Matrici i Determinanti

Дискретна математика 1: Матрици и детерминанти

1. ЕЛЕМЕНТИ ОД АЛГЕБРА НА МАТРИЦИ 1. МАТРИЦИ 1.1 Дефиниција и видови матрици Дефиниција 1. Матрица. Правоаголна табела со m редици и n колони, составена од елементи на дадено множество P ⎡a11 a12 . . . a1n ⎤ ⎢a a . . . a ⎥ 2n ⎥ A = ⎢ 21 22 ⎢ .. . . . . . . . . . ⎥ ⎢ ⎥ ⎣a m1 a m 2 . . . a mn ⎦ се нарекува матрица од ред mxn над P. Елементите аij на матрицата, ги нарекуваме скалари и притоа индексот i ја означува редицата, а индексот ј - колоната во која се наоѓа елементот аij. Често пати се користи и ознаката

Amxn = [aij]mxn , (i=1,...,m;j=1,...,n) или само симболот Аmxn. Исто така ќе ја користиме и ознаката (A)ij за елементот што се наоѓа во i-тата редица и j-тата колона на матрицата A. Примери: ⎡ 5 ⎡1 − 1 / 2⎤ ⎢ ⎢ ⎥ A = ⎢0 3 ⎥, B=⎢1 ⎢− 2 ⎢⎣2 5 ⎥⎦ ⎣ Матрицата А е од ред 3x2, матрицата B

3 4⎤ ⎡1 + i ⎤ ⎥ 2 0 ⎥, C = ⎢⎢ i ⎥⎥ ⎢⎣2 − i ⎥⎦ 5 7 ⎥⎦ е од ред 3x3, а матрицата C од ред 3x1.

Дефиниција 2: Квадратна матрица. Матрицата кај која бројот на редиците е еднаков со бројот на колоните, односно m=n велиме дека е квадратна матрица од ред n, Аn. Во претходниот пример матрицата B е квадратна матрица од ред 3. Во општ случај за матрицата Аmxn = [aij]mxn велиме дека е правоаголна. Ако m =1, матрицата A1xn =[ a12 a12 . . . . a1n] и се нарекува вектор - редица и ако n=1 , матрицата ⎡a11 ⎤ ⎢a ⎥ ⎢ 21 ⎥ Amx1 = ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢. ⎥ ⎢am1 ⎥ ⎣ ⎦ и се нарекува вектор - колона. 1

Дискретна математика 1: Матрици и детерминанти

⎡a11 a12 K a1n ⎤ ⎢a a 22 K a 2 n ⎥⎥ Во квадратна матрица Аn= ⎢ 21 елементите за кои i=j , односно aij ⎢K K K K⎥ ⎥ ⎢ ⎣a n1 a n 2 K a nn ⎦ за i=1,…,n, ја сочинуваат главната дијагонала.

Понатаму, ако инаку не е кажано, ќе сметаме дека матриците што ќе ги разгледуваме се над множеството на реални броеви, ℜ. Дефиниција 3. Спротивна матрица. Нека Amxn = [aij]mxn e дадена матрица. Матрицата -Amxn = [-aij]mxn ја нарекуваме спротивна на матрицата А. Дефиниција 4. Нулта матрица. Ако сите елементи во матрицата се нули, соодветната матрица се нарекува нулта матрица од ред mxn и се означува со Omxn. Дефиниција 5. Дијагонална матрица. Ако сите елементи во квадратна матрица Dn = [dij] кои не лежат на главната дијагонала се 0, односно dij=0 za i≠j, велиме дека матрицата е дијагонална.

Dnxn

⎡d11 0 0 . . . ⎢0 d 0 . . . 22 =⎢ ⎢. . . . . . . . . ⎢ ⎣0 . . . . . . 0

0 ⎤ 0 ⎥⎥ . ⎥ ⎥ d nn ⎦

Дефиниција 6. Скаларна матрица. Ако сите елементи на главната дијагонала на дијагонална матрица C се меѓусебе еднакви, односно d11=d22=. . . =dnn=c за C ⎡c 0 0 . . . 0 ⎤ ⎢ 0 c 0 . . . 0⎥ ⎥ велиме дека е скаларна матрица од ред n. C n = ⎢ ⎢. . . . . . . . . ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 . . . . . . c⎦ Дефиниција 7. Идентична матрица. Скаларна матрица nxn, во која сите елементи на главната дијагонала се 1 се нарекува идентична матрица од ред n и се означува со En или In или едноставно со E, односно I ако знаеме за колку колони односно редици се работи. ⎡1 0 0⎤ На пример, единична матрица од ред 3, е матрицата I 3 = ⎢⎢0 1 0⎥⎥ . ⎢⎣0 0 1⎥⎦ Дефиниција 8. Транспонирана матрица. Нека е дадена матрица A = [aij]mxn. Матрицата што се добива така што колоните (редиците) на матрицата A стануваат редици (колони) се вика транспонирана матрица за матрицата A и се означува со 2

Дискретна математика 1: Матрици и детерминанти

AT или A'. Односно матрицата A'=[a'ij]nxm е транспонирана матрица за матрицата A=[aij]mxn акко a'ij = aji или (AT)ij=(A)ji. Пример: ⎡a11 a12 ⎤ ⎡a11 a21 a31 ⎤ A = ⎢⎢a21 a22 ⎥⎥ AT = ⎢ ⎥ ⎣a12 a22 a32 ⎦ ⎢⎣a31 a32 ⎥⎦ ⎡ 2 3 4⎤ A=⎢ ⎥, ⎣0 1 2 ⎦

⎡2 0⎤ A = ⎢⎢3 1 ⎥⎥ ⎢⎣4 2⎥⎦ '

Дефиниција 9. Еднаквост на матрици. Две матрици A = [aij]mxn и B = [bij]pxq велиме дека се еднакви ако и само ако се од ист ред, односно m=p и n=q и aij=bij за секој i=1,2,...,m; j=1,2,...,n. Пример: Матриците ⎡2 x − y x + y ⎤ ⎡1 2 ⎤ ⎢ x − y x + 3 y ⎥ = ⎢0 4⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ се еднакви ако и само ако 2x-y=1 x+y=2 x-y=0 и x+3y=4. 1.1° Со транспонирање на транспонираната матрица се добива првобитната матрица, односно (AT)T = A . Доказ: Нека Amxn=[aij]mxn и ATnxm =[a’ij]nxm Тогаш a'ij = aji. Ако сега земеме (AT)T=[a”ij] добиваме матрица од ред mxn, и притоа a”ij=a’ji=aij.♦ Дефиниција 10. Симетрична матрица. Квадратна матрица од ред n, Anxn во која aij=aji за секои i,j=1,2,...,n; велиме дека е симетрична матрица. 1.2° Ако S е симетрична матрица од ред n, тогаш , ST=S. ♦ Дефиниција 11. Антисиметрична матрица. Нека А = [aij] е квадратна матрица од ред n. Ако aij=-aji велиме дека А е антисиметрична. 1.3° Ако матрицата An е антисиметрична тогаш АT = -A. ♦

