Matrices y Sistemas
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matemáticas 2º bach....
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MATRICES Y SISTEMAS C.C.S.S.
EJERCICIOS
Matemáticas aplicadas a las CCSS I I Ejercicios propuestos en Selectividad
Pedro Castro Ortega Profeso r del I ES Fernando de Mena de Socuéllamos
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Ejercicios de Selectividad propuestos en Castilla-La Mancha
Bloque I. Álgebra Matrices (Ejercicios propuestos antes del año 2000)
1. ¿Se puede encontrar una matriz B, tal que A⋅ B sea una matriz de 3 filas, siendo 1 3 2 1 2 3 1 0 1 2 − + B B I ? Hallar 3 , siendo = ; = A = B I 1 1 0 1 2 4 5 3 −2
2 2 1 2. Dada la matriz A = 1 3 1 se pide: 1 2 2 1 0 0 – Calcular ( A − I ) ( A − 5I ) , siendo I = 0 1 0 0 0 1 2
– Obtener 3. Si
t
A
(matriz traspuesta de A) y razonar si existe la inversa de A.
1 2 3 1 : 4 5 3 −2
A =
a) ¿Se puede encontrar una matriz tal que 2 3 b) Si B = , calcular B2 − 3B . 1 1 1 2 0 −1 c) Si A = 0 1 2 , calcular A . 1 2 1
1 2 3 4. Dadas las matrices: A = , 2 1 1 a) Obtener C + AB . b) ¿Son iguales las matrices
C
−1
A ⋅ B sea
una matriz de 3 filas?
−1 0 , C = 1 −1 , se pide: 2 B= 2 1 0 −1 −1
+ ( AB)−1 y ( C + AB)−1 ?
1 0 2 5. Sean las matrices: A = , − 1 3 0
2 0 B = −1 1 , 1 1
pide: a) A⋅ B + C b) ¿Es cierto que AB + C = AB + C c) Calcular, si es posible, D−1
1
C
1 1 = , − 3 4
1 1 . Se − 3 4
D =
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Pedro Castro Ortega Profeso r del I ES Fernando de Mena de Socuéllamos
1 2 1 6. Encontrar una matriz X que verifique X − B2 = A⋅ B ; siendo A = 1 3 1 ; 0 0 2 1 0 −1 B= 2 2 2 0 0 6 para la que se cumpla que A⋅ X − B2 = C ⋅ D , siendo 1 0 1 1 2 1 0 ; C = ; D = 2 1 B = 1 0 1 1 2 0 −1
7. Encontrar una matriz
1 2 ; −1 −1
A =
X
1 0 0 8. Sean las matrices: A = 0 2 0 ; 1 0 3 i) Calcular la matriz inversa de A. ii) Encontrar una matriz X tal que:
1 0 −1 1 1 1 ; C = 2 3 0 0 B= 0 0 9 3 −3 3 4 5 ⋅ − B = 2C .
A X
2 2 −1 9. Dadas las matrices: A = −1 −1 1 ; −1 −2 2 2 i) Calcular la matriz M = ( A − B) .
1 0 0 1 5 B= 3 −4 0 2
ii) Calcular la matriz inversa de B.
1 0 1 10. Dadas las matrices: A = 2 2 2 ; 0 0 1 2 i) Hallar la matriz M = A + BA .
1 2 0 B= 1 3 1 0 0 2
ii) Calcular la matriz inversa de A.
11. Dada la ecuación matricial A ⋅ X + B = C , se pide obtener la matriz 1 1 0 1 1 0 1 A= 1 2 0 ; B = 0 1 ; C = 1 3 0 0 1 1 2 1 1
X
siendo
12. Una fábrica decide distribuir sus excedentes en tres productos alimenticios A, B y C a cuatro países de África P 1, P2, P3 y P4 según se describe en la matriz M1 (cantidades en toneladas). Esta fábrica ha recibido presupuestos de dos empresas para el transporte de los productos a los países de destino como indica la matriz M 2 (en euros por tonelada).
M1 =
P1 P2 P3 P4
A 200 110 220 150
B 100 130 200 160
C 120 200 ; 100 150
M2 =
2
E1 E2
P1 P2 P3 P4 500 450 375 350 510 400 400 350
Matemáticas aplicadas a las CCSS I I Ejercicios propuestos en Selectividad
Pedro Castro Ortega Profeso r del I ES Fernando de Mena de Socuéllamos
Efectúa el producto de las matrices y responde a las cuestiones: i) ¿Qué representa el elemento a11 de la matriz producto? ii) ¿Qué elemento de la matriz producto nos indica lo que cuesta transportar el producto C con la empresa E2? iii) Indica qué elementos de la matriz producto te permiten decir cuál es la empresa que más barato transporta el producto B a todos los países.
1 0 −1 13. Resuelve la ecuación X ⋅ A + X = 2 B , siendo A = 0 1 0 , −1 1 −1
2 1 −1 B = 0 −1 1 . 1 1 −2
14. Dadas las matrices A, B y C:
1 −1 3 A = ; 2 4 1
3 0 B = 3 −1 ; 5 2
C
4 −1 0 2 = 3 −2 4 1
i) Halla A ⋅ B y B ⋅ A . ¿Puedes sacar alguna conclusión de los resultados obtenidos? ii) ¿Existe alguna matriz tal que multiplicada por C, dé lugar a una matriz de 3 filas? 15. Dadas las matrices C y D se pide:
−3 1 2 ; − 2 0 C= 1 0 1 0
1 0 1 D = −1 2 −1 2 0 1
i) Hallar C −1 y D−1 . ii) Calcular la matriz inversa de C ⋅ D . −1 iii) Comprobar que ( C ⋅ D) = D−1 ⋅ C −1 (Ejercicios propuestos a partir del año 2000)
1 2 −1 16. Dadas las matrices A = 1 0 1 , 2 1 0
5 2 2 −1 y C = 3 0 , se pide: B = − 1 2 7 −2
1º) Calcular la matriz inversa de A y la matriz inversa de B. 2º) Hallar una matriz X tal que A ⋅ X ⋅ B = C . (J unio, 2000)
1 −1 1 1 2 2 17. Dadas las matrices A = 1 2 1 , B = 1 1 3 y 0 1 2 2 0 2 calcular una matriz X tal que X ⋅ A = 2 ⋅ B + C .
