MATSA21G6B

 

 

GUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE

TOMO 1

Matemática 6 Justin Alvarado B.  Paulina Soto T.  Natalia Villalobos S. •

Edición especial para el Ministerio de Educación. Prohibida su comercialización.

•

º

     o      c        i      s        á         b

 

 

Matemática básico

6 Guía Didáctica del Docente TOMO  1

Justin Alvarado Brito

Natalia Villalobos Silva

Licenciada en Ciencias Exactas Profesora de Educación Media en Matemática y Física Universidad de Chile Magíster en Didáctica de la Estadística y las Probabilidades Pontificia Universidad Católica de Valparaíso

Profesora de Matemática Mención Estadística Educacional Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación Magíster en Estadística Pontificia Universidad Católica de Valparaíso

Paulina Soto So to Tobar Tobar

Profesora deMatemática Educación General Básica Mención en Universidad Alberto Hurtado

 

La Guía Didáctica del Docente Matemática 6º básico es una obra colectiva, creada y diseñada por el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana. Dirección editorial:

Rodolfo Hidalgo Caprile Subdirección editorial:

Subdirección Subdirecció n de arte: 

Cristian Gúmera Valenzuela

María Verónica Román Soto

Coordinación editorial:

Diseño y diagrama diagramación: ción:  

Marcela Briceño Villalobos

Marcela Ojeda Ampuero Alfonso Vega Olguín

Jefatura del área Matemática:

Patricio Loyola Martínez Edición:   Edición:

Daniel Catalán Navarrete

Ilustraciones: 

Marcelo Cáceres Ávila Fotografías:

Myriam Baeza Reyes

Archivo editorial Getty images Shutterstock 

Autoría:

Documentación: 

Coedición:   Coedición:

Justin Alvarado Brito Paulina Soto Tobar Natalia Villalobos Silva

Cristian Bustos Chavarría Producción:  

Rosana Padilla Cencever

Corrección de estilo:

Rodrigo Silva Améstica

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público. La editorial ha hecho todo lo posible por conseguir los permisos correspondientes para las obras con copyright que aparecen en el presente texto. Cualquier error u omisión será rectificado en futuras impresiones a medida que la información esté disponible. En este libro se usan de manera inclusiva términos como 󰂫los niños󰂻, 󰂫los padres󰂻, 󰂫los hijos󰂻, 󰂫los apoderados󰂻, 󰂫profesores󰂻 y otros que se refieren a hombres y mujeres. De acuerdo con la norma de la Real Academia Española, el uso del masculino se basa en su condición de término genérico, no marcado en la oposición masculino/femenino; por ello se emplea el masculino para aludir conjuntamente a ambos sexos, con independencia del número de individuos que formen parte del conjunto. Este uso evita, además, la saturación gráfica de otras fórmulas, que puede dificultar la comprensión de lectura y limitar la fluidez de lo expresado.

©2021 – Santillana del Pacífico S. A. de Ediciones Andrés Bello 2299, Piso 10, oficinas 1001 y 1002, Providencia, Santiago, Chile. ISBN completa: 978-956 -15-3720-0 -1 5-3720-0 / ISBN Tomo 1: 978-956-15-3721-7 978-956-15-3721-7 Nº deobra inscripción Tomo 1: 2020-A-10506 Se terminó de imprimir esta 1ª edición de 2.917 ejemplares en el mes de Enero del año 2021. Impreso en Chile por A Impresores. www.santillana.cl

 

Presentación

El material didáctico Matemática 6° básico, compuesto por el Texto Texto del Estudiante, el Cuaderno de Actividades y la Guía Didáctica del Docente, se basa en el enfoque comunicativo y cultural prescrito en el documento Bases Curriculares Primero a Sexto Básico (Ministerio de Educación, 2012), puesto que aborda en su totalidad los Objetivos de Aprendizaje (OA) exigidos para este nivel escolar y busca promover el desarrollo de los conocimientos, las habilidades y las actitudes de la asignatura. La propuesta didáctica se centra en avanzar progresivamente progresivamente de lo concreto a lo pictórico para finalmente llegar a un pensamiento simbólico; explorar y trabajar primeramente en ámbitos numéricos pequeños; estimular la resolución de problemas; utilizar las herramientas tecnológicas de informática y comunicación (TIC), ( TIC), y desarrollar destrezas de cálculo. El enfoque didáctico se plantea desde el modelo de la instrucción explícita, en que el proceso de aprendizaje es guiado por el docente, quien explicita las metas y el sentido de cada una de las tareas. En la Guía Didáctica se entregan las herramientas para que el profesor modele las habilidades, secuenciándolas en pasos pequeños, apoye y retroalimentee la práctica, para así conducir a los estudiantes a instancias de práctica retroaliment independiente, que propicien el dominio de la habilidad. Las planificaciones, orientaciones y materiales complementarios que componen la Guía Didáctica del Docente apuntan a apoyar su labor en cuanto a proponer y potenciar situaciones de aprendizaje significativas y auténticas en el aula, en consonancia con lo referido en la propuesta curricular. La propuesta, asimismo, asimismo, busca impulsar el pensamiento crítico, creativo y metacognitivo metacognitivo por medio de la inclusión permanente de buenas preguntas que, en algunos casos, articulan cada lección en virtud de los Objetivos de Aprendizaje de la unidad. Esperamos que esta Guía Didáctica del Docente permita orientar, apoyar y enriquecer su ejercicio profesional.

Presentación 3

 

 Í ndice Estructura del Texto del Estudiante  ............................................................................................................................................................................................... 6 Organización e instrucciones de uso de la Guía Didáctica del Docente   ......................................................................................................... 7 Planificación anual  ...................................................................................................................................................................................................................................... 8

Unidad 1

Nuestro planeta Planificación Tomo Tomo 1 ....................... ............................................... ......................................... ................. 10 Planificación de la unidad ..................... ............................................. ................................. ......... 12

10

Material fotocopiable Actividad complementaria: • Refuerzo • Lección 1 .......................................................................... 114

Presentación de la unidad ...................................................... ...................................................... 14

• Ampliación • Lección 1 .................................................................... 115 • Refuerzo • Lección 2 .......................................................................... 116

Orientaciones y planificaciones de clase ..................... .......................... ..... 16

• Ampliación • Lección 2 .................................................................... 117

Orientaciones y solucionario Cuaderno de Actividades • Lección 1 ....................................... ............... ........................ 30

• Refuerzo • Lección 3 .......................................................................... 118

Orientaciones y planificaciones de clase ...................... ........................... ..... 36  Orientaciones y solucionario Cuaderno de Actividades • Lección 2  ........ ................ ....................... ....................... ........ 52 Orientaciones y planificaciones de clase ...................... ........................... ..... 60 Orientaciones y solucionario Cuaderno de Actividades • Lección 3  ........ ................ ....................... ....................... ........ 74

• Ampliación • Lección 3 .................................................................... 119 • Refuerzo • Lección 4 .......................................................................... 120 • Ampliación • Lección 4 .................................................................... 121 Solucionario Actividad complementaria ....................... 122 Instrumento de evaluación: • Evaluación diagnóstica diagnóstica • Unidad 1 ........................ ........................................... ................... 126 • Evaluación formativa • Lección 1 .............................................. 128

Orientaciones y planificaciones de clase ...................... ........................... ..... 80

• Evaluación formativa • Lección 2 .............................................. 129

Orientaciones y solucionario Cuaderno de Actividades • Lección 4  ........ ................ ........................ ...................... ...... 98

• Evaluación formativa • Lección 4 .............................................. 131

• Evaluación formativa • Lección 3 .............................................. 130 • Evaluación final • Unidad 1 ........................ ................................................. .................................... ........... 132

Solucionario Texto Texto del Estudiante ...................... .................................... .............. 104 Solucionario Instrumento de evaluación ....................... ....................... 134

4 Índice

 

Unidad 2

La tecnología Planificación Tomo Tomo 1 ........................ ................................................ ..................................... ............. 140 Planificación de la unidad .................................................... .................................................... 142 Presentación de la unidad .................................................... .................................................... 144 Orientaciones y planificaciones de clase ......................... ......................... 146 Orientaciones y solucionario Cuaderno de Actividades • Lección 5  .....................................162

140

Material fotocopiable Actividad complementaria: • Refuerzo • Lección 5 .......................................................................... 202 • Ampliación • Lección 5 .................................................................... 203 • Refuerzo • Lección 6 .......................................................................... 204 • Ampliación • Lección 6 .................................................................... 205 Solucionario Actividad complementaria ....................... 206

Orientaciones y planificaciones de clase ......................... ......................... 170 Orientaciones y solucionario Cuaderno de Actividades • Lección 6 ......................................186

Instrumento de evaluación: • Evaluación diagnóstica • Unidad 2....................... ........................................... .................... 208 • Evaluación formativa • Lección 5 .............................................. 210

Solucionario Texto Texto del Estudiante .............................................194

• Evaluación formativa • Lección 6 .............................................. 211 • Evaluación final • Unidad 2 ....................... ................................................ ..................................... ............ 212 2 12 Solucionario Instrumento de evaluación ....................... ....................... 214

Texto del Estudiante

Guía Didáctica del Docente

• Síntesis Unidad 1 ............................................................................... 218

• Bibliografía y sitios web ................................................................. 223

• Síntesis Unidad 2 ............................................................................... 219 • Glosario .................................................................................................... 220 • Bibliografía, sitios web y fuentes .............................................. 222

Índice 5

 

Planificación anual

Unidad

Objetivos de Aprendizaje

Sección / Lección

Tiempo estimado

Entrada de unidad Lección 1: Operaciones, múltiplos y factores Unidad 1

Nuestro planeta

OA 1, OA 2, OA 3, OA 4, OA 5, OA 6, OA 7 y OA 8

Lección 2: Fracciones y números mixtos 76 horas pedagógicas Lección 3: Números decimales Lección 4: Razones y porcentajes Evaluación de unidad

Unidad 2

La tecnología

OA 9, OA 10 y OA 11

Entrada de unidad Lección 5: Patrones y lenguaje algebraico

38 horas pedagógicas

Lección 6: Ecuaciones Evaluación de unidad Entrada de unidad Lección 7: Construcciones geométricas

Unidad 3

El arte

OA 12, OA 13, OA 14, OA 15, OA 16, OA 17, OA 18, OA 19, OA 20 y OA 21

Lección 8: Ángulos 76 horas pedagógicas Lección 9: Teselaciones Lección 10: Área y volumen Evaluación de unidad Entrada de unidad

Unidad 4

La salud

Lección 11: Representación de datos OA 22, OA 23 y OA 24

38 horas pedagógicas Lección 12: Tendencia de resultados Evaluación de unidad

8 Planificación anual

 

Ejes

Habilidades disciplinares

Actitudes

Contenidos

- Manifestar un estilo de trabajo

Números y operaciones

Patrones y álgebra

- Resolver problemas. - Representar. - Modelar.

ordenado y metódico. - Abordar de manera flexible y creativa la búsqueda de soluciones a problemas. - Manifestar curiosidad e interés por el aprendizaje de las matemáticas. - Manifestar una actitud positiva frente a sí mismo y sus capacidades. - Demostrar una actitud de esfuerzo y perseverancia. - Expresar y escuchar ideas de forma respetuosa.

-ordenado Manifestar un estilo de trabajo y metódico. - Representar. - Abordar de manera flexible y - Modelar. creativa la búsqueda de soluciones a - Argumentar y comunicar. comunicar. problemas. - Manifestar curiosidad e interés por el aprendizaje de las matemáticas. - Manifestar un estilo de trabajo ordenado y metódico. - Abordar de manera flexible y creativa la búsqueda de soluciones a problemas.

Geometría Medición

Datos y probabilidades

-- Representar. Resolver problemas. - Modelar.

-aprendizaje Manifestar de curiosidad e interés por el las matemáticas. - Manifestar una actitud positiva frente a sí mismo y sus capacidades. - Demostrar una actitud de esfuerzo y perseverancia. - Expresar y escuchar ideas de forma respetuosa.

- Abordar de manera flexible y creativa la búsqueda de soluciones a - Argumentar y comunicar. comunicar. problemas. - Resolver problemas. - Manifestar una actitud positiva frente - Representar.

a sí mismo y sus capacidades. - Demostrar una actitud de esfuerzo y perseverancia.

- Operaciones con números naturales. - Múltiplos, factores y divisores de un número. - Fracciones y números mixtos. - Números decimales. - Razones y porcentajes.

- Lenguaje algebraico. - Patrones. - Ecuaciones.

- Construcciones geométricas. - Ángulos. - Teselaciones. - Área y volumen.

- Representaciones de datos. - Experimentos aleatorios.

Planificación anual 9

 

Planificación Tomo 1

Unidad

Tiempo estimado (horas pedagógicas)

Clases

Sección / Lección

Objetivos de Aprendizaje OA de 5° básico:

2

1

Inicio de unidad

OA 1 a OA 13

Lección 1

1

Operaciones, múltiplos y factores OA 1 y OA2

14

2a8

20

9 a 18

16

19 a 26

20

27 a 36

4

37 y 38

Fin de unidad

2

1

Inicio de unidad

16

2a9

16

10 a 17

4

18 y 19

Lección 2

Fracciones y números mixtos

Lección 3

Números decimales

Lección 4

Razones y porcentajes

Lección 5

Representación de ecuaciones

OA5, OA 6 y OA 8

OA 7 y OA 8

OA 3 y OA 4

OA 1 a OA 8 OA de 5° básico: OA 14 y O A15

OA 9 y OA 10

2

10 Planificación Tomo 1

Lección 6

Resolución de ecuaciones

Fin de unidad

OA 11

OA 9 a OA 11

 

Texto del Estudiante

• ¿Qué sabes?

Guía Didáctica del Docente

• Evaluación diagnóstica (págs. ( págs. 126 y 12 127). 7).

• • • • •

Actívate Operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división Múltiplos, factores y divisores Números primos y compuestos ¿Cómo vas?

• Actividad complementaria: Refuerzo (pág. 114 14).). • Actividad complementaria: Ampliación (pág. 115 15).). • Evaluación formativa Lección 1 (pág. (p ág. 128). 128).

• • • • •

Actívate Fracciones impropias y números mixtos Fracciones impropias y números mixtos en la recta numérica Adición y sustracción de fracciones y números mixtos ¿Cómo vas?

• Actividad complementaria: Refuerzo Refuer zo (pág. 116) 16).. • Actividad complementaria: Ampliación (pág. 117) 17).. • Evaluación formativa Lección 2 (pág. (p ág. 129). 129).

• Actívate • Multiplicación con números decimales • División con números decimales • ¿Cómo vas? • • • •

Actívate Razones Porcentajes ¿Cómo vas?

• Actividad complementaria: Refuerzo (pág. 120). • Actividad complementaria: Ampliación (pág. 12 121) 1).. • Evaluación formativa Lección 4 (pág. 131). 131). • Evaluación final (págs. 132 y 133).

• ¿Qué sabes?

• Evaluación diagnóstica (págs. 208 y 209).

Actívate Patrones en tablas Lenguaje algebraico ¿Cómo vas?

a, b, c, d, e y f 

• Actividad complementaria: Refuerzo Refuer zo (pág. 118) 18).. • Actividad complementaria: Ampliación (pág. 119 19).). • Evaluación formativa Lección 3 (pág. (p ág. 130).

• ¿Qué aprendiste?

• • • •

Actitudes

• Actividad complementaria: Refuerzo (pág. 202). • Actividad complementaria: Ampliación (pág. 203) 203).. • Evaluación formativa Lección 5 (pág. 210).

c, d y e • • • •

Actívate Representación de ecuaciones Resolución de ecuaciones ¿Cómo vas?

• ¿Qué aprendiste?

• Actividad complementaria: Refuerzo (pág. 204). • Actividad complementaria: Ampliación (pág. 205). • Evaluación formativa Lección 6 (pág. 211).

• Evaluación final (págs. 212 y 213).

Planificación Tomo 1

11

 

Planificación de la unidad

Unidad 1 Nuestro planeta Sección / Lección

Tiempo estimado (horas pedagógicas)

Clases

Inicio de unidad

2

1

Objetivos de Aprendizaje OA de 5° básico:

OA 1 a OA 13

Texto del Estudiante

• ¿Qué sabes? • Actívate • Operaciones de adición, sustracción,

multiplicación y división

Lección 1

Operaciones, múltiplos y factores

14

2a8

OA 1 y OA 2

• Múltiplos, factores y divisores • Números primos y compuestos • ¿Cómo vas? • Actívate • Fracciones impropias y números

mixtos

Lección 2

Fracciones y números mixtos

20

9 a 18

OA 5, OA 6 y OA 8

• Fracciones impropias y números

mixtos en la recta numérica • Adición y sustracción de fracciones y

números mixtos • ¿Cómo vas? • Actívate Lección 3

Números decimales

16

19 a 26

OA 7 y OA 8

• Multiplicación con números decimales • División con números decimales • ¿Cómo vas? • Actívate

Lección 4

Razones y porcentajes

• Razones

20

27 a 36

OA 3 y OA 4 • Porcentajes • ¿Cómo vas?

Fin de unidad

12

Unidad 1 

 Nuestro planeta

•

4

37 y 38

OA 1 a OA 8

• ¿Qué aprendiste?

 

Páginas de la Guía Didáctica del Docente Páginas del Texto del Estudiante

Páginas del Cuaderno de Actividades

Planificación de clases

6y7

16 y 17

8

18

9 a 11

6a9

19 a 21

12 a 15

10 a 13

22 a 25

16 y 17

14 y 15

26 y 27

18 y 19

16 y 17

28 y 29

20 21 a 23

Recursos • Evaluación diagnóstica (págs.126 y 127).

• Actividad complementaria: Refuerzo (pág. 114). 114). • Actividad complementaria: Ampliación (pág. 115 15).). • Evaluación formativa Lección 1 (pág. 128).

36 18 a 21

37 a 39

24 a 27

22 a 25

40 a 43

28 a 33

26 a 29

44 a 49

34 y 35

30 y 31

50 y 51

36

• Actividad complementaria: Refuerzo Refuer zo (pág. 116) 16).. • Actividad complementaria: Ampliación (pág. 117). • Evaluación formativa Lección 2 (pág. 129).

60

37 a 41

32 a 37

61 a 65

42 a 47

38 a 41

66 a 71

48 y 49

42 y 43

72 y 73

50

• Actividad complementaria: Refuerzo Refuer zo (pág. 118) 18).. • Actividad complementaria: Ampliación (pág. 119 19).). • Evaluación formativa Lección 3 (pág. 130 130).).

80

51 a 57

44 a 47

81 a 87

58 a 63

48 a 53

88 a 93

64 y 65

54 y 55

94 y 95

66 y 67

56 y 57

96 y 97

• Actividad complementaria: Refuerzo (pág. 120). • Actividad complementaria: Ampliación (pág. 12 121) 1).. • Evaluación formativa Lección 4 (pág. (p ág. 131). 131).

• Evaluación final (págs. 132 y 133).

Planificación de la unidad

13

 

Presentación de la unidad Unidad

1

Nuestro planeta

Esta unidad desarrolla el eje temático Números y operaciones,

y plantea los contenidos a partir de un hilo conductor de interés para los estudiantes: la problemática ambiental de nuestros tiempos y el cuidado del entorno inmediato. A través de él se desarrollan los objetivos, habilidades y actitudes definidas para la unidad. La importancia de la temática escogida radica en que permite conocer las diferentes actividades humanas que afectan nuestro entorno. La unidad se compone de cuatro lecciones relacionadas relacionadas entre

sí por el hilo conductor y por la progresión del contenido matemático. matem ático. Cabe destacar que la importancia del estudio

que estos es tos números núm eros y las operaciones entre ellos constituyen los fundamentos para comprender variadas situaciones de la

vida cotidiana y son la base para desarrollar la competencia matemática de los siguientes años de escolaridad. Para trabajar los contenidos mencionados se consideran contextos coherentes con el hilo conductor de la unidad y se plantean

actividades diversas, diseñadas progresivamente con el fin de avanzar desde la representación de fracciones y números

mixtos a la resolución de adiciones adicion es y sustracciones de estos números.

En la Lección 1 se 1 se trabaja la operatoria de números naturales,

En la Lección 3, estudiantes es podrán resolver multiplicaciones multiplicaciones 3, los estudiant y divisiones con números decimales, que realizarán mediante el uso de representaciones pictóricas y la aplicación de algoritmos. Para el trabajo con estas operaciones se consideran los siguientes casos: multiplicación multiplicación y división de un número decimal por uno natural y de dos números decimales. El contenido de este tema se aborda mediante actividades en las que se desarrollarán, mayoritariamente, habilidades

el cálculo de múltiplos y factores, los conceptos de número

de representación y resolución de problemas. Además, se

primo y número compuesto y, finalmente, el concepto y cálculo

proponen actividades contextualizadas relacionadas con el hilo conductor de la unidad y en las que se considera el uso de diferentes estrategias para la resolución de las

de los números, las fracciones, los números decimales, decimales, las razones y los porcentajes radica en que hay que trabajar las relaciones entre cantidades, el uso de nuevos símbolos para representar dichas relaciones y la ampliación del sistema de numeración decimal, además de construir una base para el

desarrollo del razonamiento proporcional.

del mínimo común múltiplo. Es importante considerar que el aprendizaje de los números aumenta en complejidad en este nivel, iniciándose la interrelación entre las habilidades básicas y progresando a otras de mayor nivel cognitivo. En el desarrollo de los contenidos de este tema se proponen actividades para que los alumnos apliquen los contenidos trabajados para resolver problemas en contextos reales

relacionados con el hilo conductor de la unidad. En la

Lección 2 se

multiplicaciones y divisiones trabajadas. En la Lección 4 se inicia el trabajo con razones y porcentajes. Para ello, se establece una relación con fracciones y números decimales, y se guía a los estudiantes estu diantes a establecer relaciones entre cantidades, considerando diferentes situaciones

contextualizadas. Para el desarrollo del tema se proponen

estudiarán las fracciones impropias y

actividades que se enfocan en la comprensión de los

los números mixtos, junto con las operaciones de adición y sustracción aplicadas a la resolución de problemas. Para

conceptos de razón y porcentaje, y se estimula el desarrollo de habilidades, especialmente la habilidad de representar,

ello, se trabajará en la comprensión mediante el uso de

que resulta fundamental porque mediante representaciones

representaciones concretas y pictóricas, la ubicación en la recta numérica y la consideración de diferentes estrategias

concretas y pictóricas los educandos podrán po drán comprender y visualizar los conceptos anteriores.

para la resolución de operaciones. Es importante impor tante considerar considerar

1 • Nuestro planeta 14 Unidad 1 

 

Estructura La estructura de la unidad se muestra a continuación:

Ruta de aprendizaje de la Unidad 1

Números y operaciones

Lecciones que se articulan de acuerdo con los Objetivos de Aprendizaje.

Lección 1: Operaciones, múltiplos y factores Evaluación diagnóstica

• Operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división.

Evaluación formativa Lección 1

divisores. s. • Múltiplos, factores y divisore • Números primos y compuestos. Lección 2: Fracciones y números mixtos

• Fracciones impropias y números mixtos. • Fracciones impropias y números mixtos en la recta numérica.

Evaluación formativa Lección 2

• Adición y sustracción de fracciones y números mixtos.

Lección 3: Números decimales

• Multiplicación con números decimales. • División con números decimales.

Evaluación formativa Lección 3

Lección 4: Razones y porcentajes

• Razones. • Porcentajes.

Evaluación formativa Lección 4

Evaluación final Unidad 1

Presentación de la unidad

15

Orientaciones y planificaciones de clase

 

1

       d      a        d        i      n       U

Planificación

Clase 1 2 horas pedagógicas / págs. 6 y 7

Nuestro planeta

 Trabajarás números y operaciones: Lección 1 Lección 2

Propósito de la unidad

Lección 3 Lección 4

Comprender y resolver problemas con: • Operaciones, múltiplos y factores. • Fracciones y números mixtos. • Números decimales. • Razones y porcentajes.

  Operaciones, múltiplos y factores. (Página 8)   Fracciones y números mixtos.  mixtos. (Página 20)   Números decimales. (Página 36)   Razones y porcentajes. (Página 50)

Objetivos de Aprendizaje Lección 1: OA 1 y OA 2 Lección 2: OA 5, OA 6 y OA 8 Lección 3: OA 7 y OA 8 Lección 4: OA 3 y OA 4

Actitudes a  Manifestar un estilo de trabajo ordenado y metódico. b  Abordar de manera manera flexible y creativa la

búsqueda de soluciones a problemas. c  Manifestar curiosidad e interés interés por el

aprendizaje de las matemáticas. d  Manifestar una actitud positiva frente a sí

mismo y sus capacidades. e  Demostrar una actitud de esfuerzo y perseverancia. f   Expresar y escuchar ideas de forma

respetuosa.

Gestión de la clase

Invite a observar detenidamente la imagen del inicio de la unidad. Luego, pida a un estudiante que lea la sección Reflexiona e inste a que discutan cómo pueden mejorar las condiciones de vida en nuestro planeta.

16

Unidad 1 

 Nuestro planeta

•

6

 

:

Notas para el docente

La evaluación diagnóstica es aquella que permite medir el grado de logro de aprendizajes previos, es decir, cuánto saben o recuerdan de lo que ya aprendieron e identificar cuánto saben sobre lo que van a aprender. Los Objetivos de aprendizaje trabajados en 5° básico y relacionados con los contenidos de esta unidad son: - OA 1

- OA 4

- OA 7

- OA 10

- OA 2 - OA 3

- OA 5 - OA 6

- OA 8 - OA 9

- OA 11 - OA 12

- OA 13

 

¿Qué sabes?

Desarrolla en tu cuaderno

Evaluación diagnóstica

Resuelve  y explica tus respuestas.

Comente que en la unidad trabajarán el eje de Números y operaciones con la finalidad de que puedan identificar números, realizar cálculos, resolver situaciones y demostrar la comprensión de conceptos nuevos. Solicite que resuelvan la evaluación diagnóstica mientras usted monitorea el trabajo.

1. Un día terrestre tiene 24 horas. a. ¿Cuántas horas tienen 2 días? b. ¿Y 5 días? c. ¿Y 20 días? 2. Un año terrestre dura 365 días, aproximadamente. aproximadamente. Una semana tiene 7 días. ¿Cuántas semanas tiene 1 año?

3. Delegados de distintos países del mundo asistieron a un congreso de cambio climático y se reunieron en grupos de trabajo. La cantidad de grupos que se formaron y el número de integrantes en cada uno se indican a continuación: Grupos (cantidad)

Pida a los estudiantes que comenten las respuestas obtenidas de la evaluación diagnóstica y que las compartan con sus compañeros. Lea en voz alta los contenidos de las lecciones de la unidad respondiendo preguntas y preparando a los estudiantes para iniciar el trabajo.

Delegados por grupo (cantidad)

3

18

5

25

9

32

¿Cuántos delegados asistieron a la reunión? 4. Aproximadamente, 7  de la superficie de la Tierra 10 están cubiertos por agua. a. ¿Qué fracción no está cubierta por agua?

Notas para el docente Palabras claves:

b. ¿Qué fracción es mayor: la superficie cubierta por agua o la que no?

• Múltiplo. • Mínimo común múltiplo. • Factor. • Divisor.

5. Una muestra de 1 L de atmósfera terrestre está compuesto por: o na  io Refle x i

• •

¿Qué te expresa la imagen?

•

¿Cómo puedes ayudar a mejorar las condiciones de vida en la Tierra?

¿Qué actividades humanas dañan nuestro planeta?

O xí xí ge ge no no (L)

Ni tr tr óg óge no no ( L) L)

0,21

0,78

a. ¿Qué hay más: oxígeno o nitrógeno?

• Número primo. • Número compuesto. • Fracción. • Número mixto.

b. ¿Cuántos litros de la muestra no son oxígeno ni nitrógeno?

7

 

:

Habilidades del siglo XXI

• Número decimal. • Razón. • Porcentaje.

Es necesario que cada estudiante posea un pensamiento crítico y reflexione ante situaciones cotidianas, como lo es el daño que provocan al medio ambiente algunas actividades humanas, tales como: emitir gases tóxicos, botar basura en las playas, destruir bosques, etc. Así, se debe incluir en el proceso de enseñanzaaprendizaje la inferencia, la interpretación, el análisis, la evaluación, la explicación y la clarificación de significados que desarrollen la capacidad de conocer, organizar y autorregular el propio proceso de adquisición del conocimiento.

 

Orientaciones y planificaciones de clase

17

   

Lección

1

Planificación

Clase 2

2 horas pedagógicas / págs. 8 y 9

Operaciones, múltiplos y factores

ate  va Act í  v

Propósito de la lección En esta lección realizarán cálculos que involucren las cuatro operaciones en el

 Tras un fin de semana,  Tras semana, todas todas las playas ayas de una una localidad localidad quedaron quedaron sucias. sucias. Una Una organización organización de de protección del medioambiente tomó una foto a cada una de ellas:

contexto de lalaresolución de problemas y demostrarán comprensión de los factores y múltiplos. Objetivo de Aprendizaje OA 1 y OA 2

     a        í      r      e        l      a        G

Gestión de la clase

En la situación inicial se recuperan conocimientos previos de los estudiantes. En correspondencia con el hilo conductor de la unidad, se muestran playas sucias debido a la actividad humana. Pida que respondan la pregunta de la sección Reflexiona y, a partir de respuesta respuestass como «llevar una bolsa b olsa para arrojar la basura», genere un diálogo respecto del peligro que implica para la fauna marina la exposición a desechos como plásticos y vidrios. Luego, plantee preguntas como las siguientes: • ¿Cuáles son las principales operaciones que estudiaste en años anteriores? • ¿Cuál es la operación inversa de la adición?, ¿y de la multiplicación? • ¿Cómo definirías un múltiplo de un número natural? • ¿En qué ocasiones usas una calculadora para realizar cálculos? Ambiente de aprendizaje

Se sugiere que incentive a los estudiantes a crear grupos de voluntarios para limpiar su sala de clases. Para ello es necesario generar un ambiente de compromiso y compañerismo, dando tiempo las para formar equipos de trabajo y organizar tareas por desarrollar.

18

Unidad 1 

 Nuestro planeta

•

La organización hizo un llamado a la comunidad para limpiarlas, logrando reunir 153 voluntarios. Responde 1.

¿Cuántas playas hay en la localidad?

2.

Los voluntarios se repartirán equitativamente. ¿Cuántos se encargarán de limpiar cada playa?

3.

La organización distribuyó 62 kg de frutas por día entre los voluntarios. ¿Cuántos kilogramos repartirá en 2 semanas?

Puedes iniciar con

8

ona  io Refle x i

•

¿Qué harías para disminuir la contaminación de las playas?

https://bit.ly/2tMLftf  y  y https://bit.ly/2NSVRgZ 

Unidad 1  • Nuestro planeta

 

Conexión interdisciplinaria

Comente la importancia de cuidar el medioambiente. Explíqueles que necesitan valorarlo, amarlo y ser consciente del significado de la contaminación, traduciendo esto en conductas positivas tales como: no botar basura en el entorno y cooperar con la limpieza de sus espacios cotidianos, como el colegio, la casa, sus dormitorios, etc. Para complementar esta información puede visitar el sitio web del Ministerio del Medio Ambiente (https://mma.gob.cl/ ).

:

    

Operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división I

ndustria CK A

La industria CKA emitió en enero la cantidad de dióxido de carbono que se indica en la imagen. En febrero, 2 124 kg más que en enero, y en marzo, 4 500 kg menos que en febrero.

Lea en conjunto con los estudiantes la situación planteada y comente qué pasos pueden realizar para resolver el problema.

problema  

Ejemplo 1  

Fomente entre sus estudiantes la lectura comprensiva de los problemas, la estimación de sus soluciones y la verificación, resolviendo las adiciones y sustracciones correspondientes.

¿Cuántos kilogramos de dióxido de carbono emitió la industria en marzo? 1   Identifica los datos. datos. 8 29 298 8 k g d  de e d  dió ióxxid ido o d  de e c  caarb rbo ono.

2   Plantea las operaciones operaciones y realízalas. •

DM

+ 1 •

Pídales que respondan las preguntas que están a continuación del Ejemplo 1 y que comparen sus respuestas con las de sus compañeros.

Adición para febrero: suma 8 298 + 2 124. UM UM

C

D

U

8 2

2 1

9 2

8 4

0

4

2

2

Aprende

sumando sumando suma

El dióxido de carbono es un gas que contribuye al efecto invernadero. Su fórmula química es CO2.

Sustracción para marzo: resta 4 500 al resultado anterior.

–

DM

UM UM

C

D

U

1

0 4

4 5

2 0

2 0

5

9

2

2

Ciencias

minuendo sustraendo resta o diferencia

Para realizar el cierre de la clase, invítelos a reflexionar en torno a las siguientes

3

preguntas: • ¿Qué has aprendido hoy? • ¿Qué dificultades has tenido? • ¿Para qué te servirá lo aprendido? • ¿En qué otras ocasiones podrías utilizar lo que has hecho o lo que has aprendido? • ¿Qué es lo que más te llamó la atención de la clase de hoy?

 Responde. La industria emitió 5 922 kg de CO 2 en marzo.

• ¿Cómo comprobarías el resultado de la sustracción? • ¿Cómo identificas qué operación debes realizar para resolver un problema? Da un ejemplo de una situación en que debas sumar y otro ejemplo en que debas restar.

Página 191.

• ¿Cómo podría ayudarte una tabla de valor posicional a sumar y restar números grandes? Apóyate en el recortable sugerido.

En ocasiones, puedes estimar un resultado al resolver un problema aditivo y luego comprobarlo con las operaciones de adición y sustracción.

Lección 1 1  • Operaciones, múltiplos y factores   9

 

:

Desarrollo del pensamiento matemático

Para promover el pensamiento matemático, una vez que los estudiantes hayan analizado el Ejemplo 1, solicíteles que expliquen y argumenten argument en cómo habrían resuelto el problema ellos y que evalúen las diferentes estrategias estrategias de sus compañeros. Con esta actividad se busca que no solo apliquen el procedimiento del ejemplo analizado, sino que también visualicen otras formas de resolver la situación.

Solucionario

Las soluciones de las actividades propuestas en la Unidad 1 del Texto del Estudiante están en las páginas 105 a 113 y las soluciones de las actividades de la Lección 1 del Cuaderno de Actividades, están en las páginas 30 a 35.

Orientaciones y planificaciones de clase

19

 

Múltiplos, factores y divisores

Planificación

Clase 4

Domin ing go 28 d  de e f ebrero.

Felipe lleva sus residuos domiciliarios a un punto de reciclaje cada 3 días. Su vecina Mónica va al mismo lugar cada 4 días.

2 horas pedagógicas / págs. 12 y 13 

Ambos coincidieron en el centro de reciclaje el día que se indica en la imagen.

Propósito Resolver problemas calculando múltiplos y el m. c. m. de un grupo de números.

problema  

Ejemplo 1   ¿Qué días de marzo Felipe irá al punto de reciclaje?

Objetivo de Aprendizaje

1   Marca los días que Felipe irá al punto de reciclaje en el calendario.

Debes ir contando de 3 en 3.

OA 1 y OA 2 Gestión de la clase

Lu

Ma

Mi

Ju

Vi

Sa

Do

Lu

Ma

Mi

Ju

Vi

Sa

Do

 1

 2

 3

 4

 5

 6

 7

 1

 2

 3

 4

 5

 6

 7

 8

 9

10 11 12 13

14

 8

 9

10 11 12 13

14

15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Comente al curso que en esta clase analizarán situaciones cotidianas que les permitirán profundizar en conceptos relacionados con los múltiplos. Pida a un alumno que lea lo planteado en el

15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Desde este día inicias el conteo. 2  Responde.

Felipe irá al punto de reciclaje los días 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 y 30 de marzo.

Ejemplo 1 y responda dudas respecto a la comprensión de las preguntas. • ¿Cómo puedes obtener la secuencia numérica anterior a partir de 3?

Se sugiere que puedan responder en parejas la pregunta que está a continuación del Ejemplo 1 y luego ínstelos a compartir la respuesta con el resto del curso. Formalice el concepto de múltiplo mediante lo descrito en el Texto del Estudiante y oriéntelos en la determinar el número de elementos del conjunto de múltiplos de 3. Evalúe formativamente a los estudiantes durante el desarrollo de la clase haciendo un registro anecdótico. Para esto, durante las actividades en aula, aula, anote frases frases breves con observaciones individuales respecto del desempeño en ese trabajo puntual.

Un múltiplo de un número natural corresponde al producto que se obtiene al multiplicar dicho número por otro número natural. Por ejemplo: 3 • 1  M (3) (3)

12

= {3,

3 • 2

3 • 3

3 • 4

6,

9,

12,

3 • 5

15…}} 15…

Unidad 1  • Nuestro planeta

 

Uso de recursos tecnológicos

Permita el uso de la calculadora para determinar los múltiplos de 3 y que expliquen la estrategia usada al resto de sus compañeros. Incentive a que los estudiantes investiguen en la web el concepto de múltiplo, desarrollado en esta clase para favorecer su comprensión. Un enlace que puede utilizar es el siguiente: https://bit.ly/2vaCYQB

22

Unidad 1 

 Nuestro planeta

•

 ¿Cuántos elementos  ¿Cuántos tiene este conjunto? 

:

    

problema  

Ejemplo 2  

¿Qué día de marzo Felipe y Mónica coincidirán en e l punto de reciclaje por primera vez? 1

  Recorta tiras de papel. papel. De 3 cm de largo:

2

Consigue una regla y ubica las tiras de papel.

0

3

Invite a sus estudiantes a que observen el Ejemplo 2 y consúlteles lo siguiente:

De 4 cm de largo:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 11

12 12

13 13

14 14

15 15

13 13

14 14

15 15

• ¿Cuántas tiras de papel de 3 cm se ocuparon para coincidir con el largo de las cintas de 4 cm? • ¿Cuántas tiras de papel de 4 cm se ocuparon para coincidir con el largo de las cintas de 3 cm?

 Marca la posición en que coinciden las tiras. 12

0

4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 11

12 12

• ¿Qué relación existe en la estrategia descrita en el Ejemplo 2 y el concepto de múltiplo?

  Interpreta en el calendario la posición marcada marcada y responde.

Lu

Ma

Sa

Do

Lu

Ma

Mi

Ju

Vi

Sa

Do

2 3 4 5 6 9 10 11 12 13 15 16 17 18 19 20

 7

 1

2

3

4

5

6

 7

14 21 22 23 24 25 26 27 28

 8

 1 8

Mi

Ju

Vi

14 21 22 23 24 25 26 27 28 9 10 11 12 13 15 16 17 18 19 20

Motívelos para que planteen otra forma de representar la situación propuesta en el Ejemplo 2.

Explica a un

compañero por qué se realizaron 12 saltos.

Formalice el concepto desarrollado en el ejemplo y pida a un estudiante que explique con palabras lo que entendió del concepto

29 30 31

de mínimo común múltiplo (m. c. m.). Puede proponer la pregunta que está a continuación del Ejemplo 2 como un trabajo individual específico a desarrollar en una hoja aparte y en un tiempo acotado de unos 10 minutos. Cumplido el tiempo, oriéntelos y controle que los estudiantes se autoevalúen para que detecten por sí mismos si han logrado comprender y asimilar el nuevo aprendizaje.

Felipe y Mónica coincidirán en marzo por primera vez el día 12.

• ¿Qué día de marzo Felipe y Mónica coincidirán por segunda vez?

El mínimo común múltiplo (m. c. m.) de dos o más números naturales corresponde al menor de sus múltiplos comunes. Observa que el m. c. m. de 3 y 4 es 12:  M (3) (3) = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21…}  M (4) (4) = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28…}

El m. c. m. de 3 y 4 coincide con su producto. ¿Es siempre así? Calcula el m. c. m. de 6 y 12 y comprueba.

Lección 1 1  • Operaciones, múltiplos y factores   13

:

Notas para el docente

Solicite al curso que recorte tiras de papel con otras medidas, por ejemplo 2 cm y 3 cm. Anote el punto en que coinciden al obtener el mismo largo e indique con cuántas tiras de 2 cm necesita para igualar el largo de las de 3 cm y con cuántas tiras de papel de 3 cm necesita para igualar las tiras de 2 cm. Esta actividad evidencia el m. c. m. usando material concreto, también se puede llevar a lo pictórico dibujando las tiras de papel en sus cuadernos y repitiendo la estrategia descrita en el texto.

Para cerrar, realice una puesta en común de las estrategias desarrolladas durante la clase para obtener los múltiplos y el m. c. m. Se sugiere instar a que identifiquen, en la actividad realizada, los conocimientos que aplicaron y que reflexionen respecto a cuáles creen que necesitan reforzar más.

Orientaciones y planificaciones de clase

 

problema 

Ejemplo 3   ¿De cuántas maneras puede escribirse 12 como el producto de la multiplicación de dos números naturales?

Planificación

Clase 5

2 horas pedagógicas / págs. 14 y 15 

1

  Recorta 12 cuadrados de papel.

2

  Arma con ellos todos los rectángulos que puedas y, a partir de ellos, determina todas las multiplicaciones cuyo producto es 12.

Propósito Resolver problemas calculando factores, múltiplos y divisores.

1 • 12 = 12 2 • 6 = 12 3 • 4 = 12

Objetivo de Aprendizaje OA 1 y OA 2

 ¿Por qué no es posible formar más rectángulos que los que se muestran? 

 Responde.

3

 ¿Cómo expresarías estas multiplicaciones si aplicas la propiedad conmutativa conmutativa? ? 

Las multiplicaciones multiplicaciones cuyo producto es 12 son 1 • 12, 2 • 6 y 3 • 4.

Gestión de la clase

• ¿Cómo determinarías los pares de números naturales cuyo producto es 18? Compara tu estrategia con la de un compañero e identifica similitudes y diferencias.

• ¿De cuántas maneras puede escribirse 8 como el producto de la multiplicación de dos números

Comente al curso que en esta clase analizarán diferentes formas para obtener los múltiplos, factores y divisores de un número. Lea y analice en conjunto con el curso el procedimiento que muestra el Ejemplo 3 y pida que respondan las preguntas propuestas en el texto.

naturales?, ¿y 16?, ¿y 17?, ¿y 20?

Los factores de un número natural son los números cuyo producto es igual al número natural. Por ejemplo, los pares de factores de 12 son 1 y 12, 2 y 6, y 3 y 4. divisores de un número natural son los números naturales que lo Los dividen en forma exacta. Por ejemplo, los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12.

Practica

Solicite a los estudiantes que recorten 15 cuadrados de papel y que armen con ellos todos los rectángulos que puedan. A continuación, pida que respondan la siguiente pregunta: ¿de cuántas maneras pueden escribir 15 como la multiplicación de dos números naturales? Verifique que, siguiendo los pasos del Ejemplo 3, respondan y comparen su respuesta con la obtenida para el número 12. Comente que 1 es un divisor común de todos los números naturales, ya que todo número natural dividido por 1 es el mismo número natural. Luego, plantee la pregunta que está en la sección Reflexiona, en que puede, a partir de las respuestas que se generen, destacar que una actitud positiva nacida de la curiosidad y el interés por aprender, permiten desarrollar la clase de mejor manera y aumenta las posibilidades de que los propios estudiantes se sientan cómodos y motivados. •

 io ona  x i Refle x

b.

Factor.

c.

Divisor.

Identifica el factor que falta.

2.

a.

5 • ? = 45

b. ? • 8

Describe cómo obtendrías: a. los primeros seis múltiplos de 5.

3.

14

en tu cuaderno

Define. a. Múltiplo.

1.

¿De qué manera una actitud positiva te ayudó a trabajar este contenido?

= 88

c. ? • 17 = 102

b.

los divisores del número 32.

Unidad 1  1  • Nuestro planeta

 

Opciones para profundizar

Es importante que los estudiantes sepan que existen criterios de divisibilidad para hacer más fácil y rápida la búsqueda de divisores de un número, por ejemplo: • Un número es divisible por 2 cuando el dígito del número ubicado en la posición de las unidades es 0 o un número par. • Un número es divisible por 3 cuando la suma de los dígitos que lo forman es múltiplo de 3. • Un número es divisible por 5 cuando el dígito ubicado en la

posición de las unidades es 0 o 5. • Un número es divisible por 6 cuando lo es por 2 y por 3.

:

24

Unidad 1 

 Nuestro planeta

 

4. Determina los cinco primeros múltiplos de: a. 1

b. 2

c. 6

d. 7

e. 8

c. 18

d. 30

e. 64

5. Determina un par de factores de: a. 9

b. 10

Lea en conjunto con los estudiantes los cálculos y problemas propuestos. Asigne un tiempo para que los desarrollen en parejas o equipos de tres integrantes. Se sugiere que monitoree el trabajo constantemente e identifique las diferentes respuestas que puedan surgir. Escoja a los estudiantes que expondrán sus respuestas para una puesta en común. Solicite a otros que evalúen estas respuestas y corrijan si es necesario.

6. Determina el m. c. m. a. 2 y 3

b. 4 y 7

c. 3, 4 y 5

d. 2, 5 y 9

7. Resuelve  los problemas . a. Leticia programó la alarma de su celular a las 07:20 y la configuró para que se repita cada 15 minutos. Además, para no quedarse dormida, programó la alarma de su reloj de velador

también a las 07:20. Si esta segunda alarma se repite cada 10 minutos, ¿a qué hora coincidirán por segunda vez las alarmas de su celular y de su reloj de velador si no las apaga antes? b. Alejandra da una vuelta a una cancha en 6 min y su hermano, en 9 min. Si comenzaron a correr juntos desde la partida, ¿en cuántos minutos coincidirán nuevamente en ella? c. Roberto compró el mismo juego de piezas de madera para cada uno de sus hijos. Cada niño agrupó todas las piezas de su juego como indica a continuación: Yo lo hice en grupos de 4.

Yo, en grupos de 8.

Puede apoyar la resolución de los problemas de la actividad 7, recordando los pasos generales que pueden seguir: entender, planificar, hacer y comprobar. Dé énfasis a las actividades en que se aplican los concept conceptos os estudiadoss en la clase a situacio estudiado situaciones nes cotidianas, ya que estas permiten afianzar su comprensión.

Y yo, en grupos de 6.

Si cada uno ocupó todas sus piezas en forma exacta, ¿cuántas piezas tiene el juego como mínimo? 8. ¿Qué relación existe entre los factores y los divisores de 36? Escríbelos y compara. 9. Verifica  si cada afirmación es verdadera o falsa. Justifica.

  Cuaderno de Actividades

a. 26 es múltiplo de 2 y de 3 a la vez.

c. El m. c. m. de 2 y 6 es 12.

b.  Todo número número par tiene tiene solo solo factores pares.

d. El 8 tiene exactamente tres divisores.

Una vez que terminen las actividades propuestas, puede profundizar la ejercitación en las páginas 10 a 13 del Cuaderno de Actividades.

10. ¿Cuál de las afirmaciones es verdadera? Explica por qué.

A: Los múltiplos de 3 son también múltiplos de 6. -  Afirmación A: B: Los múltiplos de 3 y los de 6 son los mismos. -  Afirmación B: C: Los múltiplos de 6 son también múltiplos de 3. -  Afirmación C:

Inste a que, de manera individual, identifiquen los conocimientos que aplicaron en cada una de las preguntas

Páginas 10 a 13.

Lección 1 1  • Operaciones, múltiplos y factores   15

 

:

Notas para el docente Actitudes

d  Manifestar una actitud positiva frente frente a sí mismo y sus

capacidades. Para desarrollar esta actitud, puede incentivar el trabajo individual y grupal de los estudiant es tudiantes es y resaltar los logros frente al resto del curso.

de las actividades y que expliquen los o conceptos abordados (factor, múltiplo divisor) con sus propias palabras. Cierre la clase formulando preguntas de metacognición, tales como: • ¿Qué concepto te costó más comprender? • ¿Qué estrategias nuevas aprendiste en esta clase? • ¿De qué otras formas puedes determinar los divisores de un número?

Orientaciones y planificaciones de clase

25

 

Números primos y compuestos Un grupo de jóvenes trabaja por la preservación del hábitat de los pingüinos. El profesor les planteó la siguiente adivinanza para que descubran la cantidad de pingüinos de una comunidad que serán estudiados:

Planificación

Clase 6

2 horas pedagógicas / págs. 16 y 17 

Séptimo número natural mayor que 1 que solo es divisible por 1 y por sí mismo.

Propósito Identificar números primos y compuestos.

problema 

Ejemplo ¿Cuántos pingüinos serán estudiados? 1   Escribe en tu cuaderno los números naturales del 2 al 50. Destaca

Objetivo de Aprendizaje OA 1 y OA 2

con rojo el 2 y con amarillo todos sus múltiplos. Aprende 2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

s ias ncia ien Cie

El calentamiento de nuestro planeta provoca el lento deshielo de los polos.

Gestión de la clase 2 A continuación destaca con rojo el 3 y con amarillo todos sus

múltiplos. Haz lo mismo para los números que no van quedando destacados con amarillo: primero el 5, luego el 7, etc.

Solicite al inicio de la clase que uno de los estudiantes lea al resto del curso la situación planteada, que escriba en la pizarra los números naturales consecutivos del 2 al 50 y que luego los vaya tachando, como se muestra en el Ejemplo, hasta

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

 Todos los números

19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

destacados con rojo tienen

36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

solo dos divisores.

3   Escribe los números destacados con rojo y selecciona el séptimo.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 y 47 4  Responde.

obtener la respuesta del problema.

Serán estudiados 17 pingüinos.

• ¿Qué estrategia habrías usado tú para resolver la adivinanza del Ejemplo?, ¿por qué?

Invítelos a aplicar otra estrategia para responder la adivinanza adivinanza y a que la compartan con el resto de sus compañeros. Lea con el curso el recuadro gris con la formalización de los contenidos estudiados y responda las preguntas que le planteen. Finalmente, tome nota de los gustos personales de los estudiantes respecto de los contenidos estudiados, preguntando la razón de esta predilección e incentiv incentivándolos ándolos a profundizar sus aprendizajes aprendizajes a partir de la práctica continua. Base esta acción en las respuestas que se generen a la pregunta propuesta en la sección Reflexiona.   Cuaderno de Actividades

Una vez que terminen las actividades propuestas, puede profundizar la ejercitación en las páginas 14 y 15 del Cuaderno de Actividades.

Un número primo es aquel número natural mayor que 1 que tiene solo dos divisores, que son el 1 y el propio número. Por ejemplo, el 5, ya que solo es divisible por 1 y por 5. Si un número natural tiene más de dos divisores se dice que es un número compuesto. Por ejemplo, el 10, ya que es divisible por 1, por 2, por 5 y por 10.  Todo número  Todo número com compuest puesto o puede escr escribir ibirse se como como el produ producto cto de factores primos. Por ejemplo, el 10 puede escribirse como 10 = 2 • 5. 16

on a  x i io Refle x ¿Cuál de los contenidos de esta lección despertó tu interés?, ¿por qué?

 ¿Cómo puedes determinar los factores primos de un número? 

Unidad 1  1  • Nuestro planeta

 

Notas para el docente

La descomposición en factores primos es una herramienta muy importante que tiene distintas aplicaciones. Por ejemplo, permite determinar el denominador común en la adición de fracciones de distinto denominador. Es importante trabajar estrategias de ordenamiento cuando se desea encontrar todas las descomposiciones multiplicativas posibles de un número usando la descomposición en factores primos. Por ejemplo, cuando se desea encontrar algunas descomposiciones de 20 a partir de los factores 2 • 2 • 5, es útil considerar el siguiente orden: 20 = 2 • 2 • 5 = (2 • 2) • 5 = 4 • 5 20 = 2 • 2 • 5 = 2 • (2 • 5) = 2 • 10

:

26

Unidad 1 

 Nuestro planeta

Practica

en tu cuaderno

 

1. Clasifica en primo o compuesto. a. 7

c. 24

e. 45

b. 17

d. 33

f. 10 101 1

a. 14

c. 36

e. 66

b. 24

d. 49

f. 140

Finalmente, analice junto con el curso la sección Sintetiza con los conceptos desarrollados desarrol lados en esta lección. Pida que verbalicen la explicación de los conceptos considerados en este resumen.

2. Descompón en factores primos.

3. Explica si las afirmaciones son verdaderas o falsas. a.  Todos  Todos los números números primos primos son impares. impares. b.  Todo  Todoss los números números de dos dos o más cifras cifras terminados nados en en 0 son compuesto compuestos. s.

Notas para el docente

c.  Todo  Todoss los números números de dos dos o más cifras cifras terminados nados en en 9 son primos. primos.

Actitudes

d. Entre los números 31 y 39 hay solo un número primo.

c  Manifestar curiosidad curiosidad e interés interés por el

4. Verifica  lo que afirman Andrea y Claudia:

aprendizaje de las matemát matemáticas. icas. Para desplegar esta actitud puede relacionar lo aprendido con situaciones reales y cotidianas.

El 1 es un número compuesto.

El 1 es un número primo.

Andrea

Claudia

Dificultades y errores frecuentes

¿Cuál de ellas tiene la razón? ¿O ambas están equivocadas?  Justifica.

Procure que los estudiantes no lleguen a deducciones erróneas. Por ejemplo:

Páginas 14 y 15.

Sintetiza

Operaciones Adición de Sustracción números Multiplicación naturales División

Múltiplos y factores

Números primos y compuestos

Múltiplos  de 9: = !9, 18, 27, 36…+

7 es primo porque solo es divisible por 1 y por sí mismo; y 10 es compuesto  porque es divisible por 1 y por sí mismo y, además, por 2 y por 5.

(9)  M (9)

Factores de 9: 1 y 9, y 3 y 3.

 Todos los números números compuest compuestos os son •  Todos pares. X Existen números compuestos que son impares. Por ejemplo: 9.  Todos los números números primos primos son •  Todos impares. X Una excepción es el 2, que es el único número primo que es par.

Lección 1  1 • Operaciones, múltiplos y factores   17

 

:

 Planificación

Clase 7

2 horas pedagógicas

  Cuaderno de Actividades

En esta clase práctica se sugiere que monitoree el completo desarrollo de las actividades de las páginas 6 a 15 del Cuaderno de Actividades. En esta clase puede realizar acciones como las siguientes: • Ir repasando las páginas del Cuaderno de Actividades correspondientes a esta lección y resolviendo aquellos ejercicios que los propios estudiantes le soliciten. • Durante este repaso, ir haciendo preguntas que los hagan pensar, como por ejemplo: ¿de qué otra forma se puede desarrollar este ejercicio?, ¿qué otra estrategia hubieran aplicado para resolver este problema?, etc. • Organizar grupos de trabajo para desarrollar las actividades que hayan causado dificultades a un porcentaje significativo de los estudiantes del curso y apoyarlos en su trabajo.

Orientaciones y planificaciones de clase

27

 

vas? ¿Cómo  va 1. Calcula.

Planificación

Clase 8

Desarrolla en tu cuaderno

2 horas pedagógicas / págs. 18 y 19 

a. 8 950 + 1 577

c. 7 982 – 5 643

e. 4 586 • 14

g. 1 230 – 120 • 8

b. 7 211 – 6 665

d. 1 453 • 8

f. 9 384 : 23

h. 6 245 245 : 5 + 1 543

2.

Calcula.

Propósito Resolver actividades de aplicación de los contenidos de la lección.

a. 105 278 + 99 122

d. 43 356 • 12  129 9

g. 4 008 + 12 900 – 8 226

b. 87 111 111 – 78 506

e. 53 922 : 258

h. 1 098 • 2 576 – 3 025 : 5

c. 1 045 771 – 720 547

f. 326 310 : 365

i. (23 161 – 7 825) : 568

3. Determina los cinco primeros múltiplos de:

Objetivo de Aprendizaje OA 1 y OA 2

a. 4

b. 9

c. 12

d. 13

e. 21

f. 30

d. 20

e. 24

f. 38

4. Determina un par de factores de: a. 6

b. 10

c. 15

5. Examina los números y responde.

Gestión de la clase

1° Escribe los primeros 10 números primos.

3° Escribe los primeros 10 números compuestos.

2° ¿Qué característica tienen en común?

4° ¿Qué diferencia a ambos tipos de números?

6. Determina el m. c. m.

Comente a la clase lo importante que es identificar los conocimientos que han adquirido hasta el momento y cuáles son los que necesitan mayor atención en este proceso de aprendizaje.

a. 1 y 7

b. 2 y 7

c. 3 y 6

d. 5 y 9

e. 2, 3 y 5

f. 4, 7 y 12

7. Llama b al m. c. m. de 4, 9 y 12. a. Determina el valor de b.

b. Verifica que b es divisor de 4 • 9 • 12  12..

8. Resuelve los problemas . a.

Pida que trabajen de manera consciente y otorgue tiempo para que repasen antes de empezar a resolver las actividades.

Ciencias Sociales

 El público que asistió a ver cine chileno entre 2014 y 2018 fue el siguiente:

Tiempo (año)

2014

2015

2016

2017

2018

Espectadores (cantida (cantidad) d)

799 592

926 563

1 730 033

201 309

739 154

Fuente:: Ministerio de las Culturas, las Artes y el Patrimonio. «Resultados Estudio oferta y consumo de cine en Chile, 2018». Fuente

¿En qué par de años consecutivos se produjo un mayor aumento en la cantidad de espectadores?

Solicite que desarrollen en sus cuadernos las actividades 1 a 7 y que expliquen y  justifiquen sus respuestas. Sugiera el uso de la calculadora para la actividad 2, y responda dudas solo de comprensión de los enunciados de las actividades propuestas.

b. Una persona debe tomar el remedio  A cada 4 horas, el B cada 6 horas y el C  cada  cada 8 horas. Si tomó los tres remedios a las 07:00 del lunes,

• ¿a qué hora del martes tomará los tres remedios en forma simultánea nuevamente? • ¿cuántas dosis de cada remedio habrá tomado a las 05:00 del martes?

18

Unidad 1 • Nuestro planeta

 

Notas para el docente Habilidades superiores trabajadas en la lección

Analizar.

Justificar.

Resolver.

Evaluar.

Aplicar.

Realizar.

Es necesario que los estudiantes posean un pensamiento crítico con el que puedan analizar, entender y evaluar la manera en la que se organizan los conocimientos que se pretenden interpretar y representar en el mundo, en particular las opiniones o afirmaciones que en la vida cotidiana suelen aceptarse como verdaderas.

Explicar. Verificar.

Comprender.

Esto puede explicar hacerse yvisible durante desarrolloplanteada. del problema 10, en el cual deben justificar cadaelestrategia

:

28

Unidad 1 

 Nuestro planeta

•

 

c. En un tramo con dos pistas de una carretera se ha formado un taco vehicular. Un modelo que representa la secuencia de automóviles en cada pista es el siguiente:

Dé tiempo para que reflexionen y contesten las actividades propuestas. 2m

4m

2m

4m

Solicite que en la actividad 10 formen parejas de trabajo y que cada integrante analice una de las estrategias ejemplificadas. Luego, verifique que se reúnan para responder las preguntas planteadas explicando y justificando sus respuestas.

Si el tramo mide 1 020 m, ¿cuántos automóviles estimas que podría haber en el taco? [PROFUNDIZACIÓN]

9. Determina el m. c. m. de 2, 5 y 6. Elige una de las estrategias.  Justifica tu elección.

-  Con tiras de papel de 2 cm, 5 cm y 6 cm y una regla o cinta métrica. -  Anotando los múltiplos de 2, 5 y 6 en una secuencia de números de 1 a 100. -  Otra forma que prefieras. 10.

Dos integrantes. Cada uno elige una de las siguientes estrategias para determinar los factores primos de 12:

Tabla de factores

12

:

2

6

:

2

3   1

:

3

Cuaderno de Actividades

12

Árbol de factores

4 2

Una vez que los estudiantes terminen las actividades propuestas, puede profundizar la ejercitación en las páginas 16 y 17 del Cuaderno de Actividades.

3 2

  Etapa 1 (individual): Explica tu estrategia a tu compañero de grupo.  (individual): ¿Cuáles  ¿Cuáles son los factores primos de 12? Responde aplicando la estrategia   Etapa 2 (individual): que analizaste.  (grupal): ¿Cuál  ¿Cuál de las estrategias prefieren?, ¿por qué?   Etapa 3 (grupal):

Inste a responder las preguntas planteadas en la sección Retroalimentación y que practiquen con las actividades sugeridas.

Páginas 16 y 17.

Retroalimentación

¿Tuviste dificultades para realizar cálculos con las cuatro operaciones?

¿Pudiste comprender los conceptos de múltiplo y de factor?

Sí   

Refuerza en las páginas 9 a 11 de tu libro y puedes visitar https://bit.ly/37di0RD.

No  

¿En qué forma te ayudó la calculadora?

Sí   

¿En qué se diferencian diferencian??

No  

Refuerza en las páginas 12 a 17 de tu libro y puedes visitar https://bit.ly/2Iw5ySM.

Notas para el docente Actitudes

¿Cómo vas? • Evaluación de Lección 1   19

 

:

Se espera que los estudiantes trabajen de manera responsable y proactiva y que cumplan las reglas de trabajo establecidas en las actividades, como el uso de calculadora y la formación de grupos, según corresponda.

Notas para el docente

La evaluación formativa se reconoce como un proceso en el cual profesores y estudiantes recogen evidencias del aprendizaje para tomar decisiones a tiempo respecto a cómo seguir avanzando. Esta evaluación permite observar el proceso de enseñanza-aprendizaje de forma completa al hacer visible tres momentos, a saber: • ¿Hacia dónde voy? • ¿Dónde llegué? • ¿Cómo sigo avanzando? Es importante que el profesor haga que la meta sea comprensible y visible de modo que se convierta en una meta compartida y realizable por los alumnos.

Orientaciones y planificaciones de clase

29

 

Orientaciones y planificaciones de clase

Lección

2

Planificación

Clase 9

Fracciones y números mixtos

ate  va Act í  v

2 horas pedagógica / pág. 20 

Algunas ciudades del mundo se esfuerzan por proteger el medioambiente. Oslo, Noruega

Propósito

Ciudad de Singapur, Singapur

En esta lección comprenderán las fracciones y números mixtos y resolverán adiciones, sustracciones y situaciones problemáticas. Objetivo de Aprendizaje OA 5, OA 6 y OA 8 Gestión de la clase

Capital Verde de Europa 2019. Se estima que 6  de los vehículos vendidos en 2019 fueron

Considerada la Ciudad Inteligente de 2018. Aproximadamente, 12  de su superficie

eléctricos y 3 , híbridos.

poseen cobertura verde.

20

25

20

Fuentes:  Esmartcity. https://bit.ly/2txmhOf

En la situación inicial se recuperan conocimientos previos relacionados con las fracciones y los números mixtos. En concordancia con el hilo conductor, se muestran dos ciudades del mundo que se esfuerzan por proteger el medio ambiente: Oslo y Ciudad de Singapur. Motive a los estudiantes para que investiguen acerca de los vehículos eléctricos e híbridos, sus características y sus ventajas en el cuidado del medioambiente. Plantee preguntas como las siguientes siguientes:: - ¿Cómo identificas el numerador de una fracción? fracción?, ¿ y el denominador ¿y denominador? ? - ¿Cómo ,diferencias una fracción propia de una impropia? - ¿Qué es un número mixto? - ¿Qué operaciones con fracciones sabes realizar realizar??

