 9 c) (–5, 15) 7 16 d) – , 3 9 e) (2, 2) f) (8, 16)
g) (5, 0) h) (8, 5) i) (1,5; –2,5) j) (1, 1) k) (5, 10) l) (3, 4) m) (–18,5; –28)
1 16 d) , 5 5 e) (6, 3) 7 a) – 70 , 90 31 31
64 44 n) – ,– 7 7 ñ) (–12, –8) 70 5 o) ,– 9 3 p) (3,6; - 0,3) q) (0,5; 6,5)
2 8 g) , 3 9 h) (100, –18) i) – 131,– 28 45 45 37 110 j) – ,– 3 9
b) – 71,– 7 11 11 c) (–2,5; 6,5)
f) (–10, 11) g) (3, –1) 28 12 h) ,– 29 29 i) (0,0) j) 865 ,– 120 201 67 d) e) f) g)
1 1 b) ,– 8 11 c) El sistema no tiene solución. d) El sistema no tiene solución. e) (–1, –1), (–1, 1), (1, –1), (1, 1)
Página 230
6 a) (–2, 1) b) (0, 2) 30 31 c) , 13 13
8 a) – 1 , 1 38 9
(4, –6) (–0,25; 0,25) (–0,5; 1) (5, –9)
f)
(–
2,– 5 ),(– 2, 5 ),( 2,– 5 ),( 2, 5 )
g) (0, 0) h) El sistema no tiene solución. 9 a) p y q tienen que ser distintos de 0. b) Sí, por ejemplo el sistema d) de la pregunta anterior donde p = 0 por lo que x no está definido. Página 231
10 a) • ⁸as expresiones del sistema
ax + by = e se cx + dy = f
multiplica por d y –b respectivamente: adx + bdy = de , luego se suman ambas –bcx – bdy = –bf expresiones: adx – bcx = de – bf , se factoriza por de – bf x: x(ad – bc) = de – bf y se despeja x: x = . ad – bc ax + by = e • Las expresiones del sistema se cx + dy = f multiplica por –c y a respectivamente: –acx – bcy = –ce , luego se suman ambas acx + ady = af expresiones: ady – bcy = af – ce , se factoriza por af – ce y: y (ad – bc) = af – ce y se despeja y: y = . ad – bc Luego, la solución del sistema es: de – bf af – ce . , ad – bc ad – bc b) ad – bc ≠ 0 c) Sistema Incompatible. d) Sistema compatible indeterminado. 11 a) (–2, 1) b) (8, –55) c) El sistema no tiene solución.
d) (0,3; –0,2) e) (–10, 3) f)
(–
2, 3 )
SOLUCIONARIO
359
Solucionario i) El sistema no tiene solución.
g) 5 – 1 ,– 5 –1 3 3
c) Sistema incompatible.
e) Sistema incompatible.
Y
j) 29 , 3 3 9
h) (19 3 + 14,–5 3 + 24)
Y
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1 X
−6
12 Aplicando el resultado de la pregunta 10. Se obtiene que la solución del sistema es: ae + 2e – af – f af – ae – e , como el denominador es , –1 –1 distinto de 0, el sistema es compatible determinado y como a, e y f son números enteros las expresiones ae + 2e – af – f y af – ae – e también son números enteros. (El producto de números enteros es entero y la suma o resta de números enteros es entero)
−5
e) (93, –25, –2)
75 112 53 ,– c) , 13 13 13
g) (–2, 4, –6)
Lección 36: Existencia de soluciones de un sistema de ecuaciones
b) 2 , 5 3 3
c) (–2, 1)
e) (0, 0)
55 1 d) , 17 17
36 27 f) , 13 26
b) Sistema incompatible.
2 a) Sistema compatible determinado.
2
3
4
5
6
X −6
−5
−4
−3
−2
−1
1
−1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
−5
−5
−6
−6
2
3
4
5
6
3
4
5
6
f) Sistema incompatible. Y
6
6
5
5
4
4 3
2
2 1
1 X
5 a) b) c) d) e) f) g) h) i)
Página 234 1 a) 2 , 13 7 7
1
3
b) c) d) e)
1 4 h) –3, ,– 3 3
d) (4, 8, 14)
−1
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
X −6
−5
−4
−3
−2
−1
1
−1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
−5
−5
−6
−6
2
3 a) m = 4, n = 5 e) m = 7, n = 0 f) m = 5, n = –4 b) m = –3, n = 8 g) m = 1, n = –4 2 c) m = ,n = 10 3 h) m = 2, n = 1,2 5 d) m = – ,n = –1 9 4 a) F, si su pendientes son iguales.
Si ad = cd el sistema es compatible indeterminado. Si ad ≠ cd, la solución del sistema es (0, 0). 2 2 1 f) , , 3 9 9
−2
Y
ax + by = 0 13 Consideremos el sistema y su solución cx + dy = 0 0 0 , . ad– cd ad – cd
643 287 239 b) – , , 5 5 5
−3
d) Sistema compatible determinado.
−6
14 a) (1, 3, 2)
−4
V V F, es compatible indeterminado o incompatible. F, es compatible indeterminado. Sistema compatible determinado. Sistema incompatible. Sistema compatible determinado. Sistema compatible indeterminado. Sistema compatible indeterminado. Sistema compatible determinado. Sistema compatible indeterminado. Sistema compatible determinado. Sistema compatible indeterminado.
Y Y 6 6 5
Página 235
5 4 4 3 3 2 2 1 1
X X −6
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−5
−4
−3
−2
−1
1
6 −1
−1 −2 −2 −3 −3 −4 −4 −5 −5 −6 −6
360
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
2
3
4
5
6
6 a) Si k ≠ 12 el sistema es compatible determinado y si k = 12 el sistema es compatible indeterminado. b) Si k ≠ –5 el sistema es compatible determinado y si k = –5 el sistema es incompatible. c) Si k ≠ –27 el sistema es compatible determinado y si k = –27 el sistema es incompatible. d) Si k ≠ 1,6 el sistema es compatible determinado y si k = 1,6 el sistema es incompatible.
e) Si k ≠ 1 el sistema es compatible determinado y si k = 1 el sistema es compatible indeterminado. f) Si k ≠ 2 el sistema es compatible determinado y si k = 2 el sistema es compatible indeterminado. 7 a) 5a ≠ 2b b) a = 1, b = 16 b) V
8 a) V
c) b = 4a d) 5a ≠ 3b c) V
d) V
11 No, ya que si L1 y L2 forman un sistema compatible determinado, al formar L3 y L1un sistema indeterminado, L3 y L2 formarían un sistema compatible determinado ya que L3 sería coincidente con L1. 12 Camilo tiene razón y se puede ver resolviendo el sistema l + a = 11 l – a = 3 . Luego, a = 4 cm y l = 7 cm. Lección 37: Resolución de problemas que involucran sistemas de ecuaciones lineales Página 238
b) x = –
31 19
c) x = –9 d) x = –1,5 e) x = –3,5
e) 193 ,– 32 7 7 f) El sistema no tiene solución. Las pendientes de las rectas y los coeficientes de posición son distintos.
9 a) Consistente, Enrique dice que su edad (E) es el doble de la de Daniela (D), E = 2D y Daniela dice que la edad de Enrique (E) menos su edad (D) es igual a su edad (D), E – D = D, por lo que ambos dicen lo mismo aunque de distinta manera. b) Inconsistente, el sistema formado por las ecuaciones dadas por cada uno (4r + 2l = 21000 y 6r + 3l = 25000) no tiene solución. b) No c) No 10 a) No.
1 a) x = 4
d) El sistema tiene infinitas soluciones. Las pendientes de las rectas y los coeficientes de posición son iguales.
13 6 g) x = 0,8 h) x = –4
f) x = –
2 a) P = 2(2x + 3 × 2x) m = 16x m b) P = 3(a + b) cm = (3a + 3b) cm c) x + 3 = 2E – 5 → E = x + 8 años 2 3 a) $8000 b) Ancho = 7,5 cm y largo = 15 cm c) $5000 y $15000 d) Aproximadamente $3 529 412 e) A = 72 cm2 f) Pablo = 180 votos, Juan = 255 votos y Pedro = 125 votos. 4 a) (3, 1) b) El sistema no tiene solución. Las pendientes de las rectas son iguales y los coeficientes de posición son distintos. c) (–20, 23)
5 a) Camisa: $5000, Polera: $2000 y Pantalón: $3000 b) Tiene 8 monedas de $100 y 10 monedas de $500. c) El sistema tiene solución, pero no es pertinente al problema. d) Compró 7 unidades del producto B. e) 15 años. f) Amaro tiene 11 años y Alfonso 16 años. g) El cuaderno cuesta $950 y el lápiz $200. Página 239
h) Andrés tiene 32 años y Jaime 16 años. i) El sistema tiene solución, pero no es pertinente al problema. j) Tenía 7 años. k) Hay 20 mujeres. l) El sistema tiene solución, pero no es pertinente al problema. m) 546 niños. n) El hijo tiene 98 años, y el padre, 202 años. 3 3 ñ) Hay 25 autos y 30 motos. o) Paula ganó $70 000 y Andrea $140 000 p) Compró 5 galones de látex y 10 galones de tinte. q) El sistema tiene solución, pero no es pertinente al problema. 6 a) b) c) d) e) f) g)
156 cm2 55°, 35° y 145° 130°, 50°, 130° y 50° a = 55°, b = 35° Ancho = 54 m, Largo = 62 m a = 90°, b = 0° x = 25°, y = 105° = 15°,m CD = 75° h) m AB
( )
( )
i) El sistema tiene solución, pero no es pertinente al problema. Página 240
7 a) b) c) d)
12 y 18 144 239 82 y 203
e) 15 4 f) 2 g) 28 y 20
h) i) j) k)
9y8 9 27 13 y 14
8 a) La goma cuesta $50 y el lápiz $200, por lo que la solución es pertinente.