0 0 4 C = −2 −8 −6 , −4 2 0 (Septiembre, 2000)
1 1 0 18. Dadas las matrices A = 0 1 1 y 1 0 1
3 1 2 B = 0 3 3 , se pide: 3 2 1
1º) Calcular la matriz inversa de A. 2º) Calcular una matriz X tal que A⋅ X + A = B (Reserva 1, 2000)
3
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19. Una fábrica de calzado deportivo dispone de zapatillas para Atletismo (A), Balonmano (B) y Tenis (T), en dos modelos: Mujer (M) y Hombre (H). El número de pares existentes en el almacén viene definido por la matriz E. El precio, en euros, de cada uno de los pares viene definido por la matriz P. M H A 70 120 A B T M 20 19 18 E = B 45 65 P = H 22 19 21 T 60 50 Se pide: 1º) Obtener, si es posible, las matrices C P ⋅ E y D = E ⋅ P . 2º) ¿Qué información proporcionan los elementos c11 de C y d33 de D? 3º) ¿Qué elemento de C o de D nos informa de la valoración de todas las zapatillas de balonmano? (Reserva 2, 2000)
20. Determina una matriz
X
tal que
A
+ 2 ⋅ X ⋅ B = C , siendo
1 −2 1 , 0 3 1
A =
1 −1 1 , C = 1 2 3 . 0 1 B= 2 8 −1 −1 −1 1 1 (J unio, 2001)
21. Los precios, en euros, de las entradas a un parque temático para Adultos (AD) y Niños y Jubilados (NJ) en Temporada Alta (TA), Temporada Media (TM) y Temporada Baja (TB) vienen dados por la matriz P. El número de asistentes, en miles, a dicho parque a lo largo de un año viene dado por la matriz N. AD TA P =
AD NJ
TA
TM TB
25 20 14 20 15 7
N=
TM TB
NJ
500 600 350 300 125 100
Se pide: a) Obtener, si es posible, las matrices R1 = P ⋅ N y R2 = N ⋅ P . b) ¿A cuántos euros asciende la recaudación total correspondiente a los niños y jubilados? ¿Y la correspondiente a la Temporada Baja? c) ¿Qué elemento de R1 o de R2 nos proporciona información sobre la recaudación total correspondiente a los adultos? d) ¿A cuántos euros asciende la recaudación total? (Septiembre, 2001)
8 −2 22. Dadas las matrices A = 3 5 , 5 7 matriz X tal que A − B ⋅ X = C
1 −1 2 y 1 1 B= 0 −1 2 1
1 −1 C = 0 2 , hallar otra 3 1 (Reserva 1, 2001)
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23. En una tienda de discos se dispone de música Rap (R), Pop (P) y Folk (F) en dos formatos: Compact-Disc (CD) y Musicassette (MC). Los precios, en euros, de los distintos ejemplares vienen determinados por la matriz D y el número de existencias de cada tipo de música y formato por la matriz E. CD MC R CD
E=
MC
P
R
F
15 20 14 10 8 7
P
D=
F
13 10 12 10 14 9
Se pide: a) Obtener, si es posible, las matrices V1 = D ⋅ E y V2 = E ⋅ D . b) ¿A cuántos euros asciende la valoración de las existencias de música pop? ¿Y las de todos los Compact-Disc? c) ¿Qué elemento de la matriz V1 o de V2 nos proporciona información sobre la valoración de las existencias de música Folk? d) ¿A cuántos euros asciende la valoración de existencias de todos los tipos de música? (Reserva 2, 2001)
24. En una clínica dental colocan tres tipos de prótesis P 1, P2 y P3, en dos modelos diferentes, M1 y M 2. El número de prótesis que tienen ya construidas viene dado en la matriz A. El precio, en euros, de cada prótesis viene dado en la matriz B.
A=
P1 P2 P3
M1 11 16 9
M2 21 12 14
B=
P1 P 2 P 3 150 160 240 210 190 220
M1 M2
a) Obtener, si es posible, las matrices C A⋅ B y D = B ⋅ A . b) ¿Qué información proporcionan los elementos c12 de la matriz C y el elemento d22 de D? c) ¿Qué elemento de C o de D proporciona el valor total de todas las prótesis del tipo P2? (J unio, 2002)
1 4 , 2 3 matriz X que verifique: AX = BX + C .
25. Considerando las matrices
A =
1 0 y 1 1
B =
C
2 0 = , calcular una 4 1 (Septiembre, 2002)
26. Considerando las matrices
1 1 y 1 0
A =
1 4 2 0 a) Calcular A2 + B2
B
una matriz que verifica:
2 A + B =
b) Calcular la inversa de la matriz producto
A⋅ B . (Reserva 1, 2002)
27. En una academia se imparten clases de Inglés (I), Lengua (L) y Matemáticas (M) para tres niveles (1º, 2º, 3º). El número de horas de clase de cada asignatura por cada nivel en la academia viene dado por la siguiente matriz A: 5
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A=
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I 1º 20 2º 18 3º 22
L 5 6 1
M 3 5 22
La academia paga a sus profesores cada hora de clase según el nivel al que imparta, 8 euros por el primer nivel, 9 por el segundo y 10 por el tercero. a) ¿Cuántas horas totales de Inglés se dan en la academia? b) ¿Cuántas horas totales se dan al segundo nivel? c) ¿Cuánto le cuesta a la academia las clases de Lengua? (Reserva 2, 2002)
2 0 −1 28. Dadas las matrices A = 0 2 1 ; 1 1 1 1) 2) 3)
Halla la matriz inversa de A. Resuelve la ecuación matricial Calcula la matriz X.