Solicite a algunos miembros de la clase que lean la información destacada en cada fotografía. Luego, lea en conjunto con los estudiantes las 3 preguntas formuladas en el Texto del Estudiante. Invite a que formen parejas de trabajo y den respuesta a esas interrogantes. Pida que comparen sus respuestas con las de sus compañeros.

Fuentes: Comisión Europea. https://bit.ly/2Etr7hs

Directivos y Empresas. https://bit.ly/3k7fmAL

Responde

 

¿Qué fracción de los vehículos vendidos en Oslo fueron eléctricos o híbridos? 6 + 3=?

2.

¿Qué fracción no fueron eléctricos ni híbridos?

1.

20 20

 

20

?

20

– 

? ?

=

? ?

¿Qué fracción con denominador 100 es equivalente a la usada en la información de Ciudad de Singapur? 12 • ?  = ? 25 • ? 100

3.

 

Puedes iniciar con 

20

ona  io Refle x i

• ¿Crees que tu ciudad es una ciudad inteligente?, ¿por qué? • ¿Cómo se llaman los términos que forman una fracción?

https://bit.ly/2NUKHIR

Unidad 1  • Nuestro planeta

 

Solucionario

Las soluciones de las actividades propuestas en la Unidad 1 del  Texto  T exto del Estudiante Estudiante están están en las páginas páginas 105 105 a 11 113 y las soluciones de las actividades de la Lección 2 del Cuaderno de Actividades están en las páginas 52 a 58.

Para realizar el cierre de la clase invite a los estudiantes a responder las preguntas . Insteelamedio que discutan sobre quécosas o elementos de de lasusección ciudad Reflexiona ayudan a cuidar ambiente y qué medidas incluirían para mejorar las condiciones de vida de sus habitantes.

:

36

Unidad 1 

 Nuestro planeta

•

 

Fracciones impropias y números mixtos Cancha 1

En una ciudad se construyen 2 nuevas canchas de fútbol en el sitio que ocupaba un basural. Cada una se muestra dividida en partes equivalentes.

Cancha 2

Planificación

Clase 10 2 horas pedagógicas / págs. 21 y 22 

Ejemplo 1   ¿Qué fracción representa el total de pasto instalado?

Propósito Representar fracciones impropias y números mixtos en forma pictórica y simbólica.

 ¿La fracción fracción será mayor o menor que 1? 

1   Utiliza una representación. representación.

Se instalado y 3han  de la cancha la 2. cancha 1 completa 4 4 4

+

3 4

= 7 4

7 4 7 4

OA 5, OA 6 y OA 8 Explica la diferencia

2   Interpreta las partes de la fracción .

Cantidad de partes en que se dividió cada región (denominador).

Objetivos de Aprendizaje

Cantidad total de partes pintadas (numerador).

entre una fracción propia y una impropia.

Gestión de la clase

3   Expresa como número mixto.

Pida a los estudiantes que respondan preguntas, tales como: 1

+

3 4

= 13 4

• ¿Qué son las fracciones? • ¿Qué elementos forman una fracción?

7   ¿Qué tipo de fracción fracción es  ?, ¿por qué? 4 Comenta con un compañero.

4  Responde.

• ¿Qué tipos de fracciones recuerdan? Luego, comente con ellos el objetivo de la clase y los contenidos por desarrollar.

La fracción que representa el total de pasto instalado es 7 4  o, equivalentemente, 1 3 4. Las fracciones se clasifican en:

•  propias: son menores que un entero, ya que el numerador es menor que el denominador.   Ejemplo:   1  , porque 1 < 2. 2. 2

•  equivalentes a la unidad: el numerador es igual al denominador, es decir, equivale a una unidad o entero.   Ejemplo:   3  = 1, porque 3 = 3. 3

•  impropias: son mayores que un entero, ya que el numerador es mayor que el denominador. Se pueden representar utilizando números mixtos, compuestos por una parte entera y una fracción propia.   10 , porque 10 > 6. 6 Lección 2  2 • Fracciones y números mixtos

  21

 

:

Conexión interdisciplinaria

En conexión con la asignatura de Música, puede proponer que los alumnos formen equipos de 3 o 4 integrantes para investigar sobre la relación entre las fracciones y la duración de las notas musicales: negra, blanca, corchea, semicorchea, fusa, semifusa y redonda. Luego, solicite que confeccionen un afiche con algunas equivalencias entre ellas. Finalmente, pida que lo compartan con sus compañeros pegándolo en un lugar visible de la sala de clases.

Lea con el curso la situación planteada y analice las fotos en función de los pasos que evidencia el Ejemplo 1. Pida a algunos estudiantes que verbalicen las semejanzas y diferencias entre las fracciones propias e impropias. Solicite que expliquen sus estrategias para representar en papel la situación anterior. Puede proponer un breve trabajo colaborativo, en que usted les muestre un listado de fracciones y los estudiantes, reunidos en grupos de 2 o 3 integrantes, las clasifiquen en propias, impropias o equivalentes a la unidad. Las fracciones pueden ser, por ejemplo, las siguientes: 23 , 4 , 1 , 3 , 12 , 11 y 9 . 4 1 2 4 2 10

Orientaciones y planificaciones de clase

37

   

problema  

Ejemplo 2  

Las autoridades de la ciudad decidieron construir 2 canchas más, completando completando 4. A 3 2 de ellas 4 ya se les instaló pasto. ¿Qué fracción representa el total de pasto instalado?

Pida que analicen el Ejemplo 2, que recorten rectángulos de papel, los doblen y pinten para representar concretamente el número mixto, luego, pida que justifiquen porqué se usaron 4 rectángulos en la representación.

1

Se sugiere que trabajen en parejas para responder las preguntas que surgen del Ejemplo 2 y las compartan con el resto del curso.

2

 Utiliza una representación en que cada cancha esté dividida en partes equivalentes.

1

+

1

+

1

+

4 4

+

4 4

+

4 4

+

14 4

3 2  = 3 + 2  = 12 + 2  = 12 + 2  = 14  4 4 4 4 4 4 • O en forma abreviada: 3 2  = 3  4 + 2 = 12 + 2  = 14  4 4 4 4 4  Responde.

Actitudes

c  Manifestar curiosidad e interés interés por el

aprendizaje de las matemá matemáticas. ticas. Puede fomentar la curiosidad e interés de sus alumnos solicitándoles que den ejemplos concretos de situaciones similares a las expuestas en el Texto del Estudiante.

¿En qué forma la curiosidad motiva tu trabajo?

• ¿Cómo cambia este desarrollo si al inicio simplificas por 2 la parte fraccionaria del número mixto? Explica.

Fracción impropia:

Número mixto:

•  Su numerador es mayor que

•  Está formado por un número entero y una fracción propia.

equivalente a ella. Por ejemplo, para 10 se tiene que: 6

Invite a responder la pregunta que está a continuación continuac ión del Ejemplo 2. Formalice los conceptos de fracción impropia y número mixto mediante la definición propuesta en el Texto del Estudiante Estudiante..

Notas para el docente

 io ona  x i Refle x

La fracción que representa el total de pasto instalado es 14 que equivale al número mixto 3 2 . 4 4

su denominador.

responda las dudas que surjan de lo visto en la clase.

Cantidad total de partes pintadas (numerador).

  Comprueba la equivalencia entre entre la fracción impropia y el número mixto.

3

•  Su valor es mayor que 1. •  Puede hallarse un número mixto

Por último, revise con los miembros del curso las respuestas a las actividades y

= 3 + 2  = 3 2 4 4 4 + 4 + 4 + 2  = 14 = 4 4

  Interpreta las partes de la fracción impropia anterior. anterior. Cantidad de partes en que se dividió cada entero (denominador).

Pida que respondan la pregunta de la sección Reflexiona y, a partir de las respuestas de los estudiantes, genere un diálogo respecto de la importancia de tener una actitud positiva frente a las clases de Matemática y de desarrollar interés y curiosidad por aprender, ya que así aumentan las posibilidades de que los propios estudiantes se sientan cómodos y motivados.

2 4 2 4

10 : 6 = 1 – 6 4

22

Por lo tanto, 10  = 1 4  . 6 6

•  Su valor es mayor que 1. •  Puede hallarse una fracción impropia equivalente a él. Por ejemplo, para 3 2  se tiene que: 5 3 • 5 + 2  = 15 + 2  = 17 5 5 5 2 1 7 Por lo tanto, 3  =  . 5 5

Unidad 1  • Nuestro planeta

 

Uso de recursos tecnológicos

Para repasar los conocimientos previos y profundizar sobre los números mixtos, puede acceder a un video explicativo en el siguiente enlace: https://bit.ly/2TV5n5x 

En él podrá ver un video en que se explica en forma sencilla cómo transformar una fracción impropia en número mixto.

:

38

Unidad 1 

 Nuestro planeta

•

 

Practica

en tu cuaderno

Planificación

1. Clasifica cada fracción en propia, equivalente a la unidad o impropia.  impropia.  a. 9   9

b.

7 5

 

c.

8   10

d. 9   2

e.

3   6

f. 10 10

Clase 11 2 horas pedagógicas / págs. 23 

2. Expresa cada fracción como número mixto y viceve viceversa. rsa. a. 5   2

b. 8   7

c.

30

9

 

d. 62  15

e. 1 2   3

f. 7 1   2

g. 4 5   11

h. 20 3   14

Propósito  Transfor  T ransformar mar fracciones fracciones impropias impropias en en números mixtos y viceversa.

3. Resuelve  el problema .

¿Cuál es el número mixto equivalente a una fracción, tal que «si dividimos su numerador por su denominador, el divisor es 5, el cociente es 2 y el resto es 4»?

Objetivos de Aprendizaje

4. Escribe como fracción y como número mixto cada una de las representaciones. a.

c.

b.

d.

OA 5, OA 6 y OA 8

Gestión de la clase

Solicite que respondan preguntas, tales como:

5. Relaciona cada desarrollo con un número mixto y la fracción equivalente. [PROFUNDIZACIÓN] a. 1 + 2  = 3  + 3 3 4 45 b. 5 +  =  + 9 9

2  = 3 + 2 3 3 4  = 45 + 4 9 9

• c. 4  7 + 5  = 28 + 5 7 7 • 11 + 1 1 1 121 +1 d.  = 11 11

• ¿Qué recuerdan de la clase anterior? • ¿Qué estrategias aprendieron? • ¿En qué situaciones cotidianas se aplica lo aprendido?

6. Resuelve el problema . Elige una de las estrategias. Justifica tu elección.

Carolina trabaja en una tienda con dos salas de conexión a internet. Ella controla el uso de los equipos en las pantallass de la imagen. Cuando pantalla Cuando un equipo está ocupado, se ilumina una luz azul. ¿Qué fracción representa los equipos ocupados en las salas?, ¿qué número mixto?

• Recortando trozos de papel.  Trasladando ando mentalmente mentalmente los recuadros recuadros iluminados iluminados para • Traslad completar el entero.

Sala 1

Comente con los alumnos sus respuestas.

Sala 2

Pida a los estudiantes que expresen y descubran las fracciones impropias y números mixtos determinados en cada actividad propuesta.

Ambas regiones están divididas en partes e quivalentes.

• Usando la adición de fracciones propias. Páginas 18 a 21.

Lea el problema 6 en voz alta y elija a algunos estudiantes para que expliquen

Lección 2  2 • Fracciones y números mixtos   23

 

:

Solicite a los estudiantes que argumenten qué ventajas y desventajas tiene cada una de las estrategias vistas en clases para transformar una fracción impropia en número mixto y viceversa. Pida que anoten un resumen de cada una de ellas y que incluyan un ejemplo. Puede solicitar a los estudiantes que, como cierre de la clase, realicen una síntesis de contenidos construyendo un mapa conceptual en que identifiquen y relacionen los principales conceptos que aplicaron para resolver las actividades de esta sección Practica.

al resto del curso de qué se trata y qué deberían hacer para desarrollar la situación. Motive a que escojan una de las tres estrategias sugeridas y que luego den respuesta a las interrogantes planteadas.   Cuaderno de Actividades

Una vez que los estudiantes terminen las actividades propuestas, puede profundizar la ejercitación en las páginas 18 a 21 del Cuaderno de Actividades.

Orientaciones y planificaciones de clase

39

 

Fracciones impropias y números mixtos en la recta numérica

Planificación

Andrea ( A), Braulio (B) y Camila (C ) están participando en una cicletada. El recorrido está dividido en 4 tramos de 1 km de longitud cada uno. Los organizadores del evento llevan un registro del avance de los participantes y en la siguiente recta numérica muestran el lugar en que se encuentran los tres amigos:

Clase 12 2 horas pedagógicas / págs. 24 y 25  Propósito Ubicar fracciones impropias y números mixtos en la recta numérica.

 Tramo 1

Tramo 2

Tramo 3

Tramo 4

Meta

Partida

Objetivo de Aprendizaje

0

OA 5, OA 6 y OA 8

 A

1 

B

2

C 

3

4

C 

3

4

Ejemplo 1   ¿Cuántos kilómetros ha recorrido cada uno desde la partida? 1   Identifica en cuántas partes iguales iguales se dividió cada tramo.

Gestión de la clase

1 3 0

Solicite a los estudiantes que recuerden los conceptos vistos en la clase anterior. Pida a algunos que definan con palabras los conceptos de fracción impropia y número mixto.

 

A

1 

3 par tes iguales

B

2

3 par tes iguales

3 partes iguales

3 partes iguales

2  Determina cuántos tercios hay entre 0 y  A, B y C .

Cuenta de izquierda a derecha desde la partida. 0

Motive al curso para que lean la situación planteada en el Ejemplo 1, recalcando que el objetivo de la clase pretende que ellos logren ubicar fracciones impropias y números mixtos en la recta numérica.

 

A

1 

B

2

C 

3

4

2 tercios 4 tercios 8 tercios 3  Responde.

Andrea ha recorrido

2 4 8  km, Braulio  km y Camila  km desde la partida. 3 3 3

Las fracciones propias positivas se ubican entre 0 y 1 en la recta numérica, mientras que las fracciones impropias positivas se ubican a la derecha del 1.

Solicite a los estudiantes que observen el Ejemplo 1 con sus tres etapas: 1. Identificar las partes en que se divide

cada tramo. 2. Determinar la cantidad de partes en un

¿Cuáles de las distancias recorridas por los ciclistas son fracciones propias?, ¿cuáles impropias?

24

Unidad 1  1  • Nuestro planeta

 

intervalo dado. 3. Responder la pregunta planteada.

Pida que verbalicen las características de cada una de las etapas y a algunos, solicíteles que anoten en la pizarra un resumen explicativo y que luego lo apunten en sus cuadernos.

Notas para el docente Actitudes

Los estudiantes deben plantear y escuchar opiniones de manera ordenada y respetuosa para enriquecer los propios conocimientos y los aprendizajes de sus compañeros.

:

Unidad 1 

40

 Nuestro planeta

•

   

problema 

Ejemplo 2  

Felipe también está participando en la cicletada. La cantidad de kilómetros que lleva recorridos se indica a continuación:

3

Lea con el curso el Ejemplo 2. Escoja a un estudiante para que dibuje en la pizarra la recta numérica. Pida que expliquen cómo deben determinar la división en partes iguales en la recta numérica para representar un número mixto o una fracción.

2  km 9

¿Cuál es su ubicación en la recta numérica? 1   Dibuja la recta numérica. numérica.  ¿Por qué hay que dividir en 9 partes iguales? 

Divide cada entero en 9 partes iguales.

0 2

Organice al curso en grupos de 2 o 3 estudiantes y proponga un breve trabajo colaborativo en que cada grupo responda las tres preguntas que están a continuación del Ejemplo 2. Pida que este trabajo evaluativo sea realizado en un tiempo acotado (unos 10 minutos) y presentado en una hoja con los nombres de los integrantes del grupo. Además, puede pedir a distintos grupos que pasen a la pizarra a explicar sus desarrollos al resto del curso.

1

2

3

4

  Ubica el número mixto considerando considerando los enteros y la fracción. De izquierda a derecha, comenzando en el 0, cuenta 3 unidades (parte entera del número mixto) y 2 novenos más (parte fraccionaria). 2 1 1 1 + + + 2 = 3 9 9 0

1

2

3

4

2 3 9

Explica a un compañero esta estrategia.

2

• ¿A qué fracción impropia es equivalente el número mixto 3  3    ? Explica. 9

Pida a un estudiante que lea en voz alta el recuadro gris con el resumen de los contenidos trabajados en la clase y proponga que formalicen en sus cuadernos la estrategia usada para ubicar fracciones impropias y números mixtos en la recta numérica.

• ¿Cuál de los ciclistas ha recorrido mayor distancia desde la par tida, Felipe o alguno de los amigos del Ejemplo 1, Andrea, Braulio o Camila?

• Si ubicas las fracciones

5 3

 y

15 9

 en la recta numérica, ¿qué posición ocupan?

¿Qué puedes concluir?

Las fracciones  y los números mixtos pueden representarse en la recta numérica. En ella puedes establecer relaciones de orden y de equivalencia. Para determinar la ubicación de una fracción, puedes dividir equitativamente cada entero en tantas partes como indica su denominador y luego considerar las partes que indica su numerador.

Para finalizar la clase revise con los estudiantes el propósito planteado al inicio de esta y pregunte si piensan que se logró

Lección 2  2 • Fracciones y números mixtos   25

 

:

Ambiente de aprendizaje

Se sugiere que incentive a los estudiantes a crear grupos de voluntarios para limpiar su sala de clases. Para ello es necesario generar un ambiente de compromiso y compañerismo, dando tiempo para formar equipos de trabajo y organizar las tareas por desarrollar.

el objetivo. Asigne un tiempo definido y para responder preguntas individuales responda a todo el curso, de manera de generar la interacción de los estudiantes y el intercambio de ideas.

Orientaciones y planificaciones de clase

41

 

problema 

Ejemplo 3   ¿Qué fracción es mayor, 14 o 24 ? 12 18

Planificación

  Iguala el denominador de las fracciones, para luego representarlas en la recta numérica.

1

Clase 13 2 horas pedagógicas / págs. 26 y 27 

Simplifica por 2 la fracción 14

 

Para simplificar una fracción, se dividen el numerador y el denominador por el mismo número natural, distinto de 1. Cuando no se puede simplificar, se dice que la fracción es irreducible.

12

14 : 2 12 : 2

Propósito Comparar fracciones impropias en la recta numérica.

7 6

Simplifica por 3 la fracción 24

18

24 : 3 18 : 3

Objetivo de Aprendizaje

8 6

OA 5, OA 6 y OA 8 Representa las fr acciones irreducibles 7  y 8  en la recta numérica. 6 6 Dado que ambas fracciones tienen denominador igual a 6, en la recta numérica cada unidad debe dividirse en 6 partes iguales.

2

Gestión de la clase

0

Al iniciar la clase, repase los conceptos de simplificación y amplificación de fracciones propias e impropias. Formule preguntas como las siguientes: • ¿Cómo amplificas por 4 la fracción 2 ?,

1

2

Ubica ahora las fracciones, contando tantas divisiones como indica el numerador de cada una de ellas.

0

1

2

 Responde.

3

La fracción 24 es mayor que la fracción 14 , ya que se ubica a la derecha de ella en 18 12 la recta numérica.  io ona Refle x i

• ¿A qué números mixtos corresponden las fracciones anteriores?

¿Qué entiendes por ser flexible cuando resuelves un problema?

12 21

• ¿Qué fracción es mayor, 10 o 15 ?

Llévelos a analizar la situación descrita en la recta numérica, respondiendo preguntas, tales como:

• ¿Por qué se ubicaron las fracciones en esas posiciones? • ¿Qué estrategia aplicaste? Es importante que compartan sus resultados con el resto del curso y formalicen en sus cuadernos las estrategias aplicadas con ejemplos.

3

7 8 6 6

¿cuál es la fracción que se obtiene? 3 6 ?, • ¿Cómo simplificas por 3 la fracción 18 ¿cuál es la fracción que se obtiene?, ¿es una fracción irreducible?, ¿por qué?

• ¿En cuántas partes está dividido cada entero? • ¿Cuántas unidades hay?

3

• ¿En qué casos, para comparar dos o más fracciones, sería necesario amplificar en vez de simplificar? Describe un ejemplo.

26

Para amplificar una fracción, se multiplican el numerador y el denominador por el mismo número natural, distinto de 1.

Unidad 1  • Nuestro planeta

 

Notas para el docente Actitudes

b  Abordar de manera flexible y creativa la búsqueda de soluciones

a problemas. Puede desarrollar esta actitud solicitando que, en parejas, creen un problema a partir de la situación descrita en el Ejemplo 3, que lo resuelvan de dos formas distintas y que lo propongan a sus compañeros.

:

42

Unidad 1 

 Nuestro planeta

•

 

Practica 1.

en tu cuaderno

Observa la recta numérica.

0  A

  1

E

2

C

 

B4

3

D

Invite a los estudiantes a que resuelvan las actividades comparando y discutiendo sus respuestas. Pida a algunos que pasen a la pizarra a desarrollar las actividades para unificar sus resultados.

5

a. ¿Qué números se ubican en  A, B, C , D y E? b. Plantea tres relaciones de orden en que cada una involucre, al menos, a dos de los números que se ubican en  A, B, C , D y E. 2.

Ubica en la recta numérica.

a. 8 7

c. 3 6 7 d. 21 7

b. 2 2 7

e. 4 2 14 f. 16 14

Puede hacer una lista de cotejo para llevar registro de los estudiantes que efectivamente trabajan durante la clase, y para registrar si demuestran la habilidad de ubicar y comparar fracciones y números mixtos en la recta numérica.

g. 32 14 h. 5 5 14

3. Resuelve  el problema . [PROFUNDIZACIÓN]

En la recta numérica se han ubicado las letras R, P , S y Q, de manera que:

•  •  •  • 

S se encuentra a la misma distancia de 3 que de 4.

la distancia entre P  y  y 3 es la mitad de la distancia entre S y 4.

  Cuaderno de Actividades

la distancia entre R y 2 es igual a la mitad de la distancia entre P  y  y 3.

Una vez que terminen las actividades propuestas, puede profundizar la ejercitación en las páginas 22 a 25 del Cuaderno de Actividades.

la distancia entre Q y 4 es igual a la distancia entre R y 2.

0

1

R 2

P

3

S

 

4 Q

5

a. Descubre  los números que se ubican en R, P , S y Q. b. Evalúa  lo que afirma cada niño y explica si es verdadero o falso. R está a la misma distancia de P  que  que P   de S.

Claudio

El número en R es 30  . 16

Alexis

El número en R es

Sugiera que lean el problema de la actividad 3, que descubran qué números de la recta numérica se ubican en las posiciones de los puntos R, P , S y Q y, finalmente, que evalúen si es verdadero o falso lo que afirma cada niño.

mayor que 30  . 16

Viviana

Como cierre de la clase, puede solicitar a los estudiantes que realicen una síntesis de contenidos, construyendo un mapa conceptual en que identifiquen y relacionen

Páginas 22 a 25.

Lección 2  2 • Fracciones y números mixtos   27

 

:

Notas para el docente

Pida a los estudiantes que verbalicen sus respuestas, explicando y argumentando el resultado obtenido, invitando además a que sus compañeros reafirmen o rebatan tal resultado. De esta manera puede generar una instancia de discusión dentro del curso en la que, mediante argumentos, los alumnos defiendan sus resultados. A través de actividades como esta se promueve el desarrollo de habilidades metacognitivas.

los principales conceptos que aplicaron para resolver las actividades de esta sección Practica.

Orientaciones y planificaciones de clase

43

 

Adición y sustracción de fraccione fraccioness y números nú meros mixtos Planificación

Clase 14

En cada casa de una villa se instalará un set de paneles solares. Cada set está formado por paneles de la misma forma y tamaño. El primer día se instalaron 15 sets, el 12 segundo 7  y el tercero 9  . 1 set 4 6

2 horas pedagógicas / págs. 28 y 29

Propósito Resolver adiciones y sustracciones de fracciones y números mixtos en forma

1 panel

problema 

pictórica y simbólica. Objetivo de Aprendizaje

Ejemplo 1  

 ¿Qué operaciónaplicarías para responder? 

¿Cuántos sets de paneles solares se instalaron en los tres días?

  Representa gráficamente y relaciona con una operación numérica.

1

OA 5, OA 6 y OA 8 Día 1

Gestión de la clase

Día 2 Día 3

Motive al curso planteando p lanteando preguntas, tales como: • ¿Qué aplicación en la vida diaria puede tener la adición y sustracción de

15 12 7 4 9 6

Operación

Agrupa las representaciones y resuelve.

2

fracciones y números mixtos? • ¿Qué estrategias usarías para resolver estas operaciones operaciones?? Es recomendable que los estudiantes compartan sus respuestas antes de comenzar el trabajo de la clase.

15 7 9 12  + 4  + 6  

Hay 54 partes pintadas. Resultado

Para sumar y restar fracciones con igual denominador, se conserva el denominador y se suman o restan los numeradores según corresponda. Luego, si es el caso, el resultado se simplifica hasta obtener una fracción irreducible y se determina su número mixto.

15 21 18 15 + 21 + 18 54  = 12   12  + 12  + 12  = 12

  Responde.

3

54 En los tres días se instalaron 12  sets.

Aprende

• ¿Cómo simplificas el resultado?, ¿cómo lo expresas como número mixto?

Invite a un miembro de la clase a que lea la situación del Ejemplo 1 e indique qué operatoria puede aplicar para resolver la situación. Pida que observen los pasos que se proponen y verifique que los estudiantes comprendan la estrategia aplicada, escogiendo a algunos para que expliquen al resto de sus compañeros lo que entendieron. Solicíteles que reflexionen en parejas en torno a las actividades sugeridas y que comuniquen sus respuestas para unificar sus criterios. Proponga un breve trabajo colaborativo en que cada grupo responda las dos preguntas que están a continuación del Ejemplo 1.

• ¿Cuál es el m. c. m. de 12, 4 y 6? Úsalo para resolver

28

15 12

 +

7  4

 +

9 6

 .

C iencias

Los paneles solares transforman la energía solar en electricidad.

Unidad 1  1  • Nuestro planeta

 

Pida que este trabajo evaluativo sea realizado en un tiempo acotado (unos 10 minutos) y presentado en una hoja con los nombres de los integrantes del grupo.

Notas para el docente

Se sugiere que comenten el uso de paneles solares y su función como dispositivos diseñados diseñados para captar la radiación electromagnética provenien te del Sol. Invítelos a investig investigar ar acerca de las ventajas delproveniente uso de estos disposi dispositivos tivos en la ac tualidad actualidad y lo compartan entre ellos.

:

Unidad 1 

44

 Nuestro planeta

•

   

problema 

Ejemplo 2   De los sets de paneles solares instalados al tercer día,  4  presentaron 3 fallas. ¿Cuántos sets no presentaron fallas?

 ¿Qué operación resolverías  para responder?  responder? 

Proyecte o dibuje en la pizarra la siguien siguiente te información:

  Identifica la operación que debes resolver resolver y sus términos. 54 4   Operación  – 12 3 1

2

 Calcula el m. c. m. de los denominadores.

 Térm  T érminos inos de la sus sustrac tracción ción

M(12)

= {12, 24, 36, 48…} M(3) = {3, 6, 9, 12, 15, 18…}

743 –126 617

Como el menor de los múltiplos comunes es 12, entonces el m. c. m. de 12 y 3 es 12. 3

 Amplifica las fracciones, de manera que sus denominadores sean iguales al m. c. m.

Resta o diferencia

54 54 ∙ 1 54  =  =   12 12 ∙ 1 12 4 4∙4 16  =  =   3 3∙4 12 4

Recuerde junto con los estudiantes las características de estos términos.

Resuelve la sustracción.  

54   16 54 – 16 38  –  =   = 12 12 12 12

Solicite que lean la situació situación n del Ejemplo 2 observando la estrategi estrategiaa aplicada y la operación desarrollada. desarrollada.

 5 Responde. Los sets que no presentaron fallas fueron 38. 12

• ¿Es

Llévelos a reflexionar sobre las estrategias propuesta para resolver la sustracción de fracciones y sean capaces de explicar ambas formas de resolución frente a sus compañeros.

38

 una fracción irreducible?, ¿por qué?

12

• ¿A qué número mixto equivale 38  ? 12 • ¿Cuál es el resultado de • ¿Cuál es el resultado de

1 2 3 5

Minuendo Sustraendo

3

 +   ? 4 1

1

4

2

Pida que verbalicen procedimientos p rocedimientos como: amplificación y simplificación de fracciones, y que discutan en qué parte del procedimiento se aplican. Invite a los alumnos a que calculen mentalmente el resultado y lo transformen en número mixto equivalente.

 +   +   ?

Para sumar o restar fracciones de distinto denominador puedes encontrar fracciones equivalentes para que todos los denominadores sean iguales. Esto lo puedes lograr amplificando o simplificando cada fracción de manera que el denominador común sea el m. c. m. de los denominadores.

Lección 2  2 • Fracciones y números mixtos   29

 

:

Ambiente de aprendizaje

A lo largo de la clase permita que los estudiantes trabajen de manera colaborativa y que construyan su conocimiento a través de los errores y la argumentación de sus pares. Debe estar atento para guiarlos en sus procesos reflexivos y de discusión.

Para finalizar, pidarepresenten que formenlaparejas de trabajo y que situación usando tiras de papel. Luego, que expliquen a sus compañeros cómo lo hicieron y que comparen sus trabajos.

Orientaciones y planificaciones de clase

 

problema 

Ejemplo 3  

En otra villa se instalaron las cantidades de sets de paneles solares que se representan:

Día 1

Planificación

Día 2

Clase 15 2 horas pedagógicas / págs. 30 y 31  ¿Cuántos sets se instalaron en total en los dos días?

Propósito Representar pictóricamente y resolver adiciones y sustracciones de números

1   Expresa con números números mixtos.

Día 1

mixtos. Objetivo de Aprendizaje

Día 2

1

1

+

OA 5, OA 6 y OA 8

+

1 4

1

 

+

2 1

3 5

1 3

4

5

2   Escribe la adición de números mixtos. mixtos.

Gestión de la clase

2 1  + 1 3 4 5

Expresa como una adición de fraccione fracciones. s.

3   Suma las partes enteras y las partes fraccionarias por separado.

Elija a un estudiante para que lea la situación planteada en el Ejemplo 3 y consulte a los demás cómo transformarían la representación gráfica a número mixto. Inste a verbalizar la estrategia anterior y a que comparen sus trabajos.

• ¿Cuáles mixto? son las partes de un número

Partes fraccionarias

2+1=3

1  + 3  = 5  + 12  = 5 + 12  = 17   4 5 20 20 20 20

Se instalaron 3 17  sets. 20

• ¿Cómo resolverías la adición usando las representaciones con regiones? • ¿Cuántos sets faltan para completar 4? Responde resolviendo una operación.

• ¿En qué consiste la amplificación de una fracción? • ¿En qué consiste la simplificación de una fracción? • ¿Cómo sumas dos o más fracciones? • ¿Cómo restas dos o más fracciones?

Partes enteras

4   Agrupa los resultados y responde.

Plantee preguntas para activar conocimientos previos:

Para sumar números mixtos puedes:

Para restar números mixtos puedes:

•  representarlos como fracciones impropias

•  representarlos como fracciones impropias

y sumar. • 

30

y restar.

sumar por separado las partes enteras y fraccionarias, y agrupar los resultados.

Unidad 1  1 • Nuestro planeta

 

Todoss pueden aprender Todo

Proponga que escriban en sus cuadernos la adición de números mixtos propuesta en la página 30 del Texto del Estudiante y separen la parte entera de la fraccionaria, para sumarlas por separado. Luego, sugiera que las reúnan para dar respuesta al problema. Lea las preguntas e invite a que las respondan explicando la estrategia aplicada.

45

Organice grupos de trabajo de 3 o 4 integrantes y proponga que respondan preguntas, tales como: 1.  Cuando no hay energía eléctrica en sus casas, ¿qué cosas pueden

hacer y cuáles no? 2. ¿De dónde se obtiene la energía eléctrica que usan en sus hogares? 3. ¿Para qué sirven los paneles solares? 4.  ¿Cómo imaginan imaginan sus casas abastecidas por paneles solares?

Pida que se reúnan para intercambiar experiencias y opiniones en una puesta en común, e inculque el respeto hacia la opinión de otros y la diversidad de pensamiento p ensamiento..

Unidad 1 

46

 Nuestro planeta

•

 

problema  

Ejemplo 4   Observa los paneles solares rectangulares:

5  cm 2

 l   A  l  P a n e

5 5  cm 8

 B  l  B  l  P a n e

25  cm 8

Sugiera observar los paneles A y B del Ejemplo 4 y comparar sus medidas. Es importante que repase el cálculo del perímetro de rectángulos. Solicite que usen calculadora para comprobar el resultado final y que respondan en parejas las preguntas

3 3  cm 4

¿Cuál es la diferencia entre sus perímetros?

Explica cómo calculas el perímetro

de un rectángulo. 1

propuestas, para así poder comparar los propuestas, resultados y corregir los errores.

  Calcula los perímetros (medidos en centímetros). Panel A

Panel B

5  + 2 20  + 8

5  + 25  + 25 2 8 8 20  + 25  + 25 8 8 8

5 5  + 5 5  + 3 3  + 3 3 8 8 4 4 5 5 (5 + 5 + 3 + 3) + b  +  + 3  + 3 8 8 4 4 5 5 16 + b  +  + 6  + 6 8 8 8 8

l

Para el cierre de la clase, y también de la lección, es importante que promueva la reflexión en torno a la pregunta presente presente en la sección Reflexiona.

l

90  = 45 8 4

22 8 26 8

16 + 16 +

 ¿Qué número mixto es equivalente a esta fracción? 

Describe este desarrollo.

18 6  = 18 3 8 4 2

Notas para el docente

  Resta los perímetros. perímetros.

Actitudes

Primero, expresa 18 3  como 75 . 4 4

e  Demostrar una actitud de esfuerzo ona  io  x i Refle x

75  – 45  = 75 – 45  = 30  = 15 4 4 4 4 2 3

y perseverancia.

¿Cómo la perseverancia te ayudó a resolver los cálculos?

  Responde.

Puede trabajar esta actitud a través del monitoreo constante de la realización individual de las actividades propuestas en el Texto del Estudiante.

La diferencia es 15  cm. 2

• ¿De qué otra forma resolverías el problema? Explica. • ¿Cómo calculas el perímetro del panel B si expresas los números mixtos como fracciones? Compara  tu respuesta con la de un compañero y corrige.

• ¿Cuál es el número mixto equivalent equivalente e a la diferenci diferenciaa obtenida?

Desarrollo del pensamiento matemático

El aprendizaje de las fracciones debe

Lección 2  2 • Fracciones y números mixtos   31

 

:

:

Habilidades del siglo XXI

La resolución de problemas es una habilidad clave del siglo XXI. Un problema:

Un ejercicio:

- Quien lo enfrenta tiene interés interés en resolverlo. - Supone un desafío. - No tiene procedimiento ni fórmula preestablecidos para su solución. - Su solución es abordable. - Puede o no estar planteado en un contexto matemático.

- Se conoce un método o algoritmo para resolverlo. - Alguien ha mostrado cómo resolver uno similar. - Se han resuelto ejercicios similares antes.

contemplar procedimientos de tipo cognitivo (relacionar, asociar, comparar, anticipar, verificar argumentar y comunicar) e involucrar actitudes positivas (la autocrítica, el trabajo en equipo y la transferencia de situaciones escolares y extraescolares) en la vida cotidiana de los alumnos.

Orientaciones y planificaciones de clase

47

 

Practica

Planificación

en tu cuaderno

1. Representa gráficamente.

Clase 16 2 horas pedagógicas / págs. 32 y 33 Propósito Resolver adiciones y sustracciones de fracciones y números mixtos.

a. 10  + 3  = 13   4 4 4

c. 3 1  + 2 2  = 6 3 3

b. 16  – 5  = 11   2 2 2

d. 4 3  – 1 1  = 3 1   4 4 2

2. Describe cómo calculas el m. c. m. de 2 y 6. 3. ¿Cuál es el m. c. m. de los denominadores de 2 , 4  y 9 ? 5 3 2 4. Expresa como fracción con denominador 24. a. 5 b. 9 3 8

Objetivo de Aprendizaje OA 5, OA 6 y OA 8

d. 5 5   12

c. 4

5. Calcula. d. 1  + 40  – 13 18 6 9

g. 12 4  – 10 4   15 5

b. 7 + 9   8

e. 28  – 2  + 16 16 5 4

h. 5 1  + 4 1  – 3 2 3 2 3

c. 15  – 12 2 11

f. 2 1  + 2 1   2 4

i. 5 + 2 1  – 10 3 7

a.

Gestión de la clase

Pida al curso leer cada actividad y aclarar dudas antes de comenzar a trabajar. Es importante que entre ellos comenten estrategias para dar solución a las actividades planteadas.

6. Las cinco regiones siguientes tienen la misma forma y tamaño. Cada una se dividió en partes equivalentes entre sí. Descubre la adición representada.

Repase los contenidos y las estrategias estudiados en la clase anterior. Pregunte: • ¿Qué estrategias usaste para sumar y restar fracciones? • ¿Qué estrategias usaste para sumar y restar números mixtos?

󰂫se agregan a󰂻 a󰂻

a. Exprésala con fracciones, resuelve y representa la respuesta con regiones. b. Exprésala con números mixtos, resuelve y representa la respuesta con regiones. c. ¿Obtuviste la misma respuesta en las partes anteriores?, ¿por qué? 7. Identifica el ERROR en cada caso y corrige. a.

Verifique que los estudiantes resuelvan las actividades propuestas y luego genere una reflexión en torno a las respuesta respuestass obtenidas. Pida que las justifiquen explicando la o las estrategias aplicadas para obtenerlas. Una vez que todos hayan desarrollado las actividades, resuélvalas resuélvalas en la pizarra, pero invitando a que sean ellos quienes indiquen el procedimiento a seguir. Escoja a algunos para que expliquen la o las estrategias estrategias que se utilizaron para resolver las situaciones problemáticas. Puede hacer una lista de cotejo para llevar registro de los estudiantes que, efectivamente trabajan durante esta clase practica, y para registra registrarr si demuestran la habilidad de sumar y restar fracciones y números mixtos.

7  + 15   4 2

5  + 7  = 12 3 6 9

b. 4  + 4  + 4  = 3 4 7 7 7 7

32

c. 12  + 10  = 36  + 10  = 46 5 3 15 15 15 d. 7 3  – 5 5  = 2 35 – 18  = 2 17 7 6 42 42

Unidad 1  • Nuestro planeta

 

Ambiente de aprendizaje

Es importante promover en todo momento un ambiente de respeto y compañerismo, en el que todas las opiniones y dudas sean escuchadas y al mismo tiempo resueltas, ya sea por grupos de estudiantes, por usted o por el curso en su conjunto. Para esto, debe controlar permanentemente el comportamiento de los estudiantes definiendo reglas y dinámicas de trabajo. Esto es especialmente importante durante los trabajos grupales, en que se generan diálogos y discusiones, en las que usted debe mediar y servir como elemento regulador.

:

48

Unidad 1 

 Nuestro planeta

•

 

8.

Resuelve  los a.

problemas .

Pablo debe construir las tres figuras 2D de la imagen. ¿Cuántos centímetros de varilla necesitará como mínimo para construirlas todas? 12 2  cm 3

9 1  cm 2

38  cm 3

Rectángulo

Cuadrado

 Triángulo

  Cuaderno de Actividades 9 1  cm 2

b.

38  cm 3

Una vez que terminen las actividades propuestas, puede profundizar la ejercitación en las páginas 26 a 29 del Cuaderno de Actividades.

38  cm 3

Isabel quiere enmarcar una foto. 24 1  cm 2

59  cm 2 119 cm 5

Durante el desarrollo de las actividades de la sección Practica, puede realizar breves entrevista individuales a algunos estudiantes para preguntarles por su comprensión y manejo de la adición y sustracción de fracciones y números mixtos. La información que reúna la puede registrar en una lista de cotejo.

18 1  cm 5

¿Cuántos centímetros debe recortar de sus lados como mínimo para que quepa en el marco? 9.

Crea una adición y una sustracción cuyo resultado sea: a.

5 4

b.

23 11

c.

36 7

d.

7 3 12

10. Determina el valor de ?. [PROFUNDIZACIÓN] a.

b.

5  + ? = 9   4 2

c. ? + 5 1  = 11 3  

11  – ? = 11 6 10

d. ? – 2 5  = 5  

5

Para finalizar, proponga hacer un análisis

10

14

3

la sección Sintetiza los conceptos desarrollados en esta con sección. Pídales que verbalicen la explicación de todos los puntos considerados en este resumen.

Páginas 26 a 29.

Sintetiza Fracciones impropias y números mixtos

Fracciones impropias y números mixtos en la recta numérica

Una fracción impropia  representa un valor mayor que 1 y puede expresarse como un número mixto:

11  = 2 3  4 4

4 3

0

1

2

2

2 3

3

Adición y sustracción de fracciones y números mixtos

Opciones para profundizar

Fracciones de distinto denominador: iguala los denominadores denominador es amplificando o simplificando la fracción y suma o resta.

Plantee el siguiente problema para que sus estudiantes es tudiantes determinen valores desconocidos:

Números mixtos: transfórmalos en fracciones y súmalas o réstalas.

Rocío cosió dos fragmentos de tela, obteniendo un trozo de 5 34  m. Si uno

Lección 2  2 • Fracciones y números mixtos   33

 

:

1

Planificación

Clase 17

de los fragmentos mide mide el otro?

1 2 2  m, ¿cuánto

Respuesta: El fragmento mide 3 4  m. 2 horas pedagógicas

  Cuaderno de Actividades

En esta clase práctica se sugiere que monitoree el completo desarrollo de las actividades de las páginas 18 a 29 del Cuaderno de Actividades. En esta clase puede realizar acciones como las siguientes: • Ir repasando las páginas del Cuaderno de Actividades correspondientes a esta lección y resolviendo aquellos ejercicios que los propios estudiantes le soliciten. • Durante este repaso, ir haciendo preguntas que los hagan pensar, como por ejemplo: ¿de qué otra forma se puede desarrollar este ejercicio?, ¿qué otra estrategia hubieran aplicado para resolver este problema?, etc. • Organizar grupos de trabajo para desarrollar las actividades que hayan causado dificultades a un grupo significativo de los estudiantes del curso y apoyarlos en su trabajo.

Orientaciones y planificaciones de clase

49

 

vas? ¿Cómo  va

Desarrolla en tu cuaderno

1. Define y ejemplifica.

Planificación

a. Fracción impropia.

Clase 18 2 horas pedagógicas / págs. 34 y 35 

b. Número mixto.

2. Escribe dos diferencias entre fracción propia e impropia. 3. Describe cómo expresas:

Propósito Resolver actividades de aplicación de los contenidos de la lección.

a. 10 4  como fracción impropia. 5

b. 21  como número mixto. 6

4. Expresa: 1 1 a. 2 6  como adiciones de 6 .

Objetivo de Aprendizaje

2 2 b. 4 5  como adiciones de 5 .

5. Representa el número mixto «cinco enteros y dos séptimos󰂻:

OA 5, OA 6 y OA 8

a. en forma concreta, usando recortes de papel. b. en forma pictórica, dibujando regiones. c. en forma simbólica, escribiendo con números.

Gestión de la clase

6. Representa en la recta numérica. a.

5 2

b. 13 6

Para iniciar la clase es importante que los estudiantes sepan que es necesario identificar lo que han aprendido durante esta lección. Por esta razón, pida que se trabajen en forma consciente y responsable.

7. Calcula.

Antes de empezar las actividades, ac tividades, haga un repaso de lo visto en la lección junto con los alumnos.

8. Explica cómo resolverías:

a. 3 + 5 4 3 b.  +  9 8 4 4 1 c.  –  3 6

a.

d. 9 5   12

d. 21  + 4  –  20 20 10 15 e. 18  –  18  +  2 11 22 11 f. 6 2  + 4 11 13 13

2  + 2 2 3 3

g. 7 3  – 7 1 10 5 4 h. 2  + 3 5  – 20 5 6 15 60 1 40 i.  + 20  – 15 15 3

b. 7 1  – 4 5 3 6

c. 4 1  + 8  – 10 5 3 4

9. Calcula mentalmente el número mixto resultante. Explica cómo lo resolviste. [PROFUNDIZACIÓN] 1 2 b. 1 3 c. 3 4 d. 4 5 a.

Pida que desarrollen las actividades propuestas y compartan sus respuestas con el resto del curso. Inste a que reflexionen acerca de los resultados obtenidos y permita que retroalimenten estrategias trabajadas durante la lección.

c. 2 6   7

34

 + 1  + 2  + 1  + 3  +  3 4  +  4  +  5

1  2 1  + 1 3 3

1 4 f. 2 5 g. 4 7 h. 2 9 e.

4 5

 +  1  + 4  +  2  +  5  +  4  +  7  +  2  +  9

1 4 2 5 4 7 2 9

1 4 2 5 4 7 2 9

 +  1 4  +  2 5  +  4 7  +  2 9

Unidad 1  • Nuestro planeta

 

:

Notas para el docente

Notas para el docente

Actitudes

Habilidades superiores trabajadas en la lección

Se espera que los estudiantes trabajen mostrando una actitud positiva frente a sí mismos y sus capacidades.

 +  1  +  4 2  +   +  5  +  4  +  7  +  2  +  9

Resolver.

Descubrir.

Explicar.

Proponer.

Evaluar.

Calcular mentalmente mentalmente..

Relacionar.

50

Unidad 1 

 Nuestro planeta

•

   

10. Resuelve Resuelve los  los a.

problemas .

En la siguiente recta numérica, el intervalo entre 0 y 1 está dividido en 2 partes iguales; el intervalo entre 1 y 2, en 3 partes iguales; el intervalo entre 2 y 3, en 4 partes iguales, y así sucesivamente.  A

Solicite que antes de desarrollar las actividades propuestas lean comprensivamente cada situación y anoten los datos relevantes en sus cuadernos.

B

4

5

6

Puede proponer la actividad 10 de resolución de problemas como un trabajo colaborativo. Para ello, organice el curso en grupos de 2 integrantes y explicite los objetivos del trabajo: organización, participación y orden. Finalmente, controle que obtengan las soluciones correctas.

 A se

ubica en la primera división del intervalo entre 4 y 5, y B ocupa la tercera del intervalo entre 5 y 6. Entonces, ¿qué fracciones se ubican en  A y B? [PROFUNDIZACIÓN]

b.

Valentina tiene dos barras de madera: Barra 1

Barra 2

14 9  cm

51 cm 5

25

• ¿Cuánto miden las dos partes en que se dividió la barra 1?

  Cuaderno de Actividades

Barra 1

Una vez que terminen las actividades propuestas, puede profundizar la ejercitación en las páginas 30 y 31 del Cuaderno de Actividades.

Barra 2 • ¿Cuánto mide la barra obtenida uniendo una barra después de la otra? Barra 2

Barra 1

Páginas 30 y 31.

Verifique que respondan las preguntas planteadas en la sección Retroalimentación  y que luego las compartan con el resto del curso para visualizar cómo siguen avanzando.

Retroalimentación ¿Tuviste dificultades para expresar fracciones como números mixtos y viceversa?

¿Lograste sumar y restar fracciones y números mixtos?

Sí 

 

Refuerza en las páginas 21 a 27 de tu libro y puedes visitar https://bit.ly/2LQswCZ .

No

 

¿Cómo obtuviste las equivalencias?

Sí 

 

¿Qué estrategias ocupaste?

 

Refuerza en las páginas 28 a 33 de tu libro y puedes visitar https://bit.ly/2uAOhkR y https://bit.ly/38xP8Sx .

No

¿Cómo vas? • Evaluación de Lección 2   35

 

:

Notas para el docente

El paradigma educativo que se desarrolla actualmente enfatiza el rol protagónico de los estudiantes y pone el foco en el aprendizaje. Este énfasis apunta a que todos los alumnos aprendan a pensar, de manera de fortalecer las competencias que les servirán para desenvolverse en su vida presente y futura. Para ello es interesante obtener información de cómo se sienten en este proceso de aprendizaje formulando preguntas, tales como: • ¿Qué piensas de lo que has aprendido? • ¿Qué es lo que más te gustó? • ¿Qué es lo que más te costó? • ¿Para qué te sirve lo aprendido en tu vida diaria?

Orientaciones y planificaciones de clase

51

  :

 

 .     3 4     3     1  ,    o    y     Y

 .     l    o     b    t     ú     f    e     d     h    a    c    n    a    c    a    n    u    a    s    a    t     l    e    u    v    4    1    o     d    n    a     d    n     á    t    s    e    s    e    r    o     d    e    r    r    o    c    s    o     D

     n        á        i        t      s      a         b      e        S

 .    s    a     t     l    e    u    v       4 5     1     1    o    v    e     l     l    o     Y

     a        k        i      r          É

   e    u    q    o     l    o     j    o    r    y     l    u    z    a    e     d    o     d    n    a    t    n  .     i    p    e    t    y    n     l    e    e    m    p    a    a    p    i    t    v    e    c     d    e    s    p    s    o    z    e    r  ,    o     l    r  .    t    a    t    s    o    o    e     d    t    n    o    n    o    t     i    a    g    t    r    c    e    r    o    y    e    c    a    r    n    e    t    r     l    o    o    e    c     d    d    s     i    o    r    r    a     i    t     d    r    o    l    c    f    a    r    e    s    o    r    c    e    e    a    l    r     d    e    s    a    u    o    c     l    q    a    t    o    a    t    n    l    n    e    s    y    e    s    e    e    r    n    r    p    a    p    v    e    l    e    e     R    l     R   •

      9   5    5    a    v    e     l     l  ,    o    t    c    e    :    r    r    a    o  .    t    s    c    s    e    s    a    t    u    e    l    p    s    o   e    u    e     R    N   v

     n        á        i        t      s      a        b      e        S

     a        k        i      r          É

  •

    ?     é    u    q    r    o    p    ¿  ,     ?     l    a    t    o    t    o    t    c    e    y    a    r     l    t    e     d         4    5         4    o     d     i    r    r    o    c    e    r    a     h    a     k     i    r     É    e    u    q    r    a    m    r     i     f    a    o    t    c    e    r    r    o    c    s     E    ¿

 

    9   5    5   =    4    +    5   5   •    1    1   =    4 5    1    1

  •

     5   4    5    a    v    e     l     l    e    :    u    a    q  .    t    s    r    s    e    o    a    t    u    p    l  ,    p    s    o    e    e     N    u    v

    ?     é    u    q    r    o    p    ¿  ,     ?     l    a    t     R      o    t    o    t    c    e    y    a    r    t     l    e     d    5    3    5    o     d     i    r    r    o    c    e    r    a     h    n     á     i    5   4    t    5    s    a     b   =    e     S     3    e    +    u    q    4   4    r   •    a     3    m    1    r     i     f   =    a    s     3 4    e     d     3    e    1    u     P    ¿   •

    l    e     d    a  .     ?    r    r     é    e    o    u    t    y    q    n    a    r    e    m    o    e    p    t    s    ¿    r  ,     ?    a    e    a    p    o     k    t     i    r    x    a     i     l     É    :    e    a   e    m    u    t    u    q    s   q    o    r    e   r    r    o    u   o    e    y    p    m    a    s   p  ,     ú    e    í    m     R     S    n     a     i    c    n    a    t    s     i     d    a    n    u    o     d     i    r    r    o    c    e    r    a     h    n     á     i    t    s    a     b    e     S    e    u    q    r    a    m    r     i     f    a    o    t    c    e    r    r    o    c    s     E    ¿

        1         2

   s    o    t    x     i    m    s    o    r    e    m     ú    n    y    s    e    n    o     i    c    c    a    r     F

   s    o    t    n    e     i    m     i    c    o    n    o    c    o     d    n    a    c     i     l    p    x    e    y  ,    e    t    n    e    n     i    t    r    e    p    a    e    s    o     d    n    a    u    c    s    a     d    s  .    u     d    e    t    s    n    e    i    e     l     b    d     i

    •      2      n     ó     i    c    c    e     L

    3    +4     3    1    :    n     á     i    t    s    a     b    e     S

   4 5    +    1    1    :    a     k     i    r     É

  •

 .    c

 

  :

   o    z    o    r    t    1

   e     d    e     )    u    a    z    p     i    z    e    s    p    o    5  ,    n     3    :     (    r    a    t    a    s    s    a    r    e    i    u    z    p    s    p    e     R    4

 .    a    r    u    g     i     f    a    a    n    l    u    n    a    e     d    a    a    r     C   t  .    s    e       a    u      z      z        i    m       p    r    e    e    s    e    m   u    o    q    c    l  .    a    e    s    s    o    a    a    m    m    n    o    e    o    s    c     l    r     b    e    o    o    p    z    o    r    r     8    p     2    t    s    n    n    o    e    u     l    n    á    e     ú    r    v    e    e     l    r    e    e    m    u     S    o    c    s    e     R

 .    a

    ?    a    n    t     á    r    s    e    u    e    m    p    o    s    e    c     R    e    u    q  

   p    m    o    c 

      a      z      z        i       p

   o    n    u    a     d    a    c    e    u    q    a    r    a    p    r    a    r     ?    5  ,    p    n    3    m     ó   =    o    i    c    c    r     8    :    n    o     0    0    e    p    4   4   4     b    a    8     2    e    n    2     d    u   –   –       s    s       a    o      z    n        i      z       p    e    m    s    l    a    t    a    n    a     á    u    m    o     C    ¿    c   •

   s   4 8    e    a    1 2   t    e    :    e    n    a   u    e    t    s    q     l    a    e   o    u    r     i    v    p    p    s  ,    u    e    í    q     R    S    e 

   4 8     3    :

0

   e     d     l    a    t    o    t     d    a     d     i    t    n    a    c    a     l    a    t    n    e    s    e    r    p    e    r    o    t    x     i    m    o    r    e    m     ú    n     é    u     Q    ¿   •

8    :   4     3    e    t   =    n   4 8    e    +    m    r     3    a     l     i   =    m     i    s    8     2    8

    3   =     8    :    4   4     8     2    2       –

 

    ?     é    u    q    r    o    p    ¿  ,     ?       a      z      z        i       p

   e     d    1 2     á    r    a    r     b    o    s    e    u    q    r    a    m    r     i     f    a    o    t    c    e    r    r    o    c    s     E    ¿   •

   1 2   =    4 4    :    4 8

   a     l     l    e    :    t    d    o   a     B    :     i     d     d    a    c    a     d    p     i    a    c    a    c    r    p    :    a    o  .    a    t    n   1    s    c    r    e    a    e   y    u    o   m     l    e    p    s    a    y    t    o    e     2    B     R    M  

    3    a     l     l    e    t    o     B

 .    s    a     d    a    t    n    e    s    e    r    p    e    r    s    e     d    a     d     i    c    a    p    a    c    s    a     l    n    o    c    s    a     l     l    e    t     b    o    e    n    e     i    t    s    a    c    u     L

 .     b

    2    a     l     l    e    t    o     B

    1    a     l    e    t

   o     B

   1 2    1    :     3     3 2     l    a    :    s     l     3     ?    e    e    a     d    t     l    o     l    a     B    e     d    ;     ?    s    t     i    e    o    c     2 4     d    B    a    p    a    ;     2     ?     d     0   4    a    c    :    r     i    o    c   1    s     2    n    a    :    a    e    a    p    2     l     l    a    m    n    l    e    a    c    l    a    t    t    y    s     l    ¿    n    o    e    e     B     ?    a    t  ,     l    ;     d    n    o    s    e    a    a    B    r    t     d    p   1 4     i    n    ;    e   5 4    e    r    1    c    a    s    :    :    s    e    1    o    1    p    r    a    t    p    l    1 4    a    x     l    a    c    e    r    r     l     i     l    1    o    m   e    s    e    y    t    t    e    o    s    o    a    o    n    B    r    1 2    m     B     i    c    :    o    :    a    e    a    e    1    t    m    c    t    n    s    s     i    a    r    e     ú    e    e     2 4     f    u    n    u    t     é    p     é    p     l     á     2    u    s    u    s    u    e    e     Q    ¿     R     Q    ¿     R     C    ¿   •   •   •

   a    t    e    n    a     l    p    o    r    t    s    e    u     N   •

    1     d    a     d

   s    o    n    p    p    o    o    s    e     d    r    r    n    o    a    c    r    s    a     l    e    c    s    a    a     l  ,    s    a    c    s    n    l    a     i    g     á    n    p    e    s    s    o    a    t     d    s    i    e    d    n    n    e    e    r    s    p    e    t    m    n    o    e    s    c    e    t    r    e    p    e    n    s    e    m    a     d    t    a    l     d    e     i    v    p     i    t    m    c    a    o    c    s    a    n     l    r    r    o    e    e    v    f    u     l    o    s    o    e    r    n    a    e    s    u    o    q    n    s    o    m   t    n    u     l    e    a    i    s    i    m    o    d     l    a    e    c    e    t    o    r     i    v    p    n    o     I   •

    2    n     ó     i    c    c    e     L   •

   s    e     d    a     d     i    v     i    t    c     A    e     d    o    n    r    e     d    a    u     C    o     i    r    a    n    o     i    c    u     l    o    s    y    s    e    n    o     i    c    a    t    n    e     i    r

 .     9

    i    n     U         0         2

 

    O

53

  :

 

 .

   a    m    e     l     b    o    r    p

    l    e

 .     l    o     b    t     ú     f    e     d    a     h    c    n    a    c    a    n    u    e     d    s    a     d     i     d    e    m    s    a    n    u    g     l    a    n    a    r    t    s    e    u    m    e    s    a    r    u    g     i     f    a     l    n     E

 .    m     9     0    1    :    a  .     h    m    c   1     2    n     8    a    7    c     3    a    :    :     l    o    a    t    e    r    s    d    t    e    e    u   o    m    g     í    p    s    r    r    e    a    e     R    L     P

   m    1 4     0     8

    2    4     8    7     3

   m

    ?    o    r    t    4  =    e    1    4    5    m     í    r    1    e    p   =    u     2    s    4    4     l     6     á    u    +    c     8    y    1    ¿  ,     2     ?    a     9   =     0     h    1    c    1    4    n   =    a     0    c     2    2     8    a     8     l    +    e     0     d    1    1    4   =    o    1    2     0     8    g    r    4    a    +     l    5     l    e    +     2   •    s    1    2     9    e     l    4     0     á    5    1    u    :    :     C    ¿     L     P

   1 2    4    5      o      r       t      n      e        C

   m    1 2    4    5

   e     d    o    l    a    t    n   n    u   e     P    p    m       3    0     8    2    1

   e    v     l    e    u    s    e     R

 .    a

 .    m    :    4    0    o    1    2    r    t     0    n     9    e    :     l    c    a     l    n    e    e    y    p     l    a    e    n     d    e    s    p    o    :    e  .    t    a    n    t    d    s    e   o    m    u    u   t    7    0    p    s    p    s    n     2    o    e   u    5     R    P    4     D

    ?     l    a    n    e    p    e     d    s    o    t    n    u    p    s    o     d    s    o     l    e    r    t    n    e    y    ¿    7    0  ,     2     ?    o    r    5    t    n    e    4   =    c     l    7    0    e     0    2    y     9     l   =    a    n     3    e     8    0    p    1    2    e   –     d    o    t     0     9    n     0    2    u    p    1     l   =    e    e     3    0    r    t     8    2    n    1    e   –    a     i    c     9     0    n    1    2    a    t    s   =     i     d     3    0     8    a     l    1    2    s   –    e     l    1    2     á    u    4    5     C    ¿

   4    0    1    2     0     9   =    7    0     2    5    4    +    7    0     2    5    4

 .     b

 .     4

        1          3

   :    s    e    c    a     l    n    e    s    o    t    s    e    n    e

    n      ó      i     c     a     t     n     e     m      i      l     a     o     r     t     e      R

   a    z    r    e    u     f    e    r  ,    s    o     d     i    n    e    t    n    o    c    s    e    t    n    e     i    u    g     i    s    s    o     l    n    o    c    s    e     d    a    t     l    u    c     i     f     i     d    e    t    s     i    v    u     i    t     S

 .      j      L      J      9      P      Q      2      /  .     y     x  .      l  .      6      U      t      i      b      U      R      /      t     g      4      /     :      T      1     n     s     p      2      t      /      T      2      t     y      /      l      h  .     y        t      l      i      i      b      t  .      /      b      /     :     s      /      /    s     p     :     s    o      t     p    t      t    x      t     i      h        t      h      m    s    o    r    s    e    o    a    t    c    m    x     i     i    r     ú    m    é    n    s    m   y    s    o    r    u    e    n    e    n    a    m   t    o     ú    c     i    c    n    e    r    c    a    y     l    r    a     f    s    e    n    e    n    e     d    o    s    n     i    a    c     i     i    c    p     ó    c    a    o    c    r    r     f    a    r    p    e    t     d     i    m   s    u    n    s    s     ó    e    y     i    s    n    r    o    n    e     i     ó    v    c     i    c    n    c     i    o    a    r     d     C       F       A  

    2    n     ó     i    c    c    e     L    e     d    n     ó     i    c    a    u     l    a    v     E   •

    ?    s    a    v    o    m     ó     C    ¿

 

  :

   5   =     9    :      9   5 4    4 9    4   4    5   –

   5   1    1    1    1

  =     9    9    4  .     b

    ?    s    a    v    o    m     ó

 .    o    t    x     i    m     2    o    r   =    e    7    m      :     ú    n     8    4    1    1    o    4 7    m     2   –    o    c    a   =    s    e     8   7    r    1    p    x  .     E    a

    6   1     2   1    1  =    1     6   1    5   1     2   1    +    1    1     2   1    1   1   =  .     b

4

 .    a     i    p    o    r    p    m     i    n     ó     i    c    c     f    a    5    r    o    3    8    m    o    c   =    a    s     3 8    e    r    4    p    x  .     E    a

   5     3    8   =     3    8    +     2    8     3

   :    s    e     l    a    u    g     i    s    e    t    r    a    p    n    e    o     d     i     d     i    v     i     d    a     h    e    s     d    a     d     i    n    u    a     d    a    c    a    c     i    r     é    m    u    n    a    t    c    e    r    e    t    n    e     i    u    g     i    s    a     l    n     E

    3

     G      F      E      D     2

     C      B     1

     A

    0

 .    n     ó     i    c    c    a    r     f    o    m    o    c

   o     l    a    s     é    r    p    x     E     ?      A    n    e    a    c     i     b    u    e    s    o    r    e    m    2 5     ú    n     é      u     Q    ¿      A  .    a

 .    o    t    5 7    x     i     2    m    o    r    y    e      m     ú    n     9    o    1   7    m    o    c    y      F    n     ó     i    c    c    a    r     f    o    m    o    c    1 7    s     2    o     l    a    s     é    y    r      p    x     E     ?    5   7      G    1    y      F        E  ,      D      D  ,      C  ,      B    n    e    n    a    1 4    c     i    1     b    u    e    s    y    s    o    r      e    m    5 4     ú    n     é    u     Q    ¿      B

    6 7     2  

    0   7     2      G

    3 7     2    y

 

   7   7    1

 ,

 .     b

    3 4    1

   y

     E

    2 4    1    y

 

    6 4      C

 .    s    a     l    e    v     l     é    u    s    e    r    y  ,    s    o     d     i    n    e    t     b    o    s    e    r    o     l    a    v    s    o     l    n    o    c    s    e    n    o     i    c    c    a    r    t    s    u    s    s    e    r    t  .    y   a    s     d    e    a     i    n    r    o    a     i     i    c    v     d    a    a   t    s   s    e    e    r    t   u

   p    s    e     R

   a    e    r     C  .    c

  =

 

   7    0    1    2   =

    2   4    +    1   4    1

    2   5   –    5   4

    9    0    1   1

   7   4    1   1

  =

 

  =

    6   4    +     2   5

    6   4   –     9   7    1

   4     3   7

    3 7

  =

    9   7    1    +    5   7    1    s    e    n    o     i    c     i     d     A

   

  =

 

 

   

   7   7    1   –     0   7     2    s    e    n    o     i    c    c    a    r    t    s    u     S

   a    t    e    n    a     l    p    o    r    t    s    e    u     N   •     1     d    a

   s    o     i    c     i    c    r    e     j    e    s    o     l    e     d    o     l     l    o    r    r    a    s    e     d     l    e    e    t    n    a     i     d    e    m    n     ó     i    c    c    e     l    a     l    n    e    s    o     d    a    t    a    r    t    s    o     d     i    n    e    t    n    o    c    s    o     l    n    e    c     i     d    n    u     f    o    r    p    s    o    n    m    u     l    a    s    u    s    e    u    q    a    r    a    p    a     i    c    n    a    t    s    n     i    a  .    n    s    u    o    t    s    e    y    e    u    t    u     i    p    t    s    o    n    r    p    o    c    í    u    n    q    a     ó     i    s    c    a    a    u     l    m    e    a    b    v    e     l    o    r    a    t    s    p     E    y   •

    C     ¿

 .     1

 .     2

 .     3

    d     i    n     U         0         3

 

58

 

Orientaciones y planificaciones de clase

Lección

3

ate  va Act í  v

Planificación

Clase 19

Números decimales

2 horas pedagógicas / págs. 36 y 37

La tecnología se pone al servicio de las personas para descongestionar y descontaminar su entorno.