SOLUCIONARIO
361
Solucionario b) Los números son –13 y 22, siendo –13 negativo por lo que no es pertinente la solución. c) La ficha blanca resta 2 puntos y la verde da 7 puntos, por lo que las soluciones son pertinentes. d) 37 , por lo que la solución es pertinente. 52 Página 241
9 La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: a) 2NaCl + H2S04 → 2HCl + Na2SO4 b) H2CO3 + 2KClO → K2CO3 + 2HClO c) 2C4H10 + 1302 → 8CO2 + 10H2O d) 2HCl + Ca → CaCl2 + H2 10 a) Precio: $80, cantidad comprada/vendida: 100 artículos. b) Precio: $100, cantidad comprada/vendida: 120 artículos. c) Precio: $1060, cantidad comprada/vendida: 66 artículos. 11 a) La respuesta depende de cada estudiante. b) La respuesta depende de cada estudiante. c) La respuesta depende de cada estudiante. 12 100 litros al 95% y 200 litros al 80%.
b. (2,5; 1,5)
c. (10, –2)
2 a. Se usaron 2000 botellas de 2 litros y 400 de 5 litros. b. Se vendieron 12 revistas de $1600 y 8 de $2400. b. (7, 2) c. (3, –1) 3 a. (–1, 1) b.
2x + y = 1
x–y=0 x–y=3 g. (0,5; 1) h. (1, 1) i. (0, 6)
b. (1, –4) c. (–1, 1)
d. (5, 6) e. (5, –15) f. (–13, 12)
6 a. (0,2; –1)
b. (1, 0,125)
c. (–1; –0,25)
7 a. 5 , 2 9a 9b
a b b. ,– 11 9
31 3 1 c. , ,– 10 4 5
5 a. (2, 3)
Reforzar antes de evaluar U3 Página 250 7 10 b. x ≠ 2
1 a. m ≠
b. mcm = 40pqr, mcd = 2p
6 En 24a3b3c2 horas. 3 2 7 a. 6x + 4x
2x 3 + 10x 2
b.
x 3 y + 5x 2 y 2 + xy 3 4x 3 y – 9xy 2
c.
x+5 ( x + 5) 3
7 8 a. 5b 3 2
ac
10 a. 6a – 6b
9 a. 4a ≠ –3b b. a = 10, b = 1,2
c. b = 4a
11 $
10 La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: b. x + 3y = 5
c. x + 3y = 9
b. b – 2 b2 –1
x 8ay
d. Solución única. e. Solución única. f. Infinitas soluciones.
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
d. x ≠ 2 o x ≠ –2
5 a. mcm = 36x3, mcd = 3x
8 a. Infinitas soluciones. b. No tiene solución. c. Solución única.
a. 3x – y = 1
c. a ≠ 8 o a ≠ –3
3 13,5 4 55
9 a.
Página 245
362
12 La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: a. Hace 10 años la edad de Eugenia era 16 veces mayor que la de su hijo. ¿Qué edad tiene cada uno actualmente? b. La diferencia entre las edades de Eugenia y su hijo es 66. ¿Qué edad tiene cada uno actualmente? c. El doble de la suma de las edades de Eugenia y su hijo es 100. ¿Qué edad tiene cada uno actualmente?
xy
Página 244
4 a. x – 3y = –3
10 y 20 – 42 y 78 Largo = 12,8 cm, ancho = 3,2 cm El sistema tiene solución, pero no es pertinente al problema. e. Alicia tiene $24 000 y Patricio $12 000.
2 2 P= x y
Integrando lo aprendido
1 a. (0, 4)
11 a. b. c. d.
7 m+1
3 2 12 x + 9x + 27x + 27
64x 4
c. b + 4 b+2 b.
x2 – x – 2 x 2 + 4x + 4
b. y + 2 y–5
d.
2 x +1
13 a. p
Y
2 c. –6x + 42x + 35 x 2 – 25
2m 2
b. 5x – 8x + 11 6x – 2
19 a.
5
6 5 4
4
3
3
2
2
2 d. 21x + 148x + 181 4x + 6
1
1 X
X −6
−5
−4
−3
−2
−1
Página 251
14 a. x = –94
1
2
3
4
5
−6
6
−5
−4
−3
−2
−1
1
−1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
−5
−5
−6
−6
2
3
4
5
6
20 azul: 3x + 1; verde: 10x – 1; rojo: 0,2x 21 a. Intersección eje X = (0,5; 0), Intersección eje
b. x = 7 – 4 3, x = 7 + 4 3 15 3 8
Y = (0, –1), Dom = R, Rec = ] –2, + ∞[ b. No interseca al eje X, Intersección eje Y = (0, 6) Dom = R, Rec = ]5, + ∞[
Y
16 a.
Y
b.
6
6 5 4
22 a.
3 2
Y
Y
b.
6
6
1 5
5
4
4
3
3
X −9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
−1 −2
2
−3
1
2 1
−2 −5 −6
Y
b.
X
X
−4 −1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
−2
10
−1
1
−1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
−5
−5
−6
−6
6
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5 4 3
23 a. Intersección eje X = (10–6, 0), No interseca al eje Y,
2 1
Dom = , Rec = b. Intersección eje X = (8, 0), No interseca al eje Y, Dom = ]7, + ∞ [, Rec = c. Intersección eje X = (1016, 0), No interseca al eje Y, + Dom = , Rec = +
X −9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
6
7
8
9
10
11
12
13
14
−1 −2 −3 −4 −5 −6
Y
c.
6
+
5 4 3
Página 252
2 1 X −4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
24 a. x = 5, y = –15
−1
b. x = –2, y = 6
−2 −3
7 3 x–y=3 26 a. 3x + 2y = –6
−4
25 a. x = , y = –2
−5 −6
Y
d.
6 5 4
b. x = 0, y = 4 b.
c. x = 6, y = –10 x + y = 0,5 x + y = 2,5
3 2 1
27 a. x = –3, y = 0
X −9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
−1 −2
1 1 b. x = – , y = – 5 4
−3 −4
28 a. x = –
−5 −6
17 a. No interseca a los ejes X e Y. Dom = [9, + ∞ [, Rec= [4, + ∞[
b. Intersección eje X = (44, 0), Intersección eje
Y
Y
b.
6 5
−5
−4
−3
−2
4
3
3
2
2
1
1
1
2
3
4
5
6
b. Compatible indeterminado. c. Incompatible.
5
4
−1
29 a. Compatible determinado.
6
Evaluación de la Unidad 3 X
X −6
b. x = 1, y = 0, z = 0
31 60 32 $300 000
Y = (0,7 – 5 ), Dom = [–5, + ∞[, Rec = ]– ∞, 7]
18 a.
11 1 ,y = 17a 17b
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
−1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
−5
−5
−6
−6
2
3
4
5
6
Página 254
1 E 2 C 3 D SOLUCIONARIO
363
Solucionario 4 5 6 7 8 9 10
B E A E D E B
Página 255
11 12 13 14 15
E C C C D
Lección 38: Medidas de dispersión de datos Página 264 1 x = 95,7 2 x = 3,52
Página 256
16 17 18 19 20 21 22
D D A A C C E
3 a) b) c) d)
Rango = 14, Varianza = 31,04, Desviación estándar ≈ 5,57 Rango = 12, Varianza = 24,56, Desviación estándar ≈ 4,96 Rango = 17, Varianza = 30,49, Desviación estándar ≈ 5,52 Rango = 15, Varianza = 26,89, Desviación estándar ≈ 5,19 c) x = 19,9 o x = –0,1 4 a) x = 20,3 o x = 1,8 b) x = 13,5 o x = 4,1 5 s=0
Página 257
23 24 25 26 27 28
5 a. Se pudo agregar 2 valores menores que 12 (P75) y 3 valores mayores que 12 (P75) o bien, 3 valores menores que 12 (P75) y 2 valores mayores que 12 (P75). b. Se debe quitar 5 valores menores o igual es a 7 (Q3) y 5 valores mayores o iguales a 7 (Q3). c. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: –4, –3, –1, 0, 0, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9 ,10, 12, 12, 15. d. • Q1’ = Q1 + 5; Q2’ = Q2 + 5; Q3’ = Q3 + 5 • Q1’ = 3Q1; Q2’ = 3Q2; Q3’ = 3Q3
C A D D B A
6 La dispersión se mantuvo, ya que todas las notas subieron un punto. Ejemplo: 4,2 – 5,3 – 6,1 Rango = 1,9 / σ2 ≈ 0,61 / s ≈ 0,78 Página 265
7 a) El rango se duplicó y la varianza se cuadruplicó. b) El rango se quintuplicó y la varianza aumentó 25 veces. c) El rango aumenta x veces y la varianza aumenta x² veces.
Unidad 4: Datos y azar Sección 1: Dispersión y comparación de datos
8 9
2 Promedio = 61,375; Mediana = 63,8 Moda = 58,18 3 a. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: 3; 4,8; 2,5; 3; 7,7 y 6; 1,3; 2,9; 1,5; 9,3 b. Sus notas fueron: 5,6; 5,6; 5,6; 5,6 y 6,1. c. El más bajo mide 1,64 m. b. Q2 = 7 c. Q3 = 11,5 4 a. Q = 4,5 1
364
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
x = 132,5 σ = 7,02 b) El primer término corresponde al promedio del cuadrado de los datos. El segundo término corresponde al doble del cuadrado del promedio. El tercer término corresponde al cuadrado del promedio. c) Considerando la deducción del punto anterior:
¿Qué debes saber? Promedio = 4 – Mediana = 4 – Moda = no tiene Promedio ≈ 17,43 – Mediana = 15 – Moda = 15 Promedio = 9,5 – Mediana = 9 – Moda = 4, 6, 14 Promedio = 9,5 – Mediana = 8 – Moda = 8
_
10 a) 25,5 – 40,5 + 20,25
Página 261 1 a. b. c. d.
