Matriks Inversi Dan Sifat2nya

MATRIKS INVERSI & SIFAT-SIFATNYA

Bila a, x, b adalah skalar bilangan real yang memenuhi ax = b , −1 maka  x = a b apabila a ≠ 0 .

Sekarang, untuk sistem persamaan linier  A x = b apakah solusi  x −1

dapat diselesaikan dengan  x =  A b ?

Matriks Identitas −1 −1 Untuk skalar a (real number dan number dan a ≠ 0 ), maka a a = aa = 1 .

Untuk matriks

(n x n), n), apabila  A mempunyai

−1

, maka

 AA −1 =  A −1 A = I n Matriks identitas  I n didefinisikan sebagai matriks (n x n) n) sebagai  berikut:

1 0   I n = 0  : 0

0 0 0

  0 1 0  : : : 0 0 1

1

0 0

1 0 0 1 0    I 2 =  ;  I 3 = 0 1 0  0 1  0 0 1

TEOREMA 12

Bila  B adalah matriks (m x n), n), maka  I m B = B dan  BI n = B . Demikian pula, bila  A adalah matriks (n x n), maka  I n A =  AI n =  A

 I n  pada dasarnya adalah I n =

l1

1  0    = 0    :  0

l2

0  1    = 0    :  0

ln

[l

1

l2

...

ln

]

0  0    = 0    :  1 

Matriks Inversi

Definisi 12

Sebuah matriks  B (n x n) adalah invers dari matriks  jika memenuhi  AB = BA = I n .

(n x n)

Contoh: 1  − 2 1 2  B =   A =    3 2 − 1 2 3 4 Tunjukkan bahwa matriks  A2×2 berikut ini tidak memiliki invers.

1 2  A =   3 6

 Jawab:

a b    c d 

−1  A = B =  Katakanlah

1 2 a b   a + 2c b + 2d   1 0  AB =  = I 2 =  =      3 6 c d  3 a 6 c 3 b 6 d  0 1 + +        sehingga a + 2c = 1 dan 3a + 6c = 0 ⇒

tidak ada solusi

⇒

tidak ada inversi

TEOREMA 13

Bila  B dan C adalah invers dari matriks  A , maka  B = C . Bila matriks

mempunyai invers, maka inversnya adalah unik.

Formula sederhana untuk menghitung invers matriks (2x2):

Matriks  A2×2

a b  sebagai berikut:  A =  c d   

 bila ∆ = ad − bc maka a. jika

∆ = 0 , maka

tidak mempunyai invers

 b. jika

∆ ≠ 0 , maka

mempunyai invers sebagai berikut:

 A−1 =

− b ∆ − c a  1  d 

a b  1  d  − b  ⋅     c d  ∆ − c a 

 AA−1 = 

=

1 ad  − bc

∆ 

1 0 =  0 1 

0

  ad  − bc  0

Contoh:

6 8   A =   3 4

1 7   B =   3 5

 Jawab: Matriks A:

∆ = 4(6) – 3(8) = 24 – 24 = 0 Matriks A tidak mempunyai invers, sebab ∆ = 0

Matriks B:

∆ = 1(5) − 7(3) = −16 , maka B mempunyai invers yaitu:

 B −1 = −

1 5



7



16 − 3 1 .

SIFAT-SIFAT INVERS MATRIKS

TEOREMA 14

dan  B adalah matriks (n x n) yang keduanya mempunyai invers, maka: 1. 2.

−1

− − ( )  A mempunyai sebuah invers, dan 1

 B mempunyai invers, dan

invers, dan 4.

T 

1

 A k 

=  A

( AB )−1 = B −1 A−1

3. Bila k  adalah scalar tak nol, maka

(kA)−1 =

1

kA mempunyai sebuah

−1

−  A = ( A− ) ( ) mempunyai invers, dan T 

1

1 T 

Contoh: A dan B adalah matriks-matriks (2x2) sebagai berikut:

3 − 2 1 3   B =   A =    1 − 1 2 4     a. Gunakan formula sederhana untuk menghitung  b. Gunakan teorema 14 untuk menghitung −1

−1 −1 c. Perlihatkan bahwa ( AB ) ≠  A  B

( AB )−1

−1

−1

−1 , B , ( AB )

