Matrizes Determinantes e Sistemas Lineares - Exercícios Resolvidos

1  (Ibmecrj  (Ibmecrj 2010) Sejam e matrizes quadradas de ordem 2, cujos determinantes são denotados respectivamente por, Det ( ) e Det ( ). Seja é a matriz nula de ordem 2. Assinale a afirmativa correta. a) Se Det ( ) = 0 então = . b) Det ( ) = Det ( ) + Det ( ). c) Det ( ) = 3 Det ( ). d) Det (- ) = - Det ( ). e) Se Det ( ) = 0 então Det ( ) = 0 ou Det ( ) = 0. Resolução:

  ( )       ( )   ( )                 

a) Falsa. Por exemplo:

. Det

b) Falsa. Por exemplo: c) Falsa. Pois d) Falsa. Pois

 = 0 , mas

  temos

 onde n é a ordem da matriz M.

 onde n é a ordem de M.

e) Verdadeira, pois pelo teorema de Binet,

Alternativa: e.

2  (Fgv 2010) Uma fábrica decide distribuir distribuir os excedentes de três produtos produtos alimentícios A, B e C a dois países da América Central, P 1 e P2. As quantidades, em toneladas, são descritas mediante a matriz Q:

Para o transporte aos países de destino, a fábrica recebeu orçamentos de duas empresas, em reais por tonelada, como indica a matriz P: 300   1ºemp ºempresa 500 30  ºempresa  400 200   2ºemp

P   

a) Efetue o produto das duas matrizes, na ordem que for possível. Que representa o elemento a13 da matriz produto? b) Que elemento da matriz produto indica o custo de transportar o produto A, com a segunda empresa, aos dois países? c) Para transportar os três produtos aos dois países, qual empresa deveria ser escolhida, considerando que as duas apresentam ap resentam exatamente as mesmas condições técnicas? Por quê?

Resolução:

          

a) P . Q=



.

O elemento  representa o preço, em reais, que a empresa 1 cobra para transportar o produto C para os dois países.



b) O elemento c) Empresa 1: 130.000 + 95.000 + 135.000 = 360.000 Empresa 2: 100.000 + 70.000 + 100.000 = 270.000 Portanto a empresa 2 é mais vantajosa por apresentar o menor custo.

3  (Fgv 2010) No início de dezembro de certo ano, uma loja tinha um estoque de calças e camisas no valor total de R$ 140 000,00, sendo R$ 80,00 o valor (preço de venda) de cada calça é R$ 50,00 (preço de venda) o de cada camisa. Ao longo do mês, foram vendidos 30% do número de calças em estoque e 40% do número de camisas em estoque, gerando uma receita de R$ 52 000,00. Com relação ao estoque inicial, a diferença (em valor absoluto) entre o número de calcas e o de camisas é: a) 1450 b) 1500 c) 1550 d) 1600 e) 1650 Resolução: x: número de calças

      {           || y: número de camisas

(I)

(II)

Diferença (valor absoluto):

Alternativa: c

4  (Ibmecrj 2010) Seja o sistema linear nas incógnitas x, y e z  x  y  kz  1  2  2x  k z  1 x  y  2z  0 

Assinale a afirmativa correta: a) para k = 1, possui mais de uma solução. b) para k = 3, não possui solução. c) para k = 2, possui infinitas soluções. d) para k = 2, não possui solução. e) para k = 2, possui uma única solução. Resolução:

[  ]            

D’=

Para



 vem:

Observando as equações 1 e 3 podemos concluir que para k=2 o sistema linear é impossível. Alternativa: d. 5  (Fgv 2010) O sistema linear abaixo, nas incógnitas x e y:  x  3y  m  2x  py  2

Será impossível quando: a) Nunca b) p ≠ –6 e m = 1 c) p ≠ –6 e m ≠ 1 d) p = –6 e m = 1 e) p = –6 e m ≠ 1 Resolução:

 –                   {      Se

S.P.D.

D= Se

Se

Portanto se

:

 o sistema é impossível.

Alternativa: e.

6  (Fgv 2010) Em um quadrado mágico, como o indicado na figura, a soma dos números em cada linha, em cada coluna e em cada diagonal assume o mesmo valor. A 24 B 18 C D 25 E 21 Se as letras A, B, C, D e E representam números, então D + E é igual a a) 43. b) 44. c) 45. d) 46. e) 47. Resolução: A 24 B 18 C D 25 E 21 Primeira coluna e primeira linha:

                  Primeira coluna e diagonal principal:

Diagonal secundária e segunda coluna

Segunda linha e terceira linha

Portanto: D + E = 46

Alternativa: d

7 (Fgv 2010) Para que o sistema linear

  2x  k!  y  2 de  1 k! x 21y 3       

possível e determinado, o parâmetro k  IN tem de ser igual a a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) 6.

solução (x, y) não seja

Resolução:

     {                          

Se D = 0, então não é S.P.D.