Rango 8; Dm = 213; σ2 ≈ 6,54
2
2
2
σ2 ( x) = x 2 – 2x + x = x 2 – x 11 a) x + a = {x1 + a, x2 + a, …, xn + a} → x+a = x+a 2
2
2
(x + a −(x + a)) +(x + a −(x + a)) + ... +(x + a −(x + a)) σ ( x + a) = 1
2
2
n
n
2
σ( 2
2
(x − x) +(x − x) + ... +(x − x) x+a = )
1
2
n
n
σ ( x + a) = σ ( x) 2
2
2
b) ax = {ax1, ax2, …, axn} → ax = ax 2
σ (ax) 2
(ax − ax) + (ax = 1
2
σ ( x + a) =
2
− ax) + ... + (axn − ax) n 2
2
a ( x1 − x) + a ( x 2 − x) + ... + a2 ( xn − x) 2
2
2
2
2
n 2 2 2 ( x1 − x) + ( x 2 − x) + ... + ( xn − x) 2 2 σ ( x + a) = a n σ 2 ( x + a) = a2σ 2 ( x)
Página 268
c) x = {x1, x2, …, xn} y ax = {ax1, ax2, …, axn}. Sea máx(x) = xr y mín(x) = xs entonces máx(ax) = axr y mín(ax) = axs. Luego, R(ax) = axr – axs = a(xr – xs) = aR(x) d)
2
σ 2 ( x) = σ 2 ( x) = σ ( x) = 2
σ 2 ( x) = σ 2 ( x) = σ 2 ( x) =
(x − x) + ... + (x 1
2
n
− x)
2
)
(
x12 − 2x1 x + x + ... + x 32 − 2x 3 x + x
2
)
n
( x12 + ... + x 32 )−(2x1 x + ... + 2x3 x) + ( x
2
+ ... + x
2
)
n
( x12 + ... + x32 ) n ( x + ... + x 32 ) 2 1
n 2 ( x1 + ... + x 32 ) n
−
2x( x1 + ... + x 3 ) nx + n n 2
− 2x + x −x
2
2
2
12 σ2 ≈ 2,27 13 La respuesta depende de cada estudiante. Lección 39: Comparación de conjuntos de datos Página 267 1 a) b) c) d)
4 a) CV(X) = 76%, CV(Y) = 63%. El conjunto Y es más homogéneo. b) CV(X) = 100%, CV(Y) = 75%. El conjunto Y es más homogéneo. 5 a)
n
(
3 a) Conjunto X: x = 6; R = 12; σ2 = 13,8; σ ≈ 3,71; Q1 = 2; Q2 = 6; Q3 = 10 Conjunto Y: y = 6; R = 12; σ2 = 14,2; σ ≈ 3,77; Q1 = 3; Q2= 6; Q3 = 9 El promedio es más representativo en el conjunto X. b) Conjunto X: x = 9; R = 16; σ2 = 36,2; σ ≈ 6,02; Q1 = 3; Q2 = 9; Q3 = 15 Conjunto Y: y= 9; R = 10; σ2 = 13,4; σ ≈ 3,66; Q1 = 5; Q2 = 9; Q3 = 13 El promedio es más representativo en el conjunto Y.
Q1 = 3, Med = 4, Q3 = 4,5 Q1 = 5, Med = 11,5, Q3 = 14 Q1 = –2, Med = 1,5, Q3 = 6 Q1 = –5,5, Med = –1, Q3 = 5,5
2 a) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: 1, 2, 3, 6, 7, 8, 9 b) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: –1, 0, 1, 4, 5, 13, 17, 19, 20, 20, 21, 25 c) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5 d) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: –8, –7, –7, –7, –6, –6, –5, –5, –5, –4, –3, –3, –2, –1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2 e) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: –5, –4, –3, –2, –1, –1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3
Rango Promedio Q1 Q2 Q3 Varianza Desviación estándar Coeficiente de variación
Sin fertilizante
Con fertilizante
5 12,35 11 12 13,5 2,33 1,53 12%
5 13,3 12 13 14,5 2,11 1,45 11%
Observando los datos de la tabla se observa que el crecimiento promedio es mayor en las plantas con fertilizante. La variabilidad en el crecimiento en ambos grupos es similar. Se puede decir que las plantas con fertilizante crecieron un poco más, pero no de manera significativa. b) Se podría decir que algunas plantas crecieron mucho, mientras que otras no. Pero si el promedio aumentó igual podría decirse que fue efectivo. c) Si el promedio se mantiene y disminuye la dispersión, se puede decir que las plantas tuvieron un crecimiento más parejo, pero no que hayan crecido más. En ese caso, el fertilizante no sería efectivo. 6 a) La empresa A. b) El coeficiente de variación, ya que permite comparar la variación en porcentaje. c) Sí, según los datos, los indicadores de dispersión pueden no ser útiles. Se puede utilizar el coeficiente de variación. 7 a) No, ya que las notas están en una escala diferente. b) El coeficiente de variación, ya que permite comparar la variación en porcentaje. Página 269
8 a) Rango 6 y rango 9. b) Dm = 1,8 y Dm = 2,26. Los datos de la segunda quincena están más separados.
SOLUCIONARIO
365
Solucionario 9 a) Curso A: σ = 1,42 Curso B: σ = 0,25 b) El curso B tiene mejor rendimiento porque sus notas son menos dispersas, ya que la desviación estándar es menor. 10 No, ya que el puntaje de la PSU depende de los puntajes obtenidos por todos los estudiantes que rindieron la prueba. 11
CV
26% ≤ CV 16% ≤ CV < 26% 11% ≤ CV < 16% 0% ≤ CV < 11%
Apreciación
Muy heterogéneo Heterogéneo Homogéneo Muy homogéneo
12 a) CV ≈ 38,3% b) El rango, varianza y desviación estándar se mantienen, pero el CV aumenta ya que el promedio disminuye. c) No, se puede utilizar el rango, la varianza o la desviación estándar. Integrando lo aprendido Página 272 1 Media ≈ 644,7 – Desviación estándar ≈ 10,98 2 Rango = 7 – Media ≈ 7,17 – Desviación estándar ≈ 2,01 No se puede asegurar cómo fue el rendimiento,ya que las medidas obtenidas no son suficientemente significativas debido al tamaño de la muestra. 3 a. V b. F, el rango se mantiene. c. V
8 a. Rango = a – b b. Media = 40 + a + b 10 2
c. Varianza = 8n + (a – 5) +(b – 5) 10 9 Media = 1,69 m / Desviación estándar ≈ 0,08 Página 273
366
V F, ya que en los tres cursos hay alumnos con nota 7. V F, ya que sus notas son más dispersas. V V
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
Sucursal
Promedio Desviación estándar
1
13,07 5,14
2
11,92 3,21
b. La sucursal 2. (CV = 27% mientras que sucursal 1 CV = 39%) c. La sucursal 3 tiene mejor rendimiento que las sucursales 1 y 2. (Promedio = 12,49, Varianza = 5,99, Desviación estándar = 2,45, VC 0 20%)
Sección 2: Muestreo y variable aleatorios ¿Qué debes saber?
5 2 6 2 3 7 x = 5 – 2 2, y = 5 + 2 2 o x = 5 + 2 2, y = 5 – 2 2
10 a. b. c. d. e. f.
12 a.
Página 275
4 a. F, es igual a valor del dato. b. V c. V
2
11 a. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: A = {1, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 8, 8, 9, 12, 12, 15, 15, 16} B = {1, 2, 2, 2, 5, 6, 8, 9, 9, 10, 10,12, 13, 14, 14} b. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: A = {2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 9, 12, 14, 17} B = {3, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 10, 12, 13, 14, 14, 15, 16} c. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: A = {3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 10, 12} B = {2, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 15, 16} d. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: A = {1, 5, 6, 8, 8, 10, 10, 10, 10, 14, 15, 17, 17, 18, 19} B = {2, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 12, 16, 16, 17, 20, 21, 22}
1 a. Población: todos los yogures fabricados. Muestra: un número determinado de cada sabor. b. Población: los precios de todos los tipos de carne de la carnicería. Muestra: los precios de una variedad de cada tipo de carne (vacuno, ave, pescado) c. Población: todas las hormigas del insectario. Muestra: cierta cantidad de hormigas del insectario. d. Población: todas las ciudades de un país. Muestra: una ciudad por región. d. 3003 g. 2 496 144 2 a. 15 e. 816 h. 12 650 b. 56 f. 77 520 c. 220 3 La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: Muestra 1 → {7, 2, 12, 0, 10} → x = 6,2 Muestra 2 → {5, 12, 12, 7, 8, 4} → x = 8 Muestra 3 → {7, 8, 4} → x ≈ 6,3 Muestra 4 → {2, 4, 5, 10, 12, 12, 8} → x ≈ 7,6 Muestra 5 → {2, 12} → x = 7 4 a. {blanco, rojo, azul} b. {cara de 100, sello de 100, cara de 500, sello de 500} c. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 ,15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28}
d. {0, 1, 2, 3, 4, 5} 5 a. #E = 6 / #S = 3 / P(S) = 1 2 3 b. #E = 10 / #S = 6 / P(S) = 5 1 c. #E = 6 / #S = 2 / P(S) = 3 1 d. #E = 52 / #S = 4 / P(S) = 13 e. #E = 100 / #S = 25 / P(S) =
b)
1 4
Lección 40: Muestreo aleatorio simple Página 278 1 a) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: Variable: nivel de estudios. Muestra: escoger 5 personas por cada cuadra de la comuna. b) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: Población: todos los tornillos de una ferretería. Muestra: un tornillo de cada bolsa o caja. c) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: Población: personas que utilizan la avenida. Variable: lugar de residencia. d) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: Variable: duración de la batería. Muestra: dos celulares de cada modelo. e) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: Población: todos los alumnos de un curso. Muestra: los alumnos de las filas pares. f) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: Población: todos los alumnos del colegio. Variable: tipo de colación (fruta, snack, yogurt, etc). Muestra