3

Дискретна математика 1: Матрици и детерминанти

1.2 Основни операции со матрици Пред да дефинираме операции во множетвото на матрици да се потсетиме на својствата кои ги имаат операциите собирање и множење на реални броеви. Множеството на реални броеви, ℜ во однос на операциите собирање (+) и множење (⋅) ги задоволува следните својства: За секои a,b,c∈ℜ 1. a+b, a⋅b∈ℜ (затвореност); 2. a+(b+c)=(a+b)+c, a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c (асоцијативни закони); 3. a+b=b+a, a⋅b=b⋅a (комутативни закони); 3. Постои неутрален елемент во однос на собирањето, 0∈ℜ, (реалниот број нула) така што за секој a∈ℜ, a+0=0+a=a; 4. За секој a∈3 постои елемент b∈ℜ така што a+b=b+a=0. (Секој елемент од ℜ има инверзен или спротивен елемет во однос на собирањето.) Спротивниот елемент на елементот a го означуваме со –a; 5. Постои неутрален елемент во однос на множењето, 1∈ℜ, (единица на ℜ), така што за секој a∈ℜ, a⋅1=1⋅a=a ; 6. За секој a∈ℜ, a≠0, постои елемент b∈ℜ, така што a⋅b=b⋅a=1. (Секој елемент различен од 0, има инверзен елемнт во однос на множењето.) Инверзниот елемент на елементот а во однос на множењето го означуваме со a-1. 7. За секои a,b,c∈ℜ, a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c (операцијата множење е дистрибутивна во однос на операцијата собирање). Велиме дека множеството реални броеви, ℜ(+,⋅), е поле во однос на оперцациите собирање и множење на реални броеви. Уште повеќе, секое множество P кое содржи барем два елементи и на кое се дефинирани две опрерации “+” (собирање) и “⋅” (множење), за кои важат својствата 1-7 велиме дека е поле. Примери за поле, освен реалните броеви ℜ(+,⋅) се и множеството рационални броеви Q(+,⋅), како и множеството комплексни броеви C(+,⋅) во однос на вообичаените операции собирање и множење на броеви. Поле претставува и множеството Z2={0,1}, остатоци при делење со бројот 2, со операциите собирање и множење дефинирани на следниот начин:

4

Дискретна математика 1: Матрици и детерминанти

+ 0 1

0 0 1

1 1 0

⋅ 0 1

0 0 0

1 0 1

Во понатамошното изложување ќе сметаме дека елементите на матриците се елементи од дадено поле, а ако не е инаку кажано ќе сметаме дека тоа е полето на реални броеви. Дефиниција 12. Собирање на матрици. Збир на две матрици A=[aij] и B=[bij] од ист тип mxn, се нарекува матрица C=[cij] од тип mxn така што елементите cij се збир на соодветните елементи на A и B или cij = aij + bij (i=1,2, . . . ,m; j=1,2, . . . ,n) и пишуваме A+B=C односно ⎡a11 a12 . . . a1n ⎤ ⎡b11 b12 . . . b1n ⎤ ⎡a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n ⎤ ⎢a a . . . a ⎥ ⎢b b . . . b ⎥ ⎢a + b a + b . . . a + b ⎥ 2n ⎥ 2n ⎥ 22 2n 2n ⎥ ⎢ 21 22 + ⎢ 21 22 = ⎢ 21 21 22 ⎢...................... ⎥ ⎢..................... ⎥ ⎢............................................ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣am1 am 2 . . . amn ⎦ ⎣bm1 bm 2 . . . bmn ⎦ ⎣am1 + bm1 am 2 + bm 2 . . . amn + bmn ⎦ Пример:Ако

⎡2 3 4⎤ A=⎢ ⎥, ⎣5 2 0⎦

⎡1 − 2 − 3 ⎤ ⎡2 1⎤ B=⎢ , C=⎢ ⎥ ⎥ 0⎦ ⎣0 − 1 ⎣1 3 ⎦

Тогаш: ⎡2 + 1 3 − 2 4 − 3⎤ ⎡3 1 1 ⎤ A+ B = ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎣5 + 0 2 − 1 0 − 0⎦ ⎣5 1 0⎦ додека матрицата C не може да се собира ни со A ни со B. Дефиниција 13. Производ на матрица со скалар. Производ на матрица A=[aij] од тип mxn со скалар α∈3 е матрица C=[cij] од тип mxn така што cij = α aij за (i=1,2, . . . ,m; j=1,2, . . . ,n) и пишуваме C = α A. Пример: ⎡ 2 3 4⎤ ⎡4 ⋅ 2 4 ⋅ 3 4 ⋅ 4⎤ ⎡8 12 16⎤ , α = 4, 4 ⋅ A = ⎢ A=⎢ ⎥ ⎥ ⎥=⎢ ⎣5 2 0⎦ ⎣4 ⋅ 5 4 ⋅ 2 4 ⋅ 0⎦ ⎣20 8 0 ⎦ Матрицата (-1)A ќе ја означуваме со -A. Дефиниција 14. Разлика на две матрици од ист тип дефинараме со A – B = A + (-1) B. За произволни матрици A, B и C од ист тип и скалари α,β∈3 користејќи ги дефинициите и својствата на собирањето и множењето во полето 3 лесно можат да се покажат следните својства: 5

Дискретна математика 1: Матрици и детерминанти

1.4° A + B = B + A (комутативност) 1.5° (A + B) + C = A + (B + C) (асоцијативност) 1.6° A + O = O + A = A (со O е означне нултата матрица од ист тип како и A) 1.7° A + (-A) = (-A) + A = O 1.8° α (A + B) = αA + αB 1.9° (α + β) A = αA + βA 1.10° (αβ) A = α(βA) 1.11° 1⋅ A = A 1.12° (A + B)T = AT + BT 1.13° (αA)T = αAT Дефиниција 15. Производ на две правоаголни матрици A и B со големини mxn и nxp соодветно се нарекува матрица C од ред mxp, чии елементи се определени со n

cij = ∑ aik bkj (i = 1,2,...m; j = 1,2,..., p) k =1

и пишуваме C= AB. Односно на позиција ij во матрицата производ се наоѓа алгебарскиот збир на соодветните елементи од i -тата редица од матрицата A и jтата колона од матрицата B. Токму затоа, потребно е бројот на колоните од првата матрица да е ист со бројот на редиците од втората матрица. Односно a11 . ai1 . am1

a12 . ai2 . am2

⎡ n ⎢∑ a1k bk1 ⎢ k =1 ⎢. . . . ⎢ n ⎢∑ a b ⎢ k =1 ik k1 ⎢ ⎢ . . . ⎢ n ⎢∑ a mk bk1 ⎣ k =1

. . . . .

. . . . .

. . . . .

a1n . ain . amn

. . .

