Matriz rigidez

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ´ CRISTOBAL DE HUAMANGA FACULTAD DE INGENIER´ IA DE MINAS GEOLOG´ IA Y CIVIL ´ PROFESIONAL DE ESCUELA DE FORMACION INGENIER´ IA CIVIL

´ MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN P ORTICO

CURSO:

´ ´ INTRODUCCI ON AL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS DOCENTE:

´ ING. CRISTIAN CASTRO P EREZ ALUMNO:

V´ ICTOR HUGO D´ IAZ VIVANCO ´ CODIGO:

16080538 ´ AYACUCHO - PERU 31 de octubre de 2012

´ Indice ´ 1. INTRODUC INTRODUCCI CION

3

1.1. 1.1. Prop Prop´ o´sitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.. Justifi 1.2 Justificac caci´ i´ on e imp ortancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3 3

´ ´ RICA 2. FUNDAMENT FUNDAMENTACI ACION TEO

4

3. METODOL METODOLOG OG´ IA

4

3.1. M´eto do de rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. 3.1.1. 1. Ma Matri trizz de rigid rigidez ez de un elem elemen ento to en coo coord rden enad adas as glo globa bale less . . 3.1.2. Matriz de rigidez rigidez de un un elemento elemento de secci´ secci´on on consta constant ntee o vari variabl ablee 3.2.. Definic 3.2 Definici´ i´ on del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. 3.2 .1. Justifi Justificac caci´ i´ on del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Formulaci´ ormulaci´ on del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. RESULTADOS

4.1. 4.2. 4.3.. 4.3 4.4. 4.4.

4 6 7 8 8 9 11

En MATLAB . . . . . . . . . . . En SAP2000 . . . . . . . . . . . Compara Comparaci´ ci´ on . . . . . . . . . . . C´ odigos del programa en Matlab

. . . .

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. . . .

. . . .

. . . .

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. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

11 14 17 19

5. CONCLUSIONES

27

´ F IC A S 6. REFERENC REFERENCIAS IAS BIBLIOGR BIBLIOGRA

28

7. ANEXOS

28

2

1. 1.1.

´ INTRODUCCION Prop´ ositos

El presente trabajo se hizo con el prop´osito de hacer un an´alisis matricial con m´ etodo de la rigidez de una determinada estructura. Para poder hallar la matriz de cada elemento de la estructura se sigue una serie de pasos como se detalla m´as adelante, posteriormente se ensambla la matriz global de toda la estructura y despu´ es se calculan las fuerzas y momentos que act´uan en cada extremo de las barras. Finalmente estos resultados que obtenemos lo compararemos con un programa comercial que es el SAP2000, como veremos m´as adelante estos resultados deben asemejarse. Para poder seguir todos los pasos mencionados l´ıneas arriba nos apoyaremos en el programa MATLAB y para la comparaci´on de resultados el programa SAP2000. 1.2.

Justificaci´ on e importancia

Es de suma importancia analizar estructuras complejas como son p´orticos en 3 o 2 dimensiones.Y cuando son estructuras complejas se hace m´as tedioso este an´alisis. La matriz de rigidez es parte del m´ etodo matricial de la rigidez que est´a dise˜ nado para realizar an´alisis computarizado de cualquier estructura incluyendo a estructuras est´ aticamente indeterminadas. El m´etodo matricial se basa en estimar los componentes de las relaciones de rigidez para resolver las fuerzas o los desplazamientos mediante un ordenador. El empleo de la notaci´on matricial presenta dos ventajas en el c´alculo de estructuras. Desde el punto de vista te´orico , permite utilizar m´etodos de c´ alculo en forma compacta, precisa y, al mismo tiempo, completamente general. Esto facilita el tratamiento de la teor´ıa de estructuras como unidad, sin que los principios fundamentales se vean oscurecidos por operaciones de c´alculo. Desde el punto de vista pr´actico, proporciona un sistema apropiado de an´alisis de estructuras y determina una base muy conveniente para el desarrollo de programas de computaci´on.