0,3 0,3 0,3 4,5 4,5 4,5 0,3 0,3 0,3 3,7 3,7 3,7 4,5 4,5 0,3
4,5 4,5 4,5 0,3 0,3 0,3 3,7 3,7 3,7 3 3 3 3,7 3,7 0,3
0,3 0,3 0,3 3,7 3,7 3,7 3 3 3 1,7 1,7 1,7 1,7 1,7 3
Media
1,9 8,4 11,3 11,2 1,4 10,8 8,4 11,3 11,2 1,4 10,8
Media
3,7 3 1,7 0,3 3 1,7 0,3 4,5 1,7 0,3 4,5 0,3 0,3 3 1,7
2,2 2,0 1,7 2,2 2,9 2,6 1,8 2,9 2,2 2,2 3,2 2,2 2,6 3,2 1,3
Muestra
2,85 6,1 7,55 7,5 2,6 7,3 5,15 6,6 6,55 1,65 6,35
c)
6 f. #E = 11 / #S = 6 / P(S) = 11
2 a)
Muestra
3,8 3,8 3,8 3,8 3,8 3,8 1,9 1,9 1,9 1,9 1,9
8,4 8,4 8,4 8,4 11,3 11,3 11,3 11,2 11,2 1,4
Media
11,3 11,2 1,4 10,8 11,2 1,4 10,8 1,4 10,8 10,8
Muestra
15 6 6 6 6 6 6 6 6 6
20 20 15 15 15 15 15 15 15 15
11 11 11 20 20 20 20 20 20 20
16 16 16 16 11 11 11 11 11 11
4 4 4 4 4 16 16 16 16 16
9,85 9,8 4,9 9,6 11,25 6,35 11,05 6,3 11 6,1 Media
1 1 1 1 1 1 4 4 4 4
9 9 9 9 9 9 9 1 1 1
4 4 4 4 4 4 4 4 9 9
10 10 10 10 10 10 10 10 10 4
10,0 9,0 8,4 9,4 8,9 10,2 10,6 9,7 10,2 9,6
3 a) Mode hasta que aparezca Fix, se presiona 1 y luego 2 y se escribe 50xRan# y 30 veces el signo =. b) Mode hasta que aparezca Fix, se presiona 1 y luego 0 y se escribe -4xRan#+-1 y 27 veces el signo =. c) Mode hasta que aparezca Fix, se presiona 1 y luego 3 y se escribe 8xRan#+-4 y 30 veces el signo =. d) Mode hasta que aparezca Fix, se presiona 1 y luego 4 y se escribe 3,7xRan#+0,1 y 18 veces el signo =. e) Mode hasta que aparezca Fix, se presiona 1 y luego 2 y se escribe 1,5xRan#+-3,2 y 40 veces el signo =. f) Mode hasta que aparezca Fix, se presiona 1 y luego 1 y se escribe 2,5xRan#+3,25 y 35 veces el signo =. 4 a) Redondear(42*aleatorio();2) b) Redondear(aleatorio.entre(11;32);1) c) aleatorio.entre(10;25) d) Redondear(aleatorio.entre(-3;5);3) e) Redondear(aleatorio.entre(0,1;3,8);4) 5 La respuesta depende de cada estudiante. Página 279 6 La respuesta depende de cada estudiante. 7 La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: a) M D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 MEDIA
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
28 57 47 67 47 23 67 59 53 44
56 36 47 63 15 62 56 34 56 62
36 38 26 20 26 38 59 56 62 35
45 49 18 62 44 54 62 12 40 20
39 40 22 17 13 60 38 22 39 44
10 67 38 53 55 40 22 45 45 22
64 65 28 35 50 15 39 20 63 32
13 26 59 21 23 48 31 21 21 60
36,4 47,3 35,6 42,3 34,1 42,5 46,8 33,6 47,4 39,9
b) 40,6 SOLUCIONARIO
367
Solucionario 8 a) Sí, varían dependiendo el deporte. b) No, según la respuesta anterior deberían ser diferentes. c) No, ya que los datos son muy dispersos. 9 Puede escribir en un papel el número de cada casa y después elegir 20 papelitos. 10 Muestreo aleatorio sistemático: se elige un individuo al azar y a partir de él, a intervalos constantes, se eligen los demás hasta completar la muestra. Muestreo aleatorio estratificado: se divide la población en clases o estratos y se escoge, aleatoriamente, un número de individuos de cada estrato proporcional al número de componentes de cada estrato. Muestreo aleatorio por conglomerados: El muestreo por conglomerados consiste en seleccionar aleatoriamente un cierto número de conglomerados (el necesario para alcanzar el tamaño muestral establecido) y en investigar después todos los elementos pertenecientes a los conglomerados elegidos. 11 Margen de error: representa el grado de precisión que se tiene en la generalización de los resultados. Confiabilidad: es la posibilidad de que la afirmación (resultado obtenido) sea correcta. 12 =aleatorio.entre(1;5)*potencia(–1;aleatorio.entre(0;1))
c) Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Y = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
d) Ω = {16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24} Y = {2, 4, 5, 6, 7}
e) Ω = {1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 12, 12, 12, 12, 15, 15, 16, 18, 18, 20, 20, 24, 24, 25, 30, 30, 36} Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 30, 36}
Lección 41: Variable aleatoria Página 282 1 a) b) c) d)
E = {CC, CS, SC, SS} (C: cara, S: sello) E = {P, A1, N, O, R, A2, M, A3} E = {corazón, trébol, pica, diamante} E = {(c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4), (c, 5), (c, 6), (s, 1), (s, 2), (s, 3), (s, 4), (s, 5), (s, 6)} e) E = {(enero, febrero), (enero, marzo), (enero, abril), (enero, mayo), (enero, junio), (febrero, marzo), (febrero, abril), (febrero, mayo), (febrero, junio), (marzo, abril), (marzo, mayo), (marzo, junio), (abril, mayo), (abril, junio), (mayo, junio)} f) E = {16, 17, 17, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 23, 23, 23, 23, 23, 23, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 26 ,26, 27, 27, 27, 27, 28, 28, 28, 29, 29, 30}
2 a) 1 b) 5 c) 1 9 93 2 3 a) Ω = {(C, C), (C, S), (S, C), (S, S)}
1 d) _ 10 Y 0 1 2
Y = {0, 1, 2} b) Ω = {110, 110, 110, 110, 200, 200, 510, 510, 510, 510, 510, 510, 600, 600, 600, 600, 600, 600, 600, 600, 600, 600, 600, 600, 1000, 1000, 1000, 1000, 1000, 1000} Y = {110, 200, 510, 600, 1000}
368
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
Y
[ 0,1 ] 0,25 0,5 0,25 [ 0,1 ]
2 _ 15 1 200 _ 15 1 510 _ 5 2 600 _ 5 1 1000 _ 5 110
Página 283
Y [ 0,1 ] 1 0 _ 6 1 _ 1 6 1 2 _ 6 Y [ 0,1 ] 1 2 _ 3 2 4 _ 9 1 5 _ 9 Y [ 0,1 ] 1 1 _ 36 1 2 _ 18 1 3 _ 18 1 4 _ 12 1 5 _ 18 1 6 _ 9 1 8 _ 18 1 9 _ 36 1 10 _ 18
f) Ω = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z} Y = {0, 1} 0: no está, 1: está
g) Ω = {MMMM, MMMH, MMHM, MHMM, HMMM, MMHH, MHMH, MHHM, HMHM, HMMH, HHMM, MHHH, HMHH, HHMH, HHHM, HHHH} Y = {0, 1, 2, 3, 4}
Y [ 0,1 ] 1 0 _ 16 1 1 _ 4 3 2 _ 8
1 3 _ 6 1 4 _ 6 1 5 _ 6
2 6 _ 9 1 7 _ 9 1 12 _ 9 1 15 _ 18 1 16 _ 36 1 18 _ 18 1 20 _ 18 1 24 _ 18 1 25 _ 36 1 30 _ 18 1 36 _ 36 Y [ 0,1 ] 19 0 _ 27 8 1 _ 27
1 3 _ 4 1 4 _ 16
4 a) X: posición del abecedario de la letra con la que comienza. b) 16 d) 4 c) 2 e) Sí, 4 y 5, y, 6 y 7. 5 a) b) c) d)
V V F, son las funciones de probabilidad. F, tiene 4.
6 X: número de consonantes. b) 7 a) 3 8 8
Y [ 0,1 ] 5 2 _ 8 1 3 _ 4 1 4 _ 8
7 X: número de collares defectuosos. P(un collar defectuoso) = 0,6 Ω Y Y [0,1] D 0 0,3 C1C2 1 0,6 C1CD3 2 0,1 CC 0 1
2 La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: a. Escribí cada nota en un papel, los puse en una bolsa y saqué cinco. 4,8; 5,4; 6,8; 6,3; 6,2; 5,9 b. 5,3. No fue una buena aproximación. 3 Entre 1,40 y 1,65 cercano a 1,58.
4
CD2 CD3
1
D 2
C C4 CD2 C5
2
D 3
C C4 CD3 C5 C 4 C5 8 Y [ 0,1 ] 4 _ 2 9 2 _ 4 9 1 _ 5 9 2 _ 6 9 9 38 81 10 La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: a) Se tienen los números 15, 18, 25 y 42. Se escoge uno al azar y se cuenta la cantidad de cifras pares que tiene. b) Número de sellos al lanzar dos monedas. Lección 42: Medias muestrales Página 286 1 a) 3 024 b) x = 9. Para determinar la media de la muestras se debe escoger aleatoriamente una muestra y calcular su media. b) x ≈ 13 152 2 a) 1 860 480 3 a) b) c) d) e)
La respuesta depende del alumno. 31,38 Varía dependiendo las muestras; un ejemplo es 33,75. La respuesta depende del alumno. Mas se acerca al promedio de la población.
4 La respuesta depende del alumno.
5 Se define par: 0 e impar: 1 Y [0,1] 0 0,5 1 0,5 6 La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: X: al lanzar el dado contar el número de divisores del número que salió. (0: dos divisores, 1: un divisor, 2: más de dos divisores) 7 a. 1 b. 1 4 4 Página 291 8 a) La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es:
M1 M2 M3 M4 M5 M6
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 x
86 50 134 88 78 80
76 88 81 144 126 133
54 107 44 40 133 63
69 119 126 12 82 42
36 58 48 35 27 140
126 12 52 21 116 40
101 39 114 93 21 45
96 106 99 140 93 97
54 114 42 58 58 106
100 64 93 99 99 25
80 76 83 73 83 77
La velocidad promedio de los automovilistas es aproximadamente 79 km/h. b) Los automovilistas no son prudentes al transitar por esa avenida. 9 a) Y [ 0,1 ] 1 1 _ 3 1 2 _ 3 1 _ 3 3 b) 2 10 a) 5
b) 3
c) 5 3
Página 293
5 La respuesta depende del alumno.
¿Qué debes saber?