∑a

b11 b21 . . . bn1

⋅

m

k =1

bkj

k =1

ik

bkj

. .

. . . . . . . . . n

. . .

∑a k =1

. . . . . .

b1p b2p . . . bnp

=

⎤ bkp ⎥ k =1 ⎥ . . . . . ⎥ ⎥ m . ∑ aik bkp ⎥ ⎥ k =1 ⎥ . . . . . ⎥ n ⎥ . . ∑ a mk bkp ⎥ k =1 ⎦

. . .

m

∑a

b1j b2j . . . bnj

m

1k

. . . . . . . . . . . .

. . . . . .

mk

bkj

.

∑a

1k

Пример : ⎡a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22 a11b13 + a12b23 ⎤ ⎡a11 a12 ⎤ ⎡b11 b12 b13 ⎤ = ⎢a b + a b a b + a b a b + a b ⎥ ⎢a a ⎥ ⎢b b b ⎥ 22 21 21 12 22 22 21 13 22 23 ⎦ ⎣ 21 22 ⎦ ⎣ 21 22 23 ⎦ ⎣ 21 11

6

Дискретна математика 1: Матрици и детерминанти

⎡2 3 ⎤ ⎡1 2 3⎤ A=⎢ , B=⎢ ⎥ ⎥, ⎣5 2 ⎦ ⎣0 1 0 ⎦ Својства: 1.14° (AB)C = A(BC)

⎡2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 0 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 1 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 0 ⎤ ⎡2 7 6 ⎤ A⋅ B = ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎣5 ⋅ 1 + 2 ⋅ 0 5 ⋅ 2 + 2 ⋅ 1 5 ⋅ 3 + 2 ⋅ 0⎦ ⎣5 12 15⎦ (асоцијативност)

Доказ: Нека A е mxn, B е nxp и C е pxq матрица. Тогаш AB е матрица од ред mxp, односно (AB)C е матрица од ред mxq, додека BC е матрица од ред nxq, односно A(BC) исто така е матрица од ред mxq. Да видиме сега дали и соодветните елементи се еднакви. p

p

n

n

p

k =1

k =1

s =1

s =1

k =1

(( AB)C ) ij = ∑ ( AB) ik C kj = ∑ (∑ Ais Bsk )C kj = ∑ Ais (∑ Bsk C kj ) n

= ∑ Ais ( BC ) sj = ( A( BC )) ij

♦

s =1

На сличен начин се докажуваат и следните својства: 1.15°(A + B)C = AC + BC A(B + C) = AB + AC (дистрибутивност) Важно! Множењето матрици не е комутативно односно AB ≠ BA. Имено, ако едниот производ е дефиниран другиот не мора да биде дефиниран. Дефиниција 16. Комутатор. Ако AB = BA велиме дека матриците A и B комутираат. Ако AB и BA постојат, тогаш матрицата C=AB-BA се нарекува комутатор на A и B. 1.16° Ако A = [aij] е правоаголна mxn матрица, a D =[dii] е дијагонална nxn матрица тогаш елементите на матрицата C = AD се cij = aij d jj . Или една матрица

се множи од десно со дијагонална матрица ако секоја колона на матрицата А се помножи со соодветниот елемент од дијагоналата на дијагоналната матрица. Ако A = [aij] е правоаголна mxn матрица, a D =[dii] е дијагонална mxm матрица тогаш елементите на матрицата C = DA се cij=diiaij. Или една матрица се множи од лево со дијагонална матрица, ако секој ред на матрицата А се помножи со соодветниот елемент од дијагоналата на дијагоналната матрица. Доказ: Ако A = [aij] е правоаголна mxn матрица , a D =[dii] е дијагонална nxn n

матрица тогаш елементите на матрицата C = AD се cij = ∑ aik d kj = aij d jj , бидејќи k =1

dkj=0 за k≠j. Ако A = [aij] е правоаголна mxn матрица, a D =[dii] е дијагонална mxm n

матрица, тогаш елементите на матрицата C = DA се cij = ∑ d ik a kj = d ii aij , бидејќи k =1

dik=0 за i≠k. ♦ 7

Дискретна математика 1: Матрици и детерминанти

Како последица на претходното својство добиваме 1.17° Ако A e mxn правоаголна матрица, a In и Im соодветните единични матрици, тогаш AIn = ImA = A.♦

Ако А е квадратна матрица можеме да дефинираме степен на А со Ap = A ⋅A ⋅...⋅A (p=1,2,. . . ). Дефинираме А0=I. p пати Од асоцијативноста на множењето следува дека 1.18° Ap Aq = Ap+q 1.19° (AB)T = BT AT.

Доказ: Ако A е mxn, B е nxp, тогаш AB е mxp, додека (AB)T е pxn матрица. BT е pxn, AT е nxm, односно BTAT е pxm матрица. Уште повеќе, n

n

n

k =1

k =1

k =1

(( AB) T ) ij = ( AB) ji = ∑ ( A) jk ( B) ki = ∑ ( AT ) kj ( B T ) ik = ∑ ( B T ) ik ( AT ) kj = ( AT B T ) ij ♦ Дефиниција 17. Инверзна матрица. Квадратната матрица A велиме дека е регуларна (несингуларна) или дека има инверзна марица ако постои квадратна матрица B таква што AB=BA=I. Ако за матрицата А не постои инверзна матрица велиме дека А е сингуларна матрица. Пример: 7 ⎤⎡ 3 ⎡ 5 ⎢− 2 − 3⎥ ⎢− 2 ⎣ ⎦⎣ ⎡ 5 matricite ⎢ ⎣− 2

7 ⎤ ⎡1 0⎤ ⎡ 3 7 ⎤ ⎡ 5 7 ⎤ ⎡1 0⎤ =⎢ = , ⎢ , ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ − 5⎦ ⎣0 1⎦ ⎣− 2 − 5⎦ ⎣− 2 − 3⎥⎦ ⎢⎣0 1⎥⎦ 7⎤ ⎡ 3 7 ⎤ i ⎢ ⎥ ⎥ − 3⎦ ⎣ − 2 − 5⎦

се регуларни и инверзни една на друга. 1.20° Секоја регуларна матрица има само една инверзна матрица.

Доказ: Нека AB=BA=I и AC=CA=I. Тогаш B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C. ♦ Значи B=C, односно A не може да има две различни инверзни марици. Бидејќи за дадена матрица ако постои инверзна матрица таа е единствена, ќе ја означуваме со A-1. Дирекно, од дефиницијата следува дека 8

Дискретна математика 1: Матрици и детерминанти

21° (A-1)-1=A 22° Ако A и B се регуларни матрици од ист ред, тогаш и матрицата AB е регуларна и притоа (AB)-1=B-1A-1.