Com

(não convém) ou

Alternativa: b

8  (Fgv 2010) Maria, que tem 52 anos, faz uma dieta alimentar e precisa tomar um lanche às 15:30 horas, no qual não pode consumir mais que 500 calorias, e precisa ingerir as necessidades mínimas diárias de cálcio, a saber, 1.200 mg/dia. Nesse lanche, ela quer tomar leite desnatado e comer amêndoas. Dentre os dados fornecidos por sua nutricionista, estão os seguintes:

Leite desnatado Amêndoas

Porção (quantidades aproximadas) 250 ml

Calorias (kcal) 100

Teor de cálcio (mg por 100 g de alimento) 300

30 g

200

150

a) Represente algebricamente as condições do problema, considerando as porções de leite desnatado e de amêndoas. b) Represente graficamente as condições do problema no plano cartesiano x0y. c) É possível Maria ingerir exatamente 500 calorias e 1200 mg de cálcio se ingerir somente leite desnatado e amêndoas no lanche da tarde? Justifique sua resposta.

Resolução: Não mais que 500 calorias No mínimo 1200 mg/dia de cálcio.

        { a)

 porção de leite desnatado  porção de amêndoas

b) Gráfico:

c) Resolver o sistema:

 { {                    

9  (Fgv 2010) Diofante de Alexandria, que viveu cerca do ano 250, publicou na sua obra  Aritmética extensos estudos sobre equações indeterminadas, em que as soluções eram pares ordenados de números naturais. a) Uma das equações era esta: xy – 5x + 4y = 0, em que as variáveis x e y são números naturais. Expresse a variável x em termos da variável y e tente, por substituição, encontrar todos os pares ordenados (x, y) que são soluções da equação. b) Resolva o problema: As irmãs Ana e Marta receberam de seu avô certa quantia cada uma, somente em notas, sem nenhuma moeda. Também não receberam nenhuma nota de R$ 1,00. A soma das quantias mais a diferença entre a quantia de Ana e a de Marta, mais o produto delas, é igual a 100. Se Ana, que e mais velha, recebeu uma quantia maior que a de Marta, quantos reais pode ter recebido cada uma? Resolução:

             

a)

Temos:

Substituindo vem:

          

  (não convém)

Portanto os países ordenados são: (0,0); (1,1); (6,3); (16,4) b) x : valor Ana y : valor Maria

                                

x > y e (2+y) deve ser divisor de 100: (não convém) (não convém)

e

(não convém: R$ 2,00 +R$ 1,00)

e

(não convém pois x > y)

Portanto temos:

Ana: R$ 25,00 e Marta: R$ 2,00. Ou Ana: R$ 10,00 e Marta: R$ 8,00.

10 (Unicamp 2010) Considere a

 a11 a12 a13  matriz  A  a21 a 22 a 23  ,cujos a31 a32 a 33 

coeficientes são

números reais. a) Suponha que exatamente seis elementos dessa matriz são iguais a zero. Supondo também que não há nenhuma informação adicional sobre A, calcule a probabilidade de que o determinante dessa matriz não seja nulo.

b) Suponha, agora, que aij = 0 para todo elemento em que j > i, e que a ij = i − j + 1 para os elementos em que j ≤ i. Determine a matriz A, nesse caso, e calcule sua inversa, A−1. Resolução:

[  ]   

a) 3 posições para os elementos não nulos:

    

Os 3 elementos não nulos devem ocupar filas diferentes 1ª Coluna 2ª Coluna 3ª Coluna

  

3 possibilidades 2 possibilidades 1 possibilidade

Assim, teremos no total: 3 x 2 x 1 = 6 maneiras

       [

Portanto a probabilidade pedida será:

         [  ] ]  [  ] [  ] [  ]            ] [  ] [                [  ] b) A

Resolvendo os sistemas, obtemos:

11  (Fgv 2010) Uma matriz 4 x 4 que admite inversa é a)

1 2 3 4  4 3 2 1    2 4 6 8    5 6 7 8 

b)

c)

d)

e)

1 2 3 4    1 4 5 16  2 6 8 20    5 6 11 8  1 1 1 1   2 2 2 2  3 3 3 3     4 4 4 4 1 2 3 4    5 6 7 8  9 10 11 12    13 14 15 16  4  -1 2 3   8   1 -6 7  9 10 - 11 12    13 14 15 - 16 

Resolução:

                                [  ] [  ]    [   ]            a)

não admite inversa, 1ª linha x (2) = 3ª linha

b)

não admite inversa, 3ª linha = 1ª linha + 2ª linha

c)

não admite inversa, 2ª linha = (2) x 1ª linha

d)

não admite inversa, 3ª linha = (2) x 2ª linha – 1ª linha

e)

(1ª L + 2ª L) ; (9 . 1ª L + 3ª L) ; (13 . 1ª L + 4ª L)

=

=

Alternativa: e.