Integrando lo aprendido Página 290 b. Sí
d. 1 4
c. 1 2
Sección 3: Eventos excluyentes, independientes y probabilidades
Página 287
1 a. No
b. 5 16
4 a. 1 32
C1C5
c. No
1 A: 14 casos favorables. 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98. B: 20 casos favorables. 6, 8, 16, 18, 26, 28, 36, 38, 46, 48, 56, 58, 66, 68, 76, 78, 86, 88, 96, 98. SOLUCIONARIO
369
Solucionario C: 67 casos favorables. 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 25, 26, 28, 29, 31, 32, 34, 35, 37, 38, 40, 41, 43, 44, 46, 47, 49, 50, 52, 53, 55, 56, 58, 59, 61, 62, 64, 65, 67, 68, 70, 71, 73, 74, 76, 77, 79, 80, 82, 83, 85, 86, 88, 89, 91, 92, 94, 95, 97, 98, 100 2 A: 9 casos favorables. C O N S I D E R A B: 5 casos favorables. N V R S T C: 8 casos favorables. O D I S E A P R 3 A: 36 casos favorables. 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 12, 13, 14,15, 16, 17, 18, 19, 23, 25, 27, 29, 34, 35, 37, 38, 45, 47, 49, 56, 57, 58, 59, 67, 78, 79, 89. B: 38 casos favorables. 08, 09, 18, 19, 28, 29, 38, 39, 48, 49, 57, 58, 59, 67, 68, 69, 75, 76, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98. C: 20 casos favorables. 02, 04, 06, 08, 20, 24, 26, 28, 40, 42, 46, 48, 60, 62, 64, 68, 80, 82, 84, 86. 4 a) b) c) d) e)
1 4 1 #Ω = 216 / #S = 1 / P(S) = 216 1 #Ω = 6 / #S = 2 / P(S) = 3 1 #Ω = 16 / #S = 1 / P(S) = 16 1 #Ω = 48 / #S = 4 / P(S) = 12 #Ω = 12 / #S = 3 / P(S) =
Lección 43: Conjuntos y probabilidades Página 296 1 a) Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} / S = {5} / P(S) = 1 6 b) Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 1 19} / S = {9} / P(S) = 18 c) Ω = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, 5 w, x, y, z} / S = {a, e, i, o, u} / P(S) = 27 1 d) Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} / S = {1, 3, 5} / P(S) = 2 e) Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 4 19} / S = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} / P(S) = 9 f) Ω = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, 11 v ,w, x, y, z} / S = { a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k } / P(S) = 27 g) Ω = {cccc, cccs, ccsc, cscc, sccc, ccss, cscs, cssc, scsc, sscc, 1 sccs, sssc, sscs, scss, csss, ssss} / S = { ssss} / P(S) = 16
2 a) A = {a, e, i, o, u} B = {m, a, q, u, i, n} A – B = {e, o} A – B: elegir una vocal que no esté en la palabra MAQUINA. b) A = {1♥, 2♥, 3♥, 4♥, 5♥, 6♥, 7♥, 8♥, 9♥, 10♥, J♥, Q♥, K♥} Ac = {1♦, 2♦, 3♦, 4♦, 5♦, 6♦, 7♦, 8♦, 9♦, 10♦, J♦, Q♦, K♦,1♠, 2♠, 3♠, 4♠, 5♠, 6♠, 7♠, 8♠, 9♠, 10♠, J♠, Q♠, K♠, 1♣, 2♣, 3♣, 4♣, 5♣, 6♣, 7♣, 8♣, 9♣, 10♣, J♣, Q♣, K♣} Ac: sacar una carta cuya pinta sea diamante, pica o trébol. c) A = {miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo} B =U {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes} A U B = {miércoles, jueves, viernes} A B: escoger un día después del martes y antes del sábado. d) A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30} B = {5, 10, 15, 20, 25, 30} Bc = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 21, 22,U23, 24, 26, 27, 28, 29} A U Bc = {2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, 18, 22, 24, 26, 28} A B c: escoger un número que sea par pero no múltiplo de 5. e) A = {IX, XIV, X, XI, XII} B = {XV, I, II, III, IV, V, XIII, VI, VII, VIII, IX, XIV} A U B = { XV, I, II, III, IV, V, XIII, VI, VII, VIII, IX, XIV, X, XI, XII} A U B: escoger una región de Chile. U c) P(A B) = 0,23 3 a) P(A – B) = 0,15 d) P(A) = 0,69 b) P(Ac) = 0,76 e) P(A U B) = 0,51 4 a)
A
b) 2 3
B 4 5
6
3
1
2 U
c)
1 6
Página 297 5 a) 7 15 1 b) 5
c)
d) 1 5
6 a) A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} b) B = {5, 10, 15} c) 2 15 d) 3 5 7 a) Construcción b) • 1
e) 7 12
12 15
• 10 53
e) 1 15 f) 2 5 2 g) 5
• 26 53
8 La respuesta depende de cada estudiante.
370
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
Lección 44: Producto y suma de probabilidades Página 300 1 a) Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} 1 P(S) = 9 b) Ω = {ccc, ccs, csc, scc, ssc, scs, css, sss} 1 P(S) = 8 c) Ω = {♥♥, ♥♦, ♥♠, ♥♣, ♦♦, ♦♥, ♦♠, ♦♣, ♠♠, ♠♥, ♠♦, ♠♣, ♣♣, ♣♥, ♣♦, ♣♠} 1 P(S) = 16 d) Ω = {LuMa, LuMi, LuJu, LuVi, LuSa, LuDo, MaLu, MaMi, MaJu, MaVi, MaSa, MaDo, MiLu, MiMa, MiJu, MiVi, MiSa, MiDo, JuLu, JuMa, JuMi, JuVi, JuSa, JuDo, ViLu, ViMa, ViMi, ViJu, ViSa, ViDo, SaLu, SaMa, SaMi, SaJu, SaVi, SaDo, DoLu, DoMa, DoMi, DoJu, DoVi, DoSa} 1 P(S) = 21 e) Ω = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99} 4 P(S) = 45 44 2 a) c) 2 e) 1 g) 3 i) 1 52 13 2 2 4 4 4 49 7 b) d) f) h) 13 13 52 13 3 a) 1 5 15 b) 58
1 6 1 f) 6
25 49 1 d) 2
e)
c)
Página 301 4 a) 91 139 5 11 40
b) 18 139
c) 1
d) 0
6 La probabilidad de que el examen indique que una persona está sana es del 78,84% y que indique que está enferma es del 21,16%. 7 Si en cada grupo de 6 personas, 2 son de la misma edad, solo puede haber 5 edades diferentes, ya que si hubiese 6 edades diferentes o más podríamos escoger a una persona de cada edad y tendríamos 6 personas de edades distintas.
Como: 201 = 2 • 100 + 1⇒ al menos hay 101 personas del mismo sexo. 101 = 5 • 20 + 1 ⇒ al menos hay 21 personas de la misma edad y sexo. 21 = 4 • 5 + 1 ⇒ al menos hay 5 personas de la misma nacionalidad, edad y sexo. 8 La trampa del texto está en que las intersecciones se restan más de una vez. Lección 45: Eventos independientes Página 303 1 a) 1 8
b) 1 65
d) 1 8
c) 1 16
2 a) P(AyB) = 0,7623
e) 867 2401
b) P(AyB) = 0,009
3 a) Los sucesos son independientes. b) Los sucesos no son independientes. 4 a) Sí, porque no afecta el espacio muestral. b) No, porque la estracción de la primera bolita cambia la probabilidad de la extracción de la segunda bolita. 5 a) 2 5
c) 2 15
b) 1 5
6 a) 0 b)
1 ≈ 0,01 110
11 ≈ 0,01 1110 111 d) ≈ 0,01 11110 c)
e) Los valores obtenidos se aproximan al resultado del producto de 0,1• 0,1. Lección 46: Combinatoria y probabilidades Página 306 1 a) 32 b) 24
c) 23425600 d) 2176782336 1 60 d) 360 / 1 360
1 40320 1 b) 3628800
2 a)
Página 307 3 a) 1 5 1 4 30 5 2 5
c)
b) 1 5
c) 2 9
e) 462 / 1 462
d) 9 16
SOLUCIONARIO
371
Solucionario Página 311 10 a. 1 530
6 35 143 7 10 / 1 10 1 8 2 1 9 40000 10 1 18 11 7 10
15
Página 310 b. 5 8
1 a. 3 8
c. 2 8
2 a. Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} b. A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} B = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)} A U B = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)} U A B = {(2, 2)} Ac = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)} Bc = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} 3 a. 1 4
b. 1 6
c.
1 36
d. 11 36
e. 5 36
4 a. No son mutuamente excluyentes. b. Son mutuamente excluyentes. c. Son mutuamente excluyentes. 5 a. 50%
c. 40%
b. 50%
6 a. 1 6 7 a. 4 15 5 8 21 9 a. 1 2197
372
30! 1 4 • • 5!• 25! 5 5
c.
30! 1 4 • • 18!•12! 5 5
18
Integrando lo aprendido
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
b. 1 3 b. 8 15
d. 25% c. 2 3 c. 11 15
15
b.
11 a. 4 81 12 a. 1 48 5 b. 24 1 c. 6 25 d. 144
12
b. 16 81
c.
20 81
13 6 14 a. 1 b. 56 15 a. 1 5 1 b. 4
c. 15 28 d. 5 7
Reforzar antes de evaluar U4 Página 316 1 a. La dispersión mide la distancia de los datos al promedio. b. Si la dispersión de los datos de un conjunto es baja se dice que el conjunto es homogéneo. c. Si la dispersión de los datos de un conjunto es alta se dice que el conjunto es heterogéneo. d. Es la diferencia entre el dato de mayor valor y el de menor valor. e. Permite cuantificar la dispersión de los datos. 2 a. Rango = 11 / Varianza ≈ 14,7 / Desviación estándar ≈ 3,8 Los datos son bastante cercanos al promedio por lo que se puede decir que es una muestra homogénea. Se puede concluir que los datos pertenecen a una misma estación del año. b. Si los datos se tomaran en distintas épocas del año, la dispersión sería mayor, ya que las temperaturas en invierno son mucho más bajas que en verano, por ejemplo. 3 Las respuestas dependen de cada estudiante.
b.
7 13
c. 1 8
4 a.