1.3.

Resumen

En la introducci´on, se hace la respectiva justificaci´on e importancia del m´etodo de la rigidez. En la fundamentaci´ o n te´orica se explica como evolucionaron los m´ etodos de an´ alisis de estructuras a lo largo de la historia, posteriormente debido al avance tecnol´ ogico surge en an´alisis matricial de estructuras. En la parte de metodolog´ıa se explica te´oricamente en que consiste el m´etodo de rigidez, posteriormente se da una serie de pasos a seguir para poder hallar la matriz de rigidez de cada elemento que tiene la estructura. En los resultados se muestra la interfaz gr´afica del MATLAB y secuencialmente nos muestra una ventana donde se llena los datos para despu´es darnos los resultados 3

de las fuerzas y momentos que act´uan en las barras en coordenadas globales. Para finalizar mostramos las conclusiones a que se llegaron, tambi´ en mostramos las referencias bibliogr´ aficas y los anexos.

2.

´ TEORICA ´ FUNDAMENTACION

Antiguamente y debido al limitado desarrollo tecnol´ogico, el an´alisis de estructuras se hacia con m´etodos aproximados como son el M´etodo de Hardy Croos, pero la mayor´ıa de veces eran solo aplicables a determinados tipos de estructuras. La principal objeci´on a los primeros m´etodos de an´ alisis fue que los mismos conduc´ıan a sistemas con un gran n´ umero de ecuaciones lineales, dif´ıciles de resolver manualmente. Con los computadores, capaces de realizar el traba jo num´erico, esta objeci´ on no tiene ahora sentido. Debido al avance tecnol´ogico los c´alculos con computadoras son m´as f´aciles y ya no debemos preocuparnos por las operaciones rutinarias. Es de suma importancia hacer un modelo adecuado y una debida interpretaci´on de los resultados.

3. 3.1.

METODOLOG´ IA M´ etodo de rigidez

Hip´otesis: Estructura lineal - Todos los movimientos y esfuerzos son funciones lineales de las cargas- Peque˜nas deformaciones (ecuaciones de equilibrio en la estructura no distorsionada). Para estudiar una estructura por el m´ etodo de la rigidez, al igual que en cualquier otro problema el´astico, disponemos de tres conjuntos de ecuaciones que deben cumplirse. Ecuaciones de compatibilidad Ecuaciones de compatibilidad Ecuaciones de equilibrio Las ecuaciones de compatibilidad relacionan las deformaciones de barras con los desplazamientos nodales. Introduciendo estas relaciones en las ecuaciones constitutivas, relacionamos las fuerzas en los extremos de barras con los desplazamientos nodales. Introduciendo estas u ´ ltimas relaciones en las ecuaciones de equilibrio se obtiene un conjunto de ecuaciones de fuerzas nodales en funci´on de desplazamientos nodales, que pueden ser consideradas como Ecuaciones de Equilibrio de la estructura en funci´ on de desplazamientos.

4

La resoluci´on de este sistema de ecuaciones nos permite obtener el valor de las inc´ ognitas (desplazamientos nodales), a partir de los cuales se obtienen las solicitaciones de las barras de la estructura, as´ı como las reacciones. Una de las caracter´ısticas m´as importantes del m´ etodo de la rigidez es la forma en que las propiedades el´asticas de las piezas, y su orientaci´on dentro de la estructura, son introducidas en el c´alculo antes de que se efect´ue ninguna consideraci´on sobre el equilibrio o la compatibilidad de los nudos. Esto nos permite establecer relaciones entre las fuerzas de extremo de barras y los desplazamientos de nudo. Estas relaciones expresadas en forma matricial se denomina matriz de rigidez de barra . Al considerar la interrelaci´on de cada barra con las dem´as se obtiene un sistema global de ecuaciones que define el comportamiento de toda la estructura y nos conduce a la soluci´on del problema. Podemos considerar seis etapas fundamentales en la soluci´on de un problema: 1. Identificaci´ on estructural. 2. C´alculo de la matriz de rigidez de barra y del vector de cargas nodales equivalentes. 3. C´a lculo de la matriz de rigidez global y del vector de cargas global de la estructura. 4. Introducci´ on de las condiciones de borde 5. Soluci´on del sistema de ecuaciones 6. C´alculo de solicitaciones en los extremos de barras y reacciones nodales.