Propósito En esta lección comprenderán las multiplicaciones y divisiones de números decimales. Objetivo de Aprendizaje OA 7 y OA 8  Ó N  C I I Ó  CA C A P L I CA

 E

Gestión de la clase

A través de la situación inicial se repasa el concepto de número decimal y se practica la adición y sustracción de números decimales. Siguiendo Siguie ndo el hilo conductor de la unidad, se muestra cómo la tecnología puede ayudar a descontaminar. Motive a los estudiantes a que comenten en qué instancias la tecnología ayuda a la descongestión y descontaminación de las ciudades. Plantee preguntas como las siguientes: • ¿Cómo resuelves una adición de números decimales?, ¿y una sustracción? • ¿Cómo expresas una multiplicación como la adición de un mismo número? Pida que interpreten la imagen inicial y cómo esta aplicación ayuda a descontaminar y descongestionar una ciudad. Solicite que descifren la fracción que representa los estacionamientos disponibles y ocupados. Promueva que transformen las fracciones anteriores en números decimales y los comparen. Invítelos a sumar los números decimales anteriores compartir sus resultados con los demás ycompañeros. Luego, pida que recuerden la adición y sustracción de

 io o na Refle x i

Responde 1.

¿Qué número decimal representa la fracción de estacionamientos disponibles?, ¿y cuál la de los ocupados?

2.

¿Cuál de los números decimales anteriores es mayor?

3.

¿Cuánto suman los números decimales anteriores?

Puedes iniciar con 

36

•

¿Cómo una aplicación para estacionar automóviles ayuda a descontaminar descontaminar??

•

¿Cómo puedes expresar el valor de una fracción como número decimal?

https://bit.ly/2Qj95UM

Unidad 1  • Nuestro planeta

 

números decimales y visiten el sitio sugerido en el Texto del Estudiante para practicar dichas operaciones. Solicite que respondan las preguntas formuladas en la sección Reflexiona y motívelos a unificar sus respuestas con el resto del curso. Solucionario

Las soluciones de las actividades propuestas en la Unidad 1 del  Texto  T exto del Estudiante Estudiante están están en las páginas páginas 105 105 a 11 113 y las soluciones de las actividades de la Lección 3 del Cuaderno de Actividades están en las páginas 74 a 79.

:

Unidad 1 

60

 Nuestro planeta

•

 

Multiplicación con números decimales Fernanda recicla desechos de su casa y ha reunido botellas como la que se muestra en la imagen.

Repase los términos de una multiplicación:

problema  

Ejemplo 1   ¿Cuál es la masa de 4 de esas botellas?

 

1   Determina qué operación permite responder responder la pregunta.

 

Puedes sumar 4 veces 0,3:

4 ∙ 0,3 = 0,3 ∙ 4

2  Resuelve la adición.

1

           

Pida que comenten la situación planteada y analicen paso a paso los Ejemplos 1 y 2. Describa con ellos las diferentes

Esta operación equivale a las siguientes multiplicaciones:

0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3

estrategias aplicadas para desarrollar las multiplicaciones de números decimales y aclare posibles dudas que puedan tener los estudiantes.

Para sumar números decimales, se ubican los números de forma que estén alineados por la coma decimal. Después se suman y se pone la coma en el resultado, según corresponda.

0,3 0,3 0,3 + 0,3 1,2 3  Responde.

Pida que estudiantes voluntarios, reunidos en parejas o en forma individual, expliquen la estrategia que se ejemplifica en el Ejemplo 2. Permita que compartan sus estrategias todos aquellos estudiantes que lo deseen, haciéndolos pasar adelante para que, a través de una exposición grupal, muestren sus desarrollos al resto del curso.

 Si Fernanda junta 4 botellas más, más, ¿cómo determinas la masa total de las 8 botellas? 

La masa de las 4 de las botellas es 1,2 kg.

Ejemplo 2   ¿Cómo resuelves la multiplicación anterior usando una representación gráfica? 1  Representa gráficamente el número decimal.

0,3

factor • factor = producto

 

→

2  Representa el número decimal las veces que indica el número natural.

  0,3 ∙ 4

 ¿Qué fracción representa el resultado de la multiplicación? 

  1,2

Finalice la clase dando lectura al recuadro gris de formalización de contenidos y ejemplifique las estrategias estudiadas resolviendo en la pizarra multiplicaciones que los propios estudiantes propongan.

Simbólicamente, la multiplicación se resuelve así:   1   0,3 ∙ 4   1,2

3  Responde.

 

Se confirma confirma que la masa de las 4 botellas botellas es 1,2 kg. kg.

Desarrollando el contexto y el hilo conductor de la lección, puede preguntar a los estudiantes si en sus casas reciclan desechos y comente con ellos cuáles

Para multiplicar un número decimal por un número natural se realiza la operación y luego, en el producto se desplaza la coma, de derecha a izquierda, tantos lugares como cifras decimales tenga el número decimal. Lección 3  3 • Números decimales   37

 

:

Ambiente de aprendizaje

Una de las principales características del ambiente escolar desde el modelo constructivista es que el docente centra su atención en la actividad cognitiva de los estudiantes, y debe propiciar condiciones para que construyan sus propios significados, comenzando con las creencias, los conocimientos y las prácticas culturales que traen al aula para poder lograr el aprendizaje significativo.

son los beneficios que trae el hacerlo habitualmente. Todos Tod os pueden aprender apren der

Sugiera que visiten el siguiente sitio de multiplicación de números y que busquen las actividades que involucran números decimales: https://bit.ly/33dO83F 

Orientaciones y planificaciones de clase

61

 

Ejemplo 3   ¿Cuál es el producto de 0,28 • 5?

Planificación

1

  Resuelve como adición y como multiplicación. multiplicación.

Clase 20 2 horas pedagógicas / págs. 38 y 39  Propósito Identificar diferentes estrategias para resolver multiplicación de números

decimales.

Suma 5 veces 0,28:

Multiplica 0,28 por 5:

           

14

 

14

0,28 0,28 0,28 0,28 + 0,28

 

0,28 ∙ 5

 

1,40

 

1,40

 

  2

Objetivo de Aprendizaje

 

 Responde. El producto de 0,28 • 5 es 1,4.

OA 7 y OA 8 problema 

Ejemplo 4  

Fernanda reunió 100 botellas pequeñas de 0,18 kg. ¿Cuál es la masa total de esas botellas?

Gestión de la clase

1

  Escribe la multiplicació multiplicación. n. Masa de una botella pequeña (kg). 

2

Repase los contenidos y las estrategias estudiados en la clase anterior. Pregunte:

Cantidad de botellas.

  Resuelve moviendo hacia la derecha la coma decimal del primer factor tantas posiciones como ceros tiene el múltiplo de 10. 0,18 ∙ 100 100  

Dos ceros.

Como 100 tiene dos ceros, la coma se mueve dos posiciones hacia la derecha:

• ¿Qué multiplicación es equivalente a la

adición 0,6 + 0,6 + 0,6? • ¿Cómo puedes representar gráficamente el número decimal 0,4?, • ¿Cómo puedes representar gráficamente la multiplicación 0,2 ∙ 5? Lea en conjunto con los estudiantes el Ejemplo 3 y pida que comenten los pasos usados para resolver la multiplicación en el Texto del Estudiante. Luego, invite a responder las interrogantes formuladas y a que resuelvan la multiplicación aplicando el algoritmo estudiado.

0,18 • 100

018,,0 018 Dos posiciones. 3   Responde.

La masa de las 100 botellas es 18 kg

 

• ¿Cual es el desarrollo de 0,18 • 100 si aplicas la estrategia del Ejemplo 3? • ¿Cual es la masa total de 120 latas recicladas de 0,015 kg? Aplica la estrategia que prefieras. Para multiplicar un número decimal por 10, 100, 1 000…, se “corre la coma del número decimal” a la derecha tantas cifras como ceros tenga el segundo factor. Si faltan cifras, se completa con ceros. Ejemplo:

2,54 ∙ 1 000

Tres ceros.

2 540, 540,0  Tres posiciones.

38

Unidad 1  • Nuestro planeta

:

Notas para el docente Actitudes

a  Manifestar un estilo de trabajo

ordenado y metódico. Puede pedir que presenten algunos de sus desarrollos en hojas de oficio y elegir al azar algunos de ellos, destacando aquellos que hagan un eficiente uso del espacio y una adecuada organización.

Pídales leer el Ejemplo 4 considerando los pasos que muestran en su resolución. Invite a los estudiantes a que comenten el desarrollo con el resto del curso y compartan otras estrategias que ellos podrían aplicar para resolverlo. Lea en conjunto con los miembros de la clase las situaciones propuestas al final de la página e invite a reflexionar en torno a ellas. Responda dudas relacionadas con la comprensión de las preguntas, pero no con las respuestas. Otorgue tiempo para que las trabajen de manera individual.

Unidad 1 

62

 Nuestro planeta

•

 

Ejemplo 5   ¿Cuánto es 0,3 • 0,8? 1

  Representa en una misma cuadrícula. cuadrícula. 0,3

Factores.

Solicite que observen el Ejemplo 5  que muestra la representación de una multiplicación multiplica ción de números decimales. Invite a los estudiantes a que interpreten la estrategia utilizada en el problema y luego la apliquen en el ejercicio propuesto propuesto del  Texto del Estudiante. Estudiante.

0,8

2

  Interpreta y responde. responde. La intersección de las zonas roja y azul determina el producto en violeta. Como de las 100 partes hay 24 pintadas violeta, la respuesta es 24 centésimos. Es decir, 0,3 · 0,8 = 0,24.

Lea en conjunto con los estudiantes el Ejemplo 6 y pida que observen la estrategia utilizada para su desarrollo.

problema  

Ejemplo 6  

Alejandra compró un televisor de 32 pulgadas como el que se muestra en la imagen.

39,8 cm

Pida que estudiantes voluntarios, reunidos en parejas o en forma individual, individual, expliquen la estrategia estrateg ia que se ejemplifica en el Ejemplo 6. Permita que compartan sus estrategias todos aquellos estudiantes que lo deseen, haciéndolos pasar adelante para que, a través de una exposición grupal,

¿Cuál es la superficie de la pantalla del televisor? 1

 

  Determina qué operación permite responder la pregunta. Debes multiplicar la medida medida del largo largo por la del del ancho ancho de la pantalla: 70,8 70, 8 ∙ 39,8 39,8

2

70,8 cm En conjunto, los factores tienen 2 cifras decimales.

  Escribe los números decimales sin la coma y descompón el segundo factor. 708 ∙ (300 + 90 + 8)

3

  Resuelve la multiplicación. multiplicación.

muestren sus desarrollos al resto del curso. Dé espacio para que, a partir de sus ideas previas, identifiquen características presentes en el desarrollo de una multiplicación de números decimales.

708 ∙ 300 + 708 ∙ 90 + 708 ∙ 8 212 400 + 63 720 + 5 664 281 784 4

  Ubica la coma para dejar 2 cifras decimales. 2 817,84 817,84

5

 

 Responde. La superficie superficie de la pantalla pantalla del televisor es 2 817,84 cm2.

ona  io  x i Refle x

¿Cómo un estilo de trabajo ordenado te ayudó a aplicar las estrategias estudiadas?

Proponga que discutan y compartan sus resultados o respuestas, y que comprueben sus resultados con calculadora.

Para resolver una multiplicación de dos números decimales se realiza la operación y se desplaza la posición de la coma, de derecha a izquierda, tantas posiciones como cifras decimales tienen en conjunto ambos factores.

Pida que anoten las diferentes estrategias

Lección 3  3 • Números decimales   39

 

:

Dificultades y errores frecuentes

En general, los estudiantes multiplican números decimales como si fueran números naturales y olvidan ubicar la coma decimal. Reitere que, una vez que han multiplicado los dígitos de los números, deben usar una estrategia sencilla para determinar la posición exacta de la coma.

utilizadas en el Texto Estudiante acompañándolas condel ejemplos. Finalice la clase dando lectura al recuadro gris de formalización de contenidos. Aclare dudas y solicite que respondan en forma oral la pregunta que se plantea en la sección Reflexiona. A partir de las respuestas de los estudiantes, valore el orden como una virtud deseable al tener que desarrollar estrategias matemáticas.

Orientaciones y planificaciones de clase

63

 

Practica

Planificación

Clase 21

en tu cuaderno

1. Lee y escribe con palabras. a. 0,25

2 horas pedagógicas / págs. 40 y 41 

b. 0,172

c. 1,05

d. 21,965

b. 0,33

c. 2,45

d. 14,071

c. 0,45 • 6

d. 2,125 • 8

2. Expresa como fracción.

Propósito Aplicar estrategias simbólicas y pictóricas para resolver multiplicaciones de números

a. 0,6

3. Expresa como suma iterada. a. 0,1 • 3

b. 0,9 • 5

decimales. 4.

Objetivo de Aprendizaje OA 7 y OA 8

Dos integrantes. Cada uno multiplica: uno usando una representación gráfica y el otro simbólicamente. Al finalizar, comparan  y corrigen. a. 0,2 • 2

b. 0,4 • 3

c. 0,7 • 5

d. 1,2 • 4

5. Descubre las multiplicaciones representadas.

Gestión de la clase

a.

b.

Repase los contenidos y las estrategias estudiados en las clases anteriores. Pregunte: • ¿Cómo multiplicas un número decimal por un número natural? • ¿Cómo multiplicas un número decimal por 10, 100, 1 000...? • ¿Cómo multiplicas dos números decimales? • ¿Cómo puedes representar gráficamente la multiplicación de dos números decimales? Escoja a algunos estudiantes para leer en voz alta las cifras indicadas en la actividad 1. Pida que representen como fracciones

los números decimales de la actividad 2. Gradúe los objetivos de aprendizaje a los que apunta cada actividad, identificando el contenido evaluado y privilegiando aquellos que están relacionados en forma directa con el propósito de la clase.

6. Determina el producto a. 10 • 0,1

d. 5 • 1,4

g. 20 • 1,36

b. 8 • 0,2

e. 250 • 0,4

h. 0,3 • 0,65

c. 40 • 0,3

f. 50 • 0,24

i. 1,64 • 4,015

7. Calcula los productos en cada columna, descubre  la regularidad y descríbela. [PROFUNDIZACIÓN] a.

b.  

40

c.

1 • 0,1

1 • 0,01

1 • 0,001

10 • 0,1

10 • 0,01

10 • 0,001

  100 • 0,1

100 • 0,01

100 • 0,001

 1 000 • 0,1

1 000 • 0,01

1 000 • 0,001

Unidad 1  • Nuestro

planeta

 

Solicite que se reúnan en grupos de 2 integrantes para desarrollar la actividad 4 e inste a que luego puedan comparar sus resultados y unificar sus respuestas. Invite a los alumnos a que descubran las multiplicaciones de la actividad 5 que están representadas en los bloques y a que realicen las actividades 6 y 7 aplicando la estrategia vista en clases, y además, a descubrir las regularidades presentadas en los l os productos obtenidos. Gestione una puesta en común en la que puedan dar a conocer sus respuestas y corregir sus resultados.

:

64

Unidad 1 

 Nuestro planeta

•

 

8. Calcula aplicando aplicando la  la regularidad anterior anterior u otra. a. 100 • 0,4

b. 10 • 0,9

c. 100 • 0,23

d. 1 000 • 0,07

9. Resuelve Resuelve los  los problemas . a.

 La pulgada (inch en inglés) es una unidad de longitud. Ciencias

Solicite a los estudiantes que en la actividad 8 apliquen la regularidad descubierta en la actividad 7. Asigne un tiempo para que desarrollen los problemas de la actividad 9. Puede apoyar la resolución de estos problemas recordando los pasos generales que pueden seguir: se guir: entender, entender, planificar, hacer y comprobar comprobar.. Posteriorment Posteriormente, e, promueva una puesta en común para unificar sus respuestas.

2,54 cm

• ¿Cuántos centímetros equivalen a 6 pulgadas? • ¿Cuántos centímetros equivalen a 30 pulgadas? • ¿Cuántos centímetros equivalen a 4,5 pulgadas? b.

Ciencias  Si buscas en internet la unidad de masa 󰂫1 onza󰂻, aparecerá la imagen del costado. En el número decimal, el punto equivale a una coma. Responde considerando hasta la tercera cifra decimal de la equivalencia.

• ¿Cuántos kilogramos equivalen a 7 onzas? • ¿Cuántos kilogramos equivalen a 60 onzas? c. Aníbal tiene un juego de dominó. Una de sus piezas se muestra al costado. Calcula la longitud de los lados y el área de cada rectángulo que formó. [PROFUNDIZACIÓN]

•

Durante el desarrollo de las actividades de la sección Practica, puede realizar breves entrevistas individuales a algunos estudiantes para preguntarles por su comprensión y manejo de la multiplicación con números decimales. La información que reúna la puede registrar en una lista de cotejo.

4,25 cm

2,125 cm

•

  Cuaderno de Actividades

Una vez que terminen las actividades propuestas, puede profundizar la ejercitación en las páginas 32 a 37 del Cuaderno de Actividades.

Pida que, de manera individual, identifiquen los conocimientos que aplicaron en cada uno de los problemas y que expliquen los

Páginas 32 a 37.

Lección 3  3 • Números decimales   41

 

:

Desarrollo del pensamiento matemático

Invite a algunos estudiantes a mostrar la resolución de los problemas en la pizarra, solicitando que verbalicen sus estrategias explicando y argumentando el resultado obtenido, invitando además a que sus compañeros reafirmen o rebatan tal resultado, genere de esta forma una discusión dentro del curso en la que, mediante argumentos, los alumnos defiendan sus resultados. Así, impele a los alumnos a pensar sobre sus estrategias de resolución, promoviendo de esta manera el desarrollo de habilidades metacognitivas.

conceptos abordados con palabras propias. Asimismo, solicíteles que identifiquen los conocimientoss que necesitan reforzar. conocimiento Para finalizar la clase revise con los estudiantes el propósito planteado al inicio de esta y pregunte si piensan que se logró el objetivo. Asigne un tiempo definido para responder preguntas individuales y responda a todo el curso, de manera de generar la interacción de los estudiantes y el intercambio intercam bio de ideas.

Orientaciones y planificaciones de clase

65

 

División con números decimales 0, 8 L  L e  en n 1 h

Ignacio notó que la llave de paso de agua del baño está descompuesta. La cantidad de agua perdida se indica en la imagen.

Planificación

Clase 22 2 horas pedagógicas / pág. 42  Propósito Resolver pictóricamente divisiones de números decimales.

problema  

Ejemplo 1  

 ¿Qué operación plantearías plantearías  para responder?  responder? 

¿Cuánta agua se pierde por la gotera en un cuarto de hora? 1   Representa 0,8 con regiones (dividendo).

Objetivo de Aprendizaje

 ¿Cuáles son los términos términos de una división? 

OA 7 y OA 8

 

 

2   Reparte en 4 partes iguales (divisor) y cuenta los que quedan en cada parte.

Gestión de la clase Hay dos décimos en cada región. Por lo tanto:

Comience la clase comentando al curso que se iniciará el estudio de la división de números decimales aplicando diferentes estrategias. Repase conceptos relacionados

0,8 : 4 = 0,2

3  Responde.

En un cuarto de hora se pierden 0,2 L de agua.

Ejemplo 2   ¿Cómo compruebas en la recta numérica que 0,8 : 4 = 0,2?

con la operación de división. Pregunte: • ¿En qué consiste la división de dos números? • ¿Cuáles son los términos de una división? • ¿Cómo se relacionan entre sí la división y la multiplicación? • Si inviertes el orden de los números que se están dividiendo, ¿cambia el resultado?

1   Dibuja una recta numérica y divide el intervalo entre 0 y 0,8 en 4 partes iguales.

4 partes iguales 0,2 0

0,2 0,2

0,2 0,4

0,2 0,6

0,8

1

2 Responde.

Se comprueba que 0,8 : 4 = 0,2.

• ¿Cómo calcularías 0,8 : 4 usando rectángulos de papel? • ¿Cuánto es 0,2 • 4?, ¿cómo lo sabes?

Ambiente de aprendizaje

Recuérdeles que deben respetar las opiniones de los demás compañeros. Una vez que terminen de responder las actividades, estimule la reflexión con preguntas, tales como: • ¿Qué te parecen las estrategias utilizadas? • ¿Cuál de ellas te resultó más comprensible?

42

Unidad 1  • Nuestro planeta

 

Invite a los estudiantes que analicen los pasos desarrollados para dar respuesta al Ejemplo 1 por medio de la representación de una división. Luego, pida a los alumnos analizar la solución del Ejemplo 2 de una división utilizando una recta numérica y verbalizando sus pasos.

• ¿Qué fue lo que más te llamó la atención en esta clase?

Para finalizar la clase, proponga comentar las respuestas a las preguntas planteadas al final de la página del Texto del Estudiante, y que anoten en sus cuadernos un resumen de las estrategias aplicadas en el desarrollo de las divisiones de números decimales.

:

Unidad 1 

66

 Nuestro planeta

•

 

Ejemplo 3   ¿Cuál es el cociente de la división 0,8 : 10? 1

Paso 1   0',8 : 10 = 0 –0  0

2

Explica estos pasos junto con un compañero.

  Realiza la división. división. Paso 2   0',8' : 10 = 0, –0   08

Paso 3 0',8' : 10 = 0,0 –0 0 80

Planificación

Clase 23 2 horas pedagógicas / págs. 43 y 44 

Paso 4   0',8' : 10 = 0,08 –0   0 80   –80   0

Propósito Resolver simbólicamente divisiones de números decimales usando un algoritmo.

 Responde. El cociente es 0,08.

Objetivos de Aprendizaje OA 7 y OA 8

• ¿Cómo usarías la recta numérica para comprobar el resultado anterior? • Analiza los cocientes de 0,8 : 1; 0,8 : 10 y 0,8 : 100. ¿Qué regularidad identificas?

Gestión de la clase

Ejemplo 4  

Comente al curso que en esta clase analizarán diferentes estrategias para resolver divisiones con números decimales.

¿Cuál es el cociente de la división 28,08 : 12? 1

2

  Realiza la división. división.

 ¿Cómo puedes estimar estimar el resultado?  resultado? 

Paso 1   28',08 : 12 12 = 2 – 24

Paso 2   28',0'8 : 12 = 2, – 24

Paso 3   28',0'8 : 12 12 = 2,3  – 24

Paso 4   28',0'8' : 12 12 = 2,34  – 24

  4

  40

  40   – 36   4

  40   – 36   48 – 48   0

Pida a un estudiante que lea lo planteado en el Ejemplo 3 y responda dudas respecto a la comprensión de lo leído. Ambiente de aprendizaje

Promueva un ambiente positivo en el aula: • Desarrolle la empatía. • Aumente la motivación y el interés por el aprendizaje.

 Responde. El cociente es 2,34.

• ¿Qué multiplicación puedes resolver para comprobar  la respuesta?

Dificultades y errores frecuentes

Lección 3  3 • Números decimales

Dos errores frecuentes que cometen los estudiantes al resolver divisiones con números decimales son:

43

 

:

Pida que comenten y analicen los pasos de la resolución de la situación del Ejemplo 3 y que compartan las respuestas a las interrogantes al final del problema. Escoja a otro estudiante para que lea el Ejemplo 4 y pida al curso que comenten los pasos que se muestra en su resolución. Es importante explicarles la relación inversa que existe entre la multiplicación y la división y destacar su rol en el proceso de comprobación de estas operaciones. Luego, formalice la división de un número decimal por uno natural anotando en la pizarra las diferentes estrategias vistas.

• Ubicar erróneamente la coma decimal en el resultado final. • Restar erróneamente los restos que se van generando durante el desarrollo de la división. Para corregir estos errores comente a los estudiantes lo importante que es desarrollar las operaciones contando con el espacio suficiente en sus cuadernos, utilizando un tamaño de letra legible, conservando el orden de los pasos propuestos y no abreviando los cálculos. Finalmente, proponga que pueden revisar sus desarrollos antes de responder y comprobar con calculadora.

Orientaciones y planificaciones de clase

67

   

Ejemplo 5   ¿Cuál es el cociente de la división 4,248 : 2,4?

 Cuenta las cifras decimales del dividendo y del divisor.

1

Lea junto con el curso la pregunta formuladaa en el Ejemplo 5, pida que formulad analicen cada paso utilizado para dar solución al problema e invite a que puedan  justificar el procedimiento procedimiento mostrado mostrado en el  Texto  T exto del Estudiante. Estudiante.

3 cifras decimales

4, 248

 Justifica junto con

4,248 • 1 000 = 4 248 248

4 248 : 2 400

Paso 1

  4 248 : 2 400 = 1 – 2 400   1 848

https://bit.ly/2TFdKmQ

Paso 2

Paso 3

Paso 4

  4 248 248 : 2 400 = 1, 1, – 2 400   18 480

  4 248 : 2 400 = 1,7 – 2 400   18 480 – 16 800 1 680

  4 248 : 2 400 = 1,77 – 2 400   18 480 – 16 800 16 800 – 16 800 0

 Responde.

4

El cociente es 1,77.

• ¿Cómo comprobarías la respuesta? • ¿Qué resultado obtendrías si en lugar de 1 000, multiplicas los términos de la división

por 2 000?, ¿y por 10 000?

Puede cerrar la clase formulando una serie de preguntas de metacognición y reflexionando sobre ellas. Algunos ejemplos son:

Para resumir la operatoria de números decimales puede proponer que visiten el siguiente sitio:

  Realiza la división. división.

3

Escriba las interrogantes formuladas al final de la página del Texto del Estudiante en la pizarra, y pídales responder en sus cuadernos para luego, propiciar una reflexión en torno a estas preguntas.

Uso de recursos tecnológicos

un compañero por qué se eligió 1 000.

2,4 • 1 000 = 2 400 Entonces, resolver la división 4,248 : 2,4 es equivalente a resolver la siguiente división de número naturales:

Evalúe formativamente a los estudiantes durantee el desarrollo de la clase haciendo durant un registro anecdótico. Para esto, durante las actividades en aula, aula, anote frases frases breves con observaciones individuales respecto del desempeño en ese trabajo puntual.

que has hallado para dividir números decimales? • ¿De qué otras maneras podrían haber sido resueltas las divisiones trabajadas en esta clase?

2, 4

  Multiplica por 1 000 el dividendo y el divisor y reescribe la división.

2

Ínstelos a que expongan sus respuestas delante de sus compañeros.

• ¿Cuánto has aprendido sobre la división de números decimales en esta clase? • ¿Cómo has resuelto las dificultades

1 cifra decimal

Para calcular el cociente de una división de números decimales puedes multiplicar el dividendo y el divisor por un múltiplo de 10 que los transforme en números naturales y luego resolver esta división de números naturales.

44

Unidad 1  • Nuestro planeta

 

Habilidades del siglo XXI

La curiosidad es un impulso básico en los seres humanos, es una habilidad que necesitamos, pero como otras, no es igual para todos, no todos lo sentimos de la misma forma. Suele ser un rasgo estable, pero puede aumentar y disminuir según las circunstancias y el contexto. Ventajas de ser curioso: • Aprenderás más rápido y mejor.  Tendrás endrás inter interés és por muchas muchas disciplina disciplinas. s. •  T • Mejorará tu atención. • Desarrollarás tu memoria. Motívelos a investigar acerca de la operatoria de números decimales y su aplicación en la vida cotidiana.

:

Unidad 1 

68

 Nuestro planeta

•

 

problema  

Ejemplo 6   Valentina Valen tina plantó el 31 de marzo un árbol de 0,36 m de altura.

Planificación 30 de junio

pedagógicas / págs. 45, Clase 24 246horas y 47 

31 de mayo 30 de abril

Propósito Resolver pictórica y simbólicamente multiplicaciones y divisiones de números

0,765 m 0,645 m

decimales.

0,52 m

Objetivos de Aprendizaje OA 7 y OA 8 ¿Cuál fue el promedio mensual de crecimiento en los tres meses? 1

Abril

2

0,52 m – 0,36 m = 0,16 m

Mayo

0,645 m – 0,52 m = 0,125 0,125 m

Junio

0,765 m – 0,645 m = 0,12 m

Explica qué representa cada sustracción.

Comprueba este resultado.

dividir números decimales.

  Divide por la cantidad de meses.        

  4

Inicie la clase preguntando por los contenidos trabajados en las clases anteriores. Pida que recuerden y comenten las estrategias aplicadas para multiplicar y

Suma los crecimientos. 0,16 m + 0,125 m + 0,12 m = 0,405 m

3

Gestión de la clase

 Determina el crecimiento en cada mes.

0',4'0'5' : 3 = 0,135 04 10 15 0

 io ona  x i Refle x

Solicite a algún estudiante que lea la actividad propuesta del Ejemplo 6 y responda dudas relacionadas con la comprensión de las preguntas y la estrategia utilizada en su solución. Posteriormente, dé tiempo para que las respondan de manera individual y luego, solicite que compartan entre sus compañeros sus estrategias y predicciones.

¿Cómo el uso de múltiples estrategias ayuda a desarrollar tu creatividad creatividad??

 Responde. El promedio mensual fue de 0,135 m.

• ¿Qué otra estrategia usarías para resolver? Compara  con un compañero. • ¿Cómo podrías predecir la altura aproximada del árbol el 31 de julio?

Lección 3  3 • Números decimales   45

 

:

Ambiente de aprendizaje

A lo largo de la clase, permita que trabajen de manera colaborativa y que construyan su conocimiento a través de los errores y la argumentación de sus pares. Deberá estar atento para guiarlos en sus procesos reflexivos y de discusión. Procure siempre inculcar el respeto a la opinión entre compañeros y a la diversidad de pensamiento.

Finalmente, pida que respondan y comenten la pregunta de la sección Reflexiona.

Notas para el docente Actitudes

b  Abordar de manera flexible y

creativa la búsqueda de soluciones a problemas. Puede solicitar que resuelvan el problema del Ejemplo 6 de una forma distinta a la desarrollada en el Texto del Estudiante, y destacar los trabajos más creativos y originales.

Orientaciones y planificaciones de clase

69

 

Practica

en tu cuaderno

1. Describe una estrategia para resolver resolver.. a. 0,18 : 3

Gradúe los objetivos de aprendizaje a los que apunta cada actividad, identificando el contenido evaluado y privilegiando aquellos que están relacionados en forma directa con el propósito de la clase. Privilegie el generar las habilidades a desarrollar de dichos contenidos por sobre su memorización.

b. 4,35 : 5

c. 1,548 : 6

2. Resuelve usando una representaci representación ón concreta. a. 0,6 : 3

b. 1,6 : 4

c. 7,2 : 6

3. Resuelve representando con regiones. a. 0,4 : 4

b. 3,9 : 3

4. Resuelve en la recta numérica. a. 0,5 : 5 b. 1,2 : 4

c. 0,48 : 6

c. 3,6 : 9

5. Determina el cociente.

Es importante que los estudiantes puedan reforzar las diferentes estrategias para resolver las divisiones de números decimales antes de resolver los ejercicios propuestos. Dé el tiempo adecuado para que realicen de manera individual la actividad y luego corrija junto junto con ellos sus respuestas en la pizarra.

a. 0,8 : 4

d. 0,62 : 10

g. 44,8 : 20

b. 2,4 : 6

e. 5,35 : 100

h. 0,42 : 0,2

c. 4,8 : 8

f. 1,44 : 12

i. 1,188 : 2,2

6. Descubre  los términos de la división representada.

Dividendo

Puede solicitar que los estudiantes intercambien para resolver divisiones conestrategias números decimales. Para esto, solicite que en grupos apliquen estrategias diferentes a las indicadas en las actividades 2, 3 y 4, de manera de usar diferentes diferen tes niveles de abstracción para resolver las operaciones. Puede evaluar formativamente formativa mente esta actividad usando una lista de cotejo. Discuta con los miembros de la clase las respuestas obtenidas en cada una de las actividades, aclarando posibles dudas que hayan surgido al realizarlas. Puede organizar grupos de trabajo y solicitar que creen 2 o 3 ejercicios de división de números decimales y los l os representen represen ten en forma simbólica y pictórica. pic tórica. Puede evaluar formativamente esta actividad usando una lista de cotejo.

División

a. ¿Cuál es el dividendo expresado como número decimal? b. ¿Cuál es el divisor? c. ¿Cuál es el cociente expresado como número decimal? 7. Resuelve. Explica qué ocurriría si no estuvieran los paréntesis. [PROFUNDIZACIÓN] a. (1,8 : 2) : 9

46

b. (5,4 : 6) : 10

c. 0,25 : (1,4 : 7)

Unidad 1  • Nuestro planeta

 

Notas para el docente

Un ejemplo muy común y cotidiano que demuestra la importancia de la operatoria de números decimales es el uso del dinero. Si en un sitio de internet hay un producto que cuesta entre 7 y 8 dólares, se necesita saber con mayor exactitud cuál es el precio. Si entonces, se indica que el precio es 7 dólares y un cuarto, es posible saber directamente o a través de un sencillo cálculo que el costo es de 7,25 dólares. Por lo tanto, solo faltará resolver una multiplicación para transformar esa cantidad de dólares a pesos chilenos.

:

Unidad 1 

70

 Nuestro planeta

•

 

8.

Resuelve  los

problemas .

a.

¿Cuál es la cuarta parte de la mitad de 7,84?

b.

Considera  A = 0,6; B = 1,75 y C  =  = 2,875, y calcula. •

B :

2

• ( A + B) : 5 c. La duración de las películas de una trilogía son:  e  P a r t

 e  P a r t

 – B) :  A • (C  – • C : (B –  A)

Invite a los estudiantes a resolver problemas propuestos propuest os en esta página. Recuerde monitorear el trabajo constantemente para identificar errores y verificar sus respuestas.

 e  P a r t

Puede apoyar la resolución de los problemas 2,05 h

1,35 h

de la actividad del Texto del Estudiante recordando los8pasos generales que pueden seguir: entender, planificar, hacer y comprobar. Dé énfasis a las actividades en que se aplican los conceptos estudiados en la clase a situaciones cotidianas, ya que permiten afianzar su comprensión.

1,45 h

 La parte 1 está dividida en 2 capítulos de igual duración.  La parte 2 está dividida en 3 capítulos de igual duración.  La parte 3 está dividida en 5 capítulos de igual duración. Calcula la duración en horas de cada capítulo. 9.

¿Quién dice lo correcto? Justifica. [PROFUNDIZACIÓN]

Como 35 : 5 = 7, entonces 3,5 : 5 = 0,7.

Como 35 : 5 = 7, entonces 3,5 : 0,5 = 70.

Cuaderno de Actividades

Una vez que los estudiantes terminen las actividades propuestas, puede profundizar la ejercitación en las páginas 38 a 41 del Matías

Cuaderno de Actividades.

Sebastián Páginas 38 a 41.

Sintetiza

Mult Mu ltip ipli lica caci ción ón de nú núme mero ross dec decim imal ales es

Divi Di visi sión ón de nú núme mero ross dec decim imal ales es

3, 45  • 2,  2,3 3

6, 24  : 0,4

 345 • 23 = 7 935 Por lo tanto:

3,45 • 2,3 = 7, 935

Para finalizar, promueva un análisis de la sección Sintetiza y pida que realicen un esquema resumen de los contenidos incluyendo las estrategias vistas en la lección.

 624 : 40 = 15,6 Por lo tanto:

6,24 : 0,4 0,4 = 15,6

Lección 3  3 • Números decimales   47

 

:

 Planificación

Clase 25 2 horas pedagógicas   Cuaderno de Actividades

En esta clase práctica se sugiere que monitoree el completo desarrollo de las actividades de las páginas 32 a 41 del Cuaderno de Actividades. En esta clase puede realizar acciones como las siguientes: • Ir repasando las páginas del Cuaderno de Actividades correspondientes a esta lección y resolviendo aquellos ejercicios que los propios estudiantes le soliciten. • Durante este repaso, ir haciendo preguntas que los hagan pensar,para como por ejemplo: ¿de qué etc. otra forma se puede desarrollar este ejercicio?, ¿qué otra estrategia hubieran aplicado resolver este problema?, • Organizar grupos de trabajo para desarrollar las actividades que hayan causado dificultades a un grupo significativo de los estudiantes del curso y apoyarlos en su trabajo.

Orientaciones y planificaciones de clase

71

 

vas? ¿Cómo  va

Desarrolla en tu cuaderno

1. Expresa como multiplicación.

Planificación

Clase 26 2 horas pedagógicas / págs. 48 y 49 

a. 0,3 + 0,3

c. 10,06 + 10,06 + 10,06

b. 0,24 + 0,24 + 0,24 + 0,24

d. 3,2 + 3,2 + 3,2 + 3,2 + 3,2 + 3,2

2. Expresa como suma iterada. a. 0,5 • 3

Propósito Resolver multiplicaciones y divisiones de números decimales y resolver problemas.

b. 0,33 • 2

c. 1,52 • 6

d. 12,8 • 5

3. Explica cómo Explica cómo resolverías: a. 6,75 : 1,5

b. 11,492 : 2,21

Objetivo de Aprendizaje

4. Resuelve usando Resuelve usando rectángulos de papel. a. 0,7 • 4

OA 7 y OA 8

5. Resuelve Resuelve representando  representando con regiones. a. 0,3 • 2

b. 1,5 • 4

c. 1,235 : 1,25

b. 2,4 : 6

c. 0,9 : 3

d. 4,8 : 6

6. Resuelve Resuelve en  en la recta numérica.

Gestión de la clase

e. 2,4 : 6

g. 3,2 : 8

b. 1,4 • 3

d. 2,2 • 5

f. 0,6 : 4

h. 4,9 : 7

a. 0,1 • 5

e. 0,9 • 1,2

i. 4,45 : 5

b. 0,3 • 7

f. 0,5 • 1,3

 j. 5,24 : 40

c. 0,13 • 3

g. 2,05 • 1,243

k. 1,4 : 1 000

h. 0,8 : 2

l. 0,782 • 1,7

d. 1,9 • 100

trabajen en forma consciente y responsable. Antes de empezar las actividades, haga un repaso de lo visto en la lección junto con los alumnos.

8. Calcula mentalmente. Explica Explica tu  tu procedimiento. [PROFUNDIZACIÓN] a. 3,76 • 10

b. 0,09 • 100

c. 3,78 : 10

d. 28,5 : 1 000

9. Propón una Propón una multiplicación en la que cada uno de los siguientes números corresponda al producto y una división en la que corresponda al cociente. Hazlo de manera que, al menos, uno de los términos de cada operación sea un número decimal.

Notas para el docente Actitudes

un tranquilo, que cada unoambiente pueda concent concentrarse rarseeny el responder a las preguntas de manera individual.

c. 1,2 • 3

7. Determina el producto o cociente.

Para iniciar la clase es importante que los estudiantes sepan que es necesario identificar lo que han aprendido durante esta lección. Por esta razón, pida que

Como el proceso de autoevaluación es personal, en este caso se sugiere que el estudian estudiantado tado esté inmerso en

a. 0,6 • 2

48

a. 2

d. 0,05

g. 0,25

 j. 10

b. 0,2

e. 1,5

h. 4

k. 1,2

c. 10

f.

i. 3,5

l. 0,4

Unidad 1  • Nuestro

3

planeta

 

Pida que desarrollen las actividades propuestas y compartan sus respuestas con sus compañeros. compañeros. Inste a que reflexionen acerca de los resultados obtenidos y permita que retroalimenten estrategias trabajadas durante la lección.

:

72

Unidad 1 

 Nuestro planeta

•

 

10. Resuelve Resuelve los  los a.

problemas .

Las casillas del tablero de ajedrez son cuadradas. 1,35 cm

Solicite que lean comprensivamente cada situación y anoten los datos relevantes en sus cuadernos para luego resolver los problemas planteados. Controle que en la actividad 10,

3,25 cm

b.

•

¿Cuál es el perímetro de una casilla?, ¿y del tablero?

•

¿Cuál es el área de una casilla?, ¿y del tablero?

•

¿Cuál es el perímetro del trozo de madera que contiene al tablero?

parte c, formen parejas de trabajo y que cada integrante estime las alturas y las medidas de la base de las figuras propuestas según los datos del problema anterior.

Amanda formó una pirámide usando dos tipos de piezas, del mismo alto y ancho, en que el largo de una equivale al doble del largo de la otra.

Puede proponer la actividad 10 de resolución de problemas como un trabajo colaborativo. Para ello, organice el curso en grupos de 2 integran integrantes tes y explicite los objetivos del trabajo: organización, participación y orden. Finalmente, Finalmente, controle activamente que obtengan las soluciones

11,58 11 ,58 cm

Calcula el largo, ancho y alto de cada pieza. •

•

 ,2 c m 1 9 2 c.

Dos integrantes. Usando los datos del problema anterior, cada uno elige una figura y estima su altura y las medidas de su base. Luego, comprueban en conjunto.

correctas.   Cuaderno de Actividades

Una vez que los estudiantes terminen las actividades propuestas, puede profundizar la ejercitación en las páginas 42 a 43 del Cuaderno de Actividades.

Páginas 42 y 43.

Retroalimentación ¿Tuviste dificultades para resolver operaciones con números decimales?

Sí 

 

Refuerza en las páginas 37 a 47 de tu libro y puedes visitar https://bit.ly/3471osY .

No

 

¿Cómo se relacionan las fracciones y los números decimales con los porcentajes? ¿Cómo vas? • Evaluación de Lección 3   49

 

:

Notas para el docente Habilidades superiores trabajadas en la lección

Descubrir.

Crear.

Resolver.

Aplicar.

Explicar.

Para finalizar la clase, controle que respondan individualmente la pregunta de la sección Retroalimentación. A través de ella, y de sus respuestas sinceras, los estudiantes podrán repasar los contenidos estudiados estudiados en la lección. Aquellos estudiantes estudiantes que no hayan logrado comprenderlos, comprend erlos, tendrán la oportunidad de reforzar accediendo al link propuesto. Adicionalmente, Adicional mente, puede proponer que repasen las páginas del Texto del Estudiante como un trabajo colaborativo en que se genere un breve intercambio de ideas entre los estudiantes.

Orientaciones y planificaciones de clase

73

  :  

        9         3

 

    0    5     2   =     0     0    1   •    5  ,     2    5  ,    1  ,     2   1    4    4     0    1   =   =    0    5   =     0     2     0    :    5    1  ,   •    5    0     2    5    0    :     2    5    0    2    5     2  ,     2    1  ,     0    1     0    1        .    g

 .    e    t    n    e     i    c    o    c     l    e

    9  ,     0   =     3      :     ’    7 0    7  ,    2     ’     2     9  ,     0

   a   =    n     i     3    :    m    r    7  ,    e     2     t    e  .     D  .    a     4

    2     6   =     0     0    1   •     2     6  ,     0    5  ,    1     3   5  ,     9   1   =   =   =     0     2     0    2     6    1    6  ,   •    :    0    0     0    :     3    3   1     9    3     3     9  ,     9     0     0  ,        .     h

   5  ,     2   =    5      :     ’    5 0    5  ,    2     ’     2    5  ,    1     2   =    5    :    5  ,     2    1

 .     b

    8    4     2   =     0     0    1   •     8    4  ,     2

    0    5     6   =     0     0     0    1   •    5     6  ,     0

   5  ,     6    5   5  ,     9     3     9     2   =   =    8   =    4     8     0     2     0    4    :     0  ,    1     2   •    6    0    4    :    5    2     6     6    5    3   1  ,    2    5  ,     3     2     2     3      

  =    5     6  ,     0    :    5     2     6  ,    1

 .     i

 .     j

    9    4  ,     0   =       0    1      :     0     0     9     ’    0    0   –     9     ’ ,    4 9    4     9   –

   5  ,    5     2     2     6    5  ,

   1    2   =   =     0     0    5     0     0    6    :     0    1    5    5    0   •     2    5     6    2     3     2     6  ,    1    1      

 .     k

   4  ,     0

    2     3  ,     0

  =     0    1    :     9  ,    4

  =    4    :     8     2  ,    1

 .    c

    0    5     2     3   =     0     0     0    1   •    5     2  ,     3    5     9  ,     2    9  ,    4     9    4    5    1   =   =    0    5   =     0    2     0    5     0    3    :     2  ,    5    0     3    1   •     2    5    0    :    5    9    2    5     2     9    5     2     9  ,    1    2     9    5  ,    1    5          1

    2     3  ,     0   =    4    :     8     8     8     0     ´     2  ,    2    0     ´    1   1     –   –

 .

   s    e     l    a    m     i    c    e     d    s    o    r    e    m     ú     N   •      3      n     ó     i    c    c    e     L

 .     l

   1    5   =      5    :     5   5 0     ’    5    0     2    1    5   =    5  ,     0    :    5  ,    5     2

    3  ,     0

    3  ,     0   =     0     6    :      0 0     8    8    1   1

  =     6  ,     0    :     8    1  ,     0

 .    e

    d

   5     2    1    1   =     0     0     0    1   •    5     2    1  ,    1     8  ,    5    1     2    8  ,     0    1     2   =    5   =   =    2    5     0    1     2     0    1  ,     0    1    :     0    0    1    1    5    0   •     2    :    5    5     0    0     9     2     2     0  ,     0     2     2  ,     2      

 .     f  

  :

   s    e     l    a    m     i    c    e     d    s    o    r    e    m     ú    n    n    o    c    n     ó

 .    r     i     d     i     l     i    v    e    d    e    l     d   a     i    v    a     i    r     d    b    e    o    s    e    s    2  .    e    u   u   :    1    o  ,    q   q   t     2    s    a    d   r    e     l    a    ;    r    d      5    o    i    :   =    p   t    n    e    5    t    a     d    :    a    c    n    5    e  ,     d   :     i     0    o    i    c    t    t    1    s    o  .    n  .    a    a    e    c    c    c    c    R    ;     i  .     3     f     i    :    r    n    :     l    p    o     ó   r    s    i    o    s    m    i    s    i    v     i     i    e    v     j    v     i    e     D    i  .     d    d    y    e    e    ;    7    n     d    d    1     ó     i     i    v    s     i    o   :     i    o     d    v     d     i     d    a     d    e    t    n     l    s    e  .    a    n    e    u    s    d    s    u    u   e    i    v    e    r     i    n    e    q    o     D     d     d   :    e       i    s    a    t    5    g    e    n    o     d    r    t     i    e    n    n    e     d    t    i    c    3   =    o     3  ,     2    o    :    n    m    a    a    e    c    7     2    :     C     l  .    s        1    e    o   o    u   =    s     d    d   :    e    o    o     2     l    n   n    l     l    :    e    e    p    v    e     d    e     6  ,    n     i     d

    2     8  ,    1    5  ,    1     2    1  ,    1     9  ,     3     0  ,     0     6  ,     0       3  ,   =     3     0  ,     6     0    :     0

    2     2  ,     0

Z

    =     3    :     6     6  ,     0  .     d

    8  ,    1  .     d

 ,    4

    2  ,    7    7    4  ,     6     6     6  ,    5    5     8  ,    4    4    4     2  ,     3    3    4  ,     8  ,     2     0     2     6  ,    1     =    1     9  ,    :     8  ,     8     2     0     0  ,    7     0

 .    e

 .     f

   5     8  ,     2     2   4  ,    4    4    4     6  ,     3     0  ,     3     3    2    4  ,     2     6  ,  ,     0     2    8  ,    1    1    1   Z     6   =  ,     6     0  ,     8    :     0     0     8

Z

    3     8  ,     2

   1  ,     0     =     8    :     8  ,

 .    a    c     i    r     é    m    u    n    a    t    c    e    r    a     l    n    e    e    v     l    e

   1     9  ,     0

   1  ,     2     2

    6  ,     0

    3  ,     0     =     3    :     9  ,

Z

    3  ,     0

    3  ,     0

    0

   5  ,    4    4     6  ,     3     3    7  ,     2

   4  ,    1

    0    7  ,     =    4    :     8  ,

Z

   7  ,     0

   1    7  ,     0     0

    2

    0     9  ,     =    5    :    5  ,

    8  ,    1

Z   1     9  ,  ,     9     0

    0     0

   a    t    e    n    a     l    p    o    r    t    s    e    u     N

  •

   e    u    q    a    t     i    m    r    e     P  .    e    r    e     i    u    q    e    r    e    s    e    u    q    o    m    t     i    r     l    a    n    a    g    a     h    o     l    e    u    q    y    n    e     j    a     b    a    r    t    s    o     d    o    t    e    u    q    e     l    o    r    t  .    n    e    t    o    c    n     i    e    e    u    n    q    e    v    a    r    n    e    o    c    n    a    e    m    i    m    e    t    s     d    e  ,    s    l    o    e    t    o    n    a    d     i    n     d    u    t    a    c    s    u    e    a    s    r    o    o    d     l    a    e    l     d    u    c    o    l     j    a    a    c     b    n    a    r    o    t     l    c    e    s    o    e    t     d    a    n    l    e    t    m   u    s    e    t    e    r    n    s    e    u    s    n    a    n    e    m    r     b    e    e    p    u    e    p    y    r    o    m    p     A   o    c

    3    n     ó     i    c    c    e     L   •

   s    e     d    a     d     i    v     i    t    c     A    e     d    o    n    r    e     d    a    u     C    o     i    r    a    n    o     i    c    u     l    o    s    y    s    e    n    o     i    c    a    t

    i    s     i    v     i     D

    i    v    i    m         f    v    j    e    s    e     i     i    e     D    D    d    E     R  .     1

 .     2

   4

 .    a

    0  .     b

       s    e     R  .     3

    0

 .    a

    2  .     b

   4

 .    c

    1     d    a     d     i    n     U         8         3

    

   n    e     i    r     O

77

   

Lección

4

Planificación

Clase 27 2 horas pedagógicas / pág. 50 

Razones y porcenta porcentajes jes

ate  va Act í  v La Conferencia de las Partes (COP) se realiza anualmente en distintas ciudades del mundo e intenta reforzar la conciencia pública sobre los problemas relacionados con el cambio climático. La ubicación de las ciudades sedes de las COP de la 16 a la 25 realizadas entre 2010 y 2019 se indican en el mapa:

Propósito de la lección En esta lección comprenderán las razones y los porcentajes. Objetivo de Aprendizaje

COP 23

OA 3 y OA 4

COP 24

1  21 COP 2 COP 19

COP 25 2  22 COP 2

Gestión de la clase

6  16 COP 1

COP 18

En la sección Actívate se muestra la cantidad de COP realizadas en cada continente cuya finalidad es reforzar la conciencia pública sobre los problemas con el cambio climático. Comente con su curso en torno a qué efectos ha producido el cambio climático en nuestro país y cómo pueden ayudar a proteger el medio ambiente. Plantee preguntas como las siguientes: - ¿Qué es un porcentaje? - ¿En qué situación has oído hablar de porcentajes? - ¿Para qué piensas que podría utilizarse una razón matemática? - ¿Qué representa el 100 % de la población

COP 20 COP 17

 ica   r ic Áf r

 ica   r ic Am é r

 ia  As ia

 Euu r  E  roo p  paa 

ona  io Refle x i

Responde 1.

¿Qué fracción de las COP mostradas en el mapa se realizaron en América?, ¿y en los otros continentes?

•

¿Qué medidas deberían tomar los países para proteger el medioambiente?

2.

¿Qué números decimales son equivalentes a estas fracciones?

•

3.

¿Cuánto suman los números decimales anteriores?

¿Cuál te gustaría que fuera el aporte de Chile en este ámbito?

Puedes iniciar con

50

Oc ea  ea n í íaa 

 y  / 2QHt NPL it .l.l y   /  /b  /bit  t p  ps   s: /  nett.  ht t   Plane GK  Pla  SG te: S ente: Fue Fu

https://bit.ly/2QYk1aE 

Unidad 1  • Nuestro planeta

de un país? :

Solicite que lean y comenten las preguntas planteadas en el Texto del Estudiante, luego que compartan sus respuestas con el curso para unificar criterios. Invite a algunos de ellos a que pasen a la pizarra para que anoten las respuestas obtenidas.

Para finalizar la clase, organícelos en parejas a fin de responder las preguntas de la sección Reflexiona y comentar lo que saben sobres sob res las COP.

Solucionario

Las soluciones de las actividades propuestas en la Unidad 1 del  Texto  T exto del Estudiante Estudiante están están en las páginas páginas 105 105 a 11 113 y las soluciones de las actividades de la Lección 4 del Cuaderno de Actividades, están en las páginas 98 a 104.

Notas para el docente Actitudes

Se espera que los estudiantes presenten una actitud crítica en cada momento, en especial al analizar la problemática del medio ambiente

y el rol de ellos para mejorar esta situación. Unidad 1 

80

 Nuestro planeta

•

 

Razones Lorena quiere comprar bolsas reutilizables para transportar la mercadería del supermercado. El contenido de 1 set es el siguiente: Aprende

Planificación

Clase 28 2 horas pedagógicas / págs. 51 y 52 

s les ociale  So iencias S C ien

Desde el 3 de febrero de 2019, 201 9, los supermercados en Chile no pueden entregar bolsas plásticas.

Propósito Definir, expresar y representar una razón de múltiples formas.

Ejemplo 1  

Objetivos de Aprendizaje

¿Cómo representas la situación con trozos de papel? 1

OA 3 y OA 4

  Recorta 6 trozos de papel iguales. iguales.

Gestión de la clase 2

  Elige colores para pintarlos.

Comente con los estudiantes el objetivo de la clase y los contenidos por desarrollar. Luego, pida a uno de ellos que lea a todo el curso la situación planteada en el Texto del Estudiante.

Por ejemplo, para hacerlos coincidir con los de las bolsas, pinta 2 rojos y 4 azules. 3

 Píntalos y responde. En el set hay 2 bolsas rojas y 4 bolsas azules. Una representación es:

Puedes comparar la cantidad de bolsas rojas y la cantidad de bolsas azules usando una

Solicite que analicen el Ejemplo 1  observando los 3 pasos desarrollados. desarrollados. Proyecte o escriba en la pizarra el cuadro de contenido gris de la parte inferior de la página, nombrando y explicando los términoss que componen una razón. término

razón.

La razón entre el número de bolsas rojas y rojas y el número de bolsas azules  azules es de 2 : 4. Esta razón se lee “2 es a 4”. Las dos cantidades que estamos comparando forman los términos de la razón: 2

:

4

  Antecedente

Puede realizar preguntas como las siguientes:

Consecuente

Lección 4  4 • Razones y porcentajes   51

 

:

Conexión interdisciplinaria

En conjunto con el profesor de Ciencias Naturales, solicite a los estudiantes que formen grupos de 3 integrantes e investiguen sobre el nocivo efecto del plástico desechado en nuestro planeta. Pida que confeccionen afiches informativos y que los peguen en distintos lugares de su establecimiento.

• ¿Cuál es la razón entre el número de bolsas azules y el número de bolsas rojas?, ¿es también 2 : 4?, ¿por qué? • ¿Puede el antecedente de una razón ser igual o mayor que el consecuente?, ¿por qué? • Imagina una razón en que el antecedente sea igual al consecuente. ¿Cuál sería esa razón? , ¿qué situación representaría?

Orientaciones y planificaciones de clase

81

 

Ejemplo 2   María dibujó las siguientes figuras:

Lea en voz alta el Ejemplo 2 y solicite que comparen la razón entre la cantidad de cuadrados y la cantidad de triángulos con la razón entre la cantidad de triángulos y la cantidad de cuadrados. Explique que las razones no son iguales y que el antecedente de la primera corresponde al consecuente de la segunda y que el consecuente de la primera corresponde al antecedente de la segunda.

¿Cuál es la razón entre la cantidad de triángulos y la cantidad de cuadrados?   Identifica las cantidades cantidades de figuras.

1

 

Hay 3 cuadrados y 1 triángulo.  Responde.

2

 

La razón entre la cantidad de triángulos triángulos y la la cantidad cantidad de cuadrados es es 1 : 3. • ¿Cuál es la razón entre la cantidad de cuadrados y la cantidad de triángulos?,

¿en qué se diferencia de la razón anterior?

Explique el Ejemplo 3 y señale que la segunda razón se puede obtener si se multiplican por 2 el antecedente y el consecuente de la primera razón.

El orden de los términos de una razón  es muy importante. Por ejemplo, 3 : 1 no es lo mismo que 1 : 3. Siempre hay que respetar el orden de los elementos que estamos comparando.

En los dos ejemplos revisados, debe dar énfasis al orden de los términos de las razones, ya que, por ejemplo, no es lo

Ejemplo 3   María también dibujó maceteros con flores.

mismo 3 : 4 que 4 : 3. Muchas veces, el confundir los términos o escribirlos en un orden incorrecto provoca frustración en los estudiantes, impidiéndoles avanzar en su comprensión de las razones y retrasando su progreso.

¿Cuál es la razón entre la cantidad de maceteros con flores azules y la cantidad de maceteros con flores rojas?, ¿es igual a la razón entre las cantidades cantidades de flores azules y rojas?  Identifica las cantidades de objetos.

1

Hay 5 maceteros con flores azules y 2 maceteros con flores rojas. Hay 10 flores azules y 4 flores rojas.  Responde.

2

Las razones son las siguientes:

Notas para el docente

Acompáñelos en la realización de las actividades de la clase, aclarando posibles dudas, promoviendo una discusión en un ambiente de respeto, e invitando a que compartan y comuniquen sus resultados y que  justifiquen  justi fiquen sus sus respuest respuestas. as.

52

•

Entre las cantidades de maceteros con flores azules y rojas

•

Entre el número de flores azules y rojas

 10 : 4.

→

 5 : 2.

→

Es posible comparar el número de maceteros porque cada uno contiene la misma cantidad de flores.

Unidad 1  • Nuestro planeta

 

Para finalizar la clase, puede pedir a los estudiant estudiantes es que establezcan algunas razones a partir de situaciones cotidianas cotidianas de su vida o de lo que aprecian en su entorno. Por ejemplo: la razón entre la cantidad de horas que duermen y la cantidad de horas que están despiertos o la razón entre la cantidad de horas que están en el colegio y la cantidad de horas que están en la casa, etc.

:

Unidad 1 

82

 Nuestro planeta

•

 

Ejemplo 4   Observa las estrellas y círculos.

Planificación

Clase 29 2 horas pedagógicas / págs. 53 y 54  ¿Qué razones puedes definir a partir de las imágenes? 1

2

 

Propósito Establecer razones y definir el concepto de razón equivalente.

  Identifica la cantidad cantidad de grupos y la cantidad de figuras en cada uno. uno. •

Hay 3 grupos de estrellas y 2 grupos de círculos.

•

En cada grupo hay 3 figuras.

 Responde.

Objetivos de Aprendizaje

Algunas razones son: •

La razón entre el número de estrellas y el número de círculos es 9 : 6.

•

La razón entre el número de grupos de círculos y el número de grupos de estrellas es 2 : 3.

•

La razón entre el número de estrellas y el número total de figuras es 9 : 15.

•

La razón entre el número de círculos y el número total de figuras es 6 : 15.

OA 3 y OA 4 Gestión de la clase

• ¿Qué otras razones puedes definir en la situación anterior?

Pida a los estudiantes que respondan preguntas, tales como:

Ejemplo 5   Observa la siguiente colección de figuras.

• ¿Qué son las razones? • ¿Qué elementos forman una razón?

Luego, comente con los alumnos el objetivo de la clase y los contenidos por desarrollar. ¿Qué razones puedes definir para relacionar soles, corazones y caras? 1

 

Hay 4 soles, 2 corazones y 8 caras. 2

 

  Cuenta la cantidad de figuras de cada tipo.

Solicite que lean y analicen los Ejemplos 4  y 5 y que determi determinen nen en qué se diferencian las razones que se definieron en una y otra. Motívelos para que busquen distintas razones en el Ejemplo 4. Indique que las razones permiten comparar dos o más cantidades y, por lo tanto, que pueden

 Responde. Algunas razones son: •

La razón entre la cantidad de soles, corazones corazones y caras es 4 : 2 : 8.

•

La razón entre la cantidad de corazones, corazones, caras y soles es 2 : 8 : 4.

•

La razón entre la cantidad de caras, soles y corazones es 8 : 4 : 2.

Lección 4 4  • Razones y porcentajes   53

 

:

Notas para el docente

A pesar de los aportes entregados por Jean Piaget, en donde se destaca la importancia de utilizar material concreto durante la edad de 7-12 años, el uso de material es aún insuficiente, por lo que se sugiere ocupar este material para fortalecer un aprendizaje significativo a través de la manipulación y desarrollar diferentes experiencias.

tener más de dos términos. Como complemento de lo anterior puede agregar que las razones con más de dos término términoss permiten expresar una comparación entre múltiples cantidades y reiteree que es fundamenta reiter fundamentall especificar el orden en que se consid considera era cada cantidad al momento de escribir la razón.

Orientaciones y planificaciones de clase

83

 

Ejemplo 6   José y Camila tienen las cantidades de lápices que se indican en la imagen. José

Lea junto con el curso el Ejemplo 6 y responda las dudas que puedan surgir. Invite a los estudiantes a comentar el desarrollo expuesto y a compartir otras estrategias que podrían aplicar para resolver la situación. Pida que recuerden el concepto de razón y sus características para luego aplicarlo en el ejemplo.

Camila

¿Cuál es la razón entre las cantidades de lápices de José y Camila?

  Reúne en grupos de 4 lápices y define la razón.

1

José

 

Haga un seguimiento de cada uno de los pasos explicados en el Ejemplo 6 y oriente a los estudiantes para que comprendan la forma en que se obtuvieron las razones. Indique que estas tres razones representan la misma relación entre las cantidades, ya que surgen a partir del análisis de una misma situación.

Camila

La razón es 2 : 3.   Reúne en grupos de 2 lápices y define la razón.

2

José

 

Camila

La razón es 4 : 6.   Considera las cantidades cantidades totales de lápices y define la razón.