Доказ: Нека A и B се регуларни матрици. Тогаш (AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AA-1=I, (B-1A-1)(AB)=B-1(A-1A)B=B-1B=I. 2.2 Елементарни матрици Дефиниција 2.2.1 Елементарна трансформација на дадена матрица А од тип mxn претставува една од следните трансформации: 1. Маѓусебна замена на две редици (колони) на матрицата. 2. Множење на сите елементи од една редица (колона) со скалар различен од нула. 3. Додавање на елементите од еден ред (колона) помножени со скалар различен од нула на соодветните елементи од друг ред (колона). Дефиниција 2.2.2 Еквивалентни матрици. Ако матрицата B е добиена од матрицата A со конечен број елементарни трансформации велиме дека A и B се еквиваленти матрици и пишуваме A~B. Дефиниција 2.2.3 Елементарни матрици. Матриците добиени со една од елементарните трансформации на единичната матрица In се нарекуваат елементарни матрици. Со Eij ја означуваме елементарната матрица добиена со замена на i-тата и j-тата редица на единичната матрица. Со Ei(α) ја означуваме елементарната матрица добиена со множење на iтата редица на единичната матрица со α. Со Eij(α)ја означуваме елементарната матрица добиена кога j-тата редица на единичната матрица се помножи со α и се додаде на i-тата редица. Ако со E’ij, E’i(α) и E’ij(α) ги означуваме елементарните матрици, кои одговараат на соодветните елементарни трансформации на колоните на единичната матрица, лесно може да се покаже дека, ако елементарните матрици се од ист ред тогаш важи:

Eij = E’ij,

Ei(α) = E’i(α) и

Eij(α) = E’ji(α)

Пример 2.2.1 Елементарни матрици од ред 3:

⎡0 1 0 ⎤ E12 = ⎢1 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 1⎥⎦

E3 ( 2 )

⎡1 0 0 ⎤ = ⎢0 1 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 2⎥⎦

9

E13( 2 )

⎡1 0 2⎤ = ⎢0 1 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 1⎥⎦

Дискретна математика 1: Матрици и детерминанти

⎡0 1 0 ⎤ ⎢ ⎥ Пример 2.2.2. Нека E1 = 1 0 0 е елементарната матрица од претходниот ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 1⎥⎦ пример. Нека A и B се матриците

Да се определат матриците E1A и E1B. Решение:

⎡0 1 0 ⎤ ⎢ ⎥ Пример 2.2.3 Нека E '12 = 1 0 0 ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 1⎥⎦

E3 ( 2 )

⎡1 0 0 ⎤ = ⎢0 1 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 2⎥⎦

E13( 2 )

⎡1 0 2⎤ = ⎢0 1 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 1⎥⎦

2.2.1° Елементарните трансформации на редиците на една матрица се добиваат со множење на матрицата од лево со соодветната елементарна матирца Eij, Ei(α) или Eij(α), додека елементарните трансформации на колоните на една матрица се добиваат со множење на матрицата од десно со соодветната елементарна матрица E’ij, E’i(α) или E’ij(α).

Доказ: Нека A е матрица од ред mxn, и Im е единична матрица од ред m. Нека елементарната матрица Eks е добиена со замена на k-тата и s-тата редица на единичната матрица. Тогаш за елементите на елементарната матрица важи, за ⎧0 , j ≠ s ⎧0 , j ≠ k ⎧0 , i ≠ j i esj= ⎨ . i≠k,s eij= ⎨ додека ekj= ⎨ 1 , j = s 1 , j = k 1 , i = j ⎩ ⎩ ⎩ Ако B=EksA, за елементите на B, за j∈{1,…,n} важи: m

за i≠k,s bij= ∑ eil alj = eii aij = aij , додека l =1

m

n

l =1

l =1

bkj = ∑ ekl alj = eks a sj = a sj , bsj = ∑ e sl a lj = e sk a kj = a kj

односно матрицата B се добива со замена на k-тата и s-тата редица на матрицата A. Нека елементарната матрица Ek(α) е добиена со множење на k-тата редица на единичната матрица со α. Тогаш за елементите на елементарната матрица важи, 10

Дискретна математика 1: Матрици и детерминанти

⎧0 , j ≠ k ⎧0 , i ≠ j за i≠k, eij= ⎨ . додека ekj= ⎨ α , j = k 1 , i = j ⎩ ⎩ Ако B=Ek(α) A, за елементите на B за j∈{1,…,n} важи: m

m

l =1

l =1

за i≠k, bij= ∑ eil alj = eii aij = aij , додека bkj = ∑ ekl alj = ekk a kj = αa kj , односно матрицата B се добива ако k-тата редица на матрицата A се помножи со α. Нека елементарната матрица Eks(α) е добиена со додавање на s-тата редица помножена со α на k-тата редица на единичната матрица. Тогаш, за елемнтите на елементарната матрица важи, ⎧0 , j ≠ k , s ⎪ ⎧0 , i ≠ j за i≠k eij= ⎨ додека ekj= ⎨1 , j = k . ⎪α , j = s ⎩1 , i = j ⎩ Ако B=Eks(α) A, за елементите на B за j∈{1,…,n} важи: m

за i≠k, bij= ∑ eil alj = eii aij = aij , додека l =1

m

bkj = ∑ ekl alj = ekk a kj + eks a sj = a kj + αa sj , l =1

односно матрицата B се добива ако s-тата редица на А помножена со α се додаде на k-тата редица на матрицата A. Аналогно се докажува случајот кога матрицата A се множи со елементарна матрица од ред nxn добиена со елементарни трансформации на колоните на единичната матрица од десно. ♦ Како последица на претходното својство се добива ¾ 2.2.2° Ако A и B се mxn матрици, тогаш A по редици ( колони) еквивалентна со матрицата B ако и само ако постојат елементарни матрици Е1, Е2, . . . , Еk такви што B = EkEk-1⋅⋅⋅E2E1A, ( B = A E1E2⋅⋅⋅Ek).

Доказ: Ако A е по редици еквивалентна со B, тогаш матрицата B можеме да ја добиеме од матрицата A со конечна низа од k елементарни трансформации на редиците на А. Но секоја од овие трансформации се добива со множење од лево на матрицата со соодветната елементарна матрица. Според тоа B = EkEk-1⋅⋅⋅E2E1A Обратно ако постојат елементарни матрици Е1, Е2, . . . , Еk така што B = EkEk-1⋅⋅⋅E2E1A тогаш можеме да ја добиеме матрицата B од матрицата A со примена на елеметарни трансформации на редиците на А кои соодветствуваат на елементарните матрици од производот. ♦ ¾ 2.2.3° Елементарните матрици се инверзибилни (регуларни) и притоа инверзните матрици се од истит тип, односно 11

Дискретна математика 1: Матрици и детерминанти

(Eij)-1 = Eij,

(Ei(α))-1 = Ei(1/α)