2 1 0 0 B = 0 1 y C = 1 0 0 2 0 0 ⋅ −B=C.
A X
(J unio, 2003)
1 0 1 29. Dadas las matrices A = 0 1 0 y −1 −1 2 1) 2) 3)
Halla la matriz inversa de A. Resuelve la ecuación matricial Calcula la matriz X.
−1 −1 2 B = −3 −3 3 4 5 −5
X ⋅ A = A+ B . (Septiembre, 2003)
2 1 0 4 2 2 1 0 0 30. Dadas las matrices A = 0 0 2 ; B = 3 2 0 e I = 0 1 0 3 1 3 1 −1 4 0 0 1 1) Halla la matriz inversa de ( A − I ) . 2) Resuelve la ecuación matricial X ⋅ A − B = X . 3)
Calcula la matriz X.
(Reserva 1, 2003)
1 2 31. Dadas las matrices A = ; − 1 1 1) 2) 3)
1 0 −1 y C = 10 4 −5 B= 2 1 0 2 −1 −1 1 1 −2
Halla las matrices inversas de A y B. Resuelve la ecuación matricial A ⋅ X ⋅ B = C . Calcula la matriz X. (Reserva 2, 2003)
32. 1) Resuelve la ecuación matricial de A.
X ⋅ A+ A
t
6
= X ⋅ B , siendo
t
A
la matriz traspuesta
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3 0 −1 2 1 . B= 1 1 2 −3 1 −1 2
1 0 0 2) Halla la matriz X sabiendo que A = 0 1 1 y −1 0 −1
(J unio, 2004)
33. 1) Resuelve la ecuación matricial de A.
X ⋅ A+ X ⋅ A
t
= C , siendo
1 −1 0 2) Halla la matriz X sabiendo que A = 0 1 2 y −1 −1 0
t
A
la matriz traspuesta
0 1 −1 . 3 0 −1
B =
(Septiembre, 2004)
34. 1) Resuelve la ecuación matricial A.
X
+ 3 A−1 = A + B , siendo
1 0 −2 2) Halla la matriz X sabiendo que A = 0 1 1 y 2 1 0
−1
A
la matriz inversa de
−3 −3 3 3 −1 B= 2 . −3 −1 −1 (Reserva 1, 2004)
35. 1) Resuelve la ecuación matricial
X ⋅ A+ X
= B.
1 0 −2 2) Halla la matriz X sabiendo que A = −1 −1 1 y 1 0 2
1 2 1 B= 0 0 4 . −3 −2 −3 (Reserva 2, 2004)
36. 1) Despeja la matriz X en la ecuación:
A⋅ X
− A = I − A⋅ X .
1 1 0 1 0 0 2) Halla la matriz X sabiendo que A = 0 1 2 e I = 0 1 0 . 1 0 1 0 0 1 (J unio, 2005)
37. 1) Despeja la matriz inversa de A.
X
en la ecuación:
A⋅ X
+ A−1 ⋅ X = I siendo
−1
A
la matriz
1 0 1 1 0 0 2) Halla la matriz X sabiendo que A = 0 1 1 e I = 0 1 0 . 0 1 0 0 0 1 (Septiembre, 2005)
38. 1) Despeja la matriz X en la ecuación:
X
− A2 ⋅ X = B .
1 0 1 2) Halla la matriz X sabiendo que A = 1 1 0 y 0 2 1
−2 −6 −2 B = −2 −2 −3 . −6 −4 −2 (Reserva 1, 2005)
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39. 1) Despeja la matriz X en la ecuación: 2)
Halla la
4 4 −3 C= 0 −3 1
A
− X⋅B=C.
2 3 1 matriz X sabiendo que A = 1 −1 1 , 0 2 −1 7 −5 . −3
0 1 2 y B= 1 0 2 1 1 1
(Reserva 2, 2005)
40. 1) Despeja la matriz X en la ecuación: 2)
Halla la
−2 2 −4 C= 2 1 2
⋅ − X = B⋅ X + C .
A X
1 1 0 matriz X sabiendo que A = 1 0 1 , 1 1 1 0 −3 . −3
2 0 0 y B = −1 1 2 0 0 1
(J unio, 2006)
41. 1) Despeja la matriz X en la ecuación:
2
X⋅A
−B= X .
1 1 0 2) Halla la matriz X sabiendo que A = 0 1 −1 y −1 1 1
0 −2 1 B = −1 −1 3 . 1 −2 4 (Septiembre, 2006)
42. 1) Despeja la matriz X en la ecuación: 2 ⋅ X − A ⋅ B ⋅ X = 3 ⋅ C .
1 1 2 2) Halla la matriz X sabiendo que A = , − 1 0 1
−1 0 −1 1 . B = 2 1 y C = 2 0 −1 1 3 (Reserva 1, 2006)
43. 1) Despeja la matriz X en la ecuación:
X ⋅ A− X
= B.
1 1 0 2) Halla la matriz X sabiendo que A = 0 1 2 y 2 1 0
2 2 −3 2 3 −1
B =
44. 1) Despeja la matriz X en la ecuación: 2 ⋅ X − A⋅ X = C − B ⋅ X .