Finalmente se utiliz´o como libro gu´ıa y de consulta An´alisis Matricial de Estructuras de Roberto Aguiar Falconi. Para poder hallar la matriz de rigidez y las fuerzas y momentos que act´uan en cada barra de la estructuras, que en este caso se hizo de un p´ortico de 2 tramos se siguieron los siguientes pasos: Se define la cantidad de grados de libertad, se numera esos grados. Se cuenta el numero de nodos y barras. Una vez numerado los grados de libertad se procede hallar el vector de colocaci´on. Se halla la matriz de rigidez de cada elemento en coordenadas globales. Se utiliza el vector de colocaci´on para poder ensamblar la matriz de rigidez global. Se pide como dato el vector de cargas generalizadas que act´uan en cada nudo de la estructura. Para poder hallar los giros o desplazamientos de la estructuras se multiplica la inversa de la matriz de rigidez global con el vector de cargas generalizadas. 5

Para encontrar las deformaciones de las barras en coordenadas globales, se trabaja con el vector de colocaci´on. Se obtienen las fuerzas y momentos en los extremos de las barras en coordenadas globales, multiplicando la matriz de rigidez del miembro en coordenadas globales por su vector respectivo de deformaciones hallado en el item anterior. 3.1.1.

Matriz de rigidez de un elemento en coordenadas globales

Las coordenadas globales se miden en forma horizontal y vertical, en consecuencia ´estas u ´ ltimas tienen la misma orientaci´on que las coordenadas de la estructura. En la figura se tiene un elemento inclinado que forma un ´angulo α con la horizontal, tambi´en en la figura se muestra el sistema de coordenadas globales.

Figura 1: Coordenadas globales de un elemento

Para simplificar la escritura se denomina C  = cosα, S  = senα. La siguientes ecuaciones nos dan la matriz de rigidez de un elemento en coordenadas globales.

a= b=

EA 2 12EI  2 C  + S  L L3

 EA

12EI  SC  − L L3

(2)

6EI  S  L2

(3)



c=− d=

(1)

EA 2 12EI  2 S  + C  L L3

(4)

4EI  L

(5)

6EI  C  L2

(6)

f  = g= Matricialmente se ver´ıa as´ı:

6

k3

a  b  c =  −a −b

   

d g f  −b −c a d −a −g b f  −c g −c −g f  2

Donde: L,A,I  son las magnitudes geom´etricas (longitud, a´rea y momento de inercia). E  la constante de elasticidad longitudinal (m´odulo de Young). Se utiliz´o esta matriz para hallar la matriz de rigidez de una columna en coordenadas globales , que son de secci´on constante. No se considero el efecto de corte.

3.1.2.

Matriz de rigidez de un elemento de secci´ on constante o variable

Las vigas en nuestro problema tienen las mismas coordenadas globales y locales, en la figura se muestra estas coordenadas (sistema de coordenadas globales).

Figura 2: Coordenadas globales de un elemento

Para hallar la matriz de rigidez en coordenadas globales de las vigas acarteladas que son de secci´on variable se utiliz´o las siguientes f´ormulas: L

α = f 11 =

2

  (L − X ) L2

0

dx + EI (x)

L

ε = f 21 = f 12 =

  X (L − X ) L2

0

L



α = f 22 =

2

dx + L2 EI (x) L

f 33 =

  0

2

β 

L

0

dx + EI (x)

  X  0

L

   1  L

2

   1  β 

0

L

   1  β 

0

dx EA(x)

dx GA(x)

L

2

L

dx GA(x)

dx GA(x)