 0 12 20 12  (Ibmecrj 2009) Considere os pontos P1, P2 e P3 e a matriz: 12 0 16  , onde cada 20 16 0 

aij é o valor da distância entre o ponto P i e o ponto P j. No triângulo formado por esses pontos, a mediana relativa a P2 mede: a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14 Resolução:

[  ]                         é pitagórico

triângulo retângulo

Então:

Alternativa: c  1 1  0 1

13 (Fgv 2009) Sendo  A   

e

170 B    ,  10 

a matriz

x X     y

na equação  A16  X  B

será: a)

5  5   

b)

0 10   

c)

10  5  

d)

10  10   

e)

5 10   

Resolução:

                                     {       .

. .

 

Portanto:

Alternativa: d

14 (Fgv 2009) Considere o sistema linear

kx  y  z  3   x  ky  z  k  x  y  kz  1 

de incógnitas x, y e z. Sendo k

um parâmetro real, então: a) o sistema será impossível se k  1 ou k  1 b) o sistema será determinado se k  1 c) o sistema será impossível se k  0 ou k  1 d) o sistema será indeterminado se k  0 ou k  1 e) o sistema será determinado se k  0 ou k  1 Resolução:

        [  ]                                                 Se

Se k=0 (escalonando o sistema) 

(1ª e 3ª linhas)



 (Sistema impossível)

Se k=1 (escalonando o sistema)

(1ª e 3ª linhas)

 (Sistema impossível)

Se k=-1 (escalonando o sistema)

(2ª e 3ª linhas)

Sistema indeterminado

Alternativa: c.

nx  y   1  15  (Fgv 2008) Sendo n um número real, então o sistema de equações ny  z   1  não x  nz   1 

possui solução se, e somente se, n é igual a a) -1. b) 0. c) d)

1 4

1 2

. .

e) 1. Resolução:

                          :

 

Alternativa: a

16  (Unicamp 2007) Seja dado o sistema linear:  x1  2x 2  2  2x1  x 2  2 x  x  2 2  1

a) Mostre graficamente que esse sistema não tem solução. Justifique. b) Para determinar uma solução aproximada de um sistema linear AX = B impossível, utiliza-se o método dos quadrados mínimos, que consiste em resolver o sistema A tAX = AtB. Usando esse método, encontre uma solução aproximada para o sistema dado acima. Lembre-se de que as linhas de M t (a transposta de uma matriz M) são iguais às colunas de M. Resolução: a)

          

Como não existe um ponto comum as 3 retas, o sistema não tem solução.

       [   ]  []         [  ]        []                        {  {                         b)



17  (Fgv 2007) Os números reais x, y e z são tais que x + y + z = 6 e 3x + 4y + 2z = 17. a) Encontre uma solução do sistema formado por essas duas equações. b) Determine todas as soluções do sistema. c) Calcule o valor de 9x + 11y + 7z. Resolução: a)

b) c)

     { {                 }    



18  (Fgv 2007) "Um galo custa 5 moedas; uma galinha, 3 moedas e 3 frangos custam 1 moeda. Com 100 moedas, compram-se 100 dessas aves. Quantos galos, galinhas e frangos são?." Esse é o problema chinês do Cento de Aves, que foi enunciado pela primeira vez no livro Manual Matemático, de Zhang Quijian, editado no século V. O problema ficou famoso e apareceu, mais tarde, em diversos textos matemáticos na Índia, no mundo islâmico e na Europa. a) Expresse o enunciado do problema chinês mediante um sistema de equações. b) Dê a solução geral do sistema. c) Nessa época, o zero não era considerado um número e, por isso, não entrava na solução dos problemas. Então, quais as prováveis respostas que o matemático chinês deve ter encontrado para o problema do Cento de Aves? Resolução: a) x = galo ; y = galinha ; z = frango

                 {         {                (    )                        b)







c) K é múltiplo de 4:

19  (Fgv 2007) As matrizes A = (aij)4x4 e B = (bij)4x4 são tais que 2aij = 3bij. Se o determinante da matriz A é igual a 3/4, então o determinante da matriz B é igual a a) 0. d) 2. b) c)

4 27 9 8

Resolução:

             )         (        Como

e)

243 64

20  (Fgv 2005) Sabe-se que o sistema x  y   2

linear 

 nas

2x  ay  logB ( a)  

variáveis x e y, é possível e indeterminado. Nessas condições, B a   é igual a: a) 2 4 2 b) 2 c) 4 2 2

d)

2 4

e)

2

2

Resolução:

 {             {    {        √   √   √   √   √ 