и

(Eij(α))-1= Eij(-α).♦

¾ 2.2.4° Секоја матрица A=[aij] од ред mxn со елементарни трансформации може да се сведе на таканаречена степенеста (ешалонска) матрица од ред mxn од облик ⎡b11 b12 b13 . . . b1r . . . b1n ⎤ ⎢0 b b . . . b . . . b ⎥ 22 23 2r 2n ⎥ ⎢ ⎢. . . . . . . . . ⎥ ⎢ ⎥ B = ⎢0 0 0 . . . brr . . . brn ⎥ каде bii≠0 за i=1,. . . , r. ⎢0 0 0 . . . 0 . . 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ . . . . . . . . ⎥ ⎢0 0 0 . . . 0 . . 0 ⎥ ⎣ ⎦ Последица 2.2.5° Секоја матрица A=[aij] од ред mxn со елементарни трансформации може да се сведе на матрица од ред mxn од облик Orx ( n − r ) ⎡I r ⎤ ⎢ ⎥ ., каде Ir е единична матрица од ред r. ♦ ⎢⎣O( m − r ) xr O( m − r ) x ( n − r ) ⎥⎦ ¾ 2.2.6° Секоја регуларна матрица со елементарни трансформации на редиците може да се доведе до единична матрица, односно секоја регуларна матирица е еквивалентна со единичната матрица од соодветниот ред. ♦ ¾ 2.2.7° Секоја регуларна матрица може да се претстави како производ на елементарни матрици. ♦ ¾ 2.2.8° Нека е дадена регуларна матрица А. Ако матрицата А со елементарни трансформации на редиците ја сведеме на единична матрица, тогаш со примена на истите елементарни трансформации на единичната матрица, единичната трансформација ќе се трансформира во инверзната матрица А-1.

Доказ: Нека A е инверзибилна (регуларна) матрица. Ако со елементарни трансформации на редиците на матрицата А истата се сведе на единична матрица, тогаш имаме дека Ek . . . E2 E1 A = I, каде Ei за i∈{1, 2, . . . ,k} се елементарни матрици, тогаш множејќи од десно со А-1 добиваме Ek . . . E2 E1 AA-1 = I A-1 Ek . . . E2 E1 I = A-1 ♦ Последното својство дава еден начин на наоѓање на инверзна матрица на несингуларна матрица A. Имено, применувајќи ги по истиот редослед елементарните трансформации со кои матрицата А се сведува на единична матрица, на единичната матрица, се добива инверзната на матрицата A. 12

Дискретна математика 1: Матрици и детерминанти

⎡1 2 1⎤ ⎢ ⎥ Пример 2.2.4: Да се најде инверзната матрица на матрицата А= 1 1 1 . ⎢ ⎥ ⎢⎣1 1 0⎥⎦ Решение: Ја запишуваме проширената матрица, [A|I] и применуваме еламентарни трансформации на редиците со кои матрицата А ќе ја доведеме до идентична матрица:

⎡ −1 1 1 ⎤ ⎢ 1 − 1 0⎥ . Ако помножиме добиваме АА-1=I Според тоа А-1= ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 1 − 1⎥⎦

.

13

Дискретна математика 1: Матрици и детерминанти

2.3 Бројни карактеристики на матрици Трага на матрица ™ 2.3.1 Трага на матрица. Збирот на елементите на главната дијагонала на квадратната матрица A=[aij] од ред n, се нарекува трага на матрицата и се означува со tr A, односно n

tr A = ∑ aii i =1

Кога матрица се множи со скалар, со скаларот се множат сите елементи од матрицата па соодветно и елементите на главната дијагонала и од дефиницијата на трага на матрица се добива дека: ¾ 2.3.1° tr αA = α trA

Од тоа што при транспонирање на квадратна матрица, елементите на главната дијагонала остануваат непроменети добиваме дека ¾ 2.3.2° tr AT = tr A. Детерминанти

Нека A е матрица од втор ред. ⎡a11 a12 ⎤ A=⎢ ⎥ ⎣a21 a22 ⎦ ™ Детерминанта на матрицата А се нарекува бројот a11a22-a12a21 и се означува со det A = A =

a11

a12

a21

a22

= a11a22 − a12 a21

Пример 2.3.1 1 −2 ⎡1 − 2⎤ , det A = A = = 1 ⋅ 4 − (−2) ⋅ 3 = 10 A=⎢ ⎥ 3 4 3 4 ⎣ ⎦ Да видиме сега како се дефинира детерминанта на матрица од трет ред. Нека A е мтрица од ред 3. ⎡a11 a12 a13 ⎤ A = ⎢⎢a21 a22 a23 ⎥⎥ ⎢⎣a31 a32 a33 ⎥⎦

™ Детерминантата на оваа матрица е дадена со 14

Дискретна математика 1: Матрици и детерминанти

a11

a12

a13

det A = a21

a22

a23 = a11a22 a33 − a11a23 a32 + a12 a23 a31 −

a31

a32

a33 − a12 a21a33 + a13 a21a32 − a13 a22 a31.

Детерминанта на матрица од трет ред може да се пресмета и по таканареченото Сарусово правило. Имено до детерминантата, од десната страна се допишуваат првите две колони и се формираат производите по “дијагонали” паралелни со главната дијагонала и притоа тие се со позитивен знак и производите од елементите по “дијагонали” паралелни со споредната дијагонала, кои се со знак -.

a11

a12

a13 a11 a12

a21

a22

a23 a21

a22 = a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32

a31

a32

a33 a31

a32

− a13 a22 a31 − a11a23 a32 − a12 a21a33 . Забележуваме дека детерминантите на матриците од втор и трет ред се пресметуваат така што се формираат сите можни производи од по два, односно три елементи од матрицата, така што во секој таков производ има само по еден елемент од секоја редица и секоја колона, а потоа се формира алгебарски збир од ваквите производи. Забележуваме дека некои од производите се со позитивен, а некои со негативен предзнак. Да видиме сега како се одредува предзнакот на производот. Во дефиницијата на детерминанта на матрица од трет ред во сите прозводи првите индекси на елеметите се во “природен” редослед 123, додека вторите индекси се пермутација на ови три броеви, односно во секој производ има точно по еден член од секоја редица и секоја колона на матрицата. Така се добиени соодветно шесте пемутации 123, 132, 231, 213, 312 и 321. Притоа, оние производи во кои вторите индекси формираат таканаречени парни пермутации, а тоа се 123, 231 и 312 се со позитивен знак, а оние производи кај кои вторите индекси даваат таканаречени непарни пермутации, а тоа се 132, 231 и 321, се со негативен знак. Да видиме сега што значи тоа парна и непарна пермутација. Затоа, накратко да се запознаеме со пермутации на конечно множество. ™ 2.3.2 Пермутација. Нека S е конечно множество со n елемети. Секоја биекција од S во S се нарекува пермутација на тоа множество. На пример, ако S={a,b,c} тогаш пресликувањата

⎛ a b c⎞ ⎛ a b c⎞ ⎟⎟, g = ⎜⎜ ⎟⎟ f = ⎜⎜ ⎝b c a⎠ ⎝c b a⎠ се пермутации на S. Елементите на множеството S можеме да ги нумерираме со првите n природни броеви 1,2,...,n, а бидејќи за изучување на пермутациите не се битни 15

Дискретна математика 1: Матрици и детерминанти

идивидуалните својства на елементите од S, ќе земеме дека елеметите на S се токму броевите 1,2,...,n. Така, пермутациите е згодно да се претстават со ⎛1 2 3 . . . n ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ i1 i2 i3 . . . in ⎠

каде што под секој број се наоѓа бројот во кој тој се пресликува, или само со I= (i1, i2, i3, . . . , in), при што сите ik се различни елементи од множеството {1,2,3,...,n}. Всушност секоја пермутација е само прераспоредување на броевите од 1 до n. ¾ 2.3.3° Бројот на различни пермутации на множество од n елементи е еднаков на 1⋅2⋅3⋅⋅⋅n=n! ♦ ™ 2.3.3 Инверзија во пермутација. За било кој пар елементи i, j од дадена пермутација, таков што i му претходи на j, велиме дека чинат инверзија ако i>j.