Cjto
X Y
R
s2 s CV Q1 Q2 Q3 x 19 9,4 32,64 5,71 61% 5 8,5 15 20 9,3 31,21 5,59 60% 5 8,5 11
En ninguno de los dos casos el promedio es representativo de los datos. b. Ambos conjuntos muestran resultados parecidos por lo que no se puede determinar cuál de ellos presenta un promedio más representativo. Ambos conjuntos son igualmente heterogéneos. 5 a. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: X = {5, 6, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 12, 13} b. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: X = {1, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 6, 8, 10} c. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: X = {1, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 8} 6 Tipo de muestreo en que cada elemento de la población tiene la misma probabilidad de ser seleccionado. 7 Con calculadora: Paso 1: Mode hasta que aparezca Fix Paso 2: se presiona 1 y luego 0. Paso 3: se escribe 100xRan# Paso 4: se presiona 10 veces el signo =. Con planilla de cálculo: Paso 1: se escribe en una celda =aleatorio.entre(1;100) Paso 2: se presiona 10 veces enter, para obtener los números. 8 a. No
b. No
c. Sí
9 a. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: X: obtener un múltiplo de 3. Y: obtener un número de puntos mayor que 4. b. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: X: número de sellos. Y: número de caras. c. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo es: X: cantidad de cartas con figuras. Y: cantidad de cartas cuya pinta es roja. Página 317 V F, puede tomar cualquier valor numérico. V F, puede tener más de una. Por ejemplo, al lanzar un dado una variable aleatoria puede ser obtener un número par y otra variable aleatoria puede ser obtener un múltiplo de tres. e. F, no es necesario. La variable puede definirse cualquiera sean las probabilidades de los eventos.
10 a. b. c. d.
11 A medida que un experimento se repite mayor cantidad de veces, los resultados muéstrales tienden a los resultados poblacionales. 12 La media muestral corresponde al promedio obtenido solo con algunos datos extraídos de la población en estudio, mientras que, la media poblacional corresponde al promedio de los datos de toda la población. 13 a. F, es una inferencia del promedio de la población. b. F, se le asigna un número finito de posibles resultados, asociado cada uno a los resultados de cada evento en estudio. c. V d. V e. F, el valor debería ser cercano a 3,5 pero no necesariamente igual. 14 Significa que no pueden ocurrir ambos al mismo tiempo. 15 Ejemplo 1: Sacar una carta de un naipe inglés con pinta corazón y que sea negra. Ejemplo 2: Al lanzar un dado, obtener un número menor que tres {1, 2} y que sea múltiplo de tres {3, 6}. 16 a. Escoger un número par o un número primo 17 P(A U B) = 20 b. Escoger un número par o un múltiplo de 7. 11 P(A U C) = 20 c. Escoger un número par y múltiplo de 7. U 1 P(A C) = 20 d. Escoger un número que no sea par. 1 P(Ac) = 2 e. Escoger un número que no sea primo o que no sea múltiplo de 7. 19 P(Bc U Cc) = 20 f. Escoger un número que no sea par ni primo. U 3 P(Ac Bc) = 20 g. Escoger un número que no sea primo ni múltiplo de 7. 11 P((B U C)c) = 20 17 a. 35 b. 22 c. 255 d. 5 35 256 6 144 18 Dos sucesos A y B son independientes si la ocurrencia de uno no influye en la ocurrencia del otro. 19 Extraer dos cartas de un naipe inglés devolviendo la primera al mazo antes de extraer la segunda. Lanzar un dado 5 veces. Lanzar una moneda
SOLUCIONARIO
373
Solucionario Página 318
Evaluación de la Unidad 4
20 Sí. Se define: A: ambas fichas redondas. B: ambas fichas cuadradas. 4 4 6 6 13 P(A) + P(B) = • + • = 10 10 10 10 25 21 x = 2 d. 12 22 a. 720 e. 2520 b. 40 320 f. 84 c. 3024
Página 320
g. 35 h. 120 i. 96
25 25 23 a. Si, C14 = C11 = 4 457 400 n! n b. Ck = (n – k)!k! n! n! n Cn−k = = (n – (n – k))!(n – k)! k!(n – k)!
24 a. Se trata de una variación cuando el orden de los dígitos importa. Se trata de una combinación cuando el orden de los dígitos no importa. b. V58 = 6720, C85 = 56 25 3 5
28 a. 120
374
c. 8 25
b. 12 25 b. 2 7
MATEMÁTICA 2.º MEDIO
c. 4 7
D D A C C E B
Página 321
∴ Cnk = Cnn−k
26 1 2 27 a. 600
1 2 3 4 5 6 7
d. 13 35
8 9 10 11 12 13 14
E D E D D D C
Página 322
15 16 17 18 19 20 21 22
C C C A E D D A
Página 323
23 24 25 26 27 28 29
D C D E E D C
Indice temático Contenido Aleatorio(a)(s) • muestra • números • Variable Ángulos en una circunferencia Aproximación Asíntota Cantidad subrarical Coeiciente de variación Combinación Conjuntos Conjuntos numéricos Crecimiento Exponencial Criterios de semejanza de triángulos Cuartiles Desviación estándar Desviación media Diagrama de árbol Dispersión División de trazos Ecuación fraccionaria Ecuación logarítmica Ecuación radical Error absoluto Error relativo Escala • factor de • iguras a Espacio muestral Espiral de Teodoro de Cirene Factor(es) Factorización Factorial Fracción(es) algebraica(s) • adición • ampliicación • deinición • división • ecuación con • evaluar una • expresiones mixtas • funciones con • irreductible • multiplicación • restricciones
Página 276, 284 277 280 134 - 138 14 207 18 - 37 268 305 294 - 295 23 206 96 - 97 266 262 263 298 262 116 186 66 48 14 14 100 92 280 18 11 170 304 164 182 174 164 179 186 166 183 166 175 178 164, 175, 179
Contenido • simpliicación • sustracción • valor de una Función(es) • contracción • creciente • decreciente • de probabilidad • dilatación • dominio • exponencial • gráico de una • Logarítmica • raíz cuadrada • recorrido • relexión • traslación horizontal • traslación vertical ⁴eterogéneo ⁴omogéneo ⁴omotecia Ley de los grandes números Logaritmo • aplicaciones • argumento de un • base de un • cambio de base de un • común o vulgar • de un cociente • de un inverso • de un producto • de una potencia • de una raíz • deinición • Ecuación logarítmica • escala • función • natural • propiedades • y potencia Mcd de expresiones algebraicas Media muestral • y variable aleatoria Media poblacional Medir
Página 175 182 167 198 203 211 211 281 203 203 206 198 210 202 203 199 198, 203, 211 198, 203, 211 263 263 100 - 101 285 58 66 58 58 63 59 62 62 62 62 62 58 66 66 210 59 59, 62 58 170 276 281 276 10 - 11
ÍNDICE TEMÁTICO
375
Indice temático
376
Contenido
Página
Mcm de expresiones algebraicas Muestreo • aleatorio simple • muestra aleatoria Número • aproximación de un • con ininitas cifras decimales sin período • irracional Números irracionales Números reales Permutación Potencias de exponente racional Probabilidad teórica Probabilidad(es) • combinatoria y • conjuntos y • producto • producto de • suma de • teórica Racionalización Raíz cuadrada • aproximación manual • cantidad subradical • con calculadora • deinición • en la recta numérica • Espiral de Teodoro de Cirene • función Raíz enésima • como potencia de exponente racional • deinición • división de raíces de igual índice • ecuación radical • índice • introducción y extracción de términos • multiplicación de raíces de igual índice • problemas • propiedades de operaciones • restricciones Rango Representativo Semejanza • ampliación • criterios de • elementos correspondientes
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MATEMÁTICA 2.º MEDIO
276 276 11 11 11 18 - 22 23 304 40 - 41 285 304 294 298 299, 302 299 285 44 10 15 202 14 10 18 18 202 32, 54 40 32, 54 37 48, 55 33 36 36 48, 55 41 33 262 267 91 91 96 91
Contenido • escala • iguras semejantes • homotecia y • razón de • reducción Sistema(s) de ecuaciones lineales • análisis algebraico • deinición • homogéneo • método de igualación • método de reducción • método de sustitución • problemas que involucran • representación gráica de un • sin solución • tipos de Solución • no pertinente • pertinente Sucesos • dependientes • independientes • mutuamente excluyentes Teorema de Euclides Teorema de la cuerda y la secante Teorema de las cuerdas Teorema de las secantes Teorema de Pitágoras • demostración • recíproco Teorema de Thales • general • particular • recíproco • y uso de software Teorema del ángulo inscrito • ángulo semi-inscrito • corolarios Términos • de una secuencia de números • semejantes Variable aleatoria • media muestral y variación Varianza
Página 92 91 100 91 91 233 220 231 227 228 226 236 222 223 223 187, 237 187, 237 302 302 295, 299 120, 121 140 140 140 10 124 125 110 112 110 112 111 135 137 135 12 70 12 280 281, 284 304 262
Glosario Altura: 1. En un triángulo, recta perpendicular trazada desde un lado o su prolongación hasta el vértice opuesto. 2. Medida del segmento determinado por dicha recta. Amplificar: en fracciones, multiplicar el numerador y denominador de una fracción por un mismo término. Ángulo del centro: en una circunferencia, ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia. Ángulo exterior: en una circunferencia, ángulo cuyo vértice se encuentra en el exterior de la circunferencia y cuyos lados son rectas secantes o tangentes. Ángulo inscrito: en una circunferencia, ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia. Ángulo interior: en una circunferencia, ángulo cuyo vértice se encuentra el interior de la circunferencia. Ángulo semi-inscrito: en una circunferencia, ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y uno de sus lados es tangente en dicho punto. Ángulos correspondientes: ángulos que se ubican en la misma posición relativa a dos o más polígonos o rectas paralelas. Anular: hacer igual a cero. Aproximación por defecto: dado un número, aproximación menor que él. Aproximación por exceso: dado un número, aproximación mayor que él. Aproximar: determinar un valor cercano a un número dado, utilizando algún método establecido para aquello. Arco: parte de una circunferencia. Se nombra por sus puntos extremos en sentido contrario a las agujas del reloj. Asíntota: recta a la que se aproxima indefinidamente la gráfica de una función sin intersecarse nunca con ella.