2 1 0 2) Halla la matriz X sabiendo que A = 1 2 1 , −1 1 2 0 0 1 C = 1 −1 −2 . 1 3 3
(Reserva 2, 2006)
1 1 0 y B= 0 1 0 1 2 1
(J unio, 2007)
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−1
⋅ A+ A = B . 1 0 −1 1 1 0 2) Halla la matriz X sabiendo que A = 0 1 0 y B = 0 1 1 . 0 0 1 1 0 1
45. 1) Despeja la matriz X en la ecuación:
X
(Septiembre, 2007)
46. 1) Despeja la matriz X de la ecuación:
A− 2 ⋅ X
= I − A⋅ X .
1 0 1 2) Halla la matriz X siendo I la matriz identidad de orden 3 y A = 0 1 1 . 1 0 0 (Reserva 1, 2004)
47. 1) Despeja la matriz X de la ecuación:
A+ X
+ A⋅ X = B .
1 1 1 2) Halla la matriz X sabiendo que A = 0 1 2 y 1 0 1
0 5 6 B= 2 5 4 . 2 3 5 (Reserva 2, 2007)
48. 1) Despeja la matriz X en la ecuación: 2 ⋅ X − B = A ⋅ X . 2)
Halla
1 B = −3 4
1 0 1 la matriz X de la ecuación anterior sabiendo que A = 2 1 0 y −1 3 1 −2 3 . −3 (J unio, 2008)
49. 1) Despeja la matriz X en la ecuación:
X ⋅ A− X
= B.
1 −1 2 y 2) Halla la matriz X de la ecuación anterior sabiendo que A = 0 1 3 −1 1 −1 0 −1 8 B = . − − 1 2 10 (Septiembre, 2008)
50. 1) Despeja la matriz X en la ecuación: 2) Halla
5 B= 0 −1
A⋅ X
− 2⋅ X = B.
−2 1 1 la matriz X de la ecuación anterior sabiendo que A = 1 0 1 y −1 −1 0 0 3 . −1 (Reserva 1, 2008)
51. 1) Despeja la matriz X en la ecuación:
⋅ − B = −3 ⋅ X .
A X
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2)
Halla
2 B= 2 −3
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0 1 1 la matriz X de la ecuación anterior sabiendo que A = 1 0 −1 y 1 1 1 1 3 . 1 (Reserva 2, 2008)
52. 1) Despeja la matriz X en la ecuación: 2 ⋅ X + A⋅ X = I .
1 0 1 e 2) Halla la matriz X de la ecuación anterior sabiendo que A = 0 0 2 1 1 −1 1 0 0 I = 0 1 0 . 0 0 1 (J unio, 2009)
53. 1) Despeja la matriz X en la ecuación:
2
+ A⋅ X = B .
A
1 1 0 2) Halla la matriz X de la ecuación anterior sabiendo que A = 0 1 1 y 1 0 1 0 2 0 B= 1 0 0 . 1 0 0 (Septiembre, 2009)
54. 1) Despeja la matriz X en la ecuación: 2)
Halla
1 B = −2 1
X
− A⋅ X = B − X .
1 1 0 la matriz X de la ecuación anterior sabiendo que A = 1 0 1 y 0 0 1 −1 1 . 1 (Reserva 1, 2009)
55. 1) Despeja la matriz X en la ecuación:
A+ B⋅ X
= A⋅ X .
1 −1 0 2) Halla la matriz X de la ecuación anterior sabiendo que A = 1 0 −1 y 2 1 1 0 0 1 B= 1 1 0 . 1 1 0 (Reserva 2, 2009)
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Bloque I. Álgebra Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss (Ejercicios propuestos antes del año 2000)
1. La suma de las edades de un padre y sus dos hijos es 48. Dentro de 10 años, el doble de la suma de las edades de los hijos, excederá en 6 años a la edad del padre. Cuando nació el pequeño, la edad del padre excedía en 6 unidades al triple de la edad que tenía el hijo mayor. Calcula las edades de los tres 2. En una reunión, cierta parte de los presentes están jugando, otra parte, están charlando y el resto, que es la cuarta parte del total, bailando. Más tarde, 4 dejan el juego por el baile, 1 de la charla por el juego y 2 dejan el baile por la charla, con lo cual, el número de personas que está en cada grupo es el mismo. ¿Cuántas personas componen la reunión? 3. Tres amigos acuerdan jugar tres partidas de dados de forma que, cuando uno pierda una partida, entregará a cada uno de los otros dos una cantidad igual a la que cada uno de ellos posea en ese momento. Cada uno perdió una partida y al final cada uno tenía 24 pesetas. ¿Cuánto dinero tenía cada jugador al comenzar el juego? 4. La suma de las edades, en el momento actual de un padre y sus dos hijos es 73 años. Dentro de 10 años la edad del padre será el doble de la edad del hijo menor. Hace 12 años la edad del hijo mayor era doble de la edad de su hermano. Hallar la edad de cada uno. 5. Se venden tres especies de cereales: trigo, cebada y mijo. El trigo se vende cada “cahíz” por 4 denarios. La cebada se vende cada “cahíz” por 2 denarios. El mijo se vende cada “cahíz” por 0,5 denarios. Si se venden 100 “cahíces” y se obtiene por la venta 100 denarios, ¿cuántos “cahíces” de cada especie se vende? Interpreta la(s) solución(es). 6. La edad de un padre es doble que la suma de las edades de sus dos hijos, mientras que hace unos años (exactamente la diferencia de las edades actuales de los hijos) la edad del padre era triple que la suma de las edades en aquel tiempo de sus hijos. Cuando pasen tantos años como la suma de las edades actuales de los hijos, la suma de edades de las tres personas será 150 años. ¿Qué edad tenía el padre en el momento del nacimiento de cada uno de sus hijos? 7. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss: x+ y + z + t = 1 x− y − z + t = 1 3 x + 4 y + 3 z = 3
x− y + z − t = 0
x+ 2 y + 3z = 1
a) ; b) ; c) ; x+ y − z − t = − 1 x− y + z = 0 2 x 3 y z t 1 + + + = x+ y + z − t = 2 x− 3 y − z = 2 − x+ z − t = −2 3 x + y + z + 2t = 0
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3 x − 3 y − 5z = 8
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3 x − y − z + 2t = −2
x+ 2 y + z = 4
x− 2 y − 3z = 3 − x+ 3 y − t = 4 2 x − 3y + 4z = 6 d) ; e) ; f) ; 2 x− y − 4 z = 7 2 x− 2 y − z + t = 1 3x− y + 5z = 1 x+ y − z = 4 x + y + t = −3 2 x− 3 y + 4 z = −3 x+ 3 y − z + t = 0 2 x+ 2 y + z + t = −2 g) 4 x+ 3 y − z + t = −3 x+ 5 y + z − t = 6 8. Clasificar y resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: x− 2 y − 2 z + t = 4
x+ y + z − t = 5 a) ; b) x− y − z + t = 6 6 x− 3 y − 3z + 2t = 32
x+ y − 4 z = 2
2 x− y − z = 1 x − 2 y + 3z = −1 4 x+ y − 9 z = 5
9. Entre Carlos, Pedro y Raúl suman 515 libros de distintos géneros literarios. Si al número de libros que posee Carlos le sumamos el triple de la diferencia entre los que tienen Pedro y Raúl, entonces Carlos tendría tantos como Raúl. Además 8 veces el número de volúmenes de Pedro equivale a 9 veces el número de los de Carlos. ¿Cuántos libros tiene cada uno? 10. Los gastos diarios de tres estudiantes, Marta, Raúl y Pedro suman 1545 pesetas. Si a lo que gasta Marta se le suma el triple de la diferencia entre los gastos de Raúl y Pedro obtendremos lo que gasta Pedro. Ocho veces la diferencia entre el gasto de Raúl y de Marta es igual al gasto de Marta. Averiguar cuál es la cantidad que gasta cada uno. 11. Una tienda ha vendido 330 discos compactos de música clásica, rock y cantautores por un importe total de 740.000 pesetas. El precio de un disco compacto de música clásica es de 2.500 pesetas, y los de grupos de rock y cantantotes un 15% y un 20% más baratos que los de música clásica, respectivamente. También se sabe que se ha vendido una cantidad de compactos de cantautores que es igual a los dos tercios del número de compactos de rock vendidos. Averiguar cuántos discos compactos se han vendido de cada clase. 12. En una tienda de alimentación hay tres productos en oferta: harina, vinagre y botes de guisantes. Un cliente compró un paquete de harina, cuatro botellas de vinagre y dos botes de guisantes, por un importe de 200 pesetas, otro cliente compró un bote de guisantes, dos botellas de vinagre y devolvió un paquete de harina que tenía insectos en su interior, pagó 70 pesetas, y un tercer cliente compró tres botellas de vinagre y devolvió dos paquetes de harina, pagando 20 pts. ¿Cuáles eran los precios de los tres productos? ¿Cómo sería el sistema si el tercer cliente hubiera comprado dos botes de guisantes y 4 botellas de vinagre y hubiera devuelto dos paquetes de harina y le hubieran cobrado 150 pesetas? 13. Una editorial va a lanzar al mercado tres libros de bolsillo L1, L2 y L 3. El importe total de la edición es 3.750.000 pesetas. Los costes en pesetas por unidad son 700, 500 y 600 respectivamente. Se sabe que el número de ejemplares de L 3 es igual a los dos séptimos de los del tipo L2, y que si al triple del número de ejemplares de L 1 se
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le suma el número de ejemplares de L 3 se obtiene el doble del número de ejemplares de L2. Averiguar cuántos libros se han editado de cada tipo. (Ejercicios propuestos a partir del año 2000)
14. En la lista de precios de una cafetería figura la siguiente información: – Cuatro cafés y un bocadillo cuestan lo mismo que cinco refrescos. – Cuatro cafés y tres bocadillos cuestan lo mismo que diez refrescos. – Dos cafés, un refresco y un bocadillo cuestan 950 pesetas. Calcular el precio de un café, de un refresco y de un bocadillo. (J unio, 2000)
15. Los 345 atletas que llegaron a la meta en una prueba de maratón se peden agrupar así: Grupo A: Atletas cuyo tiempo final está comprendido entre 2 y 3 horas. Grupo B: Atletas cuyo tiempo final está comprendido entre 3 y 4 horas y grupo C: Atletas cuyo tiempo final está comprendido entre 4 y 5 horas. El número de atletas del grupo A excede en 4 unidades al triple del número de atletas del grupo C. La diferencia entre el número de atletas del grupo B y el número de atletas del grupo A es cuatro veces el número de atletas del grupo C disminuido en 4 unidades. Calcular el número de atletas que hay en cada grupo. (Septiembre, 2000)
16. Según la Guía Oficial de Hoteles, en una ciudad del litoral levantino existen 106 establecimientos contando los de 2 * (dos estrellas), los de 3 * (tres estrellas) y los de * * * 4 (cuatro estrellas). Si 9 hoteles de 3 pasaran a la categoría de 2 , entonces habría igual número de hoteles de 2 * y de 3 *. En cambio, si hubiera un hotel más de 2 *, * entonces el número de éstos sería cuatro veces el número de los de 4 . ¿Cuántos hoteles hay de 2 *, 3 * y de 4 *? (Reserva 1, 2000)
17. Una persona reparte entre sus tres hijos el premio obtenido en un sorteo, de la forma siguiente: Al mayor le asigna la mitad de la suma de las cantidades que corresponden a los otros dos. Al hijo mediano le asigna la mitad de la suma de las cantidades que corresponden a los otros dos. Al hijo menor le asigna la mitad de la diferencia de las cantidades que corresponden a los otros dos más 100 euros. Hallar la cantidad de dinero asignada a cada hijo y el importe total del premio. (Reserva 2, 2000)
18. En una competición deportiva celebrada en un I.E.S. participaron 50 atletas distribuidos, según la edad, en tres categorías: Infantiles, Cadetes y Juveniles. El doble del número de atletas infantiles, por una parte excede en una unidad al número de atletas cadetes y, por otra parte, coincide con el quíntuplo del número de atletas juveniles. Determina el número de atletas que hubo en cada categoría. (J unio, 2001)
19. Dividimos un número de tres cifras “xyz”, entre la suma de éstas y obtenemos 20 de cociente y 3 de resto. La cifra de las decenas, “y”, es igual a la mitad de la suma de las otras dos. La cifra de las unidades, “z”, es igual a la suma de las otras dos. Hallar el número “xyz”. (Septiembre, 2001)
20. Las edades de tres miembros de una misma familia, el abuelo, el hijo y el nieto, verifican lo siguiente: La suma de las edades del abuelo y del nieto excede en 5 años al doble de la edad que tienen el hijo. Hace 5 años la edad del abuelo era doble de la edad que tenía el hijo. Sumando las edades que tendrán los tres dentro de 10 años se
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obtiene 28 veces la edad que tenía el nieto hace 5 años. Halla las edades actuales de los tres. (Reserva 1, 2001)
21. Se reparten 18400 euros entre tres personas A, B y C de modo que: Por cada 2 euros que recibe A, recibe B tres euros. Por cada 5 euros que recibe B, recibe C siete euros. ¿Qué cantidad corresponde a cada perso na? (Reserva 2, 2001)
22. De la edad de tres hermanos, Ana, Jesús y Fernando, se sabe que: el doble de la edad de Ana más el triple de la edad de Jesús es tres años superior a cuatro veces la edad de Fernando; el triple de la edad de Fernando menos el doble de la edad de Jesús es siete años inferior al doble de la edad de Ana; y el doble de la edad de Ana más el doble de la edad de Fernando es tres años inferior a cinco veces la edad de Jesús. Calcular la edad de cada uno de los hermanos. (J unio, 2002)
23. Una determinada compañía de teatro presenta una obra en una ciudad, dando sólo tres representaciones. Se sabe que el número de espectadores que asiste a la segunda representación se incrementó en un 12% respecto a la primera, que en la tercera representación asistieron 336 espectadores menos que a la segunda y que el número de espectadores de la primera superó en 36 espectadores el de la tercera. Calcular el número de espectadores que asistieron a cada representación. (Septiembre, 2002)
24. Los habitantes de una ciudad tienen los ojos de color azul, o de color negro o de color marrón. El número de los que tienen ojos azules, aumentado en 5, es igual a la sexta parte del número de los que tienen los ojos negros o marrones. El número de los que tienen ojos negros, disminuido en 75, es igual a la mitad de los que tienen los ojos azules o marrones. Finalmente, el número de los que tienen ojos marrones, aumentado en 50, es igual al número de los que tienen ojos azules o negros. ¿Cuántos habitantes tiene la ciudad? (Reserva 1, 2002)
25. Tres amigas, Elena, Carmen y Cristina, entran en una tienda de deportes en la que sólo hay tres tipos de artículos. Elena se compra 2 pares de zapatillas, 1 sudadera y 1 pantalón. Carmen se compra 1 par de zapatillas, 2 sudaderas y 2 pantalones, y Cristina se compra 2 pares de zapatillas y 3 pantalones. Elena se ha gastado en total 70 euros, Carmen 80 euros y Cristina 75 euros. ¿Cuánto vale cada art ículo? (Reserva 2, 2002)
26. Un grupo de 30 alumnos de 2º de bachillerato realiza una votación a fin de determinar el destino de la excursión fin de curso, entre los siguientes lugares: Baleares, Canarias y París. El número de los que prefieren Baleares triplica al número de los que prefieren París. El 40% de los que prefieren Canarias coincide con la quinta parte de la suma de los que prefieren los otros dos lugares. Halla el número de votos que obtuvo cada destino. (J unio, 2003)
27. Tres amigos A, B y C, deciden hacer un fondo común con el dinero que tienen para hacer una compra de golosinas. La razón entre la suma y la diferencia de las cantidades que tienen A y B es 11/5. Dividiendo la cantidad de dinero que tiene A entre la cantidad de dinero que tiene B se obtiene de cociente 2 y de resto la cantidad de dinero que tiene C. Halla la cantidad de dinero que tiene cada uno sabiendo, además, que el doble de la suma de las que tienen B y C excede en dos euros a la que tiene A.
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(Septiembre, 2003)
28. Hallar las edades de un padre y de sus dos hijos sabiendo que actualmente las tres suman 88 años; que dentro de 10 años, la suma de las edades que tendrán el padre y el hijo menor excederá en 2 años al triple de la edad que tendrá el hijo mayor y que hace 12 años, la suma de las edades que tenía el padre y el hijo mayor era doce veces la edad que tenía el hijo pequeño. (Reserva 1, 2003)
29. A los 10 minutos de comenzar una clase de matemáticas de 2º de bachillerato, una parte de los alumnos están mirando las anotaciones que el profesor hace en la pizarra, otra parte está tomando apuntes y el resto, que es la sexta parte del total, están distraídos. Quince minutos más tarde, tres alumnos distraídos pasan a tomar apuntes, un alumno de los que toma apuntes pasa a mirar la pizarra y 8 alumnos que miraban la pizarra, se distraen. En este momento hay el mismo número de alumnos en cada uno de los tres grupos: los que miran la pizarra, los que toman apuntes y los distraídos. Hallar el número de alumnos que hay en la clase. (Reserva 2, 2003)
30. Las edades de tres vecinos suman 54 años y son proporcionales a 2, 3 y 4. Halla la edad de cada uno de ellos. (J unio, 2004)
31. En una clase se celebran e lecciones para Delegado. Se presentan dos candidatos: X e Y. El 5% del total de votos emitidos es nulo. Cuatro veces el número de votos obtenido por Y menos tres veces el número de votos obtenidos por X excede al número de votos nulos en una unidad. Si dividimos el número de votos obtenidos por X entre el número de los obtenidos por Y se obtiene de cociente 1 y de resto 7. ¿Cuántos votos obtuvo cada candidato? (Septiembre, 2004)
32. Una determinada Universidad tiene 1000 profesores entre Catedráticos, Titulares y Asociados. Si 50 Titulares pasaran a ser Catedráticos, el número de Titulares restantes sería doble que el número de Catedráticos que resultarían del traspaso más el número de Asociados. En cambio si 100 Titulares pasaran a ser Catedráticos, entonces el número de Titulares restantes sería igual que la suma del número de Catedráticos resultantes del traspaso y el número de Asociados. Halla el número inicial de profesores de cada categoría. (Reserva 1, 2004)
33. En una bolsa hay canicas de tres colores: amarillo, verde y negro. Si sacamos una bola de la bolsa, el total de bolas negras coincide con un tercio de las que quedan. Introducimos de nuevo la bola en la bolsa y a continuación sacamos dos bolas. Entonces pueden ocurrir dos cosas: El total de bolas verdes coincide con la mitad de las que quedan o el total de bolas amarillas coincide con la cuarta parte de las que quedan. Determina el número de bolas de cada color que hay en la bolsa. (Reserva 2, 2004)
34. Un video-club está especializado en películas de tres tipos: Infantiles, Oeste americano y Terror. Se sabe que: (a) El 60% de las películas Infantiles más el 50% de las del Oeste representan el 30% del total de las películas. (b) El 20% de las infantiles más el 60% de las del Oeste más el 60% de las de terror representan la
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mitad del total de películas. (c) Hay 100 películas más del Oeste que de Infantiles. Halla el número de películas de cada tipo. (J unio, 2005)
35. Los 30 alumnos de un grupo de 4º de ESO cursan tres asignaturas optativas distintas: Francés, Cultura Clásica y Energías alternativas. Si dos alumnos de Francés se hubiesen matriculado de Cultura Clásica, entonces estas dos asignaturas tendría el mismo número de alumnos. Si dos alumnos de Cultura Clásica se hubiesen matriculado en Energías Alternativas, entonces Energías Alternativas tendría doble número de alumnos que Cultura Clásica. Halla el número de alumnos matriculado en cada asignatura. (Septiembre, 2005)
36. Para poder comprar 5 bolígrafos necesito 2 euros más de los que tengo. En cambio, me sobra un euro de lo que tengo si compro 2 lapiceros. Finalmente, necesito 60 céntimos de euro más de lo que tengo para poder comprar dos bolígrafos y dos lapiceros. Halla el precio de un bolígrafo y el de un lapicero. ¿De cuánto dinero dispongo? (Reserva 1, 2005)
37. Se consideran, el número de tres cifras “xyz” y el que resulta de éste al permutar las cifras de las unidades y de las centenas. Halla el valor de las cifras “x”, “y” y “z” sabiendo que la suma de los dos números es 585, que la división del primero entre el segundo tiene de cociente 1 y de resto 99 y que la suma de la cifra de las centenas y la cifra de las decenas del primer número es 7. (Reserva 2, 2005)
38. Un hombre le dice a su esposa: ¿Te has dado cuenta que desde el día de nuestra boda hasta el día del nacimiento de nuestro hijo transcurrieron el mismo número de años que desde el día del nacimiento de nuestro hijo hasta hoy? El día del nacimiento de nuestro hijo la suma de nuestras edades era de 55 años. La mujer le replicó: “Me acuerdo que en ese día del nacimiento de nuestro hijo, tú tenías la edad que yo tengo ahora y además recuerdo que el día de nuestra boda el doble de la edad que tu tenías excedía en 20 años a la edad que yo tengo hoy. Halla las edades actuales de ambos. (J unio, 2006)
39. Para la compra de un artículo de precio 10,70 euros se utilizan monedas de 1 euro, de 50 céntimos de euro y de 20 céntimos de euro. El número total de monedas excede en una unidad al triple de monedas de 1 euro. El 30% de la suma del número de monedas de 1 euro con el doble del número de monedas de 50 céntimos coincide con el número de monedas de 20 céntimos. Halla el número de monedas que se utilizan de cada clase. (Septiembre, 2006)
40. En un grupo de 2º de Bachillerato todos los alumnos tienen como materia optativa una de estas tres asignaturas: Literatura, Psicología o Francés. El número de alumnos matriculados en Literatura representa el 60% del total de alumnos del grupo. Si tres alumnos de Psicología se hubiesen matriculado en Francés, entonces estas dos asignaturas tendrían el mismo número de alumnos. Finalmente, el doble de la diferencia del número de matriculados en Literatura y en Psicología es el triple de la diferencia de los matriculados en Psicología y en Francés. Halla el número de alumnos matriculados en cada una de las materias optativas y el número alumnos del grupo. (Reserva 1, 2006)
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41. En un Instituto se imparten enseñanzas de ESO, Bachillerato y Ciclos Formativos. La suma del número de los alumnos de Bachillerato y del doble de los alumnos de Ciclos Formativos excede en 100 al número de los alumnos de ESO. Si sumamos el 40% de los matriculados en ESO con el 30% de los matriculados en Bachillerato y con el 20% de los matriculados en Ciclos Formativos se obtiene un número que excede en 45 unidades al 30% del número total de alumnos. Sabiendo que cursan estos tres tipos de enseñanza un total de 1200 alumnos, halla el número de matriculados en cada tipo de enseñanza. (Reserva 2, 2006)
42. Un alumno de 2º de Bachillerato emplea en la compra de tres lápices, un sacapuntas y dos gomas de borrar, tres euros. El doble del precio de un lápiz excede en cinco céntimos de euro a la suma de los precios de un sacapuntas y de una goma de borrar. Si cada lápiz costara cinco céntimos de euro más, entonces su precio duplicaría al de una goma de borrar. Determina el precio de un lápiz, de un sacapuntas y de una goma de borrar. (J unio, 2007)
43. La suma de las edades actuales de los tres hijos de un matrimonio es 59 años. Hace cinco años, la edad del menor era un tercio de la suma de las edades que tenían los otros dos. Dentro de cinco años, el doble de la edad del hermano mediano excederá en una unidad a la suma de las edades que tendrán los otros dos. Halla las edades actuales de cada uno de los hijos. (Septiembre, 2007)
44. Un Instituto compra 500 paquetes de folios a tres proveedores diferentes a 2,75; 2,70 y 2,80 euros cada paquete, respectivamente. La factura total asciende a 1360 euros. La diferencia entre el número de paquetes suministrados por el 2º y el 3º proveedor, es triple del número de paquetes suministrados por el 1º proveedor. ¿Cuántos paquetes suministra cada uno de los proveedores? (Reserva 1, 2007)
45. En una población se han presentado dos partidos políticos A y B a las elecciones municipales. Si 250 votantes del partido A hubiesen votado el partido B, ambos partidos hubiesen empatado a votos. El número de votos en blanco o nulos es el 1% de la suma del número de votos obtenidos por ambas candidaturas. Sabiendo que fueron a votar 11615 electores, halla el número de votos obtenido por cada partido y cuantos son blancos o nulos. (Reserva 2, 2007)
46. En una fábrica de artículos deportivos se dispone de 10 cajas de diferente tamaño: Grandes, Medianas y Pequeñas para envasar las camisetas de atletismo producidas, con capacidad para 50, 30 y 25 camisetas, respectivamente. Si una caja grande fuera mediana, entonces habría el mismo número de grandes y de medianas. En total se envasan 390 camisetas. Determina el número de cajas que hay de cada clase. (J unio, 2008)
47. En la XXI Olimpiada Nacional de Química se contrataron 5 autobuses de 55 plazas cada uno, incluida la del conductor, para el transporte de alumnos, profesores y acompañantes. La suma del 10% del número de profesores y del 20% del número de acompañantes excede en una unidad al 10% del número de alumnos. El número de alumnos duplicaría al de profesores en el caso de que hubieran asistido 5 profesores menos. Determina el número de alumnos, de profesores y de aco mpañantes. (Septiembre, 2008)
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48. Los 147 alumnos de un Instituto participan en un taller de percusión organizado por el Departamento de Música. Hay tres modalidades: Merengue, Tango y Samba. Si 15 alumnos de los que han elegido Merengue hubieran elegido Samba, entonces ambas modalidades hubieran tenido el mismo número de alumnos inscritos. La suma del número de inscritos en Merengue y del doble del número de inscritos en Samba excede en 20 al doble del número de inscritos en Tango. Determina el número de alumnos inscritos en cada modalidad. (Reserva 1, 2008)
49. En una tienda especializada, un cliente adquiere dos Pen Drive de 1 GB, uno de 2 GB y uno de 4 GB abonando por todos ellos 33 euros. Otro cliente adquiere uno de 1 GB, dos de 2 GB y devuelve uno de 4 GB adquirido el día anterior, abonando por todo ello 6 euros. Sabiendo que una rebaja del 20% en el precio de los de 1 GB permitiría adquirir dos de éstos por el precio de uno de 2 GB. Calcula el precio de los Pen Drive de cada clase. (Reserva 2, 2008)
50. Con las 12 monedas que tengo en el bolsillo (de 50 céntimos, de 20 céntimos y de 10 céntimos de euro) puedo comprar un pastel cuyo precio es 2,80 euros. Si una moneda de 50 céntimos lo fuera de 20, entonces el número de las de 20 céntimos y el número de las de 10 céntimos coincidiría. ¿Cuántas monedas tengo de cada clase? (J unio, 2009)
51. En una caja hay monedas de 1, de 2 y de 5 céntimos de euro. El número de monedas de 1 céntimo excede en cuatro unidades a la suma del número de las de 2 céntimos y del número de las de 5 céntimos. El número de monedas de 2 céntimos excede en una unidad al 40% del número de monedas de 1 céntimo. Sabiendo que si tuviéramos una moneda más de 1 céntimo, el valor de todas ellas sería de 50 céntimos, calcula el número de monedas que hay de c ada clase. (Septiembre, 2009)
52. En una bolsa hay caramelos de tres sabores: menta, café y limón. Cada caramelo cuesta 5 céntimos de euro. El precio total de la bolsa es de 3 euros. El 30% del número de los de sabor menta excede en dos unidades al 10% de la suma de los de café y los de limón. Sabiendo que la suma del número de los de sabor menta y los de sabor limón es el triple de los de sabor café, determina el número de caramelos de cada sabor que hay en la bolsa (Reserva 1, 2009)
53. La suma de las edades de tres hermanos es 32 años. Dividiendo la edad del mayor entre la edad del más pequeño se obtiene 2 de cociente y 1 de resto. Sabiendo que la edad del pequeño es igual a la suma del 20% de la edad del mayor y del 40% de la edad del mediano, determina las edades de cada uno de ellos. (Reserva 2, 2009)
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