(7)

(8)

(9)

(10)



α k= αα − ε2 7 

(11)

α= 

k =

ε αα − ε2

(12)

α αα − ε2

(13)





Matricialmente es as´ı:

k2

r  0  0 =  −r0

t b k 0 0 r −t −b 0 t b a 0 −b 

0



k



   

Donde: b=

k+a L

(14)



k +a b = L 

(15)



t=

b+b L

(16)

La matriz que acabamos de ver est´an es coordenadas globales, operando todas las integrales mencionadas se obtendr´a el valor de la matriz de rigidez para cada elemento (vigas acarteladas). Donde E  es el m´odulo de elasticidad del material; G el modulo de corte est´atico; I (x) es el momento de inercia de una secci´on variable; A(x) es el ´area de una secci´on transversal y β  es el coeficiente de forma. El coeficiente de forma β  es adimensional que caracteriza la distribuci´on de las tensiones tangenciales en la secci´on transversal y depende de la forma de la misma. Para nuestro caso las vigas son de secci´on rectangular y el valor de β  = 1,2. 3.2. 3.2.1.

Definici´ on del problema Justificaci´ on del problema

Este trabajo se desarrollo para poder obtener las fuerzas y momentos en los extremos de cada una de las barras, estos resultados se comparar´an con un software de estructuras como es el SAP. Comparados ambos resultados, estos no deben alejarse debido a que se utiliz´o el m´ etodo de rigidez. Este m´etodo es muy confiable ya que nos lleva a muy buenos y exactos resultados.

8

Figura 3: Grados de libertad del p´ortico

3.2.2.

Formulaci´ on del problema

El problema que nos planteamos es el siguiente: la estructura tiene 9 grados de libertad, 5 barras: 3 columnas y 2 vigas acarteladas como se puede ver la figura 3. Las columnas son de 45x45cm y tienen una altura de H  = 3m. Las vigas tiene 3 tramos como muestra la figura 4.

Figura 4: Viga de 3 tramos (izquierda a derecha)

El area y la inercia de cada tramo var´ıa debido a que la altura h(x) aumenta o disminuye para cada tramo, las siguientes expresiones nos muestran estas variaci´on: h(x)1 = h1 − x

(h1 − h) L1

A(x)1 = b(h(x)1 ) I (x)1

b(h(x)1 )3 = 12

h(x)2 = h 9

A(x)2 = b(h(x)2 ) I (x)2

b(h(x)2 )3 = 12

h(x)3 = h2 −

(L − x)(h2 − h) L3

A(x)3 = b(h(x)3 ) I (x)3

b(h(x)3 )3 = 12

Para hallar la matriz de rigidez global se utiliza el vector de colocaci´on. El vector de colocaci´on de cada barra se muestra a continuaci´on, los n´ umeros entre par´entesis indican el numero de barra: V C (1) =

0

0 0 1 2 3



V C (2) =

1

2 3 4 5 6



V C (3) =

0

0 0 4 5 6



 V C (4) = 4  V C (5) = 0

5 6 7 8

 9

0 0 7 8

 9

A continuaci´on en la figura 5 se muestra las cargas que act´uan en la estructura, tambien se muestra el vector de cargas generalizadas.

Figura 5: Cargas en la estructura 10

 100   0   0  0    Q=  −400  3000   0  0

Con todo estos datos se obtiene las fuerzas y momentos en los extremos de las barras en coordenadas globales.

4. 4.1.

RESULTADOS En MATLAB

Se mostrar´ an los resultados que nos dio el programa Matlab, se explicar´a como corre el programa y cuando se llena datos. Entrando al CD se abre la carpeta ELEMENTOS FINITOS, abrimos la carpeta que se encuentra con el nombre de anexo1 Programa y nos mostrara esto:

11

Figura 6: Inicio del programa

Figura 7: Modelado de la estructura

12

Figura 8: Llenar todos los datos de la estructura

Figura 9: Resultados que nos muestra el programa

13

Al observar toda la secuencia del programa, al final nos muestra los resultados que nos interesa y estas son las fuerzas y momentos que act´uan en cada barra del portico. Estos resultados los compararemos con lo que nos da el SAP2000. 4.2.