На пример, во пермутацијата 2413 паровите 2, 1 прават инверзија, потоа паровите 4 , 1 и 4, 3 исто така. Прашање е, како може да се утврди колку инверзии има во една пермутација? Наједноставен начин е да се изброи колку елементи во дадената пермутација се наоѓат пред единицата. Сите тие и само тие прават инверзија со единицата. Потоа се брои колку елементи поголеми од бројот 2 во пермутацијата се наоѓаат пред 2, сите тие прават инверзии со 2. и т.н. Вкупниот број на инверзии ќе се добие кога ќе се соберат сите вака избројани инверзии. На пример, во пермутацијата 35142 пред единицата има 2 елементи, пред двојката има 3 елементи (не сметајќи ја единицата), пред тројката има 0 елементи , пред четворката има 1 елемент, па вкупниот број инверзии е 2+3+0+1=6. ™ 2.3.4. Парност на пермутација. Пермутацијата во која има парен број инверзии се нарекува парна пермутација, додека пермутацијата во која има непарен број инверзии се нарекува непарна пермутација. Бројот на инверзии на дадена пермутација I= (i1, i2, i3, . . . , in) ќе го означуваме со Ip .

На пример, пермутацијата 35142 е парна, бидејќи има 6 инверзии, пермутацијата 12345 има 0 инверзии, па исто така е парна, додека пермутацијата 21345 има само една инверзија и е непарна пермутација. ¾ 2.3.4° Ако во некоја пермутација два елементи си ги заменат местата, а сите други остануваат на место, се добива пермутација која е со спротивна парност од претходната, односно ако првобитната пермутација била парна, новодобиената ќе биде непарна и обратно.♦ 16

Дискретна математика 1: Матрици и детерминанти

Сега, по аналогија на дефинициите на детерминанати на квадратни матрици од втор и трет ред можеме да дефинираме детерминанта на квадратна матрица од ред n. ™ 2.3.5 Детерминанта на матрица. Ако

A=

⎡a11 a12 . . . a1n ⎤ ⎢a a . . . a ⎥ 2n ⎥ ⎢ 21 22 ⎢ . . . . . . . . . . .⎥ ⎢ ⎥ ⎣am1 am 2 . . . amn ⎦

е квадратна матрица од ред n, тогаш детерминанта на матрицата A претставува алгебарски збир на сите можни производи од по n елементи од матрицата А, такви што во секој производ се јавува само по еден елемент од секоја редица и секоја колона од дадената матрица (секој таков производ го викаме член на детерминантата). Во ваквиот алгебарски збир, членот

a1i1 a2i2 ...anin има знак +, ако пермутацијата (i1, i2, ..., in) е парна и има знак -, ако пермутацијата е непарна. Според тоа

det A =

a11

a12

. . . a1n

a21

a22

. . . a2 n

. . . . . . . . . an1

an 2

=

∑ (−1)

I =( i1 ,i2 ,...,in )

Ip

a1i a2i ...ani 1

2

n

. . . ann

каде собирањето е по сите пермутации I=(i1, i2, . . . ,in) на множеството {1,2,...,n}, a Ip е бројот на инверзиите на соответната пермутација. Детерминантата на матрицата ја означуваме со ⏐А⏐или det A. Бидејќи на секој член од детерминантата одговара по една пермутација и на секоја пермутација на вторите индекси одговара само по еден член од детерминантата, заклучуваме дека во една детерминанта има онолку различни членови колку и пермутации, n!, од кои n!/2 со позитивни предзнаци и n!/2 со негативни предзнаци. Да напоменеме дека Сарусовото правило, кое порано го споменавме, важи само кај детерминанти на матрици од трет ред, а не и во општ случај.

Својства на детерминанти 17

Дискретна математика 1: Матрици и детерминанти

¾ 2.3.5° det AT = det A.

Доказ: Транспонираната матрица се добива кога колоните и редиците ќе ги заменат местата без промена на редоследот. Во алгебарскиот збир кој ја дефинира детерминантата на А членовите содржат само по еден член од секоја редица и секоја колона, односно истите членови ќе се јават и во детерминанатата на транспонираната матрица.♦ ¾ 2.3.6° Ако на две редици (или колони) на матрицата им се променат, местата детерминантата на матрицата го менува знакот.

Доказ: Нека А е дадената матрица, а А1 матрица добиена со промена на местата на две редици (или колони) од А. Јасно е дека во дефиницијата на детерминантата на првобитната и новодобиената матрица се јавуваат истите производи. Да видиме што се случува со предзнаците на секој од овие членови. Нека

a1i1 a2i2 ...akik ...a ji j ...anin е произволен член од детерминантата на A. Неговиот знак зависи од парноста на пермутацијата (i1, i2, ..., ik, ..., ij, ..., in), додека првиот индекс треба да биде запишан во оној редослед во кој се дадени редиците на матрицата А. Знакот на овој производ во детерминантата на А1 зависи од парноста на пермутацијата (i1, i2, ..., ik, ..., ij, ..., in), која е добиена всушност со замена на ik и ij, ако редиците кои си ги менуваат местата соодветно се к-тата и ј-тата редица. Кога два елементи во една пермутација си ги променат местата се менува парноста на пермутацијата, значи членот од детерминантата на А1 има спротивен знак од соодветниот член во детерминантата на А. Според тоа det A1 = -det A.♦ Пример 2.3.2: 1 5 0

1 5 0

2 6 3 = −1 4 1 1 4 1 2 6 3

¾ 2.3.7° Ако било кои две редици (или колони) во една матрица се еднакви нејзината детерминанта е нула.