3

José

Camila

  Solicite que lean y comenten el recuadro de contenido que se halla en la parte inferior de la página, en que se establece el concepto de razón equivalente y se indica la forma de obtener razones equivalentes a una razón dada. Puede señalar que si consideran una razón como una fracción –en que el antecedente corresponde al numerador de la fracción y el consecuente, a su denominador–, pueden aplicar los conceptos de amplificación y simplificación para obtener razones equivalentes a una razón dada. Como cierre, puede elaborar una lista de cotejo para tener registro de los estudiantes que efectivamente trabajaron durante la clase y para registrar si lograron comprender los conceptos y estrategias descritos y explicados en los Ejemplos 4, 5 y 6 del Texto del Estudiante.

 

La razón es 8 : 12.  Responde.

4

 

La razón entre entre las cantidades de lápices de José y Camila se puede escribir escribir de tres maneras: 2:3

4:6

8 : 12

Dos o más razones son equivalentes si representan la misma relación entre cantidades de elementos. Para obtener razones equivalentes puedes multiplicar o dividir los términos de una razón por un mismo número. Por ejemplo, las siguientes razones son equivalentes: 2 : 3 = 4 : 6 = 8 : 12 Al multiplicar los términos de la primera razón por 2 obtienes la segunda razón; y al multiplicarlos por 4, obtienes la tercera.

54

Unidad 1  • Nuestro planeta

 

Notas para el docente Actitudes

b  Abordar de manera flexible y creativa la búsqueda búsqueda de soluciones

a problemas. Puede pedir a los alumnos que planteen nuevas equivalencias, diferentes a las propuestas en el Texto del Estudiante, representándolas de diversas maneras.

:

84

Unidad 1 

 Nuestro planeta

•

 

Practica

en tu cuaderno

Planificación

1. Identifica antecedente y consecuente. a. 4 : 5

b. 7 : 1

c. 3 : 7

Clase 30 2 horas pedagógicas / págs. 55 y 56 

d. 15 : 100

2. ¿En qué se diferencian las razones 7 : 10 y 10 : 7?

Propósito Aplicar la definición de razón para resolver ejercicios y problemas.

3. Arturo tiene 4 manzanas, María tiene 3 naranjas, Loreto tiene 7 peras y Felipe tiene 4 duraznos. Escribe las razones que se indican a continuación: a. Razón entre las cantidades de naranjas y de duraznos. b. Razón entre las cantidades cantidades de duraznos y de peras. p eras. c. Razón entre las cantidades cantidades de peras p eras y de duraznos.

Objetivos de Aprendizaje

d. Razón entre la cantidad de manzanas y la cantidad total de frutas.

OA 3 y OA 4

e. Razón entre la cantidad total de frutas y la cantidad de naranjas. f. Razón entre las cantidades de naranjas, de manzanas y de peras.

Gestión de la clase

4. Identifica 3 razones en cada representación y explícalas. a.

c.

b.

d.

Pida a los estudiantes que lean cada actividad y aclaren sus dudas antes de comenzar a trabajar. Es importante que entre ellos puedan comentar diferentes estrategias para dar solución a las actividades planteadas.

5. Explica cómo se obtuvo cada fracción equivalente a 4 : 20. [PROFUNDIZACIÓN]  a. 8 : 40

b. 2 : 10

c. 1 : 5

d. 20 : 100

6. Para cada razón, determina 3 razones equivalentes. Explica tu estrategia. a. 2 : 1

c. 3 : 2

e. 4 : 8

g. 12 : 18

b. 1 : 4

d. 9 : 6

f. 24 : 12

h. 75 : 25

Formule preguntas para activar los conocimientos que pondrán en práctica en esta clase: • ¿Para qué se usan las razones? • ¿Cuáles son los términos de una razón? • ¿Qué significa que dos razones sean equivalentes? • ¿Cómo puedes saber si dos razones son equivalentes?

7. Analiza y da una interpretación del significado. a. 3 : 3

c. 10 : 4

e. 1 : 2

g. 7 : 1

b. 6 : 5

d. 12 : 4

f. 14 : 4

h. 10 : 100

Lección 4  4 • Razones y porcentajes   55

 

:

Notas para el docente

Mostrar a los estudiantes las aplicaciones que tienen las matemáticas en el mundo real restará abstracción a estas y les ayudará a comprender su utilidad. En este sentido, es importante enfocar su aprendizaje a través de actividades repetitivas en las que se practique el cálculo y problemas ligados a la vida cotidiana en los que deban hallar la solución llevando a la práctica los conceptos y procesos aprendidos y desarrollando sus habilidades matemáticas.

Solicite que resuelvan las actividades propuestas en sus cuadernos y luego genere una discusión en torno a sus respuestas, con la participación de todos los integrantes del curso para así unificar sus criterios y respuestas. Puede solicitar que los estudiantes intercambien estrategias para resolver la actividad 6. Para esto, solicite que en grupos apliquen dos estrategias diferentes para obtener razones equivalent equivalentes. Puede evaluarlasformativamente esta es. actividad usando una lista de cotejo.

Orientaciones y planificaciones de clase

85

 

8. Resuelve Resuelve los  los a.

problemas .

Postre pa Pos para 6 p er ersona sonass

Para preparar un postre se requiere harina y leche. Leche

• ¿Qué razón representa la relación entre los ingredientes?

Puede apoyar la resolución de los problemas de la actividad 8, recordando los pasos generales que pueden seguir: entender, planificar, hacer y comprobar. Dé énfasis a las actividades en que se aplican los conceptos estudiados en la clase a situaciones cotidianas, ya que estas permiten afianzar su comprensión.

Harina

 

• Un postre para 12 personas, ¿cuántas tazas de harina y de leche requiere? • Uno para 24 personas, ¿cuántas tazas de harina y de leche requiere? b.

En la tabla se muestra la cantidad de horas semanales de tres asignaturas con Jornada Escolar Completa (JEC). Horas semanales de asignaturas con Jornada Escolar Completa

Inste a los miembros de la clase a leer los problemas propuestos en la actividad 8 y reflexionar sobre las preguntas planteadas en el Texto del Estudiante. Una vez que todos los estudiantes hayan desarrollado las actividades, resuélvalas en la pizarra e invite a que sean ellos quienes le indiquen el procedimiento a seguir. Escoja a algunos para que expliquen la o las estrategias que utilizaron para resolver las situaciones problemáticas.

Asignatura

Ciencias Naturales

Matemática

Educación Física y Salud

Tiempo (horas)

4

6

2

• ¿Cuál es la razón entre la cantidad de horas semanales de Matemática y Ciencias Naturales? • ¿Cuál es la razón entre la cantidad de horas de Educación Física y Salud y la de las otras dos asignaturas? • ¿Cuántas horas de Matemática tendrá un estudiante en 3 semanas? • ¿Cuántas horas de Ciencias Naturales tendrá un estudiante en 38 semanas? c.

Música

 Un piano común posee 7 octavas completas (como la de la imagen)

más 3 teclas blancas y 1 negra. Octav a de un p  pia ian no

  Pida que lean y analicen la actividad de profundización. Con el propósito de verificar los conocimientos aprendidos durante esta clase, se recomienda al docente plantear la siguiente situación: Si tuvieras que explicarle a un estudiante que no entendió el concepto de razón y sus representaciones, ¿cómo lo harías? Durante el desarrollo de las actividades de la sección Practica, puede realizar breves entrevistas individuales a algunos estudiantes para preguntarles por su comprensión y manejo del concepto de razón y de su aplicación en la resolución de los problemas propuestos. La información que reúna la puede registrar en una lista de cotejo.

• ¿Qué razón representa la relación entre la cantidad de teclas negras y blancas en una octava? • ¿Cuántas teclas negras y blancas hay en 3 octavas de un piano? • ¿Cuántas teclas negras y blancas hay en 5 octavas de un piano? • ¿Cuántas teclas negras y blancas hay en un piano común? [PROFUNDIZACIÓN]

56

Unidad 1  • Nuestro planeta

 

Notas para el docente

 Tener presente  Tener presente que una una razón es una una comparación comparación entre entre dos o más cantidades. Puede expresarse mediante una fracción. Si las cantidades a comparar son a y b, la razón entre ellas se escribe como a : b, en que a es el antecedente y b, el consecuente.

:

86

Unidad 1 

 Nuestro planeta

•

 

d.

Ciencias

 En un parque eólico, los aerogeneradores como el de la imagen transforman la energía del viento en energía eléctrica.

• ¿Qué razón representa la relación entre el número de vueltas y la cantidad de segundos que transcurren?

Aero rog generador

Planificación Pala

30 vueltas en 90 s

• ¿Cuál es la razón equivalente a la anterior formada por

Clase 31 2 horas pedagógicas / pág. 57 

los menores números naturales posibles?

• • • • • • •

¿Cuántas vueltas da una de las palas en 180 s?

Propósito Aplicar la definición de razón para resolver ejercicios y problemas.

¿Y en 30 s? ¿Y en 15 min? ¿Cuántos segundos tarda una pala en dar 1 vuelta? ¿Y 90? ¿Y 450?

Objetivos de Aprendizaje

¿Y 15?

OA 3 y OA 4

9. ¿Cuál de las afirmaciones es correcta? Justific  Justifica a tu respuesta.

Si sumas 3 a cada término de la razón 3 : 5, obtienes una razón equivalente equivalente..

10.

Si multiplicas por 3 cada término de la razón 3 : 5, obtienes una razón equivalente equivalente..

Gestión de la clase

Dos integrantes. Cada uno selecciona un grupo de frutas y propone 3 razones entre las cantidades allí presentes.

Grupo 1

Solicite a los estudiantes que observen los aerogeneradores que muestra el Texto del Estudiante y pida que comenten sobre su utilidad y sobre los beneficios en el cuidado del medio ambiente que puede traer su uso.

Grupo 2

Recuérdeles que en esta clase terminarán de desarrollar la sección Practica, en que están aplicando el concepto de razón para resolver las actividades propuestas.

Al finalizar, verifican sus razones y  y resuelven los los   problemas . [PROFUNDIZACIÓN] a. ¿En qué grupo es mayor la razón de frambuesas respecto del total? b. ¿Cuántos ¿Cuántos arándanos habría que agregar al grupo 1 para que las razones entre la cantidad de arándanos y frambuesas sean equivalentes en ambos grupos? c. ¿Cuántas ¿Cuántas moras habría que agregar al grupo 2 para que las razones entre la cantidad de arándanos y moras sean equivalentes en ambos grupos?

Invite a resolver las situaciones planteadas en el Texto del Estudiante dando respuestas a todas las interrogantes.

Páginas 44 a 47.

Lección 4  4 • Razones y porcentajes   57

 

:

Pida a los estudiantes que lean y analicen la actividad de profundización, y luego, organizados en grupos, que verbalicen los aprendizajes de esta clase. Para finalizar, puede hacer una lista de cotejo para llevar un registro de los estudiantes que efectivamente trabajaron durante esta clase práctica, y para registrar si demostraron interés y participaron activamente en las actividades que se propusieron.

Invite a los estudiantes a que formen grupos de 2 integrantes para el desarrollo del problema 10 proponiendo razones asociadas a las imágenes de frutas, y que comparen sus respuestas con las de otros grupos, de manera de promover la interacción y el intercambio de ideas entre los estudiantes.   Cuaderno de Actividades

Una vez que los estudiantes terminen las actividades propuestas, puede profundizar la ejercitación en las páginas 44 a 47  del Cuaderno de Actividades.

Orientaciones y planificaciones de clase

87

 

Porcentajes Rodrigo usa desechos orgánicos para fabricar compost. Él averiguó que a los 9 meses obtendrá su producto final según el rendimiento que se indica en la imagen. Este indica que por cada 100 kg de desechos que ingrese a la compostera obtendrá 30 kg de compost.

Planificación

Clase 32 2y 60horas pedagógicas / págs. 58, 59 Propósito Comprender el concepto de porcentaje de manera concreta, pictórica y simbólica.

Rendim imiiento to:: 30 k g c  co ompost/ 100 k g de d  de esechos.

Ejemplo 1   ¿Cómo representas gráficamente el rendimiento?

Objetivo de Aprendizaje

  Dibuja una cuadrícula dividida en 100 partes iguales.

1

OA 3 y OA 4 Apre nde  ¿Qué representa representa cada parte? 

Gestión de la clase

Inicie la clase explicando la utilidad y beneficios de fabricar compost en sus casas e invite a los miembros de la clase a investigar sobre este abono. Además,

ncias ien Cie

El compost es un abono natural obtenido por descomposición de material orgánico.

Responde pintando 30 partes.

2

Una representación es:

indague en los preconceptos que tienen acerca del porcentaje. Pida que indiquen si han oído o visto en las noticias este término.

Solicite a un estudiante que lea la situación planteada y luego pida que analicen los pasos que se muestran en el Ejemplo 1 donde se representa el porcentaje como una parte de 100. Organice al curso en grupos de 2 o 3 estudiantes y proponga un breve trabajo colaborativo en que cada grupo responda las dos preguntas que están a continuación del Ejemplo 1. Pida que este trabajo evaluativo sea realizado en un tiempo acotado (unos 10 minutos) y presentado en una hoja con los nombres de los integrantes del grupo. Además, puede pedir a distintos grupos que pasen a la pizarra a explicar sus desarrollos al resto del curso. Promueva una discusión sobre la respuesta de las preguntas anteriores, pidiendo que  justifiquen  justifiq uen sus estrateg estrategias. ias.

58

•

¿Cómo usarías rectángulos de papel de dos colores diferentes para representar el rendimiento mostrado en la cuadrícula anterior?

•

¿Qué fracción y qué número decimal expresan el rendimiento representado? ¿Cómo los relacionarías con la situación de compostaje?

Unidad 1  • Nuestro planeta

 

Ambiente de aprendizaje

Genere, en conjunto con el curso, un ambiente tranquilo, en el que cada uno pueda concentrarse y comprender la actividad propuesta en el Texto del Estudiante. Puede organizarlos para que respondan las preguntas planteadas de manera individual y finalizar la clase con una puesta en común para unificar los resultados.

:

Unidad 1 

88

 Nuestro planeta

•

 

Ejemplo 2   ¿Qué razón representa el rendimiento del compostaje de Rodrigo? 1

 Define el antecedente y el consecuente.

Lea en voz alta el Ejemplo 2 y pida a los estudiantes que analicen la representación del antecedente y el consecuente de la razón resultante del rendimiento del compostaje de Rodrigo. Solicite a un estudiante que lea la razón anterior en voz alta y luego, que den tres ejemplos de razones equivalentes a la inicial.

El antecedente es 30 y el consecuente, 100. 2

  Responde escribiendo escribiendo la razón. 30 : 100

• ¿Cómo lees la razón? • ¿Qué razones son equivalentes a 30 : 100? Propón 3 ejemplos. El porcentaje (%) corresponde a una razón de consecuente 100. Un a % lo puedes representar gráficamente con una región dividida en 100 partes iguales, de las cuales se consideran a partes.

Expresa qué porcentaje

de los desechos no se transforman en compost.

A continuación, desarrolle el Ejemplo 3 en la pizarra, pidiendo la atención y la colaboración de todo el curso. Puede proponer una serie de porcentajes y pedir a estudiantes voluntarios que pasen adelante a dibujar su representación gráfica y a expresarlos como número decimal y como fracción.

Ejemplo 3   ¿Cómo expresas 30 % como fracción y como número decimal? 1

 Expresa como fracción la representación con regiones.

Aprende

Ciencias

Se estima que en Chile cada persona genera 1,25 kg de desechos al día, correspondiendo un 50 % a material orgánico.

30 100

Fuente:  www.mma.gob.cl  Fuente:

2

Proponga un breve trabajo individual en que cada estudiante responda las dos pregunta que están a continuación del Ejemplo 3. Pida que este trabajo evaluativo sea realizado en un tiempo acotado (unos 10 minutos) y presentado en una hoja aparte con el nombre del estudiante. Permita que aquellos que deseen explicar y compartir sus desarrollos en la pizarra, lo hagan. Genere, a partir de estas exposiciones, un intercambio de estrategias y conceptos entre los estudiantes y resguarde que se mantenga el orden y

  Expresa la fracción como número decimal. decimal. La fracción se lee 󰂫treinta centésimos󰂻. Por lo tanto, su expresión decimal es:

 

0,30

• ¿Cómo compruebas que

30

 ¿De qué otra forma puedes leer este número?  número? 

 equivale a 0,30?

100

• ¿Cómo expresas 50 % como fracción y como número decimal? Puedes representar un porcentaje como una fracción con denominador 100 y como número decimal.

Lección 4  4 • Razones y porcentajes

 

  59

:

Habilidades del siglo XXI

La creatividad nos hace pensar y trabajar de forma novedosa, adaptando ideas anteriores a situaciones nuevas e implementar soluciones originales en áreas que lo requieran. Esto necesita de la búsqueda permanente de respuestas a preguntas simples y complejas. Al mismo tiempo implica curiosidad, perseverancia y valoración de conocimiento acumulado.

exista respeto por opiniones de todos los integrantes del las curso. Luego, formalice la representación de un porcentaje como una fracción y como un número decimal.

Orientaciones y planificaciones de clase

89

 

problema  

Ejemplo 4   Rodrigo introdujo en su compostera la masa de desechos orgánicos indicada. ¿Cuánto compost obtendrá?

Solicite a un estudiante que lea en voz alta el Ejemplo 4 y que comenten entre ellos los 3 pasos definidos en el Texto del Estudiante para dar respuesta al problema.

?

20 kg

  Escribe los datos en una tabla. tabla.

1

Masa Ma sa de com ompo post st (k (kg g)

Masa Ma sa de de dese sech chos os or orgá gáni nico coss (k (kg) g)

30

100

?

20

Invítelos a expresar el enunciado del Ejemplo 4 con porcentajes y luego

inste a que comprueben la respuesta considerando los 4 pasos definidos en el Ejemplo 5.

2

  Calcula una razón de consecuente consecuente 20 equivalente a 30 : 100. Divide por 5 el antecedente y el consecuente de 30 : 100. Se obtiene:

 

6 : 20 3

Al concluir la revisión del Ejemplo 5, pida que expresen diferentes porcentajes en forma decimal y fraccionaria, como por ejemplo: 10 %, 25 %, 50 % y 75 %.

  Interpreta y responde. responde.

 ¿Por qué se dividió dividió por 5? 

Rodrigo obtendrá 6 kg de compost.

• ¿Cómo expresarías la pregunta del enunciado usando porcentajes? • ¿Cómo comprobarías la respuesta? Explica a un compañero.

Esta actividad adicional la puede proponer como un trabajo individual específico a desarrollar en una hoja aparte y en un

Ejemplo 5   ¿Cómo compruebas la respuesta a la pregunta del Ejemplo 4?

  Escribe la razón 30 : 100 como porcentaje.

1

Esta razón representa un 30 %.

tiempo acotado de unos 10 minutos. Cumplido el tiempo, oriente a los estudiantes y controle que se autoevalúen. Esta autoevaluación permitirá que detecten por sí mismos si han logrado comprender y asimilar los nuevos aprendizajes.

2

  Expresa el porcentaje como fracción fracción y como número decimal. 30 Como fracción   Como número decimal 0,3 100

3

  Multiplica el porcentaje por la masa de desechos. desechos. Usa la expresión decimal. 20 • 0,3 = 6

4

Explica cómo resolverías si

usaras la expresión fraccionaria.

 Responde.

Por ejemplo, multiplicando el porcentaje expresado como fracción o número decimal por el total considerado: 󰂫el 30 % de 20 es 6󰂻.

Motívelos a formular una regla general para calcular el porcentaje de una cantidad. Solicite a algunos estudiantes que pasen a la pizarra y expliquen dichos procedimientos resto delycurso. que todo el cursoal escuche apoyeProcure a los estudiantes expositores, resguardando que exista un ambiente de respeto y distensión mientras se desarrolla la actividad. Para finalizar la clase, puede proponer un breve trabajo colaborativo en que cada grupo de 2 o 3 integrantes responda las dos preguntas que están a continuación del Ejemplo 5. Pida que este trabajo evaluativo sea realizado en un tiempo acotado (unos 10 minutos) y presentado en una hoja con los nombres de los integrantes del grupo. Adicionalmente, puede pedir a distintos grupos que pasen a la pizarra a explicar sus

• ¿Qué regla general formularías para calcular el «a % de b»? • ¿Cuánto es el 70 % de 20? Explica a un compañero.

60

Unidad 1  1  • Nuestro planeta

 

Desarrollo del pensamiento matemático

Pida a los estudiantes anotar y verbalizar algunos de sus desarrollos en la pizarra, explicando y justificando los resultados obtenidos. Invite además a que sus compañeros reafirmen o rebatan tales resultados. Genere de esta forma una discusión dentro del curso en la que los estudiantes respalden o pongan en tela de juicio las estrategias y resultados. Todo esto promueve que desarrollen habilidades metacognitivas.

:

desarrollos al resto del curso. Unidad 1 

90

 Nuestro planeta

•

 

problema 

Ejemplo 6   En otra compostera, Rodrigo obtuvo la masa de compost indicada. ¿Cuántos desechos orgánicos introdujo inicialmente?

Planificación

18 kg

Clase 33 2 horas pedagógicas / págs. 61 y 62 

?

1

Mas a d e com ompo poss t ( kg kg)

M as as a d e d es ese ch chos or org gán ic icos ( kg kg)

30

100  

18 2

Propósito Calculan porcentajes a partir de la definición de razón.

  Escribe los datos en una tabla. tabla.

?

Objetivos de Aprendizaje

  Calcula una razón de antecedente antecedente 18 equivalente a 30 : 100. Divide por 5 y luego multiplica por 3 antecedente y consecuente de 30 : 100. Se obtiene:

OA 3 y OA 4

18 : 60 3

Explica por qué se divide

  Interpreta y responde. responde. Rodrigo introdujo 60 kg de desechos orgánicos. orgánicos.

por 5 y multiplica por 3.

Gestión de la clase

• ¿Cómo expresarías la pregunta del enunciado usando porcentajes? • ¿Cómo comprobarías la respuesta? Explica.

Inicie la clase leyendo la situación planteada en el Ejemplo 6 y pida a algunos estudiantes que expliquen cada paso utilizado para resolverla.

Ejemplo 7   ¿Cómo compruebas la respuesta a la pregunta del Ejemplo 6? 1

  Divide la masa de compost por el porcentaje. Usa la expresión decimal. 18 : 0,3 = 60

2

 Responde.

 ¿Cuántoo es 0,3 • 60?   ¿Cuánt

Pida a uno de los estudiantes que lea el Ejemplo 7 y luego inste al curso que analice los pasos utilizados para dar respuesta al problema.

Por ejemplo, dividiendo el porcentaje expresado como fracción o número decimal por la parte considerada: «18 es el 30 % de 60».

• ¿Qué regla general formularías para responder «de qué número c es su a %»? • ¿Cuánto es el 70 % de 60? Explica. Para calcular un porcentaje puedes:

•  aplicar el concepto de razón equivalente. •  multiplicar el porcentaje expresado como fracción o número decimal por el total considerado.

ona  io  x i Refle x

¿Cómo te ayudó la perseverancia a comprender los contenidos?

Lección 4  4 • Razones y porcentajes

 

Comente al curso los procedimientos que pueden utilizar para calcular un porcentaje ejemplificando en la pizarra. Permita que verbalicen verbalice n una regla general para dar respuesta a qué número corresponde corresponde la cantidad del porcentaje dado.

61

:

Uso de recursos tecnológicos

Notas para el docente

Puede sugerir el uso de una calculadora para comprobar sus porcentajes, como la que proporciona el siguiente sitio:

Actitudes

https://bit.ly/39Z0lLZ 

Guíelos en el uso de esta u otras aplicaciones que encuentren en línea. Para ello, encontrará en el mismo sitio un instructivo breve para que comparta con los estudiantes. Además, puede dar una serie de ejercicios de cálculo directo para que desarrollen con esta calculadora.

e  Demostrar una actitud de esfuerzo

y perseveranci p erseverancia. a. Puede plantear la siguiente pregunta: ¿Qué es la perseverancia? A partir de las respuestas, genere una puesta en común y pida voluntarios para que describan ejemplos de perseverancia en el ámbito escolar.

Orientaciones y planificaciones de clase

91

 

Practica

en tu cuaderno

1. Define el concepto de porcentaje. 2. Identifica el porcentaje representado.

Invite a sus estudiantes a que resuelvan las actividades propuestas de manera individual, y luego genere una discusión en torno a estas respuestas, en que participen todos los integrantes del curso. Durante el monitoreo de la actividad, no mencione la respuesta correcta ni tampoco corrija errores. Permita que generen conocimiento mediante la interacción entre compañeros.

b.

3. Representa con regiones. a. 20 %

b. 50 %

c. 66 %

4. Expresa como razón, fracción irreducible y número decimal.

Puede proponer la actividad 6 como un trabajo colaborativo. Para ello, organice el curso en grupos de 2 integrantes y explicite los objetivos del trabajo: organización, participación y orden. Sugiera que un integrante resuelva usando una estrategia y que el otro compruebe usando otra estrategia. Tras la interacción y comparación de las estrategias, controle que, en conjunto, comprueben con la calculadora que las soluciones obtenidas son las correctas.

a. 1 %

d. 25 %

g. 75 %

b. 5 %

e. 40 %

h. 85 %

c. 12 %

f. 55 %

i. 92 %.

5. Explica cómo determinas el porcentaje representado. [PROFUNDIZACIÓN]  

a.

b.

6. Calcula. Aplica  la estrategia que prefieras. Comprueba  con

.

a. El 8 % de 100.

d. El 10 % de 120.

g. El 20 % de 30.

b. El 100 % de 25.

e. El 20 % de 400.

h. El 40 % de 80.

c. El 50 % 16.

f. El 5 % de 200.

i. El 90 % de 50.

7. Responde. Aplica  la estrategia que prefieras. Comprueba  con

Invite a responder preguntas, tales como: ¿Qué debo repasar de la Lección? y ¿cómo estoy aprendiendo? Luego, solicite que comenten sus respuestas con un compañero y que refuercen, en conjunto,

 

a.

.

a. ¿De qué número 8 es su 10 %?

c. ¿De qué número 15 es su 60 %?

b. ¿De qué número 20 es su 50 %?

d. ¿De qué número 12 es su 75 %?

8. El siguiente intervalo de la recta numérica se dividió en 4 partes iguales: 0

 A

B

C 

1

Descubre qué porcentaje, fracción y número decimal se ubica en la posición de  A, B y C .

62

Unidad 1  • Nuestro planeta

los conocimientos que crean necesarios.  

Ambiente de aprendizaje Notas para el docente Actitudes

Enfatice sobre la importancia de ser críticos al momento de evaluar la información de un problema para poder resolverlo.

Permita que en todas estas instancias cada estudiante pueda expresarse libremente y con una actitud respetuosa. Se sugiere, al momento de realizar los plenarios, organizar a los miembros de la clase sentados en un semicírculo para que entre todos se puedan observar y sea más fácil la comunicación entre ellos.

:

92

Unidad 1 

 Nuestro planeta

•

 

9. Resuelve los problemas . a. Una biblioteca digital tiene 100 libros.

Infantil

Historia

Juvenil

Ciencia

Planificación

Clase 34 2 horas pedagógicas / pág. 63 

• Expresa como razón la cantidad de libros de cada tipo respecto del total.

• Escribe el porcentaje que representa cada tipo de libro

Propósito Resolver problemas que involucran porcentajes.

respecto del total.

• Interpreta cada porcentaje anterior. b.

Ciencias Sociales

 Analiza la información.

El consumo sectorial de energía en Chile en 2016 fue: Industria y Minería:  Transporte  Tra nsporte:: Sector Comercial, Público y Residencial:

Objetivos de Aprendizaje

40 % 36 % 22 %

OA 3 y OA 4

Fuente: Ministerio del Medio Ambiente. «Cuarto Reporte del Estado del Medio Ambiente, 2018».

Gestión de la clase

• ¿Qué porcentaje corresponde a otro sector? •

Si el consumo de 2016 fue de 284 777 Tcal (unidad de medida de energía), ¿cuántas se asocian a cada sector?

Comente el propósito de esta clase: aplicar el concepto de porcentaje para resolver problemas y desarrollar otras actividades.

10.Evalúa 10. Evalúa  lo que afirma cada niña y explica si es verdadero o falso Como el 20 % de 60 es 12, el 60 % de 20 también es 12.

Como el 10 % de 40 es 4, el 5 % es 2.

Ángela

Daniela

Invite a cada estudiante a responder las preguntass de forma individual, para luego pregunta propiciar una discusión grupal en torno a las respuestas obtenidas.

Páginas 48 a 53.

Sintetiza

Razones

Porcentajes

Una razón permite comparar dos cantidades a y b mediante su división: a : b

Un porcentaje (%) es una razón cuyo consecuente es 100. Un a % se puede representarr por: representa

  Cuaderno de Actividades

Una vez que los estudiantes terminen las actividades propuestas, puede profundizar la ejercitación en las páginas 48 a 53 del Cuaderno de Actividades.

a : 100

Antecedente

Consecuente

Lección 4  4 • Razones y porcentajes   63

 

:

 Planificación

Clase 35 2 horas pedagógicas

Lea junto a los estudiantes la sección Sintetiza y solicite que expliquen cada concepto destacado y planteen las dudas que tienen sobre lo expuesto.

  Cuaderno de Actividades

En esta clase práctica se sugiere que monitoree el completo desarrollo de las actividades de las páginas 44 a 53 del Cuaderno de Actividades. En esta clase puede realizar acciones como las siguientes: • Ir repasando las páginas del Cuaderno de Actividades correspondientes a esta lección y resolviendo aquellos ejercicios que los propios estudiantes le soliciten. • Durante este repaso, ir haciendo preguntas que los hagan pensar, como por ejemplo: ¿de qué otra forma se puede desarrollar este ejercicio?, ¿qué otra estrategia hubieran aplicado para resolver este problema?, etc. • Organizar grupos de trabajo para desarrollar las actividades que hayan causado dificultades a un grupo significativo de

los estudiantes del curso y apoyarlos en su trabajo. Orientaciones y planificaciones de clase

93

 

vas? ¿Cómo  va

Desarrolla en tu cuaderno

1. Representa con regiones.

Planificación

a. 2 : 3

Clase 36 2 horas pedagógicas / págs. 64 y 65 

b. 10 %

a. 1 : 3

b. 2 : 7

a. 30 : 100

b. 0,12

a. 2 %

40 100

c.

b. 4 %

5. Calcula. Comprueba  con

Gestión de la clase

d. 27 : 100

Comience la clase motivando a los estudiantes a identificar los conocimient conocimientos os que han adquirido en esta lección. Pida que trabajen de manera consciente y otorgue

c. 30 %

d. 65 %

.

a. 5 % de 40.

c. 12 % de 200.

e. 95 % de 400.

g. 18 % de 250.

b. 10 % de 250.

d. 24 % de 400.

f. 75 % de 164.

h. 62 % de 350.

6. Responde. Comprueba  con

.

a. ¿De qué número 10 es su 25 %?

c. ¿De qué número 8 es su 16 %?

b. ¿De qué número 40 es su 20 %?

d. ¿De qué número 36 es su 45 %?

7. Expresa como porcentaje. Explica tu estrategia. [PROFUNDIZACIÓN] a. 2 b. 0,3 c. 7 5 25 8. Calcula mentalmente. Explica tu procedimiento. [PROFUNDIZACIÓN]

tiempo para que repasen antes de empezar a resolver las actividades.

a. 75 % de 100. 9.

• El 50 % equivale a la «mitad». • El 75 % equivale a las «tres cuartas partes».

d. 8 : 5

4. Expresa como razón, fracción irreducible y número decimal.

OA 3 y OA 4

• El 25 % equivale a «una cuarta parte».

c. 42 : 16

3. Expresa como porcentaje.

Objetivo de Aprendizaje

Dé relieve a la actividad 8, motivándolos para que apliquen y desarrollen estrategias de cálculo mental, ya que esta práctica contribuye a adquirir una mayor comprensión del sentido de los números involucrados y de lo que significan en el contexto en que se están expresando. Puede complementar esta actividad señalándoles asociaciones como las siguientes:

d. 55 %

2. Expresa de la forma 󰂫a es a b󰂻 b 󰂻 y escribe 3 razones equivalentes.

Propósito Resolver actividades de aplicación de los contenidos de la lección.

Dé unos minutos de lectura de las actividades y que luego los estudiantes planteen las dudas que tengan relacionadas con la comprensión de lo solicitado en cada caso. Luego, controle que respondan y solicite que identifiquen anotando en sus cuadernos a qué contenido está asociada cada actividad, para así facilitar el trabajo.

c. 5 : 2

b. 50 % de 180.

c. 20 % de 200.

d. 0,8

d. 80 % de 50.

 Tres integr integrantes antes..  (individual): Busca  Busca en medios escritos o internet una información con porcentajes.   Etapa 1 (individual):  (individual): Comunica  Comunica la información a tus compañeros de grupo y pídeles que   Etapa 2 (individual): creen 2

problemas a partir de ella.

 (grupal):  Resuelvan los problemas, revisen y corrijan el trabajo realizado.   Etapa 3 (grupal):

64

Unidad 1  • Nuestro planeta

 

:

Notas para el docente Habilidades superiores trabajadas en la lección

Verificar.

Analizar.

Expresar.

Aplicar.

Resolver.

Descubrir.

Justificar.

• El 100 % equivale al «total». 94

Unidad 1 

 Nuestro planeta

•

 

10. Resuelve Resuelve los  los a.

problemas .

Joaquín y Alejandra siembran la misma cantidad de árboles cada día. En 5 días plantaron los de la imagen.

Invite a desarrollar los problemas propuestos e inste a la reflexión en torno a las preguntas, así como de los procedimientos llevados a cabo en cada una de estas situaciones. Promueva que cada estudiante realice actividades en forma individual o grupal,las según corresponda.

• ¿Cuántos árboles plantan en 2 días? • ¿Cuántos árboles plantan en 8 días?

Puede proponer la actividad 10 de resolución de problemas como un trabajo colaborativo. Para ello, organice el curso en grupos de 2 integrantes y explicite los objetivos del trabajo: organización, participación y orden. Finalmente, controle activamente que obtengan las soluciones correctas.

• ¿En cuántos días plantan 8 árboles? • ¿En cuántos días plantan 60 árboles? b.

Analiza la información. Durante 2016 en Chile, el 76 % de los residuos no peligrosos generados fue eliminado y el 24 % fue valorizado. Fuente:  Ministerio del Medio Ambiente. «Cuarto Reporte del

Estado del Medio Ambiente, 2018».

• Si se hubieran generado 50 unidades de residuos, ¿cuántas se habrían eliminado? • Si se hubieran generado 300 000 unidades de residuos, ¿cuántas no se habrían eliminado? •

Se estima que en 2016 se generaron 21 000 000 de toneladas de residuos en nuestro país. ¿Cuántas fueron valorizadas?

Durante el desarrollo de las actividades de esta sección ¿Cómo vas?, puede realizar breves entrevistas individuales a algunos estudiantes para preguntarles por su comprensión de los conceptos de razón y porcentaje y por su manejo matemático. La información que reúna la puede registrar en una lista de cotejo.

Páginas 54 y 55.

Retroalimentación

¿Lograste comprender qué es una razón?

¿Tuviste dificultades para comprender y calcular porcentajes?

Sí 

 

¿En qué situación podría ayudarte a resolver un problema?

No

 

Refuerza en las páginas 51 a 57 de tu libro y puedes visitar https://bit.ly/2L9JVG5.

Sí 

 

Refuerza en las páginas 58 a 63 de tu libro y puedes visitar https://bit.ly/3c6ZtGp.

No

 

  Cuaderno de Actividades

Una vez que los estudiantes terminen las actividades propuestas, puede profundizar la ejercitación en las páginas 54 a 55 del Cuaderno de Actividades.

¿Cómo se relacionan con las razones?

¿Cómo vas? • Evaluación de Lección 4   65

 

:

Notas para el docente

Cuando un porcentaje se expresa como fracción o número decimal, en todo momento se hace referencia a un mismo valor. Por ejemplo, si se considera la mitad de algo, puede escribirse: Como fr fraacción

1 2

Se lee «un med ediio».

Como dec eciimal

0,5

Se lee «c «ciinco déc éciimo mos» s»..

Como Co mo por porce cent ntaj ajee

50 %

Se lee «ci «cinc ncuen uenta ta por ci cien ento to». ».

Inste a que respondan las preguntas planteadas en la sección Retroalimentación  y que refuerc refuercee desarrollando las actividades propuestas, de modo de visualizar cómo seguir avanzando.

Orientaciones y planificaciones de clase

95

 

prendiste?  ap ¿Qué a

Desarrolla en tu cuaderno

1. Calcula.

Planificación

Clase 37 2 horas pedagógicas / págs. 66 y 67 

a. 3 654 – 2 954

Propósito Evaluar los conocimientos adquiridos a lo largo de la unidad.

c. 5 742 : 9

5  + 5  – 3 3 6 2 1 2 f. 2  + 3   4 5 g. 7 2  – 4 1   7 2 2 17 h. 1  +  – 2 3 9 6 4

b. 3 105 • 14

d. 3 • 2 256 + 1 980 : 10 2.

 j. 4,8 : 100 k. 2,458 : 0,2 l. 0,75 • 0,1 + 1,5 : 2

Calcula. a. 5 753 118 118 + 6 077 449

Objetivo de Aprendizaje

i. 18 • 0,3

e.

b. 205 678 678 – 59 343 • 2

c. 120 455 : 5 + 35 876

3. Escribe tres múltiplos.

OA 1, OA 2, OA 3, OA 4, OA 5, OA 6, OA 7 y OA 8

a. 11

b. 15

c. 19

d. 35

b. 3, 5 y 12

c. 4, 6 y 15

d. 2, 4, 5 y 9

c. 84

d. 100

c. 29

d. 99

4. Calcula el m. c. m. a. 3 y 7

Gestión de la clase

5. Descompón en factores primos. a. 6

b. 28

6. Clasifica como número primo o compuesto.

Antes de comenzar la clase, comente al curso que es sumamente importante que realicen de manera consciente esta

a. 2

b. 15

7. Explica por qué 33 no es un número primo. 8. Descubre  la fracción y el número mixto representados.

evaluación, con la finalidad de que puedan evaluación, identificar cuáles son los conocimientos que necesitan reforzar. Además, debe mencionar que esta evaluación resume los contenidos vistos durante la unidad y que podrán utilizar calculadora en las actividades que lo indiquen.

 

a.   a.

b.

9. En la recta numérica que se presenta a continuación, cada unidad está dividida en partes equivalentes entre sí. Descubre la fracción y el número mixto que se ubica en la posición de cada letra: D, E , F  y  y G. 0

1

D

 

E   

2

F   

G

3

10. Identifica 2 razones en cada representación y explícalas. a.   a.

b.

Notas para el docente Actitudes

Para ser eficaces en su aprendizaje a lo largo de toda la vida, los estudiantes deben ser autónomos y adquirir aptitudes cognitivas de orden superior. Al fomentar la capacidad de aprender y crecer, las competencias relacionadas con el aprendizaje y la innovación facilitan el dominio de otras competencias.

66

Unidad 1  1 • Nuestro planeta

 

Notas para el docente

La evaluación sumativa trata de establecer estable cer balances de los resultados obtenidos al final de un proceso de enseñanza-aprendizaje. Pone el acento en la recogida de información y en la elaboración de instrumentos que posibiliten medidas de los conocimientos a evaluar.

:

96

Unidad 1 

 Nuestro planeta

•

 

11. Determina 3 razones equivalentes. Explica Explica tu  tu estrategia. a. 2 : 10

c. 4 : 5

e. 12 : 5

g. 40 : 50

b. 1 : 3

d. 14 : 4

f. 25 : 30

h. 850 : 85

Asigne el tiempo sugerido para que los estudiantes realicen la evaluación.

12.Calcula 12. Explica tu Calcula el porcentaje. Explica  tu estrategia. a. 10 % de 10.

c. 25 % de 40.

e. 75 % de 800.

g. 20 % de 45.

b. 7 % de 200.

d. 60 % de 20.

f. 85 % de 10 000.

h. 64 % de 125.

Verifique que todos permanezcan en sus puestos y en silencio. Facilite el acceso a calculadora a aquellos que no la posean

13.Resuelve 13. Resuelve los  los problemas . a. Viviana cotizó artículos para su oficina.

para resolver la actividad 2. Artículo

Precio ($)

225 500

490 950

32 200

Se sugiere que realice una retroalimentación de los contenidos vistos en la unidad en conjunto con el curso. Pida que respondan las preguntas formuladas en la sección Para finalizar la Unidad 1, que presenta una instancia para que los estudiantes expresen lo que más les gustó de la unidad y, a su vez, comenten las principales dificultades que tuvieron. Pida a sus estudiantes que

8 650

comprará rá 4 ,5 ,8 y 12 , ¿cu ¿cuánto ánto dine dinero ro gastará gastará?? • Si compra • Si pagará en 5 cuotas sin intereses, ¿cuál será el valor de cada cuota? b. Rafael va en bicicleta al trabajo cada 2 días, come legumbres cada 3 y sale a trotar cada 4. Si hoy hizo las tres cosas, ¿en cuántos días más las hará nuevamente? c. Luis dibujó tres segmentos de 5 1  cm, 9  cm y 3 1  cm, respectivamente. Si ubicó el menor 2 4 4 a continuación del mayor, ¿cuánto mide el segmento formado? d. Andrea fotografió animales. En la galería de su celular tiene 5 huemules, 2 pumas, 7 lobos marinos y 6 pingüinos.

identifiquen las habilidades y actitudes que han desarrollado a lo largo de la unidad y, además, que realicen un análisis de los aprendizajes alcanzados, identificando cuáles son los que deben reforzar.

• ¿Cuál es el porcentaje de fotos de cada animal respecto del total? • Si consideras los porcentajes que calculaste y Andrea tuviera 200 fotos, ¿cuántas serían de cada animal? Páginas 56 y 57.

Para finalizar

ad 1 ida Unid

Notas para el docente •  ¿Cuál fue el contenido que más te gustó? •  ¿Cómo puedes aplicarlo a tu vida cotidiana?

•

¿Cuál fue la mayor dificultad que tuviste?

En esta evaluación final de unidad debe advertir a los estudiantes que el aprendizaje es progresivo, y que aún cuando ahora puedan sentir que

• ¿Cómo puedes superarla? ¿Qué aprendiste?  aprendiste? • Evaluación de Unidad 1   67

 

:

 Planificación

Clase 38 2 horas pedagógicas

ciertos contenidos no están del todo afianzados, se debe entender que el proceso de comprender ciertos conceptos o nociones es de largo aliento, y que cada uno tiene su tiempo para lograrlo.

  Cuaderno de Actividades

En esta clase se sugiere que aplique la evaluación final que está en las páginas 56 y 57 del Cuaderno de Actividades. Al inicio de la clase puede repasar los contenidos de la unidad: operaciones, múltiplos y factores, fracciones y números mixtos, números decimales y razones y porcentajes. Luego, puede dar unos 60 minutos para desarrollar la evaluación y, finalmente, resolver en la pizarra las actividades con la participación de todo el curso.

Orientaciones y planificaciones de clase

97

 

  :

       7        4

   s    o    r    e    )     d    °    n    e    (    t    r    e     V

 

    2     9     2     0    1     2     8     6

    6     1     0     2    s    s    o    o    i     )    n   r    a    °     2    e    t    n     l     l     i     (    e    n     R   a    s    s    o    r    e    )     d    °    n    e    t    (    r    e     V

   1    5     3     0     2    4

   5     3     3     0    1    4    1    4     6    1

    5     1     0     2    s    s    o    o    i     )    n   r    a    °    e    i    t    n    2     3     l     (     l    e    n    a     R   s

    N      Ó     I     G     E     R

   s    e    s    n    o    o    i    n    g    e     l    e    r     l    e    r    s    a    e    n     d    u    g     d    l    a    a     d    n     i    t    e    n    s    a    o    c    r    e    a    d     l    a    e    r    t    t    r    s    e    e    v  .    u    y    )    m   s    6    1    o    0    a    i     l    r     2       b    a    t    5    a    i    t    1    n     0    a     2     L    a    s    (

    á    c    a    p    a    r    a     T

   4    1     0     2     0

   o     b    o    m     í     i    u     b    o    q     i    o     B     C

    ?     6    1     0    e    2     d    n    e    o    o    r    e    í     b    m   o     ú    i    n    B     l    n    e    e    y    e    r    t    n    n    é    e    s    y    n    A     ó    z    n    a    e    r    a    s     l    o    s    r    e    e     l     d     á    e    r    u    t    e     C    ¿    v

   a     í    n    a    c    u    a    r     A    a     L

 .    e    󰂻     8    m    1    r     0    o    2     f  ,    n   e     I    󰂫    t  .    n    s    e    a    i    c    b     i    t    s    m     í     d   a    a    o     i    t    s     E    d    e    e     d   m     l    e    a    d    n    l    o   a     i    c    u    a    n     N   a    o    t    u    t     i    t    s    n     I    :    e    t    n

   s    o     í     R    s    o     L

   e    s    u    o    n     F    g     L    a     é    s    y    s     A    o     L

   1    :     3   =     2    :     6

   :    a    t    s    e   1    u   :    p    s    3    e     R

  •

 

    ?    a     í    n    a    c    u    a    r     A    a    :    a     L    t    n    s    e    e    u     2     6    s    p    :    1     0    e     3     2     R      y    5    1     0     2    n    e    s    o    r    e     d    e    t    r    e    v    e     d    o    r    e    m     ú    n     l    e    e    r    t    n    e    n     2    :     ó    z     3    a    r   =    a     0     l    s    1    e    :     l     á    5    u    1     C    ¿   •

    ?    5    1     0     2    n    e    s    o     í     R    s    o     L    y    o     b    m     i    u    q    o     C    n    e    s    o    r    e     d    e    t    r    e    v    e     d    o    r    e    m     ú    n     l    e    e    r    t    n    e    n     ó    z    a    r    a     l    s    e     l     á    u     C    ¿

   :    a    t    s    e     2    u    p   :    s    e   5     R  

    2    :    5   =    4    :     0    1

  •

    ?    5    1     0     2    n    e     á    c    a    p    a    r    a     T    n    e    o    n    e     l     l    e    r    a     d    a    c    r    o    p    a     í    n    a    c    u    a    r     A    a     L    n    e    a     í     b    a     h    s    o     i    r    a    t     i    n    a    s    s    o    n    e     l     l    e    r    s    o    t    n     á    u     C    ¿   •

 .    s    o    :    n    e    a    l     l    t    s    e    e   r    u   5    p  ,    s    e    0

    R

 

   5  ,     0   =     2    :       0 0    1   1  

   1    :    a    2    :     í    n    á    c    a    c   a    p    u    a    a    r    r    a     A    T

    ?    s    o    g    a     L    s    o     L    e     d    s    o    t    a     d    s    o     l    n    o    c     8    :     6    n     ó    z    a    r    a     l    r    a    t    e    r    p    r    e    t    n     i    s    e     d    e    u    p    o    m     ó     C    ¿

   5    1     0     2  .    n    6    1    e     0    s     2    o    r    n    e     d    e    s    e    t    r    r    o    e    e    v     d    e    :    3    t    a    r    t    s   a    e    e     d    u   a    v    p   c    4    s    e   r    y     R   o     a     P     h     8    :     6    1     0     2    s    o    r    e     d    e    t    r    e     V     6    :    5    1     0     2    s   4    :    o    r    3    e     d   =    e    t    r    8    e   :     V    6

 

 

 

 .     3    :     2    y     9    :     6    a    e    t    n    e     l    a    v     i  .    u     8   q    1   e    :    s     2    1   e     8    n    1     ó    z   :    a    r    2    a   1     l  .    n   a    e    d  .     i    c    a    s     l    i    r    e    t    a    n   a    n     A   v    a    :    a    r     )    g     l    a   t    s    e    t    p   e    u    n     i    r    u    g   p    s     (    s    o     1   e     D     R      a

  •

 .     b

   p    a     t     E

    l    o    c    e     d    s    a     h    c     i     f    o     d    n    a    s    u  ,    a     l    a    t    n     é    s    e    r    p    e     R    :     )     l    a    u     d     i    v     i     d    n     i     (     2    a    p    a     t     E

 .    s    a     l    n    a     j     í    r    r    o    c    y    s    a     l    n    e     ú     l    a    v  ,    e    s    e    n    o     i    c    a    t    n    e    s    e    r    p    e    r    s    u    s    n    e     i     b    m    a    c    r    e     t    n     I    :     )     l    a    p    u    r    g     (     3    a    p    a     t     E

 .     0     1

 .     l    e    p    a    p    e     d    s    a    r    u    g     i     f    o    s    e    r

   s    e     j    a    t    n    e    c    r    o    p    y    s    e    n    o    z    a     R   •

    4    n     ó     i    c    c    e     L

 

PENDIENTE  .    a     h    c    e    r    e     d    a     l    e     d    n     ó     i    c    a    t

   n    e    s    e    r    p    e    r    e     l     b     i    s    o    p    u    s    n    o    c    a     d    r    e     i    u    q    z     i    a     l    e     d    n     ó

   z    a    r    a     d    a    c  .    a    s

 .

    6    :    5

    6    :    1

   1    :     8

   5    :     3

   s    a    m    e     l     b    o    r    p

   s    o     l    e

   s  .    a     í     d     2    n    e    s    o     d    a    n    u    c    a    v    s    o    r    r    e    p    y    s    o    t    a    g    e    r    t    n    e    n     ó    z    a    r    a     l    a    t    n    e    s    e    r    p    e    r    n    e    g    a

   y    s    o    t    a    g    e     d    a    m     i    n     í    m     d    a     d     i    t     ?    n    a    a    í    c    d    a    o     l    s    d    e    n     l    u     á    g    u    e    s     C    ¿    l  .    s    e    a    o    r    r    n    e    u    p    c    a     2    v    1    u    y    s    s    o    o    t     d     i    a    i     b    g    c    7    e    r    n    r    o    e    r     b    a    a    n    h    u    c    n    a    í    v    a    r    e    d    s    p    a    o     í     d    e    r    u    e    q    m   s     i    o    r    r

 .    s    o    r    r    e    p    :     8    a

   t    s    e   o    y    u   t    a    p    s    g    e     R   1

   7    2    1   =    s    s    o    o    r    t    a   r    g   e    p

    8    0     2   =     6   5    1   =    4    0    1   =     2  =    5    s    s    o    o    t    r    a   r    e

 

    ?    a    n    u    c    a    :  .    v    a    s    u    s    s    t    e    o    e    n    u   r    o    p    r    p    e    s     i    e    5     2     b     R       i    c    e    r    s    s    r    o     0   o    r    r    r    1    e    e    p    p    s   =    o    t    s    s    n    o    o     á    r    t    u    a   r    e     C    ¿    g    p  .    s    o    t    a     0   5    g    1    2     0   =    1    s     8    0    o     2     d    a   =    n    u     6   5    1    c    a   =    v    n    4    0    o    1    r    e   =    u     f    s     2  =    5    a     í     d    s    s     2    o    o    s    t    r    o    a   r     l    e

  :

   a    t    e    n    a     l    p    o    r    t

   s    e    t    n    a    r    g    e    t    n     i    s    o     d    e     d    s    o    p    u    r    g    n    e    o    s    r    u    c     l    e    e    c     i    n    a    g    r     O  .  .    s    s    e    o     j     l    r    a    a    z    t     i    n    d    e    n     i    r    e    o    r    p    y    s    a    o    s     l    s    r    u     i    g    r    a    e    z    r    r    n    a    o     i    c    f    a    a     d    n    e    e    u    r    g    p    l    o     í    s    a    y    e    n    e    u    j    q    a     b    a    r    r    a    a    t    p    s  ,    s    o    e     d    t    o    n    a    t     i     d    e    u    u    e    t    q    s    e    l    s    o    t    o    r     l    n    e    o     d    c    s    y    e    0     d    a    1     d    d     i    a    v    i     d     i    t    v    c    t    a    i    c    s    a    a     l    a    e    l     d    e    o    d     l     l    n    o    r     ó     i    r    c    a    a    s    i    z    e    l     d    a     l    e    e    r    a    e    s    l     i    r    v    a    e    a

    4    n     ó     i    c    c    e     L   •

   s    e     d    a     d     i    v     i    t    c     A    e     d    o    n    r    e     d    a    u     C    o     i    r    a    n    o     i    c    u     l    o    s    y    s    e    n

   n   a    o   e     i    n     í    c    l    a     l    a    e    s     R    U  .     8

   v     l    e    u    s    e     R  .     9

   m     i    a     L  .    a

   p         l    e     E    p   •

   g   p

   n     E   •

   g   p

   s    e    u     N   •

    1     d    a     d     i    n     U         6        4

    R    p   •

   o     i    c    a    t    n    e     i    r     O

99

  :

 

        1         5

   a     h    e    u    q    s    a    n     i    g     á    p    e     d     d    a     d     i    t    n    a    c    a     l     ó    t    n    e    s    e    r    p    e    r    a     l     l     E  .    s    a    n     i    g     á    p     0    5     2    e     d    o    r     b     i     l  .    n    l    a    u    t    o    o    t     d    l    e    n    d    e    y    o    e     l    t    c     á    e    t    s    p    e    s    e    z    r     i    r    o    t    a    d    e    í    e     B    l

 .    s    a     d     í    e     l    s    a    n     i    g     á     P

    ?     l    a    t    o    t     l    e     d    o    t    c    e    p    s    e    r    s    a     d     í    e     l    s    a    n     i    g     á    p    e     d     d    a     d  .     i    t    5    n    :    a    c     3    a    s     l    e    a    t    n    n    e     ó    s    z    e    a    r    r    p    e    a    r     L    n    :    a     ó    z    t    s    a    r    e     é    u    s    u    p    e     Q    ¿     R

    ?    e    e     l    o    n    n     ú    a     j    e    a    t    n    e    c    r    o    p     é    u    q    ¿  ,     ?    o     d     í    e     l    a     h    o    r     b     i     l     l    e     d    e     j    a    t    n    e    c    r    o    p     é    u     Q    ¿

  •

    0     0    1    y    s    a  .     d     í    r    e    e     l    e     l    s    a    r    n    o    :     i    p    a    t    g    s    s    á    e    p    a    n    u     i    p    0    g    s     á    5    e     R    1    p  

   o     d     í    e     l    o    n    y     %     0    :     6    a    l  .    t    s    e     %    e   o    u     d    0    p    í    4    s    e   e     l     R    L    e 

    %     0     6     "     0    0     6    0    1   =     0    0     2    2   •     3 5    :    o     d     í    e     L

    %     0    4   =     %     0     6   –     %     0     0    1    :    o     d     í    e     l    o     N

  •

    ?    e    e     l    o    n    n     ú    a    s    a    t    n     á    u    c    ¿  ,     ?    o     d     í    e     l    a     h    a    y    s    a    n     i    g     á    p    s    a    t    n     á    u     C    ¿

    0    5    1   =     0    5    +     0    5    +     0    5    :    o     d     í    e     L

    0     0    1   =     0    5    +     0    5    :    o     d     í    e     l    o     N  

  •

   o    t    n    e     i    m    a    n    e    c    a    m     l    a    e     d    o     i    c    a    p    s     E

    l    a     t    o     t     B    o     G     i    c     8    a    p    s     E

   s    e     j    a    t    n    e    c    r    o    p    y    s    e    n    o    z    a     R  

   e     l     b     B     i    n     M    o     0    p     0    s     4     i     D

   s    u    s    s    o     l     l    e    n    o    c    e    s     i    v    e     R  .    a    m    e     l     b    o    r    p    n    u    e     d    n     ó     i    c    u     l    o    s    e    r    a     l    r    a     d    r    o

         •       4      n     ó     i    c    c    e     L

 .     B     M     0     0     0    1     B   =     G     ?    e    1     l     b    e     i    u    n    q    o    p    s    e     i     l    p     d    m    á    t    u    s    e    c     l    e    s    a    t    o    o    t    t    n     i    o    e    c     i    m    a    a    p    s    n    e    e     l    c    e    a     d    m    j    e     l    a    a    e    t     d    n    e    s    c    e    r     d    o    a    p     d     é     i    n    u    u     Q    ¿    n     E   •

 .     b

    %    5   =     B    5    0     M     0    1     0   =     0     0     0    0     8     8    :    8   =     0     B     0     0     G    0    4    0     8     8

 .     %    5     l    e    e     l     b     i    n    o    p    s     i     d     á    t    s     E    :

   a    t    s    e    u    p    s    e     R

    ?    o     d    a    p    u    c    o     á    t    s    e    e     j    a    t    n    e    c    r    o    p     é    u     Q    ¿

    %    5     0     9     0   =     6    5    0    7     9    0    1   =     0   =     0     0    0    4     8    8   –    :     0     0    0     0     0    0     0    4    0     8     8

 .     %    5     9     l    e    o     d    a    p    u    c    o     á    t    s     E    :

   a    t    s    e    u    p    s    e     R

  •

   c  .

 

  :

 .     %     0     6    o

 .

   a    c     i     f     i     t    s    u     J

    0     9   =     0     0     3   •     0    0     3    0    1

 .     )    o    s     l    a     f     (     F    o     )    o    r    e     d    a     d    r    e    v     (

 .     0     0     3    e     d     %

    V    e     b     i    r    c    s    e

    0     3     l    e    s    e     0     9

 .     6     2    e     d     %     0    5     l    a    e     d    n    o    p    s    e    r    r    o    c     2    1

 .     3    1    s    e     6     2    e     d     %     0    5     l     E

   m    o    c    r    a    s    e    r    p    x    e    e     d    e    u    p    e    s    5    e    t    n    e    u    c    e    s    n    o    c    y     3    e    t    n    e     d    e    c     0    e    t     0    n    1    a    :    e     0     d    n     6   =     ó    z    5    a    :    r    a     L     3

 .     %    1    7    n    u    a    t    n    e    s    e    r    p    e    r     1     0    +    1  .    7  ,     %     %     0     0     8    7    n    n    u    u    a    a    t    t    n    n    e    s    e    e    s    r    e    p    r    e    p    r    7    0    1    e       )   r    o    1    0    +    m    1    o    7     C    (

 .    s    e     l    a    u    g     i    s    o    z    o    r    t    n  .    e    s     l    a    t    e    m    s    e    a     l    p    u     b    o    r    s     ó    p     i    s     d     i    v    o     i     l     d

    ?     ó     i     d     i    v     i     d    o    s     l    s    o    z    o    z    o    r    o    t    r    t    s     6    :    o    a    t    t    n     á    s    e    u    u    c    p

 ,     ?    e    t    n    e    m    a     d    a    m     i    x    o    r    p    a  ,    o    z    o    r    t    1    a    t    n    e    s    e    r    p    e    r    e     j    a    t    n    e    ?    s    c    r    o    o    z    p    o    r     é    t

 .    x    o    r    p    a     %    7    1   ≈    7     6     6     6    1   =     6    1  ,     0   =     6    :    1   =

 .    x    o    r    p    a     %    7     6   ≈    7     6     6     6     6   =     6     6     0  ,   =     6    :    4   =

 ,    o    z    o    r    t    o    v    :    e    a    u    t    s    n    e    a    u     d    p    a    s    %    c    e     R    8    a    t    n    e    s    e    r    p    e    r  .    e     j    e    a    t    t    n    n    e    e  .    c    r    m    s    o    a    o    p    z     é     d    a    o    r    u    t     Q    m     i    4    ¿    x  .    o    r     %     d    a    t    7     i    p    a     6    m    y     l    a     %    o     8    z    r    o    o   =    r    p    t    e    ?     8    1     d     0     i    t    e  ,    v     0     %     i     d    n    e    e    m    7    1     2   =    :    s    a    1    o    d    a    t    :    a    s    z    o    e    r    1    m    u    t     i   =    p    a    x

 

    l .    a     d    o    t    r    e    a    c    e    s     d    a    p    a    a    t     d    a    p    n     i    t    e    t    n    s    o    s    n    e    e    n    r    a    p    c    m   e    e    r    a    u    m     l    a    a    e    :    e    s    t    u    a    q    t    r    s    e     j    u    z    q    o    s    n    e    e    a    e    u   o    o    r    r    t    t    p    p    n    s    í    p    e    e  ,    e    e    c    r     R    S     d     r    o    p     l    e  ,  .  .    s    e    e    t    e    t     d    ?     é    n    n    a    t    u     i    e    e    q    m   r    m    a    m    a    n    o    p     d    e    ¿     d    s    ?  ,    a    a    o    z    o     i    m    m     i    n    o    r    x    x    t    o    o    s    o    r    o    r    o    t    p    p     l    c    a    a    o    e     d    r    r    n    o     %     %    e    c    4     2     i     d    l    o     i   =   =    v     i    n     2    1     d    e    4    r     á     0     2     i  ,     0  ,     l    t    s     0     0    a    E   «    ¿   =   =  .    e   »    u    e    4     8    q    y    a    u     2    :    :    4    n     i    1    1    m    r     i   =   =    m     f    s    a    i    4   1    8    a    d    1    2     í    4

   a    t    e    n    a     l    p    o    r    t

    b    a     l    a    s    e    t    n    a    v    e     l    e    r    n    o    s    e    u    q    s    o    t    a     d    s    o     l    r    a    c     i     f     i    t    n    e     d     i    e     d  .    a    i     i    c    o    r    a    n    s    a    t    r    e    o    c    p    e    n    m   a     i    s    a    e     l    o    s    d    e    t    n    n    a    a     i    u     d    c    u    a    t     i    s    j    r    e    r    s    o    o    c     l    y    a    s    o     d    r    e     l    o    e    r    r    u    s    c    a    e    e

    4    n     ó     i    c    c    e     L   •

   s    e     d    a     d     i    v     i    t    c     A    e     d    o    n    r    e     d    a    u     C    o     i    r    a    n    o     i    c    u     l    o    s    y    s    e    n

   y

   a    c     i     f     i    r    e     V  .     4

 

 

    V

 

    F

 

V

F

 .    a

 .     b

 .    c

 .     d

   e    v     l    e    u    s    e     R  .     5

   u    4    a    n    s     í    e     Q   y    r     E    a    ¿     R    ¿    ¿     M   •     •  .    a

    6     /    4 6    1

       s     d    r    e    a     R     C   p    a   •

   1    2    1

       o    a    n     M   u   •

   s    e    u     N   •

    1     d    a     d     i    n     U         0         5

    R    d     R     d   •

   o     i    c    a    t    n    e     i    r     O

101 10 1

 

Texto exto del Estudiante E studiante Solucionario T Unidad 1

5.

Nuestro planeta

Página 7: ¿Qué sabes? Evaluación diagnóstica 1. a. Tienen 48 horas, se multiplica multiplica 2 por 24. 24.

Página 12

• Ô

b. Tienen 120 120 horas, se multiplica multiplica 24 24 por 5. c. Tienen 480 horas, se multiplica multiplica 24 24 por 20. 2. Tiene aproximadamen aproximadamente te 52,14 14 semanas, semanas, se divide divide 365 por 7.7. 3. A la reunión asistieron 467 delegados, se multiplica la cantidad

de grupos por la cantidad de integrantes y finalmente se suma. 3  de la superficie de la Tierra no está cubierta por agua, se 10 resta a 1 el 7  . 10 b. La fracción que representa la superficie cubierta por agua, porque tienen igual denominador y su numerador es mayor. 5. a. Hay más nitrógeno, porque 0,78 > 0,21. b. 0,01 L no son oxígeno ni nitrógeno, a 1 se le resta la cantidad de oxígeno y de nitrógeno.