INVERS MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN LINIER 

TEOREMA 15  A x = b adalah sebuah sistem persamaan linier (n x n), dan anggap

mempunyai invers. Maka sistem tersebut mempunyai solusi −1

yang unik yakni:  x =  A b

Contoh: Tentukan solusi SPL sebagai berikut:

 x1 + 3 x2 = −1

2 x1 + 4 x2 = 2  Jawab: Matriks koefisien

− 2 3 2  1 3 −1  A =  1 − 1 2 ;    2 4

 A = 

maka:

 x1  − 2 3 2  − 1  5   x  =  1 − 1 2  2  = − 2      2   x1 = 5 dan  x2 = −2

Catatan:

•  A x = b

mempunyai

−1 solusi  x =  A b

hanya

bila

merupakan matriks bujur sangkar dan mempunyai invers.

• Meskipun

demikian,

meski

mempunyai

invers,

mereduksi matriks yang diperbesar   A b adalah lebih efisien dibandingkan dengan menghitung

−1

.

• Dari sudut pandang komputasi, metode eliminasi Gauss lebih disukai untuk memecahkan sistem persamaan linier 

 A x = b .

MENENTUKAN INVERS DARI SEBUAH MATRIKS TAK SINGULAR 

TEOREMA 16

Bila

(n x n) adalah sebuah matriks tak singular, maka ada

sebuah matriks B (n x n) sedemikian rupa sehingga  B = I .

Contoh: Sebuah matriks

(3 x 3) sebagai berikut:

3 − 1 1    A = − 2 − 5 1    1 5 − 2 Perlihatkan bahwa

tak singular dan tentukan matriks B (3 x 3)

sedemikian rupa sehingga

 B = I .

 Jawab: SPL homogen  A x = θ  mempunyai matriks yang diperbesar  sebagai berikut:

3 − 1 0 1 [ Aθ ] = − 2 − 5 1 0 ,  1 5 − 2 0

 bila direduksi ke dalam bentuk eselon, diperoleh 1 3 − 1 0   C  = 0 1 − 1 0   0 0 1 0 Æ

SPL homogen tersebut mempunyai solusi trivial, maka adalah matriks tak singular, sehingga  A x = b akan mempunyai

solusi yang unik untuk setiap vektor  b (3 x 1).

Matriks Identitas I (3 x 3) 1 0 0    I  = 0 1 0 = [l1   0 0 1

l2

l3

]

b11 b12 b13  b  = [ x  x  x ] =  B b b 1 2 3 matriks  21 22 23  b31 b32 b33 

Dengan demikian:  A x1 = l1 ,  A x 2 = l 2 ,  A x 3 = l 3 akan juga mempunyai solusi yang unik.

Persamaan linier  A x1 = l1 mempunyai matriks yang diperbesar  sebagai berikut: 3 − 1 1 1 [ A l1 ] = − 2 − 5 1 0  1 5 − 2 0

1 3 − 1 1    Bentuk eselon: 0 1 1 2  0 0 1 − 5  x1 = 5 ,  x2 = −3 ,  x3 = −5

5   maka b1 = − 3 , − 5 1  − 2     dengan cara yang sama diperoleh b 2 =  − 1 dan b 3 =  1  . − 2  1 

Dengan demikian, matriks B (invers dari matriks A): 1 − 2 5    B = [b1 , b 2 , b 3 ] = − 3 − 1 1   − 5 − 2 1 

check! 3 − 1  5 1 − 2 1 0 0 1  − 2 − 5 1   − 3 − 1 1  = 0 1 0       1 5 − 2 − 5 − 2 1  0 0 1

TEOREMA 17

Bila

dan

adalah matriks (n x n) sedemikian rupa sehingga

 B = I , maka  A =  I . Dalam hal ini

=

−1

TEOREMA 18

Sebuah matriks

(n x n) mempunyai invers, jika dan hanya jika

tak singular.

TEOREMA 19

adalah matriks (n x n). Berikut ini berlaku: 1.

tak singular, yaitu  x = θ  hanya merupakan solusi  A x = θ 

2. Vektor-vektor kolom matriks

tak bergantungan linier.

3.  A x = b selalu mempunyai solusi  x yang unik. 4.

mempunyai invers.