En SAP2000

Se muestra el modelamiento que se hizo en el programa SAP. Tambi´ en se muestra las deformada, el diagrama de momentos flectores, axiales y cortantes. Se ver´a m´as adelante una tabla donde se comparar´a los resultados obtenidos en el SAP con los obtenidos en el MATLAB.

14

Figura 10: Modelado y deformada de la estructura

Figura 11: Diagrama de Fuerza Axial

15

Figura 12: Diagrama de Fuerza Cortante

Figura 13: Diagrama de Momentos Flectores

16

4.3.

Comparaci´ on

A continuaci´on se muestra los resultados en dos tablas, teniendo en cuenta las coordenadas locales como se muestra en la figura 14.

Figura 14: Coordenadas locales

17

Elemento Elemento Elemento Elemento Elemento

1 2 3 4 5

Axial 1 43.81 18.55 399.77 177.91 49.11

Cort. 1 118.55 44.89 159.36 47.65 122.09

Mom. 1 261.75 93.91 301.75 92.81 270.58

Axial 2 43.81 18.55 399.77 177.91 49.11

Cort. 2 118.55 44.89 159.86 47.65 122.09

Mom. 2 93.91 83.52 176.33 95.68 95.68

Cuadro 1: Resultados del programa SAP2000

Elemento Elemento Elemento Elemento Elemento

1 2 3 4 5

Axial 1 -41.99 -19.25 397.49 -177.59 44.49

Cort. 1 -119.26 -41.98 -158.33 -44.49 -122.41

Mom. 1 268.63 -89.15 308.23 -87.95 277.20

Axial 2 41.99 19.25 -397.49 177.59 -44.49

Cort. 2 119.26 41.99 158.33 44.49 122.41

Mom. 2 89.15 -78.82 166.76 -90.03 90.03

Cuadro 2: Resultados del programa Matlab Al ver estos resultados que se asemejan bastante en los valores obtenidos tanto en SAP2000 como en el programa Matlab , se concluye que el m´ etodo de la rigidez es casi exacto y muy confiable.

18

4.4.

C´ odigos del programa en Matlab

% SE RESOLVER´ A PARA UN CASO PARTICULAR, UNA PORTICO DE 3 TRAMOS % Y LA VIGA ACARTELADA % ES UNA VIGA DE 6 GRADOS DE LIBERTAD %clc, clear all global h 1 h h2 L 1 L 2 L3 E q1 q5 q7

b BB H

syms x %datos columnas A=b^2; I=b^4/12; % altura de la seccion constante (centro) viga acart

L=L1+L2+L3; %LONGITUD HORIZONTAL %ALTURA

n=6; %numero de nudos nel=5; %numero d barras gl=9; CG=zeros(n,3); CG(3,:)=[1 2 3]; CG(4,:)=[4 5 6]; % MAtriz de Coordenadas generalizadas VC= [0 0 0 1 2 3; 1 2 3 4 5 6; 0 0 0 4 5 6;4 5 6 7 8 9; 0 0 0 7 8 9]; % vector de colocacion S1=sin(pi/2); C1=cos(pi/2); % DATOS D LA VIGA ACARTELADA %BB=0.4; %ancho de la viga acartelada v=0.2; G=E/(2*(1+v)); for i=1:3 if i==1 %Elemento 1 L=H k1 =[ E*A*C1^2/L+12*E*I*S1^2/L^3 (E*A/L-12*E*I/L^3)*S1*C1 -6*E*I*S1/L^2