Página 8 1. 9 playas.

  Infinitos.

• Ô

Coincidirán en marzo por segunda vez el día 24.

  No siempre coinciden, coinciden, por ejemplo, el m. c. m. de 2 y 4 es 4 y no 8.

Página 14 Ô  No se pueden formar más rectángulos. Ô  Como 12 • 1, 6 • 2 y 4 •.3.

•

Respuesta personal. Por ejemplo recortando 18 cuadrados de  papel y formando formando rectángulos rectángulos con con ellos.

•      

8, de dos formas: 8 • 1 y 4 • 2.

17 voluntarios.

3.

868 kg de frutas.

Resolviendo la adición 4 500 + 5 922. Respuesta variada. Respuesta variada.

Página 10 Ô  10 422 kg fueron las emisiones de febrero. Ô  El costo de reducir 1 kg de CO . 2 Ô  4 500 kg fue la reducción de marzo. Ô  Respuesta variada. Por ejemplo, multiplicar 45 por 8 y agregar tres ceros al resultado. Página 11

•

Respuesta variada. Por ejemplo, ventaja: mayor rapidez / desventaja: posible error de tipificación.

•

Respuesta variada. Por ejemplo, usar una planilla de cálculo.

Destacar los datos relevantes. -  Planificar una estrategia. -  Realizar los cálculos. -  Responder.

1. - 

20, de tres formas: 20 • 1, 10 • 2 y 5 • 4.

obtiene al multiplicarlo por otro natural. b. Factor de un número natural es un término que aparece en su descomposición multiplicativa.. c. Divisor de un número natural es un número natural que lo divide de forma exacta. 2. a. 9 b. 11 c. 6 3. a. Multiplicando el 5 por: 1, 2, 3, 4, 5, y 6. b. Identificando los pares de factores, los cuales corresponden a divisores.

4. a. 1, 2, 3, 4, 5.

b. 133 310

b. 35 000 g

d. 7, 14, 21, 28, 35.

b. 2, 4, 6, 8, 10.

e. 8, 16, 24, 32, 40.

c. 6, 12, 18, 24, 30. 5. a. 9 y 1, 3 y 3

d. 30 y 1, 2 y 15.

b. 10 y 1, 5 y 2.

e. 64 y 1, 8 y 8.

c. 18 y 1, 9 y 2. 6. a. 6

b.28

c. 60

d. 90

7. a. Coincidirán por segunda vez a las 07:50. b. Coincidirán nuevamente a los 18 minutos. c. Como mínimo el juego tiene 24 piezas. 8.

2. a. 21 633 3. a. 19 400 g

16, de tres formas: 16 • 1, 8 • 2 y 4 • 4. 17, de una forma: 17 • 1.

1. a. Múltiplo de un número natural es el producto que se 2.

Página 9

• • •

Sumando 3 al término anterior.

Página 13 Ô  Se hacen 12 saltos, porque según la regla ambos coinciden en ese día.

4. a.

Lección 1: Operaciones, múltiplos y factores

Problema A, porque a lo que necesita reunir se le descuenta lo que ya tiene.

c. 390 981 c. 118 000 g d. 349 000 g

Los factores y divisores son iguales.

4. a. Gastó $ 8 150.

b. El vuelto fue de $ 1 850.

Solucionario Texto del Estudiante

 

Solucionario Texto del Estudiante 9. a. Falso, 26 es múltiplo de 2 solamente.

7. a. 36

b. Falso, puede tener factores pares o impares.

b. (4 ∙ 9 ∙ 12) : 36 = 12.

c. Falso, el mínimo es 6.

8. a. Fue entre los años 2015 y 2016.

d. Falso, 8 tiene 4 divisores: 1, 2, 4 y 8. 10.

b. • Los volverá a tomar a las 07:00.

Afirmación C, porque 6 se puede descomponer en los

factores 2 y 3. Página 16

•

Respuesta variada. Por ejemplo, anotar los números 1 a 50 y tachar todos los que son múltiplos de números naturales de 2 a 10. Luego, ubicar el séptimo número no tachado.

  Descomponiendo un número en factores hasta que solo sean números primos.

Ô

Página 17 1. a. Primo. b. Primo.

c. Compuesto.

e. Compuesto.

d. Compuesto.

f.

2. a. 7 • 2

c. 2 • 2 • 3 • 3

e. 11 • 3 • 2

d. 7 • 7

f.

b. 2 • 2 • 2 • 3

2•2•5•7

b. Verdadero, ya que se pueden dividir por 10. c. Falso, hay algunos números que se pueden dividir por 3 o

por 9. d. Verdadero, corresponde al 37. 4. Las dos están equivocadas, porque el número 1 no es primo ni compuesto. c. 2 339

e. 64 104

d. 11 624

f.

g. 270

408

h. 2 792

d. 5 592 924

g. 8 682

e. 209

h. 2 827 843

27 3. a. 4, 8, 12, 16 y 20. d. 13, 26, 39, 52 y 65. b. 9, 18, 27, 36 y 45. e. 21 21,, 42, 63, 84 y 105. c. 12, 24, 36, 48 y 60. f. 30, 60, 90, 120 y 150. 4. Respuestas variadas. Por ejemplo: a. 3 y 2 c. 5 y 3 e. 6 y 4 b. 5 y 2 d. 5 y 4 f. 19 y 2 5. Multiplicando el 5 por: 1, 2, 3, 4, 5 y 6. 1°. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. 2°. Excepto el 2, todos son números impares. 3°. 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18. f.

894

del remedio B y 2 dosis del remedio C . Página 19 c. Alrededor de 200 automóvi automóviles. les. 9. El m. c. m. es 30. Respuesta variada. 10.

i.

4°. Los números primos solo tienen como factores el 1 y el

mismo número. Los números compuestos tienen 2 o más pares de factores.

Etapa 1: Respuesta variada.  Etapa 2: Los factores primos son 2 y 3.  Etapa 3: Respuesta variada.

Lección 2: Fracciones y números mixtos

Primo.

3. a. Falso, el 2 es un número primo y par.

Página 18 1. a. 10 527 b. 546 2. a. 204 400 b. 8 605 c. 325 224

• A esa hora habrá tomado: 5 dosis del remedio A, 3 dosis

Página 20 1. 9 20

2.

11 20

3.

48 100

Página 21 Ô  La fracción será mayor a 1. Ô  Es una fracción impropia, ya que es mayor que la unidad. Página 22

•

Cada rectángulo estaría dividido en 2 partes, donde 3 rectángulos estarían pintados completos y 1 pintado a la mitad. La fracción resultante sería 7  . 2

Página 23 1. a. Equivalente a la unidad. b. Impropia. c. Propia. d. Impropia. e. Propia. f.

Equivalente a la unidad.

2. a. 2 1  

c. 3 3

e. 5   g. 49 9   3 11 283 3 d. 4  2   f. 15  h. 28 15 2 14 3. El número mixto es 2  4  . 5 4. a. 24 = 1  8   c. 2 2  = 14 16 6 6 16 3 8 b.  = 1  d. 3 5  = 32 5 9 9 5 5. a. 1 2  =  5   c. 4 5  = 33 3 3 7 7

2 b. 1 1   7

105

6. a. 7

106

b. 14

Unidad 1 

c. 6

d. 45

e. 30

f.

84

b. 5 4  = 49

9

1222  12 11 = 11

d. 11  1

9

 Nuestro planeta

•

 

2 = 3  1 . •  A 3 12   6 

Representan 1  3 = 12. 9 9 Página 24

6.

•

•

La distancia recorrida por Andrea es una fracción impropia, la de Braulio y la de Camila, fracciones impropias.

•

5. 4 27  . 20

Página 25

•  A 1  13  y  1  16 .

21 15 Cuando los denominadores no son múltiplos de un mismo número. Por ejemplo, para comparar 2  y 3  hay que 3 4 amplificar por 4 la primera fracción y por 3 la segunda.

• •

Es mayor la fracción

Página 26 3 , 9  y 11, respectivamente. Ô  Equivalen a 2 4 4

•

Se encuentra a 34  de unidad.

Página 27 1. a. A = 1  , B =4, C  =  = 12, D = 24 y E = 8 . 5 5 5 5 b. Respuestas variadas. Por ejemplo, A es menor que B, que C , y que D. 2.

16 14

32 14

1  8 7

2 2  2 7

0

3. a. R = 15, P  =  = 11, S =

8

4

21

7

3  6 7

3

4 4  1 7

20

Página 31 Ô  Sumar todos los lados del rectángulo, o bien, duplicar la suma entre su base y altura.

  A 11 1  . 4 Ô  Se suma el número entero con la parte entera del número mixto y se mantiene la parte fraccionaria.

• • •

Respuesta variada. 15 15 45 45 150 75 4  +  4  +  8  +  8  =  8  =  4 7 1. 2

Página 32 1. a.

14

+

=

5

_

=

+

=

_

=

b.

6 c.

72  y Q = 33 8.

2 12 2 El m. c. m. es 12 y el resultado es 54 . 12

Página 29 Ô  La sustracc sustracción. ión.

Respuesta personal. Faltan 3 . sets.

5  5

b. Claudio: Falso, la distancia entre R y P  es  es 7  y entre P  y  y S es 6 . 8 8 Alexis: Verdadero, la fracción se amplifica por 2. Viviana: Falso, es igual a 30 . 16 Página 28 Ô  La adición. Ô  Amplificando por 3 la segunda fracción y por 2 la tercera se igualan a 12 los denominadores y se obtiene 54 . 12 1 54 9 •  =  = 4

•

• •

Ô

Por ejemplo, dividir en 2 partes iguales la distancia entre 0 y 1 para ubicar 3  . La distancia entre unidades se divide en 4 partes iguales 2  para ubica ubicarr las frac fraccione cioness con con denomin denominador ador 4. 4.

•

Página 30 9  + 8 Ô  4 5

d.

Respuestas variadas. Por ejemplo, encontrando el menor de los múltiplos comunes de ambos números. 30 4. a. 40  b. 27 c. 96  d. 130 24 24 24 24 1477 5. a. 37  d. 14 g. 22 4 18 15 e. 428 h. 37   b. 65  8 6 80 2.

•

  c. 141  22

No es irreducible, ya que se puede simplificar por 2.

f.

19  4

i.

124 21

Solucionario Texto del Estudiante

 

Solucionario Texto del Estudiante

6. a.

.

9  + 5  = 9 • 3 + 5 • 4  = 47  4 3 12 12

2  +  2  +  2  +  2  +  2  +  2  +  2  +  2  +  2  +  2  +  2 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5. a. Por ejemplo, recortando seis rectángulos, dividiendo uno en 7 partes iguales y retirando 5 de esas partes. b.

b.

2  1 + 1  2 = 3 + 3 + 2 • 4  = 3 11 12 4 3 12

c. 5  2 c. Sí, solo están escritas de forma distinta.

7

6. a.

7.

5 2 

a. El error es sumar directamente los numeradores y los

denominadores. El resultado correcto es 17 . 6 b. El error es escribir como número mixto una multiplicación. El resultado correcto es 12 . 7 c. El error es al intentar amplificar por 5 el segundo sumando, solo multiplicar el denominador. El resultado correcto es 86 . 15 d. El error ocurre al intentar restar dos números mixtos restando por separado las partes entera y las fraccionarias. El resultado correcto es 1 25 . 42 Página 33 361 8. a. Como mínimo necesita 36 ,1 cm = 120  1

cm.

3 3 28   b. Debe recortar 5 cm de la base y cm de la altura. 5 9. a. Ejemplo de respuesta: 1 + 1 , 8 – 3 . 4 4 4 b. Ejemplo de respuesta: 1 + 1 1 , 40 – 17 . 11 11 11 c. Ejemplo de respuesta: 2 1 + 1 5 , 5 5 – 13 . 7 7 7 7 45 3 1 d. Ejemplo de respuesta: 5 + 2 ,  – . 12 6 4 44 1 3 1699 10. a. b. c. 61 d16 60 4 10 42 Página 34 1. a. Fracción donde el numerador es mayor que el denominador. Ejemplo de respuesta: 7  . 3 b. Es un número que tiene una parte entera y una parte fraccionaria. Ejemplo de respuesta: 3 1 . 2 2. Por ejemplo: en una fracción impropia el numerador es mayor que el denominador, mientra que en una propia, el numerador es menor que el denominador; y el valor de una fracción impropia es mayor 1, mientras que el de una fracción propia es menor que 1. 3. a. Por ejemplo, resolver 10 + 4  = 54  . 5 5 b. Representando con regiones e identificando el número mixto equivalente. En este caso, 3 3  = 3 1  . 6 2 4. a. 1   1   1   1   1   1   1   1   1   1   1   1   1

0

1

2

3 13

b.

6 

0

1

2

3 2  6 7 

c.

0

1

2

d.

3 9  5 12 

7

8

9

10

7.

17 d. 7 g. 1 4 10 60 21 318 31 b. e. 1 h. 8 8 60 1611 c. 7 f. 11 i. 16 15 6 8. Respuestas variadas. a. T  Transformando ransformando el número número mixto en fracción fracción y sumando fracciones de igual denominador. b. T  Transformando ransformando ambos ambos términos términos en fracciones, amplificando amplificando por 2 el minuendo y restando dos fracciones de igual denominador. c. T  Transformando ransformando los tres tres términos términos en fracciones, fracciones, amplificando para igualar los denominadores y resolviendo las operaciones con fracciones de igual denominador. a.

9. a. 1  1

2 b. 1  1 3

c. 1  2

4 d. 2  2 5

e. 1  2

4 f. 2  2 5

Página 35 10. a. Se ubica en A = 4 1 y en B = 5 3 . 6 7 5 1 1 04 b. • Miden  cm y  cm, respectivamente. 5 25 • La barra mide 625 14 cm.

g. 3  3

7 h. 1  3 9

107 10 7

16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16

108

Unidad 1 

 Nuestro planeta

•

 

Página 42 Ô  La división. Ô  Dividendo, divisor y cociente. Ô  Se quiere saber cuánto se pierde en un cuarto de hora, por lo tanto,, la hora se divide en 4 partes. tanto

Lección 3: Números decimales Página 36 1. Se representan por 0,2 y 0,8, respectivamente. 2. 0,8 es mayor. 3.

Suman 1. Página 37 Ô  Resolviendo las multiplicaciones multiplicaciones 0,3 ∙ 8 o 1,2 ∙ 2. 12 Ô  La fracción  = 6 . 10 5 Página 38

•

Se multiplica 18 por 100, luego en el producto se ubica la coma de forma que determine dos cifras decimales: 18,00.

•

La masa total es 21,6 kg.

Página 40 1. a. Veinticinco centésimos. b. Ciento setenta y dos milésimos. c. Un entero y cinco centésimos. d. Veintiún enteros y novecientos sesenta y cinco milésimos.

2455 2. a. 6 a. 33 b. 24 c. 14071 10 100 100 1 000 3. a. 0,1 + 0,1 + 0,1 b. 0,9 + 0,9 + 0,9 + 0,9 + 0,9 c. 0,45 + 0,45 + 0,45 + 0,45 + 0,45+ 0,45 d. 2,125 + 2,125 + 2,125 + 2,125 + 2,125 + 2,125 + 2,125 + 2,125 4. Deberían llegar a los mismos resultados. a. 0,4 b. 1,2 c. 3,5 d. 4,8 5. a. 0,5 • 0,7 b. 0,1 • 0,5 6. a. 1 d. 7 g. 27,2 b. 1,6 c. 12

e. 100 f. 12

h. 0,192 i. 6,5846

0,1; 1; 10; 100. b. 0,01; 0,1; 1; 10. c. 0,001; 0,01. Regularidad: se mueve la coma a la derecha la cantidad de ceros que tenga el múltiplo de 10. b. 9

9. a. • Equivalen a 15,24 cm.

Por ejemplo, rectángulos 10 cuadrados cada uno y en cada uno recortar pintar 2 4cuadrados. Alcon agruparlos se representa el 0,8  y al separarlos separarlos cada cada uno represent representa a 0,2.

•

Es 0,8, porque la multiplicación entre el cociente y el divisor más el resto es igual al dividendo.

Página 43 Ô  La cantidad de agua que se pierde en 6 minutos. Ô  Por ejemplo, cada uno de los términos del dividendo se divide por 10 hasta llegar al final con resto 0.

•

Respuestas variadas. Por ejemplo, dividir en 10 partes iguales el intervalo entre 0 y 0,8.

•

Se mueve la coma a la derecha la cantidad de ceros que tenga el múltiplo de 10.

Ô

•

  Se puede estimar dividiendo 28 por 12. 2,34 • 12

Página 44 Ô  Porque el número con más cifras decimales tiene 3.

• •

Se obtendría el mismo resultado. Por ejemplo, multiplicando 2,4 • 1,77.

Página 45 Ô  Representan el crecimiento del árbol cada mes. Ô  El resultado es correcto.

• •

Respuesta variada. Se podría sumar el promedio mensual (0,135 m) a la altura del árbol el 30 de junio (0,765 m).

7. a.

Página 41 8. a. 40

•

c. 23

d. 70

• Equivalen a 11,43 cm.

• Equivalen a 76,2 cm. b. • Equivalen a 0,196 kg.

• Equivalen a 1,68 kg. 2

Página 46 1. a. Por ejemplo, dividir el intervalo entre 0 y 0,18 en 3 partes iguales, cada una de 0,6. b. Por ejemplo, multiplicar el dividendo y el divisor por 100 para obtener la división 435 : 500 = 0,87. c. Por ejemplo, multiplicar el dividendo y el divisor por 1 000 para obtener la división 1 548 548 : 6 000 = 0,258. 2. a. 0,2

b. 0,4

c. 1,2

3. a. 0,1

b. 1,3

c. 0,08

4. a. 0,1

b. 0,3

c. 0,4

5. a. 0,2

d. 0,062

g. 2,24

b. 0,4

e. 0,0535

h. 2,1

c. 0,6

f. 0,12

i. 0,54

c.

10,625 cm y 12,75 cm. Área: 135,46875 cm . • 14,875 cm y 17 cm. Área: 252,875 cm2.

6. a. 1,2

b. 3

c. 0,4

Solucionario Texto del Estudiante

 

Solucionario Texto del Estudiante 7. a. 0,1; se resolvería de izquierda a derecha y daría el mismo

valor. b. 0,09; se resolvería de izquierda a derecha y daría el mismo valor. c. 1,25; se resolvería de izquierda a derecha; es decir, 0,25: 1,4 y ese resultado se dividiría por 7; dando un valor distinto. Página 47 8. a. Corresponde a 0,98. b. • 0,875 • 1,875 • 0,47

• 2,5

c. Cada capítulo dura: 1,025 h, 0,45 h y 0,29 h, respectivamente. 9.

Matías está en lo correcto, ya que como se dividió el dividendo por 10, también el cociente quedó dividido por 10. Sebastián se equivoca.

2 América: 10 10   2. África: 0,2   América: 0,2 3. Suman 1.

Asia: 1   10 5 Europa: 10 ; Asia: 0,1 Europa: 0,5

Oceanía: 0 10 Oceanía: 0

Página 52

• •

c. 10,06 • 3

La razón es 3 : 1. Se diferencian en que sus términos aparecen intercambiados. Por ejemplo: - La razón entre entre el número total total de figuras y el el número de círculos es 15 : 6.

d. 3,2 • 6

2. a. 0,5 + 0,5 + 0,5.

- La razón entre entre el número total total de figuras y el el número de estrellas

b. 0,33 + 0,33. c. 1,52 + 1,52 + 1,52 + 1,52 + 1,52 + 1,52.

es 15 : 9.

d. 12,8 + 12,8 + 12,8 + 12,8 + 12,8. 3. a. Respuesta variada. Por ejemplo, multiplicar por 100 la razón

para eliminar las comas y luego dividir. b. Respuesta variada. Por ejemplo, multiplicar por 1 000 la razón para eliminar las comas y luego dividir. c. Respuesta variada. Por ejemplo, multiplicar por 1 000 la razón para eliminar las comas y luego dividir. 4. a. 2,8 b. 0,4 5. a. 0,6 b. 6 c. 0,3 d. 0,8 6. a. 1,2 c. 3,6 e. 14,4 g. 25,6   b. 4,2 7. a. 0,5

d. 11 d. 190

f. 2,4 g. 2,54815

h. 34,3  j. 0,131

  b. 2,1

e. 1,08

h. 0,4

k. 0,0014

  c. 0,39

f. 0,65

i. 0,89

l. 1,3294

8. a. 37,6

b. 9

c. 0,378

d. 0,0285

Respuestas variadas.

Página 49 10. a. • Una casilla 13 cm y del tablero 114,8 cm.  • Una casilla 10,5625 cm2 y tablero 823,69 cm2.  • Una casilla 13 cm y del tablero 114,8 cm. b. • Largo: 3,2 cm;

ancho: 3,2 cm; alto: 1,92 cm 1,92 cm  • Largo: 6,4 cm; ancho: 3,2 cm; alto: 1,92

c. • Figura izquierda: largo de 16 cm; ancho de 3,2 cm y alto de

9,6 cm.

Página 50 1. África: 2   10

Página 53

Página 48 1. a. 0,3 • 2 b. 0,24 • 4

9.

Lección 4: Razones y porcentajes p orcentajes

Página 55 1. a. A: 4 y C: 5 c. A: 3 y C: 7 b. A: 7 y C: 1 d. A: 15 y C: 100 2. El consecuentede la primera es el antecedente de la segunda; y su antecedente, el consecuente de la segunda. 3. a. 3 : 4 b. 4 : 7 c. 4 : 4 d. 4 : 18 e. 18 : 3 f. 3 : 4 : 7 4. a. Por ejemplo, ejemplo, 3 : 5, 3 : 8 y 5

: 8. b. Por ejemplo, 5 : 1, 5 : 6 y 1 : 6. c. Por ejemplo, 4 : 3, 4 : 7 y 3 : 7. d. Por ejemplo, 4 : 9, 3 : 9 y 2 : 9. 5. a. Amplificando por 2. c. Simplificando por 5. b. Simplifica d. Amplificando por 5. Simplificando ndo por 2. 6. a. Por ejemplo, 4 : 2, 6 : 3 y 8 : 4. b. Por ejemplo, 2 : 8, 3 : 12 y 4 : 16. c. Por ejemplo, 6 : 4, 9 : 6 y 12 : 8. d. Por ejemplo, 18 : 12, 27 : 18 y 3 : 2. e. Por ejemplo, 1 : 2, 2 : 4 y 8 : 16. f. Por ejemplo, 4 : 2, 6 : 3 y 8 : 4. g. Por ejemplo, 2 : 3, 4 : 6 y 24 : 36. h. Por ejemplo, 15 : 5, 3 : 1 y 150 : 50. 7. a. Por ejemplo, por cada 3 elementos de un conjunto hay 3 de

109

 

110

Figura derecha: largo de 6,4 cm; ancho de 12,8 cm y alto de 7,68 cm.

Unidad 1 

otro.

 Nuestro planeta

•

 

b. Por ejemplo, por cada 6 elementos de un conjunto hay 5 de

Página 59

otro. c. Por ejemplo, por cada 10 elementos de un conjunto hay 4 de otro. d. Por ejemplo, por cada 12 elementos de un conjunto hay 4 de otro.

• •

e. Por ejemplo, por cada 1 elemento de un conjunto hay 2 de

• •

otro. f. Por ejemplo, por cada 14 elementos de un conjunto hay 4 de otro. g. Por ejemplo, por cada 7 elementos de un conjunto hay 1 de otro. h. Por ejemplo, por cada 10 elementos de un conjunto hay 100 de otro. Página 56 8. a. • La razón es 2 : 4. • Se necesitan 8 tazas de harina y 4 de leche. • Se necesitan 16 tazas de harina y 8 de leche. b. • La razón es 6 : 4. • La razón es 2 : 10. • Un estudiante tendrá 18 hrs de matemática.  Tendrá ndrá 152 152 hrs de Ciencias Ciencias Naturales. Naturales. • Te c. • La razón es 5 : 7. • Hay 15 teclas negras y 21 blancas. • Hay 25 teclas negras y 35 blancas. • Hay 36 teclas negras y 52 blancas. Página 57 d. • 30 : 90 •1:3 • 60 vueltas. • 10 vueltas. • 300 vueltas. •3s • 270 s • 1 350 s • 45 s

La segunda afirmación, porque al multiplicar o dividir la razón por un mismo número se mantiene la equivalencia. 10. Por ejemplo, en el grupo 1: 3 : 2, 2 : 2 y 2 : 7; y en el grupo 2: 1 : 2; 1 : 1 y 6 : 2. a. En el grupo 2. b. Se deben agregar 7 arándanos. c. Se deben agregar 5 moras. 9.

Página 58 Ô  Cada parte representa 1 kg de desechos.

•

Respuestas variadas. Por ejemplo, 3 rectángulos de un color y 10 de otro.

La razón se lee “30 es a 100”. Por ejemplo, ejemplo, 3 : 10; 90 : 300 y 60 : 200.

  El 70 % de los desechos no se transforman en compost. Ô  Se puede leer “tres decimos”. Ô

Resolviendo la división entre 30 y 100. Se expresa como 50   y 0,5. 100

Página 60 Ô  Para obtener el consecuente 20.

•

¿Qué porcentaje de masa de los desechos orgánicos obtendrá como compost? 

•

Por ejemplo, calculando el valor de las razones 30 : 100 y 6 : 20 y constatando que para ambas es 0,3.

Ô

• •

  Multiplicar el 20 por 30 y dividir por 100. Se debe multiplicar a por b y el producto dividirlo por 100. Es 14. Se multiplica 70 por 20 y se divide por 100.

Página 61 Ô

• • Ô

• •

  Se divide por 5 para simplificar la razón y se multiplica por 3 para obtener el antecedente 18. ¿De cuántos kg de desechos orgánicos 18 kg es su 30%?. Multiplicando los kg obtenidos por 30%.

  El resultado es 18. Multiplicar c por 100 y dividirlo por a. Es 42. Se multiplica 70 por 60 y se divide por 100.

Página 62 1. Es una expresión que representa una cantidad como una razón con consecuente 100. 2. a. 25 % 3. a.

b. 64 % b.

c.

1  ; 0,01 f. 55 : 100; 11  ; 0,55 100 20 b. 5 : 100; 1  ; 0,05 g. 75 : 100; 3  ; 0,75 20 4 c. 12 : 100; 6  ; 0,12 h. 85 : 100; 17  ; 0,85 50 20 1 23 d. 25 : 100;  ; 0,25 i. 92 : 100;  ; 0,92 4 25 e. 40 : 100; 2 ; 0,4 5 5. a. Escribiendo la razón 4 : 10, y multiplicando sus términos por 4. a. 1 : 100;

10 para obtener 40 : 100, es decir, 40 %.

b. Escribiendo la razón 7 : 20, y multiplicando sus términos por

•

5 para obtener 35 : 100, es decir, 35 %.

30   y 0,3. Cada 100 kg de desecho desecho se forman 30 kg de compost. compost.

100

Solucionario Texto del Estudiante

 

Solucionario Texto del Estudiante 6. a. 8

d. 12

g. 6

b. 25

e. 80

h. 32

c. 8

f.

7. a. 80 8. a. 25 %,

10

b. 40

1 , 0,25

i.

45

c. 25 b. 50 %,

1 , 0,5

d. 80 %. Por ejemplo, como fracción y amplificando por 10 para

d. 16 c. 75 %,

3 , 0,75

4 2 4 Página 63 9. a. • Infantil: 12 : 100   Juvenil: 24 : 100   Historia: 21 21 : 100 100   Ciencia: 27 : 100 • Infantil: 12%   Juvenil: 24%   Histo Historia: ria: 21%   Ciencia: 27% • Por cada 100 libros, hay 12 infantiles, 24 juveniles, 21 de historia y 27 de ciencia. b. • Un 2 % corresponde a otro sector. • 113 910,8 Tcal a la Industria y Minería. 102 519,72 Tcal al Transporte.   62 650,94 650,94 Tcal Tcal al Sector Comercial.   5 695,54 695,54 Tcal Tcal a otro sector. 10.

obtener denominador 100. 8. a. 75 b. 90 9. Respuestas variadas. 10. a. • Plantan 8 árboles.

 

• Plantan 32 árboles. • En 2 días. • En 15 días. b. • 38 unidades de residuos. • 72 000 unidades de residuos. residuos. s. • 5 040 000 toneladas de residuo

Página 66 1. a. 700

d. 6 966

b. 43 470

e. 1

c. 638

f.

1. a.

c.

b.

d.

g. 39

 j.

14 h. 111

5 13

20

2. a. 1 183 056 b. 86 992 3. a. Por ejemplo, 22, 33 y 44. b. Por ejemplo, 30, 45 y 60. b. 60

b. 7 • 2 • 2 6. a. Primo b. Compuesto

i.

0,048

k. 12,29

36

5. a. 3 • 2

Página 64

d. 40

Página 65

4. a. 21

Lo que afirma cada niña es verdadero.

c. 40

5,4

l.

0,825

c. 59 967 c. Por ejemplo, 38, 57 y 76. d. Por ejemplo, 70, 105 y 140. c. 60

d. 180

c. 3 • 2 • 7 • 2 d. 5 • 5 • 2 • 2 c. Primo d. Compuesto

Porque tiene 4 divisores: 1, 3, 11 y 33. 8. a. 7  = 2 1 b. 36  = 3 6 3 3 10 10 9. D: 5  = 1 1 F: 17  = 2 1 7.

2. a. 1 es a 3. Por ejemplo, 2 : 6, 3 : 9 y 4 : 12. b. 2 es a 7. Por ejemplo, 4 : 14, 6 : 21 y 8 : 28. c. 42 es a 16. Por ejemplo, 21 : 8, 84 : 32 y 126 : 48. d. 8 es a 5. Por ejemplo, 16 : 10, 24 : 15 y 32 : 20. 3. a. 30 %

b. 12 %

c. 40 %

d. 27 %

1  ; 0,02 c. 30 : 100; 3 ; 0,3 50 10 b. 4 : 100; 1 ; 0,04 d. 65 : 100; 13 ; 0,65 25 20 5. a. 2 c. 24 e. 380 g. 45   b. 25 d. 96 f. 123 h. 21 2177 6. a. De 40. b. De 200. c. 50 d. 80 7. a. 40 %. Por ejemplo, amplificando por 20 para obtener denominador 100. b. 30 %. Por ejemplo, como fracción y amplificando por 10 para obtener denominador 100. 4. a. 2 : 100;

47  = 1 43 4 4 10. a. Por ejemplo 3 : 7 y 3 : 10. b. Por ejemplo 4 : 2 y 3 : 9. E:

8 8

84 8

G:  20  = 2

Página 67 11. a. Por ejemplo, amplificando por 2, 3 y 4 se obtiene 4 : 20, 6 : 30 y 8 : 40. b. Por ejemplo, amplificando por 2, 3 y 4 se obtiene 2 : 6, 3 : 9 y 4 : 12. c. Por ejemplo, amplificando por 2, 3 y 4 se obtiene 8 : 10, 12 : 15 y 16 : 20. d. Por ejemplo, amplificando amplificando por 2, 3 y 4 se obtiene 28 : 8, 42 : 12 y

56 : 16.

e. Por ejemplo, amplificando por 2, 3 y 4 se obtiene 24 : 10, 36 : 15

111

c. 28 %. Por ejemplo, amplificando por 4 para obtener

denominador 100. 112

Unidad 1 

 Nuestro planeta

•

 

Por ejemplo, amplificando por 2, 3 y 4 se obtiene 50 : 60, 75 : 90 y 100 : 120. g. Por ejemplo, amplificando amplificando por 2, 3 y 4 se obtiene 80 : 100, 120 120 : 150 y 160 : 200. h. Por ejemplo, amplificando por 2, 3 y 4 se obtiene 1 700 : 170, 2 550 550 : 255 y 3 400 : 340. 12. a. 1 c. 10 e. 200 g. 9   b. 14 d. 12 f. 8 500 h. 80 13. a. • Gastará $3 718 150. • Costará $743 630. b. Las hará nuevamente en 12 días más. c. El segmento formado mide 11 cm. d. • 25 % de huemules. 35 % de lobos marinos.   10 10 % de pumas. 30 % de pingüinos. •  50 fotos de huemules. 70 fotos de lobos marinos.   20 fotos de pumas. 60 fotos de pingüinos. f.

y 48 : 20.

Solucionario Texto del Estudiante

 

   e     l     b    a     i    p    o    c    o    t    o     f     l    a     i    r    e    t    a     M

Actividad complementaria: Refuerzo Nombre:

Lección 1 Curso:

Fecha:

1. Relaciona cada elemento de la tabla 1 con uno de la tabla 2. Escribe la letra correspondiente.  Tabla  T abla 1 A B C D

Múltiplos de 7 Múltiplos de 13 Múltiplos de 10 Múltiplos de 11

 Tabla  T abla 2

20, 30, 40, 50 y 60 14, 21, 28, 35 y 42 22, 33, 44, 55 y 66 26, 39, 52, 65 y 78

2. ¿Qué números primos hay entre el 10 y el 30?

3. ¿Cuál es el m. c. m. de 7 y 42?

4. Escribe tres pares de factores de 16.

5. Resuelve el problema.

Considera la siguiente situación del Texto del Estudiante, página 9: La industria CKA emitió en enero 8 298 kg de CO 2. En febrero, 2 124 124 kg más que en enero, y en marzo, 4 500 kg menos que en febrero. En abril, emitió 1 800 kg de CO2 menos que en marzo. ¿Cuántos kilogramos emitió?

113

Respuesta:

114 Unidad 1 • Nuestro planeta

 

Actividad complementaria: Ampliación Nombre:

Lección 1

Curso:

Fecha:

1. Encuentra todos los factores de cada número. a. 32 b. 82 c. 96 2. Escribe 10 múltiplos de cada número. a. 11 b. 19 c. 37 3. Resuelve los problemas. a. Luis quiere saber cuántas personas podrían votar durante las próximas elecciones en su colegio. En este

hay 119 mesas y en cada mesa, 250 personas inscritas. ¿Cuántas personas podrían votar como máximo?

Respuesta: b. Los precios de tres productos son los siguientes:

•

Artículo A

Artículo B

Artículo C 

$399 990

$349 990

$299 990

¿Cuál es el costo de comprar los artículos A y B?

Respuesta: •

¿Cuál es el costo de comprar los artículos A y C ?

   e     l     b    a     i    p    o    c    o    t    o     f     l    a     i    r    e    t    a     M

Respuesta:

Actividad complementaria

 

   e     l     b    a     i    p    o    c    o    t    o     f     l    a     i    r    e    t    a     M

Actividad complementaria: Refuerzo Nombre:

Lección 2 Curso:

Fecha:

1. Encierra con un círculo las fracciones impropias

2 5 

9 4 

8 9 

11 14  

2 4 

10 4  

3 5 

5 3 

13 6  

1 7 

2 3 

8 6 

5 11  

2. Escribe en el recuadro de la derecha la fracción que se representa. a.

b.

3. Expresa como fracciones los números mixtos y viceversa. a. 8  =

3

c. 3 1  =

b. 24  =

d. 4 1  =

2

5

3

4. Resuelve los problemas. a. Calcula el cociente y el resto de la división 7 : 4. Explica cómo puedes obtener el número mixto

equivalente a 7   con esos valores. valores. 4

Respuesta: b. ¿Por qué números debes amplificar 7   y 9   para obtener 21  y 18  , respectivamente?

4

Respuesta: c. ¿Cuál es el resultado de 7   + 9  ?

4

6

6

12

12

115

Respuesta: 116 Unidad 1 • Nuestro planeta

 

Actividad complementaria: Ampliación Nombre:

   e     l     b    a     i    p    o    c    o    t    o     f     l    a     i    r    e    t    a     M

Lección 2

Curso:

Fecha:

1. Resuelve las operaciones.

6

7

4

7

2

a. 5  + 4  =

c. 5  + 6  + 4  =

b. 2 4  + 9  =

d.

9

6

16  + 18  = 15 30

2. Propón una adición de fracciones impropias o números mixtos cuyo resultado sea: a. 3

c. 7  

b. 5

4

d. 2 1  

3

3. Propón una sustracción de fracciones impropias o números mixtos cuyo resultado sea: a. 1

c. 4  

b. 2

5

d. 1 1  

2

4. Resuelve los problemas. a. Marcelo compró 3 3  kg de tomates y Juan adquirió 25  kg. ¿Quién compró más tomates?, ¿cómo lo sabes?

4

8

Respuesta: b. Violeta compró 2 1  kg de tomates y Angélica, 7  kg. ¿Cuántos kilogramos compraron entre las dos?

2

4

Respuesta: c. Valentín tenía 18 láminas. Perdió 1  de ellas en el colegio. ¿Cuántas le quedaron?

6

Respuesta: Actividad complementaria

 

   e     l     b    a     i    p    o    c    o    t    o     f     l    a     i    r    e    t    a     M

Actividad complementaria: Refuerzo Nombre:

Lección 3 Curso:

Fecha:

1. Representa gráficamente. a. 0,8

b. 0,2

c. 1,6

2. Resuelve las operaciones. a. 0,6 • 2 =

b. 9,3 : 3 =

3. ¿Cómo expresas 0,3 • 6 mediante una adición de números decimales?, ¿y de fracciones?

117

Respuesta:

118 Unidad 1 • Nuestro planeta

 

Actividad complementaria: Ampliación Nombre:

Lección 3

Curso:

Fecha:

1. Resuelve las operaciones. a. 67,05 • 1 000 =

b. 2,49 : 0,3 =

2. Completa la tabla multiplicando los números de las filas con los de las columnas. •

4

8

10

100

200

1 0 00

1,2 0,25 1,87 3. Resuelve los problemas. a. Paola va a su colegio recorriendo 7 tramos de 0,45 km cada uno. Entre cada tramo, descansa 5 min. ¿Qué

distancia recorre de su casa al colegio?

Respuesta: b. La masa corporal de la mascota de Pamela es 4,85 kg. El veterinario dijo que deben llevarla a control en

seis meses más y que, para esa fecha, deberá haber subido 0,27 kg por mes. ¿Cuál debería ser la masa corporal de la mascota de Pamela en su próximo control?

   e     l     b    a     i    p    o    c    o    t    o     f     l    a     i    r    e    t    a     M

Respuesta: Actividad complementaria

 

   e     l     b    a     i    p    o    c    o    t    o     f     l    a     i    r    e    t    a     M

Actividad complementaria: Refuerzo Nombre:

Lección 4 Curso:

Fecha:

1. Determina la razón entre cuadrados y círculos. Exprésala con números e indica cómo se lee.

 

Razón:

Se lee:

2. Calcula los porcentajes. a. 70 % de 200.

b. 25 % de 400.

3. Resuelve el problema.

En una vitrina hay 10 camisas blancas y 6 negras. ¿Qué razón es mayor: la que hay entre las cantidades de camisas negras y blancas, o la que hay entre camisas blancas y totales?

119

Respuesta: 120 12 0 Unidad 1 • Nuestro planeta

 

Actividad complementaria: Ampliación Nombre:

Lección 4

Curso:

Fecha:

1. Escribe una razón equivalente a cada una de las siguientes razones: a. 25 : 10

c. 120 : 300

e. 72 : 12

b. 64 : 16

d. 740 : 37

f. 63 : 90

2. Calcula los porcentajes. a. 150 % del 50 % de d e 100.

b. 25 % del 200 % de 70.

c. 300 % del 80 % de 1 200. 200.

3. Resuelve el problema.

El perímetro de un terreno rectangular es 1 600 m. Su ancho mide 200 m. ¿Cuál es la razón entre su ancho y su largo?

   e     l     b    a     i    p    o    c    o    t    o     f     l    a     i    r    e    t    a     M

Respuesta: Actividad complementaria

 

Solucionario Actividad complementaria Refuerzo 1.

C A D B

2. 11, 13, 17, 19, 23 y 29 3. El m. c. m es 42. 4. 1 • 16; 4 • 4 y 8 • 2. 5. a. Emitió 4 122 122 kg. b. En total 24 642 kg.

Ampliación 1. a. 1, 2, 4, 8, 16 y 32 b. 1, 2, 41 y 82 c. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48 y 96 2. Por ejemplo: a. 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 y 110 b. 19, 38, 57, 76, 95, 114, 133, 152, 171 y 190 c. 37, 74, 111, 148, 185, 222, 259, 296, 333 y 370 3. a. Podrían votar 29 750 personas como máximo. b.

• $749 980 • $699 980 • $1 049 970 970

Lección 1

121

122

Unidad 1 • Nuestro

planeta

 

Solucionario Actividad complementaria

Leccion 2

Refuerzo 1. 2  

9  4

5

8   11   2   10   9 14 4 4

3  5

5  3

13   6

1  7

2  3

8  6

5 11

2. a. 15 12 b. 28

16

3.

a. 2 2

b. 4 4

3

d. 13

c. 7

5

3

2

4. a. El cociente es 1 y el resto, 3. Por lo tanto, la parte entera del número mixto es 1, el numerador de su parte

fraccionaria es 3 y el denominador es 4. b. 7 4  se debe amplificar por 3 y 96 , por 2. c. 39

12

Ampliación 1.

a. 59

c. 88

b. 17

d. 50

20

60

18

30

2. Por ejemplo: a. 4  + 5  

3

3

b. 7  + 3  

c. 4  + 3  

d. 7  + 7  

b. 20  – 12  

c. 12  – 8  

d. 11  – 5  

2

2

2

2

6

6

3. Por ejemplo: a. 9  – 6  

3

4.

3

4

4

5

a. Marcelo, porque compró 3 3  = 30  > 25  .

17 b. Compraron 4   kg. c. Le quedaron 15 láminas.

4

8

8

5

4

4

Solucionario Actividad complementaria

 

Solucionario Actividad complementaria

Lección 3

Refuerzo 1. a. b. c. 2. a. 1,2 b. 3,1 3. 0,3 + 0,3 + 0,3 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 y 3  + 3  + 3  + 3  + 3  + 3  

10

10

10

10

10

Ampliación 1. a. 67 050 b. 8,3 2.

•

4

8

10

100

200

1 000

1,2

4,8 1 7,48

9,6 2 14,96

12 2,5 18,7

120 25 187

240 50 374

1 200 250 1 870

0,25 1,87

3. a. Recorre 3,15 km. b. Debería ser de 6,47 kg.

10

123

124

Unidad 1 • Nuestro

planeta

 

Solucionario Actividad complementaria

Lección 4

Refuerzo 1. 6 : 8. Se lee «seis es a ocho». 2. a. 140 b. 100 3. a. La que hay entre camisas blancas y totales, ya que 10 : 16 es equivalente a 50 : 80, mientras que 6 : 10 es

equivalente a 48 : 80. b. 27 : 40

Ampliación 1. A continuación, ejemplos de respuestas. a. 5 : 2 b. 8 : 2 c. 12 : 30 d. 20 : 1 e. 36 : 6 f. 7 : 10 2. a. 75 b. 35 c. 2 880 3. a. 200 : 600 o 1 : 3 b. Debe consumir 780 g.

Solucionario Actividad complementaria

 

   e     l     b    a     i    p    o    c    o    t    o     f     l    a     i    r    e    t    a     M

Instrumento de evaluación: Evaluaci Evaluación ón diagnóstica Nombre:

Curso:

Fecha:

1. Marca la alternativa correcta. a. En la recta numérica se han ubicado las 1 8

fracciones

 

2

0

 y

10

.

1 2

8 10

 ¿Cuál de las siguientes fracciones se encuentra

 

entre 1  y 8 ? 2 10 5 1 3 9 A.    B.    C.    D.  10 4 5 10

c. La casa de Antonio se ubica a un cuarto de

kilómetro de la de sus abuelos. ¿A cuántos metros de distancia están ambas casas?

 

A. 25 metros

 

B. 1 250 metros

 

C. 0,25 metros D. 250 metros

d. La casa de Antonio se ubica a un cuarto de

kilómetro de la de sus abuelos. ¿A cuántos

b. Una hora consta de 60 min. Un minuto posee

metros de distancia están ambas casas? A. 

60 s. ¿Cuántos segundos tiene una hora?  

 

A. 360 s

B. 

B. 120 s

C. 

C. 3 600 s

D.  D. 1 200 s 2. Lee y responde. a. Daniela compró 3 panes a $120 por unidad y

5 trozos de queque a dinero gastó?

$450 cada uno. ¿Cuánto

3  de una pizza y Antonia, 4 . 8 8 ¿Cuánta pizza comieron entre los dos?

b. Miguel comió

 

  Respuesta:

Respuesta:

125

126

Unidad 1 

 Nuestro planeta

•

 

3. Lee cada afirmación y escribe V (verdadera) o F (falsa). Justifica las falsas. a.

Luis guardará sus 372 autitos en cajas donde caben 6 en cada una. Para saber cuántas cajas necesitará como mínimo debe multiplicar 372 • 6.

b. en el gimnasio. En un gimnasio pusieron 27 filas de sillas. En cada fila pusieron 48 sillas. Entonces, hay 1 296 sillas

c.

La fracción 3   es equivalente al al número mixto 3 1  . 2 2

d.

6 U + 8 D + 3 C + 7 UM UM + 3 CM = 683 703 703

e.

La suma de 0,25 + 0,3 es mayor que la suma de 0,5 + 0,5.

4. Resuelve los problemas. a. Sofía compró 3 leches a $1 100 cada una y 5 jaleas a $800 por unidad. Si tras pagar todo le sobraron $900,

¿cuánto ¿cuánt o dinero din ero tenía inicialmente inicialmente??

Respuesta: b. Miguel llenó cuatro envases con jugo: uno de

3  L, otro de 0,5 L y dos de 0,25 L. ¿Cuánto jugo tiene en total? 4

Respuesta: c. Elisa se encuentra a 0,75 km de su casa. ¿A cuántos metros de su casa se encuentra?

   e     l     b    a     i    p    o    c    o    t    o     f     l    a     i    r    e    t    a     M

Respuesta: Instrumento de evaluación

 

   e     l     b    a     i    p    o    c    o    t    o     f     l    a     i    r    e    t    a     M

Instrumento de evaluación: Evaluación formativa Nombre:

Lección 1

Curso:

Fecha:

1. Lee y responde. a. ¿Es 7 un factor del número? Escribe SÍ o NO. • 56

• 49

• 30

• 70

• 1  122

• 63

b. ¿Es 36 múltiplo del número? Escribe SÍ o NO. • 

8

• 24

• 

9

• 16

• 

6

• 1  122

c. ¿Es un número primo? Escribe SÍ o NO. • 6

• 48

• 3

• 37

• 

69 • 111

d. ¿Qué múltiplos de 7 son, a la vez, factores de 49?

e. ¿Cuáles son los múltiplos comunes de 2 y 7? Escribe los tres menores.

f. ¿Cuál es el m. c. m. de 2, 8 y 9?

2. Resuelve el problema.

En un bingo se recaudaron $2 490 200. Si de ese dinero se utilizaron $479 950 para pagar todos los gastos asociados al evento, ¿cuál es la ganancia que se obtuvo?

Respuesta:

127

128 12 8

Unidad 1 

 Nuestro planeta

•

 

Instrumento de evaluación: Evaluaci Evaluación ón formativa Nombre:

Curso:

Lección 2 Fecha:

1. Lee y responde.

19 a. ¿Qué número mixto equivale a 6  ? b. ¿Qué fracción equivale a 3 3  ?

7

c. ¿Qué número decimal equivale a 8 3  ?

10

d. ¿Qué número mixto equivale a 1,68?

2. Resuelve las operaciones. a. 6  + 3 1  =

c.

b. 8 3  – 9  =

d. 2 4  + 4 1  – 3  =

3

7

4

10

20  – 10  = 12 9

6

8

2

3. Resuelve el problema.

Cecilia saltó 5 3  m, 3 2  m y 4 1  m en sus últimas 3 pruebas. ¿Cuántos metros de diferencia hay entre su mayor 6 5 5 y su menor salto?

   e     l     b    a     i    p    o    c    o    t    o     f     l    a     i    r    e    t    a     M

Respuesta:

Instrumento de evaluación

 

   e     l     b    a     i    p    o    c    o    t    o     f     l    a     i    r    e    t    a     M

Instrumento de evaluación: Evaluación formativa Nombre:

Curso:

Lección 3 Fecha:

1. Resuelve las operaciones. a. 0,4 • 1,5 =

d. 0,18 • 0,35 =

b. 0,75 • 8 =

e. 0,34 : 0,2 =

c. 2,4 : 0,5 =

f. 0,343 : 2,45 =

2. Resuelve los problemas. a. Andrea dice que tras cortar una cuerda de 12,15 m en 9 trozos iguales, cada trozo medirá 13,5 m. ¿Es correcto

lo que afirma Andrea?, ¿por qué?

Respuesta: b. Sandra tiene 6 bolsas de 0,75 kg de azúcar cada una. ¿Cuánta azúcar tiene en total?

129

Respuesta:

130

Unidad 1 

 Nuestro planeta

•

 

Instrumento de evaluación: Evaluaci Evaluación ón formativa Nombre:

Curso:

Lección 4 Fecha:

1. Calcula los porcentajes. a. 20 % de 150.

b. 75 % de 900.

2. Resuelve los problemas. a. En un curso hay 24 niñas y 16 niños. ¿Qué razón de consecuente 4 es equivalente a la razón entre las niñas

y niños del curso?

Respuesta: b. Las longitudes de los lados de un rectángulo están en la razón 2 : 5. El lado mayor mide 20 cm. ¿Cuánto

mide el lado menor?

Respuesta: c. Patricio donará el 40 % de sus figuras coleccionables a una fundación de niños. En total tiene 85 figuras.

¿Cuántas le quedarán tras la donación?

   e     l     b    a     i    p    o    c    o    t    o     f     l    a     i    r    e    t    a     M

Respuesta: Instrumento de evaluación

 

   e     l     b    a     i    p    o    c    o    t    o     f     l    a     i    r    e    t    a     M

Instrumento de evaluación: Evaluaci Evaluación ón final Nombre:

Curso:

Fecha:

1. Marca la alternativa correcta. a. Javier vendea $completos. completos 1 250 cadaUna uno.tarde, Por lavendió noche,25

con una parte del dinero que recaudó compró 2 helados de chocolate a $2 500 la unidad y 2 entradas al cine a $5 100 cada una. ¿Qué operaciones le permiten calcular la cantidad de dinero que le quedó?  

 

A. 25 • 1 250 + 2 • 2 500 – 5 100 100 B. 25 + 1 250 – 2 • 2 500 – 2 • 5 100 C. 25 • 1 250 – 2 • (2 500 + 5 100) 100) D. 1 250 : 25 – (2 500 + 5 100)

b. Clara corrió de su casa al colegio y luego volvió

 

a su casa. El viaje de ida le tomó 32 1  min y el 2 de vuelta, 37 3  min. ¿Cuánto demoró en total? 4 1 A. 70   min 4 B. 69 3   min 4 C. 69 4   min 6 D. 70 2   min 3

c. 0,4 • 3 equivale a:   A. 0,4 + 5

B. 3 + 3 + 3 + 3 C. 1 + 0,2 D. 4,8 : 2

d. ¿Qué razón representa 24 %?

 

A. 24 : 10

 

B. 6 : 25 C. 1 : 24

 

D. 8 : 50

2. Lee y responde. a. La masa de 100 clavos iguales es 0,15 kg. ¿Cuál es

b. Un tubo de 30 cm fue dividido en tres partes.

la masa de 22 de estos clavos?

Respuesta:

Una de ellas representa el 20 % de su longitud y las otras dos miden lo mismo entre sí. ¿Cuánto mide cada una?

 

131

Respuesta:

132 13 2

Unidad 1 

 Nuestro planeta

•

 

3. Lee cada afirmación y escribe V (verdadera) o F (falsa). Justifica las falsas. a.

El número 39 es primo.

b.

La razón 24 : 36 es equivalente a la razón 4 : 6.

c.

El m. c. m. de 2, 3 y 4 es 24.

d.

Si el 20 % de A es 80, entonces el A % de 20 es 80.

e.

El producto de 20 • 1,2 es mayor que 20.

4. Resuelve los problemas. a. Ana compró una congeladora en $164 820. Si pagó en 12 cuotas iguales sin interés, ¿cuál es el valor de

cada cuota?

Respuesta: b. En una ferretería quedan 18 bidones de 2,5 L de diluyente cada uno. ¿Cuánto diluyente hay en total?

Respuesta: c. En una granja educativa, la razón entre ovejas y caballos es de 5 : 4. Si hay 28 caballos, ¿cuántas ovejas hay?

   e     l     b    a     i    p    o    c    o    t    o     f     l    a     i    r    e    t    a     M

Respuesta:

Instrumento de evaluación

 

Solucionario Instrumento de evaluaci evaluación ón Evaluación diagnóstica 1. a. C b. C c. D d. D 2. a.

$2 610

b. 7

8

3. a. F. Se debe dividir 372 : 6. b. V. c. F. La fracción equivale a 1 1 .

2 d. F. 6 U + 8 D + 3 C + 7 UM + 3 CM = 307 386 e. F. La suma 0,25 + 0,3 = 0,55 es menor que la suma 0,5 + 0,5 = 1. 4. a.

$8 200

b. 1,75 L c. 750 m

133

134 13 4

Unidad 1 

 Nuestro planeta

•

 

Solucionario Instrumento de evaluaci evaluación ón Evaluación formativa Lección 1 1. a.

 

• SÍ

• SÍ

• NO

• SÍ

• NO

• SÍ 

• NO

• SÍ

• NO

• SÍ

• SÍ

• SÍ 

• NO

• NO

• NO

• SÍ

• SÍ

• NO

b.

  c.

 

d. 7 y 49 e. 14, 28 y 42 f. 72 2. a.

$2 010 250

b.

$71 950

   e     l     b    a     i    p    o    c    o    t    o     f     l    a     i    r    e    t    a     M

Solucionario Instrumento de evaluación

 

Solucionario Instrumento de evaluaci evaluación ón Evaluación formativa Lección 2 1. a. 3 1

6 b. 24 7 c. 83 10 d. 1 17 25 2.

a. 4 4

21 b. 7 17 20 c. 5 9 d. 5 7 24 3.

a. 2 1  m

10 b. 7 9  h 20

135

136

Unidad 1 • Nuestro

planeta

 

Solucionario Instrumento de evaluaci evaluación ón Evaluación formativa Lección 3 1. a. 0,6 b. 6 c. 4,8 d. 0,063 e. 1,7 f. 0,14 2. a. No es correcto. Cada trozo medirá 1,35 m. b. 4,5 kg c. 0,375 L

Solucionario Instrumento de evaluación

 

Solucionario Instrumento de evaluaci evaluación ón Evaluación formativa Lección 4 1. a. 30 b. 67 6755 2. a. 6 : 4 b. 8 cm c. 51 figuras d. 33 alumnos

137

138

Unidad 1 • Nuestro

planeta

 

Solucionario Instrumento de evaluaci evaluación ón Evaluación final 1. a. C b. A c. C d. B 2. a. 0,033 kg b. 12 cm 3. a. F. Es compuesto, ya que 3 y 13 lo dividen en forma exacta. b. V. c. F. El m. c. m. es 12. d. V. e. V. 4. a.

$13 735

b. 45 L c. 35 ovejas

Solucionario Instrumento de evaluación

 

Planificación Tomo 1 Unidad

Tiempo estimado (horas pedagógicas)

Clases

Sección / Lección

Objetivos de Aprendizaje OA de 5° básico:

2

1

1

Inicio de unidad

OA 1 a OA 13

Lección 1 Operaciones, múltiplos y factores OA 1 y OA2

14

2a8

20

9 a 18

Lección 2 Fracciones y números mixtos

16

19 a 26

Lección 3 Números decimales

OA 7 y OA 8

20

27 a 36

Lección 4 Razones y porcentajes

OA 3 y OA 4

4

37 y 38

Fin de unidad

OA 1 a OA 8

2

1

Inicio de unidad

16

2a9

Lección 5 Representación de ecuaciones

16

10 a 17

Lección 6 Resolución de ecuaciones

OA5, OA 6 y OA 8

OA de 5° básico: OA 14 y O A15

OA 9 y OA 10

2 OA 11

139

4

18 y 19

Fin de unidad

OA 9 a OA 11

140 Planificación Tomo 1

 

Texto del Estudiante

• ¿Qué sabes?

Guía Didáctica del Docente

• Evaluación diagnóstica (págs. ( págs. 126 y 12 127). 7).

• • • • •

Actívate Operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división Múltiplos, factores y divisores Números primos y compuestos ¿Cómo vas?

• Actividad complementaria: Refuerzo (pág. 114 14).). • Actividad complementaria: Ampliación (pág. 115 15).). • Evaluación formativa Lección 1 (pág. (p ág. 128). 128).

• • • • •

Actívate Fracciones impropias y números mixtos Fracciones impropias y números mixtos en la recta numérica Adición y sustracción de fracciones y números mixtos ¿Cómo vas?

• Actividad complementaria: Refuerzo Refuer zo (pág. 116) 16).. • Actividad complementaria: Ampliación (pág. 117) 17).. • Evaluación formativa Lección 2 (pág. (p ág. 129). 129).

• • • •

Actívate Multiplicación con números decimales División con números decimales ¿Cómo vas?

• Actividad complementaria: Refuerzo Refuer zo (pág. 118) 18).. • Actividad complementaria: Ampliación (pág. 119 19).). • Evaluación formativa Lección 3 (pág. (p ág. 130).

• • • •

Actívate Razones Porcentajes ¿Cómo vas?

• Actividad complementaria: Refuerzo (pág. 120). • Actividad complementaria: Ampliación (pág. 12 121) 1).. • Evaluación formativa Lección 4 (pág. 131). 131).

• ¿Qué aprendiste?

• Evaluación final (págs. 132 y 133).

• ¿Qué sabes?

• Evaluación diagnóstica (págs. 208 y 209).

• • • •

Actívate Patrones en tablas Lenguaje algebraico ¿Cómo vas?

Actitudes

a, b, c, d, e y f 

• Actividad complementaria: Refuerzo (pág. 202). • Actividad complementaria: Ampliación (pág. 203) 203).. • Evaluación formativa Lección 5 (pág. 210).

c, d y e • • • •

Actívate Representación de ecuaciones Resolución de ecuaciones ¿Cómo vas?

• Actividad complementaria: Refuerzo (pág. 204). • Actividad complementaria: Ampliación (pág. 205). • Evaluación formativa Lección 6 (pág. 211).

• ¿Qué aprendiste?

• Evaluación final (págs. 212 y 213).

Planificación Tomo 1

 

Planificación de la unidad

Unidad 2 La tecnología Sección / Lección

Tiempo estimado (horas pedagógicas)

Clases

Inicio de unidad

2

1

Objetivos de Aprendizaje OA de 5° básico: OA 14 a OA 15

Texto del Estudiante

• ¿Qué sabes? • Actívate

Lección 5 Patrones y lenguaje algebraico

• Patrones en tablas

16

2a9

OA 9 y OA 10 • Lenguaje algebraico •

¿Cómo vas? • Actívate

Lección 6 Ecuaciones

• Representación de ecuaciones

16

10 a 17

OA 11 • Resolución de ecuaciones • ¿Cómo vas?

Fin de unidad

4

18 y 19

OA 9 a OA 11

• ¿Qué aprendiste?

141 14 1

142 14 2

Unidad 2 

 La tecnología

•

 

Páginas del Texto del Estudiante

Páginas del Cuaderno de Actividades

Páginas de la Guía Didáctica del Docente Planificación de clases

68 y 69

146 y 147

70

148

71 a 75

58 a 63

149 a 153

76 a 81

64 a 69

154 a 159

82 y 83 84

70 y 71

160 y 161 170

85 a 89

72 a 77

171 a 175

90 a 95

78 a 83

176 a 181

96 y 97

84 y 85

182 y 183

98 y 99

86 y 87

184 y 185

Recursos • Evaluación diagnóstica (págs. 208 y 209).

• Actividad complementaria: Refuerzo (pág. 202). • Actividad complementaria: Ampliación (pág. 203). • Evaluación formativa Lección 5 (pág. 210).

• Actividad complementaria: Refuerzo (pág. 204). • Actividad complementaria: Ampliación (pág. 205). • Evaluación formativa Lección 6 (pág. 211).

• Evaluación final (págs. 212 y 213).

Planificación de la unidad

 

Presentación de la unidad Unidad

La tecnología

2

Esta unidad se construy construye e a partir p artir del eje Patro Patrones nes y álgebra. A partir de él se desarrollan los cont contenidos, enidos, procedimientos procedimientos y habilidades correspondientes, considerando como hilo conductor la temática de la tecnología al servicio de los estudiantes y de la sociedad en general. El papel que

pueden cumplir estas herramientas en la educación como nuevas formas y medios de aprender fomentan la iniciativa

personal, la solidaridad, el trabajo en equipo, la capacidad crítica o la interac interacción ción social.

relaciones entre números naturales, usando expresiones

con letras, símbolos y operaciones matemáticas. matemáticas. Para ello, se trabajará en los siguientes contenidos: lenguaje algebraico, algebraic o, expresiones algebraicas y valorizació valorización n de expresiones algebraicas. Si bien el objetivo corresponde

a la generalización de relaciones numéricas, se considera necesario incluir actividades que impliquen la conversión de expresiones escritas en lenguaje natural al lenguaje algebraico, y viceversa, ya que el uso del lenguaje y el

En la unidad se conductor proponen ydos temas que se relacionan mediante el hilo el contenido matemático. De

simbolismo necesario paracon apoyar pensamientoes algebraico. Junto esto, ysecomunicar enfatiza en el el

esta forma, se aborda el estudio de patrones numéricos numéricos en tablas y la determin determinación ación de reglas generales para calcular los términos en una secuencia numérica. Estos contenidos contenidos

uso de la tecnología y las redes sociales.

son considerados como la base para el desarrollo del pensamiento algebraico que permitirá a los estudiantes

modelar situaciones utilizando ecuaciones.

En la Lección 6 se aborda el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita en el contexto de resolución de problemas. Se inicia con el tratamiento del concepto de ecuación y las estrategias de resolución. Además de esto, los estudiantes podrán

contextualizadas en la tecnología. Las actividades y recursos

reconocer la utilidad del uso de ecuaciones para resolver problemas. Es importante tener presente que los alumnos desde 3° básico han trabajado con ecuaciones, por lo que ya están familiarizado familiarizadoss con este concepto. Las actividades

sugeridos el Textoadel el desarrollo de este tema en motivarán losEstudiante alumnos apara resolver situaciones

yprincipalmente recursos propuestos en el Texto delhabilidad Estudiante el desarrollo de la deestimulan resolver

mediante el análisis de tablas de valores, el reconocimi reconocimiento ento

problemas y modelar, ya que los alumnos trabajarán en

de patrones y la búsqueda de estrategias para generalizar

el planteamiento planteamiento y resolución de ecuaciones con el fin de encontrarr soluciones a las situaciones presentadas. encontra presentadas.

La Lección 5 comienza con el análisis de relaciones

numéricas registradas registradas en tablas, las que se emplearán para organizar datos correspondientes a diferentes situaciones

relaciones en tablas. Los estudiantes pueden generalizar

143 14 3

144 Unidad 2 • La tecnología

 

Estructura La estructura de la unidad se muestra a continuación:

Ruta de aprendizaje de la Unidad 2

Patrones y álgebra

Lecciones que se articulan de acuerdo con los Objetivos de Aprendizaje.