Доказ: Ако А е квардатна матрица, во која две редици се еднакви, ако им ги промениме местата се добива истата матрица, односно истата детерминанта. Но, според претходното својство ќе добиеме det A = -detA, што е можно, ако и само ако det A=0.♦ ¾ 2.3.8° Ако секој елемент од к-тата редица на матрицата од n-ти ред А, се претстави како збир на два собироци, т.е. akj=bkj+ckj, (j=1,2,...,n), тогаш детерминаната на А е еднаква на збирот на дерминантите на матриците А1 18

Дискретна математика 1: Матрици и детерминанти

и А2 чии редици се исти со редиците на А, освен к-тата редица, која во А1 е bk1, bk2, ..., bkn, а во матрицата А2 е ck1, ck2, ..., ckn. Доказ: Ако е тоа случај , за секој член од детерминантата важи

a1i1 a2i2 ...akik ...anin = a1i1 a2i2 ...(bkik + ckik )...anin = a1i1 a2i2 ...bkik ...anin + a1i1 a2i2 ...ckik ...anin што соодветно се членови на детерминантите на матриците A1 и A2.♦ ¾ 2.3.9° Ако сите елементи од една редица (или колона) на една матрица се помножат со еден ист број α, тогаш детерминантата на новодобиената матрица е еднаква на детерминантата на првобитната матрица помножена со α. Доказ: Нека A=[aij] е дадена квадратна матрица и нека А1 е матрица добиена од А со множење на елементите од к-тата редица на А со број α. Тогаш I I det A1 = ∑ (−1) p a1i1 a 2i2 ...αa kik ...a nin = α ∑ (−1) p a1i1 a 2i2 ...a kik ...a kin =α det A I

I

¾ 2.3.10° Ако сите елемети во еден ред ( или колона) на матрицата се нули тогаш нејзината детерминанта е нула.

Доказ: Бидејќи во секој член од детерминантата има по еден елемент од секоја редица, во сите членови од детерминантата на матрицата ќе има барем еден множител кој е нула.♦ ¾ 2.3.11° Ако D е дијагонална матрица, det D = a11a22...ann.♦ ¾ 2.3.12° Ако сите елементи од една редица на матрицата се помножат со ист број и добиените производи се додадат на елементите од друга редица , тогаш детерминантата нема да се промени.

Доказ: Со користење на својство 2.3.8°, детерминантана на новодобиената матрица може да се запише на следниот начин

19

Дискретна математика 1: Матрици и детерминанти

a11

a12

. . . . . . . a1n

a11

a12

. . . a1n

a11

a12

. . . a1n

a 21

a 22

. . .

a 21

a 22

. . . a2n

a 21

a 22

. . . a2n

. .a 2 n

. . . . . . . . . . . . . . . . a k 1 + αa j1 a k 2 + αa j 2 . . . a kn + αa jn . . . . . . . . . . . . . . . . a j1

a j2

. . .

. . . a jn

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . a nn a n1 an 2 . . .

=

. . . . . . . . . a k1 a k 2 . . . a kn . . .. . . . . . . a j1

a12

. . . a1n

a11

a12

. . . a1n

a 21

a 22

. . . a2n

a 21

a 22

. . . a2n

. . . a kn

. . .. . . . . . . a j1

a j2

. . . a jn

. .. . . . . . a n1

an 2

. . . a nn

. . .. . . . . . . a j1

a j2

+α

a j1

a j2

. . .a jn

. . .. . . . . . . a j1

a j2

= det A

. . . a jn

. .. . . . . . a n1

an2

. . . a nn

бидејќи во втората детерминанта две редици се еднакви, таа е нула.♦ 2.4 Минор и алгебарски комлемент ™ 2.4.1 Минор, алгебарски комплемент. Нека за елементот aij, кој се наоѓа во i-тата редица и j-тата колона на матрицата А од ред n, со Aij да ја означиме матрицата од ред n-1 што се добива со отстранување на i-тата редица и j-тата колона соодветно. Минор (од ред n-1) за елементот aij се нарекува детерминанатата на матрицата Aij или Mij=detAij. Алгебарски комплемент (или кофактор) за елементот aij се нарекува бројот

a*ij = (-1)i+j det Aij= (-1)i+j Mij Пример 2.4.1: ⎡a11 a12 a13 ⎤ a21 a23 a21 a23 ⎡a21 a23 ⎤ A = ⎢⎢a21 a22 a23 ⎥⎥, A12 = ⎢ , a12∗ = (−1)1+ 2 =− ⎥ a31 a33 a31 a33 ⎣a31 a33 ⎦ ⎢⎣a31 a32 a33 ⎥⎦

¾ 2.4.1° Ако сите елементи во еден ред на квадратна матрица A се нули, освен елементот aij, кој не мора да е нула, тогаш det A = aij aij∗ . 20

. . . a jn

. .. . . . . . a n1 a n 2 . . . a nn

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . ak 2

. . . a jn

. .. . . . . . a n1 a n 2 . . . a nn

a11

a k1

a j2

+

. . . . . . . . . αa j1 αa j 2 . . .αa jn

=

Дискретна математика 1: Матрици и детерминанти

Доказ: Да покажеме прво дека ова важи кога i=j=1. Тогаш

det A =

∑ (−1)

( i1i2 ...in )

Ip

a1i1 a 2i2 ...a nin =

∑ (−1)

( i2 ...in )

Ip

a11 a 2i2 ...a nin = a11 M 11

бидејќи само членовите во кои се јавува а11 се евентуално различни од нула. Ако сега претпоставиме дека во i-тата редица сите елементи, освен елементот во j-тата колона, односно aij е различен од нула, заменувајќи ја оваа редица со претходните i-1 редици таа ќе стане прва редица. При секоја ваква промена се менува само знакот на детерминантата. Потоа, j-тата колона ја заменуваме со претходните j-1 колони и таа станува прва колона. При секоја од овие замени детерминантата го менува знакот. Ако А1 е новодобиената матрица, ќе важи det A1 = (−1) i −1+ j −1 det A = (−1) i + j det A . Бидејќи во матрицата А1 елементот aij се наоѓа на позиција (1,1) и сите други елементи се нула, а неговиот минор не се променил добиваме дека

det A = (−1) i + j det A1 = (−1) i + j aij M ij = aij aij∗ .♦ ¾ 2.4.2° Детерминантата на дадена матрица е еднаква на збирот на производите од елементите од еден ред (или колона) и нивните алгебарски комплементи. Односно, n

n

det A = ∑ aij a = ∑ (−1) i + j aij M ij i =1

∗ ij

ili

i =1

n

n

j =1

j =1

det A = ∑ aij aij∗ = ∑ (−1) i + j aij M ij

Доказ: Според својството 2.3.8°, ако секој елемент од i-тиот ред од матрицата го претставиме како негов збир со n-1 нула, односно aij=0+. . . +0 +aij+0. . . +0, детерминантата на првобитната матрица можеме да ја запишеме како збир на детерминати од облик a11 a12 . . . a1 j . . . a1n

. . . . . . . . 0 0 . . 0 aij 0 . . . 0

= aij aij∗

. . . . . . . . a n1 a n 2 . . . a nj . . . a nn При што собирањето се врши по i∈{1,2,. . . n}. Значи det A = a i1 a i∗1 + .... + a in a in∗ што и требаше да се докаже. За доказот на ова својство можеме да постапиме и на следниот начин: бидејќи минорот на секој елемент aij од матрицата A е детерминанта на соодветната матрица Aij од ред n-1, тој претставува алгебарски збир на производи во кои се јавува само по еден елемент од секоја редица (освен i-тата) и секоја колона (освен j-тата) соодветно. Ако секој од овие производи се помножи уште со 21