19

-E*A*C1^2/L-12*E*I*S1^2/L^3 -(E*A/L-12*E*I/L^3)*S1*C1 -6*E*I*S1/L^2; (E*A/L-12*E*I/L^3)*S1*C1 E*A*S1^2/L+12*E*I*C1^2/L^3 6*E*I*C1/L -(E*A/L-12*E*I/L^3)*S1*C1 -E*A*S1^2/L-12*E*I*C1^2/L^3 6*E*I*C1/L^2; -6*E*I*S1/L^2 6*E*I*C1/L^2 4*E*I/L 6*E*I*S1/L^2 -6*E*I*C1/L^2 2*E*I/L; -E*A*C1^2/L-12*E*I*S1^2/L^3 -(E*A/L-12*E*I/L^3)*S1*C1 6*E*I*S1/L^2 E*A*C1^2/L+12*E*I*S1^2/L^3 (E*A/L-12*E*I/L^3)*S1*C1 6*E*I*S1/L^2; -(E*A/L-12*E*I/L^3)*S1*C1 -E*A*S1^2/L-12*E*I*C1^2/L^3 -6*E*I*C1/L^2 (E*A/L-12*E*I/L^3)*S1*C1 E*A*S1^2/L+12*E*I*C1^2/L^3 -6*E*I*C1/L^2 ; -6*E*I*S1/L^2 6*E*I*C1/L^2 2*E*I/L 6*E*I*S1/L^2 -6*E*I*C1/L^2 4*E*I/L]’; K1 =[ E*A*C1^2/L+12*E*I*S1^2/L^3 (E*A/L-12*E*I/L^3)*S1*C1 -6*E*I*S1/L^2 -E*A*C1^2/L-12*E*I*S1^2/L^3 -(E*A/L-12*E*I/L^3)*S1*C1 -6*E*I*S1/L^2; (E*A/L-12*E*I/L^3)*S1*C1 E*A*S1^2/L+12*E*I*C1^2/L^3 6*E*I*C1/L -(E*A/L-12*E*I/L^3)*S1*C1 -E*A*S1^2/L-12*E*I*C1^2/L^3 6*E*I*C1/L^2; -6*E*I*S1/L^2 6*E*I*C1/L^2 4*E*I/L 6*E*I*S1/L^2 -6*E*I*C1/L^2 2*E*I/L; -E*A*C1^2/L-12*E*I*S1^2/L^3 -(E*A/L-12*E*I/L^3)*S1*C1 6*E*I*S1/L^2 E*A*C1^2/L+12*E*I*S1^2/L^3 (E*A/L-12*E*I/L^3)*S1*C1 6*E*I*S1/L^2; -(E*A/L-12*E*I/L^3)*S1*C1 -E*A*S1^2/L-12*E*I*C1^2/L^3 -6*E*I*C1/L^2 (E*A/L-12*E*I/L^3)*S1*C1 E*A*S1^2/L+12*E*I*C1^2/L^3 -6*E*I*C1/L^2 ; -6*E*I*S1/L^2 6*E*I*C1/L^2 2*E*I/L 6*E*I*S1/L^2 -6*E*I*C1/L^2 4*E*I/L]’ k3=k1; K3=K1 k5=k1; K5=K1 end

if i==2 %Elemento 2 y 4 L=L1+L2+L3; hx1=h1-x*(h1-h)/L1; Ax1=BB*hx1; Ix1=BB*hx1^3/12; hx2=h; Ax2=BB*hx2; Ix2=BB*hx2^3/12; hx3=h2-(L-x)*(h2-h)/L3; Ax3=BB*hx3; Ix3=BB*hx3^3/12;

% Hallamos los elemntos de la matriz de rigidez, que esta en funcion de integrales a= int((L-x)^2/(L^2*E*Ix1)+1.2/(L^2*G*Ax1),0,L1)+int((L-x)^2/(L^2*E*Ix2) +1.2/(L^2*G*Ax2),L1,L1+L2)+int((L-x)^2/(L^2*E*Ix3)+1.2/(L^2*G*Ax3)