Cardinalidad: cantidad de elementos de un conjunto. Centro de homotecia (O): punto desde el cual se construye una homotecia. Si la razón de homotecia es k, A es un punto de la figura original y su OA' homotético es A’, debe cumplirse que =k, OA con A, O y A’ ubicados sobre una misma recta. Coeficiente de variación: cociente entre la desviación estándar de un conjunto de datos y su media aritmética. Coeficiente: términos que multiplica a n una variable. Combinación: conjunto de objetos escogidos sin importar el orden. Complemento: 1. Lo que le falta a un ángulo para ser recto. 2. Diferencia entre el conjunto universo y un conjunto dado. Congruente: de igual forma y medida. Conjunto universo: aquel que contiene todos los elementos posibles, en un contexto dado. Conjuntos disjuntos: que no tienen elementos en común. Criterios de congruencia de triángulos: condiciones necesarias y suficientes para determinar la congruencia entre triángulos. Criterios de semejanza de triángulos: condiciones necesarias y suficientes para determinar la semejanza entre triángulos. Cuerda: segmento cuyos extremos pertenecen a una circunferencia. Decimal finito: número decimal con una cantidad finita de cifras decimales. Decimal infinito: número cuya parte decimal nunca termina. Decimal periódico: número cuya parte decimal se repite infinitamente.
GLOSARIO
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Glosario Decimal semiperiódico: número en el que algunas cifras de su parte decimal se repiten infinitamente, luego de una parte fija.
Equiprobabilidad: de igual probabilidad. Dos eventos de un experimento son equiprobables si tiene la misma probabilidad de ocurrencia.
Desviación estándar (σ(x)): medida de dispersión que se calcula como la raíz cuadrada de la varianza.
Escala: 1. Razón entre dos unidades de medida. 2. En un plano o mapa, razón que indica a cuántos centímetros, en la realidad, equivale un centímetro en el mapa. 3. Conjunto de valores que se utiliza como referencia para medir.
Diagonal: segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono. Diagrama de árbol: representación gráfica que muestra todas las posibles combinaciones o resultados de un experimento.
Espacio muestral: conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.
Diagrama de Venn: diagrama que representa conjuntos las relaciones entre ellos.
Evaluar: calcular el valor de una expresión algebraica al remplazar las variables con valores numéricos.
Diámetro: segmento cuyos extremos pertenecen a una circunferencia, y que contiene al centro de ella.
Evento: conjunto de algunos resultados posibles de un experimento aleatorio.
Diferencia: en conjuntos, aquel formado por los elementos que perteneces a uno de ellos pero no al otro. Dominio de una función: conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente en una función. E (e) o Euler: número irracional cuyo valor es e = 2,7182818…
Eventos dicotómicos: aquellos sin resultados en común. Eventos independientes: aquellos tales que la ocurrencia de uno de ellos no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro.
Ecuación: igualdad que se cumple para algunos valores de sus variables.
Eventos mutuamente excluyentes: aquellos que no pueden ocurrir simultáneamente en un experimento.
Ecuación de primer grado: aquella cuya incógnita tiene grado igual a 1.
Experimento aleatorio: aquel cuyos resultados están determinados por el azar.
Ecuación fraccionaria: aquella cuya incógnita se encuentra en el denominador de una fracción.
Expresión algebraica fraccionaria: véase Fracción algebraica.
Ecuación logarítmica: aquella cuya incógnita se encuentra en el argumento de un logaritmo.
Expresión algebraica: secuencia de números y/o letras relacionadas por medio de operaciones y/o paréntesis.
Ecuación radical: aquella cuya incógnita se encuentra en la cantidad subradical de una raíz. Ecuaciones equivalentes: ecuaciones que tienen iguales soluciones.
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Eventos dependientes: aquellos tales que la ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro.
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Factor: 1. Cada uno de los términos de una multiplicación. 2. Cada uno de los números o expresiones de los cuales es múltiplo un número o expresión.
Factorial: dado un número natural, producto entre todos los números naturales menores o iguales que él. Se escribe n!, y se define 0! = 1. Factorizar: determinar los factores de un número o expresión. Fi (φ, o “phi”): número irracional, que corresponde 1+ 5 . a φ= 2 Figuras semejantes: figuras de la misma forma y medidas proporcionales. Fracción algebraica: aquella cuyos términos son expresiones algebraicas. Fracción irreductible: aquella cuyo numerador y denominador no poseen factores comunes distintos de 1. Fracciones equivalentes: aquellas que representan la misma cantidad o expresión.
Gráfica de una función: representación gráfica en el plano cartesiano de la correspondencia entre los elementos del conjunto dominio con los elementos del conjunto imagen o recorrido. Heterogéneo: de tipos diversos. En un conjunto de datos, se refiere a que ellos son muy distintos entre sí. Hipótesis: suposición o condición de la que se espera obtener una consecuencia. Homogéneo: de tipos similares. En un conjunto de datos, se refiere a que ellos son similares entre sí. Homotecia: transformación no isométrica que multiplica por un factor todas las distancias que van desde un punto llamado centro de homotecia (O) a los puntos de la figura a la que se le aplica la homotecia. Inconmensurable: que no puede medirse. Intersección: en conjuntos, aquel formado por los elementos comunes entre dos o más conjuntos.
Función afín: aquella de la forma f(x) = mx +n, donde m corresponde a la pendiente y n al coeficiente de posición. Su gráfica corresponde a una recta.
Lados correspondientes: aquellos que se ubican en la misma posición relativa a dos o más polígonos.
Función de probabilidad: aquella que relaciona cada valor de una variable aleatoria con su probabilidad.
Lados homólogos: par de lados de dos polígonos semejantes, cuya razón es igual a la razón de semejanza.
Función exponencial: aquella cuya variable independiente se encuentra en el exponente de una potencia de la forma y = abx + c.
Logaritmo natural: logaritmo cuya base corresponde al número e.
Función lineal: aquella de la forma f(x) = mx, donde m corresponde a la pendiente. Su gráfica corresponde a una recta que pasa por el origen. Función logarítmica: aquella cuya variable independiente se encuentra en el argumento de un logaritmo, de la forma y = alogb(x) + c. Función raíz cuadrada: aquella cuya variable independiente se encuentra en la cantidad subradical de una raíz cuadrada, de la forma y = a x + b + c.
Logaritmo: exponente al que se debe elevar una base para obtener un número dado, llamado argumento. Máximo común divisor (mcd): mayor valor o expresión que es factor, simultáneamente, de 2 o más números o expresiones. Media muestral: promedio obtenido a partir de los datos de una muestra.
GLOSARIO
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Glosario Media poblacional: promedio de toda la población. Mediana: valor menor o igual al 50% de los datos de un conjunto. Medidas de dispersión: valores indican la proximidad entre sí o respecto del promedio de los datos de un conjunto. Medidas de posición: valores mayores o iguales a los de un porcentaje dado de la población. Medidas de tendencia central: valores en torno a los cuales suelen agruparse los datos de un conjunto. Corresponden a la media, la mediana y la moda. Medir: comparar un una unidad dada. Mínimo común múltiplo (mcm): menor número o expresión que es múltiplo, simultáneamente, de dos o más números o expresiones. Moda: dato que más se repite en un conjunto. Muestra aleatoria: parte de una población escogida al azar. Muestra: subconjunto de una población. Muestreo aleatorio simple: proceso de elección de una muestra al azar de una población, en la que cada individuo u objeto tiene la misma posibilidad de ser elegido. Número irracional: número que no puede expresarse como un cociente entre dos números enteros. Su parte decimal es infinita no periódica. Número primo: número natural mayor que 1 cuyos únicos factores son 1 y sí mismo. Número racional: número que se puede expresar como un cociente entre dos números enteros. Número real: 1. Número racional o irracional. 2. Cualquier número que puede representarse en forma decimal.
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Par ordenado: par de elementos tales que uno de ellos puede distinguirse como el primero y otro como el segundo. Parámetros: valores que definen a una expresión determinada. En el caso de las funciones, corresponden a sus coeficientes y términos libres. Pendiente de una recta: Inclinación de una recta con respecto al eje horizontal. Permutación: ordenamiento de un conjunto de objetos. Pi (π): número irracional que corresponde al cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Corresponde a π = 3,1415926… Plano cartesiano: sistema de coordenadas formado por dos ejes (rectas numéricas) que se intersecan perpendicularmente en un punto llamado origen. Población: Grupo completo de los objetos o individuos en estudio. Polígono regular: aquel que tiene lados y ángulos de igual medida. Polígono: figura geométrica plana y cerrada, formada por lados rectos. Polígonos homotéticos: aquellos tales que uno ha sido construido mediante una homotecia del otro. Primos relativos (primos entre sí): números o expresiones algebraicas cuyo único factor común es 1. Probabilidad teórica: aquella calculada mediante regla de Laplace. Probabilidad: número entre 0 y 1que describe que tan posible es un suceso. Puede expresarse también como porcentaje.
Producto notable: resultado de la multiplicación entre algunos tipos de expresiones algebraicas específicas. Proposición: enunciado al que se le puede asignar un valor de verdad (verdadero o falso). Proyección: segmento que resulta al trazar todas las perpendiculares desde un segmento o recta a otro. Racionalizar: proceso de amplificación de una fracción algebraica para obtener otra equivalente sin raíces en el denominador. Radio: 1. Segmento que une un punto de una circunferencia con su centro. 2. Medida de dicho segmento. Raíz cuadrada: número positivo que elevado a 2 resulta un número dado. Raíz cubica: número que elevado a 3 da como resultado un número dado. Raíz enésima: número que elevado a n da como resultado un número dado. Rango: diferencia entre los valores máximo y mínimo de un conjunto de datos.
Rectas coincidentes: aquellas que se intersecan en todos sus puntos. Rectas paralelas: aquellas cuya inclinación es la misma. Rectas perpendiculares: aquellas que se intersecan formando ángulos rectos. Rectas secantes: aquellas que se intersecan en un punto. Redondear: determinar una aproximación de un número hasta cierto valor posicional. Si la cifra siguiente a la posición decimal a la que se desea redondear es mayor o igual a 5 se aproxima por exceso, y por defecto si es menor que 5. Reducción al absurdo: argumento de demostración en el que se supone que la proposición que se quiere demostrar no es cierta, y con ello se llega a una contradicción. Así, se concluye que la proposición es verdadera. Regla de Laplace: método de cálculo de la probabilidad teórica de un evento, mediante el cociente entre el número de casos favorables y el de casos totales. Restricciones: 1. en una fracción algebraica, condiciones para que su denominador no sea igual a 0. 2. En una función, valores que no puede tomar su variable independiente.