Cara lain menghitung invers matriks

Sebagai ilustrasi, misalkan

(3x3) sebuah matriks tak singular 

yang sebelumnya telah dijelaskan. −1

sebagai matriks  B = b1

b2

b3 .

Dalam hal ini b1 , b 2 , b 3 adalah solusi tunggal dari 3 SPL berikut:

 Ab1 = l1

 Ab 2 = l 2  Ab 2 = l 2

Dari 3 kali melakukan reduksi membentuk matriks eselon, Æ

sekarang cukup satu kali:

 A l1

l2

l3

→

matriks (3x6)

[ A I ] → [ I  B] →  I  A−

1

Contoh:

1 2 3     A = 2 5 4   1 − 1 10

[ A l

1

l2

1 2 3 1 0 0   5 4 0 1 0 = [ A I ] l3 ] = 2   1 − 1 10 0 0 1

 R2 − 2 R1 , R3 − R1

3 1 0 0 1 2 0 1 − 2 − 2 1 0   0 − 3 7 − 1 0 1

 R3 + 3 R2

1 0 0 1 2 3 0 1 − 2 − 2 1 0    0 0 1 − 7 3 1

 R1 − 3 R3 , R2 + 2 R3

1 2 0 22 − 9 − 3 0 1 0 − 16 7  2   0 0 1 − 7 3 1 

 R1 − 2 R2

1 0 0 54 − 23 − 7 0 1 0 − 16 7  2 = [ I  B ]   0 0 1 − 7 3 1 

 54 − 23 − 7  → B =  A−1 = − 16 7 2   − 7 3 1 

Æ

bentuk eselon

DETERMINAN

Didefinisikan hanya untuk matriks bujur sangkar 

Definisi 1  A = (aij ) adalah matriks (2x2).

Determinan A adalah: det( A) = a11a22 − a12 a21 a11

notasi: det( A) = a 21

a12 a22

Contoh: Tentukan determinan matriks-matriks sebagai berikut:

 1 2  − 1 3

3 4  6 8 

 A = 

 B = 

 Jawab: det( A) =

det( B ) =

1

2

−1 3 3

4

6

8

= 3+ 2 = 5

= 24 − 24 = 0

Definisi 1a

 A adalah matriks (3x3). Determinan det( A) = a11

a22

a23

a32

a33

− a12

a21

a23

a31

a33

+ a13

adalah a21

a22

a31

a32

Definisi 2  A = ( aij ) adalah matriks (n x n).  M rs adalah matriks (n-1)x(n-1)

yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-r dan kolom ke-s. Matriks  M rs dikatakan sebagai matriks minor dari matriks Selanjutnya:  Aij = (−1)i + j det( M ij ) yang dikatakan sebagai kofaktor.

Contoh: Tentukan minor matriks-matriks  M 11 , M 23 dan  M 32 untuk  matriks

sebagai berikut:

1 − 1 2     A = 2 3 − 3   4 5 1  Hitung pula kofaktor  A11 , A23 dan  A32

.

 Jawab:  M 11 diperoleh dengan menghilangkan baris 1 dan kolom 1 pada

matriks A:

1 − 1 2     A = 2 3 − 3   4 5 1 

diperoleh

3 − 3  M 11 =  , 5 1  

diperoleh

 M 23 = 

diperoleh

 M 32 = 

dengan cara yang sama:

1 − 1 2     A = 2 3 − 3   4 5 1 

1 − 1 2     A = 2 3 − 3   4 5 1 

1 − 1  4 5 

1

Kofaktor:  A11 = (−1)1+1 det M 11 = 3.1 + 3.5 = 18

 A23 = (−1) 2+3 det M 23 = −1(1.5 + 1.4) = −9  A32 = (−1)3+ 2 det M 32 = −1(−3 − 4) = 7

2

 2 − 3

Definisi 3  A = (aij ) adalah matriks (n x n).

adalah: det( A) = a11 A11 − a12 A12 + ... + a1n A1n

Determinan

dimana  Aij adalah kofaktor aij , 1 ≤  j ≤ n .

Contoh: Hitung determinan matriks

sebagai berikut:

3 2 1   A = 2 1 − 3   4 0 1 

 Jawab: det( A) = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 =3

1

−3

0

1

−2

2

−3

4

1

+1

2 1 4 0

= 3(1) − 2(14) + 1( −4) = −29

Contoh: Hitung determinan matriks 2 0 1 −1 2 3  A =  − 3 2 − 1   2 −3 −2

sebagai berikut:

2

  0  1 1

 Jawab: det( A) = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 + a14 A14 =  A11 + 2 A12 + 2 A14 2

3

1

2 0 2 −1 −1 0  A11 = 2 − 1 0 = 2 −3 +1 = −15 −2 1 −3 1 −3 −2 −3 −2 1

−1 3 1  A12 = − 3 − 1 0 = −18 2 −2 1

−1  A14 = − 3 2

2

3

2

−1

−3

2

det( A) =  A11 + 2 A12 + 2 A14 = −15 − 36 − 12 = −63

Soal : Hitung determinan matriks segitiga bawah sebagai berikut:

3 1 T  =  2  1

0

0

0

2

0

0

  3 2 0  4 5 1

 solusi: det(T ) = t 11T 11 + t 12T 12 + t 13T 13 + t 14T 14

karena t 12 = t 13 = t 14 = 0 , maka 2 det(T ) = t 11T 11 = 3 3 4

0 0 2 0 = 3⋅ 2 5 1

2 0 5 1

= 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅1 = 12

TEOREMA 1 T  = (t ij ) adalah matriks segitiga bawah (n x n). Maka, det(T ) = t 11 ⋅ t 22 ⋅ t 33 ⋅ ... ⋅ t nn

Contoh:  I n adalah matriks identitas (n x n). Hitung determinan  I n .

 Jawab: Karena  I  dapat dikatakan sebagai matriks segitiga bawah dengan elemen-elemen diagonal = 1, maka:

det( I ) = 1 ⋅1 ⋅1 ⋅ ... ⋅1 = 1

OPERASI ELEMENTER DAN DETERMINAN

TEOREMA 2 T  Bila  A adalah matriks (n x n), maka det( A ) = det( A) .

TEOREMA 3

[

 A =  A1  A 2

dari

]

...  A n adalah matriks (n x n). Bila  B diperoleh

melalui pertukaran 2 kolom atau 2 baris, maka:

det( B ) = − det( A)

Contoh: Tentukan determinan dari matriks-matriks sebagai berikut:

1 3 1     A = 2 0 4   1 2 3

3 1 1     B = 0 2 4   2 1 3

1 1 3    C  = 2 4 0   1 3 2

1 1 3    F  = 4 2 0   3 1 2

Dalam hal ini

 A =  A1  A2  A3

[

C  =  A1  A3  A2

]

 B =  A2  A1  A3

[

 F  =  A3  A1  A 2

det( A) = 10

det( B ) = det(C ) = − det( A) = +10  A → G =  A 2

 A1  A3 →  F  =  A3  A1  A 2

maka, det(G ) = − det( A)

dan det( F ) = − det(G ) , selanjutnya det( F ) = − det(G ) = −[− det( A)] = det( A) = 10

]

TEOREMA 4

Bila  A adalah matriks (n x n), dan bila  B adalah matriks (n x n) yang diperoleh dengan mengalikan kolom ke- j (atau baris ke- j) matriks

dengan sebuah skalar c, maka: det( B ) = c det( A)

contoh:

 a11 a12   A =   a21 a22 

ca11  A' =  ca21

a12 



a22 

 a11

 A'' = 

ca12 

 a21 ca22 

det( A' ) = ca11 ⋅ a22 − ca21 ⋅ a12 = c(a11a22 − a21a12 ) = c ⋅ det( A) det( A '' ) = ca11 ⋅ a 22 − ca 21 ⋅ a12 = c(a11 a 22 − a 21 a12 ) = c ⋅ det( A)

TEOREMA 4 a.

adalah matriks (n x n) dan c adalah sebuah skalar, maka: det(cA) = c n det( A)

Contoh: Hitung determinan (3A)

1 2   A =   4 1  

 Jawab:

det( A) = −7 det(cA) = 32 ⋅ 7 = −63

check:

 3 6 3 A =   12 3   det(3 A) = 9 − 72 = −63

Microsoft Equation 3.0