Lección 5: Patrones y lenguaje algebraico Evaluación diagnóstica

• Patrones en tablas.

Evaluación formativa Lección 5

• Lenguaje algebraico.

Lección 6: Ecuaciones Representación de ecuaciones. • Representación • Resolución de ecuaciones.

Evaluación formativa Lección 6

Evaluación final Unidad 2

Presentación de la unidad

 

Orientaciones y planificaciones de clase

2

       d      a        d        i      n       U

Planificación

Clase 1 2 horas pedagógicas / págs. 68 y 69

145 14 5

La tecnología

 Trabajarás patrones y álgebra:

Propósito de la unidad

Lección 5

  Patrones y lenguaje algebraico. (Página 70)

Lección 6

Ecuaciones.  (Página 84)   Ecuaciones.

Comprender y resolver problemas: • Identificando relaciones numéricas en tablas. • Representando relaciones con lenguaje algebraico. • Resolviendo ecuaciones.

Objetivos de Aprendizaje Lección 5: OA 9 y OA 10 Lección 6: OA 11

Actitudes a  Manifestar un estilo de trabajo ordenado y metódico. b Abordar de manera flexible y creativa la búsqueda de soluciones a problemas. c Manifestar curiosidad e interés por el aprendizaje de las matemáticas.

68

Notas para el docente Palabras claves:  

• Patrones. • Secuencia. • Ecuación. • Igualdad. • • • •

Valor incógnito. Lenguaje algebraico. Lenguaje común o cotidiano. Operación inversa.

Gestión de la clase

Invite a los estudiantes a que comenten la imagen y que la relacionen con el hilo conductor de la unidad. Pídales que dialoguen acerca de cómo la tecnología está al servicio de las personas y cómo podemos hacer que las redes sociales se conviertan en un medio de comun comunicación icación positivo que facilite nuestras actividades, ya sean laborales, educacionales o personales.

:

146

Unidad 2 

 La tecnología

•

 

¿Qué sabes?

Desarrolla en tu cuaderno

Evaluación diagnóstica

Resuelve  y explica tus respuestas.

Lea el Propósito Propósito de  de la unidad y comente a los estudiantes que en ella trabajarán contenidos del eje Patrones y álgebra. Pídales que recuerden conceptos trabajados en años anteriores, tales como patrones sencillos en

1. Analiza la secuencia.

a. ¿Cuál es el patrón? b. ¿Qué piedra pulida continúa la secuencia: una

secuencias y la resolución de ecuaciones. Solicite que resuelvan la Evaluación diagnóstica mientras usted monitorea el trabajo.

grande o una pequeña? c. ¿Qué piedra ocupa la posición 23 de la secuencia: una grande o una pequeña? 2. Cuenta la cantidad de letras D en cada paso.

Paso 1

Paso 2

Paso 3

Realice un registro del desempeño de los estudiantes en la Evaluación diagnóstica, de manera de poder tomar las medidas iniciales necesarias para que puedan enfrentar esta nueva unidad en forma nivelada. Para hacerlo puede realizar una lista de cotejo individual que dé cuenta de las habilidades específicas que demuestran en las actividades

Paso 4

a. ¿Cuál es el patrón? b. ¿Cuántas letras D habrá en el paso 5? c. ¿Y en el paso 6? d. ¿Y en el paso 12?

propuestas. Esta lista puede servirle para realizar un breve repaso de los contenidos que los estudiantes deben manejar: reglas en secuencias sencillas y ecuaciones e inecuaciones de un paso.

3. El primer viaje de una locomotora de vapor ocurrió en 1804 y cubrió una distancia aproximada de 15 km. La primera hora recorrió 8 km. a. ¿Qué ecuación modela la distancia x  que  que le faltaba por recorrer para completar su viaje? b. ¿Cuál es el valor de x ? o na  io Refl e x i

• •

•

¿Qué representa para ti la imagen? ¿Qué mejoras para la sociedad trae consigo la tecnología?, ¿y para ti en lo personal?

4. Leticia compró dos pendriv  pendrives es para almacenar sus fotos. En total adquirió 12 GB de capacidad. Uno de sus pendriv  pendrives es posee 8 GB.

¿Qué problemas asocias al uso excesivo de la tecnología?

Pida que comenten las respuestas obtenidas de la Evaluación diagnóstica y que las compartan con el resto del curso.

a. ¿Qué ecuación permite modelar la capacidad x   de de  pendrivee? su otro pendriv b. ¿Cuál es el valor de x ?

Invítelos a discutir con respecto a la 69

 

:

Notas para el docente

El conocimiento conocimiento previo es la informació información n que el individuo tiene almacenada almacena da en su memoria, debido a sus experiencias pasadas. Los Objetivos de Aprendizaje trabajados en 5° básico y relacionados con los contenidos de esta unidad son: - OA 14 - OA 15

tecnología y su uso, y luego ínstelos a que respondan las interrogantes planteadas en Reflexiona.. la sección Reflexiona Para cerrar la clase realice algunas preguntas de comprobación. Por ejemplo, pregunte: • ¿Qué es un patrón? Da un ejemplo. • ¿Qué es una ecuación? Da un ejemplo. A partir de las respuestas de los estudiantes, genere una breve conversación sobre los contenidos que verán en las siguientes clases.

Orientaciones y planificaciones de clase

147 14 7

 

Lección

5

Planificación

Patrones y lenguaje algebraico

Clase 2 2 horas pedagógicas / pág. 70

ate  va Act í  v

Propósito de la lección

Marcos observa en Instagram las fotografías de una amiga y comenta lo siguiente: «¿Notaste que la cantidad de pétalos de las flores siguen un patrón?».

En esta lección comprenderán relaciones entre valores de tablas y expresarán relaciones numéricas y propiedades usando lenguaje algebraico.

1

2

3

4

Objetivo de Aprendizaje OA 9 y OA 10

Gestión de la clase

Pida a los estudiantes que lean los objetivos de la lección, que se relacionan con el reconocimiento de patrones y con el uso del lenguaje algebraico. Indague en sus conocimientos previos y en lo que esperan aprender en las siguientes páginas de su  Texto  T exto del Estudiante Estudiante.. Realice Realice preguntas preguntas como las siguientes:

Responde

- ¿Qué es un patrón?

1.

¿Cuántos pétalos tienen las flores de las fotos 1 a 4?

2.

¿Qué patrón podría generar esta secuencia de números?

3.

¿Cómo la expresas con lenguaje algebraico?

4.

Recorta al menos 25 círculos desde un cartón y construye la secuencia anterior (también puedes usar otros objetos como monedas o porotos). De acuerdo con el patrón, ¿cuántos elementos debería tener el quinto término de la secuencia?

- ¿Qué patrones observas en tu entorno? - ¿En qué ocasiones es útil utilizar el lenguaje algebraico para comprender situaciones matemáticas matemáticas??

Puedes iniciar con

Invite a que lean la información de la sección Actívate Actívate e  e ínstelos a que discutan con respecto a las fotografías propuestas y al patrón utilizado en el número de los

•

¿Qué redes sociales utilizas habitualmente?

•

¿Cómo te ayuda la tecnología a aprender cosas nuevas?

https://bit.ly/39wHPtM

70

Unidad 2  • La tecnología

- ¿Todos los fenómenos siguen un patrón o algunos de ellos no lo hacen? - ¿Qué conceptos relacionados con los patrones y con el lenguaje algebraico recuerdas de años anteriores?

ona  io Refle x i

 

  Para realizar el cierre de la clase, invite a los estudiantes a responder las preguntas de la sección Reflexiona Reflexiona y  y señáleles que relacionen sus respuestas con su vida cotidiana. Permita que compartan sus experiencias y que indiquen algunas ventajas y desventajas del uso de redes sociales como medio de expresión y de adquisición de conocimientos.

:

pétalos de cada flor. Pídales que respondan las preguntas propuestas y compartan sus respuestas con el resto del curso. Unidad 2 

148

 La tecnología

•

 

Patrones en tablas Paulina mira en YouTube un video de la coreografía que realizó con sus compañeras de danza. Esta consta de cinco configuraciones, que se van formando con el ingreso de nuevas bailarinas. Las tres primeras son las siguientes:  Configuración 1

Configuración 2

Planificación

Clase 3

Configuración 3

2 horas pedagógicas / págs. 71 y 72 

Propósito Comprender las relaciones que existen

Primera columna

entre los valores de una tabla.

Objetivos de Aprendizaje

Primera fila

OA 9 y OA 10 Las cantidades de bailarinas en la primera fila siguen una regla y en la primera columna, otra. problema  

Ejemplo 1  

Gestión de la clase

¿Cuántas bailarinas tendrán la primera columna y la primera fila en la configuración 4? 1

  Registra los datos en una una tabla.

Comience la clase pidiendo a un estudiante que lea la situación inicial relacionada con la organización coordinada de una coreografía.

Llama n al número de configuración configuración..

2

Configuración (n)

1

2

3

4

Cantidad de bailarinas en la primera columna

1

2

3

?

Cantidad de bailarinas en la primera f ila

3

6

9

?

Columna

Fila

 = 4

3 • n = 3 • 4 = 12

n

3

Solicite que analicen la tabla con las cantidades de bailarinas y que identifiquen algunas relaciones matemáticas matemáticas a partir de ellas.

  Identifica una regla. regla. Explica estas reglas a un compañero.

 Responde. La primera columna tendrá 4 bailarinas y la primera fila, 12.

Pida a distintos estudiantes que interpreten 1 y que la información del Ejemplo 1 y describan cada uno de los pasos que en él se sugieren. Luego, solicíteles que respondan las preguntas que están a continuación del ejemplo y que presenten sus propuestas en

• ¿Cómo representarías la situación con monedas? • ¿Qué otra representación propondrías? Explica. • ¿Es correcto afirmar que en la columna una regla de formación es «sumar 1 al término anterior»?, ¿por qué?

Lección 5  5 • Patrones y lenguaje algebraico

  71

 

forma escrita y oral. :

Habilidades del siglo XXI

El pensamiento crítico consiste en analizar y evaluar la consistencia de los razonamien razonamientos, tos, en especial aquellas afirmaciones que la sociedad acepta como verdaderas en el contexto de la vida cotidiana.

Solucionario

Las soluciones de las actividades propuestas en la Unidad 2 del Texto del Estudiante están en las páginas 194 a 201 y las soluciones de las actividades de la Lección 5 del Cuaderno de Actividades, están en las páginas 162 a 168.

Orientaciones y planificaciones de clase

149 14 9

 

problema  

Ejemplo 2   ¿Cuántas bailarinas tendrá la configuración 4?

  Registra los datos en una una tabla.

1

Invite a los estudiantes a que observen el Ejemplo 2 y 2 y a que respondan las siguientes preguntas:

Configuración (n)

1

2

3

4

Cantidad de bailarinas

3

7

11

?

  Identifica una regla. regla.

2

 ¿En qué consiste consiste esta estrategia?  estrategia? 

Aplica prueba y error.

• ¿Cómo se registran los datos en una tabla?

Prueba 1

• ¿Qué estrategias utilizas para identificar una regla en un conjunto de datos? • ¿Qué relación existe entre la estrategia 2 y el concepto descrita en el Ejemplo 2 y de patrón?

Configuración (n)

Cantidad de bailarinas

Posible regla

Resultado

¿Coincide?

1

3

3 • n

3 • 1 = 3

Sí

2

7

3 • n

3 • 2 = 6

No

Configuración (n)

Cantidad de bailarinas

Posible regla

Resultado

¿Coincide?

1

3

2 • n + 1

2 • 1 + 1 = 3

Sí  

2

7

2 • n + 1

2 • 2 + 1 = 5

No

Configuración (n)

Cantidad de bailarinas

Posible regla

Resultado

¿Coincide?

1

3

4 • n – 1

4 • 1 – 1 = 3

Sí  

2

7

4 • n – 1

4 • 2 – 1 = 7

Sí  

11

4 • n – 1

4 • 3 – 1 = 11

Sí  

 

Prueba 2

Solicite a los estudiantes que respondan las preguntas planteadas al final de la página y que apliquen la regla establecida en el desarrollo de los ejemplos expuestos.

Prueba 3

3

Para terminar, formalice el concepto de patrón solicitando que escriban en sus cuadernos dicha definición.

3

  Aplica la regla para n = 4. Cantidad de bailarinas = 4 • n – 1 = 4 • 4 – 1 = 15

4

 Responde. La configuración 4 tendrá 15 bailarinas.

• ¿Cómo representarías la configuración 4 usando trozos de papel?

Notas para el docente

• ¿Cuántas bailarinas habrá para n = 5? Aplica la regla definida.

Actitudes

• ¿Es correcto afirmar que una regla de formación es «sumar 3 al término anterior»?, ¿por qué?

a  Manifestar un estilo de trabajo ordenado y metódico. Al terminar la clase puede responder en conjunto con el curso la pregunta Reflexiona planteada sección que los . A partir deen laslarespuestas estudiantes den, puede pedirles que creen tablas en las que ordenen datos, destacando que si la información se presenta en forma ordenada y clara será más fácil de comprender y de recordar.

o na  io Refle x i

Un patrón corresponde a una regla que permite relacionar valores para formar una secuencia. Analizando la información de una tabla de datos, puedes descubrir un patrón y, a partir de él, encontrar valores desconocidos.

72

¿Cómo te ayudó el orden a descubrir patrones en las tablas?

Unidad 2  2  • La tecnología

 

Todos pueden aprender

La actitud activa y positiva es la que tiene una visión verdadera del estudio, entendido como reto y oportunidad opor tunidad de crecimiento personal. El estudiante es el protagonista del estudio, un procesador de información que valora y critica, cuestiona, compara y reconstruye la información. Por tal razón es importante no dar las respuestas antes de que ellos sean capaces de encontrarlas pudiendo obtener así resultados diversos.

:

150 15 0

Unidad 2 

 La tecnología

•

 

Practica

en tu cuaderno

Planificación

1. Define. a. Secuencia.

Clase 4

b. Patrón.

2. Determina los valores desconocidos de acuerdo con el patrón. a. Sumar 8 al término anterior. b. Restar 5 al término anterior.

c.

Multiplicar por 2 el

Propósito

término anterior.

Practicar identificando patrones en tablas y

Posi Po sici ción ón

Valo Va lorr

Posi Po sici ción ón

Valo Va lorr

Posi Po sici ción ón

Valo Va lorr

1 2

5 ?

1 2

100 ?

1 2

3 ?

resolviendo problemas.

3

?

4

?

3

?

Objetivos de Aprendizaje

4

?

6

?

5

?

5 6

?

7

?

7

?

OA 9 y OA 10

?

9

?

11

?

3. Identifica un patrón y explícalo.

Gestión de la clase

a. 3, 5, 7, 9, 11…

c. 1, 4, 16, 64…

b. 23, 19, 15, 11, 7…

d. 1, 2, 4, 7, 11…

Comience sesión pidiendo a los estudiantes que comenten los conocimientos adquiridos en la clase anterior.

4. Crea una regla y escribe una secuencia de 8 términos que comience con 10. 5. Construye una tabla con los 5 primeros términos de la secuencia generada por cada patrón. a.

2 horas pedagógicas / págs. 73, 74 y 75

b. 2 • n – 1

 – 8

n

c. 4 • n + 5

Realice preguntas como las siguientes: • ¿Qué es un patrón? • ¿Cómo puedes descubrir un patrón en una tabla de datos? • ¿Qué patrones observas en tu entorno? Da dos ejemplos.

6. Analiza la secuencia.

Paso 1

Paso 2

Paso 3

a. Describe un patrón. b. Exprésalo con lenguaje matemático. c. Construye una tabla con los pasos y la cantidad de cuadrados pequeños en cada uno. d. Predice cuántos cuadraditos tendrá la figura del paso 4.

Motive a los estudiantes a desarrollar las actividades propuestas identifican identificando do patrones y analizando secuencias. Genere un

e. ¿Y la del paso 5?

  73

Lección 5  5 

• Patrones y lenguaje algebraico

 

:

Dificultades y errores frecuentes

Debemos diferenciar entre el concepto de secuencia y patrón para evitar errores conceptuales. • Secuencia es un conjunto de números u otros elementos llamados términos ordenados, según un patrón o regla de formación. • El patrón es la regla que permite conocer cómo calcular cada término de una secuencia.

ambiente adecuado paralas la realización de las actividades, responda preguntas pregunt as que surjan y facilite su trabajo, monitoreándolos continuamente. Dé énfasis al desarrollo de la actividad 6. Puede plantearla como un trabajo individual específico a desarrollar en una hoja aparte y en un tiempo acotado de unos 10 minutos. Cumplido el tiempo, oriéntelos y controle que los estudiantes se autoevalúen.

Orientaciones y planificaciones de clase

151 15 1

 

7. Descubre el patrón que genera cada secuencia y determina el término que falta.

Pida a los estudiantes que descubran términos desconocidos desconocidos en una secuencia aplicando patrones y resuelvan los problemas planteados planteados conservando el orden y usando calculadora si lo requieren.

a.

2, 4, 6, ?  , 10, 12…

c.

b.

1, 4, 7, 10, 13, ?  …

d.

8. Analiza las

?  , 7, 10, 13…

tablas.  Tabla  Ta bla 1 Posición

1

3

7

12

Valor

4

12

28

48

Posición

5

8

15

24

Valor

4

7

14

23

Posición

1

2

4

9

Valor

5

7

11

21

Posición

3

7

16

23

Valor

12

32

77

112

 Tabla  Ta bla 2

Invítelos a desarrollar las actividades de estas páginas de forma individual, para luego, propiciar una discusión con todo el curso en torno a algunas de las respuestas.

 Tabla  Ta bla 3

 Tabla  Ta bla 4

Gradúe los objetivos de aprendizaje a los que apunta cada actividad, identificando el contenido evaluado y privilegiando aquellos que están relacionados en forma directa con el propósito de la clase. Privilegie el generar las habilidades a desarrollar de dichos contenidos por sobre

a. b.

Identifica un patrón para los valores de cada tabla y exprésalo algebraicamente. Para cada tabla, determina los valores que corresponden a las posiciones 6, 10, 13, 17 y 20.

9. Resuelve  los a.

su memorización.  Tras la realización de la actividad 8 puede  Tras solicitar que los estudiantes intercambien sus cuadernos y comprueben sus resultados. Puede evaluar formativamente esta actividad usando una lista de cotejo cotejo..

problemas .

Observa la secuencia.

Paso 1

Paso 2

Paso 3

Paso 4

identificas?? • ¿Qué patrón identificas • ¿Es el único patrón posible o puede haber otro?, ¿por qué?

Puede proponer la parte a de la actividad 9 como un trabajo individual individual específico a desarrollar en una hoja aparte y en un tiempo acotado de unos 15 minutos. Cumplido el tiempo, oriéntelos y controle que los estudiantes se autoevalúen. Esta autoevaluación, junto con la realizada para la actividad 6 de esta sección, permitirá que los estudiantes detecten por sí mismos si han logrado comprender y asimilar los nuevos aprendizajes.

30, ?  , 20, 15, 10, 5

• ¿Qué figura irá en el paso 5? Dibújala y descríbela. • ¿Cuántos cuadrados pequeños habrá en el paso 5? • ¿Y en el paso 6? • ¿Y en el paso n?

74

Unidad 2  • La tecnología

 

Ambiente de aprendizaje

En cuanto a la organización espacial de la sala de clases, esta influye en el desarrollo de las actividades de aprendizaje de los alumnos, ya que influye en las relaciones interpersonales que se dan dentro del aula. Es importante que exista un ambiente de libertad para que los estudiantes desarrollen su potencial creativo. Para el éxito del ambiente de aprendizaje es necesario que exista el suficiente espacio, ventilación e iluminación para el desarrollo armónico de las diferentes actividades.

:

152 15 2

Unidad 2 

 La tecnología

•

 

b. Un perfil de Face Facebook book publicó el desafío del afiche.

• • • • • • • •

¿Cuántos triángulos hay en los pasos 1, 2 y 3? ¿Cuántos palitos tienen los pasos 1, 2 y 3? ¿Qué patrón identificas en la secuenci secuencia? a? ¿Cuántos triángulos tendrá el paso 4? ¿Cuántos palitos tendrá el paso 4?

XXI OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICA

E nv í í a t u   r e  es  s   p  pu   e s  s t  t a  has t  ta    e l l  

6  d e  e j   j u  un    i  n i  o    .  o

Comente acerca del buen uso de las redes sociales y los diferentes servicios que existen para facilitar la vida de las personas. Genere el ambiente adecuado para que los estudiantes expresen su opinión acerca de este tema. Invítelos a continuar con el desarrollo las actividades que se proponen para esta clase y a que compartan sus respuestas explicando al resto del curso las estrategias que utilizaron para obtenerlas.

Acepta el desafío. ¿Cuántos palitos tendrá el paso 100?

¿Cuántos triángulos tendrá el paso 10? ¿Cuántos palitos tendrá el paso 20?

Paso 1

Paso 2

Paso 3

¿Cuál es la respuesta al desafío? PREMIOS AL 1°, 2° Y 3° LUGAR

c. Un servicio de restaurante a domicilio publica en sus redes sociales un menú especial. El dueño quiere crear una tabla para calcular los valores de venta.

• Si n es el número de menús pedidos, ¿qué expresión permite calcular el valor de venta?

• • • •

¿Cuál es el valor de venta de 2 menús?

Una alternativa para desarrollar las partes b, c y d de la actividad 9 de la sección Practica es Practica  es proponer la resolución de estos problemas como un trabajo colaborativo. Para ello, organice el curso en grupos de

¿Y el de 3? ¿Y el de 4? ¿Qué tabla propondrías al dueño del servicio de restaurante?

d. Un servicio de transporte, a través de software

su aplicaciónamóvil, ofrece vehículos y de conductores la tarifa que se indica en la imagen.

$ 5 500 x persona

TARIFA Base $2 800 Variable $300 x km

2trabajo: integrantes y explicite los objetivosy orden. del organizaci organización, ón, participación Finalmente, controle que obtengan las soluciones correctas.

• Si n es el número de kilómetros por recorrer, ¿qué expresión permite calcular el costo del viaje?

Pida que, de manera individual, identifiquen los conocimientos que aplicaron en cada una de las actividades resueltas y que expliquen los conceptos abordados con sus propias palabras.

• ¿Cuánto paga un pasajero que recorre 2 km?

• ¿Y 5 km? • ¿Y 10 km? • ¿Qué tabla resume los costos para carreras de 1, 2, 4, 7 y 9 km?

Plantee preguntas guiadas para identificar si el objetivo de la clase fue logrado.

Páginas 58 a 63.

Lección 5  5 • Patrones y lenguaje algebraico   75

 

:

Pregunte a los estudiantes qué les pareció la clase, cuáles fueron sus logros y cuáles sus dificultades. Responda preguntas o dudas sobre los contenidos vistos en clases. Para cerrar la clase, genere las condiciones para realizar un breve conversatorio acerca de los contenidos a tratar en la próxima clase: lenguaje algebraico; para que investiguen de qué trata y conozcan algunas de sus aplicaciones.

Puede hacer una lista de cotejo para llevar registro de los estudiantes que efectivamente trabajaron durante esta clase practica, y para registrar si cumplieron con el objetivo de la clase: practicar identificando patrones en tablas y resolviendo problemas.   Cuaderno de Actividades

Una vez que los estudiantes terminen las actividades propuestas, puede profundizar 63 del la ejercitación en las páginas 58 a 63 del

Cuaderno de Actividades.

Orientaciones y planificaciones de clase

153 15 3

 

Lenguaje algebraico

NOTICIAS   NOTICIAS

Miguel lee un diario digital y quiere interpretar las noticias que allí aparecen.

Planificación

Clase 5 2 horas pedagógicas / págs. 76 y 77 

Ejemplo

1

• 

• 

 

¿Cómo expresas matemáticamente la primera noticia?

Propósito

Instituto duplicó sus matrículas este año. Empresa disminuyó sus ganancias a la tercera parte este año.

1  Identifica el término matemático.

Representar relaciones entre números

 

usando expresiones algebraicas.

Instituto duplicó sus matrículas. 2 Interpreta el término.

 

Objetivo de Aprendizaje

La palabra palabra «duplicar» «duplicar» hace referenci referenciaa a «multiplicar por 2». 3  Responde.

OA 9 y OA 10

 

Si las matrículas del año pasado fueron x , las de este año son 2 • x  =  = 2x .

Ejemplo

2

 

¿Cómo expresas matemáticamente la segunda noticia?

Gestión de la clase

1  Identifica el término matemático.

 

Empresa disminuyó sus ganancias a la tercera parte. 2 Interpreta el término.

Comente sobre algunos diarios digitales que los estudiantes conozcan y su diferencia con los medios de comunicación tradicionales. Pida a un estudiante que lea la situación inicial de esta página y que, en conjunto con el resto del curso, comente las dos informaciones que se presentan en la página del Texto del Estudiante.

 

La expresión expresión «tercera parte» hace hace referencia referencia a «dividir «dividir por 3». 3  Responde.

 

Si las ganancias del año pasado fueron x , las de este año son

 .

• Supón que el año pasado las ganancias de la empresa fueron $90 000 000. ¿Cuánto fueron este año?

Algunas expresiones cotidianas pueden escribirse con lenguaje algebraico:

• ¿Qué es el lenguaje algebraico? • ¿Cuándo puede ser útil utilizar lenguaje algebraico? • ¿Cómo puedes relacionar un patrón numérico con el lenguaje algebraico?

El doble

2x  

El triple

3x  

El cuádruplo

76

Un error frecuente que cometen los estudiantes al traducir representaciones verbales a lenguaje algebraico consiste en el error de invers inversión, ión, es decir, en la representación de la relación opuesta a la existente. Así por ejemplo, pueden escribir «el doble« como  x   o «la cuarta 2 parte» como 4 x . Para ayudarle a detectar y corregir este tipo de errores puede

3

• Supón que el año pasado hubo 500 matrículas en el instituto. ¿Cuántas hay este año?

Plantee preguntas como las siguientes:

Dificultades y errores frecuentes

x 

4x  

La mitad

x 

La tercera parte

x 

La cuarta parte

2 3

 

Aumentar

+

 

Disminuir

–

x 

4

 

Unidad 2  2  • La tecnología

 

Lea en conjunto con los estudiantes el Ejemplo 1 propuesto 1 propuesto en esta página. Dé el tiempo adecuado para que puedan expresar matemáticamente las noticias que ahí se exponen. A continuación, pídales que comparen sus propuestas con los resultados del Texto del Estudiante. Solicíteles que repitan el mismo procedimiento anterior 2. Sugiera que formalicen en sus cuadernos algunas con el Ejemplo 2. expresiones cotidianas, traduciéndolas a lenguaje algebraico.

:

pedir a losen estudiantes que presenten este error forma permanente que precisen qué representa la letra o las letras utilizadas en la expresión algebraica. Unidad 2 

154 15 4

 La tecnología

•

 

Ejemplo

3

problema

 

¿Puede haber un número impar de matriculados en el instituto este año? 1

2

 

  Reemplaza algunos números naturales naturales en la expresión 2x .  

x  =

5

2 • x  =  = 2 • 5 = 10

 

x  =

13

2 • x  =  = 2 • 13 13 =  = 26

 

x  =

127

2 • x  =  = 2 • 127 127 =  = 254

Lea en conjunto con los estudiantes las situaciones propuestas en los Ejemplos 3 y 4. 4. Ínstelos a reflexionar en torno a ellas.

 ¿Los productos productos son pares o impares? 

 Responde. No, el número de matricula matriculados dos debe ser par.  tal que 2x  sea  sea impar? Explica. • ¿Crees que exista un número natural x  tal • ¿Cómo expresarías con lenguaje algebraico «la suma de dos números pares consecutivos es 14»?

Ejemplo

4

Responda dudas relacionadas la no dé comprensión comprensió n de las preguntas,con pero las respuestas. Otorgue tiempo para que las trabajen de manera individual.

  problema  

 

Puede hacer una lista de cotejo para llevar registro de los estudiantes que efectivamente trabajan durante la clase, y para registrar si demuestran la habilidad de comprender que las expresiones algebraicas permiten establecer relaciones generales entre números.

¿Cómo puedes modelar los números impares usando lenguaje algebraico? 1

  Analiza la expresión expresión 2x .   x  =  = 1 x  =  =

2

2 • x  =  = 2 • 2 = 4

4 – 1 = 3

 

 = x  =

3

2 • x  =  = 2 • 3 = 6

6 – 1 = 5

4

2 • x  =  = 2 • 4 = 8

8 – 1 = 7

:

 :

 :

:

 :

 

x  =  =

x 

• x 

n

 = 2 Interpreta.

 ¿Los números números verdes son  pares o impares? 

 : •n

n

n 

2    = 2    = 2

 2 – 1

Pida que identifiquen los conocimientos que aplicaron en cada una de las preguntas de la actividad y que expliquen los conceptos trabajados.

Si se resta 1 a cada cada valor de 2x , se obtienen los números impares. 3

 

2 – 1 = 1

 

 

 

2 • x  =  = 2 • 1 = 2

Responde. Los números impares pueden modelarse por 2x  –  – 1, en que x  es  es un número natural.

• ¿Qué expresión modela los números impares si x, además de ser un número natural, puede tomar el valor 0?

Desarrollo del pensamiento matemático

• ¿Cómo expresarías con lenguaje algebraico «la suma de dos números impares consecutivos

El objetivo del álgebra escolar es desarrollar el razonamient ra zonamiento o algebraico. El razonamiento algebraico consiste en un proceso de generalización para formular expresiones algebraicas o

es 36»? Si x  representa  representa los números naturales, se definen los siguientes modelos: Números pares 

2x  

Números impares 

2x  –  – 1

Lección 5  5 • Patrones y lenguaje algebraico   77

:

Notas para el docente

Los siguientes son ejemplos de algunas expresiones algebraicas: -  La suma suma de dos dos números

a + b

-  La resta o diferencia diferencia de dos números números -  El producto de dos números -  El cociente de dos números

a • b a : b

a – b

patrones, el cual utiliza el lenguaje algebraico y su simbología en busca de precisión; para luego resolver problemas y diseñar modelos matemá matemáticos. ticos. Una actividad para comenzar a generalizar es la construcción de expresiones algebraicas de la forma general de distinto distintoss números. Iniciando con los números pares y números impares, se pueden presentar estos números e irlos ubicando en orden con los números naturales a través de la idea

-  El doble de un número -  La m mitad itad de un número

2a a : 2

de un contador, el número natural (n), para construir las expresiones n y 2n – 1.

Orientaciones y planificaciones de clase

155 15 5

 

 

Ejemplo

5

problema problema 

 

Las medidas de los lados de un triángulo expresadas en centímetros se representan con lenguaje algebraico.

Planificación

Clase 6 2 horas pedagógicas / págs. 78 y 79 

a –

¿Cuál es su perímetro si a = 6?

a –

a +

 Escribe las medidas de los lados.

1

Propósito

a +

Usar expresiones algebraicas para modelar y

2

1

 

a –

2

 

a –

1

Evalúa para a = 6.

2

evaluar magnitudes y practicar lo aprendido.

1

1

Ordena las medidas de la mayor a la menor.

6 + 1 = 7 6 – 2 = 4 6 – 1 = 5

Objetivo de Aprendizaje

Interpreta.

3

OA 9 y OA 10

 

Las medidas de los lados son las siguientes: 7 cm

Gestión de la clase

4 cm

5 cm

Responde.

4

 

El perímetro es: 7 cm + 4 cm + 5 cm = 16 cm

Escoja a algunos estudiantes y pídales que, grupalmente,, expliquen al resto del curso grupalmente 6. el planteamiento de los Ejemplos 5 y 6. Responda las dudas que surjan y recuérdeles

• ¿Es posible construir un triángulo de las medidas calculadas? Justifica con una representación. • ¿De qué otra forma desarrollarías el problema? Compara con un compañero y evalúa  su propuesta.

• ¿Puede a tomar cualquier valor natural?, ¿por qué? Explica.

cómo se calcula el perímetro de una figura geométrica.

Ejemplo

6

problema 

 

¿Qué expresión permite modelar el perímetro P  del  del triángulo del Ejemplo 5?

  Recuerda cómo calcular el perímetro de un triángulo. triángulo.

1

 

Guíelos en el anális análisis is de los pasos utilizados para dar respuestas a los ejemplos propuestos.

El perímetro perímetro se calcula sumando la medida medida de sus tres tres lados. lados. Responde.

2

 

El perímetro P  se  se puede modelar con la siguiente expresión: P  =  = a + 1 + a –

Ínstelos a que respondan las preguntas que están después de cada ejemplo y oriéntelos en las conclusiones que deben sacar. Para responder la primera pregunta que se ubica bajo el Ejemplo 5, 5, puede sugerir que usen una regla para dibujar 3 barras de 7 cm, 4 cm y 5 cm, que las recorten y que las unan por sus extremos. De esta manera, comprobarán comproba rán que sí es posible construir el triángulo de las medidas calculadas. Oriéntelos para que respondan la tercera 5. pregunta que se ubica bajo el Ejemplo 5. En ella, deben ir probando con la sucesión de números naturales n = 1, 2, 3, 4... Así, llegarán a que n debe ser mayor o igual que 5 para que el triángulo exista.

2 + a – 1

• Si en la expresión anterior reemplazas a = 6, ¿obtienes el mismo resultado que en el Ejemplo 5?, ¿por qué? Explica y compara con un compañero.

78

 ¿Cómo se define el perímetro de un polígono cualquiera? 

Explica qué entiendes por modelar. ona  io  x i Refle x

¿De qué manera la creatividad te ayudó a usar el lenguaje algebraico?

Unidad 2  2 • La tecnología

 

Todos pueden aprender

Destaque las estrategias personales propuestas por los estudiantes para resolver los problemas estudiados, de manera que las compartan con el resto del curso. Verifique que son correctas, corrija si es necesario y preséntelas como alternativas igualmente igualmente válidas a la expuesta en el Texto del Estudiante. De esta manera, podrá motivarlos y promoverá el desarrollo del pensamiento matemático matemático de muchos de los estudiantes, alentando su creatividad y autoestima.

:

Escoja a algunos estudiantes para que expliquen sus respuestas al resto del curso. Indíqueles que las escriban en la pizarra.

156

Unidad 2 

 La tecnología

•

 

Practica

en tu cuaderno

1. Considera que x  representa  representa los números naturales. Escribe la expresión algebraica que representa los: a. números impares.

c. números pares.

b. múltiplos de 3.

d. múltiplos de 10.

Invite a los estudiantes a resolver las actividades propuestas, exponiendo la relación que existe entre los números

2. Considera el número 24. Calcula: a. su doble.

c. su sucesor.

e. su triple.

b. su mitad.

d. su tercera parte.

f. su antecesor.

naturales y las expresiones algebraicas. Luego, para corregir el trabajo realizado, genere una puesta en común en que participe la totalidad del curso.

3. Representa con una expresión algebraica. a. Un número aumentado en 4. b. El doble de un número disminuido en 2. c. La tercera parte de un número aumentado en 1. d. El triple de un número más su mitad. 4. Reemplaza p = 2, q = 4 y r  =  = 5 para determinar los valores de las expresiones. a.  p + q

d. q – p

g.  p • q + 2

b.  p + r 

e.  p + q – r 

h.  p + q • r 

c. q + r 

f.  p + 2q

i. 3 p + 2q – 2r 

Para promover la reflexión puede plante plantear ar las siguientes preguntas: • Explica qué actividad se te dificultó más. ¿Por qué? • ¿Cómo lograste sobreponerte a esta

5. Completa la tabla. a

b

c

a + b + c 

2a + 3b 3b – c

a • b • c 

1 2

1 1

1 3

? ?

? ?

? ?

1

3

2

?

?

?

3

3

5

?

?

?

10

12

10

?

?

?

dificultad?

Notas para el docente

6. Considera el cuadrado de la figura 1 y los rectángulos de las figuras 2 y 3. Figura 1

Figura 2 2 p

 p  p

Actitudes

Figura 3 3 p  p

b  Abordar de manera flexible y creativa la búsqueda de soluciones a problemas.

 p

a. Calcula los perímetros para p = 1 cm, p = 2 cm, p = 4 cm, p = 6 cm y p = 10 cm. b. Calcula las áreas para p = 1 cm, p = 3 cm, p = 5 cm, p = 9 cm y  p = 12 cm. c. Modela los perímetros y las áreas usando una expresión algebraica.

Lección 5  5 • Patrones y lenguaje algebraico   79

 

:

Ambiente de aprendizaje

Recuerde al curso que las opiniones de todos sus integrantes son valiosas y deben ser respetadas y escuchadas en silencio. Una vez que terminen de responder las actividades, promueva la reflexión con preguntas como la siguiente: si un compañero se equivocó al resolver un problema, ¿creen que, de todas maneras, pueden aprovechar esta instancia para lograr lo grar un real aprendizaje?, ¿cómo? ¿cómo?

Practica,, puede Antes de iniciar el Practica responder en conjunto con el curso la pregunta planteada en la sección Reflexiona.. A partir de las respuestas Reflexiona que obtenga, puede pedir a los estudiantes que, usando lenguaje algebraico y haciendo uso de su inventiva y creatividad, expresen de 2 o 3 maneras diferentes una misma situación cotidiana.

Orientaciones y planificaciones de clase

157 15 7

 

7. Considera los triángulos. Figura 1

Planificación

5 p

3 p

Clase 7 2 horas pedagógicas / págs. 80 y 81 

Figura 2

4 p

Figura 3 4 p

4 p

4 p 6 p

4 p

4 p

a. Calcula los perímetros para  p = 1 cm,  p = 3 cm,  p = 4 cm,  p = 7 cm y  p = 10 cm.

Propósito

b. Modela los perímetros usando una expresión algebraica.

Usar expresiones algebraicas para modelar

8. Escribe los primeros 5 elementos de la secuencia cuyo término general es:

magnitudes y para resolver problemas.

a. 4x 

Objetivo de Aprendizaje

b. 2x  +  + 2

c. 3x  –  – 2

d. 3x  +  + 2

e. 5x  +  + 4

9. Traduce a lenguaje algebraico las situaciones. a. La suma entre un número y 5 es el doble de 8.

OA 9 y OA 10

b. El doble de un número más su triple es 25. c. La diferencia entre el triple de un número y 10 es el doble de 13. d. La suma del doble de un número y de su tercera parte es el triple de 21.

Gestión de la clase

e. La suma de un número y su cuádruplo es 120. 10. Resuelve los problemas . Usa la estrategia de prueba y error. a. ¿Qué número cumple que su doble es 28?

Lea en conjunto con los estudiantes los enunciados de las actividades propuestas y responda preguntas de comprensión de

b. ¿Qué número cumple que su cuarta parte es 12? c. ¿Qué número sumado con su sucesor da como resultado 49? [PROFUNDIZACIÓN] d. ¿Qué números cumplen que su diferencia es 2 y su producto, 80? [PROFUNDIZACIÓN] e. ¿Qué números cumplen que su suma es 29 y su diferencia, 5? [PROFUNDIZACIÓN]

dichas actividades.

f. ¿Qué números cumplen que su suma es 20 y su producto, 91? [PROFUNDIZACIÓN] g. Francisca tiene $30 000 en su cuenta bancaria y quiere comprar en línea la cámara de la imagen.

Motívelos para que calculen, expresen y resuelvan las actividades propuestas en el  Texto del Estudiante. Escoja a los estudiantes que expondrán sus respuestas en una puesta en común. Permita que otros estudiantes comenten las respuestas y que, entre todos, decidan cuál es la respuesta correcta y justifiquen su decisión. Todos pueden aprender

Es importante diversificar las estrategias de enseñanza, intentando abarcar la mayor cantidad de canales de ingreso de la información, ya sean visual, auditivo y kinestésico. Asimismo, es importante variar la forma de evaluar. Al momento de evaluar, se pueden hacer variaciones, por ejemplo, contemplar menor cantidad de actividades, entregar instrucciones cortas y claras o presentar

• ¿Qué ecuación permite modelar la cantidad de dinero x  que  que necesita Francisca para hacer su compra?

$ 55 0 0  0 0  0 

• ¿Cuánto dinero necesita Francisca para comprar la cámara?

80

Unidad 2 • La tecnología

 

:

Conexión interdisciplinaria

El modelamiento a través de ecuaciones es fundamental en muchas áreas de interés humano. Por ejemplo, buena parte de las leyes de la física se expresan a través de ecuaciones: v  =  = dt  

Ecuación que define la rapidez.

F  =  = ma 

Ecuación que define una fuerza fuerza..

E  =  = mc 2 

Ecuación de la energía de Einstein.

una menor cantidad de alternativas.

158 15 8

Unidad 2 

 La tecnología

•

 

11.

Dos integrantes. Uno calcula la suma 4 + 5 y el otro, 5 + 4.

 (grupal):  Analicen  los resultados y modelen la propiedad conmutativa de la adición   Etapa 1 (grupal): en forma algebraica usando las letras m y n.  (individual): Asigna  Asigna diferentes valores naturales a m y n y comprueba que la   Etapa 2 (individual):

Organice a los estudiantes para que, en parejas, desarrollen las actividades ac tividades 11 11 y 12. Controle el trabajo y promueva que los distintos grupos de trabajo interactúen entre sí, para enriquecer el aprendizaje.

propiedad se cumple en todos los casos.  (grupal):  Propongan una expresión algebraica que permita modelar la propiedad   Etapa 3 (grupal): asociativa de la adición utilizando las letras m, n y  p.  (grupal):  Propongan una expresión algebraica que permita modelar la propiedad   Etapa 4 (grupal): conmutativa de la multiplicación ocupando las letras a y b. 12.

Dos integrantes. Se plantean uno al otro el siguiente truco:

Solicite que comparen sus respuestas escogiendo a algunos grupos para que expongan sus resultados frente a todo el curso y puedan así unificar sus criterios. Controle que los estudiantes es tudiantes guarden guarden silencio y respeten el trabajo de los demás. Además, guíe la discusión de manera que todos participen y pida que anoten en sus cuadernos las principales conclusiones que se obtengan de la discusión.

 O  T R U C

- Piensa en un número natural. - Súmale su antecesor antecesor.. - Al resultado, súmale 11. - Ahora, divide por 2. - Finalmente, resta el número que pensaste. - ¿Cuál es el resultado?

 (individual):  Analiza el algoritmo del truco y determina cuál será el resultado que se   Etapa 1 (individual): obtendrá para cualquier número pensado.  (grupal):  Propongan y  justifiquen una conjetura que explique por qué se obtendrá   Etapa 2 (grupal): siempre ese número.   Etapa 3 (grupal): Creen un nuevo truco usando sus conocimientos de expresiones algebraicas

y preséntenlo al resto del curso.

  Cuaderno de Actividades

Páginas 64 a 69.

Una vez que los estudiantes terminen las actividades propuestas, puede profundizar la ejercitación en las páginas 64 a 69 del 69 del Cuaderno de Actividades.

Sintetiza

Patrones en tablas

Lenguaje algebraico

Posición

1

2

3

4

Valor

3

6

9

12

Un patrón patrón es  es multiplicar por 3 cada posición para obtener el valor respectivo.

«Un número impar». 2x  –  – 1

Permita que analicen la sección Sintetiza Sintetiza   y la anoten en sus cuadernos. Puede orientarlos para que, individualment individualmente, e, cada estudiante elabore su propia síntesis de

«El doble de un número equivale a 18». 2x  =  = 18

Lección 5  5 • Patrones y lenguaje algebraico

 

  81

:

los contenidos relevant relevantes es de alaéllección, de manera que puedan recurrir cada vez que lo necesiten.

 Planificación

Clase 8

2 horas pedagógicas

  Cuaderno de Actividades

69 del En esta clase práctica se sugiere que monitoree el completo desarrollo de las actividades de las páginas 58 a 69 del Cuaderno de Actividades. En esta clase puede realizar acciones como las siguientes: • Ir repasando las páginas del Cuaderno de Actividades correspondientes a esta lección y resolviendo aquellos ejercicios que los propios estudiantes le soliciten.

• Durante este repaso, ir haciendo preguntas que los hagan pensar, como por ejemplo: ¿de qué otra forma se puede desarrollar este ejercicio?, ¿qué otra estrategia hubieran aplicado para resolver este problema?, etc. • Organizar grupos de trabajo para desarrollar las actividades que hayan causado dificultades a un grupo significativo de los estudiantes del curso y apoyarlos en su trabajo. Orientaciones y planificaciones de clase

159 15 9

 

vas? ¿Cómo  va

1. Determina los valores desconocidos de acuerdo con el patrón.

Planificación

Clase 9

Desarrolla en tu cuaderno

a.   Sumar 11 al a. término anterior.

2 horas pedagógicas / págs. 82 y 83 

Propósito

b.   Restar 7 al término anterior. b.

c. 

Multiplicar por 4 el término anterior.

Posición

Valor

Posición

Valor

Posición

Valor

1

7

1

205

1

2

2

?

2

?

3

?

3

?

4

?

5

?

6

?

8

?

Resolver actividades de aplicación de los contenidos de la lección.

Objetivo de Aprendizaje

4

?

5

?

8

?

10

?

6

?

12

?

13

?

OA 9 y OA 10 2. Determina el perímetro y el área. Rectángulo Largo (a) Ancho (b) Pe Perí ríme metr tro o = a + b + a + b Área = a • b

Gestión de la clase

Comience la clase motivando a los estudiantes a identificar los conocimientos que han adquirido en esta lección. Pídales

1

7

2

?

?

2

9

5

?

?

?

12

10

?

?

4

17

15

?

?

3. Determina el doble, el triple, el sucesor y el antecesor de: a. 7

que trabajen de manera y de otorgue tiempo para queconsciente repasen antes empezar a resolver las actividades.

b. 11

c. 16

d. 25

e. 47

f. 61

105 5 g. 10

4. Analiza la tabla. Posición Valor

9

12

23

45

1

4

15

37

a. Descubre un patrón. b. Determina los valores que se ubican en las posiciones 11, 17, 26, 32, 39 y 96. c. Determina las posiciones en que se ubican los valores 2, 5, 8, 19, 23 y 46.

Solicite que resuelvan las actividades propuestas aplicando la relación de los valores de una tabla e identifiquen el patrón que los une. Luego, indíqueles que construyan tablas de valores según un patrón dado.

d. ¿Puede ubicarse un valor positivo en la posición 7?, ¿por qué? 5. Construye  una tabla con los 5 primeros valores naturales generados por cada patrón. a.

n +

b. 3 • n – 2

5

c. 2 • n + 7

6. Traduce a lenguaje cotidiano. a.

82

x  +  + 8 = 10

 – 2 = 5 • 2 b. 3x  –

c.

x  +  +

x 

3

 = 9

 + 3 y  =  = 20 d. 2x  +

Unidad 2  • La tecnología

 

Notas para el docente

Notas para el docente

Las habilidades superiores trabajadas en esta lección fueron:

Actitudes

Crear.

Explicar.

Construir.

Resolver.

 Traducir.  Tradu cir.

Aplicar.

Analizar.

Expresar.

Se espera que los estudiantes trabajen de manera responsable y proactiva. Además, que cumplan las reglas de trabajo, como el uso de celular para la búsqueda de información, y muestren que son capaces de trabajar de manera autónoma y sin supervisión.

:

Unidad 2 

160

 La tecnología

•

 

7.

Resuelve  los problemas . a.

En el interior de cada cuadrado de la imagen se indica la medida de su lado expresada en centímetros.

5

• ¿Qué patrón identificas al ordenar los números de menor a mayor?

?

• De acuerdo con el patrón, ¿cuánto mide el lado del cuadrado rojo?

1 1 3 2

• ¿Cuáles son los 5 siguientes números de la sucesión que forman las medidas anteriores? [PROFUNDIZACIÓN] b.

Genere un ambiente adecuado para que los estudiantes trabajen en sus puestos y realice rondas respondiendo preguntas. Así, ayudará a que esta instancia de aplicación de los contenidos de la lección logre ser un aporte al real aprendizaje, afianzando los conocimientos adquiridos y aportando confianza para seguir adelante.

Una empresa compró las impresoras de la imagen, idénticas entre sí. En total gastó $2 175 000.

Puede elaborar una lista de cotejo para llevar registro de los estudiantes que efectivamente trabajaron durante esta clase practica, y para registrar si lograron comprender los conceptos aplicados en la resolución de los problemas.

• ¿Cuántas impresoras compró la empresa? • ¿Qué ecuación permite modelar la cantidad de dinero x  que  que se pagó por cada impresora? • ¿Cuál es esa cantidad de dinero? • Si otra empresa compró 4 impresoras por el mismo dinero, ¿qué ecuación modela esta nueva situación? • ¿Cuál es el costo de una de estas impresoras?

  Cuaderno de Actividades

Una vez que los estudiantes terminen las actividades propuestas, puede profundizar la ejercitación en las páginas 70 y 71 del 71 del Cuaderno de Actividades.

Páginas 70 y 71.

Retroalimentación

¿Tuviste dificultades para descubrir patrones entre los valores de una tabla?

¿Pudiste expresar relaciones matemáticas usando lenguaje algebraico?

Sí 

 

Refuerza en las páginas 71 a 75 de tu libro y puedes visitar https://bit.ly/3daQFAf .

No

 

¿Qué tan importante es el lenguaje algebraico para expresar patrones?

Sí 

 

¿Cómo se relaciona el lenguaje algebraico con las ecuaciones?

No

 

Refuerza en las páginas 76 a 81 de tu libro y puedes visitar https://bit.ly/2w3yDyY .

Para finalizar la clase, controle que los estudiantes respondan individualment individualmentee las preguntas de la sección Retroalimentación.. A través de ellas, y Retroalimentación de sus respuestas sinceras, podrán repasar

¿Cómo vas? • Evaluación de Lección 5   83

 

:

Ambiente de aprendizaje

Promueva un ambiente positivo en el aula. Para ello se sugiere lo siguiente: • 

Desarrollar la empatía entre entre los estudiantes, destacando y valorando las actitudes positivas dentro de la sala de clases.

• 

Motive a los estudiantes estudiantes a aprender, aprender, relacionando en todo momento momento los contenidos con situaciones cotidianas que viven a diario.

los contenidos estudiados enhayan la lección. Aquellos estudiantes que no logrado comprender alguno de los dos temas tratados (o ambos), ambos), tendrán la oportunidad op ortunidad de reforzar accediendo al link propuesto en cada caso. En forma adicional, puede sugerir el trabajo de las páginas del Cuaderno de Actividades que se conectan con esta sección como un trabajo colaborativo en que se genere un intercambio de ideas entre los estudiantes.

Orientaciones y planificaciones de clase

161 16 1

   

  :

        5         6

   o    c     i    a    r     b    e    g     l    a    e     j    a    u    g    n    e     l    y    s    e    n    o    r    t    a     P   •

      q

         2

   o    n    o    g     á    x    e     H

   q

    3       q

         2

      q

         3

     q      q

       q

    )    m    c     (    o    r    t    e    4    m     í    r    e     P

     q

   o     l    u    g    n     á     i    r     T

     q

    8     2    0    2    5    6    0    0    0    0 8    0     2   4    6   1    3   7    3 6   1    3   1    2   5    2    1

     q

   o     l    u    g    n     á     t    c    e     R

 .    s    a    r    u    g     i     f    s    a     l    a    z     i     l    a    n     A  .     4

   q

    0    1

    )    m     2     2     2    c    1 2 5    2    1    1 2 5    1    1 2 5    1    1 2 5    1     (  

     q

      q

   o     d    a    r

    d    a    u     C

   o     d    a    r     d    a    u     C

     q        2

     q

 .    a     l     b    a    t    a     l    a    t    e     l    p    m    o     C

   o     l    u    g    n     á    t    c    e     R

   o     l    u    g    n     á     i    r     T

   o    n    o    g     á    x    e     H

 .    a     i    a    c    r     b    e    g     l    a    n     ó     i    s    e    r    p    x    e    a    n    u    e    t    n    a     i     d    e    m    o    r    t    e    m     í    r    e    p    a     d    a    c    a     l    e     d    o     M  .     b

 .    a

 

  •

   o    n    o    g     á    x    e     H   •

   q

   q

   o     l    u    g     á    n     i    r     T

   4

 

    6

 

   o     d    a    r     d    a    u     C

   o     l    u    g    n     á    t    c    e     R

  •

  •

 .    o    c     i    a    r     b    e    g     l    a    e     j    a    u    g    n    e     l    a    e    c    u     d    a    r     T  .     5

 .     8    4    s    e    o    r    e    m     ú    n    n    u    e     d    o     l    p     8    4    u    r     d   =     á    x    u    4    c     l     E  .    a

 .    o    r    e    m     ú    n    o    m    s     i    m     l    e     d    e     l     b    o     d     l    a    e     l    a    v     i    u    q    e     8    n    e    o     d    a    t    n    e    m    u    x    a     2    o    r   =    e    m    8     ú    +    n    x    n     U

    5    n     ó     i    c    c    e     L

 .     b

 

  :

   o    c     i

 .     6    1   =    4   –    x     3    :    o     l    p    m    e     j     E  .  .    s    o    a    r     l    p    t    e     l    m    e    y     j    e    s    n    o    r    u    e    a    m     d    ú    y    n    o    e    c     i    y    a    r    u     b    l    e    c    n    g    i     l    a    e    e     j    u    a    q    u    o    g

   e     l     b    o     d    u    s    a    o     d    a

 .  .    o     0    c     2     i    a    n    r     b    e    e    o    g     d     l    a    a    t

 .    5    r    o    p    o     d     i     d     i    v     i     d    y     2    r    o    p    o     d    a    c     i

 .    e    t    r    a    p    a    t    r    a    u    c    u    s    n    e    o     d     i

 .    o    m    s     i    m     í    s    r    o    p    o     d    a    c     i

 .    7    n    e    o     d     i    u    n     i    m    s     i     d    o    g    e    u     l    y    o

 .    1    n    e    a     d    a    t    n    e    m    u    a    o    r    e    m     ú    n    n    u

 .    o    n    a     i     d     i    t    o    c

 .    1    1    n    e    o     d    a    t    n    e

 .    o    r    e    m     ú    n    n    u    n    e    o     d     i    u    n     i

 .    4    n    e    o     d     i    u    n     i    m    s     i     d    o    g    e    u     l    y    o    r    e    m     ú    n

 .    o    r    e    m     ú    n    n    u    e     d    e     l    p     i    r    t     l    e    n    e    o

 .     2    r    o    p    o     d    a    c     i     l    p     i    t     l    u    m    o    g    e    u     l    y     3    n    e    o     d    a    t    n    e

   m    u    s    o    g    e    u     l  ,    e    t    s    e    e     d    e     l    p     i    r    t     l    a    o     d    a    m    u    s    o    r    e    m     ú    n  .    n   1    u    n

   e     d    a  .    m    r     D    o     2     f    s    a    r    n    a    u    u    g    e    i     d    f    e    s    d     á    o    m    y    r    t    a    e     h    í    m    e    r    u    e    q    p    e    a     d    y  ,    o    s    t    a    c    p     i    n    e     ú    c    n    n    o    c    o    s    l    e    o    e    n    s    a    s    a    p    t    s    e    e    r  ,    u    4    p    s    d    a    e    r     d     i    s    v     l    a    t    c    e    i    u    a    a    q    l    r    e    l    a    u    l    q    o     i    r     d    r    n    a     i    s    e    e    d    s    a    e    n    d     i    g    s    e     á    p    t    n    s     A    a  .    t    s    s    a    e    i    c    e    t     d    á    s    m    e    e    t     d    a    a     d    m     i    v    s    t    e    c    n    a    i    o    s    a    c     l    a    u    e    i     d    t    s    o    n     l     l    o    o    c    r    r    s    a    s    a    c    e    i    a     d    r     l     b    e    e    e    g    t     l    n    a    e    s    m   e    n    e    t     i    n    o    e    s    e    r    n    a    p    x

    5    n     ó     i    c    c    e     L   •

   s    e     d    a     d     i    v     i    t    c     A    e     d    o    n    r    e     d    a    u     C    o     i    r    a    n    o     i

       a    r     b    e    g     l    a    e     j    a    u    g    n    e     L

   n    i    e     l     á    t     l    e    m    s    e    e    t    a     é    u    m    q    e    e    j     b    a     i    r    u    g    c    s    n    e    e     D    L

   n     j    e    a    e    u    m    g    u    n    a    e    o     l    r    n    e    0    o    m    2    c     ú    n    +    a    s    n    x    e    r     U    p  .    x     E    a

 .     1

 .     2

    l     i    p    t     l    u    m    o    r    e    m   5     ú    :    n    x    n    2     U  .     b

   u     i    n    m    s     i     d    o    r    e    x   4    x    4    m     ú    n   –    n   x     U  .    c

    l     i    p    t     l    u    m    o    r    e    m     ú    x    n   •    n    x     U  .     d

    d    a    c     i     l    p     i    r    t    o    r    e    7    m     ú   –    n    x    n    3     U  .    e

       e     d    e    t    r    a    p    a   1    v    a    t    +    c    o    x    8    a     L  .     f

    d

   

    j    e    u    m    s    n     i    u    u     i    a    a    a    u    n     i     d    u    o    o    e    g    r    r    o    m     d    n    e    e    s     h     i    e    e     l    c     l    m    m     d     2    o     b    n     ú     i    e   •      ú    o    o    n    n      x    c    c    c    1      x    e    1    n     i    4    d     3    o     3    n    a   –    +    s    +    U   –    D   –    l     E     2    D      x     U      x    e     8    r      x    1     2    1    p  .  .  .  .    x  .     E    a     b    c     d    e               g

              ]

 .     3

   e

   m    r    e    e    r    p    a    n    e    o    y    i    c    o    l    p    a     A   e    r

   o    1     d    o   e     l   –    p    d     i

   u   u    a    m      x    n    s    c     3    u    c    i    e    t     d     l    +    a     E    y     L      x   •

    2    r     i    n     í    g    o     l    +    d     á    o      x

   4

 .     f

    2     d    a     d     i

   n     U        4         6

    •

 

   c    u     l    o    s    y    s    e    n    o     i    c    a    t    n    e     i    r     O

165 16 5

 

    5    n     ó     i    c    c    e     L   •

   s    e     d    a     d     i    v     i    t    c     A    e     d    o    n    r    e     d    a    u     C    o     i    r    a    n    o

    i    c    u     l    o    s    y    s    e    n    o     i    c    a    t    n    e     i    r     O

169 16 9

 

Orientaciones y planificaciones de clase

Lección

6

Ecuaciones

ate  va Act í  v

Planificación

Clase 10 2 horas pedagógica / pág. 84 

Según un informe de la Organización de las Naciones Unidas (ONU), el mundo generó alrededor de 50 millones de toneladas de desechos electrónicos en 2018. Esta masa se compara con la de la Gran Pirámide de Keops (Guiza, Egipto) en la siguiente representación:

Propósito de la lección En esta lección representarán y resolverán ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Objetivo de Aprendizaje OA 11

Gestión de la clase Desechos

Comience la clase recordando los conocimientos adquiridos en la lección anterior.. Pida a los estudiantes que anterior repasen el modelamiento de situaciones usando ecuaciones y la representación de ecuaciones en balanzas. Realice preguntas como las siguientes siguientes::

Gran Pirámide de Keops.

electrónicos en 2018.

Responde

- ¿Qué es una ecuación? - ¿En qué ocasiones es útil utilizar ecuaciones para resolver problemas?

1.

¿Cuántas pirámides hay en la balanza?

2.

¿Qué símbolo matemático permite representar el equilibrio en la balanza?

3.

¿Con qué ecuación puedes modelar la situación?

4.

¿Cuál es la masa aproximada de la Gran Pirámide de Keops?

Puedes iniciar con

ona  io  x i Refle x

•

¿Qué basura electrónica has generado?

•

¿Qué precaución tomas al desecharla?

https://bit.ly/2HTzQLU 

- ¿Qué conceptos relacionados con las ecuaciones recuerdas de años anteriores anteriores??

84

Unidad 2  • La tecnología

 

Solicite que reflexionen acerca de la generación de basura tecnológica. En especial, la que se genera en su propio hogar. Luego, ayude a los estudiantes a responder las preguntas de la sección Actívate.. Esto les permitirá activar sus Actívate conocimientos previos.

a la primera pregunta tales como «celulares, pendrives o pilas», genere un intercambio de información de manera que los estudiantes puedan desechar su basura en lugares habilitados para ello. Algunos de los estudiantes pueden orientar a otros en este sentido o puede pedir a grupos de estudiantes que averigüen en medios escritos o digitales cuál es la mejor estrategia a seguir para proteger el medioambiente de estos nocivos residuos. Ambiente de aprendizaje

:

Para finalizar la clase, complemente lo realizado al inicio controlando que respondan en parejas las preguntas de la Reflexiona.. A partir de respuestas sección Reflexiona

170

Unidad 2 

Establezca un clima de aceptación, equidad, confianza, solidaridad y respeto. Un ambiente propicio es un espacio creado para que los estudiantes se sientan cómodos y adquieran la motivación suficiente para aprender.

 La tecnología

•

 

Representación de ecuaciones Francisco desechará un lote de pilas usadas, su reproductor de música descompuesto y un  pendrive. Antes de botarlos, puso sobre una balanza algunos de ellos y la equilibró: Aprende

Planificación pedagógicas / págs. 85, Clase 11 286horas y 87 

iencias Sociales C ien

Chile fue el tercer productor de basura electrónica en Latinoamérica en 2016 2016,, con 8,7 kg por persona.

 ¿Con qué ecuación modelarías este equilibrio? 

Propósito

Fuente: https://bit.ly/3maFU4M

Representar ecuaciones en balanzas y usando barras para resolver problemas.

problema  

Ejemplo 1  

Objetivos de Aprendizaje

¿A la de cuántas pilas equivale la masa del reproductor de música?

OA 11

1   Imagina que quitas el reproductor de música.

Explica por qué la balanza está en desequilibrio.

Gestión de la clase

2   Cuenta cuántas pilas debes agregar para restablecer el equilibrio.

Solicite a un estudiante que lea en voz alta la situación planteada al inicio de la página y pregunte: ¿qué significa que la balanza esté

 ¿Cuántas pilas pilas hay en este recuadro? 

equilibrada? Escuche las respuestas que esta situación puede modelarseeaindique través de una ecuación, ya que la masa en el lado izquierdo izquier do de la balanza es igual a la que hay en el lado derecho.

  3  Responde.

El reproductor de música tiene la misma masa que 4 pilas.

• ¿Cómo habrías resuelto tú el problema? Aplica otra estrategia y evalúa la de un compañero.

• Si la masa de cada pila es 11,5 g, ¿cuál es la masa del reproductor de música? Expón tu estrategia a un compañero y compara.

Solucionario

Las soluciones de las actividades propuestas en la Unidad 2 del Texto del Estudiante están en las páginas 194 a 201 y las soluciones de las actividades de la Lección 6 del Cuaderno de Actividades, están en las páginas 186 a 193.

Una ecuación  es una igualdad en que hay términos desconocidos o incógnitas: En este caso hay una incógnita. 

 + 4 = 9  +

x 

Puede representarse mediante una balanza equilibrada.