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,L1+L2,L1+L2+L3); e=int(x*(L-x)/(L^4*E*Ix1)+1.2/(L^2*G*Ax1),0,L1)+int(x*(L-x)/(L^2*E*Ix2) +1.2/(L^2*G*Ax2),L1,L1+L2)+int(x*(L-x)/(L^2*E*Ix3)+1.2/(L^2*G*Ax3), L1+L2,L1+L2+L3); ap=int(x^2/(L^2*E*Ix1)+1.2/(L^2*G*Ax1),0,L1)+int(x^2/(L^2*E*Ix2) +1.2/(L^2*G*Ax2),L1,L1+L2)+int(x^2/(L^2*E*Ix3)+1.2/(L^2*G*Ax3), L1+L2,L1+L2+L3); f33=int(1/(E*Ax1),0,L1)+L2/(E*Ax2)+int(1/(E*Ax3),L1+L2,L1+L2+L3); aa=vpa(a); ee=vpa(e); aap=vpa(ap); ff33=vpa(f33); %Matriz de rigidez local para la viga axartelada k=aap/(aa*aap-ee^2); aaaa=ee/(aa*aap-ee^2); kp=aa/(aa*aap-ee^2); r=1/ff33; bbb=(k+aaaa)/L; bbbp=(kp+aaaa)/L; t=(bbb+bbbp)/L; k2=[r 0 0 -r 0 0; 0 t bbb 0 -t bbbp; 0 bbb k 0 -bbb aaaa; -r 0 0 r 0 0; 0 -t -bbb 0 t -bbbp; 0 bbbp aaaa 0 -bbbp kp]; K2=[r 0 0 -r 0 0; 0 t bbb 0 -t bbbp; 0 bbb k 0 -bbb aaaa; -r 0 0 r 0 0; 0 -t -bbb 0 t -bbbp; 0 bbbp aaaa 0 -bbbp kp] k4=k2; K4=K2 end end

% Ensamblando la matriz de rigidez for p=1:5

% Elemento 1 if p==1 for i=1:nel for j=1:6 if VC(p,j)==0 k1(i,j)=0; for y=1:5 y=y+1; k1(y,j)=0;

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k1(j,y)=0 ; end end end end for i=1:3 k1(1,:)=[]; k1(:,1)=[]; end g=zeros(9); for i=1:3 for j=1:3 g(i,j)=k1(i,j); end end k1=g end % Elemento 2 if p==2 for i=1:nel for j=1:6 if VC(p,j)==0 k2(i,j)=0; for y=1:5 y=y+1; k2(y,j)=0; k2(j,y)=0 ; end end end end k2; gg=zeros(9); for i=1:6 for j=1:6 gg(i,j)=k2(i,j); end end k2=gg end % Elemento 3 if p==3 for i=1:nel for j=1:6 if VC(p,j)==0

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k3(i,j)=0; for y=1:5 y=y+1; k3(y,j)=0; k3(j,y)=0 end end end end ggg=zeros(9); for i=1:6 for j=1:6 ggg(i,j)=k3(i,j); end end k3=ggg end % Elemento 4 if p==4 for i=1:nel for j=1:6 if VC(p,j)==0 k4(i,j)=0; for y=1:5 y=y+1; k4(y,j)=0; k4(j,y)=0; end end end k4 gggg=zeros(9); for i=1:6 for j=1:6 gggg(i+3,j+3)=k4(i,j); end end end k4=gggg end % Elemento 5 if p==5 for i=1:nel for j=1:6

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if VC(p,j)==0 k5(i,j)=0; for y=1:5 y=y+1; k5(y,j)=0; k5(j,y)=0 ; end end end end k5 gf=zeros(9); for i=1:6 for j=1:6 gf(i+3,j+3)=k5(i,j); end end k5=gf end end

% Rigidez encoordenada globales, sumamos... format short K=k1+k2+k3+k4+k5 %K= (k1)+vpa(k2)+vpa(k3)+vpa(k4)+vpa(k5)