Razón de homotecia: cociente entre las medidas de los lados correspondientes de dos figuras homotéticas. Su valor es positivo si las figuras se encuentran del mismo lado que el centro de homotecia, y negativo si se encuentran a lados distintos.
Secante a una circunferencia: recta que se interseca con una circunferencia en dos puntos.
Razón de semejanza: razón entre las medidas lineales de dos figuras semejantes.
Segmentos proporcionales: aquellos cuyas medidas se encuentran en una razón dada.
Recíproco de un teorema: proposición que afirma la hipótesis de un teorema a partir de la tesis.
Simplificar: en fracciones, dividir ambos términos de ella por una misma expresión distinta de 0.
Recorrido de una función: conjunto de todos los elementos pertenecientes a la imagen de la función, es decir, los valores que se obtienen al reemplazar en la función los valores de la variable independiente.
Solución pertinente: solución que es coherente con el contexto de un problema.
GLOSARIO
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Glosario Solución: conjunto de valores que satisfacen una o más ecuaciones.
Truncar: aproximar un número eliminando sus cifras decimales a partir de una posición dada.
Suceso: véase Evento.
Unión: en conjuntos, aquel formado por los elementos que pertenecen a cada uno de ellos o a más de uno simultáneamente.
Tangente a una circunferencia: recta que se interseca con una circunferencia en un solo punto de ella. Además, es perpendicular en dicho punto al radio de ella. Teorema: proposición demostrada que afirma el cumplimiento de una tesis a partir de las condiciones dadas en una hipótesis. Término libre: en una expresión algebraica, valores que no son coeficientes ni variables. Términos semejantes: términos algebraicos que tienen igual parte literal entre sí. Transversal: 1. Recta que cruza dos o más rectas. 2. Recta trazada desde un punto a otro definido como opuesto.
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Valorizar: asignar un valor a una variable. Variable aleatoria: función que asocia un número real a cada elemento del espacio muestral de un experimento. Variable: expresión que puede tomar distintos valores. Variación: conjunto de objetos escogidos considerando el orden. Varianza: medida de dispersión que corresponde al promedio entre los cuadrados de las diferencias de cada dato con el promedio de ellos.
Bibliografía • Corbalán Yuste, F. (1995). La matemática aplicada a la vida cotidiana. Barcelona, España: Graó.
• Real Academia Española de la Lengua: www.rae.es
• Doria, A. (2012). El fixture perfecto – Modelos matemáticos para el fútbol chileno. Disponible en http://dc.uba.ar/inv/grupos/grafos/exacta32-extracto.pdf
• Sitio de tutorías matemáticas: http://www.vitutor.com
• Durán, R. & Mesz, B. (2010). ¿Por qué usamos 12 notas? De Pitágoras a Bach. Q.e.d. ciencias duras en palabras blandas, (4), 5-12. Disponible en http://www.espaciotiempo.org.ar/users/qed/numero4.pdf
• Ciencia limada: http://www.ciencialimada.com. ar/2012/07/tamanos-y-distancias-del-sistema-solar.html
• Guedj, D. (1998). El imperio de las cifras y los números. Barcelona, España: B. • Ministerio de Educación. (2009). Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios de la Educación Básica y Media, Actualización 2009. Santiago, Chile: [s.n]. • Ministerio de Educación. (2011). Matemática, Programa de Estudio para Segundo Año Medio, Santiago, Chile: [s.n]. • Paenza, A. (2005). Matemática… ¿Estás ahí?. Buenos Aires, Argentina: Siglo XXI Editores Argentina S.A. • Perelman, Y. (2000) Matemáticas recreativas. Barcelona, España: Martínez Roca S.A. • Perero, M. (1994). Historia e historias de matemáticas. México: Grupo Editorial Iberoamericano. • Riera Lira, G. (1998). Matemática aplicada 3° Medio. Santiago, Chile: Zig-Zag S.A.
Sitios Web • Becas y créditos: www.becasycreditos.cl • DEMRE: www.demre.cl • Dirección y Coordinación General: Instituto Superior de Formación y Recursos en Red para el Profesorado del Ministerio de Educación España: http://descartes.cnice. mec.es/Descartes1 • Educación: www.educarchile.cl • Geogebra: www.geogebra.org • La tierra de los faraones: http://www.egiptologia.org/ ciencia/matematicas/papiro_rhind.htm • El paraíso de las matemáticas: www.matematicas.net • El portal de las matemáticas: www.sectormatematica.cl • Geometría: www.geometriadinamica.cl • Icarito: www.icarito.cl • Instituto Nacional de Estadísticas: www.ine.cl • Ministerio de Educación: www.mineduc.cl • Ministerio de Salud: www.minsal.cl • OCDE – Pisa: www.oecd.org • Programa Explora Conicyt: www.explora.cl
• SIMCE®: www.simce.cl • TIMSS: http://timss.bc.edu
• Sismología: www.sismologia.cl • Julian Beever: www.julianbeever.net • Sally Clark: http://pseudopodo.wordpress. com/2007/04/20/la-ignorancia-en-estadistica-puede-matar/ • Sally Clark: wwwsallyclark.org.uk • Anamorfosis: http://ilusionario.es/APLICACIONES/ anamorf.htm
Bibliografía adicional Libros que te pueden ayudar… • Para desarrollar el pensamiento matemático. Alboukrek, A. Destreza y desafíos. México: Larousse. Editorial, E. Test y juegos de inteligencia. Madrid: Susaeta. Saslavsky, I. (1999). Rompecabezas Numéricos. Barcelona: Gryjalbo. • Para trabajar contenidos de estadística y probabilidad. Ángela baeza, M. D. (2010). Matemática 2° medio, proyecto Bicentenario. Santiago: Santillana. • Para trabajar contenidos de números racionales y para profundizar en operatoria de conjuntos numéricos. Escher, B. E. (1990). El diablo de los números. Berlín: Taschen. Fabra, J. S. El asesinato del profesor de matemáticas. El duende verde. • Para profundizar contenidos relacionados con la historia y formación de los conjuntos numéricos. Guejj, D. El terorema del loro, novela para aprender matemáticas. Compactos Anagrama. • Para ejercitar la operatoria básica. La locura del Sudoku, segunda edición. (2005). Buenos Aires: Sirio. • Para trabajar y ejercitar contenidos de ecuaciones y estadística. Others, J. M. (2007). Matemáticas curso 2. USA: Holt, Rinehart and Winston. • Para profundizar contenidos relacionados con números y álgebra. Paenza, A. (2007). Matemática...¿Estás ahí? Episodio 2. Colección ciencia que ladra, tercera edición. • Para trabajar contenidos de probabilidad. Roberto Araya, C. M. (2008). Buscando un orden para el azar, Proyecto Enlaces. Santiago de Chile: Centro Comenius, USACH. BIBLIOGRAFÍA
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Links que puedes visitar… Unidad 1: Números • Para reforzar Números irracionales http://odas. educarchile.cl/objetos_digitales_NE/ODAS_Matematica/ Matematicas/numeros_irracionales/index.html • Para reforzar Representación de números irracionales en la recta numérica http://recursostic.educacion.es/descartes/web/ materiales_didacticos/Irracionales/Irracionales.htm http://recursostic.educacion.es/descartes/web/ materiales_didacticos/representar_irracionales_sgn/ irracionales_index.htm • Para reforzar Racionalización de expresiones algebraicas fraccionarias http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Raiz_ Racionalizar.html • Para reforzar Simplificación de radicales de una raíz http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Raices_ Simplificar.html • Para reforzar Propiedades de los logaritmos http:// www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido. aspx?ID=132011
Unidad 2: Geometría • Para reforzar Semejanza de triángulos http://recursostic. educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/ Semejanza_triangulos/index.htm http://recursostic.educacion.es/descartes/web/ materiales_didacticos/homotecia_y_semejanza_ aplicaciones_naji/semejanza3.html • Para reforzar Aplicaciones de la semejanza al arte y las ciencias http://recursostic.educacion.es/descartes/web/ materiales_didacticos/homotecia_y_semejanza_ aplicaciones_naji/semejanza6.html • Para reforzar Teorema de Thales http://recursostic.educacion.es/descartes/web/ materiales_didacticos/semejanza_tales_long_ circunferencia/teorematales.htm http://www.geometriadinamica.cl/guias/ejemplo php?mode=count&c=1&id=30 • Para reforzar Aplicación del teorema de Thales http://recursostic.educacion.es/descartes/web/ materiales_didacticos/semejanza_tales_long_ circunferencia/aplicaciones.htm
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• Para reforzar Ángulo inscrito y del centro que subtienden del mismo arco http://w7app.mineduc.cl/yoestudio/show/409 • Para reforzar Ángulos en la circunferencia http://recursostic.educacion.es/descartes/web/ materiales_didacticos/Los_angulos_en_la_ circunferencia/angulosencircunfe1.htm
Unidad 3: Álgebra • Para reforzar Fracciones algebraicas http://recursostic. educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/ Fracciones_algebraicas/index.html • Para reforzar Sistemas de ecuaciones lineales http://odas.educarchile.cl/objetos_digitales_NE/ODAS_ Matematica/Matematicas/sistemas_ecuaciones_lineales/ index.html • Para reforzar Resolución de sistemas de ecuaciones lineales http://recursostic.educacion.es/descartes/web/ materiales_didacticos/sist_ecu_jacm/sist_ecuac. htm#grafico • Para reforzar Función exponencial http://recursostic.educacion.es/descartes/web/ materiales_didacticos/Funcion_exponencial_ipa/la_ funcion_exponencial.htm • Para reforzar Gráfica de la función raíz cuadrada, exponencial y logarítmica http://recursostic.educacion.es/descartes/web/ materiales_didacticos/transf_f_elementales_movazquez/ funcionestercera.htm#RADICALES
Unidad 4: Datos y Azar • Para reforzar Muestreo aleatorio http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/ VerContenido.aspx?ID=200787 • Para reforzar Variable aleatoria http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/ VerContenido.aspx?ID=138402 • Para reforzar Probabilidades http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/ VerContenido.aspx?ID=216781 • Para reforzar Estadística y probabilidad http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/ VerContenido.aspx?ID=93089
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