Lección 6  6 • Ecuaciones   85

 

:

Pida que imaginen la situación que se describe en el Ejemplo 1 y 1 y que la relacionen con algún evento que hayan observado en su vida cotidiana. Luego, Luego, solicíteles que expliquen por qué se llega a la conclusión conclusión de que la masa del reproductor equivale a la de cuatro pilas. Organice al curso en grupos de 2 o 3 estudiantes y proponga un breve trabajo colaborativo en que cada grupo responda las 1. Pida que este trabajo evaluativo sea realizado en un tiempo acotado dos preguntas que están a continuación del Ejemplo 1. (unos 10 minutos) y presentado en una hoja con los nombres de los integrantes del grupo. Además, puede pedir a distintos grupos que pasen a la pizarra a explicar sus desarrollos al resto del curso.

Lea con el curso el recuadro gris con la formalización de los contenidos estudiados y responda las preguntas que le planteen.

Orientaciones y planificaciones de clase

171

   

problema 

Ejemplo 2   Otro equilibrio que realizó Francisco fue el siguiente:

¿La masa de un pendrive es mayor o menor que la de una pila?

Pida que lean y analicen el Ejemplo 2, 2, aclarando las posibles dudas que surjan. Solicíteles que respondan las dos preguntas que están a continuación del

Aprende

¿Cuántas pilas tienen la misma masa que un un pendrive  pendrive??

Ejemplo 2. Aproveche esta 2. y evalúe formativamente a losinstancia estudiantes durante el desarrollo de la clase haciendo un registro anecdótico. Para esto, durante el trabajo específico solicitado, anote frases breves con observaciones individuales respecto del desempeño de los estudiantes.

Los principales residuos electrónicos que se generan son los teléfonos móviles y los ordenadores por ser los que cambiamos con mayor frecuencia.

  Imagina que quitas los pendrives.

1

C iencias Sociales

Fuente: https://bit.ly/2TaE0nZ 

  Forma dos grupos, cada uno con 1 pila, 2 pilas y 3 pilas.

2

Formalice la estrategia trabajada en esta clase y pida que la anoten en sus cuadernos, acompañada de un ejemplo.

Prueba agregando los grupos hasta lograr el equilibrio en la balanza:

Pida a algunos estudiantes que expliquen usando sus propias palabras cómo se puede resolver una ecuación a través de la estrategia de la balanza. Además, solicite voluntarios para que creen otros problemas a partir de la situación inicial y que los propongan al resto del curso, participando activamente en su resolución. Esto permitirá que desarrollen la creatividad a partir de sus propias experiencias y que exista aprendizaje desde la corrección corrección de los errores en los planteamientos y desde las intervenciones de cada uno de los integrantes integrant es del curso.

 ¿Cuántas pilas pilas hay en cada lado de la balanza? 

Dos grupos de 1 pila

Dos grupos de 2 pilas

Dos grupos de 3 pilas

No hay equilibrio

No hay equilibrio

Equilibrio

 Responde

3

Un pendrive tiene la misma masa que 3 pilas.

• Si la masa de cada pila es 11,5 g, ¿cuál es la masa de un pendrive? • ¿Qué ecuación modela la situación inicial? Resolver una ecuación consiste en determinar el valor de su incógnita que permite que la igualdad sea verdadera.

86

Unidad 2  2  • La tecnología

Ambiente de aprendizaje

En un ambiente en que todos los actores tienen espacio de participación porque la construcción de las actividades proviene de las ideas, habilidades, conocimientos y necesidades del estudiante, el desarrollo de los objetivos del aprendizaje matemático aparece como una consecuencia de una adecuada orientación y discusión de los contenidos matemáticos integrados a las experiencias contextuales que los

 

Conexión interdisciplinaria

Puede proponer a los estudiantes que construyan una balanza usando materiales accesibles a ellos. Para este trabajo puede apoyarse en la asignatura de Tecnología y también en sitios web como https://bit.ly/38KNjAE, en el que se propone el uso en clases de una sencilla balanza para entender intuitivamente su funcionamiento y su relación con las ecuaciones.

:

estudiantes ya poseen o están desarrollando.

Unidad 2 

172

 La tecnología

•

 

Ejemplo 3   ¿Cómo puedes representar la ecuación 2 x  +  + 3 = 11 en una balanza? 1

 Define tus representaciones. x 

2

1 

  Incógnita.

Solicite que analicen los Ejemplos 3 y 4  4  como alternativas de representación de ecuaciones. Oriéntelos y adelante el uso de estas representaciones para la resolución de ecuaciones y para la determinación del valor de la incógnita. Por ejemplo, indique 4 la longitud de la barra que en el Ejemplo 4 la que representa a la incógnita  x  es  es de 4 unidades:

Unidad.

  Define cuántas van a un lado lado y otro de la balanza. A partir de la ecuación 2 x  +  + 3 = 11, se definen: A la izquierda

A la derecha

2 incógnitas

11 unidades

3 unidades 3

 Responde. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 x

x 

 x 

1

 Define tus representaciones. La longitud de los tramos de la barra dará una idea del valor de la incógnita.  Responde. 8

 ¿Por qué las barras barras tienen la misma longitud? 

1

Es recomendable que desarrolle ambos ejemplos en la pizarra, enfatizando en los conceptos de igualdad, equilibrio y equivalencia y que motive a los estudiantes

¿Cómo puedes representar la ecuación 2 x  +  + 3 = 11 utilizando barras?

2

1

Y, por lo tanto, se puede concluir que  x  =  = 4.

Ejemplo 4  

1

1

para que transcriban las representaciones a sus cuadernos, explicando el significado de cada uno de sus elementos. Responda las preguntas que le planteen y apoye a aquellos que tengan dificultades para comprender la secuencia de pasos aplicada.

3

x 

x 

1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11

Explica por qué esta barra se dividió en 11 partes iguales.

• ¿Cómo representarías la ecuación en una balanza utilizando bloques de 1 unidad y otros de 3 unidades?

• ¿Cuál es el valor de x ? Responde usando ambas representaciones.

Una ecuación  también puede representarse usando barras.

 io ona Refle x i

¿Crees que es útil ser flexible al emplear las representaciones propuestas?,, ¿por qué? propuestas?

Comente la pregunta de la sección Reflexiona.. Destaque la importancia de la Reflexiona flexibilidad y lo útil que puede resultar el manejar más de una estrategia para resolver problemas con valores relacionados por medio de operaciones aritméticas.

Lección 6  6 • Ecuaciones   87

 

:

Notas para el docente Actitudes

b  Abordar de manera flexible y creativa la búsqueda de soluciones a problemas. Al finalizar la clase, puede responder la pregunta de la sección Reflexiona en Reflexiona  en conjunto con los estudiantes. Indique que en la resolución de problemas como en el uso de representaciones es

Para cerrar la clase, puede realizar una síntesis que consista en acciones de sistematizacion, reforzamiento, afianzamiento y retroalimentacion de los conocimientos previos abordados durante su desarrollo. Esta síntesis la puede construir en la pizarra con la colaboración de los estudiantes. En ella aclare dudas, refuerce contenidos y generalice conceptos. Todas estas acciones debe llevarlas a cabo con

importante ser flexible y creativo para lograr un real aprendizaje. Es por ello que puede sugerir que intenten siempre aplicar más de una estrategia para desarrollar las actividades que surjan durante durante la clase.

la participación de todo el curso para así afianzar los conocimientos que se pretende activar.

Orientaciones y planificaciones de clase

173

 

Practica

Planificación

en tu cuaderno

1. Representa las ecuaciones en balanzas y resuélvelas resuélvelas..

Clase 12 2 horas pedagógicas / págs. 88 y 89  Propósito

a.

x 

b.

x 

 + 2 = 2  +

e. 2x  +  + 4 = 6

 + 3 = 6  +

f. 5 = 2 + 3x 

c. 12 = 4 + x 

g. 4x  =  = 16

d. 2x  +  + 1 = 11

h. 20 = 3x  +  + 5

2. Representa las ecuaciones usando barras y resuélvelas

Representar y resolver ecuaciones mediante diversas estrategias.

a. x  + 2 = 4 b. 7 = x  +  + 3

e. 12 = 6x  f. 10 = 6 + 4x 

Objetivo de Aprendizaje

c. 14 = x  +  + 4

g. 5x  +  + 5 = 20

OA 11

d. 9 = 2x  +  + 1

h. 12 + 4x  =  = 28

3. Descubre las Descubre las ecuaciones y resuélvelas resuélvelas.. a.

d. 1 1 1

Gestión de la clase

Para comenzar la clase, comente a sus estudiantes que ahora deberán aplicar los conocimientos que han adquirido. En

x 

1

1 1

x 

1 1

1 1 1

b.

esta oportunidad, tendrán que desarrollar las actividades propuestas en el Texto del Estudiante, tanto en forma individual como grupal. Dé tiempo para que lean los enunciados y consulten las dudas relacionadas con la comprensión de estos.

e.

x 

3 2 2 2

x  x

x 

f.

c. 3 3

Plantee preguntas como las siguientes:

x

1 3 3

1

  x 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 x

x 

x

x 

• ¿Qué representa una balanza en equilibrio? • ¿Cómo puedes obtener el valor de la incógnita de una ecuación representada en una balanza? • ¿Cómo puedes obtener el valor de la incógnita de una ecuación representada con barras?

Solicite que apliquen las estrategias vistas en clases anteriores para representar y resolver ecuaciones y las desarrollen en sus cuadernos. Apoye y guíe la realización de la parte h de la actividad 1, de las partes g y h de la

88

Unidad 2  • La tecnología

 

Todos pueden aprender

Permita que los estudiantes repasen los contenidos que se practicarán en estas páginas y organice grupos de apoyo para que exista una transmisión de conocimientos de unos a otros, respetando la diversidad de estilos de aprendizaje y las diferencias naturales que existen entre los integrantes del curso. Todo esto debe ser promovido en un ambiente de respeto mutuo y de valoración del conocimiento.

:

actividad 2 y de la parte f de la actividad 3. Dada su complejidad, pueden requerir de su acompañamiento y de una explicación previa.

174

Unidad 2 

 La tecnología

•

   

4. Resuelve a.

los problemas .

Felipe y Alejandra quieren comprar un sillón que cuesta $80 000. Tengo $20 000.

Y yo, $25 000.

Para la resolución de problemas de la actividad 4, puede pedir que estudiantes voluntarios representen representen las situaciones propuestas y que las resuelvan con la participación ordenada del resto del curso. Puede apoyar la resolución de los problemas recordando los pasos generales que pueden seguir: entender, planificar, hacer y comprobar.. Dé énfasis comprobar énf asis a las actividades en que se aplican los conceptos estudiados en la clase a situaciones cotidianas, ya que permiten afianzar el aprendizaje.

Alejandra

Felipe

 que falta para hacer la compra? • ¿Qué ecuación permite modelar la cantidad de dinero x  que representación ción usando barras? • ¿Cuál podría ser su representa • ¿Cuánto dinero les falta? b.

Laura compró el computador de la imagen. Pagó $100 000 en efectivo y el resto en 3 cuotas iguales. • ¿Qué ecuación permite modelar el valor de cada cuota x ?

$340 000

• ¿Cuál podría ser su representación usando barras?

Organice el curso en parejas, de manera que la realización del problema grupal se desarrolle de acuerdo con lo planificado y los estudiantes puedan comparar sus

• ¿Cuál es el valor de cada cuota?

c.

Dos integrantes. Analizan la ecuación 2x  + 1 = x  + 5.

representaciones y sacar conclusiones valiosas para la resolución formal que comenzarán a ver en las siguientes páginas.

 (individual):  Representa en una balanza o utilizando barras. [PROFUNDIZACIÓN]   Etapa 1 (individual):  (individual): Resuelve  Resuelve a partir de tu representación. [PROFUNDIZACIÓN]   Etapa 2 (individual):  (grupal): Evalúen  Evalúen ambas resoluciones y establezcan cuál de las estrategias aplicadas   Etapa 3 (grupal): permitió obtener el valor de x  de  de forma más sencilla. d.

  Cuaderno de Actividades

Miguel tenía una botella con 2 L de jugo y, tras servir 6 vasos pequeños y 2 grandes, le sobraron 0,2 L. La capacidad de un vaso pequeño es 0,2 L. [PROFUNDIZACIÓN]

Una vez que los estudiantes terminen las actividades propuestas, puede profundizar 77 del la ejercitación en las páginas 72 a 77 del Cuaderno de Actividades.

de un vaso grande? • ¿Qué ecuación permite modelar la capacidad x   de • ¿Cuál podría ser su representación usando barras? • ¿Cuál es la capacidad de un vaso grande?

Páginas 72 a 77.

Para finalizar la clase, realice una puesta Lección 6  6 • Ecuaciones   89

 

:

Opciones para profundizar

Una balanza tiene los siguientes objetos en sus platillos: Platillo izquierdo Platillo derecho

2 cubos de 10 kg cada uno y 1 esfera de 5 kg. 1 cilindro de 10 kg y 1 esfera de 5 kg.

a) Explica por qué la balanza no está en equilibrio. a) Explica b) ¿Cuál es la masa en cada platillo de la balanza? b) ¿Cuál

en común en la que se expongan las respuestas halladas y los argumentos que las justifican. Puede pedir que identifiquen en cada pregunta los conocimientos que aplicaron y que reflexionen respecto a cuáles contenidos creen que necesitan reforzar.

c) ¿Qué c)  ¿Qué harías para que la balanza retome el equilibrio? d)  ¿Existe una única forma de equilibrar la balanza? d) balanza?,, ¿por qué?

Orientaciones y planificaciones de clase

175

 

Resolución de ecuaciones El esquema muestra, en forma aproximada, la cantidad de millones de toneladas de desechos electrónicos que se reciclaron claron ( ) en 2018 2018 y las as que acabar acabaron on en verted vertederos eros o en el medio natural.

Planificación

Clase 13 2 horas pedagógicas / págs. 90 y 91 

A pre nde

iencias C ien

 Tonelada ada es una una unidad unidad de masa que equivale a 1 000 kg.

Propósito ?

Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, utilizando la correspondencia «uno a uno» y la balanza.

50

39

Objetivo de Aprendizaje Fuente: https://bbc.in/34gZG8l 

OA 11 Ejemplo

Gestión de la clase

1

problema  

 

¿Qué ecuación permite modelar la situación? 1  Expresa la información con lenguaje cotidiano. Opción 1

Antes de comenzar la presentación de algunas estrategias para resolver ecuaciones, plantee preguntas tales como: • ¿Qué estrategias has aprendido para resolver una ecuación? • ¿Cuál de ellas te gusta más?, ¿por qué? • ¿Conoces otra estrategia para resolver ecuaciones?, ¿cuál?

Opción 2

La diferencia entre la masa de desechos generados y la que va a vertederos o al medio natural equivale a lo reciclado.

La suma de las masas de desechos reciclados y de los que van a vertederos o al medio natural equivale a lo generado.

2 Identifica el dato desconocido.

 

En ambos casos es la masa de desechos electrónicos reciclados. Lo llamamos x . 3  Responde.

 

Se proponen dos modelos modelos en que los números expresan expresan millones de toneladas: toneladas: Opción 1

50 – 39 =

x

Opción 2

 + 39 = 50  +

x 

• ¿Qué otra ecuación modela la situación? Propón un modelo y compara con

Una vez que los estudiantes hayan leído la situación inicial, relacionada con los desechos electrónicos en el mundo, 1 y solicíteles que analicen el Ejemplo 1 y los paralassudos resolución. Indíqueles quepasos evalúen respuestas que se proponen y que agreguen una tercera,  justificándola en forma oral. Guíe en la correcta traducción del sistema de representación verbal al simbólico interpretando las opciones 1 y 2 en la pizarra con la participación de todo el curso. Así evitará que se cometan errores y podrá responder cualquier requerimiento de los estudiantes.

un compañero.

• ¿Cuál es el valor de x de acuerdo con la opción 1? • ¿Qué estrategia usarías para resolver la ecuación de la opción 2?, ¿por qué?

90

Unidad 2  • La tecnología

 

Notas para el docente

Recuerde a los estudiantes que los caminos para resolver un problema matemático son variados y que, lo importante, es que la lógica que se utilice debe ser correcta y permitir comprobar la solución, aplicando una operación o un razonamiento.

:

Unidad 2 

176

 La tecnología

•

     

Ejemplo

2

problema  

 

¿Cuántas toneladas de desechos electrónicos fueron recicladas en 2018? 1

 Escribe la ecuación de la opción 2.

Pida a estudiantes voluntarios que expliquen los pasos 2 y 3 del Ejemplo 2  2  y que comprueben el resultado obtenido. Asimismo, solicite que un grupo de dos o tres estudiantes explique frente al curso la estrategia de resolución en la balanza 3. Nuevamente, propuesta en el Ejemplo 3. pídales que comprueben el resultado.

 + 39 = 50  +

x 

2

 

Descompón el término de la derecha. Una descomposició descomposición n conveniente es:  ¿Por qué esta esta descomposición descomposición es conveniente? 

50 = 11 + 39 3

  Haz corresponder los términos «uno a uno». x 

 + 39 = 50

Identifica qué término se corresponde con x .

11 + 39 = 50 4

 

  Responde. En 2018 se reciclaron cerca de 11 millones de toneladas de desechos.

Una dificultad común al desarrollar ecuaciones tanto si lo hacen simbólicamente como pictóricamente, es realizar las operaciones solo en un lado de la igualdad. De esta manera, se invalida el procedimiento aplicado y y se obtiene un resultado erróneo. Para superar esta dificultad, los estudiantes deben comprender que para que una igualdad se mantenga es necesario que cualquier operación que realicen en un lado de la ecuación, necesariamente, debe ser replicada en el otro.

• ¿Cómo representarías la ecuación usando barras? Explica. • Aproximadamente, ¿qué porcentaje de la masa de desechos electrónicos fue reciclada en 2018?

Ejemplo

3

problema  

 

¿Cuál es la solución de x  +  + 3 = 5? 1

  Representa en una balanza. 1 1 x  1

2

 

1 1 1 1 1

Elimina unidades de ambos lados de la balanza. Por cada unidad de la izquierda que elimines, quita una de la derecha. 1 1 x  1

3

 

1 1 1 1 1

 ¿Cuántas unidades unidades se eliminaron en cada lado? 

Para finalizar la clase, puede indicar que escriban en sus cuadernos dos o tres ecuaciones con símbolos y que las representen en balanzas. Luego, solicíteles que intercambien cuadernos para que

Interpreta y responde. En la izquierda está la incógnita y en la derecha, 2 unidades. Por lo tanto:  = 2  =

x 

• ¿Cómo comprobarías el resultado obtenido? Explica.

Lección 6  6 • Ecuaciones   91

:

Notas para el docente

Pida a los estudiantes que, al mostrar sus desarrollos matemáticos en la pizarra, los verbalicen, explicando y justificando el resultado obtenido. Esta acción permitirá que todo el curso opine y reafirme o rebata el resultado obtenido, enriqueciendo el aprendizaje de los contenidos estudiados.

ambos resuelvan estas ecuaciones las dos estrategias propuestas en elusando Texto del Estudiante. Por último, puede hacer una puesta en común, de manera de detectar errores y corregirlos.

Orientaciones y planificaciones de clase

177

 

Ejemplo

4

problema 

 

¿Cómo resuelves  x  +  + 3 = 5 usando la operación inversa?

Planificación

  Identifica la operación en que participa la incógnita. incógnita. x   + 3 =  + 3  = 5

1

Clase 14 2 horas pedagógicas / págs. 92 y 93 

 ¿Cuál es la operación operación inversa de la adición? 

Adición. 2

Aplica la operación inversa en ambos lados de la igualdad. x + 3 – 3  = 5 – 3

3

Desarrolla.

Propósito Resolver y comprobar ecuaciones de primer grado con una incógnita, utilizando la operación inversa.

x

+0=2 x

=2

Responde.

4

 

Al restar restar 3 en ambos lados de de la igualdad se obtiene obtiene que que x  =  = 2.

Objetivo de Aprendizaje • ¿Cómo resolverías  x  –  – 3 = 5 con esta estrategia? Expón el desarrollo a tus compañeros.

OA 11

Ejemplo

Gestión de la clase

5

 

¿Cómo compruebas que la solución de  x  +  + 3 = 5 es  x  =  = 2?

  Usa la recta numérica y la correspondencia «uno a uno».

1

Dibuja un una re rec ta ta nu numérica

A modo de recordat recordatorio, orio, plantee preguntas como las siguientes siguientes:: • ¿En qué consiste la estrategia de resolución de ecuaciones llamada «correspondencia uno a uno»? • ¿Qué estrategia puedes ocupar para comprobar la solución de una ecuación? Para iniciar la clase proyecte o anote en la pizarra los enunciados de los Ejemplos 4 y 5, 5, de manera que los estudiantes aclaren las dudas que puedan tener acerca de lo que se pide en cada uno de ellos. Puede hacer una lista de cotejo para llevar registro de los estudiantes que efectivamente durante la clase, yde para registrar sitrabajan demuestran la habilidad resolver y comprobar ecuaciones de primer grado con una incógnita.

0

1

2

3

4

5

Descompón ad aditivamente el el 5 6

5=2+3

Desarrolla las estrategias estrategias..

2

Realiz Rea liza a «salt «saltos» os» uni unitar tarios ios des desde de 3 a 5

Haz la corr corresp esponde ondenci ncia a «uno «uno a uno»

 + 3 = 5  +

x 

0

1

2

3

4

5

2+3=5

Interpreta.

3

El número de «saltos» es la solución.

El número que le corresponde a x  es  es la solución.

Responde.

4

 

92

6

Resolviendo en la recta numérica y utilizando la correspondencia «uno a uno» se comprueba que la solución es x  =  = 2.

Unidad 2  2  • La tecnología

 

Todos pueden aprender

Es recomendable asegurarse de que todos los estudiantes participen en la situación de aprendizaje con un adecuado nivel de desafío. Puede ofrecer a los estudiant es tudiantes es oportunidades de participación en el diseño de

Explique que la estrategia que se aplica en el Ejemplo 4 puede 4 puede ser llamada de «operación inversa», debido a que considera la aplicación de la adición si el número que está en el mismo lado de la ecuación está restándose, y la aplicación de la sustracción, si está sumándose. Además, debe recalcar que la adición o sustracción debe realizarse en ambos 5 muestra gráficamente lados de la igualdad. Destaque que el Ejemplo 5 muestra cómo puede usarse la recta numérica para comprobar que la solución

:

actividades educativas e involucrarlos en la definición de sus propios objetivos de aprendizaje.

Unidad 2 

178

encontrada es la correcta.

 La tecnología

•

   

Ejemplo

6

problema 

   ¿Cómo expresas con con lenguaje cotidiano 2x  –  – 5?

¿Cuál es la solución de 2 x  –  – 5 = 13? 1

  Identifica la operación inversa. inversa. 2x  –  – 5 = 13 Sustracción.

2

 ¿Cuál es la operación operación inversa de la sustracción? 

Pida a un estudiante que lea la situación del Ejemplo 6 y 6 y anote el ejercicio en la pizarra. En conjunto con el resto del curso, siga el desarrollo de pasos y explique todas las dudas que puedan surgir. Luego, 7 y solicite que presente el Ejemplo 7 y expliquen por qué la descomposición realizada permite comprobar la solución hallada.

Aplica la operación inversa. 2x  –  – 5 + 5  = 13 + 5

3

Desarrolla. 2x  =  = 18

4

 

Pregúntate:: ¿qué número multiplicado por 2 da 18? Pregúntate El número es 9.

5

 

 ¿Cuál es el doble de 9? 

Responde. La solución es x  =  = 9.

Ejemplo

7

 

Para finalizar la clase, indique que respondan las preguntas que están 7 y que a continuación del Ejemplo 7 y  justifiquen  justifiqu en sus respuesta respuestas. s. Finalmente Finalmente,, formalice las estrategias vistas en esta clase y solicite que redacten un listado de ellas con una breve reseña de cada una.

¿Cómo compruebas que la solución de 2 x  –  – 5 = 13 es  x  =  = 9? 1

 Descompón convenientemente el término de la derecha. Explica por qué esta descomposición es conveniente.

13 = 2 • 9 – 5 2

Haz corresponder los términos «uno a uno».  2x  –  – 5 = 13 2 • 9 – 5 = 13

3

 

 Responde. Se comprueba que x  =  = 9.

• ¿Cómo resolverías 3x  +  + 7 = 25 con esta estrategia? Explica.

Notas para el docente

• ¿Cuál de las estrategias aplicadas te gustó más?, ¿por qué?

Actitudes

b  Abordar de manera flexible y creativa la búsqueda de soluciones a problemas.

Algunas estrategias para resolver una ecuación son las siguientes: ona  io Refle x i

- Uso de balanza. - Representación con barras. - Correspondencia «uno a uno». - Aplicación de operación inversa. - Utilización de la recta numérica.

¿Cómo te ayudó a resolver ecuaciones el uso de más de una estrategia?

Lección 6  6 • Ecuaciones   93

:

Conexión interdisciplinaria

Las ecuaciones desempeñan un papel crucial en las matemáticas modernas y forman la base para la modelación matemática de numerosos fenómenos y procesos en las ciencias y las ingenierías. Algunas ecuaciones importantes en la historia son las siguientes: • Segunda Ley de Newton:  Teorema eorema d dee Pitágoras: Pitágoras: •  T

F = ma a²+ b² = c² 

Al finalizar la clase, puede pedir a los estudiantes que respondan la pregunta que se plantea en la sección Reflexiona,, relacionando la creatividad Reflexiona con la búsqueda de estrategias para resolver ecuaciones. Puede incentivar el desarrollo de esta actitud a través de una correcta valoración del uso de diferentes y originales estrategias. es trategias.

• Equivalencia masa-energía:

E = mc² 

Orientaciones y planificaciones de clase

179

 

Practica

Planificación

en tu cuaderno

1. Define.

Clase 15 2 horas pedagógicas / págs. 94 y 95 

a. Ecuación.

b. Solución de una ecuación.

c. Balanza.

2. Expresa algebraicamente.

Propósito

a. 3 más un número.

c. El doble de un número más 6.

Practicar el planteamiento, la resolución y la comprobación de ecuaciones de primer grado con una incógnita.

b. Un número menos 10.

d. El triple de un número menos 12.

3. Expresa con lenguaje cotidiano. a.

c. 7 + 3x 

 + 7  +

x 

b. 4 – x 

Objetivo de Aprendizaje

4. Propón una ecuación que modele cada problema y resuélvela.

OA 11

a. Miguel vio 12 capítulos de su serie favorita el fin de semana. El sábado vio 5. ¿Cuántos vio el domingo? b. Isabel tiene 18 años. La edad de Mauricio equivale al doble de la de Isabel más 8 años. ¿Qué edad tiene Mauricio?

Gestión de la clase

c. Daniela leyó un libro de 85 páginas en 4 días. Los primeros 3, leyó la misma cantidad de páginas por día y el cuarto, leyó 40. 5. Resuelve las ecuaciones. Usa una balanza y comprueba  representando con barras.

Pida a los estudiantes que lean cada actividad y aclaren sus dudas antes de comenzar a trabajar. Es necesario que entre ellos puedan comentar posibles estrategias para desarrollar los ejercicios y problemas propuestos.

Gradúe los objetivos de aprendizaje a los que apunta cada actividad, identificando el contenido evaluado y privilegiando aquellos que están relacionados en forma directa con el propósito de la clase. Privilegie el generar las habilidades a desarrollar de dichos contenidos por sobre su memorización.

a.

x 

 + 1 = 5  +

d. 7 = x  +  + 6

g. 1 + 3x  =  = 4

b.

x 

 + 3 = 7  +

e. 19 = 11 + x 

h. 30 = 3x + 9

c. 5 + x  = 6

f. 2x  + 2 = 12

i. 2x  + 1 = 5

6. Resuelve las ecuaciones. Utiliza la operación inversa y comprueba  con la estrategia de correspondencia «uno a uno».

La ejercitación permitirá que los estudiantes afiancen los aprendizajes y habilidades desarrollados a lo largo de este contenido. Es por esto que puede aconsejarles que se concentren concentr en y que resuelvan los ejercicios en forma ordenada y explicitando sus estrategias. Solicite que la presentación de los desarrollos sea la adecuada, informándoles que al finalizar hará una revisión al azar de algunos de ellos.

d. 4x  –  – 1

a. 2 + x  =  = 10

d.

g. 3 + 2x  =  = 15

b.

x 

 + 7 = 8  +

e. 13 = 10 + x 

h. 0,3x – 1,2 = 1,2

c.

x 

 – 2 = 7  –

f.

i. 2x  +  + 0,8 = 1,2

 – 9 = 7  –

x 

 – 12 = 26  –

x 

7. Evalúa  si el valor de x  es  es solución de la ecuación. a.  

b. 11 = x  –  – 7   x  =  = 14

  + + 3 = 20  = 17  = 17

x  x 

c. 1,6 = 0,2x    x  =  = 3,2

d. 3x  +  + 5 = 14   x  =  = 4

8. Crea 3 ecuaciones cuya solución sea: a. 1

94

b. 3

c. 5

d. 7

e. 11

f. 15

g. 21

Unidad 2  • La tecnología

 

Habilidades del siglo XXI

En un trabajo colaborativo todos los integrantes del grupo dan ideas libremente y desde la creatividad y fortalezas de cada uno se aporta a la solución del problema o a la realización de la actividad. Cada miembro del equipo tiene un rol importante y una tarea que cumplir, haciéndose responsable de ella. Se evalúa al grupo, pero considerando los rendimientos individuales en cuanto a conocimiento, participación y compromiso.

:

180

Unidad 2 

 La tecnología

•

 

los problemas .

9. Resuelve a.

Arturo armó torres apilando dos tipos de latas. La lata grande mide 25 cm de altura.

x

cm x x

Solicite que desarrollen los problemas propuestos y generen las condiciones adecuadas para que puedan comparar y unificar sus respuestas. Monitoree el trabajo realizando preguntas para promover el pensamiento crítico, como por ejemplo:

cm

cm

79 cm 68 cm 61 cm

 Torre  Torr e A

 Torre B

• ¿Cuál es el propósito de esta clase? • ¿Qué información necesitas para realizar esta actividad?

 Torre  Torr e C 

• ¿Existe otra forma de realizar esta actividad?, ¿cuál?

• ¿Qué ecuación modela la altura de la torre A?, ¿cuál es su solución?

so lución? • ¿Qué ecuación modela la altura de la torre B?, ¿cuál es su solución? ?, ¿cuál es su solución? • ¿Qué ecuación modela la altura de la torre C ?,

Dependiendo de las respuestas de los estudiantes oriente y apoye en la resolución de los problemas de la actividad 9.

solución?,, ¿por qué? • ¿Tienen las ecuaciones anteriores la misma solución? • ¿Cuál es la altura de la lata pequeña? b.

La diferencia entre 12 y el doble de un número es 6. ¿Cuál es el número? [PROFUNDIZACIÓN]

c.

La suma del doble de un número y su triple es 105. ¿Cuál es el número? [PROFUNDIZACIÓN]

  Cuaderno de Actividades

Una vez que los estudiantes terminen las actividades propuestas, puede profundizar 83 del la ejercitación en las páginas 78 a 83 del Cuaderno de Actividades.

Páginas 78 a 83.

Sintetiza

Representación de ecuaciones

Ecuación x  +  +

9 = 12

Incógnita Una ecuación  puede representarse en una balanza o usando barras.

Resolución de ecuaciones

Resolver una ecuación  consiste en determinar el valor de la incógnita que verifica su igualdad. x  =  = 1 no es solución, ya que 1 + 3 ≠ 5. x  +  + 3 = 5 x  =  = 2 sí es solución, ya que 2 + 3 = 5.

Para finalizar la clase, puede organizar un breve trabajo colaborativo en que cada grupo de 2 o 3 integran integrantes tes proponga un ejemplo para cada contenido destacado en la sección Sintetiza Sintetiza,, diferente al que se da

Lección 6  6 • Ecuaciones   95

 

:

en el Texto Estudiante. ejemplos pueden ser del discutidos en laEstos pizarra con la participación de todo el curso y contar con su asesoría, de manera de apoyar el trabajo.

 Planificación

Clase 16

2 horas pedagógicas

  Cuaderno de Actividades

83 del En esta clase práctica se sugiere que monitoree el completo desarrollo de las actividades de las páginas 72 a 83 del Cuaderno de Actividades. En esta clase puede realizar acciones como las siguientes: • Ir repasando las páginas del Cuaderno de Actividades correspondientes a esta lección y resolviendo aquellos ejercicios

que los propios estudiantes le soliciten. • Durante este repaso, ir haciendo preguntas que los hagan pensar, como por ejemplo: ¿de qué otra forma se puede desarrollar este ejercicio?, ¿qué otra estrategia hubieran aplicado para resolver este problema?, etc. • Organizar grupos de trabajo para desarrollar las actividades que hayan causado dificultades a un grupo significativo de los estudiantes del curso y apoyarlos en su trabajo. Orientaciones y planificaciones de clase

181 18 1

 

vas? ¿Cómo  va

1. Transfiere Transfiere cada  cada representación. Exprésala en una balanza y como ecuación.

Planificación

a.

Clase 17 2 horas pedagógicas / págs. 96 y 97

d. 1 1 1

x

6

 

 

e.

1 1 1 1 1 1 1

x 

x 

x 

c.

 

 

x 

x 

x 

x 

1

9

7

OA 11

1 1

f.

1 1 1

x 

x 

8

9

Objetivo de Aprendizaje

x 

9

b.

Resolver actividades de aplicación de los contenidos de la lección.

2. Transfiere Transfiere cada  cada representación. Exprésala con barras y como ecuación. a.

Gestión de la clase

1 1 1 1 1

c. 1

x 

1

1

b.

Inicie la clase recordando los contenidos vistos a lo largo de la lección en conjunto con los estudiantes. Anótelos en un lugar visible y usando un tamaño de letra adecuado para que sea legible desde todos los lugares de la sala de clases: • Representación de ecuaciones de primer grado con una incógnita. • Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Motive al curso a resolver las actividades que incluyen lo visto en esta lección, de manera que identifiquen los conocimientos adquiridos y refuercen aquellos que sientan más débiles.

x

x 

x

x 

x

x 

1 3 3

d.

1 1

x 

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 2 2 2

3. Resuelve Resuelve las  las ecuaciones y compruébalas compruébalas.. a.

h. 2x + 7 = 11

ñ. 3x + 1 = 10

b. 3 + x  =  = 7

i. 11 + 2x  =  = 21

o. 35 = 3x  –  – 4

c. 40 = x + 20

 j. 45 = 43 + 2 x 

p. 5x + 25 = 55

d.

x 

 – 4 = 18  –

k. 2x  –  – 10 = 10

q. 12 + 4x  =  = 24

e.

x 

 – 7 = 9  –

l. 8 + 2x  =  = 20

r. 7x – 9 = 40

f. 15 + x  =  = 30

m. 120 = 20 + 2x 

s. 200 = 20 + 9x 

g. 1 000 = x  –  – 100

n. 23 = 2x – 5

t. 10x – 100 = 100

 + 1 = 2  +

x 

4. Calcula mentalmente la solución. Explica Explica tu  tu estrategi estrategia. a. [PROFUNDIZACIÓN] a.

96

Gradúe los objetivos de aprendizaje a los que apunta cada actividad, identificando el contenido evaluado y privilegiando aquellos que están relacionados en forma directa con el propósito de la clase. Privilegie el generar las habilidades a desarrollar de dichos

  1 1 1

x 

Propósito

Monitoree el trabajo en forma constante y otorgue el tiempo necesario para que resuelvan todas las actividades propuestas en esta evaluación evaluación..

Desarrolla en tu cuaderno

 + 10 = 20  +

x 

b.

 – 10 = 20  –

x 

c.

 + x  =  +  = 14

x 

d. 10x  =  = 90

Unidad 2  • La tecnología

 

:

Notas para el docente

Las habilidades superiores trabajadas en esta lección fueron las siguientes:  Transferir.  Tran sferir.

Evaluar.

Resolver.

Proponer.

Explicar.

Comprobar.

contenidos por sobre su memorización.

182 18 2

Unidad 2 

Crear.

Calcular mentalmente.

 La tecnología

•

   

5.

Resuelve  los problemas . a.

Isabel seleccionó 5 canciones en su reproductor de música. Su selección tiene una duración total de 17 min. El primer tema dura 5 min y la duración de los restantes es aproximadamente la misma.

Solicite a los estudiantes que resuelvan los problemas propuestos en sus respectivos cuadernos. Verifique que todos trabajen y responda las preguntas que le planteen, apoyando el trabajo individual.

 de cada uno de los restantes temas? • ¿Qué ecuación permite modelar la duración aproximada  x  de • ¿Cuál sería su representación en una balanza?

barr as? • ¿Y su representación con barras? • b.

¿Cuál es la duración aproximada de los restantes temas? Isabel corrió 1 250 m y luego dio 7 vueltas siguiendo el contorno de una cancha de fútbol. En total recorrió 3 210 210 m.

Asimismo, controle que formen parejas de trabajo cuando sea requerido y que el trabajo grupal se desarrolle en las condiciones adecuadas de orden y respeto por las opiniones de todos. Incentive la interacción de los grupos de trabajo, de manera que los estudiantes intercambien ideas, experiencias y conocimientos.

• ¿Qué ecuación permite modelar el perímetro  p de la cancha? • ¿Cuál sería su representación con barras? • ¿Y su representación en una balanza? • ¿Cuál es el perímetro de la cancha? c.

Dos integrantes. Cada uno selecciona una de las siguientes ecuaciones: 2x  + 5 = 12

4 x  +  + 10 = 24

  Etapa 1 (individual): Resuelve tu ecuación.

 (grupal): Comparen  Comparen las soluciones obtenidas.   Etapa 2 (grupal):  (grupal): Establezcan  Establezcan una relación entre las ecuaciones para justificar los resultados   Etapa 3 (grupal): de la comparación. [PROFUNDIZACIÓN]

  Cuaderno de Actividades

 (grupal): Propongan  Propongan 3 ecuaciones que cumplan con la relación que establecieron   Etapa 4 (grupal): en conjunto y verifiquen resolviéndolas. [PROFUNDIZACIÓN]

Una vez que los estudiantes terminen las actividades propuestas, puede profundizar la ejercitación en las páginas las páginas 84 y 85 del 85 del Cuaderno de Actividades.

Páginas 84 y 85.

Retroalimentación

¿Pudiste representar ecuaciones?

¿Tuviste dificultades para resolver ecuaciones?

Sí 

 

¿Qué representación te fue más útil?

No

 

Refuerza en las páginas 85 a 89 de tu libro y puedes visitar https://bit.ly/32wDDrO https://bit.ly/32wDDrO..

Sí 

 

Refuerza en las páginas 90 a 95 de tu libro y puedes visitar https://bit.ly/2I3eyvo https://bit.ly/2I3eyvo..

No

 

¿En qué situaciones cotidianas las ecuaciones pueden ayudarte a resolver problemas?

¿Cómo vas? • Evaluación de Lección 5   97

 

:

Notas para el docente

La evaluación formativa es un proceso en el cual profesores y estudiantes comparten metas de aprendizaje y evalúan constantementee sus avances en relación con estos objetivos. constantement Esto se hace con el propósito de determinar la mejor forma de continuar el proceso de enseñanza y aprendizaje según las necesidades de cada curso.

Para finalizar la clase, controle que los estudiantes respondan individualmente las preguntas de la sección Retroalimentación.. A través de ellas, Retroalimentación y de sus respuestas sinceras, sinceras, podrán po drán repasar los contenidos estudiados en la lección. Aquellos estudiantes que no hayan logrado comprender alguno de los dos temas tratados (o ambos), tendrán la oportunidad de reforzar accediendo al link propuesto en cada caso. En forma adicional, puede sugerir el trabajo de las páginas del Cuaderno de Actividades que se conectan con esta sección como un trabajo colaborativo colaborativo en que se genere un intercambio de ideas entre los estudiantes.

Orientaciones y planificaciones de clase

183 18 3

 

prendiste?  ap ¿Qué a

Desarrolla en tu cuaderno

1. Identifica un patrón.

Planificación

Clase 18 2 horas pedagógicas / págs. 98 y 99 

a.

b. Valor  A

Valor B

Valor  A

Valor B

2

8

1

9

4

10

2

16

6

12

3

23

8

14

4

30

Propósito Evaluar los conocimientos adquiridos a lo largo de la unidad.

2. Expresa con lenguaje algebraico. a. Un número disminuido en 9.

Objetivo de Aprendizaje

b. El antecesor de un número.

OA 9, OA 10 y OA11

c. Los números impares. d. La propiedad conmutativa. e. El doble de un número aumentado en 3. f. La propiedad asociativa.

Gestión de la clase

g. El triple de un número disminuido en su doble. 3. Identifica la ecuación. a.

Comente al curso que en esta clase deberán desarrollar una evaluación que tiene como finalidad identificar los conocimientos que han adquirido y reforzar aquellos contenidos en que presenten más falencias. Puede permitir que durante estos minutos iniciales los estudiantes repasen la unidad para recordar los contenidos y habilidades que se evaluarán.

1 1

 x 

b.

1 1

x 

10

d.

1 2 2 2

4

1

 x 

 x

x 

4. Construye  una tabla con 10 pares de valores para cada patrón.   Valor  A n

Al iniciar el desarrollo de esta evaluación, solicite que permanezcan en silencio y que trabajen en forma ordenada para lograr plasmar de mejor forma sus conocimientos

Durante el desarrollo de las actividades aprendiste?, de esta sección ¿Qué aprendiste?, puede realizar un registro anecdótico, anotando frases breves con observaciones individuales respecto del desempeño de los estudiantes durante el desarrollo de su trabajo.

 x

1 1

 x 

a.

en un ambiente propicio. Así, la evaluación dará cuenta más precisa respecto del avance del aprendizaje de los estudiantes.

c.

1 1 1 1 1 1

n

n

  Valor  A

Valor B

n

9 + n

  Valor  A

+3

b.

98

c.

Valor B

e.

Valor B n

– 2

d.

 

Valor  A

Valor B

n

5n + 1

f.

Valor  A

Valor B

Valor  A

Valor B

n

5n

n

7n – 5

Unidad 2  • La tecnología

 

Notas para el docente

La evaluación es el medio fundamental para conocer la relevancia de los objetivos planteados, el grado de avance con respecto a los mismos, así como la eficacia, impacto y eficiencia de las acciones realizadas. De esta forma, la información extraída de este proceso constituye la base para establecer mejoras y estrategias que orienten el quehacer educativo.

:

184

Unidad 2 

 La tecnología

•

 

5. Resuelve Resuelve las  las ecuaciones y compruébalas . a. 5 + x  =  = 8

e. 2x  +  + 6 = 6

i. 5x  –  – 12 = 8

b. 11 + x  =  = 16

f. 21 + 3x  =  = 42

 j. 62 = 4x  –  – 22

c. 12 = x  –  – 8

g. 18 + x  =  = 28

k. 7x  +  + 70 = 119

h. 4x  =  = 40

l. 105 + 10x  =  = 205

d.

 – 4 = 0  –

x 

Motive constantemente a los estudiantes a desarrollar los ejercicios y problemas planteados y oriéntelos si tienen dudas procedimentales o conceptuales.

6. Resuelve Resuelve los  los problemas . a. Alejandro compró en una tienda virtual objetos para su oficina. El reloj de pared le costó $12 000.

•

El costo del reloj más las agendas fue de $16 800. ¿Cuál es el precio de una agenda?

•

El costo del reloj más las calculadoras fue de $25 512. ¿Cuál es el precio de una calculadora?

•

¿Cuánto dinero gastó en total?

Puede proponer la actividad 6 de resolución de problemas como un trabajo colaborativo. Para ello, organice el curso en grupos de 2 integran integrantes tes y explicite los objetivos del trabajo: organización, participación y orden. Finalmente, Finalmente, controle activamente que obtengan las soluciones correctas.

b. Analiza Analiza la  la secuencia.

Paso 1

• • • •

Paso 2

Paso 3

Una vez que desarrollen esta evaluación es importante corregir en conjunto las respuestas obtenidas obtenidas y detectar los posibles errores cometidos.

Paso 4

¿Qué patrón identificas? ¿Cómo lo expresas en forma algebraica? ¿Qué tabla permite ordenar la información de la secuencia?

Para culminar la clase, solicite que respondan la sección Para finalizar Unidad 2, que presenta una instancia para que puedan expresar la importancia que tuvo la unidad y para conocer, directamente de ellos mismos, sus principales debilidades.

¿Cuántos cuadraditos pintados habrá en la figura del paso 5?

 

Páginas 86 y 87.

Para finalizar

ad 2 ida Unid

•

¿Cuál fue el contenido más importante para ti?

•

¿Qué faltó para que hubieras aprendido mejor los contenidos?

•

¿Por qué fue importante?

•

¿Cómo afectó esto a tu aprendizaje?

¿Qué aprendiste?  aprendiste? • Evaluación de Unidad 2

 

99

:

 Planificación

Clase 19

2 horas pedagógicas

  Cuaderno de Actividades

87 del Cuaderno de Actividades. En esta clase se sugiere que aplique la evaluación final que está en las páginas 86 y 87 del Al inicio de la clase puede repasar los contenidos de la unidad: patrones en tablas, lenguaje algebraico y representación y

resolución de ecuaciones de primer grado. Luego, puede dar unos 60 minutos para desarrollar la evaluación y, finalmente, resolver en la pizarra las actividades con la participación de todo el curso..

Orientaciones y planificaciones de clase

185 18 5

  :

 

        5         7

   y  ,    s     4     w    o     d    a     2    1     l    s    o     b    m    a    n    e    s     w    o    t     2    2    n  .    e    a     w    m    d    e    a     l    t    e    e    e    r    e    n    a    a    r    p    s     d     l     i    t     d     á     d    n    t    e    s    r    a     i     ó     E     d    n    ¿     i    e  .    a    t    c     d    s    u    e    n    c    e    d    a    e    u    a    c    p    d    a     l    a     i    e    s    n    m .   e    v    u     l    s    n     i    d    e     ó    a     i    4    u    m    y    s    c     d     l    e    a    s     l    a   a     R    a    u    t     i     ?   a   u     ?  .    c    e    n    é   n   g    a    t     i    i    i    a    g    u  .     ?    0     l    a   n    a    a    t    2    r     ó    q     l    m    c    g     i     d    n   +    e    r     l    n    o   e   e     ó    a    e    v    i    r     l    c    s    n    w    s    p     b    e    o    a    ¿   e   e    n     i     i     l  .     i     i    r   =    s  ,    u    t    l    e    l    a     ?    s    u    p    r    e    e   4    q    o    n    a    q    r    r    a    d    n    a    e    e    r    o     d    a    m    a    e    +    a    o    m    r    e    z    s    p    n    l    p     l  ,    o    u    n   w    e     é     í     l    e     b    n     ó    a     2     S    s    a     i    o     l    u    o    n    v     2     1     1

   r    a    c    :    q    d    o    :     l    a    e    l    a    c    a    p     b    a    t    e    u    t    s     i    a    c    a    o    s    s    c    s     l    e    e    e    e     d    o    a     d    d     l    u    r    u     l    a     é     á    n    c    e    p    e    v    r    u    p    s    s    u    u    a    e    e    v    e    e     C    c     l    u    d    a     R    s     Q    ¿     R     J    ¿    e    u    s    e     R  .     6

    b   •     O  .    a

    •

 .     6    1   =    w    :    a    t    s    e    u    p    s    e     R

    6    1    +    4     0     2   +     6    +   w   =   1    w   4   =   =   +   w    4    +   w    w   +     2   w  

    •

   e    u    q    r    a     b  .    o      U    r  .      j      R    p   r      O    o     s     l    m    a      3     a    o    c   v      /     y    y   o     l  .      t    s   m     i    e    i    s      /      b    n      /     ?    o   m    :     s    o     l      t     p    t     i    e    c    c      t    a    e    r    e      h    r    r    e   n    n    o    o    c    e    p    i    t    s    e    s    e    s    a    b    o    o    l    o    d    a    t     d    r    e    l    a    s    u    t    e    v    d     l    s     l    e    u    s    o    a    r    e    s    d    s    r    e    l    u     l    r    t    e  ,    a    u    a     i    c    s    6    g     i    1     i     f     i    a    r    r    z    o    a     l    e    n    a    p   e    V     l  .    a     d    n     b    w     ó    s     i    a    o   o    c     l    a     d    n    d    a    r    m    e    n     l    r    a    o    s     f    a    z    a    o    c    n     i     l    b    i     f     i    p    a    r     l    e    m    m    v    e   a    a    z    s    e   n    i     l    e     d    R   e    a    e    :    u    a    p    t    s    o    e    u    m    p     ó    s    e     C    ¿     R

  •

 

   n     A        s      a       i      c      n      e       i       C

 .    s    a    t     i    n    g     ó    c    n     i    s    a     l

   a    r     d    a     i     d    m    e    u    m   s  ,    a    8    r    1    u    r    t    o    a    r    p    e    s    p    i    u    s    m     l    e    e    t     C    a    s    n    o     )    u    d     F    a    r     °     (    g    t    e  .     i    e    d    0     h    d    1    n    a    r    o    e    r     d    p     h    i    t    o    a    n    l    r     F    a    i    s    c    d     i    o    l    a    i    v     d    r     d    a    a    r    o    c    g    i     l     d    n    i    p    a    t    e    l    t     l    r    u    u    a    s    s    e    m   r    e    r    s    l    p    e    e    x    )    y    e    C     °    o    a    r     (    t    a    s    c    u    u    p    i    s    d    a    l     i    o    e    r    g    C    p    e    t    s    e    a    o    t    r    s    t     d    s    a    e    e    r    a    a    g    0    n    n    2     U   e    3

 .     2     3    +     C     8  ,    1    :    :    n    a    t     ó    s    i    e    c    u    a    p    s    u    c    e    E

     F

   y

      C

   n    o    c    a    t    n    e    s    e    r    p    e     R     ?    n     ó     i    c    a    m    r    o     f    s    n    a    r    t    a     l    r    a    u    t    c    e     f    e    e    t     i    m    r    e    p    n     ó       ]     i       N    c        Ó       I    a       C    u       A       Z    c       I    e       D       N       U     é       F    u       O       R     Q       P    ¿       [   •

 .     b

 .     F     °     0    5    a    n    e     l    a    v     i    u    q     E

   :    a    t    s    e    u    p    s    e     R

    R

    2     3    +     C     8  ,    1   =       0     2     3    0    +   1     C     8    1   =     F

 .     F     °    7    7    a    n    e     l    a    v     i    u    q     E

    ?     C     °     0    1    n    e     l    a    v     i    u    q    e    t     i    e     h    n    e    r     h    a     F    s    o     d    a    r    g    s    o    t    n     á    u    c     A    ¿   •

   s    e    n    o     i    c    a    u    c     E   •

    6    n     ó     i    c    c    e     L

   :    a    t    s    e    u    p    s    e     R

    ?     C     °    5     2    n    e     l    a    v     i    u    q    e    t     i    e     h    n    e    r     h    a     F    s    o     d    a    r    g    s    o    t    n     á    u    c     A    ¿   •

    0    5   =     2     3    +     0    1   •     8  ,    1   =     F

   7    7   =     2     3    +    5     2   •     8  ,    1   =     F

 

  :

   s  .    a    r    r    a     b      o     d    n    a    z     i     l     i    t    u

    2    1

   1    1      +

   a       b      h    e   =    u    r     3    p     2  .    m     f    o    c

   y    a    z    n    a     l    a     b    a    n    u      o     d    n    a

   z    z    z    :    z    n    z     0     ó     i    c    z     2    1     b    a    z    o    r    z    p    m   z    o     C    z

   :    1    n    1     ó     i    c    a     3     b     2    o    r     2    1    p    m    h   =    o     C

    =

     h

    2    1

   z

    0    1     =     0     2    1

    =

   z

 .    g

    3   =     b    :    n    3    5     ó     i    1    c    a    3

    8     2   =    y    :     8    n    1     0     ó     i     0    c    1     b    a     8    1    o     0    r     8     0    p    1    1      m    8   =    o    1    y       C    +     )    1    1      +    5     2     (

    8     2     =

  •

   y

    2

 .     h

   5   =    m    1    :    1     3    n    1    1

   1    :    n    1     ó     i    c    a     b    1     9    o    r    p    6   =    m    o    c     C

   :    5    n     ó   =     i    c    a    a     0     b    1    o    r    5    p    m   =

    9     =     3   1     3   1      +

   c  .     i

   :     2    n     ó    1     i    c    a     9     b     2    o    r    7    1    p   =

   :    n     ó    1     i    c    a    7     b    1    o    r     6    1    p    m   =    o    q     C

    6

   7    1     =     )    5   –     3   •

    =

   c

    2     (      +

   q  .     j

   :    n     ó    5     i    c    a     0     b    o    5    4    r     3    p

    6    1     =

   q

   o     d    n    a    c     i     l    p    x    e    y  ,    e    t    n    e    n     i    t    r    e    p    a    e  .    s    s    o    e     d    t    n    n    e    a    i     d    u    c    n    o    s    a    s     d    p    u    e    r     d    r    s    o    e    c     l    s     b     i    s    e    s    a    o    l    p    c    o    s    a     d    l    n    n    a    e    r    a    s     l    o    c     d    a     i  ,     d    s    a    n    n    e     i    r    g    p     á    p    m    o    s    c    a    t    s    e    e    t    n    n    e    e    m    s    a    t    e    t     l    e    n    p    e    s    e    r    m    c    p    o    s    n    e    o    r     d    a    e    u     d     f     i    v    o     i    t    n    c    a    e    s    a    u    q     l    r    s    e    t    v    o     l    n    o    e    s    i    e    m    r     i    a    d    s    e    e    t    c    o    r    n    a    p     i     d    o    u

    6    n     ó     i    c    c    e     L   •

   s    e     d    a     d     i    v     i    t    c     A    e     d    o    n    r    e     d    a    u     C    o     i    r

    b    o    r    p    m    3    o    3     C

       u    s    e    n    o     i    c    a    u    c    e    s    a     l

   5    1     =

   e      b      v    +     l    e     2    u    1    s    e  .     R    a  .     5

    3     =

     b

         i    c    a    1     b    o    r    1    p    1    m   1    o    1     3     C    1     =     8      +  

   m  .     b

    C    5     =  

   m

   5     0    1     =

   a

    2

 .    c

    =

   a

    9     2     =     2    1      +

    p  .     d

   s    t    s    o    t    e    s    n    e    o    i     l     i    a    m    c    e    t    o     i    v    n    n    o     I    c

      m   x    o

   m   p    o

   o    a     C

    C

   7    1     =

    p

    0    4     =     )    5     2    :    5     2    1     (      +

   x  .    e

   5     3     =

   x

   a     í    g    o     l    o    n    c    e    t

   a     L   •     2     d    a     d     i    n     U        4        7

    •

 

   a    n    o     i    c    u     l    o    s    y    s    e    n    o     i    c    a    t    n    e     i    r     O

187 18 7

  :

 

        9         7

   s    e    n    o     i    c    a    u    c     E   • 

 .

    0    0     8     3    3    1   1   1   =  =   =    4   4   g     0     3    +    +    1      g     8   =    4   •      7   1      7      +

    8    1    g   =     =

  g    7

  g

 .     h

    0    0    1   1   4     6    6   1   =   =   =     f    4    f    5    1     0   –   •    1     6       0   5   =     8   –    5     f     0     8   –     6      6       0     8     6

   4    1     f   =     =

    f

    6    6    1   1   5   =  =   =     6     )    )    1     3   m       3   =    +    +     )     3    5      +       (    m   •     (   •   m    2     2     (       •     2

   5   =    m     =  

  m

 .     j

 .     i

     S      3     u      6     v     w      2      /     y      l  .     t      i      b      /      /    :     s     p     t      h      n    e

    3    +    7   7    0    1   =   =   =     3    3   r   –   +    7     =    r    3   –     3      r     –   r

   a  .     b    c    e    u    r    p    m    o     C

    0    1    r   =     =

  r

    3     =    5  ,     0      +

    0     3   =    t

   1   1    4   4    6   =  =   =    7   7   a    1   –   –    4       6   =    a   •     8    7       8     –

    6   =    a     =

  a

  a

    8

 .    e

    0    1     =       3

    0     0     0    1    1     3   =   =   =      t    t    3    0       3    3

   t

 

 

  =    t

 .     f

   7   7    1   1    3   =  =   =     2    2   x    7    1    +      +   =    x     3    5   •     2        5      +   x

    3   =    x     =

  x

   5

 .    g

   7   –    5   5    8     2    2   1   =   =   =    7   7   n    +   –    n   7    +      n      +

    l    e    u    s   n    e  .     R    a  .     5

    8    1   =    n     =

  n

   5  ,     0   –     3     3   =   5  ,   =   5  ,     2    5  ,     0   =     0   –   u    +   5  ,     0    u   +      u  

   5  ,     2    u   =     =

  u

  u

 .     d

 .    a    s    r

   e    v    n     i      n     ó     i    c    a    r    e    p    o    a     l      o     d    n    a    5    s     2      u    e   =    v    7  

    6      n     ó     i    c    c    e     L

    8     0     8     =     0     0    4

    0     0    4   –     8     8    8     0     0    0     8    8   4   =   =   =    z     0    0     0    0    4   4    +   –    z    0     0    4    +      z  

    8     0    4   =    z  

   +    z

  =    z

 .     b

 

  :

    0     2   –  

    2   •

    6    1     =    7      +      1     8

   s    e    n

 .     d    a     d     l    a    u    g     i    a     l    e    u    q     i     f     i    r    e    v    e

   5     2     =

    2    1  

   +     9     8

 .    c

   1

 .     d

 .    s    e    n    o     i    c    a    r    e    p    o    s    a     i    r    a    v    o    a    n    u    a    s     U  .    s    o    r    e    m     ú    n    s    o     l    s    a    t    n     i    t    s     i

   1    9    +   –     1     2    0     6   •    1     1   •     0    7     8    1    8    1    +    6     1    4    +     6   •     1     0    3    4    9     3    +    3   •     2     9

  •     4     8     9    8    4    4

    6     2   –     3    +   5

    2   •    1    8     3

    8     2    +     1   •

    9    3   •    5

   o    r

 .      +   • 

 

   a    m    r    o     f    a     l    e

   1    +    5   •     0     2

    0     3    +    4   •     0     8

 

 

   1     0    1

 .    c

    0    5     3

 .     d

 .      S      3     u      6     v     w      2      /     y      l  .      i     t      b      /      /    :     s     p     2    2     t     t    7   7   7      h   =  =  =    n    e    5   5   q    a     2   –   –     b    7      q   7    e   =    1   •    u    r    5    1   1    p   –      1       q    m    1    o     C    1  .  .    󰂻    c    o    n    u    a    o    n    u    «    a     i    c    n    e     d    n    o

   7     =

    q

    9   –     9    2     0   –   1    2    c   •    0     9     9     9   1   –     c   =  =  =     9     9   c       9     0   =     0     9     9       9     0     9

 .     d

    2     0    1     =

    c

   n     ó     i    c    a    u    c    e    a    n    u    e     d    o     d     l    a    t    u    s    e    r     l    e    r    a     b    o    r    p    m    o    c    e     d    a     i    c    n    e     i    n    e    v    n    o    c    a     l     l    e    t    a    s    e     R  .    o    s    r    u    c     l    e    n    o    c  .    a    o    t    t     i    n    n    u    g     j    n    ó    c    o    n    c    i    a    n    l    e    e    s    d    e    n    o    o    d     i    c    i    a    u    n    e    t    c    b    e    o    r    r    e    o    v    l     l    a    o    v    s    l    e    e    r     l    a    a    r    n    a    i    p    i    g    r    s    a    o     d    a    n     i     i     d    ó    c    u    a    t    s    u    e    c    e    s    a    l    a     i    g    n    e    t    a    e

    6    n     ó     i    c    c    e     L   •

   s    e     d    a     d     i    v     i    t    c     A    e     d    o    n    r    e     d    a    u     C    o     i    r

   o     i    c    a    u    c    e    e     d    n     ó     i    c    u     l    o    s    e     R

   s    e    u    q    a    r    5    e    1      n    a   =     3    m    1      e     d    +      a    t    1    e     l    p   •    m     2    o  .     C    a  .     1

 

    2   •

    8     =  

    9

  –    5     2

 .     b

    d    s    a    m    r    o     f     2    e     d    n     ó    p    m    o    c    s    e     D  .     2

   e    m     ú     N    n     ó    1     i    c     i    s    o    p    m    o    c    s    e     D

2

    d    s    o    r    e    m     ú    n    s    o     l    n     ó    p    m    o    c    s    e     D  .     3

   1    +     2   •    5

    8    +    1    1   •     2

 

 

   1    1

 .    a

    0     3

 .     b

       s    e    r    r    o    c     0    2     0   4     2    a     l    1   1    2    o     d     0   =  =  =    4    n     2    w     2   w    a    1      s    +   =    +    u     6    6    e     w       9    v    +      9       l    e     6    u     9    s    e  .     R    a  .     4

   4     2     =

    w

   4    z   •    5   5   4     z   =  =  =    5     0   z       0     2     =     2

    0     2

 .     b

   4     =

    z

   r    o    t    s    d    e    s    n    a    a    z     l    a     l    e    p    s    a    m    p    e    e    e     R    r

   a     í    g    o     l    o    n    c    e    t    a     L

    •

  •

    2     d    a     d     i    n     U         8         7

 

   a    n    o     i    c    u     l    o    s    y    s    e    n    o     i    c    a    t    n    e     i    r     O

189 18 9

  :

 

    8

  =    +    1     6    :      q      q    +    6    6   q     6

  =   q

   5    +     6     9   =         k        k   5    5   5   :    +  =        k     6         k     6   5     9    5     9   =   –   –   =    5    1   1   :     k    5   –    1   1   5    1    1   1   1    1    1

      N        Ó       I       C       A       Z       I       D       N       U       F       O       R

3   =     k

 .     d

 .    c

    3    1    +  .    4    s    1    e    n   =    o     i     3    3    c    1   :    a    7    u     2    c    4    +    e    1     3   =    s    1    3    a   =     l     3   –      :     e    1      n      n    v     l   –    3    3    e   n    u    s     3    e  .     R    a

    9

    0     8   =    5    +           h    5   –     0     0    8    1   ∙   =     0    8   5    1   •   =   –     8    5   5   =    +   +    5    

 .