% vector de cargas generalizadas en los nudos 1 5 7 Q=[q1; 0 ; 0; 0; -q5; 0;q7; 0; 0] % desplazamientos y giros q=K-1*Q format short q=inv(K)*Q H ; L=L1+L2+L3; % Hallaremos el vector P de desplazamientos para cada miembro y % multiplicamos por la matriz de rigidez global de cada elemento % obteniedo las fuerzas y momentos de los miembros ebn coordenada globales clear P1 P2 P3 P4 P5 for i=1 for j=1:6 if VC(i,j)~=0 P1(j)=q(VC(i,j)); else P1(j)=0;

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end end P1=P1’ disp(’Fuerza y momentos en los extremos de la barra 1:’) PF1=K1*P1 end for i=2 for j=1:6 if VC(i,j)~=0 P2(j)=q(VC(i,j)); else P2(j)=0; end end P2=P2’ PF2=K2*P2 for j=1:6 Pf2(j)=PF2(j) end disp(’Fuerza y momentos en los extremos de la barra 2:’) PF2=Pf2’ end for i=3 for j=1:6 if VC(i,j)~=0 P3(j)=q(VC(i,j)); else P3(j)=0; end end P3=P3’ disp(’Fuerza y momentos en los extremos de la barra 3:’) PF3=K3*P3 end for i=4 for j=1:6 if VC(i,j)~=0 P4(j)=q(VC(i,j)); else P4(j)=0; end end P4=P4’

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disp(’Fuerza y momentos en los extremos de la barra 4:’) PF4=K4*P4 end for i=5 for j=1:6 if VC(i,j)~=0 P5(j)=q(VC(i,j)); else P5(j)=0; end end P5=P5’ disp(’Fuerza y momentos en los extremos de la barra 5:’) PF5=K5*P5 end

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5.

CONCLUSIONES Al desarrollar el problema en MATLAB existe un inconveniente que es el tiempo de c´alculo, pues demora casi 10 minutos, una alternativa para que corra m´ a s r´apido el programa es recurrir a los m´etodos num´ ericos y utilizar alg´ un algoritmo para la integracion como pued ser Gauss o Simpson. Al observar los resultados tanto de MATLAB como de SAP 2000, se concluye que estos son casi iguales y por ende el m´ etodo de la rigidez es muy confiable ya que nos lleva a resultados casi exactos. La peque˜ na diferencia que existe en los resultados se debe a que no se consider´ o el efecto de corte para las columnas, pero si para las vigas. Viendo los resultados que nos da ambos programa (cuadro 1 y 2) , la variaci´on de los resultados esta en el margen permisible. Es necesaria como herramienta fundamental la computadora, ya que sin est´a hubiera sido muy tedioso el c´alculo de la estructura por el m´etodo de la rigidez. Al introducir datos al programa se puede dar como dato de cualquier magnitud de carga o momento que act´ua en cualquier grado de libertad de la estructura. Es necesario hacer un buen modelado de una estructura para que de est´a manera cualquier programa nos de buenos resultados y a estos saber interpretarlos.

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6.

´ REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 1. AGUIAR FALCONI, Roberto - An´ alisis matricial de estructuras 2. TENA COLUNGA, Arturo - An´alisis de estructuras con m´etodos matriciales 3. http : //es.scribd.com/doc/53788480/Breve − Historia − Del − Analisis − Estructural 4. http : //www.elprisma.com/apuntes/curso.asp ?id = 13685 5. http : //es.wikipedia.org/wiki/Matrizd er igidez 6. http : //ing.unne.edu.ar/pub/e3c ap4.pdf  7. Manuales de Matlab

7.

ANEXOS Se adjunta en un CD al presente informe, donde esta contenido el informe hecho integramente en LATEXy el programa que resuelve un portico de 9 grados de libertad que esta en Matlab. Se adjunta 3 carpetas: Anexo1 Programa, Anexo2 Informe y Anexo3 ModenSAP2000, revisando estas carpetas se encontrar´an el programa hecho en MATLAB, el informe en LATEXy el modelamiento de la estructura que se hizo en SAP2000.

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