Дискретна математика 1: Матрици и детерминанти

елементите од i-тиот ред (или j-тата колона) соодветно, ќе се добие детерминантата на матрицата А. ♦ Со ова својство, всушност е определен еден рекурзивен начин на наоѓање на детерминанта на матрица од повисок ред. Забелешка! При вакво пресметување на детерминантите најлесно е ако разложуваме по онаа редица или колона во која има најмногу нули. Да забележиме дека ако А е дадена матрица и aij и aij* се соодветно еден елемент и негов алгебарски комплемент важи следното својство: ¾ 2.4.3°

⎧det A ako i = k ∗ =⎨ ai1ak∗1 + ai 2 ak∗2 + ... + ain akn ako i ≠ k ⎩0 i ⎧det A ako j = s aij a1∗s + a2 j a2∗s + ... + anj ans∗ = ⎨ ako j ≠ s ⎩0 Доказ: Нека со А' ја означиме матрицата што се добива кога на i-тиот ред на матрицата А се додаде k-тиот ред од матрицата А помножен со единица, според својството 2.3.12°, детерминантата на матрицата А' е иста со детерминантата на матрицата А. Ако сега ја пресметаме детерминатата на А', со разложување токму по i-тата редица добиваме n

n

n

n

j =1

j =1

j =1

j =1

det A' = ∑ (aij + a kj )aij∗ =∑ aij aij∗ + ∑ a kj aij∗ = det A + ∑ a kj aij∗ = det A n

⇒ ∑ a kj aij∗ =0 ako k ≠ i. j =1

2.4.4° Ако A и B се квадратни матрици од ист ред, тогаш

det (A⋅B) = det A ⋅ det B.

♦

™ 2.4.2 Адјунгирана матрица. Нека со A* ја означиме матрицата која на позиција (i,j) го има алгебарскиот комплемент aij* на елементот aij од дадена квадратна матрица A. Матрицата (A*)T се вика адјунгирана матрица за матрицата A. ¾ 2.4.5° Ако A=[aij] е квадратна матрица од ред n, тогаш

A(A*)T=(A*)TA=⏐A⏐In 22

Дискретна математика 1: Матрици и детерминанти

Доказ: Да го одредиме производот на А и (А*)Т. ⎡a11 a12 . . . a1n ⎤ ⎡a ∗ . . . a ∗ . . . a ∗ ⎤ ⎡b11 . . .b1 j . . . b1n ⎤ j1 n1 ⎥ ⎢ ⎢. . . . . ⎥ ⎢ 11 ⎥ ⎢. . . . . . ⎥ ∗ ∗ ∗ ⎥ ⎢a . . . a . . . a ⎥ ⎢ j2 n2 ⎥ ⎢ A( A*) T = ⎢ai1 ai 2 . . . ain ⎥ ⎢ 12 ⎥ = bi1 . . . bij . . . bin ⎥ ⎥ ⎢. . . . . . ⎥ ⎢ ⎢ ⎢. . . . . . ⎥ ⎢. . . . . ⎥ ⎢ ∗ ∗ ∗ ⎥ ⎢⎣a n1 a n 2 . . . a nn ⎥⎦ ⎣a1n . . . a jn . . . a nn ⎦ ⎢b . . . b . . . b ⎥ n2 nn ⎦ ⎣ n1 Тогаш bij=ai1aj1*+ai2aj2*+ . . . +ainajn* , од каде според 36° следува дека bii=⏐A⏐, додека bij=0 за i≠j. Значи A(A*)T е скаларна матрица за која елементите на главната дијагонала се исти со детерминантата на матрицата A или A(A*)T=⏐A⏐I, каде I е единичната матрица од ред како и матрицата A. На сличен начин се покажува и дека (A*)TA=⏐A⏐I.♦ Пример 2.4.2: ⎡− 4 0 4 ⎤ ⎢ Ako A = 4, ( A*) = ⎢− 2 − 2 2⎥⎥ ⎢⎣ 5 1 3 ⎥⎦ ⎡1 1 2 ⎤ ⎡− 4 0 4 ⎤ ⎡4 0 0⎤ A( A*)T = ( A*)T A = ⎢⎢1 − 2 0⎥⎥ ⎢⎢− 2 − 2 2⎥⎥ = ⎢⎢0 4 0⎥⎥ = 4 I ⎢⎣2 1 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 5 1 3 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 4⎥⎦ ⎡1 1 2 ⎤ A = ⎢⎢1 − 2 0⎥⎥, ⎢⎣2 1 2 ⎥⎦

T

Еден едноставен критериум за проверка дали една матрица е несингуларна е даден со следното својство, кое исто така дава начин за определување на инверзната матрица ако истата постои. ¾ 2.4.5° Квадратна матрица A е несингуларна ако и само ако ⏐A⏐≠0. Доказ: Нека прво претпоставиме дека ⏐A⏐≠0, ќе покажеме дека А е несингуларна. Според 2.4.5°, A(A*)T=(A*)TA=⏐A⏐In од што следува дека 1 1 A( ( A*)T ) = ( ( A*)T ) A = I A A што значи дека, за матрицата A постои инверзна матрица и тоа е матрицата 1 ( A*)T A Да претпоставиме сега дека матрицата A е несингуларна, односно постои матрица A_1 така што AA-1=A-1A=I. A−1 =

23

Дискретна математика 1: Матрици и детерминанти

Тогаш според 2.4.4° ⏐ AA-1⏐=⏐I⏐ односно ⏐ A⏐⏐A-1⏐=1 и бидејќи производот е различен од нула секој од множителите е различен од нула односно ⏐A⏐≠0. Во тесна врска со детерминанта на матрица е и поимот ранг на матрица. Пред да го дефинираме поимот ранг на матрица ќе дефинираме минор од ред k за произволна матрица од ред mxn. ™ 2.4.3 Минор од ред k за матрицата А од ред mxn е детерминантата на матрица која се добива како пресек на било кои k-редици и k-колони од матрицата А, при што k≤min{n,m}. ™ 2.4.4 Ранг на матрица се нарекува највисокиот ред на минорите на матрицата А кои се различни од нула и се означува со r(A).

Од дефиницијата на ранг на матрица се добива дека 2.4.6° Ако A е несингуларна матрица од ред n, рангот на A е n.♦ 2.4.7° Ако А е матрица од ред mxn, тогаш r(A) ≤min{n,m}. ♦

Освен овие важат и следните својства: 2.4.8° r(A-1)=r(A)=n.♦ 2.4.9° r(AB) ≤ min{r(A),r(B)}.♦ 2.4.10° r(ATA)=r(AAT)=r(A). ♦

24