   5    7

        h        h

  =   n

   +     h  .     b

 .     5

  =     h

   s    a    m    e     l     b    o    r    p

   s    o     l    e    v     l

   e    u    s    e     R

        7         8

   a    n    e     l    a       ]    v     i    u    q    e    e    n    e    o     i    t     ñ    s    e    s       P    a       [    u    c    ?    o    q    u    o    m    e     L    a  .    n    p     d    r    u    g    a    a    o    o    r     l     d     i    r     i     d    t     k    e    n    a    S    p    a    c     l    e    e    c    n    t    e     d    a    s    i    t    s    a    e    s      v    e    o    a  .     d    g   =    5    3    m   e    l    e    e    u     j   –    a    d     b     l    o    n    s    o    e    5      v    s    r    a    d    o     á     d     l     i    +  –    m    g    v    e    a    m   o   e    s    5     v      v    r     2    r    g     ?    o    o    +     2    n    t    t    r    o    e    n      v   =  =     l    e    i     i     2   a    t     á     k    U    p   n    u     2   5      v    g    l   =    l    U     á    C   =  –   –    e   e    i    R    d    d    b    ¿  .     8     8    3    a    n    +    a   a    F     á    +   +    s    s     i  .    S    a   a    s    b    +      v      v      v     2    a    m   o     F    n    m    g     ó    l    e    a    e     i    s    a    l    u    u    e    e   e    j    s    o    q    1    o    r    p    d    d   e    s    1     d    o    m    x    e    d    i    e    l     6    n    a    v    a    )    e    1   –    r     l     b    a    t    g    o    i     8    m    +     6    o    a     l    t     d   m   +   s      v    1     i     k    n    l    a   v    o     2    +     l     (    g    :    1      v    R    e    s     E    e     F   1    :    e     2    a    e    r    t    u    n    j    p    s     i    e    o     8   –   =    e    t    e    e    r     F    8    s    i     d    +     é    u    p    a    u    s    c    v      v   =   +     Q    e     L    u    1     L    ¿     R    :    L      v

        k

   1   –     9    4    6   =   :    1    8    4     9   –   =    4    1

   ;    s    o    g    e    u     j    o    e  .     d    s     i    v    o    1    g    e    1    u     j    :    s    o    a    e    c    d     i    u     L    v    :    2    a    2    t    s   :    e   n     á    u     i    p     b    s    a    e       F     R

 .    s    a    t    o    c    s    a    m    s    a     l    a    v    r    e    s     b     O

 .    o     l    r    e    c    a     h    a    r    a    p     l    a    n    o    s    r    e    p    a     i    g    e    t

 .    s    a     l     l    e    e     d    a    r    t    a    s    n    e    u    a    a    n    c    u     i     l    a    p    e    x    r     E     C       í     S

   r    a    z     i     l    a     i    n     f      a    r    a     P

 .     6

   y    a    s     d    o     i     d    p  ,    a    s    c     l    a    i    n    p     i    g    a    s     á    o    p    t    s    n    a    e    t    s    i    m    e    i

     o     N

   s    a    v    e    u    ?    n    s    s    e    a    n     i    o    g    i    e    c    a    t    a    u    r    t    c    s    e    e    r    e    e    v    t    s    l     i    o     d    s    n    e    r    e    r    a    p    r    a     A    ¿    p

    2       d    a     d     i    n     U

 .     b

 .    a

    2     d    a     d     i    n     U    e     d    n     ó     i    c    a    u     l    a    v     E   •     ?    e     t    s     i     d    n    e    r    p    a     é    u     Q    ¿

 

  :

   4     0    2     2    1

   5    4    1     9

   :    1    n     ó    +    r    t   x    a     P   4

    ?    e

 .    o    c     i    a    r     b    e    g     l    a    e     j    a    u    g    n    e     l    o     d    n    a    s    u    o     l    a

    4    a    r    u    g     i     F

    3    a    r    u    g     i     F

   :    n     ó    x    r    t   ∙    a     P   x

    3     9    1     6    1

   4     8     6

    3     9     2    a    r

 .     2    1    s    e     8    y    o    r    e

 .     8    y    1     3    e    r    t    n    e    a     i    c    n    e    r    e     f     i     d    a     l    a     l    a    u    g     i    s    e    5    n    e    o     d     i    u    n     i    m    s

    1    2     2     w     1

    0    4    1    6

    1    2     2     w

   5    3    4

    1     w  .     8    5    e    n    e     i    t     b    o    e    s  ,    o    r    e    m     ú    n    n    u    e     d    e     l     b

    2

    3     2     2

  =

   1     0    1

    w

      n         ó         i       c         i       s       o        P

    1     w     w

    1    2     2     w

 .     b

 .    s    a    z    n    a     l    a     b    s    a     l

    x     x

 .    n     ó    r    t    a    p    n    u    n    o    c    o     d    r    e

   r    o     l    a     V

 .     b     6    8    5    5    8

   4

   4     8     3

 .    4    +    n     6    s    e    n     ó    r    t    a    p     l     E

   n    e    e    c    s    d    o    e    t    r    n    p    s    e    s    l    o    e    r    n    p    a    s    t    e    u    c     d    s    a    i     d     d     i    v    y     i    t    n    c    a    e    r    a    s    a    p     l    r    m    a    o    z    c     i     l  ,    a    o    e    r    s    r    a    u    r    c    a    l     P    e     d  .     d    a    o     d    s     i    t    n    e    r    u    l    a     l    e    e    n     d    o    s    c    o    n     d     i     ú    n    m    e    t    o    n    c    n    o    c    e    s    a    o    t    s     l    n    e    u    o    c    p    s    a    o    n    u     d    a    n    n    e     i    c    o  ,    g    a    o     l    e    e    l    u    r    s    a    y    t    m   e    e    n     l     b    e    o    m    r     l    p    a    y    p    r    s    u    o    g     i    c    o     i    c    r     l    e    a    u  .     j     d    s    e    i    o    v    d    n    i     i    e     d    n    y    i    u    n    e     l    t    c    n    b

    6    n     ó     i    c    c    e     L   •

   s    e     d    a     d     i    v     i    t    c     A    e     d    o    n    r    e     d    a    u     C    o     i

   t    s     i     d    n    e    r    p    a     é    u     Q     ¿

   s    u     é    r    g     i    p     F    x    e    y    n     ó    r    t     1    a    a    p    r     l    u    e    g     i    a     F    c     i     f     i    t    n    e  .     d     I    a  .     1

    2    4

   a     d    a    a     d    r     t     i     l    n    a     E     S

 .     b

 .    n    m     ó     ú     i    n    c    n    a    u    u    c    e    r    e    t    a    n    n    e    u    e    2    1    n    t    n    o     i   =    c    e    c    a    o    8    :     l    c    e     l    x     d     E    o  .     M    a  .     2

         d    o    r    e    m     ú    8    n   –    n    u   1     3    e     d   =    e   5     l     b   –    o     d   x     l    2     E

 .     b

   o     d     l    e    e    a    r    t    s    8    u    s    5    e   =     l    x    e    2    s    4   –     2    1   4    a    2     i    1     S

 .    c

   u    c    a

   n     x    e    s    e    n    o     i    c    a    u    c    e     1    2    1    s    a     1    2    2     l    e    v     1    1    1     l    e     1    1    1    u    s    e  .     R    a  .     3

   5   =

 

x

    3     8     2

 .     2

    d    e     2    8    a    1     l     b    a    t    1     8    a     d    a       n    c         ó         i    a       c    r    t         i    o       s     l    e     l       o    a    p        P     V    m    o  .     C    a  .     4

   n   –     0    1    s    e    n     ó    r    t    a    p     l     E

   n    a     i    v    o    s    l    e    s     i    a    n    u     d    o    a    e    g    s    t    r     l     á    u    s    p    l    a    s    e    s    a    e    r    t    s    u    s    o     E    q    l

   a     í    g    o     l    o    n    c    e    t    a     L

    •

  •

    2     d    a     d     i    n     U

 

 

Texto del Estudiant Solucionario Texto Estudiantee La tecnología

Página 69

b. Patrón: corresponde a una regla que permite relacionar

valores. 2. a.

b.

1. a. Una piedra grande y dos piedras pequeñas, observar cada

cuánto se repiten las piedras grandes y pequeñas.

b. Una piedra pequeña, observar que luego de una piedra

grande viene una pequeña. c. La ocupa una piedra pequeña, observar que la posición 22 es una piedra grande. 2. a. En cada paso se aumenta en 2 letras D, observar el aumento de letras D en cada paso. b. Habrá 10 letras D, se multiplica el número del paso por 2. c. Habrá 12 letras D, se multiplica el número del paso por 2. d. Habrá 24 letras D, se multiplica el número del paso por 2. 3. a. La ecuación 8 + x  =15,  =15, porque lo que lleva más lo que le falta

equivale al recorrido total. b. x  es  es 7 km, se resuelve la ecuación. 4. a. La ecuacion es 8 + x  =  = 12. b. x  es  es 4 pendrives, se resuelve la ecuación.

Lección 5:  5: Patrones y lenguaje algebraico

4. El quinto término de la secuencia debería tener

9 elementos.

Página 71

Representando ando cada bailarina por una moneda y agrupándolas de • Represent

• •

acuerdo con el patrón identificado. Respuesta variada. Sí, es correcto. Las cantidades de bailarinas en las primeras cuatro configuraciones son: 1, 2, 3 y 4.

Página 72   Consiste en ir probando con distintas reglas y validar si corresponden o no. En caso de error, se propone otra regla y así sucesivamente hasta encontrar la correcta. • Respuesta variada. • Habrá 19 bailarinas, 4 • 5 – 1. Ô

Valor 3

13 21 29 37 45

95 85 75 70 60

6 12 48 192 3 072

b. Restar 4 al término anterior. c. Multiplicar por 4 el término anterior. d. Al término anterior sumar el número entero consecutivo

que se utilizó para sumar a éste. 4. Respuesta variada. 5. a. n – 8

8 0

9 1

10 2

11 3

12 4

1 1

2 3

3 5

4 7

5 9

1 9

2 13

3 17

4 21

5 25

b. n

2 • n – 1 c. n

4 • n + 5

1. Las flores del 1 al 4 tienen: 1, 3, 5 y 7 pétalos, respectivamente. 3. Corresponde a 2n – 1.

Valor 100

3. a. Sumar 2 al término anterior.

Página 70 2. El número de pétalos por cada foto va aumentando en 2.

c.

Valor 5

n

6. a. Sumar 3 cuadrados a la cantidad de cuadrados del paso

anterior. b. n + 3, n es la cantidad de cuadrados del paso anterior. c.

Paso (n°) Cuadrados pequeños (cantidad)

1 5

2 8

3 11

d. Te  Tendrá ndrá 14 14 cuadraditos. cuadraditos. e. Te  Tendrá ndrá 17 17 cuadraditos. cuadraditos.

Página 74 7. a. 8

b. 16

c. 25

    i    c    o    u     l    o    s    y    s    e    n    o     i    c    a    t    n    e     i    r     O

193 19 3

       6        8

Unidad 2

   r    a    n

d. 4

8. a. T  Tabla abla 1: 1: El Valor correspond correspondee a la Posición Posición multiplicada multiplicada por

4.  Tabla  Ta bla 2: El Valor Valor corresponde corresponde al antecesor antecesor de la Posición.  Tabla  Ta bla 3: El El Valor se obtiene obtiene como el doble de la Posición, Posición, más 3.  Tabla  Ta bla 4: El Valor Valor se obtiene obtiene como el quíntuplo quíntuplo de la

Posición, menos 3.

Es incorrecto, la regla es sumar 4 al término anterior.

•Página 73 1. a. Secuencia: es un grupo de números o elementos que forman

un conjunto ordenado.

194

Unidad 2 

 La tecnología

•

 

• El pasajero paga $5 800. •

b. T  Tabla abla 1 Posición Valor

   T  Tabla abla 2 Posición Valor 

6 24

10 40

13 52

17 68

20 80

6 5

10 9

13 12

17 16

20 19

6 15

10 23

13 29

17 37

20 43

6 27

10 47

13 62

17 82

20 97

   T  Tabla abla 3 Posición Valor 

   T  Tabla abla 4 Posición Valor 

1. a. • La cantidad de cuadrados corresponde a la multiplicación

del número del paso por sí mismo. • Puede haber otro patrón, porque también se ve una relación entre la diferencia del número de cuadrados entre dos pasos consecutivos. • En el paso 5 habrá un cuadrado que tendrá 5 cuadrados pequeños como lado. • 25 cuadrados pequeños. • 36 cuadrados pequeños. • n • n cuadrados pequeños.

Página 75 b. • Hay 1, 2 y 3 triángulos respectivamente. Tienen 3, 5 y 7 palitos palitos respectivamente respectivamente.. •  Tienen • Se agregan 2 palitos al dibujo anterior. • 4 triángulos. • 9 palitos. • 10 triángulos. • 41 palitos. • El paso 100 tendrá 201 palitos. c. • Corres Corresponde ponde a la expresión: 5 500 • x . 000 . • 2 menús valen $11 000. • 3 menús valen $16 500. • 4 menús valen $22 000. • Por ejemplo:

n (km) Costo del viaje ($)

1 2 4 7 9 3 100 3 400 4 000 4 900 5 500

Página 0 00 matrículas. • Este año76hay 1 000

• Las ganancias fueron de $ 30 000 000. Página 77   Los productos son números pares. • No, porque el resultado al multiplicar por 2 un número es siempre  par.  + 2 • x  +  + 2 = 14. • Se expresaría como: 2 • x  + Ô  Son números impares.  + 1 • 2x  +  + 1 = 36. • Se expresaría como: 2 • x  – – 1 + 2 • x  + Ô

Página 78 Ô

  a + 1 > a – 1 > a – 2 estas • Sí es posible, porque se puede dibujar un triángulo con estas medidas. 4 cm

5 cm 7 cm

• Respuesta variada. • No, al menos un número mayor a 2, porque no puede tener lados con valores negativos. Ô  Es la suma de la medida de todos sus lados. Ô  En esta actviividad se relaciona con representar el perímetro de un triángulo usando lenguaje algebraico.

• Se obtiene 16 cm, el mismo resultado que el ejemplo 5. Página 79

1. a. 2 • x  +  + 1 b. 3 • x  2. a. 48 b. 12

c. 2 • x   d. 10 • x  c. 25 d. 8 c. x  + 1

3. a. x  +  + 4

3

d. 3 • x  +  + x 

b. 2 • x  –  – 2 4. a. 6 b. 7

e. 72 f. 23

2

h. 22 i. 4

1

Menús (n)

2

3

4

c. 9

5

500 11 000 000 16 500 500 22 22000 000 27 500 500 Valorr de la venta ( ) 5 500 Valo d. • La expresión: 2 800 + 300 • n.

d. 2 e. 1 f. 10 g. 10

• El pasajero paga $3 400. • El pasajero paga $4 300.

Solucionario Texto del Estudiante

 

Solucionario Texto del Estudiante a. 5.

a + b + c

a  •  b  •  c

3 6 6 11

2 • a + 3 • b – c 4 4 9 10

32

46

1 200

Página 81 11. a.

1 6 6 45

Etapa 2: 2: La propiedad se cumple.

 

6. a. Perímetro.  p (  (ccm)

Figura 1 Figura 2 Figura 3

1 4 6 8

2 8 12 16

4 16 24 32

6 24 36 48

10 40 60 80

A (cm2) Figura 1 Figura 2 Figura 3

1 1 2 3

3 9 18 27

5 25 50 75

9 81 162 243

12 144 288 432

Perímetro  p + p + p + p 2 •  pp + p + 2 • p  p + p 3 •  pp + p + 3 • p  p + p

Área p •  pp 2 •  pp • p  p 3 •  pp • p  p

12.

Figura 1 Figura 2 Figura 3

b.

Triángulo 1 2 3

3 36 36 42

4 48 48 56

7 84 84 98

1

1

1

1

2

3

3

5

7

12

12

10

20

30

30

Etapa 1: 1: Para cualquier número pensado se obtendrá siempre el 5.

Página 82 1. a.

10 120 120 140

b.

4 • p + 4 • p + 4 • p

d. 5, 8, 11, 14, 17. e. 9, 14, 19, 24, 29.

c. 1, 4, 7, 10, 13.

Valor 2 32 5122 51 32 768 524 288 33 554 432

2. Perímetro = a + b + a + b 18

Área = a • b 14

28 44 64

45 120 255

3. a. 14, 21, 8 y 6

4 • p + 4 • p + 6 • p

c. Valor 205 198 184 1700 17 156 128

Valor 7 18 29 40 51 62

3 • p + 4 • p + 5 • p

b. 4, 6, 8, 10, 12.

b. 2x  +  + 3x  =  = 25

n + m

Perímetro

8. a. 4, 8, 12, 16, 20.

9. a. x  +  + 5 = 2 • 8

m + n

anulan el número pensado, de modo que el resultado siempre será 5.  Etapa 3:3: Respuestas variadas.

7. a. 1 12 12 14

0

 

 Etapa 2:2: se utilizan operaciones matemáticas que

Página 80  p (  (ccm)

n

Etapa 4: 4: a • b = b • a

c. Figura 1 2 3

m

 Etapa 3:3: (m + n) + p = m + (n + p)  

b. Área.

Etapa 1: 1: Los resultados son iguales. Propiedad conmutativa: m + n = n + m.

c. 32, 48, 17 y 15

e. 94, 141, 48 y 46

b. 22, 33, 12 y 10 d. 50, 75, 26 y 24 g. 210, 315, 106 y 104

f. 122, 183, 62 y 60

4. a. Al valor A se le resta 8 para obtener B. b. Son 3, 9, 18, 24, 31 y 88 respectivamente.

c. 3x  –  – 10 = 2 • 13 d. 2x  +  + x  = 3 • 21

3

e. x  +  + 4 x  =  = 120

c. Son 10, 13, 16, 27, 31 y 54 respectivamente. d. No puede valer 7, porque calcularia 7 – 8. 5. a.

195 19 5

10. a. 14

c. = 24

b. 48 8  = g. • Ecuación Ecuación:: 30 000 +d.x  =y 10 55 000.

e. 12 y 17

n

1

2

3

4

5

f. 7 y 13

n + 5

6

7

8

9

10

b.

• Francisca necesita $25 000.

1 1

n

3 • n – 2

196

Unidad 2 

2 4

3 7

4 10

5 13

 La tecnología

•

 

•  x

n

2 • n + 7

1 9

2 11

3 13

4 15

 x

3

c.

x 

x 

3 3 3

5 17

6. a. Un número aumentado en 8 da 10. b. El triple de un número disminuido en 2 es el doble de 5.

 es 4. • El valor de x  es

c. La suma entre un número y su tercera parte es nueve.

Página 88

d. La suma del doble de un número más el triple de otro es 20.

1. Las representaciones son ejemplos.

Página 83 7. a. • A partir del tercer elemento, su valor es la suma de los dos valores anteriores. • El lado del cuadrado rojo mide 8 cm. • Son 13, 21, 34, 55 y 89. b.• La empresa compró 3 impresoras.  = 2 175 175 000. • La ecuación es 3x  = • Cada impresora vale $725 000.

a. x  =  = 0 1 1  x 

Página 84 1. Hay 8 pirámides.

1 1

b. x  =  = 3

1 1 1 1

x x 

1 1 1 1 1 1

f. x  =  = 1

1 1 1

1 1 1

1 1

 x 

1 1 1

1 1 1

 = 2 175 175 000. • La ecuación es 4x  = • Cada impresora vale $543 750.

Lección 6:  6: Ecuaciones

e. x  =  = 1

c. x  =  = 8

1 1  x x x 

g. x  =  = 4

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

 x 

 x 

1 1 1 1

 x x x 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2. El símbolo de la igualdad. 3. Con la ecuación 50 000 000 = 8 x , donde x  es  es la masa de una

pirámide. 4. La masa aproximada es 6 250 000 toneladas.

d. x  =  = 5

Página 85 Ô

h. x  =  = 5 1 1 1 1

1  x x 

r  donde  p corresponde   6r  p 2 p +del  donde a la masa de un pendrive y  al =peso  al reproductor de música.

  Porque en el lado izquierdo de la balanza hay más pilas que en el derecho. Ô  4 pilas. • Respuesta personal. • La masa del reproductor de música es 46 g. Ô

Página 86   La masa del pendrive es mayor que la de la pila. Ô  En cada lado de la balanza hay 7 pilas. • Un pendrive pesa 34,5 g.

2. a.  x 

1 1

4 x  =  = 2 b.  x 

Ô

1 1 1

7 x  =  = 4 c.

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1  x x x 

• Ecuación: 2 p + 11,5 = 7 • 11,5.

 x 

Página 87

1 1 1 1

14

  Son iguales para representar una igualdad. Ô  Porque el lado derecho de la igualdad es 11. • Por ejemplo: Ô

x  =  = 10

Solucionario Texto del Estudiante

 

Solucionario Texto del Estudiante Página 90

d.  x

x 

9

x  =  = 4 e.  x

e cuación:: 50 – x  =  = 39. • La situación se puede modelar con la ecuación  = 11. • El valor es x  = • Respuesta variada. Por ejemplo, restar 39 de 50.

1

x

x

x

x

Página 91

x 

  Porque posee dos términos iguales al de la ecuación a resolver. Así, el tercer término es el valor de la incógnita. Ô  x se corresponde con 11. • Dibujar una barra cuyo largo represente 50 y dividirla en dos  partes: una de ellas que represente represente el 39 39 y el resto corresponderá corresponderá al valor x . • Fue reciclado un 22 % aproximadamente de la masa de desechos electrónicos. Ô  En cada lado se eliminaron 3 unidades. • Respuesta variada. Por ejemplo, se puede reemplazar el valor de x  por  por 2 para resolver la operación y verificar que se cumple la igualdad. Ô

12

x  =  = 2 f.  x   x   x   x 

1 1 1 1 1 1

10

x  =  = 1 g.  x 

 x 

 x 

 x 

 x 

1 1 1 1 1

20

x  =  = 3 h.  x

x

x

x 

Página 92

12

28

x  =  = 4 1. a. x  +  + 1 = 2, x  =  = 1

  La sustracci sustracción. ón. •  Así: x  –  – 3 + 3 = 5 + 3   x  +  + 0 = 8   x  =  = 8   Ô

d. 2x  +  + 3 = 7, x  =  = 2

b. x  +  + 2 = 3, x  =  = 1

e. 9 = 3 x ,

c. 6 = x + 1, x  =  = 5

f. 10 = 4 x + 2,

Página 89 2. a. • La ecuación es 45 000 + x  =  = 80 000. • Por ejemplo

x  =  = 3 x  =  = 2

Página 93

  • A ambos les falta $35 000.

  El doble de un número disminuido en 5 unidades. Ô  La adición. Ô  El doble de 9 es 18. Ô  Porque posee dos términos iguales al de la ecuación por resolver.. Así, el tercer término resolver término es el valor de la incógnita.

b. • La ecuación es 100 000 + 3x  =  = 340 000.   •

7 en ambos lados de la igualdad. Luego, reconocer reconocer qué • Restar número multiplicado por 3 da como resultado 18. Como el

20 000

Ô

 x 

25 000

80 000

100 000

 x

x

x 

•

340 000   • Cada cuota vale $80 000.

Página 94

c. Etapa 1: 1:

1. a. Es una igualdad en la cual hay términos desconocidos o 1  x

 = 4.  Etapa 2:2: x  =

número es 6, x  =  = 6. Respuesta personal.

  x 

1 1 1 1 1 x 

incógnitas. b. Es el valor de la incógnita y se obtiene resolviendo la ecuación. c. Es un concepto de igualdad que se utiliza como una estrategia para resolver una ecuación.

197 19 7

 Etapa 3:3: Respuestas variadas

2. a. 3 + x 

d. • 6 • 0,2 + 2 x  =  = 2 – 0,2

b. x – 10 d. 3x  –  – 12 12 3. a. Un número aumentado en 7.

• Por ejemplo:

 x

1,2

b. 4 disminuido en un número.

x 

c. El triple de un número y aumentado en 7.

1,8 • La capacidad es 0,3 L. 198 19 8

Unidad 2 

c. 2x  +  + 6

d. El cuádruple de un número y disminuido en 1

 La tecnología

•

 

4. a. La cantidad de capítulos es la diferencia entre 12 y 5. Ecuación: 12 – 5 = x 

7. a. 17 + 3 = 20   20 = 20

b. El doble de 18 más 8 es la edad de Mauricio. Ecuación: 2 • 18 + 8 = x . c. El triple de un número más 40 es 85. Ecuación: 3 • x  +  + 40 = 85. 5. a. x  =  = 4

b. x  =  = 4

Comprobación:  x  = 4

Comprobación:  x  = 4

1

111

c. x  =  = 1

Comprobación:  x  = 1

1 1 1 1 1

d. x  =  = 1 11111

7

e. x  =  = 8

Comprobación: 11111111111

 x  = 8

19

f. x  =  = 5

a. Por ejemplo, x  +  + 1 = 2.

e. Por ejemplo, 20 – x  =  = 9.

b. Por ejemplo, x  +  + 5 = 8.

f. Por ejemplo, 3 • x  =  = 45.

c. Por ejemplo, x  –  – 2 = 3.

g. Por ejemplo, 38 – x  =  = 17.

b. El número es el 3.

Comprobación: x  = 5

 

ecuación. d. 3 • 4 + 5 = 14   17 ≠ 14 x , no es solución de la ecuación.

Página 95 9. a. • Torre  Torre A es: 25 + 3 • x  =  = 79 y x  =  = 18 cm. Torre B es: 25 + 2 • x  =  = 61 y x  =  = 18 cm. •  Torre Torre C es: 50 + x = 68 y x  =  = 18 cm. •  Torre • Sí. En todas, la incógnita es la altura de la lata pequeña. • La altura de la lata pequeña es 18 cm.

Comprobación:

11

x , no es solución de la

ecuación. b. 11 = 14 – 7   11≠ 7 x , no es solución de la ecuación.

d. Por ejemplo, 2x  +  + 1 = 15.

6

 x  = 1 1

x , sí es solución de la

8.

7

5

c. 1,6 = 2 • 3,2   1,6 ≠ 6,4

g. x  =  = 1

 

c. El número es el 21.

x  = 5

Página 96

12

1.

Comprobación:

a.

1  x  =  1 x  =  1 x  = 1

d. 1 1 1 1 1 1

 x 

4

1 1 1

h. x  =  = 7

 x

1 1 1 1 1 1 1 1 1

x 

1 1 1

Comprobación: 11111111 1

i. x  =  = 2

 x  = 7 

x  = 7

 

x  = 7

3 + 2 •  = 9 30

x  +  + 3 = 6

Comprobación:

b.

 x  = 2 x  = 2 1

5

6. a. x  =  = 8 2 + x  =  = 10

2 + 8 = 10 b. x  =  = 1 x  +  + 7 = 8 1+7=8 c. x  =  = 9 x  –  – 2 = 7 9–2=7

x  e.

 x 

f. x  =  = 38 x  –  – 12 = 26

38 – 12 = 26 g. x = 6 3 + 2 • x = 15 3 + 2 • 6  = 15 h. x  =  = 8 0,3 • x  –  – 1,2 = 1,2 0,3 • 8 – 1,2 = 1,2

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1  x

x

x 

1 1 1 1 1 1 1 1

3 • x  +  + 2 = 8

x  +  + 7 = 9 c.

f.  x 

1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

1  x

x

x

x 

1 1 1 1 1 1 1 1 1

d. x  =  = 16

i. x  =  = 0,2

x  –  – 9 = 7

2x  +  + 0,8 = 1,2 2 • 0,2 + 0,8 = 1,2

16 – 9 = 7 e. x  =  = 3 13 = 10 + x  13 = 10 + 3

x  +  + 3 = 7

4x  +  + 1 = 9

Solucionario Texto del Estudiante

 

Solucionario Texto del Estudiante 2. a.

• Un ejemplo es:

c. 1 1

 x 

 x

5

b.

1

x 

1 1 1 1 1

7

5 = x  +  + 2 d.

1 1

 x

x

9

x

Po

h. x  =  = 2

1+1=2 2=2

2 • 2 + 7 =11 4 + 7 = 11 11 = 11 i. x  =  = 5

b. x  =  = 4

3+4=7 7=7 c. x  =  = 20

40 = 20 + 20 40 = 40 d. x  =  = 22

22 – 4 = 18 18 = 18 e. x  =  = 16

16 – 7 = 9 9=9 f. x  =  = 15 15

15 + 15 = 30 30 = 30 g. x  =  = 1 100 1 000 = 1100 – 100 1 000 = 1 000

11 + 2 • 5 = 21 11 + 10 = 21 21 = 21  j. x  =  = 1 45 = 43 + 2 • 1 45 = 43 + 2 45 = 45 k. x  =  = 10 2 • 10 – 10 =10 20 – 10 = 10 10 = 10 l. x  =  = 6 8 + 2 • 6 = 20 8 + 12 = 20 20 = 20 m. x  =  = 50 120 = 20 + 2 • 50 120 = 20 + 100 120 = 120 n. x  =  = 14 23 = 2 • 14 – 5 23 = 28 – 5 23 = 23

•

3 • 3 + 1 = 10 9 + 1 = 10 10 = 10 o. x  =  = 13 13 35 = 3 • 13 – 4 39 = 39 – 4 35 = 35 p. x  =  = 6 5 • 6 + 25 = 55 30 + 25 = 55 55 = 55 q. x  =  = 3 12 + 4 • 3 = 24 12 + 12 = 24 24 = 24 r. x  =  = 7 7 • 7 – 9 = 40 49 – 9 = 40 40 = 40 s. x  =  = 20 200 = 20 + 9 • 20 200 = 20 + 180 200 = 200 t. x  =  = 20 10 • 20 – 100 = 100 200 – 100 = 100 100 = 100

4. a. x = 10. Por ejemplo: correspondencia uno a uno. c. x  =  = 7. Por ejemplo: correspondencia uno a uno. d. x  =  = 9. Por ejemplo: operación inversa.

Página 97

b. • Ecuación 1 250 + 7 p = 3 210. 1 250

 p

p

p

p

p

p

p

3 210

ñ. x  =  = 3

b. x  =  = 30. Por ejemplo: operación inversa.

x 

x 

4 • x  =  = 8

3. a. x  =  = 1

x

• Cada tema restante dura 3 minutos, aproximadamente.

8

x  +  + 2 = 9

x

17

2 • x  +  + 1 = 7

 x 

 x

• Por ejemplo:  p  p p  p p  p p 1 250

3 210

• El perímetro de la cancha es 280 cm.

 

2x + 5 = 12, x = 7 2 4x + 10 = 24, x  =  = 14 = 7 4 2 Etapa 2: 2: Las soluciones son iguales. Etapa 3: 3: Respuestas variadas.

 

Etapa 4: 4: Respuestas variadas. Por ejemplo:

c.

 

Etapa 1: 1: 

  x  +  + 5  = 6, x  =  = 7

2 2   8x  +  + 20 = 48, x  =  = 28  = 7 8 2   6x  +  + 15 = 36, x  =  = 21 = 7 6 2

Página 98 1. a.  A + 6 = B b. 7 A + 2 = B 2. a. x  –  – 9 b. x  –  – 1 c. 2 • x  –  – 1 d. a + b = b + a 3. a. 2 + x  =  = 6 b. x + 2 = 4

e. 2 • x  +  + 3 f. (a + b) + c = a + (b + c) g. 3 • x  –  – 2 • x  c. 2x  +  + 2 = 10 d. 7 + 1 = 3x 

199

5. a. • Correspond Correspondee a la ecuación 5 + 4 x   17.

• Un ejemplo es: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1  x  1 1  x

200

Unidad 2 

x   x 

 La tecnología

•

 

1. Ejemplos: a.

• n + 3, donde n es la cantidad de cuadrados pintados en d.

Valor A 1 2 3

Valor B 4 5 6

45 6 7 8 9 10

78 9 10 11 12 13

b.

Valor A 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Valor B 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

e.

Valor A 0 1 3 7 10 15 18 21 23 24

Valor B 1 6 16 36 51 76 91 106 116 121

c.

Valor A 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Valor B 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

f.

Valor A 1 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Valor B 2 65 135 215 275 345 415 485 555 625

Valor A 0 2 3 56 8 10 20 30 40

Valor B 0 10 15 25 30 40 50 100 150 200

Página 99 2. a. x  =  = 3

5+3=8 8=8 b. x  =  = 5 11 + 5 = 16 16 = 16 c. x  =  = 20

12 = 20 – 8 12 = 12 d. x  =  = 4 4–4=0

e. x  =  = 0

2•0+6=6 16 = 6 f. x  =  = 7

21 + 3 • 7 = 42 21 + 21 = 42 42 = 42 g. x  =  = 10 18 + 10 = 28 28 = 28 h. x  =  = 10 4 • 10 = 40

i. x  =  = 4

5 • 4 – 12 = 8 20 – 12 = 8  j. x  =  = 21 62 = 4 • 21– 22 62 = 84 – 22 62 = 62 k. x  =  = 7 7 • 7 + 70 = 119 49 + 70 = 119 l. x  =  = 10 105 + 10 • 10 = 205

el paso anterior.

•

Paso (n°) Cuadrados pintados (cantidad)

1 1

2 4

• En el paso 5 habrá 13 cuadraditos pintados.

3 7

4 10

0 0

40 40

105 + 100 205

3. a. • El valor de una agenda es $2 400.

• El valor de una calculadora es $4 504. • Alejandro gastó en total $30 312. b.• Cada paso aumenta en 3 cuadrados pintados con respecto al paso anterior.

Solucionario Texto del Estudiante

 

   e     l     b    a     i    p    o    c    o    t    o     f     l    a     i    r    e    t    a     M

Actividad complementaria: Refuerzo Nombre:

Lección 5 Curso:

1. Observa el siguiente patrón: Paso 1

Paso 2

Paso 3

a. Dibuja las figuras de los pasos 4 y 5.

b. ¿Cuántos círculos existen en los pasos 6 y 7? 2. Determina el número desconocido de cada patrón y explica la regla existente.

a. 5, 8,

b. 21 21,,

, 14, 17...

, 13, 9...

c.  2, 6, 18,

d. 

... 

, 4, 6, 9, 13...

3. Representa cada expresión usando lenguaje algebraico. a. El triple de un número. b. Un número aumentado en 5. c. El doble de la diferencia entre un número y 2. d. La tercera parte de un número que está aumentado en 1. 4.  T  Traduce raduce a lengua lenguaje je natural natural las siguien siguientes tes expresion expresiones. es.

Fecha:

201

a. x  + 3 = 2 ∙ 6 b. x  −  − 2 = 10

 y  = 3 c. 2x  −  − y 

202 Unidad 2 • La tecnología

 

Actividad complementaria: Ampliación Nombre:

   e     l     b    a     i    p    o    c    o    t    o     f     l    a     i    r    e    t    a     M

Lección 5

Curso:

Fecha:

1. Observa las siguientes tablas:

 Tabla  T abla 1  A B

1 3

2 6

4 12

 Tabla  T abla 2

9 27

18 54

 A B

2 7

3 10

6 19

10 31

15 46

a. Determina el patrón para cada tabla y exprésala matemáticamente.  Tabla  Ta bla 1

Tabla 2

b. Determina los valores de B en cada tabla cuando el valor de  A es 5, 8 y 12.

 

Tabla 1  Tabla  T abla 2

2. Observa el siguiente triángulo: a + 2

a + 1

2a + 1

Analiza cada afirmación y escribe V si es verdadera o F si es falsa. a.

Si a = 1, se forma un triángulo isósceles.

b.

La expresión algebraica del perímetro es 8 a.

c.

Si a = 2, se forma un triángulo equilátero.

3. Una persona contrata un plan telefónico que le cobra $30 por minuto hablado más un cobro fijo mensual de $3 000. a. Si en el mes la persona habla x  minutos,  minutos, ¿cuál es la expresión que permite determinar lo que tendrá

que pagar?

b. ¿Cuánto debe pagar la persona si habla 200 minutos mensuales?

Actividad complementaria

 

   e     l     b    a     i    p    o    c    o    t    o     f     l    a     i    r    e    t    a     M

Actividad complementaria: Refuerzo Nombre:

Lección 6 Curso:

Fecha:

1. Une con una flecha la balanza que se encuentra en la columna izquierda con la ecuación

correspondiente de la columna derecha. 1

x  x  x 

1 1 1

1 1 1 1

1 1 1

3x  +  + 5 = 11

1 1 1

x  x 

1 1 1

1 1 1

3x  +  + 1 = 10

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

x  x  x 

1 1 1

1 1 1

1 1 1

2x  +  + 3 = 9

2. Belén compró un televisor en $400 000. Pagó $150 000 en efectivo y lo restante en cinco cuotas iguales. a. ¿Qué ecuación permite modelar el valor de cada cuota?

b. ¿Cuál es su representación con barras?

203

c. ¿Cu ¿Cuál ál es el valor de cada cuota?

d. Si Belén quisiera pagar lo restante en nueve cuotas de $25 000, ¿alcanza a pagar el valor del televisor televisor??

Explica.

204 Unidad 2 • La tecnología

 

Actividad complementaria: Ampliación Nombre:

Lección 6

Curso:

Fecha:

1. Rodrigo tiene la siguiente balanza equilibrada:

x 

1 1

1 1 1

1 1 1

 

Para determinar el valor de x , Rodrigo quita las 2 unidades que la acompañan en el lado izquierdo de la balanza. Sin embargo, la balanza queda desequilibrada, como puede verse a continuación: x  1 1 1

a. ¿Qué ecuación se represen representa ta en la primera balanza?

b. ¿Qué procedimiento procedimiento debe realizar Rodrigo para obtener el valor de x ?

c. ¿Cuál es el valor de x ?

2. Analiza cada afirmación y escribe V si es verdadera o F si es falsa.

1 1 1

   e     l     b    a     i    p    o    c    o    t    o     f     l    a     i    r    e    t    a     M

a.

La solución de x   9 = 7 es 2.

b.

La solución de 13 = 9 + 2x  es  es 2. Las ecuaciones x  +  + 3 = 5 y 2 x  +  + 6 = 10 tienen la misma solución.

c.

Actividad complementaria

 

Solucionario Actividad complementaria

Lección 5

Refuerzo 1.

Paso 4

a.

Paso 5

b. En el paso 6 hay 28 círculos y en el paso 7, 36. 2. a. 11. Debe sumarse 3. b. 17. Debe restarse 4.

c. 54. Debe multiplicarse por 3. d. 3. Se suma 1, luego 2, luego 3, etc.

3. a. 3x 

b. x  +  + 5

c. 2(x  –  – 2)

4. a. Un número aumentado en 3 equivale al producto de 2 y 6. b. La diferencia entre un número y 2 es 10. c. El doble de la diferencia entre dos números es 3. 5.

2x  –  – y  +  + z 4 18

xy  –  – 2z 

3377 22

2120 36

0 4

Ampliación 1. a.  Tabla  Tabla 1 B = 3 A b.  T  Tabla abla 1 15

 Tabla  T abla 2 B = 3 A + 1 24

36

d. x  +  + 13 13

205

 Tabla  T abla 2 16 2.

25

37

a. V 

b. F

c. F

3. a. 3 000 + 30x 

206

b.

$9 000

Unidad 2 • La tecnología

 

Solucionario Actividad complementaria

Lección 6

Refuerzo 1 1 1 1

1

1.

x  x  x 

1 1 1

1 1 1

3x  +  + 5 = 11

1 1 1

1 1 1

x  x 

1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1

3x  +  + 1 = 10

1 1 1 1 1

x  x  x 

1 1 1

1 1 1

2x  +  + 3 = 9

2. a. Por ejemplo: b.

x

5x  +  + 150 000 = 400 40 0 000 x

x

x

x

 

150 000 00 0

400 000

c. El valor es $50 000. d. No, ya que debe pagar $250 000 en cuotas y 9 cuotas de $25 000 son solo $225 000. Ampliación 1. a. 2x  –  – 5 = 7

b. x  =  = 6

c. 2 • 6 – 5 = 12 – 5 = 7

2.

a. F

b. V

c. V 

Solucionario Actividad complementaria

 

   e     l     b    a     i    p    o    c    o    t    o     f     l    a     i    r    e    t    a     M

Instrumento de evaluación: Evaluación diagnóstica Nombre:

Curso:

Fecha:

1. Marca la alternativa correcta. a. La regla de formación de la secuencia 4, 8, 12,

c. Analiza el siguiente patrón:

16..., es:

A) n + 3

A)

B) 4n

B)

C) 2n

C) 

D) 2n + 2

D) 

b. En la sucesión 2, 6,

, 54..., el término faltante es:

d. Analiza el siguiente patrón.

A) 1  122 B) 27 C) 18 D) 30

Figura 1

b. ¿Cuál es la regla que modela este comportamiento?

  c. ¿Cuántas bacterias habrá luego de 10 minutos?

Figura 3

La figura que tiene 24 círculos es la: A) Figura 12

C) Figura 24

B) Figura 10

D) Figura 16

2. Un laboratorio tiene un cultivo de bacterias. Un trabajador se encarga de registrar en una tabla la cantidad de bacterias existentes por minuto. Sin embargo, tuvo un problema y se le borraron algunos datos de ella.

a. Completa la tabla.

Figura 2

 Tiempo (min) (min)

Bacterias (cantidad) (cantidad)

1 2 3 4 5 6

3 6 24

207

  d. Si en el minuto 1 hubiese 4 bacterias y se mantuviera el mismo comportamiento de reproducción,

¿cuántas bacterias habría a los 5 minutos?  

208

Unidad 2 

 La tecnología

•

 

3. Analiza cada afirmación y escribe V si es verdadera o F si es falsa. a.

Si se tiene la ecuación x  +  + 5 = 7, entonces, la ecuación x  +   + 5 − 2 = 7 + 2 conserva la igualdad anterior. Si se representa la expresión «un número aumentado en 2 es el triple del mismo número» con una

b.

ecuación, esta sería 2 x  =  = 3 + x . c.

En la ecuación x  −  − 7 = 15, el valor de x  es  es 8.

d.

Al evaluar x  =  = 7 en la ecuación 7x  =  = 49, se confirma que es su solución.

4. Determina la ecuación que modela cada problema. a. Verónica debe leer un libro para el colegio. Si el libro tiene 300 páginas y aún le faltan por leer 53 páginas,

¿cuántas ¿cuán tas páginas ha leído?

b. Arturo le regala a su hijo $10 000, quedándose con $2 500 en su poder. ¿Cuánto dinero tenía Arturo?

  c. Una cancha de fútbol rectangular tiene 420 metros de perímetro. Si el largo mide 120 metros, ¿cuánto

mide su ancho?   5. ¿Cuántos cuadrados se deben agregar o quitar de la figura izquierda para obtener la figura derecha? a.

b.

   e     l     b    a     i    p    o    c    o    t    o     f     l    a     i    r    e    t    a     M

Instrumento de evaluación

 

   e     l     b    a     i    p    o    c    o    t    o     f     l    a     i    r    e    t    a     M

Instrumento Instrument o de evaluación: Evaluaci Evaluación ón formativa Nombre:

Lección 5

Curso:

Fecha:

1. Marca la alternativa correcta. c. De acuerdo con la tabla:

a. Observa la siguiente tabla que muestra datos

relacionados por un patrón: 2 4  

3 9

4 16

6

 y 

x 

64

¿Cuáles son los valores de x e y?

A) x  =  = 3  

x

y 

2 3 4

10 15 20

 ¿Cuál de las siguientes reglas determina la relación

 y  =  = 9  

entre sus datos?

B) x  =  = 36   y  =  = 8 C) x  =  = 36   y  =  = 9 D) x  =  = 25  y  =  = 9

A) 5n 

C) 2n + 6

B) n + 5

D) n + 1

d. La ecuación 3x − 2 = 1  x se puede expresar en

2 lenguaje natural como:

b. En un rectángulo, el largo mide (a + 1) cm y el ancho mide (a – 1) cm. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo si a = 4?

A)  La diferencia entre entre un número y 2 es la mitad del número.

A) 8 cm B) 16 cm

B)  El triple de la diferencia diferencia entre un número y 2 es la mitad del número.

C) 4 cm

C)  La diferencia entre entre el triple de un número y 2 es la mitad del número.

D) 12 cm

D)  Si al triple de de un número se se le resta 2 se obtiene obtiene

el doble del número. 2. Escribe los valores de salida para el patrón de cada tabla. a. Para n • n − 1

 

n

Salida

1

b. Para 2 • n − 1

10

  224

483

15

n

Salida

9

150 153

3. Expresa usando lenguaje algebraico. a. La suma del doble de un número más el triple

c. La suma de un número más sus tres cuartas

209

de otro número es 10.

partes es el producto entre 5 y 2.

 

  b. El triple de la diferencia entre un número y 2 es

d. Un número aumentado en 5 es el doble del

igual a la suma del número con 8.   210 21 0

mismo número disminuido en 3.  

Unidad 2 

 La tecnología

•

 

Instrumento de evaluación: Evaluación formativa Nombre:

Curso:

Lección 6 Fecha:

1. Marca la alternativa correcta. c. Se quiere resolver la ecuación 6 + x  =  = 48. Un

Observa la siguien siguiente te balanza en equilibrio para responder

las actividades a. y b.

procedimiento correcto es:

x  x x  1 x x  1 1

A) Sumar 6 a ambos lados.

1 1 1 x  1 1 1 1

B) Restar 6 a ambos lados. C) Multiplicar 6 a ambos lados. D) Dividir 6 a ambos lados.

a. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa el

d. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones tiene por

equilibrio en la balanza?

A) 5x  + 3 = x  +  + 7 

C) 6x  +  + 10 = 0

B) 6x  =  = 10 

D) 5x  • 3 =  x  • 7

solución x  =  = 5?

A) 2 • 3 + 5 = 3 • 2 − x  B) 2 • x  +  + 5 = 3 • 2 + 5

b. El valor de  x  en  en la balanza es:

C) 2 • x  +  + 2 = 2 + 2 • 2

C)  5 3 D) 1

D) 1 + 2 •  x  x  =  = 1 + 2 • 5

A) 5 B) 2

2. Une con una flecha la ecuación que se encuentra en la columna izquierda con su solución de la columna derecha.

 

x  −  − 3 = x    + 2

 

x  + 7 = 10

16

 

2x  −  − 8 = x  + 8

10

 

x  +  + 5 = 3x  −  − 9

7

2

3

3. Camila va a un local de comida y compra un jugo, un vaso de frutas y una bolsa de galletas. Por los tres productos pagó $7 000. Se sabe que el vaso de frutas cuesta el doble que la bolsa de galletas y que el jugo cuesta la mitad que la bolsa de galletas. ¿Cuál es el valor de cada cosa que compró?

   e     l     b    a     i    p    o    c    o    t    o     f     l    a     i    r    e    t    a     M

 

Jugo: Vaso de frutas: Bolsa de galletas:

Instrumento de evaluación

 

   e     l     b    a     i    p    o    c    o    t    o     f     l    a     i    r    e    t    a     M

Instrumento de evaluación: Evaluaci Evaluación ón final Nombre:

Curso:

Fecha:

1. Marca la alternativa correcta. c. El valor de x  en  en la ecuación 2 x  −  − 3 = 15 es:

a. Considera que n es un número natural. ¿Cuál

de las siguientes afirmaciones es falsa?

A) 6

A) 6 • n siempre es par. B) 5

• n −

B) 18

1 siempre es impar.

C) 9 

C) 10 • n siempre termina en 0.

D) 1

D) n + 1 es el sucesor de n. d. ¿Cuá ¿Cuáll de las siguientes tablas representa el patrón n + 3?

b. Observa las siguientes igualdades:

1+3=3+1 2+3=3+2 2+5=5+2 ¿Cuál de las siguientes expresiones muestra la

A)  Posición Valor

1 4

4 8

7 10

B) 

Posición Valor

1 3

4 12

7 21

C) 

Posición Valor

2 5

3 6

5 8

D)  Posición Valor

2 6

3 6

5 15

propiedad representada representada??

A) 2 + a = 2a  B) a + b = b + a  C) a + b = d  +  + c  D) 2 + a = a + 3 2. Determina el valor para x , de manera que: a. 18 se pueda escribir como 5x  + 3.

 

c. 32 se pueda escribir como 7x  + 4.

  b. 14 se pueda escribir como 10x  − 6.

 

d. 12 se pueda escribir como 4x  +  + 4.

 

211 21 1

212 21 2

Unidad 2 

 La tecnología

•

 

3. Observa las ecuaciones.

80 000 + 5 000x  =  = 10 000

80 000x  +  + 20 000x  =  = 600 000

80 000x  +  + 300 ∙ 400 = 600 000

80 000x  +  + 30 300 ∙ 400 = 600 000

80 000x  −  − 20 000x  =  = 600 000

80 000 − 5 000x  =  = 10 000

Ocupa una de ellas para resolver cada uno de los siguientes problemas: a. José ganó un premio de $80 000. Si gasta $5 000 diarios, ¿cuántos días le durará el premio sabiendo

que quiere ahorrar $7 000?? Ecuación y desarrollo

Comprobación de la solución

b. Un hotel ofrece estadía para una familia por $80 000 diarios. Además, si se opta por pensión completa,

se adicionan $5 000 por persona por día. ¿Cuántos días puede alojar una familia de cuatro integrantes con pensión completa en el hotel si quieren gastar $600 000? Ecuación y desarrollo

Comprobación de la solución

c. Una empresa arrienda un tipo de vehículo por $80 000 diarios con la cláusula de que si se sobrepasan

los 1 100 km una vez entregado el vehículo, se deben cancelar $300 por cada kilómetro adicional. Si una persona que arrendó un vehículo recorrió 1 500 km, ¿cuántos días lo arrendó si le cobraron $600 000? Ecuación y desarrollo

Comprobación de la solución

   e     l     b    a     i    p    o    c    o    t    o     f     l    a     i    r    e    t    a     M

Instrumento de evaluación

 

Solucionario Instrumento de evaluaci evaluación ón Evaluación diagnóstica 1. a. B

b. C

c. D

d. A

2. a.

 Tiempo (min) (min)

Bacterias (cantidad) (cantidad)

1 2 3 4 5 6

3 6 12 24 48 96

b. Se suma un término consigo mismo para obtener el siguiente término. c. Habrá 1 536. 536. d. Habría 64 bacterias. 3. a. F

b. F

4. a. x  +  + 53 = 300 b. x  –  – 10 000 = 2 500 c. 2x  +  + 240 = 420 5. a. Se deben agregar 2 cuadrados. b. Se debe quitar 1 cuadrado.

c. F

d. V 

213 21 3

214 21 4

Unidad 2 • La tecnología

 

Solucionario Instrumento de evaluaci evaluación ón

 

Evaluación formativa Lección 5 1. a. B

b. B

c. A

2. a.

n

Salida b.

n

Salida

1 0

10 99

15 224

22 483

5 9

15 29

77 153

150 299

3. a. 2  + 3  = 10 x   y  b. 3(x  –  – 2) = x  +  + 8 c. x  +  + 3x  = 5 • 2

4 d. x  +  + 5 = 2 x  –  – 3

d. C

Solucionario Instrumento de evaluación

 

Solucionario Instrumento de evaluaci evaluación ón Evaluación formativa Lección 6 1. a. A

b. D

c. B

2.

x  −  − 3 = x    + 2a 

3a

 

2 x  +  + 7 = 10a 

16a

 

2x  −  − 8 = x  +  + 8a 

10a

 

x  +  + 5 = 3x  −  − 9a 

7a

3.

Jugo: $1 000 Vaso de frutas: $4 000 Bolsa de galletas: $2 000

d. D

215 21 5

216 21 6

Unidad 2 

 La tecnología

•

 

Solucionario Instrumento de evaluaci evaluación ón Evaluación final 1. a. B

b. B

c. A

2. a. b. c. d.

x  =  = 3 x  =  = 2 x  =  = 4 x  =  = 2

3. a.

80 000 – 5 000x  =  = 10 000 80 000 – 70 000 = 10 000 70 000 = 5 000x  x  =  = 14

80 000 – 5 000 ∙ 14 = 10 000 80 000 – 70 000 = 10 000

b.

80 000 + 20 000x  =  = 600 000 80 000 + 520 000 = 600 000 520 000 = 20 000x  x  =  = 26

80 000 + 20 000 ∙ 26 = 600 000

80 000x  +  + 300 ∙ 400 = 600 000 80 000x  +  + 120 000 = 600 000 480 000 + 120 000 = 600 000 480 000 = 80 000x  x=6

80 000 ∙ 6 + 300 ∙ 400 = 600 000 480 000 + 120 000 = 600 000

c.

80 000 + 520 000 = 600 000

d. C

Solucionario Instrumento de evaluación

 

 

S í ntesis

Unidad 1: Nuestro planeta

Lección 1: Operaciones, múltiplos y factores ¿Cómo puedes resolver problemas con números naturales?

¿Qué son los múltiplos y los factores de un número natural n? ¿Qué es un número primo

Lección 2: Fracciones y números mixtos

Identificando y relacionando la información relevante y calculando sumas, diferencias, productos y cocientes en forma manual y con calculadora.

• •

Sus múltiplos se obtienen multiplicando n  por otro número natural. Sus factores son números naturales que multiplicados entre sí dan como resultado n.

Es un número natural que solo es divisible por 1 y por sí mismo.

¿Cómo expresas números mixtos como fracciones impropias y viceversa?

¿Cómo sumas y restas fracciones de distinto denominador y números mixtos?

•   •

•

Número mixto como fracción: 3 2  = 3 + 2  = 12 + 2  = 12 + 2  = 14  4 4 4 4 4 4 Fracción como número mixto: 9  4 1 + 1 + 1  = 2 1 4 4

•  

Fracciones de distinto denominador: 3  + 11  – 3  = 12 + 11 – 6  = 17 2 8 4 8 8 8 8 Números mixtos: 3 1  – 1 5  + 2 3  = 10 – 11  + 11  = 51 3 6 4 3 6 4 12

Lección 3: Números decimales ¿Cómo multiplicas números decimales?

¿Cómo divides números decimales?

Escribiendo los factores sin coma, multiplicando y ubicando la coma decimal en el producto de acuerdo con la cantidad de cifras decimales de los factores.

Multiplicando por 10, 100, 1 000, etc., para expresar el dividendo y el divisor como números naturales, y luego dividiendo estos números.

Lección 4: Razones y porcentajes

217 21 7

¿Qué es una razón?

¿Qué utilidad tiene un porcentaje?

Es una expresión que permite comparar dos cantidades mediante su división: 3:2 «Tres «T res es a dos».

Permite comparar una cantidad respecto de un total, al que se asigna el valor 100: 20 % «Veinte «Vein te por ciento» ciento»..

218 21 8 Síntesis Unidad 1 Texto del Estudiante

 

 

S í ntesis

Unidad 2: La tecnología

Lección 5: Patrones y lenguaje algebraico ¿Para qué sirve un patrón?

¿Cómo puede generalizarse una propiedad?

Un patrón o regla numérica valores de una tabla puede aplicarseentre para los predecir valores desconocidos:

El lenguaje algebraico permite generalizar propiedades y relaciones entre números. Ejemplos particulares de la propiedad conmutativa de la adición son los siguientes: 2+3=3+2 5 + 12 = 12 + 5 Entonces, definiendo que a y b representan números naturales iguales o diferentes, la propiedad se generaliza de la siguiente manera:

Entrada 2 4 6 8

Salida 5 9 13 x 

En la tabla, se cumple que: 5 = 2 • 2 + 1 9 = 4 • 2 + 1 •

13 = 6   2 + 1 Entonces, si el patrón se conserva, puede predecirse que: x  =  = 8 • 2 + 1 = 17

a + b = b + a

Lección 6: Ecuaciones ¿Qué es una ecuación?

¿Cómo resuelves una ecuación?

Es una igualdad en que hay uno o más términos desconocidos o incógnitas. Si existe una incógnita, habitualmente se la representa

Determinando su solución, es decir, el valor de la incógnita que hace verdadera la igualdad.

con una x . •  Si la suma de 12 y un número desconocido es 100, entonces, la relación puede expresarse a través de la siguiente ecuación: x  +  + 12 = 100 •  Si la diferencia entre un número deconocido y 129 es 35, la ecuación correspondiente es la siguiente: x  –  – 129 = 35

En x  +  + 12 = 100, x  =  = 100 no es una solución, ya que 100 + 12 = 112 ≠ 100. Pero, si restas 12  en ambos lados de la igualdad, resuelves la ecuación: x  +  + 12 = 100 12  = 100 – 12 x  +  + 12 – 12 12 x  =  = 88 Entonces, 88 es la solución de la ecuación, ya que:

88 + 12 = 100

Síntesis Unidad 2 Texto del Estudiante

 

Glosario A

E

Aleatorio

Ecuación

Que no se puede predecir. Ángulo  Porción del plano definida por dos rayos (lados) con un origen común (vértice).

Igualdad de dos expresiones algebraicas en que hay valores desconocidos.

Ángulo interior Ángulo formado por dos lados consecutivos de un polígono y que está en su interior. Área Medida de una región o superficie. C

Compás Instrumento que sirve para dibujar círculos y representar la medida de segmentos, entre otros. Conjetura Opinión que se basa en indicios o información incompleta. Cuadrado Cuadrilátero de ángulos interiores rectos y lados de igual longitud.

Encuesta Procedimiento para recopilar datos relacionados con un tema. Evento Resultado posible de un experimento aleatorio. Expresión algebraica Agrupación de números y letras (u otros símbolos) relacionados mediante adiciones o sustracciones. F

Factor  Término  T érmino de una una multiplicaci multiplicación. ón. Fracción impropia Su numerador es mayor que su denominador. Fracción propia Su numerador es menor que su denominador. Frecuencia absoluta Cantidad de veces que se repite un dato o valor.

Cuadrilátero Polígono de cuatro lados. Cubo Figura 3D formada por 6 cuadrados congruentes y paralelos de a pares, en que las caras adyacentes forman ángulos rectos. D

Diagrama de árbol Representación matemática que muestra los

G

Grado sexagesimal Ángulo que se obtiene al dividir la medida angular de una circunferencia en 360 partes iguales. Gráfico circular Representación gráfica en que cada sector circular representa una frecuencia respecto del total o un porcentaje. Gráfico de barras dobles

219 21 9

resultados posibles de un experimento aleatorio.

Divisor Número natural que divide a otro en forma exacta.

Representación gráfica que muestra las frecuencias de dos conjuntos de datos usando barras.

220 Glosario Texto del Estudiante

 

M

Mínimo común múltiplo (m. c. m.) Menor de los múltiplos comunes de dos o más números naturales.

Múltiplo Número que contiene una cantidad exacta de veces a un número natural dado. N

Número compuesto Número que posee más de dos divisores distintos. Número mixto Número representado por una parte entera y una fraccionaria. Número primo Número natural distinto de 1 que solo es divisible por 1 y por sí mismo. P

Paralelepípedo Figura 3D formada por seis paralelogramos paralelos de a pares en que sus caras opuestas son congruentes. Patrón Regla que permite relacionar valores y predecirlos. Polígono regular Polígono en que todos sus lados y ángulos interiores miden lo mismo. Porcentaje Razón en que el consecuente es 100. R

Rectas paralelas Rectas que conservan su distancia de separación inalterada. Rectas perpendiculares Rectas que se intersecan formando ángulos de 90°. S

Secuencia Lista de elementos que se suceden unos a otros y guardan relación entre sí. Solución de una ecuación Valor que hace verdadera la igualdad de la ecuación. T

Tabla Representación gráfica de datos ordenados. Teselación Recubrimiento de una superficie plana por medio de figuras, que la cubren completamente sin superponerse ni dejar espacios entre ellas. Transformación isométrica  Transf  T ransformació ormación n de una figura que que no varía ni su forma forma ni su tamaño. Transportador Instrumento que permite medir ángulos. Triángulo Polígono de tres lados. V

Variable Magnitud que cambia. Volumen Medida del espacio que ocupa una figura 3D.

Razón Expresión que permite comparar dos cantidades (antecedente y consecuente) mediante su división.

Glosario Texto del Estudiante

 

s e t n e u f   y   b e  w w   s o i t i s   , a  í  f a r g o i l B ib Bibliografía (2013). 3). Desarrollo de las habilidades digitales para el siglo XXI: ¿Qué dice el Simce TIC?  Santiago de Chile: • Enlaces (201

• • • • •

LOM ediciones. Mineduc (2015). Diversificación de la enseñanz enseñanzaa. Decreto n.° 83. Santiago: Mineduc. Rigo, D. (2014). Apre  Aprender nder y enseña enseñarr a través través de imágenes imágenes. ASRI: Arte y sociedad. Revista de investigación, 6. Ritchhart, R., Church, M. y Morrison, K. (2014). Hacer visible el pensamient p ensamiento. o. Cómo promover el compromi compromiso, so, la comprensión compren sión y la autonomía de los estudiantes. Buenos Aires: Paidós. Ruiz, M., Meneses, A. y Montenegro, M. (2013). Calidad de textos tex tos escolares para aprender ciencias: habilidades, contenidos conten idos y lenguaje académico. Santiago: Mineduc. Swartz, R., Costa, A., Beyer, B., Reagan, R. y Kallick, B. (2013). El aprendizaje basado en el pensamiento. Cómo desarrollar en los alumnos las competencias del siglo XXI . Madrid: Universidad de Harvard (s. f.).

Sitios web y fuentes • • • • •

Calculadoras Online: https://es.calcuworld.com/  Currículum nacional: https://curriculumnacional.mineduc.cl/  GeoGebra: https://www.geogebra.org/  Google Maps: https://www.google.cl/maps   Instituto Nacional de Estadísticas: https://ine.cl 

• • • • • • • •

Khan Academy: https://es.khanacademy.org/  Ministerio de Educación: https://www.mineduc.c l Ministerio de las Culturas, las Artes y el Patrimonio: https://www.cultura.gob.cl/  Ministerio de Salud: https://www.minsal.cl/  Ministerio del Deporte: www.mindep.cl  Ministerio del Medio Ambiente: https://mma.gob.cl/  Profesor en línea: https://www.profesorenlinea.cl/  Real Academia Española: http://www.rae.es

221

• Recursos matemáticos Eduteka: http://www.eduteka.org • Unión Europea: https://ec.europa.eu /

222 Bibliografía, sitios web y fuentes Texto del Estudiante

 

Bibliografía y sitios web Bibliografía • Bargagliotti, A. E. (2017). How well do the NSF funded elementary mathematics curricula align with the GAISE report recommendations? Journal of Statistics Education, 20(3), 1-26. 1-26. doi: https: https:// //doi. doi.org/10.1 org/10.1080/10691 080/10691898.2012. 898.2012.11889646 • Felmer, P., Perdomo-Díaz, J., Cisternas, T., Cea, F., Randolph, V., & Medel, L. (2015) La resolución de problemas en la matemática escolar y en la formación inicial docente. Revista Estudios de Política Educativa, 1(1), 64-105. • Mineduc (2015). Diversificación de la enseñanza. Decreto n.° 83. Santiago: Mineduc. • Rigo, D. (2014). Aprender y enseñar a través de imágenes. ASRI: Arte y sociedad. Revista de investigación, 6. http://asri.eumed.net/6/educacion-imagenes.html

• Ritchhart, R. Church, M. & Morrison, K. (2014). Hacer visible el pensamiento. Cómo promover el compromiso, la comprensión y la autonomía de los estudiantes. Buenos Aires: Paidós.

Sitios web • Currículum nacional: https://curriculumnacional.mineduc.cl/  • Educrea: http://educrea.cl/  • El paraíso de las matemáticas: http://www.matematicas.net  • El portal de las matemáticas: http://www.sectormatematica.cl  • Elige vivir sano: http://www.eligevivirsano.cl/  • GeoGebra: https://www.geogebra.org/  • Gobierno de Chile: http://www.gob.cl/  • Google Maps: https://www.google.cl/maps • Instituto Nacional de Estadísticas: https://ine.cl  • Khan Academy: https://es.khanacademy.org/  • Ministerio de Educación: https://www.mineduc.c l • Ministerio de Salud: https://www.minsal.cl/  • Ministerio del Deporte: www.mindep.cl  • Ministerio del Medio Ambiente: https://mma.gob.cl/  • OECD-Pisa: http://www.oecd.org • Real Academia Española: http://www.rae.es • Recursos matemáticos Eduteka: http://www.eduteka.org

• Simce: http://www.simce.cl/  • Sociedad Chilena de Educación Matemática: http://www.sochiem.cl  • Sociedad de Matemática de Chile: http://www.somachi.cl  Como complemento a los recursos presentes en la Guía Didáctica del Docente, puede utilizar los recursos existentes en su biblioteca escolar (CRA y digital). Para esto, se le sugiere pedir asesoría al encargado CRA de su colegio.

Bibliografía y